AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
解析 - 数列と級数
Q.07
EX 数列 \frac{1}{1+\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}+3}, ... の初項から第 n 項までの和を求めよ。
第 k 項は\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} =\frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1})} =-\frac{1}{2}(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1})=\frac{1}{2}(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})\nゆえに,初項から第 n 項までの和は\frac{1}{2}\{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+...+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})\} =\frac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-1)
HINT まず, 第 k 項を k で表して, 分母を有理化する。々途中の \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, ... が消える。
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次の和を求めよ。ただし,(2)では とする。\n(1) \n(2) \( \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{(k+1)(k+3)} \)
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数列 が収束する無限級数で、 とするとき、無限級数 \( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right) \) の収束とその和を示せ。ここで、 は定数とする。
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(3) \( f(x)=x \) のただ 1 つの実数解を とすると \( \quad \alpha=f(\alpha) \) [1] のとき \( a_{k}=\alpha(k \geqq 1) \) と仮定すると \( a_{k+1}=f\left(a_{k}\right)=f(\alpha)=\alpha \) よって, すべての自然数 について \quad a_{n}=\alpha よって \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha [2] \( a_{1} \neq \alpha のとき \( f(x) \) は微分可能であるから, 平均値の定理により \[ \left|a_{n+1}-\alpha\right|=\left|f\left(a_{n}\right)-f(\alpha)\right|=\left|f^{\prime}(c)\right|\left|a_{n}-\alpha\right| \] ( c は と の間の数)を満たす が存在する。 (1)により \( f^{\prime}(x) \leqq \frac{1}{4} \) であるから \( \quad\left|a_{n+1}-\alpha\right| \leqq \frac{1}{4}\left|a_{n}-\alpha\right| \] \[ \begin{aligned} \text { よって } \quad 0 & \leqq\left|a_{n}-\alpha\right| \leqq \frac{1}{4}\left|a_{n-1}-\alpha\right| \leqq\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left|a_{n-2}-\alpha\right| \\ & \leqq \cdots \cdots \leqq\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left|a_{1}-\alpha\right| \\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=0 & \text { であるから \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}-\alpha\right|=0 \\ \text { したがって } & \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha \end{aligned} \]
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無限等比級数の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。\n(ア) \ \\frac{4}{27}-\\frac{2}{9}+\\frac{1}{3}-\\cdots \\cdots \ \n\n\n
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無限等比数列の収束と発散について説明し、証明せよ。初項 , 公比 の無限等比数列 から作られる無限級数\n\\n\\sum_{n=1}^{\\infty} a r^{n-1}=a+a r+a r^{2}+\\cdots \\cdots+a r^{n-1}+\\cdots \\cdots\n\\nが収束する条件及びその和を求め、また発散する条件を示せ。
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無限級数 \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\) の和を求めよ。\n
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無限等比級数の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。\n(1) \ 12+6 \\sqrt{2}+6+\\cdots \\cdots \\n
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1 無限級数の収束と発散
無限数列
a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots \cdots, a_{n}, \cdots \cdots\]
において, 各項を前から順に+の記号で結んで得られる式
\[a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \cdots+a_{n}+\cdots \cdots
を無限級数といい, と書き表す。
を初項, を第 項という。また
を第 項までの部分和という。部分和の作る無限数列 が収束して, のとき, 無限級数 (A) は に収束す るという。この無限数列 の極限値 を無限級数(A)の和という。この和 も と書き表す。数列 が発散するとき, 無限級数 Ⓐ は発散するという。
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練習23\n(1) 与えられた無限級数は, 初項 x-4, 公比 \ \\frac{x}{2 x-4} \ の無限等比級数である。\n収束するための条件は\n\ x-4=0 \\quad \ または \ \\left|\\frac{x}{2 x-4}\\right|<1 \
