関数と解析 - 極限と連続性 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

赤チャートはどのような点で数学の実力を完全に定着させることができますか？

62 次の極限値を求めよ。\n(1) lim_{x \\rightarrow 2}(x^{2}-3 x-2)\n(2) lim_{x \\rightarrow-2}(x^{2}+1)(x-1)

64\n\\[\n\\text { (1) } \\begin{array}{ll}\nf^{\\prime}(x)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\\\\n= & \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{\\{2(x+h)-3\\}-(2 x-3)}{h} \\\\\n=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{2 h}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} 2=2\n\\end{array}\n\\]

EXERCISESのページに取り組むのはいつが適切ですか？

微分係数と導関数\n微分係数\n$D$ 平均変化率 \( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a \neq b) \)\n$D$ 微分係数 (変化率)\n\[ f^{\\prime}(a)=\\lim _{b \\rightarrow a} \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

必要条件・十分条件が成り立つ具体例を説明してください。

練習\n 31 \\Rightarrow 本冊 p .329 \\n(1) \( \\lim_{x \\rightarrow 1+0} \\frac{(x-1)^2}{\\left|x^2-1\\right|} = \\lim_{x \\rightarrow 1+0} \\frac{(x-1)^2}{x^2-1} = \\lim_{x \\rightarrow 1+0} \\frac{x-1}{x+1} = 0 \\)\n\( \\lim_{x \\rightarrow 1-0} \\frac{(x-1)^2}{\\left|x^2-1\\right|} = \\lim_{x \\rightarrow 1-0} \\frac{(x-1)^2}{-\\left(x^2-1\\right)} = \\lim_{x \\rightarrow 1-0} \\frac{x-1}{-(x+1)} = 0 \\)\nよって \( \\lim_{x \\rightarrow 1} \\frac{(x-1)^2}{\\left|x^2-1\\right|} = 0 \\)\n(2) \ x \\longrightarrow+0 \\のとき \\quad \\frac{1}{x} \\longrightarrow \\infty より, \\quad 3^{\\frac{1}{x}} \\longrightarrow \\infty \\n x \\longrightarrow-0 \\のとき \\quad \\frac{1}{x} \\longrightarrow-\\infty \\ より, \\quad 3^{\\frac{1}{x}} \\longrightarrow \\+0 \\nよって x \\longrightarrow 0 \\のとき \\quad 3 \\frac{1}{x} \\の極限はない。 \\n(3)\n \\lim_{x \\rightarrow 2+0} \\frac{[x+1]-x}{x-[x]} = \\lim_{x \\rightarrow 2+0} \\frac{3-x}{x-2} = \\infty \\n \\lim_{x \\rightarrow 2-0} \\frac{[x+1]-x}{x-[x]} = \\lim_{x \\rightarrow 2-0} \\frac{2-x}{x-1} = 0 \\nよって, 極限はない。

何 $11 \Rightarrow$ 本冊 $p .314$\n第 $n$ 項 $a_{n}$ までの部分和を $S_{n}$ とする。\n(1) \( a_{n}=\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right) \)\nであるから\nS_{n}=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots \cdots+\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)\right\}\n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)\nよって $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{2}$\nしたがって, この無限級数は収束して，その和は $\frac{1}{2}$\n(2) \( a_{n}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=\frac{2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(n+2)-n} \)=$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$\nゆえに \( S_{n}=(\sqrt{3}-\sqrt{1})+(\sqrt{4}-\sqrt{2})+\cdots \cdots+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)+(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\n= \sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}-1-\sqrt{2}\)\nよって $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\infty$\nしたがって, この無限級数は発散する。

(4) $\lim _{x \rightarrow+0} x \log x\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x}=0\right.$ であることを利用してもよい。

関数の連続性の定義を説明しなさい。

(2) \ x=0 \ のとき \\( \\quad 1-(\\cos x)^{k}=0 \\) であるから \\( \\quad f(0)=0 \\)\n\ x \\longrightarrow 0 \ のとき, \ x \ は 0 と異なる値をとりながら 0 に近づくから， \ x \\neq 0 \ すなわち \ \\cos x \\neq 1 \ であり \\[f(x)=\\frac{1-\\cos ^{k} x}{1-\\cos x}=1+\\cos x+\\cos ^{2} x+\\cdots \\cdots+\\cos ^{k-1} x\\]\n\nよって \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x)=k \\neq 0 \\)\n\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} f(x) \\neq f(0) \\) であるから, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で連続でない。

以下, 繰り返すことにより \( \quad 1-a_{n}=\left(1-a_{1}\right)^{2 n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-1} \) ゆえに \( a_{n}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-1} よって \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1

湖題 123 定積分で表された関数の極限 次の極限値を求めよ。 (1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{1}^{x} t e^{-t} d t$ (2) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} d t$

次のパスカルの定理について説明しなさい。2次曲線に内接する六角形に関するこの定理は何を示していますか？

(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} 2 \cos x=2$

数列 $\left\{a_{n}\right\} , \left\{ b_{n} \right\}$ が収束するとき, 次のことが成り立つ。\n$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \alpha, \lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \beta$ とする。\n(1) すべての $n$ について, $a_{n} \leqq b_{n}$ ならば $\alpha \leqq \beta$ である。\n(2) すべての $n$ について, $a_{n} \leqq c_{n} \leqq b_{n}$ かつ $\alpha = \beta$ ならば, 数列 $\left\{c_{n}\right\}$ は収束し, $\lim_{n \rightarrow \infty} c_{n} = \alpha$ である。

(2) \( \\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{1}{x^{2}-a^{2}}\\left\\{\\frac{f(a)}{x}-\\frac{f(x)}{a}\\right\\} \\)\n\\( =\\lim _{x \\rightarrow a}\\left(-\\frac{1}{x+a} \\cdot \\frac{1}{x-a}\\left(\\left\\{\\frac{f(x)}{a}-\\frac{f(a)}{a}\\right\\}-\\left\\{\\frac{f(a)}{x}-\\frac{f(a)}{a}\\right\\}\\right\\}\\right) \\)\n\\( =\\lim _{x \\rightarrow a}\\left\\{-\\frac{1}{x+a}\\left\\{\\frac{1}{a} \\cdot \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+f(a) \\cdot \\frac{1}{a x}\\right\\}\\right\\} \\)\n\\( =-\\frac{1}{2 a}\\left\\{\\frac{f^{\\prime}(a)}{a}+\\frac{f(a)}{a^{2}}\\right\\}=-\\frac{a f^{\\prime}(a)+f(a)}{2 a^{3}} \\)\n

S = lim_{n → ∞} 1/n Σ_{k=1}^{3n} (k/n)² を求めよ。

解答 (2) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin \frac{x}{\pi}\right)}{x}

344\n180 でない実数 r が |r|<1 を満たすとき, 次のものを求めよ。ただし，自然数 n に対 して, lim _{n \rightarrow \infty} n r^{n}=0, lim _{n \rightarrow \infty} n(n-1) r^{n}=0 である。\n[大分大]\n(1) R_{n}=\sum_{k=0}^{n} r^{k} と S_{n}=\sum_{k=0}^{n} k r^{k-1}\n(2) T_{n}=\sum_{k=0}^{n} k(k-1) r^{k-2}\n(3) \sum_{k=0}^{\infty} k^{2} r^{k}

関数 \( f(x) \) において、 $x$ が $a$ に限りなく近づくとき、 \( f(x) \) の値が限りなく大きくなる場合、どのように表記し、何と呼びますか。

次の極限値を求めよ。ただし， a は定数とする。 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}$ (2) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{x-1}$ (3) \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a} \log \frac{x^{x}}{a^{a}}(a>0) \) (4) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log \{\log (x+e)\} \) (5) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}$ (6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}$

次の数列の極限を求めよ。(1) {2^{n} / n} (2) {n^{2} / 3^{n}}

漸近線を直線 y=a x+b とすると， \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=a かつ \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\{f(x)-a x\}=b

次のことが成り立つ。\n\ r>1, k=1,2,3,\\cdots のとき \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n}}{n^{k}}=\\infty \\n\\[ (1) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{k}}{r^{n}}=0 \\]

