AIチューター | ヤロウゼ、宿題!
関数と解析
高度な関数 - 指数関数と対数関数
Q.01
PR (1) 次の直線および放物線を, 軸方向に \-3, y \ 軸方向に1 だけ平行移動して得られる直線お(254よび放物線の方程式を求めよ。\n\n(ア) 直線 y=2 x-3\\n(化 放物線 y=-x^{2}+x-2\\n(2)\\(x) 軸方向に\2, y\軸方向に−1 だけ平行移動すると放物線y = -2x^{2}+3\ に重なるような放物線の方程式を求めよ。
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(2) 個のチョコレートの販売にかかる総費用 \( c(y) \) は, \( c(y)=y^{2} \) で表される。このとき, A 社の利益 (売上から総費用を引いた差) が最大となる販売価格pの値,および,そのときの販売個数 の値を求めよ。
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放物線 を 軸に関して対称移動し, さらに 軸方向に 軸方向に 4 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
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63 (2) g(\sqrt{2})=7-4 \sqrt{2}, g(-3)=33, g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}, g(1-a)=2 a^{2}+1
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例題 30 では, まず, それぞれの項の分母を有理化してから計算していまし たが, 例題 31 (1) では, 分母を有理化しないまま計算をしています。その理由について考えてみましょう。
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点 (1,2) を通り傾き a の直線と放物線 y=x^{2} によって囲まれる部分の面積を S(a) とする。 a が 0 ≤ a ≤ 6 の範囲を変化するとき、S(a) を最小にするような a の値を求めよ。
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次の関数のグラフをかき,関数 のグラフとの位置関係を述べよ。\n(1) \n(2) \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} \)\n(3)
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次の方程式を解け。
(1)
(2)
(3) \( \log _{3}\left(x^{2}+6 x+5\right)-\log _{3}(x+3)=1 \)
(4) \( \log _{2}(3-x)-2 \log _{2}(2 x-1)=1 \)
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次の関数のグラフをかき, 関数 のグラフとの位置関係を述べよ。\n(1) \n(2) \n(1) \( \log _{2} \frac{x-1}{2}=\log _{2}(x-1)-1 \)\nよつて, のグラフは, のグラフを 軸方向に 軸方向に -1 だけ平行移動したものである。\n\[\n\begin{array}{l}\n\qquad \log _{2} \frac{x-1}{2} \\\n=\log _{2}(x-1)-\log _{2} 2\n</array}\n\]
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PRACTICE 154 (1) 次の式を簡単にせよ。
(ア)
(イ) \((\log _{3} 4+\log _{9} 16)(\log _{4} 9+\log _{16} 3)\)
(カ)
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方程式 \( \log _{2} x-\log _{4}(2 x+a)=1 \) が相異なる2つの実数解をもつための実数 の値の範囲を求めよ。
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1 < a < b < a^2 のとき, log_a b, log_b a, log_a(a/b), log_b(b/a), 0, 1/2, 1 を小さい順に並べよ。[自治医大] a < b < a^2 の各辺は正であるから, 各辺の a を底とする対数を とると, a > 1 より log_a a < log_a b < log_a a^2 すなわち 1 < log_a b < 2 log_a b = 1 / log_b a であるから 1 < 1 / log_b a < 2 逆数をとって 1/2 < log_b a < 1 また log_a(a/b) = 1 - log_a b
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次の式を簡単にせよ。
(ア)
(イ) \( \left(\log _{3} 4+\log _{9} 16\right)\left(\log _{4} 9+\log _{16} 3\right) \)
(ウ)
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対数の計算について
の公式は自明?
具体例で確かめてみると, と成り立っている。
一般的には次のように証明される。
証明 (1) とすると
(1)のpに (2) を代入すると
次のように考えることもできる。
になる正の数であると定義されている記号であるから,実際に 2 乗すれば に なるのは当然のことである。
同様に, の 記号は, 底の を何乗すると 真数の になるかを表す記号 であるから, は 2 を何乗すると 8 になるかを考えれば, だから と答えられる。
は, 数であり,実際に を乗しているのだから になる はずである。すなわち, は自明なことである。
数学では, 事柄が記号で表されるので, その記号がいったい何を表して いる記号なのかをきちんと押さえることが大切です。
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関数 \( y=\left(\log _{2} \frac{x}{2}\right)\left(\log _{2} \frac{x}{8}\right)\left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 8\right) \) の最大値, 最小値と, そのときの の値を求めよ。
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PRACTICE 189° f(x)=a x^{2}(x-3)+b(a≠0) の区間 -1 ≤ x ≤ 1 における最大値が 5 , 最小値が -7 であるように, 定数 a, b の値を定めよ。
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とするとき, \( (\log_{10} 100)^{2 \log_{2} 7} + \log_{10} 720 \) を で表せ。
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PRACTICE 158
次の方程式を解け。
[(1) 慶応大]
(1)
(2)
(3) \( \log _{3}\left(x^{2}+6 x+5\right)-\log _{3}(x+3)=1 \)
(4) \( \log _{2}(3-x)-2 \log _{2}(2 x-1)=1 \)
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確率変数 が正規分布 \(N(m, \sigma^2)\) に従うとき\n\\[P(m-k\sigma \leqq X \leqq m+k\sigma)\\] の値が, の値によらずに のみの関数になっていることを示す。
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3) 次の対数関数のグラフとその性質について説明しなさい。
(a) 対数関数 のグラフは、指数関数 のグラフとどのような関係にありますか?
(b) および の場合、それぞれの対数関数のグラフの形状について述べなさい。
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1550 1/3 ≤ x ≤ 3 で定義された関数 y=-2(log₃ 3x)³+3(log₃ x+1)²+1 がある。関数 y の最大値と最小値, およびそのときの x の値を求めよ。
[長崎大]
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次のグラフの概形として最も適当なものを, (0)〜(5)のうから1つずつ選 べ。ただし,同じものを選んでもよい。
(1)関数 \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \) のグラフを,縦軸のみを対数目盛で表す。
(2)関数 \( y=x^{2}(x>0) \) のグラフを,横軸と縦軸のいずれも対数目盛で表す。
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2 つの放物線で囲まれる部分の面積を S(a) とする。 2 つの放物線の共有点の x 座標を α, β (α < β) とすると,右の図から
S(a) = ∫_{α}^{β} { -2(x - a)^2 + 3a - x^2 } dx
= -3 ∫_{α}^{β} (x - α)(x - β) dx
= -3・( -(1/6) ) (β - α)^3
= (1/2)(β - α)^3
2 次方程式 (1) の解は x = (2a ± √(-2a^2 + 9a))/3 α, β は (1) の解であるから
β - α = (2a + √(-2a^2 + 9a))/3 - (2a - √(-2a^2 + 9a))/3
= (2/3) √(-2a^2 + 9a)
ゆえに S(a) = (1/2)((2/3)√(-2a^2 + 9a))^3 = (4/27)(-2a^2 + 9a)^(3/2)
-2a^2 + 9a = -2(a - (9/4))^2 + (81/8) であるから, 0 < a < 9/2 の範囲において, -2a^2 + 9a は a = 9/4 で最大となり, このとき S(a) も最大となる。
よって, S(a) は a = 9/4 で最大値
S(9/4) = (4/27)((81/8))^(3/2) = (4/27) ・ (81/8) √(81/8) = 27√2/8 をとる。
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1) 次の対数の基本事項に関する質問に解答しなさい。公式に基づいて以下の式の対数を求めよ。
(a) のとき、 を用いて の値を求めよ。
(b) の公式を用いて の値を求めよ。
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次の関数のグラフをかき, 関数 y=\log _{2} x のグラフとの位置関係を述べよ。
(1) y=\log _{2}(x+1)
(2) y=\log \frac{1}{2} 4 x
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(3) 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数 n は, 曲線 y=f(x) と x 軸の共有点の個数に一致する。(1)により, a ≤0 のとき n=1 (2)により, a>0 のとき極小値 -4√2a3/2+16 は a の値によっ て, 正, 0 , 負いずれの場合もあるから n=1,2,3 したがって, (1), (2)をまとめると, n=1 ならば a<0, a=0, a>0 いずれもありうる n=2 ならば a>0 に限られる n=3 ならば a>0 に限られる
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数学II\n(1) を変形すると \( b_{n+1}-\\frac{7}{6}=\\frac{1}{2}\\left(b_{n}-\\frac{7}{6}\\right) \)\nゆえに, 数列 は初項 , 公比 ...
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(3)与えられた等式を (1) とすると, (1) は\\[ f(x) = \\frac{1}{2} x + \\int_{0}^{x} t \\sin t d t - x \\int_{0}^{x} \\sin t d t \\]\nこの両辺を \ x \ で微分すると\\[ f^{\\prime}(x) = \\frac{1}{2} + x \\sin x - \\int_{0}^{x} \\sin t d t - x \\sin x \\]\n\ = \\frac{1}{2} - [-\\cos t]_{0}^{x} = \\cos x - \\frac{1}{2} \\nよって \\[ f(x) = \\int\\left(\\cos x - \\frac{1}{2}\\right) d x = \\sin x - \\frac{1}{2} x + C \\]\nよって \\[ f(x) = \\int\\left(\\cos x - \\frac{1}{2}\\right) d x = \\sin x - \\frac{1}{2} x + C \\]\nここで, 等式 (1) の両辺に \ x = 0 \ を代入して \\[ f(0) = 0 \\]\n(2) から \ C = 0 \\nしたがって \\[ f(x) = \\sin x - \\frac{1}{2} x \\]
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演習問題 の解答 67 (2) \frac{\pi \sqrt{1+\pi^{2}}+\log \left(\pi+\sqrt{1+\pi^{2}}\right)}{2}
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例題 136 接線と面積\n曲線 が曲線 と接するように定数 の値を定めよ (ただし, )。 また, そのとき, これらの曲線と 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。\n[信州大]
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次の不定積分を求めよ。(3), (4) では \ a \\neq 0, b \\neq 0 \ とする。\n(1) \ \\int e^{-x} \\cos x d x \\n(2) \\( \\int \\sin (\\log x) d x \\)\n(3) \ \\int e^{a x} \\sin b x d x \\n(4) \ \\int e^{a x} \\cos b x d x \
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一一 数学 \n(3) \( f(x)=\\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}}(x \\geqq 0) \) とすると\n\( f^{\\prime}(x)=\\frac{\\sqrt{1+x^{2}}-\\frac{x^{2}}{\\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}}=\\frac{1}{\\left(1+x^{2}\\right) \\sqrt{1+x^{2}}}>0 \) であるから,関数 \( y=f(x) \) は単調に増加する。\n点 \( \\mathrm{P}_{k}(k, 0), \\mathrm{Q}_{k}(k, f(k)), \\mathrm{R}_{k-1}(k-1, f(k)) \) とする。(ただし, \( k=1,2, \\cdots \\cdots, n) \n長方形 の面積を とすると\n\( \\begin{aligned} & \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<S_{k} \\text { よって } \quad & \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<\\frac{k}{\\sqrt{1+k^{2}}}\\end{aligned} \)\nゆえに \( \\quad \\sum_{k=1}^{n} \\int_{k-1}^{k} f(x) d x<\\sum_{k=1}^{n} \\frac{k}{\\sqrt{1+k^{2}}} \\)\n\( =\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\frac{3}{\\sqrt{10}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}} \nここで \( \\quad \\sum_{k=1}^{n} \\int_{k-1}^{k} f(x) d x=\\int_{0}^{n} f(x) d x=\\int_{0}^{n} \\frac{x}{\\sqrt{1+x^{2}}} d x \)\n\( =\\frac{1}{2} \\int_{0}^{n} \\frac{\\left(1+x^{2}\\right)^{\\prime}}{\\sqrt{1+x^{2}}} d x=\\left[\\sqrt{1+x^{2}}\\right]_{0}^{n} \)\n =\\sqrt{1+n^{2}}-1 \nゆえに \( \\sqrt{1+n^{2}}-1<\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\frac{3}{\\sqrt{10}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}}\( \n練習 \( 131 \\Rightarrow 本冊 (1) \( a_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x=[\\tan x-x]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}=1-\\frac{\\pi}{4} \n(2) \( a_{n+1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n+2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x \\tan ^{2} x d x \n\( \\begin{array}{l}\n=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \\ =\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} x} d x-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x d x \\ =\\left[\\frac{1}{2 n+1} \\tan ^{2 n+1} x\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}-a_{n}=-a_{n}+\\frac{1}{2 n+1} \n\\end{array} \n(3) のとき 0 \\leqq \\tan x \\leqq 1 \nよって \( 0 \\leqq \\tan ^{2 n+2} x \\leqq \\tan ^{2 n} x \nゆえに \( 0 \\leqq \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n+2} x d x \\leqq \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{2 n} x d x \nよって \( 0 \\leqq a_{n+1} \\leqq a_{n} \n与えられた不等式の右辺の最後の項 \( \\frac{n}{\\sqrt{1+n^{2}}} から, 関数 の利用を考える。\n\( 4 \\int \\frac{d x}{\\cos ^{2} x}=\\tan x+C \n
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y=log_{1/2} (x) とする。
x について解くと x=(1/2)^y
求める逆関数は,x と y を入れ替えて y=(1/2)^x すなわち y=2^{-x}
グラフは,図の(2)である。
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問題 47 関数 \\( f(x)=2 \\log \\left(1+e^{x}\\right)-x-\\log 2 \\) を考える。(1) \\( f(x) \\) の第 2 次導関数を \\( f^{\\prime \\prime}(x) \\) とする。等式 \\( \\log f^{\\prime \\prime}(x)=-f(x) \\) が成り立つことを示せ。(2) 定積分 \\( \\int_{0}^{\\log 2}(x-\\log 2) e^{-f(x)} d x \\) を求めよ。[類 大阪大]
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(2)\n\\[\\begin{array}{l}\nI_{n}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x \\tan ^{2} x d x=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \n=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x(\\tan x)^{\\prime} d x-\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan ^{n-2} x d x \n=\\left[\\frac{1}{n-1} \\tan ^{n-1} x\\right]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}-I_{n-2}=\\frac{1}{n-1}-I_{n-2} \n\\text { また } \\quad I_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=[-\\log (\\cos x)]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \n\\quad=-\\log \\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2} \\log 2\n\\text { よって } \\quad I_{3}=\\frac{1}{2}-I_{1}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\log 2\nまた \\( \\quad I_{1}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\frac{\\sin x}{\\cos x} d x=[-\\log (\\cos x)]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\)\n\\よって \ \\quad I_{3}=\\frac{1}{2}-I_{1}=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2} \\log 2 \\n更に \\( \\quad I_{2}=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x=[\\tan x-x]_{0}^{\\frac{\\pi}{4}}=1-\\frac{\\pi}{4} \\)\nゆえに \\( \\quad I_{4}=\\frac{1}{3}-I_{2}=\\frac{1}{3}-\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{\\pi}{4}-\\frac{2}{3} \\)\n練習 \ 117 \\Rightarrow \ 本冊 \ p .476 \\n(1) \ x=\\frac{\\pi}{2}-t \ とおくと \ \\quad d x=-d t \ \ x \ と \ t \ の対応は右のようになる。
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f’(x) = 1/ log x^3 (x^3 )’ - 1/ log x^2 (x^2 )’ = 1/(3 log x) * 3 x^2 - 1/(2 log x) * 2 x = ( x^2 - x ) / log x
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逆三角関数と定積分\n 上の [4] [6] を公式として用いて, 次の定積分を求めてみよう。\n 例 \( \\int_{1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+3}=\\left[\\frac{1}{\\sqrt{3}} \\tan ^^{-1} \\frac{x}{\\sqrt{3}}\\right]_{1}^{\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\left(\\frac{\\pi}{4}-\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\frac{\\sqrt{3}}{36} \\pi \)
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次の不定積分を求めよ。(1) (2) \( \\int(x+1)^{2} \\log x \\, dx \) (3)
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検 スターリングの公式 際 練習 130 (2) の不等式 \( n \log n-n+1 \leqq \log (n!) \leqq(n+1) \log n-n+1 \) から ログ n^{n}-n+1 \leqq ログ (n!) \leqq ログ n^{n}+\ログ n-n+1 ゆえに \( \quad \frac{-n+1}{n} \leqq \frac{\log (n!)-\log n^{n}}{n} \leqq \frac{\log n-n+1}{n} \) から \( \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\log (n!)-\log n^{n}}{n}=-1 \) よって, \( \log (n!) \fallingdotseq \log n^{n}-n=\log n^{n}-\log e^{n}=\log \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \) から \( \quad n!\doteqdot\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \) この近似式は,スターリングの公式と呼ばれ,階乗を指数関数で近似する意味がある。
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(8) \( y^{\\prime}=\\frac{(\\log x)^{\\prime} \\cdot x-\\log x \\cdot(x)^{\\prime}}{x^{2}}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-\\log x \\cdot 1}{x^{2}} \\)\\n\\\n=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\n\
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重要例面 量と積分\n曲線 の の部分を 軸の周りに 1 回転してできる容器に, 単位時間 あたり (正の定数) の割合で水を注ぐ。水の深さが のときの水の体積を , 水面の面積を とする。\n(1) \( \int(\log y)^{2} dy\) を求めよ。\n(2) を で表せ。\n(3) が となる瞬間の水面の広がる速さを求めよ。\n[芝浦工大]\n\n指鋪(3)水面の広がる速さは であるが, を の式で表すのは難しそう。そこで, (2)を ヒントにして, を利用して求める。
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次の不定積分を求めよ。
95
(6) \( \int\left(5 e^{x}-7^{x}\right) d x \)
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(1) 関数 \\( F(x)=\\frac{1}{2}\\left\\{x \\sqrt{x^{2}+1}+\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)\\right\\}, x>0 \\) の導関数を求めよ。\n(2) \ x y \ 平面上の点 \ \\mathrm{P} \ は, 方程式 \ x^{2}-y^{2}=1 \ で表される曲線 \ C \ 上にあり, 第 1 象限の 点である。原点 \ \\mathrm{O} \ と点 \ \\mathrm{P} \ を結ぶ線分 \ \\mathrm{OP}, x \ 軸, および曲線 \ C \ で囲まれた図形の 面積が \ \\frac{s}{2} \ であるとき, 点 \ \\mathrm{P} \ の座標を \ s \ を用いて表せ。
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(2)\n\\[\\begin{aligned}\n\\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x}= & \\frac{\\cos x+2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x}=\\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x \\\\\n\\sin x=t \\text { とおくと } & \\cos x d x=d t \\\\\n\\int \\frac{\\cos x+\\sin 2 x}{\\sin ^{2} x} d x & =\\int \\frac{1+2 \\sin x}{\\sin ^{2} x} \\cdot \\cos x d x=\\int \\frac{1+2 t}{t^{2}} d t \\\\\n& =\\int\\left(\\frac{1}{t^{2}}+\\frac{2}{t}\\right) d t=-\\frac{1}{t}+2 \\log |t|+C \\\\\n& =-\\frac{1}{\\sin x}+2 \\log |\\sin x|+C\n\\end{aligned}\\]
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別解 本冊 例題 152 の等式 (1) を利用する (1) \( V=2 \pi \int_{0}^{\pi} x\{\cos x-(-1)\} d x \)
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4 \int \frac{1-x}{x} d x \n=\int\left(\frac{1}{x}-1\right) d x \n=\log |x|-x+C
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(2) \ e^{x}+1=t \ とおくと、\ e^{x}=t-1, e^{x} dx = dt \\n\\[ \\int \\frac{e^{2x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, dx = \\int \\frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^2} \\, e^{x} \\, dx= \\int \\frac{t-1}{t^2} \\, dt \\)\n\\ = \\int \\left( \\frac{1}{t} - \\frac{1}{t^2} \\right) \\, dt \\) \n\\ = \\log |t| + \\frac{1}{t} + C \\) \n\\ = \\log (e^{x}+1) + \\frac{1}{e^{x}+1} + C \\]
