AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
解析 - 極限と連続性
Q.02
62 次の極限値を求めよ。\n(1) lim_{x \\rightarrow 2}(x^{2}-3 x-2)\n(2) lim_{x \\rightarrow-2}(x^{2}+1)(x-1)
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64\n\\[\n\\text { (1) } \\begin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]
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微分係数と導関数\n微分係数\n 平均変化率 \( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a \neq b) \)\n 微分係数 (変化率)\n\[ f^{\\prime}(a)=\\lim _{b \\rightarrow a} \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
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練習\n 31 \\Rightarrow 本冊 p .329 \\n(1) \( \\lim_{x \\rightarrow 1+0} \\frac{(x-1)^2}{\\left|x^2-1\\right|} = \\lim_{x \\rightarrow 1+0} \\frac{(x-1)^2}{x^2-1} = \\lim_{x \\rightarrow 1+0} \\frac{x-1}{x+1} = 0 \\)\n\( \\lim_{x \\rightarrow 1-0} \\frac{(x-1)^2}{\\left|x^2-1\\right|} = \\lim_{x \\rightarrow 1-0} \\frac{(x-1)^2}{-\\left(x^2-1\\right)} = \\lim_{x \\rightarrow 1-0} \\frac{x-1}{-(x+1)} = 0 \\)\nよって \( \\lim_{x \\rightarrow 1} \\frac{(x-1)^2}{\\left|x^2-1\\right|} = 0 \\)\n(2) \ x \\longrightarrow+0 \\のとき \\quad \\frac{1}{x} \\longrightarrow \\infty より, \\quad 3^{\\frac{1}{x}} \\longrightarrow \\infty \\n x \\longrightarrow-0 \\のとき \\quad \\frac{1}{x} \\longrightarrow-\\infty \\ より, \\quad 3^{\\frac{1}{x}} \\longrightarrow \\+0 \\nよって x \\longrightarrow 0 \\のとき \\quad 3 \\frac{1}{x} \\の極限はない。 \\n(3)\n \\lim_{x \\rightarrow 2+0} \\frac{[x+1]-x}{x-[x]} = \\lim_{x \\rightarrow 2+0} \\frac{3-x}{x-2} = \\infty \\n \\lim_{x \\rightarrow 2-0} \\frac{[x+1]-x}{x-[x]} = \\lim_{x \\rightarrow 2-0} \\frac{2-x}{x-1} = 0 \\nよって, 極限はない。
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何 本冊 \n第 項 までの部分和を とする。\n(1) \( a_{n}=\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right) \)\nであるから\nS_{n}=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots \cdots+\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)\right\}\n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)\nよって \nしたがって, この無限級数は収束して,その和は \n(2) \( a_{n}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=\frac{2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(n+2)-n} \)=\nゆえに \( S_{n}=(\sqrt{3}-\sqrt{1})+(\sqrt{4}-\sqrt{2})+\cdots \cdots+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)+(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\n= \sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}-1-\sqrt{2}\)\nよって \nしたがって, この無限級数は発散する。
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(2) \ x=0 \ のとき \\( \\quad 1-(\\cos x)^{k}=0 \\) であるから \\( \\quad f(0)=0 \\)\n\ x \\longrightarrow 0 \ のとき, \ x \ は 0 と異なる値をとりながら 0 に近づくから, \ x \\neq 0 \ すなわち \ \\cos x \\neq 1 \ であり \\[f(x)=\\frac{1-\\cos ^{k} x}{1-\\cos x}=1+\\cos x+\\cos ^{2} x+\\cdots \\cdots+\\cos ^{k-1} x\\]\n\nよって \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=k \\neq 0 \\)\n\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x) \\neq f(0) \\) であるから, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で連続でない。
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以下, 繰り返すことにより \( \quad 1-a_{n}=\left(1-a_{1}\right)^{2 n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-1} \) ゆえに \( a_{n}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-1} よって \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1
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数列 が収束するとき, 次のことが成り立つ。\n とする。\n(1) すべての について, ならば である。\n(2) すべての について, かつ ならば, 数列 は収束し, である。
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(2) \( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{1}{x^{2}-a^{2}}\\left\\{\\frac{f(a)}{x}-\\frac{f(x)}{a}\\right\\} \\)\n\\( =\\lim _{x \\rightarrow a}\\left(-\\frac{1}{x+a} \\cdot \\frac{1}{x-a}\\left(\\left\\{\\frac{f(x)}{a}-\\frac{f(a)}{a}\\right\\}-\\left\\{\\frac{f(a)}{x}-\\frac{f(a)}{a}\\right\\}\\right\\}\\right) \\)\n\\( =\\lim _{x \\rightarrow a}\\left\\{-\\frac{1}{x+a}\\left\\{\\frac{1}{a} \\cdot \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+f(a) \\cdot \\frac{1}{a x}\\right\\}\\right\\} \\)\n\\( =-\\frac{1}{2 a}\\left\\{\\frac{f^{\\prime}(a)}{a}+\\frac{f(a)}{a^{2}}\\right\\}=-\\frac{a f^{\\prime}(a)+f(a)}{2 a^{3}} \\)\n
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解答 (2) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin \frac{x}{\pi}\right)}{x}
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344\n180 でない実数 r が |r|<1 を満たすとき, 次のものを求めよ。ただし,自然数 n に対 して, lim _{n \rightarrow \infty} n r^{n}=0, lim _{n \rightarrow \infty} n(n-1) r^{n}=0 である。\n[大分大]\n(1) R_{n}=\sum_{k=0}^{n} r^{k} と S_{n}=\sum_{k=0}^{n} k r^{k-1}\n(2) T_{n}=\sum_{k=0}^{n} k(k-1) r^{k-2}\n(3) \sum_{k=0}^{\infty} k^{2} r^{k}
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関数 \( f(x) \) において、 が に限りなく近づくとき、 \( f(x) \) の値が限りなく大きくなる場合、どのように表記し、何と呼びますか。
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次の極限値を求めよ。ただし, a は定数とする。
(1)
(2)
(3) \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a} \log \frac{x^{x}}{a^{a}}(a>0) \)
(4) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log \{\log (x+e)\} \)
(5)
(6)
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漸近線を直線 y=a x+b とすると, \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=a かつ \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\{f(x)-a x\}=b
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次のことが成り立つ。\n\ r>1, k=1,2,3,\\cdots のとき \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{n^{k}}=\\infty \\n\\[ (1) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{k}}{r^{n}}=0 \\]
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{3}+x^{2}-3\right) \)
(2)
(3)
(4) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right) \)
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数列 が収束して, とする。次の性質を証明しなさい。\n1. 定数倍 \n2. 和 - 差 \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\alpha+\beta, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=\alpha-\beta \)
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次の式を示せ。\n\\[ \lim_{b \to a} \frac{c-a}{b-a} = \lim_{b \to a} \frac{b+2a}{\sqrt{3}(\sqrt{a^2+ab+b^2} + \sqrt{3}a)} = \frac{1}{2} \\]
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17 数列 {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } の極限 r>1 のとき, lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞であることを示せ。
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数学III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nよって, \ n \\longrightarrow \\infty \ のとき \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) が 0 でない値に収束するの は, \ k-2=0 \ すなわち \ k=2 \ のときであり \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)
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数学III\n239\n\\[ \\begin{aligned} x=0 & \\text { または } \\\\ -1 & <\\frac{1-3 x}{1-2 x}<1 \\\\ \\frac{1-3 x}{1-2 x} & =\\frac{1}{4\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)}+\\frac{3}{2} \\text { であるから, } \\end{aligned} \\]\n不等式 (1) の解は, 右の図より \ 0<x<\\frac{2}{5} \\nよって, 求める \ x \ の値の範囲は \ \\quad 0 \\leqq x<\\frac{2}{5} \ (2) \ 0<x<\\frac{2}{5} \ のとき \\( S(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}(x)=\\frac{x}{1-\\frac{1-3 x}{1-2 x}}= \\) ¡ \ 1-2 x \ \ x=0 \ のとき \\( \\quad S(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}(x)=工_{0} \\) (3) 関数 \\( S(x) \\) の定義域は \ 0 \\leqq x<\\frac{2}{5} \ ゆえに, \\( y=S(x) \\) のグラフは右の図 のようになる。よって, \\( S(x) \\) は \ 0<x<\\frac{2}{5} \ で連続, \ x={ }^{\\prime} 0 \ で不連続である。
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329 例題 31 | 片側からの極限と極限の存在
次の極限を調べよ。 は を超えない最大の整数を表す。
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow 2}([2 x]-[x]) \)
指針 の近づく方向によって関数の符号や定義が異なるから,片側からの極限を調べて,次の ことを利用する。
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\n(2)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\ h \\longrightarrow+0 \ と \ h \\longrightarrow-0 \ のときの極限値が一致し, \\( f^{\\prime}(0)=1 \\) となるから, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で微分可能である。\nしたがって, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で連続である。
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(2) 2 以上の正の整数 に対して, を満たす正 の整数 がただ 1 つ存在する。このとき, \( f(x) = 0 \) を満たす正の実数 のうち, 以下のものは の 個あるから \( p(m) = k \)\n\n について から , から よって \n\n各辺を \( m (> 0) \) で割って \( \quad \frac{2}{\pi} - \frac{1}{m} < \frac{p(m)}{m} \leqq \frac{2}{\pi} \)\n\n\( \lim_{m \rightarrow \infty} \left( \frac{2}{\pi} - \frac{1}{m} \right) = \frac{2}{\pi} \) であるから \( \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p(m)}{m} = \frac{2}{\pi} \)
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(3) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\log _{2}\left(8 x^{2}+2\right)-2 \log _{2}(5 x+3)\right\} \)
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\lim _{x \rightarrow \infty} y=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=0 であるから, 直線 y=0 が漸近線である。
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解答 (1) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 \sin x)}{3 x(1+2 x)}
