関数と解析 - 二次関数とそのグラフ | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

ピンポイント解説 平方完成するときの注意点\n2 次関数の問題では, 軸や頂点の座標を調べたり, 最大値・最小値を求めたりするとき （．107～）に，平方完成する場面がよく出てくる。平方完成する際に起こしやすいミスをい くつか示しておくので, これらを確認し，正確に 2 次式の平方完成ができるようにしておき たい。\n-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-3 の平方完成\n［正しい計算］\n-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-3=-\frac{1}{2}\left(x^{2}-8 x\right)-3\n(A)\n(B)\n=-\frac{1}{2}\left\{(x-4)^{2}-4^{2}\right\}-3\n=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+\frac{1}{2} \cdot 4^{2}-3\n=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+5\n

グラフの頂点が点 \( (2,-3) \) で， $x$ 軸から切り取る線分の長さが 6 である 2 次関数を求めよ。

2 次関数のグラフと $x$

次の関数に最大値，最小值があれば，それを求めよ。 (3) y=x^2-4x+2 (-2 < x ≤ 4)

次の 2 次関数に最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n(1) $y=x^{2}-2 x-3$\n(2) $y=-2 x^{2}+x$\n(3) $y=3 x^{2}+4 x-1$\n(4) $y=-2 x^{2}+3 x-5$

次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n（1）グラフの頂点が点 \( (1,3) \) で, 点 \( (-1,4) \) を通る。\n（2）グラフの軸が直線 $x=4$ で, 2 点 \( (2,1),(5,-2) \) を通る。\n(3) $x=3$ で最大値 10 をとり, $x=-1$ のとき $y=-6$ である。

- 次の関数のグラフをそれぞれ書きなさい。\n1. $y=3 x^{2}-6 x-2$\n2.\n\(\begin{array}{l}\ny=-(x-3)(x+1) \\\left(y=-x^{2}+2 x+3\right)\n\end{array}\)

2 次関数の值の変化\n\n関数の最大・最小\n2 次関数 $y=a x^{2}+b x+c$ の最大・最小平方完成して \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形にする。 $a>0$ のとき $x=p$ で最小値 $q$, 最大値はない $a<0$ のとき $x=p$ で最大値 $q$, 最小値はない 2 次関数 \( y=a x^{2}+b x+c \quad(h \\leqq x \\leqq k) \) の最大・最小

数学 I PR 2 次関数のグラフが次の 3 点を通るとき, その 2 次関数を求めよ。 29 (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (1,4),(3,0),(-1,0)

放物線 $y=x^{2}-2 x+2 k-4$ と $x$ 軸の共有点の個数を、kの値によって場合分けをして求めよ。

次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n（1）グラフの頂点が点 \( (1,3) \) で，点 \( (0,5) \) を通る。\n（2）グラフの軸が直線 $x=-1$ で， 2 点 \( (-2,9),(1,3) \) を通る。\n(3) $x=-3$ で最小値 -1 をとり, $x=1$ のとき $y=31$ である。

放物線 $y=-x^{2}+3 x-1$ は, 放物線 $y=-x^{2}-5 x+2$ をどのように平行移動したものか。

2 次関数の決定 \( (1) \)

$x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -1 だけ平行移動すると放物線 $y=-2 x^{2}+3$ に重なる ような放物線の方程式を求めよ。

次の 2 次関数のグラフをかけ。また, その軸と頂点を求めよ。(3) $y=2 x^{2}+8 x+12$

関数 \( y = mx^2 - 4(m+1)x + m+3 \) のグラフが、定数 $m$ の値によらず常に $x$ 軸と共有点を持つことを示せ。\n[1] $m = 0$ のとき\n[2] $m \neq 0$ のとき

定義域 $0 \leqq x \leqq 2$ の中央の値は 1 で ある。\n[1] $a<1$ のとき 図[1]から, $x=2$ で最大となる。最大値は \( f(2)=2^{2}-2a \cdot 2+a=4-3a \)\n[2] $a=1$ のとき 図[2]から, $x=0,2$ で最大となる。最大値は \( f(0)=f(2)=1 \)\n[3] $1<a$ のとき 図[3]から, $x=0$ で最大となる。最大値は \( f(0)=a \)\n[1] 〜 [3] から $a<1$ のとき $x=2$ で最大値 $4-3a$, $a=1$ のとき $x=0,2$ で最大値 1, $a>1$ のとき $x=0$ で最大値 $a$\n(2) [4] $a<0$ のとき 図[4]から, $x=0$ で最小となる。最小値は \( f(0)=a \)\n[5] $0 \leqq a \leqq 2$ のとき 図[5]から, $x=a$ で最小となる。最小値は \( f(a)=-a^{2}+a \)\n[6] $2<a$ のとき 図[6]から, $x=2$ で最小となる。最小値は \( f(2)=4-3a \)\n[4] 〜 [6] から $a<0$ のとき $x=0$ で最小値 $a$, $0 \leqq a \leqq 2$ のとき $x=a$ で最小値 $-a^{2}+a$, $a>2$ のとき $x=2$ で最小値 $4-3a$

基本例題 522 次関数の係数の符号とグラフ\n2 次関数 $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフが右の図で与えられているとき，次の値の符号を調べよ。\n(1) $a$\n(2) $b$\n(3) $C$\n(4) $b^{2}-4 a c$\n(5) $a-b+c$

関数 \( f(x)=3x^2 - 6ax + 5 \) の最大値と最小値を求めよ。\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。

[問題] 関数 \(f(x)=x^{2}-2|x|\) について\n(A) \( f(x) \) の最小値を求めよ。

問2 $a$ を定数とするとき, 関数 \( f(x)=-x^{2}+2a x(0 \leqq x \leqq 4) \) の最大値，および最小値を求めよ。

次の関数に最大値，最小值があれば，それを求めよ。 (2) y=2x^2-4x+3 (x ≥ 2)

長さ a, b の線分が与えられたとき, 2 次方程式 $x^{2} - ax - b^{2} = 0$ の正の解を長さとする線分を作図せよ。

放物線と直線の共有点

PR f(x)=x^{2}-2 a x-a+6 について, -1 ≤ x ≤ 1 で常に f(x) ≥ 0 となる定数 a の值の範囲を求めよ。

次の2次関数 $y=ax^{2}+bx-1$ のグラフが、2点 \( (1,0),(-2,-15) \) を通るように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

53 (1) m(k)=-4k² + 24k (2) k=3，最大値 36

$x$ の関数 \( f(x)=a x^{2}-2 a x+a+b \) の最大値 が 3 で、最小値が -5 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。

次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の個数, および共有点があるものはその座標をそれぞれ求めよ。 (1) y = 9x^2 - 6x + 1 (2) y = x^2 - x + 1 (3) y = 3x^2 - 8x - 1

