समतल ज्यामिति - ज्यामितीय प्रमाण

'क्योंकि दोनों पक्ष सकारात्मक हैं, इसलिए करने से दो गुणा करें (mb+1)² = m²+1, इसलिए m{(b²-1)m+2b}=0, m≠0 है इसलिए m=2b/(1-b²)। इसलिए, रेखा QR का समीकरण है y=2b/(1-b²)(x-b)।'

'[1] जब b ≠ 1 हो, तो रेखा QR की समीकरण है, झुकाव को m मानते हुए, y=m(x-b), जिसका अर्थ है mx-y-mb=0'

'ट्रेक की तलाश की प्रक्रिया [1] चाहे ट्रैक्टर पर कोई भी बिंदु की आवधारणिक स्थिति (x, y) इत्यादि के रूप में प्रकट करें, और x, y के संबंध में प्राप्त शर्तों को प्रकट करें। [2] ट्रैक्टर की समीकरण निकालें और ज्यामितीय आकृतियों को जांचें। [3] सुनिश्चित करें कि आकृति पर कोई भी बिंदु शर्तों को पूरा करता है। यदि आकृति पर कोई बिंदु है जो शर्तों को पूरा नहीं करता है, तो उसे निकाल दें।'

'[1] जब ∠A=90° हो तो संतोष्ट करनी योग्य शर्त है कि बिंदु A, C की y आव्धि एक समान हो, इसलिए t²=t²-t-1, इसलिए t=-1 [2] जब ∠B=90° हो तो संतोष्ट करनी योग्य शर्त है कि बिंदु B, C की y आवधि एक समान हो, इसलिए t-2=t²-t-1, अर्थात (t-1)²=0, इसलिए t=1 [3] जब ∠C=90° हो तो संतोष्ट करनी योग्य शर्त है कि AB²=BC²+CA², जहां AB²={(t²-(t-2))}²={(t²-t+2)}², BC²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-(t-2)}²={(t²-2t+1)}²+3, CA²={(t+√3)-t}²+{(t²-t-1)-t²}²=(t+1)²+3, इसलिए (t²-t+2)²=(t²-2t+1)²+3+(t+1)²+3, विस्तार और सुव्यवस्थित करने पर हमें t³-t²-t-2=0, अर्थात (t-2)(t²+t+1)=0, और क्योंकि t एक वास्तविक संख्या है, इसलिए t=2 [1] से [3] तक हमारे द्वारा खोजे जाने वाले t के मान t=-1,1,2 है।'

'(2) यदि बिंदु P(x, y) है, तो AP=BP से AP^2=BP^2 होता है,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-5))}^{2}+(y-8)^{2}{% endraw %}\nऔर, AP=CP से AP^2=CP^2 होता है,\n{% raw %}\\((x-9)^{2}+(y-10)^{2}={(x-(-7))}^{2}+(y-2)^{2}{% endraw %}\nइसे हल करने पर, हमें P(3, 2) मिलता है'

'एक वैकल्पिक समाधान को ध्यान में रखें, अर्थात, जब बिंदु B निश्चित होता है, तो त्रिभुज ABD निश्चित होता है, इसलिए हमें केवल उस स्थिति का विचार करना है जिसमें त्रिभुज BCD क्षेत्र अधिकतम हो।'

'विच्छेद्य रेखा बिंदु A से गुजरती है और x-अक्ष के लिए अपरोक्ष नहीं है, इसलिए y=m(x-6)+8 के रूप में व्यक्त की जा सकती है, यानी mx-y-6m+8=0।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 179 क्षेत्र समानता और समीकरण निर्धारण\ny=x^{3}-6 x^{2}+9 x और y=m x द्वारा घेरे गए दो आकृतियों के क्षेत्र समान होने वाले स्थिर m की मान खोजें। यहाँ, 0<m<9।'

'सामान्यत: वक्र $f(x, y)=0$ निर्देशांक तल को कई क्षेत्रों (खंड) में विभाजित करता है। जब $f(x, y)$ $x, y$ का बहुपद होता है, तो $f(x, y)$ का चिह्न (सकारात्मक या नकारात्मक) विभाजित खंडों में स्थिर रहता है।'

'm को वास्तव संख्या माना जाए। निर्देशांक तल पर पराबोला y=x^{2} और रेखा y=mx+1 के व्यासपीठ पर विचार किया जाए, और शून्यकोण ध्रुव को O माना जाए।'

'निश्चित बिन्दु A, B से दूरियों के वर्गों का योग एक स्थिर मान k है जिसे बिंदु P की संझानक है। यहां, k>0 है।'

'मान एक बिंदु P से होने वाली रेखा को लंबगुणा लिखा जाए जिसे ℓ से दर्शाया गया है, जो कर्व C को तीन विभिन्न बिंदुओं पर काटती है, जो छोटे से बड़े x अग्र नामक सांकेतिकाओं के साथ α, β, γ हैं(α<β<γ)। प्रमाणित करें कि जब रेखा ℓ और कर्व C द्वारा घेरे गए रिपुंजों के क्षेत्रों के क्षेत्र समान होते हैं, तो रेखा ℓ मूल से होकर गुजरती है।'

'निश्चित बिंदु A और B से दूरी की वर्गों का अंतर को मान k रखते हुए उस स्थानों P की धुरी का वाह्यांक खोजें जो एक स्थायी मान k है। ध्यान दें, k > 0।'

'266 गणित अभ्यास 182 => यह पुस्तक p. 333\n(1) रेखा AP की समीकरण है\n\ny = -3px + 3p\n\nरेखा और पराबोल के छोर का x आधार निम्नलिखित है -3px + 3p = -3x^2 + 3।\nसमीकरण को हल करने पर, हमें x^2 - px + p - 1 = 0 मिलता है\nइसलिए (x - 1)(x - (p - 1)) = 0\nइसलिए, x = 1, p - 1\nयदि रेखा सेगमेंट AP और C A से भिन्न बिंदु Q को साझा करने के लिए शर्त है कि Q का x-आधार p - 1 है।\n\n*इसलिए*\n0 ≤ p - 1 < 1\n1 ≤ p < 2'

'लाइन y = -x + 6 द्वारा x^2 + y^2 = 25 वृत्त पर काटी गई धराको लंबाई लाइन का लंबाई 53 येन के लिए खोजें।'

't को सकारात्मक वास्तव संख्या माना जाए। xy-क्षेत्र में 2 बिंदु P(t, t^{2}), Q(-t, t^{2}+1) और पाराबोला C: y=x^{2} है। पंक्ति PQ और C द्वारा घेरे गए क्षेत्र की विस्तार क्षेत्र को f(t) कहें। f(t) की न्यूनतम मान और उस समय t का मान ढूंढें।'

'निर्धारित शर्तों को पूरा करने वाले बिंदुओं की प्रक्षेपवाची किसी आकार को बनाते हैं, जिसे बिंदुओं की वह प्रक्षेपवाची कहा जाता है। दिये गए शर्त को पूरा करने वाले बिंदु P की प्रक्षेपवाची आकार F है, इसे साबित करने के लिए, निम्नलिखित दो बातें साबित करनी होंगी: 1. दी गई शर्त को पूरा करने वाले कोई भी बिंदु P आकार F पर है। 2. किसी भी बिंदु P पर आकार F पर दिए गए शर्तों को पूरा करता है।'

"इसके अलावा, जब बिंदु B(-2,2) को बिंदु O(0,0) के समानांतर स्थानांतरित किया जाता है, त्रिभुज ABC को जब A बिंदु (2,3) को A'(4,1) और C बिंदु (1,-1) को C'(3,-3) में ले जाया जाता है। इससे त्रिभुज ABC = त्रिभुज A'OC' = 1/2 |4*(-3)-1*3| = 15/2। अगले, त्रिभुज ABC का बाह्य केंद्र भुज BC और CA के लम्बवत सम भाजकों का क्रमिक बिंदु है।"

"केंद्र O और त्रिज्या r वाले वृत्त O है। O से भिन्न बिंदु P के लिए, O को एक अंत बिंदु के रूप में रखकर अर्धरेखा OP पर बिंदु P' OP*OP'=r^2 द्वारा निर्धारित होता है, तो बिंदु P को बिंदु P' के साथ संबंधित करना वृत्त O के संदर्भ में पलटन कहलाता है, O को पलटन केंद्र के रूप में। इसके अतिरिक्त, जब बिंदु P आकार F पर चलता है, तो चित्र F' जो P पर चित्रित होता है को F का प्रतिरूप कहा जाता है। वृत्तों और रेखाओं के प्रतिरूप के संबंध में, निम्नलिखित गुण होते हैं: (1) पलटन केंद्र O के माध्यम से गुजरने वाले वृत्त का प्रतिरूप O से न गुझती रेखा है। (2) पलटन केंद्र O से गुजराने वाली रेखा का प्रतिरूप O से गुजरने वाली वृत्त है। (3) पलटन केंद्र O से गुजरने वाले वृत्त का प्रतिरूप O से न गुझता वृत्त है। (4) पलटन केंद्र O से गुजने वाली रेखा का प्रतिरूप वही रेखा होता है। पिछले पृष्ठ पर उदाहरण 71 वृत्त x^2+y^2=8 के संदर्भ में पलटन की एक उदाहरण है, जहाँ जैसे कि बिंदु P की चाल होती है, पलटन वृत or सेंटर O से गुजरने वाली वृत्त की ओर, बिंदु Q द्वारा चित्रित किए गए आकृति O से न गुजरने वाली रेखा 2x+y-4=0 हो जाती है। (1)-(4) की मान्यता निम्नलिखित प्रमाण से प्रमाणित की जा सकती है।"

'36 xy तल पर फैला हुआ शीर्षक y=x^2 पर चल रहे 2 बिंदु A, B और मूल को एक रेखाखंड द्वारा जोड़ कर त्रिभुज AOB बनाया गया है, जिसमें ∠AOB=90° है। इस समय, △AOB के भारकेंद्र G का बाह्य मार्ग खोजें।'

''

