AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
基本的な数論 - 整数、分数、小数
Q.01
EX を自然数とする。 が 3 の倍数であるとき, または は 3 の倍数であることを証明せよ。 (3101\n与えられた命題の対偶は、「a, bがともに3の倍数でないならば, は 3 の倍数でない」 を 0 以上の整数とすると, がともに 3 の倍数でないの は,次の のいずれかの場合である。\n[1] のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+1)=3(3 k l+k+l)+1\]\n[2] のとき\n\[a b=(3 k+1)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+l)+2\]\n[3] のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+1)=3(3 k l+k+2 l)+2\]\n[4] のとき\n\[a b=(3 k+2)(3 l+2)=3(3 k l+2 k+2 l+1)+1\]\nよって, [1] [4] のいずれの場合も は 3 の倍数でない。 したがって, 対偶が真であるから,もとの命題は真である。\n直接証明するのは難し いので, 対偶が真である ことを証明する。
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PRACTICE \n は整数とする。 を 5 で割ると 2 余り, bを 5 で割ると 3 余る。次の数を 5 で割 った余りを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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36 (1) \ \\frac{4}{5}<x<4 \ (2) \ x \\leqq-2, \\quad 1 \\leqq x \ (3) \ 1<x<4 \
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イ) のうち和が 3 の倍数になる 3 数の選び方は [1] \nの 2 通り\n[2] の 2 通り\n[1] 百の位は 0 でないから,各組について,3桁の整数は 2 \times 2!=4
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次の問題について、得点の期待値の算出方法を解説し、その期待値を求めよ。
(2)
\[
\begin{aligned}
P\left(W_{2}\right) & =P\left(W_{1}\right) P_{W_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(R_{1}\right) P_{R_{1}}\left(W_{2}\right)+P\left(G_{1}\right) P_{G_{1}}\left(W_{2}\right) \\
& =\frac{10}{40} \times \frac{1}{3}+\frac{10}{40} \times \frac{2}{9}+\frac{20}{40} \times \frac{2}{9} \\
& =\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
P\left(R_{2}\right) & =P\left(W_{2}\right)=\frac{1}{4} \\
P\left(G_{2}\right) & =1-P\left(W_{2}\right)-P\left(R_{2}\right) \\
& =1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}
\end{aligned}
\]
よって, 求める得点の期待値は
\begin{tabular}{c||ccc|c}
\hline 得点 & 1 & 2 & 3 & 計 \\
\hline 確率 & & & & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\( \triangleleft(1) \) を利用。
白球と赤球の数は等しい。
余事象を利用して求め られる。
EX は を满たす自然数とする。袋の中に赤球 個と白球 個,あわせて 個の球 ③2 が入っている。この袋の中から 個の球を無作為に取り出し, そのうち赤球が 個のとき, 得点 kが得られる。
(1) のとき, 得点が 1 である確率を求めよ。
(2) とし, は 6 以上の自然数とするとき, 得点の期待值が 以下となる最小の の值 を求めよ。
[宮崎大]
(1)赤球 2 個と白球 3 個が入っている袋の中から 2 個の球を無作為に取り出し,そのうち赤球が1個である確率を求めれば よい。
よって
(2) のとき, 赤球 3 個と白球 個が入ってい る袋の中から 3 個の球を無作為に取り出すことを考える。
赤球が 1 個である場合の数は
通り
赤球が 2 個である場合の数は
通り
赤球が 3 個である場合の数は 通り
よって, 得点の期待値は
\[
\begin{aligned}
& 1 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{1} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{2}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+2 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{2} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{1}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}}+3 \times \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{3} \times{ }_{n-3} \mathrm{C}_{0}}{{ }_{n} \mathrm{C}_{3}} \\
= & \frac{6}{n(n-1)(n-2)}\left\{\frac{3}{2}(n-3)(n-4)+6(n-3)+3\right\} \\
= & \frac{6}{n(n-1)(n-2)} \times \frac{3}{2}\left(n^{2}-3 n+2\right)=\frac{9}{n}
\end{aligned}
\]
得点の期待値が 以下であるとき
これを解いて
したがって, 求める最小の の値は
18
不等式の両辺に (自然数)をかけても不等号 の向きは変わらない。
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4. x+y+z=5, x \\geqq 0, y \\geqq 0, z \\geqq 0 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。
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数学 I\nD =a^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(-a^{2}+a-1\\right)=5 a^{2}-4 a+4 \\\n=5\\left(a-\\frac{2}{5}\\right)^{2}+\\frac{16}{5}>0\n\nよって, D>0 は常に成り立つ。\n-3<-\frac{a}{2}<3 から -6<a<6\nf(-3)=-a^{2}-2 a+8 f(-3)>0 から\na^{2}+2 a-8<0\nこれを解いて -4<a<2\nf(3)=-a^{2}+4 a+8 f(3)>0 から\na^{2}-4 a-8<0\na^{2}-4 a-8=0 の解は a=2 \\pm 2 \\sqrt{3}\nよって 2-2 \\sqrt{3}<x<2+2 \\sqrt{3}\n\n(a+4)(a-2)<0\nnan0 \\lessgtr a= -(-2)\\pm \\sqrt{(-2)^{2}-1 \\cdot(-8)}\n\n(1), (2), (3) の共通範囲を求めて\n2-\\sqrt{3}<a<2
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連続する 3 つの整数 m-1, m, m+1 の積 (m-1) m(m+1) は6の倍数である。 同様に, (n-1) n(n+1) も 6 の倍数である。 よって, m^{3} n-m n^{3} は6の倍数であることを証明せよ。
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ガウス記号に関する問題を解きましょう。\n\n1. 実数 に対して、ガウス記号 を用いて , , および を求めてください。\n\n2. 実数 に対して を整数とするとき、 の条件下で、 であることを証明してください。\n\n3. 基本例題 27 の の整数部分と小数部分を求めてください。\n\n4. 関数 のグラフを の範囲で描いてください。
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1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 の 8 個の数字を使って 8 桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。
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226 一一 数学 \n(5) とおくと\n\nこのとき, から \nよって, (4) と同様に考えると, 2 個の と 2 個の|を 1 列 に並べる順列の総数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解1 ○を 5 個並べる。\n条件を満たす整数の組 \( (x, y, z) \) の数は, ○と の間 4 か 所から 2 つを選んで仕切り|を入れる方法の数と等しいから\n\[{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\n\n別解2 までは上と同様。)\n\[{ }_{3} \mathrm{H}_{2}={ }_{3+2-1} \mathrm{C}_{2}={ }_{4} \mathrm{C}_{2}=6 \text { (組) }\]\nは \( (x, y, z)=(1,3,1) \) を表す。
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18 を 3 つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。樹形図を利用して求めよ。 ただし,加える順序は問わないものとする。
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211^{9} x, y, z を整数とする。
(1) 1 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 5 , 1 ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(2) 1 ≤ x < y < z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(3) 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 5 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部で [ ] 組ある。
(4) x + y + z = 5, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ] 組ある。
(5) x + y + z = 5, x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 を満たす整数の組 (x, y, z) は全部 で [ ]組ある。
[大阪経大]
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基本列題 39 集合の要素の決定
整数を要素とする 2 つの集合 を , とする。また, とする。
(1)定数 の値を求めよ。
(2) を求めよ。
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40整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。 「 が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」
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AさんとBさんはアルバイトでともに週4日勤務している。このとき,AさんとBさんがともに勤務する日が毎週少なくとも1日あることを示せ。
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基本例題 25 四角形の個数と組合せ 右の図のように, 5 本の平行線と, それらに直交する 5 本の平行線が,それぞれ両方とも同じ間隔 \(a(a>0)\) で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲まれる図形について,次の問いに答えよ。 (1)長方形(正方形を含む)は全部で何個あるか。 (2)正方形は全部で何個あるか。
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(4) とする。 と の分銅を,他の質量の分銅の組み合わせに変える と,分銅をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の 分銅の質量の組み合わせを,次の(0)~(3)のうちから2つ選べ。ただし,2種類の分銅 は,皿 , 皿 Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また,解答 の順序は問わない。 \nツ , テ\n(0) と \n(1) と \n(2) と \n(3) と
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PR\n(2)116\n は整数とする。 を5で割ると2余り, を5で割ると3余る。次の数を5で割った余りを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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(1)aは自然数とする。a+5は4の倍数であり,a+3は6の倍数であるとき, a+9は12の倍数であることを証明せよ。
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p, q, r (p<q<r) を連続する 3 つの奇数とする。このとき, pqr + pq + qr + rp + p + q + r + 1 は 48 で割り切れることを示せ。
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EX に関する方程式 \( k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0 \) が実数解をもつような負でない整数 を求めよ。
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[2] x < ア の場合の (a) の部分では, [1] x≥アの場合と同様にして, (2)を满たす x の値の範囲を求めている。その x の値の範囲を (4) とするとき, * に当てはまる内容として適切なものを,次の0~ろのうちから2つ選べ。
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7つの数字 1, 2,3,4,5,6,7から同じ数字を繰り返し使わないで, 整数を作るとき, 次の問 (4) いに答えよ。\n(1) 5 桁の偶数は何通りできるか。
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PRACTICE \n7 個の数字 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。次のような整数は何個作れるか。\n(1) 3 桁の整数\n(2) 3 の倍数\n(3) 9 の倍数
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PR 2 次方程式 \ x^{2}+a x-a^{2}+a-1=0 \ が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような定数 \ a \ の値の範囲を求めよ。\n\\( f(x)=x^{2}+a x-a^{2}+a-1 \\) とすると, \\( y=f(x) \\) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 \ x=-\\frac{a}{2} \ である。\n方程式 \\( f(x)=0 \\) が \ -3 < x < 3 \ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつための条件は, \\( y=f(x) \\) のグラフが \ x \ 軸の \ -3 < x < 3 \ の部分と異なる 2 点で交わることである。よって, \\( f(x)=0 \\) の判別式を \ D \ とすると, 次のことが同時に成り立つ。\n[1] \ D > 0 \\n[2] 軸が \ -3 < x < 3 \ の範囲にある\n[3] \\( f(-3)>0 \\)\n[4] \\( f(3)>0 \\)
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(2)全体集合 U={x | 1 ≦ x ≦ 10, x は整数} の部分集合 A, B について, A \cap B = {3,6,8}, \bar{A} \cap \bar{B} = {4,5,7}, A \cap \bar{B} = {1,10} とする。 このとき, 集合 A, B, A \cup B を求めよ。
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116^{3} (1)自然数のうち,10 進法で表しても 5 進法で表しても 3 桁になるものは 全部で何個あるか。\n(2)自然数のうち,10 進法で表しても 5 進法で表しても,ともに 4 桁にな るものは存在しないことを示せ。\n[類 東京女子大]
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A 地点から 5 km 離れた B 地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B 地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。
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R-4.0 整数部分・小数部分の問題
例題 27 で整数部分と小数部分を次のように求めたら,不正解と言われました。どこが間違いなのでしょうか?
不正解とされた解答
であるから
よって, 整数部分は , 小数部分は である。
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松男, 竹男, 梅男と, 3 人の女子: 雪美, 月美, 花美の計 6 人全員が手 をつないで輪を作る。このとき,次のような輪の作り方は何通りあるか。\n(1) 松男と雪美が手をつなぐ。\n(2) 男女が交互に手をつなぐ。\n(3) 男子,女子ともに 3 人続けて手をつなぐ。
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131\n の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り, 小さい順に並 べる。\n\n(1)2001 は何番目の数であるか。\n(2)2001 番目の数を求めよ。\n131\n
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20 (1) (ア) \ \\frac{7}{9} \ (イ) \ \\frac{41}{11} \ (ウ) \ \\frac{45}{37} \ (2) 5
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数学A\nR&W 質量 M(\\mathrm{~g}) の物体Xの質量を,天秤ばかりと分銅を用いて量る。(問題に) 天秤ばかりは支点の両側に皿 A,Bが取り付けられており,両側挑䄀 の皿にのせたものの質量が等しいときに釣り合うように作られて3 いる。3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を数多く用意したとし, それぞれ何個でものせることができるものとする。\n\n(1) 血 Aに物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 1 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 7 個をのせると, 天秤ばかりは釣り合った。このとき\n\nM+14 \\times \\square ア=3 \\times \\square\n\nが成り立ち, M=\\square である。\nア~ウに当てはまる数を答えよ。\n\n(2)皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 x 個を,皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 y 個をのせると,天秤ばかりが釣り合うとする。このとき\n\\text { -エオ } x+\\square \\text { カ } y=M\n\nが成り立つ。 M=1 のとき, 皿 \\mathrm{A} に物体 \\mathrm{X} と 14 \\mathrm{~g} の分銅 キ 個をのせ, 皿 Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅 5 個をのせると釣り合う。よって,Mがどのような自然数であっても,皿Aに物体Xと 14 \\mathrm{~g} の分銅ク個をのせ,皿Bに 3 \\mathrm{~g} の分銅口ケ個をのせることで釣り合うことになる。\nエオ 〜キに当てはまる数を答えよ。また, \\square ケ (0)〜 (5)うちから 1 つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n(0) M-1\n(1) M\n(2) M+1\n(3) M+4\n(4) 2 M-1\n(5) 5 M\n\n(3) M=20 のとき, 方程式 (1)のすべての整数解は, 整数 k を用いて x=\\square k+ サシ, y= スセ k+100 と表すことができる。したがって, 14 \\mathrm{~g} の分銅の個数が最小となるのは, x=\\square ソ, y=\\square タチ のときである。 コ ~タチに当てはまる数を答えよ。\n\n(4) M=\\square とする。 3 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g} の分銅を, 他の質量の分銅の組み合わせに変えると,分銅 をどのようにのせても天秤ばかりが釣り合わない場合がある。この場合の分銅の質量の組み合わせを,次の0~3のうちから2つ選べ。ただし,2種類の分銅は,皿 A,皿Bのいずれにも何個でものせることができるものとする。また,解答の順序は問わない。\n(0) 3 \\mathrm{~g} と 10 \\mathrm{~g}\n(1) 3 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}\n(2) 10 \\mathrm{~g} と 14 \\mathrm{~g}\n(3) 14 \\mathrm{~g} と 27 \\mathrm{~g}
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EX 整数 に関する次の命題の逆と対偶を述べ,それらの真偽を述べよ。 240 \left\ulcorner a^{2}+b^{2}+c^{2}\right. が奇数ならば のうち少なくとも 1 つは奇数である」 逆:「 のうち少なくとも 1 つが奇数ならば 命題 \left.\Gamma p \Longrightarrow q\right\lrcorner の は奇数である」逆は 偽 (反例: ) 対偶:「 がすべて偶数ならば は偶数である」 対偶は 真 (証明) がすべて偶数ならば,整数 を用いて と表され \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=(2 k)^{2}+(2 l)^{2}+(2 m)^{2}=2\left(2 k^{2}+2 l^{2}+2 m^{2}\right)
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103 a > 2 のとき x < a+1, 2a-1 < x
a=2 のとき 3 以外のすべての実数
a < 2 のとき x < 2a-1, a+1 < x
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積の法則 (3つ以上の事柄についても,同じように成り立つ。) 事柄Aの起こり方が 通りあり, そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が 通り あれば,Aが起こり,そしてBが起こる場合は, 通りある。
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[東京女子大] HINT 3 で割り切れる整数全体の集合を D として C ⊂ D かつ C ⊃ D を示す。3 で割り切れる整数全体の集合を D とする。 (4)36 C={x+y | x ∈ A, y ∈ B} とするとき, C は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。
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順列・円順列・重複順列
順列の数
_{n} P_{r} =n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) =\frac{n!}{(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n)
特に _{n} P_{n}=n! 円順列の数 (n-1)!=\frac{nP_{n}}{n}
じゅず順列の数 \frac{(n-1)!}{2}=\frac{円順列}{2}
重複順列の数 n^{r}(r>n であってもよい)
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次の条件を満たす の範囲を図から読み取りなさい。\n(1) 右の図より \n(2) 右の図より \n(3) から右の図より
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数学A\n㓢解 各位の 4 つの数字に, 0 から 5 までの数字を用いて 4 桁以下の整数を作ると\n\\[6^{4}=1296 \\text { (個) }\\]\n\nそのうち, 0000 の場合を除くと, 求める正の整数は全部で \ 6^{4}-1=1295 \ (個)
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集合の要素の個数,場合の数 基 本 事 項 1) 集合の要素の個数 個数定理 を有限集合(要素の個数が有限である集合)とする。また, \( n(P) \) は 有限集合 の要素の個数を表す。 (1) 和集合の要素の個数 \( 1 \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \\cap B) \\) 2 A \\cap B=\varnothing \ のとき \( \\quad n(A \\cup B)=n(A)+n(B) \\) (2) 補集合の要素の個数 \( n(\\bar{A})=n(U)-n(A) \\) ただし, U \ は全体集合 主意 本書では, 上の (1), (2)を個数定理とよぶ。集合については数学 I p.68, 69 も参照。
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(3) のとき,方程式 (1)のすべての整数解は,整数 を用いてと表すことができる。したがって, の分銅の個数が最小となるのは,\n\nのときである。コ~タチに当てはまる数を答えよ。
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平方根を筆算で求める方法を開平法という。\n例えば, を計算する手順は, 以下の通りである。\n(1) まず、小数点を基準に 2 桁ずつ区切る。\n(2) 最上位の 6 に注目し,平方した数が 6 以下になる最大の整数 2 を立てる。 左側に 2 を縦に重ねて書き, を 6 の下に書く。\n(3) を書く。\n から 5 を立て, 4 の右に 5 を縦に重ねて書く。\nまた, を 228 の下に書く。\n(4) を書く。\n は の方が大きいから 0 を立 て,50の右に0を縦に重ねて書く。\n(5) 同様にして 7 を立てて計算する。\nすると,右側は 0 となって計算が終わる。\nこうして得られた 25.07 が の値 である。
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次の不等式を解け。
(1) |3x-4| < 2x
(2) 3|x+1| >= x+5
(3) 3|x-3| + |x| < 7
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n が正の整数であるとする。次のことを証明せよ。
(1) n^2 + 1 が 5 の倍数であることと, n を 5 で割ったときの余りが 2 または 3 であることは同値である。
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EX 2 個のさいころを同時に投げて, 出る 2 つの目の数のうち, 小さい方(両者が等しいときはその ③5 数)を X, 大きい方(両者が等しいときはその数)を Y とする。定数 a が 1 から 6 までのある整数とするとき, 次のようになる確率を求めよ。
(1) X>a
(2) X≤a
(3) X=a
[類 関西大]
(4) Y=a
2 個のさいころを同時に投げるとき,目の出方は 6^{2} 通り
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数学A\n_{10}C_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=210 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{105}{512}\n(イ) 点Pの座標が 19 以下であるとき\n5x-20 \leqq 19\nこれを解くと x \leqq \frac{39}{5}\nx は 0 \leqq x \leqq 10 を満たす整数であるから, (1) を満たす x は\nx=0,1,2,3,4,5,6,7\nx=8,9,10 のいずれかとなる場合の確率は\n_{10}\mathrm{C}_{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+_{10}\mathrm{C}_{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= \left({ }_{10} \mathrm{C}_{2}+_{10} \mathrm{C}_{1}+1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\n= 56 \cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{7}{128}\nしたがって, 求める確率は 1-\frac{7}{128}=\frac{121}{128} 反復試行の確率。直接求めるのは計算が 大変。余事象の確率を利用する。\n_{n} \mathrm{C}_{r}=_{n} \mathrm{C}_{n-r}
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数学A\nPR ある高校の生徒 140 人を対象に, 国語, 数学, 英語の 3 教科のそれぞれについて, 得意か否かを (3)10調査した。その結果,国語が得意な人は 86 人,数学が得意な人は 40 人いた。そして,国語と数学がともに得意な人は 18 人,国語と英語がともに得意な人は 15 人,国語または英語が得意な人 は 101 人,数学または英語が得意な人は 55 人いた。また,どの教科についても得意でない人は 20 人いた。このとき, 3 教科のすべてが得意な人はア 人であり,3 教科中 1 教科のみ得意な 人はイ 人である。\n[名城大]\n全体集合を とし, 国語, 数学, 英語が 得意な人全体の集合をそれぞれ とする。右の図のように, 要素の個数 , を定めると
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65 (1) x= ± 1 で最大値 5, 最小値はない
(2) x= 3/4 で最大値 71/64, 最小値はない
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組合せ, 同じものを含む順列
組合せの数
_{n} C_{r}=\frac{{}_{n} P_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} (0 \leqq r \leqq n)
特に _{n} C_{1}=n, _{n} C_{n}=1, _{n} C_{0}=1
_{n} C_{r} の性質
_{n} C_{r}={}_{n} C_{n-r} (0 \leqq r \leqq n)
_{n} C_{r}={}_{n-1} C_{r-1}+_{n-1} C_{r} (1 \leqq r \leqq n-1, n \geqq 2)
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(2) は 5 以上の整数とする。10 進法で \( (n+2)^{2} \) と表される数を 進法で 表せ。\n[(2) 大阪経大]
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Join our DiscordQ.96
(1)1,2,3の 3 種類の数字から重複を許して 3 つ選ぶ。選ばれた数の和が 3 の倍数となる組合せをすべて求めよ。\n(2) 1 の数字を書いたカードを 3 枚,2 2 数字を書いたカードを 3 枚, 3 の数字を書いたカード を 3 枚,計 9 枚用意する。この中から無作為に,一度に 3 枚のカードを選んだとき,カードに 書かれた数の和が 3 の倍数となる確率を求めよ。
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Join our DiscordQ.97
コンピュータはオン/オフの2つの状態を表すスイッチから成り立っています。オンを1、オフを0と考えることで2進数が構造の基本となります。ビットは情報の量を表す最小単位です。nビットでは2^n通りの情報を表すことができます。
次に、4桁ごとに2進数を区切って16進数に変換することでデータの読みやすさが向上します。例えば、12ビットの110110110101を考えます。この2進数を4桁ずつ区切って16進数に変換してください。
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組み合わせの計算を行う
(1) 7C2の計算
(2) 8C5の計算
(3) 5C0の計算
(4) nC2の一般式
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次の実数の部分集合に関する問いに答えよ。\n[(1) 流通科学大]\n35 (1) 2 つの集合 につて, であるように, の値を定め, を求めよ。
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Join our DiscordQ.05
(3) 53 でも 8 でも割り切れない整数」の集合 A ∩ B は, ド・モルガンの法則 A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B を利用して, 集合の個数を求めよう。補集合の個数は, 全体集合の個数から引 いて求める。
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Join our DiscordQ.06
24 (1) \ 2 \\sqrt{6} \ (2) \ \\frac{2 \\sqrt{3}+3 \\sqrt{2}-\\sqrt{30}}{12} \
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Join our DiscordQ.07
10 円硬貨 4 枚,100 円硬貨 6 枚,500 円硬貨 2 枚のとき、合計の金額が何通りできるか。ただし、全部 0 枚の場合は支払うことができない。
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Join our DiscordQ.08
集合 A = \\{8, 12\\}, B = \\{4n \\mid 1 \\leqq n \\leqq 6, n \ は整数 \ \\} \ について (1) 集合 \ B \ を,要素を書き並べて表せ。
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Join our DiscordQ.09
2 つの整数 にいて, ある整数 を用いて と表されるとき, は の約数であるといい, は bの倍数であるという。 のとき, \(a=(-b) \cdot(-k)\) でもあるから, が の約数ならば も の約数である。
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Join our DiscordQ.11
Q4 (1) (1)\n は, (1) の整数解の 1 つである。\nよって \n(1)-(2) から\n\[ 8(x-2)-3(y-5)=0 \]\nすなわち \( \quad 8(x-2)=3(y-5) \)\n8 と 3 は互いに素であるから, は 3 の 倍数である。\nゆえに, を整数として, と表 される。\nこれを(3)に代入すると \nしたがって, (1)のすべての整数解は\n\[ x=3 k+2, y=8 k+5 \quad(k \text { は整数 }) \]
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Join our DiscordQ.12
A地点から 5 km 離れたB地点まで行くのに, 初めは毎時 5 km の速さで歩き, 途中から毎時 10 km の速さで走ることにする。B地点に着くまでの所要時間を 42 分以下にしたいとき,毎時 10 km の速さで走る距離を何 km 以上にすればよいか。
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Join our DiscordQ.15
116 a, b は整数とする。 a を 7 で割ると 3 余り, b を 7 で割ると 6 余る。次の数を 7 で割った余りを求めよ。
(1) a+b
(2) a-b
(3) a b
(4) a^2+b^2
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Join our DiscordQ.16
1000 以下の自然数のうち\n(1) 2 で割り切れるまたは 7 で割り切れる数は何個あるか。\n(2) 2 で割り切れない数は何個あるか。\n(3) 2 でも 7 でも割り切れない数は何個あるか。
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Join our DiscordQ.17
集合と必要条件・十分条件問題 4) 集合と必要条件・十分条件 条件 を満たすもの全体の集合を、それぞれ とすると, 次のことが成り立つ。\n\n が真」 は の十分条件, は の必要条件\n\n が真」 と は互いに同値\n\n次の集合関係が成り立つかどうか判断してください: (a) (b)
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Join our DiscordQ.18
基 本 列題 282 重根号\n2 重根号をはずして, 次の式を簡単にせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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Join our DiscordQ.20
別解 目の積が 4 の倍数となるのは, 次の 3 つの場合がある。\n[1] 1 つの目が 4 で, 残りの 2 つの目が奇数の場合 4 の目が出るさいころが大,中,小の 3 通りあるから\n(1 \\times 3 \\times 3) \\times 3=27 (通り)\n[2] 2 つの目が偶数で, 残りの 1 つの目が奇数の場合 奇数の目が出るさいころが大,中,小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 3) \\times 3=81 (通り)\n[3] 3 つの目がすべて偶数の場合\n3 \\times 3 \\times 3=27 (通り) \n よって, 和の法則により, 求める場合の数は\n27+81+27=135 (通り)
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Join our DiscordQ.21
合同式は, 学習指導要領の範囲外の内容であるが, 整数の問題を処理するときにはとても有用であるので, ここで扱っておく。\n\n以下では, は正の整数, は整数とする。\n\n[1] 合同式\n が の倍数であるとき, とbは を法として合同であるといい, \( a \equiv b(\bmod m) \) と表す。このような式を合同式という。 とがmを法として合同であることは、 を で割った余りと, を で割った余りが等しいということと同じである。補足 mod は法を意味する英語 modulusを略したものである。\n\n例\n1. であるから (3 の倍数)。よって \( 23 \equiv 5(\bmod 3) \)\n2. \( 13 = 7 \cdot 1 + 6, -8 = 7 \cdot (-2) + 6 \) であるから \( 13 - (-8) = 7 \cdot 3 \) (7 の倍数)。よって \( 13 \equiv -8(\bmod 7) \)\n3. であるから (4 の倍数)。よって \( 25 \equiv 1(\bmod 4) \) 等しい。\n
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Join our DiscordQ.23
ある学校で, 清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし,ポンプで毎分一定の量を排水するものとする。\n排水を開始してから 分後におけるプールの水の残量を とするとき,表のような結果が得られた。\n\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\n\hline\( t \) & 100 & 300 & 600 \\\n\hline & 370 & \\\n\hline\n\end{array}\)\n(1)表のア にあてはまる数を求めよ。\n(2)排水開始前のプールの水の量はイ である。また,排水を開始してからちょうどウ 分後に完全に水がなくなる。
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Join our DiscordQ.25
(2)ある 2 桁の自然数 を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, を求 めよ。
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Join our DiscordQ.26
A の箱の重さは 95 g, B の箱の重さは 100 g である。1 個 12 g の球が 20 個あり,これらを A と B に分けて入れたところ、A の箱の方が重かった。そこで A の箱から B の箱に球を 1 個移したところ,今度は B の方が重くなった。最初, A の箱には何個の球を入れたか。
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Join our DiscordQ.27
(4) となる場合の数は, の場合の数から の場合の数を引いたものである。 となる場合の数は, の 個の中 から重複を許して2個を取り出す順列の数で 通り のとき, となる場合の数は, , の中から重複を許して 2 個を取り出す順列の数 で \( \quad(a-1)^{2} \) 通り よって, となる場合の数は \( \quad a^{2}-(a-1)^{2} \) (通り) のとき, となるのは 1 通りであり, このときも 成り立つ。 ゆえに,求める確率は \( \quad \frac{a^{2}-(a-1)^{2}}{36}=\frac{a}{18}-\frac{1}{36} \)
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Join our DiscordQ.28
PRACTICE
(1) 百の位の数が 3 , 十の位の数が 8 である 4 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数 であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。
(2)ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 72 を足すと, 百の位が 6 , 一の位が 5 であるとき, B を求めよ。
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Join our DiscordQ.29
(2) 3 つの自然数の組 \( (a, b, c) \) は,条件 かつ を満たす。このよう な組 \( (a, b, c) の中で、cが最も小さいものをすべて求めよ。
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Join our DiscordQ.30
ホタテのデータの 11 年間の平均値が 296,332 t であり, 新たに追加する 2017 年の漁獲量が 235,952 t であるから, 12 年間の平均値は?
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Join our DiscordQ.33
3 が記されたカードと 7 が記されたカードの 2 種類のカードが, 全部で 30 枚以上ある。また,各カードの数字をすべて合計すると 110 になる。この とき,3のカード,7のカードの枚数をそれぞれ求めよ。
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Join our DiscordQ.38
PRACTICE 38
実数全体を全体集合とし, A={x ∣−1 ≤ x < 5}, B={x ∣−3 < x ≤ 4}, C={x ∣ k−6 < x < k+1} ( k は定数)とする。
(1) 次の集合を求めよ。
(ア) A ∩ B
(イ) A ∪ B
(ウ) Ā
(エ) Ā ∪ B
(2) A ⊂ C となる k の値の範囲を求めよ。
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Join our DiscordQ.39
EX 1 から 6 までの自然数の各数字を1つずつ記入した 6 枚のカードがある。これらを の 3 つの箱に分けて入れる。\n(1)空の箱があってもよいものとすると,分け方は何通りあるか。\n(2) どれか 1 つの箱だけが空になる分け方は何通りあるか。\n(3)空の箱があってはならないとすると,分け方は何通りあるか。
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Join our DiscordQ.42
100 図略
(1) y ≤ 0
(2) y ≤ 1/2
(3) 0 ≤ y ≤ 6
(4) 1 ≤ y < 4
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Join our DiscordQ.43
5 個の数字 を使って作った,各位の数字がすべて異なる 5 桁の整数について、これらの数を小さいものから順に並べたとする。ただし、同じ数字は 2 度以上使わないものとする。\n(1) 43210 は何番目になるか。\n(2) 90 番目の数は何か。\n(3) 30142 は何番目になるか。\n(4) 70 番目の数は何か。
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Join our DiscordQ.47
2]2つの目が奇数で,残りの 1 つの目が2または6の場合 2 または6の目が出るさいころが大中小の 3 通りあるから\n(3 \\times 3 \\times 2) \\times 3=54 (通り)\n\nよって, 求める場合の数は\n216-(27+54)=216-81=135 (通り)
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Join our DiscordQ.48
30 (1) \ x \\leqq-\\frac{7}{3} \ (2) 解はない (3) \ \\frac{5}{3}<x \\leqq \\frac{11}{6} \
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Join our DiscordQ.49
を定数とし, (1), ② とする。(1), (2)を同時に満たす の値はなく, (1) または (2) を満たす の値の範囲が であるとき, ٢ , 亿である。
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Join our DiscordQ.51
PR 合同式を用いて, 次の問いに答えよ。\n(4124 (1) 13^{2017} を5 で割ったときの余りを求めよ。\n(2)すべての正の整数 n に対して, 3^{3n-2}+5^{3n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。
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Join our DiscordQ.53
AかF_{1}への道順であり, \\rightarrow 6 \ 個, \\uparrow 3 \ 個の順列で表されるから \\quad \\frac{9!}{6!3!}=84 \ (通り)
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Join our DiscordQ.58
兄弟が合わせて 52 本の鉛筆を持っている。いま, 兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く,更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Join our DiscordQ.59
42 人の生徒のうち, 自転車利用者は 35 人, 電車利用者は 30 人である。このとき, どちらも利用していない生徒は多くてもア 人であり, 両方とも利用している生徒は少なくてもイ 人はいる。自転車だけ利用している生徒は少なくてもウ 人,多くてもエ 人までである。
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Join our DiscordQ.61
U = {x | x は 15 以下の正の整数} を全体集合とする。U の部分集合 A, B, C について, A = {x | x は 3 の倍数, x ∈ U}, C = {2,3,5,7,9,11,13,15} であり, C = (A ∪ B) ∩ (¬(A ∩ B)) が成り立っている。\n(1) 集合 A を要素を書き並べる形で表せ。\n(2)斜線部分が集合 C を表している図として最も適当なものを,次の 0~3 の中から 1 つ選べ。\n(3) A ∩ B = A ∩ ¬C であることに注意して, 集合 A ∩ B を要素を書き並べる形で表せ。\n(4) 集合 B の要素の個数と, Bの要素のうち最大のものを求めよ。
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Join our DiscordQ.62
92・4つの数字 を並べ替えてできる 4 桁の数を とし, の各位の 数を逆順に並べてできる 4 桁の数を とすると, は 99 の倍数となる ことを示せ。
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Join our DiscordQ.64
Q8
x-1 < x < x+1 であるから,3つの数 x-1, x, x+1 が三角形の3辺となる条件は x-1>0 かつ x+1<(x-1)+x よって x>2
(1)のとき,最大の辺 x+1 の対角が鈍角になるための条件は
(x+1)^2 > (x-1)^2 + x^2 よって x(x-4)<0
ゆえに 0 < x < 4
(1) かつ (2) から 2 < x < 4
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Join our DiscordQ.65
の正の約数について\n(1)偶数であるものの個数を求めよ。\n(2) 5 の倍数であるもののすべての和を求めよ。
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Join our DiscordQ.69
PR (1) HGAKUEN の 7 文字から 6 文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき,GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし,同じ文字は繰り返して用いないものとする。
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Join our DiscordQ.70
倍数の判定法
(1)百の位の数が 2 である 3 桁の自然数 A がある。 A が 5 の倍数であり, 3 の倍数であるとき, A を求めよ。
(2)ある 2 桁の自然数 B を 9 倍して 45 を足すと, 百の位が 8 , 十の位が 2 で あるとき, B を求めよ。
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Join our DiscordQ.71
集合 \ \\{a, b, c, d, e\\} \ の要素の個数は 5 個それぞれの要素が部分集合に属するか, 属さないかを決めると,部分集合が 1 つ決まる。よって, 部分集合の個数は \ 2^{5}=32 \ (個)
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Join our DiscordQ.73
次の 2 つの不等式を同時に満たす x の範囲を求めよ。
(1) x > 0, x <= 3
(2) x < -3, x <= -4
(3) x + 2 >= 0, x - 1 > 0
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Join our DiscordQ.74
ある物質を水で溶かした 1%, 5%, 10% の水溶液がある。これら 2 種または 3 種の水溶液を混ぜ合わせて, 7.3% の水溶液を 100g 作る場合, 1% 水溶液は何 g まで使用することが可能か。 また, 10% 水溶液の使用にはどのような制限があるか。
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Join our DiscordQ.77
10進法で表された正の整数を8進法に直すと3桁の数 abc(8) となり、7進法に直すと3桁の数 cba_(7) となるとする。この数を10進法で書け。
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Join our DiscordQ.80
次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。ただし,立体を回転させて一致する塗り方は同 (4) 22 じとみなす。 (1)正四角錐の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法 (2)正三角柱の各面を異なる 5 色すべてを使って塗る方法
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Join our DiscordQ.84
コンピュータにおける文字の表現では、文字1個に「文字コード」と呼ばれる数値1個を割り当てます。次の表を利用して、文字'A'の2進数表示を答えてください。
| 文字 | A (半角) | z (半角) | 数 (全角) | 学 (全角) |
|------|-----------|-----------|-------------|-------------|
| 16進数表示 | 41 | 7A | 3F 74 | 3358 |
| 2進数表示 | 01000001 | 01111010 | 0011111101110100 | 0011001101011000 |
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Join our DiscordQ.86
PRACTICE 21\n(1)HGAKUEN の 7 文字から 6文字を選んで文字列を作り, それを辞書式に配列するとき, GAKUEN は初めから数えて何番目の文字列か。ただし,同じ文字は繰り返して用いないものとする。\n[北海学園大]\n(2)異なる 5 つの文字 A,B,,,D,Eを1つずつ,すべてを使ってできる順列を,辞書式配列法によって順に並べるとき, 63 番目にある順列は何か。
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Join our DiscordQ.87
282\n基本例題 140 を含む数字の順列\n から異なる 3 個の数字を選んで作る 3 桁の整数は,全部で ア 個ある。そのうち 3 の倍数になるものはイ 個である。
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Join our DiscordQ.89
生徒101人の中でバナナが好きな人が43人、イチゴが好きな人が39人、バナナとイチゴのどちらも好きでない人が51人いた。
(1)バナナとイチゴの両方を好きな人は何人か。
(2)バナナだけ、またはイチゴだけ好きな人は何人か。
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Join our DiscordQ.91
第1章 場合の数——217\n3x \u2265 x+y+z=10 \u3088\u3063\u3066 x \u2265 \\frac{10}{3}\nx \u306f\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089 x \u2265 4\n\u307e\u305f, y \u2265 z \u2265 1 \u304b\u3089 x \u2264 8\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 \\quad 4 \u2265 x \u2265 8\nx=4 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=6\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,2),(3,3) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=5 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=5\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(4,1),(3,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=6 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=4\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(3,1),(2,2) \u306e 2 \u901a\u308a\u3002\nx=7 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=3\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(2,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\nx=8 \u306e\u3068\u304d \\quad y+z=2\n\u3088\u3063\u3066, (y, z)=(1,1) \u306e 1 \u901a\u308a\u3002\n\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066, 10 \u3092 3 \u3064\u306e\u81ea\u7136\u6570\u306e\u548c\u3068\u3057\u3066\u8868\u3059\u65b9\u6cd5\u306f 2+2+2+1+1=8 (\u901a\u308a)
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Join our DiscordQ.92
EX あるデパートの友の会の会費は 2000 円で, 会員はこのデパートの品物を 7 % 引きで買うことが32できる。 1 個 500 円の品物を買うとき, 何個以上買うと, 友の会に入会して買った方が, 入会せ ずに買うより合計金額が安くなるか。ただし,消費税は考えない。
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Join our DiscordQ.94
次式 \( f(n) \) が整数である条件\n整式 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c(a, b, c \) は実数 \( ) \) を考える。 \( f(-1), f(0) \), \( f(1) がすべて整数ならば,すべての整数 に対し, \( f(n) は整数であることを 示せ。\n[類 名古屋大]
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Join our DiscordQ.00
100 人のうち, A市に行ったことのある人は 50 人,B市に行ったことのある 人は 13 人,C市に行ったことのある人は 30 人であった。A市とB市に行っ たことのある人は 人, A市とC市に行ったことのある人は 9 人,B市と C 市に行ったことのある人は 10 人であった。A市とB市とC市に行ったこと のある人は 3 人, 市にも 市にも 市にも行ったことのない人は 28 人であ った。このとき, の値を求めよ。
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Join our DiscordQ.02
19・次の計算は誤りである。(1)から )の等号の中で誤っているものをすべてあげ,誤りと判断した理由を述べよ。\n\[ 8=\sqrt{64}=\sqrt{2^{6}}=\sqrt{(-2)^{6}}=\sqrt{\left\{(-2)^{3}\right\}^{2}}=(-2)^{3}=-8 \]
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Join our DiscordQ.04
2. 1 \\leqq x<y<z \\leqq 5 \ を満たす整数の組 \( (x, y, z) \\) は全部で \\square \ 組ある。
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Join our DiscordQ.05
(1) 1 次不定方程式
(a x+b y=c の整数解 ( a と b は互いに素な整数 )
まず, 1 組の解 x=p, y=q を見つけることがカギ。簡単に見つからないとき は,互除法の計算 または係数を小さくする方法を利用する。解が見つかれば, a(x-p)=-b(y-q) の形に変形することで, すべての整数解が求められる。
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Join our DiscordQ.07
31 (1) \ a>0 \\ のとき \\( x>\\frac{1}{a} \ \\ a=0 \\ のとき 解はない \\ a<0 \\ のとき \ x<\\frac{1}{a} \ (2) \ a>-1 \\ のとき \\( x>2 \ \\ a=-1 \\ のとき 解はない \\ a<-1 \\ のとき \ x<2 \
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Join our DiscordQ.08
(2)\n\n(1番目)\n は、整数解の1つである。\n\(22 \cdot(-5) + 37 \cdot 3 = 1\)\nこの解をもとに、両辺に2を掛けると、\n\[22 \cdot(-10) + 37 \cdot 6 = 2\]\n(2番目)\n(1)-(2) から\n\[22(x + 10) + 37(y - 6) = 0\]\nすなわち、\n\[22(x + 10) = -37(y - 6)\]\n22と37は互いに素であるから、 は37の倍数である。\nゆえに、を整数として、\nx + 10 = 37k\]\nこれを代入すると、\n\[y - 6 = -22k\nよって、解は、\n\[x = 37k - 10, y = -22k + 6 (kは整数)\]
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Join our DiscordQ.09
PR 7 個の数字 0,1,2,3,4,5,6 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。
(2) 14
整数は何個作れるか。
(1) 3 桁の整数
(2) 3 の倍数
(3) 9 の倍数
(1) 百の位には 0 以外の数字が入るから 6 通り。そのおのおのに対して, 十, 一の位の数字の並べ方は, 残りの 6 個から 2 個取る順列で
_{6}P_{2}=6 ⋅ 5=30 (通り)
よって, 求める整数の個数は 6 × 30=180 (個)
(2) 3 の倍数になるのは, 各位の数字の和が 3 の倍数のとき。
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Join our DiscordQ.10
集合の要素の個数, 場合の数 A 102 つの集合を とし, \( n(A)+n(B)=10 \) かつ \( n(A \\cup B)=7 \) とするとき, \( n(\\bar{A} \\cap B)+n(A \\cap \\bar{B}) \) を求めよ。なお, \( n(X) \) は, 集合 の要素の個数を表すものとする。
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(2) を満たす整数がちょうど 3 個( x=2 , 3 , 4 )\nとなるためには, \( a の値を変化させながら整数の個数を調べてみると,次のようになる。\n[1] \n\n[2] \n\nの 2 個\nの 2 個\n[3] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[4] \n\nの 3 個\n[5] \n\nの 4 個\n[1]〜[5] から,適する の値の範囲は であることがわかる。\n\n注意 に等号がついていないので, のとき であり, は含まれない。例題 33 (2) のように不等式を満たす最大(または最小)の整数を考える場合は、 がちようどその端点の値をとるときを具体的に考えて,等号の有無をきちんと判断するようにしましょう。
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PR連続した 3 つの自然数のうち, 最小のものの平方が, 他の 2 数の和に等しい。この 3 数を求めよ。 \n最小のものを とすると,他の 2 数は と表される。連続した自然数。\n条件から \( \quad n^{2}=(n+1)+(n+2) \)\nすなわち よって \( \quad(n+1)(n-3)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに, 求める 3 数は \n別解 最小のものを とすると, 他の 2 数は と表 される。\n条件から \( \quad(n-1)^{2}=n+(n+1) \)\nすなわち よって \( n(n-4)=0 \)\n は自然数であるから \nゆえに, 求める 3 数は \n«解は \n解の吟味。 は自然数。\n↔連続した自然数。\n々解は \n解の吟味。 は自然数。
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次の計算の結果を, [ ] 内の記数法で表せ。\n(1) \( 10010_{(2)}+10111_{(2)} \quad \) [2 進法]\n(2) \( 2422_{(5)}-1431_{(5)} \)\n[ 5 進法]\n(3) \( 10111_{(2)} \times 1011_{(2)} \quad \) [2 進法]\n(4) \( 110001_{(2)} \\div 111_{(2)} \)\n[2 進法]
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(5) 2017 年のホタテの漁獲量は, 235,952 (t) であった。このとき, 2006 年から 2017 年までの 12 年間のホタテの漁獲量の平均値は コ \( (\\mathrm{t}) \\) となる。ただし,小数第 1 位を四捨五入するものとする。:コ に当てはまるものを次の(0~3)のうちから1 つ選べ。\n(0) 281300\n(1) 291300\n(2) 301300\n(3) 311300
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EX\n100から200までの整数のうち, 次のような整数は何個あるか。\n\n(1) 4で割り切れない整数\n(2) 4で割り切れるが, 5で割り切れない整数\n(3) 4でも5でも割り切れない整数\n\n100から200までの整数全体を全体集合 とし, そのうち4で割り切れる数全体の集合を , 5で割り切れる数全体の集合を とする。
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(2) 2つの部屋を仮に A,B とする。空の部屋があってもよい ものとして,9人を A,B部屋に入れる方法は\n\2^{9}=512 \\text { (通り) }\\n\n一方の部屋が空になる場合を除いて\n\\[512-2=510 \\text { (通り) }\\]\n\n最後に, A, B の区別をなくして, 求める場合の数は\n\\[510 \\div 2=255 \\text { (通り) }\\]
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100 から 200 までの整数のうち, 次のような整数は何個あるか。\n(1) 4 で割り切れない整数\n(2) 4 で割り切れるが, 5 で割り切れない整数\n(3) 4 でも 5 でも割り切れない整数
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命題「nは整数とする。n^2が3の倍数ならば,nは3の倍数である」は真である。これを利用して,√3が無理数であることを証明せよ。
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(2) は整数とする。次のことを証明せよ。 (ア) が 8 の倍数ならば, は 8 の倍数である。 (イ) が 7 の倍数ならば, は 7 の倍数である。
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x は実数, a は正の定数とする。2 < x < 3 が a < x < 2a の十分条件となるような a の値の範囲を求めよ。
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3 実 数\nA 17 ・ が次の値をとるとき, の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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右の図のようなマス目を考える。どの行(横の並び)にも,どの列(縦の並び)にも同じ数が現れないように 1 から 4 までの自然数を入れる場合の数を求めよ。
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119 (1) 7^50 を 6 で割った余りを求めよ。
(2) 3^30 を 8 で割った余りを求めよ。
(3) 5^50 を 13 で割った余りを求めよ。
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A 8 ・ 1 から 3 までの各数字を 1 つずつ記入した赤色のボール 3 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した青色のボール 2 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した黒色のボール 2 個がある。これら 7 個のボールを横1列に並べる作業を行う。\n(1) 7 個のボールの並べ方は全部で 通りある。\n(2) 3 個の赤色のボールが連続して並ぶような並べ方は 通りある。\n(3) 2の数字が書かれたボールが両端にあるような並べ方は 通りある。\n(4) 両端のボールの色が異なるような並べ方は 通りある。
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[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。
(1) \left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right],\left[-\frac{1}{2}\right], \frac{[-1]}{2} の値を求めよ。
(2) 関数 y=2[x] と y=[2 x] のグラフを -1 \leqq x \leqq 2 の範囲でかけ。
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EX の 5 種類の数字を用いて 1 以上の整数を作り、小さい順に並べる。\n\n(1) 2001 は何番目の数であるか。\n(2) 2001 番目の数を求めよ。
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次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。
(1) (x+2)(y-1)=-6
(2) 2 x y-2 x-5 y=0
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次の文に集合の記号を適切に入れよ。
(1) A ______ {0}
(2) √28 ______ B
(3) A = {0} ______ A
(4) ∅ = A ______ B
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(1)集合 \ A \ を求めよ。\n(2) 集合 \ \\bar{B} \\cap \\bar{C} \ を求めよ。
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次の方程式の整数解をすべて求めよ。また,(2)の整数解のうち, が最小の自然数であるときの の組を求めよ。\n(1) \n(2)
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8 (1) (ア) \n(イ) \n(ウ) \n(I) であるから よって \( \\quad|\\pi-5|=-(\\pi-5)=-\\pi+5 \)\n(2) (ア) \n(イ) \( |5-(-2)|=|5+2|=|7|=7 \)\n(ウ) \( |-4-(-1)|=|-4+1|=|-3|=3 \)
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次の(1)(6)の文中の空欄に当てはまるものを,下の選択肢()のうちから1つ選べ。ただし, はともに実数とする。\n(1) は のための \n(2) \left\ulcorner x=0\right. 」は \left\ulcorner x^{2}+y^{2}=0 」\right. のための \( \square 。\n(3) は かつ y=0 」 のための \( \square 。\n(4) \left\ulcorner x^{2}+y^{2}=1 」\right. は \( 「 x+y=0 」 のための 。\n(5) 「すべての にいて である」は「 のための 。\n(6) 「( \( x y)^{2} \) が無理数である」は「 または が無理数である」のための 。\n[選択肢] (1) 必要十分条件である (2) 十分条件であるが必要条件ではない (3) 必要条件であるが十分条件ではない (4) 必要条件でも十分条件でもない
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PR 1, 2, 3, 4, 5 の 5 個の数字を並べ替えて 5 桁の整数を作る。このとき, 異なる整数は全部で
(2) 13 🔲通りできる。そのうち末尾が2となるものはイ 🔲通りで, 奇数となるものはウ 🔲通 りである。
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男子 4 人,女子 5 人が 1 列に並ぶとき,次のような並び方は何通りあるか。\n(1)男子 4 人が皆隣り合う\n(2)男子どうしが隣り合わない
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整数解に関する条件を満たす定数の値の範囲\n例題 33 (2) で,不等号に等号がつく場合とつかない場合の違いがわかりにくいです。どのように考えればよいですか?\n例(1) を満たす整数がちょうど 3 個となるためには,最大の整数 4 が含まれて, 5 が含まれないような の値の範囲を定めればよい。 の値を変化させながら整数の個数を調べてみると,次のようになる。\n[1] \nの 2 個\nの 2 個\n[2] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[3] \n\nの 3 個\nの 3 個\n[4] \n\nの 4 個\n[5] \n\nの 4 個\n[1]〜[5] から,適する の値の範囲は であることがわかる。注意 に等号がついているので, のとき であるから も含まれる。
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2つの数a, bの値の範囲が-2 ≤ a ≤ 1, 0 < b < 3のとき、1/2a - 3bのとりうる値の範囲を求めよ。
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(2) 集合 が全体集合 の部分集合で \( n(U)=50, n(A)=30 \), \( n(B)=15, n(A \\cap B)=10 \) であるとき, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(工)
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EX 右の図のようなマス目を考える。どの行(横の並び)にも,どの列(縦の並び) にも同じ数が現れないように 1 から 4 まで自然数を入れる入れ方の場合の数 を求めよ。
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整数を 3 で割った余りを使って分類するにはどのような方法がありますか?それぞれの方法のメリットを説明してください。
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51 (1) \( P_{n}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\left(\frac{1}{6}\right)^{3} \)\n(2)
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数学A
(2)まず,女子 5 人が並ぶ方法は
5!=5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=120 (通り)
次に,女子と女子の間および両端の 6 個の場所に,男子 4 人 が並ぶ方法は
_{6}P_{4}=6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3=360 (通り)
よって, 求める並び方の総数は
120 × 360=43200 (通り)
先に女子が並び,
🔲 女 🔲 女 🔲 女 🔲 女 🔲 女 🔲 の 🔲 に男子を入れる。
個の場所から 4 個取る順列。
↔積の法則。
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PR 実数を係数とする2次方程式 が, 次の条件を満たすとき, 定数 の値の範囲を求めよ。 (1)正の解と負の解をもつ。 (2)異なる2つの負の解をもつ。
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p, q, r が連続する 3 つの奇数であり、 p=2 n-1, q=2 n+1, r=2 n+3 ( n は整数 ) と表されるとき, p q r+p q+q r+r p+p+q+r+1 は48で割り切れることを証明せよ。
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整数の個数の問題の扱い方 問題文の「少なくとも」などの言葉を集合の条件に直すときに, どのようにすればよいのか迷っています。
次のように,問題の内容と集合の記号を対応させることがポイントになる。 「 A かつ B 」, 「 A でも B でも」, 「 A, B ともに」 → A ∩ B, 「 A または B 」、「 A, B 少なくとも一方」 → A ∪ B, 「 A ではない」 → ¬A. 1 から 100 までの整数全体の集合を U, その部分集合で 3 の倍数全体の集合を A, 8 の倍数全体の集合を B とし, ベン図を対応させて考えるとわかりやすい。
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基本例題 28 (1)\nO地点を出発し, A地点に行くから, 線分 OAを 1 つの対角線とする長方形内にあるそれぞれの地点ま での道順の数を書き込む。更に, A 地点から \\mathrm{P} \ 地点 までについても同様に書き込む。\nこの結果, \\mathrm{O} \\rightarrow \\mathrm{A} \ の道順は 10 通り, \\mathrm{O} \\rightarrow \\mathrm{A} \\rightarrow \\mathrm{P} \ の道順は 150 通りあることがわかる。
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合同式を用いて,次の問いに答えよ。
(1) 13^{2017} を 5 で割ったときの余りを求めよ。
(2) すべての正の整数 n に対して, 3^{3 n-2}+5^{3 n-1} が 7 の倍数であることを証明せよ。
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EX のとき, の関数 \( f(x, y)=x^{2}-4 x y+5 y^{2}+2 y+2 \) の最小值を求めよ。また,このときの の值を求めよ。
[北星学園大]
\[
\begin{aligned}
f(x, y) & =x^{2}-4 x y+5 y^{2}+2 y+2
& =\left\{(x-2 y)^{2}-(2 y)^{2}\right\}+5 y^{2}+2 y+2
& =(x-2 y)^{2}+y^{2}+2 y+2
& =(x-2 y)^{2}+\left\{(y+1)^{2}-1^{2}\right\}+2
& =(x-2 y)^{2}+(y+1)^{2}+1
\end{aligned}
\]
のとき はすべての実数
よって \( \quad(y+1)^{2} \geqq 1,(x-2 y)^{2} \geqq 0 \)
ゆえに \( \quad f(x, y) \geqq 2 \)
したがって, , すなわち で最小値 2 をとる。
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次の表は, 総菜を製造販売するある会社における,おにぎりAの 1 個あたりの価格と販売数の関係をまとめたものである。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 1 個あたりの価格 (円) & 150 & 200 & 250 \
\hline 販売数(個) & 65 & 50 & 35 \
\hline
\end{tabular}
1 個あたりの価格を 円, 販売数を 個とし, は の 1 次関数で表されると仮定して考えることとする。また,価格 は 10 円単位とし, を満たすとする。なお,以下において,消費税は考えないものとする。
(1) を 式で表せ。
(2)おにぎりAの 1 個あたりの価格と販売数の積を売り上げとする。売り上げが最大となる価格 と販売数 を求めよ。
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(2) 方べきの定理により\n\[ \begin{array}{r} \mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{AC} \\ \text { よって } \quad 2 a(2 a+3 b) \\ =3 a(3 a+b) \end{array} \]
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渡された4つの数字 3, 4, 5, 6 を並べ替えてできる4桁の数を m とし、m の各位の数を逆順に並べ替えてできる4桁の数を n とすると、m+n が99の倍数となることを証明せよ。
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基 本 例題 38 不等式で表される集合
実数全体を全体集合とし, A={x ∣−2 ≤ x < 6}, B={x ∣−3 ≤ x < 5}, C={x ∣ k−5 ≤ x ≤ k+5} ( k は定数)とする。
(1) 次の集合を求めよ。
(ア) A ∩ B
(イ) A ∪ B
(ウ) B̄
(エ) A ∪ B̄
(2) A ⊂ C となる k の値の範囲を求めよ。
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1000 以下の自然数のうち\n(1) 2で割り切れるまたは7で割り切れる数は何個あるか。\n(2) 2で割り切れない数は何個あるか。\n(3) 2でも7でも割り切れない数は何個あるか。\n1000以下の自然数全体の集合を全体集合 とし、そのうち2で割り切れる数全体の集合を 、7で割り切れる数全体の集合を とする。
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兄弟が合わせて 52 本の鉛筆を持っている。いま,兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど 1/3 をあげてもまだ兄の方が多く, 更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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次の不定方程式の自然数解を求めなさい。\n等式 を満たす自然数 の組は何組あるでしょうか。さらに、x が 2 桁で最小となる組を求めなさい。
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次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。
(1) (x-1)(y+1)=4
(2) x y-3 x-2 y+3=0
[創価大]
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整数部分が求めにくいときの対処法
の値が大きいとき, の近似値は簡単にはわからない。そのようなときは, \( n^{2} \leqq \square < (n+1)^{2} \) となるような自然数 を見つけて, 各辺の平方根を考えるとよい。
例えば, の整数部分が 3 であることは, 次のようにして求められます。 から よって
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次の一次不定方程式を解き、整数 x, y の解を1つ求めなさい。\n\n(1) 5x - 3y = 1\n(2) 2x + 3y = 1
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(2)異なる5つの文字 を1つずつ,すべてを使ってできる順列を,辞書式配列法によって順に並べるとき, 63 番目にある順列は何か。
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Join our DiscordQ.98
次の等式を満たす自然数 の組をすべて求めよ。\n(1) \n(2) \(xyz=x+y+z(x \leqq y \leqq z)\)
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(1) 10 進法で表された正の整数を 8 進法に直すと 3 桁の数 \( a b c_{(8)} \) となり, 7 進法に直すと 3 桁の数 \( c b a_{(7)} \) となるとする。この数を10 進法で書け。\n(2)4進法で表すと 5 桁となるような自然数は何個あるか。
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次の命題の真偽を調べよ。ただし,a ,b は整数とする。a^2+b^2 が偶数ならば, a + b は偶数である。
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亘匯例題 11 整数の個数 ( 3 つの集合)
1 から 200 までの整数全体の集合を U とし, A, B, C を U の部分集合とす る。 A は 3 の倍数全体の集合, B は 5 の倍数全体の集合, C は 7 の倍数全体 の集合である。このとき, n(A ∩ B ∩ C), n(A ∪ B ∪ C) を求めよ。
基本 2, 重要 10
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PR整数を要素とする 2 つの集合 A=\\left\\{2,6,5 a-a^{2}\\right\\}, B=\\{3,4,3a-1,a+b\\} \ がある。また, \ 39 A \\cap B=\\{4,6\\} \ とする。\n(1)定数 \ a, b \ の値を求めよ。\n(2) \ A \\cup B \ を求めよ。
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1 から 14 までの 14 個の自然数の中から,異なる 3 個の数を取って組を作るとき,次のような組の数を求めよ。(1)奇数だけからなる組(2)1 を含む組(3)3 の倍数を少なくとも 1 個含む組
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(2) における \(f(x)\) の最大値を 、2 \leqq x \leqq 6 における \(f(x)\) の最大値を とする。\n イのとき、 である。イに当てはまるものを、次の(0)~(3)のうちから1つ選べ。\n(0) \n(1) \n(2) \n(3)
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すべての整数 は,ある自然数 で割った余りによって, 通りの表し方に分けられる。例えば, 5 で割った余りは の 5 通りがあり のいずれかで表される。
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10 を 3 つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。また,4つの自然数の和として表す方法は何通りあるか。ただし,加える順序は問わないものとする。[広島文教女子大]
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203 基本列題 125 鈍角 (鋭角) 三角形となる条件
△ABC において, a=4, b=5 とする。
(1)辺の長さ c の値の範囲を求めよ。
(2) △ABC が鈍角三角形のとき, 辺の長さ c の値の範囲を求めよ。
(0) p .194,195 基本事項 3, 4
C. HART & SOLUTION
三角形の成立条件 a<b+c, b<c+a, c<a+b
∠A が鋭角 ⇔ a²<b²+c²
辺と角の関係
∠A が直角 ⇔ a²=b²+c²
∠A が鈍角 ⇔ a²>b²+c²
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(5) 2017 年のホタテの漁獲量は、235,952(t) であった。このとき、2006 年から 2017 年までの 12 年間のホタテの漁獲量の平均値はコ(t)となる。ただし、小数第 1 位を四捨五入するもの とする。 コ に当てはまる値を、次の(0)〜(3)の値から1つ選べ。
0: 281300
1: 291300
2: 301300
3: 311300
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ある企業 Xが, 自社製品の鉛筆 A と, 他社 Y の鉛筆 B のうちどちらの方が書きやすいかを調査するアンケートを実施したところ, 回答者全員のうち 2/3 の人が, 「Aの方が書きやすい」と回答した。その後,他社YがBを改良したため,改めてアンケートを実施したところ,30人中 14 人が 「Aの方が書きやすい」と回答した。Bに比べて, Aの書きやすさが下がったと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い, 次の各場合について考察せよ。ただし, 公正なさいころを 30 個投げて, 1 から 4 までのいずれかの目が出た個数を記録する実験を 200 回行ったところ, 次の表 のようになったとし, この結果を用いよ。
1 〜 4 の個数: 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 計
度数: 1 0 2 5 9 14 22 27 32 29 24 17 11 4 2 1 200
(1) 基準となる確率を 0.05 とする。
(2) 基準となる確率を 0.01 とする。
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36 で割り切れる整数全体の集合を A, 15 で割り切れる整数全体の集合を B とする。C = {x+y | x ∈ A, y ∈ B} とするとき, C は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。
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n 人の子どもに 252 個のチョコレートを a 個ずつ, 360 個のキャンディーを b 個ずつ 残さずすべて配りたい。 n の最大値とそのときの a, bの値を求めよ。ただし, 文字 はすべて自然数を表す。
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数学 I (3) とする。 から よって ゆえに 一方 したがって, が成り立つ。 のとき \n\n\|x|<c \Longleftrightarrow-c<x<c\よって, 命題は 真
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横 1 列に並んだ 7 つのマス目を, 赤, 青, 緑の 3 色すべてを使い, 隣り合うマス目が同じ色にならないように塗り分けたい。このとき, マス目の色が左右対称になるような塗り分け方は何通りあるか求めよ。
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Aさんと Bさんはアルバイトでともに週 4 日勤務している。このとき, Aさんと Bさんがともに勤務する日が毎週少なくとも 1 日あることを示せ。
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(4) a g の分銅と b g の分銅をそれぞれいくつかのせて天秤ばかりが釣り合うとき、不定方程式 ax + by = 7 は整数解をもつ。 よって,分銅の質量を係数とする不定方程式が整数解をもつかどうかを考える。 (0) 3x + 10y = 7 は, 整数解 x = -1, y = 1 をもつ。(1) 3x + 27y = 7 を変形すると 3(x + 9y) = 7 x + 9y は整数であるから,左辺は 3 の倍数であるが,右辺は 3 の倍数ではない。したがって, 3x + 27y = 7 は整数解をもたない。(2) 10x + 14y = 7 を変形すると 2(5x + 7y) = 7
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問3 10L の桶に油が 10L 入っている。 5L 入る杆と 3L 入る枡を 1 つずつ使って, この油を 6L と 4L に分ける手順を考える。ただし,桶や枡には目盛りがなく,次の操作 (a)〜(c)しかできないものとする。操作 (a)の回数が最小となるような手順を答えよ。 (a)桶から 5L 枡に 5L の油を入れる。 (b)5L 枡から 3L 枡に移せるだけ油を移す。 (c)3L 枡から桶に 3L の油を戻す。
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Join our DiscordQ.32
(1)次の命題の真偽を調べよ。ただし, は整数とする。\n(ア) が偶数ならば, は奇数である。\n(イ) が偶数ならば, は偶数である。
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命題と条件問題 1) 命題と条件 文や式で表された事柄で, 正しい(真である) か正しくない(偽である)かが定まるものを命題という。また,文字 を含んだ文や式で,文字に値を代入することで真偽が定まるものを,xに関する条件という。2つの条件 について, 「 ならば 」 すなわち の形で表される命題では, を仮定, を結論という。 また,「 ならば かつ ならば と書く。 \n この説明に基づいて、以下の命題の真偽を判断してください: \n (a) ならば \n (b) ならば
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完全数
その数自身を除くすべての正の約数の和が、その数に等しくなる自然数のことを完全数という。
例:
6 (= 1 + 2 + 3), 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)
(1) 1 万以下の完全数を求めよ。
(2) 奇数の完全数が存在するかどうかを述べよ。
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(1)aは自然数とする。a+5は4の倍数であり,a+3は9の倍数であるとき,a+21 は36 の倍数であることを証明せよ。
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-1 \leqq a \leqq 1 のとき f(x) は x=a で最小となる。ゆえに f(a)=-a^{2}-a+6 \geqq 0 よって a^{2}+a-6 \leqq 0 左辺を変形して(a+3)(a-2) \leqq 0 これを解いて-3 \leqq a \leqq 2 これと -1 \leqq a \leqq 1 の共通範囲は -1 \leqq a \leqq 1
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A={3,6,9,12,15,18}
B={1,4,7,10,13,16,19}
C={2,5,8,11,14,17,20}
2 枚のカードの整数の和が 3 の倍数になるのは,
[1] A から 2 枚取り出す
[2] B, C からそれぞれ 1 枚取り出す のいずれかであり, それぞれの場合の数は
[1] { }_{6} C_{2}=\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}=15 (通り)
[2] { }_{7} C_{1} \times{ }_{7} C_{1}=7 \times 7=49 (通り)
よって, 求める確率は \quad \frac{15+49}{190}=\frac{64}{190}=\frac{32}{95}
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358
数学 I
イウ~スセに当てはまる数を答えよ。また,ソ准当てはまるものを,次の0~⑤の うちから 1 つ選べ。
(0) 9.68
(1) 9.97
(2) 10.09
(3) 10.33
(4) 10.42
(5) 10.55
[類 共通テスト]
(1)平均速度すなわち 1 秒あたりの進む距離は (1 秒あたりの歩数) ×(1 歩あたりの進む距離)
=z × x=x z
よって タイム = 100/(x z)
(2) 1 次関数と仮定するから, a, b を実数として, z=a x+b と 表される。表より,
x=2.05 のとき, z=4.7 から 4.7=2.05 a+b
x=2.1 のとき, z=4.6 から 4.6=2.1 a+b
(A)-(B) から 0.1=-0.05 a よって a=-2
ゆえに, (A) から b=4.7-2.05 ×(-2)=8.8=44/5
よって z=イウ -2 x+44/5
(2)は, x=2.15, z=4.5 のとき成り立つ。
z ≤ 4.80 であるから -2 x+44/5 ≤ 4.80
これを解くと x ≥ 2
x ≤ 2.40 であるから, x の値の範囲は
2.00 ≤ x ≤ 2.40
y=x z とすると, (2) から
y=x(-2 x+44/5)=-2 x^2+44/5 x=-2(x-11/5)^2+242/25
(3)において, y は x=11/5 すなわち x=2.20 のときに最大値 242/25 をとる。
このとき z=-2 ⋅ 11/5+44/5=22/5=4.40
また, タイムは
100 ÷ 242/25=1250/121=10.330 ⋅ ⋅ ⋅ ≒ 10.33
別解 100 m を走るのに かかった歩数を h, タイムを t とすると, x=100/h, z=h/t から
(平均速度)
= 100/t=100/h ⋅ h/t
=x z
『ストライドが 0.05大きくなるとピッチが 0.1小さくなることに着目し,a=-0.1/0.05=-2 と考えてもよい。
問題文の「ピッチの最大値 4.80」から。
問題文の「ストライドの最大値 2.40 」から。
変域において,y の最大値を求める。
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3 辺の長さがそれぞれ である三角形を考え, 各辺 を 間隔に等分する。このときの分点(各辺の両端,すなわち三角形 の頂点を含む)の総数は である。これらの 12 個の点のう ちの 3 個の点を頂点とする三角形の総数を求めよ。
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第4章 数学と人間の活動\nEX (1) 自然数のうち,10進法で表しても5進法で表しても 3 桁になるものは全部で何個あるか。
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EX\n10円硬貨 6枚, 100円硬貨 4枚, 500円硬貨 2枚の全部または一部を使って支払える金額は何通りあるか。また,10円硬貨 4枚, 100円硬貨 6枚, 500円硬貨 2枚のときは何通りあるか。\n[神戸国際大]\n
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340\n数学A\n[1] のとき\n\[P^{2}-1=(P+1)(P-1)=(6 k+2) \cdot 6 k=12 k(3 k+1)\] が偶数のとき, が 24 の倍数であり, は 24 で 割り切れる。また, が奇数のとき, は偶数となり, は 24 で割り切れる。\n[2] のとき \( P^{2}-1=(P+1)(P-1)=(6 k+6)(6 k+4)=12(k+1)(3 k+2) \) が偶数のとき, は偶数となり, は 24 で割 り切れる。また, が奇数のとき, は偶数となり, は 24 で割り切れる。\nしたがって,いずれの場合も題意は成り立つ。\n (奇数) は奇数。
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次の余りを求めよ。\n(1) 15^{30} を 7 で割った余りを求めよ。\n(2) 7^{80} を 8 で割った余りを求めよ。\n(3) 13^{30} を 17 で割った余りを求めよ。
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[2] 合同式の性質 1\n反射律 \( a \equiv a(\bmod m) \)\n対称律 \( a \equiv b(\bmod m) \) のとき \( b \equiv a(\bmod m) \)\n推移律 \( a \equiv b(\bmod m), b \equiv c(\bmod m) \) のとき \( a \equiv c(\bmod m) \)\n\n主意 \( a \equiv b(\bmod m), b \equequ c(\bmod m) \) は \( a \equiv b \equiv c(\bmod m) \) と書いてもよい。\n
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3つの異なる実数a, b, cに対して、等式a + b + c = abcが成り立つとき、a, b, cの1つが1であるかどうか証明せよ。
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100^{(1)} n は整数とし, N=2 n^{3}+4 n とする。n が偶数のとき N は 24 で割り切れ, n が奇数のとき N は 4 で割り切れないことを示せ。
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不等式(1)において, a=0 のときを考えると, b>0 であることは、(1) を満たす実数 x が存在するための □ 。
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関数 \( y=a x-a+3(0 \leqq x \leqq 2) \) の値域が であるとき, 定数 の 値を求めよ。
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EX 1 から 8 までの整数の中から異なる 3 つを選ぶとき, 次のような選び方は, それぞれ何通りある (2) 16 か。\n(1)最大の数が 7 以下で,最小の数が 3 以上である選び方\n(2)最大の数が 6 である選び方\n(3)最大の数が 7 以上である選び方
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(1) U={1,2,3,4,5,6,7,8} を全体集合とする。 U の部分集合 A={2,5,6}, B={1,3,5} について, 集合 A \cap \bar{B}, \bar{A} \cup B を求めよ。
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次の条件を満たす分数を求めよ:分数 34/5, 51/10, 85/8 と与えられたとき、求める分数 b/a(a, b は互いに素である自然数) とする。b/a を自然数にするためには、それぞれの分数に a/b を掛けた結果が自然数となる条件を満たす必要がある。
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次の計算の結果を, [ ] 内の記数法で表せ。\n(1) \( 1111_{(2)}+110_{(2)} \) [2進法]\n(2) \( 3420_{(5)}-2434_{(5)} \)\n[ 5 進法]\n(3) \( 1101_{(2)} \times 101_{(2)} \quad \) [ 2 進法]\n(4) \( 1101001_{(2)} \div 101_{(2)} \)\n22進法]
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(1) 「3 と8 の少なくとも一方で割り切れる整数」とは, 「3 で割り切れる整数」か「8 で割り切れる整数」の集合。
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横1列に並んだ 7 つのマス目を, 赤, 青, 緑の3色すべてを使い, 隣り合うマス目が同じ色にならないように塗り分けたい。このとき,マス目の色が左右対称になるような塗り分け方は何通りあるか求めよ。
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EX 10 個の文字, N, A, G, A, R, A, G, A, W, A を左から右へ横1列に並べる。(1)この 10 個の文字の並べ方は全部で何通りあるか。(2)「NAGARA」という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか。(3) N,R,Wの 3 文字が,この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか。ただし, N, が連続しない場合も含める。
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と進む場合が重複しているから、\( 20 \\times 1=20 \\text { (通り) } \\)の通りを重複して数えている。よって, 求める場合の数は \\quad 84+84-20=148 \ (通り)
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数学A
よって 4b+c=6q+r+4
(1) から2+b+c=1+q+r
よって b+c=q+r-1
(4), (5) から 3b=5q+5=5(q+1)
abc は 4進数であるから, b は 0以上 3以下の整数である。 よって, ⑥を満たすbの値はないから,不適。
[2] a=3 のとき(3) から 16・3+4b+c=36+6q+r
よって 4b+c=6q+r-12
(1) から 3+b+c=1+q+r
よって b+c=q+r-2
(7), (8) から 3b=5q-10=5(q-2)
abc は 4進数であるから, b は 0以上 3以下の整数である。 pq r は 6進数であるから, q は 0以上 5以下の整数である。 よって, (9)を満たす b, qの値は b=0, q=2
以上から, (1) は 3+0+c=1+2+r すなわち c=r また abc_{(4)}=16・3+c=48+c
abc は 4進数であるから, c は 0以上 3以下の整数である。 したがって, 求める数は 48+c=48, 49, 50, 51
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a, b, c はどの 2 つも互いに素である自然数とする。 a^{2}+b^{2}=c^{2} であるとき a, b の一方は偶数で他方は奇数であることを証明せよ。
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ある学級で, 12種類の本について,それを読んだかどうかを調査した。その結果,Aを読んだ者は全体の 1/2, B を読んだ者は全体の 1/3, 両方とも読んだ者は全体の 1/14, どちらも読まなかった者は 10 人であった。この学級の人数は何人か。\n[広島文教女子大]
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PR生徒 101 人の中でバナナが好きな人が 43 人, イチゴが好きな人が 39 人, バナナとイチゴのどちらも好きでない人が 51 人いた。\n(1) バナナとイチゴの両方を好きな人は何人か。\n(2) バナナだけ,またはイチゴだけ好きな人は何人か。\n全体集合を とし, バナナが好き な人の集合を , イチゴが好きな人の集合を とする。
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問題 78 (1) a=3 (2) b=\frac{4+\sqrt{2}}{2}, c=\frac{4-\sqrt{2}}{2}
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数字 1 から 3 までの各数字を 1 つずつ記入した赤色のボール 3 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した青色のボール 2 個と, 1 から 2 までの各数字を 1 つずつ記入した黒色のボール 2 個がある。これら 7 個のボールを横 1 列に並べる作業を行う。\n(1) 7 個のボールの並べ方は全部で 通りある。\n(2) 3 個の赤色のボールが連続して並ぶような並べ方は 通りある。\n(3) 2 の数字が書かれたボールが両端にあるような並べ方は 通りある。\n(4) 両端のボールの色が異なるような並べ方は 通りある。
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(2) 131\n(1)10 進数 28 を, 2 進法と 3 進法で表せ。\n(2) 10 進数 0.248 を, 5 進法で表せ。
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(1) 10 以下の正の整数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とするとき, 次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ)
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次の命題 の真偽を調べよ。また,命題 の否定を述べ,その真偽を調べよ。\n(1) : 「すべての整数 について, である。」\n(2) : 「ある素数 について, は偶数である。」
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TRAINING 60
は実数 \} を全体集合とする。 の部分集合 , について, となるとき, 定数 の値を求めよ。
[富山県大]
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(1) 10 以下の自然数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とする。次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ)
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(1) 24 の正の約数全体の集合を とするとき,次の に適する記号 また は を入れよ。\n(ア) 6 A\n(イ) 9 A\n(ウ) -2 A\n(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 を用いて表せ。 (ア) は 5 以下の自然数 \n(个) \( A=\{5 n \mid n=1,2\}, \quad B=\{x \mid(x-5)(x-10)=0\} \)
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ある事柄について,正しいか正しくないかを判断するにはどのようにしたらよいでしょうか。ここでは, その判断をするときに必要となる考え方を学んでいきましょう。
命題と条件
一般に, 正しいか正しくないかがはっきり定まる文や式を命題という。命題が正しいとき,命題は真であるといい,正しくないとき,命題は偽であるという。
例 「日本は広い」は命題とはいえない。
(理由)広いと思う人もいれば, 狭いと思う人もいるから,正しいか正しくないかがはっきり定まらない。
「2本の直線が平行ならば同位角は等しい」は命題であり,真である。 x=1 や x^{2}=1 のように文字 x を含んだ文や式で, x に値を代入することで真偽が定まるものを, x に関する条件という。条件を考える場合には,条件に含まれる文字がどんな集合の要素かをはっきりさせておく。この集合を,その条件の全体集合という。
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《基本例題 55\nn を整数とし,命題 A を「nは 4 の倍数 ⟹ n は 8 の倍数」で定める。(1)命題 A の逆・対偶を述べ,それらの真偽を調べよ。(2)命題 A の裏を述べよ。\n命題 p ⟹ q の逆・対偶・裏\n(1) 命題 p ⟹ q の逆は q ⟹ p。また, 否定 \\bar{p}, \\bar{q} を作って命題 p ⟹ q の対偶は\n(2) 命題 p ⟹ q の裏は\n
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補足 1.ド・モルガンの法則の具体例\n全体集合Uを 1 から 9 までの自然数全体の集合とし, Uの 部分集合 \ A, B \ を \ A=\\{1,3,9\\}, B=\\{3,6,9\\} \ とする。\nこのとき, \ A \\cap B=\\{3,9\\} \ であるから\n\\n\\overline{A \\cap B}=\\{1,2,4,5,6,7,8\\}\n\\nまた, \ \\bar{A}=\\{2,4,5,6,7,8\\}, \\bar{B}=\\{1,2,4,5,7,8\\} \\nであるから \ \\bar{A} \\cup \\bar{B}=\\{1,2,4,5,6,7,8\\} \\n\A \\cup B=\\{1,3,6,9\\} \ であるから\n\\n\\overline{A \\cup B}=\\{2,4,5,7,8\\}\n\\nまた, \ \\bar{A}=\\{2,4,5,6,7,8\\}, \\bar{B}=\\{1,2,4,5,7,8\\} \ であるから\n\\n\\bar{A} \\cap \\bar{B}=\\{2,4,5,7,8\\}\n\\n確かに, \ \\overline{A \\cap B}=\\bar{A} \\cup \\bar{B}, \\overline{A \\cup B}=\\bar{A} \\cap \\bar{B} \ が成り立っている。
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(1)不等式 \( \\frac{n+1}{7}+n \\leqq \\frac{3(n-1)}{2} \) を満たす最小の自然数 の値を求めよ。
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ある学校で学校祭のパンフレットを作ることになった。印刷の費用は 100 枚までは 4000 円であるが, 100 枚を超えた分については, 1 枚につき 27 円かかるという。 1 枚 あたりの印刷の費用を 30 円以下にするためには,少なくとも何枚印刷すればよいか。 ただし,消費税は考えない。
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Join our DiscordQ.11
(1)循環小数 をそれぞれ分数で表せ。(2) (ア) 、(イ) を小数で表したとき, 小数第 200 位の数字を求めよ。
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例 「12 個のお菓子を A,B,Cの 3 人で分けるとき,少なくとも 1 人は 4 個以上もらう」という命題を背理法で証明すると,次のようになる。
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Join our DiscordQ.14
のとき, 次の に不等号 または<を入れ,正しい不等式にせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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A={n | n は 12 の正の約数}, B={n | n は 18 の正の約数}, C={n | n は 7 以下の自然数} とするとき, 次の集合を求めよ。
(1) A ∪ B ∪ C
(2) A ∩ B ∩ C
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m ,n を整数とするとき,対偶を利用して,次の命題を証明せよ。\n(1) n^{2}+4 n+3 が 4 の倍数ならば,n は奇数である。\n(2) m n が偶数ならば, m, n のうち少なくとも 1 つは偶数 である。
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TRAINING 33
2<x<5,-1<y<3 のとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) x-5
(2) 3 y
(3) x+y
(4) x-2 y
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(2) 連立不等式 \( \\left\\{\\begin{array}{l}2 x-1<3(x+1) \\ x-4 \\leqq-2x+3\\end{array}\\right\\} \) を満たす整数 の値をすべて求めよ。
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次の集合 A, B, C について, A ∩ B ∩ C と A ∪ B ∪ C を求めよ。
A={1,3,4,5,7}, B={1,3,5,9}, C={2,3,5,7}
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上の 5 枚のカードを見てください。そして各カードの中にあなたの誕生日があるかないかを答えてください。それだけで誕生日を直ちに当てることができます。もしあなたが「僕の誕生日はAとBとEのカードにあります」と答えたら,A と と のカードの左上の数を加えて \( (16+8+1=25) \), すぐに「誕生日は25日でしょう」と当てることができます。1~31のどの数でも同じように当てることができますから,このカードを作って試してみてください。
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111 (1) (ア) 0.5625 (イ) 0.92 (2) (ア) 0.11_{(2)} (イ) 0 . \dot{2} \dot{0}_{(3)}
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連立不等式 \( \left\{\begin{array}{l}2 x-1<3(x+1) \\ x-4 \leqq-2 x+3\end{array}\right. \) を満たす整数 の値をすべて求めよ。
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400 以下の自然数のうち, 次のような数の個数を求めよ。
(1) 4 の倍数
(2) 4 の倍数でない数
(3) 4 の倍数かつ 10 の倍数
(4) 4 の倍数または 10 の倍数
U の部分集合で, 4 の倍数全体の集合を A, 10 の倍数全体の集合を B とすると
A = {4 ⋅ 1, 4 ⋅ 2, …, 4 ⋅ 100}
B = {10 ⋅ 1, 10 ⋅ 2, …, 10 ⋅ 40}
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448 整数の和,差,積を割った余り
m, k を正の整数とする。2つの整数 a, b を m で割った余りをそれぞれ r, r^{\prime} とすると,次の関係が成り立つ。
1. a+b を m で割った余りは, r+r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
2. a-b を m で割った余りは, r-r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
3. a b を m で割った余りは, r r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
4. a^{k} を m で割った余りは, r^{k} を m で割った余りに等しい。
証明 a= m q+r, b=m q^{\prime}+r^{\prime}(q, q^{\prime} は整数 ) と表される。
[1について]
a+b=(m q+r)+ (m q^{\prime}+r^{\prime})= m(q+q^{\prime})+r+r^{\prime}
q+q^{\prime} は整数であるから, m(q+q^{\prime}) は m の倍数である。よって, a+b を m で割った余りは r+r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
[2,3 につついて]
1 と同様に考えると
a-b=(m q+r)- (m q^{\prime}+r^{\prime})=m(q-q^{\prime})+r-r^{\prime}
ab=(m q+r)(m q^{\prime}+r^{\prime})=m^{2} q q^{\prime}+m q r^{\prime}+r m q^{\prime}+r r^{\prime}=m(m q q^{\prime}+q r^{\prime}+q^{\prime} r)+r r^{\prime}
q-q^{\prime}, m q q^{\prime}+q r^{\prime}+q^{\prime} r は整数であるから, m(q-q^{\prime}), m(m q q^{\prime}+q r^{\prime}+q^{\prime} r) は m の倍数である。よって, a-b を m で割った余りは, r-r^{\prime} を m で割った余りに等しい。
[Aについて]
a^{2}=(m q+r)^{2}=m(m q^{2}+2 q r)+r^{2}
a^{3}=(m q+r)^{3}=m(m^{2} q^{3}+3 m q^{2} r+3 q r^{2})+r^{3}
a^{k}=(m q+r)^{k}=m \times(m, q, r の和と積のみで表される式 )+r^{k}m, q, r の和と積のみで表される式は整数であるから, m \times(m, q, r の和と積のみで表される式)は m の倍数である。よって, a^{k} を m で割った余りは r^{k} を m で割った余りに等しい。
整数の和は整数。整数の和, 差, 積は整数。整数の和,積は整数。
A 次のページからは,問題を解くことで,整数の割り算について学んでいきましょう。
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TRAINING 33 (3)
2<x<5,-1<y<3 のとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) x-5
(2) 3 y
(3) x+y
(4) x-2 y
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a は自然数とする。 a+4 が 5 の倍数であり, a+6 が 8 の倍数であるとき, a+14 は 40 の倍数であることを証明せよ。
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53 (1) x=32 k+13, y=-37 k-15 ( k は整数) (2) x=91 k+2, y=138 k+3 ( k は整数 ) (3) x=68 k-84, y=-97 k+120 ( k は整数 )
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は 3 以上の自然数とする。 2 進数 \(11010_{(2)}\) を 進法で表すと \(222_{(n)}\) となる ような の値を求めよ。
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大中小 3 個のさいころを同時に投げるとき, 次の場合の数を求めよ。(1)出る 3 つの目の積が 5 の倍数となる場合(2)出る 3 つの目の積が 4 の倍数となる場合
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集合の要素の個数
数学では「 2 桁の 7 の倍数の集まり」のように, 範囲がはっきりした「もの」の集まりを集合といい,集合を構成している1つ1つのものを,その集合の要素という。14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98
要素
こであ、いろいろな集合の要素の佝数について考えていきましょう。
集合の要素の個数
集合 A の要素の個数が有限であるとき, その個数を n(A) で表す。また, 空集合は要素の個数が 0 であるから, n(∅)=0 である。例 全体集合を U={x | x は 5 以下の自然数 } とし, その部分集合 A, B を A={1,2,5}, B={2,4} とする。このとき n(U)=5, n(A)=3, n(B)=2
和集合,補集合の要素の個数
上の例において, 和集合や補集合の要素の個数を数えると A ∪ B={1,2,4,5} から n(A ∪ B)=4
A̅={3,4} から n(A̅)=2
である。
次に, 集合の要素の個数のみが与えられているときの一般の場合の 和集合や補集合の要素の個数について考えてみよう。全体集合 U の部分集合 A, B に対して n(A)=a, n(B)=b, n(A ∩ B)=c とする。
(1) 和集合の要素の個数右の図から要素が1つもない集合 を空集合といい, ∅ で 表す。要素を書き並べると U={1,2,3,4,5}
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数学 A\n5 個の数字 を左から右に1列に並べた順列 \( \cdots \cdots(*) \) を考える。順列(*)は全部でア!個ある。\n並べた数字を左から とする。\n例えば, 順列 51324 では, である。\n(1)(i) 順列(*)のうち, 31542 のように「数字 1 と 2 が 1 , 2 の順に並んでいる順列」…‥11がいくつあるかを考えよう。\n順列(*)のうち,31542のように「 かつ である順列」 はイ!個ある。数字 1 と 2 がこの順で他の位置に並ぶ順列も,それぞ れイ! 個ずつあるから,順列 (1) は口ウ個ある。 の解答群\n(0) \n(1) \n(2) \n(ii) (i)について, 次のように考えることもできる。\n\n順列(*)のうち,「数字 1 と 2 が 2, 1 の順に並んでいる順列」 (3) は,順列 (1) と同じ個数だけあるから, 順列 (1)の総数はエと表すこともで きる。また, これと同じように考えると, 順列(*)のうち,\n「数字 1, 2, 3 がこの順に並んでいる順列」\n\nの総数はオ オ表すことができる。\n, 才 の解答群\n(0)\n\n(1)\n !\n(2)\n\n(3)\n\n(2) 順列(*)のうち, 51234 のように\n かつ である順列」がいくつあるかを,集合を利用して考えてみよう。\n順列 (*)の集合を全体集合 とし,部分集合として「 である順列」の 集合を である順列」の集合を とする。\nこのとき,\n\[n(U)=\square \text { ア !, } \quad n(A)=n(B)=\square \text { カ!, } \quad n(A \cap B)=\square \text { キ }\]\n\nであるから, \( n(A \cup B)= \) クケ となり, 順列 (5) はロサ個あることがわ かる。
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a, b, c はどの 2 つも 1 以外の共通な約数をもたない自然数とする。 a, b, c が a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たしているとき、次のことを証明せよ。(1) a, b の一方は偶数で他方は奇数である。
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(1)「1のみを要素にもつ集合は集合 の部分集合である」という事柄を,記号 を用いて表したとき,最も適当なものを次の(1)〜(4)の中から1つ選べ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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(1) n は整数とする。 n^{2} を 3 で割った余りを求めよ。
(2)整数 a, b, c が a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たすとき, a, b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数であることを証明せよ。
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n は整数とする。次のことを利用して, (1), (2)を証明せよ。\n連続する 2 つの整数の積は 2 の倍数である\n連続する3つの整数の積は 6 の倍数である\n(1) n が奇数のとき, n^{2}+2 を 8 で割つた余りは 3 である。\n(2) n^{3}-3 n^{2}+2 n は 6 の倍数である。
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あるクラスの生徒50人のうち, 通学に電車を利用している人は30人, バスを利用している人は40人, 両方を利用している人は26人である。このクラスで,電車もバスも利用していない人はア 人, 電車を利用しているがバスは利用していない人はイ 人いる。
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次の集合 A, B, C について, A ∩ B ∩ C と A ∪ B ∪ C を求めよ。
A={1,3,4,5,7}, B={1,3,5,9}, C={2,3,5,7}
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TR は実数とする。次の に適するものを,下の1〜3)ら選べ。\n(1) は, かつ であるための 。\n(2) かつ は, であるための 。\n(3) で, は であるための 。
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(1) \\\\( -\\frac{3}{8} \\\\\\\n(2) \\\\( -\\frac{11}{16} \\\\\\\n
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4 < 8 のとき、4 + 2 < 8 + 2, 4 - 2 < 8 - 2, 4 * 2 < 8 * 2, 4 / 2 < 8 / 2, 4 * (-2) > 8 * (-2), 4 / (-2) > 8 / (-2) という不等式が成り立ちます。具体例を示しなさい。
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次の足し算・引き算を, [ ]内の表し方で表せ。\n(1) \( 10101_{(2)}+1101_{(2)} \quad \) [ 2 進法]\n(2) \( 11100_{(2)}-1011_{(2)} \quad \) [ 2 進法]\n(3) \( 1343_{(5)}+234_{(5)} \quad[5 進法 \n(4) \( 302_{(4)}-133_{(4)} \quad \) [4 進法]
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TRAINING 26\n(1) 循環小数 をそれぞれ分数で表せ。\n()(ア)(イ) を小数で表したとき,小数第 200 位の数字を求めよ。
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数直線上で、原点から実数 a を表す点までの距離を、実数 a の絶対値といい、これを |a| で表す。実数 a の絶対値について、次のことが成り立つ。a が正の数または0のとき、|a|=a となるが、a が負の数のとき、|a|はどうなるか?