次の極限を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{3}+x^{2}-3\right) \) (2) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}-x+5}{3 x^{2}+1}$ (3) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4}{\sqrt{x^{2}+2 x}-x}$ (4) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right) \)

数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ が収束して, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\beta$ とする。次の性質を証明しなさい。\n1. 定数倍 $\lim _{n \rightarrow \infty} k a_{n}=k \alpha$\n2. 和 - 差 \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\alpha+\beta, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=\alpha-\beta \)

次の式を示せ。\n\\[ \lim_{b \to a} \frac{c-a}{b-a} = \lim_{b \to a} \frac{b+2a}{\sqrt{3}(\sqrt{a^2+ab+b^2} + \sqrt{3}a)} = \frac{1}{2} \\]

17 数列 {r^{n} / n^{k}},{n^{k} / r^{n} } の極限 r>1 のとき, lim _{n へ ∞} r^{n} / n^{2}=∞であることを示せ。

数学III\n251\n\\\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{\\frac{\\pi}{n}}=1, \\quad \\lim _{\\frac{\\pi}{n} \\rightarrow 0} \\frac{1}{\\cos \\frac{\\pi}{n}}=1\\n\nよって, \ n \\longrightarrow \\infty \ のとき \\( n^{k}\\left(b_{n}-a_{n}\\right) \\) が 0 でない値に収束するの は, \ k-2=0 \ すなわち \ k=2 \ のときであり \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n^{2}\\left(b_{n}-a_{n}\\right)=\\pi \\)

数学III\n239\n\\[ \\begin{aligned} x=0 & \\text { または } \\\\ -1 & <\\frac{1-3 x}{1-2 x}<1 \\\\ \\frac{1-3 x}{1-2 x} & =\\frac{1}{4\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)}+\\frac{3}{2} \\text { であるから, } \\end{aligned} \\]\n不等式 (1) の解は, 右の図より \ 0<x<\\frac{2}{5} \\nよって, 求める \ x \ の値の範囲は \ \\quad 0 \\leqq x<\\frac{2}{5} \ (2) \ 0<x<\\frac{2}{5} \ のとき \\( S(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}(x)=\\frac{x}{1-\\frac{1-3 x}{1-2 x}}= \\) ¡ \ 1-2 x \ \ x=0 \ のとき \\( \\quad S(x)=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}(x)=工_{0} \\) (3) 関数 \\( S(x) \\) の定義域は \ 0 \\leqq x<\\frac{2}{5} \ ゆえに, \\( y=S(x) \\) のグラフは右の図 のようになる。よって, \\( S(x) \\) は \ 0<x<\\frac{2}{5} \ で連続, \ x={ }^{\\prime} 0 \ で不連続である。

329 例題 31 | 片側からの極限と極限の存在 次の極限を調べよ。 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x}{|x|}$ (2) \( \lim _{x \rightarrow 2}([2 x]-[x]) \) 指針 $x$ の近づく方向によって関数の符号や定義が異なるから，片側からの極限を調べて，次の ことを利用する。

\n(2)\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow+0} \\frac{\\sin h}{h}=1 \\\\\n\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0} \\frac{\\left(h^{2}+h\\right)-0}{h}=\\lim _{h \\rightarrow-0}(h+1)=1\n\\end{array}\n\\]\n\ h \\longrightarrow+0 \ と \ h \\longrightarrow-0 \ のときの極限値が一致し， \\( f^{\\prime}(0)=1 \\) となるから, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で微分可能である。\nしたがって, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で連続である。

(2) 2 以上の正の整数 $m$ に対して, $\frac{k \pi}{2} \leqq m < \frac{k+1}{2} \pi$ を満たす正 の整数 $k$ がただ 1 つ存在する。このとき, \( f(x) = 0 \) を満たす正の実数 $x$ のうち, $m$ 以下のものは $x = \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \cdots \cdots, \frac{k \pi}{2}$ の $k$ 個あるから \( p(m) = k \)\n\n$\frac{k \pi}{2} \leqq m < \frac{k+1}{2} \pi$ について $\frac{k \pi}{2} \leqq m$ から $k \leqq \frac{2 m}{\pi}$, $m < \frac{k+1}{2} \pi$ から $k+1 > \frac{2 m}{\pi}$ よって $\frac{2 m}{\pi} - 1 < k \leqq \frac{2 m}{\pi}$\n\n各辺を \( m (> 0) \) で割って \( \quad \frac{2}{\pi} - \frac{1}{m} < \frac{p(m)}{m} \leqq \frac{2}{\pi} \)\n\n\( \lim_{m \rightarrow \infty} \left( \frac{2}{\pi} - \frac{1}{m} \right) = \frac{2}{\pi} \) であるから \( \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p(m)}{m} = \frac{2}{\pi} \)

(3) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\log _{2}\left(8 x^{2}+2\right)-2 \log _{2}(5 x+3)\right\} \)

ロピタルの定理を用いて, 次の極限値を求めよ。 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}}$ (2) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$ (3) $\lim _{x \rightarrow+0} x \log x$

12 （1）０に収束（2）正の無限大に発散\n(3) 0 に収束\n(4) 0 に収束

数列 $\left\{a_{n}\right\} , \left\{ b_{n} \right\}$ が収束するとき, 次のことが成り立つ。\n数列 $\left\{a_{n}\right\} , \left\{ b_{n} \right\}$ が収束して, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\beta$ とする。

次の極限を求めよ。\n(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\sin x}$\n(2) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x-1}{\cos x}$\n(3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{\tan 2 x}$

\lim _{x \rightarrow \infty} y=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=0 であるから, 直線 y=0 が漸近線である。

解答 (1) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 \sin x)}{3 x(1+2 x)}

307 例題 19 | 漸化式と極限 (3) \( \mathrm{P}_{1}(1,1), x_{n+1}=\frac{1}{4} x_{n}+\frac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\frac{3}{4} x_{n}+\frac{1}{5} y_{n} \quad(n=1,2, \cdots \cdots) \) を満たす平面上の点列 \( \mathrm{P}_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right) \) がある。点列 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \cdots \cdots$ はある定点に限りなく近づく ことを証明せよ。

第n項 a_{n} は a_{n} = \frac{3n-2}{n+1} ゆえに、 \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n-2}{n+1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}} = 3 \neq 0 よって、この無限級数は発散する。

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の第 $n$ 項 $a_{n}$ は $n$ 桁の正の整数とする。このとき, 極限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log _{10} a_{n}}{n}$ を調べよ。

lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (1 + k/n)^p * 1/n と lim_{n → ∞} Σ_{k=1}^{2n} (k/n)^p * 1/n を求めよ。

2 つの数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ について, 次の事柄は正しいか。 (1) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$ ならば $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0$ (2) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\beta(\alpha, \beta$ は定数 \( ) \) ならば $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\alpha}{\beta}$ (3) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\infty$ ならば \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0 \) (4) \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0 \) ( $\alpha$ は定数 \( ) \) ならば $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\alpha$

次の極限を求めよ。 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+2+3+\cdots \cdots+n)\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots+n^{3}\right)}{\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)^{2}} \) [愛媛大] (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{3}\left(1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)-\log _{3} n^{3}\right\} \) [東京電機大]

数列 {r^n} に関する極限を求めよ。

曲線 \(y=f(x)\) の変曲点が 1 個以下であれば, この曲線は複接線をもたないことを証明せよ。

[河 $16 \Rightarrow$ 本冊 $p .327$\n(1)\n\[ \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{3}+x^{2}-3\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{3}\left(2+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{3}}\right)=-\infty \]\n(2)\n$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}-x+5}{3 x^{2}+1}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^{2}}}{3+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{2}{3}$\n(3)\n\[ \begin{aligned}& \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4}{\sqrt{x^{2}+2 x}-x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4\left(\sqrt{x^{2}+2 x}+x\right)}{\left(x^{2}+2 x\right)-x^{2}} \\= & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4\left(\sqrt{x^{2}+2 x}+x\right)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow \infty} 2\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)=4 \end{aligned} \]