'उदाहरण 51 | त्रिभुज क्षेत्रफल की अधिकतम और न्यूनतम 0 < a < sqrt{3} मान के लिए। तीन रेखाएँ हैं l: y = 1-x, m: y = sqrt{3}x + 1, n: y = ax। l और m का विवेचनांक A, m और n का विवेचनांक B, n और l का विवेचनांक C हो। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S को कम से कम बनाने वाला a का मान ढूंढें। साथ ही, उस समय S का मान भी ढूंढें।'

'रेखा AC लाईन l के लिए लंबकारी है, इसलिए (q-1)/(p-7) * 1/2 = -1 है'

'अभ्यास (64 => पुस्तक पृ. 138) (1) लेट a > 0, और A(-a, 0), B(a, 0) को स्थापित करने के लिए निर्दिष्ट कर्धिअपी अक्ष। बिन्दु P की निर्देशिका (x, y) हो, दी गयी स्थिति है AP^2 + BP^2 = k, दी गई शर्त के अनुसार {(x+a)^2+y^2} + {(x-a)^2+y^2} = k, 4x=1 साझा आंतरिक सप्तक, अध्याय 3 अभ्यास ज्यामिति समीकरणों'

'(2) जब त्रिभुज PAB बनाया जाता है, तो बिंदु P सीधी रेखा AB पर नहीं है। रेखा AB की समीकरण है y=-x+2। इससे और y=x^2 से y को हटाकर हम x=1,-2 प्राप्त करते हैं। इसलिए, त्रिभुज PAB बनाने के लिए, s≠1, s≠-2 की आवश्यकता है। R के संयोजन (x, y) हों। R त्रिभुज PAB का केंद्रिक है, इससे हमें x=\\frac{s+3+0}{3} और y=\\frac{t-1+2}{3} मिलता है, जिससे s=3x-3, t=3y-1 मिलता है। (1) को प्रतिस्थापित करने पर हमें 3y-1=(3x-3)^2 मिलता है, अर्थात् y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3। (3) और (4) से हमें x≠\\frac{4}{3}, x≠\\frac{1}{3। इसलिए, चाहिए गई रेखांकन एक पराबोला है y=3(x-1)^2+\\frac{1}{3, केवल बिंदु (\\frac{4}{3}, \\frac{2}{3}) और (\\frac{1}{3}, \\frac{5}{3}) को बाहर रखकर।'

'जब बिंदु P से डिग्गज़ कोण y = \x0crac{1}{2} x^2$ को 2 स्पर्शयताओं में से खींचा जा सकता है, तो उस सपंचिकाओं को एवं नाट के द्वारा घेरे गए क्षेत्र को S के रूप में वर्णित किया जाता है। PA और PB का सर्वनिकट्तता में होने पर, S की न्यूनतम मान खोजें।'

'ज्यामिती में अनुप्रयोग समस्याएँ'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 182 क्षेत्रफल की अधिकतम और न्यूनतम (3)\nजब कर्व y = | x ^ 2-x | और रेखा y = mx के तीन विभिन्न परिवर्तन बिंदु हैं, तो इस कर्व और रेखा द्वारा घेरे गए दो भागों के क्षेत्रों का योग S को कम से कम करने वाले m के मान को ढूंढें।\n[समान प्रश्न यामगाता विश्वविद्यालय] <उदाहरण 169'

'बिंदुओं और वक्रों की गुजराव सीमा \ a, b \ को वास्तविक संख्याओं के रूप में लो। निर्देशांक तच्छ वक्र \ C: y=x^{2}+a x+b \ में एकरेखा \ y=-x^{2} \ है और दो साझा बिंदु हैं, जिसमें एक साझा बिंदु \ -1<x<0 \ को संतुष्ट करने वाले \ x \ निर्देशांक हैं, और दूसरे साझा बिंदु \ 0<x<1 \ को संतुष्ट करने वाले \ x \ निर्देशांक हैं। (1) निर्देशांक तच्छ पर बिन्दु \\( (a, b) \\) की संभावित सीमा को प्लॉट करें। (2) निर्देशांक तच्छ \ C \ की संभावित सीमा को प्लॉट करें। [टोक्यो विश्वविद्यालय]'

''

'आ को सकारात्मक निश्चित समझा जाए। सामंजस्य y=x^{2}+a पर किसी भी बिंदु प पर टैंजेंट रेखा और सामंजस्य y=x^{2} द्वारा घेरी गई क्षेत्रफल स्थिति से अविचल है, और उस स्थिर मान की मान बताएं।'

'बिंदु A(-2,-3) के संबंध में बिंदु P(3,7) के विमितीय बिंदु Q की निर्धारित संयोजनाएँ।'

'निश्चित करें कि बिंदु पी की पथरीति ऐसी हो जो बिंदु ए(-4,0) और बी(2,0) से बिंदु पर की दूरी का अनुपात 2:1 है।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'धुरी द्वियोजित रेखा की समीकरण ढूंढें जो बिंदु A(0,6) और B(4,4) को जोड़ने वाली रेखा को ऊपरी दिशा में बाँटती है।'

'बिंदु P रैखिक \ y=-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} x+\\frac{5}{2} \ पर है, इसलिए इसकी निर्देशांक ऐसे हैं \\( \\left(t,-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right) \\), जहाँ t>0\nअनुसार \\( \\mathrm{RP}^{2}=(t-\\sqrt{2})^{2}+\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{1}{2}\\right)^{2}=\\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2} \\),\n\ \\mathrm{RP}=\\mathrm{PQ} \ से पता चलता है कि \ \\mathrm{RP}^{2}=\\mathrm{PQ}^{2} \, इसलिए\n\\( \\frac{9}{8}(t-\\sqrt{2})^{2}=\\left(-\\frac{1}{2 \\sqrt{2}} t+\\frac{5}{2}\\right)^{2} \\)\nसरलीकरण के बाद, हमें मिलता है\n\ t^{2}-\\sqrt{2} t-4=0 \\nइसका समाधान करने पर t=2 \\sqrt{2},-\\sqrt{2} t>0, इसलिए t=2 \\sqrt{2}\nइसलिए, बिंदु P के निर्देशांक हैं \2 \\sqrt{2}, \\frac{3}{2}\\n\\( \\triangle \\mathrm{PQR}=\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{2}(2 \\sqrt{2}-\\sqrt{2})=\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} \\)'

'एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी का उपयोग करें'

'त्रिभुज ABC में, बाहु BC को 1:2 अनुपात में भागने वाला बिंदु D हो। सिद्ध करें: 2AB² + AC² = 3AD² + 6BD²।'

'समयुक्त असमिक्षा (1) से (4) द्वारा प्रस्तुत क्षेत्र D यह चित्र में छायादार भाग है। क्षेत्र D सीमा रेखाओं को शामिल करता है। कुल उत्पादन मात्रा को k माना जाए तो x+y=k। असमिक्षा (5) एक रेखा को दर के रूप में और y समरेखांक के रूप में दिखाती है जब यह रेखा (5) क्षेत्र D के साथ संयोग स्थान रखती है तो k का अधिकतम मूल्य प्राप्त कर सकते हैं। चित्र से पता लगता है कि जब रेखा (5) बिंदु (10,4) से गुजरती है, तो k का मान अधिकतम होता है। इस मामले में, k=10+4=14 है, इसलिए, कुल उत्पादन मात्रा 14 इकाइयों में अधिकतम है।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज एबीसी के तीनों कोनों से उनके विपरीत पक्ष या उनके विस्तारों पर डाली गई त्रिभुज ABC के तीनों अंल सी एक बिंदु पर कटती हैं।'

'ऐसे बिंदु P की रेखीय पथ का पता लगाएं जो बिंदु A(-1,-2) और B(-3,2) से समांतर किया गया है।'

'निम्नलिखित असमिकाओं को सिद्ध करें। साथ ही, समीकरण कब सत्य होता है, उसे भी निर्धारित करें।'

'दोरों के छोटे में से गुज़रने वाली रेखा का समीपन समीकरण'

'चित्र E में, ढीली रेखाओं वाले दो त्रिभुज समान हैं, इसलिए कोण ए और कोण बी का योग 90 डिग्री है। इसलिए, कोण आरपियूके भी 90 डिग्री है, इसलिए त्रिभुज पीक्यूआर एक सीधा समकोण त्रिभुज है। इसलिए, ✕ और - का योग 45 डिग्री है, इसलिए चित्र डब्ल्यू में कोण एक्स और कोण वाई का योग 45 जायर्गा 2=90 (डिग्री) है।'

'चित्र 2, चित्र 3, और चित्र 4 से, कांतो क्षेत्र में मौसम के बारे में सही वाक्यों का चयन करें और प्रतीकों के साथ उत्तर दें।'

'चित्र 7 उसे दिखाता है जिसमें टेट्सुओ अपना दाहिना हाथ एक आईने की ओर बढ़ा रहा है। एक आईने के सामने खड़े होकर, दाहिनी आंख, बाईं आंख, और हाथ की उंगली को आईने के समान परतदार करने के दौरान, आईने पर हाथ की उंगली H के प्रतिबिंब को देखने का विचार करें। केवल दाहिनी आंख से आईने को देखते समय, सुनिश्चित करें कि एच का उल्टा छायांकन जाति R के साथ सहमत है, और केवल बाईं आंख से आईने को देखते समय इसी प्रकार से बिंदु L को चित्रक में डालें। उत्तर पत्र की चित्रित की गई रेखाओं को मिटाए बिना चित्र में बिंदु R और L दर्शाएं। आईने के सतह पर बिंदु R और L को चिह्नित किए जाने के बाद, आईने के लिए निश्चित दिशा (तीर की दिशा) में आईने के लिए लॉक। केवल दाहिनी आंख से आईने को देखता है, R पर दृश्यमान H कैसा लग रहा है? सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें। उसी प्रकार, केवल बाईं आंख से आईने को देखते समय, L पर दृश्यमान H दिखाई देता है? सबसे उपयुक्त विकल्प का चयन करें और उत्तर दें।'

