मूलभूत संख्या सिद्धांत - परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ

'अभ्यास सवाल 13 सबसे ऊपरी अंक\n505\nनकारात्मक वास्तविक संख्या a के लिए, जहाँ 0 ≤ r < 1, और a-r पूर्णांक है, तो वास्तविक संख्या r को {a} द्वारा दर्शाया जाता है। अन्य शब्दों में, {a} में a का दशमलव हिस्सा प्रस्तुत करता है। (1) 0.02 से छोटा करने वाला {n log_10 2} का दशमलव हिस्सा दो एकाधिक संख्या n ढूंढें। (2) 10 का प्रतिनिधित्व करने वाले 2 का शक्ति n का स्थानांकित अंक 7 है। यह दिया गया है कि 0.3010 < log_10 2 < 0.3011, और 0.8450 < log_10 7 < 0.8451। [क्योटो विश्वविद्यालय]'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'1 डिग्री की टैन्जेंट एक रेशीय संख्या है क्या?'

'60 (1) x = 8/7 (2) x = 3 (3) x = 1/3, y = 3'

'जब x=π, y=π/12 होता है, तो अधिकतम मान 25/12 π होता है; जब x=0, y=5/12 π होता है, तो न्यूनतम मान 5/12 π होता है'

'विचक्र संख्या संख्याओं की बहुपदी'

'x = (3 ± √21) / 3'

'जब 1 ≤ a < (3 + √6) / 3 हो, तो M(a) = a³ - 6a² + 9a'

'(-1 + √3)/2 ≤ k ≤ 1'

'एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल निकालें। a को एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मानें।'

'निम्न श्रृंखला का योग निकालें।'

'(1) मान लें 3^{x}=5 को मानने वाला एक योग्य संख्या x मौजूद है। क्योंकि 3^{x}=5>1 है, इसलिए x>0 है। इसलिए, x=\x0crac{m}{n}(m, n सकारात्मक पूर्णांक हैं) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और 3^{\x0crac{m}{n}}=5। दोनों पक्षों को n गुणा करने पर हमें 3^{m}=5^{n} (1) मिलता है। बाईं ओर 3 की गुणा करने वाली संख्या है, लेकिन दाईं ओर 3 की गुणा करने वाली संख्या नहीं है, इससे विरोध सामने आता है। इसलिए, 3^{x}=5 को संतुष्ट करने वाला x एक योग्य संख्या नहीं है।'

'(1) अगर a > 0 और x > 0 हैं, तो a^{1/2x} > 0, a^{-1/2x} > 0'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'गणित कीजिए।'

'(1) k = -4 ± √15\n(2) k = 40/√41 (40√41/41)'

'सिद्ध करें कि समीकरण $3^{x}=5$ का समाधान एक सांख्यिक संख्या नहीं है।'

'1 डिग्री की टैनजेंट समय एक पूर्णांक है?'

'नकारात्मक संख्याओं के वर्गमूल'

'(2) \\( \\left(0, \\frac{4}{5}\\right) \\)'

'एकांकी और धारावाहिक श्रृंखलाएँ जांचें'

'निम्नलिखित योग की गणना करें: \\( \\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}+\\frac{1}{(2n+5)(2n+7)} \\)।'

''

'निम्नलिखित संख्या समूहों का आयताकार में अद्ययावची स्वरूप कीजिए।\n(1) \ \\log_{3} 5,2,2 \\log_{3} 2 \'

'(1) से (3) का वर्गमूल निकालें। साथ ही, (4) से (6) की गणना करें।'

'निम्नलिखित संख्या के समूहों को असमिती से व्यक्त करें।'

'निम्नलिखित चार योग का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित असमिकाओं का समाधान करें: (1) $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{x}<\\frac{1}{81}$ (2) $5^{x+3}>\\frac{1}{25}$ (3) $2\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{x^{2}}\\geqq\\left(\\frac{1}{128}\\right)^{x-1}$'

'जब x=√10, y=10 होता है, तो अधिकतम मान 1/2 है'

'नीचे दी गई सारणी में संख्या 5.67 को दर्शाने वाला मान ढूंढें।'

'(1) से (3) के वर्गमूल निकालें। (4) से (6) के लिए गणना करें।'

''

'निम्नलिखित संख्या समूहों की अनुपातिक आकार को असमिका चिह्न का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'(8) चित्र 6 में, मुख्य स्केल की 2 मिमी की लंबाई और वर्नियर स्केल के न्यूनतम 1 मिमी की वृद्धि के बीच 0.05 मिमी का अंतर है, जो 2 - 1.95 = 0.05 (मिमी) है। इसलिए, जब मुख्य स्केल और वर्नियर स्केल की स्केल रेखाएं सारी होती हैं और वर्नियर स्केल पर एक अंक खिसक जाता है, तो मापी गई लंबाई (मापन मान) में 0.05mm का अंतर होता है। इस परिणामस्वरूप, चित्र 6 में नापने वाले नोगी के साथ पढ़ी जा सकने वाली लंबाई 0.05mm की वृद्धियां हैं।'

'(1) अधिकतम मान \\\sqrt{2}\, न्यूनतम मान \-\\sqrt{2}\\\n(2) अधिकतम मान 5, न्यूनतम मान -5'

'जब विकल्पी क्रमांक z |z-1|≤|z-4|≤2|z-1| पूरा करता है, तो चित्रण मूलयी क्रमांक समतल पर बिंदु z का चलन क्षेत्र।'

'नेचुरल नम्बर क्या है?'

'अगर α, z वास्तवीय संख्याएँ हैं, और |α|>1 है। तो |z-α| और |αz-1| के आकार की तुलना करें।'

'पाई के बारे में: यह तथ्य कि पाई अराक्षित है को उच्च विद्यालय गणित की चरम सीमा के भीतर पुनरावृत्ति प्रमाण और भागों के इंटीग्रेशन जैसी विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। यहां हम 1947 में प्रकाशित किए गए नेवे के प्रमाण की पेशकश करते हैं। मानते हैं कि पाई एक राशिक संख्या है, तो पाई = {बी} / {ए} (ए, बी प्राकृतिक संख्याएं हैं)। फिर f(x) = {1} / {n!} x ^ {n} (b - a x) ^ {n} = {a} ^ {n} / {n!} x ^ {n} (π - x) ^ {n}, परिभाषित अनिश्चित I = ∫_ {0} ^ {π} f(x) sinx dx का विचार करें। पहले हम सिद्ध करते हैं कि I एक पूर्णांक है। I के लिए, घटक समीकरण का उपयोग करके, क्योंकि f(x) एक 2n डिग्री पोलिनोमियल होता है'

'मिश्रांक \ \\frac{5-2 i}{7+3 i} \ के तर्क \ \\theta \ को खोजें। यहाँ ध्यान दें कि \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \ होना चाहिए।'

'a और b के मान तलाशें, ऐसा करने के लिए कि समीकरण y=√(2x+4) का रेंज 1≤y≤3 हो।'

"परिस्थिति 'n एक पूर्णांक है। अगर n^2 7 का गुणक है, तो n 7 का गुणक है' सत्य है। इस परिस्थिति का उपयोग करके √7 के अविकल्पीय होने का सिद्धांत दिखाएँ।"

'बुनियादी उदाहरण 23 डेनॉमिनेटर को तर्कसंगत बनाएं डेनॉमिनेटर को तर्कसंगत बनाकर निम्नलिखित संविदानों को सरल बनाएं।'

'जब 3 लोगों को हर एक में 3 गुटों में बाँटते हैं, अगर हम A, B, और C के बीच भेद को समाप्त कर देते हैं, तो प्रत्येक समूह को 3! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है, इसलिए बाँटने के कुल तरीके कितने होंगे?'