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307
例題 19 | 漸化式と極限 (3)
\( \mathrm{P}_{1}(1,1), x_{n+1}=\frac{1}{4} x_{n}+\frac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\frac{3}{4} x_{n}+\frac{1}{5} y_{n} \quad(n=1,2, \cdots \cdots) \) を満たす平面上の点列 \( \mathrm{P}_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right) \) がある。点列 はある定点に限りなく近づく ことを証明せよ。
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第n項 a_{n} は a_{n} = \frac{3n-2}{n+1}
ゆえに、 \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n-2}{n+1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}} = 3 \neq 0
よって、この無限級数は発散する。
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lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n と lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n を求めよ。
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2 つの数列 について, 次の事柄は正しいか。
(1) ならば
(2) は定数 \( ) \) ならば
(3) ならば \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0 \)
(4) \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0 \) ( は定数 \( ) \) ならば
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+2+3+\cdots \cdots+n)\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots+n^{3}\right)}{\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)^{2}} \)
[愛媛大]
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{3}\left(1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)-\log _{3} n^{3}\right\} \)
[東京電機大]
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[河 本冊 \n(1)\n\[ \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{3}+x^{2}-3\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{3}\left(2+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{3}}\right)=-\infty \]\n(2)\n\n(3)\n\[ \begin{aligned}& \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4}{\sqrt{x^{2}+2 x}-x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4\left(\sqrt{x^{2}+2 x}+x\right)}{\left(x^{2}+2 x\right)-x^{2}} \\= & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4\left(\sqrt{x^{2}+2 x}+x\right)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow \infty} 2\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)=4 \end{aligned} \]
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次の式の値を求めよ。\n\n\( \frac{1}{a} Y^{\\prime}(a)+\frac{1}{a^{3}} Y^{\\prime}\\left(\\frac{1}{a}\\right) = -\\left(a^{2}-1\\right) e^{-\\frac{a^{2}}{2}}-\frac{1}{a^{4}}\\left(\\frac{1}{a^{2}}-1\\right) e^{-\\frac{1}{2 a^{2}}} \)\n\nここで \( \\lim_{a \\rightarrow 0}\\{ -\\left(a^{2}-1\\right) e^{-\\frac{a^{2}}{2}} \\} = 1 \)\nまた, とおくと次の式が成立する。\n\n\( \\lim_{a \\rightarrow+0} \\frac{1}{a^{4}}\\left(\\frac{1}{a^{2}}-1\\right) e^{-\\frac{1}{2 a^{2}}} = \\lim_{t \\rightarrow \\infty} 4 t^{2}(2 t-1) e^{-t} = \\lim_{t \\rightarrow \\infty}\\left(8 t^{3} e^{-t}-4 t^{2} e^{-t}\\right) \)\n\n であるから\n\n\( \\lim_{a \\rightarrow+0} \\frac{1}{a^{4}}\\left(\\frac{1}{a^{2}}-1\\right) e^{-\\frac{1}{2 a^{2}}} = 8 \\cdot 0 - 4 \\cdot 0 = 0 \)\n\n よって, (2), (3), (4)より \( \\lim_{a \\rightarrow+0} \\frac{Z^{\\prime}(a)}{a} = 1 - 0 = 1 \)
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総合演習
471
0≤x≤1において 0≤log(1+x)≤log2
各辺を1+nx(>0)で割ると 0≤(log(1+x))/(1+nx)≤(log2)/(1+nx)
よって 0≤∫[0,1](log(1+x))/(1+nx)dx≤∫[0,1](log2)/(1+nx)dx
∫[0,1](log2)/(1+nx)dx=log2[1/nlog(1+nx)]を[0,1]に適用すると(log(1+n))/n・log2 となるから 0≤∫[0,1](log(1+x))/(1+nx)dx≤(log(1+n))/n・log2
また lim[n→∞]{(log(1+n))/n・log2}=lim[n→∞]{(log(1+n))/(1+n)・(1+n)/n・log2}
=lim[n→∞]{(log(1+n))/(1+n)・(1/n+1)・log2}=0
ゆえにはさみうちの原理からlim[n→∞]∫[0,1](log(1+x))/(1+nx)dx=0
よって、(2)から lim[n→∞]|I[n]−∫[0,1]log(1+x)dx|=0
すなわち lim[n→∞]I[n]=∫[0,1]log(1+x)dx=[(1+x)log(1+x)−(1+x)]を[0,1]に適用すると
=2log2−1
したがってlim[n→∞]I[n]=2log2−1になることを用いて、(2)の定積分の値の評価を行う。
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無限数列 において、項の番号 を限りなく大きくするとき、 が一定の値 に限りなく近づくならば、 、または のとき と書き、 を数列 の極限値という。このことを証明しなさい。
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練习 (1) 数列 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \\) が \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(2 n-1) a_{n}=1 \\) を満たすとき, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ と \ 13 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n} \ を求めよ。 (2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{a n+b-\\sqrt{3 n^{2}+2 n}}=5 \ のとき, 定数 \ a, b \ の値を求めよ。
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x > 1 のとき, 不等式 0 < log x < x が成り立つ。これを利用して, 極限 lim _{x \rightarrow ∞} を求めよ。ただし, log x は e = 2.71828... を底とする対数である。
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次の極限値を求めよ。\n(1) \\lim _{x \\rightarrow 0} \\log \\frac{e^{x}-1}{x} \\n(2) \\lim _{x \\rightarrow+0} \\frac{e^{x}-e^{\\sin x}}{x-\\sin x} \
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関数 ( ) が ( ) を含む区間で連続で, ( ) において微分可能であるとき,極限値 ( ) がともに存在し,かつそれらが一致するならば, ( ) は ( ) において微分可能であることを証明せよ。
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次の関数は, x=0 で連続であるか,微分可能であるかを調べよ。
(1) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0)\end{array}\right.
(2) g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0)\end{array}\right.
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演習例題 22 ウォリスの公式,スターリングの公式の証明
数列 を で定める。このとき であることを,以下の手順で示せ。
(1) 数列 を \( b_{n}=\frac{2^{2 n}(n!)^{2}}{\sqrt{n}(2 n)!} \) で定める。 のとき
\[
\sin ^{2 n+1} x<\sin ^{2 n} x<\sin ^{2 n-1} x \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots)
\]
であることを用いて, であることを示せ。
(2)すべての自然数 に対して, \( 0<\log \frac{a_{n}}{a_{n+1}}<\frac{100}{n(n+1)} \) が成り立つことを示 せ。
(3) であることを示せ。
(4) であることを示せ。
[類 大阪大]
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練翌 次の極限を求めよ。
(1) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} \sin x\right)}{x} [工学院大]
(2) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^{2}} [立教大]
(3) lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos x}{x}
(4) lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}
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次の極限値を求めよ。ただし,αは定数とする。
(ア)
(1) \( \lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{x \sin x-\alpha \sin \alpha}{\sin (x-\alpha)} \)
(2) (p.362 参照) を用いて, 極限値 \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{(h+1)^{2}}-e^{h^{2}+1}}{h} \) を求めよ。
[(2) 法政大] <例21, 24, 25>
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与えられた極限を求めよ。\n\n\ \\lim _{\\beta \\rightarrow \\alpha} A \\n\n次のように展開される:\n\n\\[ \\begin{aligned}\n= f^{\\prime}(\\alpha) = n(n-1) \\alpha^{n-2} - \\left\\{(n-1) \\alpha^{n-2}+(n-2) \\alpha^{n-2}+\\cdots \\cdots+\\alpha^{n-2}\\right\\} = n(n-1) \\alpha^{n-2} - \\frac{1}{2} n(n-1) \\alpha^{n-2} = \\frac{1}{2} n(n-1) \\alpha^{n-2} \\end{aligned} \\]
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(3) (2) から\n\n(1) から \( \frac{f^{\prime}\left(x_{n}\right)\left(x_{n}-x_{n+1}\right)}{x_{n}-a}>f^{\prime}(a) \)\n\( f^{\prime}\left(x_{n}\right)>0 \) であるから \( \quad \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n}-a}>\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)\n変形すると \( \frac{\left(x_{n}-a\right)-\left(x_{n+1}-a\right)}{x_{n}-a}>\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)\nすなわち \( \quad 1-\frac{x_{n+1}-a}{x_{n}-a}>\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)\nしたがって \( \frac{x_{n+1}-a}{x_{n}-a}<1-\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)
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[2] p>0 のとき f′(x)=0 とすると x=1/p x>0 における f(x) の増減表 は右のようになる。
y=f(x) のグラフが x 軸と共有する点をもたないための条件は f(1/p)>0 であるから
1+q+log p>0 すなわち q>−log p−1
[1], [2] から, 求める条件は p>0 かつ q>−log p−1 別解 p=0 とすると, y=p x+q は y=q となる。
p<0 とすると, y=p x+q について x=0 のとき y=q
lim x→∞ y=lim x→∞(p x+q)=−∞ また lim x→+0 log x=−∞, lim x→∞ log x=∞ ゆえに, p≤0 のとき, 直線 y=p x+q と y=log x のグラフは共有点をもつ。よって, p>0 が必要である。 p>0 のとき, p 固定して直線 y=p x+q と y=log x のグラフ が接するときの q の値を q0 とすると, 求める必要十分条件は p>0 かつ q>q0 である。
直線 y=p x+q と y=log x のグラフが x=α で接するとすると
p α+q=log α, p=1/α よって α=1/p, q=−log p−1 ゆえに, 求める必要十分条件は p>0 かつ q>−log p−1 演習 39 |II ⇒ 本冊 p .437
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(1) \( a_{n}=(2 n-1) a_{n} \times \frac{1}{2 n-1} \) であり\n\[\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n-1}=0\]\nよって\n\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n-1}\]\n\n\( n a_{n}=(2 n-1) a_{n} \cdot \frac{n}{2 n-1}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2} \)であるから\n\(\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2 n-1}=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
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(1)等式 \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \ を満たす定数 \ a, b \ の値を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) を \\( f^{\\prime}(a) \\) を用いて表せ。
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(1)等式 \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}+a x+b}{x-1}=3 \ を満たす定数 \ a, b \ の値を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a-3 h)-f(a)}{h} \\) を \\( f^{\\prime}(a) \\) を用いて表せ。
