幾何学と測定 - 内積と外積 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

6 一数学 $C$ TR 14 右の図の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c}$ とすると き, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a}$ をそれぞれ求めよ。であり, $|\vec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2,|\vec{b}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 \sqrt{3},|\vec{c}|=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=4$ であり, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $90^{\circ}$ である。

TRAINING 19\n(3)\n$|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ とする。次の問いに答えよ。\n(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ のとき, $|\vec{a}-\vec{b}|$ の値を求めよ。\n(2) $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ のとき, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|$ の値を求めよ。

ベクトルの内積\n\ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角 \ \\theta \ について\n\\n\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\n\\]\n\\[\n\\cos \\theta =\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}} \\sqrt{b_{1}{ }^{2}+b_{2}{ }^{2}+b_{3}{ }^{2}}\n\

次の 2 つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の内積となす角 $\theta$ を求めよ。\n\\[ \vec{a} = (1,0,-1), \vec{b} = (-1,2,2) \\]

次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( 3 \vec{a} \cdot(3 \vec{a}-2 \vec{b})=9|\vec{a}|^{2}-6 \vec{a} \cdot \vec{b} \)\n(2) $|4 \vec{a}-\vec{b}|^{2}=16|\vec{a}|^{2}-8 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}$

(1) 内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ を求めよ。

2 つのベクトル \( \vec{a}=(1,2,-1), \vec{b}=(-1, x, 0) \) のなす角が $45^{\circ}$ であるとき, $x$ の値を求めよ。

次の 2 つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ の内積となす角 $\theta$ を求めよ。\n\\[ \vec{a} = (1,0,1), \vec{b} = (2,2,1) \\]

内積の性質\n\n次のベクトルの内積を計算し、内積の性質を確認してください。$\vec{a}=\left(2, 3\right), \vec{b}=\left(4, -1\right)$\n\n内積が 0\n\n内積の性質\nベクトルの内積について, 次の 1 〜 5 が成り立つ。\n1 $\vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}|^{2}$\n2 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$\n3 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}$\n4 $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$\n5 $(k \vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(k \vec{b})=k(\vec{a} \cdot \vec{b})$\nただし, kは実数\n\n証明 $\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right), \vec{c}=\left(c_{1}, c_{2}\right)$ とする。

(1) $|2 \\vec{a}-3 \\vec{b}|=10$ から $\\quad|2 \\vec{a}-3 \\vec{b}|^{2}=100$\nよって \( \\quad(2 \\vec{a}-3 \\vec{b}) \\cdot(2 \\vec{a}-3 \\vec{b})=100 \)\nゆえに $\\quad 4|\\vec{a}|^{2}-12 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+9|\\vec{b}|^{2}=100$\n$|\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=2 \\sqrt{2}$ から \( \\quad 4 \\times 1^{2}-12 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+9(2 \\sqrt{2})^{2}=100 \)\nすなわち $4-12 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+72=100$ よって $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-2$\n! ゆえに $\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{-2}{1 \\times 2 \\sqrt{2}}=-\\frac{1}{\\sqrt{2}}$\n$0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}$ であるから $\\quad \\theta=135^{\\circ}$

ベクトルの内積 ベクトルの内積となす角（空間）

TR実践 $k$ を実数の定数とする。ある平面上に点 $\mathrm{P}$ と三角形 $\mathrm{ABC}$ があり，次の等式を満たしている。\n$3 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$\n(1) 点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるとき, $k=\square$ である。\n(2) 点 $\mathrm{P}$ が三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部にあるとき, イウ $<k<\square$ である。ただし, 点 $\mathrm{P}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の周上にはないものとする。

内積と仕事の関係

2 つのベクトル \( \vec{a}=(2,1,1), \vec{b}=(x, 1,-2) \) のなす角が $60^{\circ}$ であるとき, $x$ の値を求めよ。

ベクトル \( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\\right) \\) において, a_{1} \\neq 0, b_{1} \\neq 0 \ であるとする。このとき，次のことが成り立つことを証明せよ。\n\ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0 \

13点が一直線上にあるための条件［共線条件］［＝例題 25］ 2 点 A、B が異なるとき 点 C が直線 AB 上にある ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ となる実数 k がある 異なる 2 点 A, B を通る 直線 AB 上に点 C があるとき, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ また は $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{0}$ である。

ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を求めなさい。3 点 $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ をとり, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のなす角を $\theta$ とする。

内積を使ってベクトルが垂直であることを証明しなさい。

2 つのベクトル \( \\vec{a}=(s, 3 s-1, s-1), \\vec{b}=(t-1, 4, t-3) \) が平行であるとき, $s, t$ の値を求めよ。

次の 2 つのベクトル \ \\vec{a}, \\vec{b} \ が平行になるように, \ x \ の値を定めよ。\n(1) \\( \\vec{a}=(x,-2), \\vec{b}=(2,1) \\)\n(2) \\( \\vec{a}=(-9, x), \\vec{b}=(x,-1) \\)

ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$が垂直である条件を示しなさい。

TRAINING 実践 1 (4) \ k \ を実数の定数とする。ある平面上に点 \ \\mathrm{P} \ と三角形 \ \\mathrm{ABC} \ があり, 次の等式を満たして いる。\n\\n3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+4 \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+5 \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}\n\\n(1) 点 \ \\mathrm{P} \ が直線 \ \\mathrm{AB} \ 上にあるとき, \ k=\\square \ である。\n(2) 点 \ \\mathrm{P} \ が三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の内部にあるとき, \ <k<\\square \ である。ただし,点 \ \\mathrm{P} \ は三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の周上にはないものとする。

1辺の長さが1の立方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ において, 次の内積を求めよ。\n(1) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}$\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$\n(3) $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$

