मूलभूत बीजगणित - व्यंजनों का विस्तार और गुणनखंडन

'विस्तार की सामान्य विवरण है\n\\[\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot a^{p} \\cdot(2 b)^{q} \\cdot(3 c)^{r}=\\frac{6!}{p!q!r!} \\cdot 2^{q} \\cdot 3^{r} \\cdot a^{p} b^{q} c^{r}\\]\njहां \ \\quad p+q+r=6, p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0 \\n(a) \ a^{3} b^{2} c \ शब्द का संकेत, जब \ p=3, q=2, r=1 \ है, \n\\\frac{6!}{3!2!1!} \\cdot 2^{2} \\cdot 3^{1}=720\\n(b) \ a^{4} c^{2} \ शब्द का संकेत, जब \ p=4, q=0, r=2 \ है, \n\\\frac{6!}{4!0!2!} \\cdot 2^{0} \\cdot 3^{2}=135\'

'निम्नलिखित विस्तार में निर्दिष्ट मान का गुणाकारी ढूंढ़ें। (1) (2x-y-3z)^6 [xy^3 z^2] (2) (1+x+x^2)^10 [x^4] (3) (x+1/x^2+1)^5 [स्थिर मान]'

'निम्नलिखित समीकरणों के लिए सामान्य अंश और संकेतक ढूंढें:'

'(1) \\((x+2-i)(x+2+i)\\)(2) \\((3 x-17)(2 x-9)\\)'

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:'

'विस्तार \\( (a+b+c)^{n} \\) का सामान्य टर्म है\n\\\frac{n!}{p!q!r!} \\alpha^{p} b^{q} c^{r}\\nजहां \ p+q+r=n \'

'(2) (समाधान 1) α^{3}+β^{3}+γ^{3}=(α+β+γ){α^{2}+β^{2}+γ^{2}-(αβ+βγ+γα)}+3αβγ =2 \\cdot(4-0)+3\\cdot4=20'

'(2) विस्तार का सामान्य सदस्य है $\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot 1^{p} \\cdot x^{q} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{r}=\\frac{10!}{p!q!r!} \\cdot x^{q+2 r}$ जहाँ $p+q+r=10 \\quad\\cdots\\cdots (1), p \\geqq 0, q \\geqq 0, r \\geqq 0$।\n$x^{4}$ का पद $q+2 r=4$ होने पर होता है, इसका मतलब $q=4-2r$ है।'

'निम्नलिखित अनुक्रम का सामान्य टर्म खोजें \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \।'

'निम्नलिखित बहुपदों का विस्तार करें।'

'योग चिह्न \ \\Sigma \, \ \\Sigma \ की गुणधर्म\nयोग चिह्न \ \\Sigma \\n\\n\\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\\cdots \\cdots+a_{n}\n\\nइस गुणधर्म में \ p, q \ एक \ k \ के असम्बद्ध स्थिर संख्या हैं।\n\\[\n\\sum_{k=1}^{n}\\left(p a_{k}+q b_{k}\\right)=p \\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q \\sum_{k=1}^{n} b_{k}\n\\]\nश्रंखला की योग सूत्रों में \ c, r \ असंबद्ध स्थिर संख्या हैं।\n\\[\n\egin{aligned}\n\\sum_{k=1}^{n} c & =n c \\\\ \nविशेष रूप से \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} 1=n \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k & =\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} k^{3} & =\\left\\{\\frac{1}{2} n(n+1)\\right\\}^{2} \\\\ \n\\sum_{k=1}^{n} r^{k-1} & =\\frac{1-r^{n}}{1-r} \\\\( r \\neq 1) \n\\end{aligned}\\]\n'

'द्विघात सिद्धांत के आवेदन समस्याएं'

'(A + B)(A - B)'

'(1) 6x² + 3 (2) −x⁸ + 3x³ − 1 (3) 2(x² + 1)'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'(A + B)^2 + (A - B)^2'

'निम्नलिखित सतत भिन्न को सरलीकृत करें:\n\\n\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{x+1}}}\n\'

'(3) (2) से प्राप्त वृत्त समीकरण को विस्तारित और सुव्यवस्थित करने पर यह मिलता है: x^2 - mx + y^2 - (m^2 + 2)y = 0। y = x^2 के स्थान पर डालने से x^2 - mx + x^4 - (m^2 + 2)x^2 = 0, जो x(x + m)(x^2 - mx - 1) = 0 हो जाता है। इसलिए, x = 0, -m, α, β। इसलिए, आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि चाप या y = x^2 और (2) में प्राप्त वृत्त A, B, O कोई अन्य साझेदार बिंदु ना होने के लिए x = -m x(x^2 - mx - 1) = 0 की जड़ हो।'

'कृपया निम्नलिखित द्विघात समीकरण का गुणाकार निकालें, ज्योतिषीय संख्याओं की सीमा में:\n1. x^{2}+4 x+5\n2. 6 x^{2}-61 x+153'

'(2) 1 + 3x + 5x^{2} + ... + (2n - 1)x^{n - 1}'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'(1) $(x-2)(x^{2}+x+2)$\n(2) $(x+1)(x+2)(x-3)$\n(3) $(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)$\n(4) $(x+1)(x-3)(x^{2}+2)$\n(5) $(3x+1)(4x^{2}-3x+1)$\n(6) $(x-1)(2x+1)(x^{2}+x-1)$'

'P(x) = x³-4x²+x-7 में P(-2) के शेष को निकालें'

'(1) समाधान \ \\alpha, \eta \ होने के कारण'

'P(x) को (x+1)^{2}(x-2) से विभाजित करें, यानीकि महत्वकांक को Q(x) और शेषको R(x) लें, तो निम्नलिखित में से निर्धारित होगा।'

'x, y के लिए समानीकरण (x + a y - 3)(2 x - 3 y + b) = 2 x^{2} + c x y - 6 y^{2} - 4 x + d y - 6 को एक सामान्यता बनाने के लिए, स्थायी a, b, c, d के मान की निर्धारण करें।'

'\\[ 3(a x+2 b y)-(a+2 b)(x+2 y) \\]\n\\[=3 a x+6 b y-(a x+2 a y+2 b x+4 b y) \\]\n\\[=2(a x-a y-b x+b y) \\]\n\\[=2\\{ a(x-y)-b(x-y) \\} \\]\n\\[=2(a-b)(x-y) \\]\n\ a>b, x>y इसलिए, a-b>0, x-y>0 \\n\\[2(a-b)(x-y)>0 \\]\n\इसलिए \\n\\[(a+2 b)(x+2 y)<3(a x+2 b y) \\]'

'और, x^{3/2} + x^{-3/2} = (x^{1/2} + x^{-1/2})^3 - 3x^{1/2}x^{-1/2}(x^{1/2} + x^{-1/2})'

'(A - B)(A^2 + AB + B^2)'

'निम्नलिखित विस्तृत अभिव्यक्तियों में निर्दिष्ट पद का संकेतक खोजें। (1) (2 x+3 y)^{4} [x^{2} y^{2}] (2) (3 a-2 b)^{5} [a^{2} b^{3}]'

'विस्तार का सामान्य पद खोजें।'

'यदि $f(y)=y^{2}+y-a-9$ है, तब ध्यान दें कि अक्ष के लिए $-3<-\x0crac{1}{2}<3$ है। $f(3)>0$ से हमें $a<3$ मिलता है और $f(-3)>0$ से हमें $a<-3$ मिलता है। इसलिए, हम निर्णय कर सकते हैं कि $-\x0crac{37}{4}<a<-3$।'

'अभ्यास समस्या: (x₁+x₂+...+xᵣ)^p के विस्तार में x₁^p, x₂^p, ..., xᵣ^p के संघटक ढूंढें।'

'द्विघात सिद्धांत का प्रयोग करके (a+b)ⁿ का विस्तार दिखाएं।'

'गणित I\n267\n\\[\egin{aligned} y_{1}+y_{2} &= \\triangle \\mathrm{OAP} - \\int_{0}^{1} (-3x^{2}+3)dx + 2y_{1} \\\\ &= \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 3p + 3 \\int_{0}^{1} (x^{2}-1)dx + 2 \\cdot \\frac{1}{2}(2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p + 3[\\frac{x^{3}}{3}-x]_{0}^{1} + (2-p)^{3} \\\\ &= \\frac{3}{2}p - 2 + (2-p)^{3} \\\\ &= -p^{3} + 6p^{2} - \\frac{21}{2}p + 6 \\end{aligned}\\]'

'(2) दिए गए समीकरण की जड़ें \ \\alpha, \eta \ हैं, इसलिए'

'प्रैक्टिस 79 खंड 302 पृष्ठ पर y=a x^(3)-2 x पर बिंदु (t, a t^(3)-2 t) और मूल के बीच की दूरी का वर्ग t^(2)+(a t^(3)-2 t)^(2)=a^(2) t^(6)-4 a t^(4)+5 t^(2) है'

'उपर्युक्त समीकरण के लिए शर्तों को दिखाएं।'

'एक वास्तविक संख्या t के लिए, दो बिंदु P(t, t^{2}) और Q(t+1, (t+1)^{2}) का ध्यान रखें।'

'(2) यहाँ से f(a)=f(a+1) है तो a^{3}-3 a=(a+1)^{3}-3(a+1)'

'दिए गए विस्तार में निर्दिष्ट मान का सीधा निकालें। (1) (x^2+2y)^5 [x^4 y^3] (2) (x^2-2/x)^6 [x^6, स्थायी मान]'

'19x^{3} का सीधा वर्गमूल 1 होने वाले 3 आवेशक Q(x) को x-1 से विभाजित करने पर शेष -1 और x-2 से विभाजित करने पर शेष 8 प्राप्त होता है।'

'एक सूत्रित श्रृंखला \ \\{a_{n}\\} \ के लिए जहाँ पहली श्रेणी से एनवीं श्रेणी तक की योग है \ S_{n}=2 n^{2}-n \, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n1. माध्यम शब्द \ a_{n} \ खोजें।\n2. योग निकालें \ a_{1}+a_{3}+a_{5}+ \\ldots \\ldots+a_{2 n-1} \।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों का समाधान करें।'

