幾何学と測定 - ベクトルの基礎 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

原点 O と点 P(2,3,1) の距離を求めよ。

原点 O と点 P(-2,4,3) の距離を求めよ。

69 （2） x 軸方向に -2, y 軸方向に -3

69 (1) x 軸方向に 3/2, y 軸方向に 5/4

53 （1） $x$ 軸方向に $4, y$ 軸方向に -7 だけ 平行移動したもの (2) $x$ 軸方向に $-\frac{5}{2}, y$ 軸方向に $-\frac{35}{4}$ だけ平行移動する

$\alpha=x-2 i, \beta=3-6 i$ とする。2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 $\mathrm{O}$ が一直線上にあるとき，実数 $x$ の値を求めよ。

ベクトルの成分表示 \( \vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1) \) のとき, 次のベクトルを成分表示せよ。 (1) $2 \vec{a}$ (2) $-\vec{b}$ (3) $\vec{a}+2 \vec{b}$ (4) $2 \vec{a}-3 \vec{b}$

ベクトル方程式: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の存在範囲

ベクトルの係数の等しさについて: $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}$ のとき, $s \vec{a} + t \vec{b} = s^{\prime} \vec{a} + t^{\prime} \vec{b}$ ⇔ $s = s^{\prime}, t = t^{\prime}$

■ 三角形の重心の位置べクトル \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心Gの位置ベクトルについて, 次のことが成り立つ。3点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心の位置ベクトルは\n\\\frac{\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}}{3}\\n

平面上のベクトルに関する問題を解いてください。

3 点 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ において、$\angle \mathrm{BAC}$ の大きさ $\theta$ を求めよ。

次の各場合において, $\\vec{a}$ と $\\vec{b}$ のな角 $\\theta$ を求めよ。\n(1) $|\\vec{a}|=1,|\\vec{b}|=2 \\sqrt{2},|2 \\vec{a}-3 \\vec{b}|=10$ のとき\n(2) $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=1$ で, $\\vec{a}-3 \\vec{b}$ と $2 \\vec{a}+\\vec{b}$ が垂直であるとき

ベクトルの平行\nベクトル \\overrightarrow{0} \ でない 2 つのべクトル \vec{a}, \\\vec {b} \ は, 向きが同じか反対のとき平行であるといい, \\\vec {a}/\\vec {b}\ と書く。ベクトルの実数倍の定義から，次のことが成り立つ。\n\n次にサンプルベクトル \\\vecа=\(кращий)))， \вейвек треба й дорівнювати \( 2 \\vec {b}\ 示してください。

空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に外分する点の位置ベクトルを求めよ。

点 P(\\vec{p}) が 3 点 A(\\vec{a}), B(\\vec{b}), C(\\vec{c}) の定める平面上にある条件\n\\n\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{CA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{CB}}\\ \ Longleftrightarrow \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c}, \\ s+t+u=1\n\

右の図に示されたベクトルについて, 次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1) 大きさが等しいベクトル\n(2) 向きが同じベクトル\n(3) 等しいベクトル\n(4) 互いに逆ベクトル

TRAINING 36 $\triangle \mathrm{ABC}$ の内部に点 $\mathrm{P}$ があり, $2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ が成り立っている。 (1) 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか。 （2）面積比 $\triangle \mathrm{PBC}: \triangle \mathrm{PCA}: \triangle \mathrm{PAB}$ を求めよ。

座標空間において、2点間の距離を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、AB間の距離は？

（4） \\( \\vec{a}=(3,5,-8), \\vec{b}=(2,4,-6) \\) と実数 \ t \ に対し， \\( \\vec{p}=(1-t) \\vec{a}+t \\vec{b} \\) とする。 \ |\\vec{p}| \ が最小となるときの \ t \ の値と, そのときの \ |\\vec{p}| \ を求めよ。

ベクトルの実数倍\実数 $k$ とベクトル \( \\vec{a}(\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に対し, \\vec{a} \ の k \ 倍のベクトル k \\vec{a} \ を次のように定める。\n1. k > 0 \ なら, \\vec{a} \ と同じ向き で, 大きさが k \ 倍 になります。特に 1 \\vec{a}=\\vec{a} \\n2. ￥(k < 0 \\) なら, \\vec{a} \ と反対向きで, 大きさが \( |k| \\ ) 倍 になります。特に \( \\quad (-1) \\vec{a}=-\\vec{a} \\)\n3. k=0 \ なら, \\overrightarrow{0} \ すなわち 0 \\vec{a}=\\overrightarrow{0} \\n\n次に与えられた例でこれを確認してください。例: ベクトル \( \\vec{a} = (3, -2) \\) に実数 k = 2, -3, 0 \ を掛ける。

ベクトルの分解 $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, \vec{a} \times \vec{b}$ のとき, 任意のベクトル $\vec{p}$ は,実数 $s, t$ を用いてただ 1 通りに$\vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}$の形に表される。

