मूलभूत बीजगणित - असमानताओं का समाधान

'अभ्यास करें कि किसी भी सकारात्मक वास्तव संख्या $a, b, x, y, z$ के लिए निम्नलिखित असमिकाएँ सत्य हैं और समानता होने की शर्तें निर्धारित करें।'

'असमीकरण log_{x} y+2・\\frac{1}{log_{x} y}<3 का हल करें। पहले log_{x} y=t के रूप में मान लेते हैं। तब, हमें \\frac{t^{2}-3t+2}{t}<0 मिलता है। और आगे, \\frac{(t-1)(t-2)}{t}<0 है, और हम t>0 और t<0 के लिए हल करते हैं।'

'दिए गए असमीकरण से'

'निम्न असमीकरण को सिद्ध कीजिए।'

'निर्धारित स्थिर k के मान की सीमा प्राप्त करें जिस प्रकार से x^{2}+y^{2}-2x-2y ≤ 0 और x-2y+1 ≤ 0, अनेक संख्या x, y को संतुष्ट करते हैं, और y-kx-k-1 ≤ 0 हमेशा संतुष्ट होता है।'

'निम्नलिखित अयोग्यताओं का सिद्धान्त दें:'

'कांस्तिक a के मान की श्रेणी ढूंढें, ताकि असमभावना 3a^2x-x^3≤16 यह हमेशा x≥0 के लिए सही हो।'

'जब x 29 होता है। अर्थात, हमें वह स्थितियाँ खोजनी हैं जो असमान में (2) को स्थिर रखती हैं। इसलिए, (2) से, हमें a=c और b=d मिलता है। अभ्यास 9|II| => मुख्य पुस्तक पृ॰52'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें: (1) 2sinθ - √2 ≥ 0 (2) 2cosθ - 1 < 0 (3) √3tanθ - 1 < 0'

'निम्नलिखित असमितियों को सिद्ध करें। साथ ही, बताएं कि समानता कब सही होती है।'

'असमीकरण $x^{2}+y^{2}<x+y$ का समाधान करें, क्षेत्र चित्रित करें, और सुनिश्चित करें कि यह दूसरी प्रतिबंधितता $0 < x + y < 2$ को पूरा करता है।'

'वास्तविक संख्या a की सीमा ढूंढें जिससे असमिका 4t^2+at+1-a>0 हमेशा सत्य बने जब t>0।'

'असमिकाएँ सिद्धांत (2)'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 118 क्षैतिज असमीकरण द्वारा प्रस्तुत क्षेत्र'

'अनुक्रमों से संबंधित बहुपक्षीय असमिक्षाओं का प्रमाण'

'4x + 2/y ≥ 2√(2x/y) साबित करें।'

'असमीकरण द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र खोजें: (1) सीमा रेखा एक सीधी रेखा है'

'असमानताओं का प्रणाली द्वारा प्रतिष्ठित क्षेत्र खोजें।'

'तीन असमीयाओं x-y ≥ -2, x-4y ≤ 1, 2x+y ≤ 5 को एक साथ पूरा करते हुए, x+y के संभावित मानों की श्रेणी को खोजें।'

'असमीकरण द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र'

'जब a>0, b>0, c>0, d>0 होता है, तो निम्नलिखित असमिकाएं सत्य होती हैं। साथ ही, समानता के लिए शर्तों की जांच करें।'

'निम्नलिखित असमान को साबित करें और समानता कब सत्य होती है।'

'जब x>1 होता है, तो x+1/(x-1) का न्यूनतम मान ढूंढें।'

'असमीकरण सिद्ध (3)... (वास्तव संख्याएं)^2 ≥ 0 का प्रयोग [भाग 2]'

'असमिकाएँ द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र खोजें: (2) सीमा रेखा एक वृत्त है'

'0 ≤ x < 2π के लिए, निम्नलिखित असमिका को संतुलित करने वाले x के मान की श्रेणी ढूंढें।'

'असम्मति का प्रमाण (4) ... वर्गों के बीच के संबंध का उपयोग'

'साबित करें कि असमीकरण $x^{3} + 5 > 3 x^{2}$ सत्य है।'

'जब x और y तीन असमिकाओं x - y ≥ -2, x - 4y ≤ 1, 2x + y≤5 को समवर्ती रूप से संतुष्ट करते हैं तो x + y के मान की श्रेणी पता करें।'

'जब असमीकरण 0≤y≤-1/2|x|+3 में से 0≤y≤-1/2|x|+3 पूर्ण होती है, तो x+y का अधिकतम और न्यूनतम मान और उसके लिए x, y के मान ढूँढें।'

'असमिति का सिद्धांत (5)...प्रामाण्य समिति को शामिल करने वाली असमिति'

'जब a > 0, b > 0 होता है, तो निम्नलिखित असमितियाँ सत्य होती हैं। साथ ही, समानता के मामले जांचें। (1) a+9/a ≥ 6 (2) 6b/a + 2a/3b ≥ 4'

'प्रमाणित करें कि असमीकरण a+\\frac{1}{4a} \\geqq 1 a>0 के लिए सत्य है। साथ ही, समानता का संदर्भ स्थित होने की शर्तें निर्धारित करें।'

'कृपया निम्नलिखित असमीकरण का समाधान करें: a+8 > \\frac{3 a}{a+1}'

'दिया गया समीकरण समाधान करें'

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें और a के लिए मान की रेंज खोजें।'

'सिद्ध करें कि असमिति e^x>1+x सत्य है, जहां x 0 के बराबर नहीं है।'

'|x-2|>4 अनुसंधान करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें: (1) 4 x + 5 > 3 x - 2 (2) 9 - x ≤ 2 x - 3 (3) \\frac{4 - x}{2} > 7 + 2 x'

'आपकी टोपी किस रंग की है? - परिभाषांतर का उपयोग -'

'मापदंड वाले द्विघात समाकों को सम्मिलित करें'

'असमीकरण हमेशा सत्य रहने के लिए शर्तें'

'द्विघातात्मक असमिकाओं का समाधान (1)'

'निम्नलिखित असमिका को हल करें: 0.2x - 7.1 > -0.5(x+3)'

'|3x-6|<b असमीकरण का समाधान क्या है? यदि y=b का ग्राफ y=|3x-6| के ग्राफ के ऊपर है, तो x मानों का क्या सीमा होगा? कृपया b>0 के लिए स्पष्ट कीजिए।'

'मैंने पहले ही सीख लिया है कि जब α<β होता है, तो (x−α)(x−β)<0 का समाधान होता है कि α<x<β। अब हम उलटे मामले की खोज कर रहे हैं।'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाओं का समाधान करें।'

'निम्नलिखित असमीकरणों का समाधान करें।'

'असमीकरण |3x-6|<ax का समाधान क्या है? यदि y=ax का ग्राफ़ y=|3x-6| के ग्राफ़ के ऊपर है, तो x मानों का क्या सीमा होगा?'