"(6) चित्र 6 में कैलिपर की वर्नियर स्केल, (1) की तरह, मिनिमम इंटरवल 1.95 मिमी होता है। चित्र 6 में, चित्र 3 में P को जिसके समर्थन में स्केल रेखा है, वहाँ एकदिवसीय मापक के 20 मिमी से अधिक है (चित्र 3 में स्थितिक P' के स्थान के समर्थन में)। इसके अलावा, जहाँ Q चित्र 3 के समर्थन में है, वर्नियर स्केल 3.5 पढ़ता है और मुख्य स्केल 34 मिमी पढ़ती है। (4) के समान तरीके से सोचते हुए, PP' की लंबाई की गणना की जाती है जैसे 34 - 20 - 1.95 × 3.5 × 2 = 0.35 मिमी। इसलिए, बटन का व्यास 20 + 0.35 = 20.35 मिमी के रूप में निर्धारित होता है।"

'खिलौना बी पर बनाई गई रेखा की दिशा और खिलौना बी का घूमने का कोण का सही उत्तर चुनें और प्रतीक दें। यहाँ ध्यान दें कि डायग्राम में टोटी रेखा मूल खिलौने की दिशा को और डबल-लाइन्ड वृत्तकार किसी खिलौना बी के घूमने कोण को प्रस्तुत करता है।'

'11 वीं आइटम के संबंध में निम्नलिखित कथनों के संदर्भ में, X और Y के बारे में, सही और गलत के संयोजन जिसे आपको चुनना है, निम्नलिखित में से किसी एक नंबर के साथ उत्तर दें।'

'एक धातु रॉड के विस्तार और उसकी मापन से संबंधित समस्या।'

''

'हमने अमोनिया के उत्पादन और गुणों पर एक प्रयोग किया। निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दें।'

'पाठ में दिए गए ग्राफ़ के मोड़ के आधार पर, चित्र 3 में C के ग्राफ़ को बनाने से, दिखाई देता है कि यह गाढ़े डैश रेखा का रूप लेता है। चित्र 3 से, इसे समझा जा सकता है कि (सबसे लंबा, सबसे छोटा) का संयोजन लंबाई के सामने मचाने के पहले है (बी, ए)। इसके अलावा, ग्राफ़ के माध्य के ढाल से, प्रति मिनट जलने की लंबाई के लिए (सबसे लंबा, सबसे छोटा) का संयोजन (सी, ए) पाया जाता है। इसलिए, ① (उ) है, और ② (ओ) है।'

'दायां तस्वीर में, जब एक पीले रंग को स्थान ए पर रखा जाता है, तो स्थान 1 <चौड़> (3) पर पीला नहीं रखा जा सकता है। इसलिए, जब स्थान बी पर पीला रंग रखा जाता है, तो (4) से (6) तक के स्थानों पर पीला रंग नहीं रखा जा सकता है। उसी तरह से, और सोचने से पता चलता है कि स्थानों c→d→e→f पर पीला रंग रखा जा सकता है, और अधिकतम 6 पीले रंग रखे जा सकते हैं। इस स्थिति से, स्थान बी पर पीले रंग को (5) के स्थान पर ले जाया जा सकता है, और साथ ही, स्थान ए पर पीले रंग को (2) के स्थान पर ले जाया जा सकता है। यानी, आई स्तंभ में 4 पीले रंगों में से 2 को पीला बनाने के 3 तरीके हैं, अर्थात (ए और बी), (ए और (5), (2) और (5))। आई स्तंभ और सकारात्मक स्तंभ के लिए भी यही लागू है, इसलिए 6 पीले रंग रखने के तरीकों का कुल मिलाकर 3 × 3 × 3 = 27 तरीके होते हैं। इसके अतिरिक्त, सभी मामलों में शेष भाग के पैटर्न के लिए 2 संभावनाएं हैं, इसलिए कुल 27 × 2 = 54 तरीके होते हैं।'

'प्रकाश के प्रसारण पर एक समस्या'

'चित्र-1 में, OD से एक लंबाई के साथ बढ़ाया गया रेखा पर स्थिति (1) में, OD बराबर DL होने वाले बिंदु L लें, OL की लंबवादी बीचबांध रेखा खींचे। इसके लिए, OL के बाईं ओर बिंदु M का चयन करें जिससे OM बराबर LM हो, OL के दाहिने ओर बिंदु N का चयन करें जिससे ON बराबर LN हो, और M और N को जोड़ें। अगले, बिंदु P और D को जोड़ें, और PD की लंबवादी बीचबांध रेखा खींचें। इसके लिए, PD के बाएं ओर बिंदु Q का चयन करें जिससे PQ बराबर DQ हो, और PD के दाएं ओर बिंदु R का चयन करें जिससे PR बराबर DR हो, और Q और R को जोड़ें। इसके अतिरिक्त, MN और QR रेखाओं का वाण्य से क्रमण स्थल S हो। अंततः, D और P से होकर गुज़रने वाल(circle) एक हिस्सा बनाने के लिए S को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचें, O केंद्र वाले वृत्त का सिर्फ D को छोड़कर क्रमण स्थल E हो।'

'(1) आकृति ए (नीला मध्य में), बी (नीला कोनों में), और सी (नीला किनारों में मध्य में) के मामलों का विचार करें। हर मामले में, शेष भागों को एक ही उपाय में लिपटाया जा सकता है ताकि घुमाने पर वे एक समान न हों। इस स्थिति में, यदि पीला भाग लाल है तो दूसरा भाग पीला है, या यदि एक भाग लाल है और दूसरा भाग पीला है, तो सभी मामलों में दो पैटर्न हो सकते हैं। अगले, नीले क्षेत्रों को स्थानांतरित करने पर, आकृति ए के मामले में एक संभावना है, और आकृतियों ब और सी के मामले में, 90 डिग्री पलटाए जाने पर 4 संभावनाएं हैं। इसलिए, कुल में (1+4+4)×2=18 संभावनाएं हैं।'

'लाइन ड में दिए गए हिस्से का ध्यान रखते हुए, 20-30 शब्दों में पेपर की तुलना में लकड़ी के टेबलेट्स के फायदे बताएं।'

'रेखा $\\ell: \\frac{x-2}{4}=\\frac{y+1}{-1}=z-3$ और समतल $\\alpha: x-4 y+z=0$ के बीच का कोण जानें।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज OAB का भीतर केंद्र P(z) दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।'

'जब बिंदु P(z) -1/2 से होकर गुजरते हुए वास्तविक धुरी के लिए सीधा रेखा पर हिलता है, तो जिसे w=1/z से प्रस्तुत किया गया बिंदु Q(w) किस प्रकार की आकृति बनाता है?'

''

'निम्नलिखित बिंदु A(1,1,0) से गुजरती हुई रेखा $\\frac{x-6}{3}=y-2=\\frac{1-z}{2}$ के लगभग लंब एक समतल की समीकरण ढूँढें।'

'क्वॉड ABCD में, विन्यास AC की भागीदारी 3:1 में घातं बनाने के लिए बिंदु P, और किनारे BC की 2:1 में आंतरिक विभाजित करने के लिए बिंदु Q लें। सिद्ध करें कि बिंदु D, P, Q को-रेनिएर हैं।'

''

'साझा रेखा, संयोजित और सममंडली शर्तों को पूरा करने के लिए आवश्यक शर्तों का वर्णन करें।'

'प्रश्न: सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में, यदि D और E अंक AB और AC के बीच के बिंदु हैं, तो BC // DE और BC = 2DE है। (मध्यबिन्दु सिद्धांत)।'

'ध्रुवाधिकार में, बिंदु A(3, π) परिसर ज पर है और प्रारंभ रेखा के लिए लंब है। ध्रुव O और रेखा g से बिंदु P की दूरियों का अनुपात स्थिर होने वाली द्वारा ध्रुविय दिशा की समीकरण खोजें। (A) 1:2 (B) 1:1'

'दो सरलों द्वारा बनाए गए एक्यूट कोण को खोजें।'

'सिद्ध करें कि विभिन्न 3 बिंदुओं O(0), A(α), B(β) के रूप में चीरा ओएबी में, शीर्षक O का आस-या P(z) है, तो z निम्नलिखित समीकरण को पूरा करता है।'

'संयोजित स्थिति को साबित करें।'

'सभी ऐसे बिंदुओं के द्वारा प्रस्तुत ज्यामिति आकार को खोजें जो समीकरण $|z-\\alpha|=|z-\eta|$ को पूरा करते हैं।'

"उदाहरण 123 के माध्यमिक ज्यामिति द्वारा सिद्धांत के प्रमाण\n1. मध्यरेखा को विस्तारित करके एक समरेख चतुर्भुज बनाने की रणनीति का प्रयोग उक्त कथन को साबित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन यह अतिरिक्त बिंदुओं और सहायक रेखाओं की आवश्यकता है, इससे यह कम सहज हो जाता है। सैक्टर AM पर बिंदु M को AM = MH के रूप में विस्तारित करने और यदि EM = GM है तो Chaturaipushpa AGHE एक समरेख चतुर्भुज है। इसलिए, AE = GH, और AB = AE से हम AB = GH प्राप्त करते हैं। इसके अतिरिक्त, AC = AG और AE // GH, जिससे ∠EAG + ∠AGH = π, इसलिए ∠AGH = π - ∠EAG = ∠BAC होता है। इससे होता है कि ∠AGH = ∠BAC (१) - (३) और ∠AGH = ∠BAC होने के कारण त्रिभुज ABC ≡ त्रिभुज GHA, इसलिए BC = AH = 2AM। और, BC // B'A, जिसका मतलब है कि ∠MAE = ∠GHA = ∠ABC = ∠BAB', अतः, ∠MAB' = ∠MAE + ∠EAB' = ∠BAB' + ∠EAB' = π/२। इसका मतलब है कि AE // GH और दोनों सिरों के बीच कोण समान हैं। इसलिए, AM ⊥ B'A और BC // B'A से होता है कि AM ⊥ BC और BC // B'A"

'मुख्य उदाहरण 121 कोसाइन नियम के अनुप्रयोग'

'कृपया पैथागोरियन सिद्धांत का उल्टा सम्बन्ध समझाएं।'

'(2) प्रमाणित करें कि समीकरण (1 + tan^2(A/2))sin^2((B+C)/2) = 1 सत्य है जब त्रिभुज ABC के कोणों A, B, और C का आकार क्रमश: A, B, और C द्वारा प्रस्तुत किया जाता है।'

'(2) के परिणाम से, यह पता चलता है कि क्योंकि बिंदु X विनिहित अनुपात में त्रिभुज AC की सीमा को बाहरी रूप से विभाजित करता है, और बिंदु Y भी AC की सीमा को बाहरी रूप से विभाजित करता है, इसलिए बिंदु X और बिंदु Y एक होते हैं। इसलिए, हम यह निर्णय निकाल सकते हैं कि AC, PQ, और RS तीन रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं।\n\nएक ज्यामितीय चित्रण सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके इसे पुष्टि करें। चाहे चतुर्भुज ABCD के आकार में परिवर्तन हो, AC, PQ, और RS तीन रेखाएँ एक ही बिंदु पर काटती हैं। कृपया सॉफ़्टवेयर में बिंदु P, Q, R, और S की स्थिति को बदलें।'

'पैराबोला y=2x^{2} को x दिशा में -2 और y दिशा में 3 इकाइयों के परालल स्थानांतरित करने से प्राप्त पराबोला की समीकरण क्या है?'

