AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
基本関数 - 二次関数とそのグラフ
Q.01
ピンポイント解説 平方完成するときの注意点\n2 次関数の問題では, 軸や頂点の座標を調べたり, 最大値・最小値を求めたりするとき (.107~)に,平方完成する場面がよく出てくる。平方完成する際に起こしやすいミスをい くつか示しておくので, これらを確認し,正確に 2 次式の平方完成ができるようにしておき たい。\n-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-3 の平方完成\n[正しい計算]\n-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-3=-\frac{1}{2}\left(x^{2}-8 x\right)-3\n(A)\n(B)\n=-\frac{1}{2}\left\{(x-4)^{2}-4^{2}\right\}-3\n=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+\frac{1}{2} \cdot 4^{2}-3\n=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+5\n
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1)グラフの頂点が点 \( (1,3) \) で, 点 \( (-1,4) \) を通る。\n(2)グラフの軸が直線 で, 2 点 \( (2,1),(5,-2) \) を通る。\n(3) で最大値 10 をとり, のとき である。
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- 次の関数のグラフをそれぞれ書きなさい。\n1. \n2.\n\(\begin{array}{l}\ny=-(x-3)(x+1) \\\left(y=-x^{2}+2 x+3\right)\n\end{array}\)
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2 次関数の值の変化\n\n関数の最大・最小\n2 次関数 の最大・最小平方完成して \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形にする。 のとき で最小値 , 最大値はない のとき で最大値 , 最小値はない 2 次関数 \( y=a x^{2}+b x+c \quad(h \\leqq x \\leqq k) \) の最大・最小
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数学 I
PR 2 次関数のグラフが次の 3 点を通るとき, その 2 次関数を求めよ。
29
(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)
(2) (1,4),(3,0),(-1,0)
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1)グラフの頂点が点 \( (1,3) \) で,点 \( (0,5) \) を通る。\n(2)グラフの軸が直線 で, 2 点 \( (-2,9),(1,3) \) を通る。\n(3) で最小値 -1 をとり, のとき である。
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関数 \( y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3 \) のグラフが、定数 の値によらず常に 軸と共有点を持つことを示せ。\n[1] のとき\n[2] のとき
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定義域 の中央の値は 1 で ある。\n[1] のとき 図[1]から, で最大となる。最大値は \( f(2)=2^{2}-2a \cdot 2+a=4-3a \)\n[2] のとき 図[2]から, で最大となる。最大値は \( f(0)=f(2)=1 \)\n[3] のとき 図[3]から, で最大となる。最大値は \( f(0)=a \)\n[1] 〜 [3] から のとき で最大値 , のとき で最大値 1, のとき で最大値 \n(2) [4] のとき 図[4]から, で最小となる。最小値は \( f(0)=a \)\n[5] のとき 図[5]から, で最小となる。最小値は \( f(a)=-a^{2}+a \)\n[6] のとき 図[6]から, で最小となる。最小値は \( f(2)=4-3a \)\n[4] 〜 [6] から のとき で最小値 , のとき で最小値 , のとき で最小値
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基本例題 522 次関数の係数の符号とグラフ\n2 次関数 のグラフが右の図で与えられているとき,次の値の符号を調べよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5)
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関数 \( f(x)=3x^2 - 6ax + 5 \) の最大値と最小値を求めよ。\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。
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[問題] 関数 \(f(x)=x^{2}-2|x|\) について\n(A) \( f(x) \) の最小値を求めよ。
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問2 を定数とするとき, 関数 \( f(x)=-x^{2}+2a x(0 \leqq x \leqq 4) \) の最大値,および最小値を求めよ。
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PR f(x)=x^{2}-2 a x-a+6 について, -1 ≤ x ≤ 1 で常に f(x) ≥ 0 となる定数 a の值の範囲を求めよ。
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の関数 \( f(x)=a x^{2}-2 a x+a+b \) の最大値 が 3 で、最小値が -5 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。
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次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の個数, および共有点があるものはその座標をそれぞれ求めよ。 (1) y = 9x^2 - 6x + 1 (2) y = x^2 - x + 1 (3) y = 3x^2 - 8x - 1
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基 本 例題 86 放物線と直線の共有点\n放物線 と直線 がある。\n(1) のとき, 2 つのグラフの共有点の座標を求めよ。\n(2) 2 つのグラフの共有点がただ 1 つであるように定数 の値を定めよ。\n(3)2つのグラフが共有点をもたないように定数 の値の範囲を定めよ。
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次の条件を満たす放物線の方程式を,それぞれ求めよ。\n(1)放物線 を平行移動した曲線で,2 点(1,-1,(2,0)を通る。\n(2) 放物線 を平行移動した曲線で, 原点を通り, 頂点が直線 上にある。
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次の関数の最大値、最小値を求めよ。\nPR は定数とする。 における関数 \( f(x)=x^{2}-10 x+a \) について\n\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小值を求めよ。
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別解 y = \left|x^2 - 4 \\right| は\n のとき \n のとき\n\[\ny = -\left(x^2 - 4\\right) = -x^2 + 4\n\]\nよって, y = \left|x^2 - 4 \\right| のグラフと のグラフは右の図のようになる。\nグラフの交点の 座標は のとき\n\n のとき\n から \n求める解は, y = \left|x^2 - 4\\right| のグラフが のグラフの下側にある,または共有点をもつ の値の範囲である。\nよって, 図から \n
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関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) について, \( y=f(x) \) のグラフをコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて表示させる。このソフトでは, 係数 の値をそれぞれ図 1 の画面 , 敒力すると, その値に応じたグラフが表示される。更に, それぞれの横にある・を左に動かすと係数の値が減少し,右に動かすと係数の値が増加するようになっており,値の変化に応じて関数のグラフが画面上で変化する仕組みになっている。 図 1 グラフが表示された。このときの の値の組み合わせとして最も適当なものを,次の0~ つのうちから 1 つ選べ。 ア\n(0) \n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7)
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2 次関数のグラフの頂点が点 (2,-3) で, x 軸から切り取る線分の長さが 6 である 2 次関数を求めよ。
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右の図のような 2 次関数 y=a x^{2}+b x+c のグラフについて, 次の値の正, 0, 負を判定せよ。(1) a, (2) b, (3) c, (4) b^{2}-4 a c, (5) a+b+c, (6) a-b+c
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A 社はチョコレートを販売している。販売個数 y 個(y は 1 以上の整数)は、販売価格 p 円(1 個当たりの値段)に対して次で定められる。\ny = 10 - p\n(1)A 社の売上が最大となる販売価格 p の値、および、そのときの販売個数 y の値を求めよ。ただし,売上とは販売価格と販売個数の積とする。\n(2) y 個のチョコレートの販売にかかる総費用 c(y) は、 c(y) = y^2 で表される。このとき、 A 社の利益(売上から総費用を引いた差)が最大となる販売価格 p の値、および、そのときの販売個数 y の値を求めよ。\n(3)(2) において、総費用 c(y) が変化し、 c(y) = y^2 + 20y - 20 となったとき、 A 社の利益が最大となる販売価格 p の値、および、そのときの販売個数 y の値を求めよ。
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54 次の (1)~(4)の関数のうち, で最大値をとるものを 2 つ選び, 更にその関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) \( y=-3 x+4(0 \leqq x \leqq 2) \)\n(2) \( y=x^{2}+3(-1 \leqq x \leqq 2) \)\n(3) \( y=-2 x^{2}+8 x-3(-1 \leqq x \leqq 5) \)\n(4) \( y=3(x+1)(x-3)(-2 \leqq x \leqq 2) \)
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2 次関数 のグラフ と点 \( A(0,-1) \) について, 次の (1) を求めよ。\n(1) を 軸方向に平行移動したもので,点Aを通るグラフ
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2 次関数 y=a x^{2}+b x+c のグラフをコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて表示させる。このソフトでは、図の画面上の A, B, C にそれぞれ係数 a, b, c の値を入力すると,その値に応じたグラフが表示される。
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59 ・2 次関数のグラフが次の条件を満たすとき,その 2 次関数を求めよ。\n(1)頂点が放物線 の頂点と一致し, 点 \( (0,9) \) を通る。\n(2)頂点が 軸上にあり,2点 \( (2,3),(-1,12) \) を通る。\n(3)放物線 を平行移動したもので, 点 \( (2,8) \) を通り,その\n頂点は放物線 上にある。
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PR (1) 放物線 y=x^{2}-3 x-1 を平行移動して 2 点 (1,-1),(2,0) を通るようにしたとき, その放物線の頂点を求めよ。
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次の関数の最大値が 7 となるように, 定数 c の値を定めよ。また, そのときの最小値を求めよ。
(1) y=3x^2+6x+c(-2 ≤ x ≤ 1)
(2) y=-2x^2+12x+c(-2 ≤ x ≤ 2)
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ある放物線を x 軸方向に 1, y 軸方向に -2 だけ平行移動した後, x 軸に関して対称移動したところ, 放物線 y=-x^{2}-3 x+3 となった。もとの放物線の方程式を求めよ。
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2次関数の最大・最小を求める問題です。以下に示されている2次関数のグラフの頂点を求め、その値を元に最大・最小を判断してください。
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2 次関数とグラフ\n\n2 次関数のグラフ\n\( \Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\neq 0) \) のグラフ: 頂点 \( (p, q) \), 軸が直線 の放物線\n なら下に凸, なら上に凸\n\n\( D y=a x^{2}+b x+c(a \\neq 0) \) のグラフ: 右辺を平方完成して\n\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\n頂点 \( \\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right) \), 軸が直線 の放物線\n なら下に凸, なら上に凸
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基本 例題 982 次方程式の解の存在範囲 (3)\n2 次方程式 \( x^{2}-2(a-1) x+(a-2)^{2}=0 \) の異なる 2 つの実数解を とするとき, を満たすように, 定数 の値の範囲を定めよ。
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次の条件を満たす二次関数を求めよ。(1) グラフの頂点が点 (1,3) で、点 (-1,4) を通る。(2) グラフの軸が直線 x=4 で、2点 (2,1),(5,-2) を通る。(3) x=3 で最大値 10 をとり、x=-1 のとき y=-6 である。
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放物線 y=-2x^2+3 を x 軸方向に -2, y 軸方向に 1 だけ平行移動する方法を説明し、その結果得られる放物線の方程式を求めよ。
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放物線 を 軸方向に 軸方向に -3 だけ平行移動したところ, 放物線 (249 と重なった。定数 の値を求めよ。
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60 (1) \ x= \\pm 2 \ で最大値 8 , \ x=0 \ で最小値 -4\n(2) \ x=2 \ で最小値 3 , 最大値はない\n(3) \ x=2 \ で最小値 -2 , 最大値はない\n(4) \ x=0 \ で最大値 1 , 最小値はない
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64 (1) \ a<2 \ のとき\n\ x=4 \ で最大値 \ -24 a+53 \\n\ a=2 \ のとき \ x=0,4 \ で最大値 5\n\ a>2 \ のとき \ x=0 \ で最大値 5\n(2) \ a<0 \ のとき \ x=0 \ で最小値 5 \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \ のとき\n\ x=a \ で最小値 \ -3 a^{2}+5 \\n\ a>4 \ のとき\n\ x=4 \ で最小値 \ -24 a+53 \
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2次関数の式の形として、基本形、一般形、分解形の3つがあります。それぞれの特長と使うべき場面を説明してください。
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方程式 \( a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0 \) の異なる 2 つの実数解がともに の範囲にあるような定数 の值の範囲を求めよ。
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次関数の最大・最小
1 ≤ x ≤ 5 のとき, x の関数 y=(x^2-6x)^2+12(x^2-6x)+30 の最大値、最小値を求めよ。
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グラフが次の条件を満たすような2次関数を,それぞれ求めよ。\n(1)放物線 を平行移動した曲線で,頂点が点(-3,1)である。\n(2) 放物線 を平行移動した曲線で, 2 点 \( (-1,6),(3,2) \) を通る。
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a, b を実数とし, 2 次関数 y=4 x^{2}-8 x+5, y=-2(x+a)^{2}+b の表す 放物線のそれぞれの頂点が一致するとき, 定数 a, b の値を求めよ。
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2 次関数 のグラフを学びました。ここでは, と関係性のある のグラフについて学習しま す。 そのためには, \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形をした 2 次関数のグラフの理解 が重要となりますので,詳しく見ていきましょう。
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放物線 (1) の頂点を とする。次の問いに答えよ。\n(1) 軸に関して点 と対称な点 の座標を求めよ。\n(2)この放物線と 軸に関して対称な放物線の方程式を求めよ。
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2 次関数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n(2) 軸に接するとき,定数 の値とそのときの接点の座標を求めよ。
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) で最大値 1 をとり, のとき となる。\n(2) で最小となり,そのグラフが 2 点 \( (-1,2),(0,11) \) を通る。
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グラフが次の条件を満たすような2次関数を,それぞれ求めよ。\n(1)放物線 を平行移動した曲線で,2 点(-1,-2,,2,1)を通る。\n(2) 軸方向に 軸方向に -3 だけ平行移動すると,3 点 \( (1,2),(2,-2) \), (3,-4)を通る。
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2 次関数 のグラフについて, 次の 問いに答えよ。\n(2) 軸と接するとき, 定数 の値とそのときの接点の座標を求めよ。
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関数 \( f(x)=x^{2}-10 x+c(3 \leqq x \leqq 8) \) の最大値が 10 であるように, 定数 の値 を定めよ。
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2 次関数 y=α(x-p)^{2}+q の最大・最小\n① 定義域に制限がない場合(定義域が実数全体の場合)\na の符号によって次の2つの場合がある。\na>0 のとき\nx=p で最小値 q をとる\n最大値はない\na<0 のとき\nx=p で最大値 q をとる\n最小値はない
