数と代数 - 指数関数と対数関数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

ある速さで真上に打ち上げたボールの、打ち上げてからx秒後の地上からの高さをh mとする。hの値がh=-5x²+40xで与えられるとき、ボールが地上から35 m以上65 m以下の高さにあるのは、xの値がどのような範囲にあるときか。

EX f(x) = (log_{2} rac{x}{a})(log_{2} rac{x}{b}) (ただし、a b = 8, a > b > 0) とする。 f(x) の最小値が -1 であるとき, a^{2} の値を求めよ。 [早稲田大]

指数と対数が混在した式の値など: 次の式の値を求めなさい。

PR（1）年利率 5 %の 1 年ごとの複利で，毎年度の初めに 20 万円ずつ積み立てるとき，元利合計は， 313 7 年度末には $\square$万円となる。ただし， $1.05^{7}=1.4071$ とし， 1 万円未満は切り捨てよ。 \( [(1) \) 類 立教大 $]$ （2）毎年度初めに等額ずつ積み立てて， 5 年度末に 100 万円にしたい。毎年度初めに積み立て る金額をいくらにすればよいか。年利率 $2 \%, 1$ 年ごとの複利として計算せよ。ただし， $1.02^{5}=1.10$ とし, 100 円未満は切り上げよ。

数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ に対して, 数列 \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ の初項 \ p a_{1} \ から第 \ n \ 項 \ p^{n} a_{n} \ までの和が \ q^{n} \ に等しいものとする。ただし, \ p \\neq 0 \ とする。\n(1) \ a_{n} \ を求めよ。\n(2) \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \ を求めよ。

(3) y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1 とすると y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 すべての実数に対して y' > 0 となるから， y は増加する。したがって, 方程式 x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 の実数解は 1 個 である。

(2) (イ) $\log _{3} 7=a, \log _{4} 7=b$ とするとき, $\log _{12} 7$ を $a, b$ で表せ。

次の等式を証明せよ。 (ア) $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$ (イ) $\log _{a} b \cdot \log _{b} c \cdot \log _{c} a=1$ (2) $\log _{a} b=\log _{b} a$ ならば, $a=b$ または $a b=1$ であることを示せ。

また c_{1}=\frac{a_{1}}{4^{1}}=\frac{1}{4} よって, n ≥ 2 のとき \n\\begin{aligned}\nc_{n} &=c_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left\\{-\frac{1}{4} \cdot\left\\frac{5}{4}\right\^{k}\right\\} \\ &=\frac{1}{4}-\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}\left\\{\left\\frac{5}{4}\right\^{n-1}-1\right\\\}}{\frac{5}{4}-1} \\ &=\frac{3}{2}-\left\\frac{5}{4}\right\^{n} \\cdots \\cdots \\text { (1) }\n\\end{aligned}\n n=1 とすると \frac{3}{2}-\left\\frac{5}{4}\right\^{1}=\frac{1}{4} c_{1}=\frac{1}{4} であるから, (1) n=1 のときに も成り立つ。したがって c_{n}=\frac{3}{2}-\left\\frac{5}{4}\right\^{n} (3) (1)の結果から a_{n}=5^{n} b_{n}=6 \cdot 4^{n-1}-5^{n} 別解 (2) の結果から a_{n}=4^{n} c_{n}=6 \cdot 4^{n-1}-5^{n}

次の方程式・不等式を解け。ただし， a は 1 と異なる正の定数とする。\n(1) \\( \\log _{\\sqrt{2}}(2-x)-\\log _{2}(x+2)=3 \\)\n(2) \\( x^{\\log _{3} 9 x}=\\left(\\frac{x}{3}\\right)^{8} \\)\n(3) \\( \\log _{a}\\left(3 x^{2}-3 x-18\\right)>\\log _{a}\\left(2 x^{2}-10 x\\right) \\)

次の不等式を解け。\n(1) \( \\log _{\\frac{1}{2}}(1-x)>2 \\)\n(2) \( 2 \\log _{0.5}(x-2)>\\log _{0.5}(x+4) \\)\n(3) \( \\log _{2}(x-2)<1+\\log _{\\frac{1}{2}}(x-4) \\)\n(4) \( 2\\left(\\log _{2} x\\right)^{2}+3 \\log _{2} 4 x<8 \\)

B \( f(x) \) が \( x f^{\prime}(x)+\int_{1}^{x} f(t) d t=2 x^{2}+x+1 \) を満たすとき, 次の問いに答えよ。\n(1) 多項式 \( f(x) \) の次数を求めよ。\n(2) 多項式 \( f(x) \) を求めよ。

19 対数関数 A130® $1<a<b<a^{2}$ のとき, \( \log _{a} b, \log _{b} a, \log _{a}\left(\frac{a}{b}\right), \log _{b}\left(\frac{b}{a}\right), 0, \frac{1}{2}, 1 \) を小 さい順に並べよ。

2) 次の対数関数の性質についての問題に解答しなさい。 (a) $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ の性質を用いて、$\log_3 (27 \cdot 9)$ の値を求めよ。 (b) 底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、$\log_2 10$ の値を求めよ。ただし $\log_{10} 2 = 0.3010$ を用いて計算しなさい。

次の方程式を解け。\n(1) \( \\left(\\log _{3} x\\right)^{2}-2 \\log _{3} x-3=0 \)\n(2) $\\log _{2} x-2 \\log _{x} 4=3$

