数と代数 - 最小公倍数と最大公約数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

（1）238 と自然数 n の最大公約数が 14 , 最小公倍数が 1904 であるとき, n の値を求めよ。

3 つの正の整数 $40,56, n$ の最大公約数が 8 , 最小公倍数が 1400 のとき, $n$ の値を求めよ。

1 次不定方程式の整数解が存在するための条件\n$a, b$ は 0 でない整数とするとき, 一般に次のことが成り立つ。\n$a x+b y=1$ を満たす整数 $x, y$ が存在する $\Leftrightarrow a$ と $b$ は互いに素 \( \cdots \cdots \cdot(*) \)

最大公約数, 最小公倍数の性質

例 48 と 240 と 360 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n13 つの数に共通な素因数で割れるだけ割っていく。\n一番下の3つの数の最小公倍数を掛け合わせることで最小公倍数が求められます。

基本例題 125 最大公約数（互除法を利用）\n次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。\n(1) 143,319\n(2) 667,966\n(3) 1829,2077

最大公約数の応用問題 (タイルの敷き詰め)

PRACTICE 125\n次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。\n(1) 504,651\n(2) 899,1501\n(3) 2415,9345

最大公約数 (互除法を利用)

倍数, 互いに素に関する証明

（2）2 桁の自然数 m, n(m < n) の最大公約数は 10 , 最小公倍数は 100 である。このとき, m, n の値を求めよ。

3つの正の整数 40, 56, n の最大公約数が 8、最小公倍数が 1400 であるとき、n の値を求めよ。

2 つの自然数 \( a, b(a < b) \) の差が 3 、最小公倍数が 126 のとき、 $a = \square, b = \square$ である。

87 (1) 最大公約数 66 , 最小公倍数 792 (2) 最大公約数 21 , 最小公倍数 1260

数学 (A) （1） n と 28 の最小公倍数が 980 となる自然数 n をすべて求めよ。 （2） n と 45 と 60 の最小公倍数が 360 となる自然数 n をすべて求めよ。

24, 120, 180 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n13 つに共通な素因数で割れるだけ割っていく。\n2 左側の素因数の積が最大公約数, 最大公約数に一番下の 3\n2) 24 120 180\nつの数の最小公倍数を掛け合わせたものが最小公倍数である。

ユークリッドの互除法を用いて、105と 最大公約数を求める問題。

次の整数の組について, 最大公約数と最小公倍数を求めよ。(1) 70, 525 (2) 90, 126, 180

最大公約数が 6 , 最小公倍数が 432 である 2 つの自然数を求めよ。

次の整数の組について, 最大公約数と最小公倍数を求めよ。\n2) 84, 252, 315

36 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。\n12 つに共通な素因数で割れるだけ割っていく。\n2 左側の素因数の積が最大公約数, 最大公約数に一番下の 2\n2 lcm{18 60}\nつの数を掛け合わせたものが最小公倍数である。

90 と自然数 $n$ の最大公約数が 15 , 最小公倍数が 3150 であるという。 $n$ の 値を求めよ。

次の整数の組について, 最大公約数と最小公倍数を求めよ。\n1) 198, 264

最大公約数が 11, 最小公倍数が 1320, 和が 253 である 2 つの自然数を求めよ。

次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。\n105\n(1) 767,221\n(2) 966,667\n(3) 1679,837

8 と 12 の最大公約数, 最小公倍数を求める。

最大公約数が6, 最小公倍数が432である2つの自然数を求めよ。

6 より大きい 2 つの自然数の最大公約数は 6 , 積は 4536 であるという。この 2 つの自然数を求めよ。

2 つの自然数 $a, b$ の最大公約数を $g$, 最小公倍数を $l$ とする。 $a = g a^{\prime}, b = g b^{\prime}$ であるとすると，次のことが成り立つ。\n1. $a^{\prime}, b^{\prime}$ は互いに素である。\n2. $l = g a^{\prime} b^{\prime}$\n3. $ab = gl$

36 と 120 の最大公約数, 最小公倍数を求める。

次の整数の組について, 最大公約数と最小公倍数を求めよ。(1) 198, 264(2) 84, 252, 315

最大公約数が 3 , 最小公倍数が 210 , 和が 51 である 2 つの自然数を求めよ。

(1) $n$ と 36 の最小公倍数が 720 となる自然数 $n$ をすべて求めよ。\n(2) $n$ と 12 と 50 の最小公倍数が 1500 となる自然数 $n$ をすべて求めよ。