'निम्नलिखित समीकरण और असमीकरणों का समाधान करें। (1) |2x-3|=5 (2) |x-3|>2 (3) 3|1-x|≤2'

'इन दो द्विघात समार्थ समीकरणों का समाधान करें।'

'निर्देशीय a और b के मानों को बताएं ताकि द्विघात असमिक्षा ax^2+9x+2b>0 का समाधान 4<x<5 हो।'

'द्विघातीय असमेज के समाधान से घन के स्थायित्व का निर्धारण'

'असमिका और शब्द समस्याएँ'

'निम्नलिखित असमिकाएँ हल करें। (1) { 4 x + 1 < 3 x - 1 \\ 2 x - 1 ≥ 5 x + 6 } (2) { 2 x + 3 > x + 2 \\ 3 x > 4 x + 2 } (3) 2(x - 3) + 5 < 5 x - 6 ≤ \\frac{3 x + 4}{3}'

'द्विघातीय असमिका का समाधान का टेक्स्ट प्रतिनिधित्व'

'द्वितीय डिग्री के असमिकाएं का समाधान (2)'

'निम्नलिखित द्विघात असमीकरणों को हल करें।'

'निम्नलिखित दो असमीकरणों का समाधान करें। (2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'निम्न (1), (2) में दिए गए असमीकरण (A) को (1), (2), (3) के रूप में परिवर्तित करने के बाद (3) को (A) का समाधान मानकर निकाला। समाधान (3) सही है या गलत है यह तय करें। अगर गलत है, तो बताएं कि कौन सा परिवर्तन (A)→(1), (1)→(2), (2)→(3) गलत है। यहां, a एक ठोस संख्या का स्थायी है। (1) (A): \\sqrt{2} x+3＞2 x+1 、 (1): (\\sqrt{2}-2) x＞-2 、 (2): x＞\\frac{-2}{\\sqrt{2}-2} 、 (3): x＞\\sqrt{2}+2 (2) (A): a^{2}|x|-1＜a^{2}-|x| 、 (1): (a^{2}+1)|x|＜a^{2}+1 、 (2): |x|＜1 、 (3): -1＜x＜1'

'समीकरण का समाधान करें: (4) \ -\\frac{2 x+1}{6}<\\frac{x+1}{2} \।'

'x(x-1)<0 का समाधान करें।'

'निम्नलिखित दो असमीकरणों के लिए जांचें कि क्या यह हर वास्तव संख्या x के लिए सत्य है:\n(1) 2x^2-3x+1 < 0\n(2) 2x^2-4x+2 ≥ 0\n(3) 2x^2-5x+4 ≤ 0\n(4) 2x^2-6x+4 > 0'

'दो असमिकाओं का अनुप्रयोग (समाधान:'

'निम्नलिखित असमिकाओं को हल करें:\n(1) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}>1+x \\\\ x\\leqq 15-6 x^{2}\\end{\overlineray}\\right.\\n(2) \2\\leqq x^{2}-x\\leqq 4 x-4\\n(3) \\\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+3 x+2\\leqq 0 \\\\ x^{2}-x-2<0\\end{\overlineray}\\right.\'

'हनाको की कक्षा में, उसने अपनी गणित कक्षा में|3x-6|<ax+b असमिति के बारे में सोचा, जहाँ a, b स्थायी हैं। सबसे पहले, हमें a=2, b=1 के लिए असमिति (1) का समाधान निकालना है।'

'असमीकरणों के प्रणालियों के अनुप्रयोग (द्वादार)'

'निम्नलिखित असमीकरण का हल करें: (4) - (2x+1)/6 < (x+1)/2 < (1/4)x + 1/3'

'समीकरण x^{2}-x-6 \\geqq 0 का हल करें।'

'असमिकासूत्र का समाधान करें: 5(x-3) < 3(2x-5)'

'निम्नलिखित समीकरणों का हल करें।\n(1) |3x+8|=5x\n(2) |x+1|+|x-1|=2x+8'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'असमें (5) |5x-9| ≤ 3 को हल करें और x की श्रेणी ढूंढें।'

'समाधान: x का मान [2, 12/5] है'

'निम्नलिखित समीकरणों और असमीकरणों को हल करें।'

'निम्नलिखित 2 संख्याओं के बीच संबंध की जाँच करें और उन्हें असमिति के रूप में व्यक्त करें।'

'दो असमिकाओं के समाधान से सूचना प्राप्त करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों की सत्यता की जांच करें। हालांकि, (2), (3) की जांच के लिए समूह का उपयोग करें।\n(2) वास्तविक संख्या x के लिए, अगर |x|>2 है तो x>2 है।\n(3) वास्तविक संख्या x के लिए, अगर |x+2|<1 है तो |x|<3 है।'

'जब a = 4, b = 6 हो, तो असमीयता (1) |3x - 6| < 4x + 6 को संतुष्ट करने वाले x की सीमा ढूंढें।'

''

'समाधान करें असमीकरण \ \\frac{x+1}{2}<\\frac{1}{4} x+\\frac{1}{3} \।'

'निम्नलिखित असमितियों का समाधान करें। (3) 3(x+4)/3 - (x-2)/2 > x - 1/6, -2(x-2) < x-5'

'निम्नलिखित असमीकरण का हल करें: (3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'निकट-विरोध का प्रयोग करके प्रस्ताव का प्रमाण'

''

'असमितियों की गुणधर्मों को मास्टर करें और उदाहरण 34 को जीतें!'

'समस्त असमिकाओं और द्विघातीय असमिकाओं की मौलिक बातें देखें!'

'अध्याय 2 वास्तविक संख्याएँ, पहले डिग्री के असमिकाएँ: 61 असमिकाएँ'

'द्विघातीय असमितियों की मूल बातें फिर से देखें!'

'दो असमिकाओं के समाधान विधियों का सारांश'

'पूर्ण असमानता'

'एक रैखिक असमीयता की गुणधर्मों की स्पष्टीकरण करें।'

'निम्नलिखित असमान का समाधान करें।'

'निम्नलिखित 2 द्विघात पृष्ठितियों का समाधान करें:'

''

'|2x-6|<x असमिकासूत्र पर विचार करें'

'एक रेखीय असमिकाओं की मौलिक गुणधर्मों की व्याख्या करें।'

'असमिता की गुणधर्मों को मास्टर करें और उदाहरण 34 को जीतें!'

'अभ्यास 3: एक साथ द्वितीय क्रम असमानताओं का अनुप्रयोग'

'विवेक, द्विघातीय असमिकाओं की मूल जानकारी की समीक्षा करें!'

