प्रायिकता की मूल बातें - मूलभूत प्रायिकता

'दो खिलाड़ियों के बीच रॉक-पेपर-सीसर्स खेल में भाग 1 के संदर्भ में दोनों खिलाड़ियों के बीच असंतोष दिखलाने की संभावना निकालें।'

'100 बैग चीनी के पाइल से यातात्मक रूप से चुने गए और वजन मापे गए, जिसमें एक औसत वजन मिला 300.4 ग्राम। 7.5 ग्राम की माता मान मानक विचलन लेते हुए, 95% विश्वास के साथ प्रति बैग का औसत वजन अनुमानित करें।'

'परीक्षण के अनुमान की प्रक्रिया'

'X और Y का संयुक्त वितरण खोजें और देखें कि X और Y स्वतंत्र हैं या नहीं।'

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'उदाहरण 62 द्विस्वीय वितरण और यादृच्छिक संख्याओं का परिवर्तन'

'किसी घटना में कोई भी पुरस्कार नहीं प्राप्त करने की संभावना की गणना करें।'

'एक सरणी का योग, अपेक्षित मान और विचलन\n1, 2, ..., n के साथ नंबर लेबल कार्ड हैं, प्रत्येक में n, n-1, ..., 1 कार्ड हैं। ये कार्ड एक बैग में रखे जाते हैं। बैग को अच्छी तरह से मिश्रित करने के बाद, एक कार्ड निकाला जाता है, और उस पर लिखे गए संख्या को यादृच्छिक परिवर्तन X के रूप में लिया जाता है।\n(1) P(X=k) का पता लगाएं।\n(2) X के लिए E(X) और V(X) ढूंढें।'

'जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो संख्याओं के योग की संभावना वितरण की गणना करें, और X के एक विशेष सीमा में गिरने की संभावना निकालें।'

'सामान्यत: यदि एक संयोजक चर X संभावित मान x1, x2, ..., xn लेता है, जिसके प्रत्येक मान को लेने की संभावनाएं p1, p2, ..., pn हैं, तो प्रायोज्यता P कौनसी शर्तों को पूरा करनी चाहिए?'

'गणितीय समस्या के रूप में, हम गणनात्मक तरीके से चुनाव में सीटों का आवंटन विचार करेंगे। विशेष रूप से, दिए गए मतों के आधार पर प्रत्येक पार्टी को उत्तीर्ण की गई सीटों की संख्या की गणना करें। यहां प्रत्येक पार्टी के लिए मत हैं। कृपया प्रत्येक पार्टी को उत्तीर्ण की गई सीटों की संख्या की गणना करें।'

'जब एक साधारण मान 120 और जनसंख्या मानक विचलन 30 वाली नॉर्मल वितरण वाले जनसंख्या से आकार 100 का बिना किसी चयन के नमूना लेते हैं, तो निम्न की संभावनाओं का परिणाम प्राप्त करें।'

'n कार्ड में, प्रत्येक कार्ड पर 1,2,3,...,n का एक-एक संख्या लिखा है। जब 2 कार्डों का यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है, तो अपने सिक्के का नंबर छोटा है X और अधिक है Y। ध्यान दें कि n ≥ 2। (1) X=k की संभावना जांचें। जहां, k=1,2,3,...,n। (2) X की अपेक्षित मान ढूंढें। (3) Y का वेयरियंस ढूंढें।'

'किसी विशेष उत्पाद A के लिए, 300 लोगों की सर्वेक्षण किया गया, जिसमें से 210 लोग उत्पाद A का समर्थन करते हैं। सामान्यत: A के समर्थकों के लिए मातृ अनुपात की समर्थन करने वाले लोगों की मात्रा के लिए 95% विश्वास क्षेत्र की गणना करें। जहां √7=2.65 का उपयोग गणना के लिए करें और तीसरे दशमलव स्थान पर पूर्णांक करें।'

'जब एक थैले से दो लाल गेंदें और एक सफेद गेंद निकाली जाती है, जब दो गेंदें एक साथ निकाली जा रही हैं, दो लाल गेंदों को लाल 1 और लाल 2 के रूप में अलग करना ((लाल 1, लाल 2), (लाल 1, सफेद), (लाल 2, सफेद)) तीन संभावनाएँ हैं। इस प्रयोग में, खींची गई लाल गेंदों की संख्या को X कहा जाता है, तो X 1 या 2 के मान ले सकता है, इन मानों को X लेने की संभावनाएँ खोजें।'

'किसी विशेष दवा के साइड इफेक्ट्स का घटना दर पिछले 4 % था, लेकिन 400 मरीजों पर एक नया सुधारी हुई दवा का इस्तेमाल करने के बाद, 8 मरीजों को साइड इफेक्ट्स का सामना हुआ। क्या हम यह निष्कर्ष कर सकते हैं कि साइड इफेक्ट्स का होने का दर कम हो गया है? महत्वपूर्णता स्तर 5% पर परीक्षण करें। मान लें कि इन 400 मरीजों का यातायात रैंडमली चयनित था।'

'किसी विशेष दवा के दुष्प्रभाव की घटना दर परंपरागत रूप से 4% थी, लेकिन जब सुधारित नई दवा का उपयोग 400 मरीजों में किया गया, तो 8 मरीजों को दुष्प्रभाव का सामना करना पड़ा। क्या यह निर्णय लिया जा सकता है कि दुष्प्रभाव की घटना दर कम हो गई है? 5% कि महत्वाकांक्षा स्तर पर परीक्षण करें। मान लीजिए कि 400 मरीज यादृच्छिक रूप से चुने गए थे।'

'नीचे लाल किए गए हिस्से के बारे में, निम्नलिखित सवाल का उत्तर दें।\n(1) ऑनलाइन सौदों के माध्यम से, विदेश से सीधे सामान खरीदना अब संभव है। हालांकि, सामान की अवैतनिकता होना या क्षति होना जैसी समस्याएं भी उत्पन्न हो रही हैं। ऐसे मामलों में, राष्ट्रीय जीवन केंद्र सलाहकारी सेवाएं प्रदान करता है। नीचे दिए गए संगठन का प्रबंधन करने के लिए उत्तरदायित्व रखने वाले एक सरकारी विभाग का चयन करें और संख्या के माध्यम से उत्तर दें:\n1. वित्तीय सेवा एजेंसी 2. राष्ट्रीय कर एजेंसी\n3. उपभोक्ता मामला एजेंसी 4. फेयर ट्रेड कमीशन'

'11वां प्रश्न में अंकित भाग j के बारे में कथन X·Y के लिए, नीचे दिए गए विकल्पों से सही या गलत का सही संयोजन चुनें और संबंधित संख्या से उत्तर दें।'

'निर्देशिका वीडियो का उपयोग करने की दो स्थितियाँ'

'जब एक सिक्का 8 बार फेंका जाता है, तो आगे से 5 बार से अधिक सिक्के के आने की संभावना का पता लगाएं।'

'जब बिंदु P पहले संख्या रेखा पर मूल स्थान O पर होता है, हर बार एक पासा फेंका जाता है, अगर एक सम क्रमांक प्रकट होता है, तो सकारात्मक दिशा में 3 की इकाइयों में चलें, और अगर विषम क्रमांक प्रकट होता है, तो नकारात्मक दिशा में 2 की इकाइयों में चलें। जब पासा 10 बार फेंका जाता है, तो क्या संदेह है कि बिंदु P मूल स्थान O पर है?'