次の式の値を求めよ。\n\n\( \frac{1}{a} Y^{\\prime}(a)+\frac{1}{a^{3}} Y^{\\prime}\\left(\\frac{1}{a}\\right) = -\\left(a^{2}-1\\right) e^{-\\frac{a^{2}}{2}}-\frac{1}{a^{4}}\\left(\\frac{1}{a^{2}}-1\\right) e^{-\\frac{1}{2 a^{2}}} \)\n\nここで \( \\lim_{a \\rightarrow 0}\\{ -\\left(a^{2}-1\\right) e^{-\\frac{a^{2}}{2}} \\} = 1 \)\nまた, $\\frac{1}{2 a^{2}} = t$ とおくと次の式が成立する。\n\n\( \\lim_{a \\rightarrow+0} \\frac{1}{a^{4}}\\left(\\frac{1}{a^{2}}-1\\right) e^{-\\frac{1}{2 a^{2}}} = \\lim_{t \\rightarrow \\infty} 4 t^{2}(2 t-1) e^{-t} = \\lim_{t \\rightarrow \\infty}\\left(8 t^{3} e^{-t}-4 t^{2} e^{-t}\\right) \)\n\n$\\lim_{t \\rightarrow \\infty} t^{3} e^{-t} = 0, \\lim_{t \\rightarrow \\infty} t^{2} e^{-t} = 0$ であるから\n\n\( \\lim_{a \\rightarrow+0} \\frac{1}{a^{4}}\\left(\\frac{1}{a^{2}}-1\\right) e^{-\\frac{1}{2 a^{2}}} = 8 \\cdot 0 - 4 \\cdot 0 = 0 \)\n\n よって, (2), (3), (4)より \( \\lim_{a \\rightarrow+0} \\frac{Z^{\\prime}(a)}{a} = 1 - 0 = 1 \)

次の極限を求めよ。(ア) lim _{x \rightarrow-\infty} $\frac{4^{x}}{3^{x}-2^{x}}$

例題 30 極限値から係数決定 等式 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a \sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$ が成り立つように, 定数$a, b$ の値を定めよ。

総合演習 471 ０≤ｘ≤1において ０≤log(1＋ｘ)≤log2 各辺を1＋nｘ(>0)で割ると ０≤(log(1＋ｘ))/(1＋nｘ)≤(log2)/(1＋nｘ) よって ０≤∫[0,1](log(1＋ｘ))/(1＋nｘ)dx≤∫[0,1](log2)/(1＋nｘ)dx ∫[0,1](log2)/(1＋nｘ)dx＝log2[1/nlog(1＋nｘ)]を[0,1]に適用すると(log(1＋n))/n・log2 となるから ０≤∫[0,1](log(1＋ｘ))/(1＋nｘ)dx≤(log(1＋n))/n・log2 また lim[n→∞]{(log(1＋n))/n・log2}＝lim[n→∞]{(log(1＋n))/(1＋n)・(1＋n)/n・log2} ＝lim[n→∞]{(log(1＋n))/(1＋n)・(1/n＋1)・log2}＝０ ゆえにはさみうちの原理からlim[n→∞]∫[0,1](log(1＋ｘ))/(1＋nｘ)dx＝０ よって、(2)から lim[n→∞]|I[n]−∫[0,1]log(1＋ｘ)dx|＝０ すなわち lim[n→∞]I[n]＝∫[0,1]log(1＋ｘ)dx＝[(1＋ｘ)log(1＋ｘ)−(1＋ｘ)]を[0,1]に適用すると ＝2log2−1 したがってlim[n→∞]I[n]＝2log2−1になることを用いて、(2)の定積分の値の評価を行う。

無限数列 $\left\{a_{n}\right\}$ において、項の番号 $n$ を限りなく大きくするとき、$a_{n}$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば、$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\alpha$ 、または $n \longrightarrow \infty$ のとき $a_{n} \longrightarrow \alpha$ と書き、$\alpha$ を数列 $\left\{a_{n}\right\}$ の極限値という。このことを証明しなさい。

数列 {r^n / n^k}, {n^k / r^n} の極限を求めよ。

練习 (1) 数列 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \cdots \cdots) \\) が \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(2 n-1) a_{n}=1 \\) を満たすとき, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ と \ 13 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n} \ を求めよ。 (2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{a n+b-\\sqrt{3 n^{2}+2 n}}=5 \ のとき, 定数 \ a, b \ の値を求めよ。

関数 f(x) が定義域のすべての x の値で連続である場合、どのように表現しますか？

x > 1 のとき, 不等式 0 < log x < x が成り立つ。これを利用して, 極限 lim _{x \rightarrow ∞} $\frac{\log x}{x}$ を求めよ。ただし, log x は e = 2.71828... を底とする対数である。

次の極限値を求めよ。\n(1) \\lim _{x \\rightarrow 0} \\log \\frac{e^{x}-1}{x} \\n(2) \\lim _{x \\rightarrow+0} \\frac{e^{x}-e^{\\sin x}}{x-\\sin x} \

関数 ( ) が ( ) を含む区間で連続で, ( ) において微分可能であるとき,極限値 ( ) がともに存在し，かつそれらが一致するならば， ( ) は ( ) において微分可能であることを証明せよ。

次の極限を求めよ。 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$

次の関数は, x=0 で連続であるか，微分可能であるかを調べよ。 (1) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0)\end{array}\right. (2) g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0)\end{array}\right.

解答 (3) lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}

演習例題 22 ウォリスの公式，スターリングの公式の証明 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ を $a_{n}=\frac{n!}{\sqrt{n} n^{n} e^{-n}}$ で定める。このとき $\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\sqrt{2 \pi}$ であることを，以下の手順で示せ。 (1) 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ を \( b_{n}=\frac{2^{2 n}(n!)^{2}}{\sqrt{n}(2 n)!} \) で定める。 $0<x<\frac{\pi}{2}$ のとき \[ \sin ^{2 n+1} x<\sin ^{2 n} x<\sin ^{2 n-1} x \quad(n=1,2,3, \cdots \cdots) \] であることを用いて, $\lim _{n \\rightarrow \\infty} b_{n}=\sqrt{\pi}$ であることを示せ。 （2）すべての自然数 $n$ に対して, \( 0<\log \frac{a_{n}}{a_{n+1}}<\frac{100}{n(n+1)} \) が成り立つことを示 せ。 (3) $\lim _{n \\rightarrow \\infty} \frac{a_{n}}{a_{2 n}}=1$ であることを示せ。 (4) $\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\sqrt{2 \pi}$ であることを示せ。 [類 大阪大]

(1) $\lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{3^{x}+5^{x}}{3^{x}-5^{x}}$

実数 $x$ に対して, $[x]$ を $m \leqq x<m+1$ を満たす整数 $m$ とする。このとき $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[10^{2 n} \pi\right]}{10^{2 n}}$ を求めよ。

次の式で表される数列の極限を求めよ。(ア) $-2 n^{2}+3 n+1$ (イ) $\frac{-5 n+3}{3 n^{2}-1}$ (ウ) $\frac{2 n^{2}-3 n}{4 n^{2}+2}$

関数の片側からの極限値について説明しなさい。

次の極限を求めよ。 $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}$

練翌 次の極限を求めよ。 (1) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2} \sin x\right)}{x} [工学院大] (2) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^{2}} [立教大] (3) lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos x}{x} (4) lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}

次の極限値を求めよ。ただし，αは定数とする。 (ア) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}-1}{x}$ (1) \( \lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{x \sin x-\alpha \sin \alpha}{\sin (x-\alpha)} \) (2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$ (p.362 参照) を用いて, 極限値 \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{(h+1)^{2}}-e^{h^{2}+1}}{h} \) を求めよ。 [(2) 法政大] <例21, 24, 25>