別解 $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ の求め方（11 までは同じ） 点Dを始点とすると, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ であるから, (1) より \[ \begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & =\frac{1}{30} k(\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})+\frac{1}{5} k(\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})-\frac{9}{10} k(-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & =\frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}}+\frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}}+\frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10}+\frac{3}{5}+\frac{3}{10}=1$ を確認しておこう。

$z=4+2 i, \alpha=1+3 i$ とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{A}^{\prime}(-\alpha), \mathrm{B}(z+\alpha) \), \( \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。

右の図の四角形 $A B C D$ はひし形であり, 点 $O$ は対角線 $A C$ と $\\mathrm{BD}$ の交点である。$\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{CD}}=\\vec{c}$ とするとき\n(1) $\\vec{a}-\\vec{b} , \\vec{a}-\\vec{c}$ を図示せよ。(2) $\\vec{b}+\\vec{c}$ はどのようなベクトルか。

発展例題 35 ベクトルの大きさの最小値(空間) \( \vec{a}=(2,-4,-3), \vec{b}=(1,-1,1) \) とする。 $\vec{a}+t \vec{b}(t$ は実数 \( ) \) の大きさの最小値とそのときの $t$ の値を求めよ。 [千葉工大]

次の 2 つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が平行になるように, $x$ の値を定めよ。 (1) \( \vec{a}=(3, x), \vec{b}=(1,4) \) (2) \( \vec{a}=(2 x, 9), \vec{b}=(8, x) \)

ベクトルの加法について，図形的な意味を考えてみましょう。\n\n右のベクトル $\\vec{a}, \\vec{b}$ について, $\\vec{a}+\\vec{b}$ を図示せよ。

(1) 定点 $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ と動点 $\mathrm{P}$ がある。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{p}$ とするとき, $|6 \vec{p}-3 \vec{a}|=2$ で表される点 $\mathrm{P}$ は, ある円の周上にある。その円の中心と半径を求めよ。 ただし， $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$ とする。

ベクトルの加法の図形的な意味を理解して,例題 2 を攻略！

ベクトルを使った三角形の面積の求め方を説明しなさい。

TRAINING 31 (3) $\triangle \mathrm{OAB}$ に対して, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。実数 $s, t$ が次の式を満たすとき, 点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を求めよ。 (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

3点A、B、Cの重心の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)、点Cの座標が(c1, c2, c3)の場合、重心の座標は？

$z=3+2 i, \alpha=1-i$ とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。

点Aの座標は (2,-4), 点 Bの座標は (-2,2),点Cの座標は (0,-4) です。次のベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$について、以下の問題に答えなさい。\n(1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ をそれぞれ成分表示せよ。\n(2) $|\vec{a}|,|\vec{b}|,|\vec{c}|$ をそれぞれ求めよ。

空間において, 始点を A, 終点を B とする有向線分 AB が表すベクトルを $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ で表し，その大きさを $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ で表す。空間のベクトルも小文字を使って $\vec{a}, \vec{b}$ と表すことがある。空間のベクトルは，平面の場合とまったく同じように定義される。ベクトルの基本的な性質について以下の問いに答えなさい。 1. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が向きが同じで大きさも等しい場合、どのように表せますか？ 2. ベクトル $\vec{a}$ の逆ベクトルはどう表しますか？ 3. 大きさが0のベクトルと、大きさが1のベクトルはそれぞれ何と呼ばれますか？ 4. ベクトルの加法と減法、および実数倍の例を挙げてください。

TR $z=3+2 i, \alpha=1-i$ とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面 70 上に図示せよ。

直線のベクトル方程式を説明しなさい。

平面上に, $\triangle \mathrm{ABC}$ と点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ はど のような位置にあるか答えよ。\n(1) $3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$\n(2) $4 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

右の図に示されたベクトルについて，次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n（1）大きさが等しいベクトル\n（2）向きが同じベクトル\n（3）等しいベクトル\n（4）互いに逆ベクトル

TRAINING 59 \( \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,0,-1) \) があり, 実数 $t$ に対し, $\vec{c}=\vec{a}+t \vec{b}$ とする。 $|\vec{c}|$ の最小値と, そのときの $t$ の値を求めよ。 [福岡工大]

位置ベクトル, 図形への応用 分点の位置ベクトル（空間）

第 1 章 平面上のベクトル- 23\nEX 3 点 \( \\mathrm{A}(1,1), \\mathrm{B}(3,2), \\mathrm{C}(5,-2) \\) がある。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ と \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ のなす角 \\theta \ に対して \ \\cos \\theta \ を求めよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を求めよ。\n(3) ベクトル \ t \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ の大きさを最小にする実数 t の值とその最小值を求めよ。

