ठोस ज्यामिति - आयतन और सतह क्षेत्रफल

'x-अक्ष ली जाए, x-अक्ष पर बिंदु P लिया जाता है। P को x-अक्ष के लंबवत तल पर एक क्रॉस-सेक्शन से घटित एक सही वर्तुळाकार त्रिभुज PQR होता है। बिंदु P की आवधानिक x के रूप में लें, तो PQ=QR=√(r^{2}-x^{2)}। इसलिए, त्रिभुज PQR के क्षेत्र को S(x) के रूप में लें, तो S(x)=1/2 * PQ * QR = 1/2(r^{2}-x^{2})। इस त्रिकोण के क्षेत्र के आधार पर आयतन V को खोजने में मदद करें।'

'एक आयत की तीन भुजाओं की लंबाई a, b, और c है। जब लम्बाई b को प्रवर्तन धुरी के रूप में उपयोग किया जाता है और एक्सटेंशन एजिस के द्वारा 90 डिग्री के साथ परिक्रमण किया जाता है, तो आयत द्वारा प्रवेश करने वाले समस्त बिंदुओं द्वारा बनाई गई ठोस V को माना जाता है। (1) a, b, और c के साथ V का आयतन व्यक्त करें। (2) जब a+b+c=1, तो V के आयतन के संभावित मानों का सीमा खोजें। [टोक्यो विश्वविद्यालय]'

'इस ठोस को एक समतल में काटिए जिसमें बिंदु Q और बिंदु S से गुजरता है, और फिर एक समतल में काट दें जो बिंदु T और बिंदु R से गुजरता है, और कटौती से बने चेहरों पर ही रंग लगाएं। बिंदु A, B, C को शामिल ठोस को प्रत्येक को ठोस X, Y, Z के रूप में दर्शाते हैं, ठोस Y और ठोस Z का आयतन अनुपात 4:1 है, तो निम्नलिखित प्रश्नों के जवाब दें।'

'त्रिभुज O-KLMN का आयात कितना है, बहुभुज ABCD-EFGH के आयात के मुकाबले?'

'(3) बिंदु P, Q, R को साइड्स AE, BF, CG पर इस प्रकार लिया जाता है कि AP:PE=2:1, BQ:QF=1:1, CR:RG=1:2। चित्र 2 में पिंट्स P, Q, R को चित्र 1 में जोड़ने का दर्शाता है। जब एक ठोस जिसमें चौबिसों ऊधों ओ-केएलएमएन को कटकर दो उत्तान बनाए गए हो, जिसमें बिंदु O शामिल है, उसका आयात कितना गुणक है ओ-केएलएमएन के उत्तान का आयात?'

'(2) यदि एक घन को साथ ही बिंदु P, R, और T के माध्यम से गुजरने वाले एक समतल द्वारा काटा जाता है, और बिंदु Q, R, और T से गुजरने वाले एक समतल द्वारा काटा जाता है, तो बिंदु B द्वारा बनी थोस की और बिंदु E द्वारा बनी थोस की आयाम का अनुपात खोजें, सबसे सरल पूर्णांक अनुपात में।'

'निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। एक कोन का आयाम (आधार क्षेत्र) × (ऊचाई) के रूप में गणना की जाती है।\n(1) इस अनुक्रियत चित्रक को जब असंकुचित किया जाता है, तो कौन सी किनारियों को किनारी A छूती हैं? कृपया चिन्हों का उपयोग करके चिन्ह I से किनारी K में से एक का उत्तर दें।\n(2) सॉलिड C में कितनी किनारियां हैं?\n(3) एक किनारा 6 सेमी माप का एक घन को D कहा जाता है।\nघन C की और घन D की आयतन अनुपात को सरल अंकों के अनुपात में व्यक्त करें।'

'जब एक समतल बिंदु P, Q, और F से गुजरता है तो यह सॉलिड काटता है, समतल किनारा AE को बिंदु R पर छूतता है।'

'A की जल टंकी की नीचे की सतह कितनी बार B जल टंकी की नीचे की सतह के बराबर है?'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवाद करें।'

'त्रिविमीय ज्यामिति Z में, अगर रंगित हिस्से के क्षेत्र और ना रंगित हिस्से के क्षेत्र का अनुपात 1:4 हो, तो प्रिस्त एक्स और प्रिस्त जेड के पृष्ठ क्षेत्रों का सरल संख्यात्मक अनुपात क्या है?'

