幾何学と測定 - 平面図形の面積と周囲 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

次の平行四辺形の面積を求めなさい: AB = 2, CD = 2, BC = 5, \ \\angle B = 120° \

半径 $4 \mathrm{~m}$ の円形の池の周りに, 同じ幅の花壇を造りたい。花壇の面積が $9 \pi \mathrm{m}^{2}$ 以上か つ $33 \pi \mathrm{m}^{2}$ 以下になるようにするには，花壇の幅をどのようにすればよいか。

15 三角形の面積、空間図形への応用: 与えられた条件から三角形の面積を求めなさい。

(3) \\triangle \\mathrm{AEM} \ の面積を求めよ。

周囲の長さが $20 \mathrm{~cm}$ の長方形の面積を $9 \mathrm{~cm}^{2}$ 以上， $21 \mathrm{~cm}^{2}$ 以下にするには, どのようにすればよいか。

ヘロンの公式

PR 次のような図形の面積を求めよ。\n(1) $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=6, \mathrm{DA}=2, \angle \mathrm{ABC}=60^{\\circ}$ の四角形 $\mathrm{ABCD}$\n(2) $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=\\sqrt{3}+1, \mathrm{CD}=\\sqrt{2}, B=60^{\\circ}, C=75^{\\circ}$ の四角形 $\mathrm{ABCD}$\n(3) 1 辺の長さが 1 の正十二角形

四角形ABCDの面積を求めよ。辺の長さはAB=5, BC=6, CD=5, DA=3であり、角度は∠ADC=120°である。

次の三角形の面積を求めてください。底辺が6cm、高さが4cmです。

76 (2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。ただし, \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を S \ とする。 (1) A=120^{\\circ}, c=8, S=14 \\sqrt{3} \ のとき a, b \ (2) b=3, c=2,0^{\\circ}<A<90^{\\circ}, S=\\sqrt{5} \ のとき \\sin A, a \ (3) a=13, b=14, c=15 \ で, 頂点 \\mathrm{A} \ から対辺 \\mathrm{BC} \ に下ろした垂線の長さを h \ としたとき S, h \

■ロンの公式 (発展事項) \( \triangle \mathrm{ABC}\ ) の面積 \( S\ ) を, 3 辺の長さ \( a, b, c \ ) で表すことを考えると,次のようになる。 \[ \begin{aligned} S & =\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} b c \sqrt{1-\cos ^{2} A} & =\frac{1}{2} b c \sqrt{1-\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}\right)^{2}} & =\frac{1}{2} b c \sqrt{\frac{(2 b c)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{(2 b c)^{2}}} & =\frac{1}{2} b c \cdot \frac{1}{2 b c} \sqrt{(2 b c)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}} & =\frac{1}{4} \sqrt{\left\{2 b c+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\right\}\left\{2 b c-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\right\}} & =\frac{1}{4} \sqrt{\left(b^{2}+2 b c+c^{2}-a^{2}\right)\left\{a^{2}-\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\right)\right\}} & =\frac{1}{4} \sqrt{\left\{(b+c)^{2}-a^{2}\right\}\left\{a^{2}-(b-c)^{2}\right\}} & =\frac{1}{4} \sqrt{\{(b+c+a)(b+c-a)\}\{(a+b-c)(a-b+c)\}} \end{aligned} \] ここで, $a+b+c=2 s$ とおくと \[ \begin{array}{l} b+c-a=2(s-a), a+b-c=2(s-c), a-b+c=2(s-b) \text { よって } S=\frac{1}{4} \sqrt{2 s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-c) \cdot 2(s-b)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{array} \] 以上から, 次のヘロンの公式が成り立つ。 \( \triangle \mathrm{ABC}\ ) の面積 $S$ は \[2 s=a+b+c \text { とすると } \quad S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] 注意 ヘロンの公式には, 3 辺の長さを代入してすぐに三角形の面積を求めることができる，と いう利点があるが, 必ずしも計算がらくになるとは限らない。与えられた辺の長さによっ ては, 次ページの CHART \& GUIDEの1〜3の手順で面積を求める方がらくな場合も ある。ヘロンの公式の利用が有効なのは, $a, b, c$ が整数のときなど, $\sqrt{\text { の中が比較的 }}$計算しやすいときである。 次のページからは, 図形をいくつかの三角形に分けるなどして, 線分の長さや面積を求める方法を学習しましょう。