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2 次関数 のグラフのかき方について, その流れを整理しましょう。次の手順を踏んでください。\n\n(1) 平方完成する。\n(2) \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形にする。\n(3) グラフの特徴を読み取る。\n(4) なら下に凸(上に開く)、 なら上に凸(下に開く)。\n(5) 頂点の座標 \( (p,q) \) を求める。\n(6) 軸は直線 です。\n(7) のグラフを実際に描いてみましょう。
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次の2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求めよ。
(1) y=x^2-6x-4
(2) y=-4x^2+4x-1
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次の2次関数のグラフをかけ。また,その頂点と軸を求めよ。\n(1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \)\n(2) \( y=-\frac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)
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定義域が である関数 \( f(x)=-(x-3)^{2} \) の最大値および最小値を, 次の各場合について求めよ。ただし, は を満たす定数とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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次の関数に最大値,最小値があれば,それを求めよ。\n(1) \( y=x^{2}-2 x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \)\n(2) \( y=2 x^{2}-4 x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3) \( y=-x^{2}-4 x+1(0 \leqq x \leqq 2) \)\n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0<x<3) \)
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定義域が である関数 \( f(x)=(x-2)^{2} \) の最大値および最小値を,次の 各場合について求めよ。ただし, は正の定数とする。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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グラフが次の 3 点を通るような 2 次関数を求めよ。
(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)
(2) (-1,0),(3,0),(1,8)
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2 次関数 \( f(x)=-x^2+6 x-7 \) の における最大値を \( M(a) \) とするとき。
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放物線 y=x^{2}-(k+2) x+2 k が x 軸から切り取る線分の長さが 3 であるとき, 定数 k の値を求めよ。
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関数 の定義域として次の範囲をとるとき,各場合 について,最大値,最小値があれば,それを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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そのグラフが,次のような放物線となる2次関数を求めよ。
(1)頂点が点 \((-1,3)\) で,点(1,7)を通る放物線
(2)軸が直線 で, 2 点 \((3,-6),(0,-3)\) を通る放物線
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2 次関数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n(1) 軸と共有点をもたないとき, 定数 の値の範囲を求めよ。
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4. 2次関数 のグラフを 軸方向に 軸方向に だけ 平行移動して得られるグラフを とする。 が原点(0,0)を通るとき,次の問いに答えよ。\n(1) を で表せ。\n(2) を表す 2 次関数 \( f(x) \) が と で同じ値をとるときの の値と, における \( f(x) \) の最大值・最小値を求めよ。
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次の2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求めよ。
(1) y=x^2+7x-18
(2) y=3x^2+8x+2
(3) y=x^2-6x+2
(4) y=-6x^2-5x+6
(5) y=9x^2-24x+16
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ボールを地上から真上に打ち上げて, t 秒後の高さを y \mathrm{~m} とするとき,yは t の 2 次関数になる。打ち上げてから 6 秒後にボールの高さが最高 176.4 \mathrm{~m} になるとき, y は t のどのような式で表されるか。
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y=-4.9(t-6)^{2}+176.4 \\left[y=-4.9 t^{2}+58.8 t\\right]
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x^{2}+2(y-2)^{2}=18 のとき, 2 x^{2}+3 y^{2} の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの x, y の値も求めよ。
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次の 2 次関数に最大値, 最小値があれば, それを求めよ。\n(1) \n(2) \( y=-2(x+1)^{2}+5 \)\n(3) \n(4)
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x の 2 次関数 y=x^2+2bx+6+2b の最小値を m とする。(1) m をbの式で表せ。(2)bを変化させるとき, m の最大値とそのときの b の値を求めよ。
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グラフが次の条件を満たすような2次関数を,それぞれ求めよ。\n(1)放物線 を平行移動した曲線で, 2 点 \( (-1,-2),(2,1) \) を通る。\n(2) 軸方向に 軸方向に -3 だけ平行移動すると,3 点 \( (1,2),(2,-2) \), \( (3,-4) \) を通る。
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0 \leqq x \leqq 2 における関数 f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 の最大値および最小値を,次の(1)〜(5)の場合について求めよ。ただし, a は定数とする。
(1) a<0
(2) 0 \leqq a<1
(3) a=1
(4) 1<a \leqq 2
(5) 2<a
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次の例が関数であるかどうか判断せよ: 「xの平方根y, x=16 に対して y=4 と y=-4 があるため、yは xの関数でない」とある。
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2 次関数 のグラフが点 \( (3,-8) \) を通るとする。このグラフが 軸と接するとき, 定数 の値を求めよ。
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放物線 y=-2 x^{2}+4 x-4 を x 軸に関して対称移動し, さらに x 軸方向に 8, y 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
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与えられた条件を満たす 2 次関数の求め方\n[2] x=1 で最小となり, グラフが 2 点 (0,3),(3,6) を通る\n最小値の条件から, 求める 2 次関数は\n\[y=a(x-1)^{2}+q \quad(a>0)\]\nとおける。\n点 (0,3) を通るから 3=a(0-1)^{2}+q\n点 (3,6) を通るから \quad 6=a(3-1)^{2}+q\nこの連立方程式を解くと, a, q の値を求めることができます。
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次の2次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。
(1) y=2x^2-1
(2) y=-2(x+1)^2+5
(3) y=2x^2-6x+6
(4) y=-x^2+5x-2
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x^{2}+y^{2}=4 のとき, 2 y+x^{2} の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの x, y の值を求めよ。
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TR 2 次関数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) のグラフについて, 次の問いに答えよ。 (1) 軸と共有点をもたないとき, 定数 の値の範囲を求めよ。 改訂
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次の数式のグラフをかく (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) で最大値 1 をとり, のとき となる。\n(2) で最小となり,そのグラフが 2 点 \( (-1,2),(0,11) \) を通る。
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次の関数に最大値, 最小値があれば,それを求めよ。\n(1) \( y=x^{2}-2 x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \)\n(2) \( y=2 x^{2}-4 x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3) \( y=-x^{2}-4 x+1(0 \leqq x \leqq 2) \)\n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0<x<3) \)
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次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の座標を求めよ。
(1) y=x^{2}+7 x-18 (2) y=3 x^{2}+8 x+2 (3) y=x^{2}-6 x+2 (4) y=-6 x^{2}-5 x+6 (5) y=9 x^{2}-24 x+16
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次関数のグラフと 軸の位置関係について説明しなさい。\n\n1. 基本 89 - 2 次関数のグラフと 軸の共有点の座標\n2. 基本 90 - 2 次関数のグラフと軸の共有点の個数\n3. 基本 91 - 2次関数のグラフと 軸が共有点をもつ条件
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グラフが次の条件を満たすような2次関数を,それぞれ求めよ。\n(1) 放物線 を平行移動した曲線で,頂点が点(-3,1)である。\n(2) 放物線 を平行移動した曲線で, 2 点 \( (-1,6),(3,2) \) を通る。
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放物線 の頂点の座標を求めよ。また,放物線 軸方向に 軸方向に -4 だけ平行移動したとき, 移動後の放物線の方程式を の形で表せ。\n[センター試験]
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2 次関数 y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n(1) x 軸と共有点をもたないとき, 定数 k の値の範囲を求めよ。\n(2) x 軸に接するとき, 定数 k の値とそのときの接点の座標を求めよ。
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2 次関数の最大・最小 ...... 軸の位置が決め手 例題 83 の解答をもう一度見てみると,いろいろな場合に分かれていますが,ポイントとなるのは、軸(頂点)が定義域に対してどの位置にあるかということです。例えば,そのグラフが下に凸の 2 次関数では,次のように分けられます。 1. 軸(頂点) が定義域の內にあるとき 2. 軸(頂点)が定義域の外にあるとき 上に凸のグラフでは、次のようになるのですね。その通りです。このように大小が入れ替わります。上に凸, 下に凸いずれの場合も、軸(頂点)が、定義域の内にあるか外にあるか、また、その軸(頂点)が定義域の中央の位置の左右のどちらにあるか、によっていろいろな場合があります。A. 例題 83 では、最大値と最小値を同時に考えていますが、最大値、最小値で分けて考えると、どうなるのでしょうか。
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次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n連立方程式 \( \left\{\begin{array}{l}y=a x^{2}+b x+c \\ y=m x+n\end{array}\right. \) の実数解 で与えられる。\n を消去する。…. \n の 2 次方程式 \( a x^{2}+(b-m) x+c-n=0 \) を解く。\n32 で求めた の値を直線の式に代入して の値を求める。なお, 2 で実数解が存在 しないとき, 放物線と直線は共有点をもたない。
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(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]
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(1) 軸が直線 x=4 であるから,求める 2 次関数は y=a(x-4)^{2}+q とおける。このグラフが 2 点 (2,1),(5,-2) を通るから 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q。これを整理して 4a + q = 1 と a + q = -2 を得る。これらの連立方程式を解き、2 次関数を求めよ。
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(1) 放物線 y=x^2+ax+a-4 について、定数 a の値に関係なく常に x 軸と異なる2つの共有点をもつことを示せ。
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次の2次関数に最大値、最小値があればそれを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( y=(x+1)(x+4) \)
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次関数のグラフと 軸の位置関係を調べるためには、次のことを理解する必要があります。2次関数のグラフと 軸の共有点の 座標は常に0であることから、共有点の 座標は となる の値です。つまり次の問題を解くことがポイントです。\n1. 2次関数 のグラフと 軸の共有点の 座標を求めなさい。\n2. 共有点が1つだけの場合、その点を何と呼びますか?また、その点は何ですか?
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次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の個数を求めよ。
(1) y=3 x^{2}+x-2 (2) y=-5 x^{2}+3 x-1 (3) y=2 x^{2}-16 x+32
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ボールを地上から真上に打ち上げて、t秒後の高さをy mとするとき、yはtの2次関数になる。打ち上げてから6秒後にボールの高さが最高176.4mになるとき、yはtのどのような式で表されるか。
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2 次関数 y=a x^{2}+b x+c の最大・最小 y=a(x-p)^{2}+q に変形(平方完成)。 a>0 のとき, x= で最小値 q a<0 のとき, x= で最大値 q
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そのグラフが,次のような放物線となる 2 次関数を求めよ。(1)頂点が点 \( (2,-3) \) で, 点 \( (3,-1) \) を通る放物線(2)軸が直線 で, 2 点 \( (2,1),(5,-2) \) を通る放物線
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TR \( x^{2}+2(y-2)^{2}=18 \) のとき, の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの の値を求めよ。\n[芝浦工大]
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次の条件 (あ), (い), (う) を言いかえると, いずれも条件 (え) と同じになる。 (あ) すべての実数 x について ax^2 + bx + c > 0 が成り立つ (い) 不等式 ax^2 + bx + c > 0 の解がすべての実数である (う) 不等式 ax^2 + bx + c > 0 が (え) y = ax^2 + bx + c のグラフが常に x 軸の上側にある
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EX a, b を定数とし, 2 次関数 y=x^{2}+a x+b のグラフを F とする。 F につて述べた文とし 正しいものを次の (1)〜(6)の中から 2 つ選べ。
(1) F は, 上に凸の放物線である。
(2) F は、下に凸の放物線である。
(3) a^{2}>4 b のとき, F と x 軸は共有点をもたない。
(4) a^{2}<4 b のとき, F と x 軸は共有点をもたない。
(5) a^{2}>4 b のとき, F と y 軸は共有点をもたない。
(6) a^{2}<4 b のとき, F とy軸は共有点をもたない。
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放物線 (2)を x 軸方向に -3, y 軸方向に -6 だけ平行移動し, さらに原点に関して対称移動すると, 放物線 ①にもどる。このように移動するとき,頂点 (2,-3) は平行移動によって,点 (2-3,-3-6) すなわち 点 (-1,-9) に移動し, さらに原点に関する対称移動によっ て, 点 (1,9) に移動する。よって, (1)の方程式は, y=(x-1)^{2}+9 すなわち y=x^{2}-2 x+10 と一致する。ゆえに a=-2、b=10。
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放物線 を 軸に関して対称移動し, さらに 軸方向に , 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
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次の2次関数のグラフをかけ。また、その頂点と軸を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( y=(x-2)(x+3) \)\n(5) \( y=(2 x+1)(x-3) \)
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) で最小値 1 をとり, のとき となる。\n(2) で最大となり, そのグラフが 2 点 \( (1,5),(3,-7) \) を通る。
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(2) 放物線 y=x^2+ax+a-4 の共有点の x 座標を α, β とするとき、(α-β)^2<28 が成り立つような定数 a の値の範囲を求めよ。
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2次関数 y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3 のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n(1) x 軸と異なる 2 点で交わるとき, 定数 k の値の範囲を 求めよ。\n(2) x 軸と接するとき, 定数 k の値とそのときの接点の座標を求めよ。
