ठोस ज्यामिति - तीन आयामी आकृतियों के गुण (बहुफलक, बेलन, शंकु, गोला)

'सर्कल सी का केंद्र का लोकस निकालें, जो (2) दिए गए वृत्त को स्पर्श करता है और एक्स-अक्ष को स्पर्श करता है।'

'असमीकरणों द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र'

'2 त्रिज्या वाले गोले में समावृत्त एक बेलन को ध्यान में रखते हुए, उसकी ऊचाई 2x है। (1) एक व्यास a जिसके आधार की रेडियस को x के अभिव्यक्ति में व्यक्त करें। (2) एक बेलन का आयतन V को x के सिद्धांत में व्यक्त करें। (3) V की अधिकतम मान का पता लगाएं। [होक्काइडो इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी]'

'2019 शिबुया एजुकेशन एकेडेमी माकुहरी मिडल स्कूल फर्स्ट एटेम्प्ट (26) देखने वाला चट्टान के सामने कड़ी में खड़ा है। चट्टान ए पर दक्षिण पूर्व, चट्टान बी पर दक्षिण पश्चिम, और चट्टान सी पर उत्तर की दिशा में है।'

'धातु की रॉड की विस्तार को रूलर से क्यों नहीं मापते हैं? क्रुपया 20 शब्दों में समझाएं।'

'पहले, पूरे क्षेत्र में तबका दक्षिण से उत्तर की ओर झुक रहा है, इसलिए पूर्व-पश्चिम दिशा में, तबके लगभग सीधे स्थित हैं। इसलिए, दक्षिण की ओर दर्शाई जा रही C तलहटी पर, प्रत्येक तबका लगभग सीधा दिखाई देता है।'

'उन्नती और बाढ़ से नमी और बाढ़ को रोकने के लिए ऊंची फर्श क्यों उपयोग किया जाता है?'

'साबित करें कि ध्रुवीय समीकरण \ r=\\frac{2}{2+\\cos \\theta} \ द्वारा दिया गया आकार उसी समान है जो तद्विम्य संख्या समीकरण \ |z|+\\left|z+\\frac{4}{3}\\right|=\\frac{8}{3} \ द्वारा दिया गया है और इस आकार की मापदंड बनाएँ।'

'3 गोली की समीकरण'

''

'दो गोला परिपथ $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$ और $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$ हैं। गोले परिपथ $S_{1}, S_{2}$ के छेदक को वृत्त $C$ माना जाए। निम्नलिखित मानकर:\n(1) वृत्त $C$ के केंद्र $P$ के निर्देशांक और त्रिज्या $r$\n(2) वृत्त $C$ को सम्मिलित तल $α$ का समीकरण'

'मूलबिन्दु को केंद्र मानकर और-रेडियस 1 वाली वृत्त C पर बिंदु \\( (\\cos \\theta, \\sin \\theta) \\) को P कहा जाता है। पॉइंट P पर वृत्त C से स्पर्शित वृत्त S, जो y-अक्ष से भी स्पर्शित है, को S कहा जाता है, और उसके केंद्र Q के निर्देशांक (u, v) हैं। (1) u और v को यथाक्रम में \ \\cos \\theta \ और \ \\sin \\theta \ का उपयोग करके व्यक्त करें। (2) वृत्त S के क्षेत्र को \\( D(\\theta) \\) के रूप में नामित किया जाता है। निर्धारित करें \\( \\lim_{\\theta \\to \\frac{\\pi}{2}-0} \\frac{D(\\theta)}{(\\frac{\\pi}{2}-\\theta)^{2}} \\)।'

'जिसमें बिंदु O को मूल बिंदु बनाएं कोऑर्डिनेट अंतरिक्ष में, A(5,4,-2) का इस्तेमाल करें।'

'कूब को वर्तुल के रूप में विचारा जा सकता है जिसके कोण O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(0,1,1), E(1,0,1), F(1,1,0), G(1,1,1) हैं। ओए का किनारा 3:1 में विभाजन बिंदु P, सीई का किनारा 1:2 में विभाजन बिंदु Q, और बीएफ का किनारा 1:3 में विभाजन बिंदु R कहलाया। बिंदु P, Q, R से गुजरने वाला समतल को α कहा जाता है।'

'स्पष्ट (1,1,1), (-1,1,-1), (-1,-1,0), (2,1,0) से गुजरने वाले गोला की समीकरण खोजें। साथ ही, इसके केंद्र की संयोधन और त्रिज्या का पता लगाएं।'

'चतुर्भुज ABCD में, AB²+CD²=BC²+AD²=AC²+BD², और ∠ADB=90°। त्रिभुज ABC का भौतिक केंद्र G माना जाता है।'

'अंतरिक्ष में एक आयताकार ABCD को सुनिश्चित करते हुए कि बिंदु A की निर्देशांक (5,0,0) हैं और बिंदु D की निर्देशांक (-5,0,0) हैं, जिसमें पक्ष AB की लंबाई 5 है। इसके अतिरिक्त, बिंदु B की y निर्देशांक और z निर्देशांक दोनों सकारात्मक हैं, और बिंदु B से xy समतल पर लंबाई का लंबाई 3 है। कृपया बिंदु B और C की निर्देशांक ढूंढें।'

'क्षेत्र ढूंढें जिससे अंतःस्रावी समीकरण द्वारा प्रतिनिधित वक्र पर एक बिंदु और ध्रुव $r=2(1+\\cos \\theta)(0 \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2})$ के बीच कनेक्टिंग रेखा जाती है। बुनियादी 182, गणित $\\mathrm{C}$ पृष्ठ 303 संदर्भ'

'ऐसे गोलीय पृष्ठ की समीकरण ढूंढें जो बिना पॉइंट्स (0,0,0), (6,0,0), (0,4,0) और (0,0,-8) से गुजरता हो। साथ ही, उसके केंद्र की संयोजना और त्रिज्या का पता लगाएं।'

