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基本例題 101 多面体の面, 辺, 頂点の数\n正二十面体の各辺の中点を通る平面で，すべてのかどを切 り取ってできる多面体の面の数 $f$, 辺の数 $e$, 頂点の数 $v$ を, それぞれ求めよ。\np. 418 基本事項 4

第3章 図形の性質 EX ⊕ 91 右の図 [1] は、正六面体の各辺の中点を通る平面で8個のかどを切り取った多面体である。この多面体を X とする。右の図 [2] は、多面体 X について、各辺の中点を通る平面でかどを切り取った多面体である。この多面体を Y とする。（1）多面体 X の面の数，辺の数，頂点の数を，それぞれ求めよ。（2）多面体 Y の面の数，辺の数，頂点の数を，それぞれ求めよ。

PR 半径 1 の球に内接する正四面体の 1 辺の長さを求めよ。

半径 1 の球に内接する正四面体の 1 辺の長さを求めよ。

画䙲例題 141 四面体上の折れ線の最小値\n四面体 $\mathrm{ABCD}$ があり, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=8, \mathrm{AD}=7$ である。 $\cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{11}{14}$ のとき, 次のものを求めよ。\n(1) 辺 $C D$ の長さ\n(2) $\angle \mathrm{ACD}$ の大きさ\n(3) 辺 $\mathrm{AC}$ 上の点 $\mathrm{E}$ に対して, $\mathrm{BE}+\mathrm{ED}$ の最小値

右の図 [1] は, 正六面体の各辺の中点を通る平面で8個のかどを切り取った多面体である。 この多面体をXとする。右の図 [2] は, 多面体[1]の多面体をYとする。\n（1）多面体Xの面の数, 辺の数, 頂点の数を, それぞれ求めよ。\n（2）多面体Yの面の数, 辺の数, 頂点の数を, それぞれ求めよ。\n（3）切り取ることによって, 面の数, 辺の数, 頂点の数がそれぞれどのように変わるかを考える。

30 右の図の直方体において, AD=AE=1, EF=√3 である。（1）辺 BF と直交する辺を求めよ。

底面の半径が 2 , 高さが \ \\sqrt{5} \ の直円錐がある。この直円錐の頂点を \ \\mathrm{O} \, 底面の直径の両端を \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ とし, 線分 \ \\mathrm{OB} \ の中点を \ \\mathrm{P} \ とするとき, 側面上で AからPに至る最短距離を求めよ。

右の図において, 直線 \\mathrm{AB} \ は円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ に, それぞれ点 \\mathrm{A} \，B \\mathrm{B} \ で接している。円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ の半径を, それぞれ5, 4 とし，中心 O, O^{\\prime} \ 間の距離を 6 とするとき, 線分 \\mathrm{AB} \ の長さを求めよ。

EX 正四面体と正六面体の各面に絵の具で色を塗る。1つの面には1色しか塗らない。また, 回転 323させて一致する塗り方は同じとみなす。絵の具が12色あるとき, 正四面体を面の色がすべて異 なるように塗る塗り方は7 $\square$ 通りである。また, 絵の具が8色あるとき, 正六面体を面の色が すべて異なるように塗る塗り方は亿 $\square$ 通りである。\n[南山大]\n(ア) 4 色の選び方は $\quad{ }_{12} \mathrm{C}_{4}=495$ （通り）\n底面に 1 色を固定すると，側面の塗り方は異なる 3 個の円順列で \( \quad(3-1)!=2 \) (通り)\nよって $495 \times 2=990$ (通り)\n(イ) 6 色の選び方は ${ }_{8} \mathrm{C}_{6}={ }_{8} \mathrm{C}_{2}=28$ (通り)\n上面に1色を固定すると，下面の色は５通り そのおのおのに対して, 側面の塗り方は異なる 4 個の円順列で \( \quad(4-1)!=6 \) (通り)\nよって $28 \times 5 \times 6=840$ (通り)

右の図は，直方体を辺 $\mathrm{DH}, \mathrm{BF}$ を含む平面で切った立体である。\n(1) 辺 $\mathrm{AE}$ と垂直な面をすべていえ。\n(2) 面 $\mathrm{ABD}$ と垂直な面をすべていえ。\n(3)辺 $\mathrm{BD}$ とねじれの位置にある辺をすべていえ。

立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい。ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。（1）異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。（2）異なる５色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

正十二面体の各辺の中点を通る平面で，すべてのかどを切り取ってできる多面体の面の数 $f$, 辺の数 $e$, 頂点の数 $v$ を, それぞれ求めよ。

四角形が円に内接するための条件を対角の和が 180° であることを使って示せ。

12 空間図形 A 右の図は, 直方体を辺 $\mathrm{DH}, \mathrm{BF}$ を含む平面で切った立体である。\n(1) 辺 $\mathrm{AE}$ と垂直な面をすべていえ。\n(2) 面 $\mathrm{ABD}$ と垂直な面をすべていえ。\n(3) 辺 BD とねじれの位置にある辺をすべていえ。

正十二面体の各辺の中点を通る平面で，すべてのかど を切り取ってできる多面体の面の数 $f$, 辺の数 $e$, 頂点 の数 $v$ を，それぞれ求めよ。

右の図において, 直線 $\mathrm{AB}$ は円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ にそれぞ れ点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ で接している。円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ の半径をそ れぞれ \( r, r^{\prime}\left(r<r^{\prime}\right) \), 2 つの円の中心間の距離 を $d$ とするとき, \( \mathrm{AB}=\sqrt{d^{2}-\left(r^{\prime}-r\right)^{2}} \) であるこ とを証明せよ。

次のような凸多面体の, 面の数 $f$, 辺の数 $e$, 頂点の数 vを，それぞれ求めよ。\n(1) 12 個の正五角形と 20 個の正六角形の面からなる凸多面体\n（2）右の図のように, 正四面体の各辺を 3 等分する点 を通る平面で，すべてのかどを切り取ってできる凸多面体

ライトを照らす懷中電灯などから発せられた光は円錐状に広がっていきますが，右のような角度で照らすと，照らされた部分のふちが放物線になります。これは，円錐を母線に平行になるように切ったときの切り口に放物線が現れることから起きる現象です。

■ 空間の点の位置\n平面上の点の位置を座標平面上で 2 つの実数の組で示したように,空間の点についても座標というものを考えると，空間における点の 位置を３つの実数の組で表すことができる。空間に点 $\mathrm{C}$ をり, O で互いに直交する3本の数直線を，右の図のように定める。これらを，それぞれ $x$軸， $y$ 軸， $z$ 軸といい，まとめて座標軸という。また, 点○を原点と いう。さらに\n$x$ 軸と $y$ 軸で定まる平面を $x y$ 平面, $y$ 軸と $z$ 軸で定まる平面を $y z$ 平面, $z$ 軸と $x$ 軸で定まる平面を $z x$ 平面\n座標平面では, $x$ 軸(横方向) $y$ 軸(縦方向)\nの２つの軸があったが，座標空間では, これに z軸(高さ)が加わる。 といい, これらをまとめて座標平面 という。