次に示す対数尺の目盛りについて考える。 ＜対数尺＞直線上で, 基準の点 O, OE=1 である点Eを下の図のように定め, O から右に log_{10} a だけ離れたところに a の目盛りを書いたものを対数尺とする。 (1) 1 ≤ a < b ≤ 10 のとき,目盛り a の点と目盛り bの点の距離を表したものを次のうちから 1 つ選べ。 (0) log_{10}(a+b) (1) log_{10}(b-a) (2) log_{10} a b (3) log_{10} b/a

308 重要例題 (20 漸化式と極限 (4))\n漸化式 \( a_{1}=2,2 a_{n+1} a_{n}=a_{n}^{2}+2(n=1,2,3, ...) \)で定められる数列 ${a_{n}}$ を考える。次の (1) 〜 (3)を示せ。\n(1) すべての自然数 $n$ について $a_{n} \geqq \sqrt{2}$ である。\n(2) \( a_{n+1} \leqq a_{n}(n=1,2,3,...) \)\n(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sqrt{2}$ [広島大]

163 順に \left(\frac{\pi}{6}, \log \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \frac{\sqrt{3}}{2}

複素数 \ z \ に対し, 関数 \ e^{z} \ を, 11 の \ x \ を \ z \ にま換えた式で定義すると\\n\ e^{z}=1+\\frac{z}{1!}+\\frac{z^{2}}{2!}+\\frac{z^{3}}{3!}+\\frac{z^{4}}{4!}+\\frac{z^{5}}{5!}+\\cdots \\cdots\

演習 67 |II| 本冊 p .558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) 極方程式 r=θ(θ≧0) から x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ ここで dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ よって, θ についての x, y の増減表は次のようになる。 θ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ 極大 ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ 極大 ↘ ただし \cos α−α sin α=0 確認用条件 \sin β+β\cos β=0

ゆえに, 点 Q の座標を求めよ。\n\n \[\left(u-\frac{e^{u}-e^{-u}}{e^{u}+e^{-u}}, \frac{e^{u}+e^{-u}}{2}+\frac{2}{e^{u}+e^{-u}}\right)\]

湖顽 38 中間値の定理の利用\n（1）方程式 \\( 3^{x}=2(x+1) \\) は， \ 1<x<2 \ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。\n(2) \\( f(x), g(x) \\) は区間 \ [a, b] \ で連続な関数とする。 \\( f(a)>g(a) \\) かつ \\( f(b)<g(b) \\) であるとき, 方程式 \\( f(x)=g(x) \\) は \ a<x<b \ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。

初項 $a_1=3$、公比3の等比数列 $\{a_n\}$ と、初項 $\frac{b_1}{3}=\frac{2}{3}$、公差 $\frac{2}{3}$ の等差数列 $\left\{\frac{b_n}{3^n}\right\}$ の振る舞いを説明せよ。特に、次の関係を示せ：\n\n- \(f_{2(k+1)}(x)=\left(3a_k x+2 a_k+3 b_k\right)e^{x}\)\n- $a_{k+1}=3a_k$\n- $b_{k+1}=2a_k + 3b_k$\n

数学 $\mathbb{I}$\n2 曲線の接点の $x$ 座標を $t$ とすると，接点の $y$ 座標，およびその 点における微分係数が等しいから\n\[ \\begin{array}{l} f(t)=g(t) \quad \\text { かつ } \quad f^{\\prime}(t)=g^{\\prime}(t) \\text { よって }\\left\\{\\begin{array}{l} \\cos t=\\cos 2 t+a \\sin t=2 \\sin 2 t \\end{array}\\right. \\end{array} \\]\n(2) から \\sin t=4 \\sin t \\cos t \\nゆえに \( \\sin t(4 \\cos t-1)=0 \\)\nよって \\quad \\sin t=0 \ または \\cos t=\\frac{1}{4} \\n[1] \\sin t=0 \ のとき \( \\quad t=m \\pi(m \\text{ は整数 }) \\)\n t=2 n \\pi \ のとき, (1) から \\quad a=0 \\n\( t=(2 n-1) \\pi \\) のとき, (1) から \\quad a=-2 \\nこれらは a>0 \ に反するから不適。\n[2] \\cos t=\\frac{1}{4} \ のとき\n(1) から \\quad \\cos t=2 \\cos ^{2} t-1+a \\nよって \\frac{1}{4}=\\frac{1}{8}-1+a \\nゆえに \\quad a=\\frac{9}{8} \\n(2) \( \\cos 2 x+\\frac{9}{8}-\\cos x=2 \\cos ^{2} x-\\cos x+\\frac{1}{8}=2\\left(\\cos x-\\frac{1}{4}\\right)^{2} \\)\n\\cos x=\\frac{1}{4} \\cdots \\cdots (4) の 1 つの解を \\( x=\\alpha\\left(0<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}\\right) \\) とすると, 0<x<3 \\pi \ において, (4) の解は \ x=\\alpha, 2 \\pi-\\alpha, 2 \\pi+\\alpha \ よって, 2 曲線 C_1, C_2 \ は \ x=\\alpha, 2 \\pi-\\alpha, 2 \\pi+\\alpha \ の 3 点で接し ている。また, ③ から, C_2 \ が常に C_1 \ の上側にある。 \nよって，右の図の灰色部分の面積を求める。\n求める面積を S \ とすると\n\[ \\begin{aligned} S & =\\int_{\\alpha}^{2 \\pi+\\alpha}\\left(\\cos 2 x+\\frac{9}{8}-\\cos x\\right) d x & =\\left[\\frac{1}{2} \\sin 2 x+\\frac{9}{8} x-\\sin x\\right]_{\\alpha}^{2 \\pi+\\alpha}=\\frac{9}{8} \\cdot 2 \\pi=\\frac{9}{4} \\pi \\end{aligned}\\]\n$\frac{\\pi}{2}<x<\frac{3}{2} \\pi$\nにおいて y=-\\cos x \ と y=\\cos 2 x+\\frac{9}{8} \ とは x=\\pi \\pm \\alpha より接するから, 右の図の灰色部分を回転させることで，求める体積を求める。体積をVとすると、\n\[ \\begin{aligned} V= \\pi \\int_{\\alpha}^{2 \\pi+\\alpha}\\left(\\cos 2 x+\\frac{9}{8}\\right)^{2} d x-\\pi \\int_{\\alpha}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{2} x d x-\\pi \\int_{\\frac{3}{2} \\pi}^{2 \\pi+\\alpha} \\cos ^{2} x d x \\ = \\pi \\int_{\\alpha}^{2 \\pi+\\alpha}\\left(\\cos ^{2} 2 x+\\frac{9}{4} \\cos 2 x+\\frac{81}{64}\\right) d x-\\pi \\int_{\\frac{3}{2} \\pi}^{\\frac{5}{2} \\pi} \\cos ^{2} x d x \\ = \\pi \\int_{\\alpha}^{2 \\pi+\\alpha}\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{81}{64}+\\frac{1}{2} \\cos 4 x+\\frac{9}{4} \\cos 2 x\\right) d x-\\pi \\int_{\\frac{3}{2} \\pi}^{\\frac{5}{2} \\pi} \\frac{1+\\cos 2 x}{2} d x \\end{aligned} \\]\n【a>0】\nそれにより、\\( \\left(\\begin{array}{cc}b=\\pi-\\alpha, & c=\\pi+\\alpha \\ d=2 \\pi-\\alpha, & e=2 \\pi+\\alpha \\end{array}\\right) \\)により、曲線が接する位置は特定される。