'दो पासे पर नंबर का गुणाकार 24 या उससे कम होने की संभावना ढूंढें।'

'एक बैग से एक बॉल को बिना वापस दिए निकाला जाता है, और यह कार्रवाई जारी रहती है। निकाले गए गेंद को वापस नहीं डाला जाता है। निम्नलिखित संभावनाओं का पता लगाएं: (1) लाल गेंदों को पहले निकालने की संभावना (2) केवल 5 सफेद गेंदें शेष रहने की संभावना।'

'जब दो पसंद कई बार एक साथ फेंके जाते हैं, तो 10 से अधिक होने की संभावना क्या है?'

'3 बक्से A, B, C में लाल, सफेद, काले गेंद हैं। उनकी संख्या सही तालिका में दी गई है। एक बक्सा यादृच्छिक रूप से चुनें और एक गेंद निकालें। निम्नलिखित संभावनाएँ खोजें।'

'जब दो डाइस एक साथ फेंके जाते हैं, तो परिणामों का गुणाकार 24 या उससे कम होने की संभावना क्या है?'

'3 ऑपरेशन के बाद कोई लाल गेंद नहीं है के संभावना ढूंढें।'

'1 से 6 तक के नंबर कार्ड को उपलब्ध किया गया है, प्रत्येक नंबर के लिए संबंधित मात्रा में। जब एक कार्ड खींचा जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन अधिक उत्तम है?\n(1) खींचे गए कार्ड के समान नंबर के 100 येन सिक्का प्राप्त करें।\n(2) केवल जब जीवन संख्या खींची जाती है, तो केवल 700 येन मिलेगा।'

'आधारिक उदाहरण 47 दोहरी परीक्षण की संभावना की मूलभूत बातें\nएक कुल 8 लॉटरी टिकट हैं, जिसमें 2 जीतने वाले हैं। जब 5 बार एक बार टिकट खींचकर पुनः रखने के साथ टिकट खींचें, तो निम्नलिखित संभावनाएं खोजें:\n(1) केवल 2 बार जीतने की संभावना\n(2) कम से कम 4 बार जीतने की संभावना'

'ए और बी मैच खेल रहे हैं, जिसका पहले 3 जीतने वाला विजेता घोषित होगा। एक मैच में ए की जीत की संभावना 1/3 है। निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दीजिए।'

'91 से 50 तक के नंबर कार्ड में से एक कार्ड निकालने पर, 3 के गुणित संख्या नहीं होने की संभावना निकालें।'

'3 पासे एक साथ फेंकें। (1) उन तीनों पासों में से किसी दो पासों की जोड़ी के योग को 5 मानने की संभावना ढूंढें। (2) उन तीनों पासों में से किसी दो पासों की जोड़ण को 10 मानने की संभावना ढूंढें। (3) किसी भी 2 पासों की जोड़ के गुणक का 5 के अयोग्य होने की संभावना ढूंढें।'

'1 से 9 तक के नंबरों वाले 9 कार्डों की कुल 9 कार्ड्स हैं, प्रत्येक एक में एक। इनमें से 3 कार्ड निकालने पर, सभी कार्ड पर नंबर वह भी वही मिलने की संभावना है। विशेषकर, 3 कार्ड परिणाम में जोड़े गए नंबर की योग संख्या वह भी वही मिलने की संभावना है।'

'जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो न्यूनतम मान 3 होने या अधिकतम मान 4 होने की संभावना क्या है?'

'बॉक्स में 9 लाल नंबर कार्ड (1 से 9) और 6 सफेद नंबर कार्ड (1 से 6) हैं। इस बॉक्स से एक कार्ड निकालने पर, इसे एक सम्यावस्य कार्ड निकालने के घटना A और एक लाल कार्ड निकलने की घटना B समझिए। निम्नलिखित संभावनाओं को जानें।'

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'a जीतने और c भी जीतने की संभावना'

'जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो दोनों पासे एक ही संख्या दिखाने की संभावना और दो संख्याओं के योग की विषमता होने की संभावना की गणना करें।'

'3 ऑपरेशन के बाद लाल गेंदों की संख्या कम से कम 2 होने की संभावना क्या है?'

'क्योंकि प्रत्येक राउंड में बैग से ए से सफेद गेंद निकाली जाती है और बी से लाल गेंद निकाली जाती है, इसलिए खोजने की संभावना है'

'3 सिक्के एक साथ फेंकने पर 2 सिक्कों का सिर और 1 सिक्के का टेल निकलने की संभावना जांचें।'

'3 लोग बार-बार रॉक-पेपर-सीजर्स खेलते हैं। हालांकि, हारने वाला व्यक्ति अगले दौर में भाग नहीं ले सकता। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'जब एक छ: साइडेड डाइस को तीन बार बराबर किया जाता है, तो अधिकतम परिणाम 6 होने की संभावना क्या होती है?'

'कृपया पहले ड्रा में लाल गेंद के प्रायोजन की संभावना और दूसरे ड्रा पर सफेद गेंद की शर्त बोधित संभावना की गणना करें।'

'सिक्का 9 बार फेंकें, 9वीं बार पर प्वाइंट क्यू तक पहुंचने की संभावना जांचें।'

'PRA और B के 10 खेलने के बाद, A ने 7 बार जीत ली। क्या हम इस परिणाम के आधार पर यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A B से अधिक मज़बूत है? हाइपोथेसिस टेस्टिंग की सोच का उपयोग करें और 0.05 का महत्व स्तर ध्यान में रखें। कृपया ध्यान दें, गेम में ड्रॉ नहीं है।'

'पीआर 3 बक्सों A, B, C में, प्रत्येक में लाल गेंद, सफेद गेंद, काली गेंद है। इनकी मात्रा दाएं तालिका में दी गई है। एक बक्सा का यादृच्छिक चयन करें और एक गेंद खींचें। निम्नलिखित संभावनाओं को पता करें।'

'खिलाड़ी A और B निम्नलिखित खेल खेलते हैं। उन्होंने एक बैग से एक गेंद निकाली जिसमें 2 लाल गेंदें और 1 सफेद गेंद हैं, रंग चेक किया, और फिर वापस डाल दिया। निकाली गेंद के रंग के आधार पर, अगर यह लाल है तो A को 1 अंक मिलता है, और अगर यह सफेद है तो B को 2 अंक मिलते हैं।'

'एक बार प्रयास में आयोजन ए का होने की संभावना की गणना करें ८ या अधिक बार।'

'कृपया 4 सिक्कों को एक बार फेंकने पर हेड्स मिलने की संभावना की गणना करें, और एक्स का अपेक्षित मान निकालें।'

'10 में से 3 जीतने वाले टिकट वाला लॉटरी में से दो टिकट एक साथ निकालने पर कम से कम 1 जीतने वाला टिकट निकालने की संभावना क्या है?'

