मूलभूत बीजगणित - बीजगणितीय क्रियाएँ (अंकगणित, घातांक, मूल)

'कृपया योग और गुणन के सूत्र दिखाएं।'

'कृपया निम्नलिखित वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की गणना करें।\n(a + bi) * (c + di)\nयहाँ a, b, c, और d वास्तविक संख्याएं हैं।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित अनुक्रमों {a_{n}}, {b_{n}} की सामान्य पद्धति खोजें।'

'निम्नलिखित समस्या का हल करें।'

'निम्नलिखित नियमों के अनुसार अभिव्यक्ति की गणना करें: प्रारंभिक स्थिति a_1=5, अगर सम है तो a_n/2, अगर विषम है तो a_n+1।'

'कृपया निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (6) [\x0crac{x+11}{2 x^{2}+7 x+3}-\x0crac{x-10}{2 x^{2}-3 x-2}] = ?'

'हेतुत्व समीकरण की गुणधर्मों का वर्णन कीजिए।'

'मूल और सयंत्रों के बीच संबंध का उपयोग करके निम्नलिखित मानों की खोज करें।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रमों {a_{n}}, {b_{n}} का सामान्य पद ढूँढें।'

'(8) \\frac{\\sqrt[3]{a^{4}}}{\\sqrt{b}} \\times \\frac{\\sqrt[3]{b}}{\\sqrt[3]{a^{2}}} \\times \\sqrt[3]{a \\sqrt{b}}=a^{\\frac{4}{3}} b^{-\\frac{1}{2}} \\times a^{-\\frac{2}{3}} b^{\\frac{1}{3}} \\times a^{\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{6}}'

'कृपया निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (4) [(x+y)/(x-y)-(y)/(x-y)+(2x-y)/(y-x)] = ?'

'(7)\n\\[\egin{aligned}\n\\sqrt[3]{54}+\\sqrt[3]{-250}-\\sqrt[3]{-16} & =\\sqrt[3]{54}-\\sqrt[3]{250}-(-\\sqrt[3]{16}) \n& =\\sqrt[3]{3^{3} \\cdot 2}-\\sqrt[3]{5^{3} \\cdot 2}+\\sqrt[3]{2^{3} \\cdot 2} \n& =3 \\sqrt[3]{2}-5 \\sqrt[3]{2}+2 \\sqrt[3]{2}=(3-5+2) \\sqrt[3]{2} \n& =0\n\\end{aligned}\\]'

'अभ्यास: यदि कोई बहुपद P(x) को (x+1)^2 से विभाजित करने पर शेष 18x+9 होता है, और x-2 से विभाजित करने पर 30 का शेष होता है और शेष 9 है, तो P(x) को (x+1)^2(x-2) से विभाजित करने पर शेष क्या होगा।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {a_{n}}, {b_{n}} का सामान्य शब्द खोजें।'

'निम्नलिखित संवेदनों को सरल रूप में करें।'

'भिन्नों के साथ मूल ऑपरेशन्स का प्रदर्शन करें।'

'समग्र अभ्यास'

'निम्नलिखित अभिव्यंजनों की गणना करें।'

''

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'कॉम्प्लेक्स नंबर गणित का उपयोग करके निम्नलिखित गणना करें: (3 + 4i) + (1 - 2i)।'

'अभ्यास (1) n एक प्राकृतिक संख्या है। x ^ n-3 ^ n को (x-3) ^ 2 से विभाजित करने पर शेष क्या है। साथ ही, 31x ^ n-3 ^ n को x ^ 2-5x + 6 से विभाजित करने पर शेष क्या है। (2) में, 3x ^ 100 + 2x ^ 97 + 1 को x ^ 2 + 1 से विभाजित करने पर शेष क्या है।'

''

''

'इस प्रस्तावित स्थिति से परिभाषित अनुक्रमों \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ का सामान्य अंश खोजें।\\n\\n\\\na_{1}=1, \\quad b_{1}=-1, \\quad a_{n+1}=5 a_{n}-4 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\\n\'

'बहुपद भागीभाजी का लाभ और शेष दिखाएं।'

'श्रेणी {p a_{n}+q b_{n}} एक समांतर श्रेणी है, पहला विषय है p a_{1}+q b_{1}=p a+q b, और सामान्य अंतर है p d+q e'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित दिशानिर्देशों के अनुसार अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\},\\left\\{b_{n}\\right\\} \ का सामान्य पद ढूंढें।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित श्रृंखला {a_n} का पांचवां पद ढूंढें:'

'फ़र्की श्रृंखला के पहले 100 मान, साधारण अंतर -8 और पहले 30 मानों का योग ढूंढें।'

'क्रम $b_{n+1}=-a_{n}+b_{n}$ का सामान्य प्रचलन ढूंढें।'

'अंकित संख्या कठिनाई कॉमन डिफ़रेंस ऑफ 1 के साथ 1 और 16 वें मान 5 हैं, जहाँ 10 वां मान 1 है और 15 वां से 30 वें मान का योग S निकालें।'

'x = i पर बहुपद को प्रतिस्थापित करके दिए गए समीकरण का शेष खोजें।'

'लंबी विभाजन का उपयोग करके, निम्नलिखित समीकरणों को [ ] में 1 डिग्री समीकरण द्वारा विभाजित करने पर शेष और बची हुई संख्या ढूँढें।'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें:'

'भागफल Q(x) और शेष ax + b ढूंढें, जब x^{2020} + x^{2021} को x^2 + x + 1 से विभाजित किया जाता है'

'अभ्यास 29: निम्नलिखित समस्या का समाधान करें। एक बहुपद $P(x)$ दिया गया है, जब $(x-1)(2x+1)$ से विभाजित किया जाता है, अंश $Q(x)$ है और शेष $ax+b$ है। निम्नलिखित समीकरण सही है: $P(x)=(x-1)(2x+1)Q(x)+ax+b$।'

'(2) \\n\\\\[\\\egin{aligned} \\n a^{2} \\times\\left(a^{-1}\\right)^{3} \\div a^{-2} & =a^{2} \\times a^{(-1) \\times 3} \\div a^{-2} \\n & =a^{2-3-(-2)}=a \\n\\\\end{aligned}\\\\]'

'a>b में c को जोड़ने से a+c>b+c होता है, c>d में दोनों तरफ़ b जोड़ने से b+c>b+d होता है, इसलिए a+c > b+d'

'कृपया निम्नलिखित तय करें कि निम्नलिखित संयुक्त संख्याओं का जोड़ :\n(a + bi) + (c + di)\nजहां a, b, c, और d वास्तविक संख्याएं हैं।'

'\\( (x+y)^{2}-(x-y)^{2} = 4xy \\)'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'कृपया निम्नलिखित आंकिक संख्याओं का घटाव करें।\n(a + bi) - (c + di)\nयहाँ a, b, c, d वास्तविक संख्याएं हैं।'

'निम्नलिखित बहुपदों को [ ] में रैखिक संविभाजन करने पर शेष मिलेगा।'

'निम्नलिखित संख्या समूहों के साथ तुलनात्मक आकार का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्याओं के संबंधित आकार को प्रकट करें। \ 1.5, \\log _{2} 5, \\log _{4} 9 \'

'अभ्यास पुस्तक 104 पृ। 208\n(1) \ t=\\sin \\theta-\\cos \\theta \ दोनों पक्षों को वर्ग करने पर \ t^{2}=\\sin ^{2} \\theta-2 \\sin \\theta \\cos \\theta+\\cos ^{2} \\theta \ हो जाता है इसलिए \ t^{2}=1-\\sin 2 \\theta \ और इस प्रकार \ \\sin 2 \\theta=-t^{2}+1 \ इसलिए \\( f(\\theta)=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\left(-t^{2}+1\\right)-t=-\\frac{\\sqrt{2}}{2} t^{2}-t+\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\)'

'22 का योगफल ढूंढें: 4 * 1 + 8 * 3 + 12 * 3^2 + ... + 4n * 3^(n-1)'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित सीक्वेंस {an} का सामान्य शब्द खोजें।'

'निम्नलिखित प्रत्येक सेट के नंबर्स का क्रम असमता सिम्बल का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'वर्ग के संबंध'

'निम्नलिखित संविधानों की गणना करें।'

'63 की घनमूल की गुणधर्म'

'निम्नलिखित संविदानों का गणना करें।'

'दो अनुक्रम {an}, {bn} और एक स्थिर p के लिए'

'सामान्य सदस्य से एक सदस्य खोजें'

'उदाहरण 108 में, A ने समस्या को हल करने के लिए x+y=k का सेट किया। क्षेत्र D में शामिल सभी (x, y) जोड़ों के लिए x+y के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों की गणना करना असंभव है। अतः... x+y=k सेट करके और (x, y) को रेखा y=-x+k पर बिंदु के रूप में उपचारित करके। कुल मिलाकर, जब रेखा y=-x+k क्षेत्र D में से बिंदुओं से होकर गुजरती है (= जब यह क्षेत्र D के साथ बिंदु साझा करती है), तो केवल y-सम्मिलन की अधिकतम और न्यूनतम मानों को विचारना पर्याप्त होता है। अब, एक ही शर्तों के तहत, आइये 2x+y की अधिकतम और न्यूनतम मानों को ध्यान में रखते हैं। 2x+y=k सेट करके और रेखा y=-2x+k की चाल में जांच करते हैं, p का न्यूनतम मान मिलता है, ए और समान तरीके से, सीधा द्वारा गुजरती है (2) मूल से ओ जब कि, क का अधिकतम मान वह समय नहीं है जब रेखा (2) बिंदु (2,2) के माध्यम से गुजरती है, बल्कि जब यह बिंदु (10/3, 0) के माध्यम से गुजरती है।'

'बी (134)(20+1)^{100} का दस का औसत मान निकालें।'

'पहले से निकाले गए अंक से निकाले गए कुल \ S_{n} \ के भीतर, निम्नलिखित सूत्र से प्रतिनिधित संख्याओं की एक आम शब्द खोजें:'

'उपलब्ध सिद्धांत से साबित करें कि निम्नलिखित समीकरण सत्य है।'

'बहुपदों का विभाजन'

'कॉम्प्लेक्स संख्याओं के भाग करने की विधि की व्याख्या करें।'

'समाधान और समयक के बीच संबंध'

'निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'जानकारी 106^4 * \\log_{10} 2 = 0.3010 है, और \\log_{10} 3 = 0.4771 है। 2011 कितने अंकों का है? साथ ही, 2^{2011} का अग्रगण्य अंक ढूंढें।'

'यहाँ विपरीत पूंजी P(x)=2 x^{3}-3 x+1 को इस प्रकार के रैखिक प्रकारों से विभाजित किया जाता है कि: (अ) x-1 (बी) 2 x+1, उस समय शेष मान फ़र्मा दें।'

'हार्मोनिक मीन'

'यौक्तिक संख्याओं के घात\n\ a>0, m, n \ सकारात्मक पूर्णांक हैं, और \ r \ सकारात्मक यौक्तिक संख्या है, तो \\( a^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{a}, \\quad a^{\\frac{m}{n}}=(\\sqrt[n]{a})^{m}=\\sqrt[n]{a^{m}}, \\quad a^{-r}=\\frac{1}{a^{r}} \\)'

''

'जब बहुपद P(x)=\\frac{1}{2}x^{3}+ax+a^{2}-20 को x-4 से विभाजित किया जाता है और शेष 17 है तो स्थायी a का मान खोजें।'

'सवाल की सीधी रेखाएँ चित्र में दिखाई गई दो रेखाएँ खींची जा सकती हैं, इसलिए, सीधी रेखा और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच कोण है \ \\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{4} \\text { या } \\frac{\\pi}{6}-\\frac{\\pi}{4} \'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'सिद्ध करें कि यदि a+b+c=0 है तो समीकरण a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0 सत्य है।'

'ज्यामितीय $P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+2$ को $x-2$ से विभाजित करने पर शेष क्या है।'

'भाग वाक्य का उपयोग करके एक बहुपद निर्धारित करें'

'सूची की सामान्य पद्धति ढूंढें जो पहले पद से एनथे पद तक योग को एसएन के रूप में प्रस्तुत करती है'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} का सामान्य पद ढूंढें। a1=1, an+1=an+n^2'

'यदि x=3+2i, y=3-2i है, तो कृपया x+y, xy, और x^2+y^2 के मान निकालें।'

'व्याक्तिगत संख्याओं के जोड़, घटाव और गुणा करने के सामान्य तरीके दिखाएं।'

'मूल की मान खोजें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को r*sin(θ+α) के रूप में व्यक्त करें, जहां r>0, -π<α≤π।'

'3 के पहले मान और -5 की सामान्य अंतर के साथ संख्या श्रृंखला का योग S ढूंढें जो 11वें अंक के लिए है।'

'जब बहुपद P(x)=3x^{3}-ax+b को x-2 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 24 है, और जब x+2 से विभाजित किया जाता है, तो शेष -16 है। स्थायी a, b के मान ढूंढें।'

'बहुपद भागीया को सीखें और उदाहरण 7 को विजयी बनाएं!'

