数と代数 - 有理数と無理数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

命題「nは整数とする。n^2が7の倍数ならば,nは7の倍数である」は真である。これを利用して,√7が無理数であることを証明せよ。

基本例題 23 分母の有理化 次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。 (1) $\frac{4}{3 \sqrt{8}}$ (2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-2}$

（3） 3人ずつ3組に分ける場合、(2)でA, B, Cの区別をなくすと、同じものが3!通りずつできるため、分け方の総数は

PRACTICE 25°\n$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}, y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) $x+y, x y$\n(2) $x^{2}-x y+y^{2}$

1+√10 の整数部分を a, 小数部分を b とするとき, 次の值を求めよ。 (1) a, b (2) b + 1/b, b² + 1/b²

(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \

分数 a＝m/n (m, n は整数で n>0) が無限小数になるとき, a は循環小数であることを示せ。

(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \

(2) $\sqrt{5}$ が無理数であることを証明せよ。

√3 は無理数である。 7+a√3/2+√3=b+9√3 を満たす有理数 a, b の値を求めよ。

(1) 順に \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \

57 (ア) 20/3 (1) 25√３/3

分母の有理化

A 右の図のように, ある街には南北に走る道が 6 本,東西に走る道が 4 本ある。点Pから点Qまで最短経路の道順で進むこととする。その際，1枚の硬貨を投げて，表が出たら東へ１区画，裏が出たら 北へ 1 区画進む。硬貨の表と裏が出る確率は等しく1/2である。また, 点Qに到達する前に, 最も東の道の交差点で硬貨の表が出た場合や, 最も北の道の交差点で硬貨の裏が出た場合は, 先へ進めないのでその交差点にとどまる。 （1）硬貨を最少回数の 8 回投げただけで点Qに到達できる確率を求めよ。 （2）硬貨を 9 回投げ，ちょうど 9 回目に点Qに到達できる確率を求めよ。

\ \\frac{10}{7} \ を小数で表したとき, 小数第 100 位の数字を求めよ。

次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。(5) 関東学院大\n(1) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$\n(2) $\frac{1}{ \sqrt{3}-\sqrt{2}}$\n(3) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}-\sqrt{2}}$\n(4) $\frac{-27+\sqrt{7}}{5-3 \sqrt{7}}$\n(5) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}-\sqrt{6}}$\n(6) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}$

(1) \\frac{10}{7} を小数で表したとき，小数第 100 位の数字を求めよ。

PRACTICE 23 次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。 [(5) 関東学院大] (1) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (4) $\frac{-27+\sqrt{7}}{5-3 \sqrt{7}}$ (5) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}-\sqrt{6}}$ (6) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}$

2つの実数 $a, b$ の和, 差, 積, 商は常に実数である。例えば、有理数の和にしても常に有理数となる。有理数や実数の範囲では四則計算がいつでも可能であることを説明しなさい。ただし、除法では0で割ることは考えないものとする。

有理数と無理数の和は無理数であることを証明せよ。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ を簡単 にせよ。

(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \

√5 が無理数であることを証明せよ。

体積 \ \\frac{4}{3} \, 距離 \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \

次の条件に適するように，定数 a の値の範囲を定めよ。また、それぞれの場合に共有点の座標も求めよ。 1) x 軸との共有点の個数が 2 個 2) x 軸との共有点の個数が 1 個 3) x 軸との共有点の個数が 0 個 x 軸との共有点の個数が 2 個の条件は a < 1 x 軸との共有点の個数が 1 個の条件は a =1 x 軸との共有点の個数が 0 個の条件は a > 1 共有点の座標: - x 軸との共有点が 1 個の場合: (1,0)

(1) \ \\frac{2}{5} \

86 x<-\sqrt{5}, \quad-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sqrt{5}<x

EX 有理数と無理数の和は無理数であることを証明せよ。 $x$ を有理数， $y$ を無理数とし， $x+y$ が無理数でないと仮定する と, $x+y$ は有理数である。ここで, $x+y=a(a$ は有理数 \( ) \) とおくと $\quad y=a-x$

PR1枚の硬貨を繰り返し投げ，表が３回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし，投げられる回数は５回までとし，3回目の表が出たらそれ以降は投げない。１回目に裏が出たとき，賞品が もらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。

次の命題の真偽を調べよ。ただし，(2)，(3)は集合を用いて調べよ。\n（1）実数 $a, b$ について, $a^{2}=b^{2}$ ならば $a=b$\n(2) 実数 $x$ について, $|x|<3$ ならば $x<3$\n(3) 実数 $x$ について, $x<1$ ならば $|x|<1$

例題 98: 解をもつ範囲が 0 < x < 1 および 1 < x < 2 である 2 次方程式の解の存在範囲を求めなさい。

(ア) \ \\frac{1}{7} \

93 (1) -5/3 ≤ x < (1-√5)/2 (2) 2 ≤ x ≤ 4 (3) 解はない

27^3 x は無理数とする。次の命題を背理法を用いて証明せよ。 x^2 と x^3 の少なくとも一方は無理数である。

次の式の分母を有理化せよ。 (1) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ (4) $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

平方根と対称式の値 x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} のとき, 次の式の値を求めよ。 (1) x+y, x y (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

TRAINING 27 （1）次の (1)〜(4)のうち，正しいものをすべて選べ。 (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$ である。 (2) $\sqrt{0.25}=0.5$ である。 (3) $\frac{49}{64}$ の平方根は $\pm \frac{7}{8}$ である。 (4) $\frac{49}{64}$ の平方根は $\frac{7}{8}$ のみである。 (2) \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) の値をそれぞれ求めよ。

x, y についての多項式 P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by がある。ただし, a, b は有理数の定数とする。 (1) x = 1/(2-√3), y = 1/(2+√3) のとき, x + y と x - y の値を求めよ。 (2)（1）の x, y の値に対して P = 4 となるとき, a, b の値を求めよ。

$\frac{30}{7}$ を小数で表したとき，小数第 100 位の数字を求めよ。

次の式の分母を有理化せよ。 (1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ (2) $\frac{2}{\sqrt{12}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

(1) $a, b, c, d$ は有理数, $\sqrt{l}$ は無理数であるとする。 $a+b \sqrt{l}=c+d \sqrt{l}$ のとき, $b=d$ が成り立つことを証明せよ。また, このとき $a=c$ も成り立つことを証明せよ。 (2) \( (1+3 \sqrt{2}) x+(3+2 \sqrt{2}) y=-5-\sqrt{2} \) を満たす有理数 $x, y$ の値を求めよ。

整数 $m$ と 0 でない整数 $n$ を用いて分数 $\frac{m}{n}$ の形に表される数は何と呼ばれますか？

小数第何位かで終わる小数は何と呼ばれますか？

5 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) $a^{2}-a-1$\n(2) $a^{6}$

x=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} のとき, 次の式の値を求めよ。 (1) x+y, x y (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3}+x^{3} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

平方根の性質を説明せよ。

背理法を利用した証明（2） (1) $\sqrt{2}$ は無理数であることを，背理法を用いて証明せよ。ただし，整数 $n$ につい て, $n^{2}$ が偶数ならば $n$ は偶数であることを用いてよい。

平方根とは正の数 a の平方根には２つあり、絶対値が等しく符号が異なる。0の平方根は0である。例：5の平方根は $\sqrt{5}$ と - $\sqrt{5}$ である。根号を含む式の計算例： $\sqrt{3} \times \sqrt{7} = \sqrt{21}$。 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$。