'पासा लगाने पर डाइस के गुणांक का निषेध विचित्र होने या 12 के गुणक के एक होने की संभावना।'

'3 पासे एक साथ फेंकें।'

'20 कार्ड हैं, प्रत्येक पर 1 से 20 तक का पूर्णांक लिखा है। (1) दो कार्डों को एक साथ निकालने पर, जिन दो कार्डों पर पूर्णांकों का योग 3 की एक गुणित संख्या है, उसकी संभावना क्या है? (2) जब 17 कार्डों को एक साथ निकाला जाता है, तो 17 कार्डों पर पूर्णांकों का योग 3 की एक गुणित संख्या है उसकी संभावना क्या है?'

'कुल 20 लॉटरी टिकट हैं, जिसमें 3 जीतने वाले टिकट शामिल हैं। पुनः रखकर खींचने पर, निम्नलिखित संभावनाओं का पता लगाएं।\n(1) A और B को एक-एक टिकट खींचने पर, A हारता है और B जीतता है की संभावना\n(2) A, B, और C को एक-एक टिकट खींचने पर, सिर्फ C जीतने की संभावना'

'ए और बी एक मुकाबला खेल रहे हैं, जहाँ पहले व्यक्ति जो 3 मैच जीत लेता है वह विजेता घोषित किया जाएगा। एक मैच जीतने की ए की संभावना 1/3 है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। यह मानते हुए कि कोई ड्रा नहीं है। (2) ए की 4वें मैच में जीतने की संभावना की गणना करें।'

'A और B मैच खेल रहे हैं, जिसमें पहले 3 बार जीतने वाला विजेता होता है। एक मैच में A की जीतने की संभावना 1/3 है। निम्नलिखित सवालों का उत्तर दें। यह मान लें कि कोई टाई नहीं होती। (3) A जीतने की संभावना का पता लगाएं।'

'दो खिलाड़ी A और B एक गेम को बार-बार खेलते हैं। प्रत्येक खेल में, A जीतने की संभावना B के खिलाफ 2/3 है, और B जीतने की संभावना A के खिलाफ 1/3 है।\n1. यदि पहले 3 बार जीतने वाला विजेता घोषित किया जाए, तो A जीतने की संभावना का पता लगाएं।\n2. जब एक खिलाड़ी दूसरे से 2 बार अधिक जीतता है, तो अधिक जीत वाले को विजेता घोषित किया जाता है। चौथे खेल के अंत तक A की जीतने की संभावना ढूंढें।'

'1000 से 9999 तक के 4 अंकों वाले पूर्णांकों में से एक का चयन करें, और कम से कम दो एक ही संख्या के होने की संभावना निकालें।'

'पी.ओ. बॉक्स में, 9 लाल संख्या कार्ड हैं जिनका संख्यित 1 से 9 तक है और 6 सफेद संख्या कार्ड हैं जिनका संख्यित 1 से 6 तक है। इस डिब्बे से एक कार्ड खींचते समय, एक शानदार संख्या कार्ड खींचने की घटना को ई कहें और लाल कार्ड खींचने की घटना को बी कहें। इस स्थिति में, निम्नलिखित संभावनाएँ की गणना करें: \n(1) P(A ∩ B)\n(2) P_B(A)\nनमुना स्थान को यू के रूप में परिभाषित करें। डिब्बे में कार्डों की संख्या दाईं तालिका के अनुसार निम्नलिखित है:'

'3 व्यक्तियों के साथ रॉक-पेपर-सीजर्स खेलते समय, टाई पर समाप्त ना होने की संभावना की गणना करें।'

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'विजेता खेल की प्रत्येक खिलाड़ी की जीतने की संभावना को निर्धारित करने के तरीके की व्याख्या करें।'

"कंपनी एक्स ने विश्वस्तापीय कर लिया कि उनका अपना उत्पाद, पेंसिल ए, या किसी अन्य कंपनी वाई की पेंसिल बी के साथ लिखना आसान है। पहले, सभी प्रतिस्पर्धियों में से दो-तिहाई लोगों ने कहा कि 'ए' से लिखना आसान है। थोड़ी देर बाद, कंपनी वाई ने पेंसिल बी को सुधारा और एक नई जांच कराई, जिसमें 30 लोगों में से 14 लोगों ने कहा कि 'ए' से लिखना आसान है। क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 'ए' के साथ लिखना 'बी' के मुकाबले कम आसान हो गया है? हाइपोथेसिस टेस्टिंग की अवधारणा का उपयोग करके, हर एक मामले का विचार करें। ऊपर उल्लिखित हस्ताक्षेप प्रयोग का उपयोग करें।"

'वृत्त के ऊर्ध्व गुणाकार पर बिंदु A, B, C, D, E, F समय की दिशा में सजे हैं। एक पासा फेंकें, और यदि परिणाम 1 या 2 हो, तो चल रहा बिंदु P घड़ी की दिशा में दो संभावित बिंदुओं के पास आगे बढ़ता है, और यदि परिणाम 3, 4, 5, या 6 हो, तो यह एक उल्टी दिशा में एक संभावित बिंदु पर बढ़ता है। बिंदु A से शुरू करके और पासा 5 बार फेंकने पर चलने पर, बिंदु B पर होने की संभावना निकालें।'

'कृपया समय साथ में कभी होने वाले घटनाओं A और B के बीच प्रासंगिकता जोड़ने का नियम स्पष्ट करें।'

'जब तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो क्या संख्याओं का योग 5 है?'

'बेसिक उदाहरण 57 कारण की संभावना\nघटना का कारण\nकंपोनेंट बनाने के लिए मशीनें A और B हैं, जिनका कीटन दर A के लिए 3% है और B के लिए 5% है। समझें कि A और B के अंशों को 7:3 के अनुपात में मिश्रित किया गया है और मिश्रण से एक अंश का चयन किया गया है, जिसे गड़बड़ होने की घटना के रूप में यथार्थ किया जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित संभावना की गणना करें।\n(1) संभावना P(E)\n(2) घटना E का कारण मशीन A में होने की संभावना'

'जब तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो निकलने वाली संख्याओं का योग 5 होने की संभावना खोजें।'

'बॉक्स ए में 3 लाल गेंद और 2 सफेद गेंद हैं, कुल 5 गेंद हैं, और बॉक्स बी में 3 लाल गेंद और 4 सफेद गेंद हैं, कुल 7 गेंद हैं। ए और बी से लेकर दो-दो गेंद निकालने पर, निकाले गए 4 गेंदों में से सभी 4 लाल गेंद होने की संभावना ए है, और 4 गेंदों में से 2 लाल गेंद और 2 सफेद गेंदों की संभावना बी है।'

'जब 3 लोग एक बार रॉक-पेपर-सीजर्स खेल रहे होते हैं, तो एक बराबरी की संभावना की खोज करें।'

'2789 कार्ड हैं, हर कार्ड पर अक्षर D, A, I, G, A, K, U लिखा होता है। इन 9 कार्ड्स को अच्छे से मिलाकर एक सूर्य करें। D, G, K, U के कार्ड देखने पर, बाएं से दाएं इस क्रम में लगने की संभावना क्या है? यह संभावना A द्वारा दर्शाया जाता है। अतः, एक के बाद एक तीन I कार्ड कैसे लगी हो, यह संभावना B द्वारा दर्शाया जाता है।'

'(इ) 3 कार्डों पर नंबर का योग विषम होने के 2 मामले हैं:'

'संभावना और इसकी मौलिक गुणधर्म'

'एक साथ 3 बड़े, मध्यम और छोटे आकार के पासे फेंकें, जिससे प्राप्त अंक a, b, c हों। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) 1/a+1/b≥1 को पूरा करने की संभावना ढूंढें।\n(2) 1/a+1/b≥1/c को पूरा करने की संभावना ढूंढें।'

'तीन छात्र A, B, C हैं। अगर प्रत्येक व्यक्ति को अपने इच्छित स्कूल से 4/5, 3/4, और 2/3 की संभावना से उत्तीर्ण होने की संभावना है, तो निम्नलिखित संभावनाओं को ढूंढें।'

'जब दो लोग रॉक-पेपर-सीजर्स एक बार खेलते हैं, तो परिणाम निर्धारित करने की संभावना क्या है?'

