AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
幾何学と測定
ベクトル解析 曲線と曲面の幾何学 - ベクトルの基礎
Q.06
とする。2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 が一直線上にあるとき,実数 の値を求めよ。
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ベクトルの成分表示
\( \vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1) \) のとき, 次のベクトルを成分表示せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
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■ 三角形の重心の位置べクトル \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心Gの位置ベクトルについて, 次のことが成り立つ。3点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心の位置ベクトルは\n\\\frac{\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}}{3}\\n
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3 点 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) を頂点とする において、 の大きさ を求めよ。
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ベクトルの平行\nベクトル \\overrightarrow{0} \ でない 2 つのべクトル \vec{a}, \\\vec {b} \ は, 向きが同じか反対のとき平行であるといい, \\\vec {a}/\\vec {b}\ と書く。ベクトルの実数倍の定義から,次のことが成り立つ。\n\n次にサンプルベクトル \\\vecа=\(кращий))), \вейвек треба й дорівнювати \( 2 \\vec {b}\ 示してください。
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空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に外分する点の位置ベクトルを求めよ。
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点 P(\\vec{p}) が 3 点 A(\\vec{a}), B(\\vec{b}), C(\\vec{c}) の定める平面上にある条件\n\\n\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{CA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{CB}}\\ \ Longleftrightarrow \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c}, \\ s+t+u=1\n\
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右の図に示されたベクトルについて, 次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1) 大きさが等しいベクトル\n(2) 向きが同じベクトル\n(3) 等しいベクトル\n(4) 互いに逆ベクトル
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TRAINING 36
の内部に点 があり, が成り立っている。
(1) 点 はどのような位置にあるか。
(2)面積比 を求めよ。
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座標空間において、2点間の距離を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、AB間の距離は?
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(4) \\( \\vec{a}=(3,5,-8), \\vec{b}=(2,4,-6) \\) と実数 \ t \ に対し, \\( \\vec{p}=(1-t) \\vec{a}+t \\vec{b} \\) とする。 \ |\\vec{p}| \ が最小となるときの \ t \ の値と, そのときの \ |\\vec{p}| \ を求めよ。
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ベクトルの実数倍\実数 とベクトル \( \\vec{a}(\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に対し, \\vec{a} \ の k \ 倍のベクトル k \\vec{a} \ を次のように定める。\n1. k > 0 \ なら, \\vec{a} \ と同じ向き で, 大きさが k \ 倍 になります。特に 1 \\vec{a}=\\vec{a} \\n2. ¥(k < 0 \\) なら, \\vec{a} \ と反対向きで, 大きさが \( |k| \\ ) 倍 になります。特に \( \\quad (-1) \\vec{a}=-\\vec{a} \\)\n3. k=0 \ なら, \\overrightarrow{0} \ すなわち 0 \\vec{a}=\\overrightarrow{0} \\n\n次に与えられた例でこれを確認してください。例: ベクトル \( \\vec{a} = (3, -2) \\) に実数 k = 2, -3, 0 \ を掛ける。
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別解 の求め方(11 までは同じ)
点Dを始点とすると,
であるから, (1) より
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & =\frac{1}{30} k(\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})+\frac{1}{5} k(\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})-\frac{9}{10} k(-\overrightarrow{\mathrm{DA}})
& =\frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}}+\frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}}+\frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \]
を確認しておこう。
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とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{A}^{\prime}(-\alpha), \mathrm{B}(z+\alpha) \), \( \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。
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右の図の四角形 はひし形であり, 点 は対角線 と の交点である。 とするとき\n(1) を図示せよ。(2) はどのようなベクトルか。
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発展例題 35
ベクトルの大きさの最小値(空間)
\( \vec{a}=(2,-4,-3), \vec{b}=(1,-1,1) \) とする。 は実数 \( ) \) の大きさの最小値とそのときの の値を求めよ。
[千葉工大]
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次の 2 つのベクトル が平行になるように, の値を定めよ。
(1) \( \vec{a}=(3, x), \vec{b}=(1,4) \)
(2) \( \vec{a}=(2 x, 9), \vec{b}=(8, x) \)
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(1) 定点 と動点 がある。 とするとき, で表される点 は, ある円の周上にある。その円の中心と半径を求めよ。 ただし, とする。
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TRAINING 31 (3)
に対して, とする。実数 が次の式を満たすとき, 点 の存在範囲を求めよ。
(1)
(2)
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3点A、B、Cの重心の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)、点Cの座標が(c1, c2, c3)の場合、重心の座標は?
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とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面上に図示せよ。
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点Aの座標は (2,-4), 点 Bの座標は (-2,2),点Cの座標は (0,-4) です。次のベクトル について、以下の問題に答えなさい。\n(1) をそれぞれ成分表示せよ。\n(2) をそれぞれ求めよ。
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空間において, 始点を A, 終点を B とする有向線分 AB が表すベクトルを で表し,その大きさを で表す。空間のベクトルも小文字を使って と表すことがある。空間のベクトルは,平面の場合とまったく同じように定義される。ベクトルの基本的な性質について以下の問いに答えなさい。
1. と が向きが同じで大きさも等しい場合、どのように表せますか?
2. ベクトル の逆ベクトルはどう表しますか?
3. 大きさが0のベクトルと、大きさが1のベクトルはそれぞれ何と呼ばれますか?
4. ベクトルの加法と減法、および実数倍の例を挙げてください。
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TR とするとき, 点 \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+\alpha), \mathrm{C}(z-\alpha) \) を複素数平面 70 上に図示せよ。
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平面上に, と点 があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 はど のような位置にあるか答えよ。\n(1) \n(2)
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右の図に示されたベクトルについて,次の ようなべクトルの番号の組をすべてあげよ。\n(1)大きさが等しいベクトル\n(2)向きが同じベクトル\n(3)等しいベクトル\n(4)互いに逆ベクトル
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TRAINING 59
\( \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,0,-1) \) があり, 実数 に対し, とする。 の最小値と, そのときの の値を求めよ。
[福岡工大]
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第 1 章 平面上のベクトル- 23\nEX 3 点 \( \\mathrm{A}(1,1), \\mathrm{B}(3,2), \\mathrm{C}(5,-2) \\) がある。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ と \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ のなす角 \\theta \ に対して \ \\cos \\theta \ を求めよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を求めよ。\n(3) ベクトル \ t \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ の大きさを最小にする実数 t の值とその最小值を求めよ。
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3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 の中点を , 辺 を 1:2 に外分する点を , 辺 を に外分する点をRとし, の重心を Gとする。次のベクトルを を用いて表せ。\n(1) 点Gの位置ベクトル\n(2)
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TR 次の各場合において, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ のな角 \\theta \ を求めよ。\n(1) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2 \\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{13} \ のとき\n(2) |\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=\\sqrt{3} \ で, \\vec{a}-\\vec{b} \ と 6 \\vec{a}+7 \\vec{b} \ が垂直であるとき
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点 \( \mathrm{A}(4,2,2) \) を通り, \( \vec{n}=(2,-3,1) )に垂直な平面の方程式を求めよ。
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点 \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) を通り, \( \vec{n}=(1,-2,3) \) に垂直な平面の方程式を求めよ。
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2 点 \( \mathrm{A}(a_{1}, a_{2}) \), \( \mathrm{B}(b_{1}, b_{2}) \) について\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}\right)\] \[|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}\]
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ベクトル \\vec{a} と \\vec{b} が与えられている。|\\vec{a}| = 2\\sqrt{10}, |\\vec{b}| = \\sqrt{5}, \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -10 であるとき、次の問いに答えよ。(1) 実数 t に対し, |\\vec{a} + t\\vec{b}| の最小値と、そのときの t の値を求めよ。(2) (1) で求めた t の値に対して, \\vec{a} + t\\vec{b} と \\vec{b} は垂直であることを示せ。
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平面上に, と点 があるとする。次の等式が成り立つとき, 点 , はどのような位置にあるか答えよ。\n(1) \n(2)
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\(\vec{a}=(3,-4), \vec{b}=(-2,1)\) のとき、次のベクトルを成分表示せよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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基 例題\n本 2 ベフトルの加法\n右の図のベクトル \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{d} \ について, 次のベクトル を図示せよ。\n(1) \\vec{a}+\\vec{b} \\n(2) \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \\n(3) \\vec{a}+\\vec{d} \
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3点 O, P, C がこの順に一直線上 にあるのは, 直線 OC と球面 S との交点のうち, 点 O から近い方の点が P の ときである。 OC=√(0^2+1^2+2^2)=√5 であるから, 3点 O, P, C がこの順に一直線上に あるとき, 点 P の y 座標は何ですか?
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(1) において, のとき, の面積 を を 用いて表せ。\n(2) (1) を利用して, のとき, の面積 を求めよ。
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(1) \( \\vec{a}=(x+2,1) \) と \( \\vec{b}=(1,-6) \) が垂直になるような の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で,大きさが であるベクトル を求めよ。
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次の条件を満たす直線の方程式を,ベクトルを用いて求めよ。\n(1)点 \( \mathrm{A}(-2,3) \) を通り,ベクトル \( \vec{d}=(2,1) \) に平行\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(3,1) \) を通る
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空間において, 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) がある。線分 AB を m:n に内分する点の位置ベクトルを求めよ。
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線分ABをm:nに内分する点Pの座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、Pの座標は?
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線分 AB の中点の座標\n\\ \ left(\\\frac{a_{1}+b_{1}}{2}, \\\frac{a_{2}+b_{2}}{2}, \\\frac{a_{3}+b_{3}}{2}\\n
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(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \ と \\overrightarrow{\\mathrm{MN}} \ のなす角を求めよ。
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線分ABの中点の座標を求めなさい。点Aの座標が(a1, a2, a3)、点Bの座標が(b1, b2, b3)の場合、中点の座標は?