実践 5: 三角形の面積, 周の長さなどの比較

例題 135: 多角形の面積\n複雑な多角形の面積を求めるには、それを簡単な三角形や四角形に分割し、それぞれの面積を求めて合計する。

三角形の面積: $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とする。 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B=\frac{1}{2} a b \sin C$ 内接円の半径を $r$ とすると \( S=\frac{1}{2} r(a+b+c) \)

面積の等分 (1) a は 0<a<3 を満たす定数とする。放物線 y=-x^{2}+3 x と x 軸で囲まれた 部分の面積を直線 y=a x が 2 等分するとき, a の値を求めよ。 [類 岩手大]

PR次の曲線, 直線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-2 x-8$\n(2) $y=-2 x^{2}+4 x+6$\n(3) \( y=x^{3}+3(0 \leqq x \leqq 1), y \) 軸, $x=1$\n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0 \leqq x \leqq 5), x=0, x=5 \)

77 (3) \ -x^{2} + 2x - 2 \の面積を求めよ

EX \( \mathrm{A}(1,0) \) とする。点 $\mathrm{P}$ が放物線 $y=x^{2}$ の $-1 \leqq x \leqq 1$ の部分を動くとき, 線分 $\mathrm{AP}$ が通過してできる図形の面積を求めよ。\n[類 愛知工大]

（2） $m$ が（1）で求めた範囲を動くとき，$C$ と$\\ell$で囲まれた図形の面積 $S$ を $m$ で表せ。

(2) 2 つの関数 $y=-x^{2}+x+2, y=|x|-1$ のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。

数学 I よって，右の図から求める面積 S は S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)

放物線 \( y=-x(x-2) \) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が，直線 $y=a x$ によって 2 等分されるとき，定数 $a$ の値を求めよ。ただし， $0<a<2$ とする。

別解 S1, S2, S3 を図のようにとると, 求める面積 S は S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2

次の図形の面積を求めよ。(1) a=10, B=30^{\circ}, C=105^{\circ} の \ \\triangle \\mathrm{ABC} \

次のような \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積 S \ を求めよ。 (1) a=3, c=2 \\sqrt{2}, B=45^{\\circ} \ (2) a=6, \\quad b=5, \\quad c=4 \

2) 1 辺の長さが 1 の正八角形の面積を求めよ。

練習 次のような四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ ( $\mathrm{O}$ は $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点)。 (1) 平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ で, $\mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=6, \mathrm{AC}=7$ (2) 平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ で, $\mathrm{AC}=p, \mathrm{BD}=q, \angle \mathrm{AOB}=\theta$ (3) $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ で, $\mathrm{BC}=9, \mathrm{CD}=8, \mathrm{CA}=4 \sqrt{7}, \angle \mathrm{D}=120^{\circ}$

次のような四角形 $\\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ (O は $\\mathrm{AC}$ と BD の交点)。\n(2) 163\n(1) 平行四辺形 $\\mathrm{ABCD}$ で, $\\mathrm{AB}=5, \\mathrm{BC}=6, \\mathrm{AC}=7$\n(2) 平行四辺形 $\\mathrm{ABCD}$ で, $\\mathrm{AC}=p, \\mathrm{BD}=q, \\angle \\mathrm{AOB}=\theta$\n(3) $\\mathrm{AD} / / \\mathrm{BC}$ の台形 $\\mathrm{ABCD}$ で, \\mathrm{BC}=9, \\mathrm{CD}=8, \\mathrm{CA}=4 \\sqrt{7}, \\angle \\mathrm{D}=120^{\\circ} \

1 辺の長さが 1 の正十二角形の面積 Sを求めよ。

数学 I\n\n$r>0, x>0$ であるから \( \quad x=(\\sqrt{2}-1) r \)四角形 AMON の面積は\n\n2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}\nよって, 求める正八角形の面積は\n\n8(\\sqrt{2}-1) r^{2}\n\n\\begin{aligned}\n\\leftarrow \\sqrt{\\frac{(2-\\sqrt{2})^{2}}{2}} & =\\frac{2-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\\n& =\\sqrt{2}-1\n\\end{aligned}

