関数と解析 - 指数関数と対数関数 | AIチューター ヤロウゼ､宿題！

PR (1) 次の直線および放物線を， $x$ 軸方向に \-3, y \ 軸方向に1 だけ平行移動して得られる直線お(254よび放物線の方程式を求めよ。\n\n(ア) 直線 y=2 x-3\\n(化 放物線 y=-x^{2}+x-2\\n(2)\\(x) 軸方向に\2, y\軸方向に−1 だけ平行移動すると放物線y = -2x^{2}+3\ に重なるような放物線の方程式を求めよ。

（2） $y$ 個のチョコレートの販売にかかる総費用 \( c(y) \) は, \( c(y)=y^{2} \) で表される。このとき, A 社の利益 (売上から総費用を引いた差) が最大となる販売価格pの値，および，そのときの販売個数 $y$ の値を求めよ。

標準 70 | 放物線の平行移動 (2)

放物線 $y=x^{2}+4x+5$ はどのように平行移動すると放物線 $y=x^{2}-6x+8$ に重なるか。

放物線 $y=-2 x^{2}+4 x-4$ を $x$ 軸に関して対称移動し, さらに $x$ 軸方向に $8, y$ 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

63 (2) g(\sqrt{2})=7-4 \sqrt{2}, g(-3)=33, g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}, g(1-a)=2 a^{2}+1

変量の変換

発展159 変量の変換の利用

例題 30 では, まず, それぞれの項の分母を有理化してから計算していまし たが, 例題 31 (1) では, 分母を有理化しないまま計算をしています。その理由について考えてみましょう。

CHART (チャート)とはどういう意味ですか？

点 (1,2) を通り傾き a の直線と放物線 y=x^{2} によって囲まれる部分の面積を S(a) とする。 a が 0 ≤ a ≤ 6 の範囲を変化するとき、S(a) を最小にするような a の値を求めよ。

次の関数のグラフをかき，関数 $y=3^{x}$ のグラフとの位置関係を述べよ。\n(1) $y=3^{x-1}$\n(2) \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} \)\n(3) $y=3^{x+1}+2$

次の方程式を解け。 (1) $\log _{81} x=-\frac{1}{4}$ (2) $\log _{x-1} 9=2$ (3) \( \log _{3}\left(x^{2}+6 x+5\right)-\log _{3}(x+3)=1 \) (4) \( \log _{2}(3-x)-2 \log _{2}(2 x-1)=1 \)

次の関数のグラフをかき, 関数 $y=\log _{2} x$ のグラフとの位置関係を述べよ。\n(1) $y=\log _{2} \frac{x-1}{2}$\n(2) $y=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x}$\n(1) \( \log _{2} \frac{x-1}{2}=\log _{2}(x-1)-1 \)\nよつて,$y=\log _{2} \frac{x-1}{2}$ のグラフは,$y=\log _{2} x$ のグラフを $x$ 軸方向に $1, y$ 軸方向に -1 だけ平行移動したものである。\n\[\n\begin{array}{l}\n\qquad \log _{2} \frac{x-1}{2} \\\n=\log _{2}(x-1)-\log _{2} 2\n</array}\n\]

対数方程式の解法 (1): 次の対数方程式を解きなさい。

PRACTICE 154 (1) 次の式を簡単にせよ。 (ア) $\log _{2} 25-2 \log _{4} 10-3 \log _{8} 10$ (イ) \((\log _{3} 4+\log _{9} 16)(\log _{4} 9+\log _{16} 3)\) (カ) $\log _{2} 25 · \log _{3} 16 · \log _{5} 27$

方程式 \( \log _{2} x-\log _{4}(2 x+a)=1 \) が相異なる2つの実数解をもつための実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

対数の大小比較: 次の対数の値を比較しなさい。

対数関数の最大・最小 (1): 次の対数関数の最大・最小を求めなさい。

1 < a < b < a^2 のとき, log_a b, log_b a, log_a(a/b), log_b(b/a), 0, 1/2, 1 を小さい順に並べよ。[自治医大] a < b < a^2 の各辺は正であるから, 各辺の a を底とする対数を とると, a > 1 より log_a a < log_a b < log_a a^2 すなわち 1 < log_a b < 2 log_a b = 1 / log_b a であるから 1 < 1 / log_b a < 2 逆数をとって 1/2 < log_b a < 1 また log_a(a/b) = 1 - log_a b

次の式を簡単にせよ。 (ア) $\log _{2} 25-2 \log _{4} 10-3 \log _{8} 10$ (イ) \( \left(\log _{3} 4+\log _{9} 16\right)\left(\log _{4} 9+\log _{16} 3\right) \) (ウ) $\log _{2} 25 \cdot \log _{3} 16 \cdot \log _{5} 27$

対数の計算について $a^{\log _{a} M}=M$ の公式は自明？ 具体例で確かめてみると, $2^{\log _{2} 8}=2^{\log _{2} 2^{3}}=2^{3 \log _{2} 2}=2^{3}=8$ と成り立っている。 一般的には次のように証明される。 証明 $a^{p}=M$ $\qquad$ (1) とすると $p=\log _{a} M$ (1)のpに (2) を代入すると $\quad a^{\log a M}=M$ 次のように考えることもできる。 $a$ になる正の数であると定義されている記号であるから，実際に 2 乗すれば $a$ に なるのは当然のことである。 同様に, $\log _{a} M$ の $\log$ 記号は, 底の $a$ を何乗すると 真数の $M$ になるかを表す記号 であるから, $\log _{2} 8$ は $\log _{a} M=\square \Longleftrightarrow a^{\square}=M$ 2 を何乗すると 8 になるかを考えれば, $2^{3}=8$ だから $\log _{2} 8=3$ と答えられる。 $a^{\log a M}$ は， 数であり，実際に $a$ を乗しているのだから $M$ になる はずである。すなわち, $a^{\log a M}=M$ は自明なことである。 数学では, 事柄が記号で表されるので, その記号がいったい何を表して いる記号なのかをきちんと押さえることが大切です。

関数 \( y=\left(\log _{2} \frac{x}{2}\right)\left(\log _{2} \frac{x}{8}\right)\left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 8\right) \) の最大値, 最小値と, そのときの $x$ の値を求めよ。

PRACTICE 189° f(x)=a x^{2}(x-3)+b(a≠0) の区間 -1 ≤ x ≤ 1 における最大値が 5 , 最小値が -7 であるように, 定数 a, b の値を定めよ。

$\log_{10} 2=a, \log_{10} 3=b$ とするとき, \( (\log_{10} 100)^{2 \log_{2} 7} + \log_{10} 720 \) を $a, b$ で表せ。

対数関数のグラフの移動: 以下の対数関数のグラフの移動を行いなさい。

資料 1 より、 1.95 の常用対数を求めなさい。

PRACTICE 158 次の方程式を解け。 [(1) 慶応大] (1) $\log _{81} x=-\frac{1}{4}$ (2) $\log _{x-1} 9=2$ (3) \( \log _{3}\left(x^{2}+6 x+5\right)-\log _{3}(x+3)=1 \) (4) \( \log _{2}(3-x)-2 \log _{2}(2 x-1)=1 \)

確率変数 $X$ が正規分布 \(N(m, \sigma^2)\) に従うとき\n\\[P(m-k\sigma \leqq X \leqq m+k\sigma)\\] の値が，$m, \sigma$ の値によらずに $k$ のみの関数になっていることを示す。

3) 次の対数関数のグラフとその性質について説明しなさい。 (a) 対数関数 $y=\log_a x$ のグラフは、指数関数 $y=a^x$ のグラフとどのような関係にありますか? (b) $a>1$ および $0<a<1$ の場合、それぞれの対数関数のグラフの形状について述べなさい。

1550 1/3 ≤ x ≤ 3 で定義された関数 y=-2(log₃ 3x)³+3(log₃ x+1)²+1 がある。関数 y の最大値と最小値, およびそのときの x の値を求めよ。 [長崎大]

対数関数の性質を説明しなさい。

次のグラフの概形として最も適当なものを, (0)〜(5)のうから1つずつ選 べ。ただし，同じものを選んでもよい。 （1）関数 \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \) のグラフを，縦軸のみを対数目盛で表す。 （2）関数 \( y=x^{2}(x>0) \) のグラフを，横軸と縦軸のいずれも対数目盛で表す。

底の変換公式: 次の対数の底を変換しなさい。

2 つの放物線で囲まれる部分の面積を S(a) とする。 2 つの放物線の共有点の x 座標を α, β (α < β) とすると，右の図から S(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx = -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx = -3・( -(1/6) ) (β - α)^3 = (1/2)(β - α)^3 2 次方程式 (1) の解は x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3 α, β は (1) の解であるから β - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3 = (2/3) √(-2a^2 + 9a) ゆえに S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2) -2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8) であるから, 0 < a < 9/2 の範囲において, -2a^2 + 9a は a = 9/4 で最大となり, このとき S(a) も最大となる。 よって, S(a) は a = 9/4 で最大値 S(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8 をとる。

1) 次の対数の基本事項に関する質問に解答しなさい。公式に基づいて以下の式の対数を求めよ。 (a) $a > 0, a \neq 1, M > 0$ のとき、$a^p = M \Leftrightarrow p = \log_a M$ を用いて $\log_2 8$ の値を求めよ。 (b) $\log_a M^k = k \log_a M$ の公式を用いて $\log_2 32$ の値を求めよ。

次の関数のグラフをかき, 関数 y=\log _{2} x のグラフとの位置関係を述べよ。 (1) y=\log _{2}(x+1) (2) y=\log \frac{1}{2} 4 x

対数方程式の解の存在条件: 次の対数方程式の解の存在条件を求めなさい。

(3) 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数 n は, 曲線 y=f(x) と x 軸の共有点の個数に一致する。(1)により, a ≤0 のとき n=1 (2)により, a>0 のとき極小値 -4√2a3/2+16 は a の値によっ て, 正, 0 , 負いずれの場合もあるから n=1,2,3 したがって, (1), (2)をまとめると, n=1 ならば a<0, a=0, a>0 いずれもありうる n=2 ならば a>0 に限られる n=3 ならば a>0 に限られる

青チャートに数多くの問題が収録されている理由は何ですか？

デジタルコンテンツをどのように活用することで、学習したことをさらに深めることができますか？

数学II\n(1) $b_{n+1}=\\frac{b_{n}}{2}+\\frac{7}{12}$ を変形すると \( b_{n+1}-\\frac{7}{6}=\\frac{1}{2}\\left(b_{n}-\\frac{7}{6}\\right) \)\nゆえに, 数列 $\\left\\{b_{n}-\\frac{7}{6}\\right\\}$ は初項 $b_{1}-\\frac{7}{6}=r-\\frac{7}{6}$, 公比 $\\frac{1}{2}$...

