प्रायिकता की मूल बातें - प्रायिकता वितरण (वितरित, सतत)

'एक निश्चित देश में, कहा जाता है कि उसके नागरिकों के रक्त समूहों का वितरण O प्रकार 30%, A प्रकार 35%, B प्रकार 25%, और AB प्रकार 10% है। अब, जब 400 लोगों का यादृच्छिक चयन किया जाता है, तो जांचें कि AB प्रकार की व्यक्तियों की संख्या 37 और 49 के बीच है।'

'दो सिक्कों को फेंकने पर सिक्कों की संख्या X का प्रायोगिक संभावना वितरण, अपेक्षित मान ई(एक्स), विचलन V(एक्स), और मानक विचलन स(एक्स) का पता लगाएं।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'एक यादृच्छिक चर X किसी भी मान को अंतराल [0,10] में ले सकता है, और इसकी प्रायिकता घनता समीकरण f(x)=kx(10-x) दिया गया है। इस स्थिति में, k='

'प्रकार I त्रुटि और प्रकार II त्रुटि का वर्णन करें।'

'विचार औसत का वितरण\nजब मातृ मान m, मातृ स्टैंडर्ड डिविएशन σ के मातृ समुदाय से आकार n का एक यादृच्छिक नमूना लिया जाता है, तो नमूना औसत X̅ लगभग एक सामान्य वितरण N(m, σ^2/n) का पालन करता है।'

'जब एक साधारित चर मूल्य X मूल्यांकन N(m, σ^2) का पालन करें, तो P(|X-m| ≥ σ/4) को ढूंढें। उत्तर को चौथे दशमलव स्थान तक गोल करें।'

'सिद्ध करें कि एक प्रयोग में घटना ए का होने की संभावना p है। जब यह प्रयोग n बार दोहराया जाता है, तो घटना ए की होने की बार X एक बाइनोमियल वितरण का पालन करता है और औसत, विचलन और मानक विचलन का भी पता करें।'

'जब किसी प्रजाति में किसी विशेष गुण (जनसांख्यिकीय अनुपात) वाले मामलों का प्रांगण में अंश p होता है, तो क्या संग्रह अंश R किस प्रकार का वितरण माना जा सकता है?'

'बाइनोमियल वितरण की समझ को गहराने की कोशिश करें।'

''

'जब यादृच्छिक प्राथमिक X सामान्य वितरण N(m, σ^2) का पालन करता है, तो मानक सामान्य वितरण Z प्राप्त करने के लिए परिवर्तन सूत्र दिखाए।'

'(1) जब यादृच्छिक चर Z मानक मानक वितरण N(0,1) का पालन करता है, तो संभावना P(-1.98 ≤ Z ≤ -0.5) ढूंढें।\n(2) जब यादृच्छिक चर X मानक वितरण N(30,4²) का पालन करता है, तो संभावना P(22 ≤ X ≤ 32) ढूंढें।'

'नॉर्मल वितरण पंजीकृत करें और निम्नलिखित समस्या का समाधान करें: u = 0.4 और z = 0.73 होने पर प्रासंगिकता खोजें।'

'किसी निर्धारित उत्पाद की दोष दर लगभग 7% है। 95% अभिविश्वास स्तर वाले दोष दर के लिए आत्मविश्वासी अंतराल की चौड़ाई 4% और 2% से कम होने के लिए कितने उत्पादों को नमूना लिया जाना चाहिए?'

'कृपया अंतरिक्ष मान y का प्रतिशत (प्रतिशत) जो 65 से अधिक है, की गणना करें। यहां, y का औसत मान 50 है, और मानक विचलन 10 है, यानी z=(y-50)/10 , तो z मानक मानक सामान्य वितरण N(0,1) का पालन करता है।'

'चुनाव में सीट का वितरण'

'क्योंकि नमूने का आकार n 400 है, इसलिए मात्री मान m के लिए 95% विश्वास क्षेत्र 51.0-1.96*(9.5 / sqrt(400)) <= m <= 51.0 + 1.96*(9.5 / sqrt(400)) है, इसलिए 50.069 <= m <= 51.931 है'

'प्रायिकता वितरण, द्विधारी वितरण'

'जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो यादृच्छिक परिवर्तन X का संभावना वितरण ढूंढ़ें। यदि दो पासों के नंबर एक समान हैं, तो उस नंबर को X के रूप में माना जाएगा।'

'जब यातायाती चर के प्रायिकता घनत्व समीकरण द्वारा निर्धारित होती है, तो निर्दिष्ट संभावनाएँ खोजें।'

'चलो बाइनोमियल वितरण की पुनरावलोकन करें!'