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次の極限値を求めよ。\n(1) \( \\lim _{x \\rightarrow-1}\\left(x^{3}-2 x+3\\right) \)\n(2) \n(3) \( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{2}{x}\\left(\\frac{1}{x-1}+1\\right) \)\n(4)
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{2}-5 x-6\right) \)
(2) \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+3 h)^{3}-(a+h)^{3}}{h} \)
[(2) 東京電機大]
(3)
(4)
[(4) 京都産大]
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{2}-5 x-6\right) \)
(2) \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+3 h)^{3}-(a+h)^{3}}{h} \)
(3)
(4)
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-3 x+4\right) \)
(2)
(3)
基本 195
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練習 次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{3}-2 x+3\right) \)
(2)
(3) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{x}\left(\frac{1}{x-1}+1\right) \)
(4)
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次の極限値を求めよ。
〔(2) 岩手大〕
-228
(1)
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(e^{\frac{1}{n}}+2 e^{\frac{2}{n}}+3 e^{\frac{3}{n}}+\cdots \cdots+n e^{\frac{n}{n}}\right) \)
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \)
(2)
(3)
(4) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-x\right) \)
(5) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) \)
(6)
(7)
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次の極限値を求めよ。ただし, \ [x] \ は \ x \ を超えない最大の整数を表すとする。(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow k-0}([2 x]-2[x]) \\quad(k \\) は整数 \\( ) \\)(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[\\sqrt{x+x^{2}}\\right]-\\sqrt{x}}{x} \
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数列の和の不等式の証明と極限\n(1) 2 以上の自然数 に対して, 次の不等式を証明せよ。\n\[n \log n-n+1<\log (n!)<(n+1) \log (n+1)-n\]\n(2) 極限値 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log (n!)}{n \log n-n} \) を求めよ。\n〔類 首都大東京〕
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EX数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ とその初項から第 n \ 項までの和 S_{n} \ について\n(1)一般項 a_{n} \ を求めよ。\n(2) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{S_{n}}{a_{n}} \ を求めよ。
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots \cdots+(2 n)^{2}}{1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}} \)
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実数 \ x \ に対して, \ [x] \ を \ m \\leqq x<m+1 \ を満たす整数 \ m \ とする。このとき, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[10^{2 n} \\pi\\right]}{10^{2 n}} \ を求めよ。
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(3) (ア) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ よって \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ ゆえに \ \\quad a=\\frac{3}{2} \
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次関数 \\( f(x) \\) が \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) を満たすとき、\\( f(x) \\) を求めよ。
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次の極限値を求めよ。ただし、 は定数とする。
(1)
(2)
(3) \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a} \log \frac{x^{x}}{a^{a}} \quad(a>0) \)
(4)
(5)
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\( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log \left(1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdots \cdots \cdot n^{n}\right)}{n^{2} \log n} \) を求めよ。
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綀埳次の極限値を求めよ。(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(e^{\frac{1}{n}}+2 e^{\frac{2}{n}}+3 e^{\frac{3}{n}}+\cdots \cdots+n e^{\frac{n}{n}}\right) \)
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次の関数について, が 1 に近づくときの右側極限, 左側極限を求めよ。そして, のとき の極限が存在するかどうかを調べよ。\n(1) \( \frac{1}{(x-1)^{2}} \)\n(2) \( \frac{1}{(x-1)^{3}} \)\n(3) \( \frac{(x+1)^{2}}{\left|x^{2}-1\right|} \)\n(4)
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(203 次の極限値を求めよ。\n\n〔(1) 日本女子大, (2) 立教大, 長崎大, (3) 同志社大〕\n\n(1) lim_{n→∞}sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2} \log \frac{n+k}{n} \right)\n(2) lim_{n→∞}sum_{k=1}^{n} \left( \frac{n}{n^2+k^2} \right)\n(3) lim_{n→∞} \sqrt{n}\left(\sin \frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} \n
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次の関数に最大値, 最小値があれば, それを求めよ。ただし, (2) では必要ならば \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ を用いてもよい。\n(1) \ y=\\frac{2 x}{x^{2}+4} \\n(2) \\( y=\\left(3 x-2 x^{2}\\right) e^{-x} \\)\n〔(2) 類 日本女子大 〕
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EX\極\限\na>0 とする。\n(1) 関数 f(x) が x の連続関数となるための定数 a, b, c の条件を求めよ。\n(2)定数 a, b, c が(1) で求めた条件を満たすとき, 関数 f(x) の最大値とそれを与える x の値 を a 用いて表せ。\n(3)定数 a, b, c が(1) で求めた条件を満たし,関数 f(x) の最大値が \\frac{5}{4} であるとき, 定数 a, b, c の値を求めよ。\n〔鳥取大〕\n(1) [1] -1<x<1 のとき lim _{n \\rightarrow ∞} x^{n}=0 であるから f(x)=-x^{2}+b x+c\n[2] x=-1 のとき f(-1)=\\frac{-a-1-b+c}{2}\n[3] x=1 のとき f(1)=\\frac{a-1+b+c}{2}\n[4] x<-1, 1<x のとき f(x)=lim _{n \\rightarrow ∞} \\frac{\\frac{a}{x}-\\frac{1}{x^{2 n-2}}+\\frac{b}{x^{2 n-1}}+\\frac{c}{x^{2 n}}}{1+\\frac{1}{x^{2 n}}}=\\frac{a}{x}\nf(x) は x<-1,-1<x<1,1<x において, それぞれ連続である。したがって, f(x) が x の連続関数となるための条件は, x=-1 および x=1 で連続であることである。よって \\lim _{x \\rightarrow-1-0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow-1+0} f(x)=f(-1)\nかつ \\lim _{x \\rightarrow 1-0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} f(x)=f(1)\nHINT (1) x^{2 n} の極限 を考えることになるから、 x= ± 1 で区切って考える。\n((-1)^{2 n}=1 , (-1)^{2 n-1}=-1\n(|x|>1 のとき , n \\rightarrow ∞ とすると \\frac{1}{x^{2 n}} \\rightarrow 0, \\frac{1}{x^{2 n-1}} \\rightarrow 0 , \\frac{1}{x^{2 n-2}} \\rightarrow 0
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ゆえに \( \\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}, \\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4} \\) 辺々を引いて \( a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1} \\) \\leftarrow a_{n+1} \ を消去。 よって \( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3} \\)
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(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \infty} \\int_{0}^{1} R_{n}\\left(x^{2}\\right) d x \\) を求めよ。
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次の条件の関数 f(x) が、x=π/2 において微分可能ではないことを示せ。112 x ≤ π/2 のとき f(x)=cos x-π/2 sin x, x>π/2 のとき f(x)=x-π
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次の極限値を求めよ。\n(1) \\lim_{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-5 x+4} \\n(2) \\lim_{x \\rightarrow-2} \\frac{x^{3}+3 x^{2}-4}{x^{3}+8} \\n(3) \( \\lim_{x \\rightarrow 1} \\frac{1}{x-1}\\left(x+1+\\frac{2}{x-2}\\right) \\)\n(4) \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}}{x} \\n(5) \\lim_{x \\rightarrow 2} \\frac{\\sqrt{2 x+5}-\\sqrt{4 x+1}}{\\sqrt{2 x}-\\sqrt{x+2}} \\n(6) \( \\lim_{x \\rightarrow 3} \\frac{\\sqrt{(2 x-3)^{2}-1}-\\sqrt{x^{2}-1}}{x-3} \\)\n〔(1) 芝浦工大, (4) 北見工大, (6) 創価大〕
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次の極限値を求めよ。(2) では \ p>0 \ とする。\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)
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次の極限を求めよ。
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{2}\left(1^{3}+2^{3}+\cdots \cdots+n^{3}\right)-\log _{2}\left(n^{4}+1\right)\right\} \)
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(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\cdots \cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\cdots \cdots+(2 n)^{p}} \), p > 0
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第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \( n^{4}+(-n)^{3} \)\n(エ)
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等式 \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) が成り立つような定数 \ a \ の値を求めよ。 〔法政大〕
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次の極限値を求めよ。
(1)
(2)
(3) \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}\left(x+1+\frac{2}{x-2}\right) \)
(4)
(5)
(6) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{(2 x-3)^{2}-1}-\sqrt{x^{2}-1}}{x-3} \)
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以下の問題を解きなさい:
(3) y^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x}}{h}
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(1) 数列 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) が \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\) を満たすとき,\n\ \lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ である。 } \
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⑧6 曲線 に対して, 点 を次のように定める。\n\n\( \\mathrm{R}_{1}(1,0) ; n=1,2,3, \\cdots \\cdots \) に対して, 点 を通る直線は と異なる点 \nにおいて C に接する。\nこのとき, 点 の 座標 を で表せ。また, を求めよ。
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(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}+\left(\frac{3}{n}\right)^{2}+\cdots \cdots+\left(\frac{3 n}{n}\right)^{2}\right\} \)
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次の極限値を求めよ。ただし、\ [x] \ は \ x \ を超えない最大の整数を表すとする。(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow k-0}([2 x]-2[x]) \\) ( \ k \ は整数 \\( ) \\)。
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次の関数は, x=0 において連続であるか、微分可能であるかを調べよ。(2) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & (x=0) \\ \frac{x}{1+2^{\frac{1}{x}}} & (x \neq 0)\end{array}\right.
