数と代数 - 整数、分数、小数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

EX $a, b$ を自然数とする。 $a b$ が 3 の倍数であるとき, $a$ または $b$ は 3 の倍数であることを証明せよ。 (3101\n与えられた命題の対偶は、「a, bがともに3の倍数でないならば, $a b$ は 3 の倍数でない」 $k, l$ を 0 以上の整数とすると, $a, b$ がともに 3 の倍数でないの は，次の $[1] 〜[4]$ のいずれかの場合である。\n[1] $a=3 k+1, \quad b=3 l+1$ のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+1)=3(3 k l+k+l)+1\]\n[2] $a=3 k+1, \quad b=3 l+2$ のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+l)+2\]\n[3] $a=3 k+2, \quad b=3 l+1$ のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+1)=3(3 k l+k+2 l)+2\]\n[4] $a=3 k+2, \quad b=3 l+2$ のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+2 l+1)+1\]\nよって, [1] [4] のいずれの場合も $a b$ は 3 の倍数でない。 したがって, 対偶が真であるから，もとの命題は真である。\n直接証明するのは難し いので, 対偶が真である ことを証明する。

PRACTICE \n$a, b$ は整数とする。 $a$ を 5 で割ると 2 余り, bを 5 で割ると 3 余る。次の数を 5 で割 った余りを求めよ。\n(1) $a+b$\n(2) $a-b$\n(3) $a b$\n(4) $a^{2}+b^{2}$

ガウス記号

36 (1) \ \\frac{4}{5}<x<4 \ (2) \ x \\leqq-2, \\quad 1 \\leqq x \ (3) \ 1<x<4 \

10人が学級委員、議長、書記のいずれかに立候補する場合の重複順列を求めなさい。

倍数の判定法

29 (1) $a \geqq \frac{7}{12}$\n(2) $a<\frac{1}{3}$\n(3) $-\frac{2}{3} \leqq a<-\frac{1}{3}$

（5） $a=4, b=6$ のとき, 不等式 (1) を満たさない最大の整数 $x$ を求めると, $x=$\u3000$\square$ です。

イ) $0,1,2,3,4$ のうち和が 3 の倍数になる 3 数の選び方は [1] $\{0,1,2\},\{0,2,4\}$\nの 2 通り\n[2] $\{1,2,3\},\{2,3,4\}$ の 2 通り\n[1] 百の位は 0 でないから，各組について，3桁の整数は 2 \times 2!=4

次の問題について、得点の期待値の算出方法を解説し、その期待値を求めよ。 (2) \[ \begin{aligned} P\left(W_{2}\right) & =P\left(W_{1}\right) P_{W_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(R_{1}\right) P_{R_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(G_{1}\right) P_{G_{1}}\left(W_{2}\right) \\ & =\frac{10}{40} \times \frac{1}{3}+\frac{10}{40} \times \frac{2}{9}+\frac{20}{40} \times \frac{2}{9} \\ & =\frac{1}{4} \end{aligned} \] (3) \[ \begin{aligned} P\left(R_{2}\right) & =P\left(W_{2}\right)=\frac{1}{4} \\ P\left(G_{2}\right) & =1-P\left(W_{2}\right)-P\left(R_{2}\right) \\ & =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4} \end{aligned} \] よって, 求める得点の期待値は \begin{tabular}{c||ccc|c} \hline 得点 & 1 & 2 & 3 & 計 \\ \hline 確率 & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{2}{4}$ & 1 \\ \hline \end{tabular} \( \triangleleft(1) \) を利用。 白球と赤球の数は等しい。 余事象を利用して求め られる。 EX $n, p$ は $2 p \leqq n$ を满たす自然数とする。袋の中に赤球 $p$ 個と白球 $n-p$ 個，あわせて $n$ 個の球 ③2 が入っている。この袋の中から 個の球を無作為に取り出し, そのうち赤球が $k$ 個のとき, 得点 kが得られる。 (1) $n=5, p=2$ のとき, 得点が 1 である確率を求めよ。 (2) $p=3$ とし, $n$ は 6 以上の自然数とするとき, 得点の期待值が $\frac{1}{2}$ 以下となる最小の $n$ の值 を求めよ。 [宮崎大] （1）赤球 2 個と白球 3 個が入っている袋の中から 2 個の球を無作為に取り出し，そのうち赤球が１個である確率を求めれば よい。 よって $\quad \frac{{ }_{2} \mathrm{C}_{1} \times{ }_{3} \mathrm{C}_{1}}{{ }_{5} \mathrm{C}_{2}}=\frac{3}{5}$ (2) $p=3, n \geqq 6$ のとき, 赤球 3 個と白球 $n-3$ 個が入ってい る袋の中から 3 個の球を無作為に取り出すことを考える。 赤球が 1 個である場合の数は ${ }_{3} \mathrm{C}_{1} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{2}$ 通り 赤球が 2 個である場合の数は ${ }_{3} \mathrm{C}_{2} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{1}$ 通り 赤球が 3 個である場合の数は $\quad{ }_{3} \mathrm{C}_{3} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{0}$ 通り よって, 得点の期待値は \[ \begin{aligned} & 1 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{1} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{2}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+2 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{2} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{1}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+3 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{3} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{0}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}} \\ = & \frac{6}{n(n-1)(n-2)}\left\{\frac{3}{2}(n-3)(n-4)+6(n-3)+3\right\} \\ = & \frac{6}{n(n-1)(n-2)} \times \frac{3}{2}\left(n^{2}-3 n+2\right)=\frac{9}{n} \end{aligned} \] 得点の期待値が $\frac{1}{2}$ 以下であるとき $\quad \frac{9}{n} \leqq \frac{1}{2}$ これを解いて $\quad n \geqq 18$ したがって, 求める最小の $n$ の値は 18 不等式の両辺に $n$ (自然数)をかけても不等号 の向きは変わらない。

4. x+y+z=5, x \\geqq 0, y \\geqq 0, z \\geqq 0 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。

数学 I\nD =a^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(-a^{2}+a-1\\right)=5 a^{2}-4 a+4 \\\n=5\\left(a-\\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\frac{16}{5}>0\n\nよって, D>0 は常に成り立つ。\n-3<-\frac{a}{2}<3 から -6<a<6\nf(-3)=-a^{2}-2 a+8 f(-3)>0 から\na^{2}+2 a-8<0\nこれを解いて -4<a<2\nf(3)=-a^{2}+4 a+8 f(3)>0 から\na^{2}-4 a-8<0\na^{2}-4 a-8=0 の解は a=2 \\pm 2 \\sqrt{3}\nよって 2-2 \\sqrt{3}<x<2+2 \\sqrt{3}\n\n(a+4)(a-2)<0\nnan0 \\lessgtr a= -(-2)\\pm \\sqrt{(-2)^{2}-1 \\cdot(-8)}\n\n(1), (2), (3) の共通範囲を求めて\n2-\\sqrt{3}<a<2

連続する 3 つの整数 m-1, m, m+1 の積 (m-1) m(m+1) は6の倍数である。 同様に, (n-1) n(n+1) も 6 の倍数である。 よって, m^{3} n-m n^{3} は6の倍数であることを証明せよ。

連続する 3 つの整数の積は 6 の倍数であることを証明せよ。

グループの人数と集合 (3つの集合)

ガウス記号に関する問題を解きましょう。\n\n1. 実数 $a$ に対して、ガウス記号 $[a]$ を用いて $[3.7]$, $[3]$, および $[-3.7]$ を求めてください。\n\n2. 実数 $x$ に対して $n$ を整数とするとき、 $n \leqq x < n+1$ の条件下で、 $[x] = n$ であることを証明してください。\n\n3. 基本例題 27 の $1 + \sqrt{5}$ の整数部分と小数部分を求めてください。\n\n4. 関数 $y = x - [x]$ のグラフを $-2 \leqq x \leqq 3$ の範囲で描いてください。

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 の 8 個の数字を使って 8 桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

1 次不定方程式の整数解 (2)

不等式 \( 6x + 8(6 - x) > 7 \) を満たす2桁の自然数の個数を求めよ。

30 $1 \%$ 水溶液は $30 \mathrm{~g}$ まで\n$10 \%$ 水溶液の使用は $46 \mathrm{~g}$以上 $70 \mathrm{~g}$以下

