関数と解析 - 数列と級数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

図形の個数と組合せ。 基本 17 図形の個数と組合せ。

次の数列の和を求めよ。 \[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\]

ある数列が等差数列であるための条件を示せ。

（2）（1）で推測した一般項の式が正しいことを，数学的帰納法によって証明せよ。

数列の和を求める:\n\\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\)

数列の和を求める:\n\\(\\sum_{k=1}^n(2k-5)\\)

EX 数列 \frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}+3}, ... の初項から第 n 項までの和を求めよ。 第 k 項は\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} =\frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1})} =-\frac{1}{2}(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1})=\frac{1}{2}(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})\nゆえに，初項から第 n 項までの和は\frac{1}{2}\{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+...+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})\} =\frac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-1) HINT まず, 第 k 項を k で表して, 分母を有理化する。々途中の \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, ... が消える。

続きの数列の一般項を求めなさい: $c_{n+1}=-2c_{n}-18$

次の条件によって定義される数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の第 5 項を求めよ。 (1) $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}-1$ (2) $a_{1}=0, \quad a_{n+1}=-3 a_{n}+2 n$

次の和を求めよ。ただし，(2)では $n \geqq 2$ とする。\n(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}$\n(2) \( \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{(k+1)(k+3)} \)

数列 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ が収束する無限級数で、$\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$ とするとき、無限級数 \( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right) \) の収束とその和を示せ。ここで、$k, l$ は定数とする。

(3) \( f(x)=x \) のただ 1 つの実数解を $\alpha$ とすると \( \quad \alpha=f(\alpha) \) [1] $a_{1}=\alpha$ のとき \( a_{k}=\alpha(k \geqq 1) \) と仮定すると \( a_{k+1}=f\left(a_{k}\right)=f(\alpha)=\alpha \) よって, すべての自然数 $n$ について \quad a_{n}=\alpha よって \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha [2] \( a_{1} \neq \alpha のとき \( f(x) \) は微分可能であるから, 平均値の定理により \[ \left|a_{n+1}-\alpha\right|=\left|f\left(a_{n}\right)-f(\alpha)\right|=\left|f^{\prime}(c)\right|\left|a_{n}-\alpha\right| \] （ c は $a_{n}$ と $\alpha$ の間の数）を満たす $c$ が存在する。 (1)により \( f^{\prime}(x) \leqq \frac{1}{4} \) であるから \( \quad\left|a_{n+1}-\alpha\right| \leqq \frac{1}{4}\left|a_{n}-\alpha\right| \] \[ \begin{aligned} \text { よって } \quad 0 & \leqq\left|a_{n}-\alpha\right| \leqq \frac{1}{4}\left|a_{n-1}-\alpha\right| \leqq\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left|a_{n-2}-\alpha\right| \\ & \leqq \cdots \cdots \leqq\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left|a_{1}-\alpha\right| \\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=0 & \text { であるから \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}-\alpha\right|=0 \\ \text { したがって } & \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha \end{aligned} \]

無限等比級数の収束，発散を調べ，収束すればその和を求めよ。\n(ア) \ \\frac{4}{27}-\\frac{2}{9}+\\frac{1}{3}-\\cdots \\cdots \ \n\n\n

無限等比級数の収束条件を示せ。

無限等比数列の収束と発散について説明し、証明せよ。初項 $a$, 公比 $r$ の無限等比数列 $\left\{a r^{n-1}\right\}$ から作られる無限級数\n\\n\\sum_{n=1}^{\\infty} a r^{n-1}=a+a r+a r^{2}+\\cdots \\cdots+a r^{n-1}+\\cdots \\cdots\n\\nが収束する条件及びその和を求め、また発散する条件を示せ。