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次の等式が成り立つように, 定数 の値を定めよ。\\\lim _{x \rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\
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次の等式が成り立つように, 定数 の値を定めよ。\n(1) \\lim _{x \\rightarrow 4} \\frac{a \\sqrt{x}+b}{x-4}=2 \\n(2) \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{3}+a x+b}{x-2}=17 \\n(3) \\lim _{x \\rightarrow 8} \\frac{a x^{2}+b x+8}{\\sqrt[3]{x}-2}=84 \\n〔(2) 近畿大, (3) 東北学院大〕
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第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n\n(1) \\frac{2n+3}{\\sqrt{3n^{2}+n}+n} \\n(2) \\frac{1}{\\sqrt{n^{2}+n}-n} \
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+7+11+\cdots \cdots+(4 n-1)}{3+5+7+\cdots \cdots+(2 n+1)} \)
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{3}\left(1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)-\log _{3} n^{3}\right\} \)
〔(2) 東京電機大〕
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3 次関数 \\( f(x) \\) が \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) を満たすとき, \\( f(x) \\) を求 めよ。
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練習 第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1)
(2)
(3) \( n\left(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n^{2}+1}\right) \)
(4)
(5)
(6)
(7)
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関数 \( f(x) \) において、と の意味と、これらが同じ場合と異なる場合に関数の極限が存在するかどうかを説明せよ。
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\n練習 ロピタルの定理を用いて, 次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{e^{x}-e^{-x}}{x} \\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x-\\sin x}{x^{2}} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\log \\frac{x-1}{x+1} \
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次の極限を求めよ。(4): \( \\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x) \)
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次の極限値を求めよ。
(3) \( \lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos \frac{1}{x}\right) \)
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次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{2 n} \\frac{1}{3 n+k} \\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{1}{\\sqrt{k}} \
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数列 \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) は \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) で定められたものとする。(1) この数列の極限値 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を求めよ。(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を \\( A(x) \\) とするとき, 関数 \\( y=A(x) \\) のグラフをかけ。
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閉区間で連続な関数は,中間値定理が成り立つ。つまり、閉区間 で連続な関数 \( f(x) \) に対し、任意の \( f(a) \) と \( f(b) \) の間の値 に対してある が存在し、\( f(c) = k \) が成り立つ。この条件が満たされないとき、関数 \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) が区間 で連続であると仮定し、ある に対して \( f(c) = k \) となる が存在しない場合があることを説明しなさい。
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Sを次の極限値とすると,Sを求めなさい。
S = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left\{\sqrt{(2n)^{2}-1^{2}}+\sqrt{(2n)^{2}-2^{2}}+\sqrt{(2n)^{2}-3^{2}}+\cdots \cdots+\sqrt{(2n)^{2}-(2n-1)^{2}}\right\}
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EX 今後毎年, 東京都の外に住む人の が都内へ移住し、都内に住む人の が都外へ移住すると 仮定する。 年目の都外の人口を , 都内の人口を とするとき, を求めよ。ただし,都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとする。\n〔東京都立大〕\n\( (n+1) \) 年目の都外の人口は\n 年目に都外に住み, \( (n+1) \) 年目に都内に移住しない人 と 年目に都内に住み, \( (n+1) \) 年目に都外に移住する人\nの数の合計になるから \( \quad a_{n+1}=a_{n} \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)+b_{n} \cdot \frac{1}{3} \)\nすなわち \n同様にして \( \quad b_{n+1}=a_{n} \cdot \frac{1}{3}+b_{n} \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right) \)\nすなわち
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Sを次の極限値とすると,Sを求めなさい。
S = \lim_{n\rightarrow \infty} \left(\sin \frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+k}}
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点々の与え方による軌跡の問題です。\n次のように与えられた条件について、点 Q の座標および速度軌跡を求める。\n点 P が x 軸上を原点 (0,0) から点 (π,0) に向かって毎秒 π の速さで移動するとき、点 Q の t 秒後の速さ v(t) を求めよ。\n(1) 点 Q の座標を求めよ。\n(2) 点 P が x 軸上を原点 (0,0) から点 (π,0) に向かって毎秒 π の速さで移動するとき、点 Q の t 秒後の速さ v(t) を求めよ。\n(3) \( \\lim_{t \\rightarrow \\frac{1}{2}} \\frac{v(t)}{\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)^{2}} \) を求めよ。
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次の極限値を求めよ。
〔(1)琉球大, (2)岐阜大〕
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n+k}{n^{4}}\right)^{\frac{1}{3}} \)
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \)
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数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n=1,2, \cdots \cdots) \) は無限数列上する。 の証明を示しなさい。
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次の各数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ について, 極限 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \ を調べよ。 (1) \ a_{n}=\\frac{1}{n^{2}+2 n} \ (2) \\( a_{n}=c r^{n}(c>0, r>0) \\)
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次の極限値を求めよ。\n(2) \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\sin (\sin x)}{sin x-x} \\)
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数学 \n分母を払って (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) \nゆえに 2 c^{2}=x+1 よって c^{2}=\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 であるから c=\sqrt{\frac{x+1}{2}} \n\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{c-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\left(\sqrt{\frac{x+1}{2}}+1\right)} =\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{1}{2\left(\sqrt{\frac{x+1}{2}}+1\right)}=\frac{1}{2(\sqrt{1}+1)}=\frac{1}{4} \n\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{c-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=0
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極限 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}} \\) が有限の値となるように, 定数 \ a, \\quad b \ の値 を定め, そのときの極限値を求めよ。
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次の極限値を求めよ。
(4) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 \sin x)}{3 x(1+2 x)} \)
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(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+a n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)=5 \\) であるとき, 定数 \ a \ の值を求めよ。
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総 合 演 習
50n 個のボールを 2n 個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし, どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも 1 個以下のボールしか入っていない 確率を pn とする。このとき, 極限値 lim n → ∞ (log pn / n) を求めよ。〔京都大〕
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\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\) を求めよ。
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次の極限値を求めよ。ただし, [ ] はガウス記号を表す。
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right\}^{\frac{1}{x}} \)
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(204 次の極限値を求めよ。\n\n(1) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} \left\{ \sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\cdots \cdots+\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \right\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) 山口大, (2)芝浦工大〕\n
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EX 数列 \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) は \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) で定められたものとする。\n(1) この数列の極限値 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を \\( A(x) \\) とするとき, 関数 \\( y=A(x) \\) のグラフをかけ。\n〔名城大〕
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等式 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) が成り立つような定数 \ a \ の値を求めよ。
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次の極限を求めよ。\n(1) \n(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+2)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{(2 n)^{2}}\right\} \)\n(3) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right) \)
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{(x-\pi)^{2}}{1+\cos x} \)
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次の極限値を求めよ。(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}} \(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1} \
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極限值 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n} を求めよ。\n\n〔東京医歯大〕
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極限に関する次の命題は, 成り立つかどうか紛らわしいが, 実はすべて偽である。どのようなときに成り立たないか,反例を確認してみよう。\n(2) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\infty, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} b_{n}=0 \ ならば \n(反例) \\quad a_{n}=n+1, \\quad b_{n}=\\frac{1}{n} \ のとき
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(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ 分母・分子を \ 2^{x} \ で割る。
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次の極限値を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \rightarrow \infty}\\left\\{\\log _{2}\\left(8 x^{2}+2\\right)-2 \\log _{2}(5 x+3)\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \rightarrow-\\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+x+1}+x\\right) \\)\n(3) \\( \\lim _{x \rightarrow-\\infty}\\left(3 x+1+\\sqrt{9 x^{2}+1}\\right) \\)
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(2) 与式 \( )=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{2} \frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\log _{2}\left(n^{4}+1\right)\right\} \)
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微分係数\n\\[ f^{\\prime}(a)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\]
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次の極限値を求めよ。 〔(1) 日本女子大, (2) 立教大, 長崎大, (3) 同志社大〕 (203 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^{2}} \log \frac{n+1}{n}+\frac{n+2}{n^{2}} \log \frac{n+2}{n}+\cdots \cdots+\frac{n+n}{n^{2}} \log \frac{n+n}{n}\right) \) (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots \cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right) \) (3) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sin \frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} \)
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⑫3次の極限值を求めよ。ただし, は定数とする。\n(1) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}(a>1) \)\n(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (a+x)-\log a}{x}(a>0) \)\n(3) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+a x)}{x} \)\n(4) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \log (1+x)} \)
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練習: 次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\sin \\frac{1}{x} \\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 4 x}{3 x} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 2 x}{\\sin 5 x} \\n(4) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan 2 x}{x} \\n(5) \\{ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x \\sin x}{1-\\cos x} \\}\n(6) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x^{2}} \\n(7) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x-\\sin 2 x}{\\sin 3 x} \
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次の極限値を求めよ。\n(ア) \n\n(イ) \n \sqrt{1+x} \] の近似式を求め,それを用いて \[ \sqrt{102} の近似値を求めよ。
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練習 第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(1) \( \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{n} \)\n(2) \n(3) \n(4) \( \\frac{2^{n}+1}{(-3)^{n}-2^{n}} \)\n(5) \\frac{r^{2 n+1}-1}{r^{2 n}+1}(r \ は実数 \( )
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EX 次の極限を求めよ。ただし, a, b は定数とする。〔(1) 小樽商大, (2) 東京電機大〕
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+a n+b}-n-\frac{a}{2}\right) \)
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots \cdots+n \cdot(n+1)}{n^{3}} \)
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(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \ を求めよ。
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例 極限 \ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{4} \ を求める。
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次の極限値を求めよ。\n(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2} \log _{3} x+\log _{3}(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1})\right\} \n(2) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right)
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Sを次の極限値とすると,Sを求めなさい。
S = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}
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(1) 次の関係を満たす数列 について, と を求めよ。30(ア) \( \lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n}=1 \)
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次の極限値を求めよ。\n(1) \n(2) \( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x-\\sin (\\sin x)}{\\sin x-x} \\)
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関数 \( f(x) \) は, において微分可能ではないことを示せ。\n\nEX\n\n112 のとき \( f(x)=\cos x-\frac{\pi}{2} \sin x, \quad x > \frac{\pi}{2} \) のとき \( f(x)=x-\pi \)。
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以下の問題を解きなさい:
(2) y^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4(x+h)+3}-\sqrt{4 x+3}}{h}
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次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x^{2}}{1-\\cos x} \
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等式 \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{3}}\left\{\sqrt{1+2 x}-\left(1+x-\frac{x^{2}}{2}\right)\right\} \\) を求めよ。 〔掑南大〕
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次の極限値を求めよ。(ア) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin ^{n} \\theta-\\cos ^{n} \\theta}{\\sin ^{n} \\theta+\\cos ^{n} \\theta} \\quad\\left(0<\\theta<\\frac{\\pi}{4}\\right) \\) (イ) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n-1}-3^{n+1}}{r^{n}+3^{n-1}} \ ( \ r \ は正の定数 ) \n (2) \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \ とする。 \\( a_{n}=\\left(4 \\sin ^{2} \\theta+2 \\cos \\theta-3\\right)^{n} \\) とするとき, 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ が収束するような \ \\theta \ の値の範囲を求めよ。
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関数 \( f(x) \) および \( g(x) \) の極限値の大小関係について次の問いに答えなさい:\n\n1. \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha \) および \( \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \beta \) 、 が に近いとき、常に \( f(x) \leqq g(x) \) ならば、何が言えるか?\n2. \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha \) および \( \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \beta \) 、 が に近いとき、常に \( f(x) \leqq h(x) \leqq g(x) \) 且つ のとき、何が言えるか?\n3. 十分大きい で常に \( f(x) \leqq g(x) \) 且つ \( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \) ならば、何が言えるか?
