幾何学と測定 - 基本図形の性質 (点、線、角、三角形、四辺形、円) | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

平面上の点の座標と距離

中点連結定理: \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{AC} \ の中点をそれぞれ \\mathrm{M}, \\mathrm{N} \ とすると \\mathrm{MN} / / \\mathrm{BC}, \\quad \\mathrm{MN}=\\frac{1}{2} \\mathrm{BC} \

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある。 $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=5, \mathrm{CD}=7, \mathrm{DA}=10$ のとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ。

三角形の外心

3辺の長さが $3,5 , x$ である三角形が鋭角三角形となるように，xの値の範囲を定めよ。

(4) \ \\theta=0^{\\circ}, 45^{\\circ}, 180^{\\circ} \

辺の長さが 6 の正四面体 $\mathrm{OABC}$ がある。辺 $\mathrm{OA}$ の中点を $\mathrm{L}$、辺 $\mathrm{OB}$ を $2 ： 1$ に分ける点を M、辺 OCを $1: 2$ に分ける点を $N$ とす。$\triangle LMN$ の面積を求めよ。

$\triangle \mathrm{ABC}$ において, $B=30^{\circ}, b=\sqrt{2}, c=2$ のとき, $A, C, a$ を求めよ。

三角形の外接円に関連する用語とそのページを示してください。

70 (1) 略 (2) 90°

3 点 A, P, Q を通る 円の中心は, 2 つの弦の 垂直二等分線の交点。

（2）鋭角

方べきの定理を使って、点 P から円に引いた 2 本の接線の性質を示せ。

正八角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数\n(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち, 正八角形と辺を共有する三角形の個数

例 3: 点光源からの光と平面\n懷中電灯などから発せられた光は円錐状に広がっていくが,右のような角度で照らすと, 照らされた部分のふちが放物線になる。\n問: この現象はどのように数学的に説明できますか？

直線 $x=1$ 上で, $y$ 座標が $\sqrt{3}$ と なる点を T とする, 直線 OT と半径 1 の半円の共有点は, 図の点 $\mathrm{P}$ で ある。求める $\theta$ は, $\angle \mathrm{AOP}$ である。

辺の長さが 2 の正三角形の内部に，5 個の点を任意にとったとき，そのうちの 2 点で, 距離が 1 以下のものが少なくとも 1 組存在することを示せ。

右の図において, 線分 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ の長さを 求めよ。

縦 240 cm, 横 396 cm の長方形の床に, 1 辺の長さが a cm の大きさの正方形のタイルをすき間なく敷き詰めたい。このときの a の最大値を求めよ。また, このとき敷き詰められるタイルの枚数を求めよ。

三角形の外心、内心、重心について説明し、それぞれの性質を証明せよ。

右の図の4点A,B,C,Dは1つの円周上にあるかどうかを答えよ。

外接円の半径は \ \\frac{85}{8} \, 内接円の半径は 2

三角形 ABC の辺長 a, b, c に対し、余弦定理を用いて正方形 BFGC の面積を求めよ。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $\mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=10, \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=3$ である。このとき，四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ。

79・ $\triangle \mathrm{ABC}$ は $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=4, \mathrm{CA}=2 \sqrt{3}$ を満たし ている。頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線を $\mathrm{AD}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ を直径とする円が 2 辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{CA}$ と交わる点をそれぞれ E，F とする。ただし，E， F はAと異なる点とする。 [東京慈恵会医大]\n(1) 4 点 $\mathrm{E}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{F}$ は 1 つの円周上にあることを示せ。\n(2) $\triangle \mathrm{EBF}$ の面積を求めよ。

右の図のように, 1 辺の長さが 2 の正三角形のすべて の頂点と各辺の中点に1から6の番号をつけ, さいこ ろの出た目とこの番号を対応させる。さいころを 3 回投げて出た目の番号の点を互いに結んで図形を作る。 このとき，できる図形の面積の期待値を求めよ。

定理 25 方べきの定理 II 円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通ってこの円と 2 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ で交わる直線を引くと, $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PT}^{2}$ が成り立つ(図 2 参照)。

$\triangle \mathrm{ABC}$ は $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$ の直角三角形であることと $\mathrm{AD}$ は円の 直径であることに注目。補助線 $\mathrm{AD}, \mathrm{ED}, \mathrm{EF}, \mathrm{DF}$ を引く。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ の対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の長さを $p, q$, その対角線のなす角の 1 つを $\theta$ とするとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を $p, q, \theta$ で表せ。

上の例題に関して, 次の問いに答えよ。\n（1）B 君のいる地点から東に 2 m, 南に 1 m だけ移動した地点を Dとする。このとき,点Dの座標を求めよ。また, 2 点 O, D 間の距離を求めよ。\n（2） C 君は A 君のいる地点から \\sqrt{5} m だけ, B 君のいる地点から 3 m だけ離れた地点に移動した。このとき, C 君がいる地点の座標を求めよ。

円の内部・外部の点と角の大小について説明してください。

貢本列题 66 三角形の外心 $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ とする。右の図の角 $\alpha, \beta$ を求めよ。

右の図のように, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外部に 3 点 \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E}, \\mathrm{F} \ を \ \\triangle \\mathrm{ABD}, \\triangle \\mathrm{BCE}, \\triangle \\mathrm{CAF} \ がそれぞれ正三角形になるようにとる。 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S, 3 \ 辺の長さを \ \\mathrm{BC}=a, \\mathrm{CA}=b, \\mathrm{AB}=c \ とおくとき, 次の問いに答えよ。\n(1) \ \\angle \\mathrm{BAC}=\\theta \ とおくとき, \ \\sin \\theta \ を \ , c, S \ を用いて, \ \\cos \\theta \ を \ a, b, c \ を用いて表せ。\n（2） \ \\mathrm{DC}^{2} \ を \ a, b, c, S \ を用いて表せ。ただし， 一般に \\( \\cos \\left(60^{\\circ}+\\theta\\right)=\\frac{\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta}{2} \\) が成り立つことを用いてもよい。\n（3）３つの正三角形の面積の平均を \ T \ とおくとき, \ \\mathrm{DC}^{2} \ を \ S \ と \ T \ 用いて 表せ。

平行四辺形になる条件: 次のいずれか 1 つの条件が成り立つとき，その四角形は平行四辺形である。[1] 2 組の対辺がそれぞれ平行である。[2] 2 組の対辺がそれぞれ等しい。[3] 2 組の対角がそれぞれ等しい。[4] 1 組の対辺が平行で，長さが等しい。[5]対角線がそれぞれの中点で交わる。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1, \mathrm{BD}=\sqrt{7}, \mathrm{DA}=2$ であるとき，次のものを求めよ。\n(1) $A$\n(2) 辺 $C D$ の長さ\n(3) 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$

PR $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ とする。 右の図の角 $\alpha, \beta$ を求めよ。 (1) (2)

数学 I PR 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ がある。 $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=5, \mathrm{CD}=7, \mathrm{DA}=10$ のとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ (3135の面積 $S$ を求めよ。