'1 के नंबर वाले 3 कार्ड, 2 के नंबर वाले 3 कार्ड, 3 के नंबर वाले 3 कार्ड तैयार करें, कुल 9 कार्ड। इनमें से एक साथ 3 कार्ड रैंडमन्ली चुनने पर, कार्ड पर लिखे गए नंबर का योगफल 3 का गुणक होने की संभावना क्या है?'

"कृपया दिखाएं कि जब घटना बी को 'गेंद (3) प्रकट होती है' में बदला जाता है, तो घटना ए और घटना बी एक-दूसरे से एक्सक्लूसिव घटनाएं बन जाती हैं।"

"''कम से कम 2 लड़कियां एक साथ खड़ी होने'' की घटना 'लड़कियों के बीच न खड़ी होने' का पूरक घटना है। लड़कियां बीच में खड़ी नहीं हैं जब 10 लड़कों के बीच 3 लड़कियां होती हैं। 10 लड़कों के परिक्रमण के कुल संख्या है (10-1)!=9! (प्रकार)। इन हर केस के लिए, 10 कुल स्थानों में 3 स्थानों में खड़ी होने के 10P3 प्रकार होते हैं। इसलिए, लड़कियां बीच में में न खड़ी होने के प्रकार हैं 9! × 10P3 (प्रकार)। इसलिए, योग्यता वाली संभावना है P(̅A) = 1 - P(A) = 1 - (9!×10P3/12!) = 1 - 10×9×8/12×11×10 = 5/11।"

'मान लें कि एक अनुचित पासा है, जिसकी 1, 2, 3, 4, 5, 6 आने की संभावना प्रत्येक 1/6, 1/6, 1/4, 1/4, 1/12, 1/12 है। तीन बार पासा फेंकने पर, 6 का योग होने की संभावना कीजिए।[टोक्यो डेंकी विश्वविद्यालय]'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'526'

'मान लें कि प्राथमिकता वितरण A के 4 व्यक्ति a, b, c, d को दो समूहों में विभाजित किया गया है {a, b} और {c, d}, और प्रत्येक व्यक्ति को समान संभावना से दूसरे समूह से एक व्यक्ति का चयन करना है। मानें कि प्रत्येक व्यक्ति की चुनौती एक स्वतंत्र है। X को उन जोड़ों की संख्या माना जाता है जो एक-दूसरे का चयन करते हैं। ढूंढें: (1) बिंदु चलने वाली बिंदु X का वितरण। (2) X का अपेक्षित मान ढूंढें।'

'बुनियादी उदाहरण 62 विनिमय वितरण माध्यम और विचलन\n6 लाल गेंद और 4 सफेद गेंदों वाले एक थैले से एक गेंद निकाली जाती है और फिर उसे वापस रखा जाता है। इस प्रक्रिया को 6 बार दोहराया जाता है, जिससे लाल गेंद दिखाई देने के बारे में बताया जाता है, X की गुणी मान E(X), विचलन V(X), और मानक विचलन σ(X) का पता लगाएं।'

'यह मानते हुए कि अंक सामान्य वितरण का पालन करते हैं, m = 62, σ = 20, तो 85 अंक प्राप्त करने वाले छात्र को क्या ग्रेड मिलेगा?'