'निम्नलिखित द्विघातीय असमिकाएँ हल करें। (1) x^2 + 2x + 1 > 0 (2) x^2 + 4x + 4 ≥ 0 (3) 1/4 x^2 - x + 1 < 0 (4) -9x^2 + 12x - 4 ≥ 0'

'(2) $\\left|x^{2}-6 x-7\\right| \\geqq 2 x+2$'

'मान के लिए मान्य दो असमिकाएं सदैव सच होने चाहिए।'

'दो असमिकाएं हल करने का सारांश'

'3|x+1|≥x+5 असमिकाएं हल करें।'

''

'समीकरण (1) का समाधान है, y=|2x-6|-x......(2) ग्राफ़ के लिए x के मानों की रेंज जिस पर y < 0 है। (1) का समाधान ढूंढने के लिए (2) के ग्राफ़ का उपयोग करें।\n(i) समीकरण 2x-6 ≥ 0 का समाधान x ≥ देता है, 2x-6 < 0 का समाधान x < देता है, इसलिए जब x ≥ हो, तो (2) y = है।\nजब x < हो, तो (2) y = है।'

'TR(x) को वास्तविक संख्या माना जाता है। सेट्स का उपयोग करके, निम्नलिखित प्रस्तावों के सत्यापन कीजिए।'

'निम्नलिखित द्विघातात्मक असमिकाएँ हल करें।'

'असमीकरणों का समूह { |x+1|<\\frac{3}{2}, x^{2}-2 x-3>0 } का समाधान करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं को हल करें:'

'अभ्यास 1: परमाणुमें अंतर और चित्र सहित असमानता'

'निम्नलिखित द्विघातीय असमीकरणों को हल करें।'

'स्थिर मान a, b की मान निर्धारित करें ताकि:\n(1) द्विघातीय अनकारकीयता x^2 + ax + b < 0 का समाधान -\x0crac{1}{2} < x < 3 हो।\n(2) द्विघातीय अनकारकीयता ax^2 + x + b ≤ 0 का समाधान x ≤ -1, 2 ≤ x हो।'

'3|x+1| ≥ x+5 की असमीकरण का समाधान करें।'

'पूर्ण असमानता'

'समाप्त संख्यासूचक |2x|+|x-5|≥8 को हल करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \\\\ 5-3 x<1-x\\end{\overlineray}\\right.'

'द्विघातीय असमिका को हल करने के उपायों का सारांश'

'समीकरण सिस्टम \\(\\left\\{\egin{array}{l}x>3a+1\\\\2x-1>6(x-2)\\end{array}\\right.\\) का समाधान निकालें और निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले स्थिर संख्या \a\ की रेंज निर्धारित करें।\\n1. कोई समाधान मौजूद नहीं है।\\n2. समाधान में 2 शामिल है।\\n3. समाधान में केवल 3 पूर्णांक शामिल हैं।'

'एक स्थायी संख्या p के लिए, x की असमीकरण p x ≥ 2 x-3 का समाधान करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'निम्नलिखित द्विघातीय असमिकाओं का समाधान करें।'

'समीकरण सिस्टम \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3 x-7 \\leqq 5 x-3 \\\\ 2 x-6<3 a-x\\end{\overlineray}\\right. का समाधान इस निम्नलिखित स्थिति को संतुष्ट करने वाले स्थायी $a$ के मान के लिए मान की रेंज खोजें: (1) समीकरण का समाधान है। (2) समाधान में सटीक रूप से 3 पूर्णांक हैं।'

'उन सभी पूर्णांक x के मानों को ढूंढें जो असमीकरण सिस्टम {2(x+1) ≥ 5x-2, -5x < -3x+4} को संतुष्ट करते हैं।'

'असमीकरण A < B ≤ C को सिद्ध करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'2 असमिक्षाओं का समाधान एक ग्राफ़ का उपयोग करके।'

'प्रशिक्षण: 35 (2)'

'(1) y ≥ 0\n(2) y ≤ 0\n(3) 0 ≤ y ≤ 6\n(4) -1 ≤ y < 1'

'सिद्ध करें कि x>1 होने पर, 3x+1>x+3 है। (2) असमीकरण a^2-2ab+3b^2 ≥ 0 को सिद्ध करें और समानता के लिए शर्तों का निर्धारण करें।'

'समीकरण \\\log _{2} x-6 \\log _{x} 2 \\geqq 1 \ का हल करें।'

'(1) साबित करें कि अगर x+y>0 और x-y>0, तो 2x+y>0।'

'निम्नलिखित असमिक्ताओं का सत्यापन करें।'

'निम्नलिखित असमिकाकी द्वारा प्रतिष्ठित क्षेत्र को चित्रित करें।'

'निम्न असमीकरण को साबित करें।'

'निम्न असमिका सिद्ध करें:'

'साबित करें कि असमान पूरा है'

'समीकरण $2 \\log _{3} x-4 \\log _{x} 27 \\leqq 5$ का समाधान करें।'

'किस असमीकरण द्वारा प्रदर्शित है आर्य क्षेत्र के दाएं भाग में छाया हुआ हिस्सा? अनुमानित करें कि यह सीमा रेखाएँ शामिल नहीं करती है।'

'घटक असमीकरण का समाधान: निम्नलिखित घटक असमीकरण का समाधान करें।'

''

'2log₃x - 4logₓ27 ≤ 5 असमिका को हल करें।'

''

'निम्नलिखित असमिकाओं को साबित करें और समानता कब होती है।'

'लघुरेखागणितीय असमिक्षाओं का समाधान (2): निम्नलिखित लघुरेखागणितीय असमिक्षा को हल करें।'

'जब असमिकाएं x >= 0, y >= 0, x-2 y+8 >= 0, 3 x+y-18 <= 0 पूरी होती हैं तो x-4 y के अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'बिना इस्तेमाल किए $\\log_{10} 2=0.3010 \\cdots \\cdots$, असमीकरण $\\frac{3}{10}<\\log_{10} 2<\\frac{4}{13}$ को सिद्ध करें। क्योंकि $2^{10}=1024,2^{13}=8192$ है, इसलिए $10^{3}<2^{10}, 2^{13}<10^{4 }$। इन असमिकरणों के दोनों पक्षों का सामान्य लघुगणना लेते हैं।'

'असमीकरण का हल करें: \9^x < 27^{5-x} < 81^{2x+1}\'

'ऐसा a की मिनिमम मान ढूंढें जो ऐसा असमानता हो jo a sin ^{2} x+6 sin x+1 हमेशा सत्य हो।'

'जब PR (x, y) 4 असमितियों x≥0, y≥0, x-2y+8≥0, 3x+y-18≤0 को पूरा करता है, तो x-4y के लिए 106 लेने वाले उच्चतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं।'

