関数と解析 - 多項式関数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

折り返してグラフをかく方法\n\( y=|f(x)| \) の形の関数のグラフは,\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x) \\geqq 0 \\text{ のとき }|f(x)|=f(x) \\text{, } \\\\\nf(x)<0 \\text{ のとき }|f(x)|=-f(x) \\\\\n\\end{array}\n\\]\nであるから, \( y=f(x) \) のグラフで $x$ 軸より下側の部分を $x$ 軸に関して対称に折り返すと得られる。この方法を用いると場合分けをせずにグラフをかくこともできる。

PRACTICE 101 次の関数のグラフをかけ。(1) $y=x^{2}-3|x|+2$(2) $y=\left|2 x^{2}-4 x-6\right|$(3) \( y=|x+1|(x-2) \)

次の関数のグラフをかけ。(1) $y=x^{2}-4|x|+2$(2) $y=\left|x^{2}-4\right|$

平行移動と対称移動\n\n平行移動\n$x$ 軸方向に $p, y$ 軸方向に $q$ の平行移動で\n\n[ グラフ ] \( y=f(x) \\rightarrow y=f(x-p)+q \\)\n\n対称移動\n\na,b\ からの値変換：\n\[ 点(a, b) \\rightarrow (a+p, b+q) \\]\n\nグラフ変換：\n\[ グラフ y=f(x) \\rightarrow y=f(-x) 或いは y=-f(x) 或いは y=-f(-x) \\]

-1 ≤ x ≤ 3 のとき, 関数 y=(x^2-2x)(6-x^2+2x) の最大値、最小値を求めよ。

画要例題 57 関数の作成\n図のような 1 辺の長さが 2 の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ を出発し, 毎秒 1 の速さで左回りに辺上を 1 周す るとき, 線分 APを 1 辺とする正方形の面積 $y$ を, 出発後 の時間 $x$ (秒)の関数として表し，そのグラフをかけ。 ただし, 点Pが点Aにあるときは $y=0$ とする。

EX 10進法で表された正の整数を4進法に直すと3桁の数 $abc$ となり，6進法に直すと3桁の数 $pqr$ となるとする。また、$a + b + c = p + q + r$ である。この数を10進法で書け。

合同式の利用 (2)

4 次関数の最大 $\cdot$ 最小

関数 y=x^4-8x^2+1 の最大値、最小値を求めよ。

基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて, 次の命題を証明せよ。\n(1) $x+y=2$ ならば「 $x \leqq 1$ または \( y \leqq 1 」\n(2) $a^{2}+b^{2} \geqq 6$ ならば「 $|a+b|>1$ または \( |a-b|>3 」

1<a のとき f(x) は x=1 で最小となる。ゆえに f(1)=-3 a+7 \geqq 0 よって a \leqq \frac{7}{3} これと 1<a の共通範囲は 1<a\leqq \frac{7}{3}

（2）関数 \( y=M(a) \) のグラフをかけ。

関数の値域を理解して, 例題 64 を攻略！

次の関数のグラフをかけ。また，その値域を求めよ。 (1) y = |3 x| (2) y = -|2 x-1| (3) y = |2 x+6| (-4 < x ≤ 0) (4) y = |x| - 1 (-2 < x < 2)

【理由】 Lecture [1] と [3] で同じ関係式が導かれる理由について説明せよ。

連立不等式では, 数直線上に図示して考えましょう。\n\n連立不等式の解法\n1 それぞれの不等式を解く。\n2 不等式の解を数直線上に図示する。\n3 図を利用して，解の共通範囲を求める。\n \( (x+2)(x+1)>0 \) から $x<-2,-1<x$\n \( (x+3)(x-1)<0 \) から $-3<x<1$\n (1) と (2) の共通範囲を求めて\n $-3<x<-2, -1<x<1$

参厓 関数 \( y=f(x) \) の グラフを, $x$ 軸, $y$ 軸,原点に関して対称移動し たときのグラフを表す関数は，それぞれ次のよう になる。\n$x$ 軸: \( y=-f(x) \n$y$ 軸: \( y=f(-x) \\\n原点: \( y=-f(-x) \

2 次不等式は, グラフを用いて解きましょう。 ここでは, $x$ についての 2 次不等式ではなく, $m$ についての 2 次不等式です から, $x$ 軸ではなく, $m$ 軸になります。\n\\( y=(m+2)(m-1) \\) のグラフで \ y>0 \ となる \ m \ の値の範囲を求めて\n\ \quad m<-2,1<m \\n\\( y=(m+2)(m-1) \\) のグラフで \ y \geqq 0 \ となる \ m \ の値の範囲を求めて\n\ \quad m \leqq-2,1 \leqq m \\n\\( y=(m+2)(m-1) \\) のグラフで \ y<0 \ となる \ m \ の値の範囲を求めて\n\ \quad-2<m<1 \

次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=2 x^{2}+6|x|-1$\n(2) $y=\\left|x^{2}-4 x+3\\right|$

59(a, b)=(9,8),(12,6) のとき最大値 72

長さ 6m の金網を直角に折り曲げて, 直角な壁の隅のところに囲いを作ることにした。囲い の面積を最大にするには，金網をどのように折り曲げればよいか。

PR $0 \\leq t \\leq 1$ とする。定積分 $\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right|dx$ の值を最大, 最小にする $t$ の値とその最大値, 最小値をそれぞれ求めよ。\n[類 長崎大]\n\[\\left|x^{2}-t^{2}\\right|=|(x+t)(x-t)|\]\n$0 \\leq t \\leq 1$ のとき, $0 \\leq x \\leq 1$ において $x+t \\geq 0$\nよって\( \\left|x^{2}-t^{2}\\right| = (x+t)|x-t| \)\n$0 \\leq x \\leq t$ のとき $x-t \\leq 0$ であるから\n\[\\left|x^{2}-t^{2}\\right| = -(x+t)(x-t) = -\\left(x^{2}-t^{2}\\right)\]\n$t \\leq x \\leq 1$ のとき $x-t \\geq 0$ であるから\n\[\\left|x^{2}-t^{2}\\right| = (x+t)(x-t) = x^{2}-t^{2}\]

次関数のグラフとその接線の共有点\n(1)\n曲線 $C: y=x^{3}-x$ 上に $x$ 座標が 1 である点 $\mathrm{A}$ がある。点 $\mathrm{A}$ における接線が $C$ と交わるもう 1 つの点の $x$ 座標を求めよ。

関数 \( f(x) = ax^{3} - 6ax^{2} + b \) が与えられ、範囲 $-1 \\leqq x \\leqq 2$ における最大値が 3 で、最小値が -29 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

方程式 \( f(x)=a \) が異なる3つの 実数解をもつとき，曲線 \( y=f(x) \) と直線 $y=a$ が異なる3つの共有点 をもつ。

関数 \( f(x)=x^{3}-3 m x^{2}+6 m x \) が極値をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。\n[類 東京薬大]

次の関数の極値を求めよ。また，そのグラフをかけ。(1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3

関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

（4）エに当てはまるものを，次の０～２のうちから１つ選べ。 (0) ef $=c d$ (1) c f=d e (2) d f=c e

x > 1 のとき, 4x^2 + 1/((x + 1)(x - 1)) の最小値を求めよ。

関数 \( f(x)=|x|\left(x^{2}-5 x+3\right) \) の増減を調べ, \( y=f(x) \) のグラフの概形をかけ。

PR $a>1$ とする。 $1 \leqq x \leqq a$ における関数 $y=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x$ について (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

(1) 連立不等式 {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y} が表す領域を図示せよ。 (2) r > 0 とする。x と y の条件 (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2 が成り立つとき、連立不等式が成り立つ r の最大値を求めよ。

次の関数の極値を求めよ。また, そのグラフをかけ。\n(2) y=x^{4}-4 x+3

点 P を通る直線 l_{t} : y=2 t x+t^{2} を考える。このような点 P の軌跡の方程式を求めよ。また、t がすべての実数値をとって変わるとき、直線 l_{t} が通る点 (x, y) の全体を図示せよ。