'किसी सामान्य इकोसाहेड्रन के हर सीधे के बीच जाने वाले समतल से काटकर प्राप्त बहुभुज की संख्या (f), किनारों की संख्या (e) और शिखरों की संख्या (v) की गणना करें।'

'अध्याय 3 आकृतियों की गुणधर्म EX ⊕ 91 दाईं दिशा में चित्र [1] एक ऐसी बहुस्त्री है जो एक समरूपी षट्भुज के प्रत्येक किनारे के मध्यबिंदु से गुजरने वाले समतल से 8 शृंग काटकर मिलती है। इस बहुस्त्री को एक्स के रूप में निर्देशित किया जाता है। दाईं दिशा में चित्र [2] एक बहुस्त्री है जो किसी भी कोने से होने वाली बहुस्त्री को एक्स के मध्यबिंदु से वहाँ काटने वाले समतल द्वारा मिलती है। इस बहुस्त्री को वाय के रूप में निर्देशित किया जाता है। (1) बहुस्त्री एक्स की विशों, किनारों और शिखरों की संख्या का पता लगाएं, वे व्यक्तिगतन है। (2) बहुस्त्री वाय की विशों, किनारों और शिखरों की संख्या का पता लगाएं, वे व्यक्तित्व हैं।'

'किसी व्यास 1 वाले गोले में आंतरित एक नियमित चतुर्भुज की पहल की लंबाई खोजें।'

'रेडियस 1 वाले गोले में आंतरित एक नियमित चतुर्भुज की एक संविच्छेदक दी गई अवधि तक खोजें।'

'टेट्राहेड्रन पर की गई टूटी हुई रेखा की न्यूनतम मान खोजने का उदाहरण समस्या 141\nAB=BC=CA=8, AD=7 के साथ एक टेट्राहेड्रन ABCD दिया गया है। जब cos∠CAD=11/14 है, तो निम्नलिखित का पता लगाएं:\n(1) समकोण CD की लंबाई\n(2) साइन ∠ACD का आकार\n(3) समकोण AC पर बिंदु E के लिए, BE+ED की न्यूनतम मान'

'दाईं तरफ की चित्र [1] एक बहुभुज है जिसे हर एज के मध्यबिंदु से गुजरने वाले एक समतल से आठ कोने काट कर मिलता है। इस बहुभुज को X कहा जा सकता है। दाईं तरफ की चित्र [2] वह बहुभुज दिखाता है जिसे काट कर बनाया गया है और मैं [1] नाम देता है।'

'दाएं तरफ दिए गए चतुर्भुज में, AD=AE=1, EF=√3 है। (1) BF से लंबवत्ता वाली तरफ को ढूंढें।'

'2 की आधार त्रिज्या और ऊँचाई \ \\sqrt{5} \ वाला एक सीधा वृत्तकोण लीजिए। इस कोण के शीर्ष को \ \\mathrm{O} \ के रूप में चिह्नित करें, और आधार के व्यास के दोनों सिरों को \ \\mathrm{A}, \\mathrm{B} \ कहें। साथ ही, रेखा सेगमेंट \ \\mathrm{OB} \ का बीच कोण \ \\mathrm{P} \ की गणना करें। कॉन के कोने के कोण के ऊपरी सतह पर ए से पी तक सबसे छोटी दूरी की गणना करें।'

"दाएं चित्र में, रेखा AB वृत्त O और O' को क्रमश: बिंदु A और B पर स्पर्श करती है। यदि वृत्त O और O' की त्रिज्याएँ 5 और 4 हैं, और O और O' के बीच की दूरी 6 है, तो सेगमेंट AB की लंबाई निकालें।"

'नियमित त्रिकोण और नियमित षट्कोण के प्रत्येक चेहरे को रंग से भरें। प्रत्येक चेहरे पर केवल एक रंग भरा जाता है। साथ ही, इसे 323 डिग्री घुमाकर उसी रंग का मिलान करना समान माना जाता है। 12 रंगों होने पर, नियमित त्रिकोण के प्रत्येक चेहरे को ऐसे रंग से भरने के 7 तरीके हैं कि प्रत्येक चेहरा एक अलग रंग हो। 8 रंगों होने पर, नियमित षट्कोण के प्रत्येक चेहरे को ऐसे रंग से भरने के बहुत से तरीके हैं जिसमें प्रत्येक चेहरा एक अलग रंग हो।'

'दाईं तस्वीर में एक ठोस आकार दिखाया गया है जो एक समकोणी बेलन को कटते हुए एक समतल पर में DH, BF समेत के किनारों को समाविष्ट करने से बनता है।'

'क्यूब के प्रत्येक चेहरे को ऐसे पेंट किया जाना चाहिए कि पड़ोसी चेहरों में भिन्न रंग हो। हालांकि, क्यूब को घुमाने से जो वह रंगीन होने का समायोजन देता है, उसे एक ही माना जाता है। (1) 6 भिन्न रंगों का प्रयोग करके पेंट करने के कितने तरीके हैं? (2) 5 भिन्न रंगों का प्रयोग करने के कितने तरीके हैं?'