基 本 例題 86 放物線と直線の共有点\n放物線 $y=x^{2}-3 x+3$ と直線 $y=2 x-a$ がある。\n(1) $a=1$ のとき, 2 つのグラフの共有点の座標を求めよ。\n(2) 2 つのグラフの共有点がただ 1 つであるように定数 $a$ の値を定めよ。\n（3）２つのグラフが共有点をもたないように定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

次の条件を満たす放物線の方程式を，それぞれ求めよ。\n（1）放物線 $y=2 x^{2}$ を平行移動した曲線で，2 点（1，-1，（2，0）を通る。\n(2) 放物線 $y=-x^{2}+2 x+1$ を平行移動した曲線で, 原点を通り, 頂点が直線 $y=2 x-1$ 上にある。

次の関数の最大値、最小値を求めよ。\nPR $a$ は定数とする。 $a \leqq x \leqq a+1$ における関数 \( f(x)=x^{2}-10 x+a \) について\n\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小值を求めよ。

別解 y = \left|x^2 - 4 \\right| は\n$x \leqq -2, 2 \leqq x$ のとき $\\quad y = x^2 - 4$\n$-2 < x < 2$ のとき\n\[\ny = -\left(x^2 - 4\\right) = -x^2 + 4\n\]\nよって, y = \left|x^2 - 4 \\right| のグラフと $y = x + 2$ のグラフは右の図のようになる。\nグラフの交点の $x$ 座標は $x \leqq -2, \\quad 2 \leqq x$ のとき\n$\nx^2 - 4 = x + 2 \text { から } \\quad x = -2, 3\n$\n$-2 < x < 2$ のとき\n$-x^2 + 4 = x + 2$ から $\\quad x = 1$\n求める解は, y = \left|x^2 - 4\\right| のグラフが $y = x + 2$ のグラフの下側にある，または共有点をもつ $x$ の値の範囲である。\nよって, 図から $\\quad x = -2, 1 \leqq x \leqq 3$\n

関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) について, \( y=f(x) \) のグラフをコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて表示させる。このソフトでは, 係数 $a, b, c$ の値をそれぞれ図 1 の画面 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ 敒力すると, その値に応じたグラフが表示される。更に, $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{B}$ それぞれの横にある・を左に動かすと係数の値が減少し，右に動かすと係数の値が増加するようになっており，値の変化に応じて関数のグラフが画面上で変化する仕組みになっている。 図 1 グラフが表示された。このときの $b, c$ の値の組み合わせとして最も適当なものを，次の０～ つのうちから 1 つ選べ。 ア\n(0) $b=2, \quad c=3$\n(1) $b=2, \quad c=-3$\n(2) $b=-2, \quad c=3$\n(3) $b=-2, \quad c=-3$\n(4) $b=3, \quad c=2$\n(5) $b=3, \quad c=-2$\n(6) $b=-3, \quad c=2$\n(7) $b=-3, \quad c=-2$

2 次関数のグラフの頂点が点 (2,-3) で, x 軸から切り取る線分の長さが 6 である 2 次関数を求めよ。

右の図のような 2 次関数 y=a x^{2}+b x+c のグラフについて, 次の値の正, 0, 負を判定せよ。(1) a, (2) b, (3) c, (4) b^{2}-4 a c, (5) a+b+c, (6) a-b+c

A 社はチョコレートを販売している。販売個数 y 個（y は 1 以上の整数）は、販売価格 p 円（1 個当たりの値段）に対して次で定められる。\ny = 10 - p\n（1）A 社の売上が最大となる販売価格 p の値、および、そのときの販売個数 y の値を求めよ。ただし，売上とは販売価格と販売個数の積とする。\n（2） y 個のチョコレートの販売にかかる総費用 c(y) は、 c(y) = y^2 で表される。このとき、 A 社の利益（売上から総費用を引いた差）が最大となる販売価格 p の値、および、そのときの販売個数 y の値を求めよ。\n（3）(2) において、総費用 c(y) が変化し、 c(y) = y^2 + 20y - 20 となったとき、 A 社の利益が最大となる販売価格 p の値、および、そのときの販売個数 y の値を求めよ。

54 次の (1)～(4)の関数のうち, $x=2$ で最大値をとるものを 2 つ選び, 更にその関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) \( y=-3 x+4(0 \leqq x \leqq 2) \)\n(2) \( y=x^{2}+3(-1 \leqq x \leqq 2) \)\n(3) \( y=-2 x^{2}+8 x-3(-1 \leqq x \leqq 5) \)\n(4) \( y=3(x+1)(x-3)(-2 \leqq x \leqq 2) \)

2 次関数の決定 (2)

2 次関数 $y=x^{2}-4 x+3$ のグラフ $C$ と点 \( A(0,-1) \) について, 次の (1) を求めよ。\n（1） $C$ を $x$ 軸方向に平行移動したもので，点Aを通るグラフ

EX放物線 $y=x^{2}-a x+a+1$ が $x$ 軸と接するように, 定数 $a$ の值を定めよ。また, そのときの接点の座標を求めよ。

2 次関数 y=a x^{2}+b x+c のグラフをコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて表示させる。このソフトでは、図の画面上の A, B, C にそれぞれ係数 a, b, c の値を入力すると，その値に応じたグラフが表示される。

59 ・2 次関数のグラフが次の条件を満たすとき，その 2 次関数を求めよ。\n（1）頂点が放物線 $y=x^{2}-3 x$ の頂点と一致し, 点 \( (0,9) \) を通る。\n（2）頂点が $x$ 軸上にあり，2点 \( (2,3),(-1,12) \) を通る。\n（3）放物線 $y=x^{2}-3 x+4$ を平行移動したもので, 点 \( (2,8) \) を通り，その\n頂点は放物線 $y=-x^{2}$ 上にある。

2 つの関数 $y=x^{2}-4$ と \( y=a(x+1)^{2} \) のグラフの共有点の個数を調べよ。

PR (1) 放物線 y=x^{2}-3 x-1 を平行移動して 2 点 (1,-1),(2,0) を通るようにしたとき, その放物線の頂点を求めよ。

絶対値を含む２次関数のグラフ

次の関数の最大値が 7 となるように, 定数 c の値を定めよ。また, そのときの最小値を求めよ。 (1) y=3x^2+6x+c(-2 ≤ x ≤ 1) (2) y=-2x^2+12x+c(-2 ≤ x ≤ 2)

ある放物線を x 軸方向に 1, y 軸方向に -2 だけ平行移動した後， x 軸に関して対称移動したところ, 放物線 y=-x^{2}-3 x+3 となった。もとの放物線の方程式を求めよ。

