関数と解析 - 微分積分の基礎 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

65 (1) \ a<\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=a \ で最大値 \ a^{2}-9 a \\n\ a=\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2} \ で最大値 \ -\\frac{81}{4} \\n\ a>\\frac{9}{2} \ のとき\n\ x=a+1 \ で最大値 \ a^{2}-7 a-9 \\n(2) \ a<4 \ のとき\n\ x=a+1 \ で最小値 \ a^{2}-7 a-9 \\n\ 4 \\leqq a \\leqq 5 \ のとき\n\ x=5 \ で最小値 \ a-25 \\n\ a>5 \ のとき\n\ x=a \ で最小値 \ a^{2}-9 a \

x, y を実数とするとき, x^{2}-4 x y+7 y^{2}-4 y+3 の最小値を求め, そのときの x, y の値を求めよ。

同じものを含む円順列・じゅず順列

放物線 $y=x^{2}-a x+a+1$ が $x$ 軸と接するように，定数 $a$ の値を定めよ。 また, そのときの接点の座標を求めよ。

必要条件・十分条件の振り返り\nここでテーマを変えて, 必要条件・十分条件について振り返ろう。\n2 つの条件 $p, q$ において,\n(1) $p \\Longrightarrow q$ が真であるとき\n$q$ は刀であるための必要条件\npは $q$ であるための十分条件\n(2) $p \\Longrightarrow q$ と $q \\Longrightarrow p$ がともに真である（ $p \\Leftrightarrow q$ が成り立つ）とき $q$ は $p(p$ は \( q) \) であるための必要十分条件

放物線 $y=3 x^{2}-6 x+5$ は, どのように平行移動すると放物線 $y=3 x^{2}+9 x$ に重 なるか。

グラフが動く場合の関数の最大・最小

定義域全体が動く場合の関数の最大・最小

２変数関数の最大・最小

55 (1) x=0 で最大値 0 , x=2 で最小値 8(a+1) (2) x=0 で最大值 0 , x=-a で最小値 -2a² (3) x=0,2 で最大値 0 , x=1 で最小値 -2 (4) x=2 で最大値 8(a+1) , x=-a で最小値 -2a² (5) x=2 で最大値 8(a+1) , x=0 で最小値 0

x, y \) の関数 \( f(x, y)=x^{2}-4x y+5y^{2}+2y+2 \) の最小値を求めよ。また、このときの $x, y$ の値を求めよ。

命題「東京に住む $\Longrightarrow$ 日本に住む」は真であるが、このとき「東京に住む」および「日本に住む」の関係を十分条件や必要条件で表現するとどのようになりますか？

$x \geqq 0, y \geqq 0,3 x+2 y=1$ のとき, $3 x^{2}+4 y^{2}$ の最大値と最小値を求めよ。

発展 85 | 条件式がある場合の最大・最小(1)

放物線 $y=3 x^{2}+6 x+2$ を $x$ 軸方向に $2, y$ 軸方向に -1 だけ平行移動したとき,移動後の放物線の方程式を $y=a x^{2}+b x+c$ の形で表せ。

a を定数とし, x の関数 f(x)=(1+2 a)(1-x)+(2-a) x の最小値 m(a) を求めよ。

[3] グラフが 3 点 \( (1,3),(2,5),(3,9) \) を通る\n求める 2 次関数を $y=a x^{2}+b x+c$ とおく。\n点 \( (1,3) \) を通るから $\quad 3=a \cdot 1^{2}+b \cdot 1+c$\n点 \( (2,5) \) を通るから $\quad 5=a \cdot 2^{2}+b \cdot 2+c$\n点 \( (3,9) \) を通るから $\quad 9=a \cdot 3^{2}+b \cdot 3+c$\nこの連立方程式を解くと, $a, b, c$ の値を求めることができ, 2 次関数が決定する。

72 (3) x=0 で最大値 1, x=2 で最小値 -11

命題とその逆・対偶・裏の関係について説明し、次の命題Sの逆・対偶・裏を求めてください。 命題S: 「xが偶数ならば、xは2で割り切れる」

次の関数の極値を求めよ。\n(1) $y=3 x^{2}-4 x+1$\n(2) $y=-2 x^{2}-8 x-12$

(2) y^{\prime}=-4 x-8=-4(x+2) y^{\prime}=0 とすると x=-2 y の増減表は右のようになる。よって, y は, x=-2 で 極大値 -4 をとる

関数 \( f(x)=x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}-6 x \) について, 次の問いに答えよ。\n(1) 関数 \( f(x) \) の極値をすべて求めよ。\n(2) 方程式 \( f(x)=a \) が異なる 3 つの実数解をもつとき, 定数 $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。\n(3) $a$ が (2) で求めた範囲にあるとし, 方程式 \( f(x)=a \) の 3 つの実数解を \( \alpha, \beta, \gamma(\alpha<\beta<\gamma) \) とする。 \( t=(\alpha-\gamma)^{2} \) とおくとき, $t$ を $\alpha, \gamma, a$ を用いず $\beta$ のみの式で表し, $t$ のとりうる値の 範囲を求めよ。[関西学院大]

次の関数の極値を求めよ。また，そのグラフをかけ。(1) $y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5$(2) $y=x^{4}-4 x^{3}+1$

関数の値の変化 f(x)=x^{4}-8 x^{3}+18 k x^{2} が極大値をもたないとき, 定数 k の値の範囲を求めよ。 [福島大]

次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=2 x^{2}+x \int_{0}^{1} f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=2 x+\int_{0}^{1} x f(t) d t \)

微分法の問題: 平均変化率の計算

f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1 とする。曲線 y=f(x) は, 曲線上の点 A(2,3) に 関して対称であることを示せ。

曲線 $y=x^{3}+x^{2} \cdots \cdots$ (1) と直線 \( y=a^{2}(x+1) \cdots \cdots \) (2) で囲まれる 2 つの部分の面積が等しくなるような定数 $a$ の値を求めよ。ただし， $0<a<1$ とする。

接線の方程式\n曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( \\mathrm{A}(a, f(a)) \) における\n・接線の方程式 \( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \)\n・法線の方程式 \( \\quad y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\)

(2) y^{\prime}=3 x^{2}+2 x-1=(x+1)(3x-1) y^{\prime}=0 とすると x=-1, 1/3 y の増減表は次のようになる。よって, y は, x=-1 で極大となり, x=1/3 で極小となる。

導関数の定義にしたがって, 次の関数の導関数を求めよ。(1) y=x^{2}-3 x+9 (2) y=-2 x^{3}+3 x^{2}-1

次の経過ほどの方法で方求を求め。 3 点 (4,-1),(6,3),(-3,0) を通る円の方程式を求めよ。

\( f(x)=\frac{1}{3} \int_{0}^{3}(x+t)|x-t| d t \) とする。(1) \( f(x) \) を計算せよ。(2) 関数 \( y=f(x) \) のグラフをかけ。(3) $-1 \leqq x \leqq 2$ における関数 \( f(x) \) の最大値と最小値を求めよ。

1 辺の長さが $1 \mathrm{cm}$ の立方体があり，毎秒 $1 \mathrm{mm}$ の割合で各辺の長さが大きくなっている。 10 秒後のこの立方体の表面積と体積の変化率 \( \left(\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}, \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}\right) \) をそれぞれ求めよ。

曲線 y=2x^3-5x^2+x+2 と x 軸の交点の x 座標は,方程式 2x^3-5x^2+x+2=0 の解である。P(x)=2x^3-5x^2+x+2 とすると P(1)=2-5+1+2=0 よって P(x) =(x-1)(2x^2-3x-2) =(x-1)(x-2)(2x+1) P(x)=0 を解いて x=1,2,-1/2 ゆえに，曲線は右の図のようになるから，求める面積 S は S= ∫(-1/2 to 1)(2x^3-5x^2+x+2) dx + ∫(1 to 2)(-(2x^3-5x^2+x+2)) dx = [x^4/2 - 5/3 x^3 + x^2/2 + 2x](-1/2 to 1) -[x^4/2 - 5/3 x^3 + x^2/2 + 2x](1 to 2) = 2(1/2 - 5/3 + 1/2 + 2) - (2^4/2 - 5/3 * 2^3 + 2^2/2 + 2*2) - (1/2(-1/2)^4 - 5/3(-1/2)^3 + 1/2(-1/2)^2 + 2*(-1/2)) = 8/3 - 2/3 - (-61/96) = 253/96

203 $C$ は積分定数とする。\n(1) \(\frac{1}{8}(2 x + 1)^{4} + C\)\n(2) \(-\frac{1}{10}(t + 1)^{4}(2 t - 3) + C\)

次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=3 x^{2}-x+\int_{-1}^{1} f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=2 x^{2}+1+\int_{0}^{1} x f(t) d t \)

数学II 積分法 23 不定積分 24 定積分 25 面積

次の関数の極値を求めよ。また, そのグラフをかけ。\n(1) y=x^{4}-2 x^{3}-2 x^{2}

65\n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\text { (1) } \\boldsymbol{y}^{\\prime}=2(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime}=2 \\cdot 1=2 \\\\\n\\boldsymbol{y}^{\\prime}=3\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-6(x)^{\\prime}+(2)^{\\prime}=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1 \\\\\n=6 \\boldsymbol{x}-6\n\\end{array}\n\\]

2 つの 2 次関数 \( f(x), g(x) \) が, \( f(0)-g(0)=1 \), \( \frac{d}{d x} \int_{0}^{x}\{f(t)+g(t)\} d t=5 x^{2}+11 x+13, \int_{0}^{x} \frac{d}{d t}\{f(t)-g(t)\} d t=x^{2}+x \) を満たすとき, \( f(x), g(x) \) を求めよ。