点Pが平面KLM上にある場合、ベクトルOPの大きさ|€{\vec{\mathrm{OP}}}|を求めよ。

3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{P}$, 辺 $\mathrm{BC}$ を 1:2 に外分する点を $\mathrm{Q}$, 辺 $\mathrm{CA}$ を $2: 1$ に外分する点をRとし, $\triangle \mathrm{AQR}$ の重心を Gとする。次のベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。\n(1) 点Gの位置ベクトル\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

TR 次の各場合において, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ のな角 \\theta \ を求めよ。\n(1) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2 \\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{13} \ のとき\n(2) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=\\sqrt{3} \ で, \\vec{a}-\\vec{b} \ と 6 \\vec{a}+7 \\vec{b} \ が垂直であるとき

点 \( \mathrm{A}(4,2,2) \) を通り, \( \vec{n}=(2,-3,1) )に垂直な平面の方程式を求めよ。

次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

点 \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) を通り, \( \vec{n}=(1,-2,3) \) に垂直な平面の方程式を求めよ。

2 点 \( \mathrm{A}(a_{1}, a_{2}) \), \( \mathrm{B}(b_{1}, b_{2}) \) について\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}\right)\] \[|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}\]

ベクトル \\vec{a} と \\vec{b} が与えられている。|\\vec{a}| = 2\\sqrt{10}, |\\vec{b}| = \\sqrt{5}, \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -10 であるとき、次の問いに答えよ。(1) 実数 t に対し, |\\vec{a} + t\\vec{b}| の最小値と、そのときの t の値を求めよ。(2) (1) で求めた t の値に対して, \\vec{a} + t\\vec{b} と \\vec{b} は垂直であることを示せ。

平面上に, $\triangle \mathrm{ABC}$ と点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ はどのような位置にあるか答えよ。\n(1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$\n(2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

\(\vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1)\) のとき、次のベクトルを成分表示せよ。\n(1) $2\vec{a}$\n(2) $-\vec{b}$\n(3) $\vec{a}+2\vec{b}$

空間のベクトルに関する問題を解いてください。

》発展例題 39 $\triangle \mathrm{OAB}$ に対して, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。実数 $s, t$ が $s+t=\frac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0$ を満たすとき, 点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を求 めよ。

基 例題\n本 2 ベフトルの加法\n右の図のベクトル \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{d} \ について, 次のベクトル を図示せよ。\n(1) \\vec{a}+\\vec{b} \\n(2) \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \\n(3) \\vec{a}+\\vec{d} \

3点 O, P, C がこの順に一直線上 にあるのは, 直線 OC と球面 S との交点のうち, 点 O から近い方の点が P の ときである。 OC=√(0^2+1^2+2^2)=√5 であるから, 3点 O, P, C がこの順に一直線上に あるとき, 点 P の y 座標は何ですか？

(1) $\triangle \mathrm{OAB}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ のとき, $\triangle \mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を 用いて表せ。\n(2) (1) を利用して, $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$ のとき, $\triangle \mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を求めよ。

(1) \( \\vec{a}=(x+2,1) \) と \( \\vec{b}=(1,-6) \) が垂直になるような $x$ の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で，大きさが $2 \\sqrt{5}$ であるベクトル $\\vec{d}$ を求めよ。

(1) $3 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}-2 \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\overrightarrow{0}$

次の条件を満たす直線の方程式を，ベクトルを用いて求めよ。\n（1）点 \( \mathrm{A}(-2,3) \) を通り，ベクトル \( \vec{d}=(2,1) \) に平行\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(3,1) \) を通る

次のベクトル $\\vec{a}, \\vec{b} に つ い て, ~ \\vec{a}-\\vec{b}$ を図示せよ。

空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に内分する点の位置ベクトルを求めよ。

線分ABをm:nに内分する点Pの座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、Pの座標は？

線分 AB の中点の座標\n\\ \ left(\\\frac{a_{1}+b_{1}}{2}, \\\frac{a_{2}+b_{2}}{2}, \\\frac{a_{3}+b_{3}}{2}\\n

2 \vec{a}-3 \vec{b}+\vec{c}

点が一致する条件\n点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ が一致する\n$\\Longleftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}$ (位置ベクトルが一致する)\n\\& 50 参照。

次の媒介変数表示された曲線は, どのような図形を描くか。\n(1) $x=t+1, \quad y=3 t-2$\n(2) $x=\\sqrt{t}-1, \quad y=t-3 \\sqrt{t}$\n(3) $x=2 \\cos \\theta, \quad y=2 \\sin \\theta$

ベクトルの成分 ベクトルの分解と成分

(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \ と \\overrightarrow{\\mathrm{MN}} \ のなす角を求めよ。

線分ABの中点の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、中点の座標は？

TRAINING 55\n3 点 \( \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,2,-1), \mathrm{C}(-4,2,1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 間の距離\n(2) 線分 BC を $1: 3$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標\n(3) 線分 $\mathrm{AB}$ を $2: 3$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標\n(4) 線分 CA の中点 $\mathrm{R}$ の座標\n(5) $\triangle \mathrm{PQR}$ の重心 G の座標

