AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
幾何学と測定
平面幾何学 - 基本図形の性質 (点、線、角、三角形、四辺形、円)
Q.02
中点連結定理: \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{AC} \ の中点をそれぞれ \\mathrm{M}, \\mathrm{N} \ とすると \\mathrm{MN} / / \\mathrm{BC}, \\quad \\mathrm{MN}=\\frac{1}{2} \\mathrm{BC} \
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辺の長さが 6 の正四面体 がある。辺 の中点を 、辺 を に分ける点を M、辺 OCを に分ける点を とす。 の面積を求めよ。
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正八角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数\n(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち, 正八角形と辺を共有する三角形の個数
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例 3: 点光源からの光と平面\n懷中電灯などから発せられた光は円錐状に広がっていくが,右のような角度で照らすと, 照らされた部分のふちが放物線になる。\n問: この現象はどのように数学的に説明できますか?
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直線 上で, 座標が と なる点を T とする, 直線 OT と半径 1 の半円の共有点は, 図の点 で ある。求める は, である。
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辺の長さが 2 の正三角形の内部に,5 個の点を任意にとったとき,そのうちの 2 点で, 距離が 1 以下のものが少なくとも 1 組存在することを示せ。
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縦 240 cm, 横 396 cm の長方形の床に, 1 辺の長さが a cm の大きさの正方形のタイルをすき間なく敷き詰めたい。このときの a の最大値を求めよ。また, このとき敷き詰められるタイルの枚数を求めよ。
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79・ は を満たし ている。頂点 から辺 に下ろした垂線を とし,線分 を直径とする円が 2 辺 と交わる点をそれぞれ E,F とする。ただし,E, F はAと異なる点とする。 [東京慈恵会医大]\n(1) 4 点 は 1 つの円周上にあることを示せ。\n(2) の面積を求めよ。
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右の図のように, 1 辺の長さが 2 の正三角形のすべて の頂点と各辺の中点に1から6の番号をつけ, さいこ ろの出た目とこの番号を対応させる。さいころを 3 回投げて出た目の番号の点を互いに結んで図形を作る。 このとき,できる図形の面積の期待値を求めよ。
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定理 25 方べきの定理 II
円の外部の点 から円に引いた接線の接点を とする。点 を通ってこの円と 2 点 で交わる直線を引くと, が成り立つ(図 2 参照)。
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上の例題に関して, 次の問いに答えよ。\n(1)B 君のいる地点から東に 2 m, 南に 1 m だけ移動した地点を Dとする。このとき,点Dの座標を求めよ。また, 2 点 O, D 間の距離を求めよ。\n(2) C 君は A 君のいる地点から \\sqrt{5} m だけ, B 君のいる地点から 3 m だけ離れた地点に移動した。このとき, C 君がいる地点の座標を求めよ。
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右の図のように, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外部に 3 点 \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E}, \\mathrm{F} \ を \ \\triangle \\mathrm{ABD}, \\triangle \\mathrm{BCE}, \\triangle \\mathrm{CAF} \ がそれぞれ正三角形になるようにとる。 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S, 3 \ 辺の長さを \ \\mathrm{BC}=a, \\mathrm{CA}=b, \\mathrm{AB}=c \ とおくとき, 次の問いに答えよ。\n(1) \ \\angle \\mathrm{BAC}=\\theta \ とおくとき, \ \\sin \\theta \ を \ , c, S \ を用いて, \ \\cos \\theta \ を \ a, b, c \ を用いて表せ。\n(2) \ \\mathrm{DC}^{2} \ を \ a, b, c, S \ を用いて表せ。ただし, 一般に \\( \\cos \\left(60^{\\circ}+\\theta\\right)=\\frac{\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta}{2} \\) が成り立つことを用いてもよい。\n(3)3つの正三角形の面積の平均を \ T \ とおくとき, \ \\mathrm{DC}^{2} \ を \ S \ と \ T \ 用いて 表せ。
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平行四辺形になる条件: 次のいずれか 1 つの条件が成り立つとき,その四角形は平行四辺形である。[1] 2 組の対辺がそれぞれ平行である。[2] 2 組の対辺がそれぞれ等しい。[3] 2 組の対角がそれぞれ等しい。[4] 1 組の対辺が平行で,長さが等しい。[5]対角線がそれぞれの中点で交わる。
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円に内接する四角形 において, であるとき,次のものを求めよ。\n(1) \n(2) 辺 の長さ\n(3) 四角形 の面積
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PR周の長さが 40 cm である長方形において、対角線の長さの最小值を求めよ。また、そのとき、どのような長方形になるか。長方形の縦の長さを x cm とすると,横の長さは (20-x) cm また, x>0 かつ 20-x>0 から0<x<20。長方形の対角線の長さを l cm とするとl^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1)において, l^2 は x=10 で最小値 200 をとる。 l>0 であるから, l^2 が最小となるとき l も最小となる。 よって, 対角線の長さ l の最小値は sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm) このとき,横の長さも 20-x=10 (cm) であるから,対角線の 長さが最小となるのは正方形のときである。
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(2) 1 辺の長さで場合を分けて考える。11)縦の隣り合う2本 の直線と,横の隣り合 う 2 本の直線でできる正方形。
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平面上に点をとり, で互いに直交する2本の直線を,右の図のように定める。これらを,それぞれ 軸, 軸 という。また, 点を原点という。このとき、点 が座標 \( (3, 2) \) にある場合、その 座標と 座標を答えてください。
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EX右の図のように, 1 辺の長さが 2 の正三角形のすべての頂点と各辺の中点 455 に1から 6 の番号をつけ, さいころの出た目とこの番号を対応させる。 さいころを 3 回投げて出た目の番号の点を互いに結んで図形を作る。 このとき, できる図形の面積の期待值を求めよ。\nできる図形の面積を とする。\nすべての場合の数は \\quad 6^{3} \ 通り\nまた, 三角形は異なる 3 点からなるから,1個の三角形に対し て,その場合の数は3!通りである。\n[1] できる図形が点または線分のとき \\quad X=0 \\n[2] できる図形が, 1 辺の長さが1の正三角形のとき\nその正三角形の 1 辺を底辺として考える と,高さは \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ である。\nよって \\quad X=\\frac{1}{2} \\times 1 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\nこのような三角形は 4 個あるから, 場合の数は\n\\[ 4 \\times 3!=4 \\times 6=24 \\text { (通り) }\\]\n[3] できる図形が, 1 辺の長さが 2 の正三角形のとき\nその正三角形の 1 辺を底辺として考える と,高さは \\sqrt{3} \ である。\nよって X=\\frac{1}{2} \\times 2 \\times \\sqrt{3}=\\sqrt{3} \\nこのような三角形は 1 個あるから, 場合の数は\n\\[ 1 \\times 3!=6 \\text { (通り) } \\]\n[4] できる図形が直角三角形のとき\n[3] から高さは \\sqrt{3} \ である。\nよって X=\\frac{1}{2} \\times 1 \\times \\sqrt{3}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\nこのような三角形は 6 個あるから, 場合の数は 6 \\times 3!=6 \\times 6=36 \ (通り)\n乗法定理を利用。\nEX\n[2]\n\n々相似比を使うと, [2] の面積の 4 倍となること がすぐにわかる。\n [4] \
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平面上に, どの 3 本も同じ点で交わらない 10 本の直線がある。10 本中 2 本 だけが平行であるとき, それら 10 本の直線によってできる交点の個数および三角形の個数を求めよ。
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例 4: パラボラアンテナ\n放物線を英語でパラボラ(parabola)という。衛星放送受信用のパラボラアンテナの面は,放物線をその軸を中心に 1 回転してできる面の形をしている。\n問: パラボラアンテナの基本的な性質を述べなさい。
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半径 5,8 の円 が点 で外接していると き,この 2 円の共通外接線が円 と接する 点を とする。また, BA の延長と円 と の交点をDとする。\n(2) 3 点 は同一直線上にあることを証明せよ。\n(3) を求めよ。
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EX四角形 ( ABCD ) の対角線 ( AC ) と ( BD ) の長さを ( p, q ), その対角線のなす角の 1 つを ( \u03b8 ) とするとき, ③114 四角形 ( ABCD ) の面積 ( S ) を ( p, q, \u03b8 ) で表せ。\n[日本福祉大]
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2 点間の距離
(1) 座標平面上の 2 点 A(x1, y1), B(x2, y2) 間の距離は
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
特に, 原点 O と点 A(x1, y1) の距離は OA=√(x1^2+y1^2)
(2) 座標空間上の 2 点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) 間の距離は
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
特に, 原点 O と点 A(x1, y1, z1) の距離は OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)
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PR \\mathrm{AB}=3,\\mathrm{AC}=2,\\angle \\mathrm{BAC}=60^{\\circ} \ の \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \\angle \\mathrm{A} \ の二等分線と \\mathrm{BC} \ との交点を \\mathrm{D} \ とする。線分 \\\mathrm{AD} \ の長さを求めよ。
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図のような半円Oを,弦を折り目として折る。このとき, 折られた弧の部分が直径上の点Pにおいて, 直径に接するような折り目の線分ABを作図せよ。
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22)右の図のように, の辺 上に,それぞれ点 をとる。また, と の交点を ,直線 と辺 の交点を の外接円と直線 の交点で, 点 とは異なる点を とする。 ここで, , であるという。このとき,\n\n1. 4点 は 1つの円周上にある。\n2. オカ~シスに当てはまる数を答えよ。\n3. **当てはまるものを,次の()7のうちから2つ選べ。ただし,解答の順序は問わない。\n\n(0) A, B, P\n(1) A, C, E\n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7)
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正十角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 対角線の本数\n(2) 正十角形の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形の個数\n(3)(2)の三角形のうち,正十角形と 1 辺だけを共有する三角形の個数
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369 基本例題 69 三角形の内心\n(1)図において, 点I は の内心である。 とするとき, を で表せ。\n(2) の内心を とし, 直線 と辺 の交点を とする。 , であるとき, :ID を求めよ。
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204 睆本 列題 126 測量の問題 (平面)
100m 離れた 2 地点 A, B から川を隔てた対岸の 2 地点 P, Q を計測したところ,図のような値が得られた。
(1) AとPの間の距離を求めよ。
(2) P と Q の間の距離を求めよ。
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与えられた線分 に対して, 次の点を作図せよ。
(1) 線分 を に内分する点
(2) 線分 を:1 に外分する点
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数学 I\nよって, ( \u25b3 ABC ) の面積は\n\nEX 1 辺の長さが ( 10 cm ) の正三角形の紙がある。この正三角形の頂点を ( A, B, C ) とし, 辺 ( BC ) 上に ( 3113 BP=2 cm ) である点 ( P ) をとる。頂点 ( A ) が点 ( P ) に重なるようにこの正三角形の紙を折るとき,辺 ( AB, AC ) と折り目の交点をそれぞれ ( D, E ) とする。このとき ( AD= ) ア ( cm, AE= ) イ ( cm, \u25b3 ADE ) の面積はう ( cm^{2} ) である。\n[京都罧大]
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基体例題 85 放物線が 軸から切り取る線分の長さ\n(1) 2 次関数 のグラフが 軸から切り取る線分の長さを求 めよ。\n(2) 2 次関数 のグラフが 軸から切り取る線分の長さ は,定数 の値に関係なく一定であることを示せ。
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(2) において, とする。 およびその外角の二等分線が直線 と交わる点をそれぞれ とするとき,線分 の長さを求めよ。
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平面上に, どの 3 本も同じ点で交わらない 10 本の直線がある。 10 本中 2 本だけが平行であるとき, それら 10 本の直線によってできる交点の 個数および三角形の個数を求めよ。
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辺の長さ 1 の正三角形 \ \\mathrm{ABC} \ において, \ \\mathrm{BC} \ を 1:2 に内分する点を \ \\mathrm{D} \, \\mathrm{CA} を 1:2 に内分する\ \\mathrm{E} \, \\mathrm{AB} を 1:2 に内分する点を \ \\mathrm{F} \ とし, 更に \ \\mathrm{BE} \ と \ \\mathrm{CF} \ の交点を \ \\mathrm{P} \, \\mathrm{CF} と \\mathrm{AD} の交点を \ \\mathrm{Q}, \\mathrm{AD} と \\mathrm{BE} の交点を \\( \\mathrm{R} \ とする。このとき, \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ の面積を求めよ。
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右の図のように, 円Oと弦ABがある。このとき, 次の円を作図せよ。ただし,点P, QはA, Bとは異なり, 更に, 弦ABの垂直二等分線上にはないものとする。
(1)弧AB (長さが長い方の弧) 上の点Pにおいて円Oに接し,かつ弦ABに接する円
(2) 弦AB上の点Qにおいてこの弦に接し, かつ円Oに接する円
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EX 3 辺の長さが の直角三角形の外接円の半径が , 内接円の半径が のとき, 次の問い に答えよ。ただし, とする。\n(1) の值を求めよ。\n(2) と の値を求めよ。
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三平方の定理とその逆を利用して次の問題を解きなさい。\n直角三角形 において、、、 です。この三角形が直角三角形であることを確認しなさい。
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周の長さが 40 cm である長方形において, 対角線の長さの最小値を求めよ。また, そのとき, どのような長方形になるか。
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次の数学用語とその対応する定義を日本語で書きなさい。
1. 数直線
2. 三垂線の定理
3. 正弦定理
4. 試行
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放物線 y=-2x^2+3x-5 を、次の直線または点に関してそれぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
(1) x 軸
(2) y 軸
(3) 原点
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(2) 次の 2 直線のなす角 θ を求めよ。 ただし, 0° ≤ θ ≤ 90° とする。(1) AB と FG (2) AE と BG (3) AF と CD
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74\n68 1 辺の長さ 1 の正三角形 \\mathrm{ABC} \ において, \\mathrm{BC} \ を 1: 2 \ に内分する点を \\mathrm{D} \, \\mathrm{CA} \ を 1: 2 \ に内分する点を \\mathrm{E}, \\mathrm{AB} \ を 1: 2 \ に内分する点を \\mathrm{F} \ とし, 更に \\mathrm{BE} \ と \ \\mathrm{CF} \ の交点を \ \\mathrm{P}, \\mathrm{CF} \ と \ \\mathrm{AD} \ の交点を \ \\mathrm{Q}, \\mathrm{AD} \ と \ \\mathrm{BE} \ の交点を \ \\mathrm{R} \ とする。このとき, \\( \\triangle \\mathrm{PQR} \\ の面積を求めよ。
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EX 正方形がある。この正方形の縦の長さを 長くし, 横の長さを 短くして長方形を作ったところ, その面積が正方形の面積の半分になったという。このとき, 正方形の 1 辺の長さは である。
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基本例題 136 三角形と外接円・内接円の半径
において, のとき, 外接円の半径 , 内接円 の半径 を, それぞれ求めよ。
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116^{\ominus} \triangle \mathrm{ABC} \) の 3 辺の長さを とする。 \( (a+b):(b+c):(c+a)=4: 5: 6 \) で面積が であるような の外接円の半径 , 内接円の半径 を,それぞれ求めよ。
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(3)原点に関して対称移動すると,頂点は点 \( \left(-\frac{3}{4}, \frac{31}{8}\right) \) で下に凸の放物線となるから\n\\[\ny=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { でもよい }\\right)\n\\]
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PR \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。\n(1) c=3, a=4, B=120^{\\circ} \ のとき b \
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円 O は円 B と 2 点 P, Q で交わり、更に円 B の直径 FG と点 A, 中心 B で交わっている。また, E は直線 PQ と直線 FG の交点である。EA = x, AB = a, BG = b とするとき, x を a, b を用いて表せ。
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次の 2 点間の距離を求めよ。
(ア) \( \mathrm{P}(3), \mathrm{Q}(8) \)
(イ) \( \mathrm{P}(-2), \mathrm{Q}(5) \)
(ウ) \( \mathrm{P}(-1), \mathrm{Q}(-4) \)
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辺の長さが の正三角形の紙がある。この正三角形の頂点を , とし, 辺 上に である点 をと。頂点 が点 に重な るようにこの正三角形の紙を折るとき, 辺 と折り目の交点をそれ ぞれ とする。このとき ア 亿 の面積はウ である。
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EX 正三角形でない △ABC の外心を O, 重心を G, 垂心を Hとするとき, { }^{3} 65 G は線分 OH 上にあって, OG:GH=1:2 となることを, 以下に従って証明せよ。 (1) 辺 BC の中点を L, 線分 GH, AG の中点をそれぞれ M, N とする とき, 四角形 OLMN は平行四辺形になることを証明せよ。ただし, AH=2OL であることを利用してよい。 (2) 点Gは線分 OH 上にあることを証明せよ。 (3) OG:GH=1:2 を証明せよ。
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2. 1辺の長さが 8 の正方形 の辺 上にそれぞれ点 , を, \( \mathrm{AP}=x, \mathrm{BQ}=2 x, \mathrm{CR}=x+4(0<x<4) \) であるようにとる。 , の面積を で表すとそれぞれア , イ であるから, の面積は ウ のとき最小値エ をとる。
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直角を挟む 2 辺の長さの和が 16 である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また,その最大値を求めよ。
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次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。\n(ア) y=2 x^{2}-8 x-15\n(イ) y=x^{2}-(2 a+1) x+a(a+1)\n( a は定数)
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次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。\n(ア) y=-x^{2}+3 x+1\n(イ) y=x^{2}-2 a x+a^{2}-4 ( a は定数)
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2つの円 で交わる 2 つの円 がある。右の 図のように, 線分 の Pを越える延長上の 1 点 A から, 円 O に接し円 O' に交わる直線を引き, その接点を , 交点を とする。 , であるとき, を を用いて 表せ。
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次のことをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。\n1. 三角形の 3 つの中線は 1 点で交わる。\n2. 三角形の 3 つの角の二等分線は 1 点で交わる。
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67 図略; 頂点, 軸の順に (1) 点 (2,-1), 直線 x=2 (2) 点 (-2,-3), 直線 x=-2 (3) 点 (1,1), 直線 x=1
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次の図において, \u03B1 を求めよ。ただし, (1) では BC=DC ,(3) の点 O は円の中心である。
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四角形 \\mathrm{ABCD} \ は, 円 \\mathrm{O} \ 内接し, \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{BC}=\\mathrm{CD}=\\sqrt{3}, \\cos \\angle \\mathrm{ABC}=\\frac{\\sqrt{3}}{6} \ とする。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) 線分 ACの長さ\n(2) 辺 \ \\mathrm{AD} \ の長さ\n(3) 円Oの半径 \ R \
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次の図形の面積を求めよ。\n(1) \\mathrm{AB}=2, \\mathrm{BC}=3, \\angle \\mathrm{ABC}=60^{\\circ} \ である平行四辺形 \\mathrm{ABCD} \\n(2) 半径が 10 の円に内接する正八角形
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(3)
△ABC において, b=2, c=√6, B=45° のとき, 残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。ただし sin 15° = (√6-√2)/4, sin 75° = (√6+√2)/4 であることを用いてもよい。
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TR直角を挟む 2 辺の長さの和が 16 である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また, その最大値を求めよ。
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円と直線の位置関係には, 次の 3 つの場合がある。ただし,r は円の半径,d は円の中心と直線との距離である。[1] 2 点で交わる (共有点 2 個) 0 ≤ d < r [2] 接する (共有点 1 個) 0 ≤ d < r [3] 離れている (共有点はない) 0 ≤ d < r [2] のように1点のみを共有するとき,円と直線は接するといい,この直線を接線,共有点を接点という。ここではまず,円の接線に関する性質を調べていきましょう。
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TR\ { }^{3} 57 \\\n\ \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=a, \\mathrm{CA}=4 \ である \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 辺 \ \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ の中点をそれぞれ \ \\mathrm{M}, \\mathrm{N} \ とする。 (1) \ \\mathrm{AM}=\\sqrt{10} \ のとき, \ a \ の値を求めよ。\\n(2) \ a \ が(1)の値のとき, 線分 BN の長さを求めよ。
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(2) 最大辺は CA であり
\[
\begin{array}{ll}
\text { よって } & \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=18 \\
\mathrm{CA}<\mathrm{AB}+\mathrm{BC}
\end{array}
\]
したがって, は存在する。
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例題 65 を振り返ろう!円の外部の 1 点から引いた 2 本の接線の長さは等しいことを利用しましょう。やはり,不要な図形を消してみます。
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円周角の定理, 円周角の定理の逆をうまく利用していく。外心 : 三角形の3辺の垂直二等分線の交点 (外接円の中心).... \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外心を \ \\mathrm{O} \ とすると \ \\mathrm{OA}=\\mathrm{OB}=\\mathrm{OC} \\n内心 : 三角形の3つの内角の二等分線の交点 (内接円の中心)\n重心 : 三角形の3本の中線の交点
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TRAINING 112 (1)\n平らな広場の地点 を原点とし, 東の方向を 軸の正の向き, 北の方向を 軸の正の向きとする座標平面を考える。\n地点 は, 点 から東の方向に 28 進んだ位置にある。そして, 2 点 を結んだ線より南側に地点Pがある。\n地点 は, Oからの距離が からの距離が 17 である。\n(1) 地点 の座標を求めよ。\n(2) 地点 の座標を求めよ。
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次の についての問題を解きなさい。\n(1) の値を求めよ。\n(2) の面積 を求めよ。\n(3) の内接円の半径 を求めよ。
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別解 頂点 から辺 に垂線 を引くと, 直角三角形 にお いて よって\n\n\nゆえに,直角三角形 において\n\[\n\cos 15^{\circ}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\n\]
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鋭角三角形 の頂点 から辺 に垂線 を引き, から辺 にそれぞれ垂線 DE, DFを引く。このとき, 4 点 B, C, F, E は 1 つの円周上にあることを証明せよ。
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△ABC において, 次のものを求めよ。
(1) c=4, a=6, B=60° のとき b
(2) a=3, b=√2, c=√17 のとき C
(3) b=2, c=√6, C=60° のとき a
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2) の直角三角形 において,頂点Aから辺 に垂線 を下ろす。\n とするとき, 次の線分の長さを , で表せ。\n(1) \n(2) AC\n(3) \n(4)
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右の図において, ℓ は 2 円 O, O' の共通接線であり, A, B はそれぞれ円 O, O'との接点である。円 O, O'の半径 がそれぞれ 5, 3 で, O, O' 間の距離が 10 のとき, 線分 AB の長さを求めよ。
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EX 円に内接する五角形 において, と 82 するとき, 次のものを求めよ。\n(1) 線分 BD の長さ\n(2) 線分 の長さ\n(3) 辺 の長さ\n(4) 四角形 の面積
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【問題】 A=90^{\\circ} のとき \ \\sin A=\\sin 90^{\\circ}=1 \ であるから \ 2 R \\sin A=2 R \\cdot 1=2 R \ また, 辺 B C は △ A B C の外接円の直径であるから \ \\quad a=2 R \ ゆえに \ \\quad a=2 R \\sin A \
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(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n
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点Hは \ \\triangle \\mathrm{DEF} \ のソ である。\nソの解答群\n(0) 内心\n(1) 外心\n(2) 重心
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66 図略; 頂点, 軸の順に (1) 点 (-1,0), 直線 x=-1 (2) 点 (1,1), 直線 x=1
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第 7 章 三角形への応用
139
△ABC において, 余弦定理により
cos ∠BAC = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)
=(20 + 40 - 52) / (2 * 2 √5 * 2 √10) = 1 / (5 √2)
1 / 5 √2)
sin ∠BAC > 0 であるから
sin ∠BAC = √(1 - (1 / 5 √2)^2)) = 7 / (5 √2)
よって S = (1/2) * AB * AC * sin ∠BAC
=(1/2) * 2 √5 * 2 √10 * 7 / 5 √2 = 14
(3) V = (1/3) S d であるから, (1), (2)より 8 = (1/3) * 14 d
ゆえに d = 12 / 7
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EX △ABC について, AB = 7 √3 および ∠ACB = 60° であるとする。このとき, △ABC の外接円 O の半径は □ である。外接円 O の, 点 C を含む弧 AB 上で点 P を動かす。
(1) 2 PA = 3 PB となるのは PA = 1 □ のときである。
(2) △PAB の面積が最大となるのは PA = □ のときであり, このとき △PAB の面積は □ である。
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平らな広場の地点Oを原点とし, 東の方向を 軸の正の向き, 北の方向を 軸 の正の向きとする座標平面を考える。\n さんの家は, 点 から東の方向に 17 進んだ地点 にある。そして, 2 点 , A を結んだ線より北側の地点 にバス停がある。地点Pは, O からの距離が 25, A からの距離が 26 である。\n(1)地点 の座標を求めよ。\n(2) 地点 の座標を求めよ。
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EX士2 次関数 \( y=a x^{2}+2 a x+a+6(a \neq 0) \) のグラフが 軸と 2 点 で交わり, 線分 の 52 長さが になるように, 定数 の値を定めよ。
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問題文の図のまま考えていると,これまでに学んだ図形の性質をどこに使えばいいのかわかりません。まず, 点 が 2 円 の接点ですから, 点 を通る 2 円の共通接線を引いてみましょう。そして, 図の一部分に注目すると, 使う性質が見えてきますよ。
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前問の結果を利用して, 半径 10 の円に内接している次の正多角形の 1 辺の長さを求めよ。また, 円の中心 から, 正多角形の 1 辺に下ろした垂線の長さを求めよ。ただし,三角比の表を用いてもよい。また,小数第 2 位を四捨五入せよ。\n(1) 正五角形\n(2) 正十角形
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準 57 中線定理の利用\nAB= \\sqrt{7}, BC=a, CA=\\sqrt{5} である \\triangle ABC において, 辺 BC, AC の中点を それぞれ M, N とする。\n(1) AM=2 のとき, a の値を求めよ。\n(2) a が(1)の値のとき, 線分 BN の長さを求めよ。
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TRAINING 実践 4 (3) において, , 外接円の半径を 3 , 面積を とする。 このとき, ア である。 の解答群 (0) (1) (2) (3) (4)
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TRAINING 57 (3)\nAB=6, BC=a, CA=4 である \\triangle ABC において, 辺 BC, CA の中点を それぞれ M, N とする。\n(1) AM=\\sqrt{10} のとき, a の値を求めよ。\n(2) a が(1)の値のとき, 線分 BN の長さを求めよ。
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EX 1 辺の長さが 8 の正方形 の辺 上にそれぞれ点 を, , \( 42 \mathrm{BQ}=2 x, \mathrm{CR}=x+4(0<x<4) \) であるようにとる。 の面積を で表すとそれ ぞれア , ^ であるから, の面積は のとき最小値 をとる。
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77^{3} AB =5, \\mathrm{BC}=6, \\mathrm{CD}=5, \\mathrm{DA}=3, \\angle \\mathrm{ADC}=120^{\\circ} である四角形 \\mathrm{ABCD} の面積 S を求めよ。
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EX \\angle \\mathrm{XOY}=30^{\\circ} \ の角の内側に \\mathrm{OA}=3 \ である点Aがある。OX,OY上にそれぞれ点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ をとるとき, \\mathrm{AP}+\\mathrm{PQ}+\\mathrm{QA} \ の最小値を求めよ。
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縦 2m 40cm, 横 3m 72cm の長方形の床に, 1 辺の長さが a cm の大きさの正方形のタイルをすき間なく敷き詰めたい。このときの a の最大値を求めよ。また, このとき敷き詰められるタイルの枚数を求めよ。
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三角形の辺と角に関する問題について説明し、次の定理を証明せよ。\n1. 三角形の2辺の長さの和は、他の1辺の長さよりも大きい。\n2. 三角形の2辺の長さの差は、他の1辺の長さよりも小さい。
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交わる 2 つの円 と において,共通な弦 上の点 を通る円 の弦を ,円 の弦を とするとき,4 点 は 1 つの円周上にあることを証明せよ。ただし,4点 は一直線上にないものとする。
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△ABC において, 外接円の半径を R とする。次のものを求めよ。
(1) a=10, A=30°, B=45° のとき C, b, R
(2) b=3, B=60°, C=75° のとき A, a, R
(3) c=2, R=√2 のとき C
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(1)右の四角形 のうち円に内接するものはどれか。\n(2)鋭角三角形 \( \mathテ}ABC の辺 上に点 \( \\避釈D\( B、Cとは異なる)を取り、点\\防Dから辺\\AB, ACにそれぞれ垂線 DE, DFを引く。このとき,四角形AEDFは円に内接することを証明せよ。。
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右の図のように道路が碁盤の目のようになった町で, A 地点から B 地点へ最短距離で行く。\n(1)すべての道順は何通りあるか。\n(2)(1)のうちで,C地点を通る道順は何通りあるか。\n(3)(1)のうちで,C地点を通らない道順は何通りあるか。
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四角形が円に內接する冬件を用いた竐明\n(1)右の四角形 \\mathrm{ABCD} \ のうち円 に内接するものはどれか。\n(2) 円に内接する四角形 があり, 辺 \\mathrm{AD\ と平行な直線が辺 \\mathrm{AB, DC }\ とそれぞれ点 \\mathrm{E, F}\ で交わる。このとき,四角形BCFE は円に内接することを証明せよ。
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平らな広場の地点 O を原点とし, 東の方向を x 軸の正の向き, 北の方向を y 軸の正の向きとする 座標平面を考える。地点 A は, 点 O から東の方向に 28 進んだ位置にある。そして, 2 点 O, A を結んだ線より南側 に地点Pがある。地点Pは, O からの距離が 25, A からの距離が 17 である。
(1) 地点 A の座標を求めよ。
(2) 地点 P の座標を求めよ。
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上の例題の (1)の放物線を(1) 軸(2) 原点に関して対称に移動したときの放物線 の方程式をそれぞれ求めよ。
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■角形の外心 …… 三角形の辺の垂直二等分線の交点\n中学\n線分の垂直二等分線\n点 \\mathrm{P} \ が線分 \\mathrm{AB} \\nの垂直二等分 \\Leftrightarrow \\mathrm{PA}=\\mathrm{PB} \\n線上にある\n左を言いかえると\n「線分 \\mathrm{AB} \ の垂直二等分線は, 2 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ から等しい距離にある 点の集合」ということ。
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円に内接する四角形 があり, 辺の長さは , である。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) の値\n(2) 対角線 の長さ\n(3)四角形 の面積
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(1)正五角形の 3 個の頂点を結んでできる三角形は何個あるか。また,そのうち正五角形と 2 辺を共有する三角形は何個あるか。
(2)正五角形の2個の頂点を結んでできる線分は何本あるか。
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点 P は、半径 √5 の半円上にあるから OP=√5\n図の直角三角形 OPQ において OQ² +2²=(√5)² よって OQ²=1 ゆえに OQ=1\nしたがって、図の点 P の座標は (-1,2)\n\nよって sin θ =2/√5, \cos θ=-1/√5, \tan θ =2/-1=-2
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図のように,同じ大きさの5つの正方形を1列に並 べ,赤色,緑色,青色で隣り合う正方形どうしが異なる 色となるように塗り分ける。ただし,2色で塗り分ける ことがあってもよいものとする。\n(1)塗り方は全部でア 通りあり,そのうち左右対称となるのは,1 通りある。\n(2)赤色に塗られる正方形が3つであるのは, 通りある。\n(3)赤色に塗られる正方形が1つであるのは, 通りある。
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直角を挟む 2 辺の長さの和が 16 である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また,その最大值を求めよ。
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1辺の長さが4である正四面体 において, 辺 の中点を とし, とするとき\n(1) の値を求めよ。\n(2) の面積を求めよ。
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放物線と 軸の共有点の位置関係\n例題 101 では, 与えられた のグラフ から の符号などを読みとりました。この例題 106 では逆に, どのような条件がそろえば,目的のグラフになるかを考えます。目的のグラフは右の図のようになります。どのような条件を整えると, このグラフになるかを考 えてみましょう。\n\n
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(5) ∠XOY=30° の角の内側に OA=3 である点 A がある。OX, OY 上にそれぞれ点 P, Q をとるとき, AP+PQ+QA の最小値を求めよ。
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右の図において,2円 O,O' は外接 しており、A,Bはそれぞれ 2 円 O, O' の共通接線と円 O, O' との接点 である。円 O, O'の半径をそれぞれ 6, 4 とするとき, 線分 AB の長さを 求めよ。
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TRAINING 128 (3) △標 において, á=√6+√2, b=2, C=45° のとき, 残の边の長さと角の大きさを求めよ。
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TR 円に内接する四角形 があり, 辺の長さは , である。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) の値\n(2) 対角線 の長さ\n(3)四角形 の面積
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図のように, 東西に走る道が 4 本, 南北に走る道が 4 本ある。次のような最短の経路は何通りあるか。(1)A地点からB地点に行く経路。(2) A 地点から C 地点と D地点の両方を通ってB地点 に行く経路。(3) A 地点から B 地点に行く最短の経路のうち, C 地点とD地点の少なくとも 1 つの地点を通るもの。
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放物線 と円 \( x^{2}+\left(y-\frac{5}{4}\right)^{2}=1 \) が異なる 2 点で接する。2つの接点を両端とする円の2つの弧のうち, 短い弧と放物線で囲まれる図形の面積 を求めよ。
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曲線 y=9-x^2 と x 軸との交点を A, B とし, 線分 AB とこの曲線で囲まれた部分に台形 ABCD を内接させるとき, この台形の面積の最大値を求めよ。また, そのときの点Cの座標を求めよ。
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次のような扇形の弧の長さと面積を求めよ。
(1) 半径が 10 , 中心角が π/5
(2) 半径が 3 , 中心角が 15°
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基本例題 69 三角形の重心の座標
の重心を , 辺 の中点を , 辺 の中点を とする。
\( \mathrm{A}(6,6), \mathrm{M}(7,4), \mathrm{G}\left(\frac{16}{3}, \frac{8}{3}\right) \) であるとき, 点 B, L の座標をそれぞれ求め よ。
p. 113 基本事項 5 , 基本 68
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EX 平面上に放物線 C: y=x^2-2 と直線 l: y=4x がある。(1) C と l の交点 A, B の座標を求めよ。(2) C 上の動点 P が A から B まで動くとする。三角形 PAB の面積が最大となるときの点 P の 座標を求めよ。
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点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, 円 に接する 2 本の接線の接点を とす る。このとき, 直線 の方程式を求めよ。
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点 \( \mathrm{P}(4,2 \sqrt{3}) \) を,原点を中心として だけ回転させた点 の座標を求めよ。
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PRACTICE \ 112^{\\circ} \\n座標平面上の点 \\( (p, q) \\) は \ x^{2}+y^{2} \leqq 8, x \\geqq 0, y \\geqq 0 \ で表される領域を動く。点 \\( (p+q, p q) \\) の動く範囲を図示せよ。\n[類 関西大]