次の 2 次関数のグラフをかけ。また, その軸と頂点を求めよ。(1) $y=x^{2}-4 x$

2次関数の最大・最小を求める問題です。以下に示されている2次関数のグラフの頂点を求め、その値を元に最大・最小を判断してください。

2 次関数とグラフ\n\n2 次関数のグラフ\n\( \Delta y=a(x-p)^{2}+q(a \\neq 0) \) のグラフ: 頂点 \( (p, q) \), 軸が直線 $x=p$ の放物線\n$a>0$ なら下に凸， $a<0$ なら上に凸\n\n\( D y=a x^{2}+b x+c(a \\neq 0) \) のグラフ: 右辺を平方完成して\n\[ y=a\\left(x+\\frac{b}{2 a}\\right)^{2}-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a} \\]\n頂点 \( \\left(-\\frac{b}{2 a},-\\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\\right) \), 軸が直線 $x=-\\frac{b}{2 a}$ の放物線\n$a>0$ なら下に凸, $a<0$ なら上に凸

次の 2 次関数のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。\n(1) $y=4 x^{2}-7 x-11$\n(2) $y=-4 x^{2}+4 a x-a^{2}+9$ (ただし, $a$ は定数）

基本 例題 982 次方程式の解の存在範囲 (3)\n2 次方程式 \( x^{2}-2(a-1) x+(a-2)^{2}=0 \) の異なる 2 つの実数解を $\alpha, \beta$ とするとき, $0<\alpha<1<\beta<2$ を満たすように, 定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

次の条件を満たす二次関数を求めよ。(1) グラフの頂点が点 (1,3) で、点 (-1,4) を通る。(2) グラフの軸が直線 x=4 で、2点 (2,1),(5,-2) を通る。(3) x=3 で最大値 10 をとり、x=-1 のとき y=-6 である。

放物線 y=-2x^2+3 を x 軸方向に -2, y 軸方向に 1 だけ平行移動する方法を説明し、その結果得られる放物線の方程式を求めよ。

放物線 $y=2 x^{2}+a x+b$ を $x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -3 だけ平行移動したところ, 放物線 (249 $y=2 x^{2}$ と重なった。定数 $a, b$ の値を求めよ。

（2）\( f(x) \) の最小値が 0 となるような定数 \( a の値を求めよ。

$a=1, b=-2$ として $c$ の値のみを変化させる。ここで $\quad \frac{D}{4}=1-c$\nグラフが $x$ 軸と接するとき, $D=0$ であるから $\quad c=1$

60 (1) \ x= \\pm 2 \ で最大値 8 , \ x=0 \ で最小値 -4\n(2) \ x=2 \ で最小値 3 , 最大値はない\n(3) \ x=2 \ で最小値 -2 , 最大値はない\n(4) \ x=0 \ で最大値 1 , 最小値はない

放物線の軸が $x = 1$ であるように、2次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ の $a$ と $c$ が既知のとき、適切な $b$ の値を求めよ。\n\n(1) $a = 1$、$c = 1$

64 (1) \ a<2 \ のとき\n\ x=4 \ で最大値 \ -24 a+53 \\n\ a=2 \ のとき \ x=0,4 \ で最大値 5\n\ a>2 \ のとき \ x=0 \ で最大値 5\n(2) \ a<0 \ のとき \ x=0 \ で最小値 5 \ 0 \\leqq a \\leqq 4 \ のとき\n\ x=a \ で最小値 \ -3 a^{2}+5 \\n\ a>4 \ のとき\n\ x=4 \ で最小値 \ -24 a+53 \

放物線 $y=x^{2}-4 x$ を, $x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -1 だけ平行移動して得ら れる放物線の方程式を求めよ。

2次関数の式の形として、基本形、一般形、分解形の3つがあります。それぞれの特長と使うべき場面を説明してください。

方程式 \( a x^{2}+(a+7) x+2 a-7=0 \) の異なる 2 つの実数解がともに $-3<x<3$ の範囲にあるような定数 $a$ の值の範囲を求めよ。

次の 2 次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。\n(1) $y=x^{2}+5 x+1$\n(2) $y=4 x^{2}-3 x+5$\n(3) $y=x^{2}+8 x+16$

次の関数に最大値，最小值があれば，それを求めよ。 (4) y=-x^2-6x+1 (0 ≤ x < 2)

次の関数に最大値，最小值があれば，それを求めよ。 (1) y=3x^2-4 (-2 ≤ x ≤ 2)

次関数の最大・最小 1 ≤ x ≤ 5 のとき, x の関数 y=(x^2-6x)^2+12(x^2-6x)+30 の最大値、最小値を求めよ。

グラフが次の条件を満たすような２次関数を，それぞれ求めよ。\n（1）放物線 $y=-2 x^{2}$ を平行移動した曲線で，頂点が点（-3，1）である。\n(2) 放物線 $y=x^{2}+2 x-3$ を平行移動した曲線で， 2 点 \( (-1,6),(3,2) \) を通る。

次関数のグラフと x 軸の位置関係 基本 90 2次関数のグラフと軸の共有点の個数

a, b を実数とし, 2 次関数 y=4 x^{2}-8 x+5, y=-2(x+a)^{2}+b の表す 放物線のそれぞれの頂点が一致するとき, 定数 a, b の値を求めよ。

基本 68 | 2 次関数 $\boldsymbol{y}=a x^{2}+b x+c$ のグラフをかく(2)

2 次関数 $y=a x^{2}$ のグラフを学びました。ここでは, $y=a x^{2}$ と関係性のある $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフについて学習しま す。 そのためには, \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形をした 2 次関数のグラフの理解 が重要となりますので，詳しく見ていきましょう。

放物線 $y=x^{2}+2 x-1 \cdots \cdots$ (1) の頂点を $\mathrm{P}$ とする。次の問いに答えよ。\n(1) $x$ 軸に関して点 $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。\n（2）この放物線と $x$ 軸に関して対称な放物線の方程式を求めよ。

2 次関数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n（2） $x$ 軸に接するとき，定数 $k$ の値とそのときの接点の座標を求めよ。

2 次関数 $y=x^{2}-6 x+6$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) $x=3$ で最大値 1 をとり, $x=5$ のとき $y=-1$ となる。\n(2) $x=-2$ で最小となり，そのグラフが 2 点 \( (-1,2),(0,11) \) を通る。

グラフが次の条件を満たすような２次関数を，それぞれ求めよ。\n（1）放物線 $y=-x^{2}-2 x$ を平行移動した曲線で，2 点（-1，-2，，２，1）を通る。\n(2) $x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -3 だけ平行移動すると，3 点 \( (1,2),(2,-2) \), （3，-4）を通る。

