AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
数と代数
高度な代数 - 複素数と複素平面
Q.01
2 つの 2 次方程式 \( x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0 \) と がただ 1 つの共通解をもつとき, の値はア であり, そのときの共通解は イ である。
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発展 40 のはずし方\n発展 41 分母の有理化 (2)\n発展 42 整数部分と小数部分の問題\n発展 43 2 重根号をはずす\n発展 44 場合分けによって絶対値を含む不等式を解く\n発展 45 絶対値記号を 2 つ含む不等式\n発展 46 連立不等式が解をもつ条件
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12 本のくじがあり,その中に当たりくじが n 本 (0 ≤ n ≤ 12) 含まれている。このくじから 本を引くとき, 得点として, 当たりくじならば 3 点, はずれくじならば -1 点が与えられるものとする。このとき, 得点の期待値が 1 以上になるための n の値の範囲を求めよ。[類 センター試験]
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関数 \( f(x)=-x^{2}+4 x+c \quad(-4 \leqq x \leqq 4) \) の最小値が -50 であるように, 定数 の值を定めよ。
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a > 0, b < 0 の場合, b = -b' とおくと b' > 0 このとき
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b'}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b'} i} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b'}} \cdot \frac{i}{i^2} = -\sqrt{\frac{a}{b'}} i,
\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a}{-b'}} = \sqrt{-\frac{a}{b'}} = \sqrt{\frac{a}{b'}} i
よって、等式は成り立たない。
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複素数 と共役な複素数 について, 次の性質が成り立つ。
を複素数とすると
1.
2. \(\overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\cdot\bar{\beta}, \quad \overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}\)
3. \(\overline{\alpha^{n}}=(\bar{\alpha})^{n} \quad(n\) は自然数 \( )\)
4. が実数のとき
証明 とする。
(2 について)
2章
9
よって
1,2 の他の式も, 同様に証明される。
(ろについて)
上の結果を用いて \(\overline{\alpha^{n}}=\underbrace{\overline{\alpha\alpha\cdots\cdots\alpha}}_{n\text{個}}=\underbrace{\bar{\alpha}\cdot\bar{\alpha}\cdots\cdots\cdot\bar{\alpha}}_{n\text{個}}=(\bar{\alpha})^{n}\)
(手について)
であるから
これと2を用いて
上の性質を用いると,p.98 基本事項 1 (3) が証明できる。
実数係数の 次方程式が虚数解 をもつならば, 共役な複素数 も解である。
例えば, 実数 を係数とする 3 次方程式 (1) が 虚数解 をもつとき
a \alpha^{3}+b \alpha^{2}+c \alpha+d=0 \]
両辺の共役な複素数を考えて
\[\overline{a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d} = \overline{0} \quad \text{また}\quad \overline{0}=0
性質1から
は実数であるから
性質手から
性質るから \(\quad a(\bar{\alpha})^{3}+b(\bar{\alpha})^{2}+c \bar{\alpha}+d=0\)
この等式は (1) に を代入したものであり, 方程式 (1) が を解にもつことを示している。
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数列 が で定義されている。数列 \( \left\{a_{n}-g(n)\right\} \) が公比 3 の等比数列となるように の2次式 \( g(n) \) を考えることにより, を の式で表せ。
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a \geqq 0 である定数 a に対して, \( f(x)=4 x^{3} - 3 (2 a + 1) x^{2} + 6 a x + a \) とする。x \geqq 0 において \( f(x) \geqq 0 \) となるような の値の範囲を求めよ。
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i を虚数単位とし、x = \sqrt{3} + \sqrt{7}i とおく。y は x と共役な複素数とする とき,次の値を求めよ。
(1) x+y
(2) xy
(3) x^3 + y^3
(4) x^4 + y^4
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次の等式または条件を満たす実数 x, y の値を求めよ。
(1) (1+2 i) x-(2-i) y=3
(2) (-1+i)(x+y i)=1-3 i
(3) (1+x i)/(3+i) が純虚数になる
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数列 が と漸化式 で定められている。\n(1) を求め, 一般項 を表す の式を推測せよ。\n(2) (1)で推測した一般項の式が正しいことを,数学的帰納法によって証明せよ。
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数学 \nEX を虚数単位とし, とおく。 は と共役な複素数とするとき, 次の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n[類 愛知大]
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次の計算をせよ。(1) 3つの分数式を, それぞれ部分分数に分解する。
(2) (分子の次数) < (分母の次数) 分子の次数が分母の次数よりも低くなるように式変形してから計算するとスムーズ。
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PRACTICE \n次の計算をせよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \( (\sqrt{3}+\sqrt{-1})(1-\sqrt{-3}) \)\n(6)
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PR 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の初項から第 \ n \ 項までの和 \ S_{n} \ が, 関係式 \ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \ を满たすとき ③4 (1) 初項 \ a_{1} \ を求めよ。\n(2) \ a_{n}, a_{n+1} \ の 2 項間の関係式を求めよ。\n(3) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n[類 関西学院大]
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EX 自然数の数列 \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ を, \( (3+\\sqrt{5})^{n}=a_{n}+b_{n} \\sqrt{5} \\) により定める。\n(1) \ a_{n+1}, \\quad b_{n+1} \ を \ a_{n}, b_{n} \ を用いて表せ。\n(2) \ c_{n}=a_{n}-b_{n} \\sqrt{5} \ とするとき, 数列 \ \\left\\{c_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(3) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。
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第2章\n複素数と方程式\nD_{3}<0 から a(a+2)<0 よって -2<a<0 求める a の値の範囲は, (1), (2), (3) を合わせた範囲であるから -2<a<5/3
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対数尺 (1), (2) について,向かい合った目盛り a と c 及び b と d に着目すると, \frac{a}{c}=\frac{b}{d} という関係式が必ず成り立つから,向かい合った目盛りの比が一定(才3)であることがわかる。また,対数尺(3,道て着目すると,cf=deという関係式が必ず成り立つ。
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EX \ x y \ 平面上の点 \\( (a, b) \\) から曲線 \ y=x^{3}-x \ に 3 本の相異なる接線が引けるための条件を求め, (5161その条件を満たす点 \\( (a, b) \\) のある範囲を図示せよ。[関西大] \ y=x^{3}-x \ から \ \\quad y^{\\prime}=3 x^{2}-1 \ よって, 曲線上の点 \\( \\left(t, t^{3}-t\\right) \\) における接線の方程式は\n\n\\[ y-\\left(t^{3}-t\\right)=\\left(3 t^{2}-1\\right)(x-t) \\]\n\nすなわち \\( \\quad y=\\left(3 t^{2}-1\\right) x-2 t^{3} \\) この直線が点 \\( (a, b) \\) を通るとき \\( \\quad b=\\left(3 t^{2}-1\\right) a-2 t^{3} \\) 整理して \ \\quad 2 t^{3}-3 a t^{2}+a+b=0 \ 3 次関数のグラフでは,接点が異なると接線も異なるから,点 \\( (a, b) \\) から 3 本の相異なる接線が引けるための必要十分条件は, \ t \ の 3 次方程式 (1)が異なる 3 つの実数解をもつことである。 よって, \\( f(t)=2 t^{3}-3 a t^{2}+a+b \\) とすると, \\( f(t) \\) は極値をもち,極大値と極小値の積が負となる。 \\( f^{\\prime}(t)=6 t(t-a) \\) であるから, 求める条件は\n\( a \\neq 0 \\text { かつ } f(0) f(a)<0 \\)\n本冊 p .313 \ INFORMATION 参照。
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前ページの基本例題 31 の 漸化式 a_{n+1}=2 a_{n}-n は, このままでは上の 3 パターンのいずれにも当てはまりそう にない。 a_{n+1}, a_{n} を α とおいて特性方程式 α=2 α-n を考えても α=n となり, 基本例題 30 のように先に進めることはできない。そこで, 左の解答を詳しく見てみよう。
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総合 n を自然数とし , a=\\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}, b=\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}, c=\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{n}}, d=\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{n}} とする。整式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) を展開すると, 定数項が -\\frac{1}{8} であるという。このとき, 展開した整式の x の係数を求めよ。\n [防衛医大]
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x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) の解を求めてください。
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放物線 y=1/2 x^2 を平行移動した曲線で,点 (1,5) を通り, 頂点が直線 y=-x+2 上にある放物線の方程式を求めよ。
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次の式を計算せよ。\n1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20}\n2. (√3 + i)^{-12}\n3. (1 + i)^{17}
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次の式を計算せよ。
(1) \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6}
(2) \left(\frac{1+i}{2}\right)^{15}
(3) (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6}
(4) \left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1+i}\right)^{12}
(5) (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10}
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複素数 z が z+\frac{1}{z}=\sqrt{2} を満たすとき, z^{15}+\frac{1}{z^{15}} の値を求めよ。
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TRAINING 74
α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π), β=3(cos π/4 + i sin π/4) のとき, α β, α/β を求めよ。
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TRAINING 実践 3
複素数平面上に 6 点 \( \mathrm{A}\left(z_{1}\right), \mathrm{B}\left(z_{2}\right), \mathrm{C}\left(z_{3}\right), \mathrm{D}\left(z_{4}\right), \mathrm{E}\left(z_{5}\right) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6}\right) \) がある。
六角形 が右の図のような正六角形のとき
\[\begin{array}{l}
z_{3}=\square ア \\
z_{2}=\square \text { ウ } z_{1}+\square \text { イ } z_{5}, \\
z_{6}=\square \text { オ } z_{1}+\square \text { カ } z_{5},
\end{array}\]
\( \mathrm{D}\left(z_{4}\right) \)
である。
ア 力の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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次の極方程式で表された円の中心の極座標と半径を求めよ。\n1. \n2. \( r^{2}-r(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)-8=0 \)
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c を実数の定数とする。 3 点 \\( \\mathrm{A}(2+i), \\mathrm{B}(3+2 i), \\mathrm{C}(c+3 i) \\) に対して\n\n(1) A, B, C が一直線上にあるように, \ c \ の値を定めよ。\n(2) \ \\mathrm{AB} \\perp \\mathrm{AC} \ となるように, \ c \ の値を定めよ。\n\n\\& GUIDE 3 点が一直線上にある条件(共線条件) ・垂直条件\n\n異なる 3 点 \\( \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta), \\mathrm{C}(\\gamma) \\) に対して, \ \\frac{\\gamma-\\alpha}{\\beta-\\alpha} \ を計算して次のことを利用する。\n\n3 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ が一直線上 \ \\Longleftrightarrow \\frac{\\gamma-\\alpha}{\\beta-\\alpha} \ が実数\n\n\ \\mathrm{AB} \\perp \\mathrm{AC} \\quad \\Longleftrightarrow \\frac{\\gamma-\\alpha}{\\beta-\\alpha} \ が純虚数
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(1) 次の複素数を表す点を複素数平面上に図示せよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) -2\n(I) 1\n(J) \n(力) \n(2) 次の座標平面上の点に対応する複素数を答えよ。\n(ア) \( (-3,1) \)\n(イ) \( (4,0) \)\n(ウ) \( (0,-2) \)
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複素数の実数倍\n実数 と複素数 について、次の図のように のとき、点 は 2 点 を通る直線 上にあります。\n\n逆に、この直線 上の点は、 \\alpha \ の実数倍の複素数を表します。\n\n次のような場合を考えましょう:\n\n1. , \n2. , \n\nそれぞれについて を求め、その点が複素数平面上の からどの位置にあるか説明してください。