次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 5x + 7y = 1 (2) 35x - 29y = 3

226 一一 数学 $A$\n(5) $x-1=X, y-1=Y, z-1=Z$ とおくと\n$X \geqq 0, \quad Y \geqq 0, \quad Z \geqq 0$\nこのとき, $x+y+z=5$ から $\quad X+Y+Z=2$\nよって, (4) と同様に考えると, 2 個の と 2 個の｜を 1 列 に並べる順列の総数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解1 ○を 5 個並べる。\n条件を満たす整数の組 \( (x, y, z) \) の数は, ○と の間 4 か 所から 2 つを選んで仕切り|を入れる方法の数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解2 $(X+Y+Z=2$ までは上と同様。)\n\[{ }_{3} \mathrm{H}_{2}={ }_{3+2-1} \mathrm{C}_{2}={ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\nは \( (x, y, z)=(1,3,1) \) を表す。

18 を 3 つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。樹形図を利用して求めよ。 ただし，加える順序は問わないものとする。

211^{9} x, y, z を整数とする。 (1) 1 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 5 ， 1 ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。 (2) 1 ≤ x < y < z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。 (3) 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。 (4) x + y + z = 5, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ] 組ある。 (5) x + y + z = 5, x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ]組ある。 [大阪経大]

基本列題 39 集合の要素の決定 整数を要素とする 2 つの集合 $A, B$ を $A=\left\{2,5, a^{2}\right\}$, $B=\{4, a-1, a+b, 9\}$ とする。また, $A \cap B=\{5,9\}$ とする。 （1）定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) $A \cup B$ を求めよ。

40整数 $a, b, c$ に関する次の命題の逆と対偶を述べ，それらの真偽を述べよ。 「$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ が奇数ならば $a, b, c$ のうち少なくとも 1 つは奇数である」

AさんとBさんはアルバイトでともに週４日勤務している。このとき，AさんとBさんがともに勤務する日が毎週少なくとも1日あることを示せ。

基本例題 25 四角形の個数と組合せ 右の図のように, 5 本の平行線と, それらに直交する 5 本の平行線が，それぞれ両方とも同じ間隔 \(a(a>0)\) で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲まれる図形について，次の問いに答えよ。 （1）長方形（正方形を含む）は全部で何個あるか。 （2）正方形は全部で何個あるか。

(1) \ \\frac{3 \\sqrt{35}}{4} \

$\frac{34}{5}, \frac{51}{10}, \frac{85}{8}$ のいずれに掛けても積が自然数となる分数のうち, 最も小さいものを求めよ。

(4) $M=\square$ とする。 $3 \mathrm{~g}$ と $14 \mathrm{~g}$ の分銅を，他の質量の分銅の組み合わせに変える と，分銅をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の 分銅の質量の組み合わせを，次の（0）～（3）のうちから２つ選べ。ただし，2種類の分銅 は，皿 $\mathrm{A}$, 皿 Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また，解答 の順序は問わない。 \nツ $\square$, テ\n(0) $3 \mathrm{~g}$ と $10 \mathrm{~g}$\n(1) $3 \mathrm{~g}$ と $27 \mathrm{~g}$\n(2) $10 \mathrm{~g}$ と $14 \mathrm{~g}$\n(3) $14 \mathrm{~g}$ と $27 \mathrm{~g}$

PR\n(2)116\n$a, b$ は整数とする。 $a$ を5で割ると2余り, $b$ を5で割ると3余る。次の数を5で割った余りを求めよ。\n(1) $a+b$\n(2) $a-b$\n(3) $a b$\n(4) $a^{2}+b^{2}$

（1）aは自然数とする。a+5は4の倍数であり，a+3は6の倍数であるとき, a+9は12の倍数であることを証明せよ。

(2) n は 2 桁の自然数とする。 $\frac{23}{n}$ を小数で表したとき, 循環小数となるような n は何個あるか。

p, q, r (p<q<r) を連続する 3 つの奇数とする。このとき, pqr + pq + qr + rp + p + q + r + 1 は 48 で割り切れることを示せ。

EX $\quad x$ に関する方程式 \( k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0 \) が実数解をもつような負でない整数 $k$ を求めよ。

m, n が整数のとき, m^3 n - m n^3 は 6 の倍数であることを証明せよ。

次の値を求めよ。 (ア) $|-2|$ (イ) $|-7+3|$ (г) $|-4|-|6|$ (工) $|\pi-5|$

次の条件を満たす整数の組 \( (a, b, c, d) \) の個数を求めよ。\n(1) $0<a<b<c<d<8$\n(2) $0 \leqq a \leqq b \leqq c \leqq d \leqq 2$

[2] x < ア の場合の (a) の部分では, [1] x≥アの場合と同様にして, (2)を满たす x の値の範囲を求めている。その x の値の範囲を (4) とするとき, * に当てはまる内容として適切なものを，次の０～ろのうちから２つ選べ。

最大・最小から係数の決定(2)

集合の要素の個数の計算

次の循環小数を分数で表せ。\n(ア) $2 . \\dot{4} \\dot{2}$\n(イ) $0 . \\dot{3} 4 \\dot{2}$\n(ウ) $3.2 \\dot{6}$

100 (1) 正しい (2) 正しくない

7つの数字 1, 2，3，4，5，6，7から同じ数字を繰り返し使わないで, 整数を作るとき, 次の問 (4) いに答えよ。\n（1） 5 桁の偶数は何通りできるか。

66 \\quad 6

56 (1) $\frac{1}{9}$\n(2) $\frac{2}{27}$

12で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。

PRACTICE $14^{2}$\n7 個の数字 $0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。次のような整数は何個作れるか。\n（1） 3 桁の整数\n(2) 3 の倍数\n(3) 9 の倍数

PR 2 次方程式 \ x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0 \ が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n\\( f(x)=x^{2}+a x-a^{2}+a-1 \\) とすると, \\( y=f(x) \\) のグラフは下に凸の放物線で，その軸は直線 \ x=-\\frac{a}{2} \ である。\n方程式 \\( f(x)=0 \\) が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつための条件は, \\( y=f(x) \\) のグラフが \ x \ 軸の \ -3 < x < 3 \ の部分と異なる 2 点で交わることである。よって, \\( f(x)=0 \\) の判別式を \ D \ とすると, 次のことが同時に成り立つ。\n[1] \ D > 0 \\n[2] 軸が \ -3 < x < 3 \ の範囲にある\n[3] \\( f(-3)>0 \\)\n[4] \\( f(3)>0 \\)

（2）全体集合 U={x | 1 ≦ x ≦ 10, x は整数} の部分集合 A, B について, A \cap B = {3,6,8}, \bar{A} \cap \bar{B} = {4,5,7}, A \cap \bar{B} = {1,10} とする。 このとき, 集合 A, B, A \cup B を求めよ。

116^{3} （1）自然数のうち，10 進法で表しても 5 進法で表しても 3 桁になるものは 全部で何個あるか。\n（2）自然数のうち，10 進法で表しても 5 進法で表しても，ともに 4 桁にな るものは存在しないことを示せ。\n[類 東京女子大]

(2) $A=\\{x|| x \\mid<2\\}, B=\\{x|| x-a \\mid<3\\}$ とする。 $A \cap B=A$ となるための $a$ に関する条件を求めよ。

連続した 3 つの自然数のうち, 最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。

A 地点から 5 km 離れた B 地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B 地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき，毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。

R-4.0 整数部分・小数部分の問題 例題 27 で整数部分と小数部分を次のように求めたら，不正解と言われました。どこが間違いなのでしょうか？ 不正解とされた解答 $\sqrt{5}=2.236 \cdots \cdots$ であるから $\quad 1+\sqrt{5}=3.236 \cdots \cdots$ よって, 整数部分は $a=3$, 小数部分は $b=0.236 \cdots \cdots$ である。