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無限級数 \( x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\cdots \cdots \) について\n(1)この無限級数が収束するような の値の範囲を求めよ。\n(2) が (1) の範囲にあるとき, この無限級数の和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。
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総合演習
n \geqq 2 のとき, (1) の n に n-1 を代入して
(1)-(2) から よって
ゆえに, n \geqq 2 のとき, 数列 は , 公比 の等比数列である。
したがって, n \geqq 2 のとき \(\quad a_{n}=\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\)
(2) が 2 以上の自然数のとき, とおくと
\[\begin{array}{l}
S_{N}=a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots \cdots+N a_{N}\ =1+\frac{1}{1-p}\left\{2+3 \cdot \frac{1}{2}+\cdots \cdots+N\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}\right\}\ T=2+3 \cdot \frac{1}{2}+\cdots \cdots+N\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2} \text { とおくと } \ \frac{1}{2} T=2 \cdot \frac{1}{2}+3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots \cdots+(N-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}+N\left(\frac{1}{2}\right)^{N-1} \ \text { よって }
\end{array}\]
ゆえに \(\quad T=6-(N+2)\left(\frac{1}{2}\right)^{N-2}\)
したがって \(\quad S_{N}=1+\frac{1}{1-p}\left\{6-\frac{4(N+2)}{2^{N}}\right\}\)
ここで, が十分大きいとき, 二項定理から
\[\begin{array}{c}\ 2^{N}=(1+1)^{N}>{ }_{N} \mathrm{C}_{2}=\frac{1}{2} N(N-1)\ \text { よって } \quad 0<\frac{4(N+2)}{2^{N}}<\frac{8(N+2)}{N(N-1)} \ \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8(N+2)}{N(N-1)}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8\left(1+\frac{2}{N}\right)}{N\left(1-\frac{1}{N}\right)}=0 \text { であるから } \ \lim _{N \rightarrow \infty} \frac{4(N+2)}{2^{N}}=0
\end{array}\]
\(\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8(N+2)}{N(N-1)}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{8\left(1+\frac{2}{N}\right)}{N\left(1-\frac{1}{N}\right)}=0\) であるから
よって ゆえに
これが 20 に等しいから
ゆえに (これは を満たす)
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例題 126 定積分と和の極限 (2)
次の極限値を求めよ。
(1)
(2)
指鉜まず, をくくり出して, \( \frac{1}{n} \sum_{k=l}^{m} f\left(\frac{k}{n}\right) \) の形になるように \( f(x) \) を決める。積分区間は, \( y=f(x) \) のグラフをかき, \( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{m} f\left(\frac{k}{n}\right) \) がどのような長方形の面積の和として表される か、ということを考えて定めるとよい。
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例 11 | 無限級数の収束, 発散
次の無限級数の収束,発散について調べ,収束すればその和を求めよ。
(1) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)} \)
(2)
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次の無限級数の収束・発散について調べ,収束すればその和を求めよ。\n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]
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次の数列の収束,発散を調べよ。(ア) (イ) (ウ) (エ) \( \left\{\frac{(-2)^{n}}{3}-1\right\} \)
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2 無限級数の収束・発散と項の極限
無限級数 の第 項までの部分和を とするとき, ならば
この無限級数が収束するとき,その和を とすると
\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}-\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1}=S-S=0\]
よって, 次の (1)が成り立ち, その対偶として ②導かれるが, 逆は成り立たない。すなわち, であっても, 無限級数 が収束するとは限らない。
例 (p. 314 例 11 (2))
すなわち, において, であるが, この無限級数 は発散する。
(1) 無限級数 が収束する
(2) 数列 が 0 に収束しない 無限級数 は発散する
