AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
高度な関数 - 微分積分の基礎
Q.01
65 (1) \ a<\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=a \ で最大値 \ a^{2}-9 a \\n\ a=\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2} \ で最大値 \ -\\frac{81}{4} \\n\ a>\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=a+1 \ で最大値 \ a^{2}-7 a-9 \\n(2) \ a<4 \ のとき\n\ x=a+1 \ で最小値 \ a^{2}-7 a-9 \\n\ 4 \\leqq a \\leqq 5 \ のとき\n\ x=5 \ で最小値 \ a-25 \\n\ a>5 \ のとき\n\ x=a \ で最小値 \ a^{2}-9 a \
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x, y を実数とするとき, x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 の最小値を求め, そのときの x, y の値を求めよ。
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必要条件・十分条件の振り返り\nここでテーマを変えて, 必要条件・十分条件について振り返ろう。\n2 つの条件 において,\n(1) が真であるとき\n は刀であるための必要条件\npは であるための十分条件\n(2) と がともに真である( が成り立つ)とき は は \( q) \) であるための必要十分条件
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55 (1) x=0 で最大値 0 , x=2 で最小値 8(a+1)
(2) x=0 で最大值 0 , x=-a で最小値 -2a²
(3) x=0,2 で最大値 0 , x=1 で最小値 -2
(4) x=2 で最大値 8(a+1) , x=-a で最小値 -2a²
(5) x=2 で最大値 8(a+1) , x=0 で最小値 0
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x, y \) の関数 \( f(x, y)=x^{2}-4x y+5y^{2}+2y+2 \) の最小値を求めよ。また、このときの の値を求めよ。
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命題「東京に住む 日本に住む」は真であるが、このとき「東京に住む」および「日本に住む」の関係を十分条件や必要条件で表現するとどのようになりますか?
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a を定数とし, x の関数 f(x)=(1+2 a)(1-x)+(2-a) x の最小値 m(a) を求めよ。
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[3] グラフが 3 点 \( (1,3),(2,5),(3,9) \) を通る\n求める 2 次関数を とおく。\n点 \( (1,3) \) を通るから \n点 \( (2,5) \) を通るから \n点 \( (3,9) \) を通るから \nこの連立方程式を解くと, の値を求めることができ, 2 次関数が決定する。
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命題とその逆・対偶・裏の関係について説明し、次の命題Sの逆・対偶・裏を求めてください。
命題S: 「xが偶数ならば、xは2で割り切れる」
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(2) y^{\prime}=-4 x-8=-4(x+2) y^{\prime}=0 とすると x=-2 y の増減表は右のようになる。よって, y は, x=-2 で 極大値 -4 をとる
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関数 \( f(x)=x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}-6 x \) について, 次の問いに答えよ。\n(1) 関数 \( f(x) \) の極値をすべて求めよ。\n(2) 方程式 \( f(x)=a \) が異なる 3 つの実数解をもつとき, 定数 のとりうる値の範囲を求めよ。\n(3) が (2) で求めた範囲にあるとし, 方程式 \( f(x)=a \) の 3 つの実数解を \( \alpha, \beta, \gamma(\alpha<\beta<\gamma) \) とする。 \( t=(\alpha-\gamma)^{2} \) とおくとき, を を用いず のみの式で表し, のとりうる値の 範囲を求めよ。[関西学院大]
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関数の値の変化
f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} が極大値をもたないとき, 定数 k の値の範囲を求めよ。
[福島大]
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次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=2 x^{2}+x \int_{0}^{1} f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=2 x+\int_{0}^{1} x f(t) d t \)
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f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1 とする。曲線 y=f(x) は, 曲線上の点 A(2,3) に 関して対称であることを示せ。
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曲線 (1) と直線 \( y=a^{2}(x+1) \cdots \cdots \) (2) で囲まれる 2 つの部分の面積が等しくなるような定数 の値を求めよ。ただし, とする。
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接線の方程式\n曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( \\mathrm{A}(a, f(a)) \) における\n・接線の方程式 \( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \)\n・法線の方程式 \( \\quad y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\)
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(2) y^{\prime}=3 x^{2}+2 x-1=(x+1)(3x-1) y^{\prime}=0 とすると x=-1, 1/3 y の増減表は次のようになる。よって, y は, x=-1 で極大となり, x=1/3 で極小となる。
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導関数の定義にしたがって, 次の関数の導関数を求めよ。(1) y=x^{2}-3 x+9 (2) y=-2 x^{3}+3 x^{2}-1
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\( f(x)=\frac{1}{3} \int_{0}^{3}(x+t)|x-t| d t \) とする。(1) \( f(x) \) を計算せよ。(2) 関数 \( y=f(x) \) のグラフをかけ。(3) における関数 \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。
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1 辺の長さが の立方体があり,毎秒 の割合で各辺の長さが大きくなっている。 10 秒後のこの立方体の表面積と体積の変化率 \( \left(\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}, \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}\right) \) をそれぞれ求めよ。
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曲線 y=2x^3-5x^2+x+2 と x 軸の交点の x 座標は,方程式 2x^3-5x^2+x+2=0 の解である。P(x)=2x^3-5x^2+x+2 とすると P(1)=2-5+1+2=0 よって P(x) =(x-1)(2x^2-3x-2) =(x-1)(x-2)(2x+1) P(x)=0 を解いて x=1,2,-1/2 ゆえに,曲線は右の図のようになるから,求める面積 S は S= ∫(-1/2 to 1)(2x^3-5x^2+x+2) dx + ∫(1 to 2)(-(2x^3-5x^2+x+2)) dx = [x^4/2 - 5/3 x^3 + x^2/2 + 2x](-1/2 to 1) -[x^4/2 - 5/3 x^3 + x^2/2 + 2x](1 to 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2^4/2 - 5/3 * 2^3 + 2^2/2 + 2*2) - (1/2(-1/2)^4 - 5/3(-1/2)^3 + 1/2(-1/2)^2 + 2*(-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (-61/96) = 253/96
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203 は積分定数とする。\n(1) \(\frac{1}{8}(2 x + 1)^{4} + C\)\n(2) \(-\frac{1}{10}(t + 1)^{4}(2 t - 3) + C\)
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次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=3 x^{2}-x+\int_{-1}^{1} f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=2 x^{2}+1+\int_{0}^{1} x f(t) d t \)
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65\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\text { (1) } \\boldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\\boldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \\boldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]
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2 つの 2 次関数 \( f(x), g(x) \) が, \( f(0)-g(0)=1 \), \( \frac{d}{d x} \int_{0}^{x}\{f(t)+g(t)\} d t=5 x^{2}+11 x+13, \int_{0}^{x} \frac{d}{d t}\{f(t)-g(t)\} d t=x^{2}+x \) を満たすとき, \( f(x), g(x) \) を求めよ。
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A のとき, 関数 \( f(x)=\int_{-3}^{x}\left(t^{2}-2 t-3\right) d t \) のとりうる値の範囲を求めよ。
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㩐本例題 190 区間の一端が動く場合の最大・最小\n とする。 における関数 について\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。
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方程式 について, 次の問いに答えよ。 (1) とおいて, 与えられた方程式を の方程式で表せ。\n(2) 与えられた方程式の解を求めよ。
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定積分の性質\n定積分 \( \\quad F^{\\prime}(x)=f(x) \) のとき\n\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \\]\n定積分の性質 は定数とする。\n\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(t) d t \\\\\n\\int_{a}^{b}\\{k f(x)+\\lg (x)\\} d x \\)\n\[=k \\int_{a}^{b} f(x) d x+l \\int_{a}^{b} g(x) d x \\)\n\[ \\cdot \\int_{a}^{a} f(x) d x=0, \\int_{b}^{a} f(x) d x=-\\int_{a}^{b} f(x) d x \\]\n\[ \\cdot \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\]\n偶関数, 奇関数の定積分 は自然数とする。\n \\int_{-a}^{a} x^{2 n} d x=2 \\int_{0}^{a} x^{2 n} d x, \\int_{-a}^{a} x^{2 n-1} d x=0 \
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次の関数において, x が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率が 4 となるように, h の値を定めよ。(1) f(x)=x^{3}-x^{2}
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補充 例題 178 導関数の計算 (2)\np. 278 の公式を用いて, 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(2 x-1)(x+1)\n(2) y=\left(x^{2}+2 x+3\right)(x-1)\n(3) y=(2 x-1)^{3}\n(4) y=(x-2)^{2}(x-3)\np. 278 STEP UP
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次の問題について解答せよ。\n1. のとき \( f(x)=3-x^{2} \)\n0 <= x <= 3 のとき\n\( f(x)=\frac{4}{9}x^{3}-x^{2}+3 \)\n3 を超える場合には \( f(x)=x^{2}-3 \) となる\n2. 省略\n3. で最大値 3, で最小値 2
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PRACTICE 178 (R)\n P. 278 の公式を用いて, 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(3 x+2)(3 x^{2}-1)\n(2) y=(3-x)^{3}\n(3) y=(x+3)(2 x-5)^{2}
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EX のとき, 関数 \( f(x)=\int_{-3}^{x}\left(t^{2}-2 t-3\right) d t \) のとりうる値の範囲を求めよ。
[群馬大]
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次の関数を微分せよ。また, x=0,1 における微分係数をそれぞれ求めよ。(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)
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EX数列 \left\\{a_{n}\right\\} が で定義されている。数列 \( \left\\{a_{n}-g(n)\right\\} \) が公比 3 の等比数列となるように の 2 次式 \( g(n) \) を考えることにより, を の式で表せ。
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関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) が次の 3 つの条件を満たすように定数 の値を定めよ。
\( f(1)=8, \int_{-1}^{1} f(x) d x=4, \int_{-1}^{1} x f' \left(x\right)d x=4\)
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関数 \(f(n)\) に対して、次の条件を満たすような \( f(n) \) を求めなさい: \(b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))\)
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297 基 本 例題 189 最大値・最小値から係数決定\na>0 とする。関数 f(x)=a x(x-3)^{2}+b の区間 0 \leqq x \leqq 5 における最大値 が 15 , 最小値が -5 であるという。定数 a, b の値を求めよ。
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次の等式が についての恒等式となるように、定数 の値を定めよ。\n(1) \n(2) \( \\frac{x-5}{(x+1)^2(x-1)} = \\frac{a}{(x+1)^2} + \\frac{b}{x+1} + \\frac{c}{x-1} \)
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x ≥ 0, y ≥ 0 のとき, x, y の関数 f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 の最小値を求めよ。また, このときの x, y の値を求めよ。
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次の定積分を計算せよ。\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} d x \n\\]\nx = a - t とおくと、-d x = d t。x と t の対応は次のようになる。\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n よって、\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} d t = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\frac{a}{2} - b \\]
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例題 121 定積分で表された関数の最大・最小 (1)\n が実数の範囲を動くとき, 定積分 \( \int_{-\pi}^{\pi}(x-a \sin x-b \cos x)^{2} d x \) の最小値を求 めよ。また, そのときの の値を求めよ。\n[信州大]
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練習 101 ⇒ 本冊 p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx
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pが有理数のとき次の公式を示せ:\n\n\\[\\left(x^{p}\\right)'=p x^{p-1}\\]
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(3) \( \int_{1}^{e} x \log \sqrt{x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x \log x d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{e}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime} \log x d x \)\n\[\ = \frac{1}{4}\left[x^{2} \log x\right]_{1}^{e}-\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x \, dx = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{e} = \frac{1}{8}\left(e^{2} + 1\right) \]