(1) $t>0$ で定義された関数 \( f(t)=e^{-t} \sin t \) が極値をとる $t$ の値を小さいものから順に $t_{1}, t_{2}, \cdots \cdots, t_{n}, \cdots \cdots$ とおく。 $t_{n}$ と \( f\left(t_{n}\right) \) を求めよ。\n(2) $x y$ 平面上に媒介変数 $t$ により表示された曲線 $C: x=e^{t} \cos t, y=e^{t} \sin t$ \( (t>0) \) があり, 直線 $y=x$ 上に点 \( \mathrm{P}(r, r)(r>0) \) をとる。Cの接線で $\mathrm{P}$ を通るものの本数を \( N(r) \) とするとき, 次のものを求めよ。\n(ア) \( N(r)=1 \) となる $r$ の値と, そのときの $\mathrm{P}$ を通る $C$ の接線の方程式\n(イ) \( N(r)=2 \) となる $r$ の値の範囲

第 2 章 問題 $100<a<b$ である定数 $a, b$ がある。 \( x_{n}=\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) とおくとき (1) 不等式 \( b^{n}<a\left(x_{n}\right)^{n}<2 b^{n} \) を証明せよ。 (2) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}$ を求めよ。 [立命館大]

EX 120 (3) \( \\left(\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(a b=8, より\\quad Y=3x=0

178 (1) $\log _{15} 8=\frac{3 a b}{2 a+b}$\n(2) $A=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}, B=\frac{-1 \mp \sqrt{5}}{2} \quad$ （複号同順）

各組の数の大小を不等号を用いて表せ。\n(1) $1.5, \log _{3} 5$\n(2) $2, \log _{4} 9, \log _{2} 5$\n(3) $\log _{0.5} 3, \log _{0.5} 2, \log _{3} 2, \log _{5} 2$

(1) \( \left(\log _{2} 9+\log _{4} 3\right) \log _{3} 4 \)

次の式を簡単にせよ。\n(ア) $\log _{0.2} 125$\n(1) $\log _{6} 12+\log _{6} 3$\n(ウ) $\log _{3} 18-\log _{3} 2$\n(I) $6 \log _{2} \sqrt[3]{10}-2 \log _{2} 5$\n(J) $\frac{1}{2} \log _{10} \frac{5}{6}+\log _{10} \sqrt{7.5}+\frac{1}{2} \log _{10} 1.6$

31 対数関数 EXERCISES

綀習次の方程式を解け。\n(1) \( \log _{3}(x-2)+\log _{3}(2 x-7)=2 \)\n(2) \( \log _{2}\left(x^{2}-x-18\right)-\log _{2}(x-1)=3 \)\n(3) \( \log _{4}(x+2)+\log _{\frac{1}{2}} x=0 \)

第5章 指数関数と対数関数 補足事項 対数の計算について

(2) 次の式を簡単にせよ。\n(ア) \ \\log _{0.2} 125 \\n(イ) \ \\log _{6} 12+\\log _{6} 3 \\n(ウ) \ \\log _{3} 18-\\log _{3} 2 \\n(エ) \ 6 \\log _{2} \\sqrt[3]{10}-2 \\log _{2} 5 \\n(オ) \ \\frac{1}{2} \\log _{10} \\frac{5}{6}+\\log _{10} \\sqrt{7.5}+\\frac{1}{2} \\log _{10} 1.6 \

