AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
基礎代数 - 代数方程式 (線形、二次)
Q.01
次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \( (2 x+1)^{2}-9=0 \)
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次の 2 次方程式の解と係数の関係を証明せよ。
2 次方程式 ax² + bx + c = 0 の 2 つの解を α, β とするとき、α + β = -b/a, αβ = c/a が成り立つ。
数学 II の内容を利用して証明せよ。
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男子短距離 100m 走の選手である太郎さんは、(1)に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は、太郎さんが練習で 100m を 3回走ったときのストライドとピッチのデーターである。
|回数|1回目|2回目|3回目|
|---|---|---|---|
|ストライド|2.05|2.10|2.15|
|ピッチ|4.70|4.60|4.50|
また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、ストライドの最大値は 2.40 、ピッチの最大値は 4.80 である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが 0.05 大きくなるとピッチが 0.1 小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの 1次関数として表されると仮定した。このとき、ピッチ z はストライド x を用いて
z= イウ x + エオ/5
と表される。
(2) が太郎さんのストライドの最大値 2.40 とピッチの最大値 4.80 まで成り立つと仮定すると、 x の値の範囲は次のようになる。
カ. キク ≤ x ≤ 2.40
y=□ アおく。(2)を y=□ アに代入することにより、 y を x の関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、カ. キク ≤ x ≤ 2.40 の範囲で y の値を最大にする x の値を見つければよい。
このとき、 y の値が最大になるのは x=□ ケ.コサのときである。きであり、このとき、ピッチは:シ.スセである。また、このときの太郎さんのタイムは、(1)にりり ソである。
イウ~スセに当てはまる数を答えよ。また、ソに当てはまるものを、次の(0)〜(5)のうから1つ選べ。
(0) 9.68
(1) 9.97
(2) 10.09
(3) 10.33
(4) 10.42
(5) 10.55
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次の 2 次方程式を解け。
(1) \( (x-1)(x+2)=0 \)
(2) \( x(x+1)=0 \)
(3)
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2 次方程式の解が存在する範囲を求めるために、次の条件を満たすグラフを考えましょう:\n1. グラフが 軸と異なる 2 点で交わる。\n2. 2 点は 軸の正の部分にある。\nこれらの条件を式で表すと次のようになります:\n[1] (グラフが 軸と異なる 2 点で交わる条件)\n[2] 軸が の範囲にある …… 軸が 軸より右にある。\n[3] \(f(0) > 0\) …… での 座標が正である。
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EX , は定数とする。次の についての方程式の実数解を求めよ。\n(1) \n(2) \((p^{2}-1)x^{2}+2px+1=0\)
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次の連立方程式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\ 3 x-y-3 z=0 \\ x-2 y+5 z=1\end{array}\right. \)
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12冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りあるか。
(1) 5冊,4冊,3冊の3組に分ける。
(2) 4冊ずつ3人に分ける。
(3) 4冊ずつ3組に分ける。
(4) 6冊, 3冊,3冊の3組に分ける。
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(例) 2 x+3 y=33 ( x, y は自然数)の場合
y ≥ 1 を利用して 2 x=3 (11-y) ≤ 30 よって 1 ≤ x ≤ 15
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PRACTICE \n2 次方程式 の異なる 2 つの実数解を とするとき, を満たすように, 定数 の値の範囲を定めよ。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( 2(x-2)^{2}-3(x-2)-1=0 \)
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次の 2 次方程式を解け。\n1. \n2. \n3. \n4. \( 6\left(x^{2}+4\right)=25 x \)\n5. \n6. \( 8(x-1)^{2}+2(x-1)-15=0 \)
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PR 2 次方程式 \ x^{2}-a^{2} x-4 a+2=0 \ の異なる 2 つの実数解を \ \\alpha, \\beta \ とするとき、\ 1 < \\alpha < 2 < \\beta \ を満たすように,定数 \ a \ の値の範囲を定めよ。\n\\( f(x)=x^{2}-a^{2} x-4 a+2 \\) とする。\n\\( y=f(x) \\) のグラフは下に凸の放物線であるから, \ 1 < \\alpha < 2 < \\beta \ となるための条件は,右の図より\n\\[f(1)>0 \\text { かつ } f(2)<0\\]\nである。
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(1)\n\n(1番目)\n は、整数解の1つである。\n\n\n(2番目)\n\(3(x - 5) - 7(y - 2) = 0\)\nすなわち、\n\[3(x - 5) = 7(y - 2)\]\n3と7は互いに素であるから、 は7の倍数である。\nゆえに、を整数として、\nx - 5 = 7k\]\nこれを代入すると、\n\[y - 2 = 3k\nよって、解は、\n\[x = 7k + 5, y = 3k + 2 (kは整数)\]
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基本例題 902 次不等式の解から係数決定
(2) x についての 2 次不等式 a x^{2}-2 x+b > 0 の解が -2 < x < 1 となるように,定数 a, b の値を定めよ。
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58 ・次の連立方程式を解け。\n(1) \( \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\ 3 x-y-3 z=0 \\ x-2 y+5 z=1\end{array}\right. \)\n(2) \( \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=9 \\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=9 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{3}{z}=-9\end{array}\right. \)
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次の基本例題 96 (1) を解け。
f(x) = x² - (a - 1)x + a + 2, f(x) = 0 の判別式 D を求め、2 次方程式 f(x) = 0 が異なる 2 つの解を持つ条件を求めよ。
さらに、この解 α, β がともに正となる条件を求めよ。
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2次方程式 の 1 つの実数解が の範囲にあり, 他の実数解が 4 の範囲にある。このとき, 定数 の值の範囲を求めよ。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) 2x^2 + 3x - 7 = 0\n(2) 3x^2 - 12x + 10 = 0\n(3) \n(4) \(6(x^2+4)=25x\)\n(5) \n(6) \(8(x-1)^2+2(x-1)-15=0\)
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \( (2 x+1)^{2}-9=0 \)
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長さ a, b の線分が与えられたとき, 2 次方程式 x^{2}-a x-b^{2}=0 の正の解を長さとする線分を作図せよ。
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PRACTICE 96 課題 2 次方程式 が次の条件を満たすとき, 定数 の値の範囲を求めよ。 (1) 正の解と負の解をもつ。 (2)異なる2つの負の解をもつ。
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YOKOHAMA の8文字すべてを並べてできる順列の中で, AO という並 びまたはOA という並びの少なくとも一方を含む順列の数を求めよ。
[横浜国大]
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数学 I\n(2) を変形すると\n\(\ny=-2(x-3)^{2}+c+18\n\) であるから, この関数は\n で最大値\n で最小値\n\nをとる。\n のとき \n最大値が 7 となるための条件は\n\nゆえに \nまた, で最小値 をとる。\n別解 \( y=-2(x-3)^{2}+c+18 \) から, この関数のグラフは上に 凸の放物線で, 軸は直線 である。\n軸は定義域の右外にあるから, で最大値, で最小値をとる。\n\n最大値が 7 となるための条件は \nよって \nこのとき, で最小値 をとる。\n頂点は点 \( (3, c+18) \),軸 \( (x=3) \) は定義域の右外。\n右端\n৫左端\n\\sim C=-9 を代入。\n囚グラフをかかない解法。\n上に凸 \\longrightarrow 軸から遠い ほど の値は小さい。
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第2章 集合と命題\n(2) 次の方程式を解きなさい\n\\[(p q+6)+(3 p+q) \\sqrt{2}=8+7 \\sqrt{2}\\]\nただし、p と q は有理数です。
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男子4人、女子5人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。(1) 男子4人が皆隣り合う (2) 男子どうしが隣り合わない
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命題に対する逆、対偶、裏を示しなさい。\n\n逆:「 または y \\leqq 2 \ならば である。」\n\n 対偶:「 かつ y > 2\ならば である。」\n\n裏:「ならば かつである。」
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PR文字はすべて実数とする。次の に当てはまるものを、下の(ア)(工)から選べ。(1) は であるための 。(2) は であるための 。(3) は であるための 。 (ア) 必要十分条件である(イ)必要条件であるが十分条件ではない(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない(工) 必要条件でも十分条件でもない
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54 (2), (3); (2) x=2 で最大値 7, x=0 で最小値 3
(3) は x=2 で最大値 5 , x=-1,5 で最小値 -13
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次の についての方程式の実数解を求めよ。\n(1) \n(2) \( \\left(p^{2}-1\\right) x^{2}+2 p x+1=0 \)
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PRACTICE とする。関数 \(f(x)=ax^{2}-4ax+b(1 \leqq x \leqq 4)\) の最大値が 4 , 最小値が -10 のとき, 定数 の値を求めよ。
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2 次方程式 がともに実数解をもつような の 値の範囲はア , 少なくとも一方が実数解をもつような の値の範囲は イ である。
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解の公式を利用して, 次の 2 次方程式を解け。\n(1) 2x^2 - 5x + 1 = 0\n(2) 9x(2x + 1) = 2\n(3) 2√6x^2 + 12x + 3√6 = 0\n(4) (x + 2)^2 + 4(x + 2) - 1 = 0
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次の条件に基づいて一次関数を求め、利益を最大化してください。\n\n(1) が 250 のとき、 は 300 である。\n(2) が 300 のとき、 は 250 である。\n(3) , のときも成り立つ。\n\nまた、売り上げ金額 と経費 を用いて利益を とし、 を最大化する の値とそのときの最大利益を求めなさい。
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次の条件下で方程式が与える2つのグラフの共有点の数を求めなさい。\n[1] のとき\n(1) は \n[2] のとき\n2 次方程式 (1) の判別式を とすると\n\[ \frac{D}{4} = a^{2} - (a - 1)(a + 4) = -3a + 4 \]\n すなわち のとき\n であるから \n すなわち のとき\n すなわち のとき
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次の命題の真偽を示しなさい。\n(1) x=2 \\Longrightarrow x^{2}=4 \ は真\n x^{2}=4 \\Longrightarrow x=2 \ は偽(反例: x=-2\)\n(2) または x=2 \\Longrightarrow x^{2}=4 \ は真。\n x^{2}=4 \\Longrightarrow x=-2 \ または x=2 \ は真。\n(3) |x|>0 \\Longrightarrow x^{2}=4 \ は偽 (反例: x=1\)。\ x^{2}=4 \\Longrightarrow |x|>0 \ は真。
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(2) 2 次方程式 \( x^{2}+(a+4) x+a-3=0 \) の解の 1 つが であるとき,他の解を求めよ。
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(例) 1) 1/x + 1/y + 1/z = 1 (0 < x < y < z) の場合
1/z < 1/y < 1/x を利用して 1 = 1/x + 1/y + 1/z < 3/x よって x = 1,2
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次の x についての不等式を解け。ただし, a は定数とする。\n\\[ x^{2}-\\left(a^{2}+a\\right) x+a^{3} \\leqq 0 \\]
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(3) とすると \( f(x)=x^{2}+b x+c \)\n方程式 \( f(x)=0 \) が を解にもつから\n\[f(1)=0, \quad f(3)=0\]\nすなわち \nこれを解くと コサ
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基 本 例題 77 方程式の解から係数の決定\n(1) 2 次方程式 の解の 1 つが -2 であるとき, 定数 の値 を求めよ。\n(2) 2 つの 2 次方程式 が,ともに を 解にもつとき, 定数 の値を求めよ。
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次の連立方程式を解け。
(2) とおくと,連立方程式は
\[\left\{\begin{array}{l}X+2Y+Z=9 \\ X-2Y+3Z=9 \\ X+Y-3Z=-9\end{array}\right.\]
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(2)与えられた命題の対偶は\n a=0 ならば「 x についての方程式 a x+b=0 は\n 解をもたないか,または2つ以上の解をもつ」\nこれを証明する。
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兄が弟に3本あげると弟の方が多くなるから\n\[ x-\frac{1}{3} x-3<(52-x)+\frac{1}{3} x+3 \]\n整理して \quad \frac{4}{3} x<58 \] よって \[\quad x<\frac{3}{4} \cdot 58=43.5 \n(1)と(2)の共通範囲を求めて は3で割り切れる整数であるから したがって、兄が初めに持っていた鉛筆は42本
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ある学校で、清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし,ポンプで毎分一定の量を排水するものとする。排水を開始してから 分後におけるプールの水の残量を とする\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline & 100 & 300 & 600 \\\\\n\\hline & 370 & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\nとき, 表のような結果が得られた。\n(1)表のア にあてはまる数を求めよ。\n(2)排水開始前のプールの水の量はイ である。また,排水を開始してからちょうど 分後に完全に水がなくなる。
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22太郎さんと花子さんは,宿題に出された次の[問題]に取り組んでいる。 [問題] 関数 \( f(x)=x^{2}-2|x| \) について (A) \( f(x) \) の最小値を求めよ。 (B) とする。 における \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。 (1) 小問 (A) の答えは次のようになる。 \( f(x) \) は のとき, 最小値 オ をとる。 エ, オ に当てはまるものを,次の各解答群から1つずつ選べ。 工の解答群 (0) -1 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) -1 または 0 (5) -1 または 1 (6) -1 または 2 (7) 0 または 1 (8) 0 または 2 (9) 1 または 2 オの解答群 (0) -2 (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2
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EX 次の連立方程式を解け。 (1) \\left\\{\\begin{array}{l}x+y=3 \\\\ x^{2}+y^{2}=17\\end{array}\\right. (2) \\left\\{\\begin{array}{l}x^{2}-x y-2 y^{2}=0 \\\\ x^{2}+x y-y=1\\end{array}\\right.
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PR 5 人が参加するパーティーで,各自1つずつ用意したプレゼントを抽選をして全員で分け合う とき, 特定の 2 人 A ,Bだけがそれぞれ自分が用意したプレゼントを受け取り,残り 3 人がそれ ぞれ自分が用意した以外のプレゼントを受け取る場合の数はア \ \\square \ である。また, 1 人だけが自分が用意したプレゼントを受け取る場合の数はイ \ \\square \ である。
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(3) として, 係数 の値を変化させると, 方程式 \( f(x)=0 \) は解 を もつという。このとき, ジある。\n続いて, 係数 の値を で固定して, の値を小さくした場合の方程式 \( f(x)=0 \) の解について考える。\n のとき, 方程式 \( f(x)=0 \) は ス。。\n のとき, 方程式 \( f(x)=0 \) は セ。\n のとき, 方程式 \( f(x)=0 \) は ソ。\nコサ, シシに当てはまる数を答えよ。また, ス~ソについは,最も 適当なものを,次の0~~5)うちから1つずつ選べ。\n) 実数解をもたない\n(1) 実数解を 1 つだけもち,それは正の数である\n(2) 実数解を 1 つだけもち,それは負の数である\n(3) 異なる 2 つの正の解をもつ\n(4) 異なる 2 つの負の解をもつ\n(5) 正の解と負の解を 1 つずつもつ
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基本例題 30 整数解の組の個数(重複組合せの利用)\n(1) を満たす負でない整数解の組 \( (x, y, z) \) は何個あるか。\n(2) を満たす正の整数解の組(x,y,z)は何個あるか。
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例題 97(2): 解をもつ範囲が x < 2 および x > 2 である 2 次方程式の解の存在範囲を求めなさい。
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次の x についての不等式を解け。ただし, a は定数とする。\n\ x^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 \
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下記の条件を使って、以下の方程式の解を求めなさい:\n(1) のとき, の最小値を求めよ。\n(2) \( 2 x+y=10(1 \leqq x \leqq 5) \) のとき, の最大値および最小値を求めよ。
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PR の方程式 \( x^{2}-(k-3) x+5 k=0, x^{2}+(k-2) x-5 k=0 \) がただ 1 つの共通解をもつように定数 の值を定め, その共通解を求めよ。\n共通解を とすると\n\[\n\\begin{array}{l}\n\alpha^{2}-(k-3) \alpha+5 k=0 \\\n\alpha^{2}+(k-2) \alpha-5 k=0\n\\end{array}\n\]\n を代入したとき, 2つの方程式が成り立つ。
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次の連立方程式を解け。\n(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y=3 \\\\ x^{2}+y^{2}=17\\end{\overlineray}\\right. \n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-x y-2 y^{2}=0 \\\\ x^{2}+x y-y=1\\end{\overlineray}\\right.
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EX \n11 で割ると 2 余り, 6 で割ると 5 余る 4 桁の自然数のうち最大の数を求めよ。\n求める自然数を とすると, は を整数として,次のよう に表される。\n\n\nよって すなわち (1)\n\n次の方程式 を解く。
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ある商品は, 単価が 10 円のとき 1 日 100 個売れる。単価を 1 円上げるごとに, 1 日の売り上げは 5 個ずつ減り, 単価を 1 円下げるごとに, 1 日の売り上げ は 5 個ずつ増える。単価をいくらにすると 1 日の売上金額が最大になるか。売上金額の最大値とそのときの単価を求めよ。ただし,消費税は考えない。
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3 つの 2 次関数\n \((1), y=(x-2)^{2}\)\( (2), y=(x-2)^{2}+1 \)\nについて, と の対応表を作ると次のようになる。
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149\n[3] のとき\nグラフの軸は,定義域の左外にあって\n\\[f(a)>f(a+2)\\]\nよって, で最大値 をとる。\n以上から\n のとき で最大値 \n のとき\n で最大値 1\n のとき\n で最大値 \n(2)定義域 の中央の値は \n[4] すなわち のとき グラフの軸は, 定義域の中央より右 にある。\nよって, で最小値 をとる。\n[5] すなわち のとき 定義域の中央とグラフの軸が で一致する。\nよって, で最小値 0 をとる。\n[6] すなわち のとき グラフの軸は,定義域の中央より左 にある。\nよって, で最小値\n をとる。\n以上から\n のとき で最小値 \n のとき で最小値 0\n のとき で最小値 \n[1], [3] 軸が定義域の外 にあるから, 軸に近い方の 端で最大となる。4章発展学習 であれば, 軸が 定義域の内部にあっても で最小値をとる。\n であれば, 軸が 定義域の内部にあっても で最小値をとる。\n最小 \\overbrace{-+1}^{\\mid \text {軸 }} \\left\\lvert\, \\begin{\overlineray}{c}\\text { 最小 } \\\\ x=a \\\\ x=a+1\\end{\overlineray\\}\right. \n であれば, 軸が 定義域の内部にあっても で最小値をとる。 [6'] 軸\n参考(1),(2)をまとめると,次のようになる。\n のとき で最大値 で最小値 \n(図 \ [4] \ )\n のとき で最大値 で最小値 \n(図 \\left[4^{\\prime}\\right] \ )\n のとき で最大値 で最小値 0\n(図 [5] \ )\n のとき\n で最大値 で最小値 \n(図 \\left[6^{\\prime}\\right] \ )\n のとき \ で最大値 で最小値 \n(図 [6] \ )\n\nTRAINING 84 (4)\n を定数とする。 における関数 \( f(x)=x^{2}-2 x+2 \) について,次の問いに 答えよ。\n(1)最大値を求めよ。\n(2)最小値を求めよ。
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次の命題 の逆と対偶を述べ, それらの真偽を調べよ。また, 命題 の裏を述べよ。ただし, は実数, は整数とする。\n(1) ならば の少なくとも一方は負の数である。」\n(2) が偶数 は奇数\n(3)
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命題 p⇒q (p は仮定, q は結論) 条件 p を満たすもの全体の集合を P, 条件 q を満たすもの全体の集合を Q とすると、命題 p⇒q が真であることと、P ⊆ Q であることは同じ。この命題の真偽を判定してください。
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TRAINING 88\n(1) 2 次方程式 が実数解をもたないとき,定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) 2 次方程式 \( x^{2}-2 m x+2(m+4)=0 \) が重解をもつとき, 定数 の値とそのときの 重解を求めよ。
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次の!に適するものを,下の(1)~3)から選べ。ただ し, x は実数とする。\n(1) p: x^{2}-x=0 \\quad q: x=1 とすると, p は q である ための \\square 。\n(2)四角形について p :ひし形である q :対角線が垂直に交わる とすると, p は q であるための \\square 。\n① 必要十分条件である\n② 必要条件であるが,十分条件ではない\n③ 十分条件であるが,必要条件ではない
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次の条件を満たすように,定数 の値を定めよ。\n(1) 1 次関数 のグラフが 2 点 \( (-2,2),(4,-1) \) を通る。
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(x の 2 次式 )=0 の形に表される方程式を, x の 2 次方程式といいます。 その 2 次方程式を満たす x の值を 2 次方程式の解といい, すべての解を 求めることを 2 次方程式を解くといいます。ここでは, 2 次方程式の解について, 中学で学習したことも含めて考えてみましょう。
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発展例題: 基本例題、標準例題の発展で重要な問題を解きなさい。一部、学習指導要領の範囲を超えた内容も含まれています。
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TRAINING 56\nx, y は実数とする。次の命題の逆・対偶・裏を述べ,それらの真偽を調べよ。\n(1) x^{2} ≠ -x ⟹ x ≠ -1 (2) x+y は有理数 ⟹ x または y は有理数
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関数 \( f(x)=-x^{2}+4 x+c(-4 \leqq x \leqq 4) \) の最小值が -50 であるように, 定数 の値を 定めよ。
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x についての異なる 2 つの 2 次方程式 x^{2}+a x+b=0 ①, x^{2}+b x+a=0 ②がただ 1 つの共通解をもつとする。\n(1)その共通解を求めよ。\n(2) a, b が満たすべき条件を求めよ。\n(3)1,②のもう1つの解はそれぞれ b , a に等しいことを示せ。
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EX を定数とする関数 \( f(x)=x^{2}+2 x-a^{2}+5 \) について, 次が成り立つような の値の範囲をそれ 61 ぞれ求めよ。\n(1) すべての について, \( f(x)>0 \) である。\n(2) を満たすすべての について, \( f(x)>0 \) である。\n(3) を満たすすべての について, \( f(x) \leqq 0 \) である。\n[名城大]
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a, b を実数とし, 2 次関数 y=4 x^{2}-8 x+5, y=-2(x+a)^{2}+b の表す放物線のそれぞれの頂点が一致するとき, 定数 a, b の値を求めよ。
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2次方程式 \( x^2 - 2mx + 2(m + 4) = 0 \) が重解をもつとき, 定数 の值とそのときの重解を求めよ。
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次の についての方程式,不等式を解け。\n(1) \( a x^{2}-(a+1) x+1=0 \)\n(2) \( x^{2}-(a+2) x+2 a<0 \)
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放物線 \( y=x^{2}+(2 k-3) x-6 k \) が 軸から切り取る線分の長さが 5 であるとき, 定数 の値を求めよ。
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ここでは,不等式の性質を利用して,1 次不等式を解くことについて学びます。不等式の性質は,等式の性質と似ているので,まず, 1 次方程式を通して等式の性質について復習しましょう。
等式の性質
等式の両辺に同じ数を足しても,等式は成り立つ。
A=B ならば A+C=B+C
等式の両辺から同じ数を引いても,等式は成り立つ。
A=B ならば A-C=B-C
等式の両辺に同じ数を掛けても,等式は成り立つ。
A=B ならば AC=BC
等式の両辺を同じ数で割っても,等式は成り立つ。
A=B ならば A/C=B/C ただし, C ≠ 0
例 1 次方程式 -2x-5=9 を等式の性質を利用して解く。
-2x-5=9
-5 を移項すると -2x=9+5
すなわち -2x=14
両辺を -2 で割って x=-7
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3 個のさいころを同時に 1 回だけ投げる抽選会がある。抽選を行う会場は複数あり,当選する条件がそれぞれ異なっている。\n(1)「1の目が少なくとも 1 個出ること」が当選条件の会場 Aと, 「1の目がち ようど 1 個出ること」が当選条件の会場 Bの2つの会場の場合を考える。\n(i)会場 Aの当選確率は \\frac{ほん}{か} \\n(ii) 会場 A,B を無作為に選んで抽選を行う。会場 A,B を選ぶ事象をそれ ぞれ , 当選する事象を と取ると\n\n\( P(A \\cap W)=\\frac{1}{2} \\times \\frac{ほん}{か}, P(B \\cap W)=\\frac{1}{2} \\times \\frac{き}{く} \\)\n\n\( P(W)=P(A \\cap W)+P(B \\cap W) \\) であるから, 当選したとき, 選んだ会場 が \\mathrm{A} \ である条件付き確率 \( P_{W}(A), \\mathrm{B} \\) である条件付き確率 \( P_{W}(B) \\) はそれぞ れ \( P_{W}(A)=\\frac{し}{しす}, P_{W}(B)=\\frac{そ}{しす} \\) である。この 2 つの条件付き 確率については,次の事実(*)が成り立つ。 \n\n(*)事実 \n\n\( P_{W}(A) と P_{W}(B) の \\square っち \\) は, P_{A} \ の確率と \( P_{W}(B) \\) の確率の ちに等しい。解答群\n\n(0) 和\n(1) 2 乗の和\n(2) 3 乗の和\n(3) 比\n(4) 積
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TRAINING 97 (3)\n2 次方程式 の解が次のようなとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n(1)異なる 2 つの実数解をもつ。\n(2)実数解をもつ。\n(3)実数解をもたない。
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解の公式を用いて, 次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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例えば,方程式 x+y=10 の整数解は以下のように非常に多く存在します。この方程式の任意の3つの整数解を求めなさい。
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2 次方程式 の解が次のようなとき, 定数 の値の範囲を 求めよ。\n(1)異なる 2 つの実数解をもつ。\n(2)実数解をもつ。\n(3)実数解をもたない。
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第 5 章 2 次方程式と 2 次不等式\nある速さで真上に打ち上げたボールの,打ち上げてから 秒後の地上からの高さを とする。hの值が で与えられるとき, ボールが地上から 以上 以下の高さにあるのは, の值がどのような範囲にあるときか。
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(2) (1)の \ x, y \ の値に対して \ P=4 \ となるとき, \ a, b \ の値を求めよ。
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TRAINING 56 (1)\n は実数とする。次の命題の逆・対偶・裏を述べ,それらの真偽を調べよ。\n(1)
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次方程式を解きなさい。\n\n1. 基本 86 - 因数分解を利用した 2 次方程式の解き方\n2. 基本 87 - 解の公式を利用した 2 次方程式の解き方\n3. ○基本 88 - 実数解をもつ条件(1)
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次の についての方程式, 不等式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}+2 a x+1=0 \)\n(2)
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2 次方程式 \( x^{2}-(a-4) x+a-1=0 \) が次の条件を満たすように, 定数 の値の範囲を定めよ。\n(1)異なる 2 つの負の解をもつ。\n(2) 正の解と負の解をもつ。
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24 (1)逆: x, y の少なくとも一方が負の数ならば x+y=-3 である, 偽対偶: x \geqq 0 かつ y \geqq 0 ならば x+y \neq-3 で ある, 真 裏: x+y \neq-3 ならば x \geqq 0 かつ y \geqq 0 である
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2 (1) 5 次式(2) (ア) 2 次式, 定数項 (1) 2 次式, 定数項 (ら) 2 次式, 定数項 -12
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次の についての方程式, 不等式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}+2 a x+1=0 \)\n(2)
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2 次方程式 の解が次のようなとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n(1)異なる 2 つの実数解をもつ。\n(2)実数解をもつ。\n(3)実数解をもたない。
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次の についての方程式,不等式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}+2 a x+1=0 \)\n(2)
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(3)グラフが常に 軸より上側にある条件は,グラフが下に凸の 放物線で, かつ, 軸と共有点をもたないことである。よって, 2 次方程式 の判別式を とすると\n\n\\[\n\\begin{array}{c}\nm>0 \\text { かつ } D<0 \\\\\nD=3^{2}-4 \\cdot m \\cdot m=9-4 m^{2}=-\\left(4 m^{2}-9\\right)=-(2 m+3)(2 m-3)\n\\end{array}\n\\]\n\nであるから\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n-(2 m+3)(2 m-3)<0 \\text { すなわち }(2 m+3)(2 m-3)>0 \\\\\n\\text { よって } \\quad m<−\\frac{3}{2}, \\frac{3}{2}<m\n\\end{array}\n\\]\n\nこれと の共通範囲を求めて
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解の公式を用いて, 次の2次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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次不等式のすべての項を左辺に移項して整理したとき, , は定数, ただし \( a \neq 0) \) などのように, 左辺が の 2 次式になる不等式を の 2 次不等式という。そして,2 次不等式を成り立たせる の値を, その不等式の解といい, 解のすべてを求めることを 2 次不等式を解 くという。この節では, 2 次関数のグラフを利用して 2 次不等式を解く方法を学び ましょう。前節で学んだ, 2 次関数のグラフと 軸の位置関係を積極的 に活用します。\n\n■ 2 次不等式の解と 2 次関数のグラフ注意 以下では, の係数 の符号を正として話を進めても不都合はな い。なぜなら, の符号が負のときは,両辺に -1 を掛けて の係数を正にして解けばよいからである。2 次不等式 \( a x^{2}+b x+c>0(a>0) \) の解を求めることは, とおくとき, となる の値の範囲,すなわ ち, のグラフが 軸より上側にあるような の値 の範囲を求めることである。\n\n具体的な例として, 2 次不等式 (1)について 説明しよう。
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2次方程式 の判別式を とすると D=(-16)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 32=256-256=0 よって, グラフと 軸の共有点の個数は 1 個
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2 次方程式 \( x^{2}-2 m x+2(m+4)=0 \) が重解をもつとき, 定数 の値とそのときの重解を求めよ。
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数学 I TR \( f(x)=x^{2}-2 a x-a+6 \) について, すべての実数 に対して \( f(x)>0 \) となる定数 の値の範囲 はア T である。また, で常に \( f(x) \geqq 0 \) となる の値の範囲は ゥ エ である。
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2 次不等式では, まず, > におき換えた 2 次方程式を解きましょう。\n2 次不等式 を解くために, まず, 2 次方程式 を解く。解の公式から\n\( x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-1 \cdot 3}}{1}=3 \pm \sqrt{6} \)\n\n の解は, のグラフで\n となる の値の範囲を求めて\n
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(1) b=-6 a^{2}+11 a+10\n(2) a=\\frac{17}{12} ; x=-2,3 で最大値 36 , x=\\frac{1}{2} で最小値 -\\frac{3}{2}
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(1) \\\\( 2 x^{2}+x-1=0 \\\\\\\n(2) \\\\( x=-1, \\\\ \\frac{1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=60^{\\circ}, \\\\ 180^{\\circ} \\\\\\\n
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2 次方程式の解の分類は, 判別式 の符号 を調べましょう。\n2 次方程式 の解の公式は\n\\[\n\\begin{array}{l} x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\leftrightarrows \\text { ここが正(つまり } D>0 \\text { )のとき,異なる2つの実数解 } \\\\ \\text { ここが(つまり } D=0 \\text { )のとき,実数の重解をもつ。 } \\\\ \\text { ここが負(つまり } D<0 \\text { )のとき,実数解をもない。 } \\end{array} \\]
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2つの方程式 x^2+ax+a+3=0 (1), x^2-2ax+8a=0 (2) について、次の条件を満たすような定数 a の値の範囲を求めよ。
(1) (1), (2) がともに実数解をもたない。
(2) (1), (2) の一方だけが実数解をもつ。
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3 次関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c \) が \( (x-2) f^{prime}(x)=3 f(x) \) を満たすとき, の値を求めよ。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \( (2 x-3)^{2}=x^{2}-20 \)
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第1章 数列
345
EX 数列 は, 初項 および公差 が整数であるような等差数列であり, , (31 を満たしているとする。このような数列 をすべて求めよ。
\( a_{n}=a+(n-1) d \) と表される。
から
から
から
[神戸大]
1 章
(1), (2) から
よって (4)
(2), (3) から
よって
は整数であるから, (4), (5) より
のとき, (1), (2), (3) から
は整数であるから
したがって \( \quad a_{n}=7+(n-1) \cdot 3=3 n+4 \)
のとき, (1), (2), (3) から
は整数であるから
したがって \( \quad a_{n}=4+(n-1) \cdot 4=4 n \)
以上から または
HINT 3 つの不等式か
EX
ら, についての範囲を 求める。
«(1) から
\( -10 \leqq-(a+d) \leqq-8 \)
これと(2)の各辺を加え る。
また, (2) から
\( -16 \leqq-(a+3 d) \leqq-14 \)
これと (3) の各辺を加え
る。
(一般に ,
のとき
\( A+C<X+Y<B+D) 」
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次の式を満たす a の値を求めなさい。\n\n(1) のとき\n\n\n\n(2) のとき\n\n\n\n(3) のとき\n\n
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(2) \\frac{x}{b-c}=\\frac{y}{c-a}=\\frac{z}{a-b} \ のとき, 等式 a x+b y+c z=0 \ が成り立つことを 証明せよ。
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120\n(2) \nm(a)=\left\{\begin{array}{ll}a & (a<-4) \\ -\frac{a^{2}}{8}-2 & (-4 \\leqq & a \\leqq & 4) \\ -a & ) a>4)\end{array}\right. \n(2) \( M(a) \)の最小値は のとき0, \( m(a) \)の最大値は のとき-2
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は実数であるから, \( (\beta-\alpha)^{3}=4^{3} \) より\n\n は 2 次方程式 すなわち の 2 つの解であるから,解と係数の関係から\n\[\n\begin{array}{l}\n\alpha+\beta=m, \alpha \beta=-2 \n\text { よって } \quad(\beta-\alpha)^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta \n=m^{2}+8 \n\end{array}\n\]\n より, であるから\n\n であるから ゆえに よって であるから
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直線 l: 2x - y + 3 = 0, m: 3x - 2y - 1 = 0 について、次の問いに答えよ。
(1) 2直線 l, m の交点の座標を求めよ。
(2) m 上の点 P(3,4) の、直線 l に関する対称点の座標を求めよ。
(3) 直線 l に関して、直線 m と対称な直線の方程式を求めよ。
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2つの2次方程式 (1), (2) が次の条件を満たすように, 定数 の値の範囲を定めよ。\n(1)ともに虚数解をもつ\n(2)少なくとも一方が虚数解をもつ\n(3)(1)のみが虚数解をもつ
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基 本例題 10 等比数列をなす 3 数(等比中項)\n3 つの実数 に対して, とする。数列 が等比数列であるとき, の値を求めよ。
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8. a+b=p, ab=q のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) p^2-4q=(a-b)^2 (2) p^3-3pq=a^3+b^3
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EX 方程式 \( x^{2}+y^{2}-6 k x+(12 k-2) y+46 k^{2}-16 k+1=0 \) が円を表すとき\n(1)定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) の値がこの範囲で変化するとき,円の中心の軌跡を求めよ。
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次の恒等式を証明してください。\n(与えられた等式がについての恒等式であるかを確認する)\n(a) \n(b) \n(c) \n(d)
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数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の初項から第 \ n \ 項までの和 \ S_{n} \ が, 関係式 \ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \ を満たすとき\n(1) 初項 \ a_{1} \ を求めよ。\n(2) \ a_{n}, a_{n+1} \ の 2 項間の関係式を求めよ。\n(3) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。
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3 次方程式 \( x^{3}+(a+2) x^{2}-4 a=0 \) がちょうど 2 つの実数解をもつような 実数 をすべて求めよ。
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次の条件を満たすように, 定数 の値を定めよ。\n(1) を で割ると 1 余る。\n(2) が で割り切れる。\n(3) は で割り切れ, で割ると 6 余る。
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次の[問題]に関する花子さんと太郎さんの会話を読んで,次の問いに答えよ。\n[問題] 多項式 \( P(x) \) を \( (x-1)^{2} \) で割ると余りが で割ると余りが 17 である。多項式 \( P(x) \) を \( (x-1)^{2}(x+2) \) で割ったときの余りを求めよ。\n花子: \( P(x) \) を \( (x-1)^{2}(x+2) \) で割ったときの商を \( Q(x) \), 余りを と すると, 等式 \( P(x)=(x-1)^{2}(x+2) Q(x)+s x^{2}+t x+u \) が成り立つね。太郎:あれ, を代入して の方程式を作ってもうまくいか ないよ。どうすればいいんだろう?\n花子: \( P(x) \) を \( (x-1)^{2} \) で割ると余りが だから, と 表すことができるよ。
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(3) から これを に代入して \[ x^{2}+(2 x+5)^{2}=1 \] 整理すると この 2 次方程式の判別式を とすると から, 共有点の個数は 0 個 (共有点 をもたない)。
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3 次関数 \( f(x)=-x^{3}+a x^{2}+a(a+4) x+3 \) は で極小値をとる。定数 の値と \( f(x) \) の極小値をそれぞれ求めよ。
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次の条件を満たすように,定数 の値を定めよ。\n(1) を で割ると 2 余る。\n(2) が で割り切れる。\n(3) が で割り切れ, で割ると 8 余る。
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第 1 章 数列 363 (3) (3) を変形して \( a_{n+1}-1=\frac{5}{3}\left(a_{n}-1\right) \) (1) から よって, 数列 は初項 , 公比 の等比数列であるから \( a_{n}-1=-\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \) ゆえに \( \quad a_{n}=-\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}+1 \) (4) (1) から \( S_{n}=\frac{1}{2}\left(5 a_{n}+2 n-3\right) \) (3)の結果を代入して \[ S_{n}=\frac{1}{2}\left\{-2 \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{n}+2 n+2\right\}=-\left(\frac{5}{3}\right)^{n}+n+1 \] を解くと 1 章
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虚数を係数とする2次方程式 x の方程式 (1+i)x^{2}+(k+i)x+3+3ki=0 が実数解をもつように, 実数 k の値を定めよ。また,その実数解を求めよ。
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和が -2 , 積が 3 の 2 数を解とする 2 次方程式は
