数と代数 - 行列と行列操作 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

61 (1) \ c=-2 \,\n\ x=-1 \ で最小値 -5\n(2) \ c=-9 \,\n\ x=-2 \ で最小値 -41

5 人が参加するパーティーで，各自１つずつ用意したプレゼントを抽選をして全員で 分け合うとき, 特定の 2 人 A, B だけがそれぞれ自分が用意したプレゼントを受け取 り, 残り 3 人がそれぞれ自分が用意した以外のプレゼントを受け取る場合の数は ア 倍ある。また，1 人だけが自分が用意したプレゼントを受け取る場合の数は イ である。

数列 $a_{n}$ を次の条件により定める。 \( a_{1}=1, n a_{n+1}-(n+2) a_{n}+1=0 (n=1,2,3, \cdots \cdots) \) また，数列 $b_{n}$ を \( b_{n}=2 a_{n}-1(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) により定める。さらに，数列 $c_{n}$ を \( c_{n}=\frac{b_{n}}{n(n+1)}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) により定める。 (1) $b_{n+1}$ を $b_{n}$ と $n$ を用いて表せ。 (2) $c_{n}$ の一般項を求めよ。 (3) $a_{n}$ の一般項を求めよ。[立教大]

次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(1) a_{1}=2, \\quad a_{n+1}=2 a_{n}-2 n+1 \\n(2) \( a_{1}=3, \\quad a_{n+1}+3 a_{n}=4(2 n-1) \\)

数列 \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ が次のように定められるとき，次の問いに答えよ。\n\\na_{1}=4, \\quad b_{1}=1, \\quad a_{n+1}=3 a_{n}+b_{n}\n\ \\qquad \ (1), b_{n+1}=a_{n}+3 b_{n} \\n（1）数列 \\left\\{a_{n}+b_{n}\\right\\},\\left\\{a_{n}-b_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(2) 数列 \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。

製品 $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q} 1 \\mathrm{~kg}$ 当たりの利益はそれぞれ $a$ 万円，3 万円であるとする。このとき, 1 日当たりの利益について考える。ただし， $a$ は正の数とする。(i) $a=1$ の場合，利益を最大にする $x, y$ は， \( (x, y)=( \u30CE\u30CF, \u30D2\u30D5) である。(ii) への場合, 製品 $\\mathrm{P}$ は作らず, 製品 $\\mathrm{Q}$ のみを作れるだけ作るときに限り利益 が最大となり，そのときの利益の最大値は厼万円である。(iii) 利益を最大にする $x, y$ が \( (x, y)=(\\square \u30C6\u30C8, ナニ ) \) のみであるための必要十分条件は ム である。

第 1 章 数列- 327\n\\[\n\\begin{array}{l}\n=\\frac{1}{6}\\left\\{36+\\left(2 n^{3}-3 n^{2}+n\\right)-3\\left(n^{2}-n\\right)+12 n-12\\right\\} \n=\\frac{1}{6}\\left(2 n^{3}-6 n^{2}+16 n+24\\right)=\\frac{1}{3}\\left(n^{3}-3 n^{2}+8 n+12\\right) \n=\\frac{1}{3}(n+1)\\left(n^{2}-4 n+12\\right) \\cdots \\cdots \\cdot(1 \\text { とすると } \\quad \\frac{1}{3} \\cdot 2 \\cdot 9=6\\end{array}\n\\]\n\ n=1 \ とすると \ \\frac{1}{3} \\cdot 2 \\cdot 9=6 \\ a_{1}=6 \ であるから, n=1 のときにも成り立つ。\nしたがって \\( a_{n}=\\frac{1}{3}(n+1)\\left(n^{2}-4 n+12\\right) \\)\n(4) \ a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{n} \ より, 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の階差数列を \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ とすると \ \\quad b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=3 \\cdot 2^{n} \\nよって, \ n \\geqq 2 \ のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\na_{n} & =a_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}=5+\\sum_{k=1}^{n-1} 3 \\cdot 2^{k}=5+\\frac{3 \\cdot 2\\left(2^{n-1}-1\\right)}{2-1} \n& =5+6\\left(2^{n-1}-1\\right)=3 \\cdot 2^{n}-1 \\cdots \\cdots \\text { (1) }\n\\end{aligned}\n\\]\n\ n=1 \ とすると \ 3 \\cdot 2^{1}-1=5 \\ a_{1}=5 \ であるから, n=1 のときにも成り立つ。 したがって \ a_{n}=3 \\cdot 2^{n}-1 \\n1 章 \ \\square \\nPR\ \\longmapsto n^{3}-3 n^{2}+8 n+12 \ は \ n=-1 \ とすると 0 にな る。\n\n初項は特別扱い。\n\n階差数列の一般項はす ぐわかる。\n\n初項は特別扱い。\n\nPR 次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(2)30\n(1) \ a_{1}=6, a_{n+1}=3 a_{n}-8 \\n(2) \ a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+5 \\n(1) \ a_{n+1}=3 a_{n}-8 \ を変形すると \\( a_{n+1}-4=3\\left(a_{n}-4\\right) \\)\nここで, \ b_{n}=a_{n}-4 \ とおくと\n\\nb_{n+1}=3 b_{n}, \\quad b_{1}=a_{1}-4=6-4=2\n\\n\n数列 \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ は初項 2 , 公比 3 の等比数列であるから\n\\n\\begin{\overlineray}{ll}\nb_{n}=2 \\cdot 3^{n-1} \\boldsymbol{a}_{n}=b_{n}+4=2 \\cdot 3^{n-1}+4\n\\end{\overlineray}\n\\n\n別解 \ a_{n+1}=3 a_{n}-8 \\cdots \\cdots \ (1) で \ n \ の代わりに \ n+1 \ とおくと\n\\na_{n+2}=3 a_{n+1}-8\n\\n(2)-(1) から\n\\[\na_{n+2}-a_{n+1}=3\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right)\n\\]\n\n数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の階差数列を \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ とすると, \ b_{n}=a_{n+1}-a_{n} \ であるから \ \\quad b_{n+1}=3 b_{n} \\nまた \\( \\quad b_{1}=a_{2}-a_{1}=(3 \\cdot 6-8)-6=4 \\)\nよって, 数列 \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ は初項 4 , 公比 3 の等比数列であるから\n\\nb_{n}=4 \\cdot 3^{n-1}\n\\n\nゆえに, \ n \\geqq 2 \ のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\na_{n} & =a_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 4 \\cdot 3^{k-1}=6+\\frac{4\\left(3^{n-1}-1\\right)}{3-1} \n& =2 \\cdot 3^{n-1}+4 \\cdots \\cdots \\text { (3) }\n\\end{aligned}\n\\]\n\ n=1 \ とすると \ 2 \\cdot 3^{0}+4=6 \\ \\leqslant \\alpha=3 \\alpha-8 \ を解くと \ \\alpha=4 \\\n参考 本冊基本例題 30\nINFORMATION の方法 による。\n\\[\n\\begin{array}{l}\na_{2}= 3 a_{1}-8=3 \\cdot 6-8 a_{3}= 3 a_{2}-8= 3^{2} \\cdot 6-(3 \\cdot 8+8) a_{4}= 3 a_{3}-8= 3^{3} \\cdot 6-\left(3^{2} \\cdot 8+3 \\cdot 8+8\\right)\\text { これらから, } n \\geqq 2 \\text { のとき }\\a_{n}= 3^{n-1} \\cdot 6-\\left(3^{n-2} \\cdot 8+3^{n-3} \\cdot 8+\\cdots+3 \\cdot 8+8\\)= 3^{n-1} \\cdot 6-\\frac{8\\left(3^{n-1}-1\\right)}{3-1}= 2 \\cdot 3^{n-1}+4\n\\end{array}\n\\]\n\nこれらから， \ n \\geqq 2 \ のとき \ a_{n}=3^{n-1} \\cdot 6 \\n\nと予想する。\ n=1 \ も含めて\ a_{n}=2 \\cdot 3^{n-1}+4 \ が \ a_{1}=6 \,\ a_{n+1}=3 a_{n}-8 \ を満たす ことを示す。

