AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
幾何学と測定
平面幾何学 - 平面図形の面積と周囲
Q.01
次の平行四辺形の面積を求めなさい: AB = 2, CD = 2, BC = 5, \ \\angle B = 120° \
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半径 の円形の池の周りに, 同じ幅の花壇を造りたい。花壇の面積が 以上か つ 以下になるようにするには,花壇の幅をどのようにすればよいか。
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PR 次のような図形の面積を求めよ。\n(1) の四角形 \n(2) の四角形 \n(3) 1 辺の長さが 1 の正十二角形
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四角形ABCDの面積を求めよ。辺の長さはAB=5, BC=6, CD=5, DA=3であり、角度は∠ADC=120°である。
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76 (2) \\triangle \\mathrm{ABC} \ において, 次のものを求めよ。ただし, \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を S \ とする。 (1) A=120^{\\circ}, c=8, S=14 \\sqrt{3} \ のとき a, b \ (2) b=3, c=2,0^{\\circ}<A<90^{\\circ}, S=\\sqrt{5} \ のとき \\sin A, a \ (3) a=13, b=14, c=15 \ で, 頂点 \\mathrm{A} \ から対辺 \\mathrm{BC} \ に下ろした垂線の長さを h \ としたとき S, h \
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■ロンの公式 (発展事項)
\( \triangle \mathrm{ABC}\ ) の面積 \( S\ ) を, 3 辺の長さ \( a, b, c \ ) で表すことを考えると,次のようになる。
\[
\begin{aligned}
S & =\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} b c \sqrt{1-\cos ^{2} A}
& =\frac{1}{2} b c \sqrt{1-\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}\right)^{2}}
& =\frac{1}{2} b c \sqrt{\frac{(2 b c)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{(2 b c)^{2}}}
& =\frac{1}{2} b c \cdot \frac{1}{2 b c} \sqrt{(2 b c)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}
& =\frac{1}{4} \sqrt{\left\{2 b c+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\right\}\left\{2 b c-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\right\}}
& =\frac{1}{4} \sqrt{\left(b^{2}+2 b c+c^{2}-a^{2}\right)\left\{a^{2}-\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\right)\right\}}
& =\frac{1}{4} \sqrt{\left\{(b+c)^{2}-a^{2}\right\}\left\{a^{2}-(b-c)^{2}\right\}}
& =\frac{1}{4} \sqrt{\{(b+c+a)(b+c-a)\}\{(a+b-c)(a-b+c)\}}
\end{aligned}
\]
ここで, とおくと
\[
\begin{array}{l}
b+c-a=2(s-a), a+b-c=2(s-c), a-b+c=2(s-b)
\text { よって }
S=\frac{1}{4} \sqrt{2 s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-c) \cdot 2(s-b)}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{array}
\]
以上から, 次のヘロンの公式が成り立つ。
\( \triangle \mathrm{ABC}\ ) の面積 は
\[2 s=a+b+c \text { とすると } \quad S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
注意 ヘロンの公式には, 3 辺の長さを代入してすぐに三角形の面積を求めることができる,と いう利点があるが, 必ずしも計算がらくになるとは限らない。与えられた辺の長さによっ ては, 次ページの CHART \& GUIDEの1〜3の手順で面積を求める方がらくな場合も ある。ヘロンの公式の利用が有効なのは, が整数のときなど, 計算しやすいときである。
次のページからは, 図形をいくつかの三角形に分けるなどして, 線分の長さや面積を求める方法を学習しましょう。
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例題 135: 多角形の面積\n複雑な多角形の面積を求めるには、それを簡単な三角形や四角形に分割し、それぞれの面積を求めて合計する。
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三角形の面積: の面積を とする。
内接円の半径を とすると
\( S=\frac{1}{2} r(a+b+c) \)
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面積の等分 (1) a は 0<a<3 を満たす定数とする。放物線 y=-x^{2}+3 x と x 軸で囲まれた 部分の面積を直線 y=a x が 2 等分するとき, a の値を求めよ。 [類 岩手大]
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PR次の曲線, 直線と 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( y=x^{3}+3(0 \leqq x \leqq 1), y \) 軸, \n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0 \leqq x \leqq 5), x=0, x=5 \)
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EX \( \mathrm{A}(1,0) \) とする。点 が放物線 の の部分を動くとき, 線分 が通過してできる図形の面積を求めよ。\n[類 愛知工大]
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数学 I よって,右の図から求める面積 S は S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)
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放物線 \( y=-x(x-2) \) と 軸で囲まれた部分の面積が,直線 によって 2 等分されるとき,定数 の値を求めよ。ただし, とする。
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別解 S1, S2, S3 を図のようにとると, 求める面積 S は S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2
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次の図形の面積を求めよ。(1) a=10, B=30^{\circ}, C=105^{\circ} の \ \\triangle \\mathrm{ABC} \
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次のような \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積 S \ を求めよ。 (1) a=3, c=2 \\sqrt{2}, B=45^{\\circ} \ (2) a=6, \\quad b=5, \\quad c=4 \
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練習 次のような四角形 の面積 を求めよ ( は と の交点)。
(1) 平行四辺形 で,
(2) 平行四辺形 で,
(3) の台形 で,
