数と代数 - 代数的操作 (算術、指数、根) | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

次の式を $\sqrt{ }$ を含まない形にせよ。 (1) \( \sqrt{(-7)^{2}} \) (2) $\sqrt{8} \sqrt{2}$ (3) $\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}$

さいころを繰り返し n 回投げて, 出た目の数を掛け合わせた積を X とする。すなわち, k 回目 340 に出た目の数を Y_k とすると X=Y_1 Y_2 ... Y_n このとき, X が 3 で割り切れる確率 p_n を求めよ。[京都大]

\ 0^{\\circ} \leqq \\theta \leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ のとき, 次の式の値を求めよ。\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[大阪経大] 基本 25,113

多項式の加法・減法

多項式の加法・減法 (1) 和 A+B は， A と B の項をすべて加え，同類項があればまとめて整理する。 (2) 差 A-B は, A+(-B) と考え, B の各項の符号を変えて A に加える。 (3) 縦書きの計算 右のように，同類項をそろえて縦書きに計算してもよい。 2x² - 3 +)-x² + 5x + 3 x² + 5x のとき，欠けている次数の項をあけておく。

3\n\[\n\\begin{aligned}\n& \\text { (1) } A+B \\\n= & \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= & (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= & 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\]\n(2)\n\[\n\\begin{aligned}\n& A-B \\\n= & \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= & 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= & (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= & 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\]

(ア) \ 3 \\sqrt{2} \

平方根を含む式の計算

n 進数の四則計算

(1) \( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \)

(2) $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ のとき, $a+\frac{1}{a}, a^{3}+\frac{1}{a^{3}}$ の値をそれぞれ求めよ。

３陸上競技の短距離 $100 \mathrm{~m}$ 走では, $100 \mathrm{~m}$ を走る のにかかる時間 (以下, タイムと呼ぶ)は，1歩あ たりの進む距離（以下，ストライドと呼ぶ）と 1 秒 あたりの歩数（以下，ピッチと呼ぶ）に関係がある。 ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えら れる。\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\text { ストライド }(\\mathrm{m} / \\text { 歩 })=\\frac{100(\\mathrm{~m})}{100 \\mathrm{~m} \\text { を走るのにかかった歩数(歩) }} \\\\\n\\text { ピッチ }(\\text { 歩 } / \\text { 秒 })=\\frac{100 \\mathrm{~m} \\text { を走るのにかかった歩数 }(\\text { 歩 })}{\\text { タイム(秒) }}\n\\end{array}\n\\]\n\nただし, $100 \mathrm{~m}$ を走るのにかかった歩数は, 最後の 1 歩がゴールラインをまたぐこと もあるので, 小数で表される。以下，単位は必要のない限り省略する。例えば, タイムが 10.81 で, そのときの歩数が 48.5 であったとき, ストライドは \ \\frac{100}{48.5} \ より約 2.06, ピッチは \ \\frac{48.5}{10.81} \ より約 4.49 である。なお，小数の形で解答する場合，指定された桁数の１つ下の桁を四捨五入して答えよ。\n\n（1）ストライドを $x$ ，ピッチを $z$ とおく。ピッチは 1 秒あたりの歩数，ストライドは 1歩あたりの進む距離なので，1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は， $x$ と $z$用いてア（m/秒）と表される。これより, タイムと，ストライド，ピッチとの関係は\n\n\\n\\text { タイム }=\\frac{100}{\\square \\text { ア }}\n\\n\nと表されるので, ア が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし，タイ ムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。\n\nアに当てはまるものを，次の（）～(5)のうちから１つ選べ。\n(0) $x+z$\n(1) $z-x$\n(2) $x z$\n(3) $\\frac{x+z}{2}$\n(4) $\\frac{z-x}{2}$\n(5) $\\frac{x z}{2}$

例題 26 の (2) と (3) の違いがわかりません。どうして (3) で \\ \\div 3! \ とするのでしょうか？

28 (1) \ \\sqrt{6}+1 \ (2) \ \\sqrt{7}-\\sqrt{2} \ (3) \ 2 \\sqrt{2} + \\sqrt{3} \ (4) \ \\frac{\\sqrt{10}-\\sqrt{6}}{2} \

積の法則の利用

ある多項式から -2 x^{2}+5 x-3 を引くところを、誤ってこの式を加えたので、答えが -4 x^{2}+13 x-6 になった。正しい答えを求めよ。

68 個の数字のうち, 1 が 3 個, 2 が 3 個, 3 が 2 個ある場合の並べ方の総数を求める

数字の順列 (数の大小関係が条件)

何人かの人をグループに分ける場合の数を考える。ただし，どのグループ にも少なくとも 1 人は入るものとする。

18 (1) $14+4 \sqrt{3}-4 \sqrt{7}-2 \sqrt{21}$\n(2) $-4-2 \sqrt{6}$\n(3) $10 \sqrt{2}$\n(4) $-2+\sqrt{7}$

(2) (1) の余事象の確率であるから\n\[ \begin{aligned} 1-\frac{(6-a)^{2}}{36} & =\frac{36-\left(36-12 a+a^{2}\right)}{36} \\ & =\frac{a}{3}-\frac{a^{2}}{36} \end{aligned} \]

(全体) - (〜でない)の考えの利用

\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \

次の式を計算せよ。\n(1) $\sqrt{27}-5 \sqrt{50}+3 \sqrt{8}-4 \sqrt{75}$\n(2) \( (\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3}) \)\n(3) \( (2 \sqrt{2}-\sqrt{27})^{2} \)\n(4) \( (3+4 \sqrt{2})(2-5 \sqrt{2}) \)\n(5) \( (\sqrt{10}-2 \sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{10}) \)\n(6) \( (1+\sqrt{3})^{3} \)

ある多項式から $-2 x^{2}+5 x-3$ を引くところを, 誤ってこの式を加えたので，答えが $-4 x^{2}+13 x-6$ になった。正しい答えを求めよ。

(2) $5 x^{2}-2 x y+y^{2}$ から引くと $8 x^{2}-5 x y+5 y^{2}$ になる式を求めよ。

x=\\frac{-(-\\sqrt{2}) \\pm \\sqrt{(-\\sqrt{2})^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot(-4)}}{2 \\cdot 1}

加法における交換法則を示せ。

四角形の個数と組合せ

116 4-√7/3

次の多項式の同類項をまとめて整理せよ。また, [ ] 内の文字に着目したとき, その次数と定数項をいえ。\n(1) $-2 x+3 y+x^{2}+5 x-y \quad[x]$\n(2) $a^{2} b^{2}-a b+3 a b-2 a^{2} b^{2}+4 a-5 b-3 a+1 \quad$ [a と $\left.b\right]$, [b]

