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'अभ्यास (1) अंक (-2,3) के बारे में मौजूद पॉइंट परत किया गया बिंदु के स्थान का पता लगाएं परिकेंद्र 5/6π के द्वारा।'

'क्रमांक (1) A(-3), B(7), C(2) लेट लेट एक दूरी A और B, B और C, C और A के पॉइंट की खोज करें। (2) दो बिंदु P(-4) और Q(8) को जोड़ने वाले PQ सेगमेंट को 1:3 अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु R, 3:1 अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करने वाले बिंदु S, और सेगमेंट RS का मध्यबिंदु M की संयोजकों को पता करें।'

'विकसात् अध्ययन 186 दो कर्वों को स्पर्शित करने की शर्तें'

'निम्नलिखित कोणों का त्रिज्या आंकित करें और प्रत्येक कोण किस चतुर्थांश में है इसे दिखाएँ।'

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'दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालें।'

"मैंने समतल और अंतरिक्ष में वेक्टर की गुणधर्मों का अध्ययन किया है। D.470 के 'पुनरावलोकन' को छोड़कर, चलिए सारांश और तुलना करें।"

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'अंतरिक्ष में 4 बिंदु A(0,1,1), B(0,2,3), C(1,3,0), D(0,1,2) लिए गए हैं। बिंदु A और बिंदु B से गुजरने वाली रेखा को ℓ माना जाता है, और बिंदु C और बिंदु D से गुजरने वाली रेखा को m माना जाता है।'

'(3) स्थिर बिंदु A (वेक्टर ए) से होती हुई, और 0 वेक्टर के लंबवात सीधी रेखा'

'ऊर्ध्व (वेक्टर) क्या है?'

'(1) निर्दिष्ट बिंदु A(वेक्टर a) से गुजरने वाली और 0 नहीं वेक्टर d के पर्लेल सीधी रेखा वह है। d रेखा की दिशा वेक्टर है'

'26 छोटे बिंदुओं के स्थान वेक्टर ढूंढ़ें'

'संधि बिंदु के स्थान वेक्टर की विभिन्न विधियां'

'वेक्टर के अंतबिंदु की मौजूदगी के सीमा का पता लगाएं। (4)'

'वेक्टरों के बराबरी और मात्रा'

'वेक्टर के मूल नियमों की तीन बुनियादी बातें समझाएं।'

'वेक्टर d=(3,-1,2) को संगति देने वाली रैखिक समीकरण का पता लगाएं जो बिंदु (1,2,-3) से हो।'

'(1) एक समतल पर 4 विभिन्न बिंदु A, B, C, D और रेखा AB पर नहीं होने वाला बिंदु O है। OA=a, OB=b के रूप में, OC=3a-2b, OD=-3a+4b होने पर साबित करें कि AB//CD।'

"एक एक क्षेत्राभिक घन में, जिसे ABCD-A'B'C'D' के रूप में चिह्नित किया गया है, सीमा AB, CC ', D'D' को अनुपात में a:(1-a) में विभाजित करने वाले बिंदु P, Q, R को चिह्नित करें, और संदर्भित वेक्टर AB=x, AD=y, AA'=z. यहां, 0<a<1 के लिए दिया गया है। (1) वेक्टर PQ और PR को वेक्टर x, y, और z के रूप में व्यक्त करें। (2) |वेक्टर PQ| से |वेक्टर PR| का अनुपात खोजें। (3) वेक्टर PQ और PR के बीच कोण निर्धारित करें।"

'उपस्थितिकोण एबीसीडी में, यदि 2 गुणा वेगांकन बीपी वेगांकन बीसी के बराबर है, और 2 गुणा वेगांकन एक्यू जिनके साथ वेगांकन एबी के बराबर है, तो चतुर्भुज एबीपीक्यू कैसे होगा।'

'एक समकोण त्रिभुज ABC में जिसकी सीधी की लंबाई 2 है, वहां, छेद AB, BC, CA के मध्य बिंदु L, M, N होते हैं। A, B, C, L, M, N से प्रकटित वेक्टरों में से निम्नलिखित को ढूंढें:'

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'वेक्टर संचालन'

'जब एक समतल पर 1 विकल्पी वेक्टर \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ की परिभाषा की जाती है, तो किसी भी बिंदु \ \\mathrm{P} \ को \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad(s, t \ मान एकद्रित होते हैं। इस रूप में, वास्तविक संख्या की जोड़ी \\( (s, t) \\) को विराम निर्देशिका कहा जाता है, और (A) द्वारा परिभाषित बिंदु \\( \\mathrm{P}(s, t) \\) के रूप में दर्शाया जाता है। विशेष रूप से, जब \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{OB}},|\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}|=|\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}|=1 \ होता है, तो विराम संदर्भ वहीं परिधि परिणामी होगा जिसमें \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} \ का विस्तार \ x \ अक्ष, \ \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \ का विस्तार \ y \ अक्ष होगा। बेसिक उदाहरण 38(1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, s+2 t=3 \\ldots \\ldots \ अर्थात, \\( \\mathrm{P}(s, t), s+2 t=3 \\) को संतुष्ट करने वाले बिंदु \ \\mathrm{P} \ को कार्तिक संदर्भ समतल पर वह स्थान पाएँगे जो सीधी रेखा \ x+2 y=3 \ पर होगा। इस रेखा और निर्देशांक तिर्यक के गुणनक \\( \\mathrm{C}(3,0) \\), \\( \\mathrm{D}\\left(0, \\frac{3}{2}\\right) \\) होते हैं। उसके विपरीत, विराम संदर्भ समतल पर वहीं परिधि के बिंदु C, D की विचारधारा है जो \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}=\\frac{1}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}=\\frac{2}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \इसलिए, बिंदु \ \\mathrm{P} \ के लिए स्थिति समीकरण (*) होता है \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=\\frac{s}{3} \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}+\\frac{2}{3} t \\overrightarrow{\\mathrm{OD}},\\frac{s}{3}+\\frac{2}{3} t=1 \ और बिंदु \ \\mathrm{P} \ की उपस्थिति सीडी रेखा है।'

'\ \\vec{x}=2\\vec{a}-3\\vec{b}-\\vec{c}, \\vec{y}=-4\\vec{a}+5\\vec{b}-3\\vec{c} \ के समय, \ \\vec{x}-\\vec{y} \ को \ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} \ में व्यक्त करें।'

'अंतरिक्ष में, x-अक्ष के लगभग ऊपर सीधे होने और z-अक्ष के साथ 45-डिग्री कोण बनाने वाला एकक यूनिट वेक्टर t ढूंढें।'

'जब एक बिंदु प्लेन पर चलता है और इसके निर्देशांक (x, y) समय t के फ़ंक्शन होते हैं, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:\n1. वेग को प्रदर्शित करने वाले वेक्टर समीकरण की निगमन करें।\n2. त्वरण को प्रदर्शित करने वाला वेक्टर समीकरण निकालें।'

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'रेखाओं के छोर के स्थानीय समाधान का स्थान वेक्टर खोजें।'

'सहरेखा स्थिति\nजब दो बिंदु A, B भिन्न हो\nजब बिंदु P रेखा समण AB पर हो\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ कुछ वास्तव संख्या k के लिए'

'तीन बिंदु दिए गए हैं A(6, π/3), B(4, 2π/3), C(2, -3π/4), निम्नलिखित की खोज करें।'

'बिंदु A के ध्रुवीय आवर्तन को (r₁, θ₁) और बिंदु B के ध्रुवीय आवर्तन को (r₂, θ₂) रखें। बिंदु A और बिंदु B के बीच की दूरी AB का पता लगाएं।'

'वेक्टर्स के समानांतर होने के शर्तों की व्याख्या कीजिए।'

'(2) डी, ई, एफ क्रमशः रेखांक ओए, ओबी, ओसी पर स्थित बिंदु हैं, जहां ओडी = 1/2 · ओए, ओई = 2/3 · ओबी, और ओएफ = 1/3 · ओसी। यदि तीन बिंदु डी, ई, एफ को समायोजित तथा रेखा OQ परिपथ पर कटता है, तो सूची आर को सूचित करें।'

'चतुर्भुज ABCD की स्तिति AB, BC, CD, DA के मध्य बिंदु क्रमशः K, L, M, N हैं, और व्यासों AC, BD के मध्य बिंदु क्रमशः S, T हैं। (1) यदि त्रिभुज के कोण A, B, C, D के स्थान वेक्टर क्रमशः a, b, c, d हैं, तो a, b, c, d का उपयोग करके रेखांकन KM का मध्य बिंदु का स्थान वेक्टर व्यक्त करें। (2) a, b, c, d का उपयोग करके रेखांकन LN, ST के मध्य बिंदु का स्थान वेक्टर व्यक्त करके, यह सिद्ध करें कि KM, LN, ST तीन रेखाएं एक समान बिंदु पर कटती हैं।'

'(1) \ \\overrightarrow{DG}=\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DA}+\\frac{1}{2 t} \\overrightarrow{DB}+\\frac{t-2}{2 t} \\overrightarrow{DC} \'

'समरेखा और समांकन होने की शर्तें\n(1) समरेखा शर्तें\nजब दो भिन्न बिंदु A, B हैं, तो अगर बिंदु P रेखा AB पर है, तो एक वास्तविक संख्या k मौजूद है जिसके लिए वेक्टर AP = k वेक्टर AB।'

'सदिश समीकरण'

'क्यूब OAPB-CRSQ में, 𝑝=⃗OP, 𝑞=⃗OQ, 𝑟=⃗OR माने। 𝑝, 𝑞, 𝑟 का उपयोग करके ⃗OA को प्रस्तुत करें।'

'पैरललेपीपेड ABCD-EFGH में, यदि ज्याव AG का बीच बिंदु P है, और वेक्टर AB को a, वेक्टर AD को b, और वेक्टर AE को c कहा गया है। a, b और c के रूप में वेक्टर AC, AG, BH, और CP को व्यक्त करें।'

