関数と解析 - 三角関数とその応用 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

(1) \ \\sin 175^{\\circ} < \\sin 35^{\\circ} < \\sin 140^{\\circ} \

数学 I EX 0^{\circ} ≤ θ ≤ 180^{\circ} とする。次の方程式を解け。 (3) \sin θ \tan θ=-\frac{3}{2}

tan 角 C

数学 I EX 0^{\circ} ≤ θ ≤ 180^{\circ} とする。次の方程式を解け。 (1) 2 \sin^{2} θ-5 \cos θ+1=0

EX ある放物線を x \ 軸方向に 1, y \ 軸方向に -2 だけ平行移動した後， x \ 軸に関して対称移動したと (352 ころ, 放物線 y=-x^{2}-3 x+3 \ となった。もとの放物線の方程式を求めよ。

次の角の正弦, 余弦, 正接を求めよ。 (1) $135^{\circ}$ (2) $150^{\circ}$ (3) 1

三角形への応用として、正弦定理と余弦定理を説明せよ。

巻末の三角比の表を用いて, 次のような $\theta$ を求めよ。\n(1) $\sin \theta=0.5592$\n(2) $\cos \theta=0.3090$\n(3) $\tan \theta=1.6003$

第4章 図形亡計量 163 EX \ \\quad 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} \ のとき, \ y=\\sin ^{4} \\theta+\\cos ^{4} \\theta \ とする。 \ \\sin ^{2} \\theta=t \ とおくと,

PRACTICE 124 $\triangle \mathrm{ABC}$ において、$\sin A: \sin B: \sin C=5: 16: 19$ のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求めよ。

12 三角比の基本: θ が特定の角度のときの三角比を求めなさい。

身近にある放物線\n2 次関数のグラフである放物線は，わたしたちの身近なところにも多く存在している。 そのような例をいくつか見てみよう。\n例 1: 斜めに投げ上げられた物体の軌跡\nキャッチボールをするとき, ボールの軌道は放物線を描く。 また，離れたところからホースを使って草木に水をやるとき の水の軌道も放物線となる。なお, 16〜17 世紀のヨーロッパ では, 大砲の砲弾を命中させようと, その軌道が盛んに研究 されていた。\n問: この現象を説明するパラメトリック方程式を書きなさい。

次のグラフが表す 2 次関数を求めよ。\n(1) グラフ $y = x^{2} - 4x + 3$ を $x$ 軸方向に平行移動したもので、点 \( \mathrm{A}(0,-1) \) を通るグラフ\n(2) グラフ $y = x^{2} - 4x + 3$ を $y$ 軸方向に平行移動したもので、点 A を通るグラフ

次の三角比を, それぞれ $0^{\circ}$ 以上 $90^{\circ}$ 以下の角の三角比で表せ。また, その値を巻末の三角比の表を用いて求めよ。 (1) $\sin 111^{\circ}$ (2) $\cos 155^{\circ}$ (3) $\tan 173^{\circ}$

次の式の値を求めよ。 (1) $\sin 29^{\circ}, \cos 29^{\circ}, \tan 29^{\circ}$ (2) $\sin \theta \tan \theta+\frac{\cos \theta}{\tan \theta}$

（2）余弦定理により\nこの式を利用して a を求めます。\n\(\begin{aligned}\na^{2}= & 2^{2}+(\sqrt{5}+1)^{2} \n-2 \cdot 2(\sqrt{5}+1) \cos 60^{\circ}\n= & 4+(6+2 \sqrt{5})-4(\sqrt{5}+1) \cdot \frac{1}{2}\n= & 8\n\end{aligned}\)

次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。条件: 放物線 $y = 2x^{2} + a x + b$ を $x$ 軸方向に 2 , $y$ 軸方向に -3 だけ平行移動した放物線の方程式が $y = 2x^{2}$ と重なる。

13 三角比の拡張 次の式を簡単にせよ。 (1) \( \left(\cos 110^{\circ}-\cos 160^{\circ}\right)^{2}+\left(\sin 70^{\circ}+\cos 70^{\circ}\right)^{2} \) (2) \( \tan ^{2} \theta+\left(1-\tan ^{4} \theta\right)\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \) (3) $p .181 \underline{2}, p .182 \underline{4}, 111$

三角形 $\\mathrm{ABC}$ において, $\\sin A: \\sin B: \\sin C=3: 5: 7$ とするとき, 比 $\\cos A: \\cos B: \\cos C$ を求めよ。(東北学院大)

(4) タンジェントの不等式を解く問題です。\n\\( \\tan ^{2} \\theta+(1-\\sqrt{3}) \\tan \\theta-\\sqrt{3} \\leqq 0 \\)\n\ \\tan \\theta=t \ とおくと, \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} \ であるから, \ \\theta \\neq 90^{\\circ} \ のと き \ t \ はすべての実数値をとる。\nこのとき，与えられた不等式は \\( t^{2}+(1-\\sqrt{3}) t-\\sqrt{3} \\leqq 0 \\) よって \\( (t+1)(t-\\sqrt{3}) \\leqq 0 \\)\nゆえに \ -1 \\leqq t \\leqq \\sqrt{3} \\nすなわち \ -1 \\leqq \\tan \\theta \\leqq \\sqrt{3} \\nしたがって, 求める解は \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 60^{\\circ}, 135^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} \

各三角関数を計算し、結果を示せ。

図のような三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 次のものを求めよ。\n(1) $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ の値\n(2) 線分 $\mathrm{AD}, \mathrm{CD}$ の長さ

(1) $\\sin 111^{\\circ}$\n(2) $\\cos 155^{\\circ}$\n(3) $\\tan 173^{\\circ}$

補 充 例題 117 三角比を含む不等式の解法 0° ≤ θ ≤ 180° のとき、次の不等式を満たす θ の範囲を求めよ。 (1) cos θ > -√3/2 (2) tan θ ≥ -1

EX $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\sin A: \sin B: \sin C=5: 7: 8$ とする。このとき, $\cos C=$ ア $\square$ である。

次の式を簡単にせよ。(1) ($\cos 110° - \cos 160°$)^2 + ($\sin 70° + \cos 70°$)^2, (2) tan^2 θ + (1 - tan^4 θ)(1 - sin^2 θ)

どのような場面で解説動画を活用することができますか？

図 (1) から \(\\mathrm{P}(-1, 1)\) より\n(1) $\\sin 135^{\\circ}$\n(2) $\\cos 135^{\\circ}$\n(3) $\\tan 135^{\\circ}$

$2 \sin \theta=\sqrt{2}$ から $\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$。半径 1 の半円周上で, $y$ 座標が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる点は, 図の 2 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ である。求める $\theta$ は, $\angle \mathrm{AOP} \angle \mathrm{AOQ}$ で ある。

