幾何学と測定 - 幾何学的変換 (平行移動、回転、拡大縮小) | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

点 \( \mathrm{P}(6,-4,2) \) に対して, 次の点の座標を求めよ。\n(1) 点 $\mathrm{P}$ から $y z$ 平面に下ろした垂線と $y z$ 平面の交点 $\mathrm{Q}$\n(2) 点 $\mathrm{P}$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸の交点 $\mathrm{R}$\n(3) $x y$ 平面に関して対称な点 $\mathrm{S}$\n(4) 原点 $O$ に関して対称な点 $T$

放物線の平行移動と方程式の決定

標準 69 | 放物線の平行移動 (1)

発展 80 | グラフの対称移動

点 \( \mathrm{P}(3,1) \) を原点 $\mathrm{O}$ を中として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させた点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

次の式を $x$ 軸方向に $p$ だけ、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動させよ:\n\( y=f(x) \)

放物線 $y = \frac{1}{2} x^2$ は、$x$ 軸方向に、 $y$ 軸方向にだけ平行移動すると、直線 $y = -x$ と直線 $y = 3x$ の両方に接する。

点 $z-\alpha$ が表す点はどのような移動を表していますか？

複素数平面上で原点以外の点を中心として回転する操作を説明し、複素数を使って表現せよ。\n例えば、点 $z = 1 + i$ を中心に角度 $\pi/4$ (45度) 回転させる場合を示してください。

114 $x$ 軸方向に $-2, y$ 軸方向に -1 だけ平行移動

軌跡と方程式

点 \\( \\mathrm{P}(-2,3) \\) を, 原点を中心として \ \\frac{5}{6} \\pi \ だけ回転させた点 \ \\mathrm{Q} \ の座標を求めよ。

軌跡の問題を解くうえで注意したいこと

点 P(-2,3) を, 原点を中心として 5/6 π だけ回転させた点 Q の座標を求めよ。

74 (1) $x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -7 だけ平行移動したもの\n(2) $a=3, \quad b=1, c=-5$

［2］楕円の媒介変数表示\n円 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, 楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ につて,\n楕円（5）は円（4）を $x$ 軸をもとにして， $y$ 軸方向に $\frac{b}{a}$ 倍に拡大 または縮小したものである。よって、円(4)の周上の点 \( \mathrm{Q}(a \cos \theta, a \sin \theta) \) に対し、それを $x$ 軸をもとにして， $y$ 軸方向に $\frac{b}{a}$ 倍した点を \( \mathrm{P}(x, y) \) とすると $x=a \cos \theta, \quad y=\frac{b}{a} \times a \sin \theta=b \sin \theta$

曲線を y 軸方向に -2 だけ移動してできる図形の方程式は？

PRACTICE 145° 次の極方程式を，直交座標に関する方程式で表し， xy平面上に図示せよ。 (1) r^2 (7 cos^2(θ) + 9) = 144 (2) r = 2 cos(θ - π/3) [(1) 奈良教育大 ]

ベクトルの平面図形への応用

(1) 点 \( \mathrm{A}(2,1) \) を，原点を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点Bの座標を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{A}(2,1) \) を, 点 $\mathrm{P}$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点の座標は \( \mathrm{Q}\left(\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) であった。点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。\n[類 佐賀大]

(1) 3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ がある。 $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ を 通り, 辺 $\mathrm{AC}$ に平行な直線のベクトル方程式を求めよ。

组習 $\triangle \mathrm{OAB}$ に対し, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。実数 $s, t$ が次の条件を満たしながら動 28 くとき, 点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を求めよ。 (1) $s+t=3$ (2) $2 s+3 t=1, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$ (3) $2 s+3 t \leqq 6, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

複素数 $z$ が $|z-1| \leqq|z-4| \leqq 2|z-1|$ を満たすとき, 点 $z$ が動く範囲を複素数平面上に図示せよ。

次の点は, 点 z をどのように回転した点か。ただし, 回転の角 θ の範囲は 0 ≤ θ < 2π とする。 (1) (1-√3i)/2 z (2) -i z

点 \( \mathrm{A}(2,1) \) を, 原点を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点 $\mathrm{B}$ の座標を求めよ。

基本例題 88 原点以外の点を中心とする回転 $\alpha=1+2 i, \beta=-1+4 i$ とする。点 $\beta$ を, 点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ だけ回転した点を表す複素数 $\gamma$ を求めよ。

(1) 点 \( \mathrm{P}(X, Y) \) を, 原点を中心として角 $\theta$ だけ回転した点を \( \mathrm{Q}(x, y) \) とする時, $X, Y$ を $x, y, \theta$ で表せ。\n(2) 曲線 $5 x^{2}+2 \sqrt{3} x y+7 y^{2}=16$ を，原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転移動した曲線の方程式を求めよ。

点 \( \mathrm{P}(3,-2,1) \) に対して, 次の点の座標を求めよ。\n(1) 点 $\mathrm{P}$ から $x y$ 平面に下ろした垂線の足 $\mathrm{A}$\n(2) 点 $\mathrm{P}$ と $x y$ 平面に関して対称な点 $\mathrm{B}$\n(3) 点 $\mathrm{P}$ と $z$ 軸に関して対称な点 $\mathrm{C}$\n(4) 点 $\mathrm{P}$ と原点に関して対称な点 $\mathrm{D}$

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, $\triangle \mathrm{BCD}$ の重心をEとし, 線分 $\mathrm{AE}$ を $3: 1$ に内分する点を $\mathrm{G}$ とす。このとき, 等式 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}+\overrightarrow{\mathrm{DG}}=\overrightarrow{0}$ が成り立 つことを証明せよ。

次の関数に対する平行移動と対称移動を求めてください。\n(1) 平行移動: 点 (a, b) を x軸方向に p, y軸方向に q だけ移動。\n(2) 対称移動: 点 (a, b) を x軸, y軸, 原点に対して対称移動。

点 P'(4,-3) を原点を中心として -π/3 だけ回転させた点を Q'(x', y') とすると、Q' の座標を求めよ。

練習（2）点 \( \mathrm{P}(3,-1) \) を, 点 \( \mathrm{A}(-1,2) \) を中心として $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させた点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

音源で音を出し，Aで音が聞こえた時刻から１秒後にBで音が聞こえました。このときの音源の位置を示す線として最も適切なものを次より選び記号を答えなさい。

極座標 (r, θ) を直交座標 (x, y) に変換しなさい。

回転移動を利用して面積を求めなさい。

曲線 \( F(x, y)=0 \) を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動して得られる曲線の方程式を求めなさい。

222 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) とする。次の直線のベクトル方程式を求めよ。(1) 辺 $\mathrm{AB}$ の中点と辺 $\mathrm{AC}$ の中点を通る直線 (2) 辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線

(1) 点 \( \mathrm{A}(2,1) \) を, 原点 O を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点 B の座標を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{A}(2,1) \) を, 点 $\mathrm{P}$ を中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した点の座標は \( (1-\sqrt{2},-2+2 \sqrt{2}) \) であった。点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。