AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
基本的な数論 - 有理数と無理数
Q.01
命題「nは整数とする。n^2が7の倍数ならば,nは7の倍数である」は真である。これを利用して,√7が無理数であることを証明せよ。
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(3) 3人ずつ3組に分ける場合、(2)でA, B, Cの区別をなくすと、同じものが3!通りずつできるため、分け方の総数は
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1+√10 の整数部分を a, 小数部分を b とするとき, 次の值を求めよ。
(1) a, b
(2) b + 1/b, b² + 1/b²
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(1) 順に \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \
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A 右の図のように, ある街には南北に走る道が 6 本,東西に走る道が 4 本ある。点Pから点Qまで最短経路の道順で進むこととする。その際,1枚の硬貨を投げて,表が出たら東へ1区画,裏が出たら 北へ 1 区画進む。硬貨の表と裏が出る確率は等しく1/2である。また, 点Qに到達する前に, 最も東の道の交差点で硬貨の表が出た場合や, 最も北の道の交差点で硬貨の裏が出た場合は, 先へ進めないのでその交差点にとどまる。
(1)硬貨を最少回数の 8 回投げただけで点Qに到達できる確率を求めよ。
(2)硬貨を 9 回投げ,ちょうど 9 回目に点Qに到達できる確率を求めよ。
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次の式を,分母を有理化して簡単にせよ。(5) 関東学院大\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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PRACTICE 23
次の式を,分母を有理化して簡単にせよ。
[(5) 関東学院大]
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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2つの実数 の和, 差, 積, 商は常に実数である。例えば、有理数の和にしても常に有理数となる。有理数や実数の範囲では四則計算がいつでも可能であることを説明しなさい。ただし、除法では0で割ることは考えないものとする。
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次の条件に適するように,定数 a の値の範囲を定めよ。また、それぞれの場合に共有点の座標も求めよ。
1) x 軸との共有点の個数が 2 個
2) x 軸との共有点の個数が 1 個
3) x 軸との共有点の個数が 0 個
x 軸との共有点の個数が 2 個の条件は a < 1
x 軸との共有点の個数が 1 個の条件は a =1
x 軸との共有点の個数が 0 個の条件は a > 1
共有点の座標:
- x 軸との共有点が 1 個の場合: (1,0)
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86 x<-\sqrt{5}, \quad-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sqrt{5}<x
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EX 有理数と無理数の和は無理数であることを証明せよ。 を有理数, を無理数とし, が無理数でないと仮定する と, は有理数である。ここで, は有理数 \( ) \) とおくと
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PR1枚の硬貨を繰り返し投げ,表が3回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし,投げられる回数は5回までとし,3回目の表が出たらそれ以降は投げない。1回目に裏が出たとき,賞品が もらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。
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次の命題の真偽を調べよ。ただし,(2),(3)は集合を用いて調べよ。\n(1)実数 について, ならば \n(2) 実数 について, ならば \n(3) 実数 について, ならば
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例題 98: 解をもつ範囲が 0 < x < 1 および 1 < x < 2 である 2 次方程式の解の存在範囲を求めなさい。
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27^3 x は無理数とする。次の命題を背理法を用いて証明せよ。 x^2 と x^3 の少なくとも一方は無理数である。
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平方根と対称式の値
x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} のとき, 次の式の値を求めよ。
(1) x+y, x y
(2) x^{2}+y^{2}
(3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4}
(4) x^{3}+y^{3}
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TRAINING 27
(1)次の (1)〜(4)のうち,正しいものをすべて選べ。
(1) である。
(2) である。
(3) の平方根は である。
(4) の平方根は のみである。
(2) \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) の値をそれぞれ求めよ。
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x, y についての多項式 P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by がある。ただし, a, b は有理数の定数とする。
(1) x = 1/(2-√3), y = 1/(2+√3) のとき, x + y と x - y の値を求めよ。
(2)(1)の x, y の値に対して P = 4 となるとき, a, b の値を求めよ。
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(1) は有理数, は無理数であるとする。 のとき, が成り立つことを証明せよ。また, このとき も成り立つことを証明せよ。 (2) \( (1+3 \sqrt{2}) x+(3+2 \sqrt{2}) y=-5-\sqrt{2} \) を満たす有理数 の値を求めよ。
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x=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} のとき, 次の式の値を求めよ。
(1) x+y, x y
(2) x^{2}+y^{2}
(3) x^{4} y^{3}+x^{3} y^{4}
(4) x^{3}+y^{3}
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背理法を利用した証明(2)
(1)
は無理数であることを,背理法を用いて証明せよ。ただし,整数 につい て, が偶数ならば は偶数であることを用いてよい。
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平方根とは正の数 a の平方根には2つあり、絶対値が等しく符号が異なる。0の平方根は0である。例:5の平方根は と - である。根号を含む式の計算例: 。 。
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積 x y について
x y については, x の分母と y の分子が同じで, x の分子と y の分母が同じだから, 分母を有理化しなくても x y=1 と計算できますね。
逆数の関係 : \frac{A}{B}, \frac{B}{A}
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TRAINING 59 (3) は無理数であることを証明せよ。ただし,整数 について, が 3 の倍数ならば は3の倍数であることを用いてよい。
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(1)次の1〜(4)のうち,正しいものをすべて選べ。
(1) 7 平方根は (3) である。
(2) 7 の平方根は のみである。
(4) である。
(2) \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \) の值をそれぞれ求めよ。
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√6 が無理数であることを用いて, 次の数が無理数であることを証明せよ。
(1) 1-√24
(2) √2+√3
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次の条件の否定を述べよ。ただし,x, y は実数,m, n は整数とする。
(1) x は無理数である
(2) -2 ≤ x < 1
(3) x ≤ 0 または y > 0
(4) x, y の少なくとも一方は0である
(5) m, n はともに偶数である
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次の式の 2 重根号をはずせ。\n(1) \ \\sqrt{4+2 \\sqrt{3}} \\n(2) \ \\sqrt{9-2 \\sqrt{20}} \\n(3) \ \\sqrt{11+4 \\sqrt{6}} \\n(4) \ \\sqrt{4-\\sqrt{15}} \\n
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TRAINING 42
\sqrt{6}+3 の整数部分を a, 小数部分を b とするとき, a^{2}+b^{2} の値は \square である。
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背理法を利用した証明方法を説明し、次の命題Uを背理法を使って証明してください。
命題U: 「√2は無理数である」
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18 (1) \frac{4(\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \frac{110-32 \sqrt{7}}{9}
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TR は無理数であることを証明せよ。ただし, 整数 にいて, が 3 の倍数ならば は 3 の倍数であることを用いてよい。\n が無理数でない, すなわち有理数であると仮定する。このとき, は, 1 以外の正の公約数をもたない 2 つの自然数 (*) , nを用いて \sqrt{3}=\frac{m}{n} \cdots \cdots \ (1) と表される。\n(1) から\n\n\n両辺を 2 乗すると \nゆえに, は 3 の倍数であるから,mは3の倍数である。 よって, 自然数 を用いて \n③) と表される。\n(3) を(2)に代入すると \nゆえに\n\n は自然数であるから, は 3 の倍数であり, は 3 の倍数 である。\n がともに 3 の倍数となることは, と が 1 以外の正 の公約数をもたないことに矛盾する。\nしたがって, は無理数である。
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(1) a, b, c, d は有理数, \\sqrt{l} は無理数であるとする。 a+b \\sqrt{l}=c+d \\sqrt{l} のとき, b=d が成り立つことを証明せよ。また, このとき a=c も成り立つことを証明せよ。\n(2) (1+3 \\sqrt{2}) x+(3+2 \\sqrt{2}) y=-5-\\sqrt{2} を満たす有理数 x, y の値を求めよ。
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次の命題の否定を述べよ。また,その真偽を調べよ。
(1) すべての自然数 n について, √n は無理数である。
(2) ある実数 x について, x^2=x+2 である。
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61 (1)ある自然数 n について, \sqrt{n} は有理数で ある,真 (2)すべての実数 x について, x^{2} \neq x+2 である,偽
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TR 次の命題の真偽を調べよ。ただし \ , x, y \ は実数, \ m, n \ は自然数とする。\n\ { }^{1} 52 \\n(1) \ |x|=|y| \ ならば \ x=y \ である\n(2) \ x=2 \ ならば \ x^{2}-5 x+6=0 \ である\n(3) \ m, n \ がともに素数 ならば \ m+n \ は偶数 である\n(4) \ n \ が 3 の倍数 ならば \ n \ は 9 の倍数 である
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(1) a, b は有理数とする。 a+b \\sqrt{3}=0 のとき, \\sqrt{3} が無理数であることを用いて, a=b=0 を証明せよ。\n(2) (2+3 \\sqrt{3}) x+(1-5 \\sqrt{3}) y=13 を満たす有理数 x, y の値を求めよ。
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EXERCISES の解答 14 \quad 7 15 (1) x=\frac{2+\sqrt{14}}{5},-\frac{6+3 \sqrt{14}}{5} (2) -\frac{1}{3} \leqq x \frac{7}{3} (3) x= 'frac{5}{4}, -\frac{1}{2}
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x, y は実数とする。次の命題の逆・対偶・裏を述べ、それらの真偽を調べよ。
(1) x² ≠ -x ⇒ x ≠ -1
(2) x + y は有理数 ⇒ x または y は有理数
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は無理数であることを証明せよ。ただし, 整数 について, が 3 の倍数ならば は 3 の倍数であることを用いてよい。
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次の命題の否定を述べよ。また,その真偽を調べよ。\n\n(1)すべての自然数 について, は無理数である。\n(2)ある実数 について, である。
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数列 1/6, 1/9, 1/14, 1/21, 1/30 の一般項を求めよ。
分母の数列 a_n: 6, 9, 14, 21, 30 ... の階差数列を b_n とすると b_n: 3, 5, 7, 9 ... これは初項3、公差2の等差数列である。
よって b_n = 2n +1 分母の一般項 a_n = 6 + ∑(k=1>n-1) 2k+1 = 6 + n^2-1 + n-1 +5 = n^2 + 5 よって、求める数列の一般項は 1/(n^2+5)
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133\n(1) \( \sqrt{2} \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \)
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a, b を 0 でない実数とする。下の (1), (2) の等式は a>0, b>0 の場合に は成り立つが、それ以外の場合はどうか。次の各場合に分けて調べよ。
[1] a>0, b<0
[2] a<0, b>0
[3] a = \sqrt{\frac{a}{b}}
(2)
(3)
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数列 について\n(1) は第何項か。\n(2)この数列の第 800 項を求めよ。\n(3)この数列の初項から第 800 項までの和を求めよ。
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(5) キ に当てはまるものを,次の()~9のうちから1つ選べ。(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
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解の条件から高次方程式の係数を決定する問題では,次の [1], [2] が問題解決の基本とな る。まず,この最重要ポイントを押さえておこう。 x=α が方程式 f(x)=0 の解 ⇔ f(α)=0 (代入すると成り立つ) ⇐[1] ⇔ f(x) は x−α を因数にもつ ⇐[2] 最も基本的な解法は, [1] の方針「解は代入」である。例題 61, 62 では, この方針の解答 を最初に示している。しかし,例題 62 のように解が虚数の場合は, 代入した後の計算が やや煩雑になる。
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次の計算をせよ。ただし, a>0, b>0 とする。
(1)
(2) \( \left(\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a^{2}}\right)^{6} \)
(3) \( a^{\frac{4}{3}} b^{-\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}} \div\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{6}}\right) \)
(4) \( \left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)^{2}\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)^{2} \)
(5) \( (\sqrt[3]{5}+1)(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1) \)
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(1) \n(2) であるから \( \sqrt{2} \sqrt{-18}=\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} i=3(\sqrt{2})^{2} i \)\n\n(3) \nであるから\n\[\begin{aligned}\n\sqrt{-3} \sqrt{-27} & =\sqrt{3} i \cdot 3 \sqrt{3} i=3(\sqrt{3})^{2} i^{2} \\& =-9\n\end{aligned}\]
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PR 2 乗すると i になるような複素数 z=x+y i(x, y は実数 ) はちょうど 2 つ存在する。この z を求めよ。
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124 (1) BE= (1+√5)/2, R= 2/√(10-2√5) (2) BG= √(10+2√5)/2 (3) 順に (3+√5)/48, (15+5√5)/12
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奉本 61 背理法による証明\n が無理数であることを用いて, は無理数であることを証明せよ。 基本事項 2\n指䣄 無理数である(=有理数でない)ことを直接示すのは困難。 そこで, 証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して,矛盾を導き, その事柄が成り立つことを証明する方法, すなわち 背理法 で証明する。 \left[\\begin{\overlineray}{l|l|}\\text { 実数 } \\text { 有理数 } \\hline\\end{\overlineray}\\right.