'ऐसे मामलों का सामना किया जो STEP UP पाठ्यपुस्तक में शामिल नहीं हैं, विशेष रूप से ध्यान देने योग्य मामलों का।'

'सिद्ध करें कि यदि PR में a ≥ 0, b ≥ 0 हो, तो निम्नलिखित असमिकाएँ सत्य हैं। साथ ही सत्य होने की स्थिति भी निर्धारित करें।'

'लॉगरिद्म असमिकाओं का समाधान (1): निम्नलिखित लॉगरिद्म असमीकाई का समाधान करें।'

'शर्तों का नकारात्मक'

'निम्नलिखित समीकरणों और असमिकाओं का हल करें।'

'पूर्ण असमीयताओं के मानों की श्रेणी खोजें'

'निम्नलिखित समीकरणों का समाधान करें:\n(1) $|x-2|=3x$\n(2) $|x-1|+|x-2|=x$'

'समीकरण a(x+1)>x+a^{2} को हल करें। यहाँ, a एक स्थाई है।'

'मान x के सभी मानों के लिए अनेकार x^2 - 2mx + m + 6 > 0 स्थिर रहने वाले स्थायी m की श्रेणी का पता लगाएं, जहां 0 ≤ x ≤ 8 की श्रेणी में।'

'सभी वास्तव संख्याओं x के लिए सूत्र a(x^2+x-1)<x^2+x सत्य होता है, ऐसे स्थिर a के मान की श्रेणी निकालें।'

'शांत मानों वाली असमितियों का समाधान'

'[1] जब \ x \\leqq-1,7 \\leqq x \ हो, तो असमीकरण है\n\\nx^{2}-6 x-7 \\geqq 2 x+2\n\\nइसलिए \ \\quad x^{2}-8 x-9 \\geqq 0 \, इसलिए \\( (x+1)(x-9) \\geqq 0 \\)\nइसलिए, \ \\quad x \\leqq-1,9 \\leqq x \'

'निम्न असमिकाओं को हल करें।'

'जब a>0 और D>0 हो, तो द्विघाती समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के दो भिन्न वास्तव समाधान α, β (α<β) होते हैं। ऐसे समय में a x^2 + b x + c > 0 के समाधान x < α या β < x है। a x^2 + b x + c < 0 के समाधान α < x < β है। a x^2 + b x + c ≥ 0 के समाधान x ≤ α या β ≤ x है। a x^2 + b x + c ≤ 0 के समाधान α ≤ x ≤ β हैं।'

'2 असमिकाओं का समाधान करें $a(x-3a)(x-a^2)<0$। जहाँ $a$ एक गैर-शून्य स्थायी है।'

'2 असमेंजिका समाधान (2) α<β के समय, अगर समानता है, तो समाधान में भी समानता शामिल होगी'

'5x - 7 < 2x + 5 को पूरा करने वाले प्राकृतिक संख्या x के सभी मान खोजें।'

'x ≤ 3 और y > 2'

'असमीकरण x^2-4x+1=t की सीमा का पता लगाएं।'

'1 वास्तविक असमीयाओं की गुणधर्म: अगर a < b है, तो a + c < b + c, a - c < b - c। अगर a < b और c > 0 है, तो ac < bc, a/c < b/c। अगर a < b और c < 0 है, तो ac > bc, a/c > b/c। अगर a < b और b < c है, तो a < c।'

'निम्नलिखित असमिकाओं के सिस्टम को हल करें: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2(1-x)>-6-x \\\\ 2 x-3>-9\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}3(x-4) \\leqq x-3 \\\\ 6 x-2(x+1)<10\\end{\overlineray}\\right. (3) असमिता $x+9 \\leqq 3-5 x \\leqq 2(x-2)$ को हल करें।'

'ऐसे समीकरण या असमीकरण में, जो अवशेष मूल्य शामिल होते हैं, अवशेष मूल्य चिह्न के अंदर व्यक्ति को स्थानांतरित स्थान के रूप में विचार करके अवशेष मूल्य को हटा दें और समीकरण या असमीकरण को हल करें।'

'निम्नलिखित एक गुणित असमिकाओं को हल करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों और असमीकरणों का हल करें:'

''

'|x-4|>3x को (*) के रूप में दिखाएं'

'निरंतरता x²-(a+1)x+a≤0 और 3x²+2x-1≥0 की अनसेगर्ह करते हैं, ऐसी 3 पूर्णांक x मौजूद हैं, जिनकी वस्तुनिष्ठ अंकित मान a है'

'किसी भी वास्तविक संख्या x, y, z के लिए असमग्री ax^2 + y^2 + az^2 - xy - yz - zx ≥ 0 सत्य हो, उसके लिए स्थिर मान a की सीमा का पता लगाएं। दिए गए असमाप्ति y के संदर्भ में संयोजित किया जाता है जैसे y^2 - (z + x)y + a(z^2 + x^2) - zx ≥ 0।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों के नकारात्मक कथन का अभ्यास करें और मूल प्रस्ताव और उसके नकारात्मक का सत्य मूल्य निर्धारित करें।'

'मुख्यत: ग्राफिकल तरीके से एक एकल असमिका समीकरण के साथ |'

'निम्नलिखित असमितियों को हल करने का अभ्यास करें।'

'असमीकरण \ \\left|x^{2}-2 x-3\\right| \\geqq 3-x \ को हल करें।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों का मनोविरोध बताएं।'

'[1] जब \ x \\leqq-1, \\frac{5}{2} \\leqq x \ होता है, तो असमिका \ 2 x^{2}-3 x-5<x+1 \ होती है। सरलीकरण करके हमें मिलता है \ \\quad x^{2}-2 x-3<0 \, इसलिए \\( \\quad(x+1)(x-3)<0 \\)। इसलिए, \ \\quad-1<x<3 \। \ x \\leqq-1, \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x \ के साथ साझा सीमा \ \\quad \\frac{5}{2} \\leqq x<3 \ है'

'असमीयता ax > 3x - b का समाधान करें।'

'जब a=-1 होता है, तो -1 ≤ x ≤ 2 अंतराल में y एक स्थिरांक है।'

'साबित करें |x-4|<3x।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'असमीकरण |2x-3| ≤ |3x+2| को हल करें।'

'आइए a, b, c, और p को वास्तविक संख्याएँ मानें। मानें कि ax^2+bx+c>0, bx^2+cx+a>0, और cx^2+ax+b>0 की असमिकाएँ पूरी करने वाले वास्तविक संख्या x की समूह x>p को पूरा करने वाले वास्तविक संख्या x की समूह के बराबर है।'

'मान की श्रेणी खोजें'

'क्या सभी वास्तव संख्या x, y के लिए 9x²-12xy+4y²>0 है'

'निम्नलिखित द्विघातीय असमिकाओं का समाधान करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें:'

'(2) x>12'

''

'निम्नलिखित 1 वर्गीकृत असमिका का हल करें।'

'निम्नलिखित समीकरण और असमिकाएं हल करें:\n(1) |x-3| + |2x-3| = 9\n(2) ||x-2|-4| = 3x\n(3) |2x-3| ≤ |3x+2|\n(4) 2|x+2| + |x-4| < 15'

'कृपया रैखिक असमिकाओं की मूल गुणधर्मों का वर्णन करें।'

'समाधान करें असमीयता 2x^4-11x^2+5>0.'

