उन्नत बीजगणित - घातीय और लघुगणकीय फलन

'निम्न समीकरण को हल करें:'

'गणित II'

'(3) (2) से $M_{n}=\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} c_{k}=\\frac{1}{n} \\cdot \\frac{n}{2}(2 \\log _{2} a+\\frac{n-1}{2} \\log _{2} r)$\n\n$=\\log _{2} a+\\frac{n-1}{4} \\log _{2} r=\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}$\n\nइसलिए, $d_{n}=2^{M_{n}}$ से d_{n}=2^{\\log _{2} a r^{\\frac{n-1}{4}}}=\\operatorname{\overline} \\frac{n-1}{4}\nवास्तव में $\\frac{d_{n+1}}{d_{n}}=\\frac{a r^{\\frac{n}{4}}}{a r^{\\frac{n-1}{4}}}=r^{\\frac{1}{4}}$ (निश्चित)।\nइसलिए, श्रंखला $\\left\\{d_{n}\\right\\}$ एक वर्गमूल श्रंखला है जिसका पहला सदस्य $d_{1}=a$ और सामान्य अनुपात $r^{\\frac{1}{4}}$ है।'

'जॉन नेपियर (1550-1617) की क्या उपलब्धियां थीं?'

'(1) मान लें $\\log _{2} a=\\log _{3} b=k$, तो $a>1, b>1$\n\\[\egin{array}{l}\nk>0 \\quad \\text { और } a=2^{k}, b=3^{k} \\\\\n\\text { अब } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}-\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6}=a^{3}-b^{2}=\\left(2^{k}\\right)^{3}-\\left(3^{k}\\right)^{2}=8^{k}-9^{k}<0 \\\\\n\\text { इसलिए } \\quad\\left(a^{\\frac{1}{2}}\\right)^{6}<\\left(b^{\\frac{1}{3}}\\right)^{6} \\\\\na>1, \\quad b>1 \\text { हैं तो } \\quad a^{\\frac{1}{2}}<b^{\\frac{1}{3}} \\\\\n\\end{array}\\]'

'सामान्य लघुगणक सारणी: आधार 10 के साथ लघुगणक की सारणी।'

'निम्न श्रृंखला का योगफल निकालें। दिया गया है n≧2:\n(1) 1•2^{3} + 2•2^{4} + 3•2^{5} + ... + n•2^{n+2}'

'जानते हुए कि एक वह एक समविकरण की पहली 8 श्रेणियों का योगफल 54 है, और पहली 16 श्रेणियों का योगफल 63 है, इस समविकरण की 17वीं से 24वीं श्रेणी का योग्यता निकालें।'

'65 (1) 1.5 < \\log _{4} 9 < \\log _{2} 5\n(2) \\log _{4} 2 < \\log _{3} 4 < \\log _{2} 3'

'अभ्यास समस्या: चलाएं log_{2} x=t, जहाँ 1≤x≤8 का मतलब है 0≤t≤3। अतः, log_{1/2} x=-log_{2} x=-t। y=t^{2}-2 t+3 को t के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करें। 0≤t≤3 सीमा में y की अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'

'अध्याय 7 घातांकीय और लघुगणक फंक्शन -147'

'अगर \ \\log_{3} 2=a, \\log_{5} 4=b \ है, तो \ \\log_{15} 8 \ को \ a \ और \ b \ की मदद से प्रकट करें।'

'घातांकीय समीकरण और लघु फलन'

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'घातांक कार्य'

'लघुता का मान ढूंढें।'

'सिद्ध करें कि यदि 16^4 * x + y + z = 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1, तो x, y, या z में से कम से कम एक 1 होना चाहिए।'

'लॉगरिद्मिक समीकरण और वास्तविक संख्याओं की शर्तों की पुष्टि'

'निम्नलिखित मानों को खोजें।'

'पृष्ठीय सम्बन्ध $a_{n+1}=3a_n+2n-1$ को सामान्य शब्द में लिखें।'

'अगर आप 1% वार्षिक ब्याज दर के साथ 1 मिलियन येन को प्रति वर्ष सम्यक रूप से जमा करते हैं, तो कितने सालों में कुल राशि पहली बार 1.1 मिलियन येन से अधिक होगी? सामान्य लघुगणक पंजीकृत करना स्वीकार्य है।'

'यहां वहाँ दो उदाहरण हैं जहां एक अनंत रैखिक श्रृंग का उपयोग किया जाता है: 1। वर्ग की तिहाई किस्म स्क्वेयर कागज को क्षेत्रफल 1 में चार बराबर भागों में विभाजित करें एक क्रॉस आकार में, और ए, बी, और सी को प्रत्येक को एक-एक बांटें। शेष एक को फिर से चार बराबर भागों में विभाजित करें, और ए, बी, और सी को प्रत्येक को एक-एक बांटें। इस प्रक्रिया को अनंत करने पर, जिस प्रकार से अप, बी, और सी द्वारा प्राप्त किया गया कागज का कुल क्षेत्र एक अनंत रैखिक श्रृंग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ∑(1/4)^n (n=1 से ∞ तक)। इस अनंत रैखिक श्रृंग का योग कीजिए।'

