प्रायिकता की मूल बातें - यादृच्छिक चर

'क्योंकि सापेक्ष आवृत्ति आवश्यक अनुपात की तरही समान वितरण का पालन करती है, इसलिए, आर लगभग सामान्य वितरण N(1/6, 1/6(1-1/6) * 1/n) के रूप में N(1/6, 5/36n) का अनुसरण करती है। इसलिए, अगर हम Z=(R-1/6)/(1/6 * sqrt(5/n)) को परिभाषित करते हैं, तो Z लगभग N(0,1) के रूप में वितरित है। इसलिए, \\[P(|R-1/6| ≤ 1/60)=P(1/6 sqrt(5/n)|Z| ≤ 1/60) \\]\n\\[\egin{array}{l}=P(|Z| ≤ 1/10 sqrt(n/5))=P(-1/10 sqrt(n/5) ≤ Z ≤ 1/10 sqrt(n/5))\\end{array} \\]\nइसलिए, जिसे हमें ढूंढना है वह मान n=500 के लिए\n\\[P(-1 ≤ Z ≤ 1)=2 p(1)=2 * 0.3413=0.6826 \\]n=2000 के लिए\n\\[P(-2 ≤ Z ≤ 2)=2 p(2)=2 * 0.4772=0.9544 \\]n=4500 के लिए\n\\[P(-3 ≤ Z ≤ 3)=2 p(3)=2 * 0.49865=0.9973'

'कृपया विसंगति से संबंधित एक सारणी बनाएं जो य का प्रायिक वितरण वर्णित करती है।'

'पॉपुलेशन से सैंपलिंग करने के लिए प्रत्येक बार पुनर्स्थापन के साथ एक आइटम का चयन करना संग्रहण के साथ जाना जाता है। उसके विपरीत, चयन के बाद पुनर्स्थापन के बिना स्थायी रूप से सैंपलिंग जारी रखना संग्रहण के बिना सैंपलिंग के रूप में जाना जाता है। पॉपुलेशन से आकस्मिक रूप से एन का आकार का सैंपल लेने के लिए, और उन एन तत्वों में चर के मान को एक एक असाइन करना X₁, X₂, ......, Xₙ। संग्रहण के साथ नमूना चयन करने पर, इसे 1 का आकार का एक नमूना आकस्मिक चयन के लिए एन बार दोहराया गया परीक्षण माना जा सकता है। इसलिए, X₁, X₂, ......, Xₙ प्रत्येक मात्रित्व वितरण का पालन करने वाले आपसी स्वतंत्र प्रायोगिक संख्याएँ हैं।'

'दी गई तालिका के आधार पर z = 5.93 के लिए संबंधित बिंदु ढूंढें।'

'जो लॉटरी में होता है उस लॉटरी में एन (एन 3 या उससे अधिक पूर्णांक है) टिकट होते हैं, जिनमें से 582 हारने वाले टिकट होते हैं, उसमें दो हारने वाले टिकट खींच लिए जाने पर 2 हारने वाले टिकट पहले खींचने के बाद जीतते टिकटों की संख्या का प्रायिकता विभाजन क्या है? '

'पूरे देश के वालिद निर्वाचकों में पार्टी ए का समर्थन दर 32% है। 100 यादृच्छिक रूप से नमांकित निर्वाचकों में 66 में, kवां नमांकित व्यक्ति जो पार्टी ए का समर्थन करता है 1 के रूप में, और समर्थन नहीं करता है 0 के रूप में, उसका संबंधित संभावना चर Xk कहलाता है। नमूना माध्य एक्सबार की अपेक्षित मूल्य E(X̄) और मानक विचलन σ(X̄) की खोज करें।'

'जांच करें कि (n+1) सेकंड के बाद एक ही बिंदु पर दो कण होने की संभावना p_{n+1} क्या है?'