絶対値を含む式の扱い, 必要条件・十分条件について学んだ後、次の問題に挑戦してください。

\ 141 \\sqrt{7} a \

(1) ８個のりんごを A，B，C，Dの４つの袋に分ける方法は何通りあるか。ただし，1個も入れない袋があってもよいものとする。

次の式を計算せよ。\n\n(1) \\sqrt{27}-5 \\sqrt{50}+3 \\sqrt{8}-4 \\sqrt{75}\n\n(2) (\\sqrt{11}-\\sqrt{3})(\\sqrt{11}+\\sqrt{3})\n\n(3) (2 \\sqrt{2}-\\sqrt{27})^{2}\n\n(4) (3+4 \\sqrt{2})(2-5 \\sqrt{2})\n\n(5) (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10})\n\n(6) (1+\\sqrt{3})^{3}

多項式の加法・減法・乗法の計算法則に従って、次の多項式の計算を行いなさい。 1. (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 2x + 3) 2. (3x^2 - 4x + 5) - (x^2 - x + 2) 3. (x + 2)(x - 3)

711+\sqrt{5}

（1）８個のりんごを A，B，C，Dの４つの袋に分ける方法は何通りあるか。ただし， 1 個も入れない袋があってもよいものとする。

多項式の加法・減法・乗法については、異なる多項式同士を足したり引いたりする、あるいは乗じた結果を求める問題がよく出ます。例題を通じて理解を深めましょう。\n\n例題: \( (x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 3) \) を解け。

(1) 次の式を計算せよ。\n $\n \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}} \n$

次の単項式の係数と次数をいえ。また, [ ] 内の文字に着目するとどうか。 (1) 2abx² [x] (2) -6xyz² [y と z] (3) -a³bc [a と c]

23 (1) $a-2=-\sqrt{3}$ と変形して両辺を 2 乗すると，根号が消えるので計算がらくになる。\n(2) $a^{3}=a^{2} \cdot a$ として(aに )を代入するなどして，与式を $a$ の 1 次式で表す。

PR A=2 ｘ^{3} +3 ｘ^{2}+5, B= x^{3}＋３ ｘ+3, C=- x^{3} −15 ｘ^{２} + 7ｘのとき、次の式を計算せよ。(１)４ A +３( A －３B － C) －２(A －２C) (２)４ A － ２{B －２( C －A)}

PRACTICE 2 A=2x^{3}+3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3}-15x^{2}+7x のとき, 次の式を計算せよ。 (1) 4A+3(A-3B-C)-2(A-2C) (2) 4A-2{B-2(C-A)}

次の式を簡単にせよ。ただし， $n$ は自然数とする。\n(1) \( 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n} \)

18 次の式を計算せよ。\n(1) \( (2+\sqrt{3}-\sqrt{7})^{2} \)\n(2) \( (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) \)\n(3) \( (\sqrt{2}+1)^{3}+(\sqrt{2}-1)^{3} \)\n(4) $\frac{1}{2+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$

19 (1) \( \sqrt{\left\{(-2)^{3}\right\}^{2}}>0 \),\n\( (-2)^{3}=-8<0 \) であるから\n(2) 20 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=10, x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=98 \, x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=970

基 本 例題 2 多項式の加法・減法 A=2x^{2}+5xy-4y^{2}, B=x^{2}+5y^{2}, C=-x^{2}+3xy のとき P=3A-2(A+2B)-3C を計算したい。次の問いに答えよ。 (1) P を A, B, C の最も簡単な式で表せ。 (2)（1）の結果を利用して，Pを x, y で表せ。

3+\sqrt{2} の整数部分を a, 小数部分を b とする。 a^{2}+2 a b+4 b^{2} の値は \square る。

次の計算をせよ。\n(1) \( 2 a \times\left(a^{3}\right)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b \times\left(-5 a b^{3}\right) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y\right)^{2} \times\left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{3} \)

次の式を計算せよ。 (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)

次の式を計算せよ。\n(3) $\\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}}$\n(4) $\\frac{8}{3-\\sqrt{5}}-\\frac{2}{2+\\sqrt{5}}$\n(5) $\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}+1}-\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}+\\sqrt{3}}$\n(6) $\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}+\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}$

平方完成に慣れよう

第 2 章 実数, 1 次不等式: 5 根号を含む式の計算

次の多項式 \ A, B \ について, \ A+B \ と \ A-B \ をそれぞれ計算せよ。\n(1) \ A=7 x-5 y+17, \\quad B=6 x+13 y-5 \\n(2) \ A=7 x^{3}-3 x^{2}-16, \\quad B=7 x^{2}+4 x-3 x^{3} \\n(3) \ A=3 a^{2}-a b+2 b^{2}, \\quad B=-2 a^{2}-a b+7 b^{2} \\n(4) \ A=8 x^{2} y-18 x y^{2}-7 x y+3 y^{2}, \\quad B=2 x^{2} y-9 x y^{2}-15 x y-6 y^{2} \

次の式を計算せよ。\n(1) \( \\frac{3 \sqrt{3}}{\\sqrt{2}}+\\frac{\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}} \n(2) \( \\frac{1}{1+\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} )

全体集合を U 、条件 p, q を満たすもの全体の集合をそれぞれ P, Q とすると、条件「 p かつ q 」を満たすもの全体の集合はどう表されるでしょうか。

発 例 題\n基本例題 27\n$40 \\sqrt{A^{2}}$ のはずしす\n$a$ を実数とする。 $\\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ を簡単にすると, $a>\\frac{1}{3}$ のときア $\\square,-2 \\leqq a \\leqq \\frac{1}{3}$ のとき1 $\\qquad$ , $a<-2$ のときゥ $\\qquad$ である。[類 センター試験]\& GUIDE $A \geqq 0$ のとき $\\sqrt{A^{2}}=A, A<0$ のとき $\\sqrt{A^{2}}=-A$ であるから, $\\sqrt{A^{2}}=|A|$ が成り立つ。 \\square \ \\qquad \ ! \このことを利用して, $\\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ を絶対値記号を用いて表す。

\(2x + 3x) を同類項を用いて1つの項にまとめてください。

次の単項式の次数と係数をいえ。また, [ ]内の文字に着目するとき, その次数と係数 をいえ。\n(1) $2 a x^{2} \quad[a]$\n(2) $-\\frac{1}{3} a b^{7} x^{2} y^{7} \quad[y], \quad[a$ と $b]$

次の計算をせよ。\n(1) $x^{2} \times x^{5}$\n(2) \( \left(x^{5}\right)^{2} \)\n(3) \( \left(-x^{2} y z\right)^{4} \)\n(4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3}\right)^{3} \times\left(-3 a^{2} b\right)^{2} \)\n(5) \( \left(-x y^{2}\right)^{2} \times\left(-2 x^{3} y\right) \times 3 x y \)

多項式 $A, B$ の和 $A + B$ と差 $A - B$ を求めよ。

9. 標準 5: 多項式の加法・減法 (2)