基本 76 | 最大・最小の条件から2 次関数の決定

グラフが 3 点 (1,3),(2,5),(3,9) を通るような 2 次関数を求めよ。

2 次関数 $y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3$ のグラフについて, 次の 問いに答えよ。\n(2) $x$ 軸と接するとき, 定数 $k$ の値とそのときの接点の座標を求めよ。

グラフが 3 点 \( (1,3),(2,5),(3,9) \) を通る。求める 2 次関数を $y=a x^{2}+b x+c$ とおく。

次の 2 次関数のグラフをかけ。また，その頂点と軸を求めよ。\n(1) $y=2 x^{2}-4 x-1$\n(2) $y=-x^{2}-2 x+4$\n(3) $y=-x^{2}+4 x-3$

基本 67 | 2 次関数 $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフをかく(1)

第 4 章 2 次関数: 12 次関数の最大・最小

放物線 $y = x^{2} + a x - 2$ の頂点が直線 $y = 2 x - 1$ 上にあるとき, 定数 $a$ の値 を求めよ。

標準 73 | 2 次関数の最大値から係数決定

関数 \( f(x)=x^{2}-10 x+c(3 \leqq x \leqq 8) \) の最大値が 10 であるように, 定数 $c$ の値 を定めよ。

2 次関数 \( y=(x-3)^{2}+1 \) について,\n1) $1 \leqq x \leqq 4$\n2) $2 \leqq x \leqq 5$\n3) $4 \leqq x \leqq 5$\n4) $2 \leqq x$

2 次関数 y=α(x-p)^{2}+q の最大・最小\n① 定義域に制限がない場合(定義域が実数全体の場合)\na の符号によって次の2つの場合がある。\na>0 のとき\nx=p で最小値 q をとる\n最大値はない\na<0 のとき\nx=p で最大値 q をとる\n最小値はない

次の 2 次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。\n(1) $y=3 x^{2}+x-2$\n(2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$\n(3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

$\boldsymbol{x}=1$ で最小となり, グラフが 2 点 \( (0,3),(3,6) \) を通る 2 次関数を求めよ。

2 次関数 $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフのかき方について, その流れを整理しましょう。次の手順を踏んでください。\n\n(1) 平方完成する。\n(2) \( y=a(x-p)^{2}+q \) の形にする。\n(3) グラフの特徴を読み取る。\n(4) $a > 0$ なら下に凸（上に開く）、$a < 0$ なら上に凸（下に開く）。\n(5) 頂点の座標 \( (p,q) \) を求める。\n(6) 軸は直線 $x=p$ です。\n(7) $y=x^{2}-6 x+10$ のグラフを実際に描いてみましょう。

2 次関数の最大・最小

次の2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求めよ。 (1) y=x^2-6x-4 (2) y=-4x^2+4x-1

グラフの頂点が点 \( (2,1) \) で, 点 \( (4,9) \) を通る 2 次関数を求めよ。

基本 66 | 2 次関数 \( \boldsymbol{y}=a(x-p)^{2}+q \) のグラフをかく

2 次関数の決定の手順

基本 72 | 2 次関数の最大値・最小値 (2)

放物線を作ってみよう！

次の 2 次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-x-3$\n(2) $y=4 x^{2}+12 x+9$\n(3) $y=-x^{2}+2 x-3$

次の 2 次関数に最大値, 最小値があれば，それを求めよ。(1) $y=x^{2}-6 x+3$ (2) $y=-2 x^{2}+8 x-3$

次の2次関数のグラフをかけ。また，その頂点と軸を求めよ。\n(1) \( y=3(x+1)^{2}-2 \)\n(2) \( y=-\frac{1}{2}(x-1)^{2}+2 \)

定義域が $1 \leqq x \leqq a$ である関数 \( f(x)=-(x-3)^{2} \) の最大値および最小値を, 次の各場合について求めよ。ただし， $a$ は $a>1$ を満たす定数とする。\n(1) $1<a<3$\n(2) $3 \leqq a<5$\n(3) $a=5$\n(4) $5<a$

基本 75 | 頂点などの条件から 2 次関数の決定

次の関数に最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n(1) \( y=x^{2}-2 x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \)\n(2) \( y=2 x^{2}-4 x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3) \( y=-x^{2}-4 x+1(0 \leqq x \leqq 2) \)\n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0<x<3) \)

基本 71 | 2 次関数の最大値・最小値 (1)

定義域が $0 \leqq x \leqq a$ である関数 \( f(x)=(x-2)^{2} \) の最大値および最小値を，次の 各場合について求めよ。ただし， $a$ は正の定数とする。\n(1) $0<a<2$\n(2) $2 \leqq a<4$\n(3) $a=4$\n(4) $4<a$

基本 77 | 通る 3 点の条件から 2 次関数の決定

グラフが次の 3 点を通るような 2 次関数を求めよ。 (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

次関数のグラフと x 軸の位置関係 基本 91 2次関数のグラフと軸が共有点をもつ条件

発展 81 | 2 次関数の最大・最小と文章題 (2)

2 次関数 \( f(x)=-x^2+6 x-7 \) の $a \leqq x \leqq a+1$ における最大値を \( M(a) \) とするとき。

第 4 章 2 次関数: 132 次関数の決定

放物線 y=x^{2}-(k+2) x+2 k が x 軸から切り取る線分の長さが 3 であるとき, 定数 k の値を求めよ。

関数 $y=x^{2}+2 x-1$ の定義域として次の範囲をとるとき，各場合 について，最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n(1) $-3 \leqq x \leqq 0$\n(2) $-2<x<1$\n(3) $0 \leqq x \leqq 2$

そのグラフが，次のような放物線となる２次関数を求めよ。 （1）頂点が点 \((-1,3)\) で，点（1，7）を通る放物線 （2）軸が直線 $x=1$ で， 2 点 \((3,-6),(0,-3)\) を通る放物線

2 次関数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n（1） $x$ 軸と共有点をもたないとき, 定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

4. 2次関数 $y=6 x^{2}+11 x-10$ のグラフを $x$ 軸方向に $a, y$ 軸方向に $b$ だけ 平行移動して得られるグラフを $F$ とする。 $F$ が原点（0，0）を通るとき，次の問いに答えよ。\n(1) $b$ を $a$ で表せ。\n（2） $F$ を表す 2 次関数 \( f(x) \) が $x=-2$ と $x=3$ で同じ値をとるときの $a$ の値と, $-2 \leqq x \leqq 3$ における \( f(x) \) の最大值・最小値を求めよ。

第 4 章 2 次関数: 112 次関数のグラフ

次の2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求めよ。 (1) y=x^2+7x-18 (2) y=3x^2+8x+2 (3) y=x^2-6x+2 (4) y=-6x^2-5x+6 (5) y=9x^2-24x+16