（3）与えられた等式を (1) とすると, (1) は\\[ f(x) = \\frac{1}{2} x + \\int_{0}^{x} t \\sin t d t - x \\int_{0}^{x} \\sin t d t \\]\nこの両辺を \ x \ で微分すると\\[ f^{\\prime}(x) = \\frac{1}{2} + x \\sin x - \\int_{0}^{x} \\sin t d t - x \\sin x \\]\n\ = \\frac{1}{2} - [-\\cos t]_{0}^{x} = \\cos x - \\frac{1}{2} \\nよって \\[ f(x) = \\int\\left(\\cos x - \\frac{1}{2}\\right) d x = \\sin x - \\frac{1}{2} x + C \\]\nよって \\[ f(x) = \\int\\left(\\cos x - \\frac{1}{2}\\right) d x = \\sin x - \\frac{1}{2} x + C \\]\nここで, 等式 (1) の両辺に \ x = 0 \ を代入して \\[ f(0) = 0 \\]\n(2) から \ C = 0 \\nしたがって \\[ f(x) = \\sin x - \\frac{1}{2} x \\]

演習問題 の解答 67 (2) \frac{\pi \sqrt{1+\pi^{2}}+\log \left(\pi+\sqrt{1+\pi^{2}}\right)}{2}

例題 136 接線と面積\n曲線 $y=\\log x$ が曲線 $y=a x^{2}$ と接するように定数 $a$ の値を定めよ (ただし,$a>0$ )。 また, そのとき, これらの曲線と $x$ 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。\n[信州大]

次の不定積分を求めよ。(3), (4) では \ a \\neq 0, b \\neq 0 \ とする。\n(1) \ \\int e^{-x} \\cos x d x \\n(2) \\( \\int \\sin (\\log x) d x \\)\n(3) \ \\int e^{a x} \\sin b x d x \\n(4) \ \\int e^{a x} \\cos b x d x \

工夫して求める定積分\n$x=\frac{\pi}{2}-t$ とおいて, 定積分 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ を求めよ。

一一 数学 $\\mathbb{I}$\n(3) \( f(x)=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}}(x \\geqq 0) \) とすると\n\( f^{\\prime}(x)=\\frac{\\sqrt{1+x^{2}}-\\frac{x^{2}}{\\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=\\frac{1}{\\left(1+x^{2}\\right) \\sqrt{1+x^{2}}}>0 \) であるから,関数 \( y=f(x) \) は単調に増加する。\n点 \( \\mathrm{P}_{k}(k, 0), \\mathrm{Q}_{k}(k, f(k)), \\mathrm{R}_{k-1}(k-1, f(k)) \) とする。（ただし， \( k=1,2, \\cdots \\cdots, n) \n長方形 $\\mathrm{P}_{k-1} \\mathrm{P}_{k} \\mathrm{Q}_{k} \\mathrm{R}_{k-1}$ の面積を $S_{k}$ とすると\n\( \\begin{aligned} & \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<S_{k} \\text { よって } \quad & \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<\\frac{k}{\\sqrt{1+k^{2}}}\\end{aligned} \)\nゆえに \( \\quad \\sum_{k=1}^{n} \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<\\sum_{k=1}^{n} \\frac{k}{\\sqrt{1+k^{2}}} \\)\n\( =\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\frac{3}{\\sqrt{10}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}} \nここで \( \\quad \\sum_{k=1}^{n} \\int_{k-1}^{k} f(x) d x=\\int_{0}^{n} f(x) d x=\\int_{0}^{n} \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} d x \)\n\( =\\frac{1}{2} \\int_{0}^{n} \\frac{\\left(1+x^{2}\\right)^{\\prime}}{\\sqrt{1+x^{2}}} d x=\\left[\\sqrt{1+x^{2}}\\right]_{0}^{n} \)\n =\\sqrt{1+n^{2}}-1 \nゆえに \( \\sqrt{1+n^{2}}-1<\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\frac{3}{\\sqrt{10}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}}\( \n練習 \( 131 \\Rightarrow 本冊 $p .497$ (1) \( a_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x=[\\tan x-x]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}=1-\\frac{\\pi}{4} \n(2) \( a_{n+1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n+2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x \\tan ^{2} x d x \n\( \\begin{array}{l}\n=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \\ =\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} x} d x-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x d x \\ =\\left[\\frac{1}{2 n+1} \\tan ^{2 n+1} x\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}-a_{n}=-a_{n}+\\frac{1}{2 n+1} \n\\end{array} \n(3) $0 \\leqq x \\leqq \\frac{\\pi}{4}$ のとき 0 \\leqq \\tan x \\leqq 1 \nよって \( 0 \\leqq \\tan ^{2 n+2} x \\leqq \\tan ^{2 n} x \nゆえに \( 0 \\leqq \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n+2} x d x \\leqq \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x d x \nよって \( 0 \\leqq a_{n+1} \\leqq a_{n} \n与えられた不等式の右辺の最後の項 \( \\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}} から, 関数 $y=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^{\\2}}}$ の利用を考える。\n\( 4 \\int \\frac{d x}{\\cos ^{2} x}=\\tan x+C \n

不定積分 \ \\int e^{x} \\cos x d x \ を求めよ。

y=log_{1/2} (x) とする。 x について解くと x=(1/2)^y 求める逆関数は，x と y を入れ替えて y=(1/2)^x すなわち y=2^{-x} グラフは，図の(2)である。

問題 47 関数 \\( f(x)=2 \\log \\left(1+e^{x}\\right)-x-\\log 2 \\) を考える。(1) \\( f(x) \\) の第 2 次導関数を \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) とする。等式 \\( \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) \\) が成り立つことを示せ。(2) 定積分 \\( \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x \\) を求めよ。[類 大阪大]

関数 \( f(x)=x-1-\log x \) の増減を調べ、$x>0$ において不等式 $\log x \leqq x-1$ を示しなさい。

(2)\n\\[\\begin{array}{l}\nI_{n}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x \\tan ^{2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \n=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x(\\tan x)^{\\prime} d x-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x d x \n=\\left[\\frac{1}{n-1} \\tan ^{n-1} x\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}-I_{n-2}=\\frac{1}{n-1}-I_{n-2} \n\\text { また } \\quad I_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=[-\\log (\\cos x)]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \n\\quad=-\\log \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2} \\log 2\n\\text { よって } \\quad I_{3}=\\frac{1}{2}-I_{1}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\log 2\nまた \\( \\quad I_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=[-\\log (\\cos x)]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\)\n\\よって \ \\quad I_{3}=\\frac{1}{2}-I_{1}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\log 2 \\n更に \\( \\quad I_{2}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x=[\\tan x-x]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}=1-\\frac{\\pi}{4} \\)\nゆえに \\( \\quad I_{4}=\\frac{1}{3}-I_{2}=\\frac{1}{3}-\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{4}-\\frac{2}{3} \\)\n練習 \ 117 \\Rightarrow \ 本冊 \ p .476 \\n(1) \ x=\\frac{\\pi}{2}-t \ とおくと \ \\quad d x=-d t \ \ x \ と \ t \ の対応は右のようになる。

f’(x) = 1/ log x^3 (x^3 )’ - 1/ log x^2 (x^2 )’ = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x

逆三角関数と定積分\n 上の [4] [6] を公式として用いて, 次の定積分を求めてみよう。\n 例 \( \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+3}=\\left[\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\tan ^^{-1} \\frac{x}{\\sqrt{3}}\\right]_{1}^{\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\left(\\frac{\\pi}{4}-\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\frac{\\sqrt{3}}{36} \\pi \)

次の不定積分を求めよ。(1) $\\int x \\cos 2 x \\, dx$ (2) \( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \) (3) $\\int e^{\\sqrt{x}} \\, dx$

検 スターリングの公式 際 $p .496$ 練習 130 (2) の不等式 \( n \log n-n+1 \leqq \log (n!) \leqq(n+1) \log n-n+1 \) から ログ n^{n}-n+1 \leqq ログ (n!) \leqq ログ n^{n}+\ログ n-n+1 ゆえに \( \quad \frac{-n+1}{n} \leqq \frac{\log (n!)-\log n^{n}}{n} \leqq \frac{\log n-n+1}{n} \) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-n+1}{n}=-1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log n-n+1}{n}=-1$ から \( \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log (n!)-\log n^{n}}{n}=-1 \) よって, \( \log (n!) \fallingdotseq \log n^{n}-n=\log n^{n}-\log e^{n}=\log \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \) から \( \quad n！\doteqdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \) この近似式は，スターリングの公式と呼ばれ，階乗を指数関数で近似する意味がある。

(8) \( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\

重要例面 $164$ 量と積分\n曲線 $y=e^{x}$ の $0 \leqq x \leqq 2$ の部分を $y$ 軸の周りに 1 回転してできる容器に, 単位時間 あたり $a$ (正の定数) の割合で水を注ぐ。水の深さが $h$ のときの水の体積を $V$, 水面の面積を $S$ とする。\n(1) \( \int(\log y)^{2} dy\) を求めよ。\n(2) $V$ を $S$ で表せ。\n(3) $S$ が $\pi$ となる瞬間の水面の広がる速さを求めよ。\n[芝浦工大]\n\n指鋪（３）水面の広がる速さは $\frac{d S}{dt}$ であるが， $S$ を $t$ の式で表すのは難しそう。そこで, (2)を ヒントにして，$\frac{d V}{dt}=\frac{d V}{d S} \cdot \frac{d S}{dt}$ を利用して求める。

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{d x}{\sin x}$ (2) $\int \frac{\cos x+\sin 2 x}{\sin ^{2} x} d x$ (3) $\int \sin ^{2} x \tan x d x$ (4) $\int \frac{\sin x}{3+\sin ^{2} x} d x$

次の不定積分を求めよ。 95 (6) \( \int\left(5 e^{x}-7^{x}\right) d x \)

(1) 関数 \\( F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0 \\) の導関数を求めよ。\n(2) \ x y \ 平面上の点 \ \\mathrm{P} \ は, 方程式 \ x^{2}-y^{2}=1 \ で表される曲線 \ C \ 上にあり, 第 1 象限の 点である。原点 \ \\mathrm{O} \ と点 \ \\mathrm{P} \ を結ぶ線分 \ \\mathrm{OP}, x \ 軸, および曲線 \ C \ で囲まれた図形の 面積が \ \\frac{s}{2} \ であるとき, 点 \ \\mathrm{P} \ の座標を \ s \ を用いて表せ。

(2)\n\\[\\begin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { とおくと } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]

逆関数の求め方

x>0 のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n\\\log x \\leqq x-1\

別解 本冊 $p .530$ 例題 152 の等式 (1) を利用する (1) \( V=2 \pi \int_{0}^{\pi} x\{\cos x-(-1)\} d x \)

4 \int \frac{1-x}{x} d x \n=\int\left(\frac{1}{x}-1\right) d x \n=\log |x|-x+C

(2) \ e^{x}+1=t \ とおくと、\ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\) \n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\) \n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]