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ここの章で学ぶこと〉 多項式で表された関数以外の一般の関数では,微分はできても積分は簡単にはできない場合が多い。 本章では,第 3 章の微分法の公式などをもとにして,もっと多く の関数の積分法を学ぶ。積分法では,有理関数の不定積分でも高校の範疇を越える関数になる場合があって、いつでも積分できる とは限らないが、積分できる関数の範囲は数学IIよりはるかに広 くなる。
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䋱習(1) f(x)は微分可能な関数で, 任意の x, y に対して次の関係が成り立つという。 f(x) を求めよ。\n(ア) f(x+y)=f(x)+f(y)
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\left(x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}-2\right) \)\n(3) \( y=\left(x^{2}-2 x-3\right)\left(x^{2}+4\right) \)
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51 関数 \( f(x)=\int_{-1}^{x} \frac{d t}{t^{2}-t+1}+\int_{x}^{1} \frac{d t}{t^{2}+t+1} \) の最小値を求めよ。\n[神戸大]
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問題 48 次の等式を満たす関数 \\( f(x)(0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi) \\) がただ 1 つ定まるための実数 \ a, b \ の条件 を求めよ。また, そのときの \\( f(x) \\) を決定せよ。\\[ f(x)=\\frac{a}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\sin (x+y) f(y) d y+\\frac{b}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (x-y) f(y) d y+\\sin x+\\cos x \\]ただし, \\( f(x) \\) は区間 \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ で連続な関数とする。[東京大]
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\\[\n\\begin{array}{l}\n\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\n\\text { よって } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\n\\end{array}\n\\]\nゆえに \\( \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2}\\left(x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\)\n(1) から\ \\[\n\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}+C\n\\]\n
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(1) \\( x\\{f(x)-1\\}=2 \\int_{0}^{x} e^{-t} g(t) d t \\) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[\\begin{array}{l}\nf(x)-1+x f^{\\prime}(x)=2 e^{-x} g(x) \\\\\n\\text { よって } \\quad e^{x}\\left\\{f(x)-1+x f^{\\prime}(x)\\right\\}=2 g(x) \\quad \\ldots . .\n\\end{array}\]\n更に, (1) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[e^{x}\\left\\{f(x)-1+x f^{\\prime}(x)\\right\\}+e^{x}\\left\\{f^{\\prime}(x)+f^{\\prime}(x)+x f^{\\prime \\prime}(x)\\right\\}=2 g^{\\prime}(x)\]\nすなわち \\( e^{x}\\left\\{x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1\\right\\}=2 g^{\\prime}(x) \\)\nここで, \\( g(x)=\\int_{0}^{x} e^{t} f(t) d t \\) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[g^{\\prime}(x)=e^{x} f(x)\]\nよって \\( e^{x}\\left\\{x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1\\right\\}=2 e^{x} f(x) \\) \ e^{x}>0 \ であるから\n\[x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1=2 f(x)\]\nしたがって \\( \\quad x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)-f(x)=1 \\)
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{(x-1)^{2}}{x \sqrt{x}} d x \)
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2) \int \sin \theta \cos \theta d \theta \)
(3)
(4)
(5)
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(2)
\[\begin{array}{l}\begin{aligned}\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x & =\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x=\int_{0}^{1} d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \\ & =1-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \quad \cdots \cdots \text { (3) } \begin{array}{rl||l}x & 0 \longrightarrow 1 \\ \hline\=\tan \theta \text { とおくと } \\ dx & =\frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta \quad 0 \longrightarrow \frac{\pi}{4}\end{array} \\ \text { よって } \quad \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d \theta=\frac{\pi}{4}\end{aligned}\end{array}\]
\begin{tabular}{c||l}\hline\( x ) & ( 0 \longrightarrow 1 ) \\\hline\( \theta ) & ( 0 \longrightarrow \frac{\pi}{4} ) \\\hline\end{tabular}
ゆえに, (3) から
(3) \( \frac{x^{2}+\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}\left\{1-\left(-x^{2}\right)^{n}\right\}}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{k=1}^{n} x^{2} \cdot\left(-x^{2}\right)^{k-1} \)
\[\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} x^{2 k}=x^{2}-x^{4}+x^{6}-x^{8}+\cdots \cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n}\]
であるから
\[\begin{aligned}a_{n} & =\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{1+x^{2}} d x \\ & =\int_{0}^{1}\left\{x^{2}-x^{4}+x^{6}-x^{8}+\cdots \cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n}\right\} \\ & =[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{9}}{9}+\cdots \cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{2 n+1}]_{0}^{1} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots \cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2 n+1} \\ & =\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{2 k+1}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}\end{aligned}\]
(4) (1), (2) から \( 0 \leqq\left|\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-a_{n}\right| \leqq \frac{1}{2 n+3} \) であるから, はさみうちの原理により \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-a_{n}\right|=0 \) すなわち よって, (3)から \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}=1-\frac{\pi}{4} \)
591
分子の次数を下げる。
の定積分 は, とお く。
\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}
1 初項 , 公比 の等比数列の初項か ら第 項までの和。
\[\begin{array}{l}(-1)^{k-1} \\\=(-1)^{k-1} \cdot(-1)^{2} \\\=(-1)^{k+1}\end{array}\]
総
含
演
習
総
溶
習
類題 を定義域とする関数の列 \( f_{0}(x), f_{1}(x), \cdots \cdots, f_{n}(x), \cdots \cdots \) を 16
\( f_{0}(x)=1, f_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{f_{n-1}(t)}{t+1} d t(n \geqq 1) \) により帰納的に定義する。
(1) \( f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x) \) を求めよ。
(2) \( f_{n}(x)(n \geqq 1) \) を求めよ。
(3)曲線 \( y=f_{n}(x)(n \geqq 1) \), 直線 \( x=a(a>0) \) および 軸で囲まれる図形の面積を \( S_{n}(a) \) とするとき, \( S_{n}(a)+S_{n+1}(a)=\frac{a+1}{(n+1)!} \) を満たす の値を求めよ。
(4) 無限級数 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} \) の和を求めよ。
[東京医歯大]
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綀棏 \( 94 \Rightarrow ) 本冊 \n(1) をで微分すると よって, l の増分 \( \Delta l ) に対する T の増分を \( \Delta T ) とすると したがって, だけ増す。
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関数 の定義域は 以外の実数全体である。\n\n\[y^{\prime}=1-\frac{9}{(x+3)^{2}}=\frac{(x+3)^{2}-9}{(x+3)^{2}}=\frac{x(x+6)}{(x+3)^{2}}\]\n とすると \n の増減表は次のようになる。\n\[\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}\hline & & -6 & & -3 & & 0 & \\\hline & + & 0 & - & & - & 0 \& + \\\hline & & 極大 -9 & & & & & 極小 \\\hline\end{tabular}\n\]\nよって、 は\n で単調に増加し、 で単調に減少する。
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シュワルツの不等式
次の不等式が成り立つ。この不等式をシュワルツの不等式という。
∫(a to b) {f(x) g(x) dx}^2 ≤ (∫(a to b) {f(x)}^2 dx)(∫(a to b) {g(x)}^2 dx) (a < b)
等号は, 常に f(x)=0 または常に g(x)=0 または g(x)=k f(x) ( k は定数)のときに限って成り立つ。
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( x は t に無関係な変数) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g ′( x ) - f ( h ( x ) h’(x )
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(2)実数 の値を変化させたときの定積分 \( I=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \sin x-b \sin 2 x)^{2} d x \) の最小値,およびそのときの の値を求めよ。\n[類 琉球大]
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次の微分方程式を解け。\n(1) \(\frac{d y}{d x}=x(2 y-1), x=0\) のとき \n(2) \( \left(y+\frac{d y}{d x}\right) \sin x=y \cos x\)
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練習 次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\frac{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}{(x-3)^{5}} \)\n(2) \( y=\sqrt[3]{\frac{(x+1)^{2}}{x\left(x^{2}+2\right)}} \)\n(3) \( y=(\sqrt{x})^{x}(x>0) \)\n(4) \( y=x^{\sin x}(x>0) \)\n(5) \( y=f(x)^{g(x)}[f(x)>0] \)\n(6) \( y=(1+x)^{\frac{1}{1+x}}(x>0) \)
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\\sin (1-2 x) \)\n(2) \n(3) \n(4) \( y=x^{2} \\sin (3 x+5) \)\n(5) \n(6)
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オーダーメイドとレディメイドの製品について、数学の公式を比喩として使っています。公式を理解せずに暗記することの問題点について説明してください。
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列 40 定積分の計算 \( (1) \)\n次の定積分を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4)
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1 関数の増加と減少\n次のことについて, 数学 II では曲線 y=f(x) をその接線で近似して直観的に考えた。数学IIでは, 平均値の定理を用いて理論的に証明することができる。\n関数 f(x) は閉区間 [a, b] で連続, 開区間 (a, b) で微分可能とする。\n1 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)>0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で単調に増加する。\n2 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)<0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で単調に減少する。\n3 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)=0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で定数である。
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数学 213 \[\\begin{array}{l} f(x)=\\left\\{(x-k)^{2}\\right\\}^{2}+\\left(6 k^{2}+3 a k+b\\right)(x-k)^{2}+k^{4}+a k^{3} +b k^{2}+c k+d \\ =\\left\\{\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}\\right\\}^{2}-\\left(\\frac{3}{8} a^{2}-b\\right)\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}-\\frac{3}{256} a^{4} +\\frac{1}{16} a^{2} b-\\frac{1}{4} a c+d \\ \\text { よって, } g(x)=\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}, \\ h(x)= x^{2}-\\left(\\frac{3}{8} a^{2}-b\\right) x-\\frac{3}{256} a^{4}+\\frac{1}{16} a^{2} b-\\frac{1}{4} a c+d \\text { とすると, } \\end{array}\\] \( f(x)=h(g(x)) \) となるから, \( f(x) \) は 2 つの 2 次関数の合成関数 になっている。 演習 7 IIII \\Rightarrow \ 本冊 p .292 \
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344\n数学 \\\mathbb{I}\\n(6) \ \\sqrt[3]{x+2}=t \ とおくと \ \\quad x=t^{3}-2, d x=3 t^{2} d t \\n\\[ \\begin{aligned}\n\\int \\frac{x}{\\sqrt[3]{x+2}} d x & =\\int \\frac{t^{3}-2}{t} \\cdot 3 t^{2} d t = 3 \\int\\left(t^{4}-2 t\\right) d t \\\\\n& =3\\left(\\frac{t^{5}}{5}-t^{2}\\right)+C = \\frac{3}{5} t^{2}\\left(t^{3}-5\\right)+C \\\\\n& = \\frac{3}{5}(x-3) \\sqrt[3]{(x+2)^{2}} +C \\end{aligned} \\]
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次の不定積分を求めよ。
95
(1) \( \int \frac{(x-1)^{2}(3 x-1)}{x^{2}} d x \)
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動点 P の座標 (x, y) が時刻 t の関数として与えられているとき、P から x 軸、y 軸にそれぞれ垂線 PQ, PR を引くと、時刻 t における Q の速度は dx/dt=f'(t), R の速度は dy/dt=g'(t) である。これらを成分とするベクトル v を,時刻 t における点Pの速度または速度ベクトルという。 また, v の大きさ |v| を速さという。
