उन्नत बीजगणित - मैट्रिसेस और मैट्रिसेस क्रियाएँ

'निम्न शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ का सामान्य पद ढूंढें'

" 'लीनियर एल्जेब्रा' की मुख्य सामग्री क्या है?"

'{a_{n}} क्रम को a_{1}=3, a_{n+1}=2a_{n}-n^{2}+n से परिभाषित किया जाता है। समानांतर श्रृंखला {a_{n}-f(n)} के लिए सार्वजनिक अनुपात 2 वाली वृद्धि में भिन्नात्मक समीकरण को निर्धारित करें, और n के लिए a_{n} को व्यक्त करें।'

'32'

'प्रैक्टिस 40: (1) a_{n+1} = 2a_{n} + b_{n} और (2) b_{n+1} = a_{n} + 2b_{n} के अनुक्रमणिका समीकरणों को हल करें। प्रारंभिक शर्तों a_{1} + b_{1} = 4 और a_{1} - b_{1} = 2 द्वारा, a_{n} और b_{n} को खोजें।'

''

'समानता इस प्रस्ताव में बराबरी बनाए रखने पर होती है 4\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\\right) \\geqq(a x+b y+c z)^{2} \ a y=b x,\\quad b z=c y ,\\quad c x=a z\'

'उदाहरण 37 पड़ोसी 3 मानों के बीच क्रम सूत्र (1)\nनिम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ की सामान्य मान खोजें।\n(1) \ a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+6 a_{n} \\n(2) \ a_{1}=1, \\quad a_{2}=4, \\quad a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0 \'

'सकारात्मक समानांतर सूची के लिए, पहले 3 अंकों का योग 21 है, और अगले 6 अंकों का योग 1512 है। इस सूची के पहले आइटम और पहले 5 आइटम का योग खोजें।'

'उदाहरण 51 | असमिका का सिद्धांत'

'यदि एक अनुक्रम {an} के पहले मान से एनएच मान तक का योग Sn = 3n(n+5) द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, तो सामान्य मान an को खोजें।'

'जब m=6 है, तब x=-2; जब m=10 है, तब x=-8,0; जब m=-6 है, तब x=4; जब m=-10 है, तब x=2,10'

'क्रम (1) का सामान्य पद खोजें।'

'अनुक्रम {a_n} को निम्नलिखित रूप में परिभाषित करें।'

"पहले 5 अंकों का योगफल 20 है, पहले 20 अंकों को सम करने पर 140 आता है, एक अंतर्गत श्रृंखला का पहला संख्या 'a' और सामान्य अंतर 'd' निकालें।"

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} के लिए सामान्य अंक ढूंढें: a1=-1, an+1=an+4n-1'

'अगर एक सरणी {a_n} के पहले n मानों का योग S_n 3 S_n = a_n + 2n - 1 को पूरा करता है, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें'

'पहले तीन संख्याओं का योगफल 6 है, दूसरे से चौथे संख्याओं का योगफल -12 है, इस धारावार संख्या श्रेणी की पहली संख्या और सामान अनुपात खोजें।'

'दो वेक्टरों के घटक ढूंढें। दो वेक्टरों के लिए \\( \\vec{a}=(2,1) \\) और \\( \\vec{b}=(4,-3) \\), जांचें कि शर्तें \ \\vec{x}+2\\vec{y}=\\vec{a} \ और \ 2\\vec{x}-\\vec{y}=\\vec{b} \ को पूरा करने वाले वेक्टर \ \\vec{x} \ और \ \\vec{y} \ के घटक।'

'त्रिभुज PABC में, बिंदु A से तट PBC पर ऊपर की बारी H को चालू किया गया, PA=वैक्टर a, PB=वैक्टर b, PC=वैक्टर c।'

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'5 व्यक्तियों के एक पार्टी में, हर व्यक्ति एक उपहार तैयार करता है और फिर चिट्ठी खींचकर उसे साझा करता है, खास दो व्यक्तियों A और B को सिर्फ अपना तैयार किया उपहार मिलता है, जबकि बाकी तीन किसी भी उस उपहार पर उपहार प्राप्त करते हैं जिसे उन्होंने तैयार किया है?'