'निम्नलिखित समीकरण के बारे में जांचें कि क्या ये पहचान हैं:\n(1) (x-1)^{2}=x^{2}+1\n(2) (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\n(3) \\frac{2 x+1}{2 x-1} \\times \\frac{4 x^{2}-1}{(2 x+1)^{2}}=1\n(4) \\frac{1}{3}\\left(\\frac{1}{x+1}-\\frac{1}{x+3}\\right)=\\frac{1}{(x+1)(x+3)}'

''

'परिक्षेपी समीकरण के बाईं ओर हर पद को विस्तारित करें और सरल समीकरण पर आ जाए।\n(2), (3) क्योंकि दाईं और बाईं ओर दोनों ही समूचित हैं, इसलिए उन्हें एक ही समीकरण बनाने के लिए उन्हें बेधिया करें।'

'x⁴+2x²-8 को (x²+4)(x²-2) के रूप में विभाजित करें'

'गणित में, अर्थात, (α-1)(β-1)(γ-1)=0, इसलिए α, β, γ में से कम से कम एक 1 है।'

'जब बहुपद x^2020 + x^2021 को बहुपद x^2 + x + 1 से विभाजित किया जाता है तो शेष क्या होगा।'

'(2) यदि t=x+1/x है, तो सिद्ध करें कि x^n+1/x^n t के n वां समीकरण के रूप में आएगा।'

'दिए गए संकेतों का गणना करें'

'कोई सच्ची संख्या k है। तीसरी श्रेणी के समीकरण f(x)=x^{3}-kx^{2}-1 के लिए, समीकरण f(x)=0 के तीन विकल्प α, β, और गाम्मा को लें। g(x) एक ऐसा तीसरा समीकरण है जिसका x^{3} के संकेतक 1 है, और समीकरण g(x)=0 के तीन विकल्प αβ, βγ, और γα हैं।\n(1) एल्फा, बीटा, और गाम्मा के द्वारा g(x) को अभिव्यक्त करें।\n(2) ऐसे k की मानें खोजें जिनके लिए दो समीकरण f(x)=0 और g(x)=0 का एक साझा समाधान है।'

'प्रैक्टिस बुक 8 (पृष्ठ 35) में, यदि पी के तीसरे पद का संख्यावाला a के रूप में लिया जाए और b, c को स्थायी मान लिया जाए, तो P = (x+1)^2(ax+b), P-4 = (x-1)^2(ax+c)।'

'दी गई पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'300'

'अभ्यास 56 (1) (पहला भाग) P_1=α+β=(1+√2)+(1-√2)=2 और αβ=(1+√2)(1-√2)=-1 इसलिए P_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=2^2-2(-1)=6 (दूसरा भाग) [1] जब n=1 हो, P_1=2, जब n=2 हो, P_2=6 इसलिए, n=1,2 के लिए, P_n एक इज़्ज़ती संख्या है जो 4 का गुणक नहीं है। [2] मान लें n=k, k+1, जब n=k, k+1 हो, P_n एक इज़्ज़ती संख्या है जो 4 का गुणक नहीं है।'

'पहला मान a हो, सामान्य अंतर d हो, और पहले से नववे मान तक के योग को S_{n} कहा जाता है। यह ज्ञात है कि S_{5}=125 और S_{10}=500, इसलिए 1/2・5{2a+(5-1)d}=125 और 1/2・10{2a+(10-1)d}=500। इससे हमें a+2d=25 ... (1), 2a+9d=100 ... (2) मिलता है। समीकरण (1) और (2) को समविकल्प में हल करने पर a=5, d=10 मिलता है'

'पूर्णांक f(x)=x^{4}-x^{2}+1 के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'वास्तविक संख्या x के मान को निर्धारित करें ताकि (1 + xi)(3 - i) (1) एक वास्तविक संख्या बन जाए या (2) पूर्ण काल्पनिक संख्या बन जाए।'

'(3u-v)(-u³+3u-v) < 0'

'(1) $\\left(x^{2}+2 y\\right)^{5}$ के विस्तार का सामान्य सदस्य है $_{5} \\mathrm{C}_{r}\\left(x^{2}\\right)^{5-r}(2 y)^{r}={ }_{5} \\mathrm{C}_{r} \\cdot 2^{r} x^{10-2 r} y^{r}$। $x^{4} y^{3}$ टर्म $r=3$ के लिए है, और उसका समकोण है'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें: (a+b)³ और (a-b)³'

''

'स्थिर x के लिए समीकरण एक पहचान होने के लिए स्थिर a, b, और c की मानें निर्धारित करें।'

'(a+2b+3c)^{6} के विस्तार में a^{3} b^{2} c और a^{4} c^{2} अंशों के संख्यापदों का निकालें।'

'अनुक्रम {P_{n}} निम्नलिखित रूप में परिभाषित है।'

'कृपया चार्ट-स्टाइल संदर्भ पुस्तक के डिजिटल संस्करण की तीन मौलिक कार्यों की सूची बनाएं।'

'अंकगणितिक प्रगति का सिद्धांत'

'अभ्यास, निम्नलिखित समीकरणों को विघटित करें।'

'क्या P को x, y के रूप में 1 स्तरीय समीकरण के गुणन के रूप में विभाजित किया जा सकता है, यह अल्फा, बीटा को y के एक स्तरीय समीकरण नहीं होना चाहिए।'

'निम्नलिखित संकेतों का विस्तार करें। (1) (a+2 b)^{7} (2) (2 x-y)^{6} (3) (2 m+n/3)^{6}'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरण को साबित करें।'

'क्योंकि पराबोला y=x^2+bx+c का शीर्षबिन्दु सीधी रेखा y=x पर होता है, इसलिए हम शीर्षबिन्दु की निर्देशांक को (k, k) के रूप में स्थापित कर सकते हैं। इसलिए, पराबोला की समीकरण है y=(x-k)^2+k यानी y=x^2-2kx+k^2+k। पराबोला (1) और पराबोला y=-x^2+4 के आंकड़ों का विन्यास x^2-2kx+k^2+k=-x^2+4 यानी 2x^2-2kx+k^2+k-4=0 के वास्तव समाधान। (1), (2) के पारे के दो विभिन्न बिंदु हैं, इसलिए (3) के विभाजक को D मानकर D>0 है। D/4=(-k)^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8 की गणना, इसलिए -k^{2}-2k+8>0, जिससे k^{2}+2k-8<0 प्राप्त होता है, जिसके हल -4<k<2 है। इस मामले में, दो पारे के बिंदुओं की x आंकड़ों को अल्फा, बीटा (अल्फा<बीटा) के रूप में चिह्नित किया जाता है, इसलिए अल्फा, बीटा (3) के समाधान हैं, इसलिए, अल्फा+बीटा=k, अल्फा बीटा=(k^{2}+k-4)/2। इसलिए, (बीटा-अल्फा)^{2}=(अल्फा+बीटा)^{2}-4अल्फा बीटा=k^{2}-2(k^{2}+k-4)=-k^{2}-2k+8=-(k+1)^{2}+9।'

'गणित B 329 n=k+2 की स्थिति पर विचार करें'

'कृपया फ़ंक्शन की पहचान साबित करें।'

'अनुक्रमणिकी परिवर्तन, गणितीय आँकड़े के समापन अनुक्रमणिकी परिवर्तन\n- पड़ोसी 2 सदस्य \\( a_{n+1} = p a_{n} + q \\(p \\neq 1) \\) यदि \ \\alpha = p \\alpha + q \ को पूरा करता है तो\n\\[\na_{n+1} - \\alpha = p\\left(a_{n} - \\alpha\\right) \n\\]\n- पड़ोसी 3 सदस्य \ p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_{n} = 0 \ \ p x^{2} + q x + r = 0 \ का समाधान \ \\alpha, \eta \ है तो\n\\[\na_{n+2} - \\alpha a_{n+1} = \eta\\left(a_{n+1} - \\alpha a_{n}\\right)\n\\]\nगणितीय आँकड़े के समापन\nप्राकृतिक संख्या \ n \ के संबंध में प्रस्ताव \ P \ को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य साबित करने की प्रक्रिया निम्नलिखित है\n[1] सिद्ध करें कि \ n=1 \ के लिए \ P \ सत्य है।\n[2] मानें कि \ n=k \ के लिए \ P \ सत्य है, \ n=k+1 \ के लिए भी सत्य है इसे साबित करें।'

'(3) मान लें कि x^{2}+y^{2}-5=(p x+q y+r)(s x+t y+u) संख्यात्मक मान p, q, r, s, t, u का ऐसा मौजूद है। जब दोनों ओर का x^{2} का स्रोत तैयार किया जाता है, x^{2} का संख्याशास्त्र पी एस होता है, इसलिए x^{2} के संख्याशास्त्र की तुलना करने पर से p s=1 मिलता है। इसलिए, p=0 नहीं होना चाहिए, s=0 नहीं होना चाहिए।'

'a को वास्तव संख्या के रूप में एक संदर्भ बनाएं, और दो वृत्तों C1: x^{2}+y^{2}=4 और C2: x^{2}-6x+y^{2}-2ay+4a+4=0 का ध्यान रखें'

'निम्नलिखित समीकरण को गुणाकार करें।'

'जब बहुपद $P(x)=4 x^{3}-2 x^{2}-5 x+3$ को निम्नलिखित रैलिंयर अभिव्यक्तियों से विभाजित किया जाता है तो शेष क्या होता है: (ए) $x+1$ (बी) $2 x-1$'

'कृपया इन समीकरणों के गुणनखंड कीजिए, कारक सिद्धांत का उपयोग कीजिए।'

'कृपया निम्नलिखित समीकरण के संकेतों की गणना करें।(6) x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64'

'विकास 51: द्विघातीय 2-अंकीय व्यक्ति का कारक विश्लेषण (जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करना)'