(2) \ x=2 \ のとき最大値 \ \\sqrt{3} \

連続する整数の積

同じ大きさで区別のできない 3 個のさいころを投げて，目の和が 7 の倍数になる場合は何通りあるか。

松男, 竹男, 梅男と, 3 人の女子: 雪美, 月美, 花美の計 6 人全員が手 をつないで輪を作る。このとき，次のような輪の作り方は何通りあるか。\n(1) 松男と雪美が手をつなぐ。\n(2) 男女が交互に手をつなぐ。\n(3) 男子，女子ともに 3 人続けて手をつなぐ。

‎131\n$114^{9}$ $0 , 1 , 2 , 3 , 4$ の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り, 小さい順に並 べる。\n$\n1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22, \cdots \cdots\n$\n（1）2001 は何番目の数であるか。\n（2）2001 番目の数を求めよ。\n131\n

どれか2つの文字を入れ替えると、もと式と符号だけが変わる式を交代式という。

11で割ると9余り, 5で割ると2余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。

20 (1) (ア) \ \\frac{7}{9} \ (イ) \ \\frac{41}{11} \ (ウ) \ \\frac{45}{37} \ (2) 5

数学A\nR&W 質量 M(\\mathrm{~g}) の物体Xの質量を，天秤ばかりと分銅を用いて量る。(問題に) 天秤ばかりは支点の両側に皿 A，Bが取り付けられており，両側挑䄀 の皿にのせたものの質量が等しいときに釣り合うように作られて3 いる。3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を数多く用意したとし, それぞれ何個でものせることができるものとする。\n\n(1) 血 Aに物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 1 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 7 個をのせると, 天秤ばかりは釣り合った。このとき\n\nM+14 \\times \\square ア=3 \\times \\square\n\nが成り立ち, M=\\square である。\nア～ウに当てはまる数を答えよ。\n\n（2）皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 x 個を，皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 y 個をのせると，天秤ばかりが釣り合うとする。このとき\n\\text { -エオ } x+\\square \\text { カ } y=M\n\nが成り立つ。 M=1 のとき, 皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 キ 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 5 個をのせると釣り合う。よって，Mがどのような自然数であっても，皿Aに物体Xと 14 \\mathrm{~g} の分銅ク個をのせ，皿Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅口ケ個をのせることで釣り合うことになる。\nエオ 〜キに当てはまる数を答えよ。また, \\square ケ (0)〜 (5)うちから 1 つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。\n(0) M-1\n(1) M\n(2) M+1\n(3) M+4\n(4) 2 M-1\n(5) 5 M\n\n(3) M=20 のとき, 方程式 (1)のすべての整数解は, 整数 k を用いて x=\\square k+ サシ, y= スセ k+100 と表すことができる。したがって, 14 \\mathrm{~g} の分銅の個数が最小となるのは, x=\\square ソ, y=\\square タチ のときである。 コ ～タチに当てはまる数を答えよ。\n\n(4) M=\\square とする。 3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を, 他の質量の分銅の組み合わせに変えると，分銅 をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の分銅の質量の組み合わせを，次の０～３のうちから２つ選べ。ただし，２種類の分銅は，皿 A，皿Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また，解答の順序は問わない。\n(0) 3 \\mathrm{~g} と 10 \\mathrm{~g}\n(1) 3 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}\n(2) 10 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g}\n(3) 14 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}

128 3√2

EX 整数 $a, b, c$ に関する次の命題の逆と対偶を述べ，それらの真偽を述べよ。 240 \left\ulcorner a^{2}+b^{2}+c^{2}\right. が奇数ならば $a, b, c$ のうち少なくとも 1 つは奇数である」 逆：「 $\boldsymbol{a}, b, c$ のうち少なくとも 1 つが奇数ならば $a^{2}+b^{2}+c^{2} \mid$ 命題 \left.\Gamma p \Longrightarrow q\right\lrcorner の は奇数である」逆は 偽 （反例: $a=1, b=1, c=0$） 対偶：「 $a, b, c$ がすべて偶数ならば $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ は偶数である」 対偶は 真 (証明) $a, b, c$ がすべて偶数ならば，整数 $k, l, m$ を用いて $a=2 k, b=2 l, c=2 m$ と表され \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=(2 k)^{2}+(2 l)^{2}+(2 m)^{2}=2\left(2 k^{2}+2 l^{2}+2 m^{2}\right)

11で割ると9余り, 5で割ると2余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。

103 a > 2 のとき x < a+1, 2a-1 < x a=2 のとき 3 以外のすべての実数 a < 2 のとき x < 2a-1, a+1 < x

積の法則 （3つ以上の事柄についても，同じように成り立つ。） 事柄Aの起こり方が $a$ 通りあり, そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が $b$ 通り あれば，Aが起こり，そしてBが起こる場合は， $a \times b$ 通りある。

[東京女子大] HINT 3 で割り切れる整数全体の集合を D として C ⊂ D かつ C ⊃ D を示す。3 で割り切れる整数全体の集合を D とする。 (4)36 C={x+y | x ∈ A, y ∈ B} とするとき, C は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。

28 58 個以上

方程式の解から係数の

次の平方根の計算を行え。 (1) √25 (2) √36 (3) √49

順列・円順列・重複順列 順列の数 _{n} P_{r} =n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) =\frac{n!}{(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n) 特に _{n} P_{n}=n! 円順列の数 (n-1)!=\frac{nP_{n}}{n} じゅず順列の数 \frac{(n-1)!}{2}=\frac{円順列}{2} 重複順列の数 n^{r}(r>n であってもよい)

例題 97(1): 解をもつ範囲が x > 2 である 2 次方程式の解の存在範囲を求めなさい。

次の条件を満たす $x$ の範囲を図から読み取りなさい。\n(1) 右の図より $0 < x \\leqq 3$\n(2) 右の図より $x \\leqq -4$\n(3) $x \\geqq -2, x > 1$ から右の図より $x > 1$

数学A\n㓢解 各位の 4 つの数字に, 0 から 5 までの数字を用いて 4 桁以下の整数を作ると\n\\[6^{4}=1296 \\text { (個) }\\]\n\nそのうち, 0000 の場合を除くと, 求める正の整数は全部で \ 6^{4}-1=1295 \ (個)

集合の要素の個数，場合の数 基 本 事 項 1) 集合の要素の個数 個数定理 $A, B$ を有限集合（要素の個数が有限である集合）とする。また, \( n(P) \) は 有限集合 $P$ の要素の個数を表す。 (1) 和集合の要素の個数 \( 1 \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \\cap B) \\) 2 A \\cap B=\varnothing \ のとき \( \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B) \\) (2) 補集合の要素の個数 \( n(\\bar{A})=n(U)-n(A) \\) ただし, U \ は全体集合 主意 本書では, 上の (1), (2)を個数定理とよぶ。集合については数学 I p.68, 69 も参照。

6400 の正の約数について：5 の倍数であるもののすべての和を求めよ。

(3) $M=20$ のとき，方程式 (1)のすべての整数解は，整数 $k$ を用いてと表すことができる。したがって, $14 \mathrm{~g}$ の分銅の個数が最小となるのは,\n$x=\square, y=\text{タチ}$\nのときである。コ～タチに当てはまる数を答えよ。

2 次方程式の解の存在範匤

平方根を筆算で求める方法を開平法という。\n例えば, $\sqrt{628.5049}$ を計算する手順は, 以下の通りである。\n(1) まず、小数点を基準に 2 桁ずつ区切る。\n(2) 最上位の 6 に注目し，平方した数が 6 以下になる最大の整数 2 を立てる。 左側に 2 を縦に重ねて書き, $2 \times 2=4$ を 6 の下に書く。\n(3) $2+2=4$ を書く。\n$228 \div 4 \square$ から 5 を立て, 4 の右に 5 を縦に重ねて書く。\nまた, $45 \times 5=225$ を 228 の下に書く。\n(4) $45+5=50$ を書く。\n$350 \div 50 \square$ は $50 \square$ の方が大きいから 0 を立 て，50の右に0を縦に重ねて書く。\n(5) 同様にして 7 を立てて計算する。\nすると，右側は 0 となって計算が終わる。\nこうして得られた 25.07 が $\sqrt{628.5049}$ の値 である。