求める 2 数は, この 2 次方程式の解。
解の公式を用いて解くと
よって, 求める 2 数は
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EX についての方程式 \( 2 x^{3}-(3 a+1) x^{2}+2 a x+4=0 \) が異なる 2 つの実数解をもつときの定数 の値を求めよ。\n[類 山口大]\n\( f(x)=2 x^{3}-(3 a+1) x^{2}+2 a x+4 \) とする。\n\( y=f(x) \) のグラフと 軸が異なる 2 つの共有点をもつ条件を考えればよい。\n\( f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2(3 a+1) x+2 a=2(x-a)(3 x-1) \)\n\( f^{\prime}(x)=0 \) とすると \n\( y=f(x) \) のグラフと 軸が異なる 2 つの共有点をもつのは, \( y=f(x) \) が極値をもち, \( y=f(x) \) のグラフが または で 軸と接するときである。\n\( y=f(x) \) が極値をもつから \n求める条件は, (1)の条件のもとで \( f(a)=0 \) または \( f\left(\frac{1}{3}\right)=0 \)\n[1] \( f(a)=0 \) のとき すなわち \n因数分解して \( (a-2)\left(a^{2}+a+2\right)=0 \)\n\( a^{2}+a+2=\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}>0 \) であるから \nゆえに \nこれは (1)を満たす。\n[2] \( f\left(\frac{1}{3}\right)=0 \) のとき \nよって \nこれは(1)を満たす。\n[1], [2] から \n求める定数 は と 2 である。
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以下の連立方程式を解け。
\[
\begin{array}{l}
-\frac{a-b}{\sqrt{2}}+\frac{a+b}{2}=3+\sqrt{7} \\
\frac{a-b}{\sqrt{2}}+\frac{a+b}{2}=3-\sqrt{7}
\end{array}
\]
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第2章\n複素数と方程式\n2 次方程式 2x^2 + 4x + 3 = 0 の 2 つの解 α, β について、次のことを示せ。\n1. (α-1)(β-1)=9/2\n2. (α-1)^3 + (β-1)^3 = -10
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P(x) を 2 次式 (x-2)(x-4) で割ったときの商を Q_2(x)、余りを cx+d とすると,次の等式が成り立つ。
P(x)=(x-2)(x-4) Q_2(x)+cx+d
P(2)=8 であるから 2c+d=8
P(x) を x-4 で割ったときの余りが6であるから P(4)=6
(1) の両辺に x=4 を代入すると 4c+d=6
よって 4c+d=6
c=-1, d=10
したがって, 求める余りは -x+10
ここで, (x-2)(x-4) は x-4 で割り切れるから, P(x) を x-4 で割ったときの余りは, cx+d を x-4 で割った時の余りに等しく, それが6であることから
cx+d=c(x-4)+6
よって, 次の等式が成り立つ。
P(x)=(x-2)(x-4) Q_2(x)+c(x-4)+6
ゆえに P(2)=-2c+6
[A]から -2c+6=8 よって c=-1
したがって, 求める余りは -(x-4)+6=-x+10
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次の等式を満たす実数 x, y の値を求めよ。
(1) (2+i) x+(3-2 i) y=-9+20 i
(2) (2+i)(3 x-2 y i)=4+7 i
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2 次方程式 x^{2}-2 a x+a+6=0 について, 次の条件を満たすような定数 a の値の範囲を求めよ。\n(1) 1 より大きい解と小さい解をもつ\n(2) すべての解が 2 以上である
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PR x \ の方程式 x^{4}-x^{3}+a x^{2}+b x+6=0 \ が x=-1,3 \ を解にもつとき, 定数 a, b \ の値を求めよ。また, そのときの他の解を求めよ。
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(3) 1 日当たりの利益は (a x + 3 y) 万円である。 ax + 3 y = l ……5) とおくと、(5) は傾き -a/3, y 切片 l/3 の直線を表す。
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Aと同じ条件で, -3x+y の最大値・最小値を考えてみよう(これをCとする)。-3x+y=k とおくと y=3x+k
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A を多項式とする。 x^6 - 6x^3 + 5x^2 - 4x + 10 を A で割ると, 商は A で余りは 5x^2 - 4x + 1 である。多項式 A を求めよ。
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次の等式が につての恒等式となるように, 定数 の値を定めよ。\n(1) \\( a(x-1)^{2}+b(x-1)+c=x^{2}+x \\)\n(2) \\( x^{3}-3 x^{2}+7=a(x-2)^{3}+b(x-2)^{2}+c(x-2)+d \\)\n(3) \\( x^{3}+(x+1)^{3}+(x+2)^{3}=a x(x-1)(x+1)+b x(x-1)+c x+d \\)
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PR についての 2 次方程式 の 2 つの解が であるとき, 定数 の値と (4)1172つの解を求めよ。\n[類 慶応大]\n2 次方程式の解と係数の関係から\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\sin \\theta+\\cos \\theta=-\\frac{-4}{8}=\\frac{1}{2} \\\\\n\\sin \\theta \\cos \\theta=-\\frac{a}{8}\n\\end{\overlineray}\n\\n(1)の両辺を 2 乗して \nよって \nゆえに \n(2) を代入して よって \nこのとき,与えられた 2 次方程式は \nこれを解いて, 2 つの解は\n\\[\nx=\\frac{-(-2) \\pm \\sqrt{(-2)^{2}-8 \\cdot(-3)}}{8}=\\frac{1 \\pm \\sqrt{7}}{4}\n\\]
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基 本 列題 18 恒等式の係数決定\n等式 \( 3 x^{2}-2 x-1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c \) が についての恒等式となるように, 定数 の値を定めよ。
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PRACTICE 44^2\n2 次方程式 の 2 つの解を とするとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \( (\\alpha-\\beta)^{2} \)\n(6)
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3次曲線 は, で 軸に接しており, 原点における接線の方程式が であるという。このとき, 定数 , の値を求めよ。
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(1) \( \frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{5}=\frac{z+x}{7}(\neq 0) \) であるとき, の値を求めよ。
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\ x^{\\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3 \ のとき, \ P=\\frac{x^{2}+x^{-2}}{x^{\\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}} \ の値を求めよ。
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EX 4 次方程式 は, 2 次方程式 と共通な解を 2 つもつ 37 ている。 [徳島文理大] (1) 実数の定数 の値を求めよ。 (2) 4 次方程式の残りの解を求めよ。
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この直線が点 (2, -4) を通るから
-4=2(a-1)・2-a^2
整理して a^2-4a=0 ゆえに a(a-4)=0 よって a=0,4 したがって, 求める接線の方程式は a=0 のとき y=-2x, a=4 のとき y=6x-16
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次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (-1,3) を通り、傾きが 4 の直線
(2) 2点 (0,5),(3,2) を通る直線
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302
条件つきの最大・最小
x, y, z は x+y+z=0, x^{2}-x-1=yz を満たす実数とする。
(1)x のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) x^{3}+y^{3}+z^{3} の最大値,最小値と,そのときの x の値を求めよ。
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(3)初項 , 公比 がともに実数の等比数列について, 初項から第 項までの 和を とすると, であった。このとき の値を求めよ。
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数学 \\mathbb{I} \ EX\n2 次方程式 \( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \\) の 2 つの解が \\sin \\theta, \\cos \\theta \ である。このとき, 正の定数 a \ と \\sin \\theta, \\cos \\theta \ の値を求めよ。ただし, 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \ とする。
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EX a は定数とする。2 つの 2 次方程式 x^{2}+2 a x+3 a=0,3 x^{2}-2(a-3) x+(a-3)=0 のうち, 少なくとも一方は実数解をもつことを証明せよ。
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定数 a にかかわらず円 C1 は定点 A を通る。この定点 A の座標を求める問題。
x^2+y^2-4ax-2ay=5-10a, x^2+y^2=10, x^2+y^2-8x-6y=-10 の三つの円 C1, C2, C3 における問題:
(1) 定数 a にかかわらず円 C1 は定点Aを通る。この定点Aの座標を求めてください。
(2) 円 C2 と円C3 の2つの交点と原点を通る円の中心と半径を求めてください。
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罭本例題 76 定点を通る直線の方程式
直線 \( (4 k-3) y=(3 k-1) x-1 \cdots \cdots \) (1) は, 実数 の値にかかわらず, 定点 を通ることを示し, この点Aの座標を求めよ。
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異なる数 について, 数列 は等差数列で, 数列 は 等比数列であるとき, ア で, 等比数列の公比はイ である。
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放物線 に関して、点 \( (1, 1) \) と点 \( (2, 2) \) が反対側にあるとき、点 \( (a, b) \) の存在する範囲を図示せよ。
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PRACTICE 193
x, y, z は y+z=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 を満たす実数とする。
(1)yz を x で表せ。また, x のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) x^{3}+y^{3}+z^{3} を x の関数として表し, その最大値, 最小値と,そのときの x の値を求めよ。
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境界線の交点の座標は, 次の 3 つの連立方程式の解である。(1) y=x²-4とy=x-2 (2) y=x²-4とy=-1/2 x-7/2 (3) y=x-2とy=-1/2 x-7/2の交点を求め、その領域の面積Sを求めよ。
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次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。ただし, は定数とする。\n(1) \( x^{2}-(a-2) x+9-2 a=0 \)\n(2) \n(3) \( (a-1) x^{2}-a x+(a+1)=0 \)
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2 次方程式 が次のような解をもつとき, 定数 の値と方程式の解を求めよ。\n(1) 1 つの解が他の解の 2 倍\n(2) 1 つの解が他の解の 2 乗
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2]重解をもつとき (\\alpha=\\beta \ のとき) \\alpha=\\beta \ であるから \( \quad \\boldsymbol{a}_{n+2}-\\alpha \\boldsymbol{a}_{n+1}=\\alpha\\left(\\boldsymbol{a}_{n+1}-\\alpha \\boldsymbol{a}_{n}\\right) \\)
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(3)整数を 3 で割った余りは, 0,1,2 のいずれかであるから, a_{n}+b_{n}+c_{n}=1 である。(1) から \n a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(b_{n}+c_{n}\right)=\frac{1}{2}\left(1-a_{n}\right)\n =-\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2}\n (4) a_{n+1}=-\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2} を変形すると\n a_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(a_{n}-\frac{1}{3}\right)\n また a_{1}-\frac{1}{3}=0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} ゆえに, 数列 \left\{a_{n}-\frac{1}{3}\right\} は, 初項 -\frac{1}{3}, 公比 -\frac{1}{2} の等比数列であるから a_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} したがって a_{n}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\frac{1}{3}
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次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(1) \ a_{1}=5, \\quad a_{n+1}=3 a_{n}+2 \\cdot 5^{n+1} \\n(2) \ a_{1}=1,8 a_{n+1}=a_{n}+\\frac{3}{2^{n}} \
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3 次方程式 の 3 つの解を とするとき, , を 3 つの解とする 3 次方程式を作れ。ただし, の係数を 1 とする。
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数学 すなわち, 曲線 と直線 の の部分が, の範囲で異なる 2 つの共有点 をもてばよい。\n\ \n\\begin{\overlineray}{l} \n\\text { よって, } \\frac{x^{2}}{4}=2 x+a \\text { から } \\\n x^{2}-8 x-4 a=0 \\\n\\end{\overlineray} \n\ (2) の判別式を とすると\n\\[ \n\\begin{aligned} \n{[l] } & =(-4)^{2}-(-4 a) \n& =4(a+4) \n\\end{aligned} \n\\]\n から また, 2 つの共有点の 座標, 座標が正であるためには,図から\n\ \na<0 \n\\nしたがって, 求める の値の範囲は\n\ \n-4<a<0 \n\\n別解 (上の解答の 9 行目までは同じ)\n の実数解を\n\\[ \n y=\\frac{x^{2}}{4}-2 x \\quad(x>0) \n\\]\n\ \n y=a \n\\nの 2 つのグラフの共有点の 座標と考える。このとき, (3) と から\n\ \n2 x+y>0\n\\nすなわち \nしたがって, (4)の範囲で, (2), (3) が 異なる2つの共有点をもてばよいか ら, 右のグラフから求める の値の 範囲は\n\ -4<a<0 \\n々直線 の 切片 が負であればよい。 の表す領域は 下の図の斜線部分で, 境界線を含まない。
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数列 \( a_{1}=-1, a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 n a_{n}-2(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) で定義される数列 について, 一般項 を推測し, それが正しいことを, 数学的帰納法を用いて証明せよ。
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x の方程式 (1+i)x^{2}+(k-i)x-(k-1+2i)=0 が実数解をもつように, 実数 k の値を定めよ。また, その実数解を求めよ。
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23 次の方程式を解け。\n(1) \( x(x-2)(x-3)=0 \)\n(2) \( x^{2}(x+1)=4(x+1) \)\n(3) \n(4)
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次の直線の方程式を求めよ。\n(1) 2 直線 , の交点と点 を通る直線。\n(2) 2 直線 , の交点を通り, 直線 に垂直な直線。
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多項式 \( P(x) \) を で割ると 3 余り, で割ると -7 余る。 \( P(x) \) を \( (x-2)(x+3) \) で割ったときの余りを求めよ。
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(2) \frac{1}{2} x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{5}{6} = 0 の解を求めよ。
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PR 次の方程式を解け。\n(3) 159 (1) \\( 5 \\log _{3} 3 x^{2}-4\\left(\\log _{3} x\\right)^{2}+1=0 \\)\n(2) \ \\log _{x} 4-\\log _{4} x^{2}-1=0 \\n[岐阜薬大]\n(1) \ \\log _{3} 3 x^{2}=\\log _{3} 3+\\log _{3} x^{2}=1+2 \\log _{3} x \\nゆえに,方程式は\n5\\left(1+2 \\log _{3} x\\right)-4\\left(\\log _{3} x\\right)^{2}+1=0
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この直線が点 \\( \\mathrm{A}(0, a) \\) を通るとき\n\ 2 t^{3}-9 t^{2}+7+a=0 \\n3 次関数のグラフでは,接点が異なると接線も異なる。 ゆえに, \ t \ の 3 次方程式 (2)が異なる 3 つの実数解をもつ とき, 点Aから曲線に 3 本の接線が引ける。\nここで, \\( h(t)=2 t^{3}-9 t^{2}+7+a \\) とすると\n\[ h^{\prime}(t)=6 t^{2}-18 t=6 t(t-3) \]\n\\( h(t) \\) の増減表は次のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline\ t \ & \ \\cdots \ & 0 & \ \\cdots \ & 3 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\\( h^{\prime}(t) \\) & + & 0 & - & 0 & + \\\\\n\\hline\\( h(t) \\) & \ \\nearrow \ & \ a+7 \ & \ \\searrow \ & \ a-20 \ & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n(2) の異なる実数解の個数, すなわち \\( y=h(t) \\) のグラフと \ t \ 軸との共有点が 3 個となるのは,極大値と極小値の積が 負となるときであるから \\( \\quad(a+7)(a-20)<0 \\)\nよって, 求める \ a \ の値の範囲は \ \\quad-7<a<20 \\n(2)が異なる 3 つの実数解をもつ。
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連立方程式 \( \left\{\begin{array}{l}\cos x-\sin y=1 \\ \cos y+\sin x=-\sqrt{3}\end{array}\right. \) を解け。 ただし、 とする。
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(3)ウに当てはまるものを,次の()~3のうちから1つ選べ。\n(0) f-e=d-c\n(1) log _{10}(f-e)=log _{10}(d-c)\n(2) log _{10} f-log _{10} e=log _{10} d-log _{10} c\n(3)
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製品Pを作らず,製品Qのみを作れるだけ作るとき,(x, y) = (0,52) である。利益 ax + 3y が (x, y) = (0,52) のときに限り最大となるのは,直線(5)の傾きについて -\u003c -\u003ca / 3\u003c0 \u003C\u002F5なる場合である。 -\u003e -\u003ca / 3\u003c0 \u003enなる場合こと -\u0035\u003a/3\u003c~ \u003 .5 /3\u003c117: ,- \u003c=a / 3から\u003$\n0\u003 .ta/3 \)\u003c (-のとき, 利益の最大値は\na · 0 + 3 · 52 = 156 (万円)
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点 \( \mathrm{A}(-1,0) \) を通り, 傾きが の直線を とする。放物線 と直線 は, 異 なる 2 点 で交わっている。\n(1) 傾き の値の範囲を求めよ。\n(2)線分 の中点 の座標を を用いて表せ。\n(3)点 の軌跡を 平面にかけ。
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3 次方程式 が 3 つの実数解 \( \alpha, \beta, \gamma(\alpha<\beta<\gamma) \) をもつとき, 次の問いに答えよ。\n(1)定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) の値の範囲を求めよ。
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PRACTICE \n\n多項式 \( P(x) \) を で割ると余りは \( 13,(x+1)(x+2) \) で割ると余りは になる。このとき \( P(x) \) を \( (x+1)(x-2)(x+2),(x-2)(x+2) \) で割った余りをそれぞれ求めよ。
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次の条件を満たすように, 定数 の値を定めよ。\n252\n(1) を で割ると 1 余る。\n(2) が で割り切れる。\n(3) は で割り切れ, で割ると 6 余る。
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2 つの 2 次方程式 , \( 3 x^{2}-2(a-3) x+(a-3)=0 \) のうち, 少なくとも一方は実数解をもつこと を証明せよ。
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利益 ax + 3y が (x, y) = (50,20) のときのみに最大となるのは, 直線(5)の傾きについて -5/2 < -a/3 < -3/4 となる場合である。 -5/2 < -a/3 < -3/4 から 9/4 < a < 15/2
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問5 を定数とする。関数 \( f(x)=x^{3}-9 x^{2}+a x+b \) は で極値をとり, 方程式 \( f(x)=0 \) は異なる実数解を正と負に 1 つずつもつとする。このとき, の値を 求めよ。
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次の方程式(不等式)を解け。\n132 の範囲で, 関数 \(f(x) = \log_3 x + \log_x 9\) の最小値を求めよ。
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EX 2 つの粒子が時刻 0 において の頂点 に位置している。これらの粒子は独立に運動し, それぞれ 1 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする。nを自然数とし, この 2 つの粒子が,時刻 0 の 秒後に同じ点にいる確率を とするとき (1) を求めよ。 (2) を で表せ。 (3) を で表せ。 [類 京都大]
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PRACTICE 19 次の等式が についての恒等式となるように, 定数 の値を定めよ。
(1)
(2) \( \frac{x-5}{(x+1)^{2}(x-1)}=\frac{a}{(x+1)^{2}}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x-1} \)
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実数の定数 を求めよ。2 次方程式 の 1 つの解が であるとき, の値を求めよ。また, この方程式の他の解を求めよ。
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第2章 複素数と方程式 57 (1) \( P(x)=2 x^{4}+3 x^{3}-a x+1 \) とする。 \( P(x) \) を で割ったときの余りが 1 となるための条件は?
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x, y, z は y+z=1, x^2+y^2+z^2=1 を満たす実数とする。\n(1) yz を x で表せ。また, x の取り得る値の範囲を求めよ。\n(2) x^3+y^3+z^3 を x の関数として表し, その最大値、最小値と、そのときの x の値を求めよ。
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(x, y) ≠ (50,20) のとき,利益は最大とならない, という条件を考える。直線 (2), (3), (5) の傾 きの大小に注目する。
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次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (-3, 5) を通り, 傾きが √3
(2) 2 点 (5, -3), (-7, 3) を通る
(3) 2 点 (5, 1), (3, 2) を通る
(4) x 切片が 4, y 切片が -2
(5) 2 点 (-3, 1), (-3, -3) を通る
(6) 2 点 (1, -2), (-5, -2) を通る
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(1) \n(2)両辺に -1 を掛けると よって \( x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \)\n\n(3)展開して整理すると よって \( x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-3 \cdot 29}}{3} \)\n
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PRACTICE \n連立方程式 が,次のようになるための条件を求めよ。\n(1) ただ 1 組の解をもつ\n(2)解をもたない\n(3)無数の解をもつ
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(2) \( k x^{2}+y^{2}+k x-3(10 k+3)=0 \) がどんな の值についても成り立つとき, と の値の組 \( (x, y) \) をすべて求めよ。
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PR \\quad x の方程式 \( (1+i) x^{2}+(k-i) x-(k-1+2 i)=0 が実数解をもつように, 実数 k の値を定めよ。 $43 またその実数解を求めよ。
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PR 0 ≤ θ < 2π のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(1) 2sin^2θ - √2 cosθ = 0\n(2) 2cos^2θ + √3 sinθ + 1 > 0
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定数 を求めよ。\n(1) が \( (x+1)^{2} \) で割り切れる\n(2) が \( (x-1)^{2} \) で割り切れる
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第 1 章 式と証明
\[\begin{array}{ll} & 2(a x+b y)-(a+b)(x+y) \geqq 0 \\ \text { ゆえに } & (a+b)(x+y) \leqq 2(a x+b y) \end{array}\]
(2)(1)の結果を用いて
\[\begin{array}{ll} a \geqq b, x \geqq y \text { から } & 2(a x+b y) \geqq(a+b)(x+y) \\ b \geqq c, \quad y \geqq z \text { から } & 2(b y+c z) \geqq(b+c)(y+z) \\ a \geqq c, \quad x \geqq z \text { から } & 2(c z+a x) \geqq(c+a)(z+x) \end{array}\]
辺々を加えて
\[\begin{array}{l} 4(a x+b y+c z) \\ \quad \geqq(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(c+a)(z+x) \\ \quad=(a+b+c+a) x+(a+b+b+c) y+(b+c+c+a) z \\ \quad=(a+b+c)(x+y+z)+a x+b y+c z \\ \text { よって } \quad 3(a x+b y+c z) \geqq(a+b+c)(x+y+z) \\ \text { すなわち } \quad(a+b+c)(x+y+z) \leqq 3(a x+b y+c z) \end{array}\]
等式が成り立つのは, (1)から または \( x=y) \) かつ または \( y=z) \) かつ または \( z=x) \) のとき, すなわち または のとき。
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多項式 f(x) が x f^{\prime}(x)+∫_{1}^{x} f(t) dt=2 x^{2}+x+1 を満たすとき,次の問いに答えよ。\n(1) 多項式 f(x) の次数を求めよ。\n(2) 多項式 f(x) を求めよ。
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EX初項から第 10 項までの和が 100 , 初項から第 20 項までの和が 350 である等差数列の初項と公差 ③ を求めよ。また, この数列の, 第 21 項から第 30 項までの和を求めよ。
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2 次方程式 \( 2 x^{2}-2(2 a-1) x-a=0 \) の 2 つの解が である。このとき, 正の定数 と の値を求めよ。ただし, とする。
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次の方程式・不等式を解け。
(2) \( 2\left(3^{x}+3^{-x}\right) - 5\left(9^{x}+9^{-x}\right)+6=0 \)
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正の数からなる数列 があり, 漸化式\n\[\\sqrt{2} a_{n}{ }^{5}=a_{n-1}^{6}(n=2,3,4, \\cdots \\cdots)\]\nを満たすとする。このとき, を と を用いて表せ。[中央大]
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B 45° 2 次方程式 2 x^{2}+4 x+3=0 の 2 つの解を α, β とする。このとき, 次の値を求めよ。\n(1) (α-1)(β-1)\n(2) (α-1)^{3}+(\β-1)^{3}\n[類 慶応大]
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2つの粒子が時刻0において の頂点 に位置している。これらの粒子は独立に運動し、それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする。 n を自然数とし、この2つの粒子が時刻0のn秒後に同じ点にいる確率を とするとき\n(1) を求めよ。\n(2) を で表せ。\n(3) を で表せ。
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基本例題 632 重解をもつ条件\n3 次方程式 \( x^{3}+(a-1) x^{2}+(4-a) x-4=0 \) が 2 重解をもつように, 実数の 定数 の値を定めよ。
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次の連立方程式を解け。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}2^{x+1}+3^{y-1}=2 \\ 2^{x+3}-3^{y}=1\end{array}\right. \)
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(1) 2 数の和は \n2 数の積は \( (-1) \cdot 3=-3 \)\nよって、 を解とする 2 次方程式の 1つは \n別解 を解とする 2 次方程式の 1つは\n\[(x+1)(x-3)=0\]\n左辺を展開して \n(2) 2 数の和は \n2 数の積は \nよって, を解とする 2 次方程式の 1つは \n両辺に6 を掛けて \n別解 を解とする 2 次方程式の 1つ は \( \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)=0 \)\n左辺を展開して\n\n両辺に 6 を掛けて
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EX を 0 と異なる実数の定数とし, i を虚数単位とする。等式 x^{2}+(3+2 i) x+k(2+i)^{2}=0 を満たす実数 x が 1 つ存在するとし、それを α とおく。[岡山理科大] (1) k と α の値を求めよ。(2)この等式を満たす複素数をすべて求めよ。
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正の数からなる数列 a_{1}, a_{2}, \cdots \cdots, a_{n}, \cdots \cdots があり, 漸化式\n\(\sqrt{2} a_{n}{ }^{5}=a_{n-1}{ }^{6}(n=2,3,4, \cdots \cdots)\) を満たすとする。このとき, を と を用いて表せ。
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EX が極大値をもたないとき, 定数kの値の範囲を求めよ。\n\n[福島大] \( f^{\prime}(x)=4 x^{3}-24 x^{2}+36 k x=4 x\left(x^{2}-6 x+9 k\right) \) \( f(x) \) が極大値をもたないための必要十分条件は, \( f^{\prime}(x) \) の符号が正から負に変化しないことである。\nゆえに, \( f^{\prime}(x) \) の の係数が正であるから, 3 次方程式 \( f^{\prime}(x)=0 \) が異なる 3 つの実数解をもたない。\n \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると \nよって, 求める条件は, が \n[1] 重解をもつか実数解をもたない \nまたは\n[2] を解にもつ\n\n[1] の判別式を とすると\n \\\( \frac{D}{4}=(-3)^{2}-9 k=9-9 k=9(1-k)\)\n から ゆえに \\ [2] に を代入すると \nしたがって \n
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PR 多項式 P(x) を x-2 で割ると余りは 13,(x+1)(x+2) で割ると馀は -10x-3 になる。この P(x) を (x+1)(x-2)(x+2) で割った商を Q_1(x)、余りを ax^2+bx+c とすると,次の等式が成り立つ。
P(x)=(x+1)(x-2)(x+2) Q_1(x)+ax^2+bx+c
P(x) を x-2 で割った余りが 13 であるから
P(2)=13 .... (2)
また, P(x) を (x+1)(x+2) で割った商を Q_2(x) とすると, 余 りが -10x-3 であるから
P(x)=(x+1)(x+2) Q_2(x)-10x-3
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次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n\a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}-a_{n+1}-12 a_{n}=0\
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PR 連立方程式 3 x-2 y+4=0, a x+3 y+c=0 が,次のようになるための条件を求めよ。\n(1) ただ 1 組の解をもつ\n(2) 解をもたない\n(3) 無数の解をもつ
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PRACTICE 151\n についての方程式 が正の解, 負の解を 1 つずつもつとき, 定数 のとりうる値の範囲を求めよ。
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3 次方程式の解と係数の関係を利用した解法 3 次方程式 a x³+b x²+c x+d=0 の 3 つの解を α, β, γ とすると α+β+γ=-b/a, αβ+βγ+γα=c/a, αβγ=-d/a
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右の割り算における余り
\[
(4a + b + 11) x -5a -10
\]
が 0 に等しいから
\[
\begin{array}{l}
\frac{(a+4) x^{2}-4(a+4) x+5(a+4)}{(4a + b + 11) x -5a -10} \\
\end{array}
\]
\[
(4a + b + 11) x -5a -10 = 0
\]
これが の恒等式であるから
これを解いて
このとき,方程式は
\[
\left(x^{2} -4x +5\right)(x +2) = 0
\]
よって または
ゆえに
したがって, 他の解は
剈解 2 実数を係数とする 3 次方程式が虚数解 をもつ から, 共役な複素数 もこの方程式の解である。
\[
(2 + i) + (2 - i) =4, \quad (2 + i)(2 - i) =5
\]
よって,2土iを解とする 2 次方程式の 1 つは
したがって
\[
x^{3} +a x^{2} +b x +10 = \left(x^{2} -4x +5\right)(x + c)
\]
とおける。両辺の定数項を比較して
ゆえに \( \quad x^{3} +a x^{2} +b x +10 = \left(x^{2} -4x +5\right)(x +2) \)
右辺を展開して整理すると (右辺) = x^{3} -2x^{2} -3x +10
左辺と係数を比較して
他の解は
咀解 3 実数を係数とする 3 次方程式が虚数解 をもつ から, 共役な複素数 もこの方程式の解である。
残りの解を とすると, 3 次方程式の解と係数の関係によ り
\[
\begin{array}{l}
(2 + i) + (2 - i) + k = -a \cdots \cdots (1) \\
(2 + i)(2 - i) + (2 - i) k + k (2 + i) = b \\
(2 + i)(2 - i) k = -10 \cdots \cdots (3)
\end{array}
\]
(3) から ゆえに
よって, 他の解は
(1) から \( a = -(4 + k) = -2 \)
(2) から
商 \( x + (a +4) \) に を代入すると
2章
9
を2解とする2次方程式の 1 つは
\[
x^{2 } -( p + q ) x + p q = 0
\]
左辺の定数項は 10 であ るから, となることは, すぐわかる。
係数比較法
から
の部分の断り書は重要。
\[
\begin{array}{l}
\hookleftarrow k \ とtext { 実数。 } \
\hookleftarrow 4 + k = -a \
\hookleftarrow 5 + 4k = b
\end{array}
\]
inf. \ = ( x -k ) {x -(2 + i)} \times {x -(2 - i)} として,各項の係数を比較してもよい。
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振造り漸化式の解法\n1) 隣接 2 項間の漸化式\n(1) \n(1) \( \quad p=1\left(a_{n+1}=a_{n}+q\right) \) [基本例題 29(1)]\nこれまでに学んだ漸化式の解法を, タイプごとにまとめて おきます。特に11 の 1 ~3) は頻繁に使うので, よく覚え ておきましょう。
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[問題 B] 次のように定められた数列 \\left\\{b_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n\[b_{1}=6, \\quad b_{n+1}=-2 b_{n}-18 n+21 \\quad(n=1,2,3, \cdots \cdots)\]\n\n(2) (i) キクケ 〜ソに当てはまる数を答えよ。\n(ii) 数列 \\left\\{c_{n}\\right\\} \ の一般項は である。このとき, タ に当てはまる式を,次の ① 〜 (4)のうちから 1 つ選べ。\n(0) \\( -9 \\cdot(-2)^{n-1}-2 n-4 \\)\n(1) \\( -9 \\cdot(-2)^{n-1}-n-5 \\)\n(2) \\( -9 \\cdot(-2)^{n-1}-6 \\)\n(3) \\( -9 \\cdot(-2)^{n-1}+n-8 \\)\n(4) \\( -9 \\cdot(-2)^{n-1}+n^{2}-3 n-4 \\)
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数学 \n\\[\\begin{array}{l} \nV\\left(y_{n}\\right)=E\\left(y_{n}^{2}\\right)-\\left\\{E\\left(y_{n}\\right)\\right\\}^{2} であるから \\ \nE\\left(y_{n}^{2}\\right)=V\\left(y_{n}\\right)+\\left\\{E\\left(y_{n}\\right)\\right\\}^{2} \\ \n=\\frac{5}{9} n+\\left(-\\frac{2}{3} n\\right)^{2} \\ \n=\\frac{n(4 n+5)}{9} \\cdots \\cdots \\cdot(2) \n\\end{array}\n\\]\n\nゆえに, (1),2(2)の結果から\n\\[E(S)=\\pi \\cdot \\frac{n(n+8)}{9}+\\pi \\cdot \\frac{n(4 n+5)}{9}=\\frac{n(5 n+13)}{9} \\pi\\]\n\nEX を実数とする。連続型確率変数 のとりうる範囲が であり, その確率密度関数が 354 \( f(x)=a x(1-x) \) と表されている。\n(1) の値を求めよ。\n(2) 確率変数 を考える。 の期待値 \( E(Y) \) の値と, 分散 \( V(Y) \) の値を求めよ。
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次の方程式を解きなさい。\n(1) は実数であるから\n\nよって \n(2) は実数であるから\n\nよって
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(1) 2 x-y-3=0 \ を満たすすべての x, y \ に対して a x^{2}+b y^{2}+2 c x-9=0 \ が成り立つとき, 定数 a, b, c \ の値を求めよ。\n(2) x+y+z=2, x-y-5 z=0 \ を満たす x, y, z \ の任意の値に対して, 常に \( a(2-x)^{2}+b(2-y)^{2}+c(2-z)^{2}=35 \\) となるように定数 a, b, c \ の値を定めよ。
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A と同じ条件で, x+3y の最大値・最小値を考えよう (これをBとする)。x+3y=k とおくと y=-(1/3)x+k/3
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A 40° 2 次方程式 x^{2}-x+8=0 の 2 つの解を α, β とするとき, 次の式の値を求めよ。 [類 阪南大]\n(1) α^{2}+β^{2}\n(2) α^{4}+β^{4}\n(3) \frac{\beta}{1+α^{2}}+\frac{\α}{1+β^{2}}
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練翄 は定数とする。次の方程式を解け。\n3) 99\n(1) \n(2) \( \left(a^{2}-1\right) x^{2}-\left(a^{2}-a\right) x+1-a=0 \)\n[(1) 中央大]
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次の方程式を解け:
\[\begin{array}{l}
\alpha^{2}+\sqrt{3} \beta=\sqrt{6} \\
\beta^{2}+\sqrt{3} \alpha=\sqrt{6}
\end{array}\]
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EX 次の方程式を解け。\n36\n(1) \( x^{2}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2} x\right) \)\n(2) \( 3(x+2)^{2}+12(x+2)+10=0 \)\n(3) \( (2+\sqrt{3}) x^{2}+2(\sqrt{3}+1) x+2=0 \)\n(4)
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13 を実数とする。かつ のときである。(2) が (*)を満たすとする。()を)yに関する 2次方程式と考えたときの判別式はエ である。したがって, のとりうる値の範囲はである。また,(*)を に関する 2次方程式と考えたときの判別式はカ である。したがって, のとりうる値の範囲は である。(3) , が \( (*) \) を満たすとき, ₪ であり, 等号が成り立つのは, かつ コ のときである。
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74 (ア) t^{2}-7 t+12=0 (1) 3,4 (3) \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, 2 \pm \sqrt{3}
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218\n(2) を満たすある実数 に対して \( f\left(x_{1}\right)<g\left(x_{2}\right) \) が成り立つのは において, \( [f(x) \) の最小値 \( ]<[g(x) \) の最大値 \nが成り立つときである。\n において\n\( f(x) \) の最小値は \( f(1)=2 \), \( g(x) \) の最大値は \( g(3)=a^{2}+a \)\n\nよって \nゆえに \( \quad(a+2)(a-1)>0 \)\nよって \n2 つの 2 次関数の大小関係のまとめ\n例題 131, 132 で学んだ, 2 つの 2 次関数の大小関係の考え方をまとめておこう。\n2 つの 2 次関数を \( f(x), g(x) \) とし, \( F(x)=f(x)-g(x) \) とする。\n\( \Leftrightarrow[F(x) \) の最小値 \n(2) ある について \( f(x)>g(x) \Leftrightarrow \) ある について \( F(x)>0 \)\n\( \Leftrightarrow[F(x) \) の 最大値 \n(3) 区間のすべての について \( f\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right) \)\n [区間における \( f(x) \) の最小値] > [区間における \( g(x) \) の最大値]\n(4) 区間のある について \( f\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right) \)\n 区間における \( f(x) \) の最大値 [ 区間における \( g(x) \) の最小値 \n\nポイントは, \( f(x) \) と \( g(x) \) の が同じ値の場合(例題 131, (1) と (2) の場合)と, \( f\left(x_{1}\right) \) と \( g\left(x_{2}\right) \) のように が異なる値の場合(例題 132, (3) と (4) の場合) で, 考え方が異なることで ある。また, 上のようにまとめた結果を覚えるのではなく, 条件をどのように言い換える か, 考え方を身につけることが大切である。それには, 例題 131, 132 の指針のように, 図 をかいて考えることが有効である。\n\n翟習 2 つの 2 次関数 \( f(x)=x^{2}+2 x+a^{2}+14 a-3, g(x)=x^{2}+12 x \) がある。次の条件が成 (5) 132 り立つような定数 の値の範囲を求めよ。\n(1) を満たすすべての実数 に対して, \( f\left(x_{1}\right) \geqq g\left(x_{2}\right) \) が成り立つ。\n(2) を満たすある実数 に対して, \( f\left(x_{1}\right) \geqq g\left(x_{2}\right) \) が成り立つ。
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次の方程式 \( (a-3) x^{2}+2(a+3) x+a+5=0 \) の実数解の個数を求めよ。また, 解が 1 個のとき, その解を求めよ。
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2 x+\frac{1}{2 x}=\sqrt{7} のとき, 次の式の値を求めよ。(1) 4 x^{2}+\frac{1}{4 x^{2}} (2) 8 x^{3}+\frac{1}{8 x^{3}} (3) 64 x^{6}+\frac{1}{64 x^{6}}
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次方程式 \( x^{2}+(2-4 k) x+k+1=0 \) が正の重解をもつとする。このとき, 定数 の値は何か求めよ。
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次の2次方程式を解け。
(1) 2x(2x+1)=x(x+1)
(2) 6x^{2}-x-1=0
(3) 4x^{2}-12x+9=0
(4) 5x=3(1-x^{2})
(5) 12x^{2}+7x-12=0
(6) x^{2}+14x-67=0
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2 つの 2 次方程式 \( x^{2}+6 x+12 k-24=0, x^{2}+(k+3) x+12=0 \) がただ1つの実数を共通解としてもつとき, 実数の定数 の値とそのときの共通解を求めよ。
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\[
\left\{\begin{array}{l}
a+b+c=8 \\
4 a-2 b+c=2 \\
9 a-3 b+c=4
\end{array}\right.