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置換積分法の公式 (2) を用い, 次の積分を求めよ。\n\n \( \int (2x+3)^5 \cdot 2 dx \)
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(2) 数列 \ \left\{I_{n}\right\} \ を \\( I_{n}=\int_{0}^{n} f_{n}(x) d x \\) で定める。 \ 0 \leqq x \leqq 1 \ のとき \\( \log (1+x) \leqq \log 2 \\) であることを用いて数列 \ \left\{I_{n}\right\} \ が収束することを示し,その極限値を求めよ。 ただし, \ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x}=0 \ であることは用いてよい。
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関数\( f(x)=\\frac{1}{1+e^{-x}} \)について, 次の問いに答えよ。\n(1) 導関数 \( f^{\\prime}(x) \)の最大値を求めよ。\n(2) 方程式 \( f(x)=x \)はただ1つの実数解をもつことを示せ。\n(3) 漸化式 \( a_{n+1}=f\\left(a_{n}\\right)(n=1,2,3, \\cdots \\cdots) \)で与えられる数列 は, 初項の 値によらず収束し,その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ。
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よって \\[ \\int_{0}^{1} t f(t) d t = \\int_{0}^{1}(t \\sin \\pi t + a t) d t \\]\n\\[ = \\int_{0}^{1} t\\left(-\\frac{\\cos \\pi t}{\\pi}\\right)^{\\prime} d t + a \\int_{0}^{1} t d t \\]\n\ =\\left[-\\frac{t \\cos \\pi t}{\\pi}\\right]_{0}^{1} + \\int_{0}^{1} \\frac{\\cos \\pi t}{\\pi} d t + a\\left[\\frac{t^{2}}{2}\\right]_{0}^{1} \\]\n\\[ = \\frac{1}{\\pi} + \\left[\\frac{\\sin \\pi t}{\\pi^{2}}\\right]_{0}^{1} + \\frac{a}{2} = \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} \\]\nゆえに \\[ \\frac{1}{\\pi} + \\frac{a}{2} = a \\] これを解いて \\[ a = \\frac{2}{\\pi} \\nしたがって \\[ f(x) = \\sin \\pi x + \\frac{2}{\\pi} \\]
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次の不等式を証明せよ。\n(ア) のとき \( x \log x \geqq(x-1) \log (x+1) \)
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重要㑬题 115 逆関数と定積分\n で定義された関数 の逆関数を \( y=g(x) \) とするとき, \( \int_{2}^{4} g(x) d x \) を求めよ。
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綀習 102 \Rightarrow 本冊 p .453\n(1) \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ とおくと \\( \\left(1+\\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\right) d x=d t \\)\nゆえに \ \\quad \\frac{\\sqrt{x^{2}+1}+x}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = d t \\nよって \ \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\frac{1}{t} d t \\nしたがって \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x = \\int \\frac{1}{t} d t=\\log |t|+C \\n\\[ =\\log \\left( x+\\sqrt{x^{2}+1} \\right)+C \\]
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(2) (-x) e^((-x)^2) = -x e^(x^2) であるから, x e^(x^2) は奇関数である。
よって ∫_(-2)^(2) x e^(x^2) dx = 0
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数学 \n練習 本冊 \n\( (x-1)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=\cos ^{2} t \)\n(2) とする。\n(1)-(2) から\n\n\[2 x-1=\sin ^{2} t-\left(1-\sin ^{2} t\right)\]\n\nゆえに\n\n\n\n\( (1) から \)\n\n\[y^{2}=4\left(\sin ^{2} t-x^{2}\right)\]\n\nこれに (3)を代入して\n\n\[y^{2}=4 \left(\sin ^{2} t - \sin ^{4} t \right) = 4 \sin ^{2} t \left(1 - \sin ^{2} t \right)=4 \sin ^{2} t \cos ^{2} t=\sin ^{2} 2t \]\nよって、棈円 (1), (2) の交点の座標は\n\n\(\left( \sin ^{2} t , \pm \sin 2t \right)\)\n\nまた, (1)から \(x^{2}=\frac{1}{4} \left(4 \sin ^{2} t - y^{2}\right)\)\nゆえに\n\n\n\n(2) から\n\n\[(x-1)^{2} = \frac{1}{4} \left(4 \cos ^{2} t - y^{2} \right)\]\nゆえに \n\n\n\nよって\n\n\[S(t)= \int_{-\sin 2t}^{\sin 2t}\left\{\frac{1}{2}\sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} - \left(1 - \frac{1}{2}\sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}}\right)\right\} dy\]\n\n = \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} dy + \int_{0}^{\sin 2t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy - 2 [y]_{0}^{\sin 2 t}\]\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy \n\n上の図から\n\n\[ S(t)=\frac{1}{2}(2 \sin t)^{2} \left( \frac{\pi}{2} - t \right) + \frac{1}{2} \sin 2t \left(2 \sin ^{2} t \right)\]\n\[ + \frac{1}{2}(2 \cos t)^{2} t + \frac{1}{2} \sin 2t \left(2 \cos ^{2} t \right) - 2 \sin 2t \]\n\[=\pi \sin ^{2} t + 2t \left( \cos ^{2} t - \sin ^{2} t \right) + \sin 2t \left( \sin ^{2} t + \cos ^{2} t \)\n -2 \sin 2t \]\n\[=\pi \sin ^{2} t + 2 t \cos 2t - \sin 2t \n を消去する方針。\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \sin ^{2} t - y^{2}} dy \text {, }\n\[ \int_{0}^{\sin 2 t} \sqrt{4 \cos ^{2} t - y^{2}} dy \text { は }\nそれぞれ図の灰色部分の 面積を表す。本冊 D. 465 参照。
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数列 \( \left\{\left(\\frac{x^{2}+2 x-5}{x^{2}-x+2}\right)^{n}\right\} \) が収束するように,実数 の値の範囲を定めよ。また,そのときの極限値を求めよ。
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この直線が点 \( (0, Y(a)) \) を通るから \( \quad Y(a)=\left(a^{2}+1\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}} \)\n\\[\n\\begin{aligned}\nY^{\\prime}(a) & =2 a \\cdot e^{-\frac{a^{2}}{2}}+\\left(a^{2}+1\\right) \\cdot\\left(-a e^{-\frac{a^{2}}{2}}\\right) \n& =-a(a+1)(a-1) e^{-\frac{a^{2}}{2}}\n\\end{aligned}\n\\]\n において, \( Y^{\\prime}(a)=0 \) とすると \n における \( Y(a) \) の増減表は右のようになる。\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c}\n\\hline & 0 & & 1 & \n\\hline\( Y^{\\prime}(a) \) & & + & 0 & - \n\\hline\( Y(a) \) & & & & \n\\hline\n\\end{tabular}\n\nここで, とおくと\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\lim _{a \\rightarrow \\infty} Y(a) & =\\lim _{a \\rightarrow \\infty}\\left(a^{2}+1\\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}}=\\lim _{t \\rightarrow \\infty}(2 t+1) e^{-t} \n& =\\lim _{t \\rightarrow \\infty}\\left(2 t e^{-t}+e^{-t}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\n であるから\n\\[\n\\lim _{a \\rightarrow \\infty} Y(a)=2 \\cdot 0+0=0\n\\]\nまた, \( \\lim _{a \\rightarrow+0} Y(a)=1 \) であるから, 求める \( Y(a) \) のとりうる値の範囲は \( \quad 0<Y(a) \\leqq 2 e^{-\frac{1}{2}} \)\n(2) (1) で とすると \( a e^{-\frac{a^{2}}{2}} x=\\left(a^{2}+1\\right) e^{-\frac{a^{2}}{2}} \) であるから \nよって, と 軸の交点の 座標は \n と が 軸上で交わるとき \n分母を払って \( \quad b\\left(a^{2}+1\\right)=a\\left(b^{2}+1\\right) \)\nゆえに\n\( b a^{2}-\\left(b^{2}+1\\right) a+b=0 \)\nよって\n\( (a-b)(a b-1)=0 \)\n より, であるから 更に, であるから \nこれと から \n以上から \( \quad b=\\frac{1}{a}(0<a<1) \)\n(3) (2)より であるから \( Z(a)=Y(a)-Y\\left(\\frac{1}{a}\\right) \)\nここで, (1)より \( \\lim _{a \\rightarrow+0} Y(a)=1 \)\nまた \( \quad \\lim _{a \\rightarrow+0} Y\\left(\\frac{1}{a}\\right)=\\lim _{b \\rightarrow \\infty} Y(b)=0 \)\nよって \( \quad \\lim _{a \\rightarrow+0} Z(a)=1-0=1 \)\n更に \( \\frac{Z^{\\prime}(a)}{a}=\\frac{1}{a} \\cdot \\frac{d}{d a}\\left\\{Y(a)-Y\\left(\\frac{1}{a}\\right)\\right\\} \n\\]\n\nここで終わりにしては いけない。\n\ \\varangle a \\longrightarrow+0 \ のとき \\frac{1}{a} \\longrightarrow \\infty \
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35. 次のベクトル v と α を求めよ。\n(1) \( \vec{v}=\left(e^{t}(\cos t-\sin t), e^{t}(\sin t+\cos t)\right) \), \( \vec{\alpha}=\left(-2 e^{t} \sin t, 2 e^{t} \cos t\right) \)
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練習 \n(1) の関数 \( f(x) \) を \( f(x)=\\left(-\\frac{1}{\\alpha} x-\\frac{1}{\\alpha^{2}}\\right) e^{-\\alpha x}(\\alpha \\) は定数) とするとき, \( f(x) \) の導関数 \( f^{\\prime}(x) \) を利用して不定積分 \\int x e^{- \\alpha x} d x \ を求めよ。\n(2) の関数 \( g(x) \) を \( g(x)=\\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\\right) e^{-\\alpha x}(a, b, c, d \\) は定数 \\) とする とき, \( g(x) の導関数 \\) を利用して不定積分 \ \\int x^{3} e^{- \\alpha x} d x \ を求めよ。ただし, \ \\alpha \ は定数で \ \\alpha \\neq 0 \ とする。\n(3) \ \\alpha=1 \ とし,不定積分 \ \\int x^{n} e^{-\\alpha x} d x \ ( \ n \ は自然数)を求めよ。
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練習 163
\[
y=\log (\cos x) \text { から } \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{d x}{d t} \]
速さ 1 から \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}=1^{2} \)
よって \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\tan ^{2} x\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=1 \)
ゆえに \( \quad\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=\frac{1}{1+\tan ^{2} x}=\cos ^{2} x \)
であり, で であるから
両辺を で積分すると
ここで
\[
\begin{array}{l}
=\frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}\right)(\sin x)^{\prime} d x \\
=\frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C
\end{array}\]
ゆえに, (2)
のとき であるから
よって, のとき
ゆえに これと から
このとき \( \quad y=\log \left(\cos \frac{\pi}{6}\right)=\log \frac{\sqrt{3}}{2} \)
したがって, 求めるPの座標は \( \quad\left(\frac{\pi}{6}, \log \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
次に, を(1)に代入して
よって
の加速度ベクトルの大きさ は
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}}=\frac{d x}{d t} \\
t=\frac{1}{2} \log 3 \text { として } \quad|\vec{\alpha}|=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\]
次に,
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例題 82 | 方程式の実数解の個数\nk を実数とするとき, x の方程式 x^{2}+3 x+1=k e^{x} の実数解の個数を求めよ。 ただし, lim _{x \rightarrow \infty} x^{2} e^{-x}=0 を用いてよい。[類横浜国大]
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(1) 2 つの曲線 で囲まれた部分を 軸の周りに 1 回転させてでき る立体の体積 を求めよ。\n(2) 曲線 を とする。曲線 , 原点 を通る曲線 の接線 軸と で囲まれた図形を 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 を求めよ。
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数学 II\n407\n[2] \ p>2 \ のとき\n\\[\\frac{d S}{d p}=p \\log p+\\frac{p}{2}=\\frac{p}{2}(2 \\log p+1)>0\\]\n[1], [2] から, Sの増減表 は右のようになる。\nよって, \ S \ は \ p=\\frac{4}{3} \ のと き最小となり, その最小値\n\\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}\n\\hline\ p \ & 1 & \ \\cdots \ & \ \\frac{4}{3} \ & \ \\cdots \ & 2 & \ \\cdots \ \\\\\n\\hline\ \\frac{d S}{d p} \ & & - & 0 & + & & + \\\\\n\\hline\ S \ & & \ \\searrow \ & 極小 & \ \\nearrow \ & 1 & \ \\nearrow \ \\\\\n\\hline\n\\end{tabular}\n\\\begin{\overlineray}{l}\n\\text { p= } \\frac{4}{3} \\text { のとき } \\\\\na=\\frac{16}{9} \\log \\frac{4}{3}\n\\end{\overlineray}\\n\\[\\begin{aligned}\n& \\frac{8}{3} \\log \\frac{4}{3}-\\frac{16}{3} \\log \\frac{4}{3}+\\frac{8}{3}+2 \\log 2-3 \\\\\n= & \\frac{1}{3}(8 \\log 3-10 \\log 2-1)\n\\end{aligned}\\]
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\\log _{2}(2 x+1) \)\n(2) \n(3) \( y=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+4}\\right) \)\n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \n(8) \n(9)
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(1) \ \\sqrt{x+1}=t \ とおくと \ t^{2}=x+1 \\n\\[ よって、x=t^{2}-1, d x = 2 t d t \\) \\ \n\\int (2 x+1) \\sqrt{x+1} dx = \\int \\{2(t^{2}-1)+1\\} t \\cdot 2 t d t \\) \n\\ = 2 \\int (2 t^{4}-t^{2}) d t = 2 \\left( \\frac{2}{5} t^{5}-\\frac{1}{3} t^{3} \\right) + C \\) \n\\ = \\frac{2}{15} t^{3} (6 t^{2}-5) + C \\) \n\\ = \\frac{2}{15} (x+1)(6 x+1) \\sqrt{x+1} + C \\)
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(5) \ \\log x=t \ とおくと \ \\quad x=e^{t}, d x=e^{t} d t \\n\\[\\begin{aligned}\\int \\frac{(\\log x)^{2}}{x^{2}} d x & =\\int \\frac{t^{2}}{e^{2 t}} e^{t} d t=\\int t^{2} e^{-t} d t=-\\int t^{2}\\left(e^{-t}\\right)^{\\prime} d t \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}+\\int 2 t e^{-t} d t=-t^{2} e^{-t}-2 \\int t\\left(e^{-t}\\right)^{\\prime} d t \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}-2\\left(t e^{-t}-\\int e^{-t} d t\\right) \\\\\n& =-t^{2} e^{-t}-2 t e^{-t}-2 e^{-t}+C \\\\\n& =-e^{-t}\\left(t^{2}+2 t+2\\right)+C \\\\\n& =-\\frac{1}{x}\\left\\{(\\log x)^{2}+2 \\log x+2\\right\\}+C\\end{aligned}\\]
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(2) y^{\\prime}=\\frac{-1 \\cdot\\left(x^{2}+2\\right)-(1-x) \\cdot 2 x}{\\left(x^{2}+2\\right)^{2}}=\\frac{x^{2}-2 x-2}{\\left(x^{2}+2\\right)^{2}}\ny^{\\prime}=0 とすると \\quad x^{2}-2 x-2=0\nこれを解くと \\quad x=1 \\pm \\sqrt{3}
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与えられた定積分を J とする。 f(x)=\frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} とすると f(\pi-x)=\frac{\sin ^{3}(\pi-x)}{4-\cos ^{2}(\pi-x)}=\frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x}=f(x) よって, (1)から J =\int_{0}^{\pi} x f(x) d x=\int_{0}^{\pi}\left\{\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x)+\frac{\pi}{2} f(x)\right\} d x =\int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f(x) d x+\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) d x =\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{3} x}{4-\cos ^{2} x} d x \cos x=u とおくと -\sin x d x=d u x とuの対応は右のようになる。 \begin{tabular}{c||l} \hline x & 0 \longrightarrow \pi \hline u & 1 \longrightarrow-1 \hline \end{tabular} J =\frac{\pi}{2} \int_{1}^{-1} \frac{1-u^{2}}{4-u^{2}} \cdot(-1) d u=\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{u^{2}-1}{u^{2}-4} d u =\frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} \frac{u^{2}-1}{u^{2}-4} d u=\pi \int_{0}^{1}\left(1+\frac{3}{u^{2}-4}\right) d u =\pi \int_{0}^{1}\left\{1+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{u-2}-\frac{1}{u+2}\right)\right\} d u =\pi\left[u+\frac{3}{4}(\log |u-2|-\log |u+2|)\right]_{0}^{1} =\pi\left[u+\frac{3}{4} \log \left|\frac{u-2}{u+2}\right|\right]_{0}^{1} =\pi\left(1-\frac{3}{4} \log 3\right)
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例題 143 面積から曲線の係数決定
c \geqq 1 とする。2つの曲線 y=c x^{2} と y=\log \left(1+x^{2}\right), および, 2 つの直線 x=1 と x=-1 で囲まれる図形の面積が 4 となる c の値を求めよ。
[類 北海道大]
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次の条件をもつ関数を求めよ。\n(3) \( h(x)=\left(a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\right) e^{-x} \)
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別解 1 / log t の原始関数を F ( t ) とすると ∫_(x^2)^(x^3) 1 / log t dt = F ( x^3 ) - F ( x^2 ) , F ′( t ) = 1 / log t よって f’( x ) = d / dx ∫_(x^2)^(x^3) 1 / log t dt = F ′( x^3 ) ( x^3 )’ - F ′( x^2 ) ( x^2 )’ = 3 x^2 / log x^3 - 2 x / log x^2 = x^2 / log x - x / log x = x^2 - x / log x
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例 45 | 曲線と 軸の間の面積\n次のような部分の面積を求めよ。\n(1) のグラフと 軸, 軸とで囲まれた部分\n(2) 関数 \( y=(3-x) e^{x} \) が極大値をとる の値を とするとき, 曲線 \( y=(3-x) e^{x} \) と 軸および直線 で囲まれた部分\n[(2) 類 関西大]
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次の不定積分を求めよ。
(4) \( \int\left(3 e^{t}-2 \cdot 3^{t}\right) d t \)
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公式 (4) を用いて次の積分を求めなさい。\n\n \( \int (3x^2 + 1)^4 \cdot 6x dx \)
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29. 次の x 値で関数の極値を求めよ。\n(1) x=1/√e で極小値 -1/(2e)\n(2) x=-4/3 で極大値 4√6/9, x=0 で極小値 0
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例題 163 曲線上を等速で動く点\n547\n座標平面上を運動する点 がある。点 は点 \( (0,1) \) を出発して, 曲線 \( y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}(x \geqq 0) \) 上を毎秒 1 の速さで動いている。点 の 秒後の座標を \( (f(t), g(t)) \) で表す。 \( f(t), g(t) \) を求めよ。\n[新渴大]\n指斜 0 秒後から 秒後までの道のり を 2 通りに表して考える。\n[1] 毎秒1の速さで動いているから \n[2] 曲線 \( y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}(x \geqq 0) \) 上を動いているから, 点 の 秒後の 座標を とする と\n\[l=\int_{0}^{p} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x\]