13^{30} を 17 で割った余りを求めよ。

次の不等式を解け。 (1) |3x-4| < 2x (2) 3|x+1| >= x+5 (3) 3|x-3| + |x| < 7

n が正の整数であるとする。次のことを証明せよ。 (1) n^2 + 1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割ったときの余りが 2 または 3 であることは同値である。

\ 139 \\frac{2 \\sqrt{6}}{3} \

EX 2 個のさいころを同時に投げて, 出る 2 つの目の数のうち, 小さい方(両者が等しいときはその ③5 数)を X, 大きい方(両者が等しいときはその数)を Y とする。定数 a が 1 から 6 までのある整数とするとき, 次のようになる確率を求めよ。 (1) X>a (2) X≤a (3) X=a [類 関西大] (4) Y=a 2 個のさいころを同時に投げるとき，目の出方は 6^{2} 通り

数学A\n_{10}C_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=210 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{105}{512}\n(イ) 点Pの座標が 19 以下であるとき\n5x-20 \leqq 19\nこれを解くと x \leqq \frac{39}{5}\nx は 0 \leqq x \leqq 10 を満たす整数であるから, (1) を満たす x は\nx=0,1,2,3,4,5,6,7\nx=8,9,10 のいずれかとなる場合の確率は\n_{10}\mathrm{C}_{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+_{10}\mathrm{C}_{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= \left({ }_{10} \mathrm{C}_{2}+_{10} \mathrm{C}_{1}+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= 56 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{7}{128}\nしたがって, 求める確率は 1-\frac{7}{128}=\frac{121}{128} 反復試行の確率。直接求めるのは計算が 大変。余事象の確率を利用する。\n_{n} \mathrm{C}_{r}=_{n} \mathrm{C}_{n-r}

$x=199, y=-98, z=102$ のとき, $x^{2}+4 x y+3 y^{2}+z^{2}$ の値を求めよ。

数学A\nPR ある高校の生徒 140 人を対象に, 国語, 数学, 英語の 3 教科のそれぞれについて, 得意か否かを (3)10調査した。その結果，国語が得意な人は 86 人，数学が得意な人は 40 人いた。そして，国語と数学がともに得意な人は 18 人，国語と英語がともに得意な人は 15 人，国語または英語が得意な人 は 101 人，数学または英語が得意な人は 55 人いた。また，どの教科についても得意でない人は 20 人いた。このとき, 3 教科のすべてが得意な人はア $\square$ 人であり，3 教科中 1 教科のみ得意な 人はイ $\square$ 人である。\n[名城大]\n全体集合を $U$ とし, 国語, 数学, 英語が 得意な人全体の集合をそれぞれ $A, B, C$ とする。右の図のように, 要素の個数 $a, b, c, x$, $y$ を定めると

65 (1) x= ± 1 で最大値 5, 最小値はない (2) x= 3/4 で最大値 71/64, 最小値はない

（3） $\frac{3}{8}$ を2 進法, 3 進法の小数でそれぞれ表せ。

組合せ, 同じものを含む順列 組合せの数 _{n} C_{r}=\frac{{}_{n} P_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n) 特に _{n} C_{1}=n, _{n} C_{n}=1, _{n} C_{0}=1 _{n} C_{r} の性質 _{n} C_{r}={}_{n} C_{n-r} (0 \leqq r \leqq n) _{n} C_{r}={}_{n-1} C_{r-1}+_{n-1} C_{r} (1 \leqq r \leqq n-1, n \geqq 2)

（2） $n$ は 5 以上の整数とする。10 進法で \( (n+2)^{2} \) と表される数を $n$ 進法で 表せ。\n[(2) 大阪経大]

(1)1，2，3の 3 種類の数字から重複を許して 3 つ選ぶ。選ばれた数の和が 3 の倍数となる組合せをすべて求めよ。\n(2) 1 の数字を書いたカードを 3 枚，2 2 数字を書いたカードを 3 枚， 3 の数字を書いたカード を 3 枚，計 9 枚用意する。この中から無作為に，一度に 3 枚のカードを選んだとき，カードに 書かれた数の和が 3 の倍数となる確率を求めよ。

コンピュータはオン/オフの2つの状態を表すスイッチから成り立っています。オンを1、オフを0と考えることで2進数が構造の基本となります。ビットは情報の量を表す最小単位です。nビットでは2^n通りの情報を表すことができます。 次に、4桁ごとに2進数を区切って16進数に変換することでデータの読みやすさが向上します。例えば、12ビットの110110110101を考えます。この2進数を4桁ずつ区切って16進数に変換してください。

(1) $18^{2020}$ を 10 進法で表すとき, 一の位の数字を求めよ。

整数の個数 (2つの集合)

\ 101-5, \\frac{1}{5} \

組み合わせの計算を行う (1) 7C2の計算 (2) 8C5の計算 (3) 5C0の計算 (4) nC2の一般式

次の実数の部分集合に関する問いに答えよ。\n[(1) 流通科学大]\n35 (1) 2 つの集合 $A=\\{3,5, a^{2}+5 a+13\\}, B=\\{a-1, a+2,|a|, a^{2}+2 a+4\\}$ につて, $A \cap B=\\{3,7\\}$ であるように, $a$ の値を定め, $A \cup B$ を求めよ。

3 次式 f(n) が整数である条件

7人の円順列の総数を求め、それに基づいて女子が隣り合わないように並べる方法の総数を考える。

(3) 53 でも 8 でも割り切れない整数」の集合 A ∩ B は, ド・モルガンの法則 A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B を利用して, 集合の個数を求めよう。補集合の個数は, 全体集合の個数から引 いて求める。

24 (1) \ 2 \\sqrt{6} \ (2) \ \\frac{2 \\sqrt{3}+3 \\sqrt{2}-\\sqrt{30}}{12} \

10 円硬貨 4 枚，100 円硬貨 6 枚，500 円硬貨 2 枚のとき、合計の金額が何通りできるか。ただし、全部 0 枚の場合は支払うことができない。

集合 A = \\{8, 12\\}, B = \\{4n \\mid 1 \\leqq n \\leqq 6, n \ は整数 \ \\} \ について (1) 集合 \ B \ を，要素を書き並べて表せ。

2 つの整数 $a, b$ にいて, ある整数 $k$ を用いて $a=bk$ と表されるとき, $b$ は $a$ の約数であるといい, $a$ は bの倍数であるという。 $a=bk$ のとき, \(a=(-b) \cdot(-k)\) でもあるから, $b$ が $a$ の約数ならば $-b$ も $a$ の約数である。

n は整数とする。n^2 が 5 の倍数ならば, n は 5 の倍数であることを証明せよ。

Q4 (1) $8 x-3 y=1 \quad \cdots \cdots$ (1)\n$x=2, y=5$ は, (1) の整数解の 1 つである。\nよって $8 \cdot 2-3 \cdot 5=1$\n(1)-(2) から\n\[ 8(x-2)-3(y-5)=0 \]\nすなわち \( \quad 8(x-2)=3(y-5) \)\n8 と 3 は互いに素であるから， $x-2$ は 3 の 倍数である。\nゆえに， $k$ を整数として， $x-2=3 k$ と表 される。\nこれを（3)に代入すると $\quad y-5=8 k$\nしたがって, (1)のすべての整数解は\n\[ x=3 k+2, y=8 k+5 \quad(k \text { は整数 }) \]

A地点から 5 km 離れたB地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。

7 (1) $\\frac{23}{4}=5.75$\n(2) $-\\frac{1}{6}=-0.166 \\cdots \\cdots$\n$\n=-0.1 \\dot{6}\n$\n(3) $\\frac{80}{11}=7.2727 \\cdots \\cdots$\n$\n=7 . \\dot{2} \\overline{7}\n$\n(4) $\\frac{877}{666}=1.3168168 \\cdots \\cdots$\n$\n=1.316 \\dot{8}\n$

34 (1) $\frac{32}{95}$\n(2) $\frac{32}{95}$

116 a, b は整数とする。 a を 7 で割ると 3 余り, b を 7 で割ると 6 余る。次の数を 7 で割った余りを求めよ。 (1) a+b (2) a-b (3) a b (4) a^2+b^2