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次不定方程式の整数解(3)(互除法の利用)\n(1) 方程式 \n(1) の整数解をすべて求めよ。\n(2) 方程式 \n(2) の整数解をすべて求めよ。
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A,Bの 2 人が球の入った袋を持っている。Aの袋には 1 , 3 , 5 , 7 , 9 の数字が 1 つずつ書かれた 5 個の球が入っており, Bの袋には 2, 4, 6, 8 の数字が1つずつ書かれた 4 個の球が入っている。
AとBが各自の袋から球を 1 個取り出し,書かれた数が大きい方の人を勝ちとする。また, 勝ったときには自分が出した数を得点とし,負けたときには得点は0とする。このとき, A, B のどちらの方が有利か。
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ある学校で学校祭のパンフレットを作ることになった。印刷の費用は 100 枚までは 4000 円であるが, 100 枚を超えた分については, 1 枚につき 27 円かかるという。 1 枚 あたりの印刷の費用を 30 円以下にするためには,少なくとも何枚印刷すればよいか。 ただし,消費税は考えない。
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118 (1) 100010_{(2)} (2) 10001_{(2)} (3) 2132_{(5)} (4) 103_{(4)}
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EX の不等式 \( x^{2}+2 x-8>0, x^{2}-(a+3) x+3 a<0 \) を同時に満たす整数 が 3 つあるとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n から \( \quad(x+4)(x-2)>0 \)\nよって \nまた, \( x^{2}-(a+3) x+3 a<0 \) から \( \quad(x-3)(x-a)<0 \quad \cdots \cdots \). (2)\n のとき, (2) の解は \n\nのとき,\n(2) は \( (x-3)^{2}<0 \)\nゆえに, 解はない。\n\nのとき,\n(2) の解は\n \n\n[1] のとき\n(1)(3) を同時に満たす整数 が3つあるのは,右の図から, のときである。\n2] のとき\n(1), (4)を同時に満たす整数 が3つあるのは,右の図から, のときである。\n以上から, 求める定数 の値の範\n[類 東北工大]\nHINT まず, 各不等式 を解く。不等式 \( x^{2}-(a+3)+3 a<0 \) は,場合分けして解く。\nすべての実数 に対 して \( (x-3)^{2} \geqq 0 \)\n の範囲に整数は含まれない。 -8 , -7 を の値の範囲に 含めるかどうかを慎重 に見極める。\n6,7 を の値の範囲 に含めるかどうかに注意。\n\n囲は
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《発展例題 158\n4 人が 50 点満点のゲームを行ったときの得点は, (点)であ つた。ただし, は整数値で, である。この得点のデ -夕の平均値が 43 点, 分散が 6.5 , 範囲が 7 点であったとき, 次の問いに答 えよ。\n(1) とするとき, の 値を求めよ。\n(2) の値を求めよ。\n[類 センター試験〕
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次の (1)〜(4)のうち,正しいものをすべて選べ。\n(1) 7 の平方根は である。\n(2) 7 の平方根は のみである。\n(3) である。\n(4) である。
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52 (1) x=18 k-1, y=-17 k+1 ( k は整数) (2) x=19 k-1, y=37 k-2 ( k は整数) (3) x=7 k+1, y=-12 k+1 ( k は整数 )
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(1)1 個のさいころを 3 回投げ,その目の和が 7 となる場合は何通りあるか。\n(2)A, B の 2 人が試合を行い, 先に 3 勝した方が勝ちである。引き分けはなしで 5 回以内で勝負がつくのは何通りの場合があるか。
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10 以下の正の整数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とするとき, 次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ) \n上の例題 (2) に関して, 集合 をそれぞれ求めよ。
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自然数 N を 5進法と 7進法で表すと、共に2桁の数であり、各位の数の並びが逆になるという。N を 10進法で表せ。
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また,集合 と集合 の要素がすべて一致しているとき, と は等しいといい, で表す。例 を 1 桁の正の偶数全体の集合とし, とする。
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62 (1) \frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \leqq \frac{3}{l} (2) (l, m, n)=(1,3,6),(1,4,4), (2,2,2)
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(2) 3!\\times 4 \ の計算式として正しいのはどちらか。 (1) \( 3!\\times 4!=(3 \\cdot 2 \\cdot 1) \\times(4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1) \) (2)
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次のことを証明せよ。\n(1) が 6 の倍数ならば, は 6 の倍数である。\n(2) が -2 の倍数ならば, は 4 の倍数である。\n(3) が 9 の倍数ならば, は 9 の倍数である。
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次の関係を利用し、特定状態の整数の組数計算せよ。\n\((A ∩ \bar{B})=n(A)-n(A ∩ B) ,\n (A ∩ \bar{B} ∩ \bar{C})=n(A)-n(A ∩ B)-n(A ∩ C)+n(A ∩ B ∩ C)\)
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次の不等式を解け。
(1) 8x + 13 > 5x - 8
(2) 3(x - 3) ≥ 5(x + 1)
(3) (4 - x) / 2 < 7 + 2x
(4) 1 / 2(1 - 3x) ≥ 2 / 3(x + 7) - 5
(5) 0.2x - 7.1 ≤ -0.5(x + 3)
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107 (1) x=11 k, y=12 k ( k は整数) (2) x=8 k-1, y=-23 k+3 ( k は整数)
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実数 x に関する 2 つの条件 p, q を次のように定める。\np:-1 \\leqq x \\leqq 3\\n q:|x-a|>3条件 p, q の否定をそれぞれ \\bar{p}, \\bar{q} で表す。1. 命題 p \\Longrightarrow q が真であるような a の値の範囲は、a の値の範囲は \\square \\leqq a \\leqq \\square の形式で答えてください。2. a= \\square のとき, x= \\square は命題 p \\Longrightarrow q の反例である。
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は整数とする。 を 11 で割ると 7 余り, を 11 で割ると 4 余る。このとき, 次 の数を 11 で割った余りを求めよ。 (1) (2) (3) (4)
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120 (1) 100 個 (2) 2^{18} \leqq N<2^{19} のとき 19 桁, 2^{19} \leqq N<2^{20} のとき 20 桁
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次の を埋めてみよう。\n\\n{ }_{5} \mathrm{C}_{3}=\frac{\square \times \square \times \square}{\square \times \square \times \square},{ }_{8} \mathrm{C}_{3}=\frac{\square \times \square \times \square}{\square \times \square \times \square},{ }_{12} \mathrm{C}_{3}=\frac{\square \times \square \times \square}{\square \times \square \times \square},{ }_{11} \mathrm{C}_{8}={ }_{11} \mathrm{C}_{\square}\n\\n\n最初の 3 問はどの計算式も分母と分子が 3 つの数の 積になっています。
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三 角 比- 111\nTR 三角比の表を用いて, 次のものを求めよ。\n (1) の値\n(2) を満たす鋭角 \n(3)右の図の の値と角 のおよその大きさ。ただし, は小数第 2 位を四捨五入せよ。
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1 個 100 円の品物を何個か買うとき, 買う個数が決まるとそれに応じて代金が決まります。また, 車が時速 60 km で走るとき, 走る時間が決まるとそれに応じて走行距離が決まります。このように「ある数量に応じて他の数量が決まる関係」について学習しましょう。
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Join our DiscordQ.27
(1)を有理数全体の集合とするとき、 \\in\\{\\text{0}\\})である。\( \square \ に適する記号を\,48 C。つの中から1つ選べ。
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赤い玉が 4 個, 白い玉が 2 個,青い玉が 1 個ある。\n(1)7個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。\n(2)7個すべての玉にひもを通し,首飾りを作るとき,何通りの首飾りができる か。\n[西南学院大]
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1 個 210 円の商品 と, 1 個 170 円の商品 Bをそれぞれいくつか買ったら, 代金が 4400 円になった。購入した商品 A,Bの個数を求めよ。
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EX自然数 n を 9 で割った商が m で余りが 5 である。商 m が奇数のとき, n^2 を 18 で割つた余りを求めよ。
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集合では, 最初に 1 つの集合 を決めて, の部分集合について考えることが多い。このとき, Uを全体集合という。 の部分集合 に対して, の要素のうち に属さない要素全体の集合を, に関する の補集合といい, で表す。
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事象 A, B が互いに排反であるとき、次の性質を証明しなさい:
\[n(A ∪ B) = n(A) + n(B)\]
さらに、全事象を U とすると、次の関係が成り立つことを示しなさい:
\[\frac{n(A ∪ B)}{n(U)} = \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)}\]
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EX自然数 を 5 進法と 7 進法で表すと,ともに 2 桁の数であり,各位の数の並びが逆になるとい う。 を 10 進法で表せ。 \(N=a b_{(5)}\) とすると,条件から よって \(a b_{(5)}=b a_{(7)}\) \nここで, で, \(a b_{(5)}\) の各位の数は 4 以下であるこ とから \(1 \leqq a \leqq 4,\quad 1 \leqq b \leqq 4 (1)\) から \(a \cdot 5^{1}+b \cdot 5^{0}=b \cdot 7^{1}+a \cdot 7^{0} すなわち 5 a+b=7 b+a 整理して 2 a=3 b ゆえに 2 a は 3 の倍数であるが, 2 と 3 は互いに素であるか ら, a は 3 の倍数である。1 \leqq a \leqq 4 であるから a=3 このとき,2 \cdot 3=3 b から b=2 これは, 1 \leqq b \leqq 4 を満たす。したがって N=3 \cdot 5^{1}+2 \cdot 5^{0}=17各位の数の並びが逆。\n —最高位の数は 0 では ない。 \n← 2 a=3 b — N=a b に代入。
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Join our DiscordQ.42
24(2)逆: n が奇数 \Longrightarrow n^{2}+1 は偶数,真対偶: n が偶数 \Longrightarrow n^{2}+1 は奇数, 真 裏 : n^{2}+1 が奇数 \Longrightarrow n は偶数
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5人の大人と3人の子どもが、円形のテーブルの周りに座る。子どもどうしが隣り合わない座り方は全部で何通りある。ただし、回転して一致するものは同じ座り方とみなす。
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三つの集合の共通部分と和集合を求める方法を用いて、次の集合V, W, Xで具体的に求めてください。
例: V = {1, 4}, W = {4, 5}, X = {4, 6}
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本 , bの式を主然数で割った余りの決定 は整数とする。 を 8 で割ると 3 余り, を 8 で割ると 6 余る。このとき,次の数を 8 で割った余りを求めよ。 (1) (2) (3) (4)
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1,2,3,4,5 の 5 種類の数字を用いて 2 桁の整数はいくつ作ることができるか。ただし,同じ数字を繰り返し用いてもよい。
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次の \ \square \ に適するものを,上の例題の選択肢 (1)〜(3) から選べ。\n(1) \ x y=1 \ は, \ x=1 \ かつ \ y=1 \ であるための \ \square \ .\n(2) \ x>0 \ かつ \ y>0 \ は, \ x y>0 \ であるための \ \square \ 。\n(3) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ で, \ \\mathrm{AB} = \\mathrm{BC} = \\mathrm{CA} \ は \ \\angle \\mathrm{A} = \\angle \\mathrm{B} = \\angle \\mathrm{C} \ であるための \ \square \ 。
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和の法則は、 D .287 \ で学んだ A ∩ B = ∅ \ ならば \( n(A ∪ B) = n(A) + n(B) \) に対応している。\n和の法則の例では、 で始まるものと で始まるもので樹形図の形が異なるから、積の法則は使えない。
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-2<x<5,-7<y<4 のとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) x+3
(2) 2 x
(3) x+y
(4) x-y
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次のデータはある 8 店舗での, あたりのみかんの価格である。ただし, の値は自然数 156 である。\n530, 550, 499, 560, 550, 555, 500, a (円)\n の値がわからないとき, 8 店舗の価格の中央値として何通りの値がありうるか。\n店舗数が 8 であるから,安い方から 4 番目と 5 番目の価格の平均が中央值となる。\n 以外の価格を安い方から順に並べると\n499,500, \underset{\sim}{530}, \underset{\sim}{550}, 550,555,560\n のとき,価格の中央値は (円)\n のとき,価格の中央値は (円)\n のとき,価格の中央値は 円と 550 円の平均 であり,530<a<550 を満たす自然数 の値は\nよって,価格の中央値は \(1+1+(549-531+1)=21\) (通り)の 値がありうる。
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「すべての〜」と「ある〜」の命題の否定について説明し、次の命題の否定を導いてください。
命題V: 「すべての自然数nに対して、nは偶数である」
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110 (1) (ア) 85 (イ) 63 (ウ) 125 (2) (ア) 110110_{(2)} (イ) 13000_{(5)} (ウ) 14003_{(7)}
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男 2 人,女 3 人の 5 人が 1 列に並ぶとき,次のような並び方は何通りあるか。(1) 両端が女である。(2) 男 2 人が隣り合う。(3) 男が隣り合わない。
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10 個の文字,N,A,G,A,R,A,G,A,W,A を左から右へ横 1 列に並べる。\n(1)「NAGARA」という連続した6 文字が現れるような並べ方は全部で何通り あるか。\n(2) N,R,W の 3 文字が,この順に現れるような並べ方は全部で何通りある か。ただし,N,R,W が連続しない場合も含める。
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TRAINING 110 (1)\n(1) 次の数を 10 進法で表せ。\n(ア) \( 1010101_{(2)} \)\n(イ) \( 333_{(4)} \)\n(ウ) \( 175_{(8)} \)\n\n(2) 次の 10 進数を [ ] 内の表し方で表せ。\n(ア) 54 [2 進法]\n(イ) 1000 [5 進法]\n(ウ) 3776 [7 進法]
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EX 500 以下の自然数の中で, 次の集合の要素の個数を求めよ。\n(1) 3 で割り切れる数の集合\n(2) 3 でも 5 でも 7 でも割り切れる数の集合\n(3) 3 で割り切れるが, 5 で割り切れない数の集合\n(4) 3 でも 5 でも割り切れない数の集合\n(5) 3 で割り切れるが, 5 でも 7 でも割り切れない数の集合\n[日本女子大]
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56 (1) 逆: x \neq-1 \Longrightarrow x^{2} \neq-x, 偽対偶 : x=-1 \Longrightarrow x^{2}=-x, 真裏: x^{2}=-x \Longrightarrow x=-1, 偽 (2) 逆: x または y は有理数 \Longrightarrow x+y は有理数, 偽 対偶: x, y はともに無理数 \Longrightarrow x+y は無理数, 偽 裏 : x+y は無理数 \Longrightarrow x, y はともに無理数, 偽
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順列に関連する問題:
1. 順列の総数 (n個からr個取る場合) を求めよ
2. 円順列の総数を求めよ
3. じゅず順列の総数を求めよ
4. 重複順列の総数を求めよ
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( ∘sqrt{3} )^2, ( - sqrt{3/2} )^2, sqrt{(-7)^2}, - sqrt{(-9)^2}の値をそれぞれ求めよ。
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Join our DiscordQ.84
(2) x \geqq 0, y \geqq 0, x+y=2 のとき、x^2+y^2 の最大値と最小値を求めよ。
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次の計算を, Lecture を参考にして2進数のまま行い,結果も 2 進法で表せ。\n(1) \( 1110_{(2)}+1011_{(2)} \)\n(2) \( 11001_{(2)}-1010_{(2)} \)
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例 とすると, は の部分集合であり, である。補足) 右のような図をベン図という。ベン図に要素を書き込むと, 各要素がど の集合に属しているかわかりやすい。
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ある工場で作る部品 A, B, C はネジをそれぞれ 7 個, 9 個, 12 個使っている。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ,ネジが全部で 35 個あった。残った部品 A, B, C の個数をそれぞれ l, m, n として, 可能性のある組 l, m, n をすべて求めよ。
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Join our DiscordQ.94
\ \\sqrt{x} = \\sqrt{17 + \\sqrt{253}} - \\sqrt{17 - \\sqrt{253}} \ が成り立つような整数 \ x \ を求めよ。
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Lecture 最短経路の数を書き込んで求める
最短経路の総数を求める問題は, 順列・組合せの公式を知らなく ても求めることができる。
例えば,右の図のような街路で
までの道順が 通り
までの道順が 通り
あれば, までの道順は, \( (p+q) \) 通りである。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline \multirow{2}{*}{\multicolumn{2}{|c|}{6}} & 18 & \begin{tabular}{|l|l}
36
\end{tabular} & 60 \
\hline & & 12 & 18 & 24 \
\hline 3 & & 6 & 6 & 6 \
\hline & 3 & & & \
\hline & & & & \
\hline
\end{tabular}
1표 o
4
組
合
せ
TRAINING 21 (3)
右の図のように道路が碁盤の目のようになった町で, A地点 からB地点へ最短距離で行く。
(1)すべての道順は何通りあるか。
(2)(1)のうちで,C地点を通る道順は何通りあるか。
(3)(1)のうちで,C地点を通らない道順は何通りあるか。
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異なる 個の円順列の総数は \( (n-1)! \) 通り\n■じゅず順列\n異なる 5 個の玉を糸でつないで輪にし て裏返すと,右の 2 つは同じものにな る。このように, 異なるいくつかのものを 円形に並べて,回転または裏返して,一致するものは同じものとみるとき,その並べ方をじゅず順列という。じゅず順列の総数は, 円順列の中に同じものが 2 つずつあるから円順列の総数の半分である。\n異なる 個のじゅず順列の総数については,次のことがいえる。\nじゆす順列の総数異なる 個のじゅず順列の総数は \( \\frac{(n-1)!}{2} \) 通り
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84 例題\n本 47 集合の素し方, 包含関原\n(1) 24 の正の約数全体の集合を とするとき,次の に適する記号 また は を入れよ。\n(ア) 6 A\n(イ) 9 A\n(ウ) -2 A\n(2)次の 2 つの集合 の間に成り立つ関係を,記号 を用いて表せ。\n(ア) は 5 以下の自然数 \n(イ) \( A=\{5 n \mid n=1,2\}, \quad B=\{x \mid(x-5)(x-10)=0\} \)
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n を整数とするとき,次のことを証明せよ。
(1) n^{2}+5 n+1 を 2 で割った余りは 1 である。
(2) n^{2}+1 は 3 の倍数ではない。
2 k, 2 k+1 ; 3 k, 3 k+1,3 k+2 などの形で表される
(1) 2 で割るから, すべての整数 n を 2 k, 2 k+1 ( k は整数)に分類。
(2) 3 の倍数ではないことを示すから, すべての整数 n を 3 k, 3 k+1,3 k+2 ( k は整数)に分類。
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関数 f(x)=x^{2}+a x+b の 0 \leqq x \leqq 1 における最小値を m とするとき, m を a と b で表せ。
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集合の共通部分と和集合・補集合を定義し、例を用いて説明してください。
例: E = {1, 3, 5}, F = {3, 4, 5}
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10 以下の自然数全体の集合を全体集合 とし, の部分集合 を とする。次の集合を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \n(エ) \n実数全体を全体集合とし,その部分集合 を\n は実数 は実数 とするとき,集合 をそれぞれ求めよ。
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m, n を整数とするとき, 対偶を利用して, 次の命題を証明せよ。
(1) n^{2}+4 n+3 が 4 の倍数ならば, n は奇数である。
(2) m n が偶数ならば, m, n のうち少なくとも 1 つは偶数 である。
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次の条件の否定を述べよ。ただし,x, y, m, n は実数とする。
(1) x は正の数である
(2) x ≠ 0 または y = 0
(3) 0 ≤ x < 1
(4) x, y の少なくとも一方は無理数である
(5) m, n はともに正の数である
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次のような最短の道順は何通りあるか。\n(1) AからBまで行く\n(2) AからCを通ってBへ行く\n(3) AからCを通らずにBまで行く
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集合とその要素の概念を使って問題を解きましょう。次の集合 A を考えます。\n\nA=\{1, 2, 3, 4, 5\}\n\nこの集合 A のすべての部分集合を書き出してください。
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(1)百の位の数は 3 か 4 か 5 であるから,その選び方は 3 通り そのどの場合に対しても十の位,一の位には残りの 4 個の数字 から2個を取って並べるから,その並べ方は 4P2 通り よって, 積の法則から 3 × 4P2=3 × 4 × 3=36 (個)
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254 一数学 EX 進法で表された 3 桁の数 \( a b c_{(n)} \) があり, とする。 \( a b c_{(n)} \) と \( c b a_{(n)} \) の差が 10 進法 (4) 63 で 15 になるように 定め, \( a b c_{(n)} \) を 10 進法で表せ。条件から\nまた \( \quad a n^{2}+b n+c-\left(c n^{2}+b n+a\right)=15 \)よって \( \quad(a-c) n^{2}-(a-c)=15 \)ゆえに \( \quad(a-c)\left(n^{2}-1\right)=15 \cdots \cdots \) は2以上の自然数であるから よって ゆえに, (2)から \すなわち \n は平方数であるから, のみが適する。 よって [1] のとき, (1) から この不等式を満たす整数 は存在しない。\n[2] のとき, であるから, の組は \( \quad(a, c)=(2,1),(3,2) \)。bは のいずれでもよい。\n以上から このとき, \( a b c_{(n)} \) は\( 201_{(4)} \) は 10 進法で \n\( 302_{(4)} \) は 10 進法で \n\( a b c_{(4)} \) は, bが 1 増えるごとに 10 進法では 4 ずつ増えるから,\n(4)の各数を 10 進法で表すと,順に \nCHAR\n 進法の扱い 10 進法で考える。\n\( a b c_{(n)} \) は 10 進法で\n« は 15 の約数。 \[\leftarrow(a-c) \cdot 15=15\]
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Join our DiscordQ.18
108 (1) x=16 k+7, y=55 k+24 ( k は整数) (2) x=16 k+14, y=55 k+48 ( k は整数 )
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5 個の数字 0, 1, 2, 3, 4 から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき、次のような数はいくつできるか。
(1) 整数
(2)偶数
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次の等式を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。 (1) (x+3)(y-4)=5 (2) x y-6 x+3 y=20
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3x + 5y = 7 を満たす整数 x, y で, 100 ≤ x + y ≤ 200 となる (x, y) の個数は □ 個である。 [関西大]
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次の1~4のうち,正しいものをすべて選べ。(1) −sqrt{0.25}= & ±0.5 である。(2) −sqrt{0.25}=0.5 である。(3) −49/−64 の平方根は ±7/±8 である。(4) −49/−64 の平方根は ±7/±8 のみである。
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A の袋には 1,3,5,7,9 の数字が 1 つずつ書かれ た 5 個の球が入っており, B の袋には 2,4,6,8 の数字が 1 つずつ書かれた 4 個の球が入って いる。
A と Bが各自の袋から球を 1 個取り出し, 書かれた数が大きい方の人を勝ちとする。また, 勝っ たときには自分が出した数を得点とし,負けたときには得点は 0 とする。このとき,A,Bのど ちらの方が有利か。
球の取り出し方の総数は 5 \times 4=20 通り
A が勝つ場合は (3,2),(5,2),(5,4),(7,2),(7,4),(7,6),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)
Bが勝つ場合は (2,1), (4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7)
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Join our DiscordQ.29
したがって, 「誕生日が A,B,Eのカードにある」ということは,その誕生日が 「16と 8 と 1 の和で表される」ことを意味する。この はカードの左上に書いてあるから,これを足すだけです ぐに当てることができるというわけである。他に 13 の場合も考えてみる。13 は B, C, Eのカードにある。「誕生日が B, C,Eのカードにある」ということは,その誕生日が「 と 4 と 1 の和で 表される」ことを意味するから, より, 13 日であることがわかる。なるほど。だから, 誕生日が当てられるんですね。ところで, すでに気付いた人もいるかもしれませんが, この表の作り方の原理は, 2 進法と密接に関連しています。
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Join our DiscordQ.30
4 人の生徒に 1 本 50 円の鉛筆と 1 冊 70 円のノートを買って配りたい。鉛筆が 1 人 1 人の生徒に114 同じ本数ずつ渡るように, また, ノートも 1 人 1 人の生徒に同じ冊数ずつ渡るように買ったところ, 代金の合計が 1640 円になった。買った鉛筆の本数とノートの冊数をそれぞれ求めよ。生徒 1 人あたりの鉛筆の本数を x 本, ノートの冊数を y 冊とすると x ≥ 1, y ≥ 1 条件から 50 × 4x + 70 × 4y = 1640
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4 個の果物 (A), (B), (C), (D) から異なる 3 個を選ぶとき, 選び方は次の 4 通りある。
{(A), (B), (C)},
{(A), (B), (D)},
{(A), (C), (D)},
{(B), (C), (D)}
このように、ものを取り出す順序を無視した組を作るとき、これら の組の 1 つ1つを組合せという。
一般に、r <= n のとき、異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して作る組合せを n 個から r 個取る組合せといい、その総数を nCr で表す。
例:4 個から 3 個取る組合せの総数は、4C3 で表される。組合せの総数 nCr
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TR 0, 1, 2, 3, 4, 5 の 6 個の数字から異なる 4 個の数字を取って作られる 4 析の整数のうち, 次 312 のような数は何個あるか。
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のとき次の集合を求めよ。\n(ア) \ A \\cap B \\n(イ) \ A \\cup B \\n(ウ) \\bar{A} \\n(エ) A \\cap \bar{B} \
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n+2016 が 5 の倍数で, n+2017 が 12 の倍数であるような自然数 n のうち、3桁で最大のものを求めよ。
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ある商品は単価が10円のとき1日100個売れる。単価を1円上げるごとに、1日の売り上げは5個ずつ減り、単価を1円下げるごとに、1日の売り上げは5個ずつ増える。単価をいくらにすると1日の売上金額が最大になるか。売上金額の最大値とそのときの単価を求めよ。ただし、消費税は考えない。
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Join our DiscordQ.36
円順列\nものを円形に並べる順列を円順列という。円順列では,適当に回転して並びが同じになるものは同じ並び方とみなす。具体的に, A, B, C, Dの 4 人が円形に並ぶ円順列を考える。 まず, 4 人が 1 列に並ぶ順列を作る。これは全部で { }_{4} \mathrm{P}_{4}=4!=24 通りあり,列挙すると次のようになる。
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Join our DiscordQ.37
次のような数は何通りあるか。5 個の数字 1 , 2,3,4,5 から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき, (2) 奇数
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Join our DiscordQ.40
5 人の生徒に英語の試験を実施したところ,5 人の得点は 58,65,72, x, 76 (点) であった。この 5 人の得点の平均が 71 (点)のとき, \ x \ の値を求めよ。
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Join our DiscordQ.42
三つの集合の共通部分と和集合を定義し、具体例を使って説明してください。
例: G = {1, 2}, H = {2, 3}, I = {3, 4}
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Join our DiscordQ.44
方程式 \ \\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}=\\frac{1}{2} \ を満たす自然数 \ x, y \ の組をすべて求めよ。ただし, \ x .. y \ とする。
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Join our DiscordQ.49
300 以下の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。
(1) 5 の倍数
(2) 8 の倍数
(3) 5 の倍数でない数
(4) 5 の倍数かつ 8 の倍数
(5) 5 の倍数または 8 の倍数
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Join our DiscordQ.50
527\n99 (1) \ -2<x<-1,2<x<4 \\n(2) \ -2<x<-1,-1<x<3 \\n(3) \ -3 \\leqq x<\\frac{1}{3} \\n(4) \ 1<x<\\frac{1+\\sqrt{13}}{2} \\n\ 1001 \\leqq x \\leqq 4-\\sqrt{3}, 4+\\sqrt{3} \\leqq x \\leqq 7 \\n101 (1) \ a<0 \\n(2) \ -\\frac{b}{2 a}>0 \\n(3) \ b>0 \\n(4) \ c<0 \\n(5) \ b^{2}-4 a c=0 \\n\ 102 m=-\\frac{7}{2} \, 共通解 \ x=2 \\n103 (1) \ a \\neq \\pm 1 \ のとき \ x=-\\frac{1}{a+1} \, \ -\\frac{1}{a-1} ; a=-1 \ のとき \ x=\\frac{1}{2} \; \ a=1 \ のとき \ x=-\\frac{1}{2} \\n(2) \ a>0 \ のとき \ -a<x<3 a \, \ a=0 \ のとき 解はない, \ a<0 \ のとき \ 3 a<x<-a \\n104 (1) \ a=-\\frac{5}{2}, \\quad b=-\\frac{3}{2} \\n(2) \ a=-1, \\quad b=2 \\n105 (ア) -3\n(イ) 2\n(ウ) -7\n() \ \\frac{7}{3} \\n106 (1) \ 1<a<2 \\n(2) \ a<1 \\n107 (1) \\( (-2,-1),(3,14) \\)\n(2) \\( (3,-3) \\)\n(3)共有点はない\n\ 108 x=0, y=5 \ のとき最大値 75\n\ x=0, y=-1 \ のとき最小値 3\n109 略\n110\n(1) \ -5<x<4 \\n(2) \ x \\leqq 5, \\quad 9 \\leqq x \\nEXERCISES の解答\n\\( 50(2 a,-4 a-3 b+9), a=1, b=1 \\)\n51 (1) \ a=4,20 \\n(2) 5 個\n\ 52 a=-1 \\n53 (1) \ -1 \\leqq m \\leqq \\frac{1}{3} \\n(2) \ m<2-2 \\sqrt{3}, 2+2 \\sqrt{3}<m \\n(3) \ m>\\frac{3}{2} \\n(4) \ m<-2,3<m \\n\ 54 k \\geqq \\frac{-2+\\sqrt{13}}{2} \\n55 (1) \ 3-\\sqrt{2} \\leqq x<2, \\quad 4<x \\leqq 3+\\sqrt{2} \\n(2) \ -\\frac{5}{2}<x<-1 \\n(3) \ x=0,3 \\n56 (1) 略 (2) \ -2<a<6 \\n57 (1) \ 0<a<6 \ (2) \ -2<a \\leqq 0,6 \\leqq a<8 \\n58 (2), (4)\n59 (1) \ x=1 \\n(2) \ b=-a-1, \\quad a \\neq-\\frac{1}{2} \\n(3) 略\n\ 60-8 \\leqq a<-7, \\quad 6<a \\ leqq 7 \\n61 (1) \ -2<a<2 \\n(2) \ -\\sqrt{5}<a<\\sqrt{5} \\n(3) \ a \\leqq-\\frac{5}{2} \\n62 (ア) -1\n(イ) 7 (ウ) \ \\frac{7}{2} \\n(I) 7\n63 (1) \ b \\geqq-4 \\n(2) \ b=-4 \, 接点の座標は \\( (3,2) \\)\n答\nの\n部\n数\n学\nI\n答\nの\n部\n数\n学\nI
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基 例 題\n本45期待値の計算\n(1)さいころを1個投げ,出た目を得点とする。得点の期待値を求めよ。\n(2) 2 枚の 10 円硬貨を同時に 1 回投げ,表が出た硬貨をもらうとき,もらえる 金額の期待値を求めよ。
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Join our DiscordQ.52
324 発 例題
《基本例題 9
SHUDAI の 6 文字を全部使ってできる文字列(順列)をアルファベット順の辞書式に並べる。ただし,ADHISUを1番目,ADHIUSを2番目, USIHDA を最後の文字列とする。
[広島修道大]
(1) 110 番目の文字列は何か。
(2)文字列 SHUDAI は何番目か。
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Join our DiscordQ.53
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 37x + 32y = 1
[類: 鹿児島大]
(3) 97x + 68y = 12
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10人の生徒をいくつかのグループに分ける。このとき (1) 2人、3人、5人の3つのグループに分ける分け方は何通りあるか。 (2) 3人、3人、4人の3つのグループに分ける分け方は何通りあるか。 (3) 2人、2人、3人、3人の4つのグループに分ける分け方は何通りあるか。
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Join our DiscordQ.58
部分集合とは何かを定義し、次の例を用いて部分集合を確認してください。
例: C = {a, b}, D = {a, b, c}
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Join our DiscordQ.63
a は自然数とする。 a+2 が 7 の倍数であり, a+3 が 3 の倍数であるとき, a+9 は 21 の倍数であることを証明せよ。
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Join our DiscordQ.64
数学 A\n(1) x^{2}+3 y^{2}=36 を満たす整数 x, y の組をすべて求めよ。\n(2) x^{2}+x y+y^{2}=19 を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ。
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Join our DiscordQ.66
三角数
下の図のように小石を三角形状に並べると, 図に含まれる小石の個数は順に 1, 1+2,1+2+3,1+2+3+4 … となります。このような数を三角数といいま
…
T_{3}
T_{4}
以下,上の図のように三角形状に並べた小石を「三角図」と呼ぶことにし,一番下の行の小石の個数が n である三角図を T_{n}, T_{n} に含まれる小石の個数を S_{n} とする。
n が大きくなると,三角数を計算するのは大変そうです。
例えば, S_{50} を求めるには, 1 から 50 まで足すことになります。
和を計算すると大変ですが,三角図を組み合わせることによって, 三角数を求めることができますよ。
右の図のように 2 つの三角図 T_{50} を並べると長方形ができます。このことから, S_{50} を求めてみましょう。
縦に 50 個, 横に (50+1) 個の小石が並んでいるから
2 S_{50}=50 · 51 よって S_{50}=1275
この考え方を用いれば,大きな三角数も簡単に求めることができます。
そうですね。同じように考えれば
S_{n}=½ n(n+1)
であることがわかります。
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Join our DiscordQ.67
4 人の生徒に 1 本 50 円の鉛筆と 1 冊 70 円のノートを買って配りたい。鉛筆が 1 人 1 人 の生徒に同じ本数ずつ渡るように,また,ノートも 1 人 1 人の生徒に同じ冊数ずつ渡る ように買ったところ, 代金の合計が 1640 円になった。買った鉛筆の本数とノートの冊数をそれぞれ求めよ。
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Join our DiscordQ.68
7 個の値 \ 1,5,8,12,17,25, a \ からなるデータの平均値が 12 であるとき, \ a \ の値を求めよ。
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Join our DiscordQ.71
(2)一の位の数は 1 か 3 か 5 であるから,その選び方は 3 通り そのどの場合に対しても百の位, 十の位には残りの 4 個の数字 から 2 個を取って並べるから,その並べ方は 4P2 通り よって, 積の法則から 3 × 4P2=3 × 4 × 3=36 (個)
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Join our DiscordQ.73
5 個の数字 1 ,2,3,4,5から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき, 次の ような数はいくつできるか。\n(1) 300 以上の数\n(2)奇数
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Join our DiscordQ.78
就業者数について, (男性の就業者数) + (女性の就業者数) (就業者数全体) であることに注意する。例えば,男性の就業者数割合が であれば,女性の就業者数割合は である。
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Join our DiscordQ.80
方程式 3 x y=4 x+2 y を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ。ただし, x ≧ y とする。\n x ≧ y であるから 4 x+2 y ≤ 4 y+2 y これと 3 x y=4 x+2 y から 3 x y ≤ 6 y よって x ≤ 2 ゆえに x=1,2\n[x=1 のとき] 方程式は 3 y=4+2 y よって y=4\n[x=2 のとき] 方程式は 6 y=8+2 y よって y=2\n以上から,求める x, y の組は (x, y)=(1,4),(2,2)
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Join our DiscordQ.83
自然数 を 7 進法と 5 進法で表すと,ともに 3 桁の数であり,各位の数の 並びが逆になるという。 を 10 進法で表せ。
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Join our DiscordQ.84
集合 と の基本的な関係とド・モルガンの法則を説明せよ。\n(1) 部分集合: \n(2) 空集合: \n(3) 共通部分: \n(4) 和集合: \n(5) 補集合: \nド・モルガンの法則:,
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Join our DiscordQ.86
先生が男女 1 人ずつと生徒が男女 3 人ずつ, 合計 8 人が円卓に等間隔に座るとき, 次の ような並び方の総数をそれぞれ求めよ。
(1)男女が交互に並ぶ並び方
(2) 先生が向かい合う並び方
(3)先生が隣り合う並び方
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Join our DiscordQ.88
400 以下の自然数のうち、次のような数の個数を求めよ。
(1) 4 の倍数
(2) 4 の倍数でない数
(3) 4 の倍数かつ 10 の倍数
(4) 4 の倍数または 10 の倍数
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Join our DiscordQ.90
集合の表し方と包含関係について説明し、次の例を使ってそれらを示してください。
例: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}
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Join our DiscordQ.92
1 個 160 円のりんごと 1 個 130 円のみかんを合わせて 20 個買い, これを 200 円 のかごに入れ,代金の合計を 3000 円以下にしたい。りんごをできるだけ多く買 うとすると,りんごは何個買えるか。ただし,消費税は考えない。
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Join our DiscordQ.93
例 整数を 2 で割ると,余りは 0 か 1 であるから,すべての整数は,整数 k を用いて のいずれかの形で表される。 また,整数を 3 で割ると,余りは 0 か 1 か 2 であるから,すべての整数は、 整数 を用いて のいずれかの形で表される。
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Join our DiscordQ.94
(ア) \\\\( \\frac{1}{4} \\\\\\\n(1) \\\\( \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\\\\\\n(ウ) \\\\( \\frac{3 \\sqrt{6}}{8} \\\\\\\n(I) \\\\( \\frac{7}{8} \\\\\\\n(J) 224
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Join our DiscordQ.96
分散の公式 s² = x̄² - (x̄)² を利用して, 6 個の値 10, 7, 8, 0, 4, 2 からなるデータの分散を求めよ。ただし, 小数第 2 位を四捨五入せよ。
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Join our DiscordQ.99
62\n基 例題\n本 32 不等式の性質の利用 (1)\n のとき, 次の 2 数の大小関係を調べて,不等式で表せ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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Join our DiscordQ.00
次の等式を満たす正の整数 の組をすべて求めよ。\n(1) \n(2) \n[(1) 金沢工大 (2)類 名古屋大]
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Join our DiscordQ.01
TR n を整数とするとき, 次のことを証明せよ。\n92\n(1) n^{2}+3 n+6 は偶数である。\n(2) n(n+1)(5 n+1)\nは 3 の倍数である。
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Join our DiscordQ.03
TR は自然数とする。 が 5 の倍数であり, が 8 の倍数であるとき, は 40 の倍数 90 であることを証明せよ。
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Join our DiscordQ.04
次の 10 進数を[]内の表し方で表せ。\n(ア) 54 [2 進法]\n(イ) 1000 [5 進法]\n(ウ) 3776 [7 進法]
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Join our DiscordQ.06
ある数値列において、すべての要素の和を計算せよ。例えば、数値列が [1, 2, 3, 4, 5] の場合、和は 15 となる。
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Join our DiscordQ.07
赤玉 1 個,青玉 2 個,黄玉 2 個,白玉 2 個がある。\n(1) 7 個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。\n(2)7個すべての玉に糸を通し,腕輪を作るとき,何通りの腕輪ができるか。
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Join our DiscordQ.09
1 から 100 までの整数のうち, 次のような数はいくつあるか。\n(1) 3 で割り切れない数\n(2) 3 でも 8 でも割り切れない数\n1 から 100 までの整数全体の集合を U とし, の部分集合で 3 で割り切れる数( 3 の倍数)全体の集合を A, 8 で割り切れる数( 8 の倍数)全体の集合を B とすると , \( B=\{8 \cdot 1,8 \cdot 2, \cdots \cdots, 8 \cdot 12\} よって n(A)=33, n(B)=12 である。
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Join our DiscordQ.10
縦 3m 24cm, 横 1m 80cm の長方形の壁に, 1 辺の長さが整数で表される同じ大きさの正方形の紙をすき間なく貼りたい。貼る紙をできるだけ大きくするには 1 辺の長さ を何 cm にすればよいか。また,そのときの紙の枚数を求めよ。
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49 (1) (ア) {3,6,8} (イ) {1,2,3,6,8,9,10} (ウ) {2,4,5,7,9} (I) {1,10} (2) \bar{A}={x \mid x<-1,2<x, x は実数}, \bar{A} \cap B={x \mid 2<x<3, xは実数}
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全体集合を , その部分集合を とする。 であるとき, , は,それぞれ次の(1~(3) のどの集合と一致するか。
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次の集合を求めよ。
A={n | n は 12 の正の約数}, B={n | n は 18 の正の約数}, C={n | n は 7 以下の自然数}
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2 つの集合 と のどちらにも属する要素全体 の集合を と の共通部分といい, と表す。また, 集合 と の少なくとも一方に属する要素全体の集合を と の和集合といい, と表す。
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55 (1) x は正の数でない ( x は 0 以下の数である) (2) x=0 かつ y \neq 0 (3) x<0 または x \geqq 1 (4) x, y はともに無理数でない ( x, y はともに有理数である ) (5) m, n のうち少なくとも一方は 0 以下の数で ある (m \leqq 0 または n \leqq 0)
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x の不等式 x^{2}+2 x-8>0, x^{2}-(a+3) x+3 a<0 を同時に満たす整数 x が 3 つあるとき, 定数 a の値の範囲を求めよ。
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「 m または n が偶数ならば, m n は偶数である」 m が偶数のとき, m=2k ( k は整数)と表され mn = 2k • n = 2 • kn kn は整数であるから, m n は偶数である。 n が偶数のときも, 同様にして m n が偶数であることが示され る。よって,対偶は真である。したがって, もとの命題も真である。 ← q の対偶は 㥦耟 すべての整数は k を整数として, 次の (1) や (2) などで表される。
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5 人の大人と 3 人の子どもが, 円形のテーブルの周りに座る。子どもどうし が隣り合わない座り方は全部で 何通りある。ただし,回転して一致する ものは同じ座り方とみなす。
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次の数のうち,2,3,4,5,9の倍数をそれぞれ選べ。1012, 1050, 1521, 2055, 3224, 21102
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次の方程式の整数解をすべて求めよ。\n(1) 12x - 11y = 0 \\n(2) 23x + 8y = 1 \
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EX を満たす整数 で, となる \( (x, y) \) の個数は ¥( \square ¥) 個である。 ¥( ¥qquad ¥)\n[関西大] (1) とする。\n は(1)の整数解の 1 つである。\nよって\n\[3\cdot(-1)+5\cdot2=7\]\n(1)-(2) から\n\[3(x+1)+5(y-2)=0\]\nすなわち ¥( 3(x+1)=-5(y-2) ¥) \(¥qquad ¥)\n3 と 5 は互いに素であるから, 3 る。\nゆえに, ¥( k¥) を整数として, と表される。\nこれを (3) に代入して \nしたがって, ① のすべての整数解は\n¥[ \\begin{array}{lc}\nx=5k-1, & y=-3k+2 \(\\quad(k \\text{ は整数 }) ¥)\n\\100 \\leqq x+y \\leqq 200\\text{から }\n \\text{sなわち}\n \\frac{99}{2} \\leqq k \\leqq \\frac{199}{2} \\]¥\n ¥(\ the range for k \ is 50 to 99. Therefore, there are solutions.