A $-3 \leqq x \leqq 3$ のとき, 関数 \( f(x)=\int_{-3}^{x}\left(t^{2}-2 t-3\right) d t \) のとりうる値の範囲を求めよ。

曲線 $y=x^{3}-4 x$ の接線で, 傾きが -1 であるものを求めよ。

㩐本例題 190 区間の一端が動く場合の最大・最小\n$a>0$ とする。 $0 \leqq x \leqq a$ における関数 $y=-x^{3}+3 x^{2}$ について\n(1) 最大値を求めよ。\n(2) 最小値を求めよ。

方程式 $x^{4}-6 x^{3}+10 x^{2}-6 x+1=0$ について, 次の問いに答えよ。 (1) $x+\frac{1}{x}=X$ とおいて, 与えられた方程式を $X$ の方程式で表せ。\n(2) 与えられた方程式の解を求めよ。

定積分の性質\n定積分 \( \\quad F^{\\prime}(x)=f(x) \) のとき\n\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \\]\n定積分の性質 $k, l$ は定数とする。\n\[ \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{b} f(t) d t \\\\\n\\int_{a}^{b}\\{k f(x)+\\lg (x)\\} d x \\)\n\[=k \\int_{a}^{b} f(x) d x+l \\int_{a}^{b} g(x) d x \\)\n\[ \\cdot \\int_{a}^{a} f(x) d x=0, \\int_{b}^{a} f(x) d x=-\\int_{a}^{b} f(x) d x \\]\n\[ \\cdot \\int_{a}^{b} f(x) d x=\\int_{a}^{c} f(x) d x+\\int_{c}^{b} f(x) d x \\]\n偶関数, 奇関数の定積分 $n$ は自然数とする。\n \\int_{-a}^{a} x^{2 n} d x=2 \\int_{0}^{a} x^{2 n} d x, \\int_{-a}^{a} x^{2 n-1} d x=0 \

次の関数において, x が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率が 4 となるように, h の値を定めよ。(1) f(x)=x^{3}-x^{2}

補充 例題 178 導関数の計算 (2)\np. 278 の公式を用いて, 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(2 x-1)(x+1)\n(2) y=\left(x^{2}+2 x+3\right)(x-1)\n(3) y=(2 x-1)^{3}\n(4) y=(x-2)^{2}(x-3)\np. 278 STEP UP

次の問題について解答せよ。\n1. $x<0$ のとき \( f(x)=3-x^{2} \)\n0 <= x <= 3 のとき\n\( f(x)=\frac{4}{9}x^{3}-x^{2}+3 \)\n3 を超える場合には \( f(x)=x^{2}-3 \) となる\n2. 省略\n3. $x=0$ で最大値 3, $x=-1$ で最小値 2

PRACTICE 178 (R)\n P. 278 の公式を用いて, 次の関数を微分せよ。\n(1) y=(3 x+2)(3 x^{2}-1)\n(2) y=(3-x)^{3}\n(3) y=(x+3)(2 x-5)^{2}

EX $-3 \leqq x \leqq 3$ のとき, 関数 \( f(x)=\int_{-3}^{x}\left(t^{2}-2 t-3\right) d t \) のとりうる値の範囲を求めよ。 [群馬大]

次の関数を微分せよ。また， x=0,1 における微分係数をそれぞれ求めよ。(1) y=5 x^{2}-6 x+4 (2) y=x^{3}-3 x^{2}-1 (3) y=x^{2}(2 x+1) (4) y=(x-1)(x^{2}+x+1)

EX数列 \left\\{a_{n}\right\\} が $a_{1}=2, a_{n+1}=3 a_{n}-n^{2}+2 n$ で定義されている。数列 \( \left\\{a_{n}-g(n)\right\\} \) が公比 3 の等比数列となるように $n$ の 2 次式 \( g(n) \) を考えることにより, $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。

微分法の問題: 導関数の計算 (1)

関数 \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) が次の 3 つの条件を満たすように定数 $a, b, c$ の値を定めよ。 \( f(1)=8, \int_{-1}^{1} f(x) d x=4, \int_{-1}^{1} x f' \left(x\right)d x=4\)

関数 \(f(n)\) に対して、次の条件を満たすような \( f(n) \) を求めなさい: \(b_{n+1}+f(n+1)=-2(b_{n}+f(n))\)

297 基 本 例題 189 最大値・最小値から係数決定\na>0 とする。関数 f(x)=a x(x-3)^{2}+b の区間 0 \leqq x \leqq 5 における最大値 が 15 , 最小値が -5 であるという。定数 a, b の値を求めよ。

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。\n(1) $\\frac{3x-1}{x^2-1} = \\frac{a}{x-1} + \\frac{b}{x+1}$\n(2) \( \\frac{x-5}{(x+1)^2(x-1)} = \\frac{a}{(x+1)^2} + \\frac{b}{x+1} + \\frac{c}{x-1} \)

基礎を定着させる段階で、なぜ無理に重要例題まで取り組む必要がないのか説明してください。

共通解を求める問題について

x ≥ 0, y ≥ 0 のとき, x, y の関数 f(x, y) = x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 の最小値を求めよ。また, このときの x, y の値を求めよ。

標準例題: 複数の知識を用いる等のやや応用力を必要とする問題。

次の不定積分を求めよ。\n\\[\\int (x-\\sin x) \\cos x \\,dx\\]

次の定積分を計算せよ。\n\n\\[\n\\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)} d x \n\\]\nx = a - t とおくと、-d x = d t。x と t の対応は次のようになる。\n \ x \\frac{a}{2} \\longrightarrow a \\n \ t \\frac{a}{2} \\longrightarrow 0 \\n よって、\n\\[ I = \\int_{\\frac{a}{2}}^{a} \\frac{f(a-t)}{f(a-t)+f(t)} (-1) d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(a-t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\int_{0}^{\\frac{a}{2}}\\left\\{1 - \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)}\\right\\} d t = [t]_{0}^{\\frac{a}{2}} - \\int_{0}^{\\frac{a}{2}} \\frac{f(t)}{f(t)+f(a-t)} d t = \\frac{a}{2} - b \\]

次の定積分を求めよ。\n(1) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-2 x^{2}} d x$\n(2) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}} d x$

例題 121 定積分で表された関数の最大・最小 (1)\n$a, b$ が実数の範囲を動くとき, 定積分 \( \int_{-\pi}^{\pi}(x-a \sin x-b \cos x)^{2} d x \) の最小値を求 めよ。また, そのときの $a, b$ の値を求めよ。\n[信州大]

練習 101 ⇒ 本冊 p.452 (1) ∫ 1 / (√(x + 2) - √(x)) dx = ∫ (√(x + 2) + √(x)) / (x + 2 - x) dx (2) ∫ 2x / (√(x^2 + 1) + x) dx = ∫ 2x (√(x^2 + 1) - x) / ((x^2 + 1) - x^2) dx

pが有理数のとき次の公式を示せ：\n\n\\[\\left(x^{p}\\right)'=p x^{p-1}\\]

次の積分を解け。\n(5) $\int \frac{2-3 \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x$

(3) \( \int_{1}^{e} x \log \sqrt{x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x \log x d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{e}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{\prime} \log x d x \)\n\[\ = \frac{1}{4}\left[x^{2} \log x\right]_{1}^{e}-\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x \, dx = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{e} = \frac{1}{8}\left(e^{2} + 1\right) \]

次の関数の極値を求めよ。\n(1) $y=x^{2} \log x$\n(2) $y=|x| \sqrt{x+2}$

ここの章で学ぶこと〉 多項式で表された関数以外の一般の関数では，微分はできても積分は簡単にはできない場合が多い。 本章では，第 3 章の微分法の公式などをもとにして，もっと多く の関数の積分法を学ぶ。積分法では，有理関数の不定積分でも高校の範疇を越える関数になる場合があって、いつでも積分できる とは限らないが、積分できる関数の範囲は数学IIよりはるかに広 くなる。

䋱習(1) f(x)は微分可能な関数で, 任意の x, y に対して次の関係が成り立つという。 f(x) を求めよ。\n(ア) f(x+y)=f(x)+f(y)

次の不定積分を求めよ。 95 (5) $\int \frac{2-3 \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x$

次の関数を微分せよ。\n(1) $y=2 x^{4}+3 x^{3}+4 x^{2}-5$\n(2) \( y=\left(x^{2}+3 x\right)\left(x^{2}-2\right) \)\n(3) \( y=\left(x^{2}-2 x-3\right)\left(x^{2}+4\right) \)

51 関数 \( f(x)=\int_{-1}^{x} \frac{d t}{t^{2}-t+1}+\int_{x}^{1} \frac{d t}{t^{2}+t+1} \) の最小値を求めよ。\n[神戸大]

次の積分を解け。\n(1) \ \int e^{-x} \cos x \\, dx \

問題 48 次の等式を満たす関数 \\( f(x)(0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi) \\) がただ 1 つ定まるための実数 \ a, b \ の条件 を求めよ。また, そのときの \\( f(x) \\) を決定せよ。\\[ f(x)=\\frac{a}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\sin (x+y) f(y) d y+\\frac{b}{2 \\pi} \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (x-y) f(y) d y+\\sin x+\\cos x \\]ただし, \\( f(x) \\) は区間 \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ で連続な関数とする。[東京大]

\\[\n\\begin{array}{l}\n\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}-\\left(\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x-\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\\\\n\\text { よって } \\quad 2 \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\n\\end{array}\n\\]\nゆえに \\( \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2}\\left(x \\sqrt{x^{2}+1}+\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x\\right) \\)\n(1) から\ \\[\n\\int \\sqrt{x^{2}+1} d x=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}+C\n\\]\n