置換積分法の公式 (2) を用い, 次の積分を求めよ。\n\n \( \int (2x+3)^5 \cdot 2 dx \)

(2) 数列 \ \left\{I_{n}\right\} \ を \\( I_{n}=\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\) で定める。 \ 0 \leqq x \leqq 1 \ のとき \\( \log (1+x) \leqq \log 2 \\) であることを用いて数列 \ \left\{I_{n}\right\} \ が収束することを示し，その極限値を求めよ。 ただし, \ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x}=0 \ であることは用いてよい。

関数\( f(x)=\\frac{1}{1+e^{-x}} \)について, 次の問いに答えよ。\n(1) 導関数 \( f^{\\prime}(x) \)の最大値を求めよ。\n(2) 方程式 \( f(x)=x \)はただ1つの実数解をもつことを示せ。\n(3) 漸化式 \( a_{n+1}=f\\left(a_{n}\\right)(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \)で与えられる数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$は, 初項$a_{1}$の 値によらず収束し，その極限値は（2）の方程式の解になることを示せ。

よって \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nゆえに \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] これを解いて \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nしたがって \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]

次の不等式を証明せよ。\n(ア) $x \geqq 1$ のとき \( x \log x \geqq(x-1) \log (x+1) \)

重要㑬题 115 逆関数と定積分\n$x \geqq 0$ で定義された関数 $y=e^{x}+e^{-x}$ の逆関数を \( y=g(x) \) とするとき， \( \int_{2}^{4} g(x) d x \) を求めよ。

綀習 102 \Rightarrow 本冊 p .453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ とおくと \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nゆえに \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nよって \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nしたがって \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]

(2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2) であるから, x e^(x^2) は奇関数である。 よって ∫_(-2)^(2) x e^(x^2) dx = 0

数学 $\mathbb{I}$\n練習 $138 \Rightarrow$ 本冊 $p .513$\n$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=\sin ^{2} t$\( (x-1)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=\cos ^{2} t \)\n(2) とする。\n(1)-(2) から\n\n\[2 x-1=\sin ^{2} t-\left(1-\sin ^{2} t\right)\]\n\nゆえに\n\n$x=\sin ^{2} t$\n\n\( (1) から \)\n\n\[y^{2}=4\left(\sin ^{2} t-x^{2}\right)\]\n\nこれに (3)を代入して\n\n\[y^{2}=4 \left(\sin ^{2} t - \sin ^{4} t \right) = 4 \sin ^{2} t \left(1 - \sin ^{2} t \right)=4 \sin ^{2} t \cos ^{2} t=\sin ^{2} 2t \]\nよって、棈円 (1), (2) の交点の座標は\n\n\(\left( \sin ^{2} t , \pm \sin 2t \right)\)\n\nまた, (1)から \(x^{2}=\frac{1}{4} \left(4 \sin ^{2} t - y^{2}\right)\)\nゆえに\n\n$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}}$\n\n(2) から\n\n\[(x-1)^{2} = \frac{1}{4} \left(4 \cos ^{2} t - y^{2} \right)\]\nゆえに \n\n$x = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}}$\n\nよって\n\n\[S(t)= \int_{-\sin 2t}^{\sin 2t}\left\{\frac{1}{2}\sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} - \left(1 - \frac{1}{2}\sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}}\right)\right\} dy\]\n\n = \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} dy + \int_{0}^{\sin 2t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy - 2 [y]_{0}^{\sin 2 t}\]\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy \n\n上の図から\n\n\[ S(t)=\frac{1}{2}(2 \sin t)^{2} \left( \frac{\pi}{2} - t \right) + \frac{1}{2} \sin 2t \left(2 \sin ^{2} t \right)\]\n\[ + \frac{1}{2}(2 \cos t)^{2} t + \frac{1}{2} \sin 2t \left(2 \cos ^{2} t \right) - 2 \sin 2t \]\n\[=\pi \sin ^{2} t + 2t \left( \cos ^{2} t - \sin ^{2} t \right) + \sin 2t \left( \sin ^{2} t + \cos ^{2} t \)\n -2 \sin 2t \]\n\[=\pi \sin ^{2} t + 2 t \cos 2t - \sin 2t \n$\frac{y^{2}}{4}$ を消去する方針。\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} dy \text {, }\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy \text { は }\nそれぞれ図の灰色部分の 面積を表す。本冊 D. 465 参照。

数列 \( \left\{\left(\\frac{x^{2}+2 x-5}{x^{2}-x+2}\right)^{n}\right\} \) が収束するように，実数 $x$ の値の範囲を定めよ。また，そのときの極限値を求めよ。

この直線が点 \( (0, Y(a)) \) を通るから \( \quad Y(a)=\left(a^{2}+1\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}} \)\n\\[\n\\begin{aligned}\nY^{\\prime}(a) & =2 a \\cdot e^{-\frac{a^{2}}{2}}+\\left(a^{2}+1\\right) \\cdot\\left(-a e^{-\frac{a^{2}}{2}}\\right) \n& =-a(a+1)(a-1) e^{-\frac{a^{2}}{2}}\n\\end{aligned}\n\\]\n$a>0$ において, \( Y^{\\prime}(a)=0 \) とすると $\quad a=1$\n$a>0$ における \( Y(a) \) の増減表は右のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c}\n\\hline$a$ & 0 & $\\cdots$ & 1 & $\\cdots$ \n\\hline\( Y^{\\prime}(a) \) & & + & 0 & - \n\\hline\( Y(a) \) & & $\\nearrow$ & $2 e^{-\frac{1}{2}}$ & $\\searrow$ \n\\hline\n\\end{tabular}\n\nここで, $\\frac{a^{2}}{2}=t$ とおくと\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\lim _{a \\rightarrow \\infty} Y(a) & =\\lim _{a \\rightarrow \\infty}\\left(a^{2}+1\\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}}=\\lim _{t \\rightarrow \\infty}(2 t+1) e^{-t} \n& =\\lim _{t \\rightarrow \\infty}\\left(2 t e^{-t}+e^{-t}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\n$\\lim _{t \\rightarrow \\infty} t e^{-t}=0, \\lim _{t \\rightarrow \\infty} e^{-t}=0$ であるから\n\\[\n\\lim _{a \\rightarrow \\infty} Y(a)=2 \\cdot 0+0=0\n\\]\nまた, \( \\lim _{a \\rightarrow+0} Y(a)=1 \) であるから, 求める \( Y(a) \) のとりうる値の範囲は \( \quad 0<Y(a) \\leqq 2 e^{-\frac{1}{2}} \)\n(2) (1) で $y=0$ とすると \( a e^{-\frac{a^{2}}{2}} x=\\left(a^{2}+1\\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}} \) $a>0, e^{-\frac{a^{2}}{2}}>0$ であるから $\quad x=\\frac{a^{2}+1}{a}$\nよって, $\\ell_{a}$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $\quad \\frac{a^{2}+1}{a}$\n$\\ell_{a}$ と $\\ell_{b}$ が $x$ 軸上で交わるとき $\quad \\frac{a^{2}+1}{a}=\\frac{b^{2}+1}{b}$\n分母を払って \( \quad b\\left(a^{2}+1\\right)=a\\left(b^{2}+1\\right) \)\nゆえに\n\( b a^{2}-\\left(b^{2}+1\\right) a+b=0 \)\nよって\n\( (a-b)(a b-1)=0 \)\n$a<b$ より, $a b-1=0$ であるから 更に, $a<b$ であるから $\quad a<\\frac{1}{a}$\nこれと $a>0$ から $\quad 0<a<1$\n以上から \( \quad b=\\frac{1}{a}(0<a<1) \)\n(3) (2)より $b=\\frac{1}{a}$ であるから \( Z(a)=Y(a)-Y\\left(\\frac{1}{a}\\right) \)\nここで, (1)より \( \\lim _{a \\rightarrow+0} Y(a)=1 \)\nまた \( \quad \\lim _{a \\rightarrow+0} Y\\left(\\frac{1}{a}\\right)=\\lim _{b \\rightarrow \\infty} Y(b)=0 \)\nよって \( \quad \\lim _{a \\rightarrow+0} Z(a)=1-0=1 \)\n更に \( \\frac{Z^{\\prime}(a)}{a}=\\frac{1}{a} \\cdot \\frac{d}{d a}\\left\\{Y(a)-Y\\left(\\frac{1}{a}\\right)\\right\\} \n\\]\n\nここで終わりにしては いけない。\n\ \\varangle a \\longrightarrow+0 \ のとき \\frac{1}{a} \\longrightarrow \\infty \

35. 次のベクトル v と α を求めよ。\n(1) \( \vec{v}=\left(e^{t}(\cos t-\sin t), e^{t}(\sin t+\cos t)\right) \), \( \vec{\alpha}=\left(-2 e^{t} \sin t, 2 e^{t} \cos t\right) \)

練習 \n(1) $x$ の関数 \( f(x) \) を \( f(x)=\\left(-\\frac{1}{\\alpha} x-\\frac{1}{\\alpha^{2}}\\right) e^{-\\alpha x}(\\alpha \\) は定数) とするとき, \( f(x) \) の導関数 \( f^{\\prime}(x) \) を利用して不定積分 \\int x e^{- \\alpha x} d x \ を求めよ。\n(2) $x$ の関数 \( g(x) \) を \( g(x)=\\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\\right) e^{-\\alpha x}(a, b, c, d \\) は定数 \\) とする とき, \( g(x) の導関数 \\) を利用して不定積分 \ \\int x^{3} e^{- \\alpha x} d x \ を求めよ。ただし， \ \\alpha \ は定数で \ \\alpha \\neq 0 \ とする。\n（3） \ \\alpha=1 \ とし，不定積分 \ \\int x^{n} e^{-\\alpha x} d x \ ( \ n \ は自然数）を求めよ。

練習 163 \[ y=\log (\cos x) \text { から } \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{d x}{d t} \] 速さ 1 から \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}=1^{2} \) よって \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\tan ^{2} x\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=1 \) ゆえに \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1}{1+\tan ^{2} x}=\cos ^{2} x \) $\frac{d x}{d t}>0$ であり, $0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$ で $\cos x>0$ であるから $\frac{d x}{d t}=\cos x \quad \text { よって } \quad \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d x}{d t}=1$ 両辺を $t$ で積分すると $\quad \int \frac{1}{\cos x} d x=\int d t$ ここで $\quad \int \frac{1}{\cos x} d x=\int \frac{\cos x}{\cos ^{2} x} d x=\int \frac{\cos x}{1-\sin ^{2} x} d x$ \[ \begin{array}{l} =\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}\right)(\sin x)^{\prime} d x \\ =\frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C \end{array}\] ゆえに, (2) $\quad \frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C=t$ $x=0$ のとき $t=0$ であるから $\quad C=0$ よって, $t=\frac{1}{2} \log 3$ のとき $\frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{1}{2} \log 3$ ゆえに $\sin x=\frac{1}{2} \quad$ これと $0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$ から $\quad x=\frac{\pi}{6}$ このとき \( \quad y=\log \left(\cos \frac{\pi}{6}\right)=\log \frac{\sqrt{3}}{2} \) したがって, 求めるPの座標は \( \quad\left(\frac{\pi}{6}, \log \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) 次に, $\frac{d x}{d t}=\cos x$ を(1)に代入して $\quad \frac{d y}{d t}=-\sin x$ よって $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\sin x \frac{d x}{d t}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-\cos x \frac{d x}{d t}$ $\mathrm{P}$ の加速度ベクトルの大きさ $|\vec{\alpha}|$ は \[ \begin{array}{c} \sqrt{\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}}=\frac{d x}{d t} \\ t=\frac{1}{2} \log 3 \text { として } \quad|\vec{\alpha}|=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\] 次に, $\frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C=t$