510\n問題に挑戦\n$5 a$ を実数とし, \( f(x)=x^{3}-6 a x+16 \) とおく。\n(1) \( y=f(x) \) のグラフの概形は\n$\n\\begin{\overlineray}{l}\na=0 \\\\\n\\text { のとき, } \\\\\n\\text { ア } \\\\\na<0 \\\\\n\\text { のとき, } \\\\\n1 \\\\\n\\end{\overlineray}\n$\nである。\nア\n, 1\nに当てはまる最も適当なものを，次の(0)\n(5)のちから 1 つずつ選\nべ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。\n(0)\n(1)\n(4)\n(5)

x y 平面上の点 \( (a, b) \) から曲線 $y=x^{3}-x$ に3本の相異なる接線が引けるための条件を求め, その条件を満たす点 \( (a, b) \) のある範囲を図示せよ。

次の関数において, x が [ ] 内の範囲で変化するときの平均変化率を求めよ。(ア) f(x)=-3 x^{2}+2 x [-2 から b まで ] (イ) f(x)=x^{3}-x [ a から a+h まで ]

点 (0, k) から曲線 C: y=-x^3+3x^2 に引いた接線の本数を求めよ。

次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n\ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \

等式・不等式の証明 基本事項 1. 等式 A=B の証明 1. A か B の一方を変形して他方を導く。複雑な式の方を変形するのが原則。 2. A, B をそれぞれ変形して, 同じ式を導く。 3. A-B を変形して, 0 になることを示す。A=B ⇔ A-B=0

次の関数の極値を求めよ。また, そのグラフをかけ。 (1) $y=2 x^{3}-3 x^{2}+1$ (2) $y=-x^{3}+12 x$ (3) $y=-x^{3}+6 x^{2}-12 x+7$ 次の関数 1. $y^{\prime}=6 x^{2}-6 x=6 x(x-1)$ 極大値を求めるために、y の増減表は次のようになる。 \begin{tabular}{c||c|c|c|c|c} \hline$x$ & $\cdots$ & 0 & $\cdots$ & 1 & $\cdots$ \\ \hline$y^{\prime}$ & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline$y$ & $\nearrow$ & 極大 & $\searrow$ & 極小 & $\nearrow$ \\ \hline \end{tabular} よって, $y$ は $x=0$ で極大値 1 , $x=1$ で極小値 0 をとる。 また，グラフは図のようになる。

関数 $y=2 x^{3}-x^{2}-4 x$ の区間 $-1 \leqq x \leqq 2$ における最大値と最小値を求めよ。

a, b を実数とする。 3 次関数 f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x は x=α で極大値, x=β で極小値をとる。ただし， α<β である。 [類 高知大] （1） a, b を α, β を用いて表せ。 (2) α=β-1 であるとき, f(α)-f(β) を求めよ。

x, y は実数とするとき, x^{2}+y^{2}<1 ならば x^{2}+y^{2}<2 x+3 であることを証明せよ。

次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \( (x-1)(x-2 y)<0 \)\n(2) \( (x-y)\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \geqq 0 \)\n(3) \( \left(x^{2}+y^{2}-4\right)\left(x^{2}+y^{2}-4 x+3\right) \leqq 0 \)

次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int(2 x+1)^{3} d x \) (2) \( \int(t+1)^{3}(1-t) d t \) C を積分定数とする。

3 次関数 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ のグラフが右の図のようになるとき, (3)146 $a, b, c, d$ の値の符号をそれぞれ求めよ。

点 \( (1,0) \) より曲線 $y=x^{3}$ へ引いた接線の方程式を求めよ。

192 a<0 のとき \( g(a)=2 a^{3}-3 a^{2}+3 \)\n0 \leqq a<1 のとき \( g(a)=3 \)\n1 \leqq a<\frac{6+\sqrt{6}}{6} のとき\ng(a)=2 a^{3}-9 a^{2}+12 a-2\n\(\frac{6+\sqrt{6}}{6} \leqq a のとき g(a)=2 a^{3}-3 a^{2}+3\)

定積分の最小值 $a$ は $0<a<1$ を満たす定数とする。 (1) 関数 \( f(x)=x|x-a| \) のグラフの概形をかけ。 (2) 積分 \( g(a)=\int_{0}^{1} x|x-a| d x \) の値を最小にする $a$ の値を求めよ。 [東北大] 基本 218

よって, 関数 (1)の グラフは右の図のよ うになり, グラフと x 軸の共有点は 3 個 である。 したがって, 方程式\nx^{3}-3 x^{2}+1=0\nの実数解は 3 個 である。

点 (6,3) を通るから 整理すると 6^{2}+3^{2}+6 l+3 m+n=0 6 l+3 m+n+45=0 点 (-3,0) を通るから (-3)^{2}+0^{2}-3 l+0 m+n=0 整理すると -3 l+n+9=0 (3) から n=3 l-9 (4)を (1) に代入して整理すると 7 l-m+8=0 よって m=7 l+8 (4), (5) を (2) に代入して整理すると 30 l+60=0 ゆえに l=-2 このとき, (5) から m=-6 (4) から n=-15 よって, 求める円の方程式は x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-15=0

曲線 $y=x^{3}-4 x$ と曲線 $y=3 x^{2}$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

次の曲線，直線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-2 x-8$\n(2) $y=-2 x^{2}+4 x+6$\n(3) \( y=x^{3}+3(0 \leqq x \leqq 1), y \) 軸， $x=1$\n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0 \leqq x \leqq 5), x=0, x=5 \)

次の関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) \( y=x^{3}-4 x^{2}+4 x+1 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(2) \( y=-x^{3}+12 x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)\n(3) \( y=3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+3 \quad(-1 \leqq x \leqq 1) \)

次の不等式を証明せよ。 (1) $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}{4} \geqq \sqrt{x y z u}$ （ただし， $x, y, z, u$ はすべて正の数）

(1) x, y の関数 P=x^{2}+3 y^{2}+4 x-6 y+2 の最小値を求めよ。 (2) x, y の関数 Q=x^{2}-2 x y+2 y^{2}-2 y+4 x+6 の最小値を求めよ。 なお，(1), (2) では，最小値をとるときの x, y の値も示せ。

17 関数 y=|x^2-2 m x|-m のグラフに関する次の問いに答えよ。ただし， m は実数 とする。 (1) m=1 のときのグラフの概形をかけ。 (2) グラフと x 軸の共有点の個数を求めよ。

次の関数の最大値、最小値を求めよ。\n(1) $y = -2x^4 - 8x^2$\n(2) \( y = (x^2 - 6x)^2 + 12(x^2 - 6x) + 30 \)\nただし、$1 \leqq x \leqq 5$

放物線 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 - 1$ は共有点を持ちません。\nそれにもかかわらず、この方法を使うとどのような直線の方程式が得られるか調べてください。

関数 f(x)(0 ≤ x < 1) を右のように定義するとき, ⑦1 次の関数のグラフをかけ。 (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))

定義域によって式が異なる関数

表本閉造 832 次関数の最大・最小 (5) \n(1) 最小値を求めよ。(2) 最大値を求めよ。\n基本 80\nこの問題では, 区間の 幅は 2 で一定であるが, aの値とともに区間全体が右に移動するか ら, 軸 $x=1$ と区間 $a ≤ x ≤ a+2$ の位置関係を調べる。

(2) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \

関数 \( f(x)=x^{2}-2 x-3 \) について，次の問いに答えよ。

関数 \( f(x)=\left|x^{2}-1\right| - x \) の $-1 \leqq x \leqq 2$ における最大値と最小値を求めよ。

次の不等式をグラフを利用して解け。\n(1) $|x-1|+2|x| \leqq 3$\n(2) $|x+2|-|x-1|>x$

a<\alpha<b<c<\beta

$-1 \leqq x \leqq 2$ のとき, 関数 \( y=\left(x^{2}-2 x-1\right)^{2}-6\left(x^{2}-2 x-1\right)+5 \) の最大値, 最小値を求めよ。

88 (1) x< -\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}<x (2) 2-\sqrt{5} \leqq x \leqq 0, 4 \leqq x \leqq 2+\sqrt{5}