ベクトルの内積 図形とべクトルの内積(空間)(1)

ベクトルの内積 成分を求める（空間）

次の 2 つのベクトルの内積を求めてください：\n\nベクトル \(\\vec{a} = (3, 4)\) と ベクトル \(\\vec{b} = (1, 2)\)

次のベクトル $\\vec{a}$ と $\\vec{b}$ の内積を計算してください：\n\n $\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}, \\vec{b} = \\overrightarrow{OB}$, 両ベクトルのなす角 $\\theta = 60^{\\circ}$ で、| $\\vec{a}$ | = 5, | $\\vec{b}$ | = 3 のとき

(1) \( \\vec{a}=(5,1) \) と \( \\vec{b}=(2, x) \) が垂直になるような $x$ の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{c}=(\\sqrt{3}, 1) \) に垂直な単位ベクトル $\\vec{e}$ を求めよ。

ゆえに, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ のなす角を $\theta$ とすると\n\\[\n\\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{MN}}}{|\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}||\\overrightarrow{\\mathrm{MN}}|}=\\frac{1}{2} \\div\\left(1 \\times \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n$0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}$ であるから $\\quad \\theta=45^{\\circ}$\n〔 $\\overrightarrow{0}$ でないべクトル $\\vec{p}$, $\\vec{q}$ のなす角を $\\theta$ とする\nと \\cos \\theta=\\frac{\\vec{p} \\cdot \\vec{q}}{|\\vec{p}||\\vec{q}|} \

次の内積を求めよ。 (1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, (2) \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}, (3) \overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

EX ベクトル \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) において, $a_{1} \neq 0, b_{1} \neq 0$ であるとする。このとき, 次のことが成り立つことを証明せよ。 $\vec{a} / / \vec{b} \Longleftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}=0$

(2) \( (\\vec{a}-3 \\vec{b}) \\perp(2 \\vec{a}+\\vec{b}) \) から \( \\quad(\\vec{a}-3 \\vec{b}) \\cdot(2 \\vec{a}+\\vec{b})=0 \)\nよって \( \\quad \\vec{a} \\cdot(2 \\vec{a}+\\vec{b})-3 \\vec{b} \\cdot(2 \\vec{a}+\\vec{b})=0 \)\nゆえに $\\quad 2|\\vec{a}|^{2}-5 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}-3|\\vec{b}|^{2}=0$\n$|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=1$ であるから $\\quad 2 \\cdot 2^{2}-5 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}-3 \\cdot 1^{2}=0$\n(1) よって $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1$ ゆえに $\\cos \\theta=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|}=\\frac{1}{2 \\times 1}=\\frac{1}{2}$ \ \\Leftrightarrow|\\vec{p}| \ は \ |\\vec{p}|^{2} \ として扱う。\n$0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}$ であるから $\\quad \\theta=60^{\\circ}$

次の各場合において, $\triangle \mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を求めよ。 (1) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{3}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$ のとき

右の図に示されたべクトルについて, 次のようなべ クトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1) 大きさが等しいべクトル\n(2) 向きが同じベクトル\n(3) 等しいベクトル\n(4) 互いに逆ベクトル

ベクトルのなす角と垂直条件\n\n以下のベクトル $\vec{a}=\left(1, 0\right), \vec{b}=\left(0, 1\right)$ のなす角を求め、そのベクトルが垂直であることを証明してください。\n\n$\overrightarrow{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right)$ のなす角を $\theta$ とする。このとき $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$ ただし $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$

3 点 \( \mathrm{A}(4, 3, -3), \mathrm{B}(3, 1, 0), \mathrm{C}(5, -2, 1) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ において、内積 $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ および $\angle \mathrm{ABC}$ の大きさ $\theta$ を求めよ。

\\triangle \\mathrm{ABC} の内部に点 \\mathrm{P} があり, 2 \\overrightarrow{PA} + 3 \\overrightarrow{PB} + 5 \\overrightarrow{PC} = \\overrightarrow{0} が成り立っている。(1) 点 \\mathrm{P} はどのような位置にあるか。(2) 面積比 \\triangle \\mathrm{PBC} : \\triangle \\mathrm{PCA} : \\triangle \\mathrm{PAB} を求めよ。

辺の長さが 2 の正方形 $\mathrm{ABCD}$ において, 次の内積を求めよ。\n(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$\n(3) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}$

平行四辺形 $\\mathrm{ABCD}$ において, 等式 \( 2\\left(\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{BC}^{2}\\right)=\\mathrm{AC}^{2}+\\mathrm{BD}^{2} \) が成り立つこと を，ベクトルを用いて証明せよ。 [近畿大]

4 点 \( \\mathrm{A}(2,1,2), \\mathrm{B}(-2,2,1), \\mathrm{C}(-3,-4,2), \\mathrm{D}(a, b, 5) \\) がある。\n(1) \\mathrm{AB} / / \\mathrm{CD} \ であるとき, a, b \ の値を求めよ。\n(2) 四角形 \\mathrm{ABCE} \ が平行四辺形となるとき，点 \\mathrm{E} \ の座標を求めよ。

基本例題 22 標準例題 33 $\triangle \mathrm{OAB}$ の辺 $\mathrm{OA}$ を $2: 1$ に内分する点を $\mathrm{D}$、辺 $\mathrm{OB}$ を $3: 2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とし、線分 $\mathrm{AE}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とするとき、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

四面体 O A B C において, 辺 O A の中点を P, 辺 BC の中点を Q, 線分 PQ を 1: 2 に 内分する点を R とし, 直線 OR と平面 ABC の交点を S とする。 OA=vec{a}, OB=vec{b}, OC=vec{c} とするとき, OS を vec{a}, vec{b}, vec{c} を用いて表せ。