(1) \\( x\\{f(x)-1\\}=2 \\int_{0}^{x} e^{-t} g(t) d t \\) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[\\begin{array}{l}\nf(x)-1+x f^{\\prime}(x)=2 e^{-x} g(x) \\\\\n\\text { よって } \\quad e^{x}\\left\\{f(x)-1+x f^{\\prime}(x)\\right\\}=2 g(x) \\quad \\ldots . .\n\\end{array}\]\n更に, (1) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[e^{x}\\left\\{f(x)-1+x f^{\\prime}(x)\\right\\}+e^{x}\\left\\{f^{\\prime}(x)+f^{\\prime}(x)+x f^{\\prime \\prime}(x)\\right\\}=2 g^{\\prime}(x)\]\nすなわち \\( e^{x}\\left\\{x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1\\right\\}=2 g^{\\prime}(x) \\)\nここで, \\( g(x)=\\int_{0}^{x} e^{t} f(t) d t \\) の両辺を \ x \ で微分すると\n\[g^{\\prime}(x)=e^{x} f(x)\]\nよって \\( e^{x}\\left\\{x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1\\right\\}=2 e^{x} f(x) \\) \ e^{x}>0 \ であるから\n\[x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)+f(x)-1=2 f(x)\]\nしたがって \\( \\quad x f^{\\prime \\prime}(x)+(x+2) f^{\\prime}(x)-f(x)=1 \\)

次の不定積分を求めよ。\n(1) $\int x e^{x^{2}} d x$\n(2) $\int \sin ^{4} x \cos x d x$\n(3) $\int \frac{x+2}{x^{2}+4 x+5} d x$

次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int \frac{(x-1)^{2}}{x \sqrt{x}} d x \)

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \sin ^{2} x d x$ (2) \int \sin \theta \cos \theta d \theta \) (3) $\int \sin 3 x \cos x d x$ (4) $\int \sin 2 \theta \sin 3 \theta d \theta$ (5) $\int \cos ^{3} x d x$

(2) \[\begin{array}{l}\begin{aligned}\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x & =\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x=\int_{0}^{1} d x-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \\ & =1-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \quad \cdots \cdots \text { (3) } \begin{array}{rl||l}x & 0 \longrightarrow 1 \\ \hline\=\tan \theta \text { とおくと } \\ dx & =\frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta \quad 0 \longrightarrow \frac{\pi}{4}\end{array} \\ \text { よって } \quad \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta \\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d \theta=\frac{\pi}{4}\end{aligned}\end{array}\] \begin{tabular}{c||l}\hline\( x ) & ( 0 \longrightarrow 1 ) \\\hline\( \theta ) & ( 0 \longrightarrow \frac{\pi}{4} ) \\\hline\end{tabular} ゆえに, (3) から $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x=1-\frac{\pi}{4}$ (3) \( \frac{x^{2}+\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}\left\{1-\left(-x^{2}\right)^{n}\right\}}{1-\left(-x^{2}\right)}=\sum_{k=1}^{n} x^{2} \cdot\left(-x^{2}\right)^{k-1} \) \[\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} x^{2 k}=x^{2}-x^{4}+x^{6}-x^{8}+\cdots \cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n}\] であるから \[\begin{aligned}a_{n} & =\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+\left(-x^{2}\right)^{n+1}}{1+x^{2}} d x \\ & =\int_{0}^{1}\left\{x^{2}-x^{4}+x^{6}-x^{8}+\cdots \cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n}\right\} \\ & =[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{9}}{9}+\cdots \cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{2 n+1}]_{0}^{1} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots \cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2 n+1} \\ & =\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{2 k+1}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}\end{aligned}\] (4) (1), (2) から \( 0 \leqq\left|\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-a_{n}\right| \leqq \frac{1}{2 n+3} \) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n+3}=0$ であるから, はさみうちの原理により \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-a_{n}\right|=0 \) すなわち $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1-\frac{\pi}{4}$ よって, (3)から \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2 k+1}=1-\frac{\pi}{4} \) 591 分子の次数を下げる。 $\frac{1}{x^{2}+a^{2}}$ の定積分 は, $x=a \tan \theta$ とお く。 \theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} 1 初項 $x^{2}$, 公比 $-x^{2}$ の等比数列の初項か ら第 $n$ 項までの和。 \[\begin{array}{l}(-1)^{k-1} \\\=(-1)^{k-1} \cdot(-1)^{2} \\\=(-1)^{k+1}\end{array}\] 総 含 演 習 総 溶 習 類題 $x \geqq 0$ を定義域とする関数の列 \( f_{0}(x), f_{1}(x), \cdots \cdots, f_{n}(x), \cdots \cdots \) を 16 \( f_{0}(x)=1, f_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{f_{n-1}(t)}{t+1} d t(n \geqq 1) \) により帰納的に定義する。 (1) \( f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x) \) を求めよ。 (2) \( f_{n}(x)(n \geqq 1) \) を求めよ。 （3）曲線 \( y=f_{n}(x)(n \geqq 1) \), 直線 \( x=a(a>0) \) および $x$ 軸で囲まれる図形の面積を \( S_{n}(a) \) とするとき, \( S_{n}(a)+S_{n+1}(a)=\frac{a+1}{(n+1)!} \) を満たす $a$ の値を求めよ。 (4) 無限級数 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} \) の和を求めよ。 [東京医歯大]

綀棏 \( 94 \Rightarrow ) 本冊 $p.434$\n(1) $T$ をで微分すると $\frac{d T}{d l}=\frac{2 \pi}{\sqrt{g}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{l}}=\frac{\pi}{\sqrt{g l}}$ よって, l の増分 \( \Delta l ) に対する T の増分を \( \Delta T ) とすると $\Delta T \fallingdotseq \frac{d T}{d l} \Delta l=\frac{\pi}{\sqrt{g l}} \Delta l$ したがって, $\frac{\pi}{\sqrt{g l}} \Delta l$ だけ増す。

関数 $y$ の定義域は $x=-3$ 以外の実数全体である。\n$y=\frac{x^{2}+3 x+9}{x+3}=x+\frac{9}{x+3}$\n\[y^{\prime}=1-\frac{9}{(x+3)^{2}}=\frac{(x+3)^{2}-9}{(x+3)^{2}}=\frac{x(x+6)}{(x+3)^{2}}\]\n$y^{\prime}=0$ とすると $\quad x=-6,0$\n$y$ の増減表は次のようになる。\n\[\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c}\hline $x$ & $\cdots$ & -6 & $\cdots$ & -3 & $\cdots$ & 0 & $\cdots$ \\\hline $y^{\prime}$ & + & 0 & - & & - & 0 \& + \\\hline $y$ & $\nearrow$ & 極大 -9 & $\searrow$ & & & & 極小 \\\hline\end{tabular}\n\]\nよって、$y$ は\n$x \leqq-6,0 \leqq x$ で単調に増加し、$-6 \leqq x<-3,-3<x \leqq 0$ で単調に減少する。

次の不定積分を計算してください。\n$\int \frac{dx}{x}$

シュワルツの不等式 次の不等式が成り立つ。この不等式をシュワルツの不等式という。 ∫(a to b) {f(x) g(x) dx}^2 ≤ (∫(a to b) {f(x)}^2 dx)(∫(a to b) {g(x)}^2 dx) (a < b) 等号は, 常に f(x)=0 または常に g(x)=0 または g(x)=k f(x) ( k は定数)のときに限って成り立つ。

( x は t に無関係な変数) ∫_(h(x))^(g(x)) f(t) dt = f(g(x)) g ′( x ) - f ( h ( x ) h’(x )

次の置換積分の問題を解け：(2) $x^2 - 2x + 4$ での積分を解け。

第4章 微分法の応用 19 速度と加速度, 近似式 研究/マクローリン展開・オイラーの公式 演習問題

練習問題\n(1) 関数 $x=\\frac{1}{y^{2}-2 y}$ について, $\\frac{d y}{d x}$ を$x$ の関数で表せ｡

（2）実数 $a, b$ の値を変化させたときの定積分 \( I=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \sin x-b \sin 2 x)^{2} d x \) の最小値，およびそのときの $a, b$ の値を求めよ。\n[類 琉球大]

次の不定積分を求めよ。 (2) $\int \frac{1+x-\sin ^{2} x}{x \cos ^{2} x} d x$

数直線上を動く点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における速度が $12-6 t$ であるとする。点 $\mathrm{P}$ が, 時刻 $t=0$ から $t=5$ までの間に動いた道のりを求めよ。

次の微分方程式を解け。\n(1) \(\frac{d y}{d x}=x(2 y-1), x=0\) のとき $y=1$\n(2) \( \left(y+\frac{d y}{d x}\right) \sin x=y \cos x\)

練習 次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\frac{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}{(x-3)^{5}} \)\n(2) \( y=\sqrt[3]{\frac{(x+1)^{2}}{x\left(x^{2}+2\right)}} \)\n(3) \( y=(\sqrt{x})^{x}(x>0) \)\n(4) \( y=x^{\sin x}(x>0) \)\n(5) \( y=f(x)^{g(x)}[f(x)>0] \)\n(6) \( y=(1+x)^{\frac{1}{1+x}}(x>0) \)

練習 97 \Rightarrow 本冊 p .447\n (1) \\int x \sin 2 x d x\

次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\\sin (1-2 x) \)\n(2) $y=\\tan 3 x$\n(3) $y=\\cos ^{3} x$\n(4) \( y=x^{2} \\sin (3 x+5) \)\n(5) $y=\\frac{\\sin x-\\cos x}{\\sin x+\\cos x}$\n(6) $y=\\sqrt{\\sin 2 x}$