'टेट्राहेड्रन ABCD में, BC=BD हो, स्ट में अंक A से समतल BCD के लिए लम्ब रेखा AO लगाए। यदि अंक O ∠CBD के दो हिस्सों में BE पर है, तो साबित करें कि AE CD के लिए लम्बा है।'

'सिद्ध करें: त्रिभुज ABC और इसकी किनारों और माध्यरेखाओं पर किसी भी बिंदु P के लिए निम्नलिखित समीकरण स्थिर है: \AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}=AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}+3 GP^{2}\'

"80 डिग्री के अर्द्धरेखा OX के संबंध में बिंदु A का सममित्र A' है, और अधिकरेखा OY के संबंध में बिंदु B का सममित्र B' है, तो A'B' रेखा और OX अर्द्धरेखा के विवेक बिंदु को P, और A'B' रेखा और OY अर्द्धरेखा के कटाव को Q कहें।"

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में, यदि O वाह्य केंद्र है और P, Q, R पक्षों BC, CA, AB के सममित बिंदु हैं, तो तो O त्रिभुज PQR का ऊर्ध्वकेंद्र है।'

'चित्र में दिखाए गए एक क्यूब का विचार करें, सामीपिक तीन नामकरणिय त्रिभुज ABCD, BEFC, और CFGD पर बराबर अंतराल वाली रेखाएं खींचें, और मानें कि इन रेखाओं पर चलना संभव है। निम्नलिखित मामलों के प्रत्येक में, संभावित सबसे छोटी दूरी के रास्ते की संख्या निर्धारित करें: (1) चेहरे ABCD पर A से C जाना (2) चेहरे ABCD और BEFC पर A से F जाना (3) चेहरे ABCD, BEFC, और CFGD पर A से F जाना'

'दायाँ चित्र में, ए, बी, सी, और डी को स्पष्ट रूप से मिलाने के लिए लाल, नीला, पीला, और सफेद रंगों का उपयोग करते समय'

'बाह्य संख्या ∠सीएडी का धुरी का केंद्रीय कोण है।'

''

'समांक का सिद्धांत समझाएं।'

''

'अध्याय 3 आकृतियों की गुणधर्म'

'एक वृत्त की परिधि पर तीन बिंदु A, Q, B दिए गए हैं, और एक रेखा AB पर बिंदु P ऐसे की P Q की एक ही ओर है, निम्नलिखित प्रस्तावित दिशा से सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित प्रस्ताव को साबित करें: ∠APB > ∠AQB ⇒ बिंदु P वृत्त के भीतर है।'

'त्रिभुज ABC के कोनों के आधार पर वर्ग PQRS का निर्माण करें।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में, बिंदु A पर कोण विभाजक, बिंदु B पर 60 डिग्री का कोण विभाजक, और बिंदु C पर कोण विभाजक एक ही बिंदु पर कटते हैं।'

'रेखा AG यांत्रिक कोण BAC का बाह्य कोण का आधा है। BA के अर्धरेखा पर बिंदु H को लेने पर, निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें:'

'किसी रेखा सेगमेंट एबी और एक पॉइंट पी दिया है। अब, एबी को हाइपोटेन्यूस के रूप में एबीसी को सीधा त्रिभुज एबी से ABC बनाएं, सेगमेंट एसी पर बिंदु क्यू लें, और सेगमेंट बीसी पर प्वाइंट आर लें जिससे, चतुर्भुज PQCR वर्ग बन जाए। वर्ग PQCR बनाएं।'

'चित्र में, वृत्त में आन्तरिक वृत्तीय त्रिभुज ABC के कोण A का बाह्य कोण CAD का कोण द्विभाजक वृत्त को फिर से कटते हैं, और कोण BC के विस्तार से कटते हैं। यदि AE = AC है, तो सिद्ध करें कि BE = CF।'

''

'त्रेपिज़ियम ABCD में, जहाँ PR / / BC है, PR ≠ BC, चलिए प्ॉइंट्स P और Q को साइड्स PR और BC को अनुपात m: n में बाँटते हैं। प्रमाणित करें कि रेखाएँ AB, CD, और PQ एक बिंदु पर काटती हैं।'

''

''

'लंबाई संबंधित समस्याओं के महत्वपूर्ण बिंदु'

'सिद्ध करें कि, जैसा कि दाईं तरफ के चित्र में दिखाया गया है, एक अंगुलीय त्रिभुज ABC (जहां ∠B=90 डिग्री है) के ऊपर बिंदु D लिया जाता है (जहां D B और C से भिन्न होता है)। तो फिर, एक बिंदु E लिया जाता है जिसके लिए ∠ADE=90 डिग्री होता है और ∠DAE=∠BAC होता है। सिद्ध करें कि चार बिंदु A, D, C, E एक ही वृत्त पर हैं।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के कोण A के कोण विभाजक कोन-बी, साइड BC पर बिंदु D पर काटता है, जो BC को आंतरिक रूप से AB:AC की अनुपात में विभाजित करता है। निम्नलिखित दो तरीकों से इसका सिद्धांत करें:\n1) जब C से शुरू करके, AB से समांतर एवं AD से कटती हुई एक रेखा खींचें, बिंदु E और त्रिभुज ABD और त्रिभुज ECD पर ध्यान केंद्रित करें।\n2) बिंदु D से रेखा AB, AC पर लंब खींचकर, त्रिभुज ABD और ACD के क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित करें।'

'संदर्भ (5) में 1 और 3 के अलावा चुनिए गए विकल्पों की बात करते हैं। पहले, जैसे D, A, P बिंदु एक ही रेखा पर हैं, इसलिए इन तीनों बिंदुओं को एक ही वृत्त पर नहीं ले सकते। इसलिए, A और P बिंदुओं को शामिल करने वाले विकल्प उपयोगी नहीं हैं। अगले, उत्तरों के अनुसार, चार बिंदु D, A, C, E एक ही वृत्त पर हैं (ऊपर-दाएं तरफ की तस्वीर)। इसलिए, त्रिभुज DAE का वाहक वृत्त बिंदु C के माध्यम से जाना ही होगा, इसलिए यह बिंदु F के माध्यम से नहीं जाएगा। इसलिए, विकल्प 3 का उपयोगी नहीं है। उसी प्रकार, त्रिभुज DCE का वाहक वृत्त बिंदु A के माध्यम से जाना ही होगा, इसलिए यह बिंदु F के माध्यम से नहीं जाएगा। इसलिए, विकल्प 4 का उपयोगी नहीं है। उसी तरह, चार बिंदु D, C, P, Q के माध्यम से जाने गए वृत्त को विचार करके, पाया गया है कि विकल्प 5 भी उपयोगी नहीं है।'

''

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के केंद्रिक बिंदु G के लिए, तीनों के बाहर किसी भी बिंदु P के लिए निम्नलिखित समीकरण सत्य है'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में, जब परिकेंद्र O हो और समकोण BC, CA, AB के संबंध में विभाज्य बिंदु P, Q, R हों, तो O त्रिभुज PQR का ऊर्ध्वकेंद्र है।'

'प्रमाणित करें कि त्रिभुज ABC में ∠B=90°, BC पर बिंदु P होने पर AB < AP < AC है।'

'मूल उदाहरण 67 त्रिभुज का बाह्य केंद्र और अंलोचक का संबंध'

'सही चित्र में स्थित क्षेत्र A, B, C, D, E को रंगीन बनाना चाहते हैं। पड़ोसी क्षेत्रों के लिए विभिन्न रंगों का प्रयोग किया जाना चाहिए, और निर्दिष्ट संख्या में रंग सभी का उपयोग किया जाना चाहिए। रंग करने के कितने तरीके हैं? (1) 5 रंग का उपयोग करें (2) 4 रंग का उपयोग करें (3) 3 रंग का उपयोग करें'

'थेल्स के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करें: यदि त्रिभुज ABC का वाह्य वृत्त ∠BAC का दोगुना कोणविभाजक बिंदु M पर पारित करता है, तो MA = MB + MC यह बताता है कि AB + AC = 2BC।'

'जैसा दिए गए चित्र में है, त्रिभुज ABC के बाहर 3 बिंदु D, E, F लिए जाते हैं ऐसे कि त्रिभुज ABD, BCE, और CAF प्रत्येक एक समान त्रिभुज बनाते हैं।'

'चतुर्भुज ABCD में, AD // BC, ऐसे क एक तार्ंगणित अंस m:n की अन्तः समानन्तर बाटो को बाटता है, जो बिंदुओं P और Q है। सिद्ध करें की इस समय रेखाएँ AC, BD और PQ एक ही बिंदु पर क्षेत्रफल करती है।'

'दिए गए समकोण त्रिभुज ABC में, ∠A=90° है, बाहर से समकोण त्रिभुज BAD और ACE निर्मित करें। सेगमेंट्स CD और BE का क्रमश: छेद बिंदु को P लें। सिद्ध करें कि बिंदु C, E, A, P एक ही वृत्त पर स्थित हैं।'