'अनुक्रम $a_{n}$ को निम्नलिखित ढंग से परिभाषित करें। $a_1=1, n a_{n+1}-(n+2) a_{n}+1=0 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$। साथ ही, अनुक्रम $b_{n}$ को $b_{n}=2 a_{n}-1 (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$ के रूप में परिभाषित करें। इसके अतिरिक्त, अनुक्रम $c_{n}$ को $c_{n}=\x0crac{b_{n}}{n(n+1)} (n=1,2,3, \\cdots \\cdots)$ के रूप में परिभाषित करें। (1) $b_{n+1}$ को $b_{n}$ और $n$ के अभिप्रेयण में व्यक्त करें। (2) $c_{n}$ का सामान्य पद खोजें। (3) $a_{n}$ का सामान्य पद खोजें। [रिक्यो विश्वविद्यालय]'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} का सामान्य पद खोजें।'

'जब दो अनुक्रम {a_n} और {b_n} निम्नलिखित रूप से परिभाषित होते हैं, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। a_1=4, b_1=1, a_{n+1}=3a_n+b_n, (1), b_{n+1}=a_n+3b_n। (1) अनुक्रम {a_n+b_n} और {a_n-b_n} के लिए सामान्य पद खोजें। (2) अनुक्रम {a_n} और {b_n} के लिए सामान्य पद खोजें।'

'मान लें कि प्रोडक्ट P और Q प्रति 1kg लाभ एक लाख येन और 3 लाख येन है। अब, दैनिक लाभ का विचार करें। यहां, a को सकारात्मक संख्या माना जाता है। (i) जब a = 1 हो, तो लाभ को अधिकतम करने वाले x, y हैं (x, y) = (मुंह, बुद्ध)। (ii) a किस मान को धारण करता है, उस समय केवल उत्पाद Q उत्पाद P बनाए बिना लाभ को अधिकतम कर सकता है, और उस समय का लाभ अधिकतम होता है। लाख येन। (iii) लाभ को अधिकतम करने के लिए x, y के लिए मान किव x, y) = (टेट, ननी) के लिए अपेक्षित एवं आवश्यक शर्त म्फिकत है।'

'अध्याय 1 क्रम-संख्याएँ- 327'

'(1) \ \\ alpha \\neq \\ beta \ [महत्वपूर्ण उदाहरण 41 के संदर्भ में] क्रम सूची \ \\left\\{a_{n+1}-\\alpha a_{n}\\right\\} \ और क्रम सूची \ \\left\\{a_{n+1}-\eta a_{n}\\right\\} \ का सामान्य मान खोजें।'

'तीन संयुक्त अंतर एकांकी सिद्धांतों का निर्धारण करें: $a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n}, b_{n+1}=r a_{n}+s b_{n}$ (महत्वपूर्ण उदाहरण 43 को देखें), $a_{n+1}+\\alpha_{1} b_{n+1}=\eta_{1}(a_{n}+\\alpha_{1} b_{n}), a_{n+1}+\\alpha_{2} b_{n+1}=\eta_{2}(a_{n}+\\alpha_{2} b_{n})$ रूप के समीकरण प्राप्त करें, या केवल $a_{n}$ या $b_{n}$ को शामिल करने वाले आवर्ती संबंध निकालें (पड़ोसी 3 मानों के बीच आवर्ती संबंध।)'

'शून्य से श्रृंखला {an} का पहला सदस्य से एनथ सदस्य तक का योग सn का प्रकटन किया जाता है। सn=3/4 n(n+3)(n=1,2,3,...)। (1) an की गणना करें। (2) प्रमाणित करें कि ∑(k=1)^(n) k ak 3 का गुणक है।'

'चलो निम्नलिखित [समस्या] का विचार करें। कृपया प्रत्येक स्थिति द्वारा निर्धारित अनुक्रम \\\left\\{a_{n}\\right\\}\ का सामान्य मान खोजें।'

'निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को हल करें।'

'एक पराबोला y = 2x^{2} + ax + b को x-अक्ष की दिशा में 2 इकाइयाँ और y-अक्ष की दिशा में -3 इकाइयाँ परारूप ले जाया गया था, और उसने पराबोला y = 2x^{2} के साथ साझा किया। सांकेतिक a और b की मानें खोजें।'

'टारो साहब एक 100m दौड़ में पुरुषों के प्रवेशदाता है, उन्होंने (1) पर ध्यान केंद्रित करने और अपने समय में सुधार के लिए सर्वश्रेष्ठ स्ट्राइड और पिच पर विचार करने का निर्णय लिया।'

'यदि \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} \ है, तो निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं: \ 2 s+u=1 \ (1), \ -s+3 t=3 \ (2), \ s+2 t+u=2 \। s, t, u के मान ढूंढें और \ \\vec{p} \ को व्यक्त करें।'

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'मैट्रिक्स A=\\left[ \egin{array}{ll}a & b \\\\ c & d \\end{array} \\right] के लिए इसका प्रतिलोम मैट्रिक्स ढूंढें।'

'इन मैट्रिक्स में, कौन से में एक ही प्रकार के हैं? साथ ही, कौन से में बराबर हैं?'