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点 \( (-1+i) z \) は, 点 をどのように移動した点であるか。ただし, 回転の 角 の範囲は とする。
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複素数平面上の異なる 3 点 O(0), A(\alpha), B(\beta) について, \alpha, \beta が次の等式を満たしている。{ }^{4} 92 \triangle OAB は, それぞれどのような三角形か。
(1) \alpha^{2}+\beta^{2}=0
(2) 3 \alpha^{2}+\beta^{2}=0
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2 点 \alpha を原点を中心として \frac{\pi}{3} だけ回転した点を \beta とする。 \beta=2+2 i であると き, 点 \alpha を表す複素数を求めよ。
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次の複素数を極形式で表せ。ただし,偏角 \\theta \ の範囲は 0 \leqq \\theta<2 \\pi \ とする。\n(1) -1+\\sqrt{3} i \\n(2) 5 i \
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とする。 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 が一直線上にあ るとき,実数 の値を求めよ。
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数学 C\nEX 複素数平面上の点 \\( \mathrm{P}(z) \\) が, 点 \ 2 i \ を中心とする半径 1 の円上を動くとき, \\( w=(1+i)(z-1) \\) 27 を満たす点 \\( \mathrm{Q}(w) \\) が描く図形を求めよ。
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次の式を計算せよ。
(1) \( \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} \)
(2) \( \left(\frac{1+i}{2}\right)^{15} \)
(3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \)
(4) \( \left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1+i}\right)^{12} \)
(5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)
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3つの異なる複素数 の間に等式 \( \sqrt{3} \gamma-i \beta=(\sqrt{3}-i) \alpha \) が成り立つとき、次の問いに答えよ。\n(1) を計算せよ。\n(2) 3点 \(\mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする の の大きさをそれぞれ求めよ。
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基 例 題《基本例題 73
α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4) のとき, α β, α/β を求めよ。
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複素数 が等式 を満たすとき, 複素数平面上で 3 点 \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(\alpha) \), \( \mathrm{B}(\beta) \) を頂点とする の 3 つの角の大きさを求めよ。
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複素数の積 を幾何学的に表し、解説せよ。\n例として \( z_1 = 2(\cos \theta + i \sin \theta) \), \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \) の積を具体的に計算してください。
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複素数平面上の異なる 3 点 \( \\mathrm{O}(0), \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta) \\) について, \ \\alpha, \\beta \ が次の等式を満たしている。 \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ は, それぞれどのような三角形か。\n(1) \ \\alpha^{2}+\\beta^{2}=0 \\n(2) \ 3 \\alpha^{2}+\\beta^{2}=0 \\n
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複素数 について,次が成り立つことを証明せよ。(1) が正の数のとき ならば は実数である。(2) は実数である。
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点 2+2i を、点 i を中心として、次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。 (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2
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複素数平面上に 3 点 \( \\mathrm{O}(0), \\mathrm{A}(3-2 i), \\mathrm{B} \\) がある。 \\triangle \\mathrm{OAB} \ が直角二等辺三角形であるとき, 点 \\mathrm{B} \ を表す複素数 z \ を求めよ。
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複素数平面上で点 z が原点 O を中心とする半径 1 の円上を動くとき, 次の式で表される点 w はどのような図形を描くか。
(1) w=\frac{z+2}{z-1} (ただし z \neq 1)
(2) w=\frac{z+1}{2z-1}
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(1) 次の複素数を表す点を複素数平面上に図示せよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) 3\n(エ) -4\n(才) \n(力) \n(2) 次の座標平面上の点に対応する複素数を答えよ。\n(ア) \( (5,-2) \)\n(个) \( (-1,0) \)\n(ウ) \( (0,3) \)
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z=r(\cos \theta+i \sin \theta) とするとき, 次の複素数の絶対値と偏角を r, \theta を用い て, それぞれ 1 つずつ表せ。ただし, r>0 とする。
(1) 2 z
(2) -z
(3) \bar{z}
(4) \frac{1}{z}
(5) z^{2}
(6) -2 \bar{z}
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複素数 を用いて以下を計算しなさい。\n\n(5)\n\n\( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \)を求める。
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複素数平面上で複素数 を表す点を A とする。\n(1) その共役複素数 を表す点を B とする。点 B の座標を求めよ。\n(2) 点 A, B 間の距離を求めよ。
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EX 34 を複素数として の実部と虚部がともに正であるとする。また, とする。複素数 で表される複素数平面上の 3 点が, ある正三角形の 3 頂点であるとき, を それぞれ求めよ。 [静岡大]
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73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )
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点 2+2i を, 点 i を中心として, 次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。
(1) π/6
(2) π/4
(3) π/2
(4) -π/2
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3 点 A(1+4i), B(-2+i), C(3-2i) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 AB を 3:2 に内分する点 D\n(2) 線分 BC を 3:2 に外分する点 E\n(3) 線分 CA の中点 F\n(4) △DEF の重心 G
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次の座標平面上の点に対応する複素数を答えよ。\n(ア) \( (-3, 1) \)\n(イ) \( (4, 0) \)\n(ウ) \( (0, -2) \)
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3 点 A(6-3i), B(1+7i), C(-2+i) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 AB を 2:3 に内分する点 D\n(2) 線分 BC を 2:3 に外分する点 E\n(3) 線分 CA の中点 F\n(4) △DEF の重心 G
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複素平面上の点 A(6-3i), B(1+7i), C(-2+i) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n\n1. 線分 AB を 2:3 に内分する点 D\n2. 線分 BCを 2:3 に外分する点 E\n3. 線分 CA の中点 F\n4. △DEF の重心 G
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次の式を計算せよ。
(1) \( \left\{2\left(\cos \frac{\pi}{36}+i \sin \frac{\pi}{36}\right)\right\}^{6} \)
(2) \( (1+\sqrt{3} i)^{8} \)
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練習 本冊 \[ \begin{array}{l} 1+i=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right), \ 1+\sqrt{3} i=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \text { であるから, } \end{array} \] 等式は \( \left\{\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\right\}^{n}=\left\{2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\right\}^{m} \) よって \( (\sqrt{2})^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \sin \frac{n \pi}{4}\right)=2^{m}\left(\cos \frac{m \pi}{3}+i \sin \frac{m \pi}{3}\right) \) «ド・モアブルの定理。
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点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(3+4 i) \) について,\n(2) 線分 の中点
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次の方程式を満たす点 z の全体を求めよ。\n(1) \\(|z - (-2i)| = |z - 3|\\)\n(2) \\(|z - (-1+3i)| = 2\\)\n(3) \\(4(z-1+i) \\overline{(z-1+i)} = 1\\) \n(4) \\( z = x + yi ( x, y は実数) とすると \\bar{z} = x - yi\\) これらを方程式に代入して\n\\((x + yi) + (x - yi) = 3\\)
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例題 90 | 三角形の形状 (3)
複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする について, 等式 が成り立つとき, はどのような三角形か。
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[2](*)が互いに共役な2つの虚数解をもつとき(*)の虚数解を \( z=\gamma, \\bar{\\gamma}(\\gamma \\text{は虚数}) \\) とすると, 解と係数の関係により すなわち \( a=-(\\gamma+\\bar{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2} \) このとき, \( D=a^{2}-4 b=(\\gamma-\\bar{\\gamma})^{2} \) であり, は純虚数より, \( D=(\\gamma-\\bar{\\gamma})^{2}<0 \) が常に成り立つ。これと から すなわち >\\( \left.\\left\\lvert\\,(\\gamma \\text { の実部 })\\left\\|\\leqq \\frac{1}{2},\\right| \\gamma\\right. \\right\\rvert\, \\leqq 1 \\)> したがって,(*)の虚数解zのとりうる値の範囲は \[ \\left.\\left\\lvert\\,(z \\text { の実部 })\\left\\|\\leqq \\frac{1}{2},\\right| z\\right. \\right\\rvert\, \\leqq 1 \]
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複素数平面上の点 z が単位円から点 -1 を除いた円周上を動くとき,
w=\frac{2 z+1}{z+1} で表される点 w はどのような図形を描くか。
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複素数 z の n 乗についてド・モアブルの定理を利用して次の式を証明してください。\n\n(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta
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この章で複素数の加法,減法,乗法,除法について学びました。次に、複素数を座標平面上の点として表現し、複素数の幾何学的な意味について考えてみましょう。具体的には、複素数の和、差、絶対値、および共役複素数についての幾何学的な解釈、また複素数の積と商を扱うための極形式について学び、複素数平面上の様々な図形について考えてみます。
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(2)
また, (1)の結果から, (2) を満たす複素数 が存在するための条件 は ここで, から \[1] のとき(2) よって このとき \( \quad|z|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \)
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注意 ここでは,文字はすべて複素数とする。次の式で表される からwの変換を 1 次分数変換 という。\n\\n w=\\frac{a z+b}{c z+d}\n\\nただし, は変数 は定数,\nそして, 1 次分数変換は, 基本的な変換 (平行移動, 回転移動, 相似変換, 反転, 実軸対称移動)を合成したものと考えられる。
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重票例題 の表す図形 -1 と異なる複素数 に対し, 複素数 を で定めるとき\n(1) が複素数平面の虚軸上を動くとき, が描く図形を求めよ。\n(2) が複素数平面上の円 上を動くとき, が描く図形を求めよ。\n[新潟大] <例題82>
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(2) のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\nT_{n} & =2 \\cdot 1+3 \\cdot 2 r+\\cdots \\cdots+\\quad n(n-1) r^{n-2} \\\\\nr T_{n} & =\\quad 2 \\cdot 1 \\cdot r+\\cdots \\cdots+(n-1)(n-2) r^{n-2}+n(n-1) r^{n-1}\n\\end{aligned}\n\\]\n\n辺々を引くと, \( (k+1) k-k(k-1)=2 k(k=1,2, \\cdots \\cdots, n-1) \) であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\n(1-r) T_{n} & =\\sum_{k=1}^{n-1} 2 k r^{k-1}-n(n-1) r^{n-1} \\\\\n& =2 S_{n-1}-n(n-1) r^{n-1} \\\\\n& =2\\left\\{\\frac{1-r^{n-1}}{(1-r)^{2}}-\\frac{(n-1) r^{n-1}}{1-r}\\right\\}-n(n-1) r^{n-1}\n\\end{aligned}\n\\]\nしたがって, のとき
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複素数 α は, α^5=1, α ≠ 1 を満たしている。
(1) 等式 1+α+α^2+α^3+α^4=0 が成り立つことを示せ。
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3 点 O(0), A(3+4i), B(1+2i) が一直線上にないとき、加法の結果を C(α+β) としたとき、四角形 OACB はどうなりますか?
