関数と解析 - 有理関数と不等式 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

(3) $r$ は $(p$ または \( q) \) であるための土 $\square$ 。 \n\n[選択肢] (0) 必要十分条件である \n (1) 必要条件であるが, 十分条件ではない \n (2) 十分条件であるが, 必要条件ではない \n (3) 必要条件でも十分条件でもない

基本 64 | 関数の値域，関数の最大値・最小値（基本）

関数の値域を理解して, 例題 64 を攻略！

平方根を含む式の計算について説明せよ。\n(1) $a \geqq 0$ のとき \( (\sqrt{a})^{2}=a \), \(-\sqrt{a})^2 = a \), $\sqrt{a} \geqq 0$\n(2) $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}$\n(3) $\sqrt{k^{2} a}=k \sqrt{a}$\n(4) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

48 (1) $x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5}$ のとき最小値 $\\frac{9}{5}$ （2） $x=0, y=\\frac{1}{2}$ のとき最大値 1 , $x=\\frac{1}{4}, y=\\frac{1}{8}$ のとき最小値 $\\frac{1}{4}$

命題の逆、対偶、裏について説明しなさい。

x>0 のとき, x+\frac{16}{x} の最小値を求めよ。

$a, b, x, y$ が正の数で $a+b=1$ のとき, $\sqrt{a x+b y} \geqq a \sqrt{x}+b \sqrt{y}$ が成り立つことを示せ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。

[問題] $a>0$ のとき, $2a+1+\frac{3}{a+1}$ の最小値を求めよ。

PRACTICE \ 39^{\\circ} \\n\ a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{a_{n}-4}{a_{n}-3} \ で定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ がある。\n(1) \ \\quad b_{n}=\\frac{1}{a_{n}-2} \ とおくとき, \ b_{n+1} \ を \ b_{n} \ で表せ。ただし，すべての自然数 \ n \ に対して \ a_{n} \\neq 2 \ である。\n（2）一般項 \ a_{n} \ を求めよ。

集合と必要条件・十分条件の関係を説明してください。

次の命題が真であることを証明しなさい。\n\n3. $p \Leftrightarrow q \text { が真 } \Leftrightarrow P=Q$

集合とそれに関連する用語（部分集合、相等、共通部分、和集合、補集合）を説明してください。

命題の逆, 対偶, 裏\n\n命題の真偽とその対偶の真偽は一致する。

(4) $y=|3 x-6|$ のグラフと $y=2 x+1$ のグラフが同じ座標平面上に表されたものとして最も適当なものを，次の０～７のうちから1つ選べ。

次の双曲線の性質を説明してください。x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)

関数の式は, $y=\frac{k}{x-2}+1$ の形に変形できて, グラフが点 （1，2）を通るから, $2=-k+1$ より $k=-1$

(1) \( f(f(t))=\frac{a f(t)}{1+a f(t)}=\frac{a \cdot \frac{a t}{1+a t}}{1+a \cdot \frac{a t}{1+a t}}=\frac{a^{2} t}{1+a(a+1) t} \)\n\( f(f(t))=f(t) \) が成り立つとき \( \frac{a^{2} t}{1+a(a+1) t}=\frac{a t}{1+a t} \)\n分母を払って整理すると \( \quad a t(a t-a+1)=0 \)\n$a>1$ であるから $\quad t=0$ または $t=\frac{a-1}{a}$\n$t=0$ のとき \( \quad f(0)=0 \)\n$t=\frac{a-1}{a}$ のとき \( \quad f\left(\frac{a-1}{a}\right)=\frac{a \cdot \frac{a-1}{a}}{1+a \cdot \frac{a-1}{a}}=\frac{a-1}{a} \)\nよって, \( f(t)=t \) を満たす。

次の定積分を求めよ。\n(2) \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \

関数 f(x), g(x) が定義域の x の値 α で連続ならば、次の関数も x=α で連続であることを証明しなさい: 1. k f(x) + l g(x) (k, l は定数) 2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x) (g(α) ≠ 0)

164 (1) u=\frac{V}{2 \pi} \cdot \frac{1-2 h+\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}

f(g(x)) = g(f(x)) を満たす関数

3 無理関数のグラフと定義域、値域

演習41 III: \\( g\\left(\\frac{1}{2}\\right) = α, g\\left(\\frac{1}{3}\\right) = β \\) を考え、\ α + β = \\frac{\pi}{4} \ を示せ。

