AIチューター | ヤロウゼ､宿題！

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について, 次の等式が成り立つことを，図を用いて確かめよ。\n \( \overline{(\bar{A} \cap B)}=A \cup \bar{B} \)

(6) (4) から\n\[\n\begin{aligned}\nS_{1}+S_{3} & =-\int_{\alpha}^{\beta}\left(x^{2}-m x-2\right) d x \n& =-\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta) d x \n& =-\left(-\frac{1}{6}\right)(\beta-\alpha)^{3}\n\end{aligned}\n\]\nS_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{3} から \( \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{32}{3} \) すなわち \( (\beta-\alpha)^{3}=64 \)

(2) $2 a x-a^{2}=2 b x-b^{2}$ とすると \( 2(a-b) x=a^{2}-b^{2} \) よって, $\ell_{1}$ と $\ell_{2}$ の交点の $x$ 座標は\n\n\ x=\frac{a+b}{2} \\n\nしたがって, $\ell_{1}, \ell_{2}$ および放物線 $C$ で囲まれた部分の面積 \( S(a) \) は,右の図から\n\n\\[\n\\begin{aligned}\nS(a)= & \\int_{b}^{\frac{a+b}{2}}\\left\\{x^{2}-\\left(2 b x-b^{2}\\right)\\right\\} d x \\\\\n& +\\int_{\\frac{a+b}{2}}^{a}\\left\\{x^{2}-\\left(2 a x-a^{2}\\right)\\right\\} d x \\\\\n= & \\int_{b}^{\\frac{a+b}{2}}(x-b)^{2} d x+\\int_{\\frac{a+b}{2}}^{a}(x-a)^{2} d x \\\\\n= & {\\left[\\frac{(x-b)^{3}}{3}\\right]_{b}^{\\frac{a+b}{2}}+\\left[\\frac{(x-a)^{3}}{3}\\right]_{\\frac{a+b}{2}}^{a} } \\\\\n= & \\frac{1}{3}\\left(\\frac{a-b}{2}\\right)^{3}-\\frac{1}{3}\\left(\\frac{b-a}{2}\\right)^{3} \\\\\n= & \\frac{1}{12}(a-b)^{3}=\\frac{1}{12}\\left(a+\\frac{1}{4 a}\\right)^{3}\n\\end{aligned} \\]

短期間で取り組みたいときや、順々に取り組む時間がないときの学習方法を説明しなさい。

また, 2 つの放物線の交点の $x$ 座標は, 方程式 $x^{2}+x+2=x^{2}-7 x+10$ の解である。\nよって $x=1$\nゆえに，求める面積 $S$ は右の図から\n\( S =\int_{-1}^{1}\left\{\left(x^{2}+x+2\right)-(-x+1)\right\} dx +\int_{1}^{3}\left\{\left(x^{2}-7 x+10\right)-(-x+1)\right\} dx =\int_{-1}^{1}(x+1)^{2} dx+\int_{1}^{3}(x-3)^{2} dx =\left[\frac{(x+1)^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}+\left[\frac{(x-3)^{3}}{3}\right]_{1}^{3} =\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3} \)

条件と集合に関して次の命題を証明しなさい。\n\n2. $p \Longrightarrow q \text { が真 }\Longleftrightarrow P \subset Q \Leftrightarrow P \cap \bar{Q}=\varnothing$

微分方程式が次の形になることを証明し、解を求めなさい。\n$y = uv$ と置くと、$\frac{d u}{d x} v + u \frac{d v}{d x} - \frac{u v}{x} = x$

f (x) = ∫_0^x t cos t dt - x ∫_0^x cos t dt であるから f’(x) = d/dx ∫_0^x t cos t dt - { (x)’ ∫_0^x cos t dt + x ( d/dx ∫_0^x cos t dt ) } = x cos x - { [sin t ]_0^x + x cos x } = -sin x