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EX は を満たす定数とする。また, 座標平面上に点 \( \mathrm{M}(2,-1) \) がある。 と異なる点 \( \mathrm{P}(s, t) \) に対して, 点 を 3 点 がこの順に同一直線上に並び, 線分 の長さが線分 MP の長さの 倍となるようにとる。\n(1) 点 の座標を \( (x, y) \) とするとき, をそれぞれ で表せ。\n(2) 原点 を中心する半径 1 の円 がある。点 が 上を動くとき, 点 は円 \( (x+ア \square)^{2}+(y+\text { } \square)^{2}=ウ \square \cdots \cdots \) (1) 周上にある。\n(3) を正の定数とし, 直線 と円 は接しているとする。 このとき, であり, 点 が 上を動くとき, 点 \( \mathrm{Q}(x, y) \) の軌跡の方程式は オ \( \square) a \)-力 ……2)である。\n(4) (2)の (1)が表す円を , (3)の (2) が表す直線を とする。 の中心と の距離を調べる ことにより, の値によらず と は接することを示せ。
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半径 r の円の中心 C と直線 \ell の距離を d とする。d と r の大小関係による円と直線の位置関係を求めなさい。
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画䙳例題 1012 直線の交点の軌跡\n が実数の値をとって変わるとき, 2 直線 , の交点 \( \mathrm{P}(x, y) \) はどのような図形になるか。その方程式 を求めて図示せよ。\n[名城大]
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3点 \( \mathrm{A}(3,1), \mathrm{B}(6,-8), \mathrm{C}(-2,-4) \) を通る円の方程式を求めよ。
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直線 (3)が領域 Dと共有点をもつとき、傾き m が最大となるのは直線が円 C に接するときである。このときの最大の傾き m を求めなさい。
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次の円の方程式を求めよ。\n(1) 2 点 \( (0,2),(-1,1) \) を通り, 中心が直線 上にある。\n(2) 点 \( (2,3) \) を通り,y軸に接して中心が直線 上にある。\n(3) 点 \( (4,2) \) を通り, 軸, 軸に接する。
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B1150 を正の実数とする。座標平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(0,3), \mathrm{B}(0,1), \mathrm{C}(c, 0) \) をとり, を \( \theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \) とする。 (1) を で表せ。(2) の最大値とそのときの の値を求めよ。
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(2) とし, を実数とする。座標平面上の曲線 \( y=f(x) \) と直線 が 3 個の共有点をもつような の値の範囲は ウ エ である。\n の のとき, 曲線 \( y=f(x) \) と直線 は 2 個の共有点をもつ。それらの 座標を \( q, r(q<r) \) とする。曲線 \( y=f(x) \) と直線 が点 \( (r, p) \) で接することに注意すると\n\nと表せる。 オカ~ク に当てはまる数を答えよ。
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座標平面上に 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(4,2) \) をとる。実数 は を満たすとし, 線分 を \( t:(1-t) \) に内分する点を , 線分 を \( (1-t) : t \) に内分する点を とする。このとき, 線分 の長さの最小値,およびそのときの の値を求めよ。
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点 Q が円 x^{2}+y^{2}=9 上を動くとき, 点 A(1,2) と Q を結ぶ線分 AQ を 2:1 に内分する点 P の軌跡を求めよ。
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傾き -1 の直線 (4)が領域 D と 共有点をもつとき、円 C の中心 (3,2) と直線 (4) の距離は円 Cの半径1以下である。このときの最大のnを求めなさい。
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2 点 \( \mathrm{A}(3,4), \mathrm{B}(5,-2) \) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。
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次の 3 点を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ。 (1) \( (-1,2),(3,-4),(7,-4) \\) (2) \( (-2,0),(4,4 \\sqrt{2}),(10,-\\sqrt{2}) \\)
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点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, 円 に接する 2 本の接線の接点を とする。このとき, 直線 の方程式を求めよ。
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PR:xy平面において、直線 l: x + t(y - 3) = 0, m: tx - (y + 3) = 0 を考える。t が実数全体を動くとき、直線 l と m の交点はどのような図形を描くか。
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円 \( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \) と円 について(1)2つの円に共通な接線は全部で何本あるか。(2)2つの円に共通な接線の方程式をすべて求めよ。
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次の円と直線に共有点はあるか。あるときは, その点の座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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45 与えられた角を表す動径と, 半径 の 円との交点を Pとする。
(1) とすると \( \mathrm{P}(-\sqrt{3}, 1) \)
したがって
(2) とすると \( \mathrm{P}(-1,-\sqrt{3}) \)
したがって
(3) とすると \( \mathrm{P}(-1,-1) \)
したがって
(4) とすると \( \mathrm{P}(0,-1) \)
したがって
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定点 \( (5,0),(0,3) \), 原点からの距離が 2 の動点で作る三角形の重心は, 曲線 -ア -イ の上にある。
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問題65 (1) 次の座標を求めよ: \((\frac{3}{14}, 0)\),\( (0,-\frac{3}{4}) \)。\n(2) 次の座標を求めよ: \( (\frac{1}{2}, \frac{7}{2}) \)。
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3 点 A(1,1), B(2,4), C(a, 0) を頂点とする ∆ABC について ∆ABC が直角三角形となるとき, a の值を求めよ。
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図形と方程式\n3 点 \( \mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(2,5), \mathrm{C}(6,0) \) に対し の最小値およびそのときの点 の座標を求めよ。
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2 直線 \( y=x-3, y=-(2+\\sqrt{3}) x-1 \) のなす鋭角 \ \\theta \ を求めよ。
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座標平面上において, 点 \( (-2,-2) \) から放物線 に引いた 2 本の接線のそれぞれの接点 を結ぶ直線の方程式を求めよ。\n[類 関西大]\n から \n放物線上の点 \( \left(t, \frac{1}{4} t^{2}\right) \) における接線の方程式は\n\( y-\frac{1}{4} t^{2}=\frac{1}{2} t(x-t) \quad \) すなわち \nこれが点 \( (-2,-2) \) を通るとき \( \quad-2=\frac{1}{2} t \cdot(-2)-\frac{1}{4} t^{2} \)\nよって \n2 次方程式 (1)の 2 つの解を とすると, は 2 本の接線 の接点の 座標である。\n解と係数の関係から \nゆえに, 2 接点 \( \left(\alpha, \frac{1}{4} \alpha^{2}\right),\left(\beta, \frac{1}{4} \beta^{2}\right) \) を結ぶ直線の方程式は\n\[ y-\frac{1}{4} \alpha^{2}=\frac{\frac{1}{4} \beta^{2}-\frac{1}{4} \alpha^{2}}{\beta-\alpha}(x-\alpha) \]\nすなわち\n\[ y=\frac{1}{4}(\alpha+\beta) x-\frac{1}{4} \alpha \beta \]\n(2)を代入して
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座標平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(-2,-2), \mathrm{B}(2,6), \mathrm{C}(5,-3) \) について\n(1) 線分 の垂直二等分線の方程式を求めよ。\n(2) の外心の座標を求めよ。
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点 (7,1) を通り, 円 x^{2}+y^{2}=25 に接する直線の方程式と, そのときの接点の座標を求めよ。
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円 (x-5)^2+y^2=1 と円 x^2+y^2=4 について\n(1) 2つの円に共通な接線は全部で何本あるか。\n(2) 2つの円に共通な接線の方程式をすべて求めよ。
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EX 3 点 \( \mathrm{A}(2 a, a+\sqrt{3} a), \mathrm{B}(3 a, a), \mathrm{C}(4 a, a+\sqrt{3} a) \) を頂点とする の形を調べよ。ただし, とする。
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次の円の, 与えられた点における接線の方程式を求めよ。
(1) x^2 + y^2 = 4, 点 (1, -√3)
(2) x^2 + y^2 = 25, 点 (3, 4)
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PR 3 点 \( \mathrm{A}(4,5), \mathrm{B}(6,7), \mathrm{C}(7,3) \) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 の座標を求めよ。
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A(1,0), B(0,3), C(a, b) を頂点とする ∆ABC が正三角形となるように, a, b の値を定めよ。
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数学 EX数直線上に 3 点 \( \mathrm{A}(3), \mathrm{B}(-3), \mathrm{C}(5) \) がある。線分 を に内分する点を , 線分 を 263 に外分する点を Eとするとき, 線分 を に内分する点の座標を求めよ。
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PR とする。平面上に 個の円があって, それらのどの 2 個の円も互いに交わり, 3 個以上の円は同一の点では交わらない。これらの円によって,交点はいくつできるか。
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平面上に放物線 C: y = x^2 - 2 と直線 l: y = 4x がある。
(1) C と l の交点 A, B の座標を求めよ。
(2) C 上の動点 P が A から B まで動くとする。三角形 PAB の面積が最大となるときの点 P の座標を求めよ。
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逆に, 直線 上の点 \( \mathrm{P}(x, y) \) は, を満たす。 よって, 求める軌跡は直線 。
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弧の長さと面積を求めなさい。\n(1) 半径が10で角度が π/5 の場合\n(2) 半径が3で角度が 15° の場合
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平行四辺形の頂点の座標\n3 点 \( \mathrm{A}(5,-1), \mathrm{B}(3,3), \mathrm{C}(-1,-3) \) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点Dの座標を求めよ。
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座標平面上の点P(x, y) が 3y ≦ x + 11, x + y - 5 ≧ 0, y ≧ 3x - 7 の範囲を動くとき、x² + y² - 4y の最大値と最小値を求めよ。
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次の条件を満たす点 の軌跡を求めよ。\n(1) 2 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(3,2) \) から等距離にある点 \n(2) 2 点 \( O(0,0), A(6,0) \) に対し, を満たす点 \n(3) 2 点 \( \mathrm{A}(3,2), \mathrm{B}(1,0) \) に対し, を満たす点
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次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (2,-4) を通り, 直線 2x+y-3=0 に平行な直線
(2) 点 (-2,3) を通り, 直線 x-3y-1=0 に垂直な直線
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平面上に 個の円があって,それらのどの 2 個の円も互いに交わり,3 個以上の円は同一の点では交わらない。これらの円は平面をいくつの部分に分けるか。
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次の 2 点間の距離を求めよ。 (1) \( \\mathrm{A}(-3), \\mathrm{B}(2) \\) (2) \( \\mathrm{A}(-2), \\mathrm{B}(-5) \\)
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数学 \nよって, 点Cの座標は \( \quad \mathrm{C}\left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \)\nしたがって \( \quad \mathrm{BC}=\sqrt{\left(-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left\{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right\}^{2}}=\sqrt{5} \) また, 点Aと直線 (3) の距離は\n\ \frac{\left|\frac{1}{3}+2 \cdot \frac{4}{3}\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{5}} \\]\n\nゆえに, 求める三角形の面積は\n\\[ \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{2} \
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PRACTICE 101° 平面において, 直線 \( \ell: x+t(y-3)=0 \), \( m: t x-(y+3)=0 \) を考える。\n が実数全体を動くとき, 直線 と の交点はどのような図形を描くか。[類岐阜大]
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3 点 \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(2,4), \mathrm{C}(a, 0) \) を頂点とする について
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次の方程式の表す直線を座標平面上にかけ。
(1) 3x+4y+12=0
(2) 3x+6=0
(3) -2y+8=0
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次の条件を満たす接線の方程式を求めよ。
条件1: 円の中心 (0,0) からの距離が5、円の方程式 x^2 + y^2 = 25。
条件2: 接線の傾き m が -3/4 もしくは 4/3。
条件3: 直線 OP は y = (4/3)x もしくは y = (-3/4)x と表される。
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第3章 図形と方程式
143
(2)kを定数として
k(x^2+y^2-10)+(x^2+y^2-8x-6y+10)=0
とすると, (3) は円 C_2 と円 C_3 の 2 つの交点を通る図形を表す。
k(x^2+y^2-8x-6y+10)+(x^2+y^2-10)=0 としてもよい。
3章
(3) が原点を通るとして, (3) に x=0, y=0 を代入すると
-10k+10=0 よって k=1
これを(3) に代入して整理すると x^2+y^2-4x-3y=0
すなわち (x-2)^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4}
よって,求める円の中心は点 (2, \frac{3}{2}), 半径は \frac{5}{2} である。
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PRACTICE\n3 点 \( \mathrm{A}(4,5), \mathrm{B}(6,7), \mathrm{C}(7,3) \) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 の座標を求めよ。
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点 \( \mathrm{A}(2a, a+\sqrt{3} a), \mathrm{B}(3a, a), \mathrm{C}(4a, a+\sqrt{3} a) \) を頂点とする の形を調べよ。ただし, とする。
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3 点 \( \mathrm{A}(1,-1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(-1,2) \) を頂点とする はどのような 三角形か。
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問題84 (1) \( (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25 \)\n(2) \( (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4 \)\n(3) \( (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=5 \)\n(4)
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PR 次の円の方程式を求めよ。 (1) 2 点 (0,2),(-1,1) を通り, 中心が直線 y=2 x-8 上にある。
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一般形の円の方程式 x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 が円を表すときの条件を求めなさい。また、中心と半径を求めなさい。
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次の点の座標を求めよ。 (1) 3: 1 に内分する点 (2) 3: 1 に外分する点 (3) 1: 3 に外分する点 (4) 中点
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3 点 \( \mathrm{A}(a,-2), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(-1,4) \) が同じ直線上にあるとき, 定数 の 値を求めよ。
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扇形の弧の長さと面積に関する問題:\n半径 、中心角 の扇形の弧の長さ と面積 をそれぞれ求める公式を示しなさい。
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PR 3 点 \( \mathrm{A}(7,6), \mathrm{B}(-3,1), \mathrm{C}(8,1) \) に対して, 辺 の中点を , 辺 を に外分する点 269を , 辺 を に内分する点を とする。このとき, の重心の座標を求めよ。
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放物線 y=x^{2} と A(1,2), B(-1,-2), C(4,-1) がある。点 P が放物線 y=x^{2} 上を動くとき, 次の点 Q, R の軌跡を求めよ。(1) 線分 AP を 2:1 に内分する点 Q (2) △PBC の重心R
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(2) 「 x^{2}+y^{2} ≤ 1 ならば 3 x+y ≥ k である」が成り立つような k の最大値を求めよ。
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(1)中心が \( (1,1) \) で, 直線 に接する円の方程式を求めよ。\n(2)点 \( (1,3) \) から円 \( (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=1 \) に引いた接線の方程式を求めよ。
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問題96 (1) 4本の直線を求めよ。\n(2) 次の直線を求めよ: \( y= \pm \frac{1}{2 \sqrt{6}}(x-10) \)、\( y= \pm \frac{1}{4}(3 x-10) \)
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円の方程式。中心が点 (a, b)、半径が r の円の方程式を求めなさい。\n特に, 中心が原点, 半径が r の円の方程式を求めなさい。
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次の条件を満たす点 P の軌跡を求めよ。
(1) 2 点 A(-4,0), B(4,0) からの距離の 2 乗の和が 36 である点 P
(2) 2 点 A(0,0), B(9,0) からの距離の比が PA: PB=2: 1 である点 P
(3) 2 点 A(3,0), B(-1,0) と点 P を頂点とする ∆PAB が, PA: PB=3: 1 を満たしながら 変化するときの点 P
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点 \\( (1, \\sqrt{3}) \\) を通り, 直線 \ y=-x+1 \ と \ \\frac{\\pi}{3} \ の角をなす直線の方程式を求めよ。
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(1) 座標平面において, 直線 に平行で,原点からの距離が で ある直線の方程式をすべて求めよ。\n[東京電機大]\n(2) 平行な 2 直線 の間の距離を求めよ。
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) y > 3x - 2
(2) x + 3y ≤ 1
(3) y + 2 < 0
(4) y ≥ x(x - 4)
(5) x^2 + y^2 ≤ 4
(6) (x - 1)^2 + y^2 > 4
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直線 が, 2 点 \( \mathrm{A}(-1,5), \mathrm{B}(2,-1) \) を結ぶ線分と共有点をもつような の条件を求め, 平面に図示せよ。
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問題97 (1) 中心が (0,0)、半径が の円の方程式を求めよ。\n(2) 中心が(12,0)、半径が6の円の方程式を求めよ。\n(3)中心が\(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\)、半径が (3/2) の円の方程式を求めよ。ただし,2点 (0,0)、(-3,0) を除く。
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座標平面上の 2 点を A(-3,2), B(4,0) とする。 x 軸上, y 軸上にあって, 2 点 A, B から等距離にある点の座標をそれぞれ求めよ。
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ある三角形ABCがあり、辺BC, CA, ABのそれぞれを3:1に内分する点D, E, Fをとります。このとき、三角形DEFの重心と三角形ABCの重心が一致することを示しなさい。
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図形と方程式における、直線と円の共有点の個数について次の条件を求めなさい。\n1. 直線と円が異なる 2 つの共有点をもつための条件\n2. 直線と円が1点で接するための条件\n3. 直線と円が共有点を持たないための条件
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次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が (3,-4) で, 原点を通る円
(2) 中心が (1,2) で, x 軸に接する円
(3) 2 点 (1,4),(5,6) を直径の両端とする円
(4) 2 点 (2,1),(1,2) を通り, 中心が x 軸上にある円
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定点 A に関する円の極線の説明問題。
円 x^2+y^2=r^2 外の点 A(p, q) からこの円に引いた 2 本の接線の接点 P, Q を通る直線 β の方程式を求める問題です。その方程式 p x+q y=r^2 を用いて、点 A に関する円の極線が他の点 B を通るとき、B に関する極線が A を通ることを証明してください。
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例 半径 1 の円に内接する正五角形の面積 を S とすると
S=5×(1/2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ sin 72°)=5/2 sin 72°
= 5/2 ⋅ cos 18° = 5√10+2√5/8
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林習 1 辺の長さが の正四面体 において, 辺 , 上にそれぞれ点 をとる。頂点 から, の順に 3 点を通り, 頂点 に至る最短経路の 長さを求めよ。
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四角形 において, \( \\mathrm{AB}=4, \\mathrm{BC}=5, \\mathrm{CD}=t, \\mathrm{DA}=3-t(0<t<3) \) とする。 また,四角形 は外接円をもつとする。\n(1) を で表せ。\n(2)四角形 の面積 を で表せ。\n(3) の最大値と,そのときの の値を求めよ。
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直線 \ y=x-1 \ と \ 15^{\\circ} \ の角をなす直線で, 点 \\( (0,1) \\) を通るものは 2 本存在する。これらの直線の方程式を求めよ。
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1 辺の長さが 6 の正四面体 について, 辺 上で を満たす点を , 辺 の中点を とする。\n(1) 線分 AM, AE, EMの長さをそれぞれ求めよ。\n(2) とおくとき, の値を求めよ。\n(3) の面積を求めよ。
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113 3 辺の長さが a, a+2, a+4 である三角形について考える。
(1)この三角形が鈍角三角形であるとき, a のとりうる値の範囲を求めよ。
(2)この三角形の 1 つの内角が 120° であるとき, a の値, 外接円の半径を求めよ。
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1) \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \\mathrm{AB}=8, \\mathrm{AC}=5, \\angle \\mathrm{A}=120^{\\circ} \ とする。 \\angle \\mathrm{A} \ の二等分線と 辺 \\mathrm{BC} \ の交点を \\mathrm{D} \ とするとき, 線分 \\mathrm{AD} \ の長さを求めよ。
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練琴 底面の半径 2 , 母線の長さ 6 の円錐が, 球 と側面で接し,底面の中心でも接して いる。この球の半径, 体積, 表面積をそれぞれ求めよ。
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次の に最も適する語句を(ア)(エ)から選べ。ただし, は実数とする。\n(4) において, は, が鋭角三角形であるための 。
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六角形 の面積を とすると\n\n(1) から\n\begin{aligned}\n\triangle \mathrm{ABC} & =\frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \sin 120^{\circ} \\\n& =\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\n\end{aligned}\]\n\nここで, ①から\n\n\[\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{CDE}=\triangle \mathrm{EFA}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\n\nまた, において余弦定理により\n\n\[\begin{aligned}\n\mathrm{AC}^{2} & =2^{2}+3^{2}-2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 120^{\circ} \\\n& =13-12 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=19\n\end{aligned}\]\n\nよって \n は 1 辺の長さが の正三角形であるから\n\[\begin{aligned}\n\triangle \mathrm{ACE} & =\frac{1}{2} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{AE} \cdot \sin 60^{\circ} \\\n& =\frac{1}{2} \cdot(\sqrt{19})^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{19 \sqrt{3}}{4} \\\n\text { よって } \quad S=\frac{3 \sqrt{3}}{2} & \times 3+\frac{19 \sqrt{3}}{4}=\frac{37 \sqrt{3}}{4}\n\end{aligned}\]
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練習 1 辺の長さが 1 の正三角形 \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ 上にそれぞれ頂点と異なる点 D, E, F \ をとり, \\mathrm{AD}=x, \\mathrm{BE}=2 x, \\mathrm{CF}=3 x \ とする。 (1) \\triangle \\mathrm{DEF} \ の面積 S \ を x \ で表せ。 (2) (1) の S \ を最小にする x \ の値と最小値を求めよ。
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△ABCにおいて, a=2, b=√2, c=1 とする。次のものを求めよ。
(1) cos B, sin B
(2) △ABCの面積 S
(3) △ABCの内接円の半径 r
(4) △ABCの外接円の半径 R
∠ p. 265 基本事項 3, 基本 162
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188\n数学 I\n(1)右の図のように, の頂点 を\n\\mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=6, \mathrm{CA}=7\\nとなるようにとる。
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(2) \ b=4, c=4 \\sqrt{3}, B=30^{\\circ} \ のとき \ a, A, C, R \
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直角を挟む 2 辺の長さの和が 20 である直角三角形において, 斜辺の長さが最小 の直角三角形を求め,その斜辺の長さを求めよ。
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△ ABCにおいて、外接円の半径をRとする。次のものを求めよ。(1) A=60°,C=45°,a=3のときcとR\n
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練習 (1) 右の図で, 線分 \\mathrm{DE}, \\mathrm{AE} \ の長さを求めよ。\n(2)右の図を利用して, 次の値を求めよ。 \\sin 15^{\\circ}, \\quad \\cos 15^{\\circ}, \\quad \\tan 15^{\\circ} \
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右の図で, ∠B = 22.5°, ∠C = 90°, ∠ADC = 45°, AD = BD とする。\n(1) 線分 AB の長さを求めよ。\n(2) sin 22.5°, cos 22.5°, tan 22.5° の値をそれぞれ求めよ。
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1 辺の長さが 1 の正三角形 の辺 上にそれぞれ頂点と異なる点 を取り, とする。\n(1) \ \\triangle \\mathrm{DEF} \ の面積 \ S \ を \ x \ で表せ。\n(2) (1)の \ S \ を最小にする \ x \ の値と最小值を求めよ。\n[類 追手門学院大]
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次の文章の内容に基づいて、チャートとは何かを説明して下さい。
C.O.D. (The Concise Oxford Dictionary) には, CHARTNavigator's sea map, with coast outlines, rocks, shoals, etc. と説明してある。
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右の図のような、直角三角形ABCの各辺上に頂点をもつ長方形 ADEF を作る。長方形の面積が 3 m² 以上 5 m² 未満になるときの辺 DE の長さの範囲を求めよ。
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練面 の の二等分線と辺 の交点を とする。次の各場合について,線分 (2) の長さを求めよ。
(1)
(2)
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次のような四角形 の面積 を求めよ。\n(1) 平行四辺形 で,対角線の交点を とすると\n\ \\mathrm{AC}=10, \\quad \\mathrm{BD}=6 \sqrt{2}, \\quad \\angle \\mathrm{AOD}=135^{\\circ} \\n(2) の台形 で, \\mathrm{AB}=5, \\mathrm{BC}=8, \\mathrm{BD}=7, \\angle \\mathrm{A}=120^{\\circ} \
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第4章 図形と計量\n15 三角比の基本\n問題\n三角形の一つの角が 90 度であり、他の一つの角が 30 度である場合、残りの角の度数と三角比を求めよ。
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4つ以上の集合を円で描くことができるか確認するために、4つの集合 を円で表してみよう。まず、 のベン図を描き、それに のベン図を描き加えようとすると、どうなるか観察する。\n\n次に、円を使って4つの集合を描けるかどうかを検証するため、平面上に4つの異なる円を描き、それぞれの交点を数えよう。このとき、4つの円は次のような規則に従う:\n- どの2個の円も2点で交わる\n- どの3個の円も同じ点では交わらない\n\n4つの円が交わることで分けられた平面の部分の数を計算し、その数が4つの集合とその補集合から成る共通部分の数と一致するか確認する。
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(2) 座標平面上に, 1 つの直線と 2 つの放物線\nL: y=a x+b, C_{1}: y=-2 x^{2}, C_{2}: y=x^{2}-12 x+33がある。 L と C_{1} および L と C_{2} が,それぞれ 2 個の共有点をもつとき, ア ーイ -ウ エ が成り立つ。ただし, とする。
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綀埳 \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。\n(1) b=\\sqrt{6}-\\sqrt{2}, c=2 \\sqrt{3}, A=45^{\\circ} \ のとき a \ と C \\n(2) a=2, c=\\sqrt{6}-\\sqrt{2}, C=30^{\\circ} \ のとき b \\n(3) a=1+\\sqrt{3}, b=\\sqrt{6}, c=2 \ のとき B \
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次の図形の面積を求めよ。(2) \ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AC}=3 \sqrt{3}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ の平行四辺形 \ \\mathrm{ABCD} \
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次の直線と x 軸の正の向きとのなす角を求めよ。(1) y=-x(2) y=\\sqrt{3} x(3) y=-\\frac{1}{\\sqrt{3}} x
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右の図のように, BC=20 cm, AB=AC, ∠A=90° の三角形 ABC がある。辺 AB, AC 上に AD=AE となるように 2 点 D, E をとり, D, Eから辺 BC に 垂線を引き,その交点をそれぞれ F, G とする。長方形 DFGE の面積が 20 cm² となるとき, 辺 FG の長さを求めよ。
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次の座標から三角関数の値を求めなさい。(1) \( \mathrm{P}(-1,1) \) (2) \( \mathrm{P}(-\sqrt{3}, 1) \)
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(2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, b=2, c=\\sqrt{5}+1, A=60^{\\circ} \ のとき, C \ は鋎角, 直角, 鈍角のいずれであるかを調べよ。
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三角形に関する条件 p, q, r を次のように定める。(343\np:3つの内角がすべて異なる : 直角三角形でない\n の内角は 1 つもない き, に当てはまるものを,それぞれの選択肢から選べ。\n(1)命題「 または \( q) \) 」の対偶は「ア である。\n[選択肢]0(力かつ )\n(1) かつ \( \bar{q}) \)\n(2)(万的はは \( q) 」\n(2)命題「 または \( q) \Longrightarrow r 」 \) に対する反例となっている三角形はイ とウ である。\n[選択肢] 直角二等辺三角形\n(1) 内角が の三角形\n(2) 正三角形\n(3) 3 辺の長さが の三角形\n(4) 頂角が の二等辺三角形\n(3) は(pまたは \( q) \) であるためのエ口。\n[選択肢]\n(0) 必要十分条件である\n(1) 必要条件であるが,十分条件ではない\n(2)十分条件であるが,必要条件ではない\n(3) 必要条件でも十分条件でもない
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△ABCにおいて、外接円の半径をRとするとき、次のものを求めよ。
(1) C=120°, R=4 のときの辺C。
(2) A=45°, B=60°, a=2のときの辺bと半径R。
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[例 4] パラボラアンテナ
放物線を英語でパラボラ(parabola)という。
衛星放送受信用のパラボラアンテナの面は,放物線をそ の軸を中心に 1 回転してできる面の形をしている。
このような面には,回転軸に平行に進んできた電波がこの面で反射するとき,そのすべてがある1点を通過する 焦点 という性質がある。この点は放物線の「焦点」と呼ばれ る。
この性質を利用したものには,パラボラアンテナの他にも懐中電灯や電波望遠鏡など がある。
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鋭角三角形である の頂点 から, それぞれの対辺に下ろした垂線を とする。 の大きさを で表すとき, 線分 の長さを を用いて表せ。なお, 線分 に対し ならば,点Rは線分 を直径とする円周上にあることを使ってよいものとする。
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円に内接する四角形 において, であるとき,次のものを求めよ。\n(1) \n(2) 辺 の長さ\n(3)四角形 の面積
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次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。
(1) y=4 x^{2}-7 x-11
(2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9 (ただし, a は定数)
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辺の長さが 10 cmの正三角形の折り紙 ABCがある。
(3) 辺 AB上の点 Dと辺 AC上の点 Eを, 線分 DEと辺 BCが平行になるようにとる。線分 DEで折り紙を折るとき, 三角形 ADEのうち, 四角形BCEDと重なり合う部分の面積を Sとする。Sが最大となるのは線分 DEの長さがア cmのときであり, このとき Sはイ cm^2である。
線分 DEの長さをx cmとすると 0 < x < 10
[1] 0 < x <= 5 のとき
重なり合う部分は, 1辺の長さが x cmの正三角形となるから
S= (sqrt(3)/4) x^2
[2] 5 < x < 10 のとき
重なり合う部分は台形になる。
辺 BCと線分 AD, AEの交点を, それぞれ F, Gとする。
折り返す前の頂点 Aの位置を A'とすると, A'D=A'E=x cmであるから
BD=CE=10-x cm
三角形 BDF, 三角形 CEG は正三角形であるから
BF=CG=10-x cm
よって FG=BC-BF-CG=10-2(10-x)=2x-10 cm
Sは正三角形 ADEの面積から正三角形 AFGの面積を引いたものであるから
S = (sqrt(3)/4) x^2 - (sqrt(3)/4) (2x-10)^2
= (sqrt(3)/4) [x^2 - (2x-10)^2]
= - (sqrt(3)/4) (3x^2 - 40x + 100)
= - (sqrt(3)/4) {3[x^2 - (40/3) x] + 100}
= - (sqrt(3)/4) {3(x-20/3)^2 - 3(20/3)^2 + 100}
= - (sqrt(3)/4) {3(x-20/3)^2 - 100/3}
= - (3 sqrt(3)/4) (x-20/3)^2 + 25 sqrt(3)/3
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PR AB=6, BC=4, CA=5 の三角形 ABC の ∠B の二等分線が辺 AC と交わる点を D とすると, 線分 BD の長さを求めよ。
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EX AB=13, BC=15, CA=8 の △ABC において, 点 A から辺 BC に垂線 AD を下ろす。このと 90 き, 次の値を求めよ。\n(1) BD の長さ\n(2) sin ∠B\n(3) tan ∠C
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直線 上で, 座標が と なる点を Tとすると, 直線 と半径 1 の半円の共有点は, 図の点 で ある。求める は, であるから
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PRACTICE 136°\n△ABC において, BC=17, CA=10, AB=9 とする。このとき, sin A の値, △ABC の面積, 外接円の半径, 内接円の半径を求めよ。
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放物線 y = -2x^2 + 3x - 5 を次の直線または点に関して対称移動した後の放物線の方程式を求めよ。
(1) x軸
(2) y軸
(3) 原点
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43 (1) \n\[ \\begin{aligned} A & =180^{\\circ}-(B+C) \\ & =180^{\\circ}-\\left(30^{\\circ}+105^{\\circ}\\right) \\ & =45^{\\circ} \\end{aligned} \\]\nよって, 三角形 \\mathrm{ABC} \ の面積は\n\[ \\begin{aligned} \\frac{1}{2} b c \\sin 45^{\\circ} & =\\frac{1}{2}(\\sqrt{6}-\\sqrt{2}) \\cdot 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\ & =\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\ & =\\frac{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}-1)}{\\sqrt{2}} \\ & =\\sqrt{3}-1 \\end{aligned} \\]
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円に内接する四角形 \\mathrm{ABCD}\ において, \\mathrm{AB}=2, \\mathrm{BC}=1, \\mathrm{CD}=3\ であり, \\cos \\angle \\mathrm{BCD}=-\\frac{1}{6}\ とする。このとき, \\mathrm{AD}= \ ア \\square\ であり, 四角形 \\mathrm{ABCD}\ の面積はイ \\square\ である。[早稲田大]
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PR周の長さが40cmである長方形において, 対角線の長さの最小値を求めよ。また, そのとき, どのような長方形になるか。長方形の縦の長さをx cmとすると, 横の長さは(20-x) cm。
また, x>0 かつ 20-x>0 から0<x<20。
長方形の対角線の長さをl cmとすると
l^2 = x^2+(20-x)^2
= 2x^2-40x+400
= 2(x-10)^2+200
l^2はx=10で最小値200をとる。l>0であるから, l^2が最小となるときlも最小となる。よって, 対角線の長さ l の最小値は sqrt(200)=10 sqrt(2) cm。このとき,横の長さも 20-x=10 cm であるから,対角線の長さが最小となるのは正方形のときである。
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203 基本列題 125 鈍角 (鎲角) 三角形となる条件
において, とする。
(1)辺の長さ の値の範囲を求めよ。
(2) が鈍角三角形のとき, 辺の長さ の値の範囲を求めよ。
p. 194, 195 基本事項 3
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EX 四角形 \\mathrm{ABCD} \ において, \\mathrm{AB}=8, \\mathrm{BC}=5, \\mathrm{CD}=\\mathrm{DA}=3, A=60^{\\circ} \ のとき, 対角線 \\mathrm{BD} \ の長さは?