(イ) $0<x<1$ のとき, $1<1+x^{4}<1+x^{2}$ であるから\n\n\\n\\frac{1}{1+x^{2}}<\\frac{1}{1+x^{4}}<1\n\\n\nThus,\n\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{1+x^{2}}<\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{1+x^{4}}<\\int_{0}^{1} d x\.\nBy setting $x=\\tan \theta$\n\n\\nd x=\\frac{1}{\cos ^{2} \\theta} d \\theta\n\\n\nThe relationship between $x$ and $\\theta$:\n\n$x$:\n$0 \\rightarrow 1$\n\n$\\theta$:\n$0 \\rightarrow \\frac{\pi}{4}$\n\nWe have:\n$\int_{0}^{1} \\frac{d x}{1+x^{2}}=\\int_{0}^{\\frac{\pi}{4}} \\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta=\\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d \\theta=\\frac{\pi}{4}$\n\nAs $\ \int_{0}^{1} d x=1$.\nThus, $\ \frac{\pi}{4}<\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{1+x^{4}}<1$

1 関数 \( f(x)=\\frac{a x+b}{x+c} \) が次の条件 (A), (B) を満たすとき, 定数 $a, b, c$ の値を求めよ。\n(A) 曲線 \( y=f(x) \) は直線 $y=x+1$ と 2 点で交わり, その 2 つの交点の $x$ 座標は絶対値が等しい。\n(B) 曲線 \( y=f(x) \) と $x$ 軸および $y$ 軸との交点は, ともに直線 $y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$ 上に ある。\n[慶応大]

次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=\frac{1}{2 x}$\n(2) $y=\frac{3}{x}-1$\n(3) $y=\frac{-2}{x-1}$

次の定積分の値を求めなさい。\n\[(1)\]$y = \frac{1}{\sqrt{x}}から、\quad x = \frac{1}{y^2}$\n\frac{1}{2} \leqq y \leqq 1 \で、x > 0 \です。\]\n求める定積分は、\n\[S = \int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{d y}{y^2}=\left[-\frac{1}{y}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}\nとなります。

関数 $y=\frac{9 x-10}{6 x-4}$ のグラフをかけ。また漸近線を求めよ。

分数関数の合成関数 f_{n}(x)

y = \frac{9x-10}{6x-4} = \frac{9x-10}{2(3x-2)} = \frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3x-2} よって、求めるグラフは y = \frac{-2/3}{x} のグラフを x 軸方向に 2/3, y 軸方向に 3/2 だけ平行移動したもので、グラフは右の図。 漸近線は2直線 x=2/3, y=3/2

練習\n5 $\square$ $\Rightarrow$ 本冊 $p .282$\n(1) \( y=\frac{2 x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}(x \geqq 0) \)\n(1)の値域は $\quad-1 \leqq y<2$\n(1)を $x$ について解くと\n\[x=-\frac{y+1}{y-2}(-1 \leqq y<2)\]\nよって, 求める逆関数は, $x$ と $y$ を入れ替えて\n\[y=-\frac{x+1}{x-2} \quad(-1 \leqq x<2)\]

練習12: 次の不等式を証明せよ。 $$ \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}} \leqq \sqrt{2}|x-y| $$ 逆の不等式も同時に示す。 $$ -\{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\} \leqq \sqrt{2}|x-y| $$

例 36 近似式と近似値 (1) $|x|$ が十分小さいとき, \( f(x)=\frac{1}{1+x} \) の 1 次の近似式, および 2 次の近似式を作れ。 (2) \( \cos (a+h) \) の 1 次の近似式を用いて, $\cos 61^{\circ}$ の近似値を求めよ。ただし, $\sqrt{3}=1.732, \pi=3.142$ として小数第 3 位まで求めよ。

分数関数 \( f(x)=\\frac{a x-b}{x-2} \) がある。ただし， $b \\neq 2 a$ である。 $0 \\leqq x \\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対して, \( 0 \\leqq f(x) \\leqq 1 \) で, \( f(f(x))=x \) であるという。定数 $a, b$ の値を求めよ。