'निम्नलिखित रैखिक असमिकाओं को हल करें:\n(1) 4x - 5 > 3x + 2\n(2) -2x + 7 ≤ 5'

''

'त्रिकोणमितीय अनुपातों को सम्मिलित न्यायों का समाधान'

'निम्नलिखित द्विघात समाकों को हल करें।'

'A < B असमीयता का मान लें और निम्नलिखित असमीयताओं को सिद्ध करें:\n1. A + C < B + C\n2. A - C < B - C\n3. A * C < B * C (यहाँ C > 0 है)\n4. A / C < B / C (यहाँ C > 0 है)'

'समाधान:\n(1) x > 2\n(2) x > -23\n(3) 11/5 < x < 3\n(4) -2 < x < 0\n(5) -6/5 <= x <= 3\n(6) x < -2 या x > 6'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।\n(1) x+3<2\n(2) 2x ≥ 5\n(3) -3x ≤ 4'

'इस असमीकरण का हल करें \|x^{2}-4| \\leqq x+2\।'

'निरपेक्ष असमीकरण समस्या।'

'निम्नलिखित द्विघातीय असमीकरण को हल कीजिए। (6) 2 x-3>-x^{2}'

'क्या असमीयता (5) का समाधान x > 0 है?'

'निम्नलिखित द्विघातीय असमीकरण का समाधान करें: (5) 4 x^{2}-5 x-3<0'

'एक विस्तार मानव को संकेत करने वाले असमानता का हल करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों या असमीकरणों को हल करें।'

'बड़े भाई जब छोटे भाई को 3 पेंसिल देते हैं, तो छोटे भाई की संख्या अधिक होती है'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'सभी वास्तव संख्याओं x के लिए, a x^2 + 2 b x + 1 > 0 होने के लिए वास्तविक संख्या a, b की शर्तें खोजें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं के सिस्टम का समाधान करें।'

'असमीकरण 2x^{2} - 3x - 5 > 0 का समाधान करें।'

'(4) ≤'

'(4) असमीकरण x^{2}-2 x-2 \\leqq 0 का हल करें'

'ए, ब को धाराओं के रूप में लें, और ऐसा करें कि x^{2}-5 x+6 ≤ 0 (1), x^{2}+a x+b < 0 (2)। (1) और (2) दोनों को एक साथ पूरा करने वाले x की कोई मान नहीं है, और (1) या (2) को पूरा करने वाले x की मानों की सीमा 2 ≤ x < 5 है। a और b के मान ढूंढें।'

'वेगश में अवकल स्थिति की असमीकरण | x ^ {2} -2x | > 2-x को हल करें।'

''

'निम्नलिखित दो असमीकरणों का समाधान करें।\n(2) 6 x^{2}-5 x+1>0'

'निम्नलिखित दो द्वि-प्रकारिक असमिकाओं को हल करें।'

'निम्नलिखित दो चद्धर अनसमीकरणों का हल करें।\n(3) -x^{2}-x+2 \\geqq 0'

'निम्नलिखित समीकरण या असमिकाओं का हल करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं की समूहिक समस्या का समाधान करें।'

'जब $a+1<5$, अर्थात $a<4$ हो, तो चित्र [4] से पता चलता है कि $x=a+1$ कम से कम होता है। न्यूनतम मान है $f(a+1)=a^{2}-7 a-9$'

'असमीकरण को हल करें: x(x-1) < 0'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'किसी वेरिएबल के निश्चित सीमा में एक असमिति हमेशा लागू रहती है उस स्थितियों को खोजें।'

'निम्न असमिकाओं का समाधान करें। 1। \ \\ left \\ {\\ begin \\ {\overlineray} {l} x ^ {2}> 1 + x \\\\ x \\ leqq 15-6 x ^ {2} \\ end \\ right. \ 2। \\ (2 \\ leqq x ^ {2} -x \\ leqq 4 x-4 \\) 3। \\ (\\ left \\ {\\ begin \\ {array} {l} x ^ {2} + 3 x + 2 \\ leqq 0 \\\\ x ^ {2} -x-2 <0 \\ end \\ right. \\)'

'निम्नलिखित असमिकाओं का हल कीजिए।'

'निर्धारित करें स्थिर a पर शर्त ऐसी कि केवल एक पूर्णांक मान x में असमेति 2x^{2} - 3x - 5 > 0 और x^{2}+(a-3)x-2a+2<0 को साथ ही संतुष्ट करता है।'

'निम्नलिखित स्थितियों का नकारात्मक कथन करें।'

'4 1 असमेंजिकता'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'दिए गए अनसमान $2 x^{4}-11 x^{2}+5>0$ को हल करें।'

'दिए गए पाठ की कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं को हल करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'सभी सकारात्मक संख्याओं x और y के लिए प्रमाणित करें कि असमीकरण x(logx - logy) ≥ x - y सत्य है। यह भी सिद्ध करें कि समानता केवल जब x = y होता है।'

''

''

'असमीकरण \ 2 x^{2}+x-6 \\geq 0 \ को कैसे हल किया जाए?'

'निम्नलिखित असमिकाओं को साथ में दिए गए असमिता $|a+b| \\leqq |a|+|b|$ का उपयोग करके साबित करें:'

'निम्नलिखित असमिकाओं को हल करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का मतलब समझाएं: \ p < q \\Leftrightarrow a^p > a^q \, जहां \ 0 < a < 1 \।'

'0 ≤ θ < 2π के लिए निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें।'

'असमीकरण का प्रमाण'

'निम्नलिखित असमीकरण को हल कीजिए। यहां, a एक सकारात्मक स्थिर है। \\[x^{3}-(a+1) x^{2}+(a-2) x+2 a \\leqq 0\\]'

'27 असमिकाओं का प्रमाण [A-B>0 का उपयोग करते हुए इत्यादि]'

'सिद्ध करें और बताएं कि समानता कब सही होती है'

'लघुलेखीय असमानताओं और क्षेत्रों को चित्रित करना'

'घातांक असमिक्ताओं का समाधान'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समर्थन करें।'

'\ \\log _{4} x^{2}-\\log _{x} 64 \\leqq 1 \ में असमीकरण का समाधान करें।'

'(1) a^{2}-3 b>0'

