मूलभूत संख्या सिद्धांत - अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन

'कारक सिद्धांत की समझ दिजीए।'

'बायोमीनियल सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करें कि निम्नलिखित समीकरण सत्य है: { }_{n} C_{0}+{ }_{n} C_{1}+{ }_{n} C_{2}+⋯+{ }_{n} C_{n}=2^n'

'सामान्य बहुपद (बहुपद): वह बहुपद जो चाहे दो या दो से अधिक बहुपदों को समान मात्रा में विभाजित करता है।'

'(1) सिद्ध करें कि यदि m एक मुख्य संख्या है, तो d_{m}=m।\n(2) सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध करें कि गणितीय भावना के द्वारा k^m-k को d_{m} से विभाजित किया जा सकता है।'

'सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सिद्ध करें कि अभिव्यक्ति 4^{2n+1} + 3^{n+2} 13 की गुणा है।'

'गणित II\n(1) से (α-2)(α+3)=0, इससे α=2,-3 मिलता है\n(2) से α=2 के लिए k=8, और α=-3 के लिए k=-27\nअतः k=8,-27'

'अभ्यास (1) सिद्ध करें कि जब n एक प्राकृतिक संख्या होता है, तो 4^(2n+1) + 3^(n+2) 13 की एक गुणी है।'

'(1) $k ^ 3$ को $n$ से भाग देने पर $q$ को शेष और $r$ को शेष मिलता है, तो $k ^ 3 = qn + r (0≤r≤n-1)$ जब $n$ और $k$ एक-दूसरे से भिन्न होते हैं, तो $n$ और $k ^ 3$ भी एक-दूसरे से भिन्न होते हैं। इसलिए $r≠0$, इसलिए $1≤r≤n-1$ (1) को $n$ से विभाजित करने से $\\frac{k^ 3}{n}=q+\\frac{r}{n}$ मिलता है $1≤r≤n-1$ से पता चलता है कि $\\frac{1}{n}≤\\frac{r}{n}≤1-\\frac{1}{n}$ इसलिए 0 < $\\frac{r}{n}$ < 1, इसलिए $\\left[\\frac{k^3}{n}\\right]=\\left[q+\\frac{r}{n}\\right]=q$'

'(2) सब के लिए प्रमाणित करें कि सभी k के लिए, k^m - k d_m से विभाज्य है। [1] जब k=1, 1^m - 1 = 0 और d_m ≠ 0, इसलिए 0 d_m से विभाज्य है। इसलिए, (1) में सहमत है। [2] मान लें कि (1) k=l के लिए सहमत है, अर्थात l^m - l d_m से विभाज्य है। k=l+1 को विचार करते हुए, (l+1)^m - (l+1) ={m C_0 l^m + m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m - (l+1)} = {l^m - l} + {m C_1 l^(m-1) + m C_2 l^(m-2) + ... + m C_m-1 l} मान से, l^m - l d_m से विभाज्य है। इसके अलावा, d_m {m C_1, m C_2, ..., m C_(m-1)} का सर्वोत्तम समान अंश है, इसलिए ये मद से विभाज्य हैं। इसलिए, (l+1)^m - (l+1) d_m से विभाज्य है। इसलिए, के लिए k=l+1, (1) भी सहमत है। [1], [2] से, सभी प्राकृतिक संख्याओं k के लिए (1) सहमत है।'

'प् एक मौलिक संख्या है तो निम्नलिखित को सिद्ध करें।\n(1) 1 ≤ k ≤ p-1 को पूरा करने वाले प्राकृतिक संख्या k के लिए, p_kC_k, p की एका की गुणा करनी चाहिए।\n(2) 2^p-2 बल की एका का गुणी है।\n[Tohoku Gakuin University]'

'तीन अक्षर (ऐ, बी, सी) को साफ करके एक साथ n बार लिखकर उसे n लंबे शब्द कहें। यहां, n=1,2,3, … आदि है। उदाहरण के लिए, abbaca और caab दोनों अलग-अलग 4 लंबे शब्द है। n लंबे ऐसे शब्दों में, जिनमें विषम संख्या में ऐ हों उन्हें xn कहा जाए, और शेष को yn कहा जाए। xn और yn के मानों की तलाश करें।'

'अभ्यास 55 (1) [1] में, जब m=2 होता है, तब d_2 वह सबसे बड़ा प्राकृतिक संख्या है जो योजकीय संख्या {2 C_1} = 2 से विभाजित होता है, इसलिए d_2=2 है, और d_m=m सत्य है। [2] जब m 3 से अधिक एकमात्र संख्या होता है, तो {m C_1}=m, इसलिए केवल {m C_2, m C_3, ..., m C_m - 1} m के गुणक होने की स्थिति को प्रदर्शित करना पर्याप्त है। k=2,3,…,m-1 के लिए, {m C_k} = (m!) / (k!(m-k)!) = (m/k) * ((m-1)! / (k-1)!(m-k)!) = (m/k) * {m-1 C_k-1} इसलिए, k * {m C_k} = m * {m-1 C_k-1} क्योंकि m 3 से अधिक एकमात्र संख्या है, और 2 ≤ k ≤ m-1 है, उसके लिए k और m परस्पर संख्याआत्मक हैं। इसलिए, {m C_k} m का गुणक है। इसलिए, d_m=m सत्य है। [1], [2] से, यदि m एकमात्र संख्या है, तो d_m=m है।'

'समग्र अभ्यास'

'(3) \ m, n \ प्राकृतिक संख्याएं हैं, और \ p \ एक मुख्य संख्या है, इसलिए \ m, n, p \ गैर-शून्य वास्तविक संख्याएं हैं। इसलिए, (1) से, हमें \ \\frac{1}{m} + \\frac{1}{n} = \\frac{1}{p} \ मिलता है। साथ ही, \ a^{m} = b^{n} \ में, जहाँ \ 1 < a < b \, हमें\ a^{m} = b^{n} > a^{n} \\text { जो सूचित करता है } a^{m} > a^{n} \\\\\\\आधार \ a \ 1 से अधिक है, इसलिए \ m > n \। इसलिए, (2) से, हमें \ m = p^{2} + p, n = p + 1 \ मिलता है, और इसलिए\\[ a^{p^{2} + p} = b^{p + 1} = (a b)^{p} \\]\\\\'

'(1) का समाधान α, β है, और f(x)=x^2+2ax+a-1। (2) के दो समाधानों के बीच α, β के लिए शर्त है कि, (3) की शर्तों के तहत, f(α)<0 और f(β)<0 हो।'

'जब ग़ैर-शून्य वास्तविक संख्याएँ $x, y, z$ को $3^{x}=2^{y}=5^{z}=(\x0crac{6}{5})^{7}$ को संतुष्ट करती हैं, तो $\x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{1}{z}$ के मान की खोज करें।'

'मान लें कि पूर्णांक a, b 3 की गुणाकार नहीं हैं, और f(x)=2x^3+a^2x^2+2b^2x+1 लें। सिद्ध करें कि f(x)=0 को संतुष्ट करने वाला कोई पूर्णांक x मौजूद नहीं है।'

'जब $4^{x}=6^{y}=24$ हो तो $\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$ का मान निकालें।'

'चलो दोहरी जड़ों पर विचार करें! दोहरी जड़ें, b^2-4ac=0 के मामले को संदर्भित करती हैं। एक द्विघातीय समीकरण के लिए समाधान फ़ॉर्मूला x=-b±√(b^2-4ac)/(2a) में, जब b^2-4ac=0 होता है, तो √(b^2-4ac) और -√(b^2-4ac) दोनों 0 होते हैं, जिससे समाधान x=-b/(2a) हो जाता है।'

'10723 से अधिक'

'न को 3 से अधिक प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो समांतरीयता 4^{n}>8 n+1 (A) को साबित करें।'

'2x^3+5x^2-23x+10 बहुपद का कौन सा कारक है?'

'क्या k ≥ 0 के लिए x, y की मौजूदगी की आवश्यक और पर्याप्त शर्त है जो समीकरण x² - xy + y² = k और x + y = 1 को संतोषप्रद करती है?'