定積分と不等式 基本事項 1 定積分と不等式 関数 f(x) が区間 [a, b] で連続で, 常に f(x) ≥ 0 である とき, y=f(x) のグラフと x 軸および 2 直線 x=a, x=b で囲まれた部分の面積を考えると，次のことが成り立つ。 区間 [a, b] で f(x) ≥ 0 ならば ∫(a to b) f(x) dx ≥ 0 等号は, 常に f(x)=0 であるときに限って 成り立つ。 このことから，連続な関数について次のことが導かれる。 区間 [a, b] で f(x) ≥ g(x) ならば ∫(a to b) f(x) dx ≥ ∫(a to b) g(x) dx 等号は, 常に f(x)=g(x) であるときに限って成り立つ。

一一 数学 II x=-1 のとき f(-1)=-a x=1 のとき f(1)=a x<-1,1<x のとき f(x)=a/x

(1) \( y=4+\\frac{5}{x}(x>0) とすると, y の値域は $y>4$\n$y=4+\\frac{5}{x}$ を $x$ について解くと, $y>4$ から $\\quad x=\\frac{5}{y-4}$ よって, 逆関数 \( g(x) \) は \( \\quad g(x)=\\frac{5}{x-4} \\quad(x>4) \\) また, \( y=f(x) \) のグラフを $x$ 軸方向に $a, y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した曲線の方程式は\n$y-b=4+\\frac{5}{x-a} \\quad \\text { すなわち } \\quad y=\\frac{5}{x-a}+b+4$\nこの曲線が \( y=g(x) \) のグラフと一致するとき

5 関数 y=3√(x-2) のグラフと, この関数の逆関数のグラフは共有点をもつ。この共有点の座標を求めよ。

1 分数関数のグラフと漸近線, 値域

36. 次の関数を近似値で求めよ。\n(1) 順に 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2\n(2) 0.485

y=\frac{2 x+9}{x+2}=\frac{5}{x+2}+2 \n y=-\frac{x}{5}+k \n とすると, 関数 (1)のグラフと直線 (2) の共有点の個数が, 与えられた方程式 の害数解の個数に一致する。\n \n \frac{2 x+9}{x+2}=-\frac{x}{5}+k から 5(2 x+9)=-x(x+2)+5 k(x+2)\n 整理して \n x^{2}+(12-5 k) x+5(9-2 k)=0 判別式を D とすると\n D=(12-5 k)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5(9-2 k) =25 k^{2}-80 k-36 =(5 k+2)(5 k-18)\n D=0 とすると k=-\frac{2}{5}, \frac{18}{5} このとき, 関数 (1)のグラフと直線 (2)は接する。 よって, 求める実数解の個数は, 図から k<-\frac{2}{5}, \frac{18}{5}<k のとき 2 個； k=-\frac{2}{5}, \frac{18}{5} のとき 1 個: -\frac{2}{5}<k<\frac{18}{5} のとき 0 個

練習 次の式を簡単にせよ。 (1) $\frac{x-1+\frac{2}{x+2}}{x+1-\frac{2}{x+2}}$ (2) $\frac{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}}$ (3) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x+1}}}$

EX $x$ 軸上の点 \( (a, 0) \) から, 関数 $y=\frac{x+3}{\sqrt{x+1}}$ のグラフに接線が引けるとき, 定数 $a$ の値の範囲を 求めよ。

(1) 関数 $y=\frac{3 x+17}{x+4}$ のグラフは, 関数 $y=\frac{x+8}{x+3}$ のグラフをどのように平行移動 したものか。\n(2) 関数 $y=\frac{a x+b}{x+c}$ のグラフが, 2 直線 $x=3$ と $y=1$ を漸近線とし, 更に点（2，2）を通るとき, 定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

111 (1) 収束して, 和は \ \\frac{3}{2} \

実数 $x$ に対して $[x]$ は $n \leqq x<n+1$ を満たす整数 $n$ を表すとき, 関数 \( f(x)=([x]+a)(b x-[x]) \) が $x=1$ と $x=2$ で連続となるように定数 $a$, $b$ の值を定めよ。〔類 神戸商船大〕

次の曲線に, 与えられた点 P から引いた接線の方程式と, そのときの接点の座標を求めよ。\n(イ) \( y=\frac{1}{x}+1, P(1,-2) \)