(1) 速度 v=(dx/dt, dy/dt)
(2) 速さ |v|=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]
(3) 加速度 α=(d²x/dt², d²y/dt²)
(4) 加速度の大きさ |α|=√[(d²x/dt²)²+(d²y/dt²)²]
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数学III\n(1) y=-x を代入すると f(0)=f(x)+f(-x) f(0)=0 であるから f(-x)=-f(x)\n(2) n>0 のとき\nf(1/n) = 1/n{f(1/n)+f(1/n)+...+f(1/n)}\n = 1/n f{1/n+1/n+...+1/n}=f(1)/n\n n<0 のとき\nf(1/n)=f(-1/-n)=-f(1/-n)=-f(1)/-n=f(1)/n\n ゆえに f(1/n)=f(1)/n.\n(3) f'(0)=lim_{h->0} f(h)-f(0)/h=lim_{h->0} f(h)/h.\n ここで,h=1/n とおくと,n>0 のとき\n f'(0)=lim_{n->∞} f(1/n)/1/n=lim_{n->∞} n f(1/n)=lim_{n->∞}f(1)=f(1)\n n<0 のときも同様にして f'(0)=f(1)\nゆえに f'(0)=f(1)\n
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3 次関数 \( f(x) \) が と で極値をとるから, \( f^{\prime}(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0) \) と表される。また \( g(x)=\frac{3 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}+1 \) として、 \( g^{\prime}(x)=\frac{3}{2} \cdot \frac{\left(x^{2}+1\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{3}{2 \left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \),曲線 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) が点\( (0,1) \) で共通の接線をもつための条件は \( f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0) \)
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次の条件を満たす関数 \( f(x) \) の定積分を求めよ:\n\n1. \( f(x) \) は奇関数 で常に \( f(-x)=-f(x) \) が成り立つ。\n2. 定積分の範囲は である。
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31 ) を1より大きい定数とする。微分可能な関数 ( ) が ( ) を満たすとき,曲線 ( ) の接線で原点 ( ) を通るものが存在することを示せ。
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29 関数 y(x) が第 2 次導関数 y^{\prime \prime}(x) をもち, x^{3}+(x+1)\{y(x)\}^{3}=1 を満たすとき, y^{\prime \prime}(0) を求めよ。
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次の積分を解け。\n(1) \ \int x^{2} \cos x \\, dx \ \n(2) \ \int x^{2} e^{x} \\, dx \ \n(3) \ \int x \tan^{2} x \\, dx \
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次の問題を解きなさい。\n\n(1) \( f(x) \) と \( g(x) \) の積 \( f(x) g(x) \) を微分し、それを2回および3回微分したものも求めなさい。
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次の広義積分を計算せよ。\n\\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]
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練習38 ↠ 本冊 p.341 h(x)=f(x)-g(x) とする。関数 f(x), g(x) として、区間 [a, b] で連続な関数を考える。例えば、f(x)が x=x で最大, x=x2 で最小であり、 g(x) が x=x3 で最大, x=x4 で最小であるとする。
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数学 II\n\n[問題1]\nI = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx とする。\n(1) m - n ≠ 0 すなわち m ≠ n のとき\n\nsin(mx)cos(nx) を変換することにより問題を解く:\n\nI = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx を計算する。\n\nm+n が偶数のとき、Iは?\nm+n が奇数のとき、Iは?\n\n(2) m - n = 0 すなわち m = n のとき\n\nこのとき、Iは?\n
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例題 44 逆関数の微分法\n関数 について, を の関数で表せ。\n\n指雓次の 2 つの方法が考えられる。それぞれの方法で解いてみよう。\n1. を について解き, の関数 を で微分する。\n2. を で微分して を求め, 次の公式を利用する。\n逆関数の導関数 のとき
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2)
(3) \( \int \frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \)
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Σ x, y の変数変換を考え、次の式を示せ。\\( \left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)
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次の積分を求めよ:\n(1) \( \int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} x^{2} \cos (\log x) \, dx \)\n(2) (ア) \n(イ) (ア) の結果を用いて、\n
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別解 \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\) であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]
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(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\
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練習 本冊 p .470 \\n(1)証明する式の左辺を とする。\n \\pi-x=t \ とおくと \\quad x=\\pi-t, d x=-d t \ と の対応は右のようになる。\n\\[\n\\begin{aligned}\nI & =\\int_{\\pi}^{0}\\left(\\pi-t-\\frac{\\pi}{2}\\right) f(\\pi-t) \\cdot(-1) d t \\\\\n& =\\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{\\pi}{2}-t\\right) f(\\pi-t) d t=\\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{\\pi}{2}-t\\right) f(t) d t \\\\\n& =-\\int_{0}^{\\pi}\\left(x-\\frac{\\pi}{2}\\right) f(x) d x=-I\n\\end{aligned}\n\\\]
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \
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660<t<3のとき, 連立不等式{0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y}の表す領域をx軸の周りに回転して得られる立体の体積をV(t)とする. dV(t)/dt=π/4となるtと,そのときのV(t)の値を求めよ.
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テイラーの定理\n閉区間 \ [a, b] \ において, \\( f(x), f^{\\prime}(x), f^{\\prime \\prime}(x), \\cdots \\cdots, f^{(n+1)}(x) \\) が連続であるとき \\( f(b)=f(a)+f^{\\prime}(a)(b-a)+\\frac{1}{2!} f^{\\prime \\prime}(a)(b-a)^{2}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{n!} f^{(n)}(a)(b-a)^{n}+R_{n} \\) ただし \\( R_{n}=\\frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)(b-a)^{n+1}, a<c<b \\) を満たす \ c \ が存在する。求めるべき関数 \\( g(x) \\) を定義し、導出過程を示して定理を証明せよ。
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555重要例㬉 170 関数方程式\nf(x)は微分可能な関数で, 任意の x, y に対して\nf(x+y)=f(x) f(y)\nという関係が成り立つという。 f(x) はどのような関数か。
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次の不定積分を求めよ。
95
(2) \( \int \frac{(\sqrt{t}-2)^{2}}{\sqrt{t}} d t \)
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睐習 (2) 不定積分 \\int \\frac{1}{\\sin ^{4} x} d x \ を求めよ。\n[類 東京電機大]
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数学 I
CHECK 16 ⇒ 本冊 p.542
であるから
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2} & =(2 \sqrt{3} t)^{2}+\left(3 t^{2}-1\right)^{2} \\
& =9 t^{4}+6 t^{2}+1=\left(3 t^{2}+1\right)^{2}
\end{aligned}
\]
よって, 曲線の長さは
\[\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(3 t^{2}+1\right) d t=\left[t^{3}+t\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{4}{3 \sqrt{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{9}\]
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練習 65 本冊 p.394
f(x)は微分可能であり f^{\prime}(x) = \frac{1 \cdot(x^2 + 2x + a) - (x+1)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + a)^2} = -\frac{x^2 + 2x - a + 2}{(x^2 + 2x + a)^2} (1) f(x) が x=1で極値をとるならば f^{\prime}(1)=0であるから (分子) = 1 + 2 - a + 2 = 0, (分母) = (1 + 2 + a)^2 \neq 0 よって a=5 このとき f^{\prime}(x) = -\frac{(x + 3)(x - 1)}{(x^2 + 2x + 5)^2}
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次の不定積分を求めよ。ただし,aは定数である。
(1)
(2)
(3)
(4) \( \int \frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x}} d x \)
(5)
(6)
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次の不定積分を求めよ。ただし,(4)の x は t に無関係とする。
(1) \( \int\left(4 x^{3}+6 x^{2}-2 x+5\right) d x \)
(2) \( \int(x+2)(1-3 x) d x \)
(3) \( \int x(x-1)(x+2) d x-\int\left(x^{2}-1\right)(x+2) d x \)
(4) \( \int(t x+1)(x+2 t) d t \) C は積分定数とする。
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区間 で常に \( f(y) \geqq 0 \) とする。\n曲線 \( x=f(y) \) と 軸,および 2 直線 で 囲まれた図形の面積 は\n\[ S=\int_{c}^{d} f(y) d y \]
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練習(1)関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 の値の範囲を求めよ。 [類 名古屋大]
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(2) \( f(x) \) は 3 次の多項式で, の係数が \( 1, f(1)=2, f(-1)=-2, f^{\prime}(-1)=0 \) で ある。このとき, \( f(x) \) を求めよ。
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次の関数を微分せよ。\n(1) y=(x-1)(2 x+3)\n(2) y=(x-1)(x^{2}+x-4)\n(3) y=(-2 x+1)^{3}\n(4) y=(x^{3}-2 x)^{2}\n(5) y=(3 x+2)^{2}(x-1)
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どんな 2 次関数 \( f(x) \) に対しても \( \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{2}\{f(\alpha)+f(\beta)\} \) が成立するよう な定数 \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) の値を求めよ。
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int(3 x+2)^{4} d x \)
(2) \( \int(x+2)^{2}(x-1) d x \)
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綀習 の多項式 \( f(x) \) の最高次の項の係数は 1 で, \( (x-1) f^{\prime}(x)=2 f(x)+8 \) という関係が常に成り立 4) 203 。\n(1) \( f(x) \) は何次の多項式であるか。\n(2) \( f(x) \) を求めよ。
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a は正の定数とする。放物線 y=x^{2}+a 上の任意の点 P におけ接線と放物線 y=x^{2} で囲まれる図形の面積は, 点 P の位置によらず一定であることを示し, そ の一定の値を求めよ。
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次の関数の増減を調べよ。また,極値を求めよ。
(1) y=x^{3}+2x^{2}+x+1
(2) y=6x^{2}-x^{3}
(3) y=x^{3}-12x^{2}+48x+5
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次の条件を満たす 3 次関数 \( f(x) \) を求めよ。
\( f^{\prime}(1)=f^{\prime}(-1)=1, \quad f(1)=0, \quad f(-1)=2 \)
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数学 \n(2) \( \int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \) から\n\\[ \int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\]\n(2) の両辺を で微分すると \( \quad f(x)=3 x^{2}-2 \)\n\nまた, (2) で とおくと, 左辺は 0 になるから\n\ 0=a^{3}-2 a+1 \\n\nよって \( \quad(a-1)\left(a^{2}+a-1\right)=0 \)\nゆえに \nしたがって \( \quad f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)\n\\[ \begin{array}{l}\n\\leftarrow \int_{x}^{a} f(t) d t=-\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \int_{a}^{a} f(t) d t=0\n\end{array} \\]\n 因数定理を利用。
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x^{n} の不定積分. n が正の整数のとき (x^{n})′=n x^{n-1}(p .314 参照 ) ここで, n の代わりに n+1 とすると (x^{n+1})′=(n+1) x^{n} ゆえに (x^{n+1}/(n+1))′=x^{n} したがって, (1)が成り立つ。
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次の等式を満たす関数 \( f(x) \) および定数 の値を求めよ。(1) \( \int_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 \)(2) \( \int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \)
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次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=x^{2}-1+\int_{0}^{1} t f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=x+\int_{-1}^{1}(x-t) f(t) d t+3 \)
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練習 次の関数の最大値と最小値を求めよ。また,そのときの の値を求めよ。\n(1) \( y=-x^{3}+12 x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)\n(2) \( y=-x^{4}+4 x^{3}+12 x^{2}-32 x \quad(-2 \leqq x \leqq 4) \)
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(1) 関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 の値の範囲を求めよ。\n(2) 関数 \( f(x)=4 x^{3}-3(2 a+1) x^{2}+6 a x \) が極大値と極小値をもつとき, 定数 が満 たすべき条件を求めよ。\n(3)関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+a x+1 \) が常に単調に増加するような定数 の値の範囲 を求めよ。