'अवशेष मानों को सम्मिलित करने वाली असमितियों का व्यवहार'

'निम्नलिखित असमिकाओं का हल कीजिए।'

'बारिश 31 असमानता के सिद्धांत का विस्तार'

'एक असमीकरण द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र'

'निम्नलिखित संख्या समूहों के आकार को असमिति सिम्बल का उपयोग करके प्रकट करें।'

'असमीकरण $\\log_{4}x^{2}-\\log_{x}64 \\leqq 1$ का समाधान करें।'

' असमीकरणों y≥x², y≤10-3x, y≤x+6 द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का क्षेत्रफल निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का आलेख बनाएं।'

''

'सिद्ध करें कि असमीकरण सही है। समानता कब सही होती है?'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिष्ठित क्षेत्र खोजें: जब x<0 हो, 2x ≤ y ≤ 1; जब 0 ≤ x < 1/2 हो, 2x ≤ y ≤ x²+1; जब 1/2 ≤ x ≤ 1 हो, 1 ≤ y ≤ x²+1; जब x > 1 हो, 1 ≤ y ≤ 2x।'

'अभ्यास 6\nसकारात्मक स्थिर a के लिए, सभी सकारात्मक वास्तव संख्याओं x के लिए असमानता a^x >= x के लिए a के मान की श्रेणी ढूंढें।'

'को उन्इस्तेतान - साइन x ≤ y ≤ कोस 2 x, 0 ≤ x ≤ π/2 द्वारा परिभाषित क्षेत्र के रूप में चिन्हित करें K। (1) K क्षेत्र की आयत की क्षेत्रफल का पता लगाएं। (2) x- धुरि के चारों ओर घुमाकर प्राप्त ठोस का आयतन ढूंढें। [कोबे विश्वविद्यालय]'

'f(x)>g(x) समीकरण का प्रमाण'

'सकारात्मक वास्तविक संख्या x की उसमें से विचार करें जो असमानता $x^{2}>2^{x}$ को पूरा करती है।'

'जब दो वास्तविक संख्याएं x, y दो असमीकरण y≤x+1 और x²+4y²≤4 को पूरा करती हैं, तो y-2x का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित असमिकासंबंध का प्रमाण करें।'

'असमीकरण |S_{n}-\\int_{0}^{1} \\frac{1}{1+x} d x| \\leqq \\frac{1}{n+1} को सिद्ध करें।'

'जब वास्तविक संख्याएँ x, y असमिका y≤2x+1 और x²+2y²≤22 को पूरा करती हैं, तो x+y के अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं।'

'यह समीकरण साबित करें \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \।'

'निम्नलिखित असमिका का समाधान करें।'

'उन मानों की रेंज ढूंढें जिनके लिए a^x >= x असमानता सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य हो।'

'समीकरण $\\sqrt{4-x}>x-2$ को हल करें।'

'असमीकरण $\\left|\\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}-\\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}\\right| \\leqq \\sqrt{2}|x-y|$ को साबित करें।'

'जब $x^{2}-10 x-24>0, (x+1)(x-a^{2}+a)<0$ साथ रहते हैं और कोई $x$ मौजूद नहीं है तब, स्थिर $a$ के मान की सीमा ढूंढें।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों और उनके प्रतिकूलों की सत्यता की जाँच करें।\n(1) सभी वास्तव संख्याओं के लिए x, 2 x^{2}+1>0\n(2) किसी भी वास्तव संख्याओं x, y के लिए, x^{2}-4 x y+4 y^{2}>0\n(3) ऐसा एक प्राकृतिक संख्या x अस्तित्व में है जिसके लिए x^{2}-3 x-10=0'

'निम्नलिखित कथनों को प्रस्ताव होने की क्या स्थिति है।'

'निम्नलिखित समीकरणों और असमीकरणों का समाधान करें।'

'कृपया असमीकरण 3x - 5x < 4 + 8 का सीमा ढूंढें।'

'असमीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणित करें और 2 x^2 + 3 x + 7 ≤ 0 को हल करें। 2 x^2 + 3 x + 7 = 0 के चर असमीकरण D को जब D = 3^2 - 4 * 2 * 7 = -47 < 0 हो, तो दिया गया असमीकरण का कोई समाधान नहीं है। एक वैकल्पिक समाधान के रूप में, वर्ग को पूरा करें और समाधान की कमी को सत्यापित करें।'

'86 - गणित I'

'3(x-1) \\geqq x+3 को हल करें और समाधान की रेंज ढूंढें।'

'यदि खरीदने वाले आइटम की संख्या 10 से कम है, तो A स्टोर B स्टोर से सस्ता है, इसलिए आवश्यक मात्रा x है, तो x > 10।'

None

'निम्नलिखित द्विघातीय असमीकरण को संतुष्ट करने वाले वास्तव संख्या x की सीमा खोजें: a x^2 - 3x + b > 0'

'a को एक स्थाई मान माना जाए। ऐसे मानों की श्रेणी खोजें जिनके लिए एक साथ निम्नलिखित दो असमितियों को संतुलित करने वाले पूर्णांक होते हैं, और ये पूर्णांक केवल प्राकृतिक संख्याओं पर परिसीमित हैं।'

'a को एक स्थिर मान लें। निम्नलिखित अनसमानताओं को x के लिए हल करें।'

'साबित करें |x+2|-|x-1| <= 3 असमिति।'

'अभ्यास 69 पुस्तिका प॰146 (1) असमीकरण 2(x-1/2)(x-(a+1))<0 [1] 1/2<a+1 यानी a>-1/2, जब यह शर्त पूरी होती है, तो असमीकरण का समाधान 1/2<x<a+1 होता है। इस असमीकरण को पूरा करने वाले पूर्णांक x के लिए केवल एक शर्त है 1<a+1 ≤ 2, ध्यान दें 0<a≤ 1 [2] 1/2=a+1 यानी a=-1/2, इस मामले में असमीकरण 2(x-1/2)^{2}<0 हो जाता है, और इस समीकरण को पूरा करने वाला कोई पूर्णांक x मौजूद नहीं है। [3] a+1<1/2 यानी a<-1/2, उस मामले में असमीकरण का समाधान a+1<x<1/2 है। इस असमीकरण को पूरा करने वाले पूर्णांक x के लिए केवल एक शर्त है -1 ≤ a+1 <0, अतः -2≤ a<-1। इसलिए, a के आवश्यक मानों की श्रेणी -2 ≤ a<-1, 0<a ≤ 1 है'

'चलें a, b, c, p को वास्तविक संख्याएँ होने की गणना करें। यह दिया गया है कि अवकल समीकरणों ax^2+bx+c>0, bx^2+cx+a>0 और 7cx^2+ax+b>0 की सभी वास्तव संख्याओं x के लिए होनेवाली समूह x>p के लिए होनेवाली वास्तव संख्या x की समूह के बराबर है।'