第 2 章空間のベクトル- 39 (1) P(x, y, z) とすると 　 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(x-\frac{1}{2}, y+\frac{3}{2}, z-1\right) 点 \mathrm{P} は直線 \mathrm{AB} 上にあるから, \overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}} となる実数 t があ る。 \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2},-4\right) であるから \[\left(x-\frac{1}{2}, y+\frac{3}{2}, z-1\right)=t\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2},-4\right)\] ゆえに \left(x-\frac{1}{2}, y+\frac{3}{2}, z-1\right)=\left(\frac{3}{2} t, \frac{5}{2} t,-4 t\right) よって \quad x=\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}, y=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}, z=-4 t+1 点 \mathrm{P} は y z 平面上にあるから, \overrightarrow{\mathrm{OP}} の x 成分は 0 すなわち, \frac{3}{2} t+\frac{1}{2}=0 から \quad t=-\frac{1}{3} よって, 点 \mathrm{P} の座標は \quad\left(0,-\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right) (2) (1) から, \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\left(\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}, \frac{5}{2} t-\frac{3}{2},-4 t+1\right) と表される。 \mathrm{AB} \perp \mathrm{OH} であるから \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=0 ゆえに \quad \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}\right)-4(-4 t+1)=0 これを解くと \quad t=\frac{2}{7} よって, 点 \mathrm{H} の座標は \left(\frac{13}{14},-\frac{11}{14},-\frac{1}{7}\right) \[\begin{array}{l} \leftarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}} =\left(2-\frac{1}{2}, 1-\left(-\frac{3}{2}\right),-3-1\right) \end{array}\] T R \Leftarrow y z 平面の方程式は x=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{3} を (1) に代入。 \leftarrow 点 \mathrm{H} は直線 \mathrm{AB} 上に ある。 \leftarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2},-4\right) \leftarrow \frac{49}{2} t-7=0 \Leftrightarrow t=\frac{2}{7} を(1)に代入。

\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ において, \ \\mathrm{OA}=2, \\mathrm{OB}=3, \\mathrm{AB}=\\sqrt{7} \ とし，垂心を Hとする。 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \ とするとき, 次の問いに答えよ。\n（1）内積 \ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} \ を求めよ。\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \ を \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ を用いて表せ。

次の 2 つのベクトル $\\vec{a}$, $\\vec{b}$ の内積となす角 \\theta\ を求めよ。\n\n\\[\\vec{a}=(1,0,-1), \\vec{b}=(-1,2,2)\\]

次のベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ の内積となす角 $\theta$ を求めよ。(1) \( \vec{a}=(3,4), \vec{b}=(7,1) \)(2) \( \vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(-\sqrt{3},-1) \)(3) \( \vec{a}=(\sqrt{2},-2), \vec{b}=(-1, \sqrt{2}) \)(4) \( \vec{a}=(-1,2), \vec{b}=(6,3) \)

右の図の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c}$ とするとき, 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a}$ をそれぞれ求めよ。

\( \\vec{a}=(x+2,1) \) と \( \\vec{b}=(1,-6) \) が垂直になるような $x$ の値を求めよ。

△OAB に対し、→OP=s→OA+t→OB とする。実数 s, t が次の条件を満たしながら動くとき、点 P の存在範囲を求めよ。(1) s+t=3 (2) 2s+3t=1, s≥0, t≥0 (3) 2s+3t≤6, s≥0, t≥0

\\( 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = \\frac{1}{p^{2} - p + 1}\\{(1 - p) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} + p \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\} \\)

(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AF}}+\\overrightarrow{\\mathrm{FC}}=\\vec{b}+2 \\vec{a} \\n \\vec{b}=\\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \ であるから \( \\quad \\vec{a}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AF}}) \\)\nよって \( \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=2 s \\vec{a}+(3-3 s) \\vec{b} \\)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n=2 s \\cdot \\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AF}})+(3-3 s) \\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \\\\\n=s \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+(3-4 s) \\overrightarrow{\\mathrm{AF}}\n\\end{array}\n\\]\n\n点 Pが \\triangle \\mathrm{ACF} \ の内部に存在するための条件は\n\\[\ns>0,3-4 s>0, s+(3-4 s)<1\n\\]\n\nゆえに s>0, s<\\frac{3}{4}, s>\\frac{2}{3} \\nしたがって, 求める実数 s \ の値の範囲は \\quad \\frac{2}{3}<s<\\frac{3}{4} \\n1両辺を k \ で割って,\n \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s^{\\prime} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t^{\\prime} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\n s^{\\prime}+t^{\\prime}=1, \\quad s^{\\prime} \\geqq 0, t^{\\prime} \\geqq 0 \\nの形に変形する。\n \\overrightarrow{\\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{C}^{\\prime}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}^{\\prime}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}^{\\prime}} \\n1 内積と三角形の面積公式については, 例題 5 参照。\n \\triangle \\triangle \\mathrm{ADG} \\triangle \\triangle \\mathrm{AEF} \,\n\ \\mathrm{AD}: \\mathrm{AE}=1: 2 \ から\n\ S_{1}: S_{2}=1^{2}: 2^{2} \\n\\( \\varangle \\vec{a}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\vec{b}) \\)\n\ \\triangle \\mathrm{ACF} \ について考え ながら,\n \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+\\square \\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \ の形に変形する。\n1点 \\mathrm{P} \ が \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内部 に存在するための条件は\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\\\\ns>0, \\quad t>0, s+t<1\n\\end{\overlineray}\n\\n4共通範囲をとる。