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'एक स्थिर आकार के आयाम बनाने की समस्या में, निम्नलिखित ज्यामितीय आकृतियों का आयाम निकालें।'

'जब एडज AE, BF, CG, DH की बीच के बिंदुओं से गुजरने वाले एक समतल O-KLMN को काटता है, तो काटने के सेक्शन का क्षेत्र रोम्बस ABCD के क्षेत्र का कितना गुणक है?'

'जैसा चित्र में दिखाया गया है, एक ठोस है जिसमें सभी समतल आकृतियाँ हैं, जहां एज AB EF के पर्याय है, एज BC FG के पर्याय हैं, एज CD GH के पर्याय हैं, और एज DA HE के पर्याय हैं।'

'30 p, q को सकारात्मक वास्तव संख्या माना जाए। O को मूल बिंदु माना जाए और 3 बिंदु P(p, 0, 0), Q(0, q, 0), R(0, 0, 1) कोण ∠PRQ=π/6 पूर्ण करते हैं'

'दिए गए बिंदु A(1, -2, -3), B(2, 1, 1), C(-1, -3, 2), D(3, -4, -1)। लक्ष्यन AB, AC, AD के रेखांकित समांतर षड्भुज के अन्य कोणों की निर्धारित करें।'

'एक बन्दरगाह जिसका त्रिज्या 2 है और जिसमें पानी भरा है है। जब यह आसानी से कोने α को झुकाया गया है, तो पानी का स्तर 197h (2) से घट गया है, और बहे हुए पानी की मात्रा बची हुई पानी की मात्रा का अनुपात 11:5 हो गया है। h और α के मान खोजें। α के लिए उत्तर रेडियन में प्रदान करें।'

'x-अक्ष के चारोंों के चारों घूमने से प्राप्त ठोस के आयत का आयतन V निकालें। (2) वृत्त x^{2}+(y-2)^{2}=4 और इसके अंदर'

'सीधी y=x के चारों ओर घुमाकर उत्पन्न परिधि का आयाम निकालें। निम्नलिखित स्थितियों का ध्यान रखें: समीकरण संबंध 0 <= x <= t, x² - x <= y <= x, 0 <= t <= 2।'

'जब गोले का आयतन 1% बढ़ जाता है, तो गोले के त्रिज्या r और गोले की सतह S कितना प्रतिशत बढ़ते हैं?'

'तेत्राहेड्रन का आयतन'

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'पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित वक्र का आयतन और परिपरिचायक ठोस की गणना करें।'

'त्रिविमीय अंतरिक्ष में, त्रिभुज OAB जिसके कोने O(0,0,0), A(1,0,0), और B(1,1,0) होते हैं, को x-अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है और यहाँ से एक नापी चाली बनाया जाता है। य के चारों ओर घुमाया जाता है, उस पूर्णक बनाने वाले ठोस के आयतन का आयतन कीजिए।'

'दो अनंत में फैलते हुए सीधे वृत्तीय बेलन हैं जिनके कटाव ऊर्ध्वीय एक विज्ञाता a के वृत्त हैं। अब, मान लें कि इन दो टंकों के केंद्रीय धुरों का व्यासπ/4 का कोण बनाने के लिए ये दोनों वृत्तीय कूलहल को काटते हैं। कटाव (साझा भाग) की आयतिक निकलें।'

'र को सकारात्मक वास्तविक संख्या माना जाए। xyz अंतरिक्ष में, निम्नलिखित असमीकरणों को पूरा करने वाले बिंदु की समूहित सेट का विचार करें: x^{2} + y^{2} \\le r^{2}, y^{2} + z^{2} \\ge r^{2}, z^{2} + x^{2} \\le r^{2}। x = t (0 \\le t \\le r) वाले समतल द्वारा अखंड का आयाम ढूंढें।'

'स्थानांतरण जगह में एक घूर्णन ठोस का आयतन (2) की गणना करें।'

'असमीकरणों की एक प्रणाली द्वारा प्रतिनिधित एक ठोस का आयाम ढूंढें।'

'संशोधन'

'चारभुजी और षट्भुजी का प्रत्येक भित्ति रंगों से भरें। प्रत्येक भित्ति को केवल एक रंग से भरें। साथ ही, घुमाने और मेल करने वाले रंग के पैटर्न को एक ही माना जाता है। 12 रंग होने पर, चारभुजी को सभी भित्तियों को विभिन्न रंगों वाले रूप में कैसे भरने की कितनी संभावनाएं हैं? A [ ]। इसके अलावा, 8 रंग होने पर, षट्भुजी को सभी भित्तियों को विभिन्न रंगों वाले रूप में कैसे भरने की कितनी संभावनाएं हैं? B [ ]।'

''

