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数学 I\n\n四面体ABCDの体積を求めよ。

正四面体と正六面体の各面に絵の具で色を塗る。1つの面には１色しか塗らない。また, 回転させて一致する塗り方は同じとみなす。絵の具が 12 色 あるとき，正四面体を面の色がすべて異なるように塗る塗り方はア [ ] 通りである。また, 絵の具が 8 色あるとき, 正六面体を面の色がすべて異な るように塗る塗り方はイ [ ]通りである。 [南山大]

1 辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD がある。\n（1）正四面体に外接する球の半径 $R$ を $a$ を用いて表せ。\n（2）正四面体に内接する球の半径 $r$ を $a$ を用いて表せ。

次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。ただし，立体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。（1）正四角錐の各面を異なる5色すべてを使って塗る方法（2）正三角柱の各面を異なる5色すべてを使って塗る方法

基本 例題 138 正四面体の高さと体積\n1 辺の長さが $a$ である正四面体 $\mathrm{ABCD}$ がある。\n(1) この正四面体の高さを $a$ の式で表せ。\n（2）この正四面体の体積を $a$ の式で表せ。

1辺の長さが 6 cmの立方体がある。この立方体において, 各面の対角線の交点を頂点とする正八面体の体積を求めよ。

$\sqrt{2} \cos \theta+1=0$ から $\cos \theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$。半径 1 の半円周上で, $x$ 座標が $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる点は, 図の点 $\mathrm{P}$ である。求める $\theta$ は, $\angle \mathrm{AOP}$ である。

図のように, 高さ 4 , 底面の半径 $\sqrt{2}$ の円錐が球 $\mathrm{O}$ と側面で接し，底面の中心 $\mathrm{M}$ でも接している。 このとき, 球 $\mathrm{O}$ の体積 $V$ と表面積 $S$ を求めよ。

基本列題 102 立方体と四面体の体積比\n右の図のように, 1 辺の長さが $6 \mathrm{~cm}$ の立方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ がある。このとき，次の問いに答えよ。\n（1）立方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ の体積は, 四面体 $\mathrm{CFGH}$ の 体積の何倍か。\n（2）四面体 $\mathrm{ACFH}$ の体積を求めよ。

オイラーの多面体定理\n凸多面体の頂点の数を $v$, 辺の数を $e$, 面の数 を $f$ とすると $\quad v-e+f=2$ を証明しなさい。

測量への応用 (2)

EX右の図に示す四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, $\mathrm{AD}=2, \mathrm{BD}=4, \mathrm{CD}=6$, ${ }^{3} 79 \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$ であるとき, 次の値を求めよ。\n（1）四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$\n(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$\n(3) 頂点 $\mathrm{D}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の長さ $d$\n[岡山理科大]

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, $\mathrm{AD}=2$, $\mathrm{BD}=4, \mathrm{CD}=6, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$ であるとき, 次の値を求めよ。\n(1) 四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$\n(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$\n(3) 頂点 $\mathrm{D}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の長さ $d$

立方体の各面に，隣り合つた面の色は異なるように，色を塗りたい。ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。 （1）異なる６色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 （2）異なる 5 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

横の長さが縦の長さの2倍である長方形の薄い金属の板がある。この板の四すみから、1辺の長さが1 cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱を作る。箱の容積を4 cm³以上24 cm³以下にするには、縦の長さをどのような範囲にとればよいか。

四面体 $\mathrm{OABC}$ の次のものを求めよ。\n(1) 頂点 $\mathrm{O}$ から底面の $\\triangle \mathrm{ABC}$ に下ろした垂線 $\\mathrm{OH}$ の長さ\n（2）四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積 $V$

立方体の縦を $2 \mathrm{~cm}$, 横を $1 \mathrm{~cm}$, それぞれ伸ばし，高さを $1 \mathrm{~cm}$ 縮めて直方体を作ると, 体積が $50 \%$ 増加した。このとき, もとの立方体の 1 辺の長さ を求めよ。

半径 6 の球に内接する直円柱の体積の最大值を求めよ。また, そのときの直円柱の高さを求めよ。

等面四面体の体積を求める 等面四面体（4つの面がすべて合同な四面体）についても、正四面体と同様に考えることができる。3辺の長さがa, b, cの直方体に囲まれた四面体BDEGの体積を計算する。 ③3辺の長さがa, b, cの直方体に囲まれた四面体BDEGの体積: 等面四面体の体積 = 直方体の体積 - 4 × (1/6 直方体の体積) = (1/3 × 直方体の体積) ゆえに、四面体BDEGの体積は (1/3) a b c

辺の長さが 1 の正二十面体 W のすべての頂点が球 S の表面上にあるとき, 次の問いに答えよ。なお, 正二十面体は, すべての面が合同な正三角形であり, 各頂点は 5 つの正三角形に共有されている。\n(1) 正二十面体 W の 1 つの頂点を A ，頂点 A からの距離が 1 である 5 つの頂点 を B, C, D, E, F とする。 cos 36°=$\\frac{1+\\sqrt{5}}{4}$ を用いて, 対角線 BE の長さと 正五角形 BCDEF の外接円の半径 R を求めよ。\n(2) 2 つの頂点 D, E からの距離が 1 である 2 つの頂点のうち, 頂点 A でない方 を Gとする。球 S の直径 BG の長さを求めよ。\n(3) 球 S の中心を O とする。 ∆DEG を底面とする三角錐 ODEG の体積を求め, 正二十面体 W の体積を求めよ。

1 辺の長さが 1 の立方体 \ \\mathrm{ABCD}-\\mathrm{EFGH} \ がある。 3 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{C}, \\mathrm{F} \ を含 む平面と直線 \ \\mathrm{BH} \ の交点を \ \\mathrm{P}, \\mathrm{P} \ から面 \ \\mathrm{ABCD} \ に下ろした垂線と面 \ \\mathrm{ABCD} \ との交点を \ \\mathrm{Q} \ とする。\n(1) 線分 \ \\mathrm{BP}, \\mathrm{PQ} \ の長さを求めよ。\n(2) 四面体 \ \\mathrm{ABCF} \ に内接する球の中心を \ \\mathrm{O} \ とする。点 \ \\mathrm{O} \ は線分 \ \\mathrm{BP} \上にあることを示せ。\n(3) 四面体 \ \\mathrm{ABCF} \ に内接する球の半径を求めよ。

底面積を $S$, 高さを $h$ としたときの柱体と錐体の体積を求めなさい。また、半径 $r$ の球の体積と表面積を求めなさい。

堚習 1 辺の長さが 3 の正三角形 $\mathrm{ABC}$ を底面とし, $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=2$ の四面体 $\mathrm{PABC}$ において, 頂点 $\mathrm{P}$ から底面 $\mathrm{ABC}$ に垂線 $\mathrm{PH}$ を下ろす。\n(1) $\mathrm{PH}$ の長さを求めよ。\n（2）四面体 $\mathrm{PABC}$ の体積を求めよ。\n(3) 点 $\mathrm{H}$ から 3 点 $\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ を通る平面に下ろした垂線の長さ $h$ を求めよ。

四面体 ABCD において, AB=3, BC=√13, CA=4, DA=DB=DC=3 とし, 頂点 D から ∆ABC に垂線 DH を下ろす。このとき, 線分 DH の長さと四面体 ABCD の体積を求めよ。

1辺の長さが 3 の正三角形 $\mathrm{ABC}$ を底面とし, $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=2$ の四面体 $\mathrm{PABC}$ において, 頂点 $\mathrm{P}$ から底面 $\mathrm{ABC}$ に垂線 $\mathrm{PH}$ を下ろす。\n(1) $\mathrm{PH}$ の長さを求めよ。\n（2）四面体 $\mathrm{PABC}$ の体積を求めよ。\n(3) 点 $\mathrm{H}$ から 3 点 $\mathrm{P}, \mathrm{A}$, B を通る平面に下ろした垂線の長さ $h$ を求めよ。