'कृपया पता लगाएं कि एक विशेष डोडेकाहेड्रन के सभी कोनों को काटने वाले समय बनने वाले बहुभुज की सांख्यिकीय गुणांकों f, e और v।'

'चतुर्भुज के एक मित्री का योग 180° होने की स्थिति का उपयोग करके यह सिद्ध करें कि एक चक्र में चतुर्भुज समाहित होता है।'

None

"दाएँ चित्र में, रेखा AB वृत्त O, O' पर बिंदु A, B में स्पर्श करती है। यदि वृत्त O, O' की त्रिज्याओं को प्रत्येक r और r' (r < r') के रूप में चिह्नित किया जाता है, और दोनों वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी d है, तो सिद्ध करें कि AB = √(d^2 - (r' - r)^2)।"

'निम्नलिखित उद्विक पहरियों के लिए भित्तियों की संख्या एफ, किनारों की संख्या ई, और कोणों की संख्या वि निर्धारित करें।\n(1) 12 नियमित पंचभुज और 20 नियमित षट्भुजों से मिलकर एक उद्विक पहरी\n(2) दाएं चित्र में दिखाए गए रूपक त्रिकोण के प्रत्येक कोने को सार्वत्रिक तेत्राहेड्रन के प्रत्येक किनारे को तिहराने वाले बिंदुओं से पार करने वाले एक तल से काटकर बनाया गया एक उद्विक पहरिया'

'दस्ताने इत्यादि से निकली रोशनी एक शंकु आकृति में फैलती है, लेकिन सही कोने में प्रकाशित किया गया तो प्रकाशित क्षेत्र का किनारा एक पराबोला बन जाता है। यह घटना एक कोन को उसके जनरेट्रिक्स के समानांतर काटने पर कटाई की धार पर पराबोला प्रकट होने के कारण होती है।'

'स्थान की बिंदुओं का स्थान\nठीक वैसे ही जैसे एक समतल में बिंदु को दो वास्तविक संख्याओं के जोड़े द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, वैश्विक में भी स्थान को संख्याक का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जो वास्तविक संख्याओं की त्रियुक्ति से बनता है। व्यास में बिंदु C का मान लें और बारीक रूप से संख्या मानकों को डिफ़ाइन करें जैसा कि छवि में दिखाया गया है। इन्हें x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष कहा जाता है, समूह रूप में उन्हें कोऑर्डिनेट धुरा कहा जाता है। विट्टी O को मूल बिंदु कहा जाता है।\n x-अक्ष और y-अक्ष द्वारा निर्धारित तच्छता को xy-तल कहा जाता है, y-अक्ष और z-अक्ष द्वारा निर्धारित तच्चता को yz-तल कहा जाता है, और z-अक्ष और x-अक्ष द्वारा निर्धारित तच्छता को zx-तल कहा जाता है।\nएक कोऑर्डिनेट तल में, दो अक्ष होते हैं, x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (अलंकारिक), लेकिन कोऑर्डिनेट अंतरिक्ष में, z-अक्ष (ऊंचाई) को जोड़ा जाता है। ये तीन अक्ष साथ में कोऑर्डिनेट तल के रूप में जाने जाते हैं।'

'कृपया निम्नलिखित तालिका में फिट जो (ए से सी) के लिए उत्तर दें।'

'प्रारूपी डोडेकाहेड्रन के प्रत्येक किनारे के बीच के मध्यबिंदु से गुजरने वाले एक समतल के माध्यम से सभी शीर्षों को काटकर, 21 भुजाओं वाले उस पावन बहुपद की त्रिभुजों की संख्या f, किनारों की संख्या e, और शृंखलाओं की संख्या v निर्धारित करें।'

'8 शिखाओं और 6 चेहरों वाले एक उत्तल बहुभुज के लिए, किनारों की संख्या निकालें।'

'कृपया गणित करें कि एक नियमित ऑक्टाहीड्रन के सभी कोनों के कटने वाले बिंदुओं के माध्यम से एक तिहैव समीकरण बीच गई समत्रता बहुभुज द्वारा बनाए गए विषाणु की त्रिभुजित लकीर से गुजरती हैं और सभी कोनों को काटने वाले विषाणु के द्वारा बनाया गया संवेगी बहुभुज की संख्या f, किनारों की संख्या e और शृंखलाओं की संख्या v का प्राप्त करें।'

'निम्नलिखित गणितीय शब्दों में से एक चुनें जो नियमित बहुभुज के समान हो।'

'सिद्ध करें कि जब सभी किनारों की लम्बाई बराबर होती है, सही चौरांगी ऊग्रशील A-BCDE में, जब धारा AD का बीच कोना M के रूप में संकेतित किया जाता है, तो धारा AD समतल MEC के लिए लंबक्ष होती है।'

'चित्र में दिखाए गए समबाहु घन ABCDE-FGHIJ में, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'बहुभुज संबंधित समस्याओं में, नोकिया पॉलीहेड्रान सिद्धांत का उपयोग करके ऊर्फा, किनारे और वक्ता के बीच संबंध को स्पष्ट किया जाता है।'

'साइन नियम एक पृष्ठभुज त्रिभुज के तीन आंतरिक कोनों के साइन और उसके तीन सिरों की लम्बाई के बीच का संबंध व्यक्त करता है। इस सिद्धांत को साबित करने के लिए, माध्यमिक स्कूल में सीखे गए आँतरिक कोन का सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।'

'1 की अर्ध-व्यासक गोले में आरोपित एक सीधी वृत्तीय शंकु के लिए उसकी ऊचाई, आधार त्रिज्या, और सांदर्भिक क्षेत्र को अधिकतम करने के लिए खोजें।'

'सोचें कि एक रोल किए गए पेपर ट्यूब को विकर्ण रूप से काटना। कागज को फैलाया गया हो तो, आपको लगता है कि किनारा कैसे दिखेगा? यहां, नीचे की त्रिज्या 1 है, और काटें हुए किनारे और आधार के बीच कोण π/4 (=45 डिग्री) है।'

'दायाँ ऊँचाई वाले त्रिकोणाकार O-ABCD में, तल में एक साइड की लंबाई 2a है और ऊचाई a है। निम्नलिखित को प्राप्त करें।\n(1) शीर्षकोण A से किनारा OB के ऊपर खींचे गए लंब रेखा AE की लंबाई\n(2) (1) में बिन्दु E के लिए, कोण AEC का माप और त्रिभुज AEC क्षेत्र'

