幾何学と測定 - 相似と合同 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

碁本列題 107 三角比の応用問題\nある建物の高さを測るため, その建物から $10 \\mathrm{~m}$ 離れた地点で高さ $1.5 \\mathrm{~m}$ の位置から建物の上端 $\\mathrm{P}$ の仰角を測ったところ $65^{\\circ}$ であった。\n巻末の三角比の表を利用して，次の問いに答えよ。\n（1）この建物の高さを求めよ。ただし， $1 \\mathrm{~m}$ 未満を四捨五入せよ。\n（2）この建物から $15 \\mathrm{~m}$ 離れた地点から，上と同様に測った点 $\\mathrm{P}$ の仰角の大きさを求めよ。

EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \\angle \\mathrm{C}=90^{\\circ}, \\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}=5: 4 \ とする。辺 \\mathrm{BC} \ の点 \\mathrm{C} \ 側の延長上に, \\mathrm{CA}=\\mathrm{CD} \ 376 となる点 \\mathrm{D} と る 。 \ 辺 \\mathrm{AB} \ の中点を \\mathrm{E} \ とし, 点 \\mathrm{B} \ から直線 \\mathrm{AD} \ に下ろした垂線を \\mathrm{BF} \ とすると き，次の問いに答えよ。\n(1) \ \\mathrm{EF}=\\mathrm{EC} \ を示せ。\n（2）面積比 \ \\triangle \\mathrm{ABC}: \\triangle \\mathrm{CEF} \ を求めよ。\n[宮崎大]

65 正三角形でない $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を O, 重心を G, 垂心を H とするとき, G は線分 $\mathrm{OH}$ 上にあって, $\mathrm{OG}: \mathrm{GH}=1:2$ となることを, 以下に従って証明せよ。\n(1) 辺 BC の中点を $\mathrm{L}$, 線分 GH, AG の中点をそれぞれ $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ とするとき, 四角形 OLMN は平行四辺形になることを証明せよ。ただし，$\mathrm{AH}=2 \mathrm{OL}$ であることを利用してよい。\n(2) 点 $G$ は線分 $\mathrm{OH}$ 上にあることを証明せよ。\n(3) $\mathrm{OG}: \mathrm{GH}=1:2$ を証明せよ。

14 正弦定理と余弦定理: 三角形の辺と角度を求めなさい。

基本例題 131 三角形の面積 $\triangle \mathrm{ABC}$ において，面積を $S$ で表す。次のものを求めよ。 (1) $a=4, b=5, c=6$ のとき $\cos A, S$ (2) $a=2, B=150^{\circ}, S=\sqrt{3}$ のとき $b$

円周角: 1 つの弧に対する円周角の大きさは一定であり, その弧 に対する中心角の大きさの半分である。

近くの公園に円形のプールがある。ある日,このプールの広さを測定しようと考え,私と友人は巻尺とチョークを持って出かけた。プールの縁の 3 カ所にチョークで印を付け、それぞれを A, B, C とした。AB, BC, CA の水平距離を測定すると,それぞれ $9 \mathrm{~m}, 6 \mathrm{~m}, 12 \mathrm{~m}$ であった。1. $\\angle \\mathrm{ABC}$ の正弦，余弦，正接の値を求めよ。2. このプールの面積を求めよ。(鳥取大)

図において, \ \\mathrm{AR}: \\mathrm{RB}=3: 2, \\mathrm{BP}: \\mathrm{CP}=5: 3 \ のとき\n\ \\mathrm{CQ}: \\mathrm{QA} \ を求めよ。

PRACTICE 108 θ は鋭角とする。 sin θ, cos θ, tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき, 各場合につい て残りの 2 つの三角比の値を求めよ。 (1) sin θ=5/13 (2) cos θ=2/3 (3) tan θ=2√2

PRACTICE $133^{\circ}$ $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2, \angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}$ の $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{A}$ の二等分線と $\mathrm{BC}$ との交点 をDとするとき, 線分 $\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。 [南山大]

三角形ABCにおいて、BD:DC = AB:AC = 2:1の場合のBDの長さを計算してください。

数学 I PR $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\mathrm{AB}=x, \mathrm{BC}=2, \mathrm{CA}=4-x$ とする。ただし, $1<x<3$ である。 (1) $\angle \mathrm{ABC}=\theta$ とするとき, $\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を $x$ で表せ。 (2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積の最大値と，そのときの $x$ の値を求めよ。 [類 東北学院大]

数学 $A$ PR 右の図のように, 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ の延長 93 の交点を $\mathrm{E}$, 辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{AD}$ の延長の交点を $\mathrm{F}$ とする。また, $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ か らこの円に接線 $\mathrm{EP}, \mathrm{FQ}$ をく。このとき, $\mathrm{EP}^{2}+\mathrm{FQ}^{2}=\mathrm{EF}^{2}$ であ ることを証明せよ。

三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}$ の大きさを、それぞれ $A, B, C$ で表すとき、等式 $\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}$ が成り立つことを証明せよ。

チェバの定理\n定理 $9 \triangle \mathrm{ABC}$ の 3 頂点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ と, 三角形の辺上にもその延長上にもない点Oを結ぶ直線が,辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ またはその延長と交わるとき,交点をそれぞれ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ とすると\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1\n\

112๑ $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\sin A: \sin B: \sin C=5: 7: 8$ とする。このとき, $\cos C=$ ア $\square$ である。更に, 辺 $\mathrm{BC}$ の長さが 1 であるとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積はイ $\square$ である。

365 筫本列題 65 角の二等分線と比の利用 $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{B}$ の二等分線が辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ と交わる点を, それぞれ $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ とする。 $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$ ならば, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ となることを証明せよ。 p. 361 基本事項 2

三角形の辺と角の大小関係\n定理\n14\n1. 一つの三角形において\n 1. 大きい辺に向かい合う角は, 小さい辺に向かい合う 角より大きい。\n 2. 大きい角に向かい合う辺は, 小さい角に向かい合う 辺より大きい。\nすなわち \ \\mathrm{AB}<\\mathrm{AC} \\Leftrightarrow \\angle \\mathrm{C}<\\angle \\mathrm{B} \

半径 5,8 の円 $O$, $\mathrm{O}^{\prime}$ が点Aで外接しているとき, この 2 円の共通外接 4 82線が円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ と接する点を $\mathrm{B}$, C とする。また, BA の延長と円 $\mathrm{O}^{\prime}$ と の交点をDとする。\n(1) $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ であることを証明せよ。\n(2) 3 点 C, O', D は同一直線上にあることを証明せよ。\n(3) $\mathrm{AB}: \mathrm{AC}: \mathrm{BC}$ を求めよ。

PR \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 外接円の半径を $R$ とする。 $A=30^{\\circ}, B=105^{\\circ}, a=5$ のとき, $R$ と $c$ を求めよ。