(2) \vec{a}+t \vec{b} と \vec{a}+3 t \vec{b} が垂直であるための条件は (\vec{a}+t \vec{b}) \cdot(\vec{a}+3 t \vec{b})=0 すなわち 3|\vec{b}|^{2} t^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b} t+|\vec{a}|^{2}=0 |\vec{b}| \neq 0 であるから, (1) 満たす実数 t がただ 1 つ存在するための条件は， t についての 2 次方程式 (1) の判別式を D とすると D=0 ここで \quad \frac{D}{4}=4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}-3|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}=4(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2}-3|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} =|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(4 \cos ^{2} \theta-3) よって, D=0 から \quad|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(4 \cos ^{2} \theta-3)=0 |\vec{a}| \neq 0,|\vec{b}| \neq 0 であるから \quad 4 \cos ^{2} \theta-3=0 したがって \quad \cos θ= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} 0^{°} \leqq θ \leqq 180^{°} であるから \quad \theta=30^{°}, 150^{°}

演習 5 III → 本冊 p .78\n\(\begin{array}{l}4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0} \text { から } \\4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})+2(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})+(\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}})=\overrightarrow{0} \\ \text { よって } 10 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})+\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\ =5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AD}} \end{array}\)

1 次独立と 1 次従属\n$n$ 個のベクトル $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots \cdots, \overrightarrow{a_{n}}$ を用いて, $x_{1} \overrightarrow{a_{1}}+x_{2} \overrightarrow{a_{2}}+\cdots \cdots+x_{n} \overrightarrow{a_{n}}\left(x_{1}, x_{2}\right.$, $\qquad$ $x_{n}$ は実数）の形に表されたべクトルを, $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots \cdots, \overrightarrow{a_{n}}$ の 1 次結合 という。そして $x_{1} \overrightarrow{a_{1}}+x_{2} \overrightarrow{a_{2}}+\cdots \cdots+x_{n} \overrightarrow{a_{n}}=\overrightarrow{0}$ ならば $\quad x_{1}=x_{2}=\\cdots \cdots=x_{n}=0$\nが成り立つとき, これら $n$ 個のベクトル $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots \cdots, \overrightarrow{a_{n}}$ は 1 次独立であるという。 また, 1 次独立でないベクトルは, 1 次従属 であるという。\n\n平面上のベクトルの 1 次独立と 1 次従属\n平面上の $\overrightarrow{0}$ でない 2 つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について, $s, t$ を実数として\n$s \vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} \text { ならば } \quad s=t=0$\n\nが成り立つとき, $\\vec{a}$ と $\\vec{b}$ は 次独立であるという。また, 1 次独立でないベクトルは 1 次従属 であるという。\n例えば, \( \\vec{a}=(2,1), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{c}=(4,2) \) のとき\n\[\\begin{aligned}\ns \\vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} & \\Longrightarrow(2 s+t, s-t)=(0,0) \\newline & \\Longrightarrow 2 s+t=0, s-t=0\\Longrightarrow s=t=0 \\\n\\end{aligned}\n\\]\n\nよって, $\\vec{a}$ と $\\vec{b}$ は 1 次独立である。\n\[\\begin{aligned}\ns \\vec{a}+t \\vec{c}=\\overrightarrow{0} & \\Longrightarrow(2 s+4 t, s+2 t)=(0,0) \\quad \\Delta \\vec{a} / / \\vec{c} \\newline & \\Longrightarrow 2 s+4 t=0, s+2 t=0\n\\end{aligned}\n\\]\n \\Longrightarrow s=-2 k, t=k \ （ \ k \ は任意の実数）\nよって, $\\vec{a}$ と $\\vec{c}$ は 1 次従属である。\n一般に, 平面上の 2 つのベクトル \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ について, 次のことが成り立つ。\n\ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ が 1 次独立 \ \\Leftrightarrow \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\n\n㱏明 \\( (\\Longrightarrow) \\vec{a}, \\vec{b} \\) の少なくとも 1 つが 0 のとき, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ は 1 次従属 である。\n0 でない実数ににつ いて \ k \\overrightarrow{0}=\\overrightarrow{0} \\n\ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} / / \\vec{b} \ のとき, \ \\vec{b}=k \\vec{a} \ となる 0 でない実数 \ k \ が\n存在する。このとき, \ k \\vec{a}-\\vec{b}=\\overrightarrow{0} \ となり, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ は 1 次従属である。\nよって \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ が 1 次独立 \ \\Longrightarrow \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \～\ \\Longleftrightarrow \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \ とし，実数 \ s, t \ に対して, \ s \\vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} \ とする。\n\ s \\neq 0 \ と仮定すると, \ \\vec{a}=-\\frac{t}{s} \\vec{b} \ となり \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\quad \ これは \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \ と矛盾する。\nゆえに \ s=0 \ 同様にして \ t=0 \ であることも示すことができる。\nよって \ \\quad \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\Longrightarrow \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ は 1 次独立以上より \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ が 1 次独立 \ \\Leftrightarrow \\vec{a} \\neq \\$\\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\nD. 19, 24 で学んだことと合わせ, 次のことは重要であるから, ここにまとめておく。 \ \\vec{a}, \\vec{b} \ が 1 次独立であるとき, すなわち, \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \ であるとき\n(1) 任意のベクトル \ \\vec{p} \ は, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ の 1 次結合 \ (\\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \ の形) で, ただ 1 通りに表される。\n(2) \ s \\vec{a}+t \\vec{b}=\\overrightarrow{0} \\Longleftrightarrow s=t=0 \

点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{OA}$ 上を動くから, \( \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}(0 \leqq s \leqq 1) \) と表される。 また, 点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上を動くから, \( \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}} \) $（ 0 \leqq t \leqq 1 ）$ と表される。 このとき $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ の二乗の最小値を求めよ。