'क्षेत्रफल की गणना करने के लिए विभाजित करने के लिए'

'जब 1 की चौड़ाई वाले एक नियमित इकोसाहेड्रन डब्ल्यू के सभी शिखर गोलक के सतह पर होते हैं, तो निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। एक नियमित इकोसाहेड्रन में सभी भुजाएँ समान अंकोंवाले समान त्रिभुजों से होती हैं, और प्रत्येक शिखर 5 त्रिभुजों द्वारा साझा किए जाते हैं।'

'गणित I'

'(1) कोसाइन नियम द्वारा'

'त्रिभुज ABC के आधार वाला सीधे त्रिभुजीय ऊँचाईवाला रेखानुक्रम T का विचार करें, जहाँ AB=2, AC=3, और BC=t(1<t<5)। एक सीधा त्रिभुज परिपति के रूप में परिभाषित है जहाँ सभी कोने आधार के लगभग लंबे होते हैं। इसके अतिरिक्त, समझौता करें कि एक गोला S T के अंदर समाहित है और T के सभी भूमिकाओं से स्पर्श करता है।'

''

'दिया गया है कि सीधा त्रिभुजीय प्रिज्म की ऊचाई 4 है, तो गेंद का त्रिज्या र रखा जा सकता है, फिर 0 < r ≤ 2'

'चतुर्भुज और गोला'

'दिए गए चित्र में, △ABC के बाहर 3 बिंदु D, E, और F इस तरह से लिए गए हैं कि △ABD, △BCE, और △CAF बराबरत्रिभुज बनते हैं। △ABC क्षेत्रफल को S माना जाए, और तीनों पक्षों की लंबाई BC=a, CA=b, AB=c हो। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें: (1) ∠BAC=θ, को a, b, और c के रूप में cosθ में अभिव्यक्त करें। (2) a, b, c, और S के अभिव्यक्त करें। इसमें, सामान्यत: cos(60°+θ)=\\frac{cosθ-√3 sinθ}{2} बनता है। (3) तीन बराबरत्रिभुजों को क्षेत्रफल की औसत T मान लें, S और T के रूप में ज्ञात करें।'

'एक व्यास 1 के गोले में घुसावटी नियमित त्रिभुज की एक पक्ष की लंबाई खोजें।'

'एक दायांगुल कोण है जिसका आधार त्रिज्या 2 और ऊँचाई √5 है। इस कोण के शीर्षकोण को O, आधार व्यास के दोनों सिरे को A, B नाम दिया गया है। सेगमेंट OB का मध्यबिंदु P है, तो पूर्वाभित्री सतह पर A से P तक सबसे छोटी दूरी कितनी होगी?'

'चिर्पंकुश उदाहरण 141 पर चालित चतुर्भुज पर लाइन सेगमेंट की कम से कम मान ज्ञात करें\nचतुर्भुज ABCD है, AB=BC=CA=8, और AD=7। जब cos∠CAD=11/14 हो, तो निम्न को ज्ञात करें।\n(1) किनारा CD की लंबाई\n(2) ∠ACD का आकार\n(3) किनारे AC पर बिंदु E के लिए, BE+ED की कम से कम मान\nमूल 121,137'

'उदाहरण 127 मापन समस्या (अंतरिक्ष)\nदाईं तरफ के चित्र में दिखाया गया है कि एक यूटिलिटी खंभ बिंदु A, B और C को शामिल एक समतल के अंदर लंबवत खड़ा है। बिंदु A और B से जब भी देखा जाता है, खंभ की ऊपरी छज्जा D के उच्चाधरण क्रमशः 60° और 45° हैं। जानकारी के अनुसार AB के बीच की दूरी 6m है, और ∠ACB = 30° है, खंभ की ऊचाई CD का पता लगाएं। आंख की ऊंचाई को ध्यान में न लेने की मानें।'

'चतुर्भुज और गोला\nएक ए की चौधरी ABCD के साथ चतुर्भुज को विचारित करें।\n(1) चतुर्भुज के चारोंों को व्यासीत करने वाले गोले की त्र्ज्य R को a के लिए व्यक्त करें।\n(2) चतुर्भुज में भीतरित गोले की त्र्ज्य r को a के लिए व्यक्त करें।'

'1 त्रिज्या गोले में आसंक्यित एक नियमित त्रिकोण बहुभुज की लंबाई का पता लगाएँ।'

'एक बेस रेडियस 2 और ऊंचाई √5 वाले एक सीधे वृत्तकोण है। इस कोन के शीर्षक ओ, आधार के व्यास के दो अंत A, B हैं, और सिरेंड AB के बीच के बीच बीहो O करें P - । साइड सतह पर A से P तक सबसे छोटी दूरी ढूंढें।'

'स्थान में एक बिंदु सामान्य रूप से अपने निर्देशांकों और मूल स्थान O की दूरी द्वारा परिभाषित है।'

'निर्माण करें एक गोलीय परिपट्टी का समीकरण जिसका केंद्र बिंदु (a, b, c) पर है और त्रिज्या r है।'

'निम्नलिखित गोलों के समीकरण ढूंढें।'

'केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या को क्रम में अनुवाद करें'

'वास्तविक संख्या ए की खोज करें, और जब बिंदु पूरे गोले S पर चलता है,'

'जैसा चित्र में दिखाया गया है, चक्र D के परिधि और रेखांक CQ के समांतर बिंदु S, T, U के अंकन स्थान हैं।'

'गोला की समीकरण'

'अभ्यास: दी गई तल $\\alpha: x-2 y+2 z+3=0$ और दो गोलाकार $S_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$, $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=8$। निम्नलिखित की खोज करें। (1) मूल के माध्यम से गुजरने वाले एक गोला का समीकरण जो तल $\\alpha$ और गोलाकार $S_{1}$ के छेद को शामिल करता है (2) दोनों गोलाकार $S_{1}$, $S_{2}$ के छेद के वृत्त $C$ को शामिल करने वाले एक तल का समीकरण, साथ ही वृत्त $C$ के केंद्र $P$ के निर्देशांक और त्रिज्या $r$'

'तीन बिंदु A (4,7,2), B (2,3,-2), C (6,5,-6) द्वारा निर्मित त्रिभुज ABC का आकार क्या है?'