交わる2弦 2 本の割線接線と割線 には方べきの定理\n[1]交わる2弦\n[2] 2本の割線\n$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$\n[3]接線と割線\n数学 $A$ 例題 89\n[2] (2 本の割線) の場合において, $\mathrm{C}=\mathrm{D}$ となるときを考えると, \( \mathrm{C}(\mathrm{D}) \) は円の接点となる。その接点を $\mathrm{T}$ とすると, $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ において $\mathrm{PC}=\mathrm{PD}=\mathrm{PT}$ から, [3] (接線と割線) の $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PT}^{2}$ が得られる。また, チェバの定理, メネラウスの定理 と同様に，方べきの定理も逆が成り立つことを押さえておこう。また，円と線分 $\mathrm{PQ}$ に交わる直線を引き，直線と円や線分との交点を図のように $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ とする。 $\mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=4, \mathrm{CD}=3$ であるとき, 線分 $\mathrm{DE}$ の 長さを求めよ。

座標平面において, 7本の直線x=k(k=0,1,2, \cdots 6)と5本の直線y=l(l=0,1,2,3, 4)が交わってできる長方形 (正方形を含む) の個数。また、面積が4である長方形の個数。

三角形 ABC において, 余弦定理により\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{AC}^{2}= & 2^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2} \\\\\n & -2 \\cdot 2(\\sqrt{3}+1) \\cos 60^{\\circ} \\\\\n = & 6\n\\end{aligned}\n\\]\n

基 本例題 70 三角形の重心と面積比 右の図の $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ をそれぞれ辺 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{AB}$ の中点とし, 線分 $\mathrm{AM}$ と $\mathrm{CN}$ の交点を Gとする。 このとき, $\triangle \mathrm{GNM}$ と $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積比を求めよ。

入方べきの定理の逆\n2 つの線分 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$, または $\mathrm{AB}$ の延長と $\mathrm{CD}$ の延長が点 $\mathrm{P}$ で交わるとき, $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つならば, 4 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ は 1 つの円周上にある。

次の三角形について余弦定理を使って角度を求めなさい: a = 7, b = 8, c = 5。

123 A=75°, B=60°, a=√6+√2/2 または A=15°, B=120°, a=√6-√2/2

2) 余弦定理 $\triangle \mathrm{ABC}$ について $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A, b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B, c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

例題 124 三角形の最大角 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 次が成り立つとき, この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。 (1) $\frac{a}{13}=\frac{b}{8}=\frac{c}{7}$ (2) $\sin A: \sin B: \sin C=1: \sqrt{2}: \sqrt{5}$

半径 1 の円に内接する三角形 \ \\mathrm{ABC} \ は, \ \\mathrm{AB} = \\mathrm{AC} \ を満たしている。また, \ \\angle \\mathrm{CAB} = 2 \\alpha \, \ \\mathrm{AB} + \\mathrm{BC} + \\mathrm{CA}=l \, 三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S \, 三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の内接円の半径を \ r \ とする。\n(1) AC の長さを \ \\cos \\alpha \ を用いて表せ。\n(2) \ l \ を \ \\cos \\alpha \ と \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。\n(3) \ S \ を \ \\cos \\alpha \ と \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。\n(4) \ r \ を \ l \ と \ S \ 用いて表せ。\n(5) \ r \ を \ \\sin \\alpha \ を用いて表せ。

正弦定理を利用して、次の三角形の他の辺長を求めなさい: A が 45° で、対辺 a の長さが 2 である。

EX\n(1) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。\n3106\n(ア) \ A=60^{\\circ}, c=1+\\sqrt{6}, a+b=5 \ のとき \ a \\n(1) \ A=60^{\\circ}, a=1, \\sin A=2 \\sin B-\\sin C \ のとき \ b, c \\n[(イ) 京都産大]\n(2) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \ b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \ のとき, \ C \ は鋭角, 直角, 鈍角のいずれであ るかを調べよ。\n[(2) 類 岡山理科大]

57・1 辺の長さが $10 \mathrm{~cm}$ の正三角形の折り紙 $\mathrm{ABC}$ がある。辺 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{D}$ と辺 $\mathrm{AC}$ 上の点 $\mathrm{E}$ を, 線分 $\mathrm{DE}$ と辺 $\mathrm{BC}$ が平行になるようにとる。線分 DE で折り紙を折 るとき, 三角形 $\mathrm{ADE}$ のうち, 四角形 $\mathrm{BCED}$ と重なり合う部分の面積を $S$ とする。 $S$ が最大となるのは線分 $\mathrm{DE}$ の長さがア $\square \mathrm{cm}$ のときであり, このとき\n$S=$ $\square \mathrm{cm}^{2}$ である。

EX $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とし, $\angle \mathrm{AMB}, \angle \mathrm{AMC}$ の二等分線が\n辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ と交わる点を $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ とする。このとき, 線分 $\mathrm{DE}$ の長さを 求めよ。ただし, $\mathrm{BC}=60, \mathrm{AM}=20$ とする。

(2) $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=3, \mathrm{CA}=2$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{A}$ およびその外角 の二等分線が直線 $\mathrm{BC}$ と交わる点を，それぞれ D, E とする。線分 DEの 長さを求めよ。

PR 鋭角 $\mathrm{XOY}$ の内部に, 2 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ が右の図のように与えられている。 ${ }^{4} 80$ 半直線 $\mathrm{OX}, \mathrm{OY}$ 上に, それぞれ点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ をとり, $\mathrm{AP} + \mathrm{PQ} + \mathrm{QB}$ を最小にするには, $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ をそれぞれどのような位置にとればよいか。

PRACTICE 70° 右の図の $\triangle \mathrm{ABC}$ において, Gは $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心で線分 $\mathrm{GD}$ は辺 $\mathrm{BC}$ と平行である。 このとき, $\triangle \mathrm{DBC}$ と $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積比を求めよ。

三角形の內角の二等分線の長さ $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{A}$ の二等分線が辺 $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$ とし,\n$\mathrm{AC}=b, \quad \mathrm{AB}=c, \quad \mathrm{BD}=p, \quad \mathrm{CD}=q$\nとおくと\n$\mathrm{AD}^{2}=b c-p q$が成り立つ。\n4章\n15\n$b \neq c$ のとき, 両辺を $b-c$ で割って $\quad x^{2}=b c-p q$\n$b=c$ のとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ は二等辺三角形であるから $\quad p=q$ このとき, $\triangle \mathrm{ABD}$ において, 三平方の定理から, $x^{2}=c^{2}-p^{2}$ が成り立ち, (2) に含めることができる。\n\[\begin{array}{l}(b-c) x^{2}=b c(b-c)+c q \cdot p-b p \cdot q \ =b c(b-c)-p q(b-c) \ =(b-c)(b c-p q) \ \end{array}\]\n$\text { よって, } x^{2}=\mathrm{AD}^{2}=b c-p q \text { が成り立つ。 }$前ページの基本例題 133 をこの式を用いて解いてみよう。