以下のaの範囲について、関数f(x)が最大値を持つかどうかを判断する。\n\n[1] $a<-1$ のとき、\( y=f(x) \) のグラフの傾きは、正、正、負と変化するから、f(x)はx=2で最大となる。\n[2] $a=-1$ のとき、\( y=f(x) \) のグラフの傾きは、正、0、負と変化するから、f(x)は[-1, 2]を満たすxで最大となる。\n[3] -1<a<1 のとき、\( y=f(x) \) のグラフの傾きは、正、負、負と変化するから、f(x)はx=aで最大となる。\n[4] $a=1$ のとき、グラフの傾きは、正、0、負と変化するから、f(x)はx<=1を満たすxで最大となる。\nこれらの条件を踏まえたとき、関数f(x)が最大値を持つための必要十分条件を求めよ。

関数 y=f(x) において、定義域が a <= x <= b である場合の関数の書き方はどうなりますか？

関数 $y=x^{4}-6 x^{2}+10$ の最小値を求めよ。

次の関数のグラフをかけ。\n(1) y=x^{2}-4|x|+2\n(2) y=\\left|x^{2}-4\\right|

[2] 太郎さんと花子さんは，宿題に出された次の［問題］に取り組んでいる。[問題] 関数 \( f(x)=x^{2}-2|x| \) について (A) \( f(x) \) の最小値を求めよ。 (B) $a>0$ とする。 $-a \leqq x \leqq a$ における \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。（1） 小問（A）の答えは次のようになる。 \( f(x) \) は $x=$ エ のとき, 最小値 オ をとる。エ, オ垱てはまるものを，次の各解答群から1つずつ選べ。工 の解答群 (0) -1 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) -1 または 0 (5) -1 または 1 (6) -1 または 2 (7) 0 または 1 (8) 0 または 2 (9) 1 または 2 オの解答群 (0) -2 (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2

x, y を実数とするとき, x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 の最小値を求め，そのときの x, y の値を求めよ。

関数 $y=\\left|x^{2}-x-2\\right|-2 x$ のグラフをかけ。

次の関数のグラフをかき，その値域を求めよ。\n(1) $y=-|x+1|$\n(2) $y=|x|-|2 x-1|$\n(3) \( y=|2 x+4| \quad(-3 \leqq x \leqq 1) \)\n(4) \( y=|x|+1 \quad(-3<x \leqq 2) \)

例題一覧ではどのような情報が提供されますか？

数学 I [4] 〜 [6] から a<4 のとき x=a+1 で最小値 a^{2}-7 a-9 4 ≤ a ≤ 5 のとき x=5 で最小値 a-25 a>5 のとき x=a で最小値 a^{2}-9 a

PR 次の関数のグラフをかけ。(1) $y=x^{2}-3|x|+2$

PR $x, y$ を実数とする。 $6 x^{2}+6 x y+3 y^{2}-6 x-4 y+3$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

f(1-a) の計算を行いなさい。

基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて，次の命題を証明せよ。\n(1) $x+y=2$ ならば「 $x \leqq 1$ または \( y \leqq 1 」 \n(2) $a^{2}+b^{2} \geqq 6$ ならば $|a+b|>1$ または \( |a-b|>3 」 \np. 76 基本事項\n6

折り返してグラフをかく方法\n\( y=|f(x)| \) の形の関数のグラフは,\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x) \\geqq 0 \\text { のとき }|f(x)|=f(x), \\\nf(x)<0 \\text { のとき }|f(x)|=-f(x) \\\\\n\\end{array}\n\\]\n\nであるから, \\( y=f(x) \\) のグラフで \ x \ 軸より下側の部分を \ x \ 軸 に関して対称に折り返すと得られる。この方法を用いると場合分けをせずにグラフをかくこともできる。

必要条件と十分条件について考えよ。 例："x^2 = 4" であるための必要条件は、"x が 2 または -2 である"。

関数 $y=x^{4}-8 x^{2}+1$ の最大値, 最小值を求めよ。

\ 1<a \ のとき\\r\\n\\( f(x) \\) は \ x=1 \ で最小となる。\\r\\nゆえに \\( \\quad f(1)=-3 a+7 \\geqq 0 \\)\\r\\nよって \ a \\leqq \\frac{7}{3} \\\r\\n

次の関数に最大値, 最小値があれば, それを求めよ。 (1) y = -2x^4 + 4x^2 + 3 (2) y = (2x^2 - 3x + 2)(-2x^2 + 3x - 1) + 1

例題 744 次関数の最大・最小\n$1 \leqq x \leqq 5$ のとき, $x$ の関数 \( y=\left(x^{2}-6 x\right)^{2}+12\left(x^{2}-6 x\right)+30 \) の最大値，最小値を求めよ。

関数 \( y=f(x) \) の定義域と値域について説明しなさい。

次の（1)～(4)の関数のうち, x=2 で最大値をとるものを 2 つ選び, 更にその関数の最大値と最 値を求めよ。

100 次の双曲線の方程式を求めなさい。\n(1) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1$\n(2) $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{18}=-1$

曲線 $C$ 上の点の座標 \( (x, y) \) が, 変数 $t$ を用いて \( \\left\\{\\begin{array}{ll}x=t \\\\ y=t^{2}\\end{array} \\cdots \\cdots \\cdots(A)\\right. \\) と表されるとき, $t$ の値に対応する $x, y$ の値を調べ，それをもとに座標平面上に点をとり滑らかな線で結ぶと，どのような曲線が得られるでしょうか？

x, y の方程式と極方程式

次の方程式を満たす点 $z$ 全体はどのような図形を表すか。\n(1) $|2 z-1+2 i|=6$\n(2) $|z+3 i|=|z+1|$

EX 点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が楕円 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ の上を動くとき, $3 x^{2}-16 x y-12 y^{2}$ の最大値, 最小値を求めよ。[類 福島県立医大]

極方程式 $r=\frac{3}{1+2 \cos \theta}$ の表す曲線を, 直交座標の $x, y$ の方程式に直して答えよ。\n$r=\frac{3}{1+2 \cos \theta} \text { から } r+2 r \cos \theta=3$\n$r \cos \theta=x$ であるから $\quad r+2 x=3$\nゆえに $\quad r=3-2 x \quad$ よって \( \quad r^{2}=(3-2 x)^{2} \)\n$r^{2}=x^{2}+y^{2}$ であるから \( \quad x^{2}+y^{2}=(3-2 x)^{2} \)\n整理すると $\quad 3 x^{2}-12 x-y^{2}+9=0$\nすなわち \( \quad 3(x-2)^{2}-y^{2}=3 \)

点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が楕円 $\\frac{x^2}{4}+y^2=1$ の上を動くとき, $3x^2-16xy-12y^2$ の最大値, 最小値を求めよ。

TR（1）次の方程式の表す曲線を，極方程式で表せ。\n(ア) 2x^{2}+y^{2}=3\n(イ) y=x\n(ウ) x^{2}+(y-1)^{2}=1

(4) \[ \begin{array}{l} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{a^{2}+1} \], |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|=\sqrt{\left(\frac{1-a^{2}}{2}\right)^{2}+a^{2}}=\sqrt{\frac{a^{4}+2 a^{2}+1}{2^{2}}}=\sqrt{\frac{\left(a^{2}+1\right)^{2}}{2^{2}}}=\frac{a^{2}+1}{2} \] \] \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{1-a^{2}}{2}+a^{2}=\frac{a^{2}+1}{2} \] よって \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OH}}|}=\frac{a^{2}+1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \times \frac{2}{a^{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \cos \theta=\frac{12}{13} \text { であるから } \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{12}{13} \] 両辺を 2 乗して整理すると \[ a^{2}+1=\left(\frac{13}{12}\right)^{2} \] ゆえに \[ a^{2}=\frac{13^{2}-12^{2}}{12^{2}}=\frac{(13+12)(13-12)}{12^{2}}=\frac{25 \cdot 1}{12^{2}}=\left(\frac{5}{12}\right)^{2} \] したがって, \ a= \pm \frac{5}{12} \ \(