無限級数 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\) の和を求めよ。\n

無限等比級数の収束，発散を調べ，収束すればその和を求めよ。\n(1) \ 12+6 \\sqrt{2}+6+\\cdots \\cdots \\n

1 無限級数の収束と発散 無限数列 a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots \cdots, a_{n}, \cdots \cdots\] において, 各項を前から順に+の記号で結んで得られる式 \[a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \cdots+a_{n}+\cdots \cdots を無限級数といい, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ と書き表す。 $a_{1}$ を初項, $a_{n}$ を第 $n$ 項という。また $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \cdots+a_{n}$ を第 $n$ 項までの部分和という。部分和の作る無限数列 $\left\{S_{n}\right\}$ が収束して, $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ のとき, 無限級数 (A) は $S$ に収束す るという。この無限数列 $\left\{S_{n}\right\}$ の極限値 $S$ を無限級数(A)の和という。この和 $S$ も $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ と書き表す。数列 $\left\{S_{n}\right\}$ が発散するとき, 無限級数 Ⓐ は発散するという。

練習23\n(1) 与えられた無限級数は, 初項 x-4, 公比 \ \\frac{x}{2 x-4} \ の無限等比級数である。\n収束するための条件は\n\ x-4=0 \\quad \ または \ \\left|\\frac{x}{2 x-4}\\right|<1 \

無限級数 \( x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\cdots \cdots \) について\n（1）この無限級数が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。\n(2) $x$ が (1) の範囲にあるとき, この無限級数の和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。

無限級数 Σ(1 / n) が発散することを証明せよ。

総合演習 n \geqq 2 のとき, (1) の n に n-1 を代入して $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n}}+p$ (1)-(2) から $\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}$ よって $a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}$ ゆえに, n \geqq 2 のとき, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ は $a_{2}=\frac{1}{1-p}$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。 したがって, n \geqq 2 のとき \(\quad a_{n}=\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\) (2) $N$ が 2 以上の自然数のとき, $S_{N}=\sum_{n=1}^{N} n a_{n}$ とおくと \[\begin{array}{l} S_{N}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots \cdots+N a_{N}\ =1+\frac{1}{1-p}\left\{2+3 \cdot \frac{1}{2}+\cdots \cdots+N\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}\right\}\ T=2+3 \cdot \frac{1}{2}+\cdots \cdots+N\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2} \text { とおくと } \ \frac{1}{2} T=2 \cdot \frac{1}{2}+3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots \cdots+(N-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}+N\left(\frac{1}{2}\right)^{N-1} \ \text { よって } \end{array}\] ゆえに \(\quad T=6-(N+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}\) したがって \(\quad S_{N}=1+\frac{1}{1-p}\left\{6-\frac{4(N+2)}{2^{N}}\right\}\) ここで, $N$ が十分大きいとき, 二項定理から \[\begin{array}{c}\ 2^{N}=(1+1)^{N}>{ }_{N} \mathrm{C}_{2}=\frac{1}{2} N(N-1)\ \text { よって } \quad 0<\frac{4(N+2)}{2^{N}}<\frac{8(N+2)}{N(N-1)} \ \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8(N+2)}{N(N-1)}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8\left(1+\frac{2}{N}\right)}{N\left(1-\frac{1}{N}\right)}=0 \text { であるから } \ \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{4(N+2)}{2^{N}}=0 \end{array}\] \(\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8(N+2)}{N(N-1)}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8\left(1+\frac{2}{N}\right)}{N\left(1-\frac{1}{N}\right)}=0\) であるから よって $\lim _{N \rightarrow \infty} S_{N}=1+\frac{6}{1-p}$ ゆえに $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}=1+\frac{6}{1-p}$ これが 20 に等しいから $\quad 1+\frac{6}{1-p}=20$ ゆえに $\quad p=\frac{13}{19}$ （これは $0<p<1$ を満たす）

無限等比数列 {r^n} の極限について調べなさい。

例題 126 定積分と和の極限 (2) 次の極限値を求めよ。 (1) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{3 n-1} \frac{1}{2 n+k}$ (2) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{n k}}$ 指鉜まず, $\frac{1}{n}$ をくくり出して, \( \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{m} f\left(\frac{k}{n}\right) \) の形になるように \( f(x) \) を決める。積分区間は, \( y=f(x) \) のグラフをかき, \( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{m} f\left(\frac{k}{n}\right) \) がどのような長方形の面積の和として表される か、ということを考えて定めるとよい。

例 11 | 無限級数の収束, 発散 次の無限級数の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ。 (1) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)} \) (2) $\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\cdots \cdots$