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TRAINING 55\n3 点 \( \mathrm{A}(1,2,3), \mathrm{B}(-3,2,-1), \mathrm{C}(-4,2,1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 間の距離\n(2) 線分 BC を に内分する点 の座標\n(3) 線分 を に外分する点 の座標\n(4) 線分 CA の中点 の座標\n(5) の重心 G の座標
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右の図の正六角形 において、対角線 と の交点を とし、 とする。このとき,次のベクトルを を用いて表せ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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3 点 \( \mathrm{A}(1,-1,0), \mathrm{B}(3,1,2), \mathrm{C}(3,3,0) \) を通る平面の方程式を求めよ。
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ベクトルの成分\nベクトルの大きさ\n\\n|\\vec{a}|=\\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\n\
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右の図の正六角形 において, 対角線 と の交点を とし, とする。このとき,次のベクトルを \( \vec{a}, \vec{b} を用いて表せ。(1) (2) (3) (4)
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2点 \(A(a_1, a_2, a_3)\) と \(B(b_1, b_2, b_3)\) の間の距離を求めよ。
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第 1 章 平面上のベクトル- 5
TR \( \vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-2,2), \vec{c}=(5,5) \) であるとき, を満たす実数 の値を求め 11 よ。
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\( \\vec{c}=(2,1) \) に垂直で、大きさが であるベクトル \( \\vec{d}=(x, y) \) を求めよ。
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(1) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) から 平面, 平面, 平面にそれぞれ垂線 を下ろす。 3 点 の座標を求めよ。\n(2) 点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) と 平面, 平面, 平面に関して対称な点をそれぞれ とする。 3 点 の座標を求めよ。\n(3) 原点 \( \mathrm{O} )と点 \( \mathrm{P}(-3,5,1) \) の距離を求めよ。
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第 2 章 空間のベクトル\n37\nTR \\( \\vec{a}=(1,2,3), \\vec{b}=(2,0,-1) \\) があり, 実数 \ t \ に対し, \ \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \ とする。 \ |\\vec{c}| \ の最小値と, 59 そのときの \ t \ の値を求めよ。\n[福岡工大]\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\vec{c} & =\\vec{a}+t \\vec{b}=(1,2,3)+t(2, \\quad 0,-1) \\\\\n& =(2 t+1, \\quad 2,-t+3)\n\\end{aligned}\n\\]\n
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3 略, のとき \( \\vec{p}=(-5,0), t=1 \) のとき \( \\vec{p}=(4,3) \)
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3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に外分する点を とする。次のベクトルを , を用いて表せ。\n(1) 点 の位置ベクトル\n(2) \n(3) の重心Gの位置ベクトル
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3点が一直線上にあるための条件 [共線条件] 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) が異なるとき,点 \( \mathrm{C}(\vec{c}) \) に対して\n3 点 が一直線上にある\n 点 が直線 上にある\n または \n となる実数 がある\n...... (1)\n\nとなる実数 がある\nとなる実数 がある \n補足 (1)において, であるから \( \vec{c}-\vec{a}=k(\vec{b}-\vec{a}) \)\n整理すると \( \quad \vec{c}=(1-k) \vec{a}+k \vec{b} \)\n とおくと, (2)が得られる。
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等しいベクトル\n向きが同じで大きさも等しい2つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b} \ は等しいとい い, \\vec{a}=\\vec{b} \ と表す。\n \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であるとき, 有向線分 \\mathrm{AB} \ を平行移動して有向線分 \\mathrm{CD} \ に重ね合わせることができる。\nすなわち, \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \ であることは, 有向線分 \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD} \ について,次の [1], [2] が同時に成り立つことである。\n1]向きが同じ \\longleftrightarrow \ 矢印の向きが同じ\n[2] 大きさが等しい \\longleftrightarrow A B=C D \
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EX 2 つのベクトル \( \\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(3,1) \) と実数 に対して とおくとき, \\vec{p} \ の大 3 きさが 5 となる の值と \\vec{p} \ を求めよ。
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Oを極とする極座標において, 次の直線の極方程式を求めよ。
(1)始線 OX 上の点 A(3/2, 0) を通り,始線に垂直な直線
(2)極 O を通り,始線とのなす角が -π/4 の直線
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左の例題で, 点 P を線分 AE を m: n に内分する点 [AP: PE=m: n] とすると
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n \overrightarrow{\mathrm{OA}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}}}{m+n}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。係数の和が 1 に着目して, \[ \frac{m}{m+n}=s \] とおく。したがって, \[ \frac{n}{m+n}=1-s となり, (A) を \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{OE}} \] と表すことができる。
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数学 C\nTR右の図の四角形 はひし形であり, 点 は対角線 と の交点 3 である。 とするとき\n(1) を図示せよ。\n(2) はどのようなベクトルか。
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1辺の長さが 2 の正方形 において、 とする。\n(1) 辺 を 2:1 に内分する点 に対して、 を を用いて表せ。\n(2) と反対向きの単位ベクトル を を用いて表せ。
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TRAINING\n次の計算をせよ。\n(1) \n(2) \( 5 \vec{b}-2(-6 \vec{b}) \)\n(3) \( -2(3 \vec{a}-2 \vec{b})+4(\vec{a}-\vec{b}) \)\n(4) \( \frac{1}{2}(\vec{a}+2 \vec{b})+\frac{3}{2}(\vec{a}-2 \vec{b}) \)\n(5) \( \frac{2}{3}(2 \vec{a}-3 \vec{b})+\frac{1}{2}(-\vec{a}+5 \vec{b}) \)
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長方形 で である。 とする。\n(1) 辺 の中点を とするとき, を , を用いて表せ。\n(2) と同じ向きの単位ベクトル を を用いて表せ。
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ベクトルの成分表示
\( \vec{a}=(3,-2), \vec{b}=(-1,2) \) のとき,次のベクトルを成分表示せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
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ベクトルの和, 差, 実数倍\n\\[\ns \\vec{a}+t \\vec{b}=s\\left(a_{1}, \\quad a_{2}, a_{3}\\right)+t\\left(b_{1}, \\quad b_{2}, \\quad b_{3}\\right)\n\\]
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空間の点とベクトルの関係\n2 点 \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) について\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]
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第 2 章 空間のベクトル 2 つのベクトル \\( \\vec{a}=(1,2,-1), \\vec{b}=(-1, x, 0) \\) のなす角が \ 45^{\\circ} \ であるとき, \ x \ の值を求めよ。
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(1) 点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, ベクトル \( \vec{n}=(3,-7) \) に垂直な直線の方程式を求めよ。
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STEP into ここで整理
を満たす点 の存在範囲
に対して, を満たす点 の存在範囲について整理して おきましょう。
まず, の条件式について, 基本となる次の 4 つのタイプがある。
[1] (係数の和が 1 ) 直線
[2] 線分 例題 31
[3] の周および内部 例題 39 (1)
[4] 平行四辺形 の周および内部
\( (\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}) \longrightarrow \) 例題 39 (2)
[1], [2] については, 7.59 で触れているので, ここでは[3],[4]について説明しておこう。
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50 \\overrightarrow{\\mathrm{MN}}=\\frac{-2 \\vec{a}-\\vec{b}+3 \\vec{c}}{4}, \\overrightarrow{\\mathrm{GN}}=\\frac{-4 \\vec{a}-\\vec{b}+9 \\vec{c}}{12}
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極座標が次のような点の直交座標を求めよ。
A(2, 11/4 π), B(1, -5/2 π), C(3, 3 π), D(3, 0)
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(2) 3 点 \( \mathrm{A}(3,1), B(-2,2), C(1,-5) \) について, 点Cを通り, 直線 に 垂直な直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。
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次の各場合において, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ のなす角 を求めよ。\n(1) のとき\n(2) で, と が垂直であるとき
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7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}
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前ページの例題の結果に注目してみましょう。
3 つのベクトル はすべて, 2 つのべクトル を用いて
の形に表されていますね。一般に, 平面上のベクトルについて, 次のことがいえます。 でない2つのベクトル が平行でないとき, どんなベクトル も と適当な実数 を用いて
の形に表すことができる。しかも, この表し方はただ1通りである。
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基 例 題
》標準例題 45
本 11 ベフトルの分解と成分
(》)
\( \vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-1,1) \) であるとき, ベクトル \( \vec{p}=(1,5) \), 適当な実数 , を用いて の形に表せ。
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次の条件を満たす直線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。\n1. 点 \( \\mathrm{A}(-3,5) \\) を通り, ベクトル \( \\vec{d}=(1,-\\sqrt{3}) \\) に平行\n2. 2 点 \( \\mathrm{A}(-7,-4), \\mathrm{B}(5,5) \\) を通る
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四面体 において、 とする。辺 の中点を 、辺 を に内分する点を の重心を Gとするとき、ベクトル を を用いて表せ。
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通る1点と傾き(方向)が与えられた直線について考えよう。点A(\\vec{a}\)を通り、0でないベクトル\\vec{d}\に平行な直線をgとすると直線g(点Aを除く)上の任意の点P(\\vec{p}\)について、次のことが成り立つ。\n点P(\\vec{p}\)がg上にあることの条件を示せ。具体的には、方向ベクトルを用いて直線の方程式を導け。
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ベクトルの相等\n\\n\\vec{a}=\\vec{b} \\Longleftrightarrow a_{1}=b_{1}, \\quad a_{2}=b_{2}, \\quad a_{3}=b_{3}\n\
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数学の問題:三角形 \\triangle OAB \ の重心 G の位置ベクトルを求める問題です。点 G \ は三角形の重心であるから、点 G \ の位置ベクトルは以下のように求められます。\n\n1. \n2. よって \( \\overrightarrow{GN} = \\overrightarrow{ON} - \\overrightarrow{OG} = \\frac{\\vec{b} + 3 \\vec{c}}{4} - \\frac{\\vec{a} + \\vec{b}}{3} = \\frac{3(\\vec{b} + 3 \\vec{c}) - 4(\\vec{a} + \\vec{b})}{12} = \\frac{-4 \\vec{a} - \\vec{b} + 9 \\vec{c}}{12} \)
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点 \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ 間の距離\n(2) 線分 \ \\mathrm{BC} \ を \ 1: 3 \ に内分する点 \ \\mathrm{P} \ の座標\n(3) 線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ 2: 3 \ に外分する点 \ \\mathrm{Q} \ の座標\n(4) 線分 CA の中点Rの座標\n(5) \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ の重心 Gの座標
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3 点 \( \mathrm{A}(0,3,7), \mathrm{B}(3,-3,1), \mathrm{C}(-6,2,-1) \) について, 次のものを求めよ。\n(1) 2 点 間の距離\n(2) 線分 を に内分する点の座標\n(3) 線分 を に外分する点の座標\n(4) 線分 の中点の座標\n(5) の重心の座標
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逆べクトル\nベクトル \\vec{a} \ と大きさが等しく向きが反対のベクトルを \\vec{a} \ の逆ベクトルといい, -\\vec{a} \ で表す。\n \\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ のとき, -\\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{BA}} \ であるから, \\overrightarrow{\\mathrm{BA}}=-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ が成り立つ。
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ベクトル \ \\vec{n} \ に垂直な直線\n最後に,內積を利用して直線を表すことを考えてみよう。\n点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\) を通り, \ \\overrightarrow{0} \ でないべクトル \ \\vec{n} \ に垂直な直線を \ g \ とし,直線 \ g \ 上の任意の点を \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) とすると \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ または \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) は, 点 \ \\mathrm{A} \ を通り, \ \\vec{n} \ に垂直な直線 \ g \\nのベクトル方程式である。また, \ \\vec{n} \ を直\n線 \ g \ の法線ベクトルという。\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \ となるのは, PがAに一致するとき。\n直線 \ g \ の法線ベクトル は, \ g \ に垂直。\nでは, ベクトル方程式の問題を解いてみましょう。
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ベクトルの加法\n[1] 2 つのベクトル \\vec{a}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ と \\vec{b} \ があ る。このとき, \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\vec{b} \ となるように 点Cをとる。このようにして定まる ベクトル \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ を, \\vec{a} \ と \\vec{b} \ の和といい, \\vec{a}+\\vec{b} \ と書く。このとき\n\n\n\n[2] 図 [2] の平行四辺形 \\mathrm{ABCD} \ において \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\overrightarrow{\\mathrm{BC}} \ であるから, [1] より\n\n\n\nベクトルの加法について, 次の性質が成り立つ。\n1 交換法則 \\vec{a}+\\vec{b}=\\vec{b}+\\vec{a} \\n2 結合法則 \( (\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{c}=\\vec{a}+(\\vec{b}+\\vec{c}) \\)\n\nこれらは,右の図を用いて確かめられる。結合法則が成り立つから, \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ の和を 単に \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \ と書く。