'दी गई त्रिविमीय को किसी भिन्न रूप में रंगित करने के कितने विभिन्न तरीके हैं? मानें कि घूर्णीय बराबरी वाले रंगने को एक ही माना जाता है। (1) प्रत्येक मुख को 5 भिन्न रंगों से रंगित करने की विधि (2) त्रिभुजीय बेलन के प्रत्येक मुख को 5 भिन्न रंगों से रंगित करने की विधि'

'मौलिक उदाहरण 138 एक सम त्रिभुज की ऊँचाई और आयतन\nएक ईष्ट की दीवार की लंबाई a है।\n(1) इस तेत्राहेड्रन की ऊँचाई को a के शब्दों में व्यक्त करें।\n(2) इस ईष्ट्रेहेड्रन का आयतन को a के शब्दों में व्यक्त करें।'

'एक 6 सेंटीमीटर की एक घुसा हुआ घन है। इस घन में, हर सतह की विरोधी रेखा के छोटे से छोटे बिंदु के लर्बिक का आयतन पता करें।'

'\ \\sqrt{2} \\cos \\theta+1=0 \ से \ \\cos \\theta=-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ निकलता है। अर्द्धवृत्त के रेडियस 1 पर, जहां \ x \ अंक को \ -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \ मिलता है, उसे चित्र में बिंदु \ \\mathrm{P} \ कहते हैं। हमें जिसका \ \\theta \ ज्ञात करना है, वो \ \\angle \\mathrm{AOP} \ है।'

'चित्र में जैसा दिखाया गया है, ऊचाई 4 और आधार त्रिज्या √2 वाली शंकु गोला O से स्पर्शित है और उसकी तल केंद्र M पर भी स्पर्शित है। इस मामले में, गोला O का आयतन V और सतह क्षेत्र S का पता लगाएं।'

'क्यूब और त्रिकोणक गोलक की आयतन अनुपात 102'

''

'दायाँ चित्र में दिखाए गए चतुर्भुज ABCD में, AD=2, BD=4, CD=6, कोण ADB=ADC=BDC=90 डिग्री हैं, निम्नलिखित मानों को ढूंढें।'

'चतुर्भुज ABCD में, AD=2, BD=4, CD=6, ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°, निम्नलिखित मानों को ढूढ़ें:\n(1) चतुर्भुज ABCD का आयाम V\n(2) △ABC क्षेत्रफल S\n(3) शीर्ष D से त्रिभुज ABC तक लगाई गई लम्ब द उसकी लंबाई d'

'एक पतली धातु की चादर है जिसकी चौड़ाई की लंबाई का दोगुना है। इस चादर के कोनों से, 1 सेमी की पक्ष लंबाई वाले वर्गों को काटकर एक ओपन-टॉप आयताकार बॉक्स बनाया जाता है। बॉक्स का आयाम 4 सेमी³ और 24 सेमी³ के बीच रखने के लिए, ऊंचाई कितनी रेंज में होनी चाहिए?'

'Tetrahedron OABC के लिए निम्नलिखित ढूंढें:'

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'अक्षरीय चक्रीय बेलन में भीतर आसमत एक गोला का उच्चतम आयाम ढूंढें, जिसका अक्षरीय चक्रीय बेलन की अक्षरीय 6 है। साथ ही, उस समय सिलेंडर की ऊचाई निर्धारित करें।'

'समान चेहरेवाले चतुर्भुज का आयतन निकालें'

'जब प्रत्येक सिर्फ-बीस-भुजा बहुभुज W का प्रत्येक शीर्ष गोलक्षेत्र S की सतह पर स्थित होता है, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। बीस-भुजा उस सभी भिन्नताओं वाला समानांतर त्रिभुज है, और प्रत्येक शीर्ष के लिए 5 ऐसे त्रिभुज हैं।'

'एक नरम जिसके कोने की लम्बाई 1 है उस घन को दिया गया है, जिसमें बिंदु A, C, F को समावेशित करने वाला एक समतल है और रेखा BH को बाल लिए 3 बिंदु P, P से चौथाई समतल ABCD में ड्रॉप किया गया सीधी लाइन Q पर समाप्त होती है।'

'जब आधार क्षेत्र S और ऊचाई h हो, तो गोलाकार और शंकु का आयतन पता करें। साथ ही, त्रिज्या r वाले गोले का आयतन और सतह क्षेत्र भी पता करें।'

'समकोण त्रिभुज ABC को आधार बनाकर एक चतुर्भुज PABC बनाएं, जिसमें PA=PB=PC=2। ज्यामिति P से आधार ABC के लिए लंब रेखा PH नीचे गिराएं।'