例題 82 | 方程式の実数解の個数\nk を実数とするとき, x の方程式 x^{2}+3 x+1=k e^{x} の実数解の個数を求めよ。 ただし, lim _{x \rightarrow \infty} x^{2} e^{-x}=0 を用いてよい。[類横浜国大]

(1) 2 つの曲線 $y=x^{2}, y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに 1 回転させてでき る立体の体積 $V$ を求めよ。\n(2) 曲線 $y=\log 3 x$ を $C$ とする。曲線 $C$, 原点 $\mathrm{O}$ を通る曲線 $C$ の接線 $\ell, x$ 軸と で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

数学 II\n407\n[2] \ p>2 \ のとき\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\n[1], [2] から, Sの増減表 は右のようになる。\nよって, \ S \ は \ p=\\frac{4}{3} \ のと き最小となり, その最小値\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & 極小 & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\\begin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { のとき } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\\begin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]

次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\\log _{2}(2 x+1) \)\n(2) $y=\\log |\\sin x|$\n(3) \( y=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+4}\\right) \)\n(4) $y=\\log \\frac{1+\\sin x}{1-\\sin x}$\n(5) $y=3^{-2 x+1}$\n(6) $y=2^{\\sin x}$\n(7) $y=e^{x} \\sin x$\n(8) $y=\\frac{\\log x}{x}$\n(9) $y=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$

(1) \ \\sqrt{x+1}=t \ とおくと \ t^{2}=x+1 \\n\\[ よって、x=t^{2}-1, d x = 2 t d t \\) \\ \n\\int (2 x+1) \\sqrt{x+1} dx = \\int \\{2(t^{2}-1)+1\\} t \\cdot 2 t d t \\) \n\\ = 2 \\int (2 t^{4}-t^{2}) d t = 2 \\left( \\frac{2}{5} t^{5}-\\frac{1}{3} t^{3} \\right) + C \\) \n\\ = \\frac{2}{15} t^{3} (6 t^{2}-5) + C \\) \n\\ = \\frac{2}{15} (x+1)(6 x+1) \\sqrt{x+1} + C \\)

(5) \ \\log x=t \ とおくと \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \\n\\[\\begin{aligned}\\int \\frac{(\\log x)^{2}}{x^{2}} d x & =\\int \\frac{t^{2}}{e^{2 t}} e^{t} d t=\\int t^{2} e^{-t} d t=-\\int t^{2}\\left(e^{-t}\\right)^{\\prime} d t \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}+\\int 2 t e^{-t} d t=-t^{2} e^{-t}-2 \\int t\\left(e^{-t}\\right)^{\\prime} d t \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}-2\\left(t e^{-t}-\\int e^{-t} d t\\right) \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}-2 t e^{-t}-2 e^{-t}+C \\\\\n& =-e^{-t}\\left(t^{2}+2 t+2\\right)+C \\\\\n& =-\\frac{1}{x}\\left\\{(\\log x)^{2}+2 \\log x+2\\right\\}+C\\end{aligned}\\]

(2) y^{\\prime}=\\frac{-1 \\cdot\\left(x^{2}+2\\right)-(1-x) \\cdot 2 x}{\\left(x^{2}+2\\right)^{2}}=\\frac{x^{2}-2 x-2}{\\left(x^{2}+2\\right)^{2}}\ny^{\\prime}=0 とすると \\quad x^{2}-2 x-2=0\nこれを解くと \\quad x=1 \\pm \\sqrt{3}

次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{\pi} x \cos \frac{x}{3} d x$ (2) \( \int_{1}^{e} x(\log x)^{2} d x \)

(2) $y=\log \sqrt{x+1}$ から $\quad e^{y}=\sqrt{x+1}$

与えられた定積分を J とする。 f(x)=\frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} とすると f(\pi-x)=\frac{\sin ^{3}(\pi-x)}{4-\cos ^{2}(\pi-x)}=\frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x}=f(x) よって, (1)から J =\int_{0}^{\pi} x f(x) d x=\int_{0}^{\pi}\left\{\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x)+\frac{\pi}{2} f(x)\right\} d x =\int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x) d x+\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) d x =\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} d x \cos x=u とおくと -\sin x d x=d u x とuの対応は右のようになる。 \begin{tabular}{c||l} \hline x & 0 \longrightarrow \pi \hline u & 1 \longrightarrow-1 \hline \end{tabular} J =\frac{\pi}{2} \int_{1}^{-1} \frac{1-u^{2}}{4-u^{2}} \cdot(-1) d u=\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{u^{2}-1}{u^{2}-4} d u =\frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} \frac{u^{2}-1}{u^{2}-4} d u=\pi \int_{0}^{1}\left(1+\frac{3}{u^{2}-4}\right) d u =\pi \int_{0}^{1}\left\{1+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{u-2}-\frac{1}{u+2}\right)\right\} d u =\pi\left[u+\frac{3}{4}(\log |u-2|-\log |u+2|)\right]_{0}^{1} =\pi\left[u+\frac{3}{4} \log \left|\frac{u-2}{u+2}\right|\right]_{0}^{1} =\pi\left(1-\frac{3}{4} \log 3\right)

例題 143 面積から曲線の係数決定 c \geqq 1 とする。2つの曲線 y=c x^{2} と y=\log \left(1+x^{2}\right), および, 2 つの直線 x=1 と x=-1 で囲まれる図形の面積が 4 となる c の値を求めよ。 [類 北海道大]

次の条件をもつ関数を求めよ。\n(3) \( h(x)=\left(a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\right) e^{-x} \)

練習（1）平均値の定理を利用して，次のことを証明せよ。\n62\n(ア) $a<b$ のとき $\quad e^{a}<\frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}<e^{b}$\n(イ) $t>0$ のとき $0<\log \frac{e^{t}-1}{t}<t$

別解 1 / log t の原始関数を F ( t ) とすると ∫_(x^2)^(x^3) 1 / log t dt = F ( x^3 ) - F ( x^2 ) , F ′( t ) = 1 / log t よって f’( x ) = d / dx ∫_(x^2)^(x^3) 1 / log t dt = F ′( x^3 ) ( x^3 )’ - F ′( x^2 ) ( x^2 )’ = 3 x^2 / log x^3 - 2 x / log x^2 = x^2 / log x - x / log x = x^2 - x / log x

例 45 | 曲線と $x$ 軸の間の面積\n次のような部分の面積を求めよ。\n(1) $y=\frac{4-2 x}{x+1}$ のグラフと $x$ 軸, $y$ 軸とで囲まれた部分\n(2) 関数 \( y=(3-x) e^{x} \) が極大値をとる $x$ の値を $a$ とするとき, 曲線 \( y=(3-x) e^{x} \) と $x$ 軸および直線 $x=a$ で囲まれた部分\n[(2) 類 関西大]

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int x^{2} \cos x dx$ (2) $\int x^{2} e^{x} dx$ (3) $\int x \tan ^{2} x dx$

98 (1) $x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C$ (2) \( \left(x^{2}-2 x+2\right) e^{x}+C \) (3) $x \tan x+\log |\cos x|-\frac{x^{2}}{2}+C$

次の不定積分を求めよ。 (4) \( \int\left(3 e^{t}-2 \cdot 3^{t}\right) d t \)

公式 (4) を用いて次の積分を求めなさい。\n\n \( \int (3x^2 + 1)^4 \cdot 6x dx \)

29. 次の x 値で関数の極値を求めよ。\n(1) x=1/√e で極小値 -1/(2e)\n(2) x=-4/3 で極大値 4√6/9, x=0 で極小値 0

例題 163 曲線上を等速で動く点\n547\n座標平面上を運動する点 $\mathrm{P}$ がある。点 $\mathrm{P}$ は点 \( (0,1) \) を出発して, 曲線 \( y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}(x \geqq 0) \) 上を毎秒 1 の速さで動いている。点 $\mathrm{P}$ の $t$ 秒後の座標を \( (f(t), g(t)) \) で表す。 \( f(t), g(t) \) を求めよ。\n[新渴大]\n指斜 0 秒後から $t$ 秒後までの道のり $l$ を 2 通りに表して考える。\n[1] 毎秒1の速さで動いているから $\quad l=t$\n[2] 曲線 \( y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}(x \geqq 0) \) 上を動いているから, 点 $\mathrm{P}$ の $t$ 秒後の $x$ 座標を $p$ とする と\n\[l=\int_{0}^{p} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x\]

曲線 $y=x \log x$ に接し，傾きが 2 である直線の方程式を求めよ。

166 (2) y=x e^{1-x}

数学 II\n$x>0$ において, \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると $x+\frac{\pi}{4}=k \pi \quad$ すなわち \( \quad x=k \pi-\frac{\pi}{4} \quad(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) \( f^{\prime \prime}(x)=\sqrt{2} e^{-x}\left\{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right\} \) であるから\n\[\n\begin{aligned}\nf^{\prime \prime}\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right) & =\sqrt{2} e^{-\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)}(\sin k \pi-\cos k \pi) \\\n& =-\sqrt{2} e^{-\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)} \cos k \pi\n\end{aligned}\n\]\( f^{\prime \prime}\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)<0 \) となるのは, \( k=2 n(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) のとき である。よって，極大値をとる $x$ の値は $\quad x=\frac{8 n-1}{4} \pi$\n(2) \( a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{8(n-1)+7}{4} \pi}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}\left(e^{-2 \pi)^{n-1}}\right. \)\nよって, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ は初項 $\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}$, 公比 $e^{-2 \pi}$ の無限等比級数で, $\left|e^{-2 \pi}\right|<1$ であるから\n\[\n\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}}{1-e^{-2 \pi}}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\left(e^{2 \pi}-1\right)}\n\]