(1) $\alpha \neq \beta$ [重要例題 41 参照]\n数列 $\left\{a_{n+1}-\alpha a_{n}\right\}$ の一般項, 数列 $\left\{a_{n+1}-\beta a_{n}\right\}$ の一般項をそれぞれ求める。

3 連立漸化式 $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$ [重要例題 43 参照] \( a_{n+1}+\alpha_{1} b_{n+1}=\beta_{1}\left(a_{n}+\alpha_{1} b_{n}\right), a_{n+1}+\alpha_{2} b_{n+1}=\beta_{2}\left(a_{n}+\alpha_{2} b_{n}\right) \) の形を導く, または, $a_{n}\left(\right.$ または $b_{n}$ ) だけの漸化式（隣接 3 項間の漸化式）を導く。

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が \( S_{n}=\frac{3}{4} n(n+3)(n=1,2,3 \), …․) と表されている。(1) $a_{n}$ を求めよ。(2) $\sum_{k=1}^{n} k a_{k}$ が 3 の倍数となることを証明せよ。

では，次の［問題］を考えてみましょう。各条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めてください。\n[問題]（1） \ a_{1}=2,2 a_{n+1}-3 a_{n}+1=0 \\n漸化式を \ a_{n+1}=\\cdots \ の形に変形すると \ a_{n+1}=\\frac{3}{2} a_{n}-\\frac{1}{2} \\n\ \\longrightarrow \ 前ページの11の形になり, 解くことができる。

次の連立 3 元 1 次方程式を解け。\n(1) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}2 x+y+z=9 \\\\ x-y+2 z=3 \\\\ 3 x+2 y-2 z=11\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}3 x+2 y-6 z=11 \\\\ x+4 y+z=8 \\\\ 2 x+2 y-z=5\\end{\overlineray}\\right. \\n(3) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y=3 \\\\ y+z=6 \\\\ z+x=5\\end{\overlineray}\\right. \\n（＊）問の解答はp. 362 にある。

放物線 $y=2 x^{2}+a x+b$ を $x$ 軸方向に 2, y 軸方向に -3 だけ平行移動したところ,放物線 $y=2 x^{2}$ と重なった。定数 $a, b$ の値を求めよ。