次の無限級数の収束・発散について調べ，収束すればその和を求めよ。\n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]

次の数列の収束，発散を調べよ。(ア) $\left\{-n^{3}+1\right\}$(イ) $\left\{-\frac{1}{n^{3}}+2\right\}$(ウ) $\left\{\frac{3}{n+2}\right\}$(エ) \( \left\{\frac{(-2)^{n}}{3}-1\right\} \)

2 無限級数の収束・発散と項の極限 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_{n}$ とするとき, $n \geqq 2$ ならば $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ この無限級数が収束するとき，その和を $S$ とすると \[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}-\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1}=S-S=0\] よって, 次の (1)が成り立ち, その対偶として ②導かれるが, 逆は成り立たない。すなわち, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ であっても, 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ が収束するとは限らない。 例 $\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\cdots \cdots \quad$ (p. 314 例 11 (2)) すなわち, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$ において, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=0$ であるが, この無限級数 は発散する。 (1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ が収束する $\Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ (2) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ が 0 に収束しない $\Longrightarrow$ 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ は発散する

次の積分不等式を証明せよ。\n(1) 関数 \( y=\frac{1}{x^{3}}(x>0) \) は単調に減少するから\n\[\n0<k<x<k+1 のとき \frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{x^{3}}\n\]\nよって \( \frac{1}{(k+1)^{3}}<\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x^{3}} d x \)\nゆえに \( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^{3}}<\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x^{3}} d x=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{3}} d x \)\n\[\n=\left[-\frac{1}{2 x^{2}}\right]_{1}^{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n^{2}})\n\]\nこの両辺に 1 を加えて\n\[\n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{3}}<\frac{1}{2}(3-\frac{1}{n^{2}})\n\](2) 関数 $y=\log x$ は単調に増加するから\n\[\n0<k \leqq x \leqq k+1 のとき \log k \leqq \log x \leqq \log (k+1)\n\]\nよって \( \int_{k}^{k+1} \log k d x \leqq \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \int_{k}^{k+1} \log (k+1) d x \)\nゆえに \( \log k \leqq \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \log (k+1) \)\n\( \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \int_{k}^{k+1} \log (k+1) d x \) から\n\[\n\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log (k+1) d x\n\]\nよって \( \int_{1}^{n} \log x d x \leqq \log (n!) \)\nまた $\int_{1}^{n} \log x d x=[x \log x-x]_{1}^{n}=n \log n-n+1$\nゆえに \( n \log n-n+1 \leqq \log (n!) \)\n$\log k \leqq \int_{k}^{k+1} \log x d x$ から\n$\sum_{k=1}^{n-1} \log k \leqq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log x d x$\nよって \(\log \{(n-1)!\} \leqq \int_{1}^{n} \log x d x=n \log n-n+1 \)\nこの両辺に $\log n$ を加えて\n\[\n\log (n!) \leqq(n+1) \log n-n+1\n\]\n\n

演習 14 |II| → 本冊 p .343 （1）数列 {xn} が収束すると仮定して，その極限値を α とすると lim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α よって, xn+1 = √(a + xn) において n → ∞ とすると α = √(a + α) この両辺を平方して整理すると α² - α - a = 0 α > 0 であるから α = (1 + √(1 + 4a)) / 2

無限級数 \( \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos \frac{n \pi}{6} \) の和を求めよ。 [京都大]

長本 22 等式の証明

無限級数の和と定積分 ……はさみうちの原理の利用\n367\n演 쾿 例題 236\n重要 232\n\( a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots \cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}, \quad \alpha=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x \) とする。\n$\left|a_{n}-\alpha\right| \leqq \int_{0}^{1} x^{n} d x$ であることを示し, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ を求めよ。\n〔類 愛知工大〕

無限等比数列の極限を説明し、どのような条件で収束するかを示してください。

数列 \( b_{n}=(-1)^{n-1} \log _{2} \frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) で定められる数列 $\left\{b_{n}\right\}$ に対して, $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots \cdots+b_{n}$ とする。このとき, $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ を求めよ。