積 x y について x y については, x の分母と y の分子が同じで, x の分子と y の分母が同じだから, 分母を有理化しなくても x y=1 と計算できますね。 逆数の関係 : \frac{A}{B}, \frac{B}{A}

TRAINING 59 (3)$\sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ。ただし，整数 $n$ について， $n^{2}$ が 3 の倍数ならば $n$ は３の倍数であることを用いてよい。

（1）次の１〜(4)のうち，正しいものをすべて選べ。 (1) 7 平方根は $\pm \sqrt{7}$ (3) $\sqrt{\frac{9}{16}}= \pm \frac{3}{4}$ である。 (2) 7 の平方根は $\sqrt{7}$ のみである。 (4) $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ である。 (2) \( (\sqrt{13})^{2},(-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \) の值をそれぞれ求めよ。

√6 が無理数であることを用いて, 次の数が無理数であることを証明せよ。 (1) 1-√24 (2) √2+√3

√3 が無理数であることを用いて, 1+2√3 は無理数であることを証明せよ。

次の条件の否定を述べよ。ただし，x, y は実数，m, n は整数とする。 （1） x は無理数である (2) -2 ≤ x < 1 (3) x ≤ 0 または y > 0 (4) x, y の少なくとも一方は0である (5) m, n はともに偶数である

次の式の 2 重根号をはずせ。\n(1) \ \\sqrt{4+2 \\sqrt{3}} \\n(2) \ \\sqrt{9-2 \\sqrt{20}} \\n(3) \ \\sqrt{11+4 \\sqrt{6}} \\n(4) \ \\sqrt{4-\\sqrt{15}} \\n

小数点以下の数字が限りなく続く小数は何と呼ばれますか？

ある位以下では数字の同じ並びが繰り返される小数は何と呼ばれますか？

TRAINING 42 \sqrt{6}+3 の整数部分を a, 小数部分を b とするとき, a^{2}+b^{2} の値は \square である。

循環小数 $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ をそれぞれ分数で表せ。

背理法を利用した証明方法を説明し、次の命題Uを背理法を使って証明してください。 命題U: 「√2は無理数である」

18 (1) \frac{4(\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \frac{110-32 \sqrt{7}}{9}

70 \\\\ y=\\frac{1}{\\sqrt{3}} x, \\\\ y=\\sqrt{3} x

次の式の分母を有理化せよ。 (1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ (2) $\frac{2}{\sqrt{12}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

TR $x=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ のとき, 次の式の值を求めよ。\n(1) $x+y, x y$\n(2) $x^{2}+y^{2}$\n(3) $x^{4} y^{3}+x^{3} y^{4}$\n(4) $x^{3}+y^{3}$

TR $\sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ。ただし, 整数 $n$ にいて, $n^{2}$ が 3 の倍数ならば $n$ は 3 の倍数であることを用いてよい。\n$\sqrt{3}$ が無理数でない, すなわち有理数であると仮定する。このとき, $\sqrt{3}$ は, 1 以外の正の公約数をもたない 2 つの自然数 (*) $m$, nを用いて \sqrt{3}=\frac{m}{n} \cdots \cdots \ (1) と表される。\n(1) から\n$m=\sqrt{3} n$\n\n両辺を 2 乗すると $\quad m^{2}=3 n^{2}$ $\qquad$\nゆえに, $m^{2}$ は 3 の倍数であるから，mは３の倍数である。 よって, 自然数 $k$ を用いて $m=3 k$\n③) と表される。\n(3) を（2)に代入すると $9 k^{2}=3 n^{2}$\nゆえに\n$n^{2}=3 k^{2}$\n$k^{2}$ は自然数であるから, $n^{2}$ は 3 の倍数であり, $n$ は 3 の倍数 である。\n$m, n$ がともに 3 の倍数となることは, $m$ と $n$ が 1 以外の正 の公約数をもたないことに矛盾する。\nしたがって, $\sqrt{3}$ は無理数である。

次の命題を背理法を用いて証明せよ。 $x^{2}$ と $x^{3}$ の少なくとも一方は無理数である。

87 (1) $x=\\frac{-1 \\pm 3 \\sqrt{5}}{2}$ (2) $x=\\frac{5 \\pm \\sqrt{13}}{6}$ (3) $x=-3 \\pm \\sqrt{5}$ (4) $x=\\frac{2 \\pm \\sqrt{19}}{3}$ (5) $x=\\frac{2}{3}$ (6) $x=\\frac{1}{4},-\\frac{1}{2}$

(1) a, b, c, d は有理数, \\sqrt{l} は無理数であるとする。 a+b \\sqrt{l}=c+d \\sqrt{l} のとき, b=d が成り立つことを証明せよ。また, このとき a=c も成り立つことを証明せよ。\n(2) (1+3 \\sqrt{2}) x+(3+2 \\sqrt{2}) y=-5-\\sqrt{2} を満たす有理数 x, y の値を求めよ。

次の命題の否定を述べよ。また，その真偽を調べよ。 (1) すべての自然数 n について, √n は無理数である。 (2) ある実数 x について, x^2=x+2 である。

次の式の分母を有理化せよ。 (1) $\frac{10}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ (4) $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

(1) (P) √5, (化) 10/3 (2) (ウ) 3/5 (3) (I) 2√5, (J) 5√5/4

分母の有理化 (1)：以下の式を有理化しなさい。$\frac{4}{\sqrt{2}}$

61 （1）ある自然数 n について, \sqrt{n} は有理数で ある，真 （2）すべての実数 x について, x^{2} \neq x+2 である,偽

次の式の 2 重根号をはずせ。 (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

（1）Ａを有理数全体の集合とするとき，A $\qquad$ $\{0\}$ である。 $\square$ に適する記号を $\in, \ni, \subset, \supset$ の中から 1 つ選べ。

循環小数 0 . ̇2, 1 . ̇2 1,0.1 ̇3 をそれぞれ分数で表せ。

次の問題に答えなさい。127 (1) 長さ $b=2 \sqrt{7}$ を持つ三角形の他の辺の長さを求めなさい。

TR 次の命題の真偽を調べよ。ただし \ , x, y \ は実数, \ m, n \ は自然数とする。\n\ { }^{1} 52 \\n(1) \ |x|=|y| \ ならば \ x=y \ である\n(2) \ x=2 \ ならば \ x^{2}-5 x+6=0 \ である\n(3) \ m, n \ がともに素数 ならば \ m+n \ は偶数 である\n(4) \ n \ が 3 の倍数 ならば \ n \ は 9 の倍数 である

条件 $p$ とその否定について説明しなさい。

$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて, $1+2 \sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ。

8√2 / 3

(1) a, b は有理数とする。 a+b \\sqrt{3}=0 のとき, \\sqrt{3} が無理数であることを用いて, a=b=0 を証明せよ。\n(2) (2+3 \\sqrt{3}) x+(1-5 \\sqrt{3}) y=13 を満たす有理数 x, y の値を求めよ。

EXERCISES の解答 14 \quad 7 15 (1) x=\frac{2+\sqrt{14}}{5},-\frac{6+3 \sqrt{14}}{5} (2) -\frac{1}{3} \leqq x \frac{7}{3} (3) x= 'frac{5}{4}, -\frac{1}{2}

無理数の定義を説明し、その特徴を2つ挙げよ。

平方根とは何ですか？具体的な例を挙げて説明してください。

次の式の 2 重根号をはずせ。 (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

x, y は実数とする。次の命題の逆・対偶・裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 (1) x² ≠ -x ⇒ x ≠ -1 (2) x + y は有理数 ⇒ x または y は有理数