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数学 II\n において, \( f^{\prime}(x)=0 \) とすると すなわち \( \quad x=k \pi-\frac{\pi}{4} \quad(k=1,2,3, \cdots \cdots) \) \( f^{\prime \prime}(x)=\sqrt{2} e^{-x}\left\{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right\} \) であるから\n\[\n\begin{aligned}\nf^{\prime \prime}\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right) & =\sqrt{2} e^{-\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)}(\sin k \pi-\cos k \pi) \\\n& =-\sqrt{2} e^{-\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)} \cos k \pi\n\end{aligned}\n\]\( f^{\prime \prime}\left(k \pi-\frac{\pi}{4}\right)<0 \) となるのは, \( k=2 n(n=1,2,3, \cdots \cdots) \) のとき である。よって,極大値をとる の値は \n(2) \( a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{8(n-1)+7}{4} \pi}=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}\left(e^{-2 \pi)^{n-1}}\right. \)\nよって, は初項 , 公比 の無限等比級数で, であるから\n\[\n\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{7}{4} \pi}}{1-e^{-2 \pi}}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\left(e^{2 \pi}-1\right)}\n\]
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数学正 263
\[
f^{\prime}(x)=\frac{\{\log (x+e)\}^{\prime}}{\log (x+e)}=\frac{\frac{(x+e)^{\prime}}{x+e}}{\log (x+e)}=\frac{1}{(x+e) \log (x+e)}
\]
ゆえに \( \quad f^{\prime}(0)=\frac{1}{e \log e}=\frac{1}{e} \)
よって \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log \{\log (x+e)\}=\frac{1}{e} \)
(5) \( f(x)=e^{x} \) とすると, \( f^{\prime}(x)=e^{x} \) であるから
\[\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x} & =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1}{x}+\frac{e^{-x}-1}{-x}\right) \
& =\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}+\frac{e^{-x}-e^{0}}{-x-0}\right) \
& =f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)=1+1=2
\end{aligned}\]
(6) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{a} \cdot \frac{e^{x}-1}{x}\right) \)
\( f(x)=e^{x} \) とすると, \( f^{\prime}(x)=e^{x} \) であるから
\[\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}=f^{\prime}(0)=1 \\
\text { よって } \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{a+x}-e^{a}}{x}=e^{a} \cdot 1=e^{a}
\end{array}
\]
(1) (ア) \( y^{\prime}=\frac{\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{x^{2}+1}=\frac{2 x}{x^{2}+1} \) であるから
\[y^{\prime \prime}=\frac{(2 x)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)-2 x\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
\]
\( y^{\prime \prime}=2\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)^{-2} \) であるから
\[\begin{aligned}
y^{\prime \prime \prime} & =2\left(1-x^{2}\right)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)^{-2}+2\left(1-x^{2}\right)\left\{\left(x^{2}+1\right)^{-2}\right\}^{\prime} \\
& =-4 x\left(x^{2}+1\right)^{-2}-8 x\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+1\right)^{-3} \\
& =\frac{-4 x\left(x^{2}+1\right)-8 x\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\frac{4 x\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}
\end{aligned}\]
(1) \( y^{\prime}=e^{2 x}+2 x e^{2 x}=(2 x+1) e^{2 x} \) であるから
\[\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}=2 e^{2 x}+2(2 x+1) e^{2 x}=4(x+1) e^{2 x} \\
y^{\prime \prime \prime}=4 e^{2 x}+8(x+1) e^{2 x}=4(2 x+3) e^{2 x}
\end{array}
\]
(ウ)
\[\begin{array}{c}
y^{\prime}=\sin x+x \cos x \text { であるから } \\
y^{\prime \prime}=\cos x+\cos x-x \sin x=2 \cos x-x \sin x \\
y^{\prime \prime \prime}=-2 \sin x-\sin x-x \cos x=-3 \sin x-x \cos x
\end{array}\]
(2)条件より, \( y=g(x) \) に対して が成り立つから
であるから
ゆえに
よって \( g^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sin y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
を利用 してもよい。
を直ち に使ってもよいが、 ここ では微分係数の定義を利用した解法を示しておく。
\[\begin{array}{l}
\Psi(\log u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u} \\
\Psi\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}
\end{array}
\]
\[\begin{array}{l}
4(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \\
4\left\{\left(x^{2}+1\right)^{-2}\right\}^{\prime} \\
=-2\left(x^{2}+1\right)^{-3} \cdot\left(x^{2}+1\right)^{\prime} \\
\end{array}
\]
\[\Psi(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}
\]
\[\begin{aligned}
\varangle \frac{d x}{d y} & =\frac{d}{d y}(\cos y) \\
& =-\sin y
\end{aligned}
\]
3裮
練習
嶶
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(イ) \( f(x y)=f(x)+f(y) \)\n(2) に を代入すると \( \quad f(1)=0 \)\n を定数と考えて, (2) の両辺を で微分すると\n\[ x f^{\prime}(x y)=f^{\prime}(y) \]\n とすると \( \quad x f^{\prime}(x)=f^{\prime}(1) \]\n\( f^{\prime}(1)=k \) (定数) とすると \( f^{\prime}(x)=\frac{k}{x} \)\n を変数と考えて, 両辺を積分すると\n\[ f(x)=k \log |x|+C \quad(C \text { は任意定数 }) \]\n\( f(1)=0 \) から \nよって \( f(x)=k \log |x| \) ( は定数)
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344\n数学 \\\mathbb{I}\\n(3) \ x^{2}+a^{2}=t \ とおくと \ \\quad x d x=\\frac{1}{2} d t \\n\ \\begin{aligned}\n\\int \\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x & =\\int \\frac{1}{\\sqrt{t}} \\cdot \\frac{1}{2} d t=\\frac{1}{2} \\int t^{-\\frac{1}{2}} d t=\\sqrt{t}+C \\\\\n& =\\sqrt{x^{2}+a^{2}}+C \\\\ \\end{aligned} \
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演習問題 の解答 59 (2) \left(\frac{e^{s}+e^{-s}}{2}, \frac{e^{s}-e^{-s}}{2}\right)
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25 (1) \( y^{\prime}=\frac{2}{(2 x+1) \log 2} \)\n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6) \n(7) \( y^{\prime}=e^{x}(\sin x+\cos x) \)\n(8) \n(9) \( y^{\prime}=\frac{4}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}} \)
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重要例題 87. 2 変数の不等式の証明 (2)\n0<a<b のとき,次の不等式が成り立つことを示せ。\n\ \\sqrt{a b}<\\frac{b-a}{\\log b-\\log a}<\\frac{a+b}{2} \\n[岐阜大]
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数学III- 295\n(3) y^{\\prime}=\\frac{\\frac{1}{x} \\cdot x-(\\log x) \\cdot 1}{x^{2}}=\\frac{1-\\log x}{x^{2}}\\ny^{\\prime}=0 とすると \\quad x=e\\n1 \\leqq x \\leqq 3 における y の増減表は右のようになる。よって, y は \\nx=e で最大値 e^{-1} ,
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数学 (3) \\( \\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)=t \\) とおくと, \ \\frac{2 \\sin x \\cos x}{\\sin ^{2} x} d x=d t \ から\n\n\\[\\begin{array}{rl}\\frac{2}{\\tan x} d x & d t \\quad \\text { よって } \\quad d x=\\frac{\\tan x}{2} d t \\\\\n\\int \\frac{\\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)}{\\tan x} d x & =\\int \\frac{t}{\\tan x} \\cdot \\frac{\\tan x}{2} d t=\\int \\frac{t}{2} d t \\\\\n& =\\frac{t^{2}}{4}+C=\\frac{1}{4}\\left\\{\\log \\left(\\sin ^{2} x\\right)\\right\\}^{2}+C \\\\\n& =(\\log |\\sin x|)^{2}+C\\end{array}\\]
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練習 次の関数の逆関数を求めよ。\n(1) \( y=\frac{2 x-1}{x+1}(x \geqq 0) \)\n(2) \( y=\frac{1-2 x}{x+1}(0 \leqq x \leqq 3) \)\n(3)
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(2) \ \\int 3^{1-2 x} d x=-\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3^{1-2 x}}{\\log 3}+C = -\\frac{3^{1-2 x}}{2 \\log 3}+C \
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練習 97 \Rightarrow 本冊 p .447\n (3) \\(\\int \\log(x+3) d x\\)
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袷 をガウス積分といい, であることが知られている。\nそして, ガウス積分は, 正規分布の確率密度関数(数学B統計的な推測)が \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\left[m:\right. \) 平均, 分散 であることの証明にも用いられる。
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97 (1) (2) \( \frac{x \cdot 2^{x}}{\log 2}-\frac{2^{x}}{(\log 2)^{2}}+C \) (3) \( (x+3) \log (x+3)-x+C \) (4) \( \sqrt{x}(\log x-2)+C \) (5) (6) \( (x-1) \log (1+\sqrt{x})-\frac{1}{2} x+\sqrt{x}+C \)
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(1) \( \\left|\\overrightarrow{\\mathrm{OP}_{\\theta}}\\right|=\\sqrt{\\left(e^{-\\theta} \\cos \\theta\\right)^{2}+\\left(e^{-\\theta} \\sin \\theta\\right)^{2}} \)\n\=e^{-\\theta}\\nよって, 動点 \\mathrm{P}_{\\theta} \ が動くときに描く曲線は,極方程式 で表される。 が十分小さいとき, \( f(t+\\Delta t)-f(t) \) は右の図の灰色部分 の面積を表す。\n\\\frac{d}{d \\theta} e^{-\\theta}=-e^{-\\theta}<0\\nであるから, 線分 \\mathrm{OP}_{t} \ の長さは t \ に関して単調に減少する。\nよって \( \\frac{1}{2}\\left\\{e^{-(t+\\Delta t)}\\right\\}^{2} \\Delta t<f(t+\\Delta t)-f(t)<-\\frac{1}{2}\\left(e^{-t}\\right)^{2} \\Delta t \)\n\\[\\frac{1}{2} e^{-2(t+\\Delta t)}<\\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}<\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\nしたがって, はさみうちの原理から\n\\[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow+0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\n\ \\Delta t<0 \ のときも同様にして\n\\[\\lim _{\\Delta t \\rightarrow-0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t}\\]\nよって \( \\quad \\frac{d}{d t} f(t)=\\lim _{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{f(t+\\Delta t)-f(t)}{\\Delta t}=\\frac{1}{2} e^{-2 t} \\)
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370 例䞧 52 第 次導関数と漸化式\n\( f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \) について, \( f^{(0)}(x)=f(x) \) とする。\n[横浜市大]\n(1) \( \left(1+x^{2}\right) f^{(n)}(x)+2 n x f^{(n-1)}(x)+n(n-1) f^{(n-2)}(x)=0(n \geqq 2) \) が成り立つこと を数学的帰納法を用いて証明せよ。\n(2). \( a_{n}=f^{(n)}(0) \) としたとき, 数列 \( \left\{a_{n}\right\}(n \geqq 1) \) の一般項を求めよ。\n《例題 51
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練習 (1) 2 つの曲線 と \( y=\frac{a}{x^{2}}(a>0) \) の交点の 座標を で表すとき, を 144 pを用いて表せ。\n(2)(1)の2つの曲線と直線 で囲まれる部分の面積 を 用いて表せ。\n(3) を動かすとき, Sの最小値を求めよ。\n[類 大阪大]
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(7)\\n\\[\\n\\begin{aligned}\\n y^{\\prime} & =\\left(e^{x}\\right)^{\\prime} \\sin x+e^{x}(\\sin x)^{\\prime}=e^{x} \\sin x+e^{x} \\cos x \\n\\ & =e^{x}(\\sin x+\\cos x)\\n\\end{aligned}\\n\\]
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次の条件を満たす関数 \( f(x) \) の定積分を求めよ:\n\n1. \( f(x) \) は偶関数 で常に \( f(-x)=f(x) \) が成り立つ。\n2. 定積分の範囲は である。
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一一 数学 \\n(4) \( y^{\\prime}=\\frac{1-\\sin x}{1+\\sin x} \\cdot \\frac{\\cos x(1-\\sin x)-(1+\\sin x)(-\\cos x)}{(1-\\sin x)^{2}} \\)\\n\\[\\n=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2 \\cos x}{\\cos ^{2} x}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]\\n別解 \( y=\\log (1+\\sin x)-\\log (1-\\sin x) \\) であるから\\n\\[\\n y^{\\prime}=\\frac{\\cos x}{1+\\sin x}-\\frac{-\\cos x}{1-\\sin x}=\\frac{2 \\cos x}{(1+\\sin x)(1-\\sin x)}=\\frac{2}{\\cos x}\\n\\]
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412\n迤 80 変曲点と対称性\n とし, \( f(x)=\log \frac{x+a}{b-x} \) とする。曲線 \( y=f(x) \) はその変曲点に関し て点対称であることを示せ。\n[類 甲南大]
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(3) であるから \nまた \( \quad y=(\\sqrt{x})^{x}=x^{\\frac{1}{2} x} \)\n の自然対数をとると \n両辺を で微分すると \( \quad \\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{1}{2}(\\log x+1) \)\nよって \( y^{\\prime}=\\frac{1}{2} y(\\log x+1)=\\frac{1}{2}(\\sqrt{x})^{x}(\\log x+1) \)
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(3) 不等式 \( \\sqrt{\\pi\\left(1-e^{-a^{2}}\\right)} \\leqq \\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x \\) を示せ。
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次の関数の最大値,最小値を求めよ。\n(1) \\( y=\\cos ^{3} x+3 \\cos x \\quad(0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi) \\)\n(2) \\( y=\\left(x^{2}-1\\right) e^{x} \\quad(-1 \\leqq x \\leqq 2) \\)\n(3) \\( y=\\frac{\\log x}{x} \\quad(1 \\leqq x \\leqq 3) \\)\n(4) \ y=x-2+\\sqrt{4-x^{2}} \ [(4) 岩手大]
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x軸上を運動する2点P, Qがある. 時刻t=0のとき2点は原点Oにあり, 時刻tにおけるPの速度v_P(t), Qの速度v_Q(t)はそれぞれv_P(t)=a t(0 ≤ t), v_Q(t)= {0 (0 ≤ t < 1), t log t (1 ≤ t) である. (1) Qは必ずPを追い越すことを示せ. (2) QがPに追いつくまでの時間内で, PとQの間の距離が最大となる時刻とそのときの距離を求めよ.
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練習 45 \\Rightarrow \ 本冊 p .360 \\n(1) 両辺の絶対値の自然対数をとると\n\\n\\log |y|=2 \\log |x-1|+3 \\log |x-2|-5 \\log |x-3|\n\\n両辺を \ x \ で微分して\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\frac{y^{\\prime}}{y}=\\frac{2}{x-1}+\\frac{3}{x-2}-\\frac{5}{x-3} \\\\\n=\\frac{2(x-2)(x-3)+3(x-1)(x-3)-5(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\\\\n=\\frac{-7 x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)} \\\\\n\\text { よって }\n\\end{array}\n\\]
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e^x = t とおくと e^x dx = dt x と t の対応は右のようになる。 よって
∫_(log π)^(log 2π) e^x sin e^x dx = ∫_π^(2π) sin t dt =[-cos t]_π^(2π) =- { 1 - (-1) } = -2
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28 n を任意の正の整数とし, 2 つの関数 f(x), g(x) はともに n 回微分可能な関数と する。
(1) 積 f(x) g(x) の第 4 次導関数 \( \frac{d^{4}}{d x^{4}}\{f(x) g(x)\} \) を求めよ。
(2) 積 f(x) g(x) の第 n 次導関数 \( \frac{d^{n}}{d x^{n}}\{f(x) g(x)\} \) における f^{(n-r)}(x) g^{(r)}(x) の係数を類推し,その類推が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。ただし, r は負でない n 以下の整数とし, \( f^{(0)}(x)=f(x), g^{(0)}(x)=g(x) \) とする。
(3) 関数 h(x)=x^{3} e^{x} の第 n 次導関数 \( h^{(n)}(x) \) を求めよ。ただし, e は自然対数の 底であり, n \geqq 4 とする。
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0 \leqq x \leqq 1 のとき \left|2^{x}-2\right|=-\left(2^{x}-2\right)
1 \leqq x \leqq 2 のとき \left|2^{x}-2\right|=2^{x}-2
よって \int_{0}^{2}\left|2^{x}-2\right| dx =-\int_{0}^{1}\left(2^{x}-2\right) dx+\int_{1}^{2}\left(2^{x}-2\right) dx \ =-\left[\frac{2^{x}}{\log 2}-2 x\right]_{0}^{1}+\left[\frac{2^{x}}{\log 2}-2 x\right]_{1}^{2} \ =-\left(\frac{1}{\log 2}-2\right)+\left(\frac{2}{\log 2}-2\right)=\frac{1}{\log 2}
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(2) (ア) f(x)=\\log (\\cos x)+\\frac{x^{2}}{2} とすると\n\nf^{\prime}(x)=-\\tan x+x, \\quad f^{\prime \prime}(x)=-\\frac{1}{\\cos ^{2} x}+1=-\\tan ^{2} x\n\n0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき f^{\prime \prime}(x)<0 より f^{\prime}(x) は単調に減少し, f^{\prime}(0)=0 であるから f^{\prime}(x)<0 ゆえに, 0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき f(x) は単調に減少し, f(0)=0 で あるから f(x)<0 したがって, 0<x<\\frac{\\pi}{2} のとき \\log (\\cos x)+\\frac{x^{2}}{2}<0
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(1) とおくと \n\[ \begin{aligned} & \int \frac{1}{e^{x}-e^{-x}} d x=\int \frac{1}{t-\frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t} d t=\int \frac{1}{t^{2}-1} d t \\ = & \frac{1}{2} \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right) d t=\frac{1}{2}(\log |t-1|-\log |t+1|)+C \\ = & \frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{2} \log \frac{\left|e^{x}-1\right|}{e^{x}+1}+C \end{aligned} \]
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関数 \( f(x)=a x+a^{2} \) が逆関数をもつための条件を求めよ。また, \( f^{-1}(x) \) が \( 6 f(x) \) と一致するように, 定数 の値を定めよ。
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0 以上の整数 m, n に対して, Iₘ,ₙ = ∫₀^(π/2) sin^m x cos^n x dx とする。
(1) Iₘ,ₙ = Iₙ,ₘ および Iₘ,ₙ = (n-1)/(m+n) Iₘ,ₙ-2(n ≥ 2) を示せ。
(2)(1) の結果を用いて,定積分 ∫₀^(π/2) sin^3 x cos^6 x dx を求めよ。
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(1) \( f(x)=\frac{1}{2} \log x \) のとき, \( \frac{f(e)-f(1)}{e-1}=f^{\prime}(c)(1<c<e) \) (1) を満たす cの値を求めよ。ただし, は自然対数の底である。\n(2) \( f(x)=\frac{1}{x}(x>0) \) について, のとき\nf(a+h)-f(a)=h f^{\prime}(a+\theta h), 0<\theta<1 を満たす を で表せ。また, \ \lim _{h \\rightarrow 0} \theta \ を求めよ。
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例題 129 定積分の不等式の証明\n次の不等式を証明せよ。 (2)では とする。\n(1) \n(2) \n\n比針(1)積分は計算できないから,大小比較は差を作れでは解決できない。そこで,前ページで学んだ,定積分についての不等式の性質を利用する。すなわち で \( f(x)<\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}}<g(x) \) を満たし,積分すると になる \( f(x), g(x) \) を見つける。\n(2) 両辺の差を の関数とみて \( \frac{d}{d a} \int_{0}^{a} g(t) d t=g(a) \) を用いる。
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練習 70 => 本冊 p.399\n(1)\ny^{\\prime}=(2 x+1) e^{-x}+\\left(x^{2}+x-1\\right) \\cdot\\left(-e^{-x}\\right)\n=-\\left(x^{2}-x-2\\right) e^{-x}\\n=-(x+1)(x-2) e^{-x}\\nx=-1,2
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(1) x ≥ 0 で定義された関数f(x)=log(x+√(1+x^2))について, 導関数f'(x)を求めよ.(2) 極方程式r=θ(θ ≥ 0)で定義される曲線の, 0 ≤ θ ≤ πの部分の長さを求めよ.