'गेंद के केंद्र C(a, b, c) से xy-मिआधों पर डाली गई लंब रेखा, इस वृत्त के केंद्र (5/6, 5/6, 0) से होकर गुजरती है। इसलिए, बिंदु C और वृत्त के केंद्र के x और y अक्ष को एकसाथ बराबर मान आ=5/6, बी=5/6 हैं। साथ ही, गेंद S का त्रिज्या OC = √(〖(5/6)〗^2+〖(5/6)〗^2+c^2) = √(c^2 + 25/18), है। इससे, गेंद S का समीकरण (x-5/6)^2 + (y-5/6)^2 + (z-c)^2 = c^2 + 25/18 है। जब बिंदु (t+2 ,t+2 ,t) गेंद S पर होता है, तो (t+2-5/6)^2 + (t+2-5/6)^2 + (t-c)^2 = c^2 + 25/18, यानी 9t^2 - 2(3c-7)t + 4 = 0। रेखा l और गेंद S के समान बिंदु हैं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि t के लिए द्विघातांक प्रारूप (1) में वास्तव समाधान हो। इसलिए, D को भेदक मानकर, D≥0 को घोषित करना है जहाँ D और (3c-1)(3c-13) का होना चाहिए। D≥0 से (3c-1)(3c-13)≥0 निकलता है। इससे c≤1/3 या c≥13/3 है। इससे यह ज्ञात होता है कि a, b, c की शर्तें अनिवार्य हैं a=b=5/6 और (c≤1/3 या c≥13/3)।'

'मान को a>0 मान किया जाए। O(0,0,0), A(0, a, a), B(a, 0, a), C(a, a, 0) से गुज़रने वाले गोला 54 से संबंधित निम्नलिखित को ढूंढो।'

'यहाँ हमने एक अन्य समाधान प्राप्त किया है।\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}}=(x-1, y, z)$$\n\n$$\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2\\overrightarrow{\\mathrm{CP}}=(x, y-2, z)+2(x, y, z-3)=(3x, 3y-2,3z-6)$$\n\nइसलिए, $$\\overrightarrow{\\mathrm{AP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{BP}}+2 \\overrightarrow{\\mathrm{\\mathrm{CP}}})=0$$ से $$ (x-1) \\times 3x + y \\times (3y-2) + z \\times (3z-6)=0$$\n\nइसलिए $$ \\quad x^{2}-x+y^{2}-\\frac{2}{3} y+z^{2}-2z=0 $$ इसलिए $$ \\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{1}{4}+\\frac{1}{9}+1 $$ अर्थात $$ \\quad\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(y-\\frac{1}{3}\\right)^{2}+(z-1)^{2}=\\frac{49}{36} $$\n\nइसलिए, बिंदु P का समूह एक गोलीय सतह है जिसका केंद्र $$ \\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, 1\\right) $$ पर है और त्रिज्या $$ \\frac{7}{6} $$ है।'

'पारबोला की गुणधर्मों की स्पष्टीकरण करें और पारबोला पर बिंदु P की गुणधर्मों का निष्कर्ष निकालें।'

'(1) मान लें कि गोला $S_{1}$ का केंद्र $\\mathrm{O}_{1}(1,2,-3)$ है और त्रिज्या $r_{1}=\\sqrt{5}$ है। तथा तल $\\alpha$ और गोला $S_{1}$ के केंद्र $\\mathrm{O}_{1}$ के बीच की दूरी $\\frac{|1-2 \\cdot 2+2 \\cdot(-3)+3|}{\\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=2 \\times \\sqrt{5}>2$ है, अतः तल $\\alpha$ और गोला $S_{1}$ काटते हैं। इसलिए, तल $\\alpha$ और गोला $S_{1}$ के साझा बिंदु निम्नलिखित समीकरण को पूरा करते हैं।\n\\[4pt]\n\\($k(x-2 y+2 z+3)+(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-5=0$\\)\nसमीकरण (1) गोला को दर्शाता है। मूल से होता है, इसलिए $x=y=z=0$ का प्रतिस्थापन करने पर\n\\[4pt]\n\$3 k+1+4+9-5=0$\\nइसलिए $k=-3$, $k=-3$ को (1) में प्रतिस्थापित करने पर\n\\[4pt]\n\\($-3(x-2 y+2 z+3)+(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-5=0$\\)\nसुधारकर, चाहिए वाला समीकरण है $x^{2}+y^{2}+z^{2}-5 x+2 y=0$'

'एक व्यावसायिक षड्भुज ABCDEF जिसकी पक्ष की लम्बाई 1 है, दी गई है। प्वांत P रेखा AB पर चलता है और प्वांत Q रेखा CD पर अलग-अलग चलता है। जब पॉइंट R, जो सेगमेंट PQ को अनुपात 2:1 में विभाजित करता है, क्षेत्र की क्षमता का पता लगाएं।'

'(2) क्योंकि गोला प्रत्येक निर्देशांक तल में स्पर्शित है और बिंदु (5, -1, 4) से गुजरता है, इसलिए त्रि\u200dज्या को r लिया जाता है, और केंद्र के निर्देशांक (r, -r, r) से प्रस्तुत किया जाता है। इसलिए, गोले का समीकरण है'

'निश्चित करें कि वह साप (4)(x-2)=(y+1)(-3)=z-3 द्वारा दिए गए रेखा के लोफट में से गुजरते हुए और ठोस एकता की वर्तुल मिश्रण है (-1,2,3) पर गुजरती है।'