$\sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ。ただし, 整数 $n$ について, $n^{2}$ が 3 の倍数ならば $n$ は 3 の倍数であることを用いてよい。

次の式の 2 重根号をはずせ。 (1) $\sqrt{3+2 \sqrt{2}}$ (2) $\sqrt{7-2 \sqrt{12}}$ (3) $\sqrt{5+\sqrt{24}}$ (4) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

次の命題の否定を述べよ。また，その真偽を調べよ。\n\n（1）すべての自然数 $n$ について, $\\sqrt{n}$ は無理数である。\n（2）ある実数 $x$ について, $x^{2}=x+2$ である。

数列 1/6, 1/9, 1/14, 1/21, 1/30 の一般項を求めよ。 分母の数列 a_n: 6, 9, 14, 21, 30 ... の階差数列を b_n とすると b_n: 3, 5, 7, 9 ... これは初項3、公差2の等差数列である。 よって b_n = 2n +1 分母の一般項 a_n = 6 + ∑(k=1>n-1) 2k+1 = 6 + n^2-1 + n-1 +5 = n^2 + 5 よって、求める数列の一般項は 1/(n^2+5)

次の各式を計算せよ。 (6) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-3}}$

133\n(1) \( \sqrt{2} \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \)

139\n(1) $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

117\n$a=\frac{6 \pm \sqrt{14}}{2}, \quad b=\frac{6 \mp \sqrt{14}}{2}$\n（複号同順）

次の複素数の実部と虚部を答えよ。\n(1) $3-\sqrt{2} i$\n(2) $\frac{-1+i}{2}$\n(3) $4 i$\n(4) $-\frac{1}{3}$

a, b を 0 でない実数とする。下の (1), (2) の等式は a>0, b>0 の場合に は成り立つが、それ以外の場合はどうか。次の各場合に分けて調べよ。 [1] a>0, b<0 [2] a<0, b>0 [3] a = \sqrt{\frac{a}{b}} (2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (3) $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \cdots \cdots$ について\n（1） $\frac{5}{8}$ は第何項か。\n(2)この数列の第 800 項を求めよ。\n（3）この数列の初項から第 800 項までの和を求めよ。

(5) キ に当てはまるものを，次の（）～９のうちから１つ選べ。(0) $\frac{\pi}{12}$ (1) $\frac{\pi}{6}$ (2) $\frac{5}{12} \pi$ (3) $\frac{5}{6} \pi$ (4) $2 \pi$ (5) $4 \pi$ (6) $5 \pi$ (7) $6 \pi$ (8) $12 \pi$ (9) $24 \pi$

562 \mathrm{~cm} または \( (1+\sqrt{3}) \mathrm{cm} \)

問題71 (ア) $\frac{1}{3}$\n(イ) -3

(1) $a_{2}=\frac{4}{3}, a_{3}=\frac{6}{5}, a_{4}=\frac{8}{7}$,\n$a_{n}=\frac{2 n}{2 n-1}$\n(2) 略

次の値を求めよ：\n14. (1) \frac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1

(2) $x=1,2 \pm \sqrt{3}$

a を 1 と異なる正の定数とする。$a^x=8$, $a^y=25$ のとき, $\log_{10} 500$ を $x, y$ で表せ。

解の条件から高次方程式の係数を決定する問題では，次の [1]， [2] が問題解決の基本とな る。まず，この最重要ポイントを押さえておこう。 x=α が方程式 f(x)=0 の解 ⇔ f(α)=0 （代入すると成り立つ） ⇐[1] ⇔ f(x) は x−α を因数にもつ ⇐[2] 最も基本的な解法は, [1] の方針「解は代入」である。例題 61, 62 では, この方針の解答 を最初に示している。しかし，例題 62 のように解が虚数の場合は, 代入した後の計算が やや煩雑になる。

次の各式を計算せよ。 (5) \( (\sqrt{3}+\sqrt{-1})(1-\sqrt{-3}) \)

130\n(1) \( (\sqrt{3}, 5) \)

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2} \pi$ のとき, $2 \cos \theta - 3 \tan \theta > 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求めよ。

問題95 $\frac{\sqrt{15}}{2}<r<4$

114\n-\π, 0, \π

次の計算をせよ。ただし， a>0, b>0 とする。 (1) $\sqrt{6} \times \sqrt[4]{54} \div \sqrt[4]{6}$ (2) \( \left(\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a^{2}}\right)^{6} \) (3) \( a^{\frac{4}{3}} b^{-\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}} \div\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{6}}\right) \) (4) \( \left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)^{2}\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)^{2} \) (5) \( (\sqrt[3]{5}+1)(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1) \)

(1) $\sqrt{-25}=\sqrt{25} i=\sqrt{5^{2}} i=5 i$\n(2) $\sqrt{-18}=\sqrt{18} i=3 \sqrt{2} i$ であるから \( \sqrt{2} \sqrt{-18}=\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} i=3(\sqrt{2})^{2} i \)\n$=6 i$\n(3) $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i, \sqrt{-27}=\sqrt{27} i=3 \sqrt{3} i$\nであるから\n\[\begin{aligned}\n\sqrt{-3} \sqrt{-27} & =\sqrt{3} i \cdot 3 \sqrt{3} i=3(\sqrt{3})^{2} i^{2} \\& =-9\n\end{aligned}\]

$26^{\oplus}$ 数列 $\frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}+3}, \cdots \cdots$ の初項から第 $n$ 項 までの和を求めよ。

PR 2 乗すると i になるような複素数 z=x+y i(x, y は実数 ) はちょうど 2 つ存在する。この z を求めよ。

$A=\frac{\sqrt{-3} \sqrt{-2} + \sqrt{-2}}{a + \sqrt{-3}}$ が実数となるような実数 $a$ を定めると、$a =$ $\square$ であり、$A =$ イ $\square$ である。

(2) $x y$ が無理数ならば, $x, y$ の少なくとも一方は無理数であるの逆・対偶・裏を述べ，その真偽をいえ。

綀習 (2) √3 が無理数であることを用いて, 1/√2 + 1/√6 が無理数であることを証明せよ。

124 (1) BE= (1+√5)/2, R= 2/√(10-2√5) (2) BG= √(10+2√5)/2 (3) 順に (3+√5)/48, (15+5√5)/12

奉本 61 背理法による証明\n$\sqrt{7}$ が無理数であることを用いて, $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数であることを証明せよ。$\angle \mathrm{p} .102$ 基本事項 2\n指䣄 無理数である（＝有理数でない）ことを直接示すのは困難。 そこで, 証明しようとする事柄が成り立たないと仮定して,矛盾を導き, その事柄が成り立つことを証明する方法, すなわち 背理法 で証明する。 \left[\\begin{\overlineray}{l|l|}\\text { 実数 } \\text { 有理数 } \\hline\\end{\overlineray}\\right.