指数と対数が混じった式の値など

日常生活で用いられている常用対数

対数の計算に不慣れなうちは, 誤った方法で計算をしてしまうことがある。以下の誤答例を確認して、正しい解法を学びましょう。 (誤答例) (1) \( \log_2 5 + \log_2 3 = \log_2(5 + 3) = \log_2 8 = 3 \) (2) \( \log_2 5 - \log_2 3 = \log_2(5 - 3) = \log_2 2 = 1 \) (3) $\frac{\log_2 81}{\log_2 3} = \frac{81}{3} = 27$ (4) \( \log_2 4 = \log_2 2^2 = (\log_2 2)^2 = 1^2 = 1 \) (5) $\log_2 \frac{1}{4} = \frac{1}{\log_2 4} = \frac{1}{2}$ (正しい解答) (1) \( \log_2 5 + \log_2 3 = \log_2(5 \times 3) = \log_2 15 \) (2) $\log_2 5 - \log_2 3 = \log_2 \frac{5}{3}$ (3) $\frac{\log_2 81}{\log_2 3} = \frac{\log_2 3^4}{\log_2 3} = \frac{4 \log_2 3}{\log_2 3} = 4$ (4) $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \log_2 2 = 2$ (5) $\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2 \log_2 2 = -2$

数列の極限(5) ……はさみうちの原理と二項定理の利用 基 本 例題 92 基本 91 n は n ≥ 3 の整数とする。 (1) 不等式 2^{n} > \frac{1}{6} n^{3} が成り立つことを，二項定理を用いて示せ。 (2) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} の値を求めよ。

fn(x) = (log x)^n (n は3以上の整数) とする。ここで, log x は自然対数である。曲線 y = fn(x) が変曲点 (x_0, 8) をもつとき, n と x_0 の値を求め, そのときの曲線の概形をかけ（凹凸も調べよ）。[職能開発大]

方程式 \( 3^{x}=2(x+1) \) は, $1<x<2$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつこ とを示せ。

練習 ｎを２以上の自然数とする。\n(2) 次の不等式を証明せよ。\n\[ \frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)<\sum_{k=1}^{n} k \log k<\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)+n \log n \]

(2)発散する

5n を自然数とする。関数 f(x)=x^{2} e^{x} の第 n 次導関数 f^{(n)}(x) は, ある定数 a_{n} を 用いて f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x} と表すことができることを示し， a_{n} を求め よ。

EX y=e^{3 x}(a \\sin 2 x+b \\cos 2 x) が, y^{\\prime}=e^{3 x} \\sin 2 x を満たすような定数 a, b の値を求めよ。

n 個のボールを 2 n 個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし, どの箱に入 る確率も等しいとする。どの箱にも 1 個以下のボールしか入っていない確率を p_{n} とする。この とき、極限値 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \ を求めよ。\n\n〔京都大〕

どのような実数 c_{1}, c_{2} に対しても関数 f(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{5 x} は関係式 f’’(x) − a f’(x)+b f(x)=0 を満たす。〔慶応大〕

『オイラーの公式』の記載されているページを示せ。

自然数 n に対して 3^n の桁数を求め、その極限を計算しなさい

\ 0<a<b \ である定数 \ a, b \ がある。 \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\) とおくとき(1) 不等式 \\( b^{n}<a\\left(x_{n}\\right)^{n}<2 b^{n} \\) を証明せよ。(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \ を求めよ。

308 数学 $\mathbb{I}$ 常に $k \log k=x \log x$ または \( x \log x=(k+1) \log (k+1) \) ではない から \[\int_{k}^{k+1} k \log k d x<\int_{k}^{k+1} x \log x d x<\int_{k}^{k+1}(k+1) \log (k+1) d x\] ゆえに \( \quad k \log k<\int_{k}^{k+1} x \log x d x<(k+1) \log (k+1) \) よって \( \sum_{k=1}^{n-1} k \log k<\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} x \log x d x<\sum_{k=1}^{n-1}(k+1) \log (k+1) \) ここで, (1)の結果を利用すると \[\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} x \log x d x=\int_{1}^{n} x \log x d x=\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)\] また \( \quad \sum_{k=1}^{n-1}(k+1) \log (k+1)=\sum_{k=2}^{n} k \log k=\sum_{k=1}^{n} k \log k \) ゆえに \( \quad \sum_{k=1}^{n-1} k \log k<\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)<\sum_{k=1}^{n} k \log k \) \( \sum_{k=1}^{n-1} k \log k<\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right) \) の両辺に $n \log n$ を加えて \[\sum_{k=1}^{n} k \log k<\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)+n \log n\] (1), (2) から, $n \geqq 2$ のとき \[\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)<\sum_{k=1}^{n} k \log k<\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}\left(n^{2}-1\right)+n \log n\] (3) \( a_{n}=\frac{\log \left(1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdots \cdots \cdot n^{n}\right)}{n^{2} \log n} \) とすると \[\begin{aligned} a_{n} & =\frac{1}{n^{2} \log n}(\log 1+2 \log 2+\cdots \cdots+n \log n) \\ & =\frac{1}{n^{2} \log n} \sum_{k=1}^{n} k \log k \end{aligned}\] $n \geqq 2$ のとき $\quad n^{2} \log n>0$ よって, (2) で証明した不等式の各辺を $n^{2} \log n$ で割ると \[\frac{1}{2}-\frac{1}{4 \log n}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)<a_{n}<\frac{1}{2}-\frac{1}{4 \log n}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)+\frac{1}{n}\] ここで \( \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{4 \log n}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)\right\}=\frac{1}{2} \), \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{4 \log n}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)+\frac{1}{n}\right\}=\frac{1}{2}\] したがって $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\frac{1}{2}$ \[\begin{array}{l} \leftarrow n \longrightarrow \infty \text { のとき } \\ \frac{1}{n} \longrightarrow 0, \frac{1}{n^{2}} \longrightarrow 0, \\ \frac{1}{\log n} \longrightarrow 0 \end{array}\] ヶはさみうちの原理。