PR周の長さが 40 cm である長方形において、対角線の長さの最小值を求めよ。また、そのとき、どのような長方形になるか。長方形の縦の長さを x cm とすると，横の長さは (20-x) cm また, x>0 かつ 20-x>0 から0<x<20。長方形の対角線の長さを l cm とするとl^2 =x^2+(20-x)^2 =2 x^2-40 x+400 =2(x-10)^2+200 (1)において, l^2 は x=10 で最小値 200 をとる。 l>0 であるから, l^2 が最小となるとき l も最小となる。 よって, 対角線の長さ l の最小値は sqrt(200)=10 sqrt(2)(cm) このとき，横の長さも 20-x=10 (cm) であるから，対角線の 長さが最小となるのは正方形のときである。

(2) 1 辺の長さで場合を分けて考える。１１）縦の隣り合う2本 の直線と，横の隣り合 う 2 本の直線でできる正方形。

平面上に点$O$をとり, $O$で互いに直交する2本の直線を，右の図のように定める。これらを，それぞれ $x$ 軸, $y$ 軸 という。また, 点$O$を原点という。このとき、点 $A$ が座標 \( (3, 2) \) にある場合、その $x$ 座標と $y$ 座標を答えてください。

EX右の図のように, 1 辺の長さが 2 の正三角形のすべての頂点と各辺の中点 455 に1から 6 の番号をつけ, さいころの出た目とこの番号を対応させる。 さいころを 3 回投げて出た目の番号の点を互いに結んで図形を作る。 このとき, できる図形の面積の期待值を求めよ。\nできる図形の面積を $X$ とする。\nすべての場合の数は \\quad 6^{3} \ 通り\nまた, 三角形は異なる 3 点からなるから，1個の三角形に対し て，その場合の数は３！通りである。\n[1] できる図形が点または線分のとき \\quad X=0 \\n[2] できる図形が, 1 辺の長さが1の正三角形のとき\nその正三角形の 1 辺を底辺として考える と，高さは \\frac{\\sqrt{3}}{2} \ である。\nよって \\quad X=\\frac{1}{2} \\times 1 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{3}}{4} \\nこのような三角形は 4 個あるから, 場合の数は\n\\[ 4 \\times 3!=4 \\times 6=24 \\text { (通り) }\\]\n[3] できる図形が, 1 辺の長さが 2 の正三角形のとき\nその正三角形の 1 辺を底辺として考える と，高さは \\sqrt{3} \ である。\nよって X=\\frac{1}{2} \\times 2 \\times \\sqrt{3}=\\sqrt{3} \\nこのような三角形は 1 個あるから, 場合の数は\n\\[ 1 \\times 3!=6 \\text { (通り) } \\]\n[4] できる図形が直角三角形のとき\n[3] から高さは \\sqrt{3} \ である。\nよって X=\\frac{1}{2} \\times 1 \\times \\sqrt{3}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\nこのような三角形は 6 個あるから, 場合の数は 6 \\times 3!=6 \\times 6=36 \ (通り)\n乗法定理を利用。\nEX\n[2]\n\n々相似比を使うと， [2] の面積の 4 倍となること がすぐにわかる。\n [4] \

平面上に, どの 3 本も同じ点で交わらない 10 本の直線がある。10 本中 2 本 だけが平行であるとき, それら 10 本の直線によってできる交点の個数および三角形の個数を求めよ。

例 4: パラボラアンテナ\n放物線を英語でパラボラ(parabola)という。衛星放送受信用のパラボラアンテナの面は，放物線をその軸を中心に 1 回転してできる面の形をしている。\n問: パラボラアンテナの基本的な性質を述べなさい。

半径 5,8 の円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ が点 $\mathrm{A}$ で外接していると き，この 2 円の共通外接線が円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ と接する 点を $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ とする。また, BA の延長と円 $\mathrm{O}^{\prime}$ と の交点をDとする。\n(2) 3 点 $\mathrm{C}, \mathrm{O}^{\prime}, \mathrm{D}$ は同一直線上にあることを証明せよ。\n(3) $\mathrm{AB}: \mathrm{AC}: \mathrm{BC}$ を求めよ。

EX四角形 ( ABCD ) の対角線 ( AC ) と ( BD ) の長さを ( p, q ), その対角線のなす角の 1 つを ( \u03b8 ) とするとき, ③114 四角形 ( ABCD ) の面積 ( S ) を ( p, q, \u03b8 ) で表せ。\n[日本福祉大]

3本の平行線とそれに交わる5本の平行線によってできる平行四辺形の数を求めなさい。

2 点間の距離 (1) 座標平面上の 2 点 A(x1, y1), B(x2, y2) 間の距離は AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 特に, 原点 O と点 A(x1, y1) の距離は OA=√(x1^2+y1^2) (2) 座標空間上の 2 点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) 間の距離は AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2) 特に, 原点 O と点 A(x1, y1, z1) の距離は OA=√(x1^2+y1^2+z1^2)

PR \\mathrm{AB}=3,\\mathrm{AC}=2,\\angle \\mathrm{BAC}=60^{\\circ} \ の \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, \\angle \\mathrm{A} \ の二等分線と \\mathrm{BC} \ との交点を \\mathrm{D} \ とする。線分 \\\mathrm{AD} \ の長さを求めよ。

図のような半円Oを，弦を折り目として折る。このとき, 折られた弧の部分が直径上の点Pにおいて, 直径に接するような折り目の線分ABを作図せよ。

２２）右の図のように， $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ 上に，それぞれ点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ をとる。また, $\mathrm{BF}$ と $\mathrm{CE}$ の交点を $\mathrm{P}$,直線 $\mathrm{AP}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}, \triangle \mathrm{AEP}$ の外接円と直線 $\mathrm{BP}$ の交点で, 点 $\mathrm{P}$ とは異なる点を $\mathrm{Q}$ とする。 ここで, $\mathrm{AB}=12, \mathrm{BC}=9, \mathrm{AE}: \mathrm{EB}=3: 1$, $\mathrm{BD}: \mathrm{DC}=4: 5$ であるという。このとき,\n\n1. 4点 $\mathrm{D}, *$ は 1つの円周上にある。\n2. オカ～シスに当てはまる数を答えよ。\n3. ＊＊当てはまるものを，次の（）７のうちから２つ選べ。ただし，解答の順序は問わない。\n\n(0) A, B, P\n(1) A, C, E\n(2) $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{P}$\n(3) $\mathrm{A}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$\n(4) $\mathrm{C}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$\n(5) $\mathrm{C}, \mathrm{F}, \mathrm{P}$\n(6) $\mathrm{C}, \mathrm{F}, \mathrm{Q}$\n(7) $\mathrm{C}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$

直線と平面の平行・垂直

正十角形について, 次の数を求めよ。\n(1) 対角線の本数\n(2) 正十角形の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形の個数\n(3)（2）の三角形のうち，正十角形と 1 辺だけを共有する三角形の個数

(2) $\mathrm{AB}=13, \mathrm{BC}=5, \mathrm{CA}=12$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ の内接円の半径を求めよ。

369 基本例題 69 三角形の内心\n（1）図において, 点I は $\triangle \mathrm{ABC}$ の内心である。 $\angle \mathrm{A}=x, \angle \mathrm{BIC}=y$ とするとき, $y$ を $x$ で表せ。\n(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とし, 直線 $\mathrm{AI}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。 $\mathrm{AB}=8$, $\mathrm{BC}=7, \mathrm{AC}=4$ であるとき, $\mathrm{AI}$：ID を求めよ。