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以下の文を読み、次の問いに答えなさい。\n\n2点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) について、ベクトル を求めなさい。
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四角形 \\mathrm{ABCD} \ を底面とする四角錐 \ \\mathrm{OABCD} \ は \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ を満たしてお り, 0 と異なる 4 つの実数 \ p, q, r, s \ に対して 4 点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ を \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ によって定める。このとき, \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ が同 じ平面上にあれば \ \\frac{1}{p}+\\frac{1}{r}=\\frac{1}{q}+\\frac{1}{s} \ が成り立つことを示せ。
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(1) とすると, 等式から\n\[\n\vec{p}+2(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})+6(\vec{p}-\vec{d})=\overrightarrow{0}\n\]\nよって \( \quad \vec{p}=\frac{2(\vec{b}+2 \vec{c}+3 \vec{d})}{13} \)\nゆえに \nよって \nここで, とし, とすると\n\nしたがって, 辺 を に内分する点を , 線分 EDの 中点を とすると, は線分 を に内分する点である。
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練習
\[\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OC}^{2}-\left(\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right) \]
=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^{2}-\left(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}-|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}\right)
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3 (1) \\frac{2 \\vec{a}+3 \\vec{b}}{5} \\n(2) 2 \\vec{a}-\\vec{b} \\n(3) \\frac{\\vec{a}+\\vec{b}}{2} \
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点 \( \mathrm{P}(5,-3,7), \mathrm{Q}(7,1,2) \) について, の成分と大きさを求めよ。
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極座標と点, 極座標と直交座標
(1) 極座標が次のような点の位置を図示せよ。
\[ \mathrm{A}(3, \frac{3}{4} \pi), \quad \mathrm{B}(2,-\frac{\pi}{3}) \]
(2) (1)の点 の直交座標を求めよ。また, 直交座標が次のような点 と点 の極座標 \( (r, \theta)(r>0,0 \leqq \theta<2 \pi) \) を求めよ。
\[ \mathrm{P}(\sqrt{3},-1), \quad \mathrm{Q}(-2,-2 \sqrt{3}) \]
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点 \( \\mathrm{P}(\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}) = s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} + t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \), 0 \\leqq s + t \\leqq 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 を満たしながら動くとき, 点 \\mathrm{P} の存在範囲について述べよ。
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点 \( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \) が異なる 2 点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \) を通る直線 上にあるための必要十分条件を求めよ。
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重要例題 63 | 共通垂線の長さ\n座標空間において, 点 \( \mathrm{A}(1,3,0) \) を通り \( \vec{a}=(-1,1,-1) \) に平行な直線を , 点 \( \mathrm{B}(-1,3,2) \) を通り \( \vec{b}=(-1,2,0) \) に平行な直線を とする。 は直線 上の点, は直線 上の点とする。 の大きさ の最小値と, そのときの点 の座標を求めよ。
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ベクトルの平行条件 \\( (\\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} ) \\) \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \ となる実数 \ k \ がある
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△OAB に対し、→OP=s→OA+t→OB とする。実数 s, t が次の関係を満たしながら動くとき、点 P の存在範囲を求めよ。(1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0
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異なる 2 点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \) を通る直線のベクトル方程式を求めよ。
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練習 38:\n(1) (ア) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) であるから\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}\n
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対角線 \ \\mathrm{RT} \ の中点を \ \\mathrm{G} \ とし, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\vec{p}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=\\vec{r}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=\\vec{s} \ とします。
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2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) を結ぶ線分 を に内分する点 の位置ベクトル を求めよ。
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以下のベクトル問題を解きなさい。\n\\( \\mathrm{BP}: \\mathrm{PM} =s:(1-s), \\mathrm{CP}: \\mathrm{PL} =t:(1-t) とする。\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} =(1-s) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+s \\overrightarrow{\\mathrm{AM}} =(1-s) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{s}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} =(1-t) \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AL}} =\\frac{2}{3} t \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+(1-t) \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\)\n
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このとき, Oを原点とすると \( \overrightarrow{\mathrm{OH}} =\overrightarrow{\mathrm{OP}} +\overrightarrow{\mathrm{PH}} =(4,4,2)+(-1,-2,-4) =(3,2,-2) \) したがって \( \quad \mathrm{H}(3,2,-2) \)
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定点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \) を通り, ベクトル \( \\vec{n}(\\vec{n} \\neq \\overrightarrow{0}) \) に垂直な直線のベクトル方程式を求めよ。
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例題 38 ベクトルのなす角に関する問題\n(1) 空間に定点 \( \mathrm{A}(0,4,2), \mathrm{B}(2 \\sqrt{3}, 2,2) \) と動点 \( \mathrm{P}(0,0, p) \) がある。 の大きさ \( \\theta(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \) の最大値と, そのときの の値を求めよ。\n(2) \\( \\vec{a}=(3,-4,12), \\vec{b}=(-3,0,4), \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \\) について, \ \\vec{c} \ と \ \\vec{a}, \\vec{c} \ と \ \\vec{b} \ のな す角が等しいとき, 実数 \ t \ の値を求めよ。\n例 26
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例題 29 ベクトルの終点の存在範囲 (2)
に対し, とする。実数 が次の関係を満たしながら 動くとき, 点 の存在範囲を求めよ。
(1)
(2)
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3点 A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}) を頂点とする三角形 ABC の重心 G(\vec{g}) の位置ベクトル \vec{g} を求めなさい。
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彻 2 | ベクトルの和・差・実数倍の図示\n右の図で与えられた 3 つのベクトル について,次のベクトルを図示せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5)
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ベクトルの分解 \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\quad \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \ のとき, 任意のベクトル \ \\vec{p} \ は,実数 \ s, t \ を用いてただ 1 通りに \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \ の形に表される。
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(2) 点 から平面 \\alpha \ に下ろした垂線の足を \mathrm{H} \ とする。\n\ \\overrightarrow{\\mathrm{PH}} \\perp \\alpha \ であるから \\overrightarrow{\\mathrm{PH}} / / \\vec{n} \\nすなわち, kを実数として\n\\[\n\\overrightarrow{\\mathrm{PH}}=3 k \\vec{n}=(2 k,-2 k,-k)\n\\]\nと表される。\nよって \( \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{PH}}=(4,0,-1)+(2 k,-2 k,-k) \\)\n\\[\n=(2 k+4,-2 k,-k-1)\n\\]\nまた, \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\perp \\vec{n} \ から \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\cdot \\vec{n}=0 \\nここで \( \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \\cdot \\vec{n}=\\frac{2}{3}(2 k+4)-\\frac{2}{3}(-2 k)-\\frac{1}{3}(-k-1)=3 k+3 \\)\nよって 3 k+3=0 \ これを解いて k=-1 \\nしたがって \( \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=(2,2,0) \\)\n平面 \\alpha \ に関して点 \\mathrm{P} \ と対称な点を \\mathrm{P}^{\\prime} \ とすると, \\mathrm{H} \ は線分 \\mathrm{PP}^{\\prime} \ の中点であるから \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OP}^{\\prime}}}{2} \\nよって \( \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{OP}^{\\prime}}=2 \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=(0,4,1) \\)\nしたがって, 点 \\mathrm{P}^{\\prime} \ の座標は \( \\quad(0,4,1) \\)
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16 曲線 \( x=\sqrt{3} t^{2}-1, y=t^{3}-t\left(0 \leqq t \leqq \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) の長さを求めよ。
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問題
4 (1) 点 \( \mathrm{A}(0,2) \) を通り, ベクトル \( \vec{d}=(1,2) \) に平行な直線の方程式を, 媒介変数 を 用いて表せ。
(2) 点 \( \mathrm{A}(2,-4) \) を通り, \( \vec{n}=(2,-1) \) が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ。
(3) 上の (A)を変形して (B)を導け。
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㑬趄 15 | ベクトルの等式と点の位置 (2)
の内部の点 が を満たしている。
[類 東京農大]
(1) 点はどのような位置にあるか。
(2) の面積の比を求めよ。
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例題 27 |直線に関して対称な点の位置ベクトル\n平面上に 3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{P}(\vec{p}) \) がある。点 を通り, ベクトル に垂直な直線 を とし, 点 を通り, ベクトル に垂直な直線を とする。ただし, は単位 ベクトルとする。\n(1) 直線 に関して点 と対称な点を \( \mathrm{Q}(\vec{q}) \) とするとき, を を用いて 表せ。\n(2)(1)の点 と直線 に関して対称な点を \( \mathrm{R}(\vec{r}) \) とするとき, を を用いて表せ。
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位置ベクトルと共線条件\n2 点 \\( \\mathrm{A}(\vec{a}), \\mathrm{B}(\vec{b}) \\) に対して, 線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ m: n \ に分ける点の位置ベクトル。\n内分 \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \, 外分 \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\n共線条件\n2 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ が異なるとき点 \ \\mathrm{P} \ が直線 \ \\mathrm{AB} \ 上にある\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ となる実数 \ k \ がある
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1
(1)
\[\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{BC}} &=\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b}+\vec{f} \\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} &=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{b}+(\vec{b}+\vec{f}) \\ &=2 \vec{b}+\vec{f} \cdot\cdots \cdot(1 \overrightarrow{\mathrm{DO}} &=\overrightarrow{\mathrm{OA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=-(\vec{b}+\vec{f})=-\vec{b}-\vec{f} \\ \overrightarrow{\mathrm{AG}} &=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{EG}}=(\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{FE}})+\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{ED}} \\ &=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \\ &=\vec{f}+(\vec{b}+\vec{f})+\frac{1}{3} b \\ &=\frac{4}{3} \vec{b}+2 \vec{f} \cdot\cdots \cdot \text { (2) }\end{aligned}\]
(2) (1), (2) から
\( \begin{array}{ll}\text { ゆえに } & 2 \vec{b}+\vec{f}=\vec{c}, 4 \vec{b}+6 \vec{f}=3 \vec{g} \\ \text { よって } & \vec{b}=\frac{3}{4} \vec{c}-\frac{3}{8} \vec{g}, \vec{f}=-\frac{1}{2} c+\frac{3}{4} \vec{g}\end{array} \)
したがって
\[=\left(\frac{3}{4} \vec{c}-\frac{3}{8} \vec{g}\right)-\left(-\frac{1}{2} \vec{c}+\frac{3}{4} \vec{g}\right)=\frac{5}{4} \vec{c}-\frac{9}{8} \vec{g}\]
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有向線分 をベクトル と書き表す。また、ベクトルは 1 つの文字と矢印を用いて、 のように表すこともあります。ベクトル の大きさを書き表すとき、どのように書きますか?