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△ABCにおいて, a=1+√3, b=2, C=60° とする。次のものを求めよ。
(2) 167
(1) 辺 AB の長さ
(2) ∠B の大きさ
(3)△ABCの面積
(4) 外接円の半径
(5) 内接円の半径
[類 奈良教育大]
p. 285 EX118,119
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327 \\\frac{1}{2-\\sqrt{3}}\ の整数部分を \a\, 小数部分を \b\ とする。\n(1) \a\, \b\の値を求めよ。\n(2) \\\frac{a+b^{2}}{3 b}, a^{2}-b^{2}-2 a-2 b\ の値を求めよ。
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数学 I\n\na b c d= \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} \\\n\\times \\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \\\\\n\\times \\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{n}} \\\\\n\\times \\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{n}} \\\\\n= \\frac{1}{\\{(1+\\sqrt{2})+\\sqrt{3}\\}\\{(1+\\sqrt{2})-\\sqrt{3}\\}} \\\\\n\\times \\frac{1}{\\{(1-\\sqrt{2})+\\sqrt{n}\\}\\{(1-\\sqrt{2})-\\sqrt{n}\\}} \\\\\n= \\frac{1}{(1+\\sqrt{2})^{2}-(\\sqrt{3})^{2}} \\times \\frac{1}{(1-\\sqrt{2})^{2}-(\\sqrt{n})^{2}} \\\\\n= \\frac{1}{2 \\sqrt{2}} \\times \\frac{1}{3-2 \\sqrt{2}-n}=\\frac{1}{6 \\sqrt{2}-8-2 \\sqrt{2} n}\n\n定数項は \ -\\frac{1}{8} \ であるから \ \\quad \\frac{1}{6 \\sqrt{2}-8-2 \\sqrt{2} n}=-\\frac{1}{8} \\nよって \ 2 \\sqrt{2} n=6 \\sqrt{2} \\nゆえに \ n=3 \\n\\( (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \\) を展開すると, \ x \ の係数は \ -a b c-a b d-a c d-b c d \ となる。\n\ a, b, c, d \ は 0 でない実数であるから\n\\( -a b c-a b d-a c d-b c d=\\frac{1}{8}\\left(\\frac{1}{d}+\\frac{1}{c}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{a}\\right) \\)\n\\( =\\frac{1}{8}\\{(1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3})+(1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}) \\)\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow(A+B)(A-B) \\\\ =A^{2}-B^{2} \\text { が使える。 } \\end{array} \\]\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow(1+\\sqrt{2})^{2}=3+2 \\sqrt{2} \\\\\n(1-\\sqrt{2})^{2}=3-2 \\sqrt{2}\\end{array} \\]\n\ \\begin{\overlineray}{l} \\leftarrow 6 \\sqrt{2}-8-2 \\sqrt{2} n \\\\\n=-8\\end{\overlineray} \\]\n\\[ \\begin{aligned}\n\\leftarrow a b c d & =-\\frac{1}{8} \\text { であるか } \\\\\n\\text { ら } \\quad a b c & =-\\frac{1}{8 d}, \\\\\na b d & =-\\frac{1}{8 c}, \\\\\na c d & =-\\frac{1}{8 b}, \\\\\nb c d & =-\\frac{1}{8 a}\\end{aligned} \\nしたがって, 求める \ x \ の係数は \ \\frac{1}{2} \
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次の式の 2 重根号をはずして簡単にせよ。\n\n1. \\\sqrt{6+4 \\sqrt{2}}\\n2. \\\sqrt{8-\\sqrt{48}}\\n3. \\\sqrt{2+\\sqrt{3}}\\n4. \\\sqrt{9-3 \\sqrt{5}}\
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次の命題について逆と対偶を示し、それが真か偽かを答えなさい。\n(1) 逆: x = 2 かつ y = 3 ⇒ x + y = 5 真\n 裏: x + y ≠ 5 ⇒ x ≠ 2 または y ≠ 3 真\n(2) 逆: y の少なくとも一方が無理数ならば, xy は無理数である 偽\n 対偶: x, y がともに有理数ならば, xy は有理数である 真\n 裏: xy が有理数ならば, x, y はともに有理数である 二
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分母の有理化\n\( (\sqrt{a})^{2}=a, \quad(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b \) を利用する。
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数学 I\nHINT (5) \\( (\\sqrt{2})^{2}+(\\sqrt{3})^{2}=(\\sqrt{5})^{2} \\) に着目する。\n(1) \ \\quad( \ 与式 \\)=\\frac{3 \\sqrt{2} \\sqrt{3}}{2(\\sqrt{3})^{2}}-\\frac{\\sqrt{3} \\sqrt{2}}{3(\\sqrt{2})^{2}}=\\frac{3 \\sqrt{6}}{6}-\\frac{\\sqrt{6}}{6}=\\frac{2 \\sqrt{6}}{6}=\\frac{\\sqrt{6}}{3} \\)\n(2) \ \\quad( \ 与式 \\)=\\frac{6(3+\\sqrt{7})}{(3-\\sqrt{7})(3+\\sqrt{7})}=\\frac{6(3+\\sqrt{7})}{9-7} \\)\n=3(3+\\sqrt{7})=9+3 \\sqrt{7}\n(3)\n\\(\\begin{aligned}\\text{与式})=\\frac{(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})^{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})}-\\frac{(\\sqrt{5}+\\sqrt{3})^{2}}{(\\sqrt{5}-\\sqrt{3})(\\sqrt{5}+\\sqrt{3})} \\)\n& =\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{3-2}-\\frac{8+2 \\sqrt{15}}{5-3}=5-2 \\sqrt{6}-(4+\\sqrt{15}) \\)\n& =1-2 \\sqrt{6}-\\sqrt{15}\n\\end{aligned}\\)\n(4)\n\\begin{array}{l}\\(\\text {与式})=\\frac{1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{\\{(1+\\sqrt{6})+\\sqrt{7}\\}\\{(1+\\sqrt{6})-\\sqrt{7}\\}} \\)\n+\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{(5+2 \\sqrt{6})(5-2 \\sqrt{6})} \\)\n=\\frac{1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{(1+\\sqrt{6})^{2}-(\\sqrt{7})^{2}}+\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{25-24}=\\frac{1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{2 \\sqrt{6}}+5-2 \\sqrt{6} \\)\n=\\frac{(1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}) \\sqrt{6}}{2(\\sqrt{6})^{2}}+5-2 \\sqrt{6} \\)\n=\\frac{\\sqrt{6}+6-\\sqrt{42}}{12}+\\frac{12(5-2 \\sqrt{6})}{12}=\\frac{66-23 \\sqrt{6}-\\sqrt{42}}{12} \\)\n\\end{array}\\)\n(5)\n\\(\\begin{aligned}\\text {与式})=\\frac{(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}+\\sqrt{5})\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+\\sqrt{5}\\}}{\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})-\\sqrt{5}\\}\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+\\sqrt{5}\\}} \\)\n& =\\frac{\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{5})-\\sqrt{3}\\}\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{5})+\\sqrt{3}\\}}{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})^{2}-(\\sqrt{5})^{2}} \\)\n& =\\frac{(\\sqrt{2}+\\sqrt{5})^{2}-(\\sqrt{3})^{2}}{2 \\sqrt{6}}=\\frac{2+\\sqrt{10}}{\\sqrt{6}} \\)\n& =\\frac{(2+\\sqrt{10}) \\sqrt{6}}{(\\sqrt{6})^{2}}=\\frac{2 \\sqrt{6}+2 \\sqrt{15}}{6}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{15}}{3} \\)\n\\end{aligned}\\)\n\\\leftarrow \\分母が\\sqrt{a}\\なら, 分母\n・分子に\\sqrt{a}を掛ける。\\n\\\leftarrow \\分母が\\a-\\sqrt{b}\\なら,分母・分子に\\a+\\sqrt{b}を掛ける。\\nヶ分母が\\sqrt{a}+\\sqrt{b}\\なら,分母・分子に\\sqrt{a}-\\sqrt{b};分母が\\sqrt{a}-\\sqrt{b}\\なら,分母・分子に\\sqrt{a}+\\sqrt{b}を掛ける。\n\\(\\leftarrow \\frac{1}{1+\\sqrt{6}+\\sqrt{7}}\\は, 分母を\\(1+\\ sqrt{6 })+\\sqrt{7}\\と 考えて分母・分子に\\(1+\\sqrt{6})-\\sqrt{7 }\\を掛ける。\\更に分母を有理化。\nヶ通分する。\n\\(\\leftarrow \\例えば, 分母・分子に\\sqrt{2}-(\\sqrt{3}-\\sqrt{5})\\を掛けると,分母は\\2(\\sqrt{15}-3)\\となり, 更に分母・分子 に\\sqrt{15}+3\\を掛けるこ とになる。これは, 左の 解答より計算が複雑。\n\n綀臽\n(1) 次の(ア)(ウ)の場合について, \\sqrt{(a+2)^{2}}+\\sqrt{a^{2}}\\の根号をはずし簡単にせよ。\n\\(25\\(ア) a \\geqq 0 \\(イ) -2 \\leqq a<0 \\(ウ) a<-2 \\)\n(2) 次の式の根号をはずし簡単にせよ。\n\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9} \\\text { ただし }-2<x<\\frac{3}{4}\\n[(2) 類 東北工大]\n
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例題 28 において, x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}, y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} の分母を有理化すると, x=5-2 \sqrt{6}, y=5+2 \sqrt{6} となる。
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a = \\frac{1-\\sqrt{3}}{2} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) 2a^{2} - 2a - 1\n(2) a^{8}
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次の問題に関して、各部分を証明せよ。 (2) と がともに有理数であると仮定する。このとき、 と はともに正の整数であることを示せ。 (3) が有理数であると仮定する。このとき と の性質を示せ。 次の問題に関しても解答せよ。 から \( a x + y = a (1 - a) \) を導き、この方程式を解け。
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数学 I
(2)の右辺は有理数であるから, (2) は √3 が無理数であることに矛盾している。
ゆえにn=0
よって2√3y - √x = 0
(1)からy^2 - 9 = 0
ゆえにy=±3 y は正の整数であるからy=3 これを(3)に代入して6√3 - √x = 0
ゆえにx = (6√3)^2 = 108
x = 108, y = 3 のとき, 12 - √x > 0, y - √3 > 0 となるから, 適する。したがって x = 108, y = 3
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次の命題の中で反例を示しなさい。
(1) x=3−√3 と y=√3−1 はともに無理数である。また, x+y=2 は有理数である。
(4) x=2√2, y=1−2√2 はともに無理数である。また, x+y=1 は有理数である。
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33® を有理数全体の集合, を無理数全体の集合, 空集合を と表す。次の の中に集合の記号 の中から適するものを入れよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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PRACTICE \n が無理数であることを証明せよ。ただし, がともに無理数であることは知られているものとする。