次の極方程式で表された円の中心の極座標と半径を求めよ。\n(1) $r^{2}-4 r \cos \theta+3=0$\n(2) \( r^{2}-r(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)-8=0 \)

继習 (1) 3 次関数 \( f(x)=x^{3}+b x+c \) に対し, \( g(f(x))=f(g(x)) \) を満たすような 1 次関 10 数 \( g(x) \) をすべて求めよ。

(2)\n\((g \circ f)(x)=g(f(x))=-\{f(x)\}^{2}+4\{f(x)\}\)

2. \ f \ が \ A \ から \ B \ への写像であるとき, \ A \ を定義域という。\ S \ が定義域 \ A \ の部分集合のとき, その各要素の像 \\( f(S)=\\{f(x) \\mid x \\in S\\} \\) を \ S \ の像という。 特に, 定義域 \ A \ の像 \\( f(A) \\) を \ f \ の値域という。例 1.の例で \ S=\\{a, c\\} \ とすると \\( f(S)=\\{1,3\\}, f(A)=\\{1,2,3\\} \\)

次の等式の証明を行いなさい：\n\n\\(2 Q(x)+(x-1) Q^{\\prime}(x) \\) は多項式であるから, \\( f^{\\prime}(x) \\) は \ x-1 \ で割り切れる。\n\nそして、\\( g(x) \\) が \\( (x-1)^{2} \\) で割り切れることを証明せよ。\n\n1. \\( f^{\\prime}(x) \\) の展開を行います：\n回答は以下のようです：\n\n\\[ \\begin{aligned}\nf^{\\prime}(x) &= 2(x-1) Q(x) + (x-1)^{2} Q^{\\prime}(x) = (x-1) \\left\\{ 2 Q(x) + (x-1) Q^{\\prime}(x) \\right\\} \\end{aligned} \\]\n\n2. 非自明な \\( g(x) \\) の展開：\n\n\\[ g(x) = (x-1)^{2} h(x) \\quad ( h(x) \\text { は多項式 }) \\]\n\n(1)の結果を使って、 \\( g^{\\prime}(x) \\) が \ x-1 \ で割り切れることを示します。そのためには以下を考えます：\n\n\\[ g^{\\prime}(x) = a(n+1) x^{n} + b n x^{n-1} \\]\n\n3. さらに、次の方程式を証明します：\n\n\\[ g(1) = 0 \\quad と \\quad g^{\\prime}(1) = 0 \\]\n\nゆえに、以下が成り立ちます：\n\n\ a+b+1=0 \\n\nそして、 \\( (1) \\) から：\n\n\\[ a(n+1)+b n=0 \\]

練習 51: 次の式がすべての自然数 n に対して成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。\n\[ y^{(n)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots \left(\frac{1}{2}-n+1\right)(x+1)^{\frac{1}{2}-n} \]

曲線 $x y=4$ 上の動点 $\mathrm{P}$ から $y$ 軸に垂線 $\mathrm{PQ}$ を引くと, $\mathrm{Q}$ が $y$ 軸上を毎秒 2 の速度 で動くようにPは動くという。\nPが点（2，2）を通過するときの速度と加速度を求めよ。

関数の相等、f^{-1}(x) = f(x)

(1) のまとめ\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\nよって, S(a) は a=-\\frac{3}{5} のとき最小值 \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10} をとる。

次の曲線上の点 $\mathrm{P}$ における接線と法線の方程式を求めよ。\n(1) \( y=\sqrt{x}, \mathrm{P}(2, \sqrt{2}) \)\n(2) \( y=\frac{1}{x}, \mathrm{P}\left(2, \frac{1}{2}\right) \)

共有点で直交する接線をもつ 2 曲線。\n2 つの曲線 $y=x^{2}+a x+b, y=\frac{c}{x}$ は、点 \( (2,1) \) で交わり、この点における接線は互いに直交するという。定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

\n(1) \ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \

関数 \( F_n(t) \) を次のように定義する。\n\[ F_{n}(t) = \int_{0}^{t} f_{n}(x) dx = \int_{0}^{t}\left( 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \right) dx \]\n\( \int_{0}^{1} F_{n}(t) dt \) を求めよ。

165 (2) y^{\prime \prime}=-y-1

定積分の置換積分法を使って、次の定積分を解け：\n\n$$\int_{0}^{2} x(2-x)^{3} dx$$\n\n次に部分積分法を使い、定積分の値を求めよ。

次の狭義積分を求めよ。\n\\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]

次の曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。 \[ \left(x^{2}-2\right)^{2}+y^{2}=4 \]

(1) 関数 y=f(x) のグラフが y 軸と平行な直線 x=k に関して対称であるとする。 y=f(x) のグラフを x 軸方向に -k だけ平行移動して得られる 曲線の方程式は \quad y=f(x+k) この曲線は y 軸に関して対称であるから, f(x+k)=f(-x+k) が成り立つ。 よって (x+k)^4+a(x+k)^3+b(x+k)^2+c(x+k)+d =(-x+k)^4+a(-x+k)^3+b(-x+k)^2+c(-x+k)+d 展開して整理すると (4k+a)x^3+(4k^3+3ak^2+2bk+c)x=0 これが x の恒等式であるから \left\{\begin{array}{l} 4k+a=0 \quad \cdots \cdots \text{ (1) } 4k^3+3ak^2+2bk+c=0 \end{array}\right. (1) から \quad k=-\frac{a}{4}

(2) \\( f(x) \\) が 2 次以上の整式であると仮定する。 \\( f(x) \\) の最高次の項を \\( a x^{n}(a \\neq 0) \\) とすると \ n \\geqq 2 \ \\( x f^{\\prime \\prime}(x) \\) の最高次の項は \\( \\quad a n(n-1) x^{n-1} \\)\n\\( (x+2) f^{\\prime}(x) \\) の最高次の項は \ a n x^{n} \

(ウ) $y=\sqrt{1+x^{2}}$ のグラフは 2 点 \( \\mathrm{A}(0,1), \\mathrm{B}(1, \\sqrt{2}) \) を通る。直線 $\\mathrm{AB}$ の方程式は \( y=(\\sqrt{2}-1) x+1 \)\n\n$0 \\leqq x \\leqq 1$ において \( 1 \\leqq \\sqrt{1+x^{2}} \\leqq(\\sqrt{2}-1) x+1 \) であり, 等号は 常には成り立たないから\n\n\\(\int_{0}^{1} d x<\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x^{2}} d x<\\int_{0}^{1}\{(\\sqrt{2}-1) x+1\} d x\\)\n\nAs:\n\n\\nd x=\left[\\frac{\\sqrt{2}-1}{2} x^{2}+x\\right]_{0}^{1}\n\\n\nThus,\n\\nd x=\frac{\\sqrt{2}+1}{2} \\n\nIt follows that $1<\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x^{2}} d x<\\frac{\\sqrt{2}+1}{2}$

練榋 関数 \\( f(x), g(x) \\) は区間 \ [a, b] \ で連続で, \\( f(x) \\) の最大値は \\( g(x) \\) の最大値より大きく, \\( f(x) \\) の最小値は \\( g(x) \\) の最小値より小さい。このとき, 方程式 \\( f(x)=g(x) \\) は, \ a \leqq x \leqq b \ の範囲に実数解をもつことを示せ。\np. 344 演習 22

y^2=4px の曲線上の接線と法線を求めよ。 (1) x1,y1の時の接線と法線は? (2) x^2-y^2=1の場合の接線と法線を求めよ。 (3) θ=π/6 の時のdx/dθと dy/dθを使った接線と法線を求めよ。

次の関数に最大値，最小値があれば，それを求めよ。

(2) 共通部分の体積が最小になるときの角 $\alpha$ を求めよ。

合成関数と値域

関数とその逆関数のグラフの共有点

練習 関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+(a-4) x+2 \) の極大値と極小値の和が 6 であるとき, 定数 $a$ の値を求め。

次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=-x^{3}+6 x^{2}-9 x+2$\n(2) $y=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+x+3$