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右の図は30人の生徒に対して理科のテストを行った結果の得点を箱ひげ図にしたものである。この箱ひげ図のもとになった得点をヒストグラムにしたとき,対応するものを次の0~(2)から選べ。
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周の長さが である長方形において, 対角線の長さの最小値を求めよ。また, そのとき, どのような長方形になるか。
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辺の長さが 6 の正四面体 がある。辺 の中点を 、辺 を に分ける点を 、辺 を に分ける点を N とする。 の面積を求めよ。
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基本 例題 131 三角形の面積
において, 面積を で表す。次のものを求めよ。
(1)
のとき
(2)
のとき
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△ABCの3辺の長さが次のようなとき、角Aは鋭角, 直角, 鈍角のいずれであるかを判定せよ。
(1) a=5, b=4, c=3
(2) a=8, b=6, c=5
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PRACTICE 133
の において, の二等分線と との交点 をDとするとき, 線分 の長さを求めよ。
[南山大]
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四角形 ABCD の対角線 AC と BD の長さを p, q, その対角線のなす角の 1 つを θ とするとき, 四角形 ABCD の面積 S を p, q, θ で表せ。
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点 F(0,1) からの距離と直線 ℓ: y=-1 からの距離の比が次のような点 P の軌跡を求めよ。
(1) 1: 1
(2) 1: 2
(3) 2: 1
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点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) を中心とする半径が の円がある。この円上の任意の点 と極 を結ぶ線分 を 1 辺とする正方形 を作る。このとき, 点 の軌跡の極方程式を求めよ。
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次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ。
(1) 焦点が 2 点 (3,0),(-3,0) で, 長軸と短軸の長さの差が 2
(2)中心が原点で,長軸が y 軸上にあり, 短軸の長さが 8 で, 点 (12/5, 4) を通る
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直交座標が次のような点の極座標を求めよ。ただし, 偏角 θ の範囲は 0 ≤ θ < 2π とする。
P(2, 2), Q(1, -√3), R(-√3, 3), S(-2, 0)
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107 (1) 放物線 (2) 楕円 \( \frac{3}{4} x^{2}+\frac{9}{16}\left(y-\frac{5}{3}\right)^{2}=1 \)(3) 双曲線 \( \frac{3}{16} x^{2}-\frac{9}{16}\left(y+\frac{5}{3}\right)^{2}=-1 \)
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発展例題 38\n \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ において, \ とし, 垂心を \ \\mathrm{H} \ とする。 \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b} \ とするとき, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OH}} \ を \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ を用いて表せ。
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点 が原点 を中心とする半径 1 の円上を動くとき,次の式で表される点 は, どのような図形を描くか。\n(1) \n(2)
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次の方程式はどのような曲線を表すか。楕円なら中心と焦点, 双曲線なら頂点, 焦点と 漸近線,放物線なら頂点,焦点と準線を求めよ。
(1)
(2)
(3)
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次の方程式はどのような曲線を表すか。楕円なら中心と焦点, 双曲線なら頂点, 焦点と漸近線,放物線なら頂点,焦点と準線を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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座標平面上に点 \\( \mathrm{A}(2,0) \\) をとり, 原点 \ \mathrm{O} \ を中心する半径が 2 の円周上に点 \ \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F} \ を, 点 \ \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F} \ が順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし,Bは第1象限にあるとする。
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TRAINING 37 の平行四辺形でない四角形 がある。辺 の中点をそれぞれ , とし,対角線 の中点をそれぞれ とする。(1) , をそれぞれ , を用いて表せ。(2) であることを証明せよ。
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直線 に接し, 点 \( \mathrm{A}(-3,0) を通る円の中心を \( \mathrm{P}(x, y) とする。点 \( \mathrm{P} の軌跡を求 めよ。
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点 P(1,3) から直線 ℓ: 2x-3y+4=0 に垂線を引き, 交点を H とする。(1) ベクトルを用いて点Hの座標を求めよ。(2) 点 P と直線 ℓ の距離を求めよ。
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放物線 \( y^{2}=4 p x(p \neq 0) \) の焦点 を通る直線が, この放物線と 2 点 で交わるとき, 2 点 の 座標の積は一定であることを示せ。
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楕円 \( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \) とその頂点 \\( \\mathrm{A}(a, 0), \\mathrm{B}(0, b) \\) について, この楕円の第 1 象限の部分に点 \ \\mathrm{P} \ をとるとき, 四角形 \ \\mathrm{OAPB} \ の面積 \ S \ を最大にする点 \ \\mathrm{P} \ の座標を求めよ。また, そのときの \ S \ を求めよ。ただし, O は原点とする。
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放物線 \( C: y^2=4px(p>0) \) の焦点 を通り, 互いに直交する 2 つの弦を とする。\n(1) F を極, 軸の正の部分を始線として,放物線 の極方程式を求めよ。\n(2) は一定であることを示せ。
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次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。\n(1) 2 点 \( (3 \sqrt{2}, 0),(-3 \sqrt{2}, 0) \) を焦点とし, 焦点からの距離の差が 6 である\n(2) 2 点 \( (0, \sqrt{26}),(0,-\sqrt{26}) \) を焦点とし, 焦点からの距離の差が である
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2 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) と原点 が一直線上にあるとき, 実数 の 値を求めよ。
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次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ。 (1) 2 点 (,(-) を焦点とし, 焦点からの距離の和が 8 である (2) 2 点 (,() を焦点とし, 焦点からの距離の和が 12 である
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第 4 章 式 と曲 線-105\nEX座標平面において, 極方程式 で表される曲線を とし, 上において極座標が \( { }^{4} 51\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right),(2,0) \) である点をそれぞれ とする。また,A,B を通る直線を とし,A を 中心とし, 線分 を半径にもつ円を とする。\n(1) 直線 の極方程式を求めよ。\n(2) 円 の極方程式を求めよ。\n[類 金沢工大]
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92 (1) ∠O = π/2 の直角二等辺三角形 (2) ∠O = π/2, ∠A = π/3, ∠B = π/6 の直角三角形
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次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ。 (1) 2 点 (,(-) を焦点とし, 焦点からの距離の和が 8 である (2) 2 点 (,() を焦点とし, 焦点からの距離の和が 12 である
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TR 力は0 でない定数とする。放物線 と直線 との交点を考えることにより, この 111 放物線を を媒介変数として表せ。
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99 次の楕円の焦点と漸近線を求めなさい。\n(1) 2 点 \( (\sqrt{29}, 0),(-\sqrt{29}, 0) ; 2 \) 直線 ; 図は略\n(2) 2 点 \( (2\sqrt{2}, 0),(-2\sqrt{2}, 0) \) ~ 2 直線 ; 図は略\n(3) 2 点 \( (0, \sqrt{34}),(0,-\sqrt{34}) \); 2 直線 ; 図は略
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17 (1) \\( \\mathrm{M}(3,3,1), \\mathrm{N}(2,3,3) \\), 面積 \ \\sqrt{70} \
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次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。① 頂点が 2 点 (1,0),(-1,0) で, 2 直線 y=3 x, y=-3 x が漸近線 ② 焦点が F(6,0), F'(-6,0) で, 頂点の 1 つが点 (2√5, 0) ③ 双曲線上の点と 2 つの焦点 F(0,5), F'(0,-5) までの距離の差が 8
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Oを極とする極座標において,次の円の極方程式を求めよ。
(1)極 を中心とる半径 3 の円
(2) 極座標が \( (4,0) \) である点Aを中心とする半径 4 の円
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方程式を変形すると:\n25(x^{2}+4x+2^{2})-25 * 2^{2}-4(y^{2}+6y+3^{2})+4 * 3^{2}-36 = 0\nゆえに: 25(x+2)^{2}-4(y+3)^{2}=100\nすなわち: \n\\(\frac{(x+2)^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{25}=1\\)\n\n次の 2 次曲線と直線は共有点をもつか。共有点をもつ場合は、交点か接点かを述べ、その点の座標を求めよ。\n\n(1) 4x^{2} + 9 y^{2} = 36 と 2x - 3y = 0\n
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次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。
(1) 頂点が 2 点 (1,0),(-1,0) で, 2 直線 y=3 x, y=-3 x が漸近線
(2) 焦点が F(6,0), F'(-6,0) で, 頂点の 1 つが点 (2 √5, 0)
(3)双曲線上の点と 2 つの焦点 F(0,5), F' (0,-5) までの距離の差が 8
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上の例題と同じようにして, x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, y=\frac{4 t}{1+t^{2}} \( t は媒介変数 )で表される点 \( (x, y) \) が満たす曲線はどのような曲線か。
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極を O とする。極座標が \( \left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}\right) \) である点 を通り, 直線 に垂直な直線の極方程式を求めよ。
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1辺の長さが1の正四面体 OABC の辺 OA, OB の中点をそれぞれ P, Q とし, 辺 OC を3:2に内分する点を R とする。\ \\triangle PQR \ の重心 G を求めよ。
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次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ。 (1) 2 点 (2,0),(-2,0) を焦点とし, 焦点からの距離の和が () である (2) 2 点 (,() を焦点とし, 焦点からの距離の和が 6 である
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44 順に (1) \( (2,0), 1 \)\n(2) \( \left(1, \frac{5}{3} \pi\right), 3 \)
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直線 に接し, 点 \( \mathrm{A}(-3,0) \) を通る円の中心を \( \mathrm{P}(x, y) \) とする。点 の軌跡を求めよ。\n点 から直線 に下ろした垂線 を とする。\n は円の半径であるから\n \mathrm{PA}=\mathrm{PH} \]\nすなわち\n\[ \mathrm{PA}^{2}=\mathrm{PH}^{2} \nよって \( \{x-(-3)\}^{2}+y^{2}=(3-x)^{2} \)\n\( \leftarrow \mathrm{P}(x, y) \) は問題に与 えられている。\n条件から の関係式を導く。
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次の各場合において, の面積 を求めよ。\n(1) のとき\n(2) 3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \) を頂点とするとき
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(2) 3 点 \( \\mathrm{A}(1,0,-5), \\mathrm{B}(-1,1,2), \\mathrm{C}(2,1,-4) \) を通る平面
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81 (1) 点 1/2 - i を中心とする半径 3 の円 (2) 2 点 -3i, -1 を結ぶ線分の垂直二等分線
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点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) を中心とする半径が の円がある。この円上の任意の点 と極 を結ぶ線分 を 1261 辺とする正方形 を作る。このとき, 点 の軌跡の極方程式を求めよ。
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3 点 \( \mathrm{A}(2+i), \mathrm{B}(5+2 i), \mathrm{C}(3+3 i) \) を頂点とする に ついて, の大きさを求めよ。
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Oを極とする極座標において, 次の円の極方程式を求めよ。
(1) 極 を中心する半径 5 の円
(2)極座標が \( (5,0) \) である点Aを中心とする半径 5 の円
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(2) 座標平面上に 3 点 \( \mathrm{F}(-5,0), \mathrm{F}^{\\prime}(5,0), \mathrm{Q}(x, y) \) があり、ただし, とする。三角形 の内接円が点 \( (3,0) \) で 軸に接するとき、点 の位置は決まります。 \n帯の解答群: \n (0) が一定 \n (1) が一定 \n (2) が一定 \n (3) が一定 \n\n 点 Qは2点 を焦点とし, 2点 \( ( \\pm \square コ, 0) \) を頂点とする双曲線のうち x>0を満たす部分にあり、その双曲線の方程式は次の通りです:
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双曲線 (a>0, b>0) の性質について以下の質問に答えなさい。\n\n1. 双曲線の焦点の座標を求めなさい。\n2. 双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差はいくつですか。\n3. 双曲線の漸近線を求めなさい。
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次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ。\n(2) 2 点 \( (0, \\sqrt{5}),(0,-\\sqrt{5}) \) を焦点とし, 焦点からの距離の和が 6 である
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110 (1) 楕円 (2) 円 \( (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1 \)(3) 双曲線 \( \frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1 \)
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楕円 と直線 \( y=t(x+2) \) との交点 \( \mathrm{P}(x, y) \) について考え, 点 を除くこの楕円を, を媒介変数として表せ。
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楕 円\nこの節では, 2 定点からの距離の和が一定である点の軌跡について学ん でいきましょう。\n棈円の方程式\n構 円 平面上で, 2 定点 F, F' からの距離の和が一定である点の軌跡。 2 定点 F, F' を楕円の 焦点という。 2 定点 F(c, 0), F'(-c, 0)[c>0] を焦点とし, この 2 点からの距離の和が 2a である楕円 C の方程式を, 軌跡の考え方で求めよう。
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k は定数とする。楕円 x^{2}+4 y^{2}=20 と直線 y=(1/2)x+k の共有点の個数を求めよ。
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TR 点 \\( \\mathrm{F}(0,1) \\) からの距離と直線 \ \\ell: y=-1 \ からの距離の比が次のような点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡を求めよ。 107 \n(1) 1: 1 \n(2) 1: 2 (3) 2: 1 \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) とし, \ \\mathrm{P} \ から直線 \ \\ell \ に下ろした垂線を \ \\mathrm{PH} \ とすると \\[ \\mathrm{PH}=|y-(-1)|=|y+1| \\]
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次の曲線とその軌跡について考えましょう。 (1) 座標平面上で原点を中心とする半径 7 の円を 、点 \( \mathrm{F}(4,0) \) を中心とする 半径 1 の円を とする。 円 に内接し,円 に外接する円の中心を とすると, ○○ となる。 \n の解答群: \n (0) が一定 \n (1) が一定 \n (2) が一定 \n (3) が一定\n\nよって,点 は 2 点 を焦点とし,長軸の長さが決まった楕円上にあります。
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三角形 ABC の重心の座標\n\\ \ left(\\frac{a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}, \\\frac{a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}, \\\frac{a_{3}+b_{3}+c_{3}}{3}\\n
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第 4 章 式 と曲 線- 91整理すると y^{2}=-12 xしたがって, 点Pは放物線 y^{2}=-12 x 上にある。逆に, この放物線上のすべての点 \mathrm{P}(x, y) は,条件を満たす。 よって, 求める軌跡は 放物線 y^{2}=-12 x。
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次の条件を満たす楕円の方程式を求めよ。\n(1) 2 点 \( (2,0),(-2,0) \) を焦点とし, 焦点からの距離の和が である
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TR 3 点 \\( \\mathrm{A}(-1+i), \\mathrm{B}(2 \\sqrt{3}-1), \\mathrm{C}(6+(\\sqrt{3}+1) i) \\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ について, \ \\angle \\mathrm{BAC} \ の大 \ { }^{2} 85 \ きさを求めよ。
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TR は定数とする。楕円 と直線 の共有点の個数を求めよ。\n(2) から \nこれを (1)に代入すると \( \quad x^{2}+(x+2 k)^{2}=20 \)\n整理すると \( \quad x^{2}+2 k x+2\\left(k^{2}-5\\right)=0 \)\nこの 2 次方程式の判別式を とすると\n\\frac{D}{4}=k^{2}-2\\left(k^{2}-5\\right)=-(k+\\sqrt{10})(k-\\sqrt{10})\nよって, 楕円 (1) と直線 (2) の共有点の個数は次のようになる。 すなわち, \( (k+\\sqrt{10})(k-\\sqrt{10})<0 \) から\n のとき 2 個;\n すなわち, \( (k+\\sqrt{10})(k-\\sqrt{10})=0 \) から\n のとき 1 個;\n すなわち, \( (k+\\sqrt{10})(k-\\sqrt{10})>0 \) から\n のとき 個
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放物線 \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\) の焦点 \ \\mathrm{F} \ を通る直線が, この放物線と 2 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ で交わるとき, 2 点 \ { }^{4} 47 \\mathrm{~A} \ ,Bの \ y \ 座標の積は一定であることを示せ。
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点 F(1,0) からの距離と直線 ℓ: x=-2 からの距離の比が 1: 2 であるような 点 P の軌跡を求めよ。
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次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。
(1) 2 点 (3√5, 0), (-3√5, 0) を焦点とし、焦点からの距離の差が 6 である
(2) 2 点 (0, 6), (0, -6) を焦点とし、焦点からの距離の差が 2 である
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3 点 \( \mathrm{A}(-1+i), \mathrm{B}(2 \sqrt{3}-1), \mathrm{C}(6+(\sqrt{3}+1) i) \) を頂点とする について, の大きさを求めよ。
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直線 に接し, 点 \( \mathrm{A}(4,0) \) を通る円の中心を \( \mathrm{P}(x, y) \) とする。点 の軌跡を求めよ。
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TR異なる 3 点 \\( \\mathrm{A}(\alpha), \\mathrm{B}(\beta), \\mathrm{C}(\gamma) \\) の間に次の関係があるとき, この 3 点を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の 86 3つの角の大きさを求めよ。
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TRAINING 41\n点 \( \\mathrm{P}(1,3) \\) から直線 \\ell: 2 x-3 y+4=0 \ に垂線を引き, 交点を \\mathrm{H} \ とする。\n(1) ベクトルを用いて点 \\mathrm{H} \ の座標を求めよ。\n(2) 点 \\mathrm{P} \ と直線 \\ell \ の距離を求めよ。
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次のような焦点,準線をもつ放物線の方程式を求め,その概形をかけ。 (ア) 点 \( (-1,0) \), 直線 (イ) 点 \( (0,2) \), 直線
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(2) \( \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1,(\sqrt{3}, \sqrt{3}) \)
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辺の長さが 1 である正五角形 において, とおく。\n(1) 線分 BEの長さを求めよ。ただし, は既知としてよい。\n(2) を で表せ。
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【例題 \( 30(2) \)】\n\ (\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\ の形ではないから, 条件式から \\( s, t \ を消去する要領で処理する。)\n\\( \\mathrm{O}(0,0), \\mathrm{A}(1,0), \\mathrm{B}(0,1) \\) として, 直交座標平面で考えると\n\\[ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+(s+t) \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=(s, s+t) \\]\n\\( \\mathrm{P}(x, y) \\) とすると \ \\quad x=s, y=s+t \\cdots \\nまた \ 0 \\leqq s \\leqq 1,0 \\leqq t \\leqq 1 \\n(1), (2) から \ x \\leqq y \\leqq x+1,0 \\leqq x \\leqq 1 \\n(3)の表す領域は, 右の[図 5]の赤い部分であるから, 点 \ \\mathrm{P} \ の存在範囲は, [図 6]の平行四辺形 OCDB の周および内部である。\np. 48 の例題 16 を座標を利用して解く \\( \\mathrm{O}(0,0), \\mathrm{A}(1,0), \\mathrm{B}(0,1) \\) として, 直交座標平面で考えると, \ \\mathrm{OC}: \\mathrm{CA}=3: 1 \, \ \\mathrm{OD}: \\mathrm{DB}=4: 1 \ から \\( \\mathrm{C}\\left(\\frac{3}{4}, 0\\right), \\mathrm{D}\\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\) となる。\n\n直線 AD の方程式は \ \\quad x+\\frac{5}{4} y=1 \\n直線 BC の方程式は \ \\quad \\frac{4}{3} x+y=1 \\n(1), (2) 解いて \\( \\mathrm{P}\\left(\\frac{3}{8}, \\frac{1}{2}\\right) \\ よって \ \\mathrm{BP}: \\mathrm{CP}=\\frac{3}{8} :\ \\left(\\frac{3}{4}-\\frac{3}{8}\\right)=1: 1 \\)\n\nゆえに \ \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}}{2}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} \\vec{a}+\\frac{1}{2} \\vec{b}=\\frac{3}{8} \\vec{a}+\\frac{1}{2} \\vec{b} \\n\nまた, 同様に, 直線 \ \\mathrm{OP}, \\mathrm{AB} \ の方程式 \\longrightarrow \\) 点 \ \\mathrm{Q} \\ の座標, と順に求め, \\( \\mathrm{BQ} : \\mathrm{QA} \ を調べる ことにより, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}} \ を \\vec{a}, \\vec{b} \\) で表すこともできる。\n\nこのように, 中学程度の計算で線分の比を求めることができるというのは大変興味深 い。なお, 上の計算において, 点 C, D の座標に分数が出てくるのを避けるために, \\( \\mathrm{A}(4,0), \\mathrm{B}(0,5) \\) とおいて進めてもよい。
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2点 A, B を直交座標で表すとA(2 cos π / 6, 2 sin π / 6), B(4 cos π / 3, 4 sin π / 3)\nすなわち A(√3, 1), B(2, 2√3)\nよって, 直線 AB の直交座標の方程式は(2√3 − 1)(x − √3) − (2 − √3)(y − 1) = 0
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練習 109 (1) 漸近線である 2 直線 y=1/2x, y=-1/2x が原点で交わるから,求める双曲線の方程式は, a>0, b>0 として,
(x²/a²)-(y²/b²)=1 または (x²/a²)-(y²/b²)=-1 と表される。 (1), (2) のどちらの場合も, 漸近線は 2 直線 x/a-y/b=0, x/a+y/b=0 であるから b/a=1/2 よって a=2b 4PH=√(PQ²-HQ²) 4-4<s²-4<-3 4s²+t²=s²+(s²/√(1-s²))² このとき b=√13
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点 F(p, 0)(p ≠ 0) を焦点とし,直線 ℓ: x = -p を準線とする放物線の標準形の方程式を求めよ。
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練習 極座標に関して,次の円,直線の極方程式を求めよ。\n135\n(1) 中心が点 \\( \\left(1, \\frac{3}{4} \\pi\\right) \\), 半径 1 の円\n(2) 点 \\( \\mathrm{A}\\left(2, \\frac{\\pi}{4}\\right) \\) を通り, 直線 \ \\mathrm{OA} \ (Oは極) に垂直な直線\n(3) 2 点 \\( \\mathrm{A}\\left(2, \\frac{\\pi}{6}\\right), \\mathrm{B}\\left(4, \\frac{\\pi}{3}\\right) \\) を通る直線
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座標平面において、原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする。このとき、同一の点Pの極座標(r,θ)と直交座標(x,y)の間には、どのような関係があるか説明しなさい。
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したがって, 点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡の方程式は \ x^{2}+y^{2}=a^{2}-1 \ であり, 原点を中心とする半径 \ \\sqrt{a^{2}-1} \ の円を表す。 ただし, 漸近線 \ y= \\pm a x \ との 4 つの交点 \\( \\left( \\pm \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}, \\pm a \\sqrt{\\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}}\\right)\\) (複号任意)を除く。
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重要例題 139 極座標の利用\n2 次曲線の 1 つの焦点 \ \\mathrm{F} \ を通る弦の両端を \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とするとき, \ \\frac{1}{\\mathrm{FP}} + \\frac{1}{\\mathrm{FQ}} \ は弦の方向に関係なく一定であることを証明せよ。
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ある2次曲線の1つの焦点Fを極とする極方程式は、aを正の定数、eを離心率として以下のように表される。
r = \frac{ea}{1+e\cos\theta}
PQとRSが点Fで直交するため、P(r1, α)(r1>0) とすると
Q(r2, α+π), R(r3, α+π/2), S(r4, α+3π/2)
(r2>0, r3>0, r4>0) と表され、
PF=r1, QF=r2, RF=r3, SF=r4
また、P, Q, R, S は2次曲線上にあるから
egin{array}{l}
\frac{1}{r1}=\frac{1+e\cos\alpha}{ea}, \quad \frac{1}{r2}=\frac{1+e\cos(\alpha+π)}{ea}
\frac{1}{r3}=\frac{1+e\cos(\alpha+π/2)}{ea}, \quad \frac{1}{r4}=\frac{1+e\cos(\alpha+3π/2)}{ea}
\end{array}
すなわち \frac{1}{r1}=\frac{1+e\cos\alpha}{ea}, \frac{1}{r2}=\frac{1-e\cos\alpha}{ea}
\frac{1}{r3}=\frac{1-e\sin\alpha}{ea}, \frac{1}{r4}=\frac{1+e\sin\alpha}{ea}
したがって
\begin{aligned}
\frac{1}{PF \cdot QF}+\frac{1}{RF \cdot SF} & =\frac{1}{r1} \cdot \frac{1}{r2}+\frac{1}{r3} \cdot \frac{1}{r4} \& =\frac{1-e^{2}\cos^{2}\alpha}{(ea)^{2}}+\frac{1-e^{2}\sin^{2}\alpha}{(ea)^{2}} \& =\frac{2-e^{2}(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)}{(ea)^{2}} \& =\frac{2-e^{2}}{(ea)^{2}}
\end{aligned}
e, aは定数であるため、\frac{1}{PF \cdot QF}+\frac{1}{RF \cdot SF}は一定である。
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2 直線 をそれぞれ とすると, 直線 , の法線ベクトルはそれぞれ\n\[ \overrightarrow{n_{1}}=(1,-5), \overrightarrow{n_{2}}=(2,3) \]\nとおける。\n\[ \begin{array}{l}\n\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}=1 \times 2+(-5) \times 3=-13, \\\n\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|=\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{26}, \\\n\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}\n\end{array}\n\]\nであるから, のなす角を \( \theta\left(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\right) \) とすると\n\nよって \nしたがって, 2 直線のなす鋭角は\n
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練習 を 0 でない複素数とする。点 が 2 点 を結ぶ線分上を動くとき, 88 点 の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
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例題 90 | 等速円運動
動点 が, 原点 を中とする半径 の円周上を, 定点 から出発して, OP が 1 秒間に角 の割合で回転するように等速円運動をしている。
(1) の速さ を求めよ。
(2) Pの速度ベクトルと加速度ベクトルは垂直であることを示せ。
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異なる 3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を頂点とする の頂角 内の傍心を \( \mathrm{P}(z) \) とするとき, は次の等式を満たすことを示せ。\n
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放物線 y^{2}=4 p x(p \\neq 0) \\cdots \\cdots(1) 上の任意の点を \\mathrm{P}(x, y) とする。 x 軸に関して \\mathrm{P} と対称な点の座標は \\mathrm{Q}(x,-y)\n(-y)^{2}=4 p x であるから, 点 \\mathrm{Q} も放物線 (1) 上にある。 よって, 放物線 (1)は x 軸に関して対称である。
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異なる 2 定点 からの距離の差が 0 でない一定値である点 の軌跡を双曲線といい, 定点 を双曲線の焦点という。ただし, 距離の差は線分 の長さより小さいものとする。\n定点 \( \mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0)[c>0] \) を焦点とし, この 2 点からの距離の差が である双曲線の方程式を求めてみよう。ただし, とする。
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直線 y=x+2 と楕円 x^{2}+3 y^{2}=15 が交わってできる弦の中点の座標, および長さを求めよ。
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(3)求める平面は点 \( \mathrm{C}(1,3,-2) \) を通り, (ア) 軸, (イ) 軸, (ウ) 軸にそれぞれ垂直な平面であるから
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次の 2 次曲線に与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。\n(ア) \( x^{2}-4 y^{2}=4, \quad(-2,3) \)\n(1) \( y^{2}=8 x,(3,5) \)\n(2)放物線 と楕円 の共通接線の方程式を求めよ。
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例題 137 極座標と軌跡
点 A の極座標を (2,0), 極 O と点 A を結ぶ線分 OA を直径とする円 C の周上の任意の点を Q とする。点 Q における円 C の接線に, 極 O から垂線 OP を下ろし, 点 P の極座標を (r, θ) とする。このとき, 点 P の軌跡の極方程式を求めよ。ただし, 0 ≤ θ < π とする。
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(1) 点 \( \mathrm{A}(-2,3) \) を通り, 直線 に平行, 垂直な直線の方程式 をそれぞれ求めよ。
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(2) (ア) 焦点: 点 \\( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \\), 準線: 直線 \ x = \frac{1}{2} \, 図略
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点 (3,0) F , 円 C の中心を P と する。円 (x+3)^{2}+y^{2}=4 の半径は 2 であ り, 中心 (-3,0) を F' とする。円Cの半径は線分 PF であるから, 2 円が外接するとき PF' = PF + 2 よって, PF' - PF = 2 であるから、 点 P は 2 点 F'(-3,0), F(3,0) を焦点とし, 焦点からの距離の 差が2の双曲線上にある。この双曲線の方程式を \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \\) とする。焦点の座標から \ a^{2}+b^{2}=3^{2} \ 焦点からの距離の差から \ 2a=2 \ ゆえに \ a=1 \ よって \ b^{2}=9-a^{2}=8 \ したがって, 点 P は双曲線 x^{2}-\\frac{y^{2}}{8}=1 上を動く。ただし, PF' > PF であるから x > 0 ゆえに, 求める軌跡は双曲線 x^{2}-\\frac{y^{2}}{8}=1 の x > 0 の部分
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(2) 次の方程式で表される曲線はどのような図形を表すか。また,焦点を求めよ。\n\\n2 x^{2}+y^{2}+4 x+4 y-2=0\n\
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例 1 | ベクトルの基本\n右の図のような, 1 辺の長さが 1 である正六角形 の頂点と, 対角線 の交点 を使って表されるベクトルのうち, 次のものを求めよ。\n(1) と等しいベクトル (2) と向きが同じベクトル\n(3) の逆ベクトル\n(4) に平行で大きさが 2 のベクトル
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練習 平面上の \\triangle \\mathrm{ABC} \ と任意の点 \\mathrm{P} \ に対し, 次のベクトル方程式は円を表す。どのよう な円か。\n(1) |\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}|=|\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}| \\n(2) 2 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PB}}=3 \\overrightarrow{\\mathrm{PA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PC}} \
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(1) 曲線 上の点 の極座標を \( (r, \theta) \), 直交座標を \( (x, y) \) とする。極方程式 を変形すると を代入して \nゆえに 両辺を平方して \( \quad r^{2}=(1-x)^{2} \) から \( \quad x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2} \) 整理すると すなわち \( \quad y^{2}=-2\left(x-\frac{1}{2}\right) \) また, から すなわち よって, 曲線 の概形は右の図のよう になる。
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長さ 2 の線分 の端点 は 軸上を、端点 は 軸上を動く。このとき、線分 の延長上に となるようにとった点 の軌跡を求めよ。
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演習 61 III 本冊 \n(1) \( \mathrm{P}\left(p, p^{2}\right), \mathrm{Q}\left(q, q^{2}\right) \) とし, 線分 の中点の座標を \( (x, y) \) と すると \n であるから \nよって \( \quad(p-q)^{2}+\left(p^{2}-q^{2}\right)^{2}=4 \)\n整理すると \( \quad(p-q)^{2}\left\{1+(p+q)^{2}\right\}=4 \)
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重要例題 1262 次曲線の焦点の性質\n放物線 \( y^{2}=4 p x(p>0) \) 上の点 \( \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) における接線と 軸との交点を とし,放物線の焦点を とする, であることを証明せよ。ただし, とする。
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例題 104 軌跡と放物線
円 (x+3)^{2}+y^{2}=1 に外接し, 直線 x=2 に接するような円の中心 P の軌跡を求めよ。
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数学 C\nOP = r, OA = 2, 角AOP = |θ − π / 4| であるから,(1)より\nr cos |θ − π / 4| = 2\nすなわち r cos (θ − π / 4) = 2
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例題 119\n楕円 に点 \( \mathrm{A}(1,2) \) から引いた 2 本の接線の接点をそれぞれ と する。このとき, は鋭角であることを示せ。\n[信州大]
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点 P(x, y) における接線の方程式と、その点から X=0 に垂直に引いた線分の中点が原点を通る条件を求めなさい。
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練習\n\na > 0 とする。長さ 2πa のひもの一方の端が半径 a の円 x^{2}+y^{2}=a^{2} 上の点 A(a, 0) に固定してあり, その円に時計回りに巻きつけてある。このひもをピンと 伸ばしながら円からはずしていくとき, ひもの他方の端 P が描く曲線の長さを求め よ。
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258\n何题 135 円, 直線の極方程式\n極座標に関して, 次の円, 直線の極方程式を求めよ。ただし, とする。\n(1) 中心が点 \( (a, \\alpha)(0<\\alpha<\\pi) \) で,極 を通る円\n(2) 点 \\( \\mathrm{A}(a, 0) \) を通り, 始線 OX とのなす角が \\( \\alpha\\left(\\frac{\\pi}{2}<\\alpha<\\pi\\right) \) である直線
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(2)の直線 上の楕円外の点 から, この楕円に引いた 2 本の接線の 2 つの接点を結ぶ直線 は, 点 を通る。
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練習 次の平面の方程式を求めよ。\n59\n(1) 2 点 \( \mathrm{A}(1,1,2), \mathrm{B}(4,3,3) \) を通り, 平面 に垂直な平面\n(2) 球面 \( (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=6 \) に点 \( (2,-1,2) \) で接する平面
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また、 から \( \mathrm{Q}(x, 0, z) \) とすると, であるから (x-2)^{2}+1+(z+2)^{2}=(x+2)^{2}+(z-1)^{2} よって であるから (x+2)^{2}+(z-1)^{2}=(x-3)^{2}+1+(z+3)^{2} よって (3) (4) から x=-13 このとき, (3) から したがって \( \quad \mathrm{Q}(-13,0,-18) \)
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円 x^{2}+y^{2}=4 \ を次のように拡大または縮小すると,どのような曲線になるか。\n(1) x \ 軸をもとにして y \ 軸方向に \\frac{1}{2} \ 倍に縮小\n(2) y \ 軸をもとにして x \ 軸方向に 3 倍に拡大
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A(r1,θ1)およびB(r2,θ2)[r1 > 0, r2 > 0]とする。三角形OABの面積ΔOABを求めなさい。
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半径 \ \\frac{a}{4} \ の円 \ C \ が, 原点 \ \\mathrm{O} \ を中心する半径 \ a \ の定円 \ O \ に内接しながら滑ることなく回転するとき, 円 \ C \ 上の定点 \ \\mathrm{P} \ が, 初め定円 \ O \ の周上の定点 \\( \\mathrm{A}(a, 0) \\) にあったものとして, \ \\mathrm{P} \ が描く曲線(アステロイド)を媒介変数 \ \\theta \ で表せ。ただし,円 \ C \ の中心 CとOを結ぶ線分が \ x \ 軸の正の向きとなす角を \ \\theta \ とする。
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次のような点 P の軌跡を求めよ。
(1) 点 (5,0) を通り, 直線 x=-5 に接する円の中心 P
(2) 半円 x^{2}+y^{2}=9, y \geqq 0 と x 軸の両方に接する円の中心 P
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级習 1 つの直径の両端が \( \mathrm{A}(3,-5), \mathrm{B}(-5,1) \) である円 について
(1) ベクトルを用いて, 円 の方程式を求めよ。
(2) 点 \( (2,2) \) は円 上の点であることを示せ。また, ベクトルを用いて, この点に おける円Cの接線の方程式を求めよ。
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a を満たす点 \( \mathrm{P}(a, b) \) がある。原点を とするとき, 楕円 の の部分と線分 を直径とする円とが交わる点を \( \mathrm{Q}(s, t) \) とする。 かつ となる の面積の最大値を求めよ。
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点 \( \mathrm{A}(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 6) \) と平面 の距離を求め、中点を用いた方法で球面の半径を求めよ。
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領域 D が右の図の影の部分であるから、円 x²+(y-1)²=1 と直線 ℓ の原点以外の共有点を P、直線 x = √2/3 と直線 ℓ の共有点を Q とすると L = PQ = OP - OQ を求めなさい。
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重要例隫 60 円と双曲線が接する条件\n とする。点 \( \\mathrm{A}(0, a) \) を中心とする半径 の円が, 双曲線 と 2 点 \( \\mathrm{B}(s, t), \\mathrm{C}(-s, t) \) で接しているとする。このとき, を, と を用いて表せ。\n[類 名古屋大]
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次曲線の極方程式として、離心率 e、極座標が (a, 0) である点 (P) の軌跡を表すにはどのような方程式になりますか?