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数学 \\Pi \\n(2) から \\quad x=\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} \\n曲線と直線の交点の 座標は, 9-y^{2}=\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} \ から\n\ 2 y^{2}+y-15=0 \\nすなわち \( (y+3)(2 y-5)=0 \\)\nよって \\quad y=-3, \\frac{5}{2} \\nゆえに,右上の図から,求める面積は\n\\[ \\begin{aligned}\nS & =\\int_{-3}^{\\frac{5}{2}}\\left\\{9-y^{2}-\\left(\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2}\\right)\\right\\} d y \\\\\n& =-\\int_{-3}^{\\frac{5}{2}}\\{y-(-3)\\}\\left(y-\\frac{5}{2}\\right) d y \\\\\n& =-\\left(-\\frac{1}{6}\\right)\\left\\{\\frac{5}{2}-(-3)\\right\\}^{3}=\\frac{1331}{48}\n\\end{aligned} \\]\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow \\int_{\\alpha}^{\\beta}(y-\\alpha)(y-\\beta) d y \\\\\n=-\\frac{1}{6}(\\beta-\\alpha)^{3} \\end{array} \\]\n \\leftarrow x=9-y^{2} \ を, y=2 x-3 \ に代入して, x \ を消去してもよい。
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2 x^{n} の不定積分 ∫ x^{n} dx= (1/(n+1)) x^{n+1} + C (n は 0 または正の整数)
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であるから, 直線 (2)が点(10, 50)を通るとき, 直線(2)の 切片 の値は最大となる。このとき も最大となる。したがって, 利益 が最大となるのは \( (x, y)=( \) キク10, ケコ50)のときである。
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1次以上の整式で表される関数 \( f(x), g(x) \) が\n\n\[ f(x)=\int_{-1}^{1}\{(x-t) f(t)+g(t)\} d t, g(x)=\left(\int_{-1}^{1} x f(t) d t\right)^{2} \]\n\nを満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。
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次の定積分を求めよ。
(1) \( \int_{-3}^{3}(2 x+1)(x-1)(3 x-2) d x \)
(2) \( \int_{-2}^{2}(2 x-5)^{3} d x \)
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(2)球の半径が \( 1 \mathrm{~m} ) から毎秒 の割合で大きくなるとき, 30 秒後における 球の表面積の変化率を求めよ。
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(1) 次の条件を満たす3次関数f(x)を求めよ。f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2。
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次の曲線の凹凸を調べ, 変曲点を求めよ。\n(1) \n(2) \( y=x+\cos 2 x(0 \leqq x \leqq \pi) \)\n(3) \n(4)
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`a` は 0 でない定数とし, `A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx`, `B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx` とする。このとき, `A`, `B` の値をそれぞれ求めよ。(類 札幌医大)
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不等式の証明と極限(はさみうちの原理の利用)
演 翌 例題 187
基本 178,179,121
0<x<π のとき, 不等式 x cos x<sin x が成り立つことを示せ。そして, これを用いて, lim _{x →+0} (x−sin x)/(x^{2}) を求めよ。〔類 岐阜薬大〕
指針 > 例えば lim _{θ →+0} (sin θ)/θ=1 は, 不等式 cos θ<(sin θ)/θ<1(0<θ<π/2) を導き,それを用いて証明 した(p.188 参照)。この例題では, 利用する不等式が与えられており,まずそれを証明 する。つ@ 大小関係は差を作る方針で F(x)=sin x−x cos x とおき, F′(x) の符号を調べる。そして,極限値は不等式を利用してはさみうちの原理を用いる……
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(2) 点 \( (1,0) \) を通る曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( (x, y) \) における接線の傾きが であるとき, 微分可能な関数 \( f(x) \) を求めよ。
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a,bを実数とする。 ,bの値を変化させたときの積分 \( \int{0} {1}{\cos \pi x-( a x+b)2} d x \) の最小値, およびそのときの の値を求めよ。
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定積分 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)^{5} d x \) を求めよ。
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( y=\sin ^{3}(2 x+1) \)\n(5) \n(6) \( y=\tan (\sin x) \)\n(7) \n(8)
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次の近似式を説明しなさい。
1. |h|が十分小さいとき f(a+h) ≈ f(a)+f'(a)h
2. |x|が十分小さいとき f(x) ≈ f(0)+f'(0)x
3. y=f(x)のxの増分Δxに対するyの増分をΔyとすると、|Δx|が十分小さいとき Δy ≈ f'(x)Δx
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(2) Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx ( n は自然数) とする。 n >= 3 のときの Iₙ を, n, Iₙ-2 を用いて表せ。また, I₃, I₄ を求めよ。〔類 横浜国大〕
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(3) \( \int \sin 3x \sin 2x dx=-\frac{1}{2} \int(\cos 5x-\cos x) dx \) (積の和の公式)を用いて解く。
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導関数の公式\n・ (k u+l v)^{\\prime}=k u^{\\prime}+l v^{\\prime}(k, l \\) は定数\\)\n\\( (u v)^{\\prime}=u^{\\prime} v+u v^{\\prime} \\)\n\\( \\left(\\frac{u}{v}\\right)^{\\prime}=\\frac{u^{\\prime} v-u v^{\\prime}}{v^{2}} \\quad \\) 特に \\( \\left(\\frac{1}{v}\\right)^{\\prime}=-\\frac{v^{\\prime}}{v^{2}} \\)\n- \\( y=f(u), u=g(x) \\) のとき\n\ \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\cdot \\frac{d u}{d x} \\n- \ \\frac{d y}{d x}=1 / \\frac{d x}{d y} \\n・ \\( \\left(x^{\\alpha}\\right)^{\\prime}=\\alpha x^{\\alpha-1}(\\alpha \\) は実数で \\( x>0)
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次の関数の極値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( y=(1-\sin x) \cos x (0 \leqq x \leqq 2 \pi) \)\n(5) \n(6) \( y=(x+2) \cdot \sqrt[3]{x^{2}} \)
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次の関数の第 2 次導関数, 第 3 次導関数を求めよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ) \( y=a^{x}(a>0, \quad a \neq 1) \)
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\\left(x^{2}+2 x\\right)\\left(x^{2}-x+1\\right) \)\n(3) \( y=\\left(x^{3}+3 x\\right)\\left(x^{2}-2\\right) \)\n(4) \( y=(x+3)\\left(x^{2}-1\\right)(-x+2) \)\n(5) \n(6) \n(7) \n(8) \( y=\\frac{(x-1)\\left(x^{2}+2\\right)}{x^{2}+3} \)\n〔(6) 宮崎大〕
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EX 不定積分 ∫(sin x + x cos x) dx を求めよ。また, この結果を用いて, 不定積分 ∫(sin x + x cos x) log x dx を求めよ。\n\n〔立教大〕
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EX 関数 \( f(x) \) の逆関数を \( g(x) \) とする。 \( f(1)=2, f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3 \) のとき, \( g^{\prime \prime}(2) \) の值を求めよ。 (3) 129
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次の関数を微分せよ。\n[(2) 関西大]\n(1) y=x^{2 x} \\quad(x>0)\n(2) y=x^{\\log x}\n(3) y=(x+2)^{2}(x+3)^{3}(x+4)^{4}\n(4) y=\\frac{(x+1)^{3}}{\\left(x^{2}+1\\right)(x-1)}\n(5) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}\n(6) y=(x+2) \\sqrt{\\frac{(x+3)^{3}}{x^{2}+1}}
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \n(2) \( \int \cos \left(\frac{2}{3} x-1\right) d x \)\n(3) \n(4) \n
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数学(4)(1)から f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy よって f'(x)=lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \rightarrow 0}\left\{\frac{f(y)}{y}+8 x\right\}=3+8 x
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\n特に \( \\int \\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} d x=\\log |f(x)|+C \\)\n
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定積分の部分積分法を用いて次の定積分を求めよ。\n\n\\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ \n(n は 0 以上の整数)
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2) \( \int \frac{(\sqrt[3]{x}-1)^{3}}{x} \, d x \)
(3) \( \int(\tan x+2) \cos x \, d x \)
(4)
(5)
(6) \( \int\left(3 e^{t}-10^{t}\right) \, d t \)
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偶関数 に対して、\\[ \\int_{-a}^{a} f(x) dx \\] を求めよ。ただし、偶関数とは を満たす関数である。
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奇関数 に対して、\\[ \\int_{-a}^{a} f(x) dx \\] を求めよ。ただし、奇関数とは を満たす関数である。
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以下の積分を求めよ: \n(1) ∫ \\frac{\\cos x + \\sin 2x}{\\sin^2 x} dx \n(2) ∫ \\frac{dx}{\\sin x - 1}
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2次の近似式について説明しなさい。
1. |h|が十分小さいとき f(a+h) ≈ f(a)+f'(a)h + (1/2)f''(a)h²
2. |x|が十分小さいとき f(x) ≈ f(0)+f'(0)x + (1/2)f''(0)x²
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次の関数を、導関数の定義に従って微分せよ。(1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}
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接線と法線の方程式\n曲線 \\( y=f(x) \\) 上の点 \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) における\n[1] 接線の方程式は \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] 法線の方程式は, \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\) のとき\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]
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⑮2 漸化式 \( a_{1}=\\sqrt{2}, a_{n+1}=(\\sqrt{2})^{a_{n}}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) で定まる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ と関数 \( f(x)=(\\sqrt{2})^{x} \\) について (1) 0 \\leqq x \\leqq 2 \ における \( f^{\\prime}(x) \\) の最大値と最小値を求めよ。 (2) \( 0<a_{n}<2(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) が成立することを,数学的帰納法を用いて示せ。 (3) \( 0<2-a_{n+1}<(\\log 2)\\left(2-a_{n}\\right)(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) が成立することを示せ。 (4) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ を求めよ。〔類 同志社大〕
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=(x^{2}+1)^{3} \)\n(2) \( y=\frac{1}{(2 x-3)^{2}} \)\n(3) \( y=(3 x+1)^{2}(x-2)^{3} \)\n(4) \( y=\frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}} \)
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実数 に対して, 積分 \( I(t)=\int_{-4}^{4 t-4}(x-4) \sqrt{x+4} d x \) を考える。\n (1) \( I(t) \) を で表せ。\n (2) \( I(t) の t>1 \) に扒ける最小値を求めよ。
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次の f(x) の導関数 f'(x) をそれぞれの方法で求めよ: f(x)=x^{1/3} (x>0) (1) 導関数の定義に従って求める。 (2) f(x)・f(x)・f(x)=x となっている。これに積の導関数の公式を適用する。
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平均値 0 定理\n基本事項\n1 ロル(Rolle)の定理\n関数 \( f(x) \) が閉区間 で連続, 開区間 \( (a, b) \) で微分可能で \( f(a)=f(b) \) ならば\n\[ f^{\prime}(c)=0, a<c<b \]\nを満たす実数 が存在する。
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(1) 次の関数を微分せよ。\n(ア) \n(イ) \( y=(2 x-1)\left(x^{2}-x+3\right) \)\n(ウ) \n(ㄷ)
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<逆関数の微分法>\n5 の証明 \( y=f^{-1}(x) \) から \( x=f(y) \) 両辺を で微分すると (左辺) , (右辺 \( )=\\frac{d}{d x} f(y)=\\frac{d}{d y} f(y) \\cdot \\frac{d y}{d x}=\\frac{d x}{d y} \\cdot \\frac{d y}{d x} \\)\nゆえに 1=\\frac{d x}{d y} \\cdot \\frac{d y}{d x} \ よって \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}} \
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=(x-3)^{3} \)\n(2) \( y=\\left(x^{2}-2\\right)^{2} \)\n(3) \( y=\\left(x^{2}+1\\right)^{2}(x-3)^{3} \)\n(4) \( y=\\frac{1}{\\left(x^{2}-2\\right)^{3}} \)\n(5) \( y=\\left(\\frac{x-2}{x+1}\\right)^{2} \)\n(6) \( y=\\frac{(2 x-1)^{3}}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \)
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練習 \( f(x)=\int_{0}^{x} e^{t} \cos t d t(0 \leqq x \leqq 2 \pi) \) の最大値とそのときの の値を求めよ。
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定積分と漸化式を用いて次の定積分を求めよ。\n\n\\[ I_{m, n} = \\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} dx \\] \n(m, n は自然数)