三角形 ABC において, 余弦定理により\n\n\\[\n\\begin{array}{l} \\cos \\angle \\mathrm{ACB}=\\frac{(\\sqrt{3}+1)^{2}+(\\sqrt{6})^{2}-2^{2}}{2(\\sqrt{3}+1) \\cdot \\sqrt{6}} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}+6}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{2 \\sqrt{3}(1+\\sqrt{3})}{2 \\sqrt{6}(\\sqrt{3}+1)} \\\\\n=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\n\\text { よって } \\quad \\angle \\mathrm{ACB}=45^{\\circ} \\\\\n\\text { ゆえに } \\quad \\angle \\mathrm{ACD}=75^{\\circ}-45^{\\circ}=30^{\\circ} \\\\n\\text { したがって }\n\\end{array}\n\\]\n

三角形 ABC の 6 つの要素 (3 辺 a, b, c と 3 角 A, B, C) のうち、三角形をただ 1 通りに決めるためには、少なくとも 1 つの辺を含む次の 3 つの要素が条件として必要である。 1. 1 辺とその両端の角 2. 2 辺とその間の角 3. 3 辺 これらの条件から、他の 3 つの要素を求めるとき、条件に応じた定理の使用法を整理せよ。 1. 1 辺とその両端の角 (a, B, C の条件から、b, c, A を求める) A = 180° - (B + C) 正弦定理: a / sinA = b / sinB = c / sinC 2. 2 辺とその間の角 (b, c, A の条件から、a, B, C を求める) 余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cosAから a 余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca) から B C = 180° - (A+B) 3. 3 辺 (a, b, c の条件から、A, B, C を求める) 余弦定理 cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)から A 余弦定理 cosB = (c² + a² - b²) / (2ca)から B C = 180° - (A + B)から C 注意: 2 辺と 1 対角の条件が与えられた場合、三角形は 1 通りに決まらない可能性がある。

PR △ABC において、sin A: sin B: sin C=5: 16: 19のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。

(1) $\angle \mathrm{OAB} = \angle \mathrm{OBA} = 20^{\circ}$ であるから $\angle \mathrm{OAC} = 50^{\circ}$

PR 平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において, 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M} と し, \mathrm{AM}$ と $\mathrm{BD}$ の交点\nをEとする。\nこのとき, $\triangle \mathrm{BME}$ の面積と平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の面積の比を求めよ。\n\nHINT 補助線 $\mathrm{AC}$ を引, $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心がEであることを示す。\n線分 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ の交点をFとする。$\triangle \mathrm{ABC}$ において, 点Eは中線 AM, $\mathrm{BF}$ の交点であるから，重心である。 よって \( \mathrm{AE}: \mathrm{EM}=2: 1 \\

AB=13, BC=15, CA=8 の △ABC において, 点 A から辺 BC に垂線 AD を下ろす。このとき, 次の値を求めよ。(1) BD の長さ(2) sin 角 B(3) tan 角 C

69 鋭角三角形 \\( \\mathrm{ABC}(\\mathrm{AB}>\\mathrm{AC}) \\) の, \\angle \\mathrm{A} \ の二等分線 \ \\mathrm{AD} \,中線 AM, 垂線 AHについて, 次のことを示せ。\n(1) 図のように \ \\mathrm{AM}=\\mathrm{A}^{\\prime} \\mathrm{M} \ として\n\\\angle \\mathrm{BAM}<\\angle \\mathrm{CAM}\\\\n(2) \ \\angle \\mathrm{BAH}>\\angle \\mathrm{CAH} \\\\n(3) 二等分線 \ A D \ は中線 \ A M \ と垂線 \ \\mathrm{AH} \ の間にある。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある。 $\mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=3, \mathrm{BD}=7, \mathrm{AD}=5$ であるとき，$A$ と辺 $\mathrm{CD}$ の長さを求めよ。また, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ。

PRACTICE $123^{\circ}$ $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $C=45^{\circ}, b=\sqrt{3}, c=\sqrt{2}$ のとき, $A, B, a$ を求めよ。

(3) $\mathrm{EQ} / / \mathrm{BD}$ であるから \( \mathrm{EQ}: \mathrm{BD} = \mathrm{AE}: \mathrm{AB} = 1:(1+k) \) よって $\mathrm{EQ} = \frac{\mathrm{BD}}{1+k}$ また, $\mathrm{QF} / / \mathrm{DC}$ であるから \( \mathrm{QF}: \mathrm{DC} = \mathrm{AF}: \mathrm{AC} = 1:(1+k) \) ゆえに $\mathrm{QF} = \frac{\mathrm{DC}}{1+k}$ したがって $\frac{\mathrm{EQ}}{\mathrm{QF}} = \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} = 1$

四角形 \\mathrm{ABCD} \ が円 Oに外接している。辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{DA} \ と円Oとの接点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ とし, 線分 \\mathrm{AP}, \\mathrm{BQ}, \\mathrm{CR}, \\mathrm{DS} \ の長さをそれぞれ a, b, c, d \ とする。 3 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{PQ}, \\mathrm{RS} \ のどの 2 本も平行でないとき\n(1) 2 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{PQ} \ の交点を \\mathrm{X} \ とるとき, \\mathrm{AX}: \\mathrm{XC}=a: c \ であることを示せ。\n(2) 2 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{RS} \ の交点を \\mathrm{Y} \ とするき, \\mathrm{AY}: \\mathrm{YC}=\\mathrm{AX}: \\mathrm{XC} \ であることを 示せ。

次の三角形の $\\angle A$ の性質を述べなさい: $a^{2} = 64, b^{2} + c^{2} = 61$

二等辺三角形の $2$ つの底角は等しい。また、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に $2$ 等分する。これを利用して次の問題を解きなさい。\n二等辺三角形ABCにおいて、頂角$\angle A = 100^\circ$ である場合、底角 $\angle B$ の角度は何度ですか？

EX \\triangle \\mathrm{ABC}\ の内部の 1 点 \\mathrm{O}\ と 3 頂点を結ぶ直線が, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB}\ と ⑦0交わる点をそれぞれ D, E, Fとし, FEのEを越える延長が辺 BCの 延長と交わる点を \\mathrm{G}\ とする。\n(1) \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{BG} \ ：GC であることを証明せよ。\n(2) Oが \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内心であるとき, \\angle \\mathrm{DAG}\ の大きさを求めよ。

