उन्नत बीजगणित - सामान्य संख्याएँ और सामान्य तल

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'यदि एक n ठाँव समीकरण में यथार्थ संख्याओं के संकेतकों के साथ p+q√r को समाधान के रूप में रखा हो, तो कृपया एक और समाधान के बारे में स्पष्टीकरण करें और इसकी गुणधर्म दिखाएं।'

'ज्ञान का अभ्यास (1) स्रोत 3+4i द्वारा बराबर एवं क्षेत्रफल 2 करने वाला अज्ञात संख्याक हल करें ।'

'क्या महाविद्यालय के सभी छात्रों का औसत स्कोर किसानी के औसत स्कोर से भिन्न है, यह निर्धारित नहीं कर सकते'

'जब x^{2025} को x^{2}+1 से विभाजित किया जाता है, तो शेष Q(x) है, और शेष a x + b (a, b वास्तविक संख्याएं) है, इसलिए x^{2025} = (x^{2}+1) Q(x) + a x + b। dono taraf se x=i ka upyog karke i^{2025} = a i + b। यहाँ i^{2025} = (i^{2})^{1012} * i = (-1)^{1012} * i = i। इसलिए i = a i + b। क्योंकि a, b वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए a=1, b=0। इसलिए, आवश्यक शेष x है।'

'कृपया व्यास संख्याओं के लिए संबंधित शब्दों के पृष्ठ संख्या प्रदान करें।'

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'निम्न अभिव्यक्ति की मान निकालें।'

'जब a < 1 / 4 है, तब M = -3a + b + 1, जब 1 / 4 ≤ a < 1 है, तो M = 2a√a + b, जब a ≥ 1 है, तो M = 3a + b - 1'

'पूर्णांक a, b समीकरण (a+bi)^{3}=-16+16i को पूरा करते हैं। यहाँ, i कल्पनात्मक इकाई है।\n(2) ज्ञात करें i/(a+bi)- (1+5i)/4 का मान।'

'किसी फ़ंक्शन के निकटस्थ मान और निकटस्थ मान न होने के लिए उसके लिए शर्तों को खोजें'

'उदाहरण 19 | द्वितीय डिग्री के समीकरणों का विषयक (2)'

'3 सिक्के मुद्रा के प्रत्येक 100 येन और 3 सिक्के मुद्रा के प्रत्येक 50 येन, कुल 6 सिक्के हैं, और एक पासा है। जब इन 6 सिक्कों और 1 पासे को एक साथ फेंका जाता है, तो इन 6 सिक्कों और 1 पासे के नतीजे का उत्पाद मुद्रा की कुल राशि जो पहले प्रमुख है और डाइस के परिणाम n में से 2 का अवशेष का गुण किया जाता है, पुरस्कार मिलता है। उदाहरण के लिए, यदि सभी 6 सिक्कें पहले मुख की तरफ हैं और पासा 6 दिखाता है, तो पहले मुख दिखाने वाली सिक्कों की कुल राशि 450 येन है जिसे 4 से गुणित करने पर 1800 येन मिलते हैं।'

'जब \ x=1+\\sqrt{2} i \ हो, तो निम्नलिखित समीकरण के मान की खोज करें: \\[ P(x)=x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+6 x-7 \\]'

'कृपया निम्नलिखित समीकरण की गणना करें:\n\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\alpha-1) + (\eta-1) + (\\gamma-1) = (\\alpha+\eta+\\gamma)-3 = 0-3=-3 \n(\\alpha-1)(\eta-1)+\eta-1)(\\gamma-1)+(\\gamma-1)(\\alpha-1)\\ = (\\alpha \eta+\eta \\gamma+\\gamma \\alpha)-2(\\alpha+\eta+\\gamma)+3 \n=-4-2 \\cdot 0 +3=-1 \n\\end{array}\n\\]\n\nइसके अलावा, \\( x^{3}-4 x+2=(x-\\alpha)(x-\eta)(x-\\gamma) \\) सत्य है। दोनों पक्षों में \ x=1 \ को प्रतिस्थापित करने पर हमें \\( 1-4+2 = (1-\\alpha)(1-\eta)(1-\\gamma) \\) मिलता है और इसलिए \\( (\\alpha-1)(\eta-1)(\\gamma-1)=1 \\) इसलिए इसका आवश्यक घन समीकरण है: \ x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 = 0 \'

'निम्नलिखित गणनाएँ a+bi रूप में व्यक्त करें।\n(1) 1/i, 1/i^2, 1/i^3\n(2) \\\frac{5i}{3+i}\\n(3) \\\frac{9+2i}{1-2i}\\n(4) \\\frac{2-i}{3+i}-\\frac{5+10i}{1-3i}\'

'एक सम्पlex संख्या z के लिए, z^2=i होने वाले सभी सम्पlex संख्या z ढूंढें।'

'एक सूत्र {a_n} को {a_1 = 3, a_{n+1} = (a_n^2-1)/(n+1) (n=1,2,3, ...)} के रूप में परिभाषित करें'

'मूल 35: जटिल संख्याओं का विभाजन'

'सूत्र {a_n} को निम्नलिखित रूप में परिभाषित करें। लेट a_1 = 2। प्राकृतिक संख्या n के लिए, रेखा (0,1),(a_n,0) से गुजरने और रेखा y = x के छोर से जाने वाले बिंदु का x-आधारित समापन बिंदु a_{n+1} के रूप में है।'

'(1) ऐसे वास्तव संख्याओं \ x, y \ के मान ढूंढें जिनके लिए समीकरण \\( (3+i) x+(1-i) y=5+3 i \\) सही है।'

'26 x के मान -1/2 और 2/3 के लिए, हल करें'

'उदाहरण 1 असमीकरण का सिद्धांत'

'गणित में, वास्तविक संख्याएं x, y, z समीकरण प्रणाली {x+y+z=-1, x^2+y^2+z^2=7, x^3+y^3+z^3=-1} 1) पूरा करती हैं। इस समय, xy+yz+zx=⧁, xyz=1। इसलिए, समीकरण प्रणाली (1) के लिए ⧁ समाधान समूह है, जिनमें x<y<z को पूरा करने वाले (x, y, z)=1 हैं।'

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'मौलिक 34: संयुक्त और उनके योग/गुणन'

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} की सामान्य पद्धति ढूंढें।'

'सांत k के मान के लिए मान्यता की सीमा निर्धारित करें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती है: (1) फ़ंक्शन f(x)=x^{3}+6 k x^{2}+24 x+32 में एक अत्यधिकता बिंदु होता है। (2) फ़ंक्शन f(x)=2 x^{3}+k x^{2}+k x+1 एक अत्यधिकता बिंदु नहीं है।'

'निम्नलिखित प्रत्येक संख्या और उसके संज्ञात निरामी संख्या का योग और गुणफल ढूंढें।'

'किसी दो बिंदुओं A(α) और B(β) को जोड़ने वाले रेखांक को m:n अनुपात में और बाहरी रूप से बाँटने वाला बिंदु की प्रतिनिधित्व करने वाली संख्याओं की खोज करें।'

'कोई सकारात्मक वास्तव संख्या के लिए a और w=a\\(\\left(\\cos \\frac{\\pi}{36}+i \\sin \\frac{\\pi}{36}\\right)\\) मान लें। कॉम्प्लेक्स संख्या शृंखला \\\left\\{z_{n}\\right\\}\ को \\(z_{1}=w, z_{n+1}=z_{n} w^{2 n+1}(n=1,2,\andotsandots)\\) के रूप में परिभाषित करें'

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'जब एक कॉम्प्लेक्स संख्या z को z+1/z=√2 को पूरा करता है, तो z^20+1/z^20 का मान पता करें।'

'व्याप्ति में, जब की 3 को अल्फा वास्तविक संख्या नहीं है और बीटा सकारात्मक वास्तविक संख्या है। (1) त्योहार कई संख्या जेड की शर्तों को पूरा करने वाले ज़ेड के लिए ज़ की स्थानांतराण अथवा conj(ज़) + conj(अल्फा) * z = |z|^2 है। दिखाएं कि सी एक मानदीप्ति से होने वाला व्रत बनाने वाला बिंदु है।'

'1 के मौलिक 6 वां जड़ मानते हैं। उदाहरण के लिए, जाँच करें कि z^6 = 1 के समाधान मौलिक 6 वां जड़ बन जाते हैं। z^6 = 1 के समाधान हैं, जैसे p.528 में आधारित उदाहरण 105 के उत्तर में, z_0, z_1, ..., व z_5 ।'

'कॉम्प्लेक्स संख्या श्रृंखला \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \ का विचार करें।'

'दिए गए प्रश्न को कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्रतिनिधित z से w में परिवर्तन को पहले क्रम का भिन्नांशीय परिवर्तन (या मोबियस परिवर्तन) कहा जाता है।'