'26 प्रांतों के स्थिति वेक्टर खोजें'

'\ \\mathrm{AB}=3, \\mathrm{AD}=4 \ दिए गए हैं। आयत \ \\mathrm{ABCD} \ है। अगर \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\vec{b}, \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}=\\vec{d} \ है, तो \ \\overrightarrow{\\mathrm{BD}} \ के समानांतर साइकिल इकाई वेक्टर को \ \\vec{b}, \\vec{d} \ से व्यक्त करें।'

'मौलिक अवधारणाओं का विवरण दें। खासकर, स्थान वेक्टर, रेखा सेगमेंट के बीच बिंदुओं और त्रिभुजों के केंद्रबिंदु का विस्तृत वर्णन प्रदान करें।'

'z को एक वास्तविक संख्या माना जाए। z के लिए रेंज ढूंढें जो आंकिक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ बिंदु A(1), B(z), और C(z^2) होते हैं, और इसे चित्रित करें।'

'(1) अंतरिक्ष वेक्टरों की मौलिक अवधारणाओं के संदर्भ में निम्नलिखित वेक्टर ऑपरेशन की व्याख्या करें।\n\n- समानता\n- जोड़\n- घटाव\n- प्रतिरोधी वेक्टर\n- शून्य वेक्टर\n- यूक्लिडीय गुणा'

'वेक्टर अंतर और उसका प्रतिनिधित्व को समझाएं।'

'मौलिक अवधारणाएँ\n3. त्रिभुज का नाभि का स्थान वेक्टर\nत्रिभुज ABC के तीन बिंदु A(𝑎⃗), B(𝑏⃗), C(𝑐⃗) हों और नाभि का स्थान वेक्टर G हो, तो\n𝑔⃗=1/3(𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗)'

'(२) दो विभिन्न बिंदुओं A(𝐚) और B(𝐛) से गुजरने वाली रेखा'

'अभ्यास 1 1 अकारवाले षड्भुज ABCDEF के 6 शीर्ष बिन्दुओं और रेखाओं AD, BE के क्रमिकता बिन्दु O का प्रयोग करने के लिए प्रस्तुत वेक्टरों को निम्नलिखित सभी ढंग से ढूंढें।'

'त्रिभुज OAB के लिए, अग्ररेखा OP = sOA + tOB करें। वास्तविक संख्याएँ s, t निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती हैं जब स्थान P की मौजूदगी क्षेत्र निर्धारित करें।'

'इन दो वेक्टरों के बीच क्या संबंध है?'

"त्रिभुज ABC में, स्मृति A (a), B (b), C (c) से ध्वनी ए, बी, सी जो त्रि बिंदु है, BC को 2:3 में विभाजित करने वाले बिंदु D, BC को 1:2 में विभाजित करने वाले बिंदु E, ABC त्रिभुज का केंद्र G, AED त्रिभुज का केंद्र G' उत्तराधिकारित करने वाला। निम्नलिखित वेक्टर को ए, बी, सी के संदर्भ में व्यक्त करें।\n(1) बिंदु डी, ई, जीजी' की स्थानीय वेक्टर\n(2) जीजी'"

'(2) |𝑎|=3 के समय, 𝑎 और से परालल एक एकक वेक्टर की खोज करें।'

'कृपया वेक्टर विभाजन की व्याख्या करें।'

'वेक्टर के अंत बिंदु का अस्तित्व रेंज'

'मूल स्थान O और बिंदु P(2,3,1) के बीच की दूरी निकालें।'

'69 (2) x-अक्ष की दिशा में -2 है, y-अक्ष की दिशा में -3 है'

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'(1) x-अक्ष में 4 इकाइयों और y-अक्ष में -7 इकाइयों की परिधी यान्त्रण करें\n(2) x-अक्ष में -5/2 इकाइयों और y-अक्ष में -35/4 इकाइयों की परिधी यान्त्रण करें'

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"जब जेड बराबर 3+2 आई और एल्फा बराबर 1-आई हो, तो जानकारी के अनुसार, बिंदु पी (जेड), ए (एल्फा), पी' (-जेड), बी (जेड+एल्फा), सी (जेड-एल्फा) को तत्व समच्छंद्र में डालें।"

'बिंदु A(1,2,3), B(-3,2,-1), और C(-4,2,1) के लिए निम्नलिखित ढूंढें:'

'माध्यमिक स्थान विवरण की कर्व'

'आयत ABCD में, AB = 3 और AD = 4 है। AB वेक्टर को b और AC वेक्टर को c लेते हैं। (1) यदि E विश AD की मध्य बिंदु है, तो b और c का उपयोग करके वेक्टर DE को व्यक्त करें। (2) c के समान दिशा में एक इकाई वेक्टर d को c का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'वेक्टर के घटक प्रतिनिधित्व को लिखें'

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'अंतरिक्ष में बिंदु और संचारी के संबंध\nदो बिंदु \\( \\mathrm{A}(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \\mathrm{B}(b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\) के लिए\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=\\left(b_{1}-a_{1}, \\quad b_{2}-a_{2}, \\quad b_{3}-a_{3}\\right) \\\\\n|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}|=\\sqrt{\\left(b_{1}-a_{1}\\right)^{2}+\\left(b_{2}-a_{2}\\right)^{2}+\\left(b_{3}-a_{3}\\right)^{2}}\n\\end{array}\n\\]'

'ध्रुवीय निर्देशांक ↔ कार्टेशियन निर्देशांक'

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'(1) बिंदु A(3,1) से गुजरने वाली रेखा और वेक्टर n=(3,-7) के लम्बे रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'यहाँ स्टेप को संयोजित करें'

'(2) \ 4 \\overrightarrow{\\mathrm{AQ}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BQ}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{CQ}}=\\overrightarrow{0} \'

'दाएं तरफ के वेर्टर $\\ vec {a}, \\ vec {b}$ के लिए, निम्नलिखित वेर्टर का चित्रण करें।'

'सामान्य षट्भुज ABCDEF में, AB→=a, AF→=b है। निम्न वेक्टरों को a और b के रूप में प्रस्तुत करें। (1) CE→ (2) EA→ (3) AD→'

'बिंदु A (3,1), B (-2,2), C (1, -5) के बारे में, बिंदु C से गुजरने वाली और रेखा AB से लंबकोणी रेखा की समीकरण, वेक्टर का उपयोग करके प्राप्त करें।'

'7 \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\frac{4}{9} \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+\\frac{1}{6} \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}'

'आइए पिछले पेज पर दिए उदाहरण के परिणाम पर ध्यान केंद्रित करें।'

'उदाहरण प्रश्न'

'अंतरिक्ष में वेक्टर के घटक प्रतिनिधित्व की व्याख्या करें।'

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'टेट्राहेड्रन OABC में, यदि OA=a, OB=b, और OC=c है। AB का मध्यबिंदु M है, BC को 3:1 में विभाजित करने वाला बिंदु N है, और त्रिभुज OAB का बुज़ुर्ग G है। वेक्टर MN और GN को a, b, और c के रूप में व्यक्त करें।'

'एक बिंदु से होकर दिए गए ढलान (दिशा) वाली सीधी रेखा का विचार करें। बिंदु A (\\\vec{a}\) से होकर 0 नहीं वेक्टर \\\vec{d}\ के समांतर रेखा g को लें तो रेखा g पर कोई भी बिंदु P (\\\vec{p}\) (बिंदु A को छोड़कर) के लिए नीचे दिए गए विशेषाएं सत्य होती हैं।'

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'गणित समस्या: त्रिभुज OAB के भरापति G की स्थिति वेक्टर खोजना। क्योंकि बिंदु G त्रिभुज का भरापति है, इसलिए बिंदु G का स्थान वेक्टर निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है।'

'निम्नलिखित बिंदुओं के लिए \\( \\mathrm{A}(1,2,3), \\mathrm{B}(-3,2,-1), \\mathrm{C}(-4,2,1) \\), निम्नलिखित ढूंढें:\n(1) बिंदु \ \\mathrm{B}, \\mathrm{C} \ के बीच की दूरी\n(2) बिन्दु \ \\mathrm{P} \ के निर्देशांक जो सीधी \ \\mathrm{BC} \ को अनुपात में 1:3 में विभाजित करता है\n(3) बिन्दु \ \\mathrm{Q} \ के निर्देशांक जो बाह्य रूप से \ 2:3 \ अनुपात में अंतर्वर्ती अंश \ \\mathrm{AB} \ को विभाजित करता है\n(4) केंद्रबिंदु R के निर्देशांक\n(5) त्रिभुज \ \\triangle \\mathrm{PQR} \ के केंद्रबिंदु G के निर्देशांक'

'बिंदु A(0,3,7), B(3,-3,1), C(-6,2,-1) के लिए निम्नलिखित का पता लगाएं:\n(1) बिंदु A और B के बीच की दूरी\n(2) रेखाखंड AB को 2:1 में विभाजित करने वाले बिंदु की निर्धारित रेखांकन\n(3) रेखाखंड AB को 3:2 में बाहरी बिंदु की निर्धारित रेखांकन\n(4) रेखाखंड BC का मध्यबिंदु की निर्धारित रेखांकन\n(5) त्रिभुज ABC के बारीक के निर्धारित रेखांकन'

'पूरक संदर्भ'