'जब एक साथ दो पासे फेंके जाते हैं, तो उन दोनों नंबरों में से छोटे को X (यदि वे बराबर हैं तो उसी संख्या को) के रूप में और बड़े को Y (यदि वे बराबर हैं तो उसी संख्या को) के रूप में वर्णित किया जाता है। किसी स्थिर अंक a के रूप में 1 से 6 तक कोई पूर्णांक दिया जाता है, तो निम्नलिखित की संभावनाएं निकालें: (1) X>a (2) X≤a (3) X=a (4) Y=a'

'एक निश्चित प्रयोग में, जब प्रत्येक मौलिक घटना होने के संभावनात्मकता बराबर होती है, तो इन मौलिक घटनाओं को समान निश्चित माना जाता है। इस तरह के प्रयोग में, यदि संभावित परिणामों की कुल संख्या N है और घटना A होने की बारं गिनती a है, तो घटना A होने की संभावना P(A) की प्राप्ति करें।'

'20 कार्ड हैं जिन पर 1 से 20 तक के पूर्णांक लिखे हुए हैं।'

'आधारभूत पंक्ति समस्या 44 स्वतंत्र परीक्षणों की संभावना\n(1) जब एक पासा और एक सिक्का एक साथ फेंका जाता है, जांचें कि डाइ की 4 या कम से कम संख्या और सिक्के के सिर की संभावना क्या है।\n(2) बैग A में, 6 सफेद गेंदें और 4 काली गेंदें हैं, और बैग B में, 8 सफेद गेंदें और 2 काली गेंदें हैं। जब बैग A से 3 गेंदें और बैग B से 2 गेंदें लेते हैं, तो सभी सफेद गेंदें होने की संभावना पता करें।\nपृष्ठ 329 आधारभूत जानकारी 11\nसी। हार्ट एंड सॉल्यूशन'

'जब 2 पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो न्यूनतम मान 3 होने या अधिकतम मान 4 होने की संभावना क्या है? कुल 36 संभावित परिणाम हैं।'

'एक बैग में, 3 सफेद बॉल और 6 काले बॉल हैं। जब बैग से समय साथ 4 गेंद निकाली जाती हैं, निम्नलिखित घटनाओं की प्रासंगिकता की गणना करें:\n(1) 1 सफेद बॉल और 3 काले बॉल निकालना।\n(2) 4 बॉल एक ही रंग के होना।'

'5 घटनाएं और संभावना'

'नमूना समस्या\nसामान्य मामले में, 1 से 100 तक के 100 कार्ड से एक कार्ड निकालते समय, उस नंबर को छांटने की संभावना निकालें जो 3 का एक गुणक हो या 4 का।'

'एक कंपनी में, पहले से बिक्री हो रही पेन ए को सुधारित करके पेन बी विकसित किया गया। लेखन की सुविधा का मूल्यांकन करने के लिए, 20 यादृच्छिक चयनित लोगों पर A और B में से कौन लिखने में अधिक सहज है उसका सर्वेक्षण किया गया। परिणाम दिखाया कि 15 लोगों ने B को चुना। क्या इस सर्वेक्षण के परिणाम से यह निर्णय निकाला जा सकता है कि उपभोक्ताओं को B लिखना अधिक सुविधाजनक लगता है? 0.05 की संभावना मानक और निम्नलिखित सिक्का फेंक प्रयोग के परिणामों का विचार करें। प्रयोग: एक उचित सिक्का फेंकें। फिर, मुद्रा 20 बार एक सेट में फेंकें और प्रत्येक सेट में सिक्के के सिरे की बार्बादी को दर्ज करें। इस प्रयोग को 200 बार दोहराने के बाद, परिणाम निम्नलिखित हैं।'

'4 बॉल्स के समान रंग का प्राप्त करने की संभावना निकालें।'

'52 कार्डों के एक पैक में जोकर के बिना, ए और बी क्रम के अनुसार प्रत्येक एक कार्ड खींचते हैं। पुनः भर्ती के बिना निम्नलिखित संभावनाएँ कीजिए:\n(1) ए और बी दोनों हृदय कार्ड खींचते हैं\n(2) केवल B हृदय कार्ड खींचता है'

'कम्बिनेशन की मूल बातें।'

'प्रासंगिक और उसकी मौलिक गुणों को समझाएं, और निम्नलिखित मामलों के लिए प्रासंगिकता की गणना करें।'

'DREAM के 5 अक्षरों को एक पंक्ति में यदि क्रमित किया जाता है, तो निम्नलिखित मामलों के लिए संभावनाएं ढूंढें:\n(1) दाएं कोने पर E है।\n(2) A और D आसपास हैं।'

'जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो दोनों पासों पर नंबर का योग 4 होने की संभावना जांचें।'

'एक थैले में 5 लाल मोती और 4 सफेद मोती हैं, तो 4 मोतियों को एक साथ निकालने पर 2 विभिन्न रंगों के होने की संभावना क्या है?'

'तीन पर कुबा एक साथ फेंकने पर निम्नलिखित संभावनाएं निकालें: (1) कम से कम एक विषम संख्या मिलने की संभावना (2) तीनों संख्याओं के योग का 4 नहीं है होने की संभावना'

'3 पासे एक साथ फेंकने पर, निम्नलिखित संभावनाएं पता लगाएं:\n(1) कम से कम एक विषम संख्या मिलने की संभावना\n(2) तीन संख्याओं का योग 4 नहीं होने की संभावना'

'जब एक सिक्का 6 बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित संभावनाओं को ढूंढें:\n(1) 4 से अधिक सिर प्राप्त करने की संभावना\n(2) कम से कम 1 सिर प्राप्त करने की संभावना'

'एक बैग में 6 लाल गेंद और 4 सफेद गेंद हैं। जब बैग से 3 गेंद निकाली जाती हैं, तो वहाँ से एक लाल गेंद और एक सफेद गेंद एक साथ निकलने की संभावना निकालें।'

'परिकल्पना परीक्षण एक प्रक्रिया है जिसमें मापदंडों से प्राप्त डेटा का उपयोग करके जनसंख्या के बारे में एक कल्पना के बारे में क्या यह सांख्यिकीय रूप से सही है यह निर्धारित करने की प्रक्रिया है।'

'तीन पासा एक साथ फेंकने पर, निम्नलिखित संभावनाओं का पता लगाएँ:\n(1) सभी परिणाम 3 या उससे अधिक होने की संभावना\n(2) सबसे छोटे परिणाम होने की संभावना'

'10 लॉटरी टिकट्स में से 2 में जीतने का इनाम है। हर बार एक टिकट निकालने और वापस डालने के बाद, 4 बार निकालने के बाद, जीतने और हारने वाले टिकटों की संख्या बराबर होने की संभावना क्या है?'