'हमारे दैनिक जीवन में, एसी विद्युत व्यापक रूप से प्रयोग किया जाता है। एसी सर्किट की गणना में, कंप्लेक्स संख्याएँ और विघटन समीकरण का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, इसलिए चलिए इसका कुछ हिस्सा देखते हैं। कृपया ध्यान दें कि निम्नलिखित सामग्री विश्वविद्यालय स्तर शामिल है, इसलिए एक मामूली समझ काफी है।'

'घनस्वरूप का उपयोग करके समीकरण z^6=1 का समाधान करें।'

'यदि {a_{n}} एक सरणी है जिसमें a_{1}=3, a_{n+1}=\\frac{3 a_{n}-4}{a_{n}-1} है।'

'जब चतुष्कोण ABCD समद्विबाहु चतुष्कोण हो, तो ज्यादाति समय उस विशेष समय के लिए क्रमांक जेड का मान ज्ञात करना में जुटा विशिष्ट समय A(2+4i), B(z), C(z का संग) और D(2z) पर होता है।'

'कॉम्प्लेक्स समतल पर, 3 बिंदुओं A(1+i), B(3+4i), C के लिए, जब त्रिभुज ABC एक समांतर त्रिभुज होता है, तो बिंदु C को प्रदर्शित करने वाली कॉम्प्लेक्स संख्या z ढूँढें।'

'z को अवकल संख्या माना गया है। प्रमाणित करें कि |z|=1 इसका मतलब है कि z+1/z एक वास्तव संख्या है। साथ ही, z+1/z एक प्राकृतिक संख्या बनाने वाले सभी जटिल संख्या z ढूंढें।'

'जब दो चद्रवर्ती समीकरण $x^{2}-(m+1) x-m^{2}=0$ और $x^{2}-2 m x-m=0$ का केवल एक साझा समाधान होता है, तो $m$ का मान है $\\qquad$, और साझा समाधान है $x=$ $\\square$।'

'12 लॉटरी टिकट हैं, जिसमें n जीतने वाले टिकट होते हैं (0 ≤ n ≤ 12)। जब इन टिकटों से ^3161 टिकट खींचे जाते हैं, जीतने वाले टिकट 3 अंक प्राप्त करते हैं और हारने वाले टिकट -1 अंक प्राप्त करते हैं। 1 से अधिक अपेक्षित अंक प्राप्त करने के लिए n के मान की सीमा ढूंढें।'

'स्थायी संख्या c की मूल्य पता लगाएं ताकि फ़ंक्शन f(x)=-x^{2}+4x+c का न्यूनतम मान (-4≤x≤4) भेद में -50 हो।'

'व्यासीय संख्या \\\alpha=a+bi\ और इसका संयुक्त संख्या \\\overline{\\alpha}=a-bi\ के लिए निम्नलिखित गुणधर्म होते हैं।'

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'शृंखला {an} को a1=2, an+1=3an-n²+2n द्वारा परिभाषित किया जाता है। सामान अनुपात 3 वाली एक geometric progression में बदलने के लिए एक द्विघातीय कार्य g(n) का विचार करके, n के सापेक्षिक प्रकार में an को व्यक्त करें।'

'सूत्र x^3-6x+c=0 के लिए c के मान की रेंज खोजें जिससे यहाँ x^3-6x+c=0 का दो अलग प्रासंगिक समाधान और एक नकारात्मक समाधान हो।'

'i को कल्पित संख्या इकाई मानें, x = \\sqrt{3} + \\sqrt{7}i। y को x के संयोजक माना जाता है। निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'जानते हैं कि एक सकारी सामान्य अनुपात वाली धारा की पहली से n वीं मानों का योग है Sn। अगर S2n=2 और S4n=164 है, तो Sn के मान की गणना करें।'

'क्रम {an} को a1=2 और पुनरावृत्ति सूत्र an+1=2-an/(2an-1) के रूप में परिभाषित किया गया है।'

'चित्रिय संख्या मानक i हो और x=√3+√7i हो। y को x के संयुक्त संख्या बनाया जाए, तो निम्नलिखित मानों की मांग करें।'

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'दो समाधानों की अनुपात 3:2 होने के कारण, इन दो समाधानों को खोजें।'

'कम से कम एक समीकरण के लिए वास्तविक संख्या ए की रेंज निकालें जिसमें गुणाकर मौजूद है'

'एक कॉम्प्लेक्स संख्या z=x+yi (x, y वास्तविक संख्याएँ हैं) ऐसी हैं जिनका वर्ग i के बराबर है। इन z को ढूंढें।'

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'लॉगरिद्मिक स्केल्स (1), (2) के बारे में, जब हम विपरीत पैमाने a और c, साथ ही b और d पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो रिश्ता a/c = b/d हमेशा सत्य होता है, जिससे पता चलता है कि विपरीत पैमानों का अनुपात स्थिर है। अतः, लॉगरिद्मिक स्केल (3) पर ध्यान देते हैं, रिश्ता cf = de हमेशा सत्य होता है।'

'जांचें कि बिना किसी की प्रेरणा से कितनी अधिक तन्निक (t) y=x^3 - x और x द्वारा हो सकती हैं। t=a (3से 6 तक) के लिए सभी आदि। उनमे से कितने हो सकते हैं?'

'पिछले पेज के बेसिक उदाहरण 31 का आरोही सूत्र a_{n+1}=2 a_{n}-n, इसके रूप में ऊपर के 3 पैटर्न में से किसी भी को फिट नहीं होता। a_{n+1}, a_{n} को α मानकर विशेष गुणित समीकरण α=2α-n को ध्यान से देखा जा सकता है, फिर भी α=n मिलता है, अंकगणित के आधार उदाहरण 30 के रूप में आगे बढ़ने में असमर्थ हैं। इसलिए, बायें दिशा में उत्तर को ध्यान से देखें।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ की सामान्य पद्धति खोजें।'

'a<\\alpha<b<\eta<c'

'कृपया x = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1) का समाधान ढूंढें।'

'किस पराबोला की समीकरण मिलती है जो समीकरण y=1/2 x^2 को एक विशेष तरीके से ट्रांसलेट करके प्राप्त की गई है, इसके माध्यम से यह बिंदु (1,5) से हो और इसका शीर्षबिंदु लाइन y=-x+2 पर है?'

'जब अंक z मूलबिंद O पर केंद्र और त्रिज्या 2 वाले वृत्त पर चलता है, तो बिंदु w = \\frac{2z-i}{z+i} किस प्रकार के आकार खींचता है?'

'समझाएं किस प्रकार सम्पlex संख्याओं के जोड़ का स्थान वेक्टर परिसंवेदी संख्या समतल पर हैंडल किया जाए।'

'जानिए कंप्लेक्स नंबर को जिसे बिंदु 2+2i को बिंदु i के चारों ओर घुमाने से प्राप्त किया जाता है।'

'मैं कंप्लेक्स नंबर की गणना किस प्रकार के ज्यामितिय आंदोलन का प्रतिनिधित्व करती है, इसे सारांश अद्यतन करना चाहता हूँ।'

'विकर्णित तच्छन'

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'समीकरण z^6=1 का समाधान करें।'

'बिंदु A(-1+i) और बिंदु B(3+4i) के लिए, (2) रेखाखंड AB का बीचक बिंदु M'

'उदाहरण 90 | त्रिभुज का आकार (3)'

'अवयक्त संख्या α=3+4i और β=1+2i का योग और अंतर जांचें, और उन बिंदुओं को जो वे प्रदर्शित करते हैं, उन्हें अवयक्त संख्या तल पर चित्रित करें।'

'जब एक संयुक्त संख्या z |z-1|≤|z-4|≤2|z-1| को संतुष्ट करती है, तो समय-क्षेत्र पर बिंदु z के गति का श्रेणी चित्रित करें।'

'जब (*) के दो आपस में संयुक्त काल्पनिक समाधान होते हैं, जिन्हें $z=\\gamma, \\overline{\\gamma}(\\gamma$ काल्पनिक है)$,$ तो हम समाधान और समकोणों के बीच के रिश्ते से $\\gamma+\\overline{\\gamma}=-a$ और $\\gamma \\overline{\\gamma}=b$ को निर्धारित कर सकते हैं, जिससे $a=-(\\gamma+\\overline{\\gamma}), \\quad b=|\\gamma|^{2}$ होता है। इस मामले में, $D=a^{2}-4b=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}$ है, और क्योंकि $\\gamma-\\overline{\\gamma}$ पूरी तरह से काल्पनिक है, हमेशा $D=(\\gamma-\\overline{\\gamma})^{2}<0$ होता है। $|a| \\leqq 1,|b| \\leqq 1$ को जोड़कर हमें $|\\gamma+\\overline{\\gamma}| \\leqq 1,|\\gamma|^{2} \\leqq 1$ मिलता है, जिसका मतलब है $\\left.\\left\\lvert\\,(\\gamma$ की वास्तविक भाग)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|\\gamma\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$। इसलिए, (*) के प्रतीक्षामान समाधान z का सीमा उत्तरदायी मानों के लिए $\\left.\\left\\lvert\\,(z$ की वास्तविक भाग)$\\right\\rvert\\leqq \\frac{1}{2}\\right|z\\right.\\right\\rvert\\leqq 1$ है।'

'जब एक बिंदु z भौतिक समतल पर पॉइंट -1 को यूनिट वृत्त से बाहर छोड़कर परिधि पर चलता है, तो बिंदु w=\\frac{2z+1}{z+1} द्वारा प्रतिनिधित है वह किस प्रकार की आकृति बनाता है?'