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3 つの集合の要素の個数\n(1) 全体集合 部分集合 について, 次の等式を証明せよ。\n\\[\n\\begin{aligned}\nn(A \\cup B \\cup C)=n & (A)+n(B)+n(C) \\\n& -n(A \\cap B)-n(B \\cap C)-n(C \\cap A)+n(A \\cap B \\cap C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(2) 4 または 6 または 9 で割り切れる, 1000 以下の自然数の個数を求めよ。
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次のような数は何通りあるか。5 個の数字 1 , 2,3,4,5 から異なる 3 個の数字を取って 3 桁の整数を作るとき, (1) 300 以上の数
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次の数を 10 進法で表せ。\n(ア) 1010101_{(2)}\n(イ) 333_{(4)}\n(ウ) 175_{(8)}
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集合 P = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} について、次の要素が P に属するかどうか判断してください。\n\n(a) 2\n(b) 7\n(c) 10\n(d) 15
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ある国ではこの数年間に石油の消費量が 1 年に ずつ増加している。このままの 状態で石油の消費量が増加し続けると,3年後には現在の消費量の約ア 倍になる。 また,石油の消費量が初めて現在の 10 倍以上になるのはイ 年後である。ただし, とし, には自然数を入れよ。\n[類 慶応大]
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次の等差数列の一般項を求めよ。\n(ア) \n(イ) , \n(2) 第 9 項が 26 , 第 18 項が 53 である等差数列において, 134 はこの数列の第何項か。 また,第何項が初めて 1000 を超えるか。
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この工場において、1日で作ることができる製品 P, Q の量の合計 x+y(kg) は, (x, y)= (トト, ナニ) のとき最大となり, そのとき, x+y= 又ネ である。 トト~ナニに当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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次の問いに答えよ。ただし,m は自然数とする。
(1) 10 以上 100 以下の自然数のうち,3 で割り切れるものの和を求めよ。
(2) 10 以上 3m 以下の自然数のうち,3 で割り切れるものの和が 3657 であるとする。このとき, m の値を求めよ。
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点 の座標は \( \left(\frac{(-2) \cdot 8+3 \cdot 7}{3-2}, \frac{(-2) \cdot 1+3 \cdot 6}{3-2}\right) \)。 点 の座標は \( \left(\frac{2 \cdot 7+3 \cdot(-3)}{3+2}, \frac{2 \cdot 6+3 \cdot 1}{3+2}\right) \)。 よって、重心の座標を求めなさい。
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次の条件によって定められる数列 の一般項を求めよ。
(1)
(2) \( \quad a_{1}=2, \quad n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+1 \)
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1 等差数列
A 10 数列 {a_n} は, 初項 a および公差 d が整数であるような等差数列であり,
8 ≤ a_2 ≤ 10, 14 ≤ a_4 ≤ 16, 19 ≤ a_5 ≤ 21
を満たしているとする。このような数列 {a_n} をすべて求めよ。
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1 から順に自然数を並べて,下のように 1 個, 2 個,4個,…‥となるよ うに群に分ける。ただし,第 群が含む数の個数は 個である。\n1|2 , 3| 4 , 5 , 6,7 | 8, \cdots \cdots\n(1) 第 5 群の初めの数と終わりの数を求めよ。\n(2) 第 群に含まれる数の総和を求めよ。\n[類 京都産大] 重要 24
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次の等式を証明せよ。
(1) ただし \( n \geqq 2,1 \leqq k \leqq n) \)
(2) (ただし \( \left.n \geqq 1\right) \)
(3) \( 2 \cdot 1 \cdot{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+3 \cdot 2 \cdot{ }_{n} \mathrm{C}_{3}+\cdots \cdots+n(n-1)_{n} \mathrm{C}_{n}=n(n-1) 2^{n-2} \) (ただし \( \left.n \geqq 2\right) \)
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次の数列が等比数列であるとき, その公比をいえ。また, に適する数を求めよ。\n(1) , \n(2) ...... ,
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自然数 \( n(n \\geqq 2) \), 正の数 に対して,\n\\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n} \\geqq \\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \\cdots \\cdots a_{n}}\\n(等号が成り立つのは のとき)\n例えば, のとき \\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3} \\geqq \\sqrt[3]{a_{1} \\alpha_{2} a_{3}} \\n\n=4 \\text { のとき } \\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4} \\geqq \\sqrt[4]{a_{1} \\alpha_{2} \\alpha_{3} \\alpha_{4}} \\text { となる。 }\
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以下の項の初項と二項を求めよ: (1) (2) (3) \( a_{n}=-\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}+1 \) (4) \( S_{n}=-\left(\frac{5}{3}\right)^{n}+n+1 \)
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(1) は何桁の数で, 最高位の数字と末尾の数字は何か。\n\n\n\n\n(2) は小数第何位に初めて 0 以外の数字が現れるか。また,その数字は何か。\n\n
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次の等比数列で, 公比は実数とする。指定されたものを求めよ。\n(1) 初項が -128 , 第 6 項が 4 のとき, 公比\n(2) 第 3 項が 72 , 第 6 項が 243 のとき, 初項と公比\n(3) 第 2 項が 6 , 第 6 項が のとき, 一般項
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PRACTICE 137^{3} \\n関数 \( f(\\theta)=8 \\sqrt{3} \\cos^{2} \\theta + 6 \\sin \\theta \\cos \\theta + 2 \\sqrt{3} \\sin^{2} \\theta (0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi) \) の最大値と最小値を 求めよ。
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次の定義を使って問題を解いてください: 定義: a が 2、m が 3 のとき、a^{-m} の値を求めてください。
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EX初項 200 , 公差 -6 の等差数列の初項から第 項までの和を とする。 の最大値はア で, ③) そのときの 6 の値は である。 が初めて負になるときの の値はウ で,その ときの の値は である。
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次の式を求めよ:\n16. (1) \frac{3}{(x-3)(x+3)}\n(2) \frac{3}{(a-1)(a+2)}
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第 1 章 数列\n349\nn=7 k+5, \nn=13 l+11\nよって 7 k+5=13 l+11\nゆえに 7 k-13 l=6\nk=l=-1 は(1)の整数解の 1 つであるから, (1) は\n7(k+1)-13(l+1)=0 と変形できる。\nよって 7(k+1)=13(l+1)\n7 と13は互いに素であるから,mを整数としてk+1=13 m すなわち k=13 m-1 と表される。このときn=7 k+5=7(13 m-1)+5=91 m-2\n200 ≤ 91 m-2 ≤ 500 とすると 202/91 ≤ m ≤ 502/91を満たす整数m は3,4,5\nよって, 条件を満たす自然数は 3 個あり, その 3 個の自然数 の和は (91 * 3-2)+(91 * 4-2)+(91 * 5-2)=1086
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校長先生の調査によると、全く読書をしなかった生徒は 36 人であり、同様の調査を図書委員会も行った。100 人の生徒を無作為に抽出したその調査における、全く読書をしなかった生徒の数を とする。以下の選択肢から正しいものを選べ。 \n\n選択肢: \n (0) は必ず 36 に等しい \n (1) は必ず 36 未満である \n (2) は必ず 36 より大きい \n (3) と 36 との大小はわからない
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PR 1, 2, 3 の数字を記入した球が, それぞれ 1 個, 4 個, 5 個の計 10 個袋の中に入っている。これ 70 を母集団として, 次の問いに答えよ。\n(1)球に書かれている数字を変量 としたとき,母集団分布を示せ。\n(2) 母平均 , 母標準偏差 を求めよ。
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次の数列の第 項を求めよ。また, 初項から第 項までの和を求めよ。(2) 19 (2) また,初項から第 項までの和を求めよ。
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(1) \( a_{n}=2 n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)\n(2) \( a_{n}=\frac{n(3 n+1)}{2} \)
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4 初項から第 10 項までの和が 100 ,初項から第 20 項までの和が 350 である等差数列の初項と公差を求めよ。また, この数列の, 第 21 項から第 30 項までの和を求めよ。
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PR 1 から 100 までの整数について, 次の数の和を求めよ。\n(1) 5 で割って 2 余る数\n(2) 3 で割り切れない数\n(3) 3 の倍数または 5 の倍数
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数学 \nEX \( a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{2}{n}\right) a_{n}(n \geqq 1) \) を満たす数列 がある。この数列の一般項を求めよ。\n[立命館大]
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ある月に生まれた1対(オス1匹,メス1匹)のウサギは,生まれた月の翌々月か ら毎月 1 対の子どもを産み,新たに生まれた対のウサギも同様であるとする。この ように増えていくとき, 今月に生まれたばかりの 1 対のウサギから始めて, n か月後には何対のウサギになっているであろうか。\n\nこれは, 13 世紀の数学者フィボナッチが著書で取り上げた問題です。1 対のウサギを,右図のように○,○,口などと表し,月末ごとに何対になっているか 確認してみましょう。\n\n月末ごとのウサギの数 (何対か)を並べると\n1,1,2,3,5,8,13,21, \cdots \cdots\nとなります。この数列 {aₙ} をフィボナッチ数列といい, 漸化式で表すと\na₁=1, a₂=1, aₙ₊₂=aₙ₊₁+aₙ\nとなります。
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次のように食塩水の操作を行う。
1. 容器 A から 20 g の食塩水を取り出し、容器 B に移す。
2. 次に、容器 B から 20 g の食塩水を取り出し、容器 A に戻す。
この操作を繰り返した場合、それぞれの操作後に容器 A および容器 B の食塩の量を求める漸化式を導出し、最終的に容器 A に含まれる食塩の量が一定の値以上になるまでの操作回数を求めよ。
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数学 B\n(1) (i) \ a_{n+1}=3 a_{n}+8 \\n......11 とする。\n(1) を変形すると\n\\[\n\\begin{array}{l}\na_{n+1}+ア 4=3\\left(a_{n}+4\\right) \\quad \cdots \\cdots(1)^{\\prime} \\\np_{1}=a_{2}-a_{1}=\\{3 \\cdot(-2)+8\\}-(-2) \\\\n\\quad=\\uparrow 4\n\\end{array}\n\\]\n\nまた\n\\[\n\\begin{aligned}\np_{1} & =a_{2}-a_{1}=\\{3 \\cdot(-2)+8\\}-(-2) \\\n& =14\n\\end{aligned}\n\\]\n(1) でnの代わりに \ n+1 \ とおくと\n\\[\n\\begin{array}{ll}\n\\text { (2)-(1)から } & a_{n+2}=3 a_{n+1}+8 \\quad \\cdots \\cdots \\text { (2) } \\\n\\text { よって } & a_{n+2}-a_{n+1}=3\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right) \\\np_{n+1}=\\eta_{n}\n\\end{array}\n\\]\n(ii) \<\ 解法 \1>\\cdots \\cdots \ 特性方程式を利用 \ a_{1}+4=-2+4=2 \ であるから, (1) より数列 \ \\left\\{a_{n}+4\\right\\} \ は初項 2 ,公比 3 の等比数列である。\n\\\text { よって } \\quad a_{n}+4=2 \\cdot 3^{n-1}\\nゆえに \ \\quad a_{n}= \ エ \2 \\cdot \ オ \3^{n-1}\-カ 4\n<解法 \2>\\cdots \\cdots \ 階差数列を利用\n数列 \ \\left\\{p_{n}\\right\\} \ は初項 4 , 公比 3 の等比数列であるから\n\p_{n}=4 \\cdot 3^{n-1}\\nゆえに, \ n \\geqq 2 \ のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\na_{n} & =a_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 4 \\cdot 3^{k-1} \\\n& =-2+\\frac{4\\left(3^{n-1}-1\\right)}{3-1} \\\n& =2 \\cdot 3^{n-1}-4 \\quad \\cdots \\cdots\n\\end{aligned}\n\\]\n\ n=1 \ とすると \ 2 \\cdot 3^{0}-4=-2 \\\n\ a_{1}=-2 \ であるから, (3) は \ n=1 \ のときにも成り立つ。\n\n参考 <解法 \2> \ で数列 \ \\left\\{p_{n}\\right\\} \ の一般項を求めた後は, 次のよう にして,数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めてもよい。\n\\n\\begin{\overlineray}{c}\np_{n}=4 \\cdot 3^{n-1} \\text { から } \\\na_{n+1}-a_{n}=4 \\cdot 3^{n-1} \\\na_{n+1}=3 a_{n}+8 \\text { を代入すると } \\\n3 a_{n}+8-a_{n}=4 \\cdot 3^{n-1} \\\n\\text { よって } \\quad a_{n}=2 \\cdot 3^{n-1}-4\n\\end{\overlineray}\n\
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10 以上 以下の自然数のうち, 3 で割り切れるものの和が 3657 であるとする。このとき, の値を求めよ。
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次の等式が についての恒等式となるように, 定数 の値を定めよ。\n(1) \( a(x-1)^{2}+b(x-1)+c=x^{2}+x \)
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自然数の和 1+2+3+...+n=\sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2} n(n+1) を証明してください。
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53 (1) \( 27^{\frac{1}{3}}=\left(3^{3}\right)^{\frac{1}{3}}=3 \)
(2) \( 64^{\frac{2}{3}}=\left(4^{3}\right)^{\frac{2}{3}}=4^{2}=16 \)
(3) \( 81^{-\frac{3}{4}}=\left(3^{4}\right)^{-\frac{3}{4}}=3^{-3}=\frac{1}{3^{3}}=\frac{1}{27} \)
(4) \( 32^{0.2}=32^{\frac{1}{5}}=\left(2^{5}\right)^{\frac{1}{5}}=2 \)
(5) \( 0.04^{\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{3}{2}}=\left\{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\right\}^{\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{3} \)
別解 \( 0.04^{\frac{3}{2}}=\left(0.2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=0.2^{3}=0.008 \)
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実数の大小関係 任意の 2 つの実数 a, b においては a>b, a=b, a<b のうち, どれか 1 つの関係だけが成り立つ。
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n が 10 以上の自然数であるとき, 不等式 2^n > 10n^2 が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。
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(1) 大小関係の基本性質 1. a>b, b>c ⇒ a>c 2. a>b ⇒ a+c>b+c, a-c>b-c 3. a>b, c>0 ⇒ ac>bc, a/c>b/c - a>b, c<0 ⇒ ac<bc, a/c<b/c 更に a>0, b>0 ⇒ a+b>0 a>0, b>0 ⇒ ab>0
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2. 次の等式を証明せよ。
(1) \[a^{4}+4b^{4}=(a+b)^{2}+b^{2})(a-b)^{2}+b^{2})\]
(2) \[\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-d^{2}\right)=(ac+bd)^{2}-(ad+bc)^{2}\]
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PR\n(1) 和 \\( 1 \\cdot 1+4 \\cdot 2+7 \\cdot 2^{2}+\\cdots \\cdots+(3 n-2) \\cdot 2^{n-1} \\) を求めよ。\n22\n(2) 和 \ 1 \\cdot 5+2 \\cdot 5^{2}+3 \\cdot 5^{3}+\\cdots \\cdots+n \\cdot 5^{n} \ を求めよ。
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5 相加平均と相乗平均の大小関係 (a+b)/2 を a と b の相加平均, a>0, b>0 のとき √(ab) を a と b の相乗平均という。 a>0, b>0 のとき (a+b)/2 ≥ √(ab) 等号が成り立つのは a=b のとき
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次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。
(1) \frac{2}{1 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 7},
(2) \frac{1}{1 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 13}
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5 1 から 300 までのすべての整数を考える。(1) 3 で割り切れるが 9 では割り切れないものをすべて足し合わせた数を求めよ。
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次の証明を行え:\n33 証明略(1) 等号は a=b=c=0 のとき成り立つ(2)等号は a=b=c>0 のとき成り立つ
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次の証明を行え:\n29 略\n30 証明略(1) 等号は a=\frac{3}{2} のとき成り立つ(2) 等号は a d=b c のとき成り立つ
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(2)a>0 とし, p を実数とする。座標平面上の曲線 y=f(x) と直線 y=p が 3 個 の共有点をもつような p の値の範囲は ウ <p<□ である。
p=□ のとき, 曲線 y=f(x) と直線 y=p は 2 個の共有点をもつ。それらの x 座標を q, r(q<r) とする。曲線 y=f(x) と直線 y=p が点 (r, p) で接する ことに注意すると
q=□ オカ □ a^{1/2},
r=□ a^{1/2}
と表せる。
ウ, □
□ に当てはまるものを,次の解答群から1つずつ選べ。また, オカ □ に当てはまる数を答えよ。
□
□工 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(0) 2sqrt{2}a^{3/2}+16
(1) -2sqrt{2}a^{3/2}+16
(2) 4sqrt{2}a^{3/2}+16
(3) -4sqrt{2}a^{3/2}+16
(4) 8sqrt{2}a^{3/2}+16
(5) -8sqrt{2}a^{3/2}+16
(3) 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数を n とする。次の()~(5)のうち,正しい ものは ケ と コ である。
ケ, コ に当てはまるものを,次の解答群から1つずつ選べ。
ケ, コ解答群(解答の順序は問わない。)
(0) n=1 ならば a<0
(1) a<0 ならば n=1
(2) n=2 ならば a<0
(3) a<0 ならば n=2
(4) n=3 ならば a>0
(5) a>0 ならば n=3
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2 4 つの整数 a, b, c, d (a < d) は, この順に等差数列をなしており, 4つの数の和は 32 である。また, bc = ad + 8 を満たしている。このとき, a の値を求めよ。
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x>0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。
(1) x+\frac{4}{x} \geqq 4
(2) \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{4}{x}\right) \geqq 9
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銀行などから借りた金額を一定の期間をかけて定額で返済していく例について考えてみ よう。\n\n問題 今年の初めに年利率 の自動車ローンを 100 万円借りた。年末に一定額を返済し, 15 年で全額返済しようとする場合, 毎年返済する金額を求め よ。ただし, 1 年ごとの複利法で計算し, とする。\n〔類 東京農大〕
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は整数とする。 2 次方程式 \( (3 a-4) x^{2}-2 a x+a=0 \) が整数解をもつとき, の値および,そのときの方程式の解をすべて求めよ。
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(2) 求める総和は\n\[
\begin{aligned}
& \left(1+2+2^{2}+\cdots \cdots+2^{50}\right)\left(1+3+3^{2}+\cdots \cdots+3^{70}\right) \\
= & \frac{2^{51}-1}{2-1} \times \frac{3^{71}-1}{3-1}=\frac{\left(2^{51}-1\right)\left(3^{71}-1\right)}{2}
\end{aligned}
\]
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(2)イ に当てはまるものを,次の(0~2)のうちから1つ選べ。
(0) a b=c d
(1) a c=b d
(2) a d=b c
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この工場において,1日で作ることができる製品 の量の合計 \( x+y(\mathrm{~kg}) \) は, (x, y)=(\u30C6\u30C8, ナニ ) のとき最大となり, そのとき, \( x+y= \u30CC\u30CD である。 テト~ヌネ に当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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初項 77, 公差 -5 の等差数列 において
(1) 第何項から負の数となるか。
(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また,その最大値を求めよ。
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次のような和を求めよ。\n(1) 等差数列 \\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}, 3, \cdots \cdots, 27 の和\n(2) 初項 -6 , 公差 -8 の等差数列の初項から第 n 項までの和\n(3) 第 5 項が 2, 第 36 項が -60 の等差数列の第 19 項から第 51 項までの和
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第1章 数列。連続する3つの整数の積として\( n(n+1)(n+2) \) を使って、 が3の倍数であることを証明せよ。
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以下では, k, m は自然数とする。\n\na_{2 k-1}+a_{2 k} =(-1)^{2 k-1}(2 k-1)(2 k)+(-1)^{2 k}(2 k)(2 k+1) \n=- (2 k-1)(2 k)+2 k(2 k+1) \n=4 k\n\n[1] n=2 m のとき\nS_{2 m} = \\sum_{k=1}^{m}(a_{2 k-1}+a_{2 k})=\\sum_{k=1}^{m} 4 k = 4 \\sum_{k=1}^{m} k= 4 \\cdot \\frac{1}{2} m(m+1) = 2 m(m+1) \\ m=\\frac{n}{2} であるから S_{n}=2 \\cdot \\frac{n}{2}(\\frac{n}{2}+1)=\\frac{1}{2} n(n+2)\n\n[2] n=2 m-1 のとき a_{2 m}=(-1)^{2 m}(2 m)(2 m+1)=2 m(2 m+1), \\ \n text{[1] から } S_{2 m-1}=S_{2 m}-a_{2 m}=2 m(m+1)-2 m(2 m+1) = -2 m^{2}\n m=\\frac{n+1}{2} であるから S_{n}=-2(\\frac{n+1}{2})^{2}=-\\frac{1}{2}(n+1)^{2}\n [1], [2] から n が偶数のとき S_{n}=\\frac{1}{2} n(n+2)\n n が奇数のとき S_{n}=-\\frac{1}{2}(n+1)^{2}
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PRすべての自然数 n に対して, 次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。
45
1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots \cdots+n(n+2)=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+7)
この等式を (A) とする。
[1] n=1 のとき
( 左辺 )=1 \cdot 3=3, ( 右辺 )=\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot(1+1)(2 \cdot 1+7)=3
ゆえに, (A) は成り立つ。
[2] n=k のとき (A) が成り立つと仮定すると
1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots \cdots+k(k+2)=\frac{1}{6} k(k+1)(2 k+7)
n=k+1 のとき
1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\cdots \cdots+k(k+2)+(k+1)(k+3)
=\frac{1}{6} k(k+1)(2 k+7)+(k+1)(k+3)
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32\n(1) のときは成り立たない が,それ以外の場合は成り立つ\n(2) のときは成り立たない が、それ以外の場合は成り立つ
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n は自然数とする。 2 数 x, y の和と積が整数ならば, x^{n}+y^{n} は整数であるこ とを数学的帰納法によって証明せよ。
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次の数列について、a_{0} < a_{1} < a_{2} < a_{3}, a_{3} > a_{4} > a_{5} > ... > a_{12} となるkを求める。
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等差数列の一般項\n(1)次の等差数列の一般項 を求めよ。\n(ア) ,\n(イ) 初項が -6 , 第 6 項が 14\n(2) 第 3 項が 70 , 第 8 項が 55 である等差数列 につて\n(ア)この数列の一般項を求めよ。\n(イ)19 は第何項か。また,第何項が初めて負の数になるか。
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ある正の数 s に対し, (x, y) = (0, s) のみで利益が最大となる,という条件を考える。直線 (1), (5)の傾きの大小に注目する。 -a/3=-1/5 のときは,線分 y=-a/3 x+l/3, 0 ≤ x ≤ 10 上のすべて の点 (x, y) でlは最大となる。よって -a/3 ≠ -1/5
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EX(1) 初項a \u2081がア ▢, 公比rが 呚(r>0)である等比数列{a \u2099}においては, a \u2082=2-√2, a \u2084=10-7√2である。
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基本例題 41 重解・虚数解をもつ条件\n2 次方程式 \( x^{2}+(5-m) x-2 m+7=0 \) について\n(1) が整数のとき, 虚数解をもつような定数 の値を求めよ。\n(2)重解をもつような定数 の値と,そのときの重解を求めよ。
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31\n(1) \( (a, b) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)\n(2)
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2つの正の数 が を満たすとき, 次の式の大小を比較せよ。\n\a+b, \quad a^{2}+b^{2}, \quad a b, \quad \sqrt{a}+\sqrt{b}\
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次の計算をせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \( (\\sqrt{3}+\\sqrt{-1})(1-\\sqrt{-3}) \)\n(6)
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③ (1) 調和数列 の に当てはまる数を求めよ。\n(2) 第 5 項が , 第 9 項が であるような調和数列 の一般項を求めよ。
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10 (1) 実部は3, 虚部は (2) から 実部は, 虚部は (3) から 実部は0, 虚部は4 (4) から 実部は, 虚部は0
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初項 3, 公比 3 の等比数列 と、初項 5, 公差 4 の等差数列 に共通して含まれる数を小さいものから順に並べた数列を とすると, ア であり, の一般項は, \( \square (n=1,2,3, \cdots \cdots) \) である。[類 大阪工大]
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EX 初項 , 公差 の等差数列 と, 初項 が整数で公比 が正の整数の等比数列 がある。 (313 \( c_{n}=2 a_{n}+3 b_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) とするとき, であるとする。このとき, の值を求めよ。また, 数列 の一般項を求めよ。
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PR 異なる3直線 x-y=1 (1), 2x+3y=1 (2), ax+by=1 (3) が1点で交わると81き, 3点(1,-1),(2,3),(a,b)は, 同じ直線上にあることを示せ。 (1), (2)を連立して解くと x=4/5, y=-1/5 よって, 2直線(1), (2)の交点の座標は (4/5,-1/5) この交点(4/5,-1/5)は直線(3)上にもあるから 4/5 a - 1/5 b = 1 ゆえに 4a - b = 5 また, 2点(1,-1),(2,3)を通る直線の方程式は y-(-1) = (3-(-1))/(2-1)(x-1) すなわち 4x - y = 5 (4) から, x=a, y=bは4x - y = 5を満たす。よって, 点(a,b)は, 直線4x - y=5上にある。したがって, 3点(1,-1),(2,3),(a,b)は, 同じ直線4x - y=5上にある。
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次の証明を行え:\n27 証明略(3)等号は x=y=0 のとき成り立つ 28 証明略(1) 等号は a=0 のとき成り立つ(2) 等号は a=b のとき成り立つ
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製品P, Q1 kg 当たりの利益はそれぞれ a 万円,3万円であるとする。このとき, 1 日当たりの利益について考える。ただし, a は正の数とする。(i) a=1 の場合, 利益を最大にする x, y は, (x, y)= (ノハ, ヒフ) である。(ii) への場合, 製品Pは作らず, 製品Q のみを作れるだけ作るときに限り利益が最大となり, そのときの利益の最大値はムミミ円である。 ノハ,ヒフ,ムミミに当てはまる数をそれぞれ答えよ。また, へ, ムに当てはまるものを次の0~のうちから1つずつ選べ。(0) 0<a<3/5 (1) 3/5<a<9/4 (2) 9/4<a<15/2 (3) a>15/2 (4) a=3/5 (5) a=9/4 (6) a=15/2
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EX次の等式が成り立つことを証明せよ。 (3) 2nC0 + 2nC2 + 2nC4 + ⋯⋯ + 2nC2n = 2nC1 + 2nC3 + 2nC5 + ⋯⋯ + 2nC2n-1 = 2^{2n-1}
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(3)ウに当てはまるものを, 次の0~3のうちから1つ選べ。
(0) f-e=d-c
(1) \( \log_{10}(f-e)=\log_{10}(d-c) \)
(2)
(3)
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1から200までの整数のうち、次のような数の和を求めよ。
(1) 4で割って1余る数
(2) 4の倍数または6の倍数
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a, b, x, y が正の数で a+b=1 のとき, \sqrt{a x+b y} \geqq a \sqrt{x}+b \sqrt{y} が成り立つことを示せ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。 [愛知学院大]
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123 つの数 \ \\sqrt[3]{\\frac{4}{9}}, \\sqrt[4]{\\frac{8}{27}}, \\sqrt[3]{\\frac{9}{16}} \ の大小を不等号を用いて表せ。
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次の式の商と余りを求めよ:\n12. (1) (ア) 商 2 x+y, 余り 3 y^{2}\n(イ) 商 4 y-x, 余り 3 x^{2}\n(2) 商 2 x-3 y+4, 余り 0
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数列 におて, 各項が 0 と異なり, その逆数を項とする数列 が等差数列を なすとき,もとの数列 を調和数列という。すなわち \( \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=d \quad \text { (一定) }\)
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(6)次の(あ)の等式を満たす x の値,および(い)と(う)の値を計算尺を用いて調べるとき,計算尺の用法として最も適当なものを,次の0~3のうちから1つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。
(あ)比例式 2.3: 4.2=3.1: x
(い) 商
(う)積 2.3 \Times 4.2
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数列 \( \frac{1}{1 \cdot 4 \cdot 7}, \frac{1}{4 \cdot 7 \cdot 10}, \frac{1}{7 \cdot 10 \cdot 13}, \cdots \cdots, \frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)(3 n+4)} \) の和 を求めよ。
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(1)等比数列 , の初項から第 項までの和を求めよ。 (2)等比数列 の第 11 項から第 15 項までの和を求めよ。
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初項 77, 公差 -5 の等差数列 {a_{n}} において\n(1)第何項から負の数となるか。\n(2)初項から第何項までの和が最大となるか。また,その最大値を求めよ。
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初項 1 の等差数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ と初項 1 の等比数列 \\left\\{b_{n}\\right\\} \ が a_{3}=b_{3}, a_{4}=b_{4}, a_{5} \\neq b_{5} \ を満たすとき, a_{2}, b_{2} \ の値を求めよ。
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数列 が、 \( a_1 = 1, a_2 = 7, a_{n+2} = 2 \left( a_{n+1} + a_n \right) \) を満たすとき、 を 3 で割った余りを求めよ。
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|a|<1,|b|<1,|c|<1 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。(1) a b+1>a+b (2) a b c+2>a+b+c
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4 (2) 商 余り 6\( \begin{array}{r} 3 x^{2}+6 x \) \frac{x+8}{6} \end{\overlineray}
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次の条件を満たす f(x) と g(x) を作れ。\ns=3, t=3, p=-sqrt(3), q=sqrt(3)
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348 数学 \( S_{n}=\frac{1}{2} n\{2 \cdot 200+(n-1) \cdot(-6)\}=n(-3 n+203) =-3 n^{2}+203 n =-3\left(n-\frac{203}{6}\right)^{2}+\frac{203^{2}}{12} よって, は が に最も近い自然数のとき, すなわち のとき最大となり, 最大値は \( S_{34}=34(-3 \cdot 34+203)={ }^{\top} 3434 \) また, とすると \( n(-3 n+203)<0 \) であるから ゆえに よって, は のときに初めて負になる。このとき \( S_{68}=68(-3 \cdot 68+203)=-68 \) 別解 の最大值は,次のようにして求めても よい。与えられた等差数列の一般項は 200+(n-1) \cdot(-6) =-6 n+206 である。 -6 n+206 \geqq 0 とすると n \leqq 34.3 \cdots \cdots よって, は のとき最大となり, 最大值は \( S_{34}= & \frac{1}{2} \cdot 34 & \times\{2 \cdot 200+33 \cdot(-6)\} = & 3434
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次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。
(2) 17
3, 33, 333, 3333,
第 k 項は 3 が k 個並ぶから、その値は
3+3・10+3・10^2+...+3・10^(k-2)+3・10^(k-1) = 3(10^k-1)/9 となる。
従って、求める和は
∑(k=1>n) 3(10^k-1)/9 = 1/3{10(10^n-1)/9-n} = 10^(n+1)/27-1/3 n-10/27
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a は整数とする。2 次方程式 \( (3 a-4) x^{2}-2 a x+a=0 \) が整数解をもつとき, の値および, そのときの方程式の解をすべて求めよ。
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数直線上に 3 点 \( \mathrm{A}(3), \mathrm{B}(-3), \mathrm{C}(5) \) がある。線分 を に内分する点を , 線分 を に外分する点を とするとき, 線分 を に内分する点の座標を求めよ。
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数学 \\mathbb{I} \ EX \\quad x \ についての整式 \( P(x) \\) は, \( (x+1)^{2} \\) で割ると -x+4 \ 余り, \( (x-1)^{2} \\) で割ると 2 x+5 \ 余るとする。 (4) 54 (1) \( P(x) \\) を \( (x+1)(x-1) \\) で割ったときの余りを求めよ。
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異なる数 について, 数列 は等差数列で, 数列 は等比数列であるとき, (2)10 で, 等比数列の公比はイ である。数列 が等差数列であるから\n\n数列 が等比数列であるから\n\[ (\sqrt{3})^{2}=a b \]\n(2) から \n(4)を(3)に代入して整理すると \nゆえに \( \quad(2 a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})=0 \)\nよって \n のとき, (4) から \nこれは 11満たす。\n のとき, (4)から \nこれは① を満たさない。したがって \nまた,等比数列 の公比は -2\n数列 が等差数列\n\n数列 が等比数列
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PR 2 次方程式 が 2 つの整数解 をもつとき, の値を求めよ。\n451\n解と係数の関係により\n\[\\alpha+\\beta=-m \cdots \\cdots(1), \\quad \\alpha \\beta=m+2\n\](2) + (1) から \nゆえに \( \\quad (\\alpha + 1)(\\beta + 1) - 1 = 2 \)\nよって \( \\quad (\\alpha + 1)(\\beta + 1) = 3 \)\n\ a \\leqq \\beta \ とすると \n は整数であるから\n\[\\\alpha+1, \\beta+1\\\=(1,3),(-3,-1)\n\]\nゆえに \( \\quad (\\alpha, \\beta)\\=(0,2),(-4,-2)\n(1)より, m=-\\(\\alpha+\\beta\ \) であるから \ninf. のとき 解は \n\ m=6\ のとき 解は \n
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EX 2 次方程式 について, 次の条件を満たすような定数 の範囲を求めよ。\n(1) 1 より大きい解と小さい解をもつ\n(2) すべての解が 2 以上である
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次の数列はどのような規則で作られているかを考え, その規則にもとづいて, それぞ れ第 20 項を求めよ。
(1)
(2)
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EX次を証明せよ。\n(1) で が 2 以上の自然数のとき \( (1+h)^{n}>1+n h \) である。\n(2) が 2 以上の自然数のとき \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}>2 \) である。\n(3) が 6 以上の自然数のとき \( \left(\frac{n}{2}\right)^{n}>n \) ! である。\n[東北学院大]
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EX の 2 次方程式 \( x^{2}-(k+4) x+2 k+10=0 \) の 2 つの解が, ともに整数であるような整数 の値 447をすべて求めよ。\n2 次方程式 \( x^{2}-(k+4) x+2 k+10=0 \) の 2 つの解を \( (\alpha \leqq \beta) \) とすると, 解と係数の関係から\n\n\nkを消去すると \( \quad \alpha \beta=2(\alpha+\beta-4)+10 \)\nよって \( \quad \alpha \beta-2(\alpha+\beta)=2 \)\nしたがって \( \quad(\alpha-2)(\beta-2)=6 \)\n は を満たす整数であるから, は を満たす整数である。\nよって, (1) を満たす の組は\n\n\( (\alpha-2, \beta-2)= & (-6,-1),(-3,-2), \\\n & (1,6),(2,3) \)\n\nゆえに \( (\alpha, \beta)=(-4,1),(-1,0),(3,8),(4,5) \) であるから \n別解 \( x^{2}-(k+4) x+2 k+10=0 \) を解くと\n\n\n\nよって, が整数であるためには が平方数であることが必要である。\n\( k^{2}-24=m^{2}(m \geqq 0) \) とすると \( \quad(k+m)(k-m)=24 \)\n かつ \( (k+m)-(k-m)=2 m \) (偶数) であるから \( (k+m, k-m)=(12,2),(6,4) \), \( (-4,-6),(-2,-12) \) ゆえに
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数列 は初項 1 , 公比 5 の等比数列である。 を満 たす最小の を求めよ。ただし, とする。\n[学習院大]
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すべての自然数 n について x^{n}+\frac{1}{x^{n}} は t=x+\frac{1}{x} の n 次式になること を数学的帰納法によって証明せよ。
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次の条件によって定められる数列 の一般項を求めよ。\n(1) \n(2) \n(1)漸化式は次のように変形できる。\n \( \begin{array}{l} a_{n+2}-2 a_{n+1}=-3\left(a_{n+1}-2 a_{n}\right) \\ a_{n+2}+3 a_{n+1}=2\left(a_{n+1}+3 a_{n}\right) \end{array} \)\n(1)より, 数列 \left\{a_{n+1}-2 a_{n}\right\} は初項 \( a_{2}-2 a_{1}=3-2 \cdot 1=1 , 公比 -3 の等比数列であるから\n \( a_{n+1}-2 a_{n}=(-3)^{n-1} \)\n(2) より, 数列 \left\{a_{n+1}+3 a_{n}\right\} は初項 \( a_{2}+3 a_{1}=3+3 \cdot 1=6 , 公比 2 の等比数列であるから\n
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オ, カ に当てはまる最も適当なものを, 次の()~3のうちから1つずつ 選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n()向かい合った目盛りの和が一定\n(1) 向かい合った目盛りの差が一定\n(2) 向かい合った目盛りの積が一定\n(3) 向かい合った目盛りの比が一定
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1. \ { }_{n} \\mathbf{C}_{r}={ }_{n} \\mathbf{C}_{n-r} \
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基 本 例題 18 第 項に を含む数列の和\n次の数列の和を求めよ。\n\\[\n1 \\cdot(n+1), 2 \\cdot n, 3 \\cdot(n-1), \\cdots \\cdots,(n-1) \\cdot 3, n \\cdot 2\n\\]
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初項 51 , 公差 -4 の等差数列 において
(1) 第何項から負の数となるか。
(2) 初項から第何項までの和が最大となるか。また,その最大値を求めよ。
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(6)次の(あ)の等式を満たす x の値,および(い)と(う)の値を計算尺を用いて調べるとき, 計算尺の用法として最も適当なものを, 次の()6のうちから1つずつ選べ。ただし,同じものを選んでもよい。\n(あ)比例式 2.3: 4.2=3.1: x\n(い) 商 \n(う)積 2.3 x 4.2
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第1 章 数列\nEX数列 \ \left\\{a_{n}\right\\} \ が \\( , a_{1}=1, a_{2}=7, a_{n+2}=2\\left(a_{n+1}+a_{n}\\right) \\) を満たすとき, \ a_{n} \ を 3 で割った余りを求めよ。
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PRACTICE\n次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし, \ n \ は自然数と する。\n(1) \ x \\geqq 0, \\quad y \\geqq 0, x+3 y \\leqq 3 n \\n(2) \ 0 \\leqq x \\leqq n, \\quad y \\geqq x^{2}, \\quad y \\leqq 2 x^{2} \
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PRACTICE (2) 実数 を公比とする等比数列 \( a_{n}=a r^{n-1}(n=1,2, \cdots) \) において, 初項か ら第 5 項までの和は 16 で, 第 6 項から第 10 項までの和は 144 である。このとき,第 11 項から第 20 項までの和を求めよ。
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(4) 自転車の総数を 20 台とする。拠点 の最大収容数を 8 台としたとき, 何日後 かにAの最大収容数を超えることがあるか。
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2 (1) 符号を無視すると, 奇数の数列。 また,奇数項は正,偶数項は負。ゆえに,第 20 項の奇数は , 符号は負。よって -39\ninf. 一般項は \( (2 n-1) \cdot(-1)^{n-1} \)\n(2) であるから, 分母が奇数の数列,分子が偶数の数列である。ゆえに,第 20 項は \ninf. 一般項は
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240\n国国国列題 150 指数閉数の最大・最小 (2)\n について\n(1) とおいて, を の式で表せ。\n(2) の最小値と,そのときの の値を求めよ。\n基本 144,149\nC. HART & SOLUTION\n の関数の最大・最小\nおき換え で の関数へ変域に注意……1\n(1) \( x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y \) を利用して, を で表す。\n(2) の変域は, であるから, (相加平均) 相乗平均)を利用して求めるこ とができる。 は の 2 次式で表され, 2 次関数の最大・最小の問題に帰着。
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3次方程式 x^{3}-3x-2-a=0 の異なる実数解の個数が、定数 a の値によってどのように変わるかを調べよ。
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168 (1) は何析の数で, 最高位の数字と末尾の数字は何か。\n[立命館大](2) は小数第何位に初めて 0 以外の数字が現れるか。また,その数字は何か。\n[慶応大]\n(1)\n\\[ \n\\begin{array}{l} \n\\log _{10} 18^{18}=18 \\log _{10}\\left(2 \\cdot 3^{2}\\right)=18\\left(\\log _{10} 2+2 \\log _{10} 3\\right) \n=18(0.3010+2 \times 0.4771)=22.5936 \n\\text { よって } 22<\\log _{10} 18^{18}<23 \\text { ゆえに } 10^{22}<18^{18}<10^{23} \\text { したがって, } 18^{18} は 23 桁の数である。 \\log _{10} 18^{18}=22.5936=22+0.5936 \\text { ここで, } \\log _{10} 3=0.4771, \\log _{10} 4=2 \\log _{10} 2=0.6020 \\text { から } \\n
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次の値を求めよ:\n5. \frac{1}{2^{n}} \n6. (1) 12\n(2) 6\n7. -7510\n8. (1) 20\n(2) -126\n9. (1) 771\n(2) 1\n
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群数列では次のような規則性に注目することがポイントです。
1. もとの数列の規則, 群の分け方の規則
2. 群数列の第 n 群について, その最初の項, 項数などの規則
例題 23 について, 詳しくみていきましょう。
群数列の様子を整理し,規則性を把握する
各群と,その群に含まれる数の個数は次のようになる。
上のような模式図をかいて, 群数列の規則性を把握することが大切である。群数列の第 k 群に着目すると, 第 k 群は 2^{k-1} 個の数を含むから, 第 1 群から第 (n-1) 群の末項までに, 1+2+4+⋯+2^{n-2}=2^{n-1}-1 (個) ← 初項 1 , 公比 2 , 項数 (n-1) の等比数列の和 の数を含むことがわかる。第 n 群の初めの数は, もとの数列の第 (n-1) 群の末項までの項数 +1 番目の数, すなわち, (2^{n-1}-1)+1=2^{n-1} 番目の自然数である。
解答するときは, 第 (n-1) 群までの項数を利用するから, n ≥ 2 のときという条件を つけ, n=1 のときの処理も忘れないようにしよう。
第 n 群をひとつの数列として考える
もとの数列が自然数の列, すなわち等差数列であるから, 第 n 群も等差数列となる。第 n 群の初項は上で求めた通り 2^{n-1}, 公差は 1 , 項数は 2^{n-1} であるから, 次の等差数列の和の公式から求めればよい。
(1/2) n{2a+(n-1)d} ← n: 項数, a : 初項, d : 公差
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(5)オ, カ に当てはまる最も適当なものを, 次の0~3のうちから1つずつ選べ。た だし, 同じものを選んでもよい。
(0) 向かい合った目盛りの和が一定
(1)向かい合った目盛りの差が一定
(2) 向かい合った目盛りの積が一定
(3) 向かい合った目盛りの比が一定
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EX a, b を 0 でない実数とする。下の(1), (2)の等式は a>0, b>0 の場合には成り立つが, それ以 外の場合はどうか。次の各場合に分けて調べよ。
[1] a>0, b<0
[2] a<0, b>0
[3] a<0, b<0
(1) √a √b=√ab
(2) √a/√b=√(a/b)
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3 各項の逆数を項とする数列が等差数列をなす数列を, 調和数列という。(1) 調和数列 30,20,□,…… の □ に当てはまる数を求めよ。(2) 第5項が 1/3, 第9項が 1/5 であるような調和数列 {a_n} の一般項を求めよ。
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1から100までの整数について、次の数の和を求めよ。
(1) 5で割って2余る数
(2) 3で割り切れない数
(3) 3の倍数または5の倍数
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数列 \\( a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \\) の各項 \ a_{n} \ は自然数であり, また, \ m<n \ ならば \ a_{m}<a_{n} \ がすべての自然数 \ m, n \ に対して成り立つとする。このとき, \ n \\leqq a_{n} \ がすべての自然数 \ n \ について成り 立つことを示せ。
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数列 a_n の初項から第 n 項までの和 S_n が S_n =3/4 n(n+3)(n=1,2,3 ...) と表されている。
(1)a_n を求めよ。
(2)∑(k=1>n) k a_k が3の倍数となることを証明せよ。
(1)a_1 = S_1 = 3/4・1・4=3
n≧ 2のときa_n =S_n -S_(n-1) = 3/4・n(n+3) -3/4(n-1)(n+2) = 3/2(n+1)
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数列 が \( a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{2}{n}\right) a_{n} (n \geqq 1) \) を満たす。この数列の一般項を求めよ。
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問1 数列 は (1) ,\n(2) 等比数列 のパターン 数列 の一般項を,次の方針1 または方針2を用いて求める。\n\n方針 1 : (1) の両辺を で割り, とおく。\n方針 2 : (1) の両辺を で割り, とおく。\n(1)方針 1 を用いて, 数列 の一般項を求めよ。\n(2)方針2を用いて,数列 の一般項を求めよ。\n(3)(1)または(2)の結果から, 数列 の一般項を求めよ。
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次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。\n(2) 17 (1) 3^{2}, 6^{2}, 9^{2}, 12^{2}, \cdots \cdots (2) 1 \\cdot 5,2 \\cdot 7,3 \\cdot 9,4 \\cdot 11, \cdots \cdots (3) 2,2+4,2+4+6,2+4+6+8, \cdots \cdots
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成り立つ のはどのようなときか。 (1) (2) \( \sqrt{2(a+b)} \geqq \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
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(3)最初,容器 A,Bの食塩水に含まれる食塩の量はそれぞれ 5 \mathrm{~g} , 20 \mathrm{~g} である。1 回目の【操作 Q 】における [1] で, 容器 Aから取り出す 20 \mathrm{~g} の 食塩水に含まれる食塩の量は 5 \times \frac{20}{100} = 1(\mathrm{~g}) よって,1 回目の【操作 Q 】における [2] で,容器 B から取り出す 20 \mathrm{~g} の食塩水に含まれる食塩の量は (20+1) \times \frac{20}{120} = 3.5(\mathrm{~g}) ゆえに, 【操作 Q 】を 1 回行った後, 容器 A に含まれる食塩の量は?
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Join our DiscordQ.55
初項 3, 公比 2 の等比数列において, 初めて 1000 を超えるのは第何項 か。また,初項からの和が初めて 10000 を超えるのは第何項までの和か。
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Join our DiscordQ.56
(2) (1) の各辺を 2 で割ると
ここで, を整数とすると のとき
のとき
\[
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{4}+(2 k+1) \pi=\frac{\pi}{4}+2 k \pi+\pi=\frac{5}{4} \pi+2 k \pi \\
\frac{\pi}{2}+(2 k+1) \pi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi+\pi=\frac{3}{2} \pi+2 k \pi
\end{array}
\]
となるから
よって, は,第 1 象限または第 3 象限の角になりうる。
(3) の各辺を 3 で割ると
ここで, を整数とすると のとき
のとき
\[
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{6}+\frac{2(3 k+1)}{3} \pi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi+\frac{2}{3} \pi=\frac{5}{6} \pi+2 k \pi \\
\frac{\pi}{3}+\frac{2(3 k+1)}{3} \pi=\frac{\pi}{3}+2 k \pi+\frac{2}{3} \pi=\pi+2 k \pi
\end{array}
\]
となるから
のとき
\[
\begin{array}{l}
\frac{\pi}{6}+\frac{2(3 k+2)}{3} \pi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi+\frac{4}{3} \pi=\frac{3}{2} \pi+2 k \pi \\
\frac{\pi}{3}+\frac{2(3 k+2)}{3} \pi=\frac{\pi}{3}+2 k \pi+\frac{4}{3} \pi=\frac{5}{3} \pi+2 k \pi
\end{array}
\]
となるから
よって, は,第 1 象限または第 2 象限または第 4 象限の角 になりうる。左の不等式から直ちに は第 1 象限の角と答 えると誤り!
第 1 象限にある。
第 1 象限にある。
第 2 象限にある。
き第 4 象限にある。
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Join our DiscordQ.57
次の等比数列の初項から第 10 項までの和を求めよ。\n(1)初項 -1 , 公比 2\n(2)初項 3, 公比 1
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Join our DiscordQ.59
平方数の和 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) を証明してください。
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Join our DiscordQ.60
任意の自然数 に対して, 次の等式, 不等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ。 (1) \( (n+1)(n+2)(n+3) \cdots \cdots(2 n)=2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots \cdots \cdot(2 n-1) \)
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相加平均・相乗平均や多項式の割り算の問題
Q1 (1) (a+1/b)(b+9/a)=ab+9+1+9/ab = ab+9/ab+10
a>0, b>0 より ab>0, 9/ab>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
ab+9/ab ≧ 2√(ab ⋅ 9/ab) = 2 ⋅ 3 = 6
ゆえに ab+9/ab+10 ≧ 16
等号が成り立つのは ab=9/ab かつ ab>0 すなわち ab=3 のとき。
よって, ab=3 で最小値 16 をとる。
(2) t=3^x+9^y=3^x+(3^2)^y=3^x+3^(2y)
3^x>0,3^(2y)>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
t=3^x+3^(2y) ≧ 2√(3^x ⋅ 3^(2y)) = 2√(3^(x+2y))
x+2y=2 から
t ≧ 2√(3^2) = 6
等号が成り立つのは 3^x=3^(2y) かつ x+2y=2 のとき。
このとき, x=2y かつ x+2y=2 から
x=1, y=1/2
よって, t は x=1, y=1/2 で最小値 6 を とる。
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Join our DiscordQ.64
PRACTICE \ 51^{\\circ} \ 2 次方程式 \ x^{2}+m x+m+2=0 \ が 2 つの整数解 \ \\alpha, \\beta \ をもつとき, \ m \ の値を求めよ。 [類 早稲田大]
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次のような和を求めよ。\n(1) 等差数列 の和\n(2) 初項 -6, 公差 -8 の等差数列の初項から第 項までの和\n(3) 第 5 項が 2、第 36 項が -60 の等差数列の第 19 項から第 51 項までの和を求めよ。
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498\n問題に挑戦\n2 3 種類の材料 から 2 種類の製品 を作っている工場がある。製品 を 作るには,材料 A,B,Cをそれぞれ 必要とし,製品Qを 作るには,材料 A,B,C をそれぞれ 必要とする。 また,1日に仕入れることができる材料 A,B,Cの量の上限はそれぞれ , である。\nこの工場で 1 日に製品 を ,製品 を 作るとするとき,次の問いに答えよ。 ただし, とする。\n(1) が満たすべき条件について考える。\nである。\nアイ~タチツに当てはまる数をそれぞれ答えよ。
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518
問題に挑戦
1 太郎さんと花子さんは, 数列の漸化式に関する[問題A], [問題B]について話して いる。2人の会話を読んで,1<wide>(3)の問いに答えよ。
[問題 A] 次のように定められた数列 の一般項を求めよ。
\[ a_{1}=-2, \quad a_{n+1}=3 a_{n}+8 \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots) \]
太郎 : を ア ア \( ) \) と変形すれば, 等比数列 に結びつけることができて, 一般項を求められるね。
花子:階差数列を考える方法もあるよ。数列 の階差数列 を,
\[ p_{n}=a_{n+1}-a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \]
とすると, イ, ウ となるね。
太郎:そうだね。これで数列 の一般項を導くことができるから,数列 の一般項も求められるね。
(1) (i) ア 〜 に当てはまる数を答えよ。
(ii) 数列 の一般項は, エ. オ カ である。
エ~カに当てはまる数を答えよ。
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初項 , 公差 , 末項 , 項数 の等差数列の和を とする。\(S_{n}=\frac{1}{2} n(a+l) \)
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(3) 実数の平方 7. a^2 ≥ 0 等号が成り立つのは a=0 のとき 8. a^2 + b^2 ≥ 0 等号が成り立つのは a=b=0 のとき
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第 1 章 数列
341
Y_{n+1} が 3 で割り切れるのは,
[1] Y_{n} が 3 で割り切れ, x_{n+1}=3 となる
[2] Y_{n} が 3 で割ると 1 余る数で, x_{n+1}=2,5 となる
[3] Y_{n} が 3 で割ると 2 余る数で, x_{n+1}=1,4 となる
の 3 通りの場合があり, これらは互いに排反である。
よって a_{n+1}=a_{n} \times \frac{1}{5}+b_{n} \times \frac{2}{5}+c_{n} \times \frac{2}{5}
ここで, Y_{n} は「3 で割り切れる」, 「3 で割って 1 余る」, 「3 で割 って2余る」のいずれかであるから
a_{n}+b_{n}+c_{n}=1
ゆえに a_{n+1}=\frac{1}{5} a_{n}+\frac{2}{5}\left(b_{n}+c_{n}\right)
=\frac{1}{5} a_{n}+\frac{2}{5}\left(1-a_{n}\right)
=-\frac{1}{5} a_{n}+\frac{2}{5}
よって a_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{5}\left(a_{n}-\frac{1}{3}\right)
また a_{1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}
ゆえに, 数列 \left\{a_{n}-\frac{1}{3}\right\} は初項 -\frac{2}{15}, 公比 -\frac{1}{5} の等比数列で あるから a_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}
したがって a_{n}=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n}+\frac{1}{3}
1章 \square
PR
\nLeftarrow a_{n+1} を a_{n} で表す。
\hookleftarrow \alpha=-\frac{1}{5} \alpha+\frac{2}{5} を解 くと \alpha=\frac{1}{3}
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対偶を考えることにより,次の命題を証明せよ。ただし, は整数とする。 が奇数ならば, のうち奇数の個数は 1 個また は 2 個である。
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Join our DiscordQ.79
63 (1) a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2} のとき最小値 \frac{1}{4} (2) x=2, y=1 のとき最小值 12
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共通部分, 和集合\n共通部分 ( A \\cap B ) はAとBのどちらにも属する要素全体の集合。和 集 合 ( A \\cup B ) はAとBの少なくとも一方に属する要素全体の集合。
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Join our DiscordQ.82
61 から 49 までの自然数からなる集合を全体集合 とする。 の要素のうち, 50 と の最大公約数が 1 より大きいもの全体からなる集合を , また, の要素のうち,偶数であるもの全体からなる集合を とする。いま と は 部分集合で,次の2つの条件を満たすとするとき,集合 の要素をすべて求めよ。\n(i) \n(ii)
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1 から 1000 までの整数全体の集合を全体集合 とし, その部分集合 , を とする。このとき, であることを示せ。
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65
例題 33 不等式の性質と式の値の範囲 (2)
(1) 10010
x, y を正の数とする。 x, 3 x+2 y を小数第 1 位で四捨五入すると,それぞれ 6 , 21 になるという。
(1) x の値の範囲を求めよ。
(2) y の値の範囲を求めよ。
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1から1000までの整数全体の集合 U に対し、次の条件を満たす集合 A, B, C を定義する。\nA = {n | n は奇数, n ∈ U}\nB = {n | n は 3 の倍数でない, n ∈ U}\nC = {n | n は 18 の倍数でない, n ∈ U}\nこのとき、A ∪ B ⊂ C であることを証明しなさい。
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次の命題 (A), (B) を両方満たす,5個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n④7 (A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。
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EX を自然数全体の集合とする。\n36 (1) 「1 は の要素である」を, 集合の記号を用いて表せ。\n(2) 「1 のみを要素にもつ集合は, の部分集合である」を,集合の記号を用いて表せ。
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59 (1) x=0 で最小値 -1 ; x=\frac{2+2 \sqrt{6}}{5} で最大値 \frac{2+2 \sqrt{6}}{5} (2) (p, q)=\left(-1, \frac{1}{4}\right),\left(-1, \frac{2+2 \sqrt{6}}{5}\right)
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総合 実数 aに対して, a 以下の最大の整数を [a] で表す。
(1) a と b が実数のとき, a ≤ b ならば [a] ≤ [b] であることを示せ。
(2)nを自然数とするとき, [√n] = √n であるための必要十分条件は, n が平方数であることを示せ。ただし,平方数とは整数の2乗である数をいう。
(3)nを自然数とするとき, [√n]-[√n-1] = 1 となるための必要十分条件は, n が平方数であることを示せ。
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Join our DiscordQ.95
9 (1) \\( \\sqrt{9 + 4 \\sqrt{5}} x + (1 + 3 \\sqrt{5}) y = 8 + 9 \\sqrt{5} \\) を満たす整数 , の組を求めよ。\n(2) 正の整数 \ x, y\ について \ \\sqrt{12 - \\sqrt{x}} = y - \\sqrt{3} \ が成り立つとき, \ x= \ ア \ \\square \ , \ y= \ イ \ \\square \ である。
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Join our DiscordQ.96
数学 I (2) a<0 のとき, f(x) の最大値が 3 であるとすると -a=3 よって a=-3 これは a<0 を満たす。 0 ≤ a ≤ 10 のとき, f(x) の最大値が 3 であるとすると
rac{a^{2}}{4}-a=3
よって a^{2}-4 a-12=0 ゆえに (a+2)(a-6)=0 0 ≤ a ≤ 10 であるから a=6 の場合ごとに、求めた最大値(aの式)を=3とおいた方程 式を解く。なお a の値を求めた後、場合分けの条件を満たしているかどうかの確認を忘れずに。 10<a のとき, f(x) の最大値が 3 であるとすると
よって a=7 これは 10<a を満たさず,不適。 求める a の値は a=-3,6
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Join our DiscordQ.97
受験者数が 100 人の試験が実施され, この試験を受験した智子さんの得点は 84 (点)であった。また, この試験の得点の平均値は 60 (点) であった。なお, 得点の平均値が (点), 標準偏差が (点) である試験において, 得点が (点) である受験者の偏差値は \( 50+\frac{10(x-m)}{s} \) となることを用いてよい。(1)智子さんの偏差値は 62 であった。したがって, 100 人の受験者の得点の標準偏差はア (点) である。(2)この試験において, 得点が (点) である受験者の偏差値が 65 以上であるための必要十分条件は である。(3)後日,この試験を新たに 50 人が受験し,受験者数は合計で 150 人となった。その結果, 試験の得点の平均値が 62 (点) となり, 智子さんの偏差値は 60 となった。したがって, 150 人の受験者の得点の標準偏差はウ (点) である。また,新たに受験した 50 人の受験者の得点について,平均値はエ (点) であり, 標準偏差は才吅 (点) である。
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第2章 集合と命題\n6 命題と条件\n問題\n次の命題の真偽を判断せよ。\n(a) すべての偶数は2で割り切れる。\n(b) すべての奇数は2で割り切れる。
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Join our DiscordQ.99
次の命題について、否定の命題が真か偽かも答えなさい。\n(1) 否定:すべての自然数 n について n^2 - 5n - 6 ≠ 0 偽 もとの命題は真\n(2) 否定:ある実数 x, y について 9x^2 - 12xy + 4y^2 ≤ 0 真 もとの命題は偽\n(3) 否定:すべての自然数 m, n について 2m + 3n ≠ 6 真 もとの命題は偽
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次の和集合と交集合を求めなさい。\nA={1,2,3,4,5}\nB={-2,0,2,4,6}\nA ∩ B, A ∪ B, \overline{A} ∩ B
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EX (1) 家から駅までの距離は 1.5 km である。最初毎分 60 m で歩き, 途中から毎分 180 m で走る。12 分以内で駅に着くためには, 最初に歩く距離を何 m 以内にすればよいか。
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Join our DiscordQ.02
空集合\n空 集 合 ( \\varnothing ) 要素を 1 つももたない集合。任意の集合 ( A ) について ( \\varnothing \subset A ) と約束する。
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Join our DiscordQ.04
[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。 (4) 70 (1) の値を求めよ。 (2) \( y=-[x](-3 ≤ x ≤ 2) \) のグラフをかけ。 (3) \( y=x+2[x](-2 ≤ x ≤ 2) \) のグラフをかけ。
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Join our DiscordQ.05
縵習 \ \\mathrm{AB}=x, \\mathrm{BC}=x-3, \\mathrm{CA}=x+3 \ である \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ がある。[類 久留米大]\n(1) \ x \ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(2) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ が鋭角三角形であるとき, \ x \ の値の範囲を求めよ。\n\ \\underline{\\text { p. } 263 \\text { EX } 113>} \
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Join our DiscordQ.06
次のデータは 10 人の生徒のある教科のテストの得点である。ただし, の値は正の整数である。 (単位は点) の値がわからないとき, このデータの中央値として何通りの値がありうるか。
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Join our DiscordQ.07
点 (2x-3,-3x+5) が第2象限にあるように, x の値の範囲を定めよ。また, x がどのような値であってもこの点が存在しない象限をいえ。
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Join our DiscordQ.08
兄弟合わせて 52 本の鉛筆を持っている。今,兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く, 更に 3 本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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Join our DiscordQ.09
2つの集合 , は 4 未満の自然数 は 6 の正の約数 について, 次の の中に, ⊆, ⊂, =のうち, 最も適するものを書き入れよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ)
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Join our DiscordQ.10
家から駅までの距離は1.5kmである。最初毎分60mで歩き, 途中から毎分 180m で走る。家を出発してから12分以内で駅に着くためには、最初に歩く距離を何m以内にすればよいか。
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Join our DiscordQ.13
(2) 5 % の食塩水と 8 % の食塩水がある。5 % の食塩水 800 g と 8 % の食塩水を何 g か混ぜ合わせて 6 % 以上 6.5 % 以下の食塩水を作りたい。8 % の食塩水を何 g 以上何 g 以下混ぜればよいか。
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2 つの変量 の 10 個のデータ \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{10}, y_{10}\right) \) が与えられており, これらのデータから , , が得られている。また, 2 つの変量 の 10 個のデータ \( \left(z_{1}, w_{1}\right),\left(z_{2}, w_{2}\right), \cdots,\left(z_{10}, w_{10}\right) \) はそれぞれ \( (i=1,2, \cdots, 10) \) で得られるとする。\n(1)変量 の平均 をそれぞれ求めよ。\n(2) 変量 の分散を とし,2 つの変量 の共分散を とする。このとき, 2 つの等式 \( x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\cdots+x_{10}{ }^{2}=10\left\{s_{x}{ }^{2}+(\bar{x})^{2}\right\} \), \( x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots \cdots+x_{10} y_{10}=10\left(s_{x y}+\bar{x} \bar{y}\right) \) がそれぞれ成り立つことを示せ。\n(3) と の共分散 および相関係数 をそれぞれ求めよ。また, とwの共分散 および相関係数 をそれぞれ求めよ。ただし, は小数第 3 位 を四捨五入せよ。
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3 つの集合の共通部分, 和集合\n共通部分 ( A \\cap B \\cap C ) はA, B, Cのどれにも属する要素全体の集合。和 集 合 ( A \\cup B \\cup C ) はA, B, Cの少なくとも1つに属する要素全体の集合。
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平方根の性質\\( 1 a \geqq 0) のとき \\((\\sqrt{a})^{2}=a, \\quad(-\\sqrt{a})^{2}=a, \\quad \\sqrt{a} \\geqq 0 \\)\ 2 a \\geqq 0 \ のとき \ \\sqrt{a^{2}}=a \\ a<0 \ のとき \ \\sqrt{a^{2}}=-a \\\すなわち \ \\quad \\sqrt{a^{2}}=|a| \ \ a>0, \\quad b>0, k>0 \ のとき \\
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[3] すなわち のとき求める条件は \( h(1) \geqq 0 \)\nすなわち \nよって \n との共通範囲はない
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次の命題 (A), (B) を両方満たす,5個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n④7 (A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。\n命題 (A), (B) を両方満たす, 5 個の互いに異なる実数が存在する と仮定して,それらを とし, と する。
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実数全体を全体集合とし,その部分集合 A, B, C について,次の問いに答えよ。
(1) A={x | -3 ≤ x ≤ 2}, B={x | 2x - 8 > 0}, C={x | -2 < x < 5} とするとき, 次の集合を求めよ。
(ア) B̅
(1) A ∩ B̅
(ウ) B̅ ∪ C
(2) A={x | -2 ≤ x ≤ 3}, B={x | k-6 ≤ x ≤ k} (k は定数)とするとき, A ⊂ B となる k の値の範囲を求めよ。
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(3) 10 匹のうち体長の大きい方から 5 匹の体長の平均値はヶ口である。(2) で求めた平均値 と異なるのは, 体長の大きい 5 匹のうち番号 の個体が種類 B だからである。
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ある正の数の平方根を求める場合、それが大きな数や小数の場合は電卓やコンピュータを使って計算するのが普通であるが、実は筆算で計算することもできる。平方根を求める計算を開平というが、ここでその筆算による方法を、具体例をあげて紹介しよう。
例: の開平
以下の手順に従い、筆算する。
1. 小数点の位置から2桁ずつ区切る。
2. 最も高い桁の区分にある6について、6以下で6に最も近い平方数 を見つけ、2を立てる。
3. から205を下ろす。
4. を計算し、 が205以下で205に最も近いの数4を求め、それを立てる。
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline & 2 & 4 \\
\hline 2 & & \\
\hline 2 & & \\
\hline 4\( \left.]^{4}\right)^{4} \) & 20 & \\
\hline 4 & 17 & 6 \\
\hline & 2 & 916 \\
\hline 6 & 2 & 916 \\
\hline
\end{tabular}
5. から2916を下ろす。
6. を計算し、 が2916以下で、2916に最も近くなるの数を求めると、から6が立ち、2916に一致して計算が終わる。
以上から、 と計算できる。
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次の式の 2 重根号をはずして簡単にせよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
指針 の形の数は, (和が , 積が ) となる 2 数 \( (a>0, b>0) \) が見つかれば, 次のように変形できる。\n のとき
\begin{array}{r}
\sqrt{p+2 \sqrt{q}}=\sqrt{(a+b)+2 \sqrt{a b}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \n a>b>0 \text { のとき } \quad a>b \text { より } \ \sqrt{a}-\sqrt{b}>0 \\ \n \sqrt{p-2 \sqrt{q}}=\sqrt{(a+b)-2 \sqrt{a b}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} \end{array} \n (1) \n (2) となる 2 数 を見つける。
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次の値を求めよ。(1) (ア) (イ) (ウ) (2)数直線上において,次の 2 点間の距離を求めよ。(ア) \( \mathrm{P}(2), \mathrm{Q}(5) \) (イ) \( \mathrm{A}(2), \mathrm{B}(-3) \) (ウ) \( \mathrm{C}(-6), \mathrm{D}(-2) \) (3) のとき, の値をそれぞれ求めよ。
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EX を整数全体の集合とし, とするとき, であるが ④1 であることを証明せよ。 とすると \[\n\\begin{array}{l}\nx=6 n+5 \\\nx=6 n+3+2=3(2 n+1)+2\n\\end{array}\n\] とおくと, は整数で ゆえに よって, ならば が成り立つから 次に, であるが であるから (*) したがって, であるが である。 を示すために, 整数 \( )+2 \) の形にする。 (*) であるが, である が 1 つでもあれば A \\neq B \\n
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[a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。 (1) [2.3],[1],[-√2] の値を求めよ。 (2) 関数 y=[2x](-1 ≤ x ≤ 1) のグラフをかけ。 (3) 関数 y=x-[x](-1 ≤ x ≤ 2) のグラフをかけ。
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次の集合に関する問題に答えなさい。\n(1) ア:含まれる イ:含まれない ふ:含まれない\n(2) P = {-2, -1, 0, 1}\n答えなさい。
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EX を1からの自然数の集合とする。 の部分集合 について, 以下が成り立つ。\nA ∪ B=\\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}, A ∪ C=\\{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9\\}, B ∪ C=\\{1, 4, 6, 7, 8, 9\\}, A ∩ B=\\{4, 9\\}, A ∩ C=\\{7\\}, B ∩ C=\\{1\\}, A ∩ B ∩ C=∅
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(1) 実数 \ x \ に対して \ t=x^{2}+2 x \ とおく。 \ t \ のとりうる値の範囲は \ t \\geq ア \\square \ \ \\square \ である。また, \ x \ の 65 関数 \ y=-x^{4}-4 x^{3}-2 x^{2}+4 x+1 \ を \ t \ の式で表すと \ y=1 \\square \ である。以上から, \ y \ は \ x= \ \ \\square \, エ \ \\square \ で最大値 \ \\square \ をとる。 (2) \ a \ を実数とする。 \ x \ の関数 \\( y=-x^{4}-4 x^{3}+(2 a-4) x^{2}+4 a x-a^{2}+2 \\) の最大値が (1) で求めた値 \ \\square \ であるとする。このとき, \ a \ のとりうる値の範囲は \ a \\geqq \ カ \ \\square \ である。
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徚習 であるとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。\n(1) 32\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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3 つの赤の帽子と 2 つの白の帽子がある。前から1列に並んだ A,B,Cの3人に,この中から赤,白いずれかの帽子をかぶせ,残りの帽子は隠す。このとき, 3 人は自分がどの色の帽子をかぶっているかはわからないが,BはAの帽子が,CはA,Bの帽子が見えるものとする。また, 3 人は, 3 つの赤の帽子と 2 つの白の帽子の中から選ばれていることを知っているものとする。その後, 列の 1 番後ろの C から 1 人ずつ順に, 自分の帽子の色がわかるかどうか尋ねたところ,Cは「わかりません。」と答え,続いて,Bも「わかりません。」と答えた。そして, 最後にAに尋ねたところ, 「私の帽子の色は赤です。」と答えた。
誰の帽子も見られない A は, なぜ自分の帽子の色がわかったのか?
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実数 a に対して,2つの集合を
A=\left\{a-1,4, a^{2}-5 a+6\right\}, B=\left\{1, a^{2}-4, a^{2}-7 a+12,4\right\}
とする。 A ∩ B=\{0,4\} であるとき, a の値を求めよ。
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兄弟合わせて52本の鉛筆を持っている。いま, 兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど をあげてもまだ兄の方が多く, 更に3本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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(2)余弦定理により,
であるから
\[\(\sqrt{6})^{2}=c^{2}+2^{2}-2 \cdot c \cdot 2 \cos 60^{\circ}\]
ゆえに
これを解いて
\[\begin{aligned}
c & =-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-1 \cdot(-2)}
& =1 \pm \sqrt{3}
\end{aligned}\]
であるから
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⑬6 を自然数全体の集合とする。\n(1) 「1 は の要素である」を,集合の記号を用いて表せ。\n(2)「1のみを要素にもつ集合は, の部分集合である」を, 集合の記号を用いて表 せ。
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対偶を考えることにより,次の命題を証明せよ。ただし, は整数とする。 が偶数ならば, のうち少なくとも 1 つは偶数である。
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(1)次の分数を小数に直し,循環小数の表し方で書け。
(ア)
(イ)
(ウ)
(2) 次の循環小数を分数で表せ。
(ア)
(1)
(ウ)
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次の計算は誤りである。11から(6)の等号の中で誤っているものをすべてあげ, 誤りと判断した理由を述べよ。
27=√729=√3^6=√(-3)^6=√{(-3)^3}^2=(-3)^3=-27
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次の値を求めよ。\n(ア) \\( \\\\\\\\sqrt{(-3)^{2}} \\)\n(1) \\( \\\\\\\\sqrt{(-15)(-45)} \\)\n(ウ) \ \\\\\\\\sqrt{15} \\\\\\\\sqrt{35} \\\\\\\\sqrt{42} \
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Join our DiscordQ.47
次の値を求めよ。(ア,(イ)の値を求めよ。(ウ)は \ \\\\\\sqrt{ } \ がつかない形にせよ。\n(ア) \\( \\\\\\sqrt{(-5)^{2}} \\)\n(イ) \\( \\\\\\sqrt{(-8)(-2)} \\)\n(ウ) \\( \\\\\\sqrt{a^{2} b^{2}}(a>0, \\\\\\quad b<0) \\)
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数直線上において,次の 2 点間の距離を求めよ。
(ア) \( \mathrm{P}(-2), \mathrm{Q}(5) \)
(イ) \( \mathrm{A}(8), \mathrm{B}(3) \)
(ウ) \( \mathrm{C}(-4), \mathrm{D}(-1) \)
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Join our DiscordQ.49
x は実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。
(1) |x|<2 ならば -3<x<3
(2) |x-1|>1 ならば 2|x-2| \geqq 1
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数学 I\n-131\na=\\frac{3}{4} のとき, \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}<0 となり解はない\n\n\\frac{3}{4}<a<4 のとき -2 a < x < 2 a-3\n(2) -2 a < 0 < a であるから, (3), (4) を同時に満たす x は存在しない。また, (3), (5) を同時に満たす x も存在しない。\n(3), (6) を同時に満たす x が存在するのは, a < 2 a - 3 のときである。 a < 2 a - 3 を解くと a > 3\nよって, a > 3 と \\frac{3}{4} < a < 4 の共通範囲を求めて 3 < a < 4\n(3) [1] (2) と同様に考えると, 2 a - 3 <= a すなわち 0 < a <= 3 のとき (1), (2) を同時に満たす x は存在しない。すなわち, 題意を満たす。\n[2] 3 < a < 4 のとき, 3 < a から a + 3 < 2 a よって a < 2 a - 3\nまた, 2 \\cdot 3 - 3 < 2 a - 3 < 2 \\cdot 4 - 3 から 3 < 2 a - 3 < 5\n3 + 3 < a + 3 < 4 + 3 から 6 < a + 3 < 7\n(7), (8) から 2 a - 3 < a + 3\nよって, (1), (2) を同時に満たす x の範囲は a < x < 2 a - 3\nこのとき,題意を満たすための条件は 2 a - 3 <= 4 ... (*) ゆえに a <= \\frac{7}{2}\n3 < a < 4 との共通範囲を求めて 3 < a <= \\frac{7}{2}\n[1], [2] を合わせて, 求める範囲は 0 < a <= \\frac{7}{2}\n3章
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次のことを証明せよ。ただし, Z は整数全体の集合とする。 (1) A=\{3n-1 | n ∈ Z\}, B=\{6n+5 | n ∈ Z\} ならば A ⊇ B (2) A=\{2n-1 | n ∈ Z\}, B=\{2n+1 | n ∈ Z\} ならば A=B
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xは実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。
(1) 0 ≤ x ≤ 1 ならば |x|<1
(2) |x-1|<2 ならば |x|<3
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14 実数 に対して, を満たす整数 を で表す。(1) を満たす整数 をすべて求めよ。(2) を満たす実数 の値の範囲を求めよ。(3) は(2) で求めた範囲にあるものとする。 を満たす の値をすべて求めよ。
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(3) \\( (b+c):(c+a):(a+b)=4: 5: 6, R=1 \\) のとき \ A, a, b, c \
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次の値を求めよ。
(ア) \( \sqrt{(-3)^{2}} \)
(イ) \( \sqrt{(-15)(-45)} \)
(ウ)
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1 から 49 までの自然数からなる集合を全体集合 とする。 の要素のうち, 50 との最大公約数が 1 より大きいもの全体からなる集合を , また, の要素のうち, 偶数であるもの全体から なる集合を とする。いま と は の部分集合で,次の 2 つの条件を満たすとするとき,集合 の要素をすべて求めよ。\n(i) \n(ii) \n[岩手大]
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次のことを証明せよ。ただし, Z は整数全体の集合とする。\n(1) A={3n-1 | n ∈ Z}, B={6n+5 | n ∈ Z} ならば A ⊇ B \n(2) A={2n-1 | n ∈ Z}, B={2n+1 | n ∈ Z} ならば A = B
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数直線上で、原点 と点 \( \mathrm{P}(a) \) の間の距離を、実数 の絶対値 といい、記号 で表す。\n1. \n2. \( |a| =\left\{\begin{aligned} a & (a \geqq 0 \text { のとき) } \\ -a & (a<0 \text { のとき) }\end{aligned}\right. \)
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「すべて」「ある」とその否定
全体集合を , 条件 を満たす 全体の集合を とする。
(1) のとき「すべての について である」は真
(2) のとき「ある について である」は真
(3) 否定「すべての について である」の否定は「ある について である」
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補集合\n補 集 合 ( \\bar{A} ) は全体集合 ( U ) の要素で, ( A ) に属さない要素全体の集合。
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(1)次の分数を小数に直し,循環小数の表し方で書け。
(ア)
(イ)
(2) 次の循環小数を分数で表せ。
(ア)
(侢
(ウ)
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の值と \( h(x) \) の関係について
問題 2 において, 点 \( \mathrm{P}(2,-5) \) を通るときの の値は であったが, の値を変化させた場合, \( y=h(x) \), すなわち \( y=f(x)+k\{g(x)-f(x)\} \) のグラフがどのように変化するかを、コンピュータソフトも用いながら考察してみよう。
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81 a<0 のとき x<3 a, a^{2}<x 0<a<3 のとき a^{2}<x<3 a a=3 のとき解なし; 3<a のとき 3 a<x<a^{2}
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[2] \ -1<x<7 \ のとき, 不等式は\n\\[\n-\\left(x^{2}-6 x-7\\right) \\geqq 2 x+2\n\\]\nよって \ \\quad x^{2}-4 x-5 \\leqq 0 \ ゆえに \\( (x+1)(x-5) \\leqq 0 \\)\nしたがって \ \\quad-1 \\leqq x \\leqq 5 \\n\ -1<x<7 \ との共通範囲は \ \\quad-1<x \\leqq 5 \
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を全体集合とする。集合 の部分集合 を とするとき,次の集合を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
捍金 集合の要素を求める問題では,まず下の図にあるような図(ベン図)をかき,問題文で 与えられた 条件を整理 する。要素を書き込むときには, 次の順に書き込むとよい。
(1)
(2)
の要素のうち, の要素ではな いものをそれぞれ 書き込む。
(3)
2
(5)
集
合
CHART 集合の問題 図(ベン図)を作る
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次の命題の真偽を調べよ。ただし , m, n は自然数, x, y は実数とする。
(1) n が 8 の倍数ならば, n は 4 の倍数である。
(2) m+n が偶数ならば, m, n はともに偶数である。
(3) x y が有理数ならば, x, y はともに有理数である。
(4) x, y がともに有理数ならば, x y は有理数である。
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実数 x に対して, x を超えない最大の整数を [x] で表すことがあり, この記号 [ ]を ガウス記号 という。次の問題について考えなさい。
1. [2.7] はいくつか。
2. [3] はいくつか。
3. [−1.5] および [−0.1] はそれぞれいくつか。
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次の命題の真偽を調べよ。ただし, は自然数, は実数とする。
① (1) が 8 の倍数ならば, は 4 の倍数である。
(2) が偶数ならば, はともに偶数である。
(3) が有理数ならば, はともに有理数である。
(4) がともに有理数ならば, は有理数である。
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次の条件を満たすように、数直線上に集合 A, B を表しなさい。\n条件: A ⊂ B かつ 3 ≤ k ≤ 4
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次の命題とその否定の真偽をそれぞれ調べよ。\n(1)すべての実数 について \n(2) ある素数 について, は偶数である。\n(3)任意の実数 に対して
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練習 [a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。 (1) [13/7], [-3], [-√7] の値を求めよ。
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次の に最も適する語句を,上の例題の選択肢(ア)(I)から選べ。ただし, , (2) y は実数とする。\n(1) は であるための 。
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対偶を考えることにより,次の命題を証明せよ。整数 について, 積 が 3 の倍数ならば, または は 3 の倍数である。
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総合 M=\left\\{m^{2}+m n+n^{2} \\mid m, n \\right. は負でない整数 \( \\right\\} とする。\n(1) 負でない整数 について, 次の等式が成り立つことを示せ。\n\\[\n\\left(a^{2}+a b+b^{2}\\right)\\left(x^{2}+x y+y^{2}\\right)=(a x+a y+b y)^{2}+(a x+a y+b y)(b x-a y)+(b x-a y)^{2}\n\\]\n(2) 7, 31, 217 が集合 の要素であることを示せ。\n(3)集合 の各要素 について, 積 の値は の要素であることを示せ。\n[宮崎大]
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x についての不等式 x^{2}-(a+1) x+a<0,3 x^{2}+2 x-1>0 を同時に満たす整数 x がちょうど 3 つ存在するような定数 a の値の範囲を求めよ。[摂南大]
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次の命題の逆・対偶・裏を述べ,その真偽をいえ。 は実数とする。\n(1) 4 の倍数は 2 の倍数である。\n(2) ならば \n(3) ならば かつ
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30 以下の自然数全体を全体集合 U とし, U の要素のうち, 偶数全体の集合を A, 3 の倍数全体の集合を B, 5 の倍数全体の集合を C とする。次の集合を求めよ。 (1) A ∩ B ∩ C (2) A ∩(B ∪ C) (3) (A^c ∪ B^c) ∩ C
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次の計算は誤りである。①)から (6) の等号の中で誤っているものをすべてあげ, 誤 りと判断した理由を述べよ。\n\n\[\n27=\sqrt{729}=\sqrt{3^{6}}=\sqrt{(-3)^{6}}=\sqrt{\left\{(-3)^{3}\right\}^{2}}=(-3)^{3}=-27\n\]\n[類 宮崎大]
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[2] 解の 1 つが -2<x<0 にあり,他の解が x<-2 または 0<x の範囲にあるための条件は f(-2) f(0)<0 よって (-3 a+1)(-a+1)<0\nよって (3 a-1)(a-1)<0 溶減 a の範囲を求めなさい。
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次の命題 (A), (B) を両方満たす,5個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n④7 (A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。
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実数 が を満たすとき\n(1) のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。\n(2) のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。
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[3]解の 1 つが x=-2 のとき\ f(-2)=0 から -3 a+1=0\nしたがって a=\\frac{1}{3}\nこのとき, 方程式は 3 x^{2}+7 x+2=0\nよって (x+2)(3 x+1)=0\nよって,解は x=-2,-\\frac{1}{3} となり,条件を満たす。a の値を求めなさい。
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ある整数を 20 で割って, 小数第 1 位を四捨五入すると 17 になる。そのような整数のうち, 最大のものと最小のものを求めよ。
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綀習 \ -1<x<2,1<y<3 \ であるとき,次の式のとりうる値の範囲を求めよ。\n\ \\triangle 32 \\n(1) \ x+3 \\n(2) \ -2 y \\n(3) \ -\\frac{x}{5} \\n(4) \ 5 x-3 y \\n(1) \ -1<x<2 \ の各辺に 3 を加えて \ \\quad-1+3<x+3<2+3 \\nすなわち \ \\quad 2<x+3<5 \\n(2) \ 1<y<3 \ の各辺に -2 を掛けて \\( \\quad 1 \\cdot(-2)>-2 y>3 \\cdot(-2) \\) すなわち \ \\quad-6<-2 y<-2 \\n(3) \ -1<x<2 \ の各辺に \ -\\frac{1}{5} \ を掛けて\n\\[\n-1 \\cdot\\left(-\\frac{1}{5}\\right)>-\\frac{1}{5} x>2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{5}\\right)\n\\]\nすなわち \ \\quad-\\frac{2}{5}< -\\frac{x}{5}<\\frac{1}{5} \\n(4) \ -1<x<2 \ の各辺に 5 を掛けて \ \\quad-5<5 x<10 \\n\ 1<y<3 \ の各辺に -3 を掛けて \ -3>-3 y>-9 \\nすなわち\n\ -9<-3 y<-3 \ \ \\qquad \\n(1),(2)の各辺を加えて \ \\quad-14<5 x-3 y<7 \\nட不等号の向きが変わる。\n\ \\leftarrow-2>-2 y>-6 \ でも\よい。
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次の命題 (A), (B) を両方満たす,5個の互いに異なる実数は存在しないことを証明せよ。\n④7 (A) 5 個の数のうち, どの 1 つを選んでも残りの 4 個の数の和よりも小さい。\n(B) 5 個の数のうち任意に 2 個選ぶ。この 2 個の数を比較して大きい方の数は, 小さい方の数の 2 倍より大きい。
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次の表は、整数 n の平方 (n^2)、立方 (n^3)、平方根 (√n)、および10倍された数 (√10n) の一覧を示しています。この表を基にして、以下の質問に答えてください。
1. n = 25 のとき、n^3 の値は何ですか?
2. n = 50 のとき、√n の値は何ですか?
3. n = 75 のとき、√10n の値は何ですか?