13 三角比の拡張: 角度が0°〜360°の範囲にあるときの三角比を求めなさい。

数学 I EX 0^{\circ} ≤ θ ≤ 180^{\circ} とする。次の方程式を解け。 (4) \sqrt{2} \sin θ=\tan θ

EX三角形 \ \\mathrm{ABC} \ に扬いて, \ \\sin A: \\sin B: \\sin C=3: 5: 7 \ とするとき, 比 \ \\cos A: \\cos B: \\cos C \ (2) 104 を求めよ。

三角比の定義と相互関係を述べよ。\n(1) 三角比の定義\n(2) 三角比の相互関係\n(3) 特殊角における三角比

発展例題とEXERCISESのページはどのようなときに使用しますか？

変量の変換

三角形の面積・空間図形への応用について説明し、例題を挙げてください。

関数のグラフや図形の動きを考察する例題において、どのようなデジタルコンテンツを利用することで、視覚的なイメージと数式を結びつけて学習することができますか？

三角比のまとめ

正弦定理か余弦定理か

正弦定理・余弦定理を振り返ろう！

順に \\\\( \\cos 20^{\\circ}, \\\\ \\sin 10^{\\circ}, \\\\ \\frac{1}{\\tan 35^{\\circ}} \\\\\\\n

ある商品は, 単価が 10 円のとき 1 日 100 個売れる。単価を 1 円上げるごとに, 1 日の売り上げは 5 個ずつ減り, 単価を 1 円下げるごとに, 1 日の売り上げ は 5 個ずつ増える。単価をいくらにすると 1 日の売上金額が最大になるか。売上金額の最大値とそのときの単価を求めよ。ただし，消費税は考えない。

必要条件と十分条件の関係を説明しなさい。

次の公式を証明しなさい。\n\\( \sin \left(90^{\circ}+\theta\right)=\cos \theta \)\n\\( \cos \left(90^{\circ}+\theta\right)=-\sin \theta \)\n\\( \tan \left(90^{\circ}+\theta\right)=-\frac{1}{\tan \theta} \)

三角形への応用 正弦定理: $\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$ (\sin A: \sin B: \sin C=a: b: c) $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$ 余弦定理: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

補足 0°, 90°, 180° の三角比\n\nθ=0° のとき、三角比の定義の式で、r=1 として、座標が (1,0) である点 P₀ をとると\nsin 0°=0, \ncos 0°=1, \ntan 0°=0\n\nθ=90° のとき、三角比の定義の式で、r=1 として、座標が (0,1) である点 P₁ をとると\nsin 90°=1, \ncos 90°=0,\n\nθ=180° のとき、三角比の定義の式で、r=1 として、座標が (-1,0) である点 P₂ をとると\nsin 180°=0, \ncos 180°=-1, \ntan 180°=0

次の角の正弦，余弦，正接の値を求めよ。\n(1) $120^{\circ}$\n(2) $135^{\circ}$

三角比の表を利用して角度を求める

次のものを求めよ。\n(1) \ \\sin 15^{\\circ}, \\cos 73^{\\circ}, \\tan 25^{\\circ} \ の値\n(2) \ \\sin \\alpha=0.4226, \\cos \\beta=0.7314 \, \ \\tan \\gamma=8.1443 \ を満たす鋭角 \ \\alpha, \\beta, \\gamma \\n（3）右の図の \ x \ の値と角 \ \\theta \ のおよその大きさ。 ただし， \ x \ は小数第 2 位を四捨五入せよ。\n

次の三角形 $\\triangle \mathrm{AED}$ の $\\sin \\theta$ を求めよ。\n余弦定理により\n\n\[\n\\cos \\theta=\\frac{(\\sqrt{7})^{2}+(\\sqrt{7})^{2}-3^{2}}{2 \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7}}=\\frac{5}{14}\n\]\n(3) $\\sin \\theta >0$ であるから\n\n\[\n\\begin{aligned}\n\\sin \\theta & =\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\sqrt{1-\\left(\\frac{5}{14}\\right)^{2}} \\\\\n& =\\frac{3 \\sqrt{19}}{14}\n\\end{aligned}\n\]\n\n$\\triangle \\mathrm{AED}=\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\frac{3 \\sqrt{19}}{14}=\\frac{3 \\sqrt{19}}{4}$

θ は 0° から 180° までの三角比の相互関係

数学 I\nTR $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき, 次の等式を満たす $\theta$ を求めよ。\n${ }^{1} 119$\n(1) $\sin \theta=\frac{1}{2}$\n(2) $\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$\n(3) $\tan \theta=-\sqrt{3}$

《基本例題 126 準 131 正弦の比㨽式から余弦を求める △ ABC について, $\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ が成り立つとき, $\cos C$ の値を求めよ。 [類 立命館大]

求める解は, $y=\left|x^{2}-6 x-7\right|$ のグラフが $y=2 x+2$ のグラ フ上にある，または上側にある $x$ の値の範囲であるから

三角比の相互関係を示しなさい。 例：sin²θ + cos²θ = 1 (三平方の定理 a² + b² = c²)

ド・モルガンの法則を使って、次の集合A, B, Cの例で具体的に示してください。

（1）三角比の表を用いて, $128^{\circ}$の正弦, 余弦, 正接の値を求めよ。\n(2) $\sin 27^{\circ}=a$とする。$117^{\circ}$の余弦を$a$を用いて表せ。

第6章 三角比-117\n\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1 \ であるから\n\ 1+2 \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \\nしたがって \ \quad \sin \theta \cos \theta=-\frac{3}{8} \\n(2) \\( \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta=(\sin \theta+\cos \theta)^{3}-3 \sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta) \\) \ \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{2} \ と(1)の \ \sin \theta \cos \theta=-\frac{3}{8} \ を代入して\n\\[ \\begin{aligned} \n \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta & =\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{3}-3\\left(-\\frac{3}{8}\\right) \cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right) \n & =-\\frac{11}{16} \n \\end{aligned} \\]\n\n別解 \ \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta \\n\\[ \\begin{array}{l} \n=(\sin \theta+\cos \theta)\\left(\sin ^{2} \theta-\sin \theta \cos \theta+\cos ^{2} \theta\\right) \n=-\\frac{1}{2}\\left\{1-\\left(-\\frac{3}{8}\\right)\\right\} \n=-\\frac{11}{16} \n\\end{array} \\]\n\\[ \\begin{aligned} & \sin \theta \cos \theta \\ \n= & \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{4}-1\\right) \\ \n- & a^{3}+b^{3} \\ \n= & (a+b)^{3}-3 a b(a+b) \\end{aligned} \\]\n- 因数分解の公式\n\\[ \\begin{array}{l} \na^{3}+b^{3} \n=(a+b)\\left(a^{2}-a b+b^{2}\\right)\n\\end{array} \\]\nの利用。