関数 \( f(x)=2x+1 \) における $x=-1, 0, 1$ の値を求めよ。

第 1 章 式の計算: 1 多項式の加法と減法

条件「pかつqを満たすもの全体の集合を表してください。

次の式を計算せよ。 (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)

次の式を計算せよ。 (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

20\nLet's Start\n2 多項式の乗法\n多項式の乗法は, 単項式の乗法が基本となっていて, 指数法則, 分配法則を用いて計算されます。\nそのことについて, 単項式の乗法から順に見ていきましょう。\n■ 単項式の乗法\nPlay Back\n中学\n$a$ を $n$ 個掛け合わせたものを $a$ の $n$ 乗といい, $a^{n}$ と書く。\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\na^{1}=a \\quad a^{2}=a \\times a \\quad a^{3}=a \\times a \\times a \\\na^{n}=\\underbrace{a \\times a \\times a \\times \\cdots \\cdots \\times a}_{n \\text { 個 }}\n\\end{\overlineray}\n\\n$a^{1}$ は, 指数 1 を省略 してaと書く。\n$a^{1}, a^{2}, a^{3}$, $\\qquad$ をまとめて $a$ の累乗といい,\n$a$ の右肩に小さく書いた数 $1,2,3$, $\\qquad$ を指数という。\n例 \( (-2) \\times(-2) \\times(-2) \) を指数を使って表すと \( \\quad(-2)^{3} \)\n$4^{3}$ を計算すると\n\\n4^{3}=4 \\times 4 \\times 4=64\n\\n累乗についての積は，次のようにして計算される。\n(1) \( a^{2} \\times a^{3}=(a \\times a) \\times(a \\times a \\times a)=a^{5} \)\n(2) \( \\left(a^{2}\\right)^{3}=a^{2} \\times a^{2} \\times a^{2}=(a \\times a) \\times(a \\times a) \\times(a \\times a)=a^{6} \)\n(3) \( (a b)^{2}=(a \\times b) \\times(a \\times b)=a \\times b \\times a \\times b \)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n=a \\times a \\times b \\times b \n\\=(a \\times a) \\times(b \\times b) \n\\=a^{2} b^{2}\n\\end{array}\n\\]\n一般に，次の指数法則が成り立つ。\n指数法則 $\\qquad$\n$m$ と $n$ の和\n(1) $\\quad a^{m} \\times a^{n}=a^{m+n}$\n$m$ と $n$ の積\n同じ数 $\\square$\n«交換法則 $a \\times b=b \\times a$\n結合法則\n\\[\n(a \\times b) \\times c=a \\times(b \\times c)\n\\]\n$m$ と $n$ は正の整数とする。\n例 (1) $a^{2} \\times a^{3}=a^{2+3}=a^{5}$\n(2) \( \\left(a^{2}\\right)^{3}=a^{2 \\times 3}=a^{6} \)\n(3) \( (a b)^{2}=a^{2} b^{2} \)\n(3) \( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)\n(2) \( \\left(a^{m}\\right)^{n}=a^{m n} \)\n(3) \( \\quad(a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)

次の計算をせよ。\n(1) \\( \\left(5 x^{3}+3 x-2 x^{2}-4\\right)+\\left(3 x^{3}-3 x^{2}+5\\right) \\)\n(2) \\( \\left(2 x^{2}-7 x y+3 y^{2}\\right)-\\left(3 x^{2}+2 x y-y^{2}\\right) \\)

集合 $A, B$ の基本的な性質を説明し、ド・モルガンの法則を示せ。

四則計算について説明してください。

$A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$ であるとき, 次の式を計算せよ。 (1) $3 A-2 C$ (2) $A-2(B-C)-3 C$

f(x)=-2x+3, g(x)=2x²-4x+3 のとき，次の値を求めよ。 (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)

9. 基本 4: 多項式の加法・減法 (1)

次の計算をしてください：√2 × √3 と √3 / √7

和の法則の利用。 基本 5 和の法則の利用。

(4) $-1<y<3$ の各辺に -2 を掛けて \(-1 \cdot(-2)>y \cdot(-2)>3 \cdot(-2)\)

単項式の乗法を行いなさい。指数法則を利用してください。

次の多項式 $A, B$ について,$A+B$ と $A-B$ をそれぞれ計算せよ。 (1) $A=7 x-5 y+17, \quad B=6 x+13 y-5$ (2) $A=7 x^{3}-3 x^{2}-16$ $B=7 x^{2}+4 x-3 x^{3}$ (3) $A=3 a^{2}-a b+2 b^{2}, \quad B=-2 a^{2}-a b+7 b^{2}$ (4) $A=8 x^{2} y-18 x y^{2}-7 x y+3 y^{2}, \quad B=2 x^{2} y-9 x y^{2}-15 x y-6 y^{2}$

TR 次の多項式 \ A, B \ について, \ A+B \ と \ A-B \ をそれぞれ計算せよ。\n(1) \ A=7 x-5 y+17, \\quad B=6 x+13 y-5 \\n(2) \ A=7 x^{3}-3 x^{2}-16 \,\n\ B=7 x^{2}+4 x-3 x^{3} \\n(3) \ A=3 a^{2}-a b+2 b^{2}, \\quad B=-2 a^{2}-a b+7 b^{2} \\n(4) \ A=8 x^{2} y-18 x y^{2}-7 x y+3 y^{2}, \\quad B=2 x^{2} y-9 x y^{2}-15 x y-6 y^{2} \

次の式を計算せよ。(8) (√6 + 2)(√3 - √2)

次の乗法のルールを使って、表の中で間違っている記述を修正しなさい。 $a \times 3 = a3$ $2 \div a = \frac{2a}{1}$

5つの香を順にかぎわけて1,4番目が同じ, 2, 3, 5番目が同じという場合に右のような模様で表します。この模様には「須磨」という名前が付いています。5つの香のかおりの区別を表す模様は全部で52通りあります。その一つひとつに「桐壺」と「夢浮椿」を除いた源氏物語の巻の名前が付いていて, 源氏香の図といいます。香が2種類の場合の模様が何通りあるかを考えてください。5本を3本と2本に分けると考えれば何通りですか。4本と1本に分ける場合も考えてください。

実数の絶対値について簡潔に説明せよ。\n$a \geqq 0$ のとき $|a|=a$, $a<0$ のとき $|a|=-a$

次の計算をせよ。\n(1) \( 2 a \times\left(a^{3}\right)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b \times\left(-5 a b^{3}\right) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y\right)^{2} \times\left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{3} \)\n\nこのとき，指数法則を利用する。 $m, n$ が自然数のとき\n(1) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$\n(2) \( \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \)\n(3) \( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)

次の根号を含む式の計算を行ってください。 問題: √18 + √8

(2) \[\left(2 x^{2}-7 x y+3 y^{2}\right)-\left(3 x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \]