'सिंथेटिक डिवीजन\nतीसरी श्रेणी की पॉलिनोमियल $P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ को एक रैखिक पॉलिनोमियल $x-k$ से विभाजित करके शेषफल $Q(x)=l x^{2}+m x+n$ और शेष $R$ मिलते हैं।\nइस शेषफल और शेष के संकेतक $l, m, n$ को सिंथेटिक डिवीजन नामक एक विधि द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है।\n\nसिद्धांत जब विभाजन समीकरण $P(x)=(x-k) Q(x)+R$ साबित होता है\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=(x-k)\\left(l x^{2}+m x+n\\right)+R\n\\]\nयह समीकरण $x$ के साथ एक पहचान है।\nदाएं हाथ को विस्तारित करके सरल करने पर\n\\[\na x^{3}+b x^{2}+c x+d=l x^{3}+(m-l k) x^{2}+(n-m k) x+(R-n k)\n\\]\nदोनों पक्षों के संकेतकों को तुलना करते हुए\n\\na=l, \\quad b=m-l k, c=n-m k, d=R-n k\n\\]\nइसलिए\n\\[\nl=a, \\quad m=b+l k, \\quad n=c+m k, \\quad R=d+n k\n\'

'विस्तार के साथ एक पद का संकेत ढूंढें'

'निम्नलिखित समीकरण की पहचान करें कि वे पहचान हैं या नहीं।'

'क को एक स्थायी मान माना जाए। (a+kb+c)^{5} के विस्तार में a^{2}bc^{2} टर्म के समकोण 60 होने पर k का मान खोजें। साथ ही, इस बिंदु पर ac^{4} टर्म का समकोण भी खोजें।'

''

'निम्नलिखित समीकरण को विघ्नक रूप में लिखें।'

'कॉफिसियेंट लगातारता का निर्धारण (1)...कॉफिसियेंट तुलना विधि'

'[7!/(3!2!2!)]'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (a+b)^{4} का विस्तार करें और प्रत्येक पद का संकेत खोजें।'

'एक सरणी {a_{n}} है: 1, 3, 8, 19, 42, 89, और उसका अंतर है {b_{n}}। अगर सरणी {b_{n}} के अंतर एक ज्यामित सरणी बनाते हैं तो,\n(1) सरणी {b_{n}} का सामान्य पद ढूंढें।\n(2) सरणी {a_{n}} का सामान्य पद ढूंढें। मौलिक उदाहरण 19'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों का विस्तारित रूप ढूंढें।'

'निम्नलिखित मान का विस्तार में व्यक्ति [x^{3} y^{2} z] के संकेतक को खोजें।'

'इस समीकरण को $x^{3}-1=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)$ सभी $x$ के लिए है एक पहचान, स्थिर $a, b, c$ के मान निर्धारित करें।'

'मान की मान और b की मान निर्धारित करें, ताकि निम्नलिखित बहुपद दिए गए अभिव्यक्तियों द्वारा विभाजनीय हो:'

'\ 30 \\quad \\frac{7}{3} x^{2}-x-\\frac{1}{3} \'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'आंशिक भिन्न विघटन'

'बुनियादी 61: उच्च पाया समीकरणों का समाधान (1) - अंशकरण का प्रयोग'

'विस्तारित अभिव्यक्ति में [ ] में स्थित शब्द का कोईफिशिएंट खोजें।'

'उच्चतम डिग्री के पोलिनोमियल को फैक्टरिंग करते समय, हम P(k) = 0 को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक k को खोजते हैं, और फिर कारक सिद्धांत का उपयोग करते हैं। यहाँ हम इस पर केंद्रित करेंगे कि P(k) = 0 को संतोषप्रद करने वाले पूर्णांक k कैसे ढूंढा जाए।'

'विस्तार (a+b+c)^{n} का संच निकालें।'

'विस्तारित अभिव्यंजन में [ ] शब्द के संख्यात्मक मान का पता लगाएं।'

'A और B कोशिशें ढूंढें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:'

'मौलिक 45: ज्यातीय संख्याओं के क्षेत्र में द्विघातीय समीकरण का कारक विभाजन'

'(a+b+c)^{5} के विस्तृतरूप में [a b^{2} c^{2}] का संकेत खोजें।'

'द्विघात सिद्धांत'

'निम्नलिखित समीकरण केवलिता है या नहीं यह जांचें।'

'गणित I में, हमने फैक्टरिज़ेशन के बारे में सीखा और इस्तेमाल करके दो गुणात्मक समीकरणों को हल करने के बारे में भी सीखा। यहाँ, हम फैक्टर सिद्धांत का उपयोग करके, दिग् और उससे अधिक डिग् के समीकरणों को कैसे हल करें के विचार करेंगे।'

'दोहरी समीकरण $(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0$ के दो समाधान $\\alpha, \eta$ माने गए हों तो निम्नलिखित समीकरणों का मान निकालें। (1) $\\alpha\eta$ (2) $(1-\\alpha)(1-\eta)$ (3) $(\\alpha-2)(\eta-2)$'

'x^2+1/(x^2-1) को 4(x^2-1)+1/(x^2-1)+4 में बदलकर विचार करें।'

'द्विघात सिद्धांत का प्रयोग करके (a+b)^4 का विस्तार दिखाएं।'

'रखें x के लिए ऐसे साधारित समीकरणों के लिए स्थायी a, b, c के मान ठोस (1) \\frac{4 x+5}{(x+2)(x-1)}=\\frac{a}{x+2}+\\frac{b}{x-1}(2) \\frac{3 x+2}{x^{2}(x+1)}=\\frac{a}{x}+\\frac{b}{x^{2}}+\\frac{c}{x+1}'

'यदि B = x^2 + x - 3, Q = 4x - 1, R = 13x - 5 दिया है, तो A का पता लगाएं।'

'(2) \\( (x-1)(x+1)(x-2)(x-3) \\)'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'रेखा C और रेखा l के इंटरसेक्शन प्वाइंट्स के x-coordinate को इस समीकरण द्वारा दिया गया है x^{3}+2 x^{2}-4 x-8=0। बाएं तरफ x+2 के रूप में एक कारक होता है, इसलिए आधार बिखेरने पर हमें (x+2)^{2}(x-2)=0 मिलता है, जिससे x=2,-2 मिलता है। इसलिए, वहां उन बिंदुओं की x-coordinates में से एक जिसमें रेखा C और रेखा l कोणांकित होती है, स्पर्श बिंदुओं के बिना, 2 है।'

'शृंखला {a_n} को पहले मद से पांचवें मद तक विचार करें, n=1,2,3,4 के लिए, a_{n+1}=a_{n}+A×10^{n}.... के लिये सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए (1) से पूरा होता है। इस स्थिति में, a_{n+2}=a_{n}+B×10^{n}....(2) पूरा होता है। a_{1}=11, a_{2}=101, (2) से, जब n E हो, तो a_{n} 11 का एक गुणित है, और जब a_{n} 11 का एक गुणित है, तो n F है।'

''

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'कृपया ज्यामिति की सीमा में निम्नलिखित द्विघात समीकरणों का कारकीकरण करें:\n(1) \x^{2}-3 x-3 \\n(2) \ 2 x^{2}+4 x-1 \\n(3) \ 2 x^{2}-3 x+2 \'

'एक अनुक्रम {a_{n}} के लिए, b_{n}=\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots \\cdots+a_{n}}{n} पर परिभाषित करें'

'(3) \\( (2 x+1)\\left(3 x^{2}-x+2\\right) \\)'

'विस्तृत संख्या में [ ] शब्द का संबंध खोजें। 6 (1) (x+y+z)^{8}[x^{2} y^{3} z^{3}] (2) (x-y-2 z)^{7} [x^{3} y^{2} z^{2}]'

'साबित करें कि a+b+c=0 होने पर, a^{2}-bc=b^{2}-ca सत्य है।'

'(1) (x-1)(x+1)(x+3)'

'योग और गुणफल सूत्रों का उपयोग करना'

'गणित I में, हमने द्विघातीय संकेतों का सामना किया। गणित II में, हम पक्षीय समीकरण की तरह उच्च डिग्री के संकेतों का सामना करेंगे। इसलिए, चलिए पहलेतल करते हैं और पक्षीय संकेतों को विस्तारित और औद्यात्मिक रूप से तोड़ते हैं।'

'विस्तार में x^4 मिट्र का संख्याज्ञान खोजें।'

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'तृतीय डिग्री की बहुपद का विस्तार और कारकण'

'यदि द्विघात समीकरण 2x²-3x+5=0 के दो समाधान α और β हैं, तो समाधान α² और β² के साथ यहाँ द्विघात समीकरण क्या है?'

'512 येन की दो गुणाकारी समीकरणों को गुणाकारी रूप में लिखें (हल के सूत्र का उपयोग करें)।'

'स्थिर a और b के मान तय करें ताकि निम्नलिखित समीकरण x के लिए एक identity हो।'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरण को किसीकृत करें: \\(x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\\)।'

'निम्नलिखित समीकरणों के विस्तार में [x^3] का संकेत निकालें।'

'आरोही समीकरण से सामान्य पद खोजने की प्रक्रिया।\\nइन आरोही समीकरणों को हल करके अनुक्रम सिरे का सामान्य पद खोजें:\\n\\n1. अंतर श्रेणी प्रकार\\n\ a_{n+1}=a_{n}+d \\\n\ [d \ एक स्थाई मान है \\]）\\n\\n2. धनात्मक श्रेणी प्रकार\\n\ a_{n+1}=r a_{n} \\\n\ [r \ एक स्थाई मान है \\]）\\n\\n3. अंतर श्रेणी प्रकार\\n\\( a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\)\\n\\( [ f(n) अंतर श्रेणी का सामान्य पद है \\]）\\n\\nसाथ ही,\\n\ a_{n+1}=p a_{n}+q\\\n\ p \ और \ q \ स्थाई मान हैं, जहां \\( p \\neq 1, q \\neq 0 \\）कोई भी आरोही समीकरण और संख्या श्रेणी का सामान्य पद खोजें।'

'बेसिक 59: उच्च-अवधि पोलिनोमियल्स को विभाजन करना'

