関数と解析 - 線形関数とそのグラフ | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

次の関数の値域を求めよ。また, 最大値, 最小値があれば, それを求めよ。\n(1) \( y=-2 x+3 \quad(-1 \leqq x \leqq 2) \)\n(2) \( y=\frac{2}{3} x-1 \quad(0<x \leqq 2) \)

EX 関数 \( y=a x+b(1 \leqq x \leqq 2) \) の値域が $3 \leqq y \leqq 4$ である。\n(1) $a>0$ のとき, 定数 $a, b$ の値を求めよ。\n(2) $a<0$ のとき, 定数 $a, b$ の値を求めよ。

次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n(1) \( y=x+2(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(2) \( y=4-2 x(-1 \leqq x<2) \)

数学 I\n[4] 〜 [6] から\n\na<4 のとき\nx=a+1 で最小値 a^2-7a-9\n\n4 ≤ a ≤ 5 のとき\nx=5 で最小値 a-25\n\na>5 のとき\nx=a で最小値 a^2-9a

例題一覧の活用方法について説明してください。

一般に，次のことが成り立つ。変量 $x$ を $y=a x+b （ a, b$ は定数）により変換すると 平均: $\bar{y}=a \bar{x}+b,$ 分散: $s_{y}{ }^{2}=a^{2} s_{x}{ }^{2},$ 標準偏差 : $s_{y}=|a| s_{x}$

次の定義域における関数 \( F(a) \) と \( G(a) \) がどのようになるか調べなさい。\n\\begin{array}{l}\nf(a)=-(a-1)^{2}+1 \\\\\nf(a+2)=-(a+1)^{2}+1\n\\end{array}\n\n[1] $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき\n[2] $\quad a \\leqq 1 \\leqq a+2$ すなわち $-1 \\leqq a \\leqq 1$ のとき\n[3] $1<a$ のとき\n[4] $a+1<1$ すなわち $a<0$ のとき\n[5] $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき\n[6] $1<a+1$ すなわち $0<a$ のとき

定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小

絶対値を含む 1 次関数のグラン

次の関数の値域を求めよ。また, 最大値, 最小値があれば, それを求めよ。 (1) y=-2x+3 (-1 ≤ x ≤ 2) (2) y=2/3x-1 (0 < x ≤ 2)

<strong>(1)</strong> x+3 y=k のとき, x^2+y^2 の最小値は 4 である。定数 k の値を求めよ。

「1次関数」とそのページを示してください。

関数とグラフに関する基本事項を説明してください。\n1) 関数\n(1) 関数 2 つの変数 $x, y$ の間にある関係があって, $x$ の値を定めるとそれに対応してyの値がただ 1 つ定まるとき $y$ は $x$ の関数であるという。 $y$ が $x$ の関数であることを，文字 $f$ などを用いて \( y=f(x) \) と表す。また， $x$ の関数を，単に関数 \( f(x) \) ともいう。関数 \( y=f(x) \) において, $x$ の値 $a$ に対応して定まる $y$ の値を \( f(\boldsymbol{a}) \) と書き, \( f(a) \) を関数 \( f(x) \) の $x=a$ における値という。\n(2) 定義域・値域 関数 \( y=f(x) \) において, 変数 $x$ のとりうる値の範囲, すなわち $x$ の変域を, この関数の定義域という。また, $x$ が定義域全体を動くとき, \( f(x) \) がとる値の範囲, すなわち $y$ の変域を, この関数の値域という。\n(3) 最大値・最小値 関数 \( y=f(x) \) の値域に最大の値があるとき, これを \( f(x) \) の最大値 という，値域に最小の値があるとき, これを最小値という。\n2) 関数のグラフ\n(1) 座標平面 平面上に座標軸を定めると, 平面上の点 $\mathrm{P}$ の位置は, 2 つの実数の組 \( (a, b) \) で表される。この \( (a, b) \) を点 $\mathrm{P}$ の座標 といい, \( \mathrm{P}(a, b) \) と書く。また, 座標軸の定められた 平面を座標平面という。更に, 点 \( (a, b) \) の $x$ 座標 $a$ と $y$ 座標 $b$ の符号が \( [1](+,+)[2](-,+)[3](-,-)[4](+,-) \n\nの部分， すなわち，座標軸で分けられた座標平面の 4 つの各部分を象限といい, それぞれ第 1 象限, 第 2 象限, 第 3 象限,第 4 象限 という。なお, 座標軸上の点はどの象限にも属さない。\n(2) グラフ 点 \( (a, b) \) が関数 \( y=f(x) \) のグラフ上にある \( \Leftrightarrow b=f(a) \n3. $y=ax+b$ のグラフ\n(1) $a \neq 0$ のとき 1 次関数 $y=ax+b$ のグラフ 傾きが$a$, $y$ 軸上の切片（$y$ 切片)が $b$ の直線。 $a>0$ のとき右上がり $a<0$ のとき右下がり このグラフを簡単に直線 $y=ax+b$ という。また, $y=ax+b$ を直線の方程式という。\n(2) $a=0$ のとき $y=b$ のグラフ 傾きが 0, y 切片が bの, x 軸に平行な直線。なお，関数 y=b は 1 次関数ではない。$y=b$ のような関数を定数関数という。

CHART（チャート）とは何か？

次の条件を満たすように, 定数 a, b の値を定めよ。 (1) 1 次関数 f(x)=ax+b について, f(0)=-1 かつ f(2)=0 である。 (2) 1 次関数 y=ax+b のグラフが 2 点 (-1,2),(3,6) を通る。 (3) 関数 y=ax+b の定義域が -3 ≤ x ≤ 1 のとき，値域が 1 ≤ y ≤ 3 となる。ただし，a>0 とする。

次の関数の値域を求めよ。また，関数の最大値，最小値も求めよ。\n(1) y=-3x+1 \quad (-1 \leqq x \leqq 2)\n(2) y=\\frac{1}{2}x+2 \quad (-2<x \leqq 4)\n(3) y=-2x^{2} \quad (-1<x<1)

条件式がある場合の最大・最小(1)\n$x \geqq 1, y \geqq -1, 2 x + y = 5$ であるとき, $x y$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) $x \geqq 0, y \geqq 0, x + y = 2$ のとき, $x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

発展 78 | 絶対値を含む 1 次関数のグラフ

1 次関数 \( f(x)=a x+b \) について, \( f(1)=2 \) かつ \( f(3)=8 \) であるとき, 定数 $a, b$ の値を求めよ。

標準 65 | 値域などの条件から 1 次関数の係数決定

1 個 100 円の品物を何個か買うとき, 買う個数が決まるとそれに応じて代金が決まります。また, 車が時速 60 km で走るとき，走る時間が決まるとそれに応じて走行距離が決まります。 このように「ある数量に応じて他の数量が決まる関係」について学習しましょう。関数の定義 例えば, 1 個 100 円の品物を x 個買ったときの代金を y 円とするとき, x と y の関係は y=100 x で表される。 このように, 2 つの変数 x, y があって, x の値を 1 つ決めると, それに対応してyの値がただ 1 つ決まるとき， y は x の関数である という。関数は, 数 x を原料として入れると「 x を 100 倍する」という加工がされ，製品 y が出てくる工場のようなものである。

(2) 1 次関数 $y=a x+b$ の定義域が $-3 \leqq x \leqq 1$ のとき, 値域が $-1 \leqq y \leqq 3$ である。ただし， $a>0$ とする。

$2 x+y=3$ のとき $x^{2}+y^{2}$ の最小値を求めよ。

関数 y=x−3 \quad(1 \leqq x<5) の値域を求めよ。

周囲の長さが 20 cm の長方形がある。この長方形の縦の長さを x cm とし、面積を y cm² とすると、y は x の関数である。次の問いに答えよ。 （1） y を x の式で表せ。また、この関数の定義域をいえ。 （2）この関数を f(x) とするとき, f(3), f(1/2), f(a+1) を求めよ。

関数 \( y=f(x) \) の定義域が $1 \leqq x \leqq 5$ のとき、次のように示される。\n\[ y=f(x) \quad(1 \leqq x \leqq 5) \]\nこのとき、関数の値域はどの範囲になりますか？

1 次関数 $y=a x+b$ の値域が $-1 \leqq y \leqq 5$ となるように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。ただし， $a<0$ とする。