'इस अध्याय में, हमने व्यास, घटाव, गुणा, और भाग को जोड़ने के बारे में सीखा। अगले, आइए हम कॉम्प्लेक्स नंबर को निर्देशांक तल पर बिंदु के रूप में प्रस्तुत करें और विचार करें कॉम्प्लेक्स नंबर के ज्यामितीय अर्थ के बारे में। विशेष रूप से, हम कॉम्प्लेक्स नंबर के योग, अंतर, चर की गणितीय व्याख्या, सम्यायी कॉम्प्लेक्स नंबर के जयामितिकी अर्थ पर विचार करेंगे, और गुणा और भाग के लिए कॉम्प्लेक्स नंबरों को संबोधित करने के लिए ध्रुवीय रूप के बारे में सीखेंगे, और कॉम्प्लेक्स नंबर तल पर विभिन्न आकृतियों पर विचार करेंगे।'

'(1) के परिणाम से, (2) को पूरा करने वाली एक आवांछिक संख्या z की अस्तित्व की शर्त है α≤-2, -1≤α। इसलिए, |α|≤2 से α=-2, -1≤α≤2 होता है।'

'ध्यान दें, यहाँ सभी वर्णों को घनांक माना जाता है। समीकरण में प्रस्तुत z से w तक का परिवर्तन 1वीं क्रम की भिन्न रूपांतरण कहा जाता है।'

'निम्नलिखित आधारित संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें। यहां मुख्यकोण 𝜃 को 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 सेट किया जाना चाहिए।'

'एक विस्तारित संख्या z -1 की तुलना में, जब विस्तारित संख्या w= z/z+1 द्वारा परिभाषित होती है, तो जानकारी यहां दर्शाई गई आकृति जो संख्या z को कल्पित मंचारेखा पर चालक करते हैं। साथ ही, जानकारी यहां दर्शाई गई आकृति जो संख्या z को चक्र पर चालक करते हैं |z-1|=1 कंप्लेक्स मंच पर।'

'जब बिंदु O(0), A(3+4i), B(1+2i) एक सरलरेखीय रेखा पर नहीं हैं, और जोड़ का परिणाम C(α+β) के रूप में चिह्नित है, तो चतुर्भुज OACB किस तरह दिखेगा?'

'जब अंकित मंडल पर, अंक P(z) और अंक Q(w) मूल (O) और बिंदु (A) (अल्फा) के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा के लिए पारस्परिक रूप से सममित होते हैं, तो w को α और z का अभिव्यंजन करें।'

'(2) जिसका वास्तविक संख्या $z$ नहीं है, उसके लिए $\\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z$ को एक केवल काल्पनिक संख्या साबित करें।'

'साबित करें कि किसी भी व्यापक संख्या z के लिए, अभिव्यक्ति z \ar{z}+α \ar{z}+\ar{α} z एक वास्तविक संख्या है।'

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'तटीय रूप में एक विकर्ण संख्या z का संयोजी तटीय रूप में व्यक्त करें।'

'फ़ंक्शन f(x)=(x+1)/(x^2+2x+a) के लिए, ऐसे संदर्भीय a के मान की रेंज ढूंढें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:'

'\ z \ को एक अविलंब जटिल संख्या माना जाए। 85 (1) \ z \ के मौल्य को \ r \ और तरंग को \\( \\theta(0 \\leqq \\theta<2 \\pi) \\) के रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो \ \\frac{z}{4}+\\frac{4}{z} \ यदि वास्तव संख्या हो, तो \ r \ और \ \\theta \ की मान का पता लगाए।'

'जटिल संख्या गुणा और घूर्णन (2)'

"प्रॉब्लम 12 में फ़ंक्शन f(x)=0 के रियल समाधान (अंदाजी मूल्य) ढूंढने के लिए 'न्यूटन मेथड' की मान्यता पर चर्चा की गई है जब f(x) एक उत्तल प्रकार हो।"

'(2) आधारित चित्रण मंडल पर बिंदु \\alpha, \eta के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं को चित्रित करें। (अ) \\alpha+\eta (ब) \\alpha-\eta (स) 2\\alpha+\eta (द) -(2\\alpha+\eta)'

'विसंगति संख्या z=a+bi को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें।'

'विपरीत संख्या गुणा और घुमाव (2)\n(1) दो बिंदुओं z=3+i, w=2-i के लिए, z को w के केंद्र के चारों ओर π/6 घुमाने से प्राप्त बिंदु का वास्तविक संख्या ढूंढें।'

'a, c वास्तविक संख्याएं हैं, और β एक वास्तविक संख्या है। जब a ≠ 0 और |β|² > ac होता है, तो समीकरण az¯z+β¯z+βz¯+c=0 मानक आई है जिसका केंद्र -β/a है और त्रिज्या √(|β|²-ac)/|α| है, और जब a = 0 और β ≠ 0, तो समीकरण β¯z+βz¯+c=0 एक रेखा को प्रस्तुत करता है। अधिक जानकारी के लिए, समाधान पृष्ठ को p.109 पर देखें। अभ्यास में, k एक वास्तविक संख्या है और α=-1+i है। एक बिंदु w ऐसा गतिशीलता प्रकट करता है जो समीकरण w¯α-¯wα+ki=0 को पूरा करता है। बिंदु w का पथ, बिंदु 1+i को केंद्र मानक और त्रिज्या 1 किया गया है।'

'(1) मान लें कि एक आंकिक संख्या z को z=r(cosθ+isinθ) के रूप में दिया गया है, जहां r एक सकारात्मक वास्तव संख्या है और θ एक वास्तव संख्या है। प्रमाणित करें कि {xn} और {yn} दोनों 0 पर समाप्त होने के लिए अनिवार्य और पर्याप्त शर्तें क्या हैं।'

'मान लेते हैं कि समीकरण (1) का एक अंश का मान 1 का घनित समाधान है z=\\cos \\theta+i \\sin \\theta, तो (2) से हमें मिलता है'

'कॉम्प्लेक्स समतल पर, कॉम्प्लेक्स संख्या $\\alpha=a+bi$ से दिखाई गई एक बिंदु $A(\\alpha)$ को दर्शाती है। अब, इस समतल पर, मूल $O$ के संबंध में बिंदु $A$ की स्थिति वेक्टर को $\\vec{p}$ मान लें। इसलिए, कॉम्प्लेक्स संख्या $\\alpha$ और स्थिति वेक्टर $\\vec{p}$ सामंजस्यपूर्ण हैं। दो कॉम्प्लेक्स संख्याओं $\\alpha, \eta$ के लिए, $A(\\alpha), B(\eta)$, $\\overrightarrow{OA}=\\vec{p}$, $\\overrightarrow{OB}=\\vec{q}$, तो कॉम्प्लेक्स संख्याओं $\\alpha, \eta$ की समानता स्थिति वेक्टर $\\vec{p}, \\vec{q}$ की समानता के रूप में देखी जा सकती है।'

'बिंदु A(-1+i) और बिंदु B(3+4i) के लिए, निम्नलिखित बिंदु को प्रदर्शित करने वाली विपरीत संख्या ढूंढें: (1) रेखा सेगमेंट AB को अनुपात 2:1 में विभाजित करने वाला बिंदु P'

'समयात्मक समतल परिंब में तीन बिंदु A(α), B(β), और C(γ) के वर्तुलों से बने त्रिभुज ABC के लिए, जब समीकरण 903α^2+β^2+γ^2+βγ=3αβ+3γα पूर्ण होता है, तो ABC किस प्रकार के त्रिभुज होता है?'