'उल्ट मैट्रिक्स की परिभाषा को समझाएं।'

'मैट्रिक्स A, B, C, D के बारे में, प्रश्न (1) से (3) का उत्तर दें।'

'यह उल्टा पट्टा मैट्रिक्स खोजने की समस्या है।'

'सामान्यत: और समैतिकी गुणाकार में, समानाधिकारिक नहीं बनता है (AB ≠ BA)। इसलिए, बहुपदों की तरह स्वेच्छापूर्वक समीकरणों को परिवर्तित करना संभव नहीं है। जो कानून निर्यात रूप से उपयोग किया जा सकता है, एसोसिएटिव चाल (AB)C = A(BC) और वितरणीय चाल (A+B)C = AC + BC, C(A+B) = CA + CB है, जिन्हें परिवर्तित करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। AB = BA (अर्थात सम्मिलित), पाठी A, B के मामाता या रूप से गणना की जा सकती है।'

'आवरोही समीकरणों का उपयोग करके अनंत श्रृंखला का योग'

'क्या दिए गए मैट्रिक्स के लिए उल्टा मैट्रिक्स है। यदि हां, तो इसे ढूंढें।'

'पलट मैट्रिक्स\nएक पलट मैट्रिक्स के मौजूदगी शर्तें और इसके घटक'

'शर्तों (i) और (ii) द्वारा निर्धारित दायरे {a_{n}} पर विचार करें।'

'(1) $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot(s \\vec{a}+t \\vec{b})=\\vec{c} \\cdot \\vec{c}=|\\vec{c}|^{2} \\geqq 0$ अत: $s(\\vec{c} \\cdot \\vec{a})+t(\\vec{c} \\cdot \\vec{b}) \\geqq 0$ संदर्भ: समानता $\\vec{c}=\\overrightarrow{0}$ के समय स्थापित होती है।'

'जब A = \\left(\egin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & 2\\end{array}\\right), B = \\left(\egin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\\end{array}\\right), C = \\left(\egin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 2\\end{array}\\right) हो, गुणा करने के लिए दो अलग मैट्रिक्स का चयन करें और परिणाम की गणना करें।'

'जब मैट्रिक्स A और B AB = BA को पूरा करते हैं, तो उन्हें आपस में युग्मन कहा जाता है।'

'निम्नलिखित को गणना करें।'

'निम्नलिखित पंक्तियों के लिए एक रिपट मैट्रिक्स है कि जांचें क्या। अगर यह मौजूद है, तो इसे प्राप्त करें।'

'उलट मैट्रिक्स की तीन मौलिक गुणों की सूची बनाएं।'

'प्रमाणित करें कि मैट्रिक्स A, B के लिए Δ(AB) = Δ(A)Δ(B)।'

'अभ्यास'

'जब x=y=3 √3 है, तो अधिकतम मान 9/4 है; x=81, y=1/3 होने पर न्यूनतम मान -4 है'

'28n को सकारात्मक पूर्णांक मान लें। एक्सवाईजेड प्वाइंट पी(एक्स, वाई, जेड) को जिस तीन आयामी बिंदु P(x, y, z) के लिए निम्नलिखित असमीकरण सिस्टम को संतुष्ट करते हैं जहां x, y, z सभी पूर्णांक होते हैं (ग्रिड बिंदु), f(n) को संख्या के रूप में लें। अनंत की सीमा lim_{n -> ∞} f(n)/n^3 प्राप्त करें। असमीकरण सिस्टम निम्नलिखित है: { x + y - z <= n, x - y - z <= n, -x - y + z <= n }।'

'दी गई पंक्तियों के आधार पर, मैट्रिक्स X की गणना करें।'

'त्रिभुज ABC के लिए, हमलेते हैं वेक्टर AB, BC, और CA के डॉट उत्पादों को वेक्टर AB·वेक्टर BC=x, वेक्टर BC·वेक्टर CA=y, और 320 वेक्टर CA·वेक्टर AB=z के रूप में। x, y, और z के साथ त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को व्यक्त करें।'