102 (ウ) $\\log \\frac{2}{\\sqrt{3}}$

[1] $x>0$ のとき, $e^{x}>x^{2}$ が成り立つ(PRACTICE 93 参照)。\nよって, $\frac{e^{x}}{x}>x$ であり, $\lim _{x \rightarrow \infty} x=\infty$ であるから\n$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x}=\infty$\nしたがって, $e^{x}$ と \( x^{p}(p>0) \) のスピードを比較すると, (1) から\n\[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{p}}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{p}}}{x}\right)^{p}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{p}}}{\frac{x}{p} \cdot p}\right)^{p}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{p}}}{\frac{x}{p}}\right)^{p} \cdot \frac{1}{p^{p}}=\infty \quad \Leftrightarrow \lim _{\square \rightarrow \infty} e^{\square}=\infty\n]\nゆえに $\quad e^{x} \gg x^{p}$

21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n (2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n

数直線上を運動する点 P の時刻 t における速度 v が v=t^{3} で与えられ, t=0 のとき P は原点にいる。\n(1) t=2 のときの P の座標 x を求めよ。\n(2) t=0 から t=2 までの P の道のり s を求めよ。

(3) \log 2

(1) $a$ は0 でない定数とする。 $x \geqq 0$ のとき， \( f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+1}+(a-1) x^{n}-1}{x^{2 n}-a x^{n}-1} \) を求めよ。\n(2) 関数 \( f(x) \) が $x \geqq 0$ において連続になるように, $a$ の値を定めよ。\n[東北工大]

8 次のような無限等比級数の収束，発散を調べ，収束すればその和を求めよ。 (1) 初項 1 , 公比 -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) 初項 $\sqrt{3}$, 公比 $\sqrt{3}$ (3) 1-2+4-8+\cdots \cdots (4) 12-6 \sqrt{2}+6-3 \sqrt{2}+\cdots \cdots

168\n亘要 列題 100 不等式の証明と数学的帰納法\nn は自然数とする。数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ。\n\ne^{x}>1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \cdots+\frac{x^{n}}{n!} (x>0)

91 \\sqrt{3} \\pi

(3) \frac{1}{2} \log \frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}

(4) \log \frac{9}{8}

数eについて

16\n(3)\n\\[\n\\begin{array}{l} \ny^{\\prime}=e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime}=3 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=9 e^{3 x} \\\\\n\\text { よって } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime}=9 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]

方程式 \( 3^{x}=2(x+1) \) は， $1<x<2$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつこ とを示せ。

(2) $\\log \\frac{3}{2}$

PR 容器を作る。この容器に単位時間あたり a の割合で水を静かに注ぐ。水を注ぎ始めてから時間 t だけ経過したときに, 水面の高さが h, 水面の半径が r, 水面の面積が S, 水の体積が V になったとする。(1) V を表せ。(2) h, r, S の時間 t に関する変化率 dh/dt, dr/dt, dS/dt をそれぞれ a, h を用いて表せ。[香川大]

練習 正の定数 \( a(a \neq 1) \) に対して, 関数 \( f(x) \) を次のように定める。\n110\n\( f(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\left(a+a^{-1}\right)\left(a^{x}+a^{-x}\right)+2\left(a+a^{-1}\right)^{2} \)\n(1) $a^{x}+a^{-x}=t$ とおくとき, $t$ の最小値を求めよ。また, そのときの $x$ の値を求め よ。\n(2) \( f(x) \) の最小値と, そのときの $x$ の値を求めよ。\n［金沢大］

(1) \( S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left\{(n+1)k-k^{2}\right\} \)\n\\[\\begin{array}{l}\n=(n+1)\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\\n=\\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\n\\end{array}\n\\]\n410の累乗には、底を10とする対数 (常用対数）が扱いやすい。\n\\[S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \]\n\$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$\nこの不等式の両辺に \( \left(\frac{9}{10}\right)^{n}\) すなわち \( \left(\frac{10}{9}\right)^{-n}\) を掛ける。

以下の方程式を解け:\n(1) $a > 0$ かつ $a \neq 1$ のとき、真数 $\sqrt{a}$ は正である。 また、底の条件 $a > 0, a \neq 1$ を満たす。\n方程式から\n$\frac{1}{2} \log_2 a - \frac{\log_2 2}{\log_2 a} = \frac{1}{2}$\nを解きます。

練習 $18$ 本冊 $p .375$ 求める和を $S$ とする。 (1)\n\\(\n\\begin{aligned}\nS & =1 \\cdot 2^{3}+2 \\cdot 2^{4}+3 \\cdot 2^{5}+\\cdots \\cdots+n \\cdot 2^{n+2} \\\\\n2 S & =\\quad 1 \\cdot 2^{4}+2 \\cdot 2^{5}+\\cdots \\cdots+(n-1) \\cdot 2^{n+2}+n \\cdot 2^{n+3}\n\\end{aligned}\n\\)\n\n辺々引くと\n\\(\n\\begin{array}{l}\n-S=2^{3}+2^{4}+2^{5}+\\cdots \\cdots+2^{n+2}-n \\cdot 2^{n+3} \\\\\nよって S=-\\left(2^{3}+2^{4}+2^{5}+\\cdots \\cdots+2^{n+2}\\right)+n \\cdot 2^{n+3} \\\\\n=-2^{3}\\left(1+2+2^{2}+\\cdots \\cdots+2^{n-1}\\right)+n \\cdot 2^{n+3} \\\\\n=-2^{3} \\cdot \\frac{1 \\cdot\\left(2^{n}-1\\right)}{2-1}+n \\cdot 2^{n+3} \\\\\n=(n-1) \\cdot 2^{n+3}+8 \\\\\n\\end{array}\n\\)