'जब x=(√2+√3)/(√2-√3), y=(√2-√3)/(√2+√3) है, तो निम्न अभिव्यक्तियों के मान निकालें।'

'1+√10 का पूर्णांकीय हिस्सा को ए, और दशमलव हिस्सा को बी माना जाए तो निम्नलिखित मानों को ढूंढें: (1) ए, बी; (2) बी + 1/बी, बी² + 1/बी²'

'(2) \ \\frac{\\sqrt{21}}{6} \'

'सिद्ध करें कि जब भिन्न a = m / n (जहां m, n पूर्णांक हैं और n>0) अनंत दशमलव बनता है, तो a एक घूर्णन दशमलव है।'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{10}}{2} \'

'(2) सिद्ध करें कि $\\sqrt{5}$ अव्यवहार्य है।'

'√3 एक अवैज्ञानिक संख्या है। 7+a√3/2+√3=b+9√3 को संतुष्ट करने वाले रेशे संख्या a, b के मान ढूंढें।'

'(1) क्रमश: \ \\frac{\\sqrt{15}}{4}, -\\frac{1}{4}, -\\sqrt{15} \'

'57 (अ) 20/3'

'एक शहर में 6 उत्तर-दक्षिण की सड़कें और 4 पूर्व-पश्चिम की सड़कें हैं। बिंदु पी से बिंदु क्यू तक सबसे छोटे मार्ग को आगे बढ़े। इस यात्रा के दौरान, एक सिक्का फेंकें: यदि यह सिर पर गिरता है, तो पूर्व में 1 ब्लॉक आगे बढ़ें, यदि यह गिरता है तो उत्तर में 1 ब्लॉक चलें। सिक्के को शीर्ष या पूर्वी सबसे पूर्वानुदान या ऊर्ध्वानुदान करने की तुलना में पहली जानकारी का हिसाब रखना।'

'अभ्यास 23'

'दो वास्तविक संख्याएँ a, b का योग, अंतर, गुणा, और भाजक हमेशा एक वास्तविक संख्या होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एकांशीय संख्याएँ जोड़ी जाएं, तो परिणाम हमेशा एक एकांशीय संख्या होता है। यह स्पष्ट करें कि एकांशिक और वास्तविक संख्याओं के सीमांतर में हमेशा गणितीय कार्य संभव हैं। हालांकि, विभाजन में 0 से विभाजन को ध्यान में नहीं रखा जाता।'

'साबित करें कि एक योग्य संख्या और एक अक्षम संख्या का योग अक्षम है।'

'(1) \ \\frac{1}{1+\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}+\\frac{1}{1+\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}-\\frac{1}{1-\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} \ को सरल रूप में करें।'

'(1) \ \\frac{\\sqrt{5}-1}{4} \'

'प्रमाणित करें कि √5 अनुपस्थित है।'

'आयतन \ \\frac{4}{3} \, दूरी \ \\frac{2 \\sqrt{14}}{7} \'

'निरंतर a की मान की श्रेणी निर्धारित करें और क्रमिक समर्पण के संबद्ध अंक का पता लगाएं।'

'(1) \ \\frac{2}{5} \'

'86 x= \\sqrt{5}, \\quad -\\frac{1}{\\sqrt{2}}<x<\\frac{1}{\\sqrt{2}}, \\quad \\sqrt{5}<x'

'साबित करें कि एक समय आंकित संख्या और एक बहुमूल्य संख्या का योगफल बहुमूल्य है।'

'एक खेल में, एक सिक्का बार-बार फेंका जाता है, और एक पुरस्कार मिलता है जब यह तीन बार सिर पर गिरता है, पांच फेंकने की अधिकतम सीमा होती है और तीसरे सिर पर गिरने के बाद और फेंकने की सीमा तक कोई नहीं है। अगर पहली बार बिंदी के सिर पर गिरने की परिणाम, पुरस्कार प्राप्त करने के लिए कितने संभावित क्रम हैं?'

'निम्नलिखित मतवादों की सत्यता की जांच करें। हालांकि, (2) और (3) की जांच के लिए सेट का उपयोग करें।\n(1) वास्तविक संख्याओं a, b के लिए, यदि a का वर्ग b के वर्ग के बराबर है, तो a बराबर है\n(2) वास्तविक संख्या x के लिए, यदि |x|<3, तो x<3\n(3) वास्तविक संख्या x के लिए, यदि x<1, तो |x|<1'

'उदाहरण 98: 0 < x < 1 और 1 < x < 2 में समाधानों वाले एक द्विघात समीकरण के मौजूदा सीमा का पता लगाएं।'

'(ए) \ \\frac{1}{7} \'

'वर्गमूल की गुणधर्मों की व्याख्या करें।'

'सकारात्मक संख्या ए का वर्गमूल दो होते हैं, जिनका अपसूलूत मान एक जैसा होता है लेकिन चिन्ह भिन्न होता है। 0 का वर्गमूल 0 होता है। उदाहरण: 5 का वर्गमूल है sqrt{5} और -sqrt{5}। वर्गमूल वाले समीकरणों की गणना के उदाहरण: sqrt{3} × sqrt{7} = sqrt{21}। sqrt{5} / sqrt{2} = sqrt{5/2}।'

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'(1) \\frac{4(\\sqrt{7}-1)}{3} (2) -4 (3) \\frac{110-32 \\sqrt{7}}{9}'

'निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के मूल्यमान को समझी में बदलें।'

'जब x=(2+√3)/(2-√3) और y=(2-√3)/(2+√3) है, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान निकालें।'

'प्रमाणित करें कि √3 एक अवैज्ञानिक संख्या है। मान लें √3 रेशियोनल है, अर्थात √3 = m/n जैसे कि √3 = m/n को कोई भी 1 के अलावा कोई साझा उपघात नहीं है, विज्ञान नंबर n। इससे m = √3n मिलता है। दोनों पक्षों को वर्ग करने पर m^2 = 3n^2, इसलिए m 3 का एक गुणन है। इसलिए 3 का कोई प्राकृतिक संख्या क होता है। सूत्र आउट करने के लिए 9k^2 = 3n^2, जिसका अर्थ n^2 = 3k^2 है, इस संकेत में n 3 का एक गुणन है, एक विरोधक में ले �...�। इसके अलावा, √3 एक अवैज्ञानिक संख्या बताता ह।ं।'

'निम्नलिखित प्रस्ताव को सिद्ध करने के लिए परिकलन द्वारा उलटा प्रमाण दें: कम से कम एक x का वर्ग और x की घन कोई अमूर्त संख्या है।'