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(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \( \frac{2(3+\sqrt{3})}{3} \)\n(6)
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46(1) を有理数, を無理数とするとき,\n\na+b x=c+d x \text のならば, a=c \text かつ b=d \n\nが成り立つことを証明せよ。\n(2) \( (p+\sqrt{2})(q+3 \sqrt{2})=8+7 \sqrt{2} \) を満たす有理数 \( p, q(p<q) \) の値を求好よ。
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基本例題 27 整数部分, 小数部分
の整数部分を , 小数部分を とするとき, 次の値を求めよ。
(1)
(2)
実数 の整数部分, 小数部分
整数部分 ( に該当) は を満たす整数
小数部分 ( に該当) は
まず, を求める。 を利用することにより, の整数部分は。であるから, 小数部分は
次に, を求めた後, と は次のように計算できる。
対称式 は \((x + y)^2 - 2xy\) を利用する。
例えば, を としたとき, かつ と計算する。
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次の式を解け。
(2) \( \sqrt{9-2 \sqrt{14}}=\sqrt{(7+2)-2 \sqrt{7 \cdot 2}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}-\sqrt{2} \)
(3)
(4) \( \sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8-2 \sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{(5+3)-2 \sqrt{5 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=
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与えられた条件から
AC=BC=\frac{6}{\sqrt{2}}=3 \sqrt{2}
図のように, 点 D, E, F, G をとり,長方形の縦の長さを x とすると
DE=AE=AC-CE=3 \sqrt{2}-2 x
FG=AG=AC-GC=3 \sqrt{2}-x
また, 0<CE<AC であるから
0<2 x<3 \sqrt{2} すなわち 0<x<\frac{3 \sqrt{2}}{2}
2 つの長方形の面積の和を y とすると
y =x(3 \sqrt{2}-2 x)+x(3 \sqrt{2}-x)
= -3 x^{2}+6 \sqrt{2} x
= -3(x-\sqrt{2})^{2}+6
y は x=\sqrt{2} で最大値 6 をとる。
このとき 2 つの長方形の面積の和は最大となるから,求める 最大値は 6。
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基本列題 44 背理法による証明\n(1) は有理数で, とする。 が無理数であることを用いて, が無理数であることを証明せよ。\n(2) が無理数であることを用いて, が無理数であることを証明せよ。
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次の式を,分母を有理化して簡単にせよ。\n(1) \ \\frac{4}{3 \\sqrt{8}} \\n(2) \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} \\n(3) \ \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}+2}-\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}-2} \
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次の問題に答えよ。(1) のとき, の値を求めよ。(2) のとき, の値をそれぞれ求めよ。(3) のとき, の値を求めよ。
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(5)\n\\[\\begin{aligned}(\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2}\\end{aligned}\\]
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(2) \((p + \sqrt{2})(q + 3\sqrt{2}) = 8 + 7\sqrt{2} \) を満たす有理数 ( )の値を求めよ。
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\\\sqrt{3} \\tan \\theta+1=0\ から \\\tan \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\ 直線 \x=1\ 上で, \y\ 座標が \-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\ となる点を \\mathrm{T} とすると, 直線 OT と半径 1 の半円の共有点は, 図の点 \\mathrm{P} である。求める \\\theta\ は, \\\angle \\mathrm{AOP}\ であるから
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次の式を,分母を有理化して簡単にせよ。 [(5) 関東学院大]\n(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}} - \\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}} + \\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \\n(2) \ \\frac{1}{\\sqrt{3} - \\sqrt{2}} \\n(3) \ \\frac{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3} - \\sqrt{2}} \\n(4) \ \\frac{-27 + \\sqrt{7}}{5 - 3 \\sqrt{7}} \\n(5) \ \\frac{\\sqrt{3} - \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3} + \\sqrt{6}} + \\frac{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3} - \\sqrt{6}} \\n(6) \ \\frac{1}{1 + \\sqrt{2}} - \\frac{2}{\\sqrt{2} + \\sqrt{3}} + \\frac{1}{\\sqrt{3} + 2} \
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x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}, y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) x+y, x y\n(2) x^{2}-x y+y^{2}
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84 a > -1 / 8 のときの解の数, a=-1 / 8 のときの解の数, a < -1 / 8 のときの解の数
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x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}, y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) x+y, x y\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}
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点\( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) は, 点 をどのように移動した点であるか。ただし, 回転の 角 の範囲は とする。
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複素数の絶対値\n複素数 に対して, 点 と原点 との距離 を,複素数 の 絶対値 といい, で表す。\nすなわち 複素数の絶対値は実数である。\n\n次の複素数 の絶対値を求めよ。\n\n1. \n2. \n3.
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78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i
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複素数 の虚部が正の数であり, 3 点 \( \mathrm{A}(z), \mathrm{B}\left(z^{2}\right), \mathrm{C}\left(z^{3}\right) \) は直角二等辺三角形の頂点である。このとき, を求めよ。
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複素数として の実部と虚部がともに正であるとする。また, とする。複素数 で表される複素数平面上の 3 点が, ある正三角形の 3 頂点であるとき, をそれぞれ求めよ。
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88 z = 2 + 3i, -2 - 3i, 1 - 5i, 5 + i, 1/2 - 5/2i, 5/2 + 1/2i
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84 (1) (√3 - 1/2) + (√3/2 + 2)i (2) √2/2 + (3√2/2 + 1)i (3) -1 + 3i (4) 1 - i
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数学C\n125\nこのとき\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\bar{w} & =\\frac{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{3}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{4}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{3}}\\right)}=\\frac{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\frac{1}{z_{4}}\\right)}{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\frac{1}{z_{4}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)} \\\\\n& =\\frac{\\left(z_{3}-z_{1}\\right)\\left(z_{4}-z_{2}\\right)}{\\left(z_{4}-z_{1}\\right)\\left(z_{3}-z_{2}\\right)}=\\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=w\n\\end{aligned}\n\\]\nよって, wは実数である。\n(3) \ w \ が実数ならば \ w=\\bar{w} \\nよって \\( \\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=\\frac{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{3}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{4}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{3}}\\right)} \\)\n点 \\( z_{i}(i=1,2,3) \\) が単位円上にあるから \\( \\quad \\overline{z_{i}}=\\frac{1}{z_{i}}(i=1,2,3) \\)\nゆえに \\( \\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=\\frac{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\overline{z_{4}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)} \\)\nよって \\( \\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=\\frac{\\left(z_{3}-z_{1}\\right)\\left(1-z_{2} \\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(1-z_{1} \\overline{z_{4}}\\right)\\left(z_{3}-z_{2}\\right)} \\)\n\ z_{1}, z_{2}, \\quad z_{3}, \\quad z_{4} \ は相異なるから \ \\quad \\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{4}}=\\frac{1-z_{2} \\overline{z_{4}}}{1-z_{1} \\overline{z_{4}}} \\nゆえに \\( \\quad\\left( z_{2}-z_{4}\\right)\\left(1- z_{1} \\overline{z_{4}}\\right)=\\left( z_{1}-z_{4} \\right)\\left(1- z_{2} \\overline{z_{4}}\\right) \\)\n展開して整理すると \\( \\quad\\left( z_{2}- z_{1} \\right)\\left(1-\\left| z_{4} \\right|^{2}\\right) =0 \\)\n\ z_{2} \\neq z_{1} \ から \ \\quad\\left| z_{4} \\right|^{2}=1 \ すなわち \ \\left| z_{4} \\right|=1 \\nしたがって, 点 \ z_{4} \ は単位円上にある。