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143 (1) x=0, \frac{\pi}{2} で最大値 1 ; x=\pi, \frac{3}{2} \pi で最小値 -1\n(2) x=\log_{2} \frac{\sqrt{5} \pm 1}{2} のとき最小値 1-10 \sqrt{5}
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問題 5 定積分の値と図形の面積
f(4)>0 を満たす関数 f(x) の導関数を g(x) とする。関数 y=g(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線 x=3 である。また, g(4)=0 を満たす。
(1) 方程式 g(x)=0 は x=4 の他に x=◻️ ア を解にもつ。よって, 関数 f(x) は x= ◻️ イ で極大となり, x=◻️ ウで極小となる。
関数 f(x) の極大値を p, 極小値を q とする。
(1)0100
(2)k を定数として, 方程式 f(x)=k の実数解について考える。 k=0 のとき, 方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は 工 個である。 k=p のとき, 方程式 f(x)=p の実数解は x=◻️ イ, オ k=q のとき, 方程式 f(x)=q の実数解は x=◻️ ウ, カ である。 s, t は定数とし, h(x)=f(x)- と す。
(3)s≠2 とする。定積分 ∫_{2}^{s} h(x) dx=0 となる s は, キ を満たす。 キに当てはまるものを,次の0~7のうちから1つ選べ。
(0) s<1
(1) s=1
(2) 1<s<2
(3) 2<s<4
(4) s=4
(5) 4<s<5
(6) s=5
(7) 5<s
(4) s は s≠2, ∫_{2}^{s} h(x) dx=0 を満たすとし, t≠1 とする。定積分 ∫_{1}^{t} h(x) dx=0 となる t は, クを満たす。
クに当てはまるものを,次の(0~2)のうから1つ選べ。
(0) t<s
(1) t=s
(2) s<t
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3 次関数 f(x)=2x^{3} + a x^{2} + b x + c が 6 f(x) = (2 x - 1) f'(x) + 6 を満たす。このと き, 定数 a, b, c の値を求めよ。
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次の式を簡単にせよ。\n(ア) \ \\log _{2} \\frac{4}{5}+2 \\log _{2} \\sqrt{10} \\n(イ) \ \\log _{3} \\sqrt{12}+\\log _{3} \\frac{3}{2}-\\frac{3}{2} \\log _{3} \\sqrt[3]{3} \
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次の関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) y=4^{x}-2^{x+2}(-1 \\leqq x \\leqq 3)\n(2) a>0, a \\neq 1 とする。関数 y=a^{2 x}+a^{-2 x}-2\\left(a^{x}+a^{-x}\\right)+2 について, a^{x}+a^{-x}=t とおく。 y を t を用いて表し, y の最小値を求めよ。\n(3) y=\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{x}(-1 \\leqq x \\leqq 2)
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数学 \nEX 関数 \( f(x), g(x) \), および導関数 \( f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \) が, \( f(x)+g(x)=-2 x+5 \), (2) \( 148 f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4, f(0)=5 \) を満たす。このとき, \( f(x) \) と \( g(x) \) を求めよ。\n[類 東京電機大]\n\\[\n\\begin{array}{l}\nf(x)+g(x)=-2 x+5 \\\nf^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=-4 x+4\n\\end{array}\n\\]\n(2) から \\( \\int\\left\\{f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\\right\\} d x=\\int(-4 x+4) d x \\)\nすなわち \\( \\quad f(x)-g(x)=-2 x^{2}+4 x+C \\)\n( \ C \ は積分定数)\n(1) + (3) \ \\div 2 \ から \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+\\frac{C+5}{2} \\)\n\\( f(0)=5 \\) から \ \\quad \\frac{C+5}{2}=5 \\quad \ よって \ \\quad C=5 \\nゆえに \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+5 \\)\n(1) から\n\\[\n\\begin{aligned}\ng(x) & =-2 x+5-f(x)=-2 x+5-\\left(-x^{2}+x+5\\right) \\\\\n& =x^{2}-3 x\n\\end{aligned}\n\\]\n\n別解 (1) の両辺を \ x \ で微分すると\n\\[\nf^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=-2 \\cdots \\cdots .\n\\]\n(2)+(4) \ \\div 2 \ から \\( \\quad f^{\prime}(x)=-2 x+1 \\)\nよって \\( f(x)=\\int(-2 x+1) d x=-x^{2}+x+C(C \\) は積分定数 \\) \\( f(0)=5 \\) から \ \\quad C=5 \\nゆえに \\( \\quad f(x)=-x^{2}+x+5 \\)\n(1) から \\( \\quad g(x)=-2 x+5-f(x)=x^{2}-3 x \\)\n\ \\leftarrow \ (2) の両辺を \ x \ で積分。\n\ \\leftarrow \ (1), (3) を \\( f(x), g(x) \\) の連立方程式とみて解く。\n\\( \\leftarrow f^{\prime}(x), g^{\prime}(x) \\) の連立方程式を導く解法。\n
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関数 \( y=27^{x}-9^{x+1}+5 \cdot 3^{x+1}-2(x>1) \) の最小値と,そのときの の値を求めよ。
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関数 \( y=\\log _{4}(x+2)+\\log _{2}(1-x) \) の最大値と,そのときの の値を求めよ。
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問題 2:
対数関数
点 P(a, b) が関数 y=f(x) のグラフ上にあるとき、点 Q(b, a) は逆関数 y=f^{-1}(x) のグラフ上にあります。2 点 P, Q は直線 y=x に関して対称です。これを用いて、指数関数 y=a^x と対数関数 y=log_a x についての関係を説明しなさい。なお、a は a>0, a ≠1 の定数とします。
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Ex
(3152
α を実数の定数, f(t) を 2 次関数として, 関数 F(x)=∫α^x f(t) dt を考える。F(x) が x=1 で極大値 5, x=2 で極小値 4 をとるとき, f(t) および α の値を求めよ。
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次の対数の値を求めよ。\n(ア) \ \\log _{3} 81 \\n(イ) \ \\log _{10} \\frac{1}{1000} \\n(ウ) \ \\log _{\\frac{1}{3}} \\sqrt{243} \
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141 0 \leqq a < 1 のとき x=-2 で極小値 -16 a, x=0 で極小値 0 ; a=1 のとき x=-2 で極小値 -16 ; a>1 のとき x=-2 で極小値 -16 a, x=a-1 で極小値 -(a-1)^3(a+3)
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(1) \\log _{2} x + \\log _{2} y = 3 のとき, x^{2} + y^{2} の最小値を求めよ。\n(2) 正の実数 x, y が xy=100 を満たすとき, (\\log _{10} x)^{3} + (\\log _{10} y)^{3} の最小値と, そのときの x, y の値を求めよ。\n(3) f(x)= (\\log _{2} \\frac{x}{a})(\\log _{2} \\frac{x}{b}) (ただし, ab=8, a>b>0) とする。f(x) の最小値が -1 であるとき, a^{2} の値を求めよ。 [早稲田大]
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次の式を簡単にせよ。
[(1) 駒澤大]
(1) \( \left(\log _{2} 9+\log _{4} 3\right) \log _{3} 4 \)
(2) \( \left(\log _{3} 25+\log _{9} 5\right)\left(\log _{5} 9+\log _{25} 3\right) \)
p. 282 基本事項 3
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EX を定数とする。次の不等式を証明せよ。\n\[ \\int_{0}^{1}(x+a)(x+b) \\, dx = \\int_{0}^{1}\\left\\{x^{2}+(a+b) x+a b\\right\\} \\, dx = \\left[\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{a+b}{2} x^{2}+a b x\\right]_{0}^{1} = a b + \\frac{a+b}{2} + \\frac{1}{3}\\]\nまた \( \\quad \\int_{0}^{1}(x+a)^{2} \\, dx=a^{2}+a+\\frac{1}{3}, \\int_{0}^{1}(x+b)^{2} \\, dx=b^{2}+b+\\frac{1}{3} \\) ゆえに(右辺)-(左辺)\n\[\\{ \\left(a^{2}+a+\\frac{1}{3}\\right)\\left(b^{2}+b+\\frac{1}{3}\\right) - \\left(a b+\\frac{a+b}{2}+\\frac{1}{3}\\right)^{2} \\} \\]\nが成立することを示せ。
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⑫5 \ a>0, a \\neq 1, \\quad b>0 \ とする。2 次方程式 \ 4 x^{2}+4 x \\log _{a} b+1=0 \ が \ 0<x<\\frac{1}{2} \ の範囲内にただ 1 つの解をもつようなすべての \ a, b \ を, 座標平面上の点 \\( (a, b) \\) として 図示せよ。\n[宮崎大]
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次の方程式, 連立方程式を解け。ただし, (3) では 0<x<1, 0<y<1 とする。\n(1) 3^{2-\\log _{2} x}+26 \\cdot 3^{-\\log _{4} x}-3=0\n[早稲田大]\n(2) \\left(x^{\\log _{2} x}\\right)^{\\log _{2} x}=64 x^{6 \\log _{2} x-11}\n[関西大]\n(3) \\left\\{\\begin{array}{l}\\log _{x} y+\\log _{y} x=2 \\\\ 2 \\log _{x} \\sin (x+y)=\\log _{x} \\sin y+\\log _{y} \\cos x\\end{array}\\right. \n[芝浦工大]
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次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\log _{2} 27 \\cdot \\log _{3} 64 \\cdot \\log _{25} \\sqrt{125} \\cdot \\log _{27} 81 \\n[京都産大]\n(2) \\( \\left(\\log _{2} 9+\\log _{8} 3\\right)\\left(\\log _{3} 16+\\log _{9} 4\\right) \\)\n[立教大]\n(3) \\( \\left(\\log _{5} 3+\\log _{25} 9\\right)\\left(\\log _{9} 5-\\log _{3} 25\\right) \\)
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436
(1) g(x) の条件から, g(x) すなわち f'(x) の符号を調べ, f(x) の増減表を作る。
(2) k=0 のときは, 関数 f(x) の極値の符号に着目し, y=f(x) のグラフと x 軸の共有点の個数を調べる。
k=p, q のときは, f(x)=∫f'(x) dx から f(x) を計算し, 方程式 f(x)=p, f(x)=q を解く。
(3), (4) (2) の結果をもとに, y=h(x) のグラフの概形をつかもう。その図をもとに考 えると,定積分が 0 になるためには,積分区間に h(x)≥ 0 の部分と h(x)≤ 0 の部分 の両方を含む必要がある。また, 実際に定積分の値が 0 になるような s, t を考える の部分で,定積分の区間を分割して考えるとよい。
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実数全体で定義された2つの微分可能な関数 \( f(x), g(x) \) は次の条件を満たす。\n(A) \( f^{\prime}(x)=g(x), \quad g^{\prime}(x)=f(x) \)\n(B) \( f(0)=1, g(0)=0 \)\n(1) すべての実数 に対し, \( \{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1 \) が成り立つことを示せ。\n(2) \( F(x)=e^{-x}\{f(x)+g(x)\}, G(x)=e^{x}\{f(x)-g(x)\} \) とするとき, \( F(x), G(x) \) を求めよ。\n(3) \( f(x), g(x) \) を求めよ。
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数学 ( \mathbb{I} )\n-333\nEX\n209\nn が正の整数のとき, I_{n}=\int_{2}^{3} \\frac{(x-3)^{n}}{n x^{n}} d x とする。\n(1) I_{1} を求めよ。\n(2) 2 \\leqq x \\leqq 3 のとき, \\left|\\frac{x-3}{x}\\right| のとりうる値の範囲を求めよ。また, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n} を求めよ。\n(3) I_{n+1} を I_{n} を用いて表せ。\n(4) \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n(n+1)}\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n} を求めよ。\n〔関西学院大〕
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練習 \ n \ は整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし, \ \\cos ^{0} x=1 \, \\( 203(\\log x)^{0}=1 \\) である。\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\frac{1}{n}\\left\\{\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\right\\}(n \\geqq 2) \\)\n(2) \\( \\int(\\log x)^{n} d x=x(\\log x)^{n}-n \\int(\\log x)^{n-1} d x \\quad(n \\geqq 1) \\)\n(3) \\( \\int x^{n} \\sin x d x=-x^{n} \\cos x+n \\int x^{n-1} \\cos x d x(n \\geqq 1) \\)
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EX \( f_{n}(x)=(\log x)^{n}(n \) は 3 以上の整数 \( ) \) とする。ここで, は自然対数である。曲線 \( y=f_{n}(x) \) (161 が変曲点 \( \left(x_{0}, 8\right) \) をもつとき, と の值を求め, そのときの曲線の概形をかけ(凹凸も調べよ) 。
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(3) \nここで \( \quad \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x=[\log (1+x)]_{0}^{1}=\log 2, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0 \)\nよって ゆえに \n\[\n\begin{array}{l}\n\leftarrow \sum_{k=1}^{n} r^{k-1}= \frac{1-r^{n}}{1-r} \\\n(r \neq 1)\n\end{array}\n\]\n\( \leftarrow \frac{1}{k(k+1)} \) を部分分数に分解。\n\n\left← 1=-1+2 \cdot 1\n\nしたがって、(2)から \( \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{2 S_{n}-1+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right\}=2 \log 2-1 \)
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次の関数の逆関数を求めよ。また, そのグラフをかけ。\n(1) \( y=\frac{3}{x}+2(x>0) \)\n(2) \n(3)
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(1) の逆関数の導関数を求めよ。\n(2) の逆関数を \( g(x) \) とするとき, 微分係数 \( g^{\prime}(0) \) を求めよ。\n(3) 次の関数を微分せよ。\n(ア) \n(イ)
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EX関数 f(x) の逆関数を g(x) とする。 f(1)=2, f^{\prime}(1)=2 のとき, g(2), g^{\prime}(2) の値をそれぞれ求めよ。
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(2) \\int x^{n} e^{-x} d x=-\\left(\\sum_{k=0}^{n} n \\mathrm{P}_{k} x^{n-k}\\right) e^{-x}+C(n は自然数, \\C は積分定数 ) であることを示せ。
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f(x) が 2 回微分可能な関数のとき, \\frac{d^{2}}{d x^{2}} f(\\tan x) を f’(\\tan x), f’’(\\tan x) を用い て表せ。〔富山大〕
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162 練習関数 \( f(x)=\frac{e^{k x}}{x^{2}+1} \) ( は定数)について(1) \( f(x) \) が で極値をとるとき, の値を求めよ。\n(2) \( f(x) \) が極値をもつとき,kのとりうる値の範囲を求めよ。
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次の関数を微分せよ。ただし, (6)の a は定数とする。
(1) y = sin x / (sin x + cos x)
(2) y = log x / log x +1 (x>1)
(3) y = log (sin^2 x)
(4) y = log √((1 - cos x)/(1+cos x))
(5) y = 1/(cos x + e^(-x))
(6) y = log (x + √(x^2 + a^2)).
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数学再\n371\n(2) の面積は\n\\[\n\\begin{aligned}\n& \\int_{\\log \\frac{1}{2}}^{-\\frac{1}{2} \\log a}\\left(e^{-x}-a e^{x}\\right) d x=\\left[-e^{-x}-a e^{x}\\right]_{\\log \\frac{1}{2}}^{-\\frac{1}{2} \\log a} \n= & -\\left(e^{\\frac{1}{2} \\log a}-e^{\\-\\log \\frac{1}{2}}\\right)-a\\left(e^{-\\frac{1}{2} \\log a}-e^{\\log \\frac{1}{2}}\\right) \n= & -(\sqrt{a}-2)-a\\left(\\frac{1}{\\sqrt{a}}-\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{1}{2} a-2 \\sqrt{a}+2\n\\end{aligned}\n\\]\n\\\leftarrow e^{-\\log \\frac{1}{2}}=e^{\\log 2}=2\\n\nよって, の面積と の面積の和を とすると\n\\[\n\\begin{aligned}\nS & =(a-2 \\sqrt{a}+1)+\\left(\\frac{1}{2} a-2 \\sqrt{a}+2\\right) \n& =\\frac{3}{2} a-4 \\sqrt{a}+3=\\frac{3}{2}\\left(\\sqrt{a}-\\frac{4}{3}\\right)^{2}+\\frac{1}{3}\n\\end{aligned}\n\\]\n より であるから, この範囲において, は すなわち のとき最小値 をとる。\n\\\leftarrow \\sqrt{a} \ の 2 次式とみて,基本形に直す。
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関係式 \( f(x)+\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\sin x \) を満たす微分可能な関数 \( f(x) \) を考える。 \( f(x) \) の導関数 \( f^{\prime}(x) \) を求めると, \( f^{\prime}(x)= \) ア である。また, \( f(0)= \) 亿
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134 (1) \frac{1}{x} (2) \frac{1}{x \log 10} (3) \frac{2 x}{x^{2}-1} (4) \frac{3(\log x)^{2}}{x} (5) -\frac{\tan x}{\log 2} (6) \frac{1}{x \log x} (7) \frac{2}{\cos x} (8) 6 e^{6 x} (9) -\frac{4}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}} (10) (-2 \log a) a^{-2 x+1} (11) e^{x}(\cos x-\sin x)
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練習 (4196) `-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}` とする。`f^{\prime}(x)=\left|\tan ^{2} x-1\right|, f(0)=0` であるとき、`f(x)` を求めよ。
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練習 n を自然数とする。次の関数の第 n 次導関数を求めよ。
(1) y=\log x
(2) y=\cos x
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練習 次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \\(\\sqrt{1+x}<1+\\frac{x}{2} (x>0)\\)\n(2) \\(e^{x}<1+x+\\frac{e}{2} x^{2}(0<x<1)\\)\n(3) \\(e^{x}>x^{2}(x>0)\\)\n(4) \\(\\sin x>x-\\frac{x^{3}}{6} \\quad(x>0)\\)
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自然数 を用いて, 次の関数 \( y=(1-7 x)^{-1} \) の第 次導関数 \( y^{(n)} \) を求めよ。
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総合 \n\ n \ は 2 以上の自然数とする。関数 \ y=e^{x} \ \n(1), \ y=e^{n x}-1 \ \n(2) について \n54 \n(1) (1) と (2)のグラフは第 1 象限においてただ 1 つの交点をもつことを示せ。 \n(2) (1) で得られた交点の座標を \\( \\left(a_{n}, b_{n}\\right) \\) とする。 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ と \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n a_{n} \ を求めよ。 \n(3) 第 1 象限内で (1) と ② のグラフおよび \ y \ 軸で囲まれた部分の面積を \ S_{n} \ とする。このとき \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n S_{n} \ を求めよ。
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EX
EX 関数 f(x)=a e^{2 x}(a は定数 ) について, 曲線 y=f(x) 上の点 (b, f(b)) における接線が y=x で ③15 あるとき. 次の各問いに答えよ。
(1) a と b の値を求めよ。
(2) y=f(x) の逆関数を y=f^{-1}(x) と表す。このとき, 曲線 y=f(x), y=f^{-1}(x), x 軸および y 軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。
〔宮崎大〕
HINT (2) (1) の結果を利用。また, 2 曲線 y=f(x), y=f^{-1}(x) は, 直線 y=x 上の点 (b, f(b)) に おいて接し, 直線 y=x に関して対称である。
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関数 f(x)=e^(kx)/(x²+1) (k は定数) について、次の問いに答えなさい。
(1) f(x) が x=−2 で極値をとるとき、k の値を求めよ。
(2) f(x) が極値を持つとき、k のとりうる値の範囲を求めよ。
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EX 関数 \( f(x)=a x+x \\cos x-2 \\sin x \\) は \\frac{\\pi}{2} \ と \\pi \ の間で極値をただ 1 もつことを示せ。ただし. -1<a<1 \ とする。〔類 前橋工科大〕
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4) \( \int \frac{1}{\sqrt[3]{(1-3 x)^{2}}} d x \)
(5) \( \int \sin (3 x-2) d x \)
(6)
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3134nを自然数とする。関数 y=\\frac{1}{1-7 x} の第 n 次導関数 y^{(n)} を求めよ。
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②26曲線 y=a log x(a>0) と x 軸および直線 x=e で囲まれた部分を D とする。 D を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を V1, D を y 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積を V2 とする。(1) V1 と V2 を求めよ。(2) V1=V2 となるとき, a の値を求めよ。
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EXERCISES 255 24 平均値の定理 (2)150 \( f(x)=\\sqrt{x^{2}-1} \\) について, 次の問いに答えよ。ただし, x>1 \ とする。 (1) \( \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\\prime}(c), 1<c<x \\) を満たす c \ を x \ の式で表せ。 (2) (1)のとき, \\lim _{x \\rightarrow 1+0} \\frac{c-1}{x-1} \ および \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{c-1}{x-1} \ を求めよ。〔類 信州大〕
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EX 関係式 \( f(x)+\\int_{0}^{x} f(t) e^{x-t} d t=\\sin x \\) を满たす微分可能な関数 \( f(x) \\) を考える。 \( f(x) \\) の導関数 \( f^{\\prime}(x) \\) を求めると、 \( f^{\\prime}(x)= \\square \\) である。また, \( f(0)=1 \\square \\) であるから, \( f(x)= \\square \\) であ る。\n(横浜市大)\n与えられた関係式を変形すると\n\n\\[ f(x)+e^{x} \\int_{0}^{x} f(t) e^{-t} d t=\\sin x \\]\n\nこの両辺を x \ で微分すると\n\n\\[ f^{\\prime}(x)+e^{x} \\int_{0}^{x} f(t) e^{-t} d t+e^{x} \\cdot f(x) e^{-x}=\\cos x \\]\n\nすなわち \( \\quad f^{\\prime}(x)+f(x)+e^{x} \\int_{0}^{x} f(t) e^{-t} d t=\\cos x \\)\n(1)を代入すると \( \\quad f^{\\prime}(x)+\\sin x=\\cos x \\)\n\nよって \( \\quad f^{\\prime}(x)= ア \\cos x-\\sin x \\)\nまた, (1)の両辺に x=0 \ を代入すると \( \\quad f(0)=\\uparrow 0 \\)\n \\leftarrow e^{x} \ を定数とみて, 定積分の前に出す。\n\n\\[\\leftarrow \\frac{d}{d x} \\int_{a}^{x} g(t) d t=g(x) \\]\n公式 \( (u v)^{\\prime}=u^{\\prime} v+u v^{\\prime} \\) も 利用。\n\\[\\leftarrow \\int_{0}^{0} g(t) d t=0 \\]
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(1) 数直線上を点 1 から出発して 秒後の速度 が \( v=t(t-1)(t-2) \) で運動する点 がある。出発してから 3 秒後の の位置はア であり, が動いた道のりはイ である。\n\n(2) 重力の加速度を とする。 秒後の加速度 をもつロケットを, 初速度 で地上から真上に打ち上げた。 秒後のロケットの速度と高さを求めよ。
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関数 y=(-x+1) e^{-x+1} のグラフの概形をかけ。ただし, lim _{x → ∞} x e^{-x}=0 である。
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3219\n(1) \\\int_{0}^{\\pi} e^{-x} \\sin x dx \ を求めよ。\n(2)(1)結果を用いて、 \\\int_{0}^{\\pi} x e^{-x} \\sin x dx \ を求めよ。\n\ I=\\int e^{-x} \\sin x dx, \\quad J=\\int e^{-x} \\cos x dx \\text { とする。 } \\n\\[(e^{-x} \\sin x)^{\\prime}=-e^{-x} \\sin x+e^{-x} \\cos x \\]\n\\[(e^{-x} \\cos x)^{\\prime}=-e^{-x} \\cos x-e^{-x} \\sin x \\]\n\nであるから、 それぞれの両辺を積分して\n\ e^{-x} \\sin x=-I+J \\n(1), \e^{-x} \\cos x=-J-I \\n(1) + (2) \\(\\div(-2) \\) から \\( I=-\\frac{1}{2} e^{-x}(\\sin x+\\cos x)+C \\)\n(1)-(2) \\\div 2 \ から \\( J=\\frac{1}{2} e^{-x}(\\sin x-\\cos x)+C \\)\n(1) \\(\\int_{0}^{\\pi} e^{-x} \\sin x dx = \\left[ -\\frac{1}{2} e^{-x}(\\sin x+\\cos x) \\right]_{0}^{\\pi}=\\frac{e^{-\\pi}+1}{2} \\)\n(2) \\\int_{0}^{\\pi} x e^{-x} \\sin x dx \=\\(\\int_{0}^{\\pi} x \\cdot \\left\\{-\\frac{1}{2} e^{-x}(\\sin x+\\cos x)\\right\\}^{\\prime} dx \\)
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224 (1) \( f(x)=\cos x-\frac{2}{\pi-2} \) (2) \( f(x)=\left(e^{x}+1\right) \log \frac{2 e}{e+1} \) (3) \( f(x)=\sin x-\frac{1}{2} x \)
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次の不等式を証明せよ。ただし, は自然数とする。〔東北大〕\n(1) \( \frac{1}{n+1}<\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} d x<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right) \)\n(2)
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(4) y^{\\prime}=2 x e^{x}+\\left(x^{2}-1\\right) e^{x}=\\left(x^{2}+2 x-1\\right) e^{x}
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数学II
(2) (1) と同様にすることにより
S(t) =\left\{\log t-\log \alpha-\frac{2(t-\alpha)}{\alpha+t}\right\}+\left\{\log \beta-\log t-\frac{2(\beta-t)}{t+\beta}\right\} =\log \beta-\log \alpha-\frac{2\{(t-\alpha)(t+\beta)+(\beta-t)(t+\alpha)\}}{(t+\alpha)(t+\beta)} =\log \beta-\log \alpha-\frac{4(\beta-\alpha) t}{t^{2}+(\alpha+\beta) t+\alpha \beta} =\log \beta-\log \alpha-\frac{4(\beta-\alpha)}{t+\frac{\alpha \beta}{t}+\alpha+\beta} \alpha>0, \beta>0, t>0 であるから, (相加平均) \geqq( 相乗平均)によ りt+\frac{\alpha \beta}{t} \geqq 2 \sqrt{\alpha \beta} 等号は t=\frac{\alpha \beta}{t} すなわち, t>0 から, t=\sqrt{\alpha \beta} のとき成 り立ち. \alpha<\sqrt{\alpha \beta}<\beta を満たす。 \leftarrow \beta \longrightarrow t, \alpha \longrightarrow t とおき換える。 \leftarrow S^{\prime}(t) を計算してもよ いが, 相加 ・相乗平均の 関係を使う方が早い。 \leftarrow \alpha<\beta から \alpha^{2}<\alpha \beta<\beta^{2} S(t) は t+\frac{\alpha \beta}{t} が最小のとき最小となるから, 求める t は t=\sqrt{\alpha \beta}
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指数・対数関数の導関数\n\a>0, a \\neq 1\ とする。\n\\[ \\begin{array}{l}\n\\cdot \\lim _{h \\rightarrow 0}(1+h)^{\\frac{1}{h}}=\\lim _{x \\rightarrow \\pm \\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^{x}=e \\quad(e=2.71828 \\cdots \\cdots) \\\\\n\\cdot\\left(e^{x}\\right)^{\\prime}=e^{x}, \\quad\\left(a^{x}\\right)^{\\prime}=a^{x} \\log a \\\\\n(\\log |x|)^{\\prime}=\\frac{1}{x}, \\quad\\left(\\log _{a}|x|\\right)^{\\prime}=\\frac{1}{x \\log a}\n\\end{array} \\]
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次の不等式を証明せよ。\\[ \frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}(n^{2}-1)<\sum_{k=1}^{n} k \log k<\frac{1}{2} n^{2} \log n-\frac{1}{4}(n^{2}-1)+n \log n \\]
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177 (1) \( \frac{4}{15}(3 \sqrt{x}-2)(1+\sqrt{x}) \sqrt{1+\sqrt{x}}+C \) (2) \( (\log |\sin x|)^{2}+C \) (3) \( \frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right) e^{x^{2}}+C \)
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n は 2 以上の自然数とする。関数 y=e^x ... (1), y=e^(nx)-1 ... (2) について
(1) (1) と (2) のグラフは第 1 象限においてただ 1 つの交点をもつことを示せ。
(2) (1) で得られた交点の座標を (a_n, b_n) とする。 lim n → ∞ a_n と lim n → ∞ n a_n を求めよ。
(3) 第 1 象限内で (1) と (2) のグラフおよび y 軸で囲まれた部分の面積を S_n とする。このとき, lim n → ∞ n S_n を求めよ。〔東京工大〕
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次の関数の導関数を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \( y = \log (\sin x) \)\n(4) \( y = \frac{1}{2} [\log (1 - \cos x) - \log (1 + \cos x)] \)\n(5) \n(6) \( y = \log (x + \sqrt{x^2 + a^2}) \)\n注: (6) の式で a は正の定数とする。
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練習 (2) 自然数 に対して、 \( (2 n \log n)^{n}<e^{2 n \log n} \) が成り立つことを示せ。
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) \( \int \frac{\log (\log x)}{x} d x \)
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例 (1) \( \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x})^{2}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} \) (分母の有理化) と変形して積分する。
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\ I_{n}=\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x d x, J_{n}=\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x d x\\left(n\\right. \ は 0 以上の整数) とすると, \\( I_{n}=J_{n}(n \\geqq 0) \\) が成り立 つことを示せ。ただし, \ \\sin ^{0} x=\\cos ^{0} x=1 \ である。〔類 日本女子大〕
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基本 205
(x+\sqrt{x^{2}+1}=t)の置換を利用して, 次の不定積分を求めよ。
(1) \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} d x
(2) \int \sqrt{x^{2}+1} d x
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実数全体で定義された関数 y=f(x) が 2 回微分可能で, 常に f’’(x)=-2 f’(x)-2 f(x) を満たすとき,次の問いに答えよ。(1) 関数 F(x) を F(x)=e^x f(x) と定めるとき, F(x) は F’’(x)=-F(x) を満たすことを示せ。(2) F’’(x)=-F(x) を満たす関数 F(x) は, {F’(x)}^{2}+{F(x)}^{2} が定数になることを示し, lim_{x -> ∞} f(x) を求めよ。〔高知女子大〕
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(1)等式 \( \\left(\\cos \\frac{t}{2}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{4}\\right)\\left(\\cos \\frac{t}{8}\\right)=\\frac{\\sin t}{8 \\sin \\frac{t}{8}} \\) を証明せよ。\n(2)次のように定義される数列 \\left\\{a_{n}\\right\\} \ の極限値 \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n} \ を t \ を用いて表せ。 \n\n\[ a_{1}=\\cos \\frac{t}{2}, \\quad a_{n}=a_{n-1}\\left(\\cos \\frac{t}{2^{n}}\\right)(n=2,3, \\cdots \\cdots) \] \n\n〔類 東京医歯大〕
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(2) \left(3^{x}+5^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\left[5^{x}\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}\right]^{\frac{1}{x}}=5\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}^{\frac{1}{x}} \nx \longrightarrow \infty であるから, x>1 , 0<\frac{1}{x}<1 と考えてよい。
ゆえに 1=\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}^{0}<\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}^{\frac{1}{x}}<\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1 \cdots (*)
! \small \begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}=1 であるから \quad \lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}^{\frac{1}{x}}=1 \nyotte \quad \lim _{x \rightarrow \infty}\left(3^{x}+5^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} 5\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+1\right\}^{\frac{1}{x}}=5 \cdot 1=5
\end{array}
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次の極限値を求めよ。\n(1) \ \lim _{x \rightarrow 0} \log \frac{e^{x}-1}{x} \
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辺の長さが の立方体の各辺が 1 秒間に の割合で増加するとき, 秒後の立方体の体積を とすると \( V=(a+b t)^{3} \) であり, 増加し始めてから 秒後の立方体の体積の変化率は?