\]
(2)-(1) から
すなわち
(3)-(2) から
(5)
(5)-(4) から
ゆえに
このとき, (4)から 更に, (1)から
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p. 173 EX71\n\n練習 を定数とする。2次方程式 \( x^{2}+2(2-m)x+m=0 \) について\n\n(1) のときの実数解の個数を,それぞれ求めよ。\n\n(2)重解をもつように の値を定め,そのときの重解を求めよ。
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次の方程式を解け。\n(1) \( \frac{x^{2}}{15}-\frac{x}{3}=\frac{1}{5}(x+1) \)\n(2) \n(3) \( 4(x-2)^{2}+10(x-2)+5=0 \)\n(4)
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次の問題について考えなさい: すなわち のとき、 \( f(a+1)=-2(a+1)^2+6(a+1)+1 = -2a^2+2a+5 \)の最小値は何か。
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73 k=0 のとき共通の解 x=0, k=\frac{5}{22} のとき共通の解 x=-\frac{1}{2}
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(3) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}2 x+4>x^{2} \\\\ x^{2}>x+2\\end{\overlineray}\\right. \
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[4] 解の 1 つが x=0 のとき f(0)=0 から -a+1=0\nよって a=1\nこのとき, 方程式は x^{2}+3 x=0\nよって x(x+3)=0\nしたがって,解は x=-3,0 となり,条件を満たさない。求める a の範囲はいくつになりますか。
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2 次方程式 の解の 1 つを \ α \ とするとき, α-\frac{1}{ α}= ア \\square \ であり, \ α^{3}-\\frac{1}{ α^{3}}= イ \\square \ である。
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数学 I (2) a, b, c がすべて正であると仮定する。 a>0 から, y=a x^{2}+b x+c のグラフは下に凸の放物線であり, x<p を満たし,かつ |x| が十分大きい x に対して, a x^{2}+b x+c>0 となる。同様にして, x<p を満たし,かつ |x| が十分大きい x に対して, b x^{2}+c x+a>0, c x^{2}+a x+b>0 となる。ゆえに, |x| が十分大きい負の数 x で, I に含まれ J に含まれな いものが存在するが, これは I=J であることに矛盾する。 よって, a, b, c のうち少なくとも 1 個は 0 以下である。 これと(1)から, a, b, c のうち少なくとも 1 個は 0 である。(3) (1), (2)から, 次の 3 つの場合が考えられる。[1] a, b, c はすべて0[2] a, b, c のうち 2 個は 0 で, 残りの 1 個は正[3] a, b, c のうち 1 個は 0 で, 残りの 2 個は正[1] a, b, c がすべて 0 の場合不等式 a x^{2}+b x+c>0 は 0>0 となり I=\varnothing これは I=J に反するから , a, b, c がすべて 0 となることは ない。[2] a, b, c のうち 2 個が 0 で, 残りの 1 個が正である場合 a=b=0 かつ c>0 としても一般性を失わない。このとき, 不等式 a x^{2}+b x+c>0 すなわち 0 \cdot x^{2}+0 \cdot x+c>0 は, c>0 から任意の実数 x に対して成り立つ。また, 不等式 b x^{2}+c x+a>0 は c x>0 となり, 解は x>0 不等式 c x^{2}+a x+b>0 は c x^{2}>0 となり, 解は x<0,0<x よって, I は x>0 を満たす実数 x の集合である。I=J であるから p=0 [3] a, b, c のうち 1 個が 0 で, 残りの 2 個が正である場合 a=0 かつ b>0 かつ c>0 としても一般性を失わない。このとき, 不等式 a x^{2}+b x+c>0 は b x+c>0 となり, 解は x>-<c/b また, 不等式 b x^{2}+c x+a>0 は b x^{2}+c x>0 となり, -\frac{c}{b}<0 に注意して, 解は x<-<c/b, 0<x 不等式 c x^{2}+a x+b>0 は c x^{2}+b>0 となり, 任意の実数 x に対して成り立つ。ゆえに, I は x>0 を満たす実数 x の集合である。I=J であるから p=0 以上から, p=0 である。(2)上の図で, 実数 x_{0} は a x_{0}^{2}+b x_{0}+c>0 を満た すが, x_{0} \notin J である。 <- a, b, c に含まれる 0 の個数に注目して場合分 け。 \leftarrow J != \varnothing <- a x^{2}+b x+c>0, b x^{2}+c x+a>0, c x^{2}+a x+b>0 の式の形から。 <- I は 3 つの不等式の解 の共通範囲。begin{array}{l} <- b x^{2}+c x>0 から \newline b x(x+\frac{c}{b})>0 \end{array} b>0,-\frac{c}{b}<0 であるか 五 x<-<c/b, 0<x
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次の方程式を解け。
(1) \frac{x^{2}}{15}-\frac{x}{3}=\frac{1}{5}(x+1)
(2) -\sqrt{3}x^{2}-2x+5\sqrt{3}=0
(3) 4(x-2)^{2}+10(x-2)+5=0
(4) x^{2}-3x-|x-2|-2=0
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[1], [2] から, 方程式 \( |(x-2)(x-4)|=a x-5 a+\frac{1}{2} \) が異なる 4 つの実数解をもつとき, の値の範囲は
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練習 97\n(1)2 次方程式 の解が 2 と であるとき,定数 , の値を求めよ。\n(2) が 2 次方程式 の解であるとき, 定数 の値を求めよ。また, そのときの他の解を求めよ。
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数学 I
EX a を定数とする。 x の方程式 (a-3) x^{2}+2(a+3) x+a+5=0 の実数解の個数を求めよ。
また, 解が 1 個のとき, その解を求めよ。
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次の連立方程式を解け。\n(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y=5 \\\\ x^{2}+y^{2}=17\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-3 x y+2 y^{2}=0 \\\\ x^{2}+y^{2}+x-y=4\\end{\overlineray}\\right. \
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99 (1) a \\neq 1 のとき x=\\frac{a^{2}-2}{a-1}, a=1 のとき 解はない. (2) a \\neq \\pm 1 のとき x=1, -\\frac{1}{a+1}; a=1 のとき 解はすべての数; a=-1 のとき x=1
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方程式 \( x^{2}+(a+2) x-a+1=0 \) が の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつような定数 の値の範囲を求めます。
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(2) \( y=a x^{2}+b x+c^{(*)} \) の頂点の座標は \( \left(-\frac{b}{2 a},-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right) \)。\n\n頂点の 座標が正であるから。\nよって, 。 (1)より, であるから 。\n\n(3) グラフは 軸と の部分で交わるから 。\n\n(4) 頂点の 座標が正であるから 。 (1) より, であるから 。\n\n(5) のとき 。 グラフより, のとき であるから 。\n\n(6) のとき \( y=a \cdot(-1)^{2}+b \cdot(-1)+c=a-b+c \)。 グラフより, のとき であるから 。
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次の連立方程式を解け。\n(3)\n98\n(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-y+8=0 \\\\ x^{2}-y^{2}-4 x-8=0\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \
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68 (1) x=-1, \frac{1}{3} (2) x=-4 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} (3) x=1-\sqrt{3} (4) x= \pm 1, \pm \frac{3}{2}
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次の命題の逆・対偶・裏を述べ,その真偽をいえ。\n(1) かつ \n(2) が無理数ならば, の少なくとも一方は無理数である。
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数学 I\n以上から\n\\[\n\\begin{array}{ll}\na<-\frac{2}{3} \text { のとき } & m(a)=2 a^{2}+3 a+2 \\\\\n-\frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{2}{3} \text { のとき } & m(a)=-\frac{a^{2}}{4}+1 \\\\\n\frac{2}{3}<a \text { のとき } & m(a)=2 a^{2}-3 a+2\n\\end{array}\n\\]\n(3)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n2 a^{2}+3 a+2=2\\left(a^{2}+\frac{3}{2} a\\right)+2 \\\\\n=2\\left(a+\frac{3}{4}\\right)^{2}-2\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{2}+2=2\\left(a+\frac{3}{4}\\right)^{2}+\frac{7}{8} \\\\\n2 a^{2}-3 a+2=2\\left(a^{2}-\\frac{3}{2} a\\right)+2 \\\\\n=2\\left(a-\\frac{3}{4}\\right)^{2}-2\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{2}+2=2\\left(a-\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\frac{7}{8} \\\\\n\\end{array}\n\\]\n\ -\\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}, \\frac{2}{3}<\\frac{3}{4} \ であるから,\n\\( y=m(a) \\) のグラフは右の図のように なる。\nここで, \ a<-\frac{2}{3},-\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3} \,\n\ \\frac{2}{3}<a \ の各場合について, 放物線の軸\nはそれぞれの範囲に含まれている。\nよって, \\( m(a) \\) は \ a= \\pm \\frac{3}{4} \ のとき最小値 \ \\frac{7}{8} \ をとる。\n\ \\leftarrow a<-\frac{2}{3} \ における最小値は \\( m\\left(-\\frac{3}{4}\\right)=\\frac{7}{8} \\) \ -\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3} \ における 最小值は\n\\( m\\left( \\pm \\frac{2}{3}\\right)=\\frac{8}{9} \\)\n\ \\frac{2}{3}<a \ における最小値\nは \\( m\\left(\\frac{3}{4}\\right)=\\frac{7}{8} \\)\n\nEX \ x \ が \ 0 \\leqq x \\leqq 5 \ の範囲を動くとき, 関数 \\( f(x)=-x^{2}+a x-a \\) について考える。ただし, \ a \ は定数 (3) とする。\n(1) \\( f(x) \\) の最大値を求めよ。\n(2) \\( f(x) \\) の最大値が 3 であるとき, \ a \ の値を求めよ。
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2 次方程式 \( x^{2}-2(a+1) x+3 a=0 \) が, の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 の値の範囲を求めよ。\n[類 東北大]\nすなわち, \( f(x)=x^{2}-2(a+1) x+3 a \) として\n2 次方程式 \( f(x)=0 \) が で異なる 2 つの実数解をもつ\n 放物線 \( y=f(x) \) が 軸の の部分と, 異なる 2 点で交わる\nしたがって 軸の位置 \( )<3, f(-1) \geqq 0, f(3) \geqq 0 \) で解決。\nCHART 2 次方程式の解と数 の大小 グラフ利用 , 軸, \( f(k) \) に着目
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整理すると 4 sin^2(θ) - (2+2√2) sin(θ) + √2 < 0 sin(θ) = t とおくと, 0° ≤ θ ≤ 180° のとき 0 ≤ t ≤ 1 不等式は 4t^2 - (2 + 2√2)t + √2 < 0 ゆえに (2t - 1)(2t - √2) < 0 よって 1/2 < t < √2/2 (1) との共通範囲は 1/2 < t < √2/2 ゆえに,1/2 < sin(θ) < √2/2 を解いて 30° < θ < 45°, 135° < θ < 150°
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EX 90 を定数とする。 x \ についての方程式 \( |(x-2)(x-4)|=a x-5 a+\\frac{1}{2} \\) が相異なる 4 つの実数解を もつとき, a \ の值の範囲を求めよ。\n[類 早稲田大]\n\( y=|(x-2)(x-4)| \)\n(1), y=a x-5 a+\\frac{1}{2} \ \\qquad \ のグラフを考える。 \( (x-2)(x-4) \\geqq 0 \\) の解は \( (x-2)(x-4)<0 \\) の解は \nゆえに, (1) は x \\leqq 2,4 \\leqq x \ のとき \( y=(x-2)(x-4)=(x-3)^{2}-1 \\) 2<x<4 \ のとき \( \\quad y=-(x-2)(x-4)=-(x-3)^{2}+1 \\) よって, ①)のグラフは, 図の太線部分のようになる。\n(2) \( 4=a(x-5)+\\frac{1}{2} \\) と変形できる から, (2) のグラフは定点 \( \\left(5, \\frac{1}{2}\\right) \\) を 通る傾き a \ の直線である。\n[1] ②)の゙ラフが(1)のグラフの\n 2 \\leqq x \\leqq 4 \ の部分と接するとき\n2 次方程式 \( -(x-2)(x-4)=a x-5 a+\\frac{1}{2} \\) すなわち\n\( x^{2}+(a-6) x-5 a+\\frac{17}{2}=0 \\) の判別式を D \ とすると\n\\[ D=(a-6)^{2}-4\\left(-5 a+\\frac{17}{2}\\right)=a^{2}+8 a+2 \\]\n D=0 \ から \\quad a^{2}+8 a+2=0 \ よって \\quad a=-4 \\pm \\sqrt{14} \ 2 \\leqq x \\leqq 4 \ の部分と接するのは, グラフから a=-4+\\sqrt{14} \ の ときである。\n3章 \\square \ EX\n2\n咨\n薮\nHINT\n\( y=|(x-2)(x-4)| \\) のグ ラフと直線\n y=a x-5 a+\\frac{1}{2} \ の共有点について調べる。\n\( \\leftarrow y=(x-2)(x-4) \\) のグ ラフで,\ x \ 軸より下側の 部分を \ x \ 軸に関して対称に折り返したものであ
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次の方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \( 3(x+1)^{2}+5(x+1)-2=0 \)\n(4)
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2 次関数のグラフが次の条件を満たすとき,その2次関数を求めよ。 (2) x 軸と 2 点 (-1,0), (2,0) で交わり, 点 (3,12) を通る。
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練習 a は定数とする。 −1 ≤ x ≤ 1 における関数 f(x)=x2+2(a−1)x について、次の問いに答えよ。(1) 最小値を求めよ。
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方程式 \( x^{2}+(a+2) x-a+1=0 \) が の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつような定数 の値の範囲を求めよ。
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次の連立方程式を解け。\n(1) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x-y+8=0 \\\\ x^{2}-y^{2}-4 x-8=0\\end{\overlineray}\\right. \
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次の関係が成り立つ。
異なる2つの実数解をもつ⇔b²-4ac>0[D>0]
ただ1つの実数解(重解)をもつ⇔b²-4ac=0[D=0]《重解はx=-b/2a
実数解をもたない⇔b²-4ac<0[D<0]
特に, b=2b'であるとき, D/4=b'²-acの符号について
異なる2つの実数解をもつ⇔b'²-ac>0[D/4>0]
ただ1つの実数解(重解)をもつ⇔b'²-ac=0[D/4=0]
実数解をもたない⇔b'²-ac<0[D/4<0]
注記号⇔についてはp.91参照。
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EX 2 次不等式 x^{2}-(2 a+3) x+a^{2}+3 a<0 \cdots (1), x^{2}+3 x-4 a^{2}+6 a<0 \cdots (2) について, 次の 9 86各問いに答えよ。ただし, a は定数で 0<a<4 とする。\n(1) (1), ② を解け。\n(2) (1), ② を同時に满たす x が存在するのは, a がどんな範囲にあるときか。\n(3)1, ②を同時に満たす整数 x が存在しないのは, a がどんな範囲にあるときか。[類 長崎総科大]
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次方程式の実数解の個数を求めよ。\n(1) 2 次方程式 \( x^{2}-(k+1) x+1=0 \) が異なる 2 つの実数解をもつような,定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) の方程式 \( (m+1) x^{2}+2(m-1) x+2 m-5=0 \) の実数解の個数を求めよ。
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次の方程式を解け。\n(1) \( x^{2}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2} x\right) \) \n(2) \( 3(x+2)^{2}+12(x+2)+10=0 \) \n(3) \( (2+\sqrt{3}) x^{2}+2(\sqrt{3}+1) x+2=0 \) \n(4)
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168\n は定数とする。次の方程式を解け。\n(1) \( \left(a^{2}-2 a\right) x=a-2 \)\n(2) \( 2 a x^{2}-\left(6 a^{2}-1\right) x-3 a=0 \)
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EX x の方程式 x^{2}-(k-3) x+5 k=0, x^{2}+(k-2) x-5 k=0 がただ 1 つの共通の解をもつように定数 k の値を定め, その共通の解を求めよ。
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16 k を実数の定数とする。 x の 2 次方程式 x^{2}+k x+k^{2}+3 k-9=0 について
(1)方程式 (1)が実数解をもつとき,その解の値の範囲を求めよ。
(2)方程式 (1)が異なる2つの整数解をもつような整数 k の値をすべて求めよ。
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次の命題 (A), (B) を両方満たす, 5 個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n(A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。
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33 \na>3 のとき x>−\\frac{b}{a−3}, \na=3 かつ b>0 のと き 解はすべての数, \na=3 かつ b=0 のとき 解はない, \na<3 のとき x < −\\frac{b}{a−3}
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問題2 グラフが放物線と直線の交点を通る 2 次関数を求める。f(x)=x-1, g(x)=-x^{2}+5 x-2 とし,直線 y=f(x) と放物線 y=g(x) の 2 つの共有点を A, B とする。また, 点 P(2,-5) とする。
(1) k を定数とする。 h(x)=f(x)+k{g(x)-f(x)} としたとき, y=h(x) の グラフは 2 点 A, B を通ることを示せ。
(2)グラフが 3 点 A, B, P を通る 2 次関数を求めよ。
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数学 I\n[2] のときこのとき, \( f(x) \) は で最小値 -1 をとり, 最小値が となるから これは を満たす。(i) のとき において, \( f(x) \) は で最大値 \( f(-1)=\frac{1}{4} \) をとり, 最大値が となるから これは を満たす。(ii) のとき において, \( f(x) \) は で最大値 \( f( \pm 1)=\frac{1}{4} \) をとる。最大値が \( q(=1) \) とならないから,不適。(iii) のとき において, \( f(x) \) は で最大値\( f(q)=\frac{5}{4} q^{2}-1 \) をとり, 最大値が となるから これを解くと であるから [3] のとき において, \( f(x) \) は で最小値 \( f(p), x=q \) で最大値 \( f(q) \) をとる。 \( f(p)=\frac{5}{4} p^{2}-1, \quad f(q)=\frac{5}{4} q^{2}-1 \) であり, における \( f(x) \) の最小値が , 最大值が となるから , (1)の計算過程から これは を満たさない。以上から \((p, q)=\left(-1, \frac{1}{4}\right),\left(-1, \frac{2+2 \sqrt{6}}{5}\right)\n[2](i) \n[2](ii)\n[2](iii) \( \leftarrow(1) \) で を解いている。\n[3]
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次の命題の否定を述べよ。\n(1) が実数のとき, ならば である。\n(2) が実数のとき, ならば である。\n(3) が実数のとき, ならば である。
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次の方程式・不等式を解け。(1) |x-3|+|2x-3|=9 (2) ||x-2|-4|=3x (3) |2x-3| ≤ |3x+2| (4) 2|x+2|+|x-4|<15
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共通解を求める問題:二つの方程式 f(x)=0 と g(x)=0 の共通解を求める。例題 102 に基づいて解説する。
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2 次方程式 の判別式を とすると\n\\n\\frac{D}{4}=3^{2}-5 \cdot 2=-1\n\\nゆえに, であるから, の解はすべての実数\n\\n\\text { よって } \\quad-\\frac{2}{3}<x \\leqq 0\n\ [3] \\quad x>0 のとき, 不等式は \\( \\quad x^{2}<(3 x+2)^{2} \\)\nこれを解くと, [1] から \\quad x<-1,-\\frac{1}{2}<x \\nx>0 との共通範囲は \\quad x>0 \ …. (3)\n[1]~[3] から, (1)〜(3) の範囲を合わせて \\quad x>-1 \\n3章 \ \\square \
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(2) 2 次方程式 \( x^{2}+(a+4) x+a-3=0 \) の解の 1 つが であるとき, 他の解を求めよ。
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数学 I
[2] a=2 のとき
図 [2] から, x=0,4 で最大となる。最大値は f(0)=f(4)=5
[3] 2<a のとき
図 [3] から, x=0 で最大となる。
最大値は f(0)=5
[1]〜[3] から
a<2 のとき
x=4 で最大値 -24 a+53
a=2 のとき
x=0,4 で最大値 5
a>2 のとき
x=0 で最大値 5
(2) 4] a<0 のとき
図 [4] から, x=0 で最小となる。最小値は f(0)=5
[5] 0 <= a <= 4 のとき
図 [5] から, x=a で最小となる。
最小値は f(a)=-3 a^2+5
[6] 4<a のとき
図 [6] から, x=4 で最小となる。
最小値は f(4)=-24 a+53
[a<0 のとき
x=0 で最小値 5
0 <= a <= 4 のとき
x=a で最小値 -3 a^2+5
a>4 のとき
x=4 で最小値 -24 a+53]
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a は定数とする。a ≤ x ≤ a + 1 における関数 f(x) = x^2 - 10x + a について(1)最大値を求めよ。(2)最小値を求めよ。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \((x-1)(x+2)=0\)\n(2) \(x(x+1)=0\)\n(3)
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A 370 x, y は実数とする。次の各条件を「かつ」, 「または」を用いてそれぞれ表せ。また,その否定も「かつ」, 「または」を用いてそれぞれ表せ。
(1) (x+5)(3 y-1)=0
(2) (x-2)^{2}+(y+7)^{2}=0
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(1)2 次方程式 \( x^{2}+(2 k-1) x+k^{2}-3 k-1=0 \) が実数解をもつように,定数 の値の範囲を定めよ。
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数学 I
a ≠ 0 のとき, 2 次方程式 f(x)=0 の判別式を D とする。
(1) a=1 のとき f(x)=x^{2}+b x+c=(x+ \frac{b}{2})^{2}- \frac{b^{2}}{4}+c よって, 頂点の座標は
(- \frac{b}{2},- \frac{b^{2}}{4}+c)
図 1 に表示されているグラフについて, x 軸との共有点の個数,軸の位置, y 軸との交点に注目すると
D=b^{2}-4c<0,- \frac{b}{2}>0, f(0)=c>0
すなわち b<0, c>0, b^{2}<4c
⓪~のの中で, この3つの不等式を満たすものは
(2) b=-2, c=3 だけである。
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2次関数の文章題: ある商品の販売価格はp円で、販売個数xはpの関数として次の式で与えられます:x = 100 - 2p。このとき、総利益RはR = pxで与えられます。総利益が最大となる販売価格pを求めなさい。
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次の方程式の実数解を求めよ。\n(1) \ a^{2} x-2=4 x-a \\n(2) \\( \\left(p^{2}-1\\right)x^{2}+2 p x+1=0 \\)
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国国列題 71 最大・最小から傒数の決定 (3)\n関数 \( f(x)=x^{2}-2 a x+a^{2}+2 a-3 \) がある。ただし, とする。\n(1) \( f(x) \) の最小値 を定数 を用いて表せ。\n(2) \( f(x) \) の最小值が 0 となるような定数 の値を求めよ。
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2 次方程式 \( x^{2}-2(a-1) x+(a-2)^{2}=0 \) の異なる 2 つの実数解を とする時, を満たすように, 定数 の値の範囲を定めよ。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( 6\left(x^{2}+4\right)=25 x \)\n(5) \n(6) \( 8(x-1)^{2}+2(x-1)-15=0 \)
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2次方程式 について考える。次のものを求めよ。\n(1) 1 より大きい異なる 2 つの解をもつための の値の範囲\n(2) 1 より小さい異なる 2 つの解をもつための の値の範囲\n(3)1 より大きい解と 1 より小さい解をもつための の値の範囲
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次の2次方程式 \\( x^{2}+(m-8) x+m=0 \\) が重解をもつとき, 定数 \ m \ の値を求めよ。また、重解についても求めよ。(名古屋商大]
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`x + 1 \geq 0` すなわち `x \geq -1` のとき `x^2 - 2(x+1) = 2` を満たす `x` を求めよ。
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(2) の方程式 \( (m+1) x^{2}+2(m-1) x+2 m-5=0 \) がただ 1 つの実数解をもつとき, 定数 の値を求めよ。
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次の連立方程式を解け。\n(1) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y=3 \\\\ x^{2}+y^{2}=17\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-x y-2 y^{2}=0 \\\\ x^{2}+x y-y=1\\end{\overlineray}\\right. \
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\n次の 2 次方程式を解け。\n(1) \ \\frac{1}{5} x^{2}-\\frac{1}{12} x-\\frac{1}{30}=0 \\n(2) \ 0.1 x^{2}+0.3 x-2=0 \\n(3) \ x^{2}-\\sqrt{2} x-4=0 \\n(4) \\( 2(x-2)^{2}-3(x-2)-1=0 \\)
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2次方程式 \( x^{2}-2(a-4) x+2 a=0 \) が次の条件を満たすとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n(1) ともに2より大きい異なる2つの解をもつ。\n(2) 2 より大きい解と 2 より小さい解をもつ。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \( (2 x+1)^{2}-9=0 \)
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(1) x-1=0 または x+2=0 を解きなさい。 (2) x=0 または x+1=0 を解きなさい。 (3) x= ±√(8/9) を求めなさい。
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73 (1) のとき解はない のとき解はすべての実数 のとき \n(2) のとき \n のとき \n のとき\n\n
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やってみよう \\\qquad\\n問1 \ a \ は実数とする。次の \\\square\ に当てはまるものを,下の(1)~(4) のうちから選べ。\n(1) \ |a+1|=2 \ は \ a^{2}+2 a-3=0 \ であるための \\\square\ 。\n(2) \ |a-1|<2 \ は \ a^{2}-1<0 \ であるための \\\square\ 。\n(3) \ 1<|a|<2 \ は \ -1<a<2 \ であるための \\\square\ 。\n(1) 必要条件であるが, 十分条件でない\n(2)十分条件であるが,必要条件でない\n(3) 必要十分条件である\n(4) 必要条件でも十分条件でもない
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75 次の 2 次方程式を解け。(1) \ x^{2}-3 x+2=0 \ (2) \ 2 x^{2}-3 x-35=0 \ (3) \ 12 x^{2}+16 x-3=0 \ (4) \ 14 x^{2}-19 x-3=0 \ (5) \ 5 x^{2}-3=0 \ (6) \\( (2 x+1)^{2}-9=0 \\)
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(問題に挑戦) (1) |a+1|=2 から a+1=\pm2 よって a=1,-3 a^{2}+2 a -3=0 から (a-1)(a+3)=0 よって a=1,-3 ゆえに, 「|a+1|=2\Leftrightarrow a^{2}+2a-3=0 」が成り立つ。 よって, |a+1|=2 は a^{2}+2a-3=0 であるための必要十分条件である。
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f(x) = x² - 2ax - a + 6 について, -1 ≤ x ≤ 1 で常に f(x) ≥ 0 となる定数 a の値の範囲を求めよ。
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(3) a=1 として, 係数 b, c の値を変化させると, 方程式 f(x)=0 は解 x=1,3 をもつという。このとき, b= コサ,c=□ジある。続いて,係数 b, c の値を b=□サ, c=□シ で固定して, a の値を小さくした場合の方程式 f(x)=0 の解について考える。 0<a<1 のとき, 方程式 f(x)=0 は ス。 a=0 のとき, 方程式 f(x)=0 は □。 a<0 のとき, 方程式 f(x)=0 は ソ。 コサ, サシに当てはまる数を答えよ。また, □ス □ソについては, 最も適当なものを,次の0~5)のうちから1つずつ選べ。 (0) 実数解をもたない (1) 実数解を 1 つだけもち, それは正の数である (2) 実数解を 1 つだけもち,それは負の数である (3) 異なる 2 つの正の解をもつ (4) 異なる 2 つの負の解をもつ (5) 正の解と負の解を 1 つずつもつ
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振り迤り 2次方程式の解の存在範囲で使う条件\n解の存在範囲の問題は,さまざまなパターンがあって,どの条件を使えばよいか混乱してきました。\n2次方程式を \( a x^{2}+b x+c=0(a>0) \) とし、\( f(x)=a x^{2}+b x+c \) とする。\n例題 96 99 の問題解決のための条件は、次の 3 パターンに分けられる。
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PR 次の方程式を解け。
(1)
(2)
(1) のとき
左辺を因数分解して \( \quad(x+4)(x-5)=0 \)
よって
このうち, を満たすものは
«場合の分かれ目は
『この確認を忘れずに。
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(2) 2 次方程式 \( x^{2}+(a+4) x+a-3=0 \) の解の 1 つが であるとき, 他の解を求めよ。
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(4) \\left\\ulcorner x^{2}+y^{2}=1 \\Longrightarrow x+y=0 」\\right. \ は偽。\n(反例) : x=0, y=1 \\nまた, \\left\\ulcorner x+y=0 \\Longrightarrow x^{2}+y^{2}=1 」\\right. \ も偽。\n(反例) : x=0, y=0 \\nよって,必要条件でも十分条件でもない。
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PRACTICE 81\n の方程式 \( x^{2}-(k-3) x+5 k=0, x^{2}+(k-2) x-5 k=0 \) がただ 1 つの共通解をもつ ように定数 の値を定め, その共通解を求めよ。
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EX \ x+y+z=2 \\sqrt{3}, x y+y z+z x=-3, x y z=-6 \\sqrt{3} \ のとき, \ x^{2}+y^{2}+z^{2}, x^{3}+y^{3}+z^{3} \ の值を\n\nそれぞれ求めよ。
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2 次方程式 がともに実数解をもつような の値の範囲はア , 少なくとも一方が実数解をもつような の値の範囲は イ である。
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A社はチョコレートを販売している。販売個数 y 個( y は 1 以上の整数)は,販売価格 p 円(1個当たりの値段)に対して次で定められる。
y = 10 - p
(1) A社の売上が最大となる販売価格 p の値, および, そのときの販売個数 y の値を求めよ。ただし, 売上とは販売価格と販売個数の積とする。
(2) y 個のチョコレートの販売にかかる総費用 c(y) は, c(y) = y^2 で表される。このとき, A社の利益(売上から総費用を引いた差)が最大となる販売価格 p の値, および, そのときの販売個数 y の値を求めよ。
(3)(2)において, 総費用 c(y) が変化し,c(y) = y^2 + 20 y - 20 となったとき, A社の利益が最大となる販売価格 p の値, および, そのときの販売個数 y の値を求めよ。
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(3)は正しいか正しくないかを答えよ。正しくない場合は, (A) \longrightarrow (1), (1) \longrightarrow (2), (2) \longrightarrow (3)のうちどの変形が正しくないかをいえ。
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2 つの 2 次方程式 \ x^{2}-x+a=0, x^{2}+2 a x-3 a+4=0 \ について, 次の条件を満たす定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n(1)両方とも実数解をもつ\n(2)少なくとも一方が実数解をもたない\n(3)一方だけが実数解をもつ
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実数を係数とする 2 次方程式 が, 次の条件を満たすとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n(1) 正の解と負の解をもつ。\n(2)異なる2つの負の解をもつ。
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次の についての不等式を解け。ただし, は定数とする。\nx^{2}-3 a x+2 a^{2}+a-1>0 [法政大]
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次の連立方程式を解け。
(1) x^2 - xy - 2y^2 = 0
(2) x^2 + xy - y = 1
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2つの2次方程式 x^2 - (m + 1)x - m^2 = 0 と x^2 - 2mx - m = 0 がただ1つの共通解をもつとき, mの値は何か? またそのときの共通解は何か?
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右の図のような2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフについて, 次の値の正、0、負を判定せよ。\n(1) a\n(2) b\n(3) c\n(4) b^{2}-4ac\n(5) a+b+c\n(6) a-b+c
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数学 I\n(2) のとき \nよって, ただ 1 つの実数解 をもつ。\n[2] のとき\n方程式は 2 次方程式で, 判別式を とすると\n\[\frac{D}{4}=(\sqrt{10})^{2}-k(-k-7)=k^{2}+7 k+10=(k+2)(k+5)\]\n2 次方程式がただ 1 つの実数解をもつための条件は であるから\n\[(k+2)(k+5)=0\]\nこれを解いて \nこれらは を満たす。\n重解は であるから\n のとき \n のとき \n以上から のとき \n\[\begin{array}{l}\nk=-2 \text { のとき } \quad x=\frac{\sqrt{10}}{2} \\\nk=-5 \text { のとき } \quad x=\frac{\sqrt{10}}{5} \\\n\end{array}\]\n の方程式 次方程式の場合も考える。\n分母を有理化。\n 次方程式が重解をも つ場合である。\n 次方程式\n\nの重解は
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次の2次方程式が共通解を持つような \ m \ の値を求め、その共通解も求めよ。\n\\( x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0 \\) と \ x^{2}-2 m x-m=0 \
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2 次方程式 \ x^{2}-2 x-8=0 \ の 2 つの実数解のうち,小さい方の解は, \ x \ の 2 次方程式 \ x^{2}-4 a x+a^{2}+12=0 \ の解の 1 つになる。このとき, \ a \ の値を 求めよ。
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2 次方程式 の 1 つの実数解が の範囲にあり, 他の実数解が の範囲にある。このとき, 定数 の値の範囲を 求めよ。
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2 次方程式 \( x^{2}+(2 k-1) x-3 k^{2}+9 k-2=0 \) の実数解の個数を求めよ。
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与えられた命題の対偶は\n ならば「 についての方程式 は 解をもたないか,または2つ以上の解をもつ」 これを証明する。 において\n ならば解をもたない\n ならば 無数の解をもつ
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次方程式 の 2 つの実数解のうち, 小さい方の解は, の 2 次方程式 の解の 1 つになる。このとき, の値を求めよ。
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2 次方程式 \( x^{2}-(a-1) x+a+2=0 \) が次のような解をもつとき, 定数 の値 の範囲を求めよ。\n(1)異なる 2 つの正の解\n(2)正の解と負の解
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太郎さんのクラスでは,文化祭でお好み焼きの模擬店を出店することになり,お好み焼き1枚の価格をいくらにするか検討している。次の表は,過去の売り上げデータをまとめたものである。\n\n1 枚あたりの価格 (円) & 250 & 300 & 350\n売り上げ数(枚) & 300 & 250 & 200\n\nまた,以下において,消費税は考えないものとする。\n(1)太郎さんは,表から,売り上げ数が 1 枚あたりの価格に関する 1 次関数で表されると仮定した。1枚あたりの価格を 円,売り上げ数を 枚とするとき, をの式で表せ。ただし, は自然数とする。
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`x + 1 < 0` すなわち `x < -1` のとき `x^2 + 2(x+1) = 2` を満たす `x` を求めよ。
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(1) x + 3 y = k のとき, x^2 + y^2 の最小値は 4 である。定数 k の値を求めよ。
(2) x ≥ 0, y ≥ 0, 2 x + y = 8 のとき, xy の最大値と最小値を求めよ。
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EX は実数とする。次の各条件を「かつ」, 「または」を用いてそれぞれ表せ。また,その否定も (2) 37 かつ」, 「または」を用いてそれぞれ表せ。
(1) \((x+5)(3 y-1)=0\)
(2) \((x-2)^{2}+(y+7)^{2}=0\)
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についての次の 3 つの 2 次方程式がある。 \( x^{2}+a x+a+3=0, x^{2}-2(a-2) x+a=0, x^{2}+4 x+a^{2}-a-2=0 \) これらの 2 次方程式がいずれも実数解をもたないような の値の範囲を求めよ。
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PR の方程式 \( x^{2}-(k-3) x+5 k=0, x^{2}+(k-2) x-5 k=0 \) がただ 1 つの共通解をもつように定数 ④ の値を定め, その共通解を求めよ。\n共通解を とすると\n\[\begin{array}{l}\n\\alpha^{2}-(k-3) \\alpha+5 k=0 \\\n\\alpha^{2}+(k-2) \\alpha-5 k=0\n\end{array}\]\n『 を代入したとき, 2 つの方程式が成り立つ。
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ゆえに
また, は平面 上にあるから, となる実数 がある。
よって
(1), (2) から
4 点 は同じ平面上にないから
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TR直線 y=2 x+k が楕円 x^{2}+4 y^{2}=4 と異なる 2 点 \mathrm{P}, \mathrm{Q} で交わるとする。 (1)定数 k のとうう値の範囲を求めよ。 ()(1)の範囲で k を動かしたとき,線分 \mathrm{PQ} の中点 \mathrm{M} の軌跡を求めよ。
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\ \\mathrm{AQ}=\\mathrm{BQ} \ であるから \ \\quad \\mathrm{AQ}^{2}=\\mathrm{BQ}^{2} \\nゆえに\n```\n\\begin{array}{l}\n(x-1)^{2}+(0-2)^{2}+(z-3)^{2}=(x-3)^{2}+(0-2)^{2}+\\{z-(-1)\\}^{2} \\\\\n\\text { よって } \\quad-2x-6z+14=-6x+2z+14\n\\end{array}\n```\n整理すると \ \\quad x-2z=0 \\n\ \\mathrm{AQ}=\\mathrm{CQ} \ であるから \ \\quad \\mathrm{AQ}^{2}=\\mathrm{CQ}^{2} \\nゆえに\n```\n\\begin{array}{l}\n(x-1)^{2}+(0-2)^{2}+(z-3)^{2}=\\{x-(-1)\\}^{2}+(0-1)^{2}+(z-2)^{2} \\\\\n\\text { よって } \\quad-2x-6z+14=2x-4z+6\n\\end{array}\n```\n整理すると \ \\quad 2x+z=4 \ \ \\qquad \\n(1), (2) を解いて \ x=\\frac{8}{5}, z=\\frac{4}{5} \\nしたがって, 求める点の座標は \\( \\left(\\frac{8}{5}, 0, \\frac{4}{5}\\right) \\)\n\ \\Leftrightarrow \\mathrm{AQ}=\\mathrm{BQ}=\\mathrm{CQ} \ であるから\n\ \\mathrm{AQ}=\\mathrm{BQ}, \\quad \\mathrm{AQ}=\\mathrm{CQ} \
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51 (1) \( r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \)\n(2) \( r=2 \sqrt{2} \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \)
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次の方程式を満たす点 全体はどのような図形を表すか。\n(1) \( |z|^{2}=2i(z-\\bar{z}) \)\n(2)
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次の方程式を満たす点 z 全体はどのような図形を表すか。(1) |z|^2 = 2i(z-\bar{z}) (2) 3|z| = |z-4i|
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多項式 \( f(x) \) について, \( f(a)=a \) が満たされるとき, \( f(f(x))-x \) は で 割り切れることを示せ。
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漸化式を利用した無限級数の和
数列 は, かつ漸化式 \( a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満た すものとする。自然数 に対して, 実数 を かつ となるように定める。
(2) \( \theta_{2 k+1}+\theta_{2 k+2}=\theta_{2 k}(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。
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主意 (1)から x=\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} よって x \geqq \frac{3}{4} また,2)からyの値は実数全体。\nこれらは x=y^{2}+y+1 で定まる点 \( (x, y) \) がとりうる値の範囲 と一致する。
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4 (1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x=t \\\\ y=2 t+2\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) 2 x-y-8=0 \
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(1) sqrt{2 x-1}=1-x の両辺を平方すると\n \2 x-1=(1-x)^{2} よって x^{2}-4 x+2=0\n これを解くと x=2 ± sqrt{2}\n (1) を満たすものは x=2-sqrt{2}\n (2) |x-3|= sqrt{5 x+9} の両辺を平方すると (x-3)^{2}=5 x+9 よって x^{2}-11 x=0\n これを解くと x=0,11\n x=0,11 はともに(1)を満たすから, 求める解である
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練習: (1) から 、点 の移動範囲を説明せよ。\n(2) \( s+t=k(0 \leqq k \leqq 1) \) とおいて点 の移動範囲を分析せよ。
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このとき, (1) から
\[z=4(\cos θ+i \sin θ) \quad\left(0 \leqq θ \leqq \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π \leqq θ<2 π\right)\]
[2] θ=0 のとき
(2) から
と から
ゆえに
これを解くと
これは を満たす。
このとき, (1) から
[3] θ=π のとき
(2) から \( \frac{z}{4}+\frac{4}{z}=-\left(\frac{r}{4}+\frac{4}{r}\right)<0 \)
これは条件を満たさない。
[1]〜[3] から, 点 が描く図形を図示す ると右の図の太線部分。
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(1) \ \alpha + \beta = -a, \alpha \beta = b + 6, c = -6a \, \ d = -6b - 36 \
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2 本の接線をもつとき, 2 次方程式 (2)'は異なる 2 つの実数解をもつ。2 つの解を \ x=m_{1}, m_{2} \ とすると, 2 次方程式の解と係数の関係 から \ m_{1} m_{2} = \\frac{v^{2}-a^{2}}{u^{2}+1} \
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次の4次方程式について、\ x = \\alpha \ が解であることを証明してください。\a x^{4}+b x^{2}+c=0\例えば\ a x = \\alpha^{4}+b \\alpha^{2}+c = \\bar{0}\における説明を含みます。そして与えられた方程式が\x=\\bar{\\alpha}\も解であることを示す。
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(1) から \( \quad(1-2 z) w=z-3 \)\nすなわち \( \quad(2 w+1) z=w+3 \)\nここで, は, この等式を満たさない。\nよって, であるから \nまた, であるから,(1) を満たす。\nよって, (1)を に代入すると \n すなわち \n[1] のとき\n(2) は となり, Kは2点 を結ぶ線分の垂直二等分線となるから,不適。
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数学 II