(1) y=\frac{x^{3}}{x^{2}-4} の漸近線の方程式を求めよ。

次の関数のグラフをかけ。また, 漸近線を求めよ。\n(ア) $y=\frac{3 x+5}{x+1}$\n(イ) $y=\frac{-2 x+5}{x-3}$\n(ウ) $y=\frac{x-2}{2 x+1}$\n(2)（1）の（ア），(イ）の各関数において，定義域が $2 \\leqq x \\leqq 4$ のとき，値域を求めよ。

（1）次の関数のグラフをかけ。また, 漸近線を求めよ。(ア) y=(3x+5)/(x+1) (イ) y=(-2x+5)/(x-3) (ウ) y=(x-2)/(2x+1)（2）（1）の（ア），（イ）の各関数において，定義域が 2 ≤ x ≤ 4 のとき，値域を求めよ。

次の関数に最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n(1) $y=\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3}$\n〔類 関西大〕

関数 $y=\frac{4 x-3}{x-2}$ のグラフと直線 $y=5 x-6$ の共有点の座標を求めよ。

次の関数の連続性について調べよ。なお,(1)では関数の定義域もいえ。\n(1) \( f(x)=\\frac{x+1}{x^{2}-1} \\)\n(2) \ -1 \\leqq x \\leqq 2 \ で \\( f(x)=\\log _{10} \\frac{1}{|x|}(x \\neq 0), \\quad f(0)=0 \\)\n(3) \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ で \\( f(x)=[\\cos x] \\) ただし, [ ] はガウス記号。

次に、y=f(x)의 그래프와 직선 y=kの 교점의 수에 따라 방정식의 실수 해의 개수를 조사합니다。

(1) y=\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 (1), (2) から \frac{4x-3}{x-2}=5x-6 両辺に x-2 を掛けて 4x-3=(5x-6)(x-2) 整理して x^2-4x+3=0 ゆえに (x-1)(x-3)=0 よって x=1,3 (2)に代入して x=1 のとき y=-1, x=3 のとき y=9 したがって, 共有点の座標は (1, -1), (3, 9)

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{x^{3}+2 x}{x^{2}+1} d x$ (2) $\int \frac{x^{2}}{x^{2}-1} d x$ (3) $\int \frac{4 x^{2}+x+1}{x^{3}-1} d x$

関数 \( f(x)=\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} \) の逆関数を \( f^{-1}(x) \) とする。 \( y=f(x) \) のグラフと \( y=f^{-1}(x) \) のグラフの共有点の座標を求めよ。〔類 関東学院大〕

練習 -171曲線 (1) y=\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\sqrt{x^{2}-9} の漸近線の方程式を求めよ。

関数 $y=\frac{2 x+c}{a x+b}$ のグラフが点 \( \left(-2, \frac{9}{5} \right) \) を通り、2 直線 $x=-\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$ を漸近線にもつとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

曲線 \( C: y=\frac{1}{x}(x>0) \) 上の点 \( \mathrm{P}\left(t, \frac{1}{t}\right) \) における接線を $\ell_{t}$ とする。また, $\alpha, \beta$ は $0<\alpha<\beta$ を满たす定数とし、2 本の接線 $\ell_{\alpha}, \ell_{β}$ と曲線 $C$ で囲まれる図形を $D$ とする。\n(1) $D$ の面積を求めよ。\n(2) $\alpha<t<\beta$ のとき，$D$ のうち接線 $\ell_{t}$ の上側にある部分の面積 \( S(t) \) を最小にする $t$ を求めよ。

関数 $y=\sqrt{4-x^{2}}-x$ の最大値と最小値を求めよ。

次の関数は, [ ] で示された点において連続であるか,微分可能であるかを調べよ。\n(1) \( f(x)=|x-a|(a \) は実数の定数 \( )[x=a] \)\n(2) \( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\sin x & (x \\geqq 0) \\\\ x^{2}+x & (x<0)\\end{array}[x=0]\\right.\

EX ⑮6\n\ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ において, 関数 \\( f(x) \\) を \\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\) と定める。 ここで, \ a \ は \ 0<a<2 \ を満たす定数である。\n(1) \ t=\\sin x+\\cos x \ とおくとき, 関数 \\( f(x) \\) を \ t \ を用いて表せ。\n(2) (1) で求めた関数を \\( g(t) \\) とするとき, 関数 \\( g(t) \\) の最大値と最小値を求めよ。\n(3) 関数 \\( f(x) \\) が最大値, 最小値をとるときのそれぞれの \ x \ の値を求めよ。\n[香川大〕