数学 II β>0, $\frac{1}{\beta}>0$ から, (相加平均 $\geqq$ 相乗平均 \) により $\beta + \frac{1}{\beta} \geqq 2 \sqrt{\beta \cdot \frac{1}{\beta}}=2$ 等号は $β = \frac{1}{\beta}$ かつ $β > 0$ すなわち $β = 1$ のとき成り立つ。 したがって, $S$ の最小値は $\quad \frac{1}{24} \cdot 2^{3}=\frac{1}{3}$

(3) (2)から \( M_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} c_{k}=\frac{1}{n} \cdot \frac{n}{2}\left(2 \log _{2} a+\frac{n-1}{2} \log _{2} r\right) \)\n\n$\n=\log _{2} a+\frac{n-1}{4} \log _{2} r=\log _{2} a r^{\frac{n-1}{4}}\n$\n\nよって, $d_{n}=2^{M_{n}}$ から \quad d_{n}=2^{\log _{2} a r^{\frac{n-1}{4}}}=\operatorname{\overline} \frac{n-1}{4} \nゆえに $\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\frac{a r^{\frac{n}{4}}}{a r^{\frac{n-1}{4}}}=r^{\frac{1}{4}}$ （定数）\nよって, 数列 $\left\{d_{n}\right\}$ は初項 $d_{1}=a$, 公比 $r^{\frac{1}{4}}$ の等比数列である。

ジョン・ネイピア（1550～1617）はどのような業績を残しましたか？

(1) $\log _{2} a=\log _{3} b=k$ とおくと, $a>1, b>1$ であるから\n\[\n\\begin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { また } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\n\\text { ここで } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\n\\text { よって } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\na>1, \\quad b>1 \\text { であるから } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\n\]

右の図のようになる。(3) \( f(-1)=3-(-1)^{2}=2, \quad f(0)=3 \), \( f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}, \quad f(2)=\frac{32}{9}-4+3=\frac{23}{9} \) よって, $x=0$ で最大値 3 , $x=-1$ で最小値 2 をとる。 綀習 $184 \Rightarrow$ 本冊 $p .335$ \[ x^{2}-2 t x=x(x-2 t) \] 積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ で考える。 [1] $2 t<0$ すなわち $t<0$ のとき \[ \begin{array}{l} 0 \leqq x \leqq 1 \text { では } \quad\left|x^{2}-2 t x\right|=x^{2}-2 t x \\ \text { よって } f(t)=\int_{0}^{1}\left(x^{2}-2 t x\right) d x=\left[\frac{x^{3}}{3}-t x^{2}\right]_{0}^{1} \\ =-t+\frac{1}{3} \\ \end{array} \] [2] $0 \leqq 2 t \leqq 1$ すなわち $0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$ のとき \[ \begin{array}{l} 0 \leqq x \leqq 2 t \text { では } \quad\left|x^{2}-2 t x\right|=-\left(x^{2}-2 t x\right) \\ 2 t \leqq x \leqq 1 \text { では }\left|x^{2}-2 t x\right|=x^{2}-2 t x \\ \text { よって } f(t)=-\int_{0}^{2 t}\left(x^{2}-2 t x\right) d x+\int_{2 t}^{1}\left(x^{2}-2 t x\right) d x \\ =-\left[\frac{x^{3}}{3}-t x^{2}\right]_{0}^{2 t}+\left[\frac{x^{3}}{3}-t x^{2}\right]_{2 t}^{1} \\ =-2\left(\frac{8}{3} t^{3}-4 t^{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-t\right)=\frac{8}{3} t^{3}-t+\frac{1}{3} \\ \end{array} \] ゆえに \( \quad f^{\prime}(t)=8 t^{2}-1 \) \( f^{\prime}(t)=0 \) とすると $t= \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ $0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$ における \( f(t) \) の 増減表は, 右のようになる。 \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c} \hline$t$ & 0 & $\cdots$ & $\frac{\sqrt{2}}{4}$ & $\cdots$ & $\frac{1}{2}$ \\ \hline\( f^{\prime}(t) \) & & - & 0 & + & \\ \hline\( f(t) \) & & $\searrow$ & $\frac{2-\sqrt{2}}{6}$ & $\nearrow$ & \\ \hline \end{tabular} [3] $2 t>1$ すなわち $t>\frac{1}{2}$ のとき \[ \begin{array}{c} 0 \leqq x \leqq 1 \text { では } \quad\left|x^{2}-2 t x\right|=-\left(x^{2}-2 t x\right) \\ \text { よって } f(t)=-\int_{0}^{1}\left(x^{2}-2 t x\right) d x=t-\frac{1}{3} \\ {[1] \sim[3] \text { から }} \\ f(t)=\left\{\begin{array}{ll} -t+\frac{1}{3} & (t<0) \\ \frac{8}{3} t^{3}-t+\frac{1}{3} & \left(0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}\right) \\ t-\frac{1}{3} & \left(\frac{1}{2}<t\right) \end{array}\right. \end{array}\]

常用対数表: 基数が10の対数の表。

次の和を求めよ。ただし， n ≧ 2 とする:\n(1) 1・2^{3} + 2・2^{4} + 3・2^{5} + ... + n・2^{n+2}

a ≤ 1 のとき x = 0 で最小値 −6a + 8, a > 1 のとき x = log₂(a ± √a² − 1) で最小値 −4a³ + 6a

ある等比数列の初項から第 8 項までの和が 54 , 初項から第 16 項までの和が 63 であるとき, この等比数列の第 17 項から第 24 項までの和を求めよ。