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次の極限を求めよ。
[(4) 防衛大]
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2}\left(\frac{4}{x}-2\right) \)
(3)
(4)
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基本例題 38 (2) 極限を求めよ。\n\n\ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+3x}{x-2} \
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\[\begin{array}{l} f(x)=\tan (\pi x) \text { とすると } \lim _{x \rightarrow \frac{1}{4}} \frac{\tan (\pi x)-1}{4 x-1}=\lim _{x-\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \cdot \frac{f(x)-f\left(\frac{1}{4}\right)}{x-\frac{1}{4}}=\frac{1}{4} f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right) f^{\prime}(x)=\frac{\pi}{\cos ^{2}(\pi x)} \text { であるから } \quad f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{\cos ^{2} \frac{\pi}{4}}=2 \pi \text { よって } \quad \lim _{x \rightarrow \frac{1}{4}} \frac{\tan (\pi x)-1}{4 x-1}=\frac{1}{4} \cdot 2 \pi=\frac{\pi}{2}\end{array}\]
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次の関数について x \rightarrow 1-0, x \rightarrow 1+0, x \rightarrow 1 のときの極限をそれぞれ調べよ。 (1) \frac{x^{2}}{x-1} (2) \frac{x}{(x-1)^{2}} (3) \frac{|x-1|}{x^{3}-1}
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例 16 | 関数の極限 (2)
次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{3}+x^{2}-3\right) \)
(2)
(3)
(4) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right) \)
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基本例題 39 (2) 極限を求めよ。\n\n\\( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x\right) \\)
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例題 (41) 極限と微分係数
c, p, q(p ≠ 0, q ≠ 0) は定数とし, f(x) は x=c で微分可能とする。このとき,次の値を, c, p, q および f'(c) などを用いて表せ。
(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(c + 2h) - f(c) ) / sin(h)
(2) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(c + p h) - f(c + q h) ) / h
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例題 19 | 漸化式と極限 (3)
\( \mathrm{P}_{1}(1,1), x_{n+1}=\frac{1}{4} x_{n}+\frac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\frac{3}{4} x_{n}+\frac{1}{5} y_{n} \quad(n=1,2, \cdots \cdots) \) を満たす平面上の点列 \( \mathrm{P}_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right) \) がある。点列 はある定点に限りなく近づく ことを証明せよ。
[類 信州大]
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|r|<1 のとき lim _{n -> ∞} r^{2 n}=0, lim _{n -> ∞} r^{2 n+1}=0
よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n})=0
r=1 のとき r^{2 n}=r^{2 n+1}=1
よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = 1 / (2 +1) = 1/3
r=-1 のとき r^{2 n}=(-1)^{2 n}=((-1)^{2})^{n}=1^{n}=1,
r^{2 n+1}=r^{2 n}・r=1・(-1)=-1
よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = -1 / (2 + 1) = -1/3
|r| >1 のとき <left|(1/r)<right| <1 ゆえに lim _{n -> ∞} ((1/r)^{2 n}) = 0
よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = lim _{n -> ∞} r / (2 ((1/r)^{2 n}) + 1) = r / (2 ・ 0 + 1) = r
2章 <square>
PR <left>{(-1)^{n}<right> は振動するが, <left>{(-1)^{2 n}<right> は収束する。
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[2] の例 \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n} \)
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次の極限を求めよ:\n\n1. \\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\tan x}{x^{3}}\ \n2. \\(\lim _{x \rightarrow \infty} x(1-e^{\frac{1}{x}})\\) \n3. \\lim _{x \rightarrow+0} x \log x\
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次の極限を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}\\left(x^{3}-2 x\\right) \\)\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{5-2 x^{3}}{3 x+x^{3}} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{4^{x}-3^{x}}{4^{x}+3^{x}} \\n(4) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2}\\left(x^{2}+5 x\\right)-\\log _{2}\\left(4 x^{2}+1\\right)\\right\\} \\)
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\ e \ の定義を利用した極限\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\) であることを用いて, 次の極限を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)
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次の極限を求めよ。 (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \
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次の極限を求めよ。\n(2) \ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \tan \frac{x}{2}} \[大阪工大]
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\ \lim _{n \rightarrow \infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}=0 \ であるから \\[ \\lim _{n \rightarrow \infty} \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}=0 \\]
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例題 15 | はさみうちの原理 (2) (1)実数 x に対して, [x] を m ≤ x<m+1 を満たす整数 m とする。このとき lim _{n → ∞} [10^{2 n} π] / 10^{2 n} を求めよ。[山梨大]
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次の問いに答えよ。\n(1) \( S(\\theta) \) を で表せ。\n(2) \( \\lim _{\\theta \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{S(\\theta)}{\\frac{\\pi}{2}-\\theta} \) を求めよ。\n[武蔵工大]
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(1) 底について, \ \\sqrt{2}>1 \ であるから\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n (2) 底について, \ 0<\\frac{2}{3}<1 \ であるから\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]
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次の極限を求めよ:\n\ \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1} \\cos \\frac{n \\pi}{3} \n\
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例 15 | 関数の極限 (1)
次の極限値を求めよ。
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left\{1-\frac{4}{(x-2)^{2}}\right\} \)
(3)
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関数の最大と最小\n区間 で連続な関数 \( f(x) \) の最大値・最小値は\n[1] における \( f(x) \) の極大値・極小値\n[2] 区間の両端の値 \( f(a), f(b) \) を比較して求める。\n注意 区間 \( (a, b) \) における \( f(x) \) の最大値, 最小値を求める には, \( f(x) \) の極值と \( \lim _{x \rightarrow a+0} f(x), \lim _{x \rightarrow b-0} f(x) \) の値を比較する必要がある。また, 区間 \( (a, \infty) \) の場合は, \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \) とも比較する。\nなお, 開区間においては, 最大値や最小値が存在しない場合もある。
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次の関数は, において連続であるか,また微分可能であるかを調べよ。\n(1) \( f(x)=\sqrt{|x|} \)\n(2) \( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\sin x & (x \\geqq 0) \\\\ x^{2}+x & (x<0)\\end{array}\\right. \\)
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次の極限値を求めよ。(芝浦工大)\\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n \\sqrt{n}}(\\sqrt{2}+\\sqrt{4}+\\cdots \\cdots+\\sqrt{2 n}) \\)
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二項定理を用いて次を証明せよ:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(1+h)^{n}}{n}=\infty \n\\)
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基本例題 35 (1) 極限を求めよ。\n\n\ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-x-2}{x^{3}+1} \
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(1)\n\n=\log (n+1)+\log (n+2)+\cdots \cdots+\log (n+n)-n \log n \n=\sum_{k=1}^{n} \log (n+k)-n \log n \n=\sum_{k=1}^{n}\{\log (n+k)-\log n\} \n\text { よって (左辺) }=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\{\log (n+k)-\log n\} \n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left\{\log \left(1+\frac{k}{n}\right)\right\} \n=\int_{0}^{1} \log (1+x) d x \]
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数列の極限(1)
(1) 次の数列の収束,発散を調べよ。
(ア)
(イ)
(ウ)
(I) \( \left\{\frac{(-2)^{n}}{3}-1\right\} \)
(2) 第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(ア)
(イ)
(ウ)
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平均値の定理を用いて, 次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty} x\{\log (2 x+1)-\log 2 x\} \)
(2)
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(3) 次に, 極限 \( \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x_{n}-2 n \pi\right)^{2} \) を求めよう。\n(2) の両辺を で割ると\n\( y_{n}+2 n \pi=\frac{\sin \left(y_{n}+a\right)}{1-\cos y_{n}} \)\n\nゆえに \( \quad n=\frac{\sin \left(y_{n}+a\right)}{2 \pi\left(1-\cos y_{n}\right)}-\frac{y_{n}}{2 \pi} \)\nよって エ すなわち \( \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x_{n}-2 n \pi\right)^{2}=\square \)\n工解答群\n(0) \n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \n(8)
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数列の極限の定義\np. 294 では, 数列の極限を「限りなく大きくする」, 「限りなく近づく」という言葉を使って定義した。この定義は直感的でわかりやすい が, 数学的に精密な議論や証明を行う際には, 曖昧で不十分なものと いえる。高校数学の範囲を超えるが, 数列の極限は, 厳密には次のように定義される。\n(1) とは, 任意の正の数 が与えられたとき, 適当な番号 を定めると, のすべての いつて となること。\n(2) とは, 任意の正の数 が与えられたとき, 適当な番号 を定めると, のすべての について となること。\n\ \\varepsilon \ はどんなに小さい 数でもよい。\n\ K \ はどんなに大きい 数でもよい。\n\nこの定義を用いて次の性質を証明してみよう。\n数列 が収束して, とする。\n1. 定数倍 \n2. 和 - 差 \( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(a_{n}+b_{n}\\right)=\\alpha+\\beta, \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(a_{n}-b_{n}\\right)=\\alpha-\\beta \)