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'15^4(1+x+x^2)^{8} के विस्तार में x^{11} के सम्बंधीक निकास कीजिए।'

'निम्नलिखित समीकरण को कारक के रूप में लिखें।'

'निम्नलिखित प्रत्याश्यों में A को B से विभाजित करने पर शेष और बच्चा ढूंढें:'

'निम्नलिखित समांतरीकरण को कारक से विभाजित करें।'

'एक सरणी \ \\left\\{a_{n}\\right\\}: 1,3,8,19,42,89, \\cdots \\cdots \ का अंतःस्थायी सरणी \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ है। जब \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ का अंतःस्थायी सरणी एक वृत्तीय सरणी होती है तो:(1) सरणी \ \\left\\{b_{n}\\right\\} \ का साधारण क्षेत्र निकालें। (2) सरणी \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ का साधारण क्षेत्र निकालें। '

'विस्तृत रूप खोजें'

'व्यक्तित्व का विस्तार करें और अंशक भाग करें'

'जब a=2 हो, (x-2y+1)(x+y+1), जब a=-5/2 हो, (x-2y-2)(x+y-1/2)'

'प्रशिक्षण 13 निम्नलिखित वृत्तियों के योग का पता लगाएं। (1) पहला पद 4, सामान्य अनुपात 1/2, पदों की संख्या 7 (2) अनुक्रम 3, -3, 3, -3, ..., पदों की संख्या n (3) अनुक्रम 18, -6, 2, ..., पदों की संख्या n'

'हारमोनिक सीरीज {an} का सामान्य सदस्य खोजें, जहां 2 वां सदस्य 1 है और 5 वां सदस्य 1/13 है।'

'4 संख्याओं की मद्दत की पहली संख्याश्रृंखला है। x4+8x3+20x2+16x-12=0 की समाधान सम्प्रेषणों'

'चोटने के अलावा, पानी में एक ठोस को गलाने की दर को तेज करने के दो तरीके बताएं। पानी और ठोस की मात्रा को बदलाने के बिना।'

'【चित्र 1】 एक कक्षा की सीटिंग चार्ट दिखाता है। कुल 9 सीटें हैं, और सभी छात्र काले बोर्ड की ओर बैठते हैं। आगे पीछे, बाएं और दाएं की सीटें एक के बाद एक नहीं होनी चाहिए, इसलिए सीटें तय कर दी गई हैं। उदाहरण के लिए, जब सीटों को नंबर किया जाता है, अगर कोई छात्र सीट 1 में बैठता है, तो दूसरे छात्र सीट 2 और 4 में नहीं बैठ सकते। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) जब A, B, C, D, E के 5 छात्र बैठते हैं, तो सीटें किस प्रकार तय की जा सकती हैं? (2) जब A, B, C, D के 4 छात्र बैठते हैं, तो सीटें किस प्रकार तय की जा सकती हैं? (3) जब A, B, C के 3 छात्र बैठते हैं, तो सीटें किस प्रकार तय की जा सकती हैं?'

'1+x+x^2+⋯+x^n का योग्य मापदंड मिलाएं।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'‘वह आत्मा ‘ से उलटी गिनती करें।'

'अक्षर {an} के लिए, निम्नलिखित सवालों का उत्तर दें: (1) श्रृंखला {an^2 + bn^2} का सामान्य पद ढूंढें। साथ ही, lim_{n -> ∞} (an^2 + bn^2) भी ढूंढें। (2) साबित करें कि lim_{n -> ∞} an = lim_{n -> ∞} bn = 0 है। साथ ही, ∑_{n=1}^{∞} an, ∑_{n=1}^{∞} bn भी ढूंढें।'

'अनुमानित मान और परिकल्पना'

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'शब्द मैथमैटिक्स से किसी भी 4 अक्षर लेकर बनाए जा सकने वाले परिणामों की संख्या निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकबीजीकरण करें।'

'पीआर नागोया जेओ के 8 वर्णों के सभी व्यवस्थानों में, जिनमें एए और ओओ दोनों शामिल हैं, प्रत्यावर्तन को कितना गिनाया जाता है, और कितने प्रत्यासन्न अक्षरों वाले प्रति-स्थन हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकरण करें:'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'4 A, 5 B और 2 सी को समूहों में विभाजित करने के तरीके C_9^5 × C_4^2 हैं। इसके अलावा, क्योंकि 2 व्यक्तियों के दो समूहों के बीच कोई भेदभाव नहीं है, इसलिए विभाजन की कुल संख्या'

'2 x^{2}-6 x+4'

'A में रखने के लिए 3 छात्रों का चयन करने के तरीके C_9^3 हैं'

'3x^2 - 5x + 1 को पूरा वर्ग बनाएं।'

'19 (1) \\((x+y-1)\\left(x^{2}-x y+y^{2}+x+y+1\\right)\\ (2) \\((x-2 y-z)\\left(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y-2 y z+z x\\right)'

'दिए गए बहुपदों के समान टर्मों को सुलझाएं। साथ ही, [ ] के भीतर वर्णों पर ध्यान केंद्रित करते समय डिग्री और स्थायी शब्द निश्चित करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को विस्तारित करें।'

'(1) \\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \\)\\n(2) \\( (a b+a+b-1)(a b-a-b-1) \\)'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकिक रूप लिखें: $2x^{2}+5xy+2y^{2}-3y-2$'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकार निकालें।'

'(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 को कारक लिखिए।'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकिकीकरण करें।'

'इसलिए, आवश्यक अण्यत्र की संख्या है\n\\[\n\egin{aligned}\n10080- & 24 \\times(30+30+30+20) \\\\\n& =10080-24 \\times 110=10080-2640 \\\\\n& =7440 \\text { (तरीके) }\n\\end{aligned}\n\\]'

'10\n(1)\\((x-3)(3 x-1)\\)\n(2)\\((x+1)(3 x+2)\\)\n(3)\\((a+2)(3 a-1)\\)\n(4)\\((a-3)(4 a+5)\\)\n(5)\\((2 p+3 q)(3 p-q)\\)\n(6)\\((a x-b)(b x+a)\\)'

'निम्नलिखित समीकरण को फैक्टराइज करें।\n(1) x^{3}+3xy+y^{3}-1'

'बहुपदों को सरल करें'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'नीचे दिए गए वास्तव संख्याओं के उपसमूहों के बारे में प्रश्नों का उत्तर दें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति को कारकों में विभाजित करें: $2x^{2}-3xy+y^{2}+7x-5y+6$'

'निम्नलिखित समीकरणों को किसने विभाजित किया। (1) (x+y)^{2}-4(x+y)+3 (2) 9 a^{2}-b^{2}-4 b c-4 c^{2} (3) (x+y+z)(x+3 y+z)-8 y^{2} (4) (x-y)^{3}+(y-z)^{3}'

'निम्नलिखित संकेतों को x की शक्तियों के अग्रणी क्रम में सरलीकृत करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को गुणाकारी रूप में लिखें।\n(1) 2 x^{3}+16 y^{3}\n(2) (x+1)^{3}-27'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें: (4) ((3 a-b) (9 a ^ {2} + 3 a b + b ^ {2})).'

'निम्नलिखित समीकरणों को कारकीकृत करें।'

'व्यक्ति (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) का विस्तार करें और xyz के संबंधित संख्यक को खोजें।'

'दिए गए स्ट्रिंग के लिए संभावित सजीव प्रकारों की कुल संख्या क्या है?'

'76 \\quad y=\\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\n\\( \\left(y=\\frac{1}{3} x^{2}-\\frac{4}{3} x-\\frac{5}{3}\\right) \\)'

'10 \u3000 809 11 (1) \\\\ ( 2(x+2 y)(x^{2}-2 x y+4 y^{2}) \\) (2) \\\\ (x-2)(x^{2}+5 x+13) \\)'

'कृपया {1}/{3}x^{2}+2x+1 को पूरा करें।'

'फॉर्मूला विस्तार'

'अभिव्यक्ति (a+b+c+d)(p+q+r)(x+y) का विस्तार करने पर, कितने टर्म बनते हैं?'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'बहुपदों का गुणनफल को विस्तारित करने के लिए, वितरणीयता का सिद्धांत बार-बार उपयोग करके किया जा सकता है, यहाँ तक कि जटिल समांकियों को विस्तारित करने के लिए। हालांकि, गुणाकरण कई बार दरवाजों में खड़ा कर सकता है अगर चरणों को ध्यान में रखकर गणना की जाती है तो। यहाँ, हमने गुणाकरण के लिए चरण ढूंढने के प्राथमिकता को उच्च क्रम में कैसे ढूंढने के लिए के तरीके को संकलित किया है। इन संकेतों को ध्यान में रखकर गुणाकरण का विचार करना उपयुक्त है।'

'यदि A=5x³ -2x² +3x +4 और B=3x³ -5x² +3 है, तो निम्नलिखित की गणना करें: (1) A+B (2) A-B'

'कृपया -2 x^{2}+10 x-7 को पूर्ण वर्ग में परिणामित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'निम्नलिखित समीकरण को विश्लेषित करें: $x^{2}+3xy+2y^{2}+2x+3y+1$'

'(3) \\((3 x+x^{3}-1)\\left(2 x^{2}-x-6\\right)\\)'

'निम्नलिखित गणितीय समीकरण को सरलीकृत करें।'

'3 सेटों का संयोजन और संयोजन\nसमवादन A∩B∩C A, B, और C में शामिल होने वाले सभी तत्वों का सेट है।\nसंयोजन A∪B∪C कम से कम एक में शामिल होने वाले सभी तत्वों का सेट है।\n3 सेटों की गुणधर्म\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\nn(A∪B∪C)= & n(A)+n(B)+n(C) \\\\\n& -n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)\n\\end{aligned}\n\\]\n(समावेश-असमावेश का सिद्धांत का विस्तार)\n(2) \\\overline{A∪B∪C}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap \\overline{C}, \\overline{A∩B∩C}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \\cup \\overline{C} \\n(डी मोर्गन के कानून का विस्तार)'

''

'अभिव्यक्ति (2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z) का विस्तार करें और xyz का समकोण खोजें।'