'दो यादृच्छिक संख्याओं X और Y, गुणा XY एक यादृच्छिक संख्या है, और X और Y एक-दूसरे के भीतर स्वतंत्र हैं, तो निम्नलिखित सिद्धांत सत्य है। E(XY) = E(X)E(Y)।'

'चरणीय संख्या X के लिए प्राप्तिया a से अधिक और b से कम या उसे लेने की संभावना को व्यक्त करने के लिए प्रतीक का प्रयोग करें।'

'उदाहरण 67 नमूना अनुपात और सामान्य वितरण'

'अध्याय 2 सांख्यिकीय अनुमान 8. प्रायिकता से भिन्नात्मक मान एवं प्रायिकता वितरण 9. प्रायिकता से भिन्नात्मक मान का परिवर्तन 10. प्रायिकता से भिन्नात्मक मानों का योग और अपेक्षित मान 11. द्विधातु वितरण 12. सामान्य वितरण 13. जनसमूह और नमूना, नमूना माध्य एवं इसका वितरण 14. अनुमान 15. परिकल्पना परीक्षण'

'जब एक पासा n बार फेंका जाए, तो 1 आने की अनुपातिक संख्या को R माना जाता है। n=500, 2000, 4500 के लिए, P(|R-\\frac{1}{6}| \\leqq \\frac{1}{60}) का मान ढूंढें।'

'सतत सांद्रित चांदनी धनात्मक है क्या?'

'संभावना संख्याओं का बदलाव\nX एक संभावना संख्या है, a और b स्थिर हैं।\nजब Y=aX+b हो\nE(Y)=aE(X)+b\nV(Y)=a^{2}V(X)\\sigma(Y)=|a|\\sigma(X)'

'यहाँ समझें कि दो यादाशी चर क्यू और वाई का संयुक्त वितरण निम्नलिखित रूप में है:'

'दो यादृच्छिक परिवर्तन X, Y के लिए, यदि X और Y एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, तो V(X+Y) = V(X) + V(Y)।'

'नकारात्मक द्विअंक वितरण के दो परिभाषाओं में से एक चुनें, और गवाही A के होने के कंट करने तक परीक्षणों की संख्या X या विफलताओं की संख्या Y की संभावना की गणना करें।'

'मातृ औसत 58, मातृ मानक विचलन 12 वाले नॉर्मल वितरण का पालन करने वाले जनसंख्या से आकार 100 का एक यादृच्छिक नमूना लेते समय, निम्नलिखित संभावनाओं की गणना करें।'

'एक प्रयास में घटना A होने की संभावना को p मानें। n परिक्षणों के एक दोहरी प्रयोग में, A केवल r बार होने की संभावना ${}_n C_r p^r q^{n-r}$ है, जहाँ q=1-p। गणित ए में, हमने दोहरी प्रयोगों में संभावनाओं के बारे में पढ़ा। दोहरी प्रयोग में, किसी घटना के होने की बार बारिका को X कहा जाता है, जिससे X एक यादाशंकु होता है। चलिए, इस पर और सोचते हैं।'

'क्योंकि नमूने का आकार n 900 है, इसलिए जनसंख्या की औसत मान m के लिए 95% विश्वास क्षेत्र X - 1.96*(9.8 / sqrt(900)) <= m <= X + 1.96*(9.8 / sqrt(900)) है'

'मातृ औसत m के लिए 95% विश्वास क्षेत्र की गणना करें।'

'यादृच्छिक परिमाण X का सीमा 0 ≤ X ≤ 1 है, और इसका संभावना घनत्वा समीकरण f(x)=a(2-x) है। यहाँ a एक सकारात्मक धारणा है।\n(1) a के मान को खोजें।\n(2) यादृच्छिक परिमाण X का अपेक्षित मान E(X) और विचलन V(X) ढूंढें।'