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曲線 を とする。 \( t(2 \leqq t \leqq 3) \) に対して, 曲線 上の点 \( (t, \sqrt{4-t}) \) と原点, 点 \( (t, 0) \) の 3 点を頂点とする三角形の面積を \( S(t) \) とする。区間 を 等分し,その端点と 分点を小さい方から順に とするとき, 極限値 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} S\left(t_{k}\right) \) を 求めよ。〔類 茨城大〕\n\n\( S(t)=\frac{1}{2} \cdot t \cdot \sqrt{4-t}=\frac{1}{2} t \sqrt{4-t} \)\n\n より, \( t_{k}=2+\frac{k}{n}(k=0,1,2, \cdots, n) \) と表すことができるから \( \quad S\left(t_{k}\right)=\frac{1}{2} t_{k} \sqrt{4-t_{k}}=\frac{1}{2}\left(2+\frac{k}{n}\right) \sqrt{4-\left(2+\frac{k}{n}\right)} \)\n\n\( =\frac{1}{2}\left(2+\frac{k}{n}\right) \sqrt{2-\frac{k}{n}} \quad(k=0,1,2, \cdots, n) \)\n\nよって \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} S\left(t_{k}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(2+\frac{k}{n}\right) \sqrt{2-\frac{k}{n}} \)\n\n\( =\frac{1}{2} \int_{0}^{1}(2+x) \sqrt{2-x} d x \)\n\nここで, と抽くと\n\n\n\n\[\\begin{tabular}{l||cc}\n\\hline & \\\n\\hline & \\\n\\hline\n\\end{tabular}\n とuの対応は右のようになる。\nゆえに \( \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} S\left(t_{k}\right)=\frac{1}{2} \int_{\sqrt{2}}^{1}\left(4-u^{2}\right) u \cdot(-2 u) d u \)\n\n\( =\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(4 u^{2}-u^{4}\right) d u=\left[\frac{4}{3} u^{3}-\frac{1}{5} u^{5}\right]_{1}^{\sqrt{2}}=\frac{28 \sqrt{2}-17}{15} \)\n\n(*) \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \)\n\( =\int_{0}^{1} f(x) d x \)\nここでは,\n\( f(x)=(2+x) \sqrt{2-x} \)\nとする。\n\n\[\\begin{array}{l}\n\sim=\left[u^{3}\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{5} u^{2}\right)\right]_{1}^{\sqrt{2}} \\\n=2 \sqrt{2}\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}\right)-1 \cdot\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{5}\right)\n\\end{array} \]
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209\nよって, 曲線 \( y=\\log (x+2) \\) 上の点 \( (t, \\log (t+2)) \\) における接線の方程式は \( y-\\log (t+2)=\\frac{1}{t+2}(x-t) \\)\nすなわち \( \\quad y=\\frac{1}{t+2} x+\\log (t+2)-\\frac{t}{t+2} \\)\n2 接線 (1), (2) が一致するための条件は\n e^{s}=\\frac{1}{t+2} \\cdots \\cdots \ (3), \( \\quad-(s-1) e^{s}=\\log (t+2)-\\frac{t}{t+2} \\)\n \\leftarrow \ (1), (2) の傾きと y \ 切片 がそれぞれ一致。\n(3)から t+2=\\frac{1}{e^{s}} \ よって t=\\frac{1}{e^{s}}-2 \\nこれらを (4)に代入して \( \\quad-(s-1) e^{s}=-s-e^{s} \\cdot\\left(\\frac{1}{e^{s}}-2\\right) \\)\nゆえに \( \\quad(s+1)-(s+1) e^{s}=0 \\)\nよって \( \\quad(s+1)\\left(1-e^{s}\\right)=0 \\)\nゆえに s=-1, e^{s}=1 \\nすなわち s=0,-1 \\nこれらを (1)に代入して, 求める接線の方程式は s=0 \ のとき \\quad y=x+1 \\n s=-1 \ のとき \\quad y=\\frac{x}{e}+\\frac{2}{e} \
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次の曲線に, 与えられた点 P から引いた接線の方程式と, そのときの接点の座標を求めよ。\n(ア) \( y=x \log x, P(0,-2) \)\n(イ) \( y=\frac{1}{x}+1, P(1,-2) \)
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次の不定積分を求めよ。ただし、 a ≠ 0, b ≠ 0 とする。\n(1) ∫ e^{ax} sin bx dx\n(2) ∫ e^{ax} cos bx dx\n〔類 広島市大〕
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次の関数の逆関数の導関数を求めなさい。\n\n(1) の逆関数の導関数を求めよ。\n(2) \( f(x)=\frac{1}{x^{3}+1} \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) の における微分係数を求めよ。\n(3)次の関数を微分せよ。\n(ア) \n(イ) \n(ウ)
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EX (1) 関数 f(x) = x e^{-2x} の極値と曲線 y=f(x) の変曲点の座標を求めよ。
(2) 曲線 y=f(x) 上の変曲点における接線,曲線 y=f(x) および直線 x=3 で囲まれた部分の 面積を求めよ。
[日本女子大〕
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実数全体で定義された 2 つの微分可能な関数 \( f(x), g(x) \) は次の条件を満たす。\n(A) \( f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=f(x) \)\n(B) \( f(0)=1, g(0)=0 \)\n(1) すべての実数 に対し, \( \{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1 \) が成り立つことを示せ。\n(2) \( F(x)=e^{-x}\{f(x)+g(x)\}, G(x)=e^{x}\{f(x)-g(x)\} \) とするとき、 \( F(x), G(x) \) を求めよ。\n(3) \( f(x), g(x) \) を求めよ。\n〔鳥取大〕
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数列 a_n に関して以下のように求めよ。\nまた, \\( a_{n}=\\int_{(n-1) \\pi}^{n \\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\) において x=t+(n-1) \\pi とおくと dx=dt に注意すると\n\\[\\begin{aligned}a_{n} &=\\int_{0}^{\\pi}\\left[e^{-t-(n-1) \\pi}-e^{-t-(n-1) \\pi}|\\cos \\{t+(n-1) \\pi\\}|\\right. &=e^{-(n-1) \\pi} \\int_{0}^{\\pi}\\left(e^{-t}-e^{-t}|\\cos t|\\right) d t=e^{-(n-1) \\pi} a_{1} &=\\frac{1}{2} e^{-(n-1) \\pi}\\left(1-2 e^{-\\frac{\\pi}{2}}-e^{-\\pi}\\right)\\end{aligned}\\]
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次の関数を微分せよ。\n(1) \( y=\log \left(x^{2}+1\right) \)\n(2) \n(3) \n(4) \n(5) \n(6)
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練習 341\n\ e \ は自然対数の底, \ a, b, c \ は実数である。放物線 \ y=a x^{2}+b \ を \ C_{1} \ とし, 曲線 \ y=c \\log x \ を \ C_{2} \ とする。 \ C_{1} \ と \ C_{2} \ が点 \\( \\mathrm{P}(e, e) \\) で接しているとき\n(1) \ a, b, c \ の値を求めよ。\n(2) \ C_{1}, C_{2} \ および \ x \ 軸, \ y \ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。\u3014佐賀大\u3015
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練習 a>0, b>0 とし, f(x)= とする。曲線 y=f(x) はその変曲点に関して対称であることを示せ。
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\n分数関数の積分: (1) 次数を下げる, (2) 部分分数に分解する, (3) \\( (ax+b)^{n} \\) には置換積分法\n無理関数の積分分母の有理化, 丸ごと置換など。三角関数の積分次数を下げる,置換積分の形へ。部分積分法を利用して同形出現など。\\( f(\\sin x) \\cos x \\) なら \\( \\sin x=t, \\quad f(\\cos x) \\sin x \\) なら \ \\cos x=t \ とおくなど。\n
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EX関数 f(x) の原始関数を F(x) とするとき, 次の条件 [1], [2] が成り立つ。このとき, f′(x), (2) 175f(x) を求めよ。ただし、x>0 とする。\n[1] F(x)=xf(x)-\frac{1}{x}\n[2] F(\frac{1}{sqrt{2}})=\sqrt{2}
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<x^{p} の導関数>\n \(\\left(x^{n}\\right)^\\prime = n x^{n-1} \\) .(2) とすると, n \ が 0 のときは明らかに (2) は成 り 立つ。nが自然数のとき, (2) が成り立つことを示す。二項定理により \( (x+h)^{n}=x^{n}+ {n} \\mathrm{C} 1 x^{n-1} h+{n} \\mathrm{C} 2 x^{n-2} h^{2}+\\cdots \\cdots+{n} \\mathrm{C} n h^{n}\) ゆえに \( (x+h)^{n}-x^{ n }\) \n書き込み部分は下の通りを書く: \\\n により \n\\[\n\\therefore\\left(x^{n}\\right)^{\\prime} = \\lim_{h \\rightarrow 0} \\frac{(x+h)^{n} - x^{n}}{h} = \\lim_{h \\rightarrow 0}\\left\\{{ n} \\mathrm{C} 1 x^{n-1} + \\underline{({\\cdots \\cdots)} h\\right}= {n} \\mathrm{C} 1 x^{n-1} = n x^{n-1} \\].\n次 に, \ n \ が負の整数のときは, \ n=-m \ とおくと \ m \ は自然数であるから\n \\[ \\left(x^{n}\\right)^\\prime = \\left(x^{-m}\\right)^\\prime = \\left( \\frac{1}{x^{m}}\\right)^\\prime = - \\frac{\\left(x^{m}\\right)^\\prime}{\\left(x^{m}\\right)^{2}} = - \\frac{m x^{(m-1)}}{ x^{2 m}} = -m x^{- m - 1}= n x^{n-1} \\]\n\nゆえに, (2) はすべての整数 n \ 以いて成り立つ。最後に p \ が有理数のとき \( \\left(x^{p}\\right)^{\\prime}=p x^{p-1} \\) が成り立つことを示す。\ p =\\frac{m}{n} \ (\ n \ は自然数,\ m\ は整数) と表され \\( x^{p}=x^{\\frac{m}{n}}=\\left(x^{\\frac{1}{n}}\\right)^{m} \\) \n y = x^{\\frac{1}{n}} \ とおくと \\\n \\quad x = y^{n} \ この場合\ \\frac {d x} {d y \\}=\\ n y^{n-1}\. \n\\[\n\\therefore\\left(x^{p}\\right)^{ \\prime} =\\frac d {\\ d y } { y^m } =\\frac d { \\d y} {\\ ym } =\\ m y^ { m } -1 \\cdot\\frac {\\ 1 } { \\ {d x} d y \\} \\]の\\計算\n\\ [ = m y^{m-1} \\cdot \\frac{1}{n y^{n-1}} = \\frac{m}{n} y^{m-n} = \\frac{m}{n}\\left(x^{\\frac{1}{n}}\\right)^{m-n}=\\frac{m}{n} x^{\\frac{m}{n-1}} = p x^{p-1} \\]
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放物線 とし, 曲線 を とする。 と が点 \( \mathrm{P}(e, e) \) で接しているとき 〔佐賀大〕 (1) の値を求めよ。 (2) および 軸, 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
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練習 次の不定積分を求めよ。\n(1) \n(2) \n(3) \n(4) \( \int \frac{1}{\sqrt[3]{(1-3 x)^{2}}} d x \)\n(5) \( \int \sin (3 x-2) d x \)\n(6) \n
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185 (1) \( f(1)=0, \quad f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x) \) (2) \( f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y) \) (3) (4) \( f(x)=2 \log x \)
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EXERCISES の解答\n239 (1), (2) 略 (3) \\( f(x)=e^{k x} \\)\n240 順に \ x=A e^{-k t} \, およそ \\n総合演習 の解答\n1 最大値 36 , 最小値 \ \\frac{9}{4} \\n2 略\n3 (1), (2) 略 (3) \\( (m, n)=(2,2) \\), \\( (3,1),(3,2) \\) のとき最小値 \ -\\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \\n4 略\n5 (1) \ 2|\\sin \\theta| \\n(2) \ n \ を整数とすると, \ \\theta=n \\pi \ のとき \ 0, \\theta \\neq n \\pi \ のとき \\( \\frac{\\sin n \\theta \\sin (n+1) \\theta}{\\sin \\theta} \\)\n6 (1) \ p=-6, q=5 \\n(2) \ q=-3 p-13 \\n7 図略, \ z=-\\frac{1}{2} \\pm \\frac{\\sqrt{3}}{2} i \\n8 略\n9 (1) \ \\frac{\\pi}{4} \\n(2) 略\n(3) \ t=28 \\n10 略\n11 (ア) \ a x+\\frac{3}{2 a} y \\n(イ) \ 3 x \\n(ウ) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2} \\n(I) \ 3 \\sqrt{2}-1 \\n12 (1) 略 (2) \ a=\\frac{2 \\sqrt{42}}{7}, r=1 \\n13 略\n\ 14 \\frac{\\sqrt{3}}{9} \\pi \\n15 (1) \\( \\frac{(x-2)^{2}}{3}+y^{2}=1 \\), 証明略\n(2) \\( (x-2-\\sqrt{2})^{2}+y^{2}+(z-2-\\sqrt{2})^{2}=(1+\\sqrt{2})^{2} \\)\n16 (1) \ \\tan \\beta=\\frac{1}{\\tan \\theta_{1}}, \\tan \\gamma=3 \\tan \\theta_{1} \\n(2) \\( -\\frac{1}{2}\\left(3 \\tan \\theta_{1}+\\frac{1}{\\tan \\theta_{1}}\\right) \\)
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実数 a, b が 0 < a < b < 1 を満たすとき, 2^a - 2a/(a-1) と 2^b - 2b/(b-1) の大小を比較せよ。
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領域 D は右図の赤く塗った部分であるから V1 = π∫1e a²(log x)² dx から【詳細な計算省略】π(e-2)a²。また、y= a log x から log x = y/a よって x = e^(y/a) ゆえに V2 = πe²a - π∫0a (e^(y/a))² dy = πe²a - π[(a/2)e^(2y/a)]0a = πe²a - π/2 a(e²-1) = π/2 a{2e²-(e²-1)} = π/2 (e²+1)a。全ての計算を合わせると、最終的に π(e-2) a² = π(e²+1)/2 a となり、 a > 0 であるから、2(e-2)a = e²+1 したがって a = (e²+1)/2(e-2)
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a>0, b を定数とする。実数 t に関する方程式 (a-t+1) e^{t}+(a-t-1) e^{-t}=b の解の個数 (3) 169 を調べよ。ただし, は既知としてよい。
(2)点 (a, b) から曲線 y=e^{x}-e^{-x} へ接線が何本引けるか調べよ。ただし, a>0 とする。[琉球大]
HINT (1) 方程式の左辺を f(t) とし, y=f(t) と y=b のグラフを利用。
(2) 曲線上の接線が点 (a, b) を通ると考える。
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\sqrt{x}} \, d x \)
(2)
(3)
(4) \( \int\left(2 e^{t}-3 \cdot 2^{t}\right) \, d t \)
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問題 (2) の解答:
1. y = x/(x+1) から x = y/(1-y) = -1 - 1/(y-1)
2. y = -x/(x+1) から x = -y/(y+1) = -1 + 1/(y+1)
3. 求める面積は
S = ∫[0,a] {(-1 - 1/(y-1)) - (-1 + 1/(y+1))} dy
4. = -[log|y-1| + log|y+1|]|[0,a] = -log|y²-1||[0,a]
5. = -log|a²-1| 0 < a < 1 であるから |a²-1| = - (a² - 1) = 1 - a² よって S = -log(1 - a²)
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次の曲線と直線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(1) y=-cos^2(x)(0≤x≤π/2), x 軸, y 軸
(2) y=(3-x)e^x, x=0, x=2, x 軸
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練習 次の関数に最大値, 最小値があれば、それを求めよ。\n(1) \ y=\\frac{x^{2}-3 x}{x^{2}+3} \\n〔類 関西大〕\n(2) \ y=e^{-x}+x-1 \\n〔類 名古屋市大〕
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定積分の置換積分法を用いて、次の積分を求めよ。\n\ \\int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x \\nただし、変数変換を適用して解くこと。
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曲線 C: x=\\frac{e^{t}+3 e^{-t}}{2}, y=e^{t}-2 e^{-t} について\n(1) 曲線 C の方程式は x^{2}+1 x y- y^{2}=25 である。\n(2) \\frac{d y}{d x} を x, y を用いて表せ。\n(3) 曲線 C 上の t= に対応する点において, \\frac{d y}{d x}=-2 となる。
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(206 実数 x に対して,不等式 e^{-x^{2}} \leqq \frac{1}{1+x^{2}} が成り立つことを示せ。
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次の関数を微分せよ。ただし,a>0, a≠1 とする。(1) y=log 3x (2) y=log_{10}(-4x) (3) y=log|x^2-1| (4) y=(log x)^3 (5) y=log_{2}|cos x| (6) y=log(log x) (7) y=log((1+sin x)/(1-sin x)) (8) y=e^{6x} (9) y=(e^{x}+e^{-x})/(e^{x}-e^{-x}) (10) y=a^{-2x+1} (11) y=e^{x} cos x
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を実数とする。すべての実数 で定義された関数 \( f(x)=|x|\left(e^{2 x}+a\right) \) は で微分可能であるとする。\n(1) および \( f^{\prime}(0) \) の値を求めよ。\n(2) 右側極限 \( \lim _{x \rightarrow+0} \frac{f^{\prime}(x)}{x} \) を求めよ。更に, \( f^{\prime}(x) \) は で微分可能でないこと を示せ。
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また g′(x)=d/dx g(x)=dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/f′(y) f(1)=2 から g(2)=1 (1) から g′(2)=1/f′(1)=1/2
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ラジウムなどの放射性物質は, 各瞬間の質量に比例する速度で, 質量が減少していく。その比例定数を k(k>0) , 最初の質量を A として, 質量 x を時間 t の関数で表せ。また, ラジウムでは,質量が半減するのに 1600 年かかるという。 800 年では初めの量のおよそ何%になるか。小数点以下を四捨五入せよ。
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次の数列が収束するように,実数 の値の範囲を定めよ。また, そのときの数列の極限値を求めよ。\n(1) \( \\left\\{\\left(\\frac{2}{3} x\\right)^{n}\\right\\} \)\n(2) \( \\left\\{\\left(x^{2}-4 x\\right)^{n}\\right\\} \)\n(3) \( \\left\\{\\left(\\frac{x^{2}+2 x-5}{x^{2}-x+2}\\right)^{n}\\right\\} \)
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練習次の関数の逆関数を求めよ。また, そのグラフをかけ。 (1) y=-2x+1 (2) y=\\frac{x-2}{x-3} (3) y=-\\frac{1}{2}\\left(x^{2}-1\\right)(x \\geqq 0) (4) y=-\\sqrt{2x-5} (5) y=\\log_{3}(x+2)(1 \\leqq x \\leqq 7) 〔(2) 類 中部大】
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3次関数 f(x)=x³+bx+c に対し, g(f(x))=f(g(x)) を満たすような 1次関数 g(x) をすべて求めよ。
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を定数とする。実数 に関する方程式 \n \[ (a-t+1) e^{t}+(a-t-1) e^{-t}=b \] \n の解の個数を調べよ。ただし、 は既知としてよい。
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次の関数の逆関数を求めよ。
(1)
(2) \( y=x^{2}+2 x+2(x \geqq-1) \)
(3)
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平均値の定理を用いて,次のことを証明せよ。\n\\ne^{-2}<a<b<1 のとき \\quad a-b<b \\log b-a \\log a<b-a\n\
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(3) \n点 \( (2, \log 2) \) における接線の傾きは よって, 接線の方程式は\n\[y-\log 2=\frac{1}{2}(x-2)\]\nすなわち また, 法線の方程式は\n\[y-\log 2=-\frac{1}{\frac{1}{2}}(x-2)\]\nすなわち
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亘票例題 122 不定積分と漸化式
I_{n}=\int \sin ^{n} x d x とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし, n は 2 以上の整数とし, \sin ^{0} x=1 とする。
\[I_{n}=\frac{1}{n}\left\{-\sin ^{n-1} x \cos x+(n-1) I_{n-2}\right\}\]