'(1) मान लें a, b, c, और d को यौक्तिक संख्याएं हैं, और √l एक अयौक्त संख्या है। जब a+b√l=c+d√l हो, तो सिद्ध करें कि b=d। साथ ही सिद्ध करें कि इस मामले में a=c। (2) (1+3√2)x+(3+2√2)y=-5-√2 को संतुष्ट करने वाले यौक्तिक संख्या x, y की मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित संविवादों के मानकों को समयात्मक दर्शता करें।'

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'(1) किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या n के लिए, √n एक यातात्मक संख्या है, सत्य। (2) सभी वास्तव संख्याओं x के लिए, x^2 ≠ x + 2, गलत।'

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'लूपिंग दशमलव 0.2, 1.21, 0.13 को भिन्नरुप में व्यक्त करें।'

'निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें। 127 (1) एक त्रिभुज की एक सीधी ब = 2√7 की लंबाई है, अन्य दो सीधियों की लंबाई पता करें।'

'शर्त p और उसके नकारात्मक के बारे में समझाएं।'

'इस तथ्य का उपयोग करके सिद्ध करें कि √3 अव्यावर्त दिखाई देता है, 1+2√3 भी अव्यावर्त है।'

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'अवैचित्र संख्याओं की परिभाषा को समझाएं और उनकी दो विशेषताएं सूचीबद्ध करें।'

'वर्गमूल क्या है? कृपया विशेष उदाहरणों के साथ समझाएं।'

'सिद्ध करें कि √3 अविवेकीय है। मान लें कि √3 विवेकीय है और इसे √3 = p/q के रूप में प्रकट किया जा सकता है, यहां p और q सहवीहित पूर्णांक हैं। दोनों ओर को वर्ग करने से हमें 3 = p^2/q^2 मिलता है, पुनः व्यवस्थित करने से हमें 3q^2 = p^2 मिलता है। इसलिए, p^2 3 का एक गुणक है, हमारी मान्यता के अनुसार, p 3 का गुणक है, इसे p = 3m के रूप में लिखा जा सकता है। पुनः प्रतिस्थापन करने पर हमें 3q^2 = 9m^2 मिलता है, 3 से भाग करने से q^2 = 3m^2 मिलता है, यानी q भी 3 का गुणक है। यह p और q सहवीहित होने के विरुद्ध है, इसलिए मान्यता गलत है, और √3 अविवेकीय है।'

'निम्नलिखित समीकरणों से दोहरी वर्गमूल हटाएं।'

'1/6, 1/9, 1/14, 1/21, 1/30 का सामान्य पद ढूंढें।'

'प्रत्येक अभिव्यक्ति की गणना करें।'

'139\n(1) \ \\frac{\\sqrt{3}-1}{4} \'

'117\na और b के मान निकालें, जहां a = (6 ± √14)/2 और b = (6 ∓ √14)/2\n(दोनों संकेत एक साथ हैं)'

'अ और ब गैर शून्य वास्तविक संख्याएं हो। निम्नलिखित (1), (2) समीकरणों की स्थिति a>0, b>0 के लिए सही है, लेकिन अन्य स्थितियों में कैसे है? कृपया निम्नलिखित प्रस्तावनाओं की जांच करें: [1] a>0, b<0 [2] a<0, b>0 [3] a = √(a/b) (2)√(a) / √(b) = √(a/b) (3)√(a)√(b) = √(ab)'

'अनुक्रम 1/1, 1/2, 3/2, 1/3, 3/3, 5/3, 1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 1/5, ... के बारे में'

'562 सेंटीमीटर या (1+√3) सेंटीमीटर'

'(1) \ a_{2}=\\frac{4}{3}, a_{3}=\\frac{6}{5}, a_{4}=\\frac{8}{7} \,\\n\ a_{n}=\\frac{2 n}{2 n-1} \\\n(2) सारांश'

'निम्न वैल्यूज़ का पता लगाएं:\n14. (1) \x0crac{x}{(x+1)(x-1)}\n(2) 1'

'(2) \ x=1,2 \\pm \\sqrt{3} \'

'a को 1 से अलग एक सकारात्मक स्थिर माना जाता है। अगर a^x=8 और a^y=25 है, तो x और y में log_{10} 500 को व्यक्त करें।'

'समस्याओं में जहां उच्च-भाव समीकरण के सीमा के तय होने की शर्त है, निम्नलिखित [1], [2] समस्या समाधान के आधार हैं। पहले, चलिए इसे सबसे महत्वपूर्ण बिंदु को समझ लें। x=α समीकरण f(x)=0 का समाधान है यदि और केवल अगर f(α)=0 (प्रतिस्थापन करने पर प्रमाणित) ⇐[1]⇔ f(x) का x−α एक अंश रखता है ⇐[2] सबसे मौलिक समाधान विधि है, [1] का रणनीति ‘समाधान का प्रतिस्थापन करना’। उदाहरण समस्याएँ 61, 62 में, हम पहले इस रणनीति का उपयोग करके उत्तर दिखाते हैं। हालांकि, जब उत्तर कल्पनाशील होता है जैसे उदाहरण 62 में, प्रतिस्थापन के बाद गणना कुछ जटिल हो सकती है।'

'निम्नलिखित मानों की गणना करें। (5) (sqrt{3}+sqrt{-1})(1-sqrt{-3})'

'130\n(1) \\( (\\sqrt{3}, 5) \\)'

'(1) \ \\frac{9}{2} \'

'प्रश्न 95 जड़ 15 का 2 से भाग < r < 4'

'निम्नलिखित मानों का हल करें। मान लें कि a>0, b>0।'

'पहले पद से n वाँ पद तक अनुक्रम का योग ज्ञात करें।'

'(2) अगर xy अरास संख्या है तो x, y में से कम से कम एक अरास संख्या है का प्रतिक्रिया, विपरीत-वापसीय और उल्टा बयान दें, और उनके सचाई मूल्यों को निर्धारित करें।'

'√3 असंगत संख्या होने का उपयोग करके, 1/√2 + 1/√6 असंगत संख्या है का प्रमाण दें।'

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'प्रमाण 61 विरुद्धता से, सिद्ध करें कि \\\sqrt{7}\ अराष्ट्रीय है, और फिर सिद्ध करें कि \\\sqrt{5}+\\sqrt{7}\ अराष्ट्रीय है। बुनियादी सिद्धांत 2। एक संख्या राष्ट्रीय होने का सीधा सिद्धांत करना कठिन है। इसलिए, हम मानते हैं कि सिद्ध करने के लिए विषय सत्य नहीं है, विरोधाभास को उत्पन्न करते हैं, और सिद्ध करते हैं कि विषय ठीक है।'

'△ABC में, जहाँ a=1+√3, b=2, और C=60° है। निम्नलिखित का पता लगाएं:\n(1) साइड AB की लंबाई\n(2) ∠B का माप\n(3) △ABC क्षेत्रफल\n(4) आसारी वृत्त की त्रिज्या\n(5) अंतर्वृत्त की त्रिज्या\n[नारा शिक्षा विश्वविद्यालय के अनुरूप]\np. 285 EX118,119'