△ABCにおいて, a=1+√3, b=2, C=60° とする。次のものを求めよ。 (2) 167 (1) 辺 AB の長さ (2) ∠B の大きさ （3）△ABCの面積 (4) 外接円の半径 (5) 内接円の半径 [類 奈良教育大] p. 285 EX118,119

$\sqrt{2}$ の値について

327 \\\frac{1}{2-\\sqrt{3}}\ の整数部分を \a\, 小数部分を \b\ とする。\n(1) \a\, \b\の値を求めよ。\n(2) \\\frac{a+b^{2}}{3 b}, a^{2}-b^{2}-2 a-2 b\ の値を求めよ。

(2) $a, b$ を有理数の定数とする。 $-1+\sqrt{2}$ が方程式 $x^{2}+a x+b=0$ の解の 1 つであるとき, $a, b$ の値を求めよ。

(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}

数学 I\n\na b c d= \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} \\\n\\times \\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \\\\\n\\times \\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{n}} \\\\\n\\times \\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{n}} \\\\\n= \\frac{1}{\\{(1+\\sqrt{2})+\\sqrt{3}\\}\\{(1+\\sqrt{2})-\\sqrt{3}\\}} \\\\\n\\times \\frac{1}{\\{(1-\\sqrt{2})+\\sqrt{n}\\}\\{(1-\\sqrt{2})-\\sqrt{n}\\}} \\\\\n= \\frac{1}{(1+\\sqrt{2})^{2}-(\\sqrt{3})^{2}} \\times \\frac{1}{(1-\\sqrt{2})^{2}-(\\sqrt{n})^{2}} \\\\\n= \\frac{1}{2 \\sqrt{2}} \\times \\frac{1}{3-2 \\sqrt{2}-n}=\\frac{1}{6 \\sqrt{2}-8-2 \\sqrt{2} n}\n\n定数項は \ -\\frac{1}{8} \ であるから \ \\quad \\frac{1}{6 \\sqrt{2}-8-2 \\sqrt{2} n}=-\\frac{1}{8} \\nよって \ 2 \\sqrt{2} n=6 \\sqrt{2} \\nゆえに \ n=3 \\n\\( (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \\) を展開すると， \ x \ の係数は \ -a b c-a b d-a c d-b c d \ となる。\n\ a, b, c, d \ は 0 でない実数であるから\n\\( -a b c-a b d-a c d-b c d=\\frac{1}{8}\\left(\\frac{1}{d}+\\frac{1}{c}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{a}\\right) \\)\n\\( =\\frac{1}{8}\\{(1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3})+(1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}) \\)\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow(A+B)(A-B) \\\\ =A^{2}-B^{2} \\text { が使える。 } \\end{array} \\]\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow(1+\\sqrt{2})^{2}=3+2 \\sqrt{2} \\\\\n(1-\\sqrt{2})^{2}=3-2 \\sqrt{2}\\end{array} \\]\n\ \\begin{\overlineray}{l} \\leftarrow 6 \\sqrt{2}-8-2 \\sqrt{2} n \\\\\n=-8\\end{\overlineray} \\]\n\\[ \\begin{aligned}\n\\leftarrow a b c d & =-\\frac{1}{8} \\text { であるか } \\\\\n\\text { ら } \\quad a b c & =-\\frac{1}{8 d}, \\\\\na b d & =-\\frac{1}{8 c}, \\\\\na c d & =-\\frac{1}{8 b}, \\\\\nb c d & =-\\frac{1}{8 a}\\end{aligned} \\nしたがって, 求める \ x \ の係数は \ \\frac{1}{2} \

$x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}, y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ のとき, $x+y, x y, x^{2}+y^{2}, x^{3}+y^{3}, x^{3}-y^{3}$ の値を求めよ。

次の式の 2 重根号をはずして簡単にせよ。\n\n1. \\\sqrt{6+4 \\sqrt{2}}\\n2. \\\sqrt{8-\\sqrt{48}}\\n3. \\\sqrt{2+\\sqrt{3}}\\n4. \\\sqrt{9-3 \\sqrt{5}}\

次の命題について逆と対偶を示し、それが真か偽かを答えなさい。\n(1) 逆: x = 2 かつ y = 3 ⇒ x + y = 5 真\n 裏: x + y ≠ 5 ⇒ x ≠ 2 または y ≠ 3 真\n(2) 逆: y の少なくとも一方が無理数ならば, xy は無理数である 偽\n 対偶: x, y がともに有理数ならば, xy は有理数である 真\n 裏: xy が有理数ならば, x, y はともに有理数である 二

分母の有理化\n\( (\sqrt{a})^{2}=a, \quad(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b \) を利用する。

(3) (1+√3)^3 の値を求めよ。

第1章 数と式\n3 実数\n問題\n√2 + 3 の値は有理数か無理数か。

次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。\n(1) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$\n(2) $\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}}$\n(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$\n(4) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

(2 + 3√3)x + (1 - 5√3)y = 13 を満たす有理数 x, y の値を求めよ。

数学 I\nHINT (5) \\( (\\sqrt{2})^{2}+(\\sqrt{3})^{2}=(\\sqrt{5})^{2} \\) に着目する。\n(1) \ \\quad( \ 与式 \\)=\\frac{3 \\sqrt{2} \\sqrt{3}}{2(\\sqrt{3})^{2}}-\\frac{\\sqrt{3} \\sqrt{2}}{3(\\sqrt{2})^{2}}=\\frac{3 \\sqrt{6}}{6}-\\frac{\\sqrt{6}}{6}=\\frac{2 \\sqrt{6}}{6}=\\frac{\\sqrt{6}}{3} \\)\n(2) \ \\quad( \ 与式 \\)=\\frac{6(3+\\sqrt{7})}{(3-\\sqrt{7})(3+\\sqrt{7})}=\\frac{6(3+\\sqrt{7})}{9-7} \\)\n=3(3+\\sqrt{7})=9+3 \\sqrt{7}\n(3)\n\\(\\begin{aligned}\\text{与式})=\\frac{(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})^{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})}-\\frac{(\\sqrt{5}+\\sqrt{3})^{2}}{(\\sqrt{5}-\\sqrt{3})(\\sqrt{5}+\\sqrt{3})} \\)\n& =\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{3-2}-\\frac{8+2 \\sqrt{15}}{5-3}=5-2 \\sqrt{6}-(4+\\sqrt{15}) \\)\n& =1-2 \\sqrt{6}-\\sqrt{15}\n\\end{aligned}\\)\n(4)\n\\begin{array}{l}\\(\\text {与式})=\\frac{1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{\\{(1+\\sqrt{6})+\\sqrt{7}\\}\\{(1+\\sqrt{6})-\\sqrt{7}\\}} \\)\n+\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{(5+2 \\sqrt{6})(5-2 \\sqrt{6})} \\)\n=\\frac{1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{(1+\\sqrt{6})^{2}-(\\sqrt{7})^{2}}+\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{25-24}=\\frac{1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{2 \\sqrt{6}}+5-2 \\sqrt{6} \\)\n=\\frac{(1+\\sqrt{6}-\\sqrt{7}) \\sqrt{6}}{2(\\sqrt{6})^{2}}+5-2 \\sqrt{6} \\)\n=\\frac{\\sqrt{6}+6-\\sqrt{42}}{12}+\\frac{12(5-2 \\sqrt{6})}{12}=\\frac{66-23 \\sqrt{6}-\\sqrt{42}}{12} \\)\n\\end{array}\\)\n(5)\n\\(\\begin{aligned}\\text {与式})=\\frac{(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}+\\sqrt{5})\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+\\sqrt{5}\\}}{\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})-\\sqrt{5}\\}\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+\\sqrt{5}\\}} \\)\n& =\\frac{\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{5})-\\sqrt{3}\\}\\{(\\sqrt{2}+\\sqrt{5})+\\sqrt{3}\\}}{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})^{2}-(\\sqrt{5})^{2}} \\)\n& =\\frac{(\\sqrt{2}+\\sqrt{5})^{2}-(\\sqrt{3})^{2}}{2 \\sqrt{6}}=\\frac{2+\\sqrt{10}}{\\sqrt{6}} \\)\n& =\\frac{(2+\\sqrt{10}) \\sqrt{6}}{(\\sqrt{6})^{2}}=\\frac{2 \\sqrt{6}+2 \\sqrt{15}}{6}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{15}}{3} \\)\n\\end{aligned}\\)\n\\\leftarrow \\分母が\\sqrt{a}\\なら, 分母\n・分子に\\sqrt{a}を掛ける。\\n\\\leftarrow \\分母が\\a-\\sqrt{b}\\なら,分母・分子に\\a+\\sqrt{b}を掛ける。\\nヶ分母が\\sqrt{a}+\\sqrt{b}\\なら,分母・分子に\\sqrt{a}-\\sqrt{b};分母が\\sqrt{a}-\\sqrt{b}\\なら,分母・分子に\\sqrt{a}+\\sqrt{b}を掛ける。\n\\(\\leftarrow \\frac{1}{1+\\sqrt{6}+\\sqrt{7}}\\は, 分母を\\(1+\\ sqrt{6 })+\\sqrt{7}\\と 考えて分母・分子に\\(1+\\sqrt{6})-\\sqrt{7 }\\を掛ける。\\更に分母を有理化。\nヶ通分する。\n\\(\\leftarrow \\例えば, 分母・分子に\\sqrt{2}-(\\sqrt{3}-\\sqrt{5})\\を掛けると，分母は\\2(\\sqrt{15}-3)\\となり, 更に分母・分子 に\\sqrt{15}+3\\を掛けるこ とになる。これは, 左の 解答より計算が複雑。\n\n綀臽\n(1) 次の（ア）（ウ）の場合について， \\sqrt{(a+2)^{2}}+\\sqrt{a^{2}}\\の根号をはずし簡単にせよ。\n\\(25\\(ア) a \\geqq 0 \\(イ) -2 \\leqq a<0 \\(ウ) a<-2 \\)\n(2) 次の式の根号をはずし簡単にせよ。\n\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9} \\\text { ただし }-2<x<\\frac{3}{4}\\n[(2) 類 東北工大]\n