'वर्गीकृत सर्वेक्षण में आयु समूह के अनुसार प्रतिक्रियाओं का प्रतिशत जांचें।'

'एक बैग में 5 लाल गेंद और 4 काले गेंद हैं। इस बैग से एक साथ 3 गेंद निकाली जाती हैं, निम्नलिखित संभावनाएँ खोजें: (1) तीनों गेंद एक ही रंग की होने की संभावना (2) केवल 2 गेंदों को एक ही रंग की होने की संभावना'

'जब एक सिक्का 3 बार फेंका जाता है, तो कम से कम एक बार सिक्के का सिर आने की संभावना क्या है?'

"पिछले समस्या में 'जोड़ संख्या या प्राइम संख्या आने' की घटना का पता लगाएं।"

'निम्नलिखित संभावनाओं की गणना करें:\n(1) एक सिक्के को तीन बार फेंकने पर एक सिर मिलने की संभावना\n(2) एक सिक्के को तीन बार फेंकने पर कम से कम एक सिर मिलने की संभावना\n(3) चार बार सिक्के को फेंकने पर दो या दो से अधिक सतर्क मिलने की संभावना\n(4) पांच बार सिक्के को फेंकने पर दो से अधिक सतर्क न मिलने की संभावना'

'एक पासा तीन बार फेंकें। उत्तरों का योगफल 6 होने की संभावना जांचें।'

'7 स्वतंत्र परीक्षण और संभावना'

'जब एक छ: सिद्ध विक्षेपण चौकी को चार बार लिया जाता है, तो निम्नलिखित संभावनाएं खोजें: (1) न्यूनतम मान 1 होने की संभावना (2) न्यूनतम मान 1 होने और अधिकतम मान 6 होने की संभावना'

'3 सफेद गेंदों और 6 लाल गेंदों वाले थैले से एक गेंद निकालकर, रंग देखकर उसे पीछे डालने से, 4 संयोजन परीक्षणों में कम से कम 3 सफेद गेंदों को प्राप्त करने की संभावना प्राप्त करें।'

'एक कंपनी में, कलम ए का संशोधित संस्करण, कलम बी को विकसित किया गया है। लेखन की सुविधा का मूल्यांकन करने के लिए, 20 यादृच्छिक व्यक्तियों के साथ एवं बी में से किसे लिखना अधिक सहज आता है, इस विषय में एक सर्वेक्षण किया गया। परिणाम यह दिखाते हैं कि 12 व्यक्ति बी का पसंद करते हैं। क्या इस सर्वेक्षण के परिणाम से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि उपभोक्ता बी को लिखना आसान मानते हैं? मानक संभावना 0.05 पर सेट की जाती है और निम्नलिखित सिक्के पलटने के प्रयोग के परिणामों के आधार पर विचार किए जाते हैं। एक न्याय सिक्का पलटते हैं और एक सेट में 20 बार परीक्षण को दोहराते हैं, जांच में उपस्थित पुढ़ की बार पर मात्रा को दर्ज करते हैं। इस प्रयोग को 200 सेट दोहराने के बाद, परिणाम इस प्रकार हैं:'

'अगर एक पासा चार बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित संभावनाएँ ढूंढें: (1) 1 की न्यूनतम मान का संभावन (2) 1 की न्यूनतम मान और 6 की अधिकतम मान का संभावन'

'1 से 9 तक के नंबर वाले पत्तों की कुल 9 पत्तियाँ हैं। इनमें से 3 पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं, तो उन 3 पत्तों पर नंबर का योग विषम होने की संभावना निकालें।'

'3 सिक्के एक साथ फेंकने पर, सभी 3 सिक्के सिर पर आएँगे का क्या संभावनात्मक है?'

'जब दो साइज़ 2 के पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो दो पासों का गुणांक 10 के गुणक के होने की संभावना क्या है?'

'जब एक थैले से एक लाल, एक नीला, एक पीला और एक सफेद गेंद होती है, तो लाल गेंद निकालने की संभावना की गणना करें।'

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'1 सिक्का 5 बार फेंकने पर, बस 3 बार सिर आने की संभावना क्या है।'

'4 लाल गेंद और 3 सफेद गेंदों वाले बैग से, 2 गेंदों को एक साथ निकालने पर, निम्नलिखित संभावनाएं निकालें: (1) दोनों गेंदों का लाल होने की संभावना (2) विभिन्न रंग की गेंदें निकालने की संभावना'

'बुनियादी उदाहरण 38000 में तीन बक्सों A, B, C से 1 टिकट खींचा जाता है, प्रत्येक में जीतने वाले टिकटों की संभावनाएं क्रमश: 1/4, 2/3, 1/2 हैं। प्रत्येक बक्से से 1 टिकट खींचने पर, निम्नलिखित संभावनाएँ की गणना करें।'

'12 टिकट वाले एक लॉटरी में 2 विजेता टिकट हैं। A, B, C व्यक्ति क्रम के मुताबिक एक एक टिकट खींचते हैं। 44^3 मामले में, A और C केवल जीतने की संभावना का पता करें। (1) खींची गई टिकट को पूर्ववत लौटाएं (2) खींची गई टिकट को पूर्ववत लौटाएं। A, B, C के निर्धारण हेतु परीक्षण अलग हैं। A, B, C में प्रत्येक व्यक्ति 2 विजेता टिकट शामिल 12 टिकट से एक एक टिकट खींचते हैं। A, C जीत गए जबकि B हार गया है, इसलिए संभावना की गणना की जाती है जैसे (2/12) * (10/12) * (2/12) = 5/216। पूर्वीकरण वाले स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का ध्यान रखें।'

'इस 8 प्रश्नों के सेट में, जहां वृत्त सही उत्तरों को और क्रॉस गलत उत्तरों को प्रतिनिधित्व करते हैं, वहाँ से जुड़े सही और गलत उत्तरों को यदि यादृच्छिक रूप से चिह्नित करके केवल 2 सही उत्तर प्राप्त करने की संभावना क्या है?'