正四面体の高さと体積\n1 辺の長さが $a$ である正四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, 頂点 $\mathrm{A}$ から $\triangle \mathrm{BCD}$ に垂線 AHを下ろす。\n(1) AHの長さ $h$ を $a$ を用いて表せ。\n(2) 正四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積 $V$ を $a$ を用いて表せ。\n(3) 点 $\mathrm{H}$ から $\triangle \mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の長さを $a$ を用いて表せ。

内接する球の中心を I とする。 4 つの四面体 IABC, IACD, IABD, IBCD は合同であるから V = 4 ×( 四面体 IBCD の体積 ) = 4 × (1/3 × 三角形 BCD × r ) = 4 × (1/3 × (√3/4) a² × r ) = (√3/3) a² r V = (√2/12) a³ から、(√2/12) a³ =(√3/3) a² r ゆえに r = (√6/12) a 半径 r の球の体積を V_2 とすると V_2 = (4/3)π r³ = (4/3)π(√6/12 a)³ = (√6/216) π a³ よって V_2: V = (√6/216) π a³ : (√2/12) a³ = π : 6√3

正四面体の体積を求める 正四面体の体積を求めるために、ひし形の面積から計算方法を導く。その後、立方体を用いて正四面体の体積を求める。ひし形の対角線が垂直に交わることを利用し、長方形EFGHで囲む方法について説明する。次に、1辺の長さがaの正四面体の体積を立方体を介して計算する。 ①ひし形の面積: ひし形の性質により、対角線が垂直に交わるため、長方形EFGHで囲むことができる。 ひし形の面積 = (1/2) × (長方形EFGH) ②1辺の長さがaの正四面体の体積: 正四面体BDEGを立方体ABCD-EFGHで囲む。立方体の各面の対角線が正四面体の1辺と一致している。正四面体は立方体から4つの三角錐を取り除いたものである。 三角錐ABDEの体積は (1/3) × (△ABD) × (AE)、立方体の体積はa^3 したがって、三角錐ABDEの体積は立方体の (1/6) であり、他の3つの三角錐も同様に立方体の (1/6) となる。 正四面体の体積 = 立方体の体積 - 4 × (1/6 × 立方体の体積) = (1/3 × 立方体の体積) 正四面体の1辺の長さaに対し、正四面体を囲む立方体の1辺の長さは (1/√2) a 正四面体の体積 = (1/3) × (1/√2 a)^3 = (√2/12) a^3

長さ 6 の線分 AB 上に, 2 点 C, D を AC = BD となるようにとる。ただし，0 < AC < 3 とする。線分 AC, CD, DB をそれぞれ直径とする 3 つの円の面積の和 S の最小値と, そのときの線分 AC の長さを求めよ。

立方体 A がある。A を縦に 1 cm 縮め，横に 2 cm 縮め，高さを 4 cm 伸ばし直方体 B を作る。また，A を縦に 1 cm 伸ばし，横に 2 cm 伸ばし，高さを 2 cm 縮めた直方体 C を作る。A の体積が，Ｂの体積より大きいがＣの体積よりは大きくならないとき, A の 1 辺の長さの範囲を求めよ。

\( \mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=3, \mathrm{BC}=t(1<t<5) \) である三角形 $\mathrm{ABC}$ を底面とする直三角柱 $T$ を考える。ただし，直三角柱とは，すべての側面が底面と垂直であるような三角柱である。更に, 球 $S$ が $T$ の内部に含まれ，T のすべての面に接しているとする。\n（1）S の半径を $r$, T の高さを $h$ とする。rとhをそれぞれ $t$ を用いて表せ。\n(2) $T$ の表面積を $K$ とする。 $K$ を最大にする $t$ の値と， $K$ の最大値を求めよ。

正二十面体 $W$ の体積を求めてください。

正四面体の高さと体積

四面体 \\mathrm{ABCD}\ において, \\mathrm{AB}=\\mathrm{AC}=3, \\angle \\mathrm{BAC}=90^{\\circ}, \\mathrm{AD}=2\, \\mathrm{BD}=\\mathrm{CD}=\\sqrt{7}\ であり, 辺 \\mathrm{BC}\ の中点を \\mathrm{M}\ とする。このとき, \\mathrm{BC}= \ ア \\square\, \\mathrm{DM}= \ イ \\\square\ , \\angle \\mathrm{DAM}=ウ \ \\square\ \\square^{\\circ}\ であり，四面体 \\mathrm{ABCD}\ の体積はエ \\square\ で ある。[千葉工大]

三角形の面積, 空間図形への応用\nA 112๑ \\triangle \\mathrm{ABC}\ において, \\sin A: \\sin B: \\sin C=5: 7: 8 \ とする。このとき,積はイ \\square \ である。[京都産大]

四面体 ABCD の体積を求めよ。

1 辺の長さが 3 の正四面体 \\mathrm{ABCD} \ において, 頂点 \\mathrm{A} \ から底面 BCDに垂線 \\mathrm{AH} \ を下 ろす。辺 \\mathrm{AB} \ 上に \\mathrm{AE}=1 \ となる点 \\mathrm{E} と \ ときき，次のものを求めよ。\n(1) \\sin \\angle \\mathrm{ABH} \\n(2) 四面体 \\mathrm{EBCD} \ の体積

四面体 OABC の体積を求めよ。また、点 O と平面 ABC の距離を求めよ。

図のように, 高さ 4 , 底面の半径 $\sqrt{2}$ の円錐が球 $\mathrm{O}$ と側面で接し,底面の中心 $\mathrm{M}$ でも接している。このとき, 球Oの体積 $V$ と表面積 $S$ を求めよ。

（2）容器を \\alpha \ だけ傾けたときの水面の中心 を通り，水面に垂直な直線上に x \ 軸をと り, 半球の中心を原点 Oとする。\n水がこぼれ出た後, 水面が h \ だけ下がつ たとすると \\quad h=r \\sin \\alpha \\nこぼれ出た水の量は, 右の図の灰色部分 を x \ 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積に等しい。 その体積は\n\\[ \\begin{array}{l} \\text { その体積は } \\\\ \\pi \\int_{0}^{h} y^{2} d x=\\pi \\int_{0}^{h}\\left(r^{2}-x^{2}\\right) d x \\\\ =\\pi\\left[r^{2} x-\\frac{x^{3}}{3}\\right]_{0}^{h}=\\pi\\left(r^{2} h-\\frac{h^{3}}{3}\\right)=\\frac{\\pi}{3} h\\left(3 r^{2}-h^{2}\\right) \\\\ =\\frac{\\pi}{3} r \\sin \\alpha\\left(3 r^{2}-r^{2} \\sin ^{2} \\alpha\\right)=\\frac{\\pi}{3} r^{3} \\sin \\alpha\\left(3-\\sin ^{2} \\alpha\\right) \\end{array}\\]

（2）球の体積が 1% 増加するとき、球の半径は何% 増加するか。

例 D. 527 練習 149(1)の体積 $V$ を公式(A)を用いて求めよ。

(2) 容器 $Q$ の体積を $V_{1}$ とする。1 辺の長さが $b$ である正四面体 $\mathrm{ABCD}$ について…。

0 \leqq x \leqq \pi において， 2 つの曲線 y=\sin x, y=\sin 2 x で囲まれた図形を x 軸の 周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。

540\n重票例題 $159 \mid$ 座標空間における回転体の体積 (2)\n$x y z$ 空間に 3 点 \( \mathrm{P}(1,1,0), Q(-1,1,0), \mathrm{R}(-1,1,2) \) をとる。\n[神戸大]\n(1) $t$ を $0 \leqq t<2$ を満たす実数とするとき, 平面 $z=t$ と $\triangle \mathrm{PQR}$ の交わりに現れる線分の 2 つの端点の座標を求めよ。\n(2) $\triangle \mathrm{PQR}$ を軸の周りに回転させて得られる立体の体積 $V$ を求めよ。<例題158