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次の積分不等式を証明せよ。\n(1) 関数 \( y=\frac{1}{x^{3}}(x>0) \) は単調に減少するから\n\[\n0<k<x<k+1 のとき \frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{x^{3}}\n\]\nよって \( \frac{1}{(k+1)^{3}}<\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x^{3}} d x \)\nゆえに \( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^{3}}<\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x^{3}} d x=\int_{1}^{n} \frac{1}{x^{3}} d x \)\n\[\n=\left[-\frac{1}{2 x^{2}}\right]_{1}^{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n^{2}})\n\]\nこの両辺に 1 を加えて\n\[\n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{3}}<\frac{1}{2}(3-\frac{1}{n^{2}})\n\](2) 関数 は単調に増加するから\n\[\n0<k \leqq x \leqq k+1 のとき \log k \leqq \log x \leqq \log (k+1)\n\]\nよって \( \int_{k}^{k+1} \log k d x \leqq \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \int_{k}^{k+1} \log (k+1) d x \)\nゆえに \( \log k \leqq \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \log (k+1) \)\n\( \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \int_{k}^{k+1} \log (k+1) d x \) から\n\[\n\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log x d x \leqq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log (k+1) d x\n\]\nよって \( \int_{1}^{n} \log x d x \leqq \log (n!) \)\nまた \nゆえに \( n \log n-n+1 \leqq \log (n!) \)\n から\n\nよって \(\log \{(n-1)!\} \leqq \int_{1}^{n} \log x d x=n \log n-n+1 \)\nこの両辺に を加えて\n\[\n\log (n!) \leqq(n+1) \log n-n+1\n\]\n\n
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演習 14 |II| → 本冊 p .343
(1)数列 {xn} が収束すると仮定して,その極限値を α とすると
lim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α
よって, xn+1 = √(a + xn) において n → ∞ とすると
α = √(a + α)
この両辺を平方して整理すると α² - α - a = 0
α > 0 であるから α = (1 + √(1 + 4a)) / 2
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無限級数 \( \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos \frac{n \pi}{6} \) の和を求めよ。
[京都大]
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無限級数の和と定積分 ……はさみうちの原理の利用\n367\n演 쾿 例題 236\n重要 232\n\( a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots \cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}, \quad \alpha=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x \) とする。\n であることを示し, を求めよ。\n〔類 愛知工大〕
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数列 \( b_{n}=(-1)^{n-1} \log _{2} \frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) で定められる数列 に対して, とする。このとき, を求めよ。
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漸化式と極限 (4) 連立形
P1(1, 1), x_{n+1}=\frac{1}{4} x_{n}+\frac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\frac{3}{4} x_{n}+\frac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...) を満たす平面上の点列 Pn(x_{n}, y_{n}) がある。点列 P1, P2, ... はある定点に限りなく近づくことを証明せよ。〔類 信州大〕
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無限級数 が収束する無限級数で, とするとき,無限級数 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right) \) は収束して \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right)=k S+l T \quad(k, l \text { は定数 }) \) となることを証明せよ。
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定積分 を求める。まず、区間 を 等分し、青い影をつけた各長方形の面積を \( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2}(k=0,1, \\cdots \\cdots, n-1) として、その和は\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)\\
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練習 次の条件によって定められる数列 の極限値を求めよ。\n(296\n\a_{1}=1, \\quad a_{2}=3, \\quad 4 a_{n+2}=5 a_{n+1}-a_{n}\n\ を変形すると\n\\[a_{n+2}-a_{n+1}=\\frac{1}{4}\\left(a_{n+1}-a_{n}\\right) \\quad \text { また } \\quad a_{2}-a_{1}=2\n\\]
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次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。\n110\n(1) \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left\\{2\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^{n-1}+3\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\} \\)\n(2) \\( (1-2)+\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{2^{2}}-\\\frac{2}{3^{2}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(p.179 EX94)