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第2章 極限 69 別解
\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \tan \frac{x}{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x)(1+\cos 2 x) \cos \frac{x}{2}}{x \sin \frac{x}{2}(1+\cos 2 x)} \) \( =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} 2 x}{(2 x)^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{x}{2}}{1+\cos 2 x} \cdot \frac{(2 x)^{2}}{x \cdot \frac{x}{2}} \)
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平均値の定理の証明\n\n平均値の定理の図形的な意味は連続かつ微分可能な関数のグラフ上に2点 \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ をとるとき, 直線 \\mathrm{AB} \ と平行な接線を, \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ 間の曲線上のある1点において引くことができるということである。これが成り立つことは, 図から直感的には明らかであるが, 厳密には次に示す「ロルの定理」を用いて証明される。\n(1) ロルの定理\n関数 \( f(x) \\) が区間 [a, b] \ で連続, 区間 \( (a, b) \\) で微分可能なとき \( f(a)=f(b) \\) ならば \( f^{\\prime}(c)=0, a<c<b \\) を満たす実数 c \ が存在する。\n\n証明[1] \( f(a)=f(b)=0 \\) である場合\n(ア) 区間 [a, b] \ で常に \( f(x)=0 \\) のとき常に \( f^{\\prime}(x)=0 \\) となり, 定理は成り立つ。\n(1) \( f(x)>0 \\) となる x \ の值があるとき \( f(x) \\) は区間 [a, b] \ で連続であるから, この区間の点 x=c \ で最大値をとる。 \( f(c)>0, f(a)=f(b)=0 \\) であるから, c \ は a, b \ のどちらでもない。したがって \\quad a<c<b \\n\( f(c) \\) は最大値であるから, |\\Delta x| \ が十分小さいとき \( \\quad f(c+\\Delta x) \\leqq f(c) \\) よって \( \\Delta y=f(c+\\Delta x)-f(c) \\leqq 0 \\) ゆえに \\quad \\Delta x>0 \ ならば \\quad \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\leqq 0 \ よって \\lim _{\\Delta x \\rightarrow+0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\leqq 0 \ \\Delta x<0 \ ならば \\quad \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} \\geqq 0 \ \\lim _{\\Delta x \\rightarrow+0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow-0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=0 \ \( f(x) \\) は区間すなわち \( f^{\\prime}(c)=0 \\) である。\n(ら) \( f(x)<0 \\) となる x \ の値があるとき \( f(x) \\) が最小値をとるときの x \ の値 c \ について, (イ) と同様に考えると, a<c<b \, \( f^{\\prime}(c)=0 \\) である。\n[2] 一般に \( f(a)=f(b) \\) である場合 \( g(x)=f(x)-f(a) \\) とすると, \( f(a)=f(b) \\) から \( \\quad g(a)=g(b)=0 \\) よって, [1] と同様にして \( g^{\\prime}(c)=0, a<c<b \\) であるような実数 c \ が存在する。 \( f^{\\prime}(c)=g^{\\prime}(c)=0 \\) であるから, ロルの定理が成り立つ。
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例題 15 | はさみうちの原理 (2) (2)数列 {a_{n}} の第 n 項 a_{n} は n 桁の正の整数とする。このとき, 極限 lim _{n → ∞} log _{10} a_{n} / n を調べよ。[広島市大]
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第6章 積分法の応用\n291\nEX\n(5146\n 平面上に原点 を中心とする半径 1 の円 がある。半径 ( は自然数) の円 が, に外接しながら滑ることなく反時計回りに転がるとき, 上の点 の軌跡を考える。ただし,最初 は点 \( \mathrm{A}(1,0) \) に一致していたとする。\n(1) O を端点とし の中心を通る半直線が, 軸の正の向きとなす角が となるときの の座標を と で表せ。\n(2) が初めてAに戻るまでの の軌跡の長さ を求めよ。\n(3) (2) で求めた に対し, を求めよ。\n[横浜国大]
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数列の収束と発散について説明し、次の数列の極限を求めなさい。\n1. 数列 の極限を求めなさい。\n2. 数列 の極限を求めなさい。\n3. 数列 \( \{(-1)^{n-1}\} \) の極限を求めなさい。
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次の等式が成り立つように, 定数 の値を定めよ。\n[青山学院大]\n\\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{3x + a} - b}{x - 3} = \frac{3}{8}\
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例題 17 数列 {r^n / n^k},{n^k / r^n} の極限 r > 1 のとき, lim_{n→∞} (r^n / n^2)=∞ であることを示せ。
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次の極限を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(x^{3}-3 x^{2}+5\\right) \\)\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{x^{2}+3 x}{x-2} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{2^{-x}}{3^{x}+3^{-x}} \\n(4) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{3}\\left(9 x^{2}+4\\right)-\\log _{3}\\left(x^{2}+2 x\\right)\\right\\} \\)
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次の式の値を求めよ。\n\\( \frac{1}{2} \log _{3} x+\log _{3}(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1}) \n= \log _{3} \sqrt{x}(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1}) \n= \log _{3} \frac{\sqrt{x}\{(3 x+1)-(3 x-1)\}}{\sqrt{3 x+1}+\sqrt{3 x-1}} \n= \log _{3} \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3 x+1}+\sqrt{3 x-1}} \nよって (与式 })=\lim _{x \rightarrow \infty} \log _{3} \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3 x+1}+\sqrt{3 x-1}} \n= \lim _{x \rightarrow \infty} \log _{3} \frac{2}{\sqrt{3+\frac{1}{x}}+\sqrt{3-\frac{1}{x}}} \n= \log _{3} \frac{1}{\sqrt{3}}=\log _{3} 3^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2} \\)
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関数の片側からの極限とは何かを説明し、x > a の範囲で x が a に限りなく近づくときの f(x) の右側極限を記号で表してください。
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次の等式が成り立つように, 定数 \ a, b \ の値を定めよ。\n(1) \ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} + ax + 12}{x^{2} - 5x + 6} = b \\n[日本女子大]\n(2) \ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{a\sqrt{x + 5} - b}{x - 1} = 4 \\n[関東学院大]
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練㷐 (1) 数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) が \( \lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n}=1 \) を満たすとき, と を求めよ。
(2) のとき, 定数 の値を求めよ。
[(2) 名城大]
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第4章 微分法の応用
x \rightarrow 0 \] のとき \[ y \rightarrow 1 \], \[ x \rightarrow 1 \] のとき \[ y \rightarrow 0 \] であるから, 次の極限を求めなさい:
\[ \lim _{x \rightarrow+0} y^{\prime} \]
\[ \lim _{x \rightarrow 1-0} y^{\prime}
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次の極限を求めよ:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} n\\left(\\sqrt{4+\\frac{1}{n}}-2\\right)\n\\)
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13 (1) n->∞として lim n∈Z H_n を求めよ。\n (1) \n (2) \n (3) \n (4)
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PR f(x)=-log xとする。実数aに対して, 点(a, 0)を通る曲線y=f(x)の接線の本数を求めよ。ただし, lim_{x→+0} x log x=0を用いてもよい。
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例題 35 | 三角関数の極限の文章題
とし, 半径 1 の円 と半径 の円 の中心は一致しているとする。円 に内接し,円 に外接する円をできるだけたくさん描く。ただし,どの 2 つ の円も共有点の個数は 1 以下とする。描いた円の円周の長さの総和を とするとき, を求めよ。
[信州大]
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関数の極限を求める問題です。関数 f(x) の x が a に近づくときの極限値を求めてください。特に, 右側極限 \lim _{x \rightarrow a+0} f(x) と左側極限 \lim _{x \rightarrow a-0} f(x) について考えてください。
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定数 a, b に対して, \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\sqrt{4 x^{2}+5 x+6}-(a x+b)\\right\\}=0 \\) が成り立つとき, (a, b) を求めよ。
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基本例題 40 (1) 極限を求めよ。\n\n\ \lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \sin \frac{1}{x} \
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2. y 軸に平行な漸近線 (x=a) の極限を調べる。
例 曲線 y=\frac{x^{2}}{x-1} について、定義域は x ≠ 1 であるから\lim _{x \rightarrow 1+0} y=\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{x^{2}}{x-1}=\infty, \lim _{x \rightarrow 1-0} y=\lim _{x \rightarrow 1-0} \frac{x^{2}}{x-1}=-\infty
ゆえに, 直線 x=1 は漸近線である。
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次の極限値を求めよ。(類攝南大)\\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \infty}\\left(\\frac{1}{2 n+1}+\\frac{1}{2 n+2}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{3 n}\\right) \\)\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \infty} \\frac{\\pi}{n^{2}} \\sum_{k=1}^{n} k \\sin \\frac{3 k}{n} \\pi \
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次の極限を求めよ:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\{(n+2)-(n-2)\\}(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n-1})}{\\{(n+1)-(n-1)\\}(\\sqrt{n+2}+\\sqrt{n-2})} \n\\)
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次の等式が成り立つように, 定数 \ a, b \ の値を定めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{\\sqrt{4 x+a}-b}{x-3}=\\frac{2}{5} \\n[福岡大]
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次の極限値を求めよ。\\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos \\frac{k \\pi}{2 n} \
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots \cdots+n \cdot(n+1)}{n^{3}} \)
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots \cdots+(2 n)^{2}}{1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}} \)
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(3)真数について\n\\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x^{2}}{x+1}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{x}{1+\\frac{1}{x}}=\\infty\\n\n底について, であるから\n\\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{3} \\frac{x^{2}}{x+1}=\\infty\
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数列の極限について, これまで学んだ解法のポイントをまとめましょう。数列の極限の求め方
1. 極限が求められる形に変形
基本例題 13,14 など
2.はさみうちの原理を利用 基本例題 15
11は,不定形 など)を解消するために利用した。
22 は, 上記以外で 極限を直接求めにくい場合に利用した。\n厂基本例題19のように, 数列が漸化式で定められている場合でも,一般項を求めてから 同じように考えればよい。また, 後で学ぶ重要例題 22 のように, 一般項を の式で表 すことが難しいときでも,2纪「「さみうちの原理」を利用して極限を求められる場合もある。
漸化式で極限をとると?