2 次関数 y=ax^2+bx+c のグラフを完成平方法を用いて書きなさい。

第 4 章 2 次関数: 10 関数とグラフ

放物線 $y=x^{2}+a x-2$ の頂点が直線 $y=2 x-1$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

ボールを地上から真上に打ち上げて， t 秒後の高さを y \mathrm{~m} とするとき，yは t の 2 次関数になる。打ち上げてから 6 秒後にボールの高さが最高 176.4 \mathrm{~m} になるとき, y は t のどのような式で表されるか。

EX 放物線 $y=x^{2}+a x-2$ の頂点が直線 $y=2 x-1$ 上にあるとき, 定数 $a$ の値を求めよ。

y=-4.9(t-6)^{2}+176.4 \\left[y=-4.9 t^{2}+58.8 t\\right]

実践 2: 2 次関数の最大・最小の考察

x^{2}+2(y-2)^{2}=18 のとき, 2 x^{2}+3 y^{2} の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの x, y の値も求めよ。

次の 2 次関数に最大値, 最小値があれば, それを求めよ。\n(1) $y=2 x^{2}-1$\n(2) \( y=-2(x+1)^{2}+5 \)\n(3) $y=2 x^{2}-6 x+6$\n(4) $y=-x^{2}+5 x-2$

x の 2 次関数 y=x^2+2bx+6+2b の最小値を m とする。(1) m をbの式で表せ。（2）bを変化させるとき， m の最大値とそのときの b の値を求めよ。

次の2次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。\n(1) $y=3 x^{2}+x-2$\n(2) $y=-5 x^{2}+3 x-1$\n(3) $y=2 x^{2}-16 x+32$

(1) 次の 2 次関数のグラフが $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めよ。 (ア) $y=2 x^{2}-8 x-15$

グラフが次の条件を満たすような２次関数を，それぞれ求めよ。\n（1）放物線 $y=-x^{2}-2 x$ を平行移動した曲線で, 2 点 \( (-1,-2),(2,1) \) を通る。\n(2) $x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -3 だけ平行移動すると，3 点 \( (1,2),(2,-2) \), \( (3,-4) \) を通る。

0 \leqq x \leqq 2 における関数 f(x)=3 x^{2}-6 a x+2 の最大値および最小値を，次の（1)〜(5)の場合について求めよ。ただし， a は定数とする。 (1) a<0 (2) 0 \leqq a<1 (3) a=1 (4) 1<a \leqq 2 (5) 2<a

次の例が関数であるかどうか判断せよ: 「xの平方根y, x=16 に対して y=4 と y=-4 があるため、yは xの関数でない」とある。

2 次関数 $y=-2 x^{2}+a x+b$ のグラフが点 \( (3,-8) \) を通るとする。このグラフが $x$ 軸と接するとき, 定数 $a$ の値を求めよ。

放物線 y=-2 x^{2}+4 x-4 を x 軸に関して対称移動し, さらに x 軸方向に 8, y 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

与えられた条件を満たす 2 次関数の求め方\n[2] x=1 で最小となり, グラフが 2 点 (0,3),(3,6) を通る\n最小値の条件から, 求める 2 次関数は\n\[y=a(x-1)^{2}+q \quad(a>0)\]\nとおける。\n点 (0,3) を通るから 3=a(0-1)^{2}+q\n点 (3,6) を通るから \quad 6=a(3-1)^{2}+q\nこの連立方程式を解くと, a, q の値を求めることができます。

次の2次関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ。 (1) y=2x^2-1 (2) y=-2(x+1)^2+5 (3) y=2x^2-6x+6 (4) y=-x^2+5x-2

次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。\n(1) $y=x^{2}+2 x-1, \quad y=3 x+5$\n(2) $y=x^{2}-4 x, y=2 x-9$\n(3) $y=-3 x^{2}+x-4, \quad y=-x+2$

2 次関数の最大・最小

x^{2}+y^{2}=4 のとき, 2 y+x^{2} の最大値と最小値を求めよ。また，そのときの x, y の值を求めよ。

放物線と x 軸の共有点の位置関係

TR 2 次関数 \( y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 \) のグラフについて, 次の問いに答えよ。 (1) $x$ 軸と共有点をもたないとき, 定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 改訂

次の2次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-x-3$\n(2) $y=4 x^{2}+12 x+9$\n(3) $y=-x^{2}+2 x-3$

次の数式のグラフをかく (1) y=2x^2-4x-1 (2) y=-x^2-2x+4 (3) y=-x^2+4x-3

x^2の係数が-1で、グラフが点(1,1)を通り、頂点が直線y=x上にある2次関数を求めよ。

次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) $x=3$ で最大値 1 をとり, $x=5$ のとき $y=-1$ となる。\n(2) $x=-2$ で最小となり，そのグラフが 2 点 \( (-1,2),(0,11) \) を通る。

次の関数に最大値, 最小値があれば，それを求めよ。\n(1) \( y=x^{2}-2 x-3(-4 \leqq x \leqq 0) \)\n(2) \( y=2 x^{2}-4 x-6 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3) \( y=-x^{2}-4 x+1(0 \leqq x \leqq 2) \)\n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0<x<3) \)

2次関数 $y = x^2 - 6x + 6$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の座標を求めよ。 (1) y=x^{2}+7 x-18 (2) y=3 x^{2}+8 x+2 (3) y=x^{2}-6 x+2 (4) y=-6 x^{2}-5 x+6 (5) y=9 x^{2}-24 x+16

次の式の2次関数のグラフをかきなさい。 $y=x^{2}-6 x+10$

(3) 2 次関数 $y=m x^{2}+3 x+m$ のグラフが常に $x$ 軸より上側にある

次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係について説明しなさい。\n\n1. 基本 89 - 2 次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の座標\n2. 基本 90 - 2 次関数のグラフと軸の共有点の個数\n3. 基本 91 - 2次関数のグラフと $x$ 軸が共有点をもつ条件

グラフが次の条件を満たすような２次関数を，それぞれ求めよ。\n(1) 放物線 $y=-2 x^{2}$ を平行移動した曲線で，頂点が点（-3,1）である。\n(2) 放物線 $y=x^{2}+2 x-3$ を平行移動した曲線で, 2 点 \( (-1,6),(3,2) \) を通る。

放物線 $y=2 x^{2}-3 x+2$ の頂点の座標を求めよ。また，放物線 $x$ 軸方向に $1, y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したとき, 移動後の放物線の方程式を $y=a x^{2}+b x+c$ の形で表せ。\n[センター試験]