点Oを原点とする座標空間において, \( \mathrm{A}(5,4,-2) \) とする。 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}-2 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}+36=0$ を満たす点 \( \mathrm{P}(x, y, z) \) の集合はどのような図形を表すか。また, その方程式を $x, y, z$ で表せ。

数学C -13 練習 7 本冊 p .35 (1) (\vec{a}+2 \vec{b}) \perp(\vec{a}-2 \vec{b}) であるから (\vec{a}+2 \vec{b}) \cdot(\vec{a}-2 \vec{b})=0 よって \quad|\vec{a}|^{2}-4|\vec{b}|^{2}=0 すなわち |\vec{a}|^{2}=4|\vec{b}|^{2} |\vec{a}|>0,|\vec{b}|>0 であるから \quad|\vec{a}|=2|\vec{b}| また, |\vec{a}+2 \vec{b}|=2|\vec{b}| から \quad|\vec{a}+2 \vec{b}|^{2}=4|\vec{b}|^{2} よって \quad|\vec{a}|^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b}+4|\vec{b}|^{2}=4|\vec{b}|^{2} ゆえに \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=-\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2} すなわち |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=-\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2} (1) を代入して 2|\vec{b}|^{2} \cos \theta=-|\vec{b}|^{2} |\vec{b}|>0 であるから \quad \cos \theta=-\frac{-1}{2} 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} であるから \quad \theta=120^{\circ}

以下のベクトル問題を解きなさい。 \ a \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+b \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}+c \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}=\\overrightarrow{0} \から\n\\(-a \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+b(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})+c(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}})=\\overrightarrow{0}\\)\n

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PH}}$ より, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PH}}=0$ であるから\( 2(2 k-9)+1 \times(k-6)-1 \times(-k)=0 \) ゆえに $k=4$

179 練習 137 本冊 p.260 OC = r0, 円 C の半径を a とし, P(r1, θ1), Q(r, θ) とする。 ΔOCP に余弦定理を適用すると r1^2 + r0^2 - 2 r0 r1 cos θ1 = a^2 ... (1) r = 2/3 r1, θ = θ1 であるから r1 = 3/2 r, θ1 = θ これを (1) に代入すると (3/2 r)^2 + r0^2 - 2 r0 * (3/2 r) * cos θ = a^2 よって, OC = r0 としたとき, 求める極方程式は r^2 + (2/3 r0)^2 - 2 * (2/3 r0) r cos θ = (2/3 a)^2

ベクトルのなす角（垂直条件） $\vec{a}-\frac{2}{5} \vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{b}$ が垂直, $\vec{a}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

(1) 証明せよ。 $$ \begin{array}{l} 2\left(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}\right)-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \ =\left(|\vec{a}|^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}\right)-\left(|\vec{b}|^{2}-2 \vec{b} \cdot \vec{c}+|\vec{c}|^{2}\right)+\left(|\vec{c}|^{2}-2 \vec{c} \cdot \vec{a}+|\vec{a}|^{2}\right) \ =|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{b}-\vec{c}|^{2}+|\vec{c}-\vec{a}|^{2} \geqq 0 \ 上って \quad 2\left(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}\right) \geqq 2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \end{array} $$ $$ \text { ゆえに } \quad|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} \geqq \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} $$ 等号は $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{0}$ かつ $\vec{b}-\vec{c}=\overrightarrow{0}$ かつ $\vec{c}-\vec{a}=\overrightarrow{0}$, すなわち $\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$ のときのみ成り立つ。

例 10 内積の計算（定義） 1 辺の長さが 2 で, $\mathrm{AC}=2$ であるようなひし形 $\mathrm{ABCD}$ において, 対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{O}$ とするとき, 次 の内積を求めよ。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (2). $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}$

練頨 次の不等式を証明せよ。\n(1) $|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} \geqq \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$\n等号は $\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$ のときのみ成立。\n(2) \( |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} \geqq 3(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \quad \) 等号は $\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$ のときのみ成立。

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$, 辺 $\mathrm{CD}$ の中点を $\mathrm{N}$ とする。\n(1) 等式 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$ を満たす点 $\mathrm{P}$ は存在するか。証明をつけて答えよ。

58 的自 22 内積の等式と三角形の形状 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 次の等式が成り立つとき, この三角形はどのような形か。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ [類 学習院大] (2) \( (\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{DB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{DA}})=0 \) [類 広島大] 例題 21 廹鈄 三角形の形状問題 $\cdots$ 辺の関係 $(2$ 辺が等しい, 3 辺が等しい, 三平方） または 2 辺のなす角 $\left(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\right.$ になるかなど）を調べる。 線分の長さ，角の大きさを調べるには、内積を利用する。 特に, $\quad($ 内積 \)=0 \Leftrightarrow \) 垂直または $\overrightarrow{0}$ は重要。 (1) 右辺の式を左辺に移して変形。 (2) Dを消すために $-2 \overrightarrow{\mathrm{DA}}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ とする。

ベクトルの内積の計算方法を説明し、具体的な例を用いて計算を行いなさい。

例題 18 三角形の垂心の位置ベクトル\n \\triangle \\mathrm{OAB} \ において, \\mathrm{OA}=5, \\mathrm{OB}=6, \\mathrm{AB}=7 \ とし, 垂心を \\mathrm{H} \ とする。 $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}$, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \ とするとき，次の問いに答えよ。\n(1) 内積 \\vec{a} \\cdot \\vec{b} \ を求めよ。\n(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \ を $\\vec{a}$, \\vec{b} \ を用いて表せ。

