AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
基本的な数論 - 素数と素因数分解
Q.02
次のことを証明せよ。\n(1) n(n+1)(n+2)(n+3) は 24 の倍数である。\n(2) n(n+1)(n-4) は6の倍数である。
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a, b を自然数とするとき, a + b = p + 4, ab^{2} = q を満たす素数 p, q を求めよ。
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例 1 から 50 までの整数の中から相異なる 26 個の数をどのように選んでも,和が 51 になる 2 つの数の組が必ず含まれていることを示せ。
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n^{2}+1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割つたときの余りが 2 または 3 であることは同値であることを証明せよ。
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PR 3500 の正の約数について
(27 (1) 約数は全部でいくつあるか。
(2) (1)の約数の総和を求めよ。
3500=2^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7 であるから, 3500 の正の約数は
として, 2^{a} \cdot 5^{b} \cdot 7^{c} と表される。
1) a の定め方は 3 通り。
そのおのおのに対して, bの定め方は 4 通り。
更に,そのおのおのに対して,cの定め方は2通り。
よって, 積の法則により
3 \times 4 \times 2=24 (個)
(2) 3500 の正の約数は
(1+2+2^{2})(1+5+5^{2}+5^{3})(1+7)
を展開したときの項として1つずつ出てくる。
よって, 求める総和は
7 \times 156 \times 8=8736
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2 以上の自然数で, 正の約数が 1 とその数自身のみである数を素数といい, 2 以上の自然数で, 素数でない数を合成数という。例 は素数であり,4,6,8,9,…は合成数である。
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数学A\n[2] のとき\n\n4 p+1=4(3 k+2)+1=3(4 k+3)\n\n4 k+3 は 7 以上の自然数であるから,4 p+1 は素数ではない。以上から,p, 2 p+1,4 p+1 がいずれも素数となるような自然数 p は p=3\np が 5 以上の素数のとき は 2 p+1,4 p+1 のいず れかが 3 の倍数になると 見当がつく。\n\nPR文字はすべて整数とする。合同式を用いて,次の問いに答えよ。\n123 (1) を 5 で割つた余りが 3 であるとき, を 5 で割った余りを求めよ。\n(2) a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2} で d が 3 の倍数でないならば, a, b, c の中に 3 の倍数がちょうど 2 個あ ることを証明せよ。
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以下の命題が真か偽か判断しなさい。\n(2) 28 の正の約数は の 6 個である。よって, 真の命題である。\n(3) のとき, n\は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが,24 の倍数でない。\nよって, 偽の命題である \( \\left(n=36\\right)\\)が反例)。
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1から30までの自然数の積 30!をN とする。 Nを素因数分解したとき、次の問いに答えよ。(1) 素因数 2 の個数を求めよ。(2) 素因数 5 の個数を求めよ。(3) Nを計算すると、末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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PRACTICE 106\n(1) 756 の正の約数の個数を求めよ。\n(2)自然数 を素因数分解すると, 素因数には と 5 があり, これら以外の素因数は ない。また, の正の約数は 8 個, 正の約数の総和は 90 である。素因数 と自然数 の値を求めよ。
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素数の問題はどう考えていけばよいのか,迷ってしまいます。 素数の定義は, 「2 以上の整数で, 1 とそれ自身以外に正の約数をもたない数」とシンプルです。これをどのように活かすかがポイントです。まず,次の性質(1),2)を押さえておきましょう。 (1) 素数 の約数は と (正の約数は 1 と の 2 個) (2) 素数は 2 以上で, 偶数の素数は 2 だけである。また, 3 以上の素数はすべて奇数 である。 「素数 の約数は と 利用 この性質を利用すると, \( (n-3)(n-9) \) が素数 に るには,右の (A)〜(D) 4 つの場合が考えられる。 ここで, と という大小関係を考慮すると, Ⓐ) (DD)うう適するのは (B) と (C) のみとなる。特に, (負の場合)は, のような間違いをしやすいので注意したい。 \\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\\\hline n-3 \) & 1 & p & -1 & \( -p \\\hline & & 1 & & -1 \\\hline \\end{tabular} 4永草 18 約 \\square \) 数 と 掊 \( \\square \) 数 「素数は 2 以上」, 「偶数の素数は 2 だけ, 3 以上の素数は奇数」の利用 まず, 4 以上の偶数は, \( 2 \times(2 以上の自然数 \( ) \) と表されるから,素数ではない。よって, 偶数の素数は 2 だけである。 これから, 2 以外の素数はすべて奇数であることもわかる。 を異なる素数 \( (p<q) \) とすると, p \geqq 2, q \geqq 3 \) であるから,
\\[
p+q \geqq 5, p q \geqq 6 \text { といつた不等式が成り立つ。 }\\]
また, \\( \quad p \\pm q = \) (奇数 \ \) や \\( \quad p q = \) (偶数) のときは, \ の一方は偶数, 他方は奇数であるが, 偶数の素数は2だけであるから,\. と決めることができる。 \ 奇 \\ = 偶 偶 \\ \\pm 奇 \\ = 偶 \\素数の性質を利用することで, このような値の決め方ができる。 (2) では, \ から (1)を利用して, \ すなわち p = q + 1 \) から \( p, q を導くのに (2)を利用している。 以上のように, 素数の問題では, 積や和の形の式に, (1), (2) の性質が威力を発揮することが多いです。また,素数には他にもさま ざまな性質があります。次ページのSTEP UP でまとめている ので参考にしてください。
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集合の要素の個数, 場合の数に関連する次の問題について答えなさい。\n(1) 次の数の正の約数の個数を求めなさい。360 = 2^3 * 3^2 * 5\n(2) 次の多項式の展開式の項の数を求めなさい。(a+b)(p+q+r)(x+y)\n
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次の命題の否定を述べよ。また,その真偽を調べよ。\n(1)すべての素数について,素数は奇数である。\n(2)ある実数 について \( (a+b)^{2} \leqq 0 \)
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例 72 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n12 つの数に共通な素因数で割れるだけ割っていく。\nたとえば2で割っていきます。\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\n最大公約数と最小公倍数を計算してください。
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は素数で とする。また は正の整数とし, と する。1 から までの整数のうち, または の倍数の個数が 240 個 であるとする。これらの条件を満たす組( \( p, q, m, n) \) を求めよ。
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基本例題 106 正の約数の個数\n(1) 630 の正の約数の個数を求めよ。\n(2)自然数 を素因数分解すると,素因数には と 7 があり,これら以外の 素因数はない。また,Nの正の約数は 6 個,正の約数の総和は 104 である。素因数 と 自然数 の値を求めよ。
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完全数と素数
n を自然数とする。 2^n - 1 の形をした自然数をメルセンヌ数といい、メルセンヌ数のうち、素数であるものをメルセンヌ素数という。
例:
メルセンヌ数: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023
メルセンヌ素数: 3, 7, 31, 127
ユークリッドの「2^n - 1 が素数であるような自然数 n に対して、2^(n-1)(2^n -1) は完全数である」という命題を示せ。
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(2) a は正の整数であり, p = a^2 + 1 は素数であるとする。このとき, n^2 + 1 が p の倍数であることと, n を p で割ったときの余りが a または p - a であることは同値である。
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PR は整数とする。次のことを証明せよ。\n(1) は 3 で割り切れない。\n(2) が 5 で割り切れないとき, を 5 で割った余りは 1 または 4 である。\n を整数とする。
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次の 2 つの整数, 3 つの整数の最大公約数と最小公倍数を, 素因数分解を利用して それぞれ求めよ。\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234
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1 枚の硬貨を繰り返し投げ,表が3回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし,投げられる回数は 5 回までとし,3 回目の表が出たらそれ以降は投げない。1 回目に 裏が出たとき, 賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。
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52\n数学 I\n[2] のとき\n\[ n^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5\\left(5k^{2}+4k\\right)+4 \]\n[3] のとき\n\[ n^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5\\left(5k^{2}+6k+1\\right)+4 \]\n[4] のとき\n\[ n^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5\\left(5k^{2}+8k+3\\right)+1 \]\nゆえに, はそれぞれ整数であるから,いずれの場合も, は 5 の倍数とはならない。\nよって, 対偶が真であるから,もとの命題は真である。\n(2) が無理数でないと仮定する。\nこのとき はある有理数に等しいから,1 以外に正の公約数を持たない 2 つの自然数 を用いて\n \\sqrt{5}=\きfrac{a}{b} \]\nと表される。\nゆえに\n\[ a=\\sqrt{5}b \]\n両辺を 2 乗すると\n\[ a^{2}=5b^{2} \nよって, は 5 の倍数である。\n とbは互いに素。\n(1)より, が 5 の倍数であれば, も 5 の倍数であるから, を自然数として と表される。\nこれを (1)に代入して \nすなわち \n\nよって, は 5 の倍数であるから, (1) より, も 5 の倍数である。ゆえに, とbは公約数 5 をもつ。\nこれは, とbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。\nしたがって, は無理数である。
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101 ・a, b を自然数とする。a b が 3 の倍数であるとき, a または b は 3 の倍数であることを証明せよ。
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N = 250!を素因数分解したとき,次の問いに答えよ。(1) 素因数 5 の個数を求めよ。\n(2) N を計算すると,末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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PR 大小 2 個のさいころを投げるとき
(38 (1)目の積が 3 の倍数になる場合は何通りあるか。
(2)目の積が6の倍数になる場合は何通りあるか。
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D → A → B → C → E の順に塗る。D → A → B の塗り方は3! = 6 (通り)そのおのおのに対し, C, E の塗り 方は 1 通りずつある。よって, 求める塗り分け方の総数 は6 × 1 × 1=6 (通り)。
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PR (2) 自然数 を素因数分解すると、素因数にはpと5があり、それら以外の素因数はない。また、Nの正の約数は8個、正の約数の総和は90である。素因数 と自然数 の値を求めよ。
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自然数 の素因数分解が となるとき, の正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \cdots である。
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次のような,年齢を当てるクイズがある。「私の年齢を 3 で割った余りは 1,5 で割った余りは 4,7 で割った余りは 1 です。私の年齢を当ててください。ただし,105歳より下です。」どのように答えを出せばよいだろうか?