1000 以下の自然数のうち\n（1） 2 で割り切れるまたは 7 で割り切れる数は何個あるか。\n(2) 2 で割り切れない数は何個あるか。\n(3) 2 でも 7 でも割り切れない数は何個あるか。

集合と必要条件・十分条件問題 4) 集合と必要条件・十分条件 条件 $p, q$ を満たすもの全体の集合を、それぞれ $P, Q$ とすると, 次のことが成り立つ。\n\n$p \Longrightarrow q$ が真」 $\Longleftrightarrow P \subset Q \Leftrightarrow p$ は $q$ の十分条件, $q$ は $p$ の必要条件\n\n$p \Leftrightarrow q$ が真」 $\Longleftrightarrow P=Q \Leftrightarrow p$ と $q$ は互いに同値\n\n次の集合関係が成り立つかどうか判断してください: (a) $\{x \in \mathbb{R} | x^2 \leq 1\} \subset \{x \in \mathbb{R} | |x| \leq 1\}$ (b) $\{x \in \mathbb{R} | x^2 < 1\} = \{x \in \mathbb{R} | |x| < 1\}$

基 本 列題 282 重根号\n2 重根号をはずして, 次の式を簡単にせよ。\n(1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$\n(2) $\sqrt{5-\sqrt{24}}$\n(3) $\sqrt{9+4 \sqrt{2}}$\n(4) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

1，2，3，4，5，6，7 を使ってできる 4 桁の整数すべての和を求めよ。

別解 目の積が 4 の倍数となるのは, 次の 3 つの場合がある。\n[1] 1 つの目が 4 で, 残りの 2 つの目が奇数の場合 4 の目が出るさいころが大，中，小の 3 通りあるから\n(1 \\times 3 \\times 3) \\times 3=27 (通り)\n[2] 2 つの目が偶数で, 残りの 1 つの目が奇数の場合 奇数の目が出るさいころが大，中，小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 3) \\times 3=81 (通り)\n[3] 3 つの目がすべて偶数の場合\n3 \\times 3 \\times 3=27 (通り) \n よって, 和の法則により, 求める場合の数は\n27+81+27=135 (通り)

合同式は, 学習指導要領の範囲外の内容であるが, 整数の問題を処理するときにはとても有用であるので, ここで扱っておく。\n\n以下では, $m$ は正の整数, $a, b, c, d$ は整数とする。\n\n[1] 合同式\n$a-b$ が $m$ の倍数であるとき, $a$ とbは $m$ を法として合同であるといい, \( a \equiv b(\bmod m) \) と表す。このような式を合同式という。 $a$ とがmを法として合同であることは、 $a$ を $m$ で割った余りと, $b$ を $m$ で割った余りが等しいということと同じである。補足 mod は法を意味する英語 modulusを略したものである。\n\n例\n1. $23 = 3 \cdot 7 + 2, 5 = 3 \cdot 1 + 2$ であるから $23 - 5 = 3 \cdot 6$ (3 の倍数)。よって \( 23 \equiv 5(\bmod 3) \)\n2. \( 13 = 7 \cdot 1 + 6, -8 = 7 \cdot (-2) + 6 \) であるから \( 13 - (-8) = 7 \cdot 3 \) (7 の倍数)。よって \( 13 \equiv -8(\bmod 7) \)\n3. $25 = 4 \cdot 6 + 1$ であるから $25 - 1 = 4 \cdot 6$ (4 の倍数)。よって \( 25 \equiv 1(\bmod 4) \) 等しい。\n

整数 $n$ を $0$ 以上の整数または自然数 $n$ として分類するときの $k$ の指定方法について説明してください。

ある学校で, 清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし，ポンプで毎分一定の量を排水するものとする。\n排水を開始してから $t$ 分後におけるプールの水の残量を $V \mathrm{~m}^{3}$ とするとき,表のような結果が得られた。\n\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\n\hline\( t \) & 100 & 300 & 600 \\\n\hline$V$ & 370 & $\square$ \\\n\hline\n\end{array}\)\n（1）表のア $\square$ にあてはまる数を求めよ。\n（2）排水開始前のプールの水の量はイ $\square \mathrm{m}^{3}$ である。また，排水を開始してからちょうどウ $\square$ 分後に完全に水がなくなる。

30 (ア) $\frac{5}{81}$\n(イ) $\frac{10}{81}$\n(ウ) $\frac{17}{27}$

（2）ある 2 桁の自然数 $B$ を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, $B$ を求 めよ。

A の箱の重さは 95 g, B の箱の重さは 100 g である。1 個 12 g の球が 20 個あり，これらを A と B に分けて入れたところ、A の箱の方が重かった。そこで A の箱から B の箱に球を 1 個移したところ，今度は B の方が重くなった。最初, A の箱には何個の球を入れたか。

(4) $Y=a$ となる場合の数は, $Y \leqq a$ の場合の数から $Y \leqq a-1$ の場合の数を引いたものである。 $Y \leqq a$ となる場合の数は, $1,2, \cdots \cdots, a-1, a$ の $a$ 個の中 から重複を許して２個を取り出す順列の数で $a^{2}$ 通り $2 \leqq a \leqq 6$ のとき, $Y \leqq a-1$ となる場合の数は, $1,2, \cdots \cdots$, $a-2, a-1$ の中から重複を許して 2 個を取り出す順列の数 で \( \quad(a-1)^{2} \) 通り よって, $Y=a$ となる場合の数は \( \quad a^{2}-(a-1)^{2} \) (通り) $a=1$ のとき, $Y=1$ となるのは 1 通りであり, このときも 成り立つ。 ゆえに，求める確率は \( \quad \frac{a^{2}-(a-1)^{2}}{36}=\frac{a}{18}-\frac{1}{36} \)

PRACTICE (1) 百の位の数が 3 , 十の位の数が 8 である 4 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数 であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。 （2）ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, B を求めよ。

（2） 3 つの自然数の組 \( (a, b, c) \) は，条件 $a<b<c$ かつ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{1}{3}$ を満たす。このよう な組 \( (a, b, c) の中で、cが最も小さいものをすべて求めよ。

ホタテのデータの 11 年間の平均値が 296,332 t であり, 新たに追加する 2017 年の漁獲量が 235,952 t であるから, 12 年間の平均値は？

次の条件の否定を述べよ。\n(1) $x \geqq y$\n(2) $x \leqq 2$ または $x>4$\n(3) $x \neq 1$ かつ $y \neq 1$

集合 $B$ が 1から100までの偶数全体の集合であるとき、集合 $B$ を表してください。

3 が記されたカードと 7 が記されたカードの 2 種類のカードが, 全部で 30 枚以上ある。また，各カードの数字をすべて合計すると 110 になる。この とき，3のカード，7のカードの枚数をそれぞれ求めよ。

96 (1) a < -6 (2) -6 < a < -2

問題 103 (1) a= \pm 6, \pm 12, \pm 24, \pm 48, \pm 96

(1) x + y + z = 9 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。

360 の正の約数は全部でア $\qquad$個ある。また，その約数の総和はイ $\qquad$ で ある。 [類 芝浦工大]

PRACTICE 38 実数全体を全体集合とし, A={x ∣−1 ≤ x < 5}, B={x ∣−3 < x ≤ 4}, C={x ∣ k−6 < x < k+1} ( k は定数)とする。 (1) 次の集合を求めよ。 (ア) A ∩ B (イ) A ∪ B (ウ) Ā (エ) Ā ∪ B (2) A ⊂ C となる k の値の範囲を求めよ。

EX 1 から 6 までの自然数の各数字を1つずつ記入した 6 枚のカードがある。これらを $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の 3 つの箱に分けて入れる。\n（1）空の箱があってもよいものとすると，分け方は何通りあるか。\n（2） どれか 1 つの箱だけが空になる分け方は何通りあるか。\n（3）空の箱があってはならないとすると，分け方は何通りあるか。

整数解の組の個数 (重複組合せの利用)

$a=1, c=3$ としてbの値のみを変化させる。ここで $\quad D=b^{2}-12$\nグラフが $x$ 軸と接するとき, $D=0$ であるから $\quad b^{2}=12$\nよって $\quad b= \pm 2 \sqrt{3}$

