数と代数 - 複素数と複素平面 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

2 つの 2 次方程式 \( x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0 \) と $x^{2}-2 m x-m=0$ がただ 1 つの共通解をもつとき， $m$ の値はア $\\qquad$ であり, そのときの共通解は $x=$ イ $\\square$ である。

発展 40 $\sqrt{A^{2}}$ のはずし方\n発展 41 分母の有理化 (2)\n発展 42 整数部分と小数部分の問題\n発展 43 2 重根号をはずす\n発展 44 場合分けによって絶対値を含む不等式を解く\n発展 45 絶対値記号を 2 つ含む不等式\n発展 46 連立不等式が解をもつ条件

12 本のくじがあり，その中に当たりくじが n 本 (0 ≤ n ≤ 12) 含まれている。このくじから ${ }^{3} 161$ 本を引くとき, 得点として, 当たりくじならば 3 点, はずれくじならば -1 点が与えられるものとする。このとき, 得点の期待値が 1 以上になるための n の値の範囲を求めよ。[類 センター試験]

関数 \( f(x)=-x^{2}+4 x+c \quad(-4 \leqq x \leqq 4) \) の最小値が -50 であるように, 定数 $c$ の值を定めよ。

a > 0, b < 0 の場合, b = -b' とおくと b' > 0 このとき \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b'}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b'} i} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b'}} \cdot \frac{i}{i^2} = -\sqrt{\frac{a}{b'}} i, \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a}{-b'}} = \sqrt{-\frac{a}{b'}} = \sqrt{\frac{a}{b'}} i よって、等式は成り立たない。

複素数 $\alpha=a+bi$ と共役な複素数 $\bar{\alpha}=a-bi$ について, 次の性質が成り立つ。 $\alpha, \beta$ を複素数とすると 1. $\overline{\alpha+\beta}=\bar{\alpha}+\bar{\beta}, \quad \overline{\alpha-\beta}=\bar{\alpha}-\bar{\beta}$ 2. \(\overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\cdot\bar{\beta}, \quad \overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}}\) 3. \(\overline{\alpha^{n}}=(\bar{\alpha})^{n} \quad(n\) は自然数 \( )\) 4. $\quad k$ が実数のとき $\quad \bar{k}=k, \quad \overline{k\alpha}=k\bar{\alpha}$ 証明 $\alpha=a+bi, \beta=c+di$ とする。 (2 $\overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\cdot\bar{\beta}$ について) 2章 9 よって $\overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\cdot\bar{\beta}$ 1,2 の他の式も, 同様に証明される。 （ろについて） 上の結果を用いて \(\overline{\alpha^{n}}=\underbrace{\overline{\alpha\alpha\cdots\cdots\alpha}}_{n\text{個}}=\underbrace{\bar{\alpha}\cdot\bar{\alpha}\cdots\cdots\cdot\bar{\alpha}}_{n\text{個}}=(\bar{\alpha})^{n}\) （手について） $k=k+0i$であるから $\quad \bar{k}=k-0i=k$ これと2を用いて $\overline{k\alpha}=\bar{k}\cdot\bar{\alpha}=k\bar{\alpha}$ 上の性質を用いると，p.98 基本事項 1 (3) が証明できる。 実数係数の $n$ 次方程式が虚数解 $\alpha$ をもつならば, 共役な複素数 $\bar{\alpha}$ も解である。 例えば, 実数 $a, b, c, d$ を係数とする 3 次方程式 $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \cdots\cdots$ (1) が 虚数解 $\alpha$ をもつとき a \alpha^{3}+b \alpha^{2}+c \alpha+d=0 \] 両辺の共役な複素数を考えて \[\overline{a\alpha^{3}+b\alpha^{2}+c\alpha+d} = \overline{0} \quad \text{また}\quad \overline{0}=0 性質1から $\quad \overline{a \alpha^{3}}+\overline{b \alpha^{2}}+\overline{c \alpha}+\bar{d}=0$ $a, b, c, d$ は実数であるから 性質手から $\quad a \overline{\alpha^{3}}+b \overline{\alpha^{2}}+c \bar{\alpha}+d=0$ 性質るから \(\quad a(\bar{\alpha})^{3}+b(\bar{\alpha})^{2}+c \bar{\alpha}+d=0\) この等式は (1) に $x=\bar{\alpha}$ を代入したものであり, 方程式 (1) が $\bar{\alpha}$ を解にもつことを示している。

次の等式を満たす実数 $x, y$ の値を求めよ。\n(1) $x+2 i=9-y i$\n(2) \( (2 x-1)+(y+3) i=0 \)

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ が $a_{1}=2, a_{n+1}=3 a_{n}-n^{2}+2 n$ で定義されている。数列 \( \left\{a_{n}-g(n)\right\} \) が公比 3 の等比数列となるように $n$ の2次式 \( g(n) \) を考えることにより, $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。

a \geqq 0 である定数 a に対して, \( f(x)=4 x^{3} - 3 (2 a + 1) x^{2} + 6 a x + a \) とする。x \geqq 0 において \( f(x) \geqq 0 \) となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

方程式 x^3-6x+c=0 が 2 つの異なる正の解と 1 つの負の解をもつような c の値の範囲を求めよ。

i を虚数単位とし、x = \sqrt{3} + \sqrt{7}i とおく。y は x と共役な複素数とする とき，次の値を求めよ。 (1) x+y (2) xy (3) x^3 + y^3 (4) x^4 + y^4

EX 公比が正である等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。 $S_{2 n}=2, S_{4 n}=164$ のとき, $S_{n}$ の値を求めよ。

次の等式または条件を満たす実数 x, y の値を求めよ。 (1) (1+2 i) x-(2-i) y=3 (2) (-1+i)(x+y i)=1-3 i (3) (1+x i)/(3+i) が純虚数になる

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ が $a_{1}=2$ と漸化式 $a_{n+1}=2-\frac{a_{n}}{2 a_{n}-1}$ で定められている。\n(1) $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ を求め, 一般項 $a_{n}$ を表す $n$ の式を推測せよ。\n(2) (1)で推測した一般項の式が正しいことを，数学的帰納法によって証明せよ。

数学 $\mathbb{I}$\nEX $i$ を虚数単位とし, $x=\sqrt{3}+\sqrt{7} i$ とおく。 $y$ は $x$ と共役な複素数とするとき, 次の値を求めよ。\n(1) $x+y$\n(2) $x y$\n(3) $x^{3}+y^{3}$\n(4) $x^{4}+y^{4}$\n[類 愛知大]

次の計算をせよ。(1) 3つの分数式を, それぞれ部分分数に分解する。 (2) (分子の次数) < (分母の次数) 分子の次数が分母の次数よりも低くなるように式変形してから計算するとスムーズ。

33\n(1) $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$\n(2) $x = \frac{2 \pm \sqrt{11} i}{3}$\n(3) $x = \frac{5 \pm \sqrt{11} i}{6}$\n(4) $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{14} i}{4}$

PRACTICE $37^{\circ}$\n次の計算をせよ。\n(1) $\frac{4+3 i}{2 i}$\n(2) $\frac{3+2 i}{2+3 i}$\n(3) $\frac{1+3 \sqrt{3} i}{\sqrt{3}+i}+\frac{3 \sqrt{3}+i}{1+\sqrt{3} i}$\n(4) $\frac{2-i}{3-i}-\frac{1+2 i}{3+i}$\n(5) \( (\sqrt{3}+\sqrt{-1})(1-\sqrt{-3}) \)\n(6) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-3}}$