'P(k)=0 के लिए k के मान ढूंढने का तरीका'

'मौलिक 57: विभाज्य स्थितियों से संख्याक खोजना'

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'यदि 1% वार्षिक ब्याज दर के साथ और 1 मिलियन येन को वार्षिक रूप से निवेश किया गया है, तो मुख्य और ब्याज की कुल राशि पहली बार 1.1 मिलियन येन से अधिक होगी कितने साल बाद होगी? आप सामान्य लॉगरिद्म तालिका का उपयोग कर सकते हैं।'

'2020 शिबुया शिक्षा संस्थान माकुहारी मध्य विद्यालय अंकगणित पहली परीक्षा'

'उन पूर्णांकों को छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित करें जो 1 से अधिक हैं और न तो वर्गाकार संख्याएं हैं न ही क्यूब संख्याएं हैं। 2,3,5,6,7,10,11, \\cdots \\cdots छोटे से बड़े गणित करने पर 2020वें पूर्णांक का क्या है?'

'जब काले वर्ग की एक तरफ की लंबाई 1 सेमी से अधिक और 100 सेमी से कम हो, तब सफेद वर्गों की संख्या कम से कम 8 है ((1+1) x 4 = 8) और अधिकतम 404 है ((100+1) x 4 = 404)। एक संख्या जो लगातार पूर्णांकों की योग के रूप में प्रकट नहीं हो सकती, 1 के अतिरिक्त, वह भीड़ संख्या नहीं है, ऐसा पूर्णांक है जिसके विषम गुणक समी संख्या नहीं हैं। इस प्रकार की संख्या को प्रधान का गुणाकार के रूप में प्रकट किया जा सकता है, जैसे 2 x ・・・ x 2। इसी अवधि में, वहां 8 (टुकड़े), 16 (टुकड़े), 32 (टुकड़े), 64 (टुकड़े), 128 (टुकड़े), और 256 (टुकड़े) हैं, जिनके लिए सवली वर्ग की लंबाई 1 सेमी, 3 सेमी, 7 सेमी, 15 सेमी, 31 सेमी, और 63 सेमी से है, उत्तराधिकारित।'

" 'बारह र्यो न टेद्रो' का अर्थ क्या है?"

'दूतावासी प्रधानमंत्री को प्रति बार बहुत अच्छी तरह से स्वागत किया गया है।'

'प्रश्न 5 के बारे में, सबसे आधीन हिस्सा d, विदेशी मुद्रा और अन्य मुद्रा के बीच विनिमय दर को विदेशी मुद्रा दर के रूप में जाना जाता है। इस विषय पर X और Y के निम्नलिखित विचारों के लिए, निम्नलिखित विकल्पों से सही संयोजन का चयन करें और उत्तर देने के लिए निम्नलिखित में से 1 का चयन करें।'

'प्रत्येक 6 अंक × 2'

'(2) 3240 को मौलिक संख्याओं के गुणा के रूप में प्रकट किया जाता है, तो 3240 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5।'

'क्या आप बता सकते हैं कि 1 से अधिक पूर्ण वर्ग नहीं होने वाले पूर्णांक को छोटे से बड़े क्रम में ऐसे व्यवस्थित करें। 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ...। 300वीं संख्या क्या है?'

None

'(1) द्विघातात्मक सिद्धांत का उपयोग करके असमीकरण $2^{n}>\x0crac{1}{6} n^{3}$ सत्यापित करें। (2) $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}}{2^{n}}$ के मान को खोजें।'

'संदर्भ रेखा संयुक्त रेखा'

'सिद्ध करें कि दो पूर्णांक a और b के लिए, अगर a+b और ab एक दूसरे के साथ कोप्राइम होते हैं, तो a और b कोप्राइम हैं।'

'56 से कम प्राकृतिक संख्याओं में से 56 के अनुपस्थित जिन्हें जो 56 के साथ सहभाजी हैं की संख्या की गणना करें।'

'यदि a और b प्राकृतिक संख्या हैं, तो a + b = p + 4, ab^{2} = q। इन शर्तों को पूरा करने वाले मुख्य संख्या p और q खोजें।'

'सिद्ध करें: 1 से 50 तक के पूर्णांकों में से किसी भी 26 विभिन्न संख्याओं का चयन किया जाए, उनमें 51 का योग होने वाले दो संख्याओं का जोड़ जरूर होगा।'

'साबित करें कि n^{2}+1 5 का एक गुणक है यदि और केवल यदि n को 5 से भाग देने पर शेष 2 या 3 है।'

'पीआर 3500 के सकारात्मक विभाजकों के बारे में'

'प्राइम संख्या 1 से अधिक प्राकृतिक संख्या है, जिसके केवल 1 और अपने आप को धारक सक्तिक संख्या होती है, वहीं एक ऐसी संख्या जो प्राइम नहीं है उसे संयुक्त संख्या कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, आदि प्राइम संख्या हैं, जबकि 4, 6, 8, 9, आदि संयुक्त संख्या हैं।'

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None

'दिए गए शर्तों के तहत, जब p=3k+2 होता है, तो p, 2p+1, और 4p+1 सभी मुख्य संख्याएं होने वाली प्राकृतिक संख्या p को p=3 द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। 5 या उससे अधिक महत्वपूर्ण संख्या p के लिए, स्पष्ट है कि 2p+1 या 4p+1 में से कम से कम एक 3 की गुणाकार होगा।'

'निम्नलिखित प्रस्तावों की सत्यता या असत्यता का निर्धारण करें:\n(2) 28 के सकारात्मक विभाजक हैं 1, 2, 4, 7, 14, और 28, जिनमें कुल 6 विभाजक हैं। इसलिए, यह एक सत्य प्रस्ताव है।\n(3) जब n=36 है, तो n 4 की एक गुणी और 6 की एक गुणी है, लेकिन 24 की एक गुणी नहीं है। इसलिए, यह एक गलत प्रस्ताव है (n=36 को उदाहरण के रूप में लेते हुए)।'

'मौन अंकों की गुणधर्मों का उपयोग'

'साथी अंकों से संबंधित सबूत'

'सामान्य संख्याओं का गुणनफल 2 के एक गुणक है यह सिद्ध कीजिए।'

'मैं समझ नहीं पा रहा कि प्राइम नंबर समस्याओं का समाधान कैसे किया जाए। प्राइम नंबर की परिभाषा, "2 से अधिक पूर्णांक जो केवल 1 और उसके स्वयं के अलावा कोई सकारात्मक विभाजक नहीं हैं।" यह परिभाषा सरल है। मुख्य बात यह है कि इस परिभाषा को कैसे प्रभावी रूप से प्रयोग किया जाए। पहले चलिए, हम निम्नलिखित गुणों (1) और (2) को समझते हैं: (1) प्राइम नंबर p के विभाजक ±1 और ±p हैं (2 सकारात्मक विभाजक: 1 और p हैं), (2) प्राइम नंबर 2 से अधिक होते हैं, और केवल जोड़ी नंबर 2 है। विशेषकर, सभी 3 से अधिक प्राइम नंबर विषम होते हैं। "प्राइम नंबर p के विभाजक ±1 और ±p " की गुणवत्ता का प्रयोग करके, हम प्राइम नंबर p के लिए (n-3)(n-9) को कब प्राइम नंबर के रूप में ले सकते हैं के लिए चार मामलों (A) से (D) का विचार कर सकते हैं। यहाँ ध्यान देना चाहिए कि जांचते समय n-9<n-3 और 1<p,-p<-1 का संबंध है, जिसमें केवल (B) n-9=1 और (C) n-3=-1 संभावित हैं। विशेष रूप से, ऋणात्मक स्थितियों में n-9=-1 जैसी गलतियां होने के खतरे का ध्यान रखें।'

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'28 सकारात्मक योग्याएं वाले सबसे छोटे सकारात्मक पूर्णांक को खोजें।'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'साथ ही प्राकृतिक संख्याओं की संख्या'

'72 और 120 का मानक गुणांक और न्यूनतम मानय गुणांक निकालें।\n12 संख्याओं में साझा मूलघटकों द्वारा भाग करें।\nउदाहरण के लिए, 2 से यही काम करें।\n2) 72 \t 120\n2) 36 \t 60\n2) 18 \t 30\nसबसे बड़े सामान्य गुणांक और सबसे छोटे समापन गुणांक की गणना करें।'

'उन सभी प्राकृतिक संख्याओं p को खोजें जिनके लिए तीन संख्याएं p, 2p+1, 4p+1 सभी प्रधान हैं।'