'सिद्ध करें कि त्रि-भुज ABCD में जिस बिंदु पर रेखांक एजी_ए, बीजी_बी, सीजी_सी, और डीजी_डी को 3:1 में आंतरिक रूप से विभाजित किया गया है, वह बिंदु एक साथ आते हैं जहाँ ABCD के त्रिभुजों BCD, ACD, ABD, और ABC के लिए केंट्रॉयड्स G_A, G_B, G_C, और G_D हैं।'

'गेंद की समीकरण है $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x-4y+4z=16$, और इसकी कट्टा हुई तल प्लेन $\\alpha: 6x-2y+3z=5$ है जिससे एक वृत्त $C$ बनता है। इस वृत्त के केंद्र की आवंधिकता और त्रिज्या का पता लगाएं।'

'गोला की समीकरण'

'दाईं ओर दिये गये आयतकृति OABC-DEFG के रचनात्मक कोणों की निर्धारित कीजिए, ओ को छोड़कर।'

'निर्देशांक अंतरिक्ष में, वृत्त के रेडियस 1 के केंद्र पर स्थित xy-समतल पर। इस वृत्त को नीचा मानते हुए और बिंदु (0,0,2) को शीर्षक रखकर एक शंकु (अंदर शामिल) को S कहें। साथ ही, बिंदु A(1,0,2) का विचार करें।'

'(2) बिंदु B के माध्यम से गुजरता है, और सीधांतित योग्य तल प्लेन को α कहा जाता है। तल प्लेन α पर, बिंदु C(1,0,0) को केंद्र मानकर, व्यास CB = √(3²+4²) = 5 वाले वृत्त पर चलने वाले बिंदु को R कहा गया है, तो CB = CR है, QB = √(QC² + CB²) है, QR = √(QC² + CR²) है। इसलिए, QB = QR, इसलिए, D(1,0,-5), तो AQ + QB = AQ + QD ≥ AD होगा। क्योंकि बिंदु A, Q और D zx तल पर हैं, इसलिए AQ + QD का न्यूनतम मान AD पर होता है। इसलिए, AQ + QB का न्यूनतम मान AD = √((1-2)² + (0-0)² + (-5-3)²) = √65 है।'

'क्यूबॉयड ABCD-EFGH में, साबित करें कि धाराएँ FB, BC, CD, DH, HE, और EF के बीच बिचके बिंदु सभी एक ही समतल में हैं।'

'कर्व K: y=1/x पर तीन शीर्षक A, B, C वाले त्रिभुज ABC का विचार करें। त्रिभुज ABC का उर्ध्वकेंद्र H कर्व K पर होने का सिद्धांत करें।'

'निर्देशांक अंतरिक्ष में उस भाग का आयतन निकालें जहां x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष की दूरी सभी 1 से कम है।'

'निर्देशांक अंतरिक्ष में, एक भाग के आयतन का पता लगाएं जहां x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष तक की दूरी 1 से कम या बराबर है।'

'स्थानांक अंतरिक्ष में, x-अक्ष और y-अक्ष तक की दूरी एक से कम या बराबर है, इस क्षेत्र का आयतन निकालें।'

'z=t(-1≤t≤1) प्लेन पर वह क्षेत्र क्षेत्र का क्षेत्र जहां x-अक्ष और y-अक्ष दोनों की दूरियां 1 से कम हैं, का क्षेत्रफल निकालें।'

'नक्कों A के घनाधारी रूपांकन को (10,0) मानते हैं, और वृत्त C में जिसका व्यास उठान ओ और नक्क A को जोड़ने वाले सीधी रेखा पर उत्पन्न हो, किसी भी बिंदु Q पर। Q पर वृत्त C के स्पर्श रेखा से ओ से लंब डालें, बिंदु P के घनाधारी रूपांकन को (r,θ) मानने पर, इसकी अपवाहिनी का घन समीकरण खोजें। यहां, 0 ≤ θ < π।'

'उदाहरण 54: गोले की समीकरण (2)'

'अभ्यास (1) : एलिप्स के केंद्र से लंबकारी दो समरेखी रेखाएँ खींचकर, एलिप्स के छूतने वाले बिंदुओं P और Q को लेने पर, 1/OP^2 + 1/OQ^2 स्थायी होने का सिद्धांत स्थापित करें।'

"बिंदु O, A ', B' xy-समतल पर हैं, इसलिए गोलीय सतह S और xy-समतल के क्रमगत बिंदु निर्माण दी गई आकृति O, A', B' से गुजरती है।"

'गोले की समीकरण - बिंदु (a, b, c) के केंद्र में व्यास r का एक गोला (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}'

'निश्चित करें कि \\( \\mathrm{A}(0,2,0) \\) एक बिंदु है और \\( \\vec{d}=(1,1,-2) \\) और रेखा के लिए समानांतर रेखा है।\n(1) रेखा और समतल \ 2 x-3 y+z=0 \ के छेदबिंदु के संयोजन की निर्धारित कीजिए।\n(2) रेखा द्वारा कटा गया खंड लंबाई निर्धारित करें \\( (x-4)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=14 \\) गोली पर।'

"(2) जब t सभी वास्तव संख्याओं पर विस्तार करता है, तो xyz अंतरिक्ष में बिंदु (t+2, t+2, t) द्वारा निर्धारित रेखा को l द्वारा सूचित किया जाता है। यदि केंद्र C(a, b, c) पर गोला S बिंदु O(0,0,0), A'(2,1,0), B'(1,2,0) से हो और रेखा l के साथ एक साझा बिंदु हो, तो a, b, c के लिए शर्तें खोजें। [होककाइडो विश्वविद्यालय]"

'अंतरिक्ष में, एक निश्चित दूरी r से एक निश्चित स्थिर बिंदु C की ओर की बिंदुों का समूह को एक गोला कहा जाता है जिसका केंद्र C और त्रिज्या r होती है।'