辺の長さが 5, 6, 7 の三角形を T とする。\n(1) T の面積を求めよ。\n(2) T を底面とする高さ 4 の直三角柱の内部に含まれる球の半径の最大値を求めよ。ただし, 直三角柱とは, すべての側面が底面と垂直であるような三角柱である。

次の図形の面積を求めよ。(3) 円に内接し, \ \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=\\mathrm{CD}=3, \\angle \\mathrm{B}=120^{\\circ} \ の四角形 \ \\mathrm{ABCD} \

四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を求めよ。

（2）六角形 $\mathrm{ABCDEF}$ の面積を求めよ。

周囲の長さが 20 cm の長方形の面積を 9 cm² 以上, 21 cm² 以下にするには, どのようにすればよいか。

三角形の面積

(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積の最大値と，そのときの $x$ の値を求めよ。

問5 (3） $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積が $20 \sqrt{3}$ のとき， $\triangle \mathrm{ABC}$ の最大の辺の長さを求めよ。

次のような図形の面積を求めよ。 (1) $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=6, \mathrm{DA}=2, \angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$ の四角形 $\mathrm{ABCD}$ (2) $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{3}+1, \mathrm{CD}=\sqrt{2}, B=60^{\circ}, C=75^{\circ}$ の四角形 $\mathrm{ABCD}$ （3）1 辺の長さが 1 の正十二角形

3辺の長さが与えられたとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めるには以下の手順で計算すればよい:\n(1) 余弦定理を用いて, $\cos A$ を求める。\n(2) $\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$ から, $\sin A$ を求める。\n(3) 面積の公式 $S=\frac{1}{2} b c \sin A$ に代入する。\nこの面積 $S$ を，3辺の長さ $a, b, c$ で表した結果がヘロンの公式である。\nヘロンの公式 $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$ は\n$2 s=a+b+c$ とすると\n\[S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

正八角形の面積を求めるには、どのように分割しますか？

多角形の面積

四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積をどのように求めることができますか？

次の各場合において, $\triangle \mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を求めよ。 (2) 3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \) を頂点とするとき $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とする。

湖題 139 媒介変数表示と面積 (1)\n曲線 \( \\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{array}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. \\) と x \ 軸で囲まれた部分の面積 S \ を求めよ。

重要例題 140 媒介変数表示と面積 (2)\n媒介変数 $t$ によって,\n\\[ x=2 \\cos t-\\cos 2 t, \\quad y=2 \\sin t-\\sin 2 t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\]\n\nと表される右の図の曲線と, $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

例題 141 極方程式で表された曲線と面積\n極方程式 \( r=1+2 \cos \theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \) で表される曲線上の点と極 $\mathrm{O}$ を結んだ線分が 通過する領域の面積を求めよ。

(2)曲線 \(y=\tan x\left(0 \leqq x<\frac{\pi}{2}\right)\) と直線 $y=\sqrt{3}$, $y=1$, $y$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

(1) 平面で, 半径 \( r(r \leqq 1) \) の円の中心が, 辺の長さが 4 の正方形の辺上を 1 周する時、この円が通過する部分の面積 \( S(r) \) を求めよ。

楝習 (1) 3 点 \\( \\mathrm{A}(1,1,1), \\mathrm{B}(-1,2,3), \\mathrm{C}(a,-1,4) \\) がある。\n38 (ア) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積 \\( S(a) \\) を求めよ。\n(T) \ a \ がすべての実数の範囲を動くとき, \\( S(a) \\) の最小値を求めよ。\n(2) 3 点 \\( \\mathrm{A}(2,3,1), \\mathrm{B}(1,5,-2), \\mathrm{C}(4,4,0) \\) がある。 \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\vec{c} \ のとき, \ \\vec{b}+t \\vec{c} \ と \ \\vec{c} \ のなす角が \ 60^{\\circ} \ となるような \ t \ の値を求めよ。

ゆえに t=\frac{1}{2} よって, 曲線の概形は右の図のようになる。したがって, 求める面積は

上の (1) の点 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ に対して, 2 つの線分 $\mathrm{OP}_{1}, \mathrm{OP}_{2}$ および曲線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

次の曲線，直線と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。 (1) y=x^2+x-2 (2) y=-2x^2-3x+2 (3) y=x^2-4x-5 (x ≦ 4), x=-2, x=4