次の定理を証明しなさい: すべての自然数 $n$ について, 第 $n$ 次導関数 \( f^{(n)}(x), g^{(n)}(x) \) が存在するとき, 積 \( f(x) g(x) \) の第 $n$ 次導関数は, 次のように表される。これをライプニッツの定理という。\n\n\\[\n\\{f(x) g(x)\\}^{(n)}=\\sum_{r=0}^{n}{ }_{n} \\mathrm{C}_{r} f^{(n-r)}(x) g^{(r)}(x)\n\\]\n\nただし, \( f^{(0)}(x)=f(x), g^{(0)}(x)=g(x) \) である。

重要例題 (134) 積分の平均値の定理の利用 501 0<t<1 のとき, 積分の平均値の定理を用いて次の不等式を証明せよ。 $\int_{0}^{t} e^{-x^{2}} d x>t \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x$ 指針 不等式の積分区間は [0, t] と [0,1] であるが，右辺の積分区間を分割すると \[\int_{0}^{t} e^{-x^{2}} d x>t\left(\int_{0}^{t} e^{-x^{2}} d x+\int_{t}^{1} e^{-x^{2}} d x\right) \Longleftrightarrow \frac{1}{t-0} \int_{0}^{t} e^{-x^{2}} d x>\frac{1}{1-t} \int_{t}^{1} e^{-x^{2}} d x\] そこで, 積分の平均値の定理を区間 [0, t] と区間 [t, 1] のそれぞれに適用する。 f(x) が単調減少 \Longrightarrow c<d のとき f(c)>f(d) が使える。

(2) \int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} d x=\int_{a}^{b}\left\{\frac{(x-a)^{3}}{3}\right\}^{\prime}(x-b)^{2} d x = \frac{1}{3}\left[(x-a)^{3}(x-b)^{2}\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} \frac{(x-a)^{3}}{3} \cdot 2(x-b) d x = -\frac{2}{3} \int_{a}^{b}\left\{\frac{(x-a)^{4}}{4}\right\}^{\prime}(x-b) d x = -\frac{2}{3}\left\{\frac{1}{4}\left[(x-a)^{4}(x-b)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} \frac{(x-a)^{4}}{4} d x\right\} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\left[(x-a)^{5}\right]_{a}^{b}=\frac{1}{30}(b-a)^{5}

第2次導関数と極値：\( f^{\prime}(a)=0 \) のとき, \( f^{\prime \prime}(a) \) が存在すると, 極値の判定に利用できる。

例題と同じ要領で, 次の微分方程式を解け。\n(1) $y^{\prime}-y=x$\n$[x=0$ のとき \( y=0] \n(2) $x y^{\prime}-y=x^{2}$\n$[x=1$ のとき $y=1]$

練習 52: 次の等式 (1) がすべての自然数 n に対して成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。\n\[ \left(x^{2}+1\right) f^{(n+1)}(x)+(2 n-1) x f^{(n)}(x)+(n-1)^{2} f^{(n-1)}(x)=0 \]

次の近似式\n関数 y=f(x) の x=a における微分係数は以下のように定義される。\n\ny = f(x) の x=a における微分係数は\nlim (h→0) [f(a+h) - f(a)]/h = f'(a)\nしたがって、|h| が十分小さいときの近似式は以下のようになる。\n\ny ≈ f(a) + f'(a)h\n特に、a=0, h=x とおくと次の近似式が得られる。\n|x| が十分小さいとき f(x) ≈ f(0) + f'(0)x\nまた、この近似式は平均値の定理f(a+h) = f(a) + h f'(a+θh), 0<θ<1 に基づき、|h| が十分小さいとき f'(a+θh) ≈ f'(a)と考えられる。\nさらに、この近似式は色々な形で用いられる。たとえば、h を x と書き換えて\nx ≈ 0 のとき f(a+x) ≈ f(a) + f'(a)x\nh = x-a とおいて x ≈ a のとき\nf(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)\nこれらの近似式は 1 次の近似式とも呼ばれ、関数 f(x) をその接線 y = f(a) + f'(a)(x-a) で近似することを示している。