'√2 के मान के बारे में'

'(2) \\frac{5 \\sqrt{3}}{11}'

'निम्नलिखित प्रस्तावों के लिए पूरक और उल्टा-पुराक दें, और यह निर्धारित करें कि वे सही हैं या गलत।'

'मानोनियोक्त को समझा।'

'(3) (1+√3)^3 का मान निकालें।'

'पांचवें प्रकार पर ध्यान केंद्रित करें, \\sqrt{2} को \\sqrt{3} से गुणा करें और फिर \\sqrt{5} से बांटें। हम निम्नलिखित विवरण कर सकते हैं:\n(1) \\( \\quad( \\text{दिया गया अभिव्यक्ति} )=\\frac{3 \\sqrt{2} \\sqrt{3}}{2(\\sqrt{3})^{2}}-\\frac{\\sqrt{3} \\sqrt{2}}{3(\\sqrt{2})^{2}}=\\frac{3 \\sqrt{6}}{6}-\\frac{\\sqrt{6}}{6}=\\frac{2 \\sqrt{6}}{6}=\\frac{\\sqrt{6}}{3} \\)'

'उदाहरण 28 में, x का मानकीकरण करने पर x=5-2√6 प्राप्त होता है, और y का मानकीकरण करने पर y=5+2√6 प्राप्त होता है।'

'निम्नलिखित समस्या के प्रत्येक हिस्से को साबित करें। (2) मान लीजिए √n और √(n+1) दोनों एक समय सार्वजनिक संख्याएँ हैं। साबित करें कि √n और √(n+1) दोनों सकारात्मक पूर्णांक हैं। (3) मानिए √(n+1) - √n एक सार्वजनिक संख्या है। इस स्थिति में √n और √(n+1) की गुणधर्म सिद्ध करें। निम्नलिखित समस्या का समाधान करें। (a x + y)/(1 - a) = a से a x + y = a(1 - a) निकालें और समीकरण का समाधान करें।'

'(1) $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n (2) $\\sqrt{21}$'

'निम्नलिखित समीकरणों को मानकीकृत महत्वक में सरलीकृत करें।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों के लिए एक विरोधाभास प्रदान करें।'

'निम्नलिखित संकेतों को सरल रूप में व्यक्त करने का अभ्यास करें द्वारा निर्धारक को यातात्मक करें।'

'कृपया वास्तविक संख्याओं और वर्गमूलों की गुणधर्मों की व्याख्या करें।'

'33® में A को रेशी अंकों की समूह, B को अरेशी अंकों की समूह और खाली समूह को ∅ कहा जा सकता है। निम्नलिखित बॉक्स में समूह सिम्बल ∈, ∋, ⊆, ⊇, ∪, ∩ में से उचित प्रतीक चुनें और भरें।'

'सिद्ध करें कि \ \\sqrt{2}+\\sqrt{3} \ अव्यक्त संख्या है। यह माना जाता है कि \ \\sqrt{2}, \\sqrt{3} \ अव्यक्त संख्याएँ हैं।'

'सिद्ध करें कि यदि a, b, c, d क्रमित संख्याएं हैं और x एक अराशिक संख्या है, तो a+bx=c+dx है, तो a=c और b=d है।'

'बुनियादी उदाहरण 27 पूर्णांक और दशमलव भाग'

'\ \\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{3}-\\sqrt{2}} \'

'दिए गए शर्तों के आधार पर, AC=BC=\\frac{6}{\\sqrt{2}}=3 \\sqrt{2}। चित्र में दिखाए गए बिंदु D, E, F, G को लेते हुए, आयतकार की लम्बाई को x मानते हुए, तो DE=AE=AC-CE=3 \\sqrt{2}-2 x, FG=AG=AC-GC=3 \\sqrt{2}-x। साथ ही, 0<CE<AC होने के कारण, हमें पता चलता है कि 0<2 x<3 \\sqrt{2} है, जिसका मतलब है 0<x<\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}। दो आयतकारों के क्षेत्रों का योग y माना जाए, तो y =x(3 \\sqrt{2}-2 x)+x(3 \\sqrt{2}-x) = -3 x^{2}+6 \\sqrt{2} x = -3(x-\\sqrt{2})^{2}+6। y की अधिकतम मान x=\\sqrt{2} पर 6 है। इसलिए, दो आयतकारों के क्षेत्रों की योग की अधिकतम मान 6 है।'

'नृदोष से सिद्ध करें'

'मामलों के नामकों को विवेकीकृत करें और सरलीकरण करें:'

'साबित करें कि एक सांख्यिक नंबर और निराधारी नंबर का योग एक निराधारी संख्या है।'

'सिद्ध करें कि PR√2+√3 अव्यक्तिक है। मान लें कि √2 और √3 दोनों अव्यक्तिक हैं।'

'साबित करें कि एक सांगत संख्या और एक असंगत संख्या का योग असंगत होता है।'

'(5) \\( \egin{aligned} (\\sqrt{10}-2 \\sqrt{5})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) &= (\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{5}-\\sqrt{2} \\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}) \\\\ &= \\sqrt{2}(5-10)=-5 \\sqrt{2} \\end{aligned} \\)'

'यहाँ से \\\sqrt{3} \\tan \\theta+1=0\ को ध्यान से देखें, तो हमें पता चलता है कि \\\tan \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\। जब रेखा \x=1\ पर \y\ अंक उस समय \-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\ पर है तो नक्शे में बिन्दु \\\mathrm{T}\ है। रेखा \OT\ और अर्धवृत्त जिसकी अर्द्धवृत्त 1 है का का संयोजन बिंदु \\\mathrm{P}\ है। जिसे हमें धुंधना है वह \\\theta\ वह है \\\angle \\mathrm{AOP}\।'

'निम्नलिखित समीकरण को सरलीकृत करें।'

'जब x = \\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} और y = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} है, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान जांचें।'

'जब 84 a > -1 / 8 है तो समाधानों की संख्या, जब a = -1 / 8 है तो समाधानों की संख्या, जब a < -1 / 8 है तो समाधानों की संख्या'

'जब x=\\frac{1-\\sqrt{2}}{1+\\sqrt{2}}, y=\\frac{1+\\sqrt{2}}{1-\\sqrt{2}} होता है, तो निम्नलिखित समीकरणों के मान जांचें।\\n(1) x+y, x y\\n(2) 3 x^{2}-5 x y+3 y^{2}'

'परिच्छेद द्वारा सिद्ध करें कि √3 अव्यक्तिक है।'

'79 (1) दिया गया z=√3+i, -√3-i (2) दिया गया z=2i, -√3-i, √3-i'