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グラフが次の 3 点を通るような 2 次関数を求めよ。
(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)
(2) (-1,0),(3,0),(1,8)
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グラフが次の 3 点を通るような 2 次関数を求めよ。\n(1) \( (-1,7),(0,-2),(1,-5) \)\n(2) \( (-1,0),(3,0),(1,8) \)
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放物線 (1) の頂点を とする。次の問いに答えよ。(1) 軸に関して点 と対称な点 の座標を求めよ。(2)この放物線と 軸に関して対称な放物線の方程式を求めよ。
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(1) \( y=2(x-2)^{2}-3\left[y=2 x^{2}-8 x+5\right] \)\n(2) \( y=(x-4)^{2}-3\left[y=x^{2}-8 x+13\right] \)
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放物線 y=x² 上の点 P から 2 直線 y=x-1, y=5x-7 にそれぞれ垂線 PQ, PR を下ろす。点 P がこの放物線上を動くとき, 長さの積 PQ・PR の 最小値を求めよ。また, そのときの点 P の座標を求めよ。
[日本女子大]
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点 A(-1,0) を通り、傾きが a の直線を ℓ とする。放物線 y = 1/2 x^2 と直線 ℓ は、異なる 2 点 P、Q で交わっている。
(1) 傾き a の値の範囲を求めよ。
(2) 線分 PQ の中点 R の座標を a を用いて表せ。
(3) 点 R の軌跡を xy 平面にかけ。
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曲線 と直線 \( \ell: y = m(x + 1) \) の交点の座標を求め、これらの交点についての面積を計算せよ。
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PRACTICE 99 a は定数とする。放物線 について, a がすべての実数値をとって 変化するとき, 頂点の軌跡を求めよ。
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次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ。\n \ x^{2}+y^{2} \\leqq 1, \\quad y \\geqq x^{2}-\\frac{1}{4} \
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PR 放物線 y=-x²+1 と点 (0,0) における接線, 点 (2,-2) における接線により囲まれる図形の面積を求めよ。
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放物線 と円 \( x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0) \) がある。放物線と円の交点が 4 個とな るrの範囲を求めよ。
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基本列題 169 平均変化率の計算
(1) 関数 \( f(x)=x^{2}-2 x-3 \) において, が から \( b(a \neq b) \) まで変化すると きの平均変化率を求めよ。
(2)関数 \( f(x)=2 x^{2}-x \) において, が 1 から \( 1+h(h \neq 0) \) まで変化する ときの平均変化率を求めよ。
(3) \( f(x)=x^{2} \) において, が -1 から まで変化するときの平均変化率が 1 となるとき, である。
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[問題 B] は負の定数とする。右の図のように, 放物線 と 2 直線 で囲まれた部分を 3 つに分割して 考え, そのうち, かつ を満たす領域の面積を かつ を満たす領域の面積を とする。このとき, が成り立つような定数 の値を求めたい。次の (4)〜(6)の問いに答えよ。なお, 図の (1), (3), は [問題A] の (1), (2) で定めたものと同じものである。\n(4) 連立不等式 を満たす領域の面積を とする。放物線 と直線 の共有点の 座標を \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) とするとき, 面積 と面積 の和を定積分で表すと, は タ である。
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2つの放物線 \( y=-2(x-a)^{2}+3a \) と が異なる2つの共有点をもつための実数 の条件を求めよ。\n(2)2つの放物線で囲まれた部分の面積の最大値を求めよ。
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面積の最大・最小 \( (2) \)\n を正の実数とし, 点 \( \mathrm{A}\left(0, a+\frac{1}{2 a}\right) \) と曲線 および 上の点 \( \mathrm{P}(1, a) \) を考える。曲線 と 軸,および線分 で囲まれる部分の面積を \( S(a) \) とするとき, \( S(a) \) の最小値とそのときの の値を求めよ。\n[類 九州大]\n基本 30,212
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増減表の 3 行目を記入したら, グラフをかく\n増加 \( (\\nearrow) \), 減少 \( (\\searrow), 1 \) 行目の の値に対する の値 を記入したら,その内容にしたがってグラフをかく。 このとき, 2 次関数のグラフで, まず頂点をとったよ うに,yが極大,極小となる点を先にとるとよい。 また, 軸との交点の座標( の式に を代入)も\n基本例題 180 (1) の場合
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(2) とし, 放物線 上の点 \( \left(a, a^{2}\right) \) における接線を とする。 , 軸で囲まれた部分の面積を, を用いて表せ。
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2 つの放物線 C_{1}: y=x^{2}+1, C_{2}: y=-2 x^{2}+4 x-3 の共通接線の方程式を求めよ。
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放物線と接線で囲まれた部分の面積\n\n基本例題 214 の内容について, 詳しく見てみよう。なお, 実際の答案では, 以下の内容を 公式として使用せず,例題の解答のように計算して求めるべきである。\n\n放物線 \( C: y=f(x) \) 上の異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha, f(\alpha)) \), \( \mathrm{B}(\beta, f(\beta)) \) における接線 の交点 の 座標は 接点の 座標の平均 (中央の値)になる。 また, 右の図の面積 について \n\n証明 \( C: y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) \) とすると, から, の方程式は \( y-\left(a \alpha^{2}+b \α+c\right)=(2 a \α+b)(x-α) \) すなわち \( \quad y=(2 a α+b) x-a \α^{2}+c \)\n同様に の方程式は \( \quad \y=(2 a β+b) x-a β^{2}+c \)\n を消去して \( \quad(2 a \α+b) x-a \α^{2}+c=(2 a \β+b) x-a β^{2}+c \)\n整理して \( \quad 2 a(\α-β) x=a\left(\α^{2}-β^{2}\right) \quad a \neq 0, α \neq \β \) から よって, の交点 の 座標は, であり。
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曲線 y=-2 x^{2}+4 x+6 と x 軸の交点の x 座標は, 方程式 -2 x^{2}+4 x+6=0 すなわち x^{2}-2 x-3=0 を解いて (x+1)(x-3)=0 よって -1 ≤ x ≤ 3 において y ≥ 0 であるから, 求める面積 S は
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y の増减表は右のよ うになる。よって, x <= -2, √2 <= x で増加し, -√2 <= x <= √2 で減少
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2 次関数 f(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}, g(x)=x^2+ax+3 がある。
放物線 y=f(x) と y=g(x) がある 1 点で接するとき, その点の座標と正の定数 a の値を求めよ。
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曲線 y=x^{2}-4 x+3 と x 軸の交点の x 座標は, 方程式 x^{2}-4 x+3=0 を解いて (x-1)(x-3)=0 よって x=1,3 0 ≤ x ≤ 1 において y ≥ 0,1 ≤ x ≤ 3 に おいて y ≤ 0,3 ≤ x ≤ 5 において y ≥ 0 であるから, 求める面積 S は
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2 次関数 \( f(x) \) が \( f^{\prime}(0)=1, f^{\prime}(1)=2 \) を満たすとき, \( f^{\prime}(2) \) の値を求めよ。
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数学
PR 放物線 C: y = x^2 上の点 \( \mathrm{P}\left(a, a^2\right) \) における接線を とする。ただし, とする。
②22
(1) 点 と異なる C 上の点 における接線 が と直交するとき, の方程式を求めよ。
(2) 接線 および放物線 で囲まれた部分の面積を \( S(a) \) とするとき, \( S(a) \) の最小値とそのときの の値を求めよ。
[類 立命館大]
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次の曲線上の点における接線・法線の方程式を求めよ。
(1) , 点 \( (0,2) \)
(2) , 点 \( (2,-4) \)
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増減表の 2 行目は, のグラフを利用して記入する\n2 行目には, 0 または の符号 \( (+,-) \) を記入する。 このとき, 符号の記入は慎重に!\n符号の記入ミスを防ぐには, の簡単なグラフを利用 するとよい。 3 次関数 の導関数 は 2 次関数であ るから,この 2 次関数 のグラフを, 軸との共有点, 軸との位置関係がわかる程度にかき ( 軸は不要 \( ) \),図から の符号を判断する。
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定数 a とし、関数 \( f(x)=-2x^{2}+6x+1 \) を区間 において考えます。次の問いに答えなさい。\n(1) 最小値を求めなさい。\n(2) 最大値を求めなさい。
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次の条件を満たす2次関数を求めよ。\n(1)頂点が点 \( (-2,1) \) で,点 \( (-1 , 4) \) を通る。\n(2)軸が直線 で,2 点 \( (-1,-7),(1,9) \) を通る。
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練習 2 次関数のグラフが次の条件を满たすとき,その 2 次関数を求めよ。 34
(1) 頂点が点 \( (p, 3) \) で, 2 点 \( (-1,11),(2,5) \) を通る。
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2次関数 のグラフを考える。(2) のとき、(1)のグラフが 軸と異なる2点で交わるような自然数 の中で、 を満たす の個数は である。
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次の 2 次関数のグラフが 軸に接するように, 定数 の値を定めよ。また,そのときの接点の座標を求めよ。(1) \( y=x^{2}+2(2-k) x+k \) (2)
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2 次関数のグラフが次の条件を満たすとき,その2次関数を求めよ。 (1) 3 点 (1,8), (-2,2), (-3,4) を通る。
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2 次関数 \( y=-x^{2}+(m-10) x-m-14 \) のグラフが次の条件を満たすように, 定数 の値の範囲を定めよ。
(1) x 軸の正の部分と負の部分で交わる。
(2) x 軸の負の部分とのみ共有点をもつ。
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2 次関数のグラフが次の条件を満たすとき,その 2 次関数を求めよ。 (1) 3 点 (-1,16),(4,-14),(5,-8) を通る。
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例題 127 放物線と 軸の共有点の位置 \( (2) \)\n2 次関数 \( y=x^{2}-(a+3) x+a^{2} \) のグラフが次の条件を満たすように, 定数 の値 の範囲を定めよ。\n(1) 軸の の部分と異なる 2 点で交わる。\n(2) 軸の の部分と の部分で交わる。\n<基本 126
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練習 定義域を とする関数 \( f(x)=a x^{2}+4 a x+b \) の最大值が 5 , 最小值が 1 のとき, 定数 , 86 の値を求めよ。\n[類 東北学院大]
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練習 2 次方程式 \( a x^{2}-2(a-5) x+3 a-15=0 \) が, の範囲にそれぞれ 1 つの実数解をもつように, 定数 の値の範囲を定めます。\n\( f(x)=a x^{2}-2(a-5) x+3 a-15 \) とする。ただし 。\n題意を満たすための条件は、放物線 \( y=f(x) \) が , の範囲でそれぞれ 軸と 1 点で交わることである。すなわち \( f(-5) f(0)<0 \) かつ \( f(1) f(2)<0 \)\nここで\n\( f(-5)=38 a-65 \)\n\( f(0)=3 a-15 \)\n\( f(1)=2 a-5 \)\n\( f(2)=3 a+5 \)
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次の 2 次関数のグラフは 軸と共有点をもつか。もつときは,その座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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2次関数 y = ax^2 + bx + c を求めよ。グラフが3点 (-1, 22)、(5, 22)、(1, -2) を通る。
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次の 2 次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。(1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+3 x-5 (3) y=-2 x^{2}+6 x+1 (4) y=3 x^{2}-5 x+8
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(1) のとき\n\[ \n\begin{aligned}\nf(x) & =x^{2}+\frac{1}{2} x+1=x^{2}+\frac{1}{2} x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+1 \n& =\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{16}\n\end{aligned}\n\]\n\nまた,区間 は となる。\n\( y=f(x) \) のグラフは下に凸の放物線で,\n軸は直線 であるから, の範囲において, \( f(x) \) は のとき最小値 をとる。\nしたがって \( \quad m\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{16} \)
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a は定数とし, f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 とする。0 ≤ x ≤ 3 のすべての x の値に対して, 常に f(x) > 0 が成り立つような a の値の範囲を求めよ。
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2 次関数 のグラフが右の図のようになるとき, 次の値の符号を調べよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5)
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関数 のグラフが, 軸と異なる 2 つの共有点をもつときの の值の範囲を求めよ。また, x 軸とただ 1 つの共有点をもつときの の值を求めよ。
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次の 2 次関数のグラフは 軸と共有点をもつか。もつときは, その座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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EX 2 次関数 のグラフをコンピュー 33) 夕のグラフ表示ソフトを用いて表示させる。この ソフトでは, 図の画面上の , にそれぞれ係数 の値を入力すると, その値に応じたグラフが表示される。いま, にある値を入力すると, 右の図のようなグラフが表示された。(1) , , に入力した値の組み合わせとして, 適切なものを右の表の 11~8 から 1 つ選べ。(2)いま表示されているグラフを原点に関して対称移動した曲線を表示させるためには, ,\n\\[\\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline & 1) & (2) & (3) & (4) & (5) & 6 & (7 & 8 \\hline \\hline\ A \ & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\hline\ B \ & 2 & 2 & -2 & -2 & 2 & 2 & -2 & -2 \\hline\ C \ & 3 & -3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 3 & -3 \\hline\\end{tabular}3章 \ \\square \ EX B, C \ にどのような値を入力すればよいか。適切な組み合わせを,(1)の表の(1)~(8 から 1 つ選べ。
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2次関数 \( y=3 x^{2}-(3 a-6) x+b \) が, で最小値 -2 をとるとき, 定数 の値を求めよ。
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2 次関数のグラフが次の条件を満たすとき,その 2 次関数を求めよ。(2) x 軸と 2 点 (-2,0),(3,0) で交わり,点 (2,-8) を通る。
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次の条件を満たす2次関数を求めよ。
(1) 頂点の座標が (3, -2) で、軸の方程式が x=3
(2) 3点 (0, 1), (2, 3), (4, 5) を通る
(3) グラフは x軸と (1, 0), (-2, 0) で交わる。さらに点 (3, 6) を通る
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次の条件を満たすとき、その 2 次関数を求めよ。\n(1)頂点が 軸上にあって,2 点 \( (0,4),(-4,36) \) を通る。\n(2)放物線 を平行移動したもので,点(2,4)を通り,頂点が直線 上にある。
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2 次関数 のグラフ 2 次式 を, 次のように \( a(x-p)^{2}+q \) の形に変形して (平方完成するという)グラフをかく。