EX xy 平面内の領域 x^{2}+y^{2} ≤ 2,|x| ≤ 1 で、曲線 C: y=x^{3}+x^{2}-x の上側にある部分の面積 S を求めよ。

三角形の面積\n3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \), \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) を頂点とする三角形の面積は$\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right|$

放物線 \( y=-x(x-2) \) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積が，直線 $y=a x$ によって 2 等分されるとき, 定数 $a$ の値を求めよ。ただし， $0<a<2$ とする。

放物線 \( y=x(3-x) \) と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を，直線 $y=a x$ が 2 等分するとき，定数 $a$ の値を求めよ。ただし, $0<a<3$ とする。

面積計算の注意点

xy 平面内の領域 x^{2}+y^{2} \leqq 2,|x| \leqq 1 で, 曲線 C: y=x^{3}+x^{2}-x の上側にある部分の面積 S を求めよ。\n[京都大]

放物線 $y=-x^{2}+x$ と点 \( (0,0) \) における接線，点 \( (2,-2) \) における接線により囲まれる図形の面積を求めよ。 p. 412 EX 155

曲線 $x=y^{2}$ と $y$ 軸，および直線 $y=2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

練習 媒介変数 \ t \ によって, \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) と表される曲線と，y軸で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ。

次の問題を解きます。\\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) と表される曲線と， \ y \ 軸で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ.

数学 \nよって、 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S \ とすると \nS =S_{1}+S_{2}-S_{3}=6 \\sqrt{3}+(\sqrt{6}+\\sqrt{2})-\\frac{3(\\sqrt{6}-\\sqrt{2})}{2} \\ \\frac{5 \\sqrt{2}+12 \\sqrt{3}-\\sqrt{6}}{2} \n\n3 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ を直交座標で表すと \\mathrm{A}(3,3 \\sqrt{3}), \\mathrm{B}(-2,2 \\sqrt{3}), \\mathrm{C}(-\\sqrt{2},-\\sqrt{2}) \n\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(-5, -\\sqrt{3}\\right), \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(-\\sqrt{2}-3,-\\sqrt{2}-3 \\sqrt{3}) \nS=\\frac{1}{2}|-5(-\\sqrt{2}-3 \\sqrt{3})-(-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2}-3)| \\ \\frac{5 \\sqrt{2}+12 \\sqrt{3}-\\sqrt{6}}{2}

次の曲線または直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。ただし. (2) の a は 0 < a < 1 を満たす定数とする。 (1) y = √[3]{x²}, y = |x| (2) y = |x/(x+1)|, y = a 〔(2) 早稲田大〕

343\n\\(\n=4 \\int_{0}^{\\sqrt{3}}\\left(3 t^{2}-t^{4}\\right) d t=4\\left[t^{3}-\\frac{t^{5}}{5}\\right]_{0}^{\\sqrt{3}}=\\frac{24 \\sqrt{3}}{5}\n\\)\n(3)\n\ 2 x^{2}-2 x y+y^{2}=4 \ から\n\$\\\ny^{2}-2 x y+2 x^{2}-4=0\\$ゆえに\n\\( y=x \\pm \\sqrt{4-x^{2}}(-2 \\leqq x \\leqq 2) \\).\n図から，面積は\\n\\begin{aligned}\nS & =\\int_{-2}^{2}\\left\\{x+\\sqrt{4-x^{2}}\\right. \\\\\\\n& =2 \\int_{-2}^{2} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\\\\\\n& =2 \\cdot \\frac{\\pi \\cdot 2^{2}}{2}=4 \\pi\n\\end{aligned}\n\\.\n\\(\n\\begin{\overlineray}{l}\nC_{1}: y=x+\\sqrt{4-x^{2}} \nC_{2}: y=x-\\sqrt{4-x^{2}}\n\\.\n\\(path\\( \left\\\overlinerow C_{1} \ は各 \ x \ 座標に対し t 半円 \ y=\\sqrt{4-x^{2}} \ と 直線 \ y=x \ の \ y \ 座標の和 を考えてかく。 \ C_{2} \ も同様に, 面積が求められる 程度の図で十分。\n\\) 綀習\n244 曲線 \{\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t\\end{\overlineray}\\(0 \\leqq t \\leqq \\pi\ }\\right.\\) と \ x \ 軸および直線 \ x=\\pi \ で囲まれる部分の面積 \ S \ を求めよ。〔筑波大〕\n\\{(0 \\leqq t \\leqq \\pi \\)\n{\ y=0 \ となる \ t \ の値はまた，11範囲においては，常に \ y \\geqq 0 \ である。 \ x=t-\\sin t \から\\\nd x=(1-\\cos t) d t\\}\n