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} とする。 \sin \theta=\frac{1}{3} のとき, \cos \theta, \tan \theta の値を求めよ。

以下の三角比の表について、次の $\theta$ の値における $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ を求めてください。\n\n1. $\theta = 25^{\circ}$\n2. $\theta = 45^{\circ}$\n3. $\theta = 67^{\circ}$\n4. $\theta = 89^{\circ}$\n5. $\theta = 90^{\circ}$

丸 $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\frac{\sin A}{\sqrt{3}}=\frac{\sin B}{\sqrt{7}}=\sin C$ が成り立つとき, 最も大きい内角の大きさを求めよ。

三角比の対称式の値

15°の三角比

（1）三角比の表を用いて、128° の正弦、余弦、正接の値を求めよ。\n(2) sin 27°=a とする。117° の余弦を a を用いて表せ。

三角比の等式を満たす θ (三角方程式)

三角形 \\mathrm{ABC} \ の \\angle \\mathrm{A}, \\angle \\mathrm{B}, \\angle \\mathrm{C} \ の大きさを，それぞれ A, B, C \ とするとき，次の等式が成り立つことを示せ。\n(1) \ \\sin \\frac{A}{2}=\\cos \\frac{B+C}{2} \\n(2) \ \\tan \\frac{A}{2} \\tan \\frac{B+C}{2}=1 \

正弦定理か余弦定理か

θ が鋭角の場合の三角比の相互関係

次の2つの式も成り立つ。\n\ \\begin{\overlineray}{l} b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\]\nこれを余弦定理としてまとめた式は以下のようになる：\n\\[ \\begin{\overlineray}{l} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos A \\ b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \\cos B \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos C \\ \\end{\overlineray} \\n余弦定理から\ \\triangle \\mathrm{ABC} \における以下の等式を示せ。\n\ \\cos A = \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} , \\quad \\cos B = \\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\quad \\cosC = \\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \

TR \ \triangle \mathrm{ABC} \ の内角 \ A, B, C \ に対し, 次の等式が成り立つことを示せ。\n125\n(1) \\( \sin A=\sin (B+C) \\)\n(2) \ \cos \\\frac{A}{2}=\sin \\\frac{B+C}{2} \

TRAINING 116 (1) $\sin 70^{\circ}, \cos 80^{\circ}, \tan 55^{\circ}$ を $45^{\circ}$ 以下の鋭角の三角比で表せ。

正弦定理・余弦定理を振り返ろう！

鈍角の三角比の値を求める

方程式 $\sin a \theta=\sin b \theta$, $\sin a \theta=\cos b \theta$ の解法

解法を調べるために本書を活用する方法を説明しなさい。

数学 I。また、 $\frac{\pi}{6} < 1 < \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} < 2 < \frac{2}{3} \pi, \frac{5}{6} \pi < 3 < \pi$ であるから $\frac{1}{2} < \sin 1 < \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin 2 < 1, 0 < \sin 3 < \frac{1}{2}$ よって、 $\sin 1, \sin 2, \sin 3, \sin 4$ の中で正となるものの最小值は $\sin 3$ であり、最大値は $\sin 2$ である。

次の値を求めよ。 (1) \( \cos (\pi-\theta)-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sin (\pi+\theta) \) (2) \( \sin \frac{5}{8} \pi \cos \frac{\pi}{8}+\sin \frac{9}{8} \pi \cos \left(-\frac{5}{8} \pi\right) \) p. 193 基本事項 2 c. HART \& SOLUTION 一般角の三角関数 $\theta$ や鋭角の三角関数に直す

三角関数の対称式の値

(1) $0 \\leqq \\theta <2 \\pi$ の条件で, 等式 $\\cos ^{2} \\theta+\\sqrt{3} \\sin \\theta \\cos \\theta=1$ を満たす $\\theta$ の値 を求めよ。

遊園地にあるコーヒーカップの動き(軌跡)は三角関数とどう関係しているかを考えてみよう。円盤 1 が左回りに 1 周する間に, 半径が半分の円盤 2 が右回りに 2 周するとき, 円盤 2 の周上にある点 $\mathrm{C}$ はどのような軌跡を描くか。

次の等式を証明せよ。\n(1) \( \\frac{2 \\sin \\theta \\cos \\theta-\\cos \\theta}{1-\\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta-\\cos ^{2} \\theta}=\\frac{1}{\\tan \\theta} \n(2) \( (\\tan \\theta-\\sin \\theta)^{2}+(1-\\cos \\theta)^{2}=\\left(\\frac{1}{\\cos \\theta}-1\\right)^{2} \)

0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式・不等式を解け。(1) \cos 2 \theta=\sqrt{3} \cos \theta+2 (2) \sin 2 \theta<\sin \theta

三角関数の公式の作り方

3次関数のグラフのかき方—増減表の作成\n3 次関数のグラフは, 手順通りに正確にかくことが大切です。注意点とともに，手順をしっかり身につけておきましょう。\n\n増減表の 1 行目には $y^{\\prime}=0$ の解を記入する\n導関数 $y^{\\prime}$ を求め, $y^{\\prime}=0$ を解く, という手順で進める。特に, $y^{\\prime}$ の式が因数分解できるときは, 必ず因数分解 しておこう。因数分解しておくと, 解が求めやすくな るだけでなく，２行目の記入もスムーズになる。

まず, \( \tan (\alpha+\beta+\gamma) \) の値を求める。

三角関数の最大・最小 (1)

三角方程式の解法 (基本)\n$0 \leqq \theta<2 \pi$ のとき, 次の方程式を解け。また, $\theta$ の範囲に制限がないときの解を求めよ。\n(1) $\sin \theta=\frac{1}{2}$\n(2) $\cos \theta=-\frac{1}{2}$\n(3) $\tan \theta=-\sqrt{3}$

関数 y=sin 2x(sin x+cos x-1) について, t=sin x+cos x とおき, y を t の範囲による y のとりうる値の範囲として表せ。 [立命館大]

等式 1 + sin θ - cos θ / 1 + sin θ + cos θ = tan(θ/2) を証明せよ。

三角関数の値 (1)

104\n(ア) $\sin 4$\n(イ) $\sin 3$\n(ら) $\sin 2$

数学 $\mathbb{I}$\nPR\n$0 \leqq \theta<2 \pi$ のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(2134\n(1) $\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=\sqrt{2}$\n(2) $\sin \theta+\cos \theta \geqq \frac{1}{\sqrt{2}}$

加法定理を用いて，次の値を求めよ。 (1) $\sin 15^{\circ}$ (2) $\tan 105^{\circ}$ (3) $\cos \frac{\pi}{12}$

