AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
幾何学と測定
平面幾何学 - 幾何学的証明
Q.01
基 本例題 121 余弦定理の利用
△ABC において, 次のものを求めよ。
(1) A=60°, b=2, c=3 のとき a
(2) a=1, b=√5, c=√2 のとき B
(3) a=2, b=√6, B=60° のとき c
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(2) の の大きさを, それぞれ で表すとき, 等式 \( \left(1 + \tan ^{2} \frac{A}{2}\right) \sin ^{2} \frac{B + C}{2} = 1 \) が成り立つことを証明せよ。
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(2) の結果より, 点 Xが辺 を外分する比と点 が辺 を外分する比が等しいから, 点 と は一致する。すなわち, 3 直線 は 1 点で交わること がわかる。\n\n太図形描画ソフトを利用して確認してみまし よう。四角形 の形を変更しても, 3 直線 は 1 点で交わることがわかりますね。 ただし, ソフトでは, 4 点 , , , の位置を動かしてくださ い。
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右の図のような, である四面体 において, 点 から平面 に下ろした垂線を とする。点 が の二等分線 上にあるとき, であることを証明せよ。
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EX \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の重心を Gとするとき, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺, 中線およびそれらの延長上にない任意の点 \ \\mathrm{P} \ に対して, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\\\mathrm{AP}^{2}+\\mathrm{BP}^{2}+\\mathrm{CP}^{2}=\\mathrm{AG}^{2}+\\mathrm{BG}^{2}+\\mathrm{CG}^{2}+3 \\mathrm{GP}^{2}\
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80 半直線 OX に関して点Aと対称な点を A′, 半直線 OY に関して点 B と対称な点 を B′ として, 直線 A′B′ と半直線 OX の交点を P, 直線 A′B′ と半直線 OY の 交点を Q とすればよい
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・ において, 外心Oの, 辺 BC, CA, ABに関する対称点をそれぞれ とするとき, Oは の垂心であることを証明せよ。
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EX 図のように立方体の隣接する 3 つの面 上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き,その線の上を通ることができるとする。次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ。(1) 面(\mathrm{\ABCD) 上で Aから C へ行く場合 (2) 面(\mathrm{\ABCD}, \mathrm{\BEFC}) 上でAからFへ行く場合 (3) 面(\mathrm{\ABCD}, \mathrm{\BEFC}, \mathrm{\CFGD}) 上でAからFへ行く場合
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右の図で、A, B, C, D の境目がはっきりするように、赤, 青, 黄, 白の4色の絵の具で塗り分けるとき
(1)すべての部分の色が異なる場合は何通りあるか。
(2)同じ色を2回使ってもよいが、隣り合う部分は異なる色とする場合は何通りあるか。
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点 A で外接している 2 つの円がある。一方の円の周上の点 における接線が,他方の円と 2 点 で 交わるとき, は の外角の二等分線であることを証明せよ。
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PR ∆ABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1) (b-c) sin A+(c-a) sin B+(a-b) sin C=0
(2) c( cos B- cos A) =(a-b)(1+ cos C)
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円Oの弦 と,その端点Aにおける接線 AT が作る角 は,その角の内部にある弧 に対する円周角 に等しいことを示せ。
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第3章 図形の性質
PRACTICE の解答
64 (1) 9 (2) 21/4
65 略
66 (1) α=100° (2) α=60°, β=30°
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円の周上に3点A,Q,Bがあり,点Pが直線ABに関して点Qと同じ側にあるとき,次の命題を背理法を用いて証明せよ。\n \\angle \\mathrm{APB} > \\angle \\mathrm{AQB} \\Longrightarrow \ 点 \ \\mathrm{P} \ は円の内部にある。
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PR (3) 放物線 y=\frac{1}{2} x^{2} を平行移動した曲線で, 点 (1,5) を通り, 頂点が直線 y=-x+2 上にある放物線の方程式を求めよ。
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EX の頂点 における内角の二等分線と, 頂点 における外角の二等 60 分線と, 頂点Cにおける外角の二等分線は 1 点で交わることを証明せよ。
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直線 は の外角の二等分線である。半直線 BA の延長上の点を H とすると、以下の等式を証明せよ:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\angle \\mathrm{DAG} & =\\angle \\mathrm{DAC}+\\angle \\mathrm{CAG} \\\\\n& =\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{BAC}+\\frac{1}{2} \\angle \\mathrm{CAH} \\\\\n& =\\frac{1}{2}(\\angle \\mathrm{BAC}+\\angle \\mathrm{CAH}) \\\\\n& =\\frac{1}{2} \\cdot 180^{\\circ}=90^{\\circ}\n\\end{aligned}\n\\]
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線分ABとその上の定点Pがある。このとき, 線分ABを斜辺とする直角三角形ABCを作り, 線分AC上に点Q, 線分BC上に点Rを, 四角形PQCRが正方形になるようにとって, 正方形PQCRを作図せよ。
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図のように、円に内接する の の外角 の二等分線が円と再び交わる点を , 辺 の延長と交わる点を とする。
であるとき, であることを証明せよ。
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PR である台形 において, 辺 を等しい 比 に内分する点をそれぞれ とする。このとき, 3 直線 , は, 1 点で交わることを証明せよ。
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EX 右の図のような, BC=BD である四面体 ABCD において, 点 A から平面 BCD に下ろした垂線を AO とする。点 O が \angle CBD の二等分線 BE 上にあるとき, AE \perp CD であることを証明せよ。
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接弦定理の逆
の辺 の延長上に点 がある。 が成り立つとき,直線PT は A, B, T を通る円に接することを示せ。
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比(長さ)を求める問題のポイント
(2)キーワード: 重心
→ 3本の中線は重心によって2: 1に内分されることを利用
参照例題: 基本例題 70
(4)キーワード: 円,直線,接線
→ 方べきの定理を利用
参照例題: 基本例題 89
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PR 右の図のように, である の辺 BC 上に点Dを取る (282 (DはB, Cとは異なる)。次に となるように, 点Eを取る。このとき, 4 点 A, D, C, E は1つの円周上にあることを証明せよ。
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EX の の二等分線と辺 との交点 , 辺 を : に内分する。このことを, 次の 2 つの方法により, それぞれ証明せよ。\n(1) 頂点Cを通る, 直線 に平行な直線と直線 の交点を とするとき, と に着目する。\n(2) 点Dから直線 に垂線を下ろし, と の面積に着目する。
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参考(5)の1,3以外の選択肢について。まず, 3 点 D, A, P は 1 つの直線上にあるから, これらの 3 点を含む 場合, 1 つの円周上にない。よって, 点 A, P を含む0, ⑫不適で ある。次に, 解答から,4点 D, A, C, E は1つの円周上にある(右上の図)。 ゆえに, △DAE の外接円は点 C を通るから, 点 Fを通ることはない。 よって, ③不適である。同様に, △DCE の外接円は点Aを通るから, 点Fを通ることはない。よって, ④は不適である。同じように, 4 点 D, C, P, Q を通る円 (右下の図)に注目することで, (5), が不適であることがわかる。
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長さlの線分と, 1点Oから出る2つの半直線a, bがある。a上の点Aにおいてaに接し,かつbから長さlの線分を切り取る円を作図せよ。
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66・ の重心をGとするとき, の辺,中線 およびそれらの延長上にない任意の点 に対して,次の等式が成り立つことを証明せよ。\n
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EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 外心 \\mathrm{O} \, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ に関する対称点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, \\mathrm{O} \ は \\triangle \\mathrm{PQR} \ の垂心であることを証明せよ。
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基本 例題 67 三角形の外心と垂心
の辺 の中点をそれぞれ とする。 の 外心Oは LMN の垂心であることを, 次の 3 つのことを示すことにより証明せよ。ただし, は鋭角三角形または鈍角三角形とする。
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PR右の図の A, B, C, D, E 各領域を色分けしたい。隣合った領域には異なる色を用い,指定された数だけの色は全部用いなければならない。塗り分け方はそれぞれ何通りか。 (1) 5 色を用いる場合 (2) 4 色を用いる場合 (3) 3 色を用いる場合
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PRACTICE \n の外接円と の二等分線との交点を とするとき, ならば であることを, トレミーの定理を用いて証明せよ。
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右の図のように, の外部に 3 点 を , がそれぞれ正三角形になるようにとる。\n の面積を 辺の長さを とおく とき,次の問いに答えよ。\n(1) とおくとき, を を用いて, を , を用いて表せ。\n(2) を を用いて表せ。ただし,一般に \( \cos \left(\theta+60^{\circ}\right)=\frac{\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta}{2} \) が成り立つことを用いてもよい。\n(3)3つの正三角形の面積の平均を とおくとき, を と 用いて表せ。
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車要例題 72 共点問題\n \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ である台形 \\mathrm{ABCD} \ において,辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{DA} \ を等しい比 m : n \ に内分する点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とする。このとき, 3 直線 \\mathrm{AC}, \\mathrm{BD}, \\mathrm{PQ} \ は1点で交わることを証明せよ。\np. 361 基本事項 2
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右の図のように, の外接円上の点 から直線 に、それぞれ垂線 を下ろす。このとき, 次のことを証明せよ。
(1)
(2) 3 点 D, E, F は 1 つの直線上にある。
(この直線をシムソン線という)
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右の図のように, の直角三角形 の外側に, 正三角形 と正三角形 を作る。線分 と線分 の交点を とするとき, 4 点 は 1 つの円周上にあることを証明せよ。
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PR 右の図の P 地点から Q 地点に至る最短経路について次のことを満たす経路の総数を求めます。
(1)A地点を通る経路は何通りあるか。
(2)B地点を通る経路は何通りあるか。ただし,C地点は通れないものとする。
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次の問題において、重心の性質と中線の関係を使いながら解答してください。
(1) 2本の中線に着目し、それが重心に関係することを示せ。
(2) 重心の性質「2:1の内分」を利用して、面積比を求めよ。
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右の図のように, 円の弦 の交点 から に平行な直線を引き,線分 の延長との交点を とする。 また,Fからこの円に接線 FGを引く。このとき, であることを証明せよ。
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三角形 ABC の辺 BC, CA, AB またはその延長が、三角形の頂点を通らない直線 l とそれぞれ点 P, Q, R で交わるときに、メネラウスの定理を使って次を示せ。
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図形の性質における重要定理についての問題を考えてみましょう。以下の図形の性質を用いて、指定された問題に対する証明を行います。
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基本例題 82 円周角の定理の逆\n右の図で,L,M,N はそれぞれ,円に内接する 四角形 の辺 の中点である。 また, 直線 と直線 DAの交点を , 直線 と直線 の交点を とする。このとき, 4 点 は1つの円周上にあることを 証明せよ。
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EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 辺 \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA}, \\mathrm{AB} \ に関して, 内心 \\mathrm{I} \ と対称な点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R} \ とするとき, \\mathrm{I} \ は \\triangle \\mathrm{PQR} \ についてはどのような点か。
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垂直二等分線: 点 \\mathrm{P} \ が線分 \\mathrm{AB} \ の垂直二等分線上にある。 \\Leftrightarrow \ 点 \\mathrm{P} \ が 2 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ から等距離にある。
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基本例題 66 最大・最小の文章題 (1)
BC=18, CA=6 である直角三角形 ABC の斜辺 AB 上に点 D とり, D から辺 BC, CA にそれぞれ垂線 DE, DF を下ろす。 △ADF と △DBE の面積 の合計が最小となるときの線分 DE の長さと, そのときの面積を求めよ。
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右の図のように, 三角形 がある。正方形 を,線分 上に辺 があり, 頂点 が線分 上, 頂点 が線分 AC 上にあるように作図せよ。
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図のような半円Oを,弦を折り目として折る。このとき,折られた弧の部分が直径上の点P・おいて, 直径に接するような折り目の線分ABを作図せよ。
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3直線AB, CD, PQが1点で交わることを証明せよ。ヒント: ABとPQの交点、CDとPQの交点が一致することを示す。
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右の図は 30 人の生徒に対して理科のテ ストを行った結果の得点を箱ひげ図にし たものである。この箱ひげ図のもとになった得点をヒストグラムにしたとき,対応するものを次の0~2)から選べ。
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EX右の図のように, \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外接円上の点 \ \\mathrm{P} \ から直線 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ に, そ ⑦7 れぞれ垂線 PD, PE, PF を下ろす。このとき, 次のことを証明せよ。\n(1) \ \\angle \\mathrm{PBD}=\\angle \\mathrm{PEF} \\n(2) 3 点 D, E, F は 1 つの直線上にある。 (この直線をシムソン線という)\nHINT (1) 補助線 BP, CP を引いて, 円に内接する四角形を作る。\n(2) \ \\angle \\mathrm{DEP}+\\angle \\mathrm{PEF}=180^{\\circ} \ を示せばよい。
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図から \n\ \\angle \\mathrm{ABD} \\n\\( =180^{\\circ}-\\left(58^{\\circ}+70^{\\circ}\\right) \\)\n\ =52^{\\circ} \\nよって \n\ \\angle \\mathrm{ABD}=\\angle \\mathrm{ACD} \\n\nゆえに, 4 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \ は 1 つの円周上 にある。
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角の二等分線: 点 \\mathrm{P} \ が \\angle \\mathrm{ABC} \ の二等分線上にある。 \\Leftrightarrow \ 点 \\mathrm{P} \ が 2 直線 \\mathrm{BA}, \\mathrm{BC} \ から等距離にある。
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基本例題 83 四角形が円に内接することの証明\n右の図のように, 鋭角三角形 の頂点 から に下ろした垂線を とし, Dから に下ろ した垂線をそれぞれDE,DF とするとき,B,C,F, Eは1つの円周上にあることを証明せよ。
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PRACTICE 68\n鋭角三角形 の垂心を , 外心を とし, 辺 の中点を , 線分 の中点を とする。線分 の長さは の外接円の半径に等しいことを, が成り立つことを用いて証明せよ。
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PR の外接円と の二等分線との交点を とするとき, ならば 84 であることを、トレミーの定理を用いて証明せよ。
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三角形ABCの重心をGとする時、次の等式が成り立つことを証明せよ。AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)
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EX: AB=AC である二等辺三角形 ABC の底辺 BC 上に 2 点 F, G をとり, 三角形 ABC の外接円の弦 AFD, AGE を引くとき, 次のことを証明せよ。 (1) AB² = AF * AD (2) 4 点 D, E, F, G は 1 つの円周上にある。
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長さ a, b の線分が与えられたとき, 2 次方程式 x^{2}+a x-b^{2}=0 の正の解を 長さとする線分を作図せよ。
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三角形 において, 辺 の中点を とするとき, 等式 \( \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \) (中線定理) を証明せよ。(防衛大)
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PRACTICE 72®\n \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \\neq \\mathrm{BC} \ である台形 \\mathrm{ABCD} \ において, 辺 \ \\mathrm{AD}, \\mathrm{BC} \ を等しい比 \ m \ : \ n \ に内分する点をそれぞれ \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とする。このとき, 3 直線 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{PQ} \ は, 1 点で交わることを証明せよ。
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メネラウスの定理\n定理 の辺 またはその延長が,三角形の頂点を通らない1つ の直線とそれぞれ点 で交わるとき\n\\n\\frac{\\mathrm{BP}}{\\mathrm{PC}} \\cdot \\frac{\\mathrm{CQ}}{\\mathrm{QA}} \\cdot \\frac{\\mathrm{AR}}{\\mathrm{RB}}=1 \n\
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例題 87 接弦定理を用いた証明問題
図のように, 大きい円に小さい円が点Tで接している。点 Sで小さい円に接する接線と大きい円との交点を A, B とするとき, と が等しいことを証明せよ。[神戸女学院大]
[p. 394 基本事項 2]
C HART & 7 HINKING
接線と弦には接弦定理
点Tにおける 2 つの円の接線と, 補助線 (Pは線分 AT と小さい円との交点) を引き, 接弦定理を利用する。接弦定理を用いて, 結論にある や と等しい角にどんどん印をつけていき、三角形の角の和の性質に関連付けて証明することを目指そう。
点Tにおける接線を引き, 図のように点Cを定める。また,線分AT と小さい円との交点をPとし, 点 と点 を結ぶ。
接点 対して, 接線 は小さい円,大きい円の共通接線であるから
接点 に対して, 接線 は小さい円の接線であるから
において
\[\begin{array}{ll}
& \angle \mathrm{BTS} + \angle \mathrm{TBS} = \angle \mathrm{AST} \\
ここで & \angle \mathrm{AST} = \angle \mathrm{ASP} + \angle \mathrm{TSP} \\
よって & \angle \mathrm{BTS} + \angle \mathrm{TBS} = \angle \mathrm{ASP} + \angle \mathrm{TSP}\end{array}\]
(1), (3) から
ゆえに, (2)から
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右の図のように, Oを中心とする扇形 がある。正方形 を,線分 上に辺 があり, 頂点 が線分 上,頂点 が弧 上にあるように作図せよ。
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閫 5 (1) 正弦定理 a/sin A = b/sin B = c/sin C から a:b:c = sin A:sin B:sin C 条件から sin A:sin B:sin C = 7:5:3 よって a:b:c = 7:5:3 ゆえに, a = 7k, b = 5k, c = 3k (k > 0) と 表される。よって, a > b > c であるから A > B > C したがって, ∠A が最も大きい内角である。余弦定理により
cos A = (5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2 / 2 ⋅ 5k ⋅ 3k = -15k^2 / 30k^2 = -1/2 よって, 求める角の大きさは A = 120°
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振迤り図形の面積の考方方
ここまで面積を求める問題がたくさんありましたが,考え方の ポイントを教えてください。
定理や公式を利用するだけでなく, 図形をいくつかの三角形に分割 したり, 図形の量を 2 通りに表したりすることがポイントです。
図形をいくつかの三角形に分割する
与えられた辺の長さや角の大きさの条件を活かすには, どのように分割するのがよいか を見極めよう。
例 四角形 ABCD の面積 ( p.213 例題 132 (1))対角線 AC か BD で分割し,2つの三角形に分ける。 3 つの角が 30°, 60°, 90° または 45°, 45°, 90° の直角三角形 が出てくるときは, 辺の比 1: √3: 2 や 1: 1: √2 を利用 するのもよい。
例 正八角形の面積 (p.213 例題 132(2))
正八角形を 8 個の合同な三角形に分ける。
→ 正多角形は,外接円の中心と頂点を結ぶ線分で分割する。
15
図形の量を2通りに表す
線分の長さなどを求める際に, 面積などの同じ図形の量を 2 通りに表すことができれば, その等式から求めたいものが得られる。
例 角の二等分線の長さ ( p.214 例題 133)
∠A の二等分線 AD の長さを x として, △ABC の面積を 2 通りに表す。
例 内接円の半径 ( p.218 例題 136)
内接円の半径を r として, △ABC の面積を 2 通りに表す。
1/2 bc sinA = 1/2 r(a+b+c)
このような考え方は, これから学習する空間図形でも用いられるので,意識しながら学習を進めましょう。
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角度を求める問題のポイント
(2)キーワード: 内心
→ 角の二等分線を利用
参照例題: 基本例題 69
(4)キーワード: 円,接線
→ 接弦定理を利用
参照例題: 基本例題 86
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PR 円Oに, 円外の点 から接線 を引き, 線分 と の交点 30 を通る円Oの弦 を引く。このとき, 4 点 は1つの円周上にあることを証明せよ。ただし,C,D は直線PO上にないものとす る。
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円Oの周上および円の内部にそれぞれ定点 が与えられている。いま, を通る弦 を引て, が の二等分線となるようにしたい。そのような弦 を作図せよ。
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点 で外接する 2 つの円 の共通外接線の接点をそれぞれ C,,とする。 を通る直線と 2 つの円 との交点をそれぞれ とすると であることを証明せよ。
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円Oの周上および円の内部にそれぞれ定点A, Mが与えられている。いま,点Mを通る弦PQを引いて,AMが∠PAQの二等分線となるようにしたい。そのような弦PQを作図せよ。
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ド・モルガンの法則\n全体集合 U の部分集合 A, B について\n\ \\overline{A \\cap B}=\\bar{A} \\cup \\bar{B}, \\quad \\overline{A \\cup B}=\\bar{A} \\cap \\bar{B} \\quad \ (ド・モルガンの法則)\nが成り立つ。このことを,図を用いて確かめよ。
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TRAINING 73 (2)\n長さが1の線分 \\mathrm{AB} \ と長さが a, b \ の線分が与えられたとき, 長さが \\frac{b}{3 a} \ の線分を作図 せよ。
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鋭角三角形 PQR の辺 QR, RP, PQ の中点を、それぞれ A, B, C とするとき、ΔABC の垂心と ΔPQR の外心は一致することを証明せよ。
ΔABC の頂点 A, B, C から対辺に引いた垂線をそれぞれ AD, BE, CF とする。
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TRAINING 25
右の図の A, B, C, D, E 各領域を色分けしたい。隣り合った領域には異なる色を用いて塗り分けるとき, 塗り分け方はそれぞれ 何通りか。
(1) 4 色以内で塗り分ける。
(2) 3 色で塗り分ける。
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右の図のような, 鋭角三角形 の内部に, である長方形 を, 辺 が辺 上,頂点 が辺 上, 頂点 が辺 上にあるように作図せよ(作図の方法だけ答えよ)。
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B 3^3 4^4 AB=5, BC=6, CA=4 である ΔABC において, ∠B の外角の二等分線と ∠C の外角の二等分線の交点を P とする。(2) 直線 AP は ∠A を 2 等分することを証明せよ。
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ひし形の周の長さを とすると \n\\[\n\\begin{aligned}\n\\left(\\frac{l}{4}\\right)^{2} & =\\left(\\frac{x}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{10-x}{2}\\right)^{2} \\\\l^{2} & =4\\left\{x^{2}+(10-x)^{2}\\right\} \\\\& =8\\left(x^{2}-10 x+50\\right) \\\\\n& =8\\left(x^{2}-10 x+5^{2}-5^{2}\\right)+8 \\cdot 50 \\\\\n& =8\\left(x^{2}-10 x+5^{2}\\right)-8 \\cdot 5^{2}+400 \\\\\n& =8(x-5)^{2}+200\n\\end{aligned}\\] \n(1)の範囲において, は, のとき最小値 200 をとる。 であるから, が最小のとき, も最小となる。 よって, は のとき最小値 \( \sqrt{200}=10 \sqrt{2}(\mathrm{~cm}) \) を とる。\n \ \\leftarrow \ 三平方の定理。 \ \\Leftarrow \ この断り書きは重要。
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EX右の図で, △ABC, △CDE はともに正三角形で, 3 つの頂点 B, C, D は一直線上にある。 AD と BE との交点を F とするとき, 4 点 A, B, C, F は1つの円周上にあることを証明せよ。
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命題を証明する方法として対偶や背理法を学びましょう。次の命題を背理法で証明してください。「12個のお菓子をA, B, Cの3人で分けるとき、少なくとも1人は4個以上もらう。」
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右の図のA, B, C, D, E各領域を色分けしたい。隣り合った領域に異なる色を用いて塗り分けるとき,塗り分け方はそれぞれ何通りか。(2) 3色で塗り分ける。
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題目 永さが比の值, 積て表された線分の作図\n長さが 1 の線分 \\mathrm{AB} \ と長さが a, b \ の線分が与えられたとき:\n(1) 長さが \\frac{a}{b} \ の線分を作図せよ。\n(2) 長さが 2 a b \ の線分を作図せよ。