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数学 I [2] a, b, c がすべて奇数のとき 整数 l, m, n を用いて a=2 l+1, b=2 m+1, c=2 n+1 と表される。また,(1)で示したことから, 整数 s を用いて a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 s+1 と表される。このとき a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a を計算せよ。
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次の に当てはまるものを,下記の(1)~(4)のうちから1つ選べ。ただし,同じ 番号を繰り返し選んでもよい。\n実数 に関する条件 を\n\n\[ p:-1 \leqq x \leqq \frac{7}{3}, \quad q:|3 x-5| \leqq 2, \quad r:-5 \leqq 2-3 x \leqq-1\n\nとする。このとき, は であるためのア \n。 また, は であるためのウ \n(1) 必要十分条件である\n(2) 必要条件でも十分条件でもない\n(3) 必要条件であるが, 十分条件ではない\n(4)十分条件であるが,必要条件ではない\n [金沢工大]
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次の に最も適する語句を,上の例題の選択肢(ア)(I)から選べ。ただし, , y は実数とする。\n(2) は であるための 。
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114 (2) 次の条件を満たす △ABC はどのような形の三角形か。
(b-c) sin² A=b sin² B-c sin² C
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72-6<a<3,3<a のとき 2 個; a=-6,3 のとき 1 個 ; a<-6 のとき 0 個 ; a=3 のとき x=-\frac{2}{3}, a=-6 のとき x=-\frac{1}{3}
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5%の食塩水 800g と 8%の食塩水を何gか混ぜ合わせて 6% 以上 6.5% 以下の食塩水を作りたい。8%の食塩水を何g以上何g以下混ぜればよいか。
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ある整数を 20 で割って, 小数第 1 位を四捨五入すると 17 になる。そのような整数のうち, 最大と最小のものを求めよ。
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U=\{x | x は実数\} を全体集合とする。 U の部分集合 A=\{2,4, a^2+1\} ,
B=\{4, a+7, a^2-4a+5\} について, A ∩ B^c=\{2,5\} となるとき, 定数 a の値を求めよ。
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次の条件を満たすような実数 a の値の範囲を求めよ。
(条件):どんな実数 x に対しても x²-3x+2 > 0 または x²+ax+1 > 0 が成立する。
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集合の記号と表し方について説明し、それを用いて以下の集合を表してください。
A: 自然数の集合
B: 3の倍数である自然数の集合
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数学 I
-223
(8), (9) から -\frac{9}{2} \leqq 2 x^{2}+x y-y^{2} \leqq 0
[4] 2 x+y<0 かつ 2 x-y<0 のとき
(1)から -(2 x+y)-(2 x-y)=4 よって x=-1
このとき \quad 2 x^{2}+x y-y^{2}=2-y-y^{2}=-\left(y^{2}+y\right)+2
\[-\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}
\]
2 x+y<0 かつ 2 x-y<0 から \quad-2+y<0 かつ -2-y<0
ゆえに
-2<y<2 \qquad
(11), (12) から -4<2 x^{2}+x y-y^{2} \leqq \frac{9}{4}
求める値の範囲は, (4), (7), (10), (13) を合わせたもので
<- 点 (x, y) 全体を [1]〜 [4] の各場合に分けた から, 求めるのは「合わ せた範囲」となる。
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(3)否定:「すべての自然数 について 2 m+3 n \neq 6 」 \n真偽: \( m=1, n=1 のとき \( \quad 2 m+3 n=5(\neq 6) \)\n のとき, から \n のとき, から \nしたがって 真。もとの命題の真偽は,否定の真偽を調べたときと同様にして 偽。
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次の条件に一致する集合を答えなさい。\n (1)1,2,4,8,16,32\n(2)条件 P の部分集合\n(3)条件 P の部分集合であることを証明しなさい。
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Q1 (3) から 2x+1\leqq-3 \\\\または 2x+1\geqq3 \\\\よって 2x\leqq-4 \\\\または 2x\geqq2 \\\\すなわち x\leqq-2 \\\\または x\geqq1
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ある学校で, 清掃のためプールの水を完全に抜くことにした。ただし,ポンプで\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\\hline & 100 & 300 & 600 \\ \\hline & 370 & ア \\ \\hline\\end{tabular}\n毎分一定の量を排水するものとする。\n排水を開始してから 分後におけるプールの水の残量を とするとき,表のような結果が得られた。\n(1) 表のア にあてはまる数を求めよ。(2)排水開始前のプールの水の量はイ である。また,排水を開始 してからちょうどウ 分後に完全に水がなくなる。
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0 ≤ x ≤ 2 の範囲において, 常に x² - 2ax + 3a > 0 が成り立つように, 定数 a の値の範囲を定めよ。
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80 a<1,1<a<\frac{4}{3} のとき 2 個 a=1, \frac{4}{3} のとき 1 個 a>\frac{4}{3} のとき 0 個\n
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(問題に挑戦) (3) 1<|a|<2 について, 1<|a| を解くと a<-1,1<a |a|<2 を解くと -2<a<2 したがって, 1<|a|<2 の解は -2<a<-1, 1<a<2 ゆえに, 「1<|a|<2 \Longrightarrow-1<a<2」 は偽。 (反例 : a=-\\frac{3}{2}) また, 「-1<a<2 \Longrightarrow 1<|a|<2」 も偽。 (反例 : a=0) よって, 1<|a|<2 は -1<a<2 である ための必要条件でも十分条件でもない。
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Join our DiscordQ.36
次の命題の真偽を調べよ。ただし, は整数とする。(ア) が偶数ならば, は奇数である。(イ) が偶数ならば, は偶数である。
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次の命題の真偽を調べよ。ただし,(2),(3)は集合を用いて調べよ。\n(1)実数 につい, ならば \n(2) 実数 について, ならば \n(3)実数 について, ならば
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Join our DiscordQ.41
2017 年のホタテの漁獲量は、235,952(t)であった。このとき、2006年から 2017 年までの 12 年間のホタテの漁獲量の平均値はコ(t)となる。ただし、小数第 1 位を四捨五入するものとする。
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Join our DiscordQ.42
次の 2 点間の距離を求めよ。
(ア) \( \mathrm{P}(3), \mathrm{Q}(8) \)
(イ) \( \mathrm{P}(-2), \mathrm{Q}(5) \)
(ウ) \( \mathrm{P}(-1), \mathrm{Q}(-4) \)
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実数 に対し であるための(1)必要条件であるが十分条件でないもの(2)十分条件であるが必要条件でないもの(3)必要十分条件であるもの を,次の(1) (3) からそれぞれ選べ。\n(1) \n(2) または \n(3)
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兄弟が合わせて52本の鉛筆を持っている。いま、兄が弟に自分が持っている鉛筆のちょうど1/3をあげてもまだ兄の方が多く、更に3本あげると弟の方が多くなる。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ。
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2017年のホタテの漁獲量は、235,952(t)であった。このとき、2006年から2017年までの12年間のホタテの漁獲量の平均値はコ()となる。ただし、小数第1位を四捨五入するものとする。コに当てはまるものを次の(0〜3)のうちから1つ選べ。\n(0) 281300\n(1) 291300\n(2) 301300\n(3) 311300
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PRACTICE 108 θ は鋭角とする。 sin θ, cos θ, tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき, 各場合について残りの 2 つの三角比の値を求めよ。 (1) sin θ=5/13 (2) cos θ=2/3 (3) tan θ=2√2
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次の方程式が実数解を持つような負でない整数 \ k \ をすべて求めよ。\n\\( k x^{2}-2(k+3) x+k+10=0 \\)
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次の2次方程式の判別式 D を求め、実数解の個数を示しなさい。 (1) x^2+3x-2=0 (2) 4x^2-20x+25=0 (3) 2x^2-x+1=0
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次の命題の真偽を調べよ。ただし,(2),(3)は集合を用いて調べよ。\n(1) 実数 について, ならば \n(2) 実数 について, ならば \n(3) 実数 について, ならば
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命題「P⇒Q」が真であるとき、その対偶について、□が成り立つ。空欄に当てはまるものを,次の1から4のうちから1つ選べ。
(1) P̅⊆Q
(2) P̅⊆Q̅
(3) Q̅⊆P
(4) Q̅⊆P̅
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整数部分・小数部分の問題を解くには、整数部分と小数部分をそれぞれ求める必要があります。たとえば、次の問題を考えてみましょう。
問題:5.67 の整数部分と小数部分を求めなさい。
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不等式の整数解の問題では、整数範囲内で解を求める必要があります。次の問題を解いてみましょう。
問題:2x + 3 < 11 の整数解を求めなさい。
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64 x=0, y=0 で最小値 2\n65 (1) x= \pm 1 で最大値 5 , 最小値はない (2) x=\frac{3}{4} で最大値 \frac{71}{64}, 最小値はない\n
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(2) 小問 (B) について, 太郎さんと花子さんが話し合っている。 太郎:定義域が というのは,これまで考えたことのない範囲だなぁ。 花子:数直線で表すと,右の図のようになるよ。 太郎: の範囲は, について対称になって いるね。\( f(x) \) の最大値を \( M(a) \), 最小値を \( m(a) \) とすると, 小問 (B) の答えは次のようになる。 のとき M(a)=\square \square\ , m(a)=\square \square のとき M(a)= \square \( m(a)= ケ のとき \( M(a)= \) \( m(a)= \square \square \ カ~サ に当てはまるものを,次の0~8のうちから1つずつ選べ。 ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。(0) -2 (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2 (5) (6) (7) (8) (3) \( g(a)=M(a)-m(a) \) とすると, \( y=g(a) \) のグラフの概形はシである。 シに当てはまるものを,次の0~44うちから1つ選べ。ただし,いずれのグラフも 原点は含まないものとする。 0 (1) (2)
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AさんとBさんはアルバイトでともに週4日勤務している。このとき, A さんと Bさんがともに勤務する日が毎週少なくとも1日あることを示せ。
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全体集合 U={x | 1 ≦ x ≦ 10, x は整数} の部分集合 A, B について, A ∩ B = {3,6,8}, , A ∩ \bar{B} = {1,10} とする。このとき, 集合 A, B, A ∪ B を求めよ。
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次の(1)(6)の文中の空欄に当てはまるものを,下の選択肢(1(4)のうちから1つ選べ。ただし, はともに実数とする。\n(1) は のための \n(2) 「x=0」\ のための \n(3) は かつ のための \n(4) 「x^{2}+y^{2}=1」\ は のための \n(5) 「すべての について である」は「 のための \n(6) \(\\(x y)^{2}\) が無理数である」は「 または が無理数である」のための \n[選択肢] (1) 必要十分条件である (2) 十分条件であるが必要条件ではない (3) 必要条件であるが十分条件ではない (4) 必要条件でも十分条件でもない
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(セ) b=0 のとき, (1) は |3 x-6|<a x 不等式 |3 x-6|<a x の解は, y=a x のグラフが, y=|3 x-6| のグラフの上側にある x の値の範囲である。 a>0 のとき, y=|3 x-6| と y=a x のグラフは, 右の図のようになる。 ゆえに,「a>0 ⟹|3 x-6|<a x を満たす 実数 x が存在する」は真。 また, a=-4 のとき, |3 x-6|<a x を満たす実数 x は 存在するが, a>0 ではない。 ゆえに, |3 x-6|<a x を満たす実数 x が存在する ⟹ a>0 は偽。 よって, a>0 であることは, (1)を満たす実数 x が存在する ための十分条件であるが,必要条件ではない。
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EXA社はチョコレートを眅売している。販売個数 y 個( y は1以上の整数)は,販売価格 p 円(1 60 個当たりの値段)に対して次で定められる。
y=10-p
(1)A社の売上が最大となる販売価格 p の値,および,そのときの販売個数 y の値を求めよ。ただし,売上とは販売価格と販売個数の積とする。
(2) y 個のチョコレートの販売にかかる総費用 c(y) は, c(y)=y² で表される。このとき, A 社の利益 (売上から総費用を引いた差) が最大となる販売価格 p の値, および, そのときの販売個数 y の値を求めよ。
(3)(2)において, 総費用 c(y) が変化し, c(y)=y²+20y-20 となったとき, A 社の利益が最大となる販売価格 p の値,および,そのときの販売個数 y の値を求めよ。
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問6 欠席者以外の 39 人の得点を , とし, 欠席者の点数を含めて計算し 直したときの平均値を , 分散を とする。欠席者の得点は 60 点であるから \[ \begin{aligned} y & =\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots \cdots+x_{39}+60}{40} \\ & =\frac{60 \times 39+60}{40}=\frac{60 \times(39+1)}{40} \\ & =60 \end{aligned} \] よって, 平均値は変化しない。(ア(1) また, 欠席者の得点は 60 点で, で あるから \[ \begin{aligned} z & =\frac{\left(x_{1}-y\right)^{2}+\left(x_{2}-y\right)^{2}+\cdots+\left(x_{39}-y\right)^{2}+(60-y)^{2}}{40} \\ & =\frac{\left(x_{1}-y\right)^{2}+\left(x_{2}-y\right)^{2}+\cdots+\left(x_{39}-y\right)^{2}+(60-60)^{2}}{40} \\ & =\frac{39}{40} \cdot \frac{\left(x_{1}-y\right)^{2}+\left(x_{2}-y\right)^{2}+\cdots+\left(x_{39}-y\right)^{2}}{39} \\ & =\frac{39}{40} \cdot 20<20 \end{aligned} \] よって, 分散は小さくなる。
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(問題に挑戦) (2) |a-1|<2 から -2<a-1<2 よって -1<a<3 a^{2}-1<0 から (a+1)(a-1)<0 よって -1<a<1 ゆえに, 「a^{2}-1<0 \Longrightarrow |a-1|<2」 」は真。 \\\\また, 「|a-1|<2 \Longrightarrow a^{2}-1<0」 」は偽。 (反例 : a=2) よって, |a-1|<2 は a^{2}-1<0 であるための必要条件であるが, 十分条件でない。
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次の問題に答えよ。
(1)道路の勾配には,百分率 (\%, パーセント)がよく用い られる。百分率は, 水平方向に 進んだときに, 何 標高が高くなるかを表す。ある道路では, と表示 された標識がある。この道路の傾斜は約何度か。
(2)鉄道の勾配には,千分率(%,パーミル)がよく用いられる。千分率は,水平方向に 進んだときに, 何 標高が高くなるかを表す。ある鉄道路線では, と表示された標識がある。この鉄道路線の傾斜は約何度か。
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36 ・9で割り切れる整数全体の集合を で割り切れる整数全体の集合を とする。 とするとき, は 3 で割り切れる整数全体の集合と一致することを示せ。
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次の問題について、与えられた選択肢の中から適切なものを選んでください。\n(1) は であるための 。\n(2) は であるための 。\n(3) は であるための 。\n(4) の 3 辺が等しいことは、 の 3 つの角が等しいための 。\n\n(ア) 必要十分条件である\n(イ)必要条件であるが十分条件ではない\n(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない\n(I) 必要条件でも十分条件でもない
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\ -1 \\leqq a \\leqq 1 \ のとき\\r\\n\\( f(x) \\) は \ x=a \ で最小となる。\\r\\nゆえに \\( \\quad f(a)=-a^{2}-a+6 \\geqq 0 \\)\\r\\nよって \ \\quad a^{2}+a-6 \\leqq 0 \\\r\\n左辺を変形して\\r\\n\\[\\r\\n(a+3)(a-2) \\leqq 0\\r\\n\\]\\r\\nこれを解いて\\r\\n\\\r\\n-3 \\leqq a \\leqq 2\\r\\n\\\r\\nこれと \ -1 \\leqq a \\leqq 1 \ の共通範囲は\\r\\n\\\r\\n-1 \\leqq a \\leqq 1\\r\\n\\\r\\n
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1 桁の自然数を全体集合 U とし, その 2 つの部分集合 A, B について, \bar{A} ∩ B = {3,9}, A ∩ \bar{B} = {2,4,8}, \bar{A} ∩ \bar{B} = {1,5,7} が成り立つとき, 集合 A, B を求めよ。
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72\n基本列題 39 集合の要素の決定\n整数を要素とする 2 つの集合 を ,\n とする。また, とする。\n(1)定数 の値を求めよ。\n(2) を求めよ。\n[類 広島修道大]\np. 68 基本事項 1\nC. HART \& I HINKING
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PRACTICE 33: (1)不等式 x + 1/6 > 5/3 x - 9/2 を満たす正の奇数 x をすべて求めよ。
(2)不等式 5(x - a) <= -2(x - 3) を満たす最大の整数が 2 であるとき,定数 a の倡の 範囲を求めよ。
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整数解に関する条件を満たす定数の値の範囲\n例題 33 (2) で、不等号に等号がつく場合とつかない場合の違いがわかりにくいです。どのように考えればよいですか?
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\\\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0\ から \\\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ 半径 1 の半円周上で, \x\ 座標が \-\\frac{1}{\\sqrt{2}}\ となる点は, 図の点 \\\mathrm{P}\ である。求める \\\theta\ は, \\\angle \\mathrm{AOP}\ であるから
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aは正の定数とする。0 ≤ x ≤ a における関数 f(x)=-x²+6x について(1)最大値を求めよ。(2) 最小値を求めよ。
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EX 3 つの正の数 a, b, c の平均値が 14 , 標準偏差が 8 であるとき,
a^2+b^2+c^2=ア,
a b+b c+c a= ↑ [立命館大]
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数学 I\nEXある物質を水で溶かした 1%, 5%, 10% の水溶液がある。これら 2 種または 3 種の水溶液を混ぜ合わせて, 7.3% の水溶液を 100 g 作る場合, 1% 水溶液は何 g まで使用することが可能か。また, 10% 水溶液の使用にはどのような制限があるか。\n[名城大]
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58 (1) \( (x, y, z)=(2,3,1) \)\n(2) \( (x, y, z)=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \)\n
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\ 10^{2} x=199, y=-98, z=102 \ のとき, \ x^{2}+4 x y+3 y^{2}+z^{2} \ の値を求めよ。
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PR θは鋭角とする。sinθ, cosθ, tanθのうち1つが次の値をとるとき, 各場合について残りの2つの三角比の值を求めよ。
(1) sinθ=\frac{5}{13}
(2) cosθ=\frac{2}{3}
(3) tanθ=2 \sqrt{2}
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数学 I
PR において, とする。ただし, である。
(1) とするとき, と の值を で表せ。
(2) の面積の最大値と,そのときの の値を求めよ。
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Join our DiscordQ.87
(ス) a=0 のとき, (1) は |3 x-6|<b 不等式 |3 x-6|<b の解は, y=b のグラフが, y=|3 x-6| のグラフの上側にある x の値の範囲である。 b>0 のとき, y=|3 x-6| と y=b のグラフは,右の図のようになる。 ゆえに, 「 b>0 ⟺|3 x-6|<b を満 たす実数 x が存在する」が成り立つ。 よって, b>0 であることは, (1)を 満たす実数 x が存在するための必要十分条件である。
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Join our DiscordQ.88
半径 4 m の円形の池の周りに, 同じ幅の花壇を造りたい。花壇の面積が 9π m² 以上かつ 33π m² 以下になるようにするには,花壇の幅をどのようにすればよいか。
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Join our DiscordQ.89
K-LUP 不等式の整数解の問題における注意点\n例題 33 (1) で、求める整数の個数は (個)ではないのですか?
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Join our DiscordQ.91
EX 実数 が \( (x-y)^{2}<2 \) を満たすとき, と は近いということにする。 を実数とする (2) 38 とき, 次の命題の真偽を調べよ。\n(1) と が近く, と が近ければ, と は近い。\n(2) と が近ければ, は近い。\n(3) 0 が の両方に近くなければ, が成り立つ。
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34® は 15 以下の正の整数 を全体集合とする。 の部分集合 , について, は 3 の倍数, であり, \( C=(A \cup B) \cap(\overline{A \cap B}) \) が成り立っている。\n(1) 集合 を要素を書き並べる形で表せ。\n(2) 斜線部分が集合 を表している図として最も適当なものを,次の0~ (3)のから 1 つ選べ。\n(0)\n(1)\n(2)\n(3)\n(3) であることに注意して, 集合 を要素を書き並 べる形で表せ。\n(4) 集合 の要素の個数と, の要素のうち最大のものを求めよ。
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Join our DiscordQ.94
A地点から5km離れたB地点まで行くのに、初めは毎時5kmの速さで歩き、途中から毎時10kmの速さで走ることにする。B地点に着くまでの所要時間を42分以下にしたいとき、毎時10kmの速さで走る距離を何km以上にすればよいか。
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基本例題 321 次不等式と文章題
A の箱の重さは 95 g, Bの箱の重さは 100 g である。1個 12 g の球が 20 個あり,これらをAとBに分けて入れたところ,Aの箱の方が重かった。そこで A の箱からBの箱に球を 1 個移したところ,今度はBの箱の方が重くなった。最初, Aの箱には何個の球を入れたか。
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Join our DiscordQ.98
「共通範囲」と「合わせた範囲」の違いに気をつける問題です。
問題:次の二つの不等式の共通範囲を求めなさい。
1. x > 2
2. x < 5
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PR次の命題の真偽を調べよ。ただし,(2)(3)は集合を用いて調べよ。
(1)実数 a, b について, a<1, b<1 ならば a b<1
(2) 実数 x について, |x|>2 ならば x>2
(3) 実数 x について, |x+2|<1 ならば |x|<3
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Join our DiscordQ.02
Q10 温度の単位として摂氏 (°C) と華氏 (°F) があり,摂氏での温度 x°C に対し,華氏での温度 y°F は, y=\frac{9}{5} x+32 により与えられる。
都市Aのある月の最高気温のデータについて考える。最高気温のデータの平均値 が 20°C のとき,その月の華氏での平均値はア □°F である。また,最高気温のデ 一夕の摂氏での分散を X ,華氏での分散を Y とすると, \frac{Y}{X}=1 □ である。
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正方形がある。この正方形の縦の長さを 1 cm 長くし, 横の長さを 2 cm 短くして長方形を作ったところ, その面積が正方形の面積の半分になったという。このとき, 正方形の 1 辺の長さは何 cm であるか。
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補充例題 58 ガウス記号を含む関数のグラフ
は実数 を超えない最大の整数を表すものとする。
(1) , [1], [- の値を求めよ。
(2) 関数 \( y=[x] \quad(-2 \leqq x \leqq 3) \) のグラフをかけ。
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40
数学 I
PR (1) U={1,2,3,4,5,6,7,8} を全体集合とする。 U の部分集合 A={2,5,6}, (2)37 B={1,3,5} について, 集合 A ∩ ¯B, ¯A ∪ B を求めよ。
(2) 1 桁の自然数を全体集合 U とし, その 2 つの部分集合 A, B について, ¯A ∩ B={3,9}, A ∩ ¯B={2,4,8}, ¯A ∩ ¯B={1,5,7} が成り立つとき, 集合 A, B を求めよ。
(1) A ∩ B={5} よって, 右の図のようになり
A ∩ ¯B={2,6}
¯A ∪ B={1,3,4,5,7,8}
(2)条件から右の図のようになる。 よって, 集合 A, B は
A={2,4,6,8}
B={3,6,9}
CHART
集合の要素
ベン図の活用
(1) A ∩ ¯B :
¯A ∪ B :
ふわかる要素からべン図 に書き込んでいく。最後 に書き込むのは
6 (A ∩ B)
inf. (2) の解答から
A=(A ∩ ¯B) ∪(A ∩ B),
B=(¯A ∩ B) ∪(A ∩ B)
であることが確かめられる。
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10 a<b
….. (1) のとき
(1)(1) の両辺に 3 を加えて
(2) (1) の両辺から2を引いて
(3) (1) の両辺に正の数 5 を掛けて
(4) (1) の両辺に負の数 -4 を掛けて
(5) (1) の両辺に を加えて
よって
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PRACTICE 37
(1) U={1,2,3,4,5,6,7,8} を全体集合とする。 U の部分集合 A={2,5,6}, B={1,3,5} について, 集合 A ∩ \bar{B}, \bar{A} ∪ B を求めよ。
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ホタテのデータの 11 年間の平均値が 296,332 t であり, 新た に追加する 2017 年の漁獲量が 235,952 t であるから, 12 年間の平均値は 296332*11+235952)/12 = 291300 (t) よって、 12 年間の平均値はもとの平均値より小さくなる。
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基本例題 3 7 2 つの集合と要素
(1) U={1,2,3,4,5,6,7} を全体集合とする。 U の部分集合 A={1,4}, B={2,4,5,6} について, 集合 を求めよ。
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EX\n\n(1) \ x + 3y = k \ のとき、\ x^2 + y^2 \ の最小値は 4 である。定数 \ k \ の値を求めよ。\n\n(2) \ x \\geqq 0, \\quad y \\geqq 0, 2x + y = 8 \ のとき、\ xy \ の最大値と最小値を求めよ。\n
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次の実数の部分集合に関する問いに答えよ。\n(3) は整数 のとき, (2) の に対して の要素の個数が 4 個であるように, の値の範囲を定めよ。
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1 %, 5 %, 10 % の水溶液を混ぜ合わせて, 7.3 % の水溶液を100グラム作る。1 % 水溶液は何グラムまで使用できるか。また,10%水溶液の使用にはどのような制限があるか。
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44(1)次の命題の真偽を調べよ。ただし, は整数とする。\n(ア) が偶数ならば, は奇数である。\n(イ) が偶数ならば, は偶数である。
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45^{3} n は整数とする。\n(1) が 5 の倍数ならば, は 5 の倍数であることを証明せよ。\n(2) が無理数であることを証明せよ。
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次の命題の否定を述べよ。また,その真偽を調べよ。(1) 少なくとも 1 つの自然数 について (2) 任意の実数 に対して
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PR 整数を要素とする 2 つの集合 A={2,6,5a-a^2}, B={3,4,3a-1, a+b} がある。また (3) 39 ∩ B={4,6} とする。
(1) 定数 a, b の値を求めよ。
(2) A ∪ B を求めよ。
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次の (1)〜③)のうち,命題であるものを選び,その真偽を答えよ。\n(1) 100 は大きい数である。\n(2) 28 の正の約数の個数は 6 である。\n(3) 自然数 が 4 の倍数かつ 6 の倍数であれば, は 24 の倍数である。
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(1)Aさんと Bさんはアルバイトでともに週 4 日勤務している。このとき, AさんとBさんがともに勤務する日が毎週少なくとも1日あることを示せ。
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等式 \( (i-\sqrt{3})^{m}=(1+i)^{n} \) を満たす自然数 のうち, が最小となると きの の値を求めよ。
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平面上に, \ \u25B3 \mathrm{ABC} \ があり, その外接円の半径を 1 とし, 外心をOとする。この \ \u25B3 \mathrm{ABC} \ が 4 \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+4 \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{0} を満たすとき, 内積 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ の値は、アであり、\ \u25B3 \mathrm{OAB} \の面積は、\ \u25B3 \mathrm{ABC} \ の面積のイ 倍である。
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次の 2 次曲線と直線は共有点をもつか。共有点をもつ場合は、交点か接点かを述べ、その点の座標を求めよ。\n\n(2) と
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複素数平面上の原点 と異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) に対して が成り立つ。 3 点 を通る円を とする。
(1) を極形式で表せ。ただし,偏角 の範囲は とする。
(2) 円Cの中心と半径を を用いて表せ。
(3) を を用いて表せ。
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数学 \n麦考 の值は複素数平面で考えて, 次のように求めてもよい。複素数平面上で, が表す点をそれぞれ とすると, 条件から\n\n \n\nよって, は右の図のような が直角の直角二等辺三角形である。\n の虚部は正であるから, 点 は原点 を中心 に点 を だけ回転し, 点Oからの距離を 倍した 点である。\nよって \(\quad \beta=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \alpha\)\nすなわち \( \frac{\beta}{\alpha}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right)=1+i\) \n(2) (1) より \( \beta=(1+i) \alpha \) であるから \n\n\(\begin{aligned}\n|\alpha+\beta| & =|\alpha+(1+i) \alpha| \\\n& =|2+i||\alpha| \\\n& =\sqrt{2^{2}+1^{2}} \cdot 1=\sqrt{5}\n\end{aligned}\)\n\n\(\begin{array}{c}\n-\frac{\beta}{\alpha}=1+i \text{ から }\n\beta=(1+i) \alpha\n\end{array}\)
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虚数 \\alpha=\\frac{\\sqrt{3}+i}{2} \ に対して \\alpha^{n}+\\frac{1}{\\alpha^{n}}=-2 \ が成り立つような自然数 n \ で 1 \\leqq n \\leqq 100 \ を満たすものは, 全部で \ \\square \ 個ある。
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TR が負でない整数のとき, \( \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n}+\\left(\\frac{1-\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\) を簡単にせよ。
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EXERCISES の解答\n11 略\n12 (ア) 3 (イ) 5 (ウ) \ \\frac{2}{3} \ (I) \ \\frac{5 \\sqrt{5}}{2} \
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点 (-√6-√2 i) z は, 点 z をどのように移動した点であるか。ただし, 回転の角 θ の範囲 { }^{2} 75 は -π<θ≤π とする。\n点 z=2√2+√2 i を原点を中心として -π/4 だけ回転した点を表す複素数 w を求めよ。
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次の複素数を表す点を複素数平面上に図示せよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) -2\n(I) 1\n(オ) \n(力)
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3 点 \(\\mathrm{A}(4,3,-3), \\mathrm{B}(3,1,0), \\mathrm{C}(5,-2,1)\\) を頂点とする \\\triangle \\mathrm{ABC}\ において, 内積 \\overrightarrow{\\mathrm{BA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}\ および \\\angle \\mathrm{ABC}\ の大きさ \\\theta\ を求めよ。
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48 \\left(\\frac{2}{3},-\\frac{1}{3},-\\frac{2}{3}\\right),\\left(-\\frac{2}{3}, \\frac{1}{3}, \\frac{2}{3}\\right)
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52 \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{4} \\vec{b}+\\frac{1}{4} \\vec{c}
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TRAINING 11
(2)
\( \vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-2,2), \vec{c}=(5,5) \) であるとき, を満たす実数 の 値を求めよ。
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次の複素数を極形式で表せ。ただし, 偏角 θ の範囲は 0 ≤ θ < 2π とする。
(1) 1-√3 i
(2) -1/3 + 1/3 i
(3) -√2 - √6 i
(4) -3 i
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次の 2 つのベクトル \ \\vec{a}, \\vec{b} \ が平行になるように, \ x \ の値を定めよ。\n(1) \\( \\vec{a}=(3, x), \\vec{b}=(1,4) \\)\n(2) \\( \\vec{a}=(2 x, 9), \\vec{b}=(8, x) \\)
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62 (2) \\( \\left(\\frac{13}{14},-\\frac{11}{14},-\\frac{1}{7}\\right) \\)
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次の 2 点間の距離を求めよ。(1) \( \mathrm{A}(3+2 i), \mathrm{B}(6+i) \) (2) \( \mathrm{C}\left(\frac{10}{1+2 i}\right), \mathrm{D}(2+i) \)
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112 (1) A, B, C, D (2) P, Q, R, S の順に(1) (-√2, √2),(0,-1),(-3,0),(3,0) (2) (2√2, π/4),(2, 5/3π),(2√3, 2/3π), (2, π)
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(1) \( \left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1+i}\right)^{n} \) が実数となる最小の自然数 の値を求めよ。\n(2) 複素数 が を満たすとき, の値を求めよ。
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また, w ≠ −1 のとき, (1) から zₙ = 1 / (1 + w) {1 − (−w)ⁿ}
ゆえに, z₆₃ = 0 となるのは (−w)⁶³ = 1, すなわち w⁶³ = −1 のときである。
w⁶³ = cos (63aπ / 3 + b) + i sin (63aπ / 3 + b) から cos (63aπ / 3 + b) + i sin (63aπ / 3 + b) = cos π + i sin π
偏角を比較すると 63aπ / 3 + b = π + 2kπ (k は整数)
整理すると 63a = (b + 3)(2k + 1)
よって, (4)を満たし、かつ(5)を満たす整数kが存在するよう な (a, b)(1 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 6) の組を求める。
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[2] のとき\n(2) || よって \nこのとき \n次に [3] の場合を考えます: のとき\n(2) は \nよって, 点 は点 を中心とする半径 の円上を動く。\n の値を, の範囲で 1つ固定すると,右の図から, の最大值は\n\\[\n\\begin{aligned}\n& |\\alpha+1+i|+\\sqrt{\\alpha^{2}+3 \\alpha+2} \n=& \\sqrt{(\\alpha+1)^{2}+1}+\\sqrt{\\left(\\alpha+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{1}{4}}\n\\end{aligned}\n\\]\nここで, \( (\\alpha+1)^{2}+1,\\left(\\alpha+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{1}{4} \) はともに の範囲において単調に増加する。\nしたがって, (2) の範囲において, (3) は で最大値 をとる。\n
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次の数列が振動することを示しなさい:数列 \( 1, -1, 1, -1, \cdots, (-1)^{n-1}, \cdots \)。
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次の等式が成り立つように, x, y, u, v の値を定めよ。
(1) \left(\begin{array}{cc}3 x y+2 & -2 x \\ 3 x+5 y & -3+2 x y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8 y & 6 \\ 1 & 5 x\end{array}\right)
(2) \left(\begin{array}{ll}x+u & v-x \\ y+v & 2+u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & x-u \\ -y & -u-3\end{array}\right)
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この等式の両辺に \ x=1 \ を代入すると \\[ (1-\\alpha)(1-\\alpha^{2})(1-\\alpha^{3})(1-\\alpha^{4})=1+1+1+1+1 \\]
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[2] |z|=1 のとき, 点 z は原点を中心とする半径 1 の円上にある。 z \bar{z}=1 であるから \quad \frac{1}{z}=\bar{z} よって, z=x+y i(x, y は実数 ) とすると \quad z-\frac{1}{z}=z-\bar{z}=2 y i 条件から 1 \leqq 2 y \leqq \frac{10}{3} ゆえに \quad \frac{1}{2} \leqq y \leqq \frac{5}{3}
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(2) \ \\vec{p}=2 m \\vec{a}, \\vec{q}=2 \\vec{b} \ のとき\n(1)の結果から\n\ |2 m \\vec{a}+2 \\vec{b}| \\leqq|2 m \\vec{a}|+|2 \\vec{b}| \\n(*)から\n\ m n \\leqq 2 m+2 n \\]\nすなわち\n\\[ m n-2 m-2 n \\leqq 0 \\nゆえに\n\\[ (m-2)(n-2) \\leqq 4 \\]\n\ m>n \\geqq 3 \ から, 不等式 (1) を満たす整数 \ m-2, n-2 \ の組 \\( (m-2, n-2) \\) は\n\\[ (m-2, n-2)=(2,1),(3,1),(4,1) \\]\nよって、不等式 (1)を満たす自然数 \ m, n \ の組 \\( (m, n) \\) は \\( (m, n)=(4,3),(5,3),(6,3) \\)
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数学 \n のとき, 直線 (6) は 軸に垂直になり, この直線は放物線 (1) に接しない。\n のとき, (8) の判別式を とすると\n\\[\n\\frac{D}{4}=\\left(8 x_{1}\\right)^{2}-3 y_{1} \\cdot(-16)=16\\left(4 x_{1}^{2}+3 y_{1}\\right)\n\\]\n直線 (6)が放物線 (1) に接するとき, であるから\n\\n4 x_{1}^{2}+3 y_{1}=0\n\\n(7)-(9) から\n\nよって \n であるから, のみ適する。\nこのとき, (7)から \ \\quad x_{1}= \\pm \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\nしたがって, 求める共通接線の方程式は\n\\n\\pm 2 \\sqrt{3} x-y=4\n\
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次の条件を満たすαとβについて証明を行います: |\u03B1| = |\u03B2| = 2 。問: \u03B1 と \u03B2 が共役で、| α+β | = 2 であるとき、 | α - 1/2β | の値を求めよ。
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(2) \\( z=\\frac{1}{5}\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} i\\right)=\\frac{1}{5}\\left(\\cos \\frac{\\pi}{3}+i \\sin \\frac{\\pi}{3}\\right) \\)\n\\\begin{\overlineray}{c}\n4 r>0 \\text { であるから } \\\\\n|r+48|=r+48\n\\end{\overlineray}\\n\ 4 \\mathrm{P} \ を中とする半径 \ r \\nの球が平面 \ \\alpha \ に接するた\nめの条件は \ \\mathrm{PH}=r \\n\n参考 本冊 \ p .125 \ 研究点と平面の距離の公式を 利用すると\n\ \\mathrm{PH}=\\frac{|3 r+2 r+6 r-48|}{\\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}} \\nまたは\n\ \\mathrm{PH}=\\frac{|3 r+2 r-6 r-48|}{\\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}} \\nがただちに得られる。
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3(r+3k) + 2(r+2k) + 6(±r+6k) = 48
49k = -11r + 48 または 49k = r + 48
k = (-11r + 48) / 49 または k = (r + 48) / 49
このとき, r > 0 から |PH| = |k||n0| = |-11r + 48| / 7, (r + 48) / 7
[1] P(r, r, r) のとき P を中心とする半径 r の球が平面 α に接するための条件は PH = r
よって |-11r + 48| / 7 = r
(i) -11r + 48 > 0 のとき -11r + 48 = 7r から r = 8/3 これは r > 0 かつ -11r + 48 > 0 を満たす。
(ii) -11r + 48 < 0 のとき 11r - 48 = 7r から r = 12 これは r > 0 かつ -11r + 48 < 0 を満たす。
[2] P(r, r,-r) のとき P を中心とする半径 r の球が平面 α に接するための条件は PH = r よって (r + 48) / 7 = r
これを解いて r = 8 これは r > 0 を満たす。
[1], [2] から P(8/3, 8/3, 8/3), r = 8/3 または P(12, 12, 12), r = 12 または P(8, 8, -8), r = 8
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例 36 極形式の利用
1+i, 3+√3 i を極形式で表すことにより, cos π/12, sin π/12 の値をそれぞれ求めよ。
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数学 221 湖 本冊 \n(1)\n\[ \begin{array}{l} =2+\frac{0.69}{1-\frac{1}{10^{2}}}=2+\frac{69}{100-1}=2+\frac{69}{99}=\frac{89}{33} \\ \end{array} \]\n(2)\n\[ \begin{array}{l}1 \dot{5} .1 \dot{8}=10+5.18+0.00518+0.00000518+\cdots \cdots \\=10+5.18+\frac{5.18}{10^{3}}+\frac{5.18}{10^{6}}+\cdots \cdots \\=10+\frac{5.18}{1-\frac{1}{10^{3}}}=10+\frac{5180}{1000-1}=10+\frac{5180}{999} \\=10+\frac{140}{27}=\frac{410}{27} \\ \end{array} \]
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次のようにして, \ u^{2}+v^{2}=a^{2}-1 \ を導くこともできる。(1)の 直線 \ y=m x+n \ 上に点 \\( \\mathrm{P}(u, v) \\) があるとすると \ \\quad v=m u+n \ よって, \ n=v-m u \ であり, 直線 \ y=m x+v-m u \ が曲線 \ C \ に接するための条件は \ \\quad m^{2} \\neq a^{2} \ かつ \\( m^{2}+(v-m u)^{2}=a^{2} \\)
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(2) であるから, (1) で証明した不等式の各辺の常用対数をとると \n\nしたがって \n\nここで \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\log _{10} b-\frac{\log _{10} a}{n}\right)=\log _{10} b \)\n\n\( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\log _{10} b+\frac{\log _{10} 2-\log _{10} a}{n}\right)=\log _{10} b \)\n\nよって \n\nゆえに
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を 2 以上の自然数とするとき, 不等式 \( \sqrt{n!(n-1)!}<n^{n} e^{-n+1} \) が成り立つ ことを示せ。
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8 a は a>1 を満たす定数とする。関数 f(x)=\\frac{a x}{1+a x} について\n(1) 実数 t が f(f(t))=f(t) を満たすとき, f(t)=t をも満たすことを示せ。\n(2) x についての不等式 f(f(x)) ≥ f(x) を解け。
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練習 \( a_{1}=3, a_{n+1}=\frac{5 a_{n}-4}{2 a_{n}-1}(n=1,2, \cdots \cdots) \) で定義される数列 \left\\{a_{n}\right\\} について\n18\n(1) すべての自然数 に対し, であることを示せ。\n(2) とおく。数列 \left\\{b_{n}\right\\} の一般項を求めよ。\n(3) 極限値 を求めよ。
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(1) \( \sqrt{2}^{(\sqrt{2} \sqrt{2})} \) と \( \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} \) との大小を比較せよ。
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を示し、この数列の極限を求める。\n\n\\na_{n+1}-2=\\frac{5 a_{n}-4}{2 a_{n}-1}-2=\\frac{a_{n}-2}{2 a_{n}-1}\\n\n(1) より, すべての自然数 に対して であるから, (3) の両辺の逆数をとって\n\n\\neze \\frac{1}{a_{n+1}-2}=\\frac{2 a_{n}-1}{a_{n}-2} \\text { すなわち } \\frac{1}{a_{n+1}-2}=2+\\frac{3}{a_{n}-2}\n\\n\n b_{n}=\\frac{1}{a_{n}-2}\ から\n\\nb_{n+1}=3 b_{n}+2\n\\n\n変形すると\n\\[\nb_{n+1}+1=3\\left(b_{n}+1\\right)\n\\]\n\nまた, b_{1}=\\frac{1}{a_{1}-2}=\\frac{1}{3-2}=1 \ であるから, 数列 \\left\\{b_{n}+1\\right\\} \ は初項 , 公比 3 の等比数列である。\n\nよって \\quad b_{n}+1=2 \\cdot 3^{n-1} \\) すなわち \ b_{n}=2 \\cdot 3^{n-1}-1\\n\n(3) (2) から\n\\( a_{n}=\\frac{1}{b_{n}}+2=\\( \\frac{1}{2 \\cdot 3^{n-1}-1}+2
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18 (1) \( \\mathrm{H}\\left(\\frac{12}{5}, \\frac{9}{5}\\right) \\)\n(2) \\frac{8 \\sqrt{5}}{5} \
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問題 3
(1) 与式 =\binom{4}{12}+\binom{-3}{6}=\binom{4-3}{12+6}=\binom{1}{18}
(2) 与式 = \left(\begin{array}{rr}15 & -18 \\ 3 & 0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 5 & -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}15-1 & -18+2 \\ 3+5 & 0-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}14 & -16 \\ 8 & -1\end{array}\right)
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最大値が α4 となる条件は 1+α=54 0<α<2 であるため α1
2<α のとき最大値が α4 となる条件は a==54
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初項 , 公比 , 項数 の等比数列の和。\n(1) \( R_{n}=\\sum_{k=0}^{n} r^{k}=\\frac{1 \\cdot\\left(1-r^{n+1}\\right)}{1-r}=\\frac{1-r^{n+1}}{1-r} \)\nまた \n\\[\nr S_{n}=r+2 r^{2}+\\cdots \\cdots+(n-1) r^{n-1}+n r^{n}\n\\]\n辺々を引くと, であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\n(1-r) S_{n} & =1+r+r^{2}+\\cdots \\cdots+r^{n-1}-n r^{n} \\\\\n& =\\frac{1-r^{n}}{1-r}-n r^{n} \\\\\nS_{n} & =\\frac{1-r^{n}}{(1-r)^{2}}-\\frac{n r^{n}}{1-r}\n\\end{aligned}\n\\]
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数学II\n(2) すべての自然数 に対して, が成り立つことを数学的帰納法により示す。\n[1] であるから, のとき は成り立つ。\n[2] ...
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()1)の偏角は順に \ \\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}, 0, \\frac{\\pi}{3}, 0, \\frac{\\pi}{6} \ \ z_{n}^{2} \ の偏角を \ \\theta_{n} \ とすると, \ \\theta_{n+1} \ は次のいずれかである。\n[1] \ \\theta_{n+1}=\\theta_{n}+2 \\cdot 0=\\theta_{n} \\n[2] \ \\theta_{n+1}=\\theta_{n}+2 \\cdot \\frac{\\pi}{2}=\\theta_{n}+\\pi \\n[3] \ \\theta_{n+1}=\\theta_{n}+2 \\cdot \\frac{\\pi}{3}=\\theta_{n}+\\frac{2}{3} \\pi \\n[4] \ \\theta_{n+1}=\\theta_{n}+2 \\cdot \\frac{\\pi}{6}=\\theta_{n}+\\frac{\\pi}{3} \\nまた, \ \\theta_{n} \ は \ k \\pi, k \\pi+\\frac{\\pi}{3}, k \\pi+\\frac{2}{3} \\pi(k \ は整数)のいずれかの値 をとる。よって\n\ \\theta_{n}=k \\pi \ のき, \ z_{n+1}^{2} \ が実数となるのは, [1], [2] のいずれかの\n場合で,その確率は \ \\quad \\frac{2}{6}+\\frac{2}{6}=\\frac{2}{3} \ \ \\theta_{n}=k \\pi+\\frac{\\pi}{3} \ のとき, \ z_{n+1}^{2} \ が実数となるのは, [3] の場合で, そ の確率は \ \\quad \\frac{1}{6} \ \ \\theta_{n}=k \\pi+\\frac{2}{3} \\pi \ のとき, \ z_{n+1}^{2} \ が実数となるのは, [4] の場合で, その確率は \ \\quad \\frac{1}{6} \\nしたがって\n\ z_{n}^{2} \ が実数であるとき, \ z_{n+1}^{2} \ が実数となるときの確率は \ \\frac{2}{3} \ \ z_{n}^{2} \ が実数でないとき, \ z_{n+1}^{2} \ が実数となるときの確率は \ \\frac{1}{6} \ \\( Q_{n+1}=\\frac{2}{3} Q_{n}+\\frac{1}{6}\\left(1-Q_{n}\\right) \\) から \ \\quad Q_{n+1}=\\frac{1}{2} Q_{n}+\\frac{1}{6} \\nゆえに \\( \\quad Q_{n+1}-\\frac{1}{3}=\\frac{1}{2}\\left(Q_{n}-\\frac{1}{3}\\right) \\) また, \ Q_{1}-\\frac{1}{3}=\\frac{2}{3}-\\frac{1}{3}=\\frac{1}{3} \ から \\( \\quad Q_{n}-\\frac{1}{3}=\\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1} \\)\nしたがって \\( \\quad Q_{n}=\\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}+\\frac{1}{3} \\)
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130\n数学 \nよって \( \quad z_{n}-\frac{1+\sqrt{3} i}{2}=\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n-1}\left(z_{1}-\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right) \)\n\[\n=\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n-1}\n\]\nゆえに \( \quad z_{n}=\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n-1}+\frac{1+\sqrt{3} i}{2} \)\n(4) \( \frac{-1+\sqrt{3} i}{2}=\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n-1}+\frac{1+\sqrt{3} i}{2} \) とする。\n整理すると \( \quad \frac{1-\sqrt{3} i}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n-1}=-1 \)\nここで, \( \frac{1-\sqrt{3} i}{2}=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \),\n\[\n\begin{array}{c}\n\frac{1+\sqrt{3} i}{2}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \text { であるから } \\\n\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n-1} \\\n=\cos \left\{-\frac{\pi}{3}+(n-1) \cdot \frac{\pi}{3}\right\}+i \sin \left\{-\frac{\pi}{3}+(n-1) \cdot \frac{\pi}{3}\right\}\n\end{array}\n\]\nまた \nよって \( \quad-\frac{\pi}{3}+(n-1) \cdot \frac{\pi}{3}=\pi+2 k \pi(k \) は整数 \( ) \)\nゆえに \( \quad-1+(n-1)=3+6 k \) すなわち \n は自然数であるから ( は 0 以上の整数 \( ) \)
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\ 7 \\frac{5}{12} \\vec{a} + \\frac{1}{4} \\vec{b}, \\frac{5}{4} \\vec{a} + \\frac{3}{4} \\vec{b} \
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すべての自然数 について、以下の式 (1) が成り立つことを示せ。\n\\[ y^{(n)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots \cdots\left(\frac{1}{2}-n+1\right)(x+1)^{\frac{1}{2}-n} \\]\n[1] のときを考える。\n\\[ y^{\prime}=\left\{(x+1)^{\frac{1}{2}}\right\}^{\prime}=\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1} \\ (A) \\]\n[2] のとき、(1)が成り立つと仮定する。\n\\[ y^{(k)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots \cdots \cdot\left(\frac{1}{2}-k+1\right)(x+1)^{\frac{1}{2}-k} \\]\n のときを考え、この両辺を で微分する。\n\\[ y^{(k+1)}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots \cdots\left(\frac{1}{2}-k+1\right)\left(\frac{1}{2}-k\right)(x+1)^{\frac{1}{2}-k-1}\n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots \cdots\left(\frac{1}{2}-k+1\right)\left\{\frac{1}{2}-(k+1)+1\right\} \n \times (x+1)^{\frac{1}{2}-(k+1)} \\]\nすべての自然数 について (1) が成り立つ。
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92 (2) (ア) \( h=4(\mathrm{~cm}) \) (イ) \( v=\frac{4}{9}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}) \) (ウ) \( w=\frac{2}{9} \pi\left(\mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}\right) \)
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追加問題\n(2) \\vec{b}=(-1,2,-3), \\vec{c}=(2,1,-1) であるから\n\n\\left|\\vec{b}\\right|=\\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=\\sqrt{14},\n\\left|\\vec{c}\\right|=\\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\\sqrt{6},\n\\vec{b}\\cdot \\vec{c}=-1\\times 2+2\\times 1-3\\times(-1)=3
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本冊 p .120\n(1) OPA + 2 OP · OA + 45 = 0 から\n\n|OP|^2 + 2 OP · OA + |OA|^2 - |OA|^2 + 45 = 0\n\nよって |\nOP + OA|^2 = |OA|^2 - 45\n-\nOA = OB とすると OB=(-3,6,-2)\nまた |OA|^2=3^2+(-6)^2+2^2=49\nよって |\nOP - OB|^2 = 4\nよって |\nOP OB|=2\nよって BP|=2\nしたがって, 点 P の集合は, 中点が点 B(-3,6,-2), 半径が 2 の球面 である。ゆえに, その方程式は\n\n(x+3)^2+(y-6)^2+(z+2)^2=4\n(2) AP (BP+2 CP)=0 から AP ·((BP + 2 CP)/ (2+1))=0\n線分 BC を 2: 1 に内分する点を D とすると AP · DP=0\nよって, 点 P は線分 AD を直径とする球面上を動く。\n(3)\n\n|\nOA|^2 を加えて引く。|\nOP - O| = の形を導くことが目標。\n\n\nOA=(3,-6,2) から \( x^{2}+y^{2}+z^{2} +2(3 x-6 y+2 z)+45=0 これを変形すると\n(x+3)^2 - 3^2 + (y-6)^2-6^2 + (z+2)^2-2^2 + 45 = 0 よって (x+3)^2 + (y-6)^2 + (z+2)^2 = 4 左と同じ答えが得られる。
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2 a, b, c を正の定数とし, x, y が\n\na x y-b x-c y=0, x>0, y>0\nを満たすとき, x+y の最小値を求めよ。\n[早稻田大]
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(1) 0 以上の任意の整数 に対し \( \cos n \theta=T_{n}(\cos \theta) \) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。
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6 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{AR}} = \\frac{n}{3 m + n} \\vec{b} + \\frac{m}{3 m + n} \\vec{c} \\n(2) \ k = 4 \
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練習17\\n(1) 二項定理により, \ n \\geqq 2 \ のとき, 次の不等式が成り立つ。\\n\\[ (1+1)^{n} \\geqq 1+n \\cdot 1+\\frac{n(n-1)}{2} \\cdot 1^{2} \\]
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両辺の絶対値と偏角を比較すると (\\\sqrt{2}\\\\^{n}=2^{m}\)\ \\qquad \\\( (1), \\)\ \\frac{n \\pi}{4}=\\frac{m \\pi}{3}+2 k \\pi \ ( \ k \ は整数 \\( ) \\``)
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すべての自然数 について、以下の式 (1) が成り立つことを示せ。\n\\[ y^{(n)}=2^{n-1} \sin \left(2 x+\frac{n-1}{2} \pi\right) \\]\n[1] のときを考える。\n\\[ y^{\prime}=2 \sin x \cos x=\sin 2 x \\ (A) \\]\n[2] のとき、(1) が成り立つと仮定する。\n\\[ y^{(k)}=2^{k-1} \sin \left(2 x+\frac{k-1}{2} \pi\right) \\]\n のときを考え、この両辺を で微分する。\n\\[ y^{(k+1)} = 2^{k-1} \cdot 2 \cos \left(2 x+\frac{k-1}{2} \pi\right) = 2^{k} \sin \left(2 x+\frac{k-1}{2} \pi+\frac{\pi}{2}\right)\n= 2^{k} \sin \left(2 x+\frac{k}{2} \pi\right) = 2^{(k+1)-1} \sin \left\{2 x+\frac{(k+1)-1}{2} \pi\right\} \\]\nすべての自然数 について(1)が成り立つ。したがって、\n\\[ y^{(n)}=2^{n-1} \sin \left(2 x+\frac{n-1}{2} \pi\right) \\]
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(2) 複素数 z^{l}, z^{2 l}, z^{3 l}, \\cdots \\cdots, z^{k l} \ のうち, 少なくとも 1 組は同じ ものが存在すると仮定し, \( z^{q l}=z^{r l}(1 \\leqq r<q \\leqq k) \\) とおく。このとき, (1) により整数 s \ を用いて \[ \\begin{array}{l} q l-r l=k s \\ (q-r) l=k s \\end{array} \\] \ k \ とlは互いに素であるから,\ q-r \ は \ k \ の倍数である。一方, \ 1 \\leqq r<q \\leqq k \ より \ q-r<k \ よって, \ q-r \ は \ k \ 倍数になりえない。
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数学C
129
演習 31 III| ⇒ 本冊 p .200
(1) z+\frac{1}{z} が実数となるとき \overline{z+\frac{1}{z}}=z+\frac{1}{z} すなわち
両辺に z \bar{z} を掛けて \quad z(\bar{z})^{2}+z=z^{2} \bar{z}+\bar{z} したがって
\[(z-\bar{z})\left(|z|^{2}-1\right)=0\]
z は虚数であるから z ≠ \bar{z}
よって, |z|^{2}-1=0 から \|z|^{2}=1 \|z|>0 であるから \|z|=1
(2)(1)の結果より, z=\cos θ+i \sin θ(0 \leqq θ<2 \pi) とおける。
ここで, z は虚数であるから \sin θ≠ 0
\frac{1}{z}=\cos θ-i \sin θ であるから \quad z+\frac{1}{z}=2 \cos θ
\-1 \leqq \cos θ \leqq 1 であるから, (1) が整数となるための条件は,
\begin{array}{l}\begin{array}{rlll}2 \cos θ=0, \pm 1, \pm 2 より & \cos θ=0, \pm \frac{1}{2} \\ \cos θ=0 & \text { のとき } & \sin θ= \pm 1 \\ \cos θ=\frac{1}{2} & \text { のとき } & \sin θ= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \\ \cos θ=-\frac{1}{2} \text { のとき } \sin θ= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\]
\cos θ= \pm 1 のとき \sin θ=0 これは不適。したがって, 求める z の値は
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a と b が互いに素 → ax + by = 1 を満たす整数 x, y が存在するということを部屋割り論法により証明したが、これと同じ要領で証明する。a と b が互いに素のとき,a x + b y は任意の整数値をとりうるということを示す。
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(1) の表す領域は, 原点を中心とする半径 1 の円の外部である。\nまた, \( \operatorname{Re}(z)<\frac{1}{2} \) の表す領域は, 点 を通り実軸に垂直な直線 の左側である。 よって, 求める領域は右の図の斜線部分のようになる。ただし,境界線を含まない。\n(2) から, で \n直線 は 2 点 \( O(0), A(1) \) を結ぶ線分の垂直二等分線であり, 直線 の左側の部分にある点を \( \mathrm{P}(z) \) とすると, すなわ が成り立つ。\nよって, (1) で求めた領域は, かつ と表される。 を に代入すると \nゆえに \n を に代入すると \nよって \nゆえに \nよって, 求める領域は (1), (2)それぞれが表す領域の共通部分で, 右の図の斜線部分のようになる。ただし,境界線を含まない。\n別解 (1) は実数 \( ) \) とすると\n から \n\( \operatorname{Re}(z)<\frac{1}{2} \) から \n(1), ② それぞれが表す領域の共通部分を図示する。\n(2) は実数) とする。\n から, で \( \quad(x, y) \neq(0,0) \)\nこのとき \n\( \measuredangle \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2} \)\n\n閦㴬 ② は次のように 導くこともできる。\n\( \operatorname{Re}(z)<\frac{1}{2} \) から\nすなわち \nよって \nゆえに \nよって \nこれから \n\( \varangle \operatorname{Re}(z)=x \)\n1分母の実数化。
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総合 を 3 以上の奇数として, 次の集合を考える。\n\\nA_{n} = \\left\\{{ }_{n} \mathrm{C}_{1},{ }_{n} \mathrm{C}_{2}, \cdots \cdots,{ }_{n} \mathrm{C} \frac{n-1}{2}\\right\\}\n\\n(1) のすべての要素を求め,それらの和を求めよ。\n(2) が 内の最大の数であることを示せ。\n(3) 内の奇数の個数を とする。 は奇数であることを示せ。
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137 (1) 順に - \frac{3}{8} , \frac{11}{16}
(2) \mathc \frac{\sqrt{7}}{2}
138 k=3\cos \theta= \frac{3}{5}, \cos \theta=\frac{4}{5}.
