AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
基本関数 - 多項式関数
Q.01
折り返してグラフをかく方法\n\( y=|f(x)| \) の形の関数のグラフは,\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x) \\geqq 0 \\text{ のとき }|f(x)|=f(x) \\text{, } \\\\\nf(x)<0 \\text{ のとき }|f(x)|=-f(x) \\\\\n\\end{array}\n\\]\nであるから, \( y=f(x) \) のグラフで 軸より下側の部分を 軸に関して対称に折り返すと得られる。この方法を用いると場合分けをせずにグラフをかくこともできる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
平行移動と対称移動\n\n平行移動\n 軸方向に 軸方向に の平行移動で\n\n[ グラフ ] \( y=f(x) \\rightarrow y=f(x-p)+q \\)\n\n対称移動\n\na,b\ からの値変換:\n\[ 点(a, b) \\rightarrow (a+p, b+q) \\]\n\nグラフ変換:\n\[ グラフ y=f(x) \\rightarrow y=f(-x) 或いは y=-f(x) 或いは y=-f(-x) \\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
画要例題 57 関数の作成\n図のような 1 辺の長さが 2 の正三角形 がある。点 が頂点 を出発し, 毎秒 1 の速さで左回りに辺上を 1 周す るとき, 線分 APを 1 辺とする正方形の面積 を, 出発後 の時間 (秒)の関数として表し,そのグラフをかけ。 ただし, 点Pが点Aにあるときは とする。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
EX 10進法で表された正の整数を4進法に直すと3桁の数 となり,6進法に直すと3桁の数 となるとする。また、 である。この数を10進法で書け。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.11
基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて, 次の命題を証明せよ。\n(1) ならば「 または \( y \leqq 1 」\n(2) ならば「 または \( |a-b|>3 」
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
1<a のとき f(x) は x=1 で最小となる。ゆえに f(1)=-3 a+7 \geqq 0 よって a \leqq \frac{7}{3} これと 1<a の共通範囲は 1<a\leqq \frac{7}{3}
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
次の関数のグラフをかけ。また,その値域を求めよ。
(1) y = |3 x|
(2) y = -|2 x-1|
(3) y = |2 x+6| (-4 < x ≤ 0)
(4) y = |x| - 1 (-2 < x < 2)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
連立不等式では, 数直線上に図示して考えましょう。\n\n連立不等式の解法\n1 それぞれの不等式を解く。\n2 不等式の解を数直線上に図示する。\n3 図を利用して,解の共通範囲を求める。\n \( (x+2)(x+1)>0 \) から \n \( (x+3)(x-1)<0 \) から \n (1) と (2) の共通範囲を求めて\n
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
参厓 関数 \( y=f(x) \) の グラフを, 軸, 軸,原点に関して対称移動し たときのグラフを表す関数は,それぞれ次のよう になる。\n 軸: \( y=-f(x) \n 軸: \( y=f(-x) \\\n原点: \( y=-f(-x) \
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
2 次不等式は, グラフを用いて解きましょう。 ここでは, についての 2 次不等式ではなく, についての 2 次不等式です から, 軸ではなく, 軸になります。\n\\( y=(m+2)(m-1) \\) のグラフで \ y>0 \ となる \ m \ の値の範囲を求めて\n\ \quad m<-2,1<m \\n\\( y=(m+2)(m-1) \\) のグラフで \ y \geqq 0 \ となる \ m \ の値の範囲を求めて\n\ \quad m \leqq-2,1 \leqq m \\n\\( y=(m+2)(m-1) \\) のグラフで \ y<0 \ となる \ m \ の値の範囲を求めて\n\ \quad-2<m<1 \
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
長さ 6m の金網を直角に折り曲げて, 直角な壁の隅のところに囲いを作ることにした。囲い の面積を最大にするには,金網をどのように折り曲げればよいか。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
PR とする。定積分 の值を最大, 最小にする の値とその最大値, 最小値をそれぞれ求めよ。\n[類 長崎大]\n\[\\left|x^{2}-t^{2}\\right|=|(x+t)(x-t)|\]\n のとき, において \nよって\( \\left|x^{2}-t^{2}\\right| = (x+t)|x-t| \)\n のとき であるから\n\[\\left|x^{2}-t^{2}\\right| = -(x+t)(x-t) = -\\left(x^{2}-t^{2}\\right)\]\n のとき であるから\n\[\\left|x^{2}-t^{2}\\right| = (x+t)(x-t) = x^{2}-t^{2}\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
次関数のグラフとその接線の共有点\n(1)\n曲線 上に 座標が 1 である点 がある。点 における接線が と交わるもう 1 つの点の 座標を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
関数 \( f(x) = ax^{3} - 6ax^{2} + b \) が与えられ、範囲 における最大値が 3 で、最小値が -29 であるとき、定数 の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
方程式 \( f(x)=a \) が異なる3つの 実数解をもつとき,曲線 \( y=f(x) \) と直線 が異なる3つの共有点 をもつ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.27
関数 \( f(x)=x^{3}-3 m x^{2}+6 m x \) が極値をもつような定数 の値の範囲を求めよ。\n[類 東京薬大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
次の関数の極値を求めよ。また,そのグラフをかけ。(1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
(4)エに当てはまるものを,次の0~2のうちから1つ選べ。
(0) ef
(1) c f=d e
(2) d f=c e
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
関数 \( f(x)=|x|\left(x^{2}-5 x+3\right) \) の増減を調べ, \( y=f(x) \) のグラフの概形をかけ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.34
(1) 連立不等式 {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y} が表す領域を図示せよ。 (2) r > 0 とする。x と y の条件 (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2 が成り立つとき、連立不等式が成り立つ r の最大値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
点 P を通る直線 l_{t} : y=2 t x+t^{2} を考える。このような点 P の軌跡の方程式を求めよ。また、t がすべての実数値をとって変わるとき、直線 l_{t} が通る点 (x, y) の全体を図示せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
510\n問題に挑戦\n を実数とし, \( f(x)=x^{3}-6 a x+16 \) とおく。\n(1) \( y=f(x) \) のグラフの概形は\n\nである。\nア\n, 1\nに当てはまる最も適当なものを,次の(0)\n(5)のちから 1 つずつ選\nべ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。\n(0)\n(1)\n(4)\n(5)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
x y 平面上の点 \( (a, b) \) から曲線 に3本の相異なる接線が引けるための条件を求め, その条件を満たす点 \( (a, b) \) のある範囲を図示せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.39
次の関数において, x が [ ] 内の範囲で変化するときの平均変化率を求めよ。(ア) f(x)=-3 x^{2}+2 x [-2 から b まで ] (イ) f(x)=x^{3}-x [ a から a+h まで ]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の一般項を求めよ。\n\ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
等式・不等式の証明 基本事項 1. 等式 A=B の証明 1. A か B の一方を変形して他方を導く。複雑な式の方を変形するのが原則。 2. A, B をそれぞれ変形して, 同じ式を導く。 3. A-B を変形して, 0 になることを示す。A=B ⇔ A-B=0
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.43
次の関数の極値を求めよ。また, そのグラフをかけ。
(1)
(2)
(3)
次の関数
1.