100 図略 (1) y ≤ 0 (2) y ≤ 1/2 (3) 0 ≤ y ≤ 6 (4) 1 ≤ y < 4

5 個の数字 $0,1 , 2 , 3 , 4$ を使って作った，各位の数字がすべて異なる 5 桁の整数について、これらの数を小さいものから順に並べたとする。ただし、同じ数字は 2 度以上使わないものとする。\n(1) 43210 は何番目になるか。\n(2) 90 番目の数は何か。\n(3) 30142 は何番目になるか。\n(4) 70 番目の数は何か。

n 進法の応用

$\sqrt{n^{2}+21}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

次の値を求めなさい。\n(1) $x = \\pm 4$\n(2) $-1 < x < 1$\n(3) $x \\leqq -1$, $1 \\leqq x$

２］２つの目が奇数で，残りの 1 つの目が２または6の場合 2 または6の目が出るさいころが大中小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 2) \\times 3=54 (通り)\n\nよって, 求める場合の数は\n216-(27+54)=216-81=135 （通り）

30 (1) \ x \\leqq-\\frac{7}{3} \ (2) 解はない (3) \ \\frac{5}{3}<x \\leqq \\frac{11}{6} \

$a, b$ を定数とし, $x^{2}-5 x+6 \leqq 0$ (1), $x^{2}+a x+b<0$ ② とする。(1), (2)を同時に満たす $x$ の値はなく, (1) または (2) を満たす $x$ の値の範囲が $2 \leqq x<5$ であるとき, $a=$ ٢ $\square$, $b=$ 亿である。

次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。(1) (x + 2)(y - 1) = -6

PR 合同式を用いて, 次の問いに答えよ。\n(4124 (1) 13^{2017} を5 で割ったときの余りを求めよ。\n（2）すべての正の整数 n に対して， 3^{3n-2}+5^{3n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。

3 個のさいころを投げるとき、出る 3 つの目の積が 4 の倍数となる場合は何通りあるか。

AかF_{1}への道順であり, \\rightarrow 6 \ 個, \\uparrow 3 \ 個の順列で表されるから \\quad \\frac{9!}{6!3!}=84 \ (通り)

49 (1) $\frac{1}{27}$\n(2) $\frac{2}{27}$\n(3) $\frac{17}{81}$

EX 単語 mathematics から任意に 4 文字を取って作られる順列の数を求めよ。

今日は日曜日で, 10 日後は水曜日である。100日後および 100 万日後はそれぞれ何曜日であるかを答えよ。

不等式 $|3 x-6|<0$ を満たす $x$ は存在しないことに関して説明してください。

兄弟が合わせて 52 本の鉛筆を持っている。いま, 兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど $\frac{1}{3}$ をあげてもまだ兄の方が多く，更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。

42 人の生徒のうち, 自転車利用者は 35 人, 電車利用者は 30 人である。このとき, どちらも利用していない生徒は多くてもア $\square$ 人であり, 両方とも利用している生徒は少なくてもイ $\square$ 人はいる。自転車だけ利用している生徒は少なくてもウ $\square$ 人,多くてもエ $\square$ 人までである。

25-10<\frac{1}{2} a-3 b<\frac{1}{2}

U = {x | x は 15 以下の正の整数} を全体集合とする。U の部分集合 A, B, C について, A = {x | x は 3 の倍数, x ∈ U}, C = {2,3,5,7,9,11,13,15} であり, C = (A ∪ B) ∩ (¬(A ∩ B)) が成り立っている。\n(1) 集合 A を要素を書き並べる形で表せ。\n（2）斜線部分が集合 C を表している図として最も適当なものを，次の 0～3 の中から 1 つ選べ。\n(3) A ∩ B = A ∩ ¬C であることに注意して, 集合 A ∩ B を要素を書き並べる形で表せ。\n(4) 集合 B の要素の個数と, Bの要素のうち最大のものを求めよ。

92・４つの数字 $3,4,5,6$ を並べ替えてできる 4 桁の数を $m$ とし， $m$ の各位の 数を逆順に並べてできる 4 桁の数を $n$ とすると,$m+n$ は 99 の倍数となる ことを示せ。

1 次不定方程式の整数解の利用

Q8 x-1 < x < x+1 であるから，3つの数 x-1, x, x+1 が三角形の3辺となる条件は x-1>0 かつ x+1<(x-1)+x よって x>2 (1)のとき，最大の辺 x+1 の対角が鈍角になるための条件は (x+1)^2 > (x-1)^2 + x^2 よって x(x-4)<0 ゆえに 0 < x < 4 (1) かつ (2) から 2 < x < 4

$6400$ の正の約数について\n（1）偶数であるものの個数を求めよ。\n(2) 5 の倍数であるもののすべての和を求めよ。

\ 116 \\quad R=\\frac{14 \\sqrt{3}}{3}, r=\\sqrt{3} \

106 ･11 で割ると 2 余り, 6 で割ると 5 余る 4 桁の自然数のうち最大の数を求めよ。

1 次不定方程式の自然数解

PR (1) HGAKUEN の 7 文字から 6 文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき,GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし，同じ文字は繰り返して用いないものとする。

倍数の判定法 （1）百の位の数が 2 である 3 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。 （2）ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 45 を足すと, 百の位が 8 , 十の位が 2 で あるとき, B を求めよ。

集合 \ \\{a, b, c, d, e\\} \ の要素の個数は 5 個それぞれの要素が部分集合に属するか, 属さないかを決めると，部分集合が 1 つ決まる。よって, 部分集合の個数は \ 2^{5}=32 \ (個)

79 (ア) -1\n(イ) $\frac{3}{2}$

次の 2 つの不等式を同時に満たす x の範囲を求めよ。 (1) x > 0, x <= 3 (2) x < -3, x <= -4 (3) x + 2 >= 0, x - 1 > 0

ある物質を水で溶かした 1%, 5%, 10% の水溶液がある。これら 2 種または 3 種の水溶液を混ぜ合わせて, 7.3% の水溶液を 100g 作る場合, 1% 水溶液は何 g まで使用することが可能か。 また, 10% 水溶液の使用にはどのような制限があるか。

6400 の正の約数について：偶数であるものの個数を求めよ。

68 √3/28

10進法で表された正の整数を8進法に直すと3桁の数 abc(8) となり、7進法に直すと3桁の数 cba_(7) となるとする。この数を10進法で書け。

0 を含む数字の順列

{ }_{n} \mathrm{C}_{r} の性質を示しなさい。

次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。ただし，立体を回転させて一致する塗り方は同 (4) 22 じとみなす。 （1）正四角錐の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法 （2）正三角柱の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法

次の日付を答えなさい：\n100日後は火曜日、100万日後は月曜日

(1) 6 の倍数かつ 96 の約数であるような整数 $a$ を求めよ。

同じ大きさで区別のできない 3 個のさいころを投げて，目の和が 8 の倍数になる場合は何通りあるか。

コンピュータにおける文字の表現では、文字1個に「文字コード」と呼ばれる数値1個を割り当てます。次の表を利用して、文字'A'の2進数表示を答えてください。 | 文字 | A (半角) | z (半角) | 数 (全角) | 学 (全角) | |------|-----------|-----------|-------------|-------------| | 16進数表示 | 41 | 7A | 3F 74 | 3358 | | 2進数表示 | 01000001 | 01111010 | 0011111101110100 | 0011001101011000 |

数字を並べてできる整数

PRACTICE 21\n（1）HGAKUEN の 7 文字から 6文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき, GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし，同じ文字は繰り返して用いないものとする。\n[北海学園大]\n（2）異なる 5 つの文字 A，B，，，D，Eを1つずつ，すべてを使ってできる順列を，辞書式配列法によって順に並べるとき, 63 番目にある順列は何か。

282\n基本例題 140 を含む数字の順列\n$0 , 1 , 2 , 3 , 4$ から異なる 3 個の数字を選んで作る 3 桁の整数は，全部で ア 個ある。そのうち 3 の倍数になるものはイ $\qquad$個である。

実数の平方根の性質を用いて、次の値を求めなさい。 1. √16 2. √(25/9) 3. √(4 * 9)

