関数と解析 - 一変数微積分 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

必要条件と十分条件についてそれぞれ定義し、次の例を用いて説明してください。 例: 命題R: xが偶数であることは、xが2で割り切れることの必要条件である。

次の曲線，直線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。\n(1) $y=x^{2}-x-2$\n(2) $y=-x^{2}+3 x$\n\( (-1 \leqq x \leqq 2) \),\n$x=-1, x=2$

次の定積分を求めよ。\n(1) \( \int_{-1}^{1}\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\right) d x \)\n(2) \( \int_{-2}^{2}(x-1)\left(2 x^{2}-3 x+1\right) d x \)

EX\n次の2次方程式\nax^2 + bx + c = 0\nの解 α, β について、次のことを示せ。\n1. 異なる2つの実数解をもつための条件。\n2. すべての実数 t について不等式 at^2 + 2bt + c > 0 が成り立つとき、正の解のみをもつこと。

次の定積分を計算しなさい。 (a) \[ \int_{0}^{1}(3x^2+2x+1)dx \] (b) \[ \int_{-1}^{2}(4x^2-3x-1)dx \]

次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。 (2) y=2 x^{2}+3 x+1, y=-x^{2}-x+2 曲線の交点の x 座標は, 方程式 2 x^{2}+3 x+1=-x^{2}-x+2 すなわち 3 x^{2}+4 x-1=0 を解いて x=-2 ± sqrt{7} / 3; α=-2-sqrt{7} / 3, β=-2+sqrt{7}/3 すると，右の図から求める面積 S は S=∫α β{(-x^{2}-x+2)-(2 x^{2}+3 x+1)} dx =∫α β(-3 x^{2}-4 x+1) dx =-3 ∫α β(x-α)(x-β) dx =-3 (-1/6)(β-α)^{3} =1/2 ((-2+sqrt{7}) / 3 - (-2-sqrt{7}) / 3)^{3} =1/2 (2 sqrt{7} / 3)^{3}=28 sqrt{7} / 27

次の定積分を求めよ。 (1) \( \int_{0}^{2}(3 t-1)^{2} d t \) (2) \( \int_{-2}^{4}\left(x^{3}-6 x^{2}+x-3\right) d x \) (3) \( \int_{3}^{-1}\left(x^{2}-2 x\right) d x+\int_{-1}^{3}\left(x^{2}+1\right) d x \) (4) \( \int_{-1}^{0}(y-1)^{2} d y-\int_{4}^{0}(1-y)^{2} d y \)

PR 次の定積分を求めよ。\n(2) \ \\int_{0}^{3} x|x-1| d x \\n[青山学院大]

3 導関数 関数 \( f(x) \) の導関数 \( f^{\prime}(x) \) の定義は \( f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

公式を用いて次の定積分を計算しなさい。 (a) \[ \int_{-2}^{3}(-x^2+4x-6)dx \] (b) \[ \int_{1}^{4}(2x^2-5x+3)dx \]

(3) \\( \int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx \\) を求めよ。

68 y'}=3 x^{2}-6 x+4 = 3(x-1)^{2}+1 よって, すべての実数 x に対して y^{\prime}>0 ゆえに、与えられた関数は常に増加する

次の条件を証明せよ。変量 $x$ の値を $x_{1}, x_{2}, \cdots \cdots, x_{n}$ とする。このとき, ある値 $t$ からの各値の偏差 \( t-x_{k}(k=1,2, \cdots \cdots, n) \) の 2 乗の和を $y$ とする。すなわち \( y=\left(t-x_{1}\right)^{2}+\left(t-x_{2}\right)^{2}+\cdots \cdots+\left(t-x_{n}\right)^{2} \) である。このとき, $y$ は $t=\bar{x}(x$ の平均値 \( ) \) のとき最小となることを示せ。

必要十分条件とは何か説明してください。

例題 3 から 8 までと例題 9 から 12 では、それぞれどのような共通点と相違点があるか説明しなさい。

式と曲線

関数のグラフの凹凸と変曲点を説明しなさい。

(2) $\int t \sqrt[4]{t^{3}} d t=\int t^{\frac{7}{4}} d t=\frac{t^{\frac{7}{4}+1}}{\frac{7}{4}+1}+C=\frac{4}{11} t^{\frac{11}{4}}+C=\frac{4}{11} t^{2} \sqrt[4]{t^{3}}+C$

(2)\\n\\[\\begin{array}{l}\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { であるから } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\n\\text { よって } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\pi}-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\frac{\\pi}{2}}^{\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\n=1-e^{-\pi}-\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\sin x-\\cos x)\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\\\n\\quad+\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\sin x-\\cos x)\\right]_{\\frac{\\pi}{2}}^{\\pi} \\\\n=\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\frac{\\pi}{2}}-e^{-\\pi}\\right)\n\\end{array}\\]

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{1}{x^{2}+2} d x \\n(2) \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \

예習 (1) 1辺の長さが 1 cm の立方体の体積が, 毎秒 100 cm³ の割合で立方体の形を保ちながら大きくなるとする。この立方体の 1辺の長さが 10 cm になった瞬間における表面積の増加する速さを求めよ。[岡山理科大]

例題 153 に関しては, 次のようにして回転体の体積を求めることもできる。\n別解 1. $x$ 軸に垂直な断面に注目して定積分にもち込む。（傘型分割による体積計算）$0 \leqq t \leqq 2$ とする。連立不等式 $0 \leqq x \leqq t$, $x^{2}-x \leqq y \leqq x$ で表される領域を, 直線 $y=x$ の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を \( V(t) \) とし, \( \Delta V=V(t+\Delta t)-V(t) \) とする。\n右の図のように点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{H}$ をとると\n\[ \mathrm{PQ}=t-\left(t^{2}-t\right)=2 t-t^{2}, \mathrm{PH}=\frac{\mathrm{PQ}}{\sqrt{2}}=\frac{2 t-t^{2}}{\sqrt{2}} \]\n$\Delta t>0$ のとき, $\Delta t$ が十分小さいとすると\n$\Delta V \fallingdotseq \frac{1}{2} \cdot \mathrm{PQ} \cdot 2 \pi \mathrm{PH} \cdot \Delta t$\nゆえに \( \quad \frac{\Delta V}{\Delta t} \fallingdotseq \frac{\pi}{\sqrt{2}}\left(2 t-t^{2}\right)^{2} \)\n左図の灰色部分の回転体$\Delta t \longrightarrow 0$ のとき, (1) の両辺の差は 0 に近づくから \( V^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\left(2 t-t^{2}\right)^{2} \) よって \( \quad V=V(2)=\int_{0}^{2} \frac{\pi}{\sqrt{2}}\left(2 t-t^{2}\right)^{2} d t \quad \) (以後の計算は省略)