EX 2 つの数 $x, y$ に対し $s=x+y, t=x y$ とおく。\n(1) $x, y$ が実数を動くとき, 点 \( (s, t) \) の存在範囲を $s t$ 平面上に図示せよ。\n(2) 実数 $x, y$ が $x^{2}+x y+y^{2}=3$ を満たしながら変化するとする。\n(ア) 点 \( (s, t) \) の描く図形を $s t$ 平面上に図示せよ。\n(イ) \( (1-x)(1-y) \) のとりうる値の範囲を求めよ。

曲線 $y=x^{3}-a x^{2}(a$ は正の定数）において，接線の傾きが $-a$ となる点がただ 1 つしか存在しないとき, $a$ の值を求めよ。また, このとき, この点における接線 の方程式を求めよ。\n[北海道薬大]

235 C は積分定数とする。\n(1) x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+5 x+C\n(2) -x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+2 x+C\n(3) -\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+2 x+C\n(4) \frac{2}{3} x t^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+2 t^{2}+x t+C

x についての多項式 f(x) を (x-a)^{2} で割つたときの余りを, a, f(a), f^{\prime}(a) を 用いて表せ。\n[早稲田大]\n∠ p. 321 参考事項，重要 57\n\n指針多項式の割り算の問題では，次の等式を利用する。\n\nA = B × Q + R\n割られる式 割る式 商 余り\n\n2 次式 (x-a)^{2} で割ったときの余りは 1 次式または定数であるから\nf(x) = (x-a)^{2} Q(x) + p x + q [Q(x) は商, p, q は定数]\n\nが成り立つ。この両辺を x で微分して, 商 Q(x) が関係する部分の式が =0 となるような值を代入すると, 余りが求められる。

関数 $y = x^3 - 3x + 1$ の極大値と極小値を求めよ。

次の条件を満たすように，定数 a ， b の値をそれぞれ定めよ。 (1) 多項式 P(x)=x^{3}+a x+6 は x+3 で割り切れる。 (2) 多項式 P(x)=4 x^{3}+a x^{2}-5 x+3 を 2 x+1 で割ると 4 余る。 (3) 多項式 P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x-9 は x+3 で割り切れ, x-2 で割ると -5 余る。

EX\n微分法\nEX 関数 \( f(x)=3 x^{4}+4(3-a) x^{3}+12(1-a) x^{2}(a \geqq 0) \) について, \( f(x) \) が極小となる $x$ の値とそのと (3) 141 きの極小値を求めよ。\[\begin{aligned}\nf^{\prime}(x) & =12 x^{3}+12(3-a) x^{2}+24(1-a) x \\& =12 x\left\{x^{2}+(3-a) x+2(1-a)\right\} \\ & =12 x(x+2)(x+1-a)\end{aligned}\n\] \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると $\quad x=-2,0, a-1$。\n[1] $0 \leqq a<1$ のとき $\quad-1 \leqq a-1<0$\n増減表は次のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}\n\hline$x$ & $\cdots$ & -2 & $\cdots$ & $a-1$ & $\cdots$ & 0 & $\cdots$ \\ \hline\( f^{\prime}(x) \) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline\( f(x) \) & $\searrow$ & 極小 & $\nearrow$ & 極大 & $\searrow$ & 極小 & $\nearrow$\n\\hline \n\\end{tabular}\n$[1]$ \n

関数 y=-x^3+9x の増減を示す増減表を完成させ、極値とその点を求めよ

曲線 $C: y=x^{3}+3 x^{2}+x$ と点 \( \mathrm{A}(1, a) \) がある。 $\mathrm{A}$ を通って $C$ に 3 本の接線が引 けるとき, 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

座標平面上の 2 つの曲線 $y=x^{3}-5 x$ と $y=a x^{2}-5 x$ は 2 つの共有点をもち, 1つ の共有点における各接線は直交している。このとき, $a$ の値をすべて求めよ。\n[類 福島県医大]

関数 \( f(x)=x^{3}-a x^{2}+b \) の極大値が 5 , 極小値が 1 となるとき, 定数 $a, b$ の値を求めよ。

総合a を実数とし, 曲線 C を y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2 とする。 (1)曲線 C は， a の値に関係なく 2 定点を通る。その定点を A, B とするとき, 点 A と点 B の 座標を求めよ。 (2) 曲線 C が線分 AB （点 A, B は除く）と交わる a の値の範囲を求めよ。 (3)a が (2) で求めた範囲にあるとき, 線分 AB と曲線 C で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (4)（3）の S について, S の最小値とそのときの a の値を求めよ。

多項式の割り算 基本事項 1 割り算について成り立つ等式 A と B が同じ 1 つの文字についての多項式で, B ≠ 0 とするとき, 次の等式を満たす 多項式 Q と R が 1 通りに定まる。 A=B Q+R ただし,R は 0 か, B より次数の低い多項式 この等式において, 多項式 Q を, A を B で割ったときの商, R を余りという。 特に, R=0 すなわち A=B Q のとき, A は B で 割り切れるという。 2 多項式の割り算の注意点 多項式 A を多項式 B で割るとき (1) A も B 降べきの順に 整理してから, 割り算を行う。 (2) 余りが 0 になるか, 余りの次数が 割る式 B の次数より低くなるまで計算を続 ける。

放物線 y = 2x^2 + a と円 x^2 + (y - 2) ^2 = 1 について，次のものを求めよ。(1) この放物線と円が接するとき, 定数 a の値 (2) 異なる 4 個の交点をもつような定数 a の値の範囲

259 練習 $t$ が区間 $-\\frac{1}{2} \\leqq t \\leqq 2$ を動くとき, \\( F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x \\) の最大値と最小値を求めよ。

（1）関数 \( y=f(x) \) は $x=\\alpha$ で極大値, $x=\\beta$ で極小値をとる。 2 点 \( (\\alpha, f(\\alpha)),(\\beta, f(\\beta)) \) を結ぶ 線分の中点 $\\mathrm{M}$ は曲線 \( y=f(x) \) 上にあることを示せ。

練習 (1) 曲線 $y=x^{3}-3 x^{2}$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

曲線 $y=x^{3}-3 x^{2}+2 x+1$ について,\n次のものを求めよ。\n(1) 曲線上の点 \( (1,1) \) における法線の方程式\n(2) (1) で求めた法線と曲線の共有点のうち,\n点 \( (1,1) \) 以外の点の座標

多項式の割り算

点 A(0, a) から曲線 C: y=x^{3}-9 x^{2}+15 x-7 に 3 本の接線が引けるとき, 定数 a の値の範囲を求めよ。

次の関数の最大值と最小值を求めよ。また, そのときの $x$ の值を求めよ。(2) $y=-x^{4}+4 x^{3}+12 x^{2}-32 x$ (-2 \leqq x \leqq 4)

練習 点 \( \mathrm{A}(0, a) \) から曲線 $C: y=x^{3}-9 x^{2}+15 x-7$ に 3 本の接線が引けるとき, 定数 $a$ ④232 の値の範囲を求めよ。

練習（2）点 (2,4) を通り, 曲線 y=x^{3}-3 x+2 に接する直線の方程式を求めよ。

数学 \\Pi \\nEX\n$a, b$ は実数とする。3 次方程式 $x^{3}-3 a x^{2}+a+b=0$ が 3 個の相異なる実数解をもち、そのうち 1 個だけが負となるための $a, b$ の満たす条件を求めよ。また、その条件を満たす点 \( (a, b) \) の存在する領域を $a b$ 平面上に図示せよ。

練習 次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{3}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x$ (2) \( \int_{-3}^{4}\left(\left|x^{2}-4\right|-x^{2}+2\right) d x \)

2 曲線 y=x^{3}+a x と y=b x^{2}+c がともに点 (-1,0) を通り，この点で共通な接線をもつとき, 定数 a, b, c の値を求めよ。また, その接点における共通の接線の方程式を求めよ。

関数 \( y=-2 x^{3}-3 x^{2}+6 x+9(-2 \leqq x \leqq 2) \) の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの $x$ の値を求めよ。