''

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} का सामान्य सदिश ढूंढें। (1) a1=-1, an+1=an+4 n-1 (2) a1=1, an+1=an+n^{2} (3) a1=4, an+1=an+5^{n}'

'उन वास्तव संख्याओं x और y के मान ढूँढें जो समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।'

'लंबी विभाजन का प्रयोग करके, निम्नलिखित बहुपद A को रैखिक समीकरण B द्वारा विभाजित करने पर शेषफल और बाकी की गणना करें।'

'(2+i)(x+yi)=3-2i की मान्यता रखने वाले वास्तव संख्या x और y की मान की खोज करें।'

'भिन्नों का जोड़ और घटाव'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'जब बहुपद P(x)=x^{3}-x^{2}+ax-4 को x+1 से विभाजित किया जाता है और बचा हुआ -2 है, तो स्थायी a की मान का पता लगाएं।'

'जब पोलिनोमियल A को B से भाग दिया जाता है, तो परिणामी भाज्य Q और शेष R को ढूंढें। साथ ही, परिणाम को A=BQ+R के रूप में व्यक्त करें। \n(1) A=4x^{3}-3x-9, B=2x+3 \n(2) A=1+2x^{2}+2x^{3}, B=1+2x'

' \\( \\sum_{k=1}^{n} k\\left(k^{2}-1\\right) \\) की समयोजना करें।'

'रेखा 2x+5y=3 की ढाल -2/5 है। इस रेखा के लिए लंबवत रेखा की ढाल ढूँढें, और इसकी समीकरण निकालें।'

'मानक 56: बहुपद भाग और शेष का निर्धारण'

'(4) जोड़ और घटाव\nजब अलग-अलग मानवर्ग वाले भिन्नांकों को जोड़ना या घटाना हो, तो गणना करने से पहले उन्हें एक ही मानवर्ग वाले रूप में परिवर्तित करें।\nदो या दो से अधिक भिन्नांकों का मानवर्ग एक ही करना को सामान मानवर्ग ढूंढना कहते हैं।\nउदाहरण:\n\\[\egin{array}{l}\\frac{x+2}{x+3}+\\frac{x+5}{x+3}=\\frac{(x+2)+(x+5)}{x+3}=\\frac{2x+7}{x+3}\\\\\\frac{2}{3}+\\frac{5}{3}=\\frac{2+5}{3}=\\frac{7}{3}\\\\\\frac{x+3}{x+5}-\\frac{1}{x+4}=\\frac{(x+3)(x+4)-1 \\cdot(x+5)}{(x+5)(x+4)}=\\frac{x^{2}+6x+7}{(x+5)(x+4)}\\quad\\frac{3}{5}-\\frac{1}{4}=\\frac{3 \\cdot 4-1 \\cdot 5}{5 \\cdot 4}=\\frac{7}{20}\\\\\\end{array}\\]'

'यह असमीकरण सत्यापित करें।'

'निम्नलिखित समाक्षेपण का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरणों को व्यक्त करें।'

'पाठ 33: जोड़, घटाव और गुणा करने की विपदा की संख्याओं का काम'

'(1) जब बहुपद P(x) = 2x^3 - 3x + 1 को निम्नलिखित रैखिक अभिव्यक्तियों से विभाजित किया जाता है, तो शेष क्या है:\n(A) x-1\n(B) 2x+1\n(2) यदि बहुपद P(x) = 1/2x^3 + ax + a^2 - 20 को x-4 से विभाजित करने पर शेष 17 है, तो स्थायी a की मान का पता लगाएं।\n(3) यदि बहुपद P(x) = x^3 + ax^2 + x + b को x+2 से विभाजित करने पर शेष -5 है और x-3 से विभाजित करने पर शेष 20 है, तो स्थायी a, b की मान पता लगाएं।'

'7 बिंदु x 3'

''

'निम्नलिखित विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।'

'172 (1) \\( \\pi\\left(-r^{2} \\cos r+2 r \\sin r+2 \\cos r-2\\right) \\)\n(2) \ \\frac{1}{\\pi r^{2} \\sin r} \'

'कॉम्प्लेक्स समतल में, एक त्रिभुज OAB है जिसमें तीन बिंदु O, A, और B हैं। यहाँ, O मूल बिंदु है। OAB त्रिभुज का बाह्य केंद्र P है। यदि A, B, और P द्वारा प्रतिनिधित जादित संख्याएँ क्रमशः α, β, और z हैं, और यह दिया गया है कि αβ=z, तो α को पूरा करने वाली शर्तों को निर्धारित करें, और कॉम्प्लेक्स समतल पर बिंदु A(α) द्वारा वर्णित आकृति को चित्रित करें।'

'निम्नलिखित संवेदनाओं को z और उसकी संयोजक z-बार का उपयोग करके व्यक्त करें: (1) ए (2) बी (3) ए-बी (4) ए^2-बी^2'

'(1) \\ 2 \\ sqrt{2} \\ times\\left(cos \\ frac{7}{4} \\ pi+i \\ sin \\ frac{7}{4} \\ pi\\right)'

'|z|=2,|w|=5 को संतोषित करने वाले ज़ और डब्ल्यू के रूप में कॉम्प्लेक्स संख्याएँ हों। यदि z बार डब्ल्यू का वास्तविक भाग 3 है, तो |z-w| की मान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों के आम सदस्य ढूंढिए: \\( \\left\\{ \egin{array}{l}a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\\\ b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}\\end{array} \\quad(prs \\neq 0) \\)'

'(1) \\ 2 \\cos \\frac{5}{12}\\pi\\left(\\cos \\frac{7}{12}\\pi+i\\sin \\frac{7}{12}\\pi\\right)'

''

'दिए गए वेक्टर्स $\\ vec{a} = (11,23)$ और $\\ vec{b} = (-2,-3)$ के लिए, $| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$ को कम से कम करने वाले वास्तव संख्या t का मूल्य क्या है? इसके अतिरिक्त, $10| \\ vec{a} + t \\ vec{b} |$ की न्यूनतम मान का पता लगाएं।'

'एक वेक्टर निर्देशित रेखा सेगमेंट होती है जो बिंदु A से बिंदु B तक जाती है। एक वेक्टर केवल अपने दिशा और मात्रा द्वारा परिभाषित है, जिसे a = AB के रूप में दर्शाया गया है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: 1. वेक्टर a की मात्रा के प्रतिष्ठित रेखा की लंबाई को निकालें, |a| a। 2. k > 0 के लिए का के दिशा का वर्णन करें। 3. ज़ीरो वेक्टर 0 की गुणधर्मों का विवरण करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को उस रूप में रूपांतरित करें जो sqrt को शामिल नहीं करता।'

''

'(1) जब \ 0^{\\circ} \\leqq \\theta \\leqq 180^{\\circ}, \\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{1}{2} \ हो, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान का पता लगाएं।\\n(1) \ \\sin \\theta \\cos \\theta \\\n(2) \ \\sin ^{3} \\theta+\\cos ^{3} \\theta \\\n(3) \ \\sin \\theta-\\cos \\theta \\\n[ओसाका विश्वविद्यालय] बेसिक 25,113'

'बहुपदों का जोड़ और घटाव'

'बहुपद का जोड़ और घटाव'

'3\n\\[\n\egin{aligned}\n& \\text { 1 ) } A+B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)+\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= (5+3) x^{3}+(-2-5) x^{2}+3 x+(4+3) \\\n= 8 x^{3}-7 x^{2}+3 x+7\n\\end{aligned}\n\\]\n2)\n\\[\n\egin{aligned}\n& A-B \\\n= \\left(5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\\right)-\\left(3 x^{3}-5 x^{2}+3\\right) \\\n= 5 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4-3 x^{3}+5 x^{2}-3 \\\n= (5-3) x^{3}+(-2+5) x^{2}+3 x+(4-3) \\\n= 2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\n\\end{aligned}\n\\]'

'(ए) \\\\ 3 \\\\sqrt{2} \\\\'

'(1) \\( \\left(-2 x^{2} y\\right)^{2}(2 x-3 y) \\)'

'ट्रैक एवं फील्ड में शॉर्ट डिस्टेंस रनिंग में, 100 मीटर दौड़ने में लगने वाला समय (यहां समय कहा जाएगा) हर कदम पर ट्रेवल की गई दूरी (यहां स्ट्राइड कहलाती है) और प्रति सेकंड कदमों की संख्या (यहां पिच कहलाती है) से संबंधित है। स्ट्राइड और पिच किसी भिन्नता से निर्धारित होती हैं।'

'उत्पादों का कानून उपयोग करें'

'किसी पोलिनोमियल से-2x^{2}+5x-3 को कम करने की बजाय इसे जोड़ा गया, उत्तर -4x^{2}+13x-6 हुआ। सही उत्तर ढूंढें।'

'68 संख्याओं में, 1 3 बार, 2 3 बार, 3 2 बार होने पर आवर्तन की कुल संख्या की गणना करें।'

'संख्याओं का क्रमबद्धीकरण (संख्याओं के क्रम संबंधी शर्त के आधार पर)'

'एक समूह को कई समूहों में बाँटने के तरीकों की संख्या को विचार करें, प्रत्येक समूह में कम से कम एक व्यक्ति होना चाहिए।'

'(सम्पूर्ण) - (नहीं है) अवधारणा का उपयोग'

'\ 114 S=\\frac{1}{2} p q \\sin \\theta \'

'निम्न व्यंजनों की गणना करें।'

'एक बहुपद से (-2x^2+5x-3) कम करने की बजाय, गलती से इस समीकरण को जोड़ दिया गया, जिसका परिणाम -4x^2+13x-6 हुआ। सही उत्तर ढूंढें।'

'(2) से घटाने के लिए अभिव्यंजन खोजें ताकि 8x^2-5xy+5y^2 मिले।'

''

'जोड़ के समरूपी गुणधर्म को दिखाएं।'