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練習 は定数とし,xの 2 次関数 の最大値を とする。\n(1) を の式で表せ。\n(2) a の関数 \\( M \ の最小値と, そのときの \ a \ の值を求めよ。
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2次関数 \( y=-x^{2}+(m-10)x-m-14 \) のグラフが次の条件を満たすように、定数 の値の範囲を定めよ。\n(1) 軸の正の部分と負の部分で交わる。\n(2) 軸の負の部分とのみ共有点をもつ。
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一般的に、2つの放物線が2つの共有点を持つ時、それらを通る直線の方程式を求めてください。\n2つの放物線の形式は次の通りです。\n放物線1: \n放物線2: (ただし、)
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次の条件を満たすとき、その 2 次関数を求めよ。\n(3) 頂点が点 \( (p, 3) \) で, 2 点 \( (-1,11),(2,5) \) を通る。\n(4) 放物線 を平行移動したもので、点 \( (2,4) \) を通り、その頂点が直線 上にある。
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関数グラフソフトを用いると,aの値によってグラフが変化する様子を 確かめることができる。\nこれらのグラフから, の値の範囲により, 最大値をもつ場合と最小値を もつ場合があることがわかり, 最大値と最小値の両方をもつのは の ときに限られることもわかる。
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練習 a は定数とする。 −1 ≤ x ≤ 1 における関数 f(x)=x2+2(a−1)x について、次の問いに答えよ。(2) 最大値を求めよ。
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次の関数に最大値,最小値があれば,それを求めよ。\n(1) y=2 x^{2}-8 x+5 (0 \leqq x \leqq 3)\n(2) y=-x^{2}-2 x+2 (-3<x \leqq-2)
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2次関数 のグラフが次の条件を満たすように、定数 の 値の範囲を定めよ。\n(1) 軸の正の部分と異なる2点で交わる。\n(2) 軸の正の部分と負の部分で交わる。
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CHECK 2-B グラフが 3 点 \( (1,1),(3,5),(4,4) \) を通る 2 次関数を求め よ。
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求める解は, (1) と (2) を合わせた範囲で \ -1<x<-1+2 \\sqrt{3} \\n(2) \\( x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) \\) であるから\n\ x^{2}-6 x-7 \\geqq 0 \ の解は \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \\n\ x^{2}-6 x-7<0 \ の解は \ \\quad-1<x<7 \
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数II \n(1)関数 \ y=x^{2}+a x+a \ のグラフが直線 \ y=x+1 \ と接するように,定数 \ a \ の値を定めよ。また,そのときの接点の座標を求めよ。\n(2)k は定数とする。関数 \ y=x^{2}-2 k x \ のグラフと直線 \ y=2 x-k^{2} \ の共有点の個数を調べよ。
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このグラフが点 \( (2,4) \) を通るから、2(2-p)^{2}+2 p-4=4。\n整理して よって 。\np=0 のとき \np=3 のとき \( y=2(x-3)^{2}+2 \)。
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EX 2 次関数 のグラフが, 2 点 \( (-1,0),(3,8) \) を通り,直線 に接すると (3) き, の値を求めよ。
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2 次関数のグラフとその移動\n\n基本事項\n2 次関数, 放物線\n の 2 次式で表される関数を の 2 次関数といい,一般に次の式で表される。\n\[ y=a x^{2}+b x+c \quad(a, b, c は定数, a \neq 0) \]\nまた, そのグラフは 放物線 で, を放物線の方程式 という。\n2 次関数 のグラフ\n のグラフを平行移動した放物線で\n(1) 軸は直線 , 頂点は点 \( \left(-\frac{b}{2 a},-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right) \)\n(2) のとき下に凸, のとき上に凸\n\n点・グラフの平行移動\n(1) 点 \( (a, b) \) を 軸方向に 軸方向に だけ移動した点の座標は\n\[ (a+p, b+q) \]\n(2) 関数 \( y=f(x) \) のグラフ を 軸方向に 軸方向に だけ平行移動して得られる曲線 の方程式は\n\[ y-q=f(x-p) \]
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方程式の解の存在範囲\n\( f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) \) とし, とすると, 2 次方程式 \( f(x)=0 \) は, \( f(p) \) と \( f(q) \) が異符号 \( [f(p) f(q)<0] \) ならば の範囲に実数解を 1 つもつ。
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UP- 放物線と 軸の共有点の位置について考えよう。以下の条件を満たす放物線のグラフをかいてみよう。\n\n条件:\n1. グラフが 軸の正の部分と異なる2点で交わる。\n2. 軸の位置が正である。\n3. \( f(0) > 0 \) である。\n\nこれらの条件を満たすグラフにはどのような特徴があるか説明しなさい。
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練習 次の 2 次関数のグラフは, [ ] 内の 2 次関数のグラフをそれぞれどのように平行移動したものか答えよ。また,それぞれのグラフをかき,その軸と頂点を求めよ。\n(1) \n\n(2) \( y=2(x-1)^{2} \quad\left[y=2 x^{2}\right] \)\n(3) \( y=-3(x-2)^{2}-1 \)
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aの値によって関数f(x)のグラフの形が変化しますが、どのようなaの値のときf(x)が最大値を持たないかを説明せよ。
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次の条件を満たす2次関数を求めよ。\n(1)頂点が点 \( \left(-\\frac{3}{2},-\\frac{1}{2}\right) \) で,点 \( (0,-5) \) を通る。\n(2)軸が直線 で,2点 \( (-6,-8),(1,-22) \) を通る。
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放物線 \(y=x^{2}-(k+2)x+2k\) が 軸から切り取る線分の長さが 4 であるとき、定数 の値を求めよ。
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数学 I\n次の放物線と直線は共有点をもつか。もつときは,その座標を求めよ。\n(1) \left\\{\begin{\overlineray}{l}y=x^{2}-2 x+3 \\ y=x+6\end{\overlineray}\right. \n(2) \left\\{\begin{\overlineray}{l}y=x^{2}-4 x \\ y=2 x-9\end{\overlineray}\right. \n(3) \left\\{\begin{\overlineray}{l}y=-x^{2}+4 x-3 \\ y=2 x\end{\overlineray}\right.
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なお, A, B の座標を求めると, 次のようになる。
\( f(x)=g(x) \) とすると
整理すると これを解くと
に代入して \( \quad y=(2 \pm \sqrt{3})-1=1 \pm \sqrt{3} \quad \) (複号同順)
よって, 座標が小さい方を , 大きい方を B とすると
\[
\mathrm{A}(2-\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}), \mathrm{B}(2+\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})
\]
ゆえに, 求める関数を として, 3 点 \( \mathrm{A}(2-\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}) \), \( \mathrm{B}(2+\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}), \mathrm{P}(2,-5) \) を通る条件から, の連立方程式を解くことで求め
ることもできるが,前ページの解答の方が計算量が少なくて済む。
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2 次関数 のグラフは 軸と共有点をもつが, 直線 とは 共有点をもたない。ただし, は定数である。\n(1) の値の範囲を求めよ。\n(2) 2 次関数 の最小値を とするとき, の値の範囲を求めよ。[北海道情報大]
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次の 2 次関数のグラフは 軸と共有点をもつか。もつときは,その座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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練習 次の関数に最大値,最小値があれば,それを求めよ。\n(1) y=2 x^{2}+3 x+1 (-\\frac{1}{2} \leqq x<\\frac{1}{2})\n(2) y=-\\frac{1}{2} x^{2}+2 x+\\frac{3}{2} (1 \leqq x \leqq 5)
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基本例題 85 (2)\n\ y=x^{2}-2 a x+a^{2}-3 \ のグラフと \ x \ 軸の交点の \ x \ 座標を求めなさい。
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次の 2 次関数のグラフと 軸の共有点の座標を求めよ。\n(1) \n(2) \( y=(x-2)(2 x+3) \)\n(3) \( y=(x+1)^{2}-4 \)\n(4)
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EX 2 次関数 y=x^{2}+a x+b が, 0 \leqq x \leqq 3 の範囲で最大値 1 をとり, 0 \leqq x \leqq 6 の範囲で最大値 9 をとるとき, 定数 a, b の値を求めよ。
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右の図のような 2 次関数 のグラフについて,次の値の正, 0,負を判定せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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2次関数 y=ax^2+bx-1 のグラフが点 (1,0) を通るための条件と点 (-2,-15) を通るための条件を求めなさい。
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2 次関数 のグラフ と点 \( \mathrm{A}(0,-1) \) について, 次の (1), (2) のグラフが表す 2 次関数を求めよ。\n(1)Cを x 軸方向に平行移動したもので,点Aを通るグラフ(2)Cを y 軸方向に平行移動したもので,点Aを通るグラフ
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放物線 y=x^{2}-2 x+a について
(1) 直線 y=2 x と接するように a の値を定めよ。
(2) 直線 y=2 x+3 と共有点をもたないように a の値の範囲を定めよ。
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第3章 2次関数\n[1] すなわち の とき\n図 [1] から, で最大となる。\n最大値は \n[2] すなわち の とき\n[1] \n図 [2] から, で最大と なる。\n最大値は \n[3] すなわち の とき\n図 [3] から, で最大となる。最大値は\n
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ある放物線を 軸方向に 軸方向に -2 だけ平行移動した後, 軸に関 して対称移動したところ, 放物線 となった。もとの放物線の方程式を求めよ。
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次の2次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( y=3(x-2)^{2}+5 \)
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二次関数 y = x^2 + a x + b が, 0 ≤ x ≤ 3 の範囲で最大値 1 をとり, 0 ≤ x ≤ 6 の範囲で最大値 9 をとるとき, 定数 a, b の値を求めよ。
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EX 2 次関数 f(x)=-x^{2}+2 x の a \leqq x \leqq a+2 における最大値, 最小値は a の関数であり, これを (3) それぞれ F(a), G(a) と表す。この関数 F(a), G(a) のグラフをかけ。
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2次関数のグラフは放物線であり, a, b, c の値により, 下に凸か上に凸か,開き具合,軸や頂点の位置などが決まる。ここでは, a, b, c の値を変化させたとき, グラフがどの ように変化するかについて考えてみよう。
1 2次関数 y=ax^2+bx+c の係数を変化させたときのグラフの変化・ についてまず, グラフの変化への影響が小さい, 係数 c から考えていこう。
Ac は y=ax^2+bx+c のグラフと y 軸の交点の y 座標である。
(1) において, c の値のみを c+q に変更した 2次関数は, 次のようになる。 y=(ax^2+bx+c)+q →() の中は, c を変化させる前の 2次関数の式。
この 2次関数のグラフは, もとの y=ax^2+bx+c のグラフを y 軸方向に q だけ平行移動させたものであることがわかる。したがって, cの値のみを変化させた場合, グラフは上下方向にのみ平行移動する。
(2) 例題 54
c の値のみを大きくする → y 軸方向に上向きに平行移動する c の値のみを小さくする → y 軸方向に下向きに平行移動する c の値のみを大きくして, y=ax^2+bx+c のグラフが点 (-2,3) を通るようにしたい。このとき, cの値をいくら大きくすればよいか。次のうちから選べ。
(1) 1
(2) 3
(3) 7
(4) 8
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2 次関数のグラフが次の 3 点を通るとき,その 2 次関数を求めよ。
(1) (-1,7),(0,-2),(1,-5)
(2) (1,4),(3,0),(-1,0)
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数学 I
EX -1 \leqq x \leqq 2 の範囲において, x の関数 f(x)=a x^{2}-2 a x+a+b の最大値が 3 で, 最小値が -5 61 であるとき, 定数 a, b の値を求めよ。
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次の二次関数のグラフと `x` 軸の共有点の個数、及び共有点がある場合はその座標を求めよ。\n(1) `y = 9x^2 - 6x + 1`
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(2) の値を変えずに、 の値だけを変化させるとき、変化するものを次の中からすべて選べ。\n(1) 放物線の頂点の 座標の符号\n(2) 放物線と 軸との交点の 座標\n(3) 放物線の軸 について の符号\n(4) 放物線と 軸の共有点の個数
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第3章 2 次関数
OPRACTICE の解答
48 (1) 値域は
で最大値 5 , で最小値 -1
(2)値域は で最大値 , 最小値はない
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。 (2)グラフの軸が直線 x=4 で, 2 点 (2,1),(5,-2) を通る。
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次の関数に最大値,最小値があれば,それを求めよ。\n(1) y=x^{2}-2 x+2 \quad(-1 \leqq x \leqq 2)\n(2) y=-x^{2}+4 x-1 \quad(0<x \leqq 1)
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基 本 例題 84 文字係数の放物線と x 軸の共有点
k は定数とする。放物線 y=x^{2}-2 x+2 k-4 と x 軸の共有点の個数を, k の 値によって場合分けをして求めよ。
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次の『點』を使って関数を解き直す。\n(5)\n\\[\n\\begin{aligned}\n3 x^{2}-5 x+1 & =3\\left(x^{2}-\\frac{5}{3} x\\right)+1=3 \n& =3\\left(x-\\frac{5}{6}\\right)^{2}-\\frac{25}{12}+1 \\)\n\\text { よって } \\quad y & =3\\left(x-\\frac{5}{6}\\right)^{2}-\\frac{13}{12}\n\\end{aligned}\n\\]\n\nしたがって, グラフは右の図の ようになる。\nまた 軸は 直線 \ x=\\frac{5}{6} \,\n頂点は 点 \\( \\left(\\frac{5}{6},-\\frac{13}{12}\\right) \\)
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次のこと が同時に成り立つ2次関数の条件を求めよ。条件: (i) D>0 (ii) 軸がx<0の範囲にある (iii) f(0)<0
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平方完成するときの注意点
2 次関数の問題では, 軸や頂点の座標を調べたり, 最大値・最小値を求めたりするとき平方完成する場面がよく出てくる。平方完成する際に起こしやすいミスをいくつか示しておくので, これらを確認し, 正確に 2 次式の平方完成ができるようにしておきたい。
の平方完成
[正しい計算]
\[-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-3=-\frac{1}{2}\left(x^{2}-8 x\right)-3\]
(A) (B)
\[
\begin{array}{l}
=-\frac{1}{2}\left\{(x-4)^{2}-4^{2}\right\}-3 \
=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+\frac{1}{2} \cdot 4^{2}-3 \
=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+5
\end{array}
\]
Ⓐ の変形で起こしやすいミス(赤字のところが間違い)
(1)
(2)
\( =-\frac{1}{2}\left(x^{2}+4 x\right)-3 \)
\( =-\frac{1}{2}\left(x^{2}+8 x\right)-3 \)
-2 を掛け忘れたり(1),2を掛けたり(2)しないように!
Ⓑ の変形で起こしやすいミス
(赤字のところが間違い)
\[
\begin{aligned}
& -\frac{1}{2}\left(x^{2}-8 x\right)-3 \\
& -\frac{1}{2}\left\{(x-4)^{2}+4^{2}\right\}-3
\end{aligned}
\]
4^{2} に × がつくので、加えてしまわないように注意!