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3 点 \( \\mathrm{A}(-1,-2), \\mathrm{B}(1,2), \\mathrm{C}(a, b) \\) について, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ が正三角形になるとき, \ a, b \ の値 を求めよ。
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相加平均と相乗平均の大小関係: 2 つの実数 について, を と の相加平均という。また, のとき を と の相乘平均という。\n\nなお, 相加・相乘平均の関係は下の \( (*) \) の形で使われることも多い。証明: のとき\n\n\( a+b-2 \sqrt{a b} =(\sqrt{a})^{2}-2 \sqrt{a} \sqrt{b}+(\sqrt{b})^{2} =(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \geqq 0 \)\n\nよって \( \quad a+b \geqq 2 \sqrt{a b} \cdots \cdots \cdot(*) \)\n\n両辺を2で割って \n\n等号は, \( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=0 \) から すなわち のとき 成り立つ。\n\n の条件 が重要。
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難易度数について 例題, 練習・EXERCISES の全問に, 全 5 段階の難易度数がついています。@@@()……教科書の例題レベル (10)@@(3)……教科書の節末, 章末レベル
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次の数学の問題を解きなさい:
(1) が 2 重解をもつように,
(2) が異なる 3 つの実数解をもつように,a の値の範囲を定めよ。
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次の分数式を約分して,既約分数式にせよ。
(ア)
(イ)
(ウ) \( \frac{x^{4}-y^{4}}{(x-y)\left(x^{3}+y^{3}\right)} \)
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連立不等式 の表す領域上を点 \( (x, y) \) が動くとき,次の最大値と最小値を求めよ。[類 東京理科大]\n(1) \n(2) \( x^{2}+(y-8)^{2} \)
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2 一般の相加平均・相乗平均とその関係式\n一般に, 正の数 について,\n を相加平均, を相乗平均 という。このとき, すべての自然数 に対して, (相加平均) (相乗平均)が成り立つ。また, この関係式で等号が成り立つのは のときである。
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次の角を,度数は弧度に,弧度は度数に,それぞれ書き直せ。
(ア) 84^{\circ}
(イ) -750^{\circ}
(ウ) \frac{7}{12}π
(エ) -\frac{56}{45}π
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例 1 . \( \left(1 + \frac{b}{a}\right)\left(1 + \frac{a}{b}\right) \geqq 4 \) の証明
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5 二項係数と等式の証明\n(1) , \( \cdots \cdots, n) \) が成り立つことを証明せよ。\n(2) \( (1+x)^{n} \) の展開式を利用して, 次の等式を証明せよ。\n(ア) \n(イ) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-1)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-1)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n}=0 \)\n(ウ) \( { }_{n} \mathrm{C}_{0}-2{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2^{2}{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots+(-2)^{r}{ }_{n} \mathrm{C}_{r}+\cdots \cdots+(-2)^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{n}=(-1)^{n} \)
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数学\nここで \n\\n\ \\frac{1}{\\alpha \\beta}+\\frac{1}{\\beta \\gamma}+\\frac{1}{\\gamma \\alpha}=\\frac{\\alpha+\\beta+\\gamma}{\\alpha \\beta \\gamma}=\\frac{3}{5} \\nまた, \\( x^{3}-3 x^{2}-5=(x-\\alpha)(x-\\beta)(x-\\gamma) \\) の両辺に \ x=3 \ を代入 すると, \\( -5=(3-\\alpha)(3-\\beta)(3-\\gamma) \\) であるから\n\ P=3 \\cdot 0-3=-3, Q=9 \\cdot \\frac{3}{5}-6 \\cdot 0+3=\\frac{42}{5}, \\quad R=\\frac{-5}{5}=-1 \ よって, 求める 3 次方程式は\n\ x^{3}+3 x^{2}+\\frac{42}{5} x+1=0 \\quad \ すなわち \ \\quad 5 x^{3}+15 x^{2}+42 x+5=0 \\n別解 \ \\frac{3}{x}-1=X \ とおくと, \ x=\\frac{3}{X+1} \ は \ x^{3}-3 x^{2}-5=0 \ を満た すから \\( \\left(\\frac{3}{X+1}\\right)^{3}-3\\left(\\frac{3}{X+1}\\right)^{2}-5=0 \\)\n両辺に \\( (X+1)^{3} \\) を掛けて\n\\( \\quad 27-27(X+1)-5(X+1)^{3}=0 \\)\n整理すると\n\ 5 X^{3}+15 X^{2}+42 X+5=0 \\nよって, 求める 3 次方程式は \ \\quad 5 x^{3}+15 x^{2}+42 x+5=0 \
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(1) \ 0<\\alpha<\\pi, \\cos \alpha=\\frac{5}{13} \ のとき, \ 2 \\alpha, \\frac{\\alpha}{2} \ の正弦, 余弦, 正接の値を求めよ。
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(2) \( \\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4} \geqq\\left(\\frac{a+b+c+d}{4}\\right)^{2} \)
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24 は実数で であるとする。整数 が を満たすと き, の最小値とそのときの の値を求めよ。\n[宮城教育大]
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n は自然数とする。(-1+sqrt(3)i)^n の実部と虚部がともに整数となるとき, n を 3 で割った余りはウである。
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25 実数 に対して, を超えない最大の整数, すなわち, を満たす整数 を の整数部分といい, を の小数部分という。 に対し, の整数部分を \( f(x) \), 小数部分を \( g(x) \) とする。\n(1) \( f(\\sqrt[5]{64}), g(\\sqrt[5]{64}), f(2023) \) をそれぞれ求めよ。\n(2) \( f(x+1)=f(x) \) であるとき, \( g(x+1)>g(x) \) が成り立つことを示せ。\n(3) \( f(x+1)=f(x)+1 \) であるとき, \( g(x+1)<g(x) \) が成り立つことを示せ。\n[類 静岡大]
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{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+3{ }_{n} \mathrm{C}_{3}+ \ldots +n_{n} \mathrm{C}_{n}=n \cdot 2^{n-1}(n \geqq 2)\n\n 人から委員を選び(委員は 1 人以上 人以下),委員の中から 1 人の委員長を選ぶ。
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3で割った余りが1となる自然数 に対し, \( (x-1)\left(x^{3 n}-1\right) \) が \( \left(x^{3}-1\right)\left(x^{n}-1\right) \) で割り切れることを証明せよ。
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次の 次方程式 \( P(x)=0 \) はちょうど何個の解を持つか?\n\[ P(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n) \ (a \text{ は定数}) \]
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次の不等式を解け。\n(2) 174\n(1) \\frac{1}{\\sqrt{3}}<\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<9\n(2) 2^{4 x}-4^{x+1}>0\n(3) \\left(\\frac{1}{4}\\right)^{x}-9\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x-1}+32 \\leqq 0
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正の数 は小数第 3 位に初めて 0 でない数字が現れる数\n\n \Leftrightarrow 0.001 \leqq N<0.01 \]\n\n \[ \Leftrightarrow 10^{-3} \leqq N<10^{-2} \]\n\n \[ \Leftrightarrow-3 \leqq \log _{10} N<-2 \n\n
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以下の方程式を解け。\n(1) を 2 以上の自然数とするとき, を \( (x-2)^{2} \) で割ったときの余りを求めよ。
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0 以上の実数 \ a, b, c \ が \ \\frac{a}{1+a} + \\frac{b}{1+b} \\geqq \\frac{c}{1+c} \ を満たすとき, \a+b\\geqq c\ は成り立つか。成り立つならば証明し,成り立たないならば反例をあげよ。 [類 東北学院大]
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0≦θ≦π のとき
(1) t=sinθ−cosθ のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 関数 y=cosθ−sin 2θ−sinθ+1 の最大値と最小値を求めよ。
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実数 a と b について、その平方の和 a^2 + b^2 の符号を示せ。実数の大小関係と差の正負も考慮すること。
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数学 \nEX を0でない実数とする。下の(1), (2) の等式は の場合には成り立つが, それ以外の場合はどうか。次の各場合に分けて調べよ。\n[1] \n[2] \n[3] \n(1) \n(2) \nHINT: のとき, \( b=-b^{\\prime}\\left(b^{\\prime}>0\\right) \) とおく。他も同様に扱う。
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⑫2 負でない実数 \ a \ に対し, \ 0 \\leqq r<1 \ で, \ a-r \ が整数となる実数 \ r \ を \ \\{a\\} \ で表す。すなわち, \ \\{a\\} \ は, \ a \ の小数部分を表す。\n(1) \ \\left\\{n \\log _{10} 2\\right\\}<0.02 \ となる正の整数 \ n \ を 1 つ求めよ。\n(2) 10 進法による表示で \ 2^{n} \ の最高位の数字が 7 となる正の整数 \ n \ を 1 つ求めよ。 ただし, \ 0.3010<\\log _{10} 2<0.3011 \,\ 0.8450<\\log _{10} 7<0.8451 \ である。[京都大]
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63 (ア) 4
(イ) 9
(ウ) 10
(工) 6
(オ) 3
(力) 0
(キ) 7
(3) 24
(子) 5
(コ) 8
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多項式 \( P(x) \) を で割ると -1 余り, で割ると 3 余る。\n(1) \( P(x) \) を で割ったときの余りを求めよ。
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図で, 円の半径が r=2 のとき, 点 P の座標は (1, √3) よって sin (7/3)π=√3/2, cos (7/3)π=1/2,
tan (7/3)π=√3
(2) -(13/4)π=(3/4)π-2・2π
図で, 円の半径が r=√2 のとき, 点 P の座標は (-1,1) よって sin (-13/4)π=1/√2,
cos (-13/4)π=-1/√2=-1/√2,
tan (-13/4)π=1/-1=-1
(3) 13/2π=π/2+3・2π
図で, 円の半径が r=1 のとき, 点 P の座標は (0,1) よって sin 13/2π=1/1=1, cos 13/2π=0/1=0,
tan 13/2π の値はない。
(4) -7π=π-4・2π
図で, 円の半径が r=1 のとき, 点 P の座標は (-1,0) よって sin (-7π)=0/1=0,
cos (-7π)=-1/1=-1,
tan (-7π)=0/-1=0
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(2) 正の実数 が を満たすとき, \( \\left(\\ログ _{10} x\\right)^{3}+\\left(\\log _{10} y\\right)^{3} \) の最小値と, そのときの , の値を求めよ。
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例 正の数 の整数部分が 3 桁の数 \n\n \Leftrightarrow 10^{2} \leqq N<10^{3} \]\n\n \[ \Leftrightarrow 2 \leqq \log _{10} N<3 \n\n
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実数 が \( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}=8 \) を満たすとき, と のとりうる値の範囲をそれぞ 6 れ求めよ。
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綀習(1) 101^{15} の百万の位の数は square である。(南山大) ← 2 式とも (両辺) div 2 ← 2 式とも (両辺) div 2 ← n は偶数であるから (-1)^{n}=1 ← n の偶数、奇数に対し、最終項の符号は (-1)^{n} ← n は奇数であるから (-1)^{n}=-1 (1) -1 ← 2 式とも (両辺) div 2 (1) 101^{15}=(1+100)^{15} の展開式の一般項は { }_{15} \mathrm{C}_{k} \cdot 100^{k}={ }_{15} \mathrm{C}_{k} \cdot 10^{2 k} \quad(0 \leqq k \leqq 15) k=0 のとき { }_{15} \mathrm{C}_{0} \cdot 10^{0}=1 k=1 のとき { }_{15} \mathrm{C}_{1} \cdot 10^{2}=1500 k=2 のとき { }_{15} \mathrm{C}_{2} \cdot 10^{4}=105 \cdot 10^{4}=1050000 k=3 のとき { }_{15} \mathrm{C}_{3} \cdot 10^{6}=455 \cdot 10^{6}=455000000 k \geqq 4 のとき { }_{15} \mathrm{C}_{k} \cdot 10^{2 k} ここで, 2 k \geqq 8 であるから, 百万の位の数は では 0 である。 よって, 101^{15} の百万の位の数は 1+5=6
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x の多項式 P(x)=a x^{4}+b x^{3}+a b x^{2}-(a+3 b-4) x-(3 a-2) が x^{2}-1 で割り切れるような定数 40 a, b の値の組を求めよ。また, 求めた a, b の値の組に対し, P(x) を実数の範囲で因数分解せよ。
P(x) が x^{2}-1 で割り切れるための条件は P(1)=0 かつ P(-1)=0
P(1)= a+b+a b-(a+3 b-4)-(3 a-2) = a b-3 a-2 b+6
= a(b-3)-2(b-3) = (a-2)(b-3)
P(-1)= a-b+a b+(a+3 b-4)-(3 a-2)=a b-a+2 b-2
= a(b-1)+2(b-1) = (a+2)(b-1)
P(1)=0 から (a-2)(b-3)=0
よって a=2 または b=3
P(-1)=0 から (a+2)(b-1)=0
よって a=-2 または b=1
求める組 (a, b) は (a, b)=(2,1),(-2,3)
(a, b)=(2,1) のとき P(x) = 2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-x-4
P(1)=P(-1)=0 であるから P(x) = (x+1)(x-1)(2 x^{2}+x+4)
(a, b)=(-2,3) のとき P(x) = -2 x^{4}+3 x^{3}-6 x^{2}-3 x+8
P(1)=P(-1)=0 であるから P(x) = (x+1)(x-1)(-2 x^{2}+3 x-8)
= -(x+1)(x-1)(2 x^{2}-3 x+8)
← x^{2}-1=(x+1)(x-1)
← P(1)=0, P(-1)=0
すなわち, 連立方程式 a b-3 a-2 b+6=0, a b-a+2 b-2=0 を解いてもよい。
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1. \( k_{n} \mathrm{C}_{k}=n_{n-1} \mathrm{C}_{k-1}(n \geqq 2, k=1,2, \cdots \cdots, n) \)\n\n n 人の中から k 人の委員と,委員の中から 1 人の委員長を選ぶ場合の数を,次の 2 通り の方法で考える。\n[方法 1] まず, n 人の中から k 人の委員を選び ( 通り), k 人の委員の中から 1 人の委員長を選ぶ ( 通り)。結果、 通り\n[方法2] まず, n 人の中から 1 人の委員長を選び(n 通り),残りの n-1 人の中から k-1 人の委員を選ぶ ( 通り)。結果、 通り\n[方法 1] と [方法 2] の場合の数は等しいから
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相加平均, 相乗平均, 調和平均について, (調和平均 ≤ 相乗平均 ≤ 相加平均)が成り立つ。ここで,それぞれの平均の具体例などを見てみよう。1 相加平均, 相乗平均, 調和平均の性質 a>0, b>0 として, a と b の相加平均を m1, 相乗平均を m2, 調和平均を m3 とする。
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星の明るさを示す指標として「等級」がある。等級の値は小さい程明るいことを示す。古代ギリシャの天文学者は, 肉眼での観測によって星の見かけの明るさを 1 ∼ 6 等星に 分類した。これは, 全くのところ人間の感覚に頼った分類法であった。しかし, 19 世紀になると, 1 等星の明るさは 6 等星の約 100 倍になっていることが発見された。この事実をもとに, それまでは感覚的であった等級の分類を,天文学者ポグソンは次のように定義した。\n\n1 等星と 6 等星の等級の差は 5 であるから, 1 等級の明るさの比を x とすると x^{5}=100 すなわち x^{5}=10^{2}\n\nよって x=10^{\frac{2}{5}}=10^{0.4} \fallingdotseq 2.512 つまり, 1 等級の明るさの比を 2.512 倍と定義したのである。
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2 次方程式 x^2 + px + q = 0 は,異なる 2 つの解 α, β をもつ。 2 次方程式 x^2 + qx + p = 0 が 2 つの解 α(β-2), β(α-2) をもつとき, 実数の定数 p, q の値を求めよ。
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基本事䟺\n2 奇関数・偶関数\n常に \\( f(-x)=-f(x) \\) が成り立つとき \\( f(x) \\) は 奇関数\n常に \\( f(-x)=f(x) \\) が成り立つとき \\( f(x) \\) は偶関数\nであるという。 \ y=\\sin \\theta, y=\\tan \\theta \ は奇関数, \ y=\\cos \\theta \ は偶関数である。\n\n問題: \\( f(x) = x^3 \\) は奇関数か偶関数か確認しなさい。
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練習(1)次の分数式を約分して,既約分数式にせよ。\n(1) 10\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \( \\frac{x^{4}-y^{4}}{(x-y)\\left(x^{3}+y^{3}\\right)} \)\n(2) 次の計算をせよ。\n(ア) \n(1) \n(ウ)
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。\n(1) a \\geqq 0, b \\geqq 0 のとき 7 \\sqrt{a}+2 \\sqrt{b} \\geqq \\sqrt{49 a+4 b}\n(2) a \\geqq b \\geqq 0 のとき \\sqrt{a-b} \\geqq \\sqrt{a}−\\sqrt{b}
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3 点 \( \mathrm{A}(-2,3), \mathrm{B}(1,2), \mathrm{C}(3 a+4,-2 a+2) \) が一直線上にあるとき, 定数 の値を求めよ。
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パスカルの三角形と最短経路の問題\n右の図のように, 座標平面上で碁盤の目のように道を作り,原点から出発して最短の道のりで点 A まで行く経路について 考える。ここで,各点を通る経路の数を図に書き込んでい くと, 直線 上の点の数の並びは\n\nとなり, ちょうどパスカルの三角形の上から 5 段目と同じで ある。
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3. { }_{n} \mathrm{C}_{0}{ }^{2}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}{ }^{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}{ }^{2}={ }_{2n} \mathrm{C}_{n} \n\n 男子 n 人,女子 n 人の合計 2n 人の中から n 人の委員を選ぶ場合の数について考える。\n [方法 1] 男女合計 2n 人の中から n 人の委員を選ぶから 通り\n [方法 2] 男子を 0 人選び、女子を n 人選ぶ方法は \(( { }_{n} \mathrm{C}_{0} \times { }_{n} \mathrm{C}_{n} ) = ( { }_{n} \mathrm{C}_{0}{}^{2}) \n男子を 1 人、女子を n-1 人選ぶ方法は \({ }_{n} \mathrm{C}_{1} \times { }_{n} \mathrm{C}_{n-1} = ( { }_{n} \mathrm{C}_{1}{}^{2} ) \n男子を 2 人、女子を n-2 人選ぶ方法は \({ }_{n} \mathrm{C}_{2} \times { }_{n} \mathrm{C}_{n-2} = ( { }_{n} \mathrm{C}_{2}{}^{2} ) ....男子を n 人、女子を 0 人選ぶ方法は \({ }_{n} \mathrm{C}_{n} \times { }_{n} \mathrm{C}_{0} = ( { }_{n} \mathrm{C}_{n}{}^{2} ) 結果 \n{ }_{n} \mathrm{C}_{0}{}^{2}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}{}^{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}{}^{2} \n[方法 1] と [方法 2] から { }_{n} \mathrm{C}_{0}{}^{2}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}{}^{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}{}^{2}={ }_{2n} \mathrm{C}_{n}
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(3) 107 (1) (1/∛5 - ∛4) = a ∛b + ∛c + ∛d を満たす自然数 a, b, c, d の値を求めよ。ただし、a > 1, c > d とする。
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EX 3で割った余りが1となる自然数 に対し, \( (x-1)\left(x^{3 n}-1\right) \) が \( \left(x^{3}-1\right)\left(x^{n}-1\right) \) で割り切れることを証明せよ。\n[慶応大]\n\[ \begin{array}{l}\n(x-1)\left(x^{3 n}-1\right)= (x-1)\left(x^{n}-1\right)\left(x^{2 n}+x^{n}+1\right) \(\n\left(x^{3}-1\right)\left(x^{n}-1\right)=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{n}-1\right)\end{array} \]\nよって, が で割り切れることを示せばよい。 の両辺に を掛けると \( (x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=0 \quad すなわち \nよって, 1 の 3 乗根のうち, 虚数であるものの 1 つを とすると, である。また, が方程式 の解であるとき, もこの方程式の解であるから, \( x^{2}+x+1=(x-\omega)(x-\bar{\omega}) \) と因数分解できる。 \( f(x)=x^{2 n}+x^{n}+1 \) とすると \( f(\omega)=\omega^{2 n}+\omega^{n}+1 \)\n は 3 で割った余りが 1 となる自然数であるから,kを0以上の整数とすると, と表される。\n\[ \text { よって } \begin{aligned}\n\ }\)\既に \omega^{2 n}+\omega^{n}+1 が 1 の 3 乗根を持っていることから、元の式の因数に全く共通成分があるので、答えは成立する。
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( \\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \geqq\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2} \)
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(2) x = ∛(12 + √19) + ∛(12 - √19) のとき, (x^3 -24)/x の値を求めよ。
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次の不等式を証明せよ。\n(ア) \n(1) \( a^{4}+b^{4}+c^{4} \geqq abc(a+b+c) \)
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4-一数学 (1+x)^{n}={ }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1} x+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{r} x^{r}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n} x^{n}とする。(1) (1) の等式において, x=-\frac{1}{2} を代入すると (1-\frac{1}{2})^{n}={ }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}(-\frac{1}{2})+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}(-\frac{1}{2})^{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}(-\frac{1}{2})^{n}ゆえに \quad{ }_{n} \mathrm{C}_{0}-\frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{2}}{2^{2}}-\cdots \cdots+(-1)^{n} \frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{n}}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}} (2) (1) の等式において, x=1 を代入すると 2^{n}={ }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n} (1)の等式において, x=-1 を代入すると 0={ }_{n} \mathrm{C}_{0}-{ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}-\cdots \cdots-{ }_{n} \mathrm{C}_{n} (2)+(3) から \quad 2^{n}=2\left({ }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n-1}\right) (2)-(3) から \quad 2^{n}=2\left({ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{3}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}\right) したがって { }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{2}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n-1}={ }_{n} \mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \mathrm{C}_{3}+\cdots \cdots+{ }_{n} \mathrm{C}_{n}=2^{n-1}
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Join our DiscordQ.72
453\n139\n(1) \ \\frac{1}{2} \\n(2) \ -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\n(3) \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\n(4) \ \\frac{1}{2} \
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(1)求める条件は,(1),(2)のどちらも虚数解をもつときであるか 5\n\\[\n\\begin{array}{l}\nD_{1}<0 \\quad \\text { かつ } \\quad D_{2}<0 \\\\\n(a-1)(4 a+5)<0 \\\\\n-\\frac{5}{4}<a<1\n\\end{array}\n\\]\n\D_{1}<0 \\text { から }\
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1. はア 桁の整数である。また,その最高位の数はイ で,一の位の数 はウ である。ただし, とする。[慶応大]
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以下の条件を満たす実数 a, b, c を見つけてください。\n(1) ある定数 k について、\n\n(2) a+b+c はどちらかの値を持ちます。\n(3) 該当する k の値と理由を示してください。
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149 a<-2, \ \\frac{9}{8} \<a のとき 0 個 ;\na=-2 のとき 1 個 ;\n-2<a<0 のとき 2 個 ;\na=0 のとき 3 個 ;\n0<a<\ \\frac{9}{8} \ のとき 4 個 ;\na=\ \\frac{9}{8} \ のとき 2 個
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Join our DiscordQ.88
練習 (1) 2 次方程式 \( x^{2}-(k+6) x+6=0 \) の解がすべて整数となるような定数 の値とそのときの整数解をすべて求めよ。\n(2) を正の定数とする。 の 2 つの解 がともに整数となると き, 組 \( (\alpha, \beta, p) \) をすべて求めよ。
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次の計算をせよ。(312\n(1) \\( \\frac{1}{(x-1) x}+\\frac{1}{x(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+2)} \\)\n(2) \\( \\frac{2}{(n-2) n}+\\frac{2}{n(n+2)}+\\frac{2}{(n+2)(n+4)} \\)
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(2) \leftarrow a=1, \quad b=2, \quad c=3, \] \[ d=4 \] とすると \[ \frac{a}{d}=\frac{1}{4}=0.25, \quad \frac{c}{b}=\frac{3}{2}, \] \[ \frac{ac}{bd}=\frac{3}{8}=0.375, \frac{a+c}{b+d}=\frac{2}{3}=0.66\cdots
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数学 I
179
次の計算をせよ。
(1) \( \left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{4}{3}} \)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
[(4) 北海道薬大]
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(3) と を連立して解くと \\quad x=\\frac{14}{3}, y=\\frac{28}{3} \\nよって, 求める点 の座標は \( \\quad\\left(\\frac{14}{3}, \\frac{28}{3}\\right) \\)
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81 2 つの条件 \( p:(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqq 4, q:|x|+|y| \leqq r \) を考える。ただし, とする。 が の十分条件であるような定数 の値の範囲を求めよ。
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k を自然数とする。 2^{k} を 7 で割った余りが 4 であるとき, k を 3 で割った余りは 2 であることを示せ。
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数列 が \( 0<a_{1}<3, \quad a_{n+1}=1+\sqrt{1+a_{n}}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満たすとき
(1) を証明せよ。
(2) \( 3-a_{n+1}<\frac{1}{3}\left(3-a_{n}\right) \) を証明せよ。
(3) 数列 の極限値を求めよ。
〔類 神戸大〕
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\left(\alpha+\frac{1}{\bar{\alpha}}\right)\left(\bar{\alpha}+\frac{1}{\alpha}\right)=4 であるとき, 複素数 \alpha の絶対値 |\alpha| を求めよ。
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77 k<-\frac{2}{5}, \frac{18}{5}<k のとき 2 個;\nk=-\frac{2}{5}, \frac{18}{5} のとき 1 個 ;\n-\frac{2}{5}<k<\frac{18}{5} のとき 0 個
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(1) 不等式 [3 x] \leqq 3 x<[3 x]+1 が成り立つ。 x>0 のとき, 各辺 を x で割ると \frac{[3 x]}{x} \leqq 3<\frac{[3 x]}{x}+\frac{1}{x} \quad ここで,
3<\frac{[3 x]}{x}+\frac{1}{x} 加ら \quad 3-\frac{1}{x}<\frac{[3 x]}{x} \quad therefore \quad 3-\frac{1}{x}<\frac{[3 x]}{x} \leqq 3
! \lim _{x \rightarrow \infty}\left(3-\frac{1}{x}\right)=3 であるから \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{[3 x]}{x}=3
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448\n267 (1) \ \\frac{13 \\sqrt{13}-8}{27} \\n(2) 8\n268 (1) \ \\frac{c a \\sqrt{g H}}{\\pi} \ (2) \\( \\frac{\\pi(\\sqrt{2}-1) \\sqrt{H}}{c a \\sqrt{g}} \\)\n269 (1) \ y^{\\prime \\prime}=-y-1 \\n(2) (ア) \\( (a x+C) y+1=0 \\) ( \ C \ は任意定数 \\( ), y=0 \\)\n(イ) \ y=1+\\frac{1}{x-1} \
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(1) 不等式 \( \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \) を証明せよ。
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数学正 = \ \\frac{0-2a}{1+0+1}=-a \ よって \ \\quad -a=3 \ ゆえに \ \\quad \\alpha =-3 \
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128 (1) -\frac{2}{x^{3}} (2) \frac{2}{\sqrt{4 x+3}} (3) \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}
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数学二\n\n から よって \nしたがって \n整理して \( \quad \alpha-\bar{\alpha}+|z|^{2}(\bar{\alpha}-\alpha)=0 \)\nゆえに \( \quad(\alpha-\bar{\alpha})\left(1-|z|^{2}\right)=0 \)\n(1)から これを代入して \( \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(1-|z|^{2}\right)=0 \)\n\nよって \( \quad \frac{1}{\alpha}\left(\alpha^{2}-1\right)\left(1-|z|^{2}\right)=0 \)\nゆえに または であるから,題意を満たす は次のようになる。\n のとき -1 以外の任意の数\n のとき 1 以外の任意の数\n のとき \( |z|=1\left(z \neq-\frac{1}{\alpha}\right) \) を満たす数\n \left← z+\bar{z} が消える。\n1 龺
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次の不等式を証明せよ。ただし, は自然数とする。\n\n(1) \( \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n} \quad(n \geqq 2) \)
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複素数 \alpha, \beta が |\alpha|=|\beta|=|\alpha-\beta|=1 を満たすとき, |2 \beta-\alpha|,\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{3} の値を求めよ。
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12. 実数 は を満たす。複素数平面上で、 を満たす点 の描く図形を 、 を満たす点 の描く図形を とする。\n(1) と が共有点をもつような点 \((a, r)\) の存在範囲を、\overline 平面上に図示せよ。\n(2)(1)の共有点が を満たすとき、 の値を求めよ。\n(類 静岡大学)
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練習 次の不等式を証明せよ。ただし, は自然数とする。\n(1) \( \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n} \quad(n \geqq 2) \)\n(2)
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数学II\n-259\n\ -\\sqrt{2} \\leqq t \\leqq \\sqrt{2} \ における \\( g(t) \\) の増減表は次のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}\n\ t \ & \ -\\sqrt{2} \ & \ \\cdots \ & -1 & \ \\cdots \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\sqrt{2} \ \\\n\\hline\\( g^{\\prime}(t) \\) & & - & 0 & + & 0 & - & \\\n\\hline\\( g(t) \\) & \\( g(-\\sqrt{2}) \\) & \ \\searrow \ & \\begin{tabular}{c}\n極小 \\\\\n\\( g(-1) \\)\n\\end{tabular} & \ \\nearrow \ & \\begin{tabular}{c}\n亟大 \\\\\n\\( g(1) \\)\n\\end{tabular} & \ \\searrow \ & \\( g(\\sqrt{2}) \\) \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nここで, \ 0<a<2 \ であるから\n\\[\n\\begin{array}{l}\ng(-\\sqrt{2})=-\\frac{2 \\sqrt{2} a}{3+\\sqrt{2} a}<0, \\quad g(1)=\\frac{2 a}{2-a}>0, \\\\\ng(-1)=-\\frac{2 a}{2+a}<0, \\quad g(\\sqrt{2})=\\frac{2 \\sqrt{2} a}{3-\\sqrt{2} a}>0\n\\end{array}\n\\]\n\nよって, \\( g(t) \\) は \ t=1 \ のとき最大値 \ \\frac{2 a}{2-a} \,\ t=-1 \ のとき最小値 \ -\\frac{2 a}{2+a} \ をとる。\n\\( \\leftarrow g^{\\prime}(t) \\) の分母について\n\\[\n\\begin{array}{l}\nt^{2}-a t+1 \\\\\n=\\left(t-\\frac{a}{2}\\right)^{2}+\\frac{4-a^{2}}{4}>0\n\\end{array}\n\\]\n<
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数列 が \( 0<a_{1}<3, \quad a_{n+1}=(1+\sqrt{1+a_{n}})(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) を満たすとき、
(1) すべての自然数 について であることを証明せよ。
(2) 数列 の極限値を求めよ。〔類関西大〕
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次の複素数を極形式で表せ。ただし, 偏角 θ は 0 ≤ θ < 2π とする。
(1) -1+√3i
(2) -2i
(3) z=cos(π/5)+isin(π/5) のとき 2z̄
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2 点 A(α), B(β) を結ぶ線分を m:n に内分する点を表す複素数は何ですか?また、その導出方法を説明してください。
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数学表\n173\n(i) x=2 m π(m は整数) のとき cos x=1 このとき, k の値に関係なく (1) は成り立つから,和は 0 と なって級数は収束する。\n(ii) x=(2 m+1) π(m は整数 ) のとき cos x=-1 (-1)^{k}=1 となるのは, k が偶数のときである。\n以上から、すべての実数 x に対して級数が収束するための条件 は, k が偶数であることである。\n(2) x=0 のとき 1-\\cos ^{k} x=0\nよって f(0)=0\nx ≠ 0 のとき, x=0 の近くでは 0<\\cos x<1\nf(x) =\\frac{1-\\cos ^{k} x}{1-\\cos x} =1+\\cos x+\\cos ^{2} x+\\cdots \\cdots+\\cos ^{k-1} x\nゆえに \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=1+1+1+\\cdots \\cdots+1=k>0\nよって \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x) ≠ f(0)\nしたがって, f(x) は x=0 で連続でない。\nk が奇数のときは \\cos ^{k} x=(-1)^{k}=-1\nよって, (1)は成り立たな い。\n1-\\cos ^{k} x =(1-\\cos x)(1+\\cos x+\\cos ^{2} x+\\cdots+\\cos ^{k-1} x)\n4章 ∎
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点 z か源点 O を中心をる半径 1 の円上を動くとき, 次の式で表される点 w は, どのような図形を描くか。(2) w=frac{z-1}{z+2}
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次の方程式・不等式を解け。\n〔(1) 千葉工大,(2)大阪薬大,(3)学習院大〕\n(1) \ \\sqrt{x+3}=|2 x| \\n(2) \ \\sqrt{7 x-3} \\leqq \\sqrt{-x^{2}+5 x} \\n(3) \ \\sqrt{4 x-x^{2}}>3-x \
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練習 (2107)\nあるボールを床に落とすと、ボールは常に落ちる高さの \ \\frac{3}{5} \ まではね返るという。このボールを \ 3 \\mathrm{~m} \ の高さから落としたとき、静止するまでにボールが上下する距離の総和を求めよ。
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とし, 座標平面において, 点 \( \mathrm{P}(\alpha, 0) \) を通る y 軸と平行な直線を , 直線 と楕円 の交点を とする。ただし,Qの y 座標は R の y 座標より大きいとする。
(1) 点 の座標を を用いて表せ。
(2) 線分 QR を直径とする円 の方程式を求めよ。
(3) が を動くとき, 円 の通りうる範囲 を図示せよ。
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練習 (3) 109\nある無限等比級数の和は 3 で, 各項の 3 乗からなる無限等比級数の和は である。次の問い に答えよ。\n(1)初めの級数の初項と公比を求めよ。\n(2)初めの級数の各項の 4 乗からなる無限等比級数の和を求めよ。
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無限等比級数 \\( x+x(x^2-x+1)+x(x^2-x+1)^2+\\cdots \\ が収束するとき,実数 \ x \ の値の範囲を求めよ。また,この級数の和 \ S \ を求めよ。
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次の方程式を満たす点 z 全体は, どのような図形か。
(1) |2z+1|=|2z-i|
(2) |z+3-4i|=2
(3) (3z+2)(3\bar{z}+2)=9
(4) z-\bar{z}=4i
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練習
n を正の整数とする。
92
(1)上の 検討 の不等式(*)を用いて, (1+\sqrt{\frac{2}{n}})^{n} > n が成り立つことを示せ。
(2) (1) で示した不等式を用いて, \lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} の値を求めよ。
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数学III
383
[1]
[2]
t=2 の場合, 平面 z=2 と ∆PQR は点 R で交わり, このとき の切り口の面積は 0 となるが, これは (1) で t=2 を代入したも のと一致する。したがって
0 ≤ t ≤ 1 のとき S(t)=π,
1<t ≤ 2 のとき S(t)=(-t^2+2t)π
以上から, 求める体積 V は
V =∫(0→2)S(t)dt=π∫(0→1)dt+π∫(1→2)(-t^2+2t)dt
= π[t]_{0}^{1} +π[-t^3/3+t^2]_{1}^{2}
=
5/3π
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(1) 初項が1, 公比について \ \\left|-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right|<1 \ であるから,収束して,その 和は \\( \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)}=\\frac{2}{2+\\sqrt{2}} \\)\n\\[ =\\frac{2(2-\\sqrt{2})}{(2+\\sqrt{2})(2-\\sqrt{2})}=2-\\sqrt{2\\}\n(2) 初項が \ \\sqrt{3} \, 公比について \ |\\sqrt{3}|>1 \ で あるから,発散する。\n(3) 初項が1, 公比を \ r \ とすると\n\\[ r=(-2) \\div 1=-2 \\]\n\ |r|=|-2|>1 \ であるから,発散する。\n(4) 初項が 12 , 公比を \ r \ とすると\n\\[ r=(-6 \\sqrt{2}) \\div 12=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\]\n\ |r|=\\left|-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right|<1 \ であるから, 収束して, その和は\n\\[ \\frac{12}{1-\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)}=\\frac{24}{2+\\sqrt{2}} \\]\n\\[ =\\frac{24(2-\\sqrt{2})}{(2+\\sqrt{2})(2-\\sqrt{2})}=12(2-\\sqrt{2)} \\]
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(1) 正しくない。(反例) (2) 正しくない。 (反例) (3) 正しくない。 (反例) (4) 正しい。証明略
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-2 \leqq x \leqq 2 のとき |x-2|=-(x-2)=2-x 2 \leqq x \leqq 3 のとき x-2 したがって、 \int_{-2}^{3} \sqrt{|x-2|} d x を求めよ
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問題 98\na>1 のとき 0 本; a=1, a \leqq 0 のとき 1 本 ; 0<a<1 のとき 2 本
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複素数平面上で 3 点 A(α=2+i), B(β=3+2i), C(γ=a+3i) が一直線上にあるように a の値を定めよ。
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i を虚数単位とし, α=√3+i, β=(√3-1)+((√3+1)i) とおく。このとき, \ \\frac{\\beta}{\\alpha}\ の偏角は何ですか?
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(1) \ 0 . \\dot{3} 7 \\dot{0}=0.370+0.000370 \\n\ +0.000000370+\\cdots \\cdots \\nこれは, 初項 0.370 , 公比 0.001 の無限等比級数で, \ |0.001|<1 \ であるから収束して \ 0 . \\dot{3} \\dot{0}=\\frac{0.370}{1-0.001}=\\frac{370}{999}=\\frac{10}{27} \\n(2) \ 0.0 \\dot{5} 6 \\dot{7}=0.0567+0.0000567 \\n\ +0.0000000567+\\cdots \\cdots \\nこれは, 初項 0.0567 , 公比 0.001 の無限等比級数で, \ |0.001|<1 \ であるから収束して \ 0.0 \\dot{5} 6 \\dot{7}=\\frac{0.0567}{1-0.001}=\\frac{567}{9990}=\\frac{21}{370} \\n(3) \ 6.2 \\dot{3}=6.2+0.03+0.003+0.0003+\\cdots \\cdots \.\nこの右辺の第 2 項以下は, 初項 0.03 , 公比 0.1 の無限等比級数で, \ |0.1|<1 \ であるか ら収束して\n\ \\begin{aligned} 6.2 \\dot{3} & =6.2+\\frac{0.03}{1-0.1}=\\frac{62}{10}+\\frac{3}{90} \\\\ & =\\frac{62}{10}+\\frac{1}{30}=\\frac{187}{30} \\end{aligned} \
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17-\\frac{1}{2} \leqq x<0, \\quad 1<x \\; \\; -\\frac{1}{2}<x<0,1<x のとき 0 ; \\; x=-\\frac{1}{2} のとき 1
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数列 は, )で定義されている。\n(1) すべての自然数 について, 不等式 が成り立つことを証明せよ。\n(2) すべての自然数 について,不等式 が成り立つことを証明せよ。\n(3) 極限 を求めよ。
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3 点 \( \\mathrm{O}(0), \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{OAB} \ について, 次の等式が成り立つとき, \\triangle \\mathrm{OAB} \ はどのような三角形か。\n(1) 3 \\alpha^{2}+\\beta^{2}=0 \\n(2) 2 \\alpha^{2}-2 \\alpha \\beta+\\beta^{2}=0 \
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\( (x, y)=(-\sqrt{6}, \sqrt{3}) \)、\( (\sqrt{6},-\sqrt{3}) \) のとき最小値 -48
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434\n数学C\n\[3 \theta=\frac{2 k+1}{2} \pi \quad(k=0,1, \cdots \cdots, 5)\]\n\nすなわち \n であるから, 最大値をとるとき, を満 たすのは, のときで, このとき \nよって \n\nのように, の値を具体的に求めてもよい。\n\nとすると \nゆえに
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平面上に定点 A(\vec{a}), B(\vec{b}) があり, |\vec{a}-\vec{b}|=5,|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=6 を満たして いるとき,次の問いに答えよ。
(1)内積 \vec{a} \cdot \vec{b} を求めよ。
(2) 点 P(\vec{p}) に関するベクトル方程式 |\vec{p}-\vec{a}+\vec{b}|=|2 \vec{a}+\vec{b}| で表される円 の中心の位置ベクトルと半径を求めよ。
(3) 点 P(\vec{p}) に関するベクトル方程式 (\vec{p}-\vec{a}) \cdot(2 \vec{p}-\vec{b})=0 で表される円 の中心の位置ベクトルと半径を求めよ。
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146\n(1) \(\\left(\\frac{n+1}{n} \\cos \\theta-\\frac{1}{n} \\cos (n+1) \\theta\\right.\\), \( \\left.\\frac{n+1}{n} \\sin \\theta-\\frac{1}{n} \\sin (n+1) \\theta\\right\\)\n(2) \(\\frac{8(n+1)}{n}\\)\n(3) 8
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(1) \n\\[ \\frac{(-3+6 i)+(5-8 i)}{2} =\\frac{2-2 i}{2} \\ =1-i \\] (2)
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例 39 方程式 \ z^{n}=1 \ の解\n極形式を用いて, 次の方程式を解け。\n(1) \ z^{6}=1 \\n(2) \ z^{8}=1 \
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EX c を実数とする。 \ x \ についての 2 次方程式\n\\[\n x^{\\ 2}+(3-2 c) x+c^{\\2}+ \\
5=0\n\\]\n が 2 つの解 \ \\alpha, \\beta \ をもつとする。\n複素数平面上の 3 点 \ \\alpha, \\beta, c^{ \\2} \ が三角形の
3 頂点になり, その三角形の重心は 0 であるという。\ c \ を求めよ。\n\n解と係数の関係から \\ \ \\alpha+\\beta=2c-3 \\nまた,条件から \\ , \nこれを代入して\n\\(\n c^{2}+2c-3=0 \\text{, よって } \\( \\
(c-1)(c+3)\\)=0\n\\)\n ゆえに \ c=1,-3 \\n[1] c=1 のとき, 2 次方程式は \ \\ x^{2}+x+6=0\nこれを解いて\\( x=\frac{-1 \
pm \\sqrt{23} i]{2} \ よって, \\ \\alpha, \\beta \\) は互いに共役な異なる複素数である。\\ ゆえに, 3 点 \\ (\\alpha, \\beta, c^{ \\2} \\) \
は三角形の 3 頂点となるから, 適する。 \\[2] c=-3 のとき, 2 次方程式は \ \\ x9x+14 \ よって \\ \ \\ aub=8 \ よって X=-2,-7\\) \
\\3 寸 \\ 連は実軸上\n[1], [2] から \\ \\text{ ゆえに } \ \\ c=1 \\\
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210 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ は, \\( a_{1}=2, a_{n+1}=\\sqrt{4 a_{n}-3}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) で定義されている。\n(1) すべての自然数 \ n \ について, 不等式 \ 2 \\leqq a_{n} \\leqq 3 \ が成り立つことを証明せよ。\n(2) すべての自然数 \ n \ について, 不等式 \ \\left|a_{n+1}-3\\right| \\leqq \\frac{4}{5}\\left|a_{n}-3\\right| \ が成り立つ ことを証明せよ。\n(3)極限 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ を求めよ。\n[信州大]
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問題: ある汽船が2港間を移動するときにかかる時間を求める。その汽船はA港からB港までを一定速度で移動し、同じ速さで戻ってくる。しかし、往路では追い風の影響で速度が20%増加し、復路では向い風の影響で速度が20%減少する。両港間の距離と静水上での汽船の速度が分かっている時、全行程の時間を求めよ。
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127\n(1) x=\\frac{\\pi}{2}-1, \\frac{3}{2} \\pi+1\\n(2) 4
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次の等式が成り立つことを証明せよ。\ I_{1}=1, n \\geqq 2 のとき I_{2n-1} = \\frac{2n-2}{2n-1} \\cdot \\frac{2n-4}{2n-3} \\cdot \\ldots \\cdot \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot 1 \
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例題 74 | 複素数の 乗の計算 \( (2) \)\n(1) \( \left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{1+i}\\right)^{n} \) が実数となる最小の自然数 の値を求めよ。\n(2)複素数 が を満たすとき, の値を求めよ。\n
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314\n数学 \nPR において, とし, 垂心を とする。また、 と ③2する。\n(1)内積 を求めよ。\n(2) を , を用いて表せ。
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次の等式が成り立つことを証明せよ。
I_{1}=1,\quad n\geqq 2\text{ のとき }\quad I_{2n-1}=rac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1
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数列 は,条件 \( a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=2 a_{n}-a_{n}^{2}(n \geqq 1) \) を満たすとする。\n(1) すべての について, が成り立つことを示せ。\n(2) すべての について, が成り立つことを示せ。\n(3) を示せ。
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86 k < -\sqrt{3} のとき 2 個、k = -\sqrt{3} のとき 3 個、-\sqrt{3} < k < 0 のとき 4 個、k = 0 のとき 3 個、0 < k < \sqrt{3} のとき 4 個、k = \sqrt{3} のとき 3 個, \sqrt{3} < k のとき 2 個
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135\n(1) \(\\left(\\frac{1}{a}, e\\right)\\)\n(2) a=\\sqrt{\\frac{3-e}{3}}\
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例 56 | 2 点間の距離, 三角形の面積
を極とする極座標に関して, 3 点 \( \mathrm{A}\left(2, \frac{\pi}{6}\right), \mathrm{B}\left(4, \frac{5}{6} \pi\right), \mathrm{C}\left(8, \frac{3}{4} \pi\right) \) が与えられているとき,次の問いに答えよ。
(1) 2 点 ,B 間の距離を求めよ。
(2) の面積を求めよ。
(3) の面積を求めよ。
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3 点 \( \\mathrm{O}(0), \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{OAB} \ について, 等式 \\alpha^{2}-\\alpha \\beta+\\beta^{2}=0 \ が成り立つとき, 次の問いに答えよ。\n(1) \\frac{\\beta}{\\alpha} \ の値を求めよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{OAB} \ はどのような三角形か。
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147\n(1) (ア) 40\n(2) (イ) \\frac{1}{3}\\n(3) (ウ) \\frac{\\sqrt{3}}{18}\
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870 \( (\\sqrt{5})^{\\sqrt{7}} \) と \( (\\sqrt{7})^{\\sqrt{5}} \) の大小を比較せよ。必要ならば を用いてもよい。
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323\n重要例題 無限級数 が発散することの証明\n(1) \n(1) を数学的帰納法によって証明せよ。\n(2)無限級数 は発散することを証明せよ。
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練習(2)分数関数 \( f(x)=\\frac{ax-b}{x-2} \) がある。ただし, である。 を満たすすべての に対して, \(0\\leqq f(x)\\leqq 1\) で, \(f(f(x))=x \) であるとい う。定数 の値を求めよ。[大阪産大]
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次の価格表に基づいて、チャート式 基礎からの数学 I+A(青チャート数学 I+A)とチャート式 解法と演習数学 II+B(黄チャート数学 II+B)の合計価格を計算しなさい。
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数学 \n の二等辺三角形において, 内接円の半径を , 底辺 の長さを とする。\n から \n \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を 2 通りに表すと\n \\[\\begin{array}{c}\n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 2 x \\sqrt{1-x^{2}}, \\ \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2}(1+1+2 x) r \\ \n \\text { よって, } x \\sqrt{1-x^{2}}=(1+x) r \\text { から } \\ \n r=\\frac{x \\sqrt{1-x^{2}}}{1+x}\\ end{array}\\]\n\nこのとき, 内接円の面積は であるから,\( f(x)=r^{2} \) とする と\n\\[\\begin{array}{l}\nf(x)=r^{2}=\\frac{x^{2}\\left(1-x^{2}\\right)}{(1+x)^{2}}=\\frac{x^{2}(1-x)}{1+x}=\\frac{x^{2}-x^{3}}{1+x} \\ f^{\\prime}(x)=\\frac{\\left(2 x-3 x^{2}\\right)(1+x)-\\left(x^{2}-x^{3}\\right)}{(1+x)^{2}}=-\\frac{2 x\\left(x^{2}+x-1\\right)}{(1+x)^{2}}\\end{array}\\]\n\n \\( f^{\\prime}(x)=0 \) とすると, \ 0<x<1 \ から \ \\quad x=\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\n \ 0<x<1 \ における \\( f(x) \\) の 増減表は右のようになるか ら, \ r^{2} \ は \ x=\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \ のとき最大となる。\n \\] \n \ \\ x& = \\frac{\\sqrt{5}-1}{2}\\ & & \\... & 1 \\]\n \\[ \\ f^{\\prime} & & + & 0 & - \\]\n \\[ \\ y & \\nearrow & & y \\searrow & & \\y \\n\nこのとき, 円の面積 \ \\pi r^{2} \ も最大となるから, 求める底辺の長さ は\n \\[ 2 x=\\sqrt{5}-1\\ ]
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次の条件に基づいて を計算せよ。\n[1] かつ すなわち のとき\n[2] かつ すなわち かつ のとき\n[3] かつ すなわち のとき\n[4] かつ すなわち のとき
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次の複素数の値を求めよ。
(1) \( (\sqrt{3}-i)^{4} \)
(2) \( \left(\frac{2}{-1+i}\right)^{-6} \)
(3) \( \left(\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2} i}{4}\right)^{8} \)
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3点 \( \mathrm{A}(5+4 i), \mathrm{B}(3-2 i), \mathrm{C}(1+2 i) \) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 2 点 から等距離にある虚軸上の点 \n(2) 3 点 から等距離にある点
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PR (2) を整数として (奇数)のとき\n\[\n\\begin{aligned}\n& \\sin \\frac{2 n-1}{2} \\pi=\\sin \\frac{4 m+1}{2} \\pi \n= & \\sin \left(2 m \\pi+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\sin \\frac{\\pi}{2}=1 \n\\n= & 2 m(\\text { 偶数 }) \\text { のとき }\n& \\sin \\frac{2 n-1}{2} \\pi=\\sin \\frac{4 m-1}{2} \\pi \n= & \\sin \left(2 m \\pi-\\frac{\\pi}{2}\n\\sin \left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)=-1\n\\end{aligned}\n
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例 40 | 内分点・外分点, 重心を表す複素数\n3 点 \( \mathrm{A}(-1+4 i), \mathrm{B}(-3-2 i), \mathrm{C}(5+i) \) について, 次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 を に内分する点 \n(2) 線分 を に外分する点 \n(3) 線分 の中点 \n(4) の重心
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(1) と に互除法の計算を行うと\\n\\n\\begin{aligned}\\n297 &=139 \cdot 2+19 & \\text { 移項すると } & 19=297-139 \cdot 2 \\n139 &=19 \cdot 7+6 & \\text { 移項すると } & 6=139-19 \cdot 7 \\n19 &=6 \cdot 3+1 & \\text { 移項すると } & 1=19-6 \cdot 3\\n\\end{aligned}\\n
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阿44 ⇒ 本冊 p.394
(1) □に入る数をa(aは整数,0 ≤ a ≤ 9)とする。下3桁が8の倍数であるとき, 746□2 は 8 の倍数となるから
600+10a+2=602+10a=8(a+75)+2(a+1)
2(a+1) は 8 の倍数となるから, a+1 は 4 の倍数となる。よって a+1=4,8 すなわち a=3,7 したがって、□ に入る数は 3,7
(2) N=10⁵a+10⁴b+10³c+10²d+10e+f とすると N=(100001-1)a+(9999+1)b+(1001-1)c+ (99+1)d+(11-1)e+f = 11(9091a+909b+91c+9d+e) +(b+d+f)-(a+c+e) よって, N が 11 の倍数であるのは, 偶数桁目の数の和 a+c+e と奇数桁目の数の和 b+d+f の差が 11 の倍数のときである。
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例題 の整数解の個数\n自然数 に対して, \( x+y+z=n \cdots \cdots(*) \) を満たす整数の組 \( (x, y, z) \) について (1) のとき,(*)を満たす 0 以上の整数の組( \( x, y, z) \) の個数を求めよ。
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4色から2色を選び,図の、(1)の順 に塗ればよい。よって, 求める塗り分け方は 4P2 = 4 * 3 = 12 (通り)
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実数 に対して, を超えない最大の整数を で表す。また, とおく。 とし, を3以上の整数とするとき, を満たす の個数を求めよ。
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a_{1}=1, a_{2n}=2 である。条件を満たす列を数え上げてもよいが, 1 を \u2192, 2 を个で置き換えることにより,最短経路の問題に対応させて考えるとよい。\n12 (3)(2)の「順列」では,3つの自然数の並べる順序を考えて数え上げるが,(3)の「組合せ」の場合,順序を問題にしないで数え上げることになる。そこで,3つの数がすべて同じ,2つだけが同じ,すべて異なる,の3つの場合に分けて考える。\n13 (2) 重複組合せ。(3)ボールを入れる箱の個数で場合分け。
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(1) \( a b c_{(6)} \) と \( c a b_{(9)} \) はともに 3 桁の数であり, 底について で あるから \n\n\[ \\begin{array}{l} N=a b c_{(6)}=a \\cdot 6^{2}+b \\cdot 6^{1}+c \\cdot 6^{0}=36 a+6 b+c \\cdots \\cdots \\\\ N=c a b_{(9)}=c \\cdot 9^{2}+a \\cdot 9^{1}+b \\cdot 9^{0}=81 c+9 a+b \\end{array} \\]\n\nこの 2 数が等しいから \nゆえに すなわち \( 27 a=5(16 c-b) \)\n5 と 27 は互いに素であるから, は 5 の倍数である。\n 1 \\leqq a \\leqq 5 \ であるから \n② に代入して整理すると \nよって, は 16 の倍数である。\n より, であるから \nよって \n(3) から\n c=2 \\quad(1 \\leqq c \\leqq 5 \
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54 (2) \n(p, q, r)を求めよ。\n(2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6)
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あるクラスの生徒全体に対して,兄弟姉妹の有無を調べたところ\n(a) 兄のいない生徒には姉か妹がいる。\n(b) 弟のいる生徒には兄も姉もいない。\n(c) 兄も弟もいない生徒には妹がいる。\nということがわかった。\nこのとき,集合を用いて,次のことがいえることを証明せよ。\n(1) 弟のいる生徒には妹もいる。\n(2)妹のいない生徒には兄がいる。
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右の図のようなマス目を考える。どの行(横の並び)にも,どの列 7 (縦の並び)にも同じ数が現れないように 1 から 4 まで自然数を入れ\n\n\\begin{\overlineray}{|l|l|l|l|}\n\\hline 2 & 1 & 3 & 4 \\\\ \\hline 1 & 4 & 2 & 3 \\\\\n\\hline\n\\end{\overlineray}\nる入れ方の場合の数 を求めよ。 [類埼玉大]
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[4] のとき\n\n(n+27)^{2}+(n+27)n+n^{2}=37\n\n整理すると \n\n3\left(n^{2}+27n+243\right)=37\n\n483\n४ \( (m-n)^{2}+3mn=37 \)\nから \nこの左辺は 3 で割り切れ るが,右辺は 3 で割り切 れない, としてもよい。\n左辺は 3 で割り切れ, 右辺は 3 で割り切れないから, こ の等式を満たす整数 は存在しない。\n以上から\n\nm=12, n=9
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(6)同じ色の玉が隣り合わないのは,白玉どうしが隣り合わない場合のうち, 赤玉どうしまたは青玉どうしが隣り合う場合を除いた 場合である。白玉どうしが隣り合わない場合のうち, 赤玉どうしが隣り合い,青玉どうしも隣り合うのは,白玉 3 個の間の 2 か所に (2) で定め た ,B を入れるときであるから2通り
青青白白白赤赤
の順列。
(R (B) 白白白赤赤青青 の順列。4白玉が 2 個以上隣り合 う場合を直接求める。
の 3 か所 の○から 2 か所を選んで W'と白を並べる。
例えば
○赤○青○赤○青○
の列において, 5 か所の から 3 か所を選んで白 を入れる。
例えば
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[3] と から \nこれを解いて \nこの不等式を満たす自然数 \( y(y \geqq 5) \) は \n のとき, から \n のとき, から (不適)
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自然数 a , b を 11 で割った余りを,それぞれ r, s とする。 a+b を 11 で割った余りと r+s を 11 で割った余りは等しく, また a b を 11 で割った余りと r s を 11 で割った余りは等しいことを示せ。
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78 k>2 のとき 0 個、 のとき 1 個, のとき 2 個、 のとき 3 個、 のとき 4 個、 のとき 3 個、 のとき 2 個
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(3)3 枚のカードの数の積が 3 の倍数であるという事象を とし, 3 枚のカードの数の和が 3 の倍数であるという事象を Tとする。 このとき, 事象 は, (2) における [1] 集合 の 5 個の要素から 3 個選ぶ。 [4] 集合 のそれぞれの要素から 1 個ずつ選ぶ。 という事象の和事象である。 この 2 つの事象は互いに排反であるから
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捝鍸 a, b, c は正の数とする。三角形の成立条件 |b-c|<a<|b+c| は, 3 つの不等式 a<b+c, b<c+a, c<a+b を1つの式にまとめたものであるから, 正の数 a, b, c の中で a が最大であれば, 三角形の成立条件は a<b+c だけでよい。a<a+2<a+4 であるから, 三角形の成立条件は\n
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負の数で割ると, 不等号の向きが変わる。\n1 章\n練習\n数\n式\n各辺に -1 を掛けると,不等号の向きが変わる。\n\n各辺に -1 を掛ける。\n\[\n\begin{array}{c}\n40 \leq x-1<1 \text { から } \\
\n0 \leqq|x-1|<1 \\
\n-3<x-1 \leq-2 \text { から } \\
\n2 \leqq|x-1|<3\n\end{array}\n\]
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(3)直線 上の 6 点を 6 つの○で表し,これを並べる。 このとき, と○の間の 5 か所から 1 か所を選んで仕切りを入れて区分けされる2つの部分が, 直線h上の 2 点に対応すると考えることができる。この仕切りの入れ方は (通り)直線 上の 3 点から 2 点を選ぶ選び方は 3 通りであるから,求める引き方は (通り)
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(1)両親 2 人, 子ども 4 人の計 6 人の円順列であるから, 求める並 び方の総数は (6-1)!=5!=120 (通り)
(2) 両親 2 人を 1 人と考えると, 計 5 人の円順列であり, 両親 2 人 の並び方は 2 通りであるから (5-1)!× 2=4!× 2=24 × 2=48 (通り)
(3)両親 2 人を固定して考えると, 残り 4 つの位置に子ども 4 人が 並ぶ順列で 4!=24 (通り)
(4)まず,男性 3 人が輪を作る方法は (3-1)!=2!=2 (通り)
その間の 3 か所に女性 3 人が並ぶと条件を満たすから, 求める並 び方は 2 × 3!=12 (通り)
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14 (1) が奇数のとき 0 ,\n答\nの\n部\n総\n蔩\n習\n(2) が 1 または偶数のとき 0 , が 3 以上の奇数のとき \( \frac{1}{17}\left(\frac{17}{18}\right)^{\frac{n-1}{2}} \)
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40 人の生徒に 2 つの問題 I, II を出題したところ, I が解けた生徒は 25 人,Iが 解けた生徒は 32 人, I と II の両方が解けた生徒は 20 人であった。\nこのとき, 次のような生徒は何人いるか。\n(1) I が解けなかった生徒\n(2) I も II 解けなかった生徒
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数学 \n[2] \( (n-3)^{2}=0 \) のとき \nこのとき, となり, は素数である。\nしたがって, 求める整数 の値は
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練習2
n(A∪C)=n(A)+n(C)-n(A∩C)
n(C)=n(A∪C)-n(A)+n(A∩C)=78-65+11=24
また, n(B∪C)=n(B)+n(C)-n(B∩C)であるから
n(B∩C)=n(B)+n(C)-n(B∪C)=40+24-55=9
更に, n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)
-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)から
n(A∩B∩C)=n(A∪B∪C)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)
=99-65-40-24+14+9+11=4
したがって, a大学, b大学, c大学のすべてを受験した者は4人
(2) (1)の結果から, a大学, b大学, c大学の2大学以上を受験した人数は
n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)-2·n(A∩B∩C)
=14+9+11-2·4=26
したがって, a大学, b大学, c大学のどれか1大学のみを受験した者は
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綊習本棚の上段に横 1 列に並んだ 10 冊の本を, 左の本から順番に, 上段から下段に移す。その際,1冊または2冊ずつ移動させるとすると,その方法は全部で何通りあるか。
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1,2,3の数字が書かれたカードがそれぞれ 2 枚,3枚,4枚ある。これらのカー ドから 4 枚を使ってできる 4 桁の整数の個数を求めよ。
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100 円, 50 円, 10 円の 3 種類の硬貨をどれも使って, 420 円支払うには, 各硬貨を何 4 枚ずつ使えばよいか。ただし,使用する硬貨は 15 枚以下とする。
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次の方程式を解いてください。
とし、 の判別式を とする。方程式 が の範囲に異なる2つの実数解を持つための条件を求めなさい。
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定価 100 円の商品がある。A店では, 購入する個数に関わらず, 8 % の割引を行って商品を販売している。一方,B店は,10 個目までは定価のままだが, 11 個目からは定価の 15 % の割引を行って販売している。A店よりもB店で購入した方が 安いのは,商品を何個以上購入するときか。
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(2)異なる8文字を円形に並べる方法は (8-1)!=7!(通り)子音4個を円形に並べる方法は (4-1)!=3!(通り)そのおのおのについて, 子音を固定して, 子音と子音の間に母音4個を並べる方法は { }_{4} \mathrm{P}_{4}=4!(通り)よって, 求める確率は \ \\frac{3! \\times 4!}{7!}=\\frac{1}{35} \
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12 (1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。\n(2) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる順列の総数を求めよ。\n(3)和が 30 になる 3 つの自然数からなる組合せの総数を求めよ。
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集合の基本的な性質について説明しなさい。\n1. 部分集合 \n2. 相等 \n3. 共通部分 \n4. 和集合 \n5. 補集合
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66 的䎠 23 集合の要素の決定\n整数を要素とする 2 つの集合 を\n\ A=\\left\\{2,5, a^{2}\\right\\}, B=\\{4, a-1, a+b, 9\\} \\nとするとき, A \\cap B=\\{5,9\\} \ となるような定数 a, b \ の値を求めよ。また, A \\cup B \ を求めよ。
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数学 I (3) |x|=|y| ⇒ x+y=0 は偽。 (反例) x=1, y=1 よって, x+y=0 と同値な条件は (2) x²+2xy+y²=0 CHECK 17 ⇒ 本冊 p.77 (1) 逆 : x²=1 ⇒ x=1 (偽) 対偶 : x²≠1 ⇒ x≠1 (真) 裏 : x≠1 ⇒ x²≠1 (偽) (2) 逆 : x>0 ⇒ x²>0 (真) 対偶 : x≤0 ⇒ x²≤0 裏 : x²≤0 ⇒ x≤0 裏 : x²≤0 ⇒ x≤0 ∠|x|=|y| ⇔ x=±y 逆と裏の反例は x=-1 4x²≤0 から x=0 x=0 は x≤0 を満たす。 迬寧 逆・対偶・裏の真偽は求められていないが,それぞれ上のようになる。
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(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y=10 \\\\ x y=7\\end{\overlineray}\\right. \
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はともに整数であり, であるから よって これは が素数であるという条件を満たさない。以上から, は の場合の関係式を満たし, このとき は正三角形である。
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(3) \\[\n32123_{(4)} & =3 \cdot 4^{4}+2 \cdot 4^{3}+1 \cdot 4^{2}+2 \cdot 4^{1}+3 \cdot 4^{0} \n& =768+128+16+8+3=923 \n41034_{(5)} & =4 \cdot 5^{4}+1 \cdot 5^{3}+0 \cdot 5^{2}+3 \cdot 5^{1}+4 \cdot 5^{0} \n& =2500+125+15+4=2644 \n\\]
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練習 整数を要素とする次の 2 つの集合において, A \\cap B=\\{2,7\\} \ とする。\n\\\begin{\overlineray}{l}\nA=\\left\\{-3,2, a^{2}-9 a+25,2 a+3\\right\\} \\\nB=\\left\\{-2, a^{2}-4 a-10, a^{2}-5 a+1, a+6,16\\right\\}\n\\end{\overlineray}\
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したがって,等しい個数の石が積まれた山以外の山に積まれた石 の個数を とするとき, の場合B に必勝法があり, の場合類題 本冊
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練習: 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 の 7 個の数字のうちの 4 個を使って 4 桁の整数を作る。このような 4 桁の整数は全部で □ 個あり, このうち 2200 より小さいものは □ 個 ある。
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(1)10進法で表しても5進法で表しても、4桁になる自然数は存在しないことを示せ。\n(2)10進法で表された自然数を2進法に直すと、桁数が3増すという。このような数で、最小のものと最大のものを求めよ。
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(2) 0.375に 2 を掛け, 小数部分に 2 を掛けること を繰り返すと,右のようになる。 出てきた整数部分は順に 0,1,1 であるから \( 0.011_{(2)} \)
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(1)1つのさいころを 1 回または 2 回振り,最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1 回振って出た目を見た上で, 2 回目を振るかどうかを決めるのであるが,どのように決めるのが有利か。
(2)(1)と同様のゲームで,3 回振ることも許されるとしたら, 2 回目,3 回目を振るかどうかの決定はどのようにするのが有利か。
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自然数 に対して, \( x+y+z=n \cdots \cdots(*) \) を満たす整数の組 \( (x, y, z) \) について (2) のとき, \( (*) \) を満たす正の整数の組 \( (x, y, z) \) の個数を求めよ。
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(3) 「ある正の数 に対して \( a x+b>0 」 を p , 「 a>0 または b>0 」 を とする。
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(1) Nは 5 進法で表すと 3 桁となる自然数であるから\n\nこの不等式を満たす自然数 の個数は\n\[5^{3}-5^{2}=5^{2}(5-1)=25 \cdot 4=100 \text { (個) }\]\n別解 5 進法で表すと,3桁となる数は,○ \( \square \square_{(5)} \) の○に1〜4, に0〜4のいずれかを入れた数であるから,この場合の数を考え て\n\[4 \cdot 5^{2}=100 \text { (個) }\]\n(2) Nは 4 進法で表すと 20 桁となる自然数であるから\n\n(1) から\n\[\left(2^{2}\right)^{19} \leqq N<\left(2^{2}\right)^{20}\]
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数学 A - 221 であるから,異なる 3 数の組で,条件を満たすのは, 1 と 4 , 1 と 6,2 と 3,2 と 6,3 と 4 を同時に含まない組で {1,2,5},{1,3,5},{2,4,5},{3,5,6},{4,5,6} このとき k=10,15,40,90,120
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(1) (ア) 13 ≡ 4 (mod 9) であり 4^2 ≡ 16 ≡ 7 (mod 9), 4^3 ≡ 64 ≡ 1 (mod 9) 100 = 3 ・ 33 + 1 であるから 4^100 ≡ (4^3)^33 ・ 4 ≡ 1^33 ・ 4 ≡ 4 (mod 9) よって 13^100 ≡ 4^100 ≡ 4 (mod 9)
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54 (1) \n(x, y, z)を求めよ。\n( \pm 1,0,1), ( \pm 1,0,-1), ( \pm 1,2,0),( \pm 1,-2,0), ( \pm 1,2,1), ( \pm 1,-2,-1)
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重要例題 98 倍数の集合に関する証明
整数全体の集合を Z とする。Zの部分集合 M (ただし,空集合でない)が, ⟨a, b ∈ M ならば a-b ∈ M⟩ という性質をもつとき,次のことを示せ。
(1) 0 ∈ M
(2) a, b ∈ M ならば a+b ∈ M
(3) M が 0 以外の要素を含むとき, M に属する最小の自然数を d とすると,M は d の倍数全体の集合に等しい。
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(1) が整数であるとき, が 3 の倍数ならば は 3 の倍数であることを証明せよ。\n(2) は無理数であることを証明せよ。
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\\[ \\sqrt{10 + 4 \\sqrt{6}} = \\sqrt{10 + 2 \\sqrt{24}} = \\sqrt{(6 + 4) + 2 \\sqrt{6 \\cdot 4}} = \\sqrt{6} + \\sqrt{4} = \\sqrt{6} + 2 \\\\\\text{ よって } \\frac{4}{1 + \\sqrt{2} + \\sqrt{3}} + \\sqrt{10 + 4 \\sqrt{6}} = (\\sqrt{2} + 2 - \\sqrt{6}) + (\\sqrt{6} + 2) = 4 + \\sqrt{2} \\]
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以下の絶対値の計算を行いなさい。
(1) 12
(2) -3/5
(3) |-9+7|
(4) -9 と 7
(5) P, Q 間の距離 |5-(-2)| = |7|
(6) A, B 間の距離 |3-8| = |-5|
(7) C, D 間の距離 |-1-(-4)| = |3|
(8) x = 3 のとき P=2|3+1|-|2-3|
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次の命題について、条件を満たす実数を答えなさい。\n条件: 26 (1) であって である実数 がある (2) であって または である実数 がある (3) ある正の数 に対して であって, かつ となる実数 がある
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この章では,集合や論理に関する基本を学ぶ。集合は 19 世紀の終わり頃, ドイツの数学指カントール (G. Cantor, 1845-1918) によって, 初めて数学の中に取り入れられた概念で,現在では,ほとんどすべての数学の基礎になっている。
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6 次の値を求めよ。\n(1) 49 の平方根\n(2) \\\n(3) \\\n(4) \\\n(5) \\\(\sqrt{(-5)^{2}}\\\)\n(6) \\\(\sqrt{(-8)(-2)}\\\)
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(2)隣り合う赤玉 2 個をまとめてR,隣り合う青玉 2 個をまとめて B で表すと, 求める順列は, R, B と白玉 3 個の順列であるから
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(1) 不等式 を満たす自然数の組 \( (a, b, c) \) は全部でア 個存在する。そのうち の最大値はイ である。\n(2) 等式 を満たす自然数の組 \( (a, b, c) \) は全部でゥ 個存在する。そのうち の最大値は 工 である。
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整数 n について、3を法とすると次のことが成り立つことを示せ。
(1) n ≡ 0 のとき n² ≡ 0
(2) n ≡ 1 のとき n² ≡ 1² ≡ 1
(3) n ≡ 2 のとき n² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1
このことから n² を 3 で割った余りは 0 か 1 であることを示せ。
また、a²+b²+c²=d² を満たすとき、dが3の倍数でないならば a, b, c の中に 3の倍数が ちょうど2つあることを示せ。
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(1) 等式 \ x y z = x + y + z \ を満たす自然数の組 \\((x, y, z)\\) を求めよ。\n(2)等式 \ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y} + \\frac{1}{z} = 1 \ を満たす自然数の組 \\((x, y, z)\\) は何個あるか。
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練習 n を 2 以上の整数とする。集合 {1,2, ⋯, n} を互いに共通部分をもたない 2 個 12 の空でない集合に分ける場合の数を求めよ。
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全体集合 は 1 桁の自然数 を全体集合とする。 の部分集合 , について, 次の集合を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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各辺が 2 倍の立方体の体積は, もとの立方体の体積の 8 倍になるから,奉納した祭壇は神託に合ったものではない。 もとの祭壇の 1 辺の長さを 1 , 体積が 2 倍の祭壇の 1 辺の 長さを とするとき, は方程式 の正の解である。 この正の解は であるから, もとの祭壇の 1 辺の長さを 倍した祭壇を作る必要があった わけである。
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練習 を実数とする。このとき, および の整数部分を,それぞれ および とする。\n[法政大]\n(1) となるような の値の範囲を求めよ。\n(2) のとき, のとりうる値をすべて求めよ。
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重要例題 の形で表される整数 どのような負でない 2 つの整数 と を用いても とは表すことができない正の整数 をすべて求めよ。 [大阪大]
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(1) 3 人と 5 人に分ける場合と, 4 人と 4 人に分ける場合がある。 よって 2 通り\n(2) \( (\mathrm{A}, \mathrm{B})=(3,5),(5,3),(4,4) \) の場合がある。よって 3 通り\n(3) 8 人からAに座る人を選ぶと,Bに座る人は自動的に決まる。 よって \( (\mathrm{A}, \mathrm{B})=(3,5) \) のとき (通り)\( (\mathrm{A}, \mathrm{B})=(5,3) のとき {}_{8} \mathrm{C}_{5}={}_{8} \mathrm{C}_{3}=56 \) (通り) \( (\mathrm{A}, \mathrm{B})=(4,4) のとき{}_8C_4=70 通り)以上から 56+56+70=182 通り)\n(4)(3)の座り方で, ソファーの区別をなくすと, 同じ座り方が 2 通 りずつあるから \182 \div 2=91 通り。
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数学 I
例 24 本冊 p .65
\( \begin{array}{l}.