接する2曲線と面積を求めなさい。

数学 $\mathbb{I}$\n総合\n55\n座標平面において，媒介変数 $t$ を用いて \( \left\\{\begin{array}{l}x=\cos 2 t \\ y=t \sin t\end{array}(0 \leqq t \leqq 2 \pi)\right. \) と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。\n〔東京大〕

練習\n・251\n上の例題で与えられた面積の公式を利用して, 極方程式 \( r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi) \) で表される曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる領域の面積を求めよ。

次の図形の面積を求めよ。(2) 曲線 y² = (x + 3)x² で囲まれた図形

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (2) y=√x, y 軸, y=2

台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ の最大值を求めよ。$\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$, $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\mathrm{CD}=a, \mathrm{BC}>a$ を満たしているとき。

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (1) x=-1-y^{2}, y=-1, y=2, y 軸

次の点が形成する三角形の面積を求めなさい： 点P = (1, 1), 点Q = (4, 5)、点R = (7, 2)。

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (1) y=√x, x 軸, x=1, x=2

古代ギリシャの方法を用いて, 面積や体積の計算をしていました。

三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。

一辺が10cm、もう一辺が15cmの二等辺三角形の面積を計算してください。

百円玉がタイルに収まる確率 1 辺が 3 cm の正方形のタイルをすき間なく敷き詰めた広い床 の上に，百円玉（直径は 2.2 cm） を投げるとき， 1 枚のタイル 上に完全に収まる確率について考えてみよう。\n\n百円玉の位置は中心Oの位置で決まるから，1枚のタイルABCD 上にOが落ちる場合を考える。百円玉が正方形のタイルABCD 上に収まるというのは, 図 [1] からもわかるように, 中心 Oが各辺から 1.1 cm (半径) 以上離れている場合である。それより近いと, 円O′ のように辺と交わって収まらない。したがって, タイル内に収まるのは, Oが図 [2] の赤い部分 PQRS に入る場合である。さて, その確率Pは全体の場合収まる場合Oが正方形ABCD内にあるOが正方形PQRS内にあると考えれば, P=正方形 PQRS の面積正方形 ABCD の面積いう式で表されると判断してよいであろう。 これは, これまで学んできた, 根元事象の個数が有限である場合の確率とは異なり, 起 こりうる可能性が無限にある事象の確率であることに注意したい。一般に，ある図形Dで一様に起こりうる事柄があるとき，Dに含まれる図形Eにおいて 起こる事象Eの確率P(E)はP(E)=m(E)m(D)で定義される。ここで, m(D), m(E) は, それぞれ図形 D, E の大きさ(曲線ならその長さ, 平面図形なら その面積）を表すとする。このような確率を幾何学的確率という。\n\nなお，上の例において，百円玉がタイルABCD に収まる確率は(3-2 × 1.1)^{2}3^{2}=0.649=0.071 \cdotsつまり，百円玉を投げて1枚のタイルに完全に収まる確率は約 7 % で, なかなか難しいことといえる。

平面上の点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ が同一直線上にないとき, それらを 3 頂点とする三角形の面積を $\triangle \mathrm{PQR}$ で表す。また, $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ が同一直線上にあるときは, $\triangle \mathrm{PQR}=0$ と する。 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ を平面上の 3 点とし, $\triangle \mathrm{ABC}=1$ とする。この平面上の点 \( \mathrm{X} が 2 \leqq \triangle \mathrm{ABX}+\triangle \mathrm{BCX}+\triangle \mathrm{CAX} \leqq 3 を満たしながら動くとき, Xの動きうる範囲の面積を求めよ。\n[東京大]

例題 106 円に內接する四角形の面積 (2)\n円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ で, $\mathrm{AB}=5, \mathrm{BC}=4, \mathrm{CD}=4, \mathrm{DA}=2$ であるとき, 四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ。