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複素数平面上において, 点 \( \mathrm{P}(z) \) と点 \( \mathrm{Q}(w) \) が, 原点 と点 \( \mathrm{A}(\alpha)(\alpha \neq 0) \) を通る直線に関して対称であるとき, を で表せ。
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類題 を 2 以上の自然数とし, とおく。ただし, は虚数単位 とする。(1) を整数とする。 が の倍数であることは, となるための必要十分条件であることを示せ。
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继習 関数 \( f(x)=\\frac{x+1}{x^{2}+2 x+a} \) について, 次の条件を満たす定数 の値の範囲を求めよ。\n65\n(1) \\( f(x) \\) が \ x=1 \ で極値をとる。\n(2) \\( f(x) \\) が極値をもつ。
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複素数平面上の原点を通らない異なる 2 直線 に関して, 原点と対称な点をそ れぞれ とする。
(1) 直線 上の点 は常に, を満たすことを示せ。
(2) が実数でないことは, 直線 と直線 が交点をもつための必要十分条件で あることを示せ。また, 直線 と直線 が交点をもつとき, 交点を を用いて 表せ。
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级櫂 \ z \ を 0 でない複素数とする。85 (1) \ z \ の絶対値を \ r \, 偏角を \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) とするとき, \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ が実数となる よ うな \ r \ と \ \\theta \ を求めよ。\n(2) \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ が実数で, その値が 0 以上 4 以下であるような点 \ z \ が描く図形を図示 せよ。
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複素数の乗法と回転 (2)\n锺習 (1) w=-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} i, z=-\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} i \ とする。点 w \ を点 z \ を中心として 73 \\quad-\\frac{3}{4} \\pi \ だけ回転した点を表す複素数を求めよ。\n(2)点 \( \\mathrm{A}(2+i) \\) を点 \\mathrm{P} \ を中として \\frac{\\pi}{3} \ だけ回転した点を表す複素数が \( \\frac{3}{2}-\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}+\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) i \\) であった。点 \\mathrm{P} \ を表す複素数を求めよ。
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次の類題 12 は, 方程式 \( f(x)=0 \) の実数解 (の近似値)を求める計算方法「ニュートン法」に ついて, \( f(x) \) が凸関数である場合の妥当性を考察するものである。\n\n類題すべての実数 について, 関数 \( f(x) \) およびその導関数 \( f^{\prime}(x) \) が微分可能であり, \( 12 f^{\prime}(x)>0 \) かつ \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) が満たされるとする。また, \( f(-2)<0 \) かつ \( f(2)>0 \) であ るとし, \( f(x)=0 \) の解を とする。 \( f(x) \) を用いて, 数列 を次のように定義す る。\n- \n・ \( x_{n}(n=2,3,4, \cdots \cdots) \) は, 曲線 \( y=f(x) \) の における接線と 軸と の交点の 座標とする。\n(1) ならば次の不等式が成り立つことを平均値の定理を用いて示せ。\n\[ f^{\prime}(a)<\\frac{f^{\prime}\\left(x_{n}\\right)\\left(x_{n}-x_{n+1}\\right)}{x_{n}-a}<f^{\prime}\\left(x_{n}\\right) \]\n(2) \( x_{n}>a(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) であることを数学的帰納法を用いて示せ。\n(3) 次の不等式を示せ。\n\[ \\frac{x_{n+1}-a}{x_{n}-a}<1-\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\\left(x_{n}\\right)} \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots) \]\n(4) となることを示せ。
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(2)右の図の複素数平面上の点 について, 次の点を 図に示せ。(ア) (1) (ウ) (I) \( \quad-(2 \alpha+\beta) \)
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複素数の乗法と回転 (2)\n(1) 2 点 に対して, 点 を点 を心として だけ回転し た点を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 を点 を中心として角 \( \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \) だけ回転した点を表す複素数が であるとき, の値を求めよ。
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検 は実数, は複素数とする。 a \\neq 0,|\\beta|^{2}>a c \ のとき,\n詩 方程式 a z \\bar{z}+\\bar{\\beta} z+\\beta \\bar{z}+c=0 \ は点 -\\frac{\\beta}{a} \ を中心とする半径 \\frac{\\sqrt{|\\beta|^{2}-a c}}{|\\alpha|} \ の円を表し, a=0, \\beta \\neq 0 \ のとき, 方程式
\ \\bar{\\beta} z+\\beta \\bar{z}+c=0 \ は直線を表す。詳しくは, 解答編 p .109 \ 参照。\n\n廉習 k \ は実数とし, \\alpha=-1+i \ とする。点 w \ は複素数平面上で等式 w \\bar{\\alpha}-\\bar{w} \\alpha+k i=0 \ を 80 満たしながら動く。点 w \ の軌跡が, 点 1+i \ を中心とする半径 1 の円と共有点をも つときの, k \ の最大値を求めよ。
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(1) 複素数 が, 正の実数 と実数 を用いて \( z=r(\cos \theta+i \sin \theta) \) の形で与えら れたとする。このとき, 数列 がともに 0 に収束するための必要十分条 に収束するための十分条件であること,および必要条件であることの証明もせよ。
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方程式 (1) が絶対値 1 の複素数の解 z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta \ をもつと すると, (2) から\n\\[\\begin{aligned}\n\\alpha & =z+2 i \\bar{z} \\\\\n& =\\cos \\theta+i \\sin \\theta+2 i(\\cos \\theta-i \\sin \\theta) \\\\\n& =\\cos \\theta+2 \\sin \\theta+(2 \\cos \\theta-\\sin \\theta) i \\\\\n\\text { よって } \\quad & =\\left(\\cos \\frac{\\pi}{4}+i \\sin \\frac{\\pi}{4}\\right) \\alpha \\\\\n& =\\frac{1}{\\sqrt{2}}(1+i)\\{\\cos \\theta+2 \\sin \\theta+(2 \\cos \\theta+\\sin \\theta) i\\} \\\\\n& =\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\{\\sin \\theta-\\cos \\theta+3(\\sin \\theta+\\cos \\theta) i\\} \\cdots \\cdots\n\\end{aligned}\\]
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複素数平面上で、複素数 を表す点を \( \mathrm{A}(\alpha) \) とする。いま、この平面上で、原点 に関する点 の位置ベクトルを とする。このとき、複素数 と位置ベクトル は対応している。\n2 つの複素数 について、\( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) とし、、 とすると、複素数 の相等は、位置ベクトル の相等としてとらえることができるから\n\n1. 複素数 と が等しいときの位置ベクトル と の関係を示せ。\n2. 複素数 と の加法 の位置ベクトルを求めよ。\n3. 複素数 と の減法 の位置ベクトルを求めよ。\n4. 実数 倍の複素数 の位置ベクトルを求めよ。
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のとき,以下のことを証明せよ。\n[京都大]\n(1) 複素数 z \ が単位円上にあるための必要十分条件は \\bar{z}=\\frac{1}{z} \ である。\n(2) z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \ が単位円上にあるとき, wは実数である。\n(3) z_{1}, z_{2}, z_{3} \ が単位円上にあり, w \ が実数であれば, z_{4} \ は単位円上にある。
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複素数平面上に複素数 \( z=\cos \theta+i \sin \theta(0<\theta<\pi) \) をとり, と おく。ただし, (2) は とする。\n(1) を示せ。\n(2) を示せ。\n(3) とする。9つの複素数 \( \alpha^{m} \beta^{n}(m, n=1,2,3) \) の虚部の最小値を求め, その最小値を与える \( (m, n) \) のすべてを決定せよ。
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点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(3+4 i) \) について, 次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 を に内分する点
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(1) 点 P を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 Q を表す複素数を求めよ。\n(3) 点 M を表す複素数を求めよ。\n(4) 点 G を表す複素数を求めよ。
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複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする について, 等式 が成り立つとき, はどのような三角形か。
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34\n(1) \n(2) \( z=4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \)
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(2) \( w=r_{1}\left(\cos θ_{1}+i \sin θ_{1}\right) \) とする。
右の図で, であるから
また
よって, wの偏角 のとりうる値の
範囲は
ゆえに
また,wの絶対値 のとりうる値の範囲は
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(3) \\( z_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n}\cdot(-\sqrt{3} i)+1+\sqrt{3} i \\)
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練習複素数平面上で, 複素数 がそれぞれ表す点 は同一直線上にないも 94 のとする。 を複素数の定数として, 式 を満たす複素数 が それぞれ次の図形を描くとき, \frac{\beta}{\alpha}, \frac{\gamma}{\alpha} を \( a, b, c およびその共役な複素数 を用いて表せ。
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練習 複素数平面上に異なる 3 点 がある。 [一橋大] p. 202 演習 42 98 (1) が同一直線上にあるような すべて求めよ。\n(2) が二等辺三角形の頂点になるような の全体を複素数平面上に図示 せよ。また, が正三角形の頂点になるような をべて求めよ。
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複素数平面上において, 三角形の頂点 \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ を表す複素数をそれぞれ 0, \\alpha, \\beta \ とする。\n(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 z \ は, \\bar{\\alpha} z+\\alpha \\bar{z}-\\alpha \\bar{\\alpha}=0 \ を満たすことを示せ。\n(2) \\triangle \\mathrm{OAB} \ の外心を表す複素数を z_{1} \ とするとき, z_{1} \ を \\alpha, \\bar{\\alpha}, \\beta, \\bar{\\beta} \ で表せ。
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複素数平面上において, 異なる 3 点 \( \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta), \\mathrm{C}(\\gamma) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{ABC} \ の 91 外心を \\mathrm{P}(z) とするとき, z \ は次の等式を満たすことを示せ。\n\\[ z=\\frac{(\\alpha-\\beta)|\\gamma|^{2}+(\\beta-\\gamma)|\\alpha|^{2}+(\\gamma-\\alpha)|\\beta|^{2}}{(\\alpha-\\beta) \\bar{\\gamma}+(\\beta-\\gamma) \\bar{\\alpha}+(\\gamma-\\alpha) \\bar{\\beta}} \\]
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(1) 初項 , から \( f_{1}(x)=-\frac{1}{2x-3} \) が与えられている。これを用いて \( f_{2}(x) \) を計算せよ。\n\n(2) \( t=f_{1}(t) \) を満たす値 を求め、さらに自然数 についてすべての \( f_{n}(t)=t \) を満たすことを証明せよ。\n\n(3) (2) より \( f_{n}(1)=1 \) であることから、 と の一般項を求めよ。
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この章で学ぶこと〉数学Iでは,複素数の加法,減法,乗法,除法について学んだ。 この章では,複素数が座摽平面上の点として表されることや,複素数の和,差,絶対值,共役複素数についての幾回学的な意味を学ぶ。また,複素数の積,商を複素数平面上で考えるため,複素数の幾何学的表示である極形式について学び, 複素数平面上で, いろいろな図形について学習する。
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複素数の乗法と回転 (2)\n(1) 2 点 に対して, 点 を点 を心として だけ回転し た点を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 を点 を中心として角 \( \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \) だけ回転した点を表す複素数が であるとき, の値を求めよ。
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複素数の乗法と回転 (2)
次の複素数で表される点は, 点 z をどのように移動した点であるか。
(ア) 1/2 (-1+i) z
(イ) z/√3-i
(ウ) overline{iz}
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45 \n α を複素数とする。複素数 z の方程式 z^{2}-\alpha z+2 i=0 \n(1)について, 次の問いに答えよ。\n(1) 方程式 (1)が実数解をもつように点 α が動くとき, 点 α が複素数平面上に描く図形を図示せよ。\n(2) 方程式 (1) が絶対値 1 の複素数を解にもつように点 α が動くとする。原点を中心に点 α を 回転させた点を表す複素数を β とするとき, 点 β が複素数平面上に描く図形を図示せよ。
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245\n(2) であるから\n\[\n\begin{aligned}\nx_{n}-\alpha & =\sqrt{a+x_{n-1}}-\sqrt{a+\alpha}=\frac{\left(a+x_{n-1}\right)-(a+\alpha)}{\sqrt{a+x_{n-1}}+\sqrt{a+\alpha}} \\\n& =\frac{1}{\sqrt{a+x_{n-1}}+\sqrt{a+\alpha}}\left(x_{n-1}-\alpha\right)\n\end{aligned}\n\]\n であるから \n\[\n\text { よって } \begin{aligned}\n0 \leqq\left|x_{n}-\alpha\right| & =\frac{1}{\sqrt{a+x_{n-1}}+\sqrt{a+\alpha}}\left|x_{n-1}-\alpha\right| \\\n& <\frac{1}{\sqrt{a+\alpha}}\left|x_{n-1}-\alpha\right| \\\n& <\left(\frac{1}{\sqrt{a+\alpha}}\right)^{n-1}\left|x_{1}-\alpha\right| \longrightarrow 0 \quad(n \longrightarrow \infty)\n\end{aligned}\n\]\nゆえに よって \n
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次の式を計算せよ。
(1) \( \left(\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi\right)^{5} \)
(2) \( (1-i)^{8} \)
(3) \( (1+\sqrt{3} i)^{-7} \)
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次の複素数 を極形式で表せ。ただし, 偏角 は とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( -\cos \alpha+i \sin \alpha \quad(0<\alpha<\pi) \)
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複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha ), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\γ) \) を頂点とする \( \triangle \mathrm{ABC} ) について, 次の等式が成り立つとき, \( \triangle \mathrm{ABC} ) はどのような三角形か。\n(1) \( \beta-\α=(1+\sqrt{3}i)(γ-\α)\n(2) \( \alpha+i\beta=(1+i)γ
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複素数の乗法と回転 (1)
z=2+√2 i とする。点 z を,原点を中心として −3/4 π だけ回転した点を表す複素数を求めよ。
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EX (1) \( (-1+\sqrt{3} i)^{3} \) の実部はア , 虚部はイ である。\n325 (2) は自然数とする。 \( (-1+\sqrt{3} i)^{n} \) の実部と虚部がともに整数となるとき, を 3 で割った 余りはク である。
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次の \( f(x) = 0 \) の解 を持つ3次方程式の係数を求めよ。\n\nヒント:\n1. が方程式 \( f(x) = 0 \) の解です。\n\n 解の共役 も解になります。\n\n2. 3次方程式の解と係数の関係を利用します。\n
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総合 実数 に対し, z=x+y i, w=s+t i \ とおいたとき, z=\\\\frac{w-1}{w+1} \ を満たすとする。ただし, 19 i \ は虚数単位である。\n\n(1) w \ をで表すことにより, s, t \ をそれぞれ x, y \ で表せ。\n(2) 0 \\leqq s \\leqq 1 \ かつ 0 \\leqq t \\leqq 1 \ となるような点 \( (x, y) \\) の範囲 \ D \ を座標平面上に図示せよ。\n(3) 点 \(\\mathrm{P}(x, y) \\) が D \ 上を動いたとき, -5 x+y \ の最小値を求めよ。
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n は 2 以上の自然数, i は虚数単位とする。 α=1+√3 i, β=1-√3 i のとき, (341 ( (β^2-4 β+8)/(a^(n+2)-α^(n+1)+2 α^n+4 α^(n-1)+α^3-2 α^2+5 α-2))^3 の値を求めよ。
防衛医大 α=1+√3 i, β=1-√3 i のとき α+β=2, α β=4 よって α, β は 2 次方程式 x^2-2 x+4=0 の 2 つの解である。 よって α^2-2 α+4=0, β^2-2 β+4=0
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(2) は自然数)とすると\n\[z^{3} & =(a+b i)^{3}=a^{3}+3 a^{2} \cdot b i+3 a(b i)^{2}+(b i)^{3} \\ =a^{3}-3 a b^{2}+\left(3 a^{2} b-b^{3}\right) i\]\n から \( \quad a\left(a^{2}-3 b^{2}\right)+b\left(3 a^{2}-b^{2}\right) i=65+142 i \)\n は自然数, すなわち実数であるから, \( a\left(a^{2}-3 b^{2}\right) \), \( b\left(3 a^{2}-b^{2}\right) \) も実数である。\nよって \( \quad a\left(a^{2}-3 b^{2}\right)=65 \)..... (1), \( b\left(3 a^{2}-b^{2}\right)=142 \)\n は自然数であるから, (1)より も自然数である。ゆえ に, (1)より, は65の正の約数であるから 各 の値を (1) に代入して, の値を求めると, 順に\n\n が平方数となる場合のみが適するから \nすなわち このとき, (2) は成り立つ。\nしたがって \n別解 (1) を\n\[a^{2}+\left(-b^{2}\right)=2 \text {, }\]\n(4) を \( a^{2}\left(-b^{2}\right)=-3 \)\nとみると, は の 2 つの解 である。これを解くと であるから\n\n\[\begin{array}{l}\leftarrow(p+q)^{3} \\ =p^{3}+3 p^{2} q+3 p q^{2}+q^{3}\end{array}\]\n \left←\lceil a, b は自然数」とい う条件を活かして, の 値を絞り込む。\n \left← 37^{2}<1408<38^{2} \nヶ平方数とは, (自然数) の形の整数のこと。\n2章