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次のような四角形 の面積 を求めよ (O は と BD の交点)。\n(2) 163\n(1) 平行四辺形 で, \n(2) 平行四辺形 で, \n(3) の台形 で, \\mathrm{BC}=9, \\mathrm{CD}=8, \\mathrm{CA}=4 \\sqrt{7}, \\angle \\mathrm{D}=120^{\\circ} \
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数学 I\n\n であるから \( \quad x=(\\sqrt{2}-1) r \)四角形 AMON の面積は\n\n2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}\nよって, 求める正八角形の面積は\n\n8(\\sqrt{2}-1) r^{2}\n\n\\begin{aligned}\n\\leftarrow \\sqrt{\\frac{(2-\\sqrt{2})^{2}}{2}} & =\\frac{2-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} \\\\\n& =\\sqrt{2}-1\n\\end{aligned}
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辺の長さが 5, 6, 7 の三角形を T とする。\n(1) T の面積を求めよ。\n(2) T を底面とする高さ 4 の直三角柱の内部に含まれる球の半径の最大値を求めよ。ただし, 直三角柱とは, すべての側面が底面と垂直であるような三角柱である。
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次の図形の面積を求めよ。(3) 円に内接し, \ \\mathrm{AB}=6, \\mathrm{BC}=\\mathrm{CD}=3, \\angle \\mathrm{B}=120^{\\circ} \ の四角形 \ \\mathrm{ABCD} \
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周囲の長さが 20 cm の長方形の面積を 9 cm² 以上, 21 cm² 以下にするには, どのようにすればよいか。
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3辺の長さが与えられたとき, の面積 を求めるには以下の手順で計算すればよい:\n(1) 余弦定理を用いて, を求める。\n(2) から, を求める。\n(3) 面積の公式 に代入する。\nこの面積 を,3辺の長さ で表した結果がヘロンの公式である。\nヘロンの公式 の面積 は\n とすると\n\[S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
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次の各場合において, の面積 を求めよ。 (2) 3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \) を頂点とするとき とする。
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湖題 139 媒介変数表示と面積 (1)\n曲線 \( \\left\\{\\begin{array}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{array}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. \\) と x \ 軸で囲まれた部分の面積 S \ を求めよ。
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重要例題 140 媒介変数表示と面積 (2)\n媒介変数 によって,\n\\[ x=2 \\cos t-\\cos 2 t, \\quad y=2 \\sin t-\\sin 2 t(0 \\leqq t \\leqq \\pi) \\]\n\nと表される右の図の曲線と, 軸で囲まれた図形の面積 を求めよ。
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例題 141 極方程式で表された曲線と面積\n極方程式 \( r=1+2 \cos \theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \) で表される曲線上の点と極 を結んだ線分が 通過する領域の面積を求めよ。
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(2)曲線 \(y=\tan x\left(0 \leqq x<\frac{\pi}{2}\right)\) と直線 , , 軸で囲まれた部分の面積 を求めよ。
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(1) 平面で, 半径 \( r(r \leqq 1) \) の円の中心が, 辺の長さが 4 の正方形の辺上を 1 周する時、この円が通過する部分の面積 \( S(r) \) を求めよ。
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楝習 (1) 3 点 \\( \\mathrm{A}(1,1,1), \\mathrm{B}(-1,2,3), \\mathrm{C}(a,-1,4) \\) がある。\n38 (ア) \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積 \\( S(a) \\) を求めよ。\n(T) \ a \ がすべての実数の範囲を動くとき, \\( S(a) \\) の最小値を求めよ。\n(2) 3 点 \\( \\mathrm{A}(2,3,1), \\mathrm{B}(1,5,-2), \\mathrm{C}(4,4,0) \\) がある。 \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=\\vec{c} \ のとき, \ \\vec{b}+t \\vec{c} \ と \ \\vec{c} \ のなす角が \ 60^{\\circ} \ となるような \ t \ の値を求めよ。
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次の曲線,直線と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。
(1) y=x^2+x-2
(2) y=-2x^2-3x+2
(3) y=x^2-4x-5 (x ≦ 4), x=-2, x=4
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EX xy 平面内の領域 x^{2}+y^{2} ≤ 2,|x| ≤ 1 で、曲線 C: y=x^{3}+x^{2}-x の上側にある部分の面積 S を求めよ。
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三角形の面積\n3 点 \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \), \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) を頂点とする三角形の面積は
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放物線 \( y=-x(x-2) \) と 軸で囲まれた図形の面積が,直線 によって 2 等分されるとき, 定数 の値を求めよ。ただし, とする。
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放物線 \( y=x(3-x) \) と 軸で囲まれた図形の面積を,直線 が 2 等分するとき,定数 の値を求めよ。ただし, とする。
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xy 平面内の領域 x^{2}+y^{2} \leqq 2,|x| \leqq 1 で, 曲線 C: y=x^{3}+x^{2}-x の上側にある部分の面積 S を求めよ。\n[京都大]
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放物線 と点 \( (0,0) \) における接線,点 \( (2,-2) \) における接線により囲まれる図形の面積を求めよ。 p. 412 EX 155
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練習 媒介変数 \ t \ によって, \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) と表される曲線と,y軸で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ。
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次の問題を解きます。\\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) と表される曲線と, \ y \ 軸で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ.