TR 次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

右の図の正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ において、対角線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{O}$ とし、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}$ とする。このとき，次のベクトルを $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。\n(1) $\\overrightarrow{\\mathrm{DE}}$\n(2) $\\overrightarrow{\\mathrm{FC}}$\n(3) $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\n(4) $\\overrightarrow{\\mathrm{BF}}$

3 点 \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \) を通る平面の方程式を求めよ。

ベクトル \( \\vec{a}=(1,2) \) とのなす角が $45^{\\circ}$ で, 大きさが $\\sqrt{10}$ であるベクトル $\\vec{b}$ を求 めよ。

ベクトルの成分\nベクトルの大きさ\n\\n|\\vec{a}|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\n\

45 \\vec{d}=2 \\vec{a}-2 \\vec{b}+3 \\vec{c}

右の図の正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ において, 対角線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{O}$ とし, $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とする。このとき，次のベクトルを \( \vec{a}, \vec{b} を用いて表せ。(1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$

2点 \(A(a_1, a_2, a_3)\) と \(B(b_1, b_2, b_3)\) の間の距離を求めよ。

ベクトルの差を説明してください。

位置ベクトル, 図形への応用 直線と平面の交点の位置ベクトル

空間ベクトルのなす角を理解して, 例題 46 を 攻略！

第 1 章 平面上のベクトル- 5 TR \( \vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-2,2), \vec{c}=(5,5) \) であるとき, $\vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}$ を満たす実数 $x, y$ の値を求め 11 よ。

右のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ につて, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) $3 \vec{a}$\n(2) $-\\frac{3}{2} \vec{b}$\n(3) $\vec{a}+2 \vec{b}$\n(4) $2 \vec{a}-3 \vec{b}$

右のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) $2 \vec{a}$\n(2) $\frac{1}{3} \vec{b}$\n(3) $2 \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}$

次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{KH}}-\overrightarrow{\mathrm{RS}}-\overrightarrow{\mathrm{SH}}-\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{KN}}$

\( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で、大きさが $2 \\sqrt{5}$ であるベクトル \( \\vec{d}=(x, y) \) を求めよ。

TR $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ とする。次の問いに答えよ。\n(2) $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ のとき, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $|2 \vec{a}-3 \vec{b}|$ の値を求めよ。

(1) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) から $x y$ 平面, $y z$ 平面, $z x$ 平面にそれぞれ垂線 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}, \mathrm{PC}$ を下ろす。 3 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の座標を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) と $x y$ 平面, $y z$ 平面, $z x$ 平面に関して対称な点をそれぞれ $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ とする。 3 点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ の座標を求めよ。\n(3) 原点 \( \mathrm{O} )と点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) の距離を求めよ。

第 2 章 空間のベクトル\n37\nTR \\( \\vec{a}=(1,2,3), \\vec{b}=(2,0,-1) \\) があり, 実数 \ t \ に対し, \ \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \ とする。 \ |\\vec{c}| \ の最小値と， 59 そのときの \ t \ の値を求めよ。\n[福岡工大]\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\vec{c} & =\\vec{a}+t \\vec{b}=(1,2,3)+t(2, \\quad 0,-1) \\\\\n& =(2 t+1, \\quad 2,-t+3)\n\\end{aligned}\n\\]\n

3 略, $3 t=-2$ のとき \( \\vec{p}=(-5,0), t=1 \) のとき \( \\vec{p}=(4,3) \)

3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$ を $2: 1$ に内分する点を $\mathrm{P}$, 辺 $\mathrm{BC}$ を $2: 5$ に外分する点を $\mathrm{Q}$ とする。次のベクトルを $\vec{a}, \vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。\n(1) 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ の位置ベクトル\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$\n(3) $\triangle \mathrm{CPQ}$ の重心Gの位置ベクトル

3点が一直線上にあるための条件 [共線条件] 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) が異なるとき,点 \( \mathrm{C}(\vec{c}) \) に対して\n3 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ が一直線上にある\n$\Longleftrightarrow$ 点 $\mathrm{C}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある\n$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}} / / \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ または $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$\n$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ となる実数 $k$ がある\n...... (1)\n$\Longleftrightarrow \vec{c}=s \vec{a}+t \vec{b}, s+t=1$\nとなる実数 $s, t$ がある\nとなる実数 $s, t$ がある $\qquad$\n補足 (1)において, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}-\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$ であるから \( \vec{c}-\vec{a}=k(\vec{b}-\vec{a}) \)\n整理すると \( \quad \vec{c}=(1-k) \vec{a}+k \vec{b} \)\n$1-k=s, k=t$ とおくと, (2)が得られる。