1-x+1-y=√((x-1)²+(y-1)²+z²)・√2・1/√2
よって
1-x+1-y=√((x-1)²+(y-1)²+z²)
-1 ≤ x < 1, -1 ≤ y ≤ 1 であるから (1-x)+(1-y) > 0
(1) の両辺を 2乗すると
{(1-x)+(1-y)}²=(x-1)²+(y-1)²+z²
ゆえに
2(1-x)(1-y)=z²
1-x > 0 であるから 1-y=z²/2(1-x)
よって, 円錐 E の側面上の点が満たす方程式は
y=1-(z²/2(1-x))
これの平面 x=t による切り口は
y=1-(z²/2(1-t))(-t ≤ y ≤ 1)
直角二等辺三角形 ADO を直線 DO を軸として回転させてできる円錐 F の側面上 (ただし, 点 D は除く) の点を Q(x, y, z) とすると
ΔDQ=(x+1, y+1, z), ΔDO=(1,1,0)
ΔDQ・ΔDO=|ΔDQ||ΔDO| cos45° から同様にして, 円錐 F の側面上の点が満たす方程式は
y=-1+(z²/2(1+x))
これの平面 x=t による切り口は
y=-1+(z²/2(1+t))
(-1 ≤ y ≤ -t)
以上から, 平面 x=t による V₁ の切り口は,
曲線
C₁: y=1-(z²/2(1-t)),
C₂: y=-1+(z²/2(1+t))
で囲まれた図形となる。この図形は y 軸に関して対称であるから, 求める面積は
2 ∫₀√(2(1-t²)) (1-z²/2(1-t)-(-1+z²/2(1+t))) dz
=2 ∫₀√(2(1-t²)) (2-z²/(1-t²)) dz
=2 [2z-z³/3(1-t²)]|₀√(2(1-t²))
=2 {2√(2(1-t²))-(2(1-t²)√(2(1-t²))/3(1-t²))}
= 8/3 √(2(1-t²))
2 ∫₀√(2(1-t²)) [1-z²/2(1-t)-(-1+z²/2(1+t))] dz
=2 ∫₀√(2(1-t²)) (2-z²/(1-t²)) dz
=2 [2z-z³/3(1-t²)]|₀√(2(1-t²))
=2 {2√(2(1-t²))-(2(1-t²)√(2(1-t²))/3(1-t²))}
= 8/3 √(2(1-t²))
Ψ y=-x, x=t から x を消去すると y=-t よって, 点 P(x, y, z) において x=t のとき -t ≤ y ≤ 1
点 Q(x, y, z) において x=t のとき -1 ≤ y ≤ -t
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問題 12
ハミルトン・ケーリーの定理により, A について, 次の等式が成立する。
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0
次のケースを考慮する。
[1] a+d=2 のとき、(a+d, ad-bc) = (2,-8) を求める。
[2] a+d ≠ 2 のとき、A = kE と仮定して、k を求める。
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問題 2
対応する成分が等しいから
(1)3xy+2=-8y
..... (1), -2x=6
3x+5y=1
(3), -3+2xy=5x
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(2)方程式を変形すると a\\left(\\sin ^2 x + 2\\right) = 2(2 \\sin x + 1)\\ \n\\( \\ \n「 \\ \n\\begin{aligned}\n\\sin x=t とおくと \\-1 \\leqq t \\leqq 1 で\n\\frac{2(2 t+1)}{t^{2}+2} = a\n\\end{aligned}\n
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以下の数式から問題を解いてください。\n一一 数学 (C)\nゆえに\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{AP}^{2} & =a^{2}-b^{2}-2 p_{1} \\sqrt{a^{2}-b^{2}}+p_{1}^{2}+b^{2} \\\\\n& =a^{2}-2 p_{1} \\sqrt{a^{2}-b^{2}}+\\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} p_{1}^{2} \\\\\n& =\\left(a-\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} p_{1}\\right)^{2}\n\\end{aligned}\n\\]\n であるから \nすなわち \nよって \n2 点 は の焦点であるから \nゆえに \( \\quad \\mathrm{BP}=2 a-\\mathrm{AP}=\n2 a-\\left(a-\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} p_{1}\\right) \)\n\=a+\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} p_{1} \\n(1)に を代入すると \( \\quad a^{2} p_{2} x=\\left(a^{2}-b^{2}\\right) p_{1} p_{2} \)\n であるから \nよって, 点 の座標は \( \\quad\\left(\\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} p_{1}, 0\\right) \)\nゆえに \n\( =\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\\left(a-\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} p_{1}\\right)=\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} \\mathrm{AP} \)\n\( \\mathrm{BQ}=\\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} p_{1}-\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\right) \)\n\( =\\sqrt{a^{2}-b^{2}}+\\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} p_{1}=\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\\left(a+\\frac{\\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a} p_{1}\\right) \)\n\nしたがって, 求める AQ:BQ の比率を求めなさい。
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(3) \( \theta=\frac{1}{(2 n-1) \pi} \) とおくと \n\[\n\text { よって } \begin{aligned}\n& \frac{f(\theta+h)-f(\theta)}{h} = & \frac{1}{h}\left\{\frac{\theta+h}{2}-(\theta+h)^{2} \sin \frac{1}{\theta+h}-\left(\frac{\theta}{2}-\theta^{2} \sin \frac{1}{\theta}\right)\right\} = & \frac{1}{2}-\left(\frac{\theta^{2}}{h}+2 \theta+h\right) \sin \frac{1}{\theta+h}\n\end{aligned}\]\n のとき \( \frac{1}{2}-(2 \theta+h) \sin \frac{1}{\theta+h} \longrightarrow \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2} \) また, とおくと, であり\n\nゆえに \( \quad-\frac{\theta^{2}}{h} \sin \frac{1}{\theta+h}=\frac{(1+k \theta) \theta^{2}}{k \theta^{2}} \sin ((2 n-1) \pi+k) =-(1+k \theta) \frac{\sin k}{k} \longrightarrow-1(k \longrightarrow 0)\n以上から \( \quad f^{\prime}(x)=f^{\prime}(\theta)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\theta+h)-f(\theta)}{h} =\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\n
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数学 \nこれが についての恒等式であるから\n\-a^{2}+a=0, a^{2}-2 a=-a, a-1=0\\n第3式から \n は第 1 式,第 2 式を満たし, (1) の分母 を満たす。したがって, 求める の値は
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\( f(x)=x^{2}-x-2 \) のとき, \( f(f(x))-x=0 \) を満たす の値を求めよ。
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(1) \( a(x_{n})^{n}-b^{n}=a\left(\frac{a^{n}}{b}+\frac{b^{n}}{a}\right)-b^{n}=\frac{a^{n+1}}{b}>0 \)\n\n\( 2b^{n}-a(x_{n})^{n}=2b^{n}-a\left(\frac{a^{n}}{b}+\frac{b^{n}}{a}\right)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b}>0 \)\n\nよって \( b^{n}<a(x_{n})^{n}<2b^{n} \)
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を虚数とするとき,次の問いに答えよ。\n(1) が実数となるとき, の絶対値 を求めよ。\n(2) が整数となる をずて求めよ。
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求める円の方程式を x^2 + y^2 + l x + m y + n = 0 とします。この円が 3 点 (0, 0), (2, 1), (1, 2) を通ることから n = 0, 2l + m + n + 5 = 0, l + 2m + n + 5 = 0
これを連立して解くと l = -5/3, m = -5/3, n = 0
したがって、求める円の方程式は x^2 + y^2 - 5/3 x - 5/3 y = 0
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\n数学II\n(1) \( f(-2)=\frac{1}{2} \) から \n(2) \( f(1)=2 \) から\n\na+b+c=6\n\n(1), (2), (3) から \n\n逆に, このとき \( \quad f(x)=\frac{x^{2}+2 x+3}{x^{2}+2} \)\n\n\( f^{\prime}(x)=\frac{-2 x^{2}-2 x+4}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}=\frac{-2(x+2)(x-1)}{\left(x^{2}+2\right)^{2}} \)\n\( f^{\prime}(x)=0 \) とすると \n\( f(x) \) の増減表は次のようになり, 条件を満たす。\n\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\hline\( x & & -2 & & 1 & \\\n\hline\( f^{\prime}(x) \) & - & 0 & + & 0 & - \\\n\hline\( f(x) \) & & & & 2 & \\\n\hline\n\end{tabular}\n\n以上から
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(3) This holds for all real x. Substituting x=0 into (3) gives -5a-b+15=0 Substituting x=\\frac{\\pi}{2} into (3) gives 5 e^{\\frac{\\pi}{2}}(a-2)=0 Hence, e^{x}\{-3(a-b+3) \sin 2 x+6(2-a) \cos 2 x +(2-a) \sin x+(a-b+3) \cos x\}=0
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165 (4) \frac{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{3}}{y^{\prime \prime 2}}=1
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Join our DiscordQ.65
\[ \begin{array}{c} 41=\frac{9 x-10}{6 x-4} \text { から } \\ 6 x-4=9 x-10 \\ x=2 \end{array} \]
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Join our DiscordQ.67
(1) 方程式から
2(6-x)=(x+2)(x-2) かつ x ≠ 2 x^2 + 2x - 16 = 0 かつ x ≠ 2
これを解くと x = -1 ± √17
これは x ≠ 2 を満たすから,求める解である。
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Join our DiscordQ.69
(2) から \( \\quad y=-(x-1)^{2}+3 \)\nゆえに \( \\quad(x-1)^{2}=3-y \)\n のとき \n のとき \nよって, 求める体積を とすると\n\\[\n\\begin{aligned}\nV & =\\pi \\int_{0}^{3}(1+\\sqrt{3-y})^{2} d y-\\pi \\int_{2}^{3}(1-\\sqrt{3-y})^{2} d y \\quad \\cdots \\cdots(*) \\\\\n& =\\pi \\int_{0}^{3}(4-y+2 \\sqrt{3-y}) d y-\\pi \\int_{2}^{3}(4-y-2 \\sqrt{3-y}) d y \\\\\n& =\\pi\\left[4 y-\\frac{y^{2}}{2}-\\frac{4}{3}(3-y)^{\\frac{3}{2}}\\right]_{0}^{3}-\\pi\\left[4 y-\\frac{y^{2}}{2}+\\frac{4}{3}(3-y)^{\\frac{3}{2}}\\right]_{2}^{3} \\\\\n& =\\frac{22+12 \\sqrt{3}}{3} \\pi\n\\end{aligned}\n\\]
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Join our DiscordQ.70
(2) \ \\left|b_{n}-\\frac{1}{2}\\right|=\\frac{\\sqrt{5}}{2} \\quad \\cdots \\cdots \ (A) であることを,数学的帰納法により証明する。
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(1) c を実数とする。 3 次方程式 x^{3}-3 c x+1=0 の実数解の個数を調べよ。\n[類 慶応大]
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(1) \ t \ 秒後の立方体の体積を \ V \\mathrm{~cm}^{3} \, 表面積を \ S \\mathrm{~cm}^{2} \ とする。\n\n題意により \ \\quad \\frac{d V}{d t}=100 \\nまた, \ t \ 秒後の 1 辺の長さは \ \\sqrt[3]{V} \\mathrm{~cm} \ であるから\n\\( S=6(\\sqrt[3]{V})^{2}=6 V^{\\frac{2}{3}} \\)\n\nよって \ \\frac{d S}{d t}=4 V^{-\\frac{1}{3}} \\frac{d V}{d t}=\\frac{4}{\\sqrt[3]{V}} \\cdot \\frac{d V}{d t} \\n(1) と \ \\sqrt[3]{V}=10 \ を代入して \\( \\quad \\frac{d S}{d t}=\\frac{4}{10} \\cdot 100=40\\left(\\mathrm{~cm}^{2} / \\mathrm{s}\\right) \\)\n()(ア)5秒後の水量について \\( \\quad \\frac{\\pi}{4}\\left(h^{2}+h\\right)=5 \\pi \\)\nよって\n\h^{2}+h=20\\n\ h>0 \ であるから \\( \\quad h=4(\\mathrm{~cm}) \\)\n(イ) 改めて \ t \ 秒後の水面の高さを \ h \\mathrm{~cm} \ とすると\n\\(\\frac{\\pi}{4}\\left(h^{2}+h\\right)=\\pi t\\)\n\n整理して \ \\quad h^{2}+h=4 t \\nこの両辺を \ t \ で微分すると\n\\((2 h+1) \\frac{d h}{d t}=4\\)
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3 (1) a ≤ T のとき, 方程式 x-1=\\sqrt{4 x^{2} - 4 x + a} は実数解 x=1 をもつ。\n[芝浦工大]
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ある直線の方程式は y = 3x + 2です。この直線と y = -2x + 5 という直線が交わる点の座標を求めなさい。
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(1) 方程式の両辺を 2 乗すると ゆえに \n\\[\n\\begin{array}{l}\n(z+1) \\overline{(z+1)}=4(z-2) \\overline{(z-2)} \\\n(z+1)(\\bar{z}+1)=4(z-2)(\\bar{z}-2) \\\nz \\bar{z}+z+\\bar{z}+1=4(z \\bar{z}-2 z-2 \\bar{z}+4)\n\\end{array}\n\\]\n\n整理して\n\\nz \\bar{z}-3 z-3 \\bar{z}+5=0\n\\n\nよって \( \\quad(z-3)(\\bar{z}-3)-4=0 \)\nゆえに \( \\quad(z-3) \\overline{(z-3)}=4 \) すなわち \nよって ゆえに, 点 の全体は, 点 3 を中心とする半径 2 の円である。
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(2) \( a_{n+1}-a_{n}=\left(2 a_{n}-a_{n}^{2}\right)-a_{n}=a_{n}\left(1-a_{n}\right) \)\n(1) から \nを消去して整理する。\nの解は \nを消去して整理。\n\n1分母・分子を で 割る。\nCHART\n自然数 の問題\n証明は数学的帰納法\nを示す。\n4(1)を利用して直接証明する。
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(1)この方程式が解をもつための の条件を求めよ。\n(2)この方程式の解の個数を の値の範囲によって調べよ。\n\n指針 \n\ \n\\cos \\theta=y \n\ \nとおいて, 方程式を整理すると \n\\( \n\\cos^2 \\theta+\cos \\theta -1-a=0 \n\\quad (-1 \\leq \cos \\theta \\leq 1) \n\\) \n前ページと同じように考えてもよいが,処理が煩雑に感じられる。そこで,\n(1) 定数 \ a \ の入った方程式 \\( f(cos \\theta)=a \\) の形に直してから処理し,定数 \ a \ を右辺に移項した\n\ x^2 + x - 1 = a \ の形で扱うと, 関数\n\\( y = x^2 + x -1 (-1 \\leq x \\leq 1) \\)\nのグラフと直線 \ y = a \ の共有点の問題に帰着できる。\n\n\ \\rightarrow \ 直線 \ y = a \ を平行移動して, グラフとの共有点を調べる。なお,\n(2)では \ \\theta \ は、\ x = -1, 1 \ である \ cos \\theta \ に対して1個,\ -1 < x < 1 \ である \ cos \\theta \ に対してそれぞれ2個あることに注意する。
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EX 2 次方程式 が次の条件を満たす解をもつように, 定数 の値の範囲を定めよ。\n(1) 2 つの解がともに 2 以下である。\n(2) 1 つの解が より大きく, 他の解は より小さい。
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次の条件を満たすように,定数 a, b の値をそれぞれ定めよ。
(2) 2 x^{3}+a x^{2}+b x-3 は x-3 で割り切れ, 2 x-1 で割ると余りが 5 である。
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2 次方程式 \( x^{2}-(k+6) x+6=0 \) の解がすべて整数となるような定数 の値とそのときの整数解をすべて求めよ。
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次の方程式の解を求めよ。\n3 次方程式 の解のうち、2 つが 1 と 3 である。このとき、定数 の値と他の解を求めよ。
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①,2)から を消去すると すなわち \( \quad \frac{\alpha-\beta}{2} x=\frac{(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)}{4} \) であるから \nこれを (1)に代入して よって, 点 の座標は \( \left(\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\alpha \beta}{4}\right) \)\n(3) から \n\nゆえに \n逆に, (4) が成り立つとき, を 2 解とする 2 次方程式 の判別式を とすると\n\(\frac{D^{\prime}}{4}=(-x)^{2}-1 \cdot(-4)=x^{2}+4 \text { よって } D^{\prime}>0\)\n\nよって,任意の に対して実数 \( \alpha, \beta(\alpha \neq \beta) \) が存在する。 したがって, 点 の軌跡は 直線
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数学 □
(1)(2) から y を消去すると
ゆえに \( \quad (a - b) c x = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \quad \) よって
(1) に代入すると \( \quad y = b c \left(-\frac{1}{a b c}\right) - a b c + \frac{1}{a} \)
よって
したがって, 垂心 H の座標は \( \left(-\frac{1}{a b c}, -a b c\right) \)
であるから, 垂心 は曲線 上にある。
\( \leftarrow (a - b) c x = \frac{b - a}{a b} \)
両辺を \( (a - b) c [\neq 0] \) で割る。
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47 a+b+c=2, a b+b c+c a=3, a b c=2 のとき, a^2+b^2+c^2, a^5+b^5+c^5 の値をそれぞれ求めよ。
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を満たす実数 が, 等式 を満たしている。このとき, 任意の奇数 に対して, 等式 \( \frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{c^{n}}=\frac{1}{(a+b+c)^{n}} \) が成り立つことを示せ。
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練習 が の解の 1 つであるとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( \left(\omega^{200}+1\right)^{100}+\left(\omega^{100}+1\right)^{10}+2 \)
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193\n は定数とする。 の方程式 \( 2\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+3\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+a-5=0 \) が異なる 2 つの実数解をもつような の値の範囲を求めよ。\n\[\n\begin{array}{c}\n\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=t \text { とおくと, } t>0 \text { であり,方程式は }\n2 t+3 \cdot \frac{1}{t}+a-5=0 \cdots \cdots \text { (1) }\n\end{array}\n\]\n\left←\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{x}}=\frac{1}{t}\]
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次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。ただし,kは定数とする。\n(1) 3 x^{2}-5 x+3=0\n(2) 2 x^{2}-(k+2) x+k-1=0\n(3) x^{2}+2(k-1) x-k^{2}+4 k-3=0
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\( Q(x) \) を 2 次式とする。整式 \( P(x) \) は \( Q(x) \) では割り切れないが, \( \{P(x)\}^{2} \) は \( Q(x) \) で割り切れるという。このとき, 2 次方程式 \( Q(x)=0 \) は重解をもつことを示せ。
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34一数学 II\n(2) \( 4 x^{2}+\frac{1}{(x+1)(x-1)}=4\left(x^{2}-1\right)+\frac{1}{x^{2}-1}+4 \) のとき, \( 4\left(x^{2}-1\right)>0, \frac{1}{x^{2}-1}>0 \) であるから, 相加平均 \( ) \geqq( \) 相乗平均 \( ) \) により\n\[\n\begin{array}{l}\n4\left(x^{2}-1\right)+\frac{1}{x^{2}-1}+4 \geqq 2 \sqrt{4\left(x^{2}-1\right) \cdot \frac{1}{x^{2}-1}}+4=8 \\\ntext { よって } \quad 4 x^{2}+\frac{1}{(x+1)(x-1)} \geqq 8\n\end{array}\n\]\n等号が成り立つのは, \( 4\left(x^{2}-1\right)=\frac{1}{x^{2}-1} \) のときである。\nこのとき \( \quad\left(x^{2}-1\right)^{2}=\frac{1}{4} \quad x>1 \) から すなわち ゆえに したがって, \( 4 x^{2}+\frac{1}{(x+1)(x-1)} \) の最小値はア 8 で,そのとき の の値は である。
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EX を実数とする。 2 次関数 \( f(x)=x^{2}+a x+b \) について, 次の問いに答えよ。\n(233 \n(1) 実数 が \( f(\alpha)=\beta, f(\beta)=\alpha, \alpha \neq \beta \) を满たすとき, と を を用いて表せ。\n(2) \( f(\alpha)=\beta, f(\beta)=\alpha, \alpha \neq \beta \) を満たす実数 が存在するための, についての条件を求めよ。
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a は実数とし, x に関する 2 次方程式 x^{2}+a x+(a-1)^{2}=0 は異なる 2 つの実数解 をもつ。2つの解の差が整数であるとき, a の値を求めよ。
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は \( (\alpha-3)^{2}+(\beta-3)^{2}=8 \) かつ を満たす実数とする。また, は 2 次方程式 の 2 つの解であるとする。このとき, の値を求めよ。
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3 次方程式 の 3 つの解を とするとき, , \( (\\alpha-1)(\\beta-1)(\\gamma-1), \\alpha^{3}+\\beta^{3}+\\gamma^{3} \) の値をそれぞれ求めよ。
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(2)製品 P, Q 当たりの利益はそれぞれ 万円,3 万円であるとする。 このとき,1日当たりの利益について考える。ただし, は正の数とする。\n(i) の場合,利益を最大にする の値の組は, \( (x, y)=( \) キク, ケコ \( ) \) である。\n(ii) サの場合, 製品 は作らず製品 のみ作れるだけ作るときに限 り利益が最大となり,そのときの利益の最大値はシスセ万円である。\n(iii) 利益を最大にする の値の組が \( (x, y)=(\square \) アイ, ウエ \( ) \) のみ であるための必要十分条件は ソである。\nキク, ケコ, シスセに当てはまる数を求めよ。また,サ ソに当てはまるものを,次の0~6のうちから1つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n(0) \n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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数学 綀習 の 3 つの解を とする。次の式の値を求めよ。 (1) (2) \( (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) \) (3)
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練習 3 次方程式 の 3 つの解を とする。次の 3 つの数を解とする 3 次方程式を求めよ。 (1) (2)
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EX についての 2 次方程式 \( x^{2}-2(\\cos \\theta) x-\\sin ^{2} \\theta=0 \\) の 2 つの解のうち, 一方の解が他方の解の 3 倍である時の \( \\theta の値をすべて求めよ。ただし, 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} とする。
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数学 II
1+(3 n-2)+(2 n-3)-n^{2}=a+b,
-1+(3 n-2)-(2 n-3)-n^{2}=-a+b
すなわち a+b=-n^{2}+5 n-4
-a+b=-n^{2}+n
(4), (5) を解くと a=2 n-2, b=-n^{2}+3 n-2
よって, 求める余りは 2(n-1) x-n^{2}+3 n-2
n が偶数のとき, P(x) が x^{2}-1 で割り切れるための条件は -n^{2}+5 n-4=0 すなわち (n-1)(n-4)=0 n は偶数であるから n=4
n が奇数のとき, P(x) が x^{2}-1 で割り切れるための条件 は 2(n-1)=0 かつ -n^{2}+3 n-2=0
(6) から n=1 これは奇数であり, (7)を満たす。
以上から n=1,4
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次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。ただし, は定数とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( x^{2}-(k-3) x+k^{2}+4=0 \)\n(5) \( x^{2}-(k-2) x+\frac{k}{2}+5=0 \)
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432 次方程式の 2 解の対称式の値\n2 次方程式 の 2 つの解を とする。次の式の値を求めよ。\n(1) \( (\alpha+1)(\beta+1) \)\n(2) \n(3) \n(4)
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次の方程式を解け。\n(2) 3^{x}=X とおくと X>0 方程式は X^{3}-4 X^{2}+3 X=0 よって X(X-1)(X-3)=0\nX>0 であるから X=1,3\nX=1 から 3^{x}=3^{0} X=3 から 3^{x}=3^{1}\nしたがって x=0,1
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0 \leqq θ<2π のとき, 次の方程式を解け。また, その一般解を求めよ。\n(5) cos θ = 0
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正の定数 に対し, \( f(x) = a x^{2} - b \) とおく。(1) \( f(f(x)) - x \) は \( f(x) - x \) で割り切れることを示せ。(2) 方程式 \( f(f(x)) - x = 0 \) が異なる 4 つの実数解をもつための の条件を求めよ。
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(2)1,(2)の一方だけが虚数解をもつための条件は, \ D_{1}<0 \, \ D_{2}<0 \ の一方だけが成り立つことである。ゆえに, (3), (4) の一方だけが成り立つ \ a \ の値の範囲を求めて\n\a \\leqq-\\frac{5}{4},-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\leqq a \\leqq \\frac{\\sqrt{3}}{2}, 1 \\leqq a\\n2章 \ \\square \
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(2) 実数 が を満たしながら変化するとする。\n(ア) 点 \( (s, t) \) の描く図形を 平面上に図示せよ。\n(イ) \( (1-x)(1-y) \) のとりうる値の範囲を求めよ。
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関数 \( f(x)=x^{3}-a x^{2}+b \) の極大値が 5 , 極小値が 1 となるとき, 定数 の値を求めよ。
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2 乗するとiになるような複素数 z を求めよ。z=x+yi ( x, y は実数)とすると
z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi+y^2i^2=x^2-y^2+2xyi
z^2=i のとき x^2-y^2+2xyi=i x, y は実数であるから, x^2-y^2 と 2xy も実数である。したがって x^2-y^2=0 (1), 2xy=1
(1)から (x+y)(x-y)=0 よって y=±x [1] y=x のとき, (2) から 2x^2=1 ゆえに x=±1/√2 y=x から x=1/√2 のとき y=1/√2 x=-1/√2 のとき y=-1/√2 [2] y=-x のとき, (2) から -2x^2=1 これを満たす実数 x は存在しない。 以上から z=1/√2 + 1/√2 i, -1/√2 - 1/√2 i 以上から z=1/√2 + 1/√2 i, -1/√2 - 1/√2 i
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2次方程式 \( x^{2}-(a-10) x+a+14=0 \) が次のような解をもつように, 定数 の値 の範囲を定めよ。\n(1)異なる 2 つの正の解\n(2)異符号の解
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点 (1,1) と直線 a x-2 y-1=0 の距離は \n\n\\[ \\frac{|a \\cdot 1-2 \\cdot 1-1|}{\\sqrt{a^{2}+(-2)^{2}}} = \\frac{|a-3|}{\\sqrt{a^{2}+4}} \\]\n\n条件から \ \\quad \\frac{|a-3|}{\\sqrt{a^{2}+4}}=\\sqrt{2} \\n両辺を 2 乗して \\( \\frac{(a-3)^{2}}{a^{2}+4}=2 \\) ゆえに \\( (a-3)^{2}=2\\left(a^{2}+4\\right) \\)\n整理すると \ a^{2}+6 a-1=0 \ これを解いて \ a=-3 \\pm \\sqrt{10} \\n両辺は負でないから,2 乗しても同値。
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練習\n等式 \\( \\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\\frac{a}{x+1}+\\frac{b}{x+2}+\\frac{c}{x+3} \\) が x についての恒等式となるように, 定数 a, b, c の値を定めよ。[類 静岡理工科大]\n両辺に \\( (x+1)(x+2)(x+3) \\) を掛けて得られる等式\n1=a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)\nも x についての恒等式である。
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a>0, a≠1, b>0 とする。 2次方程式 4x^2+4xログ_a b+1=0 が 0<x<1/2 の範囲内にただ1つの解をもつようなすべての a, b を, 座標平面上の点 (a, b) として図示せよ。
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方程式 の解の 1 つを とするとき, \( f(\omega) \) の値を の 1 次式 で表せ。 \( f(x)=x^{80}-3 x^{40}+7 \)。
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11 高次方程式\n(2) 42 (1) 等式 \( x^{4}-31 x^{2}+20 x+5=\left(x^{2}+a\right)^{2}-(b x-2)^{2} \) が についての恒等式となるように, 定数 の値を定めよ。\n(2) 方程式 を解け。
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例題 42 係数に虚数を含む 2 次方程式の解\n(1)@○○\nx の方程式 (i+1) x^{2}+(k+i) x+k i+1=0 が実数解をもつとき, 実数 k の値を求 めよ。ただし, i^{2}=-1 とする。[類 專修大] ∠ 基本 36
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実数の定数 p に対し, 2 次方程式 x^{2}+p x+p^{2}+p-1=0 が異なる 2 つの実数解 α, β をもつとき, t=(α+1)(β+1) のとりうる値の範囲を求めよ。
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例㐤 452 解の関係と係数の決定\n2 次方程式 について, 次の条件を満たすように, 定数 の値を定 めよ。\n(1) 1 つの解が他の解の 2 倍\n(2) 1 つの解が他の解の 2 乗\n\ \\angle \ p. 78 基本事項 1
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(3109 次の方程式,不等式を解け。 [(1) 京都産大, (2) 自治医大, (3) 西南学院大 ] (1) 8^x − 3 * 4^x − 3 * 2^{x+1} + 8 = 0 (2) 2(3^x + 3^-x) - 5(9^x + 9^-x) + 6 = 0 (3) 2^{x-4} < 8^{1-2x} < 4^{x+1}
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関数 f(x)=x^{3}-6 x^{2}+3 a x-4 の極大値と極小値の差が 4 となるとき, 定数 a の 値を求めよ。
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(1) 2 次方程式 の 2 つの解を とするとき, を 解とする 2 次方程式を 1 つ作れ。\n[立教大]\n(2) 2 次方程式 の 2 つの異なる実数解を とするとき, 2 数 が 2 次方程式 の解になっているという。この とき,実数の定数 の値を求めよ。
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k は定数とする。直線 (k+3) x-(2 k-1) y-8 k-3=0 は, k の値に関係なく定点 A を通る。その定点 A の座標を求めよ。
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次方程式 x^{2}+a x+a=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数 a の値の範囲 を定めよ。\n(1) 2 つの解がともに 2 以下である。\n(2) 1 つの解が a より大きく, 他の解は a より小さい。
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次の連立方程式を解け。\n(3) 2^{x}=X, 3^{y}=Y とおくと X>0, Y>0\n連立方程式は \\\\{\\frac{Y}{3}-X=19 \\\\ X^{2}+2 X-Y=-1\\\\}\n(1) から Y=3 X+57\n(3) を (2) に代入して整理すると\nゆえに (X+7)(X-8)=0\nX^{2}-X-56=0\nX>0 であるから X=8\nよって X=-7,8\nX=8 から 2^{x}=8 Y=81 から 3^{y}=81\nしたがって x=3, y=4
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242 (1) f(x)=4 x-9; a=\frac{1}{2}, 4\n(2) f(x)=3 x^{2}-2; a=1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
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次の直線の方程式を求めよ。 (1) 点 (-2,4) を通り, 傾きが -3 (2) 点 (5,6) を通り, y 軸に平行 (3) 点 (8,-7) を通り、 y 軸に垂直 (4) 2 点 (3,-5),(-7,2) を通る (5) 2 点 (2,3),(-1,3) を通る (6) 2 点 (-2,0),\\left(0, \\frac{3}{4}\\right) を通る
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練習\n\n\n練習 (3) 159\n\ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2} \ のとき, 次の方程式を解け。\n\\n\\cos \\theta+\\sqrt{3} \\cos 4 \\theta+\\cos 7 \\theta=0\n\\n\\[\\begin{aligned}\n\\cos \\theta+\\sqrt{3} \\cos 4 \\theta+\\cos 7 \\theta & =\\\cos 7 \\theta+\\cos \\theta\+\\sqrt{3} \\cos 4 \\theta \\\\\n& =2 \\cos 4 \\theta \\cos 3 \\theta+\\sqrt{3} \\cos 4 \\theta \\\\\n& =\\cos 4 \\theta(2 \\cos 3 \\theta+\\sqrt{3})\n\\end{aligned}\\]\n\nであるから,方程式は \\( \\quad \\cos 4 \\theta(2 \\cos 3 \\theta+\\sqrt{3})=0 \\)\nゆえに \ \\quad \\cos 4 \\theta=0 \ または \ \\cos 3 \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\n\ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2} \ より \ 0 \\leqq 4 \\theta \\leqq 2 \\pi \ であるから, この範囲で \ \\cos 4 \\theta=0 \\nを解くと \ \\quad 4 \\theta=\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3}{2} \\pi \ すなわち \ \\theta=\\frac{\\pi}{8}, \\frac{3}{8} \\pi \\nまた, \ 0 \\leqq 3 \\theta \\leqq \\frac{3}{2} \\pi \ であるから, この範囲で \ \\cos 3 \\theta=-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \ を 解くと \ 3 \\theta=\\frac{5}{6} \\pi, \\frac{7}{6} \\pi \ すなわち \ \\theta=\\frac{5}{18} \\pi, \\frac{7}{18} \\pi \\n\n\ \\leftarrow \\cos \\theta \ と \ \\cos 7 \\theta \ を組み 合わせる。\n\ \\leftarrow \ 左辺を和から積の形へ。\n\ \\leftarrow 4 \\theta \ の範囲に注意。
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2 次方程式 \( x^{2}-(k-1) x+k=0 \) の 2つの解の比が となるとき, 定数 の值を求めよ。
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練毣 次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。ただし, k は定数とする。\n(1) x^{2}-3 x+1=0\n(2) 4 x^{2}-12 x+9=0\n(3) -13 x^{2}+12 x-3=0\n(4) x^{2}-(k-3) x+k^{2}+4=0\n(5) x^{2}-(k-2) x+\frac{k}{2}+5=0
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右の割り算において, (余り) = 0 とすると -8 + 4a = 0, -3a + b - 12 = 0 よって a = 2, b = 18 このとき, 割り算の商は x + 6 となるから,方程式は (x-1)(x-3)(x+6) = 0 したがって, 他の解は x = -6 別解 2. [(*)までは同じ] 他の解を c とする。 f(x) は x - c も因数にもつから, 次の x についての恒等式が 成り立つ。 x³ + ax² - 21x + b = (x - 1)(x - 3)(x - c) 右辺を展開して整理すると x³ + ax² - 21x + b = x³ - (c + 4)x² + (4c + 3)x - 3c 両辺の係数を比較すると a = -c - 4, -21 = 4c + 3, b = -3c これを解いて a = 2, b = 18; 他の解 x = c = -6
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340 の多項式 \( P(x)=a x^{4}+b x^{3}+a b x^{2}-(a+3 b-4) x-(3 a-2) \) が で割り切れ るような定数 の値の組を求めよ。また, 求めた の値の組に対し, \( P(x) \) を実数の範囲で因数分解せよ。[類 駒澤大]
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(1)から すなわち (2) ① を満たす実数 がすべて である場合は \n```\n\\left\\{\\begin{array} { l } \n{ D \geqq 0 } \n{ f ( - 1 ) > 0 } \n{ f ( 1 ) > 0 } \n{ - 1 < x < 1 }\n\\end{array} \\text { すなわち (3) } \\left\\{\\begin{array}{l} \ny \geqq-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{1}{2} \n{y<x+1} \n{y<-x+1} \n{-1<x<1} \n\\end{array}\\right.\n```\nよって, 求める領域は, (2)の表す領域 から,(3)の表す領域を除いたもので,右の図の斜線部分になる。ただし,境界線を含む。
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数学 II
(4) を (3) に代入して整理すると `a^{3}=-27`
`a` は実数であるから `a=-3`
これは `a<0` を満たす。
以上から `a=3, b=5` または `a=-3, b=1`
EX 3 次関数 `y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d` のグラフが右の図のようになるとき, (3138 `a, b, c, d` の値の符号をそれぞれ求めよ。ただし, 図中の黒丸は極值 をとる点を表している。
`f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a
eq 0)` とする。
グラフから `f(0)>0` よって `d>0`
また `f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c`
`f^{\prime}(0)=c` であり, 図より, `y=f(x)` のグラフの `x=0` における 接線の傾きは負であるから `c<0`
図から, `f(x)` は極値を 2 つもち, 極値をとる `x` の値はどちらも 正である。よって, 方程式 `f^{\prime}(x)=0` は異なる 2 つの実数解を もち,それらを `\alpha, \beta(0<\alpha<\beta)` とすると, `f(x)` の増減表は次 のようになる。... (*)
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}
\hline`x` & `...` & `\alpha` & `...` & `\beta` & `...` \\
\hline`f^{\prime}(x)` & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline`f(x)` & `\searrow` & 極小 & `\nearrow` & 極大 & `\searrow` \\
\hline
\end{tabular}
堌減表と `0<\alpha<\beta` より, `y=f^{\prime}(x)` のグラフは右の図のような 上に凸の放物線となるから `a<0` また, `y=f^{\prime}(x)` のグラフの頂点の `x` 座標は `x=-\frac{b}{3 a}` 頂点の `x` 座標は正であるから
`-\frac{b}{3 a}>0` すなわち `\frac{b}{3 a}<0`
`a<0` であるから `b>0`
以上から `a:` 負, `b:` 正, `c:` 負, `d:` 正
別解 (*)の後, `a, b` の符号を次のように求めてもよい。 `f^{\prime}(x)=0` すなわち `3 a x^{2}+2 b x+c=0` の 2 つの解が `\alpha, \beta` であるから,解と係数の関係により
`\alpha+\beta=-\frac{2 b}{3 a}, \alpha \beta=\frac{c}{3 a}`
`\alpha>0, \beta>0` であるから `\alpha+\beta>0, \alpha \beta>0`
よって `-\frac{2 b}{3 a}>0'
(1), `\frac{c}{3 a}>0`
`c<0` と (2) から `a<0`
ゆえに, (1) から `b>0`
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方程式 x⁴ + ax² + b = 0 が 2 - i を解にもつとき, 実数の定数 a, b の値と他の解を求めよ。
(2-i) が解であるから (2-i)⁴ + a(2-i)² + b = 0 (2-i)² = 3 - 4i (2-i)⁴ = -7 - 24i であるから (-7 - 24i) + a(3 - 4i) + b = 0 整理すると 3a + b - 7 = 0, -4(a + 6)i = 0 これを解いて a = -6, b = 25 このとき,方程式は x⁴ - 6x² + 25 = 0 実数係数の 4 次方程式が虚数解 x = 2 - i をつから, それと共役な複素数 x = 2 + i もこの方程式の解になる。すなわち x⁴ - 6x² + 25 は {x-(2-i)}{x-(2+i)} すなわち x² - 4x + 5 で割り切れる。右の割り算から x⁴ - 6x² + 25 = (x² - 4x + 5)(x² + 4x + 5) x² + 4x + 5 = 0 を解くと x = -2 ± i したがって, 他の解は x = 2 + i, -2 ± i
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練臽 \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ のとき,次の方程式,不等式を解け。อ161 (1) \ \\sin \\theta+\\sqrt{3} \\cos \\theta=\\sqrt{3} \ (2) \ \\cos 2 \\theta-\\sqrt{3} \\sin 2 \\theta-1>0 \
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2 次方程式 \n(1), \n(2)について, 次の条件を満たす定数 の値の範囲を求めよ。\n(1)1,(2)がどちらも実数解をもたない。\n(2)1,(2)の一方だけが虚数解をもつ。
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i を虚数単位とする。a,b を実数とし,α を実数でない複素数とする。α が 2 次方程式 x^2 - 2ax + b + 1 = 0 の解であり, α+1 が 2 次方程式 x^2 - bx + 5a + 3 = 0 の解であるという。このとき, a, b, α の値を求めよ。
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2 次方程式 の 2 つの解を とする。このとき, \( (2-\alpha)(2-\beta)= \) であり, \( (\alpha-2)^{3}+(\beta-2)^{3}=1 \square \) である。
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) \ 3 x^{2}+5 x-2=0 \\n(2) \ 2 x^{2}+5 x+4=0 \\n(3) \ \\frac{1}{10} x^{2}-\\frac{1}{5} x+\\frac{1}{2}=0 \\n(4) \\( (\\sqrt{3}-1) x^{2}+2 x+(\\sqrt{3}+1)=0 \\)
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練習 次の方程式を解け。 (1) \(2(\log _{2} x)^{2} + 3 \log _{2} x = 2\) (2)
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湅習 2 次方程式 の 2 つの解を とする。次の式の値を求めよ。\n(1) \n(2) \( 2(3-\alpha)(3-\beta) \)\n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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次の数学の問題を解きなさい:
右の割り算において, (余り) = 0 とすると 4a + 24 = 0,
\[
\begin{array}{l}
\frac{(a+11) x^{2}-4(a+11) x+5(a+11)}{(4 a+24) x-5 a+b-55}
\end{array}
\]
\[
\text{ よって } \quad \begin{array}{l}
-5a + b - 55 = 0 \\
a = -6, \quad b = 25
\end{array}\n\]
このとき, 割り算の商は
\[x^{2}+4 x+5\]
\[x^{2}+4 x+5=0\] を解くと \[x=-2 \pm i\]
練習問題:他の解を求めなさい