次の表の（ア〜（ク）に当てはまるものを答えよ。\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\\hline 正多面体 & 面の数 & 面の形 & 頂点の数 & 辺の数 \\\\\n\\hline 正四面体 & 4 & 正三角形 & 4 & 6 \\\\\n\\hline 正六面体 & 6 & (ア) & (イ) & 12 \\\\\n\\hline 正八面体 & 8 & (ウ) & (エ) & \\\\\n\\hline 正十二面体 & 12 & 正五角形 & (オ) & (カ) \\\\\n\\hline 正二十面体 \\& 20 & 正三角形 & (キ) & (ク) \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n数えるのではなく, 計算で求めていきましょう。辺の数は\n\(1 \ 面の辺の数 \ \\times\ 面の数 \ \\div 2 \\nで求めることができます。 \ \\div 2 \ とするのは, 各面の辺が隣り合う面の辺と重なっていて, 2 回数えているからです。\n頂点の数は，オイラーの定理を \ v=e-f+2 \と変形して使ってみましょう。

正十二面体の各辺の中点を通る平面で，すべてのかどを切り取ってできる多 21 面体の面の数 $f$, 辺の数 $e$, 頂点の数 $v$ を, それぞれ求めよ。

凸多面体について、頂点の数が8、面の数が6であるとき、辺の数を求めよう。

右の図のように, 正八面体の各辺を 3 等分する点を通る平面で, すべてのかどを切り取ってできる凸多面体の面の数 $f$, 辺の数 $e$, 頂点の数 $v$ を求めよ。

次の数学用語のうち、正多面体に該当するものを選びなさい。

すべての辺の長さが等しい正四角錐 A-BCDE におて, 辺 AD の中点を M とするとき，辺 AD は平面 MEC に垂直であること を証明せよ。

図の正五角柱 ABCDE-FGHIJにおいて，次の問いに答えよ。\n（1）辺 AB と垂直な辺をすべてあげよ。\n（2）辺 AF とねじれの位置にある辺をすべてあげよ。\n（3）次の 2 直線のなす角 θ を求めよ。ただし， 0° ≤ θ ≤ 90° とする。\n (ア) AE, DI\n (イ) AE, HI\n (ウ) AD, GJ

多面体に関する問題で、オイラーの多面体定理を用いて、頂点、辺、面の関係を明らかにします。

正弦定理は，三角形の 3 つの内角の正弦 (sin)と 3 辺の長さの関係を表した定理である。 この定理の証明には, 中学で学習した円周角の定理を利用する。\n\n \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外接円の半径を R \ とし, まずは a=2 R \\sin A \ という関係式が成り立つことを、以下の場合に分けて示そう。\n1. $0^{\\circ}<A<90^{\\circ}$\n2. $A=90^{\\circ}$\n3. $90^{\\circ}<A<180^{\\circ}$\n[1] $0^{\\circ}<A<90^{\\circ}$ のとき\n右の図で, 線分 \\mathrm{BD} \ は \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外接円の直径 とする。\n円周角の定理から\n\\\begin{\overlineray}{l}\n\\angle \\mathrm{BCD}=90^{\\circ}, \\angle \\mathrm{BDC}=\\angle \\mathrm{BAC}=A \\text{により}, a=\\mathrm{BD} \\sin \\angle \\mathrm{BDC}=\\mathrm{BD} \\sin A \\text{そして, } \mathrm{BD}=2 R \\text{なので}, a=2 R \\sin A\\end{\overlineray}\

EX 半径 1 の球に内接する直円錐でその側面積が最大になるものに対し, その高さ, 底面の半径, および側面積を求めよ。 [類 中央大] HINT 側面積 $S$ を直円錐の高さhで表し，0<h<2において，まず $S^{2}$ が最大となる条件を求める。

右の図のように，筒状に丸めた紙を 斜めに切るとする。紙を再び広げたとき，その切り口は どのようになるか，考えてみよう。ここでは，底面の半径を 1 , 切り口と底面のなす角を \( \frac{\pi}{4}\left(=45^{\circ}\right) \) とする。

282 参考事項 正四面体のすべての辺に接する球 空間図形の応用問題では, 例題 172 のような正四面体と球に関する題材が多く見られるが，その 位置関係について誤解しないように注意したい。例えば, 「正四面体のすべての頂点を通る球」なら，球は正四面体に外接し，「正四面体のすべての面 に接する球」なら，球は正四面体に内接している。 ここでは, この 2 例以外に, 「正四面体のすべての 辺に接する球」について考えてみよう。半径 1 の球が正四面体 $\mathrm{ABCD}$ のすべての辺に接しているとき, この正四面体の 1 辺の 長さ $a$ を求めてみよう。すべての辺に接している球を，平面 $\mathrm{ABC}$ で切ったときの 切り口は, $\triangle \mathrm{ABC}$ の内接円である。したがって, それぞれの辺の接点は, それぞれの辺の中点 である。ここで, 辺 $\mathrm{CD}$ の中点を $\mathrm{M}$ とし, 平面 $\mathrm{ABM}$ で正四面体 と球を切ったときの切り口を考える。図形の対称性から，平面 ABM は球の中心を通る。したがって, 球の切り口の円の半径は球の半径 1 に等しい。 ここで, 辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{N}$ とすると, $\triangle \mathrm{MAB}$ が二等辺三角形であることから $\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{MN}$ $\mathrm{BM}$ と円の交点を L とすると, 円は $\mathrm{N}$ で ABに接するか ら $\quad \angle \mathrm{BNL}=\angle \mathrm{BMN}$ よって $\angle \mathrm{BLN}=\angle \mathrm{BNM}$ ゆえに $\angle \mathrm{NLM}=90^{\circ}$ したがって, 線分 MN は円の直径であるから $\quad \mathrm{MN}=2$ $\mathrm{BN}=\frac{1}{2} a, \mathrm{BM}=\frac{\sqrt{3}}{2} a$ であるから, $\mathrm{BN}^{2}+\mathrm{MN}^{2}=\mathrm{BM}^{2}$ より $\frac{1}{4} a^{2}+2^{2}=\frac{3}{4} a^{2}$ よって $a=2 \sqrt{2}$ したがって, 正四面体の 1 辺の長さは $2 \sqrt{2}$

EX 正四角錐 $\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$ において, 底面の 1 辺の長さは $2 a$, 高さは $a$ である。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) 頂点 A から辺 OB に引いた垂線 $\mathrm{AE}$ の長さ\n(2) (1)の点 $\mathrm{E}$ に対し， $\angle \mathrm{AEC}$ の大きさと $\triangle \mathrm{AEC}$ の面積

面積は求めやすいように分割する 多角形の面積を求める際、対角線で分割することが有効な場合も多いが、正 n 角形 (n ≧ 5) の場合、その正 n 角形に外接する円の中心と各頂点を結んで分割する。すると、各三角形は合同 (頂角 360°/n の二等辺三角形 ) となり、面積は求められる。 例 1 辺の長さが 1 の正八角形の面積（p.268例題 164(2)) 正八角形を 8 個の合同な三角形に分けて求められる。

1 辺の長さが 1 の正二十面体 $W$ のすべての頂点が球 $S$ の表面上にあるとき，次の問いに答えよ。 なお, 正二十面体は, すべての面が合同な正三角形であり, 各頂点は 5 つの正三角形に共有されている。\n(1) 正二十面体 $W$ の 1 つの頂点を $\mathrm{A}$, 頂点 $\mathrm{A}$ からの距離が 1 である 5 つの頂点を $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ とする。 $\cos 36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を用いて, 対角線 $\mathrm{BE}$ の長さと正五角形 $\mathrm{BCDEF}$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。

数学 I 183 EX 4 辺の長さが $\mathrm{AB}=a, \mathrm{BC}=b, \mathrm{CD}=c, \mathrm{DA}=d$ である四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接していて, (4) $117 \mathrm{AC}=x, \mathrm{BD}=y$ とする。 （1） $\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{CDA}$ に余弦定理を適用して, $x$ を $a, b, c, d$ で表せ。 また, $y$ を $a, b, c, d$ で表せ。 （2） $x y$ を $a, b, c, d$ で表すと， $x y=a c+b d$ （これをトレミ一の定理という）となる。このことを(1)を用いて示せ。 [宮城教育大]