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'(2) बिंदु z संख्याओं को संतोषपूर्ण करता है |z-(1-√3 i)|=1 w=(2+2 √3 i) z, अर्थात, w=2(1+√3 i) z z=w/(2(1+√3 i))=w(1-√3 i)/(2(1+√3 i)(1-√3 i)) =w(1-√3 i)/8 से भाग करने के लिए (1) में प्रतिस्थापन करने पर प्राप्त किया गया |w(1-√3 i)/8-(1-√3 i)|=1, अर्थात, |(1-√3 i)/8||w-8|=1 |(1-√3 i)/8|=2/8=1/4 इसलिए |w-8|=4 इसलिए, बिंदु w के द्वारा एक बिंदु 8 के केंद्र में एक व्यास 4 वाले वृत्त का चित्रण किया जाता है। संदर्भ 2+2 √3 i=4(cos(π/3)+i sin(π/3)) इसलिए, बिंदु (2+2 √3 i) z यह बिंदु होता है जो बिंदु z को मूल में π/3 घुमाकर 4 गुणा करने के लिए प्राप्त होता है। इसलिए, वृत्त |z-(1-√3 i)|=1 केंद्रीय बिंदु 1-√3 i बिंदु 8 पर ले जाता है, और वृत्त का त्रिज्या 4 है। इसलिए, बिंदु w एक वृत्त चित्रण करता है जिसका केंद्र बिंदु 8 पर है और व्यास 4 है।'

'निम्नलिखित शब्दों की स्पष्टीकरण करें: सीमित, निर्दिष्ट सीमित मान, निर्देशित रेखा सेगमेंट, फोकल द्विघातक बहुरेखा, रेशी फ़ंक्शन, सकारात्मक फ़ंक्शन, चौकों का सूत्र, अकेंट्रिक कोण, उदासीनता, ठोस का आयतन, लिमेणिसेट, शून्य विभाजक, शून्य मैट्रिक्स, शून्य वेक्टर, लेम्निसेट, सतत, लाइबनिज़ श्रृंखला, लोपिटल का सिद्धांत, रोल (Rolle) का सिद्धांत'

'एक वास्तविक संख्या \ \\alpha=a+b i \ के लिए, जहां \ \\overline{\\alpha}=a-b i \ \ \\alpha \ का संयुक्त है, प्रमेय संख्या, या \ \\alpha \ का संयुक्त वास्तविक संख्या के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित को सिद्ध करें:\n\n(1) अगर \ \\alpha \ एक वास्तविक संख्या है, तो \ \\overline{\\alpha}=\\alpha \। यदि \ \\alpha \ पूर्णकालिक संख्या है और \ \\alpha \\neq 0 \, तो \ \\overline{\\alpha}=-\\alpha \।\n(2) सिद्ध करें कि \ \\alpha+\\overline{\\alpha} \ एक वास्तविक संख्या है।\n(3) सिद्ध करें कि \ \\overline{\\alpha+\eta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\eta} \।\n(4) सिद्ध करें कि \ \\overline{\\alpha\eta}=\\overline{\\alpha}\\overline{\eta} \।'

'(1) s^2 - t^2/a^2 = 1\n(1), s^2/b^2 + t^2 = 1\n(2) में डालकर t^2 = 1 - s^2/b^2 मिलता है\nइसे (1) में बदलकर s^2 - (1/a^2)(1 - s^2/b^2) = 1 मिलता है\nसुधार करने पर s^2 = b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) मिलता है\ns > 0, b > 0 होने के कारण s = b sqrt((a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1))\n(2), (3) से t^2 = 1 - (1/b^2) * b^2(a^2 + 1)/(a^2 b^2 + 1) = a^2(b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1) मिलता है\nt > 0, a > 0, b > 1 होने के कारण t = a sqrt((b^2 - 1)/(a^2 b^2 + 1))'

'अभ्यास समस्या का उत्तर है t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{1}{2}, V(t)=\\frac{\\pi}{24}(2 \\pi-3 \\sqrt{3}+1)'

'अभ्यास 44\\n(1) (समाधान 1) x=1/(y^2-2y) से y^2-2y-1/x=0 मिलता है। इस द्विघातीय समीकरण की विभाजकीय को D कहें।\\nD/4=(-1)^2-1(-1/x)=1/x+1\\nD/4 >= 0 से 1/x+1 >= 0 होता है। इससे x<=-1,0<x होता है। इसलिए, x<=-1,0<x के लिए y=1±√(1+1/x) होता है।'

'अभ्यास सवाल का उत्तर 62 (1) ए = \\ frac{9}{8}'

'बैंगनी संबंध की कीमतें'

'अभ्यास समस्या समाधान 58 (3) \\frac{\\sqrt{3}}{12}'

'1 का n वां जड़ की खोज करें और उसे विवरणियता वृत्त के कौन से स्थान के साथ संबंधित है।'

'निम्नलिखित समस्याओं की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'(1) \ z \ है 0, 1 और -1 के अतिरिक्त सभी वास्तव संख्याएँ'

'निम्नलिखित सिद्धांत को पढ़ें और सिद्ध करें कि e अप्रासंगिक है।'

'(1)\\\ \\frac{1+i}{2} \\alpha + \\frac{1-i}{2} \eta \'

'इस असमीकरण को सिद्ध करें - e^{x}>1+\\sum_{k=1}^{n} \\frac{x^{k}}{k!} (x>0)'

'अभ्यास 41 III: \ t \\geqq \\tan t - \\frac{\\tan^{3} t}{3} \ असमीकरण को सिद्ध करें।'

'(1) छोड़ दिया\n(2) \ \\frac{2}{63} \'

'(1) \ z_2 = \\frac{3+\\sqrt{3} i}{2}, \\quad z_3 = 1+\\sqrt{3} i \'

"कृपया बताएं कि 'e असंविवादी है' का सबूत। परिभाषाविरोधी तरीके और अनंत समश्रेणी का उपयोग करके साबित करने की प्रक्रिया को दर्शाएं कि e असंविवादी है।"

'जब α=√3+i और β=2-2i हो, तो कृतिक रूप से αβ और α/β का प्रकटन करें, जहां तर्क θ 0≤θ<2π में है।'

'यदि a, b गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या हैं। निम्नलिखित समीकरण a > 0, b > 0 के स्थिति में सच हैं, लेकिन अन्य स्थितियों में क्या होता है? निम्नलिखित मामलों में अन्वेषण करें।'

'निम्नलिखित गणितीय अभिव्यक्तियों की गणना करें।'

'(1) यदि a=1/4, b=3/4 हो और 2ab = 3/8, a^2 + b^2 = 5/8 हो,\n\nतो a<2ab<1/2<a^2 + b^2 < b का अनुमान लगाया जा सकता है।'

'निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। मान लें कि $\\sqrt{3}$ अव्यक्तिक है।\n(1) सिद्ध करें कि $\\log_{3} 4$ अव्यक्तिक है।\n(2) वास्तविक संख्याओं के एक जोड़े $(a, b)$ का पता लगाएं, जहां $a$ और $b$ अव्यक्तिक हैं, और $a^{b}$ यथार्थ है।'

'100 (3) \ \\frac{5+\\sqrt{5}}{8} \'

'उस स्थिति की मानें खोजें जिसमें 21θ 210° और π/2 के बीच है। हालांकि cos θ एक यौगिक संख्या नहीं है, उस स्थिति की मानें खोजें जहां cos 2θ और cos 3θ दोनों यौगिक संख्याएं हैं।'

'सामान्य लोगारिथ्म का उपयोग करके अंकों की संख्या और पहले दशमलव स्थान का निर्धारण'

''