381 荤本列題 76 三角形の周の長さとの比較\n$\triangle \mathrm{ABC}$ の内部の 1 点を $\mathrm{P}$ とするとき，\n\( \mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}>\frac{1}{2}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}) \) を証明せよ。

(1) $\triangle \mathrm{ABC}$ の各辺が下の図のように，点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ で円に接している。このとき，線分 $\mathrm{AQ}, \mathrm{BC}$ の長さを求めよ。

基本 例題 133 三角形の内角の二等分線の長さ (2) $\angle \mathrm{A}=120^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=1$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の二等分線が辺 $\mathrm{BC}$ と交 わる点をDとするとき, 線分 AD の長さを求めよ。 [千葉工大] 基本 128,131

チェバの定理の逆\n定理 $10 \triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ またはその延長上に，それぞ れ点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ があり, この 3 点のうちの 1 個または 3 個が辺上 にあるとする。このとき, $\mathrm{BQ}$ と $\mathrm{CR}$が交わり, かつ\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \n\\nが成り立つならば, 3 直線 $\mathrm{AP}, \mathrm{BQ}, \mathrm{CR}$ は 1 点で交わる。

三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 辺 $\mathrm{BC}$ を $m: n$ に内分する点 P, 辺 $\mathrm{CA}$ を $l: m$ に内分する点 Q, 辺 $\mathrm{AB}$ を $n: l$ に内分する点 R とするとき, 3 直線 $\mathrm{AP}, \mathrm{BQ} , \mathrm{CR}$ は1点で交わる。このことを, チェバの定理の逆を用いて証明せよ。

三角形 $\\mathrm{ABC}$ において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\\[ \\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\\\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\\\tan B \\\\](防衛大)

三角形 \\mathrm{ABC} \ の \\angle \\mathrm{B} \ の二等分線が辺 \\mathrm{AC} \ と交わる点を \\mathrm{D} \ とするとき, 線分 \\mathrm{BD} \ の長さを求めよ。\n(A) \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=4, \\mathrm{CA}=5 \

三角形の辺の比率と長さに関連する以下の問題に答えなさい。\n\n1. 線分 $\mathrm{AB}$ を $1: 4$ に内分する点 $\mathrm{P}$ と外分する点 $\mathrm{Q}$ を下図に記入せよ。\n\n2. $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}=4$, $\mathrm{BC}=5$, $\mathrm{CA}=2$ である。このとき、∠Aの二等分線と辺 BC の交点を $\mathrm{D}$ とする。線分 BDの長さを求めよ。\n\n3. $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心 $\mathrm{O}$、内心 $\mathrm{I}$、重心 $\mathrm{G}$ とする。下の図の角 $\alpha, \beta$ と線分の長さ $x$, $y$ を求めよ。

角度を求める問題のポイント (1)キーワード: 外心 → 二等辺三角形を利用 参照例題: 基本例題 66 (3)キーワード: 円に内接, 四角形 → 円に内接する四角形を利用 参照例題: 基本例題 81

(2) $\angle \mathrm{A}=2 a, \angle \mathrm{B}=2 b, \angle \mathrm{C}=2 c$ とすると, $\angle \mathrm{BIC}=1 \square^{\circ}+$ ウ $\square$ である。\nゆえに, $\angle \mathrm{BIC}=125^{\circ}$ のとき, $\angle \mathrm{BOC}=ェ \square$ である。\nただし, ウ $\square$ につては, 当てはまるものを, 次の（1)〜(6)のうちから１つ選べ。\n(1) $a$\n(2) $b$\n(3) $c$\n(4) $2 a$\n(5) $2 b$\n(6) $2 c$

基本例題 68 三角形の外心，垂心の利用\n鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}$, 外心を Oとし, O から辺 BC に下ろした垂線を $\mathrm{OM}$ とする。また, $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の周上に点 $\mathrm{K}$ を取り, 線分 $\mathrm{CK}$ が円の直径になるようにする。このとき，次のことを証明せよ。\n(1) $\mathrm{BK}=2 \mathrm{OM}$\n(2) 四角形 $\mathrm{AKBH}$ は平行四辺形である\n(3) $\mathrm{AH}=2 \mathrm{OM}$

[5] できる図形が，正三角形でない二等辺三角形のときその三角形の等しい 2 辺を除いた残りの 1 辺の長さは (1)から $\sqrt{3}$\nその辺を底辺として考えると，高さは $\frac{1}{2}$ である。よって $X=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ このような三角形は 6 個あるから，場合の数は $6 \times 3!=6 \times 6=36$ (通り)\n以上から $X=\frac{\sqrt{3}}{4}$ となる確率は $\quad \frac{24+36}{6^{3}}=\frac{10}{36}$$X=\sqrt{3}$ となる確率は $\quad \frac{6}{6^{3}}=\frac{1}{36}$$X=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる確率は $\quad \frac{36}{6^{3}}=\frac{6}{36}$$X=0$ となる確率は \( \quad 1-\left(\frac{10}{36}+\frac{1}{36}+\frac{6}{36}\right)=\frac{19}{36} \)

円に内接する四角形\n一般に, 多角形のすべての頂点が1つの円周上にあるとき, その多角形は円に内接するといい, その円を多角形の外接円という。\n定理 19 円に内接する四角形について, 次の 1,2 が成り立つ。\n1 対角の和は $180^{\circ}$ である。\n多角形\n2 内角は, その対角の外角に等しい。\n定理 20 次の 1 または 2 が成り立つ四角形は，円に内接する。\n11 組の対角の和が $180^{\circ}$ である。\n2 内角が, その対角の外角に等しい。\n2 内角が，その対角の外角に等しい。\n定理 19，20 を合わせて，次のようにして覚えておくと便利。\n円に内接する四角形 $\Longleftrightarrow$ (内角 \( )+( \) 対角 \( )=180^{\circ} \)\n円に内接する四角形 $\Longleftrightarrow$ (内角 \( )= \) (対角の外角 \( ) \)\n注意 四角形において, 1つの角と向かい合う角を，その角の対角という。\n右の図において, 角 $\alpha$ を求めよ。ただし，Ｏは円の中心である。

雨覀例題 78 チェバの定理の逆\n（1）三角形の3つの中線は1点で交わることをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。\n（2）\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内接円と3辺 \ \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ との接点を、それぞれ \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, 3直線 \ \\mathrm{AP}, \\mathrm{BQ}, \\mathrm{CR} \ は1点で交わる。このことを, チェバの定理の逆を用いて証明せよ。

基本列題 90 方べきの定理の逆\n点Aで外接する 2 円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。Aにおける共通接線上 の点 \\mathrm{B} \ を通る 1 本の直線が円 \\mathrm{O} \ と 2 点 \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ で交わり, B を通る他の直線が円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ と 2 点 \\mathrm{E}, \\mathrm{F} \ で交わるとする。こ のとき, 4 点 C, D, E, F は 1つの円周上にあることを証明せよ。