数学正 263 \[ f^{\prime}(x)=\frac{\{\log (x+e)\}^{\prime}}{\log (x+e)}=\frac{\frac{(x+e)^{\prime}}{x+e}}{\log (x+e)}=\frac{1}{(x+e) \log (x+e)} \] ゆえに \( \quad f^{\prime}(0)=\frac{1}{e \log e}=\frac{1}{e} \) よって \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log \{\log (x+e)\}=\frac{1}{e} \) (5) \( f(x)=e^{x} \) とすると, \( f^{\prime}(x)=e^{x} \) であるから \[\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x} & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1}{x}+\frac{e^{-x}-1}{-x}\right) \ & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}+\frac{e^{-x}-e^{0}}{-x-0}\right) \ & =f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)=1+1=2 \end{aligned}\] (6) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{a} \cdot \frac{e^{x}-1}{x}\right) \) \( f(x)=e^{x} \) とすると, \( f^{\prime}(x)=e^{x} \) であるから \[\begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}=f^{\prime}(0)=1 \\ \text { よって } \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}=e^{a} \cdot 1=e^{a} \end{array} \] (1) (ア) \( y^{\prime}=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{x^{2}+1}=\frac{2 x}{x^{2}+1} \) であるから \[y^{\prime \prime}=\frac{(2 x)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)-2 x\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \] \( y^{\prime \prime}=2\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)^{-2} \) であるから \[\begin{aligned} y^{\prime \prime \prime} & =2\left(1-x^{2}\right)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)^{-2}+2\left(1-x^{2}\right)\left\{\left(x^{2}+1\right)^{-2}\right\}^{\prime} \\ & =-4 x\left(x^{2}+1\right)^{-2}-8 x\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)^{-3} \\ & =\frac{-4 x\left(x^{2}+1\right)-8 x\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\frac{4 x\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}} \end{aligned}\] (1) \( y^{\prime}=e^{2 x}+2 x e^{2 x}=(2 x+1) e^{2 x} \) であるから \[\begin{array}{l} y^{\prime \prime}=2 e^{2 x}+2(2 x+1) e^{2 x}=4(x+1) e^{2 x} \\ y^{\prime \prime \prime}=4 e^{2 x}+8(x+1) e^{2 x}=4(2 x+3) e^{2 x} \end{array} \] (ウ) \[\begin{array}{c} y^{\prime}=\sin x+x \cos x \text { であるから } \\ y^{\prime \prime}=\cos x+\cos x-x \sin x=2 \cos x-x \sin x \\ y^{\prime \prime \prime}=-2 \sin x-\sin x-x \cos x=-3 \sin x-x \cos x \end{array}\] （2）条件より, \( y=g(x) \) に対して $x=\cos y$ が成り立つから $\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{d x}{d y}}=-\frac{1}{\sin y}$ $\pi<y<2 \pi$ であるから $\quad \sin y<0$ ゆえに $\quad \sin y=-\sqrt{1-\cos ^{2} y}=-\sqrt{1-x^{2}}$ よって \( g^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sin y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \) $\varangle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$ を利用 してもよい。 $\triangleleft \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$ を直ち に使ってもよいが、 ここ では微分係数の定義を利用した解法を示しておく。 \[\begin{array}{l} \Psi(\log u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u} \\ \Psi\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \end{array} \] \[\begin{array}{l} 4(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \\ 4\left\{\left(x^{2}+1\right)^{-2}\right\}^{\prime} \\ =-2\left(x^{2}+1\right)^{-3} \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\prime} \\ \end{array} \] \[\Psi(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \] \[\begin{aligned} \varangle \frac{d x}{d y} & =\frac{d}{d y}(\cos y) \\ & =-\sin y \end{aligned} \] 3裮 練習 嶶

(イ) \( f(x y)=f(x)+f(y) \)\n(2) に $x=y=1$ を代入すると \( \quad f(1)=0 \)\n$x$ を定数と考えて, (2) の両辺を $y$ で微分すると\n\[ x f^{\prime}(x y)=f^{\prime}(y) \]\n$y=1$ とすると \( \quad x f^{\prime}(x)=f^{\prime}(1) \]\n\( f^{\prime}(1)=k \) (定数) とすると \( f^{\prime}(x)=\frac{k}{x} \)\n$x$ を変数と考えて, 両辺を積分すると\n\[ f(x)=k \log |x|+C \quad(C \text { は任意定数 }) \]\n\( f(1)=0 \) から $\quad C=0$\nよって \( f(x)=k \log |x| \) （ $k$ は定数）

344\n数学 \\\mathbb{I}\\n(3) \ x^{2}+a^{2}=t \ とおくと \ \\quad x d x=\\frac{1}{2} d t \\n\ \\begin{aligned}\n\\int \\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x & =\\int \\frac{1}{\\sqrt{t}} \\cdot \\frac{1}{2} d t=\\frac{1}{2} \\int t^{-\\frac{1}{2}} d t=\\sqrt{t}+C \\\\\n& =\\sqrt{x^{2}+a^{2}}+C \\\\ \\end{aligned} \

演習問題 の解答 59 (2) \left(\frac{e^{s}+e^{-s}}{2}, \frac{e^{s}-e^{-s}}{2}\right)

25 (1) \( y^{\prime}=\frac{2}{(2 x+1) \log 2} \)\n(2) $y^{\prime}=\frac{\cos x}{\sin x}$\n(3) $y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}$\n(4) $y^{\prime}=\frac{2}{\cos x}$\n(5) $y^{\prime}=-2 \cdot 3^{-2 x+1} \log 3$\n(6) $y^{\prime}=2^{\sin x} \cos x \log 2$\n(7) \( y^{\prime}=e^{x}(\sin x+\cos x) \)\n(8) $y^{\prime}=\frac{1-\log x}{x^{2}}$\n(9) \( y^{\prime}=\frac{4}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} \)

任意の底 a を持つ対数関数 $\log _{a} x$ の導関数を求めよ。

次の不定積分を計算してください。\n$\int a^x \, dx$\nただし、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ とします。

105 (1) $\log \left|\frac{2 \tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}-2}\right|+C$ (2) $-\frac{1}{3 \tan ^{3} x}-\frac{1}{\tan x}+C$

重要例題 87. 2 変数の不等式の証明 (2)\n0<a<b のとき，次の不等式が成り立つことを示せ。\n\ \\sqrt{a b}<\\frac{b-a}{\\log b-\\log a}<\\frac{a+b}{2} \\n[岐阜大]

数学III- 295\n(3) y^{\\prime}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-(\\log x) \\cdot 1}{x^{2}}=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\ny^{\\prime}=0 とすると \\quad x=e\\n1 \\leqq x \\leqq 3 における y の増減表は右のようになる。よって, y は \\nx=e で最大値 e^{-1} ,

次の積分を解け。\n(6) \( \int\left(5 e^{x}-7^{x}\right) d x \)

直線 $y=p x+q$ が関数 $y=\log x$ のグラフと共有点をもたないために $\quad q$ が満たすべき必要十分条件を求めよ。

数学 (3) \\( \\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)=t \\) とおくと, \ \\frac{2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x} d x=d t \ から\n\n\\[\\begin{array}{rl}\\frac{2}{\\tan x} d x & d t \\quad \\text { よって } \\quad d x=\\frac{\\tan x}{2} d t \\\\\n\\int \\frac{\\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)}{\\tan x} d x & =\\int \\frac{t}{\\tan x} \\cdot \\frac{\\tan x}{2} d t=\\int \\frac{t}{2} d t \\\\\n& =\\frac{t^{2}}{4}+C=\\frac{1}{4}\\left\\{\\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)\\right\\}^{2}+C \\\\\n& =(\\log |\\sin x|)^{2}+C\\end{array}\\]

練習 次の関数の逆関数を求めよ。\n(1) \( y=\frac{2 x-1}{x+1}(x \geqq 0) \)\n(2) \( y=\frac{1-2 x}{x+1}(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3) $y=\log _{10} x$

次の不定積分を求めよ。 95 (4) \( \int(\tan x-2) \cos x d x \)

(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \

練習 97 \Rightarrow 本冊 p .447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)

袷 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x$ をガウス積分といい, $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}$ であることが知られている。\nそして, ガウス積分は, 正規分布の確率密度関数（数学B統計的な推測）が \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\left[m:\right. \) 平均, $\sigma^{2}:$ 分散 $]$ であることの証明にも用いられる。

次の方程式がただ 1 つの実数解をもつことを示せ。\n\e^{x}=-x\

97 (1) $-\frac{1}{2} x \cos 2 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C$ (2) \( \frac{x \cdot 2^{x}}{\log 2}-\frac{2^{x}}{(\log 2)^{2}}+C \) (3) \( (x+3) \log (x+3)-x+C \) (4) \( \sqrt{x}(\log x-2)+C \) (5) $-\frac{x}{\tan x}+\log |\sin x|+C$ (6) \( (x-1) \log (1+\sqrt{x})-\frac{1}{2} x+\sqrt{x}+C \)

170 (2) (ウ) f(x)=-e^{-x}+1

(1) \( \\left|\\overrightarrow{\\mathrm{OP}_{\\theta}}\\right|=\\sqrt{\\left(e^{-\\theta} \\cos \\theta\\right)^{2}+\\left(e^{-\\theta} \\sin \\theta\\right)^{2}} \)\n\=e^{-\\theta}\\nよって, 動点 \\mathrm{P}_{\\theta} \ が動くときに描く曲線は，極方程式 $r=e^{-\\theta}$ で表される。 $\\Delta t>0$ が十分小さいとき, \( f(t+\\Delta t)-f(t) \) は右の図の灰色部分 の面積を表す。\n\\\frac{d}{d \\theta} e^{-\\theta}=-e^{-\\theta}<0\\nであるから, 線分 \\mathrm{OP}_{t} \ の長さは t \ に関して単調に減少する。\nよって \( \\frac{1}{2}\\left\\{e^{-(t+\\Delta t)}\\right\\}^{2} \\Delta t<f(t+\\Delta t)-f(t)<-\\frac{1}{2}\\left(e^{-t}\\right)^{2} \\Delta t \)\n\\[\\frac{1}{2} e^{-2(t+\\Delta t)}<\\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}<\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\nしたがって, はさみうちの原理から\n\\[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow+0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\n\ \\Delta t<0 \ のときも同様にして\n\\[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow-0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\nよって \( \\quad \\frac{d}{d t} f(t)=\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t} \\)

370 例䞧 52 第 $n$ 次導関数と漸化式\n\( f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \) について, \( f^{(0)}(x)=f(x) \) とする。\n[横浜市大]\n(1) \( \left(1+x^{2}\right) f^{(n)}(x)+2 n x f^{(n-1)}(x)+n(n-1) f^{(n-2)}(x)=0(n \geqq 2) \) が成り立つこと を数学的帰納法を用いて証明せよ。\n(2). \( a_{n}=f^{(n)}(0) \) としたとき, 数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n \geqq 1) \) の一般項を求めよ。\n《例題 51