169 (2) (ア) x y^{\prime}-2 y=0

ロルの定理を述べ、証明しなさい。

ハミルトン・ケーリーの定理

重要例題 $152 \quad y$ 軸の周りの回転体の体積 (3)\n$0 \leqq a<b$ とする。 \( y=f(x) \) のグラフの $a \leqq x \leqq b$ の部分と $x$ 軸，および 2 直線 $x=a, x=b$ で囲ま れた図形を $y$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体 の体積 $V$ は \( \quad V=2 \pi \int_{a}^{b} x f(x) d x \) で与えられる。このことを, $a<c<d<b$ とし,右の図のような, 区間 $[a, c],[d, b]$ で単調に 減少し, 区間 $[c, d]$ で単調に増加する関数 \( y=f(x) \) について示せ。 また, \( f(x)=x^{3}, a=0, b=2 \) のときの $V$ の値 $V_{0}$ を求めよ。

(3) \( g(x) \) の原始関数の 1 つを \( G(x) \) とすると \[\begin{array}{l} \int_{0}^{2 \pi} g(x) \sin x d x=[G(x) \sin x]_{0}^{2 \pi}-\int_{0}^{2 \pi} G(x) \cos x d x \\ =\int_{0}^{2 \pi}\{-G(x)\} \cos x d x \quad \cdots \cdots \text { (5) } \\ -G(x) \text { とおくと, } h^{\prime}(x)=-G^{\prime}(x)=-g(x) \text { より } \\ h^{\prime \prime}(x)=-g^{\prime}(x)>0 \end{array}\] \( h(x)=-G(x) \) とおくと, \( h^{\prime}(x)=-G^{\prime}(x)=-g(x) \) より \( h^{\prime \prime}(x)=-g^{\prime}(x)>0 \) (1), (2)より \( \int_{0}^{2 \pi}\{-G(x)\} \cos x d x=\int_{0}^{2 \pi} h(x) \cos x d x \geqq 0 \) (5) より \( \int_{0}^{2 \pi} g(x) \sin x d x \geqq 0 \)

平均値の定理とは何ですか？

練習 次の定積分を求めよ。

381\n\[\\begin{aligned}\nq=\\int_{0}^{2 \\pi} & \\sin ^{2} y\\left(\\frac{a}{2 \\pi} p+\\frac{b}{2 \\pi} q+1\\right) d y \\\\\n& +\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin y \\cos y\\left(\\frac{b}{2 \\pi} p+\\frac{a}{2 \\pi} q+1\\right) d y\n\\end{aligned}\]\nここで\n\[\\begin{array}{l}\n\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin ^{2} y d y=\\frac{1}{2} \\int_{0}^{2 \\pi}(1-\\cos 2 y) d y=\\frac{1}{2}\\left[y-\\frac{1}{2} \\sin 2 y\\right]_{0}^{2 \\pi}=\\pi \\\\\n\\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{2} y d y=\\frac{1}{2} \\int_{0}^{2 \\pi}(1+\\cos 2 y) d y=\\frac{1}{2}\\left[y+\\frac{1}{2} \\sin 2 y\\right]_{0}^{2 \\pi}=\\pi \\\\\n\\int_{0}^{2 \\pi} \\sin y \\cos y d y=\\frac{1}{2} \\int_{0}^{2 \\pi} \\sin 2 y d y=\\frac{1}{2}\\left[-\\frac{1}{2} \\cos 2 y\\right]_{0}^{2 \\pi}=0\n\\end{array}\]\nこれらを(4), (5) に代入すると\n\[\\begin{array}{l} \np=\\left(\\frac{b}{2 \\pi} p+\\frac{a}{2 \\pi} q+1\\right) \\pi, q=\\left(\\frac{a}{2 \\pi} p+\\frac{b}{2 \\pi} q+1\\right) \\pi \\\\\n\\text { よって } \\quad\\left\\{\\begin{array}{ll}\n(b-2) p+a q=-2 \\pi & \\cdots \\cdots \\cdot(6) \\\\\na p+(b-2) q=-2 \\pi & \\cdots \\cdots .(7)\n\\end{array}\\right.\n\\end{array}\]\n\\( f(x) \\) がただ 1つ定まるための条件は, (6), (7)を満たす \ p, q \ がた だ 1 組存在することである。これは (6), (7)を \ p q \ 平面上の直線の方程式と考えると, 2 直線が 平行でない条件と同值である。\nしたがって, 求める条件は\n\[\\(b-2)^{2}-a^{2} \\neq 0 \\text { すなわち } \\quad a^{2} \\neq(b-2)^{2}\]\n\nこのとき, (6), (7) を解くと \ \\quad p=q=\\frac{2 \\pi}{2-a-b} \\nこれを (3) に代入して \\( \\quad f(x)=\\frac{2}{2-a-b}(\\sin x+\\cos x) \\)\n