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PRACTICE 742 平均値の定理を用いて, 次のことを証明せよ。\n(1) のとき \( e^{a}(b-a)<e^{b}-e^{a}<e^{b}(b-a) \)\n(2) のとき \n(3) のとき \( \\frac{1}{a+1}<\\frac{\\log (a+1)}{a}<1 \)
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問5eを定数とし, 曲線 を とする。 の値を変化させたときの曲線 について, 正しいものを次のうちからすべて選べ。\n(1) 曲線 Cは, 双曲線となることがある。\n(2) 曲線 の 2 つの焦点を通る直線は, 常に 軸に平行である。\n(3) 曲線 は,常に 軸と 2 つの共有点をもつ。
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数学 \n(2) は右の図の赤い部分である。 また, から 軸の周りに1回転してできる立体の体積を とすると\n\[\n\\begin{array}{l}\nV=\frac{1}{3} \pi\\left(\frac{1}{a}\right)^{2} e-\pi \int_{1}^{e} x^{2} d y \\\n=\frac{\pi e}{3 a^{2}}-\frac{\pi}{a^{2}} \int_{1}^{e}(\\log y)^{2} d y \\\n=e-2 \int_{1}^{e} \log y d y \\\n=e-2[y \log y-y]_{1}^{e} \\\n=e-2 \\\n\\end{array}\n\\]\n\nここで \( \quad \int_{1}^{e}(\\log y)^{2} d y=\\left[y(\\log y)^{2}\\right]_{1}^{e}-\\int_{1}^{e} y \cdot 2 \log y \cdot \\frac{1}{y} d y \)\n\nゆえに \( \quad V=\frac{\pi e}{3 a^{2}}-\frac{\pi}{a^{2}}(e-2)=\frac{2(3-e)}{3 a^{2}} \pi \)\n とすると \( \quad \\frac{2(3-e)}{3 a^{2}} \pi=2 \pi \)\nよって \n であるから
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次の不定積分を求めよ。\n\\[ \\int\\left(\\tan x+\\frac{1}{\\tan x}\\right)^{2} dx \\]
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \
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例䟄 14 | はさみうちの原理 (1)\n は自然数とする。\n(1) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n\\[\nx \\geqq 0 \\text { のとき } \\quad(1+x)^{n} \\geqq 1+n x+\\frac{1}{2} n(n-1) x^{2}\n\\]\n(2)(1)の不等式を利用して,極限値 \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n}{3^{n}} \ を求めよ。
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次の問いに答えよ。\n(1)不定積分 を求めよ。\n(2) に対し, \( 2 n \pi \leqq x \leqq(2 n+1) \pi \) の範囲で, 軸と曲線 で囲まれる図形の面積を とする。 を で表せ。\n(3)()で求めた にいて, を求めよ。\n[茨城大]
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次の不定積分を求めよ。\n(1) t=\\tan x \ と置換することで,不定積分 \\int \\frac{d x}{\\sin x \\cos x} \ を求めよ。\n(2)関数 \\frac{1}{\\sin x \\cos ^{n+1} x} \ の導関数を求めよ。\n(3)部分積分法を用いて\n\\[\n\\int \\frac{d x}{\\sin x \\cos ^{n} x}=-\\frac{1}{(n+1) \\cos ^{n+1} x}+\\int \\frac{d x}{\\sin x \\cos ^{n+2} x}\n\\]が成り立つことを証明せよ。
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次の不定積分を求めよ。 (1) \( \int \frac{\log x}{x(\log x+1)^{2}} d x \) (2) \( \int \frac{e^{3 x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} d x \)
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次の式を不定積分の形にする。\n\n\ \\cos ^{3} x = \\cos ^{2} x \\cos x \\n\\[ = \\left(1 - \sin ^{2} x \\right) \\cos x \\]
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次の関数の逆関数を求めよ。また,そのグラフをかけ。\n(1) \n(2) \( y=\frac{2 x-1}{x+1} \quad(x \geqq 0) \)
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次の関数を微分せよ。
(1) y=\log (1-3 x)
(2) y=\log _{2}(2 x+1)
(3) y=\log \left|\frac{x}{1+\cos x}\right|
(4) y=\log \frac{1}{\cos x}
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \\int \\sin ^{5} x dx \\n(2) \\int \\tan ^{3} x dx \\n(3) \\int \\cos ^{6} x dx \
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B 77^{\circ} 1 \\leqq x \\leqq 2 \ の範囲で, x \ の関数 \( f(x)=a x^{2}+(2 a-1) x-\\log x(a>0) \\) の最小値を求めよ。
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PRACTICE 100\n(1) x \\geqq 1 のとき, x \\log x \\geqq (x-1) \\log (x+1) が成り立つことを示せ。\n(2) 自然数 n に対して, (n!)^{2} \\geqq n^{n} が成り立つことを示せ。\n\n[名古屋市大]
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次の問いに答えよ。\n(1) 不定積分 \ \\int e^{-x} \\sin x dx \ を求めよ。\n(2) \ n=0,1,2, \cdots \cdots \ に対し, \\( 2n\\pi \\leqq x \\leqq(2n+1)\\pi \\) の範囲で,\ x \ 軸と曲線 \ y=e^{-x} \\sin x \ で囲まれる図形の面積を \ S_{n} \ とする。 \ S_{n} \ を \ n \ で表せ。\n(3) (2) で求めた \ S_{n} \ について \ \\sum_{n=0}^{\\infty} S_{n} \ を求めよ。
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次の関数 f(x) が, 連続であるか不連続であるかを調べよ。ただし, [x] は実数 x を超えない最大の整数を表す。\n(1) f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}\n(2) f(x)=\log _{2}|x|\n(3) f(x)=[\sin x] (0 ≤ x ≤ 2π)
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x^{2} \\cos x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{-x} d x \
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85 次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) のとき \( \\frac{1}{x} \\log (1+x)>1+\\log \\frac{2}{x+2} \)\n(2) が正の整数のとき \( e-\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{n}<\\frac{e}{2 n+1} \)
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PR n は 2 以上の整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし, \ \\cos ^{0} x=1, \\tan ^{0} x=1 \ ⑫2 とする。\n(1) \\( \\int \\cos ^{n} x d x=\\\frac{1}{n}\\{\\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\cos ^{n-2} x d x\\}\\)\n(2) \ \\int \\tan ^{n} x d x=\\\frac{1}{n-1} \\tan ^{n-1} x-\int \\tan ^{n-2} x d x\\n(1)\n\\[\\begin{array}{l}\n\\int \\cos ^{n} x d x=\\int \\cos ^{n-1} x \\cos x d x \\\\n\\quad=\\int \\cos ^{n-1} x(\\\sin x)^{\\\prime} d x \\\\n=\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\sin ^{2} x \\cos ^{n-2} x d x \\\\n=\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int\\left(1-\\cos ^{2} x\\right) \\cos ^{n-2} x d x \\\\n=\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1)\\left(\\int \\cos ^{n-2} x d x-\\int \\cos ^{n} x d x\\right)\\end{array}\\]\nよって\n\\[\\int \\cos ^{n} x d x=\\\frac{1}{n}\\{\\\sin x \\cos ^{n-1} x+(n-1) \\int \\\cos ^{n-2} x d x\\}\\]\n(2)\n\\( \\ \int \\tan ^{n} x d x=\\\int \\tan ^{n-2} x\\left(\\frac{1}{\\cos ^{2} x}-1\\right) d x \\)\n\\n\ \\tan x=t \ とおくと \ \\quad \\frac{1}{\\cos ^{2} x} d x=d t \\nよって\n\\\begin{aligned}\\ \int \\tan ^{n} x d x & =\\\int t^{n-2} d t-\\\int \\tan ^{n-2} x d x \\\\ & =\\\frac{t^{n-1}}{n-1}-\\\int \\tan ^{n-2} x d x \\\\ & =\\\frac{1}{n-1} \\tan ^{n-1} x-\\\int \\tan ^{n-2} x d x \\end{aligned}\\n
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148 f(x)=\\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, g(x)=\\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
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関数 のとき, \( y^{(n)}=(-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{x^{n}} \) であることを証明せよ。
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とおくと, であるから
\[ \int e^{x}\left(e^{x}+1\right)^{2} d x =\int u^{2} d u=\frac{1}{3} u^{3}+C =\frac{1}{3}\left(e^{x}+1\right)^{3}+C \]
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連続な関数 f(x) が関係式 f(x)=e^{x} ∫_0^1 1/(e^t+1) dt+∫_0^1 f(t)/(e^t+1) dt を満たすとき, f(x) を求めよ。 [京都工織大]
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(2) とすると \n \(\begin{aligned} S_{n} & =\frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{k}{n}} & =\left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \end{aligned}\)\n は右の図の赤い斜線部分の長方形の面積の和を表すから \n \(\begin{aligned} S & =\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}} & =1 \cdot \int_{1}^{2} \frac{1}{1+x} d x=[\log (1+x)]_{1}^{2}=\log \frac{3}{2} \end{aligned}\)
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94 (3) \( \\frac{x\\left(x^{2}+3 x+3\\right)}{3} \\log x - \\frac{x^{3}}{9} - \\frac{x^{2}}{2} - x + C \)
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次の不定積分を求めなさい: \n\\( \\int_{e}^{e^e} \\frac{\\log (\\log x)}{x \\log x} dx \\)
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次の関数を微分せよ。
(1) y=\log \left(x^{3}+1\right)
(2) y=\sqrt[3]{x+1} \log _{10} x
(3) y=\log |\tan x|
(4) y=\log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{x}{(3 x-1)^{2}} d x \)
(2)
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実数 が を満たすとき, 関数 \( f(x)=\frac{a x+b}{c x+d} \) について, 次の問いに答えよ。 (1) \( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) を求めよ。 (2) \( f^{-1}(x)=f(x) \) を満たし, \( f(x) \neq x \) となる の関係式を求めよ。
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次の曲線や直線で囲まれた部分を 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積 を 求めよ。\n(1) \( y=\log (x^{2}+1)(0 \leqq x \leqq 1), y=\log 2, y \) 軸\n(2) 軸
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次の曲線と直線に囲まれた部分を,x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ。(1) y=e^{x}, x 軸, x=0, x=1 (2) y=x^{2}-x, x 軸
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数学 (5) \[ \\begin{aligned} y^{\\prime} & =-\\cos x \\cdot \\cos x+(1-\\sin x)(-\\sin x) \\\\ & =-\\left(1-\\sin ^{2} x\\right)-\\sin x+\\sin ^{2} x \\\\ & =2 \\sin ^{2} x-\\sin x-1 \\\\ & =(\\sin x-1)(2 \\sin x+1) \\end{aligned} \] の範囲で とすると \\begin{\overlineray}{ll} \\sin x-1=0 \text { から } & x=\\frac{\\pi}{2} \\\\ 2 \\sin x+1=0 \text { から } & x=\\frac{7}{6} \\pi, \\frac{11}{6} \\pi \\end{\overlineray} \nゆえに, の増減表は次のようになる。 \n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\\hline & 0 & & \\begin{tabular}{l} \\end{tabular} & & & & \\begin{tabular}{l} \\end{tabular} & & \\\n\\hline & 1 & - & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 1 \\\n\\hline & 1 & & 0 & & \\begin{tabular}{l} \\begin{tabular}{c} 極小 \\\ \\end{tabular} \\end{tabular} & & \\begin{tabular}{l} 極大 \\\ \\end{tabular} & & 1 \\\n\\hline\n\\end{tabular} の符号は, 常に であることを意識すると 調べやすい。 また, のとき であるが,\ x=\\frac{\\pi}{2} \ で極值をとらない。\nよって, は x=\\frac{11}{6} \\pi \ で極大値 , x=\\frac{7}{6} \\pi \ で極小値 をとる。
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(4) \\( f(x)=e^{(x+1)^{2}}-e^{x^{2}+1} \\) とすると\\\n\\begin{array}{c} f(0)=e^{1}-e^{1}=0 \\\n\\text { よって } \\quad \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{e^{(h+1)^{2}}-e^{h^{2}+1}}{h}=\\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{f(h)-f(0)}{h}=f^{\\prime}(0) \\\n\\text { であるから } \\f^{\\prime}(x)=(2 x+2) e^{(x+1)^{2}}-2 x e^{x^{2}+1} \\\nf^{\\prime}(0)=2 e^{1}-0=2 e\\\n\\end{array} \\ゆえに \\quad \\lim _{h \\rightarrow 0} \\frac{e^{(h+1)^{2}}-e^{h^{2}+1}}{h}=2 e
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関数の逆関数を求め、逆関数が存在する条件を確認してください。例えば関数 y=\frac{a x+b}{c x+d} の逆関数を求めてください。その条件 a d-b c \neq 0 を確認してください。
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数列 \( \left\{\left(\frac{x^{2}-3 x-1}{x^{2}+x+1}\right)^{n}\right\} \) が収束するような実数 の範囲を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
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関数 f(x)=log((x+a)/(3a-x)) (a>0) のグラフが変曲点に関して対称であることを証明しなさい。
真数の条件から (x+a)/(3a-x)>0 両辺に (3a-x)²>0 を掛けて (x+a)(3a-x)>0 となり (x+a)(x-3a)<0 となる。よって定義域は -a<x<3a である。
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PRACTICE 122
n は 2 以上の整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし, \cos ^{0} x=1, \tan ^{0} x=1 とする。
(1) \int \cos ^{n} x d x=\frac{1}{n}\left\{\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) \int \cos ^{n-2} x d x\right\}
(2) \int \tan ^{n} x d x=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1} x-\int \tan ^{n-2} x d x
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137\n 連続な関数 \( f(x) \) が関係式 \( f(x)=e^{x} \\int_{0}^{1} \\frac{1}{e^{t}+1} d t+\\int_{0}^{1} \\frac{f(t)}{e^{t}+1} d t \) を満たすと き, \( f(x) \) を求めよ。\n[京都工絨大]
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実数 について、\(I(a) = \int_{1}^{e} |\log a x| dx\) とする。 \(I(a)\) の最小値、およびそのときの の値を求めよ。
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96 \( \\frac{1}{a^{2}+1} e^{a x}(\\sin x + a \\cos x) + C \)
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数学 \ \mathbb{I} \\\nPR\\n\ e<a<b \ のとき, 不等式 \ a^{b}>b^{a} \ が成り立つことを証明せよ。\\n[類 長崎大]
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145\n(1) y=0, y=\\frac{1}{1-C e^{x}}\\n(C は任意の定数)\n(2) y=C x e^{-\\frac{x}{3}}(C\ は任意の定数 \\
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15\n(1) \\( y^{\\prime}=2(\\log x)^{\\prime}=\\frac{2}{x} \\)
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-\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} のとき, \cos \theta \geqq 0 であるから
\[\begin{aligned}
\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta} & =\sqrt{\cos ^{2} \theta}=\cos \theta \\
\text { よって } \quad \int_{-1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^{2}} d x & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta \cdot \cos \theta d \theta \\
& =\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos 2 \theta) d \theta \\
& =\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \\
& =\frac{5}{12} \pi+\frac{\sqrt{3}}{8}
\end{aligned}\]
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(6) 有名な関数と極限について
関数:
有名な極限:
関連する関数の増加の度合い: は よりも増加の仕方が急激
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関数 のとき, \( y^{(n)}=(-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{x^{n}} \) であることを証明せよ。
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57 (1) \ \\frac{3 x^{2}}{x^{3}+1} \\n(2) \\( \\frac{x \\log x+3(x+1)}{3 x \\sqrt[3]{(x+1)^{2}} \\log 10} \\)\n(3) \ \\frac{1}{\\sin x \\cos x} \\n(4) \ \\frac{2}{\\cos x} \
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次の不定積分を求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) \( \int\left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right)^{2} d x \)
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自然数 について,
\( S_{n}(x)=x+x \cdot \frac{1-3 x}{1-2 x}+x \cdot\left(\frac{1-3 x}{1-2 x}\right)^{2}+\cdots \cdots+x \cdot\left(\frac{1-3 x}{1-2 x}\right)^{n-1} \) を考える。
(1) 無限数列 \( \left\{S_{n}(x)\right\} \) が収束するのはア のときである。
(2) (1) で定めた の値の範囲において, \( S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) \) とすると, のとき、
(3) 関数 \( S(x) \) は オ で不連続である。
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次の定積分を求めよ。\n(1) \n[横浜国大] (2) \( \int_{e}^{e^{e}} \frac{\log (\log x)}{x \log x} d x \)\n[慶応大]\n(3) \n[東京理科大]
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よって (1) y=√[5]{(x+3)/(x+1)³} の y′=-{2(x+4)}/{5(x+1)(x+3)}=-{2(x+4)}/{5(x+1)√[5]{(x+1)³(x+3)⁴}} (2) y=x^{x+1}(x>0) の y′=(log x + {1}/{x} + 1)x^{x+1}
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問題: ある種の植物が毎年どれだけ成長するかをモデル化する。初年度、この植物は1メートル成長し、その後の各年度には前年の成長の80%になります。植物の高さが特定の値を超えるのは何年目ですか?