65 (1) $1.5<\log _{4} 9<\log _{2} 5$\n(2) $\log _{4} 2<\log _{3} 4<\log _{2} 3$

数学 II\n\\[\n\\begin{array}{c}\nf(t)=t^{3}-2 t^{2}+t+3 \\text { とすると } \\\\\nf^{\\prime}(t)=3 t^{2}-4 t+1=(t-1)(3 t-1) \\\\\nf^{\\prime}(t)=0 \\text { とすると } \\quad t=1, \\frac{1}{3}\n\\end{array}\n\\]\n\\( f^{\\prime}(t)=0 \\) とすると \ \\quad t=1, \\frac{1}{3} \\n\ 0<t \\leqq 1 \ における \\( f(t) \\) の堌減表 は右のようになり, \\( f(t) \\) は \ t=\\frac{1}{3} \ のとき極大かつ最大 となる。\n\ t=\\frac{1}{3} \ となるのは, \ 3^{x}=\\frac{1}{3} \ から\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline\ t \ & 0 & \ \\cdots \ & \ \\frac{1}{3} \ & \ \\cdots \ & 1 \\\\\n\\hline\\( f^{\\prime}(t) \\) & & + & 0 & - & \\\\\n\\hline \\( \\boldsymbol{f}(t) \\) & & & 極大 & & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\ x=-1 \\n\nよって, \ y \ は \ x=-1 \ で最大値 \ \\frac{85}{27} \ をとる。\n\n（2）真数は正であるから \ 2-x>0 \ かつ \ x+1>0 \\nすなわち\n\ -1<x<2 \ \ \\qquad \\nこのとき\n\\[\n\\begin{aligned}\ny & =\\log _{2}(2-x)+\\log _{2}(x+1)^{2} \\\\\n& =\\log _{2}(2-x)(x+1)^{2}\n\\end{aligned}\n\\]\n\\( f(x)=(2-x)(x+1)^{2} \\) とする。\n\\( f(x)=-x^{3}+3 x+2 \\) であるから\n\\[\nf^{\\prime}(x)=-3 x^{2}+3=-3(x+1)(x-1)\n\\]\n\\( f^{\\prime}(x)=0 \\) とすると \ \\quad x= \\pm 1 \\n(1) の範囲における \\( f(x) \\) の増減表は右のようになる。\nよって, \\( f(x) \\) は \ x=1 \ で極大 かつ最大となり, 最大値は 4 また, \\( y=\\log _{2} f(x) \\) で, 底 2 は\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline\ x \ & -1 & \ \\cdots \ & 1 & \ \\cdots \ & 2 \\\\\n\\hline\\( f^{\\prime}(x) \\) & & + & 0 & - & \\\\\n\\hline\\( f(x) \\) & & \ \\nearrow \ & 極大 & \ \\searrow \ & \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n1より大きいから, 与えられた関数も \ x=1 \ で最大となる。\nしたがって, 求める最大値は \ \\quad \\log _{2} 4=2 \\n練習 \ 153 \\Rightarrow \ 本冊 \ p .286 \\n\\( f^{\\prime}(x)=3 x^{2}+6 a x=3 x(x+2 a) \\)\n\\( f^{\\prime}(x)=0 \\) とすると \ \\quad x=0,-2 a \\n\ 0<a<1 \ より \ -2<-2 a<0 \ であるから, \ -2 \\leqq x \\leqq 1 \ における \\( f(x) \\) の増減表は次のようになる。\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline\ x \ & -2 & & \ -2 a \ & \ \\ldots \ & 0 & & 1 \\\\\n\\hline\\( f^{\\prime}(x) \\) & & + & 0 & - & 0 & + & \\\\\n\\hline\\( f(x) \\) & \ 12 a+b-8 \ & \ \\nearrow \ & \\begin{tabular}{l}\n\\begin{tabular}{c}\n極大 \\\\\n\ 4 a^{3}+b \\n\\end{tabular}\n\\end{tabular} & \ \\searrow \ & \\begin{tabular}{l}\n極小 \\\\\n\ b \\n\\end{tabular} & \ \\nearrow \ & \ 3 a+b+1 \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\nゆえに, 最大値は\n\\( f(-2 a)=4 a^{3}+b \\quad \\) または \\( f(1)=3 a+b+1 \\)\n\nここで, \ 0<a<1 \ であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\nf(-2 a)-f(1) & =\\left(4 a^{3}+b\\right)-(3 a+b+1)=4 a^{3}-3 a-1 \\\\\n& =(a-1)(2 a+1)^{2}<0\n\\end{aligned}\n\\]\n\ 43^{x}=3^{-1} \\n\\[\n\\begin{array}{l}\n4 \\log _{\\sqrt{2}}(x+1) \\\\\n=\\log _{(\\sqrt{2})^{2}}(x+1)^{2}\n\\end{array}\n\\]\n\nこの \ -2 a \ の大小関係 を確認しておく。\n1極大値または区間の右端の値。\n小此較は差を作れ

練習問題: log_{2} x=t とし、 1≤x≤8 から 0≤t≤3 となります。また log_{rac{1}{2}} x=-log_{2} x=-t です。 y=t^{2}-2 t+3 を t の式で表します。0≤t≤3 の範囲で y の最大値と最小値を求めます。

第 7 章 指数関数と対数関数- 147 $\log _{4} x=t$ とおくと $\quad \frac{3}{t}-\frac{t}{2}+\frac{1}{2}=0$ 両辺に $t$ を掛けて整理すると $\quad t^{2}-t-6=0$ よって \( \quad(t+2)(t-3)=0 \) ゆえに $\quad t=-2,3$ $t=-2$ のとき, $\log _{4} x=-2$ から $x=\frac{1}{16}$ $t=3$ のとき, $\log _{4} x=3$ から $x=64$ よって $x=\frac{1}{16}, 64$