次の関数の値域を求めよ。また，関数の最大値，最小値も求めよ。\n(1) \( y=-2 x+3 \quad(-1 \leqq x \leqq 3) \)\n(2) \( y=2 x^{2} \quad(-2<x \leqq 1) \)

(1) x+y=4 のとき、xy の最大値を求めよ。

1 次関数 $y=a x+b$ の定義域が $-3 \leqq x \leqq 1$ のとき、値域が $-1 \leqq y \leqq 3$ である。ただし， $a>0$ とする。

関数 \( y=x-3 \quad(1 \leqq x<5) \) の值域を求めよ。

71 (1) x=0 で最小値 -1 , 最大値はない

グラフと x 軸の共有点と方程式の実数解

1 次関数 $y=a x+b$ のグラフが 2 点 \( (-2,2),(4,-1) \) を通る。

1 次関数，2 次関数の一般形を示せ: $a, b, c$ は定数とする。

72 (4) x=2 で最小値 -1 , 最大値はない

次の関数のグラフをかけ。また，その値域を求めよ。\n(1) $y=|x-1|$\n(2) \( y=|3 x+2| \quad(-2 \leqq x<1) \)

(2) x >= 0, y >= 0, 3x + 2y = 1 のとき, 3x^2 + 4y^2 の最大値と最小値を求めよ。

64 (1) 値域は -5 \leqq y \leqq 4, x=-1 のとき最大値 4, x=2 のとき最小値 -5

次の関数の値域を求めよ。また, 関数の最大値，最小値も求めよ。\n(1) \( y=-3 x+1 \quad(-1 \leqq x \leqq 2) \)\n(2) \( y=\\frac{1}{2} x+2 \quad(-2<x \leqq 4) \)\n(3) \( y=-2 x^{2} \quad(-1<x<1) \)

63 (1) f(0)=3, \quad f(3)=-3, \quad f(-2)=7, f(a-2)=-2 a+7

関数 \( f(x)=2 x+1 \) のとき、次の値を求めよ。\n1. \( f(-1) \) は？\n2. \( f(0) \) は？\n3. \( f(1) \) は？

1 次関数 $y=a x+b（-2 \leqq x \leqq 1）$ の値域が $-1 \leqq y \leqq 5$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。ただし，$a<0$ とする。

次の関数の値域を求めよ。また, 関数の最大値，最小値も求めよ。(1) y=-3 x+1 (-1 ≤ x ≤ 2)(2) y=\frac{1}{2} x+2 (-2<x ≤ 4)(3) y=-2 x^{2} (-1<x<1)

64 （2）値域は 1<y \leqq 4, x=4 のとき最大値 4, 最小値はない

(1) 2x + y = 3 のとき x^2 + y^2 の最小値を求めよ。

関数のグラフと方程式・不等式: 不等式の証明

最大値・最小値を求めようとする式 x+y=k とおく考え方例題106では, x+y=k とおいて解いた。その考え方は次の通りである。領域Dに含まれるすべての(x,y)の値に対して, x+yの値を計算し, x+yの最大値・最小値を探し出すのは不可能。そこで.....

基 本 例題 73\n2 直線の共有点と連立 1 次方程式の解\n連立方程式 $a x+3 y-1=0,3 x-2 y+c=0$ が, 次のようになるための条件 を求めよ。\n（1） ただ 1 組の解をもつ\n（2）解をもたない\n（3）無数の解をもつ

(2) \( f(x) \) が $x$ の 1 次式で \( \\int_{0}^{1} f(x) d x=1 \\) のとき, \( \\int_{0}^{1}\\{f(x)\\}^{2} d x > 1 \\) であることを証明せよ。

xy平面において, 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x+2y ≤ 30, 5x+2y ≤ 66 の表す領域を D とする。点 (x, y) が領域 D を動くとき kx+y の最大値を求めよう。ただし，k は 1 ≤ k ≤ 3 を満たす実数である。

222 (1) $y = -\frac{1}{2a} x - \frac{1}{16 a^{2}}$\n(2) $a = \frac{1}{2}$ で最小値 $\frac{1}{12}$

エ に当てはまるものを, 次の（）～２）のうちから１つ選べ。\n(0) e f=c d\n(1) c f=d e\n(2) d f=c e

例 $x, y$ が 4 つの不等式 $x \geqq 0, y \geqq 0, x+2 y \leqq 8,3 x+2 y \leqq 12$ を同時に満たすと き, $x+y$ の最大値, 最小値を求めよう。

実数 $t$ に対して $x y$ 平面上の直線 $\ell_{t}: y=2 t x+t^{2}$ を考える。\n（1）点 $\mathrm{P}$ を通る直線 $\ell_{t}$ はただ 1 つであるとする。このような点 $\mathrm{P}$ の軌跡の方程式を 求めよ。\n(2) $t$ がすべての実数値をとって変わるとき, 直線 $\ell_{t}$ が通る点 \( (x, y) \) の全体を図示 せよ。

EX 次の不等式の表す領域を，それぞれ $x y$ 平面に図示せよ。 93 (1) $|2 x+5 y| \leqq 4$ (2) $|x|+|y+1| \leqq 2$

関数の値の変化: 区間における最大・最小

数学で, 2つの接線の接点 P, Q を通る直線 PQ の方程式を求める問題。 与えられた方程式の条件: P(p, q), Q(p', q') の接線の方程式はそれぞれ p x+q y=5, p'x+q'y=5 これらの直線が点 A(3,1) を通る場合 3p+q=5, 3p'+q'=5 これに基づいて PQ の方程式を求めてください。

(1) y^{\prime}=-2 x+4=-2(x-2) y^{\prime}=0 とすると x=2 y の増减表は右のようになる。 よって, x<=2 で増加し, 2<=x で減少

次の円 x^2 + y^2 = 1 と次の直線の共有点の個数を求めよ。 (1) x + y = 1 (2) x - y = √2 (3) 2x - y + 5 = 0

第2ステップで例題に取り組む際には、どのような手順で進めると良いですか？

この直線が点 (3, 4) を通るから 4=-2(a-2)・3+a^2-3 整理して a^2-6a+5=0 ゆえに (a-1)(a-5)=0 よって a=1,5 したがって, 求める接線の方程式は (1) から a=1 のとき y=2x-2, a=5 のとき y=-6x+22

次の直線の方程式を求めよ。\n(1) 点 \( (-3,5) \) を通り, 傾きが $\sqrt{3}$\n(2) 2点 \( (5,-3),(-7,3) \) を通る\n(3) 2点 \( (5,1),(3,2) \) を通る\n(4) $x$ 切片が $4$, $y$ 切片が -2\n(5) 2点 \( (-3,1),(-3,-3) \) を通る\n(6) 2点 \( (1,-2),(-5,-2) \) を通る

直線 $y=m x+1$ と円 $x^{2}+y^{2}-2 x+2 y+1=0$ との共有点の個数を求めよ。

Ex xy 平面において, 連立不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x+2y ≤ 30, 5x+2y ≤ 66 の表す領域を D とする。 (x, y) が領域 D を動くとき kx+y の最大値を求めよう。ただし， k は 1 ≤ k ≤ 3 を満たす実数である。

直線 ℓ: 2x+3y=4 に平行で点 (1,2) を通る直線の方程式を求めよ。また, 直線 ℓ に垂直で点 (2,3) を通る直線の方程式を求めよ。

ある工場の製品に，XとYの 2 種類がある。 1kg 生産するのに，X は原料A を 1kg ，原料 B を 3kg, Y は原料A を 2kg , 原料 B を 1kg 必要とする。また、使える原料の上限は，原料Aは 10kg, 原料 Bは 15kg である。 1kg 当たりの利益を，X は5万円，Y は４万円とするとき，利益を最大にするには，X，Y それぞれ何kg 生産すればよいか。

x, y が 3 つの不等式 x+2 y-8 <= 0, 2 x-y+4 >= 0, 3 x-4 y+6 <= 0 を満たす とき, x+y の最大値および最小値を求めよ。