(2) 空間で, 半径1の球の中心が, 辺の長さが4の正方形の辺上を1周する時、この球が通過する部分の体積 $V$ を求めよ。

練習 座標空間において, x y 平面内で不等式 |x| ≤ 1,|y| ≤ 1 により定まる正方形 S の 4 つの頂点を A(-1,1,0), B(1,1,0), C(1,-1,0), D(-1,-1,0) とする。正方形 S を, 直線 BD を軸として回転させてできる立体を V1, 直線 AC を軸として 回転させてできる立体を V2 とする。\n(1) 0 ≤ t<1 を満たす実数 t に対し, 平面 x=t による V1 の切り口の面積を求めよ。\n(2) V1 と V2 の共通部分の体積を求めよ。

次の曲線や直線で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 V 149 を求めよ。(2) y=log(x+1), y=1, y 軸

稘習例題 20 立方体の対角線の周りの回転体の体積 Oを原点とする座標空間内に点 \( \mathrm{A}(0,0,1), \mathrm{B}(1,0,1), \mathrm{C}(1,1,1) \) が与えられています。線分 $O C$ を 1 つの対角線とし, 線分 $\mathrm{AB}$ を 1 辺とする立方体を直線 $O C$ の周りに回転して得られる回転体 $K$ の体積を求めたい。 (1) 点 \( \mathrm{P}(0,0, p)(0<p \leqq 1) \) から直線 $\mathrm{OC}$ へ垂線を引いたときの交点 $\mathrm{H}$ の座標と 線分 $\mathrm{PH}$ の長さを求めよ。 (2) 点 \( \mathrm{Q}(q, 0,1)(0 \leqq q \leqq 1) \) から直線 $\mathrm{OC}$ へ垂線を引いたときの交点 $\mathrm{I}$ の座標と 線分 QI の長さを求めよ。 (3) 原点 $\mathrm{O}$ から点 $\mathrm{C}$ 方向へ線分 $\mathrm{OC}$ 上を距離 \( u(0 \leqq u \leqq \sqrt{3}) \) だけ進んだ点を $\mathrm{U}$ と する。点 $\mathrm{U}$ を通り直線 $O C$ に垂直な平面で $K$ 切ったときの切り口の円の半径 $r$ をuの関数として表せ。 (4) $K$ の体積を求めよ。 [大阪市大]

座標空間の点 \( A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0) \), \( E(1,0,1), F(-1,0,1) \) を頂点とする三角柱を含み, 原点を中心とする $xy$ 平面上の円を底面とする直円錐を考える。このような直円錐の体積の最小値と, そのときの底面の半径 $r$ を求めよ。

次の曲線や直線で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 V 149 を求めよ。(1) y=-x^{2}+2, x 軸

S を, 座標空間内の原点 \\mathrm{O} \ を中とする半径 1 の球面とする。 $S$ 上 を動く点 $\\mathrm{A}, \\mathrm{B}$, $\\mathrm{C}, \\mathrm{D}$ に対して, \( F=2\\left(\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{BC}^{2}+\\mathrm{CA}^{2}\\right)-3\\left(\\mathrm{AD}^{2} + \\mathrm{BD}^{2} + \\mathrm{CD}^{2}\\right) \) とする。\n(1) $\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}= \\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\vec{c}, \\overvector{\\mathrm{OD}} = \\vec{d}$ とするとき, \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{d} \ によらない定数 \ k \ によって, \\( F=k( \\vec{a}+ \\vec{b}+\\vec{c}) \\cdot( \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}-3 \\vec{d}) \\) と書けることを示し, 定数 \ k \ の値を求めよ。\n(2) 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ が球面 \ S \ 上を動くときの, \ F \ の最大値 \ M \ を求めよ。\n(3) 点 C の座標が \\( \\left(-\\frac{1}{4}, \\frac{\\sqrt{15}}{4}, 0 \\right) \\), 点 D の座標が \\( (1,0,0) \\) である とき, \ F=M \ となる \ S \ 上の点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \\) の組をすべて求めよ。

例 47 | 断面積と体積 (1)\n2 点 \( \\mathrm{P}(x, 0), \\mathrm{Q}(x, \\sin x) \\) を結ぶ線分を 1 辺とする正三角形を， x \ 軸に垂直な平面上に作る。 \\mathrm{P} \ が x \ 軸上を原点 \\mathrm{O} \ から点 \( (\\pi, 0) \\) まで動くとき, この正三角形が描 く立体の体積を求めよ。

直円錐の体積を最小にする円錐の半径 r を求めなさい。

四面体 $\mathrm{ABCD}$ と点 $\mathrm{P}$ が, 等式 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}+6 \overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0}$ を満たしている。\n(1) 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか。\n(2) 2 つの四面体 $\mathrm{PBCD}$, PCDA の体積比を求めよ。

演習例題 3 四面体の体積の最大値\n四面体 \\mathrm{OABC} \ において, |\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}|=a,|\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}|=b,|\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}|=c, \\angle \\mathrm{AOB}=90^{\\circ}, \\angle \\mathrm{AOC}=\\alpha \, \\angle \\mathrm{BOC}=\\beta \ とする。ただし, 0^{\\circ}<\\alpha<90^{\\circ}, 0^{\\circ}<\\beta<90^{\\circ}, \\alpha+\\beta>90^{\\circ} \ である。\n(1) 内積 \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OC}} \ を a, b, c, \\alpha, \\beta \ を用いて表せ。\n(2) 点 \\mathrm{C} \ から \\triangle \\mathrm{OAB} \ を含む平面へ下ろした垂線を \\mathrm{CH} \ とする。\n \\overrightarrow{\\mathrm{OH}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+l \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(k, l \ は実数 \( ) \\) とおくとき, k, l \ を a, b, c, \\alpha, \\beta \ を用いて表せ。\n（3）四面体 \\mathrm{OABC} \ の体積 V \ を a, b, c, \\alpha, \\beta \ を用いて表せ。\n(4) a, b, c \ を定数とし, \\alpha, \\beta \ が \\alpha+\\beta=120^{\\circ} \ を満たしながら動くとき, V \ の最大値を求めよ。\n[長崎大]

稘習例題 20 立方体の対角線の周りの回転体の体積 Oを原点とする座標空間内に点 \( \mathrm{A}(0,0,1), \mathrm{B}(1,0,1), \mathrm{C}(1,1,1) \) が与えられています。線分 $O C$ を 1 つの対角線とし, 線分 $\mathrm{AB}$ を 1 辺とする立方体を直線 $O C$ の周りに回転して得られる回転体 $K$ の体積を求めたい。 (1) 点 \( \mathrm{P}(0,0, p)(0<p \leqq 1) \) から直線 $\mathrm{OC}$ へ垂線を引いたときの交点 $\mathrm{H}$ の座標と 線分 $\mathrm{PH}$ の長さを求めよ。 (2) 点 \( \mathrm{Q}(q, 0,1)(0 \leqq q \leqq 1) \) から直線 $\mathrm{OC}$ へ垂線を引いたときの交点 $\mathrm{I}$ の座標と 線分 QI の長さを求めよ。 (3) 原点 $\mathrm{O}$ から点 $\mathrm{C}$ 方向へ線分 $\mathrm{OC}$ 上を距離 \( u(0 \leqq u \leqq \sqrt{3}) \) だけ進んだ点を $\mathrm{U}$ と する。点 $\mathrm{U}$ を通り直線 $O C$ に垂直な平面で $K$ 切ったときの切り口の円の半径 $r$ をuの関数として表せ。 (4) $K$ の体積を求めよ。 [大阪市大]