極大値を求めるために、y の増減表は次のようになる。
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}
\hline & & 0 & & 1 & \\
\hline & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline & & 極大 & & 極小 & \\
\hline
\end{tabular}
よって, は で極大値 1 , で極小値 0 をとる。
また,グラフは図のようになる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
a, b を実数とする。 3 次関数 f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x は x=α で極大値, x=β で極小値をとる。ただし, α<β である。
[類 高知大]
(1) a, b を α, β を用いて表せ。
(2) α=β-1 であるとき, f(α)-f(β) を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
x, y は実数とするとき, x^{2}+y^{2}<1 ならば x^{2}+y^{2}<2 x+3 であることを証明せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \( (x-1)(x-2 y)<0 \)\n(2) \( (x-y)\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \geqq 0 \)\n(3) \( \left(x^{2}+y^{2}-4\right)\left(x^{2}+y^{2}-4 x+3\right) \leqq 0 \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.48
次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int(2 x+1)^{3} d x \)
(2) \( \int(t+1)^{3}(1-t) d t \)
C を積分定数とする。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
192 a<0 のとき \( g(a)=2 a^{3}-3 a^{2}+3 \)\n0 \leqq a<1 のとき \( g(a)=3 \)\n1 \leqq a<\frac{6+\sqrt{6}}{6} のとき\ng(a)=2 a^{3}-9 a^{2}+12 a-2\n\(\frac{6+\sqrt{6}}{6} \leqq a のとき g(a)=2 a^{3}-3 a^{2}+3\)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.52
定積分の最小值
は を満たす定数とする。
(1) 関数 \( f(x)=x|x-a| \) のグラフの概形をかけ。
(2) 積分 \( g(a)=\int_{0}^{1} x|x-a| d x \) の値を最小にする の値を求めよ。
[東北大]
基本 218
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
よって, 関数 (1)の グラフは右の図のよ うになり, グラフと x 軸の共有点は 3 個 である。 したがって, 方程式\nx^{3}-3 x^{2}+1=0\nの実数解は 3 個 である。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
点 (6,3) を通るから
整理すると
6^{2}+3^{2}+6 l+3 m+n=0
6 l+3 m+n+45=0
点 (-3,0) を通るから
(-3)^{2}+0^{2}-3 l+0 m+n=0
整理すると
-3 l+n+9=0
(3) から n=3 l-9
(4)を (1) に代入して整理すると 7 l-m+8=0
よって m=7 l+8
(4), (5) を (2) に代入して整理すると
30 l+60=0 ゆえに l=-2
このとき, (5) から m=-6
(4) から n=-15
よって, 求める円の方程式は x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-15=0
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
次の曲線,直線と 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( y=x^{3}+3(0 \leqq x \leqq 1), y \) 軸, \n(4) \( y=x^{2}-4 x+3(0 \leqq x \leqq 5), x=0, x=5 \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
次の関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) \( y=x^{3}-4 x^{2}+4 x+1 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(2) \( y=-x^{3}+12 x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)\n(3) \( y=3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+3 \quad(-1 \leqq x \leqq 1) \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
(1) x, y の関数 P=x^{2}+3 y^{2}+4 x-6 y+2 の最小値を求めよ。
(2) x, y の関数 Q=x^{2}-2 x y+2 y^{2}-2 y+4 x+6 の最小値を求めよ。
なお,(1), (2) では,最小値をとるときの x, y の値も示せ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
17 関数 y=|x^2-2 m x|-m のグラフに関する次の問いに答えよ。ただし, m は実数 とする。
(1) m=1 のときのグラフの概形をかけ。
(2) グラフと x 軸の共有点の個数を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
次の関数の最大値、最小値を求めよ。\n(1) \n(2) \( y = (x^2 - 6x)^2 + 12(x^2 - 6x) + 30 \)\nただし、
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.62
放物線 と は共有点を持ちません。\nそれにもかかわらず、この方法を使うとどのような直線の方程式が得られるか調べてください。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.63
関数 f(x)(0 ≤ x < 1) を右のように定義するとき, ⑦1 次の関数のグラフをかけ。 (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
表本閉造 832 次関数の最大・最小 (5) \n(1) 最小値を求めよ。(2) 最大値を求めよ。\n基本 80\nこの問題では, 区間の 幅は 2 で一定であるが, aの値とともに区間全体が右に移動するか ら, 軸 と区間 の位置関係を調べる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
(2) \ \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.68
関数 \( f(x)=\left|x^{2}-1\right| - x \) の における最大値と最小値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.71
のとき, 関数 \( y=\left(x^{2}-2 x-1\right)^{2}-6\left(x^{2}-2 x-1\right)+5 \) の最大値, 最小値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.72
88 (1) x< -\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}<x (2) 2-\sqrt{5} \leqq x \leqq 0, 4 \leqq x \leqq 2+\sqrt{5}
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
以下のaの範囲について、関数f(x)が最大値を持つかどうかを判断する。\n\n[1] のとき、\( y=f(x) \) のグラフの傾きは、正、正、負と変化するから、f(x)はx=2で最大となる。\n[2] のとき、\( y=f(x) \) のグラフの傾きは、正、0、負と変化するから、f(x)は[-1, 2]を満たすxで最大となる。\n[3] -1<a<1 のとき、\( y=f(x) \) のグラフの傾きは、正、負、負と変化するから、f(x)はx=aで最大となる。\n[4] のとき、グラフの傾きは、正、0、負と変化するから、f(x)はx<=1を満たすxで最大となる。\nこれらの条件を踏まえたとき、関数f(x)が最大値を持つための必要十分条件を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
次の関数のグラフをかけ。\n(1) y=x^{2}-4|x|+2\n(2) y=\\left|x^{2}-4\\right|
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
[2] 太郎さんと花子さんは,宿題に出された次の[問題]に取り組んでいる。[問題] 関数 \( f(x)=x^{2}-2|x| \) について (A) \( f(x) \) の最小値を求めよ。 (B) とする。 における \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。(1) 小問(A)の答えは次のようになる。 \( f(x) \) は エ のとき, 最小値 オ をとる。エ, オ垱てはまるものを,次の各解答群から1つずつ選べ。工 の解答群 (0) -1 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) -1 または 0 (5) -1 または 1 (6) -1 または 2 (7) 0 または 1 (8) 0 または 2 (9) 1 または 2 オの解答群 (0) -2 (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
x, y を実数とするとき, x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 の最小値を求め,そのときの x, y の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
次の関数のグラフをかき,その値域を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( y=|2 x+4| \quad(-3 \leqq x \leqq 1) \)\n(4) \( y=|x|+1 \quad(-3<x \leqq 2) \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
数学 I
[4] 〜 [6] から
a<4 のとき
x=a+1 で最小値 a^{2}-7 a-9
4 ≤ a ≤ 5 のとき
x=5 で最小値 a-25
a>5 のとき
x=a で最小値 a^{2}-9 a
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
基本例題 43 対偶を利用した命題の証明\n文字はすべて実数とする。対偶を考えて,次の命題を証明せよ。\n(1) ならば「 または \( y \leqq 1 」 \n(2) ならば または \( |a-b|>3 」 \np. 76 基本事項\n6
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
折り返してグラフをかく方法\n\( y=|f(x)| \) の形の関数のグラフは,\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x) \\geqq 0 \\text { のとき }|f(x)|=f(x), \\\nf(x)<0 \\text { のとき }|f(x)|=-f(x) \\\\\n\\end{array}\n\\]\n\nであるから, \\( y=f(x) \\) のグラフで \ x \ 軸より下側の部分を \ x \ 軸 に関して対称に折り返すと得られる。この方法を用いると場合分けをせずにグラフをかくこともできる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
必要条件と十分条件について考えよ。
例:"x^2 = 4" であるための必要条件は、"x が 2 または -2 である"。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
\ 1<a \ のとき\\r\\n\\( f(x) \\) は \ x=1 \ で最小となる。\\r\\nゆえに \\( \\quad f(1)=-3 a+7 \\geqq 0 \\)\\r\\nよって \ a \\leqq \\frac{7}{3} \\\r\\n
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
次の関数に最大値, 最小値があれば, それを求めよ。
(1) y = -2x^4 + 4x^2 + 3
(2) y = (2x^2 - 3x + 2)(-2x^2 + 3x - 1) + 1
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.92
例題 744 次関数の最大・最小\n のとき, の関数 \( y=\left(x^{2}-6 x\right)^{2}+12\left(x^{2}-6 x\right)+30 \) の最大値,最小値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
次の(1)~(4)の関数のうち, x=2 で最大値をとるものを 2 つ選び, 更にその関数の最大値と最 値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
曲線 上の点の座標 \( (x, y) \) が, 変数 を用いて \( \\left\\{\\begin{array}{ll}x=t \\\\ y=t^{2}\\end{array} \\cdots \\cdots \\cdots(A)\\right. \\) と表されるとき, の値に対応する の値を調べ,それをもとに座標平面上に点をとり滑らかな線で結ぶと,どのような曲線が得られるでしょうか?