（2）男子短距離 100m 走の選手である太郎さんは, (1) に着目して, タイムが最もよく なるストライドとピッチを考えることにした。\n\n次の表は, 太郎さんが練習で 100m を 3 回走ったときのストライドとピッチのデー 夕である。\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\\hline & 1 回目 & 2 回目 & 3 回目 \\\\\n\\hline ストライド & 2.05 & 2.10 & 2.15 \\\\\n\\hline ピッチ & 4.70 & 4.60 & 4.50 \\\\\n\\hline\\end{tabular}\n\nまた，ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合，ストライド の最大値は 2.40 , ピッチの最大値は 4.80 である。太郎さんは, 上の表から, ストライドが 0.05 大きくなるとピッチが 0.1 小さくなる という関係があると考えて，ピッチがストライドの１次関数として表されると仮定 した。このとき, ピッチ z はストライド x を用いて\n\z=イウ x+\\frac{エオ}{5}\\n\nと表される。\n(2) が太郎さんのストライドの最大値 2.40 とピッチの最大値 4.80 まで成り立つと仮定すると， x の値の範囲は次のようになる。\n\カ. キク \\leqq x \\leqq 2.40\\ny=\\square とおく。(2)を y=\\square アに代入することにより， y を x の関数として 表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求める ためには, カ. キク \\leqq x \\leqq 2.40 の範囲で y の値を最大にする x の値を見つけ ればよい。このとき, y の値が最大になるのは x=\\square ケ.. コサ のときである。よって，太郎さんのタイムが最もよくなるのは，ストライドがケ. コサのと きであり, このとき, ピッチは：シ. スセである。また，このときの太郎さん のタイムは, (1) よりり ソ である。\nイウ～スセに当てはまる数を答えよ。また， ソ に当てはまるものを，次の (0)〜 (5)のうから 1 つ選べ。\n(0) 9.68\n(1) 9.97\n(2) 10.09\n(3) 10.33\n(4) 10.42\n(5) 10.55

次の計算をせよ。\n(1) $3 \vec{a}+2 \vec{a}$\n(2) \( 5 \vec{b}-2(-6 \vec{b}) \)\n(3) \( -2(3 \vec{a}-2 \vec{b})+4(\vec{a}-\vec{b}) \)\n(4) \( \frac{1}{2}(\vec{a}+2 \vec{b})+\frac{3}{2}(\vec{a}-2 \vec{b}) \)\n(5) \( \frac{2}{3}(2 \vec{a}-3 \vec{b})+\frac{1}{2}(-\vec{a}+5 \vec{b}) \)

\( \vec{a}=(2,3,1), \vec{b}=(2,5,0), \vec{c}=(3,1,1) \) であるとき, \( \vec{p}=(5,10,-1) \) を 適当な実数 $s, t, u$ を用いて $s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}$ の形に表せ。

611\n\( A=\left(\begin{array}{rr}0 & 3 \\ -2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rr}10 & -1 \\ 4 & -7\end{array}\right) \) のとき, 次の行列を求めよ。\n(1) \( 2 X-A=\frac{1}{3}\{2 B-(4 A-X)\} \) を満たす行列 $X$\n(2) 2 つの等式 $P+Q=A, P-Q=B$ を同時に満たす行列 $P, Q$

数学C (2) \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \ とすると\ 2 s+u=1 \ (1),\ -s+3 t=3 \ (2), \ s+2 t+u=2 \ から s, t, u の値を求め、\ \\vec{p} \ を表せ。

逆行列

(2) \\( \\begin{array}{l}\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\text { したがって } \\\\ A^{n}=P\\left(\\begin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) よって \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\\begin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\varangle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n=\\left(\\begin{array}{ll}\n2 & 3 \\\\\n1 & 2\\n\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{cc}\n3^{n} & 0 \\\\\n0 & 5^{n}\n\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{rr}\n2 & -3 \\\\\n-1 & 2\n\\end{array}\\right) \\)\n=\\left(\\begin{array}{rr}\n2 \\cdot 3^{n} & 3 \\cdot 5^{n} \\\\\n3^{n} & 2 \\cdot 5^{n}\n\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{rr}\n2 & -3 \\\\\n-1 & 2\n\\end{array}\\right) \\)\n=\\left(\\begin{array}{cc}\n4 \\cdot 3^{n}-3 \\cdot 5^{n} & -2 \\cdot 3^{n+1}+6 \\cdot 5^{n} \\\\\n2 \\cdot 3^{n}-2 \\cdot 5^{n} & -3^{n+1}+4 \\cdot 5^{n}\n\\end{array}\\right)\n\\end{array}\n\\]

4. 行列 A=\left[ \\begin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \right] の場合の逆行列を求めなさい。

次の行列のうち, 同じ型のものはどれとどれか。また, 等しいものはどれと どれか。 A=\left(\begin{array}{rr}0 & -1 \\1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\2 & 4 & 6\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\2 & 4 & 5\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{rr}0 & -\sin 90^{\circ} \\1 & \cos 90^{\circ}\end{array}\right)

\\begin{tabular}{|l} 問題 \n\\hline 4 \\end{tabular}\n\\( A=\\left(\\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\\\ 1 & 0 & 4\\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{rrr}-1 & 2 & -1 \\\\ 4 & 3 & 0\\end{array}\\right), C=\\left(\\begin{array}{rrr}-4 & -5 & -2 \\\\ 0 & 5 & 3\\end{array}\\right) \\) のとき, \\( 2(A-B)+3(B-2 C)+4 C \\) を計算せよ。

1. 逆行列の定義を説明しなさい。

次の行列 A, B, C, D について, (1)〜(3)の問いに答えよ。 A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\3 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 4 & 3 \\-5 & -2 & 6\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\0 & 2 \\1 & -3\end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 5 & 0 \\3 & 4 & 1 \\5 & -3 & 2\end{array}\right) （1） A, B, C, D は，それぞれ何行何列の行列か。 （2）行列 C の第 3 行ベクトル，第 2 列ベクトルをいえ。 (3) 行列 D の (i, j) 成分を a_{i j} で表すとき, a_{12}, a_{32}, a_{33} をいえ。