''

'चतुर्भुज $ABCD$ में, त्रिभुज $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ के गुरुत्वकेंद्र को लेकर यह सिद्ध करें कि सेगमेंट $AG_A$, $BG_B$, $CG_C$, $DG_D$ जो $3:1$ के अनुपात में विभाजित होते हैं, वहाँ के बिंदु एक साथ पड़ते हैं।'

'चार बिंदु हैं: A(4,0,0), B(0,8,0), C(0,0,4), D(0,0,2)।'

'अंक A(3,1,-1) और B(-2,-3,2) से गुजरने वाली रेखा और xy-समतल, yz-समतल और zx-समतल के छोटे कोणों के समय की निर्धारित करें।'

'(2) वृत्तीय पृष्ठ ax + (9-a)y - 18z + 45 = 0 को (3,2,1) केंद्र और √5 तीर्थ व्यास वाले गोला पृष्ठ से स्पर्श करता है। इस समय, स्थिर a का मान ढूंढें।'

'जानिए कि केंद्र (1,-3,2) है, मूल में से गुजरने वाली गोला पृष्ठी z=k से छूती है और एक वृत्त का रेडियस √5 है। k के मान को खोजें।'

'समतल में संयुक्त के बारे में पढ़ा, अब अंतरिक्ष में संयुक्त की मूल बातें सीख रहे हैं, और स्थानीय निर्देशांक में आकृतियों (रेखाएँ, गोलाकार आदि) के समीकरणों को समझना।'

'(-1,5,3) केंद्र और 4 त्रिज्या वाले गोला प्लेन x=1 के साथ कटते हुए वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ढूंढें।'

'निम्नलिखित गोली का समीकरण ढूंढें।'

'आधारभूत स्थानिकांतर में 2 बिंदु \\( \\mathrm{A}(0,3,0), \\mathrm{B}(0,-3,0) \\) को व्यास के दोनों सिरे मानें और गोलाकार सतह \ S \ को उसके शीर्ष पर मानें। जब बिंदु \\( \\mathrm{P}(x, y, z) \\) सतह \ S \ पर चलता है, तो \ 3x+4y+5z \ की अधिकतम मान का पता लगाएं। साथ ही, उस समय के P के निर्धारित स्थान का पता लगाएं।'

'बिना A(2,-1,3), B(5,2,3), C(2,2,0) के बिंदु दिए गए हैं, साबित करें। (1) बिंदु A, B, C के साथ त्रिभुज त्रिभुज है। (2) यदि एक नियमित चतुर्भुज के तीन बिंदु A, B, C हैं, तो चौथा बिंदु D के संवेदनांक ढूंढें।'

'ऐसा रेखा ढूंढें जो बिंदु A(2,4,0) और B(0,-5,6) से गुज़रती है और बिंदु (0,2,0) के केंद्र पर गोला है जिसकी अक्षरेखा 2 है। इंटरसेक्शन बिंदुओं की निर्धारित करें।'

'दिया गया है कि गोले का केंद्र (1, -2, 3a) है और त्रिज्या √13 है, जब यह गोला xy-समतल से टकराता है, तो यह एक व्यास 2 वाला वृत्त बनाता है। a की मान की खोज करें। साथ ही, इस वृत्त के केंद्र की निर्धारणीयाँ।'

'(1) (-1,3,2) केंद्र और 5 त्रिज्या वाले गोले के xy-समतल, yz-समतल, और zx-समतल के संयोजन से बने आकृतियों की समीकरण खोजें।'

'वहाँ सिर्फ-पञ्चभुजी ABCDE में जिसकी पक्ष की लम्बाई 1 है, AB वेक्टर b को और AE वेक्टर e को ले।'

'संयुक्त तह में, -1+2i और 3+i को क्रमशः बिंदु A और B की तरह प्रस्तुत करें। यदि AB एक वर्ग का एक कोना है, तो चौको ABCD के शिखर C, D का प्रस्तुतिकरण खोजें।'

'3 बिंदु O(0,0,0), A(2,0,1), B(0,1,2) का ध्यान रखें। कहा गया है कि बिंदु P(x,y,z) ऐसे गति करे कि |PO|=|PA|=|PB|।'

'(2) केंद्र (1, -2, 3a) और त्रिज्या sqrt(13) वाले गोलारेखा और x y समतल का क्रमिक परिस्पर कसने से 2 वाले त्रिज्या वाले वृत्त बनाती है। a की मूल्य पता करें। साथ ही, इस वृत्त के केंद्र की निर्धारित स्थानांक पता करें।'

''

'बिंदु A(2, -1, 3), B(5, 2, 3), C(2, 2, 0) के लिए: (1) सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC एक समत्रिभुज त्रिभुज है। (2) यदि A, B और C एक नियमित तेट्राहेड्रन के तीन कोने हैं, तो चौथे कोने D के निर्देशांक ढूँढें।'

'मान लें a>0। O(0,0,0), A(0,a,a), B(a,0,a), C(a,a,0) से होने वाले गोलीय सतह के लिए निम्नलिखित ढूंढें: (1) केंद्र के संदर्भ और त्रिज्या (2) zx समतल के साथ छिद्र की समीकरण'

'यहां एक गोला है जिसका केंद्र (2, -3, 4) है और अक्षर r है जो एक्सवाई-आय समतल को काटता है जिसे 3 का एक व्यास वाला वृत्त बनाते हैं। r की मान निर्धारित करें।'

'अगले, एक नियमित ऑकटाहेड्रन और उसकी सभी अवयवों से स्पर्श करने वाले गोले को ध्यान में रखें, और संपर्क के सभी बिंदुओं को शामिल करने वाले एक तल में काटने वाले कट्टा चित्र का विचार करें, जैसा की दाएं तस्वीर [2] में दिखाया गया है। अगर गोले का त्रिज्या r है, तो मेष खंड में ट्रायंगल क्षेत्रफल है'