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数学 \nよって、 \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ の面積を \ S \ とすると \nS =S_{1}+S_{2}-S_{3}=6 \\sqrt{3}+(\sqrt{6}+\\sqrt{2})-\\frac{3(\\sqrt{6}-\\sqrt{2})}{2} \\ \\frac{5 \\sqrt{2}+12 \\sqrt{3}-\\sqrt{6}}{2} \n\n3 点 \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ を直交座標で表すと \\mathrm{A}(3,3 \\sqrt{3}), \\mathrm{B}(-2,2 \\sqrt{3}), \\mathrm{C}(-\\sqrt{2},-\\sqrt{2}) \n\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(-5, -\\sqrt{3}\\right), \\quad \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(-\\sqrt{2}-3,-\\sqrt{2}-3 \\sqrt{3}) \nS=\\frac{1}{2}|-5(-\\sqrt{2}-3 \\sqrt{3})-(-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2}-3)| \\ \\frac{5 \\sqrt{2}+12 \\sqrt{3}-\\sqrt{6}}{2}
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次の曲線または直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。ただし. (2) の a は 0 < a < 1 を満たす定数とする。
(1) y = √[3]{x²}, y = |x|
(2) y = |x/(x+1)|, y = a
〔(2) 早稲田大〕
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343\n\\(\n=4 \\int_{0}^{\\sqrt{3}}\\left(3 t^{2}-t^{4}\\right) d t=4\\left[t^{3}-\\frac{t^{5}}{5}\\right]_{0}^{\\sqrt{3}}=\\frac{24 \\sqrt{3}}{5}\n\\)\n(3)\n\ 2 x^{2}-2 x y+y^{2}=4 \ から\n\ゆえに\n\\( y=x \\pm \\sqrt{4-x^{2}}(-2 \\leqq x \\leqq 2) \\).\n図から,面積は\\n\\begin{aligned}\nS & =\\int_{-2}^{2}\\left\\{x+\\sqrt{4-x^{2}}\\right. \\\\\\\n& =2 \\int_{-2}^{2} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\\\\\\n& =2 \\cdot \\frac{\\pi \\cdot 2^{2}}{2}=4 \\pi\n\\end{aligned}\n\\.\n\\(\n\\begin{\overlineray}{l}\nC_{1}: y=x+\\sqrt{4-x^{2}} \nC_{2}: y=x-\\sqrt{4-x^{2}}\n\\.\n\\(path\\( \left\\\overlinerow C_{1} \ は各 \ x \ 座標に対し t 半円 \ y=\\sqrt{4-x^{2}} \ と 直線 \ y=x \ の \ y \ 座標の和 を考えてかく。 \ C_{2} \ も同様に, 面積が求められる 程度の図で十分。\n\\) 綀習\n244 曲線 \{\\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x=t-\\sin t \\\\ y=1-\\cos t\\end{\overlineray}\\(0 \\leqq t \\leqq \\pi\ }\\right.\\) と \ x \ 軸および直線 \ x=\\pi \ で囲まれる部分の面積 \ S \ を求めよ。〔筑波大〕\n\\{(0 \\leqq t \\leqq \\pi \\)\n{\ y=0 \ となる \ t \ の値はまた,11範囲においては,常に \ y \\geqq 0 \ である。 \ x=t-\\sin t \から\\\nd x=(1-\\cos t) d t\\}\n
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数学 \n総合\n55\n座標平面において,媒介変数 を用いて \( \left\\{\begin{array}{l}x=\cos 2 t \\ y=t \sin t\end{array}(0 \leqq t \leqq 2 \pi)\right. \) と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。\n〔東京大〕
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練習\n・251\n上の例題で与えられた面積の公式を利用して, 極方程式 \( r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi) \) で表される曲線 と 軸で囲まれる領域の面積を求めよ。
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次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (1) x=-1-y^{2}, y=-1, y=2, y 軸