与えられた極限を求めよ。\n\n\ \\lim _{\\beta \\rightarrow \\alpha} A \\n\n次のように展開される：\n\n\\[ \\begin{aligned}\n= f^{\\prime}(\\alpha) = n(n-1) \\alpha^{n-2} - \\left\\{(n-1) \\alpha^{n-2}+(n-2) \\alpha^{n-2}+\\cdots \\cdots+\\alpha^{n-2}\\right\\} = n(n-1) \\alpha^{n-2} - \\frac{1}{2} n(n-1) \\alpha^{n-2} = \\frac{1}{2} n(n-1) \\alpha^{n-2} \\end{aligned} \\]

(3) (2) から\n$x_{n}>a$\n(1) から \( \frac{f^{\prime}\left(x_{n}\right)\left(x_{n}-x_{n+1}\right)}{x_{n}-a}>f^{\prime}(a) \)\n\( f^{\prime}\left(x_{n}\right)>0 \) であるから \( \quad \frac{x_{n}-x_{n+1}}{x_{n}-a}>\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)\n変形すると \( \frac{\left(x_{n}-a\right)-\left(x_{n+1}-a\right)}{x_{n}-a}>\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)\nすなわち \( \quad 1-\frac{x_{n+1}-a}{x_{n}-a}>\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)\nしたがって \( \frac{x_{n+1}-a}{x_{n}-a}<1-\frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)

[2] p>0 のとき f′(x)=0 とすると x=1/p x>0 における f(x) の増減表 は右のようになる。 y=f(x) のグラフが x 軸と共有する点をもたないための条件は f(1/p)>0 であるから 1+q+log p>0 すなわち q>−log p−1 [1], [2] から, 求める条件は p>0 かつ q>−log p−1 別解 p=0 とすると, y=p x+q は y=q となる。 p<0 とすると, y=p x+q について x=0 のとき y=q lim x→∞ y=lim x→∞(p x+q)=−∞ また lim x→+0 log x=−∞, lim x→∞ log x=∞ ゆえに, p≤0 のとき, 直線 y=p x+q と y=log x のグラフは共有点をもつ。よって, p>0 が必要である。 p>0 のとき, p 固定して直線 y=p x+q と y=log x のグラフ が接するときの q の値を q0 とすると, 求める必要十分条件は p>0 かつ q>q0 である。 直線 y=p x+q と y=log x のグラフが x=α で接するとすると p α+q=log α, p=1/α よって α=1/p, q=−log p−1 ゆえに, 求める必要十分条件は p>0 かつ q>−log p−1 演習 39 |II ⇒ 本冊 p .437

(1) \( a_{n}=(2 n-1) a_{n} \times \frac{1}{2 n-1} \) であり\n\[\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n-1}=0\]\nよって\n\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n-1}\]\n$=1 \cdot 0=0$\n\( n a_{n}=(2 n-1) a_{n} \cdot \frac{n}{2 n-1}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2} \)であるから\n\(\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2 n-1}=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

（1）等式 \ \\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{a x^{2}+b x+3}{x^{2}-2 x-3}=\\frac{5}{4} \ を満たす定数 \ a, b \ の値を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+2 h)-f(a-h)}{h} \\) を \\( f^{\\prime}(a) \\) を用いて表せ。

（1）等式 \ \\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}+a x+b}{x-1}=3 \ を満たす定数 \ a, b \ の値を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a-3 h)-f(a)}{h} \\) を \\( f^{\\prime}(a) \\) を用いて表せ。

次の極限値を求めよ。\n(1) \( \\lim _{x \\rightarrow-1}\\left(x^{3}-2 x+3\\right) \)\n(2) $\\lim _{x \\rightarrow 3} \\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-12}$\n(3) \( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{2}{x}\\left(\\frac{1}{x-1}+1\\right) \)\n(4) $\\lim _{x \\rightarrow 1} \\frac{\\sqrt{x+8}-3}{x-1}$

次の極限値を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{2}-5 x-6\right) \) (2) \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+3 h)^{3}-(a+h)^{3}}{h} \) [(2) 東京電機大] (3) $\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{3}+4 x^{2}+2 x+8}{x^{2}+x-12}$ (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-2 x}}{x}$ [(4) 京都産大]

次の極限値を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{2}-5 x-6\right) \) (2) \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(a+3 h)^{3}-(a+h)^{3}}{h} \) (3) $\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{3}+4 x^{2}+2 x+8}{x^{2}+x-12}$ (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-2 x}}{x}$

次の極限値を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-3 x+4\right) \) (2) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}$ (3) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ $\angle$ 基本 195

次の関数の極限を求めよ。\n\\\lim_{x \\to 0} \\frac{\sin x}{x}\

練習 次の極限値を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{3}-2 x+3\right) \) (2) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-12}$ (3) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{x}\left(\frac{1}{x-1}+1\right) \) (4) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}$

次の極限値を求めよ。 〔(2) 岩手大〕 -228 (1) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n} \sin ^{2} \frac{k \pi}{n}$ (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(e^{\frac{1}{n}}+2 e^{\frac{2}{n}}+3 e^{\frac{3}{n}}+\cdots \cdots+n e^{\frac{n}{n}}\right) \)

次の極限を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \) (2) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+3}{x^{3}-2 x}$ (3) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}+1}{x+1}$ (4) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}-x\right) \) (5) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) \) (6) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2^{x-1}}{1+2^{x}}$ (7) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{7^{x}-5^{x}}{7^{x}+5^{x}}$

次の極限値を求めよ。ただし, \ [x] \ は \ x \ を超えない最大の整数を表すとする。(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow k-0}([2 x]-2[x]) \\quad(k \\) は整数 \\( ) \\)(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[\\sqrt{x+x^{2}}\\right]-\\sqrt{x}}{x} \

数列の和の不等式の証明と極限\n（1） 2 以上の自然数 $n$ に対して, 次の不等式を証明せよ。\n\[n \log n-n+1<\log (n!)<(n+1) \log (n+1)-n\]\n(2) 極限値 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log (n!)}{n \log n-n} \) を求めよ。\n〔類 首都大東京〕

EX数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ とその初項から第 n \ 項までの和 S_{n} \ について\n（1）一般項 a_{n} \ を求めよ。\n(2) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{S_{n}}{a_{n}} \ を求めよ。

次の極限を求めよ。 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots \cdots+(2 n)^{2}}{1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}} \)

(4) 右側極限は 0 , 左側極限は 1; 極限は存在しない

実数 \ x \ に対して, \ [x] \ を \ m \\leqq x<m+1 \ を満たす整数 \ m \ とする。このとき, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[10^{2 n} \\pi\\right]}{10^{2 n}} \ を求めよ。

(3) (ア) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{2^{x}a-2^{-x}}{2^{x+1}-2^{-x-1}} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{a-\\frac{1}{2^{2 x}}}{2-\\frac{1}{2^{2 x+1}}} =\\frac{a}{2} \ よって \ \\quad \\frac{a}{2} =\\frac{3}{4} \ ゆえに \ \\quad a=\\frac{3}{2} \

次関数 \\( f(x) \\) が \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) を満たすとき、\\( f(x) \\) を求めよ。

次の極限値を求めよ。ただし、 $a$ は定数とする。 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{2 x}-1}{x}$ (2) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{x-1}$ (3) \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{x-a} \log \frac{x^{x}}{a^{a}} \quad(a>0) \) (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}$ (5) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}$

次の極限値を求めよ。

\( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log \left(1^{1} \cdot 2^{2} \cdot 3^{3} \cdots \cdots \cdot n^{n}\right)}{n^{2} \log n} \) を求めよ。

綀埳次の極限値を求めよ。(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(e^{\frac{1}{n}}+2 e^{\frac{2}{n}}+3 e^{\frac{3}{n}}+\cdots \cdots+n e^{\frac{n}{n}}\right) \)

次の関数について, $x$ が 1 に近づくときの右側極限, 左側極限を求めよ。そして, $x \rightarrow 1$ のとき の極限が存在するかどうかを調べよ。\n(1) \( \frac{1}{(x-1)^{2}} \)\n(2) \( \frac{1}{(x-1)^{3}} \)\n(3) \( \frac{(x+1)^{2}}{\left|x^{2}-1\right|} \)\n(4) $x- [x]$