(2) 四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積を $V$ とすると, $\mathrm{AP}: \mathrm{PF}=12: 1$ から,四面体 $\mathrm{PBCD}$ の体積は $\frac{1}{12+1} V=\frac{1}{13} V$\n同様にして, 体積について\n\( ( 四面体 \( \mathrm{PACD})=\frac{12}{13}( 四面体 \( \mathrm{FACD})=\frac{12}{13} \cdot \frac{1}{2}( 四面体 \( \mathrm{EACD}) \)$=\frac{6}{13} \cdot \frac{1}{3} V=\frac{2}{13} V$\n\( ( 四面体 \( \mathrm{PABD)=\frac{12}{13}( 四面体 \( \mathrm{FABD)=\frac{12}{13} \cdot \frac{1}{2}( 四面体 \( \mathrm{EABD) \)\n $=\frac{6}{13} \cdot \frac{2}{3} V=\frac{4}{13} V$\n よって、四面体PBCDの体積はVの13分の1となる。

次の曲線と $x$ 軸および直線で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる回転体 の体積を求めよ。\n(2) $y=e^{\frac{x}{4}}, y$ 軸, $x=2$

次の図形を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。(1)楕円 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqq 0) \) と y 軸で囲まれた部分。ただし， $a>0 , b>0$

(3) \n点Aの $x$ 座標の絶対値を求める。\n点Bおよび点Pは $yz$ 平面上にある。\n三角錐 $\mathrm{POAB}$ の高さを求め、その体積を計算する。

半径 1 の球に, 側面と底面で外接する直円錐を考える。この直円錐のうち, 体積が最小となるものの底面の半径と高さの比を求めよ。

演習問題 の解答 61 (2) \frac{3}{8} \pi

重要例題 153 直線 $y=x$ の周りの回転体の体積\n放物線 $y=x^{2}-x$ と直線 $y=x$ との原点 $\mathrm{O}$ 以外の交点を $\mathrm{A}$ とする。この直線と放物線によって囲まれる部分を, 直線 OA を軸として回転させて得られる立体の体積を求めよ。\n[青山学院大]

2つの曲線で囲まれた部分について, x 軸より下側の部分を x 軸に関して折り返すと，右の図の灰色部分になる。この部分は直線 x=3/4π に関して対称である。よって, 求める体積 V を求めよ。

立体・回転体の体積: 曲線 $y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸回りに回転させてできる回転体の体積を、$x = 0$ から $x = 1$ まで求めよ。

曲線 $y=-2 x^{2}-1$ と $x$ 軸，および 2 直線 $x=-1 , x=2$ で囲まれた部分を $x$軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ。

31 $\mathrm{AB}=x, \mathrm{AD}=y, \mathrm{AE}=z$ である直方体 $\mathrm{ABCDEFGH}$ が空間内にある。直方体の対角線 AG の長さを3, 表面積 $S$ を16とするとき\n(1) $x+y+z$ の値を求めよ。\n(2) $y+z$ と $yz$ を $x$ の式で表し, $x$ を用いて $y, z$ を解とする $t$ の2次方程式を作れ。\n(3) $x$ の値のとりうる範囲を求めよ。\n(4) この直方体の体積を $V$ とするとき, $V$ の最大値および最小値を求めよ。また, そのときの $x$ の値を求めよ。[類 長崎大]

2 点 \( \mathrm{P}(x, 0), \mathrm{Q}\left(x, 4-x^{2}\right) \) を結ぶ線分を 1 辺とする正三角形を， $x$ 軸に垂直な平面上に作る。 $\mathrm{P}$ が $x$ 軸上を原点 $\mathrm{O}$ から点 \( (2,0) \) まで動くとき, この正三角形が描く立体の体積を求めよ。

AB=x, AD=y, AE=z である直方体 ABCD-EFGH が空間内にある。直方体の対角線 AG の長さを 3, 表面積 S を 16 とするとき\n[類 長崎大]\n(1) x+y+z の値を求めよ。\n(2) y+z と yz を x 式で表し、 x を用いて y, z を解とする t の 2 次方程式を作れ。\n(3) x の値のとりうる範囲を求めよ。\n（4）この直方体の体積を V とするとき，Vの最大値および最小値を求めよ。また，そのときの x の値を求めよ。\n

1 辺が $5 \mathrm{~cm}$ の正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取った残りでふたのない直方体を 作ったら，その容積が $8 \mathrm{~cm}^{3}$ になった。切り取った正方形の 1 辺の長さを求めよ。

辺が $5 \mathrm{~cm}$ の正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取った残りでふたのない直方体を作ったら, その容積が $8 \mathrm{~cm}^{3}$ になった。切り取った正方形の 1 辺の長さを求めよ。

底面の半径が $5 \mathrm{~cm}$, 高さが $10 \mathrm{~cm}$ の直円錐状の容器を逆さまに置く。この容器 に $2 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}$ の割合で静かに水を注ぐ。水の深さが $4 \mathrm{~cm}$ になる瞬間において, 次 のものを求めよ。\n(1) 水面の上昇する速さ\n（2）水面の面積の増加する割合

(2) $S_{1}$ を $x$ 軸の周りに 1 回転させて得られる回転体の体積

次の回転体の体積 V を求めよ。 （1）楕円 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体 (2) 曲線 \( C: y=\log \left(x^{2}+1\right)(0 \leqq x \leqq 1) \) と直線 $y=\log 2$, および y 軸で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体

線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点 $\mathrm{A}$ は, $\mathrm{O}$ を原点, $s$ を実数として\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}+s \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}}(0 \\leqq s \\leqq 1) \\quad \\text { と表され }\n\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=(1, \\quad 0,1)+s(-2, \\quad 1,-1)=(1-2 s, \\quad s, 1-s) \n\\end{array}\n\\] $1-2 s=t$ とすると $\\quad s=\\frac{1-t}{2}$ よって, 線分 $\\mathrm{PQ}$ 上の点で $x$ 座標が \( t(-1 \\leqq t \\leqq 1) \) である点 $\\mathrm{R}$ の座標は \\[\n\\mathrm{R}\left(t, \\frac{1-t}{2}, \\frac{1+t}{2}\\right) \\] \( \\mathrm{H}(t, 0,0) \) とすると, 立体 $S$ を平面 \( x=t(-1 \\leqq t \\leqq 1) \) で切ったときの断面 は, 中心が $\\mathrm{H}$, 半径が $\\mathrm{RH}$ の円である。 その断面積は \\[\n\\pi \\mathrm{RH}^{2}=\\pi\\left\\{\\left(\\frac{1-t}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1+t}{2}\\right)^{2}\\right\\}=\\frac{\\pi}{2}\\left(t^{2}+1\\right) \\] よって, 求める体積は \\[\n\\int_{-1}^{1} \\frac{\\pi}{2}\\left(t^{2}+1\\right) d t=\\pi \\int_{0}^{1}\\left(t^{2}+1\\right) d t=\\pi\\left[\\frac{t^{3}}{3}+t\\right]_{0}^{1}=\\frac{4}{3} \\pi \\]

数学正 総合 58 $x y z$ 空間に 3 点 \( \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(1,0,1), \mathrm{B}(0, \\sqrt{3}, 1) \) がある。平面 $z=0$ に含まれ, 中心が $\mathrm{O}$, 半径が 1 の円を $W$ とする。点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{OA}$ 上を, 点 $\mathrm{Q}$ が円 $W$ の周および内部を動くとき, $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}$ を満たす点 $\mathrm{R}$ 全体が作る立体を $V_{A}$ とおく。同様に点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{OB}$ 上を. 点 $\mathrm{Q}$ が円 $W$ の周および内部を動くとき, $\\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}$ を満たす点 $\mathrm{R}$ 全体が作る立体を $V_{B}$ とおく。更に, $V_{A}$ と $V_{B}$ の重なり合う部分をVとする。\n(1) 平面 \( z=\\cos \\theta\\left(0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right) \\) による立体 V \ の切り口の面積を \ \\theta \ を用いて表せ。\n（2）立体 \ V \ の体積を求めよ。 [大阪大〕