h = \\frac{|x-y|}{\\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\\frac{|x-(1-2 \\sqrt{x}+x)|}{\\sqrt{2}}=\\frac{|2 \\sqrt{x}-1|}{\\sqrt{2}}. C と \\ell の交点の x 座標は, \\sqrt{x}+\\sqrt{x}=1 から x=\\frac{1}{4}. 線分 AB と \\ell の交点は線分 AB の中点であるから, その x 座標は \\frac{1}{2}.\n\n また, t^{2}+h^{2}=\\mathrm{OP}^{2} であるから t^{2}=\\left(x^{2}+y^{2}\\right)-\\frac{(x-y)^{2}}{2}=\\frac{(x+y)^{2}}{2}. t>0 であるから t=\\frac{x+y}{\\sqrt{2}}=\\frac{2 x+1-2 \\sqrt{x}}{\\sqrt{2}} ゆえに d t=\\frac{2 \\sqrt{x}-1}{\\sqrt{2} \\sqrt{x}} d x\n\n 求める体積 V は \n\\begin{aligned}V & =\\pi \\int_{\\frac{\\sqrt{2}}{4}}^{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} h^{2} d t=\\pi \\int_{\\frac{\\sqrt{2}}{4}}^{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} \\frac{(2 \\sqrt{x}-1)^{2}}{2} d t & =\\pi \\int_{\\frac{1}{4}}^{0} \\frac{(2 \\sqrt{x}-1)^{2}}{2} \\cdot \\frac{(2 \\sqrt{x}-1)}{\\sqrt{2} \\sqrt{x}} d x & =\\frac{\\pi}{2 \\sqrt{2}} \\int_{0}^{\\frac{1}{4}}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{x}}-6+12 \\sqrt{x}-8 x\\right) d x & =\\frac{\\pi}{2 \\sqrt{2}}\\left[2 \\sqrt{x}-6 x+8 x \\sqrt{x}-4 x^{2}\\right]_{0}^{\\frac{1}{4}}=\\frac{\\pi}{8 \\sqrt{2}}\\end{aligned}\n

この章で積分を活用して具体的な形の図形の面積を求める問題について学習します。

次の曲線と $x$ 軸および直線で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる回転体 の体積を求めよ。\n(1) $y=\sqrt{x}, x=2, x=4$

微分可能な関数 f(x) の増減を調べ、その極値を求めよ。

ある曲線に異なる2点で接する直線を、この曲線の複接線という。数学$\Pi$では、複接線の存在について3次関数のグラフは複接線をもたないが、4次関数のグラフは複接線をもつことがあることを学習した。関数\( f(x) \)が2回微分可能で\( f''(x) \)が連続、かつ曲線\( y=f(x) \)は直線になる区間をもたないとする。このとき、曲線\( y=f(x) \)の変曲点が1個以下であれば、この曲線は複接線をもたない。証明 対偶「複接線が存在するならば、変曲点が2個以上存在する」を証明する。曲線\( y=f(x) \)上の異なる2点\( \mathrm{A}(a, f(a)), \mathrm{B}(b, f(b))(a<b) \)において、この曲線と接する直線が存在するとき、\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(a)=f'(b) \)、直線$\mathrm{AB}$の傾きが$x=a, b$における接線の傾きに等しい。\( f(x) \)は微分可能であるから、平均値の定理により\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c), a<c<b \)を満たす$c$が存在する。すなわち\( f'(a)=f'(c)=f'(b), a<c<b \)。\( f'(x) \)は定数でなく、微分可能であるから、閉区間$[a, c],[c, b]$にロルの定理( \left.p .384\right )を用いると\( f''(\alpha)=f''(\beta)=0, a<\alpha<c<\beta<b \)を満たす$\alpha, \beta$が存在し、$x=\alpha, \beta$において\( f'(x) \)は極値をとる。よって、$x=\alpha, \beta$の前後で\( f''(x) \)の符号が変わるから、曲線\( y=f(x) \)は少なくとも2点\( (\alpha, f(\alpha)),(\beta, f(\beta)) \)を変曲点としてもつ。

第 2 次導関数を利用して、次の関数の極値を求めよ。\n\[ y=e^{x} \cos x \quad(0 \leqq x \leqq 2 \pi) \]\n\(\ y^{\prime \prime}) の符号を調べる。\n\[ \begin{array}{l}\n y^{\prime}=0, \quad y^{\prime \prime}<0 \Longrightarrow y \text{は極大}\n y^{\prime}=0, y^{\prime \prime}>0 \Longrightarrow y \text{は極小}\n \end{array} \]

関数 y=f(x) は連続とする。\n(1) a を実数の定数とする。すべての実数 x に対して不等式 |f(x)-f(a)| \leqq \frac{2}{3}|x-a| が成り立つなら, 曲線 y=f(x) は直線 y=x と必ず交わることを中間値の定理を用いて証明せよ。\n(2) 更に，すべての実数 x_{1}, x_{2} に対して \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqq \frac{2}{3}\left|x_{1}-x_{2}\right| が成り立つならば,(1)の交点はただ 1 つしかないことを証明せよ。\n[上智大]

図形の面積や体積、曲線の長さを求めたり、簡単な微分方程式を解いたりする問題を学ぶ。

まず, $\frac{d y}{d x}-y=0$\n(1) を解く。\n$y \neq 0$ のとき, $\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=1$ となるから $\int \frac{1}{y} d y=\int d x$\nよって $\log |y|=x+C_{1}$ $(C_{1}$ は任意定数） $\pm e^{C_{1}}=C_{2}$ とおくと $y=C_{2} e^{x}$\nなお, $y=0$ も(1)の解で, これは (2) で $C_{2}=0$ として得られる。次に $y=u v$ とおくと，与えられた微分方程式は次の形になる。\n$\frac{d u}{d x} v+u \frac{d v}{d x}-u v=x$\nすなわち \( \left(\frac{d u}{d x}-u\right) v+u \frac{d v}{d x}=x \)\n\( u=C_{2} e^{x}\left(C_{2} \neq 0\right) \) とすると $\frac{d u}{d x}-u =0$ となるから, 上の式は\n$C_{2} e^{x} \frac{d v}{d x}=x$\nよって $C_{2} \frac{d v}{d x}=x e^{-x}$\n積分すると $C_{2} v=\int x e^{-x} d x=-e^{-x} x+\int e^{-x} d x$\n\( =-e^{-x}(x+1)+C_{3} \quad (C_{3} \) は任意定数）\nしたがって \( v=\frac{1}{C_{2}}\left\{-e^{-x}(x+1)+C_{3}\right\} \)\nよって \( y=u v=C_{2} e^{x} \frac{1}{C_{2}}\left\{-e^{-x}(x+1)+C_{3}\right\} \)\n\[ =-(x+1)+C_{3} e^{x} =C_{3} e^{x}-(x+1) \]\nゆえに \( y=C e^{x}-(x+1) \) （C\ は任意定数）\n初期条件 \( [x=0 のとき y=0] を上の解に代入すると\n$0=C-1$\nゆえに $C=1$\nよって, 求める解は \( y=e^{x}-(x+1) \)