数学 I\n右の図において, 線分 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ の長さを求めよ。

204 睆本 列題 126 測量の問題 (平面) 100m 離れた 2 地点 A, B から川を隔てた対岸の 2 地点 P, Q を計測したところ，図のような値が得られた。 （1） AとPの間の距離を求めよ。 (2) P と Q の間の距離を求めよ。

EX $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ の中点を, それぞれ $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ とすると, $\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{DEF}$ の重心が一致することを証明せよ。

67 最小値は \ 10 \\sqrt{2} \\mathrm{~cm} \, 正方形

与えられた線分 $\mathrm{AB}$ に対して, 次の点を作図せよ。 (1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $3: 1$ に内分する点 $\mathrm{E}$ $\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{B}$ (2) 線分 $\mathrm{AB}$ を：1 に外分する点 $\mathrm{F}$

数学 I\nよって, ( \u25b3 ABC ) の面積は\n\nEX 1 辺の長さが ( 10 cm ) の正三角形の紙がある。この正三角形の頂点を ( A, B, C ) とし, 辺 ( BC ) 上に ( 3113 BP=2 cm ) である点 ( P ) をとる。頂点 ( A ) が点 ( P ) に重なるようにこの正三角形の紙を折るとき,辺 ( AB, AC ) と折り目の交点をそれぞれ ( D, E ) とする。このとき ( AD= ) ア ( cm, AE= ) イ ( cm, \u25b3 ADE ) の面積はう ( cm^{2} ) である。\n[京都罧大]

PR $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\mathrm{BC}=17, \mathrm{CA}=10, \mathrm{AB}=9$ とする。このとき, $\sin A$ の值, $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積, (2136外接円の半径, 内接円の半径を求めよ。

基体例題 85 放物線が $x$ 軸から切り取る線分の長さ\n(1) 2 次関数 $y=-x^{2}+3 x+3$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求 めよ。\n(2) 2 次関数 $y=x^{2}-2 a x+a^{2}-3$ のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さ は，定数 $a$ の値に関係なく一定であることを示せ。

106 AB=2√2, BC=4√2, CA=2√6として、三角形の辺の長さを求めよ。

(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\mathrm{BC}=5, \mathrm{CA}=3, \mathrm{AB}=7$ とする。 $\angle \mathrm{A}$ およびその外角の二等分線が直線 $\mathrm{BC}$ と交わる点をそれぞれ $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ とするとき，線分 $\mathrm{DE}$ の長さを求めよ。

平面上に, どの 3 本も同じ点で交わらない 10 本の直線がある。 10 本中 2 本だけが平行であるとき, それら 10 本の直線によってできる交点の 個数および三角形の個数を求めよ。

三角形 ABC の辺長 a, b, c に対し、三角形の面積 T を求めよ。

次の点を作図せよ。\n(1) 辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ から等しい距離にある点 $\mathrm{P}$\n(2) 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ から等しい距離にある点 $\mathrm{Q}$

辺の長さ 1 の正三角形 \ \\mathrm{ABC} \ において, \ \\mathrm{BC} \ を 1:2 に内分する点を \ \\mathrm{D} \, \\mathrm{CA} を 1:2 に内分する\ \\mathrm{E} \, \\mathrm{AB} を 1:2 に内分する点を \ \\mathrm{F} \ とし, 更に \ \\mathrm{BE} \ と \ \\mathrm{CF} \ の交点を \ \\mathrm{P} \, \\mathrm{CF} と \\mathrm{AD} の交点を \ \\mathrm{Q}, \\mathrm{AD} と \\mathrm{BE} の交点を \\( \\mathrm{R} \ とする。このとき, \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ の面積を求めよ。

右の図のように, 円Oと弦ABがある。このとき, 次の円を作図せよ。ただし，点P, QはA, Bとは異なり, 更に, 弦ABの垂直二等分線上にはないものとする。 （1）弧AB (長さが長い方の弧) 上の点Pにおいて円Oに接し，かつ弦ABに接する円 (2) 弦AB上の点Qにおいてこの弦に接し, かつ円Oに接する円

EX 3 辺の長さが $a, b, c$ の直角三角形の外接円の半径が $\frac{3}{2}$, 内接円の半径が $\frac{1}{2}$ のとき, 次の問い に答えよ。ただし， $a \geqq b \geqq c$ とする。\n(1) $a$ の值を求めよ。\n(2) $b$ と $c$ の値を求めよ。

三平方の定理とその逆を利用して次の問題を解きなさい。\n直角三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ において、$\mathrm{BC} = 3$、$\mathrm{CA} = 4$、$\mathrm{AB} = 5$ です。この三角形が直角三角形であることを確認しなさい。

86 順に 94°, 86°

周の長さが 40 cm である長方形において, 対角線の長さの最小値を求めよ。また, そのとき, どのような長方形になるか。

次の数学用語とその対応する定義を日本語で書きなさい。 1. 数直線 2. 三垂線の定理 3. 正弦定理 4. 試行

94 短い方の辺の長さを 1 m 以上 3 m 以下

3 辺の長さが 3,5, x である三角形が鋭角三角形となるように， x の値の範囲を定めよ。

放物線 y=-2x^2+3x-5 を、次の直線または点に関してそれぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。 (1) x 軸 (2) y 軸 (3) 原点

(2) 次の 2 直線のなす角 θ を求めよ。 ただし， 0° ≤ θ ≤ 90° とする。(1) AB と FG (2) AE と BG (3) AF と CD

74\n68 1 辺の長さ 1 の正三角形 \\mathrm{ABC} \ において, \\mathrm{BC} \ を 1: 2 \ に内分する点を \\mathrm{D} \, \\mathrm{CA} \ を 1: 2 \ に内分する点を \\mathrm{E}, \\mathrm{AB} \ を 1: 2 \ に内分する点を \\mathrm{F} \ とし, 更に \\mathrm{BE} \ と \ \\mathrm{CF} \ の交点を \ \\mathrm{P}, \\mathrm{CF} \ と \ \\mathrm{AD} \ の交点を \ \\mathrm{Q}, \\mathrm{AD} \ と \ \\mathrm{BE} \ の交点を \ \\mathrm{R} \ とする。このとき, \\( \\triangle \\mathrm{PQR} \\ の面積を求めよ。

3 点〜が一直線上にあることを示せ。

EX 正方形がある。この正方形の縦の長さを $1 \mathrm{~cm}$ 長くし, 横の長さを $2 \mathrm{~cm}$ 短くして長方形を作ったところ, その面積が正方形の面積の半分になったという。このとき, 正方形の 1 辺の長さは $\square$ $\mathrm{cm}$ である。

基本例題 136 三角形と外接円・内接円の半径 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=7, \mathrm{CA}=5$ のとき, 外接円の半径 $R$, 内接円 の半径 $r$ を, それぞれ求めよ。

二つの円に外接する形状を持つ用語とそのページを示してください。

半径 1 の半円周上で, $x$ 座標が $\frac{1}{2}$ となる点は, 図の点 $\mathrm{P}$ である。求める $\theta$ は, $\angle \mathrm{AOP}$ である。