'आइटम: सांख्यिकीय अनुमान\nविषय: संभावना वितरण\nप्रश्न संख्या: 6\nप्रश्न सामग्री: संभावना वितरण के बारे में समझाएं।'

'एक हाई स्कूल के सभी छात्रों को एक मात्रा के रूप में लेते हुए, जिन छात्रों ने कभी कोई पुस्तक नहीं पढ़ी हो उनका प्रमाणांक (पॉपुलेशन प्रावलेंस) 0.5 है और एक यादृच्छिक नमूना आकार 100 है। जब यादृच्छिक चर X बिनोमियल वितरण B(100, 0.5) का पालन करता है, तो X की माध्यम (अपेक्षित मान) और मानक विचलन की गणना करें। साथ ही, यदि उन छात्रों का प्रमाणांक जो किसी पुस्तक को कभी नहीं पढ़ते हैं 0.5 है, तो यदि X लगभग एक सामान्य वितरण का पालन करता है, तो संभावना दिखाएं।'

'एक साथ दो पासा फेंकने पर, पासे का नतीजा मिनिमम होगा, जिसे X माना जाएगा, कृपया X की प्रासंगिकता वितरण निर्धारित करें। साथ ही, P(X ≤ 3) की गणना करें।'

'एक बार पासा फेंकने पर 1 आने की संभावना 1/6 है।'

'जिसका औसत 6, वैरिएंस 2 हो, उस द्विधातु वितरण के अनुसार एक प्रायिक परिमाणचक्र को X मानें। X = k होने पर संभावना को Pk से दर्शाया जाता है। P4/P3 के मान का पता लगाएं।'

'यदि निम्नलिखित एक्स के लिए अच्छंस घनत्व समीकरण है, तो सकारात्मक 定数 a की मान का पता लगाएं।'

'आधारित उदाहरण 68 सामान्य वितरण का प्रयोग\nएक निश्चित हाईस्कूल में पुरुष छात्रों की ऊचाई X का मान 170.9 सेमी, मानक विचलन 5.4 सेमी के साथ एक सामान्य वितरण का पालन करता है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। तीन सदशों तक की स्थिति होने के लिए पूंजीय\n(1) 175 सेमी या उच्च ऊचाई वाले छात्रों का प्रतिशत कितना है?\n(2) लगभग 4% छात्रों से अधिक ऊचाई होने के लिए कितनी ऊचाई आवश्यक है?'

'अगर 400 रोगियों पर एक नई दवा का उपयोग किया गया और उनमें से 8 को दुष्प्रभाव महसूस हुआ, तो क्या हम कह सकते हैं कि इस नई दवा का अप्रिय प्रभाव दर 4% नहीं है अगर हम मानते हैं कि ऐसे तात्कालिक रूप से उपयोग की जा रही दवा की अप्रिय प्रभाव दर 4% है? 5% महत्व स्तर के साथ एक हाइपोथिजिस की जांच करें। इसके अतिरिक्त, 1% महत्व स्तर पर कैसा है? मान लें कि 400 रोगियों का चयन यादृच्छिक रूप से हुआ था।'

'जब यादृच्छिक प्रारूप X एक सामान्य वितरण N(15,3^2) का पालन करता है, तो निम्नलिखित संभावनाएं पता लगाएं:\n(1) P(X ≤ 18)\n(2) P(6 ≤ X ≤ 21)'

'विश्वविद्यालय A में, सभी छात्रों में से 64% ने मुद्दा X का समर्थन किया। दूसरे विश्वविद्यालय B में, 400 यादृच्छिक चयनित छात्रों में से, 274 छात्र X का समर्थन करते थे। क्या कहा जा सकता है कि B के छात्रों के बीच X के समर्थन दर में A के छात्रों के बीच अंतर है? 5% की महत्वपूर्णता स्तर पर परीक्षण करें।'

'स्टैंडर्ड नॉर्मल वितरण का पालन करने वाली एक यादृच्छिक चर को कैसे खोजें।'

'यह मानते हुए कि परीक्षा के अंकों का वितरण एक सामान्य वितरण का पालन करता है जिसका औसत 58.4 है और मानक विचलन 25 है। कृपया जांच के पंजीकृत व्यक्तियों में से 100 के औसत अंक कम से कम 62 होने की संभावना की गणना करें।'

'संभावना वितरण की गणना करें'