'A <= m <= B का भरोसा क्षेत्र है तो एक ही नमूने से प्राप्त मात्रिकीय मान m के लिए 99% विश्वास क्षेत्र E <= m <= F A <= m <= B के साथ तुलना में क्षेत्र की चौड़ाई पर क्या प्रभाव होगा? कृपया निम्नलिखित विकल्पों में से चुनें:'

'जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो आप छोटी वाली संख्या को X मानें। निम्नलिखित जानें: अगर एक ही नंबर आता है तो उसी नंबर को X के रूप में लें।'

'बड़े, मध्यम, और छोटे आकार के तीन पासा एक साथ फेंकें। बड़े, मध्यम, और छोटे डाइस पर नंबर को शत, दस, और एक के रूप में प्रयोग करें, यह तीन अंकों वाली पूर्णांक बनाने के लिए। निम्नलिखित अपेक्षित मान ढूँढें:\n(1) अंकों की योग की अपेक्षित मान\n(2) तीन अंकों वाले पूर्णांक की अपेक्षित मान'

'एन को 8 या अधिक प्राकृतिक संख्या माना जाता है। 1, 2, ..., n से, अलग 6 संख्याओं का चयन करें और इन्हें X_{1}<X_{2}<X_{3}<X_{4}<X_{5}<X_{6} के रूप में आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।\n(1) X_3=5 होने की संभावना p_{n} प्राप्त करें।\n(2) p_n को अधिकतम करने वाली प्राकृतिक संख्या n की खोज करें।'

'निम्नलिखित के माध्यम से अनुमान परीक्षण का निर्णय (2)'

'बिंदु P शुरुवात में संख्या रेखा पर मूल स्थान O पर है और प्रत्येक बार एक पासा फेंका जाता है, यदि एक सम नंबर प्रकट होता है, तो सकारात्मक दिशा में 3 इकाइयां चलें, और यदि विषम संख्या प्रकट होती है, तो नकारात्मक दिशा में 2 इकाइयां चलें। जब पासा 10 बार फेंका जाता है, तो बिंदु P जिसाथान O पर होने की संभावना A है। इसके अलावा, जब पासा 10 बार फेंका जाता है, तो बिंदु P कोऑर्डिनेट 19 से कम या उसके बराबर होने की संभावना B है।'

'6 बार में से सिर्फ 5 बार स्केल आने की संभावना है ${}_6 C_5 (\\frac{1}{2})^5 (1-\\frac{1}{2})^{6-5}=6 \\times (\\frac{1}{2})^5 \\times \\frac{1}{2}=\\frac{6}{64}$। 6 बार में से 6 बार सिर्फ स्केल आने की संभावना है $(\\frac{1}{2})^6=\\frac{1}{64}$। ये संभावनाएँ का योग है $\\frac{15}{64}+\\frac{6}{64}+\\frac{1}{64}=\\frac{22}{64}=\\frac{11}{32}$।'

'एक व्यक्ति एक निश्चित बीमारी के लिए दिये जाने वाली दवा के प्रभाव की जांच करना चाहता है। दवा देने के बाद प्रभावी माने जाने वाले का अनुपात 33% से 63% है। रोगी वालों में से एन व्यक्तियों का यादा कर, X_i को एक प्राथमिकता समझौता है अगर दवा का प्रभाव पहले व्यक्ति में देखा गया है, और इसके विपरीत 0 है।\n(1) नमूना माध्य का औसत और विस्तार को निर्धारित करें \ \\overline{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_{i}\।\n(2) रोगीवाले से यादा से यादा 400 व्यक्तियों का चयन करने पर, 320 व्यक्तियों ने दवा का प्रभाव देखा। जनसंख्या में माता संयुक्त स्थिरता की 95% विश्वसनीय सीमा, तीसरे दशमलव नंबर पर गोलाइंड करें। मानें कि 400 का नमूना साइज पर्याप्त बड़ा है।[क्युशु विश्वविद्यालय]'