(1) 関数 \ y=\\frac{2}{x+3} \ のグラフと直線 \ y=x+4 \ の共有点の座標を求めよ。\n(2) 不等式 \ \\frac{2}{x+3}<x+4 \ を解け。

\n定積分と不等式: 区間 \ [a, b] \ で, 常には \\( f(x) = g(x) \\) でないとき \\( f(x) \\geqq g(x) \\) なら\n\\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\quad (a < b) \\)\n

分数関数のグラフと漸近線, 値域 基本例題 73（1）関数 y=3x/(x-2) のグラフをかけ。また，漸近線を求めよ。（2）（1）において, 定義域が 4 ≤x ≤ 8 のとき, 値域を求めよ。

関数 $y=\frac{1}{x-2}-x$ のグラフの漸近線を求めよ。

(1) $xy$ 平面上の $y=\frac{1}{x}, y=ax, y=bx$ のグラフで囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし, $x>0, a>b>0$ とする。\n[信州大]\n（2）曲線 $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=1 （ x \geqq 0, y \geqq 0 ）$ と $x$ 軸， $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

次の関数のグラフをかけ。また，その定義域と値域を求めよ。\n(1) \ y=\\sqrt{2 x-4} \\n(2) \ y=\\sqrt{-x+3} \\n(3) \ y=-\\sqrt{3-2 x}+2 \

関数のいろいろな表し方と導関数

分数関数の決定

関数 $y=\frac{x^{2}-x+2}{x+1}$ の増減, グラフの凹凸, 漸近線を調べて, グラフの概形 をかけ。

実数 $a, b, c, d$ が $a d-b c \neq 0$ を満たすとき, 関数 \( f(x)=\frac{a x+b}{c x+d} \) について, 次の問いに答えよ。\n(1) \( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) を求めよ。\n(2) \( f^{-1}(x)=f(x) \) を満たし, \( f(x) \neq x \) となる $a, b, c, d$ の関係式を求めよ。

関数 \( y=\frac{(x+1)^{3}}{x^{2}} \) の堌減, グラフの凹凸, 漸近線を調べて, グラフの概形をかけ。

（2）漸近線の条件から，求める関数は $k , q$ を定数として \[ y=\frac{k}{x+3}+q(k \neq 0) \] と表される。このグラフが 2 点 \( (-2,3),(1,6) \) を通ること から $3=k+q, \quad 6=\frac{k}{4}+q$ これを解くと $\quad k=-4, \quad q=7$ これらをに代入して $y=\frac{-4}{x+3}+7 \quad \text { すなわち } \quad y=\frac{7 x+17}{x+3}$ $y=\frac{k}{x-p}+q$ のグラフの漸近線は, 2 直線 $x=p, \quad y=q$

双曲線 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ただし, 点 \( (-1,0) \) を除く

(1) \( f(x)=\frac{3-2x}{1+x}, g(x)=\frac{2x-3}{x-1} \) について, \( (g \circ f)(x) \) を求めよ。

3. 両軸に平行ではない漸近線 (y=a x+b) (1) f(x)=g(x)+a x+b, \lim _{x \rightarrow \pm \infty} g(x)=0 の形に式変形 例 2 の 例 の曲線について, y=\frac{1}{x-1}+x+1 と変形できるから \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\{y-(x+1)\}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1}{x-1}=0 よって, 直線 y=x+1 は漸近線である。

微分係数と導関数の計算\nA 46^{\\ominus} x \\neq 0 のとき f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}, x=0 のとき f(x)=0 である関数は, x=0 で連続であるが微分可能ではないことを証明せよ。

分数関数 y=\frac{a x+b}{c x+d}, y=\frac{k}{x-p}+q の形に変形する。漸近線が直線 x=p, y=q の直角双曲線。 y=\frac{k}{x} のグラフを x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動したグラフ。無理関数 y=\sqrt{a x+b}, y=\sqrt{a(x-p)} の形に変形する。軸が x 軸, 頂点が原点の放物線 y^{2}=a x の y \geqq 0 の部分である y=\sqrt{a x} のグラフを, x 軸方向に p=-\frac{b}{a} だけ平行移動したグラフ。この分数関数と無理関数のグラフを描いてください。