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次の点が形成する三角形の面積を求めなさい:
点P = (1, 1), 点Q = (4, 5)、点R = (7, 2)。
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百円玉がタイルに収まる確率 1 辺が 3 cm の正方形のタイルをすき間なく敷き詰めた広い床 の上に,百円玉(直径は 2.2 cm) を投げるとき, 1 枚のタイル 上に完全に収まる確率について考えてみよう。\n\n百円玉の位置は中心Oの位置で決まるから,1枚のタイルABCD 上にOが落ちる場合を考える。百円玉が正方形のタイルABCD 上に収まるというのは, 図 [1] からもわかるように, 中心 Oが各辺から 1.1 cm (半径) 以上離れている場合である。それより近いと, 円O′ のように辺と交わって収まらない。したがって, タイル内に収まるのは, Oが図 [2] の赤い部分 PQRS に入る場合である。さて, その確率Pは全体の場合収まる場合Oが正方形ABCD内にあるOが正方形PQRS内にあると考えれば, P=正方形 PQRS の面積正方形 ABCD の面積いう式で表されると判断してよいであろう。 これは, これまで学んできた, 根元事象の個数が有限である場合の確率とは異なり, 起 こりうる可能性が無限にある事象の確率であることに注意したい。一般に,ある図形Dで一様に起こりうる事柄があるとき,Dに含まれる図形Eにおいて 起こる事象Eの確率P(E)はP(E)=m(E)m(D)で定義される。ここで, m(D), m(E) は, それぞれ図形 D, E の大きさ(曲線ならその長さ, 平面図形なら その面積)を表すとする。このような確率を幾何学的確率という。\n\nなお,上の例において,百円玉がタイルABCD に収まる確率は(3-2 × 1.1)^{2}3^{2}=0.649=0.071 \cdotsつまり,百円玉を投げて1枚のタイルに完全に収まる確率は約 7 % で, なかなか難しいことといえる。
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平面上の点 が同一直線上にないとき, それらを 3 頂点とする三角形の面積を で表す。また, が同一直線上にあるときは, と する。 を平面上の 3 点とし, とする。この平面上の点 \( \mathrm{X} が 2 \leqq \triangle \mathrm{ABX}+\triangle \mathrm{BCX}+\triangle \mathrm{CAX} \leqq 3 を満たしながら動くとき, Xの動きうる範囲の面積を求めよ。\n[東京大]
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例題 106 円に內接する四角形の面積 (2)\n円に内接する四角形 で, であるとき, 四角形 の面積 を求めよ。
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台形 DFGE の面積は
479
\[\begin{aligned}
\triangle \mathrm{EBG}-\triangle \mathrm{DBF} & =2^{2} \triangle \mathrm{ABC}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \triangle \mathrm{ABC} \
& =\frac{7}{4}
\end{aligned}\]
が にあるときも同様である。
[3] Xが にあるとき
したがって, (1) から
すなわち
ここで, 直線 と直線 の交点を とすると
ゆえに, 半直線 上に となるように 2 点 をとり, 半直線 上に となるように 2 点 を とると, Xの動きうる範囲は, 台形 HIKJの周と 内部である。
台形 HIKJ の面積は
जिती
総
含
罡
\[\begin{aligned}
\triangle \mathrm{AIK}-\triangle \mathrm{AHJ} & =\triangle \mathrm{ABC}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \triangle \mathrm{ABC} \\
& =\frac{3}{4}
\end{aligned}\]
が にあるときも同様である。
[1], [2], [3] から, X の動きうる範囲は, 右の図の斜線部分のようになる。ただし,境界線を含む。 したがって, 求める面積は
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曲線 \ y=\\left|x^{2}-1\\right| \ と直線 \ y=3 \ で囲まれた部分の面積を求めよ。
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139 は を満たす定数とする。放物線 を とし,放物線 を とする。実数 に対して, 2 直線 と で囲まれた図形を とし, 4 点 \( (a, 0),(a+1,0),(a+1,1) \), \( ( a, 1) \) を頂点とする正方形をRで表す。\n(1)図形 の面積 を求めよ。\n(2) 正方形 と図形 の共通部分の面積 を求めよ。\n(3) が最大となるような の値を求めよ。\n[類 センター試験]《基本例題 204, 発展例題 216
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次の放物線と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(1) y=1-x^{2}