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無限級数 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ の収束, 発散を調べて, 収束する場合にはその和を求めよ。ただし,\\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) を用いてよい。〔類 芝浦工大〕
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次の 2 曲線で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ。
(1) y=x^{2}-2, y=2x^{2}-3
(2) y=√3 x^{2}, y=√(4-x^{2})
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(2)無限級数 \ 1-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}-\\frac{1}{7}+\\cdots \\cdots \ の和を求めよ。
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無限級数 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \sin \frac{n \pi}{2} \) の和を求めよ。
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次の無限級数が収束するとき, その和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。\n(2) \( \left(x^{2}+x\right)+\frac{x^{2}+x}{x^{2}+x+1}+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{n-1}}+\cdots \cdots \)
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練習 次の無限級数の収束,発散について調べ,収束すればその和を求めよ。\n(2) 110\n(1) \( \sum_{n=1}^{\infty}\left\{2\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\} \)\n(2) \( (1-2)+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{2}{3^{2}}\right)+\cdots \cdots \)
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ある1面だけに印のついた立方体が水平な平面に置かれている。立方体の底面の4辺のうち1辺を等しい確率で選んで、この辺を軸にしてこの立方体を横に倒す操作をn回続けて行ったとき、印のついた面が立方体の上面にくる確率をaₙ、底面にくる確率をbₙとする。ただし、最初印のついた面は上面にあるとする。(1) a₂を求めよ。(2) aₙ₊₁をaₙで表せ。(3) limₙ→∞ aₙを求めよ。
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()(2)の結果を用いて, 無限級数の和 Σ_(n=1)^∞ n/2^n を求めよ。ただし, lim (n→∞)(n/2^n)=0 であることを用い てよい。〔類 東北学院大〕
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無限級数 \( x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\cdots \cdots \) について(1)この無限級数が収束するような の値の範囲を求めよ。(2) が(1)の範囲にあるとき, この無限級数の和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。
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次の条件によって定められる数列 の極限値を求めよ。
\[a_{1}=0, \quad a_{2}=1, \quad a_{n+2}=\frac{1}{4}\left( a_{n+1}+3 a_{n} \right)\]
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無限級数 \(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\) の和を求めよ。
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第3章\n微分法—— 105\nn ≥ 2 のとき\n\\[\\begin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nこれは, n=1 のときも成り立つ。\n\\[\\text { よって } \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\n3章\nEX
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次の無限級数の和を求めよ。\n(1) \(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \
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次の数列の極限を調べよ。\n(1) \ 1,4,16,64, \cdots \cdots \\n(2) \ \\frac{1}{2}, \\frac{1}{4}, \\frac{1}{8}, \\frac{1}{16}, \cdots \cdots \\n(3) \ -\\frac{1}{5}, \\frac{1}{25},-\\frac{1}{125}, \\frac{1}{625}, \cdots \
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次の無限級数は発散することを示せ。 (1) 1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\cdots \cdots \ (2)
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83\n 例題 45 級数で表された関数のグラフと連続性\n は実数とする。無限級数\n\[ x^{2}+x+\frac{x^{2}+x}{x^{2}+x+1}+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x^{2}+x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{n-1}}+\cdots \cdots \]\nについて,次の問いに答えよ。\n(1)この無限級数が収束するような の値の範囲を求めよ。\n(2) が (1) の範囲にあるとき, この無限級数の和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき, その連続性について調べよ。
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次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。\n(1) \\( \\frac{1}{3 \\cdot 5}+\\frac{1}{5 \\cdot 7}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\sqrt{1}+\\sqrt{4}}+\\frac{1}{\\sqrt{4}+\\sqrt{7}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{\\sqrt{3 n-2}+\\sqrt{3 n+1}}+\\cdots \\cdots \