'किसी निर्दिष्ट शहर में दल ए के समर्थन दाताओं का समर्थन दर 64% है। जब इस शहर के दाताओं से 100 लोगों का एक यादृच्छिक चयन किया जाता है, तो क k-th व्यक्ति जो एक पार्टी का समर्थन करता है और ऐसा नहीं करता है के लिए मान करने वाली यादृच्छिक परिवर्तन मानक X_k करें।'

'पॉपुलेशन {A, B, C, D} से आकार 2 के नमूने निकालते समय, प्रत्येक मामले में संभावित नमूने को सूचीबद्ध करें। (1) पुनर्स्थापन के साथ (2) पुनर्स्थापन के बिना - [1] अब लिया [2] समयानुसार लिया गया (3) 1!'

'एक थैले में 1 सफेद गेंद, 2 लाल गेंद और 3 नीली गेंद हैं। इस थैले से, बिना वापस रखे, 1 गेंद निकालने पर 2 लाल गेंदों की संख्या को X, 3 रेड गेंदों की संख्या को Y करें। इस स्थिति में, X, Y का संयोजन वितरण ढूंढें।'

'यदि प्रारंभिक निम्न सारणियों में एक प्रायिकता वितरण दिया गया है, Var(3X+2Y), Var(6X-4Y) को निकालें। यहां ध्यान दें, X और Y एक-दूसरे से स्वतंत्र माने जाते हैं।'

'पी यूनिवर्सिटी में सभी छात्रों को एक मातृत्व के रूप में मानकर, ए जिले से लोगों का माता संबंध 0.2 है, और एक यादृच्छिक नमूना आकार 400 है, इसलिए, यादृच्छिक परिमाण X बायनोमिअल वितरण B(400,0.2) का पालन करता है। इसलिए, X का अपेक्षित मूल्य E(X) और मानक विचलन σ(X) है E(X)=400⋅0.2=80 σ(𝐗)=√(400⋅0.2⋅(1−0.2))=√(8^2)=8'

'P(190 ≤ X ≤ 220) ढूँढें।'

'P विश्वविद्यालय के सभी छात्रों में, 20% A प्रांत से हैं। P विश्वविद्यालय से यादृच्छिक रूप से पैरम किए गए 400 छात्रों में से A प्रांत के निवासियों की संख्या X मानी जाती है। X का अपेक्षित मान और मानक विचलन फ़ाइंड करें।'

'जब एक छक्के वाले पासे को 360 बार फेंका जाता है, तब जब 6 प्रकट होने की बारंक X है। X के निम्नलिखित सीमाओं के भीतर आने की संभावना का पता लगाएं। इसका मान लें कि √2 = 1.41।\n(1) 50 ≤ X ≤ 60\n(2) |X/360 - 1/6| ≤ 0.05'

'मान लीजिए कि उन छात्रों की अनुपातित सांख्यिकी है जिन्होंने कभी पुस्तक नहीं पढ़ी है वह 0.5 है। इस स्तिथि में, 100 विभिन्न छात्रों का एक संयुक्त नमूना लेने में पुस्तक नहीं पढ़ने वाले छात्रों की संख्या का संबंधित चाक्नी चार क्या है। इसके अतिरिक्त, चानकी की माध्यम मूल्य (अपेक्षित मूल्य) क्या है और मानक विचलन क्या है।'

'किसी विशेष बीमारी के लिए दिये गए दवा के प्रभाव की जांच करना चाहते हैं। दवा देने के बाद प्रभाव प्राप्त करने वाले रेशे का अनुपात p माना जाय। बीमारी वाले रोगियों में से निर्वाचित n व्यक्तियों को चुनकर, यदि दवा प्रभाव दिखाती है तो i वाले रोगी को 1 माना जाएगा, अन्यथा 0, जो चरणी चालित संख्या Xi को परिभाषित करेगा।'