'प और क्यू को प्राइम नंबर माना गया है जहाँ प क्यू से छोटा है। इसके साथ ही, एम और एन को सकारात्मक पूर्णांक माना गया है जैसे कि म≥3 और n≥2। परिस्थितियों के मुताबिक 1 से p^m * q^n तक के पूर्णांकों में, p या q के गुणक की संख्या 240 है। इन शर्तों को पूरा करने वाले (p, q, m, n) का सेट खोजें।'

'बुनियादी उदाहरण 106 सकारात्मक विभाजकों की संख्या\n(1) 630 के सकारात्मक विभाजक की संख्या ढूंढें।\n(2) यदि कोई प्राकृतिक संख्या N मुख्य अंशों में विभाजित की जाती है, जहां मुख्य अंश में p और 7 शामिल हैं, और कोई अन्य मुख्य अंश नहीं है। इसके अतिरिक्त, N के 6 सकारात्मक विभाजक हैं, और सकारात्मक विभाजकों की कुल योग 104 है। मुख्य अंश p और प्राकृतिक संख्या N के मान ढूंढें।'

'पूर्ण संख्याएँ और मुख्य संख्याएँ'

'(2) मान लें a एक सकारात्मक पूर्णांक है, और p = a^2 + 1 एक प्रधान संख्या है। तो n^2 + 1 p का एक गुणक है अगर और केवल अगर n को p से विभाजित करने पर शेष a या p - a है।'

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'प्रमाणित करें कि दो एक-दूसरे के साथ मित्र-संख्या अंक a और b के लिए, a+b और ab भी मित्र-संख्या हैं।'

'मुख्य अंक के समक मान और लघुतम समक गुणक उपयोग करते हुए 2 पूर्णांकों या 3 पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य गुणत्व और कम सामान्य गुणितक का पता लगाएं।\n(1) 168, 378\n(2) 65,156,234'

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'432 से कोप्राइम बुनियादी संख्या की गणना करें जो 432 से छोटे प्राकृतिक संख्या हैं।'

'(2) सिद्ध करें कि अगर किसी प्राकृतिक संख्या P को 2 या 3 से विभाज्य नहीं है, तो P^2-1 को 24 से विभाज्य है।'

'735 से कम प्राकृतिक संख्याओं में से 735 के साथ प्रतिकूल अंकों की संख्या ढूंढें।'

'13 का 15 का घात 5 से विभाजित करने पर शेष की खोज करने के लिए।'

'आ और ब प्राकृतिक संख्याएँ हैं। प्रमाणित करें कि अगर एबी 3 का एक गुणक है, तो या तो तो तीन का एक गुणक है।'

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'D → A → B → C → E क्रम में रंग भरें। D → A → B करने के तरीके हैं 3! = 6 (प्रकार) हर एक के लिए, C, E करने का एक ही तरीका है। इसलिए, चाहिए रंग भरने की कुल संख्या है 6 × 1 × 1 = 6 (प्रकार)।'

'756 के सकारात्मक विभाजकों की संख्या का पता लगाएं।'

'समस्या (2) प्राकृतिक संख्या N को मुख्य घटकों में विभाजित करती है, जहाँ मुख्य घटक p और 5 हैं, और कोई अन्य मुख्य घटक नहीं हैं। साथ ही, N के 8 सकारात्मक विभाजक हैं, और सकारात्मक विभाजकों का योग 90 है। मुख्य घटक p और प्राकृतिक संख्या N के मान खोजें।'

'तीन सभी संख्याएँ प्राइम होने की शर्त'

'जब किसी प्राकृतिक संख्या N का मौलिक कारकीकरण N=p^a * q^b * r^c ...... होता है, तो N के सकारात्मक विभाजकों की संख्या (a+1)(b+1)(c+1) ...... होती है।'

'एक उम्र का पहेली है: मेरी उम्र को 3 से भाग देने पर शेष एक है, 5 से भाग देने पर शेष 4 है, और 7 से भाग देने पर शेष 1 है। मेरी उम्र का अनुमान लगाएं। लेकिन यह 105 साल से कम है।'

'साबित करें कि चार संयुक्त पूर्णांक n(n+1)(n+2)(n+3) 24 का एक गुणक है।'

'पूर्ण व्यवस्थित व्यवस्था'

'सिद्ध करें कि 2n-1 और 2n+1 किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सहभाजी हैं।'

'सिद्ध करें कि जब कोई प्राकृतिक संख्या P या 2 से विभाज्य नहीं है और न ही 3 से, तो P^2-1 24 से विभाज्य है।'

'73 छोड़'

'तीन संख्याओं के लिए एक साथ प्रधान होने की स्थिति प्रमाणित करें'

'कबूतरघर सिद्धांत (कमरे विभाजन विधि)'

'न को प्राकृतिक संख्या माना जाये। निम्नलिखित मान को प्रधान संख्या बनाने वाले न के सभी मान ढूंढें:\n(A) n^2 - 2n - 24\n(B) n^2 - 16n + 28'

'बड़े प्रधान संख्याएँ खोजने में क्या चुनौतियां होती हैं?'

'वह सबसे छोटा प्राकृतिक संख्या ढूंढें जिस पर √(378n) एक प्राकृतिक संख्या बन जाता है।'

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'जब एक पूर्णांक कई पूर्णांकों के गुणाकार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उत्पादन में प्रत्येक पूर्णांक को मूल पूर्णांक कहा जाता है। प्रधान संख्या जो कि केवल प्रधान संख्याओं को समेत करने वाले गुणाकार के रूप में प्रकट होते हैं, उसे प्रधान अंशीकरण कहा जाता है।'

'जोड़ी और त्रैतीय प्राइम नंबर'

'28 के सकारात्मक विभाजकों की संख्या 28 होने वाले सबसे छोटे सकारात्मक पूर्णांक को खोजें।'

'अद्वितीय संख्याओं की खोज (एराटोस्थेनेस की चलनी)\nयदि प्राकृतिक संख्या n अपनी वर्गमूल से कम या उसके बराबर सभी मौलिक संख्याओं से विभाजनीय है, तो n एक मौलिक संख्या है।\nइस नियम का उपयोग करके, सोचें कि 50 से कम या उसके बराबर सभी मौलिक संख्याओं की खोज करने का एक तरीका।'

'विभाजकों की संख्या और योग'

'अंशकरण'

'फैक्टरिंग के मूल तत्वों की समीक्षा करें!'

'मौलिक 11: सामान्य कारकों को निकालकर वित्तय करना'

'(1) दो लगातार पूर्णांकों का गुणनफल 2 की गुणा है का प्रमाण दें।'

'जब दो पूर्णांक a और b के बीच कोई साझा मौलिक कारक नहीं होता है, तो उनका महत्तम समापवर्तक 1 है। अगर दो पूर्णांक a और b का महत्तम समापवर्तक 1 है, तो a और b को परस्पर सहज कहा जाता है।'

'14 (1) 144 तरीके\n(2) 720 तरीके\n(3) 1440 तरीके'

'चलो मुख्य कारकीय विभाजन के मूल चरणों का सारांश निकालें। मुख्य कारकीय विभाजन के लिए सूत्रों को लागू करने के लिए:'

'जब 1 पासा को 2 बार फेंका जाता है, तो परिणामों का गुणफल 12 के एक गुणक होने के कितने तरीके हैं?'

'a≥1 और b≥1 से, हमें a+b>a+b-1≥1 मिलता है। इसके अलावा, क्योंकि a+b-1 एक प्रधान संख्या है, इसलिए a+b-1=1। इसलिए, a+b=p। क्योंकि a≥1 और b≥1 है, इसलिए हमें a=1 और b=1 मिलता है। इस प्रकार, (2) से, हमें p=2 मिलता है, जो एक प्रधान संख्या है। इसलिए, p को एक प्रधान संख्या बनाने वाले a और b के मान a=1 और b=1 हैं।'

'60! का परिणाम कितना है, 3 से ज्यादा बार कितनी बार विभाजित किया जा सकता है? 98\n50! को कैसे निकालेंगे, शेष के कितने 0 लगेंगे?'