（2） 2 つの解の比が 3:2 であるため、2つの解を求めてください。

2 次方程式 $x^{2}-8 a x+8-8 a=0, 20 x^{2}-12 a x+5=0, 2 x^{2}-6 a x-9 a=0$ のうち 少なくとも 1 つが虚数解をもつような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

PR 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の初項から第 \ n \ 項までの和 \ S_{n} \ が, 関係式 \ S_{n}=-2 a_{n}+4 n \ を满たすとき ③4 (1) 初項 \ a_{1} \ を求めよ。\n(2) \ a_{n}, a_{n+1} \ の 2 項間の関係式を求めよ。\n(3) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n[類 関西学院大]

EX 自然数の数列 \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ を， \( (3+\\sqrt{5})^{n}=a_{n}+b_{n} \\sqrt{5} \\) により定める。\n(1) \ a_{n+1}, \\quad b_{n+1} \ を \ a_{n}, b_{n} \ を用いて表せ。\n(2) \ c_{n}=a_{n}-b_{n} \\sqrt{5} \ とするとき, 数列 \ \\left\\{c_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n(3) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。

2乗すると $i$ になるような複素数 $z=x+y i(x, y$ は実数 \( ) \) はちょうど2つ存在する。この $z$ を求めよ。

第2章\n複素数と方程式\nD_{3}<0 から a(a+2)<0 よって -2<a<0 求める a の値の範囲は, (1), (2), (3) を合わせた範囲であるから -2<a<5/3

対数尺 (1), (2) について，向かい合った目盛り a と c 及び b と d に着目すると， \frac{a}{c}=\frac{b}{d} という関係式が必ず成り立つから，向かい合った目盛りの比が一定（才３）であることがわかる。また，対数尺（3，道て着目すると，cf=deという関係式が必ず成り立つ。

EX \ x y \ 平面上の点 \\( (a, b) \\) から曲線 \ y=x^{3}-x \ に 3 本の相異なる接線が引けるための条件を求め, (5161その条件を満たす点 \\( (a, b) \\) のある範囲を図示せよ。[関西大] \ y=x^{3}-x \ から \ \\quad y^{\\prime}=3 x^{2}-1 \ よって, 曲線上の点 \\( \\left(t, t^{3}-t\\right) \\) における接線の方程式は\n\n\\[ y-\\left(t^{3}-t\\right)=\\left(3 t^{2}-1\\right)(x-t) \\]\n\nすなわち \\( \\quad y=\\left(3 t^{2}-1\\right) x-2 t^{3} \\) この直線が点 \\( (a, b) \\) を通るとき \\( \\quad b=\\left(3 t^{2}-1\\right) a-2 t^{3} \\) 整理して \ \\quad 2 t^{3}-3 a t^{2}+a+b=0 \ 3 次関数のグラフでは，接点が異なると接線も異なるから，点 \\( (a, b) \\) から 3 本の相異なる接線が引けるための必要十分条件は, \ t \ の 3 次方程式 (1)が異なる 3 つの実数解をもつことである。 よって, \\( f(t)=2 t^{3}-3 a t^{2}+a+b \\) とすると, \\( f(t) \\) は極値をもち,極大値と極小値の積が負となる。 \\( f^{\\prime}(t)=6 t(t-a) \\) であるから, 求める条件は\n\( a \\neq 0 \\text { かつ } f(0) f(a)<0 \\)\n本冊 p .313 \ INFORMATION 参照。

前ページの基本例題 31 の 漸化式 a_{n+1}=2 a_{n}-n は, このままでは上の 3 パターンのいずれにも当てはまりそう にない。 a_{n+1}, a_{n} を α とおいて特性方程式 α=2 α-n を考えても α=n となり, 基本例題 30 のように先に進めることはできない。そこで, 左の解答を詳しく見てみよう。

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。\n(1) $a_{1}=1, \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=3^{n-1}$\n(2) $a_{1}=\frac{1}{4}, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}}{3 a_{n}+1}$\n

総合 n を自然数とし , a=\\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}, b=\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}, c=\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{n}}, d=\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{n}} とする。整式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) を展開すると, 定数項が -\\frac{1}{8} であるという。このとき, 展開した整式の x の係数を求めよ。\n [防衛医大]

a<\alpha<b<\beta<c

x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) の解を求めてください。

放物線 y=1/2 x^2 を平行移動した曲線で，点 (1,5) を通り, 頂点が直線 y=-x+2 上にある放物線の方程式を求めよ。

次の式を計算せよ。\n1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20}\n2. (√3 + i)^{-12}\n3. (1 + i)^{17}

次の式を計算せよ。 (1) \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} (2) \left(\frac{1+i}{2}\right)^{15} (3) (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} (4) \left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1+i}\right)^{12} (5) (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10}

複素数 z が z+\frac{1}{z}=\sqrt{2} を満たすとき, z^{15}+\frac{1}{z^{15}} の値を求めよ。

TRAINING 74 α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π), β=3(cos π/4 + i sin π/4) のとき, α β, α/β を求めよ。

TRAINING 実践 3 複素数平面上に 6 点 \( \mathrm{A}\left(z_{1}\right), \mathrm{B}\left(z_{2}\right), \mathrm{C}\left(z_{3}\right), \mathrm{D}\left(z_{4}\right), \mathrm{E}\left(z_{5}\right) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6}\right) \) がある。 六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ が右の図のような正六角形のとき \[\begin{array}{l} z_{3}=\square ア \\ z_{2}=\square \text { ウ } z_{1}+\square \text { イ } z_{5}, \\ z_{6}=\square \text { オ } z_{1}+\square \text { カ } z_{5}, \end{array}\] \( \mathrm{D}\left(z_{4}\right) \) である。 ア $\square$ 力の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。) (0) $\frac{3+\sqrt{3} i}{3}$ (1) $\frac{1+\sqrt{3} i}{2}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{3} i$ (3) $\frac{1-\sqrt{3} i}{2}$ (4) $\frac{3-\sqrt{3} i}{6}$ (5) $\frac{3+\sqrt{3} i}{6}$

次の極方程式で表された円の中心の極座標と半径を求めよ。\n1. $r^{2}-4 r \cos \theta+3=0$\n2. \( r^{2}-r(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)-8=0 \)

c を実数の定数とする。 3 点 \\( \\mathrm{A}(2+i), \\mathrm{B}(3+2 i), \\mathrm{C}(c+3 i) \\) に対して\n\n(1) A, B, C が一直線上にあるように, \ c \ の値を定めよ。\n(2) \ \\mathrm{AB} \\perp \\mathrm{AC} \ となるように, \ c \ の値を定めよ。\n\n\\& GUIDE 3 点が一直線上にある条件(共線条件) ・垂直条件\n\n異なる 3 点 \\( \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta), \\mathrm{C}(\\gamma) \\) に対して, \ \\frac{\\gamma-\\alpha}{\\beta-\\alpha} \ を計算して次のことを利用する。\n\n3 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ が一直線上 \ \\Longleftrightarrow \\frac{\\gamma-\\alpha}{\\beta-\\alpha} \ が実数\n\n\ \\mathrm{AB} \\perp \\mathrm{AC} \\quad \\Longleftrightarrow \\frac{\\gamma-\\alpha}{\\beta-\\alpha} \ が純虚数

複素数の極形式による表現を説明してください。

EX複素数 $z$ が $z+\\frac{1}{z}=\\sqrt{2}$ を満たすとき, $z^{15}+\\frac{1}{z^{15}}$ の値を求めよ。