三角形の面積について教えてください。

台形 DFGE の面積は 479 \[\begin{aligned} \triangle \mathrm{EBG}-\triangle \mathrm{DBF} & =2^{2} \triangle \mathrm{ABC}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \triangle \mathrm{ABC} \ & =\frac{7}{4} \end{aligned}\] $\mathrm{X}$ が $D_{3}, D_{5}$ にあるときも同様である。 [3] Xが $D_{2}$ にあるとき $\triangle \mathrm{ABX}+\triangle \mathrm{BCX}+\triangle \mathrm{CAX}=2 \triangle \mathrm{BCX}-\triangle \mathrm{ABC}$ したがって, (1) から $2 \leqq 2 \triangle \mathrm{BCX}-1 \leqq 3$ すなわち $\quad \frac{3}{2} \leqq \triangle \mathrm{BCX} \leqq 2$ ここで, 直線 $\mathrm{AX}$ と直線 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{Z}$ とすると $\begin{aligned} & \frac{Z X}{Z A}=\frac{\triangle B C X}{\triangle A B C}=\triangle B C X \\ \text { よって } \quad & \frac{3}{2} \leqq \frac{Z X}{Z A} \leqq 2 \end{aligned}$ ゆえに, 半直線 $\mathrm{BA}$ 上に $\mathrm{BH}=\frac{3}{2} \mathrm{BA}, \mathrm{BI}=2 \mathrm{BA}$ となるように 2 点 $\mathrm{H}, \mathrm{I}$ をとり, 半直線 $\mathrm{CA}$ 上に $\mathrm{CJ}=\frac{3}{2} \mathrm{CA}, \mathrm{CK}=2 \mathrm{CA}$ となるように 2 点 $\mathrm{J}, \mathrm{K}$ を とると, Xの動きうる範囲は, 台形 HIKJの周と 内部である。 台形 HIKJ の面積は जिती 総 含 罡 \[\begin{aligned} \triangle \mathrm{AIK}-\triangle \mathrm{AHJ} & =\triangle \mathrm{ABC}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \triangle \mathrm{ABC} \\ & =\frac{3}{4} \end{aligned}\] $\mathrm{X}$ が $D_{4}, D_{6}$ にあるときも同様である。 [1], [2], [3] から, X の動きうる範囲は, 右の図の斜線部分のようになる。ただし，境界線を含む。 したがって, 求める面積は $\frac{7}{4} \times 3+\frac{3}{4} \times 3=\frac{15}{2}$

(2) $\angle \mathrm{C}$ が鋭角のとき, $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積を求めよ。

四角形の面積を求める方法を説明しなさい。

通過領域の面積

面積に関する種々の問題

次の曲線や直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-2 x, x$ 軸, $x=3$\n(2) $y=x^{2}-x, y=-x^{2}+3 x+4$

曲線 \ y=\\left|x^{2}-1\\right| \ と直線 \ y=3 \ で囲まれた部分の面積を求めよ。

放物線y = -2x^2 + 1 と直線ABで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

139 $a$ は $0 \leqq a \leqq 1$ を満たす定数とする。放物線 $y=\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}$ を $C_{1}$ とし,放物線 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ を $C_{2}$ とする。実数 $a$ に対して, 2 直線 $x=a, x=a+1$ と $C_{1}, C_{2}$ で囲まれた図形を $D$ とし, 4 点 \( (a, 0),(a+1,0),(a+1,1) \), \( （ a, 1) \) を頂点とする正方形をRで表す。\n（1）図形 $D$ の面積 $S$ を求めよ。\n(2) 正方形 $R$ と図形 $D$ の共通部分の面積 $T$ を求めよ。\n(3) $T$ が最大となるような $a$ の値を求めよ。\n[類 センター試験]《基本例題 204, 発展例題 216

次のような扇形の弧の長さと面積を求めよ。 (ア)半径 2 , 中心角 $\frac{5}{4} \pi$ (イ) 半径 6 , 中心角 $60^{\circ}$

次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。\n(1) $y=-x^{2}+3 x+2, \quad y=x-1$\n(2) $y=x^{2}+1, \quad y=-x^{2}+x+4$

次の放物線と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (1) y=1-x^{2} (2) y=x^{2}+x-2 (3) y=2 x^{2}+x-1