'साबित करें कि जब एक व्याप्त संख्या z या z1, z2, z3, z4 यूनिट सर्किल पर होती है तो शर्तें।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'सम्पlex संख्याओं के गुणन का भौतिक अर्थ समझाएं।'

'(3) \\( z_{n} = \\left(\\frac{1+\\sqrt{3} i}{2}\\right)^{n} \\cdot (-\\sqrt{3} i) + 1+\\sqrt{3} i \\)'

'कॉम्प्लेक्स समतल पर अभ्यास करते समय, मानें कि जटिल संख्याएं a, b, c बिंदु A, B, C को प्रतिनिधित करती हैं, जिन्हें कोई समस्तरीय नहीं है। ऐसा करने पर, α, β, γ को जटिल स्थिरांक मानो, जब जटिल संख्या z समीकरण को संतुष्ट करती है, तो a, b, c और उनके संयुक्त जटिल संख्या a̅, b̅, c̅ का उपयोग करके β/α और γ/α को व्यक्त करें।'

'जटिल समतल में, त्रिभुज के शीर्षकों को प्रतिनिधित करने के लिए ज्यामितिय नंबर द्वारा 0, एल्फा, बीटा कहा गया है।'

'विकल्प प्लेन पर, ज्ञात कीजिए कंप्लेक्स संख्या अ=3+4i द्वारा प्रस्तुत बिन्दु को, और -2 से गुना कर उससे प्राप्त कंप्लेक्स संख्या द्वारा प्रस्तुत बिंदु को।'

'इस अध्याय में सीखने के बारे में 》 गणित I में, हमने आवयज्ञात संख्याओं के जोड़, व्यवज्ञ़, गुनन और भाग के बारे में सीखा। इस अध्याय में, हम यह सीखेंगे कि जैसे आवयज्ञात संख्याएं आवयञत त्रिभुज में बिंदु के रूप में प्रप्रत किया जाता है और संख्याओं के योग, अंतर, परमाय, संयुक्त आवयञत संख्याओं के ज्यामितक अर्थ के बारे में सीखेंगे। इसके अलावा, आवियजात संख्यों का गुणा, विभाजन को विचार करने के लिए, हमें संख्याओं के ज्यामितक प्रतिरूपण में आवयञत संख्याओं के उर्ध्वीकरण रूप में और संख्याओं के विभिन्न आकारों की स्टडी करनी होगी।'

'विलम्बीय संख्या गुणा और घुमाव (2)\n(1) दो बिंदु z=3+i और w=2-i के लिए, बिन्दु z को बिन्दु w के मध्य के चाल की दिशा में π/6 घुमाते हुए उस तयगुणात्मक संख्या को ढूँढें।\n(2) जब समय 1+i के मध्य के चाल में स्थितिबिन्दु 3-2i को किसी कोण θ (0 ≤ θ < 2π) घुमाने के बाद प्रतिबिम्बित करने वाले संख्या है (4+3√3)/2 + (-1+2√3)i/2, तो Υ का मान ढूँढें।'

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'जब हाइपरबोलिक नरउ z का तात्विक निर्धारण अनिश्चित हो, तो वह किस प्रकार का होता है?'

'इसलिए $\\lim _{n \\rightarrow \\infty}\\left|x_{n}-\\alpha\\right|=0$, इसलिए $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} x_{n}=\\alpha$'

'निम्नलिखित संविक्षणों की गणना करें।'

'निम्नलिखित जटिल संख्याओं z को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें। ध्यान दें कि तर्क θ 0≤θ<2π है।'

'जो त्रिभुज ABC है और है कि तरफ़ A(α), B(β), और C(γ) के 3 बिंदुओं पर है, तब त्रिभुज ABC किस प्रकार का त्रिभुज होगा जब निम्नलिखित समीकरण सत्य होते हैं?\n(1) β-α=(1+√3i)(γ-α)\n(2) α+iβ=(1+i)γ'

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'n 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या, i कल्पनात्मक इकाई है।'

'सम्पlex संख्या \ \\frac{c+d i}{a+b i} \ का भाजक निकालें।'

'सम्पर्क संख्या'

'सिद्ध करें कि जब एक रेशनल संख्याओं वाली n वीं घातांक समीकरण का समाधान p+q√r होता है, तो दूसरा समाधान p-q√r है।'

'कॉम्प्लेक्स नंबर के चार गणना करें और नकारात्मक संख्याओं का वर्गमूल्य निकालें।'

'अध्याय 2 जटिल संख्याएं और समीकरण संदर्भ जटिल संख्या संख्याओं के समीकरण के हल खोजना'

'कोई है k एक वास्तविक स्थिर, i=√-1 एकांतिक इकाई है। जब समीकरण (1+i)x^{2}+(k+i)x+3-3ki=0 के मानक इमागरिनरी रूट होते हैं तो, k की मान का पता लगाएं।'

'अभ्यास\nएक स्थिर संख्या को k और काल्पनिक एकाई i=√(-1) लिया जाए। x की द्विघात समीकरण (1+i) x^2 + (k+i) x + 3-3k i = 0 के केवल काल्पनिक जड़ों के साथ, सीखते समय k की मान तय करें।'

'यदि x^2+x+1=0 का एक समाधान ω है और दूसरा समाधान α है, तो समाधान और गुणांकों के बीच संबंध के आधार पर हमें ω+α=-1...(1) और ω*α=1 मिलता है।'

'निम्नलिखित स्थितियों के तहत, बीसी² का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। शर्तें: जब \ \\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi \ हो, तो \ \\cos \\theta < 0 \ है'

'जब x = (1 - √3i)/2 हो, तो x^5 + x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 की मान निकालें।'

'एक अनंत धनात्मक श्रृंखला में पहला मान और सामान अनुपात वास्तवीक संख्याएँ हैं, और योग 3 है। साथ ही, एक अनंत धनात्मक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक मान पहली श्रृंखला के संबंधित मान का घन है, और योग 6 है। पहली श्रृंखला का सामान अनुपात खोजें।'

'धुरी रूप का उपयोग करके समीकरण z^6=1 का समाधान करें।'

'ज्यातिष समतल में, त्रिभुज के शृंग O, A, B को प्रतिष्ठित करने के लिए O, A, B को सम्पlex संख्या 0, α, और β से प्रस्तुति किया गया है'

None

'द्विघाती तालिका में, बिंदु A को 6 का प्रतिनिधित्व करने के लिए, बिंदु B को 7+7i का प्रतिनिधित्व करने के लिए। इसके अलावा, एक सकारात्मक वास्तविक संख्या t के लिए, बिंदु P को \\(\\frac{14(t-3)}{(1-i)t-7}\\) का प्रतिनिधित्व करने के लिए।'

'1 की एनथ जड़ का मूल\n1 की एनथ जड़ (अर्थात समीकरण z^n=1 का समाधान) निम्नलिखित एन जटिल संख्याओं में से है।\nzk=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) (k=0,1,2, ..., n-1)'

'एक संयुक्त संख्या z की समीकरण f(z)=z+1/z को ध्यान में रखें। जब z 1/3<=|z|<=2 और 0<=arg z<=π/4 को पूरा करता है, फिर f(z) के वास्तविक भाग की अधिकतम और न्यूनतम मानों को जानें।'

'कॉंप्लेक्स संख्या z = cos(2/7π) + i sin(2/7π) के लिए, (4) (1) (7) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 की मान पता करें। (1) 1/(1-z) + 1/(1-z^6) की मान पता करें। इसके अलावा, यदि t=(z^2+1)/z, तो (2) साबित करें कि t वास्तविक संख्या है और (3) साबित करें कि t कोणीय समीकरण t^3+⏋⎹t^2-1␍t-वी␍ की जड़ है।'

'ज्यातिय समतल में 3 बिंदुओं A(α), B(β), C(γ) के लिए\n(1) जब α=2, β=1+i, γ=(3+√3)i, तो ∠ABC का आकार पता करें।\n(2) जब α=1+i, β=3+4i, γ=a*i (a वास्तविक संख्या है) हो, तो a=⬜, तो बिंदु A, B, C एक सीधी रेखा पर हैं; और a=1⬜, तो AB⊥AC।'

''

'निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें।'

'विकल्पिय सम्यांग प्लेन पर, डे मोइव्र के “नियम” का उपयोग करके, अव्यग्र संख्या ज़ का गोलीय रूप में प्रकट करने के गणना दिखाएं।'

'निम्नलिखित जटिल संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें। माना जाए कि सम्मिश्र भुजादिकार θ 0 ≤ θ < 2π को संतुष्ट करता है। (1) 2 - 2i (2) -3 (3) cos(2/3π) - isin(2/3π)'

'अभ्यास'

'एक कॉम्प्लेक्स संख्या अल्फा को मौजूदा मान 1 के साथ लें। तो, (α+z)/(1+αz) एक वास्तविक संख्या होने के लिए z किस प्रकार का होना चाहिए।'

'दो संयुक्त संख्याओं को \ \\alpha=\\cos \\theta_{1}+i \\sin \\theta_{1}, \eta=\\cos \\theta_{2}+i \\sin \\theta_{2} \ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जहां तत्वों को इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है कि \ 0<\\theta_{1}<\\pi<\\theta_{2}<2 \\pi \। (1) ध्यानांकीय रूप में \ \\alpha+1 \ का व्यक्त करें, जहां ध्यानांक \ \\theta \ को इस प्रकार माना गया है कि \ 0 \\leqq \\theta<2 \\pi \। (2) जब \ \\frac{\\alpha+1}{\eta+1} \ का वास्तविक भाग 0 के बराबर होता है, तो दिखाएं कि \ \eta=-\\alpha \ सत्य है।'