正四角錐 O-ABCD において, 底面の 1 辺の長さは 2a, 高さは a である。 このとき, 次のものを求めよ。\n(1) 頂点 A から辺 OB に引いた垂線 AE の長さ\n(2) (1)の点 E に対し, ∠AEC の大きさと ∆AEC の面積

（1）余弦定理により $\begin{aligned} a^{2} &=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A & =5^{2}+3^{2}-2 \cdot 5 \cdot 3 \cos 60^{\circ} & =25+9-2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=19 \end{aligned}$ $a>0$ であるから $\alpha=\sqrt{19}$

総合 \( \mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=3, \mathrm{BC}=t(1<t<5) \) である三角形 $\mathrm{ABC}$ を底面とする直三角柱 $T$ を考える。ただ 26 し, 直三角柱とは, すべての圙が底面と垂直であるような三角柱である。更に, 球 $S$ が $T$ の 内部に含まれ, $T$ のすべての面に接しているとする。 (1) $S$ の半径を $r$, $T$ の高さを $h$ とする。 $r$ とhをそれぞれ $t$ を用いて表せ。 (2) $T$ の表面積を $K$ とする。 $K$ を最大にする $t$ の值と， $K$ の最大値を求めよ。 [富山大]

正四面体についての問題 練習: 半径 1 の球 O に正四面体 ABCD が内接している。このとき，次の問いに答えよ。 （1）正四面体 ABCD の 1 辺の長さを求めよ。 （2）球 O と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。

(2) 直三角柱の高さが 4 であるから, 球の半径を \ r \ とすると\n\0<r \\leqq 2\

正四面体と球

右の図のように, ∆ABCの外部に3点D, E, Fを∆ABD, ∆BCE, ∆CAFがそれぞれ正三角形になるようにとる。∆ABCの面積をS, 3辺の長さをBC=a, CA=b, AB=cとおくとき, 次の問いに答えよ。 (1) ∠BAC=θとおくとき, sinθをb, c, Sを用いて, cosθをa, b, cを用いて表せ。 (2) DC²をa, b, c, Sを用いて表せ。ただし, 一般にcos(60°+θ)=\frac{cosθ-√3 sinθ}{2}が成り立つことを用いてもよい。 (3) 3つの正三角形の面積の平均をTとおくとき, DC²をSとT用いて表せ。

第４章 図形と計量 半径1の球に内接する正四面体の1辺の長さを求めよ。

数学 I\nPR 1 辺の長さが 3 の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, 頂点 $\mathrm{A}$ から底面 $\mathrm{BCD}$ に垂線 $\mathrm{AH}$ を下ろす。辺 $\mathrm{AB}$ 上に $\mathrm{AE}=1$ となる点 $\mathrm{E}$ をとるとき, 次のものを求めよ。(1) $\sin \angle \mathrm{ABH}$（2）四面体 $\mathrm{EBCD}$ の体積

EX 底面の半径が 2, 高さが √5 の直円錐がある。この直円錐の頂点を O, 底面の直径の両端を A, B とし, 線分 OB の中点を P とするとき, 側面上で A から P に至る最短距離を求めよ。[関西大]

亘要例題 141 四面体上の折れ線の最小値\n四面体 $\mathrm{ABCD}$ があり, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=8, \mathrm{AD}=7$ である。 $\cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{11}{14}$ のとき, 次のものを求めよ。\n(1) 辺 $\mathrm{CD}$ の長さ\n(2) $\angle \mathrm{ACD}$ の大きさ\n(3) 辺 $\mathrm{AC}$ 上の点 $\mathrm{E}$ に対して, $\mathrm{BE}+\mathrm{ED}$ の最小値\n基本 121,137

例題 127 測量の問題 (空間)\n右の図のように電柱が 3 点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ を含む平面に垂直 に立っており, 2 つの地点 $\text{A}, \text{B}$ から電柱の先端 $\text{D}$ を見 ると，仰角はそれぞれ $60^{\circ}, 45^{\circ}$ であった。A,B 間の距離が $6 \text{ m}, \angle \text{ACB}=30^{\circ}$ のとき, 電柱の高さ $\text{CD}$ を求め よ。ただし，目の高さは考えないものとする。

正四面体と球\n1 辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD がある。\n（1）正四面体に外接する球の半径 $R$ を $a$ を用いて表せ。\n（2）正四面体に内接する球の半径 $r$ を $a$ を用いて表せ。

PRACTICE 139³ 半径 1 の球に内接する正四面体の 1 辺の長さを求めよ。

底面の半径が2, 高さが√5の直円錐がある。この直円錐の頂点をO, 底面の直径の両端をA, Bとし, 線分OBの中点をPとするとき, 側面上でAからPに至る最短距離を求めよ。

中心が原点、半径がrの球面の方程式を求めよ。

空間 の点 基本42 空間の点の座標, 原点 $\mathrm{O}$ との距離

球忒と平面の交わり\n球面 \( (x+1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2} \) と次の平面が交わる部分は円である。その中心の座標と半径を求めよ。\n(1) $x y$ 平面\n(2) $y z$ 平面\n(3) 平面 $y=4$

原点を中心とする, 半径 r の球面\n\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\\n

TR実践 a を実数とする。 x y z 空間内の 4 点を A(0, a, 4), B(-2,0,3), C(1,0,2), D(0,2,3) とし, 点 P(1,0,6) に光源をおく。\n（1）光源が x y 平面上につくる点 A の影の座標は（アイ， ウ a, 0) である。\n（2）光源が x y 平面上につくる三角形 BCD の影は三角形となる。この三角形の頂点の座標は 力 > クとする。

15 (2) \\( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \\), \\( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9 \\)

球面の方程式点 (a, b, c) を中心とする, 半径 r の球面\n\\(\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\\)\n

(1) 球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-4 y-2 z+5=0$ の中心の座標と半径を求めよ。\n(2) 4 点 \( (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2) \) を通る球面の方程式を求めよ。

球面の方程式\n次のような球面の方程式を求めよ。\n(1) 点 \( (3,-2,1) \) を中心とする半径 2 の球面\n(2) 原点を中心とし, 点 \( (2,1,-3) \) を通る球面\n(3) 2 点 \( \mathrm{A}(5,3,-2), \mathrm{B}(-1,3,2) \) を直径の両端とする球面\n

球面の方程式(一般形)

次のような球面の方程式を求めよ。\n(1) 原点を中心とする半径 2 \\sqrt{2} \ の球面\n(2) 点 A(6,5,-3) を中心とし, 点 B(2,4,-3) を通る球面\n(3) 2 点 A(-1,4,9), B(7,0,1) を直径の両端とする球面

球面 \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=10 \\) と次の平面が交わる部分は円である。その中心の座標と半径を求めよ。\n(1) yz 平面\n(2) zx 平面\n(3) 平面 z=3 \

座標空間における図形 球面の方程式

次のような球面の方程式を求めよ。

座標空間における図形 球面と平面の交わり

3点 \( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(0,0,-2) \) の定める平面 $\mathrm{ABC}$ に原点 $\mathrm{O}$ から垂線 $\mathrm{OH}$ を下ろす。このとき, 点 $\mathrm{H}$ の座標と線分 $\mathrm{OH}$ の長さを求めよ。