第４章 三角関数 195 \[ \begin{aligned} & \sin A+\sin B+\sin C \ = & 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A+B}{2} \ = & 2 \cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A+B}{2}+\cos \frac{A-B}{2}\right) \ = & 2 \cos \frac{C}{2} \cdot 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \ \text { よって, } & 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}=1 \text { であるから } \ & \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}=\frac{1}{4} \end{aligned} \] (2) \[ \begin{array}{l} \cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C = \frac{1}{2}(1+\cos 2 A)+\frac{1}{2}(1+\cos 2 B)+\cos ^{2} C = 1+\frac{1}{2}(\cos 2 A+\cos 2 B)+\cos ^{2} C = 1+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{2 A+2 B}{2} \cos \frac{2 A-2 B}{2}+\cos ^{2} C = 1+\cos (A+B) \cos (A-B)+\cos ^{2} C = 1+\cos (\pi-C) \cos (A-B)+\cos C \cos \{\pi-(A+B)\} = 1-\cos C\{\cos (A-B)+\cos (A+B)\} = 1-\cos C(2 \cos A \cos B)=1-2 \cos A \cos B \cos C \text { よって } \quad \cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\cos ^{2} C=1-2 \cos A \cos B \cos C \end{array} \] 4章 EX 半角の公式から $\cos ^{2} \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2}$ «和 $\longrightarrow$ 積の公式 \[ \begin{array}{l} \hookleftarrow A+B=\pi-C, \cos ^{2} C=\cos C \cos C \=\cos C \quad \times \cos \{\pi-(A+B)\} \end{array} \]

本 例題 128 加法定理の利用 \( \sin \alpha=\frac{3}{5}\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right), \cos \beta=-\frac{4}{5}\left(\frac{\pi}{2}<\beta<\pi\right) \) のとき, \( \sin (\alpha+\beta) \), \( \cos (\alpha-\beta), \tan (\alpha-\beta) \) の値を求めよ。

基本 列題 1372 次同次式の最大・最小\n\( f(\\theta)=\\sin^{2} \\theta + \\sin \\theta \\cos \\theta + 2 \\cos^{2} \\theta \\left(0 \\leqq \\theta \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right) \) の最大值と最小值を求めよ。

-π/3 ≤ x ≤ π/3 のとき, f(x) = (1/2 cos 2x + sin^2 (x/2)) tan x + 1/2 sin x は, x = ______ で最大値 ______ をとる。

2 つの放物線 $C_{1}: y=x^{2}+1, C_{2}: y=-2x^{2}+4x-3$ の共通接線の方程式を求めよ。

次に \( \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}=\frac{1}{2}\left\{1-\left(-\frac{2}{3}\right)\right\}=\frac{5}{6} \) $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ より, $\frac{\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}$ であるから $\quad \sin \frac{\theta}{2}>0$ ゆえに $\quad \sin \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$ また $\quad \sin ^{2} \theta=1-\cos ^{2} \theta=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$ $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ より, $\sin \theta>0$ であるから $\quad \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$ よって $\sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta$\n\n=3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}-4\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{3}=\frac{7 \sqrt{5}}{27}\n\n半角の公式\n$\hookleftarrow \frac{\theta}{2}$ は第 1 象限の角。\n$\longleftrightarrow \theta$ は第 2 象限の角。\n$\nLeftarrow 3$ 倍角の公式 忘れた ら, \( \sin (\theta+2 \theta) \) として,加法定理から導く。\n\nPR $0 \leqq \theta<2 \pi$ のとき, 次の方程式・不等式を解け。 (2) (1) $\cos 2 \theta=\sqrt{3} \cos \theta+2$ (2) $\sin 2 \theta<\sin \theta$

花子：次に関数 \ y=\\sin \\frac{3}{5} x+\\cos \\frac{7}{5} x \ の周期を求めます。正で最小の周期を求めてください。

曲線 y=x^3-2x+1 と直線 y=x+k が異なる 3 点を共有するような定数 k の値の範囲を求めよ。

基本例題 134 三角方程式・不等式の解法 (合成)\n0 \leqq θ<2π のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(1) sin θ-√3 cos θ=-1\n(2) sin θ- cos θ<1\n基本 123,133

2つの角 $\\alpha, \\beta$ の和 $\\alpha+\\beta$ や差 $\\alpha-\\beta$ の三角関数は, $\\alpha, \\beta$ の三角関数を用いて次のように表される。これを三角関数の加法定理という。\n\\[\n\\begin{array}{ll}\n1 \\quad \\sin (\\alpha+\\beta) & =\\sin \\alpha \\cos \\beta+\\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\\n\\sin (\\alpha-\\beta) & =\\sin \\alpha \\cos \\beta-\\cos \\alpha \\sin \\beta \\\\\n2 \\quad \\cos (\\alpha+\\beta) & =\\cos \\alpha \\cos \\beta-\\sin \\alpha \\sin \\beta \\\\\n\\cos (\\alpha-\\beta) & =\\cos \\alpha \\cos \\beta+\\sin \\alpha \\sin \\beta \\\\\n3 \\quad \\tan (\\alpha+\\beta) & =\\frac{\\tan \\alpha+\\tan \\beta}{1-\\tan \\alpha \\tan \\beta} \\\\\n\\tan (\\alpha-\\beta) & =\\frac{\\tan \\alpha-\\tan \\beta}{1+\\tan \\alpha \\tan \\beta}\n\\end{array}\n\\]\n\n次に、交わる2直線 $y=m_{1} x+n_{1}$ と $y=m_{2} x+n_{2}$ が垂直でないとき、この2直線のなす鋭角を $\\theta$ とすると $\\tan \\theta=\\left|\\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\\right|$ で表される。

EX 0 \\leqq θ < 2πのとき、次の方程式・不等式を解け。\n2) \\sin 2θ + \\sin θ - \\cos θ > \\frac{1}{2}

117・関数 \( f(\\theta)=a \\cos ^{2} \\theta+(a-b) \\sin \\theta \\cos \\theta+b \\sin ^{2} \\theta \) の最大値が $3+\\sqrt{7}$, 最小値が $3-\\sqrt{7}$ となるように, $a, b$ の値を定めよ。

三角方程式の解法 (基本)

三角関数の周期\n三角関数の周期 $k$ は正の定数とする。\n・関数 $y=\sin k \theta$ の周期\n- 関数 $y=\cos k \theta$ の周期\n・関数 $y=\tan k \theta$ の周期

基本例題 118 (3) のグラフは, y=\sin \theta のグラフを \theta 軸方向に \frac{1}{2} 倍しないのはなぜでしょうか?