PR y=\frac{a x+b}{2 x+c} のグラフが点 (1,2) を通り, 2 直線 x=2, y=1 を漸近線とするとき, 定数 a, b, c の値を求めよ。 [奈良大]

1次分数変換 $w=\frac{z}{z+1}$ を次のステップを用いて証明せよ：\n(1) $z_1 = z + 1$ \n(2) $z_2 = \frac{1}{z_1}$ \n(3) $z_3 = -z_2$ \n(4) $w = z_3 + 1$

関数 (1)の定義域は $x \neq-\frac{p}{2}$, 値域は $y \neq \frac{1}{2}$ゆえに, (1)の逆関数の定義域は $\quad x \neq \frac{1}{2}$よって, 関数 (1) とその逆関数が一致するためには$-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$\nゆえに $\quad p=-1$このとき, (1)の逆関数は $y=\frac{x+4}{2 x-1}$ となり, 関数 (1) に一致 する。よって, 求める定数 $p$ の値は $\quad p=-1$

次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=\frac{1}{2 x}$\n(2) $y=\frac{3}{x}-1$\n(3) $y=\frac{-2}{x-1}$

次の関数のグラフをかけ。また，その定義域と値域を求めよ。 (1) y=\frac{2 x-1}{x-2} (2) y=\frac{-2 x-7}{x+3} (3) y=\frac{3 x+1}{2 x-4}

次の関数の増減，グラフの凹凸，漸近線を調べて，グラフの概形をかけ。\n(2) y=\\frac{x}{x^{2}+1}

関数 $y=\frac{a x+b}{x+c}$ のグラフが 2 直線 $x=3, y=1$ を漸近線とし, 更に点（２，2）を通るとき，定数 $a , b , c$ の値を求めよ。

基本利遠 153\n接線と曲線の間の面積\n$a>0$ とし, 座標平面上の点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) から曲線 $C: y=\frac{1}{x}$ に引いた接線 $\ell$ の 方程式を求めよ。また, 曲線 $C$ と接線 $\ell$, および直線 $x=a$ で囲まれた部分 の面積 $S$ を求めよ。\n[類 香川大]\n基本 68,152

関数 \( y=\frac{a x-a+3}{x+2}(a \neq 1) \) の逆関数がもとの関数と一致するとき, 定数 $a$ の値を求めよ。

関数 \( f(x)=\frac{p x+q}{x^{2}+3 x} \) が $x=-\frac{1}{3}$ で極値 -9 をとるように, 定数 $p, q$ の値 を定めよ。

次の媒介変数表示は, どのような曲線を表すか。\n\[ x=\frac{a\left(1+t^{2}\right)}{1-t^{2}} \] $\qquad$ (1), $y=\frac{2 b t}{1-t^{2}}$ $\qquad$ (2) \( (a>0, \quad b>0) \)

PRACTICE $68^{\\circ}$\n次の曲線に, 与えられた点から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。\n(1) \( y=\\sqrt{x},(-2,0) \)\n(2) \( y=\\frac{1}{x}+2,(1,-1) \)

練頨 次の不等式を証明せよ。 (1) $|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} \geqq \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ 等号は $\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$ のときのみ成立。 (2) \( |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} \geqq 3(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \quad \) 等号は $\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$ のときのみ成立。

次の関数 \( f(x) \) が，連続であるか不連続であるかを調べよ。ただし， $[x]$ は実数 $x$ を超えない最大の整数を表す。\n(1) \( f(x)=\\frac{x+1}{x^{2}-1} \\)\n(2) \( f(x)=\\log _{2}|x| \\)\n(3) \( f(x)=[\\sin x](0 \leqq x \leqq 2 \pi) \\)

基本例題 6 無理関数のグラフと値域\n（1）関数 $y=\sqrt{3-x}$ のグラフをかけ。また，その定義域と値域を求めよ。\n(2) 関数 \( y=\sqrt{2 x+4}+1 \quad(-1<x \leqq 1) \)のグラフをかき，その値域を求めよ。

逆関数 g(y) と元の関数 f(x) の関係性を説明せよ。

楕円 $\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1$ の曲線上に点 (x₁, y₁) があるときの接線の方程式を求めよ。