中心が点(a, b, c)、半径がrの球面の方程式を求めよ。

15 (1) \\( (x-8)^{2}+(y+2)^{2}+(z-7)^{2}=36 \\)

EX 次のような球面の方程式を求めよ。\n(1) 点 \( (8,-2,7) \\) を中心として, 平面 z=1 \ と接する球面\n(2) 点 \( (1,1,2) \\) を通り, x y \ 平面, y z \ 平面, z x \ 平面に接する球面\n（3）中心が z \ 軸上にあり, 2 点 \( (1,-2,3),(2,2,2) \\) を通る球面

57 中心の座標と半径の順に\n(1) \( (0,-3,5), \\sqrt{6} \)\n(2) \( (2,0,5), 1 \)\n(3) \( (2,-3,3), \\sqrt{6} \)

実数aを求め、点Pが球面S全体を動くとするとき、 1) aの値を求めよ。 2) 線分 APの長さの最大値と直線APとxy平面との交点の y座標を求めよ。 3) 3点 O, P, Cがこの順に一直線上にあるとき、点Pの y座標を求めよ。

右の図のように, 平面 \z=t\ \\(\\left(0<t<\\frac{2}{3}\\right)\\) と円板 \D\ の周, 線分 \CQ\ との交点をそれぞれ S, T, U とする。\n\n円板 \D\ の半径は\n\n\\[QP =\\sqrt{\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}} =\\frac{1}{\\sqrt{6}}\\]\n\nこれにより交点の位置を求めることができます。

球面の方程式\n- 点 \( (a, b, c) \) を中心とする, 半径 $r$ の球面\n\\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\\]

右の図の直方体 OABC-DEFG について (2) 点 O と点 F の距離を求めよ。

練習: 平面 $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ と 2 球面 \( S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5 \), \( 68 S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8 \) がある。このとき, 次のものを求めよ。 (1) 平面 $\\alpha$ と球面 $S_{1}$ の共通部分を含み, 原点を通る球面の方程式 (2) 球面 $S_{1}, S_{2}$ の交わりの円 $C$ を含む平面の方程式, および円 $C$ の中心 $\\mathrm{P}$ の座標と 半径 $r$

例題 54 球面の方程式 (2) 4 点 (0,0,0),(0,0,4),(1,1,0),(1,-1,6) を通る球面がある。この球面について, 次のものを求めよ。 (1) 中心の座標と半径 (2) x y 平面による切り口の方程式

3 点 \( \mathrm{A}(4,7,2), \mathrm{B}(2,3,-2), \mathrm{C}(6,5,-6) \) を頂点とする \\triangle \\mathrm{ABC} \ はどのような形か。

球の中心 \( \mathrm{C}(a, b, c) \) から $xy$ 平面に下ろした垂線は, この円の中心 \( \left(\frac{5}{6}, \frac{5}{6}, 0\right) \) を通るから, 点Cと円の中心の $x$ 座標, $y$ 座標 はそれぞれ等しく $\quad a=\frac{5}{6}, \quad b=\frac{5}{6}$ また，球面 $S$ の半径は\n\n\( \mathrm{OC}=\sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+c^{2}}=\sqrt{c^{2}+\frac{25}{18}} \)\n\nよって，球面 $S$ の方程式は\n\n\( \left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(y-\frac{5}{6}\right)^{2}+(z-c)^{2}=c^{2}+\frac{25}{18} \)\n\n点 \( (t+2, t+2, t) \) が球面 $S$ 上にあるとき\n\n\( \left(t+2-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(t+2-\frac{5}{6}\right)^{2}+(t-c)^{2}=c^{2}+\frac{25}{18} \)\n\nすなわち \( 9 t^{2}-2(3 c-7) t+4=0 \)\n直線 $\ell$ が球面 $S$ と共有点をもつための必要十分条件は, $t$ の 2 次方程式 (1)が実数解をもつことである。よって, (1) の判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$\nここで \( \quad \frac{D}{4}=\{-(3 c-7)\}^{2}-9 \cdot 4=9 c^{2}-42 c+13 \)\n\n\( =(3 c-1)(3 c-13) \)\n$D \geqq 0$ から \( \quad(3 c-1)(3 c-13) \geqq 0 \)\nこれを解いて $c \leqq \frac{1}{3}, \frac{13}{3} \leqq c$\nしたがって, $a, b, c$ の満たすべき条件は\n\n\( a=b=\frac{5}{6} \text { かつ }\left(c \leqq \frac{1}{3} \text { または } \frac{13}{3} \leqq c\right) \)

緬習 a>0 とする。 4 点 O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) を通る球面 54 について, 次のものを求めよ。 (1) 中心の座標と半径 (2) z x 平面による切り口の方程式

別解では次のように求められます。\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=(x-1, y, z)$$\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=(x, y-2, z)+2(x, y, z-3)=(3x, 3y-2,3z-6)$$\n\nよって, $$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{\\mathrm{CP}}})=0$$ から $$ (x-1) \\times 3x + y \\times (3y-2) + z \\times (3z-6)=0$$\n\nゆえに $$ \\quad x^{2}-x+y^{2}-\\frac{2}{3} y+z^{2}-2z=0 $$ よって $$ \\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{1}{4}+\\frac{1}{9}+1 $$ すなわち $$ \\quad\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{49}{36} $$\n\nよって, 点Pの集合は, 中心が点 $$ \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, 1\\right) \\), 半径が $$ \\frac{7}{6} $$ の 球面である。

放物線の性質を説明し、放物線上の点Pの性質を導きます。 円錐を、円錐の1つの母線ℓに平行な平面πで切ったとき（図3）。円錐に内接し、平面πに接する球を考え、平面πとの接点をFとする。また、その球と円錐との接点をすべて含む平面をπ′とする。切り口の曲線上の点をPとし、母線OPと球の接点をMとする。PF, PMはともに球の接線であるから \mathrm{PF} = \mathrm{PM}\] 平面 π′ と平面 π の交線をgとし、点Pから直線gに引いた垂線を PH とする。また、点 P を通り平面 π′ に平行な平面と直線 ℓ の交点を A, 直線 ℓ と平面 π′ の交点をBとする。PHは直線ℓに平行になり \[\mathrm{PH} = \mathrm{AB}\]また、\[\mathrm{PM} = \mathrm{AB}\]よって, \[\mathrm{PM} = \mathrm{PH}\]であるから\[\mathrm{PF} = \mathrm{PH} したがって、点PはFを焦点とし、直線gを準線とする放物線上にある。

(1) 球面 $S_{1}$ の中心を \( \mathrm{O}_{1}(1,2,-3) \), 半径を $r_{1}=\sqrt{5}$ とする。平面 $\alpha$ と球面 $S_{1}$ の中心 $\mathrm{O}_{1}$ の距離は \( \frac{|1-2 \cdot 2+2 \cdot(-3)+3|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=2 \) $\sqrt{5}>2$ であるから, 平面 $\alpha$ と球面 $S_{1}$ は交わる。 よって, 平面 $\alpha$ と球面 $S_{1}$ の共有点は, $k$ を定数として, 次の方程式を満たす。\n\\[4pt]\n\\(k(x-2 y+2 z+3)+(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-5=0\\)\n方程式 (1) は球面を表す。原点を通るから, $x=y=z=0$ を代入すると\n\\[4pt]\n\3 k+1+4+9-5=0\\nゆえに $k=-3 \quad k=-3$ を(1)に代入して\n\\[4pt]\n\\(-3(x-2 y+2 z+3)+(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-5=0\\)\n整理して, 求める方程式は $x^{2}+y^{2}+z^{2}-5 x+2 y=0$