'तीन लोग A, B और C एक बार रॉक-पेपर-सीजर खेलते हैं। A और B की जीत की संभावना ढूंढें।'

'एक पासे और एक सिक्का साथ ही फेंकने पर, पासे पर ओर निकलने और सिक्के पर विपरीत ओर निकलने की संभावना का पता लगाएं।'

'एक थैले में 1 से 6 तक के संख्यित 6 लाल गेंद और 1 से 5 तक के संख्यित 5 नीले गेंद होते हैं। जब बैग से एक गेंद निकाली जाती है, तो जानें कि गेंद पर नंबर वह अजीब है या यह एक नीले गेंद है उसकी संभावना।'

"निम्नलिखित प्रयोग पर विचार करें: 'दो पासे एक साथ फेंकें।' 'कम से कम एक पासा 6 दिखाता है' की संभावना की हिसाब कीजिए।"

'एक थैला है जिसमें 1 से 6 तक के नंबर वाले 6 लाल गेंद और 1 से 5 तक के नंबर वाले 5 नीले गेंद हैं। इस थैले से एक गेंद निकालने पर, गेंद का नंबर विषम होने या नीले गेंद होने की संभावना जांचें।'

'कम से कम एक बार 6 आने की संभावना की गणना करें।'

'जब एक सिक्का तीन बार फेंका जाता है, तो केवल एक बार सिरफिरा आने की संभावना क्या है?'

'5 लाल मोतियों और 4 सफेद मोतियों वाली एक थैली से, 4 मोतियाँ एक साथ उठाने पर 2 विभिन्न रंगों की मोतियों की संभावना क्या है?'

'जब 3 पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो निम्नलिखित संभावनाएं निर्धारित करें:\n(1) सभी पासों पर 3 या अधिक दिखने की संभावना\n(2) सबसे कम नंबर जो आता है वह 3 होने की संभावना\n[स्रोत: शिगा विश्वविद्यालय]'

'3 व्यक्तियों द्वारा एक बार रॉक-पेपर-सीजर्स खेलते समय, टाई होने की संभावना का पता लगाएं।'

'जब दो पासे एक साथ फेंके जाएं, तो निम्नलिखित संभावनाएँ खोजें।\n(1) समान संख्या नहीं मिलने की संभावना\n(2) कम से कम एक जोड़ी संख्या मिलने की संभावना'

'संभावना और इसकी मौलिक गुणधर्म'

'n को एक प्राकृतिक संख्या माना जाए और कुल (2n+1) कार्ड हैं जिन पर 0, 1, 2, ⋯, 2n लिखा है, प्रत्येक संख्या केवल एक बार पाई जाती है। इनमें से एक कार्ड को यादृच्छिक रूप से चुनें, जिस पर लिखे गए संख्या को X कहा जाता है। Y के लिए निम्नलिखित चरणों के अनुसार परिभाषित किया जाता है, जब y=k हो, तो सभी k=0,1,2, ⋯ , 2n के लिए प्रायिकता तथा Y की वैरियेंस अनुमानित करें। (a) यदि X विषम है, तो Y=X। (b) यदि X सम है (शून्य समेत), तो कार्ड को वापस रखें, सभी कार्ड से फिर से यादृच्छिक रूप से एक कार्ड चुनें और उस पर लिखे संख्या को Y कहें।'

'किसी स्थानीय प्राथमिक विद्यालय से यातायात से चयनित 600 छात्रों की छठे कक्षा का सर्वेक्षण किया गया, जिनमें से 262 को कैविटी पाई गई। दावा किया जा रहा है कि पूरे देश की छठी कक्षा के छात्रों में कैविटी की अनुपात 40% है। क्या यह स्थानीय प्राथमिक विद्यालय की छठी कक्षा के छात्रों में कैविटी की अनुपात राष्ट्रीय औसत से अधिक है, निम्नलिखित महत्व स्तर पर परीक्षित करें।'

'1 से 9 तक के नंबर लिखे 9 कार्ड हैं। इन कार्ड में से बिना वापसी के 4 कार्ड निकाले जाते हैं, जिन्हें क्रमश: a, b, c, d के रूप में लिखा जाता है। (1) जाँच करें कि a b c d का गुणज क्या झूम है। (2) कार्ड के हजारों स्थान को a, सैकड़ों स्थान को b, दसों स्थान को c, और एकों स्थान को d के रूप में लेकर, प्राप्त 4-अंकीय संख्या N की अपेक्षित मान निकालें। [Akita]'

'यह नहीं निर्धारित किया जा सकता कि एक डाइस पर 671 आने की संभावना 1/6 है।'

'डिजिटल शैक्षणिक सामग्री खरीदते समय कौन सी बातें जांचनी चाहिए?'

'किसी क्षेत्र के एक स्कूल के छठी कक्षा के 600 छात्रों की एक जाफ़ी चयनित जांच में पाया कि 262 छात्रों के मसूड़े थे। कहा जाता है कि पूरे देश के छठी कक्षा के मसूड़े का अनुपात 40% है। क्या कहा जा सकता है कि इस क्षेत्र के छठी कक्षा के मसूड़े वालों का अनुपात राष्ट्रीय स्तर से अधिक है? निम्नलिखित महत्व स्तर पर परीक्षण करें।'

'जब एक यादृच्छिक परिमाण X की संभावना घनत्वा समीकरण f(x)=1-\x0crac{1}{2} x (0 ≤ x ≤ 2) द्वारा दिया गया हो, तो निर्धारित संभावनाएं ढूँढें।'

'एक्सबार औसत X̄ = 6.5 है, मातास्तरीय मानक विचलन है σ, और नमूने का आकार n = 250 है। इसलिए, मातास्तरीय मान m के लिए 95% विश्वास स्तर पर विश्वास क्षेत्र है [6.5-1.96⋅σ/√250, 6.5+1.96⋅σ/√250]'

'एक निश्चित प्रयोग में, प्रयोग के परिणाम पर निर्धारित होने वाले एक चर को जिसके प्रत्येक मान के लिए परिभाषित संभावनाएँ होती हैं, उसे संभावना से मान कहा जाता है। सामान्यत: , एक यादृच्छिक परिवर्तन X के लिए सम्भावित मान x1, x2, ..., xn और उनके प्रति मान की संभावनाएँ p1, p2, ..., pn होती हैं, तो निम्नलिखित सत्य होता है।'

'पर n कार्ड पर, संख्या 1, 2, 3, ..., n एक के एक लिखी गई है। जब इन कार्ड से दो कार्ड यादृच्छिक रूप से खींचे जाते हैं, तो छोटी संख्या को X और अधिक संख्या को Y माना जाता है। यहाँ n ≥ 2 के लिए माना गया है। (1) X = k की संभावना ढूंढें, जहाँ k = 1, 2, 3, ..., n। (2) X की अपेक्षित मान ढूंढें। (3) Y की वैरियेंस ढूंढें।'

'मौलिक समस्या 75 बड़ी संख्या का नियम\nजिस जनसंख्या से एक आकार n का नमूना निकाला गया है, उसमें मातृ माध्य शून्य और मात्री विचलन एक का है, उसका नमूना मान X̄ -0.1 और 0.1 के बीच होने की संभावना P(|X̄|≤0.1) n=100, 400, 900 के प्रत्येक मामले के लिए निकालें।'

'एक क्षेत्र ए में, 400 15 वर्षीय लड़कों की ऊंचाई मापी गई, जिससे औसत 168.4 सेमी और मानक विचलन 5.7 सेमी मिला। ए के 15 वर्षीय लड़कों की औसत ऊंचाई m सेमी के लिए 95% विश्वास क्षेत्र खोजें।'