'चतुर्भुज ABCD में, AB=3, BC=√13, CA=4, DA=DB=DC=3 है, D वर्तुल D से त्रिभुज ABC पर लंब DH डालें। इस समय, अंक DH की लंबाई और चतुर्भुज ABCD का आयतन जानें।'

'एक समबाहु त्रिभुज ABC को सही त्रिभूज कहा जाता है जिसकी एक भुजा की लम्बाई 3 है, और PABC को एक चतु:ष्टं बताया जाता है जिसमें PA=PB=PC=2 है। बिंदु P से आधार ABC पर लंब रेखा PH नीचे की जाती है।'

'एक नियमित चतुर्भुज की ऊचाई और आयतन की गणना\nएक नियमित चतुर्भुज ABCD में, जिसकी कोनी लम्बाई a है, वर्टेक्स A से त्रिभुज BCD की ओर एच धरा।\n(1) एच की लंबाई h को a की मदद से व्यक्त करें।\n(2) नियमित चतुर्भुज ABCD का आयतन V को a की मदद से व्यक्त करें।\n(3) बिनता एच से त्रिभुज ABC की ओर धारित लंबाई को a की मदद से व्यक्त करें।'

'अंतःस्थित गोले केंद्र को I माना जाता है। चार त्रिभुज IABC, IACD, IABD, IBCD समान हैं, इसलिए'

'समयक चतुष्कोण का आयतन निकालना'

''

'एक क्यूब A है। A को ऊपरी दिशा में 1 सेमी संक्षिप्त करें, आड़ में 2 सेमी संक्षिप्त करें और ऊचाई को 4 सेमी बढ़ाकर आयताकार प्रिज्म B बनाएं। साथ ही, A को ऊपरी दिशा में 1 सेमी बढ़ाकर, आड़ में 2 सेमी बढ़ाकर और ऊचाई को 2 सेमी संक्षिप्त करके आयताकार प्रिज्म C बनाएं। A का आयत बड़ा है B के आयत से, लेकिन C के आयत से अधिक नहीं है जबकि A की एक ओर की लंबाई की सीमा ढूंढें।'

'कृपया नियमित इकोसाहेड्रन डब्ल्यू का आयतन निकालें।'

'एक नियमित चतुर्भुज की ऊंचाई और आयतन'

'टेट्राहेड्रन ABCD में, AB = AC = 3, ∠BAC = 90°, AD = 2, BD = CD = √7, और BC की बीच की बिंदु M है। इस समय, BC = वर्ग, DM = त्रिभुज, ∠DAM = आयत कोण, टेट्राहेड्रन ABCD का आयतन ट्रेपेज़ियम है।'

'त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना, और इसका स्थिर ज्यामिति में उपयोग'

'चतुर्भुज ABCD का आयतन ढूंढें।'

'3 यौगिक भुजाओं वाला नियमित त्रिभुज ABCD में, शीर्षक A से वर्ग BCD में लम्ब एच डाला जाता है। दिया गया कि एजीड्ब्ल्यू=1 पर एजीडब्ल्यू के किनारे ई पर बिंदु E, ढूंढें:\n(1) sin∠ एबीएच\n(2) त्रिभुज EBCD का आयत'

'तेत्राहेड्रन OABC का आयतन निकालें। साथ ही, बिंदु O और त्रिभुज ABC के बीच की दूरी निकालें।'

'जब गोले का आयतन 1% बढ़ जाता है, तो त्रिज्या कितना प्रतिशत बढ़ता है?'

'(2) आवक का आयतन $Q$ या $V_{1}$ माना जाता है। किनारे $b$ के साथ त्रिभुज $ABCD$ के लिए...'

'0 ≤ x ≤ π की अवधि में, जो आकृति द्वारा घेरे गए गतिकों y=sin x, y=sin 2x द्वारा बनाया गया ठोस का आयतक क्या है?'

'(2) अंतरिक्ष में, जब अर्ध-व्यास 1 वाले गोले का केंद्र एक 4 के ओर लंबाई वाले वर्ग के एक कोण पर एक चक्कर काटता है, तो उस गोले के भाग का आयतन V निकालें।'

'स्थानांक स्थान में, गद्यांक x y मंडल में असमीय |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 द्वारा निर्धारित वर्तुल S के 4 कोने A(-1,1,0), B(1,1,0), C(1,-1,0), D(-1,-1,0) हैं। रेखा BD के चारोंांकों के चारों D(-1,-1,0) को V1 में, रेखा AC के चारोंांकों को C(1,-1,0) को V2 तक घुमाने से उत्पन्न सॉलिड V1 के माध्यम से x=t के वृत्त के प्लेट का क्षेत्रफल निर्धारित करें।'