練習 (1) 2 つの曲線 $y=\log x$ と \( y=\frac{a}{x^{2}}(a>0) \) の交点の $x$ 座標を $p$ で表すとき， $a$ を 144 pを用いて表せ。\n(2)（1）の２つの曲線と直線 $x=1 , x=2$ で囲まれる部分の面積 $S$ を $p$ 用いて表せ。\n(3) $a$ を動かすとき, Sの最小値を求めよ。\n[類 大阪大]

(7)\\n\\[\\n\\begin{aligned}\\n y^{\\prime} & =\\left(e^{x}\\right)^{\\prime} \\sin x+e^{x}(\\sin x)^{\\prime}=e^{x} \\sin x+e^{x} \\cos x \\n\\ & =e^{x}(\\sin x+\\cos x)\\n\\end{aligned}\\n\\]

次の条件を満たす関数 \( f(x) \) の定積分を求めよ：\n\n1. \( f(x) \) は偶関数 $y$ で常に \( f(-x)=f(x) \) が成り立つ。\n2. 定積分の範囲は $[-a, a]$ である。

一一 数学 $\\mathbb{I}$\\n(4) \( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\n別解 \( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\) であるから\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]

412\n迤 80 変曲点と対称性\n$a>0, b>0$ とし, \( f(x)=\log \frac{x+a}{b-x} \) とする。曲線 \( y=f(x) \) はその変曲点に関し て点対称であることを示せ。\n[類 甲南大]

(3) $x>0$ であるから $\quad y>0$\nまた \( \quad y=(\\sqrt{x})^{x}=x^{\\frac{1}{2} x} \)\n$y=x^{\\frac{1}{2} x}$ の自然対数をとると $\quad \\log y=\\frac{1}{2} x \\log x$\n両辺を $x$ で微分すると \( \quad \\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{1}{2}(\\log x+1) \)\nよって \( y^{\\prime}=\\frac{1}{2} y(\\log x+1)=\\frac{1}{2}(\\sqrt{x})^{x}(\\log x+1) \)

(3) 不等式 \( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\) を示せ。

次の関数の最大値，最小値を求めよ。\n(1) \\( y=\\cos ^{3} x+3 \\cos x \\quad(0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi) \\)\n(2) \\( y=\\left(x^{2}-1\\right) e^{x} \\quad(-1 \\leqq x \\leqq 2) \\)\n(3) \\( y=\\frac{\\log x}{x} \\quad(1 \\leqq x \\leqq 3) \\)\n(4) \ y=x-2+\\sqrt{4-x^{2}} \ [(4) 岩手大]

x軸上を運動する2点P, Qがある. 時刻t=0のとき2点は原点Oにあり, 時刻tにおけるPの速度v_P(t), Qの速度v_Q(t)はそれぞれv_P(t)=a t(0 ≤ t), v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t) である. (1) Qは必ずPを追い越すことを示せ. (2) QがPに追いつくまでの時間内で, PとQの間の距離が最大となる時刻とそのときの距離を求めよ.

練習 45 \\Rightarrow \ 本冊 p .360 \\n(1) 両辺の絶対値の自然対数をとると\n\\n\\log |y|=2 \\log |x-1|+3 \\log |x-2|-5 \\log |x-3|\n\\n両辺を \ x \ で微分して\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{2}{x-1}+\\frac{3}{x-2}-\\frac{5}{x-3} \\\\\n=\\frac{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\\\\n=\\frac{-7 x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\\\\n\\text { よって }\n\\end{array}\n\\]

e^x = t とおくと e^x dx = dt x と t の対応は右のようになる。 よって ∫_(log π)^(log 2π) e^x sin e^x dx = ∫_π^(2π) sin t dt =[-cos t]_π^(2π) =- { 1 - (-1) } = -2

28 n を任意の正の整数とし, 2 つの関数 f(x), g(x) はともに n 回微分可能な関数と する。 (1) 積 f(x) g(x) の第 4 次導関数 \( \frac{d^{4}}{d x^{4}}\{f(x) g(x)\} \) を求めよ。 (2) 積 f(x) g(x) の第 n 次導関数 \( \frac{d^{n}}{d x^{n}}\{f(x) g(x)\} \) における f^{(n-r)}(x) g^{(r)}(x) の係数を類推し，その類推が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。ただし， r は負でない n 以下の整数とし, \( f^{(0)}(x)=f(x), g^{(0)}(x)=g(x) \) とする。 (3) 関数 h(x)=x^{3} e^{x} の第 n 次導関数 \( h^{(n)}(x) \) を求めよ。ただし, e は自然対数の 底であり, n \geqq 4 とする。

0 \leqq x \leqq 1 のとき \left|2^{x}-2\right|=-\left(2^{x}-2\right) 1 \leqq x \leqq 2 のとき \left|2^{x}-2\right|=2^{x}-2 よって \int_{0}^{2}\left|2^{x}-2\right| dx =-\int_{0}^{1}\left(2^{x}-2\right) dx+\int_{1}^{2}\left(2^{x}-2\right) dx \ =-\left[\frac{2^{x}}{\log 2}-2 x\right]_{0}^{1}+\left[\frac{2^{x}}{\log 2}-2 x\right]_{1}^{2} \ =-\left(\frac{1}{\log 2}-2\right)+\left(\frac{2}{\log 2}-2\right)=\frac{1}{\log 2}

(2) (ア) f(x)=\\log (\\cos x)+\\frac{x^{2}}{2} とすると\n\nf^{\prime}(x)=-\\tan x+x, \\quad f^{\prime \prime}(x)=-\\frac{1}{\\cos ^{2} x}+1=-\\tan ^{2} x\n\n0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき f^{\prime \prime}(x)<0 より f^{\prime}(x) は単調に減少し, f^{\prime}(0)=0 であるから f^{\prime}(x)<0 ゆえに, 0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき f(x) は単調に減少し, f(0)=0 で あるから f(x)<0 したがって, 0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき \\log (\\cos x)+\\frac{x^{2}}{2}<0

(1) $e^{x}=t$ とおくと $e^{x} d x=d t, d x=\frac{1}{t} d t$\n\[ \begin{aligned} & \int \frac{1}{e^{x}-e^{-x}} d x=\int \frac{1}{t-\frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t} d t=\int \frac{1}{t^{2}-1} d t \\ = & \frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right) d t=\frac{1}{2}(\log |t-1|-\log |t+1|)+C \\ = & \frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{2} \log \frac{\left|e^{x}-1\right|}{e^{x}+1}+C \end{aligned} \]

関数 \( f(x)=a x+a^{2} \) が逆関数をもつための条件を求めよ。また, \( f^{-1}(x) \) が \( 6 f(x) \) と一致するように, 定数 $a$ の値を定めよ。

0 以上の整数 m, n に対して, Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx とする。 (1) Iₘ,ₙ = Iₙ,ₘ および Iₘ,ₙ = (n-1)/(m+n) Iₘ,ₙ-2(n ≥ 2) を示せ。 （2）(1) の結果を用いて，定積分 ∫₀^(π/2) sin^3 x cos^6 x dx を求めよ。

(1) \( f(x)=\frac{1}{2} \log x \) のとき, \( \frac{f(e)-f(1)}{e-1}=f^{\prime}(c)(1<c<e) \) (1) を満たす cの値を求めよ。ただし， $e$ は自然対数の底である。\n(2) \( f(x)=\frac{1}{x}(x>0) \) について, $a>0, h>0$ のとき\nf(a+h)-f(a)=h f^{\prime}(a+\theta h), 0<\theta<1 を満たす $\theta$ を $h$ で表せ。また, \ \lim _{h \\rightarrow 0} \theta \ を求めよ。

108 (1) $8 \log 2-1$ (2) $\frac{1}{\log 2}$ (3) $\sqrt{3}-1-\frac{\pi}{12}$ (4) $\frac{4 \sqrt{2}-2}{3}$ (5) $2 \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$

例題 129 定積分の不等式の証明\n次の不等式を証明せよ。 (2)では $a \geqq 0$ とする。\n(1) $\frac{1}{2}<\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{3}}}<\frac{\pi}{6}$\n(2) $\int_{0}^{a} e^{-t^{2}} d t \geqq a-\frac{a^{3}}{3}$\n\n比針（1）積分は計算できないから，大小比較は差を作れでは解決できない。そこで，前ページで学んだ，定積分についての不等式の性質を利用する。すなわち $0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ で \( f(x)<\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}}<g(x) \) を満たし，積分すると $\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}$ になる \( f(x), g(x) \) を見つける。\n(2) 両辺の差を $a$ の関数とみて \( \frac{d}{d a} \int_{0}^{a} g(t) d t=g(a) \) を用いる。

練習 70 => 本冊 p.399\n(1)\ny^{\\prime}=(2 x+1) e^{-x}+\\left(x^{2}+x-1\\right) \\cdot\\left(-e^{-x}\\right)\n=-\\left(x^{2}-x-2\\right) e^{-x}\\n=-(x+1)(x-2) e^{-x}\\nx=-1,2

(1) x ≥ 0 で定義された関数f(x)=log(x+√(1+x^2))について, 導関数f'(x)を求めよ.(2) 極方程式r=θ(θ ≥ 0)で定義される曲線の, 0 ≤ θ ≤ πの部分の長さを求めよ.

指数関数のグラフはどのような特徴を持っていますか？

143 (1) x=0, \frac{\pi}{2} で最大値 1 ; x=\pi, \frac{3}{2} \pi で最小値 -1\n(2) x=\log_{2} \frac{\sqrt{5} \pm 1}{2} のとき最小値 1-10 \sqrt{5}

問題 5 定積分の値と図形の面積 f(4)>0 を満たす関数 f(x) の導関数を g(x) とする。関数 y=g(x) のグラフは下に凸の放物線で，軸は直線 x=3 である。また， g(4)=0 を満たす。 (1) 方程式 g(x)=0 は x=4 の他に x=◻️ ア を解にもつ。よって, 関数 f(x) は x= ◻️ イ で極大となり, x=◻️ ウで極小となる。 関数 f(x) の極大値を p, 極小値を q とする。 (1)0100 （2）k を定数として, 方程式 f(x)=k の実数解について考える。 k=0 のとき, 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は 工 個である。 k=p のとき, 方程式 f(x)=p の実数解は x=◻️ イ, オ k=q のとき, 方程式 f(x)=q の実数解は x=◻️ ウ, カ である。 s, t は定数とし, h(x)=f(x)- と す。 （3）s≠2 とする。定積分 ∫_{2}^{s} h(x) dx=0 となる s は, キ を満たす。 キに当てはまるものを，次の０～７のうちから１つ選べ。 (0) s<1 (1) s=1 (2) 1<s<2 (3) 2<s<4 (4) s=4 (5) 4<s<5 (6) s=5 (7) 5<s (4) s は s≠2, ∫_{2}^{s} h(x) dx=0 を満たすとし, t≠1 とする。定積分 ∫_{1}^{t} h(x) dx=0 となる t は, クを満たす。 クに当てはまるものを，次の（０～２）のうから１つ選べ。 (0) t<s (1) t=s (2) s<t