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1 次不定方程式\n整数 が互いに素であるとき, 整数 について, を満たす整数 が存在することを証明しなさい。
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ケ に当てはまるものを,次の()~7のうちから1つ選べ。\n| (0) | 1) | (2) | (3) | 4 | (5) | (6) | (7) |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n|(a) | 正 | 正 | 正 | 誤 | 正 | 誤 | 誤 | 䛊 |\n|(b) | 正 | 正 | 誤 | 正 | 䛊 | 正 | 誤 | 䛊 |\n|(c) | 正 | 䛊 | 正 | 正 | 誤 | 誤 | 正 | 䛊 |
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整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る1つ1つの整数を,もとの整数の因数という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の形 に表すことを素因数分解するという。
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302\nS ̇PU 最短経路の数を書き込んで求める\n基本例題 28 では最短経路の数を求めるとき, 右へ進む記号 \\rightarrow \, 上へ進む記号 \\uparrow \ のくつ かを並べる順列の総数として考えた。ここでは,場合の数を責き込んで求める方法を紹介する。\n右の図のような道路があり, 2 地点を結ぶ最短距離の 道順を考える。地点 \\mathrm{P} \ までの道順が p \ 通り, 地点 \\mathrm{Q} \ までの道順が q \ 通りあるとき,地点Rまでの道順は, p+q \ 通りある。\n\n解説 地点 \\mathrm{P} \ から \\mathrm{R} \ までは 1 通りであるから,地点 \\mathrm{P} \ を通る \\mathrm{R} \ までの道順は\n\\[p \\times 1=p \\text { (通り) }\\]\n\n同様に,地点 \\mathrm{Q} \ を通るR までの道順は \\quad q \\times 1=q \ (通り)\nしたがって, 地点Rまでの道順は,和の法則から \\quad p+q \ (通り)\nこの方法で, 基本例題 28 を解いてみよう。
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双子素数と三つ子素数
n を自然数とする。 (n, n+2) の形をした素数の組を双子素数という。 また、(n, n+2, n+6) または (n, n+4, n+6) の形をした素数の組を三つ子素数という。
例:
双子素数: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31)
三つ子素数: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47)
(1) 初めての双子素数と三つ子素数を求めよ。
(2) 双子素数の組み合わせを三つ以上挙げよ。
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素数の求め方 (エラトステネスのふるい)\n自然数 が 以下のすべての素数で割り切れなければ, は素数である。\nこの法則を利用して、 以下の素数をすべて求める方法を考える。
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次の (1)〜(5) の場合について、2 次関数 の における最大値および最小値を求めよ。ただし,a は定数とする。\n(1) a<1\n(2) 1 \leqq a<\\frac{3}{2}\n(3) a=\\frac{3}{2}\n(4) \\frac{3}{2}<a \leqq 2\n(5) 2<a
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1. の 2 次関数 の最小値を とする。\n(1) をbの式で表せ。\n(2) を変化させるとき, の最大値とそのときの の値を求めよ。
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2 つの整数 について, 共通な素因数がないとき, の最大公約数は 1 である。 2 つの整数 の最大公約数が 1 であるとき, と は互いに素であるという。
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因数分解の基本的な手順をまとめておきましょう。因数分解の公式が適用できる形にするための手段として、以下の手順をまとめます。
共通因数をくくり出す
例 6a²b - 9ab² + 3ab = 3ab(2a - 3b + 1)
同じ式やまとまった式は、1つの文字でおき換える
例 (x + y)² - 10(x + y) + 25 を X と置き換えると、(X - 5)² = (x + y - 5)² になります。
次数を下げるために置き換え
例 a⁴ - b⁴ を x² - y² と置き換えると、(a² + b²)(a + b)(a - b) になります。
複数の種類の文字を含む式の因数分解で、上記の手段がうまくいかない場合の対策として、1つの文字について整理する方法を解説します。例題17のように、次数が最低の文字について整理することで、共通因数をくくり出すことができます。
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数学 (A) (2) p=a^{2}+2 a b+b^{2}-a-b =(a+b)^{2}-(a+b) =(a+b)(a+b-1) a \geqq 1, b \geqq 1 から a+b>a+b-1 \geqq 1 また, 刀 は素数であるから a+b-1=1 a+b=p (2) (1) から a+b=2 a \geqq 1, b \geqq 1 から a=1, b=1 このとき, (2)から p=2 となり, p は素数である。 よって, p が素数となるような a, b は a=1, b=1
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(1)60!を計算した結果は,3 で最大何回割り切れるか。 98\n(2) 50!を計算すると,末尾に0 は連続して何個並ぶか。
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(1)整数 n が 3 の倍数でないならば, n^2-1 は 3 の倍数であることを証明せよ。
(2)どのような整数 n に対しても, n^2+n+1 は 5 で割り切れないことを証明せよ。
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次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。
(1) 221,91
(2) 418,247
(3) 1501,899
GUIDE 2 つの整数の最大公約数
GUIDE
簡単に素因数分解できないときは, 互除法が有効
a を b で割った余りが r ならば,次は b を r で割る。これを繰り返して, r=0 とな
つたときの b が求める最大公約数である。a= b q1+r1 \quad a を b で割る\nb= r1 q2+r2 \quad b を r1 で割る
r1= r2 q3+r3 \quad r1 を r2 で割る
余り r1 余り r2\n⋮ 余り r3
rn−1=rn qn+1 ← 割り切れたところで終了 rn が最大公約数
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EX 51 p, 2p+1, 4p+1 がいずれも素数であるような p をすべて求めよ。 力が素数のとき, 2p+1, 4p+1 が素数になるかどうかを調べ る。
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第 4 章 約数 と倍数—235 EX 50 n を 2 以上の自然数とするとき, n^{4}+4 は素数にならないことを示せ。 [宮崎大]
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以下の質問に答えてください。(1)60!を計算した結果、3で最大何回割り切れるかを求めてください。
(2)50!を計算すると、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。
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自然数 に対して、次のことを証明せよ。\n(1) と が互いに素ならば, と は互いに素である。\n(2) と が互いに素ならば, と は互いに素である。
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(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 \\subset ,= \ を用いて表せ。 は 7 以下の素数 \( \}, \quad B=\{2n-1 \mid n=2,3,4\})
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次の数式についての質問です。(1)10を2で割った商、4を2で割った商、2を2で割った商を用いて、2の倍数の個数を数える方法を用いたとき、10!が2で割り切れる最大の回数は何回ですか?