平方完成に慣れよう

次の式を計算せよ。(2) 2√50 - 5√18 + 3√32

TRAINING 5 (3)\n$A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$ であるとき, 次の式を計算せよ。\n(1) $3 A-2 C$\n(2) \( A-2(B-C)-3 C \)

次の式を計算せよ。\n(1) $3 \sqrt{3}-6 \sqrt{3}+5 \sqrt{3}$\n(2) $2 \sqrt{50}-5 \sqrt{18}+3 \sqrt{32}$\n(3) \( \sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{50})-\sqrt{3}(1-\sqrt{75}) \)\n(4) \( (\sqrt{3}+\sqrt{5})^{2} \)\n(5) \( (3 \sqrt{2}-\sqrt{3})^{2} \)\n(6) \( (4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3}) \)\n(7) \( (\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27}) \)\n(8) \( (\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \)

（1）8 本の異なるジュースを A，B の２人に分ける方法は何通りあるか。ただし，A，Bとも少なくとも 1 本はもらうものとする。\n（2）8 本の異なるジュースを 2 つのグループに分ける方法は何通りあるか。

次の式を計算せよ。(7) (√20 + √3)(√5 - √27)

根号を含む式の計算。以下の式を計算しなさい。$\sqrt{4} + \sqrt{9}$

B \\mathbf{7}^{3} \ 式 A \ に式 B=2 x^{2}-2 x y+y^{2} \ を加えるところを, 誤って式 B \ を引いてしま ったので, 間違った答え x^{2}+x y+y^{2} \ を得た。正しい答えを求めよ。

P_nCr の計算をマスターしよう！

多項式の加法と減法を行う。例えば、以下の問題を計算してください。 問題: (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x - 3)

次の式を計算せよ。 (1) $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ (2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

積の法則の利用。 基本 6 積の法則の利用。

次の式を計算せよ。(3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75)

指数法則を使って式を簡略化せよ。\n$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, \( \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \), \( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)

大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき，どの目も奇数になる目の出方は何通りあるか。

次の式を縦書きで計算せよ。 \[\begin{array}{r} 7 x^{3}-3 x^{2}-16 \ +)-3 x^{3}+7 x^{2}+4 x \ \hline 4 x^{3}+4 x^{2}+4 x-16 \ \end{array}\] \[\begin{array}{r} 7 x^{3}-3 x^{2}-16 \ -)-3 x^{3}+7 x^{2}+4 x \ \hline 10 x^{3}-10 x^{2}-4 x-16 \ \end{array}\]

次の式を計算せよ。\n(1) $6 \sqrt{2}-8 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}$\n(2) $\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{8}-\sqrt{2}$\n(3) \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2} \)\n(4) \( (3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}) \)

(1) 10 人を $\mathrm{A}$ または $\mathrm{B}$ の 2 部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，全員を 1 つの部屋に入れてもよい。\n（2） 10 人を 2 つのグループA，Bに分ける方法は何通りあるか。\n（3） 10 人を 2 つのグループに分ける方法は何通りあるか。

次の式を計算せよ。(1) 3√3 - 6√3 + 5√3

次の計算をせよ。\n(1) $x^{2} \times x^{5}$\n(2) \( \left(x^{5}\right)^{2} \)\n(3) \( \left(-x^{2} y z\right)^{4} \)\n(4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3}\right)^{3} \times\left(-3 a^{2} b\right)^{2} \)\n(5) \( \left(-x y^{2}\right)^{2} \times\left(-2 x^{3} y\right) \times 3 x y \)

次の式の計算を説明せよ: 500x z^3 imes rac{1}{4} x^2 y^4 imes rac{8}{125} x^3 z^3

3人の女子をひとまとめにして1組と考えて, 10人の男子と1組の女子の円順列の総数は、(11-1)!=10!（通り）。そのどの場合に対しても、女子3人の並び方は3!通り。 よって、求める確率は (10!×3!)/(12!) = 3×2×1 / 12×11 = 1/22。

犀 $40 \sqrt{A^{2}}$ のはずし方\n$a$ を実数とする。 $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ を簡単にすると，\n$a>\frac{1}{3}$ のときア $\square,-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のときイ $\qquad$ , $a<-2$ のときウ $\square$ である。\n[類 センター試験]\n\& GUIDE $A \geqq 0$ のとき $\sqrt{A^{2}}=A, A<0$ のとき $\sqrt{A^{2}}=-A$ であるから, $\sqrt{A^{2}}=|A|$ が成り立つ。 $\qquゃあ$\nこのことを利用して,$\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ を絶対値記号を用いて表す。

赤玉 1 個，青玉 2 個，黄玉 2 個，白玉 2 個がある。\n（1）７個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。\n（2）７個すべての玉に糸を通し，腕輪を作るとき，何通りの腕輪ができるか。

次の計算をせよ。 (1) \( \left(5 x^{3}+3 x-2 x^{2}-4\right)+\left(3 x^{3}-3 x^{2}+5\right) \) (2) \( \left(2 x^{2}-7 x y+3 y^{2}\right)-\left(3 x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \)

累乗, 累乗根の大小比較: 次の累乗と累乗根の大小を比較しなさい。

[問題 A] 次のように定められた数列 \left\\{a_{n}\right\\} の一般項を求めよ。\n\[a_{1}=-2, a_{n+1}=3 a_{n}+8 \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots)\]\n\n(1) (i) ア \ ＼mathrm{~ ウ ~ に 当 て は ま る 数 を 答 え よ 。~} \\n(ii) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項は, \$a_{n}=\\square$ エ オ \ { }^{n-1}-\\square \ カ である。エー カ に当てはまる数を答えよ。

n が偶数のときと奇数のときの S_n を求めよ: 偶数の時 \(S_{n}=\frac{1}{2} n(n+2)\), 奇数の時 \( S_{n}=-\frac{1}{2}(n+1)^{2} \)

k は定数とする。点 \\( (0, k) \\) から曲線 \ C: y=-x^{3}+3 x^{2} \ に引いた接線の本数を求めよ。

EX 公比2, 初項 1 の等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ に対し, 和 $\\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}}$ を求める。

別解 (イ)について, (ウ) と同様に次数を下げる方法で解いても\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\text { よい。 } \\\\\n\\alpha^{3}+\\beta^{3}+\\gamma^{3}=(3 \\alpha-5)+(3 \\beta-5)+(3 \\gamma-5) \\\\\n=3(\\alpha+\\beta+\\gamma)-15=3 \\cdot 0-15 \\\\\n=1-15\n\\end{array}\n\\]

(4)\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\boldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]

次の計算をせよ。\n(1) $\\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4}$\n(2) $\\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4}$

(2) \( \\boldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\)

(1) 次の計算をせよ。\n\nここで、$\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) 次の計算をせよ。\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2}$