'(उदाहरण) समीकरण x^2 - 2 xy + 2 y^2 = 13 (x > 0, y > 0) के लिए'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकीकरण करें:\n\nx^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz'

''

'निम्नलिखित संकेतों को विस्तारित करें।'

'कृपया दिए गए संकेत को सरलीकृत करें।'

'(5) निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें: (x+y+z)(x-y-z)'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'वर्ग विशेषण सिद्धांत'

'सममित अभिव्यंजन'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को रूप में परिवर्तित करें y=a(x-p)^{2}+q (वर्ग पूर्ण करें)।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को कारकीय रूप में लिखें।'

'12 (1) \\( (x-y)(2x+y-1) \\) (2) \\( (x+y-3)(3x+y+2) \\) (3) \\( (x+2y-1)(3x-y+2) \\) (4) \\( (x+y-z)(x-2y+z) \\)'

'4 रेखाओं द्वारा घेरे गए एक आयत का निर्माण 2 ऊर्ध्वीय रेखाओं और 2 क्षैतिज रेखाओं के संयोजन से होता है, इसलिए आवश्यक संख्या है ${}_5 C_2 \\times {}_5 C_2={\\left(\\frac{5 \\cdot 4}{2 \\cdot 1}\\right)}^2=10^2=100 \\text{（इकाइयां)}'

'6 अलग-अलग नंबर (0, 1, 2, 3, 4, 5) का उपयोग करके 4 अंकों या उससे कम के सकारात्मक पूर्णांक कितने बनाए जा सकते हैं? एक ही नंबर का दोहराव भी अनुमत है।'

'शहर ए और शहर ब के बीच 5 अलग-अलग बस रूटें हैं। निम्नलिखित मामलों में, शहर ए से शहर ब के लिए एक राउंड ट्रिप करने के कितने तरीके हैं।'

'मान लें कि 4 सफेद मोती, 3 काले मोती और 1 लाल मोती हैं। उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के \ \\square \ तरीके हैं, उन्हें एक वृत्त में व्यवस्थित करने के \ \\square \ तरीके हैं। इसके अतिरिक्त, इन मोतियों में रेशा डालकर एक लूप बनाने के \ \\square \ तरीके हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों को कारकीय रूप में लिखें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकविमोचन करें:'

'अभ्यास का उत्तर 1 (1) \ -x^{2}+5 x-1 \ (2) \ -3 x^{2}+3 x y-4 y^{2} \'

'(4) $-3x^{3} + (9y + z)x^{2} - 3y(z + 2y)x + 2y^{2}z$ को विश्लेषित करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना करें।'

'(2) 2 x^{2}-4 x+2=2(x^{2}-2 x+1)'

'निम्नलिखित समीकरणों को फैक्टराइज़ करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को कारकण करें।'

'संख्याएँ, अक्षर और उन्हें एक साथ गुणा करने वाले समीकरणों के लिए क्या शब्द है?'

'द्विघातांक अभिविस्तार सूत्र'

''

'निम्नलिखित स्वरूपों का विस्तार करें।'

'निम्न अभिव्यक्ति का विस्तार करें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों को x के संबंध में x (1), x (2) और a के संबंध में a (3) क्रम के अनुसार संयम में करें।'

'निम्नलिखित संवेदनों को x के द्वारा सरलीकरण करें घटते क्रम में।'

'निम्नलिखित द्विघातीय समीकरणों के लिए वर्ग पूरा कीजिए।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'दिया गया बहुपद P=3x^{3}-3xy^{2}+x^{2}-y^{2}+ax+by है।'

'विस्तार सूत्र है (a^2) - (b^2)'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'इस्पात का उपयोग करके निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'(a-b)^{2} का विस्तारीकरण सूत्र है a^{2}-2ab+b^{2}'

''

'निम्नलिखित समीकरणों को किसने विभाजित करें।'

"सेक्शन 2 'बहुपद का गुणा' में, हमने इसकी व्याख्या कैसे करें और उसे एक ही बहुपद के रूप में प्रस्तुत करने के तरीके को सीखा। अब, हम उल्टी प्रक्रिया सीखेंगे, यानी एक बहुपद को एकल पद या बहुपद के गुणा के रूप में प्रस्तुत करना।"

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

'(1) \7 x^{2} + 4 x - 17\ (2) \\(x^{2}-(2 a-b) x-a\\) (3) \\(-a^{2}-2(7 b-2) a+2 b^{2}+2 b-5\\)'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें: x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)'

'फ़ंक्शन y=f(x) की ग्राफ़ को मूल से सममित ले जाने पर उस फ़ंक्शन को दर्शाने वाला फ़ंक्शन y=-f(-x) होगा। अगर a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और यदि x=0 से 1 के बीच f(x)=x^{2}+ax+b की कम से कम मान m है, तो m को a और b के रूप में व्यक्त करें।'

'(7) \ 4 x^{4}-13 x^{2} y^{2}+9 y^{4} \'

'दिए गए समीकरण को बदलें y=-x^{2}+2 x'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार कीजिए: \n(x+2y)^2(x^2+4y^2)^2(x-2y)^2'

'कृपया गुणा-गणित का उपयोग करके निम्नलिखित बहुपद की गणना करें: (x + 2)(x - 3)'

'निम्नलिखित बहुपदों को कारकीकृत करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'निर्दिष्ट एकलन की घात और संकेतक निर्धारित करें। साथ ही, वर्गों के भीतर अक्षरों की घात और संकेतक की पहचान करें।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के लिए वर्ग पूरा करें'

'निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकार करें।'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (4) (√3 + √5)²'

'7 सदस्यों में से एक अध्यक्ष, एक उपाध्यक्ष और एक कोषाध्यक्ष का चयन करने के कितने तरीके हैं? ध्यान दें कि एक साथ एक से अधिक पद संभालना अनुमति नहीं है।'

'निम्नलिखित समांतर बांटें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'पिछले तरह, एक ही वस्तु को दोहराने की अनुमति देने वाले पर्म्यटेशन के बारे में सोचें। उदाहरण के लिए, अगर हम 2 प्रकार के वर्ण A और B से 3 वर्ण लेते हैं जो डुप्लिकेट की अनुमति देते हैं, तो उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके 2^{3} हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों की मान निकालें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीय रूप निकालें।'

''

'(1) निम्नलिखित संकेतों का विस्तार करें।(2) (3 x-1)^{3}(3) (3 x^{2}-a)(9 x^{4}+3 a x^{2}+a^{2})(4) (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)(5) (x+2)(x+4)(x-3)(x-5)(6) (x+1)^{3}(x-1)^{3}'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकों में विभाजन करें।'

''

'निम्नलिखित समीकरण को कारकों में विभाजित करें। (1) 8x³+1 (2) 64a³-125b³'

''

'(अ) -x^{2}+8 x\n(1) -x^{2}+16\n(उ) 2\n(ई) 24'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकविश्लेषण करें। (1) x^3 + 2x^2y - x^2z + xy^2 - 2xyz - y^2z (2) x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2'

'दिए गए समीकरणों को परिवर्तित करें और अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं: (1) 3x^2 + 4y^2 को परिवर्तित करें और प्रतिस्थापित करें। (2) x और y की सीमा के आधार पर अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं। (3) जब x एक वास्तव संख्या है, तो y = (x^2 + 2x)^2 + 8(x^2 + 2x) + 10 को परिवर्तित करें और t = x^2 + 2x मान रखें। अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं।'

'विस्तारित अभिव्यक्ति में, x^5 का संकेतक ए है और x^3 का संकेतक बी है।'

'10 छात्रों को कुछ समूहों में बाँटें। इस मामले में (1) 2, 3, और 5 छात्रों के 3 समूह में उन्हें बाँटने के कितने तरीके हैं। (2) 3, 3, और 4 छात्रों के 3 समूह में उन्हें बाँटने के कितने तरीके हैं। (3) 2, 2, 3, और 3 छात्रों के 4 समूह में उन्हें बाँटने के कितने तरीके हैं।'

''

'X=0 के मध्य समेत दी गई फुलवाकर y=x^{2}+a x+b की सममिट ले जाने के द्वारा मिलनेवाली फुलवाकर का सीधांकपरियान्त टीका है, y=-x^{2}+a x-b इससे ले जाकर y=-x^{2}+a x-b है। X अक्ष की दिशा में 3, Y अक्ष की दिशा में 6 इकाइयों तक फुलवाकर को सममिट करने का सिरा छात्रान्त है -y=(-x)^{2}+a(-x)+b इससे y=-x^{2}+a x-b। टीका y-6=-(x-3)^{2}+a(x-3)-b इससे y=-x^{2}+(a+6) x-3 a-b-3 है से इससे y=-x^{2}+4 x-7 के तुलना से a+6=4,-3 a-b-3=-7 है। इसे हल करने से a=-2, b=10 है।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार कीजिए।'

'समान वस्तुओं से परिवर्तन'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकणीकरण करें: (3)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3'

'निम्नलिखित व्यक्तियों को किसने किया।'

'(9) निम्नलिखित अभिव्यक्ति का कारक निकालें: $(a-b) x^{2}+(b-a) x y$'

'निम्नलिखित समीकरण को कारकीकृत करें।'

'को विस्तारित करने पर (a+b+c)(x+y)(p+q) से कितने टर्म्स बनेंगे?'