オーダーメイドとレディメイドの製品について、数学の公式を比喩として使っています。公式を理解せずに暗記することの問題点について説明してください。

列 40 定積分の計算 \( (1) \)\n次の定積分を求めよ。\n(1) $\int_{0}^{1} \frac{4 x-1}{2 x^{2}+5 x+2} d x$\n(2) $\int_{0}^{9} \frac{1}{\sqrt{x+16}+\sqrt{x}} d x$\n(3) $\int_{0}^{\pi} \sin ^{4} x d x$\n(4) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} d x$

1 関数の増加と減少\n次のことについて, 数学 II では曲線 y=f(x) をその接線で近似して直観的に考えた。数学IIでは, 平均値の定理を用いて理論的に証明することができる。\n関数 f(x) は閉区間 [a, b] で連続, 開区間 (a, b) で微分可能とする。\n1 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)>0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で単調に増加する。\n2 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)<0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で単調に減少する。\n3 開区間 (a, b) で常に f^{\prime}(x)=0 ならば f(x) は閉区間 [a, b] で定数である。

数学 $\mathbb{I}$ 213 \[\\begin{array}{l} f(x)=\\left\\{(x-k)^{2}\\right\\}^{2}+\\left(6 k^{2}+3 a k+b\\right)(x-k)^{2}+k^{4}+a k^{3} +b k^{2}+c k+d \\ =\\left\\{\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}\\right\\}^{2}-\\left(\\frac{3}{8} a^{2}-b\\right)\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}-\\frac{3}{256} a^{4} +\\frac{1}{16} a^{2} b-\\frac{1}{4} a c+d \\ \\text { よって, } g(x)=\\left(x+\\frac{a}{4}\\right)^{2}, \\ h(x)= x^{2}-\\left(\\frac{3}{8} a^{2}-b\\right) x-\\frac{3}{256} a^{4}+\\frac{1}{16} a^{2} b-\\frac{1}{4} a c+d \\text { とすると, } \\end{array}\\] \( f(x)=h(g(x)) \) となるから, \( f(x) \) は 2 つの 2 次関数の合成関数 になっている。 演習 7 IIII \\Rightarrow \ 本冊 p .292 \

媒介変数で表された関数の導関数を求める方法を説明しなさい。

344\n数学 \\\mathbb{I}\\n(6) \ \\sqrt[3]{x+2}=t \ とおくと \ \\quad x=t^{3}-2, d x=3 t^{2} d t \\n\\[ \\begin{aligned}\n\\int \\frac{x}{\\sqrt[3]{x+2}} d x & =\\int \\frac{t^{3}-2}{t} \\cdot 3 t^{2} d t = 3 \\int\\left(t^{4}-2 t\\right) d t \\\\\n& =3\\left(\\frac{t^{5}}{5}-t^{2}\\right)+C = \\frac{3}{5} t^{2}\\left(t^{3}-5\\right)+C \\\\\n& = \\frac{3}{5}(x-3) \\sqrt[3]{(x+2)^{2}} +C \\end{aligned} \\]

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \cos ^{2} x d x$ (2) $\int \sin ^{3} x d x$ (3) $\int \sin 2 \theta \cos 3 \theta d \theta$

<第６章>積分法の応用

次の不定積分を求めよ。 95 (1) \( \int \frac{(x-1)^{2}(3 x-1)}{x^{2}} d x \)

動点 P の座標 (x, y) が時刻 t の関数として与えられているとき、P から x 軸、y 軸にそれぞれ垂線 PQ, PR を引くと、時刻 t における Q の速度は dx/dt=f'(t), R の速度は dy/dt=g'(t) である。これらを成分とするベクトル v を，時刻 t における点Pの速度または速度ベクトルという。 また, v の大きさ |v| を速さという。 (1) 速度 v=(dx/dt, dy/dt) (2) 速さ |v|=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²] (3) 加速度 α=(d²x/dt², d²y/dt²) (4) 加速度の大きさ |α|=√[(d²x/dt²)²+(d²y/dt²)²]

数学III\n(1) y=-x を代入すると f(0)=f(x)+f(-x) f(0)=0 であるから f(-x)=-f(x)\n(2) n>0 のとき\nf(1/n) = 1/n｛f(1/n)+f(1/n)+...+f(1/n)｝\n = 1/n f{1/n+1/n+...+1/n}=f(1)/n\n n<0 のとき\nf(1/n)=f(-1/-n)=-f(1/-n)=-f(1)/-n=f(1)/n\n ゆえに f(1/n)=f(1)/n.\n(3) f'(0)=lim_{h->0} f(h)-f(0)/h=lim_{h->0} f(h)/h.\n ここで,h=1/n とおくと,n>0 のとき\n f'(0)=lim_{n->∞} f(1/n)/1/n=lim_{n->∞} n f(1/n)=lim_{n->∞}f(1)=f(1)\n n<0 のときも同様にして f'(0)=f(1)\nゆえに f'(0)=f(1)\n

3 次関数 \( f(x) \) が $x=1$ と $x=2$ で極値をとるから, \( f^{\prime}(x)=a(x-1)(x-2)(a≠0) \) と表される。また \( g(x)=\frac{3 x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}+1 \) として、 \( g^{\prime}(x)=\frac{3}{2} \cdot \frac{\left(x^{2}+1\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{3}{2 \left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \)，曲線 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) が点\( (0,1) \) で共通の接線をもつための条件は \( f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0) \)

次の条件を満たす関数 \( f(x) \) の定積分を求めよ：\n\n1. \( f(x) \) は奇関数 $y$ で常に \( f(-x)=-f(x) \) が成り立つ。\n2. 定積分の範囲は $[-a, a]$ である。

31 ) を1より大きい定数とする。微分可能な関数 ( ) が ( ) を満たすとき,曲線 ( ) の接線で原点 ( ) を通るものが存在することを示せ。

29 関数 y(x) が第 2 次導関数 y^{\prime \prime}(x) をもち, x^{3}+(x+1)\{y(x)\}^{3}=1 を満たすとき, y^{\prime \prime}(0) を求めよ。

次の積分を解け。\n(1) \ \int x^{2} \cos x \\, dx \ \n(2) \ \int x^{2} e^{x} \\, dx \ \n(3) \ \int x \tan^{2} x \\, dx \

次の問題を解きなさい。\n\n(1) \( f(x) \) と \( g(x) \) の積 \( f(x) g(x) \) を微分し、それを2回および3回微分したものも求めなさい。

次の広義積分を計算せよ。\n\\[ \\int_{0}^{1} x^{2}(x-1)^{2} e^{2 x} \\,dx \\]

練習38 ↠ 本冊 p.341 h(x)=f(x)-g(x) とする。関数 f(x), g(x) として、区間 [a, b] で連続な関数を考える。例えば、f(x)が x=x で最大, x=x2 で最小であり、 g(x) が x=x3 で最大, x=x4 で最小であるとする。

次の定積分を求めよ。\n(2) $\int_{0}^{9} \frac{1}{\sqrt{x+16}+\sqrt{x}} d x$

数学 II\n\n[問題1]\nI = ∫[0, π] sin(mx) cos(nx) dx とする。\n(1) m - n ≠ 0 すなわち m ≠ n のとき\n\nsin(mx)cos(nx) を変換することにより問題を解く:\n\nI = ∫[0, π] (1/2) {sin((m+n)x) + sin((m-n)x)} dx を計算する。\n\nm+n が偶数のとき、Iは？\nm+n が奇数のとき、Iは？\n\n(2) m - n = 0 すなわち m = n のとき\n\nこのとき、Iは？\n

例題 44 逆関数の微分法\n関数 $x=y^{2}+y-1$ について, $\\frac{d y}{d x}$ を $x$ の関数で表せ。\n\n指雓次の 2 つの方法が考えられる。それぞれの方法で解いてみよう。\n1. $x=y^{2}+y-1$ を $y$ について解き, $x$ の関数 $y$ を $x$ で微分する。\n2. $x=y^{2}+y-1$ を $y$ で微分して $\\frac{d x}{d y}$ を求め, 次の公式を利用する。\n逆関数の導関数 $\\quad \\frac{d x}{d y} \\neq 0$ のとき $\\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}}$

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1} d x$ (2) $\int \frac{x+1}{x \sqrt{2 x+1}} d x$

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{x^{3}+2 x}{x^{2}+1} d x$ (2) $\int \frac{x}{2 x^{2}-5 x+2} d x$ (3) \( \int \frac{x}{(2 x-1)^{4}} d x \)

Σ x, y の変数変換を考え、次の式を示せ。\\( \left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2} + \\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2} \\)

問題 (1) \( f(x) \) の導関数 \( f^{\prime}(x) \) を求める。

次の積分を求めよ：\n(1) \( \int_{1}^{e^{\frac{\pi}{4}}} x^{2} \cos (\log x) \, dx \)\n(2) (ア) $\int_{0}^{\pi} e^{-x} \sin x \, dx$\n(イ) (ア) の結果を用いて、$\int_{0}^{\pi} x e^{-x} \sin x \, dx$\n

別解 \\( y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{-5} \\) であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\ny^{\\prime}= & 2(x-1)(x-2)^{3}(x-3)^{-5}+(x-1)^{2} \\cdot 3(x-2)^{2}(x-3)^{-5} \\\\\n& +(x-1)^{2}(x-2)^{3} \\cdot(-5)(x-3)^{-6} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6} \\\\\n& \\times\\{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)\\} \\\\\n= & (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{-6}(-7 x+11)\n\\end{aligned}\n\\]