次の逆行列を求める問題です。 A^{-1}=2\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)^{-1} であり, 1 \cdot(-2)-1 \cdot 2=-4 から \[\begin{array}{rlrl} A^{-1} & =2 \cdot \frac{1}{-4}\left(\begin{array}{rr} -2 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \\ \text { よって } & X & =A\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) A^{-1} \\ & =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right)\left\{\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & -6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 4 & -1 \\ -4 & 4 \end{array}\right) \end{array}\] \[\begin{array}{l} \varangle(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} \\ (k \neq 0) \\ A^{-1} X A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \text { の } \end{array}\] 両辺に, 左から A を, 右 から A^{-1} を掛ける。

(3) \( \\quad X^{3}=\\left(\\begin{array}{rr}11 & -15 \\\\ -30 & 41\\end{array}\\right) \\) から \( \\quad X^{2} X=\\left(\\begin{array}{rr}11 & -15 \\\\ -30 & 41\\end{array}\\right) \\)\n\( X^{2}=\\left(\\begin{array}{rr}3 & -4 \\\\ -8 & 11\\end{array}\\right) \\) を代入して \( \\quad\\left(\\begin{array}{rr}3 & -4 \\\\ -8 & 11\\end{array}\\right) X=\\left(\\begin{array}{rr}11 & -15 \\\\ -30 & 41\\end{array}\\right) \\)\n\( A=\\left(\\begin{array}{rr}3 & -4 \\\\ -8 & 11\\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{rr}11 & -15 \\\\ -30 & 41\\end{array}\\right) \\) とすると, 等式は\n\ A X=B \\n\( \\Delta(A)=3 \\cdot 11-(-4) \\cdot(-8)=1 \\neq 0 \\) であるから, A^{-1} \ が存在して\n\\[ A^{-1}=\\left(\\begin{array}{rr}11 & 4 \\\\ 8 & 3\\end{array}\\right) \\]\nよって \( \\quad X=A^{-1} B=\\left(\\begin{array}{rr}11 & 4 \\\\ 8 & 3\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{rr}11 & -15 \\\\ -30 & 41\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & 3\\end{array}\\right) \\)\nこのとき \( \\quad X^{2}=\\left(\\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & 3\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & 3\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{rr}3 & -4 \\\\ -8 & 11\\end{array}\\right) \\)

問題 13 次の行列の逆行列を求める。 (1) \begin{array}{rr}3 & 6\-2 & -5\end{array} (2) \begin{array}{rr}2 & 8\12 & 3\end{array} (3) \begin{array}{cc}a-1 & a\1 & 1\end{array} (4) t(t-1) の場合の行列。

検 一般に, 行列の乗法では，交換法則が成り立たない \\( (A B \\neq B A) \\) 。したがって, 多項式のよ 誌 うに, 自由に式を変形することはできない。無条件に使えるのは, 結合法則 \\( (A B) C=A(B C) \\) や 分配法則 \\( (A+B) C=A C+B C \\), \\( C(A+B)=C A+C B \\) で, これらを用いて変形する。なお, \ A B=B A(A, B \ は交換可能—可換)である行列 \ A, B \ については, 普通の式のよ うに計算できる。

11. 漸化式を利用した無限級数の和 12. 上に凸である関数の性質 13. 方程式の実数解の個数, 有理数の解 14. 不等式への応用（微分法） 15. 逆関数の定積分 16. 定積分と不等式の証明, 和の極限 17. デカルトの葉で囲まれた面積 (極座標の利用) 18. y軸周りの回転体の体積と不等式の証明 19. 不等式で表される立体の体積 20. 立方体の対角線の周りの回転体の体積 21. 素数の逆数和が発散することの証明 22. ウォリスの公式, スターリングの公式の証明

(1) \( a_{1}=2, a_{n+1}=3 a_{n}+2^{n+1}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) によって定められる数列 a_{n} \ がある。このとき, 極限 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n}}{3^{n}} \ を求めよ。\n[福島大]\n(2) 次の条件によって定義される数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ がある。\n\\[\na_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_{n} \\quad(n=1,2,3, \\cdots \\cdots)\n\\]\nこのとき, \( a_{n+2}-\\alpha a_{n+1}=\\beta\\left(a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right) \\) を満たす \\alpha, \\beta \ の値を 2 組求めよ。また,数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求め，極限を調べよ。\n[長崎大]

次の行列に逆行列があるか。あれば，それを求めよ。 (1) \( \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) \) (2) \( \left(\begin{array}{rr}2 & -3 \\ -4 & 6\end{array}\right) \) (3) \( \left(\begin{array}{cc}a & 2 a \\ 2 & 3\end{array}\right) \) 偕針 \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \) の逆行列の存在条件は $\quad \Delta=a d-b c \neq 0$ で \[ A^{-1}=\frac{1}{\Delta}\left(\begin{array}{rr} d & -b \\-c & a \end{array}\right) \]

問題 $A, B, C$ は正方行列とする。次の計算をせよ。\n(1) \\( (A+2 B)(A-2 B) \\)\n(2) \\( 2(A-C)^{2}+2(B-C)^{2}-(A+B-2 C)^{2} \\)\n(3) \\( (A-3 E)^{2} \\)\n(4) \\( (A+E)^{2}-(A-E)^{2} \\)