(2)10を5で割った商を用いて、10!を計算した結果、末尾に0がいくつ連続して現れるかを求めてください。
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(1)720 の正の約数の個数を求めよ。\n\n(2)自然数 を素因数分解すると、素因数には 2 と 3 があり、それ以外の素因数はない。また、Nの正の約数はちょうど 10 個あるという。このような自然数 をすべて求めよ。
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2 以上の自然数で,1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を 素数 という。
2 以上の自然数で,素数でない数を合成数という。
(例)
素数: 2,3,5,7,
合成数: 4(=2 x 2), 6(=2 x 3), 8(=2^3), 9(=3^2)
注意 素数の中で,偶数は 2 だけであり, 3 以上の素数はすべて 奇数である。
素因数分解
整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る整数をもとの 整数の 因数 という。素数である因数を 素因数 という。
自然数を素数だけの積の形に表すことを素因数分解 するという。 なお, 合成数は必ず素因数分解でき, 1つの合成数の素因数分解は 積の順序を考えなければ1通りである。これを 素因数分解の一意性 という。素因数分解は,できるだけ小さい素数から順に,割り切れるだけ割 っていく。
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数学 A
(2)求める 2 つの自然数を 6 m, 6 n とする。ただし, m, n は互いに素な自然数とする。6 m>6,6 n>6 であるから m>1, n>1 条件から 4536=6 m・6 n すなわち m n=126 …. (2) m n は(自然数) 2 ではないから m ≠ n よって, 1<m<n として (2) を満たす m, n の組を求めると (m, n)=(2,63),(3,42),(6,21), (7,18), (9,14) このうち, m, n が互いに素であるのは (m, n)=(2,63),(7,18),(9,14) よって, 求める 2 つの自然数は 12, 378 または 42, 108 または 54, 84
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addition という単語の 8 文字を横 1 列に並べるとき, 次のような並べ方は何通りある か。\n(1) すべての並べ方\n(2) 「not」という連続した 3 文字が現れるような並べ方\n(3) n の方が o より左に現れる並べ方
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TRAINING 99
(1) n は自然数とする。次の式の値が素数になるような n をすべて求めよ。
(ア) n^{2}+6 n-27
(イ) n^{2}-16 n+39
(2) a, b は自然数で, p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b とする。 p が素数となるような a, b をすべて求めよ。
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答 の 部 数 学 50 略 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}
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ある工場で作る部品 A,B,C はネジをそれぞれ 7 個,9 個,12 個使ってい る。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ,ネジが全部 で 35 個あった。残った部品 の個数をそれぞれ として,可能性のある組 \( (l, m, n) \) をすべて求めよ。
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自然数 は, 1 と 以外にちょうど 4 個の正の約数をもつとする。このような自然数 の中で, 最小の数はア であり, 最小の奇数はイ である。
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UP 1 次不定方程式の整数解の求め方を振り返ろう!\n整数解が簡単に見つからないときは,互除法を利用しよう。互除法の計算を 逆にたどって, 整数解を見つけられます。
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a と b が互いに素でない,すなわち a と b が共通な素因数 p をもつと仮定すると a=p k, b=p l (k, l は自然数) と表される。このとき a+b=p(k+l), a b=p^{2} k l よって, a+b と a b はともに素因数 p をもつ。このことは, a+b と a b が互いに素であることに矛盾する。 したがって, a とbは互いに素である。
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TRAINING 47\n(1) 3 の正の倍数のうち, 20 以下のもの全体の集合を とするとき, 次の に適 する記号 またはを入れよ。\n(ア) 9 A\n(イ) 14 \n(ウ) 0 \n(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 を用いて表せ。 は 7 以下の素数
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軸上に点 がある。さいころを投げて,6の約数の目が出たとき は 軸上の正の方向に 1 だけ進み, 6 の約数でない目が出たとき は 軸上の負の方向に 2 だけ進むことにする。さいころを 4 回投げたとき, 原点から出発した点 が の点にある確率はア ,原点にある確率はイ である。
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EX人の子どもに 180 個のみかんを a 個ずつ, 252 個のキャンディーを b 個ずつ残さずすべて配り n の最大値とそのときの a, b の値を求めよ。ただし,文字はすべて自然数を表す。
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ユークリッドの互除法\n自然数 について, を で割つた余りを とすると と の最大公約数は, と の最大公約数に等しい。\n\nこのことを繰り返し利用すると,2つの自然数の最大公約数を求めることができる。これを,ユークリッドの互除法,または単に互除法という。\n例 319 と 143 の最大公約数を求める\n319 を 143 で割った割り算の等式 に注目すると,定理により, 319 と 143 の最大公約数を求める代わりに,割る数 143 と余り 33 の最大公約数を求めればよいことがわかる。 この操作を繰り返していくと,次のように出てくる余りは小さく なっていく。更に,余りは0以上であるから,いずれ余りは 0 に なる。その余りが 0 となるときの割る数が, 求める最大公約数 である。
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数学 A
TR
(1)合同式を利用して, 次のものを求めよ。
12^{1000} を 11 で割った余り
13^{81} の一の位の数
(2)整数 a, b, c が a^2+b^2=c^2 を満たすとき, a, b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数である ことを,合同式を利用して証明せよ。
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5390 を自然数 n で割って, 余りが 0 で, 商が自然数の平方になるようにしたい。そのよう な n の最小値を求めよ。
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TRAINING 104 (5)\n(1)合同式を利用して, 次のものを求めよ。\n(ア) を 11 で割った余り\n(イ) の一の位の数\n(2) D. 463 の例題 103(2)を,合同式を利用して解け。
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(1) n は整数とする。 (n-4)(n+8) が素数となるような n をすべて求めよ。
(2) a, b は異なる自然数とするとき, a b=p (1), a+b=q をともに満たす素数 p, q を求めよ。
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自然数 N を素因数分解すると,素因数には 3 と 5 があり,それ以外の素因数はない。また,N の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 N をすべて求めよ。
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対偶を利用した証明方法を説明し、次の命題Tを対偶を使って証明してください。
命題T: 「もしxが3で割り切れないならば、xは奇数である」
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TR a, b は自然数とする。このとき, 次のことを証明せよ。 (1) a と bが互いに素ならば, a^{2} と b^{2} は互いに素である。 (2) a+b と a b が互いに素ならば, a とbは互いに素である。
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TRAINING 109 (3)
23 で割ると 8 余り, 15 で割ると 5 余る自然数のうち, 4 桁で最小のものを求めよ。
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150 に 2 桁の自然数 n を掛け, ある自然数の平方になるようにしたい。そのような n の最大値を求めよ。
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(1) \\\\( 72^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\n(3) \\\\( \\frac{\\sqrt{5}+1}{4} \\\\\\\n
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500 以下の自然数の中で, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(1) 3 で割り切れる数の集合\n(2) 3 でも 5 でも 7 でも割り切れる数の集合\n(3) 3 で割り切れるが, 5 で割り切れない数の集合\n(4) 3 でも 5 でも割り切れない数の集合\n(5) 3 で割り切れるが, 5 でも 7 でも割り切れない数の集合
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(1)1800 の正の約数の個数を求めよ。\n\n(2)自然数 を素因数分解すると, 素因数には 3 と 5 があり, それ以外の素因数はない。また、 の正の約数はちょうど 6 個あるという。このような自然数 をすべて求めよ。
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(2) 0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。
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方程式 \ x^{3}=1 \ の虚数解の 1 つを \ \\omega \ とする。このとき \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1= \u25A1, \\omega^{100}+\\omega^{50}= \u25A1 \ である。
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0 でない実数 x, y, z が, 2^{x}=5^{y}=10^{\frac{z}{2}} を満たすとき, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} の値を求めよ。
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基 本 例題 5 二項定理を利用する式の値 次の値を求めよ。\n(1) \n(2) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-1)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-1)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n(3) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-2{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2^{2}{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-2)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-2)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n} \)\n
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3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \
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EX 1 から 300 までのすべての整数を考える。\n(2)(1)3で割り切れるが9では割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。\n(2) 3 でも 7 でも割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。
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次の0~5のうちから1つ選べ。\n(0) p_{4}<p_{5}\n(1) p_{4}=p_{5}\n(2) p_{4}>p_{5}
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(2)等比数列であるとすると,公比は\frac{6}{3}=2第 \u2099 項が 1500 とすると 3* 2^{n-1}=1500 よって 2^{n-1}=500\n500=2^{2}* 5^{3}であるから,この等式を満たす自然数nは存在しない。\nゆえに,等比数列になることはない。
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すべての正の整数 に対して, が 7 の倍数であることを証明せよ。