第 3 章 複素数平面 13 複素数平面 14 複素数の極形式 15 ド・モアブルの定理 16 複素数と図形

(1) 次の複素数を表す点を複素数平面上に図示せよ。\n(ア) $5-2 i$\n(イ) $-1+3 i$\n(ウ) -2\n(I) 1\n(J) $-3 i$\n(力) $2 i$\n(2) 次の座標平面上の点に対応する複素数を答えよ。\n(ア) \( (-3,1) \)\n(イ) \( (4,0) \)\n(ウ) \( (0,-2) \)

複素数の実数倍\n実数 $k$ と複素数 $\\alpha = a + b i$ について、次の図のように $\\mathrm{\\alpha} \\neq 0$ のとき、点 $k \\alpha$ は 2 点 $0, \\alpha$ を通る直線 $\\ell$ 上にあります。\n\n逆に、この直線 $\\ell$ 上の点は、 \\alpha \ の実数倍の複素数を表します。\n\n次のような場合を考えましょう：\n\n1. $\\alpha = 1 + i$, $k = 2$\n2. $\\alpha = -1 + 2i$, $k = -3$\n\nそれぞれについて $k \\alpha$ を求め、その点が複素数平面上の $0$ からどの位置にあるか説明してください。

点 \( (-1+i) z \) は, 点 $z$ をどのように移動した点であるか。ただし, 回転の 角 $\theta$ の範囲は $0 \leqq \theta<2 \pi$ とする。

複素数平面上の異なる 3 点 O(0), A(\alpha), B(\beta) について, \alpha, \beta が次の等式を満たしている。{ }^{4} 92 \triangle OAB は, それぞれどのような三角形か。 (1) \alpha^{2}+\beta^{2}=0 (2) 3 \alpha^{2}+\beta^{2}=0

2 点 \alpha を原点を中心として \frac{\pi}{3} だけ回転した点を \beta とする。 \beta=2+2 i であると き, 点 \alpha を表す複素数を求めよ。

次の複素数を極形式で表せ。ただし，偏角 \\theta \ の範囲は 0 \leqq \\theta<2 \\pi \ とする。\n(1) -1+\\sqrt{3} i \\n(2) 5 i \

$\alpha=2+3 i, \beta=-6+x i$ とする。 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 $\mathrm{O}$ が一直線上にあ るとき，実数 $x$ の値を求めよ。

複素数平面上で点 $\frac{z}{z-2}$ が虚軸上にあるように点 $z$ が動くとき, 点 $z$ はどのような図形を描くか答えよ。

数学 C\nEX 複素数平面上の点 \\( \mathrm{P}(z) \\) が, 点 \ 2 i \ を中心とする半径 1 の円上を動くとき, \\( w=(1+i)(z-1) \\) 27 を満たす点 \\( \mathrm{Q}(w) \\) が描く図形を求めよ。

次の式を計算せよ。 (1) \( \left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)^{6} \) (2) \( \left(\frac{1+i}{2}\right)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1+i}\right)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

31 $\alpha = e^{i\pi/6}$, $\beta = e^{-i\pi/4}$ のとき、 $m$ と $n$ を求めなさい。\n(1) $m=6, n=12$

点 $z$ が原点 Oを中心とする半径 2 の円上を動くとき, 点 $w=\frac{2 z-i}{z+i}$ はどのような図形を描くか。

3つの異なる複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ の間に等式 \( \sqrt{3} \gamma-i \beta=(\sqrt{3}-i) \alpha \) が成り立つとき、次の問いに答えよ。\n(1) $\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ を計算せよ。\n(2) 3点 \(\mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}$ の大きさをそれぞれ求めよ。

基 例 題《基本例題 73 α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4) のとき, α β, α/β を求めよ。

複素数 $\alpha, \beta$ が等式 $\frac{\beta}{\alpha}=\frac{1+\sqrt{3} i}{2}$ を満たすとき, 複素数平面上で 3 点 \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(\alpha) \), \( \mathrm{B}(\beta) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{OAB}$ の 3 つの角の大きさを求めよ。

複素数 $z$ に対して, $|z|=\sqrt{2}$ ならば $z+\frac{2}{z}$ は実数であることを示せ。

$z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$ とする。点 $z$ を原点を中心として $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点を表す複素数 $w$ を求めよ。

自然数 $n$ で $1 \leqq n \leqq 100$ を満たすものに対して、虚数 $\alpha=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ について $\alpha^{n}+\frac{1}{\alpha^{n}}=-2$ が成り立つようなものは、全部で何個あるか。

複素数の積 $z_1 \cdot z_2$ を幾何学的に表し、解説せよ。\n例として \( z_1 = 2(\cos \theta + i \sin \theta) \), \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \) の積を具体的に計算してください。

複素数平面上の異なる 3 点 \( \\mathrm{O}(0), \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta) \\) について, \ \\alpha, \\beta \ が次の等式を満たしている。 \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ は, それぞれどのような三角形か。\n(1) \ \\alpha^{2}+\\beta^{2}=0 \\n(2) \ 3 \\alpha^{2}+\\beta^{2}=0 \\n

複素数 $z, \alpha$ について，次が成り立つことを証明せよ。(1) $k$ が正の数のとき $|z|=k$ ならば $z+\frac{k^{2}}{z}$ は実数である。(2) $z \bar{z}+\alpha \bar{z}+\bar{\alpha} z$ は実数である。

点 2+2i を、点 i を中心として、次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。 (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

複素数平面上に 3 点 \( \\mathrm{O}(0), \\mathrm{A}(3-2 i), \\mathrm{B} \\) がある。 \\triangle \\mathrm{OAB} \ が直角二等辺三角形であるとき, 点 \\mathrm{B} \ を表す複素数 z \ を求めよ。

複素数平面上で点 z が原点 O を中心とする半径 1 の円上を動くとき, 次の式で表される点 w はどのような図形を描くか。 (1) w=\frac{z+2}{z-1} (ただし z \neq 1) (2) w=\frac{z+1}{2z-1}

(1) 次の複素数を表す点を複素数平面上に図示せよ。\n(ア) $4+2 i$\n(イ) $-2-3 i$\n(ウ) 3\n(エ) -4\n(才) $4 i$\n(力) $-i$\n(2) 次の座標平面上の点に対応する複素数を答えよ。\n(ア) \( (5,-2) \)\n(个) \( (-1,0) \)\n(ウ) \( (0,3) \)

34 値 $\alpha$ と $\beta$ を求めなさい。\n$\alpha=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i, \quad \beta=-i$

z=r(\cos \theta+i \sin \theta) とするとき, 次の複素数の絶対値と偏角を r, \theta を用い て, それぞれ 1 つずつ表せ。ただし， r>0 とする。 (1) 2 z (2) -z (3) \bar{z} (4) \frac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2 \bar{z}

複素数 $\sqrt{3}+i$ を用いて以下を計算しなさい。\n\n(5)\n\n\( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \)を求める。

複素数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ が $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 0$ かつ $|\alpha| = |\beta| = |\gamma| = |\delta| = 1$ を満たすとき, $|\alpha - \beta|^{2} + |\alpha - \gamma|^{2} + |\alpha - \delta|^{2}$ の値を求めよ。

複素数平面上で複素数 $z = a + bi$ を表す点を A とする。\n(1) その共役複素数 $\overline{z} = a - bi$ を表す点を B とする。点 B の座標を求めよ。\n(2) 点 A, B 間の距離を求めよ。