の変形で起こしやすいミス
(赤字のところが間違い)
\[
\begin{aligned}
& -\frac{1}{2}\left\{(x-4)^{2}-4^{2}\right\}-3 \\
& -\frac{1}{2}(x-4)^{2}-4^{2}-3
\end{aligned}
\]
平方完成する際は, 1 行ずつていねいに書くようにしよう。また, 平方完成した結果を展開して, もとの式に一致するかどうかを確認すると, 計算ミスを防ぐことができる。
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関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) について, \( y=f(x) \) のグラフをコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて表示させる。このソフトでは, 係数 の値をそれぞれ図 1 の 画面 A , , C に入力すると,その値に応じたグラフが表示される。更に, A , , C それぞれの横にある ・を左に動かすと係数の値が減少 し,右に動かすと係数の値が増加するようになっており,値の変化に応じて関数のグ ラフが画面上で変化する仕組みになっている。 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) \[ \begin{array}{l} a=\square \mathrm{A}-+ \\ b=\mathrm{B}-+ \\ c=\square \mathrm{C}- \end{array} \] 龱 1 (1) A に1を入力し, ,, C にある値をそれぞれ入力したところ,図1の ようなグラフが表示された。このときの の値の組み合わせとして最も適当な ものを,次の0~7)うちから1つ選べ。 ア (0) (1) , (2) (3) (4) (5) (6) (7)
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PR a は定数とする。 a <= x <= a+1 における関数 f(x)=x^2-10 x+a について
(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求めよ。
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Q3 f(x)=-2\\left(x^{2}+2x\\right)+1 = -2(x+1)^{2}+3 \\\\ (1) -4 <= x <= 0 のとき, 図 (1)から, x=-1 で最大値 f(-1)=3, x=-4 で最小値 f(-4)=-15 をとる。
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数学 I\nEX 2 次関数のグラフが次の条件を满たすとき, その 2 次関数を求めよ。\n(1) 頂点が放物線 の頂点と一致し, 点 \( (0,9) \) を通る。\n(2) 頂点が 軸上にあり,2 点 \( (2,3),(-1,12) \) を通る。\n(3) 放物線 を平行移動したもので, 点 \( (2,8) \) を通り, その頂点は放物線 上にある。
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。 (2) グラフの軸が直線 x=-1 で, 2 点 (-2,9),(1,3) を通る。
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PR 次の 2 次関数に最大値, 最小值があれば, それを求めよ。(259 (1) y=x^{2}-2 x-3 (2) y=-2 x^{2}+x (3) y=3 x^{2}+4 x-1 (4) y=-2 x^{2}+3 x-5
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2 次関数 y=x^{2}-2 a x+a^{2}-3 のグラフが x 軸から切り取る線分の長さは,定数 a の値に関係なく一定であることを示せ。
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次の2次関数のグラフについて記述せよ。\n(4)\n\\[\n\\begin{aligned}\n-2 x^{2}+10 x-7 & =-2\\left(x^{2}-5 x\\right)-7 \n& =-2\\left\\{\\left(x-\\frac{5}{2}\\right)^{2}-\\left(\\frac{5}{2}\\right)^{2}\\right\\}-7 \n& =-2\\left(x-\\frac{5}{2}\\right)^{2}+\\frac{25}{2}-7\n\\end{aligned}\n\\]\n\nよって \\( \\quad y=-2\\left(x-\\frac{5}{2}\\right)^{2}+\\frac{11}{2} \\)\nしたがって, グラフは右の図の ようになる。\nまた軸は直線 \ x=\\frac{5}{2} \,\n頂点は点 \\( \\left(\\frac{5}{2}, \\frac{11}{2}\\right) \\)\n(5)\n\\[\n\\begin{aligned}\n3 x^{2}-5 x+1 & =3\\left(x^{2}-\\frac{5}{3} x\\right)+1=3 \n& =3\\left(x-\\frac{5}{6}\\right)^{2}-\\frac{25}{12}+1 \\)\n\\text { よって } \\quad y & =3\\left(x-\\frac{5}{6}\\right)^{2}-\\frac{13}{12}\n\\end{aligned}\n\\]\n\nしたがって, グラフは右の図の ようになる。\nまた 軸は 直線 \ x=\\frac{5}{6} \,\n頂点は 点 \\( \\left(\\frac{5}{6},-\\frac{13}{12}\\right) \\)\n(6)\n\\[\n\\begin{aligned}\n-\\frac{1}{3} x^{2}+2 x+1 & =-\\frac{1}{3}\\left(x^{2}-6 x\\right)+1 \n& =-\\frac{1}{3}\\left\\{(x-3)^{2}-3^{2}\\right\\}+1 \n& =-\\frac{1}{3}(x-3)^{2}+3+1\n\\end{aligned}\n\\]\n\nよって \\( \\quad y=-\\frac{1}{3}(x-3)^{2}+4 \\)\nしたがって, グラフは右の図の ようになる。\nまた軸は 直線 \ x=3 \,\n頂点は 点 \\( (3, 4) \\)
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。 (3) x=-3 で最小値 -1 をとり, x=1 のとき y=31 である。
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(2) 最初, 係数 a, b, c は(1)のときの値であるとする。図 1 の状態から, グラフが x 軸と接するように移動させたい。係数 c の値のみを変化させるとき, c の値を □ だけ小さくすると,グラフは x 軸と接する。また,係数bの値のみを変化させるとき,bの値を □ +□ √□ だけ大きくする,または、□ +□ √□ だけ小さくすると、グラフは x 軸と接する。 □ に当てはまる数を答えよ。
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第3章 2次関数\n(2)求める放物線の頂点が直線 上にあるから,頂点の座標は \( (p,-p+2) \) と表される。よって, 求める方程式は\n\[ y=\frac{1}{2}(x-p)^{2}-p+2 \]と表される。放物線が点 \( (1,5) \) を通るから\n\[ 5=\frac{1}{2}(1-p)^{2}-p+2 \quad \text { すなわち } \quad p^{2}-4 p-5=0 \]ゆえに \( \quad(p+1)(p-5)=0 \)よって のとき, (1) は\n\[ y=\frac{1}{2}(x+1)^{2}+3 \quad\left(y=\frac{1}{2} x^{2}+x+\frac{7}{2} \text { でもよい }\right) \] のとき, (1) は\n\[ y=\frac{1}{2}(x-5)^{2}-3 \quad\left(y=\frac{1}{2} x^{2}-5 x+\frac{19}{2} \text { でもよい }\right) \]
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x, y を実数とする。 6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3 の最小値とそのときの x, y の值を 求めよ。
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2 次関数のグラフが次の 3 点を通るとき,その 2 次関数を求めよ。
(1) (-1,-2),(2,7),(3,18)
(2) (-1,0),(2,0),(1,1)
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次の二次関数のグラフと `x` 軸の共有点の個数、及び共有点がある場合はその座標を求めよ。\n(2) `y = x^2 - x + 1`
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x 軸方向に 2, y 軸方向に -1 だけ平行移動すると放物線 y=-2 x^{2}+3 に重なるような放物線の方程式を求めよ。
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次の 2 次関数のグラフをかけ。また,その軸と頂点を求めよ。(1) y=x^{2}+4 x+3 (2) y=-2 x^{2}+6 x-1
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。 (3) x=3 で最大値 10 をとり, x=-1 のとき y=-6 である。
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振し退り2次関数の決定の問題で使う式\n基本形, 一般形,分解形のどれを使うか,正しく選択しないと,計算に手間がかかってミスも起こりがちです。どのような場面にどの形を使うのがよいか,考えてみましょう。\n\nまず, 2 次関数の式の形について整理しよう。\n(1) 基本形 \( y=a(x-p)^{2}+q \) 平方完成された形\n(2) 一般形 展開された形\n(3) 分解形 \( y=\alpha(x-\alpha)(x-\beta) \) 「因数分解された形\n\nそれでは,それぞれの特長を見ていこう。\n① 基本形の特長:頂点の座標や軸の方程式がわかる。\n例題 68 のように, 頂点や軸の条件が与えられたときは, (1)基本形からスタートするとよい。また,2 次関数の最大・最小に関する条件は, 見方を変えると頂点や軸の条件になることに注意しよう。\n② 一般形の特長:通る 3 点がわかっているときに有効。係数 の連立方程式を解く。\n例題 69 (1) のように, 放物線が通る 3 点の座標が与えられたときは, (2)一般形からスタートするとよい。通る点の座標を代入し, の連立 3 元 1 次方程式を解く。\n③ 分解形の特長:放物線と 軸の交点の座標がわかる。\n例題 69 (2) のように, 放物線と 軸との交点が条件に含まれる場合は,(3)分解形からスタートするとよい。\n(2)一般形を使ってもよいが, 方程式を解く計算は分解形の利用の方がらくである。\n\n例えば 3 点の座標が与えられたとき, (1)の \( y=a(x-p)^{2}+q \) からスタートしてしまうと,かの2次式を含む連立方程式を解くことになり, 計算が煩雑になる。\n与えられた条件をもとに, 答えを求めやすい形はどれか, を見極めてスタートすることが大切です。また, (1)〜③) どれを利用しても, 方程式を解くことになります。一般に, 方程式の数が少ない方が計算はらくなことが多いので, ① (基本形) か③(分解形)からスタートできないかを考えて, 無理なら③からスタートすることを検討すると良いでしょう。
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次の条件を満たす2次関数を求めよ。
(1)グラフの頂点が点(1,3)で, 点(-1,4)を通る。
(2)グラフの軸が直線x=4で,2点(2,1),(5,-2)を通る。
(3) x=3で最大値10をとり, x=-1のとき y=-6である。
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基 本 例題 832 次関数のグラフと 軸の共有点\n次の (1)〜(3)の 2 次関数のグラフについて,下の問いに答えよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(1) (1)〜(3) のグラフと 軸の共有点の個数を, それぞれ求めよ。\n(2)(1)において共有点をもつ場合,その座標を求めよ。
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127\n8 2次関数の最大・最小と決定\nA \ 53^{3} k \ は定数とし, 2 次関数 \ y=x^{2}+4 k x+24 k \ の最小値を \\( m(k) \\) とする。\n(1) \\( m(k) \\) をの式で表せ。\n(2) \\( m(k) \\) を最大にする \ k \ の値と, \\( m(k) \\) の最大値を求めよ。\n[類 東京情報大]
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y=2 x^{2}-4 x+5 のグラフ G を y 軸方向に k だけ平行移動したグラフを H とする。グラフ H が x 軸と異なる2点で交わるとき、その2点の間の距離 して,2≦ x≦6 の範囲で x 軸と異なる2点で交わるようにできるとき, k のとりうる値の範囲は □≦ k< □ である。
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放物線 y = -x^2 + x - 2をx軸方向に-3、y軸方向に1だけ平行移動した後の放物線の方程式を求めよ。
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放物線 y=x^2-3x-1 を平行移動して 2 点 (1,-1),(2,0) を通るようにしたとき, その放物線の頂点を求めよ。
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2 次関数のグラフである放物線は,わたしたちの身近なところにも多く存在している。 そのような例をいくつか見てみよう。
[例 1] 斜めに投げ上げられた物体の軌跡
キャッチボールをするとき, ボールの軌道は放物線を描く。 また,離れたところからホースを使って草木に水をやるとき の水の軌道も放物線となる。な扒, 16〜17世紀のヨーロッパ では, 大砲の砲弾を命中させようと, その軌道が盛んに研究 されていた。
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次の 2 次関数のグラフが x 軸から切り取る線分の長さを求めよ。 (1) y=4 x^{2}-7 x-11 (2) y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9
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・aについて 係数 a の符号や絶対値は,放物線が下に凸か上に凸か, および,放物線の開き具合に関係する。 【下に凸か,上に凸か】 a>0 → 放物線は下に凸 a<0 → 放物線は上に凸 【開き具合】 |a| の値を大きくする → 開き具合は小さくなる |a| の値を小さくする → 開き具合は大きくなる
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ある放物線を 軸方向に 軸方向に -2 だけ平行移動した後, 軸に関して対称移動したとき,放物線 となった。もとの放物線の方程式を求めよ。
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PR は定数とする。関数 \( f(x)=3 x^{2}-6 a x+5(0 \leqq x \leqq 4) \) について\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。\n\( f(x)=3 x^{2}-6 a x+5=3(x-a)^{2}-3 a^{2}+5 \)\nこの関数のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線 である。
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x, y が 2 x^{2}+y^{2}-4 y-5=0 を満たすとき, x^{2}+2 y の最大値と最小値を求めよ。
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次の条件のもとで、関数 f(x) の最大値と最小値を求めなさい。\n(2) \n(3) \n図や各条件に基づいて最適な x を見つけてください。
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a は定数とする。 a ≤ x ≤ a + 2 における関数 f(x) = x^2 - 2x + 2 の最小値を求めよ。
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次の条件下での関数 \( f(x) \) の解の個数や性質を調べよ。\n[1] のとき, \( f(x)<0 \) を満たす が存在する条件は何か。\n[2] の場合の \( f(x) \) の解は何か。\n[3] のとき、解の性質はどうなるか。
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は正の定数とする。 における関数 \(f(x)=x^{2}-4 x+5\) について\n(1)最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。
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(1) Aに1を入力し,B, Cにある値をそれぞれ入力したところ,図1のようなグラフが表示された。このときのb, cの値の組み合わせとして最も適当なものを,次の0~ (7)のうちから1つ選べ。 ア (0) b=2, c=3 (1) b=2, c=-3 (2) b=-2, c=3 (3) b=-2, c=-3 (4) b=3, c=2 (5) b=3, c=-2 (6) b=-3, c=2 (7) b=-3, c=-2
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次の 2 次曲線と直線は共有点をもつか。共有点をもつ場合は, 交点か接点かを述べ, その点の座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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楕円 \( \frac{(x+4)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1 \) 上の点 \( \left(-1, \frac{1}{5}\right) \) における接線の方程式を求めよ。
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次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。 (1) 頂点が原点で, 焦点が y 軸上にあり, 準線が点 (3,2) を通る (2) 頂点が原点で, 焦点が x 軸上にあり, 点 (-2, √6) を通る
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次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。
(1)頂点が原点で, 焦点が y 軸上にあり, 準線が点 (3,2) を通る
(2)頂点が原点で,焦点が x 軸上にあり, 点 (-2, √6) を通る
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楕円 \( \frac{(x+4)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1 \) 上の点 \( \left(-1, \frac{1}{5}\right) \) における接線の方程式を求めよ。
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(1) 放物線の方程式を変形すると よって \( \quad(y+t)^{2}=4\left(x-t^{2}+t\right) \)