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重要列題 ハイポサイクロイドの媒介変数表示\n とする。半径 の円 が原点 を中心とする半径 の定円 に内接しなが ら滑ることなく回転していく。円 上の定点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が, 初め定円 の周上の定点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) にあったものとして, 円 の中心 と原点 を結ぶ線分の, 軸の正方向からの回転角を とするとき, が描く曲線を媒介変数 で表せ。
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四面体 \\mathrm{OABC} \ の辺 \\mathrm{OA} \ 上に点 \\mathrm{P} \, 辺 \\mathrm{AB} \ 上に点 \\mathrm{Q} \, 辺 \\mathrm{BC} \ 上に点 \\mathrm{R} \, 辺 \\mathrm{CO} \ 上に点\n137\n\ \\mathrm{S} \ をとる。これらの 4 点をこの順序で結んで得られる図形が平行四辺形となるとき, この平行四辺形 \ \\mathrm{PQRS} \ の 2 つの対角線の交点は 2 つの線分 \ \\mathrm{AC} \ と OBのそれぞれ の中点を結ぶ線分上にあることを示せ。
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円 の中心と円 の中心を通る直線 のベクトル方程式を求めよ。\n (1) 円 と円 の両方に接する直線のうち と平行であるものは 2 本ある。それらの直線と との接点を求めよ。\n (2) 円 と円 の両方に接する直線のうち と平行でないものは 2 本ある。それらの直線のうち方向ベクトルが \( (0,1) \) でないものを とする。このとき, と との接点および の方向ベクトルを求めよ。
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重票例題 127 双曲線の接線の性質 双曲線 上の点 における接線が漸近線 と交わる点を とする。原点を とするとき, の面積は点 の選び方 に無関係であることを証明せよ。[類 東京大]
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219 到题 111 曲線上の点と定点の距離の最小値 を正の数とする。 平面において, 点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) をとり, を双曲線 とし, を双曲線 とする。\n[類 岡山大]\n(1) 点 が 上にあるとき, を最小にする点 とその最小値を求めよ。\n(2) 点 が 上にあるとき, を最小にする点 とその最小値を求めよ。
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数学C\n185\n との共通範囲は よって, 求める軌跡は 双曲線 \( (x-2)^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1 \) の , の部分。\nこれを図示すると,右の図の太線部分の ようになる。\n\n演習 47 III 本冊 \n(1) は 2 点 \( \mathrm{F}(t, 0), \mathrm{F}^{\prime}(3 t, 0) \) からの距離の和が である 点の軌跡であるから,楕円である。また, 2 点 は楕円 の焦点であり, 楕円 の長軸の長さは\n\n焦点 を結ぶ線分の中点の座標は \( (2 t, 0) \)\n楕円 を 軸方向に だけ平行移動すると, 焦点 はそれぞれ, 点 \( (-t, 0),(t, 0) \) に移る。2 点 \( (-t, 0),(t, 0) \) を焦点とし, 長軸の長さが の楕円の方程式を \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \) とすると, から \n から \( \quad b^{2}=a^{2}-t^{2}=(\sqrt{2} t)^{2}-t^{2}=t^{2} \) よって,楕円 は楕円 を 軸方向に だけ平行移動したものであるから, その方程式は \( \frac{(x-2 t)^{2}}{2 t^{2}}+\frac{y^{2}}{t^{2}}=1 \)\n を代入すると \( \quad \frac{(x-2 t)^{2}}{2 t^{2}}+\frac{(x-1)^{2}}{t^{2}}=1 \)\n両辺に を掛けて \( \quad(x-2 t)^{2}+2(x-1)^{2}=2 t^{2} \)\n整理すると \( \quad 3 x^{2}-4(t+1) x+2\left(t^{2}+1\right)=0 \)\n の 2 次方程式 (1) の判別式を とすると\n\( \frac{D}{4} =\{-2(t+1)\}^{2}-3 \cdot 2\left(t^{2}+1\right)=-2 t^{2}+8 t-2 =-2\left(t^{2}-4 t+1\right) \)\n と が相異なる 2 つの共有点をもつための条件は, 2 次方程式 (1) が異なる2つの実数解をもつことであるから \nゆえに, \nしたがって \( \quad 2-\sqrt{3}<t<2+\sqrt{3} これは t>0 を満たす。)\n(2) と つの共有点を \( \mathrm{A}(\alpha, \alpha-1), \mathrm{B}(\beta, \beta-1)(\alpha<\beta) と し, \triangle OAB の面積を S とするとS=\frac{1}{2}|\alpha(\beta-1)-\beta(\alpha-1)|=\frac{1}{2}|\beta-\alpha|=\frac{1}{2}(\beta-\alpha) \)\n は(1)の実数解であるから, 解と係数の関係により \( 4(x-2)^{2}>1 \) は, x>\frac{5}{2} の条件のもとで導かれた不等式であることに注意。不等は
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長さ \( l(>0) \) が一定の線分 があり、端点 は 軸上を、端点 は 軸上を動く。このとき、線分 を に内分する点 の軌跡を求めよ。ただし、 、 とする。
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32 (1) \\( (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=25 \\)\n(2) 証明略, \ 3 x+4 y-14=0 \
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次のような双曲線の方程式を求めよ。\n(1) 2 点 \( (\sqrt{7}, 0),(-\sqrt{7}, 0) \) を焦点とし, 焦点からの距離の差が 4\n(2) 2 点 \( (0,3),(0,-3) \) を焦点とし, 漸近線が 2 直線
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円 を , 楕円 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \) を とする。 \( C_{1} 上のどんな点 \( P に対しても, \( P を頂点にもち \( C_{0 に外接して, \( C_{1 に内接する平行四辺形が存在するための必要十分条件を \( a, b で表せ。\n[東京大]
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点 \( \mathrm{A}(4,5) \) から, 直線 に引いた垂線と直線 との交点を Hとする。
(1) 点 の座標を, ベクトルを用いて求めよ。
(2) 線分 の長さを求めよ。
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(2) 2 点 \( (2,5),(2,-3) \) を結ぶ線分の中点は点 \( (2,1) \) であり, これが求める双曲線 の中心である。
双曲線 を 軸方向に 軸方向に -1 だけ平行移動すると,焦点が 2 点 \( (0,4),(0,-4) \) で, 焦点からの距離の差が 6 の双曲線 になる。
の方程式を \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1(a>0, b>0) \) とすると
したがって、 の方程式は
を 軸方向に 軸方向に 1 だけ平行移動したものが で あるから, 求める方程式は \( \frac{(x-2)^{2}}{7}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=-1 \)
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(1) 焦点: 点 \\( \left(0, -\frac{1}{8}\right) \\), 準線: 直線 \ y = \frac{1}{8} \, 図略
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類題 (1) 平面において, \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)とする。このとき, \( (\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}})^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-(\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}) \overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2} \leqq 1 \)を満たす点 全体のなす図形の面積を求めよ。
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次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。\n(1) 点 \( \mathrm{F}(4,2) \) と直線 からの距離の比が であるような点 \n(2) 点 \( \mathrm{F}(0,-2) \) と直線 からの距離の比が であるような点
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双曲線 x^{2}-3 y^{2}=3 上の点 P と直線 y=√3 x の距離を d とするとき, d の最小値 を求めよ。また, このときの点Pの座標を求めよ。
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また, であるから \n(1)を (2)に代入して \( \quad(3 y)^{2}+y^{2}=1 \) よって \n\nゆえに \n(1) から (複号同順)\n\nしたがって \( \vec{u}=\left(\frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}\right),\left(-\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) を求めよ。
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22 (1) \ \\angle \\mathrm{A} = 90^{\\circ} \ の直角三角形\n(2) 正三角形
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例題 92 | 三角形の垂心
単位円上の異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) と, この円上にない点 \( \mathrm{H}(z) \) について,等式 が成り立つとき, は の垂心であることを証明せよ。
[類 九州大]
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数学 \\mathbb{I} \ 401 練習 139 \\Rightarrow \ 本冊 p .514 \ t=0 \ のとき \( (x, y)=(0,0) \quad t=\\pi \\) のとき \( (x, y)=(\\pi, 2) \\) 0 \\leqq t \\leqq \\pi \ において \\quad y \\geqq 0 \\quad \ また \\frac{d x}{d t}=1-\\cos t \ 0<t<\\pi \ のとき, \\frac{d x}{d t}>0 \ であるから, t \ に対して x \ は単調に増加する。 x \ と t \ の対応は右の ようになる。 よって S=\\int_{0}^{\\pi} y d x=\\int_{0}^{\\pi} y \\frac{d x}{d t} d t \ \( =\\int_{0}^{\\pi}(1-\\cos t)^{2} d t \\) \( =\\int_{0}^{\\pi}\\left(1-2 \\cos t+\\cos ^{2} t\\right) d t \\) \( =\\int_{0}^{\\pi}\\left(1-2 \\cos t+\\frac{1+\\cos 2 t}{2}\\right) d t \\) =\\left[\\frac{3}{2} t-2 \\sin t+\\frac{1}{4} \\sin 2 t\\right]_{0}^{\\pi} \ =\\frac{3}{2} \\pi \ 参考 この問題の曲線は サイクロイド (の一部) であるサイクロイドに ついては, 本冊 p .248 \参照)。
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長方形 \\mathrm{ABCD} \ の各辺が楕円 に接するとき, \\mathrm{OA} \ と \\mathrm{AB} \ のなす角を \\theta \ とする。長方形 \\mathrm{ABCD} \ の面積を \\theta \ を用いて表せ。
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点 F(0, p)(p ≠ 0) を焦点とし,直線 ℓ: y = -p を準線とする放物線の標準形の方程式を求めよ。
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次の曲線上の点 P, Q における接線の方程式を求めよ。\n(1)楕円 \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ 上の点 \\( \\mathrm{P}\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\quad \\) ただし, \ a>0, b>0 \\n(2) 曲線 \ x=e^{t}, y=e^{-t^{2}} \ の \ t=-1 \ に対応する点 \ \\mathrm{Q} \
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縄習 正六角形 において, 対角線 の交点を , 辺 を に内分 1 する点を , 線分 の交点を とし, とする。\n(1) をそれぞれ , を用いて表せ。\n(2) とするとき, を を用いて表せ。
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3 点 O, A', B' は xy 平面上にありますから、球面 S と xy 平面の共有点が作る図形は O, A', B' を通る円である。この円を表す方程式は、(1) から x^2 + y^2 - 5/3 x - 5/3 y = 0, z = 0
すなわち (x - 5/6)^2 + (y - 5/6)^2 = 25/18, z = 0 よって、円の中心の座標は (5/6, 5/6, 0)
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四角形 の辺 の中点をそれぞれ とし, 対角線 の中点をそれぞれ T, U とすると, 線分 それぞれの中点は一致することを証明せよ。
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(1) 極を O, 円上の点を P(r, θ) とする。この円は極 O を通るから, 極 O と 点 A(2, 3/4 \\pi) を両端とする線分 がこの円の直径である。よって, 図において \\angle OPA=90^\circ であるから \\mathrm{OP}=\\mathrm{OA} \\cos \\angle \\mathrm{AOP}\nしたがって \\quad r=2 \\cos \\left(\\theta-\\frac{3}{4} \\pi\\right)
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参考:解を複素数平面上に図示すると, 点 , は, 原点 を心 とする半径 2 の円に内接 する正方形の頂点となっている。
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練習 3 直線 軸, \( y=x,(2 a+1) x+(a-1) y+2-5 a=0 \) が三角形を作らないような定数 の値を求めよ。
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EX 数直線上において, 2 点 \( \\mathrm{A}(a-1), \\mathrm{B}(a+2) \\) を結ぶ線分 \\mathrm{AB} \ を 2: 1 \ に内分する点を \\mathrm{C} \、外分する点を D とする。(1) 2 点 C、D 間の距離を求めよ。(2) 点 \( \\mathrm{E}(-1) \\) が線分 \\mathrm{CD} \ の中点となるような a \ の値を求めよ。
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71 (1) 線分 AB を1: 2外分する点を中心とする半径 7 の円
(2) 放物線 y=-x^{2}-2 x ただし, 2 点 ( 1 ,-3)(-1,1 ) を除く
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3点 A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2) を頂点とする △ABC において, 辺 BC, CA, AB を m:n に内分する点をそれぞれ D, E, Fとする。ただし,m>0, n>0 とする。 (1) 3点 D, E, Fの座標をそれぞれ求めよ。 (2) △DEFの重心と△ABCの重心は一致することを示せ。
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2 直線 x+5y-7=0,2x-y-4=0 の交点を通り,次の条件を満たす直線の方程式を,それぞれ 求めよ。
(1)点(-3,5)を通る (2)直線 x+4y-6=0 に (ア)平行 (1)垂直
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(1) 次の点と直線の距離を求めよ。\n90\n(ア) 原点, 4 x+3 y-12=0 \\n(1) 点 \( (2,-3), 2 x-3 y+5=0 \\)\n(ウ) 点 \( (-1,3), x=2 \\)\n(工) 点 \( (5,6), y=3 \\)
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その点を求める。3 点 A(1,2), B(5,4), C(3,6) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 D の座標を求めよ。
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(2)放物線と円が 4 個の共有点をもつのは,(1)の図から,放物線 の頂点 (0, a) が, 点 (0,-\\frac{1}{8}) と点 (0,1) を結ぶ線分上(端点を除く)にあるときである。したがって -\\frac{1}{8} < a < 1
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2つの条件 \( p:(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqq 4, q:|x|+|y| \leqq r \) を考える。ただし, とする。 が の十分条件であるような定数 の値の範囲を求めよ。\n[類 慶応大]
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次のような円の方程式を求めよ。(1) 中心が \( (3,-2) \), 半径が 4 (2) 点 \( (0,3) \) を中心とし, 点 \( (-1,6) \) を通る (3) 2 点 \( (-3,-4),(5,8) \) を直径の両端とする
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綀臽平面上に 2 点 \( \\mathrm{A}(-1,3), \\mathrm{B}(5,11) \) がある。\n\n(1) 直線 について, 点 と対称な点 の座標を求めよ。\n\n(2) 点 が直線 上にあるとき, を最小にする点 の座標を求めよ。
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次の円の方程式を求めよ。\n\n(1) 軸と 軸の両方に接し,点 \( \mathrm{A}(-4,2) \) を通る円の方程式は\n\n\[(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=4,\quad(x+10)^{2}+(y-10)^{2}=100\]\n\n(2)点 \( \mathrm{A}(1,1) \) を通り,y軸に接し,中心が直線 上にある円の方程式は\n\n\[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1,\quad \left( x-\frac{1}{2} \right) ^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{4}\]
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1辺の長さが 2 の正三角形であり, 1 つの頂点が x 軸上にあるから,三角形の頂点の座標を (a, 0),(b, 1),(b,-1) とおく。重心は原点に一致するから a=-2b 1辺の長さが 2 であるから (b-a)^2+(1-0)^2=2^2 よって (b-a)^2=3 (1)を(2)に代入して 9 b^2=3 正三角形の対称性。 (1) から, b= ± √3/3 のとき a= ∓ 2√3/3 b= ± √3/3 したがって (2√3/3, 0),(-√3/3, 1),(-√3/3,-1) (複号同順) または (−2√3/3, 0),(√3/3, 1),(√3/3,-1)
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練習 (1) 中心が直線 上にあり, 直線 と両座標軸に接する円の方程式 (2) 101 を求めよ。(2) 円 に接し,傾きが -1 の直線の方程式を求めよ。
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2 つの円 \n.... (1), (2) について\n(1) 2 円の共有点の座標を求めよ。\n 基本事項 \n\n指咕(1) 2 円の共有点の座標 連立方程式の実数解 を求める。本問のような 2 次と 2 次 の連立方程式では,1次の関係を引き出すとよい。具体的には,(1) と(2)を辺々引 いて 2 次の項を消去し, の 1 次方程式を導く。次に, その 1 次方程式と (1)を連立させる。\n(2) (1) で求めた 2 点と点 \( (1,0) \) を通ることから, 円の方程式の一般形を使って解決 できるが, ここでは, 基本事項2を利用してみよう。\n2 点で交わる 2 つの円 に対し 方程式 は定数) つまり,2円(1), )の交点を通る図形として, 次の方程式を考える。\n\[\\underset{n}{k}\\left(x^{2}+y^{2}-5\\right)+\\left(x^{2}+y^{2}+4 x-4 y-1\\right)=0\]\n\nこの図形が点 \( (1,0) \) を通るとして, を代入し, の値を求める。\nCHART 2 曲線 の交点を通る図形 ( は定数)を利用
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数学 II\n133\nEX放物線 により, 平面を 2 つの領域に分割する。\n③(1)点 \( (-1,4) \) と点 \( (2,8) \) が放物線上にはなく別々の領域に属するような の条件を求め よ。更に, その条件を満たす点 \( (a, b) \) 全体が表す領域を 平面上に図示せよ。\n(2) が (1) で求めた条件を満たすとき, がとりうる値の範囲を求めよ。[愛知教育大]
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次のような円の方程式を求めよ。
(1) 中心 (4,-1), 半径 6
(2) 点 (-3,4) を中心とし,原点を通る
(3) 2 点 (-3,6),(3,-2) を直径の両端とする
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半径 r の円 (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2} と直線 l x+m y+n=0 について、円と直線の共有点の座標は、方程式 (1), (2) を連立させた連立方程式の実数解として求めることができる。また,共有点が接点のときは,解は重解になる。
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練習 (2) 99\n直線 が円 によって切り取られる弦の長さを求めよ。\n円の方程式 を変形す ると \( \quad(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=25 \)よって, 円の中心を C とすると, \( \mathrm{C}(4,3) \) であり, 半径は 5 である。円と直線の交点を とし, 線分 の中点を M とすると
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3 点 \(O(0,0)\), \(A(4,0)\), \(B(2,2)\) を頂点とする三角形 の面積を、直線 \( \ell: y = m(x + 1) + 1 \) が 2 等分するとき、定数 の値を求めよ。
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xy 平面上に 2 点 A(3,2), B(8,9) がある。点 P が直線 ℓ: y=x-3 上を動く とき, AP+PB の最小値と,そのときの点 P の座標を求めよ。 基本 88
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126 —数学 \u0024 \\mathbb{I} \u0024\n(3) 2つの円 \u0024 C_{1} \u0024 と \u0024 C_{2} \u0024 の半径が等しいとき \u0024 2=3 r \u0024 よって \u0024 \\quad r=\\frac{}{\u0024\\star} \\frac{2}{3} \u0024\nこのとき, 円 \u0024 C_{2} \u0024 の方程式は \u0024 \\quad x^{2}-4x+y^{2}-\\frac{16}{3}y+\\frac{64}{9}=0 \u0024 これから,\u0024 k \u0024 を定数として,次の方程式を考える。\n\u0024\nk\\left(x^{2}+y^{2}-4\\right)+x^{2}-4x+y^{2}-\\frac{16}{3}y+\\frac{64}{9}=0\n\u0024\n(1)は, 円 \u0024 C_{1} \u0024 と \u0024 C_{2} \u0024 の2つの交点 \( { }^{(*)} \) を通る図形を表す。\n(1) が直線を表すのは \u0024 k=-1 \u0024 のときであるから\n\u0024\n-\\left(x^{2}+y^{2}-4\\right)+x^{2}-4x+y^{2}-\\frac{16}{3}y+\\frac{64}{9}=0\n\u0024\n\u0024 (*) r=\\frac{2}{3} \u0024 のとき, 中心間の距離は \u0024 5r=\\frac{10}{3} \u0024 であり, 半径はともに2である。よって,\n\u0024\n2-2\\u003c\\frac{10}{3}\\u003c2+2\n\u0024\nが成り立つから, \u0024 C_{1} \u0024 と \u0024 C_{2} \u0024 は2点で交わる。\n\nヶ直線を表すための条件 は, \u0024 x^{2}, y^{2} \u0024 の項がなくなること \u0024 \\rightarrow k=-1 \u0024\nゆえに \u0024 -4x-\\frac{16}{3}y+\\frac{100}{9}=0 \u0024 よって \u0024 y={ }^{\\text {カ }}-\\frac{3}{4}x+{ }^{7}\\frac{25}{12} \u0024\n
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三角形の重心\n3 点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \), \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \), \( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \) を頂点とする の重心を求めよ。
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綌紂習 110 で, の重心 G の軌跡を求めてみよう。 \( \mathrm{G}(x, y) \) とすると, 点 は の重心であるから\n\[ x=\frac{s+1+(-1)}{3}, y=\frac{t+2+(-2)}{3} \]\nゆえに \n(2)に代入して \( 3 y=(3 x)^{2} \) よって \nただし,点 が直線 上,すなわち直線 上にあると き, はできないから \nゆえに すなわち \n(5) に を代入して整理すると \( \quad x(3 x-2)=0 \)\nよって この値を に代入すると のとき のとき \nゆえに, 点 が点 \( (0,0),\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \) と一致することはない。 したがって, 点 Gの軌跡は\n放物線 ただし, 2 点 \( (0,0),\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \) は除く。\n
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点 A, B を A(-1, 5), B(2, -1) とする。実数 a, b について, 直線 y=(b-a) x-(3 b+a) が3121線分 AB と共有点をもつとする。点 P(a, b) の存在する領域を図示せよ。
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xy平面上の原点 と点 \( \mathrm{A}(2,0) \) に対し, 三角形 が正三角形となるように点 を第 1 象限にとる。更に, 三角形 の内部に点 \( \mathrm{P}(a, b) \) をとり, から辺 OA,AB,BO にそれぞれ垂線 PL, PM, PN を下ろす。 (1) 点 の座標を求めよ。(2) の値を求めよ。
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放物線 の頂点を とする。点 はこの放物線上の点であり, 原点 \( \mathrm{O}(0,0) \) とも点 とも異なるとする。 が直角であるとき, 点 の座標を求めよ。
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2 曲線 \( C_{1}: y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}, C_{2}: y=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{5}{2} \) の両方に接する直線を とする。\n(1) 直線 の方程式を求めよ。\n(2) 2 曲線 と直線 で囲まれた図形の面積 を求めよ。
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3 点 \( \mathrm{A}(4,5), \mathrm{B}(1,1), \mathrm{C}(5,-2) \) を頂点とする は直角二等辺三角形であることを示せ。
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A(1,4), B(-2,-1), C(4,0) とする。 , B, C の点 P(a, b) に関する対称点をそれぞ A', B', C' とする。このとき, \ \\triangle A'B'C' \ の重心 G' は \ \\triangle ABC \ の重心 G の点 P に関する対称点であることを示せ。
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座標平面上の点 \( (p, q) \) は で表される領域を動く。このとき, 点 \( (p+q, p q) \) の動く領域を図示せよ。
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座標平面上の点 \( (p, q) \) は で表される領域を動く。このとき, 点 \( (p+q, p \q) \) の動く領域を図示せよ。
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2 点 \( \mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(5,4) \) を通り, 点 \( (2,3) \) を中心とする円を とする。円 の半径はア である。直線 に関して円 と対称な円を とする。円 の中心の座標はイ である。また, 点 , 点 をそれぞれ円 , 円 上の点とする とき, 点 と点 の距離の最大値はウ である。
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練習 平面上に 2 点 A(-1,3), B(5,11) がある。
(1) 直線 y=2x について, 点 A と対称な点 P の座標を求めよ。
(2) 点 Q が直線 y=2x 上にあるとき, QA+QB を最小にする点 Q の座標を求めよ。
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3 点 \(A(3,-2), B(4,1), C(1,5)\) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 の座標を求めよ。
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実数 が次の条件を満たしながら変わるとき, 点 \( (x+y, x-y) \) の動く領域を図示せよ。(2)
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ここで, 点 Q の座標を (t, t^2-t) (t ≠ 0, t ≠ 1/2) とすると, 直線 PQ の傾きは \(\frac{t^2-t-(-\frac{1}{4})}{t-\frac{1}{2}}=t-\frac{1}{2}\) ∠OPQ が直角であるとき, OP ⊥ PQ から -\(\frac{1}{2} \cdot(t-\frac{1}{2})=-1\) これを解いて t=. t= を点 Q の y 座標 t^2-t に代入して \(\left(\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{2}=\frac{15}{4}\). したがって, 点 Q の座標は \(\left(\frac{5}{2}, \frac{15}{4}\right)\).
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101 接線から円の方程式を求めるなど\n(1) 点 \( (2,1) \) を中心とし,直線 に接する円の方程式を求めよ。\n(2) 円 に接し, 傾きが 2 の直線の方程式を求めよ。
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(1)ある点から直線 への距離と直線 への距離の比が である。こ 『72 のような点が作る軌跡の方程式を求めよ。\n[立教大]\n(2) 直線 に関して, 点 \( \mathrm{A}(a, b) \) と対称な点を とする。このとき, 点 の座標を で表せ。また, 点 が直線 上を動くとき, 点 の軌跡の方程式を求めよ。
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1表本的選 73 三角形の形状\n(1) 3 点 \(\\mathrm{A}(1,3), \\mathrm{B}(5,6), \\mathrm{C}(-2,7)\\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ は直角二等辺三角形であることを示せ。\n(2) 3 点 \\( \\mathrm{A}(4,0), \\mathrm{B}(0,2), \\mathrm{C}(a, b) \\) について, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ が正三角形であるとき, \ a, b \ の値を求めよ。
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EX を を満たす実数とする。座標平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}\\left(s, s^{2}\\right), \mathrm{C}\\left(t, t^{2}\\right) \) が一直線上 (3) にあるとする。\n(1) と の間の関係式を求めよ。\n(2) 線分 の中点を \( \mathrm{M}(u, v) \) とする。 と の間の関係式を求めよ。\n(3) が変化するとき, の最小値と,そのときの の値を求めよ。\n[神戸大]
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3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(4,0), \mathrm{B}(2,2) \) を頂点とする三角形 の面積を, 直線 : が 2 等分するとき, 定数 の値を求めよ。
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基本事項\n12 つの円の位置関係(数学 A の学習事項)\n半径がそれぞれ \( r, r^{\prime}\left(r>r^{\prime}\right) \) である 2 つの円の中心間の距離を とする。\n\n次の位置関係のうち、該当するものを選びなさい。\n1. 互いに外部 にある\n2. 外接する\n3. 2 点で交わる\n4. 内接する\n5. 一方が他方 の内部にある\n
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68 中心の座標は left ( 0, \frac{r^{2}+1}{2} \right ) 、 接点の座標は left ( - \sqrt{r^{2}-1}, \frac{r^{2}-1}{2} \right ) , left ( \sqrt{r^{2}-1}, \frac{r^{2}-1}{2} \right ) ただし r > 1
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円 上の点 \( \left(b, \sqrt{a^{2}-b^{2}}\right) \) における接線と 軸との交点を とする。また, 円の外部の点 \( (b, c) \) からこの円に 2 本の接線を引き, 接点を とする。このとき, 2 点 を通る直線は を通ることを示せ。
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1. 一般角の定義について説明しなさい。例えば、一般角 が のとき、これは実際にはどの角度と同じになるのかを示しなさい。
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2 点 \(A(-1,-3)\), を結ぶ線分 を に内分する点 の座標は \( (1,-1) \) である。このとき、点B の座標を求めよ。
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放物線 y=x^2 と点 A(1,2)、B(-1,-2)、C(4,-1) がある。点 P が放物線上を動くとき、次の点 Q、R の軌跡を求めよ。(1)線分 AP を 2:1 に内分する点 Q (2) △PBC の重心 R
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12 \( a, b(a>b>0) \) を定数とし, 平面上に 2 点 \( \mathrm{A}(0, a), \mathrm{B}(b, 0) \) をとる。そして, 点 は線分 を 1 辺とする正方形 の周および内部の点とする。原点 \( 箕(0,0) \) が正方形 の外部の点であるとき, 次のものを の式で表せ。\n(1) 正方形 の A, B 以外の 2 頂点の座標\n(2) 線分 OP の長さの最大値\n(3) 線分 OP の長さの最小値
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異なる 2 点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\) を通る直線の方程式を導出せよ。 (1) のとき。
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3 点 \( \mathrm{A}\left(a_{1}, a_{2}\right), \mathrm{B}\left(b_{1}, b_{2}\right), \mathrm{C}\left(c_{1}, c_{2}\right) \) を頂点とする において, 辺 , を に内分する点をそれぞれ とする。ただし, , とする。\n(1) 3 点 D, E, F の座標をそれぞれ求めよ。\n(2) の重心と の重心は一致することを示せ。
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(2) は定数で, とする。直線 上の点 \( \mathrm{P}(a, t) \) ( は実数 \( ) \) を通り,円 に接する 2 本の接線の接点をそれぞれ とするとき,直線 は, 点 によらず,ある定点を通ることを示し,その定点の座標を求め よ。
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ある点から直線 x+y-1=0 への距離と直線 x-y-2=0 への距離の比が 2: 1 である。このような点が作る軌跡の方程式を求めよ。
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176
110 三角形の重心の軌跡(連動形)
2 点 \( \mathrm{A}(6,0), \mathrm{B}(3,3) \) と円 上を動く点 を 3 つの頂点とする三角形 の重心 の軌跡を求めよ。
p. 174 基本事項 1, 2 重要 113, 114
指针 動点 が円周上を動くにつれて, 重心 が動く。このようなものを 連動形(Qに連動して P が動く)ということにする。連動形の問題では,次の手順で考えるとよい。
1 軌跡上の動点 \( \mathrm{P}(x, y) \) に対し, 他の動点 の座標は, 以外の文字で表す。例えば, を使い, \( \mathrm{Q}(s, t) \) とする。
2 点 に関する条件を を用いて表す。
(3) 2 点 の関係から, を で表す。
(4) 2, 3 の式から を消去して, の関係式を導く。
なお,上で用いた を本書ではつなぎの文字とよぶことにする。
CHART 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して, の関係式を導く
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3 点 A(-2,6), B(1,-3), C(5,-1) を頂点とする △ABC の外接円の方程式 を求めよ。
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円 \( (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=2 \) と直線 が異なる 2 点で交わるとき, 定数 の範囲を求めよ。
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次の円の, 与えられた点における接線の方程式を求めよ。100 (1) x^{2}+y^{2}=4 , 点 (\sqrt{3},-1) (2) (x+4)^{2}+(y-4)^{2}=13 , 点 (-2,1)
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点の座標\n点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right), \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \) とする。
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“” とおいた直線と境界の直線や円の接線との傾きを比較例題124の領域 と直線 が共有点をもつように、直線 を平行移動させたときの 切片 の値の最大值・最小値が,傾き の値によってどのように変わるかを考えてみよう。\n円 (1) と直線 (2) の共有点を \( \mathrm{P}(1, 3) \) 、\( \mathrm{Q}(3, -1) \) とする。また、直線 が弧 上で接するときの接点を R とする。\n更に、2点 、 における円の接線の方程式はそれぞれ\n\n \\ell_{1}: x + 3 y = 10, \\ell_{2}: 3 x - y = 10 \\n\nであるから,傾きはそれぞれ 、3 である。これと直線 の傾き -2 を合わせた3つの傾きと、直線 の傾き との大小関係によって、最大値最小値を与える点は次のように分類される。
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(2) 2 点 \( \mathrm{A}(1,-2), \mathrm{B}(-3,4) \) から等距離にある 軸上の点 の座標を求めよ。
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EX 点 の点 \( (2,1) \) に関する対称点を とし, 点 の直線 に関する対称点 の座標が ② \( (-1,3) \) であるとき, 点 A の座標を求めよ。
HINT 垂直条件(傾きの積が -1 ) と, 線分 BC の中点が直線 上にあることを利用。
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点 (2,-3) から円 x^{2}+y^{2}=10 に引いた 2 本の接線の 2 つの接点を結ぶ直線の方程式を求めよ。
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a>b>0 とする。円 上の点 \( \\left(b, \\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\right) \) における接線と 軸との交点を とする。 また, 円の外部の点 \( (b, c) \) からこの円に 2 本の接線を引き, 接点を とする。このとき, 2 点 を通る直線は を通ることを示せ。\n[大阪大]
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総合 a, b(a>b>0) を定数とし, xy 平面上に 2点 A(0, a), B(b, 0) をとる。そして, 点 P は線分 AB を 1辺とする正方形 F の周および内部の点とする。原点 O(0,0) が正方形 F の外部の点で あるとき,次のものを a, b の式で表せ。
(1)正方形 F の A, B 以外の 2 頂点の座標
(2) 線分 OP の長さの最大値
(3) 線分 OP の長さの最小値
[早稲田大]
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練習 点 \( \\mathrm{P}(1,2) \) と, 直線 がある。\n⑧ (1) 直線 に関して, 点 と対称な点 の座標を求めよ。\n(2)直線 に関して, 直線 と対称な直線の方程式を求めよ。
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(1) 異なる 3 点 \( (1,1),(3,4),\left(a, a^{2}\right) \) が一直線上にあるとき, 定数 の值を求めよ。
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点 の点 \( (2,1) \) に関する対称点を とし, 点 の直線 に関する対称点 C の座標が \( (-1,3) \) であるとき, 点 の座標を求めよ。
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k が実数全体を動くとき, 2 つの直線 ℓ1: k y+x-1=0, ℓ2: y-k x-k=0 の交点はどんな図形 を描くか。
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円 \( C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0) \) 上の点 \( \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) における接線 の求め方
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練習問題:\n(1) 方程式 はどんな図形を表すか。\n(2) 方程式 が円を表すとき, 定数 の値の範囲を求めよ。
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81\n(1) 直線 を とし, 点 の座標を \( (p, q) \) とする。直線 AP は に垂直であるから\n\\n\\frac{q-3}{p+1} \\cdot 2=-1\n\\nゆえに \nまた, 線分 AP の中点 \( \\left(\\frac{p-1}{2}, \\frac{q+3}{2}\\right) \) は直線 上にあるから\n\\n\\frac{q+3}{2}=2 \\cdot \\frac{p-1}{2}\n\\nゆえに \n(1), (2) を解いて \nよって, 点 の座標は\n\( (3,1) \)
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座標平面上の 2 点間の距離\n座標平面上の 2 点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 間の距離を求めよ。
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次の等式で定まる 2 つの円 と を考える。\n\n(1) の中心の座標と半径を求めよ。\n(2) と が接するときの の値を求めよ。\n(3) 2 つの円の半径が等しいときの の値を求め、2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
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165 最大値 16 , 点 の座標は \( \left(\frac{5}{\sqrt{26}}, \frac{1}{\sqrt{26}}\right) \) または \( \left(-\frac{5}{\sqrt{26}},-\frac{1}{\sqrt{26}}\right) \)
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円の接線\n円 上の点 \( \left(x_{1}, y_{1}\right) \) におけるこの円の接線の方程式は
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放物線 上の点 \( \mathrm{P}(0,3), \mathrm{Q}(6,15) \) における接線を,それぞれ とする。この 2 つの接線と放物線で囲まれた図形の面積 を求めよ。 基本 246,247
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数直線上で、次の点間の距離を求めよ。\n(1) 原点 O と点 P(a)\n(2) 2 点 A(a), B(b) 間の距離 AB
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円 と, 点 \( (-1,1) \) を中心とする円 が外接している。\n(1) 円 の方程式を求めよ。\n(2) 円 と の共通接線の方程式を求めよ。
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練習: 2点 \( \mathrm{A}(2,3), \mathrm{B}(6,1) \) から等距離にある点 の軌跡を求めよ。また、距離の比が である点 の軌跡を求めよ。
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EX 平面上の点 \( \mathrm{A}(3,1) \) と, 軸上の点 および直線 上の点 からなる 全体から ④0 なる集合を とする。 に属する で, 周囲の長さ が最小になるのは、 の 座標がア の 座標がイ のときであり, そのときの周囲の長さは, ウ である。
[慶応大]
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総合 平面上に 2 点 \( \mathrm{A}(-1,0), \mathrm{B}(1,0) \) をとる。 を満たす平面上の点 の全体 と点 からなる図形を とする。 を図示せよ。
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2. 象限の角について説明し、次の角がどの象限に属するかを判断しなさい:\n(1) 150^{\circ}\n(2) -480^{\circ}\n(3) 1000^{\circ}
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実数 x, y が次の条件を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, x-y) の動く領域を図示せよ。
(1) -1 ≤ x ≤ 0, -1 ≤ y ≤ 1
(2) x^2 + y^2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
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xy 平面上の放物線 y=x^{2} 上を動く 2 点 A, B と原点 O を線分で結んだ △AOB に おいて, ∠AOB=90° である。このとき, △AOB の重心 Gの軌跡を求めよ。
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円の方程式
1 基本形 点 (a, b) を中心とし, 半径が r の円の方程式は
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}
特に, 原点 O を中心とし, 半径が r の円の方程式は x^{2}+y^{2}=r^{2}
2 一般形 x^{2}+y^{2}+l x+m y+n=0 (l^{2}+m^{2}-4 n>0)
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(1) 円 と直線 の 2 つの交点と原点 を通る円の方程式を 求めよ。\n(2) 円 は定数 の値にかかわらず 2 点を通る。 この 2 点の座標を求めよ。
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2点 \( \mathrm{A}(3,0), \mathrm{B}(0,3) \) と円 上を動く点 を3つの頂点とする三角形の重心 P の軌跡を求めよ。
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点 \( \mathrm{A}(2,1) \) を通る直線が円 と異なる 2 点 と で交わり, 線分 の長さが 2 66 であるとき, 直線の方程式を求めよ。\n[類 東京理科大]
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3 点 A(3,-2), B(4,1), C(1,5) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 D の座標を求めよ。
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a は定数で, a > 1 とする。直線 ℓ: x = a 上の点 P(a, t) (t は実数) を通り, 円 C: x^{2} + y^{2} = 1 に接する 2 本の接線の接点をそれぞれ A, B とするとき, 直線 AB は, 点 P によらず, ある定点を通ることを示し, その定点の座標を求めよ。[類 早稲田大]
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EX: \ x y \ 平面上の放物線 \ y = x^{2} \ 上を動く 2 点 \ \\mathrm{A} \, \ \\mathrm{B} \ と原点 \ \\mathrm{O} \ を線分で結んだ \ \\triangle \\mathrm{AOB} \ において, \ 374 \ \\angle \\mathrm{AOB} = 90^{\\circ} \\) である。このとき, \ \\triangle \\mathrm{AOB} \ の重心 \ \\mathrm{G} \ の軌跡を求めよ。\n[類 慶応大] 2 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ の座標をそれぞれ \\( \\left(\\alpha, \\alpha^{2}\\right),\\left(\\beta, \\beta^{2}\\right) \\) とする。 ただし, 3 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{O} \ は異なる点であるから\n\\n\\alpha \\neq 0, \\beta \\neq 0, \\alpha \\neq \\beta\n\\n\nこのとき, 2 直線 \ \\mathrm{OA}, \\mathrm{OB} \ の傾きはそれぞれ \ \\alpha, \\beta \ で あるから, \ \\angle \\mathrm{AOB} = 90^{\\circ} \ となるための条件は\n\\n\\alpha \\beta = -1\n\\n\nここで, \ \\triangle \\mathrm{AOB} \ の重心 \ \\mathrm{G} \ の座標を \\( (x, y) とすると\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\nx = \\frac{\\alpha + \\beta + 0}{3} = \\frac{\\alpha + \\beta}{3} \\\ny = \\frac{\\alpha^{2} + \\beta^{2} + 0}{3} = \\frac{\\alpha^{2} + \\beta^{2}}{3}\n\\end{\overlineray}\n\
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直線 \ y=-x+1 \ と \ \\frac{\\pi}{3} \ の角をなし,点 \\( (1, \\sqrt{3}) \\) を通る直線の方程式を求めよ。
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琾習 点 \( P(1,2) \) と, 直線 がある。\n(1) 直線 に関して, 点 と対称な点 の座標を求めよ。\n(2) 直線 に関して, 直線 と対称な直線の方程式を求めよ。
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3 点 \( A(5,4), B(0,-1), C(8,-2) \) について, 線分 を に外分する点 を に外分する点を とし, の重心を とする。\n(1) 線分 の中点 の座標を求めよ。\n(2) 点 G の座標を求めよ。\n(3) の重心が点 と一致するように,点 S の座標を定めよ。
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次のような円の方程式を求めよ。
(1) 中心が (3,-2), 半径が 4
(2) 点 (0,3) を中心とし, 点 (-1,6) を通る
(3) 2 点 (-3,-4),(5,8) を直径の両端とする
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点 \( \mathrm{A}(8,6) \) を通り, 軸と接する円のうちで, 半径が最も小さい円の方程式を求めよ。
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次の条件を満たす三角形の頂点の座標を求めよ。\n(1) 各辺の中点の座標が (1,-1),(2,4),(3,1)\n(2) 1 辺の長さが 2 の正三角形で, 1 つの頂点が 軸上にあり, その重心は原点に一致する。
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笎本利造 253 放物線と円が囲む面積\n放物線 と点 \( \mathrm{R}\left(0, \frac{5}{4}\right) \) を中心とする円 が異なる 2 点で接するとき\n(1) 2 つの接点の座標を求めよ。\n(2) 2 つの接点を両端とする円 の短い方の弧と とで囲まれる図形の面積 を求めよ。
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座標平面の第 1 象限にある定点 \( \mathrm{P}(a, b) \) を通り, 軸, 軸と, それらの正の部分 で交わる直線 を引くとき, と 軸, 軸で囲まれた部分の面積 の最小値と, そのときの の方程式を求めよ。
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xy 平面上に円 C_{1}: x^{2}+y^{2}-2 x=0, C_{2}: x^{2}+y^{2}-x=0 がある。原点 O を除いた円 C_{1} 上を動く点 P に対して, 直線 OP と円 C_{2} の交点のうち O 以外の点を Q とし、 Q と x 軸に関して対称な 点を Q′ とする。このとき, 線分 PQ′ の中点 M の軌跡を表す方程式を求め, その概形を図示せよ。
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(1) 双曲線 上の点 と点 \( \mathrm{A}(0,2) \) の距離を最小にする の座標と, そのときの距離を求めよ。
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点 P は円 A 上にもあり, 円 A の方程式は\n\n(x-a)^{2}+(y+a)^{2}=r^{2}\n\nであるから (p-a)^{2}+(\frac{1}{p}+a)^{2}=r^{2}\n(1)を(2)に代入して \frac{1}{p^{2}}+p^{2}=r^{2}\nまた, (1)の両辺を平方して a^{2}=p^{2}-2+\frac{1}{p^{2}}\nよって p^{2}+\frac{1}{p^{2}}=a^{2}+2\n(3) か r^{2}=a^{2}+2\nr>0 であるから r=\sqrt{a^{2}+2}
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2 次曲線 と \( xy=a(a>0) \) が第 1 象限に共有点をもち, その点におけ る 2 つの曲線の接線が一致するとき, 定数 の値を求めよ。
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このとき直線 PQ は x 軸に平行であるから, △ APQ の 面積は 1/2 ⋅{3/2-(−3/2)} ⋅{1/2-(−1)}=9/4 別解 △ APQ の面積が最大となるのは, 点 Q と直線 AP の距離 d が最大となるときである。 Q(√3 cos θ, sin θ)(0 ≤ θ<2π) ・・・ (*) とすると, 直線 AP の方程式は x-y-1=0 であるから d=|√3 cos θ- sin θ-1|/ √1^2+(-1)^2= 1/√2|2 sin (θ+2/3π)-1| よって, sin (θ+2/3π)=-1 すなわち θ+2/3π=3/2π から θ=5/6π のとき d は最大値 3/√2 をとる。このとき Q(−3/2, 1/2), △ APQ=1/2 ⋅ AP ⋅ 3/√2=1/2 ⋅ 3/√2 ⋅ 3/√2=9/4
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点 T は線分 PQ を 1: 2 に内分するから x=\frac{2 \cdot a+1 \cdot 0}{1+2}, y=\frac{2 \cdot 0+1 \cdot b}{1+2}. ゆえに a=\frac{3}{2} x, b=3 y. これらを (1)に代入して \frac{9}{4} x^{2}+9 y^{2}=1 よって 9 x^{2}+36 y^{2}=4. よって, 点 T の軌跡は楕円 9 x^{2}+36 y^{2}=4 で, その概形は右図
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次の式で表される点 \( \mathrm{P}(x, y) \) はどのような曲線を描くか。\n\n\[ (6) 類 関西大 \]\n\n(1) \\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} x=2\\sqrt{t}+1 \\\\ y=4t+2\\sqrt{t}+3 \\end{\overlineray} \\right.\n(2) \\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} x=\\sin\\theta\\cos\\theta \\\\ y=1-\\sin2\\theta \\end{\overlineray} \\right.\n(3) \\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} x=3t^2 \\\\ y=6t \\end{\overlineray} \\right.\n(4) \\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} x=5\\cos\\theta \\\\ y=2\\sin\\theta \\end{\overlineray} \\right.\n(5) \n(6) \\left\\{ \\begin{\overlineray}{l} x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1 \\\\ y=3^{t}-3^{-t} \\end{\overlineray} \\right.