分数関数のグラフと漸近線、値域

双曲線 $\frac{x²}{a²} - \frac{y²}{b²} = 1$ の曲線上に点 (x₁, y₁) があるときの接線の方程式を求めよ。

関数 (1)の定義域は $x \neq-2$, 値域は $y \neq a$ゆえに，(1)の逆関数の定義域は $\quad x \neq a$よって, 関数 (1) とその逆関数が一致するためには\na=-2\nこのとき, (1)の逆関数は $y=\frac{-2 x+5}{x+2}$ となり, 関数 (1)に一致する。よって, 求める定数 $a$ の値は $\quad a=-2$

次の関数のグラフをかき, その値域を求めよ。 (1) \( y=\frac{-2 x+7}{x-3}(1 \leqq x \leqq 4) \)

次の関数の定義域を求めよ。\n(1) \( y=\frac{-2 x+1}{x+1}(-5 \leqq y \leqq-3) \)\n(2) \( y=\frac{x+1}{2 x+3} \quad(y \leqq 0, \quad 1<y) \)\n(3) 2

関数 $y=\frac{9 x-10}{6 x-4}$ のグラフをかけ。また漸近線を求めよ。

—数学 \\mathbb{I} \\nEX \\quad x \\neq 0 \ のとき \( f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}, x=0 \\) のとき \( f(x)=0 \\) である関数は, x=0 \ で連続であるが微分可能ではないことを証明せよ。

次の関数の定義域を求めよ。\n(1) \( y=\frac{-2 x+1}{x+1}(-5 \leqq y \leqq-3) \)\n(2) \( y=\frac{x+1}{2 x+3}(y \leqq 0, \quad 1<y) \)

関数 \( f(x)=\frac{a x+b}{x^{2}+1} \) が $x=\sqrt{3}$ で極大値 $\frac{1}{2}$ をとるように，定数 $a, b$ の値を定めよ。

関数 \( y=\frac{(x+1)^{3}}{x^{2}} \) の増減, グラフの凹凸, 漸近線を調べて, グラフの概形をかけ。

CHART \ \\sqrt{A^{2}} \ は要注意 \ \\sqrt{A^{2}}=|A| \ \ A \\geqq 0 \ なら \ \\quad \\sqrt{A^{2}}=A \ \ A<0 \ なら \ \\quad \\sqrt{A^{2}}=-A \ \ \\begin{\overlineray}{c} \\varangle a > 0, b > 0 \\text{ のとき } \\\\\\ \\sqrt{a + b + 2 \\sqrt{a b}} = \\sqrt{a} + \\sqrt{b} \\\\\\ a > b > 0 \\text{ のとき } \\\\\\ \\sqrt{a + b - 2 \\sqrt{a b}} = \\sqrt{a} - \\sqrt{b} \\end{\overlineray}\

演習例題 4 関数方程式 定義域を正の実数全体とし, 値域を実数全体とする関数 f(x) が, 次の 2 つの条件①，２）を満たしているとする。 (1) f(x y)=f(x)+f(y) (2) x>1 ならば f(x)>0 (1) f(1) を求めよ。 (2) f(\frac{1}{x}) を f(x) で表せ。 (3) 関数 f(x) は x>0 において増加関数であること, すなわち x の値が増加すれ ば f(x) の値も増加することを示せ。 [兵庫県大]

練習 次の不等式の表す領域を図示せよ。

関数の増減と極大・極小\n関数の増減 ある区間で\n・常に \\( f^{\prime}(x)>0 \\) ならば, \\( f(x) \\) はその区間で単調に増加する。\n[この区間で接線の傾きは正]\n・常に \\( f^{\prime}(x)<0 \\) ならば, \\( f(x) \\) はその区間で単調に減少する。\n[この区間で接線の傾きは負]\n関数の極値\n極大…増加から減少に移る。 \\( f^{\prime}(x) \\) が正 \ \longrightarrow \ 負極小…減少から増加に移る。 \\( f^{\prime}(x) \\) が負 \ \longrightarrow \ 正\n最大値・最小値\n最大・最小\n区間内の極値を求め，その値と区間の両端にお ける関数の値との大小から決定。