[弘前大]
\left\ulcorner 3^{3 n-2}+5^{3 n-1}\right. が 7 の倍数である」を(A)とする。
[1] のとき
よって, のとき (A) は成り立つ。
[2] のとき (A) が成り立つと仮定すると, を整数と して, と表される。
\[
\begin{array}{l}
\text { よって } \quad 5^{3 k-1}=7 m-3^{3 k-2} \\
n=k+1 \text { のとき } \\
3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1}=3^{3} \cdot 3^{3 k-2}+5^{3} \cdot 5^{3 k-1} \\
=27 \cdot 3^{3 k-2}+125\left(7 m-3^{3 k-2}\right) \\
=125 \cdot 7 m-98 \cdot 3^{3 k-2} \\
=7\left(125 m-14 \cdot 3^{3 k-2}\right) \\
\end{array}
\]
は整数であるから, \( 3^{3(k+1)-2}+5^{3(k+1)-1} \) は 7 の倍数である。
したがって, のときにも(A)は成り立つ。
[1], [2] から, すべての正の整数 に対して (A) は成り立つ。
別解 7 を法とする合同式を利用する。
\[
\begin{aligned}
3^{3} \equiv 27 \equiv 6(\bmod 7), & 5^{3} \equiv 125 \equiv 6(\bmod 7) \text { であり } \\
3^{3 n-2}=3^{3(n-1)+1} & =\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3 \\
5^{3 n-1}=5^{3(n-1)+2} & =\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\
\text { よって } \quad 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} & \equiv\left(3^{3}\right)^{n-1} \cdot 3+\left(5^{3}\right)^{n-1} \cdot 5^{2} \\
& \equiv 6^{n-1} \cdot 3+6^{n-1} \cdot 5^{2} \\
& \equiv 6^{n-1}\left(3+5^{2}\right) \\
& \equiv 6^{n-1} \cdot 28 \equiv 0(\bmod 7)
\end{aligned}
\]
ゆえに,すべての正の整数 に対して, は 7 の 倍数である。
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綀習 命題「整数 n が 5 の倍数でなければ, n^{2} は 5 の倍数ではない。」が真であることを証明せよ。また, この命題を用いて √5 は有理数でないことを背理法により証明せよ。
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EX k を正の整数とする。 5 n^{2}-2 k n+1<0 を満たす整数 n が, ちょうど 1 個であるような k の値を すべて求めよ。
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次のアからエのうち、正しいものを選びなさい。
(1) A の要素の個数が 2 であることは, a が素数であるためのア ◻️。
(2) A ∩ B= \{1,2\} であることは, a と b がともに偶数であるためのイ ◻️。
(3) a ≤ b であることは, A ⊆ B であるためのウ ◻️。
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2 つの方程式 について, 次の条件が成り立つように, 定数 の値の範囲を定めよ。\n(1)両方とも実数解をもつ\n(2)少なくとも一方が実数解をもたない\n(3)一方だけが実数解をもつ
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次の に最も適する語句を,上の例題の選択肢(ア)(I)から選べ。ただし, , y は実数とする。\n(4) を 2 つの集合とする。 が の要素であることは, が の要素で あるための (4) 掟南大] p.101 EX44,45>
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具本 44 集合の記号と表し方\n(1) 42 の正の約数全体の集合を とする。次の の中に, または のい ずれか適するものを書き入れよ。\n(ア) 7 A\n(イ) 9 A\n(ウ) -2 \n(2) 次の集合を,要素を書き並べて表せ。\n(ア) は整数 \n(イ) は 24 の正の約数\}\n(3) 3 つの集合 は 18 の正の約数 , は整数で 3 の倍数 について,次の の中に, , , のうち,最も適するものを書き入れよ。\n(ア) \n(イ) C\n(ウ) C
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(1) の 2 次方程式 \( x^{2}+(2 k-1) x+(k-1)(k+3)=0 \) が実数解をもつような定数 の値の範囲を求めよ。
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連続した 3 つの自然数のうち,最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 \n最小のものを とると,他の 2 数は と表される。条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに,求める 3 数は \n別解 最小のものを とすると, 他の 2 数は と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち よって \( n(n-4)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに,求める 3 数は \nふ連続した自然数。\n『解は \nふ解の吟味。 は自然数。\nઐ連続した自然数。\n解は \nઐ解の吟味。 は自然数。
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EX整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。\n「 a^{2}+b^{2}+c^{2} \ が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」
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(1) 「大きい」の意味が明確でないから,正しいか正しくないかが定まらない。よって, 命題ではない。
(2) 28 の正の約数は の 6 個である。よって, 真の命題である。
(3) のとき, は 4 の倍数かつ 6 の倍数であるが, 24 の倍数でない。よって, 偽の命題である が反例)。
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2 次方程式 \( x^{2}+(a-3) x-a+6=0 \) が実数解をもたないような,定数 の値の範囲を求めよ。
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因数分解された2次不等式の解を求めよ。次の不等式に対する解を見つけてください。\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) > 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) < 0 \)\n- \( (x - \alpha)(x - \beta) \leq 0 \)\nまた、特別な場合として平方の2次不等式についても考える。\n- \( (x - \alpha)^2 > 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \geq 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 < 0 \)\n- \( (x - \alpha)^2 \leq 0 \)
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(4) を互いに素な正の整数とし, も互いに素な正の整数とする。集合 と を\n は整数 を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi+i \sin \frac{2 a_{1}}{b_{1}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 は整数 を用いて \( \left(\cos \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi+i \sin \frac{2 a_{2}}{b_{2}} \pi\right)^{k} \) と表される複素数 で定め, 集合 を\n は集合 の要素と集合 の要素の積で表される複素数 で定める。 と が互いに素ならば,集合 の要素の個数 \( n(R) \) はウ で ある。 と が互いに素でないとき, それらの最大公約数を とすれば, 集合 の要素の個数 \( n(R) \) はエ である。
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数学C 139 [2] のとき \n\\[\n\\begin{array}{l}\nz_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi \\\\\nz_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i=\cos \left(-\frac{2}{3} \pi\right)+i \sin \left(-\frac{2}{3} \pi\right)\n\\end{array}\n\\]\n[1], [2] のそれぞれの場合における 3 点 の位置関係は 次の図のようになる。\n[1]\n[2]\nゆえに, 6 点 が正六角形の頂点となる のは, 3 点 が次の図のようになる場合である。\nただし [1] [2] (2), (3), (4) (1) (3) (2) (4)\n4点 の回転について 考えると, , を頂点とす る正六角形の頂点に移る とき, 回転角 は の範囲で,\n\\n\\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\\nの 3 通りある。\n[1] では のとき 条件を満たす。\nしたがって のとき ;\n\\nk=-\frac{1}{2} のとき \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6} \pi\n\
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6 順に (1) \\( (-4,-1,6), \\sqrt{53} \\)\n(2) \\( (12,-3,-4), 13 \\)\n(3) \\(
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漸化式を利用した無限級数の和
数列 は, かつ漸化式 \( a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満た すものとする。自然数 に対して, 実数 を かつ となるように定める。
(1) \( a_{n}\left(a_{n+2}+a_{n+1}\right)=a_{n+1} a_{n+2}-(-1)^{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。
(2) \( \theta_{2 k+1}+\theta_{2 k+2}=\theta_{2 k}(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) が成り立つことを証明せよ。
(3) を求めよ。
[京都府医大]
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\\( \{(k+1)!\\}^{2} = \\{(k+1) \\cdot k!\\}^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) を示せ。
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(イ) \( (n!)^{2} \geqq n^{n} \) …... (1) とする。 [1] \ n=1 \ のとき \\((\\text { 左辺 })=(1!)^{2}=1, \\quad(\\text { 右辺 })=1^{1}=1 よって, (左辺) \ \\geqq \ (右辺) であり, (1) は成り立つ。 [2] \ n=k \ のとき, (1)が成り立つ, すなわち \\(k!)^{2} \\geqq k^{k} が成り立つと仮定する。 (ア)の結果から, \ k \\geqq 1 \ のとき \\( k^{k} \\geqq(k+1)^{k-1} \\) が成り立つ。これと (2) から \\( \\quad(k!)^{2} \\geqq(k+1)^{k-1} \\)
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一一 数学 𝕀
3^x の 2 次方程式 (1) を解くと \quad 3^x=y \pm \sqrt{y^2-1}
3^x \geqq 1, y \geqq 1 であるから \quad 3^x=y+\sqrt{y^2-1}
したがって \quad x=\log_3(y+\sqrt{y^2-1})
x とyを入れ替えて \quad y=\log_3(x+\sqrt{x^2-1})(x \geqq 1)
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ここで, 番目の素数 は を満たし, を満たすすべての自然数 は, 素数 を用いて \( k = p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }\) と表される[ただし, \( m_1(k), m_2(k), \\cdots , m_n(k) \) は 0 以上 以下の整数 ]。 \nゆえに \( \\frac{1}{k} = \\frac{1}{p_1^{ m_1(k) } \\times p_2^{ m_2(k) } \\times \\cdots \\times p_n^{ m_n(k) }} \)