類題 1 辺の長さが 1 の正六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ が与えられている。点 $\mathrm{P}$ が辺 $\mathrm{AB}$ 上を, 点 $\mathrm{Q}$ 2 が辺 $\mathrm{CD}$ 上をそれぞれ独立に動くとき, 線分 $\mathrm{PQ}$ 上 $2: 1$ に内分する点 $\mathrm{R}$ が通りう る範囲の面積を求めよ。

(2) 球面が各座標平面に接し, かつ点 \( (5,-1,4) \) を通ることから,半径を $r$ とすると, 中心の座標は \( (r,-r, r) \) と表される。 したがって, 球面の方程式は

練習 (2) 点 \( (-1,2,3) \) を通り, 直線 $\frac{x-2}{4}=\frac{y+1}{-3}=z-3$ に垂直な平面の方程式を求めよ。

四面体 $A B C D$ において, \triangle \\mathrm{BCD}, \triangle \\mathrm{ACD}, \triangle \\mathrm{ABD}, \triangle \\mathrm{ABC} \ の重心をそれぞれ G_{A}, G_{B}, G_{C}, G_{D} \ とする。線分 A G_{A}, B G_{B}, G_{C}, \\mathrm{DG}_{D} \ をそれぞれ 3: 1 \ に内分 する点は一致することを示せ。

球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-4 y+4 z=16$ の平面 $\alpha: 6 x-2 y+3 z=5$ による切り 口である円を $C$ とする。この円の中心の座標と半径を求めよ。

空間内の 4 点 A, B, C, D が AB=1, AC=2, AD=3, 角 BAC=角 CAD=60°, 角 DAB=90° を満たしている。この 4 点から等距離にある点を E とするとき, 線分 AE の長さを求めよ。

座標空間内の点 \( \mathrm{A}(0,0,2) \) と点 \( \mathrm{B}(1,0,1) \) を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $z$ 軸の周りに1回転させて得られる曲面を $S$ とする。 $S$ 上の点 $\mathrm{P}$ と $xy$ 平面上の点 $\mathrm{Q}$ が $\mathrm{PQ} = 2$ を満たしながら動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ が通過しうる範囲を $K$ とする。Kの体積を求めよ。

球面の方程式\n空間において, 定点 Cからの距離が一定値 \( r(r>0) \) であるような点の全体の集合を, 中心が $\mathrm{C}$, 半径が $r$ の球面または単に球という。\n中心が点 \( \mathrm{C}(a, b, c) \), 半径が $r$ の球面上に点 \( \mathrm{P}(x, y, z) \) をと ると, $\mathrm{CP}=r$ から \( \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}=r \) $r>0$ であるから, この式は両辺を平方した式\n\( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} \quad \cdots \cdots .(*) \) 《標準形という。 と同値である。これを球面の方程式という。\n特に, 原点を中心とする半径 $r$ の球面の方程式は $\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$\n（*）を展開して整理すると $\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 a x-2 b y-2 c z+a^{2}+b^{2}+c^{2}-r^{2}=0$\nよって, $-2 a=A,-2 b=B,-2 c=C, a^{2}+b^{2}+c^{2}-r^{2}=D$ とおくと $x^{2}+y^{2}+z^{2}+A x+B y+C z+D=0 \quad$-般形という。\n\nただし, $a^{2}+b^{2}+c^{2}-D=\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}+\frac{C^{2}}{4}-D=r^{2}>0$ から $\quad A^{2}+B^{2}+C^{2}-4 D>0$\n球面の方程式（円の方程式に.......が加わった形）\n標準形 \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} \leftarrow \) 中心 \( (a, b, c) \), 半径 $r$\n一般形 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}+A x+B y+C z+D=0 \quad\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}-4 D>0\right) \)

右の図の直方体 OABC-DEFG について (1) 点 O 以外の頂点の座標を求めよ。

座標空間において、xy平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点\( (0,0,2)\) を頂点とする円錐（内部を含む）を$S$ とする。また、点\( \mathrm{A}(1,0,2)\) を考える。\n(1) 点 $\mathrm{P}$ が $S$ の底面を動くとき、線分 $\mathrm{AP}$ が通過する部分を $T$ とする。平面 $z=1$ による $S$ の切り口および、平面 $z=1$ による $T$ の切り口を同一平面上に図示せよ。\n(2) 点 $\mathrm{P}$ が $S$ を動くとき、線分 $\mathrm{AP}$ が通過する部分の体積を求めよ。

(2) 点 $\mathrm{B}$ を通り, $x$ 軸に垂直な平面を $\alpha$ とする。 平面 $\alpha$ 上において, 点 \( \mathrm{C}(1,0,0) \) を中心とし, 半径 $\mathrm{CB}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ の円上の動点を $\mathrm{R}$ とすると\n $\mathrm{CB}=\mathrm{CR}$ \n $\mathrm{QB}=\sqrt{\mathrm{QC}^{2}+\mathrm{CB}^{2}}, \mathrm{QR}=\sqrt{\mathrm{QC}^{2}+\mathrm{CR}^{2}}$ であるから \( \mathrm{QB}=\mathrm{QR} よって, \(\mathrm{D}(1,0,-5) \) とすると $\mathrm{AQ}+\mathrm{QB}=\mathrm{AQ}+\mathrm{QD} \geqq \mathrm{AD}$ 3 点 $\mathrm{A}, \mathrm{Q}, \mathrm{D}$ は $z x$ 平面上にあるか ら, $\mathrm{AQ}+\mathrm{QD}$ が最小になるのは, 点 $\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{AD}$ 上にあるときである。 したがって, $\mathrm{AQ}+\mathrm{QB}$ の最小値は \n \( \mathrm{AD}=\sqrt{(1-2)^{2}+(0-0)^{2}+(-5-3)^{2}}=\sqrt{65} \)

四面体 $\mathrm{OABC}$ において, $\mathrm{OA}=\mathrm{AB}, \mathrm{BC}=\mathrm{OC}, \mathrm{OA} \perp \mathrm{BC}$ とするとき，次のこと が成り立つことを証明せよ。\n[浜松医大]\n(1) $\mathrm{OB} \perp \mathrm{AC}$\n(2) $\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$

中心が点 \( (-2,4,-2) \) で, 2 つの座標平面に接する球面 $S$ の方程式はア $\square$ で ある。また, 球面 $S$ と平面 $x=k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき,$k=$ イ $\qquad$ である。

練習 立方体 \ \\mathrm{ABCD}-\\mathrm{EFGH} \ において, 辺 \ \\mathrm{FB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{DH}, \\mathrm{HE}, \\mathrm{EF} \ の中点はすべて 47 同じ平面上にあることを示せ。

曲線 $K: y=\frac{1}{x}$ 上に 3 つの頂点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ をもつ $\triangle \mathrm{ABC}$ を考える。 $\triangle \mathrm{ABC}$ の垂心 $H$ は，曲線 $K$ 上にあることを示せ。