生徒101人の中でバナナが好きな人が43人、イチゴが好きな人が39人、バナナとイチゴのどちらも好きでない人が51人いた。 （1）バナナとイチゴの両方を好きな人は何人か。 （2）バナナだけ、またはイチゴだけ好きな人は何人か。

3 個のさいころを投げるとき, 出る 3 つの目の積が 4 の倍数となる場合は何通りあるか。

第1章 場合の数——217\n3x \u2265 x+y+z=10 \u3088\u3063\u3066 x \u2265 \\frac{10}{3}\nx \u306f\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089 x \u2265 4\n\u307e\u305f, y \u2265 z \u2265 1 \u304b\u3089 x \u2264 8\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 \\quad 4 \u2265 x \u2265 8\nx=4 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=6\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,2),(3,3) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=5 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=5\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,1),(3,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=6 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=4\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(3,1),(2,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=7 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=3\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(2,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\nx=8 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=2\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(1,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066, 10 \u3092 3 \u3064\u306e\u81ea\u7136\u6570\u306e\u548c\u3068\u3057\u3066\u8868\u3059\u65b9\u6cd5\u306f 2+2+2+1+1=8 (\u901a\u308a)

EX あるデパートの友の会の会費は 2000 円で, 会員はこのデパートの品物を 7 % 引きで買うことが32できる。 1 個 500 円の品物を買うとき, 何個以上買うと, 友の会に入会して買った方が, 入会せ ずに買うより合計金額が安くなるか。ただし，消費税は考えない。

105 (1) x < -1, 5/2 < x (2) -3 ≤ a < -2, 3 < a ≤ 4

次式 \( f(n) \) が整数である条件\n整式 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c(a, b, c \) は実数 \( ) \) を考える。 \( f(-1), f(0) \), \( f(1) がすべて整数ならば，すべての整数 $n$ に対し， \( f(n) は整数であることを 示せ。\n[類 名古屋大]

10進数0.248を, 5進法で表せ。

(2) x + y + z = 7 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。

80 a<1,1<a<\frac{4}{3} のとき 2 個 $a=1, \frac{4}{3}$ のとき 1 個 $a>\frac{4}{3}$ のとき 0 個

N^n の一の位の数

大小 2 個のさいころを投げるとき，目の和が 5 または 6 になる場合は何通りあるか。

100 人のうち, A市に行ったことのある人は 50 人，B市に行ったことのある 人は 13 人，C市に行ったことのある人は 30 人であった。A市とB市に行っ たことのある人は $x$ 人, A市とC市に行ったことのある人は 9 人，B市と C 市に行ったことのある人は 10 人であった。A市とB市とC市に行ったこと のある人は 3 人， $\mathrm{A}$ 市にも $\mathrm{B}$ 市にも $\mathrm{C}$ 市にも行ったことのない人は 28 人であ った。このとき, $x$ の値を求めよ。

EXERCISES の解答\n26 (1) $\{1,1,1\},\{1,2,3\},\{2,2,2\}$, $\{3,3,3\}$\n(2) $\frac{5}{14}$

19・次の計算は誤りである。(1)から )の等号の中で誤っているものをすべてあげ，誤りと判断した理由を述べよ。\n\[ 8=\sqrt{64}=\sqrt{2^{6}}=\sqrt{(-2)^{6}}=\sqrt{\left\{(-2)^{3}\right\}^{2}}=(-2)^{3}=-8 \]

基本事項のページにはどのような内容が含まれますか。

2. 1 \\leqq x<y<z \\leqq 5 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。

(1) 1 次不定方程式 (a x+b y=c の整数解 ( a と b は互いに素な整数 ) まず, 1 組の解 x=p, y=q を見つけることがカギ。簡単に見つからないとき は，互除法の計算 または係数を小さくする方法を利用する。解が見つかれば, a(x-p)=-b(y-q) の形に変形することで, すべての整数解が求められる。

62 a=\\frac{7}{2}, b=4

31 (1) \ a>0 \\ のとき \\( x>\\frac{1}{a} \ \\ a=0 \\ のとき 解はない \\ a<0 \\ のとき \ x<\\frac{1}{a} \ (2) \ a>-1 \\ のとき \\( x>2 \ \\ a=-1 \\ のとき 解はない \\ a<-1 \\ のとき \ x<2 \

(2)\n$22x + 37y = 2$\n(1番目)\n$x = -5, y = 3$ は、整数解の1つである。\n\(22 \cdot(-5) + 37 \cdot 3 = 1\)\nこの解をもとに、両辺に2を掛けると、\n\[22 \cdot(-10) + 37 \cdot 6 = 2\]\n(2番目)\n(1)-(2) から\n\[22(x + 10) + 37(y - 6) = 0\]\nすなわち、\n\[22(x + 10) = -37(y - 6)\]\n22と37は互いに素であるから、$x + 10$ は37の倍数である。\nゆえに、$k$を整数として、\nx + 10 = 37k\]\nこれを代入すると、\n\[y - 6 = -22k\nよって、解は、\n\[x = 37k - 10, y = -22k + 6 (kは整数)\]

PR 7 個の数字 0,1,2,3,4,5,6 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。 (2) 14 整数は何個作れるか。 (1) 3 桁の整数 (2) 3 の倍数 (3) 9 の倍数 (1) 百の位には 0 以外の数字が入るから 6 通り。そのおのおのに対して, 十, 一の位の数字の並べ方は, 残りの 6 個から 2 個取る順列で _{6}P_{2}=6 ⋅ 5=30 (通り) よって, 求める整数の個数は 6 × 30=180 (個) (2) 3 の倍数になるのは, 各位の数字の和が 3 の倍数のとき。

集合の要素の個数, 場合の数 A 102 つの集合を $A, B$ とし, \( n(A)+n(B)=10 \) かつ \( n(A \\cup B)=7 \) とするとき, \( n(\\bar{A} \\cap B)+n(A \\cap \\bar{B}) \) を求めよ。なお, \( n(X) \) は, 集合 $X$ の要素の個数を表すものとする。

（2） $2 \leqq x<a$ を満たす整数がちょうど 3 個（ x=2 , 3 , 4 ）\nとなるためには, \( a の値を変化させながら整数の個数を調べてみると，次のようになる。\n[1] $3<a<4$\n$x=2,3$\n[2] $a=4$\n$x=2,3$\nの 2 個\nの 2 個\n[3] $4<a<5$\n$x=2,3,4$\nの 3 個\nの 3 個\n[4] $a=5$\n$x=2,3,4$\nの 3 個\n[5] $5<a<6$\n$x=2,3,4,5$\nの 4 個\n[1]〜[5] から，適する $a$ の値の範囲は $4<a \leqq 5$ であることがわかる。\n\n注意 $x<a$ に等号がついていないので, $a=4$ のとき $x<4$ であり, $x=4$ は含まれない。例題 33 (2) のように不等式を満たす最大（または最小）の整数を考える場合は、 $a$ がちようどその端点の値をとるときを具体的に考えて，等号の有無をきちんと判断するようにしましょう。

次の方程式の整数解をすべて求めよ。\n(1) $5x + 7y = 1$\n(2) $35x - 29y = 3$

PR連続した 3 つの自然数のうち, 最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 ${ }^{2} 80$\n最小のものを $n$ とすると，他の 2 数は $n+1, n+2$ と表される。連続した自然数。\n条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち $\quad n^{2}-2 n-3=0$ よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n$n$ は自然数であるから $\quad n=3$\nゆえに, 求める 3 数は $3,4,5$\n別解 最小のものを $n-1$ とすると, 他の 2 数は $n, n+1$ と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち $\quad n^{2}-4 n=0$ よって \( n(n-4)=0 \)\n$n-1$ は自然数であるから $\quad n=4$\nゆえに, 求める 3 数は $3,4,5$\n«解は $n=-1,3$\n解の吟味。 $n$ は自然数。\n↔連続した自然数。\n々解は $n=0,4$\n解の吟味。 $n-1$ は自然数。

次の計算の結果を, [ ] 内の記数法で表せ。\n(1) \( 10010_{(2)}+10111_{(2)} \quad \) ［2 進法]\n(2) \( 2422_{(5)}-1431_{(5)} \)\n[ 5 進法]\n(3) \( 10111_{(2)} \times 1011_{(2)} \quad \) [2 進法]\n(4) \( 110001_{(2)} \\div 111_{(2)} \)\n[2 進法]