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鋭角三角形 の頂点 から対辺に下ろした垂線を とし, と の交点を Hとする。直線 と 辺 の交点を とするとき, であることを証明せよ。
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四角形 ABCD は円に内接し, AB=4, BC=2, DA=DC である。対角線 AC, BD の交点を E, 線分 AD を 2: 3 の比に内分する点を F, 直線 FE, DC の交点を Gとする。(2) 直線 AB が点 G を通る場合について考える。このとき, 三角形 AGD の辺 AG 上に点 B があるから, BG= = である。また, 直線 AB と直線 DC が点 G で交わり, 4 点 A, B, C, D は同一円周上にあるから, DC= である。
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証明 において, の二等分線と の二等分線の交点 をI とし, I から辺 BC, CA, AB に引いた垂線をそれぞれ IP, とすると よって さなわち ゆえに, 点 I は の二等分線上にもある。したがって, の 3 つの内角の二等分線は 1 点 I で交わる。 この三角形の 3 つの内角の二等分線が交わる点 を, 三角形の内心といい, 内心を中心として 3 辺に接する円を内接円という。
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[TRAINING 83] 右の図のような, Oを中心とする扇形 の内部に正方形 を,辺 が線分 上,頂点 が線分 上,頂点 が弧 上にあるように作図せよ(作図の方法だけ答えよ)。
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■ 作図 線分 AB の垂直二等分線の作図 (1) 2 点 A, B をそれぞれ中心として, 等しい半径の円をかき, 2 つの円の交点を C, D とする。 (2) 直線 CD を引く。
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次の (1), (2) それぞれについて, 指示に従って線分 AD の長さを求めよ。\n(1) において, であるとき, 三角形の面積について, であることを利用する。\n(2) において, であるとき, 角の二等分線の性質 \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{AB} \ : を利用する。
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EX右の図のように, 半径の異なる 2 つの円が点Aで接している。内側の円に { }^{3} 30 \点 \\mathrm{D} \ で接する直線を引き, 外側の円との交点を \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ とする。このとき, \\mathrm{AD} \ は \\angle \\mathrm{BAC} \ を 2 等分することを証明せよ。
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発 例題
25 色の遂り分け(平面)
右の図の 5 つの領域 A, B, C, D, E を,隣り合う領域 が異なる色になるように塗り分ける方法は何通りあるか。
(1)赤,青,黄の 3 色をすべて使って塗る場合
(2)赤,青,黄,緑,紫の 5 色のうち 3 色を使って塗る場合
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TR全体集合 の部分集合 について,次の等式が成り立つことを,図を用いて確かめよ。 \n \\[ \\overline{(\\bar{A} \\cap B)}=A \\cup \\bar{B} \\] \n\ \\bar{A} \\cap B \ は, [図 1]の斜線部分であるから, \\( \\overline{(\\bar{A} \\cap B)} \\) は[図 2 ] の斜線部分である。これは \ A \\cup \\bar{B} \ と一致するから 〔図1〕 〔図2〕 \nCHART \n集合 図に表す ↔図をかいて, \\( \\overline{(\\bar{A} \\cap B)} \\) が表す部分と \ A \\cup \\bar{B} \ が表す部分が一致する ことを確かめる。
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EX \\triangle \\mathrm{ABC} \ とその外接円があり, 辺 \\mathrm{BC} \ 上に点 \ \\mathrm{D} \ を \\angle \\mathrm{BAD}=\\angle \\mathrm{CAD} \ となるようにとる。また, 点Aにおける円の接線と直線 \\mathrm{BC} \ との交点を \ \\mathrm{P} \ とする。このとき, \ \\mathrm{PA}=\\mathrm{PD} \ であることを証明せよ。
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右の図のような, \ \\mathrm{O} \ を中心とする扇形 \ \\mathrm{OAB} \ の内部に正方形 \ \\mathrm{PQRS} \ を, 辺 \ \\mathrm{QR} \ が線分 \ \\mathrm{OA} \ 上, 頂点 \ \\mathrm{P} \ が線分 \ \\mathrm{OB} \ 上, 頂点 \ \\mathrm{S} \ が弧 \ \\mathrm{AB} \ 上 にあるように作図せよ(作図の方法だけ答えよ)。
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右の図のA, B, C, D, E各領域を色分けしたい。隣り合った領域に異なる色を用いて塗り分けるとき,塗り分け方はそれぞれ何通りか。(1) 4色以内で塗り分ける。
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交わる 2 つの円 において, 共通な弦 上の点 \mathrm{P} \ を通る円 \ \\mathrm{O} \ の弦を \ \\mathrm{CD} \, 円 \ \\mathrm{O}^{\\prime} \ の弦を \ \\mathrm{EF} \ とするとき, 4 点 C, D, E, F は1つの円周上にあることを証明せよ。ただし, 4 点 C, D, E, Fは一直線上にないものとする。
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正四面体 ABCD において,次が成り立つことを証明せよ。
(ア) 辺 AD の中点を M とすると AD ⊥ (平面 MBC ) (イ) AD ⊥ BC
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平面 α と α 上に直線 ℓ がある。 α 上にない点 A, ℓ 上の点 B, および α 上にあるが ℓ 上にな い点Oについて,次が成り立つことを示せ。 OB ⊥ ℓ, AB ⊥ ℓ, OA ⊥ OB ならば OA ⊥ α
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2 点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ で交わる 2 つの円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。点 \\mathrm{P} \ を通る直線が円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ と交わる点をそれぞれ A, B とし,2 点 , \\mathrm{Q} \ を通る直線が円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ と交わる点を C とする。点 \\mathrm{A} \ における円Oの接線を \\mathrm{AD} \ とすると, \\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC} \ であることを証明せよ。
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P から直線 BC, AC に垂線を下ろし,それぞれの交点を E, F とする。三角形 PBD≡三角形 PBE, 三角形 PCE≡三角形 PCF, 三角形 PAD≡三角形 PAF を利用して, AD を AB, BC, CA を用いて表す。
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右の図において, x, y, z を求めよ。ただし, ℓは円 Oの接線であり,点 A は接点である。また,(2)では ∠ABD=∠CBD である。
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右の図のように, 2 点 で交わる 2 つの円 がある。点 における円 の接線と円 の交点を , 直線 と円 Oの交点を ,直線 と円 の交点を とする。このとき であること を証明せよ。
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右の図のように, 2 点 \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ で交わる 2 つの円 \\mathrm{O}, \\mathrm{O}^{\\prime} \ がある。点P おおる円 O の接線と円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ の交点を \\mathrm{A} \, 直線 \\mathrm{AQ} \ と円 \\mathrm{O} \ の交点を \\mathrm{B} \, 直線 \\mathrm{BP} \ と円 \\mathrm{O}^{\\prime} \ の交点を Cとする。このとき \\mathrm{AC} = \\mathrm{AP} \ であることを証明せよ。
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チェバの定理の逆
の内接円と 3 辺 との接点を,それぞれ とする とき, 3 直線 は 1 点で交わる。このことを, チェバの定理の逆 を用いて証明せよ。
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円周上に 3 点 があり,点 が直線 に関して点 と 同じ側にあるとき,次が成り立つことを示しなさい。\n1. 点 が円の周上にある⇒ \n2. 点 が円の内部にある⇒ \n3. 点 が円の外部にある⇒
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全体集合 の部分集合 について, 次の等式が成り立つことを, 図を用いて確かめよ。\n\\[\n\\overline{(\\bar{A} \\cap B)}=A \\cup \\bar{B}\n\\]
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■ 角 AOB の二等分線の作図 (1) 点 O を中心とする適当な半径の円をかき, 半直線 OA, OB との交点をそれぞれ C, D とする。 (2) 2 点 C, D をそれぞれ中心として, 等しい半径の円をかき, 2 つの円の交点の 1 つを Eとする。 (3) 半直線 OE を引く。
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次の図において, α, β を求めよ。ただし, ℓ は円 O の接線であり, 点 A は接点 である。また, (3) では PQ // CB である。\n(1)\n(2)\n(3)\nCHART 接線と三角形に注目し 接弦定理\n(2) ∠CAB の大きさは円周角の定理で求められる。\n(3) PQ // CB から ∠ABC=∠BAQ\n(1)直線 ℓ 上に点 D を右の図のように とると\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nよって α=∠BAD=70°
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243 㟥考 の の二等分線と辺 の交点を とするとき \n\\n\\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{AC}-\\mathrm{BD} \\cdot \\mathrm{DC}\n\\nが成り立つ。\nLecture 角の二等分線の性質 の の二等分線と辺 の交点を とする。このとき,次の関係が成り立つことを例題(2)で利用した。\n\\n\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC}=\\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}\n\\n三角形の面積比を 2 通りに表して,(*)を証明してみよう。\n証明 頂点Aから辺 BC またはその延長に垂線 AHを下ろす。\n\ \\triangle \\mathrm{ABD} \ と \ \\triangle \\mathrm{ADC} \ は, 底辺をそれぞれ辺 \\mathrm{BD}, \\mathrm{DC} \ とすると,高さは \\mathrm{AH} \ で共通となるから\n\ \\triangle \\mathrm{ABD}: \\triangle \\mathrm{ADC}=\\mathrm{BD}: \\mathrm{DC} \\leftarrow \\\n 等高なら底辺の比\n一方, \( \\angle \\mathrm{BAD}=\\angle \\mathrm{DAC}=\\theta とすると\n\\n\\begin{aligned}\n\\triangle \\mathrm{ABD}: \\triangle \\mathrm{ADC} & =\\frac{1}{2} \\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{AD} \\sin \\theta: \\frac{1}{2} \\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{AC} \\sin \\theta \n& =\\mathrm{AB}: \\mathrm{AC} \n\\text { よって } \\quad \\mathrm{BD}: \\mathrm{DC} & =\\mathrm{AB}: \\mathrm{AC}\n\\end{aligned}\n\\n角の二等分線が関係する問題では, 性質 \( \\(*) \\) が有効なことが多い。
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■ 線分 PQ の垂線の作図 (1) 点 P を中心とする適当な半径の円をかき, 直線 l との交点 を A, Bとする。 (2) 2 点 A, B をそれぞれ中心として, 等しい半径の円をかき, その 2 つの円の交点の 1 つを Q とする。 (3) 直線 PQ を引く。
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次のことをチェバの定理の逆を用いて証明せよ。
(1)三角形の 3 つの中線は 1 点で交わる。
(2)三角形の 3 つの角の二等分線は 1 点で交わる。
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右の図のように, 半径の異なる 2 つの円が点 A で接して いる。内側の円に点 D で接する直線を引き,外側の円と の交点を とする。このとき, は 等分することを証明せよ。
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点 P(2,3,1) と xy 平面, yz 平面, zx 平面に関して対称な点をそれぞれ D, E, F とする。3 点 D, E, F の座標を求めよ。
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点 \\mathrm{P}\ で内接する 2 つの円がある。右の図のように、点 \\mathrm{P}\ を通る 2 本の直線と、外側の円との交点を \\mathrm{A}, \\mathrm{B}\、内側の円との交点を \\mathrm{C}, \\mathrm{D}\ とする。このとき、\\mathrm{AB}\ と \\mathrm{CD}\ は平行であることを証明せよ。
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TRAINING 64\n(1)右の四角形 \\mathrm{ABCD} \ のうち円に内接するも のはどれか。\n(2)鋭角三角形 \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{BC} \ 上に点 \\mathrm{D} \ (点 \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ とは異なる)をとり, 点 D から辺 \\mathrm{AB}, AC \ にそれぞれ垂線 DE,DF を引く。このとき,四角形 AEDF は円に内接することを証明せよ。
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定理 17 「2 つの線分 と , または の延長と の延長の交点を と するとき, が成り立てば, 4 点 は 1 つの円周上にある。」(方べきの定理の逆)を証明せよ。
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証明 を証明する。\n[1] が直角のとき\n は円の直径となるから, も直角である。よって \n[2] が鋭角のとき\n直径 を引く。 であるから\n\nここで, はともに に対する円周角である から \n(1) 〜(3) から \n[3] が鈍角のとき\n直径 を引く。 であるから\n\n \angle \mathrm{ACD}=90^{\circ} であるから\n\(\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}+\angle \mathrm{BCD}\n\nここで, はともに に対する円周角であるから\n\n(4) (6) から \n[1]〜[3] から, が直角, 鋭角, 鈍角のいずれのときも \nなお, も同様にして証明できる。\nまた,接弦定理はその逆も成り立つことが知られている。
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右の図において, であるから,四角形 は円に内接する。よって, 円周角の定理により, \\angle \\mathrm{ADE}= \\angle \\mathrm{ABE}\ である。また, \\angle \\mathrm{BEC}=90^{\\circ}, \\angle \\mathrm{ADC}= 90^{\\circ} \ であるから, 四角形 CEHD は円に内接する。\ \\angle \\mathrm{HEC} + \\angle \\mathrm{HDC} =180^{\\circ} \\n\n対角の和が であるから,四角形 CEHDは円に内接する。
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証明 において, 辺 の中点を , 辺 の中点を とすると 。三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を,三角形の中線という。三角形の 3 本の中線に注目すると, 次の性質がある。定理 5 三角形の 3 本の中線は 1 点で交わり, その点は各中線を に内分する。
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426
発 例 題
81 折れ線の長さの最小値
である長方形 において, 辺 の中点を とする。辺 上を点 が動くとき, の最小値を求めよ。
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■チェバの定理
定理 6: 三角形 ABC の内部に点 O がある。頂点 A, B, C と O を結ぶ直線が向かい合う辺と、それぞれ点 P, Q, R で交わるとき
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座標平面上の3点A(-2,-2), B(2,6), C(5,-3)について:
(1) 線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
(2) △ABCの外心の座標を求めよ。
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第3章 図形と方程式 97 (2)直線 を 軸に, 点 を通り 直線 BC に垂直な直線を 軸にと ると, 点Dは原点 にな, \( \mathrm{A}(a, b), \mathrm{B}(-3 c, 0), \mathrm{C}(2 c, 0) \) と表すことができる。 このとき \[ =2\left\{(-3 c-a)^{2}+(-b)^{2}\right\}+3\left\{(2 c-a)^{2}+(-b)^{2}\right\} \\ =5 a^{2}+5 b^{2}+30 c^{2} \\ =5\left(a^{2}+b^{2}+6 c^{2}\right) \] また \[ 3 \mathrm{AD}^{2}+2 \mathrm{BD}^{2} & =3\left\{(-a)^{2}+(-b)^{2}\right\}+2(3 c)^{2} \\ & =3\left(a^{2}+b^{2}+6 c^{2}\right) \cdots \cdots(2) \] (1), (2) から \( 3\left(2 \mathrm{AB}^{2}+3 \mathrm{AC}^{2}\right)=5\left(3 \mathrm{AD}^{2}+2 \mathrm{BD}^{2}\right) \)
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図の斜線部分は、どのような不等式で表せるか。以下の手順で示せ。\n\n(1) 円 の外部を領域 、円 \( (x-2)^{2}+y^{2}=1 \) の内部を領域 、 軸の上側を領域 とすると、与えられた図の斜線部分は である。求める不等式を示せ。\n\n(2) 放物線 の上側を領域 、下側を領域 、放物線 の上側を領域 、下側を領域 とすると、与えられた図の斜線部分は \( (A \cap C) \cup (B \cap D) \) である。求める不等式を示せ。
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基本例題 74 座標を利用した証明 (2), 垂心\n座標平面上の 3 点 \( \\mathrm{O}(0,0), \\mathrm{A}(2,5), \\mathrm{B}(6,0) \\) を頂点とする \\triangle \\mathrm{OAB} \ の各頂点 から対辺に下ろした 3 つの垂線は 1 点で交わることを証明せよ。
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PRACTICE 74\n xy \ 平面上に 3 点 \( \\mathrm{A}(2,-2), \\mathrm{B}(5,7), \\mathrm{C}(6,0) \\) がある。 \\triangle \\mathrm{ABC} \ の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ(この交点は、 \\triangle \\mathrm{ABC} \ の外接円の中心であり外心といいます)。
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PR 平面上に 3 点 \( \mathrm{A}(2,-2), \mathrm{B}(5,7), \mathrm{C}(6,0) \) がある。 の各辺の垂直二等分線は 1 点で交わることを証明せよ(この交点は, の外接円の中心であり外心という)。 HINT 線分 AC の垂直二等分線と線分 の垂直二等分線の交点が, 線分 の垂直二等分線上に あることを示す。
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EX平面上の 2 点 (5,0) および (3,6) から, 直線 ℓ に下ろした垂線の長さが等しいとき, 直線 ℓ の方程式を求めよ。ただし,直線 ℓ は原点を通るものとする。[青山学院大]
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) \( \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-2 \geqq 0 \\ (x+2)^{2}+(y-2)^{2}<4\end{array}\right. \)
(2) \( \left\{\begin{array}{l}y \leqq-x^{2}+4 x+1 \\ y \leqq x+1\end{array}\right. \)
(3)
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平面上の2点 (5,0) および (3,6) から、直線 l に下ろした垂線の長さが等しいとき、直線 l の方程式を求めよ。ただし、直線 l は原点を通るものとする。
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円の方程式と直線の方程式から y を消去してできる x の 2 次方程式 a x^{2}+b x+c=0 の判別式 D=b^{2}-4 a c による円と直線の位置関係を求めなさい。
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△ABCの辺BCの中点をMとするとき, AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (中線定理)が成り立つことを証明せよ。
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迤り円の接線の方程式の求め方\n例題 91 や 92 で円の接線の方程式を求める方法がたくさん 出てきました。どのように使い分ければよいのでしょうか。大きく分けると,接点の座標を活用する方法1と活用しない方法2 があります。詳しく見ておきましょう。
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第3章 図形と方程式\n2 直線 (1),(2) が垂直であるための条件は\n-3 \cdot\left(-\\frac{1}{a}\\right)=-1 これを解いて a=\\uparrow-3\n別解 2 直線 (1), (2) が平行であるための条件は\n\3 \\cdot a-1 \\cdot 1=0 よって a=\\frac{1}{3}\\n2 直線 (1), (2) が垂直であるための条件は\n\3 \\cdot 1+1 \\cdot a=0 よって a=\\uparrow-3\\n垂直 \\Leftrightarrow 傾きの積が -1\\hookleftarrow 2 直線\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 と\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 が\n平行 \\Leftrightarrow a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\n垂直 \\Leftrightarrow a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0
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放物線 上の点 から 2 直線 にそれぞれ垂線 を下ろしたとき、点 がこの放物線上を動くとき、長さの積 の最小値を求めよ。また、そのときの点 の座標を求めよ。
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3 点 \( \mathrm{A}(a,-1), \mathrm{B}(1,3), \mathrm{C}(4,-2) \) が同じ直線上にあるとき, 定数 の値を求めよ。
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直線の方程式には以下の形式があります:\n1. 傾きが で切片が の場合: \n2. 点 \( (p, 0) \) を通り、x 軸に垂直な場合: \n一般形: (ここで a, b, c は定数で、 または )\n\nまた、次のような条件で直線の平行・垂直を考えます:\n1. 2直線 と が平行である条件: \n2. 2直線が垂直である条件: \n\n次の一般形の直線 と について、平行・垂直条件を求めよ。\n平行条件: \n垂直条件:
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△ABCの重心をGとするとき, AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)が成り立つことを証明せよ。
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第3章 図形と方程式\n121\n直線 2x - y + 3 = 0 に関して点 Q と対称な点を P とする。点 Q が直線 3x + y - 1 = 0 上を動くとき、点 P の軌跡を求めよ。
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図形と方程式
103
別解 x+y-4=0, 2x-y+1=0 を連立させて解くと, この2直線の交点の座標は (1,3)
よって, 2点 (1,3),(-2,1) を通る直線の方程式は
y-3=\frac{1-3}{-2-1}(x-1)
すなわち 2x-3y+7=0
(2) k を定数とするとき、次の方程式(1) は、2直線の交点を通る直線を表す。
k(x-2y+2)+(x+2y-3)=0
すなわち (k+1)x-2(k-1)y+2k-3=0
直線 (1)' は直線 5x+4y+7=0 と垂直であるから
5(k+1)+4\{-2(k-1)\}=0
ゆえに -3k+13=0 よって k=\frac{13}{3}
求める直線の方程式は, k=\frac{13}{3} を (1) に代入して
\frac{16}{3}x-2 \cdot \frac{10}{3}y+\frac{26}{3}-3=0
すなわち 16x-20y+17=0
別解 x-2y+2=0, x+2y-3=0 を連立させて解くと, この2直線の交点の座標は \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)
この点を通り, 直線 5x+4y+7=0 に垂直な直線の方程式は
y-\frac{5}{4}=\frac{4}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)
すなわち 16x-20y+17=0
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PRACTICE 224°\n2 曲線 \( y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x, y=x^{2}-a x \) が囲む 2 つの部分の面積が等しく なるように, 正の定数 の値を定めよ。[類 立教大]
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点 \\( \\mathrm{P}(4,2) \\) を, 点 \\( \\mathrm{A}(2,5) \\) を中心として \ \\frac{\\pi}{3} \ だけ回転させた点 \ \\mathrm{Q} \ の座標を求めよ。
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2直線の交点を通る直線
交わる2直線 (a₁)x+(b₁)y+c₁=0 ...(A), (a₂)x+(b₂)y+c₂=0 ...(B) に対し、k を定数とすると、方程式 k(a₁x+b₁y+c₁)+a₂x+b₂y+c₂=0 は、2直線の交点 P を通る直線を表す。
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次の不等式の表す領域を,それぞれ xy平面に図示せよ。
(1) |2x+5y| ≤ 4
(2) |x| + |y+1| ≤ 2
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3直線 x - y + 1 = 0, 2x + y - 2 = 0, x + 2y = 0 で作られる三角形の面積を求めよ。
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114 (1) △ABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
(b²+c²-a²) tan A=(c²+a²-b²) tan B
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三角形の辺の長さと三角比との関係を表すもので,次のようなものもある。 において\n\(\begin{array}{l}\u2028a=c \cos B+b \cos C, \u2028b=a \cos C+c \cos A, \u2028c=b \cos A+a \cos B \quad \text { が成り立つ。 }\u2028\end{array}\)\n証明 を示す。\n[1] のとき頂点 A から辺 BC に垂線 を下ろすと\n[2] のとき[2] であるから,[3]\[\begin{array}{l}\mathrm{BH}=c \cos B \mathrm{CH}=b \cos \left(180^{\circ}-C\right)=-b \cos C\u2028\end{array}\]\nであるから\nである。\n\( \begin{array}{l} \text { また, } \mathrm{BH}=c \cos B \mathrm{CH}=b \cos \left(180^{\circ}-C\right)=-b \cos C \ \text { であるから } a=\mathrm{BH}-\mathrm{HC}=c \cos B+b \cos C \ \text { 上より, } a=c \cos B+b \cos C \text { が成り立つ。 }\end{array} \)\n [3] のとき頂点 から直線 BC に垂線 を下ろすと\n以上より, が成り立つ。\n も同様に示すことができる。これを第 1 余弦定理, p.248の2を第 2 余弦定理ということがある。上の証明のように, 三角形の 1 つの頂点から対辺に垂線を下ろすことで, 直ちに示すこと ができる。この定理を記憶してもよいが,すぐに導けるようにしておくとよいだろう。
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三角形 ABC の面積を S とすると次の公式が成り立ちます。以下の証明をしてみましょう。\n\n(1) \n(2) ヘロンの公式: とすると \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
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EX (2) ∆ABC の内角 ∠A, ∠B, ∠C の大きさを、それぞれ A, B, Cで表すとき, 等式 (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 が成り立つことを証明せよ。
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問題3 空間図形と測量
Pさん, QさんとT先生の3人は東西に流れる川の向こうに見える山の高さを計測しようとしている。3人の会話を読み,次の問いに答えよ。
T先生:今日は,川の向こうに見える山の高さを計測してみましょう。Pさん : 川の向こうの山の高さなんて,わかるのですか?Qさん:山に登るのは大変そうですが.......