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数学 (4)Cが優勝する確率の条件から \( p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0 \) であるから, 分母を払って整理すると\n\\n5 p^{2}+p-2 \\geqq 0\n\\nこれを解くと \nここで \nまた, から \nゆえに, であるから \n次に, (1) を満たす自然数 を 求める。\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}=\\frac{-10+10 \\sqrt{41}}{100}=\\frac{-10+\\sqrt{4100}}{100} \\text { であり, } \\\\\n64^{2}=4096,65^{2}=4225 \\text { であるから } \\quad 64<\\sqrt{4100}<65 \\\\\n\\text { よって } \\quad 54<-10+\\sqrt{4100}<55\n\\end{\overlineray}\n\\n は単調に増加するから(1)を満たす は 55\nしたがって, 求める の最小値は\n55
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整数では、例えば 45 と 105 について素因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求めることができます。では、整式の場合も同様に、因数分解を利用して、最大公約数と最小公倍数を求める方法を示しなさい。\n\n例:整式 と に対して、整式の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
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弦をはじいたときの音は,弦の長さが半分になると1 オクターブ高い音になる。ここで, ドと1オクターブ上のドの間を,隣り合う 2 つの音の弦の長さの比が等しくなるように 12 分割した音の並びを(十二)平均律音階という。これが日常的によく用いられている 音階である。\n\n隣り合う 2 つの音の弦の長さの比を x とすると x^{12}=2^{-1} すなわち x=2^{-\frac{1}{12}} 両辺の常用対数をとると \log _{10} x=-\frac{1}{12} \log _{10} 2 \fallingdotseq-\frac{1}{12} \times 0.3010 \fallingdotseq-0.025 よって \log _{10} \frac{1}{x}=0.025 常用対数表から \frac{1}{x} \fallingdotseq 1.06 ゆえに x=\frac{1}{1.06} \fallingdotseq 0.94 よって, 弦の長さを約 0.94 倍すると音は半音上がることがわかる。例えば, ドの音の弦 \left(\fallingdotseq 0.94^{4}\right) にするとファ\#の音になる。
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nを整数とし, を 2 以上の整数で素数とする。 3 次方程式 が正の整数 を解にもつとき,次の問いに答えよ。\n(1) であることを示せ。\n(2)上の 3 次方程式が は実数, は虚数単位 \( ) \) を解にもつとき, の値 を求めよ。
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\( f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 \) ( は自然数) が \( (x-1)^{2} \) で割り切れるように, 定数 , の値を定めよ。
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a, b が素数であって, x の 2 次方程式 3 x^{2}-12 a x+a b=0 が 2 つの整数解をもつとき, a, b の値とその整数解を求めよ。
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(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ \ \\sqrt{d} \ が整数であるための条件は, 積\a c\ が平方数となることです。そのような自然数\\(a, c(a>c>1)\\)のうち, 最小のものは \n\ a=2^{3}, c=2 \ \b=3\とすると\d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\。
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(2) \( P(x) \) を \( (x-1)^{2} \) で割つたときの余りが定数であるとき, \( P(x) \) を \( (x-1)^{2}(x+1) \) で割ったときの余りを求めよ。
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練習(1) の 2 次方程式 \( (x-a)(x-b)-2 x+1=0 \) の解を \\alpha, \\beta \ とする。このとき,\n(3) \( 48(x-\\alpha)(x-\\beta)+2 x-1=0 \\) の解を求めよ。\n[大阪経大]\n(2) 2 次方程式 \\( (x-1)(x-2)+(x-2) x+x(x-1)=0 \\) の 2 つの解を \ \\alpha, \\beta \ とするとき, \\( \\frac{1}{\\alpha \\beta}+\\frac{1}{(\\alpha-1)(\\beta-1)}+\\frac{1}{(\\alpha-2)(\\beta-2)} \\) の値を求めよ。
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練習 複素数平面上の正方形において, 1 組の隣り合った 2 頂点が点 1 と点 であるとき, 他の 2 頂点を表す複素数を求めよ。
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n を正の整数とし, n^2+3 と n+1 の最大公約数を d_n とおく。\n(1) d_1, d_2, d_3, d_4, d_5 を求めよ。\n(2) \((n^2+3)-(n-1)(n+1)=4\)を用いて, d_n は1, 2, 4 のいずれかであることを示せ。\n(3) を求めよ。\n(4) 極限値 を求めよ。 〔首都大東京〕
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[(i)の後半の証明] 1 の原始 乗根 について, z_{k}, z_{k}{ }^{2}, z_{k}{ }^{3}, \cdots \cdots, z_{k}{ }^{n} の偏角は順に \(\frac{k}{n} \cdot 2 \pi, \frac{2 k}{n} \cdot 2 \pi, \frac{3 k}{n} \cdot 2 \pi, \cdots \cdots, \frac{n k}{n} \cdot 2 \pi \triangleleft \frac{n k}{n} \cdot 2 \pi=2 \pi k
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複素数 の実数条件と純虚数条件\n は実数)とする。\n・ が実数 \n が成り立つとき, から すなわち よって, となり, は実数となる。\nこれを複素数平面上で考えると, 点 と点 は実軸に関して対称な 2 点であり, こ の 2 点が一致するのは, 実軸上の点だけであるから, zは実数である。\n・ zが純虚数 かつ \n かつ が成り立つとき, から\n すなわち \nよって, となり, より であるから は純虚数となる。\nこれを複素数平面上で考えると, 点 と点 は虚軸に関して対称な 2 点であり, この 2 点が一致するのは, 虚軸上の点だけである。このうち, 原点 O以外の点は純虚数である。よって, は純虚数である。
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139\n(1) 2\n(2) \(\\frac{\\pi}{8}(2 \\pi+3 \\sqrt{3})\\)
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EX |z|=|w|=1, z w \\neq 1 \ を満たす複素数 に対して, \\frac{z-w}{1-z w} \ は実数であることを証明せよ。
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5 個の数字 0 , 1,2,3,4 全部を並べてできる 5 桁の数は全部でア □ 個ある。 これらの整数を小さい方から順に並べたとき, 40 番目の数はイ □ であり, 32104 はウ □ 番目の数である。
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エラトステネスの篩を用いて、1000 以下の素数でない整数が 750 個以上あることを証明せよ。\n1 以上 1000 以下の整数のうち,2 の倍数,3の倍数,5の倍数全体の集合を,それぞれ A, B, C とすると, 1000=2・500, 1000=3・333+1,1000=5・200 であるから n(A)=500, n(B)=333, n(C)=200。
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(2)求めるnの最大値は,50!を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数, すなわち 50 ! を素因数分解したときの素因数 5 の個数に一致 する。1から 50 までの自然数のうち, 5の倍数の個数は, 50 を 5 で割った商で 10 (5^{2} の倍数の個数は, 50 を 5^{2} で割った商で 2 50<5^{3} であるから, 5^{n}(n \geqq 3) の倍数はない。 よって, 素因数 5 の個数は 10+2=12 (個) したがって, 求める n の最大値は 12 練習 78 ⇒ 本冊 p .399
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自然数 に対して, \( f(n)=5^{3 n}+5^{2 n}+5^{n}+1 \) とする。 が 4 の倍数でないとき, \( f(n) \) は 13 の倍数であることを証明せよ。
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連続する整数の積に関して。\n1. 連続する 2 つの整数の積が 2 の倍数であることを証明しなさい。\n2. 連続する 3 つの整数の積が 6 の倍数であることを証明しなさい。\n3. 一般に、連続する 個の整数の積が の倍数であることを証明しなさい。
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演習 6 III -> 本冊 p .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]
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定理 2 以上の自然数は素因数分解できる。\n合成数 について, 定理 1 ( . 392)より を割り切る素数 が存在し, は自然数である。\n が素数のとき, とおくと, である。\n が素数でないとき, 再び定理 1 より, を割り切る素数 が存在する。\nこれを繰り返すと,自然数の列 が得られるが, 自然数であるから,このような操作は有限回( 回とする)で終了し,\n となる。すなわち (素因数分解)。\n
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例題 75 | 素因数分解の利用 \( (2) \)\n(1) がすべて整数となるような最小の自然数 を求めよ。\n(2) 24 の倍数で, 正の約数の個数が 21 個である自然数 を求めよ。
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(2)命題(2)の証明)\n を偶数とするとき,\n は 4 の倍数である は の要素である として, であることを示す。\n [1] の証明 \( ) \)\n が 4 の倍数ならば, (kは整数)と表される。 \( 4 k=(k+1)^{2}-(k-1)^{2} \) であり, は整数であ るから, は の要素である。\n よって, が 4 の倍数ならば, は の要素である。\n [2] の証明)\n が の要素ならば, を整数として\n \( m=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) \) と表される。
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125より大きいを5の倍数は1500,155,160,165,130など。 165!を素因数分解したときの素因数5の個数は?
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1から100までの自然数の中で、次のような数は何個あるか。
(1) 2でも3でも5でも割り切れる数
(2) 2または3または5で割り切れる数
(3) 2では割り切れるが、3でも5でも割り切れない数
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参考: フェルマーの小定理の対偶は「互いに素な が \( a^{p-1} \equiv 1(\bmod p) \) を満たさなければ, は素数でない(合成数である)」ことについて次の合成数を例に示せ:9, 35。
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(3)正の約数の個数が \( 10(=10 \\cdot 1=5 \\cdot 2) \\) であるような自然数を n \ として,nを素因数分解すると,次の形で表される。\n p^{9} \ または p^{4} q \ ( \ p, q \ は異なる素数)\n[1] \ n=p^{9} \ の形のとき\np \\) であるから \\quad p^{9} \\geqq 2^{9}=512 \\nよって, を素数とするとき, p^{9} \ は 2 桁の自然数にならないから,不適である。[2] \ n=p^{4} q \ の形のとき\ p \\geqq 3 \ とすると, \ p^{4} q \\geqq 3^{4} q=81 q \\geqq 81 \\cdot 2=162 \ となり, \ p^{4} q \ は 2 桁の自然数でないから,不適である。\\nよって, \ p<3 \ であるから \ \\quad p=2 \\nこのとき \ \\quad p^{4} q=2^{4} q=16 q \ \\n\ n=p^{4} q \ は 2 桁の自然数であるから \ \\quad 10 \\leqq 16 q \\leqq 99 \すなわち \ \\quad \\frac{5}{8} \\leqq q \\leqq \\frac{99}{16} \この不等式を満たす 2 以外の素数 \ q \ は \ q=3,5 \したがって, 正の約数の個数が 10 個である 2 桁の自然数は\ 16 \\cdot 3=48,16 \\cdot 5=80 \
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次の数の約数を求めよ。(1) 36 (2) 14 (3) 12345 は 3 の倍数か 9 の倍数か? (4) 91 と 144 は互いに素であるか?