''

'दिया गया उदाहरण 20: एक क्यूब के खरोंच के चारों ओर की घूर्णन विकर्ण का आयाम'

'मूल बिंदु के रूप में उत्तरी आयताकार शंकु का विचार करें जिसका केंद्र मूल है और जिसका आधार रेडियस है, जिसमें कोन A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1), F(-1,0,1) के सिरे शामिल हैं। इस शंकु के न्यूनतम आयाम और हर उस समय इसके आधार की ऊर्ध्वरेखा r का निर्धारण करें।'

None

'S को ज्यामिति अंतरिक्ष में मूलबिंदु O पर केंद्रित और त्रिज्या 1 वाला गोलाकार कहा जाता है। बिंदु A, B, C, D पर S पर एफ=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2) रखें। (1) →OA= a, →OB= b, →OC= c, →OD = d, जहां a, b, c, d से भिन्न स्थिर k मौजूद है, ऐसा कि एफ=k( a+ b+ c)·( a+b+c-3d)। स्थिर k की मान खोजें। (2) एफ का अधिकतम मान M जब बिंदु A, B, C, D S पर चलते हैं। (3) बिंदु C की निर्देशांक (-1/4, √15/4, 0) हैं और बिंदु D की निर्देशांक (1, 0, 0) हैं, ऐसा होने पर, सभी ऐसे बिंदुओं की तलाश करें जिन्होंने F=M किया है।'

'जब बिंदु पी (एक्स, 0) और क्यू (एक्स, साइन एक्स) कोनेक्टिंग लाइन सेगमेंट को एक तरफ के रूप में लेकर उसे एक समत्रिभुज त्रिभुजरूपी बनाने के लिए चुना जाता है एक रहती है। जब पॉइंट पी सीमा x-धुरी के साथ x-अक्ष के द्वारा मूर्दन O से (पाई, 0) बिंदु को लेकर चलता है, तो इस समत्रिभुज त्रिभुज के द्वारा बनाई जाने वाली ठोस की आयत की राशि का पता लगाएं।'

'उस वक्री वृत्तकोण का त्रुटि आयाम कम से कम करने वाले वृत्तकोण की त्रिज्या r खोजें।'

'चतुर्भुज ABCD और बिंदु P को समीकरण AP+3BP+2CP+6DP=0 को पूरा करते हैं।'

'अभ्यास 3 त्रिकोणीय पिरामिड का अधिकतम आयाम\nत्रि-पिरामिड OABC में, जहाँ |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, ∠AOB=90°, ∠AOC=α, ∠BOC=β। यह गया है कि 0°<α<90°, 0°<β<90°, और α+β>90° है।\n(1) a, b, c, α, β के माध्यम से डॉट उत्पाद OA⋅OC, OB⋅OC को व्यक्त करें।\n(2) CH को स्थान C से △OAB की तल में डालने वाली लंब धारित की गई लंब।\nयदि OH=kOA+lOB (जहाँ k, l वास्तविक संख्याएँ हैं), तो k, l को a, b, c, α, β के माध्यम से व्यक्त करें।\n(3) a, b, c, α, β के माध्यम से त्रि-पिरामिड OABC का आयाम V को व्यक्त करें।\n(4) जब a, b, c स्थिर होते हैं और α, β ∠120° को पूरा करते हैं, तो V की अधिकतम मान पता करें।'

'उदाहरण समस्या 20 घन के विकरणीय कटी में घुमाव का आयाम'

None

'y अक्ष के चारोंों से घिरे हुए क्षेत्र के एक बार y अक्ष के चारों से पुनरावृत्ति करने पर मिलने वाले ठोस का आयात V ढूंढें। यहां, $a>0, b>0$।'

'(3) बिंदु A की $x$-निर्देशांक की अपने मात्रात्मक मूल्य का पता लगाएं। बिंदु B और बिंदु P $yz$ समतल पर हैं। टेट्रेहेद्रन POAB की ऊँचाई खोजें और इसके आयाम की गणना करें।'

''

'रेखा y=x के चारों घुमावक दया\ny=x^2-x तथा रेखा y=x के मूलबिंद O को छोड़कर उनके छिपे हिस्से को घुमाने से प्राप्त ठोस का आयतन निकालें, जहां A रेखा और फोरमुले के बीच के संदर्भांक है।'

''

'घुमाने का ठोसों का आयाम: x = 0 से x = 1 तक के बीच x धुरी के चारों ओर ghumaane par, y = √x वक्र के द्वारा प्राप्त ठोस का आयाम ढूंढें।'