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点 (-1,3) から楕円 \ \\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{4}=1 \ に引いた接線の方程式を, 2 次方程式の判別式を利用して求めよ。
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EX 放物線 を とする。
④ 148
(1) 放物線 の傾き の法線の方程式を求めよ。
(2) 軸上の点 \( (a, 0) \) から放物線 に法線が何本引けるか。ただし, とする。
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14. の直角二等辺三角形 の各辺に接し、1 つの軸が辺 に平行な楕円の面積の最大値を求めよ。ただし、長軸、短軸の長さがそれぞれ である楕円の面積は であることを用いてもよい。\n(類 東京大学)
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平行四辺形 OACB の場合辺 の中点 は実軸上にある。 また, 点 C は直線 OM 上にある から, 点 C は実軸上にある。 ゆえに, は実数または純虚数であることを示せ。
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放物線 上の点 と, 定点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) の距離の最小値を求めよ。ただし, は実数の定数とする。
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レムニスケートの極方程式\n基本例題 72\n曲線 \( \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2} \) の極方程式を求めよ。また, この曲線の概形をかけ。ただし,原点 O を極, 軸の正の部分を始線とする。
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[1] 放物線の媒介変数表示\n放物線 と, 軸に垂直な直線群 * との交点を \( \mathrm{P}(x, y) \) とすると, \( (2 p t)^{2}=4 p x \) から\n\nよって
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楕円上にあって長軸, 短軸上にない点 と短軸の両端を結ぶ 2 つの直線が, 長軸 またはその延長と交わる点をそれぞれ とする。楕円の中心を O とすると,線分 OQ, OR の長さの積は一定であることを証明せよ。
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次の条件を満たす点 の軌跡を求めよ。\n(1) 点 \( \mathrm{F}(1,0) \) と直線 からの距離の比が であるような点 \n(2) 点 \( \mathrm{F}(3,1) \) と直線 からの距離の比が であるような点
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\(\mathrm{Q}\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\), 面積は
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a>2 b とする。半径 b の円 C が原点 O を中心とする半径 a の定円 O に内接しながら滑ること なく回転していく。円 C 上の定点 P(x, y) が,初め定円 O の周上の定点 A(a, 0) にあったものとして、 円 C の中心 C と原点 O を結ぶ線分の, x 軸の正方向からの回転角を θ とするとき,点 P が描く曲線を媒介変数 θ で表せ。 円 O に内接する円 C 上の定点 P(x, y) が, 最初は点 A(a, 0) にあ り, ∠COA = θ のとき, 図の位置にあるとする。
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数学 \n61\n(2) 条件から, 点 \( P(x, y) \) について と表される。また, が 0 から まで変化するとき, 点 は 円 上を点 \( (1,0) \) から反時計回りに1周する。\n(点 \( Q_{1} ) Q_{1}(X, Y) \) とすると \nよって\n\nまた\n\[ \begin{array}{l} \nX=-\sin \theta=\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right), \nY=\cos \theta=\sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) \n\\ \end{array} \]\nここで, が 0 から まで変化するとき, は から まで変化する。\n以上から, 点 は円 上を点 \( (0,1) \) から反時計回 りに1周する。\n(点 \( Q_{2} ) Q_{2}(X, Y) \) とすると\n\[ \begin{array}{ll} \n& X=x^{2}+y^{2}, \quad Y=0 \n\\ \nここで & X=\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1 \n\\ \nよって & Q_{2}(1,0) \n\\ \n\end{array} \] \nここで \nよって \( Q_{2}(1,0) \)\nすなわち, の値に関係なく点 は定点であるから0周。
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点 P の直交座標を (x, y), 極座標を (r, θ) とするとき、次の関係式を示しなさい。
(1) x = r cos θ
(2) y = r sin θ
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次の曲線上の点 における接線の方程式をそれぞれ求めよ。
(1) 双曲線 上の点 \( \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) ただし,
(2) 曲線 上の に対応する点
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2次曲線 \( F(x, y)=0 \) (B) と直線 (A)が異なる2点で交わる場合のこの弦の長さを求めよ。
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半径 1 の円 に正三角形 が内接している。 に内接する円を とし, に内接する正方形を とする。更に, に円 を、 に正三角形 を、的に円 を, に正方形 を順次内接させていき,以下同様にして,円の列 , 正三角形の列 ,正方形の列 , を作る。\n(1) 正三角形 の 1 辺の長さはア であり,面積はイ \n〔近畿大〕\n(2) 正方形 の 1 辺の長さはウ であり, 円 の面積はエ である。 である。\n(3)円 の面積を とする。 \( s_{2 n-1}, s_{2 n}(n=1,2, \cdots \cdots) \) を で表すと, 才 ,\n 力 であるから, キ となる。
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2 点 からの距離の差が 6 であるような点 \( \mathrm{P}(x, y) \) の軌跡を求め, その軌跡を 座標平面上に図示せよ。
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(2) 点 \( \mathrm{P} (x,y) \) が、原点を中心とする半径 1 の円周上を反時計回りに 1 周するとき、点 \( \mathrm{Q}_1 (-y, x) \), 点 \( \mathrm{Q}_2 (x^2 + y^2, 0) \) は、原点の周りを反時計回りに何周するか。
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楕円 C: \\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\ と 2 定点 \\(\\mathrm{A}(0,-1), \\mathrm{P}\\left(\\frac{3}{2}, \\frac{1}{2}\\right)\\) がある。楕円 C 上を動く点 \\\mathrm{Q}\ に対 \\\mathrm{L}\. \\\triangle \\mathrm{APQ}\ の面積が最大となるとき, 点 \\\mathrm{Q}\ の座標および \\\triangle \\mathrm{APQ}\ の面積を求めよ。
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次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \ \\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}<1 \\n(2) \ \\frac{x^{2}}{9}-\\frac{y^{2}}{4} \\geqq 1 \
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練習 座標空間の点 \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(1,-1,0), \mathrm{C}(-1,-1,0), \mathrm{D}(-1,1,0) \),\n\( E(1,0,1), F(-1,0,1) \) を頂点とする三角柱を含み, 原点を中心とする 平面上の円を底面とする直円錐を考える。このような直円錐の体積の最小値と,そ のときの底面の半径 を求めよ。
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練習 極座標に関して、次の円・直線の方程式を求めよ。
(1) 中心が点 A(3, π/3), 半径が 2 の円
(2) 点 A(2, π/4) を通り, OA ( O は極) に垂直な直線
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(1) 楕円 \n(2) 双曲線 \(\frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{5}=1\)
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座標空間の平面 \(z=t(-1 \leqq t \leqq 1)\) 上で 軸, 軸までの距離がいずれも 1 以下である領域 57 の面積を求めよ。
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(2) 直線 y=t \ が C \ と共有点をもつような実数 t \ の値の範囲を求めよ。\n〔類 名古屋工大〕
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xy平面において, 点 (1,2) を通る傾き の直線を とする。また, に垂直で原点 を通る直線と との交点を とする。\n(1) 点 の座標を を用いて表せ。\n(2) 点 の軌跡が 2 次曲線 \( 2 x^{2}-a y=0(a \neq 0) \) と 3 点のみを共有するような の値 を求めよ。また, そのとき 3 つの共有点の座標を求めよ。
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次の条件を満たす点の軌跡を求めよ:点 F からの距離 と定直線 l からの距離の比が e:1 である。ここで、e > 1、F は (c, 0) であり、l は y 軸 (x=0) である。
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(中略) \( \frac{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=1 \),
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練習
Δ30
4 点 O(0), A(4i), B(5-i), C(1-i) は 1 つの円周上にあることを示せ。
α=4i, β=5-i, γ=1-i
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数学 総合 11 とする。 を原点とする座標平面において、点 \( \mathrm{P}(1,3) \) から楕円 に引いた 2 本の接線の接点を とすると. 点 はともに直線て 上にある。また, 線分 の中点を とすると, 点 は直線 イ 上にある。更に, の面積を の 面積を とすると, 比 は ウ のとき最小値エ をとる。 [類 立命館大] 本冊 例題 47,54 \( \mathrm{Q}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{R}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) とすると, 点 , R における接線の方程式はそれぞれ これらがいずれも点 \( \mathrm{P}(1,3) \) を通ると すると これは直線ア (1) が 2 点 を通ること を示している。 と 異なる 2 点であるから, ① が直線 の方程式である。 (1) を変形すると \( \quad y=\frac{2 a}{3}(1-a x) \) これを楕円の方程式に代入すると \( a x^{2}+\frac{1}{2 a} \cdot \frac{4 a^{2}}{9}(1-a x)^{2}=1 \)整理すると \( \quad a\left(2 a^{2}+9\right) x^{2}-4 a^{2} x+2 a-9=0 \) はこの 2 次方程式の 2 つの解であるから, 解と係数の関係により \( x_{1}+x_{2}=\frac{4 a^{2}}{a\left(2 a^{2}+9\right)}=\frac{4 a}{2 a^{2}+9} \) \( \mathrm{M}(X, Y) \) とすると また \( \quad Y=\frac{2 a}{3}(1-a X)=\frac{2 a}{3}\left(1-a \cdot \frac{2 a}{2 a^{2}+9}\right)=\frac{6 a}{2 a^{2}+9} \) (3), (4) から よって, 点 は直線 上にある。 点 も直線 上にあるから, 3 点 は一直線上に ある。 ゆえに であるから, (相加平均 \( ) \geqq( \) 相乗平均 \( ) \) によ \left← 楕円 上の 点 \( (\alpha, \beta) \) における接線 の方程式は ヶ異なる 2 点を通る直線 はただ 1 つである。 く両辺に9を掛けて整理。 \left← \mathrm{M} は線分 の中点。 \left← M は直線 上。 ④) から \left← \triangle \mathrm{PQR} と は,底辺 が共通である から, と の比は高 さの比に等しい。 \[ \begin{array}{c} \left← p>0, q>0 \text { のとき } \\ \frac{p+q}{2} \geqq \sqrt{p q} \end{array} \] 等号は のとき成り 立つ。
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d を正の定数とする。 2 点 A(-d, 0), B(d, 0) からの距離の和が 4 d である点 P の軌跡として定まる楕円 E を考える。\n(1) 楕円 E の長軸と短軸の長さを求めよ。\n(2) AP^{2}+BP^{2} および AP・BP を, OP と d を用いて表せ(O は原点)。\n(3) 点 P が楕円 E 全体を動くとき, AP^{3}+BP^{3} の最大値と最小値を d を用いて表せ。
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(2) 円 は中心が点 \( (\alpha, 0) \), 半径が の円であるから, その方程式は\n\[(x-\alpha)^{2}+y^{2}=1-\frac{\alpha^{2}}{4}\]。
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練習 点 \( \mathrm{A}(a,-a) \) を中心とする円が双曲線 とちょうど 2 個の共有点をもつとき、円Aの ⑮3 半径 を を用いて表せ。
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円 は次の条件を満たす。\n(i) 曲線 \( y=\log x(x>1) \) と点 \( \mathrm{P}(t, \log t) \) において接線を共有する。\n(ii) 軸の の部分に接する。\n円 の中心を , 円 と 軸の接点を とし、 と のなす角を とする。\n(1) 点 の座標を求めよ。\n(2) となるとき, の値を求めよ。\n〔類 名古屋工大〕\nHINT (1) A \( (a, b) \) とすると, 条件 (ii) から円 の半径は である。\n (O は原点) に注目し, を で表すことを考える。\n(2) 直線 PA の傾きに注目。
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曲線 \( \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}(a>0) \) 上の点 (座標軸上にはない)における接線が, 軸, 軸と交わる点を、それぞれ とするとき, 原点 からの距離の和 は一定であることを示せ。
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EX △ABC において、 AB=2, AC=1, ∠A=x とし, f(x)=BC とする。 (1) f(x) を x の式として表せ。 (2) △ABC の外接円の半径を R とするとき, \frac{d}{dx} f(x) を R で表せ。 (3) \frac{d}{dx} f(x) の最大値を求めよ。 〔長岡技科大〕
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106 サイクロイドの拡張 サイクロイド(p.102)に関連した曲線には,次のようなものがある。トロコイド: 半径 の円が定直線 軸 \( ) \) 上を滑ることなく回転するとき, 円の中心から距離 の位置 にある定点 が描く曲線をトロコイドという。特に, のとき, 点 は円の周上 にあり、 が描く曲線はサイクロイドである。 トロコイドの媒介変数表示は となる。 のとき, トロコイドの概形は, 図の曲線 のようれなる(周期はいずれも )。 (*)は, 例えば上の図で, \( \mathrm{P}(x, y) \) として直角三角形 沬注目すると, \( x=a \theta-b \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right), y=a+b \sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \) であることから,導くことができる。
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定円 x^2 + y^2 = r^2 の周上を点 P(x, y) が動くとき, 座標が (y^2 - x^2, 2xy) で表される点 Q はどんな曲線上を動くか。
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座標平面における曲線 上に, 点 \( \mathrm{P}\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) をとる。\n(1) Cの接線で, 直線 OP に平行なものの方程式を求めよ。\n(2) 点 が 上を動くとき, の面積の最大値と, 最大値を与える点 の座標をすべて 求めよ。
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次のような楕円の方程式を求めよ。(1) 2 点 (2,0),(-2,0) を焦点とし、この 2 点からの距離の和が 6
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EX 双曲線 \( C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \) の上に点 \( \\mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) をとる。ただし, とする。点 における の接線と 2 直線 および の交点をそれぞれ とする。線分 を直径とする円は の 2 つの焦点を通ることを示せ。\n〔弘前大〕
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右の図のように, の外側に, 正方形 および正方形 ACFG を作るとき,次の問いに答えよ。
(1) 複素数平面上で \( \mathrm{A}(0), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) とするとき,点 E, Gを表す複素数を求めよ。
(2) 線分 の中点を とするとき, , であることを証明せよ。
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曲線 \( \left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin 2 \theta\end{array}(-\pi \leqq \theta \leqq \pi)\right. \) の概形をかけ(凹凸は調べなくてよい)。
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総合 17 座標平面上に原点 を中心とする半径 5 の円 がある。 または とし. 半径 の円 が円 に内接して滑ることなく回転していくとする。円 上に点 がある。最初, 円 の中心 が \( (5-n, 0) \) に, 点 が \( (5,0) \) にあったとして、円 の中心が円 の内部を反時計回りに 周して, もとの位置に戻るものとする。円 と円 の接点を とし、 線分 が 軸の正の方向となす角を とする。(1) 点 の座標を と を用いて表せ。(2) 点 の描く曲線と点 の描く曲線は同じであることを示せ。
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EX 軸を準線とし,直線 に点 \( (3,3) \) で接している放物線がある。この放物線の焦点の座標 39 はア であり, 方程式はイ である。〔順天堂大〕
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座標平面上の 2 点 \( \mathrm{F}_{1}(-1,0), \mathrm{F}_{2}(1,0) \) からの距離の和が \( 2 a(a>1) \) である楕円 の方程式を求めよ。
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a は正の定数とする。点 (1, a) を通り, 双曲線 x²-4y²=2 に接する 2 本の直線が直交するときの a の值を求めよ。
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楕円 と双曲線 を考える。 と の焦点が一致しているならば、 と の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ。〔北海道大〕
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a > 0 とする。長さ 2 \pi a のひもが一方の端を半径 a の円周上の点 A に固定して,\nその円にまきつけてある。このひもを引っぱりながら円からはずしていくとき、 ひもの他方の端 P が描く曲線の長さを求めよ。
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練習 平面上に円 がある。原点 を除いた 64 円 上を動く点 に対して、直線 と円 の交点のうち 以外の点を とし、 と 軸に関して対称な点を とする。このとき、線分 の中点 の軌跡を表す方程式を求め、その概形を図示せよ。
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中心 \( (3,3) \) の円が双曲線 に 2 つの点で接するとき, その接点の 座標を 求めよ。\n〔類 関東学院大〕
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放物線、基本事項\n放物線 の標準形について。\n(1) 頂点は原点。\n(2) 焦点は点 \( (p, 0) \)。\n(3) 準線は直線 。\n(4) 軸は 軸で、放物線は軸に関して対称。\n(5) 放物線上の任意の点から焦点、準線までの距離は等しい。
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次の条件を満たす点 の軌跡を求めよ。\n(1) 点 \( \mathrm{F}(1,0) \) と直線 からの距離の比が であるような点 \n(2) 点 \( \mathrm{F}(3,1) \) と直線 からの距離の比が であるような点
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4 点 A, B, C, D の極座標をそれぞれ (r1, θ + π/6), (r2, θ), (r3, θ), (r4, θ + π/3) とする。 ΔABC は AB = AC であるような二等辺三角形、また、 ΔDBC は DB = DC であるような二等辺三角形とする。このとき、 r4 / r1 の値を求めよ。
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(4) 半径 の円板が 軸上を正の方向に滑らずに回転するとき, 円板上の点 の描く曲線 を考える。円板の中心の最初の位置を \( (0, 2a) \), 点 の最初の位置を \( (0, a) \) とし、円板がその中心の周りに回転した角を とするとき, 点 の座標を で表せ。〔お茶の水大〕
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座標平面上で,点 A(2,1) を,点 P を中心として π/4 だけ回転した後の座標を求めよ。点 A を中心として π/4回転した点の座標は (1−√2,−2+2√2) だった。点 P の座標を求めよ。
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x y 平面上に原点を中心とする楕円 E がある。その長軸は x 軸上にあり. 長さ 2 a, 短軸は長さ 2 b である (a>b) 。楕円 E の方程式はア □ である。 E 上の 3 点 A(-a, 0), B(0, -b), P(p, q) が作る ΔABP, 辺 AB を底辺とするときの高さを p, q で表すとイ □ であるから, ΔABP の面積を S とすると, S= ウ □ である。
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線 \綀習 を媒介変数とする。次の式で表された曲線はどのような図形を表すか。\n(1) \( x=\frac{2(1+t^{2})}{1-t^{2}}, \ y=\frac{6t}{1-t^{2}} \)\n(2)
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双曲線 上の 1 点 \( \mathrm{P}\left(x_{0}, y_{0}\right) \) から円 に引いた 2 本の接線の両接点を通る直線をしとする。ただし、 とする。\n(1) 直線 は, 方程式 で与えられることを示せ。\n(2)直線 は, 双曲線 に接することを証明せよ。\n〔名古屋市大〕
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エピサイクロイドの媒介変数表示
例題 63
p. 106 参考事項
半径 の円 が, 原点 を中心とする半径 の定円 に外接しながら滑ること なく回転するとき, 円 上の定点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が, 初め定円 の周上の定点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) にあったものとして, 点 が描く曲線を媒介変数 で表せ。ただし,円 Cの中心 C と O を結ぶ線分の, 軸の正方向からの回転角を とする。
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放物線 \( y^{2}=4p x(p>0) \) の焦点 を通る直線と放物線との交点を とするとき, 線分 が点 F で1:2 に内分されるように直線 の傾きを定めよ。
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30 半径 1 の円 S_1 に正三角形 T_1 が内接している。 T_1 に内接する円を S_2 とし, S_2 に内接する正方形 U_1 とする。更に, U_1 に円 S_3 を, S_3 に正三角形 T_2 を, T_2 に円 S_4 を, S_4 に正方形 U_2 を順次内接させていき, 以下同様にして, 円の列 S_1, S_2, S_3, …,正三角形の列 T_1, T_2, T_3,…,正方形の列 U_1, U_2, U_3, … を作る。
(1) 正三角形 T_1 の 1 辺の長さはア 〇 であり,面積はイ 〇 である。
(2) 正方形 U_1 の 1 辺の長さはウ 〇 であり,円 S_2 の面積はエ 〇 である。
(3)円 S_n の面積を s_n とする。 s_{2n-1} と s_{2n} (n=1, 2, ...) を n で表せ。
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42 双曲線 \( C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \) の上に点 \( \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) をとる。ただし, とする。点 における の接線と 2 直線 打よび の交点をそれぞれ とする。線分 を直径とする円は Cの 2 つの焦点を通ることを示せ。
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直線 上の点 \( \mathrm{P}(4, t)(t \geqq 0) \) から楕円 に引いた 2 本の接線のなす鋭角を とするとき(1) を を用いて表せ。(2) が最大となるときの の値を求めよ。〔東京理科大〕
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半直線上の点の軌跡\n107\n重要例題 64\n数学 II \n は原点とする。点 が円 の周上を動くとき, 半直線 上にあって, を満たす点 の軌跡を求めよ。
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双曲線 上の点 と点 \( \mathrm{A}(0,2) \) の距離を最小にする の座標と, そのときの距離を求めよ。
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(1) 座標平面上の 2 点 \( \mathrm{F}_{1}(-1,0), \mathrm{F}_{2}(1,0) \) からの距離の和が \( 2a(a>1) \) である楕円 の方程式を求めよ。
(2) 楕円 が直線 と接するとき, の値と接点 の座標を求めよ。
(3) 点 における楕円 の法線が x 軸と交わる点を とするとき, であることを示せ。
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焦点が \\( \mathrm{F}(3,0), \mathrm{F}^{\\prime}(-3,0) \\) で点 \\( \mathrm{A}(-4,0) \\) を通る楕円の方程式を求めよ。
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2つの直線 上にそれぞれ点 がある。 の面積が ( は定数) のとき, 3線分 を 2:1 に内分する点 の軌跡を求めよ。ただし,Oは原点とする。
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円 の内側を半径 1 の円 が滑らずに転がる。時刻 のいて は点 \( (3 \cos t, 3 \sin t) \) で に接している。\n(1)時刻 において点 \( (3,0) \) にあった 上の点 の時刻 における座標 \( (x(t), y(t)) \) を求めよ。ただし, とする。\n(2) (1) の範囲で点 P の描く曲線の長さを求めよ。\n〔類 早稲田大〕
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点 (-1,3) から楕円 \ \\frac{x^{2}}{12}+\\frac{y^{2}}{4}=1 \ に引いた接線の方程式を求めよ。
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105 (1) \left(t \sqrt{1+\sin ^{2} t}, 0\right) (2) \left(0, \frac{t}{\sin t}\left(1+\sin ^{2} t+\sqrt{1+\sin ^{2} t}\right)\right) (3) 点 (0,2)
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原点Oにおいて直交する2直線と放物線 \( y^{2}=4 p x(p>0) \) との交点のうち, 原点O以外の2つの交点を とするとき, 直線 は常に 軸上の定点を通ることを示せ。
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2 双曲線の性質
方程式 (1) を導くのに √(c² - a²) = b とおいたから, c = √(a² + b²) である。したがって, 双曲線 (1) の焦点の座標は F(√(a² + b²), 0), F'(-√(a² + b²), 0) となる。
2 点 F, F' を焦点とする双曲線において, 直線 FF' を主軸, 主軸と双曲線との 2 つの交点を頂点, 線分 FF' の中点(標準形の場合は原点)を双曲線の中心という。双曲線 (1) は x 軸, y 軸, 原点に関して対称である。
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例題 119 接線が作る角の問題 楕円 に点 \( \mathrm{A}(1,2) \) から引いた 2 本の接線の接点をそれぞれ と する。このとき, は鋭角であることを示せ。
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点 \( \mathrm{A}(-1,2) \) から直線 に垂線を引き, この直線との交点を とする。\n点 の座標と線分 の長さをベクトルを用いて求めよ。
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PR長さが 3 の線分 \ \\mathrm{AB} \ の端点 \ \\mathrm{A} \ は \ x \ 軸上を, 端点 \ \\mathrm{B} \ は \ y \ 軸上を動くとき, 線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ 1: 2 \ に外分する点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡を求めよ。\n2 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ の座標を,それぞれ \\( (s, 0),(0, t) \\) とすると, \ \\mathrm{AB}^{2}=3^{2} \ であるから \ \\quad s^{2}+t^{2}=3^{2} \\cdots \\cdots \ (1)\n点 \ \\mathrm{P} \ の座標を \\( (x, y) \\) とすると, 点 \ \\mathrm{P} \ は線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ 1: 2 \ に外分するから\n\nゆえに \ s=\\frac{1}{2} x, t=-y \\nこれらを(1)に代入すると \\( \\left(\\frac{1}{2} x\\right)^{2}+(-y)^{2}=3^{2} \\)\nすなわち \ \\frac{x^{2}}{6^{2}}+\\frac{y^{2}}{3^{2}}=1 \\nよって, 点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡は, 楕円 \ \\frac{x^{2}}{36}+\\frac{y^{2}}{9}=1 \ である。
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双曲線 \ x^2 - y^2 = 2 \ の第 4 象限の部分を C とし, 点 ( √2, 0 ) を A, 原点を O とする。曲線 C 上の点 Q における接線 ℓ と, 点 O を通り接線 \\\ell\ に垂直な直線との交点を P とする。\n (1) 点 Q が曲線 C 上を動くとき, 点 P の軌跡は, 点 O を極とする極方程式\n r^2 = 2 cos 2 θ \n ( r > 0, 0 < θ < π/4 ) で表されることを示せ。\n (2) (1)のとき, \Δ OAP \ の面積を最大にする点 P の直交座標を求めよ。
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直交する漸近線を持つ双曲線を直角双曲線という。中心が原点, 1 つの焦点が \( (0,4) \) である直角双曲線の方程式を求めよ。
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方程式 \( |z-\alpha|=r(r>0) \) を満たす点 \( \mathrm{P}(z) \) 全体の集合は点 \( \mathrm{A}(\alpha) \) を中心とする半径 の円となります。さらに、不等式 \( |z-\alpha| \leqq r(r>0) \) を満たす点 \( \mathrm{P}(z) \) 全体の集合は点 を中心とする半径 の円の周および内部です。
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67 (1) (イ) 接線の方程式は\n\ y=\\frac{1}{9} x+\\frac{2}{9} \\]\n法線の方程式は\n\\[ y=-9 x+\\frac{28}{3} \
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k=\( \frac{2 \sqrt{10}}{3} のとき, 中点の座標は \left(-\frac{3 \sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{15}\right) k=-\frac{2 \sqrt{10}}{3 のとき, 中点の座標は \left(\frac{3 \sqrt{10}}{10},-\frac{\sqrt{10}}{15}\right)
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例題 132 媒介変数表示の利用
楕円 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, \, b>0) \) の接線と両座標軸とで作られる三角形の面積 の最小値を求めよ。
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円に内接する四角形 は次の条件 (a), (b) を満たすとする。\n(a) 三角形 は正三角形である。\n(b) AP と BC の交点は線分 BC を \( p:(1-p)[0<p<1] \) に内分する。\nこのとき、 ベクトル を , を用いて表せ。
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a, h を正の定数とする。 x y 平面上の原点 ( 0,0 ) からの距離と直線 x=−a からの距離の比が h: 1 である点 P の軌跡を C とす。\\n (1) 点 P の極座標を (r, θ) とするとき, 軌跡 C を極方程式で表せ。\\n (2) C 上の 4 点 Q, R, S, T を考える。線分 QR と ST が原点で直交しているとき, \ \\frac{1}{QR} + \\frac{1}{ST}\ の値が 4 点の選び方によらず一定となることを示せ。\n (3) 0 < h < 1 のとき, C と x の方程式で表せ。また, C がどのような図形となるか述べよ。
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△ABCを1辺の長さが1の正三角形とする。△ABCを含む平面上の点Pが 34 AP・BP - BP・CP + CP・AP = 0 を満たして動くとき、Pが描く図形を求めよ。
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基本例題 42 円の接線のベクトル方程式\n2 点 \( \\mathrm{A}(3,-5), \\mathrm{B}(-5,1) \\) を直径の両端とする円を C \ とする。\n(1) 点 \( P_{0}(2,2) \\) は円 C \ 上の点であることを, ベクトルを用いて示せ。\n(2) 点 \\mathrm{P}_{0} \ における円 C \ の接線の方程式を, ベクトルを用いて求めよ。
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平面 α の法線ベクトルを n=(a,b,c)(n≠0) とする。 A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,4) とすると
AB=(-2,3,0) AC=(-2,0,4) n⊥AB であるから n・AB=0 よって -2a+3b=0 n⊥AC であるから n・AC=0 ゆえに -2a+4c=0 (1) から b=2/3 a (2) から c=1/2 a よって n=a(1,2/3,1/2) n≠0 であるから, a=6 として n=(6,4,3) 点 P は平面 α 上にあるから n・AP=0 ∠ AP=(x-2,y,z) であるから したがって 6(x-2)+4y+3z=0 6x+4y+3z-12=0
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四角形が円に内接する条件については、四角形 が円に内接するための条件を学習してきました。ここでは、複素数平面上で、異なる 4 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma), \mathrm{D}(\delta) \) のうち、どの 3 点も一直線上にないとき、これらの 4 点が 1 つの円周上にある条件を考えます。
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EX (1) 平面上の 3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(2,1), \mathrm{B}(1,2) \) を通る円の方程式を求めよ。
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研究 種め 三角形の五心と位置ベクトル
55
3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする三角形の五心(重心,内心,垂心,外心,傍心)の 位置ベクトルが, を用いてどのように表されるかということを調べてみよう。 の内部の点 の位置ベクトル の内部の点 をと, 直線 と辺 の交点を と する。 と の面積について,右の図で底辺をと もに辺 とみると,面積の比は高さの比 となる。 であるから よって, \( \triangle \mathrm{ABP}: \triangle \mathrm{CAP}=\underline{\mathrm{BD}}: \underline{\mathrm{CD}} \cdots \cdots \cdot(*) \) が成り立つ。 このことから, の内部の点 の位置ベクトルについて,次のことが成り立つ。 の内部に点 \( \mathrm{P} と り, \mathrm{~A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}), \mathrm{P}(\vec{p}) \) とする。\( \triangle \mathrm{BCP}: \triangle \mathrm{CAP}: \triangle \mathrm{ABP}=\alpha: \beta: \gamma(\alpha>0, \beta>0, \gamma>0) \cdots \cdots(\star) \) とするとき\(\vec{p}=\frac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}}{\alpha+\beta+\gamma} \cdots \cdots(* *) \text { が成り立つ。 }\]
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例題 32 | 円の接線のベクトル方程式 (1) 中心 \( \mathrm{C}(\vec{c}) \), 半径 の円 上の点 \( \mathrm{P}_{0}\left(\vec{p}_{0}\right) \) における円の接線のベクトル方程式 は \( \left(\overrightarrow{p_{0}}-\vec{c}\right) \cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^{2}(r>0) \) であることを示せ。 (2) 円 \( x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0) \) 上の点 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) における接線の方程式は であることを,ベクトルを用いて証明せよ。
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92 (2) 2 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ と点 \( \\mathrm{C}(t,-1,4) \\) について, \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積 \( S(t) \\) の最小值を求めよ。
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双曲線 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \quad[ \) 標準形]\n中心は原点。\n曲線は 軸, 軸, 原点に関して対称。\n焦点は \( \mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-c, 0) \quad c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \)\n漸近線は直線 \n曲線上の任意の点 にいて
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例題 110 双曲線と軌跡\n2 つの円 \( C_{1}:(x+5)^{2}+y^{2}=36 \) と円 \( C_{2}:(x-5)^{2}+y^{2}=4 \) に外接する円 の中心 の軌跡を図示せよ。
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数学 \nEX 2 点 \( (-5,2),(1,2) \) からの距離の和が 10 である点の軌跡を求めよ。 3107
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\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ を 1 辺の長さが 1 の正三角形とする。\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ を含む平面上の点 \ \\mathrm{P} \ が \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BP}} - \\overrightarrow{\\mathrm{BP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{CP}} + \\overrightarrow{\\mathrm{CP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = 0 \ を満たして動くとき, \ \\mathrm{P} \ が描く図形を 求めよ。[埼玉大]
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練習:点 \( (2,0) \) を通る直線が楕円 と異なる 2 点 で交わるとき、線分 の中点 の軌跡を求めよ。\n[類 静岡大]
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円 を , 楕円 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \) を とする。 上のどんな点 に対しても, を頂点にもち に外接して, に内接する平行四辺形が存在するための必要十分条件を で表せ。\n[東京大]
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PR 点 \\mathrm{O} \ を中心とし, 長さ の線分 \\mathrm{AB} \ を直径とする円の周上を動く点 \\mathrm{P} \ がある。 \\triangle \\mathrm{ABP} \ の面積 ③2を S_{1} \, 扇形 \\mathrm{OPB} \ の面積を S_{2} \ とするとき,次の問いに答えよ。\n(1) \( \\angle \\mathrm{PAB}=\\theta\\left(0<\\theta<\\frac{\\pi}{2}\\right) \\) とするとき, S_{1} \ と S_{2} \ を求めよ。\n(2) \\mathrm{P} \ がBに限りなく近づくとき, \\frac{S_{1}}{S_{2}} \ の極限値を求めよ。
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原点 から点 方向へ線分 上を距離 \( u(0 \leqq u \leqq \sqrt{3}) \) だけ進んだ点を とする。点 Uを通り直線 に垂直な平面で を切ったときの断面の円の半径 を, の 関数として表そう。\nここで, 点 から直線 へ下ろした垂線を, それぞれ DS, ET とする。
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空間の 3 点 \( L(2,1,0), M(1,2,0), N(2,2,1) \) に対して, の大きさを求めよ。
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点 F(p, 0)(p ≠ 0) を焦点とし,直線 ℓ: x=-p を準線とする放物線上の点を P(x, y) とし, 点 P から直線 ℓ に下ろした垂線を PH とする。\nPF=PH であるから\n \(\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}=|x-(-p)|\)\n両辺を平方して\n\((x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2}\)となることを示せ。
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3 点 \( \\mathrm{A}(1,-1,0), \\mathrm{B}(3,1,2), \\mathrm{C}(3,3,0) \\) の定める平面を \ \\alpha \ とする。点 \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) が \ \\alpha \ 上にあるとき, \ x, y, z \ が満たす関係式を求めよ。
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練習直線 上の点 \( \mathrm{P}(5, t) \) から楕円 に引いた 2 本の接線のなす鋭角を とする。 の最大値とそれを与える の値を求めよ。
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重要例題 115 二次曲線の回転移動
xy 平面上の 2 次曲線 C: 9x^2 + 2√3xy + 7y^2 = 60 を原点の周りに角 θ (0 < θ ≤ π/2) だけ回転して得られる曲線の方程式は, ax^2 + by^2 = 1 の形になるという。このとき, θ の値と定数 a, b の値を求めよ。
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以下の文章を元にして、解析幾何学の基礎について説明しなさい。「この章では、解析幾何学の方法を用いて、これまでに扱わなかった図形、主として、楕円、双曲線、放物線などの2次曲線の性質を学んでいく。また、曲線を式で表す方法として、媒介変数表示および座標と極方程式についても簡単に触れる。」
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において, とし, 外心を とする。 , とするとき, 次の問いに答えよ。
(1)内積 を求めよ。
(2) を , を用いて表せ。
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点 \( \mathrm{A}(4,5) \) から, 直線 に引いた垂線と直線 との交点を Hとする。(1) 点 の座標を, ベクトルを用いて求めよ。(2) 線分 の長さを求めよ。
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極座標で表された点 A の座標が \( (3, \frac{\pi}{6}) \)、点 B の座標が \( (5, \frac{5\pi}{6}) \) のとき、三角形 OAB の面積を求めなさい。
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重要列題 134 ハイポサイクロイドの媒介変数表示\na>2 b とする。半径 b の円 C が原点 O を中心とする半径 a の定円 O に内接しなが ら滑ることなく回転していく。円 C 上の定点 P(x, y) が, 初め定円 O の周上の定点 A(a, 0) にあったものとして, 円 C の中心 C と原点 O を結ぶ線分の, x 軸の正方向からの回転角を θ とするとき, P が描く曲線を媒介変数 θ で表せ。
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点 O(0), A(α), B(β) が一直線上にないとき、加法 C(α + β) とすると、四角形 OACB はどのような形になりますか?