'(1) प्रमाण: मान लें कि पूर्णांक n 3 का गुणक नहीं है, तो n को 3k±1 (k पूर्णांक है) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ऐसा होने पर, n^2-1 = (3k±1)^2-1 = 9k^2±6k+1-1 = 9k^2±6k = 3(3k^2±2k) जो निश्चित रूप से 3 का गुणक है।'

'सामान कारकों को बाहर निकालें और कारकीकरण करें।'

'95 (1) n=21 (2) n=30,270'

'निम्नलिखित दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्ग क्या है, यह जानने के लिए बागी बिभाजन तारीका का उपयोग करें। (1) 221, 91 (2) 418, 247 (3) 1501, 899'

'51, 2p+1, और 4p+1 को प्राइम नंबर बनाने वाले सभी p के मान ढूँढें। p प्राइम नंबर होने पर, जांचें कि 2p+1 और 4p+1 प्राइम हैं या नहीं।'

'सिद्ध करें कि दो प्राकृतिक संख्याएँ a और b के लिए, यदि a और b सह-मित्र हैं, तो a+b और ab भी सह-मित्र होते हैं।'

'सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या एवं के लिए, ए और का 1 कोप्राइम हैं।'

None

'मूल उदाहरण और मानक उदाहरण का हल करने के बाद कौन सी समस्याएं हल करने के लिए अच्छी हैं?'

'कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) 60! का परिणाम निकालें, और यह 3 द्वारा कितनी बार विभाजित किया जा सकता है। (2) 50! की गणना करें, और निर्धारित करें कि अंत में कितनी संयुक्त शून्य दिखाई देती है।'

'प्राकृतिक संख्याओं a, b के लिए निम्नलिखित को सिद्ध करें:\n(1) यदि a और b विश्रेषण हैं, तो a^2 और b^2 विश्रेषण हैं।\n(2) यदि a+b और ab विश्रेषण हैं, तो a और b विश्रेषण हैं।'

'सिद्ध करें कि 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या n के लिए, n^4+4 एक प्रधान संख्या नहीं है।'

'दो समुच्चयों $A, B$ के बीच संबंध को चिह्नों $\\subset ,=$ का उपयोग करके वर्णित करें। A=\\{n \\mid n 7 से कम अंक है \\}, \\quad B=\\{2n-1 \\mid n=2,3,4\\}'

'निम्नलिखित गणितीय सवालों के लिए: (1) 10 को 2 से विभाजित करने का शेष, 4 को 2 से विभाजित करने का शेष, और 2 को 2 से विभाजित करने का शेष, 2 की गुणा श्रृंखला को गिनने की विधि का उपयोग करके, 10! को कितनी बार 2 से विभाजित किया जा सकता है? (2) 10 को 5 से विभाजित करने का शेष का उपयोग करके, 10! की गणना करें और निर्धारित करें कि अंत में कितने सतत शून्य प्रकट होते हैं?'

'प्रश्न (1): 720 के सकारात्मक विभाजकों की संख्या ढूंढें।\n\nप्रश्न (2): किसी प्राकृतिक संख्या N को मुख्य गुणकों में विभाजित करें, जहाँ प्रमुख गुणक 2 और 3 हैं, और कोई अन्य प्रमुख गुणक नहीं है। साथ ही, पता चलता है कि N के केवल 10 सकारात्मक विभाजक हैं। ऐसी सभी प्राकृतिक संख्या N खोजें।'

'1 से अधिक प्राकृतिक संख्या, जिनके केवल 1 और खुद के अलावा कोई सकारात्मक विभाजक नहीं है, को समय अंक कहा जाता है। 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या, समय नहीं है एक संख्या को संयुक्त संख्या कहा जाता है।'

'TANABATA के 8 अक्षरों का उपयोग करके कितने स्ट्रिंग्स बना सकते हैं?'

'प्रश्न A (2) 6m और 6n के रूप में दो प्राकृतिक संख्याएं खोजें, जहाँ m और n एक-दूसरे से अप्रतिष्ठित प्राकृतिक संख्याएं हैं। क्योंकि 6m>6 और 6n>6 है, इसलिए m>1 और n>1 है। दिया गया 4536=6m·6n है, हमें mn=126 मिलता है। क्योंकि mn एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए m n समान नहीं हो सकता, इसलिए 1<m<n। इस स्थिति को पूरा करने वाले m और n के युग के लिए समाधान करने पर, हमें (m, n) = (2,63), (3,42), (6,21), (7,18), (9,14) मिलता है। इन युगों में से, अप्रतिष्ठित युग हैं (2,63), (7,18), (9,14)। इसलिए, दो आवश्यक प्राकृतिक संख्याएं 12,378 या 42,108 या 54,84 हैं।'

'2 द्विआकृति संख्या 101 को दशमलव में कैसे परिवर्तित किया जाता है?'

"जब शब्द 'अड्डीशन' के 8 अक्षरों को एक पंक्ति के रूप में कैसे व्यवस्थित किया जाए, तो उन्हें व्यवस्थित करने के कितने संभावित तरीके हो सकते हैं?"

'एकाधिक का पहचान करने की विधि को मास्टर करें और उदाहरण 85 को जीतें!'

'8 सकारात्मक विभाजक वाले सबसे छोटे प्राकृतिक संख्या का पता लगाएं।'

'प्रशिक्षण 99 (1) एन को एक प्राकृतिक संख्या मानें। प्राइम संख्या के रूप में निम्नलिखित समीकरणों के मान जिनके लिए प्राप्त हो, उन सभी n के मान खोजें। (ए) n^{2}+6 n-27 (ब) n^{2}-16 n+39 (2) ए, ब प्राकृतिक संख्याएं हैं, और p=a^{2}-a+2 a b+b^{2}-b है। प्राइम संख्या के रूप में p होने वाले सभी a, b के मान खोजें।'

'(1) ऐसे कितने प्राकृतिक संख्या N मौजूद हैं जिनका बेस-5 में प्रतिनिधित्व करते समय 3 अंक होते हैं?'

'4 पॉजिटिव डिवाइज़र्स वाली सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या खोजें।'

'जवाब: गणित खंड 50 को छोड़ दिया 51 (1) {1,2,3,4,5,6,7,9,12,18} (2) {1,2,3,6}'

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'प्राइम संख्या के रूप में p, 2p+1, 4p+1 को पाने वाले सभी मानों की खोज करें।'

'क्रमबद्ध क्रमशः। मानक 20 क्रमबद्ध क्रमशः।'

''

'सिद्ध करें कि a और k नैसर्गिक संख्याएँ हैं तो a और k a+1 कोप्राइम है।'

'उदाहरण 83 को अधिकतम और न्यूनतम मानों में विभाजित करने पर, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं।'

'एक लीनियर दियोफैंटाइन समीकरण (3) के पूर्णांक समाधान ढूंढने की समस्या (यूक्लिडीयन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए)।'

'चलिए एक बार देखें कि एक प्रथम अनिश्चित समीकरण के पूर्णांक समाधान कैसे प्राप्त किया जाता है! जब पूर्णांक समाधान आसानी से नहीं मिलता है, तो आप बदलती विधियों का उपयोग कर सकते हैं। बदलती विधियों की गणना को उल्टा करके, आप पूर्णांक समाधान प्राप्त कर सकते हैं।'

'मान लें कि एऔर बी एक-दूसरे संख्या नहीं हैं, अर्थात ए और बी के बीच एक साझा मौलिक कारक p है, तो इसका मतलब a=pk, b=pl है (k, l प्राकृतिक संख्या हैं)।'

'जब एक साथ दो पासे फेंके जाते हैं, तो किस प्रकार से 1 का नंबर किसी भी पासे पर नहीं आ सकता?'