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(2) \\qquad \\nとおくと, これは傾き 切片 の直線を表す。\n図から, 直線 (1) が円 に, 領域 に含まれる部分で 接するとき, の値は最大になる。\n(1) と を連立して\n\\[ \\begin{array}{ll} x^{2}+(-\\sqrt{3} x+k)^{2}=1 \\\\ \\text { よって } \\quad & 4 x^{2}-2 \\sqrt{3} k x+k^{2}-1=0 \\end{array} \\]\n の 2 次方程式 (2) の判別式を とすると\n\\[ \\frac{D_{1}}{4}=(-\\sqrt{3} k)^{2}-4\\left(k^{2}-1\\right)=-k^{2}+4 \\]\n\n直線 (1) が円に接するための条件は \nよって \nゆえに\n\n\n接点が領域 に含まれるとき,接線 (1)の 切片は正であるか ら\n\ k=2 \\n\nこのとき,(2)の重解は \\quad x=-\\frac{-2 \\sqrt{3} \\cdot 2}{2 \\cdot 4}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\n(1) から y=-\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}+2=\\frac{1}{2} \
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3つの2次方程式 , , \( 2 x^{2}+(a+p) x+b+q=0 \) について、次のことを証明せよ。\n(1) (1),(2),(3) がすべて重解をもてば、 かつ である。\n(2) (1),(2) がともに虚数解をもてば、(3)も虚数解をもつ。
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次の 2 数を解とする 2 次方程式を 1 つ作れ。
(ア) 3,-5
(イ) 2+√5, 2-√5
(ウ) 3+4i, 3-4i
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ある工場で 2 種類の製品 が,2 人の職人 によって生産されている。製品 につい ては, 1 台当たり組立作業に 6 時間, 調整作業に 2 時間が必要である。また, 製品 B については,組立作業に 3 時間, 調整作業に 5 時間が必要である。いずれの作業も日をまたいで継続するこ とができる。職人 は組立作業のみに, 職人 は調整作業のみに従事し,かつ, これらの作業 にかける時間は職人 が 1 週間に 18 時間以内,職人 W が 1 週間に 10 時間以内と制限されて いる。 4 週間での製品 A,B の合計生産台数を最大にしたい。その合計生産台数を求めよ。\n[岩手大]
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次の方程式,不等式を解け。(0 ≤ θ < 2π)
(1) √2 sin(θ + π/6) = 1
(2) 2 cos(2θ - π/3) ≤ -1
基本 142, 143
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次の条件を満たす定数 と の値を求めなさい。 x^{2} + 2x - \frac{7}{2} = 0 \] すなわち \[ 2x^{2} + 4x - 7 = 0
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111 (1) (\\sqrt{3}-1)x+(\\sqrt{3}-1)y+\\sqrt{3}+1=0, (\\sqrt{3}+1)x-(\\sqrt{3}+1)y-\\sqrt{3}+1=0
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2 つの 2 次方程式 x^2 + 2ax + 4a - 3 = 0, 5x^2 - 4ax + a = 0 のうち,少なくとも一方の 2 次方程式が実数解をもたないとき, 定数 a の値の範囲を求めよ。
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以下の方程式を解け。\n(2) を で割ったときの商を \(Q(x)\),余りを (a, b は実数)とすると、次の等式が成り立つ。
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練習 2 次方程式 \( x^{2}+4 a x+5-a=0 \cdots \cdots(1), x^{2}+3 x+3 a^{2}=0 \cdots \cdots \) (2) について, 次の (3) 41 条件を満たす定数 の値の範囲を求めよ。\n[久留米大]\n(1)1, (2) がどちらも実数解をもたない。\n(2)1, (2) の一方だけが虚数解をもつ。
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数学 II\n -293 \\n(1)から x=\\sqrt{3} \\sin \\theta+\\cos \\theta \ これは実数解である。\nよって, 方程式 \( f(x)=0 \\) が虚数解をもつのは, (2) が虚数解をも つときである。\nゆえに, (2) の判別式を D \ とすると \\quad D<0 \\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\frac{D}{4}=\\sin ^{2} \\theta-1 \\cdot\\left(-2 \\cos ^{2} \\theta-\\frac{\\sqrt{3}-1}{2} \\cos \\theta+\\frac{\\sqrt{3}}{4}+1\\right) \n= \\left(1-\\cos ^{2} \\theta\\right)+2 \\cos ^{2} \\theta+\\frac{\\sqrt{3}-1}{2} \\cos \\theta-\\frac{\\sqrt{3}}{4}-1 \\n= \\cos ^{2} \\theta+\\frac{\\sqrt{3}-1}{2} \\cos \\theta-\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\n\\=\nleft(\\cos \\theta-\\frac{1}{2}\\right)\\left(\\cos \\theta+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) \\nD<0 \\text { から } \\quad\\left(\\cos \\theta-\\frac{1}{2}\\right)\\left(\\cos \\theta+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)<0 \\n\\text { よって } \\quad-\\frac{\\sqrt{3}}{2}<\\cos \\theta<\\frac{1}{2} \\n0 \\leqq \\theta<2 \\pi \\text { であるから } \\quad \\frac{\\pi}{3}<\\theta<\\frac{5}{6} \\pi, \\frac{7}{6} \\pi<\\theta<\\frac{5}{3} \\pi\\n\\end{array}\\\n
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\( P = 2 x^2 - (y - 5)x - (3 y^2 + 5 y - k) \) を の 2 次方程式と考えると, 解の公式から \( x = \frac{y - 5 \pm \sqrt{(y - 5)^2 + 8 (3 y^2 + 5 y - k)}}{4} \) であり、これが の 1 次式で表されるためには、根号内の式が完全平方式でなければならない。そのための条件 の判別式 が 0 である。従って の値を求めよ。
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(2)この等式が恒等式ならば, x=2,1,-1 を代入しても成り立つ。これらの値を代入すると,それぞれ3=3a, 4=-2b, 30=6c\nよって a=1, b=-2, c=5\nこのとき ( 右辺 )=x^{2}-1-2(x+1)(x-2)+5(x-2)(x-1)\n=x^{2}-1-2(x^{2}-x-2)+5(x^{2}-3x+2)\n=4x^{2}-13x+13\nとなり,与式は恒等式である。\nしたがって a=1, b=-2, c=5
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練習 次の 2 次方程式を解け。\n(1) 4 x^{2}-8 x+3=0 \\n(2) 3 x^{2}-5 x+4=0 \\n(3) \( 2 x(3-x)=2 x+3 \\)\n(4) \\frac{1}{2} x^{2}+\\frac{1}{4} x-\\frac{1}{3}=0 \\n(5) \( (2+\\sqrt{3}) x^{2}+2(\\sqrt{3}+1) x+2=0 \\)
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2次方程式 \( x^{2}-(8-a)x+12-a b=0 \) が実数の定数 の值にかかわらず実数解をもつときの 定数 の値の範囲を求めよ。
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練習 \ x^{3}-2 x^{2}-4=0 \ の 3 つの解を \ \\alpha, \\beta, \\gamma \ とする。次の式の値を求めよ。\n(3) 68\n(1) \ \\alpha^{2}+\\beta^{2}+\\gamma^{2} \\n(2) \\( (\\alpha+1)(\\beta+1)(\\gamma+1) \\)\n(3) \ \\alpha^{3}+\\beta^{3}+\\gamma^{3} \
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例題 161 (1)\n\\(\\sqrt{3} \\sin \\theta+\\cos \\theta+1=0\n \\rightarrow 2 \\sin \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{6}\\right)+1=0\\) でオ正規方程式\n
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次の方程式、不等式を解け。 (2) \( 2\left(3^{x}+3^{-x}\right)-5\left(9^{x}+9^{-x}\right)+6=0 \)
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定数 k がどんな値をとっても, 次の直線が通る定点の座標を求めよ。 (1) k x-y+5 k=0 (2) (k+1) x+(k-1) y-2 k=0
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数学 \n-\n\\n\\begin{aligned}\n-\\frac{a-b}{\\sqrt{2}}+\\frac{a+b}{2} & =3+\\sqrt{7} \\\\\n\\frac{a-b}{\\sqrt{2}}+\\frac{a+b}{2} & =3-\\sqrt{7}\n\\end{aligned}\n\\n(3) + (4) から\n\n(4) - (3) から \n\nこの2式を連立して解くと\n \\quad a=\\frac{6-\\sqrt{14}}{2}, \\quad b=\\frac{6+\\sqrt{14}}{2} \\n \\leftarrow \ (4)-(3) は \( \\frac{2(a-b)}{\\sqrt{2}}=-2 \\sqrt{7} \)\n\n以上から \\quad a=\\frac{6 \\pm \\sqrt{14}}{2}, b=\\frac{6 \\mp \\sqrt{14}}{2} \ (複号同順)
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次の 2 次方程式を解け。 (1) 4x^2-8x+3=0 (2) 3x^2-5x+4=0 (3) 2x(3-x)=2x+3 (4) 1/2x^2+1/4x-1/3=0 (5) (2+√3)x^2+2(√3+1)x+2=0
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次の条件を満たすように,定数 a の値をそれぞれ定めよ。
(1) 2 x^{3}+3 a x^{2}-a^{2}+6 が x+1 で割り切れるように。
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(3) \( \left(\frac{2}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{2}\right)^{y} \geqq \frac{1}{10} \) の両辺の常用対数をとると\n\\[ \log _{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{2}\right)^{y} \geqq \log _{10} \frac{1}{10} \\]\nゆえに \( x \log _{10} \frac{2}{3}+y \log _{10} \frac{1}{2} \geqq-1 \\]\n(1) から \( -0.1761 x-0.3010 y \geqq-1 \\]\nよって \( 0.1761 x+0.3010 y \leqq 1 \\]\nゆえに \( \frac{x}{\frac{1}{0.1761}}+\frac{y}{\frac{1}{0.3010}} \leqq 1 \\]\nここで、\( \frac{1}{0.1761}=5.67 \cdots, \frac{1}{0.3010}=3.32 \cdots \\]\nこの連立不等式が表す領域に含まれる \( (x, y) \) の座標を求めよ。
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2 次方程式 x^2 - (8-a)x + 12-ab = 0 が実数の定数 a の値にかかわらず実数解をもつときの定数 b の値の範囲を求めよ。
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x^{2}-3 x+7=0 の 2 つの解 α, β に対して, α^{2}+β^{2}, α^{4}+β^{4} の値を求めよ。また, (α^{2}+3 α+7)(β^{2}-β+7) の値を求めよ。
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2 次方程式 2x^2 - 4x + 1 = 0 の 2 つの解を α, β とするとき, α - 1/α, β - 1/β を解とする 2 次方程式を 1 つ作れ。
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次の条件を満たす a, b, c の特性について証明しなさい。\n(1) \n(2) a, b, c のうちどれか二つの和は0であることを証明しなさい。
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a,b,p,q を実数とする。3 つの 2 次方程式 x^2 + ax + b = 0 (1) , x^2 + px + q = 0 (2), 2x^2 + (a+p)x + b+q = 0 (3) について, 次のことを証明せよ。
(1) (1), (2), (3)がすべて重解をもてば, a=p かつ b=q である。
(2) (1), (2)がともに虚数解をもてば,(3) も虚数解をもつ。
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492 次方程式の作成 (1)\n(1) を 2 つの解とする 2 次方程式を 1 つ作れ。\n(2)和が 3 , 積が 3 である 2 数を求めよ。\n p. 78 基本事項
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別解 1. (2) までは同じ。 x^{2}+(y-2)^{2}=1 について\n y=1,3 である y に対して x はそれぞれ 1 個 (x=0)\n1 < y < 3 である y に対して x は 2 個 定まるから\n(1)放物線と円が接するのは,次のいずれかの場合である。\n[1] (1) が y=1 または y=3 を解にもつ\n[2] (1) が 1<y<3 の範囲に重解をもつ\n\n[1] のとき\n 2 \\cdot 1^{2}-7 \\cdot 1-a+6=0 から a=1\n 2 \\cdot 3^{2}-7 \\cdot 3-a+6=0 から a=3\n\n[2]のとき, (*)の場合と同様にして a=-\\frac{1}{8}\n\nしたがって a=1,3,-\\frac{1}{8}
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2 次方程式 の 2 つの解を とし, 2 次方程式 の 2 つの解を (デルタと読む)とする。\n(1) \( (\\gamma-\\alpha)(\\gamma-\\beta) \) を を用いて表せ。\n(2) が の 2 次方程式 \( x^{2}-(2 n+1) x+n^{2}+n-1=0 \) の解であるとき, \( (\\gamma-\\alpha)(\\gamma-\\beta)(\\delta-\\alpha)(\\delta-\\beta) \) の値を求めよ。\n\ \\angle \ 基本 39,46
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数学 \n\n(1)の両辺に を掛けて \n左辺を平方完成すると \( \quad(2 a z+b)^{2}-b^{2}+4 a c=0 \)\nよって \( \quad(2 a z+b)^{2}=b^{2}-4 a c \)\n とおくと \n はともに複素数であるから, は実数)として,\n(2)に代入すると \( \quad(p+q i)^{2}=s+t i \)\n左辺を展開して \( \quad\left(p^{2}-q^{2}\right)+2 p q i=s+t i \)\n は実数であるから\n の実部 \( ) \)\n(3), \( p q=\frac{t}{2}=\frac{\text { (Dの虚部) }}{2} \)\nこの 2 式を満たす を求めることによって, から,\n(1)の解は \( z=\frac{-b+(p+q i)}{2 a} \) と表すことができる。\n更に考察を続けると,次のようになる。\n(3), (4) から \( p^{2}+\left(-q^{2}\right)=s, p^{2}\left(-q^{2}\right)=-\frac{t^{2}}{4} \)\nよって, は 2 次方程式 \n(5) の解である。\n(5) の判別式を とすると, であるから, (5) は実数解をもち\nX=\frac{s \pm \sqrt{s^{2}+t^{2}}}{2} \text { ゆえに } p^{2}=\frac{s+\sqrt{s^{2}+t^{2}}}{2}, q^{2}=\frac{-s+\sqrt{s^{2}+t^{2}}}{2} \\\n\text { よって } \quad p= \pm \sqrt{\frac{s+\sqrt{s^{2}+t^{2}}}{2}}, q= \pm \sqrt{\frac{-s+\sqrt{s^{2}+t^{2}}}{2}} \quad \leftarrow \sqrt{s^{2}+t^{2}} \geqq \pm s\nゆえに\nこのうち, を満たす の組のみが適する。
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練習 次の方程式, 不等式を解け。
(2) 76
(1) 2-\frac{6}{x^2-9}=\frac{1}{x+3}
(2) \frac{4x-7}{x-1} \leqq -2x+1
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練習 (377 は定数とする。方程式 の実数解の個数を調べよ。
\(\begin{array}{l}
y=\frac{2 x+9}{x+2}=\frac{5}{x+2}+2 \\ny=-\frac{x}{5}+k
\end{array}\)
とすると, 双曲線 (1) と直線 (2)の共有点の個数が、与えられた方程式の実数解の個数に一致する。
から
\(\begin{aligned}
5(2 x+9)=-x(x+2)+5 k(x+2)
\end{aligned}\)
整理して \( \quad x^{2}+(12-5 k) x+5(9-2 k)=0 \)
判別式を とすると
\(\begin{aligned}
D & =(12-5 k)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5(9-2 k) \\
& =25 k^{2}-80 k-36 \\
& =(5 k+2)(5 k-18)
\end{aligned}\)
とすると
このとき, 双曲線 (1)と直線 (2)は接する。
\(\begin{aligned}
\leftarrow \frac{2 x+9}{x+2} & =\frac{2(x+2)+5}{x+2} \\
& =\frac{5}{x+2}+2
\end{aligned}\)
共有点 実数解
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数学; 別解 x=\frac{t^{2}-2 t}{t^{2}+1}, y=\frac{-t+2}{t^{2}+1} とすると x=-t y y=0 のとき t=2 このとき x=0 y \neq 0 のとき, t=-\frac{x}{y} を y=\frac{-t+2}{t^{2}+1} に代入して整理することにより, 点 P の軌跡は 円 x^{2}+y^{2}-x-2 y=0 2 x^{2}-a y=0 から y=\frac{2}{a} x^{2} ①・・に代入して整理すると x\{4 x^{3}+a(a-4) x-a^{2}\}=0 よって x=0 または 4 x^{3}+a(a-4) x-a^{2}=0 f(x)=4 x^{3}+a(a-4) x-a^{2} とすると, f(0)=-a^{2} \neq 0 であるから, 方程式 f(x)=0 が \frac{1-\sqrt{5}}{2} \leqq x \leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}, x \neq 0 (3)を満たす異なる2つヶ点 P の軌跡の方程式 を具体的に求めて (t ) を消去して, x, y の式で扱っていく方針の解答。 ただし、この解答は計算量がやや多くなる。 ただし, 点 (1,0) を除く。 の実数解をもつことが条件である。 f^{\prime}(x)=12 x^{2}+a(a-4) [1] a<0 または 4 \leqq a のとき, a(a-4) \geqq 0 であるから f^{\prime}(x) \geqq 0 ゆえに, この場合は不適。 [2] 0<a<4 のとき, f^{\prime}(x)=0 とすると x= \pm \frac{\sqrt{a(4-a)}}{2 \sqrt{3}} f(x)=0 が異なる 2 つの実数解をもつための条件は, f\left(\frac{\sqrt{a(4-a)}}{2 \sqrt{3}}\right)=0 または f\left(-\frac{\sqrt{a(4-a)}}{2 \sqrt{3}}\right)=0 ←( 極値 )=0 が条件。f\left(\frac{\sqrt{a(4-a)}}{2 \sqrt{3}}\right)=0 から a(4-a) \sqrt{a(4-a)}+3 \sqrt{3} a^{2}=0 0<a<4 のとき, (王の左辺は正であるから, (王を満たす a(0<a<4) はない。 f\left(-\frac{\sqrt{a(4-a)}}{2 \sqrt{3}}\right)=0 から a(4-a) \sqrt{a(4-a)}=3 \sqrt{3} a^{2} a>0 から, 両辺を a^{\frac{3}{2}} で割り, 平方すると (4-a)^{3}=27 a 左辺を展開して整理すると a^{3}-12 a^{2}+75 a-64=0 よって (a-1)\left(a^{2}-11 a+64\right)=0 したがって a=1 ( 0<a<4 を満たす) [1], [2] から, 求める a の値は a=1 a=1 のとき f(x)=4 x^{3}-3 x-1=(x-1)(2 x+1)^{2} f(x)=0 の解は x=1,-\frac{1}{2} これらは© を満たす。 x=0,1,-\frac{1}{2} をに代入することにより, 求める共有点の座標は (0,0),(1,2),\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
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異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) が次の条件を満たすとき, はどんな形の三角形か。\n(1) \( 2(\alpha-\beta)=(1+\sqrt{3} i)(\gamma-\beta) \)\n(2) \( \beta(1-i)=\alpha-\gamma i \)
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[2] 解の 1 つが , 他の 解が の範囲にあるた めの条件は
\[ \begin{array}{r} f(-1)=-2-2 a<0 \\ \text {
よって } \quad a>-1 \cdots \cdots .\end{array} \]
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次の条件 (A), (B) を同時に满たす 5 次式 f(x) を求めよ。\n(A) f(x)+8 は (x+1)^{3} で割り切れる。\n(B) f(x)-8 は (x-1)^{3} で割り切れる。
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x の整式 f(x) が x f’’(x)+(1-x) f’(x)+3 f(x)=0, f(0)=1 を満たすとき, f(x) を求めよ。〔類 神戸大〕
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数学 の問題です。次の条件を満たす の存在範囲を求めなさい。\n(1) \n- 方程式は係数が実数である。判別式を とすると、条件から、\( \frac{D}{4}=(-p)^{2}-1 \cdot q=p^{2}-q<0 \) よって となる。このとき、方程式の 以外の解は である。従って、解と係数の関係より 、 となる。よって 、\( |z-1|^{2}=(z-1)(\bar{z}-1)=z \bar{z}-(z+\bar{z})+1=q-2 p+1 \)。さらに\n\n\n\nゆえに \n\n従って, 点 \( (p, q) \) の存在範囲は、不等式 (2), (4)の表す領域の共通部分である。ただし、境界線のうち、放物線上の点は含まない。\n\n(2) 条件 と (3) から、\( 1<-2(z+\bar{z})+z \bar{z}<5 \) となり、 から、 よって、。\n\nゆえに、点 の存在範囲」は、点 2 を中心とする半径 の円の外部と、点 2 を中心とする半径 3 の円の内部との共通部分である。また、 は虚数であるから、点 は実軸上にない。従って、点 の存在する範囲は図の斜線部分。ただし、境界線の 2 円 と、実軸上の点は含まない。
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数列 {a_n} の初項から第 n 項までの和を S_n とする。
S_n = 2 - (n + 2)/n a_n (n=1,2,3,...) が成り立つとき、次の問いに答えよ。
(1) a_1 を求めよ。
(2) a_n と a_{n+1} の関係式を求めよ。
(3) a_n を求めよ。
(4) lim_{n->∞} Σ_{k=1}^n k a_k を求めよ。ただし、 lim_{n->∞} n^2 p^n=0 (0 < p < 1) を用いてよい。
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累乗の等式を満たす指数の最小値
例題 17
基本 14,16
(1) となるような最小の自然数 の値を求めよ。
(2) となるような自然数の組 \( (n, m) \) のうちで, が最小となるも のを求めよ。
指針 方針は基本例題 15, 16 と同様。ド・モアブルの定理によって, や を極形式の形に直し、絶対値と偏角を比較する。
偏角についての比較により, (1) では, の 1 次方程式, (2) では, の 1 次不定方程式が導かれるから, その自然数解について考えていくことになる。
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⑧3kは実数の定数で とする。 \( a_{1}=1, k a_{n}+(2-k) a_{n-1}=1(n=2,3,4, \\cdots \\cdots) \) を 満たす数列 は, の値の範囲がア であるとき収束し, であ る。\n\n(1) 一般項 を求めよ。\n(2) を求めよ。
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p, q はともに実数とし, p^{2}-4 q>0 とする。方程式 x^{2}+p x+q=0, x^{2}-6 x+13=0 について、第 1 の方程式の実数解を α, β(α<β). 第 2 の方程式の 2 つの虚数解を γ, δ (ただし、 γ の虚部は正, δ の虚部は負)とし,複素数平面上で α, β, γ, δ を表す点をそれぞれ A, B, C, D とする。 (1) 四角形 AD【BCが正方形となるとき, p, q の値を求めよ。 (2) 4 点 A, B, C, D が1つの円周上にあるとき, q を p で表せ。
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EXERCISES の解答\n217 (1) \ y=x+2-\\frac{\\pi}{2} \\n(2) \ \\frac{-\\pi^{2}+2 \\pi+4}{8} \\n218 (1) \ a=4 \\n(2) \ a=\\frac{16}{9} \ のとき最小値 \ \\frac{1}{3} \\n\ 219 a=\\frac{4}{3} \\n220 (1) \\( \\log \\beta-\\log \\alpha-\\frac{2(\\beta-\\alpha)}{\\alpha+\\beta} \\)\n(2) \ t=\\sqrt{\\alpha \\beta} \
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p. 83の問 (1) y = x + 1 (2) 2x + 3y = 12 (3) √5x + 2y + 8 = 0
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数学
\[\left\{\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}-2\right\}+\left(z+\frac{1}{z}\right)+1=0\]
ゆえに \( \left(z+\frac{1}{z}\right)^{2}+\left(z+\frac{1}{z}\right)-1=0 \)
よって \( z+\frac{1}{z}=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-1)}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
[1], [2] から
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動点 \\mathrm{P} \ が, 正方形 \\mathrm{ABCD} \ の頂点 \\mathrm{A} \ から出発し, さいころを振るごとに, 次の規則に より正方形のある頂点から他の頂点に移動する。\n出た目の数が 2 以下なら, 辺 \\mathrm{AB} \ と平行な方向に移動する。\n出た目の数が 3 以上なら, 辺 \\mathrm{AD} \ と平行な方向に移動する。 \n n \ を自然数とするとき, さいころを 2 n \ 回振った後に動点 \\mathrm{P} \ が A にいる確率を a_{n} \, C にいる確率を c_{n} \ とする。\n(1) a_{1} \ を求めよ。\n(2)さいころを 2 n \ 回振った後,動点 \\mathrm{P} \ は \\mathrm{A} \ または \\mathrm{C} \ にいることを証明せよ。\n(3) a_{n}, c_{n} \ をそれぞれ n \ を用いて表せ。\n(4) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} c_{n} \ をそれぞれ求めよ。〔神戸大〕
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総 合 演 習\n はともに実数とし, とする。方程式 について, 第 1 の方程式の実数解を \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \), 第 2 の方程式の 2 つの虚数解を , (ただし, の虚部は正, の虚部は負) とし, 複素数平面上で を表す点 をそれぞれ A, B, C, D とする。\n(1) 四角形 が正方形となるとき, の値を求めよ。\n(2) 4 点 A, B, C, D が1つの円周上にあるとき, を で表せ。\n〔類 早稲田大〕
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x^{2}+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}>0 であるから, 不等式 (1)の各辺に x^{2}+x+1 を掛けて -\left(x^{2}+x+1\right)<1<x^{2}+x+1 -\left(x^{2}+x+1\right)<1 は常に成り立つ。1<x^{2}+x+1 から x^{2}+x>0 ゆえに x(x+1)>0 よって x<-1,0<x 不等式 (1)の解は x<-1,0<x したがって, 和はx=-1, 0 のとき f(x)=0 x<-1, 0<x のとき f(x)=\frac{x^{2}+x}{1-\frac{1}{x^{2}+x+1}}=x^{2}+x+1 ゆえに, グラフは右の図のように なる。よって x<-1,0<x で連続;x=-1,0 で不連続
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ラジウムなどの放射性物質は, 各瞬間の質量に比例する速度で, 質量が減少していく。その比例定数を k(k>0), 最初の質量を A として, 質量 x を時間 t の関数で表せ。また, ラジウムでは, 質量が半減するのに 1600 年かかるという。 800 年 では初めの量の抬よそ何%になるか。小数点以下を四捨五入せよ。2271
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次の図形を複素数平面上に図示せよ。④22\n(1) \\\frac{1}{z+i}+\\frac{1}{z-i}\ が実数となる点 \ z \ の描く図形 \ P \\n(2) \ z \ が(1) で求めた図形 \ P \ 上を動くとき, 点 \ w=\\frac{z+i}{z-i} \ の描く図形\n〔北海道大〕 (1) \ z+i \\neq 0 \ かつ \ z-i \\neq 0 \ から \\\quad z \\neq \\pm i \ また \\(\\quad \\frac{1}{z+i}+\\frac{1}{z-i}=\\frac{(z-i)+(z+i)}{(z+i)(z-i)}=\\frac{2z}{z^{2}+1}\\)\nこれが実数となるとき\n\\[ \\frac{2z}{z^{2}+1}=\\overline{\\left(\\frac{2z}{z^{2}+1}\\right)} \\]\nこれを満たす \ z \ を求めよ。
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2次曲線 \( F(x, y)=0 \) (A) と直線 (B) について、これらの共有点の座標は、連立方程式 (A), (B) の実数解で与えられる。[1] (A), B から1変数を消去して得られる方程式が2次方程式の場合、その判別式を D とすると(1) D>0 (異なる2組の実数解を持つ) ⇔ 2点で交わる(2) D=0 (1組の実数解[重解]を持つ) ⇔ 1点で接する(3) D<0 (実数解をもたない) ⇔ 共有点がない[2] ), B) から1変数を消去して得られる方程式が1次方程式の場合(4)(1組の実数解[重解でない]を持つ) ⇔ 1点で交わる。この条件に基づき、2次曲線と直線の共有点の状況を判断せよ。
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6|2 \beta-\alpha|=\sqrt{3},\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{3}=-1 \n7 \alpha=1 のとき -1 以外の任意の数,\n \alpha=-1 のとき 1 以外の任意の数.\n \alpha \neq \pm 1 のとき |z|=1\left(z \neq-\frac{1}{\alpha}\right) を満たす数
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次の方程式,不等式を解け。(1) \ \\sqrt{5-x}=x+1 \ (2) \ \\sqrt{5-x}<x+1 \
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直線 と の方程式から を消去すると\n\\[\n\\frac{(x+k)^{2}}{b^{2}}+\\frac{(x+k-k)^{2}}{a^{2}}=1\n\\]\n\n直線 と が共有点をもたない条件は (3) が実数解をもたないことである。\n(3) を変形して \\( \\quad\\left(a^{2}+b^{2}\\right) x^{2}+2 a^{2} k x+a^{2}\\left(k^{2}-b^{2}\\right)=0 \\)\n\nこの 2 次方程式の判別式を とすると\n\\[\n\\begin{aligned}\n{\\left[\\frac{D}{4}\\right.} & =\\left(a^{2} k\\right)^{2}-\\left(a^{2}+b^{2}\\right) \\cdot a^{2}\\left(k^{2}-b^{2}\\right) \\\\\n& =a^{2} b^{2}\\left(a^{2}+b^{2}-k^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\n\\nD<0 から \\quad a^{2}+b^{2}-k^{2}<0\n\\n\ a^{2}+b^{2}>0 \ であるから \ \\quad k<\\-\\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \\sqrt{a^{2}+b^{2}}<k \\nについて整理。\n\\n\\leftrightarrow a^{2}+b^{2}>0\n\\n\ \\Leftrightarrow D<0 \\n\ \\Leftrightarrow \ 実数解をもたない
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44 (1) \ x+y=1 \ から \ y=-x+1 \\nこれを \ 2 x^{2}+y^{2}=1 \ に代入して\n\\[2 x^{2}+(-x+1)^{2}=1\\]\nよって \ 3 x^{2}-2 x=0 \ ゆえに \\( x(3 x-2)=0 \\)\nよって \ x=0, \\frac{2}{3}\\nしたがって, 共有点は 2 個\n(2) \ 2 x-2 y+1=0 \ から \ 2 x=2 y-1 \\nこれを \ y^{2}=2 x \ に代入して\n \ y^{2}=2 y-1\\nよって \ y^{2}-2 y+1=0 \ ゆえに \\( (y-1)^{2}=0 \\)\nよって \ y=1 \\nしたがって, 共有点は 1 個
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複素数平面上において, 三角形の頂点 を表す複素数をそれぞれ とする。\n(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 は, を満た すことを示せ。\n(2) の外心を表す複素数を とするとき, を で表せ。
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複素数 \( z=x+y i(x, y は実数, i は虚数単位 ) \) が次の条件を満たすとき, , の満たす方程式を求めよ。また, その方程式が表す図形の概形を 平面上 に図示せよ。 (1)
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次の式で表される からwの変換を 1 次分数変換 という。\n\nただし, は変数 は定数,\nそして, 1 次分数変換は, 基本的な変換 (平行移動, 回転移動, 相似変換, 反転, 実軸対称移動)を合成したものと考えられる。\n[1] のとき\n(*) の右辺の分母, 分子を で割ると\n\n\n\nよって, zから を求めるには, 次の (1) 4) 基本的な変換を順に合成すればよい。\n(1) \n\n平行移動\n次に, から\n(1)\n(3)\n次に, から\n(3) \n とおくと,原点を中心に だけ回転し,原点からの距離を 倍に拡大または縮小。 つまり,回転移動と相似変換の組み合わせである。\n 反転と実軸に関する対称移動(折り返し)\n(3) \( \begin{array}{r}\boldsymbol{z}_{3}=\frac{b c-}{c^{2}} \\ \ldots \ldots . \frac{b c-a}{c^{2}} \\ \text { 転し, } \\ \text { つまり, } \\ \text { 最後に } z_{3} \text { から }\end{array} \)\n(4) だけ平行移動 \( ) \)\n[2] のとき\n であるから, なら ゆえに \nしたがって,(*)は \( \quad w=\frac{a}{d} z+\frac{b}{d}=\frac{a}{d}\left(z+\frac{b}{a}\right) \) となる。\nすなわち,上の1の型の平行移動,3)の型の変換(回転移動+相似変換)を順に合成す ればよい。
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次の方程式・不等式を満たす点 全体の集合は, どのような図形か。\n(1) \n(2) \( (3 z+i)(3 \bar{z}-i)=9 \)\n(3) \n(4)
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第3章複素数平面\n-445\n(i) のとき, 各辺に を掛けて から \nゆえに \( (x-1)^{2}+3 \geqq 0 \) これは常に成り立つ。\n から \nゆえに \( (x-1)(x-4) \leqq 0 \) よって \nしたがって, の解は \n(ii) のとき \nこれは を満たさない。
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異なる 3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) に対し, 等式 が成り立つとき (1) の値を求めよ。 (2) はどのような三角形か。
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これを (1) に代入して,yを消去すると\n\n は 2 次方程式 (3)の異なる 2 つの実数解である。\nここで, ③ において, 解と係数の関係から\n\n\n\n線分 の中点の座標は \( \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{x_{1}+x_{2}}{2}-3\right) \)\n(4)を代入して\n\( (7,4) \)
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を 2 以上の自然数とするとき, 方程式 \( (1-x) e^{n x}-1=0 \) について考える。 ただし, は自然対数の底とする。\n(1)この方程式は, においてただ 1 つの実数解をもつことを示せ。\n((2)(1)の実数解を とする。 を求めよ。
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数列 を考える。数列は以下の漸化式で定義される。
\( a_{1}=2, a_{n+1}=p a_{n}+2(n=1,2,3, \cdots \cdots) \)
数列 の一般項を求めよ。更に, この数列が収束するような力の値の範囲を求めよ。
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EX (1) 実数 に関する方程式 \( \sqrt{x-1}-1=k(x-k) \) が解をもたないような負の数 の値の範囲を求めよ。\n(2)方程式 がただ 1 つの実数解をもつように正の数 の値を定めよ。[防衛医大]
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方程式 2 \\sqrt{x-1}=\\frac{1}{2} x+k の実数解の個数を調べよ。ただし,k は定数とする。
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複素数 \( z=x+y i(x, y は実数, i は虚数単位 ) \) が次の条件を満たすとき, , の満たす方程式を求めよ。また, その方程式が表す図形の概形を 平面上 に図示せよ。 (2)
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数列 \( \left\{\left(\frac{x^{2}+2 x-5}{x^{2}-x+2}\right)^{n}\right\} \) が収束するように,実数 の値の範囲を定めよ。また,そのときの極限値を求めよ。
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PR 3 点 \( \mathrm{A}(-3,0,4), \mathrm{B}(x, y, z), \mathrm{C}(5,-1,2) \) について, 次の条件を満たす の值を求 64 めよ。
(1) 線分 を 1:2 に内分する点の座標が \( (-1,1,3) \)
(2) 線分 を 3: 4 に外分する点の座標が \( (-3,-6,4) \)
(3) の重心の座標が \( (1,1,3) \)
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数学 \n とおいて, 分母を払う と \( \quad 5 x-8=(x+2)(x-2) \)\n整理して因数分解して \( (x-1)(x-4)=0 \)\nこれを解いて \nこれらは, を満たす。 また \( \quad y=\frac{5 x-8}{x-2}=\frac{5(x-2)+2}{x-2}=\frac{2}{x-2}+5 \) の解は, (1) のグラフが (2)のグラフの下側に ある、または共有点をもつ の値の範囲である。 よって, 図から求める の値の範囲は\n\n①)と(2)の共有点の 座標を求める。—分母を0にしないか碓認。 に注意! は関数 (1) の定義域 に含まれない (つまり、 グラフが存在しない)。
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5 次方程式 \ ax^5 + bx^2 + c = 0 \ が虚数 \ \\alpha \ を解にもつとき, 共役複素数 \ \\overline{\\alpha} \ も解にもつことを示せ。
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EX 互いに平行ではない 2 つのベクトル (ただし, とする)があって, これらが (35 \( s(\vec{a}+3 \vec{b})+t(-2 \vec{a}+\vec{b})=-5 \vec{a}-\vec{b} \) を满たすとき, 実数 , の值を求めよ。
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68 (2) \\( y=-x,(-1,1) \\);\\[ y=-9 x+8,\\left(\\frac{1}{3}, 5\\right)\\]
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数学 \ninf. 本冊基本例題 53 の INFORMATION にある\n の多項式 \( f(x) \) が \( (x-\alpha)^{2} \) で割り切れる \( \\Leftrightarrow f(a)=f^{\\prime}(a)=0 \)\nを用いると,次のようになる。\n\( f(x) \) が \( (x-1)^{2} \) で割り切れるための条件は\n\( f(1)=0 \quad \\text { かつ } \quad f^{\\prime}(1)=0 \)\nここで \( \quad f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 \)\n\( f^{\\prime}(x)=\\ (n+1) a x^{n}+n b x^{n-1}\\ )\n\( f(1)=0 \) から \n\( f^{\\prime}(1)=0 \) から \\ \\ (n+1) a+n b=0\\ )\n(以下,解答と同じ)
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1 個のサイコロを1回目にAが投げ, 2 回目にBが投げ, 以下, この順番で が交互にサイコロを投げる。このとき, 先に1または2の目を出した者を勝者とする。(1) 3 回目にAが勝つ確率を求めよ。(2) \( (2 n-1) \) 回目までに が勝つ確率を とするとき, を求めよ。[東京理科大]
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(2) (1), \( \qquat る。\n(2) から \n靄を (1) に代入して, を消去すると\n\n は 2 次方程式の異なる2つの実数解である。
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次の定理を証明せよ:4点 \( A(z_1), B(z_2), C(z_3), D(z_4) \) が同一円周上にあることと、 が実数であることは同値である。
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複素数の 乗の計算 \( (2) \)\n複素数 が を満たす。\n(1) zを極形式で表せ。\n(2) の値を求めよ。\n[中部大]
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[1] (1) a = 2, d = -10, f = 0 のとき, 方程式は 2x^2 + by^2 + cx - 10y = 0
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実数 とし, 3次方程式 が虚数解 をもつ。このとき、 の共役複素数 もこの方程式の解になることを示せ。また, を用いて係数 と3つ目の解 を表せ。
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解答(1) \\( \\sqrt{5-x}=x+1 \cdots \cdots(*) \\) の両辺を平方すると \\[ 5-x=(x+1)^{2} \quad \cdots \cdots(* *) \\] 整理すると \ \\quad x^{2}+3 x-4=0 \ \\[ (x-1)(x+4)=0 \\] これを解くと \ \\quad x=1,-4 \ \ x=1 \ は(*)を満たすが, \ x=-4 \ は(*)を満たさない。 よって, 求める解は \ \\quad x=1 \ 別解 \ 5-x \\geqq 0 \ かつ \ x+1 \\geqq 0 \ から \ -1 \\leqq x \\leqq 5 \ (**)の解で \ -1 \\leqq x \\leqq 5 \ を満たすものは \ \\quad x=1 \
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例 41 | 方程式の表す図形 (1)\n次の方程式を満たす点 全体は, どのような図形か。\n(1) \n(2) \n(3) \( 4(z-1+i)(\u0304{z}-1-i)=1 \)\n(4)
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問題に挑戦
を を満たす定数とし, 方程式
\[ x(1-\cos x)=\sin (x+a) \]
について考える。
(1) を自然数とし, \( f(x)=x(1-\cos x)-\sin (x+a) \) とする。
このとき, における, 関数 \( f(x) \) のグラフの概形は ア である。 よって, 方程式 (1) は においてただ 1 つの実数解をもつ。 アに当てはまる最も適当なものを,次の()~3のうちから1つ選べ。
(0)
(2)
(1)
(3)
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8 aはa>1を満たす定数とする。関数 f(x)=\frac{ax}{1+ax} について (1) 実数 t が f(f(t))=f(t) を満たすとき, f(t)=t をも満たすことを示せ。(2) x についての不等式 f(f(x)) \geqq f(x) を解け。[同志社大] 例題 11
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次の極方程式を,直交座標に関する方程式で表し,xy平面上に図示せよ。\n(1) r^{2}\left(7 \cos ^{2} \theta+9\right)=144\n(2) r=2 \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)
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実数 を係数とする の 2 次方程式 が虚数解 をもつ。\n(1) を満たすとき, 点 の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。\n(2) 点 が (1) で求めた存在範囲を動くとき, で定まる点 の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
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別解 x=\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}} から x=-1+\frac{2}{1-t^{2}} すなわち \frac{1}{1-t^{2}}=\frac{x+1}{2} y=\frac{4 t}{1-t^{2}} から \frac{t}{1-t^{2}}=\frac{y}{4} \left(\frac{1}{1-t^{2}}\right)^{2}-\left(\frac{t}{1-t^{2}}\right)^{2}=\frac{1}{1-t^{2}} が成り立つから ゆえに \quad 4 x^{2}-y^{2}=4 すなわち \quad x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 また, x=-1+\frac{2}{1-t^{2}} から \quad x<-1, 1 \leqq x よって 双曲線 x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 ただし, 点 (-1,0) を除く。
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次の連立方程式を解きなさい。\n\ \\begin{cases} \n2x + 3y = 6 \\\\\n4x - y = 5 \n\\end{cases} \
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PRACTICE \n関数 \( f(x)=\frac{3-2 x}{x-4} \) がある。方程式 \( f(x)=x \) の解を求めよ。 また, 不等式 \( f(x) \leqq x \) を解け。
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次の方程式,不等式を解け。 (1) \ \\sqrt{2 x-1}=1-x \ (2) \ |x-3|=\\sqrt{5 x+9} \ (3) \ \\sqrt{3-x}>x-1 \ (4) \ x+2 \\leqq \\sqrt{4 x+9} \ (5) \ \\sqrt{2 x^{2}+x-6}<x+2 \
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EX 放物線 と棈円 の共通接線の方程式を求めよ。
(1), (2) とする。
放物線 (1) と楕円 (2)の共通接線は 軸に垂直でないから,その 方程式は
と表される。
(1),(3)から を消去して
ゆえに
この 2 次方程式の判別式を とすると
\[D_{1}=(-m)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-n)=m^{2}+4 n\]
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綊習(1) 2つの2次方程式 \( 3 x^{2}+6 x+2 k-1=0, x^{2}-(2 k-1) x+k^{2}-2 k+2=0 \) がとも56に実数解をもつような定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) 方程式 がただ1つの実数解をもつような定数 の値と,その解を求めよ。
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ある町との距離が x mである場合、電車と車の速度をそれぞれ求めなさい。また、与えられた条件から、時間 s 及び時間 t についての方程式を解き、 s+t = 26 を示しなさい。
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演習 17 II (→ 本冊 p.84)
(1)〜(3) 条件 P と条件 A ∼ F の関係を調べる。
⟦ P → A ⟧ は為。(反例 : X = {n | n は自然数}) ⟦ A → P ⟧ は明らかに真。 ⟦ P → B ⟧ は偽。(反例 : X = {1}) ⟦ B → P ⟧ は偽。(反例 : X = {n | n は整数}) ⟦ P → C ⟧ について, Xの要素の最小の数が存在するとき, それ を x とすると, x-1 は整数であり, x-1 は X のどの要素よりも 小さい。よって, ⟦ P → C ⟧ は真。
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方程式を解く:
(3) (x+3)|x-4|+2(x+3)=0
よって (x+3)(|x-4|+2)=0
[1] x >= 4 のとき, (1) は (x+3)(x-4+2)=0