'20^x = 10^(y+1) समीकरण को संतुलित करने वाले रेशित संख्या x, y को खोजें।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'22 \\\frac{a+2}{a+1}\, \\\sqrt{2}\, \\\frac{a}{2}+\\frac{1}{a}\'

'प्रश्न 24'

'148 k \\leqq-5,-1+\\sqrt{7} \\leqq k'

'उस वास्तव संख्या z की खोज करें जो समीकरण z^2=2+2sqrt(3)i को संतुष्ट करती है।'

'32 सामान्य लघुगणक\n33 संबंधित उन्नत समस्याएँ अभ्यास'

'सामान्य लघुगणित का उपयोग करके अंकों की संख्या और दशमलव की पहली स्थान निश्चित करना'

'अधिकतम मान है (9 + 4√3) / 9, और न्यूनतम मान है (9 - 4√3) / 9'

''

'निम्नलिखित संख्या के समूहों की स्थानिकता को असमता चिह्न का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'95 एक यायावत संख्या नहीं है।'

'कॉम्प्लेक्स समतल पर एक पॉइंट ए जो कि सक्ल वास्तविक संख्या है, को ले और w=a(cosπ/36+isinπ/36) लिखें। इकाई रोल के तफ हथाओं के स्कॉप {जेड एन} को z1=w और zan+1=zanw^(2n+1) (n=1,2,…) के रूप में निर्धारित करें। (1) zn का तत्व खोजें। (2) कॉम्प्लेक्स समतल में, मूल को O के रूप में लेकर zn को बिंदु Pn के रूप में प्रदर्शित करें। 1≤n≤17 के लिए △OPnPn+1 को सीधा समकोणी त्रिभुज बनाने वाली n और a की मानें खोजें।'

'(3) x = √5/10 में अधिकतम मान √5/2 है, x = -1/2 पर न्यूनतम मान -1/2 है'

'कृपया समझाएं कि अनंत वर्गमय श्रेणी का अवलोकन करके एक तारतम दशमलव को एक भिन्न के रूप में व्यक्त करने की विधि।'

'(2) \ \\frac{3}{2} \'

'(2) एक वास्तविक संख्या a का पूर्णांक भाग (k ≤ a < k+1 और k पूर्णांक है) को [a] के रूप में प्रतिनिधित करें। [f(1)], [f(2)], [f(3)], ..., [f(1000)] में विभिन्न मदों की संख्या ढूंढें। ज़रूरत पड़ने पर, गणना के लिए log 10 = 2.3026 का उपयोग करें।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'अभ्यास ⊕ 31'

'जब एक गेंद फर्श पर गिराई जाती है, तो यह गिरने वाली ऊंचाई का 3/5 तक उछलती है।'

'निम्नलिखित संविशिष्ट का गणना करें।'

'129 a=\\frac{\\sqrt{2}-3}{4}, b=3'

'दिए गए समकोण त्रिभुज ABC जिसके कोण A(-1), B(1), C(√3i) हैं को एक बराबरतिक त्रिभुज माना जाता है, अगर त्रिभुज PQR के कोण P(α), Q(β), R(γ) हैं और यह भी एक बराबरतिक त्रिभुज है, तो सिद्ध करें कि समीकरण α^{2}+β^{2}+γ^{2}-αβ-βγ-γα=0 सत्य है।'

'अमान्य समीकरण का ग्राफ़ और मान परिसर\nअमान्य संख्या का ग्राफ़ और रेखा के संवाद स्थान, अमान्य असमीकरण'

'(1) जब |x| पर्याप्त छोटा होता है, तब निम्नलिखित कार्यों का पहले क्रम का और दूसरे क्रम का अनुमापन ढूंढें।'

'अल्फा और z वास्तविक संख्या हैं, जहां |अल्फा|>1 है। |z-α| और |α z-1| के मानों की तुलना करें।'

'निम्नलिखित आंकिक संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें। यहाँ विशेष जोखा 𝜃 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 के अनुरूप होना चाहिए।'

'(1) 1/(x+3) ≥ 1/(3-x) (2) 3/(1+2/x) ≥ x^2. मान लीजिए (1) को y=1/(x+3) और (2) को y=1/(3-x)। जब इसे हल किया जाता है तो x=0 होता है। अनवर्ती समीकरण का विशेष समाधान है, (1) की चित्रण का (2) के चित्रण के ऊपर होना, या जहां उनके साझा बिंदु होते हैं, उस x मान की श्रेणी है। इसलिए, चित्र से, हमें उस x मान की श्रेणी मिलती है जिसे हम खोज रहे हैं -3 < x ≤ 0, 3 < x।'

'जब a=-\\frac{24}{\\pi^{2}} और b=\\frac{12}{\\pi^{2}} है, तो न्यूनतम मान है -\\frac{48}{\\pi^{4}}+\\frac{1}{2}'

'जब एक कॉम्प्लेक्स संख्या z |z-i|=1 को संतोषित करती है, तो |z+√3| के अधिकतम और न्यूनतम मानों को और z के संबंधित मानों को निर्धारित करें।'

'जब a= \\frac{2}{e+1} है, तो न्यूनतम मान है \\( (e+1) \\log \\frac{2}{e+1}+e \\)'

'वर्ग को तीन बराबर हिस्सों में बाँटने का तरीका'

'1 के nवीं वर्गमूल की गुणधर्म'

'\ \\frac{4}{\\sqrt{3}} a \'

'एक प्रकार की वृद्धि है जिसे संख्याओं में व्यक्त नहीं किया जा सकता।'

'किसी विशेष संख्या z के लिए |z| ≤ 1 मान्य हो। जोरदार संख्या w = z-√2 के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) जो किस्म का आकार करने वाली बिंदु w कंप्लेक्स समतल पर खींचता है, वह कैसा है? इसे चित्रित करें। (2) यदि हम w^2 के अपरिमित मान को r और कुज को θ के रूप में प्रस्तुत करें, तो r और ί का क्षेत्र ढूंढें। ध्यान दें कि 0 ≤ ί < 2π।'

'432 मौलिक उदाहरण 85 जोड़-घात की गणित\nआल्फा=1-i, बीटा=√3+i। जहां, तर्क है 0 ≤ θ < 2π।\n(1) आल्फा बीटा और आल्फा/बीटा को विभिन्नतान रूप में क्या हैं।\n(2) arg(बीटा^4), |आल्फा/बीटा^4| को कैसे निष्पादित करें।\n(3) पृष्ठ 429 प्राथमिक बिंदु 1 1, 2 का संदर्भ दें'

'\ \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} \'

'निम्नलिखित समीकरण के मानों को घटते क्रम में व्यवस्थित करें: (11^1/10, 13^1/12, 15^1/14)'

'समीकरण \ \\frac{1}{n}+\\log n \\leqq \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{k} \\leqq 1+\\log n \ को साबित करें।'

't = 2/3 के लिए, न्यूनतम मान की खोज करें।'

''

'यदि एक वास्तविक संख्या जेड़ ऐसा है कि |z|=1, तो |z^3-1/z^3| की अधिकतम मान किसी ए है।'