U=\{1,2,3, \,\cdots \cdots, 15\}, \quad A=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}, \\
B=\{3,6,9,12,15\}, \quad C=\{5,10,15\}\end{array}\)
(1)
(2)
(3) と から
\( (A \cap B) \cup C=\{3,5,9,10,15\}\)
(4)
と から
\( A \cap(B \cup C)=\{3,5,9,15\}\)
(5)
\( \begin{aligned}\A \cup C= & \{1,3,5,7,9,10,11,13,15\} \text { と } \\
B \cup C= & \{3,5,6,9,10,12,15\} \text { から } \\
& (A \cup C) \cap(B \cup C)=\{3,5,9,10,15\}\end{aligned}\)
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練習(1)不等式 2a < x < a+3 を満たす整数 x が 4 だけであるとき, 定数 a の値の範囲を求めよ。
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例題 1 | 要素の個数の最大・最小\n集合 とその部分集合 に対して, \( n(U)=100, n(A)=80, n(B)=30 \) とする。\n(1) \( n(A \cap B) \) のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。\n(2) \( n(\bar{A} \cap B) \) のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。\n[類 鹿児島大] <例1, 2
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(2) 題意を満たす自然数をNとし,Nが10進法でn桁であるとする。10^(n-1) ≤ N < 10^n すなわち (2・5)^(n-1) ≤ N < (2・5)^n Nを2進法に直すとn+3桁になるから 2^(n+2) ≤ N < 2^(n+3) (2) ここで (2・5)^n - 2^(n+2) = 2^n (5^n - 2^2) > 0 よって、(2・5)^n > 2^(n+2) であるから、 (1), (2)を同時に満たすNが存在するには (2・5)^(n-1) < 2^(n+3) すなわち 5^(n-1) < 2^4 となることが条件である。 2^4 = 16 であるから、(3) を満たす自然数nの値は n=1,2 n=1 のとき (1) は 1 ≤ N < 10 (2) は 8 ≤ N < 16 ゆえに、(1),(2)を同時に満たすNの值は N=8,9 n=2 のとき (1) は 10 ≤ N < 100 (2) は 16 ≤ N < 32 ゆえに, (1),(2)を同時に満たすNの值は N=16,17,..., 31 以上からNの最小のものは8, 最大のものは31
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(1)大中小 3 個のさいころを投げるとき、目の積が奇数になる場合の数を求めよ。\n(2)1 から 9999 までの整数のうち、0を2個含む数は何個あるか。
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(1)8 個の○でりんごを表し,3つの|で仕切りを表すと,求める 方法の数は, 8 個の○と 3 つの|の順列の総数に等しいから\n\\[ \n{ }_{8+3} \mathrm{C}_{8}={ }_{11} \mathrm{C}_{8}={ }_{11} \mathrm{C}_{3}=165 \text { (通り) }\n\\]
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(2)1 桁,2桁で 0 を 2 個含む自然数はない。以下, は 1 から 9 までの数字のいずれかを表し, でも よいとする。[1] 3 桁で 0 を 2 個含む自然数は, の形で 9 個 [2] 4 桁で 0 を 2 個含む自然数は, の形で, それぞれ (個)ずつある。 よって,4桁で 0 を 2 個含む自然数は (個) [1], [2] から, 求める個数は (個)
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カタラン数の例 2 …․・トーナメント表の数
(n+1) チームがトーナメント戦を行う。ただし,各試合において引き分けはなく,勝負は必ず決まるものとするとき,優勝が決まるまで n 試合が必要になる。このとき,何通りのトーナメント表が考えられるだろうか。 n=1,2,3 の場合を見てみよう。
n=1 のとき,n=2 のとき, 3 チーム
→ 2 通り
2 チーム
→ 1 通り
注意 表の形が何通りあるかということが問題であって, 対戦の組み合わせは関係ない。
n=3 のとき, 4 チーム
→ 5 通り
ここで, n=3 のときのトーナメント表において, 試合をする組を括弧でくくると, 左から (((a · b) · c) · d), ((a · b) ·(c · d)), ((a ·(b · c)) · d), (a ·((b · c) · d)), (a ·(b ·(c · d))) となり, 「カタラン数の例 1 の (A) と 1 対 1 に対応している。すなわち, (n+1) チームでトーナメント戦を行ったときの対戦方法の数もカタラン数であると考えられる。
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数学 I
2から −2x ≤ a+6 よって x ≥ - (a+6)/2
(1)' と (2) に共通範囲 がある。
(1)', (2) の共通範囲は −(a+6)/2 ≤ x ≤ 1/6
x の整数値が 6 個のとき, 右の図から
−6 < −(a+6)/2 ≤ −5
各辺に -2 を掛けて 12 > a+6 ≥ 10
すなわち 10 ≤ a+6 < 12
各辺から6を引いて 4 ≤ a < 6
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練習 次のことを証明せよ。ただし, Z は整数全体の集合とする。
24 (1) A={3n-1 | n ∈ Z}, B={6n+5 | n ∈ Z} のとき A ⊃ B かつ A ≠ B
(2) A={2x+3y | x ∈ Z, y ∈ Z}, B={3x+5y | x ∈ Z, y ∈ Z} のとき A=B
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(2) 0 <= x <= 2 から -1 <= 2 x-1 <= 3
したがって
各場合はいずれも a <= x<b の形であるから,グラフの左端を含み,右端を含まない。
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(3) 個, c 2 個, e 2 個を 1 列に並べ, 3 個の は左から s, i, n とすればよい。 \n よって \n \[ \frac{7!}{3!2!2!}=210 \text { (通り) } \] \n 別解 7 か所のうち 3 か所を選んで, s, i, nをこの順に並べる方法は \n \[ { }_{7} \mathrm{C}_{3}=35 \text { (通り) }\] 次に残りの 4 か所にc, c, e, e を並べる方法は \n \[ \begin{aligned} \frac{4!}{2!2!} & =6 \text { (通り) } \\\text { よって } \quad 35 \times 6 & =210 \text { (通り) } \end{aligned} \]
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重要例題 91 | 合同式を利用した証明 (1)
は 3 で割り切れない整数とする。このとき, は 3 で割り切れる ことを証明せよ。
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次の集合を,要素を書き並べて表せ。\n(1) は整数 \n(2) は 24 の正の約数 \n(3) は 1 桁の自然数
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次の条件を満たす組 (x, y, z) を考える。
条件 (A) : x, y, z は正の整数で, x^2 + y^2 + z^2 = x y z および x ≤ y ≤ z を満たす。
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別解 (ウ) 列 において, 122112 や 212121 のような問題の条件を満たさない列について考える。1 列の左から順に見て,2 の現れる回数が初めて 1 の現れる回数より多くなった 2 に着目する。
列 122112 なら左から 3 番目の 2 に着目する。2 で着目した 2 より右にある 1 を 2 に, 2 を 1 におき換えた列を作る。
列 122112 なら 3 番目の 2 より右にある 112 が 221 となる。すなわち, 列 122112 は列 122221 となる。32 の操作により, 問題の条件を満たさない列は, 1 が 2 個, 2 が 4 個の順列となり, その並べ方は 通り。
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(1)奇数の目は の 3 通りある。 目の積が奇数になるのは、可で目が奇数となるときである。 よって, 求める場合の数は (通り)
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(2) (1) から, のとき方程式 (2) は 7 \\cdot 19+65 \\cdot(-2)=3 (2)-(3) から \\(7(n-19)+65(z+2)=0 \\) 7 と 65 は互いに素であるから,kを整数として n=65 k+19, z=-7 k-2 と表される。このとき 5 x+13 y=65 k+19 (1) より 5 \\cdot(-4)+13 \\cdot 3=19 更に 5(x+4)+13(y-3)=65 k よって 5(x+4-13 k)+13(y-3)=0 5と13は互いに素であるから、整数 l を用いて x+4-13k=13 l, y-3=-5 l と表せる。したがって、 x=13(k+l)-4, y=-5 l+3 よって, x^{2}+y^{2}=\{13(k+l)-4\}^{2}+(-5 l+3)^{2} ここで、k+l, l は整数であるから、\{13(k+l)-4\}^{2} と (-5 l+3)^{2} をそれぞれ最小にする k+l, l の値は k+l=0, l=1 すなわち k=-1, l=1 このとき, x=-4, y=-2 となり、 x^{2}+y^{2} は最小値, (-4)^{2}+(-2)^{2}=20 をとる。
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演習 5 III -> 本冊 p .59 \\[ \\sqrt{9 x^{2}-12 x+4} + \\sqrt{x^{2}+4 x+4} - \\sqrt{16 x^{2}-24 x+9} = \\sqrt{(3 x-2)^{2}} + \\sqrt{(x+2)^{2}} - \\sqrt{(4 x-3)^{2}} \\\\\\[ \\frac{2}{3} < x < \\frac{3}{4} \\text{ のとき } \\\\\\begin{aligned} 3 x - 2 & > 0, x + 2 > 0, 4 x - 3 < 0 \\\\\\text{ よって } \\\\text{ 与式 }) & = (3 x - 2) + (x + 2) - \\{ - (4 x - 3) \\} \\\\\\ & = 8 x - 3 \\\\end{aligned} \\]
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数学A
305
(a, b, c)=(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2)
ここで, a \leqq b \leqq c の条件をはずすと, 自然数の組 (a, b, c) は
1+3+3+3=ア 10 (個)
(2) a b c=a+b+c
まず, a \leqq b \leqq c を満たす自然数の組 (a, b, c) を求める。
(2) から
a b c=a+b+c \leqq c+c+c=3 c
よって a b c \leqq 3 c
c>0 であるから
a b \leqq 3
a, b は a \leqq b を満たす自然数であるから
(a, b)=(1,1),(1,2),(1,3)
(a, b)=(1,1) のとき, (2) を満たす自然数 c は存在しない。
(a, b)=(1,2) のとき c=3
(a, b)=(1,3) のとき, c=2 となり, a \leqq b \leqq c を満たさないから不適である。
よって, a \leqq b \leqq c のとき, (2) を満たす自然数の組 (a, b, c) は (a, b, c)=(1,2,3)
ここで, a \leqq b \leqq c の条件をはずすと, 自然数の組 (a, b, c) は 6 個存在し a+b+c=6
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の形で表される1次不定方程式について、整数解を求める問題があります。\n例として、 の整数解は無数に存在します。
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9 個の点から 3 点を選ぶ方法の総数は
(1) 3 点が一直線上にあるのは、次のいずれかの直線上にある 3 点を選ぶ場合である。
直線 x=0, x=1, x=2, y=0, y=1, y=2, y=x, y=-x+2 すなわち、8 通りの選び方があるから、求める確率は
(2) 3 点を結んでできる三角形のうち 1. 長さ 2 の 1 辺が x 軸と平行な直線上にあって、三角形の面積が 1 となるものについて 2. 長さ 2 の 1 辺が y 軸と平行な直線上にあって、三角形の面積が 1 となるものについて 3. 1 辺が点(0,0)と点(2,2)を結ぶ線分、または点(0, 2)と点 (2,0) を結ぶ線分となる三角形で、面積が1のものは
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(1) \( 0.1021_{(5)}=\frac{1}{5}+\frac{0}{5^{2}}+\frac{2}{5^{3}}+\frac{1}{5^{4}}=\frac{1 \cdot 5^{3}+2 \cdot 5+1}{5^{4}} =\frac{136}{625} =0.2176 \)
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もとの板の縦の長さを x cm とすると,横の長さは 2 x cm, 容器 の底面になる長方形の隣り合う 2 辺の長さは (x-5・2) cm, (2 x-5・2) cm である。
各長さは正の数であるから
x>0,2 x>0, x-10>0,2 x-10>0
これらの共通範囲をとって x>10 ... (*)
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Join our DiscordQ.78
どの硬貨も使うから, 420円から 100 円 1 枚, 50 円 1 枚, 10 円 1 枚分を除いた \( 420 - (100 + 50 + 10) = 260 \) 円の支払い (使わない硬貨があってもよい)について考える。260 円を支払うのに使う 100 円, 50 円, 10 円硬貨の枚数をそれぞれ とすると, は 0 以上の整数で 。すなわち 。また 。
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赤玉 2 個, 青玉 2 個, 白玉 3 個の合わせて 7 個の玉を横 1 列に並べる。ただし, 同じ 色の玉は区別しないものとする。(1)赤玉どうしが隣り合う並べ方は何通りあるか。(2)赤玉どうしが隣り合い,青玉どうしも隣り合う並べ方は何通りあるか。(3)赤玉どうしが隣り合い,青玉どうしが隣り合い,更に2個以上の白玉どうしも 隣り合う並べ方は何通りあるか。(4)白玉どうしが隣り合わない並べ方は何通りあるか。(5)赤玉どうしが隣り合い,白玉どうしが隣り合わない並べ方は何通りあるか。(6)同じ色の玉が隣り合わない並べ方は何通りあるか。
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数学 I
例 23 本冊 p .64(1)
,
であるから
よって また, であるから
(2) となるための条件は
\( \begin{array}{l}
k-5<-2 \3 \leqq k+2\end{array}\)
が同時に成り立つことである。
(1) から
(2) から
共通範囲を求めて
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3色すべてを使う場合,どれか 1 色で 2 面を塗ることになる。 その色の選び方は 3 通りそのおのおのについて,2面をその選んだ色で塗り,残りの2面 を他の2色で塗る方法は2通りあるが,それらは回転させると互 いに一致する。よって, 3 色をすべて使う場合の塗り方の総数は次に,3色のうち使わない色がある場合について [1] 2 色で塗る場合その 2 色の選び方は 3 通りそのおのおのについて(ア) 1 色を 2 面, もう 1 色を残りの 2 面に塗る場合 その塗り方は 1 通り(イ) 1 色を 3 面, もう 1 色を残りの 1 面に塗る場合 その塗り方は 2 通りしたがって, この場合の塗り方の総数は 3 \times(1+2)=9 ext { (通り) }[2]色で塗る場合 その 1 色の選び方は 3 通りしたがって,3色のうち使わない色があってもよい場合の塗り方 の総数は 3+9+3=15 (通り)
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2\n(1) (ア)\n(1)\n(2) (イ)\n(1)\n(ウ) (4)\n(3) (I) (0) (J) (3)
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例 2. 1個のさいころを投げる試行において 事象 :偶数の目が出る 事象 : 3 の目が出る とすると と表され よって, 事象 は互いに排反である。
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1 から 50 までの整数の中から相異なる 26 個の数をどのように選んでも, 和が 51 になる2つの数の組が必ず含まれていることを示せ。
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練習(3) 大人 4 人、子ども 3 人の計 7 人を 3 つの部屋 A、B、C に分けるとき、どの部屋も大人が 1 人以上になる分け方は何通りあるか。
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練習 93 → 本冊 p.184\n(1) x の 2 次方程式\n(1- cos θ)x² + 4(sin² θ)x + (1 + cos θ) = 0\n\nの判別式を D とすると,(1)がただ1つの解をもつための条件は\nD=0\n\nここで D/4 = { 2(sin² θ) }² - (1 - cos θ)( 1 + cos θ )\n4 sin⁴ θ - sin² θ\n= sin² θ( 2 sin θ +1 ) ( 2 sin θ -1 )\nD=0 とすると sin² θ( 2 sin θ +1 )( 2 sin θ -1 )=0\n\n0° < θ < 90° であるから sin θ≠0,2 sin θ+1≠0 \n\nよって 2 sin θ-1=0 すなわち sin θ=1/2\n\nこれを解くと θ = 30°\nこのとき,方程式 (1) の解は\nx = - 4 sin² θ / 2(1 - cos θ ) = - 2(1 - cos² θ)/1 - cos θ = -2(1 + cos θ )\n= -2(1 + cos 30°) = -2(1 + √3/2) = -2 - √3\n\n42 次方程式 a x² + b x + c = 0\nの 2 つ の解 を α, β とすると\nα + β = - b /a, α β= c /a\n4 sin² θ + cos² θ= 1\n10°< θ <90° であるから\n\n0 < cos θ < 1 \n\nよって, 1 - cos θ ≠ 0 で あり, x の方次方程式で ある。\n\Λ(1-cosθ)(1+cosθ)\n =1- cos² θ = sin² θ\n\n重解は x = -b / 2a\n(2) (1)の左辺を f(x) とする。
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例 12 | 絶対値の基本, 数直線上の 2 点間の距離
(1) 次の値を求めよ。
(ア)
(イ)
(ウ)
(I)
(2) 次の 2 点間の距離を求めよ。
(ア) \( \mathrm{P}(-2), \mathrm{Q}(5) \)
(1) \( \mathrm{A}(8), \mathrm{B}(3) \)
(ウ) \( \mathrm{C}(-4), \mathrm{D}(-1) \)
(3) のとき, の値をそれぞれ求めよ。
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Join our DiscordQ.90
47 (ア) 72 √3 (1) 72 √2 (ウ) √6 (I) 24 π (オ) 6 √2 (力) -1/3
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(2) 目の出方は全体で 通りである。 出た目の数全部の積について「 である」という事象は, である」という事象の余事象である。 は自然数であるから, のとき [1] となる目の出方は, \( (1,1,1) \) の 1 通り 「少なくとも…には 余事象の確率 の余事象を と間違えないように注意。>の補集合は である。
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題意の数字の列は, 整数の列 を 4 進法で表 したものと一致する。\n(ア) 最大の数は 3333 であり\n\[3333_{(4)}=3 \cdot 4^{3}+3 \cdot 4^{2}+3 \cdot 4^{1}+3 \cdot 4^{0}=255\]\nよって, 全部で 255 個の整数が並ぶ。\n別解 \( a b c d_{(4)} \) の に のいずれかを入れる入れ 方は (通り) 「0000」を除いて 255 個\n(イ) (4) よって, 230 番目にある数は 3212\n(ウ) \( 230_{\text {(4) }}=2 \cdot 4^{2}+3 \cdot 4+0 \cdot 4^{0}=44 \) よって, 230 は 44 番目にある。
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数学A
例 43 ⇒ 本冊 p.394
(1) (ア) a, b が 3 の倍数であるから, 整数 k, l を用いて
a=3 k, b=3 l
と表される。よって 5a+6b = 5 * 3k + 6 * 3l = 3(5k+6l)
5k+6l は整数であるから, 5a+6b は 3 の倍数である。
(イ) b が a の約数, c が b の約数であるから, 整数 k, l を用いて
a=bk, b=cl
と表される。
b=cl を a=bk に代入すると a=cl*k=ckl
kl は整数であるから, c は a の約数である。
(2) a が b の倍数, a が b の約数であるから, 整数 k, l を用いて
a=bk, b=al
と表される。
a=bk を b=al に代入すると b=bk*l
よって b(kl-1)=0
b≠0 であるから kl=1
k, l は整数であるから k=l=±1
したがって a=±b
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(1) 10進法で表しても5進法で表しても4桁になる自然数Nがあると仮定すると 10^3 ≤ N < 10^4, 5^3 ≤ N < 5^4 が成り立つ。 ゆえに 1000 ≤ N < 10000, 125 ≤ N < 625 この2つの不等式を同時に満たす自然数Nは存在せず,矛盾。 よって,10進法で表しても5進法で表しても,4桁になる自然数は存在しない。
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データの平均値は \ \\frac{2+13+10+5+8+x}{6}=\\frac{38+x}{6} \\n\n[1] \ x<5 \ のとき、中央値は \ \\frac{5+8}{2}=\\frac{13}{2} \\nよって、平均値と中央値が等しいとき\n\n\\\frac{38+x}{6}=\\frac{13}{2} \\text { すなわち } x=1 \\n\nこれは \ x<5 \ を満たす。\n\n[2] \ 5 \\leqq x \\leqq 10 \ のとき、中央値は \ \\frac{8+x}{2} \\nよって、平均値と中央値が等しいとき\n\n\\\frac{38+x}{6}=\\frac{8+x}{2} \\text { すなわち } x=7 \\]\n\n\\[\n\\begin{\overlineray}{l}\n4 \\frac{85}{2} \\text { でもよい。 } \\\\\n4 \\frac{123}{2} \\text { でもよい。 }\n\\end{\overlineray}\n\\n\, \ 59=40+19,79=60+19 \ であるから,平均値の最大値は \\( 42.5+\\frac{1}{8} \\times 19(1+5+2) \\)\n\nテデータの大きさが偶数であるから、中央の2つの値の平均が中央値となる。
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1 個 80 円の菓子A, 100 円の菓子B , 200 円の菓子C を合わせて 50 個買う。 A の個数は,Cの個数の 2 倍と B の個数の和に等しく, どの菓子も少なくとも 1 個は 買うものとし、更に総額を 5400 円未満にする。このとき,菓子C は最大何個買う ことができるか。
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(1) ならば よって 真\n(2) は を満たすが, ではない。\nよって\n(3) のとき\n (ともに整数)\nであるが, は整数でない。\nよって\n(4) かつ のとき \nゆえに\n,\n\nすなわち\n,\n\nよって 真
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異なる 4 個のものから 3 個取る重複順列\n(2) 例 3 と似た問題であるが,要素の個数が指定されていないので,部分集合をすべて書き上げるのは面倒である。\nそこで, 5 個の要素を 1 列に並べ, その要素が部分集合に属する場合は○を, 属さない場合は×を対応させると, 例えば, 部分集合 に, 右のように, \\bigcirc \\times \\bigcirc \\times \\bigcirc \ が対応する。\nこのように考えると, 求める部分集合の個数は, ○と×から重複を 許して5つ取って並べる重複順列の数に等しい。\nなお, 自身 の場合)や の場合)も の 部分集合であることに注意しよう。\n\\begin{tabular}{lllll}\n & & & & \\\\\n\\hline 0 & & & & \\\\\n & & & & \\\\\n & & & & \\\\\n & & & & \\\\\n力 & 力 & 力 & 力 \\\\\n & & & & \n\\end{tabular}
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0 を含む 4 組の場合の整数の個数\n1 つの組について,千の位は 0 以外の数字であるから,この 場合の整数は (個)\nよって, [1] の場合の個数は (個)\n(1、2、4、5) の場合\n整数の個数は (個)\nしたがって, 求める個数は (個)
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次の合同式を満たす x を,それぞれの法 m において, x ≡ a( mod m)[a は m より小さい自然数]の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある)。
(1) x+3 ≡ 1( mod 8)
(2) 3x ≡ 2( mod 5)
(3) 4x ≡ 2( mod 6)
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集 A と集 B があり、次の条件が成り立つとする: x が A に含まれるならば、x は必ず B にも含まれる。このとき、A と B の集合関係を記号で表しなさい。
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数学 I\nD=0 すなわち (sin θ+1)(2 sin θ-1)=0\n0° ≤ θ ≤ 180° では 0 ≤ sin θ ≤ 1 であるから\nsin θ+1 ≠ 0\n\nよって 2 sin θ-1=0 すなわち sin θ=1/2\nゆえに θ=ウ 30°, エ 150° (150, エ30 でもよい)\n(2) 解と係数の関係により\nsin θ+cos θ=7/5\nsin θ cos θ=4k/25\n\n(1) の両辺を 2 乗すると\n\nsin² θ+cos² θ+2 sin θ cos θ=49/25\n\nよって 1+2 sin θ cos θ=49/25\nゆえに sin θ cos θ=12/25\nこれと (2) から 4k/25=12/25\nこれを解いて k=3\n主靑 k=3 のとき, 方程式は 25x²-35x+12=0 となり, これを解 くと x=3/5, 4/5\nしたがつて, 異なる 2 つの解をもち, それぞれ sin θ, cos θ で表 される。
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(3) は 2 以上の自然数とする。 3 進数 \( 1212_{(3)} \) を 進法で表すと \( 101_{(n)} \) となるような の値を求めよ。
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n を 3 以上の整数とし、m を整数とする。\( nx = m + α (0 ≤ α < 1) \) と表すとき、次の条件を満たす x の個数を求めよ: 0 ≤ x < 1
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練習 a, b は0 でない整数とする。 M={ax+by | x, y は整数 } とし,Mの正の要素のうち,最小であるものを d=ax'+by' とする。次のことを証明せよ。
(1) M の要素はすべて d で割り切れる。
(2) a と b 最大公約数を g とするとき, g=d である。
(3) g の倍数全体の集合を N とるとき, N=M である。
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まず, 大人 4 人を, どの部屋も大人が 1 人以上になるように分 ける方法は, (2)から 36 通り そのおのおのについて,子ども 3 人を A, B, C の 3 部屋に分け る方法は 3^{3}=27 (通り) よって, どの部屋も大人が1人以上になる分け方は 36 \times 27=972 (通り)
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\nこのとき \\quad 9<\\frac{4 a+1}{6} \\leqq 11 \ すなわち \\frac{53}{4}<a \\leqq \\frac{65}{4} \ a は整数であるから \\quad 14 \\leqq a \\leqq 16 \\n[1] a=14 \ のとき, (2) から \\quad \\frac{29}{2}<x<24 \\nこれを満たす整数 x \ は 9 個ある。\n[2] a=15 \ のとき, (2) から \\quad \\frac{31}{2}<x<\\frac{77}{3} \\nこれを満たす整数 x \ は 10 個ある。\n[3] a=16 \ のとき, (2) から \\quad \\frac{33}{2}<x<\\frac{82}{3} \\nこれを満たす整数 x \ は 11 個ある。\n[1] 〜 [3] から, 求める整数 a \ の値は \\quad a=15 \
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(2)次の計算を解いてください。\n\\[ \n\\begin{array}{l} \n\\text { 2) } \\begin{aligned} \n\\sqrt{42+12 \\sqrt{6}} & =\\sqrt{42+2 \\sqrt{36 \\cdot 6}}=\\sqrt{(36+6)+2 \\sqrt{36 \\cdot 6}} \\\\ \n& =\\sqrt{36}+\\sqrt{6}=6+\\sqrt{6} \n\\end{aligned} \\\\\n2<\\sqrt{6}<3 \\text { であるから } \\\\ 8<6+\\sqrt{6}<9 \\\\\n\\text { よって } \\\\ a=8, \\\\ b=(6+\\sqrt{6})-a=\\sqrt{6}-2 \\\\ \\\\ \\frac{a}{b(b+4)}=\\frac{8}{(\\sqrt{6}-2)(\\sqrt{6}+2)}=\\frac{8}{6-4}=4 \n\\end{array} \n\\]
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(イ) 3000 ≡ 4 (mod 14) であり 4^2 ≡ 16 ≡ 2 (mod 14), 4^3 ≡ 64 ≡ 8 (mod 14), 4^4 ≡ (4^2)^2 ≡ 2^2 ≡ 4 (mod 14) よって, 4^k (には自然数) の余りは, 4, 2, 8 を周期として繰り返され,特に 4^3k ≡ 8 (mod 14) ゆえに 4^3000 ≡ 4^3 ・ 1000 ≡ 8 (mod 14) よって 3000^3000 ≡ 4^3000 ≡ 8 (mod 14)
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1 年生の身長の最大値を , 最小値を , 第 四分位数を \( Q_{1 k}(k=1,2,3) \) とする。 2 年生の身長の最大値を , 最小値を , 第 四分位数を \( Q_{2 k}(k=1,2,3) \) とする。 (1) よって, 正しい。 (2) よって, 正しい。 (3) よって, 正しくない。 (4) よって, 正しくない。 (5) であるから すなわち であるから すなわち よって, 1 年生のデータの範囲は, より大きく よ り小さい。また,2 年生のデータの範囲は, より大きく より小さい。 したがって, 正しくない。 以上から,(1)~(5)うち正しいものは (1), 2)
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学生全体の集合を U とし, パソコンを持っている学生、携帯電話を持っている学生、自家用車を持っている学生の集合を、それぞれ A, B, C とすると、n(U) = 100, n(A) = 75, n(B) = 80, n(A ∩ B) = x, n(C) = 60, n(A ∩ B ∩ C) = y。パソコンを持っているが携帯電話を持っていない学生の数を a、携帯電話を持っているがパソコンを持っていない学生の数を b、パソコンも携帯電話も持っていない学生の数を c とする。条件から以下が導ける。
a + x = 75
b + x = 80
a + b + c + x = 100
この3式を利用して x と y の最小値を求める。
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Join our DiscordQ.18
空室ができてもよいとすると, A, B, C 3 部屋に 4 人を分ける 方法は 3^{4}=81 (通り) このうち, 空室が 2 部屋できる場合は, 空室でない残りの 1 部屋 を選ぶと考えて 3 通り 空室が 1 部屋できる場合は, 空室の選び方が 3 通りあり, そのおのついて, 残りの 2 部屋に 4 人が入る方法が 2^{4}-2 通りずつあるから 3 \times(2^{4}-2)=42 (通り) よって, 求める場合の数は 81-(3+42)=36 (通り)
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Join our DiscordQ.20
(2)ある整数を 20 で割って,小数第 1 位を四捨五入すると 17 となる。そのよう な整数のうち, 最大のものと最小のものを求めよ。
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Join our DiscordQ.26
CHECK 6 \Rightarrow 本冊 p .36
(1) 7^{2}=(-7)^{2}=49 であるから, 49 の平方根は 7 と -7
(2) \sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7
(3) -\sqrt{49} = -\sqrt{7^{2}} = -7
(4) \sqrt{4^{2}} = 4
(5) \sqrt{(-5)^{2}} = -(-5) = 5
(6) \sqrt{(-8)(-2)}=\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}=4
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(前半)条件から a ≡ 2 (mod 7) よって a^3 ≡ 2^3 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7) 2023 = 3 ・ 674 + 1 であるから a^2023 ≡ (a^3)^674 ・ a ≡ 1^674 ・ a ≡ a ≡ 2 (mod 7) したがって, a^2023 を 7 で割った余りは 2 である。
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Join our DiscordQ.30
このうち, 図の点Eを通る経路\nは, が (通り), が 1 通りであるから\n\ \n3 \times 1=3 \text { (通り) }\n\
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151 から 49 までの自然数からなる集合を全体集合Uとする。Uの要素のうち, 50 との最大公約数が 1 より大きいもの全体からなる集合を , また, 要素のうち, 偶数であるもの全体からなる集合を とする。いま と は 部分集合で, 次の 2 つの条件を満たすとするとき,集合 の要素をすべて求めよ。\n(i) \n(ii)
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Join our DiscordQ.32
(3)赤玉どうしが隣り合い, 青玉どうしが隣り合う並べ方のうち,白玉どうしが隣り合わないのは, (2) で定めたRとBの間と両端の 3 か所に白玉を入れる場合である。これはRとBの並び方で決まるから2 通り
求める並べ方の数は, (2) の場合の数から, この 2 通りを引いたも のであるから
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Join our DiscordQ.33
女子 2 人 1 組と男子 4 人の並び方は 5 ! 通り\n女子 2 人の並び方は 2 ! 通り\nしたがって、求める並び方は (通り)
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次の条件を満たす 2 つの自然数 の組をすべて求めよ。ただし, とする。 (1) 和が 320 , 最大公約数が 16
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すべての整数からなる集合を全体集合とし, その部分集合 ただし, \( X \neq \varnothing) \) に関 する条件 \( P) 「Xの要素の中で最小の数が存在する」を考える。以下の選択肢 の中から, 次の条件をすべて選べ。
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【問題2】以下の根号の表現を簡単にせよ。\n(1) \ \\sqrt{28+10\\sqrt{3}} \\n(2) \ \\sqrt{10-\\sqrt{84}} \
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次の合同式を満たす x を,それぞれの法 m において, x ≡ a(mod m) の形で表せ。ただし, a は m より小さい自然数とする。
(1) x + 5 ≡ 3(mod 7)
(2) 4x ≡ 5(mod 11)
(3) 6x + 2 ≡ 5(mod 9)
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451\n課題 108 有限小数・循環小数で表される条件\n次の条件を満たす自然数 n \ は何個あるか。\n(1) 分数 \frac{19}{n} \ の分子を分母で割ると, 整数部分が 1 以上の有限小数となる n \\n(2) 分数 \frac{23}{n} \ の分子を分母で割ると循環小数となる 2 桁の n \
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演習例 1 ガウス記号と 2 次不等式\n実数 a に対して, a を超えない最大の整数を [a] で表す。 10000 以下の正の整数 n で [\\sqrt{n}] が n の約数となるものは何個あるか。\n[東京工大]
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(2)区別のできない 100 円硬貨 10 枚すべてを 3 人に配る。 3 人全員が 100 円以上もらえる配り方は全部で何通りあるか。
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4 つの条件 について, 次の命題がすべて成り立つ。\n(a) なら゙ である。\n(b) でなければ でない。\n(c) でなければ, でないかまたは でない。\nこのとき,次の命題が成り立つことを証明せよ。\n(1) ならば である。\n(2) かつ かつ ならば である。
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自然数 \( a_{k}(1 \leqq k \leqq 5) \) を要素とする集合 と を要素とする集合 がある。ただし とする。 このとき,共通部分 となった。更に, 和集合 のすべての要素の和が 444 となった。このことから, , であり, となることがわかる。また, 残りの要素 カ となる。
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数学 I
149
[1] A=60^{\circ} のとき
余弦定理により
x^{2} =2^{2}+3^{2}-2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60^{\circ} =4+9-6=7
1<x<5 であるから
x=\sqrt{7}
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例 48 | 割り算の余りの性質\n(1) a , b は整数とする。 a を 7 で割ると 2 余り, b を 7 で割ると 5 余る。このとき,\n(ア) 2 a+b\n(イ) a^{2023}\nを 7 で割ったときの余りを求めよ。\n(2) n を自然数とするとき, 7^{n} を 5 で割った余りを求めよ。
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例題 101 方程式の整数解 (2)
次の等式を満たす整数の組 (x, y) を求めよ。
(1) x^{2}-4 y^{2}=4, x ≥ 0, y ≥ 0
(2) x y-3 x-2 y+3=0
[(2) 創価大]
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50人の生徒全体の集合をUとし, そのうちクイズA, Bを正解した生徒全体の集合を, それぞれA, Bで表すと
n(U)=50, n(A)=35, n(B)=24
クイズAのみ正解した生徒全体の集合はA∩B¯であり
n(A∩B¯)=n(A)-n(A∩B)=35-n(A∩B)
よって, n(A∩B)が最大のときn(A∩B¯)は最小となり, n(A∩B)が最小のときn(A∩B¯)は最大となる。
[1] n(A∩B)が最大となるのは, n(A)>n(B)より, A⊃Bのときである。このとき
n(A∩B)=n(B)=24
よって, (1)からn(A∩B¯)=35-24=11
=35+24-50
=9
[2] n(A∩B)が最小となるのは, n(A)+n(B)>n(U)より, A∪B=Uのときである。このとき, n(U)=n(A)+n(B)-n(A∩B)であるから
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(U)
=35+24-50
=9
よって, (1)からn(A∩B¯)=35-9=26
[1], [2]から, クイズAのみ正解した生徒は最も少なくて11人,最も多くて26人である。
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x の 2 次不等式 \( 6 x^{2}-(16 a+7) x+(2 a+1)(5 a+2)<0 \) を満たす整数 が 10 個となるように,正の整数 の値を定めよ。
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A ∩ B = {2,7} であるから 7 ∈ A よって a^2 - 9a + 25 = 7 または 2a + 3 = 7\n[1] a^2 - 9a + 25 = 7 のとき\na^2 - 9a + 18 = 0\nゆえに (a-3)(a-6) = 0 よって a = 3, 6\n\n a = 3 のとき B = {-2, -13, -5, 9, 16}\nゆえに A ∩ B = {2,7} とはならないから, 条件に合わない。 a=6 のとき A = {-3, 2, 7, 15}, B = {-2, 2, 7, 12, 16}\nよって, A ∩ B = {2, 7} となり適する。\n[2] 2a + 3 = 7 のとき a = 2\nこのとき B = {-2, -14, -5, 8, 16} ゆえに, A ∩ B = {2, 7} とはならないから, 条件に合わない。以上から, a の値は a = 6\nこのとき A = {-3, 2, 7, 15}, B = {-2, 2, 7, 12, 16}\n(1) A ∪ B = {-3, -2, 2, 7, 12, 15, 16}\n(2) A ∩ Bの補集合 = {-2, 12, 16}
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さいころの目がすべて等しい 1 組に対し,目の出方は1通り。よって, 積が k となる目の出方が 6 通りとなるのは,次の場合が ある。3 つの目が異なり, 積が k となる目の組が 1 組だけのとき。1 x 4 = 2 x 2, 1 x 6 = 2 x 3, 2 x 6 = 3 x 4。
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(1) 10 進数 1000 を 5 進法で表すとア ,9 進法で表すとイ である。\n(2) は 5 以上の整数とする。10 進法で \( (2 n+1)^{2} \) と表される数を 進法で表せ。\n(3) \( 32123_{(4)}, 41034_{(5)} \) をそれぞれ 10 進法で表せ。
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余りの性質について次のことが成り立つことを証明しなさい。\n1. を で割った余りは、 を で割った余りに等しい。\n2. を で割った余りは、 を で割った余りに等しい。\n3. を で割った余りは、 を で割った余りに等しい。\n4. を で割った余りは、 を で割った余りに等しい。
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C, O, M, P, U, T, Eの 7 文字を全部使ってできる文字列を、アルファベット順の辞書式に並べる。
(ア) COMPUTE は何番目にあるか。
(1) 200 番目の文字列は何か。
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2. 組 (a, b, c) が条件 (A) を満たすとする。このとき,組 (b, c, z) が条件 (A) を満たすような z が存在することを示せ。
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次の6つの条件を考える。\n正の整数 に対して, 次の6つの条件を考える。\n[成蹊大]\n\n2 条件 は偶数である。\n\n条件(0):nは 3 で割ると 1 余る。\n\n条件 11: は 4 の倍数である。\n\n条件(2): は 6 で割ると 1 余る。\n\n条件(3) \( n(n+1) \) は 6 の倍数である。条件(4): \( n(n+2) \) は 12 の倍数である。
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(2)\n(ア) 万の位は、1 〜 4 から 1 個を取るから 4 通り 残りの位は,0 を含めた残り 4 個の数字を並べるから 4! \ 通り\nよって \\quad 4 \\times 4!=96 \ (個)\n(イ) 1**** の形の数は \\quad 4!=24 \ (個)\n20***, 21*** の形の数は 3!\ (個) ずつあるから, ここまでで 24 + 6 \\times 2=36 \(個)\nよって,37 番目の数は 23014\n38 番目の数は 23041\n39 番目の数は 23104\n40 番目の数は 23140\n(ふ) 1****, 2**** の形の数は全部で 4! \\times 2=48 \ (個)\n30****, 31**** の形の数は全部で 3!\\times 2=12 \ (個)\n320**, 321 ** の形の数は 4A(n-1) 通り。\n4 A(n-2) 通り。\n最高位は0でない。\n12****も 24 個あり, 40\n番目の数は \\( 2**** の形。
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数学 I
練習 83 ➡ 本冊 p .168
水面からの山頂の高さを x m, 塔から山頂の真下までの水平距離を a m とする。右の図から
(1) から a = √3(x - 10)
(2) に代入して整理すると (√3 - 1) x = 10(√3 + 1)
よって x=10 * (√3+1)/(√3-1) = 10 * ((√3+1)^2)/((√3-1)(√3+1))
= 10 * ((√3+1)^2 )/ ( (√3-1 )(√3+1 ))
=
10(4+2√3 ) / 2
= 10(2+√3 )
したがって, 水面からの山頂の高さは 10(2+√3) m.
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[1] a ∈ A ならば a = 2m + 3n(m, n は整数) と表される。このとき a = 3n + 2m = 3n + (5m - 3m) = 3(n-m) + 5m n-m, m はともに整数であるから a ∈ B。よって A ⊂ B\n[2] b ∈ B ならば b = 3m + 5n(m, n は整数) と表される。このとき b = 3m + 5n = 3m + (2n + 3n) = 2n + 3(m+n) n, m+n はともに整数であるから b ∈ A よって B ⊂ A [1], [2] より, A ⊂ B かつ B ⊂ A であるから A = B
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1 人の手の出し方がグー, チョキ, パーの 3 通りあるとき、4 人が一度に手を出す組み合わせは何通りありますか。
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(1) 逆:2 の倍数は 4 の倍数である。\n(偽)反例は 6\n対偶:2の倍数でないならば 4 の倍数でない。\n2 の倍数でない数は奇数であるから\n裏:4 の倍数でないならば 2 の倍数でない。\n(偽)反例は 6
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(1) ⌈ x>0 かつ y ≤ 0」 の否定は x ≤ 0 または y>0\n(2) ⌈ x ≥ 2 または x < -3」 の否定は\n x < 2 かつ x ≥ -3\nすなわち -3 ≤ x < 2
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与えられた条件に基づき、変数aの値を求めなさい。条件: のとき, \(2-(-2)=4 ≠ 20\) であるので、条件に合わない。次に、 のとき、 \(a^2 - 2 - (-2)=a^2\) である。しかし、この範囲で となることはない。したがって、範囲 および の場合について考える。
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女子 2 人が両端に並ぶ並び方は 2 ! 通り\n男子 4 人の並び方は 通り\nよって, 求める並び方は (通り)
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演習例起責
19 ゲームの必勝法と数学的な推論
と の 2 人が, を先手として以下のルールで交互に石を取り合うゲームを行 う。
・初めに 個の石がある。
・まず先手は \( (n-1) \) 個以下の好きな石を取る。
・以降は, 直前に相手が取った石の数の 2 倍以下の好きな数の石を取ること を繰り返す。
・最後に石を取った方が勝ちとなる。
相手の石の取り方によらず勝てるような石の取り方があるとき「必勝法がある」 という。例えば のとき, まず が 1 個取れば, 次にBは 1 個か 2 個取ること ができる。もしBが1個取ったなら,Aは次に2個取ることで勝てる。もしBが 2個取ったなら,Aは次に1個取ることで勝てる。このように,B石の取り方 によらずAは勝てるので, Aに必勝法がある。
(1) のとき, AまたはBのどちらに必勝法があるか答えよ。
(2) のとき, AまたはBのどちらに必勝法があるか答えよ。
[一橋大]
指針 のとき,先手であるAに必勝法があることが,問題文によって明らかになっている。 の場合も の場合も, やみくもに考えるのでは効率が悪い。まずは, 既に明ら かとなっている場合に結びつけることを考える。
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数学A - 209\n1 -(勝負が決まる確率 \( ) \)\nにより求められる。\n3 人が勝つ確率は \n4 人が勝つ確率は \nよって, 求める確率は, (1), (2) の結果も利用して\n\[1-\left(\frac{5}{81}+\frac{10}{81}+\frac{10}{81}+\frac{5}{81}\right)=\frac{51}{81}=\frac{17}{27}\]\n\n別解 勝負が決まるのは, 5 人が 2 種類の手を出すときで,その\n確率は \( \quad \frac{{ }_{3} \mathrm{C}_{2}\left(2^{5}-2\right)}{3^{5}}=\frac{10}{27} \)\n(*)から, 求める確率は
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ここの章で学ぶこと〉
数学と人間の活動では,数量や図形に関する概念などを関心に基 づいて発展的に考察する。そのための具体的な內容として、整数 の性質や座摽の考えが指定されている。本書では,主に整数の性質を扱つた。整数は日常生活でも何気なく使っていて, 一見簡単 に見えるが, その背後には神秘的な世界が広がつている。ここで は,素因素分解の性質を復習し,ユークリッドの互除法や記数法 について学習する。
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ボタンを 6 回押したときに、Xが 3 回、Yが 1 回、Zが 2 回表示される場合の数は \ \\frac{6!}{3!1!2!}=60 \\nしたがって、求める確率は\\( 60 \\times\\left(\\frac{1}{6}\\right)^{3}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{1}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}=\\frac{60 \\cdot 1^{6}}{6^{3} \\cdot 2 \\cdot 3^{2}}=\\frac{5}{324} \\)
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検 不等式 \( f(p) f(q)<0 \) は, \( f(p) \) と \( f(q) \) が異符号ということを表している。これには封 (1) \( f(p) \) が正, \( f(q) \) が負 (2) \( f(p) \) が負, \( f(q) \) が正 の2つの場合がある。どちらなのかわからない場合は, 不等式 \( f(p) f(q)<0 \) を使うと便利である。一方, 例えば, (1) とわかっている場合には, 「 \( f(p)>0 \) かつ \( f(q)<0 \) の方が不等式の次数 が低くなり考えやすいことが多い。問題に応じて使いやすい方を選ぶことが大切である。
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(例 26)与えられた命題を p ⇒ q の形で表し、条件 p, q を満たす x 全体の集合をそれぞれ P, Q とする。\n(1) p: |x| ≤ 1 から\nP = {x | -1 ≤ x ≤ 1}\n次に、q: x^2 < 1 から\nx^2-1 < 0\n左辺を因数分解して\n(x+1)(x-1) < 0\nゆえに\n-1 < x < 1\nよって Q = {x | -1 < x < 1}\n x= ±1 は P に属するが Q には属さない。 すなわち、x= ±1 は q を満たしていない。したがって、p ⇒ q は偽
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(6)直線 上の 1 点のみが結ばれるような線分の引き方は 3 通りで,このとき 6 本の線分は交差しない。 よって, (3), (5)の結果と合わせると, 求める引き方は\n\\[\n729-(3+15+10)=701 \text { (通り) }\n\\]
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別解 右の図のように点 を定める。点Xを通る経路は\n\\[ \n1 \times \frac{4!}{2!2!}=6 \text { (通り) }\n\\]\n\n点 Yを通る経路は\n\ \n\frac{2!}{1!1!} \times \frac{3!}{2!1!}=2 \times 3=6 \text { (通り) }\n\\n \mathrm{X} と \mathrm{Y} をともに通る経路は \( 1 \times \frac{3!}{2!1!}=3 (通り)\n求める経路の数は, XまたはYを通る経路の数に等しく\n\ \n6+6-3=9 \text { (通り) }\n\
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例 26 | 命題の真偽と集合\n は実数とする。集合を利用して, 次の命題の真偽を調べよ。\n(1) ならば \n(2) ならば
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(イ)Aは最初に石が 8 個積まれた山から,2個の石を取る。以後, 2 つの山に石がある限り, Aは, Bが取った石と同数の 石を他の山から取ることを繰り返す。 このとき, Aは必ず最後に石を取ることができる。 したがって, Aに必勝法がある。
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練習 合同式を利用して,次のことを証明せよ。
91 (1) 整数 が等式 を満たすとする。 が 3 の倍数でない ならば, の中に 3 の倍数がちょうど2つある。
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4 n を 5 以上の自然数とする。 4 つの文字 a, b, c, d から重複を許して n 個を選んで 左から 1 列に並べ, n 個の文字の列を作る。ただし,隣り合う文字は必ず異なるも のとする。まず n=5 ,つまり 5 個の文字の列を考えたとき, b, c, dをすべて 1つ ずつ含みaから始まりaで終わる文字の列はア □ 通りあり, bを 1 つだけ含みa から始まり a で終わる文字の列はイ □ 通りある。次に n 個の文字の列を考えたとき, d を1つも含まないaから始まる文字の列はウ□ 通り, d は 1つも含まない がb, c をいずれも 1 つ以上含む a から始まる文字の列はエ口通り, b, c, d をすべて 1 つ以上含むaから始まる文字の列は才 □□ 通りある。
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(2)全体集合を とし,その部分集合として, 3 で割ったときの余りが である数全体の集合を, それぞれ とすると A=\{3,6,9,12,15\}, B=\{1,4,7,10,13,16\}, C=\{2,5,8,11,14\} 3 枚のカードの数の和が 3 の倍数となるのは, 次の 4 つの場合が 考えられる。 [1] 集合 の 5 個の要素から 3 個選ぶ。 [2] 集合 の 6 個の要素から 3 個選ぶ。 [3] 集合 の 5 個の要素から 3 個選ぶ。 [4] 集合 のそれぞれの要素から 1 個ずつ選ぶ。
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(1) を全体集合とする。\n\n集合 の部分集合 を とするとき,次の集合を求めよ。\n(ア) \n(1) \n(ウ) \n(I) \n(才) \n(力)
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タイトルの不等式を証明する問題が, 以前, ある大学の入試問題に出題されて話題となった。当時、小学校における円の面積や周の計算にも関連して,学力低下問題が議論されていたが、そんな状況を踏まえた出題とも言われていた。\n\n円周率 (π) とは, 直径が 1 である円の周の長さとして定義される数のことである。円周は, この円に内接する正多角形の周の長さで近似することができて,次のことが成り立つ。\n(円周の長さ) > (正多角形の周の長さ)\n\n例えば,直径 1 の円に内接する正六角形を考えることで π > 3 であることが容易にわかる。\n\nそこで, 直径 1 の円に内接する正八角形の 1 辺の長さを考える。右の図のように, 正八角形を対角線によって 8 個の合同な三角形に分け, 3 点 O, A, B をとると, 余弦定理により\n\nAB² = (1/2)² + (1/2)² - 2(1/2)(1/2)cos(45º) = (2 - √2)/4\n\nよって, AB = √(2 - √2)/2 より, この正八角形の周の長さは 4√(2 - √2) である。\nしたがって, π > 4√(2 - √2) が成り立つから, 4√(2 - √2) > 3.05 を証明することができれば, タイトルの不等式 π > 3.05 は示されたことになる。実際, 電卓で計算すると, 4√(2 - √2) = 3.0614... となるから, この不等式は正しい。\n\nしかし, 入試の会場で, 電卓を使って証明するわけにもいかず, このままでは, この不等式を証明することができない。このようなときは結論から逆向きに考えることが有効であり, 証明すべき不等式 (結論) が成り立つとすればどんなことがいえるかを考えるとよい。\n\nもし、4√(2 - √2) > 3.05 が成り立つとすれば, 両辺を 2 乗した不等式 (4√(2 - √2))² > 3.05² も成り立つことになり, 逆に(4√(2 - √2))² > 3.05² が成り立てば 4√(2 - √2) > 3.05 も成り立つ。\n\n不等式 (4√(2 - √2))² > 3.05² を変形すると次のようになる。\n\n2 - 3.05²/4² > √2\n\n2 - 3.05²/4² = 1.418..., √2 = 1.414... であるから, 確かにこの不等式は成り立つ。\nつまり,(4√(2 - √2))² > 3.05² が成り立ち, したがって 4√(2 - √2) > 3.05 も成り立つ。よって, π > 3.05 が証明されたことになる。
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锉習(1) \ n-2 \ が 3 の倍数で, \ n-3 \ が 5 の倍数である自然数 \ n \ のうち, 2014 以上で最小 80 のものは \ \\square \ である。\n(2) \ n \ を自然数とする。 \ 2^{n}+1 \ と \ 2^{n}-1 \ は互いに素であることを示せ。
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演習 16 III (→ 本冊 p.84)
A ∩ B = {a2, a5} から a2 ∈ B, a5 ∈ B よって, a2, a5 は平方数となる。 a2 + a5 = 20 であり, 和が 20 となる 2 つの平方数の組み合わせは (4,16) のみであるから, a2 < a5 より a2 = 4, a5 = 16
ゆえに, 4 ∈ B であるから 2 ∈ A a1 < a2 であるから, a1= 2 となる。 このとき A = {2,4, a3, a4, 16}, B = {4,16, a3^2, a4^2, 16^2} A ∪ B のすべての要素の和が 444 となるから 2 + 4 + a3 + a4 + 16 + a3^2 + a4^2 + 16^2 = 444 よって a3 + a4 + a3^2 + a4^2 = 166
すなわち a3(a3+1) + a4(a4+1) = 166 a2 = 4 より a3 ≥ 5 であるから
列挙すると 5,6 以上 136 以下のものは 5 * 6 = 30, 6 * 7 = 42, 7 * 8 = 56, 8 * 9 = 72, 9 * 10 = 90, 10 * 11 = 110, 11 * 12 = 132
このうち, 和が 166 となる組み合わせは 7 * 8 と 10 * 11 したがって a3= 7, a4 = 10
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よって 1<3/p すなわち p<3 力は 2 ≤ p<3 を満たす整数であるから p=2 p=2 のとき, (1) は 1/q + 1/r ≥ 1/2 (2) から 1/2 ≤ 1/q + 1/r < 1/q + 1/q = 2/q よって 1/2<2/q すなわち q<4 q は 2<q<4 を満たす整数であるから q=3 p=2, q=3 を (1) に代入して整理すると 1/r ≥ 1/6 すなわち r ≤ 6 r は 3<r ≤ 6 を満たす整数であるから r=4,5,6 以上から (p, q, r)=(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6)
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10n を自然数とする。n 色の異なる色を用意し,そのうちの何色かを使って正多面体の面を塗り分ける方法を考える。つまり,1つの面には1色を塗り,辺を挟んで隣り合う面どうしは異なる色となるように塗る。ただし, 正多面体を回転させて一致する塗り分け方どうしは区別しない。\n(1) 正四面体の面を用意した色で塗り分ける。\n(ア) 少なくとも何色必要か。\n(1) n >= 4 とする。この方法は何通りあるか。\n(2) 正六面体(立方体)の面を用意した色で塗り分ける。\n(ア)少なくとも何色必要か。\n(1) n >= 6 とする。この方法は何通りあるか。
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(1) 与式から x ≡ 3-5 (mod 7) よって x ≡-2 (mod 7) -2 ≡ 5 (mod 7) であるから x ≡ 5 (mod 7)
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データの大きさが6であるから,中央値は小さい方から3番目と4番目の値の平均値である。\ x \ 以外の値を小さい方から順に並べると\n\n\2, \quad 5, \quad 8, \quad 10, \quad 13\\n\nこの5個のデータの中央値は8\nよって、\ x \ を含めた6個のデータの中央値は\n\n\\[\\frac{5+8}{2}=\\frac{13}{2}, \\frac{8+10}{2}=9, \\frac{8+x}{2}(5 \\leqq x \\leqq 10)\\]\n\nのいずれかである。\n中央値が7となるのは、\ \\frac{8+x}{2}=7 \ のときである。\nしたがって \ \\quad x= \ 6\nこれは \ 5 \\leqq x \\leqq 10 \ を満たす。
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0 ≤ t ≤ 1 yを t の式で表すと y=2t^2−8t+5=2(t−2)^2−3 (1)の範囲において,yは t=0 で最大値 5 , t=1 で最小値 -1
0◦ ≤ θ ≤ 90◦ であるから t=0 となるのは, sinθ=0 から θ=0◦ t=1 となるのは, sinθ=1 から したがって θ=0◦ のとき最大値 5 , θ=90◦ のとき最小値 -1
2
cos^2θ =1−sin^2θ であるから y =(1−sin^2θ)−2sinθ−1 = −sin^2θ−2sinθ
sinθ=t とおくと, 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ のとき 0 ≤ t ≤ 1 yを t の式で表すと y=−t^2−2t=−(t+1)^2+1 (1)の範囲において,yは t=0 で最大値 0 , t=1 で最小値 -3
0◦ ≤ θ ≤ 180◦ であるから t=0 となるのは, sinθ=0 から θ=0◦, 180◦ t=1 となるのは, sinθ=1 から θ=90◦ したがって θ=0◦, 180◦ のとき最大値 0 ; θ=90◦ のとき最小値 -3
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(2) 5 ≡ 16 (mod 11) であるから, 与式は 4x ≡ 16 (mod 11) 4 と法 11 は互いに素であるから x ≡ 4 (mod 11) 別解 14x ≡ 5 (mod 11) の両辺に 3 を掛けて 12x ≡ 15 (mod 11) 12x ≡ x (mod 11), 15 ≡ 4 (mod 11) であるから x ≡ 4 (mod 11)
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阿 49 ⇒ 本冊 p .411\n(1)すべての整数 n は, 3k, 3k+1,3k+2(k は整数 ) のいずれかの 形で表される。 n^{4}+5n^{2}=n^{2}(n^{2}+5) であるから\n[1] n=3k のとき n^{4}+5n^{2}=9k^{2}(9k^{2}+5)=3 × 3k^{2}(9k^{2}+5)\n[2] n=3k+1 のとき n^{4}+5n^{2} = (3k+1)^{2}(9k^{2}+6k+15) = 3(3k+ 1)^{2}(3k^{2}+ 2k+ 2)\n[3] n=3k+2 のとき n^{4}+5n^{2} = (3k+2)^{2}(9k^{2}+12k+ 45) = 3(3k+ 2)^{2}(3k^{2}+ 4k+3)\nよって, n^{4}+5nは3の倍数である。\n(2)すべての整数は, k を整数として 5k, 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\nのいずれかの形で表される。それぞれの 2 乗を計算すると\n(5k)^{2}=5(5k^{2}) , ( 5k+1)^{2} = 5 (5k^{^2}+21+1,\n( 5k+2)^{2}=5 (5k^{2}+ ^41)+ 4,...
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7人を A,B 2 つのグループに分ける方法は 2^{7}=128 (通り) このうち, A, B 一方だけに分ける方法は 2 通り 更に, A, B の区別をなくすから, 求める分け方は \\frac{128-2}{2}=63 (通り)
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1,(2)の少なくとも一方が実数解をもたないための条件は \ D_{1}<0 \ または \ D_{2}<0 \\n\\[\n\\begin{array}{ll}\nD_{1}<0 \\text { から } & -(2a+3)(2a-3)<0 \\\\\n\\text { よって } & a<-\frac{3}{2}, \\frac{3}{2}<a \\\\\nD_{2}<0 \\text { から } & -3a(a-4)<0 \\\\\n\\text { よって } & a<0,4<a\n\\end{array}\n\\]\n求める \ a \ の値の範囲は, \ \\quad a<0, \\frac{3}{2}<a \
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例題 96 | 1 次不定方程式の応用問題\n3 で割ると 2 余り, 5 で割ると 1 余り, 11 で割ると 5 余る自然数 のうち, 最小 のものを求めよ。
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問題 (2) N=11 * 14^n + 1 とおく。\n[1] n が偶数のとき, 14 ≡ −1(mod 3) であるから\n...\nしたがって, 11 * 14^n + 1 は n が偶数のとき 3 の倍数, n が奇数の とき 5 の倍数である。
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数学 A-181\nA , B は空集合でもよいとすると,1, 2,3, ... , n はそれぞれ A, B のどちらかに属するから,分け方は 2^n 通りある。このうち,すべてが A, B の一方に属する場合を除くと 2^n-2 通り。A, B の区別をなくして (2^n-2)/2=2^(n-1)-1 (通り)。
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次の に最も適する語句を (ア)〜(I) から選べ。\n(1) は であるための 。\n(2) は であるための 。\n(3) かつ は, かつ であるための 。\n(4) は, が鋭角三角形であるための 。\n(ア) 必要十分条件である\n(イ)必要条件であるが十分条件ではない\n(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない\n(I) 必要条件でも十分条件でもない\n\n指針 命題を と の形に書いて, それぞれの真偽を調べる。真の場合は, 正しい ことを示し,偽の場合は,反例をあげる。\np \Longrightarrow q が真ならば pは であるための十分条件 が真ならば 力は であるための必要条件(十分) (必要)矢印の向きに\nじゅう(十) よう(要)
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例題 85 倍数に関する証明問題
n は整数とする。次のことを示せ。
[類 東北大]
(1) n が 3 の倍数でないならば, (n+2)(n+1) は 6 の倍数である。
(2) n が奇数ならば, (n+3)(n+1) は 8 の倍数である。
(3) (n+3)(n+2)(n+1) が 24 の倍数でないならば, n は偶数である。
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1からnまでの自然数、平方数、立方数の和は次のように表される。 (1) \( 1+2+3+\cdots \cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1) \) (2) \( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots \cdots+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \) (3) \( 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots+n^{3}=\left\{\frac{1}{2} n(n+1)\right\}^{2} \)
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(2) とbはともに奇数であるとする。このとき, 自然数 に対して次の命題 が成り立つことを, についての数学的帰納法で示せ。\n と はともに奇数であり, は偶数である。
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以下の 2 次方程式の判別式 D を求め、その解の種類を判断しなさい。\n与えられた方程式:\n(1) \( D=(-5)^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3 \)
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また \(\frac{(n-k)^{3}}{n} =\frac{n^{3}-3 n^{2} k+3 n k^{2}-k^{3}}{n} =n^{2}-3 n k+3 k^{2}-\left(q+\frac{r}{n}\right) =\left(n^{2}-3 n k+3 k^{2}-q-1\right)+\left(1-\frac{r}{n}\right) \frac{1}{n} \leqq 1-\frac{r}{n} \leqq 1-\frac{1}{n} より 0<1-\frac{r}{n}<1 更に, は整数であるから \(\left[\frac{(n-k)^{3}}{n}\right] =\left[\left(n^{2}-3 n k+3 k^{2}-q-1\right)+\left(1-\frac{r}{n}\right)\right]=n^{2}-3 n k+3 k^{2}-q-1\)
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㑬題 15 | 相加平均 \( ) \geqq( \) 相乗平均 \( ) \) と最大・最小\n のとき, の最小値を求めよ。[類 九州産大]
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89 (1) \( \\left(-\\frac{a}{2}, a^{3}-\\frac{7}{2} a\\right) \) (2) 曲線 の の部分 (3)
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自然数からなる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ を考える。\n(1) \ a_{1}=5 \ のとき, \ a_{4}, a_{7}, a_{10} \ を求めよ。\n(2) \ a_{n}>2 \ のとき, \ a_{n+2}<a_{n} \ であることを示せ。\n(3) 初項 \ a_{1} \ の値によらず,数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ は必ず値が 1 の項をもつことを示せ。
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演習例題 20 格子点の個数\n(1) k を0以上の整数とするとき, \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} \\leqq k \ を満たす 0 以上の整数 \ x , y \ の組 \\( (x, y) \\) の個数を \ a_{k} \ とする。 \ a_{k} \ を k 式で表せ。\n(2) n を 0 以上の整数とするとき, \ \\frac{x}{3} + \\frac{y}{2} + z \\leqq n \ を満たす 0 以上の整数 \ x, y, z \ の組 \\( (x, y, z) \\) の個数を \ b_{n} \ とする。 \ b_{n} \ を n の式で表せ。\n[横浜国大]
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次の和を求めよ。
(1)
(2) \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}\)
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26 (ア) -1 (イ) -1 (ウ) 0 () -6\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t27 a=2, b=18, c=-6
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(2)(1)の等式から\n\\\begin{aligned}& \\cos A+\\cos B+\\cos C \\= & 2 \\cos \\frac{A+B}{2} \\cos \\frac{A-B}{2}+\\sin ^{2} \\frac{A+B}{2}-\\cos ^{2} \\frac{A+B}{2}\\end{aligned}\\\ここで, \ A \\geqq B \ としても一般性を失わない。\\このとき, \ 0 \\leqq A-B<A+B<\\pi \ より,\ \\cos \\frac{A-B}{2}>\\cos \\frac{A+B}{2}>0 \ であるから\\\\begin{aligned}& \\cos A+\\cos B+\\cos C \\> & 2 \\cos \\frac{A+B}{2} \\cos \\frac{A+B}{2}+\\sin ^{2} \\frac{A+B}{2}-\\cos ^{2} \\frac{A+B}{2} \\= & \\cos ^{2} \\frac{A+B}{2}+\\sin ^{2} \\frac{A+B}{2}=1\\end{aligned}\\\したがって, 不等式は証明された。
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練習\n54\n(2) \( a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-\left(\frac{a_{n}}{2}+\frac{8}{a_{n}}\right)=\frac{a_{n}^{2}-16}{2 a_{n}}=\frac{\left(a_{n}+4\right)\left(a_{n}-4\right)}{2 a_{n}} \)\n(1)より, であるから \( \quad \frac{\left(a_{n}+4\right)\left(a_{n}-4\right)}{2 a_{n}}>0 \)\nよって, すべての自然数 に対して が成り立つ。
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分数の数列の和\n部分分数に分解して途中を消す。\n\\( \\frac{1}{k(k+1)} = \\frac{1}{k} - \\frac{1}{k+1} \\) などの変形を利用。
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実数 x, y が x^{2}+y^{2} ≤ 3 を満たしているとき, x-y-x y の最大値は □ である。
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例䂓 23 群数列 (1) …‥ 基本\n正の奇数の数列を,次のように,第 群が 個の数を含むように分ける。 \n(1) 第 群の最初の奇数を求めよ。\n(2) 第 群の総和を求めよ。\n(3) 621 は第何群の何番目に並ぶ数か。\n\n指針 ある数列を,一定の規則によって,いくつかの組(群)に分けたものを群数列という。群数列の問題では, もとの数列や群の分け方の規則, 第 群の初項と末項, 項数や 総和に注目することがポイントになる。\n もとの数列の第 項は, と表される。また, 第 群には 個の奇数が含ま れるから, 第 群の末項までに (個) の奇数が並ぶ。\n(1)「第 群の 1 番目の奇数は,もとの数列の何番目か」を考える。\n(2)第 群は, (1) で求めた奇数が初項, 公差が 2 , 項数 の等差数列である。\n(3) を解くと, 621 が「もとの数列の 番目にある」ことがわかる。次に, そ の 番目の数は「第 群の何番目か」ということを, 次の不等式により調べる。\n第 \( (n-1) \) 群の項数 ミ第 群の項数
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a < −7, 20 < a のとき 1 本; a = −7, 20 のとき 2 本 ; −7 < a < 20 のとき 3 本
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両辺に (x-1) を掛けて (x-1) P(x) = (x-1)^{2} Q(x) + n(x-1) (x-1) P(x) = x^{n}-1 から x^{n}-1 = (x-1)^{2} Q(x) + n(x-1) したがって, 求める余りは n(x-1) = n x - n. 別解 x^{n}={(x-1)+1}^{n} =_{n}C_{0}(x-1)^{n} +_{n}C_{1}(x-1)^{n-1} +_{n}C_{2}(x-1)^{n-2} + ... +_{n}C_{n-2}(x-1)^{2} +_{n}C_{n-1}(x-1) +_{n}C_{n}. ここで _{n}C_{0}(x-1)^{n} + _{n}C_{1}(x-1)^{n-1} + _{n}C_{2}(x-1)^{n-2} + ... + _{n}C_{n-2}(x-1)^{2} は, (x-1)^{2} で割り切れるから, (2) は (x-1)^{2} N と表さ れ, (1)は x^{n}=(x-1)^{2} N + n(x-1) + 1. よって x^{n} - 1 = (x-1)^{2} N + n x - n. したがって, 求める余りは n x - n.
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数学 II 33 (3) \ -2=-2+0 \\\\cdot i \ と表されるから, -2 と共役な複素数は \ -2-0 \\\\cdot i \ すなわち -2 よって 和 \\( -2+(-2)=-4 \\) 積 \\( (-2) \\\\cdot(-2)=4 \\)
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次の複素数の実部と虚部を答えよ。
(1) 2-√3 i
(2) (-1+i)/2
(3) -1/3
(4) 4i
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(2) を自然数とする。\n\\[\n\\begin{array}{l}\nk=2 l-1 \text { のとき } \\quad\\left|\\sin \\frac{k \\pi}{2}\\right|=\\left|\\sin \\frac{(2 l-1) \\pi}{2}\\right|=1 \\\\\nk=2 l \text { のとき } \\quad\\left|\\sin \\frac{k \\pi}{2}\\right|=|\\sin l \\pi|=0 \\\\\n\\text { よって } \\quad T_{n}=\\sum_{l=1}^{n}\\left\\{\\frac{1}{(2 l-1)(2 l+1)} \\cdot 1\\right\\}+\\sum_{l=1}^{n}\\left\\{\\frac{1}{2 l(2 l+2)} \\cdot 0\\right\\} \\\\\n=\\sum_{l=1}^{n} \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2 l-1}-\\frac{1}{2 l+1}\\right) \\\\\n=\\frac{1}{2}\\left\\{\\left(1-\\frac{1}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{5}\\right)+\\cdots \\cdots\\\\\n\\left.+\\left(\\frac{1}{2 n-3}-\\frac{1}{2 n-1}\\right)+\\left(\\frac{1}{2 n-1}-\\frac{1}{2 n+1}\\right)\\right\\} \\\\\n=\\frac{1}{2}\\left(1-\\frac{1}{2 n+1}\\right)=\\frac{n}{2 n+1} \\\\\n\\end{array}\n\\]
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数学 II
157
演習 44 II|
-1 <= sin α <= 1,-1 <= sin 2 β <= 1から
1 <= 2+sin α <= 3, 1 <= 2+sin 2 β <= 3
よって 1/3 <= 1/(2+sin α) <= 1, 1/3 <= 1/(2+sin 2 β) <= 1
ゆえに, 1/(2+sin α)+1/(2+sin 2 β)=2のとき
1/(2+sin α) = 1, 1/(2+sin 2 β) = 1
よって sin α = -1, sin 2 β=-1
ゆえに, m, nを整数として
α= 3/2 π+2m π, 2 β=3/2 π+2 n π
よって α=3/2 π+2m π, β=3/4 π+n π
ゆえに α+β-8 π = 9/4 π + (2m+n-8) π
∣α+β-8 π∣は 2m+n-8=-2 のとき最小値 π/4をとる。
4 sin (π/2-α)=cos α
を用いて, 関数を sin に統一する。
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45 \ \\frac{1}{\\tan \\frac{\\pi}{24}}-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}-\\sqrt{6} \ は整数である。その値を求めよ。
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練習 42\n与えられた直線の方程式を k について整理すると\nk(3 x-2 y-10) + x - 4 y + 10 = 0\nこの等式が k の値に関係なく成り立つための条件を求めよ。
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数列 の初項 から第 項 までの和を とする。 であるとき, ア イ である。 を を用いて表すと, a_{n+1}=ウ \( \square a_{n}+ エ である。これより, この数列の一般項は a_{n}=才 \( \square である。
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数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ は, , および, すべての自然数 に対して, a_{2 m}=a_{2 m-1}+1 \, a_{2 m+1}=2 a_{2 m} \ を満たすとする。\n(1) a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} \ を求めよ。\n(2)数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(3) \\sum_{k=1}^{n} a_{k} \ を求めよ。
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以下の数列について考える。
b_{n+1}=3 b_{n}, a_{n}=b\]
\[b_{1}=a_{1}+2 \times 1+1=4\]
\[b_{n}=4 \times 3^{n-1}\]
また
したがって
ゆえに
\[a_{n}=4 \times 3^{n-1}-2 n-1
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1 つの円に n 本の弦を,どの 2 本も円の内部で交わり, どの 3 本も同じ点を通ることがないように引く。円の内部が, これらの弦によって分けられる部分の個数を D_{n} とする。このとき, D_{3}=口の□, D_{4}=1□であり, D_{n}=ウ□となる。また, D_{n} 個の部分のうち,多角形であるものの個数を d_{n} とする。 n が 4 以上のとき, d_{n}=エ□となる。
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数列 (ただし \( \left.a_{n}>0\right) \) について, 関係式
\[
\left(a_{1}+a_{2}+\cdots \cdots+a_{n}\right)^{2}=a_{1}{ }^{3}+a_{2}{ }^{3}+\cdots \cdots+a_{n}{ }^{3}
\]
が成り立つとき, であることを証明せよ。
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例題\n等差数列の和の最大\n初項 40 , 公差 -3 の等差数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ において\n例題 2\n(1)初めて負になるのは第何項か。\n(2)初項から第何項までの和が最大となるか。また,そのときの和を求めよ。
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一数学 B 練習 60
P(X=2)=p(0<p<1) とすると P(X=a)=1-p
よって, X の平均値 E(X) は
E(X)=2 ⋅ p+a ⋅ (1-p)=(2-a) p+a
X の分散 V(X) は
V(X) = {2² ⋅ p+a² ⋅ (1-p)}-{E(X)}² = (4-a²) p+a²-{E(X)}²
また, E(Y)=3 E(X)+1, V(Y)=9 V(X) であり, E(Y)=10, V(Y)=18 であるから
3 E(X)+1=10,9 V(X)=18
よって E(X)=3, V(X)=2
ゆえに (2-a) p+a=3 (1), (4-a²) p+a²=11 (1) ×(2+a)
(2) から (2+a) a-a²=3(2+a)-11
これを解いて a=5
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数学の問題
(A) の両辺に x=2 を代入すると
f(2^2)=2^3 * f(1) + 3 * 2^5 + 3 * 2^4 - 2^3
よって f(4)=8 * 5 + 3 * 32 + 3 * 16 - 8=176
(2) (1) から, f(x) は定数関数ではない。
f(x) の次数を n(n ≥ 1), 最高次の項の係数を a とすると
f(x)=a x^n+g(x)
と表される。ただし, g(x) は n-1 次以下の多項式とする。
このとき, f(x^2)=a x^2n+g(x^2) であり, g(x^2) は 2n-2 次以下の多項式である。
よって, f(x^2) の次数は 2n である。
また
x^3 f(x-1) = x^3{a(x-1)^n + g(x-1)}
= ax^3(x-1)^n + x^3g(x-1)
ゆえに, ax^3(x-1)^n の最高次の項は ax^(n+3) であり, x^3g(x-1) は n + 2 次以下の多項式である。
よって, x^3f(x-1) の次数は n + 3 である。
(3)(2)より, 右辺の次数は, n + 3 と 5 のうち大きい方であるが,左辺の次数が偶数であることから,5 となることはない。
ゆえに, 両辺の次数について 2n = n+3 すなわち n = 3 したがって, n ≥ 4 でない。
(4) (3) と f(0) = 0 から f(x)=a x^3 + b x^2 + c x(a ≠ 0) と表される。よって f(x^2) = a(x^2)^3 + b(x^2)^2 + c x^2 = ax^6 + bx^4 + cx^2,
f(x-1) = a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1)
= ax^3 + (-3a+b) x^2 + (3a-2b+c) x + (-a+b-c)
これらを (A) に代入すると
ax^6 + bx^4 + cx^2 = ax^6 + (-3a+b+3)x^5 + (3a-2b+c+3)x^4 + (-a+b-c-1)x^3
両辺の係数を比較すると
0=-3a+b+3, b=3a-2b+c+3
0=-a+b-c-1, c=0
(1)+(2) と c=0 を代入して
b=-b+6 すなわち b=3
b=3 を (1) に代入して
-3a+6=0 すなわち a=2
a=2, b=3, c=0 は (3) を満たす。
したがって f(x) = 2x^3 + 3x^2
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練習 81
(1) |x| ≥ 1 であるから, |t| ≥ 1 である。
直線 OA の傾きは 1/t, 線分 OA の中点の座標は (t/2, 1/2) であるから, 線分 OA の垂直二等分線の方程式は
y-1/2=-t(x-t/2)
すなわち y=-tx+(t^2+1)/2(|t| ≥ 1)
(2) y=-tx+(t^2+1)/2 から t^2-2xt-2y+1=0
f(t)=t^2-2xt-2y+1 とすると, 求める条件は
{f(t)=0 の判別式 D について (1) を満たす実数 t について} から D/4=x^2+2y-1 ≥ 0
すなわち y ≥ -x^2/2+1/2 ....