'पता लगा है कि शहर A में नवजात लड़कों और लड़कियों का अनुपात बराबर है। एक विशेष वर्ष में, ए शहर के नवजातों से एक अनुक्रमणिकी रूप से n व्यक्तियों को उठाया जाता है, तो किसी पुरुष को 1 और किसी महिला को 0 के मान के लिए जोड़ने वाले यादृच्छिक चरणबद्ध चर को Xk कहा जाता है।'

''

'एक खेल का विचार करें, जहां एक पासा फेंका जाता है, 1 या 2 आने पर 0 अंक मिलते हैं, 3, 4, या 5 आने पर 1 अंक मिलते हैं, और 6 आने पर 100 अंक मिलते हैं। 80 बार फेंकने के बाद के कुल अंकों को 100 से विभाजित करने पर शेष X होता है। X ≤ 46 होने की संभावना निकालें। जहां, √5 = 2.24 है।'

'सकारात्मक संबंध है'

'दाएं में दिया गया सारणी एक 10 विद्यार्थियों से मिलकर बनाए गए एक छोटे वर्ग में 100 अंकों में दो बार आयोजित गणित और अंग्रेजी की परीक्षाओं के स्कोर का सार है।'

"198 गणित I अभ्यास 187 दाईं ओर का बिखराव चित्र, 30 लोगों की कक्षा में चीनी अक्षर और अंग्रेजी शब्दों के 100 अंक के परीक्षण के अंकों का बिखरावचित्र है। (1) इस बिखरावचित्र पर आधारित होकर, चीनी अक्षरों और अंग्रेजी शब्दों के अंकों के बीच संबंध है या नहीं, यह जांचें। यदि एक संबंध है, तो इसे सकारात्मक या नकारात्मक बताएँ। (2) इस बिखरावचित्र पर आधारित होकर, अंग्रेजी शब्दों के लिए एक आवृत्ति वितरण सारणी बनाएं। हालांकि, वर्ग निम्नलिखित हैं '40 या अधिक लेकिन 50 से कम', ..., '90 या अधिक लेकिन 100 से कम'। अंग्रेजी शब्दों के 10 अंकों के इंटरवल पर आधारित गिनें।"

'स्की जंपिंग एक खेल है जिसमें खिलाड़ी अपने जंप की दूरी और आकाश में अपनी सुंदरता के आधार पर प्रतियोगिता करते हैं। प्रतियोगी ढाल से नीचे स्लाइड करते हैं और फिर स्लोप के किनारे से आकाश में उड़ जाते हैं। जंप की दूरी (मीटर में मापी गई) स्कोर एक्स का निर्धारण करती है, जबकि आकाश में स्थिति स्कोर वाई का निर्धारण करती है। किसी विशेष प्रतियोगिता में 58 जंप्स को विचार करें।\n(1) चित्र 1 में दिए गए 3 स्कैटर प्लॉट्स के आधार पर, सही कथनों का चयन करें:\n1. एक्स और वाई के बीच सकारात्मक संबंध है।\n2. सबसे अधिक गति वाला जंप का अधिकतम एक्स है।\n3. सबसे अधिक गति वाला जंप का अधिकतम वाई है।\n4. सबसे कम वाई वाला जंप आवश्यकता नहीं पड़ता कम एक्स है।\n5. एक्स मान 80 या उससे अधिक वाले सभी जंप्स की गति V 93 या उससे अधिक है।\n6. वाई मान 55 या उससे अधिक है और गति V 94 या अधिक है वाले जंप्स नहीं हैं।'

'रैंडम चरों का सेटिंग'

'उदाहरण 1. एक बार पासा फेंकने के प्रयोग में, घटना A: विषम संख्या मिलना, घटना B: 4 या उससे अधिक नंबर मिलना, तो A={1,3,5}, B={4,5,6}, तो A ∩ B={5} विषम और 4 से अधिक है। A ∪ B={1,3,4,5,6} विषम या 4 से अधिक है।'