例題 28 において, x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}, y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} の分母を有理化すると， x=5-2 \sqrt{6}, y=5+2 \sqrt{6} となる。

a = \\frac{1-\\sqrt{3}}{2} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) 2a^{2} - 2a - 1\n(2) a^{8}

次の問題に関して、各部分を証明せよ。 (2) $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ がともに有理数であると仮定する。このとき、 $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ はともに正の整数であることを示せ。 (3) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ が有理数であると仮定する。このとき $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ の性質を示せ。 次の問題に関しても解答せよ。 $\frac{a x + y}{1 - a} = a$ から \( a x + y = a (1 - a) \) を導き、この方程式を解け。

28 (1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$

数学 I (2)の右辺は有理数であるから, (2) は √3 が無理数であることに矛盾している。 ゆえにn=0 よって2√3y - √x = 0 (1)からy^2 - 9 = 0 ゆえにy=±3 y は正の整数であるからy=3 これを(3)に代入して6√3 - √x = 0 ゆえにx = (6√3)^2 = 108 x = 108, y = 3 のとき, 12 - √x > 0, y - √3 > 0 となるから, 適する。したがって x = 108, y = 3

次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

次の命題の中で反例を示しなさい。 (1) x=3−√3 と y=√3−1 はともに無理数である。また, x+y=2 は有理数である。 (4) x=2√2, y=1−2√2 はともに無理数である。また, x+y=1 は有理数である。

練習 次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。 (1) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}$ (2) $\frac{6}{3-\sqrt{7}}$ (3) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (4) $\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\frac{1}{5+2 \sqrt{6}}$ (5) $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ $\underline{\text { p. } 59 \text { EX } 22>}$

実数と平方根に関する性質を説明してください。

33® $A$ を有理数全体の集合, $B$ を無理数全体の集合, 空集合を $\varnothing$ と表す。次の $\square$ の中に集合の記号 $\in, \ni, \subset, \supset, \cup, \cap$ の中から適するものを入れよ。\n(1) $A$ $\square$ $\{0\}$\n(2) $\sqrt{28}$ $\square$ $B$\n(3) $A=\{0\} \square A$\n(4) $\varnothing=A$ $\square$ $B$

(1) $a=4, b=\sqrt{10}-3$\n(2) $b+\frac{1}{b}=2 \sqrt{10}, b^{2}+\frac{1}{b^{2}}=38$

PRACTICE $44^{2}$\n$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。ただし， $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ がともに無理数であることは知られているものとする。

(1) $\frac{5 \sqrt{6}}{12}$\n(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$\n(3) $\frac{8+3 \sqrt{6}}{10}$\n(4) $3+2 \sqrt{7}$\n(5) \( \frac{2(3+\sqrt{3})}{3} \)\n(6) $1+3 \sqrt{2}-3 \sqrt{3}$

46（1） $a, b, c, d$ を有理数， $x$ を無理数とするとき，\n\na+b x=c+d x \text のならば, a=c \text かつ b=d \n\nが成り立つことを証明せよ。\n(2) \( (p+\sqrt{2})(q+3 \sqrt{2})=8+7 \sqrt{2} \) を満たす有理数 \( p, q(p<q) \) の値を求好よ。

PRACTICE $46^{\top}$\n$\sqrt{3}$ は無理数である。 $\frac{7+a \sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=b+9 \sqrt{3}$ を満たす有理数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) $\sqrt{5}$ が無理数であることを証明せよ。

基本例題 27 整数部分, 小数部分 $1+\sqrt{5}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, 次の値を求めよ。 (1) $a, b$ (2) $b+\frac{1}{b}, b^{2}+\frac{1}{b^{2}}$ 実数 $x$ の整数部分, 小数部分 整数部分 ($n$ に該当) は $n \leqq x < n+1$ を満たす整数 $n$ 小数部分 ($f$ に該当) は $f = x - \text{整数部分}$ まず, $a$ を求める。$2 < \sqrt{5} < 3$ を利用することにより, $1 + \sqrt{5}$の整数部分は$1 + 2 = 3$。$1+\sqrt{5} = 2.236...$であるから, 小数部分は$1 + \sqrt{5} - 3 = 0.236...$ 次に, $b$ を求めた後, $b+\frac{1}{b}$ と $b^{2} + \frac{1}{b^{2}}$ は次のように計算できる。 対称式 $x+y, x^{2}+y^{2}$ は \((x + y)^2 - 2xy\) を利用する。 例えば, $b + \frac{1}{b}$ を $x$ としたとき,$x = b + \frac{1}{b}$ かつ $b = 0.236...$と計算する。

(3) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}-\sqrt{2}}$

$\frac{9}{37}$ を小数で表したとき, 小数第 50 位の数字を求めよ。

66\n(1) $x=\frac{2}{3},-\frac{1}{4}$\n(2) $x=\frac{-3 \pm \sqrt{89}}{2}$\n(3) $x=2 \sqrt{2},-\sqrt{2}$\n(4) $x=\frac{11 \pm \sqrt{17}}{4}$\n

次の式を解け。 (2) \( \sqrt{9-2 \sqrt{14}}=\sqrt{(7+2)-2 \sqrt{7 \cdot 2}}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}-\sqrt{2} \) (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}=\sqrt{11+2 \cdot 2 \sqrt{6}}=\sqrt{11+2 \sqrt{24}}$ (4) \( \sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8-2 \sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{(5+3)-2 \sqrt{5 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=