2 次関数 y=x^{2}+2(k-1) x+k^{2}-3 のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n（1） x 軸と共有点をもたないとき, 定数 k の値の範囲を求めよ。\n(2) x 軸に接するとき, 定数 k の値とそのときの接点の座標を求めよ。

2 次関数の最大・最小 ...... 軸の位置が決め手 例題 83 の解答をもう一度見てみると，いろいろな場合に分かれていますが，ポイントとなるのは、軸(頂点)が定義域に対してどの位置にあるかということです。例えば，そのグラフが下に凸の 2 次関数では，次のように分けられます。 1. 軸(頂点) が定義域の內にあるとき 2. 軸(頂点)が定義域の外にあるとき 上に凸のグラフでは、次のようになるのですね。その通りです。このように大小が入れ替わります。上に凸, 下に凸いずれの場合も、軸(頂点)が、定義域の内にあるか外にあるか、また、その軸(頂点)が定義域の中央の位置の左右のどちらにあるか、によっていろいろな場合があります。A. 例題 83 では、最大値と最小値を同時に考えていますが、最大値、最小値で分けて考えると、どうなるのでしょうか。

次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-2 x+3, \quad y=x+3$\n(2) $y=-x^{2}+1, \quad y=-4 x+5$\n連立方程式 \( \left\{\begin{array}{l}y=a x^{2}+b x+c \\ y=m x+n\end{array}\right. \) の実数解 で与えられる。\n$1 y$ を消去する。…. $a x^{2}+b x+c=m x+n$\n$2 x$ の 2 次方程式 \( a x^{2}+(b-m) x+c-n=0 \) を解く。\n32 で求めた $x$ の値を直線の式に代入して $y$ の値を求める。なお, 2 で実数解が存在 しないとき, 放物線と直線は共有点をもたない。

次の 2 次関数のグラフをかけ。また，その頂点と軸を求めよ。\n(1) $y=2 x^{2}-3 x-1$\n(2) $y=-x^{2}-x+2$

(1) m=-b^{2}+2 b+6\n(2) b=1 のとき最大値 7

(1) y=-(x-1)^{2}+1, \\quad y=-(x-2)^{2}+2 \\\\ \\left[y=-x^{2}+2 x, \\quad y=-x^{2}+4 x-2\\right]

(1) 軸が直線 x=4 であるから，求める 2 次関数は y=a(x-4)^{2}+q とおける。このグラフが 2 点 (2,1),(5,-2) を通るから 1=a(2-4)^{2}+q, -2=a(5-4)^{2}+q。これを整理して 4a + q = 1 と a + q = -2 を得る。これらの連立方程式を解き、2 次関数を求めよ。

(1) 放物線 y=x^2+ax+a-4 について、定数 a の値に関係なく常に x 軸と異なる2つの共有点をもつことを示せ。

(2) x=3 で最大値 1 をとり, x=5 のとき y=-1 となる 2 次関数を求めよ。

放物線 $y=x^{2}-8 a x-8 a+24$ が $x$ 軸の正の部分と, 異なる 2 点で交わるように,定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

次の2次関数に最大値、最小値があればそれを求めよ。\n(1) $y=x^{2}-3 x+2$\n(2) $y=-x^{2}+5 x+3$\n(3) $y=-\frac{1}{3} x^{2}+2 x-6$\n(4) \( y=(x+1)(x+4) \)

次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係を調べるためには、次のことを理解する必要があります。2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の $y$ 座標は常に0であることから、共有点の $x$ 座標は $y = 0$ となる $x$ の値です。つまり次の問題を解くことがポイントです。\n1. 2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を求めなさい。\n2. 共有点が1つだけの場合、その点を何と呼びますか？また、その点は何ですか？

次の 2 次関数のグラフと x 軸の共有点の個数を求めよ。 (1) y=3 x^{2}+x-2 (2) y=-5 x^{2}+3 x-1 (3) y=2 x^{2}-16 x+32

ボールを地上から真上に打ち上げて、t秒後の高さをy mとするとき、yはtの2次関数になる。打ち上げてから6秒後にボールの高さが最高176.4mになるとき、yはtのどのような式で表されるか。

2 次関数 y=a x^{2}+b x+c の最大・最小 y=a(x-p)^{2}+q に変形(平方完成)。 a>0 のとき, x= で最小値 q a<0 のとき, x= で最大値 q

放物線を作つてみよう！

次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=2 x^{2}+6|x|-1$\n(2) $y=\left|x^{2}-4 x+3\right|$

そのグラフが，次のような放物線となる 2 次関数を求めよ。（1）頂点が点 \( (2,-3) \) で, 点 \( (3,-1) \) を通る放物線（2）軸が直線 $x=4$ で, 2 点 \( (2,1),(5,-2) \) を通る放物線

2 次関数 $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフをかく(2)

TR \( x^{2}+2(y-2)^{2}=18 \) のとき, $2 x^{2}+3 y^{2}$ の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの $x, y$ の値を求めよ。\n[芝浦工大]

次の二次関数の最大値を求めてください。 問題: f(x) = -2x^2 + 4x

72 (1) x=-4 で最大値 21, x=0 で最小値 -3

次の条件 (あ), (い), (う) を言いかえると, いずれも条件 (え) と同じになる。 (あ) すべての実数 x について ax^2 + bx + c > 0 が成り立つ (い) 不等式 ax^2 + bx + c > 0 の解がすべての実数である (う) 不等式 ax^2 + bx + c > 0 が (え) y = ax^2 + bx + c のグラフが常に x 軸の上側にある

2 次関数 $y=a x^{2}+b x+c$ のグラフをかく(1)

EX a, b を定数とし, 2 次関数 y=x^{2}+a x+b のグラフを F とする。 F につて述べた文とし 正しいものを次の (1)〜(6)の中から 2 つ選べ。 (1) F は, 上に凸の放物線である。 (2) F は、下に凸の放物線である。 (3) a^{2}>4 b のとき, F と x 軸は共有点をもたない。 (4) a^{2}<4 b のとき, F と x 軸は共有点をもたない。 (5) a^{2}>4 b のとき, F と y 軸は共有点をもたない。 (6) a^{2}<4 b のとき, F とy軸は共有点をもたない。

放物線 (2)を x 軸方向に -3, y 軸方向に -6 だけ平行移動し, さらに原点に関して対称移動すると, 放物線 ①にもどる。このように移動するとき，頂点 (2,-3) は平行移動によって,点 (2-3,-3-6) すなわち 点 (-1,-9) に移動し, さらに原点に関する対称移動によっ て, 点 (1,9) に移動する。よって, (1)の方程式は, y=(x-1)^{2}+9 すなわち y=x^{2}-2 x+10 と一致する。ゆえに a=-2、b=10。