'चतुर्भुजों की संख्या और संयोजन'

'116 4-√7/3'

'दिए गए बहुपद में समानक ढंग से कटोती करें। [ ] में चरित्रों पर ध्यान कें प्राप्त करें, उसकी घटना और स्थिर अंश का निर्धारण करें।'

'अवश्यक और पर्याप्त शर्तों, व्यक्तिगतता और पर्याप्तता के साथ निम्न समस्या का प्रयास करें।'

'\ 141 \\sqrt{7} a \'

''

'बहुपदों के जोड़, घटाव, और गुणा करने के नियमों के अनुसार, निम्नलिखित बहुपदों की गणना करें।'

'8 सेबों को A, B, C, और D चार बैग में विभाजित करने के कितने तरीके हैं? यदि कुछ बैग्स में कोई सेब नहीं हैं तो भी।'

'बहुपदों के जोड़, घटाव, और गुणन के लिए कई समस्याएं उत्पन्न होती हैं, जहाँ हमें विभिन्न बहुपदों को जोड़ना, घटाना या उनका गुणन करना होता है। एक उदाहरण के माध्यम से हम अपनी समझ को गहराने का प्रयास करें।'

'निम्नलिखित एकद्रीयों के संकेत और घाताएँ निर्धारित करें। साथ ही, वर्गाकार ब्रैकेट्स के भीतर अक्षरों का महत्व विश्लेषण।'

'दिए गए पाठ का कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'जब A=2x^{3} +3x^{2}+5, B=x^{3}+3x+3, C=-x^{3} -15x^{2} + 7x हो, तो निम्नलिखित समीकरण की गणना करें। (1) 4A + 3(A - 3B - C) - 2(A - 2C) (2) 4A - 2{B - 2(C - A)}'

'निम्नलिखित समीकरण को सरल बनाएँ। यहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। (1) 2(-a b)^{n}+3(-1)^{n+1} a^{n} b^{n}+a^{n}(-b)^{n}'

'निम्नलिखित 18 अभिव्यंजनों की गणना करें।'

'वर्ग पूरा करने का अभ्यास करें'

'अध्याय 2 वास्तविक संख्याएँ, रैखिक असमीकरण: 5 के वर्गमूल से संबंधित अभिव्यक्तियों की गणना'

'बहुपद A और B के योग और अंतर की गणना करें।'

'(2x + 3x) के लिए समान घातों को जोड़कर 5x प्राप्त करें।'

'निम्नलिखित एकचरक की डिग्री और समकोण कहें। साथ ही, वर्ग ब्रैकेट्स के भीतर के अक्षर पर ध्यान केंद्रित करते हुए, उस अक्षर की डिग्री और समकोण कहें।'

'क्रमों A और B का योगफल A + B और विघात A - B ढूंढें।'

'मानक 5: बहुपदों का जोड़-घटाव (2)'

'अध्याय 1: समीकरणों का हिसाब - 1 पोलिनोमियल का जोड़ और घटाव'

''

'समुच्चय A और B की मौलिक गुणधर्मों की स्पष्टीकरण करें, और डी मॉर्गन का कानून प्रदर्शित करें।'

'जब $A=2 x+y+z, B=x+2 y+2 z, C=x-2 y-3 z$ हो, तो निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें। (1) $3 A-2 C$ (2) $A-2(B-C)-3 C$'

'सम कानून का उपयोग।'

'(4) -1<y<3 की प्रत्येक सीमा को -2 से गुना करें ताकि -1*(-2)>y*(-2)>3*(-2)'

'एकांशिक का गुणाकार कीजिए। संख्याओं के नियम का उपयोग कीजिए।'

'दिए गए बहुपद A और B का योग और अंतर की गणना करें।'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना करें: (8)(√6 + 2)(√3 - √2)'

'निम्नलिखित गुणा के नियम का उपयोग करके, सारणी में गलत विवरण को सही करें।'

"अगर 1, 4 वां को समान सूचक रखकर और 2, 3, 5 वे समान किये जाते हैं, इस प्रकार पांच खुशबूओं का भेदन किया जाता है, तो यह दायां चित्र में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस चित्र को 'सूमा' नामक दिया जाता है। पांच खुशबूओं के भेद का प्रतिनिधित्व करने वाले कुल 52 चित्र हैं। प्रत्येक में 'किरितसुबो' और 'युमेउत्सुत्सु' को छोड़कर गेंजी की कथा के पाठों का नाम शामिल है, इसे गेंजी की इंसेंस पैटर्न के रूप में जाना जाता है। कृपया दो प्रकार के खुशबू होने की स्थिति में कितने चित्र हैं, इसको विचार करें। जब 5 खुशबू को 3 और 2 में विभाजित किया जाता है, तो कितने प्रकार हैं? इसके अलावा, उन्हें 4 और 1 में विभाजित करने की स्थिति को भी ध्यान में रखें।"

'वास्तविक मान के अवशेष के बारे में संक्षेप में समझाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'(2x^2-7xy+3y^2)-(3x^2+2xy-y^2)'

'रियाज़ सवारनूर का आधार है'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (2) 2√50 - 5√18 + 3√32'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'1) 8 विभिन्न रसों को A और B दो लोगों के बीच विभाजित करने के कितने तरीके हो सकते हैं? यहाँ ध्यान देना चाहिए कि A और B को कम से कम 1 रस मिलना चाहिए। \n2) 8 विभिन्न रसों को 2 समूहों में विभाजित करने के कितने तरीके हो सकते हैं?'

'निम्नलिखित संवेदनशीलता की गणना करें: (7) (√20 + √3)(√5 - √27)'

'वर्गमूल सम्मिलित अभिव्यंजनों का हिसाब लगाएं। निम्नलिखित अभिव्यंजन का हिसाब लगाएं: \ \\sqrt{4} + \\sqrt{9} \'

''

'बहुपदों का जोड़ और घटाव करें। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समस्या की गणना करें।'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें।'

'उत्पादों का कानून का उपयोग।'

'निम्न व्यक्ति की गणना करें: (3)√2(√3 + √50) - √3(1 - √75)'

'सूचकों के नियमों का उपयोग करके संकेतियों को सरल बनाएं।'

'जब तीन विभिन्न आकारों के पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो सभी पासे विषम संख्या दिखाने के कितने तरीके हैं?'

'निम्नलिखित समीकरणों को लंबवत प्रारूप में हल करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का मूल्यांकन करें।'

'(1) 10 लोगों को 2 कमरों, ए या बी में डालने के कितने तरीके हैं? सभी को एक ही कमरे में डालने की भी अनुमति है।\n(2) 10 लोगों को 2 समूहों, ए और बी में बाँटने के कितने तरीके हैं?\n(3) 10 व्यक्तियों को 2 समूहों में बाँटने के कितने तरीके हैं?'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना करें: (1) 3√3 - 6√3 + 5√3'

'निम्नलिखित समीकरण की गणना का विवरण दें: 500x z^3 गुणा \\frac{1}{4} x^2 y^4 गुणा \\frac{8}{125} x^3 z^3'

'10 पुरुषों और 1 समूह महिलाओं के लिए 3 महिलाओं को एक समूह के रूप में विचार करने पर, 10 और 1 समूह महिलाओं के वृत्तीय पूर्णांकों का कुल संख्यात्मक (11-1)!=10! है। किसी भी स्थिति के लिए, 3 महिलाओं का व्यवस्थान 3! रूपों में है। इसलिए, जो आवश्यक प्रायोगिकता है वह (10!×3!)/(12!)=3×2×1 / 12×11=1/22 है।'

'1 लाल मोती, 2 नीले मोती, 2 पीले मोती, 2 सफेद मोती हैं।\n(1) कितने तरीके हैं कि इन 7 मोतियों को एक वृत्ताकार में व्यवस्थित किया जा सकता है।\n(2) जब सभी 7 मोतियों को धागा पास करके और कंगन बनाते हैं, तो कितने विभिन्न कंगन बनाए जा सकते हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'घात और घात अर्ध का तुलनात्मक आकार: निम्नलिखित घात और घात अर्ध का आकार तुलना करें।'

'जब n भी सम हो और विषम हो, तो S_n को खोजें: समय की स्थिति S_{n}=\x0crac{1}{2} n(n+2) है जब n सम हो, और विषम समय की स्थिति S_{n}=-\x0crac{1}{2}(n+1)^{2} है।'

'गया वास्तविक अनुपात 2, पहला सदस्य 1 की एक वर्तनी संख्या श्रृंखला \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ के लिए, योग \ \\frac{1}{a_{1}}+\\frac{1}{a_{2}}+\\frac{1}{a_{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{1}{a_{n}} \ की गणना करें।'

'समाधान (II) के लिए, समाधान (IV) में किए गए डिग्री को कम करना भी एक अच्छा तरीका है।'

'(4)\n\\[\n\egin{aligned}\n\oldsymbol{y}^{\\prime} & =-\\left(x^{3}\\right)^{\\prime}+5\\left(x^{2}\\right)^{\\prime}-4(x)^{\\prime}+(1)^{\\prime} \\\\\n& =-1 \\cdot 3 x^{2}+5 \\cdot 2 x-4 \\cdot 1 \\\\\n& =-3 x^{2}+10 x-4\n\\end{aligned}\n\\]'

'निम्नलिखित समीकरणों का हल कीजिए। (1) \ \\frac{x^{2}+4 x+5}{x+3}-\\frac{x^{2}+5 x+6}{x+4} \ (2) \ \\frac{x+2}{x}-\\frac{x+3}{x+1}-\\frac{x-5}{x-3}+\\frac{x-6}{x-4} \'

"(2) $y'=3\\left(x^{2}\\right)'-6(x)'(2)'=3 \\cdot 2 x-6 \\cdot 1$"

'(1) निम्नलिखित की गणना करें।\n\nयहां, $\\frac{1}{(x-3)(x-1)}+\\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\\frac{1}{(x+1)(x+3)}$\n\n(2) निम्नलिखित की गणना करें।\n$\\frac{1}{a^{2}-a}+\\frac{1}{a^{2}+a}+\\frac{1}{a^{2}+3a+2}$'

'निर्धारित स्थिर मान a, b, c, d, e का मूल्य, ताकि पहले अभिव्यक्ति को दूसरे अभिव्यक्ति से विभाज्य किया जा सके।'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें:'

'निम्नलिखित संविशेषणों को सरलीकरण करें।'

'(4) गणना करें $\\left(a^{-\\frac{1}{3}} b^{\\frac{1}{2}}\\right)^{2} \\times a^{\\frac{5}{3}}$'

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} का सामान्य शब्द ढूंढें।\n(1) a1=6, an+1=3an-8'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें और समाधान ढूंढें:\n13. (1) 1\n(2) \x0crac{x+4}{x+1}\n(3) 2 a-3\n(4) 1'

'भाग और शेषफल को खोजें'

'निम्नलिखित समीकरणों के मान निकालें:\n15. (1) \\frac{2 x}{1+x^{2}}\n(2) -x+2'

'सिद्ध करें: (1) दिखाएँ कि जब a: b=c: d होता है, तो समीकरण (a+c)(d+f)=(a+c+e)(b+d+f) सत्य होता है। (2) दिखाएँ कि जब a/b=c/d=e/f होता है, तो समीकरण (a+c)/(b+d)=(a+c+e)/(b+d+f) सत्य होता है।'

'8i के लिए उस संख्या को खोजें जिसका वर्ग करने पर 8i मिलता है।'