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次の曲線上の点 P におる接線と法線の方程式を求めよ。\n(1) \\( y^{2}=4 p x(p \\neq 0), \\mathrm{P}\\left(x_{1}, y_{1}\\right) \\)\n(2) \\( x^{2}-y^{2}=1, \\mathrm{P}(2, \\sqrt{3}) \\)\n(3) \ x=\\cos 2 \\theta, y=\\sin \\theta+1, \\mathrm{P} \ は \ \\theta=\\frac{\\pi}{6} \ に対応する点
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32 次曲線と領域
一般に, 曲線 \( f(x, y)=0 \) は座標平面をいくつかの部分(ブロック)に分ける。そして, \( f(x, y) \) が の多項式であるとき, \( f(x, y) \) の符号は境界線 \( f(x, y)=0 \) で分けられた各部分で一定である。
境界線が 2 次曲線の場合は次のようになる。ただし, とする。
CHECK 問題
14 次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
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(2) より, であるから\n\ny=-\left(1-\cos ^{2} \theta\right)=x^{2}-1\n\nまた, であるから \nよって放物線 の の部分
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関数 ( ) を ( ) で考える。 ( ) のグラフの点 ( ) における接線を ( ) とし, ( ) と ( ) 軸との交点を ( ) とする。次の問いに答えよ。ただし,実数 ( ) に対して ( ) であることは証明なしで用いてよい。
(1) ( ) がとりうる値の範囲を求めよ。
(2) ( ) である ( ) に対して, ( ) と ( ) が ( ) 軸上で交わるとき, ( ) のとりうる 値の範囲を求め, ( ) を ( ) で表せ。
(3) (2) の ( ) に対して, ( ) とおく。 ( ) を求めよ。
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本冊 \n直線 は,\n楕円 の接線でないから, 点 \\( \\mathrm{P}(5, t) \\) を通る楕円 (1) の接線の方程式は\n\\[\n y=m(x-5)+t\n\\]\nとおける。\nそれを楕円の方程式 (1) に代入し整理します。\nこのとき、楕円と直線が接する条件を導き、結果としての判別式 を用いて方程式を解いていきます。\n次に、その解を用いて最終的な解を求め、最大値を出す。
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次のような 2 次曲線の方程式を求めよ。ただし, とする。(1) 放物線 を平行移動したもので, 準線が直線 , 焦点が点 \( (3,4) \) である。(2) 双曲線 を平行移動したもので, 2 直線 を漸近線にもち, 点 \( (3,3) \) を通る。
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(2) 3 次関数 \( f(x) \) は と で極値をとり, 曲線 \( y=f(x) \) と曲線 は点 \( (0,1) \) において共通の接線をもつとする。このとき, \( f(x) \) を求めよ。\n[早稲田大]
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練習 65 本冊 p.394
(2) f(x) が極値をもつならば、f^{\prime}(x)=0 となる x の値 c があり, 2次方程式 x^2 + 2x - a + 2 = 0 の判別式を D とすると D>0 ここで D/4 = 1^2 - (-a + 2) = a - 1 D>0 から a>1 このとき, f^{\prime}(x) の分母について (x + 1)^2 + a - 1 \neq 0 であり, f^{\prime}(x) の符号は x=c の前後で変わるから f(x) は極值をもつ。 ゆえに a>1
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数学 EX\n\( f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 \) とするとき, \( y=f(x) \) のグラフと 軸で囲まれた部分の面積 を求めなさい。ただし, は正の定数とする。
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f(x)=x^{2}-2 a|x|+a^{2}-1 とするとき, y=f(x) のグラフと x 軸で囲まれた部分 の面積 S を求めよ。ただし, a は正の定数とする。\n[類 中央大]
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また, 直線 (1) が円 \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 \) に, 領域 に含まれる 部分で接するとき, の値は最小となる。\n(1) と \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 \) を連立して\n\\[\n\\begin{array}{l}\n(x-1)^{2}+(-\\sqrt{3} x+k-1)^{2}=1 \\\\ \\text { よって } \\quad 4 x^{2}-2(\\sqrt{3} k+1-\\sqrt{3}) x+k^{2}-2 k+1=0 \\end{array} \\]\n の 2 次方程式 (3) の判別式を とすると\n\\[ \\begin{aligned} \\frac{D_{2}}{4} & = ( \\sqrt{3}k+1-\\sqrt{3})^{2}-4 \\left(k^{2}-2k+1\\right) \\\\ & = -k^{2}+2(\\sqrt{3}+1)k-2\\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\n\n直線 (1) が円に接するための条件は \nよって \( \\quad -k^{2}+2(\\sqrt{3}+1)k-2\\sqrt{3}=0 \)\nこれを解いて \n接点が領域 に含まれるとき, 接線 (1)の 切片は 1 より小さ いから\n\ k=\\sqrt{3}-1 \\n\nこのとき, ③ の重解は\n\\[ x=-\\frac{-2\\{\\sqrt{3}(\\sqrt{3}-1)+1-\\sqrt{3}\\}}{2 \\cdot 4}=\\frac{2-\\sqrt{3}}{2} \\]\n(1) から y=-\\sqrt{3} \\cdot \\frac{2-\\sqrt{3}}{2}+\\sqrt{3}-1=\\frac{1}{2} \\n\nしたがって \\quad x=\\frac{\\sqrt{3}}{2}, y=\\frac{1}{2} \ のとき最大値 2 ;\n x=\\frac{2-\\sqrt{3}}{2}, y=\\frac{1}{2} \ のとき最小値 \\sqrt{3}-1 \
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数学\n\\( y=\\left(x^{2}+x-1\\right)(-2 x-1)+5 x+8 \\) であり、\ x=\\frac{-1 \\pm \\sqrt{5}}{2} \ のとき、\ y^{\\prime}=0 \ となる。すなわち、\ x^{2}+x-1=0 \ から \ x=\\frac{-1-\\sqrt{5}}{2} \ のとき \ y=5 \\cdot \\frac{-1-\\sqrt{5}}{2}+8=\\frac{11-5 \\sqrt{5}}{2} \ となることを証明せよ。\ x=\\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ のときも同様に、\ y=5 \\cdot \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}+8 \ となることを示せ。
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放物線 y = -x^2 + x + 2 上の点 P と、直線 y = -2x + 6 上の点との距離は、P の座標がアのとき最小値イをとる。
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放物線 \( y=x^{2}+(2 t-10) x-4 t+16 \) の頂点を とする。 が 0 以上の値をとって 変化するとき,頂点Pの軌跡を求めよ。
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(2)放物線と円が異なる 4 個の共有点をもつのは, 2 次方程式 (1) が 1<y<3 の範囲に異なる 2 つの実数解をもつとき である。よって, 次の [1]〜[3] を同時に満たす a の値の 範囲を求める。なお, f(y)=2 y^{2}-7 y-a+6 とする。\n[1] (1) の判別式を D とすると D>0\nゆえに, 8a+1>0 から a>-\u22121/8\n[2]軸について 1<\\frac{7}{4}<3 これは常に成り立つ。\n[3] f(3)=3-a>0 から a<3\nf(1)=1-a>0 から a<1\n(3)〜(5) の共通範囲を求めて -\\frac{1}{8}<\\alpha<1
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EX a は正の定数とする。放物線 y=x^{2}+a 上の任意の点 P における接線と放物線 y=x^{2} で囲まれる図形の面積は、点 P の位置によらず一定であることを示し、その一定の値を求めよ。P(p, p^{2}+a) とする。
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198\n124 領域と 1 次式の最大・最小 (2)\n が 2 つの不等式 を満たすとき, の最大値およ び最小値を求めよ。
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練習 2 次方程式 x^{2}-2(a-4) x+2 a=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数 a の値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに2より大きい。
(2) 2 つの解がともに 2 より小さい。
(3) 1 つの解が 4 より大きく, 他の解は 4 より小さい。
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m は定数とする。放物線 y=f(x) は原点を通り, 点 (x, f(x)) における接線の傾きが 2 x + m であるという。放物線 y=f(x) と放物線 y=-x^{2}+4x+5 で囲まれる 図形の面積を S とする。 S の最小値を求めよ。
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1]放物線と円が2点で接する場合 …...(*)\n2 次方程式 (1) は(2)の範囲にある重解をもつ。\nゆえに(1)の判別式を D とすると D=0。\nここで D=(-7)^{2}-4 \\cdot 2(-a+6)=8a+1\nゆえに 8a+1=0 よって a=-\\frac{1}{8}\nこのとき, (1)の解は y=-\\frac{-7}{2 \\cdot 2}=\\frac{7}{4} となり, (2) を満たす。
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数学 π −303 (i), (ii) どちらの場合も x=0 で極小となる。\nf(0)=-a^{3}+a+b \geqq 0 から \n\n[3] すなわち のとき\n(1) は実数解をもたない。\nまた \quad 2 x^{2}+3 a x+a^{2}+1>0\nゆえに, f(x) の増減表は右のようになる。\nよって, f(x) は x=0 で極小となり, 極値を 1 つだけもつか ら、適する。また、 f(0) \geqq 0 から b \geqq a^{3}-a [1] [3] から, 求める条件は\n\n
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連立不等式 \( x^{2}+(y-4)^{2} \geqq 4, y \geqq-\frac{2}{3} x^{2} \) の表す領域を とする。 に含まれ, 切片が 0 以上 2 以下である直線のうち, 傾きが最大のものを求めよ。
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放物線 y=x^2-x の頂点を P とする。点 Q はこの放物線上の点であり, 原点 O(0,0) とも点 P とも異なるとする。∠OPQ が直角であるとき, 点 Q の座標を求めよ。[長崎大]
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EX 149 を実数とする。定積分 \\( I=\\int_{0}^{3}\\left(x^{2}+2a x-a^{2}\\right) dx \\) の値が最大となるのは \ a= \ ・ \ \\\ ときで, そ のとき \ I= \ ・ \ \\\ である。\n[類 京都産大]\n\\( I=\\int_{0}^{3}\\left(x^{2}+2 a x-a^{2}\\right) dx=\\left[\\frac{x^{3}}{3}+a x^{2}-a^{2} x\\right]_{0}^{3}=9+9a-3a^{2} \\)\n\\( =-3a^{2}+9a+9=-3\\left(a-\\frac{3}{2}\\right)^{2}+\\frac{63}{4} \\)\n\ \\leftarrow \\ず,定積分 { I } を計算。 Iは a の 2 次式 \\n\ \\longrightarrow \ 基本形に直す。\nよって, \ I \ は \ a=\\frac{3}{2} \ のとき最大となり, そのとき \ I=\\xlongequal{\\uparrow} \\frac{63}{4} \\n
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平面上の点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が単位円周上を動くとき, の最大値と, 最大値を与える点 の座標を求めよ。
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次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(3) \( (x+2 y-4)\left(x^{2}+y^{2}-2 x-8\right)<0 \)
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総合 29\n\ x \ の 2 次関数で, そのグラフが \ y=x^{2} \ のグラフと 2 点で直交するようなものをすべて求めよ。 ただし,2つの関数のグラフがある点で直交するとは,その点が2つのグラフの共有点であり, かつ接線どうしが直交することをいう。\n[京都大]
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傾きが の直線 と放物線 との交点を とし, その 座標 をそれぞれ \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) とする。また, 線分 の中点 の座標が \( (5,12) \) であるとする。点 が直線 上にあることより, は, 2 次方程式 \( x^{2}-(m+ア \square) x+5 m-1 \square=0 \) の 2 解であり, 点 が線分 の中点である ことより, =ウ となる。したがって, オ , カ ), キ , ク )である。また, の範囲で, 上の点 \( \mathrm{P}\left(t, t^{2}-4 t+3\right) \) が 動くとき, の面積は, , コ )のとき最大となる。
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
(2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+3 \leqq 0 \\ x+3 y-3 \geqq 0\end{array}\right. \)
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放物線 y = x^2 - 2(t+1)x + 2t^2 - t の頂点は, t の値が変化するとき, どんな曲線上を動くか。
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放物線 上の点 \( \left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{1} \neq 0, y_{1} \neq 0\right) \) における の法線の傾きは 。\n とすると 。\n一方, 。\n(1)が成り立つ。\n(1)に を代入すると \( \quad(-2 m)^{2}=4 x_{1} \)。\nゆえに 。\nよって, 求める法線の方程式は\n\[\ny-(-2 m)=m\left(x-m^{2}\right)\n\]\nすなわち 。\n一方, 原点における放物線 の法線の方程式は 。\n(2)において、 とすると 。\nゆえに,原点における法線も(2)に含まれる。\nよって, 求める法線の方程式は\n\n(2) 直線 (2) が点(a,0)を通るとき\n\[\n\begin{array}{ll}\n0=m a-m^{3}-2 m \\\n\text { よって } \quad & m\left\{m^{2}-(a-2)\right\}=0\n\end{array}\n\]\nここで, 法線の本数は方程式3)の異なる実数解の個数と一致 する。\n(3) から \n[1] すなわち のとき, から\n\nよって、 の方程式 (3) は異なる 3 個の実数解をもつから,法線は 3 本引ける。\n[2] かつ すなわち のとき\n の実数解は 0 またはなし\n\nよって、 の方程式 (3)の実数解は 1 個であるから, 法線は 1 本引ける。\n[1]\n[2]\n\nゆえに のとき 3 本;\n のとき 1 本
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④148 放物線 をCとする。\n(1) 放物線 の傾き の法線の方程式を求めよ。\n(2) 軸上の点 \( (a, 0) \) から放物線 に法線が何本引けるか。ただし、 とする。
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(3) 定義域は, 1-4 x^{2} \\geqq 0 から \\quad-\\frac{1}{2} \\leqq x \\leqq \\frac{1}{2}
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練習次の2次曲線と直線は共有点をもつか。共有点をもつ場合には, 交点・接点の別とその点の座標を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3)
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f(x)=2 \\sqrt{x}と区間 [1,4] について, 平均値の定理の条件を満たす c の値を 求めよ。
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次の 2 次曲線の, 与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。\n(ア) \ x^{2}-4y^{2}=4 \, 点 \\( (2,3) \\)
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実数 x, y が 2 つの不等式 x^2 + 9 y^2 ≤ 9, y ≥ x を満たすとき, x + 3y の最大値, 最小値を求めよ。
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関数 \( f(x), g(x) \) は区間 で連続で, \( f(x) \) の最大値は \( g(x) \) の最大値より大きく, \( f(x) \) の最小値は \( g(x) \) の最小値より小さい。このとき, 方程式 \( f(x)=g(x) \) は, の範囲に解をもつことを示せ。
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問 前ページの基本事項の公式を利用して, 次の 2 次曲線上の, 与えられた点における接線の方程式を求めよ。
(1) , 点 \( (1,2) \)
(2)
点 \( (3,2) \)