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三角形 𝐴𝐵𝐶 において 𝐴=4, 𝐵=5, 𝐶=6 とする。三角形 𝐴𝐵𝐶 の外心を 𝐻 とするとき, 外心 H を 𝐴, 𝐵 を用いて表せ。 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏 とする。辺 𝐴, 辺 𝐵 の中点をそれぞれ 𝑀, N とする。ただし, 三角形 𝐴𝐵𝐶 は直角三角形 ではないから, 𝐻は M, N と一致 しない。 𝐻 は三角形 𝐴𝐵𝐶 の外心であるから 𝐴 ⊥ MH, 𝐵 ⊥ NH より, OH=s𝑎+t𝑏(s, tは実数) とする。 𝐴 ⊥ MH より, 𝐴 ⋅ MH=0 であるから 𝑎 ⋅(OH−OM)=0 よって (s−1/2)𝑎+t𝑏=0 b ⋅(OH−ON)=0 よって b ⋅{s𝑎+(t−1/2)b}=0 ゆえに (s−1/2)|𝑎|2+t𝑎⋅𝑏=0 𝐵 ⊥ NH より, 𝐵 ⋅ NH=0 であるから ゆえに s𝑎 ⋅ 𝑏+(t−1/2)|𝑏|2=0
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定円 の周上を点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が動くとき, 座標が \( \left(x^{2}-y^{2}, 2x y\right) \) で ある点 はどのような曲線上を動くか。
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円 の周上を点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が動くとき, 座標が \( \left(\frac{x^{2}}{2}-y^{2}+3, \frac{5}{2}xy-1\right) \) である点 はどのような曲線上を動くか。
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辺の長さが 1 である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに , とし, とする。
(1) \( \overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 s \vec{a}+(3-3 s) \vec{b} \) で与えられる点 が の内部に存在するような実数 の値の範囲を求めよ。
(2) 正六角形 の外接円を とする。S の周上の任意の点 に対して, ベクトル は方程式 を満たす。
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第4章式と曲線
469
1 + \left(\frac{x+1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{y-2}{\sqrt{2}}\right)^{2}
\Leftarrow θ を消去。 よって 双曲線 \frac{(x+1)^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{2}=-1
PR t は媒介変数とする。 x=\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, y=\frac{4 t}{1-t^{2}} で表される図形はどのような曲線を描くか。
HINT 分数式で表されている場合は, 除外点があることが多いので, 要注意。
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524 数学C\n二 ネ ネ当てはまるものを,次の解答群から1つずつ選べ。二 ~ネの解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\n(0) 辺 OD と点Oで交わる\n(2) 辺 OD(両端を除く)と交わる\n(4) 辺 OD のDを越える延長と交わる\n(1) 辺 OD と点Dで交わる\n(3) 辺 OD のOを越える延長と交わる\n(5) 直線 OD と平行である
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䌉習長さ 2 の線分 の端点 は 軸上を, 端点 は 軸上を動く。このとき, 線分 の延長上に となるようにとった点 の軌跡を求めよ。
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双曲線 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 の漸近線の方程式は次のどれか。
1) y = ±(b/a)x
2) y = ±(a/b)x
3) y = ±(a/2b)x
4) y = ±(b/2a)x
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重要例題 108 楕円と最大・最小\n楕円 の周上で の部分を とする。また,2つの円 \( (x-1)^{2}+y^{2}=1, \quad(x+1)^{2}+y^{2}=1 \) の周上で の部分をそれぞれ とする。 このとき, 上のそれぞれの動点 に対して の最大値を 求めよ。\n[東京工大]
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中心は原点で, 長軸は x 軸上,短軸は y 軸上にあり,2 点 (-4,0), (2, √3) を通る楕円の方程式を求めよ。
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楕円 の外部の点 \\( \\mathrm{P}(a, b) \\) から, この楕円に引いた2本の接線が 直交するような点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡を求めよ。
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例題 95 | 複素数平面上の直線の方程式 (2)\n複素数平面上において, 点 \( \\mathrm{A}(\\alpha)(|\\alpha|>1) \\) から, 原点 \ \\mathrm{O} \ を中心とする半径 1 の円 に接線を 2 本引く。これら 2 接線と円との 2 つの接点のうち, 一方の接点を \\mathrm{B} \,他方を \ \\mathrm{C} \ とし, 直線 \ \\mathrm{BC} \ 上に点 \\( \\mathrm{P}(z) \\) があるとする。点 \ \\mathrm{B} \ を表す複素数を \ \\beta \ とする。このとき, \ \\bar{\\alpha} z+\\alpha \\bar{z} \ は点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{P} \ のとり方に関係なく一定であることを示し, その値 を求めよ。\n[類 德島大]
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2 点 \( (2 \sqrt{2}, 0),(-2 \sqrt{2}, 0) \) を焦点とし, 焦点からの距離の和が 6 である楕円の方程式を求めよ。
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PRACTICE 70\n次の曲線について、()に指定された t の値に対応する点における接線の方程式を求めよ。\n(1) \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x=2 t \\\\ y=3 t^{2}+1\\end{array} \\quad(t=1)\\right. \\)\n(2) \\( \\left\\{\\begin{array}{l}x=\\cos 2 t \\\\ y=\\sin t+1\\end{array} \\quad\\left(t=-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right. \\)
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平面上で 1 次独立なベクトル \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ を定めると,任意の点 \\mathrm{P} \ は \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad(s, t \ は実数 \( ) \\) の形にただ1通りに表される。このとき, 実数の組 \( (s, t) \\) を斜交座標という。この斜交座標を使って次の問題を解いてください。\n\n点 \( \\mathrm{P}(s, t) \\) が直交座標平面上で直線 3 x + y = 2 \ 上にある場合、斜交座標平面ではどのように表されますか?
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点 A(2,1,3) と, 平面 α: 2x-2y+z+4=0 がある。
(1) 原点 O と点 A を通り, 平面 α に垂直な平面 β の方程式を求めよ。
(2) 点 A からの距離が 6 であり, 平面 α に平行な平面 γ の方程式を求めよ。
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平面上の点の存在範囲について説明しなさい。特に以下の図形における点の存在範囲を述べなさい。
1. 直線
2. 三角形
3. 平行四辺形
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原点を O とする。点 P は平面 α 上にあるから, s, t, u を実数として
∠ OP=sOA+tOB+uOC, s+t+u=1と表される。
よって (x, y, z) =s(1,2,4)+t(-2,0,3)+u(4,5,-2) = (s-2t+4u, 2s+5u, 4s+3t-2u) ゆえに x=s-2t+4u, y=2s+5u, z=4s+3t-2u s, t, u について解くと s=(1/39)(15x-8y+10z), t=(1/39)(-24x+18y-3z), u=(1/39)(-6x+11y-4z) s+t+u=1 に代入して整理すると 5x-7y-z+13=0
別解 2 平面の方程式を ax+by+cz+d=0 とする。点 (1,2,4) を通るから a+2b+4c+d=0 点 (-2,0,3) を通るから -2a+3c+d=0 点 (4,5,-2) を通るから 4a+5b-2c+d=0 (1), (2), (3) から a=-5c, b=7c, d=-13c よって −5cx+7cy+cz-13c=0 c≠0 としてよいから 5x-7y-z+13=0 点 P が平面 α 上にあるとき, この式を満たすから, これが求める関係式である。
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極座標に関して,次の円,直線の極方程式を求めよ。
(1) 中心が点 \( \left(1, \frac{3}{4} \pi\right) \), 半径 1 の円
(2) 点 \( \mathrm{A}\left(2, \frac{\pi}{4}\right) \) を通り, 直線 (Oは極) に垂直な直線
(3) 2 点 \( \mathrm{A}\left(2, \frac{\pi}{6}\right), \mathrm{B}\left(4, \frac{\pi}{3}\right) \) を通る直線
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平面上のベクトルと空間のベクトルの性質を学んできたが,p.393の まとめ以外のこと について, 比較しながらまとめよう。
1. 点(a, b)を中心とする半径rの円の方程式は (x-a)²+(y-b)²=r²。中心がC(𝑐) , 半径rの円のベクトル方程式は |𝑝−𝐶|=r。 p. 344 基本事項 3。
2. 点 (a, b, c) を中心とする半径 r の球面の方程式は (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²。中心が C(𝑐) , 半径 r の球面のベクトル方程式は |𝑝−𝐶|=r。 p.398,399 基本事項 3.2。
補足: 空間の場合はz座標が追加される。ベクトル方程式の形は同じである。
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空間において, 3 点 A(5,0,1), B(4,2,0), C(0,1,5) を頂点とする三角形 ABC がある。(1) 線分 AB, BC, CA の長さを求めよ。(2) 三角形 ABC の面積 S を求めよ。
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C を,原点を中心とする単位円とする。長さ 2π のひの一端を点 A(1,0) に固定し,他の一端 P は初め P₀(1,2π) に置く。この状態から, ひもをぴんと伸ばしたまま P 反時計回りに動かしてCに巻きつけるとき, P が P₀ から出発して A に到達するまでに描く曲線の長さを求めよ。[東京電機大]
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125. 図示せよ。\n(1) 楕円 \\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{25}=1 \
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円,楕円,双曲線,放物線は,それぞれ次のような x, y の 2 次方程式で表される。\n円 \( x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0) \)\n楕円 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0, a \\neq b) \quad \longleftarrow a=b \) のときは, 円を表す。\n双曲線 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}= \pm 1(a>0, \quad b>0) \)円は楕円の特別な場合と いえる。\n放物線 \( y^{2}=4 p x(p \\neq 0), x^{2}=4 p y(p \\neq 0) \)\n\nこれらの曲線をまとめて2次曲線という。上記のように表される 2 次曲線を平行移動したときの曲線の方程式は\n\n\n\n() 基本事項\nの形で表される。\n(1) が 2 次曲線を表すとき, 曲線の特徴(円の半径, 楕円や双曲線の焦点などの情報)を 調べるためには平方完成をすることが基本となる。ただし, (1)の形からでも,次のように考えることはできる。\n・ のとき, ① は円を表す。\n・ のとき ( と が同符号のとき), ① は楕円を表す。\n・ のとき ( と が異符号のとき), (1) は双曲線を表す。\n・ または いずれか一方のみが 0 のとき, (1) は放物線を表す。\n・曲線が原点 \( (0,0) \) を通る \n— ともに 0 の ときは, 直線を 表し, 2 次曲線 とはならない。\n(1) で係数を変化させたときの曲線の様子について,具体例で考えてみよう。\n\n例 (1) およい, の値を とすると\n\n とすると すなわち \nこれは放物線を表す。\n のとき, それぞれについて平方完成し, 右辺が 1 となるように整理すると\n\[\n\\frac{\left(x+\\frac{1}{a}\\right)^{2}}{\\frac{1}{a^{2}}}+\\frac{(y+1)^{2}}{\\frac{1}{a}}=1\n\]\n 楕円または双曲線の標準形を意識した変形。\n(A) において, とすると \( \quad(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \)\n\nよって, ① は円を表す。 中心 \( (-1,-1) \), 半径1の円\n のとき, (A)において, \( \left(x+\\frac{1}{a}\\right)^{2} \) の係数, \( (y+1)^{2} \) の係数は異なる値をとり, かつ, ともに正となる。よって, ①楕円を表す。\n のとき,(A)において, \( \left(x+\\frac{1}{a}\\right)^{2} \) の係数は正, \( (y+1)^{2} \) の係数は負となる。 よって, ① は双曲線を表す。
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例題 137
極座標と軌跡
点 A の極座標を (2,0), 極 O と点 A を結ぶ線分 OA を直径とする円 C の周上の任意の点を Q とする。点 Q における円 C の接線に, 極 O から垂線 OP を下ろし, 点 P の極座標を (r, θ) とする。このとき, 点 P の軌跡の極方程式を求めよ。ただし, 0 ≤ θ < π とする。
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(1) 点 \( \mathrm{A}(-2,3) \) を通り, 直線 に平行, 垂直な直線の方程式 をそれぞれ求めよ。
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点 \( \mathrm{A}(2,0) \) を中心とする半径 1 の円と直線 の両方に接し, 点 を内部に含まない円の中心の軌跡を求めよ。
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利題 105 楕円と軌跡\n長さ \( l(>0) \) が一定の線分 があり, 端点 は 軸上を, 端点 は 軸上を動く。 このとき, 線分 を に内分する点 の軌跡を求めよ。ただし, , とする。
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次の直交座標の点 C, D の極座標 (r, θ)[0 ≤ θ < 2π] を求めよ。
C(√2/2, -√2/2), D(-2, -2√3)
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練習 (1) 長軸の長さ 4 , 短軸の長さ 2 の楕円の離心率を求めよ。また, 1つの焦点を極 とし, 準線に垂直に交わる半直線 OXを始線として, 楕円の極方程式を求めよ。\n(2)(1)の楕円上の点 (ただし を通り, に垂直な直線の極方程式を求 めよ。ただし, Bは直線 の上側にあるものとする。
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中心が \\( \\left(r_0, \\theta_0\\right) \\)、半径が \ a \ の円の極方程式を求めなさい。
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例 46 | 楕円とその概形\n次の楕円の長軸・短軸の長さ, 焦点, 面積を求めよ。また, 楕円の概形をかけ。\n(1) \ \\frac{x^{2}}{9}+\\frac{y^{2}}{4}=1 \\n(2) \ 3 x^{2}+2 y^{2}=6 \
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亘要例題 141 エピサイクロイドの媒介変数表示
座標平面上に, 原点 を中心とする半径 2 の固定された 円 と,それに外側から接しながら回転する半径 1 の円 がある。円 の中心が \( (3,0) \) にあるときの 側の 接点に印 をつけ,円 を円 に接しながら滑らずに 回転させる。円 の中心 がOの周りを だけ回転し たときの点 の座標を \( (x, y) \) とする。このとき, 点 の 描く曲線を,媒介変数 で表せ。
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1220O を原点とする座標平面における曲線 上に, 点 \( \mathrm{P}\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) をとる。\n(1) C の接線で直線 OP に平行なものをすべて求めよ。\n(2) 点 が 上を動くとき, の面積の最大値と, 最大値を与える の座標をすべて求めよ。\n[岡山大]
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109 (1) 点 0 と点 1 を結ぶ線分の垂直二等分線
(2) 点 を中心とする半径 の円。 ただし, 点 1 を除く
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4 点 A(-2,3), B(2, x), C(8,2), D(y, 7) を頂点とする四角形 ABCD が平行四辺形になるように, x, y の値を定めよ。また, このとき, 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を E として,線分 BE の長さを求めよ。
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放物線 \( y^{2}=4 p x(p>0) \) の弦 の両端と原点 を通る線分 が直交する ならば,弦 は定点を通ることを証明せよ。
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次の条件を満たす点 の軌跡を求めよ。\n(1) 点 \( \mathrm{F}(1,0) \) と直線 からの距離の比が であるような点 \n(2) 点 \( \mathrm{F}(1,0) \) と直線 からの距離の比が であるような点
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2| 座標平面に平行な平面の方程式 点 P(a, b, c) を通り, 座標平面に平行な平面の方程式は yz 平面に平行... x=a, zx 平面に平行... y=b, xy 平面に平行... z=c 特に, xy 平面, yz 平面, zx 平面の方程式は, それぞれ z=0, x=0, y=0 である。
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(2)自然数 に対して, から を次のように定める。 上の点 における接線と 軸との交点を とし, を通り 軸に垂直な直線と との交点を とする。 および 2 つの線分 で囲まれる部分の面積 を求めよ。
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67 (1) (ア) 接線の方程式は\n\ y=-e x-1 \\]\n法線の方程式は\n\\[ y=\\frac{x}{e}+\\frac{1}{e}+e-1 \
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双曲線 \\( \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) \\) 上の任意の点 \ \\mathrm{P} \ から 2 つの漸近線に垂線 \, \ \\mathrm{PR} \ を下ろすと, 線分の長さの積 \ \\mathrm{PQ} \\cdot \\mathrm{PR} \ は一定であることを証明せよ。
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点 \( \\mathrm{A}(-1,2) \) から直線 に垂線を引き, この直線との交点を とする。点 の座標と線分 AH の長さをベクトルを用いて求めよ。
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120. (1) 頂点 \( (2,0),(-2,0) \\) 焦点 \( (2 \\sqrt{2}, 0),(-2 \\sqrt{2}, 0) \\) 漸近線 y= \\pm x \、図示せよ。(2) 頂点 \( (0,5),(0,-5) \\) 焦点 \( (0, \\sqrt{34}),(0,-\\sqrt{34}) \\) 漸近線 y= \\pm \\frac{5}{3} x \、図示せよ。
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座標平面上の円 C: x^2 + y^2 = 9 の内側を半径 1 の円 D が滑らずに転がる。時刻 t において D は点 (3 cos t, 3 sin t) で C に接しているとする。時刻 t = 0 において点 (3,0) にあった D 上の 点 P の時刻 t における座標 (x(t), y(t)) を求めよ。ただし、0 ≤ t ≤ 2/3π とする。[早稲田大]
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次の 2 次曲線の焦点の座標を求めよ。\n(1) \n(2) \( \frac{x^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}+y^{2}=1 \)\n(3) \n(4) \n(5)
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(1) の値を とし,更に, にある値をそれぞれ入れ たところ, 図1のような楕円が表示された。このときの の値の組み合わせとして最も適当なものは,次の0~7)のうちアである。
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PR Oを中心とする楕円の 1 つの焦点を Fとする。この楕円上の 4 点を とするとき, 次のことを証明せよ。\n(1) のとき は一定\n(2) 焦点 を極とする楕円の極方程式を \( r(1+e \\cos \\theta)=l(0<e<1, l>0) \) とする。弦 が,焦点Fを通り直交しているとき は一定
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EX 放物線 上の点 と, 定点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) の距離の最小値を求めよ。ただし, は定数とする。
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例題 27 |直線に関して対称な点の位置ベクトル\n平面上に 3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{P}(\vec{p}) \) がある。点 を通り, ベクトル に垂直な直線 を とし, 点 を通り, ベクトル に垂直な直線を とする。ただし, は単位 ベクトルとする。\n(1) 直線 に関して点 と対称な点を \( \mathrm{Q}(\vec{q}) \) とするとき, を を用いて 表せ。\n(2)(1)の点 と直線 に関して対称な点を \( \mathrm{R}(\vec{r}) \) とするとき, を を用いて表せ。
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EX 3 点 \( P(1,2), Q(3,-2), R(4,1) \) を頂点とする平行四辺形の第 4 の頂点 の座標を求めよ。
(3) 12
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(1)平面で, 辺の長さが 4 の正方形の辺に沿って, 半径 \( r(r \leqq 1) \) の円の中心が 1 周するとき, この円が通過する部分の面積 \( S(r) \) を求めよ。
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直交する漸近線をもつ双曲線を直角双曲線という。中心が原点,1つの焦点が (0,4) である直角双曲線の方程式を求めよ。
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47 正の実数 に対し, 座標平面上の 2 点 \( \mathrm{F}(t, 0), \mathrm{F}^{\prime}(3 t, 0) \) からの距離の和が であるような点 の軌跡を とする。直線 を とす。(1) と が相異なる 2 つの共有点をもつような の値の範囲を求めよ。(2) が(1)で求めた範囲を動くとき, と 2 つの共有点および原点 を頂点とする三角形の面積の最大値を求めよ。[熊本大]
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(1) 2 点 \( (0,5),(0,-5) \) を焦点とし, 焦点からの距離の差が 8 である双曲線の方程式を求めよ。
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次の双曲線の頂点と焦点, および漸近線を求めよ。また, その概形をかけ。\n120\n(1) \ \\frac{x^{2}}{4}-\\frac{y^{2}}{4}=1 \\n(2) \ 25 x^{2}-9 y^{2}=-225 \
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楕円 \ \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ の外部の点 \ \\mathrm{P} \ から, この楕円に引いた2本の接線が直交するとき, 次の設問に答えよ。\n(1)2つの接線が \ x \ 軸または \ y \ 軸に平行になる点 \ \\mathrm{P} \ の座標を求めよ。\n(2) 点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡を求めよ。
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異なる 3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を頂点とする の内心を \( \mathrm{P}(z) \) とする。このと き, は等式 を満たすことを示せ。
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平面上に \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ があり, \ \\mathrm{OA}=5, \\mathrm{OB}=8, \\mathrm{AB}=7 \ とする。\ s, t \ を実数として, 点 \ \\mathrm{P} \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ で定める。(1)\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ の面積 \ S \ を求めよ。(2)\ s \\geqq 0, t \\geqq 0,1 \\leqq s+t \\leqq 2 \ のとき, 点 \ \\mathrm{P} \ の存在範囲の面積を \ T \ とする。面積比 \ S: T \ を求めよ。[類 掟南大]
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1 辺の長さが 1 の正四面体 において, 辺 の中点を, それぞ れ とする。\n(1) が成り立つことを証明せよ。\n(2) の重心をGとするとき, 線分 の長さを求めよ。
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練㥜 133\n曲線 \( x=a \\cos 2 t, y=a \\cos 3 t(a>0) \\) の概形をかけ。
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PRACTICE 77° α=x+4 i, β=6+6 x i とする。 2 点 A(α), B(β) と原点 O が一直線上にあるとき, 実数 x の値を求めよ。
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練習 四角形 \ \\mathrm{ABCD} \ の辺 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD} \ の中点をそれぞれ \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とし, 対角線 \ \\mathrm{AC}, \\mathrm{BD} \ の中点 スをそれぞれ M,Nとする。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}} および \\overrightarrow{\\mathrm{MN}} を, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}} および \\overrightarrow{\\mathrm{BC}} で表せ。\n(2)(1)の結果を用いて, 直線 \ \\mathrm{PQ} \ と直線 \ \\mathrm{MN} \ が垂直であるとき, \ \\mathrm{AD}=\\mathrm{BC} \ である ことを証明せよ。
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(1) 焦点は 2 点 \( (2, \sqrt{3}+3) \)、\( (2,-\sqrt{3}+3) \); 図略 (2) a=2, b=3, c=
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例 45 | 放物線とその概形\n(1)焦点が点 \\( (3,0) \\), 準線が直線 \ x=-3 \ である放物線の方程式を求めよ。また, その放物線の概形をかけ。\n(2) 次の放物線の焦点と準線を求め,放物線の概形をかけ。\n(ア) \ y^{2}=-2 x \\n(1) \ y=-2 x^{2} \\n(3)頂点が原点で, 焦点が \ x \ 軸上にあり, 点 \\( (-1,4) \\) を通る放物線の方程式を求めよ。
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B120๑ とする。点 が円 の周上を動くとき, の 座標 だけを 倍した点 の軌跡を とする。 を定数として, 直線 に関して と対称な曲線を とする。\n(1) を表す方程式を求めよ。\n(2) を表す方程式を求めよ。\n(3)直線 と が共有点をもたないとき, の値の範囲を求めよ。\n[室蘭工大] 118, 127
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(1)極座標が \( (3,0) \) である点 を通り,始線に垂直な直線を とする。極 を焦点, を準線とする放物線の極方程式を求めよ。
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(2) (ア) 2 点 \( (1,3),(3,-1) \) を通る直線の方程式を媒介変数 を用いて表せ。\n(イ)(ア)で求めた直線の方程式を,tを消去した形で表せ。
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この正六角形の対角線 \ \mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF} \ の交点を \ \mathrm{O} \ とする。\n(1) \ \overrightarrow{\mathrm{FE}}=\overrightarrow{\mathrm{FO}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\vec{a}+\vec{b} \\n(2) \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{FE}} \\n\\( =\vec{a}+(\vec{a}+\vec{b})=2 \vec{a}+\vec{b} \\)\n(3)\n\\[ \\begin{aligned} \\overrightarrow{\mathrm{AQ}} & =\\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\\overrightarrow{\mathrm{DQ}} \\\\ & =2 \\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\mathrm{DC}} \\\\ & =2(\\vec{a}+\\vec{b})+\\frac{1}{2}(-\\vec{b}) \\\\ & =2 \\vec{a}+\\frac{3}{2} \\vec{b} \\end{aligned} \\]\n(4)\n\\[ \\begin{aligned} \\overrightarrow{\\mathrm{RQ}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{RC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}+\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{CD}} \\\\ & =\\frac{1}{2}(\\vec{a}+\\vec{b})+\\frac{1}{2} \\vec{b}=\\frac{1}{2} \\vec{a}+\\vec{b} \\end{aligned} \\]
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5 円の極方程式\n(1) 中心が極, 半径が の円 は任意の値 \( ) \)\n(2) 中心の極座標が \( (a, 0) \), 半径が の円\n
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2 つの曲線 を考える。 と は\n(3131 の範囲に交点が 2 つあり, それらの 座標をそれぞれ \( \\alpha, \\beta(\\alpha<\\beta) \) とする。区間 において, 2 つの曲線 C_{1}, C_{2} \ で囲まれた図形を とし, その面積を S \ とする。更に D \ のうち, y \\geqq 0 \ の部分の面積を S_{1}, y \\leqq 0 \ の部分の面積を S_{2} \ とする。\n(1) \\cos \\alpha, \\sin \\alpha, \\cos \\beta, \\sin \\beta \ をそれぞれkを用いて表せ。\n(2) S \ をk用いて表せ。\n(3) \3 S_{1}=S_{2}\ となるようにkの値を定めよ。
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例題 24 外心とベクトルの等式に関する問題\n鋭角三角形 の外心 から直線 に下ろした垂線の足を,それぞれ とするとき が成立しているとする。\n(1) が成り立つことを示せ。\n(2) 内積 を求めよ。\n(3) の大きさを求めよ。
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PRACTICE 114(1)放物線 の焦点,準線を求めよ。また,その概形をかけ。(2)焦点が点 \( (0,-1) \), 準線が直線 の放物線の方程式を求めよ。
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[1] 点 \( \mathrm{C}(\vec{c}) \) を中心とする半径 の円 ( は正の定数 \( ) \)点 \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) が円 上にあるための条件は よって で \( \vec{p}=(x, y), \vec{c}=(a, b) \) とすると, 円の 方程式 \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \) が得られる。
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(2) 対角線 と の交点を とすると したがって\nS= \\triangle AOB + \\triangle BOC + \\triangle COD + \\triangle DOA\nヘロンの公式を使用できます。
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円Oに円外の点 から 2 本の接線を引き, その接点を S, T とし, OP と ST の交点 61 を とする。また, 点 を通る直線(OPとは一致しない)が円Oと 2 点 で交 わるとする。(1) であることを証明せよ。 (2) 4 点 は 1 つの円周上にあることを証明せよ。
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31 △ABCにおいて、3辺の長さが次のようなとき、△ABCは鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるか。(1) a=6, b=4, c=3
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分速 800 m で北に進む船 A と、分速 600 m で西に進む船 B があり、両船の航路の交点を O とする。現在、A は O の南 2 km、B は O の東 4 km にいる。この 2 隻の船が最も近づくとき、両船間の距離は何 km か?