曲線 \( x=\tan \theta, y=\cos 2 \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \) と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周り に1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

（2）立体 \ V \ の体積を求めよ。

②22両側に無限に伸びた直円柱で，切り口が半径 a の円になっているものが2つある。いま, これらの直円柱は中心軸が π/4 の角をなすように交わっているとする。交わっている部分(共通部分)の体積を求めよ。〔類 日本女子大〕

(3) \( S_{2} を \ y \軸の周りに 1 回転させて得られる回転体の体積

座標空間上の直線を回転させてできる立体の体積\n重要例題 263\n基本 252\n$a, b$ を正の実数とする。座標空間内の 2 点 \( \mathrm{A}(0, a, 0), \mathrm{B}(1,0, b) \) を通る直線 をしとし, 直線 $\ell$ を $x$ 軸の周りに 1 回転して得られる図形を $M$ とする。\n(1) $x$ 座標の値が $t$ であるような直線 $\ell$ 上の点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。\n（2）図形 $M$ と 2 つの平面 $x=0$ と $x=1$ で囲まれた立体の体積を求めよ。\n〔類 北海道大〕

x軸の周りの回転体の体積を求めなさい。

31 xyz 空間に 3 点 \( \\mathrm{P}(1,1,0), \\mathrm{Q}(-1,1,0), \\mathrm{R}(-1,1,2) \\) をとる。\n(1) t \ を 0 \\leqq t <2 \ を満たす実数とするとき, 平面 z=t \ と \\triangle \\mathrm{PQR} \ の交わりに現れる線分の 2 つの端点の座標を求めよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{PQR} \ を z \ 軸の周りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。

{次の曲線や直線で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。\n\n(2) $y=\tan x, \quad x=\frac{\pi}{4}, \quad x$ 軸}

次の図形を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。 (1) 放物線 y=-x^{2}+4 x と直線 y=x で囲まれた図形 (2) 円 x^{2}+(y-2)^{2}=4 の周および内部

放物線 $y=x^{2}-2 x$ と直線 $y=-x+2$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

座標空間の点 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(1,-1,0), \mathrm{C}(-1,-1,0), \mathrm{D}(-1,1,0), E(1,0,1) \), \( \mathrm{F}(-1,0,1) \) を頂点とする三角柱を含み, 原点を中心とする $x y$ 平面上の円を底面とする直円錐を考える。このような直円錐の体積の最小値と、そのときの底面の半径 $r$ を求めよ。

次の体積を計算せよ:\n検动 $a \leqq x \leqq b$ のとき, \( f(x) \geqq m x + n, \tan \theta = m (0 < \theta < \frac{\pi}{2}) \) とする。曲線 \( y = f(x) \) と直線 $y = m x + n, x = a, x = b$ で囲まれた部分を直線 $y = m x + n$ の周りに1回転させてできる立体の体積を計算せよ。

最大・最小の応用問題 (2) …‥題材は空間の図形\n列题 169\n基本 168\n半径 1 の球に, 側面と底面で外接する直円錐を考える。この直円錐のうち, 体積 が最小となるものの底面の半径と高さの比を求めよ。

2点 \( \mathrm{P}(x, 0), \mathrm{Q}(x, \sin x) \) を結ぶ線分を1辺とする正三角形を、 $x$ 軸に垂直な平面上に作る。 $\mathrm{P}$ が $x$ 軸上を原点 $\mathrm{O}$ から点 \( (\pi, 0) \) まで動くとき、この正三角形が描く立体の体積を求めよ。

球の体積 V が 1 % 増加するとき, 球の半径 r と球の表面積 S は, それぞれ約何 % 増加するか。

水を満たした半径 2 の半球形の容器がある。これを静かに角 $\alpha$ 傾けたとき, 水面が $h$ だけ下がり、こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が $11:5$ になった。 $h$ と $\alpha$ の値を求めよ。ただし， $\alpha$ は弧度法で答えよ。

次の図形を直線 $y=x$ の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。\n(1) 放物線 $y=x^{2}$ と直線 $y=x$ で囲まれた図形\n〔類 名古屋市大〕\n(2) 曲線 \( y=\\sin x(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) と 2 直線 y=x, x+y=\\pi \ で囲まれた図形

次の曲線や直線で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めなさい。\n(2) y = -x⁴ + 2x² (x ≥ 0), x 軸

538 問題に挑戦 2 座標空間内で, \[ \begin{array}{l} \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(1,1,0), \mathrm{C}(0,1,0), \mathrm{D}(0,0,1), \mathrm{E}(1,0,1), \mathrm{F}(1,1,1), \mathrm{G}(0,1,1) \end{array} \] を頂点にもつ立方体を考える。 この立方体を対角線 $\mathrm{OF}$ の周りに1 回転させてできる回転体 $K$ の体積を求めよう。 (1) 辺 $\mathrm{OD}$ 上の点 \( \mathrm{P}(0,0, p)(0<p \leqq 1) \) から直線 $\mathrm{OF}$ へ垂線 PH を下ろす。 このとき, 点Hの座標は \[ \mathrm{H}\left(\frac{p}{\overline{\text { ア }}}, \frac{p}{\square \text { ア }}, \frac{p}{\square \text { ア }}\right) \] 線分 PHの長さは $\mathrm{PH}=\frac{\sqrt{\square \text { イ }}}{\square \text { ウ }} p$ (2) 辺 $\mathrm{DE}$ 上の点 \( \mathrm{Q}(q, 0,1)(0 \leqq q \leqq 1) \) から直線 $\mathrm{OF}$ へ垂線 QI を下ろす。 このとき, 点 I の座標は 線分 QI の長さは

（2）空間で, 辺の長さが 4 の正方形の辺に沿って, 半径 1 の球の中心が1周するとき, この球が 通過する部分の体積 $V$ を求めよ。

基本例題 171 容器からこぼれ出た水の量\n水を満たした半径 $r$ の半球形の容器がある。これを静かに角 $\alpha$ だけ傾けたとき，こぼれ出た水の量を $r, \alpha$ で表せ。 （ $\alpha$ は弧度法で表された角とする。）

【例】 $x y z$ 空間に 3 点 \( \mathrm{P}(1,1,0), \mathrm{Q}(-1,1,0), \mathrm{R}(-1,1,2) \) をとる。 $\triangle \mathrm{PQR}$ を $z$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

[3] $\mathrm{OT} \leqq \mathrm{OU} \leqq \mathrm{OF}$ すなわち $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \leqq u \leqq \sqrt{3}$ のとき 回転体 $K$ が, 線分 OF の中点を通り OF に垂直な平面に関し て対称な図形であることから, [1] において $u$ を $\sqrt{3}-u$ でお き換えて \( \quad r=\sqrt{2}(\sqrt{\text { 的 }}-u) \) (4)（）から，求める体積を $V$ とすると \[ \begin{array}{l} V=\pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} 2 u^{2} d u+\pi \int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}} 2\left(u^{2}-\sqrt{3} u+1\right) d u+\pi \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} 2(\sqrt{3}-u)^{2} d u \\ =2 \cdot 2 \pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} u^{2} d u+2 \cdot 2 \pi \int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left\{\left(u-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right\} d u \\ =4 \pi\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}+4 \pi\left[\frac{1}{3}\left(u-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}+\frac{1}{4} u\right]_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ =4 \pi \cdot \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}+4 \pi \cdot\left\{\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^{3}+\frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right\} \\ =\frac{\sqrt{\star} 3}{{ }^{\prime} 3} \pi \\ \end{array} \]