(3) x=-2 で最小となり，そのグラフが 2 点 (-1,2),(0,11) を通る 2 次関数を求めよ。

放物線 $y=-2 x^{2}+4 x-4$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $8$, $y$ 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

次の 2 次関数のグラフをかけ。また, その頂点と軸を求めよ。(1) $y=5 x^{2}+3 x+4$

次の2次関数のグラフをかけ。また、その頂点と軸を求めよ。\n(1) $y=-x^{2}+6 x-9$\n(2) $y=\frac{1}{2} x^{2}+2 x$\n(3) $y=x^{2}-3 x+2$\n(4) \( y=(x-2)(x+3) \)\n(5) \( y=(2 x+1)(x-3) \)

次の条件を満たす 2 次関数を求めよ。\n(1) $x=2$ で最小値 1 をとり, $x=4$ のとき $y=9$ となる。\n(2) $x=-1$ で最大となり, そのグラフが 2 点 \( (1,5),(3,-7) \) を通る。

(2) 放物線 y=x^2+ax+a-4 の共有点の x 座標を α, β とするとき、(α-β)^2<28 が成り立つような定数 a の値の範囲を求めよ。

2次関数 y=x^{2}-2 k x+k^{2}-k+3 のグラフについて, 次の問いに答えよ。\n(1) x 軸と異なる 2 点で交わるとき, 定数 k の値の範囲を 求めよ。\n(2) x 軸と接するとき, 定数 k の値とそのときの接点の座標を求めよ。

グラフが次の 3 点を通るような 2 次関数を求めよ。 (1) (-1,7),(0,-2),(1,-5) (2) (-1,0),(3,0),(1,8)

グラフが次の 3 点を通るような 2 次関数を求めよ。\n(1) \( (-1,7),(0,-2),(1,-5) \)\n(2) \( (-1,0),(3,0),(1,8) \)

放物線 $y=x^{2}+2 x-1$ (1) の頂点を $\mathrm{P}$ とする。次の問いに答えよ。(1) $x$ 軸に関して点 $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。（2）この放物線と $x$ 軸に関して対称な放物線の方程式を求めよ。

次の 2 次関数のグラフをかけ。また、その頂点と軸を求めよ。\n\n(1) $y=x^{2}-4x+3$\n(2) $y=2x^{2}+8x+5$\n(3) $y=-3x^{2}+6x-2$

(1) \( y=2(x-2)^{2}-3\left[y=2 x^{2}-8 x+5\right] \)\n(2) \( y=(x-4)^{2}-3\left[y=x^{2}-8 x+13\right] \)

グラフが 3 点 \( (1,3),(2 ， 5),(3,9) \) を通るような 2 次関数を求めよ。

2 次関数の決定の手順

放物線 y=x² 上の点 P から 2 直線 y=x-1, y=5x-7 にそれぞれ垂線 PQ, PR を下ろす。点 P がこの放物線上を動くとき, 長さの積 PQ・PR の 最小値を求めよ。また, そのときの点 P の座標を求めよ。 [日本女子大]

点 A(-1,0) を通り、傾きが a の直線を ℓ とする。放物線 y = 1/2 x^2 と直線 ℓ は、異なる 2 点 P、Q で交わっている。 (1) 傾き a の値の範囲を求めよ。 (2) 線分 PQ の中点 R の座標を a を用いて表せ。 (3) 点 R の軌跡を xy 平面にかけ。

点 \( \mathrm{C}(1,-1) \) から関数 $y=x^{2}-x$ のグラフに引いた接線の方程式を求めよ。

曲線 $y = -x^2 + 1$ と直線 \( \ell: y = m(x + 1) \) の交点の座標を求め、これらの交点についての面積を計算せよ。

PRACTICE 99 a は定数とする。放物線 $y=x^{2}+a x+3-a$ について, a がすべての実数値をとって 変化するとき, 頂点の軌跡を求めよ。

次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ。\n \ x^{2}+y^{2} \\leqq 1, \\quad y \\geqq x^{2}-\\frac{1}{4} \

PR 放物線 y=-x²+1 と点 (0,0) における接線, 点 (2,-2) における接線により囲まれる図形の面積を求めよ。

放物線 $y=x^{2}$ と円 \( x^{2}+(y-4)^{2}=r^{2}(r>0) \) がある。放物線と円の交点が 4 個とな るrの範囲を求めよ。

基本列題 169 平均変化率の計算 (1) 関数 \( f(x)=x^{2}-2 x-3 \) において, $x$ が $a$ から \( b(a \neq b) \) まで変化すると きの平均変化率を求めよ。 （2）関数 \( f(x)=2 x^{2}-x \) において, $x$ が 1 から \( 1+h(h \neq 0) \) まで変化する ときの平均変化率を求めよ。 (3) \( f(x)=x^{2} \) において, $x$ が -1 から $-1+h$ まで変化するときの平均変化率が 1 となるとき, $h=\square$ $\square$ である。

正の実数 x と y が 9x^2 + 16y^2 = 144 を満たしているとき, xy の最大値を求めよ。

放物線 $y=x^{2}-5 x+4$ の接線で傾きが -1 であるものの方程式を求めなさい。

[問題 B] $m$ は負の定数とする。右の図のように, 放物線 $y=x^{2}-2$ と 2 直線 $y=m x, y=2 x+1$ で囲まれた部分を 3 つに分割して 考え, そのうち, $y \leqq m x$ かつ $y \geqq 2 x+1$ を満たす領域の面積を $S_{1}, y \geqq m x$ かつ $y \leqq 2 x+1$ を満たす領域の面積を $S_{2}$ とする。このとき, $S_{1}=S_{2}$ が成り立つような定数 $m$ の値を求めたい。次の (4)〜(6)の問いに答えよ。なお, 図の (1), (3), $b, c$ は [問題A] の (1), (2) で定めたものと同じものである。\n(4) 連立不等式 $y \geqq x^{2}-2, y \leqq m x, y \leqq 2 x+1$ を満たす領域の面積を $S_{3}$ とする。放物線 $y=x^{2}-2$ と直線 $y=m x$ の共有点の $x$ 座標を \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) とするとき, 面積 $S_{1}$ と面積 $S_{3}$ の和を定積分で表すと, $S_{1}+S_{3}$ は タ である。

放物線 $y=-x^{2}+2x+3$ の最大値とその時の x の値を求めなさい。

2つの放物線 \( y=-2(x-a)^{2}+3a \) と $y=x^{2}$が異なる2つの共有点をもつための実数 $a$ の条件を求めよ。\n（2）2つの放物線で囲まれた部分の面積の最大値を求めよ。