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類題 18 \\Rightarrow \ 本冊 p .485 \\n[1] n=1 \ のとき\n\\nn^{3}+3=1^{3}+3=4=2 \\cdot 2\n\\n\nよって, n^{3}+3 \ は素数ではない。\n[2] n=2 \ のとき\n\\nn^{7}+7=2^{7}+7=135=3^{3} \\cdot 5\n\\n\nよって, n^{7}+7 \ は素数ではない。\n[3] n \\geqq 3 \ のとき\n\\n n \ は自然数 k \ を用いて, 3 k, 3 k+1,3 k+2 \ のいずれかで表さ れる。\n(i) n=3 k \ のとき\n\\[\nn^{3}+3=27 k^{3}+3=3\\left(9 k^{3}+1\\right)\n\\]\n1与式は p \ と q \ 対称式。\n\ p, q \ の対称式\n\ \\longrightarrow p+q, p q \ で表す\nに従い, p^{3}+q^{3} \ と\n\\( p q(p+q) \\) に着目する。\n p \\geqq 1, q \\geqq 1 \ であるか\nら p^{2} \\geqq p, q^{2} \\geqq q \\n \\triangleleft 3 p^{2}-4 p+3 q^{2}=11 \\cdot 61 \\nを使う前に, p+q=3 \ を 満たす正の整数を求めた 方が早い。\n1和と積が与えられた 2 数は, 2 次方程式\n\\[\n\\left.x^{2}-(\\text { 和 }) x+\\text { (積 }\\right)=0\n\\]\n\nの解 (本冊 p .163 \ 検討参照) である。\n総合\n総合\n\ \\Delta n=1,2, \\cdots \\cdots \\nを代入し,素数とならな いことを示す。\n\ 4 n \ を 3 で割った余りで 分類する。
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分母の 162 を素因数分解すると, 162=2 ⋅ 3^{4} であるから, 1 から 162 までの整数のうち, 2 でも 3 でも割り切れないものの個数を求めればよい。1 から 162 までの整数全体の集合をUとすると n(U)=162。U の部分集合のうち,2 の倍数全体の集合を A, 3 の倍数全体の集合を B とすると, 162=2 ⋅ 81,162=3 ⋅ 54 からn(A)=81, n(B)=54。また, A ∩ B は 6 の倍数全体の集合で, 162=6 ⋅ 27 からn(A ∩ B)=27。よって, 求める個数は以下。
n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = n(U) -\{n(A)+n(B)-n(A \cap B)\} = 162 - (81 + 54 - 27)= 54
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素数 は以下の条件を満たします: 。この問題では、この条件を満たす自然数の組 \( (m, n) \) がただ1つ存在することを証明せよ。
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45 かは 3 よりも大きい素数であり, も素数であるとする。\n(1) pを 6 で割った余りは 1 であることを示せ。\n(2) は 3 の倍数であることを示せ。\n(3) \( (p+1)(p+2)(p+3) \) は120 の倍数であることを示せ。[富山大] >例題85
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1200=2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 であるから, 1200 の正の約数は, 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \quad(a=0,1,2,3,4 ; b=0,1 ; c=0,1,2) と表される。 (約数の個数) の定め方は 5 通り。そのおのおのについて, の定め方は2通り。更に, そのおのおのについて、の定め方は 3 通りある。 よって, 積の法則により (個) (約数の和) 1200 の正の約数は (1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3)(1+5+5^2) を展開した項にすべて現れる。よって, 求める和は (1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3)(1+5+5^2)=31 \times 4 \times 31=3844 目の出る場合の数の総数は (通り) 目の積が 4 の倍数にならない場合には, 次の場合がある。[1] 貝の積が奇数の場合 3つの目がすべて奇数のときであるから 3 \times 3 \times 3=27 (通り)
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ある 番目のカタラン数(カタラン数 )を求める公式を証明しなさい。また、n=4 のときのカタラン数を求めなさい。
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したがって, 求める n の値は n=5,9,16,35\n例 48 ⇒ 本冊 p .411\n指韩(2)7を5で割った余りは2であるから, 2^n を 5 で割った余りを考える。ただし,nのとる値 によって余りが異なるから,場合に分けて答える。\n(1)(ア) a=7 q+2, b=7 q^{\prime}+5 ( q, q^{\prime} は整数)と表される。\n2 a+b = 2(7 q+2)+7 q^{\prime}+5 = 7 ( 2 q+q^{\prime+1) = 2 よって, 求める余りは 2\n(イ) a^3 を 7 で割った余りは, 2^3 (を 7で割った余り 1 に等しい。また, 2023 = 3 \times 674 + 1 から a^{2023} = (a^3 )^{674} a ここで, (a^3 )^{674} を 7 で割った余りは (2^3 )^{674} を 7 で割った余り 1^{674 = 1 よって, a^{2023 を 7 で割った余りは (2^3^{674 )1 と aを 7 で割つた余り 2の積 2 である。\n(2)7を5で割った余りは2であるから,7nを 5で割った余りは2^n を 5 で割った余りに等しい。\n2^1=2, 2^2=4, 2^3=8=5+3, 2^4=16=5 \cdot 31 であるから,2^n を 5 で割つた余りは 2,4,3,1 のつの数字の繰 り返しとなる。よって,7nを5 で割った余りは n=4 k-3 のとき 2, n=4 k-2 のとき 4 , n=4 k-1 のとき 3, n=4 kのとき 1 ( k は自然数)
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183\n重要側題 92 係数が三角比の方程式 (1)\n(1) に関する 2 次方程式 \( x^{2}+(2 \cos \theta) x+\sin ^{2} \theta=0 \) が実数解をもつように の 値の範囲を定めよ。ただし, とする。[神戸女子大](2) とする。 の 2 次方程式 の 2 つの解の比が であるとき, の値を求めよ。
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例 49 | 余りによる整数の分類\n次のことを証明せよ。\n(1) 整数 n に対して, n^{4}+5 n^{2} は 3 の倍数である。\n(2) 整数の 2 乗を 5 で割ったとき, 余りが 3 になることはない。
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500以下の自然数の中で、次の集合の要素の個数を求めよ。
(1) 3でも5でも7でも割り切れる数の集合
(2) 3で割り切れるが、5で割り切れない数の集合
(3) 3でも5でも割り切れない数の集合
(4) 3で割り切れるが、5でも7でも割り切れない数の集合
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例 18 確率から当たりくじの本数の決定\n15 本のくじの中に何本かの当たりくじが入っている。この中から同時に 2 本引く とき,2 本とも当たる確率が であるという。当たりくじは何本あるか。
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(1) 20!を計算した結果は,2 で何回割り切れるか。\n(2)25!を計算すると,末尾には 0 が連続して何個並ぶか。
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練習 \( n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \cdots \cdots) \) とする。 が素数であるとき, \( T(n)=n \) であることを, を使って示せ。
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約数と倍数の問題: 自然数 N \ の正の約数の個数を求めなさい。\n自然数 N \ の素因数分解が N=p^{a} q^{b} r^{c} \\cdots \\ldots \ と なるとき, N \ の正の約数の個数は
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重要例題 99 1 1 次不定方程式の整数解が存在する条件\n は 0 でない整数とする。次の定理を示せ。\n<例題 98\n定理 を満たす整数 が存在する と は互いに素\n\n指針 \( (\Longrightarrow) \quad a \) と の最大公約数を として, 整数 \( )=1 \) の形を導き出す。\n 前ページの例題98の内容である, 整数全体の部分集合 にいて\n集合 が減法について閉じているとき,\n は に属する最小の自然数の倍数全体の集合と一致する ことを利用して証明する。まず,Mの2つの要素 に対し,差を作ることから始める。
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(3 k+1)(3 k+2) は連続する 2 つの整数の積であるから, 2 の倍数である。よって, 整数 を用いて, \( (3 k+1)(3 k+2)=2 l \) と表され \n(p+1)(p+2)(p+3)=24 l(2 k+1).\nここで, は連続する 5 つの整数であるから, いずれかは 5 の倍数である。 とすると, となり, が素数であることに反するから ゆえに, は 5 よりも大きい素数であるから, 5 の倍数ではない。 よって, のいずれかは 5 の倍数である。 したがって, \( (p+1)(p+2)(p+3) \) は 5 の倍数である。 (2), (3) から, \( (p+1)(p+2)(p+3) \) は 24 の倍数かつ 5 の倍数であるから, 120 の倍数である。
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(1) 30 以下の自然数のうち,2 の倍数は 15 個, 2^{2} の倍数は 7 個, 2^{3} の倍数は 3 個, 2^{4} の倍数は 1 個ある。 よって, 30! を素因数分解したときの素因数 2 の個数は
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演習 15 III (→ 本冊 p.84)
U = {1,2,3, ... , 49}
50 = 2 * 5^2 であるから
V = {2,4, ... , 48, 5, 15, 25, 35, 45}
W = {2,4, ... , 48}
(i) から A ∪ B̅ = V
B̅ ∩ A̅ = A̅ ∪ B̅ と (ii) からA ∪ B = W
よって A = (A ∪ B̅) ∩ (A ∪ B) = V ∩ ̅W
したがって,A の要素は V の要素から W の要素を除いたもので
5, 15, 25, 35, 45
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46 (1) が素数となるような素数 をすべて見つけよ。また,それ以外にないことを示せ。\n(2) 整数 が 5 で割り切れないとき, が 5 で割り切れることを示せ。\n(3) が素数となるような素数 は存在しないことを示せ。[お茶の水大] >例題 86
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練習\n76\n本冊 p .397 \\n(1)\n\\[ \\begin{aligned} n^{4}-16 n^{2}+100 & =\\left(n^{4}+20 n^{2}+100\\right)-36 n^{2}=\\left(n^{2}+10\\right)^{2}-(6 n)^{2} \\\\ & =\\left(n^{2}+6 n+10\\right)\\left(n^{2}-6 n+10\\right) \\end{aligned} \\]\n\ n^{4}-16 n^{2}+10 \ の値が素数となるための必要条件は\ n^{2}+6 n+10=1 \ または \ n^{2}-6 n+10=1 \\nすなわち \\( \\quad(n+3)^{2}=0 \\) または \\( \\quad(n-3)^{2}=0 \\)[1] \\( (n+3)^{2}=0 \\) のとき \ \\quad n=-3 \\nこのとき, \ n^{4}-16 n^{2}+100=1 \\cdot 37 \ となり, \ n^{4}-16 n^{2}+100 \ は素数である。