バウムクーヘン分割による体積の計算

（2）曲面 $S$ を $x$ 軸の周りに 1 回転させて得られる立体の体積 $V$ を求めよ。

曲線 C: y=x^3 上に 2点 O(0,0), A(1,1) を取る。曲線 C と線分 OA で囲まれた部分を、直線 OA の周りに 1回転してできる回転体の体積 V を求めよ。

辺の長さ 1 の正四面体の 4 つの頂点を $\mathrm{A}_{0}, \mathrm{B}_{0}, \mathrm{C}_{0}, \mathrm{D}_{0}$ とする。 この正四面体の各面 $\\triangle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}_{0} \mathrm{C}_{0}, \\triangle \mathrm{A}_{0} \mathrm{B}_{0} \mathrm{D}_{0}, \\triangle \mathrm{A}_{0} \mathrm{C}_{0} \mathrm{D}_{0}, \\triangle \mathrm{B}_{0} \mathrm{C}_{0} \mathrm{D}_{0}$ の重心をそれぞれ $\mathrm{D}_{1}, \mathrm{C}_{1}, \mathrm{B}_{1}, \mathrm{A}_{1}$ とする。\n正四面体 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ についても, 同じように各面の重心をとり, それを $\mathrm{D}_{2}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{B}_{2}, \mathrm{A}_{2}$ として, 正四面体 $\mathrm{A}_{2} \mathrm{B}_{2} \mathrm{C}_{2} \mathrm{D}_{2}$ を作る。\n以下同じように正四面体 \( \mathrm{A}_{n} \mathrm{B}_{n} \mathrm{C}_{n} \mathrm{D}_{n}(n=3,4,5, \cdots \cdots) \) を作り, その体積 を $V_{n}$ とする。\nこのとき，次の問いに答えよ。\n[青山学院大]\n(1) $V_{0}$ を求めよ。\n(2) $V_{1}$ を求めよ。\n(3) 極限 \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(V_{0}+V_{1}+V_{2}+\cdots \cdots+V_{n}\right) \) の値を求めよ。

底面の半径が $a$ で高さも $a$ である直円柱がある。この底面の直径 $\mathrm{AB}$ を含み底面と $30^{\circ}$ の傾きをなす平面で，直円柱を２つの立体に分けるとき，小さい方の立体の体積 $V$ を求めよ。

数学 \\mathbb{I} \\n\nEX座標空間において，2つの不等式 x^{2}+y^{2} \\leqq 1,0 \\leqq z \\leqq 3 \ を同時に満たす円柱がある。 y \ 軸を含み (2133 x y \ 平面と \\frac{\\pi}{4} \ の角度をなし, 点 \( (1,0,1) \\) を通る平面でこの円柱を 2 つの立体に分けるとき, 点 \( (1,0,0) \\) を含む立体の体積 V \ を求めよ。\n[類 立命館大]

水を満たした半径2の半球形の容器がある。これを静かに角α傾けたとき, 水面が hだけ下がり, こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が 11:5 になった。hと αの値を求めよ。

体積の求め方

1 辺が $5 \mathrm{~cm}$ の立方体の各辺の長さを、すべて $0.02 \mathrm{~cm}$ ずつ小さくすると, 立方体の 表面積および体積はそれぞれ, どれだけ減少するか。小数第 2 位まで求めよ。

2 立体の体積（断面積をつかむ）\nQ2 2 つの中心軸が 作る平面からの距離が $x$ である平面で切った 断面を考える。\n幅 $2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ の帯が垂\n直に交わっているから,\nその共通部分は 1 辺の長さが $2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ の 正方形である。\n断面の正方形の面積は\n\[\n\left(2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2}=4\left(a^{2}-x^{2}\right)\n\]\nよって, 求める体積を $V$ とすると, 対称性 から\n\[\n\\begin{aligned}\nV & =2 \\int_{0}^{a} 4\\left(a^{2}-x^{2}\\right) d x=8\\left[a^{2} x-\\frac{x^{3}}{3}\\right]_{0}^{a} \\\\\n& =\\frac{16}{3} a^{3}\n\\end{aligned}\n\]

EX 点 $\\mathrm{O}$ を原点とする空間に, 3 点 \( \\mathrm{A}(1,2,0), \\mathrm{B}(0,2,3), \\mathrm{C}(1,0,3) \) がある。このとき, 四面体 OABC の体積を求めよ。

394 是要例題 62 ベフトルの等式と四面体の体積比 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) 四面体 $\mathrm{OABC}, \mathrm{PABC}$ の体積をそれぞれ $V_{1}, V_{2}$ とするとき, $V_{1}: V_{2}$ を求めよ。 p. 381 基本事項 11, , 基本 26 C HART \& SOLUTION ベフトルの等式から位置を求める問題 内分点, 外分点の公式にあてはめる (1) 平面の場合 (基本例題 26) と同様に, 内分点, 外分点の公式にあてはまるようにべクト 儿の等式を変形する。 (2) 底面 $\triangle \mathrm{ABC}$ が共通であるから, 高さの比から求める。 (1) $10 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+9 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+8 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$ から \( 10 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+5(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})+9(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})+8(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})=\overrightarrow{0} \) ゆえに $\quad 32 \overrightarrow{\mathrm{OP}}=5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+9 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+8 \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ よって \( \quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{32}(5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+9 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+8 \overrightarrow{\mathrm{OC}}) \) 線分 $\mathrm{BC}$ を $8: 9$ に内分する点を Dとすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{32}\left(5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+17 \times \frac{9 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+8 \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{17}\right)=\frac{1}{32}(5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+17 \overrightarrow{\mathrm{OD}}) \] 線分 $\mathrm{AD}$ を 17 : 5 に内分する点を $\mathrm{E}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{32} \times 22 \times \frac{5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+17 \overrightarrow{\mathrm{OD}}}{22}=\frac{11}{16} \overrightarrow{\mathrm{OE}}$ したがって, 点 $\mathrm{P}$ は, 線分 $\mathrm{BC}$ を $8: 9$ に内分する点を $\mathrm{D}$,線分 $\mathrm{AD}$ を $17: 5$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とすると, 線分 $\mathrm{OE}$ を $11: 5$ に内分する点である。 (2) 四面体 $\mathrm{OABC}$ の底面を $\triangle \mathrm{ABC}$,高さを $h_{1}$, 四面体 $\mathrm{PABC}$ の底面 を $\triangle \mathrm{ABC}$, 高さを $h_{2}$ とすると $V_{1}: V_{2}=h_{1}: h_{2}=\mathrm{OE}: \mathrm{PE}$ ゆえに, (1)から $V_{1}: V_{2}=16: 5$ inf. (1) 答えの表し方は 1 通りではない。（＊）を以下のように変形して位置を 求めてもよい。 線分 $A B$ を $9: 5$ に内分す る点を Fとすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{32}(14 \overrightarrow{\mathrm{OF}}+8 \overrightarrow{\mathrm{OC}}) \] 線分 FCを 8:14 に内分す る点を $G$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{32} \times 22 \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{11}{16} \overrightarrow{\mathrm{OG}}$ このとき, 点 $\mathrm{G}$ と左の解答 の点 $\mathrm{E}$ は一致する。

EX $x y z$ 空間内に 2 点 \( \mathrm{P}(u, u, 0), \mathrm{Q}\left(u, 0, \sqrt{1-u^{2}}\right) \) を考える。uが 0 から 1 まで動くとき, 線分 ⑭3 PQが通過してできる曲面を Sとする。\n(1) 点 \( (u, 0,0)(0 \leqq u \leqq 1) \) と線分 $\mathrm{PQ}$ の距離を求めよ。\n（2）曲面 $S$ を $x$ 軸の周りに 1 回転させて得られる立体の体積 $V$ を求めよ。\n[東北大]