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(2) 点 が満たす方程式は \( |z-(1-\\sqrt{3} i)|=1 \)\( w=(2+2 \\sqrt{3} i) z \) すなわち \( w=2(1+\\sqrt{3} i) z \) から\n\\[\\begin{aligned}z &=\\frac{w}{2(1+\\sqrt{3} i)}=\\frac{w(1-\\sqrt{3} i)}{2(1+\\sqrt{3} i)(1-\\sqrt{3} i)} \\&=\\frac{w(1-\\sqrt{3} i)}{8}\\end{aligned}\\]\n(1)に代入して \( \\quad\\left|\\frac{w(1-\\sqrt{3} i)}{8}-(1-\\sqrt{3} i)\\right|=1 \)\nすなわち \n であるから \nよって, 点 は点 8 を中心とする半径 4 の円を描く。\n参考 \( 2+2 \\sqrt{3} i=4\\left(\\cos \\frac{\\pi}{3}+i \\sin \\frac{\\pi}{3}\\right) \) であるから,点 \( (2+2 \\sqrt{3} i) z \) は, 点 を, 原点を中心に だけ回転した点を 4 倍した点である。ゆえに, 円 \( |z-(1-\\sqrt{3} i)|=1 \) の中心である点 は点 8 に 移り, 円の半径は 4 となる。よって, 点 は点 8 を中心とする半径 4 の円を描く。
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次の用語を説明してください:
有界である, 有限確定値, 有向線分, 有心 2 次曲線, 有理関数, 陽関数, 四平方の定理, 離心角, 離心率, 立体の体積, リマソン, 零因子, 零行列, 零ベクトル, レムニスケート, 連続, ライプニッツ級数, ロピタルの定理, ロル(Rolle) の定理
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複素数 \\alpha=a+b i \ に対し, \\bar{\\alpha}=a-b i \ を \\alpha \ に共役な複素数, または \\alpha \ の共役複素数という。これを使って次のことを証明せよ:\n\n(1) \\alpha \ が実数 , \\alpha \ が純虚数 \\Longleftrightarrow \\bar{\\alpha}=-\\alpha, \\alpha \\neq 0 \\n(2) \\alpha+\\bar{\\alpha} \ は実数であることを示せ。\n(3) \\overline{\\alpha+\\beta}=\\bar{\\alpha}+\\bar{\\beta} \ を示せ。\n(4) \\overline{\\alpha\\beta}=\\bar{\\alpha}\\bar{\\beta} \ を示せ。
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(1) s^2 - t^2/a^2 = 1
(1), s^2/b^2 + t^2 = 1
(2) から t^2 = 1 - s^2/b^2
これを (1) に代入して s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1
整理すると s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)
s > 0, b > 0 であるから s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))
(2), (3) より t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1)
t > 0, a > 0, b > 1 であるから t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))
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演習問題 の解答 66 t=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}, \quad V(t)=\frac{\pi}{24}(2 \pi-3 \sqrt{3}+1)
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練習 44\n(1)(解1)x=1/(y^2-2y) から y^2-2y-1/x=0 この2次方程式の判別式をDとすると\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\nD/4 >= 0 とすると 1/x+1 >= 0 よって x<=-1,0<x ゆえに x<=-1,0<x のとき y=1±√(1+1/x)\n
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数学 II
練習
87(1) b を定数とみて、aをxにおき換えると、与えられた不等式は
b log (x/b) ≤ x-b ≤ x log (x/b)
ここで、f(x) = (x-b) - b log (x/b) (x>0) とすると
f'(x) = (x-b)/x f'(x) = 0 とすると x=b
増減表から f(x) は x=b で極小かつ最小で f(b)=0 よって f(x) ≥ 0
ゆえに b log (x/b) ≤ x-b
次に、g(x) = x log (x/b) - (x-b) (x>0) とすると g'(x) = log (x/b) g'(x)=0 とすると x=b 増減表から g(x) は x=b で極小かつ最小で g(b)=0 よって g(x) ≥ 0
ゆえに x-b ≤ x log (x/b)
(2), (3) から、 x>0, b>0 のとき (1) は成り立つ。したがって、 x=a とすると a>0, b>0 のとき b log (b/a) ≤ a-b ≤ a log (a/b)
別解 与えられた不等式の各辺を b(>0) で割ると log (a/b) ≤ a/b - 1 ≤ a/b log (a/b) a/b = t とおくと t>0 ゆえに、不等式は log t ≤ t - 1 ≤ t log t(t>0) f(t) = t - 1 - log t(t>0) とすると f'(t) = 1 - 1/t = (t-1)/t f'(t) = 0 とすると t=1 増減表から f(t) は t=1 で極小かつ最小で f(1)=0 よって f(t) ≥ 0 ゆえに log t ≤ t - 1
次に、g(t) = t log t - t + 1(t>0) とすると g'(t) = log t + t (1/t) - 1 = log t
42 変数 a, b の不等式
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(2)高さが h cm のとき容量が π/4(h²+h) cm³ , 水面の面積が π/2(h+1/2) cm² である容器がある。この容器に毎秒 π cm³ の割合で水を注ぐものとする。水を 注ぎ始めてから 5 秒後の状態について, 次のものを求めよ。(ア) 水面の底面からの高さ h (T) 水面の上昇する速度 v (ウ) 水面の面積の増加する速度 w [類 東京理科大]
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不等式の成立条件
a を正の定数とする。不等式 a^{x} ≥ x が任意の正の実数 x に対して成り立つような aの値の範囲を求めよ。
[神戸大]
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「π 無理数」の証明 p. 298 で紹介した極限の定義を用いれば, π が無理数であることを, 背理法や部分積分法など, 高校数学の範囲で証明できる。ここでは,すばらしい発想を垣間見ることができる,1947 年に発表されたニーベンの証明を紹介しよう。痖明 π が有理数であると仮定すると, π=\\\frac{b}{a}\(a, b は自然数) と表される。 f(x)=\\(\\frac{1}{n!} x^{n}(b-a x)^{n}=\\frac{a^{n}}{n!} x^{n}(\\pi-x)^{n}\\) と定積分 I=\\(\\int_{0}^{\\pi} f(x) \\sin x \\ dx\\) を考える。 まず, \0 \\leqq x \\leqq \\pi\ のとき \\((b-a x)^{n} \\leqq b^{n}\\) かつ \x^{n} \\leqq \\pi^{n}\ で, これらの等号は常には成り立たない から 0<I<\\(\\int_{0}^{\\pi} f(x) dx<\\int_{0}^{\\pi} \\frac{\\pi^{n} b^{n}}{n!} dx\\) ここで, \\(\\int_{0}^{\\pi} \\frac{\\pi^{n} b^{n}}{n!} d x=\\frac{(b \\pi)^{n}}{n!} \\pi\\) であり n \\\longrightarrow \\infty\ のとき \\(\\frac{(b \\pi)^{n}}{n!} \\pi \\longrightarrow 0\\) 章 24 I =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime}(x) \\cos x dx =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\left[f^{\\prime}(x) \\sin x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime}(x) \\sin x dx =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\quad+\\left[f^{\\prime \\prime}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime \\prime}(x) \\cos x d x =\\cdots \\cdots =\\left[\\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} f^{(2 k)}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi} p. 305 参照。よって, 「 n>N \\Longrightarrow 0<I<1 」なる自然数 N が存在する。 一方, 部分積分を繰り返すと, f(x) は 2 n 次式であるから I =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime}(x) \\cos x dx =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\left[f^{\\prime}(x) \\sin x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime}(x) \\sin x d x =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+0 \\quad+\\left[f^{\\prime \\prime}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime \\prime}(x) \\cos x dx =\\cdots \\cdots =\\left[\\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} f^{(2 k)}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi} =[ -f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\left[ f^{\\prime}(x) \\sin x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime}(x) \\sin x dx =[ -f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+0 \\quad+\\left[ f^{\\prime \\prime}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime \\prime}(x) \\cos x dx =\\ldots 更に, \\( f(\\pi-x)=\\frac{a^{n}}{n!}(\\pi-x)^{n} x^{n}=\\frac{a^{n}}{n!} x^{n}(\\pi-x)^{n}=f(x) \\) であるから, \ 0 \\leqq k \\leqq 2 n \ の整数 k について \\( f^{(k)}(\\pi)=(-1)^{k} f^{(k)}(\\pi-\\pi)=(-1)^{k} f^{(k)}(0) \\) も整数である。 よって, すべての自然数 n に対して I は整数となるが, これは(1)に矛盾する。 したがって, \ \\pi \ は無理数である。
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1. 次の問題の最大値と最小値を求めよ。
(1)
(2)
最大値は 𝑓(𝑥) = , 最小値は
3. (1)
(2) 𝑝 = -\frac{1}{3} 𝑎 + \frac{4}{3}, 𝑞 = \frac{1}{3} 𝑎 - \frac{1}{3}
(3) 𝑎 = 1 のとき最大値
4. (1) (2)
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以下の証明を読んで が無理数であることを示せ。\n\n証明:\n が有理数であると仮定すると, は自然数 \( ) \) と表される。\n\ne=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} & +\cdots \cdots+\frac{1}{a!}+\frac{1}{(a+1)!}+\frac{1}{(a+2)!}+\cdots \cdots であるから \na!e=\left(\frac{a!}{0!}+\right. & \left.\frac{a!}{1!}+\frac{a!}{2!}+\cdots \cdots+\frac{a!}{a!}\right) \n& +\left\{\frac{a!}{(a+1)!}+\frac{a!}{(a+2)!}+\frac{a!}{(a+3)!}+\cdots \cdots\right\} \cdots \cdots (1) \n\n(11) の左辺) =a!・\frac{b}{a}=(a-1)!・ b であるから, 左辺は自然数である。\n\nよって, (1) の右辺の初項から の項までは自然数であるから, \(\frac{a!}{(a+1)!}\) の項以降を とおくと \( N=\frac{a!}{(a+1)!}+\frac{a!}{(a+2)!}+\frac{a!}{(a+3)!}+\cdots \cdots \) は自然数である。 ところが, Nについて,\n\n0<N =\frac{a!}{(a+1)!}+\frac{a!}{(a+2)!}+\frac{a!}{(a+3)!}+\cdots \cdot .\n& =\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)}+\cdots \cdots \n& <\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(a+1)^{3}}+\cdots \cdots・ \n& <\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots \cdots=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\n\nとなるから, となり, が自然数であることに矛盾する。\nしたがって, (1) は成り立たない, すなわち とは表されないからeは無理数である。
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次の不等式を証明せよ。\n\ne^{x}>1+\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k!} \quad(x>0)\n\n[類 大阪教育大]
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演習41 III: 次の不等式 \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \を示せ。