ある工場で 2 種類の製品 A、B が、2 人の職人 M、W によって生産されている。製品Aについては、1 台当たり組立作業に 6 時間、調整作業に 2 時間が必要である。また、製品Bについては組立作業に 3 時間、調整作業に 5 時間が必要である。いずれの作業も日をまたいで継続することができる。職人Mは組立作業のみに、職人Wは調整作業のみに従事し、かつ、これらの作業にかける時間は職人Mが 1 週間に 18 時間以内、職人Wが 1 週間に 10 時間以内と制限されている。4 週間での製品 A，Bの合計生産台数を最大にしたい。その合計生産台数を求めよ。

次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) $x-2 y+3 \geqq 0$\n(2) $x^{2}+y^{2}+3 x+2 y+1>0$\n(3) $y \leqq-2|x|+4$

異なる2点 \( (x_1, y_1) \) および \( (x_2, y_2) \) を通る直線の方程式を求めよ。

225 $t = 1$ で最大値 $\frac{2}{3}$,\n$t = \frac{1}{2}$ で最小値 $\frac{1}{4}$

(2) $x-y=\sqrt{2}$ から $y=x-\sqrt{2}$ これを $x^{2}+y^{2}=1$ に代入して \[ x^{2}+(x-\sqrt{2})^{2}=1 \] 整理すると $2 x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$ この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると \[ \frac{D}{4}=(-\sqrt{2})^{2}-2 \cdot 1=0 \] $D=0$ から, 共有点の個数は 1 個 (接する)。

(1) y^{\prime}=6 x-4=2(3 x-2) y^{\prime}=0 とすると x=2/3 y の増減表は右のよ うになる。よって, y は, x=2/3 で 極小値 -1/3 をとる

不等式 $2|x+1|-|x-1|>x+2$ をグラフを利用して解け。

問題 1 絶対値と文字定数を含む関数, 最大値をもつ条件 $a$ は定数とする。関数 \( f(x)=a|x-2|-|x-a| \) について，次の問いに答えよ。 (1) $a=3$ のとき, \( y=f(x) \) のグラフの概形として最も適当なものを, 次の 0 〜 (5)か 1 つ選べ。 ア (2) (5) (2) $a=3$ であることは, \( f(x) \) が最小値をもつための イ。 イに当てはまるものを，次の０～３）か１つ選べ。 (0) 必要十分条件である (1)必要条件であるが，十分条件ではない (2)十分条件であるが，必要条件ではない (3) 必要条件でも十分条件でもない (3) \( f(x) \) が最大値をもつための必要十分条件は口ウ であり, \( f(2) \) が最大値であるための必要十分条件はエである。口ウ，エに当てはまるものを，次の０～８からそれぞれ１つずつ選べ。 (0) $a \leqq -1$ (1) $a \geqq -1$ (2) $a \leqq 1$ (3) $a \geqq 1$ (4) $a \leqq 2$ (5) $a \geqq 2$ (6) $-1 \leqq a \leqq 1$ (7) $1 \leqq a \leqq 2$ (8) $-1 \leqq a \leqq 2$

③105 直線 $y=x-1$ と $15^{\circ}$ の角をなす直線で, 点 \( (0,1) \) を通るものは 2 本存在する。 これらの直線の方程式を求めよ。

関数 y = ax + b (-2 ≤ x < 1) の値域が 1 < y ≤ 7 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。

数学 I\nEX 点 (2x-3,-3x+5) が第2象限にあるように, x の値の範囲を定めよ。また, x がどのような値であってもこの点が存在しない象限をいえ。

函数 \( y=a x+b(2 \leqq x \leqq 5) \) の値域が $-1 \leqq y \leqq 5$ であるとき, 定数 $a, \quad b$ の値を求めよ。

・補集合 \ \\bar{A}=\\{x \\mid x \\in U \ かつ \ x \\notin A\\} \ ド・モルガンの法則 \ \\overline{A \\cup B}=\\bar{A} \\cap \\bar{B} \\quad \\overline{A {cap B}=\\bar{A} \\cup \\bar{B} \

EX(1) 関数 y=-x+1(a <= x <= b) の最大値が2, 最小値が-2であるとき, 定数 a, b の値を求めよ。

一次関数 y=ax+b のグラフが右上がりになるのは、aが正か負かどちらですか？

綀習次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n65\n(1) \( y=5 x-2 \quad(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(2) \( y=-3 x+1 \quad(-1<x \leqq 2) \)

関数 $y=ax+b （ 1 \leqq x \leqq 2 ）$ の値域が $3 \leqq y \leqq 5$ であるとき，定数 $a, b$ の値を求めよ。

関数 y=b のグラフの特徴を説明してください。

関数 y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) の最大値が 2 、最小値が -2 であるとき、定数 a、b の値を求めよ。ただし，a < b とする。

值域の条件から1次関数の係数決定

64\n際本 32 不等式の性質と式の値の範囲 (1)\n$3<x<5,-1<y<4$ であるとき, 次の式のとりうる値の範囲を求めよ。\n(1) $x-1$\n(2) $-3 y$\n(3) $x+y$\n(4) $x-y$\n(5) $2 x-3 y$\n

練習 次の関数のグラフをかけ。 67 (1) $y=|3-x|$ (2) $y=|2 x+4|$

絶対値のついた1次関数のグラフ(2)

一次関数の一般的な形と、そのグラフの形状を説明してください。

命題 $p \Longrightarrow q$ が真であるとき、どのような条件が成り立つか説明してください。

関数の値域, 最大値・最小値（1 次関数）

(3) y=x+2[x](-2 ≤ x ≤ 2) のグラフをかけ。

変量 $x$ のデータが $n$ 個の実数値 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ であるとする。 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ の平均値を $\\bar{x}$ とし，標準偏差を $s_{x}$ とする。式 $y=4x-2$ で新たな変量 $y$ と $y$ のデータ $y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}$ を定めたとき, $y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}$ の平均値 $\\bar{y}$ と標準偏差 $s_{y}$ を $\\bar{x}$ と $s_{x}$ を用いて表せ。

次の不等式をグラフを利用して解け。(2) |x+2|-|x-1|>x

関数 $y=ax+b （ 2 \leqq x \leqq 5 ）$ の値域が $-1 \leqq y \leqq 5$ であるとき，定数 $a, b$ の値を求めよ。

絶対値を含む関数は, 絶対値記号内の式が 0 になるときを場合の分かれ目として, 絶対値記号をはずして考えました。その場合の分かれ目において, 関数のグラフが折れ曲がる という性質があることを数学 I 例題 67 などで学習しました。ここでは, 絶対値に加え文字定数を含むとき, その関数のグラフや関数の最大値・最小値がどのように変化するのか を考察します。\n\nまず，次の問題を考えてみましょう。\nCHECK 1-A 関数 \ y=|x-1|+|x-3| \ のグラフをかけ。

関数 y=f(x) の対称移動について考える。以下の問いに答えよ。 (a) 関数 y=f(x) を x 軸に関して対称移動した際の新しい関数の方程式を答えよ。 (b) 関数 y=f(x) を y 軸に関して対称移動した際の新しい関数の方程式を答えよ。 (c) 関数 y=f(x) を原点に関して対称移動した際の新しい関数の方程式を答えよ。

絶対値のついた1次関数のグラフ(1)

[4] の $a=1$ のときのグ ラフは, $x \leqq 1$, および $2 \leqq x$ において，傾き 0 の直線になる。

変量 x のデータの平均値を x̄, 標準偏差を s_x とする。 u=ax+b (a, b は定数) によって新しい変量 u のデータが得 られるとき, uのデータの標準偏差を s_u とすると s_u=|a| s_x が成り立つ。

求める角を \( \\theta (0^{\circ} < \\theta < 180^{\circ}) \) とする。(1) 直線の傾きが -1 であるから $\\theta$ を求めなさい。(2) 直線の傾きが $\sqrt{3}$ であるから $\\theta$ を求めなさい。(3) 直線の傾きが $-\\frac{1}{\\sqrt{3}}$ であるから $\\theta$ を求めなさい。

次の条件を満たすように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。\n(1) 1 次関数 \( f(x)=a x+b \) について, \( f(0)=-1 \) かつ \( f(2)=0 \) である。\n(2) 1 次関数 $y=a x+b$ のグラフが 2 点 \( (-1,2),(3,6) \) を通る。\n(3) 関数 $y=a x+b$ の定義域が $-3 \leqq x \leqq 1$ のとき，値域が $1 \leqq y \leqq 3$ となる。ただし， $a>0$ とする。