(3) , 点 \( (-2 \sqrt{5}, 1) \)
[(2) 九州産大〕
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接線と法線の方程式の基本問題を解いてください。例えば、曲線 における点 (1, 1) での接線の方程式を求めなさい。
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関数 \( y=\sqrt{2 x+4}(a \leqq x \leqq b) \) の値域が であるとき, 定数 の值を 求めよ。
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次の 2 次曲線の, 与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。\n(イ) \ y^{2}=8x \, 点 \\( (3,5) \\)
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PRACTICE \2つの曲線 \( y=-x^{2}, y=\frac{1}{x} \)の両方に接する直線の方程式を求めよ。
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媒介変数 \ t \ によって, \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(\\-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) と表される曲線と,y軸で囲まれた図形の面積 \ S \ を求めよ。\n\ \\begin{\overlineray}{l}\n\\frac{d x}{d t}=2+2 t, \\frac{d y}{d t}=1+4 t \\\\\n\\frac{d x}{d t}=0 \\text { とすると } \\quad t=-1 \\\\\n\\frac{d y}{d t}=0 \\text { とすると } \\quad t=-\\frac{1}{4}\n\\end{\overlineray}\
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点 A(1,4) から双曲線 4 x^{2}-y^{2}=4 に引いた接線の方程式を求めよ。また、その接点の座標を求めよ。
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放物線 y^2 = 4ax の焦点は次のどれか。
1) (a, 0)
2) (0, a)
3) (a, a)
4) (0, 0)
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4章 微分法の応用\n117\n2x^2+x+1=2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{7}{8}>0 であるから, y'=0 とすると x=1 \nyの増減表は次のようになる。\n\n問題: yが極大値1を取る点を求めなさい。
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2 次曲線の接線\n曲線上の点 \( \\left(\\boldsymbol{x}_{1}, \\boldsymbol{y}_{1}\\right) \\) における接線の方程式 \( (p \\neq 0, a>0, \\quad b>0) \\)\n1 放物線\n\\[ \\begin{array}{lll} y^{2}=4 p x \\\\ x^{2}=4 p y \\end{array} \\quad \\longrightarrow \\quad \\begin{array}{l} y_{1} y=2 p\\left(x+x_{1}\\right) \\\\ x_{1} x=2 p\\left(y+y_{1}\\right) \\end{array} \\]\n2 楕 円 \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}+\\frac{y_{1} y}{b^{2}}=1 \\n3 双曲線 \\quad \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}= \\pm 1 \\quad \\longrightarrow \\quad \\frac{x_{1} x}{a^{2}}-\\frac{y_{1} y}{b^{2}}= \\pm 1 \ (複号同順)
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次の 2 次曲線と直線の共有点の個数を調べよ。
(1) 2 x^{2}+y^{2}=1, x+y=1
(2) y^{2}=2 x, 2 x-2 y+1=0
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数学 \r\nここで \( \quad d y=\left(1-3 t^{2}\right) d t \)\r\nまた,(1)の の値の変化の表から\r\nV =\pi \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(1-t^{2}\right)^{2}\left(1-3 t^{2}\right) d t-\pi \int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(1-t^{2}\right)^{2}\left(1-3 t^{2}\right) d t =\pi \int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{2}\left(1-3 t^{2}\right) d t =\pi \int_{0}^{1}\left(1-5 t^{2}+7 t^{4}-3 t^{6}\right) d t =\pi\left[t-\frac{5}{3} t^{3}+\frac{7}{5} t^{5}-\frac{3}{7} t^{7}\right]_{0}^{1} =\frac{32}{105} \pi \r\n\r\n別解 バウムクーヘン分割(本冊 p. 268 STEP UP 参照)を利用すると, 求める体積 は\r\nV =2 \pi \int_{0}^{1} x y d x=2 \pi \int_{1}^{0}\left(1-t^{2}\right)\left(t-t^{3}\right)(-2 t) d t =4 \pi \int_{0}^{1}\left(t^{6}-2 t^{4}+t^{2}\right) d t=4 \pi\left[\frac{t^{7}}{7}-\frac{2}{5} t^{5}+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{32}{105} \pi
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2 次曲線と離心率 e \\n楕円・双曲線も, 放物線と同じように, 定点 \\mathrm{F} \ と定直線 \\ell \ からの距離の比が一定であ る点の軌跡として定義できる。すなわち, 点 \\mathrm{P} \ から \\ell \ 引いた垂線を \\mathrm{PH} \ とするとき \\mathrm{PF}: \\mathrm{PH}=e: 1 \ ( e \ は正の定数) を満たす点 \\mathrm{P} \ の軌跡は, \\mathrm{F} \ を 1 つの焦点とする 2 次曲線で, \\ell \ を準線, e \ を 2 次曲線の離心率という。このとき, e \ の値によって 2 次曲線 は,次のように分類される。\n 0<e<1 \ のとき 楕円 \\quad e=1 \ のとき 放物線 \\quad e>1 \ のとき 双曲線
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次の 2 次曲線に与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。\n(ア) \( x^{2}-4 y^{2}=4, \quad(-2,3) \)\n(1) \( y^{2}=8 x,(3,5) \)\n(2)放物線 と楕円 の共通接線の方程式を求めよ。
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次の曲線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。\n(1) \( y^{2}=4 x,(1,2) \)\n(2) \( \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1,(\sqrt{3}, \sqrt{3}) \)\n(3) \( \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1,(-2 \sqrt{5}, 1) \)\n(4) \( 4 x^{2}-5 y^{2}=-1,(1,-1) \)
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次の方程式はどんな図形を表すか。\n\n\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+6 x-3 y+z+11=0 \
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練習問題:\n(1) 放物線 は,放物線 をどのように平行移動したものか。\n(2) 軸方向に 軸方向に 2 だけ平行移動すると,放物線 に移されるような放物線の方程式を求めよ。
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次の 2 次関数のグラフは x 軸と共有点をもつか。もつときは, その座標を求めよ。\n(3) y = 3x^2 - 6x + 4
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次の2次関数のグラフを平方完成して頂点の座標を求めてください。\n\( y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) \)
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次の 2 次関数のグラフをかき,その軸と頂点を求めよ。\n(1) \\( y=(x+2)^{2}+1 \\)\n(2) \ y=2 x^{2}-4 x+6 \\n(3) \ y=-2 x^{2}-6 x+8 \
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【練習問題 2】\n次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。\n y = x^{2} - x \]\n\[ y = -x^{2} + 3 x - 2
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演習 (2)2 次関数 のグラフが直線 と接するように、 定数 の 値を定めよ。また, そのときの接点の座標を求めよ。
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次の 2 次関数のグラフは x 軸と共有点をもつか。もつときは, その座標を求めよ。\n(1) y = 2x^2 - 3x - 1
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数学 I
(2)
この関数は x=-1 のとき最小となり、その値は c - 5
最小値が -10 であるための条件は c - 5 = -10
これを解いて c=-5
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次の 2 次関数に最大値, 最小值があれば, それを求めよ。\n(1) \n(2) \( y=-(x-3)^{2} \)\n(3) \( y=3(x-1)^{2}+2 \)\n(4) \n(5)
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次の 2 次関数のグラフは x 軸と共有点をもつか。もつときは, その座標を求めよ。\n(2) y = -x^2 + 6x - 9
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例題 60 | 放物線と直線の共有点の個数\n2 次関数 のグラフと直線 の共有点の個数を調べよ。ただし, は定数とする。
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関数 \( y=-x^{2}+6 x+c(1 \leqq x \leqq 4) \) の最小値が 1 となるように, 定数 の値を定めよ。 また, そのときの最大値を求めよ。
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数学 I\n(1) \( x^{2}-2x<a(x-2) \) から\n(x-2)(x-a)<0\n[1] のとき (1)の解は \n[2] のとき (1) は \( (x-2)^{2}<0 \)\nしたがって, 解はない。\n[3] のとき (1)の解は \n以上から のとき \n のとき 解はない\n のとき
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数学 I 87 練習 66 本冊 p.143 f(x)=x^2-a x+a+8 とする。0 ≦ x ≦ 5 における f(x) の最小値が 0 以上であればよい。f(x) を変形すると
f(x) = x^2-a x+a+8 = (x-a/2)^2 - a^2/4 + a + 8
[1] 0<a/2<5 すなわち 0<a<10 のとき 0 ≦ x ≦ 5 における f(x) の最小値は f(a/2) = -a^2/4 + a + 8 したがって -a^2/4 + a + 8 ≧ 0
整理すると a^2-4 a-32 ≦ 0 (a+4)(a-8) ≦ 0
よって -4 ≦ a ≦ 8 0<a<10 との共通範囲は 0<a ≦ 8 [2] a/2 ≧ 5 すなわち a ≧ 10 のとき 0 ≦ x ≦ 5 における f(x) の最小值は f(5) = 5^2 - a * 5 + a + 8 = -4 a + 33 したがって -4 a + 33 ≧ 0
よって a ≦ 33/4 これと a ≧ 10 との共通範囲はない。以上から, 求める a の値の範囲は 0<a ≦ 8
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以上から\n\[\\begin{array}{ll}\na<-\\frac{2}{3} \\text { のとき } & m(a)=2 a^{2}+3 a+2 \\\\\n-\\frac{2}{3} \\leqq a \\leqq \\frac{2}{3} \\text { のとき } & m(a)=-\\frac{a^{2}}{4}+1 \\\\\n\\frac{2}{3}<a \\text { のとき } & m(a)=2 a^{2}-3 a+2\\\n\\end{array}\]
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グラフが次の条件を満たすとき,その2次関数を求めよ。(1)頂点が 軸上にあって, 2 点 \( (0,4),(-4,36) \) を通る。 (2) 放物線 を平行移動したもので, 点 \( (2,3) \) を通り, 頂点が直線 上にある。
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2 次方程式 が異なる 2 つの実数解をもち, そのうちの 1 つだけが の範囲にあるとき, 定数 の値の範囲を求めよ。
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重要例題 93 係数が三角比の方程式 (2) \ x \ についての 2 次方程式 \\( x^{2}-(\\cos \\theta) x+\\cos \\theta=0\\left(0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}\\right) \\) が異なる 2 つの 実数解をもち,それらの解がともに区間 \ -1<x<2 \ に含まれるように \ \\theta \ の値の範囲を定めよ。 [秋田大] <例題75
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2 次関数 のグラフを\n(1) 軸\n(2) 軸\n(3) 原点\n\nのそれぞれに関して対称移動した曲線をグラフにもつ 2 次関数を求めよ。
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a < 0 のとき、右のグラフから で最小となる。最小値は \( f(0)=5 \)\n0 ≤ a ≤ 4 のとき、右のグラフから で最小となる。最小値は \( f(a) = -3a^{2} + 5 \)
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(1) 与えられた関数は、2 次関数であるから a ≠ 0である。
関数 y = a x^2 + 4 a x + b を平方完成すると、y = a (x+2)^2 - 4 a + b となる。
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線分 AC を直径とする円の半径を とすると、次のようになります。\n\n1. 線分 AC を直径とする円の半径を とする。\n\n\[
\\mathrm{AC} = \\mathrm{BD} = 2x,\n\\mathrm{CD} = 6 - 2 \\times 2x = 2(3 - 2x)\n\]\n\n の範囲で、 を で表すと\n\n\(\nS = \\pi x^{2} + \\pi(3 - 2x)^{2} + \\pi x^{2} = 3 \\pi(2 x^{2} - 4 x + 3) = 6 \\pi(x - 1)^{2} + 3 \\pi\n\)\n\nこのとき、 で が最小値 を取ります。
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次の問い 45 に答えよ。\n関数 \( f(x)=-x^{2}+6 x \) について, 次の問いに答えよ。\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。
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次の2次関数のグラフの頂点と軸を求めてください。\n\( y = a(x - p)^2 + q \) (ただし )
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例 46 放物線が 軸から切り取る線分の長さ\n は定数とする。放物線 が 軸から切り取る線分の長さを と する。\n(1) を 式で表せ。\n(2) であるとき, の値を求めよ。
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(1) のグラフ。\n(2) \( y=2(x-1)^2 \) のグラフ。\n(3) \( y=2(x+1)^2-4 \) のグラフ。
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参考 直線 y=1 に関する対称移動により, 放物線 C_{1} 上の点 P(x, y) が点 P^{\\prime}(x^{\\prime}, y^{\\prime}) に移るとすると x^{\\prime}=x, \\frac{y+y^{\\prime}}{2}=1\nよって x=x^{\\prime}, y=2-y^{\\prime} これを y=a x^{2}+b x+4 に代入して\n2-y^{\\prime}=a x^{\\prime 2}+b x^{\\prime}+4\nすなわち, 放物線 C_{2} の方程式は\n2-y=a x^{2}+b x+4\n同様にして, 放物線 C_{3} の方程式を求めると\n2-y=a(2-x)^{2}+b(2-x)+4\nC_{2}, C_{3} がそれぞれ点 (-2,-10), 点 (3,-2) を通ることから, a, b の連立方程式が得られ, これを解くと, a, b の値が求めら れる。
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【練習問題 3】\n次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。\n y = 2 x^{2} - 10 x + 7 \]\n\[ y = -x^{2} - 6 x + 2
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【練習問題 1】\n次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。\n y = x^{2} - 3 \]\n\[ y = -x^{2} + 2 x + 9