EX鋭角三角形である $\triangle \mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ から, それぞれの対辺に下ろした垂線を BD, CE とする。 $\mathrm{BC}=a, \angle \mathrm{A}$ の大きさを $A$ で表すとき, 線分 $\mathrm{DE}$ の長さを $a, A$ を用いて表せ。なお, 線分 $\mathrm{PQ}$ に対し $\angle \mathrm{PRQ}=90^{\circ}$ ならば, 点 $\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{PQ}$ を直径とする円周上にあることを使って よいものとする。

数学A\nは, 4 点 A', P, Q, B' が 1 つの直線上にあるときである。 したがって, 半直線 OX に関して点 A と対称な点を A', 半直線 OY に関して点 B と対称な点を B' として, 直線 A'B' と半直線 OX の交点を P, 直線 A'B' と半直線 OY の交点を Q とすれば よい。\n\nPR (1) 右の図において, x を求めよ。ただし, (2) 81 点Oは円の中心であり, $\overparen{\mathrm{CD}}: \overparen{\mathrm{DE}}: \overparen{\mathrm{EA}}=1: 2: 1$ である。\n（2）右の図のように，円Oに内接する四角形 ABCD がある。 $\angle \mathrm{BAC}=18^{\circ}, \angle \mathrm{ABO}=40^{\circ}$ のとき, y を求めよ。

(1) $\mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=3, \mathrm{CA}=6$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線が直線 $\mathrm{BC}$ と交わる点を D とする。線分 CD の長さを求めよ。

鋭角三角形である $\\mathrm{ABC}$ の頂点 $\\mathrm{B}, \\mathrm{C}$ から, それぞれの対辺に下ろした垂線を $\\mathrm{BD}, \\mathrm{CE}$ とする。 \( \\mathrm{BC}=a, \\angle \\mathrm{A} を用いて表せ。なお, 線分 \\mathrm{PQ} に対し \\angle \\mathrm{PRQ}=90^{\\circ} ならば,点Ｒは線分 \\mathrm{PQ} を直径とする円周上にあることを使ってよいものとする。

[問題]\n\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \ \\mathrm{AB} \ 上(ただし, 頂点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ を除く)の点を \ \\mathrm{E} \ と し, 辺 \ \\mathrm{AC} \ 上に \ \\mathrm{BC} / / \\mathrm{EF} \ となるような点\\\mathrm{F}\をとる。また, \ \\mathrm{BF} \ と \ \\mathrm{CE} \ の交点を \ \\mathrm{P} \, 直線 \ \\mathrm{AP} \ と辺 \ \\mathrm{BC} \ の交点を \ \\mathrm{D} \ とする。 このとき, 比の値 \ \\frac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}} \ を求めよ。\n(1) ア, イにに当てはまる数を答えよ。\n(2) ウに当てはまるものを，次の０～５のうちから１つ選べ。\n(0) $\\frac{1}{2}$\n(1) 1\n(2) \ \\frac{2}{3} \\n(3) \ \\frac{3}{2} \\n(4) \ \\frac{4}{5} \\n(5) \ \\frac{5}{4} \\n(3) [問題]において, 線分 \ \\mathrm{AD} \ と線分 \ \\mathrm{EF} \ の交点を \ \\mathrm{Q} \ とすると, \ \\frac{\\mathrm{EQ}}{\\mathrm{QF}}=\\square \ エ となる。\n\ \\square \ に当てはまるものを，次の０～５のうちから１つ選べ。\n(0) \ \\frac{1}{2} \\n(1) 1\n(2) \ \\frac{2}{3} \\n(3) \ \\frac{3}{2} \\n(4) \ \\frac{4}{5} \\n(5) \ \\frac{5}{4} \

PRACTICE 6° AC=BC, AB=6 の直角二等辺三角形 ABC の中に, 縦の長さが 等しい２つの長方形を右の図のように作る。2つの長方形の面積の 和が最大になるように作ったとき，その最大値を求めよ。

鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}$ ，外心を $\mathrm{O}$ とし，辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$, 線分 $\mathrm{AH}$ の中点を $\mathrm{N}$ とする。線分 MN の長さは $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径に等しいことを, $\mathrm{AH}=2 \mathrm{OM}$ が成り立つことを用いて証明せよ。

2 部分の直線と平面の関係\n1) 直線 $\ell$ と平面 $\alpha$ の位置関係には，次の 3 つの場合がある。\n[1] $\ell$ は $\alpha$ 含まれる\n[2] 1 点で交わる\n[3] 平行である\n( $\ell$ は $\alpha$ 上にある)

図において, \ \\mathrm{AR}: \\mathrm{RB}=3: 4, \\mathrm{BP}=\\mathrm{PC} \ のとき\n\ \\mathrm{AQ} \: QC を求めよ。

長さ a の線分 AB と, 長さ b, c の 2 つの線分が与えられたとき，長さ $\frac{a c}{b}$ の線分を作図せよ。

次の三角形の $\\angle A$ を求め、その面積を計算しなさい: B = 30°, C = 105°, bc = 2

次の三角形について余弦定理を使って辺長を求めなさい: b = 3, c = √2, A = 45°。

正弦定理と余弦定理のどちらを適用するの？正弦定理も余弦定理も, 辺の長さや角の大きさを求めることができて,問題によっては、どれを使えばよいのかわからなくなることがあります。判断する方法はあるのですか?

線分 BF の長さを求めよ。

710 四角形 \ \\mathrm{ABCD} \ の対角線 \ \\mathrm{AC} \ の長さがいずれの辺よりも小さいとき, 対角線 BD の長さはいずれの辺よりも大きいことを証明せよ。

PR \\triangle \\mathrm{ABC} の辺 \\mathrm{AB} の中点を \\mathrm{M} , 線分 \\mathrm{CM} の中点を \\mathrm{N} , 直線 \\mathrm{AN} と辺 \\mathrm{BC} の交点を \\mathrm{P} とする。このとき, 次の比をそれぞれ求めよ。\n(1) \\mathrm{BP}: \\mathrm{PC}\n(2) AN : NP\n(3) \\triangle \\mathrm{NPC}: \\triangle \\mathrm{ABC}

数学 I\nPR水平な地面の地点 \\mathrm{H} \ に, 地面に垂直にポールが立っている。 2 つの地点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ からポールの先 3127端を見ると，仰角はそれぞれ 30^{\\circ} \ と 60^{\\circ} \ であった。また，地面上の測量では \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 間の距離が 20 \\mathrm{~m}, \\angle \\mathrm{AHB}=60^{\\circ} \ であった。このとき, ポールの高さを求めよ。ただし, 目の高さは考えな いものとする。