等しいベクトル\n向きが同じで大きさも等しい2つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b} \ は等しいとい い, \\vec{a}=\\vec{b} \ と表す。\n \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であるとき, 有向線分 \\mathrm{AB} \ を平行移動して有向線分 \\mathrm{CD} \ に重ね合わせることができる。\nすなわち, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であることは, 有向線分 \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD} \ について,次の [1], [2] が同時に成り立つことである。\n１］向きが同じ \\longleftrightarrow \ 矢印の向きが同じ\n[2] 大きさが等しい \\longleftrightarrow A B=C D \

EX 2 つのベクトル \( \\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(3,1) \) と実数 $t$ に対して $\\vec{p}=\\vec{a}+t \\vec{b}$ とおくとき, \\vec{p} \ の大 3 きさが 5 となる $t$ の值と \\vec{p} \ を求めよ。

Oを極とする極座標において, 次の直線の極方程式を求めよ。 （1）始線 OX 上の点 A(3/2, 0) を通り，始線に垂直な直線 （2）極 O を通り，始線とのなす角が -π/4 の直線

左の例題で, 点 P を線分 AE を m: n に内分する点 [AP: PE=m: n] とすると \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n \overrightarrow{\mathrm{OA}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}}}{m+n}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。係数の和が 1 に着目して, \[ \frac{m}{m+n}=s \] とおく。したがって, \[ \frac{n}{m+n}=1-s となり, (A) を \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。

数学 C\nTR右の図の四角形 $\mathrm{ABCD}$ はひし形であり, 点 $\mathrm{O}$ は対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点 3 である。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$ とするとき\n(1) $\vec{a}-\vec{b} , \vec{a}-\vec{c}$ を図示せよ。\n(2) $\vec{b}+\vec{c}$ はどのようなベクトルか。

1辺の長さが 2 の正方形 $\mathrm{ABCD}$ において、 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}$ とする。\n(1) 辺 $\mathrm{AD}$ を 2:1 に内分する点 $\mathrm{E}$ に対して、 $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ を $\vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。\n(2) $\vec{c}$ と反対向きの単位ベクトル $\vec{d}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

ベクトル \( \\vec{a}=(-1,1) \) とのなす角が $60^{\\circ}$ で, 大きさが $2 \\sqrt{2}$ であるベクトル $\\vec{b}$ を求めよ。

ベクトルの成分 ベクトルの成分計算と 2 点間の距離

媒介変数表示の曲線

以下の文を読み、次の問いに答えなさい。\n\n線分 $\mathrm{AB}$ の内分点・外分点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトルを求めなさい。$\mathrm{AP}: \mathrm{PB}=m: n$ とする。

TRAINING\n次の計算をせよ。\n(1) $3 \vec{a}+2 \vec{a}$\n(2) \( 5 \vec{b}-2(-6 \vec{b}) \)\n(3) \( -2(3 \vec{a}-2 \vec{b})+4(\vec{a}-\vec{b}) \)\n(4) \( \frac{1}{2}(\vec{a}+2 \vec{b})+\frac{3}{2}(\vec{a}-2 \vec{b}) \)\n(5) \( \frac{2}{3}(2 \vec{a}-3 \vec{b})+\frac{1}{2}(-\vec{a}+5 \vec{b}) \)

長方形 $\mathrm{ABCD}$ で $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AD}=4$ である。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$ とする。\n(1) 辺 $\mathrm{AD}$ の中点を $\mathrm{E}$ とするとき, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。\n(2) $\vec{c}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{d}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

ベクトルの成分表示 \( \vec{a}=(3,-2), \vec{b}=(-1,2) \) のとき，次のベクトルを成分表示せよ。 (1) $\vec{a}+\vec{b}$ (2) $\vec{a}-\vec{b}$ (3) $5 \vec{b}$ (4) $-2 \vec{a}+3 \vec{b}$

ベクトルの和, 差, 実数倍\n\\[\ns \\vec{a}+t \\vec{b}=s\\left(a_{1}, \\quad a_{2}, a_{3}\\right)+t\\left(b_{1}, \\quad b_{2}, \\quad b_{3}\\right)\n\\]

空間の点とベクトルの関係\n2 点 \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) について\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]

極座標 ↔ 直交座標

第 2 章 空間のベクトル 2 つのベクトル \\( \\vec{a}=(1,2,-1), \\vec{b}=(-1, x, 0) \\) のなす角が \ 45^{\\circ} \ であるとき， \ x \ の值を求めよ。

(1) 点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, ベクトル \( \vec{n}=(3,-7) \) に垂直な直線の方程式を求めよ。