'\\\frac{x+1}{3 x^{2}-2 x-1}+\\frac{2 x+1}{3 x^{2}+4 x+1}\'

'निम्नलिखित की गणना करें।'

'मैं क्या करूं? हनाको: क्योंकि P(x) को (x-1)^{2} से विभाजित करने पर शेष 2x+3 है, इसलिए हम इसे s x^{2}+t x+u= के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। (i) निम्नलिखित विकल्पों में से एक व्यंजक में फिट होने वाले एक अभिव्यक्ति चुनें। (0) s x^{2}+5 (1) s x^{2}+2 s x+3 (2) s(x-1)^{2} (3) s(x-1)^{2}+5 (4) s(x-1)^{2}+2 x+3 (5) s\\left(x^{2}+2 x+3\\right) (ii) s, t, u के मान निर्धारित करें, जिससे s=, t=, u= हो। सही संख्या भरें।'

'निम्नलिखित संविगणों की गणना करें।'

'दिए गए बहुपद को निर्दिष्ट रैखिक समीकरण द्वारा विभाजित करने पर शेष निकालें। (1) $x^{3}+2 x-1 \\quad[x-3]$ (2) $2 x^{3}-x^{2}+3 x+1 \\quad[x+1]$ (3) $2 x^{4}+3 x^{3}-3 x^{2}-2 x+3 \\quad[x-1]$ (4) $x^{3}-5 x^{2}+4 \\quad[2 x-1]$'

"अगर a < 0, b < 0 हैं, तो लेट a = -a', b = -b', जहां a'> 0, b'> 0, तो"

'निम्नलिखित समीकरणों को r\\sin (\\theta+\\alpha) के रूप में व्यक्त करें। यहां r>0, -\\pi<\\alpha\\leq\\pi है।'

'निम्नलिखित गणित की गणना करें। ध्यान दें कि a>0, b>0।'

'b_n, c_n, और a_n के मानों को जानकर निम्नलिखित कदमों का उपयोग करें: (1) $b_{n+1}=\x0crac{n+2}{n} b_{n}$ (2) $c_{n}=\x0crac{1}{2}$ (3) $a_{n}=\x0crac{1}{4} n^{2}+\x0crac{1}{4} n+\x0crac{1}{2}$'

'1 और 2 कॉमन अनुपात वाले एक वर्गीकरण श्रृंखला का योग मिलाएं, जिसे लॉग₂(ए₁) + लॉग₂(ए₂) + ... + लॉग₂(एₙ) के रूप में व्यक्त किया गया है।'

'जब एक बहुपद A को बहुपद 2x^{2}-1 से विभाजित किया जाता है, और शेष 2x-1 है और शेष x-2 है, तो A को ढूंढें।'

'(3) वितरणीय नियम का उपयोग करें $(a+b i)(c+d i)=a c+(a d+b c) i+b d i^{2}$'

'जब बहुपद $x^{3}+a x^{2}+b x-a$ को $x^{2}+x+1$ से विभाजित किया जाता है और शेष $-x+3$ है, तो स्थिर मानों $a, b$ की मानें ढूंढें।'

'मुख्यतः समीकरण $x^3-2x^2-45x-40$ को समीकरण $x-8$ से भाग देने पर शेष एवं भागफल की गणना करें।'

'निम्नलिखित समीकरण एक पहचान है या नहीं यह निर्धारित करें।'

''

'\\frac{2 a^{2}-a-3}{3 a-1} \\div \\frac{3 a^{2}+2 a-1}{9 a^{2}-6 a+1}'

'दो वास्तविक संख्याएं a, b सकारात्मक हैं। साथ ही, i को काल्पनिक इकाई माना गया है।'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरल बनाएँ।'

'गणितिय आईएम से न्यूनतम मान ढूंढना संभव नहीं है। इसलिए, फ़ंक्शन्स f(x)=2x+1+3/(x+1) (x>0) और g(x)=2 sqrt((2x+1) * 3/(x+1)) (x>0) के लिए, y=f(x) और y=g(x) के ग्राफ के बीच संबंध दिए गए नक्शे के रूप में है, जो बिंदु (1/2, 4) को साझा करते हैं, लेकिन यह संयोजन बिंदु y=f(x) का न्यूनतम नहीं है। विशिष्ट मान (2) में प्राप्त किया जा सकता है, जहां y=f(x) का न्यूनतम है x=1/2 पर। (2) में 2(a+(* *)) * 3/(a+1) एक स्थायी हो जाता है जब (a+(* *))=a+1, अर्थात (* *)=11। a>0 के कारण, 2(a+1)>0, 3/(a+1)>0, अंकगणितीय माध्य और रूपगणितीय माध्य की असमानता से, 2a+1+3/(a+1)=2(a+1)+3/(a+1)-1 >= 2 sqrt(2(a+1) * 3/(a+1))-1=2 sqrt(6)-1। समानता 2(a+1)=3/(a+1) पर होती है, और इस बिंदु पर (a+1)^2=3/2, a+1>0 देता है a+1=sqrt(6)/2, अतः a=sqrt(6)/2-1+sqrt(6)/2, इस बिंदु पर न्यूनतम मान है 2 sqrt(6)-1।'

'शर्तों वाले समीकरण के प्रमाण'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरलीकृत करें।'

''

'0 से 3 में से वह विकल्प चुनें जो ए से मेल खाता है।'

'निम्नलिखित कोणों को रेडियन और अंशकोण में फिर से लिखें।'

'निम्नलिखित समीकरण का हल करें: (x+2)/(x^2+7x+12) - (x+4)/(x^2+5x+6) - (x^2+3x)/((x+2)(x^2+7x+12))'

'इस समय का अधिकतम लाभ है a · 50 + 3 · 20 = 50a + 60 (लाख येन)'

'एक सिक्का एक बार फेंकें, अगर सिक्का सामने आए तो 1 अंक मिलेगा, और अगर सिक्का पीछे आए तो 2 अंक मिलेंगे। इस प्रयोग को n बार दोहराएं, अंकों का कुल संय में से 3 से भाग, शेष 0 होने की संभावना a_{n} है, शेष 1 होने की संभावना b_{n} है, और शेष 2 होने की संभावना c_{n} है। (1) a_{1}, b_{1}, c_{1} का पता लगाएं। (2) a_{n+1} को b_{n} और c_{n} के आधार पर व्यक्त करें। (3) a_{n+1} को a_{n} के आधार पर व्यक्त करें। (4) a_{n} को n के आधार पर व्यक्त करें।'

'जब 2 मुद्राएं 50 येन, 4 मुद्राएं 100 येन और 1 मुद्रा 500 येन को एक साथ फेंकते हैं, तो चंदा मुद्रा की कुल राशि की अपेक्षित मान और मानक विचलन की गणना करें।'

'सिद्ध करें कि जो स्त्रोत n का है 5n+1 एक अंश श्रेणी है, और इसकी पहली श्रेणी और सामान्य अंतर ढूंढें।'

'मौलिक उदाहरण 19: भिन्न समीकरणों की पहचान (आंशिक भिन्न विघटन)'

'बुनियादी उदाहरण 55 उच्चतम डिग्री के पोलिनोमियल का मान निकालें (विभाजन का उपयोग करके डिग्री को घटाएं)\nP(x)=x^{3}+3 x^{2}+x+2 के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।\n(1) x=-1+i के लिए, x^{2}+2 x+2=0 है यह साबित करें।\n(2) P(x) को x^{2}+2 x+2 से विभाजित करने पर भागफल और शेष का पता लगाएं।\n(3) P(-1+i) का मान निकालें।'

'जब बहुपद P(x) को रैखिक अभिव्यक्ति ax+b से विभाजित किया जाता है, तो शेष क्या है?'

'इस्पर्शियल ए को पॉलिनीमल बी से विभाजन करने पर शेष और शेषक ढूंढिए | '

'प्रमाणित करें कि जब a+b+c=0 होता है तो समीकरण a³(b-c) + b³(c-a) + c³(a-b) = 0 सही होता है।'

'इस भागफल के बारे में, निम्नलिखित समीकरण ठीक है।'

'निम्नलिखित संख्या समूहों के साथ अधिकता की चिह्नितकरण करें।'

'व्याप्ति संख्या z = a + bi का जोड़ और घटाव दिखाएं।'

'9 कार्ड में 1 से 9 तक के नंबर लिखे होते हैं, इनमें से 3 कार्ड चुनकर उन्हें एक साथ रखें और 3-अंकीय संख्या बनाएं।'

'(2) साइज और अंतर के चिन्ह के बीच संबंध 5. a>b ⇔ a-b>0 6. a<b ⇔ a-b<0'

None

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {a_n} का सामान्य पद खोजें।'

''

'कृपया निम्नलिखित घातांक नियम का उपयोग करके समस्या का समाधान करें: घातांक नियम: a^{r} a^{s}=a^{r+s} विशेष रूप से, जब a 3 हो, r 2 हो, और s 4 हो, तो a^{r+s} का मान निकालें।'

'निम्नलिखित भिन्नको सरल रूप में व्यक्त करें और उन्हें सरलतम रूप में लिखें।'

'कंपनी एक्स जो बाइक-शेयरिंग सिस्टम चलाती है, एक शहर में दो स्थानों, ए और बी, स्थापित करने की योजना बना रही है। प्रत्येक स्थान पर कई किराए पर उपलब्ध साइकिलें होंगी, और उपयोगकर्ताओं को किसी भी स्थान से उधार लेने और लौटाने की अनुमति है। प्रतिदिन, स्थानों ए और बी पर सभी साइकिलें केवल एक बार किराये पर दी जाती हैं और उसी दिन किसी भी स्थान पर लौटाई जाती हैं। यह माना जाता है कि प्रत्येक स्थान पर लौटाई गई साइकिलों के अनुपात में स्थिर बना रहता है। विशेषकर, जो साइकिल ए से उधारवाई जाती है, 70% वापस ए पर वापस जाती है और 30% बी पर वापस जाती है। जो साइकिल बी से उधारवाई जाती है, 20% ए पर वापस जाती है और 80% बी पर वापस जाती है। एन वाले दिन के अंत के बाद, स्थानों ए और बी पर साइकिलों की संख्या का अनुपात आणबिक तौर पर अगर निर्धारित है। ए की और बी की साइकिलों की प्रारंभिक अनुपातिकता 20% और 80% हो, तो निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें: (1) एन का मापन करें।'

'\\(\\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}-1} \\times \\frac{a^{3}-1}{a^{3}+1} \\div \\frac{a^{2}+a+1}{a^{2}-a+1}\\)'

'निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना करें:'

'निम्नलिखित समीकरण के मान की खोज करें: \\(\\frac{1}{2}(\\sqrt{2 n+1}-1) \\)'

'दिए गए दाईं तरफ को बदलें'

"अगर a < 0, b > 0 है, तो a = -a' लें जहाँ a' > 0 है, तो"

'4 और 14 को a में असाइन करें।'

'निम्नलिखित प्रत्येक समूह के नंबरों की अपेक्षात्मक आकार को असमिका से व्यक्त करें।'

'लॉन्ग डिवीजन का उपयोग करके, पोलिनोमियल ए को पोलिनोमियल बी से विभाजित करने पर शेष और शेष को ढूंढें। (1) ए=x^{3}+2 x^{2}-x-3, बी=x+3 (2) ए=2 x^{3}+x^{2}+x-2, बी=2 x-1'