座標空間において, x 軸， y 軸， z 軸までの距離がいずれも 1 以下である部分の体積を求めよ。

17 座標平面上に原点 O を中心とする半径 5 の円 $C$ がある。 $n=2$ または $n=3$ とし, 半径 $n$ の円 $C_{n}$ が円 $C$ に内接して滑ることなく回転していくとする。円 $C_{n}$ 上に点 $\\mathrm{P}_{n}$ がある。最初, 円 $C_{n}$ の中心 $\\mathrm{O}_{n}$ が \( (5-n, 0) \) に, 点 $\\mathrm{P}_{n}$ が \( (5,0) \) にあったとして, 円 $C_{n}$ の中心が円 $C$ の内部を反時計回りに $n$ 周して, もとの位置に戻るものとする。円 $C$ と円 $C_{n}$ の接点を $\\mathrm{S}_{n}$ とし, 線分 $\\mathrm{OS}_{n}$ が x \ 軸の正の方向となす角を $t$ とする。\n(1) 点 $\\mathrm{P}_{n}$ の座標を $t$ と $n$ を用いて表せ。\n(2) 点 $\\mathrm{P}_{2}$ の描く曲線と点 $\\mathrm{P}_{3}$ の描く曲線は同じであることを示せ。\n〔大阪大〕

座標空間において， $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸までの距離がいずれも 1 以下である部分の体積を求めよ。

座標空間において， x 軸， y 軸までの距離がいずれも 1 以下である部分の体積を求めよ。

座標空間の平面 z=t(-1 \leqq t \leqq 1) 上で x 軸, y 軸までの距離がいずれも 1 以下である領域の面積を求めよ。

点 \\mathrm{A} \ の極座標を \( (10,0) \\), 極 \\mathrm{O} \ と点 \\mathrm{A} \ を結ぶ線分を直径とする円 C \ の周上の任意の点を \\mathrm{Q} \ とする。点 \\mathrm{Q} \ における円 C \ の接線に極 \\mathrm{O} \ から垂線 \\mathrm{OP} \ を下ろし, 点 \\mathrm{P} \ の極座標を \( (r, \\theta) \\) とするとき, その軌跡の極方程式を求めよ。ただし, 0 \\leqq \\theta<\\pi \ とする。 〔類 岡山理科大〕

座標平面において, 原点 O を中心とする半径 3 の円を C, 点 (0,-1) を中心とする半径 8 の円を C' とする。Cと C 挟まれた領域を D とする。 (1) 0 ≤ k ≤ 3 とする。直線 ℓ と原点 O との距離が一定値 k であるように ℓ が動くとき, ℓ と D の共通部分の長さの最小値を求めよ。 (2) 直線 ℓ が C と共有点をもつように動くとき, ℓ と D の共通部分の長さの最小値を求めよ。

例題 54 球面の方程式 (2) 4 点 (0,0,0),(0,0,4),(1,1,0),(1,-1,6) を通る球面がある。この球面について, 次のものを求めよ。 (1) 中心の座標と半径 (2) xy 平面による切り口の方程式

練習（1）楕円の中心 $\mathrm{O}$ から垂直な 2 本の半直線を引き, 楕円との交点を $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ とするとき, $\frac{1}{\mathrm{OP}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{OQ}^{2}}$ は一定であることを証明せよ。

3 点 O, A', B' は xy 平面上にあるから, 球面 S と xy 平面の共有点がつくる図形は O, A', B' を通る円である。 この円を表す方程式は,(1)より x^{2}+y^{2}-\frac{5}{3} x-\frac{5}{3} y=0, \quad z=0 すなわち \left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(y-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{25}{18}, z=0 よって, 円の中心の座標は \left(\frac{5}{6}, \frac{5}{6}, 0\right)球の中心 C(a, b, c) から xy 平面に下ろした垂線は, この 円の中心 \left(\frac{5}{6}, \frac{5}{6}, 0\right) を通る。よって, 点Cと円の中心の x 座標, y 座標は等しく \quad a=\frac{5}{6}, \quad b=\frac{5}{6} また, 球面 S の半径は OC=\sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+c^{2}}=\sqrt{c^{2}+\frac{25}{18}} よって, 球面 S の方程式は \left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(y-\frac{5}{6}\right)^{2}+(z-c)^{2}=c^{2}+\frac{25}{18} 点 (t+2, t+2, t) が球面 S 上にあるとき \left(t+2-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(t+2-\frac{5}{6}\right)^{2}+(t-c)^{2}=c^{2}+\frac{25}{18} すなわち \quad 9 t^{2}-2(3 c-7) t+4=0 直線 \ell が球面 S と共有点をもつための必要十分条件は， t の 2 次方程式 (1) が実数解をもつことである。 (1) の判別式を D とすると \frac{D}{4}=(3 c-7)^{2}-9 \cdot 4=9 c^{2}-42 c+13=(3 c-1)(3 c-13) D \geqq 0 であるから \quad(3 c-1)(3 c-13) \geqq 0 よって c \leqq \frac{1}{3}, \frac{13}{3} \leqq c したがって, a, b, c の満たすべき条件は a=b=\frac{5}{6} \text { かつ }\left(c \leqq \frac{1}{3} \text { または } \frac{13}{3} \leqq c\right) \nLeftarrow z=0 を忘れないよう に。 \left(\sqrt{c^{2}+\frac{25}{18}}\right)^{2}=c^{2}+\frac{25}{18} ほ球面の方程式に x=t+2, y=t+2, z=t を代入。

球面の方程式 - 点 \((a, b, c)\) を中心とする, 半径 $r$ の球面 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える。

点 \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) を通り, \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) に平行な直線を \ \\ell \ とする。\n(1) 直線 \ \\ell \ と平面 \ 2 x-3 y+z=0 \ の交点の座標を求めよ。\n(2) 直線 \ \\ell \ が球面 \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\) によって切り取られる線分の長 さを求めよ。

(2) $t$ が実数全体を動くとき, $x y z$ 空間内の点 \( (t+2, t+2, t) \) がつくる直線を $\ell$ とする。 3 点 \( \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}^{\prime}(2,1,0), \mathrm{B}^{\prime}(1,2,0) \) を通り, 中心を \( \mathrm{C}(a, b, c) \) とする球面 $S$ が直線 $\ell$ と 共有点をもつとき, $a, b, c$ の満たす条件を求めよ。\n[北海道大]

3 球面の方程式 空間において, 定点 C からの距離が一定の値 r であるような点の 全体を, C を中心とする半径 r の球面, または単に球という。 (1) 点 (a, b, c) を中心とする半径 r の球面の方程式は (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r² 特に, 原点を中心とする半径 r の球面の方程式は x²+y²+z²=r²

円錐をその頂点を通らない平面 π で切った切り口が 2 次曲線になることを説明し、楕円、双曲線、放物線のそれぞれの場合について述べよ。

四面体 $A B C D$ において, $\triangle \mathrm{BCD}, \triangle \mathrm{ACD}, \triangle \mathrm{ABD}, \triangle \mathrm{ABC}$ の重心をそれぞれ $G_\mathrm{A}, G_\mathrm{B}, G_\mathrm{C}, G_\mathrm{D}$ とする。線分 $\mathrm{AG}_\mathrm{A}, \mathrm{BG}_\mathrm{B}, \mathrm{CG}_\mathrm{C}, \mathrm{DG}_\mathrm{D}$ をそれぞれ $3: 1$ に内分する点は一致することを示せ。

4 点 A(4,0,0), B(0,8,0), C(0,0,4), D(0,0,2) がある。 (1) 三角形 ABC の重心Gの座標を求めよ。 (2) 直線 OG と平面 ABD との交点 P の座標を求めよ。

2 点 \( \mathrm{A}(3,1,-1), \mathrm{B}(-2,-3,2) \) を通る直線と, $x y$ 平面, $y z$ 平面, $z x$ 平面との交点の座標をそれぞれ求めよ。

(2) 平面 \( a x+(9-a) y-18 z+45=0 \) が, 点 \( (3,2,1) \) を中心とする半径 $\\sqrt{5}$ の 球面に接する。このとき, 定数 $a$ の値を求めよ。 [類 金沢大]