例 30 曲線の凹凸, 変曲点\n曲線 $y=\frac{4 x}{x^{2}+1}$ の凹凸を調べ, 変曲点を求めよ。

(2) \ \\int \\sin \\theta \\cos \\theta d \\theta = \\int \\frac{1}{2} \\sin 2 \\theta d \\theta\

練習 $112 \Rightarrow$ 本冊 p .470 \\n（1）証明する式の左辺を $I$ とする。\n \\pi-x=t \ とおくと \\quad x=\\pi-t, d x=-d t \ $x$ と $t$ の対応は右のようになる。\n\\[\n\\begin{aligned}\nI & =\\int_{\\pi}^{0}\\left(\\pi-t-\\frac{\\pi}{2}\\right) f(\\pi-t) \\cdot(-1) d t \\\\\n& =\\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{\\pi}{2}-t\\right) f(\\pi-t) d t=\\int_{0}^{\\pi}\\left(\\frac{\\pi}{2}-t\\right) f(t) d t \\\\\n& =-\\int_{0}^{\\pi}\\left(x-\\frac{\\pi}{2}\\right) f(x) d x=-I\n\\end{aligned}\n\\\]

次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{x} d x \\n(3) \ \\int x \\tan ^{2} x d x \

660<t<3のとき, 連立不等式{0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ t - y}の表す領域をx軸の周りに回転して得られる立体の体積をV(t)とする. dV(t)/dt=π/4となるtと,そのときのV(t)の値を求めよ.

次の積分を求めよ。\n(2) $\int \sin ^{4} x \cos x d x$\n別解として $\sin x=u$ とおく。

テイラーの定理\n閉区間 \ [a, b] \ において, \\( f(x), f^{\\prime}(x), f^{\\prime \\prime}(x), \\cdots \\cdots, f^{(n+1)}(x) \\) が連続であるとき \\( f(b)=f(a)+f^{\\prime}(a)(b-a)+\\frac{1}{2!} f^{\\prime \\prime}(a)(b-a)^{2}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{n!} f^{(n)}(a)(b-a)^{n}+R_{n} \\) ただし \\( R_{n}=\\frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)(b-a)^{n+1}, a<c<b \\) を満たす \ c \ が存在する。求めるべき関数 \\( g(x) \\) を定義し、導出過程を示して定理を証明せよ。

公式 (5) を用い次の積分を求めよ。\n\n $\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$

555重要例㬉 170 関数方程式\nf(x)は微分可能な関数で, 任意の x, y に対して\nf(x+y)=f(x) f(y)\nという関係が成り立つという。 f(x) はどのような関数か。

次の不定積分を求めよ。 95 (2) \( \int \frac{(\sqrt{t}-2)^{2}}{\sqrt{t}} d t \)

睐習 (2) 不定積分 \\int \\frac{1}{\\sin ^{4} x} d x \ を求めよ。\n[類 東京電機大]

数学 I CHECK 16 ⇒ 本冊 p.542 $\frac{d x}{d t}=2 \sqrt{3} t, \quad \frac{d y}{d t}=3 t^{2}-1$ であるから \[ \begin{aligned} \left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2} & =(2 \sqrt{3} t)^{2}+\left(3 t^{2}-1\right)^{2} \\ & =9 t^{4}+6 t^{2}+1=\left(3 t^{2}+1\right)^{2} \end{aligned} \] よって, 曲線の長さは \[\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(3 t^{2}+1\right) d t=\left[t^{3}+t\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{4}{3 \sqrt{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{9}\]

練習 65 本冊 p.394 f(x)は微分可能であり f^{\prime}(x) = \frac{1 \cdot(x^2 + 2x + a) - (x+1)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + a)^2} = -\frac{x^2 + 2x - a + 2}{(x^2 + 2x + a)^2} (1) f(x) が x=1で極値をとるならば f^{\prime}(1)=0であるから (分子) = 1 + 2 - a + 2 = 0, (分母) = (1 + 2 + a)^2 \neq 0 よって a=5 このとき f^{\prime}(x) = -\frac{(x + 3)(x - 1)}{(x^2 + 2x + 5)^2}

次の定積分を求めよ。\n(1) $\int_{-2}^{2} x^{5} d x$\n(2) $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos x d x$\n(3) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x d x$

正規分布曲線で囲まれた部分の面積計算（ガウス積分）

関数 \( f(x) \) の任意の点 $x=a$ における微分係数の定義を示しなさい。

次の不定積分を求めよ。ただし，ａは定数である。 (1) $\int \frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}} d x$ (2) $\int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} d x$ (3) $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x$ (4) \( \int \frac{1}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x}} d x \) (5) $\int \frac{1}{x \sqrt{x+1}} d x$ (6) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+2}} d x$

次の不定積分を求めよ。ただし，(4)の x は t に無関係とする。 (1) \( \int\left(4 x^{3}+6 x^{2}-2 x+5\right) d x \) (2) \( \int(x+2)(1-3 x) d x \) (3) \( \int x(x-1)(x+2) d x-\int\left(x^{2}-1\right)(x+2) d x \) (4) \( \int(t x+1)(x+2 t) d t \) C は積分定数とする。

211 (1) $x=0$ で極大値 7 ,\n$x= \pm 2$ で極小値 -9\n(2) $x=3$ で極小値 -26

区間 $c \leqq y \leqq d$ で常に \( f(y) \geqq 0 \) とする。\n曲線 \( x=f(y) \) と $y$ 軸，および 2 直線 $y=c, y=d$ で 囲まれた図形の面積 $S$ は\n\[ S=\int_{c}^{d} f(y) d y \]

(2) $\int_{0}^{2}\left|x^{2}+x-2\right| d x$ を求めよ。

練習（1）関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 [類 名古屋大]

(2) \( f(x) \) は 3 次の多項式で, $x^{3}$ の係数が \( 1, f(1)=2, f(-1)=-2, f^{\prime}(-1)=0 \) で ある。このとき, \( f(x) \) を求めよ。

次の関数を微分せよ。\n(1) y=(x-1)(2 x+3)\n(2) y=(x-1)(x^{2}+x-4)\n(3) y=(-2 x+1)^{3}\n(4) y=(x^{3}-2 x)^{2}\n(5) y=(3 x+2)^{2}(x-1)

次の関数の極値を求め，そのグラフの概形をかけ。(1) $y=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2}+5$ (2) $y=x^{4}-8 x^{3}+18 x^{2}-11$

どんな 2 次関数 \( f(x) \) に対しても \( \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{2}\{f(\alpha)+f(\beta)\} \) が成立するよう な定数 \( \alpha, \beta(\alpha<\beta) \) の値を求めよ。

シュワルツの不等式

次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int(3 x+2)^{4} d x \) (2) \( \int(x+2)^{2}(x-1) d x \)

綀習 $x$ の多項式 \( f(x) \) の最高次の項の係数は 1 で, \( (x-1) f^{\prime}(x)=2 f(x)+8 \) という関係が常に成り立 4) 203 。\n（1） \( f(x) \) は何次の多項式であるか。\n(2) \( f(x) \) を求めよ。

関数の増減と極大・極小について説明しなさい。

a は正の定数とする。放物線 y=x^{2}+a 上の任意の点 P におけ接線と放物線 y=x^{2} で囲まれる図形の面積は, 点 P の位置によらず一定であることを示し, そ の一定の値を求めよ。

次の関数の増減を調べよ。また，極値を求めよ。 (1) y=x^{3}+2x^{2}+x+1 (2) y=6x^{2}-x^{3} (3) y=x^{3}-12x^{2}+48x+5

次の条件を満たす 3 次関数 \( f(x) \) を求めよ。 \( f^{\prime}(1)=f^{\prime}(-1)=1, \quad f(1)=0, \quad f(-1)=2 \)

次の関数の極値を求め, そのグラフの概形をかけ。\n(1) $y=-x^{4}+2 x^{2}-1$\n(2) $y=3 x^{4}+8 x^{3}-6 x^{2}-24 x$\n(3) $y=x^{3}-3 x^{2}-3 x-2$

数学 $\Pi$\n(2) \( \int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \) から\n\\[ \int_{a}^{x} f(t) d t=x^{3}-2 x+1 \\]\n(2) の両辺を $x$ で微分すると \( \quad f(x)=3 x^{2}-2 \)\n\nまた, (2) で $x=a$ とおくと, 左辺は 0 になるから\n\ 0=a^{3}-2 a+1 \\n\nよって \( \quad(a-1)\left(a^{2}+a-1\right)=0 \)\nゆえに $\quad a=1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$\nしたがって \( \quad f(x)=3 x^{2}-2 ; a=1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)\n\\[ \begin{array}{l}\n\\leftarrow \int_{x}^{a} f(t) d t=-\int_{a}^{x} f(t) d t \\leftarrow \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) \\leftarrow \int_{a}^{a} f(t) d t=0\n\end{array} \\]\n$\leftarrow$ 因数定理を利用。

x^{n} の不定積分. n が正の整数のとき (x^{n})′=n x^{n-1}(p .314 参照 ) ここで, n の代わりに n+1 とすると (x^{n+1})′=(n+1) x^{n} ゆえに (x^{n+1}/(n+1))′=x^{n} したがって, (1)が成り立つ。

次の等式を満たす関数 \( f(x) \) および定数 $a$ の値を求めよ。(1) \( \int_{a}^{x} f(t) d t=2 x^{2}-9 x+4 \)(2) \( \int_{x}^{a} f(t) d t=-x^{3}+2 x-1 \)