三角不等式の解法 (基本)\n$0 \leqq \theta<2 \pi$ のとき, 次の不等式を解け。\n(1) $\sin \theta<-\frac{\sqrt{3}}{2}$\n(2) $\cos \theta>-\frac{1}{2}$\n(3) $\tan \theta \geqq 1$

関数 \( f(\theta)=8 \sin ^{3} \theta-3 \cos 2 \theta-12 \sin \theta+7 \) の最大値, 最小值と, そのときの $\theta$ の値をそれぞれ求めよ。

135\n(1) $\theta=\frac{7}{4} \pi$ で最大値 $\sqrt{2}$\n$\theta=\frac{3}{4} \pi$ で最小値 $-\sqrt{2}$

次の三角関数の値を求めなさい。

218\n\ \\theta \ の関数 \ y=\\sin 2 \\theta+\\sin \\theta+\\cos \\theta \ について\n(1) \ t=\\sin \\theta+\\cos \\theta \ とおいて, \ y \ を \ t \ の関数で表せ。\n(2) \ t \ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(3) \ y \ のとりうる値の範囲を求めよ。\n[高知大]

EX 0 \\leqq θ < 2πのとき、次の方程式・不等式を解け。\n1) 2 \\sin 2θ = \\tan θ + \\frac{1}{\\cos θ}\n2) \\sin 2θ + \\sin θ - \\cos θ > \\frac{1}{2}

PRACTICE 122 ${ }^{\circ}$\n$0 \leqq \theta<2 \pi$ のとき, 次の不等式を解け。\n(1) $2 \cos \theta \leqq-\sqrt{2}$\n(2) $-\sqrt{2} \sin \theta+1 \geqq 0$\n(3) $\sqrt{3} \tan \theta-1<0$

次の図は, それぞれ (1), (2) の関数のグラフである。 $A$ から $H$ までの值を求めよ。(1) y=\\sin \\theta \ (2) y=\\cos \\theta \

EX 関数 \( f(\\theta)=a \\cos (b \\theta+c)+d \\) について, a, b, c, d \ の値に応じて, \( y=f(\\theta) \\) のグラフが表示されるコンピュータソフトがある。いま, a=b=1, c=d=0 \ として, y=\\cos \\theta \ のグラフが表示されている。この状態から, a, b, c, d \ の値のうち, いずれか 1 つの値だけ変化させたとき, 次の 1) ～ 3) の変化が起こりうるのは, どの値を変化させたときかをそれぞれすべて答えよ。

次の等式を証明せよ。\n(1) $\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta=\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \beta$\n(2) \( \cos \theta(\tan \theta+2)(2 \tan \theta+1)=\frac{2}{\cos \theta}+5 \sin \theta \)

次の関数のグラフをかけ。また、その周期を求めよ。\n(1) $y=3 \tan \theta$\n(2) \( y=\cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \)\n(3) $y=\tan 2 \theta$\n(4) $y=-\sin \theta+1$

第 7 章 積分法\n放物線 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ を $C$ とし, $C$ 上に点 \( \mathrm{P}\left(a, \frac{1}{2} a^{2}\right) \) をとる。ただし, $a>0$ とする。点 $\mathrm{P}$ とおける\n$C$ の接線を $\ell$, 直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点を $\mathrm{Q}$, 点 $\mathrm{Q}$ を通り $\ell$ に垂直な直線を $m$ とするとき, 次の 問いに答えよ。\n(1) 直線 $\ell, m$ の方程式を求めよ。\n(2) 直線 $m$ と $y$ 軸との交点を $\mathrm{A}$ とし, 三角形 $\mathrm{APQ}$ の面積を $S$ とおく。また, $y$ 軸と線分 $\mathrm{AP}$ および曲線 $C$ によって囲まれた図形の面積を $T$ とおく。このとき, $S-T$ の最小値とそのとき の $a$ の値を求めよ。

三角関数のグラフ (1)

0 \\leqq \\theta<2 \\pi のとき, 次の方程式を解け。また, \\theta の範囲に制限がないときの解を求めよ。\n(1) $\sin \\theta=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$\n(2) $\\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}}$\n(3) $\\tan \\theta=\\sqrt{3}$

三角関数を解とする２次方程式

EX $\sin 1, \sin 2, \sin 3, \sin 4$ の中で, 負となるものはア $\square$ である。また, 正となるものの最小値はへ $\square$ であり, 最大値はウ $\square$ である。 [神戸薬大]

三角関数の相互関係

(1) $\sin \frac{13}{4} \pi$

PRACTICE $188^{\circledR}$\n0 ≤ θ ≤ 2 π で定義された関数 \( f(\theta) = 8 \sin ^{3} \theta - 3 \cos 2 \theta - 12 \sin \theta + 7 \\) の最大値, 最小値と, そのときの θ \ の値をそれぞれ求めよ。\n[東京理科大]

PRACTICE 190° a>1 とする。 1 \leqq x \leqq a における関数 y=2x^{3}-9x^{2}+12x について (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

$112^{\ominus}-\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき, \( f(x)=\left(\frac{1}{2} \cos 2 x+\sin ^{2} \frac{x}{2}\right) \tan x+\frac{1}{2} \sin x \) は, $x=ア \square$ $\square$ $\square$ をとる。

基本例題 188 三角関数の最大・最小（微分利用）\n$0 \leqq x<2 π$ のとき, 関数 $y=2 \cos 2 x \sin x+6 \cos ^{2} x+7 \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの $x$ の値を求めよ。\n[弘前大]

数学 $\mathbb{I}$ EX (3) 149 149 $a$ を定数とし, \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}+(3 a+4) x \) とする。 （1） $x y$ 平面において，曲線 \( y=f(x) \) は $a$ の値が変化しても常に 2 つの定点を通る。この 2 つ の定点の座標を求めよ。 (2) \( f(x) \) が極値をとらないような $a$ の値の範囲を求めよ。 [愛知工大]

三角関数の周期について説明してください。

PR 0 ≤ θ < 2π のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(1) sin(2θ + π/3) = - √3/2\n(2) cos(θ/2 - π/3) ≤ 1/√2

120・ \ 120^{\\circ} \\triangle \\mathrm{ABC} \ の内角 \ A, B, C \ について, 次の問いに答えよ。\n(1) \ \\sin A+\\sin B+\\sin C=1 \ のとき, \ \\cos \\frac{A}{2} \\cos \\frac{B}{2} \\cos \\frac{C}{2} \ の値を求めよ。\n(2) 等式 \ \\cos ^{2} A+\\cos ^{2} B+\\cos ^{2} C=1-2 \\cos A \\cos B \\cos C \ が成り立つこと を示せ。