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int(2 x+1) \sqrt{x+2} d x \)
(2) \( \int \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} d x \)
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F(x, y)=0 や媒介変数で表される曲線の接線
曲線の方程式が, F(x, y)=0 や t を媒介変数として x=f(t), y=g(t) で表されるとき, 曲線上の点 (x1, y1) における接線の方程式は y-y1=m(x-x1) ただし, m は導関数 dy/dx に x=x1, y=y1 を代入して得られる値である。
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(3) \( V = \pi \int_{1}^{4}\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x \)
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関数 \( f(x) \) が区間 \( [a, b] } で連続,区間 \( (a, b) で微分可能ならば \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c), a<c<b \] を満たす実数 が存在することを示せ。
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次の定積分を求めよ。\n(2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \
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関数 f(x), g(x) は微分可能であるとする。
1. 導関数の性質
1. 定数倍
\{k f(x)\}' = k f'(x)
2. 和
\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)
3. 積の導関数
\{f(x) g(x)\}' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
2. 商の導関数
\{<svg xmlns:svg=\'http://www.w3.org/2000/svg\' viewBox=\'0 0 10 10\' width=\'10\' height=\'10\' fill=\'none\'><text x=\'1\' y=\'5\' fill=\'black\' font-size=\'3\'>f(x)</text><line x1=\'0.5\' y1=\'5.5\' x2=\'9.5\' y2=\'5.5\' stroke=\'black\' stroke-width=\'0.1px\'/></svg> g(x)\}' = \{<svg xmlns:svg=\'http://www.w3.org/2000/svg\' viewBox=\'0 0 10 10\' width=\'10\' height=\'10\' fill=\'none\'><text x=\'1\' y=\'5\' fill=\'black\' font-size=\'3\'>f'(x) g(x) - f(x) g'(x)</text><line x1=\'0.5\' y1=\'5.5\' x2=\'9.5\' y2=\'5.5\' stroke=\'black\' stroke-width=\'0.1px\'/></svg> (g(x))^2
3. 合成関数の微分法
y = f(u) が u の関数として微分可能, u = g(x) が x の関数として微分可能であるとき, 合成関数 y = f(g(x)) も x の関数として微分可能で
dy/dx = dy/du * du/dx
すなわち {f(g(x))}' = f'(g(x)) g'(x)
4. 逆関数の微分法
微分可能な関数 y = f(x) の逆関数 y = f^-1(x) が存在するとき
dy/dx = 1/dx/dy
5. x^p の導関数
p が有理数のとき (x^p)' = p x^{p-1}
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int(x+2) \sqrt{1-x} d x \)
(2) \( \int \frac{x}{(x+3)^{2}} d x \)
(3) \( \int(2 x+1) \sqrt{x^{2}+x+1} d x \)
(4)
(5) \( \int\left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right) d x \)
(6) \( \int \frac{x}{1+x^{2}} \log \left(1+x^{2}\right) d x \)
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すべての実数 の値において微分可能な関数 \( f(x) \) は、次の 2 条件を満たすものとする。\n(A) すべての実数 に対して \( f(x+y)=f(x)+f(y)+8 x y \)\n(B) \( f^{\\prime}(0)=3 \)\n(1) \( f(0)=\\square \) である。\n(2) \( \\lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)}{y}=\\square \) である。\n(3) \( f^{\\prime}(1)=\\square \) である。\n(4) \( f(x) \) を求めよ。\n〔類 東京理科大〕
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2 平面上の点の運動 座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 (x, y) が t の関数であるとき: (1) 速度 \\vec{v}=\\left(\\frac{d x}{d t}, \\frac{d y}{d t}\\right)、加速度 \\vec{α}=\\left(\\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\\right) (2) 速さ |\\vec{v}|=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}}、加速度の大きさ |\\vec{α}|=\\sqrt{\\left(\\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\\right)^{2}}
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \int \sin ^{2} x d x \\n(2) \ \int \sin ^{3} x d x \\n(3) \ \int \cos 3 x \cos 5 x d x \
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次の関数を微分せよ。ただし,(6)のaは定数とする。\n(1) \n(2) \( y=\frac{\log x}{\log x+1}(x>1) \)\n(3) \( y=\log \left(\sin ^{2} x\right) \)\n(4) \n(5) \n(6) \( y=\log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) \)
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連続関数 \( f(x) \) が、 すべての実数 につて \( f(\pi-x)=f(x) \) を満たすとき, \n\[ \int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x) d x=0 \] が成り立つことを証明せよ。また、これを用いて、定積分 を求めよ。
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(2)(1) で求めた結果を x で微分することにより,和 1+2x + 3x^2 + ··· + nx^(n-1) を求めよ。
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2. 置換積分法を用いて以下の積分を解きなさい。
2-1. ∫ f(g(t)) g'(t) dt ただし x=g(t)
2-2. ∫ f(g(x)) g'(x) dx ただし g(x)=u
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自然数 n に対し, S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx, T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1) とおく。
(1) 不等式 |S_n - ∫[0,1] 1/(1+x) dx| ≤ 1/(n+1) を示せ。
(2) T_n - 2 S_n を n で表せ。
(3) 極限値 lim n → ∞ T_n を求めよ。〔東京医歯大〕
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曲線 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) の間、 および の直線で囲まれた部分の面積を求めよ。
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④7 今後毎年, 東京都の外に住む人の が都内へ移住し, 都内に住む人の が都外 へ移住すると仮定する。 年目の都外の人口を , 都内の人口を とするとき, を求めよ。ただし,都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとす る。
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(2) 定積分 \( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\) を求めよ。
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144 \frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} の順に (1) \frac{1}{2 y},-\frac{1}{4 y^{3}} (2) \frac{x}{y},-\frac{4}{y^{3}} (3) -\frac{x+1}{y},-\frac{9}{y^{3}} (4) \frac{2-3 y}{3 x+5}, \frac{6(3 y-2)}{(3 x+5)^{2}}
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次の定積分を求めよ。\n(1) \ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}} \\n(2) \ \int_{1}^{4} \frac{d x}{x^{2}-2 x+4} \\n(3) \\( \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{\left(x^{2}+2\right) \sqrt{x^{2}+2}} \\)
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関数 y(x) が第 2 次導関数 y^{\\prime \\prime}(x) をもち, x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1 を満たすとき, y^{\\prime \\prime}(0) を求めよ。
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練習:次の曲線や直線で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。
(1) y=x^{2}, y=\sqrt{x}
(2) y=-x^{4}+2 x^{2}(x \geqq 0), x 軸
(3) y=\cos x(0 \leqq x \leqq \pi), y=-1, y 軸
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逆関数がもとの関数と一致する条件 \( f^{-1}(x)=f(x) \)\n は定数で, とする。関数 \( y=\frac{b x+1}{x+a} \n…..1) の逆関数が, もとの関数と一致するための条件を求めよ。
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42 発展微分方程式\n③23 (1) a を実数の定数, f(x) をすべての点で微分可能な関数とする。このとき, 等式 f^{\prime}(x)+a f(x)=e^{-a x}\\left\\{e^{a x} f(x)\\right\\}^{\prime} を示せ。\n(2) (1) の等式を利用して, f^{\prime}(x)+2 f(x)=\\cos x を満たす関数 f(x) で, f(0)=0 となるものを求めよ。\n(3) (2) で求めた関数 f(x) に対して, 数列 \\{|f(n \\pi)|\\}(n=1,2,3 ),限值 \\lim _{n \\rightarrow \\infty}|f(n \\pi)| を求めよ。〔滋賀医大〕
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練習
次の不定積分を求めよ。
(1)
(2) \( \int(x+1) \sqrt[4]{2 x-3} d x \)
(3)
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総合 関数 \\( f(x) \\) は任意の実数 \ x, y \ に対して, \\( f(x+y)+f(x) f(y)=f(x)+f(y) \\) を満たし, \ x=0 \ では\n微分可能で \\( f^{\\prime}(0)=1 \\) とする。\n(1) \\( f(0)=0 \\) であることを示せ。\n(2) \\( f(x) \\) は常に微分可能であることを示せ。
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数学 (2) ∫ 1 / (x^2 - 4) dx = 1 / 4 ∫ [ 1 / (x - 2) - 1 / (x + 2) ] dx 平歩解数 処の 分母 を 払う と ... このようになります。
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次の関数の極値を求めよ。\n(1) \ y=\\frac{x^{2}+4}{2 x} \ \n(2) \ y=\\frac{\\log x}{x^{2}} \ \n(3) \ y=|x| \\sqrt{x+3} \
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次の等式を示せ: \ \\int_{-1}^{0} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x=\\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{-x}} d x \
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関数 \( f(x)=\int_{0}^{x}\left(1-t^{2}\right) e^{t} d t \) の極値を求めよ。[東京商船大]
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関数yの増減表は次のようになる。\n\n問題: yがx=-\frac{1}{\sqrt{2}} および x=\frac{1}{\sqrt{2}}で極小値と極大値を取る点を求めなさい。
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定積分 \( \int_{0}^{1} \frac{2 x+1}{(x+1)^{2}(x-2)} d x \) を求めよ。
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F'(t) = 1/(t²+1) とすると
∫ₓ²ˣ₊₁ dt/(t²+1) = [F(t)]ₓ²ˣ₊₁ = F(2x+1) - F(x)
よって d/dx ∫ₓ²ˣ₊₁ dt/(t²+1) = d/dx {F(2x+1) - F(x)} = F'(2x+1) (2x+1)' - F'(x) = 2/(2x+1)²+1 - 1/x²+1 = -x(x+2)/((2x²+2x+1)(x²+1))
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \\int \\frac{x^{2}+x}{x-1} d x \\n(2) \\int \\frac{x}{x^{2}+x-6} d x \
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関数 \( f(x) \) が区間 で連続で,区間 \( (a, b) \) で微分可能であるとする。\n1. 区間 \( (a, b) \) で常に \( f^{\prime}(\boldsymbol{x})>0 \) ならば, \( f(x) \) は区間 で増加する。\n2. 区間 \( (a, b) \) で常に \( \boldsymbol{f}^{\prime}(x)<0 \) ならば, \( f(x) \) は区間 で減少する。\n3. 区間 \( (a, b) \) で常に \( f^{\prime}(\boldsymbol{x})=0 \) ならば, \( f(x) \) は区間 で定数である。\n関数 \( f(x), g(x) \) がともに区間 で連続で, 区間 \( (a, b) \) で微分可能であるとき、区間 \( (a, b) \) で常に \( g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \) ならば、区間 で \( g(x)=f(x)+C \) ただし, は定数。\n主意 1,2については,逆は成り立たない。すなわち, \( f(x) \) がある区間で増加するからといって, その区間で常に \( f^{\prime}(x)>0 \) とは限らない。減少するときも同様。例えば, \( f(x)=x^{3} \) は区間 で増加するが, \( f^{\prime}(0)=0 \) である。
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次の関数は x=0 で連続であるが微分可能ではないことを示せ。\n\\[f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll} 0 & (x=0) \\\\ x \\sin \\frac{1}{x} & (x \\neq 0) \\end{array}\\right.\\]
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第6章 積分法の応用\nPR次の曲線や直線で囲まれた部分を, 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 を求めよ。\n(2166\n(1) \( y=2 \sin 2 x, y=\tan x\left(0 \leqq x<\frac{\pi}{2}\right) \)\n(2) \( y=\cos x\left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right), \quad y=-\frac{2}{\pi} x+1 \)
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次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(3) 2つの曲線 y=e^x, y=1/(x+1) と直線 x=1 で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
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y軸に垂直な平面で切断する方法で体積を求めてみよう。y軸上に点Qをとり, OQ=y, 断面積を S(y) とすると V=\int_{0}^{a} S(y) dy を求めなさい。
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次の不定積分を求めよ。\n\ \\int \\frac{dx}{\\cos ^{2} x} \\]\n\\[ \\int \\frac{ dx}{\\sin ^{2} x} \
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{1}{(2 x+3)^{3}} d x \)
(2) \( \int \sqrt[4]{(2-3 x)^{3}} d x \)
(3)
(4) \( \int \frac{1}{\cos ^{2}(2-4 x)} d x \)
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(1)を利用して、次の定積分を求めよ。\n(ア) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{7} x dx \