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次の関数を微分せよ。
(1) y=log(x^3+1)
(2) y=√[3]{x+1} log_{10} x
(3) y=log |tan x|
(4) y=log \frac{1+sin x}{1-sin x}
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PR 点 (0,1) から曲線 C: y=e^{a x}+1 に引いた接線を ℓ とする。ただし, a>0 とする。 (1) 接線 ℓ の方程式を求めよ。
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EX 正の実数 a に対し, 曲線 y=e^{ax} を C とする。原点を通る直線 ℓ が曲線 C に点 P で接している。 C, ℓ おび y 軸で囲まれた図形を D とする。\n(1) 点Pの座標を a を用いて表せ。\n(2) D を y 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積が 2π のとき, a の値を求めよ。\n[類 東京電機大]
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(4) 有名な関数と極限について
関数:
有名な極限:
関連する関数の増加の度合い: は よりも増加の仕方が急激
関連例題: 例題 94, 99
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124 \log \left|\frac{2 \tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}-2}\right|+C
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5 指数関数 y=a^{x}, 対数関数 y=\log _{a} x の極限 グラフからわかるように,次のことが成り立つ。 a>1 のとき \lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}=\infty 0<a<1 のとき \lim _{x \rightarrow \infty} a^{x}=0 \lim _{x \rightarrow-\infty} a^{x}=0 \lim _{x \rightarrow-\infty} a^{x}=\infty a>1 のとき \lim _{x \rightarrow \infty} \log _{a} x=\infty \lim _{x \rightarrow+0} \log _{a} x=-\infty 0<a<1 のとき \lim _{x \rightarrow \infty} \log _{a} x=-\infty \lim _{x \rightarrow+0} \log _{a} x=\infty
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定積分 \( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\) を求める。
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次の関数の逆関数を求めよ。
(1) \( y=\frac{2 x-1}{x+1}(x \geqq 0) \)
(2) \( y=\frac{1-2 x}{x+1}(0 \leqq x \leqq 3) \)
(3)
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x^{2} \\sin x d x \\n(2) \ \\int x^{2} e^{2 x} d x \\n(3) \\( \\int(\\log x)^{2} d x \\)
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無理関数の不定積分 (2) (特殊な置換積分)\n(1) 不定積分 \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ を \ \\sqrt{x^{2}+1}+x=t \ の置換により求めよ。\n(2) (1)の結果を利用して,不定積分 \ \\int \\sqrt{x^{2}+1} d x \ を求めよ。
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EX 座標平面上を動く点 の座標 \( (x, y) \) が時刻 はすべての実数值をとる) を用いて , 3144 で与えられている。\n(1) 与えられた式から を消去して, と の満たす方程式 \( y=f(x) \) を導け。\n(2) 点Pの軌跡を図示せよ。\n(3) 時刻 での点 の速度 を求めよ。\n(4) 時刻 から までに点 の動く道のりを求めよ。
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3. 指数関数の不定積分について、以下の問題に答えなさい。\n(1) 指数関数 の不定積分を求めなさい。\n(2) 一般的な形の指数関数 の不定積分を求めなさい (ただし、)。\n
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関数 \( f(x)=\\frac{a x+b}{c x+d}(c \\neq 0, a d-b c \\neq 0) \) について,次の問いに答えよ。\n(1) \( f(x) \) の逆関数 \( f^{-1}(x) \) を求めよ。\n(2) \( f^{-1}(x)=f(x) \) を満たし, \( f(x) \\neq x \) となる の関係式を求めよ。
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EX N を自然数とし, 関数 f(x) を f(x)=\\sum_{k=1}^{N} \\cos (2 k \\pi x) と定める。(1) m, n を整数とするとき, \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos (m x) \\cos (n x) d x を求めよ。(2) \\int_{0}^{1} \\cos (4 \\pi x) f(x) d x を求めよ。
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次の数列が収束するような実数 の値の範囲を求めよ。また, そのときの極限値を求 めよ。\n(1) (ア) \( \left\{(5-2 x)^{n}\right\} \)\n(1) \( \left\{\left(x^{2}+x-1\right)^{n}\right\} \)\n(2) \( \left\{x\left(x^{2}-2 x\right)^{n-1}\right\} \)
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \\int x \\cos 3 x d x \\n(2) \( \\int \\log (x+2) d x \\)
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次の不定積分を求めよ。
(1) \( \int \frac{1}{x(\log x)^{2}} d x \)
(2)
(3)
(4)
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(2) 2 つの曲線の共有点の 座標は,方程式 の解である。方程式を変形して ゆえに, グラフの概形は右の図のようになる。よって
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216\n数学 \n\\[\n\\begin{array}{l}\n\\text { よって } \\int_{0}^{1} \\frac{x^{n}}{2} d x \\leqq \\int_{0}^{1} \\frac{x^{n}}{1+x} d x \\leqq \\int_{0}^{1} x^{n} d x \n\\text { ここで } \\quad \\int_{0}^{1} \\frac{x^{n}}{2} d x=\\left[\\frac{x^{n+1}}{2(n+1)}\\right]_{0}^{1}=\\frac{1}{2(n+1)} \\text {, } \n\\int_{0}^{1} x^{n} d x=\\left[\\frac{x^{n+1}}{n+1}\\right]_{0}^{1}=\\frac{1}{n+1} \n\\text { したがって } \\frac{1}{2(n+1)} \\leqq I_{n} \\leqq \\frac{1}{n+1} \n\\end{array}\n\\]\n(3) (1) より, であるから\n\\[\n\\begin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} \\frac{(-1)^{k-1}}{k}= & \\frac{1}{1}-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\cdots \\cdots+\\frac{(-1)^{n-1}}{n} \n= & \\left(\\log 2+I_{1}\\right)-\\left(I_{1}+I_{2}\\right)+\\left(I_{2}+I_{3}\\right)-\\left(I_{3}+I_{4}\\right) \n& +\\cdots \\cdots+(-1)^{n-1}\\left(I_{n-1}+I_{n}\\right) \n= & \\log 2+(-1)^{n-1} I_{n}\n\\end{aligned}\n\\]\n(2)において \( \\quad \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{2(n+1)}=\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n+1}=0 \)\n\\[\n\\begin{array}{l} \n\\text { よって, } \\lim _{n \\rightarrow \\infty} I_{n}=0 \\text { であるから } \n\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\\log 2\n\\end{array}\n\\]\nはさみうちの原理
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㱏例題 121 不定積分の部分積分法 (3) (同形出現)
I=∫ e^x sin x dx, J=∫ e^x cos x dx であるとき
(1) I=e^x sin x-J, J=e^x cos x+I が成り立つことを証明せよ。
(2) I, Jを求めよ。
基本 112,113
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重要例題 118 関数の最小值と平均値, 中央値\n\nnを2以上の自然数とし、a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} を a_{1} \leqq a_{2} \leqq ... \leqq a_{n} を満たす実数とする。n 個のデータ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} の平均値を m,標準偏差を s,中央値を M とする。\n\n(1) 関数 f(x) = (x-a_{1})^2 + (x-a_{2})^2 + ... + (x-a_{n})^2 の最小値, およびそのときの x の値を n, m, s, M のうち必要なものを用いて表せ。\n\n(2) n は偶数であるとする。このとき,関数 g(x) = |x-a_{1}| + |x-a_{2}| + ... + |x-a_{n}| は x=M で最小となることを示せ。\n\n(3) n は偶数であるとする。このとき, (2) の関数 g(x) が最小値をとる x がただ 1 つであるための必要十分条件を, a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} のうち必要なものを用いて述べよ。\n\n[広島大]\n\n指針\nいろいろな文字が現れるが, 関数の問題であることに変わりはないので, 第3章で学んだ事柄に結び付けて考える。特に, 最大・最小の問題はグラフを利用するとよい。(1) f(x) を計算すると 2 次関数になる。基本形 a(x-p)^2+q に直す。(2)絶対値を含んだ式一場合に分けよ——に従って考える。a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} が場合の分かれ目になる。ただ,このままでは,絶対値が多くてわかりにくいので,試しに n=2,4 の場合のグラフを調べてみると,どのような値で最小値をとるかが予想できる。
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数学 II\n261\nよって\n\\[\n\\begin{aligned}\n& x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-m x-n \n= & x^{4}-2(a+b) x^{3}+\left\\{(a+b)^{2}+2 a b\\} x^{2}-2 a b(a+b) x+a^{2} b^{2}\n\\end{aligned}\n\\]\n\n\n両辺の係数を比較して\n\\[\n\\begin{array}{l}\n2=-2(a+b) \cdots \\cdots \\\\\n-m=-2 a b(a+b)\n\\end{array}\n\\]\n\\[-3=(a+b)^{2}+2 a b\\]\n(3), \ -n=a^{2} b^{2} \ \ \\qquad \\n(1)から \ a+b=-1 \\nこれと (2) から \ a b=-2 \\n\nこれらを (3), (4)に代入して \ m=4, \\quad n=-4 \\n\ a, b \ は 2 次方程式 \ t^{2}+t-2=0 \ の解 \ t=-2,1 \ であるから\n\a \\neq b\\n\nよって, 求める直線の方程式は \ \\quad y=4 x-4 \\n(2) \ a<b \ であるから \ \\quad a=-2, b=1 \\n区間 \ -2 \\leqq x \\leqq 1 \ で\n\x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2} \\geqq 4 x-4\\n\nであるから\n\\[\\begin{aligned}\nS= & \\int_{-2}^{1}\\left\\{\\left(x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}\\right)-(4 x-4)\\right\\} d x \\\\\n= & {\\left[\\frac{x^{5}}{5}+\\frac{x^{4}}{2}-x^{3}-2 x^{2}+4 x\\right]_{-2}^{1} } \\\\\n= & \\left(\\frac{1}{5}+\\frac{1}{2}-1-2+4\\right) \\\\\n& -\\left(-\\frac{32}{5}+8+8-8-8\\right)=\\frac{81}{10}\n\\end{aligned}\\]\n\ x=a, b \ で接する。 \\( \\Leftrightarrow f(x)-(m x+n)=0 \\) は \ x=a, b \ を重解にもつ。\n\n徰明\n\\( \\int_{\\alpha}^{\\beta}(x-\\alpha)^{2}(x-\\beta)^{2} d x=\\frac{1}{30}(\\beta-\\alpha)^{5} \\) の証明 \ \\quad \ (本冊 \ p .324 \ ) \\( \\unlhd f(x)=x^{2}(x-1)(x+3) \\) から, \\( f(x)=0 \\) のとき \ x=-3,0,1 \ よって, \\( y=f(x) \\) のグラ から, \\( f(x)=0 \\) のとき \ x=-3,0,1 \ よって, \\( y=f(x) \\) のグラ フは \ x \ 軸と \ x=-3,1 \ で 交わり, \ x=0 \ で接する。参考\n\\[\\begin{aligned}\nS & =\\int_{-2}^{1}(x+2)^{2}(x-1)^{2} d x \\\\\n& =\\frac{1}{30}\\{1-(-2)\\}^{5}=\\frac{81}{10}\n\\end{aligned}\\]\n\\[\\begin{aligned}\n(x-\\alpha)^{2}(x-\\beta)^{2} & =(x-\\alpha)^{2}(x-\\alpha+\\alpha-\\beta)^{2} \\\\\n& =(x-\\alpha)^{2}\\left\\{(x-\\alpha)^{2}+2(x-\\alpha)(\\alpha-\\beta)+(\\alpha-\\beta)^{2}\\right\\} \\\\\n& =(x-\\alpha)^{4}+2(\\alpha-\\beta)(x-\\alpha)^{3}+(\\alpha-\\beta)^{2}(x-\\alpha)^{2}\n\\end{aligned}\\]\n\\[\\text { よって } \\begin{aligned}\n\\int_{\\alpha}^{\\beta}(x-\\alpha)^{2}(x-\\beta)^{2} d x & =\\left[\\frac{(x-\\alpha)^{5}}{5}+2(\\alpha-\\beta) \\cdot \\frac{(x-\\alpha)^{4}}{4}+(\\alpha-\\beta)^{2} \\cdot \\frac{(x-\\alpha)^{3}}{3}\\right]_{\\alpha}^{\\beta} \\\\\n& =\\frac{(\\beta-\\alpha)^{5}}{5}+\\frac{1}{2}(\\alpha-\\beta)(\\beta-\\alpha)^{4}+\\frac{1}{3}(\\alpha-\\beta)^{2}(\\beta-\\alpha)^{3} \\\\\n& =\\left(\\frac{1}{5}-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}\\right)(\\beta-\\alpha)^{5}=\\frac{1}{30}(\\beta-\\alpha)^{5}\n\\end{aligned}\\]\n7章\n練習\n廭\n練習\n\ 176 \\Rightarrow \ 本冊 \ p .325 \\n(1) \ x^{2}=\\frac{y}{\\sqrt{2}} \\n(1) とする。\n(1) を \ x^{2}+y^{2}=1 \ に代入すると\n\ \\frac{y}{\\sqrt{2}}+y^{2}=1 \ すなわち \ \\sqrt{2} y^{2}+y-\\sqrt{2}=0 \\n\n左辺を因数分解すると\n\\( (y+\\sqrt{2})(\\sqrt{2} y-1)=0 \\)\n\ y=\\sqrt{2} x^{2} \\geqq 0 \ であるから \ \\quad y=\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\n連立方程式から \ x \ を消去。 \ y \ を消去するなら\n\\[x^{2}+\\left(\\sqrt{2} x^{2}\\right)^{2}=1\\]\n\nから \ 2 x^{4}+x^{2}-1=0 \\n\\( \\left(x^{2}+1\\right)\\left(2 x^{2}-1\\right)=0 \\)\n\ x^{2}+1>0 \ から \ \\quad x^{2}=\\frac{1}{2} \\nよって \ x= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} \
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多項式 \( f(x) \) について, 恒等式 \( f(f(x))=\{f(x)\}^{2} \) が成り立つという。このような \( f(x) \) をすべて求めよ。ただし, \( f(x) \) は常に 0 ではないとする。\n(注) \( f(f(x)) \) は \( f(x) \) の に \( f(x) \) を代入した式のこと。
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14 \\alpha \\) を \\alpha>1 \ を満たす有理数とする。\n(1) \\beta \\) を \\beta>0 \\) を満たす有理数とし, t, u \ を 0<t<u \ を満たす実数とする。このとき, t^{\beta}<u^{\beta} \ が成り立つことを示せ。\n(2) t \ を正の実数とする。このとき, \( 1+t^{\alpha}<(1+t)^{\alpha} \\) が成り立つことを示せ。\n(3) x, y \ を正の実数とする。このとき, \( x^{\alpha}+y^{\alpha}<(x+y)^{\alpha} \\) が成り立つことを示せ。\n(4) n \ を 2 以上の自然数とし、\\left{ x_{1}, x_{2}, \cdots \cdots, x_{n} \\right} \) を正の実数とする。このとき, \\left{ x_{1}^{α}+x_{2}^{α}+\cdots\cdots+x_{n}^{α}<\\left(x_{1}+x_{2}+\cdots\cdots+x_{n}\\right)^{α} \\right} が成り立つことを示せ。
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例題 147\n3 次関数の極大値と極小値の和\n は定数とする。 \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+a x+1 \) が で極値をとるとき, \( f(\alpha)+f(\beta)=2 \) ならば である。\n[類 上智大]
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(3)初項を , 公比を \( r(r>0) \) とすると, 条件から\n\\n\\begin{\overlineray}{l}\na+a r+a r^{2}=21 \\\\ \\cdots \\\\ \\cdots \\\\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}+a r^{6}+a r^{7}+a r^{8}=1512\n\\end{\overlineray}\n\\n(2) から \( \quad\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{3}+\\left(a+a r+a r^{2}\\right)r^{6}=1512 \)\n(1) を代入すると \n\nよって\n\\nr^{6}+r^{3}-72=0\n\\n\n因数分解すると \( \quad\\left(r^{3}+9\\right)\\left(r^{3}-8\\right)=0 \)\n\nしたがって \n\n であるから, より \n を (1)に代入すると よって \nすなわち, 初項は 3 初めの 5 項の和は \( \\frac{3\\left(2^{5}-1\\right)}{2-1}=93 \)\n
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【対数関数 の グラフの特徴を押さえる。\n1. 点 (1,0) を通る。\n2. y 軸は漸近線。\n3. なら単調に増加 なら単調に減少\n4.
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点 (2, -2) における接線の方程式は y - (-2) = -3(x - 2) すなわち y = -3x + 4。 2 直線 (1), (2) の交点の x 座標は, x = -3x + 4 から x = 1 よって, 求める面積を S とすると、 S= ∫_{0}^{1}(x - (-x² + x)) dx + ∫_{1}^{2}((-3x + 4) - (-x² + x)) dx = ∫_{0}^{1} x³ / 3 + ∫_{1}^{2}(x - 2)³ / 3 = [x³/3]_{0}^{1} + [(x-2)³/3]_{1}^{2} = 1/3 + 1/3 = 2/3。
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命題: 指数関数 y=a^x (a>0, a≠1) について
以下の性質を証明せよ:
1. 定義域は実数全体で、値域は正の数全体である。
2. a>1 のとき単調に増加し、0<a<1 のとき単調に減少する。
3. グラフは点 (0,1) を通り、x軸はその漸近線である。
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(2)地上から真上に初速度 49 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \ で打ち上げられた物体の 秒後の高さ y \ は \( y=49 t-4.9 t^{2}(\\mathrm{~m}) \\) で与えられる。この運動について次のものを求めよ。\n(ア) 3 秒後と 6 秒後の速度\n(イ) 最高点に達したときの高さ\n(ウ) 地上に落下したときの時刻と速度
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底の変換と式の計算 次の式を簡単にせよ。 (1) \( \left(\log _{27} 4+\log _{9} 4\right)\left(\log _{2} 27-\log _{4} 3\right) \) [信州大] (2)
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次の方程式を解け。(1) \(\\log_{3} x + \\log_{3} (x-2) = 1\\) (2) \(\\log_{2}(x^2 - x - 18) - \\log_{2}(x - 1) = 3\\) (3) \(\\log_{2}(x + 1) - \\log_{4}(x + 4) = 1\\)
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2 曲線の交点の x 座標は, x^3-3x^2+2x=ax(x-2) の解である。 x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2) であるから x(x-1)(x-2)=ax(x-2)
よって x(x-2)(x-1-a)=0
ゆえに x= 0,2, a+1
a>1 であるから,2 曲線の概形は右の図のようになり,2つの部分の面積 S1, S2 が等しくなるための条件は, S1=S2 すなわち S1-S2=0 であるから
\(
\int_{0}^{2}\{f(x)-g(x)\} dx-\int_{2}^{a+1}\{g(x)-f(x)\} dx=0
\) よって \(\int_{0}^{a+1}\{f(x)-g(x)\} dx=0\)
左辺の定積分を I とすると
\(
I =\int_{0}^{a+1}\left\{x^3-(a+3)x^2 }+2(a+1)x\right} d x \)
=\left\[\frac{x^4}{4}-\frac{a+3}{3} x^3+(a+1)x^2\right]_0^{a+1}
=\frac{(a+1)^4}{4}-\frac{a+3}{3}(a+1)^3+(a+1)^3
=\frac{1}{12}(a+1)^3(3-a)
\)
1 であるから, I=0 となるのは a=3
a>1 であるから, I=0 となるのは a=13
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a, b は実数として, x の 4 次関数 f(x)=x^{4}-a x^{2}+b x を考える。
(1) s, t は異なる実数とする。曲線 y=f(x) の, x=s における接線の傾きと, x=t における接線の傾きが等しいとき, a を s と t を用いて表せ。
(2) 曲線 y=f(x) が異なる 2 点で共通の接線 ℓ をもつとし,その接点の x 座標の 1 つを s とする。
(ア) a を s を用いて表せ。
(イ) ℓ の方程式を, a と b を用いて表せ。
(3) 関数 f(x) が極大値をもつための必要十分条件を a と b に関する不等式で表せ。 [東京理科大]
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次の方程式を解け。(1) \\(\\log_{2}(x^2 + 3x + 4) = 1\\) (2) \\(\\log_{3}(x - 5) + \\log_{3}(2x - 3) = 2\\) (3) \\(\\log_{2}(x^2) = 2 + \\log_{2}|x - 2|\\) (4) \\(\\log_{2}(x^2 + 4x - 4) + \\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) = 3\\) (5) \\(\\log_{2}(x) + \\log_{4}(x + 3) = 1\\) (6) \\(\\log_{x}(5\\sqrt{5}) = \\frac{1}{2}\\)
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関数 \( y=\left(\log _{2} \frac{x}{4}\right)^{2}-\log _{2} x^{2}+6 \) の における最大値と最小値,およびそのときの の値を求めよ。
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例題 いろいろな関数の最大・最小(微分利用 2) (1) 関数 \( f(x)=2^{3 x}-3 \cdot 2^{x} \) の最小値と,そのときの の値を求めよ。 (2) 関数 \( f(x)=\log _{2} x+2 \log _{2}(6-x) \) の最大値と,そのときの の値を求めよ。\n
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複利計算\n年利率 , 1 年ごとの複利での計算とするとき,次のものを求めよ。\n(1) 年後の元利合計を 円にするときの元金 円\n(2)毎年初めに 円ずつ積立貯金し, 年経過時の元利合計 円
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次の関数 f(x) の最小値を求めなさい。\n\[ f(x)=\left(\log _{2} x\right)^{2}-\log _{2} x^{4}+1=\left(\log _{2} x\right)^{2}-4 \log _{2} x+1 \]\n とおくと,\n\[ g(t)=t^{2}-4 t+1=(t-2)^{2}-3 \]\n軸は である。[1] すなわち のとき、[2] すなわち のときの最小値も求めなさい。
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次の関数のグラフをかけ。また,関数 \ y=\\log _{4} x \ のグラフとの位置関係をいえ。\n(1) \\( y=\\log _{4}(x-2) \\)\n(2) \ y=\\log _{\\frac{1}{4}} x \\n(3) \ y=\\log _{4} 4 x \\n(4) \\( y=\\log _{\\frac{1}{4}}(2-x) \\)
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(2) の面積をそれぞれ \n y_{1}, y_{2} とする。\n\ny_{1}=\int_{p-1}^{1}\left\{\left(-3 x^{2}+3\right)-(-3 p x+3 p)\right\} d x \n=-3 \int_{p-1}^{1}\{x-(p-1)\}(x-1) d x \n=-3\left(-\frac{1}{6}\right)\{1-(p-1)\}^{3}=\frac{1}{2}(2-p)^{3} \n=-\frac{1}{2} p^{3}+3 p^{2}-6 p+4 \n y_{2}=\int_{0}^{p-1}\left\{(-3 p x+3 p)-\left(-3 x^{2}+3\right)\right\} d x \n=\int_{0}^{p-1}\left(3 x^{2}-3 p x+3 p-3\right) d x \n=\left[x^{3}-\frac{3}{2} p x^{2}+3(p-1) x\right]_{0}^{p-1} \n=(p-1)^{3}-\frac{3}{2} p(p-1)^{2}+3(p-1)^{2} \n=-\frac{1}{2} p^{3}+3 p^{2}-\frac{9}{2} p+2 \n y_{1}+y_{2}=f(p) \text { とすると } \n f(p)=-p^{3}+6 p^{2}-\frac{21}{2} p+6 \n f^{\prime}(p)=-3 p^{2}+12 p-\frac{21}{2}=-\frac{3}{2}\left(2 p^{2}-8 p+7\right) \n\n f(p)=-p^{3}+6 p^{2}-\frac{21}{2} p+6 \n f^{\prime}(p)=-3 p^{2}+12 p-\frac{21}{2}=-\frac{3}{2}\left(2 p^{2}-8 p+7\right) \n\n f^{\'}
( p)=0 \n とすると \n p=\frac{4 \pm \sqrt{2}}{2} \n 1 \leqq p<2 \n における f(p) の 増減表は,右のようになる。 よって, と の面積の和が最小となる の値は
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数学 II
-247
演習 80
⇒ 本冊 p.302
f'(x)=3x^2+2ax
よって, 点 P(t, f(t)) における接線 ℓ_t の方程式は
y-(t^3+at^2+b)=(3t^2+2at)(x-t)
ℓ_t が原点を通るとき
- (t^3+at^2+b) = (3t^2+2at)(-t)
2t^3+at^2-b=0
整理すると 2t^3+at^2-b=0
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線が異なるから, 方程式 (1)がただ 1 つの実数解をもてばよい。