'आवर्ती $\\left\\{\\left(\\frac{5x}{x^{2}+6}\\right)^{n}\\right\\}$ को संघटित करने के लिए, वास्तविक संख्याओं के $x$ के लिए सीमा का निर्धारण करें। साथ ही, उस समय आवर्ती की सीमा का पता लगाएं।'

'(1) समीकरण y=A \\sin x + B \\cos x -1 से A, B को हटाकर डिफरेंशियल समीकरण ③ 213 प्राप्त करें।'

'किसी निश्चित गति से सीधे ऊपर लॉन्च किए गए गेंद के लिए, लॉन्च के बाद x सेकंड के बाद भूमि से h मीटर ऊपर ऊंचाई है। h की मान h=-5x²+40x द्वारा दी गई है, तो x मान किस दायरे में है जब गेंद भूमि से 35 मीटर से 65 मीटर के बीच की ऊंचाई पर है?'

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'किसी सरणी \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ के लिए, समझा गया है कि सरणी \ \\left\\{p^{n} a_{n}\\right\\} \ का प्रारंभिक मान \ p a_{1} \ से नवां मान \ p^{n} a_{n} \ तक का योग \ q^{n} \ के बराबर है। यहाँ, \ p \\neq 0 \ है।\n(1) \ a_{n} \ ढूंढें।\n(2) \ S_{n}=a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n} \ ढूंढें।'

"(3) यदि y=x^{3}+4 x^{2}+6 x-1 है, तो y'=3 x^{2}+8 x+6=3(x+4/3)^{2}+2/3 सभी वास्तव संख्याओं के लिए y' > 0 है, इसका मतलब y बढ़ रहा है। इसलिए, समीकरण x^{3}+4 x^{2}+6 x-1=0 का वास्तव संख्या मूल 1 है।"

'(2) अगर \ \\log _{3} 7=a, \\log _{4} 7=b \ है, तो \ \\log _{12} 7 \ को \a, b\ में प्रकट करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों को साबित करें:'

'निम्नलिखित समीकरणों और असमीकरणों का समाधान करें, जहां a एक सकारात्मक स्थिर पूर्णांक है जो 1 से अलग है।'

'निम्नलिखित असमिकाएं हल करें।'

'जब 1 < a < b < a^{2} होता है, तो निम्नलिखित को क्रमबद्ध करें: log_{a} b, log_{b} a, log_{a}(\\frac{a}{b}), log_{b}(\\frac{b}{a}), 0, \\frac{1}{2}, 1।'

'लघुगणितीय समारोहों की गुणों के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'नीचे दिखाए गए लघुगणक पैमाने का ध्यान दें।'

'वास्तविक संख्या \ z \ के लिए, समीकरण में 11 को \ x \ के रूप में बदलकर फ़ंक्शन \ e^{z} \ को परिभाषित किया जाता है'

"अभ्यास 67 |II| पुस्तक पृ॰558 (1) f'(x) = (1 + x/√(1+x^2)) / (x + √(1+x^2)) = 1/√(1+x^2) (2) ध्रुवीय समीकरण r=θ(θ≧0) से x=r cosθ = θ cosθ, y=r sinθ = θ sinθ मिलता है। यहाँ dx/dθ = cosθ − θ sinθ, dy/dθ = sinθ + θ cosθ है। इसलिए, Υ के संदर्भ में x, y के बढ़ने और घटने के पाटी में निम्नलिखित है। Υ = 0 ... α ... β ... π dx/dθ + 0 - - - x ↗ स्थानीय अधिकतम ↘ ↘ dy/dθ + + + 0 - y ↗ ↗ स्थानीय अधिकतम ↘ हालांकि, \\cos α−α sin α=0 सत्यापन की शर्त \\sin β+β\\cos β=0 है"

'इसलिए, बिंदु Q की निर्धारित स्थानांकों को खोजें।'

'मध्य अंक सिद्धांत का उपयोग करें\n(1) सिद्ध करें कि समीकरण \\( 3^{x}=2(x+1) \\) का कम से कम एक वास्तव समाधान है जब \ 1<x<2 \ के वर्ग में।\n(2) यदि \\( f(x), g(x) \\) बार बराबरी \ [a, b] \ में निरंतर फ़ंक्शन हैं। अगर \\( f(a)>g(a) \\) और \\( f(b)<g(b) \\) है, तो दिखाएं कि समीकरण \\( f(x)=g(x) \\) का कम से कम एक वास्तव समाधान है जब \ a<x<b \ के वर्ग में।'

'कृपया दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'अध्याय 2 में, 100<a<b के रूप में ऐसे स्थानीय a, b को मान लें। x_n=( (a^n/b + b^n/a)^(1/n) ) (n=1,2,3,...) की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए (1) असमान b^n < a(x_n)^n < 2b^n का प्रमाण दें। (2) सीमा लीम n->∞ x_n प्राप्त करें।'

'दिया गया समीकरण 120(3) \\( \\left(\\log _{2} \\frac{x}{a}\\right)\\left(\\log _{2} \\frac{x}{b}\\right) \\left(ab=8, \\quad a=3,x=0\\right)\\)'