無限級数

漸化式と極限 (4) 連立形 P1(1, 1), x_{n+1}=\frac{1}{4} x_{n}+\frac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\frac{3}{4} x_{n}+\frac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...) を満たす平面上の点列 Pn(x_{n}, y_{n}) がある。点列 P1, P2, ... はある定点に限りなく近づくことを証明せよ。〔類 信州大〕

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ が収束する無限級数で, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S, \quad \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}=T$ とするとき，無限級数 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right) \) は収束して \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right)=k S+l T \quad(k, l \text { は定数 }) \) となることを証明せよ。

定積分 $\\int_{0}^{1} x^{2} d x$ を求める。まず、区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、青い影をつけた各長方形の面積を \( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2}(k=0,1, \\cdots \\cdots, n-1) として、その和は\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)\\

練習 次の条件によって定められる数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ の極限値を求めよ。\n(296\n\a_{1}=1, \\quad a_{2}=3, \\quad 4 a_{n+2}=5 a_{n+1}-a_{n}\n\$4 a_{n+2}=5 a_{n+1}-a_{n}$ を変形すると\n\\[a_{n+2}-a_{n+1}=\\frac{1}{4}\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right) \\quad \text { また } \\quad a_{2}-a_{1}=2\n\\]

(2) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}$

練習 次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n} \right\}$ の極限値を求めよ。 $a_{1}=1, \quad a_{2}=3, \quad 4 a_{n+2}=5 a_{n+1}-a_{n}$

無限等比数列 $\left\{r^{n}\right\}$ の極限

次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。\n110\n(1) \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left\\{2\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^{n-1}+3\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\} \\)\n(2) \\( (1-2)+\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{2^{2}}-\\\frac{2}{3^{2}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(p.179 EX94)

無限級数 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ の収束, 発散を調べて, 収束する場合にはその和を求めよ。ただし，\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) を用いてよい。〔類 芝浦工大〕

次の 2 曲線で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。 (1) y=x^{2}-2, y=2x^{2}-3 (2) y=√3 x^{2}, y=√(4-x^{2})

無限級数 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \cdots+\frac{1}{n}+\cdots \cdots$ は発散することを証明せよ。

（2）無限級数 \ 1-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}-\\frac{1}{7}+\\cdots \\cdots \ の和を求めよ。

無限級数 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \sin \frac{n \pi}{2} \) の和を求めよ。

次の無限級数が収束するとき, その和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。\n(2) \( \left(x^{2}+x\right)+\frac{x^{2}+x}{x^{2}+x+1}+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{n-1}}+\cdots \cdots \)

練習 次の無限級数の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ。\n(2) 110\n(1) \( \sum_{n=1}^{\infty}\left\{2\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\} \)\n(2) \( (1-2)+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{2}{3^{2}}\right)+\cdots \cdots \)

ある1面だけに印のついた立方体が水平な平面に置かれている。立方体の底面の4辺のうち1辺を等しい確率で選んで、この辺を軸にしてこの立方体を横に倒す操作をn回続けて行ったとき、印のついた面が立方体の上面にくる確率をaₙ、底面にくる確率をbₙとする。ただし、最初印のついた面は上面にあるとする。(1) a₂を求めよ。(2) aₙ₊₁をaₙで表せ。(3) limₙ→∞ aₙを求めよ。

（）(2)の結果を用いて, 無限級数の和 Σ_(n=1)^∞ n/2^n を求めよ。ただし， lim (n→∞)(n/2^n)=0 であることを用い てよい。〔類 東北学院大〕

無限級数 \( x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\cdots \cdots \) について（1）この無限級数が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。(2) $x$ が(1)の範囲にあるとき, この無限級数の和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n} \right\}$ の極限値を求めよ。 \[a_{1}=0, \quad a_{2}=1, \quad a_{n+2}=\frac{1}{4}\left( a_{n+1}+3 a_{n} \right)\]

無限級数 \(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\) の和を求めよ。

第3章\n微分法—— 105\nn ≥ 2 のとき\n\\[\\begin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nこれは, n=1 のときも成り立つ。\n\\[\\text { よって } \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\n3章\nEX