'x-अक्ष पर एक बिंदु P है। एक चक्रवृद्धि वाला पासा फेंका जाता है और 6 का गुणक आता है, तो P x-अक्ष के सकारात्मक दिशा में 1 आगे बढ़ता है, और 6 का गुणक नहीं आता है, तो P x-अक्ष की नकारात्मक दिशा में 2 आगे बढ़ता है। जब पासा 4 बार फेंका जाता है, मूल बिंदु से शुरू होने वाले बिंदु P x=-2 पर होने की संभावना A है, और मूल पर होने की संभावना B है।'

'648 के सकारात्मक विभाजकों की संख्या और उनका योग ढूंढें।'

'14 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है, और 9 से विभाजित करने पर 7 शेष बचता है कोई प्राकृतिक संख्या ढूंढें जो 3-अंकों में सर्वाधिक हो।'

'EX बच्चों के लिए n की अधिकतम मान और संबंधित a, b के मान ढूंढें'

'गुणांक विघातन का तरीका'

'यूक्लिडीयन एल्गोरिदम\nप्राकृतिक संख्याओं a और b के लिए, अगर a को b से विभाजित किया जाता है और शेष r है, तो a और b का गणनीय समानांक b और r का गणनीय समानांक के बराबर है।\nइस विधि का दोहराने से, हम दो प्राकृतिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणक मिल सकता है। यह विधि को यूक्लिडीयन एल्गोरिदम या सीधा एल्गोरिदम कहा जाता है।\nउदाहरण के लिए, 319 और 143 का सबसे बड़ा सामान्य गुणक खोजना\n143 से 319 विभाजित होकर 143 * 2 + 33 के समीकरण में और से ध्यान देकर 319 और 143 का सर्वोत्तम साझा गुणक खोजने के बजाय, हमें 143 और 33 के समीकरण का सर्वोत्तम साझा गुणक प्राप्त करना होगा। इस क्रिया को जारी रखकर, शेषों की कमी होगी। इसके अलावा, क्योंकि शेष 0 से अधिक है, तो आखिरकार यह बचा हुआ 0 हो जाएगा। जब शेष 0 बन जाए, तो उस स्थिति में भाज्य है, वही चाहिए सर्वोत्तम साझा गुणक है।'

'गणित A\nTR\n(1) विपरीत समीकरण का उपयोग करके, निम्नलिखित को खोजें:\n12^{1000} को 11 से विभाजित करने पर शेष ढूंढें\n13^{81} का अंकीय स्थान ढूंढें\n(2) पूर्णांक a, b, c ऐसे होते हैं जो a^2+b^2=c^2 को पूरा करते हैं, तो a, b में से कम से कम एक 3 का गुणक है, इसे विपरीत समीकरण का उपयोग करके सिद्ध करें।'

'5390 को किसी प्राकृतिक संख्या n से विभाजित करें जिससे शेष 0 हो और भाग 1 प्राकृतिक संख्या का वर्ग हो। इस स्थिति को पूरा करने वाले n को कम से कम रखने के लिए न्यूनतम मान ढूंढें।'

'संबंधों का उपयोग करके, निम्नलिखित का पता लगाएं।'

'8 सकारात्मक विभाजकों वाले सबसे छोटे प्राकृतिक संख्या को खोजें।'

''

'प्राकृतिक संख्या N को कारकांक निर्धारित करें, जहां मुख्य कारक 3 और 5 हैं, और कोई अन्य मुख्य कारक नहीं है। साथ ही, N के केवल 6 सकारात्मक अनुपात हैं। उन सभी प्राकृतिक संख्याओं N को खोजें जो इन शर्तों को पूरा करते हैं।'

'कुटिलिकरण विधि के द्वारा प्रमाण करें और उसका उल्टचाल करके निम्नलिखित प्रस्तावना T को साबित करें:'

'10000 के लघुचारों की संख्या ढूंढें।'

'10000 के विभाजकों की संख्या को ढूँढें।'

'अगर a, b प्राकृतिक संख्याएं हैं। तो प्रमाणित करें कि: (1) यदि a और b एक-दूसरे के साथ प्रशंसा हैं, तो a^{2} और b^{2} एक-दूसरे के साथ प्रशंसा हैं। (2) यदि a+b और ab एक-दूसरे के साथ प्रशंसा हैं, तो a और b एक-दूसरे के साथ प्रशंसा हैं।'

'सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए, a और a+1 एक दूसरे से संपर्क संख्या हैं।'

''

'150 को 2 अंको वाले किसी प्राकृतिक संख्या n से गुणा करें, ताकि यह किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के वर्ग का बन जाए। इस शर्त को पूरा करने वाले n की अधिकतम मान ढूंढें।'

'तीन पासा एक साथ फेंकने पर, तीनों पासे व्यक्त करने के लिए कितने तरीके हैं?'

'(1) \\\\\\ (72^{\\circ} \\\\\\\\\n(2) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}-1}{2} \\\\\\\\\n(3) \\\\\\\n(\\frac{\\sqrt{5}+1}{4}'

'500 से कम प्राकृतिक संख्याओं में, निम्नलिखित समुच्चयों में तत्वों की संख्या ढूँढें:\n(1) 3 से विभाज्य संख्या समुच्चय\n(2) 3, 5 और 7 से विभाज्य संख्या समुच्चय\n(3) 3 से विभाज्य होने के बावजूद, 5 से विभाज्य न होने वाली संख्या समुच्चय\n(4) 3 या 5 से न विभाज्य होने वाली संख्या समुच्चय\n(5) 3 से विभाज्य होने के बावजूद, 5 और 7 से न विभाज्य होने वाली संख्या समुच्चय'

' (1) 1800 के सकारात्मक विभाजकों की संख्या ढूंढें।\n\n(2) जब एक प्राकृतिक संख्या N को मौलिक अंश किया जाता है, तो उसके मुख्य अंश 3 और 5 हैं, बिना किसी अन्य मुख्य अंश के। साथ ही, N के केवल 6 सकारात्मक विभाजक हैं। ऐसी सभी प्राकृतिक संख्याएँ N ढूंढें।'

'जब 0 नहीं होने वाले वास्तविक संख्याएं x, y, z 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}} को पूरा करती हैं, तो \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z} के मान को ढूंढें।'

'समीकरण x^3-3x^2-9x+k=0 के विभिन्न वास्तव समाधानों की संख्या का पता लगाएं।'

'क्यूबिक समीकरण \ x^{3}=1 \ के काल्पनिक समाधानों में से एक \ \\omega \ को लें। तो इसके बाद \ \\frac{1}{\\omega}+\\frac{1}{\\omega^{2}}+1=\\square, \\omega^{100}+\\omega^{50}=\\square \ होगा।'

'श्रंखला 1, 17, 35, 57, 87, 133, 211, ... के सामान्य पद को खोजें।'

'अगर 0 नहीं है तो वास्तव संख्या x, y, z 2^{x}=5^{y}=10^{\x0crac{z}{2}} को पूरा करती है, तो \x0crac{1}{x}+\x0crac{1}{y}-\x0crac{2}{z} की मूल्य ढूंढें।'

'1 और 10 के बीच में, जबकि प्राइम नंबर को महारेखित करने वाले अपेक्षाकृत - डेनॉमिनेटर के द्वारा पूर्णांकित पूर्णांक एक संख्या है, वह 198 है, तब पी की मान फ़ाइंड करें।'

'बाइनोमियल सिद्धांत का उपयोग करके, निम्नलिखित मानों को खोजें:'

'3. \ { }_{n} \\mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{1}+{ }_{n} \\mathrm{C}_{2}+\\cdots \\cdots+{ }_{n} \\mathrm{C}_{n}=2^{n} \'

'1 से 300 तक सभी पूर्णांकों का ध्यान रखें।'

'एक सरणी $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ को ध्यान में रखते हुए, इस सरणी का सामान्य संकेत खोजें।'

''

'ऐसे बिल्कुल दो ज़ी (जहां x, y वास्तविक संख्या हैं) मौजूद हैं जिनका वर्ग 8i के बराबर है। इन z की खोज करें।'

'मान यदि एक धारावाहिक प्रगति है, तो सामान अनुपात है \\frac{6}{3}=2। अगर एनथ पद 1500 है, तो 3* 2^{n-1}=1500। इससे 2^{n-1}=500, 500=2^{2}* 5^{3} होता है, इसलिए इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले प्राकृतिक संख्या n मौजूद नहीं है। इसलिए, यह एक धारावाहिक प्रगति नहीं हो सकती।'

'सभी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए प्रमाणित करें कि 3^(3n-2)+5^(3n-1) 7 का एक गुणित है।'

'सभी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध करें कि 3^{3n-2}+5^{3n-1} 7 की एक गुणक है।'

''

'कोई सकारात्मक पूर्णांक को k के रूप में लें। जिन मूल्यों के लिए पता लगाएं कि 5n^{2}-2kn+1<0 को मान्य n केवल एक हो।'

'निम्नलिखित A से E तक सही विकल्प का चयन करें।'

'दो समीकरणों $x^{2}-x+a=0, x^{2}+2ax-3a+4=0$ के लिए, स्थायी $a$ के मान की रेंज तय करें ताकि निम्नलिखित शर्तें पूर्ण हों:\n(1) दोनों समीकरणों के पास वास्तविक समाधान हो\n(2) उनमें से कम से कम एक का वास्तविक समाधान नहीं है\n(3) केवल एक का वास्तविक समाधान है'