（2）得点 $X$ は、飛距離 $D$ から次の計算式によって算出される。\n\n\[X=1.80 \times(D-125.0)+60.0\]\n\nこのとき、$X$ の分散は、$D$ の分散のア $\square$ 倍になる。また、$X$ と $Y$ の共分散は、$D$ と $Y$ の共分散のイ $\square$ 倍である。更に，XとYの相関係数は、 $D$ とYの相関係数のウ $\square$ 倍である。

Q10 $y=\frac{9}{5} x+32$ $\qquad$ 華氏での最高気温の平均値を $\bar{y}$, 摂氏での 最高気温の平均値を的とすると，(1)より， $\bar{y}=\frac{9}{5} \bar{x}+32$ であるから， $\bar{x}=20$ のとき \[ \bar{y}=\frac{9}{5} \cdot 20+32=\text { ア } 68\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) \]

次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。\n(1) \( y=x+2(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(2) \( y=4-2 x \quad(-1 \leqq x<2) \)

グラフと不等式の関係\n一般に, \\( f(x)>g(x) \\) ということは, \\( y=f(x) \\) のグラフ が \\( y=g(x) \\) のグラフより上側にあるということである。例えば，不等式 \ x+2>|2 x+1| \ では， \ y=x+2 \ のグラフ が \ y=|2 x+1| \ のグラフより上側にあるような \ x \ の値の 範囲を求めればよい。右の図の \ x \ 軸上で, 赤色で示した部分がその範囲であるから, 不等式の解は \ -1<x<1 \ であ る。複雑な場合分けが必要なときなど,この方法が有効に なることがある。

次の 2 直線のなす鋭角 θ を求めよ。 (1) y=-x+1, y=-\frac{1}{\sqrt{3}} x (2) y=\sqrt{3} x-2, \quad y=\frac{1}{\sqrt{3}} x+\frac{1}{\sqrt{3}}

座標平面上で，点 $\mathrm{P}$ は原点 $\mathrm{O}$ を出発して， $x$ 軸上を毎秒 1 の速さで点 \( (6,0) \) まで進み, 点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と同時に点 \( (0,-6) \) を出発して, 毎秒 1 の速さで原点 $\mathrm{O}$ まで進む。この間に $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 間の距離が最小となるのは出発してから何秒後 か。また, その最小の距離を求めよ。

定義域が $-2 \\leqq x \\leqq 2$, 値域が $-2 \\leqq y \\leqq 4$ である 1 次関数を求めよ。

例 関数 \( y=x-[x](-2 \leqq x \leqq 3) \) のグラフをかいてみよう。

ⓄP UP 回帰直線 右の図は, p.251 例題 154 のデータ [ある年の 9 県の 年少人口 x (千人) と小児科医師数 y (人) を散布図 に表したものである。図から，このデータは強い正 の相関があることがわかり, 点がある直線の近くに 並んでいるように見える。 散布図において, 点の配列にできるだけ合うように 引いた直線を回帰直線という。右の図において, こ のデータの回帰直線を赤色の直線で示した。 2 つの変量 x, y からなるデータがあり, そのデータ の平均値をそれぞれ $\bar{x}, \bar{y}$, 標準偏差をそれぞれ $s_{x}$, $s_{y}$とし，x と y の相関係数を r とする。このとき, 回帰直線の式は次のようになること が知られている。 $\frac{y-\bar{y}}{s_{y}}=r \cdot \frac{x-\bar{x}}{s_{x}} \leftarrow y=\frac{r s_{y}}{s_{x}} x-\frac{r s_{y}}{s_{x}} \bar{x}+\bar{y}$ 上の散布図のデータでは, $\bar{x} \fallingdotseq 171.2, \bar{y} \fallingdotseq 269.6, s_{x} \doteqdot 47.81, s_{y} \fallingdotseq 66.92, r \doteq 0.9234$ であるから，回帰直線の式は，おおよそ $y=1.29 x+48.3$ となることがわかる。 回帰直線を利用することで, x, y の一方の値のみがわかっているときに, 他方の値を推定することができる。ただし，相関が弱い（点の分布が直線的でない）場合には, 回帰直線による分析を行うことはできない。

関数 $y=a x+b （ 2 \leqq x \leqq 5 ）$ の値域が, $-1 \leqq y \leqq 5$ となるように, 定数 $a$, $b$ の値を定めよ。ただし， $a<0$ とする。

59\n54 ・次の (1)～(4)の関数のうち, \ x=2 \ で最大値をとるものを 2 つ選び, 更にその関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) \\( y=-3 x+4(0 \leqq x \leqq 2) \\)\n(2) \\( y=x^{2}+3(-1 \leqq x \leqq 2) \\)\n(3) \\( y=-2 x^{2}+8 x-3(-1 \leqq x \leqq 5) \\)\n(4) \\( y=3(x+1)(x-3)(-2 \leqq x \leqq 2) \\)

22 関数 \( f(x)=-2x+1 \) について, 次の値を求めよ。\n(1) \( f(3) \)\n(2) \( f(0) \)\n(3) \( f(-1) \)\n(4) \( f(1-a) \)

次の表は, 総菜を製造販売するある会社における，おにぎりAの 1 個あたりの価格と販売数の関係をまとめたものである。 1 個あたりの価格 (円) | 150 | 200 | 250 販売数（個） | 65 | 50 | 35 1 個あたりの価格を x 円, 販売数を y 個とし, y は x の 1 次関数で表されると仮定して 考えることとする。また，価格 x は 10 円単位とし， 150 ≤ x ≤ 250 を満たすとする。なお，以下において，消費税は考えないものとする。 (1) y をの式で表せ。 （2）おにぎりAの 1 個あたりの価格と販売数の積を売り上げとする。売り上げが最大 となる価格 x と販売数 y を求めよ。

座標平面を複素数平面とみなしたとき，平面上の点は複素数に対応しま した。そして, 複素数の間のいろいろな計算は, 平面上で図示すること ができました。このことから，平面図形に関する問題のうち，あるもの は複素数の性質や計算を用いることによって, より簡単に，わかりやす く解くことができます。平面図形の問題に複素数を利用する際の基本となる事柄をここにまとめ ておきましょう。 線分の内分点・外分点 α = x1 + y1 i, β = x2 + y2 i, z = x + y i とし, A(α), B(β) を 結ぶ線分 AB を m: n に内分する点を P(z) とすると (x - x1) : (x2 - x) = (y - y1) : (y2 - y) = m: n よって x = (n x1 + m x2) / (m + n), y = (n y1 + m y2) / (m + n) ゆえに z = x + y i = (n x1 + m x2) / (m + n) + (n y1 + m y2) / (m + n) i = (n (x1 + y1 i) + m (x2 + y2 i)) / (m + n) = (n α + m β) / (m + n) また，外分の場合も同様に考えることができる。よって，次のことが成り立つ。2 点 A(α), B(β) を結ぶ線分 AB を m: n に内分する点を C(γ), m: n に外分す る点を D(δ) とすると 内分点 γ = (n α + m β) / (m + n) 外分点 δ = (- n α + m β) / (m - n) 特に, 線分 AB の中点を表す複素数は (α + β) / 2

線 x+2 y=11 が, 楕円 (x-2)^2 + 4(y-4)^2 = 4 によって切り取られる線分 の中点の座標と線分の長さを求めよ。

直線 $y=2 x+k$ が双曲線 $x^{2}-y^{2}=1$ と異なる 2 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ で交わるとする。\n（1）定数 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(2)（1）の範囲で $k$ を動かしたとき，線分 $\mathrm{PQ}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を求めよ。

本書のメインとなる部分は何ですか？

方程式 |z+2|=2|z-1| を満たす点 z 全体はどのような図形を表すか。

直線 (1) と楕円 (2) の2つの交点を求めなさい。 \[ y = x + 2\quad...(1) \] \[ x^2 + 3y^2 = 15\quad...(2) \]

(2) (ア) 2 点 \( (1,3),(3,-1) \) を通る直線の方程式を媒介変数 $t$ を用いて表せ。\n（イ）(ア）で求めた直線の方程式を，tを消去した形で表せ。