不等式 $\\log _{x} y+2 \\log _{y} x-3>0$ を満たす点 \( (x, y) \) の存在範囲を図示せよ。

3 次関数 f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c が 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6 を満たす。このと き, 定数 a, b, c の値を求めよ。

対数関数の最大・最小

次の式を簡単にせよ。\n(ア) \ \\log _{2} \\frac{4}{5}+2 \\log _{2} \\sqrt{10} \\n(イ) \ \\log _{3} \\sqrt{12}+\\log _{3} \\frac{3}{2}-\\frac{3}{2} \\log _{3} \\sqrt[3]{3} \

対数方程式の解の個数

対数の表現

指数関数の最大・最小

次の関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3)\n(2) a>0, a \\neq 1 とする。関数 y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2 について, a^{x}+a^{-x}=t とおく。 y を t を用いて表し, y の最小値を求めよ。\n(3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)

数学 $\Pi$\nEX 関数 \( f(x), g(x) \), および導関数 \( f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \) が, \( f(x)+g(x)=-2 x+5 \), (2) \( 148 f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4, f(0)=5 \) を満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。\n[類 東京電機大]\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x)+g(x)=-2 x+5 \\\nf^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4\n\\end{array}\n\\]\n(2) から \\( \\int\\left\\{f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\\right\\} d x=\\int(-4 x+4) d x \\)\nすなわち \\( \\quad f(x)-g(x)=-2 x^{2}+4 x+C \\)\n( \ C \ は積分定数)\n(1) + (3) \ \\div 2 \ から \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+\\frac{C+5}{2} \\)\n\\( f(0)=5 \\) から \ \\quad \\frac{C+5}{2}=5 \\quad \ よって \ \\quad C=5 \\nゆえに \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+5 \\)\n(1) から\n\\[\n\\begin{aligned}\ng(x) & =-2 x+5-f(x)=-2 x+5-\\left(-x^{2}+x+5\\right) \\\\\n& =x^{2}-3 x\n\\end{aligned}\n\\]\n\n別解 (1) の両辺を \ x \ で微分すると\n\\[\nf^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=-2 \\cdots \\cdots .\n\\]\n(2)+(4) \ \\div 2 \ から \\( \\quad f^{\prime}(x)=-2 x+1 \\)\nよって \\( f(x)=\\int(-2 x+1) d x=-x^{2}+x+C(C \\) は積分定数 \\) \\( f(0)=5 \\) から \ \\quad C=5 \\nゆえに \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+5 \\)\n(1) から \\( \\quad g(x)=-2 x+5-f(x)=x^{2}-3 x \\)\n\ \\leftarrow \ (2) の両辺を \ x \ で積分。\n\ \\leftarrow \ (1), (3) を \\( f(x), g(x) \\) の連立方程式とみて解く。\n\\( \\leftarrow f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \\) の連立方程式を導く解法。\n

関数 \( y=27^{x}-9^{x+1}+5 \cdot 3^{x+1}-2(x>1) \) の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ。

関数 \( y=\\log _{4}(x+2)+\\log _{2}(1-x) \) の最大値と，そのときの $x$ の値を求めよ。

問題 2: 対数関数 点 P(a, b) が関数 y=f(x) のグラフ上にあるとき、点 Q(b, a) は逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフ上にあります。2 点 P, Q は直線 y=x に関して対称です。これを用いて、指数関数 y=a^x と対数関数 y=log_a x についての関係を説明しなさい。なお、a は a>0, a ≠1 の定数とします。

対数の大小比較

Ex (3152 α を実数の定数, f(t) を 2 次関数として, 関数 F(x)=∫α^x f(t) dt を考える。F(x) が x=1 で極大値 5, x=2 で極小値 4 をとるとき, f(t) および α の値を求めよ。

次の対数の値を求めよ。\n(ア) \ \\log _{3} 81 \\n(イ) \ \\log _{10} \\frac{1}{1000} \\n(ウ) \ \\log _{\\frac{1}{3}} \\sqrt{243} \

141 0 \leqq a < 1 のとき x=-2 で極小値 -16 a, x=0 で極小値 0 ; a=1 のとき x=-2 で極小値 -16 ; a>1 のとき x=-2 で極小値 -16 a, x=a-1 で極小値 -(a-1)^3(a+3)

(1) \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3 のとき, x^{2} + y^{2} の最小値を求めよ。\n(2) 正の実数 x, y が xy=100 を満たすとき, (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3} の最小値と, そのときの x, y の値を求めよ。\n(3) f(x)= (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (ただし, ab=8, a>b>0) とする。f(x) の最小値が -1 であるとき, a^{2} の値を求めよ。 [早稲田大]

次の式を簡単にせよ。 [(1) 駒澤大] (1) \( \left(\log _{2} 9+\log _{4} 3\right) \log _{3} 4 \) (2) \( \left(\log _{3} 25+\log _{9} 5\right)\left(\log _{5} 9+\log _{25} 3\right) \) $\angle$ p. 282 基本事項 3

226 (1) $x=\log_{3} 5$ で最小値 -27\n(2) $x=-1$ で最大値 1

EX $a, b$ を定数とする。次の不等式を証明せよ。\n\[ \\int_{0}^{1}(x+a)(x+b) \\, dx = \\int_{0}^{1}\\left\\{x^{2}+(a+b) x+a b\\right\\} \\, dx = \\left[\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{a+b}{2} x^{2}+a b x\\right]_{0}^{1} = a b + \\frac{a+b}{2} + \\frac{1}{3}\\]\nまた \( \\quad \\int_{0}^{1}(x+a)^{2} \\, dx=a^{2}+a+\\frac{1}{3}, \\int_{0}^{1}(x+b)^{2} \\, dx=b^{2}+b+\\frac{1}{3} \\) ゆえに（右辺）-(左辺）\n\[\\{ \\left(a^{2}+a+\\frac{1}{3}\\right)\\left(b^{2}+b+\\frac{1}{3}\\right) - \\left(a b+\\frac{a+b}{2}+\\frac{1}{3}\\right)^{2} \\} \\]\nが成立することを示せ。

⑫5 \ a>0, a \\neq 1, \\quad b>0 \ とする。2 次方程式 \ 4 x^{2}+4 x \\log _{a} b+1=0 \ が \ 0<x<\\frac{1}{2} \ の範囲内にただ 1 つの解をもつようなすべての \ a, b \ を, 座標平面上の点 \\( (a, b) \\) として 図示せよ。\n[宮崎大]

次の方程式, 連立方程式を解け。ただし, (3) では 0<x<1, 0<y<1 とする。\n(1) 3^{2-\\log _{2} x}+26 \\cdot 3^{-\\log _{4} x}-3=0\n[早稲田大]\n(2) \\left(x^{\\log _{2} x}\\right)^{\\log _{2} x}=64 x^{6 \\log _{2} x-11}\n[関西大]\n(3) \\left\\{\\begin{array}{l}\\log _{x} y+\\log _{y} x=2 \\\\ 2 \\log _{x} \\sin (x+y)=\\log _{x} \\sin y+\\log _{y} \\cos x\\end{array}\\right. \n[芝浦工大]

対数関数のグラフ

逆関数とそのグラフ

次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\log _{2} 27 \\cdot \\log _{3} 64 \\cdot \\log _{25} \\sqrt{125} \\cdot \\log _{27} 81 \\n[京都産大]\n(2) \\( \\left(\\log _{2} 9+\\log _{8} 3\\right)\\left(\\log _{3} 16+\\log _{9} 4\\right) \\)\n[立教大]\n(3) \\( \\left(\\log _{5} 3+\\log _{25} 9\\right)\\left(\\log _{9} 5-\\log _{3} 25\\right) \\)

436 (1) g(x) の条件から, g(x) すなわち f'(x) の符号を調べ, f(x) の増減表を作る。 （2） k=0 のときは, 関数 f(x) の極値の符号に着目し, y=f(x) のグラフと x 軸の共有点の個数を調べる。 k=p, q のときは, f(x)=∫f'(x) dx から f(x) を計算し, 方程式 f(x)=p, f(x)=q を解く。 (3), (4) (2) の結果をもとに, y=h(x) のグラフの概形をつかもう。その図をもとに考 えると，定積分が 0 になるためには，積分区間に h(x)≥ 0 の部分と h(x)≤ 0 の部分 の両方を含む必要がある。また, 実際に定積分の値が 0 になるような s, t を考える の部分で，定積分の区間を分割して考えるとよい。

実数全体で定義された2つの微分可能な関数 \( f(x), g(x) \) は次の条件を満たす。\n(A) \( f^{\prime}(x)=g(x), \quad g^{\prime}(x)=f(x) \)\n(B) \( f(0)=1, g(0)=0 \)\n(1) すべての実数 $x$ に対し， \( \{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1 \) が成り立つことを示せ。\n(2) \( F(x)=e^{-x}\{f(x)+g(x)\}, G(x)=e^{x}\{f(x)-g(x)\} \) とするとき, \( F(x), G(x) \) を求めよ。\n(3) \( f(x), g(x) \) を求めよ。

数学 ( \mathbb{I} )\n-333\nEX\n209\nn が正の整数のとき, I_{n}=\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} d x とする。\n(1) I_{1} を求めよ。\n(2) 2 \\leqq x \\leqq 3 のとき, \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| のとりうる値の範囲を求めよ。また, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n} を求めよ。\n(3) I_{n+1} を I_{n} を用いて表せ。\n(4) \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n} を求めよ。\n〔関西学院大〕

練習 \ n \ は整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\) である。\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)

EX \( f_{n}(x)=(\log x)^{n}(n \) は 3 以上の整数 \( ) \) とする。ここで, $\log x$ は自然対数である。曲線 \( y=f_{n}(x) \) (161 が変曲点 \( \left(x_{0}, 8\right) \) をもつとき, $n$ と $x_{0}$ の值を求め, そのときの曲線の概形をかけ(凹凸も調べよ) 。

曲線 $y=e^{-x^{2}}$ に, 点 \( (a, 0) \) から接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $0 \leqq\left|S_{n}-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x\right| \leqq \frac{1}{n+1}$\nここで \( \quad \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x=[\log (1+x)]_{0}^{1}=\log 2, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0 \)\nよって $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|S_{n}-\log 2\right|=0$ ゆえに $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\log 2$\n\[\n\begin{array}{l}\n\leftarrow \sum_{k=1}^{n} r^{k-1}= \frac{1-r^{n}}{1-r} \\\n(r \neq 1)\n\end{array}\n\]\n\( \leftarrow \frac{1}{k(k+1)} \) を部分分数に分解。\n\n\left← 1=-1+2 \cdot 1\n\nしたがって、(2)から \( \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{2 S_{n}-1+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right\}=2 \log 2-1 \)