T先生:実際に山に登るわけではありません。3人で協力して求めます。今いる地点をOとしましょう。Pさんは地点Oから西へa m進んだ地点Aから,Qさんは東へb m進んだ地点Bから,そして,私はこの地点Oから山の頂上を見上げたときの角度を測定します。後は,計算で山の高さを求められます。
Qさん:三角比の考えを使うのでは?以前の授業で似た問題に取り組んだと思います。
T先生:そうですね。三角比を利用して求めます。では,実際に計測に行く前に,Pさん, Qさん,私がそれぞれ計測した角度をα, β, γ,山の高さをx mとして,xとa, b, α, β, γを用いて表すことができるかどうか,図をかいて考えてみましょう。考えやすいように,目の高さは無視するものとし,山の頂上をM, 頂上から地平に引いた垂線と地平との交点をHとして考えてみてください。
次のようなPさんの構想で,xはa, b, α, β, γを用いて表すことができる。【Pさんの構想】
△MAHにおいて,∠MAH=α, MH ⊥ AH, MH=x からAH= □ 同様に, BH, OHもそれぞれβ, γ, およびxを用いて表せる。∠HOA=θとして, △OAHにおいて余弦定理を用いると
□²=□²+□²-2□□cosθ
同様に, △OBHにおいて余弦定理を用いると
オ²=カ²+キ²-2□カ□キ cos(180°-θ)
cos(180°-θ)=クであるから, (1) × b+ (2) × aによりθを消去すれば, xとa, b, α, β, γの式ができる。
これを整理すると,xをa, b, α, β, γを用いて表すことができる。
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(3)右の図のように,正十二角形を対角線によって 12 個の合同な三角形に分 け, 3 点 をとると \n とすると, にお いて, 余弦定理により \nすなわち \(\quad 1=(2-\sqrt{3}) a^{2}\) \nゆえに \(\quad a^{2}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}\)\nよって S=12 \triangle \mathrm{OAB}=12 \cdot \frac{1}{2} a^{2} \sin 30^{\circ}=3(2+\sqrt{3})
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∆ABCにおいて次の等式が成り立つとき,この三角形はどのような形か。
(1) a sin A+c sin C=b sin B
(2) b cos B=c cos C
重要 160
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図形量を 2 通りに表す
線分の長さなどを求める際に, 求められていないものを文字でおいて, 同じ図形量を 2 通りに表すことができれば, その等式から求めたいものが得られる。
例 角の 2 等分線の長さ ( p .268 例題 164(1) )
∠A の二等分線 AD の長さを x として, △ABC の面積を 2 通りに表す。
△ABC=1/2 ⋅ 8 ⋅ 5 sin 120°
△ABC=△ABD+△ADC=1/2 ⋅ 8 ⋅ x sin 60°+1/2 ⋅ x ⋅ 5 sin 60°
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三角形の解法をまとめると、\u0028 \u25B3 \u9ED2 \u0029 の 6 つの要素(3辺 a, b, c と 3 つの角 A, B, C) のうち, 三角形をただ 1 通 りに決めるためには, 少なくとも1つの辺を含む次の 3 つの要素が条件として必要である。[1] 1 辺とその両端の角[2] 2 辺とその間の角[3] 3 辺。これらの条件から, 他の 3 つの要素を求めるとき, 条件に応じた定理の使用法などを説明する。
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半径 1 の円に内接する四角形 に対し,\nL=\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{DA}^{2}とおき, と の面積をそれぞれ とする。また, \( \angle \mathrm{A}=\theta\left(0^{\circ}<\theta<90^{\circ}\right) \) とおく。\n(1) を, および を用いて表せ。\n(2) を一定としたとき, の最大値を求めよ。
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EX (1) において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 ⑪4\n\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \tan B\]
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側面の展開図で考える。扇形の弧の長さと底面の円周の長さが等しいことから,扇形の中心角がわかる。空間図形の側面上での最短経路は, 展開図で2点を結ぶ線分になる。
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辺の長さが 10\\mathrm{~cm}\ の正三角形の紙がある。この正三角形の頂点を \\mathrm{A}, \\mathrm{B}\, \\mathrm{C}\ とし,辺 \\mathrm{BC}\ 上に \\mathrm{BP}=2 \\mathrm{~cm}\ である点 \\mathrm{P}\ をる。頂点 \\mathrm{A}\ が点 \\mathrm{P}\ に重な るようにこの正三角形の紙を折るとき, 辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{AC}\ と折り目の交点をそれ ぞれ \\mathrm{D}, \\mathrm{E}\ とする。このとき \\mathrm{AD}= \ ٢ \\\square \\mathrm{cm}, \\mathrm{AE}=1 \\square \\mathrm{cm}, \\triangle \\mathrm{ADE}\ の面積はウ \\square\\mathrm{cm}^{2}\ である。[京都薬大]
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EX 原点を通り, 直線 y=x となす角が 15^{\circ} である直線は 2 本引ける。これらの直線の方程式を求めよ。
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において, 辺 の中点を とするとき, 等式 \( \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2\left(\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{BM}^{2}\right) \) (中線定理)を証明せよ。
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原点に関して対称移動すると,頂点は点 \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) で下 に凸の放物線となるから\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { でもよい }\\right)\\]\n\ \\hookleftarrow x \ 座標, \ y \ 座標ともに 符号を入れ替える。上に 凸が下に凸に変わる。
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PR において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( (b-c) \sin A+(c-a) \sin B+(a-b) \sin C=0 \)\n(2) \( c(\cos B-\cos A)=(a-b)(1+\cos C) \)
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基本列題 66 最大・最小の文章題 (1) である直角三角形 \ \\mathrm{ABC} \ の斜辺 \ \\mathrm{AB} \ 上に点 \ \\mathrm{D} \ を取り, \\mathrm{D} \\) から辺 \ \\mathrm{BC}, \\mathrm{CA} \ にそれぞれ垂線 \ \\mathrm{DE}, \\mathrm{DF} \ を下ろす。 \ \\triangle \\mathrm{ADF} \ と \ \\triangle \\mathrm{DBE} \ の面積の合計が最小となるときの線分 DE の長さと, そのときの面積を求めよ。
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次の直線の極方程式を求めなさい。
(1)始線 OX 上の点A(3/2, 0) を通り,始線に垂直な直線
(2)極 O を通り,始線とのなす角が −π/4 の直線
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[外分点の位置ベクトルについての証明] \ \\quad(m>n \ の場合を示す。\ m<n \ の場合も同様。線分 \ \\mathrm{AB} \ を \ m \ に外分する点を \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) とする。\n\\( \\mathrm{AP}: \\mathrm{AB}=m:(m-n) \\) であるから\ \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\frac{m}{m-n} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\\ゆえに \\( \\quad \\vec{p}-\\vec{a}=\\frac{m}{m-n}(\\vec{b}-\\vec{a}) \\) 外分点の公式は, 内分点の公式の \ n \ を \ -n \ にしたものである。\n
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平面におけるベクトル方程式については, p.55,56 で学習しました。ここでは,平面の方程式,空間におけるベクトル方程式について考えてみましょう。\n1 平面の方程式\np. 78 の参考で触れたように, 一直線上にない 3 点を通る平面は,ただ 1 つに定まる。 これは 1 点 と \overrightarrow{0} でないベクトル \( \vec{n} を用いて定めることもできる。点 を通り, に垂直な直線は無数に考えられる。その無数の直線が,平面を作ると 考えて,平面の方程式を導いてみよう。\n点 \( \mathrm{A}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) \) を通り, \( \overrightarrow{0} でないベクトル \( \vec{n}=(a, b, c) \) に垂直な平面上の点を \( \mathrm{P}(x, y, z) とする。\n(1) と が一致しないとき, から \( \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(x-x_{1}, y-y_{1}, z-z_{1}\right) であるから, \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0 より\n\na\left(x-x_{1}\right)+b\left(y-y_{1}\right)+c\left(z-z_{1}\right)=0 \cdots \cdots \text { (*) }\n\n と が一致するとき, \( \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{0} から \( \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0 が成り立 ち, (*)が成り立つ。\n(*)を, 点 \( \mathrm{A} を通り, \( \vec{n} に垂直な平面の方程式, \( \vec{n} をその平面の法線ベクトルと いう。\n(2) (1) (*)を整理すると\n\na x+b y+c z-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}=0\n-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}=d とおくと\n\na x+b y+c z+d=0 \\longleftarrow-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1} は定数。\n\nこれを平面の方程式の一般形とよぶことがある。
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単位円上の異なる 3 点 \\( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \\) と, この円上にない点 \\( \mathrm{H}(z) \\) について, 等式 \ z=\alpha+\beta+\gamma \ が成り立つとき, \ \mathrm{H} \ は \ \triangle \mathrm{ABC} \ の垂心であることを証明せよ。
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xy 平面上において, 楕円 x^{2}/4+y^{2}=1 を x 軸方向に 1, y 軸方向に a だけ平行移動して得られる楕円が原点を通るとき, a=□である。
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したがって, 辺 を に内分する点を とすると, 点 は線分 ADを に内分する位置にある。\n(2) \n\\[\n\begin{array}{l}\n\triangle \mathrm{PCA}=\frac{4}{5} \triangle \mathrm{ADC}=\frac{4}{5} \times \frac{3}{8} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{3}{10} \triangle \mathrm{ABC} \\\\\n\triangle \mathrm{PAB}=\frac{4}{5} \triangle \mathrm{ABD}=\frac{4}{5} \times \frac{5}{8} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{5}{10} \triangle \mathrm{ABC} \\n\text { したがって } \triangle \mathrm{PBC}: \triangle \mathrm{PCA}: \triangle \mathrm{PAB}=2: 3: 5\n\end{array}\n\\]
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線分 \ \mathrm{BF} \ 上に点 \ \mathrm{P} \ をとり, その \ y \ 座標を \ a \ とする。点 \ \mathrm{P} \ から直線 \ \\mathrm{CE} \ に引いた垂線と, 点Cから直線 EPに引いた垂線との交点をHとする。このとき, \ \\overrightarrow{\\mathrm{EP}} \ を \ a \ を用いて表せ。また, 点Hの座標を \ a \ を用いて表せ。
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双曲線上の任意の点 から 2 つの漸近線に垂線 を下ろす。このとき,線分の長さの積 は一定であることを証明せよ。
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第 1 章 平面上のベクトル
(3) 点 C, E, F は, 点Bとそれぞれ, y 軸, 原点, x 軸に関して対称であるから, 点 C, E, F の座標は
\[ \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}), \mathrm{E}(-1,-\sqrt{3}), \mathrm{F}(1,-\sqrt{3}) \]
また, 点 \mathrm{P} の座標は \( (1, a) \)
よって
\[ \begin{array}{l} (1-(-1), a-(-\sqrt{3})) = (2, a+\sqrt{3}) \end{array} \]
次に, 点 \mathrm{H} は点 \mathrm{P} から直線 \mathrm{CE} に引いた垂線上にあるから, \mathrm{H}(x, a) とおける。
このとき \( \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-(-1), a-\sqrt{3}) \)
\[ (x+1, a-\sqrt{3}) \]
であるから
ここで, \( \overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=2(x+1)+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3}) \)
ゆえに
よって
したがって, 点 \mathrm{H} の座標は \( \left(\frac{1-a^{2}}{2}, a\right) \)
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第 4 章 式 と曲 線- 99
(2) 点 \( (2,1) \) を通る接線は, 軸に垂直ではないから,その方程式は \( \quad y=m(x-2)+1 \) すなわち とおける。
よって, (1) の直線の方程式において とすると
\[
m^{2}-(-2 m+1)^{2}+4=0
\]
すなわち
この 2 次方程式の 2 つの解を とすると, は 2 つの 接線の傾きを表す。
解と係数の関係により
したがって,2つの接線は直交する。
(1)の結果を利用でき る。
2 直線が直交
傾きの積が -1
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次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ。
(1) 2 点 (3√2, 0), (-3√2, 0) を焦点とし、焦点からの距離の差が 6 である
(2) 2 点 (0, √26), (0, -√26) を焦点とし、焦点からの距離の差が 6√2 である
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楕円の焦点を通り, 短軸に平行な弦を とする。短軸の長さの 2 乗は、長軸の長さと弦 の長さの積に一致することを証明せよ。
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四面体 \\mathrm{OABC} \ の辺 \\mathrm{OA}, \\mathrm{OC} \ の中点を, それぞれ \\mathrm{L}, \\mathrm{M} \ とし, 線分 ML, 辺 \\mathrm{AB} \ を 2: 1 \ に内分する点を, それぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} \ とする。また, 辺 \\mathrm{OB} \ を 2: 1 \ に外分する点を \\mathrm{N} \ とし, 直線 \\mathrm{BC} \ と 直線 MN の交点を R とする。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\vec{a}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\vec{c} \ とするとき, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}} \ を \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ を用いて表せ。\n(2) 四角形 \\mathrm{PQRM} \ は平行四辺形であることを証明せよ。
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一般に, 点 \( \mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) と直線 の距離 をベクトルを用いて証明しなさい。
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座標平面上で, 長さが6の線分 の両端 が, それぞれ 軸上, 軸上を動く とき, 線分 を に外分する点 の軌跡を求めよ。
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TRAINING 29 (3) 直角三角形でない三角形 の外心を とする。 を満たす点 をとると, であることを示せ。
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点 の極座標を \( (3,0) \) とする。極 との距離と, を通り始線に垂直な直線 との距離が等しい点 の軌跡の極方程式を求めよ。
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線分 \ \mathrm{BD} \ の中点を \ \mathrm{M} \ とし,直線 \ \mathrm{AM} \ と直線 \ \mathrm{CD} \ の交点を \ \mathrm{N} \ とする。 \ \\overrightarrow{\\mathrm{ON}} \ は実数 \ r, s \ を用いて, \ \\overrightarrow{\\mathrm{ON}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+r \\overrightarrow{\\mathrm{AM}} \, \ \\overrightarrow{\\mathrm{ON}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OD}}+s \\overrightarrow{\\mathrm{DC}} \ と 2 通りに表されることを利用して, \ \\overrightarrow{\\mathrm{ON}} \ を求めよ。
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Oを極とする極座標において, 次の直線の極方程式を求めよ。
(1)始線 OX 上の点 A(2,0) を通り, 始線に垂直な直線
(2)極 O を通り,始線とのなす角が π/3 の直線
GUIDE 平面上の曲線が, 極座標 (r, θ) の方程式 r=f(θ) や F(r, θ)=0 で 表されるとき,その方程式をこの曲線の極方程式という。
1 図形上の点 P の極座標を (r, θ) とする。
2 点 Pが満たす図形に関する条件を,式に表す。
(1) は直角三角形 OAP に注目。
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116 (1) (ア) r²(1+cos² θ)=3 (1) θ=π/4 (ウ) r=2 sin θ (2) (ア) x²+y²-√3x-y=0 (1) 4x²+y²=4
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1 辺の長さが 1 の正四面体 において, 辺 の中点を, それぞれ とし, の重心をGとする。\n(1) ベクトルを用いて, を示せ。\n(2) 線分 EG の長さを求めよ。
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TR楕円の焦点を通り, 短軸に平行な弦を \mathrm{AB} とする。短軸の長さの 2 乗は, 長軸の長さと弦 \mathrm{AB} 120 の長さの積に一致することを証明せよ。 HINT 楕円の方程式を \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) と表して考える。
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座標平面上で, 長さが9の線分 の両端 が, それぞれ軸上, 軸上 を動くとき,線分 を に内分する点Pの軌跡を求めよ。
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TR 四角形 \\mathrm{ABCD} \ の辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CD}, \\mathrm{DA} \ の中点をそれぞれ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ とし, 対角線 , BD の中点をそれぞれ T, Uとする。このとき, 線分 PRの中点, 線分 \\mathrm{QS} \ の中点, 線分 TU の 中点はすべて一致することを証明せよ。
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サイクロイドの拡張\nサイクロイド(מ. 248)に関連した曲線には,次のようなものがある。\n・ロロイド\n半径 \ a \ の円が定直線 \ (x \ 軸 \\) 上を滑ることなく回転するとき, 円の中心から距離 \ b \ の位置にある定点 \ \\mathrm{P} \ が描く曲線をトロコイドという。特に, \ a=b \ のとき, 点 \ \\mathrm{P} \ は円の周上 にあり, Pが描く曲線はサイクロイドである。\nトロコイドの媒介変数表示は \ x=a \\theta-b \\sin \\theta, y=a-b \\cos \\theta \ \ \\qquad \ (*)となる。 \ a \\neq b \ のとき, トロコイドの概形は, 図の曲線Cのようになる(周期はいずれも \\n(*)は, 例えば上の図で, \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) として直角三角形 APB に注目すると, \\( x=a \\theta-b \\cos \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{2}\\right), y=a+b \\sin \\left(\\theta-\\frac{\\pi}{2}\\right) \\) であることから, 導くことができる。\n\nエピサイクロイド, ハイポサイクロイド D. 253 参照。\n\n半径 \ b \ の円 \ C \ が, 原点を中心とする半径 \ a \ の定円に外接しながら滑ることなく回転する とき,円 \ C \ 上の定点 \ \\mathrm{P} \ が描く曲線をエピサイクロイド(外サイクロイド)という。また,半径 \ b \ の円 \ C \ が, 原点を中心とする半径 \ a \ の定円に内接しながら滑ることなく回転する とき, 円 \ C \ 上の定点 \ \\mathrm{P} \ が描く曲線をハイポサイクロイド(内サイクロイド)という。前 ページで学んだように, これらの曲線の媒介変数表示は, 次のようになる。\n・エピサイクロイド\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx=(a+b) \\cos \\theta-b \\cos \\frac{a+b}{b} \\theta \\\\\ny=(a+b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a+b}{b} \\theta\n\\end{array}\\right.\n\\]\n\n例えば, \ a=b, a=2 b \ のときのエピサイク ロイドの概形は次のようになる。\n\ a=b \ のとき\n\ a=2 b \ のとき\n\n注意 \ a=b \ の場合, この曲線をカージオイド または心臓形という。\n・ハイポサイクロイド\n\\[\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx=(a-b) \\cos \\theta+b \\cos \\frac{a-b}{b} \\theta \\\\\ny=(a-b) \\sin \\theta-b \\sin \\frac{a-b}{b} \\theta\n\\end{array}\\right.\n\\]\n\n例えば, \ a=3 b, a=4 b \ のときのハイポサ イクロイドの概形は次のようになる。\n\ a=3 b \ のとき \ a=4 b \ のとき\n\n注意 \ a=4 b \ の場合, この曲線をアステロイ ドまたは葟班形という。
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練習67 -> 本冊 p.134
(1) 2 平面 の方程式をそれぞれ (1), (2) とする。(2)-(1) から
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平面上の点の存在範囲\n\ \\triangle O A B \ に対して, \ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \ のとき, 点 \ P \ の存在範囲は\n(1) 直線 \ \\mathrm{AB} \\Leftrightarrow s + t = 1 \\n特に線分 \ \\mathrm{AB} \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ の周と内部\n\\\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0\\n(3) 平行四辺形 \ \\mathrm{OACB} \ の周と内部\n\\\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1\
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(1) 点 は線分 に関し て点 Cと対称であるから\n\\n\\triangle \\mathrm{ADF} \\equiv \\triangle \\mathrm{ADC}\n\\nよって,\n\ \\triangle \\mathrm{ADF}=\n\\frac{1}{6}\n \\triangle \\mathrm{OAB} \ ならば\n\\n\\triangle \\mathrm{ADC}=\\frac{1}{6} \n\\triangle \\mathrm{OAB}\n\\n\nまた, \\( \\triangle \\mathrm{ADC}=\n\\frac{1}{3}(1-\n\\alpha\n) \\triangle \\mathrm{OAB} \\) であるから\n\\(\n\\frac{1}{3}(1-\n\\alpha\n)=\n\\frac{1}{6}\n\\)\n\nこれを解いて \ \\alpha=\n\\frac{1}{2}\n \ これは \ 0\n<\\alpha\n<1 \ を満たす。
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練習 次の 3 点を通る平面の方程式を求めよ。\n57 (1) \( \mathrm{A}(1,0,2), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(2,1,-3) \)\n(2) \\( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,3,0), \mathrm{C}(0,0,1) \)
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以下のベクトル問題を解きなさい。\n\\\triangle \\mathrm{PBC}, \\triangle \\mathrm{PCA}, \\triangle \\mathrm{PAB} の面積 をそれぞれ \\triangle \\mathrm{ABC} の面積 S で表す。\\n
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次に、それぞれが直角二等辺三角形であることを用いた証明: は、 の直角二等辺三角形であるから . は の直角二等辺三角形など。, , を代入。