また, $\vec{n} \perp \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ から $\quad \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=0$ ここで \( \quad \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{2}{3} \cdot 4 t-\frac{2}{3}(-4 t+4)-\frac{1}{3}(4 t+1)=4 t-3=0 \) ゆえに $\quad t=\frac{3}{4} \quad$ よって \( \quad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(3,1,4) \) したがって, 点Rの座標は \( \quad(3,1,4) \)

四面体 OABC において, ⃗a=⇀OA, ⃗b=⇀OB, ⃗c=⇀OC とする。線分 OA, OB, OC, BC, CA, AB の中点をそれぞれ L, M, N, P, Q, R とし, ⃗p=⇀LP, ⃗q=⇀MQ, ⃗r=⇀NR とする。 (1) ⃗a, ⃗b, ⃗c を ⃗p, ⃗q, ⃗r を用いて表せ。 (2) 直線 LP, MQ, NR が互いに直交するとする。 X を ⇀AX=⇀LP なる空間の点と するとき，四面体 XABC および四面体 OABC の体積を |⃗p|,|⃗q|,|⃗r| を用いて 表せ。

內積による直線のベクトル方程式\n点 \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}) \\) を通り, \\( \\vec{n} (\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に垂直な直線のベクトル方程式 \\( \\vec{n} \\cdot (\\vec{p} - \\vec{a}) = 0 \\)

ベクトルの内積を求め、その幾何学的意味を説明しなさい。

到題 10 ベクトルの不等式の証明\n次の不等式を証明せよ。\n(1) $-|\vec{a}||\vec{b}| \leqq \vec{a} \cdot \vec{b} \leqq|\vec{a}||\vec{b}|$\n(2) $|\vec{a}|-|\vec{b}| \leqq|\vec{a}+\vec{b}| \leqq|\vec{a}|+|\vec{b}|$

(1) \ \\mathrm{AB} \\parallel \\mathrm{DE} \ であるから， \ \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ となる実数 \ k \ を求め、\\( \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-3,0,4), \\overrightarrow{\\mathrm{DE}}=(6, a+1, b+3) \\) のときの \ a \ および \ b \ の値を求めよ。

內積と成分 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ とする。\n\ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角を \\( \\theta (0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\) とすると\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos \\theta\\n\\( \\vec{a} = (a_1, a_2), \\vec{b} = (b_1, b_2) \\) のとき\n\\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2\\]\n\\( \\cos \\theta = \\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{a}||\\vec{b}|} = \\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\

別解 (ア) $\vec{a} , \vec{b}$ と同じ向きの単位 ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}$ とすると\n$\overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とすると, 四角形 $\mathrm{OA}^{\prime} \mathrm{CB}^{\prime}$ はひし形であるから,点 $\mathrm{C}$ は $\angle \mathrm{O}$ の二等分線上にある。よって，求めるベクトルは， $k$ を $k \neq 0$ である実数として \( k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}^{\prime}}\right)=k\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right) \) と表される。

P(0,s,0), Q(t+1,t+3,-t)とおける。 PQ^2 = (t+1)^2 + (t+3-s)^2 + (-t)^2 = s^2 - 2st + 3t^2 - 6s + 8t + 10 = s^2 - 2(t+3)s + 3t^2 + 8t + 10 = {s-(t+3)}^2 - (t+3)^2 + 3t^2 + 8t + 10 = (s-t-3)^2 + 2t^2 + 2t + 1 = (s-t-3)^2 + 2(t+1/2)^2 + 1/2 PQ^2は s-t-3=0 かつ t+1/2=0 すなわち s=5/2, t=-1/2 のとき最小値 1/2 をとる。 よって, PQ は s=5/2, t=-1/2 のとき最小値1/√2をとる。 すなわち P(0,5/2,0), Q(1/2,5/2,1/2)のとき最小値1/√2。

空間の4点O, A, B, Cが同じ平面上にないとき、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$とすると、任意のベクトル$\vec{p}$は次の形にただ１通りに表すことができる。\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c} \quad (s, t, u \text { は実数 })\)これを証明しなさい。

$|\u03b1 + t \u03b2| \u2265 0$ であるから, $|\u03b1 + t \u03b2|^{2}$ が最小のとき $|\u03b1 + t \u03b2|$ も最小となる。したがって, $|\u03b1 + t \u03b2|$ は $t=-1$ のとき最小値 $\u221a{26}$ をとる。 別解 O を原点とし, $\u03b1 = \mathbb{OA}, \u03b2 = \mathbb{OB}$ とすると, $\u03b1 + t \u03b2 = \mathbb{OC}$ で定まる点 C は, 点 A を通り $\mathbb{OB}$ に平行な直線上にある。よって, $|\u03b1 + t \u03b2|$ = $|\mathbb{OC}|$ が最小となるのは, $(\u03b1 + t \u03b2) \perp \u03b2$ となるときである。このとき $(\u03b1 + t \u03b2) \cdot \u03b2 = 0$ ゆえに (2 + t) x 1 + (-4 - t) x (-1) + (-3 + t) x 1 = 0 よって 3t + 3 = 0 ゆえに t = -1 このとき $|\u03b1 + t \u03b2|$ = $|\u03b1 - \u03b2|$ = $\u221a{1^{2} + (-3)^{2} + (-4)^{2}}$ = $\u221a{26}$ したがって, $|\u03b1 + t \u03b2|$ は $t=-1$ のとき最小値 $\u221a{26}$ をとる。

追加の参考\n参考: \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} と \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} の外積 \\vec{u} を求めると\n\n\\vec{u}=(1 \\cdot 0-(-2)\\cdot 4, (-2)\\cdot 3-2 \\cdot 0,2 \\cdot 4-1\\cdot 3) = (8,-6,5)