STEP into ここで整理 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の存在範囲 $\triangle \mathrm{OAB}$ に対して, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の存在範囲について整理して おきましょう。 まず, $s, t$ の条件式について, 基本となる次の 4 つのタイプがある。 [1] $s+t=1$ (係数の和が 1 ) $\Longleftrightarrow$ 直線 $\mathrm{AB}$ [2] $s+t=1, s \geqq 0, t \geqq 0 \Longleftrightarrow$ 線分 $\mathrm{AB} \longrightarrow$ 例題 31 [3] $s+t \leqq 1, s \geqq 0, t \geqq 0 \Longleftrightarrow \triangle \mathrm{OAB}$ の周および内部 $\longrightarrow$ 例題 39 (1) [4] $0 \leqq s \leqq 1,0 \leqq t \leqq 1 \Longleftrightarrow$ 平行四辺形 $\mathrm{OACB}$ の周および内部 \( (\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}) \longrightarrow \) 例題 39 (2) [1], [2] については， 7.59 で触れているので, ここでは[3]，[4]について説明しておこう。

(2) $4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0}$

50 \\overrightarrow{\\mathrm{MN}}=\\frac{-2 \\vec{a}-\\vec{b}+3 \\vec{c}}{4}, \\overrightarrow{\\mathrm{GN}}=\\frac{-4 \\vec{a}-\\vec{b}+9 \\vec{c}}{12}

右のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) $3 \vec{a}$\n(2) $-\frac{3}{2} \vec{b}$\n(3) $\vec{a}+2 \vec{b}$\n(4) $2 \vec{a}-3 \vec{b}$

極座標が次のような点の直交座標を求めよ。 A(2, 11/4 π), B(1, -5/2 π), C(3, 3 π), D(3, 0)

右の図の正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b}$ とする。次のベクトルを $\vec{a}, \vec{b} を$ 用いて表せ。(1) $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$ (3) $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

(2) 3 点 \( \mathrm{A}(3,1), B(-2,2), C(1,-5) \) について, 点Cを通り, 直線 $\mathrm{AB}$ に 垂直な直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。

次の各場合において, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ のなす角 $\\theta$ を求めよ。\n(1) $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2 \\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{13}$ のとき\n(2) $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=\\sqrt{3}$ で, $\\vec{a}-\\vec{b}$ と $6 \\vec{a}+7 \\vec{b}$ が垂直であるとき

7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}

空間のベクトルと平行(成分)

前ページの例題の結果に注目してみましょう。 3 つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{CE}}, \overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ はすべて, 2 つのべクトル $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて $\vec{a}+\vec{b}$ の形に表されていますね。一般に, 平面上のベクトルについて, 次のことがいえます。$\overrightarrow{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が平行でないとき, どんなベクトル $\vec{p}$ も $\vec{a}, \vec{b}$ と適当な実数 $s, t$ を用いて $\vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}$ の形に表すことができる。しかも, この表し方はただ1通りである。

基 例 題 》標準例題 45 本 11 ベフトルの分解と成分 (》) \( \vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-1,1) \) であるとき, ベクトル \( \vec{p}=(1,5) \), 適当な実数 $s$, $t$ を用いて $s \vec{a}+t \vec{b}$ の形に表せ。

空間におけるベクトルの成分表示について説明しなさい。

次の条件を満たす直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。\n1. 点 \( \\mathrm{A}(-3,5) \\) を通り, ベクトル \( \\vec{d}=(1,-\\sqrt{3}) \\) に平行\n2. 2 点 \( \\mathrm{A}(-7,-4), \\mathrm{B}(5,5) \\) を通る

四面体 $\mathrm{OABC}$ において、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする。辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$、辺 $\mathrm{BC}$ を $3: 1$ に内分する点を $\mathrm{N}, \triangle \mathrm{OAB}$ の重心を Gとするとき、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{MN}}, \overrightarrow{\mathrm{GN}}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

通る1点と傾き（方向）が与えられた直線について考えよう。点A(\\vec{a}\)を通り、0でないベクトル\\vec{d}\に平行な直線をgとすると直線g（点Aを除く）上の任意の点P(\\vec{p}\)について、次のことが成り立つ。\n点P(\\vec{p}\)がg上にあることの条件を示せ。具体的には、方向ベクトルを用いて直線の方程式を導け。

ベクトルの相等\n\\n\\vec{a}=\\vec{b} \\Longleftrightarrow a_{1}=b_{1}, \\quad a_{2}=b_{2}, \\quad a_{3}=b_{3}\n\

数学の問題：三角形 \\triangle OAB \ の重心 G の位置ベクトルを求める問題です。点 G \ は三角形の重心であるから、点 G \ の位置ベクトルは以下のように求められます。\n\n1. $\\overrightarrow{OG} = \\frac{\\overrightarrow{OO} + \\overrightarrow{OA} + \\overrightarrow{OB}}{3} = \\frac{\\vec{a} + \\vec{b}}{3}$\n2. よって \( \\overrightarrow{GN} = \\overrightarrow{ON} - \\overrightarrow{OG} = \\frac{\\vec{b} + 3 \\vec{c}}{4} - \\frac{\\vec{a} + \\vec{b}}{3} = \\frac{3(\\vec{b} + 3 \\vec{c}) - 4(\\vec{a} + \\vec{b})}{12} = \\frac{-4 \\vec{a} - \\vec{b} + 9 \\vec{c}}{12} \)