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重要例題 57 | 平面の方程式\n3 点 \( \mathrm{A}(0,1,-1), \mathrm{B}(4,-1,-1), \mathrm{C}(3,2,1) \) を通る平面の方程式を求めよ。
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(4) 垂心( が鋭角三角形の場合) つの垂線の交点 \( \mathrm{H}(\vec{h}) \) \n直線 と辺 の交点, 直線 と辺 の交点をそれぞれ とすると, から 同様に よって, (*)から したがって, \( (* *) \) から \( \vec{h}=\frac{(\tan A) \vec{a}+(\tan B) \vec{b}+(\tan C) \vec{c}}{\tan A+\tan B+\tan C}\)
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正の整数 を考え、 \( 2 k \pi \leqq x \leqq(2 k+1)\pi \) の範囲で定義された 2 曲線 、 がある。\n\n(1) と が共有点をもつことと、その点における の接線が点 \( (0,1) \) を通ることを示せ。
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点Pにおける接線の方程式、及び漸近線と交点の座標を求め、三角形OQRの面積が点Pの選び方に無関係であることを証明せよ。
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例題 56 | 曲線の接線の長さに関する証明問題\n曲線 \( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}=\sqrt[3]{a^{2}}(a>0) \) 上の点 における接線が 軸, 軸と交わる点をそ れぞれ とする。線分 の長さは の位置に関係なく一定であることを証明せよ。ただし,Pは座標軸上にないとする。\n[類 岐阜大]
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条件から
\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{APO}=\angle \mathrm{PAO}=\theta\]
ゆえに
\[\angle \mathrm{PQB}=\angle \mathrm{PAQ}+\angle \mathrm{APQ}=3 \theta
において, 正弦定理により
\[\frac{\mathrm{OQ}}{\sin \theta}=\frac{\mathrm{OP}}{\sin (\pi-3 \theta)} \quad \text { よって } \quad \mathrm{OQ}=\frac{r \sin \theta}{\sin 3 \theta}\]
点 が限りなく点 に近づくとき, であり
したがって, は線分 を に内分する点に近づく。
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134
重要例題 67
平面の交線,それを含む平面の方程式
2 平面 (1) (2) の交線 をしとする。
(1) 交線 の方程式を の形で表せ。
(2)交線 を含み, 点 \( \mathrm{P}(1,-9,2) \) を通る平面 の方程式を求めよ。
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複素数平面を利用して, 次の定理を証明せよ。100円に内接する四角形 \\mathrm{ABCD} \ について, 等式\n \\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD} \ が成り立つ(トレミーの定理)。
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練習(2) 2 次曲線の 1 つの焦点 \ \\mathrm{F} \ を通る 2 つの弦 \ \\mathrm{PQ}, \\mathrm{RS} \ が直交するとき, \ \\frac{1}{\\mathrm{PF} \\cdot \\mathrm{QF}}+\\frac{1}{\\mathrm{RF} \\cdot \\mathrm{SF}} \ は一定であることを証明せよ。
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双曲線 \ x^{2}-y^{2}=2 \ の第 4 象限の部分を \ C \ とし, 点 \\( (\\sqrt{2}, 0) \\) を \ \\mathrm{A} \, 原点を \ \\mathrm{O} \ とする。曲線 \ C \ 上の点 \ \\mathrm{Q} \ における接線 \ \\ell \ と, 点 \ \\mathrm{O} \ を通り接線 \ \\ell \ に垂直な直線との交点を \ \\mathrm{P} \ とする。\n(1) 点 \ \\mathrm{Q} \ が曲線 \ C \ 上を動くとき, 点 \ \\mathrm{P} \ の軌跡は, 点 \ \\mathrm{O} \ を極とする極方程式\n r^{2}=2 \\cos 2 \\theta \\quad\\left(r>0, \\quad 0<\\theta<\\frac{\\pi}{4}\\right) \nで表されることを示せ。\n(2) (1) のとき, \ \\triangle \\mathrm{OAP} \ の面積を最大にする点 \ \\mathrm{P} \ の直交座標を求めよ。
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棘習 半球形の凹面鏡がある。球の中心を , 半径を 35 の直径を とする。点 から直径 と \ の角をな す光線が鏡の点 で反射し, 直径 と交わる点を と すると, である。点 が限りなく点 に近づくとき, はどのような点に 近づくか。\np. 344 演習 19
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数学 C\n練習 118 \\Rightarrow \ 本冊 p .232 \ (イ) 接点の座標を \\( \\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\) とすると, 接線の方程式は \\( y_{1} y=4\\left(x+x_{1}\\right) \\) また \ \\quad y_{1}{ }^{2}=8 x_{1} \ 直線 (1) が点 \\( (3,5) \\) を通るから \\( \\quad 5 y_{1}=4\\left(3+x_{1}\\right) \\) よって \ 4 x_{1}=5 y_{1}-12 \ これを(2)に代入して \\( \\quad y_{1}^{2}=2\\left(5 y_{1}-12\\right) \\) 整理すると \ \\quad y_{1}^{2}-10 y_{1}+24=0 \ これを解いて \ y_{1}=4,6 \ (3) から \ y_{1}=4 \ のとき \ x_{1}=2, \\quad y_{1}=6 \ のとき \ x_{1}=\\frac{9}{2} \ これを (1)に代入して, 接線の方程式は\n\ y=x+2, \\quad y=\\frac{2}{3} x+3 \ 4点 \\( (-2,0) \\) は双曲線 の頂点。 (1) は双曲線と 1 点で 交わる。 (2)は 2 次方程式。
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8 平面上に △ABC がある。点 O を △ABC の外心とし, 外接円の半径を R とする。 また, 点 H は を満たす点とする。ただし, 点 H は 3 点 A, B, C と異なる点であるとする。 とするとき
(1) と をそれぞれ を用いて表し, であることを示せ。
(2) 線分 OH の中点を P とし, △ABC の各辺 AB, BC, CA の中点を, それぞれ L, M, N とする。このとき, をそれぞれ を用いて表し, P は △LMN の外心になることを示せ。
(3) 線分 の中点を Dとするとき, Pは線分 DM の中点になることを示せ。
(4) 頂点 A から直線 BC に垂線を下ろし, 直線 BC との交点を E とするとき, 点 E は △LMN の外接円の周上にあることを示せ。
[長崎大] >例題 20
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重要㑬題 107 楕円に内接する四角形\n(1) 円に内接する四角形のうちで面積が最大となるものは正方形であることを証明せよ。\n(2)楕円 \( E: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\) に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。\n[類 長岡技科大] 《例題 106
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円Oに関する反転(この円Oを反転円という)により, 点Pが 点 に移るとする。このとき, 点 と点 は円 に関して互いに鏡像, または, 点 は点 の鏡像ともいう。 そして,右の図のように,円Oに関する反転により,\n円Oの内部の点は外部の点に, 円 Oの外部の点は内部の点に移る。 また, 円O上の点は反転によって動かない。\n注意上記の反転の定義によると, 中心Oの移動先が定義できないが, 中心Oの移動先を無限遠点という仮想の点として考えることがある。なお, 無限遠点については大学の数学で学ぶ。\n反転の作図円Oに関する反転によって, 点 が移る点 は,次のようにして作図することができる。この作図要領を押さえておくと,反転のイメージがわかりやすい。\n[1] 点 を通り に垂直な直線と円 との交点を とする。\n[2] 点 における円Oの接線と直線 の交点を とする。\n㱏明 から \nよって \( \quad \mathrm{OP} \cdot \mathrm{OP}^{\prime}=\mathrm{OA}^{2}=r^{2} \quad(\text { 円の半径 })^{2} \)\n注意 点 が円の外部にあるときも,同様にして,点 を作図することができる。\n円や直線の反形に関する性質 円Oに関する反転により, 次の 4 つの性質がある。\n(1) 反転円の中心 を通る円は,Oを通らない直線に移る。\n(2) 反転円の中心 を通らない直線は, を通る円に移る。\n(3) 反転円の中心Oを通らない円は, Oを通らない円に移る。\n(4) 反転円の中心 を通る直線は,その直線自身に移る。
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(2) (ア) 方程式を変形すると\n\\[ \\left(x^{2}+4x+4\\right)+4\\left(y^{2}-6y+9\\right)=4 \\]\nすなわち \\( \\quad(x+2)^{2}+4(y-3)^{2}=4 \\)\nよって \\( \\quad \\frac{(x+2)^{2}}{4}+(y-3)^{2}=1 \\)\nしたがって, 方程式が表す図形は, 楕円 \ \\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 \ を \ x \ 軸方向に \ -2 \, y軸方向に \ 3 \ だけ平行移動したもの。 また, 楕円 \ \\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 \ の焦点は 2 点 \\( ( \\sqrt{3}, 0) \\), (-\\sqrt{3}, 0) \\) であるから, 求める焦点は\n\\[ 2 \\text{ 点 } ( \\sqrt{3} - 2, 3 ), -( \\sqrt{3} - 2, 3 ) \\]
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3点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする三角形の五心(重心,内心,垂心,外心,傍心)の位置ベクトルが, を用いてどのように表されるかということを調べてみよう。\n\n\n の内部の点 の位置ベクトル の内部の点 をと, 直線 と辺 の交点を と する。 と の面積について,右の図で底辺をともに辺 とみると,面積の比は高さの比 となる。 であるから \n\n\n \n \n \( \triangle \mathrm{ABP}: \triangle \mathrm{CAP}=\underline{\mathrm{BD}}: \underline{\mathrm{CD}} \cdots \cdots \cdot(*) \) が成り立つ。 このことから, \n\n\n の内部の点 の位置ベクトルについて,次のことが成り立つ。\n の内部に点 \( \mathrm{P} と り, \mathrm{~A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}), \mathrm{P}(\vec{p}) \) とする。\n\n\n \( \triangle \mathrm{BCP}: \triangle \mathrm{CAP}: \triangle \mathrm{ABP}=\alpha: \beta: \gamma(\alpha>0, \beta>0, \gamma>0) \cdots \cdots(\star) \) とするとき\n\n\n \[ \vec{p}=\frac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}}{\alpha+\beta+\gamma} \cdots \cdots(* *) \text { が成り立つ。 } \] \n 㱏明 右の図のように 3点 をとると, (*)から \( \mathrm{BP}: \mathrm{PE}=s:(1-s), \mathrm{CP}: \mathrm{PF}=t:(1-t) \) とすると \[ \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{AB}}+s \overrightarrow{\mathrm{AE}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{s \gamma}{\alpha+\gamma} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AF}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{t \beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \end{array} \] であるから (1), (1), (2) から ゆえに から \n \(参考(大)が成り立つとき,右の図のような長さの比の関係がある。また, (**)は と同値である。\n三角形の五心の位置ベクトル以下, に対し, \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}), \mathrm{BC}=a, \mathrm{CA}=b, \mathrm{AB}=c\) とする。 (1) 重心.... 3つの中線の交点 \( \mathrm{G}(\vec{g}) \) 直線 と邊 の交点,直線 と辺 の交点, 直線 と辺 の交点をそれぞれ とすると \( よって, (*) から ゆえに, (**)から
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重要侀題 40 | ベクトルの大きさの大小比較
空間の 2 つのベクトル と が垂直である。
に対して, とするとき,次のことを示せ。
(1) \( (\vec{p}-\vec{q}) \cdot \vec{a}=0, \quad(\vec{p}-\vec{q}) \cdot \vec{b}=0 \)
(2)
(3) 3 点 を通る平面上の点 \( \mathrm{R}(\vec{r}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}) \) が点 と異なるとき
[名古屋市大]
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方程式を変形すると
すなわち \( 4(x+3)^{2}-25(y+4)^{2}=100 \)
よって \( \frac{(x+3)^{2}}{25}-\frac{(y+4)^{2}}{4}=1 \)
したがって, 方程式が表す図形は, 双曲線 を 軸方向に 軸方向に -4 だけ平行移動したもの。
また, 双曲線 の焦点は 2 点 \( (\sqrt{29}, 0) \), \( (-\sqrt{29}, 0) \) であるから, 求める焦点は
\[
2 \text { 点 }(\sqrt{29}-3,-4),(-\sqrt{29}-3,-4)
\]
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重要例題 115. 二次曲線の回転移動\nxy平面上の二次曲線 を原点の周りに角度 \((0<\theta \leqq \frac{\pi}{2})\) だけ回転して得られる曲線の方程式は、 の形になるという。このとき、 の値と定数 の値を求めよ。
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例 131 媒介変数表示の曲線 (2)\n次の媒介変数表示は, どのような曲線を表すか。\n\\[x=\\frac{a\\left(1+t^{2}\\right)}{1-t^{2}}\\]\n\ \\\quad \ (1), \ y=\\frac{2 b t}{1-t^{2}} \ \ \\\quad \ (2) \\( (a>0, \\quad b>0) \\)\n
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円に内接する四角形 は次の条件 (a), (b) を満たすとする。\n(a) 三角形 は正三角形である。\n(b) AP と BC の交点は線分 BC を \( p:(1-p)[0<p<1] \) に内分する。\nこのとき、 ベクトル \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ を \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \, \ p \ を用いて表せ。
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重要例題 57 | 平面の方程式\n3 点 \( \mathrm{A}(0,1,-1), \mathrm{B}(4,-1,-1), \mathrm{C}(3,2,1) \) を通る平面の方程式を求めよ。
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次の六角形が2次曲線に内接しています。
パスカルの定理を使用して、六角形の対辺の延長線が一点で交わることを証明してください。
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点 が原点 を中とする半径 1 の円上を動くとき, \( w=(1-i) z-2 i \) で表される 点 は, どのような図形を描くか。
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練習 次の 3 点を通る平面の方程式を求めよ。\n57 (1) \( \mathrm{A}(1,0,2), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(2,1,-3) \)\n(2) \( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,3,0), \mathrm{C}(0,0,1) \)
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sin|x - π/2|について、囲まれた部分が右の図の灰色部分で、直線 x = π/2 に関して対称であるとき、求める体積 V を求めよ。
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平面上に四角形 \\mathrm{ABCD} \ がある。対角線 \\mathrm{AC} \ と \\mathrm{BD} \ が垂直であるとき, 次の (1), (2)が成り立つことを示せ。\n(1) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\vec{c}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \ とおくとき \n(2)
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10 AC おび BD を対角線にもつ四角形 ABCD があり, 点 O を中とする円が四角形 ABCD に外接しているとする。ベクトル をそれぞれ , で表す。
(1) ベクトル と の大きさが等しいならば, 辺 AB と辺 CD は平行であるか,または点Oは辺 AB 上にあることを証明せよ。
(2) △ABC, △BCD, △CDA, △DAB の重心がすべて点 O から等しい距離にある ならば,四角形 ABCD は長方形であることを証明せよ。
[早稲田大]>例題22
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放物線 \( y^{2}=4 p x(p>0) \) の弦 の両端と原点 を通る線分 が直交する ならば,弦 は定点を通ることを証明せよ。
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以下のベクトル問題を解きなさい。 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を S とする。\ \\triangle \\mathrm{PBC} =\\frac{a}{a+b+c} S \\n
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४曲線 \( f(x, y)=0 \) は \( f(x,-y)=f(x, y) \) ならば 軸に関して対称, \( f(-x, y)=f(x, y) \) ならば 軸に関して対称。\n曲線上の点 の座標を \( (x, y) \) として, と の関係式を導く。
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EX (1) 長さ 4 の線分 \ \mathrm{AB} \ がある。 2 点 \ \mathrm{A}, \mathrm{B} \ に対し点 \ \mathrm{P} \ が, 等式 \ 2 \mathrm{AP}^{2}-\mathrm{BP}^{2}=17 \ を満たしながら (2) 71 動くとき, 点 \ \mathrm{P} \ の軌跡を求めよ。
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(3) 点 \( (1,1) \\) から直線 a x - 2 y - 1 = 0 \ に下ろした垂線の長さが √2 \ であるとき, 定数 a の値を求めよ。
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練習 (4) 127
直線 y=a x+rac{1-a^{2}}{4} . (1) について, a がすべての実数値をとって変化するとき, 直線 (1)が 通りうる領域を図示せよ。
(1) を a について整理すると a^{2}-4 x a+4 y-1=0 ... a は実数であるから, a の 2 次方程式 (2)の判別式を D とすると D ≥ 0
ここで D/4=(-2 x)^{2}-4 y+1 = 4 x^{2}-4 y+1 よって, 4 x^{2}-4 y+1 ≥ 0 から y ≤ x^{2}+rac{1}{4}
ゆえに, 求める領域は図の斜線部分。ただし,境界線を含む。
別解 (1) において, x=X のとき y=a X+rac{1-a^{2}}{4} これを a の関数とみると,y=-rac{1}{4} a^{2}+X a+rac{1}{4} から
y=-rac{1}{4}(a-2 X)^{2}+X^{2}+rac{1}{4} y は a=2 X のとき最大値 X^{2}+rac{1}{4} をとるから,a がすべての 実数値をとって動くとき y ≤ X^{2}+rac{1}{4}
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EX 平面上で, 原点以外の互いに異なる 3 点 \( \mathrm{P}_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right), \mathrm{P}_{2}\left(a_{2}, b_{2}\right), \mathrm{P}_{3}\left(a_{3}, b_{3}\right) \) をとる。更に, (457 3 直線 をとる。 \n\n (1) 2 直線 が点 \( \mathrm{A}(p, q) \) で交わるとき, 2 点 を通る直線の方程式が であることを示せ。 \n\n (2) 3 直線 が 1 点で交わるとき, 3 点 が同一直線上にあることを示せ。 \n\n (3) 3 点 が同一直線 上にあるとする。このとき, 3 直線 が 1 点で交わるならば直線 は原点を通らないことを示せ。
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図形を利用して、加法定理や2倍角の公式を証明する方法を考えてみよう。α, β, θの範囲は制限されるが、加法定理の図形的な意味をみることができて、興味深いものがある。
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実数 が次の条件を満たしながら変わるとき, 点 \( (x+y, x-y) \) の動く領域を図示せよ。(1)
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3 点 \( \mathrm{A}(6,13), \mathrm{B}(1,2), \mathrm{C}(9,10) \) を頂点とする について
(1)点 を通り, の面積を 2 等分する直線の方程式を求めよ。
(2) 辺 を に内分する点 を通り, の面積を 2 等分する直線の 方程式を求めよ。
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数学 123\n(2) に を代入して \n に を代入して \nよって, 三角形の頂点の座標は\n\\[\n(-1,2),(3,2),(3,5)\n\\]\nゆえに, 求める円の半径を とすると,\n中心の座標は \( (3-r, r+2) \) と表され\n\\n-1<3-r<3 \text { かつ } 2<r+2<5\n\\nが成り立つ。\nこれを解いて \n直線 と円の中心の距離は, 円の半径に等しいか 5\n\\[\n\\frac{|3(3-r)-4(r+2)+11|}{\\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=r\n\\]\nよって \nすなわち \n から から \n を満たすものは \nこのとき, 中心の座標は \( (2,3) \)\n求める円の方程式は \( \\quad(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 \)
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2 直線の関係\n\[ \left\{\begin{array}{l:l} y=m_{1} x+n_{1} \\ y=m_{2} x+n_{2} \end{array}:\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 \end{array}\right.\right. \]\n- 交わる \n- 平行 \n・垂直 \n注意 一致は平行に含めるものとする。
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点 \( \mathrm{A}(-3,0) \) をとり, の範囲にある に対して, 次の条件 (a), (b) を満たす 2 点 を考える。<br> (a) は の部分にあり, かつ である。<br> (b) C は の部分にあり, かつ である。ただし, は を含むものとする。 (1) と の面積が等しいとき, の値を求めよ。 (2) を の範囲で動かすとき, と の面積の和の最大値と,そのときの の値を求めよ。
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練習問題\n の各頂点から出発し、それぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線が1点で交わることを証明せよ。この3つの垂線が交わる点を、三角形の垂心という。
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EX (1) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の 3 つの中線は 1 点で交わることを証明せよ。(2) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ において、\\( 2 \\mathrm{AB}^2 < \\left(2 + \\mathrm{AC}^2\\right) \\left(2 + \\mathrm{BC}^2\\right) \\) が成り立つことを示せ。
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長さ 4 の線分 AB がある。2 点 A, B に対し点 P が, 等式 2 AP^{2}-BP^{2}=17 を 満たしながら動くとき, 点 P の軌跡を求めよ。
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練習(1) 2 直線 \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \ のなす鋭角 \ \\theta \ を求めよ。\n(2) 直線 \ y=-x+1 \ と \ \\frac{\\pi}{3} \ の角をなし,点 \\( (1, \\sqrt{3}) \\) を通る直線の方程式を求めよ。
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接点の座標は, 直線 (3) に垂直で, 点 \( (0,0) \) を通る直線の方程式が であるから, (3) と を連立して解くと求められる。
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点 A(2,3)、B(6,1) から等距離にある点 P の軌跡を求めよ。また、距離の比が 1:3 である点 Q の軌跡を求めよ。
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△ABCの3つの頂点から、それぞれの対辺またはその延長に下ろした垂線は1点で交わることを証明せよ(この3つの垂線が交わる点を、三角形の垂心という)。
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CHART(チャート)とは何? C.O.D. (The Concise Oxford Dictionary) には, CHART——Navigator's sea map, with coast outlines, rocks, shoals, etc. と説明 してある。以下に示すチャート式編集方針に基づき問題の急所を見つけ、解法を思いつく方法を説明せよ。
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(1) の 3 つの中線は 1 点で交わることを証明せよ。\n(2) において, \( 2 \mathrm{AB}^{2}<\left(2+\mathrm{AC}^{2}\right)\left(2+\mathrm{BC}^{2}\right) \) が成り立つことを示せ。