座標平面上の点P(3, 4)が、線直線y = 2x + 1と対称な点Qの座標を求めよ。

116^{\ominus} \triangle \mathrm{ABC} \) の 3 辺の長さを $a, b, c$ とする。 \( (a+b):(b+c):(c+a)=4: 5: 6 \) で面積が $15 \sqrt{3}$ であるような $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径 $R$, 内接円の半径 $r$ を，それぞれ求めよ。

三角形の内心

PRACTICE 120 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, 外接円の半径を $R$ とする。 $A=30^{\circ}, B=105^{\circ}, a=5$ のとき, $R$ と c を求めよ。

（3）原点に関して対称移動すると，頂点は点 \( \left(-\frac{3}{4}, \frac{31}{8}\right) \) で下に凸の放物線となるから\n\\[\ny=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { でもよい }\\right)\n\\]

PR \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。\n(1) c=3, a=4, B=120^{\\circ} \ のとき b \

円 O は円 B と 2 点 P, Q で交わり、更に円 B の直径 FG と点 A, 中心 B で交わっている。また, E は直線 PQ と直線 FG の交点である。EA = x, AB = a, BG = b とするとき, x を a, b を用いて表せ。

次の 2 点間の距離を求めよ。 (ア) \( \mathrm{P}(3), \mathrm{Q}(8) \) (イ) \( \mathrm{P}(-2), \mathrm{Q}(5) \) (ウ) \( \mathrm{P}(-1), \mathrm{Q}(-4) \)

辺の長さが $10 \mathrm{~cm}$ の正三角形の紙がある。この正三角形の頂点を $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ とし, 辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\mathrm{BP}=2 \mathrm{~cm}$ である点 $\mathrm{P}$ をと。頂点 $\mathrm{A}$ が点 $\mathrm{P}$ に重な るようにこの正三角形の紙を折るとき, 辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ と折り目の交点をそれ ぞれ $\mathrm{D}, \mathrm{E}$ とする。このとき $\mathrm{AD}=$ ア $\square \mathrm{cm}, \mathrm{AE}=$ 亿 $\square \mathrm{cm}, \triangle \mathrm{ADE}$ の面積はウ $\square$ $\mathrm{cm}^{2}$ である。

EX 正三角形でない △ABC の外心を O, 重心を G, 垂心を Hとするとき, { }^{3} 65 G は線分 OH 上にあって, OG:GH=1:2 となることを, 以下に従って証明せよ。 (1) 辺 BC の中点を L, 線分 GH, AG の中点をそれぞれ M, N とする とき, 四角形 OLMN は平行四辺形になることを証明せよ。ただし, AH=2OL であることを利用してよい。 (2) 点Gは線分 OH 上にあることを証明せよ。 (3) OG:GH=1:2 を証明せよ。

2. 1辺の長さが 8 の正方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を, \( \mathrm{AP}=x, \mathrm{BQ}=2 x, \mathrm{CR}=x+4(0<x<4) \) であるようにとる。 $\triangle \mathrm{PBQ}$, $\triangle \mathrm{QCR}$ の面積を $x$ で表すとそれぞれア $\square$, イ $\square$ であるから， $\triangle \mathrm{PQR}$ の面積は $x=$ ウ $\square$ のとき最小値エ $\square$ $\square$ をとる。

直角を挟む 2 辺の長さの和が 16 である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また，その最大値を求めよ。

次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。\n(ア) y=2 x^{2}-8 x-15\n(イ) y=x^{2}-(2 a+1) x+a(a+1)\n( a は定数)

直角を挟む 2 辺の長さの和が 10 である直角三角形について, 斜辺の長さ $l$ の最小値を求めよ。

放物線と $x$ 軸の共有点の位置関係

次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。\n(ア) y=-x^{2}+3 x+1\n(イ) y=x^{2}-2 a x+a^{2}-4 ( a は定数)

三角形の形状決定のまとめ

2つの円 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ で交わる 2 つの円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ がある。右の 図のように, 線分 $\mathrm{QP}$ の Pを越える延長上の 1 点 A から, 円 O に接し円 O' に交わる直線を引き, その接点を $\mathrm{C}$, 交点を $\mathrm{B}, \mathrm{D}$ とする。 $\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b, \mathrm{CD}=c$ であるとき, $c$ を $a, b$ を用いて 表せ。

次のことをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。\n1. 三角形の 3 つの中線は 1 点で交わる。\n2. 三角形の 3 つの角の二等分線は 1 点で交わる。

67 図略; 頂点, 軸の順に (1) 点 (2,-1), 直線 x=2 (2) 点 (-2,-3), 直線 x=-2 (3) 点 (1,1), 直線 x=1

次の図において, \u03B1 を求めよ。ただし, (1) では BC=DC ,(3) の点 O は円の中心である。

空間の点の座標と原点Oとの距離を求める問題。

四角形 \\mathrm{ABCD} \ は, 円 \\mathrm{O} \ 内接し, \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{BC}=\\mathrm{CD}=\\sqrt{3}, \\cos \\angle \\mathrm{ABC}=\\frac{\\sqrt{3}}{6} \ とする。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) 線分 ACの長さ\n(2) 辺 \ \\mathrm{AD} \ の長さ\n(3) 円Oの半径 \ R \

次の図形の面積を求めよ。\n(1) \\mathrm{AB}=2, \\mathrm{BC}=3, \\angle \\mathrm{ABC}=60^{\\circ} \ である平行四辺形 \\mathrm{ABCD} \\n(2) 半径が 10 の円に内接する正八角形

(3) △ABC において, b=2, c=√6, B=45° のとき, 残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。ただし sin 15° = (√6-√2)/4, sin 75° = (√6+√2)/4 であることを用いてもよい。

(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $a=13, b=7, c=15$ のとき $A$ を求 めよ。

TR直角を挟む 2 辺の長さの和が 16 である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また, その最大値を求めよ。

平面上の点の座標と距離を求める問題。

円と直線の位置関係には, 次の 3 つの場合がある。ただし，r は円の半径，d は円の中心と直線との距離である。[1] 2 点で交わる (共有点 2 個) 0 ≤ d < r [2] 接する (共有点 1 個) 0 ≤ d < r [3] 離れている (共有点はない) 0 ≤ d < r [2] のように1点のみを共有するとき，円と直線は接するといい，この直線を接線，共有点を接点という。ここではまず，円の接線に関する性質を調べていきましょう。

本 60 三角形の成立条件 3 辺の長さが次のような $\triangle \mathrm{ABC}$ が存在するかどうかを調べよ。 (1) $\mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=6, \mathrm{CA}=2$ (2) $\mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=10, \mathrm{CA}=17$ (3) $\mathrm{AB}=11, \mathrm{BC}=6, \mathrm{CA}=5$

TR\ { }^{3} 57 \\\n\ \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=a, \\mathrm{CA}=4 \ である \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 辺 \ \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ の中点をそれぞれ \ \\mathrm{M}, \\mathrm{N} \ とする。 (1) \ \\mathrm{AM}=\\sqrt{10} \ のとき, \ a \ の値を求めよ。\\n(2) \ a \ が(1)の値のとき, 線分 BN の長さを求めよ。

(2) 最大辺は CA であり \[ \begin{array}{ll} \text { よって } & \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=18 \\ \mathrm{CA}<\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \end{array} \] したがって, $\triangle \mathrm{ABC}$ は存在する。