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2 つの目だけが等しい組が 2 組あるとき 1 以上 6 以下の異なる 2 数の積が平方数になるのは, 2^2=1×4だけであるから,条件を満たすのは {1,2,2} と {1,1,4},{2,2,4} と {1,4,4} で, このとき k=4,16 以上から k=4,10,15,16,40,90,120
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練習 86 本冊 \n が素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。\n が素数の場合について\n[1] のとき, となり, 条件を満たさない。\n[2] のとき, で, 条件を満たす。\n[3] が 5 以上の素数のとき, は ( は自然数 \( )\) のいずれかで表され\n(i) のとき\n\[\nn^{2}+2=(3 k+1)^{2}+2=9 k^{2}+6 k+3=3\left(3 k^{2}+2 k+1\right)\n\]\n(ii) のとき\n\[\nn^{2}+2=(3 k+2)^{2}+2=9 k^{2}+12 k+6=3\left(3 k^{2}+4 k+2\right)\n\]\n はともに 2 以上の自然数であるから, (i), (ii)いずれの場合も は素数にならず, 条件を満たさない。以上から, と がともに素数になるのは のときである。
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(2) 125 以下の自然数のうち, 5 の倍数は 25 個, 5^{2} の倍数は 5 個, 5^{3} の倍数は 1 個ある。 よって, 125!を素因数分解したときの素因数 5 の個数は
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重要例題 82 | 無理数であることの証明
が無理数であることを,次の素因数分解の一意性を利用して証明せよ。
素因数分解の一意性 素因数分解は,(積の順序の違いを除けば)ただ1通り である。
廹針 無理数であることを直接証明するのは難しい。そこで
CHART〉直接がダメなら間接で背理法
により, が有理数であると仮定すると, は自然数 \( ) \) と表される。 , を素因数分解した式を利用して,矛盾を導く。
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練習\n79\n(B) の前半の条件から, と表される。\nただし, は互いに素な自然数で\n\n \n(B)の後半の条件から すなわち \nこれと (1)を満たす の組は \( \quad\left(b^{\prime}, c^{\prime}\right)=(1,14),(2,7) \)\nゆえに \( \quad(b, c)=(21,294),(42,147) \)\n(A)から, は 7 を素因数にもち, (C) に関して \n[1] \( \quad b=21(=3 \cdot 7) \) のとき, と 21 の最小公倍数が 84 であるよ うな は ただし となるから, これは を満たさない。\n[2] \( \quad b=42(=2 \cdot 3 \cdot 7) \) のとき, と 42 の最小公倍数が 84 である ような は ただし を満たすのは の場合で, このとき 28, 42, 147 の最大公約数は 7 で, (A) を満たす。以上から \( \quad(a, b, c)=(28,42,147) \)
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合成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ 1 通りである。 (素因数分解の一意性)を,上の定理を利用して証明しよう。 証明 合成数 a の素因数分解が,次のように2通りに表されたとする。
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ある整数 N が素数であるかどうかを判断するための方法を説明しなさい。例えば、257 が素数であるかを確認してください。
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演習 42 a^{2}-a=a(a-1) であり, a と a-1 は互いに素である。また \quad 10000=5^{4} \cdot 2^{4}=625 \cdot 16 ここで, a は奇数 (3 \leqq a \leqq 9999) であるから, a-1 は偶数である。 ゆえに, a^{2}-a が10000で割り切れるとき, aは奇数の 625 の倍数, a-1 は 16 の倍数 である。よって, a, a-1 は次のように表される。 a=625 k (k は正の奇数) , a-1=16 l ( l は整数)
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分母が 162 で, 分子が 1 から 162 までの 162 個の分数のうち, 約分できないものの 個数を求めよ。
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練習 2 以上の自然数 に対し, の 以外の正の約数の和を \( T(n) \) とする。\n84 (1) (120)を求めよ。
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素数の問題\n は自然数とする。 がすべて素数であるのは の場合だけであることを示せ。\n[早稲田大,東京女子大]
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重要例題 87 | 等式 a^{2}+b^{2}=c^{2} に関する証明問題\n\n a, b, c はどの 2 つも 1 以外の共通な約数をもたない自然数とする。 a, b, c が a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たしているとき,次のことを証明せよ。\n(1) a, b の一方は偶数で他方は奇数である。\n(2) a が奇数のとき, b は 4 の倍数である。\n(3) a, b のうち, 少なくとも 1 つは 3 の倍数である。
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重要例題 83 互いに素である自然数の個数
n を自然数とするとき, m ≤ n で, m と n が互いに素であるような自然数 m の個数を f(n) とする。
[類 名古屋大]
(1) f(17), f(16), f(15) の値を求めよ。
(2) p, q は異なる素数とする。このとき, f(p q) を求めよ。
※pは素数,kは自然数とする。このとき, f(p^k) を求めよ。
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二項定理を利用して, 次の等式が成り立つことを証明せよ。{ }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+\cdots +{ }_{n} C_{n}=2^n
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(1) m が素数ならば, であることを示せ。\n(2)すべての自然数 に対し, が で割り切れることを, に関する数学的帰納法によって示せ。
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練習\n51\n本冊 p .417\n(1) n!\\geqq 2^{n-1} (1) とする。[1] n=1 のとき (左辺) =1!=1, (右辺 )=2^{0}=1 したがって, (1) は成り立つ。[2] n=k のとき (1)が成り立つ, すなわち k!\\geqq 2^{k-1} と仮定する。n=k+1 のとき, (1) の両辺の差を考えると, (2) から(k+1)!-2^{(k+1)-1}=(k+1) \\cdot k!-2^{k} \\geqq(k+1) \\cdot 2^{k-1}-2 \\cdot 2^{k-1} =\\{(k+1)-2\\} \\cdot 2^{k-1} =(k-1) \\cdot 2^{k-1} \\geqq 0 よって (k+1)!\\geqq 2^{(k+1)-1} すなわち, n=k+1 のときも (1)は成り立つ。[1], [2] により,すべての自然数 n にいて (1) は成り立つ。(2)(1)から, n が自然数のとき \\frac{1}{n!} \\leqq \\frac{1}{2^{n-1}} したがって 1章 練習 数 列 (1) から 2^{2 k-1}=3 m-1 二項定理を利用。 (-1)^{奇数 }=-1 両辺を m 乗。 両辺に 2 を掛ける。 兩辺に1を加える。 数学的帰納法によって 証明する。出発点は n=1 4 k \\geqq 1 から k-1 \\geqq 0 また, 常に 2^{k-1}>0 CHART (1) は (2) のヒント
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数学 II\n(1)から (α-2)(α+3)=0 よって α=2,-3\n(2) から α=2 のとき k=8, α=-3 のとき k=-27\nしたがって k=8,-27
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(1) を で割った商を , 余りを とすると \( k^{3}=q n+r(0 \leqq r \leqq n-1) \) とkが互いに素であるとき, と は互いに素である。 よって ゆえに (1)の両辺を で割ると より, であるから 0<<1 よって
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(2) ∀kについて k^m - k が d_m で割り切れることを示す。 [1] k=1 のとき 1^m - 1 = 0 であり, d_m ≠ 0 であるから, 0 は d_m で割り切れる。 よって, (1) は成り立つ。 [2] k=l のとき (1)が成り立つ, すなわち l^m - l が d_m で割り切れると仮定する。 k=l+1 のときを考えると (l+1)^m - (l+1) ={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} 仮定から, l^m - l は d_m で割り切れる。 また, d_m は {m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)} の最大公約数であるから, これらの項も d_m で割り切れる。 よって, (l+1)^m - (l+1) は d_m で割り切れる。 ゆえに, k=l+1 のときも (1) は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数kについて (1) は成り立つ。
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pは素数, rは正の整数とするとき,次のことを証明せよ。\n(1) が正の整数のとき, \( \left(x_{1}+x_{2}+\cdots \cdots+x_{r}\right)^{p}-\left(x_{1}{ }^{p}+x_{2}^{p}+\cdots \cdots+x_{r}^{p}\right) \) は で割り切れる。\n(2) がpで割り切れないとき, は で割り切れる。\n[類 大阪大]
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pを素数とするとき,次のことを証明せよ。\n(1) を満たす自然数 につて, は の倍数である。\n(2) は力の倍数である。\n[東北学院大]
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3 文字 を横に 個書き並べたものを長さ の単語と呼ぶことにする。た だし, とする。例えば, , baca, caab はどれも長さ 4 の異 なる単語である。このような長さ の単語のうち, を奇数個含むものの数を で,残りのものの数を で表す。このとき, を求めよ。
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数学 B 練習 55 (1) [1] m=2 のとき d_2 は 1 個の二項係数 {2 C_1}=2 を割り切る最大の自然数であるから, d_2=2 であり, d_m=m は成り立つ。 [2] m が 3 以上の素数のとき {m C_1}=m であるから, {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} が m の倍数であることを示せばよい。 k=2,3,…,m-1 のとき {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1} よって k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1} ここで, m は 3 以上の素数であり, 2 ≤ k ≤ m-1 であるから, k と m 互いに素である。 よって, {m C_k} は m の倍数である。 したがって, d_m=m は成り立つ。 [1], [2] から, m が素数ならば, d_m=m である。
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総合演習
類題 (1)
2011^n = (2010+1)^n = 2010^n + nC1 * 2010^(n-1) * 1 + ... + nC(n-1) * 2010 * 1^(n-1) + 1^n = 2010(2010^(n-1) + nC1 * 2010^(n-2) + ... + nC(n-1)) + 1
2010^(n-1) + nC1 * 2010^(n-2) + ... + nC(n-1) は整数であるから, 2011^n を 2010 で割ったときの余りは 1 である。