(1) を満たす実数 t がすべて -1<t<1 である場合は
{D ≥ 0 f(-1) > 0 f(1) > 0 -1 <x <1} すなわち {y ≥ -x^2/2+1/2 y < x+1 y < -x+1 -1 <x <1}
1全体(実数解をもつ条件) から |t|<1 の場合を 除く, と考える。
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P ≥ 2√(a * 1/a) + 2√(b * 1/b) + 2√(c * 1/c) + 2√(abc * 1/abc) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 よって (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) ≥ 8
等号は a = 1/a, b = 1/b, c = 1/c, abc = 1/abc, すなわち a² = b² = c² = a²b²c² = 1 のとき成り立つ。
よって、等号が成り立つのは、a > 0, b > 0, c > 0 から a = b = c = 1 のときである。
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点 (p, q) は x²+y² ≤ 8, y ≥ 0 で表される領域を動くから p²+q² ≤ 8 とおく。(1), q ≥ 0 (1) から (p+q)² -2pq ≤ 8 よって X²-2Y ≤ 8 また, p, q は t につての 2 次方程式 t²-Xt+Y=0 の実数解であり, (2) から少なくとも 1 つの解が 0 以上である。(4) の判別式を D とすると, (4) が実数解を持つから D ≥ 0 すなわち X²-4Y ≥ 0 (4) の 2 つの解がともに負になるとき X<0 かつ Y>0 ゆえに, 点 (X, Y) の動く範囲は, (3) かつ (5) かつ X ≥ 0 または Y ≤ 0 「, すなわち 3章 練習 点 (X, Y) の関係式を導く。p, q がともに負 p+q<0 かつ pq>0
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次の条件によって定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。
(1) a_1 = -5, a_{n+1} - a_n = 6
(2) a_1 = 7, 3a_{n+1} + 2a_n = 0
(3) a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 2^n + 3n - 2
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(1)初項は 96 , 公比は であるから,第 7 項までの和は\n\\[\n\\frac{96\\{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{7}\\}}{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)}=\\frac{96}{\\frac{3}{2}}\\left(1+\\frac{1}{128}\\right)=64 \\cdot \\frac{129}{128}=\\frac{129}{2}\n\\]
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次の数列のうち,等比数列であるものはどれか。
(1) 1,3,9,27,81
(2) 1,4,7,10,13
(3) 2,-2,2,-2,2
(4) 3,3,3,3,3
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246\n例題 126 対数利用の文章題\nいくつかのさいころを同時に投げるとき,出た目の積が偶数になる確率が 0.994 以上になるには,同時に投げるさいころの数は最低何個必要か。ただし, \\log _{10} 2=0.3010, \\log _{10} 3=0.4771 \ とする。\n[類 北海道薬大]\n《例題 125\n\n指針さいころを投げて,出た目の積が偶数となるのは,少なくとも1つ偶数の目が出るときで ある。一「少なくとも1つ」の確率は余事象を考える。\n\n 個のさいころを投げたとき, その確率が 0.994 以上になると考えて不等式を立て, そ の常用対数をとって の値の範囲を求める。
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23\n1,2,3|4,5,6,7,8| 9,10,11,12,13,14,15 \mid 16, \cdots \cdots\n(1) 第 群の最初の数と最後の数を求めよ。\n(2) 第 群に含まれるすべての数の和を求めよ。\n(3) 2014 は第何群の何番目の数であるか。
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例題\n\( 28 \mid a_{n+1}=p a_{n}+f(n) \) 型の漸化式\n次の条件によって定められる数列 の一般項を求めよ。\n[北海学園大]\n\na_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+2 n-1
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次に, 4^{10} を 9 進法で表したときの桁数を n とすると
9^{n-1} \leqq 4^{10}<9^{n}
各辺の 3 を底とする対数をとると
\log _{3} 9^{n-1} \leqq \log _{3} 4^{10}<\log _{3} 9^{n}
ゆえに
(n-1) \log _{3} 9 \leqq 10 \log _{3} 4<n \log _{3} 9
よって 2(n-1) \leqq 20 \log _{3} 2<2 n したがって
\n n-1 \leqq 10 \log _{3} 2<n
ゆえに
10 \log _{3} 2<n \leqq 10 \log _{3} 2+1
0.6<\log _{3} 2<0.7 であるから 6<10 \log _{3} 2<7 よって 6<n<8
この不等式を満たす自然数 n は n=7 したがって、 4^{10} を 9 進法で表すと, 7 桁の数になる。
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以下の数列を求めなさい。\n\n(1) より, 数列 は初項 , 公差 6 の等差数列である。\n(2) より, 数列 は初項 , 公比 の等比数列である。\n(3) より, 数列 の階差数列の第 項は である。 よって, のとき、次の式を求めよ。
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数学 \ \\Pi \\n63\nゆえに \\( \\quad P(-1)=-a+b, P(1)=a+b \\)\n(1), (2) から \ -a+b=5, a+b=7 \\n\n連立して解くと \ \\quad a=1, b=6 \\nしたがって, 求める余りは \ \\quad x+6 \
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(ア) が 10 桁の数となるとき \n各辺の常用対数をとると \nよって \nすなわち \nゆえに \nこの不等式を満たす最小の自然数 は\n19
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6 (2) \( \alpha=\beta=\gamma=1 \Leftrightarrow \alpha-1=\beta-1=\gamma-1=0 \Leftrightarrow(\alpha-1)^{2}+(\beta-1)^{2}+(\gamma-1)^{2}=0 \)
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整数 は 3 の倍数ではないとし, \( f(x)=2 x^{3}+a^{2} x^{2}+2 b^{2} x+1 \) とおく。 (1) \( f(1) \) と \( f(2) \) を 3 で割った余りをそれぞれ求めよ。
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(4) \\sqrt[4]{16}=\\sqrt[4]{2^{4}}= ア 2, \\quad \\sqrt[4]{625}=\\sqrt[4]{5^{4}}= 5 ,
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総合
沱
類題 数列 を次のように定める。
\( 23 \quad a_{1}=1, \quad a_{n+1}=a_{n}^{2}+1 \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots) \)
(1)正の整数 が 3 の倍数のとき, は 5 の倍数となることを示せ。
(2) を正の整数とする。 が の倍数となるための必要十分条件を を 用いて表せ。
(3) と \( \left(a_{8091}\right)^{2} \) の最大公約数を求めよ。
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(3) である から, のとき, が の倍数になると仮定 するだけでは証明できな い。\n[1] のとき\n であり, と がともに の倍数である から, はともに の倍数である。\nよって, のとき は の倍数である。\n[2] のとき, が の倍数になると仮定す ると, は の倍数であるから,整数 を用 いて と表される。 のときを考える。\n\[
c_{k+2}=c_{k+1}+c_{k}=d l+d m=d(l+m)
\]\n は整数であるから, は の倍数である。 よって, のときも は の倍数となる。\n[1], [2]より, すべての自然数 に対して は の倍数 である。
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286\n数学 \n何 本冊 \n符号を除いた数列は\n\\n1 \\cdot 1,4 \\cdot 3,9 \\cdot 5,16 \\cdot 7, \cdots \cdots\n\\nここで, ・の左側の数は平方数の列で, 第 項は \n右側の数は奇数の列で, 第 項は \nよって, 第 項は\n\\[\n(-1)^{n+1} \\cdot n^{2}(2n-1)\n\\]\n第 6 項は\n\\[\n\\begin{aligned}\n(-1)^{6+1} \\cdot 6^{2}(2 \\cdot 6-1) & =-36 \\cdot 11 \\\\ & =-396\n\\end{aligned}\n\\]
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練習\n34\n a_{1}=1, a_{n+1}=\\frac{a_{n}}{4 a_{n}+3} \ によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。
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(1) \frac{y}{x} > 0, \frac{x}{y} > 0 であるから, (相加平均 \geqq (相乗平均 ) ) により
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自然数 n に対して \ \\sqrt{2 n}+\\frac{1}{2}>1 \ よって, \ a_{n} \ は 1 以上の整数である。自然数 m に対して, \ a_{n}=m \ となるのは すなわち \ m-\\frac{1}{2} \\leqq \\sqrt{2n} < m + \\frac{1}{2} \ のときである。 \ m- \\frac{1}{2}>0 \ であるから, 上記より \\( \\left( m - \\frac{1}{2} \\right)^{2} \\leqq 2n < \\left( m+ \\frac{1}{2} \\right)^{2} \\) これから \\( \\frac{m(m-1)}{2} + \\frac{1}{8} \\leqq n < \\frac{m(m+1)}{2} + \\frac{1}{8} \\) ここで, \\( m(m-1), m(m+1) \\) はともに連続する整数の積である から, 偶数である。したがって, \\( \\frac{m(m-1)}{2},\\frac{m(m+1)}{2} \\) はともに整数である。よって, この不等式を満たす自然数 \ n \ は \\( \\frac{m(m-1)}{2}+1 \\leqq n \\leqq \\frac{m(m+1)}{2} \\)。 \ a_{n}=10 \ となる自然数 \ n \ のとりうる値の範囲は, この不等式に \ m=10 \ を代入して、46 \\leqq n \\leqq 55 となることを確認せよ。
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数学 \n287\n(1) から \nこれを (2)に代入して \( \quad 6\left(36-d^{2}\right)=162 \)\nよって \nゆえに \nよって, 求める 3 数は または \nすなわち\n\n主靑 3 つの数の順序は問われていないので,答えは1通りでよい。\n別解 等差数列をなす 3 つの数の数列を とすると条件から\n\[ \\begin{array}{l}\n2 b=a+c \\\na+b+c=18 \\\na b c=162\n\\end{array}\n(1)を(2)に代入して ゆえに \nこのとき, (1), (3) から \nよって, は 2 次方程式 の 2 つの解である。\( (x-3)(x-9)=0 \) を解いて \nすなわち\n\\[\n(a, c)=(3,9),(9,3)\n\\]\nしたがって, 求める 3 数は
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第 1 群から第 11 群までの項の総数は 66 であるから, 数列 の 77 番目の項は第 12 群の (番目) の数である。 よって, (1) から, 数列 の 77 番目の項は
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赤い本が2冊, 青い本が 冊ある。この 冊の本を無作為に1冊ずつ, 本棚に左から並べていく。2冊の赤い本の間にある青い本の冊数を X とする。\n(1) に対して となる確率を求めよ。\n(2) の期待値,分散を求めよ。
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数学 II\nすなわち\[ \\left(p, q\\right)=\\left(0,0\\),\\left(-2,-2\\) \\]\n\\( \\left(p, q\\right)=\\left(0,0\\) \\) のとき, (2) から \ \\quad a=0 \\nこれは \ a>0 \ を満たさないから,条件に合わない。 \\( \\left(p, q\\right)=\\left(-2,-2\\) \\) のとき, (2) から \ \\quad a=4 \\nこれは \ a>0 \ を満たす。\nしたがって, 求める整数 \ a \ は \ \\quad a=4 \\2\ \1\ と同様に考えると,2つの方程式\n\ x^{2}+a x+b=0 \\n(4), \ y^{2}+b y+a=0 \\nの解はすべて整数である。\n(4)の 2 つの解を \ p, q \ とすると, 解と係数の関係により\n\ p+q=-a, p q=b \\n\ a>0, b>0 \ であるから \ \\quad p+q<0, p q>0 \\nよって, \ p, q \ はともに負の整数, すなわち -1 以下の整数である。\nゆえに, \\( f(x)=x^{2}+a x+b \\) とすると, \\( y=f(x) \\) のグラフは \ x \ 軸の -1 以下 の部分のみと共有点をもつ。\nしたがって \\( \\quad f(-1)=1-a+b \\geqq 0 \\) すなわち \ \\quad a \\leqq b+1 \\n\ a>b \ と合わせて \ \\quad b<a \\leqq b+1 \\nよってこのとき, (4) は \\( x^{2}+a x+(a-1)=0 \\) であるから\n\\[ \\left(x+1\\right)\\left(x+a-1\\right)=0 \\]\nゆえに, 整数解 \ x=-1,-a+1 \ をもつ。\n次に, (5) すなわち \\( y^{2}+b y+(b+1)=0 \\) が整数解をもつときの \ b \ の値を求める。\n(5) 2 つの解を \ r, s\\left(r \\leqq s\ \\) とすると, 解と係数の関係から\n\ r+s=-b \\]\n\\[ r s=b+1 \\n(7), (8) からbを消去すると \ r s+r+s=1 \\nしたがって \\( \\quad \\left(r+1\\right)\\left(s+1\\right)=2 \\)\n\ r, s \ は整数であるから, \ r+1, s+1 \ は整数である。\nまた,(7, (8)より, \ p, q \ と同様に \ r, s \ は -1 以下の整数である から\n\ r+1 \\leqq 0, s+1 \\leqq 0 \\nゆえに, 9) から\n\\[ \\left(r+1, s+1\\right)=\\left(-2,-1\\) \\]\nすなわち\n\\[ \\left(r, s\\)\\right=\\left(-3,-2\\) \\]\nこのとき, (7)から \ \\quad b=5 \\nから \ \\quad a=5+1=6 \\nよって, 求める整数の組 \ \\left(a, b\ \\は \\) \\left(a, b\\)=\\left(6,5\\)
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(4) (1) \( f(1) \) を 3 で割った余りは \( 0, f(2) \) を 3 で 割った余りは 1
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(2) \ \\frac{1}{m}+\\frac{1}{n}=\\frac{1}{p} \ から \ \\quad p n + p m = m n \\n\[ \\text { よって } \\quad(m - p)(n - p) = p^{2} \\] \\\\n\ m, n \ は \ m > n \ を満たす自然数であるから\n\nまた, \ p \ は素数であるから, (1) より \ m - p = p^{2}, n - p = 1 \ したがって \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \
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(1) のとき, 第 1 群から第 \( (n-1) \) 群までにある数の個数は \(\\sum_{k=1}^{n-1}(2 k+1)=2 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n+(n-1)=n^{2}-1 \) よって, 第 群の最初の数は, 自然数の列の第 \( \\left\\{\\left(n^{2}-1\\right)+1\\right\\}=n^{2} \) (項)であり, このことは のときも成り立つ。ゆえに, 第 群の最初の数は また, 第 群の最後の数は, 第 群までに含まれる自然数の列の 項の個数に一致するから \(\\sum_{k=1}^{n}(2 k+1)=2 \\cdot \\frac{1}{2} n(n+1)+n=n^{2}+2 n \)
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等差数列の一般項と和\n一般項 初項を , 公差を とすると\n\\[\na_{n}=a+(n-1) d\n\\]\n等差中項\n数列 が等差数列 \n等差数列の和 初項から第 項までの和 \n(1) 初項 , 第 項(末項) に対して\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n(a+l)\n\\]\n(2) 初項 , 公差 に対して\n\\[\nS_{n}=\\frac{1}{2} n\\{2 a+(n-1) d\\}\n\\]\n自然数の和, 正の奇数の和\n\\[\n\\begin{array}{l}\n1+2+3+\\cdots \\cdots+n=\\frac{1}{2} n(n+1) \n1+3+5+\\cdots \\cdots+(2 n-1)=n^{2}\n\\end{array}\n\\]
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数列 は等差数列をなすから \n数列 は等比数列をなすから \n の積が 125 であるから \\quad a b c=125 \\n(2)を (3) に代入して \\quad c^{3}=125 \\n c \ は実数であるから \\quad c=5 \\n(1), (2)に代入して 2 b=a+5, a b=25 \\nこれからbを消去すると \( \\quad a(a+5)=50 \\)\nよって a^{2}+5 a-50=0 \\nゆえに a=5,-10 \\n\ a b=25 \ より, b=\\frac{25}{a} \ であるから\n1 草\n例\n \\triangleleft 36-d^{2}=27 \\n数\n烈\n平均形 2 b=a+c \ を 利用。\n和が , 積が である 2 数は, 2 次方程式 x^{2}-p x+q=0 \ の 2 つの 解である(数学 II)。\n\\[\n\\begin{array}{l}\n4 \\text { (公比 })=\\frac{(\\text { 第 } 2 \\text { 項 })}{(\\text { 初項 })} \\\\4 a_{n}=2 \\cdot(-3)^{n} \\text { は誤り。 } \\\\\n4(-1)^{\\text {可效 }}=-1\n\\end{array}\n\\]\n(2) \\div \ (1) から\n r^{3}=-8 \ としてもよい。\n\ 4 a_{n}=a r^{n-1} \\n1等差数列の平均形。\n1等比数列の平均形。\n\ 1 a b=c^{2} \ を (3) に代入。\n1第1式を\n(第 2 式)×2 に代入。\n\\( 4(a-5)(a+10)=0 \\)
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数学Aの「場合の数」において, 次のことを学んだ。1 から までの番号を 1 列に並べるとき, 左から 番目の番号が でないような順列を 完全順列 という。また, 個のものの完全順列の数 \( W(n) \) をモンモール数といい W(1)=0, W(2)=1, W(n)=(n-1){W(n-1)+W(n-2)}(n ≥ 3)が成り立つ(詳しくは, チャート式数学 p. 264 参照)。ここでは,漸化式 (1)から W(n) を n の式で表すことを考えてみよう。 なお,表記を簡単にするために,1を次のように書き直した漸化式について考えることに する。 a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n}=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2}) (n ≥ 3) (2)
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数列 {a_n} の第 l 項と数列 {b_n} の第 m 項が等しいとすると、15l-2=7・2^{m-1} である。これを解け。
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数学 II
(1) 解と係数の関係から α+β=2, αβ=1/2 よって (α-1/α)+(β-1/β)=α+β-1/α+1/β
=(α+β)-α+β/(αβ)=2-4=-2
(α-1/α)(β-1/β)=αβ-α/β+β/α)+1/αβ
=αβ-α²+β²/αβ)+1/αβ
=αβ-α+β/αβ)+1/αβ
=1/2-6+2=-7/2
したがって, 求める 2 次方程式の 1 つは x²+2x-7/2=0 すなわち 2x²+4x-7=0
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検(1)における政党 B と政党Cの議席数は合計で 5 議席であったが,(2)のように,合併により政党Eを結成し,合併前と同じ得票数の合計を得られるとして,他の政党の得票数は変わら ないものと仮定すると,議席数は6になった。このように, 政党が合併することで得られる議席数が変化することがあるが, ドント式による議席配分について,次の性質が知られている。ドント式の議席配分の性質
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(2) 2 次方程式 \ x^{2}-x-m=0 \ の 2 つの整数の解を \\( \\alpha, \\beta(\\alpha \\leqq \\beta) \\) と する。解と係数の関係から\n\ \\alpha+\\beta=1 \\n変形して\n\\[ \\text { (1), } \\alpha \\beta=-m \\]\n\ m \ は自然数であるから \ \\quad \\alpha \\beta<0 \ よって, \ \\alpha \ と \ \\beta \ は異符号であり, \ \\alpha<0, \\beta>0 \ である。\n(1) から \ \\alpha=1-\\beta \\n\ \\alpha<0 \ から \ \\quad 1-\\beta<0 \\nゆえに \ \\quad \\beta>1 \
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(1) は初項 、公差 の等差数列の初項から第 項までの和であるから、\n\[ S_{n}=a +(a+d)+(a+2d)+ \cdots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d) \]\n和の順序を逆にして\n\[ S_{n}= \{a+(n-1)d\}+\{a+(n-2)d\}+ \cdots +(a+2d)+(a+d)+a \]\n辺々を加えて\n\[ 2S_{n}=\{2a+(n-1)d\}n \]\nよって\n\[S_{n}=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\n\n(2) (ア) を (1)に代入して\n\[ S_{34}=\frac{1}{2} \cdot 34 \cdot\{2a+(34-1)d\}=17(2a+33d)\]\n\nS_{34}≦0 より, \(17(2a+33d)≦0\) より、 ※(2)\n\n(2)に代入しやすいように\n\n(1)の両辺を2倍している。また,aは18,36を(1)に代入すると\n\n\[ \\{ \\begin{array}{l} b^{2}=18c \\ 2c=b+4 \\end{array}\\,\n\\{\\begin{array}{l} b^{2}=36c \\ 2c=b+8\end{array}}\\ }\nこの連立方程式を解いてもよい。\n
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(2) から \nよって, (相加平均 \( ) \geqq( \) 相乗平均)により\n \frac{3 b}{5 a}+\frac{5 a}{3 b} \geqq 2 \sqrt{\frac{3 b}{5 a} \cdot \frac{5 a}{3 b}} \]\nゆえに\n\[ \frac{3 b}{5 a}+\frac{5 a}{3 b} \geqq 2 \n等号が成り立つのは, から\n\[ (5 a)^{2}=(3 b)^{2}, a>0, b>0 \]\nすなわち のときである。\n別解 \( \frac{3 b}{5 a}+\frac{5 a}{3 b}-2=\frac{(5 a-3 b)^{2}}{15 a b} \geqq 0 \)\n前提条件の碓認を忘れ ないようにする。
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(3)
1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1 であるから
an = 2^{n+1} - 1
2008 = 4 * 502 であるから, (2)より, 2^{2008} - 1 を 17 で割った余りは 0 である。
よって, 2^{2008} = 17k + 1 (k は整数)と表される。
ゆえに an = 2^{2011} - 1 = 2^{2008} * 8 - 1 = (17k + 1) * 8 - 1 = 17 * 8k + 7
よって, an を 17 で割った余りは 7, また 2012 = 4 * 503 から an = 2^{4 * 503} - 1 ゆえに, (2)から, a_{2012} = 2^{2014} - 1
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\\(\n\\frac{1}{b-a}\\left(\\frac{1}{x+a}-\\frac{1}{x+b}\\right) = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{b-a} \\cdot \\frac{b-a}{(x+a)(x+b)} = \\frac{1}{(x+a)(x+b)}\n\\)
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数学 319 (3) の場合は, 条件を満たす。 の場合は, となるから, 条件を満たす。 以下, の場合について考える。 すべての自然数 について であると仮定すると, (2) から \n\na_{1}>a_{3}>a_{5}>a_{7}>\cdots \cdots \n\nゆえに, となる自然数 が存在する。 これは仮定に矛盾する。 よって, ある自然数 について となる自然数 が存在するときは, 条件を満たす。 となる自然数 が存在するときは, であるから,条件を満たす。 以上により, 数列 は初項 の值によらず, 必ず値が 1 の項 をもつ。
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306\n数学 \n練習 本冊 \n(1)領域は,右の図の黒く塗った2つの部分の周および内部である。\n直線 , n)上には, \( 2(2 n-n+1)=2(n+1) \) 個の 格子点が並んでいるから, 格子点の総数 は\n\[\n\\begin{aligned}\n& 2(n+1) \\times\\{n-(-n)+1\\} \n= & 2(n+1)(2 n+1) \\text { (個 })\n\\end{aligned}\n\]\n\n\n(2) 領域は,右の図の黒く塗った部分の周および 内部である。\nここで, とすると ゆえに, 直線 \( y=k(k=0,1, \cdots \cdots, n) \) 上には, \( (3 n-3 k+1) \) 個の格子点が並ぶ。 よって, 格子点の総数は\n\[ \n\\begin{aligned}\n\\sum_{k=0}^{n}(3 n-3 k+1) & =-3 \\sum_{k=0}^{n} k+(3 n+1) \\sum_{k=0}^{n} 1 \n& =-3 \\cdot \\frac{1}{2} n(n+1)+(3 n+1)(n+1) \n& =\\frac{1}{2}(n+1)\\{-3 n+2(3 n+1)\\} \n& =\\frac{1}{2}(n+1)(3 n+2) \\text { (個) }\n\\end{aligned}\n\]\n\n別解 線分 \( x+3 y=3 n(0 \\leqq y \\leqq n) \) 上の格子点 \( (0, n) \), \( (3, n-1) \), ....., \n(3 n, 0) の個数は\n\n4 点 \( (0,0),(3 n, 0),(3 n, n),(0, n) \) を頂点とする長方形の 周および内部にある格子点の個数は \( \\quad(3 n+1)(n+1) \) ゆえに, 求める格子点の個数は\n\[ \n\\frac{1}{2}\\{(3 n+1)(n+1)+(n+1)\\}=\\frac{1}{2}(n+1)(3 n+2)\n\]\n\n(3) 領域は, 右の図の黒く塗った部分の周および内部であ る。\n直線 \( x=k(k=0,1, \\cdots \\cdots, n) \) 上には, \( 2 k^{2}-k^{2}+1=\\left(k^{2}+1\\right) \) (個) の格子点が並ぶ。 よって, 格子点の総数は\n\[ \\begin{aligned}\n\\sum_{k=0}^{n}\\left(k^{2}+1\\right) & =\\left(0^{2}+1\\right)+\\sum_{k=1}^{n}\\left(k^{2}+1\\right) \n& =1+\\sum_{k=1}^{n}\\left(k^{2}+1\\right) \n& =1+\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)+n \n& =\\frac{1}{6}(n+1)\\left(2 n^{2}+n+6\\right) \\text { (個) }\n\\end{aligned} \n\]\n
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等差数列の一般項\n(1) 等差数列 \ 100,93,86 \, \ \\qquad \ の一般項 \ a_{n} \ を求めよ。また,第 20 項を求めよ。\n(2) 第 6 項が 13 , 第 15 項が 31 の等差数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ について\n(ア) 一般項を求めよ。\n(イ) 71 は第何項か。\n(ウ)初めて 1000 を超えるのは第何項か。
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6 (1) \( \frac{1}{6} n(n+1)(n+2) \)\n(2) \n(3) \( \frac{3 \sqrt{3}}{26}\left\{1-\left(\frac{1}{27}\right)^{n}\right\} \)
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練習 が 2 以上の自然数のとき, 数列 において, 異なる 2 項を取 19 り出して作った積すべての和 を求めよ。
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2 桁の自然数のうち,55 で割って 3 余る数は5・2+3,5・3+3, ... , 5・19+3これは初項 13 , 末項 98 , 項数 18 の等差数列であるから, その和 は1/2・18(13+98)=999
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政党 1 , 政党 2 , 政党 3 の得票数は, それぞれ 30 万, 30 万, 10 万であると する。\n(1) 総議席数が 10 であるときの, 各政党の議席数を最大剩余方式で求めよ。\n(2) 総議席数が 11 であるときの, 各政党の議席数を最大剰余方式で求めよ。
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(2) 20=2^{2} \cdot 5,10=2 \cdot 5 であるから, 20^{x}=10^{y+1} より よって 2^{2 x-y-1}=5^{y+1-x} (1) から y+1-x \neq 0 と仮定すると, (1) から 2^{\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}=5 \cdots\cdots\cdot(2) x, y が有理数のとき, 2 x-y-1, y+1-x はともに有理数で \frac{2 x-y-1}{y+1-x} も有理数となる。また, (2) より 2^{\frac{2 x-y-1}{y+1-x}}>1 であるから \frac{2 x-y-1}{y+1-x}>0 ゆえに, \frac{2 x-y-1}{y+1-x}=\frac{m}{n}(m, n は正の整数 ) と表され 2^{\frac{m}{n}}=5 両辺を n 乗して 2^{m}=5^{n} (3)の左辺は2の倍数であるが,右辺は2の倍数でないから,矛盾。 よって y+1-x=0 このとき, (1) から 2^{2 x-y-1}=1 ゆえに 2 x-y-1=0 (4), (5) を連立して解くと x=0, y=-1
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(1) \( \frac{x+y}{3}=\frac{y+z}{4}=\frac{z+x}{5}(\neq 0) \) のとき, の値を求めよ。
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練習 122 \n(1) であるから, 2 が より大きいことを示す。 \( 2^{10}=1024, \quad\left(10^{\frac{3}{10}}\right)^{10}=10^{3}=1000 \) であるから 両辺の常用対数をとると よって \n(2) であるから すなわち \( \log _{10}\left(2^{3} \cdot 10\right)<\log _{10} 3^{4} \) ゆえに また, であるから すなわち \log _{10} 3^{5}<\log _{10} \frac{10^{3}}{2^{2}} よって \( 5 \log _{10} 3<3-2 \log _{10} 2 (1), (2) から ゆえに (1), (3) から よって (4), (5) から
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演習例題 19 ガウス記号と数列の和, 漸化式
を満たす実数 に対し, 数列 を
\[
a_{1}=a, a_{n+1}=3\left[a_{n}+\frac{1}{2}\right]-2 a_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots)
\]
という漸化式で定める。ただし は 以下の最大の整数を表す。
(1) ならば, であることを示せ。
(2) ならば, かつ であることを示せ。
(3) ある 2 以上の自然数 に対して, が成り立つとする。この とき を の式で表せ。
[類 名古屋大]
指針 はガウス記号であり, その定義は を実数, を整数とすると
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\n重要例題 54\n漸化式と数学的帰納法\n は自然数とする。 とし,数列 を で定める。\n(1) が成り立つことを証明せよ。\n(2) のとき, \( \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \) が成り立つ。このことを用いて, \( a_{n}-1 \leqq\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}(\alpha-1) \) が成り立つことを証明せよ。
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議席の比例配分方式 (1)..... ドント式\n日本における国政選挙のうち, 比例代表選挙の議席の割り振り方について紹介する。比例代表選挙では, 各党の得票数に応じて「ドント式」と呼ばれる計算方法で各党の獲得議席数が決まる。この「ドント式」がどのような方法なのか,具体例を用いて解説しよう。 ※「ドント式」は、 ベルギーの数学者ヴイクトール・ドント(1841-1902)によって考案された方法である。\nドント式による議席配分の方法\n\n各政党の得票数を と整数で割っていき, 得られた商が大きい順に議席 を配分する方法。\n\n問趄 (1) ある地域における比例代表制の選挙の議席数は10 である。この選挙におい て, 政党Aの得票数は 10000 , 政党 Bの得票数は 8100 , 政党 C の得票数は 7200 , 政党Dの得票数は 4000 であった。\n(1) ドント式による議席配分法を用いて, 各政党の議席数を求めよ。\n(2) 政党 B と政党 Cは選挙戦略を考えて合併し,新たに政党Eを結成することにし た。合併後のある選挙において, 政党Aの得票数は 10000 , 政党Dの得票数は 4000 ,政党Eの得票数は 15300 であった。ドント式による議席配分法を用いて, 各政党 の議席数を求めよ。
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次の数列の和 を求めよ。
(1) \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}, \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}, \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}, \cdots \cdots, \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \)
[類 一橋大]
(2)
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0 \\leqq x \\leqq \\pi より -\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{9}{4} \\pi \\, 、 \n\\frac{\\pi}{4} \\leqq \\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right) \\leqq \\frac{3}{4} \\pi \n\\frac{1}{2}\\left(5 x-\\frac{\\pi}{2}\\right)=0, \\pi, 2 \\pi または \\frac{1}{2}\\left(x+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\frac{\\pi}{2} \n5 x-\\frac{\\pi}{2}=0,2 \\pi, 4 \\pi または x+\\frac{\\pi}{2}=\\pi \nx=\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{\\pi}{2}, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{5}{2} \\pi, \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{9}{2} \\pi または x=\\frac{\\pi}{2} \n以上から x=\\frac{\\pi}{10}, \\frac{\\pi}{2}, \\frac{9}{10} \\pi
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59 (1) 8^(1/8) < 2^(1/2) = 4^(1/4) (2) 2^30 < 3^20 < 10^10 (3) 6^(1/6) < √2 < 3^(1/3)
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327\n\( a_{k+1}=1-\frac{1}{4 \cdot \frac{k+2}{2 k+2}}=1-\frac{k+1}{2(k+2)}=\frac{k+3}{2 k+4}=\frac{(k+1)+2}{2(k+1)+2} \)\nよって, のときも (1)は成り立つ。\n[1], [2] から, すべての自然数 に対して (1) は成り立つ。
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等差数列 {a_{n}} の初項を a, 公差を d とすると, 各項は次のように表される: \na, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d. \nこの数列の第 n 項 a_{n} を求めよ。
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点 の座標は, \( \left(\frac{-2+6}{2}, \frac{5-3}{2}\right) \) から \( (2,1) \)
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(x + 2/y)(y + 3/x) = xy + 6/(xy) + 5
この不等式の最小値を求める。
指針: x,y > 0, 6/(xy) > 0 であるから相加平均 ≥ 相乗平均により xy + 6/(xy) ≥ 2√(xy * 6/(xy)) = 2√6
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(3) (2)から \( f(n)=-n-\\frac{1}{2} \)\n\\( b_{n+1}-f(n+1)=3\\left\\{b_{n}-f(n)\\right\\} \\) より, 数列 \ \\left\\{b_{n}+n+\\frac{1}{2}\\right\\} \ は, 初項 b_{1}+1+\\frac{1}{2}=\\log _{2} a_{1}+\\frac{3}{2}=\\frac{5}{2} , 公比 3 の等比数列であるから\n\b_{n}+n+\\frac{1}{2}=\\frac{5}{2} \\cdot 3^{n-1} \\nまた, から \nすなわち \\quad a_{n}=2^{\\frac{5}{2} \\cdot 3^{n-1}-n-\\frac{1}{2}} \
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(1) は 22 桁で最高位の数字が 4 であるから\n\n各辺の常用対数をとると\n\[ \log _{10}\left(4 \times 10^{21}\right) \leqq \log _{10} 2^{n}<\log _{10}\left(5 \times 10^{21}\right) \]\n であるから\n\n として計算すると\n\[ \begin{array}{l}\n\quad 21.6020 \leqq n \times 0.3010<21.6990 \\\n\text { よって } \quad 71.76 \cdots \cdots \leqq n<72.08 \cdots \cdots .\n\end{array} \]\n は自然数であるから \n\( 2^{n}(n=1,2, \cdots \cdots) \) の一の位の数は を順に繰り返す。 であるから, の末尾の数字は 6
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演習例題 22 数学的帰納法 の仮定)\n を整数とする。また, 整数の数列 を および漸化式 \( c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) により定める。\n(1) とする。このとき, 2 つの整数 と の最大公約数を求めよ。
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100 から 200 までの自然数のうち, 次の数の和を求めよ。
(1) 7 で割って 2 余る数
(2) 4 または 6 の倍数
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3. パスカルの三角形に関する次の性質を説明してください:\n1. 各行の両端の数。\n2. 両端以外の各数の性質。\n3. 数の配列。
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156\n一一 数学 \\mathbb{I} \\n\\[ \\begin{array}{l} \\frac{\\mathrm{CD}}{\\sin (\\alpha-\\theta)}=2 \\cdot 1, \\quad \\frac{\\mathrm{DA}}{\\sin \\theta}=2 \\cdot 1 \\\\ \\text { よって } \\mathrm{CD}=2 \\sin (\\alpha-\\theta), \\mathrm{DA}=2 \\sin \\theta \\\\ \\text { したがつて } k=2 \\sin (\\alpha+\\theta) \\cdot 2 \\sin \\theta \\cdot 2 \\sin (\\alpha-\\theta) \\cdot 2 \\sin \\theta \\\\ =16 \\sin (\\alpha+\\theta) \\sin (\\alpha-\\theta) \\sin ^{2} \\theta \\\\ =16\\left\\{-\\frac{1}{2}(\\cos 2 \\alpha-\\cos 2 \\theta)\\right\\} \\frac{1-\\cos 2 \\theta}{2} \\\\ =-4(\\cos 2 \\alpha-\\cos 2 \\theta)(1-\\cos 2 \\theta) \\\\ \\end{array} \\]\nここで, \\cos 2 \\theta=t \ とおくと, 0<2 \\theta<2 \\alpha \\leqq \\pi \ から \\quad \\cos 2 \\alpha<t<1 \ このとき \( \\quad k=-4(\\cos 2 \\alpha-t)(1-t) \\)\n\\[ \\begin{array}{l} =-4 t^{2}+4(\\cos 2 \\alpha+1) t-4 \\cos 2 \\alpha \\\\ =-4\\left(t-\\frac{\\cos 2 \\alpha+1}{2}\\right)^{2}+(\\cos 2 \\alpha-1)^{2} \\end{array} \\]\nまた, \( \\cos 2 \\alpha-1=\\left(1-2 \\sin ^{2} \\alpha\\right)-1=-2 \\sin ^{2} \\alpha \\) から\n\\[ k=-4\\left(t-\\frac{\\cos 2 \\alpha+1}{2}\\right)^{2}+4 \\sin ^{4} \\alpha \\]\nゆえに, \\cos 2 \\alpha<t<1 \ の範囲において,kは t=\\frac{\\cos 2 \\alpha+1}{2} \ の とき最大値 4 \\sin ^{4} \\alpha \ をとる。\n練習 107 \\Rightarrow \ 本冊 p .211 \\n \\mathrm{OP}=2, \\angle \\mathrm{POH}=\\theta \ であるから, 点 \\mathrm{P} \ の座標は\n\\[ (2 \\cos \\theta, 2 \\sin \\theta) \\]\n \\mathrm{OQ}=4, \\angle \\mathrm{QOH}=\\theta+90^{\\circ} \ であるから, 点 \\mathrm{Q} \ の座標は \( \\left(4 \\cos \\left(\\theta+90^{\\circ}\\right), 4 \\sin \\left(\\theta+90^{\\circ}\\right)\\right) \\)\nすなわち \( (-4 \\sin \\theta, 4 \\cos \\theta) \\) ただし 0^{\\circ}<\\theta<90^{\\circ} \\nよって S=\\frac{1}{2} \\mathrm{KH} \\cdot \\mathrm{QK} \\n\\[ \\begin{array}{l} =\\frac{1}{2}(2 \\cos \\theta+4 \\sin \\theta) \\cdot 4 \\cos \\theta \\\\ =2\\left(2 \\cos ^{2} \\theta+4 \\sin \\theta \\cos \\theta\\right) \\\\ =2(1+\\cos 2 \\theta+2 \\sin 2 \\theta) \\\\ =2\\{\\sqrt{5} \\sin (2 \\theta+\\alpha)+1\\} \\end{array} \\]\nただし \( \\cos \\alpha=\\frac{2}{\\sqrt{5}}, \\sin \\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(0^{\\circ}<\\alpha<90^{\\circ}\\right) \\)\n 0^{\\circ}<\\theta<90^{\\circ} \ から \( \\quad\\left(0^{\\circ}<\\right) \\alpha<2 \\theta+\\alpha<180^{\\circ}+\\alpha\\left(<270^{\\circ}\\right) \\)\nよって, S \ は 2 \\theta+\\alpha=90^{\\circ} \ のとき最大値 \( 12(\\sqrt{5}+1) \\) をとる。 \ 2 \\theta+\\alpha=90^{\\circ} \ のとき\n\\[ \\tan 2 \\theta=\\tan \\left(90^{\\circ}-\\alpha\\right)=\\frac{1}{\\tan \\alpha}=\\frac{\\cos \\alpha}{\\sin \\alpha}=2 \\]\nゆえに \\quad \\frac{2 \\tan \\theta}{1-\\tan ^{2} \\theta}=2 \\nよって \\tan ^{2} \\theta+\\tan \\theta-1=0 \\n\ 0^{\\circ}<\\theta<90^{\\circ} \ より \\tan \\theta>0 \ であるから \ \\tan \\theta=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2} \\n\\[ \\begin{array}{l} 4 \\sin A \\sin B \\\\ =-\\frac{1}{2}\\{\\cos (A+B) \\\\ -\\cos (A-B)\\} \\end{array} \\]\n\ t \ について整理。\n三角関数の合成。\n \\alpha \ は具体的な角として 表すことはできない。\n 4 \\frac{2}{\\sqrt{5}} \\div \\frac{1}{\\sqrt{5}} \\n 4 \\tan \\theta \ についての 2 次方程式とみて解く。
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数列 が等比数列をなすから \n数列 が等差数列をなすから \n\n(2) から \n\[ 2a=9(2c - b) \]\n\n2 と9は互いに素であるから,aは9の倍数である。また, は 2 以上 50 以下の偶数でもあるから ここで, (1)から (2)を代入して \(2b^2 = a\left(b+\frac{2}{9}a\right) \)\n\n整理すると \n\nすなわち \n\[ (a+6b)(2a-3b)=0 \]\n\n以下の場合を考える。 \n\n[1] から 、 から \n\n\a\ のとき, (2)から のとき となるが, は整数でない。\n のとき \n\n\b\ のとき, (2)から \n のとき のとき \n\n以上から,求める整数 \( (a, b, c) \) の組は \n\n\[(a, b, c)=(36,-6,1),(18,12,8),(36,24,16)\]\n
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例䂓 19 | 2 次方程式の解の判別 (2)
xについての方程式を
\[
\begin{array}{l}
x^{2}+2 a x+1=0 \
x^{2}-2 a x-4 a=0
\end{array}
\]
\[x^{2}+2 a x+6-a=0\]
とする。次の各場合について、実数の定数 の値の範囲を求めよ。
(2) (1), (2), (3)のうち、1 つだけが虚数解をもつ。
指針
(1) (1), (2), (3)のうち、少なくとも 1つが虚数解をもつ。
(1) が虚数解をもつか、② が虚数解をもつか,3)が虚数解をもつ。
または または が成り立つ の値の範囲
それぞれの不等式の解を合わせた範囲(和集合)
(2) 1 つだけが虚数解をもつ。
の 1 つだけが成り立ち、他の 2 つが となる の値の範囲を求める。
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11 実数 が を満たすとする。 のうち最大の値を , 最小の値を とする。次の不等式が成り立つことを示せ。\n(1) \n(2) \n(3)
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棣習 2 つの粒子が時刻 0 において の頂点 に位置している。これらの粒子は独 47 立に運動し, それぞれ 1 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする。nを自然数とし, この 2 つの粒子が, 時刻 0 の 秒後に同じ点にいる確率を とする。\n(1) を求めよ。\n(2) を で表せ。\n(3) を で表せ。\n[類 京都大]
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与えられた漸化式から, 任意の自然数 \( n に対して \( a_{n は自然数 で, \( a_{n}<a_{n+1} が成り立つ。 よって,\n\\[ n \\geqq 2 のとき, \( a_{1}, ... a_{n-1} は \( a_{n の倍数でなく, \( a_{n は \( a_{n の倍数 が成り立つ。\n次に, \( n \\geqq 2 のとき, 任意の自然数 \( m に対して \( a_{n+m}-a_{m が \( a_{n の倍数 が成り立つことを \( m に関する数学的帰納法により示す。
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次の複素数から実部と虚部を導出せよ。
(1) 実部は 2 , 虚部は
(2) から 実部は , 虚部は
(3) から 実部は , 虚部は 0
(4) から 実部は 0 , 虚部は 4
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12 a, b, c がすべて1より小さい正の数のとき, 3 つの不等式\n\[ a(1-b)>\frac{1}{4}, \quad b(1-c)>\frac{1}{4}, c(1-a)>\frac{1}{4} \]が同時には成り立たないことを示せ。
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総合演習 369
2^{4n}-1 ≡ (-1)^n-1 (mod 17) であるから
n が偶数のとき 2^{4n}-1 ≡ 0 (mod 17)
n が奇数のとき 2^{4n}-1 ≡ -2 ≡ 15 (mod 17)
したがって, 求める余りは n が偶数のとき 0, n が奇数のとき 15
(3) 2008=4 × 502 であるから, (2)より 2^{2008}-1 ≡ 0 (mod 17) すなわち 2^{2008} ≡ 1 (mod 17)
ゆえに 2^{2011} ≡ 2^3 · 1 ≡ 8 (mod 17)
2^{2012} ≡ 2 · 8 ≡ 16 (mod 17)
2^{2013} ≡ 2 · 16 ≡ 32 ≡ 15 (mod 17)
2^{2014} ≡ 2 · 15 ≡ 30 ≡ 13 (mod 17)
よって a_{2010} ≡ 2^{2011}-1 ≡ 7 (mod 17)
a_{2011} ≡ 2^{2012}-1 ≡ 15 (mod 17)
a_{2012} ≡ 2^{2013}-1 ≡ 14 (mod 17)
a_{2013} ≡ 2^{2014}-1 ≡ 12 (mod 17)
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[阿 本冊 \n60,40,30,24, \\cdots \\cdots\n(1) が調和数列であるから,\n(1)\n\\n\\frac{1}{60}, \\frac{1}{40}, \\frac{1}{30}, \\frac{1}{24},\n\\nが等差数列となる。
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一一数学 \(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2} \\geqq 0 \) であるから, は\(\\sum_{k=1}^{n}\\left(a_{k}-k\\right)^{2}=0 \) すなわち \( a_{k}=k(k=1,2, \\cdots \\cdots, n) \) のとき最大になる。したがって, 求める数列は
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n を自然数とするとき, 次の恒等式が成り立つ。 a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b + a^{n-3} b^{2} + ... + a b^{n-2} + b^{n-1}). この等式を a^{n}-b^{n} の因数分解の公式として用いる機会もあるから, 覚えておくとよい。証明は次のようになる。 証明 1. (右辺) = a^{n} + a^{n-1} b + a^{n-2} b^{2} + ... + a^{2} b^{n-2} + a b^{n-1} - a^{n-1} b - a^{n-2} b^{2} - ... - a^{2} b^{n-2} - a b^{n-1} - b^{n} = a^{n} - b^{n}. 証明 2. a ≠ 0, a ≠ b のとき, 初項 a^{n-1}, 公比 b/a, 項数 n の等比数列の和は a^{n-1} + a^{n-2} b + ... + a b^{n-2} + b^{n-1} = (a^{n-1}(1-(b/a)^{n}))/(1-b/a) = (a^{n}-b^{n})/(a-b). よって a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b + ... + a b^{n-2} + b^{n-1}).
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次の計算を,常用対数表を用いて小数第 2 位まで求めよ。
(1) 2.37 × 3.79
(2) 7.67 ÷ 2.86
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(2)\n\\\begin{\overlineray}{r}\\frac{x}{2}+\\frac{y}{3}+\\frac{z}{6} \\leqq 10 \\text { から } \\\\ 3 x+2 y+z \\leqq 60\\end{\overlineray}\\n とすると, (1) で から \n(1) から \n[1] \( x=2 k(k=0,1,2, \cdots \cdots, 10) \) のとき(2) から \n\ y z \ 平面において, (3) および , を満たす領域 は右図の黒く 塗った部分(境界線を含む)であり,直線 \( y=l(l=0,1, \cdots \cdots, 30-3 k) \)上にある格子点のうち, 領域 に含まれるものの個数は\n\60-6 k-2 l+1=61-6 k-2 l\\nよって, 領域 に含まれる格子点の総数は\n\\[\\begin{aligned} \\sum_{l=0}^{30-3 k}(61-6 k-2 l) & =(61-6 k)(31-3 k)-2 \\cdot \\frac{1}{2}(30-3 k)(31-3 k) \\\\ & =(31-3 k)\\{(61-6 k)-(30-3 k)\\} \\\\ & =(31-3 k)^{2}\\end{aligned}\\]
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102 最大値 16 , 点 P の座標は (5 / sqrt(26), 1 / sqrt(26)) または (-5 / sqrt(26), -1 / sqrt(26))
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初項から第 5 項までの和が 125 で, 初項から第 10 項までの和が 500 である等差数列の初項 a と公差 d を求めよ。
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自然数を右の図のように並べる。\n(1) が偶数のとき, 1 番上の段の左から 番目の数を の式で表せ。\n(2) が奇数のとき, 1 番上の段の左から 番目の数を の式で表せ。\n(3) 1000 は左から何番目,上から何段目にあるか。
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練習(2) |x|<1,|y|<1 のとき, 𝑙𝑒𝑓𝑡|𝑓𝑟𝑎𝑐{𝑥+𝑦}{1+𝑥𝑦}𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡|<1 を証明せよ。
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2) と を整数とする。数列 を初項 , 公差 の等差数列とする。数列 の 初項から第 項までの和を とする。\n(1) を を用いて表せ。\n(2) のとき のとき であるとする。\n(ア) が最小となる の値を求めよ。\n(1) の最小値が -289 のとき, と の值をそれぞれ求めよ。
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初項が 2, 公差が 17/6-2=5/6 であるから, 末項 12 が第 n 項 であるとすると 2+(n-1)・5/6=12 よって n=13等差数列の和を求めてS=1/2・13(2+12)=91
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類題 次の条件によって定まる数列 を考える。\n\[
F_{1}=F_{2}=1, \quad F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \quad(n \geqq 2)
\]\n を越えない最大の整数を と表すとき, (1) が成り立 つことを次の手順により示せ。
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実数 に対し, を超えない最大の整数を で表す。数列 \left\\{a_{k}\\} を (k=1,2,3, \cdots \cdots) で定義する。正の整数 に対して を求めよ。\n[一橋大] <例題 18
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3 不等式の証明 (2)
n は正の整数とする。
(1) x>y>0 とするとき, 不等式 x^{n+1}-y^{n+1}>(n+1)(x-y) y^{n} が成り立つこと を証明せよ。
(2) (1+\frac{1}{n})^{n+1} と (1+\frac{1}{n+1})^{n+2} の大小を比較せよ。
[早稲田大]
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33
本冊 p .394
(解 1 ) n \geqq 2 のとき a_{n}=\frac{n-1}{n+2} a_{n-1}
a_{n-1}=\frac{n-2}{n+1} a_{n-2} であるから a_{n}=\frac{n-1}{n+2} \cdot \frac{n-2}{n+1} a_{n-2}
これを繰り返して
\[
\begin{array}{l}
a_{n}=\frac{n-1}{n+2} \cdot \frac{n-2}{n+1} \cdot \frac{n-3}{n} \cdot \frac{n-4}{n-1} \cdots \cdots \cdots \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} a_{1}
\よって \quad a_{n}=\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(n+2)(n+1) n} \cdot \frac{2}{3}
\end{array}
\]
すなわち \quad a_{n}=\frac{4}{n(n+1)(n+2)}
これは n=1 のときも成り立つ。
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例 59 | 累乗・累乗根の大小比較
次の各組の 3 数の大小を等号, 不等号を用いて表せ。
(1) 2^{\frac{1}{2}}, 4^{\frac{1}{4}}, 8^{\frac{1}{8}}
(2) 2^{30}, 3^{20}, 10^{10}
(3) \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[6]{6}
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次の数列の和を求めよ。\n(1) \( (n+1)^{2},(n+2)^{2},(n+3)^{2}, \cdots \cdots,(n+n)^{2} \)\n[神奈川大]
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xは正の数とする。不等式 \(\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{4}{x}\right) \geqq 9\) が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
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(2) \ \\alpha \ が \\( f(x)=0 \\) の解ならば\n\\\alpha^{3} - 3 \\alpha + 1 = 0 \\nこのとき\n\n\\[\n\\begin{aligned}\nf(g(\\alpha)) & = f\\left( \\alpha^{2}-2 \\right) =\\left( \\alpha^{2}-2 \\right)^{3}-3 \\left( \\alpha^{2}-2 \\right)+1 \\& =\\alpha^{6}-6 \\alpha^{4}+12 \\alpha^{2}-8-3 \\alpha^{2}+6+1 \\ \\& =\\alpha^{6}-6 \\alpha^{4}+9 \\alpha^{2}-1 \\ \\& =\\alpha^{2}\\left( \\alpha^{2}-3 \\right)^{2}-1 \\ \\& =\\left(\\alpha\\left( \\alpha^{2}-3 \\right)+1\\) \\left(\\alpha\\left( \\alpha^{2}-3 \\right)-1\\) \\ \\& = \\left(\\alpha^{3}-3 \\alpha+1\\)\\left(\\alpha^{3}-3 \\alpha-1\\) \\ \\& =0 \\times\\left(\\alpha^{3}-3 \\alpha-1\\)はf(g(x))の解でもあることを示している。
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(2) \( \left(\frac{1}{r}\right)^{0}=1,\left(\frac{1}{r}\right)^{-1}=r \) であるから, (1)より, \( a_{n}=n-1+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{r}\right)^{k-2} \) の一般式が成り立つと推測される。これを数学的帰納法により示す。
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点 (x, y) が ΔOAB の内部にあるという条件は
x>0, y>0, x+y<1
と表される。2x+y=X (2), x+2y=Y (3) とおくと 3x=2X-Y 2×(3)-(2) から 3y=-X+2Y すなわち x=(2X-Y)/3, y=(-X+2Y)/3 これらを (1) に代入すると
x>0 から 2X-Y>0 y>0 から -X+2Y>0
x+y<1 から (X+Y)/3<1 すなわち X+Y<3 よって Y<2X, Y>1/2X, X+Y<3
ゆえに, 点 (X, Y) すなわち点 (2x+y, x+2y) が動く範囲は,変数を x, y におき換えると,連立不等式 y<2x, y>1/2x, x+y<3 の表す領域である。よって, 求める範囲は右の図の斜線部分。ただし,境界線を含まない。
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[2] すなわち のとき のとりうる値の範囲は\n\\n-2<k<2 X\n\\nよって, の満たすべき条件は\n\\nX^{2}-2<Y<X^{2}+2 X\n\
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等比数列の和 ( 1 )\n(1)等比数列 の初項から第 項までの和 を求めよ。 ただし, とする。\n(2) 初項と第 2 項との和が -9 , 初項から第 4 項までの和が -90 であるとき, こ\nの等比数列の公比を求めよ。
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数列 \left\\{a_{n}+b_{n}\right\\} が初項 、公比 の等比数列のとき、一般項を求めよ。
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[1] すなわち のとき のとりうる値の範囲は\n\\n-2 X<k<2 X\n\\nよって, の満たすべき条件は\n\\nX^{2}-2 X<Y<X^{2}+2 X\n\
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数列 を公比が 0 でない初項 1 の等比数列とする。また, 数列 を , , を満たす等差数列とする。
(1) 数列 の公比を求めよ。
(2) 数列 の一般項を求めよ。
[名城大] <例 4,6
指針 とにかく,各項を具体的に書き出す。
(1) 等比数列 の公比を \( r(r \neq 0) \) とすると また, 数列 は等差数列であるから, 平均形 により, の方程式が得られる。ただし, (2) で等差数列 の公差 が 必要になるから, 対称形 すなわち より を消去して, の方程式を導く方針で解いてみよう。
(2) (1) で求めた の値を または に代入して について解くと, 等差数列 の公差が求められる。
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(2) \( \left(\frac{1}{125}\right)^{20} \) を小数で表したとき, 小数第ア 位に初めて0 でない数字が現れ, その値はイ である。
[早稲田大]
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40 (1) 連立不等式 の表す領域 を図示せよ。(2)(1)の領域 内の点 \( (x, y) \) に対して が最大となる \( (x, y) \) を求めよ。
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次のような和 S を求めよ。\n(1) 等差数列 2,8,14, \cdots \cdots, 98 の和\n(2) 初項 100, 公差 -8 の等差数列の初項から第 30 項までの和\n(3) 第 8 項が 37 , 第 24 項が 117 の等差数列の第 10 項から第 20 項までの和
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したがって, 求める最大値と最小値は以下のようになる:\n[1] のとき\n[2] のとき\n[3] のとき\n[4] のとき
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不等式の証明で利用する性質
夷数 の性質
実数 について
等号は
のとき成り立つ。
実数 について
等号は
のとき成り立つ。
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初項 77, 公差 -3 の等差数列 について,次の問いに答えよ。
1. 一般項 を求めよ。
2. 第何項が初めて負になるか。
3. 初項から第何項までの和が最大となるか。また,そのときの和を求めよ。
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第 1 章 数 列- 219\nTR 階差数列を利用して, 次の数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n19\n(1) \ 20,18,14,8,0 \, \ \\qquad \ (2) \ 10,10,9,7,4 \,
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一般項が次の式で表される数列の,初項から第5項までを求めよ。
(1) -3n+33
(2) 64(1/2)^n
(3) (-1)^n n^2
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(6), (7)から \ \\frac{2 a+7}{9}<-\frac{1}{2} a+1 \ すなわち \ a<\\frac{4}{13} \\n\nゆえに \ \\frac{3}{10}<a<\\frac{4}{13} \ すなわち \ \\quad 0.30<a<0.307 \\cdots \ したがって, \ a \ の小数第1位の値は 3 , 小数第2位の値は0である。\nまた, (6), (7)から \ \\frac{2 a+7}{9}<b<-\frac{1}{2} a+1 \\n\ a>\\frac{3}{10} \ であるから \ \\quad \\frac{38}{45}<b<\\frac{17}{20} \ すなわち \ 0.844 \\cdots<b<0.85 \\nしたがって, bの小数第1位の値は 8, 小数第2位の値は4である。
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TRAINING 26\n は自然数とする。数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。\n\\[\n1 \\cdot 4+2 \\cdot 5+3 \\cdot 6+\\cdots \\cdots+n(n+3)=\\frac{1}{3} n(n+1)(n+5)\n\\]
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数学 よって, (相加平均 \( ) \geqq \) (相乗平均) から ゆえに \( \left(\frac{a}{4}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{9}{a}+b\right) \geqq \frac{25}{4} \) 等号は, かつ すなわち のときに成 り立つ。
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(1), (2) の分数式を約分せよ。また, (3)〜(5) の式を計算せよ。
(1)
(2)
(3) \( \frac{x-1}{(x+1)^{2}} \times \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1} \)
(4)
(5)
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14^4 n は 2 以上の整数とする。二項定理を利用して, 次のことを示せ。
(1) a>0 のとき (1+a)^n>1+n a
(2) (1+3/n)^n>4
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474
数学の扉選挙における議席配分
日本における国政選挙のうち, 比例代表選挙の当選者の決定方式について紹介しましょう。比例代表選挙では, 各党の得票数に応じて「ドント式」と呼ばれる計算方法で各党の議席獲得数が決まります。この「ドント式」がどのような方法なのか, 具体例を用いて解説しましょう。
■ドント式による議席配分
各政党の得票数を と整数で割っていき,得られた商が大きい順に議席を配分する方法をドント式という。
例 1 ある地域における比例代表制の選挙の議席数は 10 である。この選挙において 政党Aの得票数は 10000 , 政党 B の得票数は 8100 ,政党Cの得票数は 7200 , 政党Dの得票数は 4000 であった。各政党の得票数を, で割った商は次のようになる。
(表では,小数点以下は切り捨てとした。)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & 政党 A & 政党 B & 政党 C & 政党 D \ \hline 得票数 & 10000 & 8100 & 7200 & 4000 \ \hline 1 で割った商 & 10000 & 8100 & 7200 & 4000 \ \hline 2 で割った商 & 5000 & 4050 & 3600 & 2000 \ \hline 3 で割った商 & 3333 & 2700 & 2400 & 1333 \ \hline 4 で割った商 & 2500 & 2025 & 1800 & 1000 \ \hline 5 で割った商 & 2000 & 1620 & 1440 & 800 \ \hline 6 で割った商 & 1666 & 1350 & 1200 & 666 \ \hline \end{tabular}
この表に現れる数値のうち,大きい方から順に議席を与え,議席数が 10 に達したところで終了する。よって,
と順に議席を与えられ,政党Aは 4 議席,政党Bは 3 議席,政党 C 2 議席,政党Dは 1 議席 を得る。
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初項 1, 公差 4 の等差数列 と初項 -9 , 公差 6 の等差数列 がある。この 2 つ の数列に共通する項を小さい方から並べた数列 の一般項を求めよ。
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・では, 例 1 における政党 の得票数が 7000 , 政党 の得票数が 6000 であり, 例 2 にお ける政党Eの得票数が 13000 のケースではどうなるだろうか。
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昨年のテストで上位 64000 位以内に入る生徒の最低点はおよそ何点であるか。次の 0~5 のうちから選べ。
(0) 39
(1) 44
(2) 49
(3) 80
(4) 85
(5) 90
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分数式の計算の代表的な例を挙げていきましょう。\n(1) 約分\n......分数式の分母と分子をその共通因数で割ることを約分するといい,それ以上約分できない分数式を既約分数式という。\n例:\n\(\frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+8x+15}=\frac{(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+5)}=\frac{x+4}{x+5}\)\n
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各辺を 3 で割ると,次のようになる。\n\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots \cdots+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)\)
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次のような等比数列の初項と公比を求めよ。ただし,公比は実数とする。\n(1) 第 3 項が -18 , 第 6 項が 486\n(2) 第 6 項が 4 , 第 10 項が 16
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初項 1 , 公比 3 の等比数列を とする。各自然数 に対して, を満たす最大の を とする。このとき を計算せよ。
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係数 が整数である 3 次方程式 が 2 つの虚数解 と 1 つの負の整数解をもつ。この条件を満たす整数の組 \( (a, b) \) は 組ある。
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等比数列の一般項と和を求めなさい。
初項を , 公比を とする。
1. 第 項 を求めなさい。
2. 初項から第 項までの和 を、以下の条件で求めなさい。
a. の場合
b. の場合
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次の条件を満たす自然数 の値を求めよ。\n(1) が 8 桁の数となる。\n(2) を小数で表すと, 小数第 8 位に初めて0 でない数字が現れる。
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次の数列は等比数列である。 の值を求めよ。\n(1) 3, x, 1/12, \cdots\cdots\n(2) 9, x, 4, y, \cdots
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TR 初項 -83 , 公差 4 の等差数列において,初項から第何項までの和が最小となるか。また,そのときの和を求めよ。
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次の方程式を解け。
(1) 5^{x}=\frac{1}{125}
(2) 3^{2 x+3}=9 \sqrt{3}
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(2) (\\frac{1}{2})^{n}<0.001 の両辺の常用対数をとると \nlog_{10}(\\frac{1}{2})^{n}<log_{10} 0.001 すなわち -n log_{10} 2<-3\nよって n>\frac{3}{0.3010}=9.96 \cdots \cdots\nこの不等式を満たす最小の自然数 n は n=10
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初項 7, 公差 3 の等差数列 と初項 8, 公差 5 の等差数列 がある。この 2 つの数列に共通する項を小さい方から並べた数列を とする。数列 の 一般項を求めよ。
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TRAINING 23 (2)\n のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \\sqrt{a}+\\sqrt{b}>\\sqrt{a+b} \\n(2) 2 \\sqrt{a}+3 \\sqrt{b}>\\sqrt{4 a+9 b} \\n(3) a>b \ のとき \\sqrt{a}-\\sqrt{b}<\\sqrt{a-b} \
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年利率 年ごとの複利で毎年初めに 20 万円ずつ積み立てるとき, 10 年後 の年末における元利合計(すなわち,各年初めの元金と利息を合わせた金額)を 求めよ。ただし, で計算せよ。
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年利率 r, 1 年ごとの複利で, 毎年初めに a 円ずつ n 年間積み立てるとき, n 年後の年末における積立金の元利合計 S を求めよ。
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第 1 章 数 列- 219\nTR 階差数列を利用して, 次の数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n19\n(1) \ 20,18,14,8,0 \, \ \\qquad \ (2) \ 10,10,9,7,4 \,
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3 点 \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(2,4), \mathrm{C}(a, 0) \) を頂点とする が直角三角形となるとき, 定数 の値を求めよ。
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EX x, y が 3 つの不等式 4x + y ≤ 9, x + 2y ≥ 4, 2x - 3y ≥ -6 を同時に満たすとき, x^2 + y^2 の最大值と最小值を求めよ。
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和と積が, 次のようになる 2 数を求めよ。
(1) 和が 2 , 積が -2
(2) 和が -6 , 積が 2
(3)和が 4 , 積が 5
(4) 和が -1 , 積が 2
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次の数列 は、初項 、漸化式 \( a_{n+1} = \frac{3(n+1)}{n}a_{n} \) によって定められています。
1. とおくとき、 を を用いて表せ。
2. 数列 の一般項を求めよ。
3. 数列 の初項から第 項までの和 を求めよ。
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次の数列が等差数列であるか等比数列であるかを判断しなさい。\n1. 数列 4, 7, 10, 13\n2. 数列 3, 6, 12, 24
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次の値を求めよ。\n(1) 1\n(2) 6\n(3) \ \\frac{9}{4} \\n(4) 24\n(5) \ 6 \\sqrt[4]{2} \
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自転車通学のA君は,ある日,時速 で学校に行き,帰りは自転車を押しながら, 時速 で友達と歩いて自宅に帰りました。さて, この日A君は, 平均すると時速何 で移動したことになるでしょうか。
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3 で割って 1 余る数を 4 から始めて順番に右の図のように上から並べていく。例えば, 4 行目には,左から 22, 25, 28, 31 の 4 つの数が並ぶことになる。このように数を並べていくとき,次の問いに答えよ。\n(1) 10 行目の左から 4 番目の数を求めよ。\n(2) 2020 は何行目の左から何番目の数かを求めよ。
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公差 \ d \ の等差数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ が \ \\sum_{n=1}^{18} a_{n}=135, \\sum_{n=19}^{36} a_{n}=783 \ を満たしているとき, a_{1}= \ \ d= \ \ \\square \ である。
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数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の初項から第 \ n \ 項までの和 \ S_{n} \ が \\( S_{n}=-n^{2}+24 n(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) で与えられるとき, \ a_{n}<0 \ となる自然数 \ n \ の値の範囲を求め, \ \\sum_{k=1}^{40}\\left|a_{k}\\right| \ を計算せよ。\n(2)初項1, 公比3の等比数列を \ \\left\\{b_{k}\\right\\} \ とする。各自然数 \ n \ に対して, \ b_{k} \\leq n \ を満たす最大の \ b_{k} \ を \ c_{n} \ とする。このとき \ \\sum_{k=1}^{30} c_{k} \ を計算せよ。
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数直線上で, 点 に実数 が対応しているとき, を点 の座標 といい, 座標が である点 P \( \mathrm{P}(a) \) で表す。数直線上の原点 と点 \( \mathrm{P}(a) \) の距離を, の絶対値といい, で 表す。すなわち, 2 点 間の距離 は と表され る。また,数直線上の 2 点 \( \mathrm{A}(a), \mathrm{B}(b) \) 間の距離は\na \leqq b のとき \mathrm{AB}=b-a \] a>b のとき \[ \mathrm{AB}=a-b である。よって, 次のようになる。2 点 \( \mathrm{A}(a), \mathrm{B}(b) \) 間の距離 は
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以下の常用対数の値を用います。
とする。
(1) は何桁の整数であるかを調べよ。
(2) \( \left(\frac{3}{4}\right)^{100} \) を小数で表すと,小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。
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次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) x > 0 のとき [水産大学校] (2) x >= 0 のとき
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次の数列の第 n 項を求めなさい。\n1. 初項が 3, 公差が 2 の等差数列\n2. 初項が 2, 公比が 3 の等比数列
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(1) 初項 -0.2 , 末項 0.6 の等差数列は, 初項と末項の間に アイウエ個の項がある場合, 和が 405 となる。 (2) 1, √3, 2 がこの順に同じ等差数列の項として含まれることがあるかないか。
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等比数列の一般項を理解して,例題 10 を攻略!\nここでは, 等比数列の一般項について取り上げます。等比数列の一般項では, 指数部分がポイントとなります。\n\n次の等比数列の に適する数を求めよ。また, 一般項 を求めよ。\n3,12 , \n ......\n の中に数や文字を入れてみよう。\n公比は\n 12 \\div \ ア \n \\square \ \\leftarrow( \ 第 2 項 \ \\div \\) (初項 \ )\nよって, 第 3 項は\n 12 \\times \ \\square \ = \ = \\square \\n \\leftarrow \ (第 2 項) \\times \ (公差) \n\n第 4 項は a_{n}=3 \ ・ウ \\square \ \\square \ 口-1 \ また, 一般項 a_{n} \ は\n\n初項 5 , 公比 2 の等比数列の一般項 a_{n} \ は a_{n}=5 \\cdot 2^{n} \ となるのでは? 初項 5 , 公比 2 の等比数列の一般項 a_{n} \ は a_{n}=5 \\cdot 2^{n} \ となるのでは?\n\n等比数列の項の番号と指数の対応関係を確認していくと次のようになる。\n\[\\begin{array}{l}\na_{1}=5 \\\n\\leftarrow 5 \\cdot 2^{0} \\\na_{2}=a_{1} \\times 2=5 \\times 2 \\\n\\leftarrow 5 \\cdot 2^{1} \\\na_{3}=a_{2} \\times 2=5 \\times 2 \\times 2 \\\n\\leftarrow 5 \\cdot 2^{2} \\\na_{n}=a_{n-1} \\times 2=5 \\times \\frac{(n-1) \\text { 個の積 }}{2 \\times 2 \\times 2 \\times \\cdots \\cdots \\times 2} \\\n\\leftarrow 5 \\cdot 2^{n-1} \\\n\\end{array}\n\\]\n\nしたがって, 初項 5 , 公比 2 の等比数列の一般項 a_{n} \ は a_{n}=5 \\cdot 2^{n-1} \ と表される。\n補足 一般項に n=1,2 \ を代入して, a_{1}, a_{2} \ を計算してみると, 指数部分が正しいかどうか 判断できる。例えば, a_{n}=5 \\cdot 2^{n} \ としてしまった場合,\n\[\\begin{array}{l}\na_{1}=5 \\cdot 2^{1}(\\neq 5), a_{2}=5 \\cdot 2^{2}(\\neq 5 \\times 2)\n\\]\n\nとなることから,間違いであることに気づくことができる。\n初項 a \, 公比 r \ の等比数列の一般項は\n1 だけ小さい\n\n\nGet ready 答 : (ア) 3\n(イ) 4\n(ウ) 4\n(I) 48\n(J) 192\n(力) n \
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410\n其例題\n は自然数とする。数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。\n\\[\n1+4+7+\\cdots \\cdots+(3 n-2)=\\frac{1}{2} n(3 n-1)\n\\]\n\n数学的帰納法の手順\n[1] のときを証明\n[2] のときを仮定し, のときを証明\n[1] のとき,左辺,右辺をそれぞれ計算し,両辺が等しいことを示す。\n[2] のとき(A) が成り立つと仮定する。 のときの(A) の左辺は, のときの (A) の左辺に \( 3(k+1)-2 \) が加わったものと考えられるから, 仮定を利用して, のときの (A) の左辺を変形する [1)]。\n一方, のときの (A) の右辺は, \( \\frac{1}{2} n(3 n-1) \\) の を としたもの [2) 。\n\\longrightarrow (1)と (2) が一致することを示す。
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次の計算の結果を の形で表せ。\n(1) \ \\frac{1}{i}, \\frac{1}{i^{2}}, \\frac{1}{i^{3}} \\n(2) \ \\frac{5 i}{3+i} \\n(3) \ \\frac{9+2 i}{1-2 i} \\n(4) \ \\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10 i}{1-3 i}\
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(1) 初項 7 , 公比 1/2 の等比数列の一般項 a_{n} を求めよ。
(2) 次の等比数列の公比を求めよ。また,一般項 a_{n} を求めよ。
(ア) 3,-3,3,-3, ...
(イ) -16/27, 4/9, -1/3, 1/4, ...
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パスカルの三角形に現れる偶数を○、奇数を○として図1の模様を作成します。パスカルの三角形の性質を使って、次の4つの規則に従い、○と○を付けてください。
[1] 偶数 + 偶数 = 偶数
[2] 偶数 + 奇数 = 奇数
[3] 奇数 + 偶数 = 奇数
[4] 奇数 + 奇数 = 偶数
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割られる式が与えられていない場合の考え方\n左の例題では, 割られる式 P(x) が具体的に与えられていないため, 実際に 割り算をして余りを求めるわけにはいきません。条件として与えられているのは,\n で割ると余りが で割ると余りが 1 であり, と を掛けた, \( (x+2)(x-3) \) で割ったときの余りを求める, という問題です。\nこのような問題では,割り算の等式を利用します。詳しく見てみましょう。\n\n余りの次数が決め手\n割り算の等式を利用する。\n\n\n割られる式 = 割る式 × 商 + 余り\nここでのポイントは, 余り R は,\nR=0 または R は割る式 B より次数が低い多項式\n\nであるということ。左の例題では, P(x) を 2 次式 (x+2)(x-3) で割るから,その ときの余りは1 次式または定数\n\nである。よって,余りを a x+b とする。\n注意 a x+b は a ≠ 0 なら 1 次式, a=0 なら定数 となる。\n剩余の定理により,与えられた条件を使うことができる\n\n与えられた条件\nx+2 で割ると余りが -9, x-3 で割ると余りが 1と剩余の定理により, P(-2), P(3) の値を求めることができる。また, 割り算の等式 P(x)=(x+2)(x-3) Q(x)+a x+b において,x=-2 を代入すると (x+2)(x-3)=0 ← Q(x) の項が消える。x=3 を代入すると (x+2)(x-3)=0 ← Q(x) の項が消える。\n\nとなるため, P(-2), P(3) を a, b の式で表すことができる。P(-2), P(3) をそれぞれ 2 通りで表すことによって, a, b の連立方程式 を導くことができるんですね。
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大小比較 \( (A>B) \)、差 \( (A-B) \) を作ることで を示せ。そのための手法として次を用いよ。\n\n(1) を \( \left\{\begin{array}{l}(\text { 正の数 })+\text { (正の数 }) \\\text { 正の数 }) \times(\text { 正の数 })\end{array}\right. \) の形に変形する。\n(2) 実数の性質 \( (\text { 実数 })^{2} \geqq 0 \) を利用し、\( (\text { 実数 })^{2} \) または \( (\text { 実数 })^{2}+(\text { 実数 })^{2} \) の形を作る。\n(3) に根号や絶対値を含むとき、左辺と右辺がともに正であることに着目して平方して差をとる。
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ここで, θ > 0 のとき, π/a > 0 であるから n > 1/3 ゆえに, n は自然数である。したがって, f(θ) = 0 を満たす正の角 θ のうち最小のものは, n = 1 としたときで θ = π/3a。小さい方から4番目、5番目のものは、それぞれ題意を満たすための条件は、
11/3a π ≤ π かつ 14/3a π > π
各不等式の両辺に a/π (> 0) を掛けて
11/3 ≤ a かつ 14/3 > a すなわち 11/3 ≤ a < 14/3
n − 1/3 > 0 より大きい整数 は自然数
小さい方から4番目までは 0 ≤ θ ≤ π の範囲内で、5番目は0 ≤ θ ≤ π の範囲外となることが条件。
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512\n答の部(実践編)\n- TRAINING 実践\n<数学 II>\n1 (ア) 0 (イ) (1) (ウエ) 48\n2 (ア) 4 (イ) 1 (ウ) 1 (エ) (3)\n3 (ア) 1 (イ) 2 (ウ) 3 (エ) 6\n4 (ア) (3) (イ) 5 (ウ) 2 (エオ) 41\n(カ)0(キ)0(ク) 2\n5 (ア) 2 (イ) 1 (ウ) (3) (エ) (1)\n6 \\( \\frac{\\text { (ア) }}{\\text { (イ) }} \\quad \\frac{3}{2} \\quad \\frac{\\text { (ウ) }}{\\text { (エ) }} \\quad \\frac{8}{5} \\quad \\) (オ) 5\n7 (アイ) -1 (ウ) 1 (エ) 1\n(オカ) \\( -1 \\frac{\\text { (キク) }}{\\text { (ケ) }} \\quad \\frac{-1}{3} \\quad \\frac{\\text { (コサシ) }}{\\text { (スセ) }} \\quad \\frac{-32}{27} \\)\n8 (アイ) -1 (ウ) \\( 2 \\frac{\\text { (エ) }}{\\text { (オ) }} \\frac{9}{2} \\)\n(カキ) -3 (ク) 3 (ケ) 2\n(コサ)-3(シ) 3 (ス) 2\n<数学 \\mathrm{B} \ >\n1 (アイウエ) 2023 (オ) (1)\n2 (ア) 9 (イウ) 99 (エ) (1)(オ) (1) (1)\n3 (ア) (2) (イ) (2)
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1 から 200 までの整数について, 次のような数の和を求めよ。(1) 4 の倍数 (2) 4 の倍数でない数
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次のような等比数列の初項と公比を求めよ。ただし, 公比は実数とする。(1) 第 3 項が 18, 第 5 項が 162 (2) 第 2 項が 4 , 第 5 項が -32
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例 2 例 1 と同じ選挙において, 政党 と政党 が合併し新たに政党 を結成し, 合併前 と同じ得票数の合計を得られるとする。また, 他の政党の得票数は変わらないものとす ると,\n\n政党Aの得票数は 10000 , 政党 Dの得票数は 4000, 政党 Eの得票数は 15300 となる。\n\(表では,小数点以下は切り捨てとした。)\n\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\\hline & 政党 A & 政党 D & 政党 E \\\n\\hline 得票数 & 10000 & 4000 & 15300 \\\n\\hline 1 で割った商 & 10000 & 4000 & 15300 \\\n\\hline 2 で割った商 & 5000 & 2000 & 7650 \\\n\\hline 3 で割った商 & 3333 & 1333 & 5100 \\\n\\hline 4 で割った商 & 2500 & 1000 & 3825 \\\n\\hline 5 で割った商 & 2000 & 800 & 3060 \\\n\\hline 6 で割った商 & 1666 & 666 & 2550 \\\n\\hline 7 で割った商 & 1428 & 571 & 2185 \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n と順に議席を与え られ, 政党 は 3 議席, 政党 は 1 議席, 政党 は 6 議席を得る。
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TR \ \\log _{10} 2=0.3010 \ とするとき, 次の条件を満たす自然数 \ n \ の値を求めよ。\n(1) \ 2^{n} \ が 8 桁の数となる。\n(2) \ 0.25^{n} \ を小数で表すと、小数第 8 位に初めて 0 でない数字が現れる。
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次の計算をせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( (\sqrt[4]{36})^{2} \)\n(5)
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次のような等比数列の初項と公比を求めよ。ただし,公比は実数とする。(1) 第 3 項が -18 , 第 6 項が 486 (2) 第 6 項が 4 ,第 10 項が 16
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同じ品質のガラス板がたくさんある。このガラス板を 10 枚重ねて光を通過させたとき、光の強さが初めの 倍になった。通過した光の強さを初めの 倍以下にするには、このガラス板を何枚以上重ねればよいか。ただし、 とする。 [信州大]
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自然数の数列を,次のように,第 群が 個の数を含むように分ける。 1,2|3,4,5,6| 7,8,9,10,11,12 | 13,14, \cdots \cdots (1) のとき, 第 群の最初の数を求めよ。 (2) のとき, 第 群に含まれるすべての数の和を求めよ。
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例題
《基本例題 3
本 4 等诖数列の決定(1) …. 2 つの項から第 5 項が 3, 第 10 項が 18 である等差数列 において
(1) 初項と公差を求めよ。
(2) 第 21 項を求めよ。
(3)初めて 1000 を超えるのは,第何項か。
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(4) 座標平面上の点 (x, y) の両座標とも整数のとき, その点を格子点という。本問では,「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする。
(1) n を自然数とし,連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 2n の表す領域を D とする。領域 D 内に格子点はいくつあるか。
(2) n を自然数として, 連立不等式 y ≥ 0, 2|x| + y ≤ 2n の表す領域を F とする。領域 F 内に格子点はいくつあるか。
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TRAINING 98
a は正の定数とする。2 円 x^{2}+y^{2}-1=0, x^{2}+y^{2}-4x-4y+8-a=0 が共有点をもつ ように, a の値の範囲を定めよ。
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TR 1 から 200 までの整数について, 次のような数の和を求めよ。
(1) 4 の倍数
(2) 4 の倍数でない数
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次の等比数列の和を求めよ。
(1) 初項 4, 公比 , 項数 7
(2) 数列 , 項数
(3) 数列 , 項数
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次の数列の規則性を見つけ、それに従うものとして一般項をnの式で表せ。
(1) 3, 6, 9, 12
(2) -1/2, 1/4, -1/6, 1/8
(3) 1*1, 3*8, 5*27, 7*64, ...