'क्षेत्र Y में पार्टी बी का समर्थन दर 1/3 था। पार्टी बी ने एक नीति प्रस्तुत की और समर्थन दर में परिवर्तन संभावित था। इसलिए, 30 व्यक्तियों पर एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें 15 व्यक्ति पार्टी बी का समर्थन कर रहे थे। इस परिणाम पर आधारित होकर, क्या यह निष्कर्षित किया जा सकता है कि पार्टी बी का समर्थन दर बढ़ गई है? अनुमानित परीक्षण के अवधारणा का उपयोग करके हर मामले का विश्लेषण करें। मानिए कि 200 बार प्रयोग किया गया था, प्रत्येक बार 30 बार निष्पक्ष वाले पासे फेंककर, 1 से 4 की हुई घटनाओं की संख्या का परिणाम निम्नलिखित प्रप्त हुआ था:'

"दाईं ओर का स्कैटर प्लॉट एक कक्षा के 30 छात्रों के 187 कन्जी और अंग्रेजी शब्दों के 100 अंकों के परीक्षण के स्कोर का एक स्कैटर प्लॉट है। (1) इस स्कैटर प्लॉट के आधार पर, अध्ययन करें कि कन्जी और अंग्रेजी शब्दों के स्कोरों के बीच एक संबंध है या नहीं। यदि एक संबंध है, तो स्थायी और नकारात्मक यह कहें। (2) इस स्कैटर प्लॉट के आधार पर, अंग्रेजी शब्दों के लिए एक आवृत्ति वितरण सारणी बनाएं। वर्ग को 'पूरा' के रूप में निर्धारित किया गया है।"

'इस डाइस के बारे में यह निर्णय किया जा सकता है कि 1 आना अधिक संभावना है।'

'डेटा के संबंध'

'A और B ने 9 बार खेला। A ने 7 बार जीता। क्या हम इस परिणाम पर A को B से शक्तिशाली मान सकते हैं? अनुमानित खेल में टाई नहीं है, और 0.05 के मानक स्तर के साथ, सिद्धांत परीक्षण की अवधारणा का उपयोग करके चर्चा करें।'

'डेटा इंटीग्रेशन द्वारा औसत और विचलन का हिसाब लेना'

'10 खेलने के बाद, A ने 7 बार जीत ली। इस परिणाम पर आधारित करके हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A B से शक्तिशाली है? 0.05 के महत्व स्तर के साथ परीक्षण के सिद्धांत का उपयोग करें। खेलों में कोई बराबरी नहीं है।'

"एक कंपनी ने एक मैस्कॉट बनाया और 20 लोगों का सर्वेक्षण किया, जिसमें 13 लोगों ने 'कंपनी की छवि में सुधार हुआ है' के साथ प्रतिक्रिया दी। क्या हम कंपनी की छवि सुधारते हुए निष्कर्ष निकाल सकते हैं? 0.05 के मानक सापेक्षता स्तर का उपयोग करके हैपोथे\u200cसिस टेस्टिंग की अवधारणा का उपयोग करें। तथापि, पता चलता है कि एक निष्पक्ष सिक्के को 20 बार उलटकर एक प्रयोग किया गया था, और परिणाम नीचे दिए गए तालिका के रूप में है। कृपया इन परिणामों का उपयोग अपने विश्लेषण के लिए करें।"

'अभ्यास 22\n(1) पहले कार्य के बाद, चिह्नित चेहरा स्वत: ही साइड फेस पर आएगा, इसलिए अगले कार्य के बाद चिह्नित चेहरा एक के बाद एक साइड फेस पर आने की संभावना है\n\\\\n\\\\frac{2}{4}=\\\\frac{1}{2}\n\\\'

'इन चार स्टेजों में, सफलता या असफलता का मुख्य आधार विशेष रूप से दूसरे स्टेज में दिए गए निर्देश हो सकता है। विशेष रूप से तैयारी का तरीका पाठ में चार्ट में देखा जा सकता है, लेकिन पहले हम कुछ सामान्य विचारों पर ध्यान दें।'

'कुछ n को शामिल करने वाले बंद Lk का आकारन करने के लिए, एक प्रमुख संख्या होने की संभावना को गणना करें।'

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'12 चौबीस साथ ही एक साथ गिराते हैं, तो संख्या योग एक प्राइम संख्या है?'

'उदाहरण 23 | संयोजन और संभावनाएँ\nहरे, नीले, पीले के 4 कार्ड हैं, हर कार्ड पर 1 से 4 तक का नंबर लिखा है। इन 12 कार्डों से जब भी यहाँ से कुछ कार्ड निकाले जाते हैं, तो निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ प्राप्त करें:\n(1) सभी कार्ड एक ही रंग के हैं।\n(2) सभी नंबर भिन्न हैं।\n(3) सभी रंग और नंबर भिन्न हैं।\n[साइतामा मेडिकल यूनिवर्सिटी]'

'संभावना की गणना करें'

'संभावना की गणना करें'

'संभावना की गणना करें'

'6 बार सिक्का फेंकने पर 3 बार हेड्स निकलने की संभावना की गणना करें।'

'एक बार पासा फेंकने पर, प्राइम नंबर मिलने की संभावना \\\frac{3}{6}\ है, और गैर-प्राइम नंबर मिलने की संभावना भी \\\frac{3}{6}\ है। \\({}_{5}\\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}=5\\times\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}\\)\n(इ) कम से कम 4 प्राइम नंबर मिलने की घटना, 4 या 5 प्राइम नंबर मिलने की स्थिति है, इसलिए संभावना है\n\\(\\frac{5}{32}+\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{5}=\\frac{5}{32}+\\frac{1}{32}=\\frac{3}{16} \\)'

'संभावना की गणना'

'संभावना की गणना करें'

'उन सभी निकाली गई कार्ड्स जो 7 या उससे कम हैं की घटना से छूट कर, उन सभी कार्ड्स की घटना से मिलाकर, एक कार्ड निकालने के समय 7 की अधिकतम मान की संभावना ।'

'31 आकृतियों के चारों कोण पर चलने वाले बिंदु की संभावना'

'उदाहरण 24 | संयम-पत्थर-कागज़ अवस्थिति\nजब 4 व्यक्ति एक बार संयम-पत्थर-कागज़ खेलते हैं, तो निम्नलिखित संभावनाओं को ढूंढें:\n(1) केवल एक व्यक्ति जीतने की संभावना\n(2) 2 व्यक्ति जीतने की संभावना\n(3) टाई होने की संभावना'

'संभावना की गणना करें'

'संभावना की गणना'

'12. संभावना की गणना'

'एक शॉट से गोल करने की संभावना \ \\frac{2}{3} \ है'

'3 लाल गेंद और 3 नीली गेंदों से भरे एक थैले से 2 गेंद निकाली जाती है, उनका रंग जांचा जाता है, और फिर से थैले में रख दिया जाता है। यह प्रक्रिया 2 बार दोहराई जाती है। 2 परीक्षणों के बाद निकाले गए 4 गेंदों में से 2 लाल और 2 नीले होने की संभावना जानिए।'

'8 बार पासा फेंका गया, जिसमें से 7 बार जोर आया। इस परिणाम से क्या यह निष्पक्ष दिशा में है कि पासा ज्यादा से ज्यादा जोर आता है? 0.05 के मानक परिप्रेक्ष्य में परिकल्पना परीक्षण के सिद्धांत का उपयोग करके चर्चा करें।'

'गणित I'

'(2) 1 प्रयास में, पत्थर को घड़ी की ओर घुमाना + के रूप में प्रतिनिधित किया जाता है, उसे घेरना - के रूप में प्रतिनिधित किया जाता है, और ना भागें को 0 से प्रस्तुत किया जाता है। 4 प्रयासों के बाद, C पर पत्थर है तो 5 संयोजन हैं।\n[1] (+,+,0,0)\n[2] (+,+,+,-)\n[3] (-,0,0,0)\n[4] (-,-,+ ,0)\n[5] (-,-,-,-)\nएक पखवाड़ा पे लगातारता'

'संभावनाओं की गणना'

'संभावना की गणना'

'गणित की पढ़ाई की विशेषताएं क्या हैं, और अन्य विषयों के साथ तुलना कैसे होती है?'