'वेक्टर \ \\vec{n} \ से लंबवत सरलरेख\nअंततः, ध्यान दें कि डॉट उत्पाद का उपयोग करके रेखा को व्यक्त करने का विचार करें।\n बिंदु \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}) \\) से गुजरती हुई, और वेक्टर \ \\vec{n} \ के लम्बवत सरलरेख है \ g \, और रेखा \ g \ पर कोई भी बिंदु \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) को ऐसे चिह्नित किया गया है कि \ \\vec{n} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \ या \ \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \\n\\[\n\egin{array}{l}\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=0 \\\\\n\\Longleftrightarrow \\vec{n} \\cdot(\\vec{p}-\\vec{a})=0\n\\end{array}\n\\]\n(D) \ \\mathrm{A} \ से गुजरती हुई, और \ \\vec{n} \ के लम्बवत सरलरेख की वेक्टर समीकरण है। इसके अलावा, \ \\vec{n} \ को रेखा \ g \ का सामान्य वेक्टर कहा जाता है।\n\ -\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=\\overrightarrow{0} \ केवल तब सत्य होता है जब बिंदु P बिंदु A के साथ मेल खाता है।\nरेखा \ g \ का सामान्य वेक्टर उससे लम्बवत है।\nअब, चलो एक वेक्टर समीकरण समस्या का समाधान करें।'

'आंतरिक और बाह्य विभाजन बिंदुओं के स्थान वेक्टर खोजें।'

'चौमुखी और \ \\mathrm{ABCD} \ को आधार मानते हुए त्रिभुज \ \\mathrm{OABCD} \ के लिए \ \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+ \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}=\\overrightarrow{\\mathrm{OB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ सत्यापित होता है, और 0 से भिन्न 4 वास्तव संख्याओं \ p, q, r, s \ के लिए 4 बिंदु \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ को \ \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=p \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OQ}}=q \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OR}}=r \\overrightarrow{\\mathrm{OC}}, \\overrightarrow{\\mathrm{OS}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OD}} \ द्वारा परिभाषित किया जाता है। दिखाएं कि अगर \ \\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{S} \ एक ही समतल में हैं, तो \ \\frac{1}{p}+ \\frac {1}{r}= \\frac{1}{q}+ \\frac {1}{s} \ सत्य है।'

'अभ्यास'

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'निश्चित बिंदु P(5,-3,7) और Q(7,1,2), परिमाण PQ के घटक और मात्रा ढूंढें।'

'निम्नलिखित बिंदुओं की स्थिति को घन कोणों में चित्रित करें।'

'बिंदु पी की मौजूदगी की श्रेणी का वर्णन करें जैसे ही यह जी s + t ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0 शर्तों को पूरा करता है।'

'एक बिंदु पी (वेक्टर 𝑝) का सीधी रेखा एबी पर लिटने के लिए जरूरी और पर्याप्त शर्त का पता लगाएं जो दो विभिन्न बिंदुओं ए (वेक्टर 𝑎) और बी (वेक्टर 𝑏) से हो।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 63 | साझा लम्बवृत्ति की लंबाई\nनिर्देशांक अंतरिक्ष में, बिंदु A(1,3,0) पर विचलित और वेगयान a=(-1,1,-1) के समांतर रेखा l, और बिंदु B(-1,3,2) पर विचलित और वेगयान b=(-1,2,0) के समांतर रेखा m को लें। प एक रेखा l पर बिंदु है और Q रेखा m पर बिंदु है। पेंट PQ की लंबाई |PQ| की न्यूनतम मान और उस समय बिंदु P, Q की निर्देशांक ढूंढें।'

'वेक्टरों के समानांतर होने की शर्त (\ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \) यह है कि वास्तविक संख्या \ k \ ऐसी है जिसके लिए \ \\vec{a} / / \\vec{b} \\Leftrightarrow \\vec{b}=k \\vec{a} \'

'△OAB के लिए, →OP=→OA+t→OB। यदि वास्तव संख्या s, t निम्नलिखित संबंधों को पूरा करते हैं, तो बिन्दु P का अस्तित्व सीमा ढूंढें। (1) 3s+t=2 (2) 2s+t≤1, s≥0, t≥0'

'दिए गए रेखा सेगमेंट AB और प्वाइंट पी को ध्यान में रखते हुए, जब AP + 3BP + 4AB = 0 होता है, तो बिंदु P किस स्थिति में स्थित है?'

'अभ्यास 38:\n(1) (अ) \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=(-2,1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=(a-1,-2,3) इसलिए\n\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}=-2\\cdot (a-1)+1\\cdot(-2)+2\\cdot 3=-2a+6\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right|=\\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3\n\\left|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}\\right|=\\sqrt{(a-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{a^{2}-2a+14}'

'विकर्ण RT का बीच बिंदु G के रूप में लें, और वेक्टर OP=p, वेक्टर OR=r, और वेक्टर OS=s के रूप में लें।'

'वेक्टर संचालनों के नियमों की स्पष्टीकरण दीजिए और उन नियमों का उपयोग करके गुणों को सिद्ध कीजिए।'

'Nirdeshank P ka sthan vektor p prapt karen, jo bindu A(a) aur bindu B(b) ko jodne wali rekha khand ko m:n mein bantta hai.'

'इस मामले में, शून्य के रूप में, $\\overrightarrow{OH} = \\overrightarrow{OP} + \\overrightarrow{PH} = (4,4,2) + (-1,-2,-4) = (3,2,-2)$ इसलिए $H(3,2,-2)$'

'वेक्टर्स की समांतरता को समझाएं और उसकी शर्तों को दर्शाएं।'

'त्रिभुज ABC के भर्म केंद्र G के स्थान वेक्टर g का पता लगाएं, जिसमें A(a), B(b), C(c) शिखर हैं।'

'यदि \ \\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0} \, \ \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0} \ है, और \ \\vec{a} \\times \\vec{b} \ है, तो हर वेक्टर \ \\vec{p} \ को \ \\vec{p}=s \\vec{a}+t \\vec{b} \ के रूप में एक अद्वितीय ढंग से प्रस्तुत किया जा सकता है, जहाँ \ s, t \ वास्तविक संख्याएँ हैं।'

'(जांच) समस्या'

'पृष्ठ 15 | समकोण और बिंदु की स्थिति (2)'

'स्थान वेक्टर और सहरेखा स्थिति\n2 बिंदु \\( \\mathrm{A} (\\vec{a}), \\mathrm{B} (\\vec{b}) \\) के लिए, रेखा खंड \ \\mathrm{AB} \ को अनुपात \ m: n \ में बांटने वाला बिंदु का स्थान वेक्टर।\nआंतरिक विभाजन \ \\cdots \\cdots \\frac{n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m + n} \, बाह्य विभाजन \ \\cdots \\cdots \\frac{-n \\vec{a} + m \\vec{b}}{m - n} \\nसहरेखा स्थिति\n2 बिंदु \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ के बराबर नहीं हैं तो बिंदु \ \\mathrm{P} \ रेखा \ \\mathrm{AB} \ पर है\n\ \\Leftrightarrow \\overrightarrow{\\mathrm{AP}} = k \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \ और एक वास्तविक संख्यात्मक \ k \ है'

'दी गई जानकारी के आधार पर, विभिन्न वेक्टरों की अभिव्यक्तियों और संबंधों को खोजें।'

'किसी भी वेक्टर p को कैसे दो गैर-समांतर वेक्टर a और b का उपयोग करके विभाजित किया जा सकता है, इसे समझाएं।'

'निम्नलिखित वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण खोजें।'

'निर्देशित रेखा सेगमेंट AB को वेक्टर →AB के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसके अतिरिक्त, वेक्टर एक अक्षर और तीर का उपयोग करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है, जैसे →a, →b। वेक्टर →AB, →a के मात्रामिकरण को कैसे प्रस्तुत किया जाता है?'

'बिंदु के संदर्भ और स्त्रोत के संयोजन \\( \\mathrm{A}(a_1, a_2), \\mathrm{B}(b_1, b_2) \\) दिया गया है'

'बिंदु A(वेक्टर ए) और बिंदु B(वेक्टर ब) को जोड़ने वाले रेखांकित बिंदु AB के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं के स्थान वेक्टर को वेक्टर a और वेक्टर b के रूप में अभिव्यक्त करें।'

'वेक्टर OA + वेक्टर AC को कैसे लिखा जाता है?'

'बिंदु सी की निर्देशांक को \\((x, y, z)\\) मानते हैं। चतुर्भुज \ \\mathrm{ABCD} \ परललोग्राम होने की शर्त का उपयोग करके, सी के निर्देशांक पता करें।'

'निम्नलिखित स्थितियों के अनुसार बिंदु पी के गति का सीमा पता करें।'

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'निश्चित बिंदु A(𝑎→) से गुजरने वाले एक रेखा की वेक्टर समीकरण का पता लगाएं और वह वेक्टर 𝑑(𝑑 ≠ 𝑎→) के समानांतर है।'

'त्रिभुज OAB में, निम्नलिखित स्थिति को पूरा करने वाले बिंदु P की स्थिति की खोज करें।'

'दिए गए रेखाखंड AB और बिंदु P। निम्नलिखित समीकरण सत्य होने पर, बिंदु P किस स्थिति में है?'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'XY समतल में, बिंदु A की निर्देशांक (1,0) हैं, बिंदु B की निर्देशांक (cos 𝛼, sin 𝛼) (0 ≤ 𝛼 < 2π) हैं, और बिंदु C की निर्देशांक (cos 𝛽, sin 𝛽) (0 ≤ 𝛽 < 2π) हैं। इसलिए, OA=(1,0), OB=(cos 𝛼, sin 𝛼), OC=(cos 𝛽, sin 𝛽)।'

'पॉजिटिव स्थिर संख्या माने p और वेक्टर a=(1,1) और b=(1,-p) हो। अब, अगर वेक्टर a और b के बीच का कोण 60 डिग्री है, तो p के मान को निकालें।'

'प्रत्येक वेक्टर के घटक ढूँढें, जहां 21 \\\overrightarrow{AC}=\\vec{a}+\\vec{b}\, \\\overrightarrow{AG}=\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, \\\overrightarrow{BH}=-\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}\, और \\\overrightarrow{CP}=-\\frac{1}{2}\\vec{a}-\\frac{1}{2}\\vec{b}+\\frac{1}{2}\\vec{c}\।'