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
EX 点 \( \mathrm{P}(x, y) \) が楕円 の上を動くとき, の最大値, 最小値を求めよ。[類 福島県立医大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.00
極方程式 の表す曲線を, 直交座標の の方程式に直して答えよ。\n\n であるから \nゆえに よって \( \quad r^{2}=(3-2 x)^{2} \)\n であるから \( \quad x^{2}+y^{2}=(3-2 x)^{2} \)\n整理すると \nすなわち \( \quad 3(x-2)^{2}-y^{2}=3 \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
TR(1)次の方程式の表す曲線を,極方程式で表せ。\n(ア) 2x^{2}+y^{2}=3\n(イ) y=x\n(ウ) x^{2}+(y-1)^{2}=1
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.03
(4)
\[ \begin{array}{l} |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{a^{2}+1} \], |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|=\sqrt{\left(\frac{1-a^{2}}{2}\right)^{2}+a^{2}}=\sqrt{\frac{a^{4}+2 a^{2}+1}{2^{2}}}=\sqrt{\frac{\left(a^{2}+1\right)^{2}}{2^{2}}}=\frac{a^{2}+1}{2} \]
\] \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{1-a^{2}}{2}+a^{2}=\frac{a^{2}+1}{2}
\] よって \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OH}}|}=\frac{a^{2}+1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \times \frac{2}{a^{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \cos \theta=\frac{12}{13} \text { であるから } \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{12}{13} \]
両辺を 2 乗して整理すると \[ a^{2}+1=\left(\frac{13}{12}\right)^{2} \] ゆえに \[ a^{2}=\frac{13^{2}-12^{2}}{12^{2}}=\frac{(13+12)(13-12)}{12^{2}}=\frac{25 \cdot 1}{12^{2}}=\left(\frac{5}{12}\right)^{2} \] したがって, \ a= \pm \frac{5}{12} \ \(
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
次の極方程式で表された円の中心の極座標と半径を求めよ。\n(1) \n(2) \( r^{2}-r(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)-8=0 \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
继習 (1) 3 次関数 \( f(x)=x^{3}+b x+c \) に対し, \( g(f(x))=f(g(x)) \) を満たすような 1 次関 10 数 \( g(x) \) をすべて求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
2. \ f \ が \ A \ から \ B \ への写像であるとき, \ A \ を定義域という。\ S \ が定義域 \ A \ の部分集合のとき, その各要素の像 \\( f(S)=\\{f(x) \\mid x \\in S\\} \\) を \ S \ の像という。 特に, 定義域 \ A \ の像 \\( f(A) \\) を \ f \ の値域という。例 1.の例で \ S=\\{a, c\\} \ とすると \\( f(S)=\\{1,3\\}, f(A)=\\{1,2,3\\} \\)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.08
次の等式の証明を行いなさい:\n\n\\(2 Q(x)+(x-1) Q^{\\prime}(x) \\) は多項式であるから, \\( f^{\\prime}(x) \\) は \ x-1 \ で割り切れる。\n\nそして、\\( g(x) \\) が \\( (x-1)^{2} \\) で割り切れることを証明せよ。\n\n1. \\( f^{\\prime}(x) \\) の展開を行います:\n回答は以下のようです:\n\n\\[ \\begin{aligned}\nf^{\\prime}(x) &= 2(x-1) Q(x) + (x-1)^{2} Q^{\\prime}(x) = (x-1) \\left\\{ 2 Q(x) + (x-1) Q^{\\prime}(x) \\right\\} \\end{aligned} \\]\n\n2. 非自明な \\( g(x) \\) の展開:\n\n\\[ g(x) = (x-1)^{2} h(x) \\quad ( h(x) \\text { は多項式 }) \\]\n\n(1)の結果を使って、 \\( g^{\\prime}(x) \\) が \ x-1 \ で割り切れることを示します。そのためには以下を考えます:\n\n\\[ g^{\\prime}(x) = a(n+1) x^{n} + b n x^{n-1} \\]\n\n3. さらに、次の方程式を証明します:\n\n\\[ g(1) = 0 \\quad と \\quad g^{\\prime}(1) = 0 \\]\n\nゆえに、以下が成り立ちます:\n\n\ a+b+1=0 \\n\nそして、 \\( (1) \\) から:\n\n\\[ a(n+1)+b n=0 \\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
練習 51: 次の式がすべての自然数 n に対して成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。\n\[ y^{(n)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots \left(\frac{1}{2}-n+1\right)(x+1)^{\frac{1}{2}-n} \]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
曲線 上の動点 から 軸に垂線 を引くと, が 軸上を毎秒 2 の速度 で動くようにPは動くという。\nPが点(2,2)を通過するときの速度と加速度を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
(1) のまとめ\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\nよって, S(a) は a=-\\frac{3}{5} のとき最小值 \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10} をとる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.13
次の曲線上の点 における接線と法線の方程式を求めよ。\n(1) \( y=\sqrt{x}, \mathrm{P}(2, \sqrt{2}) \)\n(2) \( y=\frac{1}{x}, \mathrm{P}\left(2, \frac{1}{2}\right) \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
共有点で直交する接線をもつ 2 曲線。\n2 つの曲線 は、点 \( (2,1) \) で交わり、この点における接線は互いに直交するという。定数 の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
\n(1) \ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
関数 \( F_n(t) \) を次のように定義する。\n\[ F_{n}(t) = \int_{0}^{t} f_{n}(x) dx = \int_{0}^{t}\left( 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \right) dx \]\n\( \int_{0}^{1} F_{n}(t) dt \) を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
定積分の置換積分法を使って、次の定積分を解け:\n\n\int_{0}^{2} x(2-x)^{3} dx\n\n次に部分積分法を使い、定積分の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
次の狭義積分を求めよ。\n\\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
次の曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
\[
\left(x^{2}-2\right)^{2}+y^{2}=4
\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
(1) 関数 y=f(x) のグラフが y 軸と平行な直線 x=k に関して対称であるとする。
y=f(x) のグラフを x 軸方向に -k だけ平行移動して得られる 曲線の方程式は \quad y=f(x+k)
この曲線は y 軸に関して対称であるから,
f(x+k)=f(-x+k) が成り立つ。
よって (x+k)^4+a(x+k)^3+b(x+k)^2+c(x+k)+d
=(-x+k)^4+a(-x+k)^3+b(-x+k)^2+c(-x+k)+d
展開して整理すると
(4k+a)x^3+(4k^3+3ak^2+2bk+c)x=0
これが x の恒等式であるから
\left\{\begin{array}{l}
4k+a=0 \quad \cdots \cdots \text{ (1) }
4k^3+3ak^2+2bk+c=0
\end{array}\right.
(1) から \quad k=-\frac{a}{4}
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.22
(2) \\( f(x) \\) が 2 次以上の整式であると仮定する。 \\( f(x) \\) の最高次の項を \\( a x^{n}(a \\neq 0) \\) とすると \ n \\geqq 2 \ \\( x f^{\\prime \\prime}(x) \\) の最高次の項は \\( \\quad a n(n-1) x^{n-1} \\)\n\\( (x+2) f^{\\prime}(x) \\) の最高次の項は \ a n x^{n} \
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
(ウ) のグラフは 2 点 \( \\mathrm{A}(0,1), \\mathrm{B}(1, \\sqrt{2}) \) を通る。直線 の方程式は \( y=(\\sqrt{2}-1) x+1 \)\n\n において \( 1 \\leqq \\sqrt{1+x^{2}} \\leqq(\\sqrt{2}-1) x+1 \) であり, 等号は 常には成り立たないから\n\n\\(\int_{0}^{1} d x<\\int_{0}^{1} \\sqrt{1+x^{2}} d x<\\int_{0}^{1}\{(\\sqrt{2}-1) x+1\} d x\\)\n\nAs:\n\n\\nd x=\left[\\frac{\\sqrt{2}-1}{2} x^{2}+x\\right]_{0}^{1}\n\\n\nThus,\n\\nd x=\frac{\\sqrt{2}+1}{2} \\n\nIt follows that
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
練榋 関数 \\( f(x), g(x) \\) は区間 \ [a, b] \ で連続で, \\( f(x) \\) の最大値は \\( g(x) \\) の最大値より大きく, \\( f(x) \\) の最小値は \\( g(x) \\) の最小値より小さい。このとき, 方程式 \\( f(x)=g(x) \\) は, \ a \leqq x \leqq b \ の範囲に実数解をもつことを示せ。\np. 344 演習 22
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
y^2=4px の曲線上の接線と法線を求めよ。
(1) x1,y1の時の接線と法線は?
(2) x^2-y^2=1の場合の接線と法線を求めよ。
(3) θ=π/6 の時のdx/dθと dy/dθを使った接線と法線を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
練習 関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+(a-4) x+2 \) の極大値と極小値の和が 6 であるとき, 定数 の値を求め。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.32
EX 2 つの数 に対し とおく。\n(1) が実数を動くとき, 点 \( (s, t) \) の存在範囲を 平面上に図示せよ。\n(2) 実数 が を満たしながら変化するとする。\n(ア) 点 \( (s, t) \) の描く図形を 平面上に図示せよ。\n(イ) \( (1-x)(1-y) \) のとりうる値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
曲線 は正の定数)において,接線の傾きが となる点がただ 1 つしか存在しないとき, の值を求めよ。また, このとき, この点における接線 の方程式を求めよ。\n[北海道薬大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.34
235 C は積分定数とする。\n(1) x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+5 x+C\n(2) -x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+2 x+C\n(3) -\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+2 x+C\n(4) \frac{2}{3} x t^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+2 t^{2}+x t+C
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.35
x についての多項式 f(x) を (x-a)^{2} で割つたときの余りを, a, f(a), f^{\prime}(a) を 用いて表せ。\n[早稲田大]\n∠ p. 321 参考事項,重要 57\n\n指針多項式の割り算の問題では,次の等式を利用する。\n\nA = B × Q + R\n割られる式 割る式 商 余り\n\n2 次式 (x-a)^{2} で割ったときの余りは 1 次式または定数であるから\nf(x) = (x-a)^{2} Q(x) + p x + q [Q(x) は商, p, q は定数]\n\nが成り立つ。この両辺を x で微分して, 商 Q(x) が関係する部分の式が =0 となるような值を代入すると, 余りが求められる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
次の条件を満たすように,定数 a , b の値をそれぞれ定めよ。
(1) 多項式 P(x)=x^{3}+a x+6 は x+3 で割り切れる。
(2) 多項式 P(x)=4 x^{3}+a x^{2}-5 x+3 を 2 x+1 で割ると 4 余る。
(3) 多項式 P(x)=x^{3}+a x^{2}+b x-9 は x+3 で割り切れ, x-2 で割ると -5 余る。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
EX\n微分法\nEX 関数 \( f(x)=3 x^{4}+4(3-a) x^{3}+12(1-a) x^{2}(a \geqq 0) \) について, \( f(x) \) が極小となる の値とそのと (3) 141 きの極小値を求めよ。\[\begin{aligned}\nf^{\prime}(x) & =12 x^{3}+12(3-a) x^{2}+24(1-a) x \\& =12 x\left\{x^{2}+(3-a) x+2(1-a)\right\} \\ & =12 x(x+2)(x+1-a)\end{aligned}\n\] \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると 。\n[1] のとき \n増減表は次のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}\n\hline & & -2 & & & & 0 & \\ \hline\( f^{\prime}(x) \) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline\( f(x) \) & & 極小 & & 極大 & & 極小 & \n\\hline \n\\end{tabular}\n \n
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
曲線 と点 \( \mathrm{A}(1, a) \) がある。 を通って に 3 本の接線が引 けるとき, 定数 の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
座標平面上の 2 つの曲線 と は 2 つの共有点をもち, 1つ の共有点における各接線は直交している。このとき, の値をすべて求めよ。\n[類 福島県医大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
関数 \( f(x)=x^{3}-a x^{2}+b \) の極大値が 5 , 極小値が 1 となるとき, 定数 の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.43
総合a を実数とし, 曲線 C を y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2 とする。
(1)曲線 C は, a の値に関係なく 2 定点を通る。その定点を A, B とするとき, 点 A と点 B の 座標を求めよ。
(2) 曲線 C が線分 AB (点 A, B は除く)と交わる a の値の範囲を求めよ。