'कर्व y=-2 x^{2}-1, x अक्ष और x=-1 और x=2 वाली दो रेखाओं द्वारा घेरे गए क्षेत्र को x अक्ष के चारों घुमाकर प्राप्त ठोस का आयतन खोजें।'

'आयताकार ABCDEFGH में एबी=x, एडी=y, और एई=z की ओर बढ़ों की लम्बाई है। यदि एजी की रोमांचक दैर्घ्य 3 है और सतह क्षेत्र S 16 है, तो'

'निर्दिष्ट बिंदु P(x, 0) और Q(x, 4-x^2) को एक ओर जोड़ते हुए जो समत्रिभुज उत्पन्न होता है, जिसे x-अक्ष के लंबवत में एक तल पर खींचा गया है। P को x-अक्ष पर मूल बिंदु O से बिंदु (2,0) तक लेकर जाते समय, इस निर्दिष्ट त्रिकोण का आकार निकालें।'

'यदि AB=x, AD=y, AE=z है, तो अगर चतुर्भुज ABCD-EFGH अंतरिक्ष में मौजूद है तो जब चेयर है AG की लंबाई 3 है और सतह क्षेत्र S 16 है'

''

'एक आधे वृत्ताकार शंकु के रूप में एक पात्र का तल मुड़ा हुआ है जिसका त्रिज्या 5 सेंटीमीटर है और ऊचाई 10 सेंटीमीटर है। पात्र में पानी को धीरे से 2 सेंटीमीटर³/सनेकी दर से डाला जा रहा है। जब पानी का गहराई 4 सेंटीमीटर तक पहुंचता है, तो निम्नलिखित की प्राप्ति करें:\n(1) पानी स्तर उठने की गति\n(2) पानी की सतह क्षेत्र का वृद्धि दर'

'एक बार x-तिरिये के चारों दिशाओं के चारों पालने से प्राप्त ठोस का आयत'

'निम्नलिखित परिवर्तनीय ठोस का आयाम V खोजें।'

'रेखा सेगमेंट PQ पर बिंदु A है, O को मूलबिंदु, s को वास्तविक संख्या के रूप में'

'तीन-आयामी अंतरिक्ष में, तीन बिंदु हैं O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,√3,1)। वे स्थित हैं तल z=0 में, और केंद्र O और अर्ध-व्यास 1 वाले वृत्त W के रूप में। जब बिंदु P रेखा कटाता है, और बिंदु Q वृत्त W के चारों ओर या अंदर में गति करता है, ⃗OR=⃗OP+⃗OQ को पूरा करता है, तो सभी बिंदु R एक ठोस V_A बनाते हैं। उसी तरह, जब बिंदु P रेखा OB पर जाता है, और बिंदु Q वृत्त W के चारों ओर या अंदर में गति करता है, ⃗OR=⃗OP+⃗OQ को पूरा करता है, तो सभी बिंदु R एक ठोस V_B बनाते हैं। और, V_A और V_B का ओवरलैपिंग हिस्सा को V के रूप में चिह्नित किया जाए। (1) किसे θ का प्रयोग करके तल z=cosθ(0≤θ≤π/2) द्वारा कटी स्थिर V की अंशुक समचौबी क्षेत्रफल व्यक्त करें। (2) स्थिर V का आयाम निर्धारित करें।'

'अवतल $x=\\tan \\theta, y=\\cos 2 \\theta\\left(-\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\frac{\\pi}{2}\\right)$ द्वारा घेरे गए क्षेत्र को $x$-अक्ष के आसपास एक बार घुमाने से मिलने वाले ठोस का आयत $V$ ढूँढें।'

'त्रिआयामी\ V \ का आयातन निकालें।'

'दोनों ओर अनंत में फैले हुए वृत्ताकार बेलन हैं, जिनका काटा हुआ भाग अर्धरेखा a के वृत्त को बनाता है। अब, मान लें कि इन बेलनों का केंद्रीय धुरी π/4 के कोण पर कटता है। साझा भाग (साम्य भाग) का आयतन निकालें। [स्रोत: जापानी महिला विश्वविद्यालय]'

'निर्देशिका अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को घुमाकर एक ठोस का आयत बनाना'

''

'पाराबोला y=x^{2}-2 x और रेखा y=-x+2 द्वारा घेरी गई क्षेत्र को x धुरी के चारों ओर एक बार घुमाकर प्राप्त ठोस का आयतन V निकालें।'