$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ を求めよ。

(203 次の極限値を求めよ。\n\n〔(1) 日本女子大, (2) 立教大, 長崎大, (3) 同志社大〕\n\n(1) lim_{n→∞}sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n^2} \log \frac{n+k}{n} \right)\n(2) lim_{n→∞}sum_{k=1}^{n} \left( \frac{n}{n^2+k^2} \right)\n(3) lim_{n→∞} \sqrt{n}\left(\sin \frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} \n

次の関数に最大値, 最小値があれば, それを求めよ。ただし, (2) では必要ならば \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x e^{-x}=\\lim _{x \\rightarrow \\infty} x^{2} e^{-x}=0 \ を用いてもよい。\n(1) \ y=\\frac{2 x}{x^{2}+4} \\n(2) \\( y=\\left(3 x-2 x^{2}\\right) e^{-x} \\)\n〔(2) 類 日本女子大 〕

次の極限値を求めよ。 （(6) 法政大） (1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{x}$ (2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4 x}{3 x}$ (3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\sin 5 x}$ (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2 x}{x}$ (5) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x}{1-\cos x}$ (6) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x^{2}}$ (7) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin 2 x}{\sin 3 x}$

次の極限値を求めよ。 (6) $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin ^{2} \frac{1}{x}$

EX\極\限\na>0 とする。\n(1) 関数 f(x) が x の連続関数となるための定数 a, b, c の条件を求めよ。\n（2）定数 a, b, c が(1) で求めた条件を満たすとき, 関数 f(x) の最大値とそれを与える x の値 を a 用いて表せ。\n（3）定数 a, b, c が(1) で求めた条件を満たし，関数 f(x) の最大値が \\frac{5}{4} であるとき, 定数 a, b, c の値を求めよ。\n〔鳥取大〕\n(1) [1] -1<x<1 のとき lim _{n \\rightarrow ∞} x^{n}=0 であるから f(x)=-x^{2}+b x+c\n[2] x=-1 のとき f(-1)=\\frac{-a-1-b+c}{2}\n[3] x=1 のとき f(1)=\\frac{a-1+b+c}{2}\n[4] x<-1, 1<x のとき f(x)=lim _{n \\rightarrow ∞} \\frac{\\frac{a}{x}-\\frac{1}{x^{2 n-2}}+\\frac{b}{x^{2 n-1}}+\\frac{c}{x^{2 n}}}{1+\\frac{1}{x^{2 n}}}=\\frac{a}{x}\nf(x) は x<-1,-1<x<1,1<x において, それぞれ連続である。したがって, f(x) が x の連続関数となるための条件は, x=-1 および x=1 で連続であることである。よって \\lim _{x \\rightarrow-1-0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow-1+0} f(x)=f(-1)\nかつ \\lim _{x \\rightarrow 1-0} f(x)=\\lim _{x \\rightarrow 1+0} f(x)=f(1)\nHINT (1) x^{2 n} の極限 を考えることになるから、 x= ± 1 で区切って考える。\n((-1)^{2 n}=1 , (-1)^{2 n-1}=-1\n(|x|>1 のとき , n \\rightarrow ∞ とすると \\frac{1}{x^{2 n}} \\rightarrow 0, \\frac{1}{x^{2 n-1}} \\rightarrow 0 , \\frac{1}{x^{2 n-2}} \\rightarrow 0

ゆえに \( \\quad a_{n+1}-a_{n}=2\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}, \\quad a_{n+1}-\\frac{1}{4} a_{n}=\\frac{11}{4} \\) 辺々を引いて \( a_{n}=\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1} \\) \\leftarrow a_{n+1} \ を消去。 よって \( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\frac{11}{3}-\\frac{8}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{n-1}\\right\\}=\\frac{11}{3}-0=\\frac{11}{3} \\)

(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \infty} \\int_{0}^{1} R_{n}\\left(x^{2}\\right) d x \\) を求めよ。

次の条件の関数 f(x) が、x=π/2 において微分可能ではないことを示せ。112 x ≤ π/2 のとき f(x)=cos x-π/2 sin x, x>π/2 のとき f(x)=x-π

次の極限値を求めよ。\n(1) \\lim_{x \\rightarrow 1} \\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-5 x+4} \\n(2) \\lim_{x \\rightarrow-2} \\frac{x^{3}+3 x^{2}-4}{x^{3}+8} \\n(3) \( \\lim_{x \\rightarrow 1} \\frac{1}{x-1}\\left(x+1+\\frac{2}{x-2}\\right) \\)\n(4) \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{1+x}-\\sqrt{1-x}}{x} \\n(5) \\lim_{x \\rightarrow 2} \\frac{\\sqrt{2 x+5}-\\sqrt{4 x+1}}{\\sqrt{2 x}-\\sqrt{x+2}} \\n(6) \( \\lim_{x \\rightarrow 3} \\frac{\\sqrt{(2 x-3)^{2}-1}-\\sqrt{x^{2}-1}}{x-3} \\)\n〔(1) 芝浦工大, (4) 北見工大, (6) 創価大〕

次の極限値を求めよ。(2) では \ p>0 \ とする。\n(1) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n}\\left\\{\\left(\\frac{1}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{2}{n}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{n}\\right)^{2}+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{3 n}{n}\\right)^{2}\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\\cdots \\cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\\cdots \\cdots+(2 n)^{p}} \\)

次の極限を求めよ。 (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{2}\left(1^{3}+2^{3}+\cdots \cdots+n^{3}\right)-\log _{2}\left(n^{4}+1\right)\right\} \)

(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{p}+(n+2)^{p}+\cdots \cdots+(n+2 n)^{p}}{1^{p}+2^{p}+\cdots \cdots+(2 n)^{p}} \), p > 0

第 $n$ 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n\n(ア) $\\sqrt{4n-2}$\n(イ) $\\frac{n}{1-n^{2}}$\n(ウ) \( n^{4}+(-n)^{3} \)\n(エ) $\\frac{3n^{2}+n+1}{n+1}-3n$

等式 \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) が成り立つような定数 \ a \ の値を求めよ。 〔法政大〕

次の極限値を求めよ。 (1) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-5 x+4}$ (2) $\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}+3 x^{2}-4}{x^{3}+8}$ (3) \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}\left(x+1+\frac{2}{x-2}\right) \) (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ (5) $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x+5}-\sqrt{4 x+1}}{\sqrt{2 x}-\sqrt{x+2}}$ (6) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{(2 x-3)^{2}-1}-\sqrt{x^{2}-1}}{x-3} \)

綀埳次の極限値を求めよ。(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n} \sin ^{2} \frac{k \pi}{n}$

以下の問題を解きなさい： (3) $$ y^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x}}{h} $$

(1) 数列 \\( \\left\\{a_{n}\\right\\}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) が \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}(3 n-1) a_{n}=-6 \\) を満たすとき，\n\ \lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n}=\\square \\text{ である。 } \

⑧6 曲線 $C: y=x^{3}-2 x^{2}+x$ に対して, 点 $\\mathrm{R}_{1}, \\mathrm{R}_{2}, \\cdots, \\mathrm{R}_{n}, \\cdots$ を次のように定める。\n\n\( \\mathrm{R}_{1}(1,0) ; n=1,2,3, \\cdots \\cdots \) に対して, 点 $\\mathrm{R}_{n}$ を通る直線は $\\mathrm{R}_{n}$ と異なる点 $\\mathrm{R}_{n+1}$\nにおいて C に接する。\nこのとき, 点 $\\mathrm{R}_{n}$ の $x$ 座標 $r_{n}$ を $n$ で表せ。また, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} r_{n}$ を求めよ。

(1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}+\left(\frac{3}{n}\right)^{2}+\cdots \cdots+\left(\frac{3 n}{n}\right)^{2}\right\} \)

次の極限値を求めよ。ただし、\ [x] \ は \ x \ を超えない最大の整数を表すとする。(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow k-0}([2 x]-2[x]) \\) ( \ k \ は整数 \\( ) \\)。

微分可能と連続の関係について説明しなさい。

次の関数は, x=0 において連続であるか、微分可能であるかを調べよ。(2) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & (x=0) \\ \frac{x}{1+2^{\frac{1}{x}}} & (x \neq 0)\end{array}\right.