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別解 の 座標を求めるところまでは同じ 点 の 座標を,それぞれ とすると \[ \mathrm{BP}: \mathrm{BO}=(2-p): 2, \mathrm{BQ}: \mathrm{BA}=(q-2): 2 \] 直線 が の面積を 2 等分するとき すなわち \( \quad \frac{(2-p)(q-2)}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} \) ゆえに \( \quad(2-p)(q-2)=2 \) であるから, これを代入して \( \left(2-\frac{m+1}{1-m}\right)\left(\frac{3-m}{m+1}-2\right)=2 \) すなわち \( \frac{(1-3 m)^{2}}{(1-m)(1+m)}=2 \) を解く。
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円周率 に関して, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。ただし, は使用しないこととする。\n[大分大]\n\n 基本 150\n捍針 各辺の差を考える方法では証明できそうにない。そこで,各辺に同じ数を掛けたり,各辺を同じ数で割ることを考えてみる。\n各辺を 12 で割ると ここで, は 基本例題 (1) で求めた の値であることをヒントに, 下の解答のような, 中心角 が の扇形に注目した, 図形の面積比較 が浮上する。
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EX 半径 \ r \ の円が放物線 \ C: y=\\frac{1}{2} x^{2} \ と 2 点で接するとき, 円の中心と 2 つの接点の座標を \ r \ を用 いて表せ。\n[類 香川大]\n放物線 \ C \ は \ y \ 軸に関して対称であるから, 放物線 \ C \ と 2 点で 接する円の中心は \ y \ 軸上にある。\nよって, 円の中心の座標を \\( (0, a) \\) とすると, 円の方程式は\n\\[\nx^{2}+(y-a)^{2}=r^{2}(r>0)\n\\]\n(1) と \ y=\\frac{1}{2} x^{2} \ から \ x \ を消去して\n\\[\n2 y+(y-a)^{2}=r^{2}\n\\]\nゆえに \\( \\quad y^{2}-2(a-1) y+a^{2}-r^{2}=0 \\)\n円 (1) と放物線 \ C \ が接するための条件は, \ y \ についての 2 次方程式 (2) が \ y>0 \ を満たす重解をもつことである。\nよって, (2) の判別式を \ D \ とすると \ D=0 \\n\\( \\frac{D}{4}=\\{-(a-1)\\}^{2}-1 \\cdot\\left(a^{2}-r^{2}\\right)=r^{2}+1-2 a \\) であるから\n\\nr^{2}+1-2 a=0\n\\n\nすなわち \ a=\\frac{r^{2}+1}{2} \\n(1) 接する \ \\Leftrightarrow \ 重解
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曲線 C: x^2 + 6xy + y^2 = 4 を、原点を中心として π/4 だけ回転して得られる曲線の方程式を求めることにより、曲線 C が双曲線であることを示せ。
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曲線 を、原点を中心として だけ回転して得られる曲線の方程式を求めることにより、曲線 が双曲線であることを示せ。
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問 \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \\mathrm{AB}, \\mathrm{AC} \ の中点をそれぞれ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ とするとき, であ ること(中点連結定理)を証明せよ。\n(*)問の解答は p .434 \ にある。
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点 (1,1) を通る曲線上の点 P における接線が x 軸, y 軸と交わる点をそれぞれ Q, R とし,O を原点とする。この曲線は第 1 象限にあるとして, 常に △ORP = 2△OPQ であるとき, 曲線の方程式を求めよ。
点 P の座標を (x, y), 接線上の任意の 点を (X, Y) とすると, 接線の方程式 は Y-y=y' (X-x)
すなわち Y=y' X+y-x y'
(1)に Y=0 を代入して X につて解くと X=x- y/y'
また, (1) X=0 を代入すると Y=y-x y'
よって Q(x- y/y', 0), R(0, y-x y')
条件より, △ORP:△OPQ=RP:PQ=2:1 であるから RP=2 PQ すなわち RP^2=4 PQ^2
ゆえに x^2+(x y')^2=4{( y/y')^2+y^2}
よって x^2(y')^2+x^2(y')^4=4 y^2{1+(y')^2}
ゆえに {1+(y')^2} x^2(y')^2=4 y^2{1+(y')^2}
1+(y')^2 で割つて x^2(y')^2=4 y^2
曲線は第 1 象限にあるから x>0, y>0
よって, (2)から 1/y ⋅ dy/dx= ± 2/x
ゆえに ∫ 1/y ⋅ dy/dx dx= ± 2 ∫ dx/x
よって ∫ dy/y= ± 2 ∫ dx/x
したがって log y= ± 2 log x+C ( C は任意定数 )
曲線は点 (1,1) を通るから, x=y=1 を代入して C=0
ゆえに log y= ± 2 log x
log y=2 log x から y=x^2, log y=-2 log x から y=1/x^2
したがって, 求める曲線の方程式は y=x^2(x>0) または y=1/x^2(x>0)
HINT 点 P(x, y) と L て, 微分方程式を導く。
条件から y' ≠ 0
ヶ高さが同じ 2 つの三角形の面積の比は底辺の比 に等しい。
分母を払う。
1+(y')^2 ≠ 0
変数分離形。
ヶ置換積分法の公式。
y=(x の式) の形に直してもよいが、この形のまま x=y=1 (初期条件) を代入してCの値を求めた方がよい。
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曲線の対称性について。\n(1) 曲線 \( C: f(x, y) = 0 \) が 軸に関して対称である条件。\n(2) 軸に関して対称である条件。\n(3) 原点に関して対称である条件。\n(4) 直線 に関して対称である条件。
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曲線 \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}(a>0) 上の点 P (座標軸上にはない)に引ける接線が, x 軸, y 軸と交わる点を、それぞれ A, B とするとき、原点 O からの距離の和 OA+OB は一定であることを示せ。\n根号内は負でないから x \geqq 0, y \geqq 0 よって, 座標軸上にはない点 P の座標を (s, t) とすると, s>0 かつ t>0 である。\nx>0, y>0 のとき, \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} の両辺を x で微分して\n\frac{1}{2 \sqrt{x}}+\frac{y^{\prime}}{2 \sqrt{y}}=0 よって y^{\prime}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\nゆえに, 点 P における接線の方程式は\n y-t=-\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{s}}(x-s) すなわち y=-\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{s}} x+\sqrt{s t}+t y=0 とおくと\n x=s+\sqrt{s t}\nx=0 とおくと y=\sqrt{s t}+t よって OA+OB=(s+\sqrt{s t})+(\sqrt{s t}+t)=(\sqrt{s}+\sqrt{t})^{2} =(\sqrt{a})^{2}=a\nしたがって, OA+OB は一定である。
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四角形 OABC において, OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2 ならば OB ⊥ AC であることを証明せよ。
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次の条件を満たす点の軌跡を求めよ:点 F からの距離と定直線 l からの距離が等しい。ここで、F は (c, 0) であり、l は y 軸 (x=0) である。
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楕円の焦点を通って短軸に平行な弦を AB とする。短軸の長さの平方は, 長軸の長さと弦 AB の長さの積に一致することを証明せよ。
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練習 円 を次のように拡大または縮小した楕円の方程式と焦点を求めよ。\n① 軸をもとにして 軸方向に 3 倍に拡大\n② 軸をもとにして 軸方向に 倍に縮小
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半径 a \ の円 C \ の定直径を \\mathrm{OA} \ とする。点 \\mathrm{P} \ は円周上の動点で, 点 \\mathrm{P} \ における接線に O から垂線 \\mathrm{OQ} \ を下ろし, \\mathrm{OQ} \ の延長上に点 \\mathrm{R} \ をとって \\mathrm{QR}=a \ とする。O を極, 始線を OA として, 点 R の軌跡の極方程式を求めよ。
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単位円上の異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) と, この円上にない点 \( \mathrm{H}(z) \) について, 等式 が成り立つとき, は の垂心であることを証明せよ。\n〔類 九州大〕
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(1) 曲線 は媒介変数 を用いて \( x=2\left(t+\frac{1}{t}+1\right), y=t-\frac{1}{t} \) も表される曲線を とする。曲線 の方程式を求め, その概形をかけ。〔筑波大〕
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異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) に対し、半直線 から半直線 までの回転角 を求める公式を示せ。
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p. 45の問 A(0), B(β), C(γ) とすると D(β/2), E(γ/2) よって (γ/2 - β/2) / (γ - β) = 1/2 ゆえに BC / / DE また DE = |γ/2 - β/2| = 1/2|γ - β| よって BC = 2DE
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放物線 \( y^{2}=4 p x(p>0) \) の弦 の両端と頂点 を通る線分 が直交するならば, 弦 ③8 は定点を通過することを証明せよ。
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点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとすると,BH=2cosxである。AD=BC−2BH=4−4cosx台形ABCDの面積Sを求めよ。
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楕円の焦点を通って短軸に平行な弦を とする。短軸の長さの平方は, 長軸の長さと弦 49 の長さの積に一致することを証明せよ。\n\n楕円の方程式を \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \) とする。\n\n焦点の 座標は \n\n を楕円の方程式に代入して となる。\n\nゆえに よって, 点 の 座標は である。\n\nゆえに したがって, 長軸の長さと弦 の長さの積は \n\nまた, 短軸の長さの平方は \( (2 b)^{2}=4 b^{2} \)。 から題意が示された。
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<トレミ一の定理>円に内接する四角形 ついて, 次の等式が成り立つ。\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\
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半径 a の定円の周上に 2 つの動点 P, Q がある。P, Q はこの円周上の定点 A を同時に出発して時計の針と反対の向きに回っている。円の中心を O とするとき、動径 OP, OQ の回転角の速度(角速度という)の比が 1:k(k > 0, k ≠ 1) で一定であるとき、線分 PQ の中点 M の軌跡の極方程式を求めよ。ただし、P と Q が重なるとき、点 M は点 P(Q) を表すものとする。
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EX座標平面上の点 \( \\mathrm{P}_{n}\\left(x_{n}, y_{n}\\right)(n=0,1,2, \\cdots \\cdots) \) を、次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。90(A) \( \\left(x_{0}, y_{0}\\right)=(0,0),\\left(x_{1}, y_{1}\\right)=(1,0) \)(B)n \u2265 1 に対して, ベクトル は, 長さが の半分, かつ を反時計回りに 90^{\\circ} だけ回転した向きを向いている。このとき, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}= ア \\square, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} y_{n}= イ \\square である。 〔明治大〕
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異なる 2 点を \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) とする。 のとき, 方程式 を満たす点 \( \mathrm{P}(z) \) の全体は, 線分 を に内分する点と外分する点を直径の両端とする円(アポロニウスの円)である。これを証明せよ。
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3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(1), \mathrm{B}(i) \) を頂点とする は, を直角の頂点とする直角二等辺三角形である。このことを用いて, 3 点 \( \mathrm{P}(\alpha), \mathrm{Q}(\beta), \mathrm{R}(\gamma) \) によってできる が, を直角の頂点とする直角二等辺三角形であるとき, 等式 が成り立つことを示せ。
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練習\na は 1 より大きい定数とする。曲線 と直線 で囲まれた図形の 面積 を,原点を中心とする の回転移動を考えることにより求めよ。
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<中線定理> において,辺 の中点を とするとき,次の等式が成り立つ。\n\\[\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right)\n\\]
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a、bを正の定数として, 直線 と曲線 を考える。\n(1)曲線 と 軸, 軸で囲まれた部分の面積 を求めよ。\n(2)直線と曲線 で囲まれた部分の面積を とするとき, を求めよ。\n〔名古屋工大〕
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平面上に点 と、 を通らない直線 がある。この平面上で点 が、 から までの距離が線分 PA の長さに等しいように動くときにできる曲線をKとする。この平面上の点 から曲線 に 2 本の接線が引けるとき、その接点を とする。次のことを証明せよ。(1) 点 が直線 上にあれば、直線 は点 を通る。(2) 直線 が点 を通れば、点 は直線 上にある。〔大分医大〕
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また, 点 は線分 を直径とする円上の点であるから
ゆえに, 点 の 座標は したがって
\[\begin{aligned}
S(a) & =\frac{1}{2} \mathrm{RQ} \cdot \mathrm{RP}=\frac{1}{2}\{(a+\sin a \cos a)-a\} \cdot \sin a \\
& =\frac{1}{2} \sin ^{2} a \cos a=\frac{1}{2}\left(1-\cos ^{2} a\right) \cos a \\
& =\frac{1}{2}\left(\cos \alpha-\cos ^{3} a\right)
\end{aligned}\]
(2) \( S^{\prime}(a)=\frac{1}{2}\left\{-\sin a-3 \cos ^{2} a(-\sin a)\right\}=\frac{1}{2} \sin a\left(3 \cos ^{2} a-1\right) \) のとき, \( S^{\prime}(a)=0 \) とすると であるから
これを満たす の値を とすると, における \( S(a) \) の増減表は次のようになる。
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\hline & 0 & & & & \\\\hline\( S^{\prime}(a) \) & & + & 0 & - & \\\\hline\( S(a) \) & & & 極大 & & \\\\hline\end{tabular}
ゆえに, \( S(a) \) は のとき最大となる。
したがって, 求める最大値は
\[S(\alpha)=\frac{1}{2}\left(\cos \alpha-\cos ^{3} \alpha\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3 \sqrt{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}\]
ヶ半円の弧に対する円周角は
(2) 別解 と打 くと \( \quad S(a)=\frac{1}{2}\left(t-t^{3}\right) \) \( f(t)=\frac{1}{2}\left(t-t^{3}\right) \quad(0<t<1) \) とすると
\[f^{\prime}(t)=\frac{1}{2}\left(1-3 t^{2}\right)\]
\( f^{\prime}(t)=0 \) とすると から に书ける \( f(t) \) の堌減表をかくと, \( f(t) \) は のとき極大 かつ最大となる。 よって, 求める最大値は
\[f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}\]
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15. 媒介変数表示
θ は媒介変数とする。次の式で表される図形はどのような曲線を描くか。
(1) x = 2 cos θ + 3, y = 3 sin θ - 2
(2) x = 2 tan θ - 1, y = √2⁄cos θ + 2
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長軸の長さが 2a の楕円において, 中心を O, 短軸を BB' とする。この楕円の B, B' 以外の周上の点を P とし, BP, B'P と長軸またはその延長との交点をそれぞれ Q, R とすると, OQ・OR=a² である。円を用いて, このことを証明せよ。
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107 例題 47 | 同じ平面上にあることの証明 平行六面体 の辺 の中点をそれぞれ とし, 辺 , CG を3:1に内分する点をそれぞれ とする。 [類 長崎大] (1) をそれぞれ を用いて表せ。 (2) 4 点 は同じ平面上にあることを示せ。《例題 46
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3 点 \( \mathrm{A}(0,1,-1), \mathrm{B}(4,-1,-1), \mathrm{C}(3,2,1) \) を通る平面の方程式を求めよ。
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✂️x y 平面上で, 極方程式 \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \ により与えられる曲線 \ C \ を考える。
(1) 曲線 \ C \ の概形を図示せよ。
(2) 0<θ<π/2 とし,曲線 \ \\mathrm{C} \ 上の,極座標が \\( (r, θ) \\) である点 \ \\mathrm{P} \ を考える。点 \ \\mathrm{P} \ における曲線 \ \\mathrm{C} \ の接線の傾きは \ -\\frac{1+ \\cos \\theta }{ \\sin \\theta } \ であることを示せ。
(3)(2)の点 \ \\mathrm{P} \ から y 軸に下ろした垂線と y 軸との交点を H, 原点を O とする。 \ \\angle \\mathrm{OPH} \ の二等分線と, 点 \ \\mathrm{P} \ における曲線 \ \\mathrm{C} \ の接線は直交することを示せ。
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双曲線 上の点 \( \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) における接線は, 点 と 2 つの焦点 とを結んででき る を 2 等分することを証明せよ。ただし, とする。
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40 (1) 点 z 全体は, 2 点 1, i を結ぶ線分の垂直二等分線。 (2) 点 z 全体は, 点 1-i を中心とする半径 2 の円。
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複素数平面を利用して,次の定理を証明せよ。100 円に内接する四角形 について, 等式 が成り立つ(トレミーの定理)。
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例題 46 | 共面条件 次の 4 点が同じ平面上にあるように, の値を定めよ。\n\\[\n\\mathrm{A}(1,3,3), \\mathrm{B}(1,1,2), \\mathrm{C}(2,3,2), \\mathrm{P}(x, x, x)\n\\]\n[類 慶応大]\n指針 一直線上にない 3 点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ に対して, 点 \\mathrm{P} \ が平面 \\mathrm{ABC} \ 上にあ るための条件(共面条件)とは,次のいずれかが成り立つことであ る。ただし, Oは原点とする。\n[1] \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \ となる実数 s, t \ がある。\n[2] \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+u \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, s+t+u=1 \ となる実数 s, t, u \ がある。\n[1], [2] どちらかを成分で表し,方程式の問題に帰着させる。
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原点を \ \\mathrm{O} \ とする。\ x \ 軸上に定点 \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\) がある。いま, 平面上に動点 \ \\mathrm{P} \ を \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) となるようにとき(1)点 \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) の軌跡の方程式を \ x, y \ を用いて表せ。(2)\ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ の最大値とこのときの \ \\angle \\mathrm{POA} \ を求めよ。[埼玉工大]
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水面から の高さで水面に垂直な岸壁の上から, 長さ の綱で船を引き寄せる。 の速さで綱をたぐるとき, 2 秒後の船の速さを求めよ。
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直交座標平面上で,連立不等式 x ≥0, y ≥0, x+3 y ≤ 3, 1 ≤ 2 x+y ≤ 2 の表す領域は, 下の図の 影をつけた部分。ただし、境界線を含む。
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(1)円に内接する四角形のうちで面積が最大となるものは正方形であることを証明せよ。\n(2)楕円 \( E: \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) \\) に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。
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次の 3 点の定める平面を \ \\alpha \ とする。点 \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) が \ \\alpha \ 上にあるとき, \ x, y, z \ が満たす関係式を求めよ。\n(1) \\((1,2,4),(-2,0,3),(4,5,-2)\\)\n(2) \\((2,0,0),(0,3,0),(0,0,4)\\)
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図形への応用 (極座標)\n焦点 \\mathrm{F} \ を極とする放物線 C \ の極方程式を \( r=\\frac{2 p}{1-\\cos \\theta}(p>0) \\) とする。こ れを用いて, C \ の 2 つの弦 \\mathrm{PQ}, \\mathrm{RS} \ がともに Fを通り互いに直交するとき, \\frac{1}{\\mathrm{PQ}}+\\frac{1}{\\mathrm{RS}} \ の値は一定であることを証明せよ。
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単位円上の異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) と, この円上にない点 \( \mathrm{H}(z) \) について, 等式 が成り立つとき, は の垂心であることを証明せよ。
[類 九州大]
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三角形の垂心\n単位円上の異なる 3 点 \( \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(\gamma) \) と, この円上にない点 \( \mathrm{H}(z) \) につい て, 等式 が成り立つとき, は の垂心であることを証明せよ。
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PRACTICE 111^{\\circ} \ 線分 \\mathrm{AB} \ 上(ただし,両端を除く)に 1 点 Oをとり,線分 \\mathrm{AO}, \\mathrm{OB} \ をそれぞれ 1 辺と する正方形 \\mathrm{AOCD} \ と正方形 \\mathrm{OBEF} \ を, 線分 \\mathrm{AB} \ の同じ側に作る。このとき, 複素数平面を利用して, \\mathrm{AF} \\perp \\mathrm{BC} \ であることを証明せよ。
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双曲線 \( b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0) \) 上の点 \( \mathrm{P}\left(x_{0}, y_{0}\right) \) における接線が漸近線 と交わる点を とする。原点を とするとき, の面積は点 の選び方 に無関係であることを証明せよ。
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平面の方程式\n(1) 点 \( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) を通り, \\overrightarrow{0} \ でないベクトル \( \\vec{n}=(a, b, c) \\) に垂直な平面の方程式は \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)\n(2) 一般形 \ a x+b y+c z+d=0 \ ただし \\( (a, b, c) \\neq(0,0,0) \\)
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(2) 2 直線 y=\\frac{\\sqrt{7}}{3} x, y=-\\frac{\\sqrt{7}}{3} x \ を漸近線にもち, 2 点 \( (0,4),(0,-4) \\) を焦点とする双曲線 の方程式を求めよ。
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正の数 に対して, 放物線 上の点 \( \mathrm{A}\left(a, a^{2}\right) \) における接線を, 点 を中心 に だけ回転した直線を とする。直線 と放物線 の交点でAでない 方を とする。更に, 点 \( (a, 0) \) を , 原点を とする。このとき, 直線 の方程式を求めよ。また, 線分 OC, CA と放物線 で囲まれる部分の面積を \( S(a) \),線分 と放物線 で囲まれる部分の面積を \( T(a) \) とするとき,\n\( c=\lim _{a \rightarrow \infty} \frac{T(a)}{S(a)} \) を求めよ。
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次の図形の性質を,複素数平面を利用して証明してみよう。\n四角形 について\n(1) が成り立つ。\n(2) (1) で等号が成り立つのは,四角形 が円に内接するときである。