'1+√3i और 1+i को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करके, प्रत्येक के लिए cos(π/12) और sin(π/12) के मान निकालें।'

'9 को 8 से भाग'

'42 (1) 10√3\n(2) 1:3'

'जब z = \ \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{2} i \ है, तो अधिकतम मान 3 है। जब z = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} i \\) है, तो न्यूनतम मान 1 है।'

'1 के n वाण की गुणधर्म का वर्णन करें।'

'अनंत को बढ़ाने वाली गति में अंतर'

'34 (1) \ \\frac{\\sqrt{2}}{12} \\\n(2) \ \\frac{\\sqrt{2}}{324} \\\n(3) \ \\frac{9 \\sqrt{2}}{104} \'

'144'

'उदाहरण 11 आवर्ती दशमलव'

'निम्नलिखित आवर्ती दशमलव को एक भिन्न के रूप में व्यक्त करें।'

'सिद्ध करें कि किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए √n और √(n+1) दोनों भिन्निय संख्या नहीं हो सकते।'

'अभ्यास 4 | II --> पुस्तक पृ। 59\n(2)\n4/(1+√2+√3)\n= 4(1+√2-√3)/{((1+√2)+(√3))((1+√2)-(√3))}\n= 4(1+√2-√3)/(3+2√2-3)= 4(1+√2-√3)/(2√2)\n= 2(1+√2-√3)/√2= 2(1+√2-√3)√2/(√2)^2= 2(1+√2-√3)√2/2\n= √2+2-√6'

'उदाहरण 31 में, पत्थर का संदर्भ मुक्त \ \\mathrm{A} \ से \ \\mathrm{B} \ और सी की दोनों के लिए \ \\frac{1}{2} \ की संभावना है। \ \\mathrm{B} \ से सी और डी की दोनों के लिए भी \ \\frac{1}{2} \ की संभावना है। प्रत्येक बिंदु को कोई ध्यान देने वाले संदर्भ से, सी पर ए से बी, बी से सी, डी पर बी, सी से डी, ई पर सी, डी से ई और ऐसे ही आगे। इसलिए, निम्नलिखित का निष्कर्ष निकाला जा सकता है। जब पत्थर बिंदु से पी, क्यू से आर जाता है, तो पोहोचने की संभावनाएँ बराबर हैं पी, क्यू, आर हैं p, q, r के लिए, तो r=\\frac{1}{2} p+\\frac{1}{2} q। इसका उपयोग करके, प्रत्येक बिंदु को लम्बे समय तक पहुंचने की संभावनाएँ निकाली जा सकती हैं।'

'कृपया वास्तविक संख्या और उनकी गुणों के बारे में स्पष्टीकरण पढ़ें और निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n1. आप वास्तविक संख्याओं को कैसे वर्गीकृत करते हैं?\n2. संख्या रेखा पर स्थिति a से मिलती जुलती बिंदु P को आप कैसे प्रतिनिधित्विता प्रदान करते हैं?\n3. कृपया मानक मान को परिभाषित करें।\n4. वर्गमूल की परिभाषा दें और सकारात्मक और नकारात्मक वर्गमूल के अंतर की स्पष्टीकरण करें।'

'(2) 11/17'

'(4) \ \\sqrt{\\sqrt{7}-2} \'

'कृपया अव्यवहार्य संख्याओं को कैसे विशिष्ट गणितीय समस्याओं में प्रकट होने दें एक उदाहरण।'

'गणित I (3) में नंबर 128 से, समीकरण \ \\sqrt{3} \\tan \\theta-1 \\geqq 0 \\] की अध्यायन द्वारा, हमारे पास \\[ \\tan \\theta \\geqq \\frac{1}{\\sqrt{3}} \ आता है। समीकरण \ \\tan \\theta=\\frac{1}{\\sqrt{3}} \ का समाधान \ \\theta=30^{\\circ} \ है। क्योंकि समाधान रेखा \ x=1 \ पर स्थित है जिससे एक \ y \ निर्देशांक \ \\frac{1}{\\sqrt{3}} \ से अधिक है, इसलिए समाधान का सीमा \ 30^{\\circ} \\leqq \\theta<90^{\\circ} \ है।'

'निम्नलिखित को साबित करने का अभ्यास करें, प्राइम फैक्टराइजेशन की अद्वितीयता का उपयोग करके।'

'साबित करें की तीन का वर्गमूल अमूर्त संख्या है।'

'x को सकारात्मक संख्या माना जाए। दोनों तरफ की लंबाई या तो रेशा है, या तो वर्ग है। इस प्रकार का दोनों तरह का रेक्टेंगल एक तरह की वर्ग से भरा जा सकता है। अर्थात, 1 और x की लंबाई वाले रेक्टेंगल के लिए, यदि x एक सकारात्मक संख्या है, तो इसको एक प्रकार के वर्ग से भरा जा सकता है। यदि यह एक प्रकार के वर्ग से भरा जा नहीं सकता, तो रेक्टेंगल की दुसरी ओर की लंबाई असंख्यात्मक है। इस तथ्य का उपयोग करके, स्पष्ट करें कि √10 असंख्यात्मक है।'

'समीकरण y = \\frac{8x+4}{x^{2}-2x+5} की मानस्थली (range) खोजें।'

'42 √7 या 1+√6'

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के हर को का यथार्थकरण करें। (1) rac{10}{\sqrt{5}} (2) rac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} (3) rac{1}{\sqrt{2}+1} (4) rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}

27^3 x एक अपरिमेय संख्या है। प्रतिपादन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित प्रस्ताव को सिद्ध करें। x^2 और x^3 में से कम से कम एक अपरिमेय है।

x=rac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, y=rac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} के मान दिए जाने पर निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के मान का पता लगाएं। (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

ट्रेनिंग 27 (1) निम्नलिखित (1) से (4) में से, सभी सही कथनों को चुनें। (1) $\sqrt{0.25}= \pm 0.5$ है। (2) $\sqrt{0.25}=0.5$ है। (3) rac{49}{64} का वर्गमूल \pm rac{7}{8} है। (4) rac{49}{64} का वर्गमूल केवल rac{7}{8} है। (2) \( (\sqrt{3})^{2},\left(-\sqrt{rac{3}{2}} ight)^{2}, \sqrt{(-7)^{2}},-\sqrt{(-9)^{2}} \) के मान ज्ञात करें।

x और y के बारे में बहुपद P = 3x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + ax + by है, जहां a और b परिमेय स्थिरांक हैं। (1) जब x = 1/(2-√3) और y = 1/(2+√3) है, तो x + y और x - y के मान निकालें। (2) (1) के x, y मान के लिए यदि P = 4 है, तो a और b के मान निकालें।

यदि 5 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, तो निम्नलिखित अभिव्यक्तियों के मान ज्ञात करें। (1) $a^{2}-a-1$ (2) $a^{6}$

मान लीजिए x=rac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, y=rac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, निम्नलिखित व्यंजकों के मान निकालें: (1) x+y, xy (2) x^{2}+y^{2} (3) x^{4} y^{3}+x^{3} y^{4} (4) x^{3}+y^{3}