練昷 次の定積分を求めよ。\n(2) \\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)

練昷 次の定積分を求めよ。\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)

次の定積分を求めよ。 (1) \( \int_{-2}^{2}\left(2 x^{3}-x^{2}-3 x+4\right) d x \) (2) \( \int_{-1}^{1}(3 x-1)^{2} d x \)

放物線と $x$ 軸の間の面積: 放物線 $y = x^2$ と $x$ 軸の間で、$x = 0$ から $x = 1$ までの面積を求めよ。

曲線 $y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6$ とその曲線上の点 \( (3,-6) \) における接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

(2）次の定積分を求めよ。\n(ア) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)

接線と図形の面積

まず，次の問題で，微分法を用いた方程式の実数解の個数を調べる方法を復習しましょう。 CHECK 5-A $a$ は実数の定数とする。方程式 $x^{3}-3 x^{2}-9 x-a=0$ の異なる 実数解の個数を調べよ。 3 次方程式の実数解の個数を調べる方法として, - 文字定数 $a$ を分離する解法（数学 II例題 227 参照） - 方程式の左辺を \( f(x) \) とし関数 \( f(x) \) の極値の符号を調べる解法（数学 $I$ 例題 228 参照） があります。 3 次関数 \( f(x) \) が極値をもつ場合, 極値の符号と, 3 次方程式 \( f(x)=0 \) の実数解の 個数の関係は次のようになっています。 (極大値) $\times$ (極小値 \( )>0 \) のとき [極値の積が正] 実数解 1 個 (極大値 \( ) \times( \) 極小値 \( )=0 \) のとき [極値のいずれか一方が 0$]$ 実数解 2 個 (極大値 \( ) \times( \) 極小値 \( )<0 \) のとき [極値の積が負] 実数解 3 個 この問題は, 文字定数 $a$ を分離する解法で解くこともできますが, ここでは極値の符号を調べ る解法を用いて解いてみましょう。

次の関数が満たす微分方程式を作成してください。\n関数: $y=A e^{-x^{2}}$ （$A$ は任意の定数）

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{\\pi} \\sin m x \\sin n x d x \ ( \ m, \\quad n \ は自然数 )\n(2) \ \\int_{0}^{\\pi} \\cos m x \\cos 2 x d x \ ( \ m \ は整数 )

練習 次の定積分を求めよ。 (1) \( \int_{1}^{3} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{4}} d x \) (2) \( \int_{0}^{1}(x+1-\sqrt{x})^{2} d x \) (3) $\int_{0}^{1} \frac{4 x-1}{2 x^{2}+5 x+2} d x$ (4) \( \int_{0}^{\pi}(2 \sin x+\cos x)^{2} d x \) (5) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3 x}{\sin x} d x$ (6) $\int_{0}^{\log 7} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} d x$

関数 f(x) の x=a における微分係数を定義しなさい。

整数 $m, n$ に対して, 積分 $I_{m, n}=\int_{0}^{2 \pi} \cos m x \cos n x d x$ を求めよ。

定積分 $\int_{1}^{n} x \log x d x$ を求めよ。

次の定積分を求めよ。

\n面積, 体積, 曲線の長さの計算\n曲線 \\( x=g(y) \\) と \ y \ 軸の間の面積\n曲線 \\( x=g(y) \\) と \ y \ 軸と 2 直線 \ y=c, y=d \\n\\( (c <d) \\) で囲まれた部分の面積\n\\( S=\\int_{c}^{d}|g(y)| dy \\)\n\n\\( x=f(t), \\quad y=g(t) \\) で表される曲線と面積\n\\( S=\\int_{a}^{b} y dx=\\int_{\\alpha}^{\\beta} g(t) f^{\\prime}(t) dt \\)\n\nただし，常に \\( y \\geqq 0, \\quad a=f(\\alpha), \\quad b=f(\\beta) \\) 立体の体積\n\\( S(x) \\) の立体の体積は， \ a < b \ のと き \\( V=\\int_{a}^{b} S(x) dx \\)\n

次の定積分を求めよ。\n(1) \\( \int_{1}^{3} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \\( \int_{0}^{1}(x+1-\sqrt{x})^{2} d x \\)\n(3) \ \int_{0}^{1} \frac{4 x-1}{2 x^{2}+5 x+2} d x \\n(4) \\( \int_{0}^{\pi}(2 \sin x+\cos x)^{2} d x \\)\n(5) \ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3 x}{\sin x} d x \\n(6) \ \int_{0}^{\log 7} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} d x \

2曲線間の面積を求めなさい。

曲線\ C_{1}, C_{2} \と直線\ x=\\frac{\\pi}{2} \で囲まれた領域の面積をTとするとき、T=2Sとなるための条件をaとbで表せ。

\( f(x), g(x) \) は区間 $[a, b]$ で連続な関数とする。 \( f(a)>g(a) \) かつ \( f(b)<g(b) \) であるとき, 方程式 \( f(x)=g(x) \) は $a<x<b$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示せ。

（1） 次の関数 f(x) と区間について，平均値の定理の条件を満たす c の値を求めよ: (ア) f(x)=\\log x [1, e] (イ) f(x)=e^{-x} [0,1]

(208 関数 f(x) が区間 a ≤ x ≤ b(a < b) で連続であるとき\nint_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c), a < c < b\nとなる c が存在することを示せ。(積分における平均値の定理)\n

x の関数 y が, t, θ を媒介変数として, 次の式で表されるとき, 導関数 dy/dx を t, θ の関数として表せ。ただし, (2) の a は正の定数とする。(1) {x=t^3+2, y=t^2-1}, (2) {x=a(θ- sin θ), y=a(1- cos θ)}

次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。(1) \( f(x)=\cos x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) d t \)

関数の最大と最小 関数 f(x) が閉区間 [a, b] で連続であるとき, f(x) の極大, 極小を調べ, 極値と区間 の両端の値 f(a), f(b) を比較して f(x) の最大値, 最小値を求める。