第4章 図形と計量 EX 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $\mathrm{DA}=2 \mathrm{AB}, \angle \mathrm{BAD}=120^{\circ}$ であり, 対角線 $\mathrm{BD}, \mathrm{AC}$ の交点を $\mathrm{E}$ とするとき, $\mathrm{E}$ は線分 $\mathrm{BD}$ を $3: 4$ に内分する。\n(1) $\mathrm{BD}=$ ア $\square$ $\mathrm{AB}, \mathrm{AE}=1$ $\square$ $\mathrm{AB}$ である。\n(2) $\mathrm{CE}=ウ \square$ $\square$ $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}=I \square$ $\square$ $\mathrm{AB}$ である。\n(3) $\mathrm{AB}: \mathrm{BC}: \mathrm{CD}: \mathrm{DA}=1:$ オ $\square:$ 力 $\square: 2$ である。\n(4) 円の半径を 1 とすると, $\mathrm{AB}=$ キ $\qquad$ であり, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は $S=$ r $\qquad$ であ る。\n[類 慶応大]

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1, \mathrm{CD}=3$ であり, $\cos \angle \mathrm{BCD}=-\frac{1}{6}$ とする。このとき, $\mathrm{AD}=$ $\square$ であり, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積はイ $\square$ である。[早稲田大]

A 67^{\\circ} \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{BC} \ の中点を \\mathrm{M} \ とする。線分 \\mathrm{AM} \ 上に \\mathrm{A}, \\mathrm{M} \ と異なる点 \\mathrm{P} \ をと, \\mathrm{BP} \ と辺 \\mathrm{AC}, \\mathrm{CP} \ と辺 \\mathrm{AB} \ の交点をそれぞれ D, Eとする。\n(1) DE// BC であることを証明せよ。\n(2) EDと AMの交点を \\mathrm{Q} \ とするとき, \\mathrm{Q} \ は線分 \\mathrm{DE} \ の中点であることを証明せよ。

PR 与えられた線分 $A B$ に対して, 次の点を作図せよ。(1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $3: 2$ に内分する点 $\mathrm{E}$ (2) 線分 $\mathrm{AB}$ を $3: 1$ に外分する点 $\mathrm{F}$

(1) $\mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=4, \mathrm{CA}=6$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を $\mathrm{D}$ とする。線分 BD の長さを求めよ。

下の図の三角形 $\mathrm{ABC}$, 平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を求めよ。

数学 I\n点 B を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動したときに点Aに重なると すると\n-\n\-\\frac{5}{2}+p=\\frac{3}{2}, \\quad \\frac{33}{4}+q=\\frac{5}{4}\\n\nこれを解いて $\quad p=4, q=-7$ よって, 放物線 (1)は，放物線 (2)を\nx 軸方向に 4, y 軸方向に -7 だけ平行移動したもの である。\n(2) \( y=3 x^{2}-6 x+5=3(x-1)^{2}+2 \)\n(2)\n$\\qquad$\n放物線 (1) の頂点を A とすると\n\( \\mathrm{A}(1,2) \)\n\( y=3 x^{2}+9 x=3\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{27}{4} \)\n放物線 (2) の頂点を B とすると 点 \ \\mathrm{A} \ を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ移動したときに点Bに重なると すると\n1+p=−\\frac{3}{2}, \\quad 2+q=−\\frac{27}{4}\\]\n\nこれを解いて $p=−\\frac{5}{2}, q=−\\frac{35}{4}$ よって, 放物線 (1)を\nx 軸方向に \$-\\frac{5}{2}, y 軸方向に -\\frac{35}{4}$ だけ平行移動すると放物線 (2)に重なる。\n劋閩 (1)（後半）頂点\nの座標の差は\n\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\frac{3}{2}-\\left(-\\frac{5}{2}\\right)=4,\n\\frac{5}{4}-\\frac{33}{4}=-7\\end{array}\]\n\nよって， x 軸方向に 4, y 軸方向に -7 だけ平行移動。\n\\[\n\\begin{aligned}\n& 3\\left(x^{2}-2 x\\right)+5 \n= & 3\\left\\{(x-1)^{2}-1^{2}\\right\\}+5 &= \\3(x-1)^{2}-3+5\n& 3\left(x^{2}+3 x\\right)\n= & 3\\left\\{\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}\\right\\}\n= & 3\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-3\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}\\end{aligned}\n\n剧解 (2) (後半) 頂点\nの座標の差は\n\$\n\\begin{\overlineray}{l}\n\\-\\frac{3}{2}-1=−\\frac{5}{2}\n\\-\\frac{27}{4}-2=−\\frac{35}{4}\n\\end{\overlineray}$\n\nよって, \ x \ 軸方向に \\(-\\frac{5}{2}, y 軸方向に -\\frac{35}{4}) だけ平行移動。

EX $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$, 外心を $\mathrm{O}$, 内心を $\mathrm{I}$ とする。\n${ }^{3} 62$\n(1) $\mathrm{BC}>\mathrm{CA}>\mathrm{AB}$ のとき, $\triangle \mathrm{GBC}, \triangle \mathrm{GCA}, \triangle \mathrm{GAB}$ の面積の大きさを比較すると, 次のよう になる。\n$\triangle \mathrm{GBC}$ ٢ $\square \triangle \mathrm{GCA} \longrightarrow \square \triangle \mathrm{GAB}$\nア $\square$ に当てはまるものを,次の（1)〜(3) のうちから1つ選べ。\n(1) $<$\n(2) $=$\n(3) $>$

基本 列題 122 三角形の解法 (1)\n次の各場合について, \\triangle \\mathrm{ABC} \ の残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。\n(1) $a=\\sqrt{3}, B=45^{\\circ}, C=15^{\\circ}$\n(2) $b=2, \\quad c=\\sqrt{3}+1, \\quad A=30^{\\circ}$

1) 正弦定理 $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R \]すなわち\[ a=2 R \sin A, \quad b=2 R \sin B, c=2 R \sin C