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二等辺三角形とその性質について説明してください。\n\n1) 二等辺三角形の定義を説明せよ。\n2) 二等辺三角形の底角が等しいことを証明せよ。\n3) 2つの角が等しい三角形が二等辺三角形であることを証明せよ。\n4) 二等辺三角形の頂角の二等分線が底辺を垂直に二等分することを証明せよ。
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睐習 円に内接する四角形 で, であるとき、次の問いに答えよ。\n(1) 辺 DA の長さを求めよ。\n(2)四角形 の面積を求めよ。
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特別な平行四辺形には以下のようなものがあります:\n[1] 長方形\n (A) 4 つの角が等しい(定義)。\n (B) 対角線の長さが等しい。\n[2] ひし形\n (C) 4 つの辺が等しい(定義)。\n (D) 対角線は垂直に交わる。\n[3] 正方形\n 長方形かつ ひし形。上の (A)〜(D)をすべて満たす。
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円の接線 は接点Aを通る半径 OA に垂直である。円周上の点Aを通る直線 が半径 OA と垂直であるならば、 はこの円の接線です。また、円の外部の 1 点からその円に引いた 2 本の接線の長さは等しいです。
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例題 外接円・内接円の半径\n において, のとき, 次のものを求めよ。\n(1) 外接円の半径 \n(2) 内接円の半径
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3 辺の長さが である三角形がある。\n(1) のとりうる値の範囲を求めよ。\n(2)この三角形が鋭角三角形であるとき, の値の範囲を求めよ。
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練習 右の図の A, B, C, D を 4 色の色鉛筆で塗り分ける。 ただし, A,B, C, Dの各部分は正三角形である。
(1)同じ色を何回使ってもよいが,隣り合う部分は異なる 色で塗り分ける方法は何通りあるか。
(2)場所の名称を区別しない場合,4色全部を使って塗り 分ける方法は何通りあるか。
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2 直線 (1), (2) と x 軸のなす角を, それぞれ α, β(0°<α<180°, 0°<β<180°) とすると
tan α=-√3
tan β=1
θ=
α=120°, β=45° がなす鋭角 θ は、図から θ=α-β=120°-45°=75°
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平行四辺形になるための条件は次の通り:\n[1] 2 組の対辺がそれぞれ等しい。\n[2] 2 組の対角がそれぞれ等しい。\n[3] 対角線がそれぞれの中点で交わる。\n[4] 1 組の対辺が平行で, 長さが等しい。
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数学 \n(6) 直線 と直線 を引く。この 2 直線が 2 円 の共通内接線である。\n\nこのとき ,\n\\[\mathrm{AP}=\mathrm{OP}-\mathrm{OA}=\left(r+r^{\prime}\right)-r=r^{\prime}\\]\n\nまた, であるから, 四角形 は長方形となる。 ゆえに \ \\angle O A A^{\prime}=\angle \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}=90^{\circ} \\nよって, 直線 は 2 円 の共通内接線である。\n直線 についても同様にして示される。
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方べきの定理の逆\n2 つの線分 \\mathrm{AB} \ と \\mathrm{CD} \, または \\mathrm{AB} \ の延長と \\mathrm{CD} \ の延長が点 \\mathrm{P} \ で交わるとき,\n \\mathrm{PA} \\cdot \\mathrm{PB}=\\mathrm{PC} \\cdot \\mathrm{PD} \ が成り立つならば, 4 点 \\mathrm{A} \, B, C,Dは1つの円周上にある。
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1 辺の長さが 1 の正四面体 がある。辺 の中点を とし, 点 は辺 108 上を動くものとする。線分 OP の長さを とするとき(1) を で表せ。\n(2) とするとき, を で表せ。\n(3) AMP の面積を で表せ。\n(4) の面積の最小值を求めよ。[新潟大]
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練習\n103 本冊 p.201\nOから ABに引いた垂線を OHとすると, Hは辺ABの中点である。OA= OB= a とすると、\n∠AOB= 360° ÷ 8= 45° から, △OABの 面積は (√2/4) * a^2\n余弦定理により AB^2= a^2 + a^2 - 2a * a * cos45° = (2 - √2)a^2\n△OAHにおいて, AH^2 = a^2 - r^2\nAH= (1/2) * AB であるから, (1/4) AB^2 = a^2 - r^2\n4(a^2 - r^2) = (2 - √2)a^2
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平行四辺形の性質: 平行四辺形の 2 組の対辺はそれぞれ平行である(定義)。\n[1] 平行四辺形の2組の対辺はそれぞれ等しい。\n[2] 平行四辺形の 2 組の対角はそれぞれ等しい。\n[3] 平行四辺形の対角線は,それぞれの中点で交わる。
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練習\n85\n\ \\triangle \\mathrm{ADC} \ は \ \\angle \\mathrm{C}=90^{\\circ} \ の直角二等辺三角形であるから\n\n\n\nまた, \ \\triangle \\mathrm{ABD} \ は \ \\mathrm{AD}=\\mathrm{BD} \ の二等辺三角形であるから\n\n\n\n直角三角形 \ \\mathrm{ABC} \ において\n\n\[ \\mathrm{AB}=\\sqrt{(\\sqrt{2}+1)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{4+2 \\sqrt{2}} \]\n\nしたがって\n\n\[ \\begin{array}{l} \\sin 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{AC}}{\\mathrm{AB}}=\\frac{1}{\\sqrt{4+2 \\sqrt{2}}}=\\sqrt{\\frac{4-2 \\sqrt{2}}{(4+2 \\sqrt{2})(4-2 \\sqrt{2})}} \\\\ =\\sqrt{\\frac{4-2 \\sqrt{2}}{8}}=\\frac{\\sqrt{2-\\sqrt{2}}}{2} \\\\ \\cos 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{BC}}{\\mathrm{AB}}=\\frac{\\sqrt{2}+1}{\\sqrt{4+2 \\sqrt{2}}} \\\\ =(\\sqrt{2}+1) \\sqrt{\\frac{4-2 \\sqrt{2}}{(4+2 \\sqrt{2})(4-2 \\sqrt{2})}} \\\\ =(\\sqrt{2}+1) \\sqrt{\\frac{4-2 \\sqrt{2}}{8}}=\\frac{(\\sqrt{2}+1) \\sqrt{2-\\sqrt{2}}}{2} \\\\ =\\frac{\\sqrt{(\\sqrt{2}+1)^{2}(2-\\sqrt{2})}}{2}=\\frac{\\sqrt{2+\\sqrt{2}}}{2} \\\\ \\tan 22.5^{\\circ}=\\frac{\\mathrm{AC}}{\\mathrm{BC}}=\\frac{1}{\\sqrt{2}+1} \\\\ =\\frac{\\sqrt{2}-1}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)}=\\sqrt{2}-1 \\\\ \\end{array} \]
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31 △ABCにおいて、3辺の長さが次のようなとき、△ABCは鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるか。(2) a=5, b=13, c=12
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31 △ABCにおいて、3辺の長さが次のようなとき、△ABCは鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれであるか。(3) a=10, b=9, c=12
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右の図のような円Oについて, 次の接線の作図の手順を答えよ。\n(1) 円Oの周上の点 における円Oの接線\n(2) 円Oの外部の点 から円Oに引いた接線
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例 29 | 角の二等分線と比
である におい て, およびその外角の二等分線が辺 また はその延長と交わる点を,それぞれD, E とする。線分 DE の長さを求めよ。
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(2) 3 点 \( \mathrm{A}(2,-1,2), \mathrm{B}(0,2,3), \mathrm{C}(3,-4,0) \) を頂点とする三角形はどのような形か。
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例 40 ⇒ 本冊 p .371
2 つの円の半径について, 2a>a である。
[1] 2 つの円が外接するとき
6=2a+a よって a=2 このとき, 共通接線の本数は 3 本
[2] 2 つの円が内接するとき
6=2a-a よって a=6 このとき, 共通接線の本数は 1 本 したがって a=2, 共通接線の本数は 3 本 または a=6, 共通接線の本数は 1 本
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2 点 P, Q の選び方の総数は
(1) △APQ が直角三角形となるのは、三角形の 1 辺が円の直径と一致する場合である。1. 線分 AP が直径であるとき、点 Q は AP の右側にあり、その選び方は 5 通り 2. 線分 AQ が直径であるとき、1 と同様に考えて 5 通り 3. 線分 PQ が直径であるとき、点 A を通らない直径 1 つに対して直角三角形 APQ が 1 つ定まるから 5 通り
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三角形 において とし、 の二等分線と辺 との交点を とする。頂点Cから直線 AP に下ろした垂線と、直線 AP, AB との交点をそれぞれ とする。\n[大分大]\n(1) 線分 BE の長さを求めよ。\n(2) 辺 BC の中点を とするとき、線分 MD の長さを求めよ。\n(3) : DP を求めよ。
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例題 最大・最小の文章題 (1)\n(1)長さ の紐を切って 2 本の紐を作る。一方の長さを とし,この長さ の紐 で円を作る。もう一方の紐では正方形を作る。このようにしてできる円の面積 と正方形の面積との和 を, と を用いて表せ。\n(2) S の最小値とそのときの を, を用いて表せ。\n[類 中央大]
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練習 鋭角三角形 の垂心をHとし,辺 の中点を , 線分 の中点を とする。 48 このとき, 線分 の長さは の外接円の半径に等しいことを, 上の例題の 結果を用いて証明せよ。
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例 64 三角形の解法 (1)
において, 次のものを求めよ。
(1) のとき
(2) \( a=4, \quad b=2(\sqrt{3}-1), c=2 \sqrt{2} \) のとき
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辺の長さが 2 と 3 で, 1 つの角の大きさが であるような三角形がある。この 三角形の残りの 1 辺の長さを求めよ。
[北里大]
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次のように, 最小値をとる \( (a, b) \) を座標平面を利用して求めることもできる。討 平面 \( { }^{(*)} \) 上で は, 点 \( (a, b) \) と原点との距離の平方を 表し, は を代入していくと,右の図 のような直線を表している。これらの直線上の格子点で, 原点 との距離が最小になるのは, 右の図のように, 直線 上 の点 \( (13,14) \) と点 \( (14,13) \) である。すなわち, は, \( (a, b)=(13,14),(14,13) \) のとき最小と なる。(*)横軸が の值をとる 軸,縦軸が の值をとる 軸による座標平面のこと。
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右の図のように, 5 本の平行線と, それらに直交する 3 本の 平行線が,それぞれ両方とも等間隔で並んでいる。(1) 図の 8 本の直線のうちの 4 本で囲まれる図形の中で,長方形(正方形を含む)は何個あるか。(2) これらの平行線の 15 個の交点から 3 点を選んでできる三角形の中で, 図の点 Aを頂点とするものは何個あるか。
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円と直線の位置関係は半径 の円の中心 から直線 までの距離 によって次のように分類されます。 のとき、交わる(交点は 2 つ)。 のとき、接する(接点を共有)。 のとき、離れている。
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辺の長さが 6 の正四面体 について, 辺 上で を満たす点 をE,辺 CDの中点を とする。[大阪教育大]\n(1) 線分 AM, AE, EM の長さをそれぞれ求めよ。\n(2) とおくとき, の値を求めよ。(3) の面積を求めよ。
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直径 2 の円Oをかく。\n円Oの周上の点 を通り, OT に垂直な直線を引く。その直線上に となるような点 をとる。\n直線 と円Oの交点を, 図のように とすると, 線分 PB が求める線分で ある。このとき, とすると, 方べきの定理から \( x(x-2)=2^2 すなわち x^{2}-2 x-4=0 よって, 線分 PB は 2 次方程式 x^{2}-2 x-4=0 の正の解 を長さにもつ線分である。
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1 点間の距離についての説明を理解する。原点 と点 \( \\mathrm{P}(a) \) の間の距離、2 点 \( \\mathrm{A}(a), \\mathrm{B}(b) \) 間の距離の公式をそれぞれ求めなさい。
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例題 67 | 媒介変数と軌跡\n放物線 \( y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16 \) の頂点を Pとする。 が 0 以上の値をとって 変化するとき, 頂点 の軌跡を求めよ。
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(1) 軸と 軸の両方に接し, 点 \( \mathrm{A}(-4,2) \) を通る。 (2) 点 \( (3,4) を通り, 軸に接し,中心が直線 上にある。
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例 29 | 三角形の形状
4 点 \( \mathrm{A}(4,0), \mathrm{B}(0,2), \mathrm{C}(3,3), \mathrm{D} \) について, 次の問いに答えよ。
(1) はどのような形の三角形か。
(2) が正三角形になるとき, 点Dの座標を求めよ。
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101
例 30 内分点, 外分点, 重心の座標
\( \mathrm{A}(-2,5), \mathrm{B}(6,-3), \mathrm{C}(1,7) \) とするとき, 次の点の座標を求めよ。
(1) 線分 を に内分する点
(2) 線分 CA を に外分する点
(3) 線分 の中点
(4) の重心
(5) 点 に関して, 点 と対称な点
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a, b を正の実数とする。直線 ℓ: a x+b y=1 と曲線 y=-1/x との 2 つの交点のうち, y 座標が正のものを P, 負のものを Q とする。また, ℓ と x 軸との交点を R とし, ℓ と y 軸との交点を S とする。a, b が条件 : PQ / RS = √2 を満たしながら動くとき, 線分 PQ の中点の軌跡を求めよ。
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練習 (2) 点 の座標を \( (x, y) \) とすると, から \(\{(x-1)^{2}+(y-4)^{2}\}+\{(x+1)^{2}+y^{2}\}=18\) 整理して すなわち \(x^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\) ゆえに,条件を満たす点は,円 (1) 上にある。逆に, 円 (1) 上の任意の点は, 条件を満たす。したがって, 求める軌跡は中心が点 \( (0,2) \), 半径が 2 の円
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点 \( \\mathrm{A}(-3), \\mathrm{B}(6) \) を結ぶ線分 について、次の点の座標を求めよ。\n(1) に内分する点\n(2) に外分する点\n(3) に外分する点\n(4) 中点
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例 31 | 平行四辺形の頂点の座標
3 点 \( \mathrm{A}(1,2), \mathrm{B}(5,4), \mathrm{C}(3,6) \) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 の座標 を求めよ。
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円の接線\n円 上の点 \( \left(x_{1}, y_{1}\right) \) におけるこの円の接線の方程式を求めなさい。\n
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点 \\((a, 0), (0, b)[a \\neq 0, b \\neq 0]\\ を通る直線の方程式を求めよ。
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(1)直線 BC を x 軸, 点 P を原点にとると, △ABC の頂点の座標 は, 次のように表すことができる。\nA(a, b), B(-c, 0), C(2 c, 0)\nただし, b ≠ 0, c > 0 である。このとき 2 AB² + AC² = 3 (AP² + 2 BP²) を確認せよ。
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湖題 45 | 三角形を作らない 3 直線\n3 直線 が三角形を作らないような定数 の値を求めよ。\n[日本歯大]
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練吿 放物線y=x^2上を動く点Pと2点A(3,-1)、B(0,2)に対して、次の点Q、Rの軌跡を求めよ。
(1) 線分APを2:1に内分する点Q
(2) △PABの重心R
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点 \( (3,4) \) は直線 上にあるから, 求める直線は, (1) より 2 点 \( (-7,-11),(-1,6) \) を通る。
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練習 (2) 放物線 \ y=x^{2} \ と直線 \\( y=m(x+2) \\) が異なる 2 点 \ \mathrm{A}, \mathrm{B} \ で交わっている。 \ m \ の\n値が変化するとき, 線分 \ \mathrm{AB} \ の中点の軌跡を求めよ。
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点 は線分 の中点と一致する。
点S の座標を \( (x, y) \) とすると
これを解いて
したがって, 点Sの座標は \( \quad(-10,13) \)
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また, 2 点 \( (-1,1),(3,-1) \) を通る直線の方程式は
\[
y-1=\frac{-1-1}{3-(-1)}(x+1) \text { すなわち } \quad x+2 y=1
\]
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演習例題\n14\n2 変数関数の最大値\n関数 のグラフ上に点 \( \mathrm{A}(-1,1), \mathrm{B}\left(p, p^{2}\right), \mathrm{C}\left(q, q^{2}\right), \mathrm{D}(1,1) \) をとる。 ただし, とする。\n(1) 四角形 の面積を を用いて表せ。\n(2) を定数として固定して, だけを変化させて考える。四角形 の面積を最大にする の値を で表せ。\n(3) を(2)で求めた値とし,今度は を変化させて考える。四角形 の面積を最大にする の値を求めよ。\n[津田塾大]
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533 例 の解答 44 図略 (1) 第 4 象限 (2) 第 2 象限 (3) 第 3 象限 (4) どの象限の角でもない
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第3 章 (28 t) がすべての実数値をとるとき, 3 点 \(\mathrm{A}(t, t^{2})\), \(\mathrm{B}(t, t-2)\), \(\mathrm{C}(t+\sqrt{3}, t^{2}-t-1)\) について,次の問いに答えよ。\n(1) 各実数 に対して, AとBは異なる点であることを示せ。\n(2) が直角三角形になる をすべて求めよ。\n(3) が鋭角三角形になる の範囲を求めよ。
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線分 BC の垂直二等分線の方程式は
y-0=-2(x-5)
すなわち y=-2 x+10
(4), (5) を連立して解くと x=4, y=2
ゆえに,外接円の中心は点 (4,2) で,半径は
sqrt{(8-4)^{2}+(5-2)^{2}}=5
よって, 求める方程式は (x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25
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22 つの円の交点,円と直線の交点を通る円,直線
x, y の式を f(x, y) のように書き, 方程式 f(x, y)=0 が 1 つの曲線 (直線となる場合も含む)を表すとき, この曲線を曲線 f(x, y)=0 といい, この方程式を曲線の方程式 という。
2 つの円 f(x, y)=0 (1), g(x, y)=0 (2) が 2 点で交わるとき, k を定数と すると, 方程式 k f(x, y)+g(x, y)=0 (3) は, 次の図形を表す。
[1] (3) が x, y の 2 次方程式のとき, 2 つの円 (1), (2)の交点を通る円(を除く)
[2] (3) が x, y の 1 次方程式のとき, 2 つの円 (1), (2) の交点を通る直線
例 f(x, y)=x^{2}+y^{2}-1, g(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 x-2 y+1 とする。k の値により, k\left(x^{2}+y^{2}-1\right)+x^{2}+y^{2}+2 x-2 y+1=0 はどの図形を表すか。
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次の円の周上の点 \( \mathrm{P}(4,6) \) における接線の方程式を求めよ。\n\\[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\\]
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(1)〜(3)の結果により, の重心Gの座標は \[ \left(\frac{3-8+2}{3}, \frac{3+1+1}{3}\right) \text { から }\left(-1, \frac{5}{3}\right) \]
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(2) 座標平面上の 2 点 \( \\mathrm{A}(1,4), \\mathrm{B}(-1,0) \\) からの距離の 2 乗の和 \\mathrm{AP}^{2}+\\mathrm{BP}^{2} \ が 18 である点Pの軌跡を求めよ。\\( [(2) \\) 北海学園大]
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次の 2 点間の距離を求めよ。\n(1) \( \\mathrm{A}(-5), \\mathrm{B}(3) \)\n(2) \( \\mathrm{A}(-7), \\mathrm{B}(-9) \)
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(2) (1) から, △AOB は ∠AOB = 90° の直角三角形であるから, 3点 A, B, O を通る円は線分 AB を直径とする円である。
線分 AB を直径とする円の中心を Cとすると, C は線分 AB の中点であるから C(m/2, (α + β)^2/2 - 2αβ/2) である。
ここで, (1)より,
m/2, m^2/2+2/2 = (m^2+2)/2
よって, C(m/2, (m^2+2)/2)
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演習例題 17 通過領域の面積
\( \mathrm{A}(-1,0), \mathrm{B}(1,0) \) を直径とする右の図のような半円があ る。弧 上の 2 点 に対して, 弦 を折り目とし て折り返したとき,弧 が 軸に接する。接点の 座標 を \( t(-1 \leqq t \leqq 1) \) とするとき,次の問いに答えよ。
(1) 2 点 を通る直線の方程式を求めよ。
(2) が -1 から 1 まで動くとき, 弦 が通過する範囲を図示し,その面積を 求めよ。
[広島大]
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(1) 中心 (0, -3), 半径3の円。ただし、2点 (0, 0), (0, -6) を除く
(2) 中心 (0, 2), 半径2の円
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(1)中心は直線 \ y=x \ 上にあるから,その座標を \\( (t, t) \\) とおくことができる。\nまた, 円は両座標軸に接するから, 半径は \ |t| \ であり, 求める円の方程式は,次のように表される。\n\\[\n(x-t)^{2}+(y-t)^{2}=|t|^{2}\n\\]\n\n円 (1) が直線 \ 3 x+4 y=12 \ に接するための条件は, 円の中心 \\( (t, t) \\) と直線 (2) との距離が円の半径 \ |t| \ に等しいことであるから \\\\ \\frac{|3 t+4 t-12|}{\\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=|t| \\) よって \\quad|7t-12|=5|t| \ よって 7 t-12= \\pm 5 t \ゆえに t=6 \ または \ t = 1 \\nこれを (1) に代入して, 求める円の方程式は\n\\[(x-6)^{2}+(y-6)^{2}=36, \\quad(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1\\]\n
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瑓習 (1) 座標平面上で 3 点 \( \mathrm{A}(a, 2), \mathrm{B}(5,1), \mathrm{C}(-4,2 a) \) が一直線上にあるとき, 定 44 数 の値を求めよ。\n(2) を実数とする。座標平面上の 3 つの直線 \( x+(2 t-2) y-4 t+2=0 \)、 \( x+(2 t+2) y-4 t-2=0 \), が 1 点で交わるような の値を求めよ。
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[数学 I]\nすると、円と直線の交点の座標を (\\alpha, 1-\\alpha), (\\beta, 1-\\beta) とすると、\\alpha, \\beta は2次方程式の解で,解と係数の関係により\n\\n\\alpha+\\beta=1, \\quad \\alpha \\beta=-\\frac{3}{2}\n\\nよって,弦の中点の座標は\n\\[\n\\left(\\frac{\\alpha+\\beta}{2}、\\frac{1-\\alpha+1-\\beta}{2}\\right) すなわち \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right)\n\\]\nまた, 弦の長さを とすると\n\\[\n\\begin{aligned}\nl^{2} &= (\\beta - \\alpha)^{2} + \\{ (1 - \\beta) - (1 - \\alpha) \\}^{2} = (\\beta - \\alpha)^{2} + (\\alpha - \\beta)^{2} \\&= 2(\\alpha - \\beta)^{2} = 2 \\left\\{ (\\alpha + \\beta)^{2} - 4 \\alpha \\beta \\right\\} = 2 \\left\\{ 1^{2} - 4 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) \\right\\} = 14 \\end{aligned}\\]\nよって, 弦の長さは
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(1) 軸と 軸の両方に接し, 点 \( \mathrm{A}(-4,2) \) を通る。 (2) 点 \( (3,4) を通り, 軸に接し,中心が直線 上にある。
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(1) 点Pの座標を求める問題。A(6, -3)とB(1, 7)の2点を結んだ直線状にある点P(x, y)の座標を求める。
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円 \( (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5 \) の外部。ただし, 境界線を含む。\nさこの円は原点を通る。
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3点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right), \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \) を頂点とする の重心 Gの座標は\n\[\\left(\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\\right)\]
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数学 II 河 36 本冊 p.119
(1) 半径 r は, 中心 (-5,4) と原点の距離であるから r^2=(-5)^2+4^2=41
したがって, 求める円の方程式は (x+5)^2+(y-4)^2=41
(2) 中心は直径の中点であるから、その座標は
(-3+3)/2, (6+(-2))/2 すなわち (0,2)
半径 r は中心 (0,2) と点 A(-3,6) の距離であるから r^2=(-3-0)^2+(6-2)^2=25
したがって, 求める円の方程式は x^2+(y-2)^2=25
別解 (2) の円周上に, A, B とは異なる点 P(x, y) をとると, AP ⊥ BP であるから, x ≠ -3, x ≠ 3 のときは (y-6) / (x-(-3)) * (y-(-2)) / (x-3) = -1
したがって (x+3)(x-3)+(y-6)(y+2)=0 すなわち x^2+(y-2)^2=25
この方程式は x=-3, x=3 のとき, すなわち, 点 (-3,6), (-3,-2),(3,6),(3,-2) も満たすから, 求める円の方程式である。
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一般角について、次の命題が真であるかどうかを判定し、理由を述べなさい。\n「360度より大きい角度は存在しない」
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動径をOP とする。
(1) 650°=290°+360°
第 4 象限
(2) 840°=120°+360°×2
第 2 象限
(3) -495°=225°+360°×(-2)
第 3 象限
(4) -1260°=180°+360°×(-4) であるから どの象限の角でもない
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例題 連動して動く点の軌跡
2点O(0,0)、A(1,0)と円x^2+y^2=1上を動く点P を3つの頂点とする△OAPの重心Gの軌跡を求めよ。
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[2]放物線と円が1点で接する場合 図より, 放物線と円が点 \( (0,3) \) または点 \( (0,-3) \) で接する場合であるから 以上から, 求める の値は
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重要例題 58 放物線と円の共有点\n は正の定数とする。放物線 と円 \( x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} \) について,次の問いに答えよ。\n(1) のとき, 放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ。\n(2) がすべての正の実数値をとって変化するとき, 放物線と円の共有点の個数 はどのように変わるか調べよ。
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次の円の方程式を求めよ。\n(1) 中心が点 \( (-3,1) \), 半径が 2\n(2)中心が原点,半径が
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2 直線 \( (a-2) x + a y + 2 = 0 \) と \( x + (a-2) y + 1 = 0 \) が平行になるときの の値、および一致する場合や垂直になる場合の の値を求めなさい。
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2 平面上の 2 点間の距離の公式を理解する。点 \( \\mathrm{O}(0 ; 0), \\mathrm{A}(x_{1}, y_{1}), \\mathrm{B}(x_{2}, y_{2}) \\) の間の距離の公式を求めなさい。
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(2) 点Qの座標を求める問題。A(-2, 7)とB(-2, 5)の2点を結んだ直線状にある点Q(x, y)の座標を求める。
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練習 2つの円 \ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0, x^{2}+y^{2}=5 \ について\n(1) 2 円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。\n(2) 2 円の2つの交点と点 (1,3) を通る円の中心と半径を求めよ。
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次の直線のうち, 互いに平行な直線, 垂直な直線はどれとどれか。\n(1) y=2x+3\n(2) y=√2x-1\n(3) y=-2x+1\n(4) 2x-√2y+1=0\n(5) x+2y-5=0
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(1)点 \( (-5,4) \) を中心とし,原点を通る円の方程式を求めよ。\n(2) 2 点 \( \mathrm{A}(-3,6), \mathrm{B}(3,-2) \) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。
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数学 II 練習 62 本冊 p.135
与えられた円を,それぞれ順に C_1, C_2 とする。(1) 円 C_1 上の接点の座標を (x_1, y_1) とすると
x_1^2 + y_1^2 = 9
接線の方程式は
x_1x + y_1y = 9
直線 (2) が円 C_2 に接するための条件 は, 円 C_2 の中心 (0,2) と直線 (2) の距離が, 円 C_2 の半径 2 に等しい ことであるから
|2y_1 - 9| / √(x_1^2 + y_1^2) = 2
(1)を代入して整理すると
|2y_1 - 9| = 6
よって 2y_1 - 9 = ±6
したがって
y_1 = 15/2, 3/2
(1) から
x_1^2 = 9 - y_1^2
y_1 = 15/2 のとき
x_1^2 = 9 - (15/2)^2 < 0 となり不適
y_1 = 3/2 のとき
x_1^2 = 9 - (3/2)^2 = 27/4 から
x_1 = ±3√3/2
x_1 = ±3√2/2, y_1 = 3/2 を (2)に代入して, 求める接線 の方程式は ±3√3/2 x + 3/2 y = 9 すなわち ±√3x + y = 6
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重要例題 49 放物線上の点と直線の距離\n2 点 \( \\mathrm{A}(0,1), \\mathrm{B}(2,5) \\) と放物線 y=x^{2}+4 x+7 \ \\qquad \ (1) 上を動く点Pがある。\n\nこのとき, \ \\triangle \\mathrm{PAB} \ の面積 \ S \ の最小値を求めよ。
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三角形の面積\n3点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \), \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) を頂点とする三角形の面積を求めなさい。\n
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練習\n68\n(1) 点 \( (5,0) \) を通り, 傾き の直線の方程式は \( y=m(x-5) \) これと から を消去して整理すると\n\[\left(m^{2}+1\right) x^{2}-10 m^{2} x+25 m^{2}-9=0\]\n直線と円が異なる 2 点で交わるための条件は, 2 次方程式 (1)の 判別式を とすると\n\[-16 m^{2}+9=-(4 m+3)(4 m-3)\]\nであるから, より \( (4 m+3)(4 m-3)<0 \)\nしたがつて \n次に, 2 つの交点 の 座標をそれぞれ とすると, , は 2 次方程式 (1)の異なる 2 つの実数解であるから, 解と係数 の関係により \nゆえに, 線分 の中点を \( \mathrm{M}(x, y) \) とすると\n
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2 点 \( \mathrm{A}(1,-2), \mathrm{B}(-2,1) \) を結ぶ線分と放物線 が, A, B を除 くただ 1 点で交わるとき, 点 \( (a, b) \) の存在範囲を 平面上に図示せよ。
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直線 の方程式は \n点 \( \mathrm{P}(a, b) \) と直線 の距離を とすると、dの最大値を求めなさい。
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求める円の方程式を, 次のようにおく。 (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=r^(2) (r>0)
円(2) が円 C に内接するための条件は
0<r<5 かつ √((1-0)^(2)+(-√3-0)^(2))=5-r
ゆえに r=5-√4=3
よって, 求める方程式は (x-1)^(2)+(y+√3)^(2)=9
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点 の座標を求めなさい:\n\n点 の座標を \( (x, y) \) とする。\n(1) とし, と 軸の正の向きとのなす角を とすると 。\nよって \( x=r \cos \left(\alpha+\frac{5}{6} \pi\right)=r \cos \alpha \cos \frac{5}{6} \pi-r \sin \alpha \sin \frac{5}{6} \pi \)。
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点の座標\n点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right), \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \) とする。\n2点間の距離を求めなさい。\n\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)\n特に、原点 と の距離は
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例題 55 接線の条件と円・直線の方程式
(1) 点 \( (-1,2) \) を中心とし, 直線 に接する円の方程式を求めよ。
(2) 円 に接し,傾きが 2 の直線の方程式を求めよ。
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(2)Bを原点に、辺 BCを x 軸上にとると、各頂点の座標は A(0, a), B(0, 0), C(b, 0), D(b, a) と表すことができる。このとき、PA² + PC² = PB² + PD² を示せ。
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平面上に,どの 2 つの円をとっても互いに交わり,また,3つ以上の円は同一の点 では交わらない n 個の円がある。これらの円によって, 平面は何個の部分に分け られるか。
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類題 座標平面上の 1 点 \( \mathrm{P}\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{4}\\right) \) をとる。放物線 上の 2 点 \( \mathrm{Q}\left(\\alpha, \\alpha^{2}\\right) \), \( \mathrm{R}\left(\\beta, \\beta^{2}\\right) \) を, 3 点 が を底辺とする二等辺三角形をなすように動かす とき, の重心 \( \mathrm{G}(X, Y) \) の軌跡を求めよ。\n[東京大]
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放物線と円が 4 個の共有点をもつのは, 図から,放物線の頂点 が, 点 (0,-37/4) から点 (0,-3) を結ぶ線分上(端点を除く) にあるときである。
したがって -37/4<a<-3
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直線 を 軸に, 辺 の垂直二等分線を 軸にとると, 辺 BC の中点 は原点 Oになり, 各頂点の座標は \( \mathrm{A}(a, b), \mathrm{B}(-c, 0), \mathrm{C}(c, 0) \) と表すことができる。このとき \( \mathrm{L}(0,0), \mathrm{M}\left(\frac{a+c}{2}, \frac{b}{2}\right), \mathrm{N}\left(\frac{a-c}{2}, \frac{b}{2}\right) \) よって, 中線 を に内分する 点の座標はそれぞれ \( \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}\right), \left(\frac{-c+(a+c)}{2+1}, \frac{0+b}{2+1}\right), \left(\frac{c+(a-c)}{2+1}, \frac{0+b}{2+1}\right) \) すなわち,すべて \( \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}\right) \) となり一致する。したがって,3つの中線 はこの点で交わる。
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(2) と の面積の和を とすると\n\( S = \frac{1}{2} \cdot 3 \{ 2 \sin \theta + \sin (120^{\circ} - \theta) \} \)\nさらに整理すると\n\( = \frac{1}{2} \cdot 3 \left( 2 \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \right) \)\n\( = \frac{3}{4} (5 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta) \)\nしかしここから最大値を求めるために三角関数の合成を使い\n\( = \frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{7} \sin (\theta + \alpha) \)\nただし \( \cos \alpha = \frac{5 \sqrt{7}}{14}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{14} (0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}) \)
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基本事項
12 つの円の位置関係
半径がそれぞれ r, r^{\prime}(r>r^{\prime}) である 2 つの円の中心間の距離を d とする。このとき, 2 つの円の位置関係には,次の [1]~[5] の場合がある。なお, [1]~[3]は r=r^{\prime} の ときも成り立つ。
[1] 一方が他方\の外部にある: d>r+r^{\prime}
[2] 外接する: d=r+r^{\prime}
[3] 2 点で交わる: r-r^{\prime}<d<r+r^{\prime}
[4] 内接する: d=r-r^{\prime}
[5] 一方が他方\の内部にある: d<r-r^{\prime}
次の問題を解いてください: 2 点で交わる場合の中心間の距離 d を求めなさい。
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練習 1 辺の長さが の正三角形 の内接円を と円 の接点を , とし, の内接円を とする。これを繰り返し, の内接円を \( C_{n}(n=1,2, \cdots \cdots) \) とする。
(1) 円 の半径 を求めよ。
(2) 円 の面積を とするとき, となる の値を 求めよ。
[信州大]
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次の角の動径を図示せよ。また,第何象限の角か答えよ。
(1) 650°
(2) 840°
(3) -495°
(4) -1260°
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(1)\n{% raw %}\(\mathrm{AB}^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=20\)\(\mathrm{BC}^{2}=(3-0)^{2}+(3-2)^{2}=10\)\(\mathrm{CA}^{2}=(4-3)^{2}+(0-3)^{2}=10\)\{% endraw %}\nしたがって、BC=CA, BC^2 + CA^2 = AB^2 よって、ΔABCは∠C=90∘の直角二等辺三角形である。
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直線の方程式\n異なる2点 \( \left(x_{1}, y_{1}\right), \left(x_{2}, y_{2}\right) \) を通る直線の方程式を求めなさい。\n \[ x_{1} \neq x_{2} \) のとき\[ y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)\]\n\[ x_{1}=x_{2} \) のとき
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練習 実数 は を満たすとし, 座標平面上の 4 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(0,1), \mathrm{B}(1,0) \), \( 51 \mathrm{C}(t, 0) \) を考える。また, 線分 上の点 を となるように定め る。 を動かしたときの三角形 の面積の最大値を求めよ。 [東京大]
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点 (x, y) が原点を中心とする半径 1 の円の内部を動くとき, 点 (x+y, x y) の動く範囲を図示せよ。
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円 について, 次の問いに答えよ。\n1. 中心が点 \( (12,5) \) で,円 に外接する円の方程式を求めよ。\n2. 中心が点 \( (1,-\\sqrt{3}) \) で, 円 に内接する円の方程式を求めよ。
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は正の実数とする。放物線 と放物線 \( C_{2}: y = -b(x - 2)^2 \) は、ともに点 \( \mathrm{P}(x_0, y_0) \) において直線 に接しているとする。 を直線 と放物線 と接線 で囲まれた領域の面積とし、 を直線 と放物線 と接線 で囲まれた領域の面積とするとき、次の問いに答えよ。\n(1) を表せ。\n(2) 面積の比 を で表せ。
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■点と直線の距離\n点 から直線 に下ろした垂線と との交点を とする。このとき, 線分 の長さ を, 点 と直線 の距離という。
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直線を境界線として, を満たす点 \( (x, y) \) の全体を図に表せ。また, および を満たす点の領域を図に表せ。
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2 点 \\( \\mathrm{A}(-1,2), \\mathrm{B}(3,4) \\) から等距離にある \ x \ 軸上の点 \ \\mathrm{P} \ の座標を求めよ。
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基本例題 70
A(-2,1), B(6,-3), C(1,7) とするとき, 次の点の座標を求めよ。
(1) 線分 BC を 3:2 に内分する点 P
(2) 線分 CA を 3:2 に外分する点 Q
(3) 線分 AB の中点 R
(4) △PQR の重心 G
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次の問題について考察せよ。
円 x^{2}+y^{2}-2x=4 と直線 y=2x+k について:
(1) 円と直線が共有点をもたないとき、定数 k の値の範囲を求めよ。
(2) 円と直線が接するとき、定数 k の値と接点の座標を求めよ。
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円 \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=r^{2} \) と直線 の共有点の個数は, 半径 の值によって, どのように変わるか調べよ。
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《標準例題 103》
平面上に原点 O(0,0) を中心とする半径 1 の円 C とその上の点 A(1,0) がある。円 C 上を動く点 P に対して, 3 点 O, A, P が三角形を作るとき, その三角形の重心を Gとする。点 G の軌跡を求めよ。
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3 点 \( \mathrm{A}(5,-2), \mathrm{B}(1,5), \mathrm{C}(-1,2) \) を頂点とする がある。\n(1) 3 辺の長さを求めよ。\n(2) は, どのような形の三角形か。
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次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( (x-1)^{2}+y^{2}>1\)\n(4)
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点 \( \\mathrm{A}(3,1) \\) から円 x^{2}+y^{2}=2 \ に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
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放物線 と 軸の交点を とする。この放物線と 軸によって囲まれる図形に, 線分 を底辺にもつ台形を内接させるとき, このような台形の面積の最大値を求めよ。
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放物線 y = -x^2 + 8x と直線 y = x で囲まれる領域内(境界線を含む)にある格子点の個数を求めよ。