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次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n(1) \ a_{1}=1, a_{n+1}=-\\frac{4}{5} a_{n}-\\frac{18}{5} \\n(2) \ a_{1}=1, a_{n+1}=\\frac{3}{2} a_{n}+\\frac{1}{2} \
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次の数列の極限を調べよ。\n(1) \ 1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}, \cdots \cdots \\n(2) \ 2,2 \\cdot 2^{3}, 2 \\cdot 3^{3}, 2 \\cdot 4^{3}, \cdots \cdots \\n(3) \ 1+2, \\frac{1}{2}+\\frac{2}{2^{3}}, \\frac{1}{3}+\\frac{2}{3^{3}} \,\n(4) \ 1,-2,3,-4,5 \, \ \\qquad \\n(5) \ -1, \\frac{1}{\\sqrt{2}},-\\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\frac{1}{\\sqrt{4}} \,
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次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n\\[\na_{1}=0, \\quad a_{2}=1, \\quad a_{n+2}=\\frac{1}{4}\\left(a_{n+1}+3 a_{n}\\right) \\quad(n=1,2,3, \\cdots \\cdots)\n\\]
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次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n\\[ \na_{1}=1, \\quad a_{2}=3, \\quad 4 a_{n+2}=5 a_{n+1}-a_{n} \\quad(n=1,2,3, \\cdots \\cdots)\n\\]
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30・次の無限級数の収束,発散を調べ,収束するときはその和を求めよ。\n(1) \\( \left(\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}\right)+\left(\\frac{2}{3}-\\frac{3}{4}\right)+\left(\\frac{3}{4}-\\frac{4}{5}\right)+... \\)\n(2) \ \\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}+\\frac{2}{3}-\\frac{3}{4}+\\frac{3}{4}-\\frac{4}{5}+... \\n(3) \ 2-\\frac{3}{2}+\\frac{3}{2}-\\frac{4}{3}+\\frac{4}{3}-...-\frac{n+1}{n}+\\frac{n+1}{n}-\\frac{n+2}{n+1}+... \
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26 ・次の無限級数の和を求めよ。\n[(3) 近畿大]\n(1) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} \\n(2) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} \cos n \pi \\n(3) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{7^{n}} \sin \frac{n \pi}{2} \
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次の曲線の長さ を求めよ。(1) \left\\{\\begin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right. \n(2) \( y=\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{1}{4 x} \\quad(1 \\leqq x \\leqq 3) \)
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PR 次の数列が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。また、その時の極限値を求めよ。
(1) (ア) \( \left\{(5-2 x)^{n}\right\} \)
(イ) \( \left\{\left(x^{2}+x-1\right)^{n}\right\} \)
(2) \( \left\{x\left(x^{2}-2 x\right)^{n-1}\right\} \)
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無限等比級数\n無限等比級数 \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a r^{n-1}=a+a r+a r^{2}+\\cdots \\cdots+a r^{n-1}+\\cdots \\cdots \ の収束, 発散は, 次のようになる。 [1] \ a \\neq 0 \ のとき \ |r|<1 \ ならば 収束し, その和は \ \\frac{a}{1-r} \ すなわち \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a r^{n-1}=\\frac{a}{1-r} \ \ |r| \\geqq 1 \ ならば 発散する。 [2] \ a=0 \ のとき 収束し, その和は 0
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次の無限級数の収束・発散について調べ,収束すればその和を求めよ。\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]
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EX 次の無限級数の和を求めよ。\n(1) \\\( \\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{\\log_{10}(1+\\frac{1}{n})}{\\log_{10}n \\log_{10}(n+1)} \\\)
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次の条件によって定められる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\
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数列の第 項 が \( a_{k}=f(k+1)-f(k) \) の形にあるとき、次の等式(*)を用いて の公式を求め、その考え方を説明しなさい。\n\n\[\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k} = f(n+1)-f(1) \quad \cdots \cdots(*)\n\]\n\n例として、三乗の和 を求めてみてください。