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関数 \( f(x) = -x^2 - ax + 2a^2 \) の最大値を求めてください。\nグラフは上に凸の放物線で、軸は直線 です。\n\n(1) すなわち のとき\n右のグラフから、 で最大値 \( f(0) = 2a^2 \) をとる。よって ゆえに、 から 。\n\n最大値を取る を求めなさい。
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軸 が の範囲にあるとき, すなわち, のとき 右のグラフから, で最小となる。最小値は\n \\[ f(a)=-a^{2}-4 a\\]
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次の2次関数のグラフは、関数 のグラフをどのように平行移動したものか。\n(1) \n(2) \( y=2(x-1)^{2} \)\n(3) \( y=2(x+1)^{2}-4 \)
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) グラフの頂点が点 \( (-1,3) \) で, グラフが点 \( (1,-1) \) を通る。\n(2) グラフが 3 点 \( (-1,5),(2,5),(3,9) \) を通る。\n(3) グラフが 軸と 2 点 \( (-1,0),(3,0) \) で交わり, 点 \( (2,-9) \) を通る。
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実数 が \( x^{2}+(y-1)^{2}=5 \) を満たすとき, の最大値と最小値, およびそのときの の值を求めよ。
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41 y=x^{2}-3 x+6 \quad\left[y=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{15}{4}\right]
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練習 次の放物線と直線は共有点をもつか。もつときは,その座標を求めよ。\n59\n(1) \n(2) \n(3)
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次の連立方程式の共有点を求めよ。\n(3) \n\ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}y=-x^{2}+4x-3 \\\\ y=2x\\end{\overlineray}\\right. \
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次の条件を満たすように, 定数 の値を定めよ。 (1) 関数 \( y=x^{2}-10 x+c(3 \leqq x \leqq 8) \) の最大値が 10 である。 (2) 関数 \( y=-x^{2}+4 x+c(-1 \leqq x \leqq 1) \) の最小値が -10 である。 まず, 平方完成し, 基本形に直す。 正確なグラフはかけない が, 軸の位置と区間の両端の関係がわかるように かく。
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関数は数量の間の関係を与える概念であり、記号式 y=f(x) によって表すことができる。この関数を座標平面の式で「視覚化」したものがグラフである。この章では、特に関数 y=ax^2+bx+c の基本性質やそのグラフの図形的性質について学ぶ。高校数学では、2次関数に関する知識が様々な場面で必要となるので、必ずマスターしておきたい。
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例 36 | グラフと係数の符号\n右の図は,関数 \ y=a x^{2}+b x+c \ のグラフである。次の 式の符号を調べよ。\n(1) \ a \\n(2) \ b \\n(3) \ c \\n(4) \ b^{2}-4 a c \\n(5) \ a+b+c \\n(6) \ a-b+c \
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次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。
(2) x=0 のとき最大値 2 をとり, x=-3 のとき y=-7 である。
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関数 \( f(x)=x^{2}-2 a x+a^{2}-2 \) について, 次の問いに答えよ。ただし は定数とする。 (1) における \( f(x) \) の最大値が 6 , 最小値が -2 となるような の値を求 めよ。(2) における \( f(x) \) の最大値と最小値の差が 20 となるような の値を求め よ。
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例題:
1. 次の2次関数の頂点の座標と軸を求めよ。y = 2x^2 - 4x + 1
2. 次の2次関数の最大値・最小値を求めよ。y = -3x^2 + 6x - 2
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練習 本冊 (1) から 上の点 \( \left(a, a^{2}\right) \) における接線の方程式は \[ y-a^{2}=2 a(x-a) \] すなわち (1) が と接するための条件は, を 消去した の方程式 すなわち \( \quad x^{2}-2(a+3) x+15+a^{2}=0 \) が重解をもつことである。 よって, この判別式を とすると \( \frac{D}{4}=\{-(a+3)\}^{2}-1 \cdot\left(15+a^{2}\right)=6(a-1) \) であるから, すなわち より (1)に代入して, 求める方程式は 別解 から 上の点 \( \left(b, b^{2}-6 b+15\right) \) における接線の方程式は \[ y-\left(b^{2}-6 b+15\right)=(2 b-6)(x-b) \] すなわち \( y=(2 b-6) x-b^{2}+15 \) 求める直線は(1) と (2) が一致する場合であり, その条件は (3) かつ
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(3) 2 次関数 \( f(x)=x^{2}+a x+b \) が \( 2 f(x)=(x+1) f^{\prime}(x)+6 \) を満たすとき, 定数 の値を求めよ。
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演習 68 III 本冊 p.300\n(1) \( y=a x^{2}+b x+a b から \( \quad y^{\prime}=2 a x+b )\n\( C_{2} 上の点 \( \left(t, a t^{2}+b t+a b\right) における接線の方程式は\ny-\left(a t^{2}+b t+a b\right)=(2 a t+b)(x-t)\nすなわち \( y=(2 a t+b) x-a t^{2}+a b ) (1) が \( C_{1} と接するための条件は, y を消去した \( x の方程式\nx^{2}=(2 a t+b) x-a t^{2}+a b\nすなわち \( \quad x^{2}-(2 a t+b) x+a t^{2}-a b=0 が重解をもつことである。\nよって, (2)の判別式を \( D とすると \( D=0 )
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(1)\\[\n\\begin{aligned}\ny^{\\prime} & =-3 x^{2}+12 x-9 \n& =-3\\left(x^{2}-4 x+3\\right) \n& =-3(x-1)(x-3)\n\\end{aligned}\n\\]\n\ y^{\\prime}=0 \ とすると \ \\quad x=1,3 \\n\ y \ の増減表は右のようになる。 よって, グラフは図(1)\n\n(2) \\( y^{\\prime}=x^{2}+2 x+1=(x+1)^{2} \\) \ y^{\\prime}=0 \ とすると \ \\quad x=-1 \ \ y \ の増減表は右のようになる。 よって, 常に単調に増加する。 よって, グラフは図 (2)\n\n\\n\\begin{\overlineray}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots & 3 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & - & 0 & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\searrow & \\text{極小 -2} & \\nearrow & \\text{極大 2} & \\searrow \n\\hline\n\\end{\overlineray}\n\
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接線の傾きが 9 となる接点の 座標を とすると\n\n\n整理すると \n\nこれを解いて\n\n\n《曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( (a, f(a)) \) における接線の方程式は \( y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a) \)\n法線の方程式は, \( f^{\prime}(a) \neq 0 \) のとき \( y-f(a) \)\n\[\\begin{array}{c}\n-\\frac{1}{f^{\prime}(a)}(x-a) \\\nf^{\prime}(a)=0 \\text { のとき } x=a\n\\end{array}\n\n【接線の傾き \( f^{\prime}(a) \)\( 4(a+1)(a-3)=0 \)
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解答 \ \\cos \\theta=x \ とおくと、\ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ から \ -1 \\leqq x \\leqq 1 \ 。方程式に \ \\cos \\theta=x \ を代入して整理すると\n\ x^{2}+x-1=a \\n\\( f(x)=x^{2}+x-1=\\left(x+\\frac{1}{2}\\right)^{2}-\\frac{5}{4} \\) とすると、関数 \\( y=f(x) \\) のグラフと直線 \ y=a \ の共有点を考えて、求める解 \ \\theta \ の個数は次のようになる。\n[1] \ a<-\\frac{5}{4}, 1<\\alpha \ のとき: 0 個。\n[2] \ a=-\\frac{5}{4} \ のとき: 2 個。\n[3] \ -\\frac{5}{4}<a<-1 \ のとき: 4 個。\n[4] \ a=-1 \ のとき: 3 個。\n[5] \ -1<a<1 \ のとき: 2 個。\n[6] \ a=1 \ のとき: 1 個。
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練習 本冊 p. 279 \ \( f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x+3 a \\) が異なる 2 つの実数解を持つための条件は何ですか?
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例題 138\n の 2 次関数で, そのグラフが のグラフと 2 点で直交するようなものをすべ て求めよ。ただし,2つの関数のグラフがある点で直交するとは,その点が2つの グラフの共有点であり,かつ接線どうしが直交することをいう。
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(4) \\( P=x^{2}+y^{2}-5-c(x y-2) \\) とすると \ P=x^{2}-c y x+y^{2}+2 c-5 \ \P=0 \ を \ x \ についての 2 次方程式と考えると\n\\( \\begin{aligned}\nx & =\\frac{-(-c y) \\pm \\sqrt{(-c y)^{2}-4 \\cdot 1 \\cdot\\left(y^{2}+2 c-5\\right)}}{2 \\cdot 1} \\\\\n& =\\frac{c y \\pm \\sqrt{\\left(c^{2}-4\\right) y^{2}-8 c+20}}{2}\cdots \\ldots \\text { (4) }\n\\end{aligned} \\)
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x^{2}+y^{2}=10
(1) y=-x+2
x^{2}-2 x-3=0
(x+1)(x-3)=0
よって x=-1 or x=3 のとき y=3 or y=-1
よって, 円(A)と直線(1)は, 2 点 (-1,3),(3,-1)で交わる。
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平面上の点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が単位円周上を動くとき, の最大値と, 最大値を与える点 の座標を求めよ。
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2次関数の最大・最小、三角関数を含む方程式を振り返ろう!数学 I 例題 72 を振り返ろう!2 次関数の最大値や最小値をどのようにして求めたかを思い出しましょう。まず,平方完成して,グラフをかく。2 次関数 y=4 t^{2}+4 t+6 のグラフをかくために,右辺を平方完成して基本形にする。
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TRAINING 210\n2つの放物線 (1) (2) について, 次の問いに答えよ。\n(1)放物線 (1), (2) が異なる 2点で交わるとき, 定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) aが(1)で求めた範囲を満たすとする。放物線(1,(2)によって囲まれた部分の面積が であるとき,定数 の値を求めよ。
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(2) \( y^{\prime}=12 x-3 x^{2}=-3 x(x-4) y^{\prime}=0 とすると x=0,4 y の増減表は, 右のようになる。よって, x=4 で極大値 32 , x=0 で極小値 0 をとる。
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TRAINING 168 (1)\n関数 \( f(x)=x^{2}+2 x-1 \) において, の値が次のように変化するときの平均変化率を求めよ。\n(1) 1 から 2 まで\n(2) -3 から -1 まで\n(3) から 2 まで\n(4) からbまで\n(5) から まで
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不等式 の表す領域は, 放物線 の上側である。このことを参考にして, 次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( (x+y-2)\left(y-x^{2}\right)<0 \)
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次の不等式の表す領域を図示せよ。(1) \( \left\{\begin{array}{l}x-3 y-9<0 \\ 2 x+3 y-6>0\end{array}\right. \) (2) \( \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqq 9 \\ x-y<2\end{array}\right. \) (3)
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関数 \( f(x)=x^{2}+2 x-1 \) において, の値が次のように変化するときの平均変化率を求めよ。\n(1) 1 から 2 まで\n(2) -3 から -1 まで\n(3) から 2 まで\n(4) から b まで\n(5) から まで
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放物線 上の 2 点 \( (-1,1),(2,4) \) における 2 つの接線とこの放物線で 囲まれた部分の面積を求めよ。
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(1) x 軸と 3 点で交わる
a>0 のとき
a<0 のとき
(2) x 軸と 2 点を共有する
a>0 のとき
a<0 のとき
(3) x 軸と 1 点を共有して接する
a>0 のとき
a<0 のとき
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基本例題 90, 標準例題 108\nx, y が 2 つの不等式 x^{2}+y^{2} \leqq 5, y \geqq 0 を同時に満たすとき, 2x+y の最大値,最小値を求めよ。
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TRAINING 111\n放物線 の頂点を とおく。ただし は定数である。 がすべての 実数の値をとるとき, 点 の軌跡を求めよ。\n[北海道情報大]
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曲線 について、次の接線の方程式を求めよ。\n(1) 点 \( (3,3) \) における接線\n(2) 点 \( (2,-4) \) を通る接線
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TRAINING 100\n(5)\n\( r>0 )とする。放物線 と円 \( x^{2}+y^{2}=r^{2} )が 4 個の共有点をもつとき, \( r )の値 の範囲を求めよ。
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EX 放物線 上の点 \( \left(t, t^{2}+1\right) \) における接線の方程式は何か。この直線が C の接線は 2 本あり, それらの方程式は何か。
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178 グラフ略 (1) で極大値 で極小値 -27 (2) で極大値 で極小値 0 (3)極値はない(4)極値はない
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(2) (1)で選んだ本校のグラフから,台風の中心が本校の上空を通過したことが分かります。次の()を適切に補いなさい。\n台風の中心が通過した時刻において, ( )。
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30 座標平面上の点 \\((x, y)\\) が \\((x^{2}+y^{2})^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0\\) で定まる集合上 を動くとき, \x^{2}+y^{2}\ の最大値, およびその最大値を与える \x, y\ の値を求めよ。[千葉大]
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関数とその逆関数のグラフの共有点 (3)\n\\( f(x)=-\\frac{1}{2}x^{2}+2(x \\leqq 0) \\) の逆関数を \\( f^{-1}(x) \\) とするとき, \\( y=f(x) \\) のグラフと \\( y=f^{-1}(x) \\) のグラフの共有点の座標を求めよ。
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放物線 y²=4x を C とする。\n(1) 放物線 C の傾き m の法線の方程式を求めよ。\n(2) x 軸上の点 (a, 0) から放物線 C に法線が何本引けるか。ただし, a ≠ 0 とする。
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複素数 の実部を で表す。このとき, 次の領域を複素数平面上に図示せよ。\n(1) かつ を満たす点 の領域\n(2) とする。点 が(1) で求めた領域を動くとき, 点 が動く領域
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次の2次方程式はどの種類の円錐曲線を表すか答えなさい。\n1. \n2. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0, a \neq b) \)\n3. \n4.