'सेट 44 के प्रतीक और प्रकार को चित्रित करें।'

'130 (1) (2) (2) (4) (6) (7) (9) (3) (10) (12)'

'जब वास्तविक संख्या x, y को x²+y²=2 को पूरा करती है, तो 2x+y की अधिकतम और न्यूनतम मान को खोजें। साथ ही, उस समय x और y के मान भी निर्धारित करें।'

'गाउस सिम्बल और ग्राफ़ (गौसियन सिम्बल)'

'180 (1), (3)'

'स्थिर k के मान का अंतराल ढूंढें ताकि द्विघातीय समीकरण x² + (2k-1)x + (k-1)(k+3) = 0 के वास्तव मूल हों।'

'तीन लगातार प्राकृतिक संख्याओं में, सबसे छोटी संख्या का वर्ग दूसरे दो संख्याओं के योग के बराबर है। इन तीन संख्याओं का पता लगाएं।'

'(1) "बड़ा" का अर्थ स्पष्ट नहीं होने के कारण, यह सही या गलत होने की स्थिति को निर्धारित करना मुश्किल है। इसलिए, यह कोई प्रस्तावना नहीं है।'

'स्थिरांक समीकरण $x^{2}+(a-3)x-a+6=0$ की कोई वास्तविक समाधान नहीं है जैसा कि किसी मान $a$ के लिए मान की श्रेणी खोजें।'

'स्थायी a का उपयोग करके पराबोला y = 2x^2 + 3x - a + 1 और x-अक्ष के बीच कितने बिंदुओं के समानांकन सीमा करें।'

'2 का अंशकलन'

''

'फैक्टर्ड द्विघातीय असमिकाओं को हल करें। निम्नलिखित असमिकाओं के समाधान खोजें।'

'कृपया साबित करें कि व्यक्ति $(a-b)(b-c)(c-a)$ के कारक हैं।'

'एक ऐसी स्थिति खोजें जिसमें एक समाधान p से अधिक हो और एक समाधान p से कम हो।'

'(1) {2,4,5,7,9}\n(2) {2,3,5}'

'17 (3) 1 का अनुवाद'

'(4) लेट a₁, b₁ कोप्राइम पॉजिटिव पूर्णांक हो और a₂, b₂ भी कोप्राइम पॉजिटिव पूर्णांक हो। समझौता समूह Q₁ और Q₂ को निम्न रूप में करें\nQ₁={z | z एक पूर्णांक k का उपयोग करके (cos(2𝑎_{1}/𝑏_{1}π) + i sin(2𝑎_{1}/𝑏_{1}π))^k के रूप में प्रस्तुत एक संयुक्त संख्या है}\nQ₂={z | z एक पूर्णांक k का उपयोग करके (cos(2𝑎_{2}/𝑏_{2}π) + i sin(2𝑎_{2}/𝑏_{2}π))^k के रूप में प्रस्तुत एक संयुक्त संख्या है}\nऔर समूह R को निम्नलिखित रूप में करें\nR={z | z एक तथ्यक्षेत्र Q₁ और तथ्यक्षेत्र Q₂ के तत्वों के गुणाकार से प्रस्तुत एक संयुक्त संख्या है}। यदि b₁ और b₂ कोप्राइम हों, तो समूह R में तत्वों की संख्या n(R) वर्ग होती है। यदि b₁ और b₂ कोप्राइम नहीं हैं, और हम इनका महत्तम सामान्य भाजक के रूप में उनका प्रत्येक सामान्य भाजक को d के रूप में निर्दिष्ट करते हैं, तो समूह R में तत्वों की संख्या n(R) आवृत्ति है।'

'11 (3) 0'

'जब $k=-\x0crac{1}{2}$ होता है'

'गतिविधि संबंध का उपयोग करके अनंत श्रृंखला का योग'

'\\(\\{(k+1)!\\}^{2} = \\{(k+1) \\cdot k!\\}^{2} = (k+1)^{2} \\cdot (k!)^{2} \\geqq (k+1)^{2}(k+1)^{k-1} = (k+1)^{k+1} \\) को सिद्ध करें।'

'क्रम में, यह 10 (1) 2 (2) है;'

'(2) लेट l और k कोप्राइम प्राकृतिक संख्याएं हों। सिद्ध करें कि विपरीत तथ्यात्मक संख्याएं z के l वाले, 2l वाले, 3l वाले, ... , kl वाले हैं।'

''

'गणित'

'C की विजयी होने की स्थिति से निकालकर, हमें $\\frac{2 p^{2}}{p^{2}-p+2} \\geqq \\frac{1}{3}$ मिलता है। क्योंकि $p^{2}-p+2=\\left(p-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\frac{7}{4}>0$ है, तो डिनॉमिनेटर को साफ करके और सरलीकरण करके $5 p^{2}+p-2 \\geqq 0$ मिलता है। इस असमिकाज्ञा को हल करने से हमें $p \\leqq \\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}, \\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p$ मिलता है। $\\frac{-1-\\sqrt{41}}{10}<0$ होने की ध्यान दें, और $6<\\sqrt{41}<7$ से यह पाया जा सकता है कि $\\frac{1}{2}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10}<\\frac{3}{5}$। इसलिए, $0<p<1$ का मतलब है कि $\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq p<1$। अगले, हमें उस प्राकृतिक संख्या $n$ को खोजना है जो स्थिति $\\frac{n-1}{100}<\\frac{-1+\\sqrt{41}}{10} \\leqq \\frac{n}{100} \\cdots$ (1) को संतुष्ट करता है। $54<-10+\\sqrt{4100}<55$ को हल करने से पाया जाता है। क्योंकि $n$ मोनोटॉनिक रूप से बढ़ता है, इसलिए (1) को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा $n$ $55$ है। इसलिए, आवश्यक $N$ की न्यूनतम मान $55$ है।'

'बहुपदों में, हम एक किस्म की गुणांकीकरण का उपयोग करके, सबसे बड़ा सामान्य गुणितक और कम समान गुणितक ढूंढने के लिए कर सकते हैं, इसमें पूर्णांकों की स्थिति से मिलता-जुलता है।'

'तार को फेंका जब उसकी लंबाई को आधा किया जाता है, तो ध्वनि एक ओक्टेव ऊंची हो जाती है। यहां, सी और उच्च ओक्टेव सी के बीच तार की लंबाई के अनुपात को 12 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, जिससे 12-उस्तरी सम श्रुति बनती है। यह एक आम तरह की स्केल है।'

'29^51 को 900 से विभाजित करने पर शेष क्या होगा।'

'जब सकारात्मक वास्तविक संख्या x, y 9x^2 +16y^2=144 को पूरा करती है, तो xy की अधिकतम मान √ है।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'वह बहुपद खोजें जिसमें x^2+1 से विभाज्य होने पर शेष 3x+2 हो और x^2+x+1 से विभाज्य होने पर शेष 2x+3 हो, और x का न्यूनतम अवयव 48 हो।'

'सभी सकारात्मक पूर्णांक n ढूंढें जिनके लिए n^{n}+1 3 से विभाज्य है।'

'निर्धारित करें स्थिर a और b के मान, ताकि f(x)=a x^{n+1}+b x^{n}+1, (x-1)^{2} द्वारा विभाज्य हो, यहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है।'

'91 (1) 4 टुकड़े'

'बचने वाला सिद्धांत और गुणांक सिद्धांत'

'169 (3) 2'

''

'\ p \ को मौनसंख्या माना जाता है, और पूर्णांक \ r \ ऐसा है जो \ 1 \\leqq r \\leqq p-1 \ को संतुष्ट करता है। प्रदर्शित करें कि \ p_r \ \ p \ से विभाज्य है।'

'यदि a, b प्राइम नंबर हैं और 3 x^{2}-12 a x+a b=0 का द्विघात समीकरण दो पूर्णांक समाधान है, तो a, b के मान और पूर्णांक समाधान पता करें।'

'(2) \ \\sqrt{d}=\\sqrt{a b^{2} c^{3}}=b c \\sqrt{a c} \ \ \\sqrt{d} \ को पूर्णांक बनाने की शर्त है कि \a c\ का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग हो। ऐसे प्राकृतिक संख्याओं के बीच \\(a, c(a>c>1)\\) में, सबसे छोटा यह है \ a=2^{3}, c=2 \ \b=3\ चुनने पर \d=2^{3} \\cdot 3^{2} \\cdot 2^{3}=576\।'

'यदि P(x) को (x-1)^{2} से विभाजित करने पर शेष एक स्थायी है, तो (x-1)^{2}(x+1) से विभाजने पर शेष का पता लगाएं।'

'1042'

'कॉम्प्लेक्स समतल में एक वर्ग में, यदि एक जोड़े के बीच के दो शीर्ष बिंदु बिंदु 1 और बिंदु 3+3i हैं, तो अन्य दो शीर्ष बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाली कॉम्प्लेक्स संख्याएं ढूंढें।'

''

'119 (1) 3'

''

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

None

'सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए प्रमाणित करें, 2^n > n.'