(2) y=x^{2}+x-2
(3) y=2 x^{2}+x-1
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曲線 \ y=x^{3}-4 x \ と曲線 \ y=3 x^{2} \ で囲まれた 2 つの図形の面積の和を求めよ。
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95 三角形の両嫧 3 点 O(0,0), A(2,6), B(4,3) を頂点とする三角形 OAB の面積 S を求めよ。
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TRAINING 95 3 直線 x-y=0 (1), 2x+y=9 (2), x-4 y=0 (3)によって作られた三角形の面積を求めよ。
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次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ。\n\\ny=x^{2}-2 x, \\quad y=x^{2}+2 x-3, \\quad x=-1, \\quad x=0\n\
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平面図形一長さ, 面積(2)おうぎ形の面積の合計は, 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(cm²) である。また,正三角形 8 個の面積の合計は, 3.9 × 8=31.2(cm²) だから, 太線で囲まれた部分の面積は, 65.94+31.2= 97.14(cm²) となる。
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(2) 三角形MBPの面積は, 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54(cm²) だから, 三角すいF-MBP の体積は, 54 ✕ □ ÷ 3 = 18 ✕ □(cm³) となる。 また,三角形MAQの面積は, 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24(cm²) であり,三角すいR-MAQの高さは, □ ✕
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(1)底面は右の図(1)のようなる。ひし形ABCDの面積を 1 とすると, 4 つの三角形 ABD, CDB, DAC, BCAの面積はすべて, 1÷2=1/2 になる。すると,三角形AKNの面積は,1/2×1/(1+1)×1/(1+1)=1/8, 三角形CMLの面積は, 1/2×1/(1+2)×1/(1+2) =1/18, 三角形DNMと三角形BLKの面積は, 1/2×1/(1+1)×2/(2+1)=1/6 となるから, 四角形KLMNの面積は, 1- (1/8+1/18+1/6+1/6)=35/72 と求められる。よって, 四角柱ABCD-EFGH 高さを1とすると, 四角柱ABCD-EFGH と体積は, 1×1=1, 四角すいO-KLMNの体積は,35/72×1÷3=35/216 となるので,四角すいO-KLMNの 体積は,四角柱ABCD-EFGH の体積の,35/216÷1=35/216 (倍)とわかる。 O-KLMNも高さが半分のところで切られる。よって,切り口は四角形KLMNを1/2 に縮小したも のになるので,切り口の面積は四角形KLMNの面積の,1/2×1/2=1/4 (倍)とわかる。したがって、切り口の面積は、35/72×1/4=35/288 だから,ひし形 A B C D 面積の, 35/288÷1=35/288 (倍)と求められる。
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(4) (2)で書いたグラフの下側(塗りつぶした台形部分)の面積を求めればよい。(3)で求めた値を用いて計算すると,60秒後までに移動した距離は, 20 × 60 ÷ 2 = 600(m), 60 秒後から120秒後までに移動した距離は, 20 ×(120-60)=1200(m),120 秒後から停車する150秒後までに移動した距離は, 20 ×(150-120) ÷ 2 = 300(m) であるから, 求める距離は, 600 + 1200 + 300 = 2100(m) である。
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図1の三角形ABCの角Bと三角形ACDの角Cは直角で, ・印がついた2つの角の大きさは等しいです。点Eは, 辺BCと辺ADを延ばして交わった点です。辺ABの長さは2cmで, 辺BCの長さは1cmです。(1) 三角形ACDの面積は何cm²ですか。
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4 次の各問いに答えなさい。ただし, 図は正確とは限りません。\n(1)下の図 1 のように直角三角形 E を 1 辺とする正方形と BCを 1 辺とする正方形を かき, 2 つの点 直線で結びます。このとき, 三角形 の面積は何 ですか。
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2020 渋谷教育学園幕張中〈第 1 次〉 (18) 表2から1950年の時点では香川県よりも小さく, 面積が増加したことがわかります。その 他にも千葉県や東京都, 神奈川県, 愛知県などでは特に, 面積の顕著な増加が見られます。 これらの地域の面積が増加した理由について, 解答用紙のわく内で説明しなさい。ただし、都道府県の境界が変わったり,無人島が発見されたりすることは除きます。