複素数平面上で複素数の共役に関する性質を説明してください。

EX 34 $\\alpha, \\beta$ を複素数として $\\alpha$ の実部と虚部がともに正であるとする。また, $|\\alpha|=|\\beta|=1$ とする。複素数 $i \\alpha, \\frac{i}{\\alpha}, \\beta$ で表される複素数平面上の 3 点が, ある正三角形の 3 頂点であるとき, $\\alpha, \\beta$ を それぞれ求めよ。 [静岡大]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )

複素数の加法 $\alpha + \beta$ に対応する位置ベクトルを、複素数平面上でどのように扱うか説明しなさい。

点 2+2i を, 点 i を中心として, 次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。 (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

$z=4+2 i$ とする。点 $z$ を原点を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $w$ を求めよ。

複素数の計算がどのような図形の移動を表しているかをまとめてみたいのですが。

3 点 A(1+4i), B(-2+i), C(3-2i) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 AB を 3:2 に内分する点 D\n(2) 線分 BC を 3:2 に外分する点 E\n(3) 線分 CA の中点 F\n(4) △DEF の重心 G

複素数の乗法および除法を極形式を用いて説明してください。

次の座標平面上の点に対応する複素数を答えよ。\n(ア) \( (-3, 1) \)\n(イ) \( (4, 0) \)\n(ウ) \( (0, -2) \)

3 点 A(6-3i), B(1+7i), C(-2+i) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 AB を 2:3 に内分する点 D\n(2) 線分 BC を 2:3 に外分する点 E\n(3) 線分 CA の中点 F\n(4) △DEF の重心 G

複素数平面

複素平面上の点 A(6-3i), B(1+7i), C(-2+i) について、次の点を表す複素数を求めよ。\n\n1. 線分 AB を 2:3 に内分する点 D\n2. 線分 BCを 2:3 に外分する点 E\n3. 線分 CA の中点 F\n4. △DEF の重心 G

方程式 \ z^{6}=1 \ を解け。

次の式を計算せよ。 (1) \( \left\{2\left(\cos \frac{\pi}{36}+i \sin \frac{\pi}{36}\right)\right\}^{6} \) (2) \( (1+\sqrt{3} i)^{8} \)

練習 $76 \Rightarrow$ 本冊 $p .157$ \[ \begin{array}{l} 1+i=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right), \ 1+\sqrt{3} i=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \text { であるから, } \end{array} \] 等式は \( \left\{\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\right\}^{n}=\left\{2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\right\}^{m} \) よって \( (\sqrt{2})^{n}\left(\cos \frac{n \pi}{4}+i \sin \frac{n \pi}{4}\right)=2^{m}\left(\cos \frac{m \pi}{3}+i \sin \frac{m \pi}{3}\right) \) «ド・モアブルの定理。

点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(3+4 i) \) について,\n(2) 線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$

次の方程式を満たす点 z の全体を求めよ。\n(1) \\(|z - (-2i)| = |z - 3|\\)\n(2) \\(|z - (-1+3i)| = 2\\)\n(3) \\(4(z-1+i) \\overline{(z-1+i)} = 1\\) \n(4) \\( z = x + yi ( x, y は実数) とすると \\bar{z} = x - yi\\) これらを方程式に代入して\n\\((x + yi) + (x - yi) = 3\\)

例題 90 | 三角形の形状 (3) 複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ について, 等式 $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha=0$ が成り立つとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ はどのような三角形か。

複素数 α=3+4i と β=1+2i の和と差を求め、それぞれが表す点を複素数平面上に描きなさい。

複素数 $z$ が $|z-1| \leqq|z-4| \leqq 2|z-1|$ を満たすとき, 点 $z$ が動く範囲を複素数平面上に図示せよ。

[2]（＊）が互いに共役な2つの虚数解をもつとき（*）の虚数解を \( z=\gamma, \\bar{\\gamma}(\\gamma \\text{は虚数}) \\) とすると, 解と係数の関係により $\\gamma+\\bar{\\gamma}=-a, \\quad \\gamma \\bar{\\gamma}=b$ すなわち \( a=-(\\gamma+\\bar{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2} \) このとき, \( D=a^{2}-4 b=(\\gamma-\\bar{\\gamma})^{2} \) であり, $\\gamma-\\bar{\\gamma}$ は純虚数より, \( D=(\\gamma-\\bar{\\gamma})^{2}<0 \) が常に成り立つ。これと $|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$ から $\\quad|\\gamma+\\bar{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$ すなわち >\\( \left.\\left\\lvert\\,(\\gamma \\text { の実部 })\\left\\|\\leqq \\frac{1}{2},\\right| \\gamma\\right. \\right\\rvert\, \\leqq 1 \\)> したがって,（*）の虚数解zのとりうる値の範囲は \[ \\left.\\left\\lvert\\,(z \\text { の実部 })\\left\\|\\leqq \\frac{1}{2},\\right| z\\right. \\right\\rvert\, \\leqq 1 \]

複素数平面上の点 z が単位円から点 -1 を除いた円周上を動くとき, w=\frac{2 z+1}{z+1} で表される点 w はどのような図形を描くか。

複素数 z の n 乗についてド・モアブルの定理を利用して次の式を証明してください。\n\n(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta

この章で複素数の加法，減法，乗法，除法について学びました。次に、複素数を座標平面上の点として表現し、複素数の幾何学的な意味について考えてみましょう。具体的には、複素数の和、差、絶対値、および共役複素数についての幾何学的な解釈、また複素数の積と商を扱うための極形式について学び、複素数平面上の様々な図形について考えてみます。

(2)$|z+1+\alpha+i|^{2}=\alpha^{2}+3 \alpha+2$ また, (1)の結果から, (2) を満たす複素数 $z$ が存在するための条件 は $\quad \alpha \leqq-2,-1 \leqq \alpha$ここで, $|\alpha| \leqq 2$ から $\quad \alpha=-2,-1 \leqq \alpha \leqq 2$\[1] $\alpha=-2$ のとき(2) $|z-1+i|^{2}=0$ よって $z=1-i$このとき \( \quad|z|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \)

注意 ここでは，文字はすべて複素数とする。次の式で表される $z$ からwの変換を 1 次分数変換 という。\n\\n w=\\frac{a z+b}{c z+d}\n\\nただし， $z$ は変数 $, a, b, c, d$ は定数,$a d-b c \\neq 0$\nそして, 1 次分数変換は, 基本的な変換 (平行移動, 回転移動, 相似変換, 反転, 実軸対称移動）を合成したものと考えられる。

次の複素数を極形式で表せ。ただし，偏角 $\theta$ は $0 \leqq \theta<2 \pi$ とする。 (1) $1+i$ (2) $i$ (3) -2

重票例題 $84 \left\lvert\, w=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\right.$ の表す図形 -1 と異なる複素数 $z$ に対し, 複素数 $w$ を $w=\frac{z}{z+1}$ で定めるとき\n(1) $z$ が複素数平面の虚軸上を動くとき, $w$ が描く図形を求めよ。\n(2) $z$ が複素数平面上の円 $|z-1|=1$ 上を動くとき, $w$ が描く図形を求めよ。\n[新潟大] <例題82>

(2) $n \\geqq 2$ のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\nT_{n} & =2 \\cdot 1+3 \\cdot 2 r+\\cdots \\cdots+\\quad n(n-1) r^{n-2} \\\\\nr T_{n} & =\\quad 2 \\cdot 1 \\cdot r+\\cdots \\cdots+(n-1)(n-2) r^{n-2}+n(n-1) r^{n-1}\n\\end{aligned}\n\\]\n\n辺々を引くと, \( (k+1) k-k(k-1)=2 k(k=1,2, \\cdots \\cdots, n-1) \) であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\n(1-r) T_{n} & =\\sum_{k=1}^{n-1} 2 k r^{k-1}-n(n-1) r^{n-1} \\\\\n& =2 S_{n-1}-n(n-1) r^{n-1} \\\\\n& =2\\left\\{\\frac{1-r^{n-1}}{(1-r)^{2}}-\\frac{(n-1) r^{n-1}}{1-r}\\right\\}-n(n-1) r^{n-1}\n\\end{aligned}\n\\]\nしたがって, $n \\geqq 2$ のとき