3 証明略, $x=y=z$ のとき ; $a=3$

3次関数のグラフをかくうえでの注意点など

2次方程式 \( g(x)=0 \) と \( h(x)=0 \) がそれぞ れ異なる2つの実数解をもち、共通解をもたない条件を示せ。ここで \( g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b \), \( h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1 \), \( f(f(x))-x=0 \) のとき \( g(x) h(x)=0 \) が異なる4つの実数解をもつ。

（2）関数 \( f(x)=4 x^{3}-3(2 a+1) x^{2}+6 a x \) が極大値と極小値をもつとき, 定数 $a$ が満たすべき条件を求めよ。 [類 工学院大]

基本例題 120 を考えよう。以下の多項式 $f(x, y)$ の符号の変化を調べて、どの領域の符号がどうなるかを決定しなさい。\n(1) $f(x, y)=(x+y-2)(y-x^2)$\n(2) $f(x, y)=(x^2+y^2-4)(x^2+y^2+4x-5)$

354\n$a$ を正の定数とする。 3 次関数 \( f(x)=x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x \) の $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値 \( M(a) \) を求めよ。\n[類 立命館大] $\angle$ 基本 219 重要 224 \n\n指蹴 文字係数の関数の最大値であるが, $p .350$ 基本例題 $\mathbf{2 1 9}$ と同じ要領で, 極値と区間の 端での関数の値を比べて最大値を決定する。\n\( f(x) \) の値の変化を調べると, \( y=f(x) \) のグラフは右図のよう になる（原点を通る）。ここで， $x=\frac{a}{3}$ 以外に \( f(x)=f\left(\frac{a}{3}\right) \) を 満たす $x$ (これを $\alpha$ とする）があることに注意が必要。 よって, \( \frac{a}{3}, \alpha\left(\frac{a}{3}<\alpha\right) \) が区間 $0 \leqq x \leqq 1$ に含まれるかどうか で場合分けを行う。\n\( f^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 a x+a^{2}=(3 x-a)(x-a) \)\n解答 \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると $\quad x=\frac{a}{3}, a$\n$a>0$ であるから, \( f(x) \) の増減表は次のようになる。\n\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\hline$x$ & $\cdots$ & $\frac{a}{3}$ & $\cdots$ & $a$ & $\cdots$ \\\n\hline\( f^{\prime}(x) \) & + & 0 & - & 0 & + \\\n\hline\( f(x) \) & $\nearrow$ & 極大 & $\searrow$ & 極小 & $\nearrow$ \\\n\hline\n\end{tabular}\n\nここで, \( f(x)=x\left(x^{2}-2 a x+a^{2}\right)=x(x-a)^{2} \) から\n\[ f\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{a}{3}\left(-\frac{2}{3} a\right)^{2}=\frac{4}{27} a^{3}, \quad f(a)=0 \]\n$x=\frac{a}{3}$ 以外に \( f(x)=\frac{4}{27} a^{3} \) を満たす $x$ の値を求めると,\n\[ \begin{array}{l} f(x)=\frac{4}{27} a^{3} \text { から } \\ x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x-\frac{4}{27} a^{3}=0 \end{array} \]\n\nゆえに \( \quad\left(x-\frac{a}{3}\right)^{2}\left(x-\frac{4}{3} a\right)=0 \)\n$x \neq \frac{a}{3}$ であるから $\quad x=\frac{4}{3} a$\nよって, \( f(x) \) の $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値 \( M(a) \) は, 次のようになる。\n[1] $1<\frac{a}{3}$ すなわち $a>3$ のとき, \( f(x) \) は $x=1$ で最大となり\n\[ M(a)=f(1) \]\n\nまずは, \( f^{\prime}(x)=0 \) を満たす $x$ の値を調べ, 増減表を書く。\n$\varangle a>0$ から\n$0<\frac{a}{3}<a$\n(*) 曲線 \( y=f(x) \) と直線 $y=\frac{4}{27} a^{3}$ は, $x=\frac{a}{3}$ の 点において接するから， \( f(x)-\frac{4}{27} a^{3} \) は \( \left(x-\frac{a}{3}\right)^{2} \) で割り切れる。このこと を利用して因数分解するとよい。

次の定積分を求めよ。\n\n(1) $\int_{0}^{3}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x$\n\n(2) \( \int_{-3}^{4}\left(\left|x^{2}-4\right|-x^{2}+2\right) d x \)

3次関数のグラフの対称性

練習: 関数 $y=\left|-x^{3}+9 x\right|$ のグラフをかけ。

関数 \( y=x^{3}-6 x^{2}+3 x+2(-1 \leqq x \leqq 6) \) の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの $x$ の値を求めよ。

点 (2,-2) から、曲線 y=\\frac{1}{3} x^{3}-x に引いた接線の方程式を求めよ。

関数 \( f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} \) が極大値をもたないとき，定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

【問題】 曲線 $y=x^{3}-x$ と、曲線上の点 \( (-1,0) \) における接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

解と係数の関係, 解の存在範囲

数学 $\\Pi$\n綀習 平面上の点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が単位円周上を動くとき, $15 x^{2}+10 x y-9 y^{2}$ の最大値と，最大値を与える点 $\\mathrm{P}$ の座標を求めよ。\n[学習院大]\n点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が単位円周上を動くとき\n\\[\\begin{aligned}\nx=\\cos \\theta, & \\ y=\\sin \\theta \\quad(0 \\leqq \\theta<2 \\pi)\n\\end{aligned}\\]

a は正の定数とする。関数 \( f(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}a x^{2}-2 a^{2}x+a^{3} \) の区間 $0 \leqq x \leqq 2$ における最小値 \(m(a)\) を求めよ。

3次関数のグラフをかくうえでの注意点など 3次関数は，増減表を作ることで増減のようすをつかもう。 まず，増減表の作り方のポイントを押さえておこう。 (1) 1行目は, y'=0 を満たすxの値を入れ, (P)のように列を設ける。 (2) 2行目は, y' の符号 (+,-) または 0 を記入する。その際, y' のグラフを簡単にかいて判断するとよい。 例題210 (1) について, f(x)=-x^3+6x^2-9x+2 とすると f'(x)=-3x^2+12x-9=-3(x-1)(x-3) よって, y=f'(x) のグラフは x 軸と x=1,3 で交わる。また, f'(x) の符号は x=1,3 を境目として負→正→負と変わっている。これに対応して, f(x) は x=1,3 を境目として 減少→増加→減少 と変化している。なお, 放物線 y=f'(x) は軸 x=2 に関して対称であるが, y=f(x) のグラフは点 (2, f(2)) に関して対称になっている。

練習 次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=2 x^{3}-6 x-4$\n(2) $y=\frac{2}{3} x^{3}+2 x^{2}+2 x-6$

次の関数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d が、x = 1 と x = 3 で極値を取るとき、この条件を満たす f(x) をすべて求めよ。また、極大値と極小値を答えよ。

2 曲線 $y=x^{3}-x^{2}-12 x-1, y=-x^{3}+2 x^{2}+a$ が接するとき, 定数 $a$ の値を求めよ。また, その接点における接線の方程式を求めよ。[ p. 333 EX 134> ]

3）関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+a x+1 \) が常に単調に増加するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 [類 千葉工大]

次の関数の最大值と最小值を求めよ。また, そのときの $x$ の值を求めよ。 (219 (1) \( y=-x^{3}+12x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)

3次関数と極値

方程式 \( f(t)=b \) の実数解の個数は, \( y=f(t) \) のグラフと直線 $y=b$ との 共有点の個数を調べて\n$b<2 a, \quad b>e^{a}-e^{-a}$ のとき 1 個；\n$b=2 a, e^{a}-e^{-a}$ のとき 2 個；\n$2 a<b<e^{a}-e^{-a}$ のとき 3 個

曲線 \( y=x^{2}(0 \leqq x \leqq 1) \) を $y$ 軸の周りに 1 回転してできる形の容器に水を満たす。 この容器の底に排水口がある。時刻 $t=0$ に排水口を開けて排水を開始する。時刻 $t$ に排水して容器に残っている水の深さを $h$, 体積を $V$ とする。 $V$ の変化率 $\frac{d V}{d t}$ は $\frac{d V}{d t}=-\sqrt{h}$ で与えられる。\n(1) 水深 $h$ の変化率 $\frac{d h}{d t}$ を $h$ を用いて表せ。\n（2）容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 $T$ を求めよ。\n〔北海道大〕