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點の座標とベクトルの成分 \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\) のとき\n\\[\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(b_1 - a_1, b_2 - a_2)\\]\n\\[|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}\\]
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点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \\) を結ぶ線分 \\mathrm{AB} \ について, 次の点の位置ベクトルを \\vec{a}, \\vec{b} \ で表せ。\n(1) \ 3:2 \ に内分する点\n(2) 1:2 に外分する点\n(3) 中点
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(2) 点Cの座標を \\((x, y, z)\\) とする。四角形 \ \\mathrm{ABCD} \ が平行四辺形となる条件を使って、Cの座標を求めよ。
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以下の条件の下で、点Pの動く範囲を求めよ。\n\n1. である。\n2. 与えられた条件より、\n \\[ \\left|\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} - \\frac{1}{3} (\\overrightarrow{\\mathrm{OC}} + \\overrightarrow{\\mathrm{OD}})\\right| \\leqq \\frac{1}{3}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \\leqq \\frac{1}{3} \\]
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定点 \( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \) を通り, ベクトル \( \\vec{d}(\\vec{d} \\neq \\overrightarrow{0}) \) に平行な直線のベクトル方程式を求めよ。
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三角形 OAB において、次の条件を満たす点 P の存在範囲を求めよ。
(1) \( \overrightarrow{\mathrm{OP}} = (2s + t) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}}, 0 \leqq s + t \leqq 1, s \geqq 0, t \geqq 0 \)
(2) \( \overrightarrow{\mathrm{OP}} = (s - t) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (s + t) \overrightarrow{\mathrm{OB}}, 0 \leqq s \leqq 1, 0 \leqq t \leqq 1 \)
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Join our DiscordQ.84
座標空間の原点を として, ベクトル に対して, となる点 \( \mathrm{A}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \) をとり, 座標軸上に 3 点 \( \mathrm{E}(1,0,0) \), \( \mathrm{F}(0,1,0) , \mathrm{G}(0,0,1) \) をとる。 とすると, 右の図で , よって, は を用いて, 次の形にただ 1 通りに表される。 基本ベクトル表示 ベクトル を座標軸に関する基本ベクトルという。 また,3つの実数 をベクトル の成分といい, を 成分, を 成分, を成分という。 ベクトルは, その成分を用いて \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \) のようにも書き表す。これを, の 成分表示という。 と表すと, の成分の組 \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \) は点 の座標と一致する。 よって 相等 \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2}, a_{3}=b_{3}\) ベクトル \( \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \) の大きさ は, 上の図で線分 OA の長さであるから 更に, ベクトルの和,差,実数倍は,成分を用いて次のように表される。 (1) \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right) \) (2) \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)-\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)=\left(a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2}, a_{3}-b_{3}\right) \) (3) \( k\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(k a_{1}, k a_{2}, k a_{3}\right) \quad(k \) は実数 \( ) \) 4 点の座標とベクトルの成分 座標空間の 2 点 \( \mathrm{A}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathrm{B}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) と原点 , \( \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) であり, であるから \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}\right) |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(b_{2}-a_{2}\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\right)^{2}}\)
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Join our DiscordQ.85
別解 平面において, 点 の座標を \( (1,0) \), 点 の座標を \( (\cos \alpha, \sin \alpha)(0 \leqq \alpha<2 \pi) \), 点Cの座標を \( (\cos \beta, \sin \beta) \) \( (0 \leqq \beta<2 \pi) \) としても一般性は失われない。このとき, \( \overrightarrow{\mathrm{O A}}=(1,0), \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(\cos \alpha, \sin \alpha) \), \( \overrightarrow{\mathrm{OC}}=(\cos \beta, \sin \beta) \) であるから \\[ \\begin{array}{l} \\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(\\cos \alpha-1, \\sin \alpha) \\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(\\cos \beta-1, \\sin \beta) \\end{array} \\]
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直線 の方向ベクトルは \( (-1,2,1) \) であるから,その方程式は\n(x, y, z)= (2,1,0)+t(-1,2,1) より \nx =-t+2, y=2t+1, z=t(t は実数) 3s-2=-t+2 (1), 4s-1=2t+1 -2s+3=t (3) とする。(1), (3) を連立して解くと s=1, t=1 これは(2)を満たす。 よって, と は交わり, その交点の座標は (1,3,1)。
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(1) p を正の定数とし, ベクトル \( \vec{a}=(1,1) \) と \( \vec{b}=(1,-p) \) があるとする。いま, と のなす角が のとき, p の値を求めよ。
[立教大]
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p. 51 の例題 18 (2) を, (2)(正射影ベクトル)を利用して解く。 \ |\\vec{a}|=5,|\\vec{b}|=6, \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=6 \ である。点Aから辺 OBに垂線 \ \\mathrm{AP} \ を, 点 \ \\mathrm{B} \ から辺 \ \\mathrm{OA} \ に垂線 \ \\mathrm{BQ} \ を下ろすと \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|\\vec{b}|^{2}} \\vec{b}=\\frac{6}{6^{2}} \\vec{b}=\\frac{1}{6} \\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=\\frac{|vec{a} \\cdot \\vec{b}}{|vec{a}|^{2}} \\vec{a}=\\frac{6}{5^{2}} \\vec{a}=\\frac{6}{25} \\vec{a} \ \\( \\mathrm{AH}: \\mathrm{HP}=s:(1-s) \\) とすると \\[ \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=(1-s) \\vec{a}+s \\cdot \\frac{1}{6} \\vec{b}=\\frac{25}{6}(1-s) \\cdot \\frac{6}{25} \\vec{a}+\\frac{s}{6} \\vec{b}=\\frac{25}{6}(1-s) \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}+\\frac{s}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\] 点 \ \\mathrm{H} \ は直線 \ \\mathrm{QB} \ 上にあるから \\( \\quad \\frac{25}{6}(1-s)+\\frac{s}{6}=1 \\quad \\) よって \ \\quad s=\\frac{19}{24} \ したがって \ \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=\\frac{5}{24} \\vec{a}+\\frac{19}{144} \\vec{b} \
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2 点 \( \mathrm{A}(-5,-2,2), \mathrm{B}(-3,-1,1) \) を通る直線を とする。\n(1) 点 \( \mathrm{P}(4,4,2) \) から直線 に下ろした垂線の足 の座標を求めよ。\n(2) 直線 に関して、点 と対称な点 の座標を求めよ。
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直線の方程式
次のような直線の方程式を求めよ。
(1) 点 \( \mathrm{A}(1,3,-2) \) を通り, \( \vec{d}=(3,2,-4) \) に平行
(2) 2 点 \( \mathrm{A}(0,1,1), \mathrm{B}(-1,3,1) \) を通る。
(3) 点 \( \mathrm{A}(-3,5,2) \) を通り, \( \vec{d}=(0,0,1) \) に平行
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例題 37 | 2 つのベクトルに垂直な単位ベクトル
\( \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(-2,1,3), \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-3,1,4), \overrightarrow{\mathrm{OC}}=(-3,3,5) \) とするとき, の 両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
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例 42 | 線分のなす角\n複素数平面上の異なる 3 点を \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) とする。次のものを求めよ。\n(1) のとき, の大きさ\n(2) \( \alpha=1+2 i, \beta=i, \quad \gamma=1-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3}) i \) のとき, の大きさ\n(3) \( \beta(1-i)=\alpha-\gamma i \) のとき, の大きさ
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練習 鋭角三角形 において, \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}), \mathrm{BC}=a, \mathrm{CA}=b, \mathrm{AB}=c \) とする。頂角 内の傍心を \( \mathrm{I}_{\mathrm{A}}\left(\overrightarrow{i_{\mathrm{A}}}\right) \) とするとき, ベクトル を を用いて表せ。
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(1) 点 \( \mathrm{P}(0,1,4) \) と点 \( \mathrm{Q}(-4,5,0) \) の距離を求めよ。
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ベクトル方程式\n直線のベクトル方程式 \ s, t \ を実数とする。\n(1) 点 \\( \\mathrm{A}(\vec{a}) \\) を通り, \\( \\vec{d} (\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に平行な直線の ベクトル方程式 \ \\vec{p} = \\vec{a} + t \\vec{d} \\n(2) 異なる 2 点 \\( \\mathrm{A}(\vec{a}), \\mathrm{B}(\vec{b}) \\) を通る直線のベクトル方程式\n\\[\\vec{p} = (1 - t) \\vec{a} + t \\vec{b} \\text { または } \\vec{p} = s \\vec{a} + t \\vec{b}, s + t = 1\\]
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[1] 定点 \( \mathrm{A}(\vec{a}) \) を通り, ベクトル \( \vec{d}(\vec{d} \neq \overrightarrow{0}) \) に平行な直線 \n\n点 \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) が直線 上にあるための条件を導出せよ。
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[3] 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}) \) を通り、ベクトル \( \vec{n}(\vec{n} \neq \overrightarrow{0}) \) に垂直な直線のベクトル方程式を導出せよ。
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別解 点 \ \\mathrm{S} \ が平面 \ \\mathrm{PQR} \ 上にあるから,\r\n\\\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}+u \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}, s+t+u=1\\r\n
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3点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に外分する点を , 辺 を に外分する点を とし, の重心を Gとする。次のベクトルを で表せ。\n(1) 点 の位置ベクトル\n(2) \n(3) 点 Gの位置ベクトル
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点 は線分 を に外分するから\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} & =\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{4}{3}\left(\frac{3}{5} \vec{a}+\frac{2}{5} \vec{b}\right) \notag & =\frac{4}{5} \vec{a}+\frac{8}{15} \vec{b}
\end{aligned}
\]
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4 点 \( \mathrm{P}(x, y), \mathrm{Q}(y, z), \mathrm{R}(z, x), \mathrm{A}(0,1)(x, y, z \) は実数 \( ) \) について, 不等式 が成り立つことを証明せよ。
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点 Pの座標 (x, y) を確認し、点 Qを取ること。\ \\overrightarrow{OP} = \\overrightarrow{OQ} + \\overrightarrow{QP} \ から次の式を示せ。
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27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \
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ベクトル \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}, \\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (O は原点) とし, \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\, \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\ とするとき, \\\vec{a}, \\vec{b}\ を座標平面上に図示せよ。
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(1) \ \\overrightarrow{G U} \ を \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \ で表せ。