例題 165 微分方程式の作成\n(1) \( y = \sin(2x + A)[A \) は任意定数 $]$ が微分方程式 $4y^{2} + y^{\prime 2} = 4$ の解であることを 確かめよ。\n(2) 関数 \( y = A e^{-x} \sin(3x + B) \) について, 任意定数 $A, B$ を消去して微分方程式 を作れ。\n\n指釮（２）任意定数を消去するには、与えられた関数を適当な回数だけ微分してみて、もとの 関数と連立させて考える。一般に、任意定数が $n$ 個なら $n$ 回微分して、 任意定数を消去する。

例㬉 122 定積分で表された関数の最大・最小 (2)\n実数 $t$ が $1 \leqq t \leqq e$ の範囲を動くとき, \( S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|e^{x}-t\\right| d x \) の最大値と最小値を求 めよ。\n[長岡技科大]

21 不定積分の置換積分法・部分積分法 基本事項 1 置換積分法 \( y=\int f(x) d x \) において, \( x=g(t) \) とおくと, \[ \frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}=f(x) g^{\prime}(t)=f(g(t)) g^{\prime}(t) \] 合成関数の微分法。 であるから \( y=\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t \) である。 よって, 次の置換積分法の公式が得られる。 (1) \( \int f(x) d x=\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t \) ただし, \( x=g(t) \) \( x=g(t) \) のとき \( \frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t) \) である。これを \( d x=g^{\prime}(t) d t \) と書くことがある。 この表現を用いると, 公式 (1)は \( \int f(x) d x \) において, 形式的に $x$ を \( g(t) \) に, $d x$ を \( g^{\prime}(t) d t \) におき換えてよいことを表している。 (1)において, 積分変数 $t$ を $x, x$ をuに変えると，次の公式が得られる。 (2) \( \int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u \) ただし, \( u=g(x) \) 公式 (2) は, 被積分関数が \( f(g(x)) g^{\prime}(x) \) の形をしている場合に, \( g(x) \) をuでおき換え,形式的に \( g^{\prime}(x) d x \) を $d u$ でおき換えてよいことを表している。 2 基本的な置換積分 上の公式 (2) を用いて, 次の (3)〜 (5) が導かれる。 (3) \( \int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C \quad(a \neq 0) \quad \) ただし, \( F^{\prime}(x)=f(x) \) (4) \( \int\{g(x)\}^{\alpha} g^{\prime}(x) d x=\frac{\{g(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1) \quad \quad \alpha \alpha=-1 \) のときは(5) (5) \( \int \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} d x=\log |g(x)|+C \) (以上, $C$ は積分定数) 公式 (2)において, \( g(x)=a x+b \) とすると (3) が得られる。 また, \( f(u)=u^{\alpha} \) とすると (4) が得られ, \( f(u)=\frac{1}{u} \) とすると (5) が得られる。 これらはよく現れる形なので, (3)〜 (5) そのものを公式として使えるように慣れておこう (p. 446 例 39 参照)。

この左辺の定積分を $I$ とすると\n\\[\nI=\left[\\frac{x^{4}}{4}-2 x^{3}+\\frac{9-m}{2} x^{2}\\right]_{0}^{\\beta}=\\frac{\\beta^{4}}{4}-2 \\beta^{3}+\\frac{9-m}{2} \\beta^{2}=\\frac{\\beta^{2}}{4}\\left\\{\\beta^{2}-8 \\beta+2(9-m)\\right\\}\n\\]\nゆえに \( \\quad \\frac{\\beta^{2}}{4}\\left\\{\\beta^{2}-8 \\beta+2(9-m)\\right\\}=0 \\)\n \\beta \\neq 0 \ であるから \( \\quad \\beta^{2}-8 \\beta+2(9-m)=0 \\)\nここで, \ \\beta \ は (1)の解であるから \( \\quad(\\beta-3)^{2}-m=0 \\)\nすなわち \\quad \\beta^{2}-6 \\beta+9-m=0 \\nよって \( \\quad \\beta^{2}=6 \\beta-(9-m) \\)\nこれを (2) に代入すると\ 1 \\beta^{2} \ を \ \\beta \ で表すことで,次数を下げる。\n\\[\n6 \\beta-(9-m)-8 \\beta+2(9-m)=0\n\\]\nゆえに \\quad-2 \\beta+9-m=0 \\n \\beta=3+\\sqrt{m} \ を代入して整理すると \\quad m+2 \\sqrt{m}-3=0 \\quad \ « \\( (\\sqrt{m})^{2}+2 \\sqrt{m}-3=0 \\)\nよって \\( \\quad(\\sqrt{m}-1)(\\sqrt{m}+3)=0 \\)\n\ \\sqrt{m}+3>0 \ であるから \ \\quad \\sqrt{m}=1 \ すなわち \ m=1 \\nこれは \ 0<m<9 \ を満たす。