'पॉइंट पी से पॉइंट क्यू पर सबसे छोटा मार्ग पाठ के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाली कुल पथों की संख्या पता करें।'

'वृक्ष आरेख का उपयोग'

''

{'title': 'Hindi', 'type': 'string'}

'मेनेलॉस के सिद्धांत का प्रयोग करके दिखाएं कि जब त्रिभुज ABC की त्रिभुज की पक्ष BC, CA, AB या उनके विस्तार एक रेखा l को न द्वार करने वाले बिंदुओं पर पॉइंट P, Q, R पर कटते हैं।'

'ज्यामितीय आकृतियों की गुणों से संबंधित एक समस्या पर विचार करें। निम्नलिखित आकारों की गुणों का उपयोग करके, हम निर्दिष्ट समस्या के लिए प्रमाण प्रस्तुत करेंगे।'

'बुनियादी उदाहरण 82 वृत्त के उद्धरण का रिवर्स\nदाएं तस्वीर में, L, M, N चतुर्भुज \ \\mathrm{ABCD} \ के साइड \ \\mathrm{AB}, \\mathrm{BC}, \\mathrm{AD} \ के बीच के बिंदु हैं जो एक वृत्त में समाहित हैं। साथ ही, रेखा ML और रेखा DA का क्रमबद्ध बिंदु P है, और रेखा NL और रेखा CB का क्रमबद्ध बिंदु Q है। सिद्ध करें कि इन 4 बिंदुओं M, N, P, Q एक ही परिधि पर हैं।'

'त्रिभुज ABC में, यदि अंतःकेंद्र I तीनों साइड BC, CA, और AB के सममित्र हैं और इन्हें P, Q, R के रूप में किया गया है, तो त्रिभुज PQR के संदर्भ में I किस प्रकार का बिंदु है?'

'लंबकोणीय द्विभाजक: बिंदु P रेखा सेकटर AB के ऊपर स्थित है। \ \\Leftrightarrow \ बिंदु P बिंदु A और B से समांतर है।'

'सिधांत स्थानांतरित दो उर्वरेखाओं की लंबाई समान होने का सिद्धांतित करें।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है अगर ग्रेडिएंट और अर्थोसेंटर एक साथ हैं।'

'दाएं तरफ की छवि के अनुसार, त्रिभुज ABC है। रेखा BC पर वर्ग PQRS को ऐसे बनाएँ कि साइड QR BC पर हो, वर्टेक्स P AB पर हो और वर्टेक्स S AC पर हो।'

'साबित करें कि रेखा AB त्रिभुज BDF के वृत्त को छुआ करती है।'

'प्रमाणित करें कि तीन रेखाएं AB, CD, PQ एक बिंदु पर कटती है। संकेत: दिखाएं कि AB और PQ का कट्टा वही है जो CD और PQ का है।'

'दाएं चित्र में 30 छात्रों के लिए विज्ञान परीक्षा में प्राप्त अंकों का बॉक्स प्लॉट दिखाता है। जब इस बॉक्स प्लॉट पर आधारित अंकों को हिस्टोग्राम के रूप में बनाया जाता है, तो इससे संबंधित निम्नलिखित चुनें।'

'जैसा दिए गए चित्र में है, बाह्य वृत्त पर स्थित बिंदु P से रेखा AB, BC, CA पर लम्बवृत्तीय PD, PE, PF खीचें। निम्नलिखित को सिद्ध करें।'

'परिधि कोण के उपयोग से सिद्ध करें कि अंक A, B, P, Q एक ही वृत्त पर हैं का शर्त।'

'कोण के द्व्यांग: बिंदु पी कोण एबीसी के कोण के बिंदु पर स्थित है।'

'चतुर्भुज एक वृत्त में अंतर्गत है का प्रमाण - मूल उदाहरण 83'

'अभ्यास 68\nतीव्र कोण त्रिभुज ABC का ऊर्ध्वकेंद्र H, परिकेंद्र O, सीमा BC का बीच बिंदु M, और रेखांक AH का बीच बिंदु N सम्बोधित किया जाता है। MN की लंबाई के समान है जिसके लिए त्रिभुज ABC के परिसंचरक का त्र्ज्या है, एवं AH=2OM से प्रमाणित करें।'

'थेल्स के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करें कि अगर त्रिभुज ABC का आउटसाइकिल और कोण BAC का कोण भाजक M पर कटता है, तो जब MA = MB + MC होता है, तो हमें 84AB + AC = 2BC मिलता है।'

'त्रिभुज ABC के त्रिभुजक केंन्ट्रॉइड G के साथ निम्नलिखित समीकरण सत्य है यह सिद्ध करो: AB² + BC² + CA² = 3(AG² + BG² + CG²)'

'एक वर्गवाह त्रिभुज ABC में जहां AB=AC, बेस BC पर दो बिंदु F और G लें, त्रिभुज ABC के परिक्रमित वृत्त के ढोल AFD और AGE खींचें। निम्नलिखित को सिद्ध करें: (1) AB² = AF * AD (2) चार बिंदु D, E, F, G एक कक्षा में हैं।'

'त्रिभुज ABC में, बाहु BC के बीच बिंदु को M मानकर समीकरण AB²+AC²=2(AM²+BM²) (माध्य गुणनखंड) को सिद्ध कीजिए।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABCD में, जहाँ AD//BC है, AD≠BC है, तो त्रिभुज के सिद्धांत AD और BC को बराबर अनुपात m:n में विभाजित करेंगे के बिंदु P और Q। फिर सिद्ध करें कि AB, CD और PQ रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी।'

'मेनेलाउस का प्रमेय'

'छूत सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्धांत समस्या'

'दिए गए चित्र के अनुसार, O को केंद्र मानकर सेक्टर OAB बनाएं। रेखा सेगमेंट OA पर, वर्ग PQRS बनाएं जिसमें साइड QR OA के साथ सामर्थ होती है, और शीर्षक P OA पर स्थित रेखा OB पर स्थित होता है, जबकि वर्तुल S धर AB पर स्थित होता है।'

''

'ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र का सोचने का तरीका'

'कोण समस्याओं को हल करने के महत्वपूर्ण बिंदु'

'वृत्त O पर, बाह्य बिंदु P से कोणविलंब PA और PB बनाएं, और रेखांक पूंज AB और PO के विंड M से होने वाली झूली CD बनाएं। सिद्ध करें कि बिंदु P, C, O, और D एक ही वृत्त पर हैं। यहां, C और D सीधी रेखा PO पर नहीं हैं।'

'वृत्त O के परिधि पर और अंदर बिंदु A, M दिए गए हैं। अब, M के माध्यम से एक धरान PQ खींचें ऐसा करें कि AM ∠PAQ को दो भाग में बाँटता है। ऐसी धराओं PQ का निर्माण करें।'

"सिद्ध करें कि यदि बिंदु P से होने वाले दो वृत्त O और O ' के गोपनीय बाह्य स्पर्शनियों C और D होते हैं, और यदि बिंदु P से होने वाली रेखा वृत्तों को बिंदु A और B पर काटती है, तो AC BD के लिए लंबकोणी है।"

'वृत्त O की परिधि और वृत्त के अंदर स्थिर बिन्दु A, M दिये हुए हैं। अब, बिन्दु M से होने वाले धनु का पीक्यू खींचें, ऐसा खींचें कि ऐएम ∠पीएक्यू को बीच में बांटे। ऐसा धनु बनाएँ।'

'वेन आरेखों का उपयोग करके उदाहरण 49 को जीतें!'

'दिए गए रेखांकन AB की लम्बाई 1 हो और ऐसी रेखाएँ जिनकी लम्बाई a और b हो, तो b/3a लम्बाई की रेखा बनाएं।'

''

'प्रशिक्षण 25'

'एक्यूट त्रिभुज ABC के अंदर उसी तरह का चतुर्भुज PQRS बनाएं जैसा दिया गया है, जिसमें 2PQ=QR हो, तरफ QR BC पर हो, कोने P की तरफ AB पर हो, और कोने S की तरफ CA पर हो। (केवल बनाने का तरीका वर्णित करें)'

''

'दिए गए पाठ का अनुवाद कई भाषाओं में करें।'

'दाएँ दिए गए आकृति में, △ABC और △CDE दोनों बराबरत्रिभुज हैं, और वर्तिकाएँ B, C, D समरेख है। AD और BE के छोते से पॉइंट F को डिफ़ाइन करें, फिर सिद्ध करें कि A, B, C, F बिंदुवृत्तीय हैं।'

''

'दाएँ चित्र में क्षेत्र A, B, C, D, E को रंग देना चाहते हैं। पड़ोसी क्षेत्रों को विभिन्न रंगों से रंगित करते समय, तीन रंगों से रंगित करने के कितने तरीके हैं?'

'प्रश्न: अनुपात में लंबाई, खंडों का गुणाकार प्रRepresentहारित\nलंबाई 1 के खंड AB और लंबाई a, b के खंड दिए गए हैं:\n(1) लंबाई a/b का खंड बनाएं।\n(2) लंबाई 2ab का खंड बनाएँ।'

'स्पर्श रेखा की लंबाई और स्पर्शक के सिद्धांत की समीक्षा करें!'