(3)a が (2) で求めた範囲にあるとき, 線分 AB と曲線 C で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(4)(3)の S について, S の最小値とそのときの a の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
多項式の割り算
基本事項
1 割り算について成り立つ等式
A と B が同じ 1 つの文字についての多項式で, B ≠ 0 とするとき, 次の等式を満たす 多項式 Q と R が 1 通りに定まる。
A=B Q+R ただし,R は 0 か, B より次数の低い多項式
この等式において, 多項式 Q を, A を B で割ったときの商, R を余りという。
特に, R=0 すなわち A=B Q のとき, A は B で 割り切れるという。
2 多項式の割り算の注意点
多項式 A を多項式 B で割るとき
(1) A も B 降べきの順に 整理してから, 割り算を行う。
(2) 余りが 0 になるか, 余りの次数が 割る式 B の次数より低くなるまで計算を続 ける。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
放物線 y = 2x^2 + a と円 x^2 + (y - 2) ^2 = 1 について,次のものを求めよ。(1) この放物線と円が接するとき, 定数 a の値 (2) 異なる 4 個の交点をもつような定数 a の値の範囲
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
259 練習 が区間 を動くとき, \\( F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x \\) の最大値と最小値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
(1)関数 \( y=f(x) \) は で極大値, で極小値をとる。 2 点 \( (\\alpha, f(\\alpha)),(\\beta, f(\\beta)) \) を結ぶ 線分の中点 は曲線 \( y=f(x) \) 上にあることを示せ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.49
曲線 について,\n次のものを求めよ。\n(1) 曲線上の点 \( (1,1) \) における法線の方程式\n(2) (1) で求めた法線と曲線の共有点のうち,\n点 \( (1,1) \) 以外の点の座標
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
点 A(0, a) から曲線 C: y=x^{3}-9 x^{2}+15 x-7 に 3 本の接線が引けるとき, 定数 a の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.52
次の関数の最大值と最小值を求めよ。また, そのときの の值を求めよ。(2) (-2 \leqq x \leqq 4)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.53
練習 点 \( \mathrm{A}(0, a) \) から曲線 に 3 本の接線が引けるとき, 定数 ④232 の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
数学 \\Pi \\nEX\n は実数とする。3 次方程式 が 3 個の相異なる実数解をもち、そのうち 1 個だけが負となるための の満たす条件を求めよ。また、その条件を満たす点 \( (a, b) \) の存在する領域を 平面上に図示せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
練習 次の定積分を求めよ。
(1)
(2) \( \int_{-3}^{4}\left(\left|x^{2}-4\right|-x^{2}+2\right) d x \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
2 曲線 y=x^{3}+a x と y=b x^{2}+c がともに点 (-1,0) を通り,この点で共通な接線をもつとき, 定数 a, b, c の値を求めよ。また, その接点における共通の接線の方程式を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
関数 \( y=-2 x^{3}-3 x^{2}+6 x+9(-2 \leqq x \leqq 2) \) の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
2次方程式 \( g(x)=0 \) と \( h(x)=0 \) がそれぞ れ異なる2つの実数解をもち、共通解をもたない条件を示せ。ここで \( g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b \), \( h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1 \), \( f(f(x))-x=0 \) のとき \( g(x) h(x)=0 \) が異なる4つの実数解をもつ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.62
(2)関数 \( f(x)=4 x^{3}-3(2 a+1) x^{2}+6 a x \) が極大値と極小値をもつとき, 定数 が満たすべき条件を求めよ。 [類 工学院大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.63
基本例題 120 を考えよう。以下の多項式 の符号の変化を調べて、どの領域の符号がどうなるかを決定しなさい。\n(1) \n(2)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
354\n を正の定数とする。 3 次関数 \( f(x)=x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x \) の における最大値 \( M(a) \) を求めよ。\n[類 立命館大] 基本 219 重要 224 \n\n指蹴 文字係数の関数の最大値であるが, 基本例題 と同じ要領で, 極値と区間の 端での関数の値を比べて最大値を決定する。\n\( f(x) \) の値の変化を調べると, \( y=f(x) \) のグラフは右図のよう になる(原点を通る)。ここで, 以外に \( f(x)=f\left(\frac{a}{3}\right) \) を 満たす (これを とする)があることに注意が必要。 よって, \( \frac{a}{3}, \alpha\left(\frac{a}{3}<\alpha\right) \) が区間 に含まれるかどうか で場合分けを行う。\n\( f^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 a x+a^{2}=(3 x-a)(x-a) \)\n解答 \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると \n であるから, \( f(x) \) の増減表は次のようになる。\n\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\hline & & & & & \\\n\hline\( f^{\prime}(x) \) & + & 0 & - & 0 & + \\\n\hline\( f(x) \) & & 極大 & & 極小 & \\\n\hline\n\end{tabular}\n\nここで, \( f(x)=x\left(x^{2}-2 a x+a^{2}\right)=x(x-a)^{2} \) から\n\[ f\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{a}{3}\left(-\frac{2}{3} a\right)^{2}=\frac{4}{27} a^{3}, \quad f(a)=0 \]\n 以外に \( f(x)=\frac{4}{27} a^{3} \) を満たす の値を求めると,\n\[ \begin{array}{l} f(x)=\frac{4}{27} a^{3} \text { から } \\ x^{3}-2 a x^{2}+a^{2} x-\frac{4}{27} a^{3}=0 \end{array} \]\n\nゆえに \( \quad\left(x-\frac{a}{3}\right)^{2}\left(x-\frac{4}{3} a\right)=0 \)\n であるから \nよって, \( f(x) \) の における最大値 \( M(a) \) は, 次のようになる。\n[1] すなわち のとき, \( f(x) \) は で最大となり\n\[ M(a)=f(1) \]\n\nまずは, \( f^{\prime}(x)=0 \) を満たす の値を調べ, 増減表を書く。\n から\n\n(*) 曲線 \( y=f(x) \) と直線 は, の 点において接するから, \( f(x)-\frac{4}{27} a^{3} \) は \( \left(x-\frac{a}{3}\right)^{2} \) で割り切れる。このこと を利用して因数分解するとよい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
次の定積分を求めよ。\n\n(1) \n\n(2) \( \int_{-3}^{4}\left(\left|x^{2}-4\right|-x^{2}+2\right) d x \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.68
関数 \( y=x^{3}-6 x^{2}+3 x+2(-1 \leqq x \leqq 6) \) の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
関数 \( f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} \) が極大値をもたないとき,定数 の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
数学 \n綀習 平面上の点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が単位円周上を動くとき, の最大値と,最大値を与える点 の座標を求めよ。\n[学習院大]\n点 \( \\mathrm{P}(x, y) \) が単位円周上を動くとき\n\\[\\begin{aligned}\nx=\\cos \\theta, & \\ y=\\sin \\theta \\quad(0 \\leqq \\theta<2 \\pi)\n\\end{aligned}\\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.74
a は正の定数とする。関数 \( f(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}a x^{2}-2 a^{2}x+a^{3} \) の区間 における最小値 \(m(a)\) を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
3次関数のグラフをかくうえでの注意点など
3次関数は,増減表を作ることで増減のようすをつかもう。
まず,増減表の作り方のポイントを押さえておこう。
(1) 1行目は, y'=0 を満たすxの値を入れ, (P)のように列を設ける。
(2) 2行目は, y' の符号 (+,-) または 0 を記入する。その際, y' のグラフを簡単にかいて判断するとよい。
例題210 (1) について, f(x)=-x^3+6x^2-9x+2 とすると f'(x)=-3x^2+12x-9=-3(x-1)(x-3) よって, y=f'(x) のグラフは x 軸と x=1,3 で交わる。また, f'(x) の符号は x=1,3 を境目として負→正→負と変わっている。これに対応して, f(x) は x=1,3 を境目として 減少→増加→減少 と変化している。なお, 放物線 y=f'(x) は軸 x=2 に関して対称であるが, y=f(x) のグラフは点 (2, f(2)) に関して対称になっている。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.77
次の関数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d が、x = 1 と x = 3 で極値を取るとき、この条件を満たす f(x) をすべて求めよ。また、極大値と極小値を答えよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.78
2 曲線 が接するとき, 定数 の値を求めよ。また, その接点における接線の方程式を求めよ。[ p. 333 EX 134> ]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.79
3)関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+a x+1 \) が常に単調に増加するような定数 の値の範囲を求めよ。 [類 千葉工大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
次の関数の最大值と最小值を求めよ。また, そのときの の值を求めよ。 (219 (1) \( y=-x^{3}+12x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
方程式 \( f(t)=b \) の実数解の個数は, \( y=f(t) \) のグラフと直線 との 共有点の個数を調べて\n のとき 1 個;\n のとき 2 個;\n のとき 3 個
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.83
曲線 \( y=x^{2}(0 \leqq x \leqq 1) \) を 軸の周りに 1 回転してできる形の容器に水を満たす。 この容器の底に排水口がある。時刻 に排水口を開けて排水を開始する。時刻 に排水して容器に残っている水の深さを , 体積を とする。 の変化率 は で与えられる。\n(1) 水深 の変化率 を を用いて表せ。\n(2)容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 を求めよ。\n〔北海道大〕
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
関数 \(f(x)=x^{2}+1\) と \(g(x)=2x-1\) を用いて合成関数 \( (g \circ f)(x) \) を求めなさい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
次の関数のグラフをかけ。また, 値域を求めよ。\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
方程式 \( y^{2}=x^{2}\left(8-x^{2}\right) \) が定める の関数 のグラフの概形をかけ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.89
関数 \( f(x) \) が定義域のすべての の値で連続であるとき, \( f(x) \) を 連続関数 という。整式で表される関数や分数・無理関数, 三角・指数・対数関数などは連続関数である。\n関数 \( f(x)=\sqrt{x} \) について、定義域において連続であることを証明してください。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.90
\( f(a)=g(a), f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a), f^{\prime \prime}(a)=g^{\prime \prime}(a) \) を満たす 2 次関数 \( g(x) \) は \( g(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2} \) (1) であることの証明。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
直線 が曲線 に接す㐁ように, 定数 の値を定めよ。方程式 の実数解の個数を求めよ。ただし, 重解は 1 個と みなす。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.92
a>0 とする。曲線 y=a^3 x^2 を C1 とし, 曲線 y=-1/x (x>0) を C2 とする。また, C1 と C2 に同時に接する直線を ℓ とする。 (1) 直線 ℓ の方程式を求めよ。 (2) 直線 ℓ と曲線 C1, C2 との接点をそれぞれ P, Q とする。 a が a>0 の範囲を動くとき, 2 点 P, Q 間の距離の最小値を求めよ。 〔徳島大〕
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
200 (1) \( I(t)=\frac{64}{5} t^{2} \sqrt{t}-\frac{128}{3} t \sqrt{t} \) (2) のとき最小値
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
点 z か源点 O を中心をる半径 1 の円上を動くとき, 次の式で表される点 w は, どのような図形を描くか。(3) w=2 z-frac{2}{z}
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.95
座標平面上の点 (x, y) が (x² + y²)² - (3x² - y²)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0 で定まる集合上を動くとき, x² + y² の最大值,およびその最大值を与える x, y の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.96
x > -1 のとき, 次の関数 y = x sqrt(x + 1) について調べてください。\n(1) y の増減とグラフの凹凸を解析し、その結果を表にまとめてください。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
実数 に対して は を満たす整数 を表すとき, 関数 \( f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) \) が と で連続となるように定数 , の値を定めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
原点を出発して数直線上を動く点 P の座標が, 時刻 t の関数として, x=t^{3}-10 t^{2}+24 t(t>0) で表されるという。点 P が原点に戻ったときの速度 v と加速度 \alpha を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.02
(1) \( y=(\\sqrt{x}-\\sqrt{2})^{2} \\cdots \\)とする。関数 (1) の定義域は?値域は ?