すなわち (x+3)(x-2)=0
これを解くと x=-3, 2
これらはいずれも x >= 4 を満たさない。
[2] x<4 のとき, (1) は (x+3){-(x-4)+2}=0
すなわち (x+3)(-x+6)=0
これを解くと x=-3, 6
x<4 を満たすものは x=-3
[1], [2] から, 解は x=-3
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方程式を解く:
(2) x+1=t とおくと,方程式は 6t^{2}+5t-14=0
よって (t+2)(6t-7)=0
ゆえに t=-2, \frac{7}{6}
これらを x=t-1 に代入して x=-3, \frac{1}{6}
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a, b を異なる定数とし,2つの 2 次方程式 …. (1), (2) は共通の解をもつものとする。(1) (1) と (2) のどちらか一方が重解をもつとき, 共通の解を求めよ。(2) (1) と (2)のどちらも重解をもたないとき, 共通でない解の少なくとも一方は負であることを示せ。
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白玉 4 個,黒玉 3 個,赤玉 1 個を円形に並べる方法はア 通りある。更に, これらの玉にひもを通して輪を作る方法はイ 通りある。
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次の連立方程式の共有点を求めよ。\n(1) \n\ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}y=x^{2}-2x+3 \\\\ y=x+6\\end{\overlineray}\\right. \
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z は実数であるから
\[\left(-xy\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(x^2 + y^2\right) = x^2 y^2 - 4\left(x^2 + y^2\right)\]
\[x^2 y^2 - 4\left(x^2 + y^2\right) \geqq 0\]
変形すると
\[x^2 \left(y^2 - 4\right) \geqq 4y^2\]
であるから
y^2 - 4 > 0\]
すなわち
\[y^2 > 4
は正の整数であるから
仮定より であるから
このとき, (1)から
は正の整数であるから
また, であるから
x \leqq 3 \]
したがって
\[ x = 3 \]
よって
\[ z^2 - 9z + 18 = 0
ゆえに
\[ (z - 3)(z - 6) = 0 \]
したがって (これらはいずれも適する)
以上から
\[(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) = (3, 3, 3), (3, 3, 6)\]
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(3) とおくと これを に代入すると \n \\[\nx^{2}+x(k-2 x)+(k-2 x)^{2}=1\\] \n\n整理すると \n は実数であるから,2次方程式(2)は実数解をもつ。したがって, 2 次方程式 (2)の判別式を とすると ここで\n \\[ \n\\begin{aligned}\n D & =(-3 k)^{2}-4 \cdot 3\left(k^{2}-1\right)=-3\left(k^{2}-4\right)= -3(k+2)(k-2)\n\\end{aligned}\n\\]\n४ を消去する。(実数) \( )^{2} \geqq 0 \n(実数) \( )^{2} \geqq 0 \n\\]から\n\\ny^{2} \geqq 0 \n\
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次の方程式,連立方程式を解け。
(1)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=1 \\ 2 x+y-z=4 \\ 4 x-y-2 z=-1\end{array}\right. \)
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練習 18
本冊 p 53
1. x ≥ 4 のとき,方程式は x-4 =3x
これを解くと x=-2 これは x ≥ 4 を満たさない。
2. x<4 のとき,方程式は -(x-4) = 3x
これを解くと x=1 これは x < 4 を満たす。
1と2から, 求める解は x=1
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次の方程式を解け。\n(1) \( 2(x+2)^{2}-7(x+2)+3=0 \)\n(2) \n(3) \( x^{2}+4 x=3 \sqrt{(x+2)^{2}} \)
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演習 13 III 本冊 \n\( \left\{\begin{array}{l}2 x+y-2=0 \\ m x-y-3 m+1=0\end{array}\right. \)\n.....\n(1) + (2) から \( (m+2)x - 3m - 1 = 0 \)\n[1] のとき \nこのとき, (1) から \n(1) と (2) が かつ である解をもつとき\n\n(i) のとき\n(3)から かつ \n\nよって \nこれは を満たす。\n(ii) のとき\n(3) から かつ \n\nゆえに, かつ となり,共通範囲はない。 よって, これを満たす定数 は存在しない。\n[2] のとき\n《8 割 \n解の検討。\n\n を消去。\n では割れない」に注意。\n\n4 (分母) なら(分子) \n4 (分母) なら(分子)
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白黒 2 種類のカードがたくさんある。そのうち k 枚のカードを手もとに持っているとき,次の操作 (A) を考える。
(A) 手持ちの k 枚の中から 1 枚を, 等確率 1/k で選び出し, それを違う色のカードに取り替える。
(1) 最初に白 2 枚, 黒 2 枚, 合計 4 枚のカードを持っているとき, 操作 (A) を n 回繰り返した後に初めて,4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
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練習 18
本冊 p 53
1. x ≥ 1 のとき,方程式は 2(x-1)=x+2
これを解くと x=4 これは x ≥ 1 を満たす。
2. x<1 のとき, 方程式は -2(x-1)=x+2
これを解くと x=0 これは x<1 を満たす。
1と2から, 求める解は x=0,4
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α=-√2 のとき (1) から 3-√2 a=0 ゆえに a=3/√2 このとき, (1), (2)の残りの解は、それぞれ解と係数の関係により,1/α,-1/α すなわち-1/√2, 1/√2 以上から, 求める共有点の個数は |a|<2 のとき 2 個, |a|=2 のとき 3 個, 2<|a|<3/√2 のとき 4 個, |a|=3/√2 のとき 3 個, 3/√2<|a| のとき 4 個 別解 (*) から a x=-x^2-1, a x=-3 x^2+3 よって, 求める共有点の個数は, 直線 y=a x と放物線 y=-x^2-1 (1), y=-3x^2+3 (2) の共有点の個数と同じである。 2 次方程式 a x=-x^2-1, a x=-3 x^2+3 の判別式を,それぞれ D1, D2 とすると D1=a^2-4=(a+2)(a-2), D2=a^2+36>0 直線 y=a x と放物線 (1) の共有点の個数は D1>0 すなわち |a|>2 のとき 2 個 D1=0 すなわち |a|=2 のとき 1 個 D1<0 すなわち |a|<2 のとき 0 個 また, 直線 y=a x と放物線 (2) は常に異なる 2 点を共有する。更に, 放物線 (1), (2) の共有点の x 座標は, -x^2-1=-3 x^2+3 から x=±√2 ゆえに, 放物線 (1), (2) の共有点の座標は (±√2,-3) 直線 y=a x が点 (±√2,-3) を通るとき, -3=±√2 a を解いて a=∓ 3/√2 (以上,複号同順) 以上のことと, 図から, 解答と同じ解が得られる。 3/√2>3/1.5=2 である。 (1) が実数解をもたないとき 2 個。 (1)が重解をもつ, または (1), (2) が共通解をもつとき 3 個。それ以外は 4 個。
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(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x y+x=3 \\\\ 3 x y+y=8\\end{\overlineray}\\right. \
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演習 31 III 本冊 \n|| から\n または \nよって または \nここで, \( x^{2}-2 x-3=(x+1)(x-3) \) であるから\n の解は\n\n の解は\n\n\n(1), \nとすると, (1), (2) のグラフは右の図の ようになる。\n求める実数解の個数は, (1), (2) のグラ フと直線 の共有点の個数を調べ て のとき 0 個, のとき 2 個, のとき 4 個, のとき 5 個, のとき 6 個,\n のとき 5 個,\n のとき 4 個
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次の連立方程式を解け。
(3)
\( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\end{array}\right. \)
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次の連立方程式の解を求めなさい。\n\n\\left\\{\n\\begin{\overlineray}{l}\n2a = a^2 - 3 \\\na^2 + 2a = 15\n\\end{\overlineray}\n\\right.\n\n
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x が実数のとき x^2-2 x+5=(x-1)^2+4 ≠ 0 y=\frac{8 x+4}{x^{2}-2 x+5} の両辺に x^{2}-2 x+5 を掛けて y\left(x^{2}-2 x+5\right) =8 x +4 x について整理すると y x^2 -2(y+4) x +5 y-4 =0 この方程式が実数解 x をもつ条件を求める。 [1] y ≠ 0 のとき (1)を x の 2 次方程式とみて, これが実数解をもつための条件は,判別式を D とすると D ≥ 0 ここで \frac{D}{4}=\{-(y+4)\}^2-y(5 y-4) =-4 y^2 +12 y +16 =-4\left(y+1\right)\left(y-4\right) D ≥ 0 から (y+1)\left(y-4\right) ≤ 0 y ≠ 0 に注意して解くと -1 ≥ y < 0, 0 < y ≥ 4 [2] y=0 のとき (1) は -8 x-4=0 となり, 実数解 x= -\frac{1}{2} をもつ。 [1], [2] から, 求める値域は -1 ≥ y ≥ 4
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\n演習 33 III \\Rightarrow \ 本冊 p .164 \\n(1) \( f(x)=(x-1)^{2}+1, g(x)=-\\left(x-\\frac{a}{2}\\right)^{2}+\\frac{a^{2}}{4}+a \\)\n\n求める条件は \( \\quad[f(x) \\) の最小値 \( ] \\geqq[g(x) \\) の最大値 ] \\nよって \\quad 1 \\geqq \\frac{a^{2}}{4}+a \\nゆえに \\quad a^{2}+4 a-4 \\leqq 0 \\n\nこれを解くと \\quad-2-2 \\sqrt{2} \\leqq ~ a \\leqq-2+2 \\sqrt{2} \\n(2) \( f(x)-g(x)=h(x) \\) とおくと\n\\[\n\\begin{aligned}\nh(x) & =2 x^{2}-(a+2) x+2-a \\\n& =2\\left(x-\\frac{a+2}{4}\\right)^{2}-\\frac{1}{8}(a+2)^{2}+2-a \\\n& =2\\left(x-\\frac{a+2}{4}\\right)^{2}-\\frac{1}{8} a^{2}-\\frac{3}{2} a+\\frac{3}{2}\n\\end{aligned}\n\\]\n\( y=h(x) \\) のグラフは下に凸の放物線で, 軸は 直線 x=\\frac{a+2}{4} \\n求める条件は, 0 \\leqq x \\leqq 1 \ において \( \\quad h(x) \\geqq 0 \\)\nよって, 0 \\leqq x \\leqq 1 \ における \( h(x) \\) の最小値が正または 0 であれば よい。\n[1] \\frac{a+2}{4}<0 \ すなわち a<-2 \ のとき \( h(x) \\) は x=0 \ で最小となり, 最小値は \( \\quad h(0)=2-a \\)\nよって \\quad 2-a \\geqq 0 \\nゆえに \\quad a \\leqq 2 \\n a<-2 \ との共通範囲は\n\ a<-2 \\n[2] 0 \\leqq \\frac{a+2}{4} \\leqq 1 \ すなわち -2 \\leqq a \\leqq 2 \ のとき\n\( h(x) \\) は x=\\frac{a+2}{4} \ で最小となり, 最小値は\n\\[h\\left(\\frac{a+2}{4}\\right)=-\\frac{1}{8} a^{2}-\\frac{3}{2} a+\\frac{3}{2} \\]
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(2) \\( y=\\left|\\frac{1}{3}\\left(x^{2}+6 x-27\\right)\\right|=\\frac{1}{3}\\left|x^{2}+6 x-27\\right|=\\frac{1}{3}|(x+9)(x-3)| \\) \ x^{2}+6 x-27 \\geqq 0 \ の解は, \\( (x+9)(x-3) \\geqq 0 \\) から\n\\nx \\leqq-9,3 \\leqq x\n\\n\ x^{2}+6 x-27<0 \ の解は, \\( (x+9)(x-3)<0 \\) から\n\\n-9<x<3\n\
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数学 I\nf(-1) \u2265 0 \u304b\u3089 \u2212 4a + 5 \u2265 0 \u3088\u3063\u3066 a \u2264 \u2153\n\nf(1) = \u2212 4a \u2212 3\nf(1) \u2265 0 \u304b\u3089 \u2212 4a \u2212 3 \u2265 0 \u3088\u3063\u3066 a \u2264 \u2212 \u2153\n\n(1), (2), (3) \u306e\u5171\u901a\u7bc4\u56f2\u3092\u6c42\u3081\n\u3066 \u2212 1 < a \u2264 \u2212 3/4
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次の等式を満たす整数の組 \( (x, y) \) を求めよ。\n\x^{2}-4 x y+5 y^{2}+2 x-5 y-1=0\
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練習 21 本冊 p .56 (1) a² x+1=a x+a から a(a-1) x=a-1 a(a-1) ≠ 0 すなわち a ≠ 0, a ≠ 1 のとき x=1/a a=0 のとき, (1) は 0 · x=-1 これを満たす x の値はない。すなわち, 解はない。 a=1 のとき, (1) 0 · x=0 これはすべての数 x について成り立つ。すなわち, 解はすべての数。
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(3) 方べきの定理により x(x+5)=6² よって x²+5x-36=0 すなわち (x-4)(x+9)=0 x>0 であるから x=4
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(3) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \
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コインを10回投げて、表が 回、裏が 回出るとすると\n\[x+y=10 \cdots \cdots \cdot(1), 0 \leqq x \leqq 10,0 \leqq y \leqq 10\]\n次の事象について確率を求めなさい。\n(1)10回の操作では、正八角形を2周することはなく、事象 が起こるのは次の場合である。\n\n(2) \( P(S \cap T)=P(S)-P(S \cap \bar{T}) \) であるから、点 が点 に1回も移動しないで、10回目の操作後にAにある場合を考える。
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次の 2 つの 2 次方程式について, 以下の条件を満たす定数 の値の範囲を求めよ。\n\n(1) 両方とも実数解をもつ。\n\n(2) 少なくとも一方が実数解をもたない。\n(3) 一方だけが実数解をもつ。
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練習 ある放物線を 軸に関して対称移動し, 続いて 軸方向に 軸方向に 2 だけ 41 平行移動し, 更に 軸に関して対称移動すると,放物線 になった。 もとの放物線の方程式を求めよ。
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数学 I 63\n\ -1 \\leqq 2 x-1<0 \ すなわち \ 0 \\leqq x<\\frac{1}{2} \ のとき \ y=-1 \\n\ 0 \\leqq 2 x-1<1 \ すなわち \ \\frac{1}{2} \\leqq x<1 \ のとき \ y=0 \\n\ 1 \\leqq 2 x-1<2 \ すなわち \ 1 \\leqq x<\\frac{3}{2} \ のとき \ y=1 \\n\ 2 \\leqq 2 x-1<3 \ すなわち \ \\frac{3}{2} \\leqq x<2 \ のとき \ y=2 \\n\ 2 x-1=3 \ すなわち \ x=2 \ のとき\n\y=3\\n\n以上から, グラフは右の図のように なる。\n別解 \ [2 x-1]=[2 x]-1 \ であるから\n\\[y=[2 x]-1(0 \\leqq x \\leqq 2)\\]\n\ 0 \\leqq x \\leqq 2 \ から \ \\quad 0 \\leqq 2 x \\leqq 4 \\n\ 0 \\leqq 2 x<1 \ すなわち \ 0 \\leqq x<\\frac{1}{2} \ のとき \ y=-1 \\n\ 1 \\leqq 2 x<2 \ すなわち \ \\frac{1}{2} \\leqq x<1 \ のとき \ y=0 \\n\ 2 \\leqq 2 x<3 \ すなわち \ 1 \\leqq x<\\frac{3}{2} \ のとき\y=1\\n\ 3 \\leqq 2 x<4 \ すなわち \ \\frac{3}{2} \\leqq x<2 \ のとき\y=2\\n\ 2 x=4 \ すなわち \ x=2 \ のとき \ y=3 \\n以上から, グラフは右の図のように なる。\n\ 42 x-1=-1,0,1,2,3 \ となる \ x \ の値が場合分けの分かれ目になる。\n\\[\\begin{aligned}& {[2 x+(-1)] }\\\\= & {[2 x]+(-1) }\\\\= & {[2 x]-1 }\\end{aligned}\\]\n\n本冊 \ p .93 \ 参照。\n\\[\\begin{array}{l}\\mathbb{1}[2 x+(-1)]\\\\=[2 x]+(-1)\\\\=[2 x]-1\\\\\\text { 大冊 } 93 \\text { 参昭 }\\end{array}\\]\n\\\text { 本冊 } p .93 \\text { 参照。 }\\n3龺\n練習\n次\n関\n数\n(2) (1)のグラフから, \\( 0 \\leqq f(x)<\\frac{1}{2} \\) となるのは \ 0 \\leqq x<\\frac{1}{4}, \\quad \\frac{1}{2} \\leqq x<\\frac{3}{4} \ のとき。\n\\( \\frac{1}{2} \\leqq f(x)<1 \\) となるのは \ \\frac{1}{4} \\leqq x<\\frac{1}{2}, \\quad \\frac{3}{4} \\leqq x<1 \ のとき。\nよって,\nの 4 通りの\n\n場合分けが必要になる。\n\n例えば, \ 0 \\leqq x<\\frac{1}{4} \ のと き, \\( f(x) \\) の定義から
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a は実数とする。 x の 2 次方程式 \( x^{2}+(a+1) x+a^{2}-1=0 \) について, 次の問いに答えよ。
(1)この 2 次方程式が異なる 2 つの実数解をもつような の値の範囲を求めよ。
(2) を(1)で求めた範囲で動かすとき,この2次方程式の実数解がとりうる値の範囲を求めよ。
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別解 「少なくとも一方 が実数解をもたない」の 否定は「両方とも実数解 をもつ」であるから, (1)の範囲の補集合が (2) で求める範囲となる。 ただし, \ a \\neq 0 \ であるから, \ 0<a \\leqq \\frac{3}{2} \ の補集合は, \ a<0, \\frac{3}{2}<a \ となる。\n (1)の図を参照。
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2 次方程式 \( a x^{2}-(a+1) x-2=0 \) が, の範囲でそれぞれ の実数解をもつように, 定数 の値の範囲を定めよ。
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重要例題 77 | 2 次方程式の解と係数の大小\n155\n とする。 についての方程式 \( 2(x-b)(x-c)-(x-a)^{2}=0 \) は異なる 2 つの実数解をもつことを示し,その解を \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) として, と を 大小の順に並べよ。
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次の2次方程式の判別式を求め、の値に基づいて根の個数を決定せよ。\n(1) \(x^{2}+2(k-4)x+k^{2}=0\)
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1 個 150 円のお菓子を何個か買って 200 円の箱に入れてもらったところ, 代金の合計 は 2000 円であった。このとき,お菓子は何個買ったか。このような問題では, わからない数を文字で表す。お菓子の個数を とおくと,問題の数量の関係は,次の等式で表される。\n
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次の連立方程式の共有点を求めよ。\n(2) \n\ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}y=x^{2}-4x \\\\ y=2x-9\\end{\overlineray}\\right. \
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総合演習: (A) より 4+2 b+c=1, 25+5 b+c=4の2式を連立して解くとbとcの値が求められます。このときのf(x)の式と放物線の頂点を求めなさい。
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次の問題を解きなさい:2次方程式 (1) の判別式を D とすると D = (m - 1)^2 - 4n です。2次方程式 (1) が重解を持つのは D = 0 のときです。方程式 (1) の解を求めなさい。また、0 < x < 1 の範囲での解も求めなさい。
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(3) の判別式を とすると \( \frac{D}{4}=(-3)^{2}-3 \cdot 4=-3 < 0 \) したがって, 軸との共有点はない。
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(1) (1) を変形すると \( \quad 7(5 x+13 y)+65 z=3 \) とおくと は, (2) の整数解の 1 つである。このとき は, この方程式の整数解の 1 つである。したがって, \( (x, y, z)=(-4,3,-2) \) は (1)を満たす整数の組 の 1 つである。
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数学A\n289\n として、2式を連立して解くと 、 になります。次に、\( (x + 2y + 3)(3x - 2y - 5) = 3x^2 + 4xy - 4y^2 + 4x - 16y - 15 \) から、与えられた等式において\n\n\( \left(3x^2 + 4xy - 4y^2 + 4x - 16y - 15\right) - 13 = 0 \)\n\nしたがって、\((x + 2y + 3)(3x - 2y - 5) = 13\)になります。\n\nところで、 は整数であるから、、および も整数である必要があります。\n\n次のような表が得られます。\n\n| x+2y+3 | 3x-2y-5 |\n|--------|----------|\n| 1 | 13 |\n| 13 | 1 |\n| -1 | -13 |\n| -13 | -1 |\n\nこれに従い、以下の追加情報があります。\n\n| x+2y | 3x-2y |\n|------|-------|\n| -2 | 18 |\n| 10 | 6 |\n| -4 | -8 |\n| -16 | 4 |\n\nまた、4x = 16、そして x = 4 となり、y = -3 または 3。\nしたがって、(x, y) = (4, -3), (4, 3) となります。\n\nもう一つの問題:\n\n を y について整理すると\n\n\( y^2 + 2(x + 2)y + 5x^2 - 12x + 11 = 0 \)\n\nこの y についての 2 次方程式の判別式を D とすると\n\n\( \frac{D}{4} = (x + 2)^2 - (5x^2 - 12x + 11) = -4x^2 + 16x - 7 = -(4x^2 - 16x + 7) = -(2x - 1)(2x - 7) \)\n\n(1)の解は整数 (実数) であるから、D ≥ 0。\nゆえに、(2x - 1)(2x - 7) ≤ 0 よって、 。x は整数であるから、x = 1, 2, 3。\nまた、D ≥ 0 のとき、(1) の解は y = -(x + 2) ± sqrt(D/4) となり、x, y は整数であるから、D/4 は 0 または平方数である。\n\n以下のように得られます:\n\nx = 1, 3 のとき、D/4 = 5,\nx = 2 のとき、D/4 = 9。\n\nx = 2 のときは、(y + 1)(y + 7) = 0 よって、y = -1, -7。\nしたがって、(x, y) = (2, -1), (2, -7)。
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例題 42 綊習 は定数とし, の 2 次関数 \( y=-x^{2}+2(a-1) x-6 a^{2}+12 a-1 \) の最大値を と する。\n(1) を の式で表せ。\n(2) の値を の範囲で変化させたとき, の最小値を求めよ。
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a+b+c=8 (1), a^{2}+b^{2}+c^{2}=32 (2) とする。(1) から a=8-b-c (2)に代入すると (8-b-c)^2+b^2+c^2=32 b について整理すると b^2+(c-8) b+(c-4)^2 = 0 (3) を満たす実数 b, c が存在するための条件は, b についての 2 次方程式 (3) が実数解をもつことである。よって, 2 次方程式 (3) の判別式を D とすると D ≥ 0 D = (c-8)^2-4(c-4)^2 =c^2-16 c+64 -4(c^2-8 c+16) =-3 c^2+16 c =-c(3 c-16) D ≥ 0 から -c(3 c-16) ≥ 0 すなわち c(3 c-16) ≤ 0 これを解くと 0 ≥ c ≤ \frac{16}{3} したがって, 実数 c の最大値は \frac{16}{3}
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(1) 2 次方程式 の実数解の個数を求めよ。ただし, は定数とする。\n(2) 2 次方程式 が重解をもつように定数 の値を定め,そのときの重解を求めよ。
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\u6570\u5b66 I\n\u5225\u89e3 \u4f59\u5f27\u5b9a\u7406\u306b\u3088\u308a\n\\[\n\\begin{aligned}\nb^{2}+ & c^{2}-a^{2}=2 b c \u30b3\u30b9 A, c^{2}+a^{2}-b^{2}=2 c a \u30b3\u30b9 B \\\\\n\u30e8\u3063\u3066 \u3007 & \u3068\u3007 \u300c\u300{b\u300}{2}+c^{2}-a^{2}\u3009 \u30bf\u300A A-\u300{c^{2}+a^{2}-b^{2}\u3009 \u30bf\u300A B \\\\\n= & 2 b c \u30b3\u30b9 A \u30fb \u3075\u308a\u300A A/\u30b3\u30b9 A-2 c a \u30b3\u30b9 B \u30fb \u3075\u308a\u300A B/ \u30b3 \u30b9 B \\\\\n= & 2 c(b \u3057\u30f3 A-a \u3057\u30f3 B)\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\u3053\u3053\u3067, \ b=2 R \u3057\u30f3 B, a=2 R \u3057\u30f3 A \ \u3092\u4ee3\u5165\u3057\u3066\n\\[\n\\begin{array}{l} \n2 c(b \u3057\u30f3 A-a \u3057\u30f3 B) \\\\\n= 2 c(2 R \u3057\u30f3 B \u30fb \u3057\u30f3 A-2 R \u3057\u30f3 A \u30fb \u3057\u30f3 B)=0 \\\\\n\u30e8\u3063\u3066 \u3007 \u300c\u300{b\u300}{2}+c^{2}-a^{2}\u3009 \u30bf\u300A A=\u300{c^{2}+a^{2}-b^{2}\u3009 \u30bf\u300A B\n\\end{array}\n\\]\n
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演習 51 ||I \\Rightarrow \ 本冊 p .244 \ (1) \\mathrm{X} \ の得点の平均値と \\mathrm{Y} \ の得点の平均値が等しいから 3a + 3b + 4c = 5a + 5b よって c = (a + b) / 2 解いてください。
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108 - 数学 I\n\( y=\frac{1}{2}(x-p)^{2}+q \) すなわち \nと表される。\n(1) と , (1) と をそれぞれ連立して\n\n\nよって \( \quad x^{2}-2(p-1) x+p^{2}+2 q=0 \)\n\( x^{2}-2(p+3) x+p^{2}+2 q=0 \)\n(2) の判別式を , (3) の判別式を とすると\n\( D_1/4=\{-(p-1)\}^{2}-1・(p^{2}+2 q)=-2p-2q+1 \)\n\( D_2/4=\{-(p+3)\}^{2}-1・(p^{2}+2 q)=6p-2q+9 \)\n\n放物線 (1) が直線 と直線 の両方に接するための条件は \nよって \nこの2式を連立して解くと
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練習 次の方程式を解け。\n(1) \( 2(x-2)^{2}+5(x-2)+1=0 \)\n(2) \( 6(x+1)^{2}+5(x+1)-14=0 \)\n(3) \( (x+3)|x-4|+2 x+6=0 \)\n(4)
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次のケースについて考えます。
方程式 として、異なる2つの実数解のうち、1つだけが の範囲にあるとき、他の解について次の [1], [2], [3] の場合を考慮します。
[1] 他の解が
[2] 他の解が
[3] 他の解が または の範囲にあるとき
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練習 18
本冊 p 53
1. x<-3/2 のとき, 方程式は -2x-(2x+3)=7
これを解くと x=-5/2
2. -3/2 ≤ x<0 のとき,方程式は -2x+2x+3=7 これは 0 = 4 となり, これを満たす x は存在しない。
3. x ≥ 0 のとき, 方程式は 2x+2x+3=7 これを解くと x=1
以上から,求める解は x=-5/2, 1
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白黒 2 種類のカードがたくさんある。そのうち k 枚のカードを手もとに持っているとき,次の操作 (A) を考える。
(A) 手持ちの k 枚の中から 1 枚を, 等確率 1/k で選び出し, それを違う色のカードに取り替える。
(2) 最初に白 3 枚, 黒 3 枚, 合計 6 枚のカードを持っているとき, 操作 (A)を n 回繰り返した後に初めて,6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
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練習 65 → 本冊 p.142
(1) F(x)=f(x)-g(x) とすると F(x)=ax² + 3a - (2ax - a²) = a(x² - 2x + a + 3)
f(x) > g(x) が成り立つことは, F(x) > 0 が成り立つことと同じである。
a = 0 のとき, F(x) = 0 となり, F(x) > 0 は成り立たない。
a ≠ 0 のとき, 2次方程式 x² - 2x + a + 3 = 0 の判別式をDとすると, すべての実数 x について F(x) > 0 が成り立つための条件は a > 0 かつ D < 0
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定数 に対して \( f(x)=a x^{2}+3 a, g(x)=2 a x-a^{2} \) とする。次の条件を満たすような の値の範囲を求めよ。\n(1) すべての実数 について \( f(x)>g(x) \) が成り立つ。\n(2) 少なくとも 1 つの実数 について \( f(x)>g(x) \) が成り立つ。
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(2) [1] \ a=0 \ のとき\n与えられた方程式は \ \\quad-6 x-8=0 \\nこれはただ 1 つの実数解 \ x=-\\frac{4}{3} \ をもつ。\n[2] \ a \\neq 0 \ のとき\n与えられた方程式は 2 次方程式で, 判別式を \ D \ とすると\\[\\frac{D}{4}=(-3)^{2}-a(a-8)=-a^{2}+8 a+9\\]\n2 次方程式がただ 1 つの実数解をもつのは, 重解をもつとき, すなわち \ D=0 \ のときである。\nよって \ \\quad a^{2}-8 a-9=0 \ ゆえに \\( \\quad(a+1)(a-9)=0 \\)\nしたがって \ \\quad a=-1,9 \\nまた,重解は \ \\quad x=-\\frac{-6}{2 a}=\\frac{3}{a} \\n[1], [2] から \ a=0 \ のとき \ \\quad x=-\\frac{4}{3} \,\n\ a=-1 \ のとき \ x=-3 \,\n\ a=9 \ のとき \ \\quad x=\\frac{1}{3} \
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練習 k は定数とする。方程式 \\left|x^{2}-x-2\\right|-x+k=0 の異なる実数解の個数を調べよ。
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次の方程式の解を求めよ。\n(1)\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\frac{3x+2y}{4} = 1 \\\\\n\\frac{2x-y}{5} = 1\n\\end{\overlineray}\n\
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例題 72 | 2 次方程式の解の存在範囲 (1)\n2 次方程式 が, 次のような実数解をもつとき, 定数 の値の 範囲を求めよ。\n(1)異なる 2 つの負の解\n(2) 正の解と負の解
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(2) 方べきの定理により x(x+9)=4 ⋅(4+5) よって x²+9x-36=0 すなわち (x-3)(x+12)=0 x>0 であるから x=3
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練習 次の 2 つの の 2 次方程式がただ 1 つの共通の実数解をもつように, それぞれ定数 の値を定め, その共通解を求めよ。
(1)
(2) \( x^{2}-(k-3) x+5 k=0, x^{2}+(k-2) x-5 k=0 \)
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a x^{2}-3 x+a=0 は 2 次方程式であるから, である。 それぞれの場合に の判別式を求めて、 の範囲を求めよ。
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方程式を解く:
(1) x-2=t とおくと,方程式は 2t^{2}+5t+1=0
よって t=\frac{-5 \pm \sqrt{5^{2}-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}=\frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}
x=t+2 であるから
x=\frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}+2=\frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}
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例題 58 | 2 次方程式の共通解 (2)
2 つの 2 次方程式 \( x^{2}-3 x+k-1=0, x^{2}+(k-2) x-2=0 \) がただ 1 つの共通の実数解をもつように定数 の値を定め, その共通解を求めよ。
指針例 44 とは違い, 一方の方程式の解が簡単に求められないから, 同じ方法は使えない。共通解をもつとすると, 共通解 と定数 の値は, 連立方程式 \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}-3 x+k-1=0 \\ x^{2}+(k-2) x-2=0\end{array}\right. \) の解 である。そこで, 共通解を とおいて, と の連立方程式を考える。 このとき,2つの方程式がただ1つの共通の実数解をもつことに注意する。
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(2) \( 6 - (x + y + z) = w \) とおくと \nまた, から \nよって, 求める組の個数は を満たす 0 以上の整数の組 \( (x, y, z, w) \) の個数に等しく, これは,6個の○と 3 個 の仕切り|の順列の総数に等しい。\n\[ よって { }_{6}{ }_{3} \mathrm{C}_{6} = { }_{9} \mathrm{C}_{6} = { }_{9} \mathrm{C}_{3} = 84 \\text { (個) } \]
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練習 次の等式を満たす整数の組 (x, y) を求めよ。
101 (1) x^{2}-y^{2}=60, x>0, y>0
(2) x y-4 x-2 y-4=0, x>0, y>0
(3) 2 x y-2 x-5 y=0
(4) 1/x+1/y=1/6, 0<x<y
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次方程式の解の存在範囲(解と数 との大小)\n次関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c(a>0) \) とする。 2 次方程式 \( f(x)=0 \) が 2 つの実数解 \( \\alpha, \\beta(\\alpha \\leqq \\beta) \) をもつとき, 解 と数 との大小関係を図に表すと,次のことが成り立つ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(1), (2) は, 軸との共有点があることを示している。 \( f(k)>0 \) であるとき, 2 点 \( (\\alpha, 0),(\\beta, 0) \) はともに直線 より右または左にあるが,左右のどちらにあるかまでは決まらない。よって,軸の位置がポイントになる。軸の位置 であるなら, 2 点 \( (\\alpha, 0),(\\beta, 0) \) はともに直線 より右にある。つ ま り, \( \\alpha>k, \\beta>k ) である(1)の図)。\n軸の位置 であるなら, 2 点 \( (\\alpha, 0),(\\beta, 0) \) はともに直線 より左にある。つ ま り, \( \\alpha<k, \\beta<k ) である(2)の図)。\n(3) \( f(k)<0 \) であるとき, グラフは のそれぞれの範囲で 軸と交わる。\n注意 ここでいう「2つの実数解」は異なる2つの実数解の意味ではなく,重解の場合も含めて考えていることに注意してほしい。ただし,3)のきは重解の場合を含んでいない。
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命題 が真であるとき、 はpであるための必要条件である, は であるための十分条件である という。この関係は,次の形で覚えておくとよい。\n\n\n\n例 「(東京に住む \( ) \Longrightarrow \) (日本に住む \( ) \) は真であるから, ……東京に住んでいれば, 日本に住んでいることは明らか (日本に住む)は(東京に住む)であるための 必要条件, (東京に住む)は(日本に住む)であるための十分条件 である。\n\nしかし, 「(日本に住む \( ) \Longrightarrow \) (東京に住む) 」は真でないから,\n必要条件が外側の円,十分条件が内側の円 ととらえてもよい。\n……日本に住んでいても, 東京に住んでいるとは限らない (東京に住む)は(日本に住む)であるための必要条件でなく, (日本に住む)は(東京に住む)であるための十分条件でない。\n\n必要条件, 十分条件の「必要」, 「十分」は, 日常で使っている言葉とニュアンスが少し 違っているから, 混乱しやすい。\n必要条件か十分条件かの見分け方は, 次のようにまとめて覚えるとよい。\n\nCHART〉必要条件・十分条件\n見分け方\n1 まず の形に書け\n2 十分 必要\n\n2 必要十分条件, 同値\n と がともに真, すなわち が真であるとき は であるための必要十分条件であるという。このとき, は であるための必要十分条件 でもある。\npが であるための必要十分条件であるとき, と は同値であるという。\n例 は真であるから\n は であるための必要十分条件であり, と は同値である。\n\n \mathrm{CHECK} \] 問題\n\[ 16 x, y \] は実数とする。次の中で, \[ x+y=0 と同値な条件をいえ。\n(1) \n(2) \n(3) \n
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2 次方程式 が次の条件を満たす実数解をもつように, 定数 の 値の範囲を定めよ。\n(1) 解がすべて 1 より大きい。\n(2) 1 つの解が 1 より大きく, もう 1つの解が1より小さい。
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練習 (2) を正の数とする。2 次方程式 \( x^{2}-(a+b) x+a b-c d=0 \) について,次の問いに答えよ。\n[信州大]\n(ア) 異なる 2 つの実数解をもつことを示せ。\n(イ) 2 つの解のうち少なくとも 1 つは必ず正の数であることを示せ。\n(ウ) 2 つの解を とし とするとき, の大小関係を調べよ。
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460\n演習例題\n6 絶対値の付いた関数の最大・最小\n は実数とする。関数 \( f(x)=x^{2}-a|x-2|+\frac{a^{2}}{4} \) の最小値を を用いて表せ。\n[千葉大]
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次の連立方程式を解け。
(2)
\( \left\{\begin{array}{l}x y+x=3 \\ 3 x y+y=8\end{array}\right. \)
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練習 20 本冊 p .55 600 g を作るとする。まず,食塩水と食塩の量について式を立てる。 x, y には条件があるから,こ の条件を利用して, z だけの不等式を導く。3 %, 4 % の食塩水からそれぞれ x g, y g とり,7%の食塩水を z g 加えて, 5 % の食塩水 600 g を作るとする。食塩水の量について x+y+z=600 。 (1) 次に, 食塩の量について x × 3/100+y × 4/100+z × 7/100=600 × 5/100。
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ある小学生のグループが図書を購入し, 公的施設へ寄贈することを決め, 目標額を 円とした。1 人 60 円ずつ集めることにして, グループの全員 人がお金を出せば目標額を超える予定であったが, メンバーの2割の人が出さなかったので, 目標額には980 円だけ不足した。そこで,お金を出し合った人達だけで,更に15 円ずつ出すことにしたが,その中の3 人が出さなかったので, やはり目標額には達しなかった。しかし, その不足額 円は書店がサービスで負担してくれたので, 予定通りの図書を寄贈できた。このとき, の値を求めよ。
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2 次方程式 (1) の判別式を とすると, この方程式が実数解をもつための条件は \n\( D =\{-(a+b-p)\}^{2}-4(a b-c p) =p^{2}-2(a+b) p+(a+b)^{2}-4 a b+4 c p =p^{2}-2(a+b-2 c) p+(a-b)^{2} \)\nであるから \( p^{2}-2(a+b-2 c) p+(a-b)^{2} \geqq 0 \)\n2 次方程式 (1) が実数解をもつための条件は, すべての実数かについて,2 次不等式 (2) が成り立つことです。\nそのための条件は, 2 次方程式 \( p^{2}-2(a+b-2 c) p+(a-b)^{2}=0 \) の判別式を とすると \n\n\( \frac{D_{1}}{4} = \{-(a+b-2 c)\}^{2}-(a-b)^{2} =\{(a+b-2 c)+(a-b)\}\{(a+b-2 c)-(a-b)\} = 4(a-c)(b-c) \)\n\nであるから \( 4(a-c)(b-c) \leqq 0 \) すなわち \( (c-a)(c-b) \leqq 0 \) であるから
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(2) から \( (x+\frac{y}{2})^{2}+\frac{11}{4}y^{2}=15 \)\nよって \( (x+\frac{y}{2})^{2}=15-\frac{11}{4}y^{2}\)\n\( (x+\frac{y}{2})^{2} \geqq 0 \)であるから, 15-より \n は自然数であるから, より \n のとき, 等式から \nこれを解くと, \( (x-3)(x+4)=0 \)から \n は自然数であるから \n のとき, 等式から \nこれを解くと, \( (x-1)(x+3)=0 \)から \n は自然数であるから \n以上から, \( (x,y)=(3,1),(1,2) \)
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次の等式を解きなさい。
何 14 -> 本冊 p.56
(1) 等式から
\(3x+y+(2x-y)i=7+3i\)
は実数であるから、、 はともに実数である。
よって
この連立方程式を解いて
(2) 等式から
ここで
\(
\begin{array}{l}
2x-y i=\frac{4+7i}{3+2i} \frac{4+7i}{3+2i}=\frac{(4+7i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\frac{12-8i+21i-14i^{2}}{9-4i^{2}}
\=\frac{12+13 i+14}{9+4}=\frac{26+13 i}{13}=2+i \text { よって } 2x-y i=2+i \end{array}\)\
は実数であるから、 は実数である。
したがって
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練習\n49\n本冊 \n\ y=-x^{2}+4, y=4 x \ から \ y \ を消去して\n\ -x^{2}+4=4 x \ すなわち \ \\quad x^{2}+4 x-4=0 \\nこれを解くと \ \\quad x=-2 \\pm 2 \\sqrt{2} \\n\ x=-2-2 \\sqrt{2} \ のとき \ \\quad y=-8-8 \\sqrt{2} \\n\ x=-2+2 \\sqrt{2} \ のとき \ \\quad y=-8+8 \\sqrt{2} \\nしたがって, 2 点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ の座標は\n\\[\n(-2-2 \\sqrt{2},-8-8 \\sqrt{2}),(-2+2 \\sqrt{2},-8+8 \\sqrt{2})\n\\]\n\ \\triangle \\mathrm{PQR} \ の面積が最大になるのは, 点 \ \\mathrm{R} \ と直線 \ \\mathrm{PQ} \ の距離 \ d \ が最大になるときである。\n直線 \ \\mathrm{PQ} \ の方程式は \ \\quad y=4 x \ すなわち \ 4 x-y=0 \\n\\( \\mathrm{R}\\left(t,-t^{2}+4\\right)(-2-2 \\sqrt{2}<t<-2+2 \\sqrt{2}) \\) とすると\n\\[\nd=\\frac{\\left|4 t-\\left(-t^{2}+4\\right)\\right|}{\\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}}=\\frac{\\left|t^{2}+4 t-4\\right|}{\\sqrt{17}}=\\frac{\\left|(t+2)^{2}-8\\right|}{\\sqrt{17}}\n\\]\nよって, \ d \ は \ t=-2 \ のとき最大になる。\nこのときの点 \ \\mathrm{R} \ の座標は \\( \\quad(-2,0) \\)
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\n(2) x^{2}+4 x=X \ とおくと \\( \\quad(X+7)(X-2)+8=0 \\)\n左辺を展開して整理すると \ \\quad X^{2}+5 X-6=0 \\nよって \( \\quad(X-1)(X+6)=0 \\)\nすなわち \\( \\quad\\left(x^{2}+4 x-1\\right)\\left(x^{2}+4 x+6\\right)=0 \\)\nゆえに \ \\quad x^{2}+4 x-1=0 \ または \ \\quad x^{2}+4 x+6=0 \\n\ x^{2}+4 x-1=0 \ から \ \\quad x=-2 \\pm \\sqrt{5} \\n\ x^{2}+4 x+6=0 \ から \ \\quad x=-2 \\pm \\sqrt{2} i \\nしたがって \ \\quad x=-2 \\pm \\sqrt{5},-2 \\pm \\sqrt{2} i \\n
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方程式の虚数解から係数の決定\n は実数とする。 3 次方程式 が を解にもつとき, , bの値を求めよ。\n\n指針\n が方程式の解 \( \Longleftrightarrow f(\alpha)=0 \)\n\n[解法 1 ]\n\( \Leftrightarrow f(x) \) は を因数にもつ …… [解法 2 ]\n[解法 1] を方程式の左辺 に代入すると となるから\n\n\[ (1+i)^{3}+a(1+i)^{2}+8(1+i)+b=0 \]\n\n整理すると \( \quad(b+6)+(2 a+10) i=0 \)\nこれから,複素数の相等により, の値を求めることができる。\n\n[解法 2] 実数係数の 次方程式が虚数 を解にもつときは, それと共役な複素数 もこの方程式の解となる。\nこれより, と共役な複素数 も方程式の解であることがわかる。\n\n3 つの解のうち, 2 つがわかったので, もう 1 つの解 (実数である)を とすると・・・・\n\n\[ x^{3}+a x^{2}+8 x+b=\{x-(1+i)\}\{x-(1-i)\}(x-c) \quad \) a \nが成り立つ。この右辺を展開・整理して, 両辺の係数を比較する。\n\n
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次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (6,-4) を通り, 直線 3x + y - 7 = 0 に平行な直線
(2) 点 (-1,3) を通り, 直線 x - 5y + 2 = 0 に垂直な直線
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よって, 求める式の値は
(2) 分母は 0 でないから
とおくと
\[\begin{array}{l} a+1=k(b+c+2) \\ b+1=k(c+a+2) \\ c+1=k(a+b+2) \\ \end{array}\]
(1)+(2)+(3) から \( a+b+c+3=2 k(a+b+c+3)\)
よって \( \quad(a+b+c+3)(1-2 k)=0 \)
ゆえに または
[1] のとき
より であるから
についても,それぞれ , であり, 同様に となる。
[2] のとき
(1), (2), (3) から
これを解いて
これは, \( (a+1)(b+1)(c+1) \neq 0 \) を満たすすべての実数 , cについて成り立つ。
[1], [2] から, 求める式の値は
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次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。ただし, は定数とする。 (1) (2) \( 2 x^{2}-(a+2) x+a-1=0 \) (3) \( x^{2}-(a-2) x+(9-2 a)=0 \)
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2 次方程式 \( x^{2}-2(k-3) x+4 k=0 \) が次のような解をもつように, 定数 の値の範囲を定めよ。\n(1) 異なる 2 つの負の解\n(2) 異符号の解
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は実数とする。 2 次方程式 \ x^{2}+a x+a-2=0 \ について,次の問いに答えよ。\n(1)任意の \ a \ に対して, この 2 次方程式が異なる 2 つの実数解をもつことを示せ。\n(2) この 2 次方程式の実数解を \ \\alpha, \\beta \ とするとき, \ \\alpha, \\beta \ が異なる符号をもつような \ a \ の値の範囲を求めよ。\n(3) \ 5<|\\alpha-\\beta|<6 \ となるような \ a \ の値の範囲を求めよ。
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次の連立方程式を解け。\n(1) \\left\\{\\begin{array}{l}\\alpha+\\beta=7 \n\\alpha \\beta=3\\end{array}\\right. \n(2) \\left\\{\\begin{array}{l}\\alpha+\\beta=-1 \n\\alpha \\beta=1\\end{array}\\right. \n(3) \\left\\{\\begin{array}{l}\\alpha+\\beta=-4 \n\\alpha \\beta=13\\end{array}\\right.