第 8 章 積分法の応用 方程式 y=(√x-√2)^2 が定める曲線を C とする。 (1) 曲線 C と x 軸， y 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。 (2) 曲線 C と直線 y=2 で囲まれた図形を, 直線 y=2 の周りに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ。〔信州大〕

(1) 直線運動 数直線上を運動する点 P の速度 v を時刻 t の関数とみて v=f(t) とする。また, t=a のときの P の座標を k とする。\n［1］時刻 b における P の座標 x は x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] t=a から t=b までの P の位置の変化量 s は s=∫[a,b] f(t) dt\n[3] t=a から t=b までの P の道のり l は l=∫[a,b]|f(t)| dt

曲線 \( y=f(x) \) と $x$ 軸の間、 $x=a$ および $x=b$ の直線で囲まれた部分の面積を求めよ。

次の定積分を求めよ。(1) では $a$ は定数とする。\n(1) \ \\int_{-a}^{a} \\frac{x^{3}}{\\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x \\n(2) \\( \\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2}}(2 \\sin x+\\cos x)^{3} d x \\)

練習 (1) 連続な関数 f(x) について, 等式 \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\) を証明せよ。\n(2) 定積分 \ I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{\\sin x + \\cos x} d x \ を求めよ。\n〔類 愛媛大〕

最大値・最小値の定理\n閉区間で連続な関数は、，その閉区間で，最大値お よび最小値をもつ。

置換積分法を利用した定積分の等式の証明（1）

数学II\n-391\n-1 ≤ t ≤ 1 のとき, g'(t)=0 とすると t=-1/2 -1 ≤ t ≤ 1 における g(t) の増減表は右のように なるから t=1 のとき最大値 36 ,\nt=-1/2 のとき最小値 9/4

曲線\ C_{1}, C_{2} \とy軸で囲まれた領域の面積Sをaとbで表せ。

曲線 \( y=f(x) \) と $x$ 軸の上下に関係なく \( V=\pi \int_{a}^{b}\{f(x)\}^{2} d x \) (1)\n$\nV =\\pi \int_{-\\pi}^{\\pi}|x-a-b \sin x|^{2} d x$\nを計算せよ。

数学II\n379\n(1) 「xの関数y」の形にする方法に沿って、定積分を利用して、曲線Cの概形を描きます。

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{1+x^{2}} \\n(2) \ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{x^{2}-2 x+4} \\n(3) \\( \\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{\\left(x^{2}+2\\right) \\sqrt{x^{2}+2}} \\)

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{3} \\sqrt{9-x^{2}} d x \

4 変化量の変化率 時間とともに変化する量 f(t) （膨張する立体の体積など）についても, その量の時刻 t における変化率は, 1 の速度と同様 f^{\\prime}(t) である。

練習 次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{3} \\sqrt{9-x^{2}} d x \\n(2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \\n(3) \ \\int_{0}^{\\sqrt{3}} \\frac{x^{2}}{\\sqrt{4-x^{2}}} d x \

EX 関数 \( f(x) \) が区間 \( a \\leqq x \\leqq b(a<b) \) で連続であるとき ®208\n\\[\n\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c), a<c<b\n\\]\n\nとなる $c$ が存在することを示せ。（積分における平均値の定理）\n[1] \( f(x) \) が区間 $a \\leqq x \\leqq b$ で常に定数 $k$ に等しいとき\n区間 $a<x<b$ の任意の値 $c$ に対して , \( f(c)=k \) であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\int_{a}^{b} f(x) d x & =\\int_{a}^{b} k d x=k[x]_{a}^{b}=k(b-a) \\\\\n& =(b-a) f(c)(a<c<b)\n\\end{aligned}\n\\]\n\n[2] \\( f(x) \\) が区間 \ a \\leqq x \\leqq b \ で定数でないとき\n区間 \ a \\leqq x \\leqq b \ における \\( f(x) \\) の最小値を \\( m=f\\left(x_{1}\\right) \\), 最大値 を \\( M=f\\left(x_{2}\\right) \\) とすると、区間 \ a \\leqq x \\leqq b \ で \\( m \\leqq f(x) \\leqq M \\) かつ , 等号は常には成り立たないから\n\\[\n\\int_{a}^{b} m d x<\\int_{a}^{b} f(x) d x<\\int_{a}^{b} M d x\n\\]\n\nすなわち \\( \\quad m(b-a)<\\int_{a}^{b} f(x) d x<M(b-a) \\)\n\nよって \\( m<\\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x<M \\)\n\\( f(x) \\) は区間 \ a \\leqq x \\leqq b \ で連続で \\( f\\left(x_{1}\\right)<f\\left(x_{2}\\right) \\) であるから , \ m \ と \ M \ の間の値 \\( \\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x \\) に対して\n\\[\n\\begin{aligned}\nf(c) &= \\frac{1}{b-a} \\int_{a}^{b} f(x) d x, \\\\ & \\quad a<c<b \n\\end{aligned}\n\\]\n\nを満たす実数 \ c \ が \ x_{1} \ と \ x_{2} \ の間に少なくとも 1 つある。\nしたがって, \\( \\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c), a<c<b \\) となる実数 \ c \ が存在する。\n[1], [2] から, 題意は証明された。\nHINT 区間 \ [a, b] \ で \\( f(x) \\) が定数であるとき と定数でないときで場合 を分ける。後者の場合 , 中間値の定理を用いる。\n\\( \\leftarrow f(x) \\) は区間 \ [a, b] \ で定数ではないから\n\n\ m<M \\n\ \\leftarrow \ (本冊 \ p .194 \ 基本事項 2 参照）中間値の定理関数 \\( f(x) \\) が \ [a, b] \ で 連続で, \\( f(a) \\neq f(b) \\) な らば, \\( f(a) \\) と \\( f(b) \\) の間 の任意の値 \ k \ に対して \\( f(c)=k, a<c<b \\) を満 たす実数 \ c \ が少なくと も1つある。

平均値の定理を利用して不等式の証明を行いなさい。例えば、関数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) の $[0,1]$ の範囲での平均値の定理を適用した場合を考えなさい。