'रेखा की समीकरण ढूंढें'

'उदाहरण 37 | दो वेक्टरों के लोअंगकीय वेगमानों के लिए लम्बवेग इकाइय वेगमानों की खोज'

'तीव्र कोण त्रिभुज ABC में, A(→a), B(→b), C(→c), BC=a, CA=b, AB=c। यदि कोण A का भागकेंद्र IA(→iA) के रूप में दिया गया है, तो →iA को →a, →b, और →c के आधार पर व्यक्त करें।'

'(1) बिंदु P(0,1,4) और बिंदु Q(-4,5,0) के बीच की दूरी ढूंढें।'

'वेक्टर समीकरण'

'[3] एक ऐसी सीधी रेखा का वेक्टर समीकरण निकालें जो बिंदु A (ए वेक्टर) से गुज़रती है और n वेक्टर (n शून्य वेक्टर नहीं है) के लम्ब में है।'

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'त्रिभुज ABC में, जो कोण हैं A(a), B(b), और C(c), उनमें से एक, जो की AB सीमा को 2:1 के अनुपात में बाँटता है, उसको बताया गया है P है, सीमा BC को 3:2 के अनुपात में विभाजित करने के लिए बाहरी बिंदु Q, और सीमा CA को 1:3 के अनुपात में विभाजित करने के लिए बिंदु R है। G त्रिभुज PQR का केंद्रबिंदु है। निम्नलिखित सभी वेक्टरों को a, b, और c के रूप में व्यक्त करें: (1) बिन्दु P, Q, R की स्थिति वेक्टर्स (2) PQ वेक्टर (3) बिंदु G का स्थिति वेक्टर'

'बिंदु Q रेखांकित्र OP को बाहरी अनुपात में 4:1 में विभाजित करता है, इसलिए'

'साबित करें कि वास्तविक संख्याओं में 4 बिंदु P(x, y), Q(y, z), R(z, x), A(0,1)(x, y, z) के लिए असमिका |वेक्टर एपी| + |वेक्टर एक्यू| + |वेक्टर एर| ≥ 3/√2 सत्य है।'

'पॉइंट पी (एक्स, वाई) की निर्धारित स्थानांकों की पुष्टि करें और पॉइंट क्यू को लें।'

'27 (1) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OF}} = \\frac{3}{8} \\vec{a} \\n(2) \ \\overrightarrow{\\mathrm{OE}} = \\frac{5}{6} \\vec{a} - \\frac{2}{3} \\vec{b} \'

'वेक्टर \\(\\vec{e}_1 = (1,0)\\), \\(\\vec{e}_2 = (0,1)\\), \\\vec{a} = \\overrightarrow{OA}\, \\\vec{b} = \\overrightarrow{OB}\ (O मूलबिंद है) दिए गए हैं, \\\vec{a} = -3\\overrightarrow{e_1} + 2\\overrightarrow{e_2}\, \\\vec{b} = 3\\overrightarrow{e_1} + 4\\overrightarrow{e_2}\। इस स्थिति में, \\\vec{a}, \\vec{b}\ को यूको-समतल पर चित्रित करें।'

'(1) \ \\overrightarrow{G U} \ का \ \\vec{p}, \\vec{r}, \\vec{s} \ के रूप में प्रकट करें।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'वृत्त के वेक्टर समीकरण'

'निम्नलिखित रेखाओं के समीकरण ढूंढें:'

'समशीतल त्रिभुज ABC को समस्ती निकाय पर 1 की परिवर्ती चाप BC मानकर विचार करें। एक बिन्दु P के लिए, वेक्टर v(P) को v(P)=→PA−3→PB+2→PC के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रमाणित करें: (1) v(P) P से स्वत: अविपर्यास एक स्थायी वेग है। (2) |→PA+→PB+→PC|=|v(P)| के लिए बिंदु P कहाँ बैठता है।'

'वेक्टर के घात, व्युत्क्रम, यथावत गुणा और दो बिंदुओं के बीच वेक्टर ऑपरेशन को वेक्टर घटकों का उपयोग करके करें।'

'वृत्त C1 और C2 का केंद्र क्रमशः O1 और O2 मान लें। केंद्र O1 से केंद्र O2 तक वेक्टर O1O2 क्या है?'

'रेखा पर किसी भी बिंदु P के लिए, जैसे कि OP = p। इस स्थिति में, रेखा का वेक्टर समीकरण क्या है?'

'दिए गए संविदान का अनुवाद करें।'

'जब चार बिंदु O, A, B, C एक ही समतल में नहीं होते हैं, तो अगर $\\overrightarrow{OA}=\\vec{a}$, $\\overrightarrow{OB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{OC}=\\vec{c}$ हैं, तो किसी भी वेक्टर $\\vec{p}$ को एकमात्र रूप से $\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b}+u\\vec{c}$ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जहां $s$, $t$, $u$ वास्तव संख्याएँ हैं।'

'बिंदु P(3, -1) का, बिंदु A(-1, 2) के चारों ओर -π/3 रेडियन के दिशा-स्थानांतरण करने के उत्तरकांक्षियों का पता लगाएं।'

'कृपया बिंदु A(r1, θ1) और बिंदु B(r2, θ2) के बीच दूरी AB की गणना के लिए सूत्र प्रदान करें।'

'कृतिक निर्देशांक में निम्नलिखित बिंदुओं को प्लॉट करें और कार्तेर निर्देशांक ढूंढें।'

'(1) मूल \ \\mathrm{O} \ के चारोंओं को \ \\frac{\\pi}{4} \ घुमाकर बिंदु \\( \\mathrm{A}(2,1) \\) के संदर्भ में बिंदु \ \\mathrm{B} \ की निर्धारित आवंटन खोजें।\n(2) बिंदु \ \\mathrm{P} \ को मध्यबिंदु के रूप में उपयोग करके बिंदु \\( \\mathrm{A}(2,1) \\) को \ \\frac{\\pi}{4} \ घुमाने पर कोण के निर्धारित आवंटन \\( (1-\\sqrt{2},-2+2 \\sqrt{2}) \\) था। बिंदु \ \\mathrm{P} \ का पता लगाएं।'

'बिंदु P, मौलिक बिंदु O के चारों ओर रेडियस r वाली परिधि पर, स्थिर बिंदु P0 से प्रारंभ करते हुए, OP ω के घनांक में प्रति सेकंड घूमता हुआ समझौता से बृहद्वेग सरकारी है।'

'वेक्टर के मूल तत्वों (वेक्टर की परिभाषा, गुण, और मौलिक आरेख) की समझ।'

'स्थिर बिंदु A, B, C और गति बिंदु P पर्यावृत समतल में हैं, और वेक्टर AB=(3,1), वेक्टर BC=(1,2), और वेक्टर AP को वास्तविक संख्या t का उपयोग करके (2t, 3t) के रूप में प्रस्तुत किया जा रहा है।'

'महत्वपूर्ण विषय 40 | वेक्टरों के मात्रा का तुलन'

'निम्नलिखित दो बिंदुओं के बीच दूरी निकालें।'

'\ \\triangle OAB \ में, ऐसे बिंदु \ P \ की मौजूदगी के क्षेत्र का पता लगाएं जो निम्नलिखित समीकरणों को पूरा करता है। \\ n(1) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}, 3s+4t=4 \\\n(2) \ \\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+3t\\overrightarrow{OB}, 0\\leqq 2s+5t\\leqq 1, s\\geqq 0, t\\geqq 0 \'

'निम्नलिखित वेक्टरों की मात्रा निकालें।'

''

''

'अंतरिक्ष में स्थानीय सर्वेक्षण की अवधारणा'

''

'स्थिति वेक्टरों के समाधान और एक ही सतह पर होने की शर्तों के बारे में'

'अध्याय 1 समतल में स्थित वेक्टर - त्रिभुज OAB में, निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करने वाले बिंदु P की मौजूदगी सीमा निर्धारित करें।\n1) OP = sOA + tOB, s + t = 1/3, s ≥ 0, t ≥ 0\n2) OP = sOA + tOB, 3s + 2t = 4, s ≥ 0, t ≥ 0'

'PR निर्देशांक अंतरिक्ष में 4 बिंदु O(0,0,0), A(3,-2,-1), B(1,1,1), C(-1,4,2) हैं। वेक्टर p को ढूँढें, जो वेक्टर OA और BC दोनों के लगभग लंबकारी है, और मात्रा 3√3 है।'

'निम्नलिखित रेखा का एक लंबवृत्त वेक्टर ढूँढें।'

'क्योंकि 4|a|=3 है, अग्रिमित वेक्टर हैं'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले बिंदु P की अस्तित्व सीमा ढूंढें।'

'वेक्टर समीकरण को पूरा करने वाले बिंदुओं के अस्तित्व की सीमा और संबंधक निर्देशांक'

'चार बिंदु A(1,1,-2), B(-2,1,2), D(3,-1,-3), E(9, a, b) दिए गए हैं।'

'सिक्का ABCD में निम्नलिखित समीकरणों के प्रमाणित करें: (1) $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{BD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DC}}+\\overrightarrow{\\mathrm{CA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{0}}$ (2) $\\overrightarrow{\\mathrm{BC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DA}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}-\\overrightarrow{\\mathrm{DB}}$'

'वेक्टर्स का समश किया गया हे'

'उदाहरण 21 | अंतरिक्ष वेक्टर का प्रदर्शन\nसमानांतर षट्भुज ABCD-EFGH में, विमुखीय तिर्यांक AG की बीच कोण P को चिह्नित करें, और →AB=𝑎, →AD=𝑏, →AE=𝑐 करें। →AC, →AG, →BH, →CP को 𝑎, 𝑏, 𝑐 के अनुसार व्यक्त करें।'