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徚習 k を実数の定数, i=√-1 を虚数単位とする。 x の 2 次方程式 ④ (1+i) x^{2}+(k+i) x+3-3 k i=0 が純虚数解をもつとき, k の値を求めよ。\cjkstart椇南大] p. 77 EX 28
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練習\n綀習 \ k \ を実数の定数, \ i=\\sqrt{-1} \ を虚数単位とする。 \ x \ の 2 次方程式 \\( (1+i) x^{2}+(k+i) x+3-3 k i=0 \\) ④2 が純虚数解をもつとき, \ k \ の值を求めよ。\n[抯南大]
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方程式 の 以外の解を とすると, 解と係数の 関係により\n\\[ \omega+\alpha=-1 \\cdots \\cdots \\cdot(1), \quad \\omega \\cdot \\alpha=1 \\]\n (1) を用いると, から \n (2) を用いると, から \n\n方程式 の解が であることを利用すると, CHECK 1-A (3) は次のよう に解くこともできます。
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以下の条件のもとで、BC²の最大値と最小値を求めよ。 \n条件: \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \ のとき、\ \\cos \\theta < 0 \ であるから\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{BC}^{2} & =1+2 \\sin \\theta \\cos ^{2} \\theta=1+2 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right) \\\\\n& =1+2 \\sin \\theta-2 \\sin ^{3} \\theta\n\\end{aligned}\n\\]\n\ \\sin \\theta = t \ とおくと、\ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \ のとき \ \\quad 0 < t < 1 \\n\\[\n\\mathrm{BC}^{2} = 1 + 2t - 2t^{3} = 1 + \\{ 1 - f(t) \\} = -f(t) + 2\n\\]\nここで\\[ f(t) = t^{3} - t \\] \n したがって、以下のように評価される。\n[1], [2] から \ \\frac{9 - 4 \\sqrt{3}}{9} \\leqq \\mathrm{BC}^{2} < 1 \,\ 1 < \\mathrm{BC}^{2} \\leqq \\frac{9 + 4 \\sqrt{3}}{9} \ したがって、BC²の最大値は\ \\frac{9 + 4 \\sqrt{3}}{9} \,最小値は\ \\frac{9 - 4 \\sqrt{3}}{9} \。
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x = (1 - √3i)/2 のとき, x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 の値を求めよ。
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初項, 公比ともに実数の無限等比級数があり, その和は 3 で, 各項の 3 乗からなる無限等比級数の和は 6 である。初めの無限等比級数の公比を求めよ。
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複素数平面において, 三角形の頂点 を表す複素数をそれぞれ と するとき\n(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 は, を満たす ことを示せ。
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複素数 に対して, w=\frac{z-i}{z+i} とおく。点 \( z が複素数平面の実軸上を動くとき, 点 はどのような図形を描くか。
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複素数平面上で, 6 を表す点を \\mathrm{A}, 7+7 i\ を表す点を \\mathrm{B}\ とする。また,正の実数 \t\ に対し, \\(\frac{14(t-3)}{(1-i) t-7}\\) を表す点 \\mathrm{P}\ をとる。\n(1) \\angle \mathrm{APB}\ を求めよ。\n(2) 4 点 \O\, A, B B, P は 1 つの円周上にあることを示せ。\n(3) 線分 OP の長さが最大になる の値を求めよ。\n〔類 東京大〕
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1の 乗根\n1 の 乗根(すなわち, 方程式 の解)は, 次の 個の複素数である。\n\( z_{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \quad(k=0,1,2, \cdots \cdots, n-1) \)\n
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総合 複素数 の関数 \( f(z)=z+\frac{1}{z} \) を考える。 が かつ を满たすとき、 40 \( f(z) \) の実部の最大値と最小値を求めよ。
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(2)右図の複素数平面上の点 について, 次の点を図 に示せ。 (ァ) \\alpha+\\beta\ (イ) \\alpha-\\beta\ (ウ) \\alpha+2 \\beta\ (I) \\quad-(\\alpha+2 \\beta\
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EX 複素数 に対して (4)\n(1) (7) \n(1) の値を求めよ。また, とおくとき\n(2) は実数であることを示せ。\n(3) は 3 次方程式 の解である。
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複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) について\n(1) \( \alpha=2, \beta=1+i, \gamma=(3+\sqrt{3}) i \) のとき, の大きさを求めよ。\n(2) ( は実数)のとき, フ ならば 3 点 A, B, C は一直線上 にあり, ならば となる。
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\alpha を絶対値が1 である複素数とする。このとき, \frac{\alpha+z}{1+\alpha z} が実数となるのは, z がど めんな複素数のときか。
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練習 次の式を計算せよ。\n(1) \( \left\{2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right\}^{5} \)\n(2) \( (-\sqrt{3} + i)^{6} \)\n(3) \( \left(\frac{1+i}{2}\right)^{-14} \)
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次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角θは0 ≤ θ < 2πとする。(1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)
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練習
(2)2
は虚数とする。
(1) 任意の複素数 に対して, は実数であることを示せ。
(2) がともに実数ならば, であることを示せ。
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α を絶対値が1である複素数とする。このとき, (α+z)/(1+αz) が実数となるのは, z がどんな複素数のときか。
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複素数の極形式 z を使って、次の複素数計算を行ってください。\\( z_1 = 2\\left(\\cos \\frac{\\pi}{3} + i \\sin \\frac{\\pi}{3}\\right) \\)と\\( z_2 = 3\\left(\\cos \\frac{\\pi}{4} + i \\sin \\frac{\\pi}{4}\\right) \\) の積と商を求めなさい。
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EX 2つの複素数 の偏角 は, を満たすものとする。(1) を極形式で表せ。ただし,偏角 は とする。(2) の実部が 0 に等しいとき, が成り立つことを示せ。
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複素数の極形式と乗法, 除法
(2)(1)次の複素数を極形式で表せ。ただし,偏角 θ は 0 ≤ θ < 2π とする。
(ア) (7−i)/(−3+4i)
(イ) sin α+i cos α (0 < α < π/2)
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43 (1) \n(2) \( \mathrm{Q}\left(\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right) \) または \( \mathrm{Q}\left(-\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) \) のとき 最大値 1
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(2) 1 1 (1) のとき (1) であるから (2) であるから \[b=\frac{z-\bar{z}}{2i}=-\frac{i(z-\bar{z})}{2}=-\frac{1}{2}iz+\frac{1}{2}i\bar{z}\] (3) (1), (2) から \[\begin{aligned}a-b & =\left(\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}\bar{z}\right)-\left(-\frac{1}{2}iz+\frac{1}{2}i\bar{z}\right) \\ & =\frac{1}{2}(1+i)z+\frac{1}{2}(1-i)\bar{z}\end{aligned}\] (4) (1) + \[\begin{array}{l}z^{2}=a^{2}+2abi-b^{2} \\ (\bar{z})^{2}=a^{2}-2abi-b^{2}\end{array}\] したがって \( \quad a^{2}-b^{2}=\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{2}(\bar{z})^{2}\) HINT , から, (1)ではを消去, (2)ではを消去。 \leftarrow (4) \( =(a+b)(a-b)\)としても導かれるが, 計算が面倒である。
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(1) を自然数とし, とする。このとき,\n\nとする。方程式 のすべての解は で与えられることを示せ。\n(2) 方程式 のすべての解を求めよ。
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(A) α と β をそれぞれ極形式で表す:
α = cos(θ1) + i sin(θ1),β = cos(θ2) + i sin(θ2),0 < θ1 < π < θ2 < 2π を満たす。
(1) α+1 を極形式で表せ:
α + 1 = cos(θ1) + 1 + i sin(θ1)。
(2) α + 1 と β + 1 の比の実部が 0 のとき, β = −α が成り立つことを示せ。
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複素数 z が arg z = π/4, |(z+i)/(1+2i)| = 1 を満たすとき,z の値を求めよ。
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複素数平面上の円の方程式に関する問題。円を表す方程式 について平方すると となり、これを展開すると となる。この方程式は実数を含むため、図形表示を考える必要がある。\n次に実数 、複素数 を使って方程式 がどのような図形を表すかを考察する。\n場合1: 、、 の場合、この方程式は点 を中心とする半径 の円。\n場合2: 、 の場合、直線の方程式 (複素数 を解釈すると)。\n直線 は、2点(0, )を結ぶ直線に垂直である(261行目参照)。
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異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) が次の条件を満たすとき, の 3 つの角の 大きさを求めよ。\n(1) \( \beta-\alpha=(1+\sqrt{3} i)(\gamma-\alpha) \)\n(2) \( \alpha+i \beta=(1+i) \gamma \)
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互いに異なる 3 つの複素数 α, β, γ の間に, 等式 α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3) が成り立つとする。
(1) (α - β)/(γ - β) の値を求めよ。
(2) 3 点 A(α), B(β), C(γ) が一直線上にないとき, △ABC はどのような形の三角形か。
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複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(1+i), \mathrm{B}(3+4 i), \mathrm{C} \) について, で あるとき, 点 C を表す複素数 を求めよ。
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練習\n練習 (43)\n偏角 θ が 0 より大きく \frac{\pi}{2} より小さい複素数 α=\cos θ+i \sin θ を考える。z_{0}=0, z_{1}=1 とし, z_{k}-z_{k-1}=α(z_{k-1}-z_{k-2})(k=2,3,4, ⋯) により数列 {z_{k}} を定義するとき, 複素数平面上で z_{k}(k=0,1,2, ⋯) の表す点を P_{k} とする。\n(1) z_{k} を α を用いて表せ。\n(2) A(\\frac{1}{1-α}) とするとき、点 P_{k}(k=0,1,2, ⋯) は点 A を中とする1つの円周上にある ことを示せ。\n〔名古屋市大〕
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複素数平面上の 2 点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(\sqrt{3}-1+2 i) \) について, 線分 を 1 辺とする正三角形 の頂点 を表す複素数 を求めよ。
〔類 慶応大〕 p. 26 EX13
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複素数平面上の 2 点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(\sqrt{3}-1+2 i) \) について, 線分 を 1 辺とする正三角形 の頂点 を表す複素数 を求めよ。
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次の方程式を満たす点 全体は, どのような図形か。\n(1) \n(2) \n(3) \( (2 z+1+i)(2 \\bar{z}+1-i)=4 \)\n(4)
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16 (1) \( (\alpha, \quad \beta)=(\cos \theta \pm i \sin \theta, \quad \cos \theta \mp i \sin \theta) \)\n(複号同順)\n(2) \( n が 3 の倍数のとき 2 , n が 3 の倍数でないとき -1
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練習 次の複素数を極形式で表せ。ただし, 偏角 θ は 0 ≤ θ < 2π とする。
(1) 2-2i
(2) -3
(3) cos(2π/3)-isin(2π/3)
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方程式 zⁿ = α のすべての解は α₀, ω α₀, ω² α₀, ..., ωⁿ⁻¹ α₀ で与えられることを示せ。
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EX 互いに異なる 3 つの複素数 の間に, 等式 \( \alpha^{3}-3 \alpha^{2} \beta+3 \alpha \beta^{2}-\beta^{3}=8\left(\beta^{3}-3 \beta^{2} \gamma+3 \beta \gamma^{2}-\gamma^{3}\right) \) ②6 が成り立つとする。
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複素数平面上の平行四辺形の 4 つの頂点を \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(z), \mathrm{B}(\bar{z}), \mathrm{C}(w) とするとき, wは実数または純虚数であることを示せ。
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EX (1) 次の複素数を極形式で表せ。ただし, 偏角 θ は 0 ≤ θ < 2π とする。\n(2) 8\n(フ) \n(1) \( \sin \alpha+i \cos \alpha\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right) \)\n(2)複素数 z が を滿たすとき, の値を求めよ。\n〔(2) 立教大
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3点 \( \mathrm{A}(-1+4 i), \mathrm{B}(2-i), \mathrm{C}(4+3 i) \) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 を に内分する点 \n(2) 線分 を に外分する点 \n(3) 線分 の中点 \n(4) 平行四辺形 の頂点 \n(5) の重心
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複素数平面上に 3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(-1+3 i), \mathrm{B} \) がある。 が直角二等辺三角形となるとき, 点 B を表す複素数 を求めよ。
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練習\n(32 偏角 \\theta \ が 0 より大きく \\frac{\\pi}{2} \ より小さい複素数 \\alpha=\\cos \\theta+i \\sin \\theta \ を考える。 z_{0}=0, z_{1}=1 \ とし, \( z_{k}-z_{k-1}=\\alpha\\left(z_{k-1}-z_{k-2}\\right)(k=2,3,4, \\cdots) \\) により数列 \\left\\{z_{k}\\right\\} \ を 定義するとき, 複素数平面上で \( z_{k}(k=0,1,2, \\cdots) \\) の表す点を \\mathrm{P}_{k} \ とする。\n(1) z_{k} \ を \\alpha \ を用いて表せ。\n(2) \( \\mathrm{A}\\left(\\frac{1}{1-\\alpha}\\right) \\) とするとき, 点 \( \\mathrm{P}_{k}(k=0,1,2, \\cdots) \\) は点 \\mathrm{A} \ を中心とする 1 つの 円周上にあることを示せ。
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複素数の絶対値 \( (2) \)\n\n を複素数とする。\n\n(1) のとき, であることを示せ。\n(2) のとき, の値を求めよ。\n
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次の式を計算せよ。\n(1) \( \left(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right)^{9} \)\n(2) \( (1 + \sqrt{3} i)^{6} \)\n(3) \( \frac{1}{(1-i)^{10}} \)
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0 でない複素数 に対して, 方程式 \( d z(\bar{z}+1)=\bar{d} \bar{z}(z+1) \) を満たす点 は, 複素数平面上でどのような図形を描くか。〔類 九州大〕
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練習
(1) 3 点 \( \mathrm{A}(1+2 i), \mathrm{B}(-3-2 i), \mathrm{C}(6+i) \) について, 次の点を表す複素数を求めよ。
(1) 線分 を に内分する点
(2) 線分 CA を に外分する点
(3) 線分 の中点
(4) 平行四辺形 の頂点
(5) の重心
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a を正の実数, w=a( cos(π/36) + i sin(π/36) ) とする。複素数の列 {z_n} を z_1 = w, z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...) で定めるとき(1) z_n の偏角を 1 つ求めよ。
(2) 複素数平面で, 原点を O とし, z_n を表す点を P_n とする。 1 ≤ n ≤ 17 とするとき, △OP_nP_(n+1) が直角二等辺三角形となるような n と a の値を求めよ。
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PRACTICE 79
(1) のとき, は実数であることを示せ。
[類 琉球大]
(2) が実数でない複素数 に対して, \( z^{3}-(\bar{z})^{3} \) は純虚数であることを示せ。
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次の計算をせよ。\n\( { }^{3} 87 \frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}=>\square,\left(\frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}\right)^{3}=1 \square,\left(\frac{2+\sqrt{3}-i}{2+\sqrt{3}+i}\right)^{2024}= \)
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複素数平面上で、複素数 α = a + bi を座標平面上の点 (a, b) に対応させる。この平面を複素数平面または複素平面という。では、次の複素数 α = 3 + 4i は複素数平面上のどの点に対応しますか?