'निम्नलिखित विपरीत संख्याओं को धुरीय रूप में व्यक्त करें। मानें कि विकल्प थीटा 0 और 2π के बीच है।'

'(A) α और β को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: α = cos(θ1) + i sin(θ1), β = cos(θ2) + i sin(θ2), जहाँ 0 < θ1 < π < θ2 < 2π।'

'जब अवयस्क संख्या z को arg z = π/4, |(z+i)/(1+2i)| = 1 का पालन करता है, तो z का मान खोजें।'

'ज्यातिय समयवर्ती समतल में एक वृत्त के समीकरण से संबंधित समस्या। वृत्त को प्रदर्शित करने वाले समीकरण |z-α|=r के लिए, इसे वर्ग करने पर |z-α|^{2}=r^{2} मिलता है, जिसे विस्तारित करने पर z \ar{z}- \ar{α} z- α \ar{z}+|α|^{2}-r^{2}=0 मिलता है। इस समीकरण में वास्तव संख्याएँ शामिल हैं, इसलिए एक ज्यामितिक प्रतिनिधित्व का ध्यान रखने की आवश्यकता है।\nअगले, एक मिश्रित संख्या β का उपयोग करके वास्तव संख्याएँ a, c के साथ, हम जाँचते हैं कि समीकरण a z \ar{z}+ \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0 किस प्रकार के आकार को प्रतिनिधित करता है।\nमामला 1: जब α ≠ 0, |β|^{2}>a c, और a ≠ 0 हो, इस समीकरण का मतलब है कि -β/a को केंद्र बनाकर और तथाक घुमाव के लिए एक वृत्त।\nमामला 2: जब a = 0 हो, और \ar{β} z+ β \ar{z}+c=0 हो, तो समीकरण रेखा समीकरण A x + B y + c = 0 को प्रतिनिधित करता है (मिश्रित संख्या β को p + qi के रूप में व्याख्या करते हुए)। रेखा B उस रेखा के लिए लंबी है जो दो बिंदुओं (0, β) को जोड़ती है (शीर्षक 261 देखें)।'

'जब तीन विभिन्न बिंदु A(α), B(β), C(γ) निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं, तो त्रिभुज ABC के तीन कोनों का माप निकालें।'

'मान लीजिए कि तीन भिन्न आवांशिक संख्याएँ α, β, γ ऐसी हैं जो समीकरण α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 = 8(β^3 - 3β^2γ + 3βγ^2 - γ^3) को संतुलित करती है।'

''

'दो बिंदु A(-1+i) और B(√3-1+2i) पर त्रुटि-स्थानीय त्रिभुज ABC का एक कोने C को प्रतिनिधित करने वाली अद्वितीय संख्या z का पता लगाएं।'

'त्रिभुज ABC का ज्यामिति जिसके कोण A(α), B(β), C(γ) हैं का कॉंप्लेक्स संख्यात्मक प्रतिनिधित्व खोजें।'

'सम्मिश्र समतल पर दो बिंदु A(-1+i) और B(√3-1+2i) के बीच रेखा AB को एक कोण और 1 भुजा के वृत्तिय त्रिभुज ABC का शीर्षक C को प्रस्तुत करने वाली सम्मिश्र संख्या z का पता करें।'

''

''

'सिद्ध करें कि समीकरण zⁿ = एल्फा के सभी समाधानों को α₀, ωα₀, ω²α₀, ..., ωⁿ⁻¹α₀ के रूप में दिया जा सकता है।'

'मान लें कि तीन भिन्न वास्तविक संख्याओं अल्फा, बीटा, गामा के बीच समीकरण अल्फा³-3 अल्फा²बीटा+3 अल्फा बीटा²-बीटा³=8(बीटा³-3 बीटा²गामा+3 बीटा गामा²-गामा³) पूर्ण होता है।'

'निम्नलिखित तार्किक संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें। यहां मान लें कि विकल्प θ 0 ≤ θ < 2π को पूरा करता है।'

'बिंदु A(-1+4i), B(2-i), C(4+3i) के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं को प्रस्तुत करने वाले जोड़ीय संख्याओं की खोज करें:\n(1) रेखांकन AB को 3:2 में विभाजित करने वाला बिंदु P\n(2) रेखांकन AC को 2:1 में बाहरी भाग में विभाजित करने वाला बिंदु Q\n(3) रेखांकन AC का बीच बिंदु M\n(4) चतुर्भुज ABCD का शीर्षक D\n(5) त्रिभुज ABC का केंद्रिक G'

'कॉम्प्लेक्स समतल पर 3 बिंदु ओ(0), ए(-1+3i) और बी हैं। जब △OAB एक सीधा कोणी बिलकुलाकार त्रिभुज होता है, तो बिंदु बी को प्रस्तुत करने वाला कौम्प्लेक्स संख्या z ढूंढें।'

'अभ्यास\n(32 कोण θ के लिए 0 से अधिक और π/2 से कम एक संख्या α=cosθ+i sinθ का मौजूद होना। मान लें z0=0, z1=1, और k=2,3,4,... के लिए zk-zk-1=α(zk-1-zk-2) की परिभाषा से अनुक्रम {zk} को, जहां zk(k=0,1,2,...) प्वार-युगल में, किसी एक बिंदु Pk का प्रतिनिधित्व करता है।\n(1) α को उपयोग करके zk को सूचित करें।\n(2) A(1/1-α) को ध्यान में रखते हुए, तब दिखाएं कि बिंदु Pk(k=0,1,2,...) A के एक केंद्र पर बने वृत्त पर स्थित हैं।'

'निरपेक्ष मान'

'निम्नलिखित समीकरणों का हल करें।'

'अविकल्पित संख्या d के लिए, समीकरण dz(𝞍⁻+1)=𝞍⁻dz(z+1) को पूरा करने वाले बिंदु z कंप्लेक्स समतल में कैसे दिखेंगे?'

'अभ्यास'

'एक कोणीय संख्या आ के रूप में, w=a(cos(π/36) + i sin(π/36)) लें। z_1 = w, z_(n+1) = z_nw^(2n+1) (n=1,2,...) की r्क्षा करें। (1) z_n का तापमान पता करें।'

'जब एक जटिल संख्या z z - 3\x08ar{z} = 2 + 20i को संतोषपूर्वक करती है, तो संयुक्त जटिल संख्याओं की गुणकर्म का उपयोग करक z ढूंढें।'

'अल्फा, बीटा व्यासी संख्याएँ हैं। (1) जब |अल्फा|=|बीटा|=1 और अल्फा-बीटा+1=0 होता है, तो अल्फा बीटा और अल्फा/बीटा+बीटा/अल्फा के मान की प्राप्ति करें। (2) जब |अल्फा|=|बीटा|=|अल्फा-बीटा|=1 होता है, तो |2बीटा-अल्फा| के मान की प्राप्ति करें।'

'निम्नलिखित की गणना करें।'

'गुणत्यार तल पर, गुणित संख्या α = a + bi कोआवंटित किया जाता है बाइंद्धों तल पर बिंदु (a, b)। इस तल को गुणित संख्या या संकर तल कहा जाता है। तो, जिस संकर संख्या α = 3 + 4i किस बिंदु पर आवंटित होती है, उस पर कृपया बताएं?'

'जब एक जटिल संख्या z को 3z + 2\x08ar{z} = 10 - 3i पूरा करती है, तो संज्ञात संख्याओं की गुणात्मकता का उपयोग करके, z को ढूंढें।'

'निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित जटिल संख्याओं का अनुक्रम ध्यान में रखें: z1 = 1, z_n+1 = (1 + √3 i)/2 z_n + 1 (n=1,2, ...)। यहां, i भौतिक इकाई है। (1) z_2, z_3 ढूंढें। (2) उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध को z_n+1 - α = ((1+√3 i)/2)(z_n - α) के रूप में व्यक्त करें और जटिल संख्या α ढूंढें। (3) सामान्य पद z_n ढूंढें। (4) z_n = -(1 - √3 i)/2 सच होने के लिए सभी प्राकृतिक संख्याओं n ढूंढें।'

'निम्नलिखित आधारित संख्याओं का गुणफल αβ और भाजक α/β ढूंढें।'

'विकल्प समतल में, 2 बिंदु A(α), B(β) को एक रेखाखंड AB से जोड़ता है जो अनुपात m:n में विभाजित है। आंतरिक अनुपात m:n में बाँटने वाला बिंदु C(γ) है, और बाह्य रूप से D(δ) है।'

'2 की अवशेष मान में 1/2, के आधार पर और क्षेत्र में π/3 कॉम्प्लेक्स संख्या को z से गुणा करें।'