中心が (1,-3,2), 原点を通る球面が平面 z=k と交わってできる円の半径が √5 である という。kの値を求めよ。

平面上のベクトルについて学んだが、空間におけるベクトルの基本事項を学び、空間座標における図形（直線、球面など）の方程式を知る。

中心が (-1,5,3), 半径が 4 の球面が平面 x=1 と交わってできる円の中心の座標と半径 を求めよ。

EX\n次の球面の方程式を求めよ。\n3) (1) 中心が \\( (-3,1,3) \\) で, 2 つの座標平面に接する球面

座標空間内の 2 点 \\( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) を直径の両端とする球面を \ S \ とする。点 \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) が球面 \ S \ 上を動くとき, \ 3 x+4 y+5 z \ の最大値を求めよ。また, そのときの P の座標を求めよ。

3 点 A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0) について(1) 3 点 A，B，C を頂点とする三角形は正三角形であることを示せ。(2) 正四面体の 3 つの頂点が A, B, C であるとき, 第 4 の頂点 Dの座標を 求めよ。

2 点 \( \mathrm{A}(2,4,0), \mathrm{B}(0,-5,6) \) を通る直線 $\ell$ と, 点 \( (0,2,0) \) を中心とする半径 2 の球面との共有点の座標を求めよ。

例 30 球面の方程式 (1) 次の条件を満たす球面の方程式を求めよ。 (1) 2 点 \( \mathrm{A}(6,3,2), \mathrm{B}(-2,-7,8) \) を直径の両端とする。 (2) 点 \( (5,-1,4) \) を通り, 3 つの座標平面に接する。

半径 1 の円に内接する正 \ n \ 角形が \ xy \ 平面上にある。 1 つ の辺 \ \\mathrm{AB} \ が \ x \ 軸に含まれている状態から始めて, 正 \ n \ 角形 を図のように \ x \ 軸上をすべらないように転がし，再び点 \ \\mathrm{A} \ が \ x \ 軸に含まれる状態まで続ける。点 \ \\mathrm{A} \ が描く軌跡の長さを \\( L(n) \\) とする。\n（1） \\( L(6) \\) を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \infty} L(n) \\) を求めよ。

中心が \( (1, -2, 3a) \)、半径が $\sqrt{13}$ の球面が $xy$ 平面と交わってできる円の半径が2であるという。 $a$ の値を求めよ。また、この円の中心の座標を求めよ。

(1) 中心が (-1,3,2), 半径が 5 の球面が x y 平面, y z 平面, z x 平面と交わってできる図形の方程式をそれぞれ求めよ。

辺の長さが 1 である正五角形 $\mathrm{ABCDE}$ において, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{e}$ とおく。\n(1) 線分 BEの長さを求めよ。ただし, $\cos 36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ は既知としてよい。\n(2) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ を $\vec{b}, \vec{e}$ で表せ。

複素数平面上で, $-1+2 i, 3+i$ を表す点をそれぞれ A, B とするとき, 線分 $\mathrm{AB}$ を 1 辺とする正方形 $\mathrm{ABCD}$ の頂点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ を表す複素数を求めよ。

3 点 O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2) を考える。点 P(x,y,z) は条件 |PO|=|PA|=|PB| を満たすように動くとする。

(2) 中心が (1,-2,3a), 半径が sqrt(13) の球面が x y 平面と交わってできる円の半径が 2 であるという。 a の値を求めよ。また, この円の中心の座標を求めよ。

中心が \( (-1, 3, 2) \)、半径が 5 の球面が $xy$ 平面、 $yz$ 平面、 $zx$ 平面と交わってできる図形の方程式をそれぞれ求めよ。

4 点 \\( (0,0,0),(6,0,0),(0,4,0),(0,0,-8) \\) を通る球面の中心の座標と半径を求めよ。

3 点 \( A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0) \) について (1) 3 点 A，B，Cを頂点とする三角形は正三角形であることを示せ。(2) 正四面体の 3 つの頂点が A, B, C であるとき, 第 4 の頂点 Dの座標を求めよ。

練習 a>0 とする。 4 点 O(0,0,0),A(0,a,a),B(a,0,a),C(a,a,0) を通る球面 54 について, 次のものを求めよ。 (1) 中心の座標と半径 (2) zx 平面による切り口の方程式

中心が (2,-3,4), 半径が r の球面が xy 平面と交わってできる円の半径が 3 であるという。 r の值を求めよ。

次に，正八面体とそのすべての面に接する球について，接点を含む平面で切った断面図を考えると，右の図 [2] のようになる。球の半径を r とすると, 網目部分の直角三角形の面積について $\frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{3} \cdot r=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{2}$ これを解くと r=\sqrt{6} ゆえに, この球の表面積は \[ 4 \pi r^{2}=4 \pi \cdot(\sqrt{6})^{2}=24 \pi \]

正四面体の高さを求める方法を説明せよ。

\（3）右の図のように，左奥の立方体 が存在すると仮定すると, Aから $\mathrm{D}$ への経路は， $\rightarrow 3$ 個，ノ２個， $\uparrow 1$ 個の順列であるから\n\\[ \n\frac{6!}{3!2!1!}=60 \text { (通り) }\n\\]

正四面体 $\mathrm{ABCD}$ について，次のことを証明せよ。\n(1) 辺 $A B$ の中点を $M$ とする。\n(ア) 辺 $\mathrm{AB}$ は平面 $\mathrm{CDM}$ に垂直である。\n(T) 辺 $\mathrm{AB}$ と辺 $\mathrm{CD}$ は垂直である。\n(2) 辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{AC}, \mathrm{AD}, \mathrm{BD}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}, \mathrm{S}$ とするとき, 四角形 PQRS は正方形である。

正二十面体の各辺の中点を通る平面で, すべてのかどを切り取ってできる多面体の面の数 f, 辺の数 e, 頂点の数 v を, それぞれ求めよ。

(2) 正六面体に最小限必要な色の数を求めなさい。

直円錐の展開図において、最短距離を求めてください。

重要例題 112 等面四面体 $\triangle \mathrm{ABC}$ は鋭角三角形とする。このとき, 各面すべてが $\triangle \mathrm{ABC}$ と合同な四面体が 存在することを示せ。 [京都大]

正十二面体の各辺の中点を通る平面で, すべてのかどを切り取ってできる多面体の面の数 f, 辺の数 e, 頂点の数 v を, それぞれ求めよ。

接弦定理の逆により, DA は 3 点 $\mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ を通る円 の接線である。

空間内に四面体 $\mathrm{ABCD}$ を考える。このとき, 4 つの頂点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ を同時に通る 球面が存在することを示せ。

立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように，色を塗りたい。ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。\n（1）異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。\n（2）異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

円の方程式\n点 \( (a, b) \) を中心とし、半径が $r$ の円の方程式を求めなさい。\n\[ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \]\n特に、原点 $\mathrm{O}$ が中心の場合の方程式を求めなさい。\n$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

(2) 円 x^2 + (y-3)^2 = 1 に外接し、x 軸に接する円 C の中心の軌跡を求めよ。

不等式の表す領域\n次の不等式が表す領域を求めなさい。\n1. \( y>f(x) \quad \cdots \cdots \) 曲線 \( y=f(x) \) の上側の部分\n2. $x^{2}+y^{2}<r^{2} \cdots \cdots$ 円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ の内部\n3. $x^{2}+y^{2}>r^{2} \cdots \cdots$ 円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ の外部