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次の漸化式で定義される複素数の数列 z1 = 1, z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1 (n=1,2, ...) を考える。ただし、i は虚数単位である。 (1) z_2, z_3 を求めよ。 (2) 上の漸化式を z_n+1 - α = ((1+√3 i)/2)(z_n - α) と表したとき、複素数 α を求めよ。 (3) 一般項 z_n を求めよ。 (4) z_n = -(1 - √3 i)/2 となるような自然数 n をすべて求めよ。
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次の複素数の積 αβ, 商 α/β を求めよ。
(1) α=cos 2/3π + i sin 2/3π, β=cos π/6 + i sin π/6
(2) α=2(cos π/4 + i sin π/4), β=3(cos 5/12π + i sin 5/12π)
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複素数平面上において, 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を結ぶ線分 を に内分する点を \( \mathrm{C}(\gamma), m: n \) に外分する点を \( \mathrm{D}(\delta) \) とすると\n内分点 , 外分点 \n特に, 線分 の中点を表す複素数は \nまた, 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする の重心を表す複素数は
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2絶対値が で, 偏角 が の複素数を に掛 ける。
上の問題において, 原点を \( O, P(z), Q(w_1), R(w_2) \) とすると, は から直角二等辺三角形であることがわかる。
三角形 は から, , , の直角三角形であることがわかる。
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複素数 \\alpha=a+b i \ に対し, \\bar{\\alpha}=a-b i \ を \\alpha \ に共役な複素数, または \\alpha \ の共役複素数という。次の性質を示せ。\n(1) \\alpha \ が実数 \\Longleftrightarrow \\bar{\\alpha}=\\alpha, \\alpha \ が純虚数 \\Longleftrightarrow \\bar{\\alpha}=-\\alpha, \\alpha \\neq 0 \。\n(2) [1] \\alpha+\\bar{\\alpha} \ は実数。\n[2] \\overline{\\alpha+\\beta}=\\bar{\\alpha}+\\bar{\\beta} \。\n[3] \\overline{\\alpha-\\beta}=\\bar{\\alpha}-\\bar{\\beta} \。\n[4] \\overline{\\alpha \\beta}=\\bar{\\alpha} \\bar{\\beta} \。\n[5] \( \\overline{\\left(\\frac{\\alpha}{\\beta}\\right)}=\\frac{\\bar{\\alpha}}{\\bar{\\beta}} \\\quad(\\beta \\neq 0) \\)。\n[6] \\overline{\\bar{\\alpha}}=\\alpha \。\nまた, 複素数 \\alpha \ と自然数 n \ について, \( \\overline{\\alpha^{n}}=(\\bar{\\alpha})^{n} \\) が成り立つ。\n\n次にこれらの性質が成り立つことを証明しなさい。
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この章では、複素数が座摽平面上の点として表されることや、複素数の和、差、絶対値、共役複素数についての幾何学的な意味を学ぶ。また、複素数の積、商を複素数平面上で考えるため、複素数の幾何学的表示である極形式について学び、複素数平面上でいろいろな図形について学習する。
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自然数 \ n \ に対して, \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \ が成り立つことを示せ。
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40 複素数平面上の原点を通らない異なる 2 直線 に関して, 原点と対称な点をそれぞれ とする。\n(1) 直線 上の点 は常に, を満たすことを示せ。\n(2) が実数でないことは, 直線 と直線 が交点をもつための必要十分条件であることを示せ。また, 直線 と直線 が交点をもつとき, 交点を を用いて表せ。\n[東北大]
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複素数平面上の点 z が単位円上にあるとします。このとき、z = e^(iθ) という形で表されることを示しなさい。
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次の複素数を極形式で表せ。ただし,偏角は 0 ≤ θ < 2π とする。
(1) 1-i
(2) -2i
(3) -√3+3i
(3) 1
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次の複素数の値を求めよ。
(1) (cos π/3 + i sin π/3)^6
(2) {2(cos π/10 + i sin π/10)}^5
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(2) が実数でない複素数 に対して, \( z^{3}-(\bar{z})^{3} \) は純虚数であることを示せ。
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これが単に心理的な問題でしかないことを的確に指摘したのが19世紀のガウス(C. F. Gauss, 1777〜1855) だった。彼は複素数平面の概念を本格的に用いて, 複素数の算術を明快に図解した。
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絶対値が1より小さい複素数 α, β に対して, 不等式 \left|\\frac{\\alpha-\\beta}{1-\\bar{\\alpha} \\beta}\\right|<1 \ が成り立つことを示せ。
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複素数 α = a + bi, β = c + di が与えられたとき、点 α + β は点 α をどのように平行移動した点ですか?
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数学C\nEX複素数平面上で, を表す点をそれぞれ とするとき, 線分 を 1 辺とする\n正方形 の頂点 を表す複素数を求めよ。
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4 次方程式 \a x^{4}+b x^{2}+c=0\ が虚数解 \\\alpha\ をもつとき, \ もこの方程式の解であることを示せ。
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画羦例題 の虚数解の分数列の和\n複素数 を とおく。\n(1) の值を求めよ。\n(2) の値を求めよ。ただし, は の範囲の自然数である。\n(3) の値を求めよ。\nC. HART \& 1 HINKING
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i を虚数単位とし, k を実数とする。 α=-1+i であり, 点 z は複素数平面上で原点を中心とする単位円上を動く。\n(1) w_{1}=\frac{\alpha+z}{i} とする。点 w_{1} が描く図形を求めよ。\n(2) w_{2} は等式 w_{2} \bar{\alpha}-\overline{w_{2}} \alpha+k i=0 を満たす。点 w_{2} の軌跡が, (1) で求めた 点 w_{1} の軌跡と共有点をもつ場合の k の最大値を求めよ。
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直線に関する対称移動\n複素数平面上において, 点 \( \mathrm{P}(z) \) と点 \( \mathrm{Q}(w) \) が, 原点 と点 \( \mathrm{A}(\alpha)(\alpha \neq 0) \) を通る 直線に関して対称であるとき, を で表せ。
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次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角 θ は 0 ≤ θ < 2π とする。1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π)。
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複素数αとβについて、次のように定義されている。
\[\alpha = 2 \sqrt{2}(1+i)\]
\[\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) \alpha\]
1. αおよびβの偏角を求めよ。
2. βを成分で表せ。
3. β^nが実数となる最小の正の整数nを求めよ。
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練習問題: 複素数平面上で, 複素数 がそれぞれ表す点 は同一直線上にないものとする。 を複素数の定数として, 式 を満たす複素数 がそれぞれ次の図形を描くとき, を およびその共役な複素数 , を用いて表せ。
(1) 直線
(2) 点 C を通り, 直線 と垂直な直線
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複素数平面上で \nを点を図示していくと、複素数平面上には全部でコサ点が描かれる。ただし、同じ位置にある点は 1 個。
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䋮習 複素数平面上の4点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma), \mathrm{D}(\delta) \) を頂点とする四角形 を考え101る。ただし, 四角形 は, すべての内角が より小さい四角形(凸四角形)であるとする。\nまた,四角形 の頂点は反時計回りに の順に並んでいるとする。四角形 の外側に, 4辺 をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形 を作る。\n(1) 点 を表す複素数を求めよ。\n(2) 四角形 が平行四辺形であるための必要十分条件は, 四角形 がど のような四角形であることか答えよ。\n(3) 四角形 が平行四辺形であるならば, 四角形 は正方形であること を示せ。
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H|NT \( 100 z=r(\\cos \\theta+i \\sin \\theta) \) または として, が実数であるための条件を求め,不等式に代入する。
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基本列題 106 三角形の形状 (1)
複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする について, 等式 \( \beta-\alpha=(1+\sqrt{3} i)(\gamma-\alpha) \) が成り立つとき, の 3 つの内角の大きさ を求めよ。
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146\n的㬉 71 | 複素数と不等式\n は複素数で とする。複素数 が不等式 を満たすとき, が成り立つことを証明せよ。\n[類 広島市大]\n例題 69,70\n\n指針 不等式であっても は として扱うという方針は有効。\n\n (分母は 0 でない) であるから, 両辺に を掛けると\n\n\nここで, 不等式の性質 のとき から\n\n\nこの不等式を変形して, を導く。
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鍛錬問題\n(1) とする。点 を点 を中心として だけ回転した点を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{A}(2+i) \) を点 を中として だけ回転した点を表す複素数が \( \frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) i \) であった。点 を表す複素数を求めよ。
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Q4. Oを原点とする複素数平面上で, 複素数 α, β を表す点をそれぞれ A, B とする。ただし, α ≠ 0, β ≠ 0 である。 △OAB が必ず直角二等辺三角形となるような α, β の関係式を,次のうちから2つ選べ。
(1) α + β = 0
(2) |α| = |β|
(3) β = iα
(4) β = (1 + √3 i) / 2 α
(5) β = (1 - i) α
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次のド・モアブルの定理の一般形に基づいて、複素数 の5乗を求めよ。\n\nド・モアブルの定理: \( (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta \)
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複素数平面上で 3 点 A(α=2+i), B(β=3+2i), C(γ=a+3i) が一直線上にあるように a の値を定めよ。
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第3 章\n悾 킬 問 題\n を虚数とするとき,次の問いに答えよ。\n(1) が実数となるとき, の絶対値 を求めよ。\n(2) が整数となる をすべて求めよ。
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複素数 \( z=x+y i(x, y は実数, i は虚数単位 ) \) が次の条件を満たすとき, の満たす方程式を求めよ。また, その方程式が表す図形の概形を 平面上に図示せよ。 (2) \( (z+\bar{z})^{2}=2\left(1+|z|^{2}\right) \)
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PR -1 と異なる複素数 に対し, 複素数 を で定める。 (1)点 が原点を中心とする半径 1 の円上を動くとき, 点 の描く図形を求めよ。
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(1) (1) において, のとき \( z_{2} z_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right) \) から \n同様に, のとき \( \quad z_{3} z_{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2} \) よって \( \quad z_{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{3} i}{4} \)\nまた, のとき \( \quad z_{4} z_{5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{3} \)\nよって \( \quad z_{5}=\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2}=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2} \)
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を実数とし, を整数とする。 とするとき, 複素数 の実部と 虚部を \( \cos (n \theta) \) と \( \sin (n \theta) \) を用いて表せ。ただし, は虚数単位である。
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次の条件(i)(ii)によって定まる数列 を考える。
25
(i)
(ii) 点 \( \mathrm{A}_{n}\left(a_{n}, 0\right) \) を通る傾き 1 の直線と直線 との交点を として, 点 の 座標を とする。 \( (n=1,2,3, ⋯) \)
(1) を求めよ。
(2) を を用いて表し, 数列 の一般項を求めよ。
(3) の面積を とする。無限級数 の和を求めよ。
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例題 89 回転の図形への利用
原点をOとする。
(1) \( \mathrm{A}(5+2 i) \) とする。 が正三角形となるような点 を表す複素数 を求めよ。
(2) \( \mathrm{A}(2+3 i) \) とする。 が の直角二等辺三角形となるよう な点 を表す複素数 を求めよ。
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3 点 \( \mathrm{A}(-2-2 i), \mathrm{B}(5-3 i), \mathrm{C}(2+6 i) \) について, 次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 2 点 から等距離にある虚軸上の点 \n(2) 3 点 から等距離にある点