複素数 α は, α^5=1, α ≠ 1 を満たしている。 (1) 等式 1+α+α^2+α^3+α^4=0 が成り立つことを示せ。

3 点 O(0), A(3+4i), B(1+2i) が一直線上にないとき、加法の結果を C(α+β) としたとき、四角形 OACB はどうなりますか？

複素数平面上において, 点 \( \mathrm{P}(z) \) と点 \( \mathrm{Q}(w) \) が, 原点 $\mathrm{O}$ と点 \( \mathrm{A}(\alpha)(\alpha \neq 0) \) を通る直線に関して対称であるとき, $w$ を $\alpha, z$ で表せ。

(2) $\bar{\alpha} z$ が実数でない複素数 $z$ に対して， $\alpha \bar{z}-\bar{\alpha} z$ は純虚数であることを示せ。

類題 $k$ を 2 以上の自然数とし， $z=\cos \frac{2 \pi}{k}+i \sin \frac{2 \pi}{k}$ とおく。ただし， $i$ は虚数単位 とする。(1) $m, n$ を整数とする。 $m-n$ が $k$ の倍数であることは, $z^{m}=z^{n}$ となるための必要十分条件であることを示せ。

（1）任意の複素数 $z$ に対して， $z \bar{z}+\alpha \bar{z}+\bar{\alpha} z$ は実数であることを示せ。

次の漸化式で定義される複素数の数列を考える。ただし，iは虚数単位である。

複素数 $z$ の共役複素数 $\bar{z}$ を極形式で表しなさい。

继習 関数 \( f(x)=\\frac{x+1}{x^{2}+2 x+a} \) について, 次の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めよ。\n65\n(1) \\( f(x) \\) が \ x=1 \ で極値をとる。\n(2) \\( f(x) \\) が極値をもつ。

複素数平面上の原点を通らない異なる 2 直線 $\ell, m$ に関して, 原点と対称な点をそ れぞれ $\alpha, \beta$ とする。 (1) 直線 $\ell$ 上の点 $z$ は常に, $\bar{\alpha} z+\alpha \bar{z}=|\alpha|^{2}$ を満たすことを示せ。 (2) $\bar{\alpha} \beta$ が実数でないことは, 直線 $\ell$ と直線 $m$ が交点をもつための必要十分条件で あることを示せ。また, 直線 $\ell$ と直線 $m$ が交点をもつとき, 交点を $\alpha, \beta$ を用いて 表せ。

级櫂 \ z \ を 0 でない複素数とする。85 (1) \ z \ の絶対値を \ r \, 偏角を \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) とするとき, \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ が実数となる よ うな \ r \ と \ \\theta \ を求めよ。\n(2) \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ が実数で, その値が 0 以上 4 以下であるような点 \ z \ が描く図形を図示 せよ。

複素数の乗法と回転 (2)\n锺習 (1) w=-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} i, z=-\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} i \ とする。点 w \ を点 z \ を中心として 73 \\quad-\\frac{3}{4} \\pi \ だけ回転した点を表す複素数を求めよ。\n(2)点 \( \\mathrm{A}(2+i) \\) を点 \\mathrm{P} \ を中として \\frac{\\pi}{3} \ だけ回転した点を表す複素数が \( \\frac{3}{2}-\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}+\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) i \\) であった。点 \\mathrm{P} \ を表す複素数を求めよ。

次の類題 12 は, 方程式 \( f(x)=0 \) の実数解 (の近似値)を求める計算方法「ニュートン法」に ついて, \( f(x) \) が凸関数である場合の妥当性を考察するものである。\n\n類題すべての実数 $x$ について, 関数 \( f(x) \) およびその導関数 \( f^{\prime}(x) \) が微分可能であり, \( 12 f^{\prime}(x)>0 \) かつ \( f^{\prime \prime}(x)>0 \) が満たされるとする。また, \( f(-2)<0 \) かつ \( f(2)>0 \) であ るとし, \( f(x)=0 \) の解を $a$ とする。 \( f(x) \) を用いて, 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ を次のように定義す る。\n- $x_{1}=2$\n・ \( x_{n}(n=2,3,4, \cdots \cdots) \) は, 曲線 \( y=f(x) \) の $x=x_{n-1}$ における接線と $x$ 軸と の交点の $x$ 座標とする。\n(1) $x_{n}>a$ ならば次の不等式が成り立つことを平均値の定理を用いて示せ。\n\[ f^{\prime}(a)<\\frac{f^{\prime}\\left(x_{n}\\right)\\left(x_{n}-x_{n+1}\\right)}{x_{n}-a}<f^{\prime}\\left(x_{n}\\right) \]\n(2) \( x_{n}>a(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) であることを数学的帰納法を用いて示せ。\n(3) 次の不等式を示せ。\n\[ \\frac{x_{n+1}-a}{x_{n}-a}<1-\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\\left(x_{n}\\right)} \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots) \]\n(4) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=a$ となることを示せ。

(2）右の図の複素数平面上の点 $\alpha, \beta$ について, 次の点を 図に示せ。(ア) $\alpha+\beta$(1) $\alpha-\beta$(ウ) $2 \alpha+\beta$(I) \( \quad-(2 \alpha+\beta) \)

複素数 $z=a+bi$ を極形式で表しなさい。

複素数の乗法と回転 (2)\n(1) 2 点 $z=3+i, w=2-i$ に対して, 点 $z$ を点 $w$ を心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転し た点を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 $3-2 i$ を点 $1+i$ を中心として角 \( \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \) だけ回転した点を表す複素数が $\frac{4+3 \sqrt{3}}{2}+\frac{-1+2 \sqrt{3}}{2} i$ であるとき, $\theta$ の値を求めよ。

検 $a, c$ は実数, $\beta$ は複素数とする。 a \\neq 0,|\\beta|^{2}>a c \ のとき,\n詩 方程式 a z \\bar{z}+\\bar{\\beta} z+\\beta \\bar{z}+c=0 \ は点 -\\frac{\\beta}{a} \ を中心とする半径 \\frac{\\sqrt{|\\beta|^{2}-a c}}{|\\alpha|} \ の円を表し, a=0, \\beta \\neq 0 \ のとき, 方程式 \ \\bar{\\beta} z+\\beta \\bar{z}+c=0 \ は直線を表す。詳しくは, 解答編 p .109 \ 参照。\n\n廉習 k \ は実数とし， \\alpha=-1+i \ とする。点 w \ は複素数平面上で等式 w \\bar{\\alpha}-\\bar{w} \\alpha+k i=0 \ を 80 満たしながら動く。点 w \ の軌跡が, 点 1+i \ を中心とする半径 1 の円と共有点をも つときの, k \ の最大値を求めよ。

(1) 複素数 $z$ が, 正の実数 $r$ と実数 $\theta$ を用いて \( z=r(\cos \theta+i \sin \theta) \) の形で与えら れたとする。このとき, 数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ がともに 0 に収束するための必要十分条 に収束するための十分条件であること，および必要条件であることの証明もせよ。