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練習問題: 楕円 (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a > b > 0) と直線 y = mx + n の共有点が 1 個であるとき, n² = a²m² + b² である。円を用いて, このことを証明せよ。
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重要例題 139 極座標の利用\n2 次曲線の 1 つの焦点 を通る弦の両端を とするとき, は弦 の方向に関係なく一定であることを証明せよ。
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308\n一数学 \nPR 3 点 \( \mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}) \) を頂点とする において, である。ま 225, の二等分線と辺 の交点を とする。\n(1)点Dの位置ベクトルを とするとき, を で表せ。 (2) の内心 I の位置ベクトルを とするとき, を で表せ。
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S した交点の位置ベクトルの求め方
基本例題 29 のタイプの問題の解法として, 「2 通りに表し係数比較」以外にメネラウス の定理, チェバの定理 (数学Aの「図形の性質」で学ぶ)を用いた解法がある。
1 メネラウスの定理の利用
メネラウスの定理
の辺 またはその延長が, 三角形 の頂点を通らない 1 つの直線と, それぞれ点 で交わるとき
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例題\n21 | 線分の垂直, 線分の平方に関する証明\n平面上に四角形 \\mathrm{ABCD} \ がある。対角線 \\mathrm{AC} \ と \\mathrm{BD} \ が垂直であるとき, 次の (1), (2)が成り立つことを示せ。\n(1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\vec{c}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \ とおくとき \ \\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0 \\n(2) \ \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{CD}^{2}=\\mathrm{AD}^{2}+\\mathrm{BC}^{2} \
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10 AC おび BD を対角線にもつ四角形 \\mathrm{ABCD} があり, 点 O を中とする円が四角形 ABCD に外接しているとする。ベクトル \\overrightarrow{OA}, \\overrightarrow{OB}, \\overrightarrow{OC}, \\overrightarrow{OD} をそれぞれ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{d} で表す。\n(1) ベクトル \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c} と \\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{d} の大きさが等しいならば, 辺 AB と辺 CD は平行であるか, または点 O は辺 AB 上にあることを証明せよ。\n(2) \\triangle \\mathrm{ABC}, --- \\mathrm{\\mathrm{BCD}, \\triangle CDA, \\triangle DAB の重心がすべて点 \\mathrm{O} から等しい距離にある ならば,四角形 ABCD は長方形であることを証明せよ。
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(1) 3 点 \( \mathrm{A}(1,2), B(2,3), C(-1,2) \) について, 点 を通り, に垂直な直線の方程式を求めよ。\n(2) 2 直線 のなす鋭角 を求めよ。
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点Oを中心とする円を考える。この円の円周上に 3 点 があって, 。329を満たしている。このとき,三角形 は正三角形であることを証明せよ。\n円の半径を \( r(r>0) \) とすると 。 から 。よって すなわち \nゆえに \nしたがって \nこのとき \n\(=r^{2}-2\left(-\frac{r^{2}}{2}\right)+r^{2}=3 r^{2} \)\n であるから \n同様にして \nゆえに \nよって, 三角形 は正三角形である。
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次の直交座標に関する方程式を,極方程式で表せ。(1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4 y=0 (3) x²-y²=-4
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2. チェバの定理の利用
チェバの定理
の 3 頂点 と, 三角形の辺上にもその延長上にもない点Oを結ぶ直線が, 辺 また はその延長と交わるとき, 交点をそれぞれ と すると
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正六角形 において, 辺 の中点を とする。このとき、正六角形の対角線 の交点を とすると、次のベクトル関係が成り立つ。\n1. \n2. \n3. \nこの性質を利用して、ベクトル を および の和として表せ。
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7. 点 A(x₁, y₁) と直線 ax + by + c = 0 の距離は |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²) 。直線 ax + by + c = 0 に垂直なベクトル 𝑛 は 𝑛 = (a, b) 。p.343 基本事項 1。
8. 点 A(x₁, y₁, z₁) と平面 ax + by + cz + d = 0 の距離は |ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b²+ c²) 。平面 ax + by + cz + d =0 に垂直なベクトル 𝑛 は 𝑛 = (a, b, c) 。p.410 STEP UP。
補足: 点と直線、点と平面の距離の公式は形がよく似ている。垂直なベクトルの成分は、両者ともに係数を順に並べたものである。
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平面上の点の存在範囲 (1) \n\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ において, 次の式を満たす点 \ \\mathrm{P} \ の存在範囲を求めよ。\n(1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+t=3, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, 2 s+t=3, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \
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空間内の 4 点 A, B, C, D が AB=1, AC=2, AD=3, 角BAC=角CAD=60度, 角DAB=90度 を満たしている。この 4 点から等距離にある点 E とするとき, 線分 AE の長さを求めよ。
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527\n極方程式と軌跡\n直線 \( r \cos \\left(\\theta-\\frac{2}{3} \\pi\\right)=\\sqrt{3} \\) 上の動点 \\mathrm{P} \ と極 \\mathrm{O} \ を結ぶ線分 \\mathrm{OP} \ を 1 辺とする正三角形 \\mathrm{OPQ} \ を作る。Qの軌跡の極方程式を求めよ。
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四角形 の辺 の中点をそれぞれ とし, 対角線 の中点をそれぞれ T, U とすると, 線分 それぞれの 中点は一致することを証明せよ。
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8 平面上に △ABC がある。点 O を △ABC の外心とし, 外接円の半径を R とする。また, 点 H は \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH} を満たす点とする。ただし, 点 H は 3 点 A, B, C と異なる点であるとする。 \overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}, \overrightarrow{OC}=\vec{c} とするとき\n(1) \overrightarrow{AH} と \overrightarrow{CH} をそれぞれ \vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} を用いて表し, \mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{CH} \perp \\mathrm{AB} であることを示せ。\n(2) 線分 \mathrm{OH} の中点を P とし, △\\mathrm{ABC} の各辺 AB, BC, CA の中点を, それぞれ L, M, N とする。このとき, \\overrightarrow{PL}, \\overrightarrow{PM}, \\overrightarrow{PN} をそれぞれ \\vec{a}, \\vec{b}, \vec{c} を用いて表し, P は △LMN の外心になることを示せ。\n(3) 線分 \\mathrm{AH} の中点を D とするとき, P は線分 DM の中点になることを示せ。\n(4) 頂点 \\mathrm{A} から直線 \\mathrm{BC} に垂線を下ろし, 直線 BC との交点を E とするとき, 点 E は △LMN の外接円の周上にあることを示せ。
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(1) 3 点 \( \mathrm{A}(-1,4), \mathrm{B}(-4,-3), \mathrm{C}(8,3) \) について, 点Aを通り, に垂直な直線の方程式を求めよ。\n(2) 直線 と直線 とがなす鋭角 を求めよ。
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(2)接弦定理により
∠CBT=∠BAC=35°
よって, △ABT において
35° + (θ + 35°) + 40° = 180°
ゆえに
θ + 110° = 180°
したがって
θ = 70°
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次の図形問題に関する性質を証明してください。\n\n1) 対頂角は等しいことを証明せよ。\n2) 直線 と が直線 と交わるとき、 ならば、同位角も錯角も等しいことを証明せよ。\n3) 直線 と に対して、1 組の同位角または錯角が等しい場合、 であることを証明せよ。
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例題 47 | 三角形の重心
の辺 の中点をそれぞれ とし, 線分 のEを越える延長上に となるような点 をとる。このとき, 点 は の重心であることを証明せよ。
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辺 軸上にとると, 各頂点の座標は \( \mathrm{A}(a, b) \), \( \mathrm{B}(-c, 0), \mathrm{C}(c, 0) \) と表すことができる。\n(1)\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\nしたがって \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)
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(3) 図 2 において, 点 A から点 B に行く最短経路は全部で何通りあるか求めよ。た だし,斜線の部分は通れないものとする。
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右の図のように, 正方形を,各辺の中点を結んで 5 つの領域に 14 分ける。隣り合った領域は異なる色で塗り分けるとき, 次のような塗り分け方はそれぞれ何通りあるか。ただし,回転して一致する塗り方は同じ塗り方と考える。(1)異なる4色から2色を選んで塗り分ける。(2)異なる4色から3色を選び,3色すべてを使って塗り分ける。
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練習 43: 本冊 p.339 面積について、△ABP=¼△ABC であるからBP: BC=1: 3。したがって BP: PC=1: 2。また、条件から AB: AC=1: 2。よって AP は ∠BAC の二等分線である。従って ∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45°。
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四角形 の 2 つの頂角 の二等分線の交点が対角線 上にある ならば, 2 つの頂角 の二等分線の交点は対角線 上にあることを,証明せよ。
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例題 48 五心の関係 鋭角三角形 の外心を ,垂心を ,重心を Gとする。 (1) Oから辺 に下ろした垂線をそれぞれ とし,線分 の中点をLとするとき,次のことを証明せよ。 (ア) 四角形 MLNO は平行四辺形である。 (イ) (2) が正三角形でないとき, 3 点 は一直線上にあって, G は線分 を に内分することを証明せよ。
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右の図のように, 点 P で外接する 2 つの円 O, O' の共通外接線の接点をそれぞれ C, D とする。Pを通る直線と 2 つ の円 O, O' とのP以外の交点をそれぞれ A, B とするとき, AC ⊥ BD であることを証明せよ。
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練習 19 ⇒ 本冊 p .282
立方体の 1 辺を 1 区画とし, 右, 奥, 上へ 1 区画進むことを,それ ぞれ →, ↗, ↑ で表す。
(1)右の図のように,左上の経路がある と仮定すると, AからBへの経路は, → 3 個, ↗ 2 個の順列であるから
5!/(3!2!)=10 通り
このうち,図の×印を通る経路は 1 通り よって, 求める経路の数は 10-1=9 (通り)
(2) 点 C と点 D のどちら も通る場合を 2 重に数え ないように注意。
(全体)-(点 C または 点Dを通る)
(1), (2)も同様の方法で 求められる。
図 2 の斜線部分 を通ってBに行く経路に ついて考える。
仮の経路を作る考え 方。別解のような考え 方でもよい。
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例 36 円に内接する四角形の利用\n正三角形 において, 辺 上にそれぞれ点 , をとり, となるようにする。\n と の交点をFとするとき,次の等式が成り立つこ とを証明せよ。\n(1) \n(2) \n\n指針 (1) 「正三角形」という条件が与えられているから, の 利用がカギになる。\n と を角にもつ三角形に着目すると, を示せばよいこ とが見えてくる。\n(2) において, 辺 が共通であるから, が弧 の円周角として とらえられないか?\nそのためには, 4 点 が 1 つの円周上にあると うまくいく。\n4 点が 1 つの円周上にある\n 等角 2 つ か 和が
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更に, AC+BC が最小となるのは, 3 点 A, B, C を含む正八面体の 2 面の展開図 (右の図 [3])において, 3 点 A, B, C が一直線上にあるときである。このとき, は図 [2] の と等しい。したがって, において, 余弦定理により
\[
\begin{aligned}
\cos \angle ACB & =\cos \angle PRQ \\
& =\frac{(3 \sqrt{3})^{2}+(3 \sqrt{3})^{2}-(6 \sqrt{2})^{2}}{2 \cdot 3 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{3}} \\
& =\frac{-18}{2 \cdot 3 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{3}} \\
& =-\frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
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練習 次のことを証明せよ。\n52 (1) の辺 上に となるようにそれぞれ点 をとる。このとき, ならば である。
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円の弦 の交点 線分 BC に平行な直線を引き, 線分 DA の延長と の交点をFとする。Fからこの円に接線 FG を引 くとき, であることを証明せよ。
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例題 70 と同じ条件において, 次のことを証明せよ。\n\n[1] \\mathrm{OA} \\perp \\alpha, \\mathrm{AB} \\perp \\ell \ ならば \\mathrm{OB} \\perp \\ell \\n[2] \\mathrm{OA} \\perp \\alpha, \\mathrm{OB} \\perp \\ell \ ならば \\mathrm{AB} \\perp \\ell \
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方べきの定理
方べきの定理[1] 円の 2 つの弦 またはそれらの延長の交点を とすると
2. 円の外部の点 から円に引いた接線の接点を Tとし, を通 りこの円と 2 点 で交わる直線を引くと
方べきの定理を利用して、円と弦の交点に関する性質を証明する問題
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練習 において, の二等分線と辺 の交点を とし, \angle \mathrm{C} \) の二等分線と辺 の交点を とする。
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例題 44 | 点で交わることの証明
である台形 において, 辺 をそれぞれ に内分する点を とする。
このとき, 3 直線 は 1 点で交わることを証明せよ。
指針 3 直線が 1 点で交わること(共点)をいうには,次の (A) またはⒷ を示す。(A) 2 直線の交点を第 3 の直線が通る。(B) 2 直線ずつの交点が一致する。例題 43 はⒶの方針で証明をしたが, ここでは, B の方針, すなわち「ACとBDの交点, と の交点が一致する」ことを示す方針で進めてみよう。この場合, 三角形の角の 二等分線と比の定理の逆の証明に利用した同一法を用いることになる。
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円に內接する四角形の面積\n円に内接する四角形の面積を求めるものに, ヘロンの公式と似た公式がある。この公式 を,最近出題された次の入試問題にそって考えてみよう。\n四角形 \\mathrm{ABCD} \ が円に内接しているとする。辺 \\mathrm{DA}, \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{CD} \ の長さをそれ ぞれ a, b, c, d \ で表し, \\angle \\mathrm{DAB}=\\theta \ とおく。また, 四角形 \\mathrm{ABCD} \ の面積を T \ と する。\n(1) \( a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2(a b+c d) \\cos \\theta \\) が成り立つことを示せ。\n(2) \( T=\\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\) が成り立つことを示せ。ただし、 \( s=\\frac{1}{2}(a+b+c+d) \\) とする。\n[山口大]
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[2] のとき, 点 を点 から時計回りに動かしなが ら考えると, である点 が存在するような点 の選び方は 5 通り
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98 中線定理
193
において, 辺 の中点を とするとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
\[ \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2\left(\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{BM}^{2}\right) \]
(中線定理)
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類題 (1) △ABC において, 辺 BC の中点を M とするとき, 次の等式が成り立つ。\n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2}) (中線定理)
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(3) 接弦定理と BC=BD から
∠CBT=∠BDC=∠BCD=68°
また ∠DBC=180°-(68°+68°)=44°
∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°
よって θ=180°-(44°+47°)=89°
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平行な 2 直線 と, これらに交わる直線 および 2 点 が与えられている。直線 上に点 , 直線 上に点 をと, となるように 2 点 を作図せよ。
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全体集合を U とし, 兄, 弟, 姉, 妹のいる生徒の集合を, それぞれ P, Q, R, S とする。集合の関係を直感的に把握するには,図をかくのがよい。
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例題 49 メネラウスの定理と三角形の面積
において, 辺 を に内分する点をそれぞれ とし, 線分 と BM, BM と と の交点をそれぞれ とする とき,次のものを求めよ。
(1) 比
(2) の面積が 1 のときの の面積
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九点円1つの三角形に対して, 次のことが成り立つ。
の 3 頂点から対辺に下ろした垂線を ,垂心を Hとする。 3 辺 の中点をそれぞれ , , , 線分 の中点をそれぞれ , , と すると, 9 点 D, E, F, L, M, N, P, Q, Rは1つの円周上にある。この円を九点円(オイラー円,フォイエルバッハ円)とい う。1 つの三角形に対して, 必ず「9 個の点を通る円が存在する」というのは大変興味深い 事実である。以下では, が鋭角三角形の場合について, 九点円が存在することを 証明してみよう。
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メネラウスの定理
の辺 , またはその延長が頂点を通らない直線 と、それぞれ点 で 交わるとき
メネラウスの定理に基づいて交点の比率を求める問題
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(3) 直線 AH と辺 BC の交点を D, 直線 CH と辺 AB の交点を E とすると
角 ADC=角 CEB=90°
△BCE において α+25°+90°=180°
よって α=65°
△CHD において, 内角と外角の関係から
β=25°+90°=115°
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練習 において, の二等分線と辺 の交点を とし, の 42 二等分線と辺 の交点をそれぞれ とする。このとき, 次のことを証明せよ。(1) (2)
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重要例題 57 | シムソンの定理
の外接円上の, 3 点 と異なる点 から直線 に下ろした垂線を,それぞれ , とする。
このとき, 3 点 は一直線上にあることを証明せよ。
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練習面積が 1 であるような △ABC の辺 AB, BC, CA 上に点 D, E, F を AD:DB=t:(1-t), BE:EC=2t:(1-2t), CF:FA=3t:(1-3t) となるようにとる。ただし,0<t<1/3 とする。 △DEF の面積を S とするとき,次 の問いに答えよ。
(1) S を t 用いて表せ。
(2) S が最小となる t の値を求めよ。
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例題 58 接弦定理を利用した証明\n円Oの周上の点Aにおいて円Oの接線を引く。\nその接線上にAと異なる点Bをとる。Bから円Oに2 点で交わるように直線 \\ell \ を引き,その 2 点のうち Bに 近い方を C, B から遠い方をDとする。ただし,直線 \\ell \ は, \\angle \\mathrm{ACD}<90^{\\circ} \ を満たすように引く。\nまた, 点Bから直線 \\mathrm{AC} \ と直線 \\mathrm{AD} \ に下ろした垂線の 足をそれぞれ E, F とする。\n(1) \\angle \\mathrm{BFE}=\\angle \\mathrm{ADC} \ を示せ。\n(2) \\mathrm{BD} \\perp \\mathrm{EF} \ を示せ。\n[宮崎大]
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例題 65 | 対称な図形の作図\n図のような半円を,弦を折り目として折る。このとき, 折られた弧の部分が直径上の点 こおいて,直径に接するような折り目の線分 の作図の手順 を答えよ。
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接弦定理によれば、円Oの弦 とその端点 における接線 が作る角 は、その角の内部に含まれる弧 に対する円周角 に等しいです。
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重要例題 101 辺と角の等式の証明\n\\n \\triangle \\mathrm{ABC} \ において,次の等式が成り立つことを証明せよ。\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\n例62, 63\n指針 \ D .172 \ 例 55 の検討で述べたように, 等式 \ P=Q \ を証明するには, 次のような方法がある。\n[1] \ P \ か \ Q \ 一方を変形して, 他方を導く。\n[2] \ P \ と \ Q \ のそぞれを変形して, 同じ式を導く。\n[3] \ P-Q \ を変形して, 0 になることを示す。\nどの方法がよいかは,与えられた問題によるが,ここでは[3] の方針で示す。 そこで, \ P-Q \ を簡単にするために,文字を減らすことを考えるが,それには\n角を消去して,辺だけの関係に直す\nのがよい。これには, \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \ などを用いる。
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次に上げた (1), (2), (3) は, ギリシャの 3 大作図問題とよばれるものである。 (1) 角の 3 等分問題: 与えられた角を 3 等分すること (2) 立方体倍積問題: 与えられた立方体の 2 倍の体積の立方体を作ること (3) 円積問題: 与えられた円と同じ面積の正方形を作ること
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(2) 角 ABI=角 IBC, 角 ACI=角 ICB であるから, △IBC において
α =180°-(1/2 角 B + 1/2 角 C)=180°-1/2(角 B + 角 C)
=180°-1/2(180° - 角 A)=180°-90°+42°/2=111°
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三角形 の辺 に平行な直線が辺 と交わる点を,それぞれ とする。このとき, の交点 とを結ぶ直線は, 辺 の中点を通る ことを証明せよ。
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三垂線の定理\n平面 \\alpha \ 上に直線 \\ell \ があるとき, \\alpha \ 上にない点 \\mathrm{A} \, \\ell \ 上の点 \\mathrm{B}, \\ell \ 上にない \\alpha \ 上の点 \\mathrm{O} \ について \\mathrm{AB} \\perp \\ell, \\mathrm{OB} \\perp \\ell, \\mathrm{OA} \\perp \\mathrm{OB} \ ならば \\mathrm{OA} \\perp \\alpha \
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四角形 が円に内接するとき, 対角線 上に となるような点 をる。次のことを証明せよ。
(1)
(2)
(3)
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練習 (1) Δ\mathrm{ABC} の内部の任意の点を \mathrm{O} とし, \angle \mathrm{BOC}, \angle \mathrm{COA}, \angle \mathrm{AOB} の二等分線と 50 辺 \mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB} との交点をそれぞれ \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} とすると, \mathrm{AP}, \mathrm{BQ}, \mathrm{CR} は 1 点 で交わることを証明せよ。\n(2) Δ\mathrm{ABC} の \angle \mathrm{A} の外角の二等分線が辺 \mathrm{BC} の延長と交わるとき, その交点を \mathrm{D} とする。 \angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C} の二等分線と辺 \mathrm{AC}, \mathrm{AB} の交点をそれぞれ \mathrm{E}, \mathrm{F} とすると, 3 点 D, E, F は一直線上にあることを示せ。