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102^{\ominus} 複素数平面上の 4 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma), \mathrm{D}(\delta) \) を頂点とする四角形 を考える。ただし, 四角形 は, すべての内角が より小さい四角形 (凸四角形) であるとする。また, 四角形 の頂点は反時計回り に A, B, C, D の順に並んでいるとする。四角形 の外側に, 4 辺 をそぞれ斜辺とする直角二等辺三角形 , CRD, DSA を作る。 (1) 点 を表す複素数を求めよ。 (2) 四角形 が平行四辺形であるための必要十分条件は, 四角形 がどのような四角形であることか答えよ。 (3) 四角形 が平行四辺形であるならば, 四角形 は正方形で あることを示せ。
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EX次の複素数を極形式で表せ。ただし, 偏角 \\theta \ は 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ とする。\n\\(1+\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha \\quad(0 \\leqq \\alpha<\\pi)\\)\n\1+\\cos \\alpha=2 \\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}, \\quad \\sin \\alpha=2 \\sin \\frac{\\alpha}{2} \\cos \\frac{\\alpha}{2} \\nであるから\n\\(1+\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha =2 \\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}+2 i \\sin \\frac{\\alpha}{2} \\cos \\frac{\\alpha}{2} =2 \\cos \\frac{\\alpha}{2}\\left(\\cos \\frac{\\alpha}{2}+i \\sin \\frac{\\alpha}{2}\\right)\\)\n0 \\leqq \\alpha<\\pi より, 0 \\leqq \\frac{\\alpha}{2}<\\frac{\\pi}{2}, 2 \\cos \\frac{\\alpha}{2}>0 であるから, (1) は求め る極形式である。\n別解 与えられた複素数を \z\ とし, \z_{0}=\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha\ とすると \ \\quad z=1+\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha=z_{0}+1\\nしたがって, 点 \z\ は, 点 \z_{0}\ を実軸方向に 1 だけ平行移動した 点である。\nここで, \\(z=r(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)(r>0,0 \\leqq \\theta<2 \\pi)\\) とすると\\(r =\\sqrt{(1+\\cos \\alpha)^{2}+\\sin ^{2} \\alpha} =\\sqrt{2(1+\\cos \\alpha)}=\\sqrt{4 \\cos ^{2} \\frac{\\alpha}{2}}\\)\n0 \\leqq \\alpha<\\pi より 0 \\leqq \\frac{\\alpha}{2}<\\frac{\\pi}{2} であるから \ \\cos \\frac{\\alpha}{2}>0 \ ゆえに \ \\quad r=2 \\cos \\frac{\\alpha}{2} \ よって \\( 2 \\cos \\frac{\\alpha}{2}(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)=1+\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha \\)
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瑓習 \\alpha を絶対値が 1 の複素数とし, 等式 \ z=\\alpha^2 \\bar{z} \ を満たす複素数 \ z \ の表す複素数平面上 96 の図形を \ S \ とする。(1) \ z=\\alpha^2 \\bar{z} \ が成り立つことと, \ \\frac{z}{\\alpha} \ が実数であることは同値であることを証明せよ。 また, このことを用いて, 図形 \ S \ は原点を通る直線であることを示せ。(2) 複素数平面上の点 \\( \\mathrm{P}(w) \\) を直線 \ S \ に関して対称移動した点を \\( \\mathrm{Q}\\left(w'\\right) \\) とする。 このとき, \ w' \ を \ w \ と \ \\alpha \ 用いて表せ。
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重要例題 77 | 1 の 乗根の利用\n は虚数単位 \( ) \) とおく。\n[千葉大]\n(1) を求めよ。\n(2) とするとき, および の値を求めよ。\n(3) \( (1-z)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\left(1-z^{4}\right)\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{6}\right) \) を求めよ。
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複素数平面\n\( w=(1+\alpha) z+1+\bar{\alpha} \) とする。2 直線 OW, OZ が垂直であるとき,次の問いに答えよ。\n(1) の値を求めよ。\n(2) が直角三角形になるときの複素数 を求めよ。\n[類 山形大]
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次の漸化式を満たす複素数の数列 {zn} の一般項を求めよ。
zn+1 = wzn (n = 1, 2, 3, ...)
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複素数 は実数 \( ) \) において, であるとき,不等式\n が成り立つことを証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのよう なときか。\n[神戸大]
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第3章 複素数平面一 449\n\\[\n\\left.\\begin{array}{cc}\n\\sin \\theta=\\sqrt{1-\\frac{3}{8}}=\\sqrt{\\frac{5}{8}}=\\frac{\\sqrt{10}}{4} \\\\\n\\text { このとき } \\quad 4 \\sin 2 \\theta=8 \\sin \\theta \\cos \\theta=8 \\cdot \\frac{\\sqrt{10}}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{6}}{4} \\neq 0 \\\\\n\\text { したがって } & \\boldsymbol{z}_{0}=2\\left(\\frac{\\sqrt{6}}{4}+\\frac{\\sqrt{10}}{4} i\\right)=\\frac{\\sqrt{6}}{2}+\\frac{\\sqrt{10}}{2} i\n\\end{array} \\right\\rvert\,\n\\]\n\ \\hookleftarrow( \ 虚部 \\) \\neq 0 \\) の確認。\n3章 \ \\square \\nEX
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2 極形式 z=r(コサインθ+i サインθ) を利用する
極形式を用いると,桩大や回転が扱いやすくなる場合が多い。一方,式が複雑な場合は三角関数の計算が面倒になることがある。なお, 極形式は長さの比や偏角を求めるのに有効な形であるから, このあとの例題 105 〜107 で学ぶような, 線分のなす角や平行・垂直に関する問題, あるいは三角形の形状を調べる問題でも活躍する。
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145\n㑬題 70 | 複素数の絶対値 (2)\n を複素数とする。\n(1) のとき, であることを示せ。\n(2) のとき, の値を求めよ。
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例題 94 複素数平面上の直線の方程式 (1)
単位円上の異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を通る直線上の点を \( \mathrm{P}(z) \) とする。このとき,等式 が成り立つことを示せ。
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点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(3+4i) \) について, 次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 を に内分する点 \n(2) 線分 の中点
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数学 C\nEX a, b は実数とし, 3 次方程式 が虚数解 をもつとする。このとき, の共役複素数 もこの方程式の解になることを示せ。また, 3 つ目の解 , および 係数 を を用いて表せ。
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複素数の漸化式\n および, 漸化式 \( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \geqq 1) \) によって定まる複素数から なる数列 について,以下の問いに答えよ。\n(1) を求めよ。\n(2) を求めよ。
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2. 𝛼 = -2 + 2𝑖, 𝛽 = -3 - 3√3 𝑖 とする。ただし,偏角は 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 とする。(1) 𝛼𝛽, 𝛼 / 𝛽 をそれぞれ極形式で表せ。(2) 𝑎𝑟𝑔 𝛼^3, |𝛼^3 / 𝛽| をそれぞれ求めよ。
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複素数とベクトルの関係に基づいて、以下の問題に答えなさい。\n\n1. 2 点 間の距離を複素数とベクトルで表現してください。\n2. 線分 を に内分する点 の座標を複素数とベクトルでそれぞれ求めてください。\n3. 四角形 が平行四辺形である条件を複素数とベクトルで述べてください。\n4. 三角形 の重心が点 である場合の条件を求めてください。\n5. 線分 の垂直二等分線上の点 の条件を述べてください。\n6. 点 A を中心とする半径 の円周上の点 の条件を述べてください。\n7. 3 点 が一直線上にある条件を述べてください。\n8. の条件を述べてください。
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原点 O を含む 3 点が一直線上にある条件 (1)○○○) α=3+(2 x-1) i, β=x+2-i とする。 2 点 A(α), B(β) と原点 O が一直線上にあるとき, 実数 x の値を求めよ。
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迤り複素数で図形をとらえる方法
例題 100〜103 のような図形問題にはさまざまな解き方があるようですが,どれを使えばよいか迷ってしまいます。
等式の図形的意味をとらえることが基本となります。ここでは, それ以外の解決方法とともに整理しておきましょう。
1 複素数のまま扱う
複素数平面で等式が表す図形について考えるときは, 等式を複素数 z のままで扱うことにより等式のもつ図形的な意味をとらえることが基本である。zのままで扱うことができれば, 計算の手間が減り, 解答が簡潔になる場合が多い。一方, 次に示すような, 等式が表す図形の特徵を押さえ, 複素数特有の式変形に慣れておく必要がある。|z-α|=|z-β| 点 α, β を結ぶ線分の垂直二等分線
・|(ここにzの係数を1にすることが式変形のポイント。
|z-α|=r 点 α を中心とする半径 r の円 ←|z-α|<r のときは円の内部を表す。
・(z-α) の形をめざすことが式変形のポイント。(例題 100 (2))
・n|z-α|=m|z-β| の形から円を判断することもできる[アポロニウスの円]。(例題 101 解 2)
また, 例題 103 (2) で,
例題 100 (3)の
z+バーz=2 から
よって, z の実部は 1 である。したがって点1を通り, 元
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第3章 複素数平面 417\n別解 2 \mathrm{A}(3 i), \mathrm{B}(-3), \mathrm{P}(z) とすると, |z-3 i|=2|z+3| から \mathrm{AP}=2 \mathrm{BP} よって \mathrm{AP}: \mathrm{BP}=2: 1 線分 \mathrm{AB} を 2: 1 に内分する点を \mathrm{C}(\alpha), 外分する点を \mathrm{D}(\beta) とすると, 点 \mathrm{P} 全体は, 2 点 \mathrm{C}, \mathrm{D} を直径の両端とする円で ある。 \alpha=\frac{1 \cdot 3 i+2(-3)}{2+1}=-2+i \beta=\frac{-1 \cdot 3 i+2(-3)}{2-1}=-6-3 i ゆえに, 点 z 全体は 2 点 -2+i,-6-3 i を直径の両端とする円 〈|z-3 i〉 は 2 点 \mathrm{A}, \mathrm{P}間の距離, |z+3| は 2 点 \mathrm{B}, \mathrm{P} 間の距離を表す。3章
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点 を原点を中心として だけ回転した点は点 \( (\cos \theta+i \sin \theta) z \)
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練習問題 (PRACTICE) 87\n とする。(1)点 を原点を中心として だけ回転した点を表す複素数 を求めよ。(2) 点 を原点を中心として だけ回転し、原点からの距離を 倍した点を表す複素数 を求めよ。
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すなわち \( \left|\frac{w-(1-2 \sqrt{3}+3 i)}{-\sqrt{3}+i}\right|=\left|\frac{w-(1-2 \sqrt{3}-i)}{-\sqrt{3}+i}\right| \) ゆえに \( \quad|w-(1-2 \sqrt{3}+3 i)|=|w-(1-2 \sqrt{3}-i)| \) よって, 点 は 2 点 , を結ぶ線分の垂直二等分線, すなわち, 点 を通り, 虚軸に垂直な直線を描く。 点 は, 2 点 を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くから,zを 表す複素数は, 実数kを用いて \[ z=k\left(\frac{2+1+\sqrt{3} i}{2}\right) \text { すなわち } \quad z=\frac{\sqrt{3}}{2} k(\sqrt{3}+i) \] と表される。\nここで, とおくと, は実数で \( \quad z=l(\sqrt{3}+i) \) これを \( w=(-\sqrt{3}+i) z+1+i \) に代入すると \[ \begin{aligned} w & =(-\sqrt{3}+i) \cdot l(\sqrt{3}+i)+1+i \\ & =-4 l+1+i \end{aligned} \] wの実部はすべての実数値をとり, 虚部は常に1である。 よって, 点 は, 点 を通り, 虚軸に垂直な直線を描く。\n
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練習 複素数 は, を満たしている。\n(2) \( (1-\\alpha)\\left(1-\\alpha^{2}\\right)\\left(1-\\alpha^{3}\\right)\\left(1-\\alpha^{4}\\right) \) が実数であることを示し, その値を求めよ。
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次の条件に基づいて、複素数1の3乗根を全て求めよ。\n\n条件: となる複素数 を求める。ここで、複素数を極形式 で表す。
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複素数平面上において, 異なる 3 点 \( \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta), \\mathrm{C}(\\gamma) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{ABC} \ の 91 外心を \( \\mathrm{P}(z) \\) とするとき, z \ は次の等式を満たすことを示せ。\n\n\\[ z=\\frac{(\\alpha-\\beta)|\\gamma|^{2}+(\\beta-\\gamma)|\\alpha|^{2}+(\\gamma-\\alpha)|\\beta|^{2}}{(\\alpha-\\beta) \\bar{\\gamma}+(\\beta-\\gamma) \\bar{\\alpha}+(\\gamma-\\alpha) \\bar{\\beta}} \\]
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EX次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。\n(1) \\( \\left( \\frac{1}{2} - \\frac{2}{3} \\right) + \\left( \\frac{2}{3} - \\frac{3}{4} \\right) + \\left( \\frac{3}{4} - \\frac{4}{5} \\right) + \\cdots \\cdots \\)\n(2) \ \\frac{1}{2} - \\frac{2}{3} + \\frac{2}{3} - \\frac{3}{4} + \\frac{3}{4} - \\frac{4}{5} + \\cdots \\cdots \\n(3) \ 2 - \\frac{3}{2} + \\frac{3}{2} - \\frac{4}{3} + \\frac{4}{3} -\\cdots \\cdots - \\frac{n+1}{n} + \\frac{n+1}{n} - \\frac{n+2}{n+1} + \\cdots \\cdots \\n第 \ n \ 項までの部分和を \ S_{n} \ とする。