\n定積分と和の極限（区分求積法）\\( f(x) \\) が区間 \ [a, b] \ で連続で, この区間を \ n \ 等分 して両端と分点を \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, \u2026 x_{n}=b \ とし, \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \ とおくと\n```\n\\int_{a}^{b} f(x) d x=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=0}^{n-1} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x\n```\n

次の定積分を求めよ。(2)では \ a \ は定数とする。\n〔(1) 福岡大〕\n๑215\n(1) \\( \\int_{-\\pi}^{\\pi}(2 \\sin t+3 \\cos t)^{2} d t \\)\n(2) \ \\int_{-a}^{a} x \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\n(3) \\( \\int_{-\\frac{\\pi}{3}}^{\\frac{\\pi}{3}}\\left(\\cos x+x^{2} \\sin x\\right) d x \\)

接線 と法線 基本事項 曲線 y=f(x) 上の接線と法線 曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) における 1 接線の方程式 y-f(a)=f'(a)(x-a) 2 法線の方程式 y-f(a)=-1/f'(a)(x-a) ただし f'(a) ≠ 0

次の曲線の長さを求めよ。\n(1) \\( x=2 t-1,\ny=e^{t}+e^{-t}(0 \\\\leqq t \\\\leqq 1) \\)\n(2) \\( x=t-\sin t, y=1-\cos t(0 \\\\leqq t \\\\leqq \\\\pi) \\)\n(3) \\( y=\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{1}{4 x} \\quad(1 \\\\leqq x \\\\leqq 2) \\)\n(4) \\( y=\\log (\\sin x)\\left(\\frac{\\pi}{3} \\\\leqq x \\\\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right) \\)

目の前にある、すぐにやらなければいけない問題が理解できない場合、どのように対処すべきか。

(2) 曲線 C と接線 ℓ, および y 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。

\\( f(x) \\)が\ x=a \で微分可能なら連続であることを証明しなさい。ただし，逆（連続なら微分可能）は成立しないことを説明しなさい。

座標空間に原点 $\mathrm{O}$ と点 \( \mathrm{A}(1,-2,3), \mathrm{B}(2,0,4), \mathrm{C}(3,-1,5) \) がある。このと き, ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の大きさの最小値と, そのときの実数 $x, y$ の値 を求めよ。

定積分の部分積分法\n\\[\\int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x=[f(x) g(x)]_{a}^{b}-\\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) g(x) d x\\n\\]\n

m, n が自然数のとき, 定積分 I=\int_{0}^{2 \pi} \cos m x \cos n x d x を求めよ。

次の不定積分を求めよ。\n\ \\int \\cos ^{4} x dx \

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}+x+1}$

定積分 \( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\) を求める。

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}+3}$ (2) $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2}-2 x+2}$

実数の連続性などを通して微分積分学の厳密化に貢献しました。

次の定積分を求めよ。\n(1) \( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \

例題 36 折れ線の長さの最小値（空間） 座標空間において, 点 \( \mathrm{A}(1,0,2), \mathrm{B}(0,1,1) \) とする。 (1) 点 $\mathrm{P}$ が $x y$ 平面上を動くとき, $\mathrm{AP} + \mathrm{PB}$ の最小値を求めよ。 (2) 点 $\mathrm{Q}$ が $x$ 軸上を動くとき, $\mathrm{AQ} + \mathrm{QB}$ の最小値を求めよ。

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{2}\left|e^{x}-2\right| d x$ (2) $\int_{0}^{\pi}|\sin x \cos x| d x$

第3章 微分法 89 (1) \n y^{(n)}=a^{n-1}(n+a x) e^{a x} を数学的帰納法によって証明する。

中心の座標を (0, b, 0), 半径を r(r>0) とすると球面の 方程式は \n\\[ x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}=r^{2} \\]\n2 点 (2,2,4),(1,1,2) を通ることから \n\\[2^{2}+(2-b)^{2}+4^{2}=r^{2}, 1^{2}+(1-b)^{2}+2^{2}=r^{2} \\]\nこの 2 式から $r^{2}$ を消去すると $\quad b=9$\nこのとき $\quad r^{2}=69$\nよって, 求める球面の方程式は\n\\[ x^{2}+(y-9)^{2}+z^{2}=69 \\]

平均値の定理の証明

関数 \\( f(x) \\) が区間 \[a, b]\ で連続、\\((a, b)\\) で微分可能ならば、平均値の定理を証明しなさい。

次の定積分を求めよ。\n(1) \\( \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) e^{-2 x} d x \\)

定積分を計算する問題を1つ解いてください。

曲線 \( y=\\left(x^{2}+a x+3\\right) e^{x} \\) が変曲点をもつように, 定数 a \ の値の範囲を 定めよ。また，そのときの変曲点は何個できるか。

f(x), g(x) は区間 [a, b] で連続な関数とする。 f(a)>g(a) かつ f(b)<g(b) であるとき, 方程式 f(x)=g(x) は a<x<b の 範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつことを示せ。

曲線の長さ\n曲線 \\( x=f(t), y=g(t)(\\alpha \\leqq t \\leqq \\beta) \\) の長さは\n\\[\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t=\\int_{\\alpha}^{\\beta} \\sqrt{\\left\\{f^{\prime}(t)\\right\\}^{2}+\\left\\{g^{\prime}(t)\\right\\}^{2}} d t\\n\\]\n

三角関数の極限\n点 $\mathrm{O}$ を中とし, 長さ $2 r$ の線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする円の周上を動く点 $\mathrm{P}$ がある。 $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積を $S_{1}$, 扇形 $\mathrm{OPB}$ の面積を $S_{2}$ とするとき，次の問いに答えよ。\n(1) \( \angle \mathrm{PAB}=\theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \) とするとき, $S_{1}$ と $S_{2}$ を求めよ。\n(2) PがBに限りなく近づくとき, $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ の極限値を求めよ。\n[日本女子大]

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{1} \\sqrt{4-x^{2}} d x \\n(2) \ \\int_{0}^{1} \\frac{d x}{\\sqrt{4-x^{2}}} \