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(3) \ m, n \ は自然数, \ p \ は素数であるから, \ m, n, p \ は 0 でない実数である。\\n\\text { よって, (1) から, \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \ が成り立つ。\\n\\また, \ a^{m} = b^{n} \ において, \ 1 < a < b \ であるから\\n\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { すなわち } a^{m} > a^{n} \\\\\\\n\\底 \ a \ は1より大きいから \\\n\\ゆえに,(2)より \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \ となるから\\n\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\
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(1)の解を α, β とし, f(x)=x^2+2ax+a-1 とする。 α, β が(2)の 2 つの解の間にあるための条件は, (3) の条件のもとで f(α)<0, f(β)<0である。
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0 でない実数 が \( 3^{x}=2^{y}=5^{z}=\left(\frac{6}{5}\right)^{7} \) を満たすとき, の値 を求める。
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整数 は 3 の倍数ではないとし, \( f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1 \) とおく。 (2) \( f(x)=0 \) を満たす整数 は存在しないことを示せ。
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(ウ)\n\[\n\\begin{aligned}\n3^{20000}= & \\left(3^{2}\\right)^{1000}=9^{1000}=(-1+10)^{1000} \n= & 1-{ }_{1000} \mathrm{C}_{1} \\cdot 10+{ }_{1000} \mathrm{C}_{2} \\cdot 10^{2}-{ }_{1000} \mathrm{C}_{3} \\cdot 10^{3}+{ }_{1000} \mathrm{C}_{4} \\cdot 10^{4}+10^{5} \\mathrm{~N} \n= & 1-10000+49950000-333 \\times 499 \\times 10^{6} \n& +333 \\times 499 \\times 997 \\times 25 \\times 10^{5}+10^{5} \\mathrm{~N} \\quad(\\mathrm{~N} \\text { は自然数 })\n\\end{aligned}\n\]\nこの計算結果の下位 5 桁は, 第 4 項, 第 5 項, 第 6 項を除いて も変わらない。\n の偶数, 奇数に対し,最終項の符号は \( (-1)^{n} \)\n1 笪\n練習\n式\n証\n明\n1展開式の第 4 項以下を まとめて表した。\n\( 10^{n} N(N, n \\text { は自然数, } n \\geqq 5) \\text { の項は下位 5 桁が すべて00000 となる。 )\n1展開式の第 4 項以下を まとめた。なお, \( 99^{100} \\text { は100桁を超える非常に 大きい自然数であるから, 」N \\text { は明らかに自然数とな る。 )\nまず, \( 3^{2000} \\text { の下位 5 桁 を調べる。 )\n
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100\n(2) 4^{x}=6^{y}=24 のとき, \ \\frac{1}{x}+\\frac{1}{y} \ の値を求めよ。
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重解について振り返ろう!重解とは, b^2-4ac=0 のときの実数解のことです。 2次方程式 ax^2+bx+c=0 の解の公式 x=-b±√(b^2-4ac)/(2a) において, b^2-4ac=0 のとき, √(b^2-4ac) と -√(b^2-4ac) はともに0 であるから, 解は x=-b/(2a) となる。
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x² - xy + y² = k, x + y = 1 を满たす実数 x, y が存在するための必要十分条件は k ≥ 孤数数
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(1) 次のうち, 多項式 \ 4 x^{3}-3 x-1 \ の因数であるものはどれか。\n(1) \ x-1 \\n(2) \ x+2 \\n(3) \ 4 x-1 \\n(4) \ 2 x+1 \\n(2) 次の多項式が[ ]内の式で割り切れるように, 定数 \ a, b \ の値を定めよ。\n(ア) \ 5 x^{3}-4 x^{2}+a x-2 \\n \ [x-2] \\n(イ) \ x^{3}+a^{2} x^{2}+a x-1 \\n \ [x+1] \\n(ウ) \ 2 x^{3}+x^{2}+a x+b \\quad\\left[2 x^{2}-3 x+1\\right] \
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年利率 , 1 年ごとの複利で 100 万円を預金したとき, 元利合計が初めて 110 万円を超えるのは何年後か。ただし,常用対数表を用いてよいものとする。
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2020年度 渋谷教育学園幕張中学校 算数 第1次試験
1 (2) 1巡目終了後、残っている72枚のカードについて操作を続けるとき、131枚目に箱に入れるカードは何ですか?
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(4)定義ウについて
数字「86400」の由来を示す「式」を書きなさい。なお, 式には計算を示す記号 (+-×÷) を明記すること。
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平方数でも立方数でもない1以上の整数を小さい方から順に次のように並べます。\n2,3,5,6,7,10,11, \cdots \cdots \nこのとき、小さい方からかぞえて2020番目の整数はいくつですか。
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(4)黒い正方形の 1 辺の長さは 1cm 以上 100cm 以上から,白い正方形の個数は,(1+1) x 4 = 8(個)以上,(100+1) x 4 = 404(個)以下である。また,連続した整数の和で表すことができない数は, 1 以外に奇数の約数がない整数であり,このような数を素数の積で表すと, 2 x ・・・ x 2 となる。よって,上の範囲では, 2 x 2 x 2 = 8(個), 8 x 2 = 16(個), 16 x 2 = 32(個), 32 x 2 = 64(個), 64 x 2 = 128(個), 128 x 2 = 256(個)であり,それぞれの場合ついて黒い正方形の 1 辺の長さを求めると, 8 ÷ 4 - 1 = 1(cm), 16 ÷ 4 - 1 = 3(cm), 32 ÷ 4 - 1 = 7(cm), 64 ÷ 4 - 1 = 15(cm), 128 ÷ 4 - 1 = 31(cm), 256 ÷ 4 - 1 = 63(cm)となる。
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The ambassador is well received every time he visited the prime minister.
A. NO ERROR
B. was well received
C. will be well received
D . is well receiving
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問 5 下線部dに関連して, 外国通貨との交換比率のことを外国為替相場といいます。このこと に関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを、下記より1つ選び 番号で答えなさい。\
X 1 ドル=200円から1ドル=100円になることを「円安ドル高」といいます。\
Y 現在, 日本円とアメリカドルの外国為替相場は,日々変動しています。\
1 X 正 Y 正\
2 X 正 Y 誤\
3 X 誤 Y 正\
4 X 誤 Y 誤
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(6)これまでの内容から,適切なものを次より2つ選び,記号を答えなさい。\n(ア)内側に軟質デンプンが多く含まれるほど、ポップコーンはふくらむ。\n(イ)硬質デンプンが,大きくふくらみ白くなる。\n(ウ)爆裂種であれば,たねをどんなに乾燥させても,ポップコーンはふくらむ。\n(エ)外側の硬質デンプンは粉々にくだけ,内側の軟質デンプンがとびだして白く固まる。\n(オ)ポップコーンがふくらむとき,たねに含まれている水は,たねの体積の300倍以上の水蒸気になる。
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平方数でない 1 以上の整数を小さい方から順に次のように並べます。\n2,3,5,6,7,8,10, \cdots \cdots \n(1) 小さい方からかぞえて300番目の整数はいくつですか。
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複素数 に対して \n(1) (ア) \n(1) \n(ウ) \( (1-\\alpha)\\left(1-\\alpha^{2}\\right)\\left(1-\\alpha^{3}\\right)\\left(1-\\alpha^{4}\\right)\\left(1-\\alpha^{5}\\right)\\left(1-\\alpha^{6}\\right) \) の値を求めよ。\n(2) とするとき, の値を求めよ。
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204
参考事項複接線
ある曲線に 2 点以上で接する直線を, この曲線の複接線 と いう。例えば, 数学IIで出てくる曲線では, 次のことがいえる。
3 次関数のグラフは複接線をもたない
4 次関数のグラフは複接線をもつことがある
ところで, 曲線が複接線をもつかもたないかは,右の図から,変曲点の個数が関係しているように推測できるかもしれない。
一般に,変曲点の個数と複接線について, 次のことが成り立つ。
関数 f(x) が 2 回微分可能で f’’(x) が連続,かつ曲線 y=f(x) が直線になる区間をもたないとき, 曲線 y=f(x) の変曲点が 1 個以下ならば, この曲線は複接線をもたない。
症明(概略)対偶「複接線をもつならば,変曲点が2個以上存在する」 を示す。曲線 y=f(x) 上の異なる 2 点 A(a, f(a)), B(b, f(b)) [a<b] において, この曲線と接する直線が存在するとき (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(a)=f’(b) が成り立つ。
平均値の定理により, (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c), a<c<b を満たす c が存在するから f’(a)=f’(b)=f’(c) f’(x) は微分可能であるから, ロルの定理により
f’’(α)=f’’(β)=0, a<α<c, c<β<b を満たす α, β が存在し, f’(x) は x=α, x=β それぞれの十分近くで最大または最小となる。ゆえに, x=α, β の十分近くの前後で f’(x) の増加・減少が変わる。すなわち f’’(x) の符号が変わるから, 変曲点は 2 個以上存在する。
この性質によって, 3 次関数のグラフは変曲点が 1 個であるから,複接線をもたないことがわかる。したがって, 3 次関数のグラフの接点の個数と接線の本数は一致する。
しかし,変曲点が 2 個以上であっても複接線をもつとは限らない。例えば,例題 87 の曲線 y=e^(-x^2) は, 変曲点を 2 個もつが, 複接線をもたない。
なお, 4 次関数のグラフについては, 次のことが成り立つ。
曲線 y=x^4+ax^3+bx^2+cx+d が複接線をもつ ⇔ 3a^2-8b>0
症明 (概略) x^4+ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)=(x-α)^2(x-β)^2 を満たす異なる実数 α, β が存在することが, 曲線が複接線をもつ条件である。
両辺を 2 回微分して整理すると 6x^2+3ax+b=6x^2-6(α+β)x+α^2+β^2+4αβ よって a=-2(α+β), b=(α+β)^2+2αβ ゆえに α+β=-a/2, αβ=-a^2/8+b/2 よって, α, β は 2 次方程式 t^2+a/2 t-a^2/8+b/2=0 の解で, 判別式を D とすると, 条件は D>0 すなわち (a/2)^2-4(-a^2/8+b/2)>0 整理すると 3a^2-8b>0
一般的に, その曲線に複接線が存在するかどうかの判定は簡単ではない。したがって, 例題 119 のような問題では, グラフから「接点が異なれば接線も異なる」としてよい。