次の等式が成り立つように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。\\\lim _{x \rightarrow 1} \\frac{a \\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\\sqrt{2}\

次の等式が成り立つように, 定数 $a, b$ の値を定めよ。\n(1) \\lim _{x \\rightarrow 4} \\frac{a \\sqrt{x}+b}{x-4}=2 \\n(2) \\lim _{x \\rightarrow 2} \\frac{x^{3}+a x+b}{x-2}=17 \\n(3) \\lim _{x \\rightarrow 8} \\frac{a x^{2}+b x+8}{\\sqrt[3]{x}-2}=84 \\n〔(2) 近畿大, (3) 東北学院大〕

第 $n$ 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n\n(1) \\frac{2n+3}{\\sqrt{3n^{2}+n}+n} \\n(2) \\frac{1}{\\sqrt{n^{2}+n}-n} \

極限における収束と発散を説明し、数列がどのように振る舞うかの基本的な性質を述べてください。

次の極限を求めよ。 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+7+11+\cdots \cdots+(4 n-1)}{3+5+7+\cdots \cdots+(2 n+1)} \) (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{3}\left(1^{2}+2^{2}+\cdots \cdots+n^{2}\right)-\log _{3} n^{3}\right\} \) 〔(2) 東京電機大〕

3 次関数 \\( f(x) \\) が \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{f(x)-2 x^{3}+3}{x^{2}}=4, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{f(x)-5}{x}=3 \\) を満たすとき, \\( f(x) \\) を求 めよ。

関数の極限

三角関数の極限\n角の単位が弧度法のとき $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x}{x}=1, \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x}{\\sin x}=1$

116 (1) 右側極限，左側極限ともに；極限は存在する

練習 第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 (1) $\frac{2 n+3}{\sqrt{3 n^{2}+n}+n}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}-n}$ (3) \( n\left(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n^{2}+1}\right) \) (4) $\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}$ (5) $\log _{3} \frac{\sqrt[n]{7}}{5^{n}}$ (6) $\sin \frac{n \pi}{2}$ (7) $\tan n \pi$

関数 \( f(x) \) において、$x \longrightarrow a+0$と $x \longrightarrow a-0$ の意味と、これらが同じ場合と異なる場合に関数の極限が存在するかどうかを説明せよ。

数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ が収束している場合、$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} = \alpha, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} = \beta$ について説明しなさい。

\n練習 ロピタルの定理を用いて, 次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{e^{x}-e^{-x}}{x} \\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x-\\sin x}{x^{2}} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} x \\log \\frac{x-1}{x+1} \

次の極限を求めよ。(4): \( \\lim_{x \\to \\infty} (\\sqrt{x^{2} + 2x} - x) \)

次の極限値を求めよ。 (3) \( \lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos \frac{1}{x}\right) \)

次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{2 n} \\frac{1}{3 n+k} \\n(2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\sum_{k=n+1}^{2 n} \\frac{1}{\\sqrt{k}} \

数列 \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) は \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) で定められたものとする。(1) この数列の極限値 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を求めよ。(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を \\( A(x) \\) とするとき, 関数 \\( y=A(x) \\) のグラフをかけ。

閉区間で連続な関数は，中間値定理が成り立つ。つまり、閉区間 $[a, b]$ で連続な関数 \( f(x) \) に対し、任意の \( f(a) \) と \( f(b) \) の間の値 $k$ に対してある $c$ が存在し、\( f(c) = k \) が成り立つ。この条件が満たされないとき、関数 \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) が区間 $(0, 1]$ で連続であると仮定し、ある $k$ に対して \( f(c) = k \) となる $c$ が存在しない場合があることを説明しなさい。

Sを次の極限値とすると，Sを求めなさい。 S = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left\{\sqrt{(2n)^{2}-1^{2}}+\sqrt{(2n)^{2}-2^{2}}+\sqrt{(2n)^{2}-3^{2}}+\cdots \cdots+\sqrt{(2n)^{2}-(2n-1)^{2}}\right\}

EX 今後毎年, 東京都の外に住む人の $\frac{1}{3}$ が都内へ移住し、都内に住む人の $\frac{1}{3}$ が都外へ移住すると 仮定する。 $n$ 年目の都外の人口を $a_{n}$, 都内の人口を $b_{n}$ とするとき, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ を求めよ。ただし，都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとする。\n〔東京都立大〕\n\( (n+1) \) 年目の都外の人口は\n$n$ 年目に都外に住み, \( (n+1) \) 年目に都内に移住しない人 と $n$ 年目に都内に住み, \( (n+1) \) 年目に都外に移住する人\nの数の合計になるから \( \quad a_{n+1}=a_{n} \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)+b_{n} \cdot \frac{1}{3} \)\nすなわち $\quad a_{n+1}=\frac{2}{3} a_{n}+\frac{1}{3} b_{n}$\n同様にして \( \quad b_{n+1}=a_{n} \cdot \frac{1}{3}+b_{n} \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right) \)\nすなわち $\quad b_{n+1}=\frac{1}{3} a_{n}+\frac{2}{3} b_{n} \cdots \cdots$

Sを次の極限値とすると，Sを求めなさい。 S = \lim_{n\rightarrow \infty} \left(\sin \frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+k}}

102 a=4, b=-1, 極限値 -\frac{15}{8}

点々の与え方による軌跡の問題です。\n次のように与えられた条件について、点 Q の座標および速度軌跡を求める。\n点 P が x 軸上を原点 (0,0) から点 (π,0) に向かって毎秒 π の速さで移動するとき、点 Q の t 秒後の速さ v(t) を求めよ。\n(1) 点 Q の座標を求めよ。\n(2) 点 P が x 軸上を原点 (0,0) から点 (π,0) に向かって毎秒 π の速さで移動するとき、点 Q の t 秒後の速さ v(t) を求めよ。\n(3) \( \\lim_{t \\rightarrow \\frac{1}{2}} \\frac{v(t)}{\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)^{2}} \) を求めよ。

次の極限値を求めよ。 〔(1)琉球大, （2）岐阜大〕 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n+k}{n^{4}}\right)^{\frac{1}{3}} \) (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{(k+n)^{2}(k+2 n)} \)

次の極限値を求めよ。 (5) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos x}{x}$

第4章 極限 EXERCISES

関数の連続性

数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n=1,2, \cdots \cdots) \) は無限数列上する。 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k}}=0$ の証明を示しなさい。

次の各数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ について, 極限 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{2}+a_{4}+\\cdots \\cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}} \ を調べよ。 (1) \ a_{n}=\\frac{1}{n^{2}+2 n} \ (2) \\( a_{n}=c r^{n}(c>0, r>0) \\)

次の極限値を求めよ。\n(2) \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\sin (\sin x)}{sin x-x} \\)

数学 \n分母を払って (c^{2}-1)(x+1)=c^{2}(x-1) \nゆえに 2 c^{2}=x+1 よって c^{2}=\frac{x+1}{2} \nx>1, c>1 であるから c=\sqrt{\frac{x+1}{2}} \n\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{c-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{\frac{x+1}{2}-1}{(x-1)\left(\sqrt{\frac{x+1}{2}}+1\right)} =\lim _{x \rightarrow 1+0} \frac{1}{2\left(\sqrt{\frac{x+1}{2}}+1\right)}=\frac{1}{2(\sqrt{1}+1)}=\frac{1}{4} \n\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{c-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{x+1}{2}}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=0

第 n 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。 (1) $\frac{4 n}{\sqrt{n^{2}+2 n}+n}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n}}$ (3) $\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n}$ (4) $\log _{2} \sqrt[n]{3}$ (5) $\cos n \pi$ 〔(3) 明治大〕

極限 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{9-8 x+7 \\cos 2 x}-(a+b x)}{x^{2}} \\) が有限の値となるように, 定数 \ a, \\quad b \ の値 を定め, そのときの極限値を求めよ。

次の極限値を求めよ。 (4) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 \sin x)}{3 x(1+2 x)} \)