गुणा x y के बारे में, x और y के लिए, चूंकि x के हर और y के अंश समान हैं, और x के अंश और y के हर समान हैं, हम हर को स्पष्ट किए बिना x y=1 की गणना कर सकते हैं। प्रतिलोम संबंध: \frac{A}{B}, \frac{B}{A}

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (2) (1) यह प्रमाणित करें कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। इसके लिए विरोधाभास का उपयोग करें। मान लें, विरोधाभास के लिए, कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। फिर दो पूर्णांक $p$ और $q$ मौजूद हैं जिनका कोई सामान्य भाजक नहीं है ऐसा कि \sqrt{2} = rac{p}{q}। दोनों पक्षों का वर्ग लेने पर 2 = rac{p^2}{q^2}, अर्थात् 2q^2 = p^2 प्राप्त होता है। चूंकि p^2 सम है, इसलिए p भी सम होना चाहिए। अतः, $p=2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। इसे प्रतिस्थापित करने पर 2q^2 = (2k)^2, अर्थात् 2q^2 = 4k^2 प्राप्त होता है। सरल तरीके से q^2 = 2k^2 प्राप्त होता है, जिससे q भी सम होता है। इसका मतलब है p और q का एक सामान्य भाजक 2 है, जोकि p और q के सापेक्ष अभाज्य होने के विरोधाभास में है। इसलिए, $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

प्रमाणित करें कि TRAINING 59 (3) $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि यदि एक पूर्णांक $n$ का वर्ग 3 का गुणज होता है, तो $n$ भी 3 का गुणज होता है।

ऐसे संख्या को क्या कहते हैं जिसे पूर्णांक $m$ और गैर-शून्य पूर्णांक $n$ का उपयोग करके भिन्न rac{m}{n} के रूप में व्यक्त किया जा सके?

rac{30}{7} को दशमलव में व्यक्त करने पर, दशमलव के 100वें स्थान पर आने वाली संख्या ज्ञात करें।

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का हर को तर्कसंगत बनाएं। (1) rac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} (2) rac{2}{\sqrt{12}} (3) rac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} (4) rac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}

(1) मान लीजिए $a, b, c, d$ परिमेय संख्याएँ हैं और $\sqrt{l}$ अपरिमेय संख्या है। जब $a + b \sqrt{l} = c + d \sqrt{l}$ हो तो, सिद्ध कीजिए कि $b = d$ होता है। इसके अलावा, यह भी सिद्ध कीजिए कि इस स्थिति में $a = c$ होता है। (2) \( (1 + 3 \sqrt{2}) x + (3 + 2 \sqrt{2}) y = -5 - \sqrt{2} \) को संतुष्ट करने वाले परिमेय संख्या $x$ और $y$ के मान निकालिए।

किसी निश्चित दशमलव स्थान पर समाप्त होने वाली दशमलव को क्या कहते हैं?

√6 एक अवास्तविक संख्या है इसका उपयोग करके, निम्नलिखित संख्याएं अवास्तविक हैं इसे साबित करें: (1) 1-√24 (2) √2+√3

एक निश्चित स्थान के नीचे वही अंकों का क्रम दोहराता है तो उसे कौन सा दशमलव कहते हैं?

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में से दोहरे मूल अंक हटा दें। (1) $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2 \sqrt{20}}$ (3) $\sqrt{11+4 \sqrt{6}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

(1) निम्नलिखित 1〜(4) में से सभी सही चुनें। (1) 7 का वर्गमूल $\pm \sqrt{7}$ है (3) \sqrt{rac{9}{16}}= \pm rac{3}{4} (2) 7 का वर्गमूल केवल $\sqrt{7}$ है (4) \sqrt{rac{9}{16}}=rac{3}{4} है। (2) \( (\sqrt{13})^{2}, (-\sqrt{13})^{2}, \sqrt{5^{2}}, \sqrt{(-5)^{2}} \) के मान ज्ञात करें।。

दोहराते हुए दशमलव $1 . \dot{5}, 0 . \dot{6} \dot{3}$ को भिन्नों में व्यक्त करें।

TRAINING 42 \sqrt{6}+3 के पूर्णांक भाग को a और दशमलव भाग को b मानते हुए, a^{2}+b^{2} का मान \square है।

√3 के अपरिमेय संख्या होने का उपयोग करके, सिद्ध करें कि 1+2√3 अपरिमेय संख्या है।

दशमलव को क्या कहा जाता है जहाँ दशमलव के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक चलती हैं?

बिंदु \( (-\sqrt{6}-\sqrt{2} i) z \) बिंदु $z$ को कैसे स्थानांतरित किया जाता है। रोटेशन कोण $heta$ की सीमा $-\pi< heta \leqq \pi$ है।

क्योंकि बिंदु rac{z}{z-2} काल्पनिक अक्ष पर है, इसलिए rac{z}{z-2} का वास्तविक भाग 0 है।

संपूर्ण संख्या का परिमाण संपूर्ण संख्या $z=a+bi$ के लिए, बिंदु $z$ और मूलबिंदु $O$ के बीच की दूरी $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ को संपूर्ण संख्या $z=a+bi$ का परिमाण कहते हैं, और इसे $|z|$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। अर्थात संपूर्ण संख्या का परिमाण एक वास्तविक संख्या होती है। निम्न संपूर्ण संख्याओं $z$ का परिमाण ज्ञात करें: 1. $z = 3 + 4i$ 2. $z = -1 + i$ 3. $z = 2 - 2i$

संयुग्मित जटिल संख्याओं के गुण: जटिल संख्याओं α और β के बारे में, निम्नलिखित सत्य है।

5 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) 5 (3) न्यूनतम मान $t=-1$ पर $2 \sqrt{5}$

76 (1) 1/2+√3/2i (2) 1/4096 (3) 256+256i

निम्नलिखित समिश्र संख्याओं की गणना करें: (1) $i$ (2) rac{1}{256}-rac{1}{256} i (3) -rac{1}{512} (4) -64 (5) 1024

निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का तर्क कोण निकालें। (1) rac{1}{\sqrt{3}} i (2) क्रमशः rac{\pi}{2}, rac{\pi}{6}, rac{\pi}{3}

संगी संख्‍या $z$ का काल्‍पनिक भाग धनात्‍मक है, और 3 बिंदु \( A(z), B(z^2), C(z^3) \) संग पेर आवे अन्‍य एक समबाहु हैं। इस समय, $z$ ज्ञात करें।

संपूर्ण संख्या $z$ के लिए, प्रमाणित करें कि |z|=|-\overline{z}| ।

78 1, 1/√2 + 1/√2i, i, -1/√2 + 1/√2i, -1, -1/√2 - 1/√2i, -i, 1/√2 - 1/√2i

18 (2) (1) $\sqrt{5}+2$ (ウ) 2

53 (2) $\frac{\sqrt{19}}{10}$

39 ± rac{\sqrt{3}}{2}

माना कि lpha का वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों धनात्मक हैं। साथ ही, |lpha|=|eta|=1 है। यदि जटिल संख्याएँ i lpha, rac{i}{lpha}, eta समतल पर एक समद्विबाहु त्रिभुज के तीन शीर्ष बनाती हैं, तो lpha और eta को खोजें।