次の関数 \( f(x) \) と区間について, 平均値の定理の条件を満たす $c$ の値を求めよ。 (1) \( f(x)=2 x^{2}-3 \quad[a, b] \) (2) \( f(x)=e^{-x} \quad[0,1] \) (3) \( f(x)=\frac{1}{x} \quad[2,4] \) (4) \( f(x)=\sin x \) $[0,2 \pi]$

接線と法線について説明し、曲線 \\(y=f(x)\\) が点 \\(A(a, f(a))\\) を通るときの接線と法線の方程式を求めなさい。

a, b は定数, m, n は 0 以上の整数とし, \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\) とする。\n(1) \\( I(m, 0), I(1,1) \\) の値を求めよ。\n(2) \\( I(m, n) \\) を \\( I(m+1, n-1), m, n \\) で表せ。ただし， n は自然数とする。\n(3) \\( I(5,5) \\) の値を求めよ。

17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \ であるから\n\\\frac{d \\boldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\

次の定積分を求めよ。 (1) \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2-x^{2}}} dx (2) \int_{1}^{e} 5^{\log x} dx (3) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{3+\cos^2 x} dx (4) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx

次の定積分を求めよ。\n(1), (2) 横浜国大\n(3) 立教大\n(1) \\( \\int_{0}^{1} \\frac{x+1}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} d x \\)\n(2) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{2}} x^{2} \\sqrt{1-x^{2}} d x \\n(3) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \\n(3) 129,130,132

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} x d x$ (2) $\int_{-e}^{e} x e^{x^{2}} d x$

EX 空間内に 3 点 \( \mathrm{A}(1,-1,1), \mathrm{B}(-1,2,2), \mathrm{C}(2,-1,-1) \) がある。このとき, ベクトル $59 \vec{r}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の大きさの最小值を求めよ。

次の定積分を求めよ: \n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \

面積の最大・最小 曲線 \( C: y=\sin x\left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right) \) 上に点 \( (a, \sin a)\left(0<a<\frac{\pi}{2}\right) \) をとる。 $0 \leqq x \leqq a$ の範囲で, 2 つの直線 $x=0, y=\sin a$ と曲線 $C$ で囲まれた部分の 面積を $S_{1}$ とする。また， $a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で，2つの直線 $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\sin a$ と曲線 $C$ で囲まれた部分の面積を $S_{2}$ とする。 (1) $S_{1}, S_{2}$ を $a$ の式で表せ。 (2) $a$ が $0<a<\frac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき, $S_{1}+S_{2}$ の最小値を求めよ。 [京都産大]

次の積分を計算せよ。\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx

定積分 \\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\) を計算しなさい。

必要条件と十分条件の違いについて説明しなさい。

次のように定義された関数 \( f(x) \) の実数解の数を求めよ。\n\( f(0)=-\\frac{1}{2}, f\\left(\\frac{1}{3}\\right)=\\frac{1}{2}, f\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{1}{3}, f\\left(\\frac{2}{3}\\right)=\\frac{3}{4}, f\\left(\\frac{3}{4}\\right)=\\frac{4}{5}, f(1)=\\frac{5}{6} \) で, \( f(x) \) が連続のとき, \( f(x)-x=0 \) は $0 \\leqq x \\leqq 1$ に少なくとも何個の実数解 をもつか。

定積分 \( \int_{0}^{3} \frac{x^{3} e^{x}}{\left(x^{2}+4 x+6\right)^{2}} d x \) を求めよ。

次の曲線とx軸の間の面積を求めなさい。 y = x^2 とx = 1 の間の面積。

平均値の定理(1)において, $c$ は $a$ とbの間にあるから $, b-a=h, \frac{c-a}{b-a}=\theta$ とおくと $b=a+h, c=a+\theta h$ となる。よって \( \quad \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\prime}(a+\theta h), a<a+\theta h<a+h \) ゆえに, 平均値の定理(1) は次のようにも表される。\n(3) 平均値の定理 \( (2) \) 関数 \( f(x) \) が区間 $[a, a+h]$ で連続, 区間 \( (a, a+h) \) で微分可能ならば \( f(a+h)=f(a)+h f^{\prime}(a+\theta h), 0<\theta<1 \) を満たす実数 $\theta$ が存在する。

次の式の面積を求めよ:\n曲線の式 y = √(4 - x^2), x軸, y軸\n（ヒント：極値を利用して面積を求める）

次の定積分を求めよ。 (3) \( \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\right) d x \)

断面積を使った立体の体積の求め方。x軸に垂直な平面で切ったときの断面積が、xについての関数S(x)で表されるときの体積Vを求めよ。aからbまでの範囲で考える。

（1）曲線 $C$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

次の定積分を解き, その結果を導出せよ。\n\\int_{0}^{1} f(x) dx

重要例題 79 | 領域における最大・最小 (3)\n実数 $x, y$ が 3 つの不等式 $y \geqq 2 x-5, y \leqq x-1, y \geqq 0$ を満たすとき, \( x^{2}+(y-3)^{2} \) の最大値，最小値を求めよ。\n[東京経大]\n例題 76