縦 $x \mathrm{~cm}$, 横 $y \mathrm{~cm}$, 高さ $z \mathrm{~cm}$ の直方体がある。この直方体の対角線の長さは $3 \mathrm{~cm}$, 全表面積は $16 \mathrm{~cm}^{2}$ である。(1) $x+y+z$ の値は $\square$ である。(2) この直方体の最小の体積は $\square$ $\mathrm{cm}^{3}$ である。（3）この直方体が最大の体積をもつとき，最も長い辺の長さは $\qquad$ $\mathrm{cm}$ である。

図のように, 半径2の球に内接する円柱を考え, その高さを $2x$ とする。 (1) 円柱の底面の半径 $a$ を $x$ の式で表せ。(2) 円柱の体積 $V$ を $x$ の式で表せ。 (3) $V$ の最大値を求めよ。 [北海道工大]

（6）アルコール温度計は、細い管と液だめ（先端のふくらんだ部分）がつながった構造になってい ます。 (1) 液だめがついていることにより、どのような利点がありますか。15字程度で答えなさい。 (2)管が細いことにより、どのような利点がありますか。15字程度で答えなさい。

2019 渋谷教育学園幕張中〈第 1 次〉 (26) 観測者が崖の正面に立って見ている方向を示しています。観測者は, 崖Aでは南東を, 崖Bで は南西を, 崖Cでは北を向いています。 図２は，崖Aと崖Bを観察したときの, 地層の傾きを表したものです。 この地域では, 砂や泥がたい積した地層が一定の傾きで広がっています。断層はなく, 各層 の厚さはどの地点でも一定です。 砂や泥の層にはさまれた火山灰層(X)に注目します。火山灰層(X)は、短期間にたい積したもの で, 他の層と同じように広がっています。火山灰層(X)の厚さは考えないものとします。 A 北東 $\longleftrightarrow$ 南西 観測位置 崖Aの地層は北東から南西にのびて いる。地層は, 向かって左手側に低く なるように傾いている。 火山灰層( \( \mathrm{X}) \) は, 川の水面から $2 \mathrm{~m}$ の 所に見えた。 崖Bの地層は南東から北西にのびて いる。地層は, 向かって右手側に低く なるように傾いている。 崖B では火山灰層 \( \mathrm{X}) \) が見えない。地下の地層をボーリングにより調べたと ころ, 火山灰層( \( \mathrm{X}) \) は川の水面から $4 \mathrm{~m}$下にあることがわかった。 観測位置 図 2 （1）この地域において火山灰層(X)の傾きの方向（最も低くなっていく方向）は，次の８方位の 1 つ と一致しています。最も適切なものを選び, 記号で答えなさい。 (ア) 北 (イ) 北東 (ウ) 東 (エ) 南東 (才) 南 (力) 南西 (キ) 西 (ク) 北西 （）崖 $\mathrm{C}$ （海面から $53 \mathrm{~m}$ ）の面は南に向いていて, 火山灰層 \( (\mathrm{X}) \) を含む層が見えています。崖 $\mathrm{C}$ を正面から見たとき, 火山灰層(X)はどの方向に傾いていますか。(1)にもとづいて適するものを選び,記号で答えなさい。 （ア）向かって右手側が低くなっている （イ）向かって左手側が低くなっている (ウ) ほとんど傾いていない （3）次のページの図３のYにおける断面を東側から見たときを考えます。解答用紙のグラフに,次の 1 〜 2 を書き入れなさい。

(11) 金属棒の伸びを，ものさしで測定しないのはなぜですか。理由を20字程度で説明しなさい。

(1)より，地域全体では地層が南から北に向かって下がっているので，東西方向には地層がほとんど水平に積み重なっている。したがって、南に向いている崖Cでは、各地層がほとんど傾いていないように見える。

湿気や浸水を防ぐために高床が利用されているのはなぜか？

極方程式 \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \ で与えられる図形と, 等式 \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \ を満たす複素数zで与えられる図形は同じであることを示し, この図形の概形をかけ。

3 球面の方程式\n[1] 中心が点 \( (a, b, c) \), 半径が $r$ のとき \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} \) 特に, 中心が原点 \( \mathrm{O}(0,0,0) \) ならば $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ [2] 一般形 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+A x+B y+C z+D=0$ ただし $A^{2}+B^{2}+C^{2}-4 D>0$

次の条件を満たす球面の方程式を求めよ。\n(1) 2 点 \( \\mathrm{A}(1,2,4), \\mathrm{B}(-5,8,-2) \\) を直径の両端とする。\n(2) 点 \\( (5,1,4) \\) を通り, 3 つの座標平面に接する。

2 つの球面 \(S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5,\quad S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8\) が ある。球面 $S_{1}, S_{2}$ の交わりの円を $C$ とするとき, 次のものを求めよ。\n(1) 円 $C$ の中心 $P$ の座標と半径 $r$\n(2) 円 $C$ を含む平面 $α$ の方程式

平面上の原点を中心として半径1の円C上の点 \\( (\cos \\theta, \sin \\theta) \\) をPとする。 点Pで円Cに接し、さらにy軸と接する円をSとし、その中心Qの座標を(u, v)とする。 (1) uとvをそれぞれ \ \cos \\theta \ と \ \sin \\theta \ を用いて表せ。 (2) 円Sの面積を \\( D(\\theta) \\) とするとき、 \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\) を求めよ。

点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において, \( \mathrm{A}(5,4,-2) \) とする。 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^{2}-2 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 36 = 0$ を満たす点 \( \mathrm{P}(x, y, z) \) の集合はどのような図形を表すか。また, その方程式を $x, y, z$ を用いて表せ。

座標空間内の8点 \( \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(0,0,1), \mathrm{D}(0,1,1) \), \( \mathrm{E}(1,0,1), \mathrm{F}(1,1,0), \mathrm{G}(1,1,1) \) を頂点とする立方体を考える。辺 $\mathrm{OA}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{CE}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{Q}$、辺 $\mathrm{BF}$ を $1:3$ に内分する点を $\mathrm{R}$ とする。3点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ を通る平面を $\alpha$ とする。

4 点 (1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,0),(2,1,0) を通る球面の方程式を求めよ。また, その中心の座標と半径を求めよ。

次の条件を満たす球面の方程式を求めよ。\n(1) 直径の両端が2点\( (1,-4,3),(3,0,1) \\)である。\n(2) 点\( (1,-2,5) \\) を通り、3つの座標平面に接する。

四面体 $\\mathrm{ABCD}$ において, $\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{CD}^{2}=\\mathrm{BC}^{2}+\\mathrm{AD}^{2}=\\mathrm{AC}^{2}+\\mathrm{BD}^{2}, \\angle \\mathrm{ADB}=90^{\\circ}$ が成り立っている。三角形 $\\mathrm{ABC}$ の重心を Gとする。 (1) $\\angle \\mathrm{BDC}$ を求めよ。 (2) $\\frac{\\sqrt{\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{CD}^{2}}}{\\mathrm{DG}}$ の値を求めよ。

空間における長方形 ABCD について, 点 A の座標は (5,0,0), 点 D の座標は (-5,0,0) であり, 辺 AB の長さは 5 であるとする。更に, 点 B の y 座標と z 座標はいずれも正であり, 点 B から xy 平面に下ろした垂線の長さは 3 であるとする。このとき, 点 B および点 C の座標を求めよ。

極方程式 \( r=2(1+\cos \\theta)(0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2}) \) で表される曲線上の点と極 $\\mathrm{O}$ を結んだ線分が通過する領域の面積を求めよ。 基本 182, 数学 $\\mathrm{C}$ p. 303 参考事項