例題 65 を振り返ろう！円の外部の 1 点から引いた 2 本の接線の長さは等しいことを利用しましょう。やはり，不要な図形を消してみます。

円周角の定理, 円周角の定理の逆をうまく利用していく。外心 : 三角形の3辺の垂直二等分線の交点 (外接円の中心).... \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外心を \ \\mathrm{O} \ とすると \ \\mathrm{OA}=\\mathrm{OB}=\\mathrm{OC} \\n内心 : 三角形の3つの内角の二等分線の交点 (内接円の中心)\n重心 : 三角形の3本の中線の交点

TRAINING 112 (1)\n平らな広場の地点 $\mathrm{O}$ を原点とし, 東の方向を $x$ 軸の正の向き, 北の方向を $y$ 軸の正の向きとする座標平面を考える。\n地点 $\mathrm{A}$ は, 点 $\mathrm{O}$ から東の方向に 28 進んだ位置にある。そして, 2 点 $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ を結んだ線より南側に地点Pがある。\n地点 $\mathrm{P}$ は, Oからの距離が $25, \mathrm{~A}$ からの距離が 17 である。\n(1) 地点 $\mathrm{A}$ の座標を求めよ。\n(2) 地点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

実践 3: 三角形の內心・外心・重心

次の $\triangle \mathrm{ABC}$ についての問題を解きなさい。\n(1) $\cos A$ の値を求めよ。\n(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めよ。\n(3) $\triangle \mathrm{ABC}$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。

右の図で, 点 $\mathrm{O} \triangle \mathrm{ABC}$ の外心である。 $\alpha, \beta$ を求めよ。

直角三角形と三角比の値を求める

4 点が 1 つの円周上にあることの証明

別解 頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AH}$ を引くと, 直角三角形 $\mathrm{ABH}$ にお いて $\angle \mathrm{ABH}=\angle \mathrm{BAH}=45^{\circ}$ よって\n$\mathrm{BH}=\frac{\mathrm{AB}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \div \sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$\n\nゆえに，直角三角形 $\mathrm{AHC}$ において\n\[\n\cos 15^{\circ}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\n\]

2 つのグラフの 交点の 1 つは 点 \( (-1,0) \)

鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AD}$ を引き, $\mathrm{D}$ から辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ にそれぞれ垂線 DE, DFを引く。このとき, 4 点 B, C, F, E は 1 つの円周上にあることを証明せよ。

△ABC において, 次のものを求めよ。 (1) c=4, a=6, B=60° のとき b (2) a=3, b=√2, c=√17 のとき C (3) b=2, c=√6, C=60° のとき a

2) $\mathrm{AB}>\mathrm{AC}, \angle \mathrm{A}=90^{\circ}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において,頂点Aから辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AD}$ を下ろす。\n$\angle \mathrm{B}=\theta, \mathrm{AB}=a$ とするとき, 次の線分の長さを $a$, $\theta$ で表せ。\n(1) $\mathrm{AD}$\n(2) AC\n(3) $\mathrm{BC}$\n(4) $\mathrm{CD}$

右の図において, ℓ は 2 円 O, O' の共通接線であり, A, B はそれぞれ円 O, O'との接点である。円 O, O'の半径 がそれぞれ 5, 3 で, O, O' 間の距離が 10 のとき, 線分 AB の長さを求めよ。

EX 円に内接する五角形 $\mathrm{ABCDE}$ において, $\mathrm{AB}=7, \mathrm{BC}=3, \mathrm{CD}=5, \mathrm{DE}=6, \angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}$ と 82 するとき, 次のものを求めよ。\n(1) 線分 BD の長さ\n(2) 線分 $\mathrm{AD}$ の長さ\n(3) 辺 $\mathrm{AE}$ の長さ\n(4) 四角形 $\mathrm{ABDE}$ の面積

【問題】 A=90^{\\circ} のとき \ \\sin A=\\sin 90^{\\circ}=1 \ であるから \ 2 R \\sin A=2 R \\cdot 1=2 R \ また, 辺 B C は △ A B C の外接円の直径であるから \ \\quad a=2 R \ ゆえに \ \\quad a=2 R \\sin A \

(1) \\\\( \\theta=30^{\\circ}, \\\\ 150^{\\circ} \\\\\\\n(2) \\\\( \\theta=45^{\\circ} \\\\\\\n(3) \\\\( \\theta=120^{\\circ} \\\\\\\n

点Hは \ \\triangle \\mathrm{DEF} \ のソ である。\nソの解答群\n(0) 内心\n(1) 外心\n(2) 重心

66 図略; 頂点, 軸の順に (1) 点 (-1,0), 直線 x=-1 (2) 点 (1,1), 直線 x=1

第 7 章 三角形への応用 139 △ABC において, 余弦定理により cos ∠BAC = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) ＝(20 + 40 - 52) / (2 * 2 √5 * 2 √10) ＝ 1 / (5 √2) 1 / 5 √2) sin ∠BAC > 0 であるから sin ∠BAC = √(1 - (1 / 5 √2)^2)) = 7 / (5 √2) よって S = (1/2) * AB * AC * sin ∠BAC =(1/2) * 2 √5 * 2 √10 * 7 / 5 √2 = 14 (3) V = (1/3) S d であるから, (1), (2)より 8 = (1/3) * 14 d ゆえに d = 12 / 7

EX △ABC について, AB = 7 √3 および ∠ACB = 60° であるとする。このとき, △ABC の外接円 O の半径は である。外接円 O の, 点 C を含む弧 AB 上で点 P を動かす。 (1) 2 PA = 3 PB となるのは PA = 1 のときである。 (2) △PAB の面積が最大となるのは PA = のときであり, このとき △PAB の面積は である。

(1) $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=3$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ の 3 つの角の大小を調べよ。\n(2) $\angle \mathrm{A}=70^{\circ}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ の 3 つの辺の長さの大小を調べよ。

(1) ∠C<∠B<∠A (2) CA=AB<BC

右の図で, 点 I は $\triangle \mathrm{ABC}$ の内心 である。次のものを求めよ。(1) $\alpha$(2) $\mathrm{AI}: \mathrm{ID}$

平らな広場の地点Oを原点とし, 東の方向を $x$ 軸の正の向き, 北の方向を $y$ 軸 の正の向きとする座標平面を考える。\n$\mathrm{a}$ さんの家は, 点 $\mathrm{O}$ から東の方向に 17 進んだ地点 $\mathrm{A}$ にある。そして, 2 点 $\mathrm{O}$, A を結んだ線より北側の地点 $\mathrm{P}$ にバス停がある。地点Pは, O からの距離が 25, A からの距離が 26 である。\n（1）地点 $\mathrm{A}$ の座標を求めよ。\n(2) 地点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

EX士2 次関数 \( y=a x^{2}+2 a x+a+6(a \neq 0) \) のグラフが $x$ 軸と 2 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ で交わり, 線分 $\mathrm{PQ}$ の 52 長さが $2 \sqrt{6}$ になるように, 定数 $a$ の値を定めよ。