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113 (1)
(2) \( \frac{1}{30}(b-a)^{5} \)
(3) \( \frac{1}{4}\left(e^{2}-7\right) \)
(4)
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(1) \ z_2 = \frac{3+\sqrt{3} i}{2}, \quad z_3 = 1+\sqrt{3} i \
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「e は無理数」の証明について説明してください。背理法と無限級数を用いる方法で e が無理数であることを証明する手順を示してください。
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a, b を でない実数とする。下の(1,,(2)の等式は a>0, b>0 の場合には成り立つが,それ以外の場合はどうか。次の各場合に分けて調べよ。
[1] a>0, b<0
[2] a<0, b>0
[3] a<0, b<0
(1) sqrt(a) sqrt(b)=sqrt(a b)
(2) sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)
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次の計算をせよ。\n(1) \\( (1-i)^{10} \\)\n(2) \ i+i^{2}+i^{3}+\cdots \cdots+i^{35} \
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(1) \\leftarrow a=1/4, \quad b=3/4 とする \] と、2ab = 3/8, a^2 + b^2 = 5/8 であり,\n\n\[ a<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b と予想できる。
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① 123 次の問いに答えよ。ただし, \ \\sqrt{3} \ は無理数とする。\n(1) \ \\log _{3} 4 \ は無理数であることを証明せよ。\n(2) \ a, b \ は無理数で, \ a^{b} \ が有理数であるような実数の組 \\( (a, b) \\) を 1 つ求めよ。 [大阪大]
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21 θ を 210°<θ<π/2 とする。cos θ は有理数ではないが, cos 2θ と cos 3θ がともに有理数とな るような θ の値を求めよ。
条件: 力が素数のとき,√p が有理数でないことは証明なしに用いてよい。
[京都大]
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実数 が を満たすとき,ア 選択肢 (a)~(d) の中から正しいものを選んで答えよ。\n(1) のとき, ア 。\n(2) のとき, イ\n[上智大]\n(3) のとき, ウ \n(4) のとき, エ 。 。 \n の選択肢:\n(a) が必ず成り立つ\n(b) が必ず成り立つ\n(c) が必ず成り立つ\n(d) が成り立つことも が成り立つこともありうる
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303\n188 常用対数を利用した桁数,小数首位の判断\n とする。\n(1) の値をそれぞれ求めよ。\n(2) は何桁の整数か。\n(3) \( \left(\frac{2}{3}\right)^{100} \) を小数で表すと,小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。 p. 302 基本事項 1, 2\n\n指針(1)底は 10 で, の値が与えられているから,各対数の真数を の累乗の積で表してみる。なお, の 5 は と考える。\n(2), (3) まず, \( \log _{10} 6^{50}, \log _{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{100} \) を求める。別解あり 解答編 検討参照。正の数 の整数部分が 桁 \n正の数 は小数第 位に初めて 0 でない数字が現れる \nCHART 桁数, 小数首位の問題 常用対数をとる
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(3106 a > 0 とする。 9^a + 9^-a = 14 のとき, 次の式の値を求めよ。 〔流通科学大〕 (1) 3^a + 3^-a (2) 3^a - 3^-a (3) 27^a + 27^-a (4) 27^a - 27^-a
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数学 189 (2) とおくと, であるから すなわち を の式で表すと \( \quad y=2 t+t^{2}=(t+1)^{2}-1 \) (1)の範囲において, は で最大値 で最小値 0 をとる。 より, であるから のとき のとき よって で最大値 で最小値 0
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常用対数を利用した桁数,小数首位の判断\n とする。 はア 桁の整数であり, \( \left(\frac{3}{5}\right)^{100} \) は小数第イ 位に初めて 0 でない数字が現れる。p. 312 EX 121
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32 最大値 \( \\frac{9+4 \\sqrt{3}}{9} ), 最小値 \( \\frac{9-4 \\sqrt{3}}{9} )
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次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。
(1) 3, \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{27}
(2) 2^{30}, 3^{20}, 10^{10}
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147 a<-\u221a{3} のとき -\ \\frac{\\sqrt{3}}{2} a+\\frac{1}{4} \,\n-\ \\sqrt{3} \\leqq a<\\sqrt{2} \ のとき \ \\frac{a^{2}}{4}+1 \,\n\ \\sqrt{2} \\leqq a \ のとき \ \\frac{\\sqrt{2}}{2} a+\\frac{1}{2} \
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複素平面上の票 を正の実数, \( w=a\left(\cos \frac{\pi}{36}+i \sin \frac{\pi}{36}\right) \) とする。複素数の列 を (n=1,2, \cdots \cdots) で定めるとき\n\n(1) の偏角を 1 つ求めよ。\n(2) 複素数平面で,原点を O とし, を表す点を とする。 とするとき, が直角二等辺三角形となるような n と a の値を求めよ。
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(2) 実数 の整数部分 となる整数 \( k) \) を で表す。整数 \( [f(1)],[f(2)],[f(3)] \), …… \( [f(1000)] \) のうちで異なるものの個数を求めよ。必要ならば, として計算せよ。
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数学 \n とすると これは を満たす。 を(1)に代入して \( \quad y=\frac{5}{6}(x-2)+3 \\) すなわち 5 x-6 y+8=0 \ 以上から, 求める接線の方程式は x=2,5 x-6 y+8=0 \\n(イ) 接点の座標を \( \left(x_{1}, y_{1}\right) \\) とすると, 接線の方程式は\n\[y_{1} y=4\left(x+x_{1}\right)\]\nこれが点 \( (3,5) \\) を通るから \( \quad 5 y_{1}=4\left(3+x_{1}\right) \\)\nよって 4 x_{1}=5 y_{1}-12 \\nこれを y_{1}{ }^{2}=8 x_{1} \ に代入して整理すると \( \left(y_{1}-4\right)\left(y_{1}-6\right)=0 \\)\nゆえに \quad y_{1}=4,6 \\n y_{1}=4 \ のとき x_{1}=2, y_{1}=6 \ のとき x_{1}=\frac{9}{2} \\nよって, (1) から y=x+2, y=\frac{2}{3} x+3 \\n別解 直線 x=3 \ は明らかに放物線 y^{2}=8 x \ の接線ではない。求める接線の方程式を \( y=m(x-3)+5 \cdots \cdots \\) (1) とおき,\n y^{2}=8 x \ \qquad \ (2)に代入して整理すると\n\[m^{2} x^{2}-2\left(3 m^{2}-5 m+4\right) x+9 m^{2}-30 m+25=0\]\n直線 (1) が放物線 (2) に接するとき, m^{2} \neq 0 \ で, このとき 2 次方程式 (3) の判別式を D \ とすると \quad D=0 \\nここで \( \frac{D}{4}=\left\{-\left(3 m^{2}-5 m+4\right)\right\}^{2}-m^{2}\left(9 m^{2}-30 m+25\right) \\)\n\[=8\left(3 m^{2}-5 m+2\right)=8(m-1)(3 m-2)\]\n D=0 \ とすると m=1, \frac{2}{3} \ これは m^{2} \neq 0 \ を満たす。\nこの m \ の値を (1) にそれぞれ代入して, 求める接線の方程式は \( \quad y=(x-3)+5, y=\frac{2}{3}(x-3)+5 \\)\nすなわち y=x+2, y=\frac{2}{3} x+3 \\n \leftarrow \ 接点は放物線 y^{2}=8 x \上にある。\n \leftarrow \ 直線 y=5 \ は接線では ない。\n蝓\n(2)を変形した x=\frac{y^{2}}{8} \ を 11 に代入して 考えてもよい。その場合, \frac{m}{8} y^{2}-y-3 m+5=0 \ の 判別式を D \ として D=0 \ から, m=1, \frac{2}{3} \ が導か れる。
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練習 ⊕ 31
|z−√2|≤1 を満たす複素数 z に対し, w=z+√2i とする。点 w の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。また, w⁴ の絶対値と偏角の値の範囲を求めよ。ただし, 偏角 θ は 0≤θ<2π の範囲で考えよ。
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次の式を計算せよ。
(315
\( \square,\left(\frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}\right)^{3}=1 \) \( \left(\frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}\right)^{2014}= \) ウ
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17 z= \pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right), \pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} i\right) ; 2
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次の式を計算せよ。\n\( \frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}=ヶ \square,(\left(\frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}\right)^{3}=1 \square,(\left(\frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}\right)^{2014}=\) ウ
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練習 3 点 \\( \mathrm{A}(-1), \mathrm{B}(1), \mathrm{C}(\sqrt{3} i) \\) を頂点とする \ \triangle \mathrm{ABC} \ が正三角形であることを用いて, 3 点 \\( \mathrm{P}(\alpha), \mathrm{Q}(\beta), \mathrm{R}(\gamma) \\) を頂点とする \ \triangle \mathrm{PQR} \ が正三角形であるとき, 等式 \ \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta-\β \γ-\γ \α=0 \ が成り立つことを証明せよ。
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(1) が十分小さいとき, 次の関数の 1 次の近似式, 2 次の近似式を作れ。
(2192
(ア) \( f(x)=\log (1+x) \)
(1) \( f(x)=\sqrt{1+\sin x} \)
[(1) 類 甲南大
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\alpha, z は複素数で, |\alpha|>1 であるとする。このとき, |z-\alpha| と |\bar{\alpha} z-1| の大小を比較せよ。
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複素数 α, z は複素数で, |α|>1 であるとする。このとき, |z-α| と |\barα z-1| の大小を比較せよ。
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PR 次の複素数を極形式で表せ。ただし, 偏角 は とする。\n(1) \( z=-\cos \alpha+i \sin \alpha(0 \leqq \alpha<\pi) \)\n(2) \( z=\sin \alpha-i \cos \alpha\left(0 \leqq \alpha<\frac{\pi}{2}\right) \)
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(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2。 (1)を y=1/(x+3)、(2)を y=1/(3-x) であると仮定。これを解くと x=0。求める不等式の解は, (1)のグラフが (2)のグラフより上側に ある、または共有点をもつ x の値の範囲である。よって, 図から求める x の値の範囲は -3 < x ≤ 0, 3 < x。
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116 a=-\frac{24}{\pi^{2}}, b=\frac{12}{\pi^{2}} で最小値 -\frac{48}{\pi^{4}}+\frac{1}{2}