ライプニッツの定理を用いて, 関数 $x^{2} e^{x}$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

(6) $\frac{7^{2 x-3}}{2 \log 7}+C$

放物線 $y = 2 x - x^{2}$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。

次の関数の逆関数を求めよ。また, そのグラフをかけ。\n(1) \( y=\frac{3}{x}+2(x>0) \)\n(2) $y=\sqrt{-2 x+4}$\n(3) $y=2^{x}+1$

(1) $y=x^{3}$ の逆関数の導関数を求めよ。\n(2) $y=x^{3}+3 x$ の逆関数を \( g(x) \) とするとき, 微分係数 \( g^{\prime}(0) \) を求めよ。\n(3) 次の関数を微分せよ。\n(ア) $y=\sqrt[4]{x^{3}}$\n(イ) $y=\sqrt{x^{2}+3}$

EX関数 f(x) の逆関数を g(x) とする。 f(1)=2, f^{\prime}(1)=2 のとき, g(2), g^{\prime}(2) の値をそれぞれ求めよ。

(2) \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n は自然数， \\C は積分定数 ) であることを示せ。

f(x) が 2 回微分可能な関数のとき, \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) を f’(\\tan x), f’’(\\tan x) を用い て表せ。〔富山大〕

162 練習関数 \( f(x)=\frac{e^{k x}}{x^{2}+1} \) ( $k$ は定数)について(1) \( f(x) \) が $x=-2$ で極値をとるとき, $k$ の値を求めよ。\n(2) \( f(x) \) が極値をもつとき，kのとりうる値の範囲を求めよ。

次の関数を微分せよ。ただし, (6)の a は定数とする。 (1) y = sin x / (sin x + cos x) (2) y = log x / log x +1 (x>1) (3) y = log (sin^2 x) (4) y = log √((1 - cos x)/(1+cos x)) (5) y = 1/(cos x + e^(-x)) (6) y = log (x + √(x^2 + a^2)).

数学再\n371\n(2) $D_{2}$ の面積は\n\\[\n\\begin{aligned}\n& \\int_{\\log \\frac{1}{2}}^{-\\frac{1}{2} \\log a}\\left(e^{-x}-a e^{x}\\right) d x=\\left[-e^{-x}-a e^{x}\\right]_{\\log \\frac{1}{2}}^{-\\frac{1}{2} \\log a} \n= & -\\left(e^{\\frac{1}{2} \\log a}-e^{\\-\\log \\frac{1}{2}}\\right)-a\\left(e^{-\\frac{1}{2} \\log a}-e^{\\log \\frac{1}{2}}\\right) \n= & -(\sqrt{a}-2)-a\\left(\\frac{1}{\\sqrt{a}}-\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{1}{2} a-2 \\sqrt{a}+2\n\\end{aligned}\n\\]\n\\\leftarrow e^{-\\log \\frac{1}{2}}=e^{\\log 2}=2\\n\nよって, $D_{1}$ の面積と $D_{2}$ の面積の和を $S$ とすると\n\\[\n\\begin{aligned}\nS & =(a-2 \\sqrt{a}+1)+\\left(\\frac{1}{2} a-2 \\sqrt{a}+2\\right) \n& =\\frac{3}{2} a-4 \\sqrt{a}+3=\\frac{3}{2}\\left(\\sqrt{a}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\frac{1}{3}\n\\end{aligned}\n\\]\n$1 \\leqq a \\leqq 4$ より $1 \\leqq \\sqrt{a} \\leqq 2$ であるから, この範囲において, $S$ は $\\sqrt{a}=\\frac{4}{3}$ すなわち $a=\\frac{16}{9}$ のとき最小値 $\\frac{1}{3}$ をとる。\n\\\leftarrow \\sqrt{a} \ の 2 次式とみて,基本形に直す。

関係式 \( f(x)+\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\sin x \) を満たす微分可能な関数 \( f(x) \) を考える。 \( f(x) \) の導関数 \( f^{\prime}(x) \) を求めると, \( f^{\prime}(x)= \) ア $\square$ である。また, \( f(0)= \) 亿

練習\n曲線 $y=x e^{x}$ に, 点 \( (a, 0) \) から接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

134 (1) \frac{1}{x} (2) \frac{1}{x \log 10} (3) \frac{2 x}{x^{2}-1} (4) \frac{3(\log x)^{2}}{x} (5) -\frac{\tan x}{\log 2} (6) \frac{1}{x \log x} (7) \frac{2}{\cos x} (8) 6 e^{6 x} (9) -\frac{4}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}} (10) (-2 \log a) a^{-2 x+1} (11) e^{x}(\cos x-\sin x)

練習 (4196) `-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}` とする。`f^{\prime}(x)=\left|\tan ^{2} x-1\right|, f(0)=0` であるとき、`f(x)` を求めよ。

練習 ｎを２以上の自然数とする。\n(1) 定積分 $\int_{1}^{n} x \log x d x$ を求めよ。

不定積分 $\int e^{2 x+e^{x}} d x$ を求めよ。

練習 n を自然数とする。次の関数の第 n 次導関数を求めよ。 (1) y=\log x (2) y=\cos x

練習 次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \\(\\sqrt{1+x}<1+\\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x}<1+x+\\frac{e}{2} x^{2}(0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x}>x^{2}(x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x>x-\\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)

自然数 $n$ を用いて, 次の関数 \( y=(1-7 x)^{-1} \) の第 $n$ 次導関数 \( y^{(n)} \) を求めよ。

f(x)=3 分の 1x3+2log|x| になる部分を求めます。

総合 \n\ n \ は 2 以上の自然数とする。関数 \ y=e^{x} \ \n(1), \ y=e^{n x}-1 \ \n(2) について \n54 \n(1) (1) と (2)のグラフは第 1 象限においてただ 1 つの交点をもつことを示せ。 \n(2) (1) で得られた交点の座標を \\( \\left(a_{n}, b_{n}\\right) \\) とする。 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ と \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n} \ を求めよ。 \n(3) 第 1 象限内で (1) と ② のグラフおよび \ y \ 軸で囲まれた部分の面積を \ S_{n} \ とする。このとき \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n} \ を求めよ。

EX EX 関数 f(x)=a e^{2 x}(a は定数 ) について, 曲線 y=f(x) 上の点 (b, f(b)) における接線が y=x で ③15 あるとき. 次の各問いに答えよ。 (1) a と b の値を求めよ。 (2) y=f(x) の逆関数を y=f^{-1}(x) と表す。このとき, 曲線 y=f(x), y=f^{-1}(x), x 軸および y 軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。 〔宮崎大〕 HINT (2) (1) の結果を利用。また, 2 曲線 y=f(x), y=f^{-1}(x) は, 直線 y=x 上の点 (b, f(b)) に おいて接し, 直線 y=x に関して対称である。

(2) \( \frac{1}{4}(3 x+2) \sqrt[3]{3 x+2}+C \)

練習 (1) 放物線 $y^{2}-4 x+2 t y+5 t^{2}-4 t=0$ の焦点 $\mathrm{F}$ は， $t$ の値が変化するとき、どんな曲線上を動くか。

関数 f(x)=e^(kx)/(x²+1) (k は定数) について、次の問いに答えなさい。 (1) f(x) が x=−2 で極値をとるとき、k の値を求めよ。 (2) f(x) が極値を持つとき、k のとりうる値の範囲を求めよ。

EX 関数 \( f(x)=a x+x \\cos x-2 \\sin x \\) は \\frac{\\pi}{2} \ と \\pi \ の間で極値をただ 1 もつことを示せ。ただし. -1<a<1 \ とする。〔類 前橋工科大〕

次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{1}{4 x^{2}-12 x+9} d x$ (2) $\int \sqrt[3]{3 x+2} d x$ (3) $\int e^{-2 x+1} d x$ (4) \( \int \frac{1}{\sqrt[3]{(1-3 x)^{2}}} d x \) (5) \( \int \sin (3 x-2) d x \) (6) $\int 7^{2 x-3} d x$

3134nを自然数とする。関数 y=\\frac{1}{1-7 x} の第 n 次導関数 y^{(n)} を求めよ。

②26曲線 y=a log x(a>0) と x 軸および直線 x=e で囲まれた部分を D とする。 D を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を V1, D を y 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を V2 とする。(1) V1 と V2 を求めよ。(2) V1=V2 となるとき, a の値を求めよ。

EXERCISES 255 24 平均値の定理 (2)150 \( f(x)=\\sqrt{x^{2}-1} \\) について, 次の問いに答えよ。ただし， x>1 \ とする。 (1) \( \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\\prime}(c), 1<c<x \\) を満たす c \ を x \ の式で表せ。 (2) (1)のとき, \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1} \ および \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1} \ を求めよ。〔類 信州大〕

EX 関係式 \( f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x \\) を满たす微分可能な関数 \( f(x) \\) を考える。 \( f(x) \\) の導関数 \( f^{\\prime}(x) \\) を求めると、 \( f^{\\prime}(x)= \\square \\) である。また, \( f(0)=1 \\square \\) であるから， \( f(x)= \\square \\) であ る。\n(横浜市大)\n与えられた関係式を変形すると\n\n\\[ f(x)+e^{x} \\int_{0}^{x} f(t) e^{-t} d t=\\sin x \\]\n\nこの両辺を x \ で微分すると\n\n\\[ f^{\\prime}(x)+e^{x} \\int_{0}^{x} f(t) e^{-t} d t+e^{x} \\cdot f(x) e^{-x}=\\cos x \\]\n\nすなわち \( \\quad f^{\\prime}(x)+f(x)+e^{x} \\int_{0}^{x} f(t) e^{-t} d t=\\cos x \\)\n(1)を代入すると \( \\quad f^{\\prime}(x)+\\sin x=\\cos x \\)\n\nよって \( \\quad f^{\\prime}(x)= ア \\cos x-\\sin x \\)\nまた, (1)の両辺に x=0 \ を代入すると \( \\quad f(0)=\\uparrow 0 \\)\n \\leftarrow e^{x} \ を定数とみて, 定積分の前に出す。\n\n\\[\\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} g(t) d t=g(x) \\]\n公式 \( (u v)^{\\prime}=u^{\\prime} v+u v^{\\prime} \\) も 利用。\n\\[\\leftarrow \\int_{0}^{0} g(t) d t=0 \\]

(1) 数直線上を点 1 から出発して $t$ 秒後の速度 $v$ が \( v=t(t-1)(t-2) \) で運動する点 $\mathrm{P}$ がある。出発してから 3 秒後の $\mathrm{P}$ の位置はア $\square$ であり, $\mathrm{P}$ が動いた道のりはイ $\square$ である。\n\n(2) 重力の加速度を $g$ とする。 $t$ 秒後の加速度 $\frac{1}{1+t}$ をもつロケットを, 初速度 $v_{0}$ で地上から真上に打ち上げた。 $t$ 秒後のロケットの速度と高さを求めよ。