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
(2)楕円 上の点 と定点 \( \mathrm{A}(a, 0) \) の距離の最小値を求めよ。ただし, は実数の定数とする。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.05
関数のグラフを描く際には以下のポイントに注意します。1) 定義域、2) 対称性、3) 増減と極値、4) 凹凸と変曲点、5) 座標軸との交点、6) 漸近線。これらのポイントに基づき、与えられた関数のグラフを描きなさい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
次の曲線と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(1) y=-x^4+2x^3
(2) y=x+4/x-5
(3) y=10-9e^{-x}-e^x
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.07
19 座標平面上の点 \( (x, y) \\) が \( \\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{2}-\\left(3 x^{2}-y^{2}\\right) y=0, x \\geqq 0, y \\geqq 0 \\) で定まる集合上を 動くとき, x^{2}+y^{2} \ の最大値, およびその最大値を与える x, y \ の値を求めよ。\n〔千葉大〕
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.12
方程式 \( y^{2}=x^{2}(x+1) \) が定める の関数 のグラフの概形をかけ(凹凸は調 べなくてよい)。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.14
次の不定積分を求めよ。\n\\[ \\int\\left(3 t^{2}-4 t^{4}\\right) dt \\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.15
問題 66\n(1) 方程式 (x-3)² + y² + (z-2)² = 13 を求めよ。\n(2) 方程式 (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27 を求めよ。\n(3) 方程式 (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9 を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.17
(2) 点 は, 点 を原点 を中として または だけ回転し,原点からの距離を 倍した点である。
[1] だけ回転した場合
\[
\begin{aligned}
\beta & =\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)(2+3 i) \\
& =\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i\right)(2+3 i) \\
& =-1+5 i
\end{aligned}
\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.18
座標平面上を運動する点 P の座標が時刻 t の関数として、次の式で表されるとき、t=1 における速さ,加速度の大きさをそれぞれ求めよ。\n(1) x=t^{2}, y=2 t\n(2) x=t, y=e^{-2 t}
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
数直線上を運動する点 の時刻 における位置 が \( x=-2 t^{3}+3 t^{2}+8(t \geqq 0) \) で与えられている。 が原点 から正の方向に最も離れるときの速度と加速度を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.20
PR (1) 次の関数のグラフをかけ。また, その定義域と值域を求めよ。\n(ア) \( y=-\sqrt{2(x+1)} \)\n(1) \n(2) 関数 \( y=\sqrt{4-2 x}+1(-1 \leqq x<1) \) のグラフをかき, その值域を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
次の関数 f(x) が,x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。ただし,[x] (ガウス記号) は実数 x を超えない最大の整数を表す。\n(1) f(x)=x^{3}\n(2) f(x)=x^{2}(x ≠ 0), f(0)=1\n(3) f(x)=[\cos x]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
集合 があって, の要素を決めると, それに対応して の要素がただ 1 つ決まるとき, その対応を から への写像という。写像は などで表される。 から への写像 で, の要素 に対応する の要素 を による の像といい, \( f(a) \) で表す。また, から への写像 を と かく。例 とする。\n\( f(a)=f(b)=1, f(c)=3, f(d)=2 \) とすれば, は から への写像である。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.24
回転移動を利用して面積を求める
方程式 \( \sqrt{2}(x-y)=(x+y)^{2} \) で表される曲線 について, 次のものを求めよ。
(1)曲線 を原点Oを中心として だけ回転させてできる曲線の方程式
(2) 曲線 と直線 で囲まれる図形の面積
基本 154, 数学 重要 124
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
次の楕円, 双曲線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。
(1) y^{2}=8 x (2,4)
(2) \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{6}=1 (1,2)
(3) 2 x^{2}-y^{2}=1 (\sqrt{2},-\sqrt{3})
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
次の曲線上の, 与えられた点における接線と法線の方程式を求めよ。\n(1) \( y=x^{3}-3 x^{2},(1,-2) \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.28
次の関数の増減,グラフの凹凸を調べてグラフの概形をかけ。(1) y=\\frac{1}{4} x^{4}+\\frac{1}{3} x^{3}-8 x^{2}-16 x
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
回転移動を利用して面積を求める
方程式 \( \sqrt{2}(x-y)=(x+y)^{2} \) で表される曲線 について, 次のものを求めよ。(2) 曲線 と直線 で囲まれる図形の面積
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.33
次の曲線上の点Aにおける接線の方程式を求めよ。\n[(1) 類 近畿大]\n(1) \( \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1, \quad \mathrm{~A}\left(\sqrt{7}, \frac{15}{4}\right) \)\n(2) \( 2 x^{2}-y^{2}=1, \quad \mathrm{~A}(1,1) \)\n(3) \( 3 y^{2}=4 x, \mathrm{~A}(6,-2 \sqrt{2}) \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
106\n例題 45 | 区間の一端が動く場合の最大・最小\n は正の定数とする。 における関数 \( f(x)=x^{2}-4 x+1 \) について, 次の 問いに答えよ。\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。\n<例 38
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
のとき, 関数 \( y=\left(x^{2}+2 x\right)^{2}-4\left(x^{2}+2 x\right)-4 \) の最大値, 最小値を求 めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.39
\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\nよって, \\( y=f(f(x)) \\) のグラフは図 (2)のようになる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.40
0 ≤ x ≤ 4 を満たすすべての実数 x1, x2 に対して, f(x1)<g(x2) が成り立つための条件は, 0 ≤ x ≤ 4 において, f(x) の最大値 < g(x) の最小値 が成り立つことである。よって -a^2 + 8 < -3a - 10。
整理して a^2 - 3a - 18 > 0。
ゆえに (a + 3)(a - 6) > 0。
よって a < -3, 6 < a。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
次の条件を満たす a の範囲を求めなさい。(1) f(1)>0 (2) 方程式 f(x)=0 が 3 より大きい解と 3 より小さい解をもつ (3) f(-2)>0, f(0)<0, f(1)>0
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
(2) について\ny=\\left\\{\\begin{array}{cc}\n-2 x+1 & (x<-1)\n3 & (-1 \leqq x<2)\n2 x-1 & (2 \leqq x)\n\\end{array}\\right.\n(1), ②) のグラフは右の図のようになる。\n①) と ②) の交点の x 座標を求めると\n[1] x<-1 のとき\n(1) と y=-2 x+1 から y を消去して\n-x^{2}+2 x+8=-2 x+1\nゆえに x^{2}-4 x-7=0 よって x=2 \pm sqrt{11}\nx<-1 を満たすものは x=2-\sqrt{11}\n[2] x \geqq 2 のとき\n(1) と y=2 x-1 から y を消去して\n-x^{2}+2 x+8=2 x-1\nゆえに x^{2}=9 よって\n場合の分かれ目は, | | 内の式 =0 となる x の値。よって, x+1=0 と x-2=0 から\nx=-1 と x=2\nこの場合分けの条件の 確認を忘れないように。\n[2], [3] も同じ。\n3 章 square\n練習\n2\n咨\n数\n《上の解答の場合分けを 用いた。\n(1) と (2) のグラフは, -1 \leqq x<2 の範囲で共有点をもたないから, [1], [2] だけ考えればよい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
例題 34 | グラフと不等式(絶対値)\n(1) 関数 のグラフをかけ。\n(2) グラフを利用して, 不等式 を解け。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
0 ≤ x ≤ 4 を満たすある実数 x1, x2 に対して, f(x1)<g(x2) が成り立つ ための条件は, 0 ≤ x ≤ 4 において, f(x) の最小値 < g(x) の最大値 が成り立つことである。よって -a^2 - 1 < -3a - 1。
整理して a^2 - 3a > 0。
ゆえに a(a - 3) > 0。
よって a < 0, 3 < a。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
区間 において, 2つの曲線\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)で挟まれた部分の面積 を求める方法について説明せよ。 \(f(x)\)と\(g(x)\)の関係に応じて、どのように計算されるかを示せ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.50
例題 174\n曲線 と, その曲線上の点 \( (3,-6) \) における接線で囲まれた図形の面積 を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.51
288\n は正の定数とする。 における関数 について, 次の値を 求めよ。\n(1) 最大値\n(2) 最小値
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.54
a = 0 のとき b はすべての実数, a ≠ 0 のとき b < 0 かつ b < a³ / 27 または b > 0 かつ b > a³ / 27 図略
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.55
例題 164 定積分の計算 (4) 分の 1 公式\n(1) 等式 \( \int_{\\alpha}^{\\beta}(x-\\alpha)(x-\\beta) d x=-\\frac{1}{6}(\\beta-\\alpha)^{3} \\) を証明せよ。\n(2) 定積分 \( \int_{1-\\sqrt{2}}^{1+\\sqrt{2}}\\left(x^{2}-2 x-1\\right) d x \\) を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.56
数学 \\mathbb{I}-219 \ 別解 \( y=f(x) \\) のグラフが, x \ 軸の正の部分と異なる 2 点で交わるための条件は何ですか?