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数学C\n であるから\n1-s=\\frac{2}{3} t, \\frac{s}{2}=1-t\n\n連立して解くと よって また, \( \\mathrm{BN}: \\mathrm{NC}=u:(1-u) \) とすると\n\\overrightarrow{\\mathrm{AN}}=(1-u) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+u \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\n\n点Nは直線 \\mathrm{AP} \ 上にあるから, \\overrightarrow{\\mathrm{AN}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ ( k \ は実数)とすると\n\n\\overrightarrow{\\mathrm{AN}} & =k\\left(\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{1}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right) \\\\\n& =\\frac{k}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{k}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\n\n であるから\n1-u=\\frac{k}{2}, u=\\frac{k}{4}\n\n連立して解くと よって また 別解 1. \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=x \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+y \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}(x, y \ は実数 \( ) \\) とする。 であるから \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=x \\cdot \\frac{3}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AL}}+y \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} 点 \\mathrm{P} \ は直線 \\mathrm{CL} \ 上にあるから \\quad \\frac{3}{2} x+y=1 \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=2 \\overrightarrow{\\mathrm{AM}} \\) であるから \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=x \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+y \\cdot 2 \\overrightarrow{\\mathrm{AM}} 点 \\mathrm{P} \ は直線 \\mathrm{BM} \ 上にあるから \\quad x+2 y=1 (1),2)を連立して解くと \\quad x=\\frac{1}{2}, y=\\frac{1}{4} したがって また, \\overrightarrow{\\mathrm{AN}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}(k \ は実数)とすると\n\\overrightarrow{\\mathrm{AN}}=\\frac{k}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{k}{4} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\n\n点Nは辺 \\mathrm{BC} \ 上にあるから \\quad \\frac{k}{2}+\\frac{k}{4}=1 これを解いて \\quad k=\\frac{4}{3} よって \( \\overrightarrow{\\mathrm{AN}}=\\frac{2}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\frac{1}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \n(AP:AN の求め方は同様。)\n« \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} の係数を比較。 \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} を表す式のどちら かに代入する。 \\checkmark \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} の係数を比較。 11: k 4点P が直線 ST 上にあ る \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AR}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{AS}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AT}}, (係数の和) =1\n4点 \\mathrm{A}, \\mathrm{P}, \\mathrm{N} \ が一直線上にある\n\n\\overrightarrow{\\mathrm{AN}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} ( k は実数)\n(係数の和 )=1
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円のベクトル方程式\n中心 \\( \\mathrm{C} (\\vec{c}) \\), 半径 \ r \ の円のベクトル方程式 \ |\\vec{p} - \\vec{c}| = r \
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次のような直線の方程式を求めよ。
(1) 点 \( \mathrm{A}(2,-1,3) \) を通り, \( \vec{d}=(5,2,-2) \) に平行
(2) 2 点 \( A(1,2,3), B(0,0,4) \) を通る。
(3) 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2,-3), \mathrm{B}(-1,-2,3) \) を通る。
(4) 点 \( \mathrm{A}(3,-1,1) \) を通り, 軸に平行
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(1) の図のように点Rをとると\n\n\ \\overrightarrow{QR}=2 \\overrightarrow{QP} \\n\n点Rの \ z \ 座標を \ r \ とすると, (1)の \ z \ 成分のみを考えて\n\n\ r=2 \\cdot \\frac{1}{3}=\\frac{2}{3} \\n\nよって, \ t \ の値の範囲は \ 0 \\leqq t \\leqq \\frac{2}{3} \
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18 \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} = (2 \\sqrt{2} - 1) \\vec{a} + \\frac{\\sqrt{2} - 2}{2} \\vec{b} \\)
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平面上で辺の長さ 1 の正三角形 を考える。点 に対し, ベクトル \( v(\mathrm{P}) \) を, \( v(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{PA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}} \) で与える。 (1) \( v(\mathrm{P}) \) は に無関係な一定のベクトルであることを示せ。 (2) \( |\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=|v(\mathrm{P})| \) となる点 は,どのような図形を描くか。
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活 本冊 \n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{RP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{RP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{PQ}} \\n =\\overrightarrow{\\mathrm{RQ}} \\nよって \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{RP}}=\\overrightarrow{\\mathrm{RQ}} \\n(2) \( (\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}})-(\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}})=(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}-\\overrightarrow{\\mathrm{BD}})+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\) \( =(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DB}})+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}} \\)\n =\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AA}}=\\overrightarrow{0} \\nよって \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \
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(1) 平面上の異なる4点 と直線 上にない点 に対して, とする。 であるとき, であることを証明せよ。
(2) であるひし形 がある。 とするとき, と平行で向きが反対の単位ベクトルを で表せ。
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点 E は線分 BD を 3:2 に内分するから \n\\n\\overrightarrow{\\mathrm{OE}}=\\frac{2 \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+3 \\overrightarrow{\\mathrm{OD}}}{3+2}=\\frac{2}{5} \\vec{b}+\\frac{3}{5} \\cdot \\frac{1}{2} \\vec{a}=\\frac{3}{10} \\vec{a}+\\frac{2}{5} \\vec{b}\n\\n\n点 F は線分 CE を 3:1 に内分するから \n\\[\n\\begin{aligned}\n\\overrightarrow{\\mathrm{OF}} & =\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+3 \\overrightarrow{\\mathrm{OE}}}{3+1}=\\frac{1}{4} \\vec{c}+\\frac{3}{4}\\left(\\frac{3}{10} \\vec{a}+\\frac{2}{5} \\vec{b}\\right) \n& =\\frac{9}{40} \\vec{a}+\\frac{3}{10} \\vec{b}+\\frac{1}{4} \\vec{c}\n\\end{aligned}\n\\]\n\n点 P は直線 OF 上にあるから, 実数 k を用いて \n\\n\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{OF}}=\\frac{9}{40} k \\vec{a}+\\frac{3}{10} k \\vec{b}+\\frac{1}{4} k \\vec{c}\n\\]\nと表される。\n点 P は平面 ABC 上にあるから \n\\[\n\\frac{9}{40} k+\\frac{3}{10} k+\\frac{1}{4} k=1 \\\quad よって \\\quad k=\\frac{40}{31}\n\\]\nしたがって \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{9}{31} \\vec{a}+\\frac{12}{31} \\vec{b}+\\frac{10}{31} \\vec{c} \\また, 点 Q は直線 OF 上にあるから, 実数 l を用いて \\[\n\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=l \\overrightarrow{\\mathrm{OF}}=\\frac{9}{40} l \\vec{a}+\\frac{3}{10} l \\vec{b}+\\frac{1}{4} l \\vec{c}\n\\nと表される。\n実数 l の値を求めよ。
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(例 8 本冊 p .25) と が平行であるから,\n\[\begin{array}{l}\n2 \vec{a}+3 \vec{b}=k(\vec{a}-2 \vec{b})\n\end{array}\]\nとなる実数 が存在する。\n\[\begin{array}{l}\n2 \vec{a}+3 \vec{b}=2(-1,2)+3(1, x)=(1,4+3 x) \n\vec{a}-2 \vec{b}=(-1,2)-2(1, x)=(-3,2-2 x)\n\end{array}\]\n(1)に代入して \(\quad(1,4+3 x)=k(-3,2-2 x)\)\nよって (2), \( 4+3 x=k(2-2 x) \) \n(2) から \nこのとき, (3) から \(\quad 4+3 x=-\frac{1}{3}(2-2 x) \)\nゆえに よって \n別解 \( 2 \vec{a}+3 \vec{b}=(1,4+3 x), \vec{a}-2 \vec{b}=(-3,2-2 x) \) であるから \( (2 \vec{a}+3 \vec{b}) / /(\vec{a}-2 \vec{b}) \Leftrightarrow 1 \cdot(2-2 x)-(4+3 x) \cdot(-3)=0 \)\nよって \nしたがって
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・空間の 4 点 \\mathrm{O}, \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ が同じ平面上にないとき, \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\vec{c} \ とすると,任意のベクトル \\vec{p} \ は次の形にただ1通りに表すことができる。\n\n\\[ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \\quad(s, t, u \\text { は実数 }) \\]\n\nこれを示しなさい。
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数直線上の2点 \( A(a) \), \( B(b) \) を結ぶ線分 AB を m:n に内分・外分する点 P, Q の座標を求めよ。ただし、m > 0, n > 0 とする。
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(1) 極座標が次のような点を図示せよ。また,直交座標を求めよ。\n(ア) \( \\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right) \\)\n(イ) \( \\left(3,-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\)\n(ウ) \( \\left(2, \\frac{17}{6} \\pi\\right) \\)\n(I) \( \\left(4,-\\frac{10}{3} \\pi\\right) \\)
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(1) 点 \\( \\mathrm{A}(2,1) \\) を, 原点 \ \\mathrm{O} \ を中心として \ \\frac{\\pi}{4} \ だけ回転した点 \ \\mathrm{B} \ の座標を求めよ。\n(2) 点 \\( \\mathrm{A}(2,1) \\) を, 点 \ \\mathrm{P} \ を中心して \ \\frac{\\pi}{4} \ だけ回転した点の座標は \\( (1-\\sqrt{2},-2+2 \\sqrt{2}) \\) であった。点 \ \\mathrm{P} \ の座標を求めよ。
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数学 III\nEX半径 の円板が 軸上を正の方向に滑らずに回転するとき, 円板上の点 の描く曲線 を考 ③5 える。円板の中心の最初の位置を \( (0,2 a) \), 点 の最初の位置を \( (0, a) \) とし. 円板がその中心 の周りに回転した角を とするとき, 点 の座標を で表せ。\n〔類 お茶の水大〕\nHINT ベクトルを利用。円板がその中心の周りに角 だけ回転したときの, 円板の中心を A とする と (O は原点) 図をかいて考える。\n円板がその中心の周りに角 だ け回転したときの, 円板の中心 をAとする。このとき,図のように点 , Dをとる。また, Oを原点とす ると よって \( \\mathrm{A}(2 a \\theta, 2 a) \)\n と 軸の正の向きとのなす角を とすると\n\\n\\alpha=\\frac{3}{2} \\pi-\\theta\n\\n であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} & =a\\left(\\cos \\left(\\frac{3}{2} \\pi-\\theta\\right), \\sin \\left(\\frac{3}{2} \\pi-\\theta\\right)\\right) \\\\\n& =(-a \\sin \\theta, \\quad-a \\cos \\theta)\n\\end{aligned}\n\\]\n\nゆえに\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\\\\n& =(2 a \\theta, \\quad 2 a)+(-a \\sin \\theta, \\quad-a \\cos \\theta) \\\\\n& =(a(2 \\theta-\\sin \\theta), \\quad a(2-\\cos \\theta))\n\\end{aligned}\n\\]\n\nしたがって, 点 の座標は\n\\[\n(a(2 \\theta-\\sin \\theta), \\quad a(2-\\cos \\theta))\n\\]\n\n注意 点 の軌跡はトロコイドである(本冊 参照)。䦫討 \( \\mathrm{P}(x, y) \) とする。図の直角三角形 で,\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\angle \\mathrm{PAH}=\\theta-\\frac{\\pi}{2} \\text { である } \\\\\n\\text { から } \\\\\nx=\\mathrm{AC}-\\mathrm{AH} \\\\\n=2 a \\theta-a \\cos \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\\\\n=a(2 \\theta-\\sin \\theta) \\text {. } \\\\\ny=\\mathrm{AB}+\\mathrm{PH} \\\\\n=2 a+a \\sin \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\\\\n=a(2-\\cos \\theta) \\\\\n\\leftarrow \\cos \\left(\\frac{3}{2} \\pi-\\theta\\right) \\\\\n=\\cos \\left(\\pi+\\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)\\right) \\\\\n=-\\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)=-\\sin \\theta \\\\\n\\sin \\left(\\frac{3}{2} \\pi-\\theta\\right) \\\\\n=\\sin \\left(\\pi+\\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)\\right) \\\\\n=-\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)=-\\cos \\theta \\\\\n\\end{array}\n\\]
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動点 P が, 原点 O を中心とする半径 r の円周上を, 定点 P0 から出発して, OP が 1 秒間に角 ω の割合で回転するように等速円運動をしている。\n(1) P の速度の大きさ v を求めよ。\n(2) P の速度ベクトルと加速度ベクトルは垂直であることを示せ。
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EX 座標平面上に 3 定点 と動点 があって, \( \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,2) \) であり, が実数 を用いて \( \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(2 t, 3 t) \) と表されるとき
(1) を求めよ。
(2) が と平行であるときの の値を求めよ。
(3) と の大きさが等しいときの の値を求めよ。
[新潟大]
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重要侀題 40 | ベクトルの大きさの大小比較
空間の 2 つのベクトル と が垂直である。
に対して, とするとき,次のことを示せ。
(1) \( (\vec{p}-\vec{q}) \cdot \vec{a}=0, \quad(\vec{p}-\vec{q}) \cdot \vec{b}=0 \)
(2)