図形による (相加平均) $\geqq$ (相乗平均) の証明

（2）右の図から，求める面積 S(a) は\n\nS(a) = ∫_{0}^{4-a}{(-x^2 + 4x - ax)} dx + ∫_{4-a}^{4}{(ax - (-x^2 + 4x))} dx + 1/2 * (9/2 - 4) * 4a\n\nS(a) = -∫_{0}^{4-a}{ x(x - (4 - a))} dx + ∫_{4-a}^{4}{ x^2 - (4 - a)x } dx + a\n\nS(a) = -( -1/6 * (4 - a)^3) + [ x^3 / 3 - (4 - a) / 2 * x^2 ]_{4-a}^{4} + a\n\nS(a) = 1/6 * (4 - a)^3 + 64 / 3 - 8 (4 - a) - 1/3 (4 - a)^3 + 1/2 (4 - a)^3 + a\n\nS(a) = (1/6 - 1/3 + 1/2) * (4 - a)^3 + 9a - 32 / 3\n\nS(a) = -1/3 a^3 + 4a^2 - 7a + 32 / 3

1 定積分と体積 ある立体の, 平行な 2 つの平面 $\alpha, \beta$ の間に挟まれた部分の体積を $V$ とする。 $\alpha, \beta$ に垂直な直線を $x$ 軸にとり, $x$ 軸と $\alpha, \beta$ との交点 の座標を，それぞれ $a, b$ とする。 また, $a \leqq x \leqq b$ として, $x$ 軸に垂直で, $x$ 軸との交点の 座標が $x$ である平面でこの立体を切ったときの断面積 を \( S(x) \) とすると, 体積 $V$ は次の定積分で表される。 \[ V=\int_{a}^{b} S(x) d x \quad \text { ただし }, a<b \]

数学 Iₙの定積分 (1) の証明について問題がある。\n1. n=1 のとき、I₁ を求め、(1) の等式が成り立つか証明せよ。\n2. n=m のとき (1) が成り立つと仮定し、n=m+1 のときに (1) が成り立つか証明せよ。

次の定積分を求めよ。(1) では a は正の定数とする。\n(1) \ \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\n(2) \ \\int_{0}^{\\sqrt{2}} \\frac{d x}{\\sqrt{4-x^{2}}} \

曲線 \( \left\\{\\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\\end{array}(0 \leqq t \leqq \pi)\\right. \) と $x$ 軸抽よび直線 $x=\pi$ で囲まれる部分の面積 $S$ を 求めよ。\n〔筑波大〕 $p .387 \mathrm{EX} 217$

3. 部分積分法を用いて以下の積分を求めなさい。 ∫ f(x) g'(x) dx

\n微分方程式の定義: 未知の関数の導関数を含む等式。\n簡単な微分方程式と一般解\n変数分離形: \\( f(y) \\frac{dy}{dx}=g(x) \\) に変形できるとき は、両辺を \ x \ で積分する。\\( \\int f(y) dy=\\int g(x) dx \\)\n

EX 微分可能な関数 \( f(x)(x>0) \) が等式 \( f(x)=x \log x+\int_{1}^{e} t f^{\prime}(t) d t \) を満たすとき， \( f(x) \) を求めよ。