次の条件を満たす自然数 $n$ の値を求めよ。ただし， $\log _{10} 2=0.3010$, $\log _{10} 3=0.4771$ とする。\n(1) $6^{n}$ が 10 桁の数となる。\n(2) $0.4^{n}$ を小数で表すと，小数第 3 位に初めて0 でない数字が現れる。

EX (1) \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \ とするとき, \ \\log_{15} 8 \ を \ a, b \ を用いて表せ。\n[芝浦工大]

指数関数と対数関数

注意 以下, \\log _{a} M \ とかくときは, a>0, a \\neq 1, M>0 \ であるとする。■ 対数の性質\n1=a^{0}, a=a^{1} であることから, 次が成り立つ。\n\n\\n\\log _{a} 1=0, \\quad \\log _{a} a=1\n\\n\nまた，指数法則から，次の性質が得られる。\n対数の性質\n$M>0, N>0$ で, $k$ は実数とする。\n\n1. \\log _{a} M N=\log _{a} M+\\log _{a} N\n2. \\log _{a} \\frac{M}{N}=\\log _{a} M-\\log _{a} N\n3. \\log _{a} M^{k}=k \\log _{a} M

次の方程式・不等式を解け。\n(1) \( \log _{2}(3 x+2)=5 \)\n(2) $\log _{3} x<2$\n(3) $\log _{0.2} x \leqq-1$

発展的なことを学習したいときには、どのようなページを参照すべきですか？

指数関数

対数の値を求める。

16^4 x+y+z=1/x+1/y+1/z=1 ならば, x, y, z のうち少なくとも 1 つは 1 であることを証明せよ。

対数方程式と真数の条件の確認 対数方程式・不等式を解くとき, 真数の条件の確認が重要ですが，その確認が必要な理由やそのタイミングなど，例題（1）をもとに，もう少し詳しく学習していきましょう。 真数の条件の確認が必要な理由は？ 例題 (1)の対数方程式を, 次のようにして解くと, 解答とは異なる結果になってしまいます。 I \( \log _{3}(x+2)+\log _{3}(x-1)=\log _{3} 4 \quad \cdots \cdots . \). 問題で与えられた形。 $x$ を含む対数が2つある。 II \( \log _{3}(x+2)(x-1)=\log _{3} 4 \quad \cdots \cdots . . x \) を含む対数が1つになるようにまとめる。 III 真数の条件は, \( (x+2)(x-1)>0 \) から $\quad x<-2,1<x$ IV II から \( \quad(x+2)(x-1)=4 \) これを解いて $\quad x=2,-3$ 異なる結果となった要因は, 左のページの側注で書いてあるように, 真数の条件を, 問題として与えられたI の段階ではなく, 変形した IIの段階で考えたことにあります。

次の値を求めよ。\n(1) $\log _{10} 12$\n(2) $\log _{10} \frac{5}{3}$\n(3) $\log _{3} 4$

漸化式 $a_{n+1}=3a_n+2n-1$ の一般項を求めよ。

次の方程式・不等式を解け。 (1) \( \log _{2}(3 x+2)=5 \) (2) $\log _{3} x<2$ (3) $\log _{0.2} x \leqq-1$

年利率 1%, 1 年ごとの複利で 100 万円を預金したとき, 元利合計が初めて 110 万円を超えるのは何年後か。ただし，常用対数表を用いてよいものとする。\n$n$ 年後の元利合計は \( 100 \times(1+0.01)^{n} \) 万円\nこれが 110 万円を超えるとすると \( 100(1+0.01)^{n}>110 \)\nすなわち\n1.01^{n}>1.1

無限等比級数が用いられる事例をここで２つ紹介しておこう。 1. 正方形の 3 等分 面積が 1 の正方形の折り紙を田の字に 4 等分して, そのうち 3 枚 を A, B, C に1枚ずつ配る。残りの 1 枚を同様に 4 等分して, 3 枚を A, B, C に1枚ずつ配る。この作業を限りなく繰り返して いくと，A，B，Cそれぞれが受け取る折り紙の面積の総和は次の無限等比級数で表現できる。 ∑(1/4)^n (n=1 to ∞) この無限等比級数の和を求めなさい。

1個のさいころを $n$ 回投げるとき, 出る目の最大値が 3 となる確率を $P_{n}$ とおく。 このとき, $P_{n}$ は $n$ を用いた式で $P_{n}=$ $\square$ と表される。更に, 極限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log _{3} P_{n}$ の値は$\square$ である。

オイラーの等式を導出せよ。\n\n $e^{i\pi} + 1 = 0$

数列 \( \left\{\left(\frac{5 x}{x^{2}+6}\right)^{n}\right\} \) が収束するように，実数 $x$ の値の範囲を定めよ。また，そのと きの数列の極限値を求めよ。

無限等比級数の和の条件から公比の決定\n初項, 公比ともに実数の無限等比級数があり, その和は 3 で, 各項の 3 乗からなる無限等比級数の和は 6 である。初めの無限等比級数の公比を求めよ。

棶習 (1) A, B を任意の定数とする方程式 y=A \\sin x+B \\cos x-1 から A, B を消去し ③ 213 て微分方程式を作れ。\n（2） y は x の関数とする。次の微分方程式を解け。ただし，（イ）は［］内の初期条件のもとで解け。\n(ア) y^{\prime}=a y^{2} ( a は定数 )\n(イ) x y^{\prime}+y=y^{\prime}+1 \\quad[x=2 のとき y=2]