面積の最大・最小 \( (2) \)\n$a$ を正の実数とし, 点 \( \mathrm{A}\left(0, a+\frac{1}{2 a}\right) \) と曲線 $C: y=a x^{2}$ および $C$ 上の点 \( \mathrm{P}(1, a) \) を考える。曲線 $C$ と $y$ 軸，および線分 $\mathrm{AP}$ で囲まれる部分の面積を \( S(a) \) とするとき, \( S(a) \) の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。\n[類 九州大]\n基本 30,212

増減表の 3 行目を記入したら, グラフをかく\n増加 \( (\\nearrow) \), 減少 \( (\\searrow), 1 \) 行目の $x$ の値に対する $y$ の値 を記入したら，その内容にしたがってグラフをかく。 このとき, 2 次関数のグラフで, まず頂点をとったよ うに，yが極大，極小となる点を先にとるとよい。 また， $y$ 軸との交点の座標（ $y$ の式に $x=0$ を代入）も\n基本例題 180 (1) の場合

点 \( (2,-4) \) を通り, 曲線 $y=x^{2}-2 x$ に接する直線の方程式を求めよ。

(2) $a>0$ とし, 放物線 $E: y=x^{2}$ 上の点 \( \left(a, a^{2}\right) \) における接線を $m$ とする。 $E$, $m, y$ 軸で囲まれた部分の面積を， $a$ を用いて表せ。

PRACTICE 213\n連立不等式 $y \geqq x^{2}-4, y \leqq x-2, y \geqq-\\frac{1}{2} x-\\frac{7}{2}$ の表す領域の面積を求めよ。

209 図示略\n$x = -2$ で極大値 $\frac{11}{6}$\n$x = 1$ で極小値 $-\frac{8}{3}$

点 \( (3,4) \) から, 曲線 $y=-x^{2}+4 x-3$ に引いた接線の方程式を求めよ。

次の最小値を求めよ：\n31. (1) x=4 で最小値 8\n(2) x=2 で最小値 3

(1) $x=-\frac{1}{2}$ で極小値 $-\frac{3}{16}$\n$x=0$ で極大値 0\n$x=2$ で極小値 -8\n(2) $x=1$ で極小値 0

2 つの放物線 C_{1}: y=x^{2}+1, C_{2}: y=-2 x^{2}+4 x-3 の共通接線の方程式を求めよ。

放物線と接線で囲まれた部分の面積\n\n基本例題 214 の内容について, 詳しく見てみよう。なお, 実際の答案では, 以下の内容を 公式として使用せず，例題の解答のように計算して求めるべきである。\n\n放物線 \( C: y=f(x) \) 上の異なる 2 点 \( \mathrm{A}(\alpha, f(\alpha)) \), \( \mathrm{B}(\beta, f(\beta)) \) における接線 $\ell_{1}, \ell_{2}$ の交点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標は $\frac{\alpha+\β}{2}$ 接点の $x$ 座標の平均 (中央の値)になる。 また, 右の図の面積 $S_{1}, S_{2}$ について $\quad S_{1}: S_{2}=2: 1$\n\n証明 \( C: y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) \) とすると, $y^{\prime}=2 a x+b$ から, $\ell_{1}$ の方程式は \( y-\left(a \alpha^{2}+b \α+c\right)=(2 a \α+b)(x-α) \) すなわち \( \quad y=(2 a α+b) x-a \α^{2}+c \)\n同様に $\ell_{2}$ の方程式は \( \quad \y=(2 a β+b) x-a β^{2}+c \)\n$y$ を消去して \( \quad(2 a \α+b) x-a \α^{2}+c=(2 a \β+b) x-a β^{2}+c \)\n整理して \( \quad 2 a(\α-β) x=a\left(\α^{2}-β^{2}\right) \quad a \neq 0, α \neq \β \) から $\\x=\frac{\α+\β}{2}$ よって, $\ell_{1}, \ell_{2}$ の交点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標は, $\frac{\α+\β}{2}$ であり。

曲線 y=-2 x^{2}+4 x+6 と x 軸の交点の x 座標は, 方程式 -2 x^{2}+4 x+6=0 すなわち x^{2}-2 x-3=0 を解いて (x+1)(x-3)=0 よって -1 ≤ x ≤ 3 において y ≥ 0 であるから, 求める面積 S は

y の増减表は右のよ うになる。よって, x <= -2, √2 <= x で増加し, -√2 <= x <= √2 で減少

2 次関数 f(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}, g(x)=x^2+ax+3 がある。 放物線 y=f(x) と y=g(x) がある 1 点で接するとき, その点の座標と正の定数 a の値を求めよ。

曲線 y=x^{2}-4 x+3 と x 軸の交点の x 座標は, 方程式 x^{2}-4 x+3=0 を解いて (x-1)(x-3)=0 よって x=1,3 0 ≤ x ≤ 1 において y ≥ 0,1 ≤ x ≤ 3 に おいて y ≤ 0,3 ≤ x ≤ 5 において y ≥ 0 であるから, 求める面積 S は

2 次関数 \( f(x) \) が \( f^{\prime}(0)=1, f^{\prime}(1)=2 \) を満たすとき, \( f^{\prime}(2) \) の値を求めよ。

円 x^{2}+y^{2}=8 の接線で, 直線 7 x+y=0 に垂直である直線の方程式を求めよ。

数学 $\mathbb{I}$ PR 放物線 C: y = x^2 上の点 \( \mathrm{P}\left(a, a^2\right) \) における接線を $\ell_1$ とする。ただし, $a > 0$ とする。 ②22 (1) 点 $\mathrm{P}$ と異なる C 上の点 $\mathrm{Q}$ における接線 $\ell_2$ が $\ell_1$ と直交するとき, $\ell_2$ の方程式を求めよ。 (2) 接線 $\ell_1, \ell_2$ および放物線 $C$ で囲まれた部分の面積を \( S(a) \) とするとき, \( S(a) \) の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。 [類 立命館大]

次の曲線上の点における接線・法線の方程式を求めよ。 (1) $y=x^{2}-3x+2$, 点 \( (0,2) \) (2) $y=-x^{3}+x+2$, 点 \( (2,-4) \)

増減表の 2 行目は, $y^{\\prime}$ のグラフを利用して記入する\n2 行目には， 0 または $y^{\\prime}$ の符号 \( (+,-) \) を記入する。 このとき, 符号の記入は慎重に!\n符号の記入ミスを防ぐには, $y^{\\prime}$ の簡単なグラフを利用 するとよい。 3 次関数 $y$ の導関数 $y^{\\prime}$ は 2 次関数であ るから，この 2 次関数 $y^{\\prime}$ のグラフを， $x$ 軸との共有点， $x$ 軸との位置関係がわかる程度にかき ( $y^{\\prime}$ 軸は不要 \( ) \),図から $y^{\\prime}$ の符号を判断する。