区分求積法\n317\nコラム\nこれまでは，三角形や四角形，円といった一部の図形の面積しか求めることができな かったが，積分法によって曲線で囲まれた図形の面積が求められるようになった。\n\nでは，昔の人々は積分法が発見されるまで，どのようにして曲線で囲まれた図形の面積 を求めていたのであろうか。例として, 放物線 y=x^{2} と x 軸および直線 x=1 で囲まれた 部分の面積 S を考えてみよう。\nまず，区間 0 \\leqq x \\leqq 1 を 10 等分する。\nそして, 右の図のように, 各区間の最大値を高さとして長方形 を作る。各長方形の幅は 1/10 であり, 長方形の面積の和は\n\\[\n\\begin{aligned}\n& \\frac{1}{10}\\left(\\frac{1}{10}\\right)^{2}+\\frac{1}{10}\\left(\\frac{2}{10}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{10}\\left(\\frac{10}{10}\\right)^{2} \n= & \\frac{1}{10}\\left\\{\\left(\\frac{1}{10}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{10}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{10}{10}\\right)^{2}\\right\\}=\\frac{385}{1000}=0.385\n\\end{aligned}\n\\]\n\n図からもわかるように, この値は S=\\int_{0}^{1} x^{2} d x=\\frac{1}{3}(=0.333 \\cdots) よりも大きいが, 分割数を 20,30, \\cdots \\cdots と大きくすることで, \\frac{1}{3} に近づくことが予想される。\n実際に, 分割数を n , そのときの長方形の面積の和を S_{n} とす ると，次のようになる。\n\ \\downarrow \ 拡大\n\\begin{tabular}{c|c}\hline n & S_{n} \\\\hline \\hline 500 & 0.334334 \\\\hline 1000 & 0.333834 \\\\hline 5000 & 0.333433 \\\\hline\\end{tabular}\n章\n4.1\n面\n積\nでは，今度は右の図のように各区間の最小値を高さとして長方形を作ってみよう。\n分割数 n に対して, この長方形の面積の和を T_{n} とすると\n\\[\n\\begin{aligned}\nT_{10} & =\\frac{1}{10} \\cdot 0^{2}+\\frac{1}{10}\\left(\\frac{1}{10}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{10}\\left(\\frac{9}{10}\\right)^{2} \n& =\\frac{1}{10}\\left\\{\\left(\\frac{1}{10}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{10}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{9}{10}\\right)^{2}\\right\\}=\\frac{285}{1000}=0.285\n\\end{aligned}\n\\]\n\n当然， S より小さい値をとることがわかるが， n=20,30, \\cdots \\cdots とｎの値を大きくすることで，Sに近づくことが予想できる。 この考え方を区分求積法といい，数学IIで学習する。

次の式の定積分を計算せよ。\n\[ \int_{a}^{b} (ax + b)^n \, dx \]

練習 次の定積分を求めよ。\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)

同様に、最小值を考える。その最小值を求めなさい。

次の曲線や直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。\n(1) $x=y^{2}, x=y+2$\n(2) $y=2 x^{2}, 4 x=y^{2}$

次の定積分を求めよ。\n(1) \( \int_{7}^{7}\left(5 x^{2}-3 x+1\right) d x \)\n(2) $\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x+\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x$\n(3) $\int_{1}^{4} 3 x^{2} d x-\int_{5}^{4} 3 x^{2} d x$

放物線とx軸の間の面積を求めなさい。(1) 基本

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{-1}^{2} 2 x^{2} d x$ (2) \( \int_{1}^{3}(x+1)(3 x-2) d x \)

33 微分 係数 基本 170 極限により微分係数を求める

次の定積分を求めよ。 (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)

TRAINING 197 (1) 次の定積分を求めよ。 (1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)

定積分 \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\) を求めよ。

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{2} x^{2} d x$ (2) \( \int_{2}^{3}(2 x-3) d x \) (3) \( \int_{-1}^{2}\left(x^{2}-x\right) d x \) (4) \( \int_{1}^{2}(x-2)(3 x+2) d x \) (5) \( \int_{-2}^{1} x(2 x+1) d x \) (6) \( \int_{-1}^{3}\left(1-t^{3}\right) d t \)

TR 定積分 \( \int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \) を求めよ。

216 顽樍の最小値（微向利腈） 0<m<1 とする。 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で，曲線 y=x^2 と直線 y=mx で囲まれた 2 つの部分の面積の和を S(m) とする。 （1） S(m) を m で表せ。 （2） S(m) が最小となる m の値と，そのときの S(m) の値を求めよ。

次の定積分を求めよ。 (1) \( \int_{1}^{1}\left(15 x^{2}-4 x\right) d x \) (2) $\int_{1}^{-13} x^{2} d x+\int_{-13}^{2} x^{2} d x$ (3) \( \int_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x\right) d x+\int_{3}^{2}\left(2 x-x^{2}\right) d x \)

曲線 y=f(x) と x 軸の間の面積 S を求めなさい。 区間 a \leqq x \leqq b で常に f(x) が以下の状態にあるとする。 1. f(x) \geqq 0 のとき 2. f(x) \leqq 0 のとき

定積分の性質を用いて次の定積分の結果を求めなさい。 1. \( \int_{a}^{b} (3 f(x) - 2 g(x)) dx \) 2. \( \int_{b}^{a} h(x) dx \) 3. \( \int_{a}^{a} k(x) dx \)

次の定積分を求めよ。 (1) \( \int_{3}^{-1}\left(x^{2}-2 x\right) d x + \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-2 x\right) d x \) (2) \( \int_{-1}^{0}(x-1)^{2} d x - \int_{4}^{0}(x-1)^{2} d x \)

定積分の性質をマスターして, 例題 198 を攻略！

定積分と微分法 $a$ は定数とする。関数 \( f(t) \) に対して \( F^{\prime}(t)=f(t) \) のとき, \[ \begin{array}{c} \longrightarrow \text { 上端がbではなく } x \\ \int_{a}^{\underline{x}} f(t) d t=F(x)-F(a) \\ \longrightarrow f(x) \text { ではなく } \end{array} \] から, \( \int_{a}^{x} f(t) d t \) は $x$ の関数である。 この関数の導関数は次のようになる。 \[ \left.\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} \frac{f(t)}{L} d t=\frac{f(x)}{\hat{A}} \quad （ a \text { は定数 }\right) \] $\leftarrow \frac{d}{d x}$ は「変数 $x$ で微分 する」ということを表 す記号である。 9 9章 $\square$ \( \Leftarrow F(a) \) は定数である。

基本例題がよくわからないとき、どのような方法を取るべきですか？

問 3 下線部cについて, 藤原良相の邸宅跡での発見が, なぜ「かつての理解の修正」を裏付け ることになるのですか。60字以内で答えなさい。

ロルの定理に関する問題を解いてください。

次の不定積分を求めよ: ∫ 1/x dx

次の定積分を求めよ。(4)では \ a, b \ は定数とする。 (1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \

陰関数で表された曲線の面積を求めなさい (1)。

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \\n(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \（a>0）

陰関数で表された曲線の面積を求めなさい (2)。

マクローリンの定理を説明してください。

用語の説明や, 定理・公式の証明なども示してあり, 教科書に扱いのないような事柄でも無理なく理解できるようになっています。