次の無限級数の和を求めよ。\n(1) \(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \

(2) 数列 $\{a_{n}\}$ が 0 に収束しない $\Longrightarrow$ 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ は発散する

無限級数 ∑(1/n) が発散することを証明しなさい。

次の数列の極限を調べよ。\n(1) \ 1,4,16,64, \cdots \cdots \\n(2) \ \\frac{1}{2}, \\frac{1}{4}, \\frac{1}{8}, \\frac{1}{16}, \cdots \cdots \\n(3) \ -\\frac{1}{5}, \\frac{1}{25},-\\frac{1}{125}, \\frac{1}{625}, \cdots \

無限等比数列の収束条件を求める。

次の無限級数の和を求めよ。 (1) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}$ (2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5^n} \cos n \pi$ (3) 数列 $\left\{\frac{1}{7^n} \sin \frac{n \pi}{2}\right\}$ の和を求めよ。

次の無限級数は発散することを示せ。 (1) 1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\cdots \cdots \ (2) $\sin \frac{\pi}{2}+\sin \frac{3}{2} \pi+\sin \frac{5}{2} \pi+\cdots \cdots$

83\n 例題 45 級数で表された関数のグラフと連続性\n$x$ は実数とする。無限級数\n\[ x^{2}+x+\frac{x^{2}+x}{x^{2}+x+1}+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{n-1}}+\cdots \cdots \]\nについて，次の問いに答えよ。\n（1）この無限級数が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。\n(2) $x$ が (1) の範囲にあるとき, この無限級数の和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。

無限級数 $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{3}}+\cdots \cdots$ の和を求めよ。

（1）無限級数が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。

次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。\n(1) \\( \\frac{1}{3 \\cdot 5}+\\frac{1}{5 \\cdot 7}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\sqrt{1}+\\sqrt{4}}+\\frac{1}{\\sqrt{4}+\\sqrt{7}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{\\sqrt{3 n-2}+\\sqrt{3 n+1}}+\\cdots \\cdots \

次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n(1) \ a_{1}=1, a_{n+1}=-\\frac{4}{5} a_{n}-\\frac{18}{5} \\n(2) \ a_{1}=1, a_{n+1}=\\frac{3}{2} a_{n}+\\frac{1}{2} \

次の数列の極限を調べよ。\n(1) \ 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}, \cdots \cdots \\n(2) \ 2,2 \\cdot 2^{3}, 2 \\cdot 3^{3}, 2 \\cdot 4^{3}, \cdots \cdots \\n(3) \ 1+2, \\frac{1}{2}+\\frac{2}{2^{3}}, \\frac{1}{3}+\\frac{2}{3^{3}} \,\n(4) \ 1,-2,3,-4,5 \, \ \\qquad \\n(5) \ -1, \\frac{1}{\\sqrt{2}},-\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{4}} \,

次の無限級数は発散することを示せ。 (1) $\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{7}{4}+\frac{10}{5}+\cdots \cdots$ (2) $\cos \pi+\cos 2 \pi+\cos 3 \pi+\cdots \cdots$

次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n\\[\na_{1}=0, \\quad a_{2}=1, \\quad a_{n+2}=\\frac{1}{4}\\left(a_{n+1}+3 a_{n}\\right) \\quad(n=1,2,3, \\cdots \\cdots)\n\\]

次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n\\[ \na_{1}=1, \\quad a_{2}=3, \\quad 4 a_{n+2}=5 a_{n+1}-a_{n} \\quad(n=1,2,3, \\cdots \\cdots)\n\\]

３0･次の無限級数の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ。\n(1) \\( \left(\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}\right)+\left(\\frac{2}{3}-\\frac{3}{4}\right)+\left(\\frac{3}{4}-\\frac{4}{5}\right)+... \\)\n(2) \ \\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}+\\frac{2}{3}-\\frac{3}{4}+\\frac{3}{4}-\\frac{4}{5}+... \\n(3) \ 2-\\frac{3}{2}+\\frac{3}{2}-\\frac{4}{3}+\\frac{4}{3}-...-\frac{n+1}{n}+\\frac{n+1}{n}-\\frac{n+2}{n+1}+... \