(1) 60° (2) 50° (3) 140°

右の図で, 点Oは △ABC の外心である。α, β を求めよ。

円に内接する四角形の性質を述べなさい。

問題文の図のまま考えていると，これまでに学んだ図形の性質をどこに使えばいいのかわかりません。まず, 点 $\mathrm{A}$ が 2 円 $\mathrm{O}, \mathrm{O}^{\prime}$ の接点ですから, 点 $\mathrm{A}$ を通る 2 円の共通接線を引いてみましょう。そして, 図の一部分に注目すると, 使う性質が見えてきますよ。

前問の結果を利用して, 半径 10 の円に内接している次の正多角形の 1 辺の長さを求めよ。また, 円の中心 $O$ から, 正多角形の 1 辺に下ろした垂線の長さを求めよ。ただし，三角比の表を用いてもよい。また，小数第 2 位を四捨五入せよ。\n(1) 正五角形\n(2) 正十角形

準 57 中線定理の利用\nAB= \\sqrt{7}, BC=a, CA=\\sqrt{5} である \\triangle ABC において, 辺 BC, AC の中点を それぞれ M, N とする。\n(1) AM=2 のとき, a の値を求めよ。\n(2) a が(1)の値のとき, 線分 BN の長さを求めよ。

次の長さの線分を 3 辺とする三角形が存在するかどうかを調べよ。\n(1) 3,4,6\n(2) 6,8,15

次の図において、xの値を求めよ。ただし、PTは円の接線で、Tは接点である。

TRAINING 実践 4 (3) $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\mathrm{BC}=a, \mathrm{CA}=b, \mathrm{AB}=c$, 外接円の半径を 3 , 面積を $S$ とする。 このとき, $S=\square$ ア $a b c$ である。 $\qquad$ の解答群 (0) $\frac{1}{2}$ (1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{6}$ (3) $\frac{1}{8}$ (4) $\frac{1}{12}$

TRAINING 57 (3)\nAB=6, BC=a, CA=4 である \\triangle ABC において, 辺 BC, CA の中点を それぞれ M, N とする。\n(1) AM=\\sqrt{10} のとき, a の値を求めよ。\n(2) a が(1)の値のとき, 線分 BN の長さを求めよ。

(1) △ABC において, a=1, b=√3, A=30° のとき, 残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

EX 1 辺の長さが 8 の正方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ を, $\mathrm{AP}=x$, \( 42 \mathrm{BQ}=2 x, \mathrm{CR}=x+4(0<x<4) \) であるようにとる。 $\triangle \mathrm{PBQ}, \triangle \mathrm{QCR}$ の面積を $x$ で表すとそれ ぞれア $\square$, ^ $\square$ であるから, $\triangle \mathrm{PQR}$ の面積は $x=\square$ のとき最小値 $\square$ をとる。

77^{3} AB =5, \\mathrm{BC}=6, \\mathrm{CD}=5, \\mathrm{DA}=3, \\angle \\mathrm{ADC}=120^{\\circ} である四角形 \\mathrm{ABCD} の面積 S を求めよ。

EX \\angle \\mathrm{XOY}=30^{\\circ} \ の角の内側に \\mathrm{OA}=3 \ である点Aがある。OX,OY上にそれぞれ点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ をとるとき, \\mathrm{AP}+\\mathrm{PQ}+\\mathrm{QA} \ の最小値を求めよ。

縦 2m 40cm, 横 3m 72cm の長方形の床に, 1 辺の長さが a cm の大きさの正方形のタイルをすき間なく敷き詰めたい。このときの a の最大値を求めよ。また, このとき敷き詰められるタイルの枚数を求めよ。

三角形の辺と角に関する問題について説明し、次の定理を証明せよ。\n1. 三角形の2辺の長さの和は、他の1辺の長さよりも大きい。\n2. 三角形の2辺の長さの差は、他の1辺の長さよりも小さい。

2直線のなす角

TR $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{D}$, 線分 $\mathrm{CD}$ の中点を $\mathrm{E}$, $\mathrm{AE}$ と $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{F}$ とする。このとき, 比 $\mathrm{BF}: \mathrm{FC}$ を求めよ。

交わる 2 つの円 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{O}'$ において，共通な弦 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ を通る円 $\mathrm{O}$ の弦を $\mathrm{CD}$，円 $\mathrm{O}'$ の弦を $\mathrm{EF}$ とするとき，4 点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ は 1 つの円周上にあることを証明せよ。ただし，4点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ は一直線上にないものとする。

△ABC において, 外接円の半径を R とする。次のものを求めよ。 (1) a=10, A=30°, B=45° のとき C, b, R (2) b=3, B=60°, C=75° のとき A, a, R (3) c=2, R=√2 のとき C

対角線の長さの和が $10 \mathrm{~cm}$ のひし形について（1）面積の最大値を求めよ。(2) 周の長さの最小値を求めよ。

74 直角二等辺三角形, 最大値は 32

（1）右の四角形 $\\mathrm{ABCD}$ のうち円に内接するものはどれか。\n（2）鋭角三角形 \( \mathテ}ABC の辺 $\\ BarrC$ 上に点 \( \\避釈D\( B、Cとは異なる)を取り、点\\防Dから辺\\AB, ACにそれぞれ垂線 DE, DFを引く。このとき,四角形AEDFは円に内接することを証明せよ。。

右の図のように道路が碁盤の目のようになった町で, A 地点から B 地点へ最短距離で行く。\n（1）すべての道順は何通りあるか。\n（２）(1)のうちで，C地点を通る道順は何通りあるか。\n（3）（1）のうちで，Ｃ地点を通らない道順は何通りあるか。

四角形が円に內接する冬件を用いた竐明\n（1）右の四角形 \\mathrm{ABCD} \ のうち円 に内接するものはどれか。\n(2) 円に内接する四角形 $\\mathrm{ABCD}$ があり, 辺 \\mathrm{AD\ と平行な直線が辺 \\mathrm{AB, DC }\ とそれぞれ点 \\mathrm{E, F}\ で交わる。このとき，四角形BCFE は円に内接することを証明せよ。

直角を挟む 2 辺の長さの和が 10 である直角三角形について, 斜辺の長さ $l$ の最小値を求めよ。

平らな広場の地点 O を原点とし, 東の方向を x 軸の正の向き, 北の方向を y 軸の正の向きとする 座標平面を考える。地点 A は, 点 O から東の方向に 28 進んだ位置にある。そして, 2 点 O, A を結んだ線より南側 に地点Pがある。地点Pは, O からの距離が 25, A からの距離が 17 である。 (1) 地点 A の座標を求めよ。 (2) 地点 P の座標を求めよ。

上の例題の (1)の放物線を(1) $y$ 軸(2) 原点に関して対称に移動したときの放物線 の方程式をそれぞれ求めよ。

■角形の外心 …… 三角形の辺の垂直二等分線の交点\n中学\n線分の垂直二等分線\n点 \\mathrm{P} \ が線分 \\mathrm{AB} \\nの垂直二等分 \\Leftrightarrow \\mathrm{PA}=\\mathrm{PB} \\n線上にある\n左を言いかえると\n「線分 \\mathrm{AB} \ の垂直二等分線は, 2 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ から等しい距離にある 点の集合」ということ。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ があり, 辺の長さは $\mathrm{AB}=\sqrt{7}, \mathrm{BC}=2 \sqrt{7}, \mathrm{CD}=\sqrt{3}$, $\mathrm{DA}=2 \sqrt{3}$ である。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) $\cos B$ の値\n(2) 対角線 $\mathrm{AC}$ の長さ\n（3）四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$