方程式 (1) が絶対値 1 の複素数の解 z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta \ をもつと すると, (2) から\n\\[\\begin{aligned}\n\\alpha & =z+2 i \\bar{z} \\\\\n& =\\cos \\theta+i \\sin \\theta+2 i(\\cos \\theta-i \\sin \\theta) \\\\\n& =\\cos \\theta+2 \\sin \\theta+(2 \\cos \\theta-\\sin \\theta) i \\\\\n\\text { よって } \\quad & =\\left(\\cos \\frac{\\pi}{4}+i \\sin \\frac{\\pi}{4}\\right) \\alpha \\\\\n& =\\frac{1}{\\sqrt{2}}(1+i)\\{\\cos \\theta+2 \\sin \\theta+(2 \\cos \\theta+\\sin \\theta) i\\} \\\\\n& =\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\{\\sin \\theta-\\cos \\theta+3(\\sin \\theta+\\cos \\theta) i\\} \\cdots \\cdots\n\\end{aligned}\\]

複素数平面上で、複素数 $\alpha=a+bi$ を表す点を \( \mathrm{A}(\alpha) \) とする。いま、この平面上で、原点 $\mathrm{O}$ に関する点 $\mathrm{A}$ の位置ベクトルを $\vec{p}$ とする。このとき、複素数 $\alpha$ と位置ベクトル $\vec{p}$ は対応している。\n2 つの複素数 $\alpha, \beta$ について、\( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) とし、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{p}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{q}$ とすると、複素数 $\alpha, \beta$ の相等は、位置ベクトル $\vec{p}, \vec{q}$ の相等としてとらえることができるから\n\n1. 複素数 $\alpha$ と $\beta$ が等しいときの位置ベクトル $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の関係を示せ。\n2. 複素数 $\alpha$ と $\beta$ の加法 $\alpha+\beta$ の位置ベクトルを求めよ。\n3. 複素数 $\alpha$ と $\beta$ の減法 $\alpha-\beta$ の位置ベクトルを求めよ。\n4. 実数 $k$ 倍の複素数 $k \alpha$ の位置ベクトルを求めよ。

のとき,以下のことを証明せよ。\n[京都大]\n(1) 複素数 z \ が単位円上にあるための必要十分条件は \\bar{z}=\\frac{1}{z} \ である。\n(2) z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \ が単位円上にあるとき, wは実数である。\n(3) z_{1}, z_{2}, z_{3} \ が単位円上にあり, w \ が実数であれば, z_{4} \ は単位円上にある。

複素数 $z$ に関する問題。\n(1) $z + \frac{1}{z}$ が実数である条件を求めよ。\n(2) $\frac{\alpha+z}{1+\alpha z}$ が実数となる条件を求めよ。

複素数平面上に複素数 \( z=\cos \theta+i \sin \theta(0<\theta<\pi) \) をとり, $\alpha=z+1, \beta=z-1$ と おく。ただし, (2) は $0 \leqq \\overlineg \beta<2 \pi$ とする。\n(1) $|\beta|=2 \sin \frac{\theta}{2}$ を示せ。\n(2) $\\overlineg \beta=\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}$ を示せ。\n(3) $\theta=\frac{\pi}{3}$ とする。9つの複素数 \( \alpha^{m} \beta^{n}(m, n=1,2,3) \) の虚部の最小値を求め, その最小値を与える \( (m, n) \) のすべてを決定せよ。

点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(3+4 i) \) について, 次の点を表す複素数を求めよ。\n(1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $2: 1$ に内分する点 $\mathrm{P}$

(1) 点 P を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 Q を表す複素数を求めよ。\n(3) 点 M を表す複素数を求めよ。\n(4) 点 G を表す複素数を求めよ。

複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ について, 等式 $903 \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+\beta \gamma=3 \alpha \beta+3 \gamma \alpha$ が成り立つとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ はどのような三角形か。

複素数 $z$ または $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ が単位円上にあるときの条件を示せ。

34\n(1) $z=\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi$\n(2) \( z=4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \)

複素数の積の図形的意味を説明しなさい。

(2) \( w=r_{1}\left(\cos θ_{1}+i \sin θ_{1}\right) \) $\left[r_{1}>0,0 \leqq θ_{1}<2 π\right]$ とする。 右の図で, $\mathrm{OA}=2, \mathrm{AB}=1$ であるから $\angle \mathrm{BOA}=\frac{π}{6}$ また $\quad \frac{π}{4}-\frac{π}{6}=\frac{π}{12}$ よって, wの偏角 $θ_{1}$ のとりうる値の 範囲は $\quad π+\frac{π}{12} \leqq θ_{1} \leqq \frac{3}{2} π-\frac{π}{12}$ ゆえに $\frac{13}{12} π \leqq θ_{1} \leqq \frac{17}{12} π$ また，wの絶対値 $r_{1}$ のとりうる値の範囲は $1 \leqq r_{1} \leqq 3$

(3) \\( z_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{n}\cdot(-\sqrt{3} i)+1+\sqrt{3} i \\)

練習複素数平面上で, 複素数 $a, b, c$ がそれぞれ表す点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ は同一直線上にないも 94 のとする。 $\alpha, \beta, \gamma$ を複素数の定数として, 式 $\alpha z+\beta \bar{z}+\gamma=0$ を満たす複素数 $z$ が それぞれ次の図形を描くとき， \frac{\beta}{\alpha}, \frac{\gamma}{\alpha} を \( a, b, c およびその共役な複素数 $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ を用いて表せ。

練習 複素数平面上に異なる 3 点 $z, z^{2}, z^{3}$ がある。 [一橋大] $\Rightarrow$ p. 202 演習 42 98 (1) $z, z^{2}, z^{3}$ が同一直線上にあるような $z$ すべて求めよ。\n(2) $z, z^{2}, z^{3}$ が二等辺三角形の頂点になるような $z$ の全体を複素数平面上に図示 せよ。また, $z, z^{2}, z^{3}$ が正三角形の頂点になるような $z$ をべて求めよ。

複素数平面上において, 三角形の頂点 \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ を表す複素数をそれぞれ 0, \\alpha, \\beta \ とする。\n(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 z \ は, \\bar{\\alpha} z+\\alpha \\bar{z}-\\alpha \\bar{\\alpha}=0 \ を満たすことを示せ。\n(2) \\triangle \\mathrm{OAB} \ の外心を表す複素数を z_{1} \ とするとき, z_{1} \ を \\alpha, \\bar{\\alpha}, \\beta, \\bar{\\beta} \ で表せ。

複素数平面上において, 異なる 3 点 \( \\mathrm{A}(\\alpha), \\mathrm{B}(\\beta), \\mathrm{C}(\\gamma) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{ABC} \ の 91 外心を \\mathrm{P}(z) とするとき, z \ は次の等式を満たすことを示せ。\n\\[ z=\\frac{(\\alpha-\\beta)|\\gamma|^{2}+(\\beta-\\gamma)|\\alpha|^{2}+(\\gamma-\\alpha)|\\beta|^{2}}{(\\alpha-\\beta) \\bar{\\gamma}+(\\beta-\\gamma) \\bar{\\alpha}+(\\gamma-\\alpha) \\bar{\\beta}} \\]

複素数平面上で、複素数 α=3+4i が表す点を求め、その点を -2 倍した複素数が表す点を求めなさい。

(1) 初項 $a_{1}=0$, $b_{1}=1$ から \( f_{1}(x)=-\frac{1}{2x-3} \) が与えられている。これを用いて \( f_{2}(x) \) を計算せよ。\n\n(2) \( t=f_{1}(t) \) を満たす値 $t$ を求め、さらに自然数 $n$ についてすべての \( f_{n}(t)=t \) を満たすことを証明せよ。\n\n(3) (2) より \( f_{n}(1)=1 \) であることから、$a_{n}$ と $b_{n}$ の一般項を求めよ。