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0 \leqq α<\frac{π}{2} のとき, \sin α は図 [1] の 点 P の y 座標であり, 2 β(0 \leqq 2 β \leqq 2 π) は動径 OQ, OR の表す角である。\n∠ AOQ=∠ BOP= \frac{π}{2}-α であるから\n2 β_{1}=\frac{π}{2}-α, 2 β_{2}=2 π-(\frac{π}{2}-α)\nよって β_{1}=\frac{π}{4}-\frac{α}{2},β_{2} = \frac{3} {4}π + \frac{α}{2}\n\n\frac{π}{2} \leqq α \leqq π のとき, \sin α は図 [2] の 点P の y 座標であり,2 β(0 \leqq 2 β \leqq 2 π) は動径 OQ, ORの表す角である。 ∠AOQ=∠BOP=α-\frac{π}{2}であるから 2 β_{1}=α-\frac{π}{2},2 β_{2}=2 π-(α-\frac{π}{2})\n\n よって β_{1}=-\frac{π}{4}+\frac{α}{2},β_{2}= \frac{5}{4} π-\frac{α}{2} 0 \leqq α< \frac {π}{2} のとき\nα + \frac {β_{1}}{2} + \frac {β_{2}}{3} = α + \frac {1}{2} ( \frac{π}{4} - \frac { α } {2 }) ) + \frac {1}{3}( \frac {3 } { 4 } π + \frac { α } {2})=\frac {11}{12} α + \frac { 3}{8} π\n\nゆえに\frac { 3}{8} π \leqq α +\frac{ β_{ 1}}{2} + \frac { β_{2}} {3} < \frac{5}{6} π\n \frac { π}{2} \leqq α \leqq π のとき\nα + \frac { β_{1}}{ 2} +\frac {β_{2}}{3} = α + \frac {1}{2} ( -\frac {π}{4} + \frac {α}{2})+ \frac { 1}{3} ( \frac { 5}{ 4} π -\frac {α}{2})= \frac { 13}{12}α + \frac {7}{24}π \nゆえに \frac {5 } {6} π \leqq α+\frac { β_{ 1}}{2}+ \frac { β_{2}}{3} \leqq \frac { 11}{8 }π\n( 1),( 2) から , 0 \leqq α \leqq πのとき \frac {3}{ 8}π\leqq α +\frac {β_{1}}{ 2 }+ \frac {β_{ 2}} { 3 }\leqq \frac {11}{8} πy =\sin (α +\frac {β_{ 1}}{2}+ \frac { β_{2}}{ 3}) が 最大となるとき\nα + \frac { β_{1}} { 2}+ \frac { β_{2}} { 3} = \frac {π}{ 2}すなわち \frac {11}{12} α + \frac { 3}{ 8} π=\frac {π}{2} よって \quad α= \frac {3}{22} πこのときの y の値は 1 である。
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以下の 2 次方程式の判別式 D を求め、その解の種類を判断しなさい。\n与えられた方程式:\n(2) \( D = \{-(a+2)\}^{2}-4 \cdot 2(a-1) \)
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次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。
(1) x^2 - 3x + 1 = 0
(2) 4x^2 - 12x + 9 = 0
(3) -13x^2 + 12x - 3 = 0
(4) 4x^2 + 25 = 0
(5) 3x^2 + 4x + 3 = 0
(6) 3x^2 + 8x - √2 = 0
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練習 次の方程式,不等式を解け。
97 (1) sin 3x = cos 2x (0 ≤ x ≤ π)
(2) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0 (0 < x < π/2)
(3) cos 3θ + sin 2θ + cos θ > 0 (0 ≤ θ < 2π)
(4) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x (0 ≤ x ≤ π)
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次の 2 次方程式の 2 つの解の和と積を求めよ。\n(1) x^{2}-3 x+1=0 \n(2) 4 x^{2}+2 x-3=0 \n(3) 2 x^{2}+3 x=0 \n(4) 3 x^{2}+5=0
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次の関数と直線の交点の x 座標を求め、その座標を利用して面積を求めなさい。\n\2x^2 - 3x + 1 = 2x - 1\
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(1) 2 直線の方程式を変形すると\n y=\frac{\sqrt{3}}{2} x+1, y=-3 \sqrt{3} x+1
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重要例題 23 | 2 次方程式の解と式の値 2 次方程式 の 2 つの解を とし, の 2 つの解を とする。ただし, は整数で, は実数とする。 (1) \( (c-a)(c-b) \) を で表せ。 (2) \( (a-c)(b-d)(a-d)(b-c) \) は平方数(ある整数の 2 乗で表される数)である ことを示せ。
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(2) から\n\\[\n\\begin{array}{ll}\n& 3 \cdot (3^x)^2 + 17 \cdot 3^x - 6 < 0 \\\\\nよって & (3^x + 6)(3 \cdot 3^x - 1) < 0 \\\\\n3^x + 6 > 0 & であるから \quad 3 \cdot 3^x - 1 < 0\n\\end{array}\n\\]\nゆえに すなわち \n底 3 は1より大きいから
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例遠 7 | 条件式がある恒等式\n を満たすすべての実数 対して, 常に が成り立つとき, 定数 の値を求めよ。
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(5) 連立方程式から \( \left\{\begin{array}{l}\sin x=\cos y \\ \cos x=-\sin y+\sqrt{3}\end{array}\right. \)\n(1), (2) の両辺を 2 乗して\n\n(3) + (4) から \n\nよって \n であるから \n(5)を (2)に代入して \n であるから
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例百 158 方程式の実数解の個数 (3)\n3 次方程式 が異なる 3 個の実数解をもつとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n[昭和薬大]
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(1) 2 次方程式 x^2-k x+3 k-4=0 (1) の判別式を D とする。と D=(-k)^2-4(3 k-4)=k^2-12 k+16
2 次方程式 (1) が虚数解をもつための条件は D<0 であるから
k^2-12 k+16<0
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(1) から これを に代入して \[ (y-a)+y^{2}=9 \]よって ただし 1]放物線と円が2点で接する場合放物線と円が 2 点で接するのは, の 2 次方程式 (1)が の重解を もつときである。2 次方程式 (1) の判別式を とすると \[ D=1^{2}-4(-a-9)=4 a+37 \] から すなわち このとき, (1) の重解は で, であるから, の重解をもつ。
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次の 3 直線が与えられている。ここで, \ a, b \ は定数とする。\n\ x-y+1=0, \\quad x-3y+5=0, \\quad ax+by=1 \\n\nこの 3 直線が同じ点を通るとき, 3 点 \\( (-1,1),(3,-1),(a, b) \\) は同じ直線上に あることを示せ。
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等式 (a-2 b+4) x+(a-3 b+7)=0 が x についての恒等式となるように, 定数 a, b の値を定めよ。
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次の 3 つの数を解とする 3 次方程式で, x^{3} の係数が 1 であるものを求めよ。
(1) 1,2,3
(2) 2, i,-i
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248
数学 II
演習 81 III 本冊
次の条件に基づき、問題を解いてください。
1. から、 を消去して整理せよ。
2. 得られた方程式の根を求め、それが曲線 と直線 の接点であることを示せ。
3. 曲線 における接線の方程式を導出し、その接線が点 \( P(a, b) \left( a^{3} - a > b > -a \right) \) を通る条件を求めよ。
4. 3次方程式が異なる3つの実数解を持つ条件を示せ。
5. 接線の傾きの和と積が共に0であることを示し、接線の傾きに関する関係式を導出せよ。
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実数係数の 3 次方程式 ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 が虚数解 α を持つとき、共役複素数について説明し、その性質を示してください。
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(2) \( f(x)=\\left(x^{3}-7\\right)-12(x-2)(x \\geqq-4) \) とすると \( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}-12=3(x+2)(x-2) \) \( f^{\\prime}(x)=0 \) とすると における \( f(x) \) の増減表は右のようになる。ゆえに, のとき, \( f(x) \) は で最小値 1 をとる。\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c} \\hline & -4 & & -2 & & 2 & \\ \\hline\( f^{\\prime}(x) \) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \\hline\( f(x) \) & 1 & & 極大 & & 極小 & \\33 & & 1 & \\ \\hline \\end{tabular} よって, のとき \( \\quad f(x) \\geqq 1>0 したがって \\quad x^{3}-7>12(x-2)
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(1) の 2 つの解を とするとき, を解とする 2 次方程式を 1 つ作れ。\n(2) 2 次方程式 の解を とするとき, 2 数 を解とする 2 次方程式の 1 つが であるという。このとき, 実数の定数 の値を求めよ。
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(1) は実数) とすると\n\[ \n\\begin{array}{r}\nz^{2}=(x+y i)^{2}=x^{2}-y^{2}+2 x y i \\nz^{2}=3+4 i \\text { から } \\quad x^{2}-y^{2}+2 x y i=3+4 i\n\\end{array}\n\] は実数であるから, は実数である。よって \n\[\n\\text { ..... (1), } 2 x y=4\n\]\n(2) から, \nであり\n\n(3)を (1)に代入して \\n両辺に を掛けて整理すると \nゆえに\n\[\n\\left(x^{2}+1\\right)\\left(x^{2}-4\\right)=0\n\]\nであるから, より\n\n(3) から\n\[\n(x, y)=(2,1),(-2,-1)\n\]\nしたがって
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次の式を満たす数 α, β, γ を求めてください。\n\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\alpha^{3}=2 \\alpha^{2}+4, \\beta^{3}=2 \\beta^{2}+4, \\gamma^{3}=2 \\gamma^{2}+4 \n\\end{\overlineray}\n\
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(1)
\[ \begin{array}{l} x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2 x \cdot \frac{1}{x}=y^{2}-2 \\ \text{ よって } \frac{1}{x^{2}} f(x)=x^{2}+2 \alpha x+\left(\alpha^{2}-\beta^{2}+2\right)+\frac{2 \alpha}{x}+\frac{1}{x^{2}} \\ =\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+2 \alpha\left(x+\frac{1}{x}\right)+\alpha^{2}-\beta^{2}+2 \\ =\left(y^{2}-2\right)+2 \alpha y+\alpha^{2}-\beta^{2}+2 \\ =\boldsymbol{y}^{2}+2 \alpha \boldsymbol{y}+\alpha^{2}-\beta^{2} \end{array}\] (2) は方程式 \( f(x)=0 \) の実数解でないから, 方程式 \( f(x)=0 \) の解は, 方程式 \( \frac{1}{x^{2}} f(x)=0 \) の解と一致する。 \( (\alpha, \beta)=\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) \) のとき \( \frac{1}{x^{2}} f(x)=y^{2}+y-2 \) とすると 出典: [1] のとき すなわち これを解いて 出典: [2] のとき すなわち \( \quad(x+1)^{2}=0 \) これを解いて 以上から \( \quad x=\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2},-1\
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2 次方程式 \( x^{2}+(2 m+5) x+m+3=0 \) が整数の解をもつための整数 の値を すべて求めよ。
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数学 \n215\n別解 から \n点 \( \left(a, a^{4}-2 a^{3}-3 a^{2}\right) \) における接線の方程式は\ny-\left(a^{4}-2 a^{3}-3 a^{2} \right)=\left(4 a^{3}-6 a^{2}-6 a \right)(x-a)\nすなわち \( y=\left(4 a^{3}-6 a^{2}-6 a \right) x-3 a^{4}+4 a^{3}+3 a^{2} \)\n曲線 と直線 (1) が \( x=b(b \neq a) \) の点で接するための条件は,2 つの式から を消去すると\nx^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}=\left(4 a^{3}-6 a^{2}-6 a \right) x-3 a^{4}+4 a^{3}+3 a^{2}\nx^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}-\left(4 a^{3}-6 a^{2}-6 a \right) x+3 a^{4}-4 a^{3}-3 a^{2}=0\n(x-a)^{2}\left\{x^{2}+2(a-1) x+3 a^{2}-4 a-3\right\}=0\nとなるから, 2 次方程式 \( x^{2}+2(a-1) x+3 a^{2}-4 a-3=0 \)が重解 をつことである。よって, (2) の判別式を とすると \( \frac{D}{4}=(a-1)^{2}-\left(3 a^{2}-4 a-3 \right) =-2\left(a^{2}-a-2 \right) \) であるからa^{2}-a-2=0 これを解いて a=-1,2 a=-1 のとき, (2)の重解は b=2 a=2 のとき, (2)の重解は b=-1したがって, b ≠ a である。(1) から, 接線の方程式は y=-4x-4
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練習 数直線上の原点 \\mathrm{O} \ を出発点とし,硬貨を投げるたびに,表が出たら 2 , 裏が出たら 481 だけ正の方向へ進むものとする。点 に到達する確率を p_{n} \ とする。ただし, n \ は自然数とする。\n(1) 3 以上の について, p_{n}, p_{n-1}, p_{n-2} \ の関係式を求めよ。\n(2) p_{n} \ を求めよ。
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自然数 を自然数として, 数列 を によって定める。\n(1) 3 次方程式 の 3 つの実数解を \( \\alpha, \\beta, \\gamma (\\alpha \leqq \\beta \leqq \\gamma) \) とする。 に対し, とおく。このとき, を と を用いて表せ。また, を を用いて表せ。\n(2) とする。このとき, を を用いて表せ。更に, を を 用いて表せ。
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次の方程式を解け: (1) P(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 (2) P(x)=x^{4}-4 x^{2}-12 x-9
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数学 II\n点 \\mathrm{Q} \ の x \ 座標は, 次の方程式の x=a \ 以外の実数解である。\n\\[-x^{3}+3 x=\\left(-3 a^{2}+3\\right) x+2 a^{3}\\]\n\n整理して x^{3}-3 a^{2} x+2 a^{3}=0 \\nゆえに \( (x-a)^{2}(x+2 a)=0 \\)\n a \\neq 0 \ より a \\neq-2 a \ であるから, 点 \\mathrm{Q} \ の x \ 座標は -2 a \
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(1) (ア) y=x^{2}-3 x+6 \ から y^{\\prime}=2 x-3 \\n接点の x \ 座標を a \ とすると,接線の方程式は\n\\[\n\\begin{array}{r}\ny-\\left(a^{2}-3 a+6\\right)=(2 a-3)(x-a) \\\\\n\\text { よって } \\quad y=(2 a-3) x-a^{2}+6 \\quad \\cdots\n\\end{array}\n\\]\nこの直線が点 \( (1,0) \\) を通るから\n\\[0=(2 a-3) \\cdot 1-a^{2}+6\\]\n整理すると a^{2}-2 a-3=0 \\nゆえに \( (a+1)(a-3)=0 \\)\nよって a=-1,3 \\n求める接線の方程式は, a \ の値を (1)に 代入して\n のとき y=-5 x+5 \,\n a=3 \ のとき y=3 x-3 \
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漸化式の両辺の逆数をとると \\ \frac{1}{a_{n+1}}=4+\frac{3}{a_{n}} \\ \frac{1}{a_{n}}=b_{n} とおくと \\ b_{n+1}=4 + 3 b_{n} \\ これを変形すると \\ b_{n+1} + 2=3 (b_{n}+2) また \\ b_{1}+2 = \frac{1}{a_{1}} + 2 = \frac{1}{\frac{2}{3}} + 2 = 3 よって, 数列 \\ \left\\{b_{n}+2\\\} は初項 3 , 公比 3 の等比数列で \\ b_{n}+2 = 3 \cdot 3^{n-1} \\ すなわち \\ b_{n} = 3^{n} - 2 \\ したがって \\ a_{n} = \\ \frac{1}{b_{n}} = \\ \frac{1}{3^{n} - 2}
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(2) 2 つの交点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ の x \ 座標をそれぞれ \\alpha, \\beta \ とする。 y=x^{2} \ と \( y=m(x+2) \\) から y \ を消去すると\n\ x^{2}-m x-2 m=0 \ \\alpha, \\beta \ はこの 2 次方程式の異なる 2 つの実数解である。\n判別式を D \ とすると\n\\[ D=(-m)^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot(-2 m)=m(m+8) \\] D>0 \ であるから \( \\quad m(m+8)>0 \)\nゆえに \nまた,解と係数の関係により \nよって, 線分 \\mathrm{AB} \ の中点の座標を \( (x, y) \\) とすると\n\ x=\\frac{\\alpha+\\beta}{2}=\\frac{m}{2} \\nまた \( \\quad y=m(x+2) \\)\n(2), (3) から m \ を消去して\n\\[ y=2 x(x+2) \\text { すなわち } y=2 x^{2}+4 x \\]\nまた, (1), (2)から \nよって, 求める軌跡は放物線 y=2 x^{2}+4 x \ の x<-4,0<x \ の部分。
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円の方程式を変形すると, \\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2\\) よって, C の中心は点 (2,1), 半径は \\\sqrt{2}\ である。\nまた, y=-x+k を変形すると \x+y-k=0\。\nC の中心と l の距離は \ \\frac{|2+1-k|}{\\sqrt{1^2+1^2}} = \\frac{|3-k|}{\\sqrt{2}}\ 。\nC と l が異なる2点で交わるとき \\\frac{|3-k|}{\\sqrt{2}}<\\sqrt{2}\\nよって |k-3|<2 すなわち -2<k-3<2。したがって 1<k<5。\n円 C によって切り取られてできる線分の長さが2となるとき, C の中心と直線 l の距離は \\(\\sqrt{(C の半径)^2 -1^2} = \\sqrt{2-1} = 1\\) 。\nよって \\\frac{|3-k|}{\\sqrt{2}}=1\。\nゆえに |k-3| = \\sqrt{2}\\, すなわち k-3=±\\sqrt{2}\\。\nしたがって k=3±\\sqrt{2}\\。
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を実数とし, についての 2 次方程式 を考える。\n(1) が虚数解をもつような の値の範囲を求めよ。\n(2) が虚数解 \ \\alpha \ をもち, が実数になるような \ k \ の値をすべて 求めよ。
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整数 a, b, c に関する次の条件(*)を考える。 \(\int_{a}^{c}(x^{2}+b x) dx = \int_{b}^{c}(x^{2}+a x) dx\) (1) 整数 a, b, c が(*)および a ≠ b を満たすとき, を を用いて表せ。 (2) のとき, (*) および を満たす整数の組( )をすべて求めよ。 (3) 整数 a, b, c が (*) おび a ≠ b を満たすとき, c は 3 の倍数であることを示せ。
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練習 2 曲線 が接していて,接点における接線が 139 点 \( (2,15) \) を通るとき, 定数 の値と接線の方程式を求めよ。
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例題18\n2乗すると虚数になる数\n となる複素数 を求めよ。\n[類 立教大]\n例 13,14\n指針 複素数の平方根を,根号を用いて のようには書き表さないことに注意する。複素数は の形であるから, 実部と虚部 を求める。\n1 は実数 \( ) \) を等式に代入し, について整理する。\n(2) 複素数の相等条件 は実数) を利用して, の連立方程式を導いて解く。
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練習 39: x² = x + 3 すなわち x² - x - 3 = 0 の 2 つの解を α, β(α < β) とし、解と係数の関係から α + β = 1、αβ = -3 であることを示せ。また、漸化式が a_{n+2} - (α + β)a_{n+1} + αβa_{n} = 0 であることを示せ。最終的に a_{n} を求めよ。
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数学の問題を解く際の一般的な指針として、次の4つのステップが提案されています。\n\n1. 既知事項と求める目的との連絡をはかれ。\n2. 直接連絡がつかなければ,補助的事項を考えよ。\n3. 大手、からめ手から攻め立てよ。\n4. 忘れている条件はないか。\n\nこの指針に従って具体的な問題を解いてみましょう。次の二次方程式を解きなさい:\n\n\n\nこの方程式の解 と を求める際に、上記の4つのステップをどのように適用しますか?
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一数学 B 練習 62
T=3X-2(3-X)=ア5X-6
X=r となる確率 P(X=r) は
P(X=r)=3Cr(1/2)^r(1/2)^(3-r) (r=0,1,2,3)
よって, X は二項分布 B(3, 1/2) に従うから, X の分散は
V(X)=3⋅(1/2)⋅(1/2)=3/4
ゆえに V(T)=V(5X-6)=5²V(X)=25⋅(3/4)=25
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以下の 2 次方程式の判別式 D を求め、その解の種類を判断しなさい。\n与えられた方程式:\n(3) \( D = \{-(a-2)\}^{2}-4 \cdot 1 \cdot(9-2a) \)
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方程式 \\( \\sin ^{2} \\theta-\\cos \\theta+a=0(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) の解の個数を, 定数 \ a \ の値によって分類して答えよ。
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初項を a, 公差を d とすると, 第 10 項が 1 , 第 16 項が 5 であるからa+9d=1, a+15d=5これを解いて 「a=-5, d=2/3 初項から第 n 項までの和を Sn とするとS30=1/2・30{2・(-5)+(30-1)・2/3}=140S14=1/2・14{2・(-5)+(14-1)・2/3}=-28/3よって S=S30-S14=140-(-28/3)=448/3
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練習 38: 漸化式を変形して a_{n+2} + 4a_{n+1} = -4(a_{n+1} + 4a_{n}) である。よって、数列 {a_{n+1} + 4a_{n}} は初項 a_{2} + 4a_{1} = 9、公比 -4 の等比数列であることを示せ。また、a_{n+1} + 4a_{n} = 9·(-4)^{n-1} となることを示せ。最終的に a_{n} を求めよ。
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2 次方程式 \\( a x^{2}+b x+c=0 \\ \\ の 2 つ の解を \\ \\ \\alpha, \\beta とすると \\ \\ \\alpha+\\beta=-\\frac{b}{a}, \\alpha \\beta=\\frac{c}{a} \\
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3つの方程式の判別式を順に とする。それぞれが虚数解をもつような a の値の範囲を求めよ。\n\n方程式に基づき判別式の結果を使うこと。
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3 つの実数 はこの順序で等差数列になり, の順序で等比数列となる。 の積が 125 であるとき, の値を求めよ。
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(2) 2 次方程式 (1) が虚数解 α をもつとき α^2-k α+3 k-4=0。よって, α^2=k α-3 k+4 であるから α^4=(α^2)^2=(k α-3 k+4)^2=k^2 α^2-2 k(3 k-4) α+(3 k-4)^2=k^2(k α-3 k+4)-2 k(3 k-4) α+(3 k-4)^2=k^3-6 k^2+8 k, α-3 k^3+13 k^2-24 k+16
k は実数であるから, k^3-6 k^2+8 k,-3 k^3+13 k^2-24 k+16 も実。
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の方程式から \( (x-3)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}-4 a+5 \) となる。この方程式が直線 と異なる 2 点で交わるための条件を求めよ。
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数学 II 練習 61 本冊 p.133
x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-3=0 から
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=8
この円の中心 (1,2) は, 直線 x+2 y=5 上にある。したがって, この円と直線は 2 点で交 わる。次に, k を定数として, 次の方程式を 考える。
k(x+2 y-5)+x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-3=0
(1) は,与えられた円と直線の交点を通る図形を表す。(1) が点 (3,2) を通るとして, x=3, y=2 を代入すると
2 k-4=0
これを解いて
k=2
(1)に代入して
2(x+2 y-5)+x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-3=0
整理すると
x^{2}+y^{2}=13
したがって中心 (0,0), 半径 √13
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x^{2}+y^{2}=10
(3) y=2 x-8
5 x^{2}-32 x+54=0
この 2 次方程式の判別式を D とすると
frac{D}{4}=(-16)^{2}-5 cdot 54=-14
D<0 であるから,この 2 次方程式は実数解をもたない。 よって, 円(A)と直線(3)は,共有点をもたない。
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a = 1 のとき、 の方程式は となる。ここで k を定数として、次の方程式を考える。\n\\[ k( x^{2}+y^{2}-4 )+x^{2}-6 x+y^{2}-2 y+8=0 \\]\nこれが直線となるための条件を求めよ。
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数学 II\n\( f(x) \) が で極値をとるとすると, は の 2 つの解であるから,解と係数の関係より\n\nよって \( f(α)+f(β)=2 α^3-3 α^2+3 a α+2 β^3-3 β^2+3 aβ \)\n\( =2\left(α^3+β^3\right)-3\left(α^2+β^2\right)+3 a(α+β) \)\n\( =2\left\{(α+β)^3-3αβ(α+β)\right\}-3\left\{(α+β)^2-2αβ\right\}+3a(α+β) \)\n\( =2\left(1^3-3 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1\right)-3\left(1^2-2 \cdot \frac{a}{2}\right)+3a \cdot 1=3a-1 \)\n\( f(α)+f(β)=0 \) であるから \nしたがって \quad a=\frac{1}{3} \quad\left(これは \( a<\frac{1}{2} を満たす\)\n練習 \n\[\n f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b\]\n\( f(x) \) は極大値と極小値をとるから, 2次方程式 \( f^{\prime}(x)=0 \) すなわ ち \( 3x^2+2ax+b=0 \cdots \cdots (1) \) は異なる2つの実数解 をもつ。 で極大値, で極小値をとるから 。\n(1) の判別式を とすると \n\[\n(1)の判別式を D とすると D>0 \\\n\frac{D}{4}=a^2-3b であるから a^2-3b>0\]\n (1)で,解と係数の関係により \n\[\n よって a=-\frac{3}{2}(α+β), \quad b=3αβ\]\nしたがって\n\[\n f(α)-f(β) =\left(α^3-β^3\right)+a\left(α^2-β^2\right)+b(α-β) \\\n= (α-β)\left\{\left(α^2+αβ+β^2\right)+a(α+β)+b\right\} \\\n= (α-β)\left\{\left(α^2+αβ+β^2\right)-\frac{3}{2}(α+β)(α+β)+3αβ\right\} \\\n= (α-β)\left(-\frac{1}{2}α^2+αβ-\frac{1}{2} β^2\right) \\\n= (α-β)\left\{-\frac{1}{2}(α-β)^2\right\}=\frac{1}{2}(β-α)^3\]\n\( f(α)-f(β)=4 \) であるから \( \quad \frac{1}{2}(β-α)^3=4 \)\nよって \( \quad (β-α)^3=8 \)\nゆえに, から \( \quad(β-α)^2=4 \)\nここで \( \quad (β-α)^2=(α+β)^2-4αβ \n=\left(-\frac{2}{3}a\right)^2-4 \cdot \frac{b}{3}=\frac{4(a^2-3b)}{9}\)\nよって \( \quad \frac{4(a^2-3b)}{9}=4 \) すなわち これは(2)を満たす。\nゆえに, を代入して \( \quad a^2-3\left(a^2-5\right)=9 \)\nよって \n したがって\n との条件から, 2点 \( (\α, f(α)) \), \( (β, f(β)) \) を結ぶ線分の中点 \( \left(\frac{α+β}{2}, \frac{f(α)+f(β)}{2}\right) \)の座標は \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \)\nよって, \( f\left(\frac{1}{2}\right)=0 \) から \( 2\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-3\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+3 a \cdot \frac{1}{2}=0 \) これを解いてもよい。\n\( f(x) の x^3 の係数 >0 \) から。\n(3) を代入して, のみの式にすると計算がらく。\n
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異なる2つの解がともに 4 より大きいための条件は
D>0 かつ (α-4)+ (β-4)>0 かつ (α-4)(β-4)>0
D>0 から (m+2)(m-10)>0
よって m<-2,10<m
(α-4)+ (β-4)>0 から α+β-8>0
ゆえに m-8>0 よって m>8
(α-4)(β-4)>0 から m<21/2
(1), (2), (3) の共通範囲を求めて
10<m<21/2
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線分 の中点 \( \left(\frac{3+p}{2}, \frac{4+q}{2}\right) \) は直線 上にあるから
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例題 38 重解をもつ 3 次方程式\n3 次方程式 \( x^{3}+(a-1) x^{2}+2 a x-3 a=0 \) の 3 つの解のうちのちょうど 2 つが等しいとき,定数 の値を求めよ。
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21 Q(x) を2 次式とする。整式 P(x) は Q(x) では割り切れないが, {P(x)}^{2} は Q(x) で割り切れるという。このとき, 2 次方程式 Q(x)=0 は重解をもつことを示せ。
[京都大]
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(3)真数は正であるから \ \\quad x-2>0 \ かつ \ 3-x>0 \\ \\text { よって } \\quad 2<x<3 \ \\( 2 \\log _{4}(3-x)=\\log _{2^{2}}(3-x)^{2}=\\log _{2}(3-x) \\) であるから
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これをbの 2 次方程式とみて解くと\n\\[\n\\begin{aligned}\nb & =\\frac{-(-3) \\pm \\sqrt{(-3)^{2}-3\\left\\{-\\left(a^{2}-2 a-2\\right\\}\\}}{3} \n& =\\frac{3 \\pm \\sqrt{3 a^{2}-6 a+3}}{3}=\\frac{3 \\pm \\sqrt{3(a-1)^{2}}}{3}=\\frac{3 \\pm \\sqrt{3}(a-1)}{3}\n\\end{aligned}\n\\]\n1<b<a であるから\n\\[\\\nb=\\frac{3+\\sqrt{3}(a-1)}{3}=\\frac{\\sqrt{3} a+3-\\sqrt{3}}{3}\\\n\\]\n参考 x=b における f(x) の微分係数は\n\\[\n\\begin{array}{l} \\\nf(b+h)-f(b)=(b+h)^{3}-3(b+h)^{2}-\\left(b^{3}-3 b^{2}\\right) \\\\n=h^{3}+(3 b-3) h^{2}+\\left(3 b^{2}-6 b\\right) h \\text { から } \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(b+h)-f(b)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0}\\left\\{h^{2}+(3 b-3) h+3 b^{2}-6 b\\right\\}=3 b^{2}-6 b\n\\end{array}\\\n\\]\nと求めてもよい。
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重要例題 27 | 2 つの方程式の解
のとき, 次の の 2 次方程式はいずれも 2 つの実数解をもち, (2) の解のうち 1 つだけが (1) の解の間にあることを示せ。
[京都大]
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野菜Aには 1 個あたり栄養素 x₁ が 8 g, 栄養素 x₂ が 4 g, 栄養素 x₃ が 2 g 含まれ,野菜Bには1個あたり栄養素 x₁ が 4 g, 栄養素 x₂ が 6 g, 栄養素 x₃ が 6 g 含まれている。これら 2 種類の野菜をそれぞれ何個かずつ選んでミックスし,野菜ジュースを作る。選んだ野菜は丸ごとすべて用いて, 栄養素 x₁ を 42 g 以上,栄養素 x₂ を 48 g 以上, 栄養素 x₃ を 30 g 以上含まれるようにしたい。野菜 A の個数と野菜 B の個数の和をなるべく小さくしてジュースを作るとき, 野菜 A の個数 a と野菜 B の個数 b の組 (a, b) は
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綀習 本冊 とおくと\n\[\begin{aligned} b_{n+1} & =\frac{a_{n+1}-\beta}{a_{n+1}-\alpha}=\frac{\frac{4 a_{n}-2}{a_{n}+1}-\beta}{\frac{4 a_{n}-2}{a_{n}+1}-\alpha}=\frac{(4-\beta) a_{n}-(2+\beta)}{(4-\alpha) a_{n}-(2+\alpha)} \\ & =\frac{4-\beta}{4-\alpha} \cdot \frac{a_{n}-\frac{2+\beta}{4-\β}}{a_{n}-\frac{2+\α}{4-\α}} \cdots \cdots\end{aligned}\]\n\nここで,数列 が等比数列になるための条件は\n\n\nよって, は2次方程式 \( 2+x=x(4-x) \) の2つの解であり, を解くと, \( (x-1)(x-2)=0 \)から とすると \nこのとき, (1) は また \nゆえに \( b_{n}=2 \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \) よって \( \frac{a_{n}-1}{a_{n}-2}=2\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \)\nゆえに \( 2^{n-2}\left(a_{n}-1\right)=3^{n-1}\left(a_{n}-2\right) \)\nしたがって
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湖 37 本冊 p.119
求める円の方程式を x^2+y^2+lx+my+n=0 とする。この円が A(8,5) を通るから 8^2+5^2+8l+5m+n=0
B(1,-2) を通るから 1^2+(-2)^2+l-2m+n=0
C(9,2) を通るから 9^2+2^2+9l+2m+n=0
これらを整理すると
8l+5m+n=-89
l-2m+n=-5
9l+2m+n=-85
(1)〜(3)を連立して解くと l=-8, m=-4, n=-5
したがって, 求める方程式は x^2+y^2-8x-4y-5=0
別解 ABC の外心が求める円の中心である。
線分 AB の垂直二等分線の方程式は y-3/2=-1(x-9/2) すなわち y=-x+6
4(x+5)^2+(y-4)^2=r^2 に x=y=0 を代入して もよい。
1(1)-(2) ÷ 7 から l+m=-12 (1)-(3) から l-3m=-4 よって 4m=-16 など。
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例 4 | 等差数列をなす 3 数\n等差数列をなす 3 つの数があって, その和は 18 , 積は 162 である。この 3 つの数 を求めよ。
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このとき, の判別式を とすると,\( D=p^{2}-4 q=\left(-\frac{33}{8}\right)^{2}-11>0 \) であるから, は異なる。以上から, 求める の值は
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例えば, 3 次方程式 \( (x-3)\\left(x^{2}-2\\right)=0 \) すなわち を解いてみよう。この方程式の解は何ですか?
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(2) 直方体の体積を V とすると V = x y z (2), (3), (4) から, x, y, z は t の 3 次方程式 t^3 - 5 t^2 + 8 t - V = 0 の解である。正の数 x, y, z が存在するための条件は, 3 次方程式 (5) が 3 つの 正の解をもつことである。
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(1)
(a+b i)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b i+3 a(b i)^{2}+(b i)^{3}
=(a^{3}-3 a b^{2})+(3 a^{2} b-b^{3}) i
よって (a^{3}-3 a b^{2})+(3 a^{2} b-b^{3}) i=-16+16 i
a, b は実数であるから, a^{3}-3 a b^{2}, 3 a^{2} b-b^{3} も実数である。ゆえに a^{3}-3 a b^{2}=-16
3 a^{2} b-b^{3}=16
(1)+(2) から
a^{3}-3 a b^{2}+3 a^{2} b-b^{3}=0
(a-b)(a^{2}+a b+b^{2})+3 a b(a-b)=0
(a-b)(a^{2}+4 a b+b^{2})=0
したがって a=b または a^{2}+4 a b+b^{2}=0
[1] a=b のとき(2)から 2 a^{3}=16 すなわち a^{3}-8=0
よって (a-2)(a^{2}+2 a+4)=0
a^{2}+2 a+4=(a+1)^{2}+3>0 より, a-2=0 であるから
a=2
このとき b=2
a, b はともに整数である。
[2] a^{2}+4 a b+b^{2}=0 のとき(a+2 b)^{2}=3 b^{2} から a=(-2 ± sqrt(3)) b
b=0 のとき, a=0 となるが, これは(1), (2) を満たさない。したがって, bは0でない整数であるが, この場合, (3) より a は無理数となるから,これは a が整数であることに反する。よって, a^{2}+4 a b+b^{2}=0 を満たす整数 a, b は存在しない。
以上から a=2, b=2
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例題 42 | 定点を通る直線の方程式\nk は定数とする。直線 (2 k+1) x+(k-4) y-7 k+1=0 は k の値に関係なく定点 を通る。その定点の座標はア □ である。また, この直線の傾きが 1/3 となると きの k の値はイ □ である。\n[福岡大]
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以下の問題を解いてください: a_{n+1}=3 a_{n}+8 から a_{n+2}=3 a_{n+1}+8 辺々引くと a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n}) b_{n}=a_{n+1}-a_{n} とおくと b_{n+1}=3 b_{n} また b_{1}=a_{2}-a_{1}=(3 * 2+8)-2=12 よって, 数列 {b_{n}} は初項 12 , 公比 3 の等比数列で b_{n}=12 * 3^{n-1}
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2つの方程式の一方だけが虚数解をもつための条件を求めよ。\n\n条件は D_{1} < 0 \]と\[ D_{2} < 0 で、それぞれの場合を考える。
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総合演習
別解 の方程式 を \( y=g(a) \) とすると
\[
\begin{aligned}
g(a) & =-a^{2}+2 a x \\
& =-(a-x)^{2}+x^{2}
\end{aligned}
\]
放物線 \( y=g(a) \) の軸は直線 である。
また, (1) から
[1] のとき
\( g(2)<g(a)<g(-1) \) すなわち
[2] のとき
\( g(2)<g(a) \leqq g(x) \) すなわち
[3] のとき
\( g(-1)<g(a) \leqq g(x) \) すなわち
[4] のとき
\( g(-1)<g(a)<g(2) \) すなわち
[1] ~[4] で求めた領域は, が通過する領域であるから,その補集合が領域Dである。
(3)
\[
\begin{array}{ll}
y(y+5) \leqq 0 \text { から } & -5 \leqq y \leqq 0 \\
\text { よって, } x^{2} \geqq 0 \text { より } & y-x^{2} \leqq 0 \\
y-x^{2}=0 \text { のとき } & x=y=0
\end{array}
\]
原点は領域 に含まれないから,除外して考える。
のとき, \( \left(y-x^{2}\right)\left(y+x^{2}-2 x+5\right) \leqq 0 \) から
ゆえに, 領域 を表す連立不等式は
と同値である。すなわち
\[
\begin{array}{l}
y \geqq-x^{2}+2 x-5 \quad \text { かつ } \quad-5 \leqq y \leqq 0 \\
y=-x^{2}+2 x-5, \quad y=-2 x-1 \text { から } \\
x=2, \quad y=-5 \\
y=-x^{2}+2 x-5, y=4 x-4 \text { から } \\
x=-1, \quad y=-8 \\
y=-x^{2}+2 x-5, \quad y=-5 \text { から } \\
x=0,2 \\
\frac{1}{2} \cdot\left\{2-\left(-\frac{1}{4}\right)\right\} \cdot\{-2-(-5)\} \\
-\int_{0}^{2}\left\{-x^{2}+2 x-5-(-5)\right\} d x \\
=\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot 3-\int_{0}^{2}\{-x(x-2)\} d x \\
=\frac{27}{8}-\frac{1}{6}(2-0)^{3} \\
=\frac{27}{8}-\frac{8}{6}=\frac{49}{24} \\
\end{array}
\]
よって, と Eの共通部分は右の図の 斜線部分であり, 求める面積は
4xを固定して, を の関数とみる。グラフは 上に凸の放物線。
軸が区間の左外。軸が区間の左半分。
\軸が区間の右半分。軸が区間の右外。
2 直線 , は, 放物線 の接線。
\( \boldsymbol{\Lambda A}\left(\frac{1}{2},-2\right), \mathrm{B}\left(-\frac{1}{4},-5\right) \), \( \mathrm{C}(2,-5) \) とする。
放物線 と直線 で囲まれ た部分の面積を とす ると, 求める面積は
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例 18 解の対称式の値 (2)\n2 次方程式 \( 2 x^{2}+4 x+3=0 の 2 つの解を \( \\alpha, \\beta とするとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) \\alpha^{5}+\\beta^{5}\n(2) (\\alpha-1)^{4}+(\\beta-1)^{4}
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(1) は方程式の解ではないから, 方程式の両辺を で割ると\n\[\n\begin{array}{l}\nx^{2}-8 x+17-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0 \\\n\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-8\left(x+\frac{1}{x}\right)+17=0 \\\n\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2\right\}-8\left(x+\frac{1}{x}\right)+17=0\n\end{array}\] \n とおくと \( \quad\left(t^{2}-2\right)-8 t+17=0 \n整理して よって \n[1] のとき すなわち これを解いて \n[2] のとき すなわち これを解いて \nしたがって, 求める解は
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練習 43\n方程式 2 x - y - 1 = 0 と x + 5 y - 17 = 0 の交点を通る直線が、4 x + 3 y - 6 = 0 に平行になるときの方程式を求めよ。
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次の問題を解きなさい。
2直線が平行になるための条件は (a-2)(a-2) - 1 * a = 0。
それを整理して a^2 - 5a + 4 = 0 よって (a-1)(a-4)=0 したがって a = 1, 4。
2直線が垂直になるための条件は (a-2) * 1 + a(a-2) = 0 それを整理して a^2 - a - 2 = 0 よって (a+1)(a-2) = 0 したがって a = -1, 2。
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76 (2) \(2 x+y=6\left(\frac{8}{3} \leqq x \leqq 5\right)\) のとき最大値 6 ; のとき最小値 -1
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例 17 | 解の対称式の値 (1)\n2 次方程式 \n(1) \n(4) \nの 2 つの解を とするとき, 次の式の値を求めよ。\n(2) \n(3) \( (\\alpha-\\beta)^{2} \)\n(5) \n(6)
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(2) x²+px+q=0 において, 解と係数の関係から α+β=-p, αβ=q
x²+qx+p=0 において, 解と係数の関係から
α(β-2)+β(α-2)=-q
α(β-2)+β(α-2)=p
2αβ-2(α+β)=-q
よって, 2q+2p=-q
ゆえに 2p+3q=0
(2) から αβ+αβ-2(α+β)+4=p よって, (1) から q(q+2p+4)=p (4) p=-3/2 q
(6) を (5) に代入して整理すると 4q²-11q=0 すなわち q(4q-11)=0
これを解くと q=0, 11/4
q=0 のとき, (6) から p=0
このとき, α=0, β=0 となり, α, β が異なることに反する。 q=11/4 のとき, (6)から p=-33/8 と解けます。
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2 次方程式 (1), (2) の判別式をそれぞれ D1, D2 とする。
D1: a^2-k, D2: a^2-(a-1)=a^2-a+1
よって2はaの値に関係なく異なる2つの実数解をもつ。また(1)が実数解を持つための必要十分条件はD1≧0.