'निम्नलिखित बहुपदों में समान श्रेणियों को संगठित करें और पलनोंमियल (2) और (3) में वर्ग ब्रैकेट के भीतर अक्षरों के डिग्री और स्थायी सदस्यों को निश्चित करें।'

'निम्नलिखित संविदानों को दो-गुणा वर्गमूल को हटा कर सरलीकृत करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें।'

'12 को वास्तव संख्या और b को सकारात्मक धारित निश्चित संख्या माना जाता है। x की समीकरण f(x)=x^{2}+2( a x+b |x|) का न्यूनतम मान m प्राप्त कीजिए। और इसके साथ, a के मान के परिवर्तन के साथ, a के मान को शीर्ष के लिए और m के मान को ऊर्ध्वाधर पर लेकर m का चित्र बनाएँ।'

'मौलिक विषय\n3 वर्गमूल\n(1) जिस संख्या का वर्ग a हो, उसे a का वर्गमूल कहा जाता है।\n(2) गुणाकार 1। जब a ≥ 0 हो, तब (√a)² = a, (-√a)² = a, √a ≥ 0\n2। जब a ≥ 0 हो, √(a²) = a; जब a < 0 हो, √(a²) = -a, अर्थात √(a²) = |a|\n(3) सूत्रे जब a > 0, b > 0, k > 0 हो\n3। √a * √b = √(a * b); 4। (√a) / (√b) = √(a / b); 5। √(k² * a) = k * √a\n\nमानो दर विशिष्टीकरण मामूली रूप से एक व्यंजक को प्रारूप में बदलना, जो एक व्यंजक को नहीं मिलता है, को मानो दर विशिष्टीकरण कहा जाता है।'

'कृपया घातों के नियम का उपयोग करके निम्नलिखित उदाहरणों की गणना करें।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'कृपया बहुपद के जोड़ और घटाव का उदाहरण दें।'

'निम्नलिखित संकेतों के मान का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों का मान निकालें।'

'बहुपदों के लिए गणित के मूल नियम'

'निम्नलिखित संविकारों को सरल बनाएं जदाब के द्विगुण स्थानीयित को हटाकर।'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'निम्नलिखित समीकरण में स्क्वेयर रूट को हटा दें और सरल रूप में लिखें: $\\sqrt{x^{2}+4 x+4}-\\sqrt{16 x^{2}-24 x+9}$ (जहां $-2<x<\\frac{3}{4}$)।'

'आ को वास्तव संख्या के रूप में ले, और A, B, C की परिभाषा करें जैसे कि A = a + b + c, B = a^{2} + b^{2} + c^{2}, C = a^{3} + b^{3} + c^{3}। A, B, C के संदर्भ में abc को व्यक्त करें।'

'(1) \ \\frac{3 \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}}-\\frac{\\sqrt{3}}{3 \\sqrt{2}}+\\frac{1}{2 \\sqrt{6}} \'

'निम्नलिखित गणितीय संकेतों का हल कीजिए।'

'साइन नियम से, $\\frac{C}{\\sin C}=2 R$, इसलिए\n\ \egin{aligned} c & =2 R \\sin C=2 \\cdot 4 \\sin 120^{\\circ} \\\\ & =2 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}=4 \\sqrt{3} \\end{aligned} \\]\nसाइन नियम से\n\\[ \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=2 R \\]\nइसलिए\n\\[ \egin{aligned} b & =\\sin B \\cdot \\frac{a}{\\sin A} \\\\ & =\\sin 60^{\\circ} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}} \\\\ & =\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{2}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}} \\\\ & =\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{2}=\\sqrt{6} \\\\ R & =\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{\\sin 45^{\\circ}}=\\sqrt{2} \\end{aligned} \'

'2 इकाई x-अक्ष की दिशा में परलेल स्थानांतरण करने पर, -1 इकाई y-अक्ष की दिशा में, ऐसे किसी शीषप वृत्त की समीकरण ढूंढें जो कि शीषप y=-2 x^{2}+3 के साथ सहमत हो।'

'PR(2) sin 160° cos 70° + cos 20° sin 70° की मान निकालें।'

'बहुपदों का जोड़, घटाव और गुणा'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरल बनाकर देखें।'

''

'मूल उदाहरण 13 के (1) भाग में, सामान्य संवाद को कैसे संग्रहित और पुन: स्थापित करने के बारे में सोचें।'

'बहुपद के जोड़ और गुणा करने के मूल नियमों की सूची बनाएं।'

'तारो ने फैसला किया कि (3)(2) का उपयोग करके एक ओकोनोमियाकी की कीमत को ऐसे निर्धारित किया जाए जिससे लाभ अधिकतम हो। लाभ को अधिकतम करने वाले x का मान खोजें, और उस समय लाभ की गणना करें।'

'बहुपदों का जोड़-घटाव\nसम A+B एकीकृत करने के लिए होता है, A और B के सभी पदों को जोड़कर, और यदि समान पद होते हैं, तो वे संयोजित और सरलीकृत किए जाते हैं।\nअंतर A-B A+(-B) के रूप में लिया जाता है, जहाँ B में प्रत्येक पद का चिह्न बदल दिया जाता है और A में जोड़ दिया जाता है।\nऊर्ध्वाधर गणना\nजैसा दाईं ओर दिखाया गया है, समान पदों को सरलीकृत करने और ऊर्ध्वाधर गणना करने की भी स्वीकृति है। इस मामले में, गुंथा हुआ डिग्री पद के लिए जगह छोड़ें।'

'मौलिक उदाहरण 6 और 12 में, सामान्य अभिव्यक्तियों को सम्मिलित करने और फिर गणना करने की एक विधि पेश की गई है। कृपया समाधान को आगे बढ़ाने के लिए आप कौन सी विधि का उपयोग करेंगे वह व्याख्या करें।'

'वर्गमूल शामिल व्यंजन की गणना'

'(1) x का x-(-1) अर्थात x+1 और y का y-2 से प्रतिस्थापन करने के लिए अभिव्यंजन दिखाएं। (2) फ़ंक्शन f(x) = -2x^2 + 1 के लिए, निकलने वाले फ़ंक्शन को दिखाएं।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों का हल करें।'

'निम्नलिखित गणना ग़लत है। सभी ग़लत समानताओं की सूची बनाएं और उन्हें ग़लत मानने की वजह का विवरण करें।'

'किसी पॉलिनोमियल से -2x^2 + 5x - 3 को कम करने की जगह, इस समीकरण को गलती से जोड़ दिया गया था, जिससे -4x^2 + 13x - 6 हो गया। सही उत्तर ढूंढें।'

'(1) जब $x=3$ हो, तो $f(3)=-2 \\cdot 3+1=-6+1=-5$। (2) जब $x=0$ हो, तो $f(0)=-2 \\cdot 0+1=1$'

'कृपया दो सांख्यिकीय संख्याओं के योग, अंतर, गुणा और भाग की व्याख्या करें।'

'विषयों के माध्यम से सामान्य घटक बनाना संभव है।'

'यदि x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\ है, तो x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}, x^{4}+\\frac{1}{x^{4}}, x^{6}+\\frac{1}{x^{6}} के मान फ़ाउंड कीजिए। [रिक्क्यो विश्वविद्यालय]क्योंकि x=\\\sqrt{2}+\\sqrt{3}\ है\n\\[\egin{aligned} \\frac{1}{x} &=\\frac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} \n&=\\sqrt{3}-\\sqrt{2} \\text{और} \\, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} \\end{aligned}\\]\nइसलिए, x+\\frac{1}{x}=(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})=2 \\sqrt{3} इसलिए x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2।\\ n\\[\egin{aligned}\n& =(2 \\sqrt{3})^{2}-2=10 \\ x^{4}+\\frac{1}{x^{4}} &=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)^{2}-2 \n&=10^{2}-2=98\n\\end{aligned}\\]'

'चुनौती प्रश्न\\n33 ट्रैक और फील्ड प्रतियोगिताओं के 100m स्प्रिंट इवेंट में, 100m दौड़ने में लगने वाला समय (समय के रूप में जाना जाता है) को एक कदम में चलने वाली दूरी (स्ट्राइड के रूप में जाना जाता है) और प्रति सेकंड कदमों की संख्या (पिच के रूप में जाना जाता है) से संबंधित है। स्ट्राइड और पिच निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया गया है। \\n\\[ \\n\egin{array}{l} \\n\\text{स्ट्राइड} (m/कदम) = \\frac{100 (m)}{100m को चलने के लिए आवश्यक कदमों की संख्या (कदम)} \\n\\text{पिच} (कदम/सेकंड) = \\frac{100m को चलने के लिए आवश्यक कदमों की संख्या (कदम)}{समय (सेकंड)} \\n\\end{array} \\n\\] \\nहालांकि, 100m चलने के लिए आवश्यक कदम हो सकते हैं क्योंकि अंतिम कदम अंतिम रेखा को पार कर सकता है। स्पष्ट निर्देश न होने पर, इकाइयों को छोड़ देना है। \\nउदाहरण के लिए, जब समय 10.81 है और कदमों की संख्या 48.5 है, तो स्ट्राइड लगभग \\\frac{100}{48.5}\ है जो लगभग 2.06 है, और पिच लगभग \\\frac{48.5}{10.81}\ है जो लगभग 4.49 है। \\nदशमलव रूप में उत्तर देने पर, निर्दिष्ट स्थानिकता की अगली संख्या पर गोलाकार संख्याएँ करें। \\n(1) स्ट्राइड को x और पिच को z से चिह्नित करें। पिच हर सेकंड कदमों की संख्या है, और स्ट्राइड हर कदम पर चले गए दूरी है, इसलिए प्रति सेकंड की औसत गति, A (m/s) x और z द्वारा दी गई है। \\nइसलिए, समय और स्ट्राइड, पिच के बीच संबंध निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है \\n\\text{समय} = \\frac{100}{\\square A} \\nऔर समय सबसे अच्छा हो जाता है जब A को सर्वोच्च किया जाता है। हालांकि, सबसे अच्छा होने का मतलब है कि समय के मान कम होता है। \\nनिम्नलिखित विकल्पों में से एक चुनें (0) \\ (एक्स+जेड) \\) (1) \\ (जेड-एक्स) \\) (2) \\ (एक्स जेड) \\) (3) \\ (\\ frac {एक्स+जेड} {2} \\) (4) \\ (\\ frac {जेड एक्स} {2} \\) (5) \\ (\\ frac {एक्स जेड} {2} \\)'

'A + B का योगानु संबंध खोजें।'

'निम्नलिखित गणना करें।\n(1) A+B\n(2) A-B\nयहां A=5x^3-2x^2+3x+4, B=3x^3-5x^2+3'

'जब दो संख्याओं a, b के मान -2 ≤ a ≤ 1, 0 < b < 3 की सीमा में होते हैं, तो 1/2a - 3b के संभावित मानों की सीमा ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को पूरा करने वाली स्थिरचित्र x ढूंढिए और इसे स्थिरचित्र a के रूप में व्यक्त करें:\n(1) 4x - a = 3x + 2b\n(2) 2(x - 3a) + 3(x - 2b) = 0'

'तीन बिंदु A, B, और C एक सरल रेखा पर हैं अगर और केवल अगर AC=kAB है, जहाँ k एक वास्तव संख्या है।'

'यदि समीकरण \\( \\sqrt{3} \\gamma-i \eta=(\\sqrt{3}-i) \\alpha \\) सही हो, तो तीन भिन्न जटिल संख्याओं \ \\alpha, \eta, \\gamma \ को दिया गया है, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें।'