'जब शीर्षक y= ax^{2}+bx+c को x-अक्ष के पार्लेल 2 इकाइयों और y-अक्ष के पार्लेल -1 इकाईयों में मूव किया जाता है, तो यह शीर्षक 33y=-2x^{2}+3 बन जाता है। सीधी और पता करें। c की मान।'

'(a+b)^{2} का विस्तार सूत्र है: a^{2} + 2ab + b^{2}'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को किसीकरण से घटाएं: (1) 6x^{2}+13x+6 (2) 3a^{2}-11a+6 (3) 12x^{2}+5x-2 (4) 6x^{2}-5x-4 (5) 4x^{2}-4x-15 (6) 6a^{2}+17ab+12b^{2} (7) 6x^{2}+5xy-21y^{2} (8) 12x^{2}-8xy-15y^{2} (9) 4x^{2}-3xy-27y^{2}'

'4 छात्रों में से 1 अध्यक्ष और 1 उपाध्यक्ष का चुनाव करने के लिए कितने तरीके हैं? ध्यान दें कि अध्यक्ष और उपाध्यक्ष दोनों पदों को संभालने की अनुमति नहीं है।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें: (x+1)(x+2)(x-1)(x-2)'

'(1) व्यक्ति विस्तारित करें (x-2y+1)(x-2y-2)'

'यदि 3 उम्मीदवार हों और 10 व्यक्ति निषेध मतदान करें, तो मतों को कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?'

''

'1. (1) डिग्री 3, गुणांक $2$; $a$: डिग्री 1, गुणांक $2x^{2}$\n2. डिग्री 17, गुणांक $-\x0crac{1}{3}$; $y$: डिग्री 7, गुणांक $-\x0crac{1}{3}ab^{7}x^{2}$; $a$ और $b$: डिग्री 8, गुणांक $-\x0crac{1}{3}x^{2}y^{7}$'

'(3) x^{3}+2 x^{2}-9 x-18\nx^{3}+2 x^{2}-9 x-18=(x^{3}+2 x^{2})-(9 x+18)=x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)…'

'निम्नलिखित संकेतों का विस्तार करें।'

'कृपया एक प्रकार, तीन प्रकार और चार प्रकार के इंसेंस के पैटर्न की संख्या की गणना करें, और प्रत्येक परिस्थिति के लिए संभावनाओं का निर्धारण करें।'

'12 लोगों को निम्नलिखित प्रकार से विभाजित कितने तरीके हैं?'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (6)(4 + 2√3)(4 - 2√3)'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'(9) \\ ((x+y)^{4}+(x+y)^{2}-2)'

'निम्नलिखित समीकरणों को कारक में विभाजित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विश्लेषण करें:'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित समाकलन की गणना का विवरण दें: (a+b)^2 + (a-b)^2'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करें: (5) (3√2 - √3)²'

'(4)(a-b)^{2}+c(b-a) को गुणाकार करें।'

'ध्यान से उछाल y=x^{2}+a x+b को मूल स्थान के साथ सममित रूप में ले जाएं, फिर x अक्ष की दिशा में 3 स्थानांतरण और y अक्ष की दिशा में 6 स्थानांतरण, जिससे नतीजे में गोलीय y=-x^{2}+4 x-7। इस मामले में a और b के मानों को खोजें।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरण के लिए वर्ग पूरा करें।'

'12 लोगों को निम्नलिखित विभाजित करने के कितने तरीके हैं'

'गणित I'

'निम्नलिखित समीकरणों को गुणाकर करें।'

'निम्नलिखित सम्बावनाओं का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के लिए वर्ग को पूरा करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को फैक्टराइज़ करें।'

'(a+b+c)(x+y)(p+q) का विस्तार करने पर कितने अंश बनेंगे?'

'निम्नलिखित व्यक्तियों को विस्तारित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'बहुपदों को सरलित करें और जोड़ने और घटाने का काम करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकीकरण करें।'

'(ax+b)(cx+d) का विस्तार सूत्र दिखाएं।'

'पैराबोला y=x^{2}-4 a x+4 a^{2}-4 a-3 b+9 के शीर्षक निर्धारित करें। साथ ही, x अक्ष के साथ कोई समांतर बिंदु न होने वाले प्राकृतिक संख्या a, b ढूंढें।'

'बेसिक उदाहरण 9, 10\nनिम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें:\n(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

'एकाधिकार के गुणफल की गणना घातांक के नियम का उपयोग करके की जाती है। उदाहरण के लिए, 2 a b \\times 3 a^{2} b'

'समूह विभाजक की समस्या ‚ भेद और भेद रहित'

'(1) $y=(x-1)^{2}-2[y=x^{2}-2 x-1]$\\n(2) $y=-(x-1)^{2}+2[y=-x^{2}+2 x+1]$'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करें: (a+b+c)^2(a+b-c)^2'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार कीजिए।'

'निम्नलिखित समीकरणों का विघात करें।'

''

'(5) x^{3}+x^{2}+3 x y-27 y^{3}+9 y^{2}\nx^{3}-27 y^{3}+{x²+3 x y+9 y²}=(x-3 y)[x²+x⋅3 y+(3 y)²]+x²+…'

'(1) \ x^{2}+x+\\frac{1}{4} \'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'यहाँ दिया गया है कि 3^{3} x^{2} का संकेत -1 है, ग्राफ़ बिंदु (1,1) से गुजरता है, और शीर्षबिंदु y=x रेखा पर है, दूसरे दर्जे की कार्य समीकरण ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

''

'(2) \\( x^{3}-3 x^{2}+7=a(x-2)^{3}+b(x-2)^{2}+c(x-2)+d \\)'

''

'जब व्यक्ति एक्स प्लस २ से विभाजित किया जाता है, भाजक बी है और शेष -५ है। भाज्य बी को पुनः एक्स प्लस २ से विभाजित करने पर, भाज्य ३८एक्स^२-४ है और शेष २ होता है। एक्सप्रेशन ए को (एक्स प्लस २)^२ द्वारा विभाजित करने पर शेष को फिर से जांचें। कनगावा यूनिवर्सिटी की शर्तों के अनुसार: ए=(एक्स+२)बी-५, बी=(एक्स+२)(एक्स^२-४)+२। (२) को (१) में प्रतिस्थापित करने पर: ए=(एक्स+२){(एक्स+२)(एक्स^२-४)+२}-५=(एक्स+२)^२(एक्स^२-४)+२(एक्स+२)-५=(एक्स+२)^२(एक्स^२-४)+२एक्स-१। इसलिए, जब ए को द्विघातीय अभिव्यक्ति (एक्स+२)^२ से विभाजित किया जाता है, तो शेष एक रैखिक समीकरण या एक स्थिरांक होता है, इसलिए आवश्यक शेष २एक्स-१ है।'

'श्रेणी {a_n} का सामान्य व्यवहार a_n ढूंढें जिससे पहले हस्ताक्षर से एनएच आइटम तक का योग स_एन निम्नलिखित संबंधों को पूरा करें:'

''

'इस अंतर समिकरण {an} की पहली से nवीं संख्याओं का योग को Sn कहा । (1) से, a1 से a16 तक सकारात्मक संख्याएं हैं, a17 से प्रतिष्ठावान संख्या हैं, इसलिए, Sn n=16 पर अधिकतम होगा।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का विस्तार करें।'

'योग निकालें: \\(\\sum_{l=5}^{9}(2+l^{2})\\)'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकिकरण करें: (1) $a^{3} b^{3}-b^{3} c^{3}$; (2) $(x+y)^{3}-(y+z)^{3}$; (3) $8 a^{3}-36 a^{2}+54 a-27$'

'निम्नलिखित समीकरण को साबित करें।'

'कृपया ज्ञात संख्या क्षेत्र में निम्नलिखित द्विघातीय अभिव्यंजनों को कारकीकृत करें। (1) x^2 - 20x + 91 (2) x^2 - 4x - 3 (3) 3x^2 - 2x + 3'

'(2) \ x^{4}-16 x^{2}+16 \'

'\\(\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right)=(a x+b y+c z)^{2} \\)+(a y-b x)^{2}+(b z-c y)^{2}+(c x-a z)^{2} \\)'

'जानते हैं कि बहुपद f(x) को (x-1)^2 से विभाजित करने पर भागफल g(x) और शेष 3x-1 है, और जब f(x) को 352(x-2) से विभाजित किया गया तो शेष 6 है। g(x) को x-2 से विभाजित करने पर शेष क्या है, और f(x) को (x-1)(x-2) से विभाजित करने पर भागफल कितना x-U है?'

'पूर्णांक A को x+2 से विभाजित करने पर, भागफल B होगा और शेष -5 होगा। जब भागफल B को x+2 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल x^2-4 होता है और शेष 2 होता है। पूर्णांक A को (x+2)^2 से विभाजित करने पर शेष कितना होगा।'

'विस्तार सूत्र (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} का उपयोग करके, x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3} को कारकरीबन करें।'

'बाईनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके (x + 1)^6 का विस्तार करने पर मिलेगा'

'निम्न समष्टियों को खोजें।'

'श्रेणी के सामान्य शब्द की खोज करें(1):\\egin{\overlineray}{l}a_{1}=1 \\\\a_{2}=3 a_{1}-1=3 \\cdot 1-1=2 \\\\a_{3}=3 a_{2}-1=3 \\cdot 2-1=5 \\\\a_{4}=3 a_{3}-1=3 \\cdot 5-1=14 \\\\a_{5}=3 a_{4}-1=3 \\cdot 14-1=41 \\end{\overlineray}\'

'द्विपद सिद्धांत एक बीजगणितीय सूत्र है जो (a+b)^n के रूप में एवं, द्व्याधिक पोलिनोमियल का विस्तार करने के लिए प्रयोग किया जाता है। विस्तार का अर्थ है पोलिनोमियल को गुणा करना और परिणाम प्राप्त करने के लिए उसे जोड़ना।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के विस्तार में, स्क्वेयर ब्रैकेट में दिए गए मान को ढूँढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण कीजिए।'

'निम्नलिखित समीकरण को गुणा करें।'

'विदेशी व्यंजन x-k को बहुपद P(x) का कारक बनाने के लिए क्या है?'