537\nこのとき, まず回転させる前の図形（ここ では \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ )を平面 \ z=t \ で切った切り口 を考える。 \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ を平面 \ z=t \ で切った 切り口は, 右図の線分 \ \\mathrm{AB} \ のようになる。 この線分を \ z \ 軸の周りに 1 回転させてでき る図形の面積が回転体の断面積である。 また, 断面積を求めるときは, 回転軸から 最も遠い点と最も近い点までの距離を押さ える。断面積は （外側の円の面積）－(内側の円の面積） となる。 ■回転軸が断面と交わる場合は，外側の円のみ (最も遠い点のみ) を考えればよい。\n更に, この【例】では, \ t=1 \ で場合分けをす る必要があることに注意。 【例】の解答 平面 \\( z=t(0 \leqq t<2) \\) と辺 \ \\mathrm{PR}, \\mathrm{QR} \ との交点をそれぞれ \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ とすると, 辺 \ \\mathrm{QR} \ は \ z \ 軸と平行で あるから\n\\[ \\mathrm{B}(-1,1, t) \\]\nまた, \ \\mathrm{PQ}=\\mathrm{QR}, \\angle \\mathrm{PQR}=90^{\\circ} \ であるから\n\ \\mathrm{AB}=\\mathrm{RB}=2-t \\longleftarrow \\triangle \\mathrm{ABR} \\text { は直角 } \\nゆえに, 点Aの \ x \ 座標は 二等辺三角形。\n\\[ -1+(2-t)=1-t \\]\nよって \\( \\mathrm{A}(1-t, 1, t) \\) 線分 \ \\mathrm{AB} \ を, 平面 \ z=t \ 上で \ z \ 軸の周りに 1 回転させ てできる図形の面積を \\( S(t) \\) とする。 \\( \\mathrm{C}(0,0, t) \\) とすると\n\\[ \\mathrm{AC}=\\sqrt{(1-t)^{2}+1}, \\quad \\mathrm{BC}=\\sqrt{2} \\]\n\ 0 \leqq t<2 \ において \ 1 \leqq \\mathrm{AC} \\leqq \\sqrt{2}=\\mathrm{BC} \ また, 点Cから直線 \ \\mathrm{AB} \ に垂線 \ \\mathrm{CH} \ を下ろすと\n\ \\mathrm{CH}=1 \\n点 \ \\mathrm{H} \ が線分 \ \\mathrm{AB} \ 上にあるのは, \\( 0 \leqq 1-t \\leqq 1 \\quad 4 \\leqq( \\text{ 点 } \\mathrm{A} \\text{ の } x \\text{ 座標 } ) \\leqq 1 \\) すなわち \ 0 \leqq t \\leqq 1 \ のときである。 [1] \ 0 \leqq t \\leqq 1 \ のとき\n\\[ \\begin{aligned} S(t) & =\\pi \\cdot \\mathrm{BC}^{2}-\\pi \\cdot \\mathrm{CH}^{2}=\\pi \\cdot(\\sqrt{2})^{2}-\\pi \\cdot 1^{2} \\\\ & =\\pi \\end{aligned} \\]\n[2] \ 1 \\leqq t<2 \ のとき\n\\[ \\begin{aligned} & =\\pi \\\\ S(t) & =\\pi \\cdot \\mathrm{BC}^{2}-\\pi \\cdot \\mathrm{AC}^{2}=\\pi \\cdot(\\sqrt{2})^{2}-\\pi \\cdot\\left(\\sqrt{(1-t)^{2}+1}\\right)^{2} \\\\ & =\\pi\\left(-t^{2}+2 t\\right) \\end{aligned} \\]\n\ t=2 \ のとき \\( S(t)=0 \\) これは２］に含めてよい。 よって, 求める体積は\n\\[ \\int_{0}^{2} S(t) d t=\\int_{0}^{1} \\pi d t+\\int_{1}^{2} \\pi\\left(-t^{2}+2 t\\right) d t=\\pi+\\pi\\left[-\\frac{t^{3}}{3}+t^{2}\\right]_{1}^{2}=\\frac{5}{3} \\pi \\]\nやってみよう 問2 座標空間において, 平面 \ z=1 \ 上に, 点 \\( C(0,0,1) \\) を中心とする半径 1 の円板 \ C \ がある。円板 \ C \ を \ x \ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。

四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を $V$ とすると $\begin{aligned} V & =\frac{1}{3} \triangle \mathrm{OAB} \times \mathrm{OC} \\ & =\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 3=4 \\ \text { また } \quad V & =\frac{1}{3} \triangle \mathrm{ABC} \times \mathrm{OH} \end{aligned}$ ここで, \( \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{12}{61}(6,3,4) \) であるから $\mathrm{OH}=|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|=\frac{12}{61} \sqrt{6^{2}+3^{2}+4^{2}}=\frac{12}{\sqrt{61}}$ よって, (3), (4)から $4=\frac{1}{3} \triangle \mathrm{ABC} \times \frac{12}{\sqrt{61}}$ したがって $\triangle \mathrm{ABC}=\sqrt{61}$ 別解 \( \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,4,0), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,0,3) \) であるから \[ \text { よって } \begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}= & 20,|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}=13, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=4 \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}})^{2}} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{20 \times 13-16} \\ & =\sqrt{61} \end{aligned} \] $\triangle \mathrm{ABC}$ を底面, $\mathrm{OH}$ を高さとみたときの体積である。

関数 \( f(x)=x e^{x}+\frac{e}{2} \) について, 曲線 \( y=f(x) \) と $y$ 軸および直線 \( y=f(1) \) で 囲まれた図形を $y$ 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

数学 $\mathbb{I}$ 別解曲線 \( y=\cos x\left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right) \) と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を $V_{1}$ と し, 底面の半径が 1 , 高さが $\frac{\pi}{2}$ の直円錐の体積を $V_{2}$ とすると, $V = V_{1} - V_{2}$の値を求めよ。

非回転体の体積の求め方

x軸の周りの回転体の立体の体積の求め方を説明し、具体的に関数f(x)を用いて求めよ。

空間図形に関する最大・最小問題を解きなさい。

2曲線で囲まれる部分をx軸の周りに回転させたときの回転体の体積Vを求めよ。曲線はy = f(x) と y = g(x) (a <= x <= b, f(x) >= g(x) >= 0)で与えられる。

y軸の周りで回転してできる体積を求めなさい。 y = x^2 と x = 1 の間の領域を、y軸の周りで回転させたときにできる体積。

媒介変数で表された曲線x=f(θ), y=g(θ)とx軸および2直線x=a, x=b (a < b)で囲まれた図形をx軸の周りに回転させたときの回転体の体積Vを求めよ。

曲線 \( y=\cos x(0 \leqq x \leqq \pi), y=-1, y 軸で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ。

点 O を原点とする空間に, 3 点 A(1,2,0), B(0,2,3), C(1,0,3) がある。このとき，四面体 OABC の体積を求めよ。

次の曲線と直線に囲まれた部分を, y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ。 (1) x=y^{2}-1, y 軸 (2) x=√{y+1}, y 軸, y=2

（2）（1）で考えた図形を $y$ 軸の周りに 1 回転させて得られる回転体の体積を求めよ。

y軸の周りの回転体の立体の体積を求めよ。関数g(y)を用いて説明。

PR次の曲線や直線で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ。 (1) y=log(x^2+1)(0 <= x <= 1), y=log 2, y 軸 (2) y=e^x, y=e, y 軸

[問題］切り口が半径 $a$ の直円柱が 2 つあり, これらの直円柱の中心軸が互いに垂直 になるように交わっているとする。交わっている部分（共通部分）の体積を求めよ。

275 亘覀列題 174 空間の直線を回転してできる立体の体積 10･10 座標空間内の 2 点 A(0,1,0), B(1,0,2) を通る直線を ℓ とし，直線 ℓ を x軸の周りに 1 回転して得られる図形を M とする。 (1) x 座標の値が t であるような直線 ℓ 上の点 P の座標を求めよ。 （2）図形 M と 2 つの平面 x=0 と x=1 で囲まれた立体の体積を求めよ。 [類 北海道大]