'(2) यदि निर्देशित संख्याओं $\\alpha, \eta, \\gamma, \\delta$ में $\\alpha+\eta+\\gamma+\\delta=0$ और $|\\alpha|=|\eta|=|\\gamma|=|\\delta|=1$ पूर्ण होता है, तो $|\\alpha-\eta|^2+|\\alpha-\\gamma|^2+|\\alpha-\\delta|^2$ का मान ढूंढें।'

'(g∘f)(x) = g(f(x)) = 2f(x) - 1 = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3 (f∘g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2 = 2x - 1 + 2 = 2x + 1'

'1622 \\pi^{2} a'

'अभ्यास समस्या का समाधान 60 (1) \\लॉग \\बीटा-\\लॉग \\अल्फा- \\frac{2(\\बीटा-\\अल्फा)}{\\अल्फा+\\बीटा}'

' (1) का समाधान ढूंढें: (g∘f)(x), (f∘g)(x) की गणना करें।\n (2) का प्रमाण: (h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x)।\nf(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x^{2}।'

'(2) - (1) को 3 से गुणा करने से (3), (4) से मिलता है z = \\frac{-x+1}{3}, z=-y+1'

'प्रश्न 6'

'तीन बिंदु A, B, और C को कोलिनियर होने की शर्तें एवं लंब शर्तें\nc को एक वास्तव संदिग्ध स्थिर मानिए। बिंदु A, B, और C को α=1+i, β=-i, γ=-2+ci के रूप में प्रस्तुत करें।\n(1) A, B, और C बिंदु सरल रेखा पर होने के लिए c का मान निर्धारित करें।\n(2) रेखा AB और AC को लंब मानने के लिए c का मान निर्धारित करें।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'अभ्यास समस्या का उत्तर 60 (2) t = \\sqrt{\\alpha \eta}'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'90 (2) \\((0, 1-a), (0, -1-a)\\) परिवर्तित करें'

'इकाई वृत्त पर स्थानीय रूप से विभिन्न दो बिंदुओं A(α) और B(β) से गुजरने वाली रेखा पर बिंदु P(z) को लें। समीकरण z+αβ𝑧¯=α+β सिद्ध करें।'

'प्रैक्टिस z = sinα + i cosα (जहां 0 ≤ α < 2π) को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें।'

'मैट्रिक्स के जोड़, घटाव और वास्तविक गुणा'

'अभ्यास'

'अभ्यास समाधान 63 (1) f(x)=x^{2}+\x0crac{1}{2} x, g(x)=\x0crac{1}{4} x^{2}-\x0crac{3}{2} x+4'

'156\\left(8\\sqrt{2}-\\frac{32}{3}\\right)r^{3}'

'(1) \ \\frac{2}{3} a \\n(2) \ 3 a \\n(3) \ \\sqrt{3} a^{2} + \\frac{2}{3} \\pi a^{2} \'

'161 (4) L=\\frac{1}{2} \\log 3'

'CHART क्या है?'

'दिया गया \n\ \eta=a+b\\ i, z=x+y\\ i \, जब \n\ \\overline{\eta} z+\eta \\overline{z}+c=0 \ में प्रतिस्थापित किया जाता है\n\\[\n\egin{array}{l}\n(a-b\\ i)(x+y\\ i) \\\\\n(a+b\\ i)(x-y\\ i)+c=0 \\end{array} \n\\]\nसरलीकरण करने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:\n\\n2 a x+2 b y+c=0 \n\'

'मैट्रिक्स का जोड़, घटाव और वास्तविक गुणन'

'(2) \ z + \\frac{1}{z} = -\\sqrt{2} \ दोनों पहलू को \ z \ से गुना करके सुधारते हैं\n\ z^{2} + \\sqrt{2} z + 1 = 0 \\nहल करने पर \\( z = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{(\\sqrt{2})^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot 1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{-\\sqrt{2} \\pm \\sqrt{2} i}{2} \\)\n\n\\( z^{12} + \\frac{1}{z^{12}} = (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{12} + (\\cos \\theta + i \\sin \\theta)^{-12} \\)\n\\( = (\\cos 12 \\theta + i \\sin 12 \\theta) + \\{\\cos (-12 \\theta) + i \\sin (-12 \\theta)\\} \\)\n\\( = 2 \\cos 12 \\theta = 2 \\cos \\left\\{12 \\times ( \\pm \\frac{3}{4} \\pi) \\right\\} = 2 \\cos ( \\pm 9 \\pi) \\)\n\\( = 2 \\cos 9 \\pi = 2 \\times (-1) = -2 \\)'

'मैट्रिक्स A=\\left(\egin{\overlineray}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 6\\end{\overlineray}\\right) और B=\\left(\egin{\overlineray}{ll}6 & x \\\\ y & z\\end{\overlineray}\\right) के लिए, $AB=BA=O$ को पूरा करने के लिए, $x, y, z$ के मान की निर्धारण करें।'

'जब $\\ vec {a} = (-2,1)$ और $\\ vec {b} = (3,-2)$ होता है, तो संख्यांक में व्यक्त करें $5 \\ vec {a} + 3 \\ vec {b}$। इसका मात्रामान भी निकालें।'

'(अल्टरनेट समाधान)\n\nजब z वास्तविक संख्या हो, तो द्विघातीय समीकरण (x + 1/x) ^ 2 = x^2 + 1 + 2 और (x + 1/x) ^ 3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x) पर आधारित होती है।\nZ को एक वास्तविक संख्या मानने पर:(-√2) ^ 3 + 3√2 = 0।\nअतः: √2।\n\nइसके लिए, z^6 + 1/z^6 का समीकरण (z^3 + 1/z^3)^2 - 2 = √2 - 2 = 0 है।\nइसलिए, z^12 + 1/z^12 (z^6 + 1/z^6)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2 है।'

'विचार करें कि वक्र alpha z + beta, जब बिंदु z मौजूदा होता है जिसका केंद्र मूल स्थान O पर है और ऊर्जा 1 के वृत्त पर हलकाई छाया बनाने के लिए, w = (1-i)z - 2i द्वारा प्रतिनिधित। बिंदु w कैसी आकृति खींचेगा?'

'$k=0,1,2$ के लिए $z$ को $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$ मानते हैं'

'कोई प्राकृतिक संख्या करें'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'अभ्यास समस्या का उत्तर 64 (1) a=e-\x0crac{1}{2}, b=e-\x0crac{3}{2}'

'अभ्यास (2) \\( \\vec{a}=(2,3), \\vec{b}=(1,-1), \\vec{p}=\\vec{a}+k \\vec{b} \\) मान लें। जब \ -2 \\leqq k \\leqq 2 \ हो, तो \ |\\vec{p}| \ की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

''

'गणित सी'

'क्रम में समस्या का हल करें।'

''

'जब x = 1 + √2i हो, तो निम्नलिखित समीकरण का मान पता करें।'

"x के संबंध में बहुपद f(x) के लिए, अगर f(3) = 2, f'(3) = 1 है तो f(x) को \\\\underline{201}(x-3)^{2} से विभाजित करने पर शेष क्या है।"

'चलिए बहुपदों के विभाजन की जांच करें।'

'बहुपद P(x) को x-1 से विभाजित करने पर शेष 5 मिलता है, x-2 से विभाजित करने पर शेष 7 मिलता है। इस समय, P(x) को x^2-3x+2 से विभाजित करने पर शेष की मात्रा को निकालें।'

'बहुपद ए को बहुपद ब से भाग देने पर शेष और बाकी पाएं।'

'2 बहुपदों का भाग'

'रेखा l: y=-2x को ध्यान में रखते हुए, बिंदु A(a, b) का सममित बिंदु B है। इस समय, बिंदु B की निर्देशांकों को a, b के रूप में प्रकट करें। साथ ही, जब बिंदु A रेखा y=x के साथ चलता है, तो बिंदु B द्वारा खींची गई पथ की समीकरण निर्धारित करें।'

''

'जब बहुपद P(x) को द्विघातीय अभिव्यक्ति x^2+3x+2 से विभाजित किया जाता है तो शेष को खोजें।'

'न को 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या, और ई को काल्पनिक इकाई माना गया है। जब α=1+√3i, β=1-√3i हो, तो (√(β^{2}-4 β+8))/(α^{n+2}-α^{n+1}+2 α^{n}+4 α^{n-1}+α^{3}-2 α^{2}+5 α-2)^{3} के मान की पता लगाएं।'

'(2) दो विभाज्य बहुपद P(x) को x-3 और (x+2)(x-1)(x-3) से विभाजित करने पर शेष भाग दो, a और R(x) होते हैं। जानकारी के अनुसार R(x) में x^2 का संख्यांक 2 है। इसके अलावा, जब P(x) को (x+2)(x-1) से विभाजित किया जाता है तो शेष 4x-5 है। a की मान ढूंढें। [होसेई विश्वविद्यालय के समान]'

'साबित करें कि किसी भी वास्तविक संख्याओं a, b, c के लिए जो a+b+c≠0 और abc≠0 को संतुष्ट करती है, समीकरण 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) मान्य है। इस मामले में, किसी भी विषम संख्या n के लिए समीकरण 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n भी मान्य है।'

'जब बहुपद P(x) को x^2-1 से विभाजित किया जाता है, बचा हुआ है 4x-3, और जब x^2-4 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 3x+5 है। इस समय, x^2+3x+2 से P(x) को विभाजित करने पर शेष का पता लगाएं।'

'170 (दु) \ए-बी\'

'अभ्यास (1) मनोविज्ञान $2x^{3} + ax^{2} + x + 1$ को मनोविज्ञान $x^{2} + x + 1$ से विभाजित करें, यहाँ शेष $bx - 1$ है और अवशेष $R$ है। मानों $a, b$ और $R$ के मान का पता लगाएँ। ध्यान दें कि $R$ केवल $x$ के मनोविज्ञान या स्थिर है।'

'जब बहुपद P(x) को x^{2}+5 x+4 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 2 x+4 होता है, और जब x^{2}+x-2 से विभाजित किया जाता है, तो शेष -x+2 होता है। इस मामले में, कृपया यह बताएं कि P(x) को x^{2}+6 x+8 से विभाजित करने पर शेष क्या होगा।'

'निम्नलिखित संकेतों की गणना करें:\n(1) \ \\frac{x^{2}+2 x+3}{x}-\\frac{x^{2}+3 x+5}{x+1} \\n(2) \ \\frac{x+1}{x+2}-\\frac{x+2}{x+3}-\\frac{x+3}{x+4}+\\frac{x+4}{x+5} \'

'P(x) को (x-1)(x+2) द्वारा विभाजित करने पर शेष को खोजें।'

'(3) दस भिन्नों का गुणा, भाग करने का लंबा रूप'

''

'तत्सुमोतो 18 विभाजन और पहचान'

'P(x) को एक रैखिक घातांक (x-a) द्वारा विभाजित करने पर शेष को खोजें।'

'बीजी के द्वारा बागीचे का लंबित और शेष ढूंढें।'

''

'(1) निम्नलिखित मानों को ढूंढें।'

'f(x)=ax^{n+1}+bx^n+1 के लिए स्थिर a और b के मान ढूंढें, जिससे फ़ंक्शन (x-1)^2 से विभाज्य हो।'

'बहुपदों का भाग और बहुपदों का निर्धारण'

'सच्ची संख्याओं के लिए दायरे का निर्धारण करें जिसके लिए अनुक्रम {\\left(\\frac{2 x}{x^{2}+1}\\right)^{n}} शामिल होता है। साथ ही, उन अंकों के लिए अनुक्रम की सीमा ढूंढें।'

'z ≠ 0 करें। कॉम्प्लेक्स समतल में, जब बिंदु z और बिंदु z^5 मूल बिंदु O के संबंध में सममित होते हैं, तो z का मान खोजें। इसके अतिरिक्त, कॉम्प्लेक्स समतल में, z मान की गणना के लिए संबंधित शिखर के साथ बहुभुज के क्षेत्र का पता लगाएं।'

'जब बिंदु P(x, y) मौन क्रम में मौजूदा प्रदेश के लचीलेपन के बिना विकास करता है जो मोटाई 1 और मुख्य केंद्र पर वृत्त के चारों ओर होता है, तो मौजूदा Q1(-y, x) और Q2(x^2 + y^2, 0) आवोब्धन कितनी बार मुख्य केंद्र के चारों ओर घुमते हैं?'