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.57
曲線 の接線で, 点 \( \mathrm{A}(1, a) \) を通るものが 3 本あるとき, 定数 の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.58
(2) 2-c ≤ 2 ≤ 2+c (1) であるから\n \\[ \\begin{aligned} P(2-c ≤ X ≤ 2+c) & =\\int_{2-c}^{2+c} f(x) d x \\ & =\\int_{2-c}^{2}(x-1) d x-\\int_{2}^{2+c}(x-3) d x \\ & =\\left[\\frac{(x-1)^{2}}{2}\\right]_{2-c}^{2}-\\left[\\frac{(x-3)^{2}}{2}\\right]_{2}^{2+c} \\ & =-(c-1)^{2}+1 \\end{aligned} \\] \n よって, P(2-c ≤ X ≤ 2+c)=0.5 となるとき\n \\[ -(c-1)^{2}+1=0.5 \\text{ すなわち } \\quad(c-1)^{2}=\\frac{1}{2} \\] \n これを解くと, c-1= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} から \\quad c=\\frac{2 \\pm \\sqrt{2}}{2} \n c=\\frac{2+\\sqrt{2}}{2} のとき, (1) は, 1-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3+\\frac{\\sqrt{2}}{2} となり, 1 ≤ X ≤ 3 に反する。 c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2} のとき, (1) は, 1+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2} となり, 1 ≤ X ≤ 3 を満たす。 よって \\quad c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.59
数学 269\n y=f(t) のグラフは右のようになる。 したがって, f(t) は\nt=\\frac{\\sqrt{2}}{4} で最小値 \\frac{2-\\sqrt{2}}{6} をとる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.60
例 74
(1) 条件から f(x) = ∫(2x^2 - 3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C
f(0) = 2 であるから C = 2
よって f(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2
(2) 曲線 y = f(x) 上の点 (x, f(x)) における接線の傾きは f'(x) であるから
f'(x) = x^2 - 1
したがって f(x) = ∫(x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C
(C は積分定数)
曲線 y = f(x) が点 (1,0) を通るから f(1) = 0
よって (1/3) - 1 + C = 0
ゆえに C = 2/3
したがって f(x) = (1/3)x^3 - x + (2/3)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.61
数学 II\n205\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline\ x \ & \ \\cdots \ & -1 & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \n\\hline\\( f^{\prime}(x) \\) & - & 0 & - & 0 & + \n\\hline\\( f(x) \\) & \ \\searrow \ & 0 & \ \\searrow \ & \\begin{tabular}{c} \n極小 \\\\\n-27\n\\end{tabular} & \ \\nearrow \ \n\\hline\n\\end{tabular}\n\nよって, 方程式 \\( f(x)=0 \\) の実数解は, \ x=-1 \ と \ 2<x \ の範囲に 1 個ずつ ある。したがって正の解は 1 個, 負の解は 1 個\n倾 \ 72 \\Rightarrow \ 本冊 \ p .293 \\n方程式を変形して \ \\quad-2 x^{3}+6 x=a \ \\( f(x)=-2 x^{3}+6 x \\) とすると\n\\[\\begin{aligned}\\nf^{\\prime}(x) & =-6 x^{2}+6 \\\\\n& =-6(x+1)(x-1)\\n\\end{aligned}\\]\\( f^{\\prime}(x)=0 \\) とすると \ \\quad x= \\pm 1 \\n\\( f(x) \\) の増減表は次のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}\n\\hline\ x \ & \ \\cdots \ & -1 & \ \\cdots \ & 1 & \ \\cdots \ \n\\hline\\( f^{\\prime}(x) \\) & - & 0 & + & 0 & - \n\\hline\\( f(x) \\) & \ \\searrow \ & \\begin{tabular}{c} \n極小 \\\\\n-4\n\\end{tabular} & \ \\nearrow \ & \\begin{tabular}{c} \n極大 \\\\\n4\n\\end{tabular} & \ \\searrow \ \n\\hline\n\\end{tabular}\n\nよって, \\( y=f(x) \\) のグラフは右の図のようになる。\n方程式 \\( f(x)=a \\) の実数解の個数は, \\( y=f(x) \\) のグラフと直線 \ y=a \ との共有点の個数を調べて\ a<-4,4<a \ のとき 1 個\ a=-4,4 \\nのとき\n2 個\ -4<a<4 \のとき\n点 \\( (-1,0) \\) は,グラ フと \ x \ 軸の接点。\n\\( \\triangleleft f(x) \\) が極大, 極小と なる点を, 直線 \ y=a \ が 通るときの \ a \ の値が実数\n6 쿤\n解の個数の境目となる。\n例
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.63
練習 175 → 本冊 p .324\n(1) 曲線 y=f(x) と直線 y=m x+n が, x=a, b(a<b) の 2 点 で接するとき, 次の恒等式が成り立つ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.64
(1) f(x) = 2/3 x³ − 3/2 x² + 2 (2) f(x) = x³ / 3 − x + 2/3
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.65
練習 a, b は定数とし, 0<a<1 とする。関数 f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+b(-2 \leqq x \leqq 1) の最大 153 値が 1 , 最小値が -5 となるような a, b の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.66
次の関数の曲線と x 軸の交点の x 座標を求め、その座標を利用して面積 S を求めなさい。\n\n\\(x^{3}-5 x^{2}+6 x =x(x-2)(x-3)\\)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.67
数学 II
231
C 上の点 ( t , t^ 3 -9 t^ 2 +15 t-7) における接線の方程式は
y-( t^ 3 -9 t^ 2 +15 t-7)=(3 t^ 2 -18 t+15)(x-t)
すなわち y=(3 t^ 2 -18 t+15) x-2 t^ 3 +9 t^ 2 -7
この接線が点 (0, a) を通るとすると
-2 t^ 3 +9 t^ 2 -7=a
3 次関数のグラフでは,接点が異なると接線も異なる。 よって, Aから Cに引くことができる接線の本数は, 11)の異なる 実数解の個数に一致する。
f(t)=-2 t^ 3 +9 t^ 2 -7 とすると
f'(t)=-6 t^ 2 +18 t=-6 t(t-3)
f'(t)=0 とすると t=0,3 f(t) の増減表は右のように なる。よって, y=f(t) のグラフは 図のようになる。このグラフと直線 y=a の共有点の個数が求 める接線の本数に一致するから a<-7,20< a のとき 1 本 a=-7,20 のとき 2 本 -7< a< 20 のとき 3 本
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.69
(2) y=x^{3}-3 x^{2}+5 x+1 \ から y^{\\prime}=3 x^{2}-6 x+5 \\n曲線上の点 \( \\left(a, a^{3}-3 a^{2}+5 a+1\\right) \\) における接線の方程式は\n\\[y-\\left(a^{3}-3 a^{2}+5 a+1\\right)=\\left(3 a^{2}-6 a+5\\right)(x-a)\\]\nすなわち \( y=\\left(3 a^{2}-6 a+5\\right) x-2 a^{3}+3 a^{2}+1 \\)\n y=k x-3 \ は, 点 \( (0,-3) \\) を通るから, (1) が点 \( (0,-3) \\) を通るとき\n\-3=-2 a^{3}+3 a^{2}+1\\nよって 2 a^{3}-3 a^{2}-4=0 \\n左辺を因数分解して \( (a-2)\\left(2 a^{2}+a+2\\right)=0 \\) a \ は実数であるから a=2 \\n接線の方程式は (1)から y=5 x-3 \ よって k=5 \ また, a=2 \ のとき a^{3}-3 a^{2}+5 a+1=7 \\nしたがって, 接点の座標は\n\\(4 x=a が重解\\ \\Leftrightarrow(x-a)\\ が因子\\
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.70
x+2 \underset{2^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}}{\hookrightarrow 1} + x^{-1}=5
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.71
72a は実数とする。傾きが m である 2 つの直線が, 曲線 y=x^{3}-3 a x^{2} とそれぞれ点 A, 点 Bで接している。
(1) 線分 AB の中点を C とすると, C は曲線 y=x^{3}-3 a x^{2} 上にあることを示せ。
(2) 直線 AB の方程式が y=-x-1 であるとき, a, m の値を求めよ。 [一橋大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.73
数学 II
(2) t=\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) 0 \leqq \theta<2 \pi より, \frac{\pi}{4} \leqq \theta+\frac{\pi}{4}<\frac{9}{4} \pi であるから
\[-\sqrt{2} \leqq \sqrt{2} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \leqq \sqrt{2}\]
よって
(3) \( f(t)=\frac{1}{2} t^{2}+a t+a^{2}-\frac{1}{2} \) とすると
\[f(t)=\frac{1}{2}(t+a)^{2}+\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2}\]
ゆえに, \( y=f(t) \) のグラフは,下に凸の放物線で,軸は直線 である。
最大値について, 区間 の中央の値は 0
[1] - すなわち のとき \( f(t) \) は で最大値 \( f(\sqrt{2}) \) をとる。
[2] すなわち のとき \( f(t) \) は で最大値 \( f(-\sqrt{2}) \) をとる。
次に, 最小値について
[3] すなわち のとき \( f(t) \) は で最小値 \( f(-\sqrt{2}) \) をとる。