次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( \\sqrt{a}+\sqrt{b}>\\sqrt{a+b} )\n(2) \( 2 \\sqrt{a}+3 \\sqrt{b}>\\sqrt{4 a+9 b} )\n(3) \( a>b ) のとき \\( \\sqrt{a}-\\sqrt{b}<\\sqrt{a- b} )

x>0 のとき, x+\frac{9}{x} の最小値を求めよ。

（２）（1）で選んだことが下線部Ｉの原因であるとき，下線部Ｉの値を大きくするには，実験１の設定をどのように変えれば良いですか。同じ昆虫Xを用いる実験で，考えられることを２つ答えなさい。

問 8 下線部hから, 党首討論における各政党の時間配分は何を根拠に決められていると考えられますか。解答用紙のわく内で答えなさい。

音源の位置をいろいろ変えて, AとBで音が聞こえた時刻の差を測定したところ, その時間 には最大値があることがわかりました。

関数 (1) $y=\frac{1}{2 x}$ (2) $y=\frac{3}{x}-1$ (3) $y=\frac{-2}{x-1}$ のグラフをかけ。

174\n102 最大値・最小値から関数の係数決定 (2)\n$a, b$ は定数で, $a>0$ とする。関数 \( f(x)=\\frac{x-b}{x^{2}+a} \) の最大値が $\\frac{1}{6}$, 最小値が $-\\frac{1}{2}$ であるとき, $a, b$ の値を求めよ。\n[弘前大]\n基本 99,101

基本 1: 分数関数のグラフと漸近線, 値域

直線 $y=x$ に関して, 曲線 $y=\frac{2}{x+1}$ と対称な曲線を $C_{1}$ とし,直線 $y=-1$ に関して, 曲線 $y=\frac{2}{x+1}$ と対称な曲線を $C_{2}$ とする。曲線 $C_{2}$ の漸近線と曲線 $C_{1}$ との交点の座標をすべて求めよ。

(1) 関数 $y=\frac{-6 x+21}{2 x-5}$ のグラフは, 関数 $y=\frac{8 x+2}{2 x-1}$ のグラフをどのように平行移動したものか。\n（2）関数 $y=\frac{2 x+c}{a x+b}$ のグラフが点 \( \left(-2, \frac{9}{5}\right) \) を通り，2 直線 $x=-\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$ を漸近線にもつとき, 定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

基本 6: 無理関数のグラフと値域

3. 方程式 \( f(x)=g(x) \) の実数解の存在\n関数 \( F(x)=f(x)-g(x) \) の値の変化を調べて, 中間値の定理を利用する。\n(1) \( F(x) が閉区間 [a, b] で連続であって, F(a) F(b)<0[F(a) と F(b) が異符号 ] ならば, 開区間 (a, b) K F(x)=0 の実数解が少なくとも 1 つある。\n(2) (1)において, 特に \( F(x) が単調に墳加する \\left[F^{\\prime}(x)>0\\right\\) か, または単調に減少す る \\left[F^{\\prime}(x)<0\\right] ならば，実数解はただ 1 つである。

関数 $y=\frac{1-\\log x}{x^{2}}$ のグラフの概形をかけ。ただし, $\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x^{2}}=0$ である。\n\n\ \\angle \ p. 177 基本事項 2, 基本 105, 106 重要 109, 110

次の方程式，不等式を解け。 (1) $\sqrt{x^{2}-1}=x+3$ (2) $\sqrt{25-x^{2}}>3 x-5$

基本 3: 分数関数のグラフと直線の共有点, 分数不等式

基本 7: 無理関数のグラフと直線の共有点, 無理不等式

(1) 関数 $y=\frac{-6 x+21}{2 x-5}$ のグラフは、関数 $y=\frac{8 x+2}{2 x-1}$ のグラフをどのように平行移動したものか。

関数 y = (a x + b) / (x + 2)(b ≠ 2a) のグラフは点(1,1)を通り, また, この関数の逆関数はもとの関数と一致する。定数 a, b の値を求めよ。

曲線 (1) $y=\frac{2 x^{2}+3}{x-1}$ (2) $y=x-\sqrt{x^{2}-9}$ の漸近線の方程式を求めよ。

z を0 でない複素数とする。 z が不等式 2 \leqq z+\frac{16}{z} \leqq 10 を満たすとき, 点 z が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。