'प्रत्येक समूह की संख्याओं का आकार असमिति चिह्न का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'निम्नलिखित संवेदनों को सरलीकृत करें।'

'31 लघुतांत्रिक कार्य'

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'व्यंजक और लघु समीकरणों की मानें'

'प्रतिदिन के जीवन में उपयोग किया जाने वाला साधारण लॉगरिदम'

'अनुक्रमों की सीमा (5) ... मुद्रण के सिद्धांत और द्विघात सिद्धांत का उपयोग करें'

'यहाँ, log x प्राकृतिक लघुगणित है। कर्व y = fn(x) का अंबुधिक्कोण (x_0, 8) वाला परिवर्तन समिकरण है, तो n और x_0 के मान का पता लगाएं, और उस समय कर्व का सारांश बनाएं(अवतलता भी जांचें)।[नौकरी विकास विश्वविद्यालय]'

'सिद्ध करें कि समीकरण 3^x=2(x+1) का कम से कम एक वास्तविक समाधान 1<x<2 क्षेत्र में है।'

'अभ्यास करें n को 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या के रूप में।'

'(2) विपर्यास होना'

'n को प्राकृतिक संख्या मानें। समीकरण f(x)=x^{2} e^{x} का n वां विभेदन f^{(n)}(x) को f^{(n)}(x)=x^{2} e^{x}+2 n x e^{x}+a_{n} e^{x} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां a_{n} एक स्थायी है। कृपया a_{n} की मान निकालें।'

'निर्धारित सांख्यिकी a, b के मान ढूंढें जिनके लिए y=e^{3x}(a \\sin 2x+b \\cos 2x) और y^{\\prime}=e^{3x} \\sin 2x सत्य होते हैं।'

'n गेंदों को 2n बॉक्स में डालें। हर गेंद को किसी एक बॉक्स में रखा जाएगा, और प्रत्येक बॉक्स में डालने की संभावना समान मानी जाएगी। प्रत्येक बॉक्स में अधिकतम 1 गेंद है केवल इस संभावना को p_{n} के रूप में देखा जाएगा। अब, \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{\\log p_{n}}{n} \ की सीमा स्थापित करें।'

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None

'प्राकृतिक संख्या n के लिए 3^n के अंकों की संख्या की गणना करें और इसकी सीमा निकालें।'

'\ 0 < a < b \ होने वाले स्थायी कोण्स्टेंट्स \ a, b \ दिए गए हैं। जहां \\( x_{n}=\\left(\\frac{a^{n}}{b}+\\frac{b^{n}}{a}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\) है, उसके लिए (1) असमिका \\( b^{n}<a\\left(x_{n}\\right)^{n}<2 b^{n} \\) को सिद्ध करें। (2) \ \\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n} \ ढूंढें।'

'गणित में समस्या 309 के दिए गए पाठ का जापानी से हिंदी में अनुवाद करें'

'102 (उ) \ \\log \\frac{2}{\\sqrt{3}} \'

'21 (1) \\( b_n = -(-3)^{n-1} \\)\n(2) \\( a_n=\\frac{3(-3)^{n-1}+1}{(-3)^{n-1}+1}, \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=3 \\)\n'

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'(3) लॉग 2'

'(1) a को एक गैर-शून्य स्थिर संख्या माना जाए। x≥0 के लिए, f(x)=lim(n→∞) (x^(2n+1)+(a-1)x^n-1)/(x^(2n)-ax^n-1) का मान निकालें।'

'निम्नलिखित अनंत रैखिक श्रृंखला के संप्पर्क में संघटन और प्रसरण की जांच करें, और यदि इसका संघटित हो, तो योगदान खोजें।'

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'91 तीन के वर्गमूल पाई गुणा'

'(3) \\frac{1}{2} \\log \\frac{4 e(e+2)}{3(e+1)^{2}}'

'(4) \\log \\frac{9}{8}'

'संख्या e के बारे में'

'16\n(3)\n\\[\n\egin{array}{l} \ny^{\\prime}=e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=3 e^{3 x} \\\\\ny^{\\prime \\prime}=3 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=9 e^{3 x} \\\\\n\\text { इसलिए } \\quad y^{\\prime \\prime \\prime}=9 e^{3 x} \\cdot(3 x)^{\\prime}=27 e^{3 x}\n\\end{array}\n\\]'

'सिद्ध करें कि समीकरण 3^x = 2(x+1) का 1<x<2 सीमा में कम से कम एक वास्तव समाधान है।'

'(2) \ \\log \\frac{3}{2} \'

'PR कंटेनर बनाएं। इस कंटेनर में एक इकाई समय के अनुपात में पानी को धीरे से डालें। कहा जाता है कि पानी डालने की शुरुआत होने के बाद समय t बितने पर, जब पानी की सतह h, पानी का त्राण r, पानी का क्षेत्रफल S, और पानी का आयत V होता है। (1) V को प्रकट करें। (2) a, h का उपयोग करके t के समय के साथ h, r, S की दरों का परिवर्तन को dh/dt, dr/dt, dS/dt रूप में व्यक्त करें।'