1. ベクトルの内積の最大値・最小値 2. ベクトルと軌跡, 領域 3. 四面体の体積の最大値 4. ベクトル方程式の扱い 5. 空間における図形 (球面) 6. 複素数平面上を移動する点の極限 7. 複素数平面上の点の存在範囲 8. 複素数と整数の性質の融合問題 9. 媒介変数表示と軌跡 10. 複素数平面と式と曲線の融合問題

例 11 | 内積の計算（成分） 次のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の内積と, そのなす角 $\theta$ を求めよ。 (1) \( \vec{a}=(3,4), \vec{b}=(7,1) \) (2) \( \vec{a}=(2,-1), \vec{b}=(-2+\sqrt{3}, 1+2 \sqrt{3}) \)

(2) の続き\nゆえに|\\vec{b}+t\\vec{c}|^{2}=|\\vec{b}|^{2}+2t\\vec{b}\\cdot \\vec{c}+ t^{2}|\\vec{c}|^{2}=14+6t+6t^{2}

辺の長さが 2 の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を求めよ。

(2) \( \vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times(-2+\sqrt{3})+(-1) \times(1+2 \sqrt{3})=-5 \)\nまた \( |\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5} \),\n\n\[\|\vec{b}|=\sqrt{(-2+\sqrt{3})^{2}+(1+2 \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\]\n\nよって $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-5}{\sqrt{5} \times 2 \sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$\n$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ であるから $\quad \theta=120^{\circ}$

A(r1,θ1)およびB(r2,θ2)[r1 > 0, r2 > 0]とする。余弦定理を用いて、点Aと点Bの距離ABを求めなさい。

向きが同じで大きさが等しいベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が等しいことをどのように表現しますか？

一般に，空間のベクトル \ \\overrightarrow{u_{1}}, \\overrightarrow{u_{2}}, \\overrightarrow{u_{3}} \ が次の条件を満たす：\\( \\overrightarrow{u_{i}} \\cdot \\overrightarrow{u_{j}}=\\left\\{\\begin{array}{ll}1 & (i=j) \\\\ 0 & (i \\neq j) \\end{array}\\right. \\)

線分 $\mathrm{AB}$ と点 $\mathrm{P}$ がある。次の等式が成り立つとき, 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか。 2. $\overrightarrow{\mathrm{AP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{0}$

点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において, 次の条件を満たす点 \( \mathrm{P}(x, y, z) \) の集合はどのような図形を表すか。また，その方程式を $x, y, z$ で表せ。\n(1) \( \mathrm{A}(3,-6,2) \) とするとき, 点 $\mathrm{P}$ は $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+45=0$ を満たす。\n(2) \( \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0,2,0), \mathrm{C}(0,0,3) \) とするとき, 点 $\mathrm{P}$ は \( \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}})=0 \) を満たす。

点 H は垂心であるから\n\n1. $\\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=s \\vec{a}+t \\vec{b}(s, t$ は実数)\n2. $\\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ より $\\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=0$\n3. $\\overrightarrow{\\mathrm{AH}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}$ より $\\overrightarrow{\\mathrm{AH}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=0$\n\nこれらの条件をもとに、\ \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}\ を求めよ。

献題 31 | 円のベクトル方程式\n平面上の \\triangle \\mathrm{OAB} \ と任意の点 \\mathrm{P} \ に対し, 次のベクトル方程式は円を表す。どのような円か。\n(1) |3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}|=5 \\n(2) \( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})=\\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\)

(2) \\[\\begin{aligned}|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}| &=|2 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-2(\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})- (\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})| &=| -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|\\end{aligned}\\] (1) より, \ 2 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \ であるから\|3 \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}|=a\

点 $\mathrm{R}$ が $\triangle \mathrm{ABC}$ の内部および辺上を動くとき、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ を求めよ。

(2) \( \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(2,1,-2), \mathrm{B}(3,4,0) \) について, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のどちらにも垂直 で大きさが $\sqrt{5}$ のベクトルを求めよ。

(2) 求めるベクトルを \( \vec{p}=(x, y, z) \) とする。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \vec{p}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \vec{p}$ であるから $\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \vec{p}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \vec{p}=0$\n $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \vec{p}=0$ から $\quad 2 x+y-2 z=0$ $\qquad$\n $\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \vec{p}=0$ から $\quad 3 x+4 y=0$\n また, $|\vec{p}|=\sqrt{5}$ であるから\n $x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$

次のことを示せ。\n(1) P の速度ベクトルと加速度ベクトルは垂直である。\n(2) $\mathrm{P}$ の速度ベクトルとベクトル \( (A x, B y) \) は垂直である。

(1) 平面上の異なる 2 つの定点 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$ と任意の点 $\\mathrm{P}$ に対し, ベクトル方程式\n\ |3 \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}-5 \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}|=5 \ はどのような図形を表すか。\n(2) 平面上に点 $\\mathrm{P}$ と $\\triangle \\mathrm{ABC}$ がある。条件 $2 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PC}}$ を満たす点 $\\mathrm{P}$ の集合を求めよ。

(1) 平面上の異なる 4 点 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D}$ と直線 $\\mathrm{AB}$ 上にない点 $\\mathrm{O}$ に対して, $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}$ とする。 $\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=3 \\vec{a}-2 \\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}=-3 \\vec{a}+4 \\vec{b}$ であるとき, $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} / / \\overrightarrow{\\mathrm{CD}}$ であることを証明せよ。\n(2) $\\mathrm{AB}=5, \\mathrm{AC}=6$ であるひし形 $\\mathrm{ABCD}$ がある。 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d}$ とするとき, $\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}$ と平行で向きが反対の単位ベクトルを $\\vec{b}, \\vec{d}$ で表せ。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ と点 $\mathrm{O}$ があり、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}, \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{d}$ とおく。 $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$ かつ $\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{d}$ のとき, この四角形の形を調べよ。