(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left(\\sqrt{n^{2}+a n+2}-\\sqrt{n^{2}-n}\\right)=5 \\) であるとき, 定数 \ a \ の值を求めよ。

第 $n$ 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(ア) $1-\\frac{1}{2 n^{3}}$\n(イ) $3 n-n^{3}$\n(ウ) $\\frac{2 n^{2}-3}{n^{2}+1}$

総 合 演 習 50n 個のボールを 2n 個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし, どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも 1 個以下のボールしか入っていない 確率を pn とする。このとき, 極限値 lim n → ∞ (log pn / n) を求めよ。〔京都大〕

\\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1}{x^{3}}\\left\\{\\sqrt{1+2 x}-\\left(1+x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)\\right\\} \\) を求めよ。

次の極限値を求めよ。ただし, [ ] はガウス記号を表す。 (1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+[2 x]}{x+1}$ (2) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right\}^{\frac{1}{x}} \)

(204 次の極限値を求めよ。\n\n(1) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} \left\{ \sqrt{(2 n)^{2}-1^{2}}+\sqrt{(2 n)^{2}-2^{2}}+\cdots \cdots+\sqrt{(2 n)^{2}-(2 n-1)^{2}} \right\} \n(2) lim_{n→∞} sum_{k=1}^{2 n} \frac{n}{2 n^{2}+3 n k+k^{2}}\n\n〔(1) 山口大, （2）芝浦工大〕\n

EX 数列 \\( \\left\\{a_{n}(x)\\right\\} \\) は \\( a_{n}(x)=\\frac{\\sin ^{2 n+1} x}{\\sin ^{2 n} x+\\cos ^{2 n} x}(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \\) で定められたものとする。\n(1) この数列の極限値 \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を求めよ。\n(2) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}(x) \\) を \\( A(x) \\) とするとき, 関数 \\( y=A(x) \\) のグラフをかけ。\n〔名城大〕

等式 \\( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}-(a x+1)}{x}=3 \\) が成り立つような定数 \ a \ の値を求めよ。

数列 $\\frac{1}{2}, \\frac{2}{3}, \\frac{3}{4}, \\frac{4}{5}$ の極限を調べよ。

次の極限を求めよ。\n(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} \sin \frac{n \pi}{2}$\n(2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+2)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{(2 n)^{2}}\right\} \)\n(3) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right) \)

次の極限値を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{(x-\pi)^{2}}{1+\cos x} \)

次の極限値を求めよ。(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sqrt{\\cos 5 x}-\\sqrt{\\cos 3 x}}{x^{2}} \(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\frac{1}{4}} \\frac{\\tan \\pi x-1}{4 x-1} \

t1 数列の極限

極限值 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} T_{n} を求めよ。\n\n〔東京医歯大〕

極限に関する次の命題は, 成り立つかどうか紛らわしいが, 実はすべて偽である。どのようなときに成り立たないか，反例を確認してみよう。\n(2) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\infty, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} b_{n}=0 \ ならば $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} b_{n}=0$\n(反例) \\quad a_{n}=n+1, \\quad b_{n}=\\frac{1}{n} \ のとき $a_{n} b_{n}=1+\\frac{1}{n} \\longrightarrow 1$

(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\{ \\log _{\\frac{3}{2}}(2 x)-\\log _{\\frac{3}{2}}(3 x+2) \\} =\\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2 x}{3 x+2} \\) = \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\log \\frac{3}{2} \\frac{2}{3+\\frac{2}{x}}=\\log _{\\frac{3}{2}} \\frac{2}{3}=\\log _{\\frac{3}{2}}(\\frac{3}{2})^{-1}=-1 \\) \ \\leftarrow \ 分母・分子を \ 2^{x} \ で割る。

次の極限値を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \rightarrow \infty}\\left\\{\\log _{2}\\left(8 x^{2}+2\\right)-2 \\log _{2}(5 x+3)\\right\\} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \rightarrow-\\infty}\\left(\\sqrt{x^{2}+x+1}+x\\right) \\)\n(3) \\( \\lim _{x \rightarrow-\\infty}\\left(3 x+1+\\sqrt{9 x^{2}+1}\\right) \\)

(2) $\quad($ 与式 \( )=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\log _{2} \frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}-\log _{2}\left(n^{4}+1\right)\right\} \)

微分係数\n\\[ f^{\\prime}(a)=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\\lim _{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\]

次の極限値を求めよ。 〔(1) 日本女子大, (2) 立教大, 長崎大, (3) 同志社大〕 (203 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^{2}} \log \frac{n+1}{n}+\frac{n+2}{n^{2}} \log \frac{n+2}{n}+\cdots \cdots+\frac{n+n}{n^{2}} \log \frac{n+n}{n}\right) \) (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots \cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right) \) (3) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sin \frac{1}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} \)

(2) 右側極限は \ \\infty \, 左側極限は \ -\\infty \; 極限は存在しない

⑫3次の極限值を求めよ。ただし， $a$ は定数とする。\n(1) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}(a>1) \)\n(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (a+x)-\log a}{x}(a>0) \)\n(3) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+a x)}{x} \)\n(4) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \log (1+x)} \)

練習: 次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\sin \\frac{1}{x} \\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 4 x}{3 x} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 2 x}{\\sin 5 x} \\n(4) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan 2 x}{x} \\n(5) \\{ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x \\sin x}{1-\\cos x} \\}\n(6) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{1-\\cos 2 x}{x^{2}} \\n(7) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x-\\sin 2 x}{\\sin 3 x} \

次の極限値を求めよ。\n(ア) \n$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+a x-\sqrt{1+x}}{x^{2}}$\n(イ) \n \sqrt{1+x} \] の近似式を求め,それを用いて \[ \sqrt{102} の近似値を求めよ。

次の数列の極限を調べよ。\n(ア) $1, \\frac{1}{2^{2}}, \\frac{1}{3^{2}}, \\frac{1}{4^{2}}$, $\\qquad$ (イ) $\\sqrt{2}, \\sqrt{5}, \\sqrt{8}, \\sqrt{11}, \\cdots \\cdots$

練習 第 $n$ 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。\n(1) \( \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{n} \)\n(2) $3^{n}-2^{n}$\n(3) $\\frac{3^{n}-1}{2^{n}+1}$\n(4) \( \\frac{2^{n}+1}{(-3)^{n}-2^{n}} \)\n(5) \\frac{r^{2 n+1}-1}{r^{2 n}+1}(r \ は実数 \( )

EX 次の極限を求めよ。ただし， a, b は定数とする。〔(1) 小樽商大, (2) 東京電機大〕 (1) \( \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+a n+b}-n-\frac{a}{2}\right) \) (2) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots \cdots+n \cdot(n+1)}{n^{3}} \)

(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\left[ \\sqrt{x+x^{2}} \\right] - \\sqrt{x}}{x} \ を求めよ。

例 極限 \ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{4} \ を求める。

EX 次の各数列 {a_{n}} について, 極限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2}+a_{4}+\cdots \cdots+a_{2 n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots \cdots+a_{n}}$ を調べよ。

次の極限値を求めよ。\n(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2} \log _{3} x+\log _{3}(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1})\right\} \n(2) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right)

Sを次の極限値とすると，Sを求めなさい。 S = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}

(1) 次の関係を満たす数列 $\left\{a_{n}\right\}$について, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ と $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ を求めよ。30(ア) \( \lim _{n \rightarrow \infty}(2 n-1) a_{n}=1 \)

次の極限値を求めよ。 (1) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2 x-\pi}$ (2) $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}$ (3) $\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$

次の極限値を求めよ。\n(1) $\\lim _{x \\rightarrow 0} \\log \\frac{e^{x}-1}{x}$\n(2) \( \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin x-\\sin (\\sin x)}{\\sin x-x} \\)

関数 \( f(x) \) は, $x=\frac{\pi}{2}$ において微分可能ではないことを示せ。\n\nEX\n\n112 $x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき \( f(x)=\cos x-\frac{\pi}{2} \sin x, \quad x > \frac{\pi}{2} \) のとき \( f(x)=x-\pi \)。