２〔1]花子さんと太郎さんは, 次の [問題] こいて, 図形描画ソフトを使って考え てみることにした。 [問題] $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ 上（ただし，頂点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ を除く）の点 を $\mathrm{E}$ と, 辺 $\mathrm{AC}$ 上に $\mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$ となるような点 $\mathrm{F}$ を とる。また, $\mathrm{BF}$ と $\mathrm{CE}$ の交点を $\mathrm{P}$, 直線 $\mathrm{AP}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点をDとする。このとき, 比の値 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ を求めよ。 花子：点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ を $\mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$ を満たしながらそれぞれ辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ 上で動かすと，点 $\mathrm{P}$ の位置は動くけど, 点Dの位置は動かないよ。 太郎：本当だ。どうしてだろう…。そうだ，チェバの定理を用いて考えてみよう。太郎さんのノート チェバの定理から $\quad \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}} \cdot \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\square$ \( \mathrm{AE}: \mathrm{EB}=1: k(k>0) \) とすると $\quad \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\frac{1}{k}$ $\mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$ から $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \cdot \frac{k}{\square イ} \cdot \frac{1}{k}=\square$ ゆえに $\quad \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\square$ 太郎：比の値 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ が，点 $\mathrm{E}$ の位置に関係なく一定であることが示せたから， 点Dは動かない, ということになるのだね。 (1) ア, イ に当てはまる数を答えよ。 (2) ウウに当てはまるものを，次の（）～５のうちから１つ選べ。 (0) $\frac{1}{2}$ (1) 1 (2) $\frac{2}{3}$ (3) $\frac{3}{2}$ (4) $\frac{4}{5}$ (5) $\frac{5}{4}$ (3) [問題]において, 線分 $\mathrm{AD}$ と線分 $\mathrm{EF}$ の交点を $\mathrm{Q}$ とすると, $\frac{\mathrm{EQ}}{\mathrm{QF}}=\square$ と とる。エに当てはまるものを，次の（）～５のうちから１つ選べ。 (0) $\frac{1}{2}$ (1) 1 (2) $\frac{2}{3}$ (3) $\frac{3}{2}$ (4) $\frac{4}{5}$ (5) $\frac{5}{4}$

点 \ \\mathrm{P} \ が線分 \ \\mathrm{AB} \ 上にあって, \ \\mathrm{AP}: \\mathrm{PB}=m: n \が成り立つとき,辺の長さを \ k \ で表す。円に内接する四角形において, 対角線で作られる三角形の相似性 を利用。

三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}$ の大きさを、それぞれ $A, B, C$ で表すとき、等式 \( \left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}\right) \sin ^{2} \frac{B+C}{2}=1 \) が成り立つことを証明せよ。

(4) $\triangle \mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{AID}, \triangle \mathrm{BEF}, \triangle \mathrm{CGH}$ のうち, 外接円の半径が最も小さいものを求める。 $0^{\circ} < A < 90^{\circ}$ のとき, $\operatorname{ID}$ は $\mathrm{BC}$ であり ( $\triangle \mathrm{AID}$ の外接円の半径) は ( $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径) であるから，外接円の半径が最も小さい三角形は $0^{\circ} < A < B < C < 90^{\circ}$ のとき, $\square$ である。 $0^{\circ} < A < B < 90^{\circ} < C$ のとき, $\square$ である。次の各解答群から１つずつ選びなさい。ス $\square$ の解答群 : 同じものを繰り返し選んでもよい。 (0) $<$ (1) $=$ (2) $>$ タ (0) $\triangle \mathrm{ABC}$ (1) $\triangle \mathrm{AID}$ (2) $\triangle \mathrm{BEF}$ (3) $\triangle \mathrm{CGH}$

道路や鉄道の傾斜具合を表す言葉に勾配がある。「三角比の表」を用いて，次の問いに答えよ。(1) 道路の勾配には, 百分率（％，パーセント）がよく用いられる。百分率は，水平方向に 100m 進んだときに, 何 m 標高が高くなるかを表す。ある道路 では, 23% と表示された標識がある。この道路の傾斜は約何度か。(2) 鉄道の勾配には，千分率（‰，パーミル）がよく用いられる。千分率は、水平方向に 1000m 進んだときに, 何 m 標高が高くなるかを表す。ある鉄道路線では, 18‰ と表示された標識がある。この鉄道路線の傾斜は約何度か。

(2) $\triangle \mathrm{ACD}$ と直線 YRにメネラウスの定理 を用いると\n \frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{SD}} \cdot \frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{RC}} \cdot \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{YA}}=1 \]\nここで,条件から\n\[ \mathrm{AS}=\mathrm{AP}=a, \quad \mathrm{DR}=\mathrm{DS}=d \nよって $\frac{a}{d} \cdot \frac{d}{c} \cdot \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{YA}}=1$\nゆえに $\mathrm{AY}: \mathrm{YC}=a: c$\n(1)から $\mathrm{AY}: \mathrm{YC}=\mathrm{AX}: \mathrm{XC}$

3) 三角形の辺と角の大小関係 (1) $A<90^{\circ} \Leftrightarrow a^{2}<b^{2}+c^{2} \longleftarrow \angle \mathrm{A}$ が鋭角であるための条件 $A=90^{\circ} \Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2} \longleftarrow \angle \mathrm{A}$ が直角であるための条件 $A>90^{\circ} \Leftrightarrow a^{2}>b^{2}+c^{2} \longleftarrow \angle \mathrm{A}$ が鈍角であるための条件

$\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{AB}: \mathrm{AC}=5: 4$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の点 $\mathrm{C}$ 側の 延長上に, $\mathrm{CA} = \mathrm{CD}$ となる点 $\mathrm{D}$ をる。辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし, 点 $\mathrm{B}$ から直線 $\mathrm{AD}$ に下ろした垂線を BF とするとき，次の問いに答えよ。［宮崎大］ (1) $\mathrm{EF} = \mathrm{EC}$ を示せ。 （２）面積比 $\triangle \mathrm{ABC} ： \triangle \mathrm{CEF}$ を求めよ。

(5) $\mathrm{BC} = 9, \mathrm{BD}: \mathrm{DC} = 4: 5$ から $\mathrm{BD}=\frac{ 4}{9} \mathrm{BC}=\frac{ 4}{9} \cdot 9=4$ よって $\mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} =4 \cdot 9 = 36$ (1), (2) から \[ \begin{array}{l} \mathrm{BP} \cdot \mathrm{BQ} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} \\ \mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC} \end{array} \] 方べきの定理の逆により, (3)から, 4 点 $\mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ は1つ の円周上にある。また, (4)から, 4 点 D, A, C, Eも1つの円周上にある。

(2)余弦定理により \[ \begin{aligned} \cos A & =\frac{4^{2}+5^{2}-(\sqrt{21})^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{20}{2 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{1}{2} \\ \text{よって} A & =60^{\circ} \end{aligned} \]

三角形 ABC において、角 A の範囲による a², b², c² の関係を示せ。

次の用語の意味を説明しなさい: 同位角, 錯角, 鋭角, 鈍角, 内角, 外角, 合同, 相似, 垂直二等分線, 角の二等分線, 鋭角三角形, 直角三角形, 鈍角三角形, 弦, 弧, 中心角, 円周角, 円の接線, 対辺, 対角, 平行四辺形。

正八角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 4 個の頂点を結んでできる四角形の個数\n（2）３個の頂点を結んでできる三角形のうち, 正八角形と辺を共有する三角形の個数