'जब एक बैग को चुना जाता है जिसमें 5 लाल मोती, 4 सफेद मोती और 3 नीले मोती हैं, तो लाल मोती खींचने की संभावना क्या है?'

'जब 3 सिक्के एक साथ फेंके जाते हैं, तो 1 सिक्का सिर पर होने और 2 सिक्के टेल पर होने की संभावना निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित संभावनाओं की गणना करें:'

'पासा पर आंकड़ों का योग 6 होने की घटना घटनाएं A, C और D का संघ का है, जो एक-दूसरे को अपवर्जित हैं।'

'गणित क्यों सीखें?'

'जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो बड़े पासे विषम संख्या हैं और छोटे पासे 5 या उससे अधिक है, तो क्या संभावना है?'

'निश्चित करें कि एनथ दौर में एक विजेता की स्थिति का पता लगाएं।'

'प्रत्येक मैच में A जीतने की संभावना 1/3 है, और B जीतने की संभावना 2/3 है।\nA को जीतने के लिए, निम्नलिखित 3 स्थितियाँ हैं:\n12 परीक्षण स्वतंत्र हैं और संभावनाओं को गुणा किया जा सकता है।\nजोड़ने का नियम (संभावनाओं को जोड़ना)\nमात्र संख्याएँ को केवल एक बार ✔️\n${ }_{5} \\mathrm{C}_{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{4}\\left(\\frac{3}{6}\\right)^{1}$\n5 बार में, मात्र संख्या 4 बार से अधिक\n5 बार में, मात्र संख्या 4 बार से अधिक\nजोड़ने का नियम का उपयोग करें।\n3 में से 2 बार निर्धारित हैं।\nकठिन संभावनाओं के लिए दृष्टिकोण बदलें (सह घटक)।\n${}_{6} \\mathrm{C}_{3} \\times{ }_{3} \\mathrm{C}_{1} \\times{ }_{2} \\mathrm{C}_{2}$ भी ठीक है।\nX 3 बार होने के लिए 60 संभावनाओं के मामले में, Y 1 बार होने के लिए और Z 2 बार होने के लिए संभावनाओं को गुणा करें।\nB जीतने की संभावना 1-1/3 है'

'जोकर को छोड़कर 52 कार्ड वाली ताश से 1 कार्ड निकालने पर, इन आयोजनों में से कौनसा आयोजन ए: एस निकलता है, बी: हार्ट निकलता है, सी: चेहरा कार्ड निकलता है, वे एक-दूसरे के विरोधी हैं?'

'1 से 9 तक के नंबर वाले 27 कार्ड हैं, प्रत्येक नंबर के लिए 3 कार्ड हैं। अच्छे से मिलाने के बाद, 2 कार्ड निकालने पर, निम्नलिखित संभावनाओं का पता लगाएं:\n(1) उस स्थिति की संभावना जब 2 कार्ड एक ही नंबर के हों\n(2) उस स्थिति की संभावना जब 2 कार्ड एक ही नंबर के हो या दोनों के योग का 5 से कम हो'

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'संभावना की गणना'

'27. संभावना की गणना'

'A और B के बीच एक खेल को 10 बार खेलने के बाद, A ने 8 बार जीत लिया। इस नतीजे से हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A B से अधिक मजबूत है? 0.05 के मान्यता स्तर के साथ अवधारणा परीक्षण की अवधारणा का उपयोग करें। खेल में टाई नहीं होती है।'

'एक पासा 3 बार फेंकें, सभी परिणामों का गुणाकार X है। X को 2 से अधिक होने की संभावना ढूंढें।'

'संभावना की गणना करें'

'संभावना की गणना करें'

"कई बार किसी घटना के होने की संभावना को एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस संख्या को 'संभावना' कहा जाता है। संभावना की परिभाषा पर आधारित, इस अध्याय में, संभावना के सिद्धांतों और गुणों (समयसर्पसवापणता का जोड़ने का सिद्धांत, गुणाकार सिद्धांत, स्वतंत्र प्रयोगों की संभावना आदि) पर चर्चा की जाती है, और पिछले अध्यायों में सीखे गए अनुक्रमण और संयोजन जैसे अवधारणाओं का उपयोग करके, संभावनाएँ कैसे गणना करें। इसके अलावा, यह भी परिक्षणों के परिणाम के संख्यात्मक मान का औसत मूल्य की अध्ययन करता है—जिसे 'अपेक्षित मूल्य' भी कहते हैं।"

"जब तीरंदाजी खिलाड़ी A, B, और C एक तीर को लक्ष्य पर छोड़ते हैं, तब तीर का लक्ष्य होने की संभावनाएँ क्रमश: 1/2, 1/3, और 1/4 हैं। Γ×1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 > 1 होने के कारण, इसलिए 'कम से कम एक व्यक्ति को लक्ष्य पर मिलने की' यह विचार सही है।"

'संभावना की गणना करें'

'उदाहरण 32 अधिकतम और न्यूनतम मान की संभावना\nजब एक पासा 4 बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित संभावनाओं को विचार करें।\n(1) न्यूनतम मान 3 होने की संभावना।\n(2) न्यूनतम मान 1 है और अधिकतम मान 6 है इस संभावना।'

'संभावना की गणना'

'2 मैच के बाद, ऐसे समय में A को 4 जीत कर विजय मिलने की संभावना ढूंढें।'

'[1] से [3] घटनाएं परस्पर एक-दूसरे के विरोधी हैं, इसलिए आवश्यक प्रासंग की गणना करें।'

'28. संभावना की गणना'

'ऐसे 3 संख्याओं की खोजें जिनका योगफल 0 है, 3 संख्याओं की खींचाई के कुल तरीके और संभावना।'

'दो पासा फेंकने पर प्राप्त संख्या का अवलोकन 6 × 6 = 36 अवसर (अवसर) है।'

'संभावना की गणना'

'संभावनाओं की गणना करें'

'संभावना की गणना करें'

क्या यह 'सामान्य सीमा' है या 'संयुक्त सीमा' है? पिछ्ले पृष्ठ के उदाहरण 44 के उत्तर में, 'सामान्य सीमा' की मांग करने वाले और 'संयुक्त सीमा' की मांग करने वाले मामले हैं। चलिए, उदाहरण 44 के उत्तर के आधार पर उनके बीच के अंतर को विस्तार से देखते हैं।