'कॉम्प्लेक्स संख्या z की वास्तविक और शुद्ध अखौट शर्तें\nz=a+bi मान लें (a, b वास्तविक संख्याएँ हैं)\n• z वास्तविक है ⇔ z=̄z\nक्योंकि ̄z=z मानता है, इसलिए a-b i=a+b i, जिससे -b=b, इसलिए b=0, इसलिए z=a, और z वास्तविक है।\nइसे कॉम्प्लेक्स समतल पर विचार करें, बिंदु z और बिंदु ̄z वास्तविक धुरी के बारे में द्विस्पर्शी बिंदु हैं, ये दो बिंदु केवल वास्तविक धुरी पर ही समान होते हैं, इसलिए z वास्तविक है।\n• z शुद्ध अखौट है ⇔ ̄z=-z और z≠0\nक्योंकि ̄z=-z और z≠0 मानता है, इसलिए a-bi=-a-bi, जिससे a=-a, इसलिए a=0, इसलिए z=bi, और जैसा कि z≠0, इसलिए b≠0, इसलिए z शुद्ध अखौट है।\nकॉम्प्लेक्स समतल पर इसे ध्यान से देखने पर, बिंदु ̄z और बिंदु -z आधारीय धुरी के बारे में द्विस्पर्शी बिंदु हैं, ये दो बिंदु केवल आधारीय धुरी पर ही समान होते हैं, मूल O को छोड़कर, सभी अन्य बिंदु शुद्ध अखौट हैं, इसलिए z शुद्ध अखौट है।'

'81 \\sqrt{5}-1'

''

'101 (2) 4'

''

'सिद्ध करें कि प्राकृतिक संख्याओं n, k के लिए 2 ≤ k ≤ n-2 का पालन करने पर, बाइनोमियल संख्या C(n, k) > n।'

'एराटोस्थेनीज की छलक का उपयोग करके सिद्ध करें कि 1000 से कम समय की संख्या में 750 से अधिक गैर-मौन के पूर्णांक हैं।'

''

'एन की अधिकतम मान का प्राप्त किया जाता है, जब 50! की गणना करते समय अंत में शून्यों की संख्या, यानी 50! को प्रधान अक्षर सांख्यिकीकरण किया गया है। 1 से 50 तक के प्राकृतिक संख्याओं में, 5 के गुणित करने वाले संख्या को 10 के रूप में मैं किया। 50 को 5 से भागित करके (5^2 के गुणित संख्या को 2 में बाँटिए।, क्योंकि 50 को 5^2 से भागित किया जाता है। 5^n (n ≥ 3) के गुणक को मिलाने के लिए मौजूद नहीं है। इसलिए, प्रधान अक्षर 5 की संख्या 10+2=12 है। इसलिए, खोजने के लिए न की अधिकतम मान 12 है।'

'साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, f(n) = 5^{3n} + 5^{2n} + 5^n + 1। जब n 4 की गुणितक नहीं है, तो f(n) 13 का गुणितक है।'

'कृपया यूक्लिड के एल्गोरिथ्म के कदम वर्णित करें और एक विशिष्ट उदाहरण प्रदान करें।'

'अगर ए और बी एक-दूसरे संख्या हैं, और ए के केंद्र k बी की गुणा है, तो k भी बी की गुणा है।'

'प्राइम नंबर p के लिए, n = p^14 होते हुए n ≥ 1900 के लिए कम से कम प की मान खोजें।'

'सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, n^5 - n 15 का एक गुणी है।'

'लगातार पूर्णांकों के गुणनफल के बारे में।'

'अभ्यास 6 III-> पुस्तक पू .59 \\[ x = \\sqrt{12 + 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) + 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} + \\sqrt{5} \\\\\\ y = \\sqrt{12 - 2 \\sqrt{35}} = \\sqrt{(7 + 5) - 2 \\sqrt{7 \\cdot 5}} = \\sqrt{7} - \\sqrt{5} \\\\\\ \\sqrt{\\frac{x}{y}} = \\sqrt{\\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{7} - \\sqrt{5}}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{(\\sqrt{7} - \\sqrt{5})(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{7 - 5}} = \\sqrt{\\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5})^{2}}{2}} = \\frac{\\sqrt{7} + \\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(\\sqrt{7} + \\sqrt{5}) \\sqrt{2}}{(\\sqrt{2})^{2}} = \\frac{\\sqrt{14} + \\sqrt{10}}{2} \\]'

'2 से अधिक प्राकृतिक संख्याएं मौल अंशों में विभाजित की जा सकती हैं।'

'उदाहरण 75 | प्राइम फैक्टराइज़ेशन का उपयोग'

'प को एक मुख्य संख्या माना जाता है। k ≤ n को संतुष्ट करने वाले प्राकृतिक संख्या के जोड़े (n, k) ढूँढें और ऐसा करें कि बायनोमियल संख्या C(n, k) = p。'

'उन सभी मौजूदा संख्या त्रयों (a, b, c) का पता लगाएं जहां 40-a-8 और b-c-8 प्राइम हैं।'

'125 से अधिक संख्याओं में 5 के गुणक हैं 150, 155, 160, 165, 130 आदि। 165! को prime factors में विभाजित करने पर prime factor 5 की संख्या क्या होगी?'

'1 से 100 तक कितने प्राकृतिक संख्याएँ 2, 3 और 5 से विभाजित हो सकती हैं? कितने संख्या 2, 3 या 5 से विभाजित हो सकते हैं? कितने संख्या 2 से विभाजित हो सकते हैं लेकिन 3 या 5 से नहीं?'

'(2) सिद्ध करें कि a, b, c में अवशेषण संख्या है।'

'कृपया गौसियन चिह्न और द्विघात असमितियों की समस्या का समाधान करें।'

'प्राकृतिक संख्या n के मान की तलाश करें जिनके लिए n और n^{2}+2 दोनों प्रधान संख्याएँ हैं।'

"फर्मा का छोटा सिद्धांत का प्रतिपक्ष यह है कि 'यदि सहभाज्य पूर्णांक a a^{p-1} ≡ 1 (mod p) को पूरा नहीं करता है, तो p प्रधान संख्या नहीं है (बल्कि एक समघन संख्या है)' के लिए घटक संख्याओं की उदाहरण दें: 9, 35।"

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'निम्नलिखित संख्याओं के विभाजक ढूढ़ें। (1) 36 (2) 14 (3) 12345 3 का गुणक है या 9 का? (4) क्या 91 और 144 प्राय अविभाज्य हैं?'