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定点 \( \mathrm{C}(a, b) \) からの距離が一定 \( r(>0) \) である点の集まりが C を中心とする半径 の円である。中心がC である円を単に 円 C といい, 円上の任意の点 \( (x, y) \) の満たす等式を, その 円の方程式 という。この円の方程式を求めてみよう。点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が円 上にある条件は これを座標で表すと \( \quad \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r \) 両辺を 2 乗すると \( \quad(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \) (2) の両辺は正であるから, (1) (2) (3) となり, (3) が求める円の方程式である。円の特徴である中心 \( (a, b) \) と半径 がわかる形の (3)を円の方程式の基本形とよぶ。円の方程式(基本形)1 点 \( (a, b) \) を中心とする半径 の円の方程式は \[ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \] 2. 原点を中心とする半径 の円の方程式は 注意 1 において とおくと, 2 が得られる。 2 で のとき, 単位円とい う。また,1は2を 軸方向に 軸方向に b だけ平行移動したものと考えられる。
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円 \\( (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9 \\) を \ C \ とする。\n(1) 円 \\( (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4 \\) を \ C_{1} \ とするとき, 円 \ C \ と \ C_{1} \ の位置関係を調べよ。\n(2) 中心が点 \\( (3,-5) \\) で, 円 \ C \ に外接する円 \ C_{2} \ の方程式を求めよ。\n(3) 中心が原点 \ \\mathrm{O} \ で, 円 \ C \ に内接する円 \ C_{3} \ の方程式を求めよ。
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点Dは第4 象限にあり, 円Dは 軸, 軸に接するから、点Dの座標は\( (d, -d) \) とおけ,このとき半径は となる。点Dは直線の下側にあるから点Dと直線 との距離は \frac{|3 d - 4 d - 12|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} =\frac{d + 12}{5} 円Dは直線\( \ell と接するから, 点Dと直線の距離は よって ゆえに
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2 点 A(-1,3), B(5,11) がある。
(1) 直線 y=2x に関して, 点 A と対称な点 P の座標を求めよ。
(2) 点 Q が直線 y=2x 上にあるとき, QA+QB を最小にする点 Q の座標を求めよ。
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982 円が接する条件, 共有点をもつ条件
円 (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=1^{2} (1) がある。また, a, b は正の定数とする。
(1) 円 (1) と円 x^{2}+(y-3)^{2}=a^{2} (2) が接するとき, a の値を求めよ。
(2) 円 (1) と円 x^{2}+y^{2}=b^{2} (3) が共有点をもつとき, bの値の範囲を求め よ。
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円 x^2 + y^2 = 9 に接し、直線 4x + 3y - 5 = 0 に平行な直線の方程式を求めなさい。
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2点 \( \\mathrm{A}(0,1), \\mathrm{B}(4,-1) \\) について\n(1) 2点 \\mathrm{A}, B \ を通り、直線 y=x-1 \ 上に中心をもつ円 C_{1} \ の方程式を求めよ。\n(2) 直線 \\mathrm{AB} \ について、(1) で求めた円 C_{1} \ と対称な円 C_{2} \ の方程式を求めよ。\n(3) 2点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ をそれぞれ円 C_{1}, C_{2} \ 上の点とするとき、線分 \\mathrm{PQ} \ の長さの最大値を求めよ。 [群馬大]
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3 点 A(-2,3), B(5,4), C(3,-1) を頂点にもつ平行四辺形 ABCD がある。このとき, 頂点 D の座標と対角線の交点 P の座標を求めよ。
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定点を \( \mathrm{A}(6,0), \mathrm{B}(3,3) \) とし, 点 が円 上を動くとき, の重心Gの軌跡を求めよ。
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次に, C と C^{\prime} の 2 つの交点を A, B とし,線分 AB の中点を M とする。線分 OM の長さは, 原点 O と直線 \ell の 距離に等しいから
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点 の座標 \((p, q)\) を用いて、直線 の傾きが 2 であるとき、直線 が直線 と垂直になるようにする条件を求めてください。
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点 P(1, ) から曲線 C にちょうど 2 本の接線が引けるとき, 次の問いに答えよ。 (i) 2 本の接線の方程式を求めよ。 (ii)(i)で求めた接線と曲線 C の接点を Q, R とする。ただし,Q の x 座標は R の x 座標より 小さいとする。線分 PQ, 線分 PR, 曲線 C で囲まれた図形の面積 S を求めよ。
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TRAINING 88\n次の円と直線の位置関係を調べ,共有点がある場合には,その座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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座標平面上で、 軸、 軸および直線 のすべてに接する円が4個あるとする。これらの円の半径を小さい順に並べ、各円の中心および直線との関係を説明せよ。
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TRAINING 148^{3} 関数 (1) y=\frac{2^{x}}{4} (2) y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{x} のグラフをかけ。
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次の円上の点 における接線の方程式を求めよ。\n(1) \( x^{2}+y^{2}=9, \mathrm{P}(-2, \sqrt{5}) \)\n(2) \( x^{2}+y^{2}=36, P(0,-6) \)
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2 直線 \ 3 x+2 y-4=0 \\n(1), \ x+y+2=0 \\n(2) の交点をAとする。\n(1) 点 \ \\mathrm{A} \ と点 \\( \\mathrm{B}(3,-2) \\) を通る直線の方程式を求めよ。\n(2) 点 \ \\mathrm{A} \ を通り, 直線 \ x-2 y+3=0 \ に平行な直線の方程式を求めよ。
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TRAINING 74
A(-2,-3), B(3,7), C(5,2) とするとき, 次の点の座標を求めよ。
(1) 線分 AB を 4:1 に内分する点
(2) 線分 BC を 2:3 に外分する点
(3) 線分 CA の中点
(4) △ABC の重心
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円 上の点 \( (a, b) \) における接線の方程式を求めてみよう。\n\n[1] 点 が座標軸上にないとき (これは、 であることを意味する)\n\n[2] 点 が 軸上にあるとき (このとき,接線の方程式は または であり, または の場合に相当する)\n\n[3] 点 が 軸上にあるとき (このとき,接線の方程式は または であり, または の場合に相当する)\n\nこのことから,円 上の点 \( \mathrm{P}(a, b) \) における接線の方程式は となる。
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2 直線 (1), (2) の交点をAとする。(1) 点 と点 \( \mathrm{B}(3,-2) \) を通る直線の方程式を求めよ。
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直線が 軸と点 \( (2, 0) \) で交わり、 軸と点 \( (0, -3) \) で交わるとき、直線の方程式を求めよ。
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次の 3 点を頂点とする は, どのような形の三角形か。\n(1) \( \mathrm{A}(4,3), \mathrm{B}(-3,2), \mathrm{C}(-1,-2) \)\n(2) \( \mathrm{A}(1,-1), \mathrm{B}(4,1), \mathrm{C}(-1,2) \)
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次のような円の方程式を求めよ。\n(1)中心が点 \( (2,-3) \), 半径が 1 の円\n(2)中心が点 \( (3,4) \) で,原点を通る円\n(3) 2 点 \( (3,1),(-5,7) \) を直径の両端とする円\n(4) 点 \( (5,2) が中心で, 軸に接する円\n
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2つの円 \( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \\) の2つの交点を通る円が直線 y=x \ と接するとき, その円の中心と半径を求めよ。[創価大]
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点 は第 1 象限にあり, 円 は 軸, 軸に接するから,点Aの座標は \( (a, a) \) とおけ, このとき半径は となる。点 は直線 の下側にあるから 点 と直線 との距離は 円 は直線 と接するから, 点 と直線 の距離は よって ゆえに
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次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (1,-3) を通り, 直線 6x+3y-5=0 に平行な直線
(2) 点 (-3,2) を通り, 直線 5x-4y+2=0 に垂直な直線
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2 点 A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}) を結ぶ線分 AB を, m: n に内分する点を P, 外分する点を Q とすると,それらの座標は\nP\(\left(\frac{n x_{1} + m x_{2}}{m+n}, \frac{n y_{1} + m y_{2}}{m+n}\right)\), Q\(\left(\frac{-n x_{1} + m x_{2}}{m-n}, \frac{-n y_{1} + m y_{2}}{m-n}\right)\)\n特に, 線分 AB の中点の座標は \(\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\right)\)\n外分点の公式は内分点の公式において, n を -n におき換えればよい。
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次のような円の方程式を求めよ。
(1) 円 x^2+y^2-2x+4y+1=0 と中心が同じで,点 (-2,2) を通る円
(2) 点 (2,1) を通り, x 軸と y 軸に接する円
(3) 2 点 (0,2),(-1,1) を通り, 中心が直線 y=2x-8 上にある円
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座標平面上で, x 軸, y 軸および直線 3 x+4 y-12=0 のすべてに接する円は 4 個ある。 これらの円の半径の値を小さい順にならべると, □ ア , □ , □ ウ, □ である。
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EX円 \( C: x^{2}+y^{2}+(k-2) x-k y+2 k-16=0 \) は定数 のどのような値に対しても 2 点A( ), B( ) を通る。ただし, とする。線分 AB が円 C の直径となるのは のときである。
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点 が円 上を動くとき, 点 \( \mathrm{A}(2,0) \) と点 を結ぶ線分の中点 の軌跡を求めよ。\n点 \( \mathrm{P}(x, y), \mathrm{Q}(s, t) \) とする。\n点 は円 上にあるから\n\n は線分 の中点であるから\n\nよって となる。これを代入して\n\((2 x-2)^{2}+(2 y)^{2}=1\)\n整理すると,点は円\( (x-1)^{2}+y^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \) 上にある。
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不等式の表す領域境界線を示せ。\n(1) 直線 の上側。\n(2) \n直線 およびその下側。\n(3) 直線 の下側。\n(4) 直線 およびその右側。
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次のような円の方程式を求めよ。
(1) 点 (1,1) を中心とし, 直線 2 x-y-11=0 に接する円
(2) 直線 4 x-3 y+7=0 と点 (-1,1) において接し, 点 (0,2) を通る円
(3) 点 (-2,2) を中心とし, 円 x^{2}+y^{2}-6 x-4 y+9=0 と内接する円
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円 C と C^{\prime} の 2 つの交点を通る直線 \ell の方程式は \square x+\square y=15 である。 また, 2 つの交点と原点 Oを頂点とする三角形の面積 S は S=\square である。[類センター試験] C と C^{\prime} の 2 つの交点を通る直線の方程式は, (1)—(2) から
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次の 2 直線は, それぞれ平行と垂直のいずれであるか。\n(1) , \n(2) , \n(3) , \n(4) ,
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3 点 A(1,1), B(2,4), C(a, 0) を頂点とする ΔABC が直角三角形となるとき, 定数 a の値を求めよ。
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EX円 の周上の点のうち, 点 \( \mathrm{A}(-1,1) \) に最も近い位置にある点 の座標 を求めよ。また, 2 点 間の距離を求めよ。
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点Qが放物線y=x^2-2x+4上を動くとき, 点A(2,2)と点Qを結ぶ線分QA<sub>value</sub>を3:2に外分する点Pの軌跡を求めよ。
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EX 2 点 \\( \\mathrm{A}(0,1), \\mathrm{B}(4,-1) \\) について\n[群馬大]\n62 (1) 2 点 \ \\mathrm{A} \, B を通り, 直線 \ y=x-1 \ 上に中心をもつ円 \ C_{1} \ の方程式を求めよ。\n(2) 直線 \ \\mathrm{AB} \ について, (1) で求めた円 \ C_{1} \ と対称な円 \ C_{2} \ の方程式を求めよ。\n(3) 2 点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ をそれぞれ円 \ C_{1}, C_{2} \ 上の点とするとき, 線分 \ \\mathrm{PQ} \ の長さの最大値を求めよ。
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第 4 章 図形と方程式
TR A(-2,-3), B(3,7), C(5,2) とするとき, 次の点の座標を求めよ。
(1) 線分 AB を 4:1 に内分する点
(2) 線分 BCを 2:3 に外分する点
(3) 線分 CA の中点
(4) ΔABC の重心
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次の点の座標を求めよ。\n(1) 3 点 \( \mathrm{A}(3,3), \mathrm{B}(-4,4), \mathrm{C}(-1,5) \) から等距離にある点\n(2) 直線 上にあって 2 点 \( \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(3,2) \) から等距離にある点
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TR 円 を とし, を 軸の正の方向に だけ平行移動した円を とする。ただし, は とする。また, と の 2 つの交点のうち第 1 象限にある方を , も う一方を とし,\( \mathrm{P}(s, t) \) を 2 点 と異なる 上の点とする。 が から 2 点 を 除いた部分を動くとき, の重心Gの軌跡を求めよ。
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平面上の点Pの位置は,2つの実数の組,例えば(a, b)で表される。この組(a, b)を点Pの座標 といい, aをx座標,bをy座標という。また,座標が(a, b)である点P P(a, b)と表す。この節では,平面上の点について学習していきましょう。座標平面上の点座標平面は,座標軸によって 4 つの部分に分けられている。 これらの各部分を象限といい,右の図のように,左回り にそれぞれを第 1 象限, 第 2 象限, 第 3 象限, 第 4 象限という。ただし,座標軸はどの象限にも含めない。 なお, 図の(+,+)などは各象限でのx座標, y座標の 符号を示している。
例: 点 (3,2) は, 第 1 象限の点である。点 (-1,4) は, 第 2 象限の点である。
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このとき, 円 (1) の中心 (0,0) と直線 (2) の距離が円の半径 √k に等しいから \n\ \n\\frac{|-4|}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\\sqrt{k} \quad \\text { すなわち } \quad \\frac{4}{\\sqrt{5}}=\\sqrt{k} \n\ \n両辺は負でないから,両辺を2乗して \\quad k=\\frac{16}{5} \nこのときの接点の座標は, 原点を通り, 直線 (2) に垂直な直線 \ y=2 x \\cdots \\cdots \ (3) と, 直線 (2) の交点であるから, (2), (3)を連立して解いて \ \\quad x=\\frac{4}{5}, y=\\frac{8}{5} \\] これは, \\[ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\] を満たす。 よって \\[ x=\\frac{3}{2}, y=3 \\] のとき 最大値 \\[ \\frac{45}{4} \\] \\[ x=\\frac{4}{5}, y=\\frac{8}{5} \\] のとき 最小値 \\[ \\frac{16}{5} \\] 円と直線が接する \\[ \\Longleftrightarrow \ (円の中心と直線 の距離 \\( )=( \\) 半径 \\) 別解 (1), ② から \ x \ を消去して \ y \ の 2 次方程式を 作り, 判別式 \ D=0 \ か ら kの値を求めてもよい。垂直 \ \\Longleftrightarrow \ 傾きの積が -1。
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円 \( (x-5)^{2}+(y-5)^{2}=10 \) に原点から引いた 2 本の接線の方程式を求めよ。 また, 円周上の点 \( (6,8) \) で接線を引くとき, 3 本の接線で作られる三角形の 面積を求めよ。
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座標平面上の 3 つの直線 \( x+(2 t-2) y-4 t+2=0 \), \( x+(2 t+2) y-4 t-2=0,2 t x+y-4 t=0 \) が 1 つの点で交わるような の値 をすべて求めると である。
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99 2 円の交点を通る直綾わ円を求める\n2 円 \n..... (1) と (2) について\n(1) 2 円の共有点の座標を求めよ。\n(3) 2 円の共有点と原点 O を通る円の中心の座標と半径を求めよ。
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点Qが円 x^2 + y^2 = 1上を動くとき, 点A(2,0) と点Q を結ぶ線分の中点P の軌跡を求めよ。
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次の円と直線の位置関係を調べ,共有点がある場合には,その座標を求めよ。
(1) x^{2}+y^{2}=4, x+y=4
(2) x^{2}+y^{2}=1, x-y=√2
(3) x^{2}+y^{2}+5x+y-6=0, 3x+y-2=0
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円 の中心は原点 であるから, 円 と円 の中心間の距離は \( \mathrm{PO}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} \)\n円 の半径を とすると, 円 は円 に内接するから, \nよって \nゆえに,円 の方程式は \( x^{2} + y^{2} = (3 - \sqrt{5})^{2} \)
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次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( (x-1)^{2}+(y+2)^{2} \geqq 9 \)\n(4)
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次の 3 点を頂点とする △ABC は, どのような形の三角形か。
(1) A(4,3), B(-3,2), C(-1,-2)
(2) A(1,-1), B(4,1), C(-1,2)
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点 \( \mathrm{A}(-2,3), \mathrm{B}(5,4), \mathrm{C}(3,-1) \) を頂点にもつ平行四辺形 がある。このとき, 頂点 Dの座標と対角線の交点 の座標を求めよ。
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円 \( (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4 \) が直線 から切り取る線分の中点の座標と線分の 長さを求めよ。
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次のような円の方程式を求めよ。\n3. 2 点 \( (0,2),(-1,1) \) を通り,中心が直線 上にある円
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EX 2つの円 \( x^{2}+y^{2}=2,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1 \) の 2 つの交点を通る円が直線 と接するとき、その円の中心と半径を求めよ。
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問 3 下線部bについて, 札幌市は世界有数の豪雪都市ですが, 日本の都道府県庁所在地の最深積雪(その地点の積雪の最大値)の平年値では 2 位です。次の文章は 1 位の都市について説明 しています。この都市名を漢字で答えなさい。 この都市は半島に囲まれた湾の奥に位置していて, 風が集まりやすい地形です。この 風が, この都市の南東にそび光山岳地帯にぶつかって大量の雪を降らせます。
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図1のように, 正方形のます目にななめに直線がひかれており、そこに、あるきまりにしたがって色をぬっていきます。小さな正方形の 1 辺の長さは1 cmです。
このとき, 次の各問いに答えなさい。
(1)4段目にはじめて色がぬられるのは何列目ですか。
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2021 渋谷教育学園幕張中 第 1 次〉 (4)\n5 図1のように, 底面がひし形で, 側面がす べて長方形である四角柱 があ ります。点 はそれぞれ辺 , 上にあり, : で, です。\nまた, 点Oはひし形EFGH の対角線 上にあり, です。\n四角形 KLMN の各頂点と点Oをそれぞれ 結び, 四角すいO-KLMN をつくります。 このとき,次の各問いに答えなさい。 ただし,角すいの体積は,(底面積)×(高 さ) でもとめられるものとします。\n図 1
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2 耳のはたらきについて, 問いに答えなさい。
音は, 物体の振動です。音源の振動が周りの物体に伝わることで,音は広がります。私たち が聞いている音は,通常,空気の振動として伝わります。音が聞こえる感覚を聴覚といいます。
図 1 右耳のつくり 耳の 3 つの部分に分けられます。
仆耳檤の奥に鼓膜という薄い膜があり, 外耳と中耳の境となっています。中耳には、鼓室や,㠵小骨,品管があります。さらに奥にある内耳で,聴覚に関わるのはうずまき管です。
耳介で集められた音は外耳道に入り,鼓膜を振動させます。鼓膜の奥にある空間を,鼓室と いいます。鼓室には耳小骨という3つの小さな骨があります。鼓膜の振動は,3 個の耳小骨を
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(2)上の図2のような直角三角形 と、 をそれぞれ1辺とする正方形があり ます。このとき, を1辺とする正方形の面積は何 ですか。
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(2) 図3のように, シブマールの円周を 6 等分する 6 つの点 F, G, H, I, J, Kがあります。マークさんとポアン星人のハリーさんは、シブマールの上を次のように移動しました。
【マークさん】
点 F を出発 F, F → G → H → I → J → K → F の順に移動してFで止まった。F, G, H, I, J, K以外の円周上の点は通らなかった。
【ハリーさん】
点 F を出発し, F → J → H → F の順に移動してFで止まった。 F, J, H以外の円周上 の点は通らなかった。
2 人は点 F 同時に出発して, それぞれ一定の速さで歩いたところ, 点 F に同時にとう着しました。マークさんの歩いた速さは, ハリーさんの歩いた速さの何倍ですか。
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図1のような六角形のライトがたくさんあります。これを図2のように28個並べたデジタル時計を作りました。図3の表現に従い、00:00から23:59までの時刻を表すデジタル時計などを表示できますが、これらを用いて次の問いに答えなさい。\n時刻を答える場合も 02:01, 20:05 のように表してください。\n点灯しているライトの本数がもっとも多図3のように、2時1分に6、5時の表現を作成してください。\n
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問 2 下線部bのような地域の例として, ある半島があげられます。次の説明文を読み, 半島名と説明文中の用水路名をそれぞれ漢字で答えなさい。
この半島は太平洋に面し温暖な気候だが,1961年に用水路が整備されるまで農業が難しい地域であった。現在は電照蕲などの産地となっている。また,用水路の全通と同時期に臨海工業地帯がつくられたほか、2005年には沖合に中部国際空港が開業した。
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(3) 1 右のグラフのように, 崖Bは海面からの高さが48m, Aからの距離が北に70mのところに, 崖Cは海面からの高さが53m, Aからの距離が南に70mのところに、それぞれの位置を記せばよい。
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(2) 点Oがえがく線は太線のようになる。はじめに, 半径が 6 cm の㧍うぎ形の中心角は, (2)と(3) ある。これに8と9の間の部分(中心角60度の弧の長さと同じ)を加えると, 180×3+90+60×2 = 750 (度)になる。また, 3 と4間は, 半径が, 12+6=18(cm) で中心角が30度のおうぎ形の弧で ある。よって, 点Oがえがく線の長さは, 6×2×3.14×750/360+18×2×3.14×30/360=(25+3)×3.14=87.92(cm) と求められる。
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5 図1のように, 角 が直角で、 の直角三角形があり、角 が直角で、 , =6 \mathrm{~cm} の直角二等辺三角形があります。これらの直角三角形を組み合わせた図形につ いて, 次の各問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。また, 円すいの体積は, 底面積 で求められるものとします。
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先生:では,図 4 のように,グラフを短い時間間隔に分け,長方形を使って考えてみよう。そのとき各長方形の [km/時] は何か。
図 5 を参照しながら答えてください。
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火山灰層Xの海面からの高さは, 崖Aでは, 51+2=53(m), 崖Bでは, 48-4=44(m)である。それ ぞれをグラフに○で記すと,右のグラフで表したようになる。
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次の[]に適するものを選び,○で囲みなさい。
プレセぺ星団には, 図11の中に点線で囲んだように, AとBの異なつた性質をもつ明るい星のグループが見られます。白熱電球の実験結果と似ているのは れます。Aグループは[青い・赤い]星が明るいという特徴が見られます。ところが、Bグル一プは明るくて, [青い・赤い]星があります。
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(4)Aから音源までの距離とBから音源までの距離の差が350mで一定となる点の集まりがえがく線上に, 音源があることになる。それを表したものとして(I)が選べる。2つの点からの距離の差が一定となる点がえがく曲線は双曲線とよば れる。
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図2の四角形ABCDは, 2本の対角線が点Oで直角に交わり, AOの長さは6cm, BOとDOの長さはどちらも2cm, COの長さは4cmです。このとき, 角xの大きさと角yの大きさの和は何度ですか。
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すい星は太陽系の天体で,惑星と同じように太陽の周りを公転しています。太陽系のかなり遠くの方から太陽に接近して急に明るくなり,遠ざかると急に暗くなって見えなくなってしまうことが特徴です。また,図6のように,長い尾をたなびかせて他の天体とは違った姿を見せます。すい星の尾は太陽と反対側に伸びます。 (5)新しいすい星が発見され、この日の夕方に、太陽が沈んでからすぐに見えたとします。すい星の尾の見え方を, 1 本の直線で表しなさい。
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(3)音源はAに1秒で音が届く位置で, かつ, B 2秒で音が届く位置にあることになる。よって, Aを中心とした半径, 350 × 1=350(m)の円と, Bを中心とした半径, 350 × 2=700(m)の円をかき, その2つの円の交点2つが音源の位置を示す点になる。
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(3)図4のグラフから読み取れることとして正しいものを次より1つ選び,記号を答えなさい。
ア 巣箱からえさ場までの距離が0.5〜1kmのときと7〜7.5kmのときでは、0.5〜1kmのときの方が、えさ場までの距離をくわしく伝える事ができる。
イ 巣箱からえさ場までの距離が15kmになると、15秒あたりのダンス回数は0になると考えられる。
ウ 花の種類が変わると,15秒あたりのダンス回数と巣箱からえさ場までの距離の関係は変化する。
エ 巣箱から約200mのえさ場から帰ってきた働きバチは、1分間に8回の8の字ダンスを行う。
オ 15秒あたりのダンス回数が多いことは、えさ場にある花の蜜が、より甘いことを示している。
カ 15秒あたりのダンス回数と巣箱からえさ場までの距離の積は常に一定である。
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単位円周上の 2 点 \( \mathrm{P}(\cos \theta, \sin \theta), \mathrm{Q}(\cos 2 \theta, \sin 2 \theta) \) に対し,線分 を の範囲で動かすと, 右図の青線のような, カージオイドと呼ばれる曲線が現れる。この現象を説明しよう。
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2 座標軸に垂直な平面の方程式\n点 \( \mathrm{P}(a, b, c) \) を通り, 各座標軸に垂直な平面の方程式は 軸に垂直 軸に垂直 軸に垂直
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平行四辺形 において, 辺 の中点を , 辺 を に内分する点 を , 辺 を に内分する点を とする。 とするとき\n(1) 線分 と の交点を とするとき, を で表せ。\n(2) 直線 と対角線 の交点を とするとき, を で表せ。
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1 空間内の 4 点 A, B, C, D が AB=1, AC=2, AD=3, ∠BAC=∠CAD=60°, ∠DAB=90° を満たしている。この 4 点から等距離にある点を E とするとき, 線分 AE の長さを求めよ。
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5 辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF が与えられている。点 P が辺 AB 上を, 点 Q が辺 CD 上をそれぞれ独立に動くとき, 線分 PQ を 2: 1 に内分する点 R が通りうる範囲の面積を求めよ。
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(3)(2)の等式に \ z=x+yi \ を代入し直接計算して求めることもできるが,計算が非常 に煩雑になる(解答の後の1つ目の検討 を参照)。そこで,まず図形 \ C \ と合同な楕円で \ x \ 軸上に焦点をもつ楕円の方程式を考え,それ を回転させてCの方程式を求めることを考える。 (1) \ K: \\frac{x^{2}}{2^{2}}+\\frac{y^{2}}{1^{2}}=1 \ 焦点の座標は, \ \\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\\sqrt{3} \ から \\( (\sqrt{3}, 0),(-\\sqrt{3}, 0) \\) 長軸の長さは \ 2\\cdot2 \, 短軸の長さは \ 2\\cdot1 \ であるから, \n求める 面積は \ \\pi\\cdot2\\cdot1=2\\pi \
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第 1 象限にある曲線 上の任意の点における接線は常に 軸, 軸の正の部分 と交わり, その交点をそれぞれ とすると, 接点 は線分 を に内分するという。この曲線 が点 \( (1,1) \) を通るとき, の方程式を求めよ。
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極座標に関して, 次の円・直線の方程式を求めよ。
(1)中心が点 A(3, π/3), 半径が 2 の円
(2)点 A(2, π/4) を通り, OA ( O は極) に垂直な直線
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(2) 128\n(2) \ \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ の等脚台形 \ \\mathrm{ABCD} \ において, \ \\mathrm{AB}=2 \\mathrm{~cm}, \\mathrm{BC}=4 \\mathrm{~cm}, \\angle \\mathrm{B}=60^{\\circ} \ と する。 \ \\angle \\mathrm{B} \ が \ 1^{\\circ} \ だけ増えたとき, 台形 \ \\mathrm{ABCD} \ の面積 \ S \ は, ほぼどれだけ増える か。ただし, \ \\pi=3.14 \ とする。
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座標空間において, 点 A(1,0,2), B(0,1,1) とする。点 P が x 軸上を動くとき, AP+PB の最小値を求めよ。
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座標平面上の円 C は, 点 (0,0) を通り, 中心が直線 x+y=0 上にあり, 更に双曲線 x y=1 と接する。このとき, 円 C の方程式を求めよ。ただし,円と双曲線がある点で接するとは, その点における円の接線と双曲線の接線が一致することをいう。
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楕円 について, 楕円の外部の点 \( \mathrm{P}(a, b) \) から, この楕円に引いた 2 本の接線が直交するような点 の軌跡を求めよ。\n[類 お茶の水大]\n基本 155
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方程式 \( |z-\alpha|=r(r>0) \) を満たす点 \( \mathrm{P}(z) \) 全体が表す図形を求めよ。
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曲線 \\sqrt[3]{x}+\\sqrt[3]{y}=1 上の, 第 1 象限にある点 \\mathrm{P} における接線が x 軸, y 軸と交わる 点をそれぞれ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} とする。原点を \\mathrm{O} とするとき, \\mathrm{OA}+\\mathrm{OB} の最小値を求めよ。
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645 基本事項 1 円・直線の極方程式 (1) 中心が極O, 半径がa の円 r=a r=2a cos θ r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 θ=α r cos (θ-α)=a (a>0) (2) 中心が (a, 0), 半径が a の円 r=2a cos θ (3) 中心が (r₀, θ₀), 半径が a の円 r^2-2r r₀ cos(θ-θ₀)+r₀^2=a^2 (4) 極O を通り, 始線と α の角をなす直線 θ=α (5) 点 A(a, α) を通り, OA に垂直な直線
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94方程式 が表す 2 次曲線を とする。また, \( (c>0) \) を定数とし,方程式 \( (x-a)^{2}-\frac{(y-b)^{2}}{c^{2}}=1 \) が表す双曲線を とする。 の 2 つの焦点と の 2 つの焦点が正方形の 4 つの頂点となるとき, の値 を求めよ。
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来習 (1) 4 点 \( \\mathrm{A}(2,4), \\mathrm{B}(-3,2), \\mathrm{C}(-1,-7), \\mathrm{D}(4,-5) \\) を頂点とする四角形\n(2)\n(2) 3 点 \( \\mathrm{A}(0,2), \\mathrm{B}(-1,-1), \\mathrm{C}(3,0) \\), もう 1 つの点 \\mathrm{D} \ を結んで平行四辺形 を作る。第 4 の頂点 D の座標を求めよ。
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③31 辺の長さが 1 の正方形 \ \mathrm{OACB} \ において, 辺 \ \mathrm{CB} \ を \ 2: 1 \ に内分する点を D とする。また, \ \angle \\mathrm{AOD} \ の二等分線に関して点 \ \mathrm{A} \ と対称な点を \ \mathrm{P} \ とする。このとき, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \ は \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ を用いて \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}= \ ア \ \square \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+ \ イ \ \square \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ と表される。\n
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(4) 平面 と辺 について, 次のようになる。 のとき, 平面 は 。 のとき, 平面 は のとき, 平面 は 。 二 ~ネに当てはまるものを,次の(0~5のうちから1つずつ選 べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
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練習 平面上に定点 \( \mathrm{A}(0,1) \) がある。 軸上に点 \( \mathrm{P}(t, 0) \) をとり, を中心とし, 半径 の円 を考える。 が実数のとき, 円 の通過する領域を 平面上に図示せよ。
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(1) 楕円 \( \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \) について焦点の座標は \( \\left(\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right),\\left(-\\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\\right) \\quad \\cdots \\cdots \) 焦点は 軸上にある長軸の長さは , 短軸の長さは
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焦点が 軸上にある双曲線 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1(a>0, b>0) \) の基本事項。\n(1) 中心は原点、頂点は 2 点 \( (0, b),(0,-b) \)。\n(2) 焦点は \( \mathrm{F}(0, c), \mathrm{F}^{\prime}(0,-c) \) ただし 。\n(3) 双曲線は 軸, 軸, 原点に関して対称。\n(4) 漸近線は 2 直線 。\n\n問題:この双曲線上の任意の点から2つの焦点までの距離の差が一定であることを証明せよ。
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異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) が一直線上にあるための条件を述べよ。
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長さ 2 の線分の両端 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}\ がそれぞれ x\ 軸および y\ 軸上を移動するとする。線分 \\mathrm{AB}\ の延長上に \\mathrm{BP}=1\ となるように点 \\mathrm{P}\ をとるとき, 点 \\mathrm{P}\ の軌跡を求め よ。
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点 \( \mathrm{A}(3,-4) \) を通り, 直線 に平行な直線を とする。直線 の方程式を求めよ。
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正六角形 において, 中心を , 辺 を に内分する点を , 辺 の中点を とする。 とするとき, ベクトル , をそれぞれ で表せ。\n\n解答\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\overrightarrow{\\mathrm{BC}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{BO}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\vec{b}+\\vec{a} \n& =\\vec{a}+\\vec{b} \n\\overrightarrow{\\mathrm{EF}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{EO}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OF}}=-\\vec{b}-\\vec{a} \n& =-\\vec{a}-\\vec{b} \n\\overrightarrow{\\mathrm{CE}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{CO}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OE}} \n& =-\\vec{a}+\\vec{b} \n\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}=\\vec{a}+(\\vec{a}+\\vec{b}) \n& =2 \\vec{a}+\\vec{b} \n\\overrightarrow{\\mathrm{BD}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CD}}=(\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{b} \n& =\\vec{a}+2 \\vec{b} \n\\overrightarrow{\\mathrm{QP}} & =\\overrightarrow{\\mathrm{QE}}+\\overrightarrow{\\mathrm{ED}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DP}}=\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{BC}}+\\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\n& =\\frac{1}{2}(\\vec{a}+\\vec{b})+\\vec{a}-\\frac{1}{3} \\vec{b}\n& =\\frac{3}{2} \\vec{a}+\\frac{1}{6} \\vec{b}\n\\end{aligned}\n\\]\n\n练习 (1) 上の例题の正六角形において, ベクトル \\overrightarrow{\\mathrm{DF}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}, \\overrightarrow{\\mathrm{BQ}} \ をそれぞれ \\vec{a}, \\vec{b} \ で表せ。\n(2) 平行四辺形 \\mathrm{ABCD} \ において, 辺 \\mathrm{BC} \ の中点を \\mathrm{L} \, 線分 DLを に内分する 点を \\mathrm{M} \ とする。 \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \ とするとき, \\overrightarrow{\\mathrm{AM}} \ を \\vec{b}, \\vec{d} \ で表せ。
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点 \( \mathrm{P}(z) \) が点 を中心とする半径 1 の円から原点を除いた円周上を動くとき, (3) 114 で表される点 \( \mathrm{Q}(w) \) はどのような図形を描くか。
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テーマ 複素数の方程式で表される2次曲線 複素数の方程式で表された2次曲線と回転移動を考察する 数学 数学 の第 3 章では複素数平面における図形について学習し, 第 4 章では 2 次曲線の性質を学習しました。ここでは, 複素数 の方程式で表される図形が 2 次曲線となる場合 を考察します。 まず,次の問題で 2 次曲線の基本事項を確認しましょう。 CHECK 3-A 2 点 \( \mathrm{F}(\sqrt{5}, 0), \mathrm{F}^{\prime}(-\sqrt{5}, 0) \) からの距離の和が 6 である点 の軌跡の方程式を求めよ。
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3点 A(-1), B(1), C(√3 i) を頂点とする △ABC が正三角形であることを用いて, 3点 P(α), Q(β), R(γ) を頂点とする △PQR が正三角形であるとき, 等式 α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = 0 が成り立つことを証明せよ。
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半径 \ a \ の定円の周上に 2 つの動点 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ がある。 \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ はこの円周上の定点 \ \\mathrm{A} \ を 同時に出発して時計の針と反対の向きに回っている。円の中心を Oとするとき,動径 \ \\mathrm{OP}, \\mathrm{OQ} \ の回転角の速度(角速度という)の比が \\( 1: k(k>0, k \\neq 1) \\) で一定 であるとき, 線分 \ \\mathrm{PQ} \ の中点 \ \\mathrm{M} \ の, 軌跡の極方程式を求めよ。ただし, 点 \ \\mathrm{P} \ と点 \ \\mathrm{Q} \ が重なるとき, 点 \ \\mathrm{M} \ は点 \\( \\mathrm{P}(\\mathrm{Q}) \\) を表すものとする。
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円 \( x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0) \) 上の点 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) における接線の方程式をベクトルを用いて証明せよ。
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円 を次のように拡大または縮小した楕円の方程式と焦点を求めよ。\n(1) 軸をもとにして 軸方向に 3 倍に拡大\n(2) 軸をもとにして 軸方向に 倍に縮小
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3点 O(0), A(1), B(i) を頂点とする △OAB は, ∠O を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。このことを用いて, 3点 P(α), Q(β), R(γ) によってできる △PQR が, ∠P を直角の頂点とする直角二等辺三角形であるとき, 等式 2α² + β² + γ² - 2αβ - 2αγ = 0 が成り立つことを示せ。
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(2) 点 \ z \ と 2 点 \ \\frac{\\sqrt{3}+3 i}{2},-\\frac{\\sqrt{3}+3 i}{2} \ までの距離の和は 4 で一定であることから, 図形 \ C \ は 2 点 \ \\frac{\\sqrt{3}+3 i}{2},-\\frac{\\sqrt{3}+3 i}{2} \ を焦点とする楕円である。この楕円の中心である原点から焦点までの距離を \ c \ とすると, この楕円は, \ xy \ 平面 で焦点の座標が \\( (c, 0),(-c, 0) \\) で楕円上の点と 2 焦点までの距離の和が 4 である 楕円と合同である。
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xy平面の第1象限内において、直線 \\( l: y=mx(m>0) \\) とx軸の両方に接している半径aの円Cを考える。また直線lとx軸、および円Cのすべてにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。た \\(だし,b>aとする。 (1) tをm 用いて表せ。 (2) \ \\frac{b}{a} \ をt用いて表せ。 (3)極限値 \\( \\lim_{m \\to +0} \\frac{1}{m}\\left(\\frac{b}{a}-1\\right) \\) を求めよ。