次の等式を満たす関数 \( f(x) \) を求めよ。\n(1) \( f(x)=x^{2}-1+\int_{0}^{1} t f(t) d t \)\n(2) \( f(x)=x+\int_{-1}^{1}(x-t) f(t) d t+3 \)

練習 次の関数の最大値と最小値を求めよ。また，そのときの $x$ の値を求めよ。\n(1) \( y=-x^{3}+12 x+15 \quad(-3 \leqq x \leqq 5) \)\n(2) \( y=-x^{4}+4 x^{3}+12 x^{2}-32 x \quad(-2 \leqq x \leqq 4) \)

例 3. 曲線 $y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6$ と接線 $y=-x-3$ の間の面積を求めなさい。

不定積分の性質を定数 $k, l$ を用いて説明せよ。

套本 16 未定係数の決定 (2) [数值代入法]

極値を求める方法について説明しなさい。

関数 y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5 の x=1 における微分係数を求めよ。

(1) 関数 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+(3 a-6) x+5 \) が極値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。\n(2) 関数 \( f(x)=4 x^{3}-3(2 a+1) x^{2}+6 a x \) が極大値と極小値をもつとき, 定数 $a$ が満 たすべき条件を求めよ。\n（3）関数 \( f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+a x+1 \) が常に単調に増加するような定数 $a$ の値の範囲 を求めよ。

数学 \\Pi \\n(2) $y=2 x-3$ から \\quad x=\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} \\n曲線と直線の交点の $y$ 座標は, 9-y^{2}=\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} \ から\n\ 2 y^{2}+y-15=0 \\nすなわち \( (y+3)(2 y-5)=0 \\)\nよって \\quad y=-3, \\frac{5}{2} \\nゆえに，右上の図から，求める面積は\n\\[ \\begin{aligned}\nS & =\\int_{-3}^{\\frac{5}{2}}\\left\\{9-y^{2}-\\left(\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2}\\right)\\right\\} d y \\\\\n& =-\\int_{-3}^{\\frac{5}{2}}\\{y-(-3)\\}\\left(y-\\frac{5}{2}\\right) d y \\\\\n& =-\\left(-\\frac{1}{6}\\right)\\left\\{\\frac{5}{2}-(-3)\\right\\}^{3}=\\frac{1331}{48}\n\\end{aligned} \\]\n\\[ \\begin{array}{l} \\leftarrow \\int_{\\alpha}^{\\beta}(y-\\alpha)(y-\\beta) d y \\\\\n=-\\frac{1}{6}(\\beta-\\alpha)^{3} \\end{array} \\]\n \\leftarrow x=9-y^{2} \ を, y=2 x-3 \ に代入して, x \ を消去してもよい。

2 x^{n} の不定積分 ∫ x^{n} dx= (1/(n+1)) x^{n+1} + C (n は 0 または正の整数)

2 曲線間の面積: 曲線 $y = x^2$ と $y = 2x$ の間の面積を求めよ。

であるから, 直線 (2)が点（10, 50）を通るとき, 直線(2)の $y$ 切片 $\frac{l}{3}$ の値は最大となる。このとき $l$ も最大となる。したがって, 利益 $x+3 y$ が最大となるのは \( (x, y)=( \) キク10, ケコ50)のときである。

1次以上の整式で表される関数 \( f(x), g(x) \) が\n\n\[ f(x)=\int_{-1}^{1}\{(x-t) f(t)+g(t)\} d t, g(x)=\left(\int_{-1}^{1} x f(t) d t\right)^{2} \]\n\nを満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。

次の定積分を求めよ。 (1) \( \int_{-3}^{3}(2 x+1)(x-1)(3 x-2) d x \) (2) \( \int_{-2}^{2}(2 x-5)^{3} d x \)

（2）球の半径が \( 1 \mathrm{~m} ) から毎秒 $10 \mathrm{~cm}$ の割合で大きくなるとき, 30 秒後における 球の表面積の変化率を求めよ。

線形計画法の解法

練習次の関数の極値を求め，そのグラフの概形をかけ。\nอ211\n(1) $y=x^{4}-8 x^{2}+7$\n(2) $y=x^{4}-4 x^{3}+1$

(1) 次の条件を満たす3次関数f(x)を求めよ。f'(1)=f'(-1)=1, f(1)=0, f(-1)=2。

次の曲線の凹凸を調べ, 変曲点を求めよ。\n(1) $y=x^{4}+2 x^{3}+2$\n(2) \( y=x+\cos 2 x(0 \leqq x \leqq \pi) \)\n(3) $y=x e^{x}$\n(4) $y=x^{2}+\frac{1}{x}$

`a` は 0 でない定数とし, `A = ∫_{0}^{π} e^{-a x} sin 2x dx`, `B = ∫_{0}^{π} e^{-a x} cos 2x dx` とする。このとき, `A`, `B` の値をそれぞれ求めよ。(類 札幌医大)

不等式の証明と極限(はさみうちの原理の利用) 演 翌 例題 187 基本 178,179,121 0<x<π のとき, 不等式 x cos x<sin x が成り立つことを示せ。そして, これを用いて, lim _{x →+0} (x−sin x)/(x^{2}) を求めよ。〔類 岐阜薬大〕 指針 > 例えば lim _{θ →+0} (sin θ)/θ=1 は, 不等式 cos θ<(sin θ)/θ<1(0<θ<π/2) を導き，それを用いて証明 した(p.188 参照)。この例題では, 利用する不等式が与えられており，まずそれを証明 する。つ@ 大小関係は差を作る方針で F(x)=sin x−x cos x とおき, F′(x) の符号を調べる。そして，極限値は不等式を利用してはさみうちの原理を用いる……

不定積分の置換積分法・部分積分法

(2) 点 \( (1,0) \) を通る曲線 \( y=f(x) \) 上の点 \( (x, y) \) における接線の傾きが $x \\sqrt{x}$ であるとき, 微分可能な関数 \( f(x) \) を求めよ。

次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について， $\frac{d y}{d x}$ と $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ をそれぞれ $x$ と $y$ を 用いて表せ。

a，bを実数とする。 $a$ ，ｂの値を変化させたときの積分 \( \int{0} {1}{\cos \pi x-( a x+b)2} d x \) の最小値, およびそのときの $a, b$ の値を求めよ。

定積分 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)^{5} d x \) を求めよ。

次の関数を微分せよ。\n(1) $y=\sin 2 x$\n(2) $y=\cos x^{2}$\n(3) $y=\tan ^{2} x$\n(4) \( y=\sin ^{3}(2 x+1) \)\n(5) $y=\cos x \sin ^{2} x$\n(6) \( y=\tan (\sin x) \)\n(7) $y=\frac{\tan x}{x}$\n(8) $y=\frac{\cos x}{\sqrt{x}}$

次の近似式を説明しなさい。 1. |h|が十分小さいとき f(a+h) ≈ f(a)+f'(a)h 2. |x|が十分小さいとき f(x) ≈ f(0)+f'(0)x 3. y=f(x)のxの増分Δxに対するyの増分をΔyとすると、|Δx|が十分小さいとき Δy ≈ f'(x)Δx

(2) Iₙ=∫0π/4 tanⁿxdx ( n は自然数) とする。 n >= 3 のときの Iₙ を， n, Iₙ-2 を用いて表せ。また, I₃, I₄ を求めよ。〔類 横浜国大〕

(3) \( \int \sin 3x \sin 2x dx=-\frac{1}{2} \int(\cos 5x-\cos x) dx \) （積の和の公式）を用いて解く。

導関数の公式\n・ (k u+l v)^{\\prime}=k u^{\\prime}+l v^{\\prime}(k, l \\) は定数\\)\n\\( (u v)^{\\prime}=u^{\\prime} v+u v^{\\prime} \\)\n\\( \\left(\\frac{u}{v}\\right)^{\\prime}=\\frac{u^{\\prime} v-u v^{\\prime}}{v^{2}} \\quad \\) 特に \\( \\left(\\frac{1}{v}\\right)^{\\prime}=-\\frac{v^{\\prime}}{v^{2}} \\)\n- \\( y=f(u), u=g(x) \\) のとき\n\ \\frac{d y}{d x}=\\frac{d y}{d u} \\cdot \\frac{d u}{d x} \\n- \ \\frac{d y}{d x}=1 / \\frac{d x}{d y} \\n・ \\( \\left(x^{\\alpha}\\right)^{\\prime}=\\alpha x^{\\alpha-1}(\\alpha \\) は実数で \\( x>0)

練習 次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{2 x+1}{\sqrt{x^{2}+x}} d x$ (2) $\int \sin x \cos ^{2} x d x$ (3) $\int \frac{1}{x \log x} d x$

次の関数の極値を求めよ。\n(1) $y=x e^{-x}$\n(2) $y=\frac{3 x-1}{x^{3}+1}$\n(3) $y=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}$\n(4) \( y=(1-\sin x) \cos x (0 \leqq x \leqq 2 \pi) \)\n(5) $y=|x| \sqrt{4-x}$\n(6) \( y=(x+2) \cdot \sqrt[3]{x^{2}} \)

次の関数の第 2 次導関数, 第 3 次導関数を求めよ。\n(ア) $y=x^{4}-2 x^{3}+3 x-1$\n(イ) $y=\sin 2 x$\n(ウ) \( y=a^{x}(a>0, \quad a \neq 1) \)