したがってa^2-k≧0、すなわちk≦a^2となる。
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等式を整理すると\n\\[\n\\left(10^{x-y}+10^{y-z}\\right) l+10^{x-z} m-x n=13 l+36 m+y n\n\\]\n\n等式 (1) が \ l, m, n \ の恒等式となるための必要十分条件は\n\\n\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}\n10^{x-y}+10^{y-z}=13 \\\\\n10^{x-z}=36 \\\\\n-x=y\n\\end{\overlineray}\\right.\n\\n\nこのとき, 等式 (1) はどのような整数 \ l, m, n \ に対しても成り立 つ。\n\ 10^{x-z}=10^{x-y} \\cdot 10^{y-z} \ であるから, (3) より\n\\n10^{x-y} \\cdot 10^{y-z}=36\n\\n(2), (5)から, \ 10^{x-y}, 10^{y-z} \ は \ t \ についての 2 次方程式 \ t^{2}-13 t+36=0 \ の 2 つの解である。\nこの 2 次方程式を解くと, \\( (t-4)(t-9)=0 \\) から \ \\quad t=4,9 \ よって \\( \\quad\\left(10^{x-y}, 10^{y-z}\\right)=(4,9),(9,4) \\)\n[1] \\( \\left(10^{x-y}, 10^{y-z}\\right)=(4,9) \\) のとき\n\ 10^{x-y}=4 \ と (4) から \ \\quad 10^{2 x}=4 \ すなわち \\( \\quad\\left(10^{x}\\right)^{2}=2^{2} \\)\n\ 10^{x}>0 \ であるから \ \\quad 10^{x}=2 \\nゆえに \ \\quad x=\\log _{10} 2 \\nこのとき \ \\quad y=-\\log _{10} 2 \\n\nまた, \ 10^{y-z}=9 \ から \ \\quad y-z=\\log _{10} 9 \\n\\[\n\\text { よって } \\begin{aligned}\nz & =y-\\log _{10} 9=-\\left(\\log _{10} 2+\\log _{10} 9\\right) \\\\\n& =-\\log _{10} 18\n\\end{aligned}\n\\]\n[2] \\( \\left(10^{x-y}, 10^{y-z}\\right)=(9,4) \\) のとき\n\ 10^{x-y}=9 \ と (4)から \ 10^{2 x}=9 \ すなわち \\( \\left(10^{x}\\right)^{2}=3^{2} \\)\n\ 10^{x}>0 \ であるから \ \\quad 10^{x}=3 \\nゆえに \ \\quad x=\\log _{10} 3 \ このとき \ \\quad y=-\\log _{10} 3 \\nまた, \ 10^{y-z}=4 \ から \ \\quad y-z=\\log _{10} 4 \\nよって \\( z=y-\\log _{10} 4=-\\left(\\log _{10} 3+\\log _{10} 4\\right) \\)\n\\n=-\\log _{10} 12\n\\n[1], [2] から, 求める実数の組 \\( (x, y, z) \\) は\n\\[\n\\begin{aligned}\n(x, y, z)= & \\left(\\log _{10} 2,-\\log _{10} 2,-\\log _{10} 18\\right), \\\\\n& \\left(\\log _{10} 3,-\\log _{10} 3,-\\log _{10} 12\\right)\n\\end{aligned}\n\\]
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(3) \( f(x)=\\left(x^{4}-16\\right)-32(x-2) \) とすると \( \\begin{aligned} f^{\\prime}(x) & =4 x^{3}-32=4\\left(x^{3}-8\\right) \\ & =4(x-2)\\left(x^{2}+2 x+4\\right) \\end{aligned} \( f^{\\prime}(x)=0 \) とすると \( f(x) \) の増減表は右のようになる。ゆえに, \( f(x) \) は で最小値 0 をとる。\\begin{tabular}{c||c|c|c} \\hline & & 2 & \\ \\hline\( f^{\\prime}(x) \) & - & 0 & + \\ \\hline\( f(x) \) & & 極小 & \\ \\hline \\end{tabular} よって, すべての実数 に対して \( f(x) \\geqq 0 したがって \\quad x^{4}-16 \\geqq 32(x-2)
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次の等式を示せ:\n\na^3 + b^3 + c^3 = -3(a + b)(b + c)(c + a) \nただし、a + b + c = 0 とする。
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次の条件を満たすように、定数 k の値を定めよ。\n(1) 1 つの解が他の解の 2 倍\n(2) 1 つの解が他の解の 2 乗
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(2) (1), \( \qquqqu )\n(1) -(2) から\n\n(2) -(1) から\n\n\nこれらを に代入すると\n\[ p(5 z+4)^{2}+q(-7 z-5)^{2}+r z^{2}=12 \]\n\nよって \( (25 p+49 q+r) z^{2}+10(4 p+7 q) z+16 p+25 q=12 \)\nこれがすべての実数 にいて成り立つから\n \\begin{\overlineray}{l} 25 p+49 q+r=0 \\\\\ 4 p+7 q=0 \\\\\ 16 p+25 q=12 \\\\\ \end{\overlineray} \n\n(4), (5) を解くと\n\n(3) に代入して\n\n\nしたがって\n
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実数 a, b に対し, f(x)=x^{3}-3 a x+b とおく。 -1≤x≤1 における |f(x)| の最大値を M とする。
(1) a>0 のとき, f(x) の極値を a, b を用いて表せ。
(2) b≥0 のとき, M を a, b を用いて表せ。
(3) a, b が実数全体を動くとき,Mのとりうる値の範囲を求めよ。 [東京医歯大]
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点 の座標を \( (a, b) \) とする。点 を通る傾き の直線 \( y=m(x-a)+b \) と曲線 の共有点の 座標は、方程式\n\[x^{3}-x=m(x-a)+b\]の実数解である。この方程式が相異なる3つの実数解をもつとき、直線 は曲線 と相異なる3点で交わることを示せ。
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次の条件を満たす場合、 k の値を求めなさい。
1. 3 次方程式 f(x)=0 について、解と係数の関係は 次のように与えられる。
α + β + γ = k, αβ + βγ + γα = 0, αβγ = 1
2. 3次方程式 g(x)=x^3 + ax^2 + bx + c について、解と係数の関係は次のように与えられる。
αβ + βγ + γα = -a, αβ・βγ + βγ・γα + γα・αβ = b, αβ・βγ・γα = -c
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2 異なる 2 点 \\( (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \\) を通る直線の方程式を求めよ。
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次の 2 数を解とする 2 次方程式を 1 つ作れ。\n(1) 2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3} \n(2) 3+5 i, 3-5 i
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与えられた数列が等差数列であるとすると初項は 5 , 公差は -2-5=-7この等差数列の第 n 項が -1010 であるとすると5+(n-1)・(-7)=-1010より 7n=1022 ゆえに n=146 (自然数)したがって, 与えられた数列は等差数列となることができる。また, -1010 は第 146 項 である。
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数学 \n159\n\( \tan (\alpha+\beta) \) が整数となるとき\n\[\n\tan (\alpha+\beta)=-3,-2,-1\n\]\n\nまた \( \quad \tan (\alpha+\beta)=\frac{m+n}{1-m n}=-\frac{m+n}{m n-1} \)\n[1] \( \tan (\alpha+\beta)=-3 \) のとき\n\[\n\frac{m+n}{m n-1}=3 \text { から } \quad m+n=3(m n-1)\n\]\n\nゆえに\n\n\n両辺に 3 を掛けて \n\[\n\text { よって } \quad(3 m-1)(3 n-1)=10\n\]\n は整数で, より, であるから\n\[\n(3 m-1,3 n-1)=(2,5)\n\]\nしたがって\n\[\n(m, n)=(1,2)\n\]\n[2] \( \tan (\alpha+\beta)=-2 \) のとき\n\[\n\frac{m+n}{m n-1}=2 \text { から } \quad m+n=2(m n-1)\n\]\n\nゆえに\n\n2 m n-m-n-2=0\n\]\n\n両辺に 2 を掛けて\n\[\n4 m n-2 m-2 n-4=0\n\n\nよって\n\[\n(2 m-1)(2 n-1)=5\n\]\n は整数で, より, であるから\n\[\n(2 m-1,2 n-1)=(1,5)\n\]\nしたがって \( \quad(m, n)=(1,3) \)\n[3] \( \tan (\alpha+\beta)=-1 \) のとき\n\n\frac{m+n}{m n-1}=1 \text { から } \quad m+n=m n-1\n\]\n\nゆえに\n\[\nm n-m-n-1=0\n\n\nよって\n\[\n(m-1)(n-1)=2\n\]\n は整数で, より,\n であるから\n\[\n(m-1, n-1)=(1,2)\n\]\nしたがって \( \quad(m, n)=(2,3) \)\n[1] [3] から, 求める組 \( (m, n) \) は\n\[\n(m, n)=(1,2),(1,3),(2,3)\n\]\n
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練習39⇒本冊p.91\\ 3 次方程式の解と係数の関係から \\ α+β+γ=2, \\αβ+βγ+γα=0, αβγ=4\\
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練習方程式 \( x^{2}+y^{2}-4 k x+(6 k-2) y+14 k^{2}-8 k+1=0 \) が円を表すとき\n (1) 定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) の値がこの範囲で変化するとき, 円の中心の軌跡を求めよ。
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x-2y+z=4 および 2x+y-3z=-7 を満たす x, y, z のすべての値に対して, ax^2+2by^2+3cz^2=18 が成り立つ。このとき, 定数 a, b, c の値を求めよ。
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EX x - 2y + z = 4 および 2x + y - 3z = -7 を満たす x, y, z のすべての値に対して, 次を満たす定数 a, b, c の値を求めよ。 19ax² + 2by² + 3cz² = 18
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等式 \( 3 x^{2}-2 x-1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c \) が, についての 恒等式であるように, 定数 の値を定めよ。
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次の 3 次方程式の異なる実数解の個数を求めよ。\n(1)\n(1) -x^{3}+3 x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3 x^{2}+3 x+1=0
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TR 3 次方程式 \( x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0 \) が 2 重解をもつとき, 定数 の値を求めよ。
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TRAINING 80
次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (2,3) を通り, 直線 3x+2y+1=0 に平行な直線
(2) 点 (-2,-3) を通り, 直線 2x+5y=3 に垂直な直線
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TRAINING 47
和と積が, 次のようになる 2 数を求めよ。
(1)和が 2 , 積が -2
(2)和が -6 , 積が 2
(3)和が 4 , 積が 5
(4)和が -1 , 積が 2
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次の2次方程式の解の種類を判別せよ。ただし,(4)のkは定数とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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与えられた多項式 \( P(x) = 5x^3 - 4x^2 + ax - 2 \) が および で割り切れる条件を求めよ。
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次の2次方程式の解の種類を判別せよ。ただし,(4)のkは定数とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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2 次方程式 \( x^{2}+2(a+3) x-a+3=0 \) がともに 1 より大きい異なる 2 つの解を もつとき, 定数 の値の範囲を求めよ。
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2 次方程式 の 2 つの解 と判別式 について:\n1. は異なる 2 つの正の解 かつ かつ \n2. は異なる 2 つの負の解 かつ かつ \n3. は符号の異なる解
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\ 69 x=\\frac{3 \\pm \\sqrt{5}}{2}, \\frac{5 \\pm \\sqrt{21}}{2} \
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2 次方程式の実数解 と実数 の大小関係 の符号を考える\n\n和 \( (\\alpha-k)+(\\beta-k) \), 積 \( (\\alpha-k)(\\beta-k) \) の符号に注目
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次の3次方程式の異なる実数解の個数を求めよ。\n(1) 2x^{3}-3x^{2}-12x+1=0\n(2) x^{3}-3x-2=0
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2 次方程式 \( x^2 + 2(m-1)x + 2m^2 - 5m - 3 = 0 \) が次の条件を満たすように、定数 の値の範囲を定めよ。\n(1) 2 つの正の解をもつ。\n(2) 異なる 2 つの負の解をもつ。\n(3) 異符号の解をもつ
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初項から第 3 項までの和が -7 , 第 3 項から第 5 項までの和が -63 である等比数列の 初項と公比を求めよ。
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高次方程式:\n の方程式 \( x^{3}-a x^{2}+(3 a-1) x-24=0 \) の解のうち, 1 つは であるという。このとき, 定数 の値と他の解を求めよ。
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の 2 つの解を \( \\alpha, \\beta ) とするとき, 次の式の値を求めよ\n(1) \( \\alpha \\beta^2 + \\alpha^2 \\beta )\n(2) \( \\alpha^2 + \\beta^2 )\n(3) \( \\alpha^3 + \\beta^3 )\n(4) \( (\\alpha-\\beta)^2 )\n(5) \( \\frac{1}{\\alpha} + \\frac{1}{\\beta} )\n(6) \( \\frac{\\beta}{\\alpha} + \\frac{\\alpha}{\\beta } )
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2 次方程式 \( 4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0 \) について, 次の問いに答えよ。\n(1)2つの虚数解をもつとき,定数 の値の範囲を求めよ。\n(2)重解をもつとき,定数 の値とそのときの重解を求めよ。
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2 次方程式 の 2 つの解を とするとき,次の式の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( \left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\right)^{2} \)
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2 次方程式 2x²-3x+5=0 の 2 つの解を α, β とするとき, 1/α, 1/β を解とする 2 次方程式は?
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TRAINING 125
0 ≤ θ < 2π のとき, 次の方程式を解け。
(1) 2cos²θ - √3sinθ + 1 = 0
(2) 2sin²θ + cosθ - 2 = 0
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2次方程式 \(x^{2}+(m-2)x+10-m=0\) が整数解のみをもつような定数 の値と、そのときの整数解をすべて求めよ。
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方程式から \( \left\{\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\right\}^{2}-6 \cdot 5\left(\frac{1}{5}\right)^{x}+125=0 \) を解け。
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等式 \( x^{2}+2 x-1=a(x+3)^{2}+b(x+3)+c \) が, についての恒等式であるように, 定数 の値を定めよ。
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TR
0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式を解け。
125
(1) 2 \cos ^{2} \theta-\sqrt{3} \sin \theta+1=0
(2) 2 \sin ^{2} \theta+\cos \theta-2=0
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次のような直線の方程式を求めよ。 \n(1) 傾きが -2, y 切片が 3 \n(2) 点 (4,2) を通り, 傾きが 3 \n(3)点 (-3,0) を通り, 傾きが -5 \n(4)点(2,-1)を通り, 傾きが 1/2 \n(5) 点 (-2,7) を通り, x 軸に垂直 \n(6)点 (3,2) を通り, x 軸に平行
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第 3 章 高次方程式- 45 TR の方程式 \( x^{3}-a x^{2}+(3 a-1) x-24=0 \) の解のうち, 1 つは であるという。このとき, 定数 の値と他の解を求めよ。
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2 次方程式 \( 4 x^{2}+4(m+2) x+9 m=0 \) について,次の問いに答えよ。\n(1) 2 つの虚数解をもつとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n(2)重解をもつとき, 定数 の値とそのときの重解を求めよ。
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次の 2 次方程式の解の種類を判別せよ。ただし,(4)の k は定数とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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2次方程式の解と係数の関係を示せ。2次方程式 の解を と とすると、解の公式を用いて次の関係を示せ。\n\n1. 解の和 \n2. 解の積
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S_{2}=2 S_{1} のとき \\quad-\\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9 すなわち \\quad(m+3)^{3}=-54 m は実数であるから \\quad m=-3-3 \\sqrt[3]{2}
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恒等式「どのような……対してもの极し
(k-1) x+(3-2 k) y+4 k-7=0 が k のどのような値に対しても成り立つとき, x, y の値を求めよ。
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次の 2 点を通る直線の方程式を求めよ。
(1) (4,4),(-2,5)
(2) (4,1),(6,-3)
(3) (3,0),(0,5)
(4) (4,0),(0,-2)
(5) (2,2),(2,-8)
(6) (5,-1),(3,-1)
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数列 \ \\frac{1}{3}, \\frac{1}{x}, \\frac{1}{2} \ は等差数列である。xを求めよ。
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基本例題 62\n準 64 高次方程式の䏡数決定 (1) ……実数解の等件\n3 次方程式 は -1 と -3 を解にもつという。\n(1) 定数 の値を求めよ。\n(2)この方程式の他の解を求めよ。
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《基本例題 42》発展例題 54 準 49 2 次方程式の解の存在範囲 (1) 2 次方程式 が異なる 2 つの正の解をもつとき, 定数 の値の範囲を求めよ。 [類 関西学院大]
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次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。
1. -\frac{3}{2}, \frac{4}{3}
2. \frac{3-\sqrt{2}}{2}, \frac{3+\sqrt{2}}{2}
3. \frac{2-\sqrt{5}i}{3}, \frac{2+\sqrt{5}i}{3}
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多項式 \( P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r \) を考える。 3 次方程式 \( P(x)=0 \) の解が -2 と 2 つの自然数 \( α, β(α<β) \) である時, α, β と を求めよ。
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EX の 2 次方程式 が次のような解をもつとき, 定数 の値と 2 つの解を求 25 めよ。
(1) 2 つの解の差が 2
(2) 2 つの解の比が
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Ł 2 次方程式 の 2 つの解が次の条件を満たすとき, 定数 の値と 2 つの解 を,それぞれ求めよ。\n(1) 1 つの解が他の解の 3 倍である。\n(2) 2 つの解の比が である。
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TRAINING 25次の条件によって定められる数列 \left\{a_{n}\right\} の一般項を求めよ。(1) a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}-3(2) a_{1}=1,2 a_{n+1}-a_{n}+2=0
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3 次方程式 \( x^{3}+(a-5) x^{2}+(a+8) x-6 a-4=0 \) を考える。\n(1) この方程式はどのような の値についても, を解にもつ。\n(2) この方 この方的方 工 である。ただし,イ
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次の表に基づいて「高次方程式」の情報を見つける。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline...高次方程式 & 107...
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次の 2 次方程式を解け。\n(1) から よって \n(2) 左辺を因数分解して \( \quad(2 x+1)(3 x-2)=0 \) よって \n(3) \( x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}=\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)\n(4) 方程式の両辺を 3 で割ると よって \( \quad x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^{2}-2 \cdot 5}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{-6}}{2} \)\n\f\n=\n
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2 次方程式 の 2 つの解が次の条件を満たすとき、定数 の値と 2 つの解を、それぞれ求めよ。\n(1)1つの解が他の解の 3 倍である。\n(2)2 つの解の比が である。
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実数 に対して, \( f(x) = x^{2} + 2x - a^{2} + 2a \) とおく。 (1) 2次方程式 \( f(x) = 0 \) の解を を用いて表せ。 (2)放物線 \( y = f(x) \) と 軸および直線 で囲まれた2つの部分の面積が等しいとき, \( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \) を示し, このときの の値を求めよ。
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87 円の方程式を求める (2) ……通る 3 点が条件\n3 点 (1,3),(4,2),(5,-5) を通る円の方程式を求めよ。
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等式 を証明する 3 つの方法\n\n等式 は、条件がつくこともあるが、基本的には恒等式である。そして、等式の証明の方法としては、次の 3 つのスタイルがある。\n\n(1) 両辺を比較し、複雑な方の辺を変形して、簡単な方の辺を導く。\n\n 変形 \n(または 変形 )\n\nよって \n\n(2) 両辺を別々に変形して、同じ式 を導く。\n\n 変形 \n\n 変形 \n\nよって \n\n(3) を変形して、 を示す。\n\n 変形 \n\nよって
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次の方程式の解を求めよ。\n(1) 7\n(2) 3\n(3) \ \\frac{1}{2} \\n(4) 6\n(5) 2\n
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EX x \ の方程式 \( a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2} \\) が実数解をもつとき, 定数 a \ の值の範囲を求めよ。 22\n[国士舘大]\n
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次のような直線の方程式を求めよ。 \n(1)点 (3,0)を通り,傾きが2 \n(2)点 (-1,4) を通り,傾きが -3 \n(3)点 (3,2) を通り,x 軸に垂直 \n(4) 点 (1,-2) を通り, x 軸に平行
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EX 関数 \ y=4^{x}+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x} \ は, \ x=a \ のとき最小値 \ b \ をとる。 \ |a+b| \ の值を求めよ。 { }^{4} 101 \
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46 (1) 6x^2 + x - 12 = 0 (2) 4x^2 - 12x + 7 = 0 (3) 3x^2 - 4x + 3 = 0
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次の等式が についての恒等式であるように,定数 の値を定めよ。(1) \( (a+b-3) x^{2}+(2 a-b) x+3 b-c=0 \)
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3つ目の式を最初の式に代入して次の方程式を得る。
a^{2} + (-7a + 25)^{2} = 25
整理すると次の二次方程式が得られる。
a^{2} - 7a + 12 = 0
ゆえに以下の解を得る。
(a - 3)(a - 4) = 0 よって a = 3, 4
この値を3つ目の式に代入すると次の通りである。
a = 3のとき b = 4, a = 4のとき b = -3
したがって、接線の方程式は次の通りである。
3x + 4y = 25, 4x - 3y = 25
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EX についての 3 次方程式 \( x^{3}+(a-5) x^{2}+(a+8) x-6 a-4=0 \) を考える。\n(1)この方程式はどのような の値についても, を解にもつ。\n(2)この方程式が異なる 2 つの実数解をもつとき, , である。ただし, とする。 [立命館大]
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TRAINING 190 関数 f(x)=a x^{3}+3 a x^{2}+b(-1 ≤ x ≤ 2) の最大値が 10 , 最小値が -10 であるとき,定数 a, b の値を求めよ。
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S_{2}=2 S_{1} のとき \\frac{1}{6}(m+3)^{3}=9 すなわち (m+3)^{3}=54 m は実数であるから m=-3+3 \\sqrt[3]{2}
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40 k=0 のとき 1 つの実数解 ; k=-1 のとき 重解 ; -1<k<0,0<k のとき 異なる 2 つの実数解 ; k<-1 のとき 異なる 2 つの虚数解
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(1) のとき, であることを証明せよ。\n(2) を で割ったときの商と余りを求めよ。\n(3) のとき, の値を求めよ。
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次の 2 直線 l1, l2 が平行, 垂直になるような m の値をそれぞれ求めよ。
l1: mx+y=1,
l2:(m+1)x+my=3
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次の3次方程式の異なる実数解の個数を求めよ。\n(1) -x^{3}+3x^{2}-1=0\n(2) x^{3}-3x^{2}+3x+1=0
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(k+2) x-(1-k) y-k-5=0 が k のどのような値に対しても成り立つとき, x, y の 値を求めよ。
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次の方程式・不等式を解け。
(1)
(2) \( \left(\log _{4} x\right)^{2} \leqq \log _{2} x+3 \)
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(3)(1) だけが虚数解をもつための条件は
\[\begin{array}{c}
D_{1}<0 \quad \text { かつ } D_{2} \geqq 0 \\
D_{2} \geqq 0 \text { から } \quad(a-2)(a-6) \geqq 0 \\
\text { よって } \quad a \leqq 2,6 \leqq a \quad \cdots \cdots \text { (5) }
\end{array}\]
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TR実践 2次方程式 \( x^{2}+(m+1) x+m-1=0 \) (1)について考える。\n\n2次方程式 (1) の判別式を とすると \( D=(m-1)^{2}+ \square ア \) であるから, (1) は異なる2つの実数解をもつ。その実数解を \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) とすると, \ \n\\(\\alpha + \\beta = -m -\\square \ \イ, \\\alpha \\beta = m -\\square \\ウ\nであり, \\\alpha \\beta \ の符号を調べると, \ \\alpha, \\beta \ は エ であることがわかる。エの解答群は以下の通りである。\n\n) ともに正\n(1) 少なくとも一方は正\n(2) ともに負\n(3) 少なくとも一方は負
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第 2 項が 4 、初項から第 3 項までの和が 21 である等比数列 の初項を , 公比を とするとき, と 公比 である。
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EX を実数として, 多項式 \\( P(x)=x^{3}-2 x^{2}+q x+2 r \\) を考える。333 次方程式 \\( P(x)=0 \\) の解が -2 と 2 つの自然数 \\( \\alpha, \\beta(\\alpha<\\beta) \\) であるとき, \ \\alpha, \\beta \ と \ q, r \ を求 めよ。 [類 センター試験]
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102^{4} \star 次の方程式と不等式を解け。
(1) \( \frac{4}{(\sqrt{2})^{x}} + \frac{5}{2^{x}} = 1 \)
(2)
(3) \( x^{\log _{3} 9 x} = \left( \frac{x}{3} \right)^{8} \)
(4)
〔(3) 倉敷芸科大, (4) 類 センタ一試験〕《標準例題 151, 基本例題 158, 発展例題 166
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第 3 章 高次方程 式- 51\n\n3 次方程式\n\nの 3 つの解を と すると\n\[\n\begin{array}{l}\n\alpha+\beta+\gamma=-\\frac{b}{a} \\\n\alpha \\beta+\\beta \\gamma+\\gamma \\alpha=\\frac{c}{a} \\\n\alpha \\beta \\gamma=-\\frac{d}{a}\n\end{array}\n\]
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105^{4} \star x > 0, y > 0 で, かつ のとき, の最大値を求めよ。
[神奈川大] 《発展例題 167
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Aさんと Bさんが、xについての同じ 2 次方程式を解いた。Aさんは、x² の係数を間違って 26-2/3, 1 の解を得た。Bさんは,定数項を間違って -1/3, 1/2 の解を得た。もとの正しい 2 次方程式の解を求めよ。
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3 次方程式 \( x^{3}-(a+2) x+2(a-2)=0 \) が 2 重解をもつとき, 定数 の値を求めよ。
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2次方程式が虚数解,雨解をもつ采件\n(1) 2 次方程式 が虚数解をもつように, 定数 の値の範囲 を定めよ。\n(2) 2 次方程式 \( x^{2}+(5-k) x-2 k+7=0 \) が重解をもつように, 定数 の値を 定めよ。また,そのときの重解を求めよ。
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初項から第 3 項までの和が -7, 第 3 項から第 5 項までの和が -63 である等比数列の初項と公比を求めよ。
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3 次方程式 の 3 つの解を とするとき, 次の式の値を求めよ。\( \n(1) \alpha+\β\+\γν\n(2) \αθ^{2}+\βθη\vcheck2^{-1\mathrm{2}+\{\*\}で((\z\nn\ν\0\n (3) 甲β\γν(\4) (4 (\α-2)(\β国(2-2))n
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23\n(3) 2 つの 2 次方程式 \ x^{2}-a x+4=0 \ \ \\\qquad \ (1), \ x^{2}+a x+2 a-3=0 \ \ \\\qquad \ が,次の条件を満たすように,定数 \ a \ の値の範囲を定めよ。\n(1)1,2)がともに虚数解をもつ\n(2)(1),②の少なくとも一方が虚数解をもつ\n(3)(1) だけが虚数解をもつ\n[国土舘大]\n《標準例題 40\ \\\qquad \ Y. S 4. \ \\\qquad \ 2 つの 2 次方程式 \ x^{2}-a x+4=0 \\\quad \\\cdots \\\cdots \ (1), \ x^{2}+a x+2 a-3=0 \\\quad \\\cdots \\\cdots \ (2) が, 次の条件を満たすように, 定数 \ a \ の値の範囲を定めよ。\nが, 次の条件を満たすように, 定数 \ a \ の値の範囲を定めよ。\nい
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TR 初項から第 \ n \ 項までの和 \ S_{n} \ が, 次の式で表される数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。 \ { }^{2} 20 \\n(1) \ S_{n}=-n^{2}+5 n \\n(2) \ S_{n}=n^{2}+2 \
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数学 𝑡
EX多項式で表された関数 f(x) が f'(x)-f(x)=x²+1 を満たすとき, f(x) は □ 次関数であり, f(x)= となる。
[大阪工大] HINT f(x) が n 次関数( n は自然数)であるとして, f'(x)-f(x) の次数に注目。
f(x)=k(k は定数 ) とすると f'(x)-f(x)=0-k=-k となり,これは不適。
f(x) が n 次関数 (n は自然数 ) であるとすると, f'(x) は (n-1) 次関数であり, f'(x)-f(x) は n 次関数である。
f'(x)-f(x)=x²+1 であるから n= ア 2 f(x)=ax²+bx+c とすると f'(x)=2ax+b よって, 関係式から 2ax+b-(ax²+bx+c)=x²+1
ゆえに
-a x²+(2a-b) x+b-c=x²+1
これが x についての恒等式であるから,係数を比較して
-a=1, 2a-b=0, b-c=1
これを解いて a=-1, b=-2, c=-3
したがって
—定数関数の場合について調べる。
第1 式から a=-1 よって, 第2 式から -2-b=0
ゆえに b=-2
よって, 第3式から -2-c=1
ゆえに c=-3
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2 次方程式 \( x^{2}+2(m-1) x+2 m^{2}-5 m-3=0 \) が次の条件を満たすように, 定数 の値の範囲 を定めよ。\n(1) 2 つの正の解をもつ。\n(2)異なる 2 つの負の解をもつ。\n(3)異符号の解をもつ。
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第 3 章 高次 方程 式- 49\nEX a, b, c, d は実数の定数とする。多項式 P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d は x^{2}-1 で割ると x+2 29 余り, x^{2}+1 で割ると 3 x+4 余るという。このとき a=->□, b=-1□, c= d=√□ である。 , [摂南大]\nP(x) を x^{2}-1 すなわち (x+1)(x-1) で割ったときの商を Q(x), x^{2}+1 で割ったときの商を R(x) とすると, 次の等式 が成り立つ。\n\nP(x)=(x+1)(x-1) Q(x)+x+2\nP(x)=(x^{2}+1) R(x)+3 x+4\nP(1)=3, P(-1)=1, P(i)=4+3 i
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次の 2 次方程式の 2 つの解の和と積を,それぞれ求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n\n解と係数の関係から\n(1) 和は 積は \n(2) 和は 積は \n(3)和は 積は \n(4) 和は 積は \n\n注意:\n誤った解答の例:\n(1) 和 \n(2) 和 \n(3)和 , 積 など。
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第 1 章 式 と 証 明—15\nTR \( (k+2) x-(1-k) y-k-5=0 \) が のどのような値に対しても成り立つとき, の値を求め 42 よ。
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2 次方程式 の 2 つの解を とするとき,次の式の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( (\alpha-\beta)^{2} \)\n(5) \n(6)
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(1) a+b+c=0 のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
a^{2}+b^{2}=c^{2}-2 a b
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22\n(3) \ x \ の方程式 \\( a\\left(x^{2}-x+1\\right)=1+2 x-2 x^{2} \\) が実数解をもつとき, 定数 \ a \ の値の 範囲を求めよ。\n[慶応大]\n《基本例題 36,37
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問 7 下線部gについて,国土交通省では,昨年も補助金の公募をおこない事業用の次世代自動車の普及をめざしました。次世代自動車に関する次の文X・Yについて,その正誤の組合せ として正しいものを、下記より1つ選び番号で答えなさい。\nX 電気自動車は, 従来のエンジンに動力としてモーターを組合せたもので, ガソリンな どの消費を抑えられます。\nY 水素による燃料電池自動車は, 走行中に発生するのは水蒸気のみで, 二酸化炭素 を一切排出しません。\n1 X 正 Y 正\n2 X 正 Y 誤\n3 X 誤 Y 正\n4 X 誤 Y 誤
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1 (1) \ y=m x-2 m+2 \\n(2) \ u=\\frac{m-1}{m}, v=1-m \\n(3) \ y=\\frac{1}{x-1}+1 \, 図略
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(1)次の方程式は、与えられた範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。\n(ア) \( x^{3}-2 x^{2}-3 x+1=0(-2<x<-1, \quad 0<x<1, \quad 2<x<3) \)\n(イ) \( \cos x=x\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right) \)\n(ウ) \( \frac{1}{2^{x}}=x \quad(0<x<1) \)
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a \ を実数とするとき, x \ の方程式 \( f(g(x))+f(x)-|f(g(x))-f(x)|=a \\) の実数解の個数を求めよ。
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次の条件 (A), (B) を同時に満たす 5 次式 f(x) を求めよ。[A] f(x)+8 は (x+1)^3 で割り切れる。[B] f(x)-8 は (x-1)^3 で割り切れる。
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60 a, b を実数, 3 次方程式 が虚数解 をもつとする。このとき, の共役複素数 もこの方程式の解になることを示せ。また,3つ目の 解 , および係数 を を用いて表せ。
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a > 1 のとき, x の方程式 a x^2 − 2 x + a = 0 (1) の 2 つの解を α, β とし,x の方程式 x^2 − 2 a x + 1 = 0 (2) の 2 つの解を γ, δ とする。A(α), B(β), C(γ), D(δ) とするとき、4 点 A, B, C, D は 1 つの円周上にあることを証明せよ。
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双曲線 上の点 \( (a, b) \) における接線の傾きが のとき, 次の問いに 答えよ。ただし, とする。\n(1) の間の関係式を求めよ。\n(2) この双曲線上の点と直線 の間の距離を とする。 の最小値を求め よ。また, の最小値を与える曲線上の点の座標を求めよ。\n[神奈川大]
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次の方程式を満たす点 の全体は,どのような図形か。\n[(2) 類 芝浦工大]\n(1) \n(2) \n(3) \( (3 z+2)(3 \bar{z}+2)=9 \)\n(4) \( (1+i) z+(1-i) \bar{z}+2=0 \)
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方程式 \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} + \\frac{1}{x-3} = 0 \ を解け。\n\\(=\\frac{1}{x} + \\frac{1}{x-3} + \\frac{1}{x-1} + \\frac{1}{x-2} = \\frac{x-3+x}{x(x-3)} + \\frac{x-2+x-1}{(x-1)(x-2)} \\)\n\\(=\\frac{(x-1)(x-2)(2 x-3) + x(x-3)(2 x-3)}{x(x-3)(x-1)(x-2)} = \\frac{(2 x-3)\\left(x^{2}-3 x+2+x^{2}-3 x\\right)}{x(x-1)(x-2)(x-3)} = \\frac{2(2 x-3)\\left(x^{2}-3 x+1\\right)}{x(x-1)(x-2)(x-3)} \\)
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20 (1) \ |\\alpha|^{2} \\n(2)略 (3) \ a=b \ のとき最大値 \ \\frac{1}{2} ; a=1, \\quad b=3 \ のとき最小値 \ \\frac{3}{10} \
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次の方程式,不等式を解け。
(1) \( \frac{2}{x(x+2)}-\frac{x}{2(x+2)}=0 \)
(2)
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2 つの複素数 \( w, z(z \neq 2) \) が を満たしているとする。\n[弘前大]\n(1) 点 が原点を中心とする半径 2 の円周上を動くとき, 点 はどのような図形 を描くか。\n(2) 点 が虚軸上を動くとき, 点 はどのような図形を描くか。\n(3) 点 が実軸上を動くとき, 点 はどのような図形を描くか。
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(イ)\ 4 \\vec{x}-3 \\vec{a}=\\vec{x}+6 \\vec{b} \ を満たす \ \\vec{x} \ を \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ で表せ。
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ラジウムなどの放射性物質は, 各瞬間の質量に比例する速度で, 質量が減少していく。 その比例定数を k(k>0), 最初の質量を A として, 質量 x を時間 t の関数で表せ。また, ラジウムでは, 質量が半減するのに 1600 年かかるという。800 年では初めの量のおよそ何%になるか。小数点以下を四捨五入せよ。
[類 東京慈恵医大]
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不等式 \ \\log _{2} 256 x > 3 \\log _{2 x} x\ を解け。\n\\\log _{2} x = a \ とおく。
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2. 方程式の実数解の個数\n方程式 \( f(x)=g(x) \) の実数解の個数を調べるには, 関数 \( F(x)=f(x)-g(x) \) の増減を 調べればよい。また, \( f(x)=g(x) を同値な方程式 \( h(x)=\alpha(a \\) は定数 \\)) などに変形 して考えてもよい。
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次の条件 (A), (B) をともに満たす複素数 zについて考える。 (A) は実数である (B) の虚部は正である (1) とおくとき, を を用いて表せ。(2) の虚部が最大となるときの を求めよ。
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(1)方程式 \( 3^{x}=2(x+1) \) は, の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。\n(2) \( f(x), g(x) \) は区間 で連続な関数とする。 \( f(a)>g(a) \) かつ \( f(b)<g(b) \) であるとき, 方程式 \( f(x)=g(x) \) は の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。
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a ≠ 0 とする。関数 f(x) = 2ax - 5a^2 について, f^{-1}(x) と f(x) が一致するような定数 a の値を求めよ。
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数列 とその初項から第 項までの和 について\n\\[ a_{1}=1, \\quad S_{n}=3 a_{n}+9 a_{n-1}+1(n=2,3,4, \\ldots) \\] が成り立つとする。\n(1) 一般項 を求めよ。\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{S_{n}}{a_{n}} \ を求めよ。