[4] すなわち のとき \( f(t) \) は で最小値 をとる。
[5] すなわち のとき \( f(t) \) は で最小値 \( f(\sqrt{2}) \) をとる。 また \( f(\sqrt{2})=a^{2}+\sqrt{2} a+\frac{1}{2}, f(-\sqrt{2})=a^{2}-\sqrt{2} a+\frac{1}{2} \)
以上から
\( \left\{\begin{array}{ll}a<0 \text{のとき } & a^{2}-\sqrt{2} a+\frac{1}{2} \\ a \geqq 0 \text{のとき } & a^{2}+\sqrt{2} a+\frac{1}{2}\end{array}\right. \), 最小値 \( \left\{\begin{array}{l}a<-\sqrt{2} \text{のとき } \quad a^{2}+\sqrt{2} a+\frac{1}{2} \\ -\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2} \text{のとき } \quad \frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} \\ a>\sqrt{2} \text{のとき } \quad a^{2}-\sqrt{2} a+\frac{1}{2}\end{array}\right. \)
演習 52 III 本冊
(1) とする。
(1)
最大値 \( \left\{\begin{array}{ll}a<0 \text{のとき } & a^{2}-\sqrt{2} a+\frac{1}{2} \\ a \geqq 0 \text{のとき } & a^{2}+\sqrt{2} a+\frac{1}{2}\end{array}\right. \), 最小値 \( \left\{\begin{array}{lll}a<-\sqrt{2} \text{\のとき } & a^{2}+\sqrt{2} a+\frac{1}{2} \\ -\sqrt{2} \leqq \alpha \leqq \sqrt{2} \text{\のとき } & \frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} \\ a>\sqrt{2} \text{のとき } & a^{2}-\sqrt{2} a+\frac{1}{2}\end{array}\right. \)
最大値は, 軸 と区間の中央 の位置関係によって場合分けする。
〈軸が区間の左外にある。
・軸が区間内にある。
軸が区間の右外にある。
4三角関数の合成。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.75
展開式の一般項は
\[\begin{aligned}
\frac{5!}{p!q!r!} x^{p} \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{q} \cdot 1^{r} & =\frac{5!}{p!q!r!} x^{p} \cdot \frac{1}{x^{2 q}} \cdot 1 \\
& =\frac{5!}{p!q!r!} x^{p-2 q}
\end{aligned}\]
ただし (1),
定数項は, のときである。
から
これを (1) に代入して
ゆえに
であるから
は0 以上の整数であるから
(3) から のとき のとき
よって, (2)から \( (p, q, r)=(0,0,5),(2,1,2) \)
したがって,定数項は
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.76
曲線 \( y=f(x) \) と放物線 \( y=h(x) \) の共有点の 座標は, 方程式 すなわち を解いて\n
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.79
6. 実数 が を満たしているとき, とお く。(1) のとき, の少なくとも 1 つは 1 であることを示せ。(2) のとき, はすべて1であることを示せ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.80
を正の実数とする。座標平面上の曲線 を で定める。原点を中心とする半径 1 の円と Cの共有点の個数が 6 個であるような の値の範囲を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.81
次の定積分を求めよ。(1) (2) \( \int_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\left(x^{2}+x-1\right) d x \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.82
演習 74\n\ \\triangle OPQ = \\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 3 \\sin 2 \\theta - \\sin \\theta \\cdot 1|\\n\n\\(\n\\begin{aligned}\n&=\\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 6 \\sin \\theta \\cos \\theta - \\sin \\theta| \n&=\\frac{1}{2}\\left|6 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\sin \\theta\\right|\n&=\\frac{1}{2}\\left|-6 \\sin ^{3} \\theta + 5 \\sin \\theta\\right|\n\\end{aligned}\n\\)\n\n\ \\sin \\theta = t \ とおくと, \ 0 \\leq \\theta < 2 \\pi \ から \ \\left|-3 t^{3} + \\frac{5}{2} t\\right| \\n\n\\( f(t) = -3 t^{3} + \\frac{5}{2} t \\) とすると \\(\n f^{\\prime}(t) = -9 t^{2} + \\frac{5}{2} = -9\\left(t + \\sqrt{\\frac{5}{18}}\\right)\\left(t - \\sqrt{\\frac{5}{18}}\\right) = -9\\left(t + \\frac{\\sqrt{10}}{6}\\right)\\left(t - \\frac{\\sqrt{10}}{6}\\right)\n\\)\n\n\\[ f^{\\prime}(t) = 0 \\] とすると \ t == \\pm \\frac{\\sqrt{10}}{6} \\n\ -1 \\leqq t \\leqq 1 \ における \\( f(t) \\) の増減表は次のようになる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.84
与えられた点を通る接線の本数(2)\n\( f(x)=x^{3}-x \) とする。 平面上の点 \( (p, q) \) から曲線 \( C: y=f(x) \) に 3 本の接線を引くことができるとき, の条件を求めよ。また,その条件を満たす点 \( (p, q) \) の範囲を図示せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.86
練習 原点 と異なる 2 点 が曲線 上にある。点 上おける の接線が直線 OP に平行であるとき\n(1) の 座標を とするとき, の 座標を を用いて表せ。\n(2) が直角になるための の値の範囲を求めよ。\n[島根大] \( \Rightarrow p. 300 演習 69
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.87
a は定数で, a>1 とする。 1 ≤ x ≤ a における関数 y=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x について, 次の値を求めよ。 (1) 最小値 (2) 最大値
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.88
0<a<2 のとき 右のグラフから, x=a で最大值 f(a)=-a^{3}+3 a^{2} をとる。2 ≤ a のとき 右のグラフから, x=2 で最大値 f(2)=4 をとる。0<a<2 のとき x=a で最大値 -a^{3}+3 a^{2} 2 ≤ a のとき x=2 で最大値 4
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.91
重要例題 1463 次関数のグラフの対称性\n3 次関数 \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \) について, この関数のグラフ \( F: y=f(x) \) は, 上の点 \( \\mathrm{M}\\left(-\\frac{b}{3 a}, f\\left(-\\frac{b}{3 a}\\right)\\right) \) に関して対称であることを証明せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.93
例題 148 次関数の極大値と極小値の差
関数 \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 a x-2 \) の極大値と極小値の差が 32 となるとき, 定数 の 値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.94
EX 3 次方程式 が正の解を 1 個, 異なる負の解を 2 個もつような定数 の値の EX 114 範囲を求めよ。
方程式を変形して
方程式の実数解は, 曲線 (1) と直線 (2) の共有点の 座標である。
\( f(x)=-x^{3}-5 x^{2}-3 x \) とすると
\[
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =-3 x^{2}-10 x-3 \\
& =-\left(3 x^{2}+10 x+3\right) \\
& =-(x+3)(3 x+1)
\end{aligned}
\]
\( f^{\prime}(x)=0 \) とすると
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c}
\hline & & -3 & & & \\
\hline\( f^{\prime}(x) \) & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline\( f(x) \) & 右肩下がり & 極小 & & 極大 & \\
-9 & & & 右肩下がり \\
\hline
\end{tabular}
\( f(x) \) の増減表は, 右上のようになり,曲線 (1) は右の図のようになる。
方程式が正の解を 1 個,異なる負の解を 2 個もつための条件は, 曲線 (1) と直線 (2) が で 1 点を共有し, かつ で異なる 2 点を共有する ことである。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.97
《基本例題 190 最大值・最小值の采件から 3 次閉数の係綮決定 a, b は定数で, a>0 とする。関数 f(x)=a x^{3}-9 a x^{2}+b について(1) 区間 -1 ≤ x ≤ 3 における最大値,最小値を a , b で表せ。(2)(1)の最大値が 10 , 最小値が -44 となるように, a, b の値を定めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.98
TR曲線 y=x^{2}-3 x+2 \ について, 次の接線の方程式を求めよ。\n(2) 175 (1) 曲線上の点 \( (3,2) \\) における接線\n(2) 傾きが -1 である接線
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.99
直線 2x+y+2=0 を l とし, 放物線 y=x^2 上の点を P とする。 P と l の距離が最小となるとき, P の座標を求めよ。また, そのときの Pl の距離を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.04
次の関数の最大値と最小値があればそれを求めよ。\n(1) (-1<= x <=2)\n(2) (-2 < x < 1)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.06