'प्रश्न 1, पुस्तक पृ। 609\n(1) A: एक 2x2 पंक्तियों वाला मैट्रिक्स\nB: एक 2x3 पंक्तियों वाला मैट्रिक्स\nC: एक 3x2 पंक्तियों वाला मैट्रिक्स\nD: एक 3x3 पंक्तियों वाला मैट्रिक्स\n(2) तीसरी पंक्ति वेक्टर (1, -3) है, दूसरी कॉलम वेक्टर है \\(\\left(\egin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3\\end{array}\\right)\\)\n(3) a_{12} = 5, \\quad a_{32} = -3, \\quad a_{33} = 2'

'पंक्तियों \ \\vec{x}, \\vec{y} \ में, \\( \\vec{x}+2 \\vec{y}=(-2,-4), 2 \\vec{x}+\\vec{y}=(5,-2) \\) के समय, \ \\vec{x} \ और \ \\vec{y} \ का पता लगाएं।'

'चाल x=-3 को आसिंतोत दी गई और 2 बिंदु (-2,3),(1,6) से गुजरने वाली हाइपरबोलिक समीकरण को y=(ax+b)/(cx+d) के रूप में व्यक्त करें।'

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'गणित C\n(2) $\\vec{x} + 2\\vec{y} = \\vec{a}$\n(1), $\\vec{x} - 3\\vec{y} = \\vec{b}$\n(2) मान रखें\n(1) $\\times 3 +$ (2) $\\times 2$ से हमें मिलता है $5\\vec{x} = 3\\vec{a} + 2\\vec{b}$\nइसलिए\n$\\vec{x} = \\frac{1}{5}(3\\vec{a} + 2\\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{3(1,1) + 2(1,3)\\} = (1, \\frac{9}{5})$\nइसके अलावा, (1)-(2) से हमें मिलता है $5\\vec{y} = \\vec{a} - \\vec{b}$\nइसलिए\n$\\vec{y} = \\frac{1}{5}(\\vec{a} - \\vec{b}) = \\frac{1}{5}\\{(1,1) - (1,3)\\} = (0, -\\frac{2}{5})$\nसमीकरणों का समाधान करके\n$x, y$\n\\left\\{\egin{\overlineray}{l}\nx + 2y = a \\\nx - 3y = b\n\\end{\overlineray}\\right.\n'

'a और b का उपयोग करके x और y को व्यक्त करें, 2x+5y=a, 3x-2y=b को पूरा करते हुए।'

'प्रश्न 5: निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण को हल करें।'

'\ \\vec{a}-\\frac{2}{5} \\vec{b} \ और \ \\vec{a}+\\vec{b} \ लंबी है, \ \\vec{a} \ और \ \\vec{a}-\\vec{b} \ लंबी हैं तब, \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के बीच कोण \ \\theta \ को निकालें।'

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'(2) \\( \egin{array}{l}\\\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=\\left(\egin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 5\\end{array}\\right)^{n} \\\\ \\\\ \\text { इसलिए } \\\\ A^{n}=P\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) P^{-1}\\end{array} \\) इसलिए \\( \\quad P^{-1} A^{n} P=\\left(\egin{array}{cc}3^{n} & 0 \\\\ 0 & 5^{n}\\end{array}\\right) \\quad \\angle\\left(P^{-1} A P\\right)^{n}=P^{-1} A^{n} P \\)'

'अभिक्रिया समीकरण का उपयोग करके मामले की संख्या निकालें।'

'निम्नलिखित प्रति स्थिति के लिए बताएं कि क्या A या B के लिए एक जीतने की रणनीति मौजूद है।'

'निम्नलिखित समीकरणों को हल करें।'

निम्नलिखित गणनाएँ करें। (1) 3 ec{a}+2 ec{a} (2) \( 5 ec{b}-2(-6 ec{b}) \) (3) \( -2(3 ec{a}-2 ec{b})+4(ec{a}-ec{b}) \) (4) \( rac{1}{2}(ec{a}+2 ec{b})+rac{3}{2}(ec{a}-2 ec{b}) \) (5) \( rac{2}{3}(2 ec{a}-3 ec{b})+rac{1}{2}(-ec{a}+5 ec{b}) \)

यदि \(ec{a}=(2,3,1), ec{b}=(2,5,0), ec{c}=(3,1,1)\) हैं, तो \(ec{p}=(5,10,-1)\) को उपयुक्त वास्तविक संख्याओं $s, t, u$ का उपयोग करके s ec{a}+t ec{b}+u ec{c} के रूप में व्यक्त करें।