逆行列\n逆行列の存在条件と成分

次の条件(i)(ii)によって定まる数列 $\{a_{n}\}$ を考える。 (i) $a_1 = 0$ (ii) 点 \( \mathrm{A_n}(a_n, 0) \) を通る傾き 1 の直線と直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ との交点を $\mathrm{B_n}$ として, 点 $\mathrm{B_n}$ の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とする。 \( (n=1,2,3, \\cdots) \) (1) $a_2$ を求めよ。 (2) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表し, 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。 (3) $\triangle \mathrm{A_n} \mathrm{A_{n+1}} \mathrm{B_n}$ の面積を $S_n$ とする。無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ の和を求めよ。

(2) \( A=\\left(\\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 4 & 7\\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\\end{array}\\right) \\) とすると, 等式は\n\ X A=B \\n\( \\Delta(A)=3 \\cdot 7-5 \\cdot 4=1 \\neq 0 \\) であるから, A^{-1} \ が存在して\n\\[ A^{-1}=\\left(\\begin{array}{rr}7 & -5 \\\\\n-4 & 3\\end{array}\\right) \\]\nよって \( \\quad X=B A^{-1}=\\left(\\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{rr}7 & -5 \\\\ -4 & 3\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{rr}-5 & 4 \\\\ -34 & 25\\end{array}\\right) \\]

問題 1 (1) A: 2 行 2 列の行列 B: 2 行 3 列の行列 C: 3 行 2 列の行列 D: 3 行 3 列の行列 (2) 第 3 行ベクトルは (1,-3), 第 2 列ベクトルは "(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ -3\end{array})" (3) a_{12}=5, \quad a_{32}=-3, \quad a_{33}=2

ハミルトン・ケーリーの定理とは何ですか？

(1) \( s(\vec{c} \cdot \vec{a})+t(\vec{c} \cdot \vec{b})=\vec{c} \cdot(s \vec{a}+t \vec{b})=\vec{c} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|^{2} \geqq 0 \) したがって \( s(\vec{c} \cdot \vec{a})+t(\vec{c} \cdot \vec{b}) \geqq 0 \) 参考 等号が成立するのは, $\vec{c}=\overrightarrow{0}$ のときである。

A = \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right), C = \left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right) のとき、異なる 2 つの行列の積が定義されるものを選び、計算せよ。

問題 $2 \times 2$ 行列 $A$ と $B$ が A B=B A \ を満たすとき, $A$ と \ B \ は交換可能であるという。 9 A \ と B \ が交換可能ならば, \ A B \ と \ B \ は交換可能であることを示せ。[類 北海道大]

次の計算をせよ。\n(1) \\( \\left(\\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ 3 & -4\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{rr}-3 & 0 \\\\ 1 & 3\\end{array}\\right) \\)\n(2) \\( \\left(\\begin{array}{rr}6 & -2 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)-\\left(\\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 1 & 3\\end{array}\\right) \\)\n(3) \\( 3\\left(\\begin{array}{lll}4 & 2 & -3 \\\\ 0 & 5 & -1\\end{array}\\right)+\\frac{1}{2}\\left(\\begin{array}{rrr}2 & 0 & -6 \\\\ 4 & 8 & 10\\end{array}\\right)-2\\left(\\begin{array}{rrr}3 & 1 & -2 \\\\ 4 & -1 & 0\\end{array}\\right) \\)\n(4) \\( A=\\left(\\begin{array}{rr}-2 & 3 \\\\ 1 & 0\\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 3 & 5\\end{array}\\right) \\) のとき, \\( 3(A-2 B)-2(A+B) \\)

次の行列に逆行列があるか。あれば，それを求めよ。 (1) \( \left(\begin{array}{rr}3 & 6 \\ -2 & -5\end{array}\right) \) (2) \( \left(\begin{array}{rr}2 & 8 \\ 3 & 12\end{array}\right) \) (3) \( \left(\begin{array}{cc}a-1 & a \\ 1 & 1\end{array}\right) \) (4) \( \left(\begin{array}{cc}t & t^{2} \\ 1 & 2 t-1\end{array}\right) \)

次の用語の最も多く出現するページを示しなさい。 1. 行列 2. 加速度 3. 極

問題 \( A=\left(\begin{array}{ll}-3 & 12 \\ -4 & 11\end{array}\right) \) に対して, \( P=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right) を考える。\n(1) $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めよ。また, \( P^{-1} A P を求めよ。\n(2) 自然数 $n$ に対して， \( A^{n} を求めよ。

3. 逆行列の基本的な性質を3つ述べなさい。

5. 行列 A, B に対して, Δ(A B)=Δ(A) Δ(B) の証明をしなさい。

練椤\n$x, y, z$ は $x+y+z=2, x y+y z+z x=0$ を満たす実数とする。\n類 東京電機大\n(1) $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(2) $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ の最大値・最小値と, そのときの $x$ の値を求めよ。

187 x=y=3 \sqrt{3} で最大値 $\frac{9}{4}$;\n x=81, y=\frac{1}{3} で最小値 -4

多項式の行列式の一般項を求めなさい。

練習 数列 \{a_{n}\},\{b_{n}\} を a_{1}=b_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+8 b_{n}, b_{n+1}=2 a_{n}+b_{n} で定めるとき (1) 数列 \{a_{n}\}, \{b_{n}\} の一般項を求めよ。 (2) lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{2 b_{n}} を求めよ。〔類 同志社大〕