ここで, g(t)=2t^3+at^2-b とする。
曲線 y=g(t) と t 軸がただ1つの共有点をもつような a, bの条件を求める。
g'(t)=6t^2+2at=6t(t+a/3)
g'(t)=0 とすると t=0,-a/3
[1] a=0 のとき g'(t)=6t^2 ≥ 0
よって, g(t)=2t^3-b は単調に増加するから, bの値にかかわらず曲線 y=g(t) は t 軸とただ1つの共有点をもつ。
[2] a≠0 のとき
0,-a/3 の小さい方を α, 大きい方を β とおくと, g(t) の増減表は右のようになる。
曲線 y=g(t) と t 軸がただ1つの共有点をもつための条件は, 極大値と極小値がともに正,またはともに負となることである。 すなわち g(0)g(-a/3) > 0
g(0) = -b, g(-a/3)=a^3/27 - b であるから
-b(a^3/27 - b) > 0 すなわち b(a^3/27 - b) < 0
ゆえに b < 0 かつ b < a^3/27 または b > 0 かつ b > a^3/27
以上から, 求める条件は
a=0 のとき bはすべての実数
a ≠ 0 のとき b < 0 かつ b < a^3/27 または b > 0 かつ b > a^3/27
したがって, 点 (a, b) が存在する領域を図示すると,右の図の斜線部分のようになる。ただし,境界線は原点のみを含み,他は含まない。
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(1) \( f^{\\prime}(x)=x^{2}-s^{2}=(x+s)(x-s) \\) \\( f^{\\prime}(x)=0 \\) とすると \ \\quad x=-s, s \ [1] \ s>0 \ のとき \\( f(x) \\) の増減表は右のように なる。 (i) \ 0<s<2 \ のとき \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \ において, `|x|&cdots;|&s&|....|s&|&cdots;` \\( f^{\\prime}(x) \\) = + & 0 & - & 0 & + \\( f(x) \\) = \ \\nearrow \ 極大 & \ \\searrow \ & 極小 & \ \\nearrow \ \\( f(x) \\) は \ x=s \で最小値をとるから \\( g(s)=f(s)=\\frac{s^{3}}{3}-s^{2} \\cdot s+2 s^{2}=-\\frac{2}{3} s^{3}+2 s^{2} \\) (ii) \s \\geqq 2 \ のとき \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \ において, \\( f(x) \\) は \ x=2 \ で最小値をとるから \\( g(s)=f(2)=\\frac{2^{3}}{3}-s^{2} \\cdot 2+2 s^{2}=\\frac{8}{3} \\) [2] \ s=0 \ のとき \\( \\quad f(x)=\\frac{x^{3}}{3}, f^{\\prime}(x)=x^{2} \\geqq 0 \\) よって, \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \ において, \\( f(x) \\) は \ x=0 \ で最小値をとるから \\( g(0)=f(0)=0 \\)
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■ 次の方程式・不等式を解け。 \n(1) \( 2\left(\log _{2} x\right)^{2}+3 \log _{2} 4 x=8 \)
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次の方程式・不等式を解け。
(1) \( \log _{3}(x+2)+\log _{3}(x-1)=\log _{3} 4 \)
(2) \( \log _{\frac{1}{2}}(2-x)>-2 \)
(3) \( \log _{2} x+\log _{2}(x+1)<1 \)
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底の変換公式\n底の変換公式\n は正の数で, とする。\n\n\\n\\log _{a} b=\\frac{\\log _{c} b}{\\log _{c} a}\n\
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対数関数\n対数関数 \ y=\\log _{a} x \ の性質とそのグラフ \ a>0, a \\neq 1 \ とする。\n(1) 定義域は正の数全体,値域は実数全体\n(2) 点 \\( (1,0),(a, 1) \\) を通り, \ y \ 軸はその漸近線\n(3) \ a>1 \ のとき \ x \ が増加すると \ y \ も増加\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p<\\log _{a} q\n\\n\ 0<a<1 \ のとき \ x \ が増加すると \ y \ は減少\n\\n0<p<q \\Longleftrightarrow \\log _{a} p>\\log _{a} q\n\
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次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\log_{3} \\sqrt{5} - \\frac{1}{2} \\log_{3} 10 + \\log_{3} \\sqrt{18} \\n(2) \ \\log_{2} 16 + \\log_{4} 8 + \\log_{8} 4 \\n(3) \\( \\left(\\log_{3} 4 + \\log_{9} 4\\right)\\left(\\log_{2} 27 - \\log_{4} 9\\right) \\)
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次の式を簡単にせよ。\n(1) \ \\log_{4} 8 + \\log_{4} 2 \\n(2) \ \\log_{5} 75 - \\log_{5} 15 \\n(3) \ \\log_{8} 64^{3} \\n(4) \ \\log_{3} \\sqrt[4]{3^{5}} \\n(5) \ \\log_{\\sqrt{3}} 27 \\n(6) \ \\log_{2} 8 + \\log_{3} \\frac{1}{81} \
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TRAINING 165 (4)\n関数 \( y=9^{x}-2\\cdot3^{x+1}+81(-3 \\leqq x \\leqq 3) \) の最大値と最小値を求めよ。\n
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次の式を簡単にせよ。
(1)
(2)
(3) \( \left(\log _{3} 4+\log _{9} 4\right)\left(\log _{2} 27-\log _{4} 9\right) \)
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指数関数\n指数関数 \ y=a^{x} \ の性質とそのグラフ\n\ a>0, a \\neq 1 \ とする。\n(1) 定義域は実数全体,値域は正の数全体\n(2) 点 \\( (0,1),(1, a) \\) を通り, \ x \ 軸はその漸近線\n(3) \ a>1 \ のとき \ x \ が増加すると \ y \ も増加\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}<a^{q}\n\\n\ 0<a<1 \ のとき \ x \ が増加すると \ y \ は減少\n\\np<q \\Longleftrightarrow a^{p}>a^{q}\n\
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次の方程式・不等式を解け。\n(1) \n(2) \( \log _{4}(x-1)=-1 \)\n(3) \n(4)
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次の方程式・不等式を解け。
(1) \( \log _{10}(x+2)(x+5)=1 \)
(2) \( \log _{2} 3 x+\log _{2}(x-1)=2+\log _{2}(x-1)^{2} \)
(3) \( \log _{3}(1-2 x) \leqq 1 \)
(4) \( \log _{\frac{1}{2}}(x-4)+\log _{\frac{1}{2}}(x-6)>-2 \)
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次の式を簡単にせよ。
(1)
(2) \( \left(\log _{2} 9+\log _{4} 3\right)\left(\log _{3} 2+\log _{9} 4\right) \)
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次の関数の最大値と最小値を求めよ。\n(1) \( y=2\\left(\\log _{4} x\\right)^{2}-\\log _{4} x \\)\n[立教大]\n(2) \( y=\\left(\\log _{10} \\frac{x}{100}\\right)\\left(\\log _{10} \\frac{1}{x}\\right) \\)\n\( (1<x \\leqq 100) \\)\n[名城大]
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等式 f(x)=1+2 \\int\\_{0}\\^{1}(x t+1) f(t) d t を満たす関数 f(x) を求めよ。 [島根大] 右辺を変形して f(x)=1+2 x \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t+2 \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t \\int\\_{0}\\^{1} t f(t) d t=a, \\int\\_{0}\\^{1} f(t) d t=b とおくと , a, b は定数であり よって a=\\int\\_{0}\\^{1} t(x)=2 a x+2 b+1 =\\left[\\frac{2}{3} a t\\^{3}+\\frac{2 b+1}{2} t\\^{2}\\right]\\_{0}\\^{1}=\\frac{2}{3} a+\\frac{2 b+1}{2} よって a=\\int\\_{0}\\^{1} t(2 a t+2 b+1) d t=\\int\\_{0}\\^{1}\\left\\{2 a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\} d t ゆえに 2 a-6 b-3=0 一方 b=\\int\\_{0}\\^{1}(2 a t+2 b+1) d t=\\left[a t\\^{2}+(2 b+1) t\\right\\]\\_{0}\\^{1} =a+2 b+1 よって a+b+1=0 (1), ② を連立して解くと a=-\\frac{3}{8}, b=-\\frac{5}{8} ゆえに f(x)=2\\left(-\\frac{3}{8}\\right) x+2\\left(-\\frac{5}{8}\\right)+1=-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{4} x は定数として扱う。
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TRAINING 167
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
[(1) 立教大, (2) 名城大]
(1) \( y=2\left(\log _{4} x\right)^{2}-\log _{4} x \)
(2) \( y=\left(\log _{10} \frac{x}{100}\right)\left(\log _{10} \frac{1}{x}\right) \quad(1<x \leqq 100) \)
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準指148 数のグラフ y=3^{x} (1) (1) y=3^{-x}
基本の y=a^{x} のグラフとの関係を調べてかく
下のような対応表を作ると, y=3^{x} との関係がつかみやすい。
(3) y=a^{x-b}+q のグラフは, y=a^{x} のグラフを x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動したものである。この設問は, p=1, q=0 の場合。
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対数とその性質\n対数の定義\n\ a>0, \\quad a \\neq 1, \\quad M>0 \\text { とする。 } \\n\ M=a^{p} \\Longleftrightarrow \\log _{a} M=p \
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int \\frac{1}{4 x^{2}-12 x+9} d x \\n(2) \ \\int \\sqrt[3]{3 x+2} d x \\n(3) \ \\int e^{-2 x+1} d x \\n(4) \\( \\int \\frac{1}{\\sqrt[3]{(1-3 x)^{2}}} d x \\)\n(5) \\( \\int \\sin (3 x-2) d x \\)\n(6) \ \\int 7^{2 x-3} d x \
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練習\n157\n を 0 以上の整数として, とする。ただし, である。\n(1) および \( I_{m, n}=\frac{n-1}{m+n} I_{m, n-2}(n \geqq 2) \) を示せ。\n(2) (1)の等式を利用して, 次の定積分を求めよ。\n(ア) \n(イ)
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関数 \( f(x)=\\sin x(0 \\leqq x \\leqq \\pi) \) について, 関数 \( y=f(x) \) のグラフと 軸で囲まれ た部分を 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 は, \( V=2 \\pi \\int_{0}^{\\pi} x f(x) d x \) で与えられることを示せ。また,この体積を求めよ。
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練習 \( f(x)=e^{x}-x \) について,次の問いに答えよ。\n[神戸大]\n③188 (1) は実数とする。このとき, 曲線 \( y=f(x) \) と 2 直線 および 軸 で囲まれた図形の面積 \( S(t) \) を求めよ。\n(2) \( S(t) \) を最小にする の値とその最小値を求めよ。
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31562 曲線 C_{1}: y=a e^{x}, C_{2}: y=e^{-x} を考える。定数 a が 1 \leqq a \leqq 4 の範囲で変化する とき, C_{1}, C_{2} および y 軸で囲まれる部分を D_{1} とし, C_{1}, C_{2} および直線 x=log 1/2 で囲まれる部分を D_{2} とする。(1) D_{1} の面積が 1 となるとき, a の値を求めよ。(2) D_{1} の面積と D_{2} の面積の和の最小値とそのときの a の値を求めよ。
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不等式の証明 (1) …微分利用(基本)\nx>0 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。\n(1) \( \\log (1+x)<\\frac{1+x}{2} \)\n(2)
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関数 f(x)=A e^x cos x + B e^x sin x ( A, B は定数) について, 次の問いに答えよ。(1) f'(x) を求めよ。(2) f''(x) を f(x) および f'(x) を用いて表せ。(3) ∫ f(x) dx を求めよ。
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有名な関数とそれに関連した極限\n関数 \ y=\\frac{\\log x}{x} \ の極限は、\ \\lim _{x \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log x}{x}=0 \ です。
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a > 0, b > 0 のとき, 不等式 b log (a/b) ≤ a - b ≤ a log (a/b) が成り立つことを証明せよ。
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\\( f(x)=-e^{x} \\) とする。実数 \ b \ に対して, 点 \\( (0, b) \\) を通る,曲線 \\( y=f(x) \\) の接線の 本数を求めよ。ただし, \ \\lim _{x \\rightarrow-\\infty} x e^{x}=0 \ を用いてもよい。
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実数 a, b, c に対して, F(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + a x + 1, f(x) = x^2 + c x + 1 とおく。また、複素数平面内の単位円から 2 点 1, -1 を除いたものを T とする。
(1) f(x) = 0 の解がすべて T 上にあるための必要十分条件を c を用いて表せ。
(2) F(x) = 0 の解がすべて T 上にあるならば、F(x) = (x^2 + c1 x + 1)(x^2 + c2 x + 1) を満たす実数 c1, c2 が存在することを示せ。
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k を定数とするとき, 0<x<2 \pi における方程式 \\log (\sin x+2)-k=0 の実数解の個数を調べよ。
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振り返りグラフのかき方 微分法を利用してグラフをかく問題における関数の式は,次の 3 パターンであった。 \( 1 \quad y=f(x) \) の形 [陽関数表示] ……基本例題 107, 108 \( 2 \quad F(x, y)=0 \) の形 [陰関数表示] …‥重要例題 109 \( 3 x=f(\\theta), y=g(\\theta) \) の形 [媒介変数表示] …‥重要例題 110 パターンごとに, グラフをかく際の方法や注意点について, 振り返っておこう。 1. \(y=f(x)\) の形の関数のグラフ p.180 〜 184 の内容を再確認。主に次のことを調べる。 ① 定義域 ② 対称性や周期性 ③ 増減と極値 ④ 凸と変曲点 ⑤ 座標軸との共有点 ⑥ 漸近線 2. \(F(x, y)=0\) の形の関数のグラフを描くために \(y=f(x)\) に変形する。 例1. \( y^{2}=x^{2}(8-x^{2}) \) グラフは x軸, y軸, 原点に関して対称 例2. の 2 次方程式として解くと 3. \( x=f(\\theta), y=g(\\theta) \) の形の関数のグラフ p.186 を参照。 を消去して, \( y=f(x) \) に帰着させることができない場合,媒介変数表示のままグラフをかく。 例 テーブルを作成: \\begin{\overlineray}{c||c|c|c} \\hline \\theta & \\cdots & 0 & \\cdots \\\\ \\hline \\frac{d x}{d \\theta} & + & + & + \\\\ \\hline x & \\rightarrow & 0 & \\rightarrow \\\\ \\hline \\frac{d y}{d \\theta} & - & 0 & + \\\\ \\hline y & \\downarrow & 2 & \\uparrow \\\\ \\hline グラフ & \\searrow & & \\nearrow \\\\ \\hline \\end{\overlineray}
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皿習(1) |x| が十分小さいとき, 次の関数の 1 次の近似式, 2 次の近似式を作れ。
(2) 127
(ア) f(x)=log (1+x)
(イ) f(x)=√(1+ sin x)
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16 を任意の正の整数とし, 2 つの関数 \( f(x), g(x) \) はともに 回微分可能な関数と する。 [大分大]\n(1) 積 \( f(x) g(x) \) の第 4 次導関数 \( \frac{d^{4}}{d x^{4}}\{f(x) g(x)\} \) を求めよ。\n(2) 積 \( f(x) g(x) \) の第 次導関数 \( \frac{d^{n}}{d x^{n}}\{f(x) g(x)\} \) における \( f^{(n-r)}(x) g^{(r)}(x) \) の係数を類推し,その類推が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。ただし, は負でない 以下の整数とし, \( f^{(0)}(x)=f(x), g^{(0)}(x)=g(x) \) とする。\n(3) 関数 \( h(x)=x^{3} e^{x} \) の第 次導関数 \( h^{(n)}(x) \) を求めよ。ただし, とする。
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a > 0, b > 0 とし, f(x) = log ((x + a) / (b - x)) とする。曲線 y = f(x) はその変曲点に関して対称であることを示せ。
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例題 17 (2)(1) 3 n - n^{3} \ について、 n^{3} \ の方が 3 n \ より速く正の無限大に発散するという事実に基づき、どのように限界を予測できますか?
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定積分 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)^{5} d x \) を求めよ。
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練習: (2) 65\n(1) y = の逆関数の導関数を求めよ。\n(2) f(x) = の逆関数 f^{-1}(x) の x = における微分係数を求めよ。\n(3) 次の関数を微分せよ。\n(ア) y = \n(イ) y = \n(ウ) y =
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次の関数の逆関数を求めよ。また,そのグラフをかけ。\n(1) \( y=\frac{3}{x}+2(x>0) \)\n(2) \n(3)
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次の定積分を求めよ。[(1) 東京電機大, (2) 横浜国大] (1) \ \int_{1}^{2} \\frac{\\log x}{x^{2}} d x \ (2) \ \int_{0}^{2 \\pi} x^{2}|\\sin x| d x \
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関数の値の変化, 最大・最小, 関数のグラフ\n(395) a>0 を定数とし, f(x)=x^{a} \log x とする。\n(1) lim _{x \u2192+0} f(x) を求めよ。必要ならば, lim _{s \u2192 \u221e} s e^{-s}=0 が成り立つことは証明なしに用 いてよい。\n(2) 曲線 y=f(x) の変曲点が x 軸上に存在するときの a の値を求めよ。更に, そ のときの y=f(x) のグラフの概形をかけ。\n[類 早稲田大]
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n は整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし, , (4) \(138(\log x)^{0}=1\) である。\n (1) \(\int \cos ^{n} x d x=\frac{1}{n}\left\{\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) \int \cos ^{n-2} x d x\right\}(n \geqq 2)\n (2) \(\int(\log x)^{n} d x=x(\log x)^{n}-n \int(\log x)^{n-1} d x \quad(n \geqq 1)\)\n (3) \(\int x^{n} \sin x d x=-x^{n} \cos x+n \int x^{n-1} \cos x d x \quad(n \geqq 1)\)
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⑪7nを0以上の整数とする。次の不定積分を求めよ。
\[
\int\left\{-\frac{(\log x)^{n}}{x^{2}}\right\} d x=\sum_{k=0}^{n} \square
\]
ただし,積分定数は書かなくてよい。
[横浜市大]
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参羞事項 \ \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x \ のいろいろな求め方\n重要例題 141 (1) では, \ x+\\sqrt{x^{2}+1}=t \ とおいて求めたが, 他にもいろいろな方法がある。 まず,前ページの指針で示した, \ x=\\tan \\theta \ とおき換える方法を見てみよう。\n\\[\n\\begin{array}{l} \nx=\\tan \\theta\\left(-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}\\right) とおくと d x=\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\\nよって \\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}} d x=\\int \\frac{1}{\\sqrt{\\tan ^{2} \\theta+1}} \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta \\ \\\n=\\int \\cos \\theta \\cdot \\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta} d \\theta=\\int \\frac{1}{\\cos \\theta} d \\theta \\ \\\n=\\frac{1}{2} \\log \\frac{1+\\sin \\theta}{1-\\sin \\theta}+C=\\frac{1}{2} \\log \\frac{(1+\\sin \\theta)^{2}}{\\cos ^{2} \\theta}+C \\\n=\\log \\frac{1+\\sin \\theta}{\\cos \\theta}+C=\\log \\left(\\frac{1}{\\cos \\theta}+\\tan \\theta\\right)+C \\\n=\\log \\left(x+\\sqrt{x^{2}+1}\\right)+C\n\\end{array}\n\\]\n\\\triangleleft 1+\\tan ^{2} \\theta=\\frac{1}{\\cos ^{2} \\theta}, \\cos \\theta>0 から \\]\n\\[\\frac{1}{\\sqrt{\\tan ^{2} \\theta+1}}=\\cos \\theta\\n1真数の分母・分子に \ 1+\\sin \\theta \ を掛ける。 なお, \ \\int \\frac{1}{\\cos \\theta} d \\theta \ の計算について, 詳 しくは練習 143 を参照。
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次の問題を解いてください。\\( f(x)=\\frac{1}{3} x^{3}+2 \\log |x| \\) とする。実数 \ a \ に対して, 曲線 \\( y=f(x) \\) の接線のうちで傾きが \ a \ と等しくなるようなものの本数を求めよ。
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264\n は 0 でない定数とし, とする。このとき, の値をそれぞれ求めよ。[類 札幌医大]人重要 137 , 基本 154\n提針 重要例題 137 と同様,部分積分法により の連立方程式を作る。
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定数a, bがあり、ab ≠ 1とする。関数 y = (bx + 1) / (x + a) の逆関数がもとの関数と一致する条件を求めよ。 [奈良大]
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n は 2 以上の自然数とする。次の不等式を証明せよ。\n\\[\n\\log (n+1)<1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{n}<\\log n+1\n\\]
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26 (1) 不定積分 を求めよ。 [広島市大]\n(2) 定積分 \(\\int_{0}^{1}\\{x(1-x)\\}^{\\frac{3}{2}} dx\) を求めよ。 [弘前大]
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52
P₁(1,1), xₙ₊₁=1/4 xₙ + 4/5 yₙ, yₙ₊₁=3/4 xₙ + 1/5 yₙ (n=1,2, ...) を満たす平面上の点列 Pₙ(xₙ, yₙ) がある。点列 P₁, P₂, ... はある定点に限りなく近づくことを証明せよ。
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x>0 のとき,不等式 \\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t<x-\\frac{x^{3}}{3}+\\frac{x^{5}}{10} を証明せよ。\n
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次の関数を, 上の例と同じようにして無限級数の形に表せ。\n(1) \( f(x)=\cos x \)\n(2) \( f(x)=\log (1+x) \)\n(*)
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不定積分の置換積分法・部分積分法
基本事頙
1. f(ax+b) の不定積分
F'(x)=f(x), a ≠ 0 とするとき ∫f(ax+b)dx= (1/a) F(ax+b) + C
2. 置換積分法
1. ∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t) dt (ただし x=g(t) )
2. ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du (ただし g(x)=u )
2'. ∫{g(x)}^α g'(x)dx = ({g(x)}^α+1 / α+1 ) + C (ただし α ≠ -1 )
3. ∫ {g'(x) / g(x)} dx = log|g(x)| + C
3. 部分積分法
∫ f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫f'(x) g(x) dx (特に ∫ f(x) dx = x f(x) - ∫ x f'(x) dx )
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次の不定積分を求めよ。\n(1) \ \\int x e^{-x} d x \\n(2) \ \\int x \\sin x d x \\n(3) \ \\int x^{2} \\log x d x \\n(4) \ \\int x \\cdot 3^{x} d x \\n(5) \\( \\int \\frac{\\log (\\log x)}{x} d x \\)
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Join our DiscordQ.02
x 軸上の点 (a, 0) から, 関数 y=\\frac{x+3}{\\sqrt{x+1}} のグラフに接線が引けるとき, 定数 a の 値の範囲を求めよ。
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関数 \\( f(x)=3 \\cos 2 x+7 \\cos x \\) について, \\( \\int_{0}^{\\pi}|f(x)| dx \\) を求めよ。