別解 $\frac{d y}{d x}=-2$ とすると, (*) から $\quad-\frac{8 x+y}{x-3 y}=-2$\nよって $\quad 6 x+7 y=0$\n(6) に $x=\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t}$ を代入して整理すると\n$2 e^{t}-e^{-t}=0$ ゆえに \( \quad e^{-t}\left(2 e^{2 t}-1\right)=0 \)\n$e^{-t}>0$ であるから $\quad e^{2 t}=\frac{1}{2}$ よって $2 t=-\log 2$\nしたがって $\quad t=-\frac{1}{2} \log 2$

(1) 重要例題 220 において, Jₙ=∫0π/2 cosⁿxdx ( n は 0 以上の整数) とすると Iₙ=Jₙ(n >= 0) が成り立つことを示せ。〔類 日本女子大〕

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{5} \sqrt{|x-4|} d x$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left|\cos x-\frac{1}{2}\right| d x$ (3) $\int_{0}^{\pi}|\sqrt{3} \sin x-\cos x-1| d x$

中間値の定理\n関数 \( f(x) \) が閉区間 $[a, \\quad b]$ で連続で \( f(a) \\neq f(b) \) ならば, \( f(a) \) と \( f(b) \) の間の任意の値 $k$ に対して \( f(c)=k \) を満たす実数 $c$ が, $a$ と bの間に少なく とも1つある。

次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。(3) \( f(x)=\frac{1}{2} x+\int_{0}^{x}(t-x) \sin t d t \)

22 関数 \( y=f(x) \) は連続とする。\n(1) $a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して不等式 \( |f(x)-f(a)| \leqq \\frac{2}{3}|x-a| \) が成り立つなら, 曲線 \( y=f(x) \) は直線 $y=x$ と必ず交 わることを中間値の定理を用いて証明せよ。\n(2) 更に，すべての実数 $x_{1}, x_{2}$ に対して \( \\left|f\\left(x_{1}\\right)-f\\left(x_{2}\\right)\\right| \leqq \\frac{2}{3}\\left|x_{1}-x_{2}\\right| \) が成り立つな らば,(1)の交点はただ 1 つしかないことを証明せよ。

定積分と和の極限について説明しなさい。

次の微分方程式を解け。\n(1) $x^{2} y^{\prime}=1$\n(2) $y^{\prime}=4 x y^{2}$\n(3) $y^{\prime}=y \cos x$

次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} d x \)

積分法の応用\n$-251$\n\\( \\begin{array}{l}\ny=x e^{-x} \\\\\ny^{\\prime}=(1-x) e^{-x}\n\\end{array}\\)\n\ y^{\\prime}=0 \ とすると \ \\quad x=1 \\n\ y \ の増減表は右のようになる。よって, 曲線 \ C \ は図のようになる。接線 \ \\ell \ の方程式は\n\\( y-t e^{-t}=(1-t) e^{-t}(x-t) \\)\nすなわち\n\\( y=(1-t) e^{-t} x+t^{2} e^{-t} \\)\nゆえに，条件を満たす部分の面積を \\( S(t) \\) とすると\n\ \\begin{\overlineray}{l||c|c|c}\n\\hline x & \\cdots & 1 & \\cdots \\\\\n\\hline y^{\\prime} & + & 0 & - \\\\\n\\hline y & \\nearrow & 極大 & \\searrow \\\\\n\\hline\n\\end{\overlineray}\\n\\( \\begin{aligned}\nS(t) & =\\int_{0}^{1}\\left\\{(1-t) e^{-t} x+t^{2} e^{-t}-x e^{-x}\\right\\} d x \\\\\n& =\\left[\\frac{(1-t) e^{-t}}{2} x^{2}+t^{2} e^{-t} x+(x+1) e^{-x}\\right]_{0}^{1} \\\\\n& =\\frac{1}{2}(1-t) e^{-t}+t^{2} e^{-t}+\\frac{2}{e}-1 \\\\\n& =\\frac{1}{2}\\left(2 t^{2}-t+1\\right) e^{-t}+\\frac{2}{e}-1\n\\end{aligned}\\)\nよって \\( S^{\\prime}(t)=\\frac{-2 t^{2}+5 t-2}{2} e^{-t}=-\\frac{(t-2)(2 t-1)}{2} e^{-t} \\) \\( S^{\\prime}(t)=0 \\) とすると, \ 0<t<1 \ から \ \\quad t=\\frac{1}{2} \\nゆえに, \\( S(t) \\) の増減表は右 のようになる。\n\\( \\begin{array}{l||c|c|c|c|c}\n\\hline t & 0 & \\cdots & \\frac{1}{2} & \\cdots & 1 \\\\\n\\hline S^{\\prime}(t) & & - & 0 & + & \\\\\n\\hline S(t) & & \\searrow & 極小 & \\nearrow & \\\\\n\\hline\n\\end{array}\\)\nよって, \\( S(t) \\) は \ t=\\frac{1}{2} \ で最小値\n\\( S\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2}+1\\right) e^{-\\frac{1}{2}}+\\frac{2}{e}-1=\\frac{2}{e}+\\frac{1}{2 \\sqrt{e}}-1 \\)\nをとる。