28 n を正の整数とする。右の連立不等式を満たす x y z 空間の点 P(x, y, z) で, x, y, z がすべて整数であるもの(格子点) の個数を f(n) とする。極限 lim _{n -> ∞} f(n)/n^3 を求めよ。右の連立不等式は以下の通り。 { x + y - z <= n x - y - z <= n -x - y + z <= n }

$x, y$ が $\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{4}=1$ を満たす実数のとき, $x^{2}+6 \sqrt{2} x y-6 y^{2}$ の最小値とそのときの $x, y$ の値 を求めよ。

次の行列 $A^{-1}$ を求め、結果を使って行列Xを求めなさい。\nBased on the given matrices, compute matrix $X$.\n行列:\n\[ A^{-1}=2\\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 2 & -2\\end{array}\right)^{-1} \\]とする。

数学C\nEX \\triangle \\mathrm{ABC} \ について、 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{CA}} \ に関する内積を, それぞれ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=x, \\overrightarrow{\\mathrm{BC}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=y \, 320 \\overrightarrow{\\mathrm{CA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=z \ とおく。 \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を x, y, z \ を使って表せ。\n[類 大分大]

問題 1 本冊 p .609\n(1) A: 2 行 2 列の行列\nB: 2 行 3 列の行列\nC: 3 行 2 列の行列\nD: 3 行 3 列の行列\n(2) 第 3 行ベクトルは (1,-3), 第 2 列ベクトルは \\(\left(\\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12}=5, \\quad a_{32}=-3, \\quad a_{33}=2

2つのベクトル $\\vec{x}, \\vec{y}$ において, \( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \) のとき, $\\vec{x} と \\vec{y}$ を求めよ。

直線 $x=-3$ を漸近線とし，2 点 \( (-2,3),(1,6) \) を通る直角双曲線を グラフにもつ関数を $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ の形で表せ。

(6) \( \left(\begin{array}{rr}2 & 6 \\ -1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}k & 0 \\ 0 & k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 \cdot k+6 \cdot 0 & 2 \cdot 0+6 \cdot k \\ (-1) \cdot k+2 \cdot 0 & (-1) \cdot 0+2 \cdot k\end{array}\right) \)

問題 6: 次の行列計算をそれぞれ行いなさい。 (1) (–1, 3) * (–2; 1) (2) (2, –4) *(3, 1) (3) (2, –3) * (5, 2; –1, 4)

数学 C (2) $\vec{x}+2 \vec{y}=\vec{a}$ (1), $\vec{x}-3 \vec{y}=\vec{b}$ (2) とする。 (1) $\times 3+$ (2) $\times 2$ から $5 \vec{x}=3 \vec{a}+2 \vec{b}$ よって \[ \vec{x}=\frac{1}{5}(3 \vec{a}+2 \vec{b})=\frac{1}{5}\{3(1,1)+2(1,3)\}=\left(1, \frac{9}{5}\right) \] また, (1)-(2) から $5 \vec{y}=\vec{a}-\vec{b}$ ゆえに \[ \overrightarrow{\boldsymbol{y}}=\frac{1}{5}(\vec{a}-\vec{b})=\frac{1}{5}\{(1,1)-(1,3)\}=\left(0,-\frac{2}{5}\right) \] $\longleftrightarrow x, y$ の連立方程式 \[ \left\{\begin{array}{l} x+2 y=a \\ x-3 y=b \end{array}\right. \] を解く要領で。

\ 2 \\vec{x}+5 \\vec{y}=\\vec{a}, 3 \\vec{x}-2 \\vec{y}=\\vec{b} \ を満たす \ \\vec{x}, \\vec{y} \ を \ \\vec{a}, \\vec{b} \ を用いて表せ。

問題 5 (続き): 行列 A = (1, 2; 3, -1)、B = (0, -1; 1, 0) とすると、次の連立方程式を解きなさい。 X + 2Y = A -3X + Y = B

問題 5: 以下の行列の等式を解いてください。 左辺 ＝ (10, -2; 2a, 6) + (-3b, -3; -12, -3c) = (10-3b, -5; 2a-12, 6-3c) 等式から (10-3b, -5; 2a-12, 6-3c) = (4, d; -2, -12) 対応する成分が等しいことを用いて各変数の値を求めよ。

\ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ と \ \\vec{a}+\\vec{b} \ が垂直, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{a}-\\vec{b} \ が垂直であるとき, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角 \ \\theta \ を求 めよ。

EX 2 つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b} \ は |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|\\vec{a}+\\vec{b}|=4 \ を满たすとする。 P=|\\vec{a}+t \\vec{b}| \ の值を最小 ②2にする実数 t \ の值はア \\square \ であり, そのときの P \ の最小值はイ \\square \ である。また, すべての実数 t \ に対して |k \\vec{a}+t \\vec{b}|>1 \ が成り立つとき, 実数 k \ のとううる値の範囲はウ \\square \ である。\n[類 北里大]

重要例題\n$13 \mid u x+v y$ の最大・最小\n実数 $x, y, u, v$ が等式 \( x^{2}+y^{2}=1,(u-2)^{2}+(v-2 \sqrt{3})^{2}=1 \) を満たすとき, $u x+v y$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) \( \\begin{array}{l}\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\text { したがって } \\\\ A^{n}=P\\left(\\begin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) よって \( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\\begin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\varangle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)