'दिए गए बिंदु की निर्धारित स्थानांक ढूँढें।'

''

'वेक्टर्स परलेल बनने की शर्त को समझाएं।'

'निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग करके वेक्टर की गुणों को प्रदर्शित करें:'

'त्रिभुज ABC में, वर्ती A(a), B(b), और C(c) के साथ, जहां बिंदु P दीर्घ अनुभाग AB को 2:1 में आंतरिक रूप से बाँटता है, बिंदु Q बाह्य अनुपात में BC को 3:2 में बाँटता है, और बिंदु R CA को 1:3 में बाह्य रूप से बाँटता है, और G त्रिभुज PQR का केंद्र बनता है। a, b, और c के लिए निम्नलिखित वेक्टरों को व्यक्त करें: (1) बिंदु P, Q, और R की स्थिति वेक्टर (2) वेक्टर PQ (3) बिंदु G की स्थिति वेक्टर'

'O केंद्र वाले वृत्त को ध्यान में रखें। इस वृत्त के परिधि पर 3 बिंदु A, B, और C हैं जैसे कि OA वेक्टर + OB वेक्टर + OC वेक्टर = 0 है। प्रमाणित करें कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है।'

'सम्मिश्र चतुर्भुज ABCD में, भुज BC को अंदर से अनुपात 2:1 में बाँटने वाला बिंदु E, विपरीत कोण AC, BD का छेद बिंदु F, और सेगमेंट AE, BD के छेद बिंदु G होता है। चल वे AB=b और AD=d हो। (1) b और d के लिए वेक्टर्स AE, AF, GC को व्यक्त करें। (2) अगर वेक्टर AE=e और वेक्टर AF=f हैं, तो उसके द्वारा वेक्टर BD को व्यक्त करें।'

'खागे में वे क्यूबियाई निर्धारित और वे क्यूबियाई निर्भरता'

'जब तीन वेक्टर a, b, और c एक सरल रेखा पर नहीं होते हैं, तो इन तीन बिंदुओं से होने वाली समतल की समीकरण ढूंढें।'

'\ \\triangle \\mathrm{OAB} \ में, निम्नलिखित समीकरणों को मानने वाले बिना \ \\mathrm{P} \ के सीमा का पता लगाएं।'

'वेक्टर ए, बी, सी के लिए, निम्नलिखित वेक्टरों को प्लॉट करें:\n1. ए + बी\n2. ए - सी\n3. 3 बी\n4. -2 सी'

'यदि \\( \\vec{a}=(1,-1,2), \\vec{b}=(1,1,-1) \\) है। \ \\vec{a}+t \\vec{b} \ (जहाँ \ t \ एक वास्तविक संख्या है) की न्यूनतम मात्रा और उस समय का \ t \ मान ढूंढें।'

'वेक्टरों के आवेदन समान समतल पर वास्तविक संख्याएँ s, t, u के साथ। एक बिंदु P (p) तीन बिंदु A (a), B (b), और C (c) द्वारा निर्धारित समतल पर है अगर और केवल अगर ⇔ CP⃗=sCA⃗+tCB⃗ ⇔ p⃗=sa⃗+tb⃗+uc⃗, s+t+u=1'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 61: रेखा के समीकरण\nनिम्नलिखित रेखाओं के समीकरण ढूंढें:\n(1) बिंदु A(1,3,-2) से गुजरती है और वेग d=(3,2,-4) के समानांतर है\n(2) बिंदु A(0,1,1) और B(-1,3,1) से गुजरती है\n(3) बिंदु A(-3,5,2) से गुजरती है और वेग d=(0,0,1) के समानांतर है'

'रेखा पर कोई भी बिंदु को P(x, y) के रूप में और t के रूप में पैरामीटर के रूप में दर्शाया जाता है।'

'वर्ग A(\ \\vec{a} \) से होने वाली और अवैक्टर \ \\vec{d} \ के परलेल रेखा \ \\ell \ की समीकरण का पता लगाएं।'

'समतल पर कोई भी वेक्टर \ \\vec{p} \ को दो वेक्टर \\( \\vec{a}, \\vec{b} (\\vec{a} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{b} \\neq \\overrightarrow{0}, \\vec{a} \\times \\vec{b}) \\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि:'

'निम्नलिखित वेक्टर क्रियाएँ करें: 1. वेक्टर A = (3, 4) और वेक्टर B = (1, 2) की योगफल का पता लगाएं। 2. वेक्टर A = (3, 4) और वेक्टर B = (1, 2) के बीच से भिन्न निकालें।'

'तीन गैर-सरलरेखित बिंदु A(वेक्टर a), B(वेक्टर b), C(वेक्टर c) द्वारा परिभाषित एक समतल के वेक्टर समीकरण का पूर्णांक संख्याओं s, t, u के साथ P(वेक्टर p) को koi भी बिना की एक सीधी रेखा पर व्यक्त किया है, यह है ⃗p=s⃗a+t⃗b+u⃗c, s+t+u=1 या ⃗p=s⃗a+t⃗b+(1-s-t)⃗c'

'जब दो वेक्टर a और b का दिशा समान हो और मात्रा भी इसी वेल पर हो, तो इन दो वेक्टर को समान माना जाता है।'

'यदि वेक्टर $\\vec{a} = (3, 4, 5)$, $\\vec{b} = (7, 1, 0)$ है, तो $\\vec{a} + t \\vec{b}$ और $\\vec{b} + t \\vec{a}$ के बीच का कोण $120^{\\circ}$ होने के लिए वास्तविक संख्या $t$ की मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित बिंदुओं की प्रतिनिधित्व करने वाली जोड़ीदार संख्याएं ढूंढें। (1) बिंदु A(-3+6i) और B(5-8i) को जोड़ने वाले रेखांकुट AB का बीच बिंदु (2) बिंदु A(2-3i) और B(-7+3i) को जोड़ने वाले रेखांकुट AB को 2:1 अनुपात में बाँटने वाले बिंदु P, और बाह्य विभाजन करने वाले बिंदु Q'

'वेक्टर के जोड़ और घटाव की व्याख्या करें।'

'दो समतलों द्वारा बनाए गए कोण θ ढूंढें। जहां 0° ≤ θ ≤ 90°। (1) 4x-3y+z=2, x+3y+5z=0 (2) x+y=1, x+z=1 (3) -2x+y+2z=3, x-y=5'

'तीव्र कोण वाली त्रिभुज OAB की भुज OA को अनुपात k:(1-k) में विभाजित बिंदु P कहलाता है, और भुज OB को अनुपात l:(1-l) में विभाजित बिंदु Q कहलाता है। साथ ही, AQ और BP का क्रम्य बिंदु R है। ओए वेक्टर को a से प्रकट किया जाता है, और ओब वेक्टर को b से प्रकट किया जाता है। 1) वेक्टर a और b के आधार पर OP वेक्टर और OQ वेक्टर को व्यक्त करें। 2) वेक्टर a और b के आधार पर OR वेक्टर को व्यक्त करें।'

'A(a) और B(b) बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखांकि AB के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं के स्थान वेक्टर को a और b के रूप में व्यक्त करें।'

'स्थिति वेक्टर और आंतरिक विभाजन बिंदु・बाह्य विभाजन बिंदु\nस्थान वेक्टर को \ \\vec{p} \ मान लें और बिंदु को \\( \\mathrm{P}(\\vec{p}) \\) के रूप में चिह्नित करें।\nअंतरिक्ष में, जैसे समतल में, निम्नलिखित सत्य है:\n\nसमस्या 1: बिन्दु \\( \\mathrm{A}(\\vec{a}), \\mathrm{B}(\\vec{b}), \\mathrm{C}(\\vec{c}) \\) के लिए निम्नलिखित समीकरणों का निरूपण करें।\n1. \ \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} = \\vec{b} - \\vec{a} \\n2. \ m: n \ अनुपात में लाइन सेगमेंट \ \\mathrm{AB} \ को विभाजित करने वाले बिंदु का स्थान वेक्टर ढूंढें।\n3. लाइन सेगमेंट \ \\mathrm{AB} \ के मध्य बिंदु का स्थान वेक्टर ढूंढें।\n4. त्रिभुज \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ के केंद्रीय बिंदु G का स्थान वेक्टर ढूंढें।'

'वेक्टर विभाजन की व्याख्या करें।'

'प्रश्न 71\n(1) बिंदु (-3, -1, 7) खोजें।\n(2) बिंदु (18/11, 26/11, 12/11) खोजें।'

'त्रिभुज OAB में बिंदु P के अस्तित्व का सीमा खोजें जो निम्नलिखित समीकरणों को पूरा करता है:\n(1) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+t \\overrightarrow{OB}, 1 \\leqq s+2 t \\leqq 2, s \\geqq 0, t \\geqq 0$\n(2) $\\overrightarrow{OP}=s \\overrightarrow{OA}+(s-t) \\overrightarrow{OB}, 0 \\leqq s \\leqq 1, 0 \\leqq t \\leqq 1$'

'बिंदु A(r1, θ1) और बिंदु B(r2, θ2) के बीच की दूरी निकालें।'

'स्थान वेक्टर, वेक्टर और आकृतियाँ: स्थान वेक्टर और वेक्टर द्वारा आकृतियों का गठन कैसे होता है का विवरण दें।'

'अभ्यास (1) दो जीरो वेक्टर \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के लिए, जब \ \\vec{a}+2 \\vec{b} \ और \ \\vec{a}-2 \\vec{b} \ लंबवत हो, और जब \ 7|\\vec{a}+2 \\vec{b}|=2|\\vec{b}| \ सत्य हो, तो जानें कोण \ \\theta \ जोतने वाले आवेगो \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के बीच।'