1. f(ax+b) の不定積分を求めなさい。

基本的な関数の不定積分を求める

次の関数を微分せよ。\n(1) $y=3 x^{5}-2 x^{4}+4 x^{2}-2$\n(2) \( y=\\left(x^{2}+2 x\\right)\\left(x^{2}-x+1\\right) \)\n(3) \( y=\\left(x^{3}+3 x\\right)\\left(x^{2}-2\\right) \)\n(4) \( y=(x+3)\\left(x^{2}-1\\right)(-x+2) \)\n(5) $y=\\frac{1}{x^{2}+x+1}$\n(6) $y=\\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$\n(7) $y=\\frac{x^{3}-3 x^{2}+x}{x^{2}}$\n(8) \( y=\\frac{(x-1)\\left(x^{2}+2\\right)}{x^{2}+3} \)\n〔(6) 宮崎大〕

次数導関数の計算をしてください。

次の不定積分を求めよ。(#2) $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx$

次の関数の不定積分を求めよ。 (1) $x^{2} \cos x$ (2) $x^{2} e^{-x}$ (3) $x \tan ^{2} x$

EX 不定積分 ∫(sin x + x cos x) dx を求めよ。また, この結果を用いて, 不定積分 ∫(sin x + x cos x) log x dx を求めよ。\n\n〔立教大〕

EX 関数 \( f(x) \) の逆関数を \( g(x) \) とする。 \( f(1)=2, f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3 \) のとき, \( g^{\prime \prime}(2) \) の值を求めよ。 (3) 129

次の関数の増減を調べよ。 (2) $$ y=\frac{x^{3}}{x-2} $$

EX (1) 関数 y=x^{3}sqrt{1+x^{2}} を微分せよ。

(2) $\int x \sqrt[3]{x+3} d x$

次の関数を微分せよ。\n[(2) 関西大]\n(1) y=x^{2 x} \\quad(x>0)\n(2) y=x^{\\log x}\n(3) y=(x+2)^{2}(x+3)^{3}(x+4)^{4}\n(4) y=\\frac{(x+1)^{3}}{\\left(x^{2}+1\\right)(x-1)}\n(5) y=\\sqrt[3]{x^{2}(x+1)}\n(6) y=(x+2) \\sqrt{\\frac{(x+3)^{3}}{x^{2}+1}}

次の不定積分を求めよ。\n(1) $\int \sqrt{2 x-3} d x$\n(2) \( \int \cos \left(\frac{2}{3} x-1\right) d x \)\n(3) $\int \frac{d x}{4 x+5}$\n(4) $\int 2^{-3 x+1} d x$\n

数学（4）（1）から f(x+y)-f(x)=f(y)+8xy よって f'(x)=lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(y)+ 8xy}{y}=lim _{y \rightarrow 0}\left\{\frac{f(y)}{y}+8 x\right\}=3+8 x

\n特に \( \\int \\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)} d x=\\log |f(x)|+C \\)\n

曲線 $y=x^{3}+3 x^{2}-24 x+1$ の変曲点を求めよ。

関数の導関数を定義しなさい。

練習 上の例題の等式を利用して, 次の定積分を求めよ。\n1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{6} x \cos^{3} x d x$\n2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5} x \cos^{7} x d x$

定積分の部分積分法を用いて次の定積分を求めよ。\n\n\\\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx\ \n(n は 0 以上の整数)

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}+1} d x$ を求めよ。

[2] (1) の結果を用いて, `∫_{0}^{π} x e^{-x} sin x dx` を求めよ。

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{x^{3}-2 x+1}{x^{2}} \, d x$ (2) \( \int \frac{(\sqrt[3]{x}-1)^{3}}{x} \, d x \) (3) \( \int(\tan x+2) \cos x \, d x \) (4) $\int \frac{3-2 \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} \, d x$ (5) $\int \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \, d x$ (6) \( \int\left(3 e^{t}-10^{t}\right) \, d t \)

偶関数 $f(x)$ に対して、\\[ \\int_{-a}^{a} f(x) dx \\] を求めよ。ただし、偶関数とは $f(-x) = f(x)$ を満たす関数である。

奇関数 $f(x)$ に対して、\\[ \\int_{-a}^{a} f(x) dx \\] を求めよ。ただし、奇関数とは $f(-x) = -f(x)$ を満たす関数である。

以下の積分を求めよ: \n(1) ∫ \\frac{\\cos x + \\sin 2x}{\\sin^2 x} dx \n(2) ∫ \\frac{dx}{\\sin x - 1}

2次の近似式について説明しなさい。 1. |h|が十分小さいとき f(a+h) ≈ f(a)+f'(a)h + (1/2)f''(a)h² 2. |x|が十分小さいとき f(x) ≈ f(0)+f'(0)x + (1/2)f''(0)x²

次の関数を、導関数の定義に従って微分せよ。(1) y=\\frac{1}{x^{2}} (2) y=\\sqrt{4 x+3} (3) y=\\sqrt[4]{x}

接線と法線の方程式\n曲線 \\( y=f(x) \\) 上の点 \\( \\mathrm{A}(a, f(a)) \\) における\n[1] 接線の方程式は \\( y-f(a)=f^{\\prime}(a)(x-a) \\)\n[2] 法線の方程式は, \\( f^{\\prime}(a) \\neq 0 \\) のとき\n\\[ y-f(a)=-\\frac{1}{f^{\\prime}(a)}(x-a) \\]

⑮2 漸化式 \( a_{1}=\\sqrt{2}, a_{n+1}=(\\sqrt{2})^{a_{n}}(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) で定まる数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ と関数 \( f(x)=(\\sqrt{2})^{x} \\) について (1) 0 \\leqq x \\leqq 2 \ における \( f^{\\prime}(x) \\) の最大値と最小値を求めよ。 (2) \( 0<a_{n}<2(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) が成立することを，数学的帰納法を用いて示せ。 (3) \( 0<2-a_{n+1}<(\\log 2)\\left(2-a_{n}\\right)(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \\) が成立することを示せ。 (4) \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ を求めよ。〔類 同志社大〕

次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=(x^{2}+1)^{3} \)\n(2) \( y=\frac{1}{(2 x-3)^{2}} \)\n(3) \( y=(3 x+1)^{2}(x-2)^{3} \)\n(4) \( y=\frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}} \)

実数 $t>1$ に対して, 積分 \( I(t)=\int_{-4}^{4 t-4}(x-4) \sqrt{x+4} d x \) を考える。\n (1) \( I(t) \) を $t$ で表せ。\n (2) \( I(t) の t>1 \) に扒ける最小値を求めよ。

[1] `∫_{0}^{π} e^{-x} sin x dx` を求めよ。

次の f(x) の導関数 f'(x) をそれぞれの方法で求めよ: f(x)=x^{1/3} (x>0) (1) 導関数の定義に従って求める。 (2) f(x)・f(x)・f(x)=x となっている。これに積の導関数の公式を適用する。

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} d x$ を求めよ。

曲線 $y=\frac{x}{x^{2}+1}$ の凹凸を調べ, 変曲点を求めよ。

平均値 0 定理\n基本事項\n1 ロル(Rolle)の定理\n関数 \( f(x) \) が閉区間 $[a, b]$ で連続, 開区間 \( (a, b) \) で微分可能で \( f(a)=f(b) \) ならば\n\[ f^{\prime}(c)=0, a<c<b \]\nを満たす実数 $c$ が存在する。

(1) 次の関数を微分せよ。\n(ア) $y=x^{4}+2 x^{3}-3 x$\n(イ) \( y=(2 x-1)\left(x^{2}-x+3\right) \)\n(ウ) $y=\frac{2 x-3}{x^{2}+1}$\n(ㄷ) $y=\frac{2 x^{3}+x-1}{x^{2}}$

＜逆関数の微分法＞\n5 の証明 \( y=f^{-1}(x) \) から \( x=f(y) \) 両辺を $x$ で微分すると (左辺) $=\\frac{d}{d x} x=1$, (右辺 \( )=\\frac{d}{d x} f(y)=\\frac{d}{d y} f(y) \\cdot \\frac{d y}{d x}=\\frac{d x}{d y} \\cdot \\frac{d y}{d x} \\)\nゆえに 1=\\frac{d x}{d y} \\cdot \\frac{d y}{d x} \ よって \\frac{d y}{d x}=\\frac{1}{\\frac{d x}{d y}} \

次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=(x-3)^{3} \)\n(2) \( y=\\left(x^{2}-2\\right)^{2} \)\n(3) \( y=\\left(x^{2}+1\\right)^{2}(x-3)^{3} \)\n(4) \( y=\\frac{1}{\\left(x^{2}-2\\right)^{3}} \)\n(5) \( y=\\left(\\frac{x-2}{x+1}\\right)^{2} \)\n(6) \( y=\\frac{(2 x-1)^{3}}{\\left(x^{2}+1\\right)^{2}} \)

練習 \( f(x)=\int_{0}^{x} e^{t} \cos t d t(0 \leqq x \leqq 2 \pi) \) の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

関数 \ x^{p} \ と \\( x^{q}(0<p<q) \\) の増加の度合いについて比べてください。

定積分と漸化式を用いて次の定積分を求めよ。\n\n\\[ I_{m, n} = \\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} dx \\] \n(m, n は自然数)

次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int(2 x+1) \sqrt{x+2} d x \) (2) \( \int \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} d x \)

F(x, y)=0 や媒介変数で表される曲線の接線 曲線の方程式が, F(x, y)=0 や t を媒介変数として x=f(t), y=g(t) で表されるとき, 曲線上の点 (x1, y1) における接線の方程式は y-y1=m(x-x1) ただし， m は導関数 dy/dx に x=x1, y=y1 を代入して得られる値である。

次の積分を計算せよ:\n$\int_{0}^{\pi} 2 x \sin x \cos x \,dx$

(3) \( V = \pi \int_{1}^{4}\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x \)