'समझौता करें जिसमें शिखर A(1,1,0), B(1,-1,0), C(-1,-1,0), D(-1,1,0), E(1,0,1), और F(-1,0,1) के समानांतर त्रिभुज हो, मूलबिंदु केंद्रित एक्स वाई समतल पर वृत्त को आधार बनाते हुए सीधे घेरे को। इस तरह के सीधे घेरे के न्यूनतम आयाम और उस समय आधार की त्रिज्या r को ढूंढें।'

'अधिकतम और न्यूनतम अनुप्रयोग समस्याएं (2) ... विषय है अंतरिक्षीय आकृतियाँ'

'जब बिंदु P(x,0) और Q(x, sin x) को जोड़ने वाला एक एकपक्षीय त्रिभुज बनाता है जिसकी पहल 1 है, और यह त्रिभुज x-अक्ष के लिए लंबी एक समतल में लेटता है। प्वाइंट P को मूल को x-अक्ष से बिंदु (π, 0) तक लाते हुए, इस एक पक्षीय त्रिभुज द्वारा बनाए गए ठोस का आयतन ढूंढें।'

'जब गोले का आयतन V 1% बढ़ जाता है, तो उसके त्रिज्या r और गोले की सतह S किस प्रतिशत तक वृद्धि होती है?'

'य=के चारों ओर 1 पूर्ण घूमने पर प्राप्त ठोस की आयतन (V) ढूंढें। (1) उद्वक्त्र y=x^2 और रेखा y=x द्वारा घेरे गए क्षेत्र। (2) वक्र y=sin x (0 <= x <= pi) और रेखाएं y=x और x+y=pi द्वारा घेरे गए क्षेत्र।'

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'मुद्दे का सामना करें'

'मूल उदाहरण 171 पात्र से बह गया पानी का मात्रा'

'कर्व C: y=x^3 पर 2 बिंदु O(0,0), A(1,1) है। कर्व C और रेखांकित्रीय OA द्वारा घेरे गए क्षेत्र को रेखा OA के चारों ओर घुमाकर मिलने वाले ठोस आयत का आयतकार V ढूंढें।'

'एक नियमित त्रिकोणाकार त्रिकोण का आयतन'

'एक वर्तुल नापित है जिसका आधार त्रिज्या a और ऊचाई भी a है। जब नापित को दो ठोस बनाने के लिए आधार के डायमीटर एबी और आधार के साथ 30 डिग्री के खिसकाव वाले समतल में बाँटता है, तो छोटे समतल का आयतन V का पता लगाएं।'

'EX निर्देशांक अंतरिक्ष में, 2 तरह के अवकल समयूक्त हैं $x^{2}+y^{2} \\leqq 1$ और $0 \\leqq z \\leqq 3$। जब एक तल से गुजरती हुई रखी ($\\frac{\\pi}{4}$ के कोण बनाती हुई, 2133 x y में) और बिंदु $(1,0,1)$ को शामिल करने वाली यह वृत्ताकार या सिलिंडर दो ठोसों में विभाजित किया जाता है, बिंदु $(1,0,0)$ को शामिल एक ठोस का आयतन $V$ पता करें।'

''

'आयतन का निर्धारण कैसे करें'

'एक 5 सेमी के एक वर्गाकार के प्रत्येक पक्ष को 0.02 सेमी से घटाने पर, वर्गाकार की सतह और आयतन में कितनी कमी होगी? कृपया इसे दो दशमलव स्थानों तक गणना करें।'

'मूल बिंदु O(0, 0, 0) के साथ अंतरिक्ष में, तीन बिंदु A(1, 2, 0), B(0, 2, 3), C(1, 0, 3) हैं। इस समय, चतुर्भुज OABC का आयतन ढूंढें।'

'394 उदाहरण 62 वेक्टर समीकरण और चतुर्भुज के आयत समानुपात'

'3 डी अंतरिक्ष में बिंदु P(u, u, 0) और Q(u, 0, √(1-u^2)) का विचार करें। u को 0 से 1 तक बदलते समय, रेखाखंड PQ द्वारा बनाए गए सतह को S के रूप में चिह्नित किया जाता है।'

'चतुर्भुज OABC का आयतन V है,'

'क्या f(x)=xe^x+e/2 के लिए, ऐसे आकार का आयतन V निकालें जो y = f(x) कर्व, y अक्ष, और रेखा y=f(1) द्वारा घेरे गए क्षेत्र को y-अक्ष के चारों ओर पलटने से प्राप्त होता है।'