<第3 章> 複素数平面\nCHECK 問題 の解答

この章で学ぶこと〉数学Iでは，複素数の加法，減法，乗法，除法について学んだ。 この章では，複素数が座摽平面上の点として表されることや，複素数の和，差，絶対值，共役複素数についての幾回学的な意味を学ぶ。また，複素数の積，商を複素数平面上で考えるため，複素数の幾何学的表示である極形式について学び, 複素数平面上で, いろいろな図形について学習する。

複素数の乗法と回転 (2)\n(1) 2 点 $z=3+i, w=2-i$ に対して, 点 $z$ を点 $w$ を心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転し た点を表す複素数を求めよ。\n(2) 点 $3-2 i$ を点 $1+i$ を中心として角 \( \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \) だけ回転した点を表す複素数が $\frac{4+3 \sqrt{3}}{2}+\frac{-1+2 \sqrt{3}}{2} i$ であるとき, $\theta$ の値を求めよ。

複素数の乗法と回転 (2) 次の複素数で表される点は, 点 z をどのように移動した点であるか。 (ア) 1/2 (-1+i) z (イ) z/√3-i (ウ) overline{iz}

45 \n α を複素数とする。複素数 z の方程式 z^{2}-\alpha z+2 i=0 \n(1)について, 次の問いに答えよ。\n(1) 方程式 (1)が実数解をもつように点 α が動くとき, 点 α が複素数平面上に描く図形を図示せよ。\n(2) 方程式 (1) が絶対値 1 の複素数を解にもつように点 α が動くとする。原点を中心に点 α を $\frac{\pi}{4}$ 回転させた点を表す複素数を β とするとき, 点 β が複素数平面上に描く図形を図示せよ。

偏角が定まらない複素数 $z$ はどのような場合ですか？

245\n(2) $x_{n}=\sqrt{a+x_{n-1}}, \alpha=\sqrt{a+\alpha}$ であるから\n\[\n\begin{aligned}\nx_{n}-\alpha & =\sqrt{a+x_{n-1}}-\sqrt{a+\alpha}=\frac{\left(a+x_{n-1}\right)-(a+\alpha)}{\sqrt{a+x_{n-1}}+\sqrt{a+\alpha}} \\\n& =\frac{1}{\sqrt{a+x_{n-1}}+\sqrt{a+\alpha}}\left(x_{n-1}-\alpha\right)\n\end{aligned}\n\]\n$\alpha=\frac{1+\sqrt{1+4 a}}{2}>\frac{1+1}{2}=1$ であるから $\quad \sqrt{a+\alpha}>1$\n\[\n\text { よって } \begin{aligned}\n0 \leqq\left|x_{n}-\alpha\right| & =\frac{1}{\sqrt{a+x_{n-1}}+\sqrt{a+\alpha}}\left|x_{n-1}-\alpha\right| \\\n& <\frac{1}{\sqrt{a+\alpha}}\left|x_{n-1}-\alpha\right| \\\n& <\left(\frac{1}{\sqrt{a+\alpha}}\right)^{n-1}\left|x_{1}-\alpha\right| \longrightarrow 0 \quad(n \longrightarrow \infty)\n\end{aligned}\n\]\nゆえに $\quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}-\alpha\right|=0$ よって $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\alpha$\n

次の式を計算せよ。 (1) \( \left(\cos \frac{2}{3} \pi+i \sin \frac{2}{3} \pi\right)^{5} \) (2) \( (1-i)^{8} \) (3) \( (1+\sqrt{3} i)^{-7} \)

次の複素数 $z$ を極形式で表せ。ただし, 偏角 $\theta$ は $0 \leqq \theta<2 \pi$ とする。\n(1) $z=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$\n(2) $z=2+2 \sqrt{3} i$\n(3) $z=\cos \frac{3}{4} \pi-i \sin \frac{3}{4} \pi$\n(4) \( -\cos \alpha+i \sin \alpha \quad(0<\alpha<\pi) \)

複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha ), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\γ) \) を頂点とする \( \triangle \mathrm{ABC} ) について, 次の等式が成り立つとき, \( \triangle \mathrm{ABC} ) はどのような三角形か。\n(1) \( \beta-\α=(1+\sqrt{3}i)(γ-\α)\n(2) \( \alpha+i\beta=(1+i)γ

(2) $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$ が成り立つとき, $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ。

複素数の乗法と回転 (1) z=2+√2 i とする。点 z を，原点を中心として −3/4 π だけ回転した点を表す複素数を求めよ。

EX (1) \( (-1+\sqrt{3} i)^{3} \) の実部はア $\square$, 虚部はイ $\square$ である。\n325 (2) $n$ は自然数とする。 \( (-1+\sqrt{3} i)^{n} \) の実部と虚部がともに整数となるとき, $n$ を 3 で割った 余りはク $\square$ である。

次の \( f(x) = 0 \) の解 $x = 2 + i$ を持つ3次方程式の係数を求めよ。\n\nヒント:\n1. $x = \alpha$ が方程式 \( f(x) = 0 \) の解です。\n\n 解の共役 $2 - i$ も解になります。\n\n2. 3次方程式の解と係数の関係を利用します。\n

総合 実数 $x, y, s, t$ に対し， z=x+y i, w=s+t i \ とおいたとき, z=\\\\frac{w-1}{w+1} \ を満たすとする。ただし， 19 i \ は虚数単位である。\n\n（1） w \ をで表すことにより, s, t \ をそれぞれ x, y \ で表せ。\n（2） 0 \\leqq s \\leqq 1 \ かつ 0 \\leqq t \\leqq 1 \ となるような点 \( (x, y) \\) の範囲 \ D \ を座標平面上に図示せよ。\n（3） 点 \(\\mathrm{P}(x, y) \\) が D \ 上を動いたとき, -5 x+y \ の最小値を求めよ。

n は 2 以上の自然数, i は虚数単位とする。 α=1+√3 i, β=1-√3 i のとき, (341 ( (β^2-4 β+8)/(a^(n+2)-α^(n+1)+2 α^n+4 α^(n-1)+α^3-2 α^2+5 α-2))^3 の値を求めよ。 防衛医大 α=1+√3 i, β=1-√3 i のとき α+β=2, α β=4 よって α, β は 2 次方程式 x^2-2 x+4=0 の 2 つの解である。 よって α^2-2 α+4=0, β^2-2 β+4=0