右の図のように, 円 \\mathrm{V} \ に内接する \\triangle \\mathrm{ABC} \ と \\mathrm{A} \ における接線 \\ell \ 87 がある。ただし, \\mathrm{AC}<\\mathrm{BC} \ とする。辺 \\mathrm{BC} \ 上に \\mathrm{AD} = \\mathrm{BD} \ となるように点 \\mathrm{D} \ をとり、線分 \\mathrm{AD} \ の延長と円 O の交点を \\mathrm{E} \、線分 \\mathrm{EC} \ の延長と \\ell \ の交点を F とする。このとき, \\triangle \\mathrm{ABC} \ と \\triangle \\mathrm{AEF} \ が相似であることを証明せよ。

例 2: 同心円と平行線\n右のような, 同じ間隔で描いた同心円と平行線でできた図の中には, いくつもの放物線がかくれている。\n問: 同心円と平行線が交わるポイントはどのように計算される？

右の図で，直線 $\mathrm{PQ}$ は点 $\mathrm{B}$ における円の接線である。 $\overparen{\mathrm{AD}}=\overparen{\mathrm{DC}}, \quad \angle \mathrm{ABP}=54^{\circ}, \angle \mathrm{CBQ}=24^{\circ}$ のとき, $\angle \mathrm{BAD}$ の大きさを求めよ。

(2) $\\triangle \\mathrm{ABC}$ において, $\\mathrm{BC}=5, \\mathrm{CA}=3, \\mathrm{AB}=7$ とする。 $\\angle \\mathrm{A}$ およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点をそれぞれ D, E とするとき, 線分 DEの長さを求めよ。

次の三角形の問題において、外心、内心、垂心、重心の性質と定義を使いながら解答してください。 (1) 外心の定義に基づいて、直線OMが辺BCの垂直二等分線であることを示せ。 (2) 垂心の定義と「直径の円周角は90度」であることを用いて、2組の対辺が平行であることを示せ。

別解（11 を導くまでは同じ）\n (1) から \ \\triangle \\mathrm{AQC}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \ 同様にして\n\n \\triangle \\mathrm{BRA}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{BEA}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCA}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \\ \\triangle \\mathrm{CPB}=\\frac{3}{7} \\triangle \\mathrm{CFB}=\\frac{3}{7} \\cdot \\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{CAB}=\\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \n よって \\triangle \\mathrm{PQR}=\\triangle \\mathrm{ABC}-(\\triangle \\mathrm{AQC}+\\triangle \\mathrm{BRA}+\\triangle \\mathrm{CPB}) \\=\n \\triangle \\mathrm{ABC}-3 \\cdot \\frac{2}{7} \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{7} \\triangle \\mathrm{ABC} \n \\triangle \\mathrm{ABC}=\\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} であるから \\ \n \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{28}

基 本 例題 802 次方程式の応用\n右の図のように, $\mathrm{BC}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$ の三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ 上に $\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$ となるように2点 D, Eをとり, D, Eから辺 $\mathrm{BC}$ に 垂線を引き，その交点をそれぞれ F, G とする。長方形 DFGE の面積が $20 \mathrm{~cm}^{2}$ となるとき，辺 $\mathrm{FG}$ の長さを求めよ。

メネラウスの定理の逆\n定理\n12 △ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長上に, それぞれ点 P, Q, R があり, この 3 点のうちの 1 個また は 3 個が辺の延長上にあるとする。\nこのとき,\n\ \\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \\nが成り立つならば， P, Q, R は 1 つの直線上にある。\n証明は 7.384 の INFORMATION 参照。

298 数学A △ABI:△BCI=BA:BC (1), (2) から △ABI:△BCI:△CAI=AB:BC:CA (2) AP と BC の交点を D, BP と CA の交点をEとする。 △ABP=△CAP であるから，それぞ れの三角形の底辺を AP と考えると BD=DC すなわち, AD は △ABC の中線である。 同様に考えて, △ABP=△BCP であるから AE=EC すなわち, BE は △ABC の中線である。 ①，２）か，Pは △ABC の重心である。

円に内接する四角形 \\mathrm{ABCD}\ がある。 \\mathrm{AB}=8, \\mathrm{BC}=3, \\mathrm{BD}=7, \\mathrm{AD}=5 \ であるとき、　\\mathrm{CD}\　の長さを求めよ。また、四角形 \\mathrm{ABCD} \ の面積 S \ を求めよ。

基本例題 1142 直線のなす角 （1）直線 y=-\frac{1}{\sqrt{3}} x と x 軸の正の向きとのなす角 \alpha, 直線 y=\frac{1}{\sqrt{3}} x と x 軸の正の向きとのなす角 \beta をそれぞれ求めよ。また，2 直線のなす鋭角を求めよ。ただし， 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}, 0^{\circ}<\beta<180^{\circ} とする。 (2) 2 直線 y=-\sqrt{3} x, y=x+1 のなす鋭角 \theta を求めよ。

PR $\text{AC}=\text{BC}, \text{AB}=6$ の直角二等辺三角形 $\text{ABC}$ の中に縦の長さが等しい 2 つの長方形を右の図のように作る。2 つの長方形の面積の和が最大になるように作ったとき、その最大値を求めよ。\n与えられた条件から $\text{AC}=\text{BC}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$\n\n図のように、点 $\text{D}, \text{E}, \text{F}, \text{G}$ を取り、長方形の縦の長さを $x$ とすると\n\n\(\begin{array}{l}\text{DE}=\text{AE}=\text{AC}-\text{CE}=3\sqrt{2}-2x\\ \text{FG}=\text{AG}=\text{AC}-\text{GC}=3\sqrt{2}-x\end{array}\)\n\nまた、$0<\text{CE}<\text{AC}$ であるから\n$0<2x<3\sqrt{2}\text{ すなわち }0<x<\frac{3\sqrt{2}}{2}$\n\n2 つの長方形の面積の和を $y$ とすると\n\(\begin{aligned} y &= x(3\sqrt{2}-2x) + x(3\sqrt{2}-x)\\& = -3x^2 + 6\sqrt{2}x\\& = -3(x-\sqrt{2})^2 + 6 \end{aligned}\)\n\n(1)において、$y$ は $x=\sqrt{2}$ で最大値 6 を取る。

問2（1） $\triangle \mathrm{ABC}$ と直線 DF にメネラウス の定理を用いると\n\[ \begin{array}{ll} & \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1 \\ \text { すなわち } & \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}} \cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{BD}} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=1 \\ \text { よって } & \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=1 \\ \text { ゆえに } & \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}=\frac{9}{2} \end{array} \]

三角形の相似条件: 次のいずれか 1 つの条件が成り立つとき, 2 つの三角形は相似である。[1] 3 組の辺の比が等しい。[2] 2 組の辺の比が等しく，その間の角が等しい。[3] 2 組の角がそれぞれ等しい。