2 つの接線は直交するから \ \\quad m_{1} m_{2} = -1 \ よって, \ \\frac{v^{2}-a^{2}}{u^{2}+1} = -1 \ から \ \\quad u^{2}+v^{2} = a^{2}-1 \

170 (1) (ア) f(x)=k x ( k は定数 )

(3) \( f(x) \) および $m$ と $k$ (2)のように定める。すべての実数 $x$ に対して \( f(x) \geqq m x+k \) が成り立つことを示せ。

「なりたい自分」から, 逆算しよう。これはどういう意味がありますか？

61 $t$ を実数とする。\n(1) $x=2+5 t, \quad y=-1+2 t, \quad z=3-2 t$\nまたは $\frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}$\n(2) $x=1-t, \quad y=2-2 t, \quad z=3+t$\nまたは $\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{-2}=z-3$\n(3) $x=-1, \quad y=2-4 t, \quad z=-3+6 t$\nまたは $x=-1, \frac{y-2}{-4}=\frac{z+3}{6}$\n(4) $x=3, z=1$

(1) \( g(x) \) は 1 次関数であるから, \( g(x)=p x+q(p \neq 0) \) とする。 \(g(f(x))\)

\$x$ の範囲を求めよ。

練習 次の 2 平面のなす角 θ を求めよ。ただし, 0° ≤ θ ≤ 90° とする。 (1) 4 x - 3 y + z = 2, x + 3 y + 5 z = 0 (2) x + y = 1, x + z = 1 (3) -2 x + y + 2 z = 3, x - y = 5

55. 次の解を求めよ。\n(1) y1 確保: 2p (x+x1), y = -y1/(2p)(x-x1) + y1\n(2) y = 2/√3 x -1/√3, y = -√3/2 x + 2√3

4. 逆写像\n写像 \ f: A \\longrightarrow B \ に対して, \\( f(A)=B \\) であり \ b \\in B \ に対し, \ a \\in A \ がただ 1 つ定まり \\( f(a)=b \\) となるとき, \ B \ から \ A \ への写像 \\( f^{-1}(b) \\) を \\( f^{-1}(b)=a \\) で定義できる。すなわち例 \\( f(a)=b \\Longleftrightarrow a=f^{-1}(b) \\) である。この \ f^{-1} \ を \ f \ の逆写像 という。定義域，値域がともに数（実数の部分集合）であるときの写像を関数という。つまり，写像とは，関数を一般化したものである。

例題 9 | 合成関数と関数の決定 \( f(x)=2 x+1, g(x)=-2 x+3 \) について, \( h(f(x))=g(x) \) を満たす関数 \( h(x) \) を 求めよ。ただし, \( h(x) \) は多項式で表される関数であるとする。

接線と法線の方程式を求めなさい。

(2) y = (6-x)/(x-2) = -1 + 4/(x-2) (1) y = (1/2)x + 1 関数 (1)のグラフが直線 (2) より上側にある，または関数（1)のグ ラフと直線 (2) が共有点をもつような x の値の範囲は, 右の図か ら x ≤ -1 - √17, 2 < x ≤ -1 + √17

列題 92 一般の量の変化率 右の図のような底無しの四角錐を逆さまにした容器がある。高さ 4 cm の所で水平断面は1辺 3 cm の正方形である。この容器に毎秒 9 cm³ で静かに水を入れるとき, 水の深さが 2 cm になる瞬間の水面が上昇する速さは毎秒何 cm か。[自治医大]

次の曲線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。

次の式を証明してください。\n\\[\\alpha \\bar{z}-\\bar{\\alpha} z =(a+b i)(x-y i)-(a-b i)(x+y i) =2(b x-a y) i\\]\n特に、\\(\\bar{\\alpha} z=(a x+b y)+(a y-b x) i\\) が実数でないことを確認し、従って、\ a y-b x \\neq 0 \ より、\ \\alpha \\bar{z}-\\bar{\\alpha} z \ が純虚数であることを示してください。

28\n数学C\n参考 斜交座標 (本冊 \( p .73) \) の考えを利用する場合は, 直交座標で $\mathrm{O}$ を原点, \( \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0) \), \( \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0,1), \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x, y) \) としたときの点 \( (x, y) \) の存在範囲と比較するとよい。\nここで, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ から \( \quad(x, y)=s(1,0)+t(0,1)=(s, t) \) したがって, $x=s, y=t$ となる。\n(1) $x+y=3$\n(2) $2 x+3 y=1, x \geqq 0, y \geqq 0$\n(3) $2 x+3 y \leqq 6, x \geqq 0, y \geqq 0$

座標空間内の 2 点 \( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) を直径の両端とする球面を S \ とする。点 \( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) が球面 S \ 上を動くとき, 3 x + 4 y + 5 z \ の最大値を求めよ。また, そのときの Pの座標を求めよ。

次の連立不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+y>0 \\\\ 2 x-y+2>0\\end{\overlineray}\\right. \\n(2) \\left\\{\\begin{\overlineray}{l}x+2 y+2<0 \\\\ x^{2}+y^{2} \\geqq 4\\end{\overlineray}\\right. \

問題 1: 逆関数 一次関数 f(x)=2x において、q を任意の実数とすると q=f(p) すなわち q=2p となる実数 p が p=1/2 q としてただ1つ定められます。q に対応するこの関係は、関数 g(x) として g(x)=1/2 x と表されます。このように、関数 y=f(x) において、y の値を定めると対応する x の値がただ1つに定まるとき、x は y の関数として x=g(y) の形で表されます。この変数 y を x に書き直した関数 g(x) を f(x) の逆関数といい、f^{-1}(x) で表します。関数 f(x)=2x に対して f^{-1}(x)=1/2x です。関数によっては逆関数をもたない場合もあります。 1. 一次関数 f(x)=2x の逆関数を求めなさい。

x, y が 2 つの不等式 x+y-2 \leqq 0, x^{2}+4 x-y+2 \leqq 0 を満たすとき, $\frac{y-5}{x-2}$ の最大値 と最小値, およびそのときの x, y の値を求めよ。

次の不等式の表す領域を図示せよ。 (1) $|2 x+5 y| \leqq 4$

連立不等式 $2 y-x^{2} \geqq 0,5 x-4 y+7 \geqq 0, x+y-4 \leqq 0$ の表す領域の面積 $S$ を求めよ。

次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) $2x-3y-6<0$\n(2) $3x+2>0$\n(3) $|y| \\leqq 3$\n(4) $y > x^{2}-2x$\n(5) $y \\leqq 4x-x^{2}$\n(6) \( (x-1)^{2}+(y-2)^{2}<9 \)

(2) すべての実数 $x$ に対して \( f(x) \leqq 1 \) が成り立つような定数 $a, b$ の条件を求め, その条件を満たす点 \( (a, b) \) の範囲を図示せよ。

直線 $y=a x+b$ が， 2 点 \( \mathrm{A}(-3,2), \mathrm{B}(2,-3) \) を結ぶ線分と共有点をもつよう な実数 $a, b$ の条件を求め，それを $a b$ 平面上の領域として表せ。

問䍛 関数 \( y=-2 x+1(-1 \leqq x \leqq 2) \) の値域を求めよ。

関数 \( f(x), g(x) \), および導関数 \( f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \) が, \( f(x)+g(x)=-2 x+5 \), \( f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4, f(0)=5 \) を満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。

傾き $m$、y切片 $n$ の直線 $y = mx + n$ の方程式を導出せよ。

直線 (a-1) x-4y+2=0 と直線 x+(a-5) y+3=0 は， a= 〇 のとき垂直に交わり，80a= 〇 のとき平行となる。

(1) \( f(0)=0, f(2)=2 \) のとき, $S$ を $a$ の関数として表せ。\n(2) \( f(0)=0, f(2)=2 \) を満たしながら $f$ が変化するとき, $S$ の最小値を求めよ。

(1) から $y = x + 2$ $\quad$ (3) を (2) に代入して整理すると $x^2 + x - 6 = 0$ よって \( (x - 2)(x + 3) = 0 \) ゆえに $x = 2, -3$ (3) から $x = 2$ のとき $y = 4$, $x = -3$ のとき $y = -1$ よって, 求める 2 点の座標は \( (2, 4), (-3, -1) \)