次の定積分を求めよ: \\\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{3}+8} d x \

定積分 \( \int_{0}^{1} \frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \) を求めよ。

次の微分方程式を解け。\n(1) $y^{2}-y-y^{\prime}=0$\n(2) \( 3 x y^{\prime}=(3-x) y \)

次の曲線の長さ $L$ を求めよ。\n(1) \( x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t) \quad(a>0,0 \leqq t \leqq 2 \pi) \)\n(2) \( y=\frac{3}{2}\left(e^{\frac{x}{3}}+e^{-\frac{x}{3}}\right) \quad(-6 \leqq x \leqq 6) \)

次の微分方程式を解き、極大値を求めなさい。 f'(x)=0 とすると x / sqrt(4-x²)=1 となる。ゆえに sqrt(4-x²)=x となる。両辺を2乗すると 4-x²=x² となる。よって x²=2 したがって x=±sqrt(2) となる。このうち x>0 なので x=sqrt(2) である。 次に、f''(sqrt(2))=-4/(2*sqrt(2))=-sqrt(2)<0 なので x=sqrt(2) で極大値を持つ。したがって、極大値は f(sqrt(2))=sqrt(2)-2+sqrt(4-2)=2(sqrt(2)-1) となる。

(2) x²-1/2x-1/2=1/2(2x+1)(x-1) であるから, -1 ≤ x ≤ 1 では |x²-1/2x-1/2|={ x²-1/2x-1/2 (-1 ≤ x ≤ -1/2) - (x²-1/2x-1/2) (-1/2 ≤ x ≤ 1)} したがって ∫_{-1}¹ |x²-1/2x-1/2| dx = ∫_{-1}^{-1/2} (x²-1/2x-1/2) dx - ∫_{-1/2}¹ (x²-1/2x-1/2) dx = [x³/3 - 1/4x² - 1/2x]_{-1}^{-1/2} - [x³/3 - 1/4x² - 1/2x]_{-1/2}¹ = 2{-1/3 (1/8) - 1/4 (1/4) + 1/2 (-1/2)} - (-1/3 - 1/4 + 1/2) - (1/3 - 1/4 - 1/2) = 19/24

数学的帰納法の注意点

33 微分 係数 基本 168 平均変化率の計算

- 図 角度・面積・長についての問題が、2022年の1次試験では出題されました。この分野の問題について、初めて学ぶ生徒が取り組む際に気をつけるべきポイントは何でしょうか？

次の定積分を求めよ。\n(1) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{x^{2}+3}$\n(2) $\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}$

微分係数と導関数についての基本事項を説明しなさい。また、微分係数 \( f^{\prime}(a) \) の定義を用いて、関数 \( f(x) \) が $x=a$ で微分可能であるときそれが連続であることを証明しなさい。

以下の1階微分方程式を解け: \( \frac{d y}{d x} = F(x, y) \)

定積分の性質 (A), (B), (C) の証明\n(1)において, 定積分の定義 (1) に基づいて, 性質（A）の特別な場合（ k=l=1 の場合）について証明したが, 同様に性質 (A) 〜(C) の証明についても考えてみよう。