(3) 3 点 を通る平面上の点 \( \mathrm{R}(\vec{r}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}) \) が点 と異なるとき
[名古屋市大]
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次の 2 点間の距離を求めよ。\n(1) A(2+3 i), B(-4+5 i) \n(2) A(-2+i), B(3-4 i)
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次のベクトルの大きさを求めよ。\n(1) \( \vec{a} = (6, -3, 2) \)\n(2) \( \vec{b} = (7, 1, -5) \)
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次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) 2\n\ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{EF}}=\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{EC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AF}} \
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第1 章 平面上のベクトル——317 PR \\triangle O A B \ において, 次の式を満たす点 \\mathrm{P} \ の存在範囲を求めよ。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+t=\\frac{1}{3}, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, 3 s+2 t=4, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \
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PR 座標空間に 4 点 O(0,0,0), A(3,-2,-1), B(1,1,1), C(-1,4,2) がある。 の どちらにも垂直で大きさが であるベクトル を求めよ。
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3 \[ \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{EA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AE}}=-\vec{a} \\ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=-\overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\vec{b} \\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AE}}=2 \vec{a} \end{array} \] であるから, 求めるベクトルは
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次の条件を満たす点 P の存在範囲を求めよ。
(1) \( \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}, 0 \leqq s+t \leqq 1, s \geqq 0, t \geqq 0\)
(2) \( \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(s-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(s+t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}, 0 \leqq s \leqq 1, 0 \leqq t \leqq 1\)
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ベクトルの式を満たす点の存在範囲と斜交座\nまた \n\n\(=\frac{3}{4} s\left(\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \)\n\nここで, とおくと\n\n\( \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s^{\prime}\left(\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \quad s^{\prime}+t=1 \)\n\nよって,\n となる点 をとると, 点 の存在範囲は直線 である。
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4 点 \( \\mathrm{A}(1,1,-2), \\mathrm{B}(-2,1,2), \\mathrm{D}(3,-1,-3), \\mathrm{E}(9, a, b) \\) がある。\n(1) \\mathrm{AB} / / \\mathrm{DE} \ であるとき, 定数 a, b \ の値を求めよ。また, このとき である。\n(2) 四角形 \\mathrm{ABCD} \ が平行四辺形になるとき, 点Cの座標を求めよ。
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ベクトルの平面図形への応用\n図形の問題を解決する方法として\n「三角形や円の基本定理 (数学Aの図形の性質)を利用する」,\n「座標 (数学 II の図形と方程式) で考える」,\n「ベクトルを用いる」、\nの 3 つがある。ここでは,これまでに学んだ「ベクトルを用いる」方法についてまとめる。
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例 21 | 空間のベクトルの表示\n平行六面体 において, 対角線 の中点を とし, , とする。 をそれぞれ で表せ。
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任意のベクトル を空間の4点 を用いて表現する方法を説明しなさい。その際、ベクトルは次の形で表されるものとする。\n\n\\[ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \\quad(s, t, u \\text { は実数 }) \\]
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問題 68\n与えられた点の座標を求めよ。\n(1) \(\left(\frac{8}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{10}{9}\right)\)
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四面体 OABC において, ベクトル a=OA, ベクトル b=OB, ベクトル c=OC とする。線分 OA, OB, OC, BC, CA, AB の中点をそれぞれ L, M, N, P, Q, R とし, ベクトル p=LP, ベクトル q=MQ, ベクトル r=NR とする。
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次の式を使って、ベクトルの性質を示しなさい:
(1) \( \vec{a} + (-\vec{a}) = \overrightarrow{0} \)
(2)
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3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 を に内分 する点を , 辺 を に外分する点を , 辺 を に外分する点を とし, の重心を Gとする。次のベクトルを で表せ。
(1) 点 の位置ベクトル
(2)
(3) 点 Gの位置ベクトル
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点 Oを中心とする円を考える。この円の円周上に 3 点 があって, を満たしている。このとき, 三角形 は正三角形 であることを証明せよ。
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ベクトルの分解
平行四辺形 において, 辺 を に内分する点を , 対角線 の交点を , 線分 の交点を とする。
(1) をそれぞれ , を用いて表せ。
(2) , とするとき, を , を用いて表せ。
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PRACTICE 37°\n\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ において、次の式を満たす点 \ \\mathrm{P} \ の存在範囲を求めよ。\n(1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+t=\\frac{1}{3}, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, 3 s+2 t=4, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \
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PRACTICE 50\n\\( \\vec{a}=(1,-1,2), \\vec{b}=(1,1,-1) \\) とする。\ \\vec{a}+t \\vec{b} \ ( \ t \ は実数 ) の大きさの最小値とそのときの \ t \ の値を求めよ。
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■ ベクトルの応用 同じ平面上にある条件 を実数とする。点 \(\mathrm{P}(\vec{p})\) が 3 点 \(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})\) の定める平面上にある
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例題 38 ベクトルのなす角に関する問題\n(1) 空間に定点 \( \\mathrm{A}(0,4,2), \\mathrm{B}(2 \\sqrt{3}, 2,2) \\) と動点 \( \\mathrm{P}(0,0, p) \\) がある。 \\angle \\mathrm{APB} \ の大きさ \( \\theta(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}) \\) の最大値と, そのときの \\mathrm{p} \ の値を求めよ。\n(2) \( \\vec{a}=(3,-4,12), \\vec{b}=(-3,0,4), \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \\) について, \\vec{c} \ と \\vec{a}, \\vec{c} \ と \\vec{b} \ のな す角が等しいとき, 実数 t \ の値を求めよ。
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重要例題 61 直線の方程式\n次のような直線の方程式を求めよ。\n(1) 点 \( \mathrm{A}(1,3,-2) \) を通り, \( \vec{d}=(3,2,-4) \) に平行\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(0,1,1), \mathrm{B}(-1,3,1) \) を通る。\n(3) 点 \( \mathrm{A}(-3,5,2) \) を通り, \( \vec{d}=(0,0,1) \) に平行
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14 直線上の任意の点を P(x, y), t を媒介変数とする。
(1)
\[
\begin{aligned}
(x, y)= & (1,1)+t(-2,1) \\
& =(1-2 t, 1+t) \\
\text { よって } & \left\{\begin{array}{l}\nx=1-2 t \\
\ny=1+t\n\end{array}\right.\n\end{aligned}\n\]
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平面上の任意のベクトル は,その平面上の2つのベクトル \( \vec{a}, \vec{b}(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}, \vec{a} \times \vec{b}) \) を用いて, 次のように表すことが できる。
\[
\vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}(s, t \text{ は実数 })
\]
次の条件を満たす場合、点Pは平面上にあるといえる。
条件: 一直線上にない 3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) が定める平面をとし、次の式を満たす および が存在する。
\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
また、次の式も満たす。
\[
\vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}
ここで、が成り立つ。
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直線上の任意の点を \( P(\vec{p}), t \) を媒介変数とする。\n(1) \( \vec{p}=\frac{1}{2}(1-t) \vec{a}-\frac{1}{2}t \vec{b} \)\n(2) \( \vec{p}=\left(1-\frac{1}{2}t\right)\vec{a}-\frac{1}{2}t \vec{b} \)
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次のベクトルの演算を行いなさい:
1. ベクトルA = (3, 4) と ベクトルB = (1, 2) の和を求めなさい。
2. ベクトルA = (3, 4) と ベクトルB = (1, 2) の差を求めなさい。
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(2) Gは \ \\triangle \\mathrm{BCD} \ の重心であるから\n\\[\nG\\left(\\frac{-1+x+1}{3}, \\frac{1+y+3}{3}, \\frac{2+z+2}{3}\\right)\n\\]\nすなわち \\( G\\left(\\frac{x}{3}, \\frac{y+4}{3}, \\frac{z+4}{3}\\right) \\)\nよって, 線分 \ A G \ を \ 3: 1 \ に内分する点の座標は\n\\[\n\\left(\\frac{1+x}{4}, \\frac{1+(y+4)}{4}, \\frac{4+(z+4)}{4}\\right)\n\\]\nこの座標が \\( (0,2,3) \\) に等しい。\nゆえに \ \\quad x=-1, y=3, z=4 \
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4.平面のべクトル方程式 平面上の任意の点を P(⃗p), s, t, u を実数とする。 (1)一直線上にない 3 点 A(⃗a), B(⃗b), C(⃗c) の定める平面のベクトル方程式は ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c, s+t+u=1または ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c
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次のベクトルの実数倍の性質に関する等式を確認せよ。\n\n1. \( k(l \vec{a})=(k l) \vec{a} \)\n2. \( 2(k+l) \vec{a}=k \vec{a}+l \vec{a} \)\n3. \( k(\vec{a}+\vec{b})=k \vec{a}+k \vec{b} \)\n\nここで、 および は実数である。\n
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ベクトル \( \\vec{a}=(3,4,5), \\vec{b}=(7,1,0) \\) のとき, \\vec{a}+t \\vec{b} \ と \\vec{b}+t \\vec{a} \ のなす角が 120^{\\circ} \ となるような実数 t \ の値を求めよ。
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次の点を表す複素数を求めよ。(1) 2 点 \( \mathrm{A}(-3+6 i), \mathrm{B}(5-8 i) \) を結ぶ線分 の中点(2) 2 点 \( \mathrm{A}(2-3 i), \mathrm{B}(-7+3 i) \) を結ぶ線分 を の比に内分する点 , 外分 する点
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次の 2 平面のなす角 θ を求めよ。ただし、0° ≤ θ ≤ 90° とする。(1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5
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鋭角三角形 の辺 を \( k:(1-k) \) に内分する点を 、辺 を \( l:(1-l) \) に内分する点を とする。また、 と の交点を とする。 、 とする。\n1) 、 を 、 を用いて表せ。\n2) を 、 を用いて表せ。
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点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) を結ぶ線分 について, 次の点の位置ベクトルを で表せ。
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位置ベクトルと内分点・外分点\n位置ベクトルが \ \\vec{p} \ である点を \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) と表す。\n空間においても, 平面上の場合と同様に, 次のことが成り立つ。\n\n問題 1: \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) について、次の式を導きなさい。\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. 線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ m: n \ に内分する点の位置ベクトルを求めなさい。\n3. 線分 \ \\mathrm{AB} \ の中点の位置ベクトルを求めなさい。\n4. \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心Gの位置ベクトルを求めなさい。
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R&W \binom{ 問題に }{ 挑戦 } とする。\n\n等 2 点を , 辺 を に内分する点を とする。\n(1) はそれぞれ を用いてR&Wまた, を を用いて表すと, 力 となる。\n\nウ, カ纪当てはまるものを,次の解答群から1つずつ選べ。 ウ の解答群\n(0) \n(1) \n(2) \( (1-q) \)\n(3) \( (q-1) \)\n(4) \n(5) \n力の解答群\n(0) \n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7)
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問題 71\n(1) 点 (-3, -1, 7) を求めよ。\n(2) 点 \(\left(\frac{18}{11}, \frac{26}{11}, \frac{12}{11}\right)\) を求めよ。
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PR において, 次の式を満たす点 の存在範囲を求めよ。\n(43 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+(s-t) \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\quad 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \\)
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点 \( \mathrm{A}\left(r_{1}, \theta_{1}\right) \) と点 \( \mathrm{B}\left(r_{2}, \theta_{2}\right) \) の間の距離を求めよ。
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練習(1) \ \\overrightarrow{0} \ でない 2 つのベクトル \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ について, \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ と \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \ が垂直で,\\n \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \ が成り立つとき, \ \\vec{a} \ と \ \\vec{b} \ のなす角 \ \\theta \ を求めよ。