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142 a=\frac{2}{e+1} のとき最小値 \( (e+1) \log \frac{2}{e+1}+e \)
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正方形の3等分\n定規やコンパスを使わず正方形の折り紙を3等分する方法について考えてみよう。まず,面積が1の正方形の折り紙を田の字に4等分して,そのうち3枚をA, B, Cの3人に1枚ずつ配る。残りの1枚を同様に4等分して,A,B,Cに1枚ずつ配る。この作業を限りなく繰り返していくと,A,B,Cそれぞれが受け取る折り紙の面積の総和は\n\\[\n\\left(\\frac{1}{4}\\right) + \\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{1}{4}\\right)^3 + \\cdots = \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^n = \\frac{\\frac{1}{4}}{1-\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{3}\n\\]\nこの面積は, 最初の折り紙の面積1を3等分したものと等しい。実際には, このような無限回の操作を行うことはできないが, 数学的にはこのような3等分の方法も考えられるというのは面白いところである。
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407 (2) \( -1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3}{4} \pi+i \sin \frac{3}{4} \pi\right) \) から\n\n\[\n\\begin{aligned}\n& \left(\frac{2}{-1+i}\right)^{-6}=\left(\frac{-1+i}{2}\right)^{6} \\\\\n= & \frac{1}{2^{6}}(\sqrt{2})^{6}\left(\cos \frac{3}{4} \pi+i \sin \frac{3}{4} \pi\right)^{6} \\\\\n= & \frac{1}{(\sqrt{2})^{6}}\left(\cos \frac{9}{2} \pi+i \sin \frac{9}{2} \pi\right) \\\\\n= & \frac{1}{2^{3}}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{8} i\n\\end{aligned}\n\]
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複素数 \ z \ の実部を \ \\operatorname{Re} z \ で表す。このとき,次の領域を複素数平面上に図示せよ。\n(1) \ |z|>1 \ かつ \ \\operatorname{Re} z<\\frac{1}{2} \ を満たす点 \ z \ の領域\n(2) \ w=\\frac{1}{z} \ とする。点 \ z \ が(1)で求めた領域を動くとき, 点 \ w \ が動く領域
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例 38 複素数の 乗の計算 (1)\n次の式を計算せよ。\n(1) \\( \\left(\\cos \\frac{2}{3} \\pi+i \\sin \\frac{2}{3} \\pi\\right)^{5} \\)\n(2) \\( (1-i)^{8} \\)\n(3) \\( (1+\\sqrt{3} i)^{-7} \\)
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101 複素数 が を満たすとする。 で表される複素数 に ついて, 次の問いに答えよ。 (1) 複素数平面上で, 点 はどのような図形を描くか。図示せよ。 (2) の絶対値を , 偏角を とするとき, と の範囲をそれぞれ求め よ。ただし, とする。 [類 東京学芸大]
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432 基本例題 85 複素数の積・商\nα=1-i, β=√3+i とする。ただし,偏角は 0 ≤ θ<2π とする。\n(1) α β, α/β をそれぞれ極形式で表せ。\n(2) arg(β^4), |α/β^4| をそれぞれ求めよ。\n(3) p .429 基本事項 1 1, 2
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PR \ a \ を正の定数とする。不等式 \ a^{x} \\geqq x \ が任意の正の実数 \ x \ に対して成り立つような \ a \ の値の範囲を求めよ。\\n[神戸大]
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次の複素数の絶対値を求めよ。\n(1) -2+i \n(2) \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i \n(3) 1-\sqrt{2} \n(4) -5 i
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1+√3 i, 1+i を極形式で表すことにより, cos(π/12), sin(π/12) の値をそれぞれ求めよ。
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592 -EXERCISES の解答 76 (1) a=1/2 z + 1/2 ȥ (2) b=-1/2 i z + 1/2 i ȥ (3) a-b = 1/2 (1+i) z + 1/2 (1-i) ȥ (4) a^2 - b^2 = 1/2 z^2 + 1/2 (ȥ)^2 77 (ア) √5 (イ) 5 (ウ) 4 78 証明略, β = -1/(α ȥ), a=1/(α ȥ)-(α+ ȥ), b = α ȥ - (α+ ȥ)/(α ȥ) 79 略 80 1 81 z = 0, -2 + 2i 82 略 83 (ア) π/4 (1) 5/12 π 84 (1) (1- √3/2, 1/2+√3) (2) (1, -2) 85 C(4+5i), D(6i) または C(2-3i), D(-2-2i) 86 略 87 (ア) √3/2 - 1/2 i (1) -i (ウ) -1/2 + √3/2 i 88 (ア) 2 (イ) π/6 89 n が 3 の倍数のとき 2, 3 の倍数でないとき -1 90 m=6, n=12 91 (1) i-1 (2) 0 (3) 略 92 2 cos(α/2)(cos(α/2) + i sin(α/2)) 93 (1) z2 = (3+√3 i)/2, z3=1+√3 i (2) α=1/2 + √3/2 i (3) zn = 1/2 - √3/2 i (1/2 + √3/2 i)^(n-1) + 1/2 + √3/2 i (4) n=6k+5 (k は 0 以上の整数) 95 (1) 1 (2) z = -1 ± √3/2 + (±1 + √3)/2 i (複号同順) 96 (1) 実軸および原点を中心とする半径 1 の円。ただし,原点を除く (2) 4/3 97 (1) 点 1+i を中心とする半径 1 の円 (2) 4+2√2 98 (1) (α-β)/(γ-β)= -2, 1±√3 i (2) ∠A=π/6, ∠B=π/3, ∠C=π/2 の直角三角形 99 (1) 6 (2) β = 3√2-√6/2 + 3√2+√6/2 i, arg β = 5/12 π (3) 8 個 100 略 101 (1) 略 (2) 3-2√2 ≤ r ≤ 3+2√2; 0 ≤ θ ≤ π/2, 3/2 π ≤ θ < 2 π 102 (1) (1+i)/2 α + (1-i)/2 β (2) 平行四辺形 (3) 略 103 (1) z1 = cos(θ - π/3) + i sin(θ - π/3) (2) z2 = 1/2 {cos(π - θ) + i sin(π - θ)} (3) z0= √6/2 + √10/2 i
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34 (1) \ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\n(2) \ \\frac{\\sqrt{2}}{324} \\n(3) \ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \
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EX
■分子の有理化。 \[ \begin{array}{l} \qquad \sqrt{5}+3 \geqq 5 \text { としたのは, } \\ \frac{4}{5}\left|a_{n}-3\right| \text { を作るため。 } \\ a \geqq b>0 \text { のとき } \\ \frac{1}{a} \leqq \frac{1}{b} \end{array} \] (2)で示した不等式を 繰り返し用いる。 \leftarrow\left|a_{1}-3\right|=|2-3|=1 \] はさみうちの原理 \[ \begin{\overlineray}{l} \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=0 \\ \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 \end{\overlineray} EX を実数とし,数列 \( \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を次のように定める。 \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=p, \quad b_{1}=q \\ a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\ b_{n+1}=q a_{n}+p b_{n} \end{array}\right. \] (1) とする。このとき, と イ となり , となる。 (2) とする。このとき, は を用いて, オ と表される。数列 が収束 するための必要十分条件は 力 である。その極限値は カ のとき のとき である。 [近畿大] (1) の 辺々を加えて 辺々を引いて \( \quad a_{n+1}-b_{n+1}=5\left(a_{n}-b_{n}\right) \) よって \( a_{n}+b_{n}=a_{1}+b_{1}=3+(-2)=1 \) \[ \begin{array}{l} \qquad a_{n}+b_{n}=a_{n-1}+b_{n-1} \\ =\cdots \cdots=a_{1}+b_{1} \end{array} \] また,数列 は 初項が , 公比が 5 辺々を加えて よって 辺々を引いて よって の等比数列。
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551\nカ 解答群\n(0) \n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \n\nキ , ケ \n(0) \n(1) \n(5) \n(5) \n(4) \nについて, 複素数平面上で を表す点を図示していくと, 複素\n(4) , \nの解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\n(2) \n(3) 数平面上には全部で コサ個の点が描かれる。ただし,同じ位置にある点は 1 個と 数えるものとする。\n(5) の値を求めよう。\n とおくと, シ, であるから\n\n1010 をサで割った余りに着目することにより, の値を求めると
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複素数の極形式, ド・モアブルの定理\nA 83 を虚数単位とし, \( \alpha=\sqrt{3}+i, \beta=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1) i \) とおく。このとき, の偏角はア であり, の偏角はイ である。ただし, 複素数 の偏角 は, の範囲で考える。\n[関西大]
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例 11 循環小数
(1) を小数に直し,循環小数の表し方で書け。
(2) 次の循環小数を分数で表せ。
(ア)
(1)
(ウ)
(I)
指針(1)分数を小数に直すには,(分子)%(分母)の計算を実際に行えばよい。一般に, 正の整数 に対して, を計算していくと, 各段階の割り算の余りは, 個の整数
のいずれかである。
余りに 0 が出てくればそこで計算が終わり, は整数または有限小数になる。
余りに 0 が出てこないときは, 余りは 1 から までの, \( (n-1) \) 個の整数のいずれ かであるから, 回目までには必ず同じ余りが出てきて, その後の割り算は前の割り算 の繰り返しとなる。この場合, は循環小数になる。
循環小数は, 次のように書き表す。
(2) 循環小数を分数で表すには,循環部分を消すことを考えればよい。与えられた循環小数を とおいて, それを 10 倍, 100 倍, ……すると, の小数点の位置がずれる。そこで, などと の差をとると,循環部分が消える。
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演習 4 |II --> 本冊 p .59
(2)
4/(1+√2+√3)
= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}
=4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)=4(1+√2-√3)/(2√2)
=2(1+√2-√3)/√2=2(1+√2-√3)√2/(√2)^2=2(1+√2-√3)√2/2
=√2+2-√6
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(2) N は辺 AB の中点であるから △ANC=1/2 △ABC=6
P は △ABC の重心であるから CP:PN=2:1 よって △ANP:△ANC=NP:NC=1:3
ゆえに △ANP=1/3 △ANC=2
また, AP:PM=2:1 であるから △PNM=1/2 △ANP=1
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例題 31 の小石は, 点 \ \\mathrm{A} \ からは \ \\mathrm{B} \ と C それぞれ \ \\frac{1}{2} \ の確率で進む。点 \ \\mathrm{B} \ からは CとDにそ 討 れぞれ \ \\frac{1}{2} \ の確率で進む。 \\longrightarrow\\ 各点へ移動してくる点に着目すると CへはAとBから, DへはBとCから, EへはCとDから,…... となる。したがって,次のことがいえる。 小石が点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ から点 \ \\mathrm{R} \ に進むとき, 点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ に 達する確率をそれぞれ \ p, q, r \ とすると r=\\frac{1}{2} p+\\frac{1}{2} q\nこのことを使って, 各点に達する確率を次々と求めることが できる。
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実数とその性質についての説明を読んで、以下の質問に答えてください。
1. 実数をどのように分類しますか?
2. 数直線上で座標 a が対応する点 P をどのように表しますか?