例題 (13) 直線の方程式

CHECK 5-B \( f(x)=x-2 \) とする。次の定積分の値を求めよ。\n(1) \( \int_{0}^{2} f(x) d x \)\n(2) \( \int_{0}^{4} f(x) d x \)\n(3) \( \int_{0}^{5} f(x) d x \)

直線の方程式, 2 直線の関係

関数の連続・不連続\n・関数 \( f(x) \) が\n$x=a$ で連続とは\n極限値 \( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \) が存在して \( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=f(a) \) $x=a$ で不連続とは，次のいずれかの場合。\n\( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \) が極限値をもたない。\n極限値 \( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \) が存在して \( \\lim _{x \\rightarrow a} f(x) \\neq f(a) \) ・ \( f(x), g(x) \) が $x=a$ で連続なら, 次の関数もそ れぞれ $x=a$ で連続である。\n\( k f(x)+\\lg (x)[k, l \\) は定数 \\( ], \\quad f(x) g(x) \\),\n\\[ g(a) \\neq 0 \\text { のとき } \\frac{f(x)}{g(x)} \\]

（3）0 < x ≤ 1/2 で単調に減少し、1/2 ≤ x で単調に増加する。

$c \neq 0$ のとき \( g(x)=x \) $c=0$ のとき \( g(x)=x \) または \( g(x)=-x \)

関数 \( y=f(x) \) は連続とし, $a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して, 不等式 \( |f(x)-f(a)| \leqq \frac{2}{3}|x-a| \) が成り立つなら, 曲線 \( y=f(x) \) は直線 $y=x$ と必ず交わることを中間値の定理を用いて証明せよ。

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の極限を求めよ。 (1) $a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+1$ (2) $a_{1}=5, \quad a_{n+1}=2 a_{n}-4$

問 次の式で表される点 P(x, y) は, どのような曲線を描くか。 (1) x=t-1, y=3t-2 (2) x=t+2, y=t^2-4t+1

次の直線と曲線が交わってできる弦の中点の座標と長さを求めよ。\n(1) $y=3-2 x, \quad x^{2}+4 y^{2}=4$\n(2) $x+2 y=3, \quad x^{2}-y^{2}=-1$

「まとめ」のページでは、いろいろな場所で学んできた事柄を 1 ページでみやすくまとめています。

(2) 直線 $\mathrm{AQ}, \mathrm{BS}$ の方程式はそれぞれ \n\[ \begin{array}{l} t x-3 y=-3 t \\ x+3 t y=3 \end{array} \] \n(2) $\times t$-(1) から \( \left(3 t^{2}+3\right) y=6 t \) \n\nよって $\quad y=\frac{2 t}{1+t^{2}}$ $\qquqquad$\nこれを（2)に代入して $\quad x+\frac{6 t^{2}}{1+t^{2}}=3$ \nゆえに \( \quad x=\frac{3\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}} \) $\qquqquad$

点 α を中心とし半径 r の円を満たす方程式を示してください。

直線 $y=8 x-2$ と関数 $y=\sqrt{16 x-1}$ のグラフの共有点の座標を求めよ。

以下の条件を満たす 1 次関数 \( g(x) \) をすべて求めよ。\n\n綀習 3 次関数 \( f(x)=x^{3}+b x+c \) に対し, \( g(f(x))=f(g(x)) \) を満たすような 1 次関数 \( g(x) \) をすべて求めよ。\n\n\(g(x)\) は 1 次関数であるから, \(g(x)=p x+q(p \neq 0)\) とする。\n

綀埳 連立不等式 $x-3y+6 \geqq 0, x+2y-4 \geqq 0, 3x+y-12 \leqq 0$ の表す領域を $A$ とする。点 \((x, y)\) が領域 $A$ を動くとき, $x^2-y^2+2$ の最大値とそのときの $x$, $y$ の値を求めよ。

次の関数の逆関数を求め、逆関数の定義域と値域を求めなさい。\n関数: $y = x + 2$

(1) x=-3 で最大値 3/2, x=1 で最小値 -1/2

1次独立と1次従属

1章 関数 - EXERCISES の問題9の $x$ を求めよ。

練習 (1) \( \vec{a}=(-1,2), \vec{b}=(2,4) \) がある。実数 $t$ の値を変化させるとき, $\vec{c}=\vec{a}+t \vec{b}$ の 2 大きさの最小値と，そのときの $t$ の値を求めよ。

関数 \( f(x)=1-2 x, g(x)=\frac{1}{1-x}, h(x)=x(1-x) \) について, 次の合成関数を求めよ。\n(1) \( (f \circ g)(x) \)\n(2) \( (g \circ h)(x) \)\n(3) \( (f \circ h \circ g)(x) \)

次の数式のうち、x座標を求めなさい：\n\n$y = 2x + 3$\n\nこの式で y = 7 のときの x の値を求めてください。

130. 接線の方程式が x=1 \ のとき, 接点 \( (1,0) \\); 接線の方程式が y=\\frac{5}{2} x+\\frac{3}{2} \ のとき, 接点 \( \\left(-\\frac{5}{3},-\\frac{8}{3}\\right) \\) を求めなさい。

(2) 点 $\mathrm{Q}$ が $x$ 軸上を動くとき, $\mathrm{AQ} + \mathrm{QB}$ の最小値を求めよ。

実数 x, y, a, b \ が条件 x^2 + y^2 = 1 \ および a^2 + b^2 = 2 \ を満たすとき、 a x + b y \ の最大値と最小値を求めよ。

代表的な関数のグラフ

(1) f(0)=1 を示せ。

練習 \ x \ の関数 \\( f(x)=a x+1(0<a<1) \\) に対し, \\( f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\\left(f_{1}(x)\\right) \\), \\( 12 f_{3}(x)=f\\left(f_{2}(x)\\right), \\cdots \\cdots, f_{n}(x)=f\\left(f_{n-1}(x)\\right)[n \\geqq 2] \\) とするとき, \\( f_{n}(x) \\) を求めよ。

実数 $x, y$ が 2 つの不等式 $y \leqq 2 x+1,9 x^{2}+4 y^{2} \leqq 72$ を満たすとき, $3 x+2 y$ の最大値と最小値を求めよ。

グラフのかき方

18 (1) \ y^{\\prime}=3 x^{2}-6 x \\n点 \\( (1,-2) \\) における接線の傾きは\n\3 \\cdot 1^{2}-6 \\cdot 1=-3\\n\nよって, 接線の方程式は\n\\[y-(-2)=-3(x-1)\\]\n\nすなわち \ \\quad y=-3 x+1 \\nまた, 法線の方程式は\n\\[y-(-2)=-\\frac{1}{-3}(x-1)\\]\n\nすなわち \ \\quad y=\\frac{1}{3} x-\\frac{7}{3} \

各章で掲載している例題の一覧をどのように活用できますか？

練習 (1) 直線 $x-4=y-3=\\frac{z+2}{4}$ が平面 $2x+2y+z-2=0$ と交わり, そのなす角の小さい方を $\\theta$ とするとき, $\\cos \\theta$ の値を求めよ。

練習 次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。\n124 (1) 点 \( \mathrm{F}(4,2) \) と直線 $x=1$ からの距離の比が $1: \sqrt{2}$ であるような点 $\mathrm{P}$\n(2) 点 \( \mathrm{F}(0,-2) \) と直線 $y=3$ からの距離の比が $\sqrt{6}: 1$ であるような点 $\mathrm{P}$

(1) $x \fallingdotseq 0$ のとき, 次の関数について, 1 次の近似式を作れ。\n(ア) $\frac{1}{2+x}$\n(イ) $\sqrt{1-x}$\n(ウ) $\sin x$\n(エ) \( \tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \)\n(2) 次の値の近似値を, 1 次の近似式を用いて, 小数第 3 位まで求めよ。ただし, $\sqrt{3}=1.732, \pi=3.142$ とする。\n(ア) $\cos 61^{\circ}$\n(イ) $\tan 29^{\circ}$\n(ウ) $\sqrt{50}$\n(エ) $\sqrt[3]{997}$

1章 関数 - PRACTICE の問題1の定義域と値域を求めよ。

数学の学習において、基本知識の習得と問題解決能力を養うことが重要だという理由を説明しなさい。

例題 9 | 合成関数と関数の決定\nf(x)=2 x+1, g(x)=-2 x+3 について, h(f(x))=g(x) を満たす関数 h(x) を 求めよ。ただし, h(x) は多項式で表される関数であるとする。\n例題 6