関数 \( f(x) \) が区間 \( [a, b] } で連続,区間 \( (a, b) で微分可能ならば \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c), a<c<b \] を満たす実数 $c$ が存在することを示せ。

次の定積分を求めよ。\n(2) \ \\int_{0}^{2} \\frac{d x}{\\sqrt{16-x^{2}}} \

次の積分を計算せよ:\n$\int_{0}^{\pi} \sin^{2} x \,dx$

関数 f(x), g(x) は微分可能であるとする。 1. 導関数の性質 1. 定数倍 \{k f(x)\}' = k f'(x) 2. 和 \{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x) 3. 積の導関数 \{f(x) g(x)\}' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) 2. 商の導関数 \{<svg xmlns:svg=\'http://www.w3.org/2000/svg\' viewBox=\'0 0 10 10\' width=\'10\' height=\'10\' fill=\'none\'><text x=\'1\' y=\'5\' fill=\'black\' font-size=\'3\'>f(x)</text><line x1=\'0.5\' y1=\'5.5\' x2=\'9.5\' y2=\'5.5\' stroke=\'black\' stroke-width=\'0.1px\'/></svg> g(x)\}' = \{<svg xmlns:svg=\'http://www.w3.org/2000/svg\' viewBox=\'0 0 10 10\' width=\'10\' height=\'10\' fill=\'none\'><text x=\'1\' y=\'5\' fill=\'black\' font-size=\'3\'>f'(x) g(x) - f(x) g'(x)</text><line x1=\'0.5\' y1=\'5.5\' x2=\'9.5\' y2=\'5.5\' stroke=\'black\' stroke-width=\'0.1px\'/></svg> (g(x))^2 3. 合成関数の微分法 y = f(u) が u の関数として微分可能, u = g(x) が x の関数として微分可能であるとき, 合成関数 y = f(g(x)) も x の関数として微分可能で dy/dx = dy/du * du/dx すなわち {f(g(x))}' = f'(g(x)) g'(x) 4. 逆関数の微分法 微分可能な関数 y = f(x) の逆関数 y = f^-1(x) が存在するとき dy/dx = 1/dx/dy 5. x^p の導関数 p が有理数のとき (x^p)' = p x^{p-1}

次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int(x+2) \sqrt{1-x} d x \) (2) \( \int \frac{x}{(x+3)^{2}} d x \) (3) \( \int(2 x+1) \sqrt{x^{2}+x+1} d x \) (4) $\int \frac{e^{2 x}}{e^{x}+2} d x$ (5) \( \int\left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right) d x \) (6) \( \int \frac{x}{1+x^{2}} \log \left(1+x^{2}\right) d x \)

微分法の公式を用いて、積分を求める方法を説明しなさい。

すべての実数 $x$ の値において微分可能な関数 \( f(x) \) は、次の 2 条件を満たすものとする。\n(A) すべての実数 $x, y$ に対して \( f(x+y)=f(x)+f(y)+8 x y \)\n(B) \( f^{\\prime}(0)=3 \)\n(1) \( f(0)=\\square \) である。\n(2) \( \\lim _{y \\rightarrow 0} \\frac{f(y)}{y}=\\square \) である。\n(3) \( f^{\\prime}(1)=\\square \) である。\n(4) \( f(x) \) を求めよ。\n〔類 東京理科大〕

2 平面上の点の運動 座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 (x, y) が t の関数であるとき: (1) 速度 \\vec{v}=\\left(\\frac{d x}{d t}, \\frac{d y}{d t}\\right)、加速度 \\vec{α}=\\left(\\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\\right) (2) 速さ |\\vec{v}|=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}}、加速度の大きさ |\\vec{α}|=\\sqrt{\\left(\\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\\right)^{2}}

次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \int \sin ^{2} x d x \\n(2) \ \int \sin ^{3} x d x \\n(3) \ \int \cos 3 x \cos 5 x d x \

次の関数を微分せよ。ただし，(6)のaは定数とする。\n(1) $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$\n(2) \( y=\frac{\log x}{\log x+1}(x>1) \)\n(3) \( y=\log \left(\sin ^{2} x\right) \)\n(4) $y=\log \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$\n(5) $y=\frac{1}{\cos x+e^{-x}}$\n(6) \( y=\log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) \)

不定積分 $\int e^{x} \sin x \, d x$ を求めよ。

連続関数 \( f(x) \) が、 すべての実数 $x$ につて \( f(\pi-x)=f(x) \) を満たすとき， \n\[ \int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x) d x=0 \] が成り立つことを証明せよ。また、これを用いて、定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} d x$ を求めよ。

次の関数の第2次導関数を求めよ。(1) y=x^3−3x^2+2x−1

（２）(1) で求めた結果を x で微分することにより，和 1+2x + 3x^2 + ··· + nx^(n-1) を求めよ。

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{\sin x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} d x$ (2) $\int \frac{d x}{\cos x}$

2. 置換積分法を用いて以下の積分を解きなさい。 2-1. ∫ f(g(t)) g'(t) dt ただし x=g(t) 2-2. ∫ f(g(x)) g'(x) dx ただし g(x)=u

自然数 n に対し, S_n=∫[0,1] (1-(-x)^n)/(1+x) dx, T_n=Σ[k=1,n] (-1)^(k-1)/k(k+1) とおく。 (1) 不等式 |S_n - ∫[0,1] 1/(1+x) dx| ≤ 1/(n+1) を示せ。 (2) T_n - 2 S_n を n で表せ。 (3) 極限値 lim n → ∞ T_n を求めよ。〔東京医歯大〕

曲線 \( y=f(x) \) と \( y=g(x) \) の間、 $x=a$ および $x=b$ の直線で囲まれた部分の面積を求めよ。

(1) $\int \cos^{2} 2x dx=\int \frac{1+\cos 4x}{2} dx$ （半角の公式）を用いて解く。

EX (2) 関数 f(x)=sqrt{2 x-sqrt{x}} の導関数を求めよ。

次の関数の増減を調べよ。 (1) $$ y=x-2 \sqrt{x} $$

④7 今後毎年, 東京都の外に住む人の $\\frac{1}{3}$ が都内へ移住し, 都内に住む人の $\\frac{1}{3}$ が都外 へ移住すると仮定する。 $n$ 年目の都外の人口を $a_{n}$, 都内の人口を $b_{n}$ とするとき, $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{n}}{b_{n}}$ を求めよ。ただし，都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとす る。

(2) 定積分 \( \\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} d x \\) を求めよ。

144 \frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} の順に (1) \frac{1}{2 y},-\frac{1}{4 y^{3}} (2) \frac{x}{y},-\frac{4}{y^{3}} (3) -\frac{x+1}{y},-\frac{9}{y^{3}} (4) \frac{2-3 y}{3 x+5}, \frac{6(3 y-2)}{(3 x+5)^{2}}

次の定積分を求めよ。\n(1) \ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}} \\n(2) \ \int_{1}^{4} \frac{d x}{x^{2}-2 x+4} \\n(3) \\( \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{\left(x^{2}+2\right) \sqrt{x^{2}+2}} \\)

(2) $\int \sin^{3} x dx=\int \frac{3 \sin x-\sin 3x}{4} dx$ （3倍角の公式）を用いて解く。

関数 y(x) が第 2 次導関数 y^{\\prime \\prime}(x) をもち, x^{3}+(x+1)\\{y(x)\\}^{3}=1 を満たすとき, y^{\\prime \\prime}(0) を求めよ。

(4) $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} d x$

練習 次の関数を，導関数の定義に従って微分せよ。\n(1) $y=\frac{1}{x^{2}}$\n(2) $y=\sqrt{4 x+3}$\n(3) $y=\sqrt[4]{x}$

次の関数 f(x)=√(2x-√x) について、微分係数 f'(1) を求めよ。

次の関数 y=x^3 √(1+x^2) を微分せよ。

(2) $-x \cos x+\sin x+C$

練習：次の曲線や直線で囲まれた部分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。 (1) y=x^{2}, y=\sqrt{x} (2) y=-x^{4}+2 x^{2}(x \geqq 0), x 軸 (3) y=\cos x(0 \leqq x \leqq \pi), y=-1, y 軸

逆関数がもとの関数と一致する条件 \( f^{-1}(x)=f(x) \)\n$a, b$ は定数で, $a b \neq 1$ とする。関数 \( y=\frac{b x+1}{x+a} \n…..1) の逆関数が, もとの関数と一致するための条件を求めよ。

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}+2 e^{-x}+3} d x$ 〔関西大〕 (2) $\int_{0}^{2} \frac{2 x+1}{\sqrt{x^{2}+4}} d x$ 〔京都大〕

次の関数の第2次導関数を求めよ。(1) y=√[3]{x}

42 発展微分方程式\n③23 (1) a を実数の定数, f(x) をすべての点で微分可能な関数とする。このとき, 等式 f^{\prime}(x)+a f(x)=e^{-a x}\\left\\{e^{a x} f(x)\\right\\}^{\prime} を示せ。\n(2) (1) の等式を利用して, f^{\prime}(x)+2 f(x)=\\cos x を満たす関数 f(x) で, f(0)=0 となるものを求めよ。\n(3) (2) で求めた関数 f(x) に対して, 数列 \\{|f(n \\pi)|\\}(n=1,2,3 ),限值 \\lim _{n \\rightarrow \\infty}|f(n \\pi)| を求めよ。〔滋賀医大〕

練習 次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{x}{\sqrt{2 x+1}-1} d x$ (2) \( \int(x+1) \sqrt[4]{2 x-3} d x \) (3) $\int \frac{x+1}{x \sqrt{2 x+1}} d x$