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0でない 2 つのベクトル , が垂直であるとする。 と のなす角を \( (0 \leqq \theta \leqq \pi) \) とする。\n(1) とするとき, を を用いて表せ。\n(2) の最大値を求めよ。
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速度などの「大きさと向きをもつ量をベクトルという。この章では,平面上の有向線分をもとにしてベクトルを考え,ベクトルを2数の組(成分)で表すことや「内積」の演算, 図形への応用を学ぶ。そして、ベクトルについて最も大切な「1次独立」の概念を理解して、将来の数学、物理学、経済学などの勉学に備える。
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48 極座標で表された次の点の位置を図示せよ。\n\\[\n\\mathrm{A}\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right), \\quad \\mathrm{B}\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right), \\quad \\mathrm{C}\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\n\\]\\
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原点を \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ を原点, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) は実数 ) とする。 \ s, t \ が次の関係を満たしながら変化するとき, 点 \ \\mathrm{P} \ の描く図形を図示せよ。 (1)\ 1 \\leqq s \\leqq 2,0 \\leqq t \\leqq 1 \ (2)\ 1 \\leqq s+t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \
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次の問題に答えなさい。
(1) 2点A(\vec{a}), B(\vec{b})に関してベクトル\overrightarrow{\mathrm{AB}}を求めなさい。
(2) 2点A(\vec{a}), B(\vec{b})において、線分ABをm:nに内分する点P(\vec{p})の位置ベクトルを求めなさい。
(3) 2点A(\vec{a}), B(\vec{b})において、線分ABをm:nに外分する点Q(\vec{q})の位置ベクトルを求めなさい。
(4) 三角形ABCの重心G(\vec{g})の位置ベクトルを求めなさい。
(5) 2点A(\vec{a}), B(\vec{b})が異なるとき、点P(\vec{p})が直線AB上にある条件を求めなさい。
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上の例題の \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ について、次のベクトルを図示せよ。\n(1) \ \\vec{a}+\\vec{c} \\n(2) \ -3 \\vec{c} \\n(3) \ -\\vec{a}+3 \\vec{b}-2 \\vec{c} \
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PR において, 辺 の中点を , 辺 を に外分する点を とする。 , とするとき, 次の直線のベクトル方程式を求めよ。
(1) 直線 CD
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|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=\sqrt{3},|2 \vec{a}-5 \vec{b}|=\sqrt{19} のとき, \vec{a}, \vec{b} のなす角 \theta を求めよ。
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3 点 A(5,4,7), B(3,4,5), C(1,2,1) について, とおく。ただし、0^{\circ}<\theta<180^{\circ} とする。このとき、 および の面積を求めよ。
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\nEX 平行六面体 において, とするとき, を, それぞれ を用い て表せ。\n とすると,\n\n\nであるから\n\n(1), \n\n\n(1) + (2) +(3) から \( \vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}) \)\n(4) と(3) から \( \vec{x}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})-\vec{r}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}-\vec{r}) \)\n(4) と(2) から \( \vec{y}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})-\vec{q}=\frac{1}{2}(\vec{p}-\vec{q}+\vec{r}) \)\n(4) と (1) から \( \vec{z}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})-\vec{p}=\frac{1}{2}(-\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}) \)\n\nまた, (4)から\n\[\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})\]\n\n以上から \( \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}-\vec{r}), \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}(\vec{p}-\vec{q}+\vec{r}) \),\n\[\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}(-\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}), \quad \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})\]\n を と 分割して求めてもよい。\n
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2 | ベクトルの和・差・実数倍の図示\n右の図で与えられた 3 つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ について,次のベクトルを図示せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5)
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次の直線の媒介変数表示を,媒介変数を t として求めよ。
(1)点 A(1,1) を通り, ベクトル \( \vec{d}=(-2,1) \) に平行な直線
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次の直線の媒介変数表示を,媒介変数を t として求めよ。
(2) 点 B(-4,3) を通り, ベクトル \( \vec{d}=(5,6) \) に平行な直線
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一直線上の点の座標条件\n問題6: 空間の 3 点 \\( \\mathrm{A}(3,2,6), \\mathrm{B}(5,-1,4), \\mathrm{C}(x, y, 0) \\) が一直線上にあるとき \ x= \ \ \\square, y=イ \\square \ である。
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次の 2 点間の距離を求めよ。\n(1) \\( (0,0,0),(3,-4,2) \\)\n(2) \\( (4,-1,3),(-2,2,5) \\)
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点 \( \mathrm{P}(5,-3,7), \mathrm{Q}(7,1,2) \) について, の成分と大きさを求めよ。
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遘本例題 48 空間のベクトルの分解 (成分)\n\\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\) であるとき, ベクトル \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) を, \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c}(s, t, u \ は実数) の形に表せ。
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次の 2 点 \mathrm{A}, \mathrm{B} について, ベクトル \overrightarrow{\mathrm{AB}} を成分で表せ。また, その大きさを求めよ。
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異なる2点 A(\vec{a}), B(\vec{b}) を通る直線 g のベクトル方程式を求め、その意味を説明しなさい。
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例 14 | ベクトルの等式と点の位置 (1) 線分 \\mathrm{AB} \ と点 \\mathrm{P} \ があり, \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}+3 \\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+4 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\overrightarrow{0} \ が成り立つとき, 点 \\mathrm{P} \ はどのような 位置にあるか。
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AB を 2: 3 に内分する点を Nとする。線分 LM と ON の交点を P とする。 \vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} とするとき, \overrightarrow{\mathrm{ON}} と \overrightarrow{\mathrm{OP}} を \vec{a}、 \vec{b} を用いて表せ。
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EX Oを原点, \( \mathrm{A}(2,1), \mathrm{B}(1,2), \overrightarrow{\mathrm{OP}}= s \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} (s, t \) は実数 \( ) \) とする。 ④5 が次の関係を満たしながら変化するとき,点Pの描く図形を図示せよ。 (1) (2)
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位置ベクトルの始点の選び方
基本例題 24 について, 方針 1 と方針 2 にはどのような考え方の違いがあるのでしょうか。
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EXOを原点とする座標平面上に, 半径 , 中心の位置ベクトル の円 を考え, その円周上の点 Pの位置ベクトルを とする。また, 円 の外部に点 Bを考え, その位置ベクトルを とする。更に, 点 B と点 P の中点を Q, その位置ベクトルを , 点 P が円周上を動くとき点 Q が 描く図形を D とする。\n(1) 円 を表すベクトル方程式を求めよ。\n(2) 図形 D を表すベクトル方程式を求めよ。
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異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) に対して点 \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) が直線 上にあることを証明せよ。
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4 点 A(2,1,0), B(1,0,1), C(0,1,2), D(1,3,7) がある。 3 点 A, B, C を通る平面に関して点 D と対称な点を E とするとき, 点 E の座標を求めよ。
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(1) 点 \( \mathrm{A}(1,-2,3) \) に関して, 点 \( \mathrm{P}(-3,4,1) \) と対称な点の座標を求めよ。
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次の点 A を通り, ベクトル に垂直な直線の方程式を求めよ。
(2) A(1,3), \( \vec{n}=(-1,2) \)
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次の直線の媒介変数表示を,媒介変数を t として求めよ。
(1) 点 A(-2, 1, 3) を通り, ベクトル d=(1, 3, -4) に平行な直線
(2) 2 点 A(2, -4, 3), B(3, -1, 5) を通る直線
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分点の位置ベクトル: 2点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) に対して、線分 を に分ける点の位置ベクトル。
内分 , 外分
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ベクトルの加法・減法・実数倍\n右の図で与えられた 3 つのベクトル \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ について, 次のベクトルを図示せよ。\n(1) \ \\vec{a}+\\vec{b} \\n(2) \ \\vec{b}-\\vec{c} \\n(3) \ \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} \\n(4) \ 2 \\vec{b} \\n(5) \ \\vec{a}-2 \\vec{b}+3 \\vec{c} \
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点 A(\vec{a}) を通り, ベクトル \vec{n}(\vec{n} \neq \overrightarrow{0}) に垂直な直線 g のベクトル方程式を求め, その意味を説明しなさい。
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例題 41 | ベクトルの等式と点の位置\n四面体 と点 が, 等式 を満たしている。\n(1) 点 はどのような位置にあるか。\n(2) 2 つの四面体 , PCDA の体積比を求めよ。
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次の直線の媒介変数表示を,媒介変数を として求めよ。また, を消去した式で表せ。\n(1) 点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, ベクトル \( \vec{d}=(1,-2) \) に平行な直線\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(3,6), \mathrm{B}(0,2) \) を通る直線
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問題 46\n(1) 点の座標 (0, 1/4, 0) を求めよ。\n(2) 点の座標 (0, -21, 17/2) を求めよ。
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基本例題 57 交点の位置ベクトル(空間)\n四面体OABCにおいて, とする。線分 を に内分する点を , 線分 の中点を とする。線分 と線分 の交点をPとするとき, を を用いて表せ。
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・ \( \vec{a}=(0,1,2), \vec{b}=(2,4,6) \) とする。 である実数 に対し の大きさが最大,最小になるときの 、それぞれ求めよ。
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EX 空間において, 3 点 \( \\mathrm{A}(5,0,1), \\mathrm{B}(4,2,0), \\mathrm{C}(0,1,5) \) を頂点とする三角形 \\mathrm{ABC} \ がある。 (1) 線分 \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ の長さを求めよ。 (2) 三角形 \\mathrm{ABC} \ の面積 S \ を求めよ。 [類 長崎大]
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一直線上にない 3 点 A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}) で定まる平面を \alpha と する。点 P(\vec{p}) が平面 \alpha 上にあるとき、次の vector 方程式が成り立つ。このことを証明せよ。
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\n の辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を と し, 線分 と の交点を , 線分 と の交点を とする。 , とするとき\n(1) を , を用いて表せ。また, BP:CP を求めよ。\n(2) を , を用いて表せ。また, を求めよ。
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有向線分 AB において、点 A から点 B への向きを指定したとき、これを有向線分 AB という。有向線分 AB においてAをその始点、Bをその終点という。線分 AB の長さを、有向線分 AB の大きさまたは長さという。位置の違いを無視して、その向きと大きさだけに着目したものをベクトルという。有向線分 AB が表すベクトルを書きなさい。
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点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする の辺 を に外分する点を , 辺 の中点を とする。線分 を に内分する点を の重心を とするとき, 点 F, G の位置ベクトルを を用いて表せ。
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(1) 二点 \( (-1,0,1) \) と \( (1,-1,3) \) の間の距離を求めよ。\n(2) 二点 \( (0,2,3) \) と \( (2,-1,2) \) の間の距離の平方を求めよ。
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(1) 2 点 \( \mathrm{A}(1,-1,3), \mathrm{B}(-1,0,1) \) 間の距離を求めよ。
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練習(1)点 \( \mathrm{P}(-2,3) \) を,原点を中心として だけ回転させた点 の座標を求めよ。
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(1) A(-3), B(7), C(2) とする。2 点 A, B 間;B, C 間;C,A 間の距離を,それぞれ求めよ。
(2) 2 点 P(-4), Q(8) を結ぶ線分 PQ を, 1:3 に内分する点 R, 3:1 に外分する点 S, 線分 RS の中点 M の座標を,それぞれ求めよ。
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次の角の動径を図示せよ。また,それぞれ第何象限の角か。
(1) 315°
(2) -210°
(3) 1140°
(4) -840°
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(2) ステージ上で対物ミクロメーターを動かすとき,どの方向へ移動させれば良いですか。次 より最も近い向きを選び,記号を答えなさい。