重要例題 138 (2) では, $\sin 3 \theta=\sin 2 \theta$ を満たす 1 つの $\theta$ の値が \( 36^{\circ}\left(=\frac{\pi}{5}\right) \) であると与えられていたが，逆に，この三角方程式を満たす $\theta$ を求める方法を考えてみよう。\n1 . $\sin \theta=\sin \alpha$ の解は $\theta=\alpha$ だけではない\n例えば, $\sin \theta=\sin \frac{\pi}{6}$ すなわち $\sin \theta=\frac{1}{2}$ の解は $0 \leqq \theta<2 \pi$ のとき $\quad \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5}{6} \pi$\nしたがって, 一般解は，次のように表される。 $\theta=\frac{\pi}{6}+2 n \pi, \frac{5}{6} \pi+2 n \pi \quad(n$ は整数 \( ) \)\n同様に考えると, $\sin \theta=\sin \alpha$ の一般解は\n\\[\n\\theta=\\alpha+2 n \\pi, \\quad(\\pi-\\alpha)+2 n \\pi \\quad(n \\text { は整数 })\n\\]

次の値を求めよ。 (1) sin 5/6 π (2) cos 4/3 π (3) tan 5/4 π (4) sin 3/2 π

三角関数の対称式の値\n$\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{3}$ のとき, 次の式の値を求めよ。\n(1) $\sin \theta \cos \theta, \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta$\n(2) \( \sin \theta-\cos \theta\left(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\right) \)

1. $195^{\circ}$ の正弦・余弦・正接の値を求めよ。

次の条件で定められる数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ の一般項を（）内のおき換えを利用して求めよ。\n(1) $a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\\frac{5 a_{n}-4}{a_{n}+1}\\left(b_{n}=\\frac{1}{a_{n}-2}\\right.$ とおく ）\n(2) $a_{1}=4, \quad a_{n+1}=\\frac{4 a_{n}+3}{a_{n}+2}\\left(b_{n}=\\frac{a_{n}-3}{a_{n}+1}\\right.$ とおく ）

111\n(1) $\theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5}{6} \pi$\n(2) $\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{2}{3} \pi, \frac{5}{6} \pi<\theta<\frac{4}{3} \pi$

次の三角関数の値を求めなさい。

補 充例題 139 積 $\longrightarrow$ 和, 和 $\longrightarrow$ 積の公式\n(1) \( \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\} \) を証明せよ。\n(2) $\sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を証明せよ。

関数 \( y=2 \sin \theta+2 \cos ^{2} \theta-1\left(-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) \) の最大値・最小値，および最大値・最小値を与える $\theta$ の値を求めよ。

次の関数の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。\n(2135\n(1) \( y=\cos \theta-\sin \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \)\n(2) \( y=\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta(\pi \leqq \theta<2 \pi) \)

次の関数の最大値と最小値を求めよ。また，そのときの $\theta$ の値を求めよ。\n(1) \( y=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta(0 \leqq \theta<2 \pi) \)\n(2) \( y=\sin \theta-\cos \theta(\pi \leqq \theta<2 \pi) \)

半角の公式を用いて, 次の値を求めよ。(1) $\sin \frac{3}{8} \pi$ (2) $\cos \frac{3}{8} \pi$ (3) $\tan \frac{3}{8} \pi$

三角方程式・不等式 (2次式) の解法について考えてみましょう。基本例題 124 のように, 複数の三角関数を含む三角方程式・不等式を解く方法があります。

三角関数の値 (2)

0 \leqq \theta<2 \pi のとき, 次の方程式・不等式を解け。 (1) \cos 2 \theta-3 \cos \theta+2=0 (2) \sin 2 \theta>\cos \theta

(2) $\sin \theta=\frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$,\n$\cos \theta=\frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$ （複号同順）

次の等式を証明せよ。\n(1) \\frac{2 \\sin \\theta \\cos \\theta-\\cos \\theta}{1-\\sin \\theta+\\sin ^{2} \\theta-\\cos ^{2} \\theta}=\\frac{1}{\\tan \\theta} \\n(2) \( (\\tan \\theta-\\sin \\theta)^{2}+(1-\\cos \\theta)^{2}=\\left(\\frac{1}{\\cos \\theta}-1\\right)^{2} \\)

三角関数のグラフ(2)

次の値を, 0 から \\frac{\\pi}{4} \ までの角の三角関数で表せ。(1) \\sin \\frac{5}{9} \\pi \ (2) \\cos \\frac{7}{5} \\pi \ (3) \( \\tan \\left(-\\frac{10}{7} \\pi\\right) \\)

\( f(x) \)=3x^3+ax^2+(3a+4)x とする。 (1) x y平面において, 曲線y=f(x)はaの値が変化しても常に2 つの定点を通る。この 2 つの定点 の座標を求めよ。 (2) f(x)が極値をとらないようなa の値の範囲を求めよ。

次の三角関数の公式を証明しなさい。

140 \quad\n¥( \theta=\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi, \frac{5}{3} \pi, \frac{7}{4} \pi \)

加法定理\n加法定理 複号同順とする。\n\( \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \)\n\( \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)\n\( \tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \)

次の値を求めよ。\n(1) \(2 \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin (\pi-\beta)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)+2 \cos (\pi-\alpha)\)\n(2) \( \sin \left(-\frac{\pi}{5}\right) \cos \frac{3}{10} \pi+\sin \frac{7}{10} \pi \cos \frac{6}{5} \pi \)

次の式を \( r \sin (\theta+\\alpha) \) の形に表せ。ただし， $r>0,-\\pi<\\alpha \\leqq \\pi$ とする。\n(1) $\\cos \\theta-\\sqrt{3} \\sin \\theta$\n(2) $3 \\sin \\theta+2 \\cos \\theta$

次の式の値を求めよ。\n(1) $\cos 75^{\circ} \cos 45^{\circ}$\n(2) $\sin 75^{\circ} \sin 45^{\circ}$\n(3) $\sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ}$\n(4) $\cos 105^{\circ}-\cos 15^{\circ}$

OB'=r, OB' と x 軸の正の向きとのなす角を α とすると -4=r cos α, 2=r sin α よって x'=r cos (α ± π/3)=r cos α cos (π/3) ∓ r sin α sin (π/3) =-4 · 1/2 ∓ 2 · (√3)/2=-2 ∓ √3 y'=r sin (α ± π/3)=r sin α cos (π/3) ± r cos α sin (π/3) =2 · 1/2 ± (-4) · (√3)/2=1 ∓ 2√3 したがって, 点 C' の座標は (-2-√3, 1-2√3), (-2+√3, 1+2√3) 点 C' は, 原点が点 A 移るような平行移動によって, 点 C に移る。 よって (a, b)=(4-√3, 2-2√3), (4+√3, 2+2√3)

t = tan(θ/2)(t ≠ ±1) のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 sin θ = 2t / (1+t²), cos θ = (1-t²) / (1+t²), tan θ = 2t / (1-t²)

数学 $\mathbb{I}$\nPR\n$\theta$ が次の値のとき, $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ の値を求めよ。\n(113)\n(1) $\frac{13}{4} \pi$\n(2) $-\frac{19}{6} \pi$\n(3) $-5 \pi$

三角関数の等式の証明

角度をラジアンに変換しなさい。\n(1) -60° = ?\n(2) 210°= ?\n(3) 8/3 π = ?\n(4) -4/5 π = ?