数列 が極限値 に収束する, すなわち のとき, も成り立 つ。したがって, 基本例題 19 の漸化式において両辺, とした極限をとると \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3} a_{n}+1\right) \) から 特性方程式 \)
これを解くと, となり,極限値と一致する。しかし,これは「極限値が存在する ならば, その値は3」ということであり, それが極限値として確かに存在することは保証されていないので,解答のように数列 の収束を調べることが必要になる。
PRACTICE 19 (2) の漸化式 で, 形式的に の とき とすると, から, となります。ところ が, と漸化式から は明らかであり, 極限が負の値であること は誤りであることがわかります。
極限をグラフで考える
基本例題 19 において, 点 \( \left(a_{n}, a_{n+1}\right) \) は直線 (1) 上にある。更に, 直線 (2) を考えて, まず点 \( \left(a_{1}, a_{1}\right) \) からそのまま真上に移動する と直線 (1) 上の最初の点 \( \left(a_{1}, a_{2}\right) \) に到達する。そこから 矢印に従って右へ移動すると直線 (2) 上の点 \( \left(a_{2}, a_{2}\right) \) へ,更に,そのまま真上に移動すると直線(1)上の次の点 \( \left(a_{2}, a_{3}\right) \) へ到達する。これを繰り返すと,右図のように,点 \( \left(a_{n}, a_{n+1}\right) \) はある点に近づいていくことがわかる。この点は直線 (1) と直線 (2) の交点 \( (3,3) \) である。これは, 数列 の極限が 3 であることを示している。
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3 数列の極限\nB20 \ 20 [x] \ は, 実数 \ x \ に対して, \ m \\leqq x <m+1 \ を満たす整数 \ m \ とする。このとき \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[10^{n} \\pi\\right]}{10^{n}} \ を求めよ。
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基本例題 41 (1) 極限を求めよ。\n\n\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{2x} \
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次の極限を求めよ。\n(1) \ \lim _{t \rightarrow 2 \pi} \frac{\sin t}{t^{2}-4 \pi^{2}} \[東京電機大]
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11 次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{2})^{x} \)
(2) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{x} \)
(3)
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練習 f(x) が x=a で微分可能な関数であるとき, 次の値を, a, f(a), f'(a) などを用いて表せ。
(1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(a + 3h) - f(a + h) ) / h
(2) lim₍ ₓ → a₎ 1 / (x² - a²) { f(a) / x - f(x) / a }
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次の極限を求めよ。 (1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\sin x}{(2 x-\\pi)^{2}} \\) (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sin \\pi x}{x-1} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\sin \\frac{1}{x} \
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すべての実数 x の値において微分可能な関数 f(x) は次の 2 つの条件を満たすものとする。\n(A) すべての実数 x, y に対して f(x+y)=f(x)+f(y)+8xy\n(B) f^{\\prime}(0)=3\nここで, f^{\\prime}(a) は関数 f(x) の x=a における微分係数である。\n(1) f(0)=ア \\square \\square (2) \\lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)}{y}= イ \\square\n(3) f^{\\prime}(1)= ウ \\qquad (4) f^{\\prime}(-1)=-I \\square\n[類 東京理科大]
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例題 31 | 片側からの極限と極限の存在\n次の極限を調べよ。 は を超えない最大の整数を表す。\n(1) \n(2) \( \lim _{x \rightarrow 2}([2 x]-[x]) \)\n\n指針 の近づく方向によって関数の符号や定義が異なるから,片側からの極限を調べて,次の ことを利用する。\n\\[\n\\begin{array}{lll}\n\\lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=\\lim _{x \rightarrow a-0} f(x)=\\alpha & \\text { ならば } & \\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\\alpha \\\\\n\\lim _{x \rightarrow a+0} f(x) \\neq \\lim _{x \rightarrow a-0} f(x) & \\text { ならば } & \\lim _{x \rightarrow a} f(x) \\text { は存在しない }\n\\end{array}\n\\]\n(1) \ |x| \ は\nCHART〉絶対値場合に分けよ\n(2) [ ] はガウス記号で, 式に表すと次のようになる。\n\\[\n\\begin{array}{lll}\n\\ n \\leqq x< n+1 \\text { ( } n \\text { は整数) のとき } \\\\ [x]=n\n}
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次の極限を求めよ。
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+a n+b}-n-\frac{a}{2}\right) \) ただし, は定数
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第 n \ 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(1) \\frac{5^{n}-10^{n}}{3^{2 n}} \\n(2) \\frac{3^{n-1}+4^{n+1}}{3^{n}-4^{n}} \\n(3) \\frac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \\n(4) \( \\frac{4^{n}-(-3)^{n}}{2^{n}+(-3)^{n}} \\)
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(1) 次の極限を求めよ。
(ア)
(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(3^{x}+2^{x}\right)^{\frac{1}{x}} \)
(ウ) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2} \log _{3} x+\log _{3}(\sqrt{2 x+1}-\sqrt{2 x-1})\right\} \)
(2) のとき, 不等式 が成り立つ。これを利用して, 極限 を求めよ。ただし, は を底とする対数である。
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次の極限を求めよ。\n(1) \( \\lim _{x \\rightarrow 3+0} \\frac{9-x^{2}}{\\sqrt{(3-x)^{2}}} \)\n(2) \( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{1}{2} \\log _{3} x+\\log _{3}(\\sqrt{3 x+1}-\\sqrt{3 x-1})\\right\\} \)
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正項級数 において, とする。 ならば は収束し, ならば は発散する。\n例 のとき, であるから\n であるから, 無限級数 は収束する。\n例 のとき, \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1) 3^{n}}{n \cdot 3^{n-1}}=\frac{3(n+1)}{n}=3\left(1+\frac{1}{n}\right) \) であるから\n であるから, 無限級数 は発散する。
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10 次の極限を求めよ。
(1)
(2)
(3) \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{1}{(x+3)^{2}} \)
(4)
(5) 1[ ], 2
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定積分と極限\n\( f(x)=\\int_{\\frac{\\pi}{4}}^{x}(\\sin t+\\cos t)^{4} d t \) とするとき, \( \\lim _{x \\rightarrow \\frac{\\pi}{4}} \\frac{f(x)}{x-\\frac{\\pi}{4}} \) を求めよ。
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ロピタルの定理を用いて, 次の極限を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4) \( \lim _{x \rightarrow \infty} x\left(1-e^{\frac{1}{x}}\right) \)
(5)
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次の極限値を求めよ。\n \( (1) \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\) \n(2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{π}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos ^{2} \frac{k π}{6 n} \ \n(3) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\) \n(4) \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \
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数列の極限 \( (3) \)\n次の極限を求めよ。\n(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+2+3+\cdots \cdots+n)\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots+n^{3}\right)}{\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)^{2}} \) [愛媛大]\n(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{3}\left(1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)-\log _{3} n^{3}\right\} \) [東京電機大]
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次の極限を求めよ。ただし, a > 0 とする。(1) lim_{x -> 0} (1 - cos 2x) / (x log(1+x)) (2) lim_{x -> 1/4} (tan(πx) - 1) / (4x - 1) (3) lim_{x -> a} (a^2 sin^2 x - x^2 sin^2 a) / (x - a) (4) lim_{h -> 0} (e^{(h+1)^2} - e^{h^2 + 1}) / h
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次の極限を求めよ。\n(1) \n(2) \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{1}{x-1} \\int_{1}^{x} \\frac{1}{\\sqrt{t^{2}+1}} d t \
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次の極限を求めよ。
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+\left(\frac{4}{3}\right)^{x}\right\}^{\frac{1}{x}} \)
(3) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\log _{2}\left(8 x^{2}+2\right)-2 \log _{2}(5 x+3)\right\} \) [(3) 近畿大]
(4) \( \lim _{x \rightarrow+0} x \log x\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x}=0\right. であることを利用してもよい。)
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三角形 \\mathrm{ABC} \ の頂点を移動する動点 \\mathrm{P} \ がある。移動の向きについては, \\mathrm{A} \\longrightarrow \\mathrm{B}, \\mathrm{B} \\longrightarrow \\mathrm{C}, \\mathrm{C} \ \ { }^{4} \ 25 \ \\rightarrow \\mathrm{A} \ を正の向き, \ \\mathrm{A} \\longrightarrow \\mathrm{C}, \\mathrm{C} \\longrightarrow \\mathrm{B}, \\mathrm{B} \\longrightarrow \\mathrm{A} \ を負の向きと呼ぶことにする。硬貨を投げて, 表 が出たらPはそのときの位置にとどまり, 裏が出たときはもう 1 度硬貨を投げ, 表なら正の向き に, 裏なら負の向きに隣の頂点に移動する。この操作を1回のステップとする。動点Pは初め 頂点Aにあるものとする。 \ n \ 回目のステップの後に PがAにある確率を \ a_{n} \ とするとき, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ を求めよ。
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EX \( f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \) のとき, \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3 x)-f(\sin x)}{x}=\gtrdot \square f^{\prime}(0)= \) イ である。
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次の極限を求めよ。
[(3) 北見工大]
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{2}{x-2}+1\right) \)
(3)
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(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{3 x^{2}}{\\sin ^{2} x}=\\lim _{x \\rightarrow 0} 3\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2} \n\\[=3 \\lim _{x \\rightarrow 0}\\left(\\frac{x}{\\sin x}\\right)^{2}=3 \\cdot 1^{2}=3\\]
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Oを中心とする半径 1 の円 の内部に中心と異なる定点 Aがある。半直線 と との交点を とし, を起点として の周を 等分する点を反時計回りに順に とする。\n と の距離を とするとき, を求めよ。 ただし, とする。[群馬大]
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例題 30 極限値から係数決定\n等式 \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2} \ が成り立つように, 定数 \ a, b \ の値を定めよ。
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次の極限を求めよ。\n(3) \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin \frac{x}{\pi}\right)}{x} \\)[関西大]
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数列 \( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \\) は無限数列とする。収束値 \\alpha \ に収束(収束しない) 発散 正の無限大に発散 \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=\\infty \ 負の無限大に発散 \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n}=-\\infty \ 振動。数列の極限が \ \\infty \, または \ -\\infty \ の場合には, これを極限値とはいわない。
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(3) \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{1-\cos x}\) を求めよ。
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次の極限値を求めよ。(日本女子大)\\n(4) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{n+1}{n^{2}} \\log \\frac{n+1}{n}+\\frac{n+2}{n^{2}} \\log \\frac{n+2}{n}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+n}{n^{2}} \\log \\frac{n+n}{n}\\right) \\)
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(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \infty} \\frac{1}{n}\\left(\\sum_{k=n+1}^{2 n} \\log k-n \\log n\\right)=\\int_{1}^{2} \\log x dx \\) を示せ。\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \infty}\\left\\{\\frac{(2 n)!}{n!n^{n}}\\right\\}^{\\frac{1}{n}} \\) を求めよ。
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n}\right) \)
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次の極限値を求めよ。\\n(3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{1}{n^{2}+1^{2}}+\\frac{2}{n^{2}+2^{2}}+\\frac{3}{n^{2}+3^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\\right) \\)
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第2章 極限 PR 第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(2) 16
(1)
(2)
(3)
(4) \( \frac{4^{n}-(-3)^{n}}{2^{n}+(-3)^{n}} \)
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数列 にいて, 次の事柄は正しいか。正しいものは証明し, 正しくないものは, その反例をあげよ。ただし, は定数とする。
(1) すべての に対して とする。このとき, ならば, である。
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a_{n}=∫_{n}^{n+1} 1/x dx とおくとき lim_{n→∞} e^{n a_{n}} = □ である。 [立教大]
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a は定数とし, 関数 f(x) は x=a で微分可能とする。このとき, 次の極限 を a, f^{\prime}(a) などを用いて表せ。\n(1) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a)}{h} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{a f(x)-x f(a)}{x-a} \\)
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(3) \ x \\longrightarrow \\infty \ のとき \ \\frac{1}{x} \\longrightarrow 0 \ であるから\n\\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\tan \\frac{1}{x}=0\
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次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n}{k^{2}+n^{2}} \\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\pi}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\cos ^{2} \\frac{k \\pi}{6 n} \\n(3) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \\)\n(4) \ \\lim _{n \\rightarrow \infty} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{n}{k^{2}+3 k n+2 n^{2}} \
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次の極限を求めよ:\n\\(\n\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+2 n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)\n\\)
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関数の極限\n(2)極限 \( \lim _{x \rightarrow \infty} \log _{x}\left(x^{a}+x^{b}\right) \) を求めよ。\n[(2) 類 早稲田大]