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2点間の距離を求めなさい。\n\n### 問題4\nAとBの点の位置ベクトルがそれぞれ \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \ と \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ である場合、距離を求める式は次のようになります。\n\n\\n\\mathrm{AB} = |\\overrightarrow{\\mathrm{OB}} - \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}| = |\\beta - \\alpha|\n\
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平面上のベクトルと空間のベクトルの性質を学んできたが, の「振り返り」以外のことについて, 比較しながらまとめよう。
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次のベクトルが一次独立か一次従属かを判断しなさい。
(1) ベクトル a=(2,1) と b=(1,-1)
(2) ベクトル a=(2,1) と c=(4,2)
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空間に4個の点 \( \mathrm{A}(0,1,1), \mathrm{B}(0,2,3), \mathrm{C}(1,3,0), \mathrm{D}(0,1,2) \) をとる。点 と点 を通る直線を とし、点 と点 を通る直線を とする。
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(2) 空間のベクトルの演算法則について、次の法則を説明せよ。\n\n- 加法(交換法則、結合法則)\n- 実数倍\n- 零ベクトルの演算
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円のベクトル方程式 中心 \\( \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\), 半径 \ r \ の円の ベクトル方程式 \ |\\vec{p}-\\vec{c}|=r \
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(1) 定点 \( \mathrm{A}(\vec{a}) \) を通り, でないベクトル に平行な直線 は直線の方向ベクトル
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等本 26 交点の位置ベクトル
において, とする。辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 線分 と との交点を とし, 直線 と辺 との交点を とする。次のベクトルを を用いて表せ。
(1)
(2)
[類 早稲田大]
基本
指針 (2) 直線 と線分 の交点 は 上にも 上にもあると考える。
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参考事項 交点の位置ベクトルのいろいろな解法
交点の位置ベクトルの求め方には, 「 2 通りに表し係数比較」以外の解法もある。例題 26 について, その解法で考えると次のようになる。
1 チェバ・メネラウスの定理の利用
(1) チェバの定理
の 3 頂点 と, 三角形の 辺上またはその延長上にない点 O とを結 ぶ直線が, 対辺 またはその 延長と交わる点をそれぞれ とす ると
(2) メネラウスの定理
の辺 またはその延長が, 三角形の頂点を通らない 1 直線とそれ ぞれ点 で交わるとき
(1) と直線 について, メネラウスの定理 により
ゆえに, であるから
\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{6 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OD}}}{7+6}=\frac{1}{13}\left(6 \vec{a}+7 \cdot \frac{3}{7} \vec{b}\right)=\frac{6}{13} \vec{a}+\frac{3}{13} \vec{b}\]
(2) において、チェバの定理により
ゆえに, であるから
2 直線のベクトル方程式の利用 ( 基本事項 1 1)
異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) を通る直線のベクトル方程式は
,
(係数 と の和 \( )=1\)
(2) ( は実数 \( ) \) とおくと, 点 は直線 上にあるから
ゆえに
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ベクトルの終点の存在範囲を求めよ。(4)\n△OAB において、次の条件を満たす点 P の存在範囲を求めよ。\n(1) \(\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}),\quad 0 \leq s+t \leq 1,\quad s \geq 0,\quad t \geq 0 \)\n(2) \(\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + (s+t) \overrightarrow{OB},\quad 0 \leq s \leq 1,\quad 0 \leq t \leq 1 \)\n提領: 上記の条件をもとに、与えられたベクトルの範囲を求めよ。
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ベクトルの相等, 大きさ \\( \\vec{a}=\\left(a_{1}, a_{2}\\right), \\vec{b}=\\left(b_{1}, b_{2}\\right) \\) とする。\n相等 \ \\vec{a}=\\vec{b} \\Leftrightarrow a_{1}=b_{1}, \\quad a_{2}=b_{2} \\n大きさ \ |\\vec{a}|=\\sqrt{a_{1}{ }^{2}+a_{2}{ }^{2}} \
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(1) 平面上に異なる 4 点 と直線 上にない点 がある。 \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} \ とするとき, \ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \vec{a}-2 \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OD}}=-3 \vec{a}+4 \vec{b} \ であれば \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} / / \overrightarrow{\mathrm{CD}} \ である。このことを証明せよ。
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1 辺の長さが 1 の立方体 において, 辺 を\( a:(1-a) \) に内分する点をそれぞれ とし, とする。ただし, とする。(1) をそれぞれ , を用いて表せ。(2) を求めよ。(3) と のなす角を求めよ。
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(2) 平行四辺形 ABCD において, \ 2 \\overrightarrow{BP} = \\overrightarrow{BC}, 2 \\overrightarrow{AQ} + \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{AC} \ であるとき, 四角形 ABPQ はどのような形か。
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364
1 辺の長さが 2 である正三角形 において, 辺 , それぞれの中点をL, M, N とする。6点 A, B, C, L, M, N を使って表されるベクトルのうち, 次のもの をすべて求めよ。
(1) と等しいベクトル
(2) と向きが同じベクトル
(3) の逆ベクトル
(4) に平行で大きさが 1 のベクトル
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ベクトルの応用\n点 \ \\mathrm{P} \ が直線 \ \\mathrm{AB} \ 上にある\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+t=1 \ となる実数 \ s, t \ がある。
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平面上で 1 次独立なベクトル \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ を定めると, 任意の点 \ \\mathrm{P} \ は \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad(s, t \ は実数 \\( ) \\cdots \\cdots \\cdot(A) \\) の形にただ 1 通りに表される。\nこのとき, 実数の組 \\( (s, t) \\) を斜交座標 といい, (A)によって定 まる点 \ \\mathrm{P} \ を \\( \\mathrm{P}(s, t) \\) で表す。\n特に, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}},|\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}|=|\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}|=1 \ のときの斜交座標は, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \ の延長を \ x \ 軸, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ の延長を \ y \ 軸にとった \ x y \ 座標になる。\n\n【基本例題 38(1) 】\n\ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+2 t=3 \\cdots \\cdots \ すなわち \\( \\mathrm{P}(s, t), s+2 t=3 \\) を満たす点 \ \\mathrm{P} \ は,直交座標平面上では直線 \ x+2 y=3 \ 上にある。 この直線と座標軸との交点を \\( \\mathrm{C}(3,0) \\), \\( \\mathrm{D}\\left(0, \\frac{3}{2}\\right) \\) とする。\nこれに対して, 斜交座標平面上で同じ座標 をもつ点 C, D を考えると\n\ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\frac{1}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\frac{2}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \\n\nよって, 点 \ \\mathrm{P} \ の条件式(*)は \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{s}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\frac{2}{3} t \\overrightarrow{\\mathrm{OD}},\\frac{s}{3}+\\frac{2}{3} t=1 \ となり, 点 \ \\mathrm{P} \ の存在範囲は直線 CD である。
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(ア)\ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \ のとき, \ \\vec{x}-\\vec{y} \ を \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ で表せ。
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練習(1)空間において, 軸と直交し, 軸の正の向きとのなす角が であり, 成分が正である単位べクトル を求めよ。
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平面上を運動する点 P の時刻 t\ における座標 \( (x, y) \) が t\ の関数であるとき、次の問いに答えなさい。\n1. 速度を表すベクトル方程式を導出しなさい。\n2. 加速度を表すベクトル方程式を導出しなさい。
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次の直線のベクトル方程式を求めよ。
(ア) 点 A(1,2,3) を通り、ベクトル d=(2,3,-4) に平行。
(イ) 2 点 A(2,-1,1), B(-1,3,1) を通る。
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共線条件\n2 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ が異なるとき\n点 \ \\mathrm{P} \ が直線 \ \\mathrm{AB} \ 上にある\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ となる実数 \ k \ がある
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3 点 \(\mathrm{A}\left(6, \frac{\pi}{3}\right), \mathrm{B}\left(4, \frac{2}{3} \pi\right), \mathrm{C}\left(2, -\frac{3}{4} \pi\right)\) が与えられているとき, 次のものを求めよ。\n(1) 線分 の長さ\n(2) の面積\n(3) の面積
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次の等式が成り立つことを証明せよ。\n\ \noverrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}} \n\\n
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(2)D, E, F はそれぞれ線分 上の点で, , とする。 3 点 を含む平面と直線 の交点を とするとき, を を用いて表せ。
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四角形 の辺 の中点を, それぞれ とし,対角線 の中点を, それぞれ とする。(1) 頂点 A, B, C, D の位置ベクトルを, それぞれ とするとき, 線分 KMの中点の位置ベクトルを を用いて表せ。(2)線分 LN, ST の中点の位置ベクトルをそれぞれ を用いて表すことにより,3つの線分 KM, LN, ST は1点で交わることを示せ。
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共線, 共点であるための条件\n(1)共線条件\n2 点 が異なるとき、点 が直線 上にある となる実数 k がある。
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ベクトル方程式\n直線のベクトル方程式 \ s, t \ を実数とする。\n(1) 点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\) を通り, \\( \\vec{d}(\\neq \\overrightarrow{0}) \\) に平行な直線の\nベクトル方程式 \ \\vec{p}=\\vec{a}+t \\vec{d} \\n(2) 異なる 2 点 \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}) \\) を通る直線のベクト 儿方程式\n\\[\\begin{array}{l}\n\\vec{p}=(1-t) \\vec{a}+t \\vec{b} \\text { または } \\\\\n\\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}, s+t=1\n\\end{array}\\]
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立方体 OAPB-CRSQ において, 𝑝=⃗OP, 𝑞=⃗OQ, 𝑟=⃗OR とする。 𝑝, 𝑞, 𝑟 を用いて ⃗OA を表せ。
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等本 26 交点の位置ベクトル
において, とする。辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 線分 と との交点を とし, 直線 と辺 との交点を とする。次のベクトルを を用いて表せ。
(1)
(2)
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基本
指針 (1) 線分 と線分 の交点 は 上にも 上にもあると考える。そこで, \( \mathrm{AP}: \mathrm{PD}=s:(1-s), \mathrm{BP}: \mathrm{PC}=t:(1-t) \) として, を2つのベクトル を用いて2通りに表すと…
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(3) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \ の長方形 \ \\mathrm{ABCD} \ がある。 \ \\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\\vec{d} \ とするとき, ベクトル \ \\overrightarrow{\mathrm{BD}} \ と平行な単位ベクトルを \ \\vec{b}, \\vec{d} \ で表せ。
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zを複素数とする。複素数平面上の 3 点 \\( \\mathrm{A}(1), \\mathrm{B}(z), \\mathrm{C}(z^{2}) \\) が鋭角三角形をなすような点 \ z \ の範囲を求め, 図示せよ。
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座標空間において, 3 点 \( (-1,10,-3) ,(2 , ア, 3),(3,6 \), イ は 一直線上にある。
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平行四辺形の 3 頂点が \( \mathrm{A}(1,0,-1), \mathrm{B}(2,-1,1), \mathrm{C}(-1,3,2) \) であるとき, 第 4 の頂点 D の座標を求めよ。
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(1) 空間のベクトルの基本概念について、次のベクトル演算を説明せよ。\n\n- 相等\n- 加法\n- 減法\n- 逆ベクトル\n- 零ベクトル\n- 実数倍
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423\n に対し, とする。実数 が次の条件を満たしながら動くとき, 点 の存在範囲を求めよ。\n(1) \n(2)
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基本事項\n3. 三角形の重心の位置ベクトル\n3 点 A(), B(), C() を頂点とする の重心 G の位置ベクトルを とすると\n
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(2) 異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}) \) を通る直線
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練習 1 辺の長さが 1 である正六角形 の 6 頂点と, 対角線 の交点
を使って表されるベクトルのうち, 次のものをすべて求めよ。
(1) と等しいベクトル
(2) と向きが同じベクトル
(3) の逆ベクトル
(4) に平行で大きさが 2 のベクトル
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点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に外分する点を , の重心を , の重心を とする。次のベクトルを で表せ。\n(1) 点 の位置ベクトル\n(2)
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練習四面体 において, とする。 (2)69(1)線分 を に内分する点を とし,線分 を に内分する点を とする。 を を用いて表せ。
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ベクトルの終点の存在範囲\n とし, とする は実数の変数)。 に条件があると, 次のような図形を表す。\n(1) 直線 特に 線分 \n(2) 三角形 の周および内部 \n(3) 平行四辺形 の周および内部 \n(ただし, \( \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}) \)