$\tan \theta = \frac{3}{4}$ のとき, $\frac{\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta}{1 + 2 \sin \theta \cos \theta}$ の値を求めよ。

重要例題を取り組む際の注意点を詳しく述べてください。

（1）ア～クに当てはまるものを，次の各解答群のうちから一つずつ 選べ。ただし, ウウと解答の順序は問わ ない。 ア の解答群: (0) x \sin \alpha (1) \frac{x}{\sin \alpha} (2) x \cos \alpha (3) \frac{x}{\cos \alpha} (4) x \tan \alpha (5) \frac{x}{\tan \alpha} \square (0) \mathrm{OA} (1) \mathrm{OB} (2) \mathrm{OH} (3) \mathrm{AH} クの解答群: (0) \sin \theta (1) -\sin \theta (2) \cos \theta (3) -\cos \theta （2）【Pさんの構想】に基づいて，xを a ， b ， \alpha ， \beta ， \gamma を用いて表すと，\square となる。 ケ \square に当てはまるものを，次の（0)～(9)から一つずつ選べ。 (0) a (1) -a (2) b (3) -b (4) a+b (5) -(a+b) (6) a b (7) a^{2}+b^{2} (8) a b(a+b) (9) a^{3}+b^{3} （３）a=1000, b=500, \alpha=30^{\circ}, \beta=45^{\circ}, \gamma=60^{\circ} のとき,山の高さは約 ス \mathrm{m} である。にに最も近い数を，次の（０～３のうちから一つ選べ。 (0) 500 (1) 600 (2) 700 (3) 800

君の成長曲線を描いてみよう。

次の三角比を 45° 以下の角の三角比で表せ。

図(ア)で, \ \\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta \ の値を求めよ。

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の不等式を満たす \theta の値の範囲を求めよ。\n(1) \(\sqrt{2} \sin \theta-1 \leqq 0\n(2) 2 \cos \theta+1>0\n(3) \tan \theta>-1

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$\n半径 1 の半円周上で, $y$ 座標が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる点は,右の図の 2 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ である。求める $\theta$ は\n$\angle \mathrm{AOP} \text { と } \angle \mathrm{AOQ}$\nであるから\n$\theta = 60^{\circ}, 120^{\circ}$

θ は鋭角とする。sin θ、cos θ、tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき,他の 2 つの値を求めよ。(1) sin θ = 12/13

右の図を利用して，次の値を求めよ。 sin 15°, cos 15°, tan 15°

0^{\circ}<\theta<180^{\circ} とする。 4 \cos \theta+2 \sin \theta=\sqrt{2} のとき, \tan \theta の値を求めよ。

0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ} とする。\\sin \\theta, \\cos \\theta, \\tan \\theta のうち 1 つが次の値をとるとき,他の 2 つの值を求めよ。

三角比の相互関係 (1) θ は鋭角とする。 (1) sin θ=3/4 のとき, cos θ と tan θ の値を求めよ。 (2) tan θ=3 のとき, sin θ と cos θ の値を求めよ。

107 $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする。 $x$ の 2 次方程式 \( x^{2}-(\cos \theta) x+\cos \theta=0 \) が異なる 2 つの実数解をもち, それらがともに $-1<x<2$ の範囲に含まれるような $\theta$ の値の範囲を 求めよ。

EX (1) θは鋭角とする。tanθ=√7 のとき, (sinθ+cosθ)²の値を求めよ。

(2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$\n半径 1 の半円周上で, $x$ 座標が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる点は,右の図の点 $\mathrm{P}$ である。求める $\theta$ は\n$\angle \mathrm{AOP}$\nであるから\n$\theta = 45^{\circ}$

次の関数のグラフをかけ。\n(1) $y=x^{2}-4|x|+2$\n(2) $y=\left|x^{2}-3 x-4\right|$

EX (1) $\\sin 140^{\\circ}+\\cos 130^{\\circ}+\\tan 120^{\\circ}$ はいくらか。

三角比は，遠くに見えるものまでの距離や高さなど，直接計測することができないものを 計測するために考え出され, その歴史は紀元前にまでさかのぼります。ここでは, 三角比 を用いて山の高さを計算する方法について考察します。\n\nまず，次の問題を考えてみましょう。\nCHECK 3-A 地点 O から山の頂上 \ \\mathrm{M} \ を見上げたときの角度を \ \\alpha, \\mathrm{O} \ から山 の方向を向いたまま \ c \\mathrm{~m} \ 後ろへ下がった地点を \ \\mathrm{C} \ とし，地点 \ \\mathrm{C} \ から頂上 \ \\mathrm{M} \ を見上げたときの角度を \ \\beta \ とする。山の高さを \ x \\mathrm{~m} \ とするとき， \ x \ を \ \\alpha, \\beta \, \ c \ を用いて表せ。ただし，目の高さは無視する。

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の不等式を満たす \theta の値の範囲を求めよ。\n(1) \sin \theta>\frac{1}{2}\n(2) \cos \theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\n(3) \tan \theta<\sqrt{3}

(2) 0° < θ < 90° のとき y = 2 tan^2(θ) - 4 tan(θ) + 3

EX (1) cos²20°+cos²35°+cos²45°+cos²55°+cos²70° の値を求めよ。

\n\\[\\text { よって } \\begin{aligned}& \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\cos ^{2} 55^{\\circ}+\\cos ^{2} 70^{\\circ} \\ = & \\cos ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 45^{\\circ}+\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\sin ^{2} 20^{\\circ} \\ = & \\left(\\sin ^{2} 20^{\\circ}+\\cos ^{2} 20^{\\circ}\\right)+\\left(\\sin ^{2} 35^{\\circ}+\\cos ^{2} 35^{\\circ}\\right)+\\cos ^{2} 45^{\\circ} \\ = & 1+1+\\left(\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\right)^{2}=\\frac{5}{2}\\end{aligned}\\]\n

巻末の「三角比の表」を用いて，次の問いに答えよ。\n（1）図(ア) で， $x, y$ の値を求めよ。ただし，小数第 2 位を四捨五入せよ。\n(2) 図 (イ) で,鋭角 $\theta$ のおよその大きさを求めよ。

三角比の値の範囲, 三角比の等式を満たす角 θ の値を求める。

EX (3) (sin⁴θ+4 cos²θ- cos⁴θ+1) / 3(1+ cos²θ) の値を求めよ。

次の関数の最大値・最小値，およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。\n(1) $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$\nのとき\n$y=4 \cos ^{2} \theta+4 \sin \theta+5$

徚習 θ は鋭角とする。 sin θ, cos θ, tan θ のうち 1 つが次の値をとるとき, 他の 2 つの値を求めよ。 (1) sin θ=12/13 (2) cos θ=1/3 (3) tan θ=2/√5