''

'जब x = 1 है, तो असमिति 0 > 0 हो जाती है, जो एक समाधान नहीं है।'

'निम्नलिखित असमिकाओं की सामान्य सीमा पता करें।\n(ए)：6x+5≥2x-3 और x+13 > 7x-5\n(ब)：2x+8 > x+7 और 3x-3 > 4x-1'

''

'निम्नलिखित समीकरणों और असमिकाओं को हल करें।'

'दो असमिकाओं ||x-9|-1|≤2 (1), |x-4|≤k (2) के संबंध में निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। यहां, k एक सकारात्मक स्थिर मान है।'

'(1) क्योंकि x^2 >= 0 है, इसलिए 2x^2 + 1 > 0 होगा। दिया गया है △ A ∩ B ⊂ A और 2 ∈ A, हम 7 ∈ A की स्थिति की गणना करते हैं। 2 ∈ B और 7 ∉ B के साथ। (2) A = B को दिखाने के लिए, हमें A ⊂ B और B ⊂ A को प्रदर्शित करने की आवश्यकता है।'

'[3] -a/2 > 1 जिसका मतलब है कि a < -2 के लिए'

'निम्नलिखित असमिकाओं का हल करें।'

'पक्ष 17 | समलंबित असमिताओं का समाधान\n(1) निम्नलिखित समलंबित असमिताओं का समाधान करें।\n(क) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}6 x+5 \\geqq 2 x-3 \\\\ x+13>7 x-5\\end{\overlineray}\\right. \n(ख) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}2 x+8>x+7 \\\\ 3 x-3>4 x-1\\end{\overlineray}\\right. \n(2) असमिता $9-7 x<3-5 x<2(x-2)$ का समाधान करें।'

'|3 x-4| < 2 x को -2 x < 3 x - 4 < 2 x में बदलें, जिससे \\ \\left\\{ \egin{array}{l}-2 x < 3 x - 4 \\\\ 3 x - 4 < 2 x \\end{array} \\right. समाधान खोजें।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों का अस्वीकरण बताएं।'

'निम्नलिखित असमीकरण का समाधान करें: |x-1|+2|x| <= 3'

निम्नलिखित द्विघात असमता को हल करें। (1) $x^{2}-8x+16>0$ (2) $x^{2}-8x+16<0$ (3) $x^{2}-8x+16 \geqq 0$ (4) $x^{2}-8x+16 \leqq 0$

निम्नलिखित द्विघात असमानताओं को हल करें। (1) $x^{2}+4 x+6>0$ (2) $x^{2}+4 x+6<0$ (3) $x^{2}+4 x+6 \geqq 0$ (4) $x^{2}+4 x+6 \leqq 0$

द्विघात असमिकी मूल बातें 93 द्विघात असमिकी के हल (1)

निम्नलिखित द्विघात असमानताओं को हल करें। (1) $2 x^{2}-5 x+2<0$ (2) $-4 x^{2}+4 x+1 \leqq 0$

मूल 32 असमानताओं के गुणों का उपयोग (1) मानक 33 असमानताओं के गुणों का उपयोग (2) मूल 34 प्रथम श्रेणी की असमानताओं का समाधान मूल 35 संयुक्त असमानताओं का समाधान मानक 36 असमानताओं के पूर्णांक समाधान मानक 37 असमानता पर आधारित शब्द समस्याएं मूल 38 निरपेक्ष मानों सहित समीकरण, असमानताएँ…मूल मानक 39 निरपेक्ष मानों वाले समीकरणों को केस विश्लेषण द्वारा हल करना

निम्नलिखित समीकरणों और असमता को हल करें। (1) \( |(\sqrt{14}-2) x+2|=4 \) (2) $3|x-1| \leqq 4$ (3) $x+|3 x-2|=3$

संयुक्त असमानताओं के निम्नलिखित हल के लिए संतुष्ट शर्तों के लिए स्थिरांक $a$ का श्रेणी खोजें: \[ \left\{egin{array}{l}x>3a+1 \ 2x-1>6(x-2)\end{array} ight. \] (1) समाधान मौजूद नहीं है। (2) समाधान में 2 शामिल है। (3) समाधान में केवल 3 पूर्णांक शामिल हैं।

व्यायाम समस्या 93 - निम्नलिखित द्विघात असमानता को हल करें। (६) $x^{2}+x \leqq 6$

अभ्यास प्रश्न 93 - निम्नलिखित द्विघात असमानता को हल करें। (4) $x^{2}+6x+8 \geqq 0$

प्रस्तावों का सत्य मान निर्धारित करें। मान लें $x$ एक वास्तविक संख्या है और $n$ एक पूर्णांक है। निम्नलिखित प्रस्तावों की सत्यता की जाँच करने के लिए सेट का उपयोग करें। (1) $x<-3 \Longrightarrow 2 x+4 \leqq 0$ (2) $n$ 18 का धनात्मक भाजक है $\Longrightarrow n$ 24 का धनात्मक भाजक है

निम्नलिखित द्विघात असमता का समाधान करें। (3) $x^{2}-3 x-10 \leqq 0$

निम्नलिखित द्विघात असमाकों को हल करें। (1) $x^{2}-4 x+5<0$ (2) $2 x^{2}-8 x+13>0$ (3) $3 x^{2}-6 x+6 \leq 0$ (4) $x^{2}+3 \geq 0$

उन सभी पूर्णांक $x$ के मानों को खोजें जो असमता का यह समुच्चय संतुष्ट करते हैं: \( \left\\{egin{array}{l}2(x+1) \\geqq 5x-2 \\ -5x<-3x+4\end{array}\right\\} \)。

समानांतर असमानताओं के समाधान के लिए निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करने वाले स्थिरांक $a$ के मानों की सीमा ज्ञात करें: (1) इसका हल होता है। (2) हल में ठीक 3 पूर्णांक शामिल होते हैं। \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-7 \leqq 5 x-3 \\ 2 x-6 < 3 a-x\end{\overlineray}\right.