'मूल बिंदु के चारों ओर, जिसे z = 4 - 2i पॉइंट को घूमाकर, वी w2 को प्राप्त करें, जिसे मूल बिंदु से कुल दूरी का 1/2 गुण किया गया हो।'

'उस विशेष संख्या z का पता लगाएं जो | z | = 5 और | z + 5 | = 2√5 पूरा करती है, फिर निम्नलिखित मानों की गणना करें। 31 (1) z bar{z} (2) z+bar{z} (3) z'

'इस अध्याय में, हम यह सीखते हैं कि जटिल संख्याएँ एक समशील तल पर बिंदु के रूप में प्रतिष्ठित की जाती हैं, साथ ही जटिल संख्या के गणना, व्यंग, पूर्णांक मान, संयुक्त जटिल संख्याओं के ज्यामितीय अर्थ के बारे में सीखते हैं। इसके साथ ही, हमें घनांक रूप, जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सीखने के लिए पढ़ाई करनी है, और जटिल संख्या तल पर विभिन्न आकृतियों का अध्ययन करना।'

'जब अंशक संख्या z |z-3-4i|=2 को पूरा करती है, |z| की अधिकतम मान और z का मान ढूंढें।'

'सिद्ध करें कि प्राकृतिक संख्या \ n \ के लिए, असमिति \ 2 \\sqrt{n+1}-2<1+\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}}+\\cdots +\\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leqq 2 \\sqrt{n}-1 \ सत्य है।'

'सापेक्षिक तल पर शामिल बिंदु z निरंतर, z‾α + α z¯ = |α|² को संतुस्थ करता है।'

'मान लें कि व्याप्ति चक्र पर अंकितिक तच्छ्व परिक्षण करें। यह साबित करें कि z = e^(iθ) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।'

''

'साबित करें कि, जहां z^3 एक वास्तविक संख्या नहीं है, कॉम्प्लेक्स संख्या z के लिए, z^3 - (z का संग्रहीत) ^3 सफलतापूर्वक काल्पनिक है।'

''

'साबित करें कि |(α-β)/(1-αβ)|<1 पर्याप्त है जब तक 1 से कम अंशिक संख्या वाले चक्रीय संख्या α, β।'

'गणितीय समशास्त्रीय तल पर, बिंदु -1+2i, 3+i के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं। अगर हम स्केलर AB को एक कोने के रूप में लेते हैं, तो चौकों ABCD के कोनों C, D का गणितीय संख्या प्रतिनिधित्व खोजें।'

'साबित करें कि यदि 4 वीं डिग्री की समीकरण ax^4+bx^2+c=0 का एक जटिल समाधान α है, तो तब α का संयुक्त भी इस समीकरण का समाधान है।'

'i को आधारभूत संख्यात्मक इकाई और k को वास्तविक संख्या माना जाए। दिया गया है कि α=-1+i, बिंदु z मिश्रित संख्याओं के मंडल पर मूलबिन्दु के चारों ओर गति करता है।'

''

''

'निम्नलिखित विलम्बीय संख्या को रेखांक रूप में प्रकट करें, जहाँ तर्क θ को 0 ≤ θ < 2π के तहत पूरा करता है। 1 + cos α + i sin α (0 ≤ α < π)।'

'अभ्यास समस्या: वास्तविक समतल में, चित्रीय संख्याओं a, b, c को लेकर विचार करें जो क्रमशः बिंदु A, B, C को प्रदर्शित करते हैं, जहां बिंदु एक समलिन नहीं हैं। α, β, γ को सामान्य सात्त्विक रूप में लिया जाए, जब चित्रीय संख्या z समीकरण αz+βz+γ=0 को पूरा करती है, तो व्यक्तिगत संख्याओं a, b, c और उनके संज्ञापन a, b, c के अंकों के रूप में β/α और γ/α को व्यक्त करें जो निम्नलिखित चित्रों को प्रदर्शित करते हैं। (1) रेखा AB (2) बिंदु C से गुजरने वाली रेखा और रेखा AB के लगभग हाँकने वाली रेखा'

''

'बेसिक प्रश्न 106 त्रिभुज का आकार (1) त्रिकोण ABC के लिए जिसमें मानक A(α), B(β), और C(γ) हैं जो कॉम्प्लेक्स समतल पर वर्तुलों के रूप में हैं, अगर समीकरण β-α=(1+√3i)(γ-α) सही है, तो त्रिभुज ABC के तीन आंतरिक कोणों का आकार खोजें।'

'अल्फा को एक वास्तविक संख्या के रूप में एक मान के साथ एक ज्यामितीय संख्या मान लें। ऐसा किस प्रकार के ज्यामितीय संख्या z के लिए होता है, जिससे (α+z)/(1+αz) वास्तविक संख्या बन जाता है?'

'ओ को मूलबिंदु घोसित संख्या तच्छंत्र प्लेन पर, संख्या अल्फा, बीटा का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु अ, ब अनुसूचित करते हैं। यहां, अल्फा ≠ 0, बीटा ≠ 0 है। △OAB निरंतर सीधे कोण वर्गत्रिभुज होने के लिए बनाए जाने वाले अल्फा, बीटा के संबंध सूत्र का चयन करें।'

''

'तात्कालिक संख्या z = 1 + i की 3 गुणा करें और इसे ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें।'

'PR -1 से अलग व्याप्तिसंख्या z के लिए, व्याप्तिसंख्या w को व्यक्त करने के लिए w=z/(z+1) द्वारा परिभाषित करें। जब बिंदु z मूलबिंदु पर केंद्रित, अक्षर 1 वाले वृत्त के साथ चलता है, तो बिंदु w द्वारा बनाई गई आकृति को खोजें।'

'सूची {an} को शर्तों (i)(ii) द्वारा निर्धारित माना गया है।'

'उदाहरण 89 घुमाव वाले आकृतियों का उपयोग'

'बिना॰ A(-2-2 आइ), B(5-3 आइ), C(2+6 आइ) के लिए निम्नलिखित बिंदुओं के लिए बहुपदीय संख्याएँ ढूँढ़ें।'

'कॉम्प्लेक्स समतल में 4 बिंदु A(α), B(β), C(γ), D(δ) को मिलाकर एक चतुर्भुज ABCD को विचार करें। यहां यह मान लें कि चतुर्भुज ABCD एक उत्तोल चतुर्भुज है जिसमें सभी आंतरिक कोण 180 डिग्री से छोटे हैं। साथ ही, मान लें कि चतुर्भुज ABCD के कोने A, B, C, D के क्रम में घड़ी की दिशा में हैं। चतुर्भुज ABCD के बाहर, उसके कोन AB, BC, CD, DA को ऊर्ध्वजीव बनाने के लिए सही इसोसेलीज़ त्रिभुज APB, BQC, CRD, DSA बनाएं। (1) बिंदु P को प्रस्तुत करने वाली कॉम्प्लेक्स संख्या खोजें। (2) चतुर्भुज PQRS का एक परलैलोग्राम होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति क्या है, उसे किस प्रकार के चतुर्भुज ABCD के लिए बताएं? (3) यदि चतुर्भुज PQRS एक परलैलोग्राम है, तो सिद्ध करें कि चतुर्भुज PQRS वर्ग है।'

'अल्फा=2+i, बीटा=4+5 i लें। अल्फा के चारोंतर्फ बीटा को पाई/4 घुमाने से प्राप्त बिंदु की तय करने वाले संयुक्त संख्या गामा खोजें।'

'व्यापक संख्याओं अल्फा और बीटा के जोड़ने α+β को स्थान वेक्टर का उपयोग करके समझाएं और एक समरपित चतुर्भुज का उपयोग करके इसे चित्रित करें।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 77 | एनथ रूट्स का उपयोग'

'संयुक्त संख्या तच्छित्र\nचर w = (1 + α)z + 1 + α को लें। OW, OZ रैक्टलाइन्स लंबमुखी होने पर निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) |z-α| की मान निकालें।\n(2) दायाँ त्रिभुज OAZ में एक सीधेकोण त्रिभुज बनाने के लिए यदि मायाना संख्या z ढूंढें।\n[प्रकार: यमागाता विश्वविद्यालय]'

'उस जेनेरल टर्म को ढूंढें जो निम्नलिखित पुनरावृति संबंध को पूरा करता है - जो।'

'सिद्ध करें कि, यदि z=x+yi(x, y हैं वास्तव संख्याएँ) और x≥0 है, तो असमिकाएँ |1+z| ≥ (1+|z|)/√2 सत्य होती है। साथ ही, समानता कब सत्य होती है वह भी बताएँ।'

'न + ईएतर्रफी मान θ+sinआर का पुनर्रुपन करते हुए ध्रुवीय रूप z=r का उपयोग'

'कृपया चर्चित करें कि विपरीत संख्याएँ और समतल में स्थित वेक्टरों के बीच संबंध कैसा है, और यह एक एक संबंध है यह साबित करें।'