漸化式を利用して，場合の数を導く問題。\n3 段を登る 3 種類の登り方が可能であるものとする。第 $k$ 段 \( (5 \leqq k \leqq n) )に登る登り方の総数を \( A(k) \) で表す。このとき, \( A(n-3), A(n-2), A(n-1) \), \( A(n) \) の間に成り立つ関係式を求め，それを用いて \( A(10) \) を求めよ。

あるマラソンコースを，A，B，Cの 3 人がそれぞれ一定の速さで走っている。 $\mathrm{A}$ が中間地点Pを通過した 5 秒後に Pを通過したBは, Pを通ってから 10 秒後に Aを追い越した。Bより更に 10 秒遅れてPを通過したCは，その 15 秒後にAを 追い越し，その後，Bに追いついたという。\nCがBに追いついたのは，CがPを通過した何秒後か。

次の各場合について，AまたはBのどちらに必勝法があるか答えよ。 (ア) 最初の状態が (5,5,0) であるとき (イ) 最初の状態が (8,0,6) であるとき

次の連立方程式を解け。 (4) \( \left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+z=-1 \\ 3 x-4 y+2 z=1 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14\end{array}\right. \)

練習 次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n37 (1) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=13, a_{n+2}-5 a_{n+1}-6 a_{n}=0 \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=2, \\quad a_{n+2}-4 a_{n+1}+3 a_{n}=0 \

「線形代数学」の主な内容は何ですか？

28 (2) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ が $a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n$ で定義されている。数列 \(\left\{a_{n}-f(n)\right\} \) が公比 2 の等比数列となるように $n$ の 2 次式 \(f(n)\) を定め, $a_{n}$ を $n$ で表せ。

32 本冊 p .393 n a_{n+1}-(n+2) a_{n}+1=0 の両辺を n(n+1)(n+2) で割ると \[ \begin{array}{c} \frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}-\frac{a_{n}}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=0 \ \frac{a_{n}}{n(n+1)}=b_{n} とおくと \ b_{n+1}-b_{n}=-\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \end{array} \] よって, n \geqq 2 のとき \[ \begin{aligned} b_{n}= & b_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{-1}{k(k+1)(k+2)} \ &= & \frac{a_{1}}{1 \cdot 2}-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\} \ &= & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{2 \cdot 3}\right)+\left(\frac{1}{2 \cdot 3}-\frac{1}{3 \cdot 4}\right)+\cdots \cdots\right. \ &= & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}\right\}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2 n(n+1)} \ &= & \left.\frac{n^{2}+n+2}{4 n(n+1)} \cdots\right\}\end{aligned} \] b_{1}=\frac{1}{2} であるから, (1) は n=1 のときも成り立つ。 ゆえに \quad b_{n}=\frac{n^{2}+n+2}{4 n(n+1)} すなわち \frac{a_{n}}{n(n+1)}=\frac{n^{2}+n+2}{4 n(n+1)} したがって \quad a_{n}=\frac{1}{4} n^{2}+\frac{1}{4} n+\frac{1}{2}

練習 40: (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} および (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n} の漸化式を解け。初項 a_{1} + b_{1} = 4 および a_{1} - b_{1} = 2 から、a_{n} と b_{n} を求めよ。

317\n(2) \( a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta\left(a_{n}+\alpha b_{n}\right) \) とすると\n\[\n3 a_{n}+b_{n}+\alpha\left(2 a_{n}+4 b_{n}\right)=\beta a_{n}+\alpha \beta b_{n}\n\]\nよって \( \quad(3+2 \alpha) a_{n}+(1+4 \alpha) b_{n}=\beta a_{n}+\alpha \beta b_{n} \)\n数列 $\left\{a_{n}+\alpha b_{n}\right\}$ が等比数列になるための条件は\n$\n3+2 \alpha=\beta\n$\n(1) $1+4 \alpha=\alpha \beta$ $\qquad$\n(1)を(2)に代入して整理すると $\quad 2 \alpha^{2}-\alpha-1=0$\n\nよって \( \quad(\alpha-1)(2 \alpha+1)=0 \)\nゆえに $\quad \alpha=1,-\frac{1}{2}$\n(1)から $\alpha=1$ のとき $\beta=5, \alpha=-\frac{1}{2}$ のとき $\beta=2$\n\nゆえに\n\[\n\begin{array}{ll}\na_{n+1}+b_{n+1}=5\left(a_{n}+b_{n}\right), & a_{1}+b_{1}=4 ; \\\na_{n+1}-\frac{1}{2} b_{n+1}=2\left(a_{n}-\frac{1}{2} b_{n}\right), & a_{1}-\frac{1}{2} b_{1}=-\frac{1}{2}\n\end{array}\n\]\n\nよって, 数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ は初項 4 , 公比 5 の等比数列;\n数列 $\left\{a_{n}-\frac{1}{2} b_{n}\right\}$ は初項 $-\frac{1}{2}$, 公比 2 の等比数列。\n\nゆえに\n\[\n\begin{array}{l}\na_{n}+b_{n}=4 \cdot 5^{n-1} \\\na_{n}-\frac{1}{2} b_{n}=-\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}\n\end{array}\n\]$\qquad$\n(3) + (4) \( \times 2) \div 3 \) から $\quad a_{n}=\frac{4 \cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}$\n(3) - (4) $\div \frac{3}{2}$ から\n$\nb_{n}=\frac{8 \cdot 5^{n-1}+2^{n-1}}{3}\n$\n\n別解 $a_{n+1}=3 a_{n}+b_{n}$\n(1), $b_{n+1}=2 a_{n}+4 b_{n}$ \( \qquqquad (2) とする。\n(1) から\n$\nb_{n}=a_{n+1}-3 a_{n}\n$$\qquqquadrant$\nよって $\quad b_{n+1}=a_{n+2}-3 a_{n+1}$ $\qquqquad$\n(3), (4)を (2) に代入すると \( a_{n+2}-3 a_{n+1}=2 a_{n}+4\left(a_{n+1}-3 a_{n}\right) \)\n\nゆえに $\quad a_{n+2}-7 a_{n+1}+10 a_{n}=0$ \( \quqquqquadrant )\nまた, (1)から $\quad a_{2}=3 a_{1}+b_{1}=3 \cdot 1+3=6$\n(5) を変形すると\n\[\n\begin{array}{ll}\na_{n+2}-2 a_{n+1}=5\left(a_{n+1}-2 a_{n}\right), & a_{2}-2 a_{1}=4 ; \\\na_{n+2}-5 a_{n+1}=2\left(a_{n+1}-5 a_{n}\right), & a_{2}-5 a_{1}=1\n\end{array}\n\]\n\nよって, 数列 $\left\{a_{n+1}-2 a_{n}\right\}$ は初項 4 , 公比 5 の等比数列;\n数列 $\left\{a_{n+1}-5 a_{n}\right\}$ は初項 1, 公比 2 の等比数列。\n\nゆえに\n\[\n\begin{array}{l}\na_{n+1}-2 a_{n}=4 \cdot 5^{n-1} \\\na_{n+1}-5 a_{n}=2^{n-1}\n\end{array}\n\]\n(6)-(7) $\div 3$ から $\quad a_{n}=\frac{4 \cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}$\n\nよって, (3) から\n$\nb_{n}=\frac{4 \cdot 5^{n}-2^{n}}{3}-3 \cdot \frac{4 \cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}=\frac{8 \cdot 5^{n-1}+2^{n-1}}{3}\n$