（3）余弦定理により \[\begin{array}{c}\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \= \frac{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}-(\sqrt{10})^{2}}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ \end{array}\] $A=135^{\circ}$

① 三角比の表を参照して、次の問いに答えなさい。θ = 37° のとき、sin θ、cos θ、tan θ の値を求めなさい。

（2）右の図を利用して, \ \\sin 22.5^{\\circ}, \\cos 22.5^{\\circ} \, \\ \\tan 22.5^{\\circ} \\) の値を求めよ

$\sin 15^{\circ}$, $\cos 15^{\circ}$, $\tan 15^{\circ}$, $\sin 75^{\circ}$, $\cos 75^{\circ}$, および $\tan 75^{\circ}$ を求めよ。

0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の等式を満たす θ を求めよ。(6) $\sqrt{3} \tan \theta+1=0$

64 (1) $a<2$ のとき $x=4$ で最大値 $-24 a+53$ $a=2$ のとき $x=0,4$ で最大値 5 $a>2$ のとき $x=0$ で最大値 5 (2) $a<0$ のとき $x=0$ で最小値 5 $0 \leqq a \leqq 4$ のとき $x=a$ で最小値 $-3 a^{2}+5$ $a>4$ のとき $x=4$ で最小値 $-24 a+53$

補 充例題 119 三角比の 2 次関数の最大・最小 0° ≤ θ ≤ 180° のとき, y=sin^2θ+cosθ-1 の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの θ の値を求めよ。

EX 命題「 p \\Longrightarrow q \\lrcorner \ にいて, 条件 p \ を満たすものの集合を P \, 条件 q \ を満たすものの集合を Q \ とす ②13。命題「 \\Longrightarrow q \\lrcorner \ が真であるとき，その対偶について， \\square \ が成り立つ。空欄に当てはまる ものを，次の1つから選べ。\n(1) \\bar{P} \\subset Q \\n(2) \\bar{P} \\subset \\bar{Q} \\n(3) \\bar{Q} \\subset P \\n(4) \\bar{Q} \\subset \\bar{P} \

(6) $\tan \theta+\sqrt{3} \geqq 0$ から\n$\n\tan \theta \geqq-\sqrt{3}\n$\n$\tan \theta=-\sqrt{3}$ を満たす $\theta$ を求める と $\theta=120^{\circ}$\nよって, 図から求める $\theta$ の範囲は\n$\n0^{\circ} \leqq \theta<90^{\circ}, 120^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\n$

次の三角比を求めなさい。\n1. \(\\sin (90^{\circ} + \theta)\)\n2. \(\\cos (90^{\circ} + \theta)\)\n3. \(\\tan (90^{\circ} + \theta)\) \((0^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ})\)

三角比の対称式の値

次の式を簡単にせよ。(2) tan(45° + θ) tan(45° - θ) tan 30° (0° < θ < 45°)

鈍角の三角比の値と式の変形

PR 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} のとき, 次の等式を満たす \theta を求めよ。 (6) \sqrt{3} \tan \theta + 1 = 0

次の三角比の値を，小さい順に並べよ。\n(1) $\sin 35^{\circ}, \sin 70^{\circ}, \sin 105^{\circ}, \sin 140^{\circ}, \sin 175^{\circ}$\n(2) $\sin 29^{\circ}, \cos 29^{\circ}, \tan 29^{\circ}$

基本列題 108 三角比の相互関係 (鋭角) θ は鋭角とする。(1) sin θ=2/√13 のとき, cos θ と tan θ の値を求めよ。 (2) tan θ=√5/2 のとき, sin θ と cos θ の値を求めよ。

次の式を簡単にせよ。\n(1) \( \left(\cos 110^{\circ}-\cos 160^{\circ}\right)^{2}+\left(\sin 70^{\circ}+\cos 70^{\circ}\right)^{2} \)\n(2) \( \tan ^{2} \theta+\left(1-\tan ^{4} \theta\right)\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \)

三角比の相互関係（鋭角）

特別な角の三角比

正弦定理の利用

三角比の応用問題

次の三角比を，それぞれ 0^{\\circ} 以上 90^{\\circ} 以下の角の三角比で表せ。また，その値を三角比の表を用いて求めよ。(1) sin 111^{\\circ}(2) cos 155^{\\circ}(3) tan 173^{\\circ}

問5 (2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の内角のうち, 2 番目に大きい角の正接を求めよ。

Q7 (1) $\cos 70^{\circ}+\cos 100^{\circ}-\sin 160^{\circ}+\sin 170^{\circ}$ の値を求めよ。

第４章 図形と計量 161 \nまた $\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}$ $=\frac{1}{-\frac{2}{5}}=-\frac{5}{2}$ よって $\tan ^{3} \theta+\frac{1}{\tan ^{3} \theta}$ \( =\left(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^{3}-3\left(\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right) \) \( =\left(-\frac{5}{2}\right)^{3}-3\left(-\frac{5}{2}\right) \) $=-\frac{125}{8}+\frac{15}{2}=-\frac{65}{8}$

三角比の相互関係 (0° <= θ <= 180°)

亘要例題 57 関数の作成 図のような 1 辺の長さが 2 の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。点 $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ を出発し, 毎秒 1 の速さで左回りに辺上を 1 周するとき, 線分 APを 1 辺とする正方形の面積 $y$ を, 出発後 の時間 $x$ (秒) の関数として表し，そのグラフをかけ。 ただし，点Pが点Aにあるときは $y=0$ とする。

三角比の等式と値

② θ が 75° のとき、tan θ の値を求めなさい。

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする。 $\sin \theta=\frac{1}{3}$ のとき, $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

PRACTICE $124^{\circ}$ $\triangle \mathrm{ABC}$ において, $\sin A: \sin B: \sin C=5: 16: 19$ のとき, この三角形の最も大き い角の大きさを求めよ。

次の三角方程式を解け。\n(1) $2 \sin ^{2} \theta-5 \cos \theta+1=0$\n(2) $2 \cos ^{2} \theta+3 \sin \theta-3=0$\n(3) $\sin \theta \tan \theta=-\frac{3}{2}$\n(4) $\sqrt{2} \sin \theta=\tan \theta$

好奇心が学びにどのように影響するかを考えてみましょう。

問題⑩1\n$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする。 $10 \cos ^{2} \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0$ のとき, $\tan \theta$ の値を求めよ。$\cos \theta=0$ は, $10 \cos ^{2} \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0$ を満たさない。 よって $\cos \theta \neq 0$ すなわち $\quad \theta \neq 90^{\circ}$

PR $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき, 次の方程式・不等式を解け。\n(118\n(1) $2 \sin ^{2} \theta-\cos \theta-1=0$