3. 絶対値の定義を述べてください。
4. 平方根の定義を述べ、正の平方根と負の平方根の違いを説明してください。
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(1 以上の整数とするとき, 次の 2 つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは 証明し,正しくないときはその理由を述べよ。\n命題 :ある に対して, と はともに有理数である。
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128 数学 I (3) から を解くと 不等式の解は, 直線 上の点で, 座標が 以上となる の值の 範囲であるから
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x は正の数とする。 2 辺の長さがともに有理数である長方形は, 1 種類の正方形で敷き詰めることができる。つまり,2辺の長さが 1, x の長方形について, x が有理数であるならば, 1 種類の正方形で敷き詰めることができる。1 種類の正方形で敷き詰めることができない場合,長方形のもう 1 辺の長さは無理数である。このことを利用して、√10 が無理数であることを証明せよ。\n\n※右の図は, 2 辺の長さが 1, √2 の長方形を複数の正方形で敷き詰める操作の例である。
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42 √7 または 1+√6
BC=4.5 (2) 15 √7 /4 (3) 順に 8 √7 /7, √7 /2
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【問題3】以下の式の整数部分と小数部分を求め、\a\ で砂時計し、\a^2 + ab + b^2\ の求めます。\\\frac{2}{\\sqrt{3} - 1}\
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演習例題 13 最高位の数字\n505\n負でない実数 に対し, で, が整数となる実数 を で表す。 すなわち, は の小数部分を表す。\n(1) となる正の整数 を 1 つ求めよ。\n(2) 10 進法による表示で の最高位の数字が 7 となる正の整数 を 1 つ求めよ。 ただし, である。[京都大]
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数学 ,演習 45 本冊 p. 212\n とおくと \nよって \( \sin 2 \theta=\sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} \) \n\n\( \cos 2 \theta=\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} \)\n\n\n\nゆえに \n\n\( =\frac{1+\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}=\left(1+\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}\right) \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} \)\n\n\n\n\( =\frac{(2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \)\n\n\n\n\n\nしたがって
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194 重要例題 94 | 三角関数と論証問題\n とする。 は有理数ではないが, と がともに有理数 となるような の値を求めよ。ただし, が素数のとき, が有理数でないこ とは証明なしに用いてよい。\n[京都大]
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次の計算をせよ。\n(1) \\( (3-\\sqrt{-1})(4+\\sqrt{-25}) \\)\n(2) \\( (2-\\sqrt{-3})^{2} \\)\n(3) \ i-i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}-i^{6}+i^{7}+i^{8} \\n(4) \\( (1+2 i)^{3} \\)\n(5) \ \\frac{1}{1+i}+\\frac{1}{1-2 i} \\n(6) \ \\frac{2+5 i}{4+i}-\\frac{i}{4-i} \\n\n指針: \n\n\ i \ は虚数単位とする。複素数も実数と同じ計算法則に従うから, \ i \ を普通の文字のように考えて計算し, \ i^{2} \ が出てきたら -1 におき換える 方針で計算すればよい。なお,計算の結果は \ a+b i \ の形で表す。\n\n(1), (2) \ a>0 \ のとき \ \\sqrt{-a}=\\sqrt{a} i \ のように, 負の数の平方根は, \ i \ を用いた形に表してから,展開公式を利用して計算する。\n\n(3) \\( i^{2}=-1, i^{3}=i^{2} \\cdot i=(-1) \\cdot i=-i, i^{4}=\\left(i^{2}\\right)^{2}=(-1)^{2}=1 \\) であるから, \ i^{n}(n \ は自然数 \\( ) \\) には周期性がある。\\\n\rightarrow n \\geqq 5 以後は, \ i,-1,-i, 1 \ を繰り返す。\n\n(5) 分母に \ i \ があるときは, 分母と共役な複素数を分母・分子に掛けて分母の実数化を 行ってから計算するのが基本。\n\n(6) それぞれの分母を実数化してから和の計算をしてもよいが, \ 4+i \ と \ 4-i \ は互いに共役な複素数であるから,通分と同時に分母が実数化される。
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105 (2) x=π, y=π/12 のとき最大値 25/12 π ; x=0, y=5/12 π のとき最小値 5/12 π
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(3) を \(f(x)=0\) の有理数解, すなわち \(f(r)=0\) であるとする。 は有理数であるから,互いに素である整数 を用いて と表される。ただし, である。更に, (2)より は整数ではなく, であるから とおける。 \[ f(r)=0 から 2r^{3}+a^{2}r^{2}+2b^{2}r+1=0 \] すなわち \(2\left(\frac{q}{p}\right)^{3}+a^{2}\left(\frac{q}{p}\right)^{2}+2b^{2}\left(\frac{q}{p}\right)+1=0\)。 よって 。したがって \(q(2 q^{2}+a^{2} p q+2 b^{2} p^{2})=-p^{3}\)。 合同式を使うと, \(a^{2} \equiv 1(\bmod 3), b^{2} \equiv 1(\bmod 3) \)から,\[ \begin{aligned} f(1) & \equiv 0(\bmod 3) f(2) & \equiv 1(\bmod 3) \end{aligned} \] \(\varangle c> 0\ のとき, \(f(c)> 0 となる。
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実数の範囲のみでは解を持たないことがある二次方程式を解決するために を満たす数 を導入した。これにより、すべての二次方程式は解を持つことになる。この概念を用いて次の問題を解いてください: 。
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次の数列の和を求めよ。
\[\frac{1}{1 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 13}, \cdots \cdots, \frac{1}{(4 n-3)(4 n+1)}\]
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(1) 3^{x}=5 を満たす有理数 x が存在すると仮定する。 3^{x}=5>1 であるから, x>0 である。よって, x=\frac{m}{n}(m, n は正の整数 ) と表され 3^{\frac{m}{n}}=5 両辺を n 乗して 3^{m}=5^{n} (1)の左辺は 3 の倍数であるが,右辺は 3 の倍数でないから,矛盾。ゆえに, 3^{x}=5 を満たす x は有理数でない。
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330\n数学 \n(2) (1)の結果から, . (2) と推測できる。\n[1] のとき,(1)により (2) は成り立つ。\n[2] のとき, (2) が成り立つと仮定する。\n のときについて, (1) から\n\[\n\\begin{array}{l}\n\\left\\{3(k+1)^{2}+3(k+1)-1\\right\\} S_{k+1}=5 T_{k+1} \n\\text { よって }\\left(3 k^{2}+9 k+5\\right) S_{k+1}=5 T_{k+1} \n\\text { また } \quad\\left(3 k^{2}+3 k-1\\right) S_{k}=5 T_{k} \n\\end{array}\n\]\n(3)-(4) から\n\[\n\\left(3 k^{2}+9 k+5\\right) S_{k+1}-\\left(3 k^{2}+3 k-1\\right) S_{k}=5\\left(T_{k+1}-T_{k}\\right)\n\]\n\n仮定から\n\[\n\\begin{aligned}\n\\left(3 k^{2}+9 k+5\\right)\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots \\cdots+k^{2}+a_{k+1}\\right) \n\\-\\left(3 k^{2}+3 k-1\\right)\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots \\cdots+k^{2}\\right)=5 a_{k+1}{ }^{2}\n\\end{aligned}\n\]\n\nよって\n\[\n\\left(3 k^{2}+9 k+5\\right) a_{k+1}+(6 k+6)\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots \\cdots+k^{2}\\right)=5 a_{k+1}^{2}\n\]\n\nゆえに \( \\left(3 k^{2}+9 k+5\\right) a_{k+1}+(k+1) \\cdot k(k+1)(2 k+1)=5 a_{k+1}{ }^{2} \) すなわち \( 5 a_{k+1}^{2}-\\left(3 k^{2}+9 k+5\\right) a_{k+1}-k(2 k+1)(k+1)^{2}=0 \) よって \( \\left\\{a_{k+1}-(k+1)^{2}\\right\\}\\left\\{5 a_{k+1}+k(2 k+1)\\right\\}=0 \)\n であるから \( \quad a_{k+1}=(k+1)^{2} \)\nしたがって, のときも (2)は成り立つ。\n[1], [2]から,すべての自然数 について(2)は成り立つ。\n(1) で とした式。\n\[\n\\begin{array}{l}\n\\Delta T_{k+1}=T_{k}+a_{k+1}{ }^{2} \\text { から } \nT_{k+1}-T_{k}=a_{k+1}{ }^{2} \\n4 a_{l}=l^{2}(l=1,2, \\cdots, k)\n\\end{array}\n\]\n\[\n\\begin{array}{r}\n1\\left\\{\\left(3 k^{2}+9 k+5\\right)-\\left(3 k^{2}+3 k-1\\right)\\right\\} \n\\times\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+k^{2}\\right) \n\\n=(6 k+6)\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots+k^{2}\\right)\n\\end{array}\n\]\n\[\n\\begin{array}{l}\n\$ 1 \\cdot k(2 k+1)-(k+1)^{2} \\cdot 5 \n\\n=-3 k^{2}-9 k-5 \\text { から. }\n\\end{array}\n\]\n\nたすき掛けで因数分解可能。
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計算を求めよ。\n6 (1) \( \frac{1}{(x+a)(x+b)} \)\n(2) \( \frac{3}{(x+1)(x+7)} \)
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負の数の平方根
(1)次の数の平方根を求めよ。
(ア) -7
(イ) -48
(2) 次の計算をせよ。
(ア) \\sqrt{-9} + \\sqrt{-16}
(1) \\sqrt{-3} \\times \\sqrt{-27}
(ウ) \\frac{\\sqrt{15}}{\\sqrt{-3}}
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1 の 3 乗根の性質について次の問いに答えよ。\n(1) 1 の 3 乗根を求めよ。\n(2) 1 の 3 乗根のうち,虚数であるものの 1 つを \ \\omega \ とする。\n(ア)虚数であるもののもう 1 つは \ \\omega^{2} \ であることを示せ。\n(イ) \ \\omega^{2}+\\omega+1 \ および \ \\omega^{5}+\\omega^{4} \ の値をそれぞれ求めよ。
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494 実践 1 等噇数列,等比数列 数学 B\n(1) \\frac{1}{2} \ を初項として, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{5} \ がこの順に同じ等差数列の項として含まれ ることがあるかどうかを調べてみよう。 である。また,公差を -\\frac{1}{2 \\times \\square \\text { アイ }} \ とすると \\frac{1}{3} \ は第 ケコ 項, \\frac{1}{5} \ は第 サシ項である。\n(2)次に,2,3,5 がこの順に同じ等比数列の項として含まれることがあるか どうかを調べてみよう。そのような等比数列があるとすると, 公比 r \ は r>1 \ であり, , 3 r^{n}=5 \ を満たす自然数 m, n \ が存在する。\ 2 r^{m}=3,3 r^{n}=5 \ から \ r \ を消去して整理すると,ス { }^{m+n}= \ セ ^{n} \\square \ ソ { }^{m} \ となり,2,3,5がこの順に同じ等比数列の項としてタ。 夕 の解答群\n∙ 含まれることはある\n∙ 含まれることはない\n∙ 含まれることがあるかないかは判断できない\n(3)一般に, a, b, c \ がこの順に同じ等差数列の項として含まれるとき, 10^{a} \, 10^{b}, 10^{c} \ はこの順に同じ等比数列の項として含まれることがある。 このことから, \\log _{10} 2, \\log _{10} 3, \\log _{10} 5 \ がこの順に同じ等差数列の項として チ。 チ の解答群\n∙ 含まれることはある\n∙ 含まれることはない\n∙ 含まれることがあるかないかは判断できない\n \\frac{\\text { CHART }}{\\text { \\& GUIDE }} \ 等差数列\n……初項に一定の数(公差) d \ を次々と足して得られる数列。\n等比数列\n初項に一定の数(公比)r を次々と掛けて得られる数列。
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次の和を計算せよ。\\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)。
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次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。\n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \
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TRAINING 37
(1)〜(3) の数の平方根を求めよ。また, (4)〜(6) の計算をせよ。
(1) -10
(2) -36
(3) -75
(4) \\sqrt{5} \\times \\sqrt{-20}
(5) \\frac{\\sqrt{-72}}{\\sqrt{-8}}
(6) \\frac{\\sqrt{-28}}{\\sqrt{7}}
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次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。\n(1) \n(2) \n\n不等号の向きが変わる。\n1 各数を の形に直す。このとき, 底 をそろえておくこと。\n2 指数部分の大小を比較する。\n3 関数の特徴(底 a と 1 の大小に注意)から, 各数の大小を比較する。
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次の4つの和を求めよ。\n(1) \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \)\n(2) \n(3)