'(1) क्योंकि P(-2)=-3 है, इसलिए P(x)=(x-1)(x+2)Q_{3}(x)+a(x+2)-3। (2) क्योंकि P(1)=4 है, इसलिए 3a-3=4, इसलिए a=\\frac{7}{3}। इसलिए, चाहिए हुई शेष संख्या है \\frac{7}{3}(x+2)-3=\\frac{7}{3}x+\\frac{5}{3।'

'(क) यहाँ रेशनल नंबर के दायरे में निम्नलिखित समीकरणों का कारक विभाजन करें:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(ख) निम्नलिखित समीकरणों का कारक विभाजन करें वास्तव संख्याओं के दायरे में:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$\n(ग) निम्नलिखित समीकरणों का कारक विभाजन करें अनुपूरक संख्याओं के दायरे में:\n1) $x^{4}+2 x^{2}-15$\n2) $8 x^{3}-27$'

'(3) \\( P(x)=\\{x(x+3)\\}\\{(x+1)(x+2)\\}-24 \\)'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक विभाजन करें (क) योग्यांकों, (ख) वास्तव संख्याओं, और (ग) विकल्पित संख्याओं की सीमाओं में:\n(1) x^{4}+2 x^{2}-15\n(2) 8 x^{3}-27'

'[विस्तृत अभिव्यक्ति में निर्दिष्ट टर्म के संकेतक की खोज]'

'x^{3}-x^{2}-5x-3 में x=-1 का प्रतिस्थापन करने पर (-1)^{3}-(-1)^{2}-5\\cdot(-1)-3=0 होता है \\nइसलिए, x^{3}-x^{2}-5x-3 का x+1 का एक कारक होता है, इसका मतलब x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3) =(x+1)^{2}(x-3)'

'PR \\left(x^{2}-3 x+1\\right)^{10} के विस्तार में x^3 का संज्ञातक खोजें।'

'निम्नलिखित सेरणी का सामान्य शब्द का पता लगाएं: -3, 2, 19, 52, 105, 182, 287, ...'

'विस्तारित अभिव्यक्ति में निर्दिष्ट अंश का सीफ़ीलियम निर्धारित करें'

'(x+y)^{3} का विस्तार x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 है।'

"पीआर एक स्थिर मान है। उस पराबोला के लिए $y=x^{2}+a x+3-a$, स्थिरांक का पथ ढूंढें जब 'a' सभी वास्तव संख्या मानों के लिए अस्थायी होता है। पराबोला की समीकरण को परिवर्तित करने से हमें $y=\\left(x+\\frac{a}{2}\\right)^{2}-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$ मिलता है। पराबोला का स्थिरांक P(x, y) माना जाए तो $x=-\\frac{a}{2}$(1) और $y=-\\frac{a^{2}}{4}-a+3$(1)। (1) से हमें $a=-2 x$ मिलता है। इसे (2) में डालने पर $y=-\\frac{1}{4}(-2 x)^{2}-(-2 x)+3=-x^{2}+2 x+3$ मिलता है। इसलिए, आवश्यक पथ है पराबोला $y=-x^{2}+2 x+3$ जिसके संबंधित स्थिरांक निम्नलिखित हैं $\\left(-\\frac{a}{2},-\\frac{a^{2}}{4}-a+3\\right)$।"

'सहयोगी आपूर्ण संख्या भी हल के रूप में होती है इस गुण का उपयोग करना, जब समीकरण f(x)=0 का कल्पित समाधान p+q i है, तब p-q i भी समाधान है।'

'साबित करें कि x+y, y+z, z+x में से कम से कम एक 0 है'

'कृपया व्यासीय संख्याओं के दायरे में निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को फैक्टराइज़ करें:\n(1) $15 x^{2}+14 x-8$\n(2) $x^{2}-2 x-2$\n(3) $x^{2}+2 x+3$'

'विस्तृत अभिव्यक्ति में मानों का संख्यात्मक स्थानांतरण करें'

'\\( x^{4}-16 =\\left(x^{2}-4\\right)\\left(x^{2}+4\\right) =(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right) \\)\\nइसलिए, समीकरण है\\n\\[(x+2)(x-2)\\left(x^{2}+4\\right)=0\\]\\nइसलिए\ x+2=0 \ या \ x-2=0 \ या \ x^{2}+4=0 \ इसलिए\ x= \\pm 2, \\pm 2 i \'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति का विस्तार में a^2 b^3 c^2 टर्म का कोईफिशियंट ढूंढें: (a+b-2c)^7'

'जब S(x) को (x+1)^{2}(x-3) से विभाजित किया जाता है, तो योगफल को Q_{1}(x) से दर्शाया जाता है।'

'(1) (2x^3 - 3x)^5 के विस्तार में [x^9] के संख्यांक का पता लगाएं'

'जब स्थिर मान k हो, तो द्विघातीय समीकरण $x^{2}+3xy+2y^{2}-3x-5y+k$ को $x,y$ के रूप में एक घन समीकरण के गुणाकार में विभाजित किया जा सकता है तो k का मान खोजें। और विभाजित रूप का परिणाम भी ढूंढें।'

'एक श्रृंखला \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ को पहला मान 1 और सामान्य अंतर 3 वाली अंतरधनी श्रृंखला माना जाता है। श्रृंखला \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ के पहले से नववें सदस्य तक के n सदस्यों के युग्मों के योग को \ S_{n} \ के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, \ S_{3}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{2} a_{3} \ है। \ S_{10} \ ढूंढें।'

'निम्नलिखित विस्तार में निर्दिष्ट पदों का संख्यात्मक मान ढूंढें।'

'(3) समीकरण (x + 1)(x + 3) = x(9 - 2x) का समाधान ढूंढें।'

'1 से 5 तक के अंक लिखे 5 कार्ड हैं। इनमें से 2 कार्ड एक साथ निकाले जाते हैं, निकाले गए कार्ड पर लिखे गए अंकों की अपेक्षित मूल्य (E(5 X^{2}+3)) और वैरियंस (V(3 X + 1)) ढूंढें।'

'द्विघात सिद्धांत का उपयोग करके (a + b)^n का विस्तार करें।'

'(1) लेट a, b स्थायी हों। मान लें कि x पर पूर्णांकीय समीकरण x^{3}+ax+b को (x+1)^{2} से विभाज्य है। a, b के मान बताएं। (2) लेट n 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या हो। x पर पूर्णांकीय x^{n}+ax+b को (x-1)^{2} से विभाज्य होने पर, स्थायी a, b के मान निर्धारित करें।'

'निम्नलिखित बहुपद को कारकणीकरण करें: x^3 - 6x^2 + 11x - 6।'

''

'(1) (समीकरण) \\( = \\frac{x^{2}-1}{x+1} = \\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} \\)\ = x-1 \ (2) और समीकरण \=\\frac{x^{2}}{x^{2}-1}-\\frac{2 x}{x^{2}-1}+\\frac{1}{x^{2}-1} \\\(=\\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}=\\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\\frac{x-1}{x+1} \\)'

'(1) का विस्तार में x³ का संख्याश्रेणी ढूंढें [आइची इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी]'

'वह शरीर जिसे ax+b कहा जाता है, वह है क्या गुणांक जो की पॉलिनोमियल P(x) का कारक है?'

'पहले अभिव्यक्ति को दूसरे अभिव्यक्ति से विभाज्य बनाने के लिए, स्थिर a, b, c, d, e की मानें निर्धारित करें।'

'सूत्र $S_n = \\frac{a\\left(r^n-1\\right)}{r-1}$ में, $a=-1, r=2, n=10$ होने के कारण, योग की मान\n\\[ \\frac{-1 \\cdot\\left(2^{10}-1\\right)}{2-1} = -(1024-1) = -1023 \\]\nसूत्र $S_n = na$ में, $n=10, a=3$ होने के कारण, योग की मान\n\ 10 \\cdot 3 = 30 \'

'निम्नलिखित समीकरणों को विस्तारित करें।'

'दिया गया समीकरण इस प्रकार है:'

'किसी ऐसे मानों के लिए s, t, p, q की मानें खोजें जिनके लिए फ़ंक्शन f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d से संतुष्ट होता है \\[\\int_{-3}^{3} f(x) d x=s \\cdot f(p)+t \\cdot f(q)\\]। साथ ही, p ≤ q को सुनिश्चित करें।'

'निम्नलिखित पैदावार समीकरणों को विस्तारित करें और कारकीकृत करें: (a+b)^{3}, (a-b)^{3}, (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}), (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})'

'निम्नलिखित समीकरण को किसी गुणाकार के रूप में लिखें:\n2. (1) (क) गुणनफल: (3 x-y)(9 x^{2}+3 x y+y^{2})\n(ख) गुणनफल: 9(a+2 b)(a^{2}-2 a b+4 b^{2})\n(ग) गुणनफल: (2 x-y z)(4 x^{2}+2 x y z+y^{2} z^{2})\n(2) (x+4)^{3}'

'नीचे दिए गए समीकरणों को सिद्ध करें।'

'(1) \\((x-7)(x-13)\\)\n(2) \\((x-2-\\sqrt{7})(x-2+\\sqrt{7})\\)\n(3) \\(3\\left(x-\\frac{1+2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\left(x-\\frac{1-2 \\sqrt{2} i}{3}\\right)\\)'

'यहाँ एक नकारात्मक स्थिर मान a है। समीकरण f(x)=2x³-3(a+1)x²+6a x के अंतराल -2 ≤ x ≤ 2 पर अधिकतम और न्यूनतम मान की खोज करें।'

'समीकरण को सही बनाने के लिए खाली जगह भरें: (x-1)^{3}-7(x-1)^{2}+17(x-1)-9 = 314'

'निम्नलिखित कदमों का उपयोग करके a_n को ढूंढें: (1) a_{n}=2+\\frac{3}{n+2} (2) a_{n}=\\frac{3 \\cdot 5^{n}+1}{5^{n}-1}'

'निम्नलिखित की गणना करें: (1) \\( \\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)} \\) (2) \ \\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3 a+2} \'

'जब k एक स्थिर है, तो वह 2 गुणाकार समीकरण x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k को x, y के रूप में सामान्य समीकरण का गुण के रूप में विभाजित किया जा सकता है। k की मान ढूंढें। साथ ही इस विभाजन का परिणाम भी ढूंढें।'

'(1) \ a_{n}=5^{n+1}-20 \\cdot 3^{n-1} \'

'निम्नलिखित समीकरण के लिए सांकेतिक a, b, c के मान निर्धारित करें ताकि निम्नलिखित समीकरण x और y के लिए सत्य हो:(1) x^2 + a xy + by^2 = (cx + y)(x-4 y)'