'यदि गैर शून्य दो वेक्टर \ \\vec{a} \, \ \\vec{b} \ लंबाई के होते हैं। \ \\vec{a}+\\vec{b} \ और \ \\vec{a}+3 \\vec{b} \ के बीच कोण \ \\theta \ \ 0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi \ के बराबर है। (1) जब \ |\\vec{a}|=x,|\\vec{b}|=y \ हो, तो \ \\sin ^{2} \\theta \ को \ x \ और \ y \ के साथ प्रकट करें। (2) \ \\theta \ की अधिकतम मान का पता लगाएँ।'

"एक वेक्टर एक मात्रा है जिसमें आयतन और दिशा दोनों होती है। इस अध्याय में, एक समतुल्य रेखाएँ पर आधारित वेक्टर की विचार किया जाता है, एकजुट संख्याओं (घटक) से वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना, 'डॉट उत्पाद' इस प्रकार के आचरण, और ज्यामिति में वेक्टरों के लागू करना। अब, वेक्टरों में 'रैखिक स्वतंत्रता' की अवधारणा को समझना, भविष्य में गणित, भौतिक विज्ञान, अर्थशास्त्र आदि के अध्ययन के लिए तैयारी करना अत्यधिक महत्वपूर्ण है।"

'निम्नलिखित बिंदुओं का स्थान व polar रेखांकन में दिखाएं: \\(A\\left(3, \\frac{\\pi}{6}\\right)\\), \\(B\\left(2, \\frac{3}{4} \\pi\\right)\\), \\(C\\left(1,-\\frac{2}{3} \\pi\\right)\\)।'

'जैसे कि \ 45^{\\circ} \\mathrm{O} \ को मूल बिंदु लें, \\( \\mathrm{A}(2,1), \\mathrm{B}(1,2), \\overrightarrow{\\mathrm{OP}}=s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}}+t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}}(s, t \\) (यहाँ \s\ और \t\ वास्तव संख्याएँ हैं)।'

'निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'त्रिभुज OAB में, OA का बीच का बिंदु C है, ओबी को 1:3 अनुपात में बाहरी रूप से बाँटने वाला बिंदु D है। अगर OA वेक्टर a है, तो 35 ओबी वेक्टर b है, तो निम्नलिखित रेखा के वेक्टर समीकरण का पता लगाएं।'

'\ABCD-EFGH\ एक समानपट्टी होता है, \\\overrightarrow{AC}=\\vec{p}, \\overrightarrow{AF}=\\vec{q}, \\overrightarrow{AH}=\\vec{r}\ के लिए, \\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AD}, \\overrightarrow{AE}, \\overrightarrow{AG}\ को यथार्थ करें।'

'निम्नलिखित रेखा की पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व का पता लगाएं जिसमें पैरामीटर t हो।'

'निम्नलिखित रेखा की अवधारणात्मक प्रतिनिधित्व खोजें: बिंदु बी (-4,3) से गुजरते हैं, और वेक्टर d = (5,6) के समानांतर है।'

'वृत्त के वेक्टर समीकरण: केंद्र C(c), अर्धवृत्त r के वेक्टर समीकरण |p-c|=r है'

''

'निम्नलिखित दो बिंदुओं के बीच दूरी निकालें।'

'निर्देशांक P(5,-3,7) और Q(7,1,2) के लिए वेक्टर PQ के घटक और मात्रा ढूंढें।'

'इस उदाहरण में, दिए गए स्थितियों \\( \\vec{a}=(1,3,2), \\vec{b}=(0,1,-1), \\vec{c}=(5,1,3) \\), वेक्टर \\( \\vec{d}=(7,6,8) \\) को \ s \\vec{a}+t \\vec{b}+u \\vec{c} (s, t, u \ के रूप में व्यक्त करें।'

None

'वेक्टरों के जोड़, घटाव और स्केलर गुणा को चित्रित करें।'

'संयोजक समीकरणों और बिंदु स्थानों के बारे में सीखें (1)।'

'उदाहरण 14 | वेक्टरों का समानता और बिंदु का स्थान (1)'

'AB को 2:3 में विभाजित करने वाला बिंदु एन करें। रेखा सेटु LM और ओएन का पर्वतबिन्दु पी करें। यदि ए अर्थात वेक्टर ओए और बी अर्थात वेक्टर ओब है, तो वेक्टर ओएन और ओपी को वेक्टर ए और बी के संकेतों में व्यक्त करें।'

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'मूल उदाहरण 24 के लिए, दोनों दिशाएँ 1 और दिशा 2 के बीच सोचने में कैसे भिन्नता है?'

'EXO को मूलबिंदु रूप में लेते हुए निर्देशांक समतल पर, व्यास r, केंद्र स्थान वेक्टर →OA वाले वृत्त C को विचार करें, जिसकी परिधि पर स्थित बिंदु P का स्थान वेक्टर →OP है। साथ ही, C के बाहर बिंदु B को विचार किया जाता है, जिसका स्थान वेक्टर →OB है। और फिर, बिंदु B और बिंदु P का बीच का बिंदु Q लिया जाता है, जिसका स्थान वेक्टर →OQ है, जब बिंदु P परिधि पर चलता है, तो जो चित्रक बनता है उसे D लिया गया है।\n(1) वृत्त C का वेक्टर समीकरण ढूंढें।'

'विवर्तन समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के मौजूदगी की श्रेणी को निर्धारित करें। कृपया एक अंतरिक्ष ज्यामिति आकार का उदाहरण देकर उत्तर दें।'

'निम्नलिखित रेखा का लक्षित वेक्टर खोजें।'

'वेक्टर समीकरण और बिंदु स्थिति के बारे में सीखें (2)।'

'(-1,2,3) से गुजरती हुई रेखा \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-3}=z-3 के लिए लंब एक समतल की समीकरण ढूंढें।'

'सिद्ध करें कि बिंदु P रेखा AB पर है, जहां AB को दो अलग-अलग बिंदु A(a) और B(b) द्वारा निर्धारित किया गया है।'

'दिए गए बिंदु A (2,1,0), B (1,0,1), C (0,1,2), D (1,3,7) हैं। बिंदु D के विरुद्धित बिंदु E का निर्माण करें जो बिंदु A, B, और C से गुजरने वाले एक समतल के संबंध में है। बिंदु E की निर्देशिकाओं का पता लगाएं।'

'(1) बिंदु A(1, -2, 3) के बारे में, बिंदु P(-3, 4, 1) का सममित बिंदु कोआर्धिक करें।'

'सामंजस्यता शर्त: जब दो बिंदु A, B अलग होते हैं, तो बिंदु P रेखा AB पर होता है अगर और केवल अगर वेक्टर AP, वेक्टर AB के k गुणा होते हैं, जहां k एक वास्तविक संख्या है।'

'निशाने A से गुजरने वाली सीधी रेखा की समीकरण ढूंढें। n और सीधा हो। (2) A(1,3), n=(-1,2)'

'निम्नलिखित रेखाओं की पैरामीट्रिक समीकरणों को खोजें, पैरामीटर t के साथ।'

'दो बिंदु A(वेक्टर a) और B(वेक्टर b) के दिए दिए गए, लाइन सेगमेंट AB को m:n में विभाजित करने वाले बिंदु का स्थान वेक्टर खोजें।'

''

'निर्देशांक अंतरिक्ष में आकृतियों, वेक्टर समीकरण: निर्देशांक अंतरिक्ष में आकृतियों का प्रतिनिधित्व और वेक्टर समीकरण के उपयोग की व्याख्या करें।'

'बिना खर्चकते हुए यदी पॉइंट पी रेखा एबी पर स्थित है, तो ऐसे वास्तविक संख्या s और t मौजूद हैं जिसके लिए वेक्टर ओपी बराबर है s गुणा वेक्टर ओए प्लस t गुणा वेक्टर ओब, और s + t = 1'

'निम्नलिखित सीधी रेखाओं की पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व ढूंढें। उसके साथ, पैरामीटर t के बिना इसे व्यक्त करें।'

'अंतरिक्ष में वेक्टरों के घटक, डॉट उत्पाद: अंतरिक्ष में वेक्टरों के घटकों की गणना और उनका डॉट उत्पाद का वर्णन करें।'

'प्रश्न 46\n(1) बिंदु की निर्देशांक (0, 1/4, 0) ढूंढें।\n(2) बिंदु की निर्देशांक (0, -21, 17/2) ढूंढें।'

'यदि a = (0,1,2), b = (2,4,6) हो। वास्तविक संख्या t के लिए, जहाँ -1 ≤ t ≤ 1, x=a+tb के मात्रा को अधिकतम और न्यूनतम करने वाले x के मान ढूंढें।'

'अगर $|\\vec{a}|=2,|\\vec{b}|=3,|2\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{13}$ है, तो सभी वास्तव संख्याओं $t$ के लिए $|k\\vec{a}+t\\vec{b}|>\\sqrt{3}$ सच होने के लिए वास्तव संख्या $k$ की मानों की सीमा ढूंढें।'

'अंतरिक्ष में, त्रिभुज ABC है जिसके कोण A(5,0,1), B(4,2,0), C(0,1,5) हैं। (1) अंत A, BC, CA की लंबाई ढूंढें। (2) त्रिभुज ABC क्षेत्र S ढूंढें।'

'मान लें कि एक समतला वृत्त α है जिसे तीन गैर-समलैंगिक बिंदु A (वेक्टर ए), B (वेक्टर बी) और C (वेक्टर सी) ने निर्धारित किया है। जब बिंदु P (वेक्टर पी) तल α पर होता है, तो निम्नलिखित वेक्टर समीकरण सत्य होता है। इसे सिद्ध करें।'