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次の不等式を解け。(1) \left(\frac{1}{3}\right)^{x}<\frac{1}{81} (2) 5^{x+3}>\frac{1}{25} (3) 2\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}} \geqq\left(\frac{1}{128}\right)^{x-1}
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以下の数表を使用して、数値 5.67 に対応する値を見つけてください。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 数 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9
\hline 5.5 & .7404 & .7412 & .7419 & .7427 & .7435 & .7443 & .7451 & .7459 & .7466 & .7474
\hline 5.6 & .7482 & .7490 & .7497 & .7505 & .7513 & .7520 & .7528 & .7536 & .7543 & .7551
\hline 5.7 & .7559 & .7566 & .7574 & .7582 & .7589 & .7597 & .7604 & .7612 & .7619 & .7627
\hline 5.8 & .7634 & .7642 & .7649 & .7657 & .7664 & .7672 & .7679 & .7686 & 7694 & .7701
\hline 5.9 & .7709 & .7716 & .7723 & .7731 & .7738 & .7745 & .7752 & .7760 & .7767 & .7774
\hline 6.0 & .7782 & .7789 & .7796 & .7803 & .7810 & .7818 & .7825 & .7832 & .7839 & .7846
\hline 6.1 & .7853 & .7860 & .7868 & .7875 & .7882 & .7889 & .7896 & .7903 & .7910 & .7917
\hline 6.2 & .7924 & .7931 & .7938 & .7945 & .7952 & .7959 & .7966 & .7973 & 7980 & .7987
\hline 6.3 & .7993 & .8000 & .8007 & .8014 & .8021 & .8028 & .8035 & .8041 & 8048 & .8055
\hline 6.4 & .8062 & .8069 & .8075 & .8082 & .8089 & .8096 & .8102 & .8109 & 8116 & .8122
\hline 6.5 & .8129 & .8136 & .8142 & .8149 & .8156 & .8162 & .8169 & .8176 & 8182 & .8189
\hline 6.6 & .8195 & .8202 & .8209 & .8215 & .8222 & .8228 & .8235 & .8241 & .8248 & .8254
\hline 6.7 & .8261 & .8267 & .8274 & .8280 & .8287 & .8293 & .8299 & .8306 & 8312 & .8319
\hline 6.8 & .8325 & .8331 & .8338 & .8344 & .8351 & .8357 & .8363 & .8370 & .8376 & .8382
\hline 6.9 & .8388 & .8395 & .8401 & .8407 & .8414 & .8420 & .8426 & .8432 & .8439 & .8445
\hline 7.0 & .8451 & .8457 & .8463 & .8470 & .8476 & .8482 & .8488 & .8494 & .8500 & .8506
\hline 7.1 & .8513 & .8519 & .8525 & .8531 & .8537 & .8543 & .8549 & .8555 & 8561 & .8567
\hline 7.2 & .8573 & .8579 & .8585 & .8591 & .8597 & .8603 & .8609 & .8615 & 8621 & .8627
\hline 7.3 & .8633 & .8639 & .8645 & .8651 & .8657 & .8663 & .8669 & .8675 & 8681 & .8686
\hline 7.4 & .8692 & .8698 & .8704 & .8710 & .8716 & .8722 & .8727 & .8733 & .8739 & .8745
\hline 7.5 & .8751 & .8756 & .8762 & .8768 & .8774 & .8779 & .8785 & .8791 & .8797 & .8802
\hline 7.6 & .8808 & .8814 & .8820 & .8825 & .8831 & .8837 & .8842 & .8848 & .8854 & 8859
\hline 7.7 & .8865 & .8871 & .8876 & .8882 & .8887 & .8893 & .8899 & .8904 & .8910 & 8915
\hline 7.8 & .8921 & .8927 & .8932 & .8938 & .8943 & .8949 & .8954 & .8960 & 8965 & 8971
\hline 7.9 & .8976 & .8982 & .8987 & .8993 & .8998 & .9004 & .9009 & .9015 & .9020 & .9025
\hline 8.0 & .9031 & .9036 & .9042 & .9047 & .9053 & .9058 & .9063 & .9069 & .9074 & .9079
\hline 8.1 & .9085 & .9090 & .9096 & .9101 & .9106 & .9112 & .9117 & .9122 & .9128 & .9133
\hline 8.2 & .9138 & .9143 & .9149 & .9154 & .9159 & .9165 & .9170 & .9175 & .9180 & .9186
\hline 8.3 & .9191 & .9196 & .9201 & .9206 & .9212 & .9217 & .9222 & .9227 & .9232 & .9238
\hline 8.4 & .9243 & .9248 & .9253 & .9258 & .9263 & .9269 & .9274 & .9279 & .9284 & .9289
\hline 8.5 & .9294 & .9299 & .9304 & .9309 & .9315 & .9320 & .9325 & .9330 & .9335 & .9340
\hline 8.6 & .9345 & .9350 & .9355 & .9360 & .9365 & .9370 & .9375 & .9380 & .9385 & .9390
\hline 8.7 & .9395 & .9400 & .9405 & .9410 & .9415 & .9420 & .9425 & .9430 & .9435 & .9440
\hline 8.8 & .9445 & .9450 & .9455 & .9460 & .9465 & .9469 & .9474 & .9479 & .9484 & .9489
\hline 8.9 & .9494 & .9499 & .9504 & .9509 & .9513 & .9518 & .9523 & .9528 & .9533 & .9538
\hline 9.0 & .9542 & .9547 & .9552 & .9557 & .9562 & .9566 & .9571 & .9576 & .9581 & .9586
\hline 9.1 & .9590 & .9595 & .9600 & .9605 & .9609 & .9614 & .9619 & .9624 & .9628 & .9633
\hline 9.2 & .9638 & .9643 & .9647 & .9652 & .9657 & .9661 & .9666 & .9671 & .9675 & .9680
\hline 9.3 & .9685 & .9689 & .9694 & .9699 & .9703 & .9708 & .9713 & .9717 & .9722 & .9727
\hline 9.4 & .9731 & .9736 & .9741 & .9745 & .9750 & .9754 & .9759 & .9763 & .9768 & .9773
\hline 9.5 & .9777 & .9782 & .9786 & .9791 & .9795 & .9800 & .9805 & .9809 & .9814 & .9818
\hline 9.6 & .9823 & .9827 & .9832 & .9836 & .9841 & .9845 & .9850 & .9854 & .9859 & .9863
\hline 9.7 & .9868 & .9872 & .9877 & .9881 & .9886 & .9890 & .9894 & .9899 & .9903 & .9908
\hline 9.8 & .9912 & .9917 & .9921 & .9926 & .9930 & .9934 & .9939 & .9943 & .9948 & .9952
\hline 9.9 & .9956 & .9961 & .9965 & .9969 & .9974 & .9978 & .9983 & .9987 & .9991 & .9996
\hline
\end{tabular}
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(1)〜(3)の数の平方根を求めよ。また,(4)〜(6)の計算をせよ。
(1) -10
(2) -36
(3) -75
(4) √5 × √-20
(5) √-72 / √-8
(6) √-28 / √7
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有理数の指数\nここでは, 指数が有理数(分数)の場合にも, p .250 の指数法則が成り立つように, 正の数 aの累乗を定義することにしよう。
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37 (1) ±√10 i (2) ±6 i (3) ±5√3 i (4) 10 i (5) 3 (6) 2 i
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第 1 章 式 と証明 (2) であるから よって, (1) で証明した不等式で とおくと \[ \left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}>1+n \cdot \frac{3}{n} \] ここで ゆえに \( \quad\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}>4 \)
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次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。
(1) 0.2^{3}, 1,0.2^{-1}
(2) 3, \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{27}
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(8) 図6で、本尺の2目盛り (2mm) の長さと副尺の最小の1目盛りの長さには、2 - 1.95=0.05 (mm) の差がある。したがって、本尺と副尺の目盛りの線がそろっているところが副尺で1目盛り分ずれると、測った長さ(測定値)に0.05mmの差が生じることになる。そのため、図6のノギスで読み取れる長さは0.05mm刻みとなる。
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94 z= \pm 1, \quad \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2} i}{2}, \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2} i}{2}
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参棓事項 π は無理数 背理法や部分積分法などを用いると, π が無理数である ことを,高校数学の範囲で証明で きる。ここでは, 1947 年に発表されたニーベンの証明を紹介しよう。 湴明 π が有理数であると仮定し, π=\frac{b}{a} ( a, b は自然数)とおく。 f(x)=\frac{1}{n!} x^{n}(b-a x)^{n}=\frac{a^{n}}{n!} x^{n}(\pi-x)^{n} として,定積分 I=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x d x を考える。 まず, I が整数であることを示す。 I につて, 部分積分法を繰り返し用いると, f(x) は 2 n 次式であるから
\begin{aligned} I & =[-f(x) \cos x]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \cos x d x \\ & =[-f(x) \cos x]_{0}^{\pi}+\left[f^{\prime}(x) \sin x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin x d x \\ & =[-f(x) \cos x]_{0}^{\pi}+\quad+\left[f^{\prime \prime}(x) \cos x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} f^{\prime \prime \prime}(x) \cos x d x \\ & =\cdots \cdots \\ & =\left[\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} f^{(2 k)}(x) \cos x\right]_{0}^{\pi} \end{aligned} \triangle \sin 0=0 , \sin \pi=0 となる。これが整数であることを示す。 二項定理から \begin{aligned} f(x) & =\frac{1}{n!} x^{n}\left\{b^{n}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1} b^{n-1} a x+\cdots \cdots+(-1)^{n} a^{n} x^{n}\right\} \\ & =\frac{1}{n!}\left\{b^{n} x^{n}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1} b^{n-1} a x^{n+1}+\cdots \cdots+(-1)^{n} a^{n} x^{2 n}\right\} \end{aligned} 整数 k に対し \quad 0 \leqq k<n で \quad f^{(k)}(0)=0 , \n \leqq k \leqq 2 n \text { で } \quad f^{(k)}(0)=\frac{1}{n!}\left\{(-1)^{k-n}{ }_{n} \mathrm{C}_{k-n} b^{2 n-k} a^{k-n} k!\right\} \triangleleft n \leqq k から, \frac{k!}{n!} は整数。 となり, いずれも整数である。 更に, f(\pi-x)=\frac{a^{n}}{n!}(\pi-x)^{n} x^{n}=\frac{a^{n}}{n!} x^{n}(\pi-x)^{n}=f(x) であるから , \0 \leqq k \leqq 2 n の整数 k につ いて, f^{(k)}(\pi)=(-1)^{k} f^{(k)}(\pi-\pi)=(-1)^{k} f^{(k)}(0) も整数である。 よって, すべての自然数 n に対してIは整数となる。……*) 次に, x(\pi-x)=-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \leqq\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} から ,区間 [0, \pi] において \0 \leqq f(x) \sin x \leqq \frac{1}{n!}\left(\frac{\pi^{2} a}{4}\right)^{n} \text { が成り立つ。 } ここで ,正の実数 r に対して \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{r^{n}}{n!}=0 であり(証明は解答編 p .214 参照), これを用いる と, n が十分大きいとき, 区間 [0, \pi] において \0 \leqq f(x) \sin x<\frac{1}{\pi} とすることができるから \ 0<\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x d x<\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\pi} d x \ (0 \leqq f(x) の等号は常には成り立たない[ p .280 基本事項 2 参照]。) すなわち \0<I<1 となるが , これは(*)に矛盾する。 したがって, \pi は無理数である。
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関数 \( y=\sqrt{2 x+4}(a \leqq x \leqq b) \) の値域が であるとき, 定数 の値を求めよ。