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PR(218\n(1) のとき, 極限 を求めよ。(2) は実数とするとき, 極限 を求めよ。HINT (2) のとき, \( r^{2 n}=(-1)^{2 n}=\left\{(-1)^{2}\right\}^{n}=1^{n}=1 \) である。(1) のとき よって のとき よって のとき ゆえに \( \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{r}\right)^{n+1}=0 \)よって \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{r}}{2\left(\frac{1}{r}\right)^{n+1}+1}=\frac{\frac{1}{r}}{2 \cdot 0+1}=\frac{1}{r} \)
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PR 第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( \sqrt{n}(\sqrt{n-3}-\sqrt{n}) \)\n(4) \n(5) \n(6) \( n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2\right) \)
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数列 に関する極限
第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1) \( 3\left(-\frac{2}{5}\right)^{n-1} \)
(2) \( (-2)^{n}-3^{n} \)
(3)
(4) \( \frac{1-r^{n}}{1+r^{n}}(r \neq-1) \)
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基本例題 35 (3) 極限を求めよ。\n\n\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \
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第2章\n極限\nEX 数列 \ \{a_{n}\} \ が \\( a_{n}>0(n=1,2, \cdots) \\), \ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-5a_{n}+3}{2a_{n}+1}=-1 \ を満たすとき \ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \ を求めよ。
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PR\n \( \lim _{h \rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e \) であることを用いて, 次の極限を求めよ。\n(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{x} \)\n(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{2}(1+x)}{x} \)\n[会津大]\n(3) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x} \)\n(4) \( \lim _{x \rightarrow \infty} x\{\log (2 x+1)-\log 2 x\} \)
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次の極限を求めよ。\n(4) \ \lim _{x \rightarrow-0} \frac{\sqrt{1-\cos x}}{x} \\nHINT (4) 半角の公式利用。
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a は定数とし, 関数 f(x) は x=a で微分可能とする。このとき, 次の極限を a, f^{\prime}(a) などを用いて表せ。\n(1) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+3 h)-f(a+h)}{h} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{a^{2} f(x)-x^{2} f(a)}{x-a} \\)
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(1) \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h}を求めよ。\n(2) x-a=h とおくと x=a+h, \\quad x \\longrightarrow a のとき h \\longrightarrow 0。以下の式を求めよ。\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}} \n\\end{aligned}\n\\]
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微分係数 \( f^{\prime}(a) \) が存在するとき, 次の極限値を \( a, f(a), f^{\prime}(a) \) を用いて表せ。\n(1) \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \)\n(2) \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{2} f(a)-a^{2} f(x)}{x^{2}-a^{2}}, a \neq 0 \)
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{3}+5 x-2\right) \)
(2)
(3)
(4)
(5) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{4}\right) \)
(6)
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次の極限値を求めよ。ただし, (3)の \ a \ は定数とする。\n(1) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(5+h) \\)\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0}\\left(27-3 h+h^{2}\\right) \\)\n(3) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{3(a+h)^{2}-3 a^{2}}{h} \\)\n(4) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(3+h)^{3}-3^{3}}{h} \\)
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次の極限値を求めよ。ただし,(a)は定数とする。\n(1) \( \\lim _{h \rightarrow 0}(5+h) \)\n(2) \( \\lim _{h \rightarrow 0}\\left(27-3 h+h^{2}\\right) \)\n(3) \( \\lim _{h \rightarrow 0} \\frac{3(a+h)^{2}-3 a^{2}}{h} \)\n(4) \( \\lim _{h \rightarrow 0} \\frac{(3+h)^{3}-3^{3}}{h} \)
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次の極限値を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0}\\left(8+2 h+h^{2}\\right) \\)\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{(-2+h)^{2}-(-2)^{2}}{h} \\)
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導関数とその計算: 導関数を求めるための定義を説明しなさい。
数式:
\[ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
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(20) 極限の条件から数列の係数決定など\n数列の係数を極限の条件から決定せよ。\n例: 数列 {an} が収束するためには、ある係数 a を予め定める必要がある。この係数 a を求めなさい。
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\{\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}\} \)
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有名な関数とそれに関連した極限\n関数 \ y=x e^{x} \ の極限は、\ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \ です。
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次の極限値を求めよ。
(1)(ア) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin ^{n} \theta-\cos ^{n} \theta}{\sin ^{n} \theta+\cos ^{n} \theta} \quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{4}\right) \)
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{3}-3 x^{2}+5\right) \)
(2)
(3) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-x}-x\right) \)
(4)
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練習 曲線 を とする。 \( t(2 \leqq t \leqq 3) \) に対して, 曲線 上の点 \( (t, \sqrt{4-t}) \) と 原点, 点 \( (t, 0) \) の 3 点を頂点とする三角形の面積を \( S(t) \) とする。区間 を 等分し, その端点と分点を小さい方から順に とす るとき,極限値 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} S\left(t_{k}\right) \) を求めよ。 [類 茨城大]
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定積分と和の極限,および不等式について学びましょう。\n\n基本事項:\n1. 定積分と和の極限(区分求積法)\n関数 \( f(x) \) が閉区間 で連続であるとき、この区間を 等分して両端と分点を順に , とし、 とおくと、 で \n\n \\( \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k}) \Delta x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x \\)\n\n 特に、\n \ a=0, b=1 \ のとき \ \Delta x=\frac{1}{n}, x_{k}=\frac{k}{n} \ で \n\n \\( \int_{0}^{1} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \\)\n\n 2. 定積分と不等式: \n(1) 区間 \ [a, b] \ で \\( f(x) \geqq 0 \\) ならば \\( \int_{a}^{b} f(x) d x \geqq 0 \\) 等号は常に \\( f(x)=0 \\) であるときに限り成り立つ。\n(2) 区間 \ [a, b] \ で \\( f(x) \geqq g(x) \\) ならば \n\n \\( \int_{a}^{b} f(x) d x \geqq \int_{a}^{b} g(x) d x \\) 等号は、常に \\( f(x)=g(x) \\) であるときに限り成り立つ。
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数列 を関係式 \( I_{0}=\int_{0}^{1} e^{-x} d x, I_{n}=\frac{1}{n!} \int_{0}^{1} x^{n} e^{-x} d x(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) で定めるとき,次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) のとき, を の式で表せ。
(3) を求めよ。
(4) とするとき, を求めよ。
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数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) が \( \lim _{n \rightarrow \infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \) を満たすとき, である。
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関数の極限: 関数 f(x) を次の条件で求めよ: \n1. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4 \).\n2. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-5}{x}=3 \).
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第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1) 2\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}
(2) 5^{n}-(-4)^{n}
(3) \frac{3^{n+1}-2^{n}}{3^{n}+2^{n}}
(4) \frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}(r>-1)
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(1) が十分小さいとき, 関数 \( \tan \left(\\frac{x}{2}-\\frac{\\pi}{4}\\right) \) の近似式(1 次)を作れ。\n(2) (ア) が成り立つように定数 の値を定めよ。\n(イ)(ア)の結果を用いて, が十分小さいとき, の近似式を作れ。 また,その近似式を利用して の近似値を求めよ。
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第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(ア) \n(1) \n(ふ) \( n^{4}+(-n)^{3} \)\n(工)
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次の極限を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{3+7+11+\\cdots \\cdots+(4 n-1)}{3+5+7+\\cdots \\cdots+(2 n+1)} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{3}\\left(1^{2}+2^{2}+\\cdots \\cdots+n^{2}\\right)-\\log _{3} n^{3}\\right\\} \\)\n[(2) 東京電機大]
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数列 \( \left\{a_{n}(x)\right\} \) は \( a_{n}(x)=\frac{\sin ^{2 n+1} x}{\sin ^{2 n} x+\cos ^{2 n} x}(0 \leqq x \leqq \pi) \) で定められたものとする。
(1) この数列の極限値 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}(x) \) を求めよ。
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数列の極限(2)…無理式など
第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2} \log _{3} x+\log _{3}(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1})\right\} \)
(2) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right) \)
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例題 17 (2) (ウ) \\frac{2 n^{2} - 3 n}{n^{2} + 1} \ に対して、最も速く発散する項を用いて限界を計算しなさい。
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有名な関数とそれに関連した極限\n関数 \ y=x e^{-x} \ の極限は、\ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=0 \ です。
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(3) 数列の極限 (1)\n数列 {an} の極限を求めよ。\n例: an = 1/n\nこの数列が収束するか、発散するか判断し、収束する場合はその極限値を求めなさい。
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数列 \( \left\{a_{n}(x)\right\} \) は \( a_{n}(x)=\frac{\sin ^{2 n+1} x}{\sin ^{2 n} x+\cos ^{2 n} x}(0 \leqq x \leqq \pi) \) で定められたものとする。
(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}(x) \) を \( A(x) \) とするとき, 関数 \( y=A(x) \) のグラフをかけ。
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\( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log \left(1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdots \cdots \cdot n^{n}\right)}{n^{2} \log n} \) を求めよ。
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数列 につて, と を求めよ。\n(ア) \( \lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n}=1 \)\n(1)
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次の極限値を求めよ。
[(3) 京都産大]
(1)
(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{3}{x+3}-1\right) \)
(3)
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48 (1) 微分係数 \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) \( \left[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right] \) が存在するとき, \( f(x) \) は で微分可能であるという
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次の数列の極限を求めなさい:\n\n数列 において, が正の整数の場合、 が正の有理数の場合、および が正の無理数の場合。それぞれの極限を示しなさい。
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第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1) \left(\frac{3}{2}\right)^{n}
(2) 3^{n}-2^{n}
(3) \frac{3^{n}-1}{2^{n}+1}
(4) \frac{2^{n}+1}{(-3)^{n}-2^{n}}
(5) \frac{r^{2 n+1}-1}{r^{2 n}+1} (r は実数 )
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次の極限値を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\log _{2}\left(8 x^{2}+2\right)-2 \log _{2}(5 x+3)\right\} \) [近畿大]
(2) \\( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}+x\right) \\)
(3) \\( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(3 x+1+\sqrt{9 x^{2}+1}\right) \\)
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極限 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\cos n \\pi}{n} \ を求めよ。
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第 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( n (\sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 + 1}) \)\n(4) \n(5) \n(6) \n(7)
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関数 \( \lim_{{x \to a}} f(x) = \alpha \) の極限を求める問題を解いてください。
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第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(ア)
(イ)
(ウ) \( n^{4}+(-n)^{3} \)
(I)
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次の極限を求めよ。
(1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \)
(2)
(3)
(4) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-x\right) \)
(5) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) \)
(6)
(7)
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実数 に対して, を超えない最大の整数を で表す。 を正の整数とし a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left[\sqrt{2 n^{2}-k^{2}\right]}{n^{2}} とする。このとき, を求めよ。
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(2) とすると
は図の長方形の面積の和を表すから
\[
=[2 \sqrt{x}]_{1}^{2}=2(\sqrt{2}-1)
\]
別解
\[
=2(\sqrt{2}-1)
\]
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関数の片側からの極限\n x >a \ で が に限りなく近づくとき, x \\longrightarrow a+0, x <a \ で x \ が a \ に限りなく近づくとき, x \\longrightarrow a-0 \ と書き, 特に, a=0 \ のときは単に, x \\longrightarrow +0, x \\longrightarrow -0 \ と書く。次のことに注意。\n\\[\\lim _{x \\rightarrow a+0} f(x)=\\lim_{x \\rightarrow a-0} f(x)=α \\text{ のとき, } \\lim _{x \\rightarrow a} f(x)=α \\text{ である。 }\\]