次の回転体の体積 $V$ を求めよ。\n(2) 2 曲線 $y=x^{2}, y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに 1 回転してできる回転体

曲線 \( x=\tan \theta, y=\cos 2 \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \) と $x$ 軸で囲まれる部分を， $x$ 軸の 周りに1 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

直円錐の高さを求める方法を説明せよ。

正四面体の各面に色を塗りたい。ただし，正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。\n（1）異なる４色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。\n（2）異なる 3 色を使う塗り方のうち，3色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。 また，3色のうち使わない色があってもよいとすると，塗り方は何通りあるか。

（1）三角錐の体積を求めよ。AB=AC=AD=\frac{\sqrt{19}}{2}, BC=CD=DB=\sqrt{3} の三角錐 ABCD において

例題 73 | 多面体の体積\n1 辺の長さが 3 の正方形 6 個と正三角形 8 個の面を もつ多面体が，図のように立方体に内接している。この多面体の体積を求めよ。[摂南大]指針 立方体に内接していることに着目する。立方体の各辺の中点を通る平面で，立方体のす べてのかどを切り取ってできる多面体と考える。

横の長さが縦の長さの 2 倍である金属の薄い板が ある。この四隅から，図のように1辺の長さが 5 cm の正方形を切り落として折り曲げ，ふたの ない直方体状の容器を作った。その容積が 1.5 L のとき, もとの板の縦と横は何 cm であるか。

144 数学 I ゆえに \( \mathrm{AH}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BH}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2} \) また \( \triangle \mathrm{BCD}=\frac{1}{2} \cdot(\sqrt{3})^{2} \sin 60^{\circ}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \) したがって, 三角錐の体積は \[ \begin{aligned} \frac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{BCD} \cdot \mathrm{AH} & =\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \\ & =\frac{3 \sqrt{5}}{8} \cdots \cdots(2) \end{aligned} \] （2）外接する球の中心を $\mathrm{O}$ とすると， Oは線分 $\mathrm{AH}$ 上にあり $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=R$ よって $\mathrm{OH}=\mathrm{AH}-\mathrm{OA}=\frac{\sqrt{15}}{2}-R$ $\triangle \mathrm{OBH}$ で三平方の定理から $\quad \mathrm{BH}^{2}+\mathrm{OH}^{2}=\mathrm{OB}^{2}$ ゆえに \( \quad 1^{2}+\left(\frac{\sqrt{15}}{2}-R\right)^{2}=R^{2} \) よって $\quad-\sqrt{15} R+\frac{19}{4}=0$ ゆえに $\quad R=\frac{19}{4 \sqrt{15}}=\frac{19 \sqrt{15}}{60}$ （3）内接する球の中心を I とすると, I から三角錐の各面に下ろし た垂線の長さはいずれもrである。 また, $\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{ACD} \equiv \triangle \mathrm{ADB}$ であるから，三角錐の体積は $\frac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{BCD} \cdot r+3 \times \frac{1}{3} \cdot \triangle \mathrm{ABC} \cdot r$ と表される。 ここで, $\triangle \mathrm{ABC}$ は二等辺三角形であり, 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とす ると \( \mathrm{AM}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BM}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=2 \) よって $\triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2=\sqrt{3}$ ゆえに, (1), (2), (3) から $\begin{aligned} & \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4} r+\sqrt{3} r=\frac{3 \sqrt{5}}{8} \\ \text { よって } \quad r & =\frac{\sqrt{15}}{10} \end{aligned}$ 練習 $112 \Rightarrow$ 本冊 $p .214$ （1）組み立てた四面体の各面は鋭角三角形であるから，その 3 辺 $a$, $b, c$ にいて \na^{2}+b^{2}>c^{2}, \quad b^{2}+c^{2}>a^{2}, \quad c^{2}+a^{2}>b^{2} \] が成り立つ。したがって \[\nx^{2}+y^{2}=a^{2}, \quad y^{2}+z^{2}=b^{2}, \quad z^{2}+x^{2}=c^{2}\n を満たす正の数 $x, y, z$ が存在して $\nx=\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}, y=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}, z=\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}$ 式とみて解くと $, x^{2}, y^{2}$, $z^{2}$ が得られる。

半径 $r$ の球の体積を求めよ。

練侸 三角錐 $\mathrm{OABC}$ において, $\mathrm{AB}=2 \sqrt{3}, \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\sqrt{7}$ とする。このとき, 三角錐 $\mathrm{OABC}$ の体積を求めよ。\n[群馬大]

正四面体 PABC があり、各辺が3である。この正四面体を内部から1辺の長さが1の正四面体を4つ取り除いた残りの体積を求めなさい。

x 軸をとり, x 軸上に点 Pをとる。P を通り x 軸上に垂直な平面による切り口は直角二等辺三角形 PQR となる。点 P の座標を x とすると PQ=QR=\sqrt{r^{2}-x^{2}} よって、Δ PQR の面積を S(x) とすると S(x)=\frac{1}{2} PQ * QR = \frac{1}{2}(r^{2}-x^{2}) 。この三角形の面積を基に体積 V を求める。

類題 3 辺の長さが $a$ と $b$ と $c$ 直方体を, 長さが $b$ の 1 辺を回転軸として $90^{\\circ}$ 回転させるとき, 直方体が通過する点全体が作る立体を $V$ とする。\n（1） $V$ の体積を $a, b, c$ を用いて表せ。\n(2) $a+b+c=1$ のとき, $V$ の体積のとりうる値の範囲を求めよ。\n[東京大]

練習（1）底面の半径が $r$, 高さが $r$ である直円柱を，底面の直径 $\mathrm{AB}$ を含み底面と $45^{\circ}$ 187 の傾きをなす平面で 2 つの立体に分けるとき，小さい方の立体の体積を求めよ。 (2) 3 次関数 $y=x^{3}-2 x^{2}-x+2$ のグラフ上の点 \( (1,0) \) における接線を $\ell$ とする。 この 3 次関数のグラフと接線 $\ell$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転して立体を作 る。その立体の体積を求めよ。 [(2) 京都大]

（2）この立体を点 \\mathrm{Q} \ と点 \\mathrm{S} \ を通るように底面に垂直な平面で切り，さらに点 \\mathrm{T} \ と点 \\mathrm{R} \ を通るように底面に垂直な平面で切り，切り取ってできた面にだけ色をぬります。点 A，B，C を含む立体をそれぞれ立体 \\mathrm{X}, \\mathrm{Y}, \\mathrm{Z} \ とし，立体 \\mathrm{Y} \ と立体 Z の体積の比を 4: 1 \ とするとき, 次の各問いに答えなさい。

（1）四角すいO-KLMNの体積は，四角柱 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$ の体積の何倍ですか。

2019 渋谷教育学園幕張中 $\langle$ 第 2 次 \( \rangle(4) \)\n6 図 1 のように, 底面 $\mathrm{BCDE}$ が正方形で, 4 つの側面が図 2 のような二等辺三角形である四角すい A-BCDEがあります。\n辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{F}$, 辺 $\mathrm{AD}$ 上に点 $\mathrm{G}$, 辺 $\mathrm{CD}$ 上に 2 点 $\mathrm{H}, \mathrm{I}$ を, 四角形 $\mathrm{FHIG}$ が正方形になる ようにとります。また, 辺 $\mathrm{BE}$ 上に 2 点 J, Kを, 四角形JHIK が長方形になるようにとりま す。\n図 1\n図 2\nこのとき, 次の各問いに答えなさい。\nただし，角すいの体積は，（底面積）×（高さ）％3でもとめられるものとします。\n(1) FG の長さは何 $\mathrm{cm}$ ですか。\n（2）三角柱 FJH-GKI の体積は，四角すい A-BCDE の体積の何倍ですか。