'423 से अधिक और 9999 से कम विषम संख्या ए को खोजें, जिनके लिए (a^2-a) 10000 से विभाज्य है।'

'सिद्ध करें कि संयोजी संख्याओं में हमेशा प्रधान संख्याएं कारक होती हैं।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'(3) (2) में, अगर हम A, B, और C के बीच भिन्नता को हटा दें, तो एक ही चीज़ को 3! तरीकों में कम्बाइन किया जा सकता है, इसलिए 1680 ÷ 3! = 1680 ÷ 6 = 280 (तरीके)'

'एक प्राइम नंबर p शर्त को पूरा करता है: m² - n² = p। सिद्ध करें कि ऐसे एकजुट प्राकृतिक संख्याओं (m, n) का मौजूद होना जो इस शर्त को पूरा करते हैं।'

'प्रमाणित करें कि p 3 से अधिक एक मुख्य संख्या है।'

'91 और 144 के बीच आपसी संख्या हैं या नहीं यह जांचें।'

'36 के विभाजक खोजें।'

'मान लें कि p 3 से अधिक एक मुख्य संख्या है, और p + 4 भी एक मुख्य संख्या है।'

'मान लें कि ए, बी और सी 5 के गुणक नहीं हैं।'

'n वें कटालान संख्या (कटालान संख्या Cn) प्राप्त करने के लिए सूत्र साबित करें। साथ ही, n=4 के लिए कटालान संख्या का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित प्रस्ताव को साबित करें: यदि किसी पूर्णांक n को 3 का गुणक नहीं है, तो n² भी 3 का गुणक नहीं है।'

'चुनौती स्वीकार की। समाधान में भी = शामिल है।'

'उदाहरण 49 | शेषांक द्वारा पूर्णांकों का वर्गीकरण\nनिम्नलिखित को साबित करें:\n(1) किसी भी पूर्णांक n के लिए, n^{4}+5 n^{2} 3 का एक गुणी है।\n(2) 5 से भाग करने पर पूर्णांक का वर्ग 3 कभी नहीं रहता।'

'500 से कम प्राकृतिक संख्याओं में, निम्नलिखित समूहों में तत्वों की संख्या पता करें।'

'25 और 36 के सभी अनुपात का पता लगाएं।'

'(1) 20 फैक्टरियल का परिणाम कैसे होगा, 2 से कितनी बार विभाजित हो सकता है।\n(2) 25 फैक्टरियल का परिणाम क्या होगा, अंत में कितनी लगातार शून्य आएंगे।'

'यदि निश्चित किया जाए $n=2^{m-1}\\left(2^{m}-1\\right)(m=2,3,4, \\cdots \\cdots)$। और यदि $2^{m}-1$ एक मौलिक है तब $T(n)=n$ को प्रमाणित करें, और $1+2+\\cdots \\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$ का उपयोग करें।'

'यदि ab प्राइम संख्या p की एक गुणित है, तो तो तो या b p की एक गुणित है।'

'गुणांक और गुणकों की समस्या: किसी प्राकृतिक संख्या N के सकारात्मक गुणकों की संख्या ढूंढें। जब किसी प्राकृतिक संख्या N का मुख्य अंशीकरण N=p^a q^b r^c ... ... होता है, तो N के सकारात्मक गुणकों की संख्या है'

'साक्षात्कार 99 1 1 बिना संकेतिय समीकरण के पूर्णांक समाधान की मौजूदगी की स्थितियों को साबित करें'

'(3k + 1)(3k + 2) दो संयोजित पूर्णांकों का गुणक होने के कारण, यह 2 का गुणक है। इसलिए, पूर्णांक ल का प्रयोग करके (3k + 1)(3k + 2) = 2l तरह से व्यक्त किया जा सकता है, और (p + 1)(p + 2)(p + 3) = 24l(2k + 1)। क्योंकि p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4 पांच संयोजित पूर्णांक हैं, जिनमें से एक 5 का गुणक है। यदि हम p = 5 लें, तो p + 4 = 9 होगा, जो प्राइम संख्या नहीं है, जिसका परिणाम होता है कि p + 4 प्राइम नहीं है, इसलिए p > 5, इसलिए p, p + 4 5 से अधिक प्राइम संख्याएं हैं, इसलिए 5 के गुणक नहीं हैं। इसलिए, p + 1, p + 2, p + 3 में से कोई भी 5 का गुणक है। इसलिए, (p + 1)(p + 2)(p + 3) 5 का गुणक है। 2 और 3 से, (p + 1)(p + 2)(p + 3) 24 का गुणक है, इसलिए 120 का गुणक है।'

'30 से कम प्राकृतिक संख्याओं में, 2 के गुणक हैं 15, 2^2 के गुणक हैं 7, 2^3 के गुणक हैं 3, 2^4 के गुणक हैं 1। इसलिए, 30! के मौलिक गुणक विच्छेद में मौलिक गुणक 2 की संख्या है'

'अभ्यास 15 III (→ पुस्तक पृ. 84)'

'उन सभी मुख्य संख्याओं $k$ को ढूंढें जिनके लिए $k^{2}+2$ एक मुख्य संख्या है, और सिद्ध करें कि कोई अन्य मामला नहीं है।'

'(1) n की सबसे छोटी सकारात्मक पूर्णांक ढूँढें जैसा कि n! / 1024 एक पूर्णांक है।'

'जब दो पैर के पास इकलौते चेहरों के दो डाइस होते हैं, तो दो अलग-अलग 1 और 6 के बीच के अंकों का उत्पाद एक पूर्ण वर्ग संख्या बनता है तब केवल एक मामूल्य है, 2^2=1×4, इसलिए उन सेट्स से संतुष्ट होते हैं {1,2,2} तथा {1,1,4},{2,2,4} और {1,4,4}, इस मामूल्य में k=4,16 होता है, जिसका अर्थ k=4,10,15,16,40,90,120 है'

'125 से कम प्राकृतिक संख्याओं में, 5 के गुणकों की संख्या 25 है, 5^2 के गुणकों की संख्या 5 है, और 5^3 के गुणकों की संख्या 1 है। इसलिए, 125! के मुख्य अंश के अंशकरण में मुख्य अंश 5 की संख्या है'

'सिद्ध करें कि यदि दो प्राकृतिक संख्याएँ a और b आपस में साझेदार हैं, तो a+b और a*b भी साझेदार हैं।'

'0 से 5 तक अंकों का योग 3 के एक गुणक होने वाले सभी संयोजन खोजें।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 82 | अक्षरी दर्शान'

'साबित करें कि यदि 49 एक मौलिक संख्या है, तो $p^{4}+14$ एक मौलिक संख्या नहीं है।'

'समयगात संख्या के मूल अंकगणना अद्वितीय है, केवल कारकों के क्रम को छोड़कर। ऊपर उपन्यास का उपयोग करके मुद्रांकगणनाकी विशिष्टता साबित करना। साबित: मान लीजिए कि घटक संख्या एक का मूल अंकगणना के लिए दो भिन्न ढंग में प्रस्तुत किया गया है।'

'किसी पूर्णांक N को प्राइम नंबर होने की पहचान करने का तरीका समझाएं। उदाहरण के लिए, 257 को प्राइम नंबर होने की जांच करें।'

'2 से अधिक किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, n के सभी सकारात्मक विभाजकों का योग (n खुद को छोड़कर) T(n) है। T(120) के मान को ढूंढें।'

'अवधारणा संख्या समस्या\nकोई प्राकृतिक संख्या एन के लिए। सिद्ध करें कि केवल स्थिति जब एन = 3 होता है, तब n, n+2, और n+4 सभी मुख्य संख्याएँ हैं।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 87 | समीकरण a^2+b^2=c^2 के समाधान संबंधी प्रमाण समस्या\n\nजब a, b, c कोई 1 के अलावा कोई समापन साझा नहीं करते हैं, तो a^2+b^2=c^2 में संतुष्ट हैं, तो नीचे दिए गए को साबित करें:\n(1) a, b में से एक विलम्ब और दूसरा विषम है।\n(2) अगर a विषम है, तो b 4 का गुणक है।\n(3) a, b में से कम से कम एक 3 का गुणक है।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 83 आपस में प्रधान प्राकृतिक संख्याओं की संख्या'

निम्नलिखित प्रस्ताव को सिद्ध करें। (2) यदि $m n$ विषम है, तो $m$ और $n$ दोनों विषम होंगे।

निम्नलिखित (1) से (5) के मामलों के लिए, 2 के फ़ंक्शन $y = x^2 - 2ax + a$ के $1 \leqq x \leqq 2$ में अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें। मान लें कि a एक स्थिरांक है। (1) a < 1 (2) 1 \leqq a < \frac{3}{2} (3) a = \frac{3}{2} (4) \frac{3}{2} < a \leqq 2 (5) a > 2

1. $41^{3} x$ के द्विघात समीकरण $y=x^{2}+2 b x+6+2 b$ के न्यूनतम मान को $m$ मानें। (1) $m$ को $b$ के रूप में व्यक्त करें। (2) $b$ के बदलते समय $m$ का अधिकतम मान और उस समय $b$ का मान निर्धारित करें।

मूलभूत उदाहरण 76 z=1+i मान लें। (2) z^n के शुद्ध काल्पनिक संख्या बनने के लिए n का सबसे छोटा प्राकृतिक संख्या मान ज्ञात कीजिए।