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \\( \\int \\frac{x-1}{(2 x+1)^{2}} d x \\)\n(2) \ \\int \\frac{9 x}{\\sqrt{3 x-1}} d x \\n(3) \ \\int x \\sqrt{x-2} d x \
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次の関数の最大値,最小値とそのときの の値を求めよ。\n(1) \( y=\frac{2(x-1)}{x^{2}-2 x+2} \)\n[東京女子医大]\n(2) \( y=(x+1) \sqrt{1-x^{2}} \)\n[類 長岡技科大]
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次の不定積分を求めなさい: \n\ \\int_{0}^{1} \\frac{dx}{2+3e^x+e^{2x}} \
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基 本例題 50 ベクトルの大きさの最小値(空間)\n\\( \\vec{a}=(3,4,4), \\vec{b}=(2,3,-1) \\) がある。実数 \ t \ を変化させるとき, \ \\vec{c}=\\vec{a}+t \\vec{b} \ の大きさの最小値と, そのときの \ t \ の値を求めよ。
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int \\frac{x}{\\sqrt{x+2}-\\sqrt{2}} d x \\n(2) \ \\int \\frac{x+1}{x \\sqrt{2 x+1}} d x \\n(3) \ \\int \\frac{2 x}{\\sqrt{x^{2}+1}-x} d x \
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定積分\n\ I=\\int_{0}^{2 \\pi} \\cos m x \\cos n x d x \ を求めよ。\n[類 北海道大]
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次の関数を微分せよ。ただし, a は定数とする。
(1) y = 2x - \cos x
(2) y = \sin x^{2} - \tan x
(3) y = x^{2} \sin (3x+5)
(4) y = \sin ^{3}(2x+1)
(5) y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}}
(6) y = \sin ax \cdot \cos ax
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基 本 例題 53 導関数と恒等式\n\( f(x) \) を 2 次以上の多項式とする。\n(1) \( f(x) \) を \( (x-a)^{2} \) で割ったときの余りを \( a, f(a), f^{\prime}(a) \) を用いて表せ。\n(2) \( f(x) \) が \( (x-a)^{2} \) で割り切れるための条件を求めよ。
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次の定積分を求めよ: \ \\int_{-1}^{1} \\frac{x^{2}}{1+e^{x}} d x \
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13 \n(1)\n\y^{\\prime} =3 \\cdot 4 x^{3}+2 \\cdot 3 x^{2}-1 \\\\ =12 x^{3}+6 x^{2}-1\
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}(x>0) \)\n(3)
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次の定積分を計算せよ:\n\n1. \n2. \n3. \( \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2) d x \)
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EX 次の関数の極值を求めよ。(1),(3) 日本女子大
(1) y=\frac{2 x+1}{x^{2}+2}
(2) y=|x| e^{-x}
(3) y=\sin ^{3} x+\cos ^{3} x
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曲線の凹凸・変曲点\n関数 \( f(x) \) は第2次導関数 \( f^{\prime \prime}(x) \) をもつ とする。\n(1)曲線の凹凸\n曲線 \( y=f(x) \) は\n\( f^{\prime \prime}(x)>0 \) である区間では下に凸,\n\( f^{\prime \prime}(x)<0 \) である区間では上に凸\nである。\n(2) 変曲点\n曲線の凹凸が入れ替わる境目の点を 変曲点という。\n\( f^{\prime \prime}(a)=0 \) のとき, の前後で \( f^{\prime \prime}(x) \) の符号が変わるならば,点 \( (a, f(a)) \) は曲線の変曲点である。\n(3) 変曲点であるための必要条件\n点 \( (a, f(a)) \) が曲線 \( y=f(x) \) の変曲点ならば \( \quad f^{\prime \prime}(a)=0 \)\nただし,逆は成り立たない。すなわち, \( f^{\prime \prime}(a)=0 \) であっても, 点 \( (a, f(a)) \) が変曲点であるとは限らない。
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第6章積分法の応用\n281\nEX\n(3134\nα>0 とする。2つの曲線 y=x^{α} と y=x^{2α}(x≥0) で囲まれる図形を D とする。α を α>0 の範囲で動かすとき, D を x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V の最大値を求めよ。\n[類 名古屋市大]
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次の積分を評価せよ。\n\n \\int \\frac{5}{3 \\sin x + 4 \\cos x} d x
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次の定積分を求めよ。
(1) ∫_{0}^{1} √(e^{1-t}) dt
(2) ∫_{-π/3}^{π/3} tan^2 x dx
(3) ∫_{0}^{π} √(1-cos x) dx
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int \\sin ^{2} x \\cos x d x \\n(2) \\( \\int x\\left(x^{2}+1\\right)^{3} d x \\)\n(3) \ \\int \\frac{2 x+4}{x^{2}+4 x+1} d x \
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積分 \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}(\\sin x-k x)^{2} d x \\) の値を最小にする実数 \ k \ の値と, そのときの積分値 を求めよ。 [関西学院大]
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次の関数について, 媒介変数表示を用いて を求めよ。\n(1) \( x=a \\cos ^{3} \\theta, \quad y=a \\sin ^{3} \\theta(a>0) \)\n(2)
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置換積分法 は積分定数とする。\n\\[\\begin{array}{c}\n\\int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\\int f(u) d u, \\quad g(x)=u \\\\\n\\int f(x) d x=\\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t, \\quad x=g(t)\n\\end{array}\\n\\]\n
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定数 a, b, c に対して f(x)=(a x^{2}+b x+c) e^{-x} とする。すべての実数 x に対して f'(x)=f(x)+x e^{-x} を満たすとき, a, b, c を求めよ。
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次の無限級数が収束するとき、その和を \( f(x) \) とする。関数 \( y=f(x) \) のグラフをかき、その連続性について調べよ。\n(1) \( x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\cdots \cdots \)\n(2) \( x^{2}+\frac{x^{2}}{1+2 x^{2}}+\frac{x^{2}}{\left(1+2 x^{2}\right)^{2}}+\cdots \cdots+\frac{x^{2}}{\left(1+2 x^{2}\right)^{n-1}}+\cdots \cdots \)
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とおくと, であるから
\[ \int x \cos \left(1+x^{2}\right) d x=\frac{1}{2} \int \cos u d u=\frac{1}{2} \sin u+C =\frac{1}{2} \sin \left(1+x^{2}\right)+C \]
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0 < x < 4 において, f'(x) = 0 とすると x = 1 0 ≤ x ≤ 4 における f(x) の増減表は次のようになる。 x 0 ... 1 ... 4 f'(x) - 0 + f(x) 1 ↓ 3/4 ↑ 6/5 よって, f(x) は x = 4 で最大値 6/5, x = 1 で最小値 3/4 をとる。
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)\n(3) \n(4) \n(5) \( y=\frac{(x+1)^{2}}{(x+2)^{3}(x+3)^{4}} \)\n(6) \( y=x^{\sin x} \quad (x>0) \).
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微分法では積・商の公式があったのに, 積分法では積 \\int f g d x \, 商 \\int \\frac{f}{g} d x \ の すべての場合に使えるような公式はないのでしょうか?
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第 2 次導関数を利用して, 次の関数の極値を求めよ。\n(1) \( y=(\log x)^{2} \)\n(2) \n(3)
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基本例題 63 第 次導関数\n のとき, \( y^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n \pi}{2}\right) \) であることを証明せよ。
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第3章 微分法\n83\nPR のとき \( f(x)=\frac{a x+b}{x+1}, x \leqq 1 \) のとき \( f(x)=x^{2}+1 \) である関数 \( f(x) \) が, で微分係数をもつとき, 定数 の値を求めよ。\n[防衛大]
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分数関数の不定積分を求める場合、次数が分子の方が高い場合と分母が複数の因数の積の形の場合はどのように解法を進めるべきか?
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}(x>0) \)\n(3)
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導関数の公式を用いて次の関数の導関数を計算せよ。\n1. \( f(x) = 3x^4 \)\n2. \( h(x) = 2x^3 + 5x - 1 \)\n3. \( p(x) = x^2 \cdot e^x \)\n4. \( q(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \)
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次の不定積分を求めなさい: \n\ \\int_{1}^{4} \\frac{d x}{\\sqrt{3-\\sqrt{x}}} \
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数列 \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ が収束して, \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=\\alpha, \\lim_{n \\rightarrow \\infty} b_{n}=\\beta \ とする。次の性質を説明しなさい。1) 定数倍 \ \\lim_{n \\rightarrow \\infty} k \\boldsymbol{a}_{n}=k \\alpha \ ただし、 \ k \ は定数 2) 和 \\( \\lim_{n \\rightarrow \\infty}(a_{n}+b_{n})=\\alpha+\\beta \\); 差 \\( \\lim_{n \\rightarrow \\infty}(a_{n}-b_{n})=\\alpha-\\beta \\) 3) \\( \\lim_{n \\rightarrow \\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k \\alpha+l \\beta \\quad \\) ただし、 \ k, l \ は定数 4) 積 \ \\quad \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\alpha_{n} b_{n}=\\alpha \\beta \ 5) 商 \ \\quad \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n}}{b_{n}}=\\frac{\\alpha}{\\beta} \\quad \ ただし、 \ \\beta \neq 0 \。
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重要例題 39 ~関数の微分可能性と連続性 (2)\n次の関数は, で連続であるか,微分可能であるかを調べよ。\n(1) \( f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x \\sin \\frac{1}{x} & (x \\neq 0) \\\\ 0 & (x=0)\\end{array}\\right. \\)\n(2) \( g(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x^{2} \\sin \\frac{1}{x} & (x \\neq 0) \\\\ 0 & (x=0)\\end{array}\\right. \\)
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次の関数を微分せよ。\n(1) y=\\left(x^{2}-2\\right)^{3}\n(2) y=(1+x)^{3}(3-2 x)^{4}\n(3) y=\\sqrt{\\frac{x+1}{x-3}}\n(4) y=\\frac{\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}
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国噮例題 134 定積分の計算 (等式利用)
x の関数 f(x) が閉区間 [0,1] で連続である。
(1) x=π-t とおくことによって,次の等式が成立することを示せ。
∫(π/2→π) x f(sin x) dx = ∫(0→π/2)(π-x) f(sin x) dx
(2)等式 ∫(0→π) x f(sin x) dx = π ∫(0→π/2) f(sin x) dx が成立することを示せ。
(3) ∫(0→π) x sin² x dx の値を求めよ。[神戸商船大]
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次の関数について、1次の近似式を作れ。
(ア)
(イ)
(ウ)
(エ) \( \tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \)
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次の関数を で微分せよ。\n(1) \( \int_{0}^{x} x \sqrt{t} d t \quad(x>0) \)\n(2) \n(3) \n(4) \( \int_{0}^{x}(x-t)^{2} \sin t d t \)
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次の関数を微分せよ。\n(1) \n(2) \( y=\left(x^{2}+3 x-1\right)\left(x^{2}+x+2\right) \)\n(3) \n(4)
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PRACTICE 58 次の関数を微分せよ。(1) y=√[3]{x²(x+1)} (2) y=x^{log x}(x>0)
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偶関数・奇関数の定積分 \\( f(x) \\) が\n偶関数のとき \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \\int_{0}^{a} f(x) d x \\)\n奇関数のとき \\( \\int_{-a}^{a} f(x) d x=0 \\)\n定積分で表された関数 \ a, b \ は定数とする。\n\\( \\cdot \\int_{a}^{b} f(x, t) d t \\) は \ t \ に無関係で, \ x \ の関数である。 - \\( \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\)\n\\[\\frac{d}{d x} \\int_{h(x)}^{g(x)} f(t) d t=f(g(x)) g^{\prime}(x)-f(h(x)) h^{\prime}(x)\\n\\]\n
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\left(x^{2}-2 x-4\right)^{3} \)\n(2) \( y=\left\{(x-1)\left(x^{2}+2\right)\right\}^{4} \)\n(3) \( y=\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} \)\n(4) \( y=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-5)^{3}} \)\n(5) \( y=\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)^{4} \)
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簡単な微分方程式と一般解\n変数分離形 \\( f(y) \\frac{d y}{d x}=g(x) \\) に変形できるときは, 両辺を \ x \ で積分する。\n\\[\\begin{array}{c}\n\\int f(y) d y=\\int g(x) d x \\\\\n\\cdot \\frac{d y}{d x}=k y \\text { の一般解は } y=C e^{k x}(C \\text { は任意定数 })\\n\\end{array}\\n\\]\n
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定積分の置換積分法について説明し、次の積分を計算しなさい。\n\\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} dx\
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第3章 微分法 EX 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(x^2-2)^3\n(2) y=(1+x)^3(3-2x)^4\n(3) y=√((x+1)/(x-3))\n(4) y=√(x+1)-√(x-1))/(√(x+1)+√(x-1))