'\ \\triangle OAB \ की ओर \ \\mathrm{OA} \ को अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु \3:1\ परिभाजित है, और ओर \ \\mathrm{OB} \ को अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु \4:1\ परिभाजित है। लेट पी सेगमेंट \ \\mathrm{AD} \ और \ \\mathrm{BC} \ का छेदनबिंदु है, और क्यू सेगमेंट \ \\mathrm{OP} \ और \ \\mathrm{AB} \ का छेदनबिंदु है। यदि \ \\overrightarrow{ \\mathrm{OA} } = \\vec{a} \ और \ \\overrightarrow{ \\mathrm{OB} } = \\vec{b} \ है, तो \ \\overrightarrow{ \\mathrm{OP} } \ को \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के रूप में व्यक्त करें और बीपी का अनुपात जानें। ऐसे ही, \ \\overrightarrow{ \\mathrm{OQ} } \ को \ \\vec{a} \ और \ \\vec{b} \ के रूप में व्यक्त करें और \ \\mathrm{OP} : \\mathrm{PQ} \ का अनुपात निर्धारित करें।'

'r = sin αθ द्वारा प्रतिनिधित कोणीय समीकरण द्वारा प्रदर्शित कोणीय है क्या कहलाता है? साथ ही, a के मान के आधार पर पुष्प की संख्या में परिवर्तन दिखाएं।'

'रेखा सेक्मेंट AB में, जब दिशा को अंक A से अंक B की ओर निर्धारित किया जाता है, तो इसे निर्दिष्ट रेखांक AB कहा जाता है। निर्दिष्ट रेखांक AB में, A को इसका प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है और B को इसका अंतिम बिंदु कहा जाता है। रेखा सेगमेंट AB की लंबाई को निर्दिष्ट रेखांक AB का मात्रा या लंबाई कहा जाता है। स्थान के अंतर को ध्यान में न रखकर, केवल दिशा और मात्रा पर ही ध्यान केंद्रित करने को एक वेक्टर कहा जाता है। कृपया निर्दिष्ट रेखांक AB द्वारा प्रतिनिधित वेक्टर लिखें।'

'कॉर्डिनेट का उपयोग करके समस्या को हल करें।'

'(1) दो बिंदु A(1,-1,3) और B(-1,0,1) के बीच की दूरी निकालें।'

बिंदु P(\vec{p}) के तीन बिंदुओं A(\vec{a}), B(\vec{b}), और C(\vec{c}) द्वारा परिभाषित समतल पर होने की शर्त $\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}\ \ Longleftrightarrow \vec{p}=s \vec{a}+t \vec{b}+u \vec{c}, \ s+t+u=1$

■ त्रिभुज ABC का गुरुत्वाकर्षण केंद्र G का स्थिति वेक्टर निम्नलिखित रूप में स्थापित किया गया है। ऐसे त्रिभुज ABC के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का स्थिति वेक्टर, जिसके शीर्ष बिंदु A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}) हैं $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

वेक्टर गुणांक की समानता के बारे में: यदि ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, तो s ec{a} + t ec{b} = s^{\prime} ec{a} + t^{\prime} ec{b} ⇔ $s = s^{\prime}, t = t^{\prime}$

मान लें कि lpha=x-2 i तथा eta=3-6 i हैं। जब दो बिंदु \( \mathrm{A}(lpha) \), \( \mathrm{B}(eta) \) और मूल बिंदु $\mathrm{O}$ एक सीधी रेखा पर होते हैं, तब वास्तविक संख्या $x$ का मान निकालें।

कृपया समतल पर स्थित सदिश समस्या को हल करें।

विन्दु \( \mathrm{A}(1,1,0), \mathrm{B}(0,2,2), \mathrm{C}(1,2,1) \) को शीर्ष बनाते हुए त्रिभुज $riangle \mathrm{ABC}$ में, ngle \mathrm{BAC} का परिमाण $heta$ ज्ञात कीजिए।

वेक्टरों की समान्तरता दो गैर-शून्य वेक्टर ec{a}, \ec{b} तभी समान्तर होते हैं जब उनकी दिशाएं समान या विपरीत होती हैं, और इसे $\vec{a}/\vec{b}$ के रूप में लिखा जाता है। वेक्टरों के वास्तविक गुणकों की परिभाषा से, निम्नलिखित सिद्ध होता है। इसके बाद, नमूना वेक्टर ecа= лучший ), \вейвек same और समतुल्य \( 2 \vec {b} को प्रदर्शित करें।

निम्नलिखित परिस्थितियों में, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण $\theta$ का पता लगाएं। (1) जब $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2 \sqrt{2}, |2 \vec{a}-3 \vec{b}|=10$ हो (2) जब $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=1$ हो और $\vec{a}-3 \vec{b}$ और $2 \vec{a}+ \vec{b}$ लम्बवत होते हैं

अंतरिक्ष में, बिंदु \( \mathrm{A}(ec{a}) \) और बिंदु \( \mathrm{B}(ec{b})\) हैं। बिंदु AB को m:n अनुपात में बाहरी विभाजन वाले बिंदु के स्थति सदिश को खोजें।

यदि दिए गए वेक्टरों के घटक \( ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1) \) हैं, तो निम्नलिखित वेक्टरों को घटक रूप में व्यक्ति करें। (1) 2 ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2 ec{b} (4) 2 ec{a}-3 ec{b}

संवेदी समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदु $\mathrm{P}$ का अस्तित्व क्षेत्र: $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

दिए गए \( \vec{a}=(3,5,-8), \vec{b}=(2,4,-6) \) और वास्तविक संख्या $t$ के लिए, \( \vec{p}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b} \) लें। $|\vec{p}|$ को न्यूनतम करने वाले $t$ का मान और इस समय का $|\vec{p}|$ ज्ञात करें।

दाईं ओर दिए गए चित्र में दिखाए गए सदिशों के लिए, निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करने वाले सभी सदिश संख्याओं की जोड़ी सूचीबद्ध करें: (1) समान परिमाण वाले सदिश (2) समान दिशा वाले सदिश (3) समान सदिश (4) विपरीत सदिश

सदिश जोड़ का ज्यामितीय अर्थ समझें और उदाहरण 2 को हल करें!

स्थिर बिंदु O, A और चल बिंदु P हैं। दिए गए हैं \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} और \overrightarrow{\mathrm{OP}}=ec{p} , जब |6 ec{p}-3 ec{a}|=2 , बिंदु P एक निश्चित वृत्त की परिधि पर होता है। उस वृत्त के केंद्र और त्रिज्या का पता लगाएं। मान लें कि ec{a} eq \overrightarrow{0} ।

दाहिनी ओर के चित्र में चारभुज $A B C D$ एक आयत है, और बिंदु $O$ विकर्ण $A C$ और $\mathrm{BD}$ का प्रतिच्छेद बिंदु है। दिए गए हैं कि $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\vec{c}$， (1) $\vec{a}-\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{c}$ को चित्रित करें। (2) $\vec{b}+\vec{c}$ कैसा वेक्टर है?

सदिशों का विघटन ec{a} eq \overrightarrow{0}, ec{b} eq \overrightarrow{0}, ec{a} imes ec{b} होने पर, किसी भी सदिश ec{p} का केवल 1 तरीके से ec{p}=s ec{a}+t ec{b} के रूप में वास्तविक संख्याओं $s, t$ का उपयोग करके अभिव्यक्ति किया जा सकता है।

निर्देशांक स्थान में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालें। यदि बिंदु A के निर्देशांक (a1, a2, a3) हैं और बिंदु B के निर्देशांक (b1, b2, b3) हैं, तो A और B के बीच की दूरी क्या है?

आइए सदिशों के योग के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें। दाएँ पक्ष के सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ के लिए, $\vec{a}+\vec{b}$ को आरेखित करें।

निम्नलिखित दो वेक्टर ec{a}, ec{b} के समानांतर होने के लिए $x$ का मान निर्धारित करें। (1) \( ec{a}=(3, x), ec{b}=(1,4) \) (2) \( ec{a}=(2 x, 9), ec{b}=(8, x) \)

त्रिभुज $riangle \mathrm{ABC}$ के भीतर बिंदु $\mathrm{P}$ है, ऐसा है कि $2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$ सत्य है। (1) बिंदु $\mathrm{P}$ कहाँ स्थित है? (2) क्षेत्रफल अनुपात $riangle \mathrm{PBC}: riangle \mathrm{PCA}: riangle \mathrm{PAB}$ ज्ञात करें।

उदाहरण प्रश्न 35 वेक्टर का न्यूनतम आकार (स्पेस) \(ec{a}=(2,-4,-3), ec{b}=(1,-1,1)\) हो। \(ec{a}+t ec{b} (t\ वास्तविक संख्या है) के न्यूनतम आकार और उस समय $t$ का मान ज्ञात करें। [चिबा प्रौद्योगिकी संस्थान]

वेक्टर का वास्तविक गुणक\ एक वास्तविक संख्या $k$ और एक वेक्टर \( \vec{a}(\neq \overrightarrow{0}) \) में, वेक्टर $\vec{a}$ का $k$ गुना वेक्टर $k \vec{a}$ निम्न प्रकार से परिभाषित है: 1. यदि $k > 0$, तो वेक्टर $\vec{a}$ के समान दिशा में है, पर उसका परिमाण $k$ गुना बढ़ जाता है। विशेष रूप से, $1 \vec{a}=\vec{a}$ 2. यदि $k < 0$, तो वेक्टर $k \vec{a}$ का दिशा $\vec{a}$ के विपरीत होता है और उसका परिमाण \( |k| \ ) गुना बढ़ जाता है। विशेष रूप से, \( \quad (-1) \vec{a}=-\vec{a} \) 3. यदि $k=0$, तो परिणाम शून्य वेक्टर $\overrightarrow{0}$ होता है, मतलब $0 \vec{a}=\overrightarrow{0}$ इसके बाद दी गई उदाहरण का सत्यापन करें। उदाहरण: वेक्टर \( \vec{a} = (3, -2) \) में वास्तविक संख्या $k = 2, -3, 0$ प्रभाव डालें।