'चरणकोण की ऊचाई को कैसे निकाला जाए, इसका वर्णन करें।'

'मान लीजिए कि दाएं चित्र में एक घन है, तो A से D तक का मार्ग उबहिं 3, ऊपर 2, और ऊपर 1 की परिवर्तनवार्ता है,'

'समघ्न चतुर्भुज ABCD के लिए नीचे दिए गए को साबित करें:\n1. धीरे AB का बीच का बिंदु M है।\n(A) धीरे AB मंजल CDM के लिए लंबधार है।\n(T) धीरे AB धीरे CD से लंबधार है।\n2. धीरों BC, AC, AD, और BD का बीच का बिंदु होने पर P, Q, R, S के रूप में, तो चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है।'

'एक नियमित इकोसाहेड्रन के सभी कोनों को काटकर एक समतल के माध्यम से गुजरने वाले प्रत्येक किनारे के बीच में एक पॉलिहेड्रन बनाने की विषयक मुख्यधारा, कोने की संख्या f, किनारों की संख्या e और कोनों की संख्या v निर्धारित करें।'

'किसी नियमित षड्भुज के लिए आवश्यक न्यूनतम रंगों की संख्या की गणना करें।'

'कृपया फैली हुई आरेख में सबसे कम दूरी की गणना करें।'

'सिद्ध करें: A त्रिभुज के चतुर्भुज के पर्श्ववर्ती है।'

'समस्त कोनों को काटकर एक तहत से जाने वाले प्लेन के माध्यम से उठाने वाले एक बहुभुज की रूपरेखा की भूमिका की संख्या f, किनारों की संख्या e, और शिखर की संख्या v पता करें।'

'छाप के सिद्धांत के अनुसार, डीए वह वृत्त को स्पर्श करता है जो बिंदु ए, ई और एफ से गुजरता है।'

'अंतरिक्ष में चतु:ष्टाकोण ABCD को ध्यान में रखें। सिद्ध करें कि एक गोलीय पृष्ठ है जो सभी 4 शिखर A, B, C, D से गुज़रता है।'

'किसी क्यूब के प्रत्येक चेहरे को इस प्रकार रंगित करना है कि पड़ोसी चेहरे विभिन्न रंगों के हो। हालाँकि, एक समान रंग की किश शुन्य के घुमाने को समान माना जाता है।'

मूल बिंदु पर केंद्रित और त्रिज्या r का गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए a एक वास्तविक संख्या है। xyz अंतरिक्ष में चार बिंदु A(0, a, 4), B(-2, 0, 3), C(1, 0, 2), और D(0, 2, 3) हैं, और बिंदु P(1, 0, 6) पर एक प्रकाश स्रोत रखा गया है। (1) प्रकाश स्रोत द्वारा xy विमान पर बनाए गए बिंदु A की छाया के निर्देशांक (アイ, ウ a, 0) हैं। (2) प्रकाश स्रोत द्वारा xy विमान पर बनाए गए त्रिभुज BCD की छाया भी एक त्रिभुज है। इस त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक 力 > ク हैं।

15 (2) \( (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \), \( (x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9 \)

गोल और समतल का प्रतिच्छेदन गोलार्ध \( (x+1)^{2}+(y-4)^{2}+(z-2)^{2}=3^{2} \) और निम्नलिखित समतल के बीच का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है। इसके केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (1) $x y$ समतल (2) $y z$ समतल (3) समतल $y=4$

मूल बिंदु पर केंद्रित, त्रिज्या r की गोला $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

(1) गोले $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-4 y-2 z+5=0$ का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करें। (2) चार बिंदुओं \( (2, 0, 0),(0, 2, 0),(0, 0, 2),(2, 2, 2) \) से होकर गुजरने वाले गोले का समीकरण ज्ञात करें।

केंद्रीय बिंदु (a, b, c) और त्रिज्या r वाले गोले का समीकरण खोजें \(\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

गोलक का समीकरण निम्नलिखित गोलकों के समीकरण ज्ञात करें। (1) बिंदु \( (3,-2,1) \) केंद्रित और त्रिज्या 2 वाली गोलक (2) मूल बिंदु केंद्रित और बिंदु \( (2,1,-3) \) से गुजरने वाली गोलक (3) बिंदु \( \mathrm{A}(5,3,-2) \) और \( \mathrm{B}(-1,3,2) \) को व्यास के अंत बिंदु बनाने वाली गोलक

गोलक \( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-5)^{2}=10 \) और निम्नलिखित समतलों के बीच का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है। उसके केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (1) yz समतल (2) zx समतल (3) समतल $z=3$

गोले का समीकरण (सामान्य रूप)

निम्नलिखित प्रकार के गोले का समीकरण खोजें। (1) केंद्र बिंदु पर केंद्रित एक गोला, जिसकी त्रिज्या $2 \sqrt{2}$ है (2) बिंदु A(6,5,-3) पर केंद्रित और बिंदु B(2,4,-3) से गुजरता हुआ गोला (3) बिंदु A(-1,4,9) और बिंदु B(7,0,1) को व्यास के दोनों छोर के रूप में रखने वाला गोला

निर्देशांक स्थान में आकृति गोले का समीकरण

निम्नलिखित गेंद की समीकरण ज्ञात करें।

निर्देशांक स्थानों में आकार: एक गोला और एक तल का प्रतिच्छेदन

मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से \( \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{C}(0,0,-2) \) तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित समतल $\mathrm{ABC}$ पर लंब रेखा $\mathrm{OH}$ खींचें। बिंदु $\mathrm{H}$ के निर्देशांक और रेखा खंड $\mathrm{OH}$ की लंबाई ज्ञात कीजिये।