'अंक A(-1+i) और B(3+4i) को प्रदर्शित करने वाली जटिल संख्या खोजें।'

''

'फिर मान लें कि a, b वास्तविक संख्याएँ हैं, और सम्भावित करें कि घन समीकरण x^{3}+ax^{2}+bx+1=0 का काल्पनिक जड़ α है। सिद्ध करें कि α का यौगिक संज्ञीक संख्या α भी इस समीकरण का एक जड़ है। इसके अतिरिक्त, तीसरी जड़ β और सीमाएँ a, b का उपयोग करके α और α के योगिक संख्या से व्यक्त करें।'

'विपरीत संख्याओं का पुनरावृत्ति समीकरण हल करें\n\ z_{1}=3 \ और पुनरावृत्ति समीकरण \\( z_{n+1}=(1+i) z_{n}+i(n \\geqq 1) \\) जो विपरीत संख्याओं की एक अनुक्रमणी निर्धारित करता है \ \\left\\{z_{n}\\right\\} \, और निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n(1) \ z_{n} \ खोजें।\n(2) \ z_{21} \ खोजें।'

'𝛼 = -2 + 2𝑖, 𝛽 = -3 - 3√3 𝑖 मान लें। यहां, घातांक 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 है। (1) 𝛼𝛽 और 𝛼 / 𝛽 को घनांक स्वरूप में प्रकट करें। (2) 𝑎𝑟𝑔 𝛼³ और |𝛼³ / 𝛽| ढूंढें।'

'मौलिक O को शामिल करने वाले 3 बिन्दुओं के एक सरल रेखीय होने की स्थिति है (1) ○○○) α=3+(2 x-1) i, β=x+2-i। जब बिंदु A(α), B(β) और मौलिक O एक समरेख पर होते हैं, तो वास्तव संख्या x की मान ढूंढें।'

'1+i और √3+i को तटाकारी रूप में व्यक्त कीजिए, और प्रत्येक जड़ी के लिए cos(5/12π) और sin(5/12π) के मान की गणना कीजिए।'

'ज्यातात्मक संख्याओं का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों को समझना'

'अध्याय 3 जटिल समतल 417\nवैकल्पिक समाधान 2 ए(3 i), बी(-3), पि(जेड) मान दें |z-3 i|=2|z+3| इसलिए AP=2BP इसलिए AP:BP=2:1 रेखांश AB इन्टरनली 2:1 अनुपात में विभाजित है और बाह्य रूप से विभाजित है, इसलिए बिंदु P का समुदाय C और D के रूप में एक वृत्त है। α=(1⋅3 i+2(-3))/(2+1)=-2+i β=(-1⋅3 i+2(-3))/(2-1)=-6-3 i इसलिए, बिंदु z का समुदाय -2+i,-6-3 i के रूप में है |z-3 i| बिंदु A व P के बीच की दूरी को प्रकट करता है, और |z+3| बिंदु B और P के बीच की दूरी को प्रकट करता है। अध्याय 3'

'मूलबिंदु के चारों ओर z बिंदु को θ कोण से परिस्थिति को स्थानांतरित करने पर बिंदु (cos θ+i sin θ) z होगा'

'\ \\alpha \ व्यास संख्या \ \\alpha^{5}=1, \\alpha \\neq 1 \ को पूरा करता है।'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखलाओं की कॉन्वर्जेंस और डायवर्जेंस की जांच करें, और यदि वे कॉन्वर्ज होते हैं तो उनका योग निकालें।'

'ज्यामिति में संख्यात्मक समय और सदिश का संबंध'

'दी गई वास्तविक संख्याओं x, y, z को ऐसे संतुलन होने जिनका x+y+z=√5+2, xy+yz+zx=2√5+1, xyz=2, । निम्नलिखित सम्भावनाओं के मान खोजें: (1) 1/x+1/y+1/z (2) x^2+y^2+z^2 (3) x^3+y^3+z^3 (4) x^4+y^4+z^4'

'ऐसा करने के लिए कि समीकरण f(x)=0 के दो भिन्न नकारात्मक नतीजे हों, उसे y=f(x) का ग्राफ़ x अक्ष के नकारात्मक हिस्से को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटें। इसलिए, निम्नलिखित सभी को साथ-साथ सच होना चाहिए।'

'कैटालान संख्याओं की उदाहरण 3 ... बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करने के तरीके'

'निम्नलिखित समीकरण का समाधान ढूंढें:'

उन्नत 40 $\sqrt{A^{2}}$ समाप्त करना उन्नत 41 हर का संप्रत्ययान (2) उन्नत 42 पूर्णांक और दशमलव भाग की समस्याएं उन्नत 43 दोहरे मूल समाप्त करना उन्नत 44 मामलों के आधार पर सदिश मान वाली असमानताओं का समाधान उन्नत 45 दो सदिश मान वाली असमानताओं का समाधान उन्नत 46 संयुक्त असमानताओं के हल होने की शर्तें

निम्नलिखित समीकरणों की गणना करें। 1. (cos π/60 + i sin π/60)^{20} 2. (√3 + i)^{-12} 3. (1 + i)^{17}

कृपया समिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप का विवरण दें।

प्रशिक्षण अभ्यास 3 सम्मिश्र विमान पर 6 बिंदु \( \mathrm{A}\left(z_{1} ight), \mathrm{B}\left(z_{2} ight), \mathrm{C}\left(z_{3} ight), \mathrm{D}\left(z_{4} ight), \mathrm{E}\left(z_{5} ight) \), \( \mathrm{F}\left(z_{6} ight) \) हैं। जब षट्कोण $\mathrm{ABCDEF}$ जैसा चित्र में दिखाया गया है एक नियमित षट्कोण है: egin{\overlineray}{l} z_{3}=\square ア \ z_{2}=\square ext { ウ } z_{1}+\square ext { イ } z_{5}, \ z_{6}=\square ext { オ } z_{1}+\square ext { カ } z_{5}, \end{\overlineray} \( å{left(z_{4} ight) \) है। ア $\square$ समाधान समूह का चुनाव करें (आप एक ही विकल्प को बार बार चुन सकते हैं): (0) rac{3+\sqrt{3} i}{3} (1) rac{1+\sqrt{3} i}{2} (2) rac{\sqrt{3}}{3} i (3) rac{1-\sqrt{3} i}{2} (4) rac{3-\sqrt{3} i}{6} (5) rac{3+\sqrt{3} i}{6}

निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरणों द्वारा दर्शाए गए वृत्तों के केंद्र (ध्रुवीय निर्देशांक में) और त्रिज्या का पता लगाएं। 1. $r^{2}-4 r \cos heta+3=0$ 2. \( r^{2}-r(\cos heta-\sqrt{3} \sin heta)-8=0 \)

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों की गणना करें। (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12} + i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6} - \sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3} + i)^{10} + (\sqrt{3} - i)^{10} \)

अध्याय 3 सम्मिश्र विमान 13 सम्मिश्र विमान 14 सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप 15 डि मोइवर का प्रमेय 16 सम्मिश्र संख्याएँ और आक्रितियाँ

प्रशिक्षण 74 α=2(cos 11/12π + i sin 11/12π), β=3(cos π/4 + i sin π/4) होने पर, αβ और α/β ज्ञात करें।

यदि पूर्णांक $z$ को $z + \frac{1}{z} = \sqrt{2}$ के साथ संतुष्ट करता है, तो $z^{15} + \frac{1}{z^{15}}$ का मान ज्ञात करें।

जब सम्मिश्र संख्या z, z+rac{1}{z}=\sqrt{2} को संतुष्ट करता है, तब z^{15}+rac{1}{z^{15}} का मान ज्ञात करें।

बिंदु \( (-1+i) z \) बिंदु $z$ को किस प्रकार स्थानांतरित किया गया है। मान लें कि घूर्णन कोण $heta$ की सीमा $0 \leqq heta<2 \pi$ है।

संपूर्ण संख्याओं के वास्तविक गुणक एक वास्तविक संख्या $k$ और एक समांतर संख्या $\alpha = a + b i$ के लिए, जैसे कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, जब $\alpha \neq 0$ होता है, तो बिंदु $k \alpha$ दो बिंदुओं $0$ और $\alpha$ को जोड़ने वाली रेखा $\ell$ पर स्थित होता है। उलट कर, इस रेखा $\ell$ पर स्थित बिंदु $\alpha$ के वास्तविक गुणकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित मामलों पर विचार करें: 1. $\alpha = 1 + i$, $k = 2$ 2. $\alpha = -1 + 2i$, $k = -3$ प्रत्येक मामले के लिए, $k \alpha$ प्राप्त करें और संख्यात्मक धरातल पर $0$ से इसकी स्थिति का वर्णन करें।

बिंदु lpha को मूल-बिंदु के चारों ओर rac{\pi}{3} कोण पर घुमाने से प्राप्त बिंदु eta है। यदि eta = 2 + 2i है, तो बिंदु lpha को प्रदर्शित करने वाले सम्मिश्र संख्या का पता लगाएँ।