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重要例 101 複素数平面上の三角形・四角形\n4 つの複素数 は互いに異なり, その絶対値はすべて1であるとする。\n(1) を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき, となることを示せ。\n(2) が成り立つとき, を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ。\n(3) が成り立つとき, を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ。\n[お茶の水大]
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次の複素数を極形式で表せ。ただし,偏角 の範囲は とする。\n(1) \(2\left(\sin \frac{\pi}{3}+i \cos \frac{\pi}{3}\right)\)\n(2) のとき
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PR を正の実数とする。 空間において, 連立不等式 を 満たす点全体からなる立体の体積を, 平面 \( x=t(0 \leqq t \leqq r) \) による切り口を考えることにより 求めよ。平面 \( x=t(0 \leqq t \leqq r) \) による切り口は \( \left\{ \begin{array}{l}y^{2} \leqq r^{2}-t^{2} \\ z^{2} \leqq r^{2}-t^{2} \\ y^{2}+z^{2} \geqq r^{2}\end{array} \right.\) で表される。(1)+(2)と (3)から すなわち よって, 切りロが存在するのは, のときである。 において考えると, 切り口は右の図の赤く塗った部分になる。この面積を \( S(t) \) とする。また, 図 のように をとると 平面 は 軸に 垂直。\n\[\begin{array}{l} (1) + (2) は \\ y^{2}+z^{2} \leqq 2 r^{2}-2 t^{2}\end{array}\]\n・と (2) で正方形の周とその内部。(3) は円弧の外側と考える。
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コインを 回投げて複素数 を次のように定める。\n(i) 1 回目に表が出れば とし,裏が出れば とする。\n(ii) のとき, 回目に表が出れば とし, 裏が出れば とする。ただし, は の共役複素数である。\n\nこのとき, となる確率を求めよ。\n[京都大] <例題 102
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重要例㬉 15 | 平方根と式の値 \( (3) \)\n を満たす実数 に対し て, 次の式の値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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方程式 \( f(x)=0 \) が異なる2つの負の解をもつための条件は, \( y=f(x) \) のグラフが 軸の負の部分と異なる2点で交わることである。よって,次のことが同時に成り立つ。\n[1] \n[2] 軸が の範囲にある\n[3] \( f(0)>0 \)\nこれらの条件を満たす の範囲を求めなさい。
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カタラン数の例 3 ……多角形を三角形に分割する方法
多角形の内角の和や面積を求めるとき, いくつかの三角形に分割して考えることが多い。それでは, (n+2) 角形を三角形に分割するとき,何通りの方法があるだろうか。上の例 2 と同じように考えてみよう。ただし,以下では,最も左にある1辺以外の辺に,時計回りに a, b, c, d と文字を割り当て, 三角形の文字が割り当てられない第 3 の辺に, 他の 2 辺の積を割り当てる,と考える。
n=1 のとき, 三角形を分割
→ 1 通り
n=2 のとき, 四角形を分割
→ 2 通り
n=3 のとき, 五角形を分割
→ 5 通り
(((a · b) · c) · d), ((a · b) ·(c · d)), ((a ·(b · c)) · d), (a ·((b · c) · d)), (a ·(b ·(c · d)))
この規則で表すと, 第 3 の辺は, それぞれ「カタラン数の例 1」の (A) と 1 対 1 に対応している。よって, (n+2) 角形を三角形に分割する方法の数もカタラン数であると考えられる。
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次の方程式を求めなさい。\n(1) \ x < 1 \ のとき、次の方程式を解きなさい。\n\\\left| x^2 - 2x \\right| = 0\\nただし、条件を満たすものとする。
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次の複素数の和と積を求めよ。また、負の数の平方根について論じなさい。
(1) と共役な複素数の和と積
(2) と共役な複素数の和と積
特に注意すべき点がある場合、それを指摘すること。
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75 A 高校全体の平均点が, 県の平均点と異なると は判断できない\n演習問題 の解答\n16 (1) \( \frac{2(n-k+1)}{(n+1)(n+2)} \)
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x^{2025} を x^{2}+1 で割つたときの商を Q(x), 余りを a x + b (a, b は実数) とすると x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b. 両辺に x=i を代入して i^{2025} = a i + b. ここで i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i. ゆえに i = a i + b. a, b は実数であるから a=1, b=0. よって, 求める余りは x.
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重要例題 157 条件つきの最大・最小\n は を満たす実数とする。\n(1) のとりうる値の範囲を求めよ。\n(2) の最大値, 最小値と,そのときの の値を求めよ。
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数学 II\n59\nこれを解くと \\( \\quad x=-2,-\\frac{1+2 i}{1+i}\\left(=-\\frac{3+i}{2}\\right) \\)\n[1], [2] から, 求める実数解と, bの値は\n\x=0, \\quad b=0 ; x=-2, \\quad b=2\
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a < 1 / 4 のとき M = −3a + b + 1, 1 / 4 ≤ a < 1 のとき M = 2a√a + b, 1 ≤ a のとき M = 3a + b − 1
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次の等式を満たす実数 \ x, y \ の値を求めよ。\n(1) \\( (3+2 i) x+(1-i) y=7+3 i \\)\n(2) \\( (3+2 i)(2 x-y i)=4+7 i \\)\n\n指針: 複素数の相等条件を利用する。 \ a, b, c, d \ が実数のとき\n\ a+b i=c+d i \\Leftrightarrow a=c, b=d \\quad \\text { 実部どうし, 虚部どうしが等しい }\\n\n特に \ a+b i=0 \\Leftrightarrow a=0, b=0 \\quad \ 《実部も虚部も 0
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方程式 (1) である 4 sin^2(x) - a sin(x) + 1 = 0 が 0 ≤ x ≤ π の範囲において、異なる 4 つの解を持つための a の値を求めなさい。
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整数 は等式 \( (a+b i)^{3}=-16+16 i \) を満たす。ただし, は虚数単位とする。\n(2) を計算すると, 戸 である。
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次関数が極值をもつ条件, もたない条件\n(1) 関数 \( f(x)=x^{3}+3 a x^{2} \) が極値をもつための定数 の満たす条件を求めよ。\n(2) 関数 \( f(x)=x^{3}+2 a x^{2}-a x+3 \) が極値をもたないような定数 の値の範囲を 求めよ。
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例䂓 19 | 2 次方程式の解の判別 (2)
xについての方程式を
\[
\begin{array}{l}
x^{2}+2 a x+1=0 \
x^{2}-2 a x-4 a=0
\end{array}
\]
\[x^{2}+2 a x+6-a=0\]
とする。次の各場合について、実数の定数 の値の範囲を求めよ。
(1) (1), (2), (3)のうち、少なくとも 1 つが虚数解をもつ。
(2) (1), (2), (3)のうち、1 つだけが虚数解をもつ。
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100円と50円の硬貨がそれぞれ3枚ずつ、計6枚と、さいころが1個ある。これらの硬貨6枚とさいころ1個を同時に投げて、表が出た硬貨の合計額にさいころの目の数 から2を引いた数の絶対値 を掛け合わせた賞金をもらえるものとする。たとえば、硬貨6枚すべてが表となり、さいころの目が6となった場合、表が出た硬貨の合計額450円を4倍した1800円を賞金としてもらえる。\n(1) 賞金をまったくもらえない確率を求めよ。\n(2) もらえる賞金が500円以上となる確率を求めよ。\n(3) もらえる賞金の期待値を求めよ。
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湖題 33 高次式の値\n のとき, 次の式の値を求めよ。\n\\[\nP(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7\n\\]
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ある 2 以上の自然数 に対して が成り立つとき, に対して, \n\n\nが成り立つ。 から \( \quad\left[a_{n}\right]=\left[a_{1}\right]-(n-1)=-n+1 \) \nこれを に代入すると\n\[a_{n+1}=3(-n+1)-2 a_{n}\]\n\nすなわち \nここで, \( a_{n+1}-\{p(n+1)+q\}=-2\left\{a_{n}-(p n+q)\right\} \)\nが成り立つような定数 の値を求める。 (4) を変形すると\n\n\nこれが (3) と一致するための条件は\n かつ \nよって \n(4)に代入して\n\[a_{n+1}-\left\{-(n+1)+\frac{4}{3}\right\}=-2\left\{a_{n}-\left(-n+\frac{4}{3}\right)\right\}\]\n\nしたがって, 数列 \( \left\{a_{n}-\left(-n+\frac{4}{3}\right)\right\} \) は, 初項 \( a_{1}-\left(-1+\frac{4}{3}\right)=a-\frac{1}{3} \), 公比 -2 の等比数列である。よって\n \( a_{n}-\left(-n+\frac{4}{3}\right)=\left(a-\frac{1}{3}\right) \cdot(-2)^{n-1} \)\n\nゆえに \( \quad a_{n}=\left(a-\frac{1}{3}\right) \cdot(-2)^{n-1}-n+\frac{4}{3} \)\nしたがって \( \quad a_{k}=\left(a-\frac{1}{3}\right) \cdot(-2)^{k-1}-k+\frac{4}{3} \)
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次の式を求めてください:\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\alpha-1) + (\\beta-1) + (\\gamma-1) = (\\alpha+\\beta+\\gamma)-3 = 0-3=-3 \n(\\alpha-1)(\\beta-1)+\\beta-1)(\\gamma-1)+(\\gamma-1)(\\alpha-1)\\ = (\\alpha \\beta+\\beta \\gamma+\\gamma \\alpha)-2(\\alpha+\\beta+\\gamma)+3 \n=-4-2 \\cdot 0 +3=-1 \n\\end{array}\n\\]\n\nまた、\\( x^{3}-4 x+2=(x-\\alpha)(x-\\beta)(x-\\gamma) \\) は成り立ちます。両辺に \ x=1 \ を代入して \\( 1-4+2 = (1-\\alpha)(1-\\beta)(1-\\gamma) \\) よって \\( (\\alpha-1)(\\beta-1)(\\gamma-1)=1 \\)ゆえに、求める 3 次方程式は:\ x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 = 0 \
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次の計算の結果を a+bi の形で表せ。\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \n(3) \n(4)
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次の各数と,それぞれに共役な複素数との和・積を求めよ。\n(1) -2+3i\n(2) 5-4i\n(3) 6i\n(4) -3
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(1) のとき よって, であるから, は常に増加する。ゆえに, のグラフと 軸の共有点の個数は 1 個で あるから,条件を満たす。したがって, 方程式 は虚数解をもつ。\n(2) のとき, とすると 。 の前後でそれぞれ の符号が変わるから, は 、および で極値をとる。このとき, のグラフと 軸の共有点が 1 個となるのは,右の図の ようになるときであるから,2つの極値は同符号である。よって, 虚数解をもつ条件は\n\n(3) のとき, のとき, 実\n践\n編\n\n\n\\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} X < 0 \\\\ Y < 0 \\end{\overlineray} \\right. または \\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} X > 0 \\\\ Y > 0 \\end{\overlineray} \\right.\n, から, 6 個の の組のうち, 方程式 が虚数解をもつような の組は\n\nの 3 個ある。
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数列 を \( a_{1}=3, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}-1}{n+1}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) で定める。
(1) を求めよ。
(2)一般項 を推測して,それを数学的帰納法を用いて証明せよ。
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数列 {a_n} を次のように定める。a_1 = 2 とする。自然数 n に対し, 2 点 (0,1), (a_n, 0) を通る直線と直線 y = x の交点の x 座標を a_{n+1} とする。
(1) a_{n+1} を a_n で表せ。
(2) b_n = 1/a_n とおく。 b_{n+1} を b_n で表せ。
(3) a_n を求めよ。
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次の等式を満たす実数 \ x, y \ の值を、それぞれ求めよ。\n(1) \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\)
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実践例 1 不等式の証明
数学II
花子さんと太郎さんは, 授業で学んだ不等式
の応用について考えている。
(1) 先生:まず,不等式 (1)で等号が成り立つのはどのようなときでしたか。
花子:1を証明する過程から,アです。
先生:正解です。では,不等式(1)の を適当におき換えることにより,次の不等式を証明してみましょう。
花子:1)と(2)の右辺の形を比べて, を に, を におき換え てみたけど左辺がうまくいかないわ。
先生:絶対値の性質 を用いて考えてみてはどうでしょうか。 におき換えると不等式 (2)が得られます。
花子: 不等式 (2) で等号が成り立つのは
\[
\left\{\begin{array} { l }
{ a \leqq 3 } \\
{ b \square \text { オ } 3 }
\end{array} \square \text { カ } \left\{\begin{array}{l}
a \geqq 3 \\
b \square \text { キ } 3
\end{array}\right.\right.