次の第 1 式が第 2 式で割り切れるように, 定数 $a, b, c, d, e$ の値を定めよ。\n(1) $x^{3}+2 x^{2}+4 x+a, x+1$\n(2) \( x^{3}+6 x^{2}+b x+c,(x+1)(x+2) \)\n(3) $d x^{3}+x^{2}+e x-40, x^{2}-2 x-8$

次の計算をせよ。\n(1) \( (-3+2 i)+(5-6 i) \)\n(2) \( i-(-4+3 i) \)\n(3) \( (5-i)(-1+2 i) \)\n(4) \( (3+4 i)^{2} \)\n(5) \( i(-2+i)+(1-i)^{2} \)\n(6) \( (1-i)^{4} \)\n(7) $1+i+i^{2}+i^{3}$

次の式を簡単にせよ。\n(1) \( (\\sqrt[4]{3})^{4} \)\n(2) $\\sqrt[3]{4} \\sqrt[3]{16}$\n(3) $\\frac{\\sqrt[4]{243}}{\\sqrt[4]{3}}$\n(4) $\\sqrt[3]{\\sqrt{729}}$

次の計算をせよ。 [(1) 北海道薬大 （2）千葉工大] (1) $\frac{5}{3} \sqrt[6]{4} + \sqrt[3]{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{54}$ (2) $\frac{2}{3} \sqrt[6]{\frac{9}{64}} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{24}$

次の計算をせよ。\n(1) \( (4+5 i)-(4-5 i) \)\n(2) \( (-6+5 i)(1+2 i) \)\n(3) \( (2-5 i)(2 i-5) \)\n(4) \( (3+i)^{3} \)\n(5) \( (\sqrt{2}+i)^{2}-(\sqrt{2}-i)^{2} \)\n(6) \( (1+i)^{8} \)\n(7) $i-i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}-i^{6}+i^{7}+i^{8}$

(4) \( \left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{2} \times a^{\frac{5}{3}} \) の計算

多項式 $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ を $x^{2}+x+1$ で割った余りが $-x+3$ であると き, 定数 $a, b$ の值を求めよ。

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。\n(1) $a_{1}=6, a_{n+1}=3 a_{n}-8$

次の式を計算し、解を求めよ：\n13. (1) 1\n(2) \frac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1

(2) $2 x^{2}+x y-6 y^{2}-2 x+17 y-12$ を $x+2 y-3$ で割った商と余りを求めよ。

次の式の値を求めよ：\n15. (1) \frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2

PR\n${ }^{2} 25$(1) $a: b=c: d$ のとき, 等式 \$\frac{pa+qc}{pb+qd}=\frac{ra+sc}{rbsd}$ が成り立つことを証明せよ。(2) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ のとき, 等式 $\frac{a+c}{b+d}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$ が成り立つことを証明せよ。

複素数\n2 乗して $8i$ になる数を求めよ。

テ ， 卜，ナに当てはまるものを，下の０～～５のうちから１つずつ選べ。 ただし，解答の順序は問わない。また， i は虚数単位を表すものとする。4 次式 T(x) を x-1 で割ったときの商が U_{1}(x), 余りが 3 であり, x^{3}-x^{2}+2 で割ったときの商が U_{2}(x), 余りが 3 x^{2}+4 である。このとき, T(x) についての記述として誤っているものは, テ ,, 卜, ナ (0) T(x) を 2(x-1) で割ったときの商は, 2 U_{1}(x) である。 (1) T(x) を \u0026frac{1}{2}(x-1 で割ったとき余りは， \u0026frac{3}{2} である。 (2) T(x) を 2\left(x^{3}-x^{2}+2 で割ったときの商は, \u0026frac{1}{2} U_{2}(x) である。 (3) T(x) を \u0026frac{1}{2}\left(x^{3}-x^{2}+2 で割ったとき余りは, 3 x^{2}+4 である。 (4) T(x)+3 は x-1 で割り切れる。 (5) T(1+i)=4+6 i である。

次の数を見つけてください: 5.7 の 0.8

次の数値を求めよ：\n19. (1) a=1, b=2\n(2) a=3, b=1, c=-1

次の計算をせよ。\n(1) \( (4+5 i)-(4-5 i) \)\n(2) \( (-6+5 i)(1+2 i) \)\n(3) \( (2-5 i)(2 i-5) \)\n(4) \( (3+i)^{3} \)\n(5) \( (\sqrt{2}+i)^{2}-(\sqrt{2}-i)^{2} \)\n(6) \( (1+i)^{8} \)\n(7) $i-i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}-i^{6}+i^{7}+i^{8}$

どうすればいいんだろう？ 花子： P(x) を (x-1)^{2} で割ると余りが 2x+3 だから, s x^{2}+t x+u=\u25a1 と表すことがR & Wできるよ。 （i）コに当てはまる式を，次の00５）のうちから１つ選べ。 (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\left(x^{2}+2 x+3\right) (ii) s, t, u の値を求めると, s=\u25a1 サ, t= シス, u= \u25a1 セ である。サ セ に当てはまる数を答えよ。

次の計算をせよ。 (1) $\frac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\frac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}$ (2) $\frac{4}{x^{2}+4}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}$

8 (1) $\boldsymbol{a}_{n}=-4 \cdot 2^{n-1}=-2^{2} \cdot 2^{n-1}$\n$=-2^{n+1}$\ninf. $a^{m} a^{n}=a^{m+n}$ (指数法則)\n(2) \( a_{n}=5(-3)^{n-1} \)

次の多項式を, [ ] 内の 1 次式で割ったときの余りを求めよ。(1) $x^{3}+2 x-1 \quad[x-3]$(2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \quad[x+1]$(3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \quad[x-1]$(4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \quad[2 x-1]$

a < 0, b < 0 の場合 a = -a', b = -b' とおくと a' > 0, b' > 0 このとき \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{-a'}}{\sqrt{-b'}} = \frac{\sqrt{a'} i}{\sqrt{b' i}} = \frac{\sqrt{a'}}{\sqrt{b'}} = \sqrt{\frac{a'}{b'}} , \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a'}}{-b'} = \sqrt{\frac{a'}}{-b'} よって、等式は成り立つ。

次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n\a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-3^{n+1}\

次の式を \( r \\sin (\\theta+\\alpha) \) の形に表せ。ただし、$r>0,-\\pi<\\alpha\\leq\\pi$ とする。\n(1) $\\sin \\theta-\\cos \\theta$\n(2) $\\sqrt{3} \\cos \\theta-\\sin \\theta$\n(3) $5 \\sin \\theta+4 \\cos \\theta$

次の計算をせよ。(1) \\( \\frac{a-b}{a+b} \\times \\frac{a^{2}-b^{2}}{(a-b)^{2}} \\)\n(2) \ \\frac{x^{2}-x-20}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} \\times \\frac{x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{2}-6 x+5} \\n(3) \ \\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1} \\n(4) \\( \\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1} \\)