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次の関数 \( f(x) \) と区間について, 平均値の定理の条件を満たす の値を求めよ。\n(1) \( f(x)=2x^{2}-3 \quad[a, b] \)\n(2) \( f(x)=e^{-x} \quad[0,1] \)\n(3) \( f(x) = \frac{1}{x} \quad[2,4] \)\n(4) \( f(x)=\sin x \quad[0,2\pi] \)
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\left(x^{2}+3 x+1\right)^{3} \)\n(2) \( y=\left(\frac{x^{2}}{2 x-3}\right)^{4} \)
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \n(2) \( \int \frac{(\sqrt[3]{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}} d x \)\n(3) \n(4) \n(5) \( \int\left(2 e^{x}-\frac{3}{x}\right) d x \)
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実数 が の範囲を動くとき, \( S(t)=\int_{0}^{1}\left|e^{x}-t\right| d x \) の最大値と最小値 を求めよ。
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次の曲線の凹凸を調べ,変曲点があれば求めよ。\n(1) \n(2) \( y=\log \left(1+x^{2}\right) \)\n(3)
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第 6 章 積分法の応用の演習問題を次の順で列挙せよ:
28 面積
29 体積
曲線の長さ 30
速度と道のり 31
廑展 微分方程式 32
ガウス積分を利用して、正規分布曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
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a を実数とする。関数 \( f(x)=a x+\\cos x+\\frac{1}{2} \\sin 2 x \\) が極値をもたな いように, a の値の範囲を定めよ。
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\( f(x)=a+\frac{b}{2 x-1} \) の逆関数が \( g(x)=c+\frac{2}{x-1} \) であるとき, 定数 , の値を定めよ。
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(1)を利用して、次の定積分を求めよ。\n(イ) \ \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^{3} x \\cos^{2} x dx \
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次の関数の極値を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \( y=(1-\sin x) \cos x(0 \leqq x \leqq 2 \pi) \)
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例題 46 軸が動く場合の最大・最小\n は定数とする。 における関数 \( f(x)=x^{2}-2 a x-4 a \) について, 次の問 いに答えよ。\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。
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中点は 2 点の平均 重心は 3 点の平均 は線分 を に 外分する点と考えてもよ い。
\[ \Psi y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) \]
42 点 \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \) を通る直線の方程式は \( y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right) \) または
でもよい。
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演習 82\n以下の条件を満たす関数 \( p(x) \) と \( q(x) \) を求めなさい。\n- \( \frac{d}{d x} p(x) = 3 \)\n- \( p(0) = 3 \)\n- \( \frac{d}{d x} q(x) = 4x + k \)\n- \( q(0) = 2 \)\nところで、\( q(x) = f(x) g(x) \) が2次式となり、かつ \( p(x) = f(x) + g(x) \) が1次式となるという条件を満たす関数 \( f(x) \) と \( g(x) \) を見つけなさい。また、それに対応する の値を求めなさい。
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[2] すなわち のとき\n\\[\n\\begin{aligned}\nF(x)= & \\frac{1}{x} \\int_{2-x}^{x}(-t+x) d t+\\frac{1}{x} \\int_{x}^{2+x}(t-x) d t \n= & \\frac{1}{x}\\left[-\\frac{1}{2} t^{2}+x t\\right]_{2-x}^{x}+\\frac{1}{x}\\left[\\frac{1}{2} t^{2}-x t\\right]_{x}^{2+x} \n= & \\frac{1}{x}\\left[-\\frac{1}{2}\\left\\{x^{2}-(2-x)^{2}\\right\\}+x\\{x-(2-x)\\}\\right] \n& +\\frac{1}{x}\\left[\\frac{1}{2}\\left\\{(2+x)^{2}-x^{2}\\right\\}-x\\{(2+x)-x\\}\\right] \n= & 2 x+\\frac{4}{x}-4\n\\end{aligned}\n\\]
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第 章 控暏問 題 82 f(0)=1, g(0)=2 を満たす 2 つの多項式 f(x), g(x) に対して p(x)=f(x)+g(x), q(x)=f(x) g(x) とおく。 \(\frac{d}{d x} p(x)=3, \frac{d}{d x} q(x)=4 x+k\) であるとき, k の値を求めよ。
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関数の極値について調べなさい。次の定義に従って最大値または最小値を決定しなさい。
1. f(x) が x=a の周辺で f(a) が最大値となる場合
2. f(x) が x=a の周辺で f(a) が最小値となる場合
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次の式の値を求めよ。
(4) \( \frac{1}{(1-\beta)(1-\gamma)}+\frac{1}{(1-\gamma)(1-\alpha)}+\frac{1}{(1-\alpha)(1-\beta)} \)
( の解)
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(2) y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 から y' = 3 x^{2} - 4 x - 1 x = 1 のとき y' = -2 よって, 接線 ℓ の方程式は y = -2(x - 1) x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = -2(x - 1) とすると x(x - 1)^{2}=0 ゆえに x=0,1
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関数 \( f(x)=\\int_{0}^{1}\\left|t^{2}-x^{2}\\right| d t \) の における最大値および最小値を求めよ。
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(2) y^{\prime} =12 x^{3}-12 x^{2}-24 x =12 x(x^{2}-x-2) =12 x(x+1)(x-2) y^{\prime}=0 とすると x=-1,0,2 区間 -1 \leqq x \leqq 3 における y の増減表は,次のようになる。 x: -1 ... 0 ... 2 ... 3 y^{\prime}: + 0 - 0 + y: -5 \nearrow 極大 0 \searrow 極小 -32 \nearrow 27 よって x=3 で最大値 27, x=2 で最小値 -32
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定積分 \( \int_{-1}^{1}\left(9 x t^{2}+2 x^{2} t-x^{3}\right) d t \) を 式で表せ。
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1 定積分と体積\nある立体の, 平行な2つの平面 の間に挟まれた部分の体積をVとする。 に垂直な直線を 軸にとり, 軸と との交点の座標を, それぞれ とする。また, として, 軸に垂直で, 軸との交点の座標が である平面でこの立体を切ったときの断面積を \(S(x)\) とすると, 体積 は次の定積分で表される。\n\n\\[ V=\\int_{a}^{b} S(x) d x \\quad \\text{ただし }, a < b \\]
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練習 \( f(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2} \) とする。\n[類 東京理科大]\n175 (1) 曲線 \( y=f(x) \) に 2 点で接する直線の方程式を求めよ。\n(2) 曲線 \( y=f(x) \) と(1) で求めた直線で囲まれる部分の面積 を求めよ。\np. 342 演習 90
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(2)球形のゴム風船があり, 半径 が毎秒 の割合で伸びるように空気を 入れる。半径が の状態から膨らませるとして, 半径が になったと きの,風船の体積 の時刻 に対する変化率を求めよ。
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324\n重垔例題 175 次関数のグラフと接線の囲む面積\n\( f(x)=x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2} \) として,次の問いに答えよ。\n[類 山形大] <例題 141\n(1) 曲線 \( y=f(x) \) に 2 点で接する直線の方程式 \( y=g(x) \) を求めよ。\n(2) 曲線 \( y=f(x) \) と(1) で求めた直線 \( y=g(x) \) で囲まれる部分の面積 を求めよ。必要に応じて \( \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2} d x=\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^{5} \) を使ってよい。
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例題 143 極値の条件から関数の決定\n関数 \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \) が で極大値 15 をとり, で極小値 -12 をとるとき, 定数 の値を求めよ。
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演習 85 |II| \\Rightarrow \ 本冊 p .340 \\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\int_{0}^{x} f(y) d y+\\int_{0}^{1}(x+y)^{2} f(y) d y=x^{2}+C \\text { から } \n\\int_{0}^{x} f(y) d y+x^{2} \\int_{0}^{1} f(y) d y+2 x \\int_{0}^{1} y f(y) d y+\\int_{0}^{1} y^{2} f(y) d y=x^{2}+C\n\\end{array} \n\\]\n\n両辺に \( x=0 \\ ) を代入すると \( \\quad \\int_{0}^{1} y^{2} f(y) d y=C \\)\nゆえに,次の等式が成り立つ。
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次の球の表面積の変化率を求めよ。 (1) 分後の球の半径を とする。条件より, であるから \( S=4 \pi r^{2}=4 \pi(t+10)^{2} \). したがって \( \frac{d S}{d t}=4 \pi \times 2(t+10) \cdot 1=8 \pi(t+10) \)
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次の曲線上の点における,曲線の接線と法線の方程式を求めよ。\n(1) y=x^{2}-3 x+2,(1,0)\n(2) y=x^{3}-3 x^{2}+6,(2,2)
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(2)底面の半径が r, 高さが h の円錐の体積を V とする。 V を r の関数と考え, r=3 における微分係数を求めよ。
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関数の増減やグラフを利用して, 最大値や最小値を求めたり, 方程式の実数解の個数を調べたりしてみましょう。
最大値・最小値の求め方
ここでは,定義域に制限がある3次関数の最大・最小について,その手順を説明しよう。
例 関数 y=f(x)(a≦x≦b) の最大・最小
1. 導関数 f'(x) を求め,方程式 f'(x)=0 の実数解を求める。
2. f'(x) の符号を調べ,定義域 a≦x≦b の範囲で増減表を作る。
x a ... α ... β ... b
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) p ↗ 極大r ↘ 極小s ↗ q
3. 増減表をもとにグラフをかく。
4. グラフから,最大値,最小値を読みとる。
右の図では,定義域の右端の x=b に対する y の値 q が最大値,極小値 s が最小値となっている。
注意: 慣れてくれば,グラフをかかずに増減表から最大値,最小値を求めることもできるが,最初のうちはグラフをかいて考えよう。
■最大・最小と極大・極小の違い
上の例において,極大値 r が最大値になっているわけではない。このように,最大・最小と極大・極小は異なる概念である。つまり
最大・最小は,定義域全体で考えたときの最大・最小である。
極大・極小は, それぞれその点の近くの変域での最大・最小であって,定義域全体の最大・最小とは限らない。したがって,最大値,最小値を求めるには,極値と定義域の端の値に注目すればよい。
定義域によっては,最大値または最小値が存在しないこともある。例えば,上の例で,定義域が a<x<b の場合,最小値は s であるが,最大値は存在しない。
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等式 \( \int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \) を満たす関数 \( f(x) \) と定数 の値を求めよ。
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放物線と直線、放物線と放物線で囲まれた部分の面積を求めるときに便利な公式について、定積分 \( \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta) dx \) を計算する。公式の証明と例題を通じて、公式を使用する計算方法を理解します。
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a, b は定数とする。次の不等式を証明せよ。\n\n\\[\n\\int_{0}^{1}(a x+b)^{2} d x \\geqq\\left\\{\\int_{0}^{1}(a x+b) d x\\right\\}^{2}\n\\]
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次の関数を [ ]内で示された変数で微分せよ。\n(1) S = πr^2 \quad[r]\n(2) V = V_{0}(1+0.02t) \quad[t]\n(3) 底面の半径が r, 高さが h の円錐の体積を V とする。V を h の関数と考え, h = 3 における微分係数を求めよ。
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例題: x, y が 4 つの不等式 x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 6, 3x + 2y ≤ 10 を同時に満たすとき、x + y の最大値,最小値と,それらを与える x, y の値を求めよ。
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与えられた数列の一般項を求めるために、数列の規則がわかりにくい場合にはどのような工夫を行うべきでしょうか。また、その方法の公式を示してください。
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次の関数の()内に与えられた x の值における微分係数を,定義に従って求めよ。\n(1) f(x)=2 x-3 (x=1)\n(2) f(x)=2 x^{2}-x+1 (x=-2)
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次の関数を[]内で示された変数で微分せよ。
(ア) V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \quad[r]\n(イ) h=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} \[t]
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2. 期待値と分散、標準偏差について理解を深めましょう。
(1) 確率変数 X に定数 a と b を組み合わせた場合の期待値と分散を求める数式を示して下さい。
期待値: E(aX + b)
分散: V(aX + b)
標準偏差: σ(aX + b)
(2) 確率変数 X と Y に定数 a, b を組み合わせた場合の期待値と分散を求める数式を示して下さい。
期待値: E(aX + bY)
分散: V(aX + bY)
(3) 確率変数 X と Y が互いに独立である場合の期待値と分散について説明して下さい。
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EX 関数 \( f(x)=x^{2}-6 x+7 \) の における微分係数を, 定義に従って求めよ。また, 微分係数が 2 となる の値を求めよ。
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等式 \( \\int_{a}^{x} f(t) d t=3 x^{2}-2 x-1 \) を満たす関数 \( f(x) \) と定数 の値を求めよ。
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次の関数の微分を求めなさい。 (1) \( y=\left(2 x^{2}-3\right)(x+5) \) (2) \( y=(x+2)^{3} \)
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次の条件を満たす 2 次関数 \( f(x) \) を,それぞれ求めよ。\n(1) \( f^{\prime}(1)=-1, f^{\prime}(2)=3, f(3)=5 \)\n(2) \( 3 f(x)=x f^{\prime}(x)+x^{2}+4 x-9 \)
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次の不定積分を求めよ。ただし,(3)の α は定数とする。
(1) ∫(3x² - 4x + 5) dx
(2) ∫(3x + 1)(3x - 1) dx
(3) ∫(x - α)² dx
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接線の方程式: 接線の方程式を求めなさい。曲線 y=f(x) 上の点 A(a, f(a)) における接線の方程式は何ですか?