関数 \(f(x)=x^{2}+1\) と \(g(x)=2x-1\) を用いて合成関数 \( (g \circ f)(x) \) を求めなさい。

(1) 円 \( (x-1)^{2}+y^{2}=1 \) を極方程式で表せ。〔防衛大〕

次の関数のグラフをかけ。また, 値域を求めよ。\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1

関数 $y=\sqrt{4-x}$ が $a \leqq x \leqq b$ の範囲において, $1 \leqq y \leqq 2$ の值をとるように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。

方程式 \( y^{2}=x^{2}\left(8-x^{2}\right) \) が定める $x$ の関数 $y$ のグラフの概形をかけ。

関数 \( f(x) \) が定義域のすべての $x$ の値で連続であるとき, \( f(x) \) を 連続関数 という。整式で表される関数や分数・無理関数, 三角・指数・対数関数などは連続関数である。\n関数 \( f(x)=\sqrt{x} \) について、定義域において連続であることを証明してください。

\( f(a)=g(a), f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a), f^{\prime \prime}(a)=g^{\prime \prime}(a) \) を満たす 2 次関数 \( g(x) \) は \( g(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2} \) $\qquad$ (1) であることの証明。

直線 $y=a x+1$ が曲線 $y=\\sqrt{2 x-5}-1$ に接す㐁ように, 定数 $a$ の値を定めよ。方程式 $\\sqrt{2 x-5}-1=a x+1$ の実数解の個数を求めよ。ただし, 重解は 1 個と みなす。

a>0 とする。曲線 y=a^3 x^2 を C1 とし, 曲線 y=-1/x (x>0) を C2 とする。また, C1 と C2 に同時に接する直線を ℓ とする。 (1) 直線 ℓ の方程式を求めよ。 (2) 直線 ℓ と曲線 C1, C2 との接点をそれぞれ P, Q とする。 a が a>0 の範囲を動くとき, 2 点 P, Q 間の距離の最小値を求めよ。 〔徳島大〕

200 (1) \( I(t)=\frac{64}{5} t^{2} \sqrt{t}-\frac{128}{3} t \sqrt{t} \) (2) $t=2$ のとき最小値 $-\frac{512 \sqrt{2}}{15}$

点 z か源点 O を中心をる半径 1 の円上を動くとき, 次の式で表される点 w は, どのような図形を描くか。(3) w=2 z-frac{2}{z}

座標平面上の点 (x, y) が (x² + y²)² - (3x² - y²)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0 で定まる集合上を動くとき, x² + y² の最大值，およびその最大值を与える x, y の値を求めよ。

x > -1 のとき, 次の関数 y = x sqrt(x + 1) について調べてください。\n(1) y の増減とグラフの凹凸を解析し、その結果を表にまとめてください。

実数 $x$ に対して $[x]$ は $n \leqq x < n+1$ を満たす整数 $n$ を表すとき, 関数 \( f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) \) が $x = 1$ と $x = 2$ で連続となるように定数 $a$, $b$ の値を定めよ。

(1) $I$ を $a$ の関数で表せ。(2) I の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

原点を出発して数直線上を動く点 P の座標が, 時刻 t の関数として, x=t^{3}-10 t^{2}+24 t(t>0) で表されるという。点 P が原点に戻ったときの速度 v と加速度 \alpha を求めよ。

実数 $x, y$ が $2 x^2 + 3 y^2 = 1$ を満たすとき, $x^2 - y^2 + x y$ の最大値と最小値を求めよ。

(6) x=-4/5 で極大値 12√[3]{10}/25, x=0 で極小値 0

(1) \( y=(\\sqrt{x}-\\sqrt{2})^{2} \\cdots \\)とする。関数 (1) の定義域は？値域は ？

(2) x=1 で極大値 1

（2）楕円 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上の点 $\mathrm{P}$ と定点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) の距離の最小値を求めよ。ただし， $a$ は実数の定数とする。

関数のグラフを描く際には以下のポイントに注意します。1) 定義域、2) 対称性、3) 増減と極値、4) 凹凸と変曲点、5) 座標軸との交点、6) 漸近線。これらのポイントに基づき、与えられた関数のグラフを描きなさい。

次の曲線と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。 (1) y=-x^4+2x^3 (2) y=x+4/x-5 (3) y=10-9e^{-x}-e^x

19 座標平面上の点 \( (x, y) \\) が \( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0 \\) で定まる集合上を 動くとき, x^{2}+y^{2} \ の最大値, およびその最大値を与える x, y \ の値を求めよ。\n〔千葉大〕

(2) x=π で最大値 π-1, x=2 π で最小値 1-2 π

1章 関数 - PRACTICE の問題4の $x$ の範囲を求めよ。

次の曲線と曲線の間の面積を求めなさい。 y = x^2 と y = x の間の面積。

第6章 積分法の応用。図に示された $x=-1-y^{2}$ のグラフの面積を求めよ。

方程式 \( y^{2}=x^{2}(x+1) \) が定める $x$ の関数 $y$ のグラフの概形をかけ（凹凸は調 べなくてよい)。

1章 関数 - EXERCISES の問題11の点を求めよ。

次の不定積分を求めよ。\n\\[ \\int\\left(3 t^{2}-4 t^{4}\\right) dt \\]

問題 66\n(1) 方程式 (x-3)² + y² + (z-2)² = 13 を求めよ。\n(2) 方程式 (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27 を求めよ。\n(3) 方程式 (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9 を求めよ。

1章 関数 - PRACTICE の問題6の定義域と値域を求めよ。

(2) 点 $\mathrm{B}$ は, 点 $\mathrm{A}$ を原点 $\mathrm{O}$ を中として $\frac{\pi}{4}$ または $-\frac{\pi}{4}$ だけ回転し，原点からの距離を $\sqrt{2}$ 倍した点である。 [1] $\frac{\pi}{4}$ だけ回転した場合 \[ \begin{aligned} \beta & =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)(2+3 i) \\ & =\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right)(2+3 i) \\ & =-1+5 i \end{aligned} \]

座標平面上を運動する点 P の座標が時刻 t の関数として、次の式で表されるとき、t=1 における速さ，加速度の大きさをそれぞれ求めよ。\n(1) x=t^{2}, y=2 t\n(2) x=t, y=e^{-2 t}

数直線上を運動する点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における位置 $x$ が \( x=-2 t^{3}+3 t^{2}+8(t \geqq 0) \) で与えられている。 $\mathrm{P}$ が原点 $\mathrm{O}$ から正の方向に最も離れるときの速度と加速度を求めよ。

PR (1) 次の関数のグラフをかけ。また, その定義域と值域を求めよ。\n(ア) \( y=-\sqrt{2(x+1)} \)\n(1) $y=\sqrt{3 x+6}$\n(2) 関数 \( y=\sqrt{4-2 x}+1(-1 \leqq x<1) \) のグラフをかき, その值域を求めよ。

次の関数 f(x) が，x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。ただし，[x] (ガウス記号) は実数 x を超えない最大の整数を表す。\n(1) f(x)=x^{3}\n(2) f(x)=x^{2}(x ≠ 0), f(0)=1\n(3) f(x)=[\cos x]

練習 (2) 実数 $x, y$ が $2 x^{2}+3 y^{2}=1$ を満たすとき, $x^{2}-y^{2}+x y$ の最大値と最小値を求めよ。

集合 $A, B$ があって, $A$ の要素を決めると, それに対応して $B$ の要素がただ 1 つ決まるとき, その対応を $A$ から $B$ への写像という。写像は $f, g$ などで表される。 $A$ から $B$ への写像 $f$ で, $A$ の要素 $a$ に対応する $B$ の要素 を $f$ による $a$ の像といい, \( f(a) \) で表す。また, $A$ から $B$ への写像 $f$ を $f: A \longrightarrow B$ と かく。例 $A=\\{a, b, c, d\\}, B=\\{1,2,3,4\\}$ とする。\n\( f(a)=f(b)=1, f(c)=3, f(d)=2 \) とすれば, $f$ は $A$ から $B$ への写像である。