複素数 $\frac{c+d i}{a+b i}$ の商を求めよ。

複素数

有理数係数の $n$ 次方程式が $p+q \sqrt{r}$ を解にもつとき、もう一つの解 $p-q \sqrt{r}$ であることを示せ。

複素数の四則計算,負の数の平方根を計算してください。

(2) $z=a+b i(a, b$ は自然数）とすると\n\[z^{3} & =(a+b i)^{3}=a^{3}+3 a^{2} \cdot b i+3 a(b i)^{2}+(b i)^{3} \\ =a^{3}-3 a b^{2}+\left(3 a^{2} b-b^{3}\right) i\]\n$z^{3}=65+142 i$ から \( \quad a\left(a^{2}-3 b^{2}\right)+b\left(3 a^{2}-b^{2}\right) i=65+142 i \)\n$a, b$ は自然数, すなわち実数であるから, \( a\left(a^{2}-3 b^{2}\right) \), \( b\left(3 a^{2}-b^{2}\right) \) も実数である。\nよって \( \quad a\left(a^{2}-3 b^{2}\right)=65 \)..... (1), \( b\left(3 a^{2}-b^{2}\right)=142 \)\n$a$ は自然数であるから, (1)より $a^{2}-3 b^{2}$ も自然数である。ゆえ に, (1)より, $a$ は65の正の約数であるから $\quad a=1,5,13,65$各 $a$ の値を (1) に代入して, $b^{2}$ の値を求めると, 順に\n$b^{2}=-\frac{64}{3}, 4, \frac{164}{3}, 1408$\n$b$ が平方数となる場合のみが適するから $\quad a=5, \quad b^{2}=4$\nすなわち $a=5, b=2$ このとき, (2) は成り立つ。\nしたがって $\quad z=5+2 i$\n別解 (1) を\n\[a^{2}+\left(-b^{2}\right)=2 \text {, }\]\n(4) を \( a^{2}\left(-b^{2}\right)=-3 \)\nとみると, $a^{2},-b^{2}$ は $t^{2}-2 t-3=0$ の 2 つの解 である。これを解くと $t=-1,3$ であるから\n$a^{2}=3,-b^{2}=-1$\n\[\begin{array}{l}\leftarrow(p+q)^{3} \\ =p^{3}+3 p^{2} q+3 p q^{2}+q^{3}\end{array}\]\n \left←\lceil a, b は自然数」とい う条件を活かして, $a$ の 値を絞り込む。\n \left← 37^{2}<1408<38^{2} \nヶ平方数とは, (自然数) の形の整数のこと。\n2章 $\square$

第2章 複素数と方程式 参考事項 複素数係数の2次方程式の解を求める

徚習 k を実数の定数, i=√-1 を虚数単位とする。 x の 2 次方程式 ④ (1+i) x^{2}+(k+i) x+3-3 k i=0 が純虚数解をもつとき， k の値を求めよ。＼cjkstart椇南大] p. 77 EX 28

練習\n綀習 \ k \ を実数の定数, \ i=\\sqrt{-1} \ を虚数単位とする。 \ x \ の 2 次方程式 \\( (1+i) x^{2}+(k+i) x+3-3 k i=0 \\) ④2 が純虚数解をもつとき, \ k \ の值を求めよ。\n[抯南大]

方程式 $x^{2}+x+1=0$ の $x=\omega$ 以外の解を $\alpha$ とすると, 解と係数の 関係により\n\\[ \omega+\alpha=-1 \\cdots \\cdots \\cdot(1), \quad \\omega \\cdot \\alpha=1 \\]\n (1) を用いると, $\omega^{2}+\omega+1=0$ から $\quad \\alpha=-\\omega-1=\\omega^{2}$\n (2) を用いると, $\omega^{3}=1$ から $\\alpha=\\frac{1}{\\omega}=\\frac{\\omega^{3}}{\\omega}=\\omega^{2}$\n\n方程式 $x^{2}+x+1=0$ の解が $x=\\omega, \\omega^{2}$ であることを利用すると, CHECK 1-A (3) は次のよう に解くこともできます。

以下の条件のもとで、BC²の最大値と最小値を求めよ。 \n条件: \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \ のとき、\ \\cos \\theta < 0 \ であるから\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{BC}^{2} & =1+2 \\sin \\theta \\cos ^{2} \\theta=1+2 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right) \\\\\n& =1+2 \\sin \\theta-2 \\sin ^{3} \\theta\n\\end{aligned}\n\\]\n\ \\sin \\theta = t \ とおくと、\ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \ のとき \ \\quad 0 < t < 1 \\n\\[\n\\mathrm{BC}^{2} = 1 + 2t - 2t^{3} = 1 + \\{ 1 - f(t) \\} = -f(t) + 2\n\\]\nここで\\[ f(t) = t^{3} - t \\] \n したがって、以下のように評価される。\n[1], [2] から \ \\frac{9 - 4 \\sqrt{3}}{9} \\leqq \\mathrm{BC}^{2} < 1 \,\ 1 < \\mathrm{BC}^{2} \\leqq \\frac{9 + 4 \\sqrt{3}}{9} \ したがって、BC²の最大値は\ \\frac{9 + 4 \\sqrt{3}}{9} \,最小値は\ \\frac{9 - 4 \\sqrt{3}}{9} \。

練習 2 乗すると $i$ になるような複素数 $z$ を求めよ。

x = (1 - √3i)/2 のとき, x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 の値を求めよ。

初項, 公比ともに実数の無限等比級数があり, その和は 3 で, 各項の 3 乗からなる無限等比級数の和は 6 である。初めの無限等比級数の公比を求めよ。

極形式を用いて, 方程式 $z^{6}=1$ を解け。

複素数平面において, 三角形の頂点 $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ を表す複素数をそれぞれ $0, \alpha, \beta$ と するとき\n(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ は, $\bar{\alpha} z+\alpha \bar{z}-\alpha \bar{\alpha}=0$ を満たす ことを示せ。

複素数 $z$ に対して, w=\frac{z-i}{z+i} とおく。点 \( z が複素数平面の実軸上を動くとき, 点 $w$ はどのような図形を描くか。

複素数平面上で, 6 を表す点を \\mathrm{A}, 7+7 i\ を表す点を \\mathrm{B}\ とする。また,正の実数 \t\ に対し， \\(\frac{14(t-3)}{(1-i) t-7}\\) を表す点 \\mathrm{P}\ をとる。\n(1) \\angle \mathrm{APB}\ を求めよ。\n(2) 4 点 \O\, A, B B, P は 1 つの円周上にあることを示せ。\n(3) 線分 OP の長さが最大になる $t$ の値を求めよ。\n〔類 東京大〕

1の $n$ 乗根\n1 の $n$ 乗根（すなわち, 方程式 $z^{n}=1$ の解）は, 次の $n$ 個の複素数である。\n\( z_{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \quad(k=0,1,2, \cdots \cdots, n-1) \)\n

総合 複素数 $z$ の関数 \( f(z)=z+\frac{1}{z} \) を考える。 $z$ が $\frac{1}{3} \leqq|z| \leqq 2$ かつ $0 \leqq \\overlineg z \leqq \frac{\pi}{4}$ を满たすとき、 40 \( f(z) \) の実部の最大値と最小値を求めよ。

（2）右図の複素数平面上の点 $\\alpha, \\beta$ について, 次の点を図 に示せ。 (ァ) \\alpha+\\beta\ (イ) \\alpha-\\beta\ (ウ) \\alpha+2 \\beta\ (I) \\quad-(\\alpha+2 \\beta\

EX 複素数 $z=\cos \frac{2}{7} \pi+i \sin \frac{2}{7} \pi$ に対して (4)\n(1) (7) $z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6}$\n(1) $\frac{1}{1-z}+\frac{1}{1-z^{6}}$ の値を求めよ。また, $t=\frac{z^{2}+1}{z}$ とおくとき\n(2) $t$ は実数であることを示せ。\n(3) $t$ は 3 次方程式 $t^{3}+\top \square t^{2}-1 \square t-ウ \square=0$ の解である。

複素数平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) について\n(1) \( \alpha=2, \beta=1+i, \gamma=(3+\sqrt{3}) i \) のとき, $\angle \mathrm{ABC}$ の大きさを求めよ。\n(2) $\alpha=1+i, \beta=3+4 i, \gamma=a i$ ( $a$ は実数)のとき, $a=$ フ $\square$ ならば 3 点 A, B, C は一直線上 にあり, $a=1 \square$ ならば $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ となる。