अभ्यास प्रश्न 93 - निम्नलिखित द्विघात असमनता को हल करें। (3) $x^{2}-2x < 0$

निम्नलिखित असमताओं को हल करें। (1) $8 x+13>5 x-8$ (2) \( 3(x-3) \geqq 5(x+1) \) (3) rac{4-x}{2}<7+2 x (4) \( rac{1}{2}(1-3 x) \geqq rac{2}{3}(x+7)-5 \) (5) \( 0.2 x-7.1 \leqq-0.5(x+3) \)

निम्नलिखित असमीकांचे हल करें। (1) $4x + 5 > 2x - 3$ (2) \( 3(x - 2) \geq 2(2x + 1) \) (3) rac{1}{2}x > rac{4}{5}x - 3 (4) $0.1x + 0.06 < 0.02x + 0.1$

जब \mathbf{4 3}^{\Perp}-rac{5}{2} \leqq x \leqq 2 हो, तो इस फलन \( f(x)=(1-x)|x+2| \) का अधिकतम मान ज्ञात करें।

दिये गए असमिकाओं के समुच्चय \left\{egin{\overlineray}{l}x<6 \\ 2 x+3 \geqq x+a\end{\overlineray}\right. के लिए उस स्थिरांक $a$ के मान की सीमा खोजें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती है: (1) प्रणाली का हल है। (2) हल में ठीक 2 पूर्णांक शामिल हैं।

मान लें $x$ एक वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित प्रस्तावों की सत्यता निर्धारित करने के लिए सेट्स का उपयोग करें। (1) $-1<x<1 \Longrightarrow 2 x-2<0$ (2) $|x|>2 \Longrightarrow 3 x+1 \leqq 0$

अभ्यास समस्या 93 - निम्नलिखित द्विघात असमिका को हल करें। (5) $x^{2} > 9$

आइए द्विघात असमीयताओं के समाधान विधि को फ्लोचार्ट प्रारूप में व्यवस्थित करें। मूल उदाहरण 93 से 96 में, हमने विभिन्न प्रकार की द्विघात असमीयताओं को हल किया। अब हम उन्हें व्यवस्थित करेंगे। हम $ax^{2} + bx + c$ पर विचार करते हैं। पहले, जांचें कि क्या यह गुणनखंड में किया जा सकता है। अगर किया जा सकता है, तो यह \( a(x-lpha)(x-eta) \) या \( a(x-lpha)^{2} \) के रूप में होगी। अगला, ग्राफ $y = ax^{2} + bx + c$ को चित्रित करें, मान लेते हैं $a > 0$। सारांश तालिका इस प्रकार है: egin{\overlineray}{c} असमता का प्रकार & समाधान का दायरा \\hline \( a x^{2}+b x+c>0 & x<lpha, eta<x \\hline $a x^{2}+b x+c \geqq 0$ & x \leqq lpha, \quad eta \leqq x \\hline $a x^{2}+b x+c<0$ & lpha<x<eta \\hline $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ & lpha \leqq x \leqq eta \\hline\end{array}\) इस तालिका को रटने की बजाय समाधान के कारणों को समझना महत्वपूर्ण है।

द्विघात असमनता मूल बातें 94 द्विघात असमनता का समाधान (2)

अभ्यास 93 - निम्नलिखित द्विघात असमानता को हल करें। (2) \( (2x+1)(3x-5) > 0 \)

विभिन्न मामलों पर विचार करके असमानता 2|x+4|<x+10 को हल करें।

निम्नलिखित द्विघातीय असमकीय समीकरणों को हल करें। (1) $3 x^{2}+10 x-8>0$ (2) $6 x^{2}+x-12 \leqq 0$ (3) $5 x^{2}+6 x-1 \geqq 0$ (4) \( 2(x+2)(x-2) \leqq(x+1)^{2} \) (5) $-x^{2}+3 x+2>0$

असमानता $x^2-4x+3<0$ को हल करें।

अभ्यास प्रश्न 93 - निम्नलिखित द्विघात असमिका को हल करें। (1) \( (x+2)(x+3) < 0 \)

जब असमानता की सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाकर व्यवस्थित किया जाता है, जैसे कि $a x^{2}+b x+c>0$ और $a x^{2}+b x+c \leqq 0$ (जहां $a, b, c$ स्थिरांक हैं और a eq 0 ）, तब बाईं ओर \( x का एक द्विघात समीकरण बन जाता है, जिसे $x$ की द्विघात असमानता कहा जाता है। तब वह $x$ का मान जो द्विघात असमानता को पूरा करता है, उस असमानता का समाधान कहलाता है, और सभी समाधानों को ढूंढना द्विघात असमानता को हल करना कहा जाता है। इस खंड में, चलिए द्विघात फलनों के ग्राफ का उपयोग करके द्विघात असमानताओं को हल करना सीखें। हम पिछली खंड में सीखे गए द्विघात फलनों के ग्राफ और $x$ अक्ष के स्थानिक संबंध का सक्रिय रूप से उपयोग करेंगे। ■ द्विघात असमानता का समाधान और द्विघात फलन के ग्राफ ध्यान दें: निम्नलिखित चर्चाओं में, $x^{2}$ के गुणांक $a$ के चिह्न को सकारात्मक मानकर चलने में कोई असुविधा नहीं होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब $a$ का चिह्न निगेटिव होता है, हम दोनों तरफ -1 को गुणा करके $x^{2}$ के गुणांक को सकारात्मक बना सकते हैं और फिर हल कर सकते हैं। द्विघात असमानता \( a x^{2}+b x+c>0 (a>0) \) के समाधान को खोजने के लिए, जब हम $y = a x^{2}+b x+c$ मान लेते हैं, तब $y>0$ होने वाले $x$ के मान की श्रेणी ढूंढना, अर्थात $y=a x^{2}+b x+c$ का ग्राफ $x$ अक्ष के ऊपर होने वाले $x$ के मान की श्रेणी ढूंढना। एक ठोस उदाहरण के रूप में, द्विघात असमानता $x^{2}-4 x+3>0$(1) का वर्णन करते हैं।

दिए गए द्विघात असमिता को हल करें। (2) \( (x+1)(x-2) < 0 \)

असमानता 3|x+1| $\geqq x+5$ को हल करें।

निम्नलिखित द्विघात असमिकाओं को हल करें। (1) $x^{2}+2 x+1>0$ (2) $x^{2}+4 x+4 \geqq 0$ (3) rac{1}{4} x^{2}-x+1<0 (4) $-9 x^{2}+12 x-4 \geqq 0$

10 से किसी संख्या x का 3 गुना घटाने पर प्राप्त संख्या -5 से बड़ी है, इसे असमनता के रूप में व्यक्त करें।

असाम्यता $|2 x|+|x-5| \geqq 8$ को हल करें।

असमानता $x^2-4x+3>0$ को हल करें।

निम्नलिखित असमानताओं को हल करें। (1) \left\{egin{\overlineray}{l}4 x-1<3 x+5 \ 5-3 x<1-x\end{\overlineray} ight. (2) \left\{egin{\overlineray}{l}3 x-5<1 \ rac{3 x}{2}-rac{x-4}{3} \leqq rac{1}{6}\end{\overlineray} ight. (3) rac{2 x+5}{4}<x+2 \leqq 17-2 x

निम्नलिखित समीकरणों और विषमताओं को हल करें। (1) $|2 x-1|=7$ (2) $|2 x+5| \leqq 2$ (3) $|3-x|>4$

असमानता 2x-5<9 को हल करें।