与えられた条件から AC=BC=\frac{6}{\sqrt{2}}=3 \sqrt{2} 図のように, 点 D, E, F, G をとり,長方形の縦の長さを x とすると DE=AE=AC-CE=3 \sqrt{2}-2 x FG=AG=AC-GC=3 \sqrt{2}-x また, 0<CE<AC であるから 0<2 x<3 \sqrt{2} すなわち 0<x<\frac{3 \sqrt{2}}{2} 2 つの長方形の面積の和を y とすると y =x(3 \sqrt{2}-2 x)+x(3 \sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \sqrt{2} x = -3(x-\sqrt{2})^{2}+6 y は x=\sqrt{2} で最大値 6 をとる。 このとき 2 つの長方形の面積の和は最大となるから，求める 最大値は 6。

基本列題 44 背理法による証明\n(1) $a, b$ は有理数で, $b \neq 0$ とする。 $\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて, $a+b \sqrt{2}$ が無理数であることを証明せよ。\n(2) $\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。\n(1) \ \\frac{4}{3 \\sqrt{8}} \\n(2) \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} \\n(3) \ \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}+2}-\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}-2} \

EX\n46\n(1) $a, b, c, d$ を有理数、$x$ を無理数とするとき、\n「 $a + bx = c + dx$ ならば $a = c$ かつ $b = d$ 」\nが成り立つことを証明せよ。

次の問題に答えよ。(1) $x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき, $x^{3}+y^{3}$ の値を求めよ。(2) $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ のとき, $a+\frac{1}{a}, a^{3}+\frac{1}{a^{3}}$ の値をそれぞれ求めよ。(3) $x+y+z=x y+y z+z x=2 \sqrt{2}+1, x y z=1$ のとき, $\frac{x}{y z}+\frac{y}{z x}+\frac{z}{x y}$ の値を求めよ。

実数の分類について説明してください。

有理数と無理数の和は無理数であることを証明せよ。

PR $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。ただし, $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ がともに無理数であることは知られているものとする。

EX 有理数と無理数の和は無理数であることを証明せよ。

(5)\n\\[\\begin{aligned}(\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2}\\end{aligned}\\]

(2) \((p + \sqrt{2})(q + 3\sqrt{2}) = 8 + 7\sqrt{2} \) を満たす有理数 $p, q$( $p < q$ )の値を求めよ。

\\\sqrt{3} \\tan \\theta+1=0\ から \\\tan \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\ 直線 \x=1\ 上で, \y\ 座標が \-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\ となる点を \\mathrm{T} とすると, 直線 OT と半径 1 の半円の共有点は, 図の点 \\mathrm{P} である。求める \\\theta\ は, \\\angle \\mathrm{AOP}\ であるから

次の式を，分母を有理化して簡単にせよ。 [(5) 関東学院大]\n(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}} - \\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}} + \\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \\n(2) \ \\frac{1}{\\sqrt{3} - \\sqrt{2}} \\n(3) \ \\frac{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3} - \\sqrt{2}} \\n(4) \ \\frac{-27 + \\sqrt{7}}{5 - 3 \\sqrt{7}} \\n(5) \ \\frac{\\sqrt{3} - \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3} + \\sqrt{6}} + \\frac{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3} - \\sqrt{6}} \\n(6) \ \\frac{1}{1 + \\sqrt{2}} - \\frac{2}{\\sqrt{2} + \\sqrt{3}} + \\frac{1}{\\sqrt{3} + 2} \

次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\sqrt{7+2 \\sqrt{6}} \

58 (1) $\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right]=0$, $\left[-\frac{1}{2}\right]= -1$, $\frac{[-1]}{2}=-\frac{1}{2}$ (2) 略

x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}, y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) x+y, x y\n(2) x^{2}-x y+y^{2}

84 a > -1 / 8 のときの解の数, a=-1 / 8 のときの解の数, a < -1 / 8 のときの解の数

x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}, y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) x+y, x y\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}

背理法を用いて、√3 が無理数であることを証明せよ。

整数部分・小数部分の問題です。次の数の整数部分と小数部分を求めてください。\n問題 1: $\sqrt{5} + 1$

109: (1) $\frac{2}{5}$ (2) $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

点\( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) は, 点 $z$ をどのように移動した点であるか。ただし, 回転の 角 $\theta$ の範囲は $-\pi<\theta \leqq \pi$ とする。

点 $\frac{z}{z-2}$ が虚軸上にあるから, $\frac{z}{z-2}$ の実部が 0 である。

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

複素数の絶対値\n複素数 $z=a+b i$ に対して, 点 $z$ と原点 $\mathrm{O}$ との距離 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ を，複素数 $z=a+b i$ の 絶対値 といい, $|z|$ で表す。\nすなわち 複素数の絶対値は実数である。\n\n次の複素数 $z$ の絶対値を求めよ。\n\n1. $z = 3 + 4i$\n2. $z = -1 + i$\n3. $z = 2 - 2i$

共役複素数の性質 複素数 $\\alpha, \\beta$ について, 次のことが成り立つ。

5 (1) $\\frac{1}{\\sqrt{5}}$\n(2) 5\n(3) $t=-1$ で最小値 $2 \\sqrt{5}$

22 次の複素数を計算しなさい。\n(1) $i$ \n(2) $\frac{1}{256}-\frac{1}{256} i$ \n(3) $-\frac{1}{512}$ \n(4) -64 \n(5) 1024

28 次の複素数の偏角を計算しなさい。\n(1) $\frac{1}{\sqrt{3}} i$ \n(2) 順に $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$

複素数 $z$ について, $|z|=|-\bar{z}|$ であることを示せ。

78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i

複素数 $z$ の虚部が正の数であり, 3 点 \( \mathrm{A}(z), \mathrm{B}\left(z^{2}\right), \mathrm{C}\left(z^{3}\right) \) は直角二等辺三角形の頂点である。このとき, $z$ を求めよ。

18 (2) (1) \ \\sqrt{5}+2 \\n(ウ) 2

複素数として $\alpha$ の実部と虚部がともに正であるとする。また, $|\alpha|=|\beta|=1$ とする。複素数 $i \alpha, \frac{i}{\alpha}, \beta$ で表される複素数平面上の 3 点が, ある正三角形の 3 頂点であるとき, $\alpha, \beta$ をそれぞれ求めよ。