'सिद्ध करें कि एक तीव्र त्रिभुज ABC में, जहाँ कोण B और C से उनके विपरीत पक्षों पर लंब की गई ऊँचाईयाँ BE और CF क्रमश: हैं, जिनका कटाव H है। रेखा AH और भुजा BC का कटाव D हो, सिद्ध करें कि AD BC के लिए लंब है।'

'चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में आसरित है, AB = 4, BC = 2, DA = DC। यदि AC और BD के विरुद्ध कोण E हो, F वह बिंदु हो जो सेगमेंट AD को 2: 3 के अनुपात में बाँटता है, और G वह बिंदु हो जो रेखा FE और DC का एकविध बिंदु है। (2) लाइन AB बाइंडर के माध्यम से गुजरती है केस को ध्यान में रखें। इस मामले में, क्योंकि बिंदु B त्रिभुज AGD की सीमा AG पर है, हमें BG = प्राप्त है। इसके अलावा, क्योंकि लाइन AB बिंदु G में DC को काटती है, और 4 बिंदु A, B, C, D एक ही परिधि पर हैं, हमें DC = प्राप्त है।'

"सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में कोण B के कोण विभाजक और कोण C के कोण विभाजक बिंदु I पर कटते हैं। I से बाहु BC, CA, AB की लम्ब खींची गईं लाट को IP, IQ, IR के रूप में खींचा गया है, फिर IR = IP, IP = IQ का होने के कारण IR = IQ है, जिसका अर्थ है कि IP = IQ = IR है। इसलिए, बिंदु I को कोण A के कोण विभाजक पर स्थिति में है। इस प्रकार, त्रिभुज ABC के तीनों आंतरिक कोणों के कोण विभाजक एक बिंदु I पर कटते हैं। ऐसा बिंदु जहाँ अंतर्ल बुजक कटते हैं, को त्रिभुज का आंतरिक केंद्र कहा जाता है, और तीनों बाहुओं से स्पर्श करने वाले वह वृत्त को नीचे 'नबंधन वृत्त' कहा जाता है।"

'कृपया दाएं चित्र में दिखाए गए रेखांकित क्षेत्र OAB के अंदर एक वर्ग PQRS बनाएं, जिसका केंद्र O हो, ऐसा करें कि तरफ QR रेखा सेगमेंट OA पर हो, वर्टेक्स P रेखा सेगमेंट OB पर हो, और वर्टेक्स S आर्क AB पर हो। (केवल बनाने का तरीका प्रदान करें)।'

'रंग भराई (आवृत्ति)।'

'दी गई रेखा अब को आंतरिक रूप से अनुपात 3:2 में विभाजित करने के लिए बिंदु बनाएं।'

'रेखांक A और B की लवड़ में लंबधार बीच रेखा का निर्माण (1) C और D के रूप में दो वृत्तों को बनाएं, जिन्हें ए और बी द्वारा केंद्र मानकर, जो एक ही अक्षरहित हैं, और दो वृत्तों के विविधांक के सामयांक को वर्णित करें। (2) रेखा CD खिचाएं।'

'(1) और (2) के लिए, निर्देशों के अनुसार स्तंभ AD की लंबाई ढूंढें।'

'जैसा कि दाएं तरफ दिखाया गया है, दो व्यासों वाले विभिन्न वृत्त किसी बिन्दु A में स्पर्श कर रहे हैं। बिन्दु D पर अंतर्वृत्त का एकत्रित रेखा खींचें, और बाह्य वृत्त के संबद्धांक B और C को बनाएं। सिद्ध करें कि AD द्विभाजक बनाता है ∠BAC।'

'25 क्षेत्रों (समतल) के विभाजन के उदाहरण समस्या:'

'TR की उपसंहिता A, B के लिए, निम्नलिखित समीकरण सत्य होने की पुष्टि करें।'

'ट्रायंगल ABC और इसके व्यासच्छेद वृत्त के साथ, साइड बीसी पर बिंदु डी ऐसा लिया जाता है कि ∠बीएडी=∠कैडी। इसके अतिरिक्त, बिंदु ए पर वृत्त के रेखांकन से जाने वाली रेखा बीसी के क्रमभंग से परिवर्तन स्थल पी को रखें। साबित करो कि पीए = पीडी।'

'उस चित्र के अनुसार, जिसमें O केंद्र में OAB क्षेत्रांतर के अंदर चौराहे PQRS बनाएं, जिसमें QR की एक भुज रेखा OA पर है, कोण P रेखा OB पर है, और कोण S धार AB पर है (केवल चित्र बनाने का तरीका प्रदान करें)।'

'मैं दाईं तरफ के चित्र में क्षेत्र A, B, C, D, E को रंग भरना चाहता हूँ। जब पड़ोसी क्षेत्रों को विभिन्न रंगों में भरते हैं और 4 रंगों से अधिक नहीं इस्तेमाल करते हैं, तो इसे भरने के कितने रास्ते हैं?'

"साबित करें कि जब दो समक्रम वृत्त O और O' में एक समान तार AB होती है जो बिंदु P से होती है, तो वृत्त O की तार CD होती है और वृत्त O' की तार EF होती है, तो चार बिन्दु C, D, E, F एक ही परिधि पर होते हैं। हालांकि, ध्यान दें कि चार बिन्दु C, D, E, F सदियों पर नहीं हैं।"

'तेत्राहेड्रन ABCD में निम्नलिखित को सिद्ध करें: (अ) एजी AD का बीच बिंदु M मानकर, AD मांस MBC समतल के लिए लंब है; (ब) AD BC के लिए लंब है।'

'समतल एल्फा पर रेखा एल है। बिन्दु ए एल्फा पर नहीं है, बिंदु बी एल पर है, और बिंदु ओ एल्फा पर है लेकिन ओ एल पर नहीं है। निम्नलिखित को साबित करें: ओबी ऊर्ध्वीकरण है एल के लिए, एबी ऊर्ध्वीकरण है एल के लिए, ओए ऊर्ध्वीकरण है ओबी तो ओए उर्ध्वीकरण होता है एल्फा के लिए।'

"दो वृत्त O और O' हैं जो बिंदु P और Q पर कटते हैं। बिंदु P से होने वाली रेखा O, O' को बिंदु A, B पर काटती है, और बिंदु A, Q से होने वाली रेखा O' को बिंदु C पर काटती है। बिंदु A पर वृत्त O को स्पर्श रेखा को AD जाना जाता है, तब AD // BC सिद्ध करें।"

''

'दाएं चित्र में, x, y, z पता करें। यहाँ, ℓ वृत्त O की टैंजेंट है, और प्वाइंट A स्पर्श बिंदु है। साथ ही, (2) में ∠ABD=∠CBD है।'

"दाएं चित्र में, बिंदु P और Q पर सापेक्ष मिलने वाले दो वृत्त O और O' हैं। बिंदु P पर वृत्त O का स्पर्शरेखा और वृत्त O' के संवादी को समांकित करने वाला बिंदु A, रेखा AQ और वृत्त O का संवादी बिंदु B, और रेखा BP और वृत्त O' का संवादी बिंदु C की विचारशीलता है। साबित करें कि AC=AP।"

"दिए गए चित्र में दिखाए गए दो वृत्त O और O' हैं जो दो बिंदु P और Q पर कटते हैं। बिंदु P से वृत्त O की टैंजेंट को बिंदु A पर कटने वाले O' की संख्या, रेखा AQ और वृत्त O का बिंदु B पर कटने, और रेखा BP और वृत्त O' के बिंदु C पर कटने का वर्णन किया गया है। साबित करें कि AC = AP।"

'चेवा के प्रमेय का उल्टा'

'एक वृत्त के परिधि पर तीन बिंदु A, B, Q और एक बिंदु P दिया गया है जिसके लिए यह सत्य है कि यह वही ओर ABरेखा के एक ही ओर स्थित है जितना कि बिंदु Q है, निम्नलिखित प्रमाण का पता लगाएँ: \n1. यदि बिंदु P वृत्त पर है ⇒ ∠APB = ∠AQB\n2. यदि बिंदु P वृत्त के अंदर है ⇒ ∠APB > ∠AQB\n3. यदि बिंदु P वृत्त के बाहर है ⇒ ∠APB < ∠AQB'

'कोण AOB का द्विभाजक बनाना (1) बिंदु O के केंद्र में एक उपयुक्त त्रिज्या वाला वृत्त बनाएं, और अर्धरेखा OA, OB के क्रमश: स्पर्शन को प्रत्येक C, D के रूप में चिह्नित करें। (2) बिंदु C और D पर केंद्र और समान त्रिज्यावाले दो वृत्त बनाएं, और दो वृत्तों के संदर्भ बिंदु में से एक को E के रूप में चिह्नित करें। (3) आधीरेखा OE बनाएं।'

'दिए गए आकृति में, α और β की मान्यता पता करें। जहां ℓ वृत्त O की निरीक्षक है, और बिंदु A स्पर्श बिंदु है। साथ ही, (3) में PQ // CB दिया गया है।\n(1)\n(2)\n(3)\nतांगें और त्रिभुज पर ध्यान केंद्रित करें तांगे सिद्धांत।\n(2) ∠CAB का माप तालिका कोरा सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।\n(3) PQ // CB से, ∠ABC=∠BAQ\n(1) में, वे बिंदु D को रेखा ℓ पर उस चित्र में दिखाए गए रूप में लें\n\n∠BAD =∠OAD-∠OAB\n=90°-20°=70°\n\nइसलिए, α=∠BAD=70°'

'परलेल रेखा (*) बनाने के बाद, PQ के लिए लंबवत रेखा खींचकर, l के समानांतर रेखा बनाई जा सकती है।'

'कोण द्विभाजक की गुणधर्म साबित करें'

'रेखा स्तंभ PQ का लंबवृत्त बनाना: (1) बिंदु P को केंद्र बनाकर किसी भी त्रिज्या के सर्कल को बनाएं, सीधी रेखा l के साथ A, B बिंदुओं के संविच्छेद बनाएं। (2) बिंदु A, B को सिर के रूप में लेकर सर्कल बनाएं, जिनका अग्रणी त्रिज्या का एक बिंदु Q माना जाए। (3) रेखा PQ खींचें।'

'निम्नलिखित को सिवा के सिद्धांत के उल्टे का उपयोग करके सिद्ध करें: (1) एक त्रिभुज के तीन माध्यिकाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। (2) त्रिभुज के तीन कोणों के द्विभाजक एक बिंदु पर कटते हैं।'

'जैसा कि दाएं चित्र में दिखाया गया है, दो विभिन्न अक्षरपतियों को अंक A से स्पर्श करते हुए। आंतरिक वृत्त पर बिंदु D से गुजरने वाली रेखा खींचें, बह्गोल वृत्त और के संबंध में परिक्षय करें। AD बीएसी को दो भाग करता है।'