次の計算をせよ。ただし， a>0, b>0 とする。 (1) a^{4} × (a^3)^{-2} (2) √[3]{3} × √{27} ÷ √[6]{243} (3) √[3]{√{64}} × √{16} ÷ √[3]{8} (4) { (81/25)^{-2/3}}^{3/4} (5) (a^{1/4} - b^{1/4})(a^{1/4} + b^{1/4})(a^{1/2} + b^{1/2}) (6) (√[6]{a} + √[6]{b})(√[6]{a} - √[6]{b})(√[3]{a^2} + √[3]{ab} + √[3]{b^2})

次の数値を求めよ：\n18. (1) a=1, b=3, c=2\n(2) a=1, b=3, c=0, d=3\n(3) a=3, b=9, c=27, d=9

(ア) \( P(x) \) を 2 次式 \( (x-2)(x+3) \) で割ったときの商を \( Q_{1}(x) \), 余りを $a x+b$ とする。次の等式が成り立ちます: \( P(x)=(x-2)(x+3) Q_{1}(x)+a x+b \)。 \( P(x) \) を $x-2$ で割ったときの余りが8であるとする。 \( P(x) \) を $x+3$ で割ったときの余りが-7であるとする。 求める余りを求めなさい。

EX (1) \( (2+i) x-(1-3 i) y+(5+6 i)=0 \) を満たす実数 $x, y$ の値を求めよ。

次の一連の工程を用いて b_n, c_n, および a_n を求めよ (1) $b_{n+1}=\frac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\frac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\frac{1}{4} n^{2}+\frac{1}{4} n+\frac{1}{2}$

EX 初項1, 公比2の等比数列の和 $\\log _{2} a_{1} + \\log _{2} a_{2} + \\cdots \\cdots + \\log _{2} a_{n}$ を求める。

4 (1) \( \boldsymbol{a}_{n}=4+(n-1) \cdot 3=3 n+1 \)\n(2) \( \boldsymbol{a}_{n}=3+(n-1) \cdot(-5)=-5 n+8 \)\n$57, a,-3$ が等差数列であるから \( 2 a=7+(-3) \quad \) よって $\quad a=2$

(1) 多項式 $A$ を多項式 $2 x^{2}-1$ で割ると, 商が $2 x-1$, 余りが $x-2$ であるとき, $A$ を求めよ。

(3) 乗法 \( (a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2} \) 分配法則を利用

EX多項式 $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ を $x^{2}+x+1$ で割った余りが $-x+3$ であるとき, 定数 $a, b$ の値を求めよ。

次の計算をせよ。ただし， $a, b$ は正の数とする。\n(1) $3^{\\frac{2}{3}} \\times 3^{\\frac{4}{3}}$\n(2) $5^{\\frac{1}{2}} \\times 25^{-\frac{1}{4}}$\n(3) $a^{\\frac{1}{2}} \\times a^{\\frac{1}{6}} \\div a^{\\frac{1}{3}}$\n(4) \( \\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}} \)

次の算術計算を行い、解を示せ：\n4. (1) -1080\n(2) -\frac{40}{27}\n

整式 𝑥^3−2𝑥^2−45𝑥−40 を整式 𝑥−8 で割った商と余りを求めよ。

次の等式が恒等式であるかどうかを調べよ。\n(3) \( \frac{2 x+1}{2 x-1} \times \frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1 \)

26 (1) \( \frac{1 \cdot(-2)+3 \cdot 6}{3+1}=\frac{16}{4}=4 \)\n(2) \( \frac{-1 \cdot(-2)+3 \cdot 6}{3-1}=\frac{20}{2}=10 \)\n(3) \( \frac{-3 \cdot(-2)+1 \cdot 6}{1-3}=\frac{12}{-2}=-6 \)\n(4) $\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$

次の複素数と, それぞれに共役な複素数との和, 積を求めよ。\n(1) $3-5 i$\n(2) -2\n(3) $4 i$

2つの実数 $a, b$ は正とする。また, $i$ は虚数単位である。 (1) \( (a+bi)^2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) を満たす \((a, b)\) を求めよ。 (2) \( (a+bi)(b+ai) = 12i \) を満たしながら $a, b$ が動くとき $\frac{a+bi}{ab^2 + a^2 bi}$ の 実部は一定である。その値を求めよ。

次の式を簡単にせよ。\n(1) $2 \log _{2} \frac{2}{3}-\log _{2} \frac{8}{9}$\n(2) $2 \log _{2} \sqrt{10}-\log _{2} 30+2 \log _{2} 3$\n(3) $\log _{2} 12^{2}+\frac{2}{3} \log _{2} \frac{2}{3}-\frac{4}{3} \log _{2} 3$\n(4) $2 \log _{3} 441-9 \log _{3} \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log _{3} \frac{27}{343}$\n(5) $\log _{3} 54+\log _{3} 4.5+\log _{3} \frac{1}{27 \sqrt{3}}-\log _{3} \sqrt[3]{81}$

(2) $a_{n+1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で表せ。

累乗根の計算: 次の累乗根の計算を行いなさい。

数学 $\mathbb{I}$ から最小値を求めることはできない。したがってア(4)参考 \( f(x)=2 x+1+\frac{3}{x+1}(x>0) \), \( g(x)=2 \sqrt{(2 x+1) \cdot \frac{3}{x+1}} \quad(x>0) \) とするとき, 関数 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) のグラフの位置関係は, 右 の図のようになり, 点 \( \left(\frac{1}{2}, 4\right) \) を共有するが，その共有点は \( y=f(x) \) が最小となる点ではない。具体的な値は, (2) で求めることに なるが, \( y=f(x) \) は $x=\frac{1}{2}$ 以外のところで最小となる。(2) \( 2(a+(* *)) \cdot \frac{3}{a+1} \) が定数となるのは, \( (a+(* *))=a+1 \quad \) すなわち \( (* *)=11 \) のときである。$a>0$ より, \( 2(a+1)>0, \frac{3}{a+1}>0 \) であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により 2 a+1+\frac{3}{a+1} =2(a+1)+\frac{3}{a+1}-1 \geqq 2 \sqrt{2(a+1) \cdot \frac{3}{a+1}}-1=2 \sqrt{6}-1等号が成り立つのは, 2(a+1)=\frac{3}{a+1} のときである。このとき (a+1)^{2}=\frac{3}{2} \quad a+1>0 から \quad a+1=\frac{\sqrt{6}}{2} ゆえに \quad a=ウエ -1+\frac{\sqrt{J^{6} 6}}{\text { カ } 2} のとき最小値 $キ 2 \sqrt{{ }^{7} 6}-{ }^{ヶ} 1$

例題 24 条件つきの等式の証明\n$a+b+c=0$ のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。\n\\[\nb c(b+c)+c a(c+a)+a b(a+b)=-3 a b c\n\\]