39 ± $\frac{\sqrt{3}}{2}$

53 (2) $\\frac{\\sqrt{19}}{10}$

24 次の数の平方根を計算しなさい。\n$\sqrt{2}$

88 z = 2 + 3i, -2 - 3i, 1 - 5i, 5 + i, 1/2 - 5/2i, 5/2 + 1/2i

21 複素数 $1+\sqrt{3}$ 及び $1-\sqrt{3}i$ を計算しなさい。

79 (1) z=√3+i, -√3-i (2) z=2i, -√3-i, √3-i

84 (1) (√3 - 1/2) + (√3/2 + 2)i (2) √2/2 + (3√2/2 + 1)i (3) -1 + 3i (4) 1 - i

数学C\n125\nこのとき\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\bar{w} & =\\frac{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{3}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{4}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{3}}\\right)}=\\frac{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\frac{1}{z_{4}}\\right)}{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\frac{1}{z_{4}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)} \\\\\n& =\\frac{\\left(z_{3}-z_{1}\\right)\\left(z_{4}-z_{2}\\right)}{\\left(z_{4}-z_{1}\\right)\\left(z_{3}-z_{2}\\right)}=\\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=w\n\\end{aligned}\n\\]\nよって, wは実数である。\n（3） \ w \ が実数ならば \ w=\\bar{w} \\nよって \\( \\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=\\frac{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{3}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(\\overline{z_{1}}-\\overline{z_{4}}\\right)\\left(\\overline{z_{2}}-\\overline{z_{3}}\\right)} \\)\n点 \\( z_{i}(i=1,2,3) \\) が単位円上にあるから \\( \\quad \\overline{z_{i}}=\\frac{1}{z_{i}}(i=1,2,3) \\)\nゆえに \\( \\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=\\frac{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(\\frac{1}{z_{1}}-\\overline{z_{4}}\\right)\\left(\\frac{1}{z_{2}}-\\frac{1}{z_{3}}\\right)} \\)\nよって \\( \\frac{\\left(z_{1}-z_{3}\\right)\\left(z_{2}-z_{4}\\right)}{\\left(z_{1}-z_{4}\\right)\\left(z_{2}-z_{3}\\right)}=\\frac{\\left(z_{3}-z_{1}\\right)\\left(1-z_{2} \\overline{z_{4}}\\right)}{\\left(1-z_{1} \\overline{z_{4}}\\right)\\left(z_{3}-z_{2}\\right)} \\)\n\ z_{1}, z_{2}, \\quad z_{3}, \\quad z_{4} \ は相異なるから \ \\quad \\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{4}}=\\frac{1-z_{2} \\overline{z_{4}}}{1-z_{1} \\overline{z_{4}}} \\nゆえに \\( \\quad\\left( z_{2}-z_{4}\\right)\\left(1- z_{1} \\overline{z_{4}}\\right)=\\left( z_{1}-z_{4} \\right)\\left(1- z_{2} \\overline{z_{4}}\\right) \\)\n展開して整理すると \\( \\quad\\left( z_{2}- z_{1} \\right)\\left(1-\\left| z_{4} \\right|^{2}\\right) =0 \\)\n\ z_{2} \\neq z_{1} \ から \ \\quad\\left| z_{4} \\right|^{2}=1 \ すなわち \ \\left| z_{4} \\right|=1 \\nしたがって, 点 \ z_{4} \ は単位円上にある。

(2) 点 $z$ が満たす方程式は \( |z-(1-\\sqrt{3} i)|=1 \)\( w=(2+2 \\sqrt{3} i) z \) すなわち \( w=2(1+\\sqrt{3} i) z \) から\n\\[\\begin{aligned}z &=\\frac{w}{2(1+\\sqrt{3} i)}=\\frac{w(1-\\sqrt{3} i)}{2(1+\\sqrt{3} i)(1-\\sqrt{3} i)} \\&=\\frac{w(1-\\sqrt{3} i)}{8}\\end{aligned}\\]\n(1)に代入して \( \\quad\\left|\\frac{w(1-\\sqrt{3} i)}{8}-(1-\\sqrt{3} i)\\right|=1 \)\nすなわち $\\quad\\left|\\frac{1-\\sqrt{3} i}{8}\\right||w-8|=1$\n$\\left|\\frac{1-\\sqrt{3} i}{8}\\right|=\\frac{2}{8}=\\frac{1}{4}$ であるから $\\quad|w-8|=4$\nよって, 点 $w$ は点 8 を中心とする半径 4 の円を描く。\n参考 \( 2+2 \\sqrt{3} i=4\\left(\\cos \\frac{\\pi}{3}+i \\sin \\frac{\\pi}{3}\\right) \) であるから，点 \( (2+2 \\sqrt{3} i) z \) は, 点 $z$ を, 原点を中心に $\\frac{\\pi}{3}$ だけ回転した点を 4 倍した点である。ゆえに, 円 \( |z-(1-\\sqrt{3} i)|=1 \) の中心である点 $1-\\sqrt{3} i$ は点 8 に 移り, 円の半径は 4 となる。よって, 点 $w$ は点 8 を中心とする半径 4 の円を描く。

次の用語を説明してください： 有界である, 有限確定値, 有向線分, 有心 2 次曲線, 有理関数, 陽関数, 四平方の定理, 離心角, 離心率, 立体の体積, リマソン, 零因子, 零行列, 零ベクトル, レムニスケート, 連続, ライプニッツ級数, ロピタルの定理, ロル(Rolle) の定理

複素数 \\alpha=a+b i \ に対し, \\bar{\\alpha}=a-b i \ を \\alpha \ に共役な複素数, または \\alpha \ の共役複素数という。これを使って次のことを証明せよ：\n\n(1) \\alpha \ が実数 $\\Longleftrightarrow \\bar{\\alpha}=\\alpha$, \\alpha \ が純虚数 \\Longleftrightarrow \\bar{\\alpha}=-\\alpha, \\alpha \\neq 0 \\n(2) \\alpha+\\bar{\\alpha} \ は実数であることを示せ。\n(3) \\overline{\\alpha+\\beta}=\\bar{\\alpha}+\\bar{\\beta} \ を示せ。\n(4) \\overline{\\alpha\\beta}=\\bar{\\alpha}\\bar{\\beta} \ を示せ。

(1) s^2 - t^2/a^2 = 1 (1), s^2/b^2 + t^2 = 1 (2) から t^2 = 1 - s^2/b^2 これを (1) に代入して s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1 整理すると s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) s > 0, b > 0 であるから s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1)) (2), (3) より t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1) t > 0, a > 0, b > 1 であるから t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))

演習問題 の解答 66 t=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}, \quad V(t)=\frac{\pi}{24}(2 \pi-3 \sqrt{3}+1)

練習 44\n（1）（解1）x=1/(y^2-2y) から y^2-2y-1/x=0 この2次方程式の判別式をDとすると\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\nD/4 >= 0 とすると 1/x+1 >= 0 よって x<=-1,0<x ゆえに x<=-1,0<x のとき y=1±√(1+1/x)\n

演習問題 の解答 62 (1) a=\frac{9}{8}

(2) \ \alpha = \frac{1+\sqrt{3} i}{2} \

数学 II 練習 87(1) b を定数とみて、aをxにおき換えると、与えられた不等式は b log (x/b) ≤ x-b ≤ x log (x/b) ここで、f(x) = (x-b) - b log (x/b) (x>0) とすると f'(x) = (x-b)/x f'(x) = 0 とすると x=b 増減表から f(x) は x=b で極小かつ最小で f(b)=0 よって f(x) ≥ 0 ゆえに b log (x/b) ≤ x-b 次に、g(x) = x log (x/b) - (x-b) (x>0) とすると g'(x) = log (x/b) g'(x)=0 とすると x=b 増減表から g(x) は x=b で極小かつ最小で g(b)=0 よって g(x) ≥ 0 ゆえに x-b ≤ x log (x/b) (2), (3) から、 x>0, b>0 のとき (1) は成り立つ。したがって、 x=a とすると a>0, b>0 のとき b log (b/a) ≤ a-b ≤ a log (a/b) 別解 与えられた不等式の各辺を b(>0) で割ると log (a/b) ≤ a/b - 1 ≤ a/b log (a/b) a/b = t とおくと t>0 ゆえに、不等式は log t ≤ t - 1 ≤ t log t(t>0) f(t) = t - 1 - log t(t>0) とすると f'(t) = 1 - 1/t = (t-1)/t f'(t) = 0 とすると t=1 増減表から f(t) は t=1 で極小かつ最小で f(1)=0 よって f(t) ≥ 0 ゆえに log t ≤ t - 1 次に、g(t) = t log t - t + 1(t>0) とすると g'(t) = log t + t (1/t) - 1 = log t 42 変数 a, b の不等式