'एक पूर्णांक मान वाले पूर्णांक n के लिए फ़ंक्शन f(n), g(n) को निम्नलिखित रूप में निर्धारित किया जाता है: f(n)=1/2 n(n+1), g(n)=(-1)^{n}, एक कम्पोजिट फ़ंक्शन h(n)=g(f(n)) को परिभाषित करें। इसके अतिरिक्त, एक छक्के वाली पांच बार फेंकने के बाद, पुष्टिकरण j, k, l, m के रूप में नतीजे प्राप्त करें, a=h(j), b=h(k), c=h(l), d=h(m) रखें, फ़ंक्शन P(x)=a x^{3}-3 b x^{2}+3 c x-d को विचार करें।'

'वैकल्पिक समाधान 1। मान दें कि z=x+yi(x, y) एक वास्तविक संख्या है'

'गणित सही है'

'(1) \\( \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{5}{4} \\pi+i \\sin \\frac{5}{4} \\pi\\right) \\)\n(1) \\( \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\alpha\\right) \\)\n(2) \ z=1+i \'

'(3) (2) के परिणाम से प्राप्त इस व्यंजक से aₙ₊₁ - 2/3 = -1/2 (aₙ - 2/3)। इसलिए, अंकः क्रम {aₙ - 2/3} का प्रारंभिक संख्या a₁ - 2/3 = 1 - 2/3 = 1/3, औसतांक -1/2 एक धारित संख्या धर्म है। इसलिए aₙ - 2/3 = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾, इसलिए aₙ = 1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3। इसलिए limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ {1/3 (-1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2/3} = 2/3'

'(1) \\frac{2 t+1}{6 t^{2}} (2) -2 \\sqrt{1-t^{2}} (3) -\\frac{3 \\cos \\theta}{2 \\sin \\theta} (4) -\\frac{2}{3} \\tan \\theta'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'यदि g(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1 का (x-1)^{2} से भाज्य है, तो a और b को n के समानूपात में व्यक्त करें, जहाँ a और b x के बिना हैं।'

'निम्नलिखित समीकरणों के मान का पता लगाएं:\n(1) (-√3 + i)^6\n(2) (1 + i) / 2)^{-14}'

'ध्यान दें कि α ≠ π'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला का योगफल ढूंढें।'

'{a_{n}},{b_{n}} एक समाकलिकी है जो निम्नलिखित संबंध को पूरा करती है।'

'निम्नलिखित आधारिक संख्याओं में से कौन सच्चे संख्या हैं और कौन पूरी तरह से काल्पनिक हैं? यह मान लीजिए कि αβ̅ एक वास्तविक संख्या नहीं है।'

''

'पीआर α, β अवयस्क संख्याएँ होती हैं। (1) अगर α= |β|=1, α-β+1=0 हो, तो, α β और α/β+β/α के मान की खोज करें। (2) अगर |α|=|β|=|α-β|=1 हो, तो, |2 β-α| का मान ढूंढें।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'\\( { }_{2} \\mathbf{e}=(1,0,0), \\vec{e}=(0,1,0), \\vec{e}=(0,0,1)\\) और \\vec{a} = \\left(0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{b} = \\left(\\frac{1}{2}, ０, \\frac{1}{2}\\right), \\vec{c} = \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, ０\\right) \\) जब \ \\vec{e}, \\vec{e}, \\vec{e} \\vec{e}_{3} \ को लेकर हर एक को अपने-अपने रूप में \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ का उपयोग करके प्रकट किया जाए। साथ ही, \\( \\vec{d}=(3,4,5) \\) को \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ का उपयोग करके प्रकट करें।\\n[किंकी विश्वविद्यालय]\\n(पिछला अर्ध) \ \\vec{d} \ को \ \\overrightarrow{e_{1}}, \\overrightarrow{e_{2}}, \\overrightarrow{e_{3}} \ का उपयोग करके प्रकट करें और प्रथम भाग से परिणाम घुसाएं।'

'वेक्टर्स का समांतर शर्त: यदि वेक्टर 𝐚≠0 ,𝐛≠0 है, तो 𝐚 // 𝐛⟺𝐛=k𝐚 जहां 𝑘 एक वास्तव संख्या है।'

'जब दो अपरालल वेक्टर \ \\vec{a}, \\vec{b} \ (जहाँ \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) \\( s(\\vec{a}+3 \\vec{b})+t(-2 \\vec{a}+\\vec{b})=-5 \\vec{a}-\\vec{b} \\) को संतुष्ट करते हैं, तो वास्तविक संख्या \ s, t \ के मान का पता लगाएं।'

'घुसणी प्रारूप का उपयोग करके निम्नलिखित मसिलों का समाधान करें: (1) $z^{6}=1$ (2) $z^{8}=1$'

'जब संयुक्त समीकरण (g∘f)(x) = x पूरा होता है तो स्थायी a, b, और c के मान खोजें।'

'निम्नलिखित वास्तव संख्याओं की धारा का विचार करें।'

'(3) \\ frac{1}{2}+\\log \\frac{3}{4}'

'निम्नलिखित आंकिक संख्याओं को दूरत्रिक रूप में व्यक्त करें। जहां प्रस्तावना 𝜃 की सीमा 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 है। (1) 2(sin(𝜋/3) + cos(𝜋/3)) (2) 𝑧 = cos(12/7)𝜋 + i sin(12/7)𝜋 तो -3𝑧'

'(2) \\ (2(cos(π/10)+i sin(π/10)) \\)^{5}'

'1+i और √3+i को धुरी रूप में प्रकट करके, cos(5/12π) और sin(5/12π) के मान का पता लगाएं।'

'दो वेक्टर a = (11, -2) और b = (-4, 3) के लिए c = a + tb नामक वेक्टर को परिभाषित करें। वास्तविक संख्या t बदलती है।'

'जबकि α=2+i, और β=4+5i हो, तो बिन्दु बेटा को बिन्दु एल्फा के चारों ओर घुमाने के बाद एक कम्प्लेक्स संख्या गाम्मा को खोजें।'

''

'(1) प्रमाणित करें कि किसी भी व्यापक संख्या z के लिए, z\ar{z}+\\alpha\ar{z}+\ar{\\alpha}z एक वास्तव संख्या है।\n(2) दिखाएं कि जहां \\\overline{\\alpha} z\ वास्तव संख्या नहीं है, वहां \\\alpha\\overline{z}-\\overline{\\alpha}z\ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।'

'जब \ \\vec{x}=3 \\vec{a}-\\vec{b}+2 \\vec{c}, \\vec{y}=2 \\vec{a}+5 \\vec{b}-\\vec{c} \ हो, \\( 7(2 \\vec{x}-3 \\vec{y})-5(3 \\vec{x}-5 \\vec{y}) \\) को \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \, \ \\vec{c} \ के साथ प्रकट करें।'

'(1) \\( \\frac{3 x+2}{3 \\sqrt[3]{x(x+1)^{2}}} \\)\n(2) \ 2 x^{\\log x-1} \\log x \'

'दिया गया है कि एक ही समतल पर नहीं होने वाले चार अलग-अलग बिंदु O, A, B, और C हैं, और दो बिंदु P, Q के लिए, अगर ⃗OP=⃗OA-⃗OB और ⃗OQ=-5⃗OC है, तो वास्तव संख्याओं k, l के मूल्यों को ढूंढें जो k⃗OP+⃗OQ=-3⃗OA+3⃗OB+l⃗OC सत्य हो।'

'231 परीक्षणों में घटना \ A \ का होने की संभावना \\( p(0<p<1) \\) है। यदि यह परीक्षण \ n \ बार किया जाए, तो \ A \ का विषम संख्या में होने की संभावना को \ a_{n} \ के रूप में लिया जाता है।'

'निम्नलिखित वास्तविक संख्याओं को घुमाव-रूप में व्यक्त करें। यहाँ, विवाद θ ऐसा है कि 0 ≤ θ < 2π। (1) z = -cosα + i sinα (0 ≤ α < π) (2) z = sinα - i cosα (0 ≤ α < π/2)'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

''

'13'

'कृपया दिए गए भिन्न समीकरण y=(6x+5)/(2x-1) को मानक रूप y=k/(x-p)+q में बदलें।'

'(3) -\\frac{(b-a)^{11}}{2772}'

'कॉम्प्लेक्स संख्याओं z और w के लिए |z|=|w|=1 और zw≠1 संतुलन प्रमाणित करें कि (z-w)/(1-zw) वास्तविक है।'

'जब p = 1 होता है, a_{n}=2 n, जब p ≠ 1 होता है, a_{n}=\\frac{2\\left(p^{n}-1\\right)}{p-1}; -1<p<1'

'3 z=x+y, जहाँ x और y वास्तव संख्याएं हैं, को वास्तव संख्या संबंध में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का सबसे बड़ा फायदा यह है कि यह हमें जानकार वास्तव संख्याओं के माध्यम से सोचने की अनुमति देता है, जिससे गणना की दिशा तय करना आसान हो जाता है। हालांकि, गणनाएँ अक्सर अधिक जटिल हो जाती हैं। (उदाहरण 101, समाधान 1) उदाहरण 100 में, x और y के रूप में वास्तव संख्याएं लेकर z = x + y, (1), (2), (4) को हल किया जा सकता है, लेकिन वाणिज्य पद्धति की तुलना मेथड 1 की, गणना की मात्रा अधिक होती है।'

'पहले पद से n वां पद तक भागीय योग को S_n माना जाता है'

'(1) \\frac{28 \\sqrt{2}}{3}-\\frac{32}{3}'

'2 फ़ंक्शन f(x) और g(x) के समष्टि फ़ंक्शन (f ∘ g)(x) ढूंढिए। (1) दिया गया है f(x)=\\frac{x-1}{2x+3}, g(x)=\\frac{-x}{x+1}, इस स्थिति में (f ∘ g)(x) ढूंढिए। (2) a, b को वास्तविक संख्या माना गया है, और f(x)=\\frac{x+1}{ax+b}। (f ∘ f)(x)=x को संतुष्ट करने वाले a, b की मानें ढूंढिए। (3) a को एक वास्तविक संख्या जिसमें a ≠ 0 है, के रूप में माना जाता है, f(x)=\\frac{ax+1}{-ax}। (f ∘(f ∘ f))(x)=x को संतुष्ट करने वाले a की मान ढूंढिए। यहाँ, (f ∘(f ∘ f))(x) का अर्थ है f((f ∘ f)(x))। [यमगुचि हिरोशी] उदाहरण 11'

'(2) 1-2 \\log 2'