(2) 漸化式を変形して a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n}) これを使用して、数列 {a_{n+1}-a_{n}} の一般項を求め、その結果を用いて原数列 a_n の一般項を求めます。

4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} \n等号が成り立つのは\ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\ のとき。\\

別解 1 \n漸化式を変形して\na_{n+2}-3a_{n+1}=a_{n+1}-3a_{n}\nよって a_{n+1}-3a_{n}=a_{n}-3a_{n-1}=...=a_{2}-3a_{1}=-1です。これを変形すると a_{n+1}-\frac{1}{2}=3(a_{n}-\frac{1}{2}) となります。\na_{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} ですから、a_{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \cdot 3^{n-1} したがって、a_{n}=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1) が得られます。

例題 37 隣接 3 項間の漸化式 (1)\n次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \

（3）公比が正の数である等比数列について, 初めの 3 項の和が 21 であり, 次の 6 項 の和が 1512 であるとき, この数列の初項および，初めの 5 項の和を求めよ。

例題 51 | 不等式の証明 $n$ が 3 以上の自然数であるとき，不等式 $2^{n} \geqq n^{2}-n+2$ (1) が成り立つこと を，数学的帰納法によって証明せよ。

数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の初項から第 \ n \ 項までの和 \ S_{n} \ が \\( S_{n}=3 n(n+5) \\) で表されるとき, 一般項 \ a_{n} \ を求めよ。

53 m=6 のとき x=-2 ; m=10 のとき x=-8,0 ; m=-6 のとき x=4 ; m=-10 のとき x=2,10

数列 (1) の一般項を求めよ。

数列 \left\\{a_{n}\right\\} を次のように定める。\n$a_{1}=2$ とする。自然数 $n$ に対し, 2 点 \( (0,1),\left(a_{n}, 0\right) \) を通る直線と直線 $y=x$ の交点の $x$ 座標 を $a_{n+1}$ とする。\n(1) $a_{n+1}$ を $a_{n}$ で表せ。\n(2) $b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ とおく。 $b_{n+1}$ を $b_{n}$ で表せ。\n(3) $a_{n}$ を求めよ。

初項から第5項までの和が20, 初項から第20項までの和が140である等差数列の初項 a と公差 d を求めよ。

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。$a_{1}=-1, \quad a_{n+1}=a_{n}+4 n-1$

数列 {a_n} の初項から第 n 項までの和 S_n が 3 S_n = a_n + 2n - 1 を満たすとき，次の問いに答えよ。 1. a_{n+1} を a_n を用いて表せ。 2. a_n を n の式で表せ。

初項から第 3 項までの和が 6 , 第 2 項から第 4 項までの和が -12 である等比数列の初項と公比を求めよ。

例題 》 発展例題 34 37 a_{1}=5, a_{n+1}=6 a_{n}+5 によって定められる数列 \left\{a_{n}\right\} の一般項を求めよ。

2 ベクトルの成分 (2) 2 つのベクトル \( \vec{a}=(2,1), \vec{b}=(4,-3) \) に対して, $\vec{x}+2 \vec{y}=\vec{a}, 2 \vec{x}-\vec{y}=\vec{b}$ を満た すベクトル $\vec{x}, \vec{y}$ の成分を求めよ。 [高知工科大]

正四面体 $\mathrm{PABC}$ において, 点 $\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{PBC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とし, $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{c}$ とする。\n（1）内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{a} \cdot \vec{c}, \vec{b} \cdot \vec{c}$ を求めよ。\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{PH}}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表せ。\n（3）正四面体 $\mathrm{PABC}$ の体積を求めよ。