座標平面上の2点 A(x, y), B(x y^{2}-2 y, 2 x+y^{3}) について, 点 A が楕円 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 上を動くとき, 内積 $\overrightarrow{OA} ⋅ \overrightarrow{OB}$ の最大値を求めよ。ただし, O は原点である。

等式 \ \\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}+\\left|\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{3} \\vec{b}\\right|^{2}=\\frac{1}{2}|\\vec{a}|^{2}+\\frac{2}{9}|\\vec{b}|^{2} \ を証明せよ。\n\\( |\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=1 で, -3 \\vec{a}+2 \\vec{b} と \\vec{a}+4 \\vec{b} が垂直であるとき, \\vec{a} と \\vec{b} のなす角 \\theta を求めよ。

正射影ベクトルの利用

練習(2) \ \\overrightarrow{0} \ でない 2 つのベクトル \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ に対して, \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ と \ \\vec{a}+3 t \\vec{b} \ が垂直であるよう な実数 \ t \ がただ 1 つ存在するとき, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角 \ \\theta \ を求めよ。

EX：次のベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が与えられている。点 Q が条件 $256 \overrightarrow{\mathrm{AQ}} + 3 \overrightarrow{\mathrm{BQ}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$ を満たすとき、三角形 $\triangle \mathrm{QBC}$ の面積を求めよ。

2 つのベクトル \(\\vec{a}=(2,1,-2), \\vec{b}=(3,4,0)\\) の両方に垂直で, 大きさが \\sqrt{5}\ のベクトル \\vec{p}\ を求めよ。

ベクトルの垂直と内積 $\overrightarrow{0}$ でない 2 つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ のなす角を \( \theta\left(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\right) \) とする。 $\theta=90^{\circ}$ のとき, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ 垂直であるといい, $\vec{a} \perp \vec{b}$ と書く。 $\cos 90^{\circ}=0$ であるから $\quad \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$

EX \( (2 \\vec{a}+3 \\vec{b}) / /(\\vec{a}-4 \\vec{b}) \\) のとき, \ \\vec{a} / / \\vec{b} \ であることを示せ。

3. 点 A(𝑎) を通り、𝑑(≠0)に平行な直線のベクトル方程式は 𝑝=𝑎+𝑡𝑑 。 p.343 基本事項 1。 4. 点 A(𝑎) を通り、𝑛(≠0) に垂直な直線のベクトル方程式は 𝑛・(𝑝−𝑎)=0 。p .343 基本事項 1。 5. 点 A(𝑎) を通り、𝑛(≠0) に平行な直線のベクトル方程式は 𝑝=𝑎+𝑡𝑑 。p.398,399 基本事項 4.4.5。 6. 点 A(𝑎) を通り、 𝑛(≠0) に垂直な平面のベクトル方程式は 𝑛・(𝑝−𝑎)=0 。p.398,399 基本事項 4.4.5。 補足: 平面と空間ではベクトル方程式の形式が共通しているものが多い。

7 △OAB において, vec{a}=\overrightarrow{OA}, vec{b}=\overrightarrow{OB} とし, |\vec{a}|=3,|\vec{b}|=5, \cos \angle AOB = \frac{3}{5} とする。このとき, \angle AOB の二等分線と B を中心とする半径 \sqrt{10} の円との交点の, O を始点とする位置ベクトルを, vec{a}, vec{b} を用いて表せ。

練習 線分 \\mathrm{AB} \ と点 \\mathrm{P} \\) がある。次の等式が成り立つとき, 点 \\mathrm{P} \\) はどのような位置にあるか。 (2) \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-3 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+4 \\overrightarrow{\\mathrm{BA}}=\\overrightarrow{0} \

Z3ERけISBS 5 ベクトル方程式 A 35^{\ominus} \mathrm{O} 原点とするとき, ベクトル \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} のなす角の二等分線のべ クトル方程式は, t を変数として, \vec{p}=t\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right) で表されることを証明 せよ。

ベクトルの平行と内積 $\overrightarrow{0}$ でない 2 つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ のなす角を \( \theta\left(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\right) \) とすると $\vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow\left\lceil\theta=0^{\circ}\right.$ または $\left.\theta=180^{\circ}\right\rfloor$

p. 54 の例題 20 (2) を, ① を利用して解く\n\n$\angle \mathrm{OAM} \angle 90^{\circ}, \angle \mathrm{OAN}<90^{\circ}$ であるから\n\[\n\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\mathrm{AM}^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}, \overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\mathrm{AN}^{2}=1^{2}\n\]\nよって, $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s \vec{b}+t \vec{c}(s, t$ は実数 \( ) \) とすると\n\[\n(s \vec{b}+t \vec{c}) \cdot \frac{\vec{b}}{2}=\frac{9}{4}, \quad(s \vec{b}+t \vec{c}) \cdot \frac{\vec{c}}{2}=1\n\]\nゆえに $\quad 2 s|\vec{b}|^{2}+2 t \vec{b} \cdot \vec{c}=9, s \vec{b} \cdot \vec{c}+t|\vec{c}|^{2}=2$$|\vec{b}|=3,|\vec{c}|=2, \vec{b} \cdot \vec{c}=3$ を代入して整理すると $\quad 6 s+2 t=3,3 s+4 t=2$\n連立して解くと $\quad s=\frac{4}{9}, t=\frac{1}{6} \quad$ したがって $\quad \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{4}{9} \vec{b}+\frac{1}{6} \vec{c}$