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(2)\n\[\\begin{array}{c}\nb_{1}=1, \\quad b_{2}=3, \\quad b_{3}=9, \\quad b_{4}=27, \\quad b_{5}=81, \\cdots \\cdots . \\\\\n\\text { よって, } 1 \\leqq n<3 \\text { のとき } \\quad c_{n}=1 \\\\\n3 \\leqq n<9 \\text { のとき } \\quad c_{n}=3 \\\\\n9 \\leqq n<27 \\text { のとき } \\quad c_{n}=9 \\\\\n27 \\leqq n \\leqq 30 \\text { のとき } \\quad c_{n}=27 \\\\\n\\text { したがって } \\\\\n\\sum_{k=1}^{30} c_{k}=1 \\cdot(3-1)+3(9-3)+9(27-9)+27(30-27+1) \\\\\n\\quad=2+18+162+108=290\n\\end{array}\n\\]\n
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ある工場で 2 種類の製品 が,2 人の職人 ,Wによって生産されている。製品 につい ては, 1 台当たり組立作業に 6 時間, 調整作業に 2 時間が必要である。また, 製品Bについては,組立作業に 3 時間, 調整作業に 5 時間が必要である。いずれの作業も日をまたいで継続すること ができる。職人 は組立作業のみに, 職人 は調整作業のみに従事し,かつ,これらの作業に かける時間は職人 が 1 週間に 18 時間以内,職人 W が 1 週間に 10 時間以内と制限されている。 4 週間での製品 A,B の合計生産台数を最大にしたい。その合計生産台数を求めよ。
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1 から 100 までの整数について, 次のような数の和を求めよ。(1) 6 の倍数 (2) 6 の倍数でない数
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107^{4} 同じ品質のガラス板がたくさんある。このガラス板を 10 枚重ねて光を通過さ せたとき,光の強さが初めの 倍になった。通過した光の強さを初めの 倍以下にするには,このガラス板を何枚以上重ねればよいか。ただし, とする。
[信大] 《標準例題 162
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第 20 群の和を求めなさい。第 20 群は381, 383, 385, ..., のような正の奇数の等差数列である。
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初項 -83, 公差 4 の等差数列において, 初項から第何項までの和が最小となるか。また,そのときの和を求めよ。
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2 次方程式 \(x^{2}+(m-2) x+10-m=0\) が整数解のみをもつような定数 の値と、そのときの整数解をすべて求めよ。
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等差数列の一般項と和を求めなさい。
初項を , 公差を とする。
1. 第 項 を求めなさい。
2. 初項から第 項までの和 を求めなさい。
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数学 \\mathbb{I} \\n別解 x > 0, y > 0 \ であり, x^{2} y = 100 \ の両辺は正であるから, その常用対数をとると\n\\n\\begin{\overlineray}{ll|l} \n& \\log _{10} x^{2} y = \\log _{10} 100 & \\\\\n\\text { ゆえに } \\quad 2 \\log _{10} x+\\log _{10} y=2 & \\\\\n\\text { よって } \\quad \\log _{10} y = -2 \\log _{10} x+2 \\\\\n\\text { これを式も } \\log _{10} \\text { で表す。 } \\\\\n\\text { る。 }\n\\end{\overlineray}\n\\n\nこれを \\log _{10} x \\cdot \\log _{10} y \ に代入すると, 上の(A) と同じ式にな 条件式も \\log _{10} \ で表す。 る。\n\nEX \\log _{10} 2=0.3010, \\log _{10} 3 = 0.4771 \ とする。 2^{2011} \ は何桁の整数か。また, 2^{2011} \ の最高位の数字を (4) 106 求めよ。
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数学的帰納法の注意点\nここでは,数学的帰納法を扱うときの注意点をあげておきましょう。\n\n数学的帰納法の基本的な流れ\nすべての自然数 について (A) が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明すると きは,次のような流れになる。\n(1) [1] のとき, (A) が成り立つ。\n(2) [2] のとき, (A) が成り立つと仮定すると, のときにも (A) が成り立つ。\n(3) [1], [2] から, すべての自然数 について (A) が成り立つ。
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問 6 下線部 fに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記よ り1つ選び番号で答えなさい。~大坂(阪)から商品を仕入れる江戸の商人は, 銀貨に対する金貨の価値が高いと, より安 く商品を手に入れることができます。Y 江戸の多くの武士は, 給与でもらった米を金貨に換え, さらに銭貨に両替するので, 金貨に対する銭貨の価値が高いと, より多くの銭貨を手にすることができます。
\begin{tabular}{|llllllllll|}
\hline 1 & & 正 & & 正 & 2 & & 正 & & 誤 \\
3 & & 誤 & & 正 & 4 & & 誤 & & 誤 \\
\hline
\end{tabular}
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(2)次の()に適切な値を整数で答え なさい。\n の空気について考えます。 では, まで水蒸気を含むこ とができます。実際に含まれている 水蒸気が だった場合, 飽和水蒸\n気量に対する割合は \% \nこのときの湿度は50\%である, といいます。したがって、 の水蒸気を含んでいると湿度は(ア)%ということになります。一方で, 飽和水蒸気量が となる温度は, (イ) \( )^{\circ} \mathrm{C} \) です。
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(2)黒い正方形の 1 辺の長さが 9 cm のとき, 白い正方形のマスの中に整数をちょうど並べきる には、いくつからいくつまでの整数を並べればよいですか。考えられるものをすべて答えなさい。
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問 2 下線部bに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記より1つ選び番号で答えなさい。
X 推古天皇は, 遣唐使として小野妹子を派遣しました。
Y 空海は, 遣唐使とともに唐に渡り, 後に真言宗を日本に伝えました。
\begin{tabular}{|llllllllll|}
\hline 1 & & 正 & & 正 & 2 & & 正 & & 誤 \\
3 & & 䛊 & & 正 & 4 & & 誤 & & 誤 \\
\hline
\end{tabular}
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(6) 11.2mL の水素をすべて反応させるには、5.6mL の酸素が最低限必要である。5.6mL の酸素を含む空気の体積は、表1の空気中に占める体積の割合から、5.6 ÷ 0.21 = 26.66 より、26.7mL と求められる。
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(2)A君が学校を出る時間は0~60分後だから,K駅に到着するのは12~72分後,M駅に到着 するのは14〜74分後である。また, 電車がK駅を出発するのは8の倍数の時間, 電車が M 駅を出発 するのは5の倍数の時間なので, 下の図1のように表すことができる。ただし,図1からは待ち時間の差を知ることはできないから,M駅の図を2分ずらし,駅に到着した時刻をそろえた図をかく と,下の図2のようになる。図2から,待ち時間が等しくなるのは太線部分で駅に到着した場合と わかる。このとき, A君が学校を出る時間をM駅で求めると, 45-14=31 (分後) から, 50-14=36 (分後)までと求められる(アは, 45-2=43 (分後)なので, K 駅で求めると,43-12=31 (分後) から絞り出した経過時間が 図から見える
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図のように, 数が書かれた144枚のカードを上から順に重ねた山と、そのとなりに箱があります。\n山にあるいちばん上のカードについて次の「操作 P」,「操作 Q」を P → Q → P → Q → P → …のように山のカードが1枚になるまで繰り返します。\n操作 P カードを箱に入れる\n操作Q カードを山のいちばん下にもっていく\nこのとき, 次の各問いに答えなさい。\n(2)72が書かれたカードを箱に入れるのは何枚目ですか。
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資料2「気圧変化のグラフ」について答えなさい。(1)次の[]に適する語句や記号を選び,○で囲みなさい。\n台風の周辺では, 中心に近ければ近いほど気圧が低くなります。よって本校の観濝データ から作られたグラフは \((I)[ \ (\ ( \left.) \cdot(\omega)) \cdot(う) \right]\) であることが分かります。また, 資料 2 のグラフから は, 各観測地点に台風の中心が最も近づいた時刻が分かります。図 1 で東京と銚子を比べる と,先に台風の中心が接近したのは 東京のグラフが \((III)[ \ (\ ( ) \cdot(\omega) \cdot(う)] \) で, 銚子のグラフが \((V)[ \ (あ \ ( \left.) \cdot(\omega)) \cdot(う) \right]\) であることが分かります。
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(5)定義エについて
「1メートル」を定義する数字「299792458」は測定値に基づきます。この数字は何の物理量 を示す値ですか。「水の密度1000キログラム毎立方メートル」のように, 物理量の名前を具体的に書き, 組立単位を付して示しなさい。
なお,この物理量は1675年に初めて, 天文学者の天体観測によって測定されました。
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問 4 下線部dに関する次の文X・Yについて,その正誤の組合せとして正しいものを,下記より1つ選び番号で答えなさい。な扒「」内の記述は下線部の『世界の記述』に書いてある内容です。
X 「ジパングは, 東のかた, 大陸から千五百マイルの大洋中にある, …‥この国王の一大宮殿は、それこそ純金ずくめで出来ている」とあり、「一大宮殿」とは足利義満が建立した鹿苑寺金閣であると考えられています。
Y 「バグダッドは大都市である。かつては, 全世界のイスラム教徒の長たるカリフの都だった」とあり, 現在でも「バグダッド」を含む西アジア地域はイスラム教徒が多く居住しています。
|~~~~|X| 正|Y| 正|~~~~|~~~~|X| 正|Y| 誤|
|~~~~|X| 誤|Y| 正|~~~~|~~~~|X|誤|Y| 誤|
|~~~~|1|~~~~|2|~~~~|3|~~~~|4|
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(5) 千葉セクションの地層は1000年につき2mの速さでたい積したとあるので, 77.3 万年前にできた火山灰の層から1.6m上の層までたい積するのにかかった時間は, 1000×1.6/2=800 (年)である。したがって, 77.3 万 -800=77.22 (万年)より, 地磁気が現在の向きになったのは 77.2 万年前である。
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次の文章を読んで, 下記の設問に答えなさい。
国際色豊かな天平文化を代表する東大寺の正倉院は,a図1をはじめとする数々の道具や楽器などの宝物が残されているため, 「シルクロードの終着点」や「シルクロードの終着駅」などと呼ばれることがあります。そして,多くの中学校の歴史教科書などでも,天平文化のページには,ユーラシア大陸を中心にした地図が揭載されています。その地図には多くの場合、ユーラシア大陸の内陸に点在するオアシスを結ぶ「オアシスの道」と,東南アジアやインドに浚った讙路の「海の道」が示されています。この「オアシスの道」と「海の道」から成る,いわゆるシルクロードを通じて,ユーラシア大陸東部の唐(中国)とイスラム帝国が支配する西アジアが結ばれ,東西交流が行われていたことが理解しやすいようになっています。このような東西交流を示す地図や「シルクロードの終着点」などの言葉がもたらすイメージのためか、日本がシルクロードを通じた東西交流・国際貿易における,その東端にあたる一大拠点だったと誤解する人も少なくないようです。その人たちの多くは,b遣唐使の派遣を、シルクロードを通じた東西交流の中に位置づけて理解するのです。同じように, 言葉がもたらすイメージなどが正しい歴史認識や歴史解釈を妨げてしまうことがほかにもあります。「国風文化」という言葉もその一つかもしれません。10〜11世紀の平安時代中期における,貴族を主な担い手とした日本的な優雅で洗練された文化は、「国風文化」と呼ばれます。国風と表現されるようになったのは,近代以降で,1930年代より使われ始めたと考えられています。過去には, 平安中期の日本的な文化を「国風文化」と呼ぶのに対し, それに先行する9世紀前半の平安前期に栄えた唐風(中国風)の文化を「国風暗黒文化」と表現する研究者まで現れました。この「国風暗黒文化」という表現は極端な例かもしれませんが,かつては教育現場でも,894年の遣唐使の停止によって中国との交流が途絶えたため, 中国など大陸文化を踏まえた日本独自の文化「国風文化」が発達したと理解されていました。このような理解は, 研究によって否定され,研究成果に基づいて多くの教科書も書き改められています。このような cかつての理解の修正は,近年の発掘成果によっても裏付けられています。いくつかの高校の日本史の教科書では、仮名文字の発達を国風文化の象徴としています。近年の発掘によって, d藤原食管の弟である藤原良相(813-867年)という人物の邸宅跡から, 嚜で仮名文字を記した良相の時期の土器が発見されたのです。理解の修正という点では, e足利義满が f明から日本国王に任じられたことに対する理解も,近年の研究成果によって変わりつつあります。かつては、明から日本国王に任じられることによって、義满は天皇をこえる権威を手に入れようとしたなどと理解されていました。しかし、近年の研究によって、明の皇帝からの使いを迎えて行われた日本国王の任命式が小規模で行われ,義满自身も日本国王の地位・称号を国内で政治的に利用した形迹がないことが明らかとなり,明との交渉など対外関係において日本国王を名乗ったとする理解が支持を広げています。同様のことはg江戸時代の鎖国についても言えるでしょう。かつては江戸時代の日本は海外に対して門吉を閉じていたとして、その状態を鎖国という言葉を用いて表現していました。しかし, h幕府が海外に対して門戸を閉ざしていたというイメージや理解を招いてしまうことも
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AさんとBさんのそれぞれの列の同じ番目の数をくらべたとき,その差がもっとも大きいのは何番目の数ですか。考えられるものをすべて答えなさい。
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(6) 幕張駅から幕張本郷駅へ向かう電車は, はじめの60秒間に600m進み, あとの 17.5 秒間には, 20 × 17.5 = 350(m)進む。よって, 電車がすれ違う位置は幕張駅から, 600 + 350 = 950(m) の位置となる。
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問 1 気象庁が発表する気温などの平年値は, 西暦年の一の位が「1」の年から続く30年間の数値を平均して求められる。2021年 5 月19日からは,それまでの1981~2010年の数値に代わり,1991~2020年の30年間の数値が用いられるようになった。
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ある川の上流と下流にそれぞれ地点 A と地点 B があり、その間を船 P と船 Q が 1 往復します。船Pは上流のAを出発し、Bに着いたらすぐにAに向かいます。船Qは下流のBを出発し, A に着いたらすぐにBに向かいます。\n船 P と船 Q は同時にそれぞれ A と B を出発し, まず地点 Cで出会い, その後, 地点 Dで出会いました。AとCの距離とBとCの距離の比は 3 : 2 で, CとDは120m離れています。\n静水では、船 P と船 Q の速さはそれぞれ一定で, 船 Q の速さは船 P の速さの1.5倍です。船 P は A と Bの間を往復するのに48分かかりました。また, この川の流れの速さは一定とします。\nこのとき,次の各問いに答えなさい。\n(1)船 Q が A と B の間を往復するのに何分かかりますか。
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(3)黒い正方形の 1 辺の長さが 14cm のとき, 白い正方形の個数は, (14+1) x 4=60 (個) だから, 60 を 2 つの整数の積で表すと, 60=1 x 60,2 x 30,3 x 20,4 x 15,5 x 12,6 x 10 となる。3 x20に注目すると, 「平均が20の 3 個の整数の和」となり、 60=19+20+21 とわかる。また, 5 x 12 に注目すると, 「平均が12の 5 個の整数の和」となり, 60=10+11+12+13+14 と求められる。 さらに、4×15に注目すると,「和が15の組が 4 組」となる。ここで,中央の 2 つの数は,和が 15 で差が1の数なので, (15-1) ÷ 2=7 と, 7+1=8 と求められ, 60=4+5+6+7+8+9 +10+11となる。よって, 考えられる並べ方は, 19〜21,10〜14, 4〜11である。
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(4) 次の()を適切に補いなさい。点(2)の縦軸の値は第(ア)世代の個体数であり, 点(3)の縦軸の値は第(イ)世代の個体数である。
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(1) プラスチック管の内側の断面積は なので, のとき, 㛒素の体積は, \( \left(\mathrm{cm}^{3}\right) \), 酸素の体積は, \( 0.25 \times 30.0=7.5\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) \) である。
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1 場合の数\n(1)はじめにAさんの 20 番目の数を求める。下の図1のように, 千の位が 1 のとき, 百の位には 4 通り、十の位には3通り,一の位には2通りのカードを並べることができるから,4けたの整数は, ほうから24番目の数が1976とわかる。ここからさかのほって, 大きいほうから順に樹形図をかくと 下の図2のようになるので, 小さいほうから20番目の数は1947と求められる。また, Aさんのカー は2938とわかる。
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(7) (1)〜(3) 1m の同じ厚さの地層がたい積するのに, 千葉では,1000 ÷2=500 (年), イタリアでは5000年かかるので,地層がたい積する速さは千葉の方が, 1/500 ÷ 1/5000=10 (倍)速い。
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〔算 数〕100点(推定配点)\n1 各 7 点 \n2 (1) 8 点\n(2) 〜(4) 各 5 点 各々完答 \n3\n各 7 点
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問 9 (2)1688年には,下線部hのように信濃国の村が領主に訴える事慜となりました。その原因 となった江戸幕府の政策を30字以内で説明しなさい。その際, 当時の将軍の名前を明らか にすること。
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黒い正方形のまわりに1辺の長さが の白い正方形を並べます。下の図は, 左から 1 辺 の長さが の黒い正方形のまわりに白い正方形を並べたものです。\n 白い正方形のマスの中に, 1 は 1 個, 2 は 2 個, 3 は 3 個, ...‥のように整数 A は A 個使い, ある整数から連続した 2 種類以上の整数を並べます。\nたとえば, 図 1 の左側のように, 黒い正方形の 1 辺の長さが のとき, 3 を 3 個, 4 を 4 個, 5 を 5 個使うと,ちょうど並べきることができます。しかし,図1の右側のように, 4 を 4 個,5を5個,6を6個ではちょうど並べきることができません。また,図2のように,黒い正方形の 1 辺の長さが のときは, 1 から 8 までと, 11 から 13 までの整数をちょうど並べきることができます。
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2020年度 渋谷教育学園幕張中学校 算数 第1次試験
1 (3) 操作を続けていくと、最後に山に残るカードは何ですか?
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問 3 下線部 cに関連して, 屋島の戦いの古戦場は, 現在の香川県内にあります。その香川県出身の内閣総理大臣に大平正芳がいます。この大平正芳が外務大臣や内閣総理大臣として活躍 した1970年代の出来事に関して述べた次の文A〜Dについて, 正しいものの組合せを,下記 より 1 つ選び番号で答えなさい。
A アメリカの統治下にあった沖縄が日本に復帰しました。
B 東京と大阪の間を結ぶ東海道新幹線が開通しました。
C 中華人民共和国との国交が正常化されました。
D東京ではトーキーと呼ばれた無声映画の上映が始まり, 人気を集めました。
1 A ・ C
2 A ・ D
3 B ・ C
4 B ・ D
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問 5 下線部dに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記よ\nり1つ選び番号で答えなさい。\nX 都道府県知事は,住民に対して期間と地域を定めた上で,医療機関への通院や食料の買 い出しなどを除いて,不要不急の外出を自萧するう要請できます。\nY 都道府県知事が私立学校や市町村立の小学校・中学校に休校を要請し, 応じない場合に は罰則を科すことができます。\n\\begin{tabular}{|llllllllll|}\n\\hline 1 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 2 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 誤 \\\\\n3 & \ \\mathbf{X} \ & 誤 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 4 & \ \\mathbf{X} \ & 誤 & \ \\mathrm{Y} \ & 䛊 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}
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(3)火山灰層は,離れた地層を比べる手がかりとなります。理由を説明した次の[]に適切なも のを選び, ○で囲みなさい。
火山灰層は,上下の地層と比べて 1 [長い・短い・同じ]時間でたい積したと考えられるため,地層が形成された時代を決めることができる。また, 火山灰は色や鉱物の種類などの特徴が火山ごと,噴火ごとに異なる。大きな噴火② [では数百km以上におよぶ広い・でも数km以内のせまい 範囲に火山灰が降るため,同じ火山灰層だと分かれば,離れた場所の地層を,同じ 時代の地層としてつなげることができる。
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(3) 定義イについて\n「質量」の単位の基準は、19世紀末に「キログラム牦器」が用いられ るようになります。理由は, 「水 1000 cm^3 の質量が水の条件によって異なることでした。「キログラム原器」は金属固体なので, その質量が条件によって異なることはありません。 「水 1000 cm^3 」の質量を変えてしまう「水の条件」を考え,1つ書きなさい。
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2 (1) (1) A を15で割ったときの商と余りを □ とすると, A÷15=□ 余り □ となる。ここで, P÷Q=R 余りSのとき, P=Q×R+S となるから, A=15×□+□=(15+1)×□=16×□ と表すことができ、 A は16の倍数とわかる。同様に, A を17で割ったときの商と余りを △ とすると, A÷17=△ 余り △ より, A=17×△+△=(17+1)×△=18×△ と表すことができ、 A は18の倍数とわかる。よって、Aは16と18の公倍数である。また, 右の計算から,16と18の最小公倍数は, 2×8×9=144 とわかるので, A は144の倍数になる。ここで, 割り算がって, A は, 16×14=224 以下なので, 条件に合う A は144だけである。
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(6) 11.2 mL の気体3と空気を反応させます。気体3が残らないようにするために最低限必要な 空気の体積を小数第 1 位まで答えなさい。
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(2) 図3の後も同じ割合で入れ続けるとき、容器AとBそれぞれがいっぱいになるまでの時間を求め、水が先にいっぱいになる容器を答えなさい。
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白色と黒色の石を, 同じ色の石が 3 個以上続いて並ぶことがないように左から横に1列に並べます。右の図は白色の石と黒色の石をあわせて 4 個使ってできる石の並べ方を考えるためにかいたものです。\n(3)(2)の並べ方のうち,石の色の並び方が左右対称になるものは何通りありますか。
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2020 渋谷教育学園幕張中〈第 2 次〉 ( 2 )\n(2)船P と船 が地点 で出会ったのは, 出発してから何分後ですか。
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(4)水は で気体になると,1700倍の体積になることが知られています。<実験 の平均値より,たね 1 粒から で何 の水蒸気が発生すると考えられますか。整数で答えなさい。
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(2) 電球から の距離での照度は120ルックス, の距離での照度は500ルックスなので, より, 距離が の位置での照度は の位置での照度の約 になっている。
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問41原敬が,立憲政友会の総裁として初の本格的な政党内閣を組織したのは1918年のこと で, これは大正 7 年にあたる。 2 大日本帝国憲法は, 第 1 回帝国議会が開かれる前年の1889 年に, 天皇が国民に授けるという形で発布された。参議院は日本国憲法の制定後の1947年, 貴族院 に代わって創設された。3日清戦争の講和条約である下関条約は, 明治28年にあたる1895年 に結ばれ,日本は清(中国)から多額の賠償金を手に入れた。 4 明治時代に整備された軍隊 は陸軍と海軍で編成されており、その後に編成された航空部隊も,陸海軍いずれかの所属とされた。
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問5
外国為替相場が1ドル=200円から1ドル=100円になった場合,200円出さないと交換できなかったものが100円で交換できるようになる。これが「円高ドル安」という状態で, ドルに対する円の価値が上がったことを意味する。
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問2X日本では1953年にテレビ放送が始まり,この少しあとの1950年代後半から高度経済成長期が始まった。このころには家庭電化製品が全国の家庭に普槑し始め, 白黒テレビ・電気洗濯機・電気冷蔵庫が「三種の神器」とよばれて人気を集めた。エアコンと自動車は、カラーテレビと ともに「3C」よばれ,高度経済成長期の後半に普及した。Y普通選挙法と治安維持法は 大正時代末期の1925年に制定され, この年にラジオ放送が開始された。
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2 〈2〉 A, B, C, D, E, F, G, Hの 8つの 図1 チームが、あるスポーツの試合をトーナメン ト方式(勝ちぬき戦)で行います。\n図1のようなトーナメント表のアからクま でのわくにチームを割りふります。\nできたトーナメント表にしたがって対戦し、最後まで勝ったチームを優勝, 決勝戦で負け たチームを準優勝とします。\n8つのチームはA, B, C, D, E, F, G,Hの順に強いと予想されており,番くるわせ(より弱いと予想されたチームがより強いと 予想されたチームに勝つこと)が起きなければ, 予想されたとうりに、より強いチームが勝つ ものとします。\nこのとき,次の各問いに答えなさい。\n(1)番くるわせがないとき,準優勝する可能性があるチームは何チームありますか。
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問10 下線部 j に関連して, 米騒動の直接的な原因として米価の高騰があげられます。なぜ米価が高騰したのですか。その理由を30字以内で説明しなさい。
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問 3 下線部bの天皇の時代に関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいも のを,下記より1つ選び番号で答えなさい。
X 推古天皇の時代に, 個人の能力や功績によって位を与える冠位十二階の制が定められま した。冠位は蘇我氏をふくめ全国の豪族に与えられました。
Y 天武・持統天皇の時代に, 中国の唐の制度を参考にして大宝律令が作られました。律は 現在の行政法, 令は刑法にあたります。
1: X - 正, Y - 正
2: X - 正, Y - 誤
3: X - 誤, Y - 正
4: X - 誤, Y - 誤
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33種類のロウソクA,B,Cがあります。3本のロウソクは火をつけるとそれぞれ一定の割合で燃えます。Aに火をつけてから10分後にBに火をつけ、そのさらに5分後にCに火をつけたところ、ロウソクCが最初に燃え尽き,その後ロウソクA,Bが同時に燃え尽きました。下のグラフは、Aに火をつけてからすべてのロウソクが燃え尽きるまでの時間と, 最も長いロウソクと最も短いロウソクの長さの差の関係を表したものです。また, 燃え尽きてしまったロウソクの長さは0 cmであると考えます。次の各問いに答えなさい。
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問 3 下線部bに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記よ り1つ選び番号で答えなさい。\
X 税金や公共料金などは, 預金口座から引き落として支払うことができます。\
Y 現在, 金融機関の経営が破綻したときは, 政府がすべての預金を全額払い戻すことを保証しています。\
1 X 正 Y 正\
2 X 正 Y 誤\
3 X 誤 Y 正\
4 X 誤 Y 誤
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問 3 下線部cに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記よ り1つ選び番号で答えなさい。\nX 横浜市は名古屋市・大阪市・京都市・神戸市と同時に, 日本で最初に政令指定都市にな りました。\nY 横浜市では歴史的な経緯から, 絹のハンカチやスカーフなどの染色工業が地場産業にな っています。\n\\begin{tabular}{|llllllllll|}\n\\hline 1 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 2 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 誤 \\\\\n3 & \ \\mathrm{X} \ & 䛊 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 4 & \ \\mathrm{X} \ & 誤 & \ \\mathrm{Y} \ & 誤 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}
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もともとpHに関係なく緑色だったためで, 紫キャベツの水溶液の色の変化としては赤色と考えら れる。この色の変化により, Aの水溶液はpHが2.5以下とわかる。Bの水溶液5 mLと同じ体積でちょうど中和する酸性の水溶液は, 7-(10.5-7)=3.5 より, pH 3.5 である。Aの水溶液がpH2.5であるとすると, pH 3.5 の酸性の水溶液と比べて, 3.5-2.5=1 より, 酸性の度合いが10倍強いことから, Bの水溶液をちょうど中和するAの水溶液の体積はBの,1 1 ÷ 10=1/10 (倍)とわかる。Aの水溶液の pH が2.5より低い場合は,ちょうど中和するのに必要なAの水溶液の体積はさらに少なくなる。
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(3) 本尺の目盛りを読むと, P’は4mm, Qは26mmである。よって, P’Q間の長さは26 - 4 = 22(mm) とわかる。
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2021渋谷教育学園幕張中の算数問題 (1)
1. 以下の計算を行いなさい。
(1) 5△10、5△30、5△60 について求めなさい。
(2) 8△c の中で最も大きい数を求めなさい。
(3) 3△d の中で考えられる数をすべて求めなさい。
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次の各問いに答えなさい。ただし音速は常に毎秒350mとします。
図 1 のように壁から 300 m 離れた位置に観測者がいます。壁と観測者の直線上に音源を置きます。この音源から音を 1 回鳴らすと、観測者は音源から直接届く音と、壁で反射した音の合わせて 2 回の音が聞こえました。このとき観測者が聞いた音と音の間の時間を T 秒とします。
(1)次の(1), (2)の場合について, T の値を小数第1 位まで答えなさい。
(1) 音源と壁の間の距離が 140 m の場合(図 2)
(2) 音源と壁の間の距離が 400 m の場合(図 3)
(2)(1)の音源の位置だけを同じ直線上でいろいろ変えたとき,Tの値がどうなるか調べました。図4のように,横軸を壁から音源までの距離,縦軸を T とするとき、どのような形のグラフになるか示しなさい。ただし値は書かないこと。(1)(2)の答えを t とする。
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問 3 下線部cに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを,下記よ\nり1つ選び番号で答えなさい。\nX 安倍内閣の閣僚のすべては,自由民主党(自民党)所属の国会議員でした。\nY 安倍首相の通算在任期間は桂太郎を, 連続在任期間は佐藤栄作を抜いて, ともに歴代最長になりました。\n\\begin{tabular}{|llllllllll|}\n\\hline 1 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 2 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 誤 \\\\\n3 & \ \\mathrm{X} \ & 誤 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 4 & \ \\mathrm{X} \ & 䛊 & \ \\mathrm{Y} \ & 䛊 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}
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3 速さと比
(1)通常時と強風時について, 速さの比は, 1 : 0.6 =5: 3 だから, M駅からK駅まで行くのにかかる時間の比は, 1/5: 1/3=3: 5 となる。この差が 8 分なの で, 比の 1 にあたる時間は, 8 ÷(5-3)=4 (分) と なり,通常時にかかる時間は, 4×3=12 (分), 強風時にかかる時間は, 4×5=20 (分)とわかる。よって,電車AがM駅を出発してからの時間と,3つの電車の M駅からの道のりの関係をグラフに表すと, 右上の太実線のようになる。よって, 電車 C 60分後 にK駅に着いたことがわかる。また,予定では,30分後にM駅を出発して,30+12=42(分後)にK 駅に着くはずだったから,予定よりも, 60-42=18 (分)遅れたことになる。
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(3)黒い正方形の 1 辺の長さが 14 cm のとき, 白い正方形のマスの中に整数をちょうど並べきる には、いくつからいくつまでの整数を並べればよいですか。考えられるものをすべて答えなさい。
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3 真一くんは自宅から一本道でつながっている友達の家へ遊びに行きます。最初は走って向か っていましたが、疲れてしまったので, 自宅と友達の家のちょうど真ん中の地点からは歩いて 向かいました。そのため, 自宅から友達の家まで走って行くより20分遅れて到菿着しました。帰りは母が車で迎えに来てくれます。真一くんは友達の家を歩きで, 母は自宅を車で, それ ぞれ同時に出発し, 真一くんが一本道を帰る途中哰に母と出会ったところで車に乗り,2人で自宅に嵄る予定でした。ところが真一くんは友達の家を出るのが予定より10分遅れてしまいまし た。予定通り出発した母は真一くんと出会うまで車を進め, 無事に真一くんを車に乗せて自宅 に戻ったところ,予定より時間がかかってしまいました。 真一くんの歩く速さと比べて, 走る速さは 2 倍, 車の走る速さは 5 倍です。車の速さは真一
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A君が午後2時15分にS中学校を出るとき, どちらの駅に行ったほうが駅での電車の待ち時間が少ないですか。また, そのときの待ち時間は何分間ですか。
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(7)次の()に適切な値を答えなさい。\n実は上のような計算をしなくても, ノギスでボタンの直径を読み取ることができます。\n図6で, 副尺の0の線は本尺の(1))~(2)mmの間にあります。さらに,本尺と副尺の目盛り線がそろっているのは、副尺の目盛り線で(3)の線です。2ヶ所の値を読むことによって, ボタンの直径は( (4) ) mm であることがわかります。
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・のよに, A さんの十の位を 9 , B さんの十の位 を9にすればよい。このとき, 残ったカードの差は どちらも、 2-1=8-7=1 だから, 差がもつと も大きくなるのは (6491,4392) と 6497,4398 ) の 2 つある(どちらの差も2099になる)。次に Aさんが 6491,6497になる場合について考える。(1),(2)より、千の位が 1,4の整数は24個ずつある。また,千の 位が 6 で百の位が 1 の整数は 6 個ある。ここで, 千 の位が 6 で百の位が 4 の整数を小さい順にかくと {6417,6419,6471,6479,6491,6497} となるので, 6491 は, 24+24+6+5=59 (番目), 6497 は, 59+1=60 (番目)と求められる。
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(2) M駅から K駅までの電車の速さを,実際よりさらに毎分 0.2 km だけ速さを遅くして運行していたとすると,電車Aは,予定の時刻より18分遅れてK駅に着いていたそうです。
(1) 電車の通常の速さは,毎分何
km ですか。
② M駅とK駅の間の道のりは,何
km ですか。
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問 1 空らんア~オには「低」または「高」が入ります。そのうち,「高」が入る空らん の記号の組合せとして正しいものを,下記より1つ選び番号で答えなさい。 \
1 アエオ \
2 アイエオ \
3 アウエオ \
4 イ \
5 イウ \
6 ウ
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問 1 各 3 点 、問 2 〜問 5 各 4 点 、問 6 は 6 点 、問 7 は 4 点 、問 8 は 10 点 、問 9 は 各 3 点
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問 7 下線部 f に関連して, 尾張国は 現在の愛知県西部にあった国です。愛知県の県庁所在地は名古屋市で すが, 右の図 5 は, その名古屋に 抜ける米騒動の様子を描いたもの です。この図5を見て, 米騒動に 関して述べた次の文A〜Dについ て, 正しいものの組合せを, 下記 より1つ選び番号で答えなさい。\nA 名古屋でも,女性を中心とする人々が, 米の安売りを求めて 米屋に押しかけました。\nB 米騒動が起きた当時, 名古屋 などの都市では電灯が普及し,夜になると電灯の明かりが街を 照らしました。\nC 米騒動を鎮めるため, 警察だけでなく, 軍隊も出動しました。\nD 米騒動は, 米が不足する12月から翌年の 3 月にかけて起きました。\n1 \text { A C C } 2 \text { A } \cdot \text { D } 3 \text { B } \cdot \text { C } \quad 4 \text { B } \cdot \text { D }
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常温で固体のものは、次のうちどれか。(1) 水酸化ナトリウム (2) アルミニウム (3) サラダ油 (4) 消毒用アルコール (5) 二酸化炭素 (6) 酸素
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この国で、本校が交流をしている学校は「ラッフルズ学院(Raffles Institution)」という中高一貫校です。この学校の名称である「ラッフルズ」は、18世紀に、この場所を東南アジアにおける自由貿易のネットワークの起点としようとした人物に由来しています。この人物は、エリザベス1世により1600年にアジアとの貿易のために作られた特殊な会社の社員でした。この会社の名称を答えなさい。
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2021 渋谷教育学園幕張中 第 2 次 問題 (3) (2) 毎分 の速さで進むと12分かかるので, M駅と K駅の間の道のりは, \( 1 \times 12=12(\mathrm{~km}) \) である。
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問 3 X 安倍晋三内閣は自由民主党(自民党)と公明党の連立内閣で, 公明党からも 部閣 が選ばれた。Y 安倍晋三首相は2020年9月16日に辞任したが, その通算在任期間は3188日で, 桂太郎の2886日をぬいて歴代最長となった。また,2012年12月26日の第二次内閣発足以来の連続在任期間は2822日となり,佐藤栄作の2798日をぬいてこちらも歴代最長となった。よって,正しい。
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問 1 下線部aに関連して, 縄文時代には右図のように, 亡くなっ た人を葬る習慣がありました。このような埋葬を何といいます か。漢字で答えなさい。
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(5)実験1,2をいろいろな班に分かれて行ったところ, ビーカー内の混合液が丸底フラスコ内 に勢いよく入っていかない班がいくつかありました。この理由として当てはまるものを次より すべて選び,記号を答えなさい。
ア塩化アンモニウムの粉末と水酸化カルシウムの粉末,それぞれ 2 倍量を試験管に入れた。
イ 丸底フラスコの管口近くからアンモニアのにおいがする前に栓をした。
ウスポイトに入れたBTB 溶液の量が多かった。
エビーカーの混合液中のBTB 溶液が薄かった。
オ 丸底フラスコを閉じるゴム栓のしめ方が弱かった。
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2021 渋谷教育学園幕張中〈第 2 次〉 (2)
(2)図3のように, 縦に 4 枚, 横に 5 枚, 計20枚の色紙を㖕にはって, 長方形の色の模様をつくります。青の色紙をできるだけ多く使うようにしたとき、できる色の模様は全部で何通りありますか。
図3
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2 (2) B÷C=15 余り 15より, B=C×15+15=15×(C+1) となるので, B は15の倍数である。同様に, B÷D=17 余り17より、 B=D×17+17=17×(D+1) となるから,Bは17の倍数である。よって, B は 15 と 17 の公倍数であり,15と17の最小公倍数は,15×17=255なので, B は255の倍数とわかる。さらに, Cは16以上であり, D は18以上だから, B は、 17×(18+1)=323 以上である。したがって、 999 を255で割ると余り234より, 3 桁でもっとも大きい整数は, 255×3=765 と求められる。
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1 (2) 約分できな い分数は,小さい方から順に {1/2021, 2/2021, 3/2021,・・・} ,大きい方から順に {2020/2021, 2019/2021, 2018/2021,・・・} となる。これらを順に組にして加えると,どの組の和も, 1/2021+2020/2021=2/2021+2019/2021=3/2021+2018/2021 = 1 になる。また, 約分できない分数は, 2020-88=1932 (個)あるから, 組の数は, 1932÷2=966 (組)となる。よって, これらの和は, 1×966=966 と求められる。
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(2)16日にチドリAに食べられた73匹のゴカイは, 15日と16日の2日間で, ゴカイが2倍の \( 2.19 \times 2 = 4.38(\mathrm{~g}) \) の有機物を食べている。
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問 2 下線部aに関する次の文 ・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記よ り1つ選び番号で答えなさい。ただし,西暦には誤りがないものとします。\nX1992年に国連環境開発会議(地球サミット)が開かれ, 気候変動枠組み条約や生物多様性条約などが調印されました。\nY 2015年にパリ協定が採択され, 気温上昇を産業革命前と比べて地球全体で 2 度未満にお
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(2)(1)電車Aが毎分 0.2 km 遅くしたときにかかる時間は, 12+18=30 (分)なので, このときのよ うすはグラフの太点線のようになる。ここで, 電車Aの太実線と太点線の部分について, 時間の比 は, 20: 30=2: 3 だから, 速さの比は, 1/2: 1/3=3: 2 となる。この差が毎分 0.2 km なので, 比 の 1 にあたる速さは毎分, 0.2 ÷(3-2)=0.2(km) となり, 太実線の速さは毎分, 0.2×3=0.6
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(3) 水の密度(単位体積あたりの重さ)は, 4°C のときに最も大きくなり, 4°C より高い温度でも低 い温度でも 4°C のときより小さくなる。つまり,温度によって「水 1000 cm^3 の質量」が変化するので,重さの基準として用いるには適していなかったといえる。
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(1)黒い正方形の1辺の長さにかかわらず,連続した2種類の整数だけでは白い正方形のマスの 中に整数をちょうど並べきることができません。その理由を説明しなさい。
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う一方の水そうは水でいっぱいにはなりません。そこで途中から一方の水そうに入れる水の量 をそれまでと比べて毎分 2 倍にします。すると,2つの水そうが同時に水でいつぱいになりま した。毎分 2 倍の量で水を入れたのはどちらの水そうで, 何分間ですか。
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(6)図 6 の写真では, 本尺と副尺の目盛り線がそろっているのは, 副尺の3.5の線です。ボタンの直径は何 になりますか。小数第 2 位まで答えなさい。
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図のように, 数が書かれた144枚のカードを上から順に重ねた山と、そのとなりに箱があります。\n山にあるいちばん上のカードについて次の「操作 P」,「操作 Q」を P → Q → P → Q → P → …のように山のカードが1枚になるまで繰り返します。\n操作 P カードを箱に入れる\n操作Q カードを山のいちばん下にもっていく\nこのとき, 次の各問いに答えなさい。\n(3) 最後に山にあるカードに書かれている数はいくつですか。
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問10 下線部 jに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを、下記よ り1つ選び番号で答えなさい。
~予算案は,内閣または国会議員が国会へ提出できます。
Y 予算案の審議は, 衆議院または参議院のどちらが先でも可能です。
\begin{tabular}{|llllllllll|}
\hline 1 & & 正 & & 正 & 2 & & 正 & & 誤 \
3 & & 誤 & & 正 & 4 & & 誤 & & 誤 \
\hline
\end{tabular}
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(3) 1 km = 1000 mで, 1 時間 = 60 分 = 3600秒なので, 72 km / 時は, 72 × 1000 ÷ 3600 = 20 (m/秒)である。
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問 8 下線部hのできごとに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいもの を、下記より1つ選び番号で答えなさい。\nX 参議院議員選挙の投票率は 5 割を切り, 史上 2 番目の低さとなりました。
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白色と黒色の石を, 同じ色の石が 3 個以上続いて並ぶことがないように左から横に1列に並べます。右の図は白色の石と黒色の石をあわせて 4 個使ってできる石の並べ方を考えるためにかいたものです。\n(1)白色の石と黒色の石をあわせて6個使ってできる石の並べ方は何通りありますか。
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問 5 a 平等院鳳凰堂は,11世紀後半の1053年に藤原頼通が建てた阿弥陀堂である。b 8 世紀末の784年, 桓武天皇は仏教勢力が強くなった平城京から,京都の長岡京に都を移した。
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メタン、プロパン、ブタンのそれぞれの燃焼時に放出する熱量についての問題に答えなさい。\n(1)次の計算を行いなさい。\n あ) 0.7gメタンが燃焼する際に放出する熱量\n い) プロパン1Lの重さとそれが放出する熱量\n う) ブタン1Lの重さとそれが放出する熱量
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問9
aは1895年,cは1894年,dは1920年のできごと。bは1895年に起きた三国干渉について述べた文だが、「イギリス」ではなく「フランス」が正しい。
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次の[]に適するものを選び,○で囲みなさい。
霧が発生していた時間帯は,気温が①[高い・低い]だけではありませんでした。風が (2)[強く・弱く], 霧の発散が起こりにくかったと考えられます。視程は, (3)[6・9・12]時頃 から劇的に良くなっています。これは, 風が④[強く・弱く]なったこと, 気温が 5 [高く・低 く]なったことが理由としてあげられます。
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問 6 日本ではお茶は静岡県や鹿児島県など, 夏の降水量が多い太平洋側の気候に属する地域でさかんに栽培されているので, 3 がふさわしくない。
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問3X国連は第二次世界大戦後の1945年10月に原加盟国51カ国で発足し、本部はアメリカ東部の都市ニューヨークに置かれている。2021年末時点で、193カ国が加盟している。Y国連の活動に必要な経費は、主もに加盟国が納める分担金によってまかなわれる。分担金は各国の経済力などに応じて3年ごとに割り当てられ,総会によって決定される。日本の分担金の割合はアメリカについで第 2 位の年が続いていたが、近年はアメリカ, 中国についで第 3 位となっている。
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(5) a と b の操作で出てきた気体や沈殿は,次のどれと同じですか。それぞれ記号を答えなさい。\na AとDの水溶液を混ぜ合わせると, 黄緑色の気体が発生した\nb B の水溶液を煮つめて水を蒸発させ, Cの水溶液を 1 滴加えると, 白色の沈殿を生じた
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(2) 間の副尺目盛りを数えることで, 間の長さを求めることができます。 間は何 ですか。小数第 2 位まで答えなさい。
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問 2 小野妹子は推古天皇のときの607年, 遣隋使として隋(中国)に派遣された。Y空海は804年, 学問僧として遣唐使船で唐に渡り, 真言密教を学んで帰国したのち, 高野山(和歌山県)に金剛峯寺を建てて日本における真言宗の開祖となった。
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問9Iは1936年, II は1925年, IIIは1914年, IV は1918年のできごと。大正時代は1926年12月まで で, この年から昭和時代が始まっているので, I I - I - I I I となる。
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(5) 温度が 上がるごとに, 灯油は基準の ずつ, 気体の窒素は ずつ増加する。よっ て. より, 2.6 倍である。
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2021 渋谷教育学園幕張中 (第 2 次) (26)
利用して, 小数第 3 位まで答えなさい。
(3) 25℃のときの気体の体積を基準とします。温度が1℃上がったときに増加する気体の体積は、基準の体積の何%ですか。小数第 2 位まで答えなさい。
図1のグラフを-10℃より温度が低い方へ延長すると,ある温度で気体の長さが0 cmになります。気体の長さが0 cmのとき,気体の体積は0 cm³になります。計算上,気体の体積が0 cm³になる温度を「絶対零度」と呼びます。
(4)図1から推定すると「絶対零度」は何℃になりますか。次の中から最も近いものを選び,記号を答えなさい。
ア -200℃
イ -225℃
ウ -250℃
エ -275℃
オ -300℃
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問 6 下線部eに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを, 下記より1つ選び番号で答えなさい。
X 現在,日本銀行は千円・二千円・五千円・一万円の日本銀行券(紙幣)を発行しています。
Y 日本銀行は個人や一般の会社からの預金を受け入れています。
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問4 「学校施設の多くが築40年以上を経過」しているとあることから, それらが1978年ごろに建てられたものだとわかる。第二次世界大戦終戦直後の1940年代後半に第一次ベビーブームが起き, その世代が親になった1970年代前半には,第二次ベビーブームが起きた。このとき生まれた子どもたちが就学するさいに、教室や校舎などの学校施設が不足すると予想されたため, 多くの地方自治体でそれらの新築や改築が行われたのだと判断できる。
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(3)トーナメント表にチームを割りふるとき, 1 回戦の対戦の組み合わせがすべて同じで 2 回戦 で考えられる対戦の組み合わせもすべて同じになる割りふり方は, 同じものであると考えるこ とにします。例えば,図 2 , 図 3 , 図 4 , 図 5 の割りふり方はすべて同じものと考え, 図 2 と 図6の割りふり方は異なるものと考えます。
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(5)干潟における食物連鎖で,渡り鳥が有機物を利用することを考えます。干潟を訪れるメダイチドリ(以下,チドリ)を観察し,干潟に流入した有機物をどれだけ食べるかを考えました。次の文の()に適切な数値を求め, 小数第2位まで答えなさい。
ある年の4月15日午前9時に飛来したチドリAを観察しました。チドリAは, 体長 19 cm, 体重は64 g でした。飛来して1日目,昼の干潮に合わせて, すぐにゴカイを食べ始めました。1日観察していると,チドリAはゴカイばかりを73匹食べました。観察していないとき、チドリAは何も食べず,排出物は無視します。
ゴカイ 1 匹の体重は平均 0.3 g です。1 匹のゴカイは, 1 日あたり0.03 g の有機物を取り込み, 全て体内に吸収するとします。また, ゴカイは潮が満ちている4時から9時の5 時間に, その日の全ての採餌を終えているとします。
15日のチドリAのエサとなった73匹のゴカイが, 15日4 時からの5時間で食べた干潟の有機物の合計は()gでした。ゴカイはこの状態でチドリAに食べられました。翌16日,チドリAは、やはり73匹のゴカイを食べました。これらのゴカイも、みな15日と同量の有機物を食べた後で,チドリAに食べられました。16日に食べられたゴカイは,2日間で73匹が合計((2))gの有機物を食べた後で,チドリAに食べられました。このように考えていくと,チドリAが1週間で多量の有機物を,ゴカイを介した食物連鎖で取り込んだことになります。
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2 以下の文章を読んで, 問いに答えなさい。\n物理では、日常の現象を数値にして法則性を考察しま す。実験で測定され,法則をなす数値は物理量と呼ばれ,物理量としての意味を示す「単位」を必ず付します… (後略)
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2020 渋谷教育学園幕張中〈第 1 次〉 (24) (3)図2について,次の()に適する数を答えなさい。図2は、縦軸の目盛り幛が均等ではありません。一番下の目盛りは1です。1から10までと 10から100,100から1000,1000から10000までが同じ長さになっています。1の1つ上の目盛りが 2 , その上が 3 です。10の1つ上が20, その次が30です。100の1つ 上が200, その次が300です。1000の1つ上が2000, その次が3000です。例えば, 1から10まで, 2 から20まで, 600から(あ)までが同じ長さで作られていて, (い)目盛り上がるごとに,もとの数の10倍になります。反対に, 一番上の 10000 に を ( う )回かけると、一番下の 1 になります。1 から 2 までと, 2 から 4 までは, 目盛りの数は異なりますが, 長さは同じです。 4 から 8 まで, ( え)から10000までの長さも1 から2までの長さと同じです。10から30までの長さは、 30から90までの長さや200から(お)までの長さと同じです。2000から400までの長さは, 50か ら( か)までの長さと同じです。図 2 の縦軸は, 長さの違いで, 何倍の違いなのか, 何分の 1 の違いなのか, を表すことができます。
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理科実験で用いられるアルコール温度計は、内部に色のついた灯油(石油)を閉じ込めてその体積変化で温度を測ります。
(5)液体の体積変化は, 気体の体積変化に比べて小さいです。25℃のときの灯油の体積を基準としたとき,灯油の温度が1℃上がるごとに基準の0.14%ずつ体積が増加します。気体の窒素の体積変化は,液体の灯油の体積変化の何倍になるか計算し,小数第1位まで答えなさい。
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(2) 定義アについて「1メートル」の定義から, 地球の大きさを決めることができます。地球を完全な球体とみなし,円周率(円の周囲と直径との長さの比)を3とすると,地球の半径は何万メートルですか。答えは整数で示しなさい。
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(2) 座る4つの座席の組み合わせは6つの場合がある。どの場合も、4人の座り方が、 (通り)ずつあるので、全部で、 (通り)と求められる。
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2 下のように, から始まり, 分母が1ずつ減り,分子が1ずつ増える分数を順番に2022 個並べます。 この中で, のように約分できるものを探していきます。次の各問いに答えなさい。 (1)初めて約分ができるのは,左から数えて何番目ですか。 (2)3回目に約分ができるのは,左から数えて何番目ですか。 (3)25回目に約分ができるのは,左から数えて何番目ですか。
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問 2 下線部bに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを,下記よ\nり 1 つ選び番号で答えなさい。\nX 国際オリンピック委員会は、スポーツを通じてよりよい世界を構築することをめざす国際連合の専門機関です。\nY 国際オリンピック委員会が定めたオリンピック憲章には,オリンピックマークの五輪の 色や位置が定められています。\n\\begin{tabular}{|llllllllll|}\n\\hline 1 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 2 & \ \\mathrm{X} \ & 正 & \ \\mathrm{Y} \ & 誤 \\\\\n3 & \ \\mathrm{X} \ & 誤 & \ \\mathrm{Y} \ & 正 & 4 & \ \\mathrm{X} \ & 誤 & \ \\mathrm{Y} \ & 誤 \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}
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音の速さと伝わり方についての問題
(1)1)音源と壁の間を音が往復する分だけ音が遅れて聞こえるので, T の値は, 140 × 2 ÷ 350= 0.8(秒)である。
(2) 遅れて聞こえる音は, 観測者と壁の間を音が往復する分だけ遅れるため, Tの値は, 300 × 2 ÷ 350=1.71 より, 1.7 秒と求められる。
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A君は午後2時から午後3時までの間にS中学校を出ます。(1)どちらの駅に行っても駅での電車の待ち時間が変わらないのは、A君がS中学校を午後2時何分から何分までに出るときですか。
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Join our DiscordQ.37
問 1 下線部aに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを、下記より1つ選び番号で答えなさい。
Xこの国は、いわゆる鎖国体制下において、 ヨーロッパの国々の中で唯一, 長崎の出島において日本と貿易を続けました。
Y17世紀にこの国で活躍したゴッホらの描いた西洋画は, 日本の浮世絵版画に影響を与えました。
|~~~~|X| 正|Y| 正|~~~~|~~~~|X| 正|~~~~| Y| 誤|
|~~~~|X| 誤|Y| 正|~~~~|~~~~|X| 誤| Y| 誤|
|~~~~| 1|~~~~|2|~~~~|3|~~~~|4|
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問 2 下線部bに成立した法律に関する次の説明X・Yについて, その正誤の組合せとして正し いものを,下記より1つ選び番号で答えなさい。\nX 参議院議員選挙における一票の格差を解消するために, 6 議席増やすことなどを含めた 公職選挙法の改正が成立しました。\nY 天皇一代限りの退位を認める皇室典範の改正をしました。\n1. X - 正, Y - 正\n2. X - 正, Y - 誤\n3. X - 誤, Y - 正\n4. X - 誤, Y - 誤
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(4)黒い正方形の 1 辺の長さが 100 cm までの中で, 白い正方形のマスの中に整数をちょうど並 べきることができないのは,黒い正方形の1辺の長さが何cmのときですか。考えられるもの をすべて答えなさい。
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プレセぺ星団には, 赤い色をした星が二種類あることがわかります。明るい赤い星と暗い赤い星です。明るい赤い星は、暗い赤い星とくらべて, どのようにちがうと考えられますか。次の()を補い,文を完成させなさい。
明るい赤い星は,暗い赤い星とくらべて()。
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Join our DiscordQ.44
2 条件の整理, 場合の数 (1)赤が切り替わる色は, 捇, 青, 黄, 緑 の 4 通りある。どの場合も, 青が切り替わる色は, 赤 が切り替わった色を除いた3通りあり,黄が切り替わる色は、赤と青が切り替わった色を除いた2 通りある。さらに、緑が切り替わる色は残りの 1 通りだから,異なる 4 色が点灯する規則は, (通り)作ることができる。 (2)下の図1のようになる場合を考える。パターン1のように,赤を赤,青を青,黄を黄,緑を緑 にすると条件に合い, この場合は1通りである。また,パターン(2)のように,アを青にすると、そ の後で青が赤になるので, イは赤と決まる。このとき,ウを黄,工を緑にすると条件に合う。これ は赤と青の間で色を入れかえたことになるが、ほかの2色の間で入れかえることもできるから,こ の場合は, (通り)ある。また, パターン3のように,赤と青の間で入れかえ,さらに黄 と緑の間で入れかえた場合も考えられる。このとき、入れかえる色の組み合わせは, (赤と青,黄と緑)
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(4) 水素と酸素が過不足なく反応すると水ができ、すぐに液体となるので反応後の管内の気体の体積は0 mL とる。表3の条件2より、11.2mL の水素と 16.8 - 11.2 = 5.6(mL) の酸素が過不足なく反応しているので、水素と酸素は 2:1 の体積比でちょうど反応することがわかる。条件1 では11.2mL の水素に、14.0 - 11.2 = 2.8(mL) の酸素を混合して反応させている。このとき、2.8mL の酸素 と、2.8 × 2 = 5.6(mL) の水素が反応して水ができ、11.2 - 5.6 = 5.6(mL) の水素が残る。
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問 9 下線部hに関する説明 ・Yについて,その正誤の組合せとして正しいものを,下記より 1 つ選び番号で答えなさい。\nX 大阪市・神戸市・浜松市は, いずれも政令指定都市です。\nY 大阪市・神戸市・浜松市は、いずれも人口が100万人を超えています。
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(3) 3つの座席の位置関係で場合分けをすると、5つの場合に分けることができる。どの場合も、3人の座り方が、 (通り)ずつあるので、全ての組み合わせは、 (通り)と求められる。
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(2)船QがAに着いたのは出発してから,36 (分後)である。そのときまでに、船 は か ら, 18-12=6(分)進んでいるので,船QがAに着いたときの両船の間の距離は, となる。よって, 両船がDで出会ったのは、船QがAを折り返してから,30 \( \div(4+1)=6 \) (分後) と求められる。これは, 出発してから,18+6=24(分後)である。
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(3)<実験2>より,各班のたね12粒の重さ,12粒のたねがポップコーンになることで失われた 水の重さを,小数第 1 位まで求めなさい。
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赤, 青, 黄, 緑の 4 色を点灯することができるライトを 4 つ, 左 から一列に並べます。この 4 つのライトは、スイッチを押すたびに ある規則にしたがって色が切り替わります。\n(1)はじめの状態からスイッチを1回押したとき,異なる4色のライトが点灯するような規則は 何通り作れますか。
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問 3 下線部cの作品ができた時期に関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを、下記より1つ選び番号で答えなさい。
X 清少納言ら宮廷に㔛える女性たちは,加な文字を用いて『徒然草』などの作品をあらわしました。
Y 藤原道長は娘を天皇のきさきにすることで天皇との関係を強め, 政治を主導しました。
|~~~~|X| 正|Y| 正|~~~~|~~~~|X| 正|Y| 誤|
|~~~~|X| 誤|Y| 正|~~~~|~~~~|X| 誤|Y| 誤|
|~~~~|~~~~|1|~~~~|2|~~~~|3|~~~~|4|
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(5) 条件4では、11.2mLの水素と、33.6 - 11.2 = 22.4(mL) の酸素を混合しているので、5.6mL の酸素が反応に使われて、22.4 - 5.6 = 16.8(mL) が残る。
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問 9 1) 都道府県知事も地方議会議員も, ともに任期は 4 年である。 2) 参議院議員と都道府県知事の被選挙権は満30歳以上, 衆議院議員・市町村長・地方議会議員の被選挙権は満25歳以上 で認められる。3) 2015年の公職選挙法改正により,国会議員,首長,地方議会議員のいずれ についても, 選挙権の年齢は満20歳以上から満18歳以上に引き下げられた。 4) 都道府県知事 は,都道府県議会を解散する権限は持っているが,市(区)町村議会を解散する権限はない。
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0 でない整数 c に対して、8 △ c を計算します。考えられる 8 △ c のうち最も大きいものを求めなさい。
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しいものを、下記より1つ選び番号で答えなさい。\nX 市町村長の任期は 4 年ですが,3期続けて立候補することはできません。\nY 第二次世界大戦後, 市町村長に就任した人の中には国会議員を経験した人がいます。
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問 3 下線部cに関して, この教えが広まり, 全国に阿弥陀堂が建立されました。東北地方を支配した藤原清衡が建立した,金急堂で有名な寺院の名称を漢字で答えなさい。
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問 5 下線部 eの政策に関する次の文X・Yについて,その正誤の組合せとして正しいものを,下記より1つ選び番号で答えなさい。X平定した土地で検地を抗こない,田畑の広さや土地の良し悪し,耕作者などを調べまし た。Y 百姓から刀や鉄砲といった武器を取り上げる政策などによって, 武士・百姓・町人の身分の分離が進みました。
\begin{tabular}{|llllllllll|}
\hline 1 & & 正 & & 正 & 2 & & 正 & & 誤 \\
3 & & 誤 & & 正 & 4 & & 誤 & & 誤 \\
\hline
\end{tabular}
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A君は午後2時から午後3時までの間にS中学校を出ます。(2) K駅に行ったほうがM駅に行くより駅での電車の待ち時間が少なくなるのは、A君がS中学校を出る午後2時から午後3時までの間で, あわせて何分間ありますか。
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(4) 1 日は 24 時間, 1 時間は60分, 1 分は60秒なので, 1 日は, 24×60×60=86400 (秒)である。数字「86400」は, これが由来となっている。
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()の文章を読み, 説明文や表の数値を用いて,()に当てはまる整数を答えなさい。ただし 熱量はすべて水や氷の温度上昇や状態変化のみに使われたとします。\n80 \\mathrm{g} \ の水と 20 \\mathrm{g} \ の氷が入ったビーカーがあります。はじめは水と氷はともに 0^{\\circ} \\mathrm{C} \ です。この 水を都市ガスYから得られる熱量を使って沸とうさせます。ビーカー内がすべて 0^{\\circ} \\mathrm{C} \ の水にな るまでに必要な熱量は(か)カロリーです。続けて, 0^{\\circ} \\mathrm{C} の水を 100^{\\circ} \\mathrm{C} \ で沸とうさせるために, さらに必要となる熱量は最低でも(き)カロリーとなります。そのため,都市ガスYは(く) L以上必要になります。
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(4)船PがAB間を下るのにかかった時間が12分だから,船 の下りの速さは毎分, (m)である。また,船Pの下りの速さと川の流れの速さの比は3:1 なので, 川の流れの速さは毎分, \( 150 \times \frac{1}{3}=50(\mathrm{~m}) \) とわかる。これを毎時の速さに直すと, \( 50 \times 60 \div 1000=3(\mathrm{~km}) \) になる。
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2019渋谷教育学園幕張中〈第 1 次〉(24)\n次に、日常生活で使う の水溶液を ずつ試験管にとり,色を観察しました。\nA トイレ用洗浄剤\nB しらたき(系こんにゃく)が入った水\nC 炭酸水\nD 衣料用漂白剤\n 米酢\nF みりん\n\n水溶液Aは緑色,B〜Fはほとんど無色透明で, D〜Fは少し黄色みも帯びていました。ま た, Aの緑色は、酸性やアルカリ性にしても色変化しない色素だと分かっています。\n\n紫キャべツの水溶液を等量ずつ A〜Fの水溶液に加えると,次のような色を示しました。\n\1. \n(2) A〜Fのうち,アルカリ性の水溶液はどれですか。すべて選び,記号を答えなさい。
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次の数値からたね1粒の体積を求めよ。たね50粒を入れたコップを水で満たしたときに入れた水の重さは264.5グラムである。また、コップいっぱいに入れた水の重さは271.6グラムである。
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(5) 定義エは, 光の速さが299792458メートル毎秒であることに基づいて,1メートルの長さを決めたものである。なお,光の速さは,1676年に木星の衛星観測によって初めて測定された。
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3 流水算, 速さと比(1)船 と船 の進行の ようすを図に表すと,右 の図1のようになる(C とDのどちらが上流にあるかは、この段階ではまだわからない)。図1から,船Pの下りの速さと船Qの上りの速さの比は とわかる。また,船 と船 の静水時の速さの比は, だから, 船 の静水時の速さを(2), 船 の静水時の速さを③,川の流れの速さを とすると,(2+ \( \square ):(3)-\square)=3: 2 と表すことができる。ここで, のとき, となるので, \( (2+ \square ) \times 2=(3- \square) \times 3 \) の流れの速さは(1)たから, 船Pと船Qの速さは右上の図 2 のように表すことができる。よって、船 が上りと下りにかかった時間の比は, であり, この和が48分なので、船 が下り にかかった時間は, (分)と求められる。すると, 間の距離は, とな るから, 船QがAB間を往復するのにかかった時間は, (分)となる。
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第1〜第3世代は、10→99→690と増えていく。そして、点③以降も同様に作業を続けると、世代が進むにつれて個体数は増減を繰り返しながら、ある一定数(個体数のグラフと線Lの交点の570)に近づいていく。また、この増減の幅は、次第に小さくなる。よって、()と(セ)が選べる。
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3\n(1) あ 2280000\nい 53\nう 104\n(2)\n あ 1400000\nい 9300\n(3) (1) 大きい\n(2) 大きく\n(3) 近く\n(4) 遠い
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チドリAは,1週間滞在したのち,干潟から飛び去りました。自然の浄化作用において、渡り鳥はどのような役割を果たしますか。「渡り鳥は」から始まる説明を 40 字程度で記しなさい。説明には, 次の語句を全て用いなさい。
食物連鎖 干潟の有機物
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60は、9で割ったときの商と余りがそれぞれ6になり、商と余りが等しくなります。また、11で割ったときの商と余りがそれぞれ5になり、商と余りが等しくなります。
(1)0ではないある整数 は、15で割ったときの商と余りが等しくなります。また, 同じ整数 Aを17で割ったときの商と余りも等しくなります。Aはいくつですか。
(2) ある整数 は、ある整数 で割ったときの商と余りがそれぞれ15になり, 商と余りが等し くなります。また, 別のある整数Dで割ったときの商と余りが17になり, 商と余りが等しく なります。Bとして考えられる3けたの整数のうち,もっとも大きいものを答えなさい。
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〔算 数] 100 点 (推定配点)\n1 (1) 各 2 点 \n(2) ,\n(3)各 7 点 \( \× 2<(3) \) は完答
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問9 下線部iの少しあとに「国税」とある。また,1000円の税を負担するのは旅行者だが,税は「原則として、航空会社または船舶会社がチケット代金に上乗せをする方法で徴う収さされいます」とあるので,国に納税するのは航空会社または船舶会社で、これは税を負担する人と納める人が異なる間接税にあたる。1の所得税は国税で直接税,2の住民税は地方税で直接税,3の酒税は国税で間接税,4の地方消費税は地方税で間接税なので,3が選べる。
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次の計算を解きなさい。
(1) 2.5 ÷ 0.5 = ?
(2) 9 × 0.5 = ?
(3) 1.2 + 0.8 = ?
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(2)準優勝する可能性があるチームを求める問題
少なくとも1つはFより強いチームになる。よって, Fは準優勝することはできない。GとHも同様なので,準優勝する可能性があるのは {B、C、D、E}の4チームである。
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(3)1)AがIに入る場合の割りふり方の通り数を求める問題
右の図キのように, 1 回戦の 4 つの試合を I~IV として, AがIに入る場合を考える。このとき, I に入るもう1チームの選び方は 7 通りある。 また,Iに入る2チームは残りの6チームから選ぶことになるから,Iの組み合わせは,6×5÷2×1=15 (通り)考えられる。さらに,{II, III, IV}に入る2チームは残りの4チームから選ぶことになるので,IIの組み合わせは,4×3÷2×1=6通り考えられるが、IIとIVを入れ替えたものは同じになるから,IIとIVの組み合わせは、6÷2=3 (通り)となる。よって,異なる割りふり方は全部で, 7×15×3=315 (通り)と求められる。
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問11 下線部kに関連して,1960年から1965年の間の出来事に関する次の文X・Yについて,その正誤の組合せとして正しいものを,下記より1つ選び番号で答えなさい。
X 東京オリンピックが開催され,その開催にあわせて東海道新幹線が開通しました。
Y 岸信介首相がサンフランシスコ平和条約に調印し,日本は主権を回復しました。
1 X 正 Y 正
2 X 正 Y 誤
3 X 誤 Y 正
4 X 誤 Y 誤
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A君がS中学校から家に帰るとき, みはま鉄道の K駅とわかば鉄道のM駅のどちらかを利用することができます。K駅はS中学校から南の方角にあり, S中学校から歩いて12分かかります。また, M駅はS中学校から北の方角にあり, S中学校から歩いて14分かかります。K駅では, 午後2時に電車が出発した後, 8分おきに電車が出発し,M駅では, 午後2時に電車が出発した後, 5分おきに電車が出発します。このとき, 次の各問いに答えなさい。
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次の各問いに答えなさい。\n(1)行きについて, 真一くんは自宅から友達の家まで何分かかりましたか。\n(2)帰りについて,真一くんと母が自宅に戻つたのは,予定より何分後ですか。
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(3) ある時刻に点灯しているライトの本数と、その1分後に点灯しているライトの本数を比べます。点灯しているライトの本数が1分後に最も多く増えるのは、何時何分ですか。考えられる時刻をすべて答えなさい。
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2022 濒谷教育学園幕張中〈第 1 次〉 (23)\n光が当たっている場所の明るさを照度といい、ルックスという単位を使います。照度が大き いほど明るいです。照度は照度計で測れます。\n 実験 \n図1のように装置を配置して電圧は一定のまま,白熱電球を点灯し, 電球から照度計を少しずつ遠ざけて, 距離と 照度の関係を測定しました。すると, 図2のような結果が 得られました。\n図 2 白熱電球から照度計までの距離と照度\n図 1 距離と照度の関係を測定する装置\n(1)次の[]にもっとも適するものを選び,○で囲みなさい。\n電圧が一定ということは, 白熱電球が出している光の量に変化がないということです。<実験 1 >では, 電球と照度計の距離が遠くなると,照度が(1) [上升・下降]していくことがわかり ます。図2より,電球から の距離での照度は, の距離での照度にくらべると, 約 (2) になていることがわかります。この関係から, の距離での照度は, の距離での照度にくらべて、約 \( (3)\left[\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{250}\right] \) になることが予想できます。
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問 1 各 3 点 × 4 問 2 9 点 問 3 , 問 4 各 5 点 × 2 問 5 11 点 問 6 , 問 7 各 3 点 × 4
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問 8 下線部 fに関する次の文X・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを,下記よ り 1 つ選び番号で答えなさい。
X 日本では, NPOによる社会貢献活動を支援する仕組みを整える法律が制定されました。
Y NPOの活動は, 日本国内に限定されており, 海外での活動はありません。
1 X 正 Y 正 2 X 正 Y 誤 3 X 誤 Y 正 4 X 誤 Y 誤
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1 整数の性質 られる。ここで、~\cjkstart部分の分母はく〉内の数であり,分子は〈〉内の数の約数の和になっている。 つまり, Nを次の式で表す: \(\langle N\rangle=\frac{(N \text { の約数の和 })}{N}\)
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白色と黒色の石を, 同じ色の石が 3 個以上続いて並ぶことがないように左から横に1列に並べます。右の図は白色の石と黒色の石をあわせて 4 個使ってできる石の並べ方を考えるためにかいたものです。\n(2)白色の石と黒色の石をあわせて15個使ってできる石の並べ方は何通りありますか。
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(5) 幕張駅から幕張本郷駅に向かう電車は, 60秒で600m進み, 幕張本郷駅から幕張駅に向かう電車は図 7 より 60 秒で, 20 × 40 ÷ 2 + 20 ×(60-40) = 400 + 400 = 800(m) 進んでいる。よって, このとき, 両電車の間の距離は, 2100 - (600+800) = 700(m) である。この 700 mを向かい合ってどちらも 20 m/秒の速さで進むので, 700 ÷(20+20) = 17.5 (秒後)に出会う。したがって, 2本の電車が出発してからすれ違うまでの時間は, 60 + 17.5 = 77.5 (秒)と求められる。
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問 8 下線部 は、日本国憲法にある基本的人権を制限するものとの批判がありました。その基本的人権を日本国憲法で規定されている自由権の中から1つあげて答えなさい。
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【図1】のように,はじめに白石を1個置きます。次に,1周,2周, と、はじめの白石を 正六角形で囲むように黒石を置いていきます。次の各問いに答えなさい。\n(1) はじめの白石をちょうど10周まで黒石で囲むために必要な石の総数は、はじめの白石を含め て何個ですか。
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(3) の B の水溶液 に, A の水溶液を加えました。何 でちょうど中和しますか。次の[]に適するものを○で囲みなさい。\nA の水溶液に紫キャベツの水溶液を加えたときの色より, A の水溶液の は 1 (1) . より 2 [2さい・大きい]と分かる。\nつまり, B の水溶液 をょうど中和するのに必要なAの水溶液の体積は, B の (3) 倍 \( _{\text {(4) }} \) [以上・以下] である。\n\n実際に調べたところ, ⑤ で中和することが分かった。
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2021 渋谷教育学園幕張中〈第 2 次〉 (25) 気体を入れたプラスチック管の内側の断面積は です。気体の体積は, 次の式で計算 できます。 気体の体積 \( \left(\mathrm{cm}^{3}\right)= \) 気体の長さ \( (\mathrm{cm}) \times \) 断面積 \( 0.25\left(\mathrm{~cm}^{2}\right) \) 表 1 温度 \( \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) と「気体の長さ」 \( (\mathrm{cm}) \) \n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\\hline 気体 \\\n\\hline 温度 \( \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) & -5 & 20 & 38 & 56 \\\n\\hline 窒素 & 12.7 & 14.0 & 15.0 & 15.9 \\\n\\hline 酸素 & 27.3 & 30.0 & 32.0 & 34.1 \\\n\\hline\n\\end{tabular} (1) のときの気体の体積は, 何 ですか。窒素, 酸素それぞれについて, 小数第 1 位まで 答えなさい。
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数列と規則に関する次の問題を解きなさい。
数列 {2, 4, 8, 16, ...} の第 10 項を求めなさい。
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問 6X 中国の歴史書『魏志』倭人伝には, 3 世紀前半の239年, 邪馬台国の女王卑弥呼が魏(中国)に使いを送り,皇帝から「親魏倭王」の称号や銅鏡などを授けられたと記されている。Y 中国の歴史書『宋書』倭国伝には5世紀の日本のようすが記されており,讃・珍・済・興・武という 5 人の倭国王が宋 (中国)に朝貢したという記録がある。このうち武(雄略天皇のことと推定される)は,宋の皇帝から「安東大将軍倭王」に任じられている。
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室温で,水に以下の物質を少量入れてガラス棒でかき混ぜました。水溶液にならないものをすべて選び,記号を答えなさい。
(ア) 小麦粉
(イ) 食塩
(ウ) とうもろこしでんぷん
(エ) 砂糖
(オ) 砂
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2020年度 渋谷教育学園幕張中学校 算数 第1次試験
1 (1) 1から144までのカードを操作Pと操作Qを用いて操作します。42枚目に箱に入れるカードは何ですか?
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(4)表の下線部(1)〜(6)で発生した気体の中で,1つだけ種類の違う気体が存在します。(1)〜(6)より選び, 発生した気体名も答えなさい。
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4 速さと距離についての問題
(1)一定の速さで進んだときの移動した距離は、(速さ)×(時間)で求められる。よって,11は,10 × 5 = 50(km) となる。また,(速さ)×(時間)は,図 2 では塗りつぶした部分の(縦の長さ)×(横の長さ)にあたるので、その部分の面積を表している。図3のように時間に対して速さが変化している場合でも,グラフの下側の面積は移動した距離を表しているので, (2)は, 10 × 5 ÷ 2 = 25(km) となる。間の速さを表しているため,表1の値をグラフに点で示す。それらの点を線でつなぐと,右のようなグラフになる。
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(3)(2)より, 間の距離は, とわかる。また, 間の距離は, だから, CD間の距離は, となる。これが にあたので, 1 にあたる距離は, \( 120 \div 2.4=50(\mathrm{~m}) \) であり, 間の距離は, \( 50 \times 36=1800(\mathrm{~m}), \quad 1800 \div 1000=1.8(\mathrm{~km}) \) と求められる。
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(1)「組立単位」の例として他に, 距離を時間で割った[メートル毎秒]があります。メートル毎秒を単位にもつ物理量は何ですか。
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基本例題 40 では, 第 0 項から始まる数列 を扱っている。
一般に, 数列 について
[1] 公差 の等差数列ならば \( \quad a_{n}=a_{0}+n d(n \geqq 0) \)
[2] 公比 の等比数列ならば \( a_{n}=a_{0} \cdot r^{n}(n \geqq 0) \)
[3] 階差数列 とおくと, のとき
\[
\begin{aligned}
a_{n} & =a_{0}+\left(a_{1}-a_{0}\right)+\left(a_{2}-a_{1}\right)+\cdots \cdots+\left(a_{n}-a_{n-1}\right) \\
& =a_{0}+\sum_{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=a_{0}+\sum_{k=0}^{n-1} b_{k}
\end{aligned}
\]
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正方形 , 円 \( C_{n}(n=1,2, \cdots \cdots) \) を次のように定める。 は に内接し, は に内接する。 の 1 辺の長さを とするとき, 円周の総和を求めよ。
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Join our DiscordQ.11
0<a<b のとき,不等式 √(a b) < (b-a)/(log b-log a) < (a+b)/2 が成り立つことを示せ。
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Join our DiscordQ.12
正の整数 α, β は x に関する方程式 x^2-2 p x-1=0 の 2 つの解で, |α|>1 であるとする。
(1)すべての正の整数 n に対し, α^n+β^n は整数であり, 更に偶数であることを証明せよ。
(2)極限 \lim _{n\rightarrow \infty}(-α)^n \sin (\alpha^n \pi) を求めよ。
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Join our DiscordQ.13
パンケーキが 2 枚ある。 1 回のナイフカットでパンケーキを 2 枚とも同時に 2 等分することは可能だろうか?
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Join our DiscordQ.14
3 点 \( \mathrm{A}(1,3), \mathrm{B}(3,-2), \mathrm{C}(4,1) \) がある。\n(1) の成分と大きさをそれぞれ求めよ。\n(2) 四角形 が平行四辺形であるとき, 点 D の座標を求めよ。\n(3) (2) の平行四辺形について,2 本の対角線の長さを求めよ。
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1 次の近似式を用いて, 次の数の近似値を求めよ。ただし,π = 3.14, √3 = 1.73 として小数第 2 位まで求めよ。
(ア) cos 61°
(イ) √[3]{340}
(ウ) √(1+π)
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Join our DiscordQ.18
0<x<\\pi \ のとき,不等式 x \\cos x<\\sin x \ が成り立つことを示せ。そして,これを 用いて, \\lim _{x \\rightarrow+0} \\frac{x-\\sin x}{x^{2}} \ を求めよ。
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Join our DiscordQ.21
点 (2,1) から放物線 y=\frac{2}{3} x^{2}-1 に引いた 2 つの接線のうち, 傾きが小さい方を \ell とする。
(1) \ell の方程式を求めよ。
(2) n を自然数とする。 \ell 上の点で, x 座標と y 座標がともに n 以下の自然数であるものの個数を A(n) とするとき,極限値 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A(n)}{n} を求めよ。