点 \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ 間の距離\n(2) 線分 \ \\mathrm{BC} \ を \ 1: 3 \ に内分する点 \ \\mathrm{P} \ の座標\n(3) 線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ 2: 3 \ に外分する点 \ \\mathrm{Q} \ の座標\n(4) 線分 CA の中点Rの座標\n(5) \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ の重心 Gの座標

3 点 \( \mathrm{A}(0,3,7), \mathrm{B}(3,-3,1), \mathrm{C}(-6,2,-1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 間の距離\n(2) 線分 $\mathrm{AB}$ を $2: 1$ に内分する点の座標\n(3) 線分 $\mathrm{AB}$ を $3: 2$ に外分する点の座標\n(4) 線分 $\mathrm{BC}$ の中点の座標\n(5) $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心の座標

逆べクトル\nベクトル \\vec{a} \ と大きさが等しく向きが反対のベクトルを \\vec{a} \ の逆ベクトルといい, -\\vec{a} \ で表す。\n \\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ のとき, -\\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{BA}} \ であるから, \\overrightarrow{\\mathrm{BA}}=-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ が成り立つ。

ベクトル \ \\vec{n} \ に垂直な直線\n最後に，內積を利用して直線を表すことを考えてみよう。\n点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\) を通り, \ \\overrightarrow{0} \ でないべクトル \ \\vec{n} \ に垂直な直線を \ g \ とし，直線 \ g \ 上の任意の点を \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) とすると \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ または \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) は, 点 \ \\mathrm{A} \ を通り, \ \\vec{n} \ に垂直な直線 \ g \\nのベクトル方程式である。また, \ \\vec{n} \ を直\n線 \ g \ の法線ベクトルという。\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \ となるのは, PがAに一致するとき。\n直線 \ g \ の法線ベクトル は, \ g \ に垂直。\nでは, ベクトル方程式の問題を解いてみましょう。

ベクトルの加法\n[1] 2 つのベクトル \\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ と \\vec{b} \ があ る。このとき, \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\vec{b} \ となるように 点Cをとる。このようにして定まる ベクトル \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ を, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ の和といい, \\vec{a}+\\vec{b} \ と書く。このとき\n\n$\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\n\n[2] 図 [2] の平行四辺形 \\mathrm{ABCD} \ において \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\overrightarrow{\\mathrm{BC}} \ であるから, [1] より\n\n$\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$\n\nベクトルの加法について, 次の性質が成り立つ。\n1 交換法則 \\vec{a}+\\vec{b}=\\vec{b}+\\vec{a} \\n2 結合法則 \( (\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{c}=\\vec{a}+(\\vec{b}+\\vec{c}) \\)\n\nこれらは，右の図を用いて確かめられる。結合法則が成り立つから, \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ の和を 単に \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \ と書く。

内分点と外分点の位置ベクトルを求めなさい。

以下の文を読み、次の問いに答えなさい。\n\n2点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) について、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を求めなさい。

四角形 \\mathrm{ABCD} \ を底面とする四角錐 \ \\mathrm{OABCD} \ は \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ を満たしてお り, 0 と異なる 4 つの実数 \ p, q, r, s \ に対して 4 点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ を \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ によって定める。このとき, \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ が同 じ平面上にあれば \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \ が成り立つことを示せ。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}, \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}$ とすると, 等式から\n\[\n\vec{p}+2(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})+6(\vec{p}-\vec{d})=\overrightarrow{0}\n\]\nよって \( \quad \vec{p}=\frac{2(\vec{b}+2 \vec{c}+3 \vec{d})}{13} \)\nゆえに $\vec{p}=\frac{12}{13} \cdot \frac{\vec{b}+2 \vec{c}+3 \vec{d}}{6}$\nよって $\vec{p}=\frac{12}{13} \cdot \frac{3 \cdot \frac{\vec{b}+2 \vec{c}}{2+1}+3 \vec{d}}{3+3}$\nここで, $\frac{\vec{b}+2 \vec{c}}{2+1}=\vec{e}$ とし, $\frac{\vec{e}+\vec{d}}{2}=\vec{f}$ とすると\n$\n\vec{p}=\frac{12}{13} \vec{f}\n$\nしたがって, 辺 $\mathrm{BC}$ を $2: 1$ に内分する点を $\mathrm{E} と し$, 線分 EDの 中点を $\mathrm{F}$ とすると, $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AF}$ を $12: 1$ に内分する点である。

練習 \[\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OC}^{2}-\left(\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right) \] =|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^{2}-\left(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}\right)

3 (1) \\frac{2 \\vec{a}+3 \\vec{b}}{5} \\n(2) 2 \\vec{a}-\\vec{b} \\n(3) \\frac{\\vec{a}+\\vec{b}}{2} \