（2）高さが h cm のとき容量が π/4(h²+h) cm³ , 水面の面積が π/2(h+1/2) cm² である容器がある。この容器に毎秒 π cm³ の割合で水を注ぐものとする。水を 注ぎ始めてから 5 秒後の状態について, 次のものを求めよ。(ア) 水面の底面からの高さ h (T) 水面の上昇する速度 v (ウ) 水面の面積の増加する速度 w [類 東京理科大]

不等式の成立条件 a を正の定数とする。不等式 a^{x} ≥ x が任意の正の実数 x に対して成り立つような aの値の範囲を求めよ。 [神戸大]

演習問題 の解答 58 (3) \frac{\sqrt{3}}{12}

111 (1) $\frac{\pi-1}{4}$ (2) $\frac{a}{2}$

1 の n 乗根を求め、その各値が単位円のどの位置に対応するか説明してください。

40 (1) $2 \log 3-3 \log 2$ (2) $\frac{17}{12}$ (3) $\frac{3}{8} \pi$ (4) $\frac{1}{2}$

「π 無理数」の証明 p. 298 で紹介した極限の定義を用いれば, π が無理数であることを, 背理法や部分積分法など, 高校数学の範囲で証明できる。ここでは，すばらしい発想を垣間見ることができる，1947 年に発表されたニーベンの証明を紹介しよう。痖明 π が有理数であると仮定すると, π=\\\frac{b}{a}\(a, b は自然数) と表される。 f(x)=\\(\\frac{1}{n!} x^{n}(b-a x)^{n}=\\frac{a^{n}}{n!} x^{n}(\\pi-x)^{n}\\) と定積分 I=\\(\\int_{0}^{\\pi} f(x) \\sin x \\ dx\\) を考える。 まず, \0 \\leqq x \\leqq \\pi\ のとき \\((b-a x)^{n} \\leqq b^{n}\\) かつ \x^{n} \\leqq \\pi^{n}\ で, これらの等号は常には成り立たない から 0<I<\\(\\int_{0}^{\\pi} f(x) dx<\\int_{0}^{\\pi} \\frac{\\pi^{n} b^{n}}{n!} dx\\) ここで, \\(\\int_{0}^{\\pi} \\frac{\\pi^{n} b^{n}}{n!} d x=\\frac{(b \\pi)^{n}}{n!} \\pi\\) であり n \\\longrightarrow \\infty\ のとき \\(\\frac{(b \\pi)^{n}}{n!} \\pi \\longrightarrow 0\\) 章 24 I =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime}(x) \\cos x dx =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\left[f^{\\prime}(x) \\sin x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime}(x) \\sin x dx =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\quad+\\left[f^{\\prime \\prime}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime \\prime}(x) \\cos x d x =\\cdots \\cdots =\\left[\\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} f^{(2 k)}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi} p. 305 参照。よって, 「 n>N \\Longrightarrow 0<I<1 」なる自然数 N が存在する。 一方, 部分積分を繰り返すと, f(x) は 2 n 次式であるから I =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime}(x) \\cos x dx =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\left[f^{\\prime}(x) \\sin x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime}(x) \\sin x d x =[-f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+0 \\quad+\\left[f^{\\prime \\prime}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime \\prime}(x) \\cos x dx =\\cdots \\cdots =\\left[\\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} f^{(2 k)}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi} =[ -f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+\\left[ f^{\\prime}(x) \\sin x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime}(x) \\sin x dx =[ -f(x) \\cos x]_{0}^{\\pi}+0 \\quad+\\left[ f^{\\prime \\prime}(x) \\cos x\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\pi} f^{\\prime \\prime \\prime}(x) \\cos x dx =\\ldots 更に, \\( f(\\pi-x)=\\frac{a^{n}}{n!}(\\pi-x)^{n} x^{n}=\\frac{a^{n}}{n!} x^{n}(\\pi-x)^{n}=f(x) \\) であるから, \ 0 \\leqq k \\leqq 2 n \ の整数 k について \\( f^{(k)}(\\pi)=(-1)^{k} f^{(k)}(\\pi-\\pi)=(-1)^{k} f^{(k)}(0) \\) も整数である。 よって, すべての自然数 n に対して I は整数となるが, これは(1)に矛盾する。 したがって, \ \\pi \ は無理数である。

1. 次の問題の最大値と最小値を求めよ。 (1) (2) 最大値は 𝑓(𝑥) = $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 最小値は $\frac{\sqrt{2} - 1}{3}$ 3. (1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) 𝑝 = -\frac{1}{3} 𝑎 + \frac{4}{3}, 𝑞 = \frac{1}{3} 𝑎 - \frac{1}{3} (3) 𝑎 = 1 のとき最大値 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 4. (1) $\pi$ (2) $\frac{4}{3} \pi$

(1) \ z \ は \ 0, \pm 1 \ 以外のすべての実数

以下の証明を読んで $e$ が無理数であることを示せ。\n\n証明：\n$e$ が有理数であると仮定すると, $e=\frac{b}{a}(a, b$ は自然数 \( ) \) と表される。\n\ne=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} & +\cdots \cdots+\frac{1}{a!}+\frac{1}{(a+1)!}+\frac{1}{(a+2)!}+\cdots \cdots であるから \na!e=\left(\frac{a!}{0!}+\right. & \left.\frac{a!}{1!}+\frac{a!}{2!}+\cdots \cdots+\frac{a!}{a!}\right) \n& +\left\{\frac{a!}{(a+1)!}+\frac{a!}{(a+2)!}+\frac{a!}{(a+3)!}+\cdots \cdots\right\} \cdots \cdots (1) \n\n(11) の左辺) =a!・\frac{b}{a}=(a-1)!・ b であるから, 左辺は自然数である。\n\nよって, (1) の右辺の初項から $\frac{a!}{a!}$ の項までは自然数であるから, \(\frac{a!}{(a+1)!}\) の項以降を $N$ とおくと \( N=\frac{a!}{(a+1)!}+\frac{a!}{(a+2)!}+\frac{a!}{(a+3)!}+\cdots \cdots \) は自然数である。 ところが, Nについて,\n\n0<N =\frac{a!}{(a+1)!}+\frac{a!}{(a+2)!}+\frac{a!}{(a+3)!}+\cdots \cdot .\n& =\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)}+\cdots \cdots \n& <\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(a+1)^{3}}+\cdots \cdots・ \n& <\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots \cdots=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\n\nとなるから， $0<N<1$ となり， $N$ が自然数であることに矛盾する。\nしたがって, (1) は成り立たない, すなわち $e=\frac{b}{a}$ とは表されないからeは無理数である。

(1) \ \frac{1+i}{2} \alpha + \frac{1-i}{2} \beta \

次の不等式を証明せよ。\n\ne^{x}>1+\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k!} \quad(x>0)\n\n[類 大阪教育大]

演習41 III: 次の不等式 \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \を示せ。

113 (1) $\frac{1}{2}+\frac{4}{\pi^{2}}$ (2) \( \frac{1}{30}(b-a)^{5} \) (3) \( \frac{1}{4}\left(e^{2}-7\right) \) (4) $4 \pi$