26 ･次の無限級数の和を求めよ。\n[(3) 近畿大]\n(1) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} \\n(2) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} \cos n \pi \\n(3) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{7^{n}} \sin \frac{n \pi}{2} \

次の曲線の長さ $L$ を求めよ。(1) \left\\{\\begin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right. \n(2) \( y=\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{1}{4 x} \\quad(1 \\leqq x \\leqq 3) \)

次の無限等比級数の収束，発散を調べ，収束すればその和を求めよ。 (ア) $\frac{4}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-\cdots \cdots$ (1) $12+6 \sqrt{2}+6+\cdots \cdots$

PR 次の数列が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。また、その時の極限値を求めよ。 (1) (ア) \( \left\{(5-2 x)^{n}\right\} \) (イ) \( \left\{\left(x^{2}+x-1\right)^{n}\right\} \) (2) \( \left\{x\left(x^{2}-2 x\right)^{n-1}\right\} \)

無限等比級数\n無限等比級数 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a r^{n-1}=a+a r+a r^{2}+\\cdots \\cdots+a r^{n-1}+\\cdots \\cdots \ の収束, 発散は, 次のようになる。 [1] \ a \\neq 0 \ のとき \ |r|<1 \ ならば 収束し, その和は \ \\frac{a}{1-r} \ すなわち \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a r^{n-1}=\\frac{a}{1-r} \ \ |r| \\geqq 1 \ ならば 発散する。 [2] \ a=0 \ のとき 収束し， その和は 0

無限級数 ∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6) の和を求めよ。

無限等比級数 $a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\cdots \cdots+a r^{n-1}+\cdots \cdots$ の部分和を用いて、その収束条件と和を求めよ。

次の無限級数の収束・発散について調べ，収束すればその和を求めよ。\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]

(1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ が収束する $\Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

EX 次の無限級数の和を求めよ。\n(1) \\\( \\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{\\log_{10}(1+\\frac{1}{n})}{\\log_{10}n \\log_{10}(n+1)} \\\)

次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\

数学の学習において、問題解法の能力を養うために大事なことは何ですか？基本知識を覚えること以外に何が必要ですか？

上記の結果から数列 p_n を求めよ。

数列の第 $k$ 項 $a_{k}$ が \( a_{k}=f(k+1)-f(k) \) の形にあるとき、次の等式(*)を用いて $\\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ の公式を求め、その考え方を説明しなさい。\n\n\[\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k} = f(n+1)-f(1) \quad \cdots \cdots(*)\n\]\n\n例として、三乗の和 $\\sum_{k=1}^{n} k^{3}$ を求めてみてください。

注靑 (2), (4)のみを導いて, 数列 $\left\{p_{n}\right\}$ の階差数列の一般項が \( \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \) であることから，一般項 $p_{n}$ を求める，あるいは (1), (3) のみを導いて, 隣接 2 項間の漸化式 (3) を解く, と いった方法でもよい。

練習 次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。 (1) $a_{1}=1, \quad a_{n+1}=3 a_{n}+2^{n-1}$ (2) $a_{1}=-30,9 a_{n+1}=a_{n}+\frac{4}{3^{n}}$

連立漸化式を解く方法を説明してください。

等差数列 {a_{n}} の初項 a 公差 d 項数 n のときこの数列の和 S_{n} を求めよ。

㨀㷐 (1) 数列 \( \left\\{a_{n}\right\\} の初項から第 \n = 15(イ) $S_{n}=3 n^{2}+4 n+2$ で表されるとき, 一般項 \(a_{n}\\} をそれぞれ求めよ。\n(2) (1)の（T）の数列 \left\\{a_{n}\right\\} につて, 和 \( a_{1}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}+a_{5}{ }^{2}+\cdots \cdots+a_{2 n-1}{ }^{2} を求めよ。

よって, 数列 {a_{n}+20} は初項 2 , 公比 5/4 の等比数列である。 したがって a_{n}+20=2(5/4)^{n-1} ゆえに a_{n}=2(5/4)^{n-1}-20 参考 (1), (2) は特性方程式を利用して, 等比数列の形に変形したが,階差数列の利用を考えてもよい。