次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\frac{\\frac{1+x}{1-x}-\\frac{1-x}{1+x}}{\\frac{1+x}{1-x}+\\frac{1-x}{1+x}} \\n(2) \ \\frac{1}{x-\\frac{x^{2}-1}{x-\\frac{2}{x-1}}} \

次の式を求めよ：\n17. (1) \frac{3}{x(x+1)}\n(2) -\frac{2(2 x+7)}{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)}

（1）ア に当てはまるものを，次の０～３のうちから１つ選べ。 (0) b-a=d-c (1) \( \log_{10}(b-a)=\log_{10}(d-c) \) (2) $\log_{10} b-\log_{10} a=\log_{10} d-\log_{10} c$ (3) $\frac{\log_{10} b}{\log_{10} a}=\frac{\log_{10} d}{\log_{10} c}$

次の角を，度数は弧度に，弧度は度数に，それぞれ書き直せ。 (1) -60° (2) 210° (3) 8/3 π (4) -4/5 π

次の計算をせよ。(1) (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))

このときの利益の最大値は a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (万円)

硬貨を 1 枚投げ, 表が出たときは 1 点, 裏が出たときは 2 点を得る。この試行を n 回繰り返して得られた点の合計を 3 で割ったとき, 余りが 0 となる確率を a_{n}, 余りが 1 となる確率を b_{n}, 余りが 2 となる確率を c_{n} とする。(1) a_{1}, b_{1}, c_{1} を求めよ。(2) a_{n+1} を b_{n} と c_{n} を用いて表せ。 (3) a_{n+1} を a_{n} を用いて表せ。 (4) a_{n} を n を用いて表せ。

EX 50 円硬貨 2 枚と 100 円硬貨 4 枚と 500 円硬貨 1 枚を同時に投げるとき, 表が出た硬貨の金額の ⑤1和の期待値と標準偏差を求めよ。\n表が出た 50 円，100 円，500 円硬貨の枚数をそれぞれ $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ とする。\n\ X_{1}, X_{2}, X_{3} \ はそれぞれ二項分布 \\( B\\left(2, \\frac{1}{2}\\right), B\\left(4, \\frac{1}{2}\\right) \\), \\( B\\left(1, \\frac{1}{2}\\right) \\) に従うから\n\\begin{array}{l}\nE\\left(X_{1}\\right)=2 \\cdot \\frac{1}{2}=1, \\quad V\\left(X_{1}\\right)=2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{2}, \\E\left(X_{2}\\right)=4 \\cdot \\frac{1}{2}=2, \\quad V\left(X_{2}\\right)=4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}=1, \\E\left(X_{3}\\right)=1 \\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{2}, \\quad V\\left(X_{3}\\right)=1 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{1}{4}\\end{array}\n表が出た硬貨の金額の和は $50 X_{1}+100 X_{2}+500 X_{3}$ と表されるから, 求める期待値は$\rightleftarrows n$ 枚の硬貨を投げて,表の出る枚数がk枚である確率は\n\\begin{array}{c} { }_{n} \mathrm{C}_{k}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{k}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-k} \\(0 \\leqq k \\leqq n) \\end{array}\n\\( \hookleftarrow n=2, \\quad p=\\frac{1}{2}\\left(q=\\frac{1}{2}\\right) \\) \\( \nleftarrow n=4, \\quad p=\\frac{1}{2}\\left(q=\\frac{1}{2}\\right) \\) \\( \nLeftarrow n=1, \\p=\\frac{1}{2}\\left(q=\\frac{1}{2}\\right) \\)

5 (1) $\frac{18 a^{4} b c^{3}}{30 a^{2} b^{2} c}=\frac{3 a^{2} c^{2}}{5 b}$ (2) \( \frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1} \) (3) \( \frac{x^{3}+1}{x^{2}-2 x-3}=\frac{(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)}{(x+1)(x-3)} \)$=\frac{x^{2}-x+1}{x-3}$

第 $n$ 項が $5 n+1$ である数列は等差数列であることを証明し，その初項と公差を 求めよ。

次の数値を求めよ：\n22. (1) a=-4, b=1, c=6\n(2) a=-7, b=2, c=10

基本例題 19 分数式の恒等式 (部分分数に分解) 等式 \( \frac{5 x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-1} \) が $x$ についての恒等式となるように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。 重要16, 基本 18

基 本 例題 55 高次式の値（割り算を利用して次数を下げる）\nP(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2 について，次の問いに答えよ。\n(1) x=-1+i のとき, x^{2}+2 x+2=0 であることを証明せよ。\n(2) P(x) を x^{2}+2 x+2 で割った商と余りを求めよ。\n(3) P(-1+i) の値を求めよ。

多項式 \( P(x) \) を 1 次式 $ax+b$ で割ったときの余りは何ですか？

次の $x$ についての多項式 $A$ を多項式 $B$ で割った商と余りを求めよ。\n(1) $A=2 x+3, \quad B=x-1$\n(2) $A=3 x^{2}+7 x+8, \quad B=x+2$

PRACTICE $24^{\\text {® }}$\n$a+b+c=0$ のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)=0 \)

(1) $3-5 i$ と共役な複素数は $3+5 i$ よって 和 \( (3-5 i)+(3+5 i)=6 \)\n積 \( \quad(3-5 i)(3+5 i) \)\n\( =3^{2}-(5 i)^{2}=9-(-25) \)\n$=34$\n(2) $-2=-2+0 \cdot i$ と表されるから, -2 と 共役な複素数は $-2-0 \cdot i=-2$\nよって 和 \( -2+(-2)=-4 \)\n積 \( (-2)(-2)=4 \)\n(3) $4 i=0+4 i$ と表されるから, $4 i$ と共役な 複素数は $\quad 0-4 i=-4 i$\nよって 和 \( 4 i+(-4 i)=0 \)\n積 \( \quad 4 i(-4 i)=-16 i^{2}=16 \)

この割り算について, 次の等式が成り立つ。\n\[x^{3}+x+10=B \times\\left(\\frac{x}{2}+1\\right)+(x+2)\]\n整理すると \( \\quad x^{3}+8=B \times\\left(\\frac{x}{2}+1\\right) \)\nよって, $x^{3}+8$ は $\\frac{x}{2}+1$ で割り切れて, その商が $B$ である。右の計算により $\\quad B=2 x^{2}-4 x+8$\n\n商と割る数の計算を示す。

次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。\n(1) $1.5, \log _{3} 5$\n(2) $\log _{2} 3, \log _{3} 2, \log _{4} 8$

複素数 z = a + bi の加法・減法を示せ。

1 から 9 までの数字が書かれている 9 枚のカードから 3 枚のカードを抜き出して並べ、3 桁の数を作る。\n\n（1）各桁の数の和の期待値を求めよ。\n(2) 3 桁の数の期待値を求めよ。

(2) 大小関係と差の正負 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0

次の式を簡単にせよ。 (l) $\frac{\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}}{\frac{1+x}{1-x}+\frac{1-x}{1+x}}$ (2) $\frac{1}{x-\frac{x^{2}-1}{x-\frac{2}{x-1}}}$