'निश्चित करें कि बिंदु P(2,3,1) है। इसके साथ ज्यामिति विधि के संदर्भ में बिंदु D, E, और F को बिंदु P के सन्मुख समरूप बनाएं, जो संघटन एक्सवाई तल, एवं जेडएक्स तल के संदर्भ में हैं। बिंदु D, E, और F के निर्धारित स्थान करें।'

'सामान केंद्रीय कोणों के लिए जुलम की लम्बाई समान होती है, यह स्वरूप सिद्ध करें।'

'दी गई रेखा सेगमेंट एबी बनाएं और इसे 5:1 में विभाजित करने वाले बिंदु को चिह्नित करें।'

'दो ऐसे वृत्त हैं जो बिन्दु P से स्पर्शी हैं। जैसा दायां चित्र में दिखाया गया है, यदि बिंदु P से गुजरने वाली दो रेखाएँ बाहरी वृत्त पर A, B बिंदु पर कटती हैं और आंतरिक वृत्त पर C, D बिंदु पर कटती हैं। AB और CD के बीच समांतर होने का सिद्धांत साबित करें।'

'（1）दाएं वर्ग ABCD में से कौन सी वृत्त से आवृत है?\n(2) एक्यूट त्रिभुज ABC में, किनारे BC पर बिंदु D (बिंदु B, C से भिन्न) लिया जाता है, और बिंदु D से किनारों AB और AC पर लंब रेखाएँ खींची जाती हैं। सिद्ध करें कि चतुष्ट्युग्म AEDF को एक वृत्त में आवृत किया गया है।'

'प्रमाण 17 साबित करें: यदि दो सीधी रेखाएं AB और CD, या AB और CD के आगे की बढ़ती हुई रेखाएं बिंदु P पर कटती हैं, और PA * PB = PC * PD, तो बिंदु A, B, C, D एक ही वृत्त के परिधि पर होते हैं।'

'$\\angle BAT=\\angle ACB$ को सिद्ध करें।'

'दाएं चित्र में, क्योंकि ∠CAD=∠EBC, इसलिए चतुर्भुज ABDE वृत्त में आवृत है। इसलिए, आवृत कोण के सिद्धांत के अनुसार, ∠ADE=∠ABE। साथ ही, क्योंकि ∠BEC=90 डिग्री है, ∠ADC=90 डिग्री है, इसलिए चतुर्भुज CEHD वृत्त में आवृत है। ∠HEC+∠HDC=180 डिग्री। जैसे कि विरुद्ध कोणों का योगफल 180 डिग्री होता है, इसलिए चतुर्भुज CEHD वृत्त में आवृत है।'

'साबित करें कि किसी भी तीन विभिन्न रेखाएं l, m, n के लिए, अगर l // m और m // n है, तो l // n है।'

'त्रिभुज ABC में, यदि भुज AB के बीच बिंदु D है और भुज AC के बीच बिंदु E है, तो DE // BC है और DE = 1/2 BC। त्रिभुज के कोनों को विपरीत भुजों के मध्यबिंदु से जोड़नेवाले रेखांको को त्रिभुज का माध्य बोला जाता है। एक त्रिभुज के तीन माध्यों पर ध्यान देने पर, निम्नलिखित गुण होते हैं। प्रमेय 5: त्रिभुज के तीन माध्य एक ही बिन्दु पर कटते हैं, जो प्रत्येक माध्य को 2:1 अनुपात में विभाजित करती है।'

'दिए गए रेखांक AB को आंतरिक रूप से 1:4 में विभाजित करने वाला बिंदु चित्रित करें।'

'स्केलीन त्रिभुज ABC के भीतरी केन्द्र I को प्रमाणित करें, और रेखा BI, CI को सीधे AC, AB पर बिंदु E, D में काटने वाले। यदि DE // BC है, तो प्रमाणित करें कि AB=AC।'

'426'

'चेवा का सिद्धांत'

'अध्याय 3 आकृतियाँ और समीकरण 97 (2) रेखा BC को x अक्ष पर ली जाती है, और बिंदु D से गुज़रने वाली रेखा BC के लिए लंबवत रेखा y अक्ष पर ली जाती है, जहाँ बिंदु D मूल बन जाता है जिसे A(a, b), B(-3c, 0), C(2c, 0) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस स्थिति में 2AB²+3AC² = 2{(-3c-a)²+(-b)²}+3{(2c-a)²+(-b)²} = 5a²+5b²+30c² = 5(a²+b²+6c²) और 3AD²+2BD² = 3{(-a)²+(-b)²}+2(3c)² = 3(a²+b²+6c²) ...(2) (1), (2) से 3(2AB²+3AC²)=5(3AD²+2BD²) मिलता है'

'कुछ सिद्धांतों, सूत्रों और महत्वपूर्ण गुणों का सारांश दिया।'

'चित्र के छायांकित हिस्से को अवकल से कैसे प्रकट किया जा सकता है? कदम-दर-कदम दिखाएँ।'

'xy-समतल में, तीन बिंदु A(2, -2), B(5, 7), C(6, 0) हैं। सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के प्रत्येक कोण का लंबवार द्विभाजक एक बिंदु पर कटता है (यह कटाव बिंदु ABC त्रिभुज के आसपासी वृत्त का केंद्र है, जिसे वाहक के रूप में भी जाना जाता है)।'

'किसी समतल पर, तीन बिंदु A(2,-2), B(5,7), C(6,0) हैं। सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के प्रत्येक सिरे के लंबकोनी एक बिंदु पर काटते हैं (यह काटने वाला बिंदु त्रिभुज ABC का वहाँ संचार केंद्र है, जिसे बहिर्चक्र कहा जाता है)। संकेत: सिद्ध करें कि सेगमेंट AC और सेगमेंट AB के लंबकोनी की कट्टर एकांत से संबंधितता बिंदु सेगमेंट BC के लंबकोनी पर है।'

''

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रस्तुत क्षेत्र का चित्रण करें।'

'मैंद उस रैंक का समीकरण पता करें जो मूल बिंदु से होता है, जबकि (5,0) और (3,6) बिंदु से लाइन l में लंब की दूरी समान है।'

''

'साबित करें: △ABC के साइड BC का मध्यबिंदु M है, तो AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) (माध्यिका सिद्धांत)।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC के वर्तुल और त्रिभुज DEF के वर्तुल एक दूसरे से एक जगह में होते हैं जब सिद्ध किया जाता है कि त्रिभुज ABC के किनारों पर बिंदु D, E, F लिए जाते हैं, जैसे BD:DC=CE:EA=AF:FB।'

'वृत्त के एक स्पर्शक की समीकरण कैसे निकालें'

'अध्याय 3 आकृतियाँ और समीकरण\nदो रेखाओं (1), (2) के लिए लंब बनने की स्थिति है\n-3⋅(-\\frac{1}{a})=-1, a के लिए हल करने पर मिलता है a=\\uparrow-3\nऔर एक तरह से, दो रेखाओं (1), (2) के साथ समानांतर बनाए रखने की स्थिति है\n\3⋅a-1⋅1=0, इसलिए a=\\frac{1}{3}\\nदो रेखाओं (1), (2) के लिए लंब बनने की स्थिति है\n\3⋅1+1⋅a=0, इसलिए a=\\uparrow-3\\nलंबा ⇔ ढाल का गुणाकार -1 है ⇽ 2 रेखाएँ\na_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 और\na_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\nसमानांतर ⇔ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=0\nलंबा ⇔ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में, जब G उद्धारक हो, तो समीकरण AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2) सत्य है।'

'अध्याय 3 ज्यामिति और समीकरण\n121\nरेखा 2x - y + 3 = 0 को ध्यान में रखें, Q बिंदु और P इसका सममितीय बिंदु हो। बिंदु Q को समीक रेखा 3x + y - 1 = 0 पर चलते हुए, बिंदु P का लोकस ढूंढें।'

'ऐसे मान का पता लगाएं जिससे कि y=x^{3}-(2 a+1) x^{2}+a(a+1) x, y=x^{2}-a x द्वारा घेरे गए क्षेत्रों का क्षेत्रफल बराबर हो।'

'अंक A(2,5) के चारों कोणों में से एक को पी(4,2) के चारों कोण को घूरकर Q के स्थान की जांच करें।'

'दोरों के छेद के माध्यान गुजरने वाली रेखा'

'वे रेखाएँ जिनसे त्रिभुज बनाया गया है x - y + 1 = 0, 2x + y - 2 = 0, x + 2y = 0 का क्षेत्रफल निकालें।'

'त्रिभुज ABC में निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें।'

'त्रिभुज की तरफों की लंबाई और त्रिकोणीय समीकरणों के बीच संबंध निम्न प्रकार है।'

'त्रिभुज ABC के आंतरिक कोन A, B, और C के आकार को दिखाने वाली बराबरता को सिद्ध करें।'

'कृपया निम्नलिखित शब्दों के संबंधित पृष्ठों को दर्शाएं: ① स्थिति ② परस्पर साधना नियम (असमानता) ③ स्पर्शविकल्प'

'सिद्ध करें कि समीकरण (1+tan²(A/2))sin²((B+C)/2)=1 उस समय सत्य होता है जब त्रिभुज ABC के आंतरिक कोने ∠A, ∠B, ∠C को प्रत्येक A, B, C के रूप में दर्शाया जाता है।'

'प्रश्न 3 अंतरिक्ष ज्यामिति और सर्वेक्षण'

'जैसा कि दाईं तरफ दिए गए चित्र में दिखाया गया है, एक नियमित बारह कोण को विशेष कोनों द्वारा 12 समानांतर त्रिभुजों में विभाजित किया गया है। बिंदु O, A, B लेते हैं, तो हमें ∠AOB=360°÷12=30°, OA=OB=a मिलता है। त्रिभुज OAB पर कोसाइन नियम को लागू करने से हमें 1=(2-√3)a² मिलता है, इसलिए a²=1/(2-√3)=(2+√3)/((2-√3)(2+√3))=2+√3। इसलिए, S=12 त्रिभुजों OAB=12×1/2a²sin30°=3(2+√3) मिलता है'