(5) 2017 年のホタテの漁獲量は, 235,952 (t) であった。このとき, 2006 年から 2017 年までの 12 年間のホタテの漁獲量の平均値は コ \( (\\mathrm{t}) \\) となる。ただし，小数第 1 位を四捨五入するものとする。：コ に当てはまるものを次の（０～３）のうちから１ つ選べ。\n(0) 281300\n(1) 291300\n(2) 301300\n(3) 311300

EX\n100から200までの整数のうち, 次のような整数は何個あるか。\n\n(1) 4で割り切れない整数\n(2) 4で割り切れるが, 5で割り切れない整数\n(3) 4でも5でも割り切れない整数\n\n100から200までの整数全体を全体集合 $U$ とし, そのうち4で割り切れる数全体の集合を $A$, 5で割り切れる数全体の集合を $B$ とする。

n を含む式が自然数となる条件

(2) ２つの部屋を仮に A，B とする。空の部屋があってもよい ものとして，9人を A，B部屋に入れる方法は\n\2^{9}=512 \\text { （通り） }\\n\n一方の部屋が空になる場合を除いて\n\\[512-2=510 \\text { (通り) }\\]\n\n最後に, A, B の区別をなくして, 求める場合の数は\n\\[510 \\div 2=255 \\text { (通り) }\\]

100 から 200 までの整数のうち, 次のような整数は何個あるか。\n(1) 4 で割り切れない整数\n(2) 4 で割り切れるが, 5 で割り切れない整数\n(3) 4 でも 5 でも割り切れない整数

命題「nは整数とする。n^2が3の倍数ならば,nは3の倍数である」は真である。これを利用して,√3が無理数であることを証明せよ。

(4) の \ \\div 2 \ ！の意味は？

(2) $a, b$ は整数とする。次のことを証明せよ。 (ア) $a, b$ が 8 の倍数ならば, $a-b, 5 a+4 b$ は 8 の倍数である。 (イ) $a-3 b, b$ が 7 の倍数ならば, $a$ は 7 の倍数である。

x は実数, a は正の定数とする。2 < x < 3 が a < x < 2a の十分条件となるような a の値の範囲を求めよ。

(2) $x, y, z$ の 3 種類の文字から作られる 8 次の項は何通りできるか。

3 実 数\nA 17 ・ $x$ が次の値をとるとき, $|x+2|+|x-2|$ の値を求めよ。\n(1) $x=3$\n(2) $x=1$\n(3) $x=-4$\n(4) $x=\sqrt{2}$

右の図のようなマス目を考える。どの行（横の並び）にも，どの列（縦の並び）にも同じ数が現れないように 1 から 4 までの自然数を入れる場合の数を求めよ。

整数の個数 (3つの集合)

10人を1列に並べるとき、特定の3人が隣り合う並べ方を求めなさい。

(2) $17^{18}$ を 5 進法で表すとき, 一の位の数字を求めよ。

集合の要素の個数の最大と最小

集合 $A$ が \{2, 4, 6, 8\} であるとき、集合 $A$ に含まれる要素を列挙してください。

119 (1) 7^50 を 6 で割った余りを求めよ。 (2) 3^30 を 8 で割った余りを求めよ。 (3) 5^50 を 13 で割った余りを求めよ。

A 8 ・ 1 から 3 までの各数字を 1 つずつ記入した赤色のボール 3 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した青色のボール 2 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した黒色のボール 2 個がある。これら 7 個のボールを横１列に並べる作業を行う。\n(1) 7 個のボールの並べ方は全部で $\square$ 通りある。\n(2) 3 個の赤色のボールが連続して並ぶような並べ方は $\square$ 通りある。\n(3) ２の数字が書かれたボールが両端にあるような並べ方は $\square$ 通りある。\n(4) 両端のボールの色が異なるような並べ方は $\qquad$通りある。

[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。 (1) \left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right],\left[-\frac{1}{2}\right], \frac{[-1]}{2} の値を求めよ。 (2) 関数 y=2[x] と y=[2 x] のグラフを -1 \leqq x \leqq 2 の範囲でかけ。

33 (ア) $\frac{1}{3}$\n(1) $\frac{4}{15}$

48 (1) $\frac{5}{16}$\n(2) $\frac{3}{16}$

EX $0,1,2,3,4$ の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り、小さい順に並べる。\n$1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22, \cdots \cdots$\n（1） 2001 は何番目の数であるか。\n（2） 2001 番目の数を求めよ。

58\n(1) \$\\left[\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right]=0,\\left[-\\frac{1}{2}\\right]=-1$,\n\ \\frac{[-1]}{2}=-\\frac{1}{2} \\n（2）略

1 から 8 までの整数の中から異なる 3 つを選ぶとき, 次のような選び方は, それぞれ何通りあるか。

35 (1) \ x=1 \ (2) \ x=-\\frac{1}{4}, \\frac{5}{2} \

545\n66\n(1) $x=\frac{2}{3},-\frac{1}{4}$\n(2) $x=\frac{-3 \pm \sqrt{89}}{2}$\n(3) $x=2 \sqrt{2}, \quad-\sqrt{2}$\n(4) $x=\frac{11 \pm \sqrt{17}}{4}$

余りによる整数の分類

次の方程式の整数解をすべて求めよ。\n(1) $3x - 7y = 1$\n(2) $22x + 37y = 2$

4 人が 1 回じゃんけんをするとき，手の出し方は全部で何通りあるか。

2つの数 $a, b$ の値の範囲が $-2 \leqq a \leqq 1,0<b<3$ のとき, $\frac{1}{2} a-3 b$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1 次不定方程式の整数解(1)

次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。 (1) (x+2)(y-1)=-6 (2) 2 x y-2 x-5 y=0

次の文に集合の記号を適切に入れよ。 (1) A ______ {0} (2) √28 ______ B (3) A = {0} ______ A (4) ∅ = A ______ B

（1）集合 \ A \ を求めよ。\n(2) 集合 \ \\bar{B} \\cap \\bar{C} \ を求めよ。

次の方程式の整数解をすべて求めよ。また，（2）の整数解のうち， $x$ が最小の自然数であるときの $x, y$ の組を求めよ。\n(1) $8 x-3 y=1$\n(2) $34 x+23 y=2$

[1] 全体集合 $U$ の部分集合 $A$ に対して, $A$ に属さない $U$ の要素全体の集合を求めよ。

47 (1) a=1, b=2 (2) a=-1, b=5

8 (1) (ア) $|-2|=2$\n(イ) $|-7+3|=|-4|=4$\n(ウ) $|-4|-|6|=4-6=-2$\n(I) $3<\\pi<4$ であるから $\\quad \\pi-5<0$ よって \( \\quad|\\pi-5|=-(\\pi-5)=-\\pi+5 \)\n(2) (ア) $|8-3|=|5|=5$\n(イ) \( |5-(-2)|=|5+2|=|7|=7 \)\n(ウ) \( |-4-(-1)|=|-4+1|=|-3|=3 \)

次の（1）（6）の文中の空欄に当てはまるものを，下の選択肢（）のうちから１つ選べ。ただし, $x, y$ はともに実数とする。\n(1) $\ulcorner x>0 」$ は $「 x \geqq 0 」$ のための $\square$\n(2) \left\ulcorner x=0\right. 」は \left\ulcorner x^{2}+y^{2}=0 」\right. のための \( \square 。\n(3) $\ulcorner x y=0 」$ は $「 x=0$ かつ y=0 」 のための \( \square 。\n(4) \left\ulcorner x^{2}+y^{2}=1 」\right. は \( 「 x+y=0 」 のための $\square$。\n(5) 「すべての $x$ にいて $x y=0$ である」は「 $y=0$ のための $\square$。\n(6) 「( \( x y)^{2} \) が無理数である」は「 $x$ または $y$ が無理数である」のための $\square$。\n[選択肢] (1) 必要十分条件である (2) 十分条件であるが必要条件ではない (3) 必要条件であるが十分条件ではない (4) 必要条件でも十分条件でもない