'गणित समस्या का समाधान करें: कर्व y=cosx(0 ≤ x ≤ π/2) को दोशी दिशा और y-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र को x-धुरी के चारों ओर घुमाने से जो ठोस आकार पैदा होता है, उसका आयतन V1 के रूप में है। नीचे का आधार त्रिज्या 1 और ऊचाई π/2 के एक सीधे वृत्त कोन का आयतन V2 कहा जाता है। V = V1 - V2 की मान की मान्यता कीजिए।'

''

'ठोस ज्यामिति से संबंधित अधिकतम और न्यूनतम समस्याओं का समाधान करें।'

'x-धुरी के चारों ओर घुमाने पर उत्पन्न ठोस का आयतन V ढूंढें जो दो वाक्यों द्वारा घेरे गए क्षेत्र द्वारा उत्पन्न किया गया है। वाक्यों को y = f(x) और y = g(x) (a <= x <= b, जहां f(x) >= g(x) >= 0) द्वारा परिभाषित किया गया है।'

'y-अक्ष के चारों ओर परिक्रमण करने से उत्पन्न आयतन ढूँढें।'

'x=f(θ), y=g(θ) वाली कर्व और x=a, x=b (a < b) दो सीधी रेखाएँ द्वारा घेरी गई क्षेत्र को x-धुरी के चारों ओर पलटने से प्राप्त ठोस का आयतन V ढूँढें।'

'ज्यामिति V की खोज करें जो y=cosx(0 ≤ x ≤ π), y=-1 कर्व द्वारा आलिंगनित क्षेत्र और y-अक्ष द्वारा परिधित वाली प्रदेशिका के द्वारा प्राप्त किया गया ठोस का है।'

'मूल O को केंद्र मानकर खाली स्थान में, तीन बिन्दु A(1,2,0), B(0,2,3), C(1,0,3) है। इस समय, चतुर्भुज OABC का आयतन कितना है।'

'गणित (2) (1) में विचार की गई आकृति को y-अक्ष के चारों घुमाने से प्राप्त ठोस का आयतन कीजिए।'

'y-अक्ष के चारों घुमते हुए ठोस का आयतन ढूंढें। समझाने के लिए फ़ंक्शन g(y) का उपयोग करें।'

''

'दिए गए प्रश्न को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'वह क्षेत्र ढूंढें जिसे वक्रीया x=tanθ, y=cos2θ (-π/2<θ<π/2) और x-अक्ष द्वारा घेरा गया है, और x-अक्ष के चारों ओर घुमाने से प्राप्त ठोस द्रव्य का आयतन V।'

'सीधे वृत्तीय शंकु की ऊंचाई निकालने का तरीका समझाएं।'

'मैं एक नियमित त्रिकोणकोन के प्रत्येक भूमि पर रंग लगाना चाहता हूँ। हालांकि, रंग लगाने को मेल खाने के लिए त्रिकोणकोन को घुमाना एक समान माना जाता है।\n(1) चार विभिन्न रंगों का उपयोग करके रंग लगाने के कितने तरीके हैं।\n(2) तीन रंगों के साथ रंगत करने के विभिन्न तरीकों में, तीन रंगों का उपयोग करके रंगने के कितने तरीके हैं। साथ ही, अगर तीनों में से एक रंग नहीं उपयोग किया जा सकता है, तो रंगने के कितने तरीके हैं।'

'उदाहरण 73 | बहुभुज का आयाम\n3 की एक ओर वाले 6 वर्ग और 8 समकोण त्रिभुज के मुख के रूप में एक बहुभुज के रूप में प्रतिष्ठित है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस बहुभुज का आयाम पता करें। [सेटसुनैन विश्वविद्यालय] मार्गदर्शिका एक क्यूब के भीतर प्रतिष्ठित होने पर ध्यान केंद्रित करें। सभी कोनों को काटकर एक वर्गों के हर कोने का एकवचन बनाने वाला बहुभुज का विचार करें जो क्यूब के प्रत्येक कोने के बीच की बिंदुओं से गुजरने वाले एक समतल में बन सकता है।'

'एक पतला धातु की शीट की लंबाई चौड़ाई का दोगुना है। इस शीट के चार कोनों से, एक-एक भाग के 5 सेंटीमीटर की एक ओर समाप्त होता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है और इसे फोल्ड करके एक खुला आयताकार बर्तन बनाया जाता है। जब इस बर्तन का आयाम 1.5 लीटर होता है, तो शीट की मौलिक आयाम क्या है सेंटीमीटर में?'

'144'

'त्रिभुज PABC है जिसकी प्रत्येक कोना 3 है। आंतरिक वाले 4 एक कोने की दोई चौराही को हटाने के बाद बची हुई आकृति का आयतन निकालें।'