次の条件によって定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。 (1) a_1=2, a_{n+1}=4a_n+9 (2) a_1=0, a_{n+1}=3a_n+2n+1

次の計算をせよ。 (1) \[ \frac{x+2}{x^{2}+7 x+12}-\frac{x+4}{x^{2}+5 x+6}-\frac{x^{2}+3 x}{(x+2)\left(x^{2}+7 x+12\right)} \] [近畿大]

次の指数法則を使って問題を解いてください: 指数法則: a^{r} a^{s}=a^{r+s} 特に a が 3, r が 2, s が 4 のとき a^{r+s} の値を求めてください。

次の分数式を約分して, 既約分数式にせよ。\n(1) $\frac{18a^{4}bc^{3}}{30a^{2}b^{2}c}$\n(2) $\frac{x-1}{x^{2}-1}$\n(3) $\frac{x^{3}+1}{x^{2}-2x-3}$

解集合を求める:\n\\(\\sum_{i=1}^{5}(-2)^{i-1}\\)

シェアサイクルを運営する企業Xは，ある町 に2つの拠点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ を設置することを計画している。拠点には貸し出し用自転車が多数置かれており, 利用者はどちらの拠点から借りてもよく, どちらの拠点に返却してもよい。毎日，A，Bにあるすべての自転車が 1 回だけ貸し出され，その日のうちにどちら かの拠点に返却されるとする。また，貸し出された自転車が各拠点に返却される 割合は，日によらず一定であり，次の通りであるとする。Aから貸し出された自転車のうち，70%が Aに， 30% が Bに返却される。B から貸し出された自転車のうち，20%が Aに， 80% が B に返却される。 $n$ 日目終了後, $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ にある自転車の台数の, 総数に対する割合をそれぞれ $a_{n}, b_{n}$ とする。1日目開始前の A, B にある自転車の台数の割合を，それぞれ $20$, $80$ とするとき，次の問いに答えよ。 (1) $a_{1}$ を求めよ。

次の計算をせよ。 (2) $\frac{2}{1+a}+\frac{2}{1-a}+\frac{4}{1+a^{2}}+\frac{8}{1+a^{4}}$

以下の式の値を求めよ: \(\\frac{1}{2}(\sqrt{2 n+1}-1) \)

-EXERCISES の解答\n28\n(1) $5 - i$\n(2) \( -\sqrt{6}(43+15 i) \)\n(3) $\frac{66-213 i}{221}$\n(4) -1\n(5) 1

右辺を変形すると\n\[-\cos ^{2} \theta-\sqrt{3} \sin \theta =-\left(1-\sin ^{2} \theta\right)-\sqrt{3} \sin \theta \n= \sin ^{2} \theta-\sqrt{3} \sin \theta-1\]

a < 0, b > 0 の場合, a = -a' とおくと a' > 0 このとき \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{-a'}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a'} i}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a'}{b}} i, \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a'}{b}} = \sqrt{-\frac{a'}{b}} = \sqrt{\frac{a'}{b}} i よって、等式は成り立つ。

問題66 (1) 4と14をaに代入せよ。\n(2) -2、4、9をaに代入せよ。

次の式を \( r \sin (\theta+\alpha) \) の形に表せ。ただし， $r>0,0 \leqq \alpha<2 \pi$ とする。(1) $\sin \theta+\cos \theta$ (2) $\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta$

次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。 (1) $\log_{10} 4, \frac{3}{5}$ (2) $\frac{\log_{10} 2}{2}, \frac{\log_{10} 3}{3}, \sqrt[3]{3}$ (3) $\log _{3} 4, \log _{4} 3, \log _{9} 27$

組立除法を用いて, 次の多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商と余りを求めよ。(1) $A=x^{3}+2 x^{2}-x-3, \quad B=x+3$(2) $A=2 x^{3}+x^{2}+x-2, \quad B=2 x-1$

次の多項式の同類項をまとめて整理せよ。また, (2), (3) の多項式において, [ ]内の文字に着目したとき, その次数と定数項をいえ。\n(1) $3 x^{2}+2 x-6-4 x^{2}+3 x+2$\n(2) $2 a^{2}-a b-b^{2}+4 a b+3 a^{2}+2 b^{2} \quad[b]$\n(3) $x^{3}-2 a x^{2} y+4 x y-3 b y+y^{2}+2 x y-2 b y+4 a \quad[x$ と $y], \quad[y]$

徚習 次の式の 2 重根号をはずして簡単にせよ。 (2) 26 (1) $\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$ (2) $\sqrt{8-\sqrt{48}}$ (3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ (4) $\sqrt{9-3 \sqrt{5}}$ p.60 EX24, 25

次の式を計算せよ。\n(ア) \ \\\\\\sqrt{12}+\\\\\\\sqrt{27}-\\\\\\sqrt{48} \\n(1) \\( (\\\\\\sqrt{11}-\\\\\\sqrt{3})(\\\\\\sqrt{11}+\\\\\\sqrt{3}) \\)\n(ウ) \\( (2 \\\\\\sqrt{2}-\\\\\\sqrt{27})^{2} \\)\n(I) \\( (\\\\\\sqrt{2}+\\\\\\\sqrt{3}+\\\\\\\sqrt{5})(\\\\\\sqrt{2}+\\\\\\\sqrt{3}-\\\\\\sqrt{5}) \\)

次の値の符号を調べよ:\n\n(1) $a$\n(2) $b$\n(3) $c$\n(4) $b^{2}-4 a c$\n(5) $a+b+c$\n(6) $a-b+c$

12 $a$ は実数とし, $b$ は正の定数とする。 $x$ の関数 \( f(x)=x^{2}+2(a x+b|x|) \) の最小値 $m$ を求めよ。更に, $a$ の値が変化するとき， $a$ の値を横軸に， $m$ の值を縦軸にとって mのグラフをかけ。

基本事頙\n3 平方根\n(1) 定義 2 乗すると $a$ になる数を， $a$ の平方根という。\n(2) 性質 $1 \quad a \geqq 0$ のとき \( \quad(\sqrt{a})^{2}=a, \quad(-\sqrt{a})^{2}=a, \quad \sqrt{a} \geqq 0 \)\n\( \left.2 \begin{array}{ll}a \geqq 0 \text { のとき } & \sqrt{a^{2}}=a \\ a<0 \text { のとき } & \sqrt{a^{2}}=-a\end{array}\right\} \) すなわち $\quad \sqrt{a^{2}}=|a|$\n(3) 公式 $a>0, b>0, k>0$ のとき\n$3 \sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b} \quad 4 \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$\n$5 \sqrt{k^{2} a}=k \sqrt{a}$\n\n分母の有理化 分母に根号を含む式を変形して, 分母に根号を含まない式にすること を，分母を有理化するという。