（1）正五角形の 3 個の頂点を結んでできる三角形は何個あるか。また，そのうち正五角形と 2 辺を共有する三角形は何個あるか。 （2）正五角形の２個の頂点を結んでできる線分は何本あるか。

点 P は、半径 √5 の半円上にあるから OP=√5\n図の直角三角形 OPQ において OQ² +2²=(√5)² よって OQ²=1 ゆえに OQ=1\nしたがって、図の点 P の座標は (-1,2)\n\nよって sin θ =2/√5, \cos θ=-1/√5, \tan θ =2/-1=-2

図のように，同じ大きさの５つの正方形を１列に並 べ，赤色，緑色，青色で隣り合う正方形どうしが異なる 色となるように塗り分ける。ただし，２色で塗り分ける ことがあってもよいものとする。\n（1）塗り方は全部でア $\square$ 通りあり，そのうち左右対称となるのは，1 $\square$ 通りある。\n（2）赤色に塗られる正方形が３つであるのは， $\square$ 通りある。\n（3）赤色に塗られる正方形が1つであるのは， $\square$ 通りある。

直角を挟む 2 辺の長さの和が 16 である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また，その最大值を求めよ。

三角形の形状決定のまとめ

1辺の長さが4である正四面体 $\mathrm{ABCD}$ において, 辺 $\mathrm{CD}$ の中点を $\mathrm{M}$ とし, $\angle \mathrm{AMB}=\theta$ とするとき\n(1) $\cos \theta$ の値を求めよ。\n(2) $\triangle \mathrm{ABM}$ の面積を求めよ。

放物線と $x$ 軸の共有点の位置関係\n例題 101 では, 与えられた $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフ から $a$ の符号などを読みとりました。この例題 106 では逆に, どのような条件がそろえば,目的のグラフになるかを考えます。目的のグラフは右の図のようになります。どのような条件を整えると, このグラフになるかを考 えてみましょう。\n\n

(5) ∠XOY=30° の角の内側に OA=3 である点 A がある。OX, OY 上にそれぞれ点 P, Q をとるとき, AP+PQ+QA の最小値を求めよ。

右の図において，2円 O，O' は外接 しており、A，Bはそれぞれ 2 円 O, O' の共通接線と円 O, O' との接点 である。円 O, O'の半径をそれぞれ 6, 4 とするとき, 線分 AB の長さを 求めよ。

TRAINING 128 (3) △標 において, á=√6+√2, b=2, C=45° のとき, 残の边の長さと角の大きさを求めよ。

TR 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ があり, 辺の長さは $\mathrm{AB}=\sqrt{7}, \mathrm{BC}=2 \sqrt{7}, \mathrm{CD}=\sqrt{3}$, $141 \mathrm{DA}=2 \sqrt{3}$ である。このとき, 次のものを求めよ。\n(1) $\cos B$ の値\n(2) 対角線 $\mathrm{AC}$ の長さ\n（3）四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$

図のように, 東西に走る道が 4 本, 南北に走る道が 4 本ある。次のような最短の経路は何通りあるか。（1）A地点からB地点に行く経路。(2) A 地点から C 地点と D地点の両方を通ってB地点 に行く経路。(3) A 地点から B 地点に行く最短の経路のうち, C 地点とD地点の少なくとも 1 つの地点を通るもの。

ルーローの三角形はどのような図形ですか？

放物線 $y=x^{2}$ と円 \( x^{2}+\left(y-\frac{5}{4}\right)^{2}=1 \) が異なる 2 点で接する。2つの接点を両端とする円の2つの弧のうち, 短い弧と放物線で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

(1) 点Aと直線 BC の距離\n(2) $\\triangle \\mathrm{ABC}$ の面積

曲線 y=9-x^2 と x 軸との交点を A, B とし, 線分 AB とこの曲線で囲まれた部分に台形 ABCD を内接させるとき, この台形の面積の最大値を求めよ。また, そのときの点Cの座標を求めよ。

次のような扇形の弧の長さと面積を求めよ。 (1) 半径が 10 , 中心角が π/5 (2) 半径が 3 , 中心角が 15°

基本例題 69 三角形の重心の座標 $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$, 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{L}$, 辺 $\mathrm{CA}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。 \( \mathrm{A}(6,6), \mathrm{M}(7,4), \mathrm{G}\left(\frac{16}{3}, \frac{8}{3}\right) \) であるとき, 点 B, L の座標をそれぞれ求め よ。 p. 113 基本事項 5 , 基本 68

EX 平面上に放物線 C: y=x^2-2 と直線 l: y=4x がある。(1) C と l の交点 A, B の座標を求めよ。(2) C 上の動点 P が A から B まで動くとする。三角形 PAB の面積が最大となるときの点 P の 座標を求めよ。

点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, 円 $x^{2}+y^{2}=5$ に接する 2 本の接線の接点を $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ とす る。このとき, 直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式を求めよ。

このとき、円 (2) の半径 = 中心間の距離 + 円 Cの半径になる。これを用いてRを求めなさい。

3点 O(0,0), A(x1, y1), B(x2, y2) を頂点とする三角形の面積を求めなさい。

(3) 点 (4,2) を通り, x 軸， y 軸に接する円の方程式を求めよ。

数直線上の2点A(a), B(b)間の距離を求めよ。

点 \( \mathrm{P}(4,2 \sqrt{3}) \) を，原点を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させた点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

問題68 次の座標を求めよ: (5, 1), (9, 5), (3, 9)

連立不等式 x² + y² - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y が表す領域を図示せよ。

PRACTICE \ 112^{\\circ} \\n座標平面上の点 \\( (p, q) \\) は \ x^{2}+y^{2} \leqq 8, x \\geqq 0, y \\geqq 0 \ で表される領域を動く。点 \\( (p+q, p q) \\) の動く範囲を図示せよ。\n[類 関西大]

点 (x1, y1) における円 x^2 + y^2 = r^2 の接線の方程式を求めなさい。

EX $a$ は $a>1$ を満たす定数とする。また, 座標平面上に点 \( \mathrm{M}(2,-1) \) がある。 $\mathrm{M}$ と異なる点 \( \mathrm{P}(s, t) \) に対して, 点 $\mathrm{Q}$ を 3 点 $\mathrm{M}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ がこの順に同一直線上に並び, 線分 $\mathrm{MQ}$ の長さが線分 MP の長さの $a$ 倍となるようにとる。\n(1) 点 $Q$ の座標を \( (x, y) \) とするとき, $s, t$ をそれぞれ $x, y, a$ で表せ。\n(2) 原点 $\mathrm{O}$ を中心する半径 1 の円 $C$ がある。点 $\mathrm{P}$ が $C$ 上を動くとき, 点 $\mathrm{Q}$ は円 \( (x+ア \square)^{2}+(y+\text { } \square)^{2}=ウ \square \cdots \cdots \) (1) 周上にある。\n（3） $k$ を正の定数とし, 直線 $\ell: x+y-k=0$ と円 $C: x^{2}+y^{2}=1$ は接しているとする。 このとき, $k=エ \square$ であり, 点 $\mathrm{P}$ が $\ell$ 上を動くとき, 点 \( \mathrm{Q}(x, y) \) の軌跡の方程式は $x+y+($ オ \( \square) a \)-力 $\square=0$ ……2)である。\n(4) (2)の (1)が表す円を $C_{a}$, (3)の (2) が表す直線を $\ell_{a}$ とする。 $C_{a}$ の中心と $\ell_{a}$ の距離を調べる ことにより, $a$ の値によらず $C_{a}$ と $\ell_{a}$ は接することを示せ。