'पी = (-1 + √3 i) / 2)^n + ((-1 - √3 i) / 2)^n का मूल्य निर्धारित करें। यहाँ, n एक सकारात्मक पूर्णांक है।'

'कॉम्प्लेक्स संख्याओं के यो gamma = a + bi, beta = c + di का योग और विभाजन कीजिए।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'ऐसा स्थिरांक a, b है जिसमें 100<a<b है। x_{n}= (a^{n}/b + b^{n}/a)^{1/n}(n=1,2,3, ...) को परिभाषित किया गया है।'

'दिए गए समीकरणों के साथ बिंदु w किस प्रकार की आकृति खींचता है।'

'13\n(3) \\( y^{\\prime}=-\\frac{(5 x+3)^{\\prime}}{(5 x+3)^{2}}=-\\frac{5}{(5 x+3)^{2}} \\)'

'परिधि को 6 समान भागों में बाँटें, और उन्हें उलटाव के साथ A, B, C, D, E, F के रूप में चिह्नित करें, और बिंदु A पर एक छोटा पत्थर रखें। पासा फेंकें, यदि एक विषम संख्या आती है, तो पत्थर को घड़ी के सात्वीं कोने में 1 बिंदु आगे बढ़ाएं, ऐसा करने से स्थानीय यात्रा आवश्यक है।'

'कृपया 5 संख्याओं में से 3 चुनकर एक सम की स्थिति के लिए परिवर्तनों की कुल संख्या प्राप्त करें।'

'निम्नलिखित बहुपदों के योग A+B और अंतर A-B की गणना करें।\n(1) A=7x-5y+17, B=6x+13y-5\n(2) A=7x^3-3x^2-16, B=7x^2+4x-3x^3\n(3) A=3a^2-ab+2b^2, B=-2a^2-ab+7b^2'

'निम्नलिखित गणित समस्या का समाधान करें।'

'मानक रूप में बदलें। \ x^{2} \ का संकेतक \ \\frac{1}{3} \ को विशुद्ध संकेतक चिन्ह के बाहर ले जाएं।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'कृपया 5 संख्याओं में से 3 संख्याएँ चुनकर 4 की गुणाकारी बनाने के लिए परिवर्तन कुल संख्या की गणना करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को जोड़ें: (1) 13x + 8y + 12 और x - 18y + 22'

'(2) क्योंकि $\\sin ^{2} \\theta+ \\cos ^{2} \\theta=1$ है, इसलिए $\\sin ^{2} \\theta=1- \\cos ^{2} \\theta=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{2}=\\frac{9}{25}$। $\\theta$ एक न्यून कोण है, इसलिए $\\sin \\theta>0$ है, इसलिए $\\sin \\theta=\\sqrt{\\frac{9}{25}}=\\frac{3}{5}$। अब $\\tan \\theta=\\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}=\\frac{3}{5} \\div \\frac{4}{5}=\\frac{3}{4}$।'

'0, 1, 2, 3, 4 से 5 विभिन्न संख्याओं में से 3 को चुनकर एक 3-अंकीय संख्या बनाएं, इसे N के रूप में दर्शाते हैं। साथ ही, इस 3-अंकीय संख्या N के सैकड़ों को x, दशमलवों को y और एकों को z के रूप में लिखा जाता है। इसके बाद, निम्नलिखित संभावनाओं का पता लगाएं: (1) N 3 की गुणा की संभावना (2) y > z की संभावना'

'(1) 5+√3'

'(1) \\[\egin{aligned} \\sqrt{\\frac{x}{y}} &= \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\end{aligned}\\]'

'कृपया पूर्णांक व्यंजकों के जोड़, घटाव और गुणा के निम्नलिखित नियमों का प्रदर्शन करें।'

'(1) \2 a-2\'

'कृपया संख्याओं और संकेतों पर अभ्यासों में से वर्गमूल गणना से संबंधित एक समस्या का समाधान करें।'

'सिद्ध करें कि अगर k ≠ l है तो r(k) ≠ r(l) है।'

"कृपया निम्नलिखित समीकरणों को जोड़ने और घटाने से गणना करें:\n(1) A+B = (3a^2-ab+2b^2) + (-2a^2-ab+7b^2)\n(2) A-B = (3a^2-ab+2b^2) - (-2a^2-ab+7b^2)\nइस फ़ंक्शन को 'CHECK 3' के नाम से संदर्भित किया गया है।"

''

'निम्नलिखित प्रस्तावों का विपरीत, प्रतिपक्ष और प्रतिक्रिया कहें।'

"हाथ दिखाने के 5 तरीके हैं, प्रत्येक व्यक्ति के लिए 3 संभावनाएँ 'पत्थर, कागज़, किताब' हैं, इसलिए कुल 3 की शक्ति 5 तरीके हैं। (1) जीतने वाला कौन है और कैसे वह जीतेगा, इसकी संभावना की गणना करें। (2) कौन सी 2 व्यक्ति जीतेंगे और वे कैसे जीतेंगे, इसकी संभावना की गणना करें। (3) टाई की संभावना की गणना, जिसका अर्थ है मैच में जीत या हार का परिणाम नहीं होता।"

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें।'

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निम्नलिखित अभिव्यक्तियों की गणना करें। (1) 6√2 - 8√2 + 3√2 (2) √48 - √27 + √8 - √2 (3) (√5 + √2)² (4) (3√2 + 2√3)(3√2 - 2√3)

मान लीजिए 3+\sqrt{2} का पूर्णांक भाग a है और दशमलव भाग b है। a^{2}+2 a b+4 b^{2} का मान \square है।

निम्नलिखित गणनाओं को हल करें।\n(1) \( 2 a imes\left(a^{3} ight)^{2} \)\n(2) \( 3 a^{2} b imes\left(-5 a b^{3} ight) \)\n(3) \( \left(-2 x^{2} y ight)^{2} imes\left(-3 x^{3} y^{2} ight)^{3} \)

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों की गणना करें। (3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ (4) $\frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (5) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (6) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

विश्व समुच्चय U दिया गया है और शर्तें p और q को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समुच्चय क्रमशः P और Q हैं, तो 'p और q' की शर्त को संतुष्ट करने वाले तत्वों का समुच्चय कैसे प्रदर्शित किया जाता है?

निम्नलिखित गणनाओं को हल करें। (1) $x^{2} imes x^{5}$ (2) \( \left(x^{5} ight)^{2} \) (3) \( \left(-x^{2} y z ight)^{4} \) (4) \( \left(-2 a b^{2} x^{3} ight)^{3} imes\left(-3 a^{2} b ight)^{2} \) (5) \( \left(-x y^{2} ight)^{2} imes\left(-2 x^{3} y ight) imes 3 x y \)

प्रश्न उदाहरण मूल उदाहरण 27 $40 \sqrt{A^{2}}$ की व्याख्या. $a$ को वास्तविक संख्या मानते हुए, $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ को सरल करें। परिणाम निम्नानुसार हैं: जब $a>\frac{1}{3}$ हो, तो यह $\square$ है; जब $-2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ हो, तो यह 1 $\qquad$; और जब $a<-2$ हो, तो यह $\qquad$ \ [उदाहरण, सेंटर परीक्षा]\& GUIDE $A \geqq 0$ का मतलब $\sqrt{A^{2}}=A$ है और $A<0$ का मतलब $\sqrt{A^{2}}=-A$ है; इस प्रकार $\sqrt{A^{2}}=|A|$ मान्य है। $\square$$\qquad$ $!$ इस तथ्य का उपयोग करते हुए, $\sqrt{9 a^{2}-6 a+1}+|a+2|$ को पूर्णांक चिह्न के रूप में व्यक्त करें।

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को गणना करें। (1) \( \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} (2) \( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} )

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों की गणना करें। (1) -\frac{1}{4} x^2 y^2 \times(2xy^3)^3 (2) 500xz^3 \times(-\frac{1}{2} xy^2)^2 \times(\frac{2}{5} xz)^3 (3) (a + b)^2 + (a - b)^2 (4) (a + b)^2 - (a - b)^2 (5) (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

समारोह \( f(x)=2x+1 \) में $x=-1, 0, 1$ के मान निकालें।

कृपया 'p और q' शर्त को पूरा करने वाले सभी तत्वों का सेट प्रस्तुत करें।

कृपया चार मूलभूत गणितीय क्रियाओं की व्याख्या करें।

निम्नलिखित समीकरण को हल करें। (1) 3√3 - 6√3 + 5√3 (2) 2√50 - 5√18 + 3√32 (3) √2(√3 + √50) - √3(1 - √75) (4) (√3 + √5)² (5) (3√2 - √3)² (6) (4 + 2√3)(4 - 2√3) (7) (√20 + √3)(√5 - √27) (8) (√6 + 2)(√3 - √2)

सामीकरण संख्याओं का योग चित्रित करना दो समीकृत संख्याओं \alpha = a + bi, eta = c + di का योग निम्नानुसार है \[ \alpha + eta = (a + c) + (b + d)i \] सामीकरण तल पर चित्रित करते समय, निम्नलिखित मुख्य बिंदु देखे जा सकते हैं। 1. बिंदु $\alpha$ को बिंदु eta से समान्तर स्थान पर चलाने से, प्राप्त बिंदु योग है। कृपया निम्नलिखित योगों की गणना करें और इन्हें समीकृत तल पर चित्रित करें। 1. $\alpha = 1 + 2i$, eta = 3 + 4i 2. $\alpha = -1 + i$, eta = 2 - 3i

दिए गए f(x)=-2x+3 और g(x)=2x²-4x+3 के लिए, निम्नलिखित मानों का निर्धारण करें। (1) f(0), f(3), f(-2), f(a-2) (2) g(√2), g(-3), g(1/2), g(1-a)

निम्नलिखित को परिमाण और कोण के क्रम में परिवर्तित करें। (1) $2r, heta$ (2) $r, heta+\pi$ (3) $r,- heta$ (4) rac{1}{r},- heta (5) $r^{2}, 2 heta$ (6) $2r, \pi- heta$

(2) बिंदु G खंड AF को 1:2 के अनुपात में आंतरिक विभाजित करता है, इसलिए \[ egin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{AG}}=rac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AF}}=rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} \ ext { अत: } \overrightarrow{\mathrm{DG}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left(rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}+rac{1}{10} ec{d} ight)-ec{d} \ =rac{1}{30} ec{b}+rac{1}{5} ec{c}-rac{9}{10} ec{d} \ \end{array} \] चूंकि बिंदु D, G, और H एक ही सीधी रेखा में होते हैं, इसलिए $k$ नामक एक वास्तविक संख्या मौजूद है जिससे $\overrightarrow{\mathrm{DH}}=k \overrightarrow{\mathrm{DG}}$ होता है।

(3) (1) से \alpha=\frac{3 \pm \sqrt{3} i}{3} eta है, इसलिए \[ egin{aligned} |3 \alpha-2 eta| & =|(3 \pm \sqrt{3} i) eta-2 eta|=|(1 \pm \sqrt{3} i) eta| & =|1 \pm \sqrt{3} i||eta|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}|eta|=2|eta| \end{aligned} \]

मान लें कि \( z=r(\cos heta+i \sin heta) \) है। निम्नलिखित संख्याओं के निरपेक्ष मान और कोण को $r, heta$ में व्यक्त करें, प्रत्येक 1 अंक 20 मानते हैं। मान लें कि $r>0$ है। (1) $2z$ (2) $-z$ (3) \overline{z} (4) rac{1}{z} (5) $z^{2}$ (6) -2\overline{z}