回転移動を利用して面積を求める 方程式 \( \sqrt{2}(x-y)=(x+y)^{2} \) で表される曲線 $A$ について, 次のものを求めよ。 （1）曲線 $A$ を原点Oを中心として $\frac{\pi}{4}$ だけ回転させてできる曲線の方程式 (2) 曲線 $A$ と直線 $x=\sqrt{2}$ で囲まれる図形の面積 $S$ 基本 154, 数学 $\mathrm{C}$ 重要 124

次の楕円, 双曲線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。 (1) y^{2}=8 x (2,4) (2) \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{6}=1 (1,2) (3) 2 x^{2}-y^{2}=1 (\sqrt{2},-\sqrt{3})

次の曲線上の, 与えられた点における接線と法線の方程式を求めよ。\n(1) \( y=x^{3}-3 x^{2},(1,-2) \)

点 (1,3) から楕円 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$ に引いた接線の方程式を求めよ。

次の関数の増減，グラフの凹凸を調べてグラフの概形をかけ。(1) y=\\frac{1}{4} x^{4}+\\frac{1}{3} x^{3}-8 x^{2}-16 x

回転移動を利用して面積を求める 方程式 \( \sqrt{2}(x-y)=(x+y)^{2} \) で表される曲線 $A$ について, 次のものを求めよ。(2) 曲線 $A$ と直線 $x=\sqrt{2}$ で囲まれる図形の面積 $S$

次の方程式が定める $x$ の関数 $y$ のグラフの概形をかけ（凹凸も調べよ）。\n(1) $4 x^{2}-y^{2}=x^{4}$\n(2) $\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}=1$

(24-2) 時刻 $t$ における $P$ の加速度 $\alpha$ は $\alpha=\frac{d v}{d t}=6 t$ であり、時刻 $t=2$ のときの $P$ の加速度を求めよ。

次の曲線上の点Aにおける接線の方程式を求めよ。\n[(1) 類 近畿大]\n(1) \( \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1, \quad \mathrm{~A}\left(\sqrt{7}, \frac{15}{4}\right) \)\n(2) \( 2 x^{2}-y^{2}=1, \quad \mathrm{~A}(1,1) \)\n(3) \( 3 y^{2}=4 x, \mathrm{~A}(6,-2 \sqrt{2}) \)

関数方程式に関する問題を解いてください。

つの関数のグラフの共有点の個数を求めてください。

106\n例題 45 | 区間の一端が動く場合の最大・最小\n$a$ は正の定数とする。 $0 \leqq x \leqq a$ における関数 \( f(x)=x^{2}-4 x+1 \) について, 次の 問いに答えよ。\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。\n<例 38

$-2 \leqq x \leqq 1$ のとき, 関数 \( y=\left(x^{2}+2 x\right)^{2}-4\left(x^{2}+2 x\right)-4 \) の最大値, 最小値を求 めよ。

関数 $y=x^{4}-6 x^{2}+10$ の最小値を求めよ。

\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\nよって, \\( y=f(f(x)) \\) のグラフは図 (2)のようになる。

0 ≤ x ≤ 4 を満たすすべての実数 x1, x2 に対して, f(x1)<g(x2) が成り立つための条件は, 0 ≤ x ≤ 4 において, f(x) の最大値 < g(x) の最小値 が成り立つことである。よって -a^2 + 8 < -3a - 10。 整理して a^2 - 3a - 18 > 0。 ゆえに (a + 3)(a - 6) > 0。 よって a < -3, 6 < a。

次の関数のグラフをかけ。(1) $y=x^{2}-2|x|-3$ (2) $y=\left|x^{2}-x-6\right|$

次の条件を満たす a の範囲を求めなさい。(1) f(1)>0 (2) 方程式 f(x)=0 が 3 より大きい解と 3 より小さい解をもつ (3) f(-2)>0, f(0)<0, f(1)>0

次の関数のグラフをかけ。(1) $y=x^{2}-4|x-1|$ (2) $y=\left|\frac{1}{3} x^{2}+2 x-9\right|$

(2) について\ny=\\left\\{\\begin{array}{cc}\n-2 x+1 & (x<-1)\n3 & (-1 \leqq x<2)\n2 x-1 & (2 \leqq x)\n\\end{array}\\right.\n(1), ②) のグラフは右の図のようになる。\n①) と ②) の交点の x 座標を求めると\n[1] x<-1 のとき\n(1) と y=-2 x+1 から y を消去して\n-x^{2}+2 x+8=-2 x+1\nゆえに x^{2}-4 x-7=0 よって x=2 \pm sqrt{11}\nx<-1 を満たすものは x=2-\sqrt{11}\n[2] x \geqq 2 のとき\n(1) と y=2 x-1 から y を消去して\n-x^{2}+2 x+8=2 x-1\nゆえに x^{2}=9 よって\n場合の分かれ目は, | | 内の式 =0 となる x の値。よって, x+1=0 と x-2=0 から\nx=-1 と x=2\nこの場合分けの条件の 確認を忘れないように。\n[2], [3] も同じ。\n3 章 square\n練習\n2\n咨\n数\n《上の解答の場合分けを 用いた。\n(1) と (2) のグラフは, -1 \leqq x<2 の範囲で共有点をもたないから, [1], [2] だけ考えればよい。

例題 34 | グラフと不等式（絶対値）\n(1) 関数 $y=2|x+1|-|x-1|$ のグラフをかけ。\n(2) グラフを利用して, 不等式 $2|x+1|>|x-1|+x+2$ を解け。

0 ≤ x ≤ 4 を満たすある実数 x1, x2 に対して, f(x1)<g(x2) が成り立つ ための条件は, 0 ≤ x ≤ 4 において, f(x) の最小値 < g(x) の最大値 が成り立つことである。よって -a^2 - 1 < -3a - 1。 整理して a^2 - 3a > 0。 ゆえに a(a - 3) > 0。 よって a < 0, 3 < a。

区間$a \leqq x \leqq b$ において, 2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)で挟まれた部分の面積$S$ を求める方法について説明せよ。 \(f(x)\)と\(g(x)\)の関係に応じて、どのように計算されるかを示せ。

次の関数の増減を調べよ。また，極値を求めよ。\n(1) $y=\frac{1}{3} x^{3}-9 x$\n(2) $y=-x^{3}+x^{2}-x+1$

曲線 $C: y=x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}$ と異なる 2 点で接する直線の方程式を求めよ。

例題 174\n曲線 $y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6$ と, その曲線上の点 \( (3,-6) \) における接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

288\n$a$ は正の定数とする。 $0 \leqq x \leqq a$ における関数 $y=-x^{3}+3 x^{2}$ について, 次の値を 求めよ。\n(1) 最大値\n(2) 最小値

実数 $x, y$ が $x^{2}+y^{2}=1$ を満たすとき, $3 x^{2}+2 x y+y^{2}$ の最大値はア $\square$, 最小値 はイ $\square$ である。

次のような直線の方程式を求めよ。点 (0,4) から, 曲線 y=x^{3}+2 に引いた接線

a = 0 のとき b はすべての実数, a ≠ 0 のとき b < 0 かつ b < a³ / 27 または b > 0 かつ b > a³ / 27 図略

例題 164 定積分の計算 (4) $⋯ 6$ 分の 1 公式\n(1) 等式 \( \int_{\\alpha}^{\\beta}(x-\\alpha)(x-\\beta) d x=-\\frac{1}{6}(\\beta-\\alpha)^{3} \\) を証明せよ。\n(2) 定積分 \( \int_{1-\\sqrt{2}}^{1+\\sqrt{2}}\\left(x^{2}-2 x-1\\right) d x \\) を求めよ。

数学 \\mathbb{I}-219 \ 別解 \( y=f(x) \\) のグラフが, x \ 軸の正の部分と異なる 2 点で交わるための条件は何ですか？