वैकल्पिक समाधान विधि $\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ की (11 तक समान है)। बिंदु D को प्रारंभ बिंदु मानते हुए, $\vec{b} = \overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}, \quad \vec{d} = -\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ अतः, (1) से, \[ egin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{DH}} & = \frac{1}{30} k (\overrightarrow{\mathrm{DB}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) + \frac{1}{5} k (\overrightarrow{\mathrm{DC}} - \overrightarrow{\mathrm{DA}}) - \frac{9}{10} k (-\overrightarrow{\mathrm{DA}}) & = \frac{2}{3} k \overrightarrow{\mathrm{DA}} + \frac{1}{30} k \overrightarrow{\mathrm{DB}} + \frac{1}{5} k \overrightarrow{\mathrm{DC}} \end{aligned} \] $\leqslant \frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10} = 1$ इसे जांचें।

यदि z=4+2i, lpha=1+3i , तो समिश्र तल पर बिंदुओं \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{A}^{\prime}(-lpha), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) को निरूपित करें।

बिंदु A के निर्देशांक (2,-4), बिंदु B के निर्देशांक (-2,2), और बिंदु C के निर्देशांक (0,-4) हैं। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) प्रत्येक के लिए ec{a}, ec{b}, ec{c} को अवयव रूप में व्यक्त करें। (2) |ec{a}|,|ec{b}|,|ec{c}| की गणना करें।

निम्नलिखित समीकरणों को साबित करें कि वे सही हैं। (1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{DS}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}-\overrightarrow{\mathrm{XB}}=\overrightarrow{\mathrm{DX}}$

स्थान वेक्टर, आकृतियों पर अनुप्रयोग विभाजन बिंदुओं का स्थान वेक्टर (स्थान)

बिंदु \( \mathrm{A}(2,1,-5) \) से गुजरने वाला और सदिश \( ec{n}=(1,-2,3) \) पर लंबवत विमान का समीकरण ज्ञात कीजिए।

कृपया अंतरिक्ष वेक्टर से संबंधित समस्या को हल करें।

रेखा के सदिश समीकरण की व्याख्या करें।

निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण $\theta$ का पता लगाएं। (1) जब $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$ (2) जब $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ और $6 \vec{a}+7 \vec{b}$ लम्बवत होते हैं

समतल पर, △ABC और बिंदु P, Q को मानें। जब निम्नलिखित समीकरण संतुष्ट होते हैं, तो बिंदु P और Q की स्थिति बताएं: (1) 3 \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} (2) 4 \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{BQ} + 2 \overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{0}

बिंदु A, B, और C का गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक निकालें। यदि बिंदु A के निर्देशांक (a1, a2, a3) हैं, बिंदु B के निर्देशांक (b1, b2, b3) हैं, और बिंदु C के निर्देशांक (c1, c2, c3) हैं, तो गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक क्या हैं?

दो बिंदुओं \( \mathrm{A}(a_1, a_2) \) और \( \mathrm{B}(b_1, b_2) \) के लिए\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \left(b_1 - a_1, b_2 - a_2 ight) \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2} \]

त्रिभुज $riangle \mathrm{ABC}$ में जिसके शीर्ष बिंदु हैं \( \mathrm{A}(ec{a}), \mathrm{B}(ec{b}), \mathrm{C}(ec{c}) \), $\mathrm{P}$ बिंदु $\mathrm{AB}$ रेखा का मध्य बिंदु है, $\mathrm{Q}$ वह बिंदु है जो $\mathrm{BC}$ रेखा को 1:2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, और $\mathrm{R}$ वह बिंदु है जो $\mathrm{CA}$ रेखा को 2:1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है। $riangle \mathrm{AQR}$ का केंद्रक G है। निम्नलिखित सदिशों को ec{a}, ec{b}, ec{c} का उपयोग कर व्यक्त करें: (1) बिंदु G का स्थिति सदिश (2) $\overrightarrow{\mathrm{PG}}$

यदि बिंदु P समतल KLM पर है, तो वेक्टर OP का परिमाण |€{ec{\mathrm{OP}}}| खोजें।

बिंदु \( \mathrm{A}(4,2,2) \) से गुजरने वाले और \( ec{n}=(2,-3,1) ) के लम्बवत समतल का समीकरण ज्ञात करें।

△OAB के लिए, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ मान लें। जब वास्तविक संख्याएँ $s$ और $t$ s+t=rac{1}{3}, s \geqq 0, t \geqq 0 को संतुष्ट करती हैं, तो बिंदु $\mathrm{P}$ की उपस्थिति सीमा पता करें।

\(ec{a}=(3,-4), ec{b}=(-2,1)\) दिए गए हैं, निम्नलिखित वेक्टरों के घटक प्रकट करें: (1) 2ec{a} (2) -ec{b} (3) ec{a}+2ec{b}

त्रिभुज OAB के लिए, मान लें $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$। जब वास्तविक संख्या $s, t$ निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करती हैं, तो बिंदु P की अस्तित्व सीमा निर्धारित करें। (1) $s+t=2$ (2) $s+t=3, \quad s \geqq 0, \quad t \geqq 0$

अध्याय 1 समतल पर सदिश- 23 EX 3 बिंदु \( \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,2), \mathrm{C}(5,-2) \) हैं। (1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ ज्ञात करें। (2) $\triangle \mathrm{ABC}$ के क्षेत्रफल का पता लगाएं। (3) सदिश $t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ का मान न्यूनतम करने वाले वास्तविक संख्या t और उसका न्यूनतम मान ज्ञात करें।

दाईं ओर के चित्र में दिखाए गए वेक्टरों के बारे में, निम्नलिखित प्रकार के सभी वेक्टर नंबरों के जोड़े सूचीबद्ध करें: (1) समान परिमाण वाले वेक्टर (2) समान दिशा वाले वेक्टर (3) समान वेक्टर (4) विपरीत वेक्टर

\( ec{a}=(1,2,3), ec{b}=(2,0,-1) \) दिए गए हैं। $t$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए, ec{c}=ec{a}+t ec{b} माना जाए। |ec{c}| का न्यूनतम मान और उस समय के $t$ का मान ज्ञात करें।

समतल पर, $riangle \mathrm{ABC}$ और बिंदु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ हैं, मान लें। जब निम्नलिखित समीकरण सही होते हैं, तो बिंदु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ की स्थिति का उत्तर दें। (1) $5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}$ (2) $7 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

दिए गए वेक्टर \vec{a} और \vec{b}। जब |\vec{a}| = 2\sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{5}, \vec{a} \cdot \vec{b} = -10 हो, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। (1) किसी वास्तविक संख्या t के लिए, \vec{a} + t\vec{b}| का न्यूनतम मान और उस समय t का मान ज्ञात करें। (2) (1) में प्राप्त t के मान के लिए, यह सिद्ध करें कि \vec{a} + t\vec{b} और \vec{b} लम्बवत हैं।

स्थान में, बिंदु A से बिंदु B तक के निर्दिष्ट रेखाखंड को $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है और इसकी माप $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ द्वारा प्रदर्शित की जाती है। स्थान के वेक्टर भी साधारणतः छोटे अक्षरों ec{a}, ec{b} से प्रदर्शित किए जाते हैं। स्थान के वेक्टर विमान के वेक्टर के समान ही परिभाषित होते हैं। कृपया वेक्टर की मूलभूत विशेषताओं के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें। 1. यदि ec{a} और ec{b} की दिशा समान है और माप भी समान है, तो इसे कैसे प्रदर्शित किया जा सकता है? 2. ec{a} के विपरीत वेक्टर को कैसे प्रदर्शित करेंगे? 3. 0 माप का वेक्टर और 1 माप का वेक्टर को क्या कहते हैं? 4. वेक्टर की जोड़, घटाव और वास्तविक संख्या गुणा के उदाहरण दें।

z=3+2 i, lpha=1-i होने पर, बिंदु \( \mathrm{P}(z), \mathrm{A}(lpha), \mathrm{P}^{\prime}(-z), \mathrm{B}(z+lpha), \mathrm{C}(z-lpha) \) को समिश्र समतल पर दर्शाओ।

(1) $x$ का मान खोजें ताकि \( \vec{a}=(x+2,1) \) और \( \vec{b}=(1,-6) \) लंबवत हों। (2) $\vec{d}$ नामक उस सदिश को खोजें जो \( \vec{c}=(2,1) \) के लंबवत है और जिसकी माप $2 \sqrt{5}$ है।

दिए गए शर्तों को पूरा करने वाले रेखा का समीकरण वेक्टर का उपयोग करके खोजें: (1) बिंदु \( \mathrm{A}(-2,3) \) से गुजरता है और वेक्टर \( ec{d}=(2,1) \) के समानांतर है (2) बिंदु \( \mathrm{A}(-1,2) \) और \( \mathrm{B}(3,1) \) से गुजरता है

निम्नलिखित सदिशों \vec{a}, \vec{b} के लिए, \vec{a}-\vec{b} को चित्रित करें।

(1) △OAB में, \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} होने पर, △OAB का क्षेत्रफल $S$ को ec{a}, ec{b} के उपयोग से प्रकट करो। (२) (1) का उपयोग करके, जब $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3,|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-6$ हो, तब △OAB का क्षेत्रफल $S$ ज्ञात करो।

2 ec{a}-3 ec{b}+ec{c}

रेखाखंड AB को m:n के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करें। यदि बिंदु A के निर्देशांक (a1, a2, a3) हैं और बिंदु B के निर्देशांक (b1, b2, b3) हैं, तो बिंदु P के निर्देशांक क्या होंगे?

रेखा खंड AB का मध्य बिंदु निर्देशांक $\ \ left(\rac{a_{1}+b_{1}}{2}, \rac{a_{2}+b_{2}}{2}, \rac{a_{3}+b_{3}}{2}$