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数と代数
基本的な数論 - 最小公倍数と最大公約数
Q.03
1 次不定方程式の整数解が存在するための条件\n は 0 でない整数とするとき, 一般に次のことが成り立つ。\n を満たす整数 が存在する と は互いに素 \( \cdots \cdots \cdot(*) \)
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例 48 と 240 と 360 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n13 つの数に共通な素因数で割れるだけ割っていく。\n一番下の3つの数の最小公倍数を掛け合わせることで最小公倍数が求められます。
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基本例題 125 最大公約数(互除法を利用)\n次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。\n(1) 143,319\n(2) 667,966\n(3) 1829,2077
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PRACTICE 125\n次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。\n(1) 504,651\n(2) 899,1501\n(3) 2415,9345
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(2)2 桁の自然数 m, n(m < n) の最大公約数は 10 , 最小公倍数は 100 である。このとき, m, n の値を求めよ。
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数学 (A) (1) n と 28 の最小公倍数が 980 となる自然数 n をすべて求めよ。 (2) n と 45 と 60 の最小公倍数が 360 となる自然数 n をすべて求めよ。
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24, 120, 180 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n13 つに共通な素因数で割れるだけ割っていく。\n2 左側の素因数の積が最大公約数, 最大公約数に一番下の 3\n2) 24 120 180\nつの数の最小公倍数を掛け合わせたものが最小公倍数である。
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次の整数の組について, 最大公約数と最小公倍数を求めよ。(1) 70, 525 (2) 90, 126, 180
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36 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n12 つに共通な素因数で割れるだけ割っていく。\n2 左側の素因数の積が最大公約数, 最大公約数に一番下の 2\n2 lcm{18 60}\nつの数を掛け合わせたものが最小公倍数である。
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次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。\n105\n(1) 767,221\n(2) 966,667\n(3) 1679,837
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6 より大きい 2 つの自然数の最大公約数は 6 , 積は 4536 であるという。この 2 つの自然数を求めよ。
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2 つの自然数 の最大公約数を , 最小公倍数を とする。 であるとすると,次のことが成り立つ。\n1. は互いに素である。\n2. \n3.
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次の整数の組について, 最大公約数と最小公倍数を求めよ。(1) 198, 264(2) 84, 252, 315
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(1) と 36 の最小公倍数が 720 となる自然数 をすべて求めよ。\n(2) と 12 と 50 の最小公倍数が 1500 となる自然数 をすべて求めよ。
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整式 の最大公約数を 、最小公倍数を とし、 を で割ったときの商をそれぞれ とするときの関係式を示しなさい。\n\n例:上記で求めた整式 \( A=x(x+1)(x+2), B=x^{2}(x+1) \) に対し、最大公約数(G.C.D.) 、商 、最小公倍数(L.C.M.) を関係式を用いて求めよ。
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(1) 最大公約数が 24 であるから, a, b は a=24 a', b=24 b' と表される。ただし, a' , b' は互いに素な自然数で a'<b' このとき, a, b の最小公倍数は 24 a' b' であるから: 24 a' b'=432 すなわち a' b'=18
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2つの自然数 a と b が与えられたとき、ユークリッドの互除法を用いてそれらの最大公約数 (GCD) を求めよ。
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大学の学生 100 人を調査したところ, パソコンを持っている者は 75 人, 携帯電話 を持っている者は 80 人であった。パソコンと携帯電話の両方を持っている人数を x 人とするとき,起こりうる x の最小値を求めよ。更に,100 人のうち自家用車を 持っている者が 60 人のとき, パソコン,携帯電話,自家用車をすべて持っている人数を y 人とすると,起こりうる y の最小値はいくらか。
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最大公約数と最小公倍数の性質問題\n2 つの自然数 a, b \ の最大公約数を g \, 最小公倍数を l \ とする。 a=g a^{\\prime}, b=g b^{\\prime} \ とすると、特に, g=1 \ のとき a b=l \
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練習 93 本冊 p .428\n問題 2\n数 A, B の最大公約数を (A, B) で表す。\n(1)\n...\nよって, 3a + 7b と 2a + 5b の最大公約数は, a とb の最大公約数に一致する。
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次の 2 つの整数の最大公約数を,互除法を用いて求めよ。\n(1) 504,651\n(2) 943,1058\n(3) 4165,6035
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(2) 最大公約数が 9 であるから a, b は a=9 a', b=9 b' と表される。ただし, a' , b' は互いに素な自然数で a'<b' a, b の積が 486 であるから: 81 a' b'=486 すなわち a' b'=6
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以下の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めなさい:\n\n(ア)\n\x^{3}-4x^{2}+3x \\quad\\text{と}\\quad 6x^{4}-15x^{3}-9x^{2}\\n\n(イ)\n\x^{2}-4 \\quad\\text{と}\\quad x^{2}-x-6 \\quad\\text{と}\\quad x^{3}+x^{2}-2x\
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るのは, 左から数えて17番目である。
(3) 7 と17の最小公倍数である, 7 × 17=119 を周期と考える。 1 から119までに 7 の倍数は17個, 17の倍数は 7 個あり, 119は両方に共通だから,1つの周期の中に約分できる分数は, 17+7-1 =23 (個)あることがわかる。よって, 25 回目に約分できるのは, 2 つ目の周期の中の, 25-23=2 (回目)となる。さらに,1つ目の周期で 2 回目に約分できるのは, 左から数えて14番目なので, 25 回目に約分できるのは, 左から数えて, 119+14=133 (番目)と求められる。