कंप्लेक्स प्लेन पर तीन अलग-अलग बिंदु O(0), A(α), B(β) के लिए, जहाँ α और β निम्नलिखित समीकृतियों को संतोषजनक करते हैं। △OAB किस प्रकार का त्रिभुज है? (1) α^{2}+β^{2}=0 (2) 3α^{2}+β^{2}=0

(1) निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का निरूपण करने वाले बिंदुओं को समिश्र लाभांश पर दर्शाएँ। (अ) $5-2 i$ (ब) $-1+3 i$ (स) -2 (द) 1 (इ) $-3 i$ (प) $2 i$ (2) निम्नलिखित समन्वय लाभांश पर बिंदुओं के समिश्र संख्या को उत्तर दें। (अ) \( (-3,1) \) (ब) \( (4,0) \) (स) \( (0,-2) \)

मान लीजिए lpha=2+3i, eta=-6+xi । यदि दो बिंदु \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta) \) और मूल बिंदु $\mathrm{O}$ एक रेखा पर स्थित हैं, तो वास्तविक संख्या $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें। कोण θ की श्रेणी 0 ≤ θ < 2π है। (1) $-1+\sqrt{3} i$ (2) $5 i$

lpha = e^{i\pi/6} और eta = e^{-i\pi/4} होने पर, $m$ और $n$ ज्ञात कीजिए। (1) $m=6, n=12$

तीन विभिन्न सम्मिश्र संख्याओं lpha, eta, \gamma के मध्य \( \sqrt{3} \gamma-i eta=(\sqrt{3}-i) lpha \) यह समता निर्माता होती है, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें। (1) rac{\gamma-lpha}{eta-lpha} की गणना करें। (2) lpha, eta, \gamma बिंदुओं को शीर्षों के रूप में लेकर बने त्रिभुज $riangle \mathrm{ABC}$ के कोणों ngle \mathrm{A}, ngle \mathrm{B}, ngle \mathrm{C} के परिमाण ज्ञात करें।

गणित C EX जब समिश्र तल पर बिंदु \( \mathrm{P}(z) \) बिंदु $2 i$ के केंद्र और 1 त्रिज्या वाले वृत्त पर चलता है, तो \( w=(1+i)(z-1) \) 27 को संतुष्ट करने वाले बिंदु \( \mathrm{Q}(w) \) द्वारा दर्शाई गई आकृति क्या है?

जब समिश्र संख्या तल पर बिंदु rac{z}{z-2} कल्पना धुरी पर स्थित होता है, तब बिंदु $z$ चलते समय किस प्रकार की आकृति बनाता है?

दिए गए हैं कि कल्पनिक संख्याएँ lpha और eta सम्बंध rac{eta}{lpha}=rac{1+\sqrt{3} i}{2} को संतुष्ट करती हैं, कल्पनिक तल पर बिंदुओं \( \mathrm{O}(0) \), \( \mathrm{A}(lpha) \) और \( \mathrm{B}(eta) \) को शीर्ष मानकर बने $riangle \mathrm{OAB}$ के कोणों का माप ज्ञात करें।

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों की गणना करें। (1) \( \left(\cos rac{\pi}{12}+i \sin rac{\pi}{12} ight)^{6} \) (2) \( \left(rac{1+i}{2} ight)^{15} \) (3) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2} i)^{-6} \) (4) \( \left(rac{1+\sqrt{3} i}{1+i} ight)^{12} \) (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10} \)

उदाहरण 73: α=4(cos 5/12π + i sin 5/12π), β=2(cos π/4 + i sin π/4) होने पर, α β और α/β ज्ञात करें।

यदि $1 \leqq n \leqq 100$ की शर्त को पूरा करने वाले प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं, तो कल्पनात्मक संख्या lpha=rac{\sqrt{3}+i}{2} के लिए ऐसा $n$ कितनी बार होता है, कि lpha^{n}+rac{1}{lpha^{n}}=-2 सत्य हो?

मान लें कि $z=2 \sqrt{2}+\sqrt{2} i$ है। बिंदु $z$ को मूल बिंदु के चारों ओर -rac{\pi}{4} घुमाने पर बनने वाले बिंदु का समिश्र संख्या $w$ ज्ञात कीजिए।

दिखाएँ कि एक समिश्र संख्या $z$ के लिए, यदि $|z|=\sqrt{2}$ है, तो z+rac{2}{z} एक वास्तविक संख्या है।

माना कि समिश्र संख्याएं lpha, eta, \gamma, \delta इस प्रकार हैं कि lpha + eta + \gamma + \delta = 0 और |lpha| = |eta| = |\gamma| = |\delta| = 1 , तो |lpha - eta|^{2} + |lpha - \gamma|^{2} + |lpha - \delta|^{2} का मान ज्ञात करें।

सन्निकट संख्याओं z, lpha के बारे में निम्नलिखित कथनों को प्रमाणित करें। (1) यदि $k$ एक सकारात्मक संख्या है और $|z|=k$, तो z+rac{k^{2}}{z} एक वास्तविक संख्या है। (2) z \overline{z}+lpha \overline{z}+\overline{lpha} z एक वास्तविक संख्या है।

बिंदु i को केंद्र मानकर, बिंदु 2+2i को निम्नलिखित कोणों द्वारा घुमाने के बाद प्राप्त बिंदु का विश्लेषणात्मक संख्या प्राप्त करें: (1) π/6 (2) π/4 (3) π/2 (4) -π/2

समिश्र तल पर विभिन्न 3 बिंदुओं O(0), A(α), B(β) के लिए, जहाँ α, β निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। ΔOAB किस प्रकार का त्रिभुज है? (1) α² + β² = 0 (2) 3α² + β² = 0

ज्यामितीय रूप से कॉम्प्लेक्स नंबरों का गुणनफल $z_1 \cdot z_2$ को दर्शाएं, और इसे समझाएं। उदाहरण के लिए, \( z_1 = 2(\cos heta + i \sin heta) \), \( z_2 = 3(\cos \phi + i \sin \phi) \) के गुणनफल की सटीक गणना करें।

कृपया जटिल विमान पर जटिल संयुग्मों के गुणों को समझाइए।

समिश्र समतल पर, जब बिंदु z केंद्र O और त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर चल रहा है, तो निम्नलिखित सूत्रों द्वारा व्यक्त बिंदु w किस प्रकार के चित्र को वर्णित करेगा? (1) w=rac{z+2}{z-1} (जहां z eq 1) (2) w=rac{z+1}{2z-1}

सम्मिश्र तल पर, सम्मिश्र संख्या $z = a + bi$ को दर्शाने वाला बिंदु A है। (1) इसका संमिश्र संयुग्म $\overline{z} = a - bi$ को दर्शाने वाला बिंदु B है। बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2) बिंदु A और बिंदु B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

संपूर्णांक समतल पर 3 बिंदु \( \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(3-2 i), \mathrm{B} \) हैं। यदि $\triangle \mathrm{OAB}$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है, तो बिंदु $\mathrm{B}$ को प्रदर्शित करने वाली संपूर्ण संख्या $z$ को ज्ञात करें।

34 के लिए lpha और eta के मान खोजें। lpha=rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i, \quad eta=-i

(1) निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं को समिश्र संख्या तल पर आरेखित करें। (अ) $4+2 i$ (आ) $-2-3 i$ (इ) 3 (ई) -4 (उ) $4 i$ (ऊ) $-i$ (2) निम्नलिखित निर्देशांक तल पर बिंदुओं के लिए संबंधित समिश्र संख्याएं बताएं। (अ) \( (5,-2) \) (आ) \( (-1,0) \) (इ) \( (0,3) \)

z=r(\cos heta+i \sin heta) मानते हुए, निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं के परिमाण और आर्जुमेंट को r और heta का उपयोग कर व्यक्त करें। मान लें कि r>0 है। (1) 2 z (2) -z (3) ar{z} (4) rac{1}{z} (5) z^{2} (6) -2 ar{z}

जटिल संख्या $\sqrt{3}+i$ का उपयोग करके निम्नलिखित गणना करें। (5) \( (\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} \) का मान ज्ञात करें।

माना $\alpha$ और eta सम्मिश्र संख्याएँ हैं, जिनमें $\alpha$ का वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों धनात्मक हैं, और |\alpha|=|eta|=1 । यदि सम्मिश्र समतल पर i \alpha, \frac{i}{\alpha}, eta बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं, तो $\alpha$ और eta ज्ञात करें। [Shizuoka University]

73 (1) 2( cos 5/3π + i sin 5/3π ) (2) √2/3 ( cos 3/4π + i sin 3/4π ) (3) 2√2( cos 4/3π + i sin 4/3π ) (4) 3( cos 3/2π + i sin 3/2π )