238 と自然数 $n$ の最大公約数が 14 , 最小公倍数が 1904 であるという。 $n$ を求めよ。

倍数の個数。 基本 2 倍数の個数。

整式 $A, B$ の最大公約数を $G$、最小公倍数を $L$ とし、$A, B$ を $G$ で割ったときの商をそれぞれ $A^{\prime}, B^{\prime}$ とするときの関係式を示しなさい。\n\n例：上記で求めた整式 \( A=x(x+1)(x+2), B=x^{2}(x+1) \) に対し、最大公約数（G.C.D.） $G$、商 $A^{\prime}, B^{\prime}$、最小公倍数（L.C.M.） $L$ を関係式を用いて求めよ。

整式の最大公約数・最小公倍数

26 (2) 二つの数の最大公約数と最小公倍数を求めよ: 21と1260

26 (1) 二つの数の最大公約数と最小公倍数を求めよ: 132と792

26 次の数の組の最大公約数と最小公倍数を求めよ。 (2) 84,252,315

26 次の数の組の最大公約数と最小公倍数を求めよ。 (1) 264,396

(1) 最大公約数が 24 であるから， a, b は a=24 a', b=24 b' と表される。ただし， a' ， b' は互いに素な自然数で a'<b' このとき, a, b の最小公倍数は 24 a' b' であるから: 24 a' b'=432 すなわち a' b'=18

ユークリッドの互除法：2つの自然数 a, b \ の最大公約数を求める手順を説明しなさい。

2つの自然数 a と b が与えられたとき、ユークリッドの互除法を用いてそれらの最大公約数 (GCD) を求めよ。

よって, g と m の最小公倍数 l が g に一致し, g は m の倍数である。

大学の学生 100 人を調査したところ, パソコンを持っている者は 75 人, 携帯電話 を持っている者は 80 人であった。パソコンと携帯電話の両方を持っている人数を x 人とするとき，起こりうる x の最小値を求めよ。更に，100 人のうち自家用車を 持っている者が 60 人のとき, パソコン，携帯電話，自家用車をすべて持っている人数を y 人とすると，起こりうる y の最小値はいくらか。

次の数の最大公約数と最小公倍数を求めよ。(1) 264, 396 (2) 84, 252, 315

最大公約数と最小公倍数の性質問題\n2 つの自然数 a, b \ の最大公約数を g \, 最小公倍数を l \ とする。 a=g a^{\\prime}, b=g b^{\\prime} \ とすると、特に, g=1 \ のとき a b=l \

練習 93 本冊 p .428\n問題 2\n数 A, B の最大公約数を (A, B) で表す。\n(1)\n...\nよって, 3a + 7b と 2a + 5b の最大公約数は, a とb の最大公約数に一致する。

次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。\n(1) 504,651\n(2) 943,1058\n(3) 4165,6035

(2) 最大公約数が 9 であるから a, b は a=9 a', b=9 b' と表される。ただし， a' ， b' は互いに素な自然数で a'<b' a, b の積が 486 であるから: 81 a' b'=486 すなわち a' b'=6

以下の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めなさい：\n\n(ア)\n\x^{3}-4x^{2}+3x \\quad\\text{と}\\quad 6x^{4}-15x^{3}-9x^{2}\\n\n(イ)\n\x^{2}-4 \\quad\\text{と}\\quad x^{2}-x-6 \\quad\\text{と}\\quad x^{3}+x^{2}-2x\

2次式 $A$ と 3次式 $B$ の最大公約数は $x+1$, 最小公倍数は $x^{4}-x^{2}$ である。このとき, 多項式 $A$ と $B$ を求めよ。

るのは, 左から数えて17番目である。 (3) 7 と17の最小公倍数である， 7 × 17=119 を周期と考える。 1 から119までに 7 の倍数は17個, 17の倍数は 7 個あり, 119は両方に共通だから，1つの周期の中に約分できる分数は, 17+7-1 =23 (個)あることがわかる。よって, 25 回目に約分できるのは, 2 つ目の周期の中の, 25-23=2 （回目）となる。さらに,1つ目の周期で 2 回目に約分できるのは, 左から数えて14番目なので, 25 回目に約分できるのは, 左から数えて, 119+14=133 (番目)と求められる。