45 (1) \\( 4 \\cdot y=2 \\cdot 2(x+2) \\)\nすなわち \ y=x+2 \\n(2) \\\frac{1 \\cdot x}{3}+\\frac{2 \\cdot y}{6}=1\\nすなわち \ x+y-3=0 \\n(3) \\( 2 \\cdot \\sqrt{2} \\cdot x-(-\\sqrt{3}) \\cdot y=1 \\)\nすなわち \ 2 \\sqrt{2} x+\\sqrt{3} y-1=0 \

問題 72\n(1) 省略。\n(2) 点 P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)、Q(1, 2, 0) \) のとき、最小値を求めよ。

1章 関数 - EXERCISES の問題2の $a$、$b$、$c$ を求めよ。

3 (1) y=-2 x+3 を x について解くと x=-\frac{1}{2} y+\frac{3}{2} x と y を入れ替えて, 求める逆関数は y=-\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}

本書冒頭の問「「なりたい自分」から, 逆算しよう。」から始まるチャート式メッセージの内容を簡潔に述べよ。

定義域，値域がともに数（実数の部分集合）であるときの写像を関数という。つまり，写像とは，関数を一般化したものである。

68 (1) \( y=\\frac{\\sqrt{2}}{4} x+\\frac{\\sqrt{2}}{2},(2, \\sqrt{2}) \\)

CHART & THINKING では、主に何を示していますか？

関数 \( f(x)(0 \leqq x \leqq 4) \) を右のように定義するとき, 次の関数のグラフをかけ。\n(1) \( y=f(x) \)\n(2) \( y=f(f(x)) \)\n\\[\nf(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\n2 x & (0 \\leqq x<2) \\\\\n8-2 x & (2 \\leqq x \\leqq 4)\n\\end{array}\\right.\n\\]\n\n指針 定義域によって式が変わる関数では, 変わる境目の \ x, y \ の値に着目。\n(2) \\( f(f(x)) \\) は \\( f(x) \\) の \ x \ に \\( f(x) \\) を代入した式で\n\\[\n0 \\leqq f(x)<2 \\text { のとき } 2 f(x), \\quad 2 \\leqq f(x) \\leqq 4 \\text { のとき } 8-2 f(x)\n\\]\n(1) のグラフにおいて, \\( 0 \\leqq f(x)<2 \\) となる \ x \ の値の範囲と, \\( 2 \\leqq f(x) \\leqq 4 \\) となる \ x \ の値 の範囲を見極めて場合分けをする。\nなお, \\( f(f(x)) \\) を \\( f(x) \\) と \\( f(x) \\) の合成関数という。詳しくは数学逐で学習する。

例 33 値域から係数の決定 \n関数 \( y=a x+b(1 \\leqq x \\leqq 2) \) の値域が $3 \\leqq y \\leqq 5$ であるとき, 定数 $a, b$ の値を求め よ。

数研出版の教材ラインアップに含まれる基本機能を列挙してください。

関数の値 f(x)=3x+5, g(x)=-x^2+10x のとき, 次の値を求めよ。 (1) f(4), f(2a), f(a-1) (2) g(3), g(1/2), g(a+1), g(3a), g(a^2), g(-2a^2)

49 x=$\frac{5}{4}, y=-\frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{9}{8}$;\nx=0, y=1 のとき最小値 -2

次の条件を満たす m の範囲を求めよ：\n1. y = -2x + 2\n2. y = m(x - 3) + 1\n2 つの直線が x > 0 かつ y > 0 の範囲で交わること

練習 [a] は実数 a を超えない最大の整数を表すものとする。次の関数のグラフをかけ。(1) y=-[x] (-3 ≤ x ≤ 2) (2) y=[2 x-1] (0 ≤ x ≤ 2)

この関数は $y=b$ (定数関数) になるから，値域は $3 \leqq y \leqq 5$ になりえない。\n[3] $a<0$ のとき この関数は常に減少するから，値域はすなわち\n\[ \begin{array}{l} a+b \geqq y \geqq 2 a+b \\ 2 a+b \leqq y \leqq a+b \\ 2 a+b=3, \quad a+b=5 \\ \end{array} \]\nよってこれを解いてこれは $a<0$ を満たす。以上から $\quad a=2, b=1$ または $a=-2, b=7$\n认部 $34 \Rightarrow$ 本冊 $p .89$\n$x-2 \geqq 0$ すなわち $\quad x \geqq 2$ のとき\n y=x-2 \]\n\[ x-2<0 すなわち $\quad x<2$ のとき\n\[ y=-(x-2)^{1)} \]\nゆえに $\quad y=-x+2$\nグラフは右の図の実線部分。2)

変数 $x, y$ が条件 $x+2 y=1$ を満たすとき, 次のものを求めよ。\n(1) $x^{2}+y^{2}$ の最小値\n(2) $x \geqq 0, \quad y \geqq 0$のとき, $x^{2}+y^{2}$ の最大値

実数 a を超えない最大の整数を [a] で表す。次の関数のグラフをかけ。(1) y=2[x] (-2 ≤ x ≤ 1) (2) y=[2 x] (-2 ≤ x ≤ 1)

軸 $x=a$ が $2<x$ の範囲にあるとき, すなわち, $a>2$ のとき 右のグラフから, $x=2$ で最小となる。最小値は\n \\[ f(2)=-8 a+4\\]

関数 \( y=f(x) \) のグラフとは何ですか？

例 $33 \Rightarrow$ 本冊 $p .89$ $x=1$ のとき $\\begin{\overlineray}{l} y=a+b \\ y=2 a+b \\end{\overlineray}$ $x=2$ のとき \[1] \ a>0 \ のとき この関数は常に増加するから，値域は よって $a+b \\leqq y \\leqq 2 a+b$ これを解いて $\\quad a=2, b=1$ これは $a>0$ を满たす。 [2] \ a=0 \ のとき 3章 例 2 咨 薮 \ 4 x=2 \ は定義域に含ま れないから, $y=4$ は値域に含まれない。 1関数 $y=-x^{2}$ のグラ フは, 原点を通り, y \ 軸 に関して対称である。 \ \\triangleleft x=-2 \ は定義域に含 まれないから, \ y=-4 \ は値域に含まれない。

軸 $x=a$ が $x<0$ の範囲にあるとき, すなわち, $a<0$ のとき 右のグラフから, $x=0$ で最小となる。最小値は\n \\[ f(0)=-4 a\\]

\\[\\begin{array}{c}f(x)=2 x \\\\ f(x) \\text { のグラフから } \\\\ 0 \\leqq f(x)<\\frac{1}{2} \\\\\n\\text { したがって } \\\\\nf(f(x))=2 f(x)=2 \\cdot 2 x\\end{array}\\]\nしたがって\n･が(1)のグラフ。\n—が，直線 \ y=\\frac{1}{2} \ よ り下方の部分は 2 倍し,直線 \ y=\\frac{1}{2} \ より上方 （または直線上）の部分 は２倍して1を引く。

0 ≦ x ≦ 3 および 0 ≦ y ≦ 3 のときの P の最大値と最小値を求める。

絶対値の付いた関数のグラフと直線の共有点を求めてください。

練習 35 → 本冊 p .92 f(x)=1/2 x-|x-| x-1|| とする。 方程式 f(x)=a が異なる 3 つの解をもつのは, y=f(x) のグラ フと直線 y=a が異なる 3 つの共有点をもつときである。ここで, g(x)=|x-| x-1|| とする。 [1] x >= 1 のとき g(x)=|x-(x-1)|=1 よって f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-1 [2] x<1 のとき g(x)=|x+(x-1)|=|2 x-1| (i) x<1/2 のとき g(x)=-2 x+1 よって f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(-2 x+1)=5/2 x-1 (ii) 1/2 <= x<1 のとき g(x)=2 x-1 よって f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(2 x-1) =-3/2 x+1 以上から, y=f(x) のグラフは右 の図のようになる。 このグラフと直線 y=a が異なる 3 つの共有点をもつような a の値 の範囲は, 図から -1/2<a<1/4