数式:
\[ y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a) \]
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定義に従って, 次の関数の導関数を求めよ。\n(1) f(x)=-5 x\n(2) f(x)=2 x^{2}+5\n(3) f(x)=x^{3}-x
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次の関数を微分せよ。また, における微分係数を求めよ。\n(1) \( f(x)=4-6 x \)\n(2) \( f(x)=3 x^{2}-4 \)\n(3) \( f(x)=5 x^{2}-3 x+4 \)\n(4) \( f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+6 x-7 \)\n(5) \( f(x)=(2 x+1)(x-6) \)\n(6) \( f(x)=(x+3)^{2} \)
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「STEP into ここで整理」問題のタイプに応じて定理や公式などをどのように使い分けるかを,見やすくまとめている。公式の確認・整理に利用できる。
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次の条件を満たす 2 次関数 f(x) を, それぞれ求めよ。\n(1) f'(-1) = -7, f'(1) = 5, f(2) = 11\n(2) x^2 f'(x) + (1-2x) f(x) = 1
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t の関数 S(t) を, S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right| d x とする。 0 \\leqq t \\leqq 1 における S(t) の最大値と最小値,およびそのときの t の値を求めよ。
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(2)底面の半径が r, 高さが h の円錐の体積を V とする。 V を h の関数と考え, h=3 における微分係数を求めよ。
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次の関数を[]内で示された変数で微分せよ。
(ア) S=\pi r^{2} \quad[r]\n(イ) V=V_{0}(1+0.02 t) \quad[t]
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関数 \( F(x) \) を求めよ。また,その極値を求めよ。
\[ F^{\prime}(x)=x^{2}-1, F(3)=6 \]
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EX の多項式 \( f(x) \) が等式 \( f(x) f^{\prime}(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t+\frac{4}{9} \cdots \cdots \) (1) を満たす。次の問に答えなさい。\n(1) \( f(x) \) が 次式であるとすると, 等式(1) の左辺は 次式, 右辺は 次式であるから, の值は である。\n(2) \( f(x) \) を求めよ。
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等式 f(x)=1+2 \\int_{0}^{1}(x t+1) f(t) d t を満たす関数 f(x) を求めよ。
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317\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} 3 \\sin ^{2} \\theta \\cos \\theta d \\theta & =\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} 3 \\sin ^{2} \\theta(\\sin \\theta)^{\\prime} d \\theta \\\\\n& =\\left[\\sin ^{3} \\theta\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}=1 \\\\\n\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} 2 \\sin ^{2} \\theta \\cos ^{2} \\theta d \\theta & =\\frac{1}{2} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{2} 2 \\theta d \\theta \\\\\n& =\\frac{1}{2} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{1-\\cos 4 \\theta}{2} d \\theta \\\\\n& =\\frac{1}{4}\\left[\\theta-\\frac{1}{4} \\sin 4 \\theta\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}=\\frac{\\pi}{8}\n\\end{aligned}\n\\]
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次の不定積分を求めよ。(1) ∫√(1+√x) dx (2) ∫(cos x)/(cos^2 x + 2sin x -2) dx
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関数 f(x) の原始関数を F(x) とするとき,次の条件 [1], [2] が成り立つ。このとき, f'(x), f(x) を求めよ。ただし, x > 0 とする。[1] F(x) = x f(x) - 1/x [2] F(1/√2) = √2
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関数の定義域と増減の解析\n与えられた関数 \(f(x)\) の定義域を求め、また導関数と第2次導関数を利用して関数の増減および凹凸を解析してください。
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関数の最大・最小\n(299) 関数 f(x)=a x + x cos(x) - 2 sin(x) は \u03c0/2 と \u03c0 の間で極値をただ 1 つもつと示せ。ただし, -1<a<1 とする。\n[類 前橋工科大]
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関数 f(x) は, x>-2 で連続な第 2 次導関数 f''(x) をもつ。また, x>0 において f(x)>0, f'(x)>0 を満たし, 任意の正の数 t に対して点 (t, f(t)) における曲線 y=f(x) の接線と x 軸との交点 P の x 座標が -∫0^t f(x) dx に等しい。
(1) t>0 のとき, 点 (t, f(t)) における接線の方程式を求めよ。
(2) t>0 のとき, f''(t)=-{f'(t)}^2 を示せ。
(3) f'(0)=1/2, f(0)=0 のとき, f'(x), f(x) を求めよ。
[類 鳥取大]
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\sqrt{x}} d x \)
(2)
(3)
(4) \( \int\left(2 e^{t}-3 \cdot 2^{t}\right) d t \)
∠ p.222, p.223 基本事項2, B3
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関数 f(x)=x^(1/3)(x>0) とする。次の (1), (2) それぞれの方法で, 導関数 f'(x) を求めよ。\n(1) 導関数の定義に従って求める。\n(2) f(x)・f(x)・f(x)=x となっている。これに積の導関数の公式を適用する。
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関数 f(x) が f(0)=0, f'(x)=x cos x を満たすとき,次の問いに答えよ。(1) f(x) を求めよ。(2) f(x) の 0 <= x <= π における最大值を求めよ。
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−2≤x≤2のとき, 関数 f(x)=∫₀ˣ (1-t²)eᵗ dtの最大値・最小値と, そのときの x の値を求めよ。
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)
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実数全体で微分可能な関数 f(x) が次の条件 (A), (B) をともに満たす。
(A):すべての実数 x, y について, f(x+y)=f(x) f(y) が成り立つ。
(B):すべての実数 x について, f(x) ≠ 0 である。
(1)すべての実数 x について f(x)>0 であることを,背理法によって証明せよ。
(2) すべての実数 x について, f'(x)=f(x) f'(0) であることを示せ。
(3) f'(0)=k とするとき, f(x) をkを用いて表せ。
[類 東京慈恵医大]
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実数 が の範囲を動くとき, \( S(t)=\\int_{0}^{1}\\left|e^{x}-t\\right| d x \) の最大値と最小値を求 めよ。 [長岡技科大]
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2変数 a, b の不等式を扱うには,次のような方法が考えられる。
[1] f(a)>f(b) の形に変形
[2] おき換え の利用
[3] 一方の文字を定数とみる
[4] 差に注目して平均値の定理の利用
[5] (相加平均 ) \geqq( 相乘平均) の利用
[6] 点 (a, b) の領域利用
ここでは,方法 [3], [4] を利用した解答例を示しておきたい。
<方法 [3](一方の文字を定数とみる)による証明> b を定数とみて, a を x におき換えると, x \geqq b で, 不等式 (1) は
\[
\begin{array}{l}
x^{n}-b^{n} \leqq n(x-b) x^{n-1} \
\f(x)=n(x-b) x^{n-1}-\left(x^{n}-b^{n}\right) とすると \text { \ }
\f^{\prime}(x)=n\left\{1 \cdot x^{n-1}+(x-b) \cdot(n-1) x^{n-2}\right\}-n x^{n-1}=n(n-1)(x-b) x^{n-2} \\n\end{array}
\]
<方法 [4](平均値の定理の利用)による証明>
不等式 (1) は と同値。左辺は平均変化率 \( \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \) の形である 。
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体積が √2/3 体の直円錐において, 直円錐の側面積の最小值を求めよ。また,最小と なるときの直円錐の底面の円の半径と高さを求めよ。
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int(x+2) \sqrt{1-x} d x \)
(2) \( \int \frac{x}{(x+3)^{2}} d x \)
(3) \( \int(2 x+1) \sqrt{x^{2}+x+1} d x \)
(4)
(5) \( \int\left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right) d x \)
(6) \( \int \frac{x}{1+x^{2}} \log \left(1+x^{2}\right) d x \)
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int \\sqrt{2 x-3} d x \\n(2) \\( \\int \\cos \\left(\\frac{2}{3} x-1\\right) d x \\)\n(3) \ \\int \\frac{d x}{4 x+5} \\n(4) \ \\int 2^{-3 x+1} d x \
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直線上を運動する点 \\mathrm{P}\ の時刻 t\ における座標 x\ を t\ の関数として表す \(x = f(t)\\) 。この時、次の問いに答えなさい。\n1. 速度を表す方程式を導出しなさい。\n2. 加速度を表す方程式を導出しなさい。
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次の定積分を求めよ。(1) では \ a \ は定数とする。\n(1) \ \\int_{-a}^{a} \\frac{x^{3}}{\\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x \\n(2) \\( \\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2}}(2 \\sin x+\\cos x)^{3} d x \\)
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微分方程式の解法の基本\n(1) y は x の関数とする。次の微分方程式を解け。ただし,(1)は[]内の初期条件 のもとで解け。\n(1) 2 y y^{\prime}=1[x=1 のとき y=1]\n(2) y=x y^{\prime}+1
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ある区間で微分可能な関数 y=f(x) について、x の値が増加するにつれて接線の傾きが増加するとき、その区間で曲線 y=f(x) は下に凸、接線の傾きが減少するとき、その区間で曲線 y=f(x) は上に凸であると定義したが、本来の定義は次のようになる。関数 f(x) が、ある区間に含まれる任意の異なる実数 x_{1}, x_{2} と、s+t=1, s ≥ 0, t ≥ 0 である任意の実数 s, t に対して f(s x_{1}+t x_{2}) ≤ s f(x_{1})+t f(x_{2}) が成り立つとき、f(x) は下に凸、f(s x_{1}+t x_{2}) ≥ s f(x_{1})+t f(x_{2}) が成り立つとき、f(x) は上に凸であるという。そして、定義域において下に凸である関数を凸関数、上に凸である関数を凹関数という。
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関係式 \( f(x)+\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\sin x \) を満たす微分可能な関数 \( f(x) \) を考える。あるから, \( f(x)=ウ \square \) である。
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1. 定積分の部分積分法を用いて以下の定積分を求めよ。\n\ I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} e^{-x} d x \\n( は0以上の整数)
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4) \( \int \frac{3 x+2}{x(x+1)^{2}} dx \)
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=(x-3)^{3} \)\n(2) \( y=\left(x^{2}-2\right)^{2} \)\n(3) \( y=\left(x^{2}+1\right)^{2}(x-3)^{3} \)\n(4) \( y=\frac{1}{\left(x^{2}-2\right)^{3}} \)\n(5) \( y=\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2} \)\n(6) \( y=\frac{(2 x-1)^{3}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \)
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f(x)=(x-1)^2 Q(x)(Q(x) は多項式) のとき, f'(x) は x=1 で割り切れること を示せ。
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導関数の定義と特性について説明しなさい。また、関数 \( f(x) \) の導関数 \( f^{\prime}(x) \) の定義の式を示しなさい。
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int \\frac{x^{3}+x}{x^{2}-1} d x \\n(2) \ \\int \\frac{x+5}{x^{2}+x-2} d x \\n(3) \\( \\int \\frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \\)
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次の関数を,導関数の定義に従って微分せよ。(追加問題)\n(1) \ y=\\frac{1}{x^{2}} \\n(2) \ y=\\sqrt{4 x+3} \\n(3) \ y=\\sqrt[4]{x} \