鎌習 次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。 38 $a_{1}=1, \quad a_{2}=5, \quad a_{n+2}+8 a_{n+1}+16 a_{n}=0$

数列の一般項を求めて和の公式利用

例題番号 実践 2 漸化式

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられた場合、一般項を求める公式を示してください。

次の式を，を用いないで，各項を並べた和の形で表せ。 (ア) \( \sum_{k=1}^{7}(4 k-2) \) (イ) $\sum_{i=1}^{n-1} 7^{i} \quad($ ただし \( n \geqq 2) \)

一般項を求める方法

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の一般項を求めよ。$a_{1}=3, a_{n+1}=a_{n}+4^{n}$

漸化式から一般項を求める方法

例題番号 実践 1 等差数列, 等比数列

数列と一般項を説明し、例をもとに一般項を求めなさい。

次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。\n\[ 1 \cdot n, 2(n-1), 3(n-2), \cdots \cdots \]

数列の和 (Σ) の計算

基本 1: 一般項からある項を求める

もっと古い過去問を探す方法を教えてください。

次の条件によって定められる数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の極限値を求めよ。\na_{1}=0, \quad a_{2}=1, \quad a_{n+2}=\frac{1}{4}\left(a_{n+1}+3 a_{n}\right)\

次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n(1) \ a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{1}{2} a_{n}+1 \\n(2) \ a_{1}=5, a_{n+1}=2 a_{n}-4 \

面積に関する無限級数を求めなさい。

次の無限級数の和を求めよ。\n(1) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ が初項 2, 公比 2 の等比数列であるとき \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ （類 愛知工大]\n（2） \ \\pi \ を円周率とするとき \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\cdots \\nただし, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) を用いてもよい。\n[類 慶応大] \ \\rightarrow 33,35 \

次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n(1) \ a_{1}=2, a_{n+1}=3 a_{n}+2 \\n(2) \ a_{1}=1,2 a_{n+1}=6-a_{n} \

（2）数列の和 \( S_{n}=\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1} \) を求めよ。

2. 信用創造の原理 銀行は預金という形でお金を預かり, その一部の金額を預金者への払い戻し等のための 準備金として手元に置き，残りのお金を企業への貸し出しに用いる。このプロセスを信用創造という。 例えば，元金を 100 万円，準備金の割合を 10% とした場合の, 信用創造により生まれる金額を計算してみよう。 (預金総額) = 100 + 100×(1-0.1) + 100×(1-0.1)^2 + …… これは無限等比級数です。無限等比級数の和を求めなさい。

次の無限級数について検討せよ。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \cdots$ は、正の無限大に発散。 ・$p>1$のとき収束、$p \leqq 1$のとき発散 ・$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < 2$ (2) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 \) (3) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} = \frac{\pi}{4} \) (4) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$

次の無限級数は発散することを示せ。\n(1) \ \\frac{1}{2}+\\frac{5}{3}+\\frac{9}{4}+\\frac{13}{5}+\\cdots \\cdots \\n(2) \ \\cos \\pi+\\cos 2 \\pi+\\cos 3 \\pi+\\cdots \\cdots \

練畾 上の例題の結果を用いて, 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ は発散することを示せ。

無限級数の性質 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ が収束する無限級数で, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}=T$ とすると き，無限級数 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right) \) は収束して\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right)=k S+l T\)$(k, l$ は定数 \( ) \)

無限級数の和に関する問題を解いてください。

数列 $\left\{\frac{1}{n^{k}}\right\}$ が (k>0) のときの収束性を確認してください。

(39) 無限等比級数の応用 (3)\n無限等比級数の総和を求めよ。\n例: Σ（r^n） (n=0 to ∞, |r|<1)\nこの無限等比級数が収束する場合、その総和を求めなさい。

練習 次の無限級数は発散することを示せ。\n(1) \ 1-2+3-4+5-\\cdots \\cdots \\n(2) \ 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots \\n(3) \ \\sin ^{2} \\frac{\\pi}{2} + \\sin ^{2} \\pi + \\sin ^{2} \\frac{3}{2} \\pi + \\sin ^{2} 2 \\pi + \\cdots \\cdots \