次の不等式の表す領域を図示せよ。(1) \left\\{\begin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\ 2 x+3 y-6>0\end{\overlineray}\right. (2) \left\\{\begin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \leqq 9 \\ x-y<2\end{\overlineray}\right. (3)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.09
関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極大値と極小値をもつように,定数 の 値の範囲を定めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.10
189 は a は定数で, a>0 とする。関数 f(x)=-x^{3}+3 a x(0 \leqq x \leqq 1) の最大値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.13
数学的帰納法による証明で, 中心となるのは[2] の部分である。 のときの仮定 と, のときの結論(証明したいこと)をしつかりと把握し,仮定から結論へ どう導いていくかがポイントになる。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.16
次の定積分を求めよ。(1) \( \int_{-1}^{2}\left(2 x^{2}-x+3\right) d x \)
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.19
a は定数で, a>0 とする。関数 f(x)=x^{3}-3 a^{2} x(0 \leqq x \leqq 1) について\n(1) 最小値を求めよ。\n(2) 最大値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.21
関数 \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \) が で極大値 0 をとり, 曲線 \( y=f(x) \) の概形が右の図のようになるとき,\n\na=\text { アイ, }, b=\text { ウ }, c=\square \text { エ, }\nd=\text { オカ }\n\nである。また,このとき \( f(x) \) は で極小値 をとる。\n\n\( f(x) \) は で極大値 0 をとるから,曲線 \( y=f(x) \) は 点 \( (1,0) \) で 軸に接している。ゆえに, \( f(x) \) は \( (x-1)^{2} \) を因数にもつ。また,図より,曲線 \( y=f(x) \) は点 \( (-1,0) \) を通るから\n\nf(-1)=0\n\nしたがって, \( f(x) \) は次のように表される。\n\nf(x)=a(x-1)^{2}(x+1)\n\nさらに, 図より, 曲線 \( y=f(x) \) は点 \( (0,-1) \) を通るから\n\nf(0)=-1\n(1)に を代入して \n\n-1=a \cdot(-1)^{2} \cdot 1\n\nこれを解いて\n\na=アイ-1\n\nゆえに, 11は\n\nf(x) =-(x-1)^{2}(x+1)\n= -x^{3}+x^{2}+x-1\n\n(2) から, \( f^{prime}(x)=-3 x^{2}+2 x+1 \) であり, \( f^{prime}(x)=0 \) とすると\n\n すなわち \( (x-1)(3 x+1)=0 \)\n\nゆえに \n\nしたがって, \( f(x) \) の増減表は右のようになる。よって, \( f(x) \) は で極小値をとり, その値は\n\n\nf\left(-\frac{1}{3}\right)=-\left(-\frac{1}{3}-1\right)^{2}\left(-\frac{1}{3}+1\right)=-\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{\text { コサシ }-32}{\text { スセ } 27}\n\n(2)ではなく, (*)に 代入した方が計算しや すい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.23
3次関数 \( f(x)=a x^{3}+b x+3 \) は で極小値 1 をとる。このとき,定数 の値を求めよ。また,極大値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.25
(2) (1) で求めた 2 つの接線の交点の 座標は,\n を解いて \n図のように, 放物線と 2 つの接線で囲 まれた図形は, 放物線の軸 に関 して対称であるから, 求める面積 は\n\[\n\\begin{aligned}\nS & =2 \\int_{-1}^{1}\\left\\{\\left(x^{2}-2 x-3\\right)-(-4 x-4)\\right\\} d x \\\\\n& =2 \\int_{-1}^{1}\\left(x^{2}+2 x+1\\right) d x \\cdots \\cdots(*) \\\\\n& =2 \\cdot 2 \\int_{0}^{1}\\left(x^{2}+1\\right) d x \\\\\n& =4\\left[\\frac{x^{3}}{3}+x\\right]_{0}^{1}=4\\left(\\frac{1}{3}+1\\right)=\\frac{16}{3}\n\\end{aligned}\n\]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.26
(2) a+b+c=0 のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。
(a+b)(b+c)(c+a)+a b c=0
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.29
a は定数で, a>0 とする。関数 f(x)=-x^{3}+3 a x(0 \leqq x \leqq 1) の最大値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.30
問8: 本文のはじめのほうに描かれた,「昼でも薄暗い」あばら家と「強い䇼彩で耀いている」薔薇の対比や, 辻堂での場面における「夜」の暗さと「月の光」で白かった「砂地」の対比が, 印象的な美しさを表しているのでエがよい。ア篓びた薔薇は妹の余命の暗示ではないので, 合わ ない。イ身なりに壬竎をこらすのは「意欲のなさ」とは逆の行動なので,正しくない。 れた後,激しくじだんだを踏んだ父親に铂れをなしたからである。ここからは、「人間としての誇 りを失った仙一の浅ましさ」を表そうとの意図は読み取れない。オ墓地のなかの道を通った に語られているので, ふさわしくない。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.31
(2)はじめの状態からスイッチを2回続けて押したとき, ライトが左から順に赤, 青, 黄, 緑に戻る規則は何通り作れますか。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.34
ベクトル \\( \\vec{a}=(3,-4,12), \\vec{b}=(\\-3,0,4), \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \\) について, \ \\vec{c} \ と \ \\vec{a}, \\vec{c} \ と \ \\vec{b} \ のなす角が等しくなるような実数 \ t \ の値を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.36
方程式の実数解の個数\n方程式 \( f(x)=g(x) \) の実数解の個数 \( \\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array}{l}y=f(x) \\\\ y=g(x)\\end{array}\\right. \\) の 2 つのグラフの共有点の個数 が基本。実際には, 方程式 \( f(x)=g(x) \) が \( h(x)=a \\) ( \ a \ は定数) の形に変形でき るならば, \( y=h(x) \) のグラフを固定し,\ y=a \ のグラフ \\( (x 軸に平行な直線) \\) を上下に平行移動させて,共有点の個数を調べるとよい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.37
曲線 上の動点 から 軸に垂線 を引くと, 点 が 軸上を正の向き に毎秒2の速度で動くように点 が動くという。点 が点 \( (2,2) \) を通過する ときの速度と加速度を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.38
(3) a>0 に対し, 区間 0 \leqq x \leqq π において曲線 と直線 に よって囲まれる部分を 軸の周りに回転してできる立体の体積を \( V(a) \) とする。\n(1) \( V(a) \) を a で表せ。\n(2) \( V(a) が最小になるように a の値を定めよ。\n[奈良県医大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.39
(1)数直線上を点 1 から出発して 秒後の速度 が \( v=t(t-1)(t-2) \) で運動する点 がある。出発してから 3 秒後の の位置はア であり, \mathrm{P} が動いた道のりはイ \( \square である。(2) 軸上を,原点から出発して 秒後の加速度が であるように動く物体がある。物体の初速度が のとき, 出発してから 秒後の物体の速度と位置を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.41
偶関数, 奇関数の定積分
1 偶関数 \( f(-x)=f(x) \) のとき \( \int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \)
2 奇関数 \( f(-x)=-f(x) \) のとき \( \int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \)
例 を計算せよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.42
関数 \( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{array}\\right. \) の連続性について証明しなさい。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.43
関数 \( f(x)=x^{2}+x+2 \\) および \( g(x)=x-1 \\) のとき, 合成関数 \( f(g(x)) \\) を求めよ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.44
関数の連続性\n実数 に対して は を満たす整数 を表すとき, 関数 \( f(x)=([x]+a)(b x-[x]) \) が と で連続となるように定数 の値を定 めよ。\n[類 神戸商船大]
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.45
g(x)=a x^(n+1)+b x^n+1 (n は2以上の自然数) が (x-1)^2 で割り切れるとき, a, b を n で表せ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.46
関数 \\( f(x)=x\\left(x^{2}+1\\right) \\) とする。数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ を次のように定める。\ a_{1}=1 \ とする。また, \ n \\geqq 2 \ のとき, 曲線 \\( y=f(x) \\) 上の点 \\( \\left(a_{n-1}, f\\left(a_{n-1}\\right)\\right) \\) における接線と \ x \ 軸との交点の \ x \ 座標を \ a_{n} \ とする。\n(1) \ a_{n} \ を \ a_{n-1} \ を用いて表せ。\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \ を示せ。
Ask AI tutor for answer!
Join our DiscordQ.47
表面積が 4πcm^2/s の一定の割合で増加している球がある。半径が 10cm になる瞬間において, 以下のものを求めよ。
(1)半径の増加する速度
(2)体積の増加する速度。