放物線 y = x^2 - 2x と直線 y = -x + 2 で囲まれる図形Tの面積を求めよ。

曲線 \ y=x^{3}-4 x \ と曲線 \ y=3 x^{2} \ で囲まれた 2 つの図形の面積の和を求めよ。

95 三角形の両嫧 3 点 O(0,0), A(2,6), B(4,3) を頂点とする三角形 OAB の面積 S を求めよ。

TRAINING 95 3 直線 x-y=0 (1), 2x+y=9 (2), x-4 y=0 (3)によって作られた三角形の面積を求めよ。

次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ。\n\\ny=x^{2}-2 x, \\quad y=x^{2}+2 x-3, \\quad x=-1, \\quad x=0\n\

平面図形一長さ, 面積（2）おうぎ形の面積の合計は， 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(cm²) である。また，正三角形 8 個の面積の合計は, 3.9 × 8=31.2(cm²) だから, 太線で囲まれた部分の面積は, 65.94+31.2= 97.14(cm²) となる。

2019列目で色がぬられている部分の面積はあわせて何cm²ですか。

(2) 三角形MBPの面積は, 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54(cm²) だから， 三角すいF-MBP の体積は， 54 ✕ ÷ 3 = 18 ✕ (cm³) となる。 また，三角形MAQの面積は， 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24(cm²) であり，三角すいR-MAQの高さは， ✕

（1）底面は右の図(1)のようなる。ひし形ABCDの面積を 1 とすると, 4 つの三角形 ABD, CDB, DAC, BCAの面積はすべて, 1÷2=1/2 になる。すると，三角形AKNの面積は，1/2×1/(1+1)×1/(1+1)=1/8, 三角形CMLの面積は, 1/2×1/(1+2)×1/(1+2) =1/18, 三角形DNMと三角形BLKの面積は, 1/2×1/(1+1)×2/(2+1)=1/6 となるから, 四角形KLMNの面積は, 1- (1/8+1/18+1/6+1/6)=35/72 と求められる。よって, 四角柱ABCD-EFGH 高さを1とすると, 四角柱ABCD-EFGH と体積は, 1×1=1, 四角すいO-KLMNの体積は，35/72×1÷3=35/216 となるので，四角すいO-KLMNの 体積は，四角柱ABCD-EFGH の体積の，35/216÷1=35/216 (倍)とわかる。 O-KLMNも高さが半分のところで切られる。よって，切り口は四角形KLMNを1/2 に縮小したも のになるので，切り口の面積は四角形KLMNの面積の，1/2×1/2=1/4 (倍)とわかる。したがって、切り口の面積は、35/72×1/4=35/288 だから，ひし形 A B C D 面積の， 35/288÷1=35/288 (倍)と求められる。

(4) (2)で書いたグラフの下側(塗りつぶした台形部分)の面積を求めればよい。(3)で求めた値を用いて計算すると，60秒後までに移動した距離は， 20 × 60 ÷ 2 = 600(m), 60 秒後から120秒後までに移動した距離は， 20 ×(120-60)=1200(m)，120 秒後から停車する150秒後までに移動した距離は, 20 ×(150-120) ÷ 2 = 300(m) であるから, 求める距離は, 600 + 1200 + 300 = 2100(m) である。

図1の三角形ABCの角Bと三角形ACDの角Cは直角で, ・印がついた2つの角の大きさは等しいです。点Eは, 辺BCと辺ADを延ばして交わった点です。辺ABの長さは2cmで, 辺BCの長さは1cmです。(1) 三角形ACDの面積は何cm²ですか。

4 次の各問いに答えなさい。ただし, 図は正確とは限りません。\n（1）下の図 1 のように直角三角形 $\\mathrm{ABC}$ E $\\mathrm{AC}$ を 1 辺とする正方形と BCを 1 辺とする正方形を かき, 2 つの点 $\\mathrm{D}, \\mathrm{E}$ 直線で結びます。このとき, 三角形 $\\mathrm{CDE}$ の面積は何 $\\mathrm{cm}^{2}$ ですか。

2020 渋谷教育学園幕張中〈第 1 次〉 (18) 表２から1950年の時点では香川県よりも小さく, 面積が増加したことがわかります。その 他にも千葉県や東京都, 神奈川県, 愛知県などでは特に, 面積の顕著な増加が見られます。 これらの地域の面積が増加した理由について, 解答用紙のわく内で説明しなさい。ただし、都道府県の境界が変わったり，無人島が発見されたりすることは除きます。

接する2曲線の間の面積を求めなさい。