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注靑 (2), (4)のみを導いて, 数列 の階差数列の一般項が \( \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \) であることから,一般項 を求める,あるいは (1), (3) のみを導いて, 隣接 2 項間の漸化式 (3) を解く, と いった方法でもよい。
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㨀㷐 (1) 数列 \( \left\\{a_{n}\right\\} の初項から第 \n = 15(イ) で表されるとき, 一般項 \(a_{n}\\} をそれぞれ求めよ。\n(2) (1)の(T)の数列 \left\\{a_{n}\right\\} につて, 和 \( a_{1}{ }^{2}+a_{3}{ }^{2}+a_{5}{ }^{2}+\cdots \cdots+a_{2 n-1}{ }^{2} を求めよ。
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よって, 数列 {a_{n}+20} は初項 2 , 公比 5/4 の等比数列である。 したがって a_{n}+20=2(5/4)^{n-1} ゆえに a_{n}=2(5/4)^{n-1}-20 参考 (1), (2) は特性方程式を利用して, 等比数列の形に変形したが,階差数列の利用を考えてもよい。
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次の式を,を用いないで,各項を並べた和の形で表せ。
(ア) \( \sum_{k=1}^{7}(4 k-2) \)
(イ) ただし \( n \geqq 2) \)
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次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。\n\[ 1 \cdot n, 2(n-1), 3(n-2), \cdots \cdots \]
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次の条件によって定められる数列 の極限値を求めよ。\na_{1}=0, \quad a_{2}=1, \quad a_{n+2}=\frac{1}{4}\left(a_{n+1}+3 a_{n}\right)\
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次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n(1) \ a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{1}{2} a_{n}+1 \\n(2) \ a_{1}=5, a_{n+1}=2 a_{n}-4 \
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次の無限級数の和を求めよ。\n(1) 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ が初項 2, 公比 2 の等比数列であるとき \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ (類 愛知工大]\n(2) \ \\pi \ を円周率とするとき \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\cdots \\nただし, \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) を用いてもよい。\n[類 慶応大] \ \\rightarrow 33,35 \
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次の条件によって定められる数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限を求めよ。\n(1) \ a_{1}=2, a_{n+1}=3 a_{n}+2 \\n(2) \ a_{1}=1,2 a_{n+1}=6-a_{n} \
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(2)数列の和 \( S_{n}=\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1} \) を求めよ。
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2. 信用創造の原理
銀行は預金という形でお金を預かり, その一部の金額を預金者への払い戻し等のための 準備金として手元に置き,残りのお金を企業への貸し出しに用いる。このプロセスを信用創造という。
例えば,元金を 100 万円,準備金の割合を 10% とした場合の, 信用創造により生まれる金額を計算してみよう。
(預金総額) = 100 + 100×(1-0.1) + 100×(1-0.1)^2 + ……
これは無限等比級数です。無限等比級数の和を求めなさい。
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次の無限級数について検討せよ。
(1) は、正の無限大に発散。
・のとき収束、のとき発散
・
(2) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2 \)
(3) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} = \frac{\pi}{4} \)
(4)
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次の無限級数は発散することを示せ。\n(1) \ \\frac{1}{2}+\\frac{5}{3}+\\frac{9}{4}+\\frac{13}{5}+\\cdots \\cdots \\n(2) \ \\cos \\pi+\\cos 2 \\pi+\\cos 3 \\pi+\\cdots \\cdots \
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無限級数の性質 が収束する無限級数で, とすると き,無限級数 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right) \) は収束して\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(k a_{n}+l b_{n}\right)=k S+l T\) は定数 \( ) \)
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(39) 無限等比級数の応用 (3)\n無限等比級数の総和を求めよ。\n例: Σ(r^n) (n=0 to ∞, |r|<1)\nこの無限等比級数が収束する場合、その総和を求めなさい。
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練習 次の無限級数は発散することを示せ。\n(1) \ 1-2+3-4+5-\\cdots \\cdots \\n(2) \ 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots \\n(3) \ \\sin ^{2} \\frac{\\pi}{2} + \\sin ^{2} \\pi + \\sin ^{2} \\frac{3}{2} \\pi + \\sin ^{2} 2 \\pi + \\cdots \\cdots \