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4. 直線 OA が平面 α に垂直であり、直線 l が平面 α 上にあるとき、直線 l が平面 OAB に垂直であることを証明する。
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直線 に関して点 \( (2, 3) \) と対称な点 \( (p, q) \) の座標と、新しい方程式を求めなさい。
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例迤 42 角の二等分線と線分の比
において, 辺 の中点を とし, , の二等分線が辺 と交わる点をそれぞ れ D, Eとする。このとき, であることを証明せよ。《例 29
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四角形 において, と の交点を とする。 , であるとする。このとき, と のそれぞれの外接円は互い に外接することを示せ。
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例題 46 三角形の内心
の内心を I とする。I を通り に垂直な直線と辺 との交点を それぞれ D, Eとする。このとき,次のことを証明せよ。
(1)
(2)
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例題 53 | 折れ線の最短経路\n鋭角 の内部に点 がある。半直線 上(Oは除く)にそれぞれ点 をとり, を最小にするには, をそれぞれどのような位置 にとればよいか答えよ。
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次の問題を解いてください:\n(1) 余弦定理を使って、BDの長さを求めなさい。\n 与えられた値:BC = 4, CD = 3\sqrt{2}, \\angle BCD = 45^{\circ}\n\n(2) 四角形ABCDの面積を求めなさい。ただし、四角形ABCDは円に内接し、\\angle BAD = 135^{\circ}とする。
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三角形の五心とチェバの定理の逆
チェバの定理の逆は, 共点(1点で交わること)の証明に有効である。そこで, チェバの定理の逆を利用して,三角形の五心の性質を証明することを考えてみよう。
[重心] の辺 の中点を, それぞれ とすると
よって, チェバの定理の逆により, 3 つの中線 は1 点で交わることがわかる。
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平行移動により, この点は 点 \\( (2+2,-4-1) \\) すなわち 点 \\( (4,-5) \\) に移るから, 求める放物線の方程式は\\[\\begin{array}{l}y=(x-4)^{2}-5 \\\\ \left(y=x^{2}-8 x+11 \\text { でもよい }\\right)\\end{array}\\]
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において, の二等分線と辺 の交点を とし, の二等分線と辺 の交点を とする。 このとき, ならば であることを証明せよ。
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測量の問題 (1)
真北に向かって一直線に進んでいる船がある。この航路のある位置Aにおいて,船上から2つの灯台P, Qを観測したら, 真北の方向から, 15°東の方向にP, 30°西の方向にQが見えた。更に, Aから10km進んだ位置Bから観測したら, 真北の方向から, 45°東の方向にP, 75°西の方向にQが見えた。P, Q間の水平距離を求めよ。
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円周角, 円に内接する四角形
円周角の定理とその逆右の図において4 点 が1つの円周上にある
円に内接する四角形
四角形が円に内接するとき,次の (1), (2) が成り立つ。
(1) 対角の和は
(2) 内角は, その対角の外角 に等しい。
逆に, (1)または(2)が成り立つ四角形は, 円に 内接する。
円周角と内接する四角形に関わる性質を証明する問題
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例題 41 図形と期待値\n1 辺の長さが 1 の正六角形 の 6 つの頂点から, 異なる 3 点を無作為に 選びそれらを頂点とする三角形 を作る。このとき, 三角形 の面積の期待値を 求めよ。
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(2) 図 1 において, 点 A から点 B に行く最短経路で, 点 C と点 D のどちらも通らないものは全部で何通りあるか求めよ。
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例題 41 平行移動と対称移動\nある放物線を原点に関して対称移動し, 更に 軸方向に 軸方向に 3 だけ平行移動すると, 放物線 に移るという。もとの放物線の方程式を求めよ。
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両辺正であるから2乗して (mb+1)² = m²+1
ゆえに m{(b²-1)m+2b}=0
m≠0であるから m=2b/(1-b²)
よって, 直線QRの方程式は y=2b/(1-b²)(x-b)
2. b=1 のとき
直線QRは, 点(1,0)を通り, x軸に垂直な直線である。
よって, その方程式は x=1
(1)を変形して 2bx+(b²-1)y=2b²
この式に b=1 を代入すると, (2) が得られる。
ゆえに, 直線QRの方程式は 2bx+(b²-1)y=2b²
2. 直線PRの方程式は, (3) のbを-aでおき換えて
-2ax+(a²-1)y=2a²
(3)× a+(4) ×bから (a+b)(ab-1)y=2ab(a+b)
a+b>0, ab≠1 であるから y=2ab/(ab-1)
(4)に代入すると,a>0 であるから -x+(a²-1)・b/(ab-1)=a より x=a-b/(ab-1)
よって, 点Rの座標は (a-b)/(ab-1), 2ab/(ab-1)
(3) △PQRの面積をSとすると, 点Rのy座標が正であるから S=1/2・PQ・2ab/(ab-1)=ab(a+b)/(ab-1)
円Cの中心をCとすると S=△CPQ+△CQR+△CRP=1/2PQ+1/2QR+1/2RP=1/2 T
よって T=2ab(a+b)/(ab-1)
(4) PQ=4 から a+b=4
点Rのy座標は正であるから 2ab/(ab-1)>0 a>0, b>0 であるから, ab-1>0 で T=8ab/(ab-1)=8(ab-1+1)/(ab-1)=8(1+1/ab-1)
ゆえに, ab-1が最大のとき, Tは最小となる。a>0, b>0 であるから, ab-1が最大のとき、Tは最小となる。a+b ≥ 2√ab 等号はa=b=2 のときに成り立つ。4 ≥ 2√ab より ab ≤ 4 であるから, abはa=b=2 のとき最大値4 をとり, Tはa=2 のとき最小値 32/3 をとる。
同じ計算を2度する必要はない。
4(3)× a から 2ab x+a(b²-1) y=2ab²
(4)× b から -2ab x+b(a²-1) y=2a² b
辺々加えてa(b²-1) y+b(a²-1) y=2ab²+2a²b
△ a+b=4 から, b を消去してab=a(4-a)=-(a-2)²+4
としてもab の最大値を求めることができる。
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(1) のとき\n直線 \\mathrm{QR} \ の方程式は,傾きを m \ とすると\n\\[\ny=m(x-b) \\text { すなわち } m x-y-m b=0\n\\]
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軌跡を求める手順 [1] 求める軌跡上の任意の点の座標を (x, y) などで表し、与えられた条件を x, y についての関係式で表す。 [2] 軌跡の方程式を導き、その方程式の表す図形を求める。 [3] その図形上の任意の点が条件を満たしていることを確かめる。図形上の点のうち,条件を満たさないものがあれば除く。
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[1] のとき満たすべき条件は, 2 点 の 座標が一致することである から よって [2] のとき満たすべき条件は, 2 点 B, C の 座標が一致することである から すなわち \( \quad(t-1)^{2}=0 \) よって [3] のとき満たすべき条件は ここで \( \mathrm{AB}^{2}=\left\{t^{2}-(t-2)\right\}^{2}=\left(t^{2}-t+2\right)^{2} \), \({\mathrm{BC}^{2}=\{(t+\sqrt{3})-t\}^{2}+\left\{\left(t^{2}-t-1\right)-(t-2)\right\}^{2} =\left(t^{2}-2 t+1\right)^{2}+3, \mathrm{CA}^{2}=\{(t+\sqrt{3})-t\}^{2}+\left\{\left(t^{2}-t-1\right)-t^{2}\right\}^{2} =(t+1)^{2}+3 よって \quad\left(t^{2}-t+2\right)^{2}=\left(t^{2}-2 t+1\right)^{2}+3+(t+1)^{2}+3}\) であるとして、展開して整理すると すなわち \( (t-2)\left(t^{2}+t+1\right)=0 \) は実数であるから [1]~[3]より, 求める の值は である。
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(2) 点P(x, y) とし、AP=BPすなわちAP^2=BP^2であることから\n{% raw %}\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}=\{x-(-5)\}^{2}+(y-8)^{2}\){% endraw %}\nまた、\nAP=CPすなわちAP^2=CP^2であることから\n{% raw %}\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}=\{x-(-7)\}^{2}+(y-2)^{2}\){% endraw %}\nこれを解くと、P(3, 2)
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別解 を固定,すなわち点 を固定すると が固定されるから, の面積が最大となる場合を考えればよい。\n線分 BD の長さは一定であるから, 点Cと直線 の距離が最大となるとき, の面積は最大となる。\nこのとき, 点 における放物線の接線 と が平行になる。\n から ゆえに, の傾きは \n一方,直線 の傾きは \nよって, から\n\nしたがって\n\n(3) のとき \( S=-\frac{1}{8}\left(p^{3}+5 p^{2}+3 p-9\right) \)\nよって \( \frac{d S}{d p}=-\frac{1}{8}\left(3 p^{2}+10 p+3\right)=-\frac{1}{8}(p+3)(3 p+1) \)\n とすると \n における の増減表は右のようになる。\nゆえに, は のとき極大かつ最大となる。\nしたがって, 求める の値は \n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & -1 & \\cdots \ & -\\frac{1}{3} \ & \\cdots \ & 1 \\n\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & + & 0 & - & \\n\\hline\ S \ & & \\nearrow \ & 極大 & \\searrow \ & \\n\\hline\n\\end{tabular}\n\n\( S=-\\frac{1}{2}(1-p)\\left\\{q^{2}-(p+1) q-p-2\\right\\} \) であるから, を固定して, を についての関数と みて微分すると \( \quad \\frac{d S}{d q}=-\\frac{1}{2}(1-p)\\{2 q-(p+1)\\} \)\n\n\( S=\\frac{1}{2}(1+q)\\left\\{-p^{2}+(q-1) p-q+2\\right\\} \) であるから, を固定して, を力についての関数と みて微分すると \( \quad \\frac{d S}{d p}=-\\frac{1}{2}(1+q)\\{2 p-(q-1)\\} \)\n\n が最大值をとるときの の値は すなわち \( 2 q-(p+1)=0 \) かつ \( 2 p-(q-1)=0 \) を満たすことが必要である。\nこの連立方程式を解くと \nよって, は最大値を与える の値の候補である。\n答案としては, この後に のときに最大值をとることを示さなければなら ない。\nなお, このように他の文字を固定して,ある1文字についての関数とみて微分することを 偏微分するという。
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参考 3 点 \\( \\mathrm{O}(0,0), \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}\\right), \\mathrm{B}\\left(x_{2}, y_{2}\\right) \\) を頂点とする \ \\triangle \\mathrm{OAB} \ の面積 \ S \ は \ \\quad S=\\frac{1}{2}\\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\\right| \ (証明)直線 \ \\mathrm{AB} \ の方程式は\n\\[\n\\left(y_{2}-y_{1}\\right)\\left(x-x_{1}\\right)-\\left(x_{2}-x_{1}\\right)\\left(y-y_{1}\\right)=0\n\\]\n整理すると\n\\[\n\\left(y_{2}-y_{1}\\right) x-\\left(x_{2}-x_{1}\\right) y+x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}=0\n\\]\n点 \\( \\mathrm{O}(0,0) \\) と直線 (1)の距離 \ h \ は \\( \\quad h=\\frac{\\left|x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}\\right|}{\\sqrt{\\left(y_{2}-y_{1}\\right)^{2}+\\left(x_{2}-x_{1}\\right)^{2}}}=\\frac{\\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\\right|}{\\mathrm{AB}} \\)\nよって \ S=\\frac{1}{2} \\mathrm{AB} \\cdot h=\\frac{1}{2} \\mathrm{AB} \\cdot \\frac{\\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\\right|}{\\mathrm{AB}}=\\frac{1}{2}\\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\\right| \
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求める接線は, 点 \ \\mathrm{A} \ を通り, \ x \ 軸に垂直でないから,\n\\[\ny=m(x-6)+8 \\text { すなわち } m x-y-6 m+8=0\n\\]\nと表される。\n円の中心 \\( (3,4) \\) と直線 (1) の距離が円の半径 5 に等しいから\n\\[\n\\frac{|m \\cdot 3-4-6 m+8|}{\\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=5\n\\]\nよって \ \\quad|-3 m+4|=5 \\sqrt{m^{2}+1} \\n両辺を平方して \\( \\quad(-3 m+4)^{2}=25\\left(m^{2}+1\\right) \\)\n整理すると \\( \\quad(4 m+3)^{2}=0 \\)\nゆえに \ \\quad m=-\\frac{3}{4} \\nよって, 求める接線の方程式は \ \\quad 3 x+4 y=50 \
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重要例題 179 面積の相等と関数の決定\n曲線 と直線 で囲まれた 2 つの図形の面積が等しくなる ような定数 の値を求めよ。ただし, とする。
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(2) 3 直線 が 1 点 \( \mathrm{A}(p, q) \) で交わるとする。\n\nこのとき,(1)より, 2 点 を通る直線の方程式は である。\n同様に考えて, 2 点 を通る直線の方程式も である。\nよって, 直線 は 3 点 を通る。\nしたがって, 3 点 は同一直線上にある。
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例題 41 座標を利用した証明
において, 3 つの中線 AL, BM, CN は1点(重心)で交わる。 このことを証明せよ。
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(1) 点P(x, 0)とし、AP=BPすなわちAP^2=BP^2であることから\n{% raw %}\(\{x-(-2)\}^{2}+(0-3)^{2}=(x-3)^{2}+\{0-(-4)\}^{2}\){% endraw %}\nこれを解くと\n{% raw %}, P\left(\frac{6}{5}, 0\right){% endraw %}
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一般に, 曲線 \( f(x, y)=0 \) は座標平面をいくつかの部分(ブロック)に分ける。 そして, \( f(x, y) \) が の多項式であるとき, \( f(x, y) \) の符号(正・負)は,分けられた ブロック内で一定である。\n\n例えば,ブロック からブロック に境界線を越えて移動すると\n円 を越える の符号が(正から負に)変わる\n直線 を越えない の符号は(正のままで)変わらない\n\nよって, \( f(x, y)=(x+y)\left(x^{2}+y^{2}-2\right) \) の符号は, ブロック から に移るときに (正から負に)変わることになる。\n\n図を参考にして、\( f(x, y) \) の符号の変動を確認せよ。
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m を実数とする。座標平面上の放物線 y=x^{2} と直線 y=m x+1 の共有点を A, B とし,原点を Oとする。\n(1) 角度 ∠AOB=90° であることを示せ。\n(2) 3 点 A, B, O を通る円の方程式を求めよ。\n(3) 放物線 y=x^{2} と(2)の円が A, B, O 以外の共有点をもたないような m の値をすべて求めよ。
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㭔習 (1) 2 定点 A, B からの距離の平方の和が一定値 k である点 P の軌跡を求めよ。ただし、k>0 とする。
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練習 170 => 本冊 p .319
境界線の方程式は, 2 y-x^{2}=0,5 x-4 y+7=0, x+y-4=0 から, それぞれ
y=\frac{x^{2}}{2}
(1), y=\frac{5}{4} x+\frac{7}{4} (2), y=-x+4
(1), ② を連立して解くと
(x, y)=\left(-1, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{7}{2}, \frac{49}{8}\right)
(1), (3) を連立して解くと
(x, y)=(-4,8),(2,2)
(2), (3) を連立して解くと
(x, y)=(1,3)
領域は, 図の斜線部分である。ただし,境界線を含む。したがって, 図から, 求める面積は
S &=\int_{-1}^{1}\left\{\left(\frac{5}{4} x+\frac{7}{4}\right)-\frac{x^{2}}{2}\right\} dx+\int_{1}^{2}\left\{(-x+4)-\frac{x^{2}}{2}\right\} dx \
&=2 \int_{0}^{1}\left(-\frac{x^{2}}{2}+\frac{7}{4}\right) dx+\int_{1}^{2}\left(-\frac{x^{2}}{2}-x+4\right) dx \
&=2\left[-\frac{x^{3}}{6}+\frac{7}{4} x\right]_{0}^{1}+\left[-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{2}}{2}+4 x\right]_{1}^{2}
&=2 \cdot \frac{19}{12}+\frac{4}{3}=\frac{9}{2}
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点 を通る直線 が と相異なる 3 点で交わるとし,交点の 座標を \( \alpha, \beta, \gamma(\alpha<\beta<\gamma) \) とする。直線 と曲線 で囲まれた2つの部分の面積が等しいとき、直線 が原点を通ることを示せ。
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例題 64 条件を満たす点の軌跡 (2)
2 定点 A, B からの距離の平方の差が一定値 k である点 P の軌跡を求めよ。ただし、k>0 とする。
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座標平面上の点 (p, q) は x^{2}+y^{2} ≤ 8, y ≥ 0 で表される領域を動く。点 (p+q, p q) の動く範囲を図示せよ。
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266 数学 練習 本冊 \n(1) 直線 の方程式は\n\ny=-3 p x+3 p\n\n直線と放物線の交点の 座標は, の解である。\n整理して \nゆえに \( \quad(x-1)\{x-(p-1)\}=0 \)\nよって \n線分 と が と異なる点 を共有するための条件は, の 座標が となるから\n\n*ゆえに* \n0 \leqq p-1<1 \n1 \leqq p<2
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複習 t は正の実数とする。 平面上に2点 \( P(t, t^{2}), Q(-t, t^{2}+1) \) および放物線 がある。直線 と で囲まれる図形の面積を \( f(t) \) とするとき, \( f(t) \) の最小値とそのときの の値を求めよ。\n[類 横浜国大]
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与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を,その条件を満たす点の軌跡という。与えられた条件を満たす点 P の軌跡が図形 F であることを示すには, 次の 2 つのことを 証明する。1 与えられた条件を満たす任意の点 P は,図形 F 上にある。2 図形 F 上の任意の点 P は,与えられた条件を満たす。
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例題 178 面積が一定であることの証明\n は正の定数とする。放物線 上の任意の点 におる接線と放物線 で囲まれる図形の面積は, 点 の位置によらず一定であることを示し, その 一定の値を求めよ。\n類 名城大]
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また, (2) 点 \( B(-2,2) \) が点 \( O(0,0) \) にくるように を平行移動 すると, 点 \( A(2,3) \) は点 \( A^{\prime}(4,1) \), 点 \( C(1,-1) \) は点 \( \mathrm{C}^{\prime}(3,-3) \) に移動する。 よって \( \triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{OC}^{\prime}=\frac{1}{2}|4 \cdot(-3)-1 \cdot 3|=\frac{15}{2} \) 次に, の外心は, 辺 と辺 の垂直二等分線の交点 である。
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定点 を中心とる半径 の円 がある。Oとは異なる点 に対し, Oを端点とする半直線 上の点 を によって定めるとき, 点 に点 を対応させること を円Oに関する反転といい,円Oを反転円,その中心Oを反転の中心という。また, 点 が図形 上を動くとき, 点 が描く図形 を 反形という。円や直線の反形に関しては, 次のような性質がある。(1)反転の中心Oを通る円の反形は,Oを通らない直線になる。(2)反転の中心Oを通らない直線の反形は,Oを通る円になる。(3)反転の中心Oを通らない円の反形は,Oを通らない円になる。(4)反転の中心 を通る直線の反形は,その直線自身になる。前ページの例題 71 は円 に関する反転の例で, 点 が動く円は, 反転円の中心Oを通るから, 点 が描く図形は を通らない直線 になっている。(1)~(4)が成り立つことは,以下のように証明できる。
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36 xy 平面上の放物線 y=x^2 上を動く 2 点 A, B と原点 O を線分で結んだ △AOB に おいて, ∠AOB=90° である。このとき, △AOB の重心Gの軌跡を求めよ。
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点 P が点 P'(4,-3) に移るような平行移動により、点 Q の移る点を Q'(x', y') とする。また、OP' = r とし、OP' と x 軸の正の向きとのなす角を α とすると r cos α = 4, r sin α = -3。この条件を利用して、Q' の座標を求めよ。
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重垔例題 51 | 三角形の面積の最大・最小
0<a<\sqrt{3} とする。 3 直線 \ell: y=1-x, m: y=\sqrt{3} x+1, n: y=a x がある。 \ell と m の交点を \mathrm{A}, m と n の交点を \mathrm{B}, n と \ell の交点を \mathrm{C} とする。 \triangle \mathrm{ABC} の面積 が最小となる を求めよ。また,そのときの を求めよ。 [類 岡山県大]
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練習 (1) とし, \(\text{A}(-a, 0), \text{B}(a, 0)\) となるように座標軸を定める。点 の座標を \( (x, y) \) とすると, 与えられた条件は \text{よって}\(\{(x+a)^2+y^2\}+\{(x-a)^2+y^2\}=k \) は共通内接線, 3章 練習 図形 方程式
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(2) \\triangle \\mathrm{PAB}\ ができるとき, 点 \\mathrm{P}\ は直線 \\mathrm{AB}\ 上にない。直線 \\mathrm{AB}\ の方程式は \\quad y=-x+2\ これと y=x^{2}\ から y\ を消去して解くと \\quad x=1,-2\ ゆえに, \\triangle \\mathrm{PAB}\ を作るためには s \\neq 1, s \\neq-2 \ \\qquad\ \\mathrm{R}\ の座標を \( (x, y) \\) とする。\\mathrm{R}\ は \\\triangle \\mathrm{PAB}\ の重心であるから x=\\frac{s+3+0}{3}, y=\\frac{t-1+2}{3} よって s=3 x-3, t=3 y-1 \ (1)に代入して \(\\quad 3 y-1=(3 x-3)^{2} すなわち y=3(x-1)^{2}+\\frac{1}{3} ここで, (3), (4) から \\quad x \\neq \\frac{4}{3}, x \\neq \\frac{1}{3} \ したがって, 求める軌跡は放物線 \\(\\boldsymbol{y}=3(x-1)^{2}+\\frac{1}{3} \\) ただし, 2 点 \(\\left(\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3}\\right),\\left(\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}\\right)\\) を除く。
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例 56 | 2 直線のなす角
(1) 2 直線 のなす鋭角 を求めよ。
(2) 直線 と の角をなす直線の傾きを求めよ。
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点 から放物線 へ2本の接線が引けるとき、2つの接点を とし、線分 およびこの放物線で囲まれる図形の面積を とする。 が直交するときの の最小値を求めよ。
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練習\n54 → 本冊 p.124\n解1 : (6-3)(x-3)+(8-4)(y-4)=25\nすなわち 3x+4y=50。\n解2) 円の中心を C(3,4) とする。\n直線 CA の傾きは \\frac{8-4}{6-3} = \\frac{4}{3}。\nよって, 求める接線の傾きは \\frac{-4}{3}。\n接点が A(6,8) であるから, 求める接線の方程式は\n\\(y-8=-\\frac{3}{4}(x-6)\\) すなわち \3x+4y=50\。
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(1) は軸が 軸である放物線であるから、 軸に平行な直線が に接することはない。\nよって、 の方程式は と表される。\nこれと から を消去して整理すると\n\na x^{2} - m x + \left( \frac{1}{a} - n \right) = 0\n\nこの方程式の判別式 を求めると\n\nD = (-m)^{2} - 4 a \left ( \frac{1}{a} - n \right) = 4 n a + \left ( m^{2} - 4 \right )\n\n直線 と曲線 が接するための条件は、「重解」をもつことであるから \nすなわち \( \quad 4 n a + \left (m^{2} - 4 \right ) = 0 \)\nこれが 0 でないすべての実数 に対して成り立つから\n\n4 n = 0\nm^{2} - 4 = 0\n\nよって , \n\nしたがって、直線 の方程式は ,