\]
のときです。
ア の解答群
(0)
(1)
(2)
(3)
の解答群
(0)
(1)
(2)
(3)
の解答群
(0)
(1)
(2)
(3)
工 の解答群
(0) を を
(1) を を
(2) を を
(3) を を
の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(0)
(1)
の解答群
(0)かつ
(1) または
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数学 EX 39 実数 は連立方程式 \left\\{\begin{\overlineray}{l}x+y+z=-1 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=7 \\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=-1\end{\overlineray}\right. ……1) を満たしている。このとき である。したがって, 連立方程式 (1) の解は全部で 組 あり, それらの中で を満たすものは \( (x, y, z)=1 \square \) である。 [明治薬大]
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次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
(1) a1=1, 1/an+1 − 1/an = 3^(n−1)
(2) a1=1, an+1 = an/(4an + 3)
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次の条件を満たすような定数 k の値の範囲を求めよ。
(1) 関数 f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 が極值をもつ。
(2) 関数 f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 が極值をもたない。
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2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を結ぶ線分を に内分する点、および外分する点を表す複素数を求めよ。
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a を正の実数, \\( w=a\\left(\\cos \\frac{\\pi}{36}+i \\sin \\frac{\\pi}{36}\\right) \\) とする。複素数の列 \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \ を \\( z_{1}=w, z_{n+1}=z_{n} w^{2 n+1}(n=1,2, \bandotsandots) \\) で定めるとき\n(1) \ z_{n} \ の偏角を 1 つ求めよ。\n(2) 複素数平面で, 原点を \ \\mathrm{O} \ とし, \ z_{n} \ を表す点を \ \\mathrm{P}_{n} \ とする。 \ 1 \\leqq n \\leqq 17 \ とするとき, \ \\triangle \\mathrm{OP}_{n} \\mathrm{P}_{n+1} \ が直角二等辺三角形となるような \ n \ と \ a \ の値を求めよ。
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z を複素数とする。0 でない複素数 \ d \ に対して, 方程式 \\( d z(\\bar{z}+1)=\\bar{d} \\bar{z}(z+1) \\) を満たす点 \ z \ は, 複素数平面上でどのような図形を描くか。
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3 \ \\alpha \ を実数でない複素数とし, \ \\beta \ を正の実数とする。\n(1) 複素数平面上で, 関係式 \ \\alpha \\bar{z}+\\bar{\\alpha} z=|z|^{2} \ を満たす複素数 \ z \ の描く図形を \ C \ とする。このとき, \ C \ は原点を通る円であることを示せ。\n(2) 複素数平面上で, \\( (z-\\alpha)(\\beta-\\bar{\\alpha}) \\) が純虚数となる複素数 \ z \ の描く図形を \ L \ とする。 \ L \ は(1) で定めた \ C \ と 2 つの共有点をもつことを示せ。また, その 2 点を \ \\mathrm{P} \ , \ \\mathrm{Q} \ とするとき, 線分 \ \\mathrm{PQ} \ の長さを \ \\alpha \ と交を用いて表せ。\n(3) \ \\beta \ の表す複素数平面上の点を \ \\mathrm{R} \ とする。(2) で定めた点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ と点 \ \\mathrm{R} \ を頂点とする三角形が正三角形であるとき, \ \\beta \ を \ \\alpha \ と的を用いて表せ。
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複素数 の 乗根,すなわち, の解のうち, 乗して初めて になるものを, の 原始 乗根 という。ここでは, 1 の原始 乗根について, 考えてみることにしよう。
例 の場合。 の解のうち, 原始 6 乗根となるものを求める。 の解は, p.528 基本例題 105 の解答における, の 6 個である。
1. は, 明らかに 1 の原始 6 乗根ではない。
2. は, から, 1 の原始 6 乗根ではない。
3. については
\( z_{1}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}, \quad z_{5}=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \)
と表され, はどちらも 6 乗したとき初めて1になる。つまり, は1の原始 6 乗根である。
点 に の回転を行う と点 1 に到達する。
4. については
\( z_{2}=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi, z_{4}=\cos \left(-\frac{2}{3} \pi\right)+i \sin \left(-\frac{2}{3} \pi\right) \)
点 に の回転を行 と点 1 に到達する。
と表され, である(このことは, 図 [4] からもわかる)。
よって, はともに 1 の原始 6 乗根ではない。
点 にそれぞれ の回転を5回行うと(初めて)点 1 に到達する。
点 にそれぞれ の回転 を 2 回行うと点 1 に到達する。
ここで, 3 のとき, は 1 の原始 6 乗根であり, kは6と互いに素である。
[2], のとき, は 1 の原始 6 乗根 となっており, 1 の原始 6 乗根 については, 次のことがわかる。点 \( z^{l}(l=1,2,3,4,5,6) \) は, 点 1 を 1 つの頂点として,単位円に内接する正六角形の各頂点になる。
一般には, 原始 乗根に関して, 次のページで示したような性質がある。
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複素数の数列 \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \ を考える。\\[ z_{1}=1+i, \\quad z_{n+1}=\\frac{i}{2} z_{n}+1(n=1,2,3, \\ldots) \\] \ z_{n} \ は実数 \ x_{n}, y_{n} \ を用いて \ z_{n}=x_{n}+y_{n} i \ で表される。このとき, \ x_{n+2} \ を \ x_{n} \ で表すと \ x_{n+2}= \ P であり, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} y_{n}= \ イ である。
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次の式で表される z からwの変換を 1 次分数変換(またはメビウス変換)という。\n\nw=\frac{a z+b}{c z+d} \quad \cdots \cdots(*)\n\nただし, z は変数, a, b, c, d は定数, ad-bc \\neq 0。
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我々の日常生活では,交流の電気が広く利用されている。この交流の回路の計算において, 複素数や微分方程式を利用することがあるので,その一部を見てみよう。なお,以下の内容は大学の範囲も含むため,概要を大まかに押さえてもらえれば十分である。\n\n電圧 \(V=V_{0} \sin \omega t(\mathrm{~V})[V\) は の関数 の交流電源に, 抵抗値 \(R(\Omega)\) の抵抗, 自己インダクタンス \(L(\mathrm{H})\) のコイル, 電気容量 \(C(F)\) のコンデンサーを直列につないだ回路を考える。このときの 抵抗, コイル, コンデンサーにかかる電圧を, それぞれ とする。時刻 (秒)における, この回路を流れる電流 (A) は の関数]を求めてみよう。
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墜本 124 三角形の垂心を表す複素数\n単位円上の異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) と, この円上にない点 \( \mathrm{H}(z) \) について,等式 が成り立つとき, は の垂心であることを証明せよ。\n[類 九州大] 基本 123 重要 125 , 基本
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数列 が によって定められるとき\n[類 東京女子大]\n(1) とおくとき, の関係式を求めよ。\n(2)数列 の一般項を求めよ。\n(3) を求めよ。
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複素数平面上に 4 点 \( \mathrm{A}(2+4 i), \mathrm{B}(z), \mathrm{C}(\bar{z}), \mathrm{D}(2 z) \) がある。四角形 が平行四辺形であるとき, 複素数 の値を求めよ。
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複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(1+i), \mathrm{B}(3+4 i), \mathrm{C} \) について, が正三角形となる とき, 点 を表す複素数 を求めよ。
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複素数の和の極形式\n絶対値が等しい 2 つの複素数\n\\[\nz_{1}=r(\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha), z_{2}=r(\\cos \\beta+i \\sin \\beta) \\quad(r>0)\n\\]\n検討\nPLUS\nONE\nの和 の極形式を考えよう。ここでは, とする。\n三角関数の和 積の公式 より,\n\\n\\cos \\alpha+\\cos \\beta=2 \\cos \\frac{\\alpha+\\beta}{2} \\cos \\frac{\\alpha-\\beta}{2}, \\sin \\alpha+\\sin \\beta=2 \\sin \\frac{\\alpha+\\beta}{2} \\cos \\frac{\\alpha-\\beta}{2}\n\\n\nであるから\n\\[\n\\begin{aligned}\nz_{1}+z_{2} & =r\\{\\cos \\alpha+\\cos \\beta+i(\\sin \\alpha+\\sin \\beta)\\} \\\\\n& =2 r \\cos \\frac{\\alpha-\\beta}{2}\\left(\\cos \\frac{\\alpha+\\beta}{2}+i \\sin \\frac{\\alpha+\\beta}{2}\\right) \\cdots \\cdots\n\\end{aligned}\n\\]\n より で, の辺々に加えると であるから\n\\n-\\frac{\\pi}{2}<\\frac{\\alpha-\\beta}{2}<\\frac{\\pi}{2}\n\\n\nよって, であるから, (1) が の極形式である。また, 重要例題 99(1)の別解と同様に, 図で考える方法もある。ここで, としても一般性を失わない。 とし, 図のように, \\関係, \\角\\, \\(図の省略) \nしたがって, の極形式は \( \\quad z=2 r \\cos \\frac{\\alpha-\\beta}{2}\\left(\\cos \\frac{\\alpha+\\beta}{2}+i \\sin \\frac{\\alpha+\\beta}{2}\\right) \\)\n\\考察, \( \\cos (\\theta+\\pi)=-\\cos \\theta, \\sin (\\theta+\\pi)=-\\sin \\theta \)
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教本 92 複素数の絶対値 \( (1), 2 \) 点間の距離\n(1) のとき, の値を求めよ。\n(2) 2 点 \( \\mathrm{A}(-1+5 i), \\mathrm{B}(3+2 i) \) 間の距離はア である。また, この 2 点から 等距離にある虚軸上の点 C を表す複素数はイ である。 1 p.504基本事項