'(2)(2x-\\frac{1}{2}y+z)^4 में x y^2 z के प्रमाणांक'

''

'(1) \\( (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} \\) (2) \\( (a-1)(a^{2}+a+1)=a^{3}-1^{3}=a^{3}-1 \\)'

'अंकगणित श्रेॣ की योग्यताFिंड करें: \\( \\sum_{k=5}^{14}(2k-9) \\)'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

''

'आकार B_{n+1} के लिए, सबसे दाएं स्तंभ पर ध्यान केंद्रित करें। चित्र 1 में दिखाए गए रूप में, जब टाइल बाहर की ओर रखी जाती है, तो बची हुई भाग A_{n+1} के साथ मेल खाता है। इस मामले में, टाइल करने के तरीके होते हैं a_{n+1}। दूसरी ओर, चित्र 2 में दिखाए गए रूप में, जब टाइल बाहर की ओर स्थापित की जाती है, तो यहां 3 तरीके हैं, और बची हुई भाग B_{n} के साथ मेल खाता है। इस मामले में, टाइल करने के तरीके होते हैं b_{n}। इसलिए, b_{n+1} = a_{n+1} + b_{n}, इसलिए b_{2} = a_{2} + b_{1} = 11 + 4 = 15'

'निम्नलिखित समीकरणों के संख्याओं का पता लगाएं:\n1. (1) x^{3}-x^{2}+\x0crac{1}{3} x-\x0crac{1}{27}\n(2) -8 s^{3}+12 s^{2} t-6 s t^{2}+t^{3}\n(3) 27 x^{3}+8 y^{3}\n(4) -a^{3}+27 b^{3}\n(5) 64 x^{6}-48 x^{4} y^{2}+12 x^{2} y^{4}-y^{6}'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'दाहिनी तरफ को फिर से लिखें'

'यदि g(x) = (x^3 - 2x^2 - 45x - 40) / (x - 8) है, तो g(2020) का दशमलव भाग निकालें। यहां, किसी भी वास्तव संख्या a का दशमलव भाग उस संख्या का महत्तम पूर्णांक n है, जिससे a छोटा हो।'

'निम्नलिखित अंकों की एक सामान्तर श्रेणी का सामान्य पद ढूंढें।\n(ए) 1, -\\frac{1}{2}, -2, -\\frac{7}{2},\n(ब) p+1, 4, -p+7, -2 p+10,\n(2) एक अंक-श्रेणी में जहाँ 9वां अंक 26 है और 18वां अंक 53 है, 134 इस श्रेणी में कौन सा अंक है? साथ ही, सबसे पहले कौन सा अंक 1000 से अधिक होता है।'

'एक समांतर श्रेणी का सामान्य सदस्य खोजें। पहला सदस्य a और सामान्य अंतर d हो।'

'कृपया निम्नलिखित समीकरणों का गुणाकार कीजिए। (1) $2(x-1)^{2}-11(x-1)+15$ (2) $x^{2}-y^{2}+4y-4$ (3) $x^{4}-10x^{2}+9$ (4) $(x^{2}+3x)^{2}-2(x^{2}+3x)-8$'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित मान्यता का विस्तृतीकरण करें।'

'(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 को विकर्णीकरण करने पर (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) मिलता है।'

'विस्तार करें (x+y+1)(x^{2}-xy+y^{2}-x-y+1)।'

'(2) \\[\egin{aligned}(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) & =(x-1)(x+1) \\times(x-2)(x+2) =(x^{2}-1) \\times(x^{2}-4) =(x^{2})^{2}-5 x^{2}+4 =x^{4}-5 x^{2}+4 \\]'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'\\[ (4) \\left(-2 a x^{3} y\\right)^{2}\\left(-3 a b^{2} x y^{3}\\right) =(-2)^{2} a^{2}\\left(x^{3}\\right)^{2} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 a^{2} x^{6} y^{2} \\times(-3) a b^{2} x y^{3} =4 \\cdot(-3) a^{2+1} b^{2} x^{6+1} y^{2+3} =-12 a^{3} b^{2} x^{7} y^{5} \\]'

'निम्नलिखित समीकरणों का विस्तार करें।'

'वास्तव संख्या x, y के लिए |2x+y|+|2x-y|=4 को पूरा करते हुए, 2x^2+xy-y^2 का संभावित मान सीमा 11 ≤ 2x^2+xy-y^2 ≤ 9 है।'

'दिए गए पाठ का कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकविकल्पन करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को कारकों में विभाजित करें।'

'एक वास्तविक संख्या के लिए a और एक सकारात्मक स्थिर संख्या के लिए b मान करें। x की फ़ंक्शन f(x)=x^{2}+2(a x+b|x|) का न्यूनतम मान m ढूंढें। इसके अलावा, a के मान में परिवर्तन होने पर, m के लिए चित्र बनाएं, जहां लगातारीय दो गोलार मान a को और m को लंबवत अक्ष के रूप में खींचें।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'(1) बाईं ओर को कारकों में विभाजित करें और'

'(1) a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b) का उपयोग करके, a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c का कारक विस्तार कीजिए।'

'(3a-2b)^{2}'

'निम्नलिखित समीकरणों को गुणा करें।\n(1) 3 x^{2}+10 x+3\n(2) 2 x^{2}-9 x+4\n(3) 6 x^{2}+x-1\n(4) 8 x^{2}-2 x y-3 y^{2}\n(5) 6 a^{2}-a b-12 b^{2}\n(6) 10 p^{2}-19 p q+6 q^{2}'

'(4) (2√6+√3)(√6-4√3) का मान क्या है।'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित समीकरण को कारकों में विभाजित करें। (1) x^{2}-2 x y+y^{2}-x+y'

'दिए गए समीकरण को गुणा-समीकरण में बदलें।'

'आँकड़े $a, b, c, d$ खोजने के लिए, झूला उदाहरण और आँकड़ा विभाजन का सूत्र $a c x^{2}+(a d+b c) x+b d=(a x+b)(c x+d)$ का उपयोग करना सहायक है।'

'निम्नलिखित समीकरण का कारकीकरण करें।'

'दाएं कंधे से शुरू करके'

'(3) \\ [(x-3 y+2 z)(x+3 y-2 z) = \\{x-(3 y-2 z)\\}\\{x+(3 y-2 z)\\} = x^{2}-(3 y-2 z)^{2} =x^{2}-9 y^{2}-4 z^{2}+12 y z]'

'निम्नलिखित बहुपदों में, [ ] के अंदर ध्यान केंद्रित करते समय उनकी गुणाकार और स्थायी सदिश की पहचान करें:'

'निम्नलिखित समीकरण को गुणाकार में लिखें। (1) x^{6}-1'

'दाएं तिरछा शुरू करके, 6 a^{2}-a b-12 b^{2} =(2 a-3 b)(3 a+4 b)'

'(5) (1-√7+√3)(1+√7+√3) का मान पता करें।'

'निम्नलिखित समांतर व्यंजनों का विस्तार करें: (1) (a+2)^{2} (2) (3 x-4 y)^{2} (3) (2 a+b)(2 a-b) (4) (x+3)(x-5) (5) (2 x+3)(3 x+4) (6) (4 x+y)(7 y-3 x)'

'(2a-5b)^{3} का विस्तार है: 8a^{3}-60a^{2}b+150ab^{2}-125b^{3}'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'निम्नलिखित समीकरण का विस्तार करें।'

'सही कंधे से'

'(3) उस संख्या का खोजें जिसका योग 3x^2-2x+1 के साथ x^2-x है।\n(2) एक विशिष्ट बहुपद में a^3+2a^2b-5ab^2+5b^3 को जोड़ने की बजाय ग़लती से घटा दिया गया था, जिससे -a^3-4a^2b+10ab^2-9b^3 हो गया। सही उत्तर ढूँढें।'

''

'निम्नलिखित समांतर व्यंजन का विस्तार करें।'

'निम्न समीकरणों का विस्तार करें।'

'निम्नलिखित संकेत का विस्तार करें: (x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)'

'बहुपदों के जोड़-घटाव-गुणाकरण नियम A, B, C बहुपद हैं। व्याप्ति सिद्धांत A+B=B+A, AB=BA अभिन्यास सिद्धांत (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) वितरण सिद्धांत A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC घात सिद्धांत m, n को सकारात्मक पूर्णांक मानें। 1. a^m a^n = a^(m+n) 2. (a^m)^n = a^(mn) (संदर्भ) a^0 = 1 3. (ab)^n = a^n b^n विस्तार सूत्र, अंशकरण: 1. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 2. (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 3. (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab 4. (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd (संदर्भ) 5. (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 6. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारकीकरण करें।'

'गणित करें (x+b)(x+c)(b-c) + (x+c)(x+a)(c-a) + (x+a)(x+b)(a-b)।'

'अभ्यास: निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें।'

'\\[ (3) \\left(-2 a^{2} b\\right)^{3}\\left(3 a^{3} b^{2}\\right)^{2} =(-2)^{3}\\left(a^{2}\\right)^{3} b^{3} \\times 3^{2}\\left(a^{3}\\right)^{2}\\left(b^{2}\\right)^{2} =-8 a^{2 \\times 3} b^{3} \\times 9 a^{3 \\times 2} b^{2 \\times 2} =-8 a^{6} b^{3} \\times 9 a^{6} b^{4} =(-8) \\cdot 9 a^{6+6} b^{3+4} =-72 a^{12} b^{7} \\]'

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'निम्नलिखित समीकरण को विघातमूलीकरण करें: (x+y+1)^{4}-(x+y)^{4}'

'निम्नलिखित समांतर बिंदु को विस्तारित करें।'

'(3 x-4 y)(5 y+4 x)'

'जब a = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} हो, तो निम्नलिखित समीकरणों का मान निकालें।\n(1) a^{2}-a-1\n(2) a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1'

'(2)(2p-q)(4p^{2}+2pq+q^{2})'

'निम्नलिखित समीकरणों का कारक निकालें:'

'दाएं कंधे से'

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