以下の問題を解きなさい： (2) $$ y^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4(x+h)+3}-\sqrt{4 x+3}}{h} $$

次の極限値を求めよ。\n(1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{x^{2}}{1-\\cos x} \

等式 \\( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{3}}\left\{\sqrt{1+2 x}-\left(1+x-\frac{x^{2}}{2}\right)\right\} \\) を求めよ。 〔掑南大〕

次の極限値を求めよ。(ア) \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\sin ^{n} \\theta-\\cos ^{n} \\theta}{\\sin ^{n} \\theta+\\cos ^{n} \\theta} \\quad\\left(0<\\theta<\\frac{\\pi}{4}\\right) \\) (イ) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{r^{n-1}-3^{n+1}}{r^{n}+3^{n-1}} \ ( \ r \ は正の定数 ) \n (2) \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \ とする。 \\( a_{n}=\\left(4 \\sin ^{2} \\theta+2 \\cos \\theta-3\\right)^{n} \\) とするとき, 数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ が収束するような \ \\theta \ の値の範囲を求めよ。

関数 \( f(x) \) および \( g(x) \) の極限値の大小関係について次の問いに答えなさい：\n\n1. \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha \) および \( \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \beta \) 、$x$ が $a$ に近いとき、常に \( f(x) \leqq g(x) \) ならば、何が言えるか？\n2. \( \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha \) および \( \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \beta \) 、$x$ が $a$ に近いとき、常に \( f(x) \leqq h(x) \leqq g(x) \) 且つ $\alpha = \beta$ のとき、何が言えるか？\n3. 十分大きい $x$ で常に \( f(x) \leqq g(x) \) 且つ \( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \) ならば、何が言えるか？

次の極限を求めよ。 [(4) 防衛大] (1) $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+3 x^{2}-2}{2 x^{2}+x-1}$ (2) \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-2}\left(\frac{4}{x}-2\right) \) (3) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{2+x}-\sqrt{4-x}}$ (4) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3 x+1}-2}{\sqrt{2 x-1}-1}$

本例題 $18 \quad\left\{r^{n}\right\}$ の極限（r の値で場合分け）\n$r \neq-1$ のとき, 極限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{r^{n}-1}{r^{n}+1}$ を求めよ。

次の極限を求めよ。\n(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$\n(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log \cos x}{x}$\n[防衛医大]

基本例題 38 (2) 極限を求めよ。\n\n\ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+3x}{x-2} \

47 (1) 連続である, 微分可能でない\n（2）連続である，微分可能である

次の関数について x \rightarrow 1-0, x \rightarrow 1+0, x \rightarrow 1 のときの極限をそれぞれ調べよ。 (1) \frac{x^{2}}{x-1} (2) \frac{x}{(x-1)^{2}} (3) \frac{|x-1|}{x^{3}-1}

例 16 | 関数の極限 (2) 次の極限を求めよ。 (1) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{3}+x^{2}-3\right) \) (2) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}-x+5}{3 x^{2}+1}$ (3) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4}{\sqrt{x^{2}+2 x}-x}$ (4) \( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3 x}+x\right) \)

基本例題 39 (2) 極限を求めよ。\n\n\\( \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x\right) \\)

例題 (41) 極限と微分係数 c, p, q(p ≠ 0, q ≠ 0) は定数とし, f(x) は x=c で微分可能とする。このとき，次の値を， c, p, q および f'(c) などを用いて表せ。 (1) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(c + 2h) - f(c) ) / sin(h) (2) lim₍ ₕ → 0₎ ( f(c + p h) - f(c + q h) ) / h

数列 $\left\{n^{k}\right\}$ の極限について，次のことが成り立つ。\n数列 $\left\{n^{k}\right\}$ の極限 $\quad k>0$ のとき $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} n^{k}=\infty \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k}}=0$

例題 19 | 漸化式と極限 (3) \( \mathrm{P}_{1}(1,1), x_{n+1}=\frac{1}{4} x_{n}+\frac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\frac{3}{4} x_{n}+\frac{1}{5} y_{n} \quad(n=1,2, \cdots \cdots) \) を満たす平面上の点列 \( \mathrm{P}_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right) \) がある。点列 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}, \cdots \cdots$ はある定点に限りなく近づく ことを証明せよ。 [類 信州大]

|r|<1 のとき lim _{n -> ∞} r^{2 n}=0, lim _{n -> ∞} r^{2 n+1}=0 よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n})=0 r=1 のとき r^{2 n}=r^{2 n+1}=1 よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = 1 / (2 +1) = 1/3 r=-1 のとき r^{2 n}=(-1)^{2 n}=((-1)^{2})^{n}=1^{n}=1, r^{2 n+1}=r^{2 n}・r=1・(-1)=-1 よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = -1 / (2 + 1) = -1/3 |r| >1 のとき <left|(1/r)<right| <1 ゆえに lim _{n -> ∞} ((1/r)^{2 n}) = 0 よって lim _{n -> ∞} (r^{2 n+1}) / (2 + r^{2 n}) = lim _{n -> ∞} r / (2 ((1/r)^{2 n}) + 1) = r / (2 ・ 0 + 1) = r 2章 <square> PR <left>{(-1)^{n}<right> は振動するが, <left>{(-1)^{2 n}<right> は収束する。

[2] の例 \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+2 n-1}+n} \)

次の極限を求めよ。 上の公式(1)を使わずに求められる。 (2) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x-1}{\cos x}$

次の極限を求めよ：\n\n1. \\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\tan x}{x^{3}}\ \n2. \\(\lim _{x \rightarrow \infty} x(1-e^{\frac{1}{x}})\\) \n3. \\lim _{x \rightarrow+0} x \log x\

関数の極限の求め方

次の極限を求めよ。[(1) 京都産大, (2) 東京電機大] (1) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ (2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}-x+1}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$

次の極限を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow-\\infty}\\left(x^{3}-2 x\\right) \\)\n(2) \ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{5-2 x^{3}}{3 x+x^{3}} \\n(3) \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} \\frac{4^{x}-3^{x}}{4^{x}+3^{x}} \\n(4) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left\\{\\log _{2}\\left(x^{2}+5 x\\right)-\\log _{2}\\left(4 x^{2}+1\\right)\\right\\} \\)

\ e \ の定義を利用した極限\n\\( \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=e \\) であることを用いて, 次の極限を求めよ。\n(1) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1+2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(2) \\( \\lim _{x \\rightarrow 0}(1-2 x)^{\\frac{1}{x}} \\)\n(3) \\( \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(1+\\frac{4}{x}\\right)^{x} \\)

次の極限を求めよ。 (1) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin 3 x}{x} \ (2) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\tan x^{\\circ}}{x} \ (3) \ \\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin ^{2} 2 x}{1-\\cos x} \

与えられたテーブルから、三角関数の極限に関するページ番号を求めなさい。

次の極限を求めよ。\n(2) \ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \tan \frac{x}{2}} \[大阪工大]

\ \lim _{n \rightarrow \infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}=0 \ であるから \\[ \\lim _{n \rightarrow \infty} \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}=0 \\]

例題 15 | はさみうちの原理 (2) （1）実数 x に対して, [x] を m ≤ x<m+1 を満たす整数 m とする。このとき lim _{n → ∞} [10^{2 n} π] / 10^{2 n} を求めよ。[山梨大]

次の問いに答えよ。\n(1) \( S(\\theta) \) を $\\theta$ で表せ。\n(2) \( \\lim _{\\theta \\rightarrow \\frac{\\pi}{2}} \\frac{S(\\theta)}{\\frac{\\pi}{2}-\\theta} \) を求めよ。\n[武蔵工大]

(1) 底について, \ \\sqrt{2}>1 \ であるから\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}(\\sqrt{2})^{x}=\\infty \\]\n (2) 底について， \ 0<\\frac{2}{3}<1 \ であるから\n\\[ \\lim _{x \\rightarrow \\infty}\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{x}=0 \\]

PRACTICE $18^{2}$\n(1) $r>-1$ のとき, 極限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{r^{n}}{2+r^{n+1}}$ を求めよ。