80 x=1, y=0 のとき最大値 2 ; $x=-1、 y=0$ のとき最小値 -2

60 (2) $a=1$ のとき \( (0,1)、 a=5 のとき \( (-2,-1) \)

値域と最大値・最小値 次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。 (1) y=x+2(-1 <= x < 2) (2) y=-x^2(-2 < x <= 1)

関数 $y=|x+1|+|x-3|$ のグラフをかけ。

練習 $146$ 本冊 p. 278 \ \( y=f(x) \\) のグラフが点 \( (2,1) \\) に関して対称であるとき、このグラフを $x$ 軸方向に -2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動したグラフの式を求めなさい。

増減表: 変数の増減を示す表。

f(x) = 3/2 x + 3/4 または f(x) = 1/4 x² + x + 1

(3) (1) 証明略，等号成立の条件は $x=y$

次の問題を解きなさい。 (1) 直線 3x + y - 7 = 0 の傾きを求めよ。 (2) 直線 x - 5y + 2 = 0 の傾きを求めよ。

(1) 求める二等分線上の点 \\(P(x, y)\\) は, 2 直線 \x - \\sqrt{3} y - \\sqrt{3} = 0\, \\sqrt{3} x - y + 1 = 0 \ から等距離にある。ゆえに \( \\frac{|x - \\sqrt{3} y - \\sqrt{3}|}{\\sqrt{1^2 + (-\\sqrt{3})^2}} = \\frac{|\\sqrt{3} x - y + 1|}{\\sqrt{(\\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} \) よって \( x - \\sqrt{3} y - \\sqrt{3} = \\pm(\\sqrt{3} x - y + 1) \) より、2つの解答が得られる。

練習 連立不等式 $y \leqq \frac{1}{2} x+3, y \leqq-5 x+25, x \geqq 0, y \geqq 0$ の表す領域を点 \( (x, y) \) が動く 79 とき, 次の最大値と最小値を求めよ。\n(1) $x^{2}+y^{2}$\n(2) \( x^{2}+y^{2}-2(x+6 y) \)\n[東京理科大]\n $\\Rightarrow p. 166 演習 40$

直線 (2) と直線 (3)が平行であるための条件は $2 \cdot k-1 \cdot 1=0 \quad \text { よって } \quad k=\frac{1}{2}$

「関数」の定義を述べ、その定義に基づいて逆関数の存在条件について説明せよ。

点 \\( (x_{1}, y_{1}) \\) を通り, 傾きが \ m \ の直線の方程式を求めよ。

例題\n等差数列の共通項\n等差数列 \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ の一般項がそれぞれ a_{n}=4 n-3, b_{n}=7 n-5 \ であるとき, こ の２つの数列に共通に含まれる数を，小さい方から順に並べてできる数列 \\left\\{c_{n}\\right\\} \ の 一般項を求めよ。\n<数学A例題 96

漸化式 $a_{n+1}=r a_{n}$ をグラフで表し、その特徴を説明して下さい。

練習 次の式の最大値および最小値を求めよ。\n[(3) 類 東京女子大]\n76 (1) $x, y$ が 4 つの不等式 $x \geqq 0, y \geqq 0, x+2 y \leqq 6,2 x+y \leqq 6$ を満たすとき $x-y$\n(2) $x, y$ が連立不等式 $x+y \geqq 1,2 x+y \leqq 6, x+2 y \leqq 4$ を満たすとき $2 x+y$\n(3) $x, y$ が連立不等式 $0 \leqq 2 x+y \leqq 1,0 \leqq x-y \leqq 1$ を満たすとき $\quad x+y$

練習 (1) 直線 \ y=2 x+3 \ に関して, 点 \\( \\mathrm{P}(3,4) \\) と対称な点の座標を求めよ。\n(2) 直線 \ y=2 x+3 \ に関して, 直線 \ 3 x-2 y-1=0 \ と対称な直線の方程式を求めよ。

C₁上の点 (a, a²) における接線の方程式は, y' = 2a から y - a² = 2a(x - a) すなわち y = 2a x - a²。C₂上の点 (b, 4b² + 12b) における接線の方程式は, y' = 8x + 12 から y - (4b² + 12b) = (8b + 12)(x - b) すなわち y = (8b + 12)x - 4b²。直線 l は(1) と(2)が一致する場合であるから 2a = 8b + 12, -a² = -4b² すなわち a = 4b + 6 b² + 4b + 3 = 0 これを解いて b = -1, -3 直線 l の傾きは正であるから, 8b + 12 > 0 よって b = -1 a = 2。直線 l の方程式は y = 4x - 4。

関数 \( y=-2 x+3(-3 \leqq x \leqq 2) \) の値域を求めよ。

次の直線の方程式を求めよ。 (1) 点 (1,-2) を通り, 傾きが 3 (2) 2 点 (-1,3),(5,-1) を通る (3) 2 点 (-3,5),(-3,1) を通る (4) 2 点 (2,4),(-6,4) を通る (5) 点 (5,6) を通り, y 軸に平行 (6) 2 点 (-2,0),(0,4) を通る

直線の方程式を導きなさい。

ゆえに \( \sin \left(x+y-\frac{\pi}{4}\right) \geqq \frac{1}{2} \)\n(1)+(2) から $0 \leqq x+y \leqq 2 \pi$\n\nよって $-\frac{\pi}{4} \leqq x+y-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{7}{4} \pi$\nこの範囲で (3) を解くと\n\n\frac{\pi}{6} \leqq x+y-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{6} \pi\n\]\n\nすなわち\n\[ \frac{5}{12} \pi \leqq x+y \leqq \frac{13}{12} \pi \n(1), (2), (4) をすべて満たす点 \( (x, y) \)全体の集合が $D$ であるから，Dを図示 すると，右の図の斜線部分。 ただし，境界線を含む。\n(2) $2 x+y=k \cdots \cdots$ (5) とおくと，これ は傾き $-2, \quad y$ 切片 $k$ の直線を表す。 この直線 (5) が領域 $D$ と共有点をもつ ようなkの値の最大值と最小值を求め ればよい。\n図から, kの値は, 直線 (5)が 点 \( \left(\pi, \frac{\pi}{12}\right) \) を通るとき最大になり, 点 \( \left(0, \frac{5}{12} \pi\right) \) を通るとき最小になる。 よって, $2 x+y$ は $x=\pi, y=\frac{\pi}{12}$ のとき最大値 $2 \cdot \pi+\frac{\pi}{12}=\frac{25}{12} \pi$, $x=0, y=\frac{5}{12} \pi$ のとき最小値 $2 \cdot 0+\frac{5}{12} \pi=\frac{5}{12} \pi$ をとる。

漸化式 $a_{n+1}=a_{n}+d$ をグラフで表し、その特徴を説明して下さい。

練習 次の直線の方程式を求めよ。\n66 (1) 2 直線 x - √3y - √3 = 0, √3x - y + 1 = 0 のなす角の二等分線\n(2) 直線 ℓ: 2x + y + 1 = 0 に関して直線 3x - y - 2 = 0 と対称な直線

直線 y=mx (m>0) は図形 T の面積を2等分するという。mの値を求めよ。

25 (1) m=-4 のとき 3,5 ; m=4 のとき -5,-3 (2) m=-2 √5 のとき √5, 3 √5 ; m=2 √5 のとき -√5,-3 √5

直線 $y=2 x+3$ について、直線 $3 x+y-1=0$ と対称な直線の方程式を求めよ。

点 (x_1, y_1) を通り, 傾きが m の直線の方程式を求めなさい。

次の 2 点を通る直線の方程式を求めよ。(3) では, a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 (1) (2,-3),(-1,1) (2) (3,4),(3,1) (3) (a, 0),(0, b) 異なる 2 点 (x1, y1),(x2, y2) を通る直線の方程式 x1 ≠ x2 のとき y-y1=\frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) 2 点の x 座標が異なるとき x1=x2 のとき x=x1 2 点の x 座標が等しいとき

a, b を実数とし, a+b=2 かつ a ≠ b のとき, 1, ab, $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ の大小を調べよ。

次の不等式の表す領域を図示せよ。\n(1) $y>2-3 x$\n(2) $3 x-y-5 \geqq 0$\n(3) $y<3$\n(4) $x \geqq-1$