点 \( \mathrm{P}(5,-3,7), \mathrm{Q}(7,1,2) \) について, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ の成分と大きさを求めよ。

極座標と点, 極座標と直交座標 (1) 極座標が次のような点の位置を図示せよ。 \[ \mathrm{A}(3, \frac{3}{4} \pi), \quad \mathrm{B}(2,-\frac{\pi}{3}) \] (2) (1)の点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ の直交座標を求めよ。また, 直交座標が次のような点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ の極座標 \( (r, \theta)(r>0,0 \leqq \theta<2 \pi) \) を求めよ。 \[ \mathrm{P}(\sqrt{3},-1), \quad \mathrm{Q}(-2,-2 \sqrt{3}) \]

点 \( \\mathrm{P}(\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}) = s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} + t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \), 0 \\leqq s + t \\leqq 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 を満たしながら動くとき, 点 \\mathrm{P} の存在範囲について述べよ。

点 \( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \) が異なる 2 点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \) を通る直線 $\\mathrm{AB}$ 上にあるための必要十分条件を求めよ。

重要例題 63 | 共通垂線の長さ\n座標空間において, 点 \( \mathrm{A}(1,3,0) \) を通り \( \vec{a}=(-1,1,-1) \) に平行な直線を $\ell$, 点 \( \mathrm{B}(-1,3,2) \) を通り \( \vec{b}=(-1,2,0) \) に平行な直線を $m$ とする。$\mathrm{P}$ は直線 $\ell$ 上の点, $\mathrm{Q}$ は直線 $m$ 上の点とする。 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ の大きさ $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ の最小値と, そのときの点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

ベクトルの平行条件 \\( (\\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} ) \\) \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \ となる実数 \ k \ がある

△OAB に対し、→OP=s→OA+t→OB とする。実数 s, t が次の関係を満たしながら動くとき、点 P の存在範囲を求めよ。(1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0

異なる 2 点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \) を通る直線のベクトル方程式を求めよ。

線分 $\mathrm{AB}$ と点 $\mathrm{P}$ があり, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{0}$ が成り立つとき, 点 $\mathrm{P}$ はどのような 位置にあるか。

練習 38:\n(1) (ア) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) であるから\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}\n

対角線 \ \\mathrm{RT} \ の中点を \ \\mathrm{G} \ とし, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\vec{p}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=\\vec{r}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=\\vec{s} \ とします。

ベクトルの演算法則について説明し、それらの法則を使って性質を証明してください。

2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m: n$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

以下のベクトル問題を解きなさい。\n\\( \\mathrm{BP}: \\mathrm{PM} =s:(1-s), \\mathrm{CP}: \\mathrm{PL} =t:(1-t) とする。\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} =(1-s) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+s \\overrightarrow{\\mathrm{AM}} =(1-s) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{s}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} =(1-t) \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AL}} =\\frac{2}{3} t \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+(1-t) \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\)\n

4 (1) ベクトル $\vec{b}$ に垂直な単位ベクトル $\vec{u}$ を求めよ。

このとき, Oを原点とすると \( \overrightarrow{\mathrm{OH}} =\overrightarrow{\mathrm{OP}} +\overrightarrow{\mathrm{PH}} =(4,4,2)+(-1,-2,-4) =(3,2,-2) \) したがって \( \quad \mathrm{H}(3,2,-2) \)

定点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \) を通り, ベクトル \( \\vec{n}(\\vec{n} \\neq \\overrightarrow{0}) \) に垂直な直線のベクトル方程式を求めよ。

ベクトルの平行について説明し、条件を示してください。

例題 38 ベクトルのなす角に関する問題\n(1) 空間に定点 \( \mathrm{A}(0,4,2), \mathrm{B}(2 \\sqrt{3}, 2,2) \) と動点 \( \mathrm{P}(0,0, p) \) がある。 $\\angle \mathrm{APB}$ の大きさ \( \\theta(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \) の最大値と, そのときの $\\mathrm{p}$ の値を求めよ。\n(2) \\( \\vec{a}=(3,-4,12), \\vec{b}=(-3,0,4), \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \\) について, \ \\vec{c} \ と \ \\vec{a}, \\vec{c} \ と \ \\vec{b} \ のな す角が等しいとき, 実数 \ t \ の値を求めよ。\n例 26

例題 29 ベクトルの終点の存在範囲 (2) $\triangle \mathrm{OAB}$ に対し, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。実数 $s, t$ が次の関係を満たしながら 動くとき, 点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を求めよ。 (1) $1 \leqq s+t \leqq 2, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$ (2) $1 \leqq s \leqq 2, \quad 0 \leqq t \leqq 1$

3点 A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}) を頂点とする三角形 ABC の重心 G(\vec{g}) の位置ベクトル \vec{g} を求めなさい。