半径 r の円の中心 C と直線 \ell の距離を d とする。d と r の大小関係による円と直線の位置関係を求めなさい。

円と直線の位置関係について説明しなさい。

画䙳例題 1012 直線の交点の軌跡\n$t$ が実数の値をとって変わるとき, 2 直線 $\ell: t x-y=t$, $m: x+t y=2 t+1$ の交点 \( \mathrm{P}(x, y) \) はどのような図形になるか。その方程式 を求めて図示せよ。\n[名城大]

3点 \( \mathrm{A}(3,1), \mathrm{B}(6,-8), \mathrm{C}(-2,-4) \) を通る円の方程式を求めよ。

直線 (3)が領域 Dと共有点をもつとき、傾き m が最大となるのは直線が円 C に接するときである。このときの最大の傾き m を求めなさい。

次の円の方程式を求めよ。\n(1) 2 点 \( (0,2),(-1,1) \) を通り, 中心が直線 $y=2 x-8$ 上にある。\n(2) 点 \( (2,3) \) を通り，y軸に接して中心が直線 $y=x+2$ 上にある。\n(3) 点 \( (4,2) \) を通り, $x$ 軸， $y$ 軸に接する。

点と直線の距離 点 (x₁, y₁) と直線 ax+by+c=0 の距離は $\frac{|ax₁+by₁+c|}{\sqrt{a²+b²}}$

B1150 $c$ を正の実数とする。座標平面上の 3 点 \( \mathrm{A}(0,3), \mathrm{B}(0,1), \mathrm{C}(c, 0) \) をとり, $\angle \mathrm{ACB}$ を \( \theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \) とする。 (1) $\tan \theta$ を $c$ で表せ。(2) $\theta$ の最大値とそのときの $c$ の値を求めよ。

3 点 A(1,5), B(0,2), C(-1,3) から等距離にある点の座標を求めよ。

下の図の斜線部分は、どのような不等式で表されるか。ただし，境界線を含まない。

(2) $a>0$ とし, $p$ を実数とする。座標平面上の曲線 \( y=f(x) \) と直線 $y=p$ が 3 個の共有点をもつような $p$ の値の範囲は ウ $<p<\square$ エ である。\n$p=\square$ の のとき, 曲線 \( y=f(x) \) と直線 $y=p$ は 2 個の共有点をもつ。それらの $x$ 座標を \( q, r(q<r) \) とする。曲線 \( y=f(x) \) と直線 $y=p$ が点 \( (r, p) \) で接することに注意すると\n$q=\square \text { オカ } \sqrt{\text { キ }} a^{\frac{1}{2}}, r=\sqrt{\square \text { ク }} a^{\frac{1}{2}}$\nと表せる。 オカ～ク に当てはまる数を答えよ。

座標平面上に 2 点 \( \mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(4,2) \) をとる。実数 $t$ は $0<t<1$ を満たすとし, 線分 $\mathrm{OA}$ を \( t:(1-t) \) に内分する点を $\mathrm{P}$, 線分 $\mathrm{OB}$ を \( (1-t) : t \) に内分する点を $\mathrm{Q}$ とする。このとき, 線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの最小値，およびそのときの $t$ の値を求めよ。

点 Q が円 x^{2}+y^{2}=9 上を動くとき, 点 A(1,2) と Q を結ぶ線分 AQ を 2:1 に内分する点 P の軌跡を求めよ。

円 x^2+y^2=8 の接線で、直線 7x+y=0 に垂直である直線の方程式を求めよ。

次の角の動径を図示せよ。 (1) 140° (2) -100° (3) 410° (4) -745°

傾き -1 の直線 (4)が領域 D と 共有点をもつとき、円 C の中心 (3,2) と直線 (4) の距離は円 Cの半径1以下である。このときの最大のnを求めなさい。

2 点 \( \mathrm{A}(3,4), \mathrm{B}(5,-2) \) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

次の 3 点を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ。 (1) \( (-1,2),(3,-4),(7,-4) \\) (2) \( (-2,0),(4,4 \\sqrt{2}),(10,-\\sqrt{2}) \\)

点 \( \mathrm{A}(3,1) \) を通り, 円 $x^{2}+y^{2}=5$ に接する 2 本の接線の接点を $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ とする。このとき, 直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式を求めよ。

PR：xy平面において、直線 l: x + t(y - 3) = 0, m: tx - (y + 3) = 0 を考える。t が実数全体を動くとき、直線 l と m の交点はどのような図形を描くか。

円 \( (x-5)^{2}+y^{2}=1 \) と円 $x^{2}+y^{2}=4$ について（1）２つの円に共通な接線は全部で何本あるか。（2）２つの円に共通な接線の方程式をすべて求めよ。

円 $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$ (1) と直線 $y=kx+2$ が共有点をもつような、定数kの値の範囲を求めよ。

次の円と直線に共有点はあるか。あるときは, その点の座標を求めよ。\n(1) $x^{2}+y^{2}=1, x-y=1$\n(2) $x^{2}+y^{2}=4, x+y=3$\n(3) $x^{2}+y^{2}=2,2 x-y=1$\n(4) $x^{2}+y^{2}=5, x-2 y=5$

45 与えられた角を表す動径と, 半径 $r$ の 円との交点を Pとする。 (1) $r=2$ とすると \( \mathrm{P}(-\sqrt{3}, 1) \) したがって $\sin \frac{5}{6} \pi=\frac{1}{2}$ (2) $r=2$ とすると \( \mathrm{P}(-1,-\sqrt{3}) \) したがって $\cos \frac{4}{3} \pi=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ (3) $r=\sqrt{2}$ とすると \( \mathrm{P}(-1,-1) \) したがって $\tan \frac{5}{4} \pi=\frac{-1}{-1}=1$ (4) $r=1$ とすると \( \mathrm{P}(0,-1) \) したがって $\sin \frac{3}{2} \pi=-1$

42140°を標準位置における単位円上の角度に還元しなさい。

定点 \( (5,0),(0,3) \), 原点からの距離が 2 の動点で作る三角形の重心は, 曲線 $x^{2}+y^{2}$-ア $\square x$-イ $\square y+ウ \square=0$ の上にある。

問題65 (1) 次の座標を求めよ: \((\frac{3}{14}, 0)\),\( (0,-\frac{3}{4}) \)。\n(2) 次の座標を求めよ: \( (\frac{1}{2}, \frac{7}{2}) \)。

3 点 A(1,1), B(2,4), C(a, 0) を頂点とする ∆ABC について ∆ABC が直角三角形となるとき, a の值を求めよ。

図形と方程式\n3 点 \( \mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(2,5), \mathrm{C}(6,0) \) に対し $\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}+\mathrm{PC}^{2}$ の最小値およびそのときの点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。