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\( \mathrm{A}(p, q), \mathrm{B}(s, t), \mathrm{C}(u, v) \) とする。 点 に関する円の極線の方程式は,それぞれ この 2 直線が点 を通るならば また, 点Cに関する円の極線は (B)により, この直線は 2 点 \( \mathrm{A}(p, q), \mathrm{B}(s, t) \) を通る。したがって, 点 Cに関する極線は直線 AB である。
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重要例題 182 面積の最大・最小 (3)\n曲線 y=\\left|x^{2}-x\\right| \ と直線 y=m x \ が異なる 3 つの共有点をもつとき, この曲線と直線で囲まれた 2 つの部分の面積の和 S \ が最小になるような m \ の値を求めよ。\n[類 山形大] <例題169
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点や曲線の通過範囲\n を実数とする。座標平面上の放物線 は放物線 と 2 つの共有点をもち, 一方の共有点の 座標は を満たし, 他方の共有点の 座標は を満たす。\n(1) 点 \( (a, b) \) のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。\n(2) 放物線 の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。\n[東京大〕
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△ABCの辺BCの中点をMとするとき,次の等式を証明せよ。
AB² + AC² = 2(AM² + BM²)
(中線定理)
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2 つの放物線の交点の x 座標は,方程式 x^{2}+1=-x^{2}+x+4 すなわち 2 x^{2}-x-3=0 (x+1)(2 x-3)=0 を解いて x=-1, rac{3}{2} 右の図から, 求める面積 S は S =\int_{-1}^{\frac{3}{2}}\left\{\left(-x^{2}+x+4\right)-\left(x^{2}+1\right)\right\} d x =\int_{-1}^{\frac{3}{2}}\left(-2 x^{2}+x+3\right) d x =-2 \int_{-1}^{\frac{3}{2}} \{x-(-1)\}\left(x-\frac{3}{2}\right) d x =-2\left(-\frac{1}{6}\)\left\{\frac{3}{2}-(-1)\right\}^{3}=\frac{125}{24}
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a は正の定数とする。放物線 y=x^{2}+a 上の任意の点 P における接線と放物線 y=x^{2} で囲まれた図形の面積は、点 P の位置によらず一定であることを示し、その一定の値を求めよ。
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点 \( A(-2,-3) \) に関して, 点 \( \mathrm{P}(3,7) \) と対称な点 の座標を求めよ。
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2 点 \( \\mathrm{A}(-4,0), \\mathrm{B}(2,0) \\) からの距離の比が である点 \\mathrm{P} \ の 軌跡を求めよ。
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放物線 を とし,放物線 を とする。実数 に対して, 2 直線 と で囲まれた図形を とし, 4 点 \( (a, 0),(a+1,0),(a+1,1),(a, 1) \) を頂点とする正方形を で表す。(1) 図形 の面積 を求めよ。(2) 正方形 と図形 の共通部分の面積 を求めよ。(3) が最大となるような の値を求めよ。[類 センター試験]
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2 点 \( \mathrm{A}(0,6), \mathrm{B}(4,4) \) を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。
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点 P は直線 y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \ 上にあるから, その座標を \( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\) とおくと, t>0 であり\n\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \)\n\( \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} より \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} であるから \n\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \n整理すると \nt^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \nこれを解くと t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0 であるから t=2 \\sqrt{2}\nよって, 点 P の座標は \\left(2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\right) であるから \n\\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4}
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別解 点と直線の距離の利用
点(7,1)を通る接線は、x軸に垂直でないため、接線の方程式は次のようにおける。
y - 1 = m(x - 7) すなわち mx - y - 7m + 1 = 0
円の中心(0,0)と直線の(1)の距離が円の半径5に等しいため
|-7m + 1| / √(m^{2} + (-1)^{2}) = 5
よって以下の方程式を得る。
|-7m + 1| = 5√(m^{2} + 1)
両辺を2乗して式を整理すると次の二次方程式が得られる。
(-7m + 1)^{2} = 25(m^{2} + 1)
ゆえに以下の解を得る。
12m^{2} - 7m - 12 = 0
次の解を得る。
(3m - 4)(4m + 3) = 0 よって m = 4/3 または -3/4
求める接線の方程式は次の通りである。
4x - 3y - 25 = 0, 3x + 4y - 25 = 0
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次の 3 点を通る円の方程式を求めよ。\n(1) (0,0),(1,-3),(4,0)\n(2) (1,1),(3,1),(5,-3)
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△ABCにおいて, 辺BCを1:2に内分する点をDとする。このとき, 2AB² + AC² = 3AD² + 6BD²が成り立つことを証明せよ。
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(EX)
a は正の定数とする。放物線 y=x^2+a 上の任意の点 P におる接線と放物線 y=x^2 で囲まれた図形の面積は, 点Pの位置によらず一定であることを示し, その一定の值を求めよ。
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連立不等式 (1)〜(4)の表す領域 D は,右の図の斜線部分である。ただし,境界線を含む。ここで,合計生産台数をkとすると
x+y=k
(5) は傾きが -1, y 切片が k の直線 を表す。この直線 (5) が領域 D と共有点をもつときの k の値の最大値を求めればよい。図から, 直線 (5)が点 (10,4) を通るとき, k の値は最大になる。このとき k=10+4=14 したがって, 合計生産台数は最大 14 台である。
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三角形 の 3 つの頂点から、それぞれの対辺またはその延長に下ろした 3 つの垂線は、1点で交わることを証明せよ。
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2 点 \( \mathrm{A}(-1,-2), \mathrm{B}(-3,2) \) から等距離にある点 の軌跡を求めよ。\n点 の座標を \( (x, y) \) とする。\n の満たす条件は すなわち よって \( \quad(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=(x+3)^{2}+(y-2)^{2} \)\n展開すると\n\n整理すると \nゆえに, 点 は直線 上にある。\n逆に, この直線上の任意の点 は,与えられた条件を満たす。\nしたがって, 点 の軌跡は直線 。
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次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
(1) |ab+cd| ≤ √(a^2+c^2) √(b^2+d^2)
(2) √((a+b)^2+(c+d)^2) ≤ √(a^2+c^2)+√(b^2+d^2)
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次のような円の方程式を求めよ。\n(2) 直線 と点 \( (-1,1) \) において接し, 点 \( (0,2) \) を通る円
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まず,原点と直線の距離は,次のようになる。原点 \( (0,0) \) と直線 の距離 は \n\n証明 \n(3) とする。\n\n原点 Oを通り, 直線 (3) に垂直な直線の方程式は\n\n\[ \longleftarrow \) ■. 141 の\n参考参照\n2 直線 (3), (4) の交点を H とし, この座標を求めるために, 連立方程式 (3), (4) を解くと\n(3) (4) から\n\[ \left(a^{2}+b^{2}\right) x+a c=0 \]\n(3) (4) から\n\]\[ \left(a^{2}+b^{2}\right) y+b c=0 \]\nμ3において, または であるから \nよって, (5) から \n(6) から \nゆえに, 点 の座標は \( \left(-\frac{a c}{a^{2}+b^{2}},-\frac{b c}{a^{2}+b^{2}}\right) \) であり, であるから\n\[ d=\sqrt{\left(-\frac{a c}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}+\left(-\frac{b c}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}}=\frac{\sqrt{c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]\n\n次に, 一般の点についての公式は次のようになる。点 \( \left(x_{1}, y_{1}\right) \) と直線 の距離 は \n明るむ \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) とし, 直線 を とする。点 が原点 \mathrm{O} に移るように, 直線 \( \ell を 軸方向に 軸方向に だけ平行移動すると, 移動後の直線 の方程式は\n\[ a\left\{x-\left(-x_{1}\right)\right\}+b\left\{y-\left(-y_{1}\right)\right\}+c=0 \]\nすなわち \( \quad a x+b y+\left(a x_{1}+b y_{1}+c\right)=0 \)\n点 と直線 の距離 は, 原点 と直線 の距離 に等しいから,(*)より\n\n\n注意 とおくと \( (*) \) が得られるから, \( (*) \) を公式として覚える必要はない。実際の問題で 2 直線の関係を調べたり, 点と直線の距離を求めたりしてみましょう。
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エのようになる。図エで、斜線をつけた2つの三角形は合同なので, 角 a と角bの大きさの和は 90 度である。よって, 角RPQの大きさも 90 度だから, 三角形 PQR は直角二等辺三角形とわかる。したがって, ✕ と - の和は 45 度なので, 図ウの角 x と角 y の大きさの和は, 45 ✕ 2=90 (度) と求められる。
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図(4)で, 角EABと角GADの大きさの和は, 360-(30+150)=180 (度)なので, 三角形ABE 辺 EAと三角形GADの辺GAを重ねると,下の図(5)のうにBAとADは一直線上に並ぶ。同様に,図(4)の角HDAと角CDFの大きさの和は,360-(90+90)=180 (度)だから, 三角形HADの辺HD と三角形DCFの辺FDを重ねると、下の図(6)ようにADとDCは一直線上に並ぶ。次に, 図(4)のADとGHは平行なので, 三角形GADと三角形HADの面積は等しい。そこで, この面積をS とすると,図(5)から角形ABE 面積は,S × (EA/GA), 図(6)から三角形DCFの面積は, S × (3/2) × (FD/HD) と表せる。また, 図(4)の三角形EGAと三角形HDFの 3つの辺の長さの比を 1:2:□ とすると, 三角形ABEの面積は, S × (EA/GA)=S × (2/□), 三角形 DCFの面積は, S × (3/2) × (FD/HD)=S × (3/2) × (□/1)=S × (3/2) × □ となる。よって, 三角形ABEと三角形DCFの面積の比は, (S × (2/□)):(S × (3/2) × □)= (2/□):(3/2 × □) となり,さらに比の前と後ろに □ をかけると, (2/□):(3/2 × □)= (2/□ × □):(3/2 × □ × □)= 2:(3/2 × □ × □) とわかる。ここで, (2)より、 □ × □=3 となるから, 三角形 ABE と三角形 DCF の面積の比は, (2/(3/2 × □ × □))=2:(3/2 × 3)=4:9 と求められる。
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(1)図 2 , 図 3 , 図 4 から, 関東地方の気象のようすとして, 正しい文をすべて選び, 記号を答えなさい。\n(ア)低気圧は, 東から西へと進んでいく。\n(イ) 2 月6日はくもり, もしくは雨模様で, 日照時間が短かった。\n(ウ)大陸からの高気圧が移動し, 2 月 7 日から晴れてきた。\n(エ) 2 月 7 日早朝は, 2 月 8 日早朝より冷え込みが厳しい。\n(オ) 千葉市は海に近いため, 他の都市よりも朝方の気温の低下が小さい。
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(5)図7は右手を伸ばしたてつお君と鏡を上 から見た図です。図7のように右目と左目, および右手の先端 H を結ぶ線が鏡と平行に なるように立ち, 鏡に映る手の先端 H を見 ることを考えます。右目だけで鏡を見て,鏡に映るHと重なって見えるように鏡の表面上に印Rをつけます。同様に左目だけで 鏡を見て, 鏡に映るHと重なって見えるよ うに鏡の表面上に印Lをつけます。
(1) 鏡の表面上のRとLを解答用紙の図中 に作図しなさい。作図に用いた線は消さ ないこと。
(2) 印RとLを鏡の表面につけた後,鏡に 対して垂直方向(図中の矢印の向き)に鏡対して垂直方向(図中の矢印の向き)に鏡
図 6 へ 1 歩近づき, 同じ姿勢で鏡に映る手の先端 H を見ます。
右目だけで鏡を見るとき,Rの位置に対して鏡に映るHはどのように見えますか。次より 最も適切なものを選びなさい。
同様に,左目だけで鏡を見るとき,Lの位置に対して鏡に映るHはどのように見えますか。最も適切なものを選び, 記号を答えなさい。
(ア) 右側に見える
(イ)左側に見える
(ウ)重なつて見える
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(6) 図6のノギスの副尺は、(1)と同様に最小の1目盛りの間隔が1.95mmである。図6で、図3のPにあたる目盛りの線は、本尺の20mm (図3でP’の位置にあたる)を少しこえた位置にある。また,図3のQにあたるところは、副尺の目盛りが3.5、本尺の目盛りが34mmを指している。(4)と同様に考えると、PP’の長さは34 - 20 - 1.95 × 3.5 × 2 = 0.35(mm) となる。よって、ボタンの直径は20 + 0.35 = 20.35(mm) と求められる。
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てつお君は実験1について, 「物体Pで反射した光が空気中を左右に曲がり,図4の経路で右目に入射した」という可能性もあると考えました。
実際には,図3のように光は空気中を直進しますが,実験1の結果だけならば,図4の考え方も可能です。図 4 の光の進み方をしていないことを証明するには,実験1に加え,新たなピンをどこに立てて、どのような見え方をすれば良いですか。
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(8)積み木Bに引いた線の向き,積み木Bが回転した角度として適切なものを選び,記号を答えなさい。ただし,図中の点線は,もとの積み木に引いた線の向き,二重線の円弧は積み木B の回転角を表します。
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問11下線部kに関する次の文 ・Yについて, その正誤の組合せとして正しいものを,下記より1つ選び番号で答えなさい。\nX 災害時には、自販機内の飲料を無料で提供できる機能を備えた自販機があります。\nY 携帯電話で110番や119番に通報する際,自販機を見ればその場所の住所がわかるように,住所表示ステッカーがはられているものがあります。
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金属棒の伸びとその測定についての問題。\n以下の条件に基づいて問題を解いてください。\n1. 積み木 と積み木 が動く様子は、積み木 が時計回りに回転し、積み木Aが右へ動く。\n2. 積み木 に引いた線の向きは時計回りに回転した位置に移動する。\n3. 積み木 が動いた長さは、積み木Bの回転角分の弧の長さと等しい。\n4. 積み木Cは動かず、積み木Bが時計回りに回転すると右方向に移動する。\n5. 積み木の回転角はすべて等しい。\n6. (10)で積み木に付けた厚紙の回転角は30度。\nこれらの条件に基づいて、針につけた厚紙の回転角を計算しなさい。
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1 アンモニアの発生とその性質に関する実験を行いました。次の各問に答えなさい。
<実験1>
(1) 塩化アンモニウムの粉末と水酸化カルシウムの粉末を, よく混ぜてから試験管に入れ, ガラス管を通したゴム鞋をつけた。
(2) 試薬を入れた試験管をクランプ(試験管をスタンドに固定する器具)でスタンドに固定した。
(3) 試験管をガスバーナーで加熱すると、アンモニアの気体と水蒸気が発生した。発生した気体を乾燥剤に通してから,上方置換法で丸底フラスコに集めた。
(4) 丸底フラスコの管口近くからアンモニアのにおいがすることを確認した。
気体は図1の上方置換法や図2の水上置換法で集めます。アンモニアは水に溶けやすいので,水上置換法ではなく,上方置換法で集めます。上方置換法では,容器内を目的の気体で完全に 満たすことが難しいことが欠点です。
(1)実験1を安全で確実に行うためには, 急な温度変化が起きないように注意して装置を 組み立てなければいけません。操作(2)で試験管をガスバーナーに対してどのように固定 すると良いですか。ガスバーナーの火を当てる位置と試験管の向きに気を付けて, 試験管を図3を参考にしなさい。
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文中のグラフの折れ方から,図3にCのグラフをかき入れると,太点線のようになることがわかる。図3より,火をつける前の長さについて、(最長, 最短)の組は(B, A)とわかる。また,グラフの 傾きの大きさから,1分間に燃える長さについて,(最長,最短)の組は(C,A)と求められる。 よって, ①は(ウ), ②は(オ)である。
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(2)右の図ケで,aの場所に青をはると,1<wide>(3)の場所に青をはることはで図ケ きない。そこで, bの場所に青をはると, (4)〜(6)の場所に青をはることはできない。同様に考えると, c→d→e→fの場所に青をはることができ, 最も多くて6枚の青をはれることがわかる。この状態から, b の場所にある青 を(5)の場所にずらすことができ,同時に、aの場所にある青を(2)の場所にず らすこともできる。つまり,Iの列にある4枚のうち2枚を青にする方法は,
(aとb),(a と(5),(2)と(5)の3通りある。Iの列と正の列についても同様なので,6枚の青をはる方法は全部で, 3 × 3 × 3=27 (通り)となる。さらに, どの場合についても残りの部分の模様 は2 通りあるから, 全部で, 27 × 2==54 (通り)と求められる。
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4 光の進み方についての問題
(1) 図 2 で点 Cから発射された光は点 E で反射して点 D に当 たっている。そのことから光線は点 C と点 E, 点 E と点 D 結んだ直線上にあることがわかる。このとき, 点Eから鏡に垂直に立てた線(法線)と光線のなす角が左右で等しくなる。図3でも同様に考えると,図3の点Fと点Gの鏡からの高さ が1:2となっていることから,光が鏡の面で反射する前と 後で右向きに進んだマスの数の比も1:2 となることがわかる。よって、反射する鏡の面上の点は、点 F と点 G の間の 6 マスを 1: 2 に分ける点なので, この点と点 F よび点 G を直線で結んだ光線 を図に表すと右上の図 I のようになる。
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4 平面図形一作図, 長さ (1)右の図(1)で、はじめにODを延長した直線上にDO=DLとなる点Lをとり, OLの垂直二等分線をひく。そのためには, OL左側にOM=LMという点M、OLの右側にON=LNという点Nをとり、MとNを結ぶ。次に、PとDを結び、PDの垂直二等分線をひく。そのためには、PDの左側にPQ=DQという点Q、PDの右側にPR=DRという点Rをとり、QとRを結ぶ。さらに、MとN、QとRを結んだ直線の交点をSとする。最後に、Sを中心としてDとPを通る円の一部を描くと、Oを中心とする円の円周とのD以外の交点がEになる。
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(1)① 上の図ア(青が真ん中),図イ(青が四隅),図ウ(青が辺の真ん中)の3つの場合に分けて考 える。どの場合も,残りの部分に と え上下左右が同じにならないようにはると,はり方は1通 りに決まる。このとき、、が黄でさが赤の場合と、、が赤でふが黄の場合があるから,どの場合も 2 通りの模様ができる。次に,青の場所を考えると,図アの場合は1通り,図イと図ウの場合は90 度ずつ回転させると 4 通りずつあるので, 全部で, (1+4+4) × 2=18 (通り)と求められる。
(2) 上の図エ〜図クの 5 つの場合に分けて考える。(1)と同様に残りの部分の とうのはり方は 1 通 りに決まるので, どの場合も 2 通りの模様ができる。次に, 青の場所は, 図エと図オと図カの場合 は90度ずつ回転させると 4 通りずつある。また, 図キと図クの場合は180度回転させると同じ模様 になるから, 2 通りずつある。よって,全部で, (4 × 3+2 × 2) × 2=32 (通り)と求められる。
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The goalkeeper lunged desperately, but the ball went past her and rolled slowly in the goal.\nA. in the goal [NO ERROR]\nB. on the goal\nC. inside the goal\nD. into the goal
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異なる 3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を頂点とする の内心を \( \mathrm{P}(z) \) とする。 このとき, は次の等式を満たすことを示せ。
基本 109
指針 三角形の内心は,3つの内角の二等分線の交点である。次の「角の二等分線の定理」…(*)を利用し, の二等分線と辺 の交点を \( \mathrm{D}(w) \) として, を で表す。 (*)右の図で が の の二等分線
次に, において, と二等分線 に注目する。以上のことは, 内心の位置ベクトルを求めるときの考え方とまったく同じである。
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点 \( \mathrm{P}(z) \) が点 を通り実軸に垂直な直線上を動くとき, で表される点 \( \mathrm{Q}(w) \) はどのような図形を描くか。
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平行四辺形 において, 対角線 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を とする。このとき, 3 点 は一直線上にあること を証明せよ。
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長さ 2 の線分の両端 がそれぞれ 軸および 軸上を移動するとする。線分 XPの延長上に となるように点 をとるとき, 点 の軌跡を求め よ。
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問:\ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の辺 \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{AC} \ の中点をそれぞれ \ \\mathrm{D}, \\mathrm{E} \ とするとき, \ \\mathrm{BC} / / \\mathrm{DE}, \\mathrm{BC}=2 \\mathrm{DE} \ であること(中点連結定理)を証明せよ。\n(*)問の解答は p.721 にある。
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極座標において, 点 \( \mathrm{A}(3, \pi) \) を通り始線に垂直な直線を とする。極 と直線 からの距離の比が次のように一定である点 の軌跡の極方程式を求めよ。(ア) (イ)
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双曲線上の任意の点 から 2 つの漸近線に垂線 を下ろすと, 線分の長さの積 は一定であることを証明せよ。\np.629 EX107, 108
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練習 異なる 3 点 \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \) を頂点とする の頂角 に傍心を \( \mathrm{P}(z) \) とするとき, は次の等式を満たすことを示せ。
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189\n㖵本閉造 111 変曲点に関する対称性の証明\n は自然対数の底とし, \( f(x)=e^{x+a}-e^{-x+b}+c(a, b, c \) は定数 \( ) \) とするとき, 曲線 \( y=f(x) \) はその変曲点に関して対称であることを示せ。
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例題 123 の初等幾何による解法\n①. 中線は 2 倍にのばして平行四辺形を作り出すの方針で証明することができる が, 補助となる点や補助線が必要となるので, 思いつきにくい。\n線分 AM の点 を越える延長上に, となるように 点 をとると, から, 四角形 は平行四辺形 である。\nよって \( \\mathrm{AE}=\\mathrm{GH} \\また, \\mathrm{AB}=\\mathrm{AE} \\から\n\\mathrm{AB}=\\mathrm{GH} \n更に\n\\mathrm{AC}=\\mathrm{AG} \\qquad \\mathrm{AE} / / \\mathrm{GH} \\から \\angle \\mathrm{EAG}+\\angle \\mathrm{AGH}=\\pi \nしたがって\n\\angle \\mathrm{AGH}=\\pi-\\angle \\mathrm{EAG}=\\angle \\mathrm{BAC} \nすなわち\n\\angle \\mathrm{AGH}=\\angle \\mathrm{BAC} \\(1)〜(3) \\から\\triangle \\mathrm{ABC} \\equiv \\triangle \\mathrm{GHA} \nしたがって \\quad \\mathrm{BC}=\\mathrm{AH}=2 \\mathrm{AM} \\また,図のように, \\mathrm{BC} / / \\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{A} \\となる点 \\mathrm{B}^{\\prime} をとると\n\\angle \\mathrm{MAE}=\\angle \\mathrm{GHA}=\\angle \\mathrm{ABC}=\\angle \\mathrm{BAB}^{\\prime} \nしたがって, \\angle \\mathrm{MAB}^{\\prime}=\\angle \\mathrm{MAE}+\\angle \\mathrm{EAB}^{\\prime}=\\angle \\mathrm{BAB}^{\\prime}+\\angle \\mathrm{EAB}^{\\prime}=\\frac{\\pi}{2}\u0004順に\\mathrm{AE} / / \\mathrm{GH} \\triangleleft 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい。\nしたがって \\quad \\mathrm{AM} \\perp \\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{A} \\quad \\mathrm{BC} / / \\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{A} より \\mathrm{AM} \\perp \\mathrm{BC} \\ \\mathrm{BC} / / \\mathrm{B}^{\\prime} \\mathrm{A} に注意。