'72 (2) 1 के समानांतर अंतर को x अक्ष की दिशा में ले जाया गया, धुरी x=1 की रेखा है, शिखर बिंदु (1,0) पर है'

''

'प्रारूप की मात्रा को दो तरीकों से व्यक्त करें'

'त्रिभुज की समस्या का समाधान संक्षेपित करते समय, त्रिभुज के छह तत्वों (3 पक्ष a, b, c और 3 कोण A, B, C) में से किसी एक को समाधानित करने के लिए, कम से कम निम्नलिखित तीन तत्व आवश्यक हैं: [1] एक पक्ष और उसके दो पर्वतांग [2] दो पक्ष और उनके बीच का कोण [3] तीन पक्ष। इसे मानकों के माध्यम से बाकी तीन तत्वों की खोज करने पर, हम मानकों के उपयोग की विधि की व्याख्या करते हैं।'

'त्रिभुज ABC में, निम्नलिखित समीकरण सत्य है करने के लिए सिद्ध करें:\n\\[\\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\\right) \\tan A=\\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\\right) \\tan B\\]'

'त्रिभुज के अंतर्वाह की लंबाई (2)'

''

'एक दल त्रिभुज के रुप में 10 सेमी की एक एक कागज है। इस त्रिभुज के शीर्ष को ए, बी, सी के रूप में चिह्नित किया गया है, पॉइंट पी को ऐसे बीसी पर स्थित किया जा सकता है कि बीपी = 2 सेमी हो। इस त्रिभुज के कागज को इस प्रकार फोल्ड करना जहां शीर्षक ए बिंदु पी के साथ सामना करता है, और फोल्ड का किनारा एबी, एसी के साथ क्रमशः डी, ई के पर छेद किया जाता है। इस समय, एडी = 2 वर्ग सेमी, एई = 1 वर्ग सेमी, और त्रिभुज एडीई का क्षेत्र 3 वर्ग सेमी है।'

'त्रिभुज समाधान (2)'

'मूल पर से होने वाली, रेखा y=x के साथ 15 डिग्री की कोण बनाने वाली दो रेखाएं खींची जा सकती हैं। इन रेखाओं की समीकरणों को पता करें।'

''

'मूल के विशिष्ट स्थानांतरण के साथ, शीर्ष बिंदु बन जाता है \\( \\left(-\\frac{3}{4}, \\frac{31}{8}\\right) \\) और नीचे की उफान अवतल पराबोला बनाता है\n\\[ y=2\\left(x+\\frac{3}{4}\\right)^{2}+\\frac{31}{8} \\quad\\left(y=2 x^{2}+3 x+5 \\text { भी स्वीकार्य है }\\right)\\]\n\ \\hookleftarrow x \ और \ y \ निर्देशांक दोनों चिन्ह को बदल दिया जाता है, ऊपर को नीचे क्रमित करना।'

'क्षैतिज और लंबवत दिशा में एक स्थिरित पराबोला की समीकरण ढूंढें y = -2x^2 + 3 पराबोला का। x-अक्ष के समानांतर -2 और y-अक्ष के समानांतर 1 के रूप में।'

'समकोण त्रिभुज ABC में, यदि BC=18 और CA=6 हो, तो अंकित बिना AB की कोणोद्धरिता पर बिंदु D से BC और CA पर ऊंचाई DE और DF खींची जाती है। जब त्रिभुज ADF और DBE के क्षेत्रों का योगफल कम सबसे कम हो, तो DE की लम्बाई और क्षेत्र ढूंढें।'

'बिंदु A के ध्रुवीय निर्देशांक को (3,0) मान दें। जिसमें ध्रुव O तक की दूरी और रेखा l तकी दूरी बराबर हो, उस बिंदु P के त्रिज्या समीकरण का पता लगाएं।'

'भुजा लंबाई 1 के समीकरण ABCD में, भुजा AB, CD के बीच के बिंदु को E, F के रूप में लें, और त्रिभुज BCD का केंद्र जी द्वारा चिह्नित किया जाए।'

'सिधांत: एक तरंगलक को केंद्रों के माध्यम से से जाने वाली, छोटे धुरी के समानांतर एबी को समझो। छोटे धुरी की वर्दी का वर्ग, चरम लम्बाई का एबी की लंबाई और छोटे धुरी की लम्बाई का गुण है इस बात को सिद्ध करें।'

'निर्देशांक तल पर, जब की रेखा खंड AB की लंबाई 9 है और इसके अंत-बिंदु A, B विभिन्नत: याक्षर और y-धुरी पर चलते हैं, बिंदु P के लोक्ष की खोज करें जो रेखा खंड AB को निर्धारित अनुपात में विभाजित करता है।'

'यह सिद्ध करें कि चतुर्भुज ABCD की किनारों AB, BC, CD, DA के बीच के बिंदु P, Q, R, S हैं, और विपरीतकोण AC, BD के बीच के बिंदु T, U हैं। प्रमाणित करें कि अंक PR, अंक QS, और अंक TU के मध्य बिंदु सभी एक समान हैं।'

'रूप की समीकरण निर्धारित करें'

'सिक्तोहेड्रन OABC में, यदि ∆OAB का भरोंमा G1 है और ∆OBC का भरोंमा G2 है, तो सिद्ध करें कि G1G2 AC के समांतर है।'

'अभ्यास 67-> पुस्तक p.134\n(1) दो समतलों के समीकरण α , β को क्रमशः (1), (2) मानते हैं। (2) - (1) से'

'तल पर बिंदु की मौजूदगी की रेंज\nत्रिभुज OAB के लिए, जब \ \\overrightarrow{OP} = s \\overrightarrow{OA} + t \\overrightarrow{OB} \ हो, तो बिंदु P की मौजूदगी की रेंज है\n(1) रेखा AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1 \\nविशेष रूप से, रेखा सेगमेंट AB \ \\Leftrightarrow s + t = 1, s \\geqq 0, t \\geqq 0 \\n(2) त्रिभुज OAB का परिफरी और आंतरिक भाग\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s + t \\leqq 1, \\quad s \\geqq 0, \\quad t \\geqq 0 \\n(3) समलम्ब चतुर्भुज OACB का परिफरी और आंतरिक भाग\n\ \\Leftrightarrow 0 \\leqq s \\leqq 1, \\quad 0 \\leqq t \\leqq 1 \'

'(1) बिंदु F रेखा सेकंट O A के संबंध में बिंदु C के सममित है, इसलिए त्रिभुज ADF ≡ त्रिभुज ADC के बराबर है। इसलिए, त्रिभुज ADF = 1/6 त्रिभुज OAB दर्शाता है, तो ऐसा त्रिभुज ADC = 1/6 त्रिभुज OAB होगा। किसी भी स्थिति में, त्रिभुज ADC = 1/3(1-α) त्रिभुज OAB होता है, इसलिए 1/3(1-α) = 1/6, जिसे हल करने पर α = 1/2 आता है, जो 0 < α < 1 को पूरा करता है।'

'निम्नलिखित 3 बिंदुओं से गुजरने वाले तल की समीकरण को खोजें।'

'निम्नलिखित वेक्टर समस्या का समाधान करें: \ \\triangle \\mathrm{PBC}, \\triangle \\mathrm{PCA}, \\triangle \\mathrm{PAB} \ के क्षेत्र को S द्वारा प्रस्तुत किया गया है, जहां \ \\triangle \\mathrm{ABC} \ क्षेत्र को प्रस्तुत करता है।'

'उस अहेंकार की समीकरण ढूंढें जिसकी निर्देशिका दो सीधी रेखाएं हैं y=√3x, y=-√3x और दो फोकस के बीच की दूरी 4 है।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 57 | समतल की समीकरण\nबिन्दु A(0,1,-1), B(4,-1,-1), C(3,2,1) से गुजरने वाली समतल की समीकरण खोजें।'

'निम्नलिखित सिद्धांत के सत्यापन करें:\nसिद्धांत 1: फ्रैक्शनल लीनियर परिवर्तन एक विपरीत सम्यांतर प्लेन में एक वृत्त को एक वृत्त में परिवर्तित करता है।'

'सकारात्मक पूर्णांक 42k का ध्यान रखें और दो वक्रों को श्रेणी 2kπ≤x≤(2k+1)π पर परिभाषित किया गया है: C₁: y=cos x और C₂: y=(1-x²)/(1+x²)।'

'बिंदु P पर टैंजेंट रेखा की समीकरण तथा अनुसंधान रेखाओं और उनके क्रमबद्धिक समांश की कोआर्डिनेट्स और सिखने पूर्व/ अनुसंधान के बिंदु को सिद्ध करें, और प्रमाणित करें कि त्रिभुज OQR का क्षेत्र बिंदु P के चयन से अविपर्यासित है।'

'धुरी O से लाइन के निचले हिस्से H के घुमाव स्थिरांक (p, α) की रेखा की ध्रुव समीकरण ख़ोजें।'

'शर्तों से'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 67 समतलों के संपर्क का समीकरण, जिसमें समतल का समीकरण है। दो समतलों के संपर्क की समीकरण को ℓ ठहराया गया है जिसमें समीकरण है (1) α: 3x-2y+6z-6=0 ⋯ ⋯ (1) β: 3x+4y-3z+12=0 ⋯ ⋯ (2)। उदाहरण का समीकरण एक रूप में x-x₁/l=y-y₁/m=z-z₁/n के रूप में व्यक्त करें। (2) जांच लेने वाली तालिका समाहित करने का समीकरण तय करें और उससे बितका बिंदु पी (1,-9,2) से हो।'

'दिये गए समीकरण को प्रमाणित करें: कॉम्प्लेक्स समतल का उपयोग करके। एक घनित चक्र में आरेखित चतुर्भुज ABCD के लिए, समीकरण AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD सत्य है (प्टोलेमी की सिद्धांत)।'

'अभ्यास (2) एक द्विघातीय रेखा के एक फोकस F से गुजरने वाले दो तार PQ और RS सें लंबी होकर एक निश्चित स्थिति में, साबित करें कि 1/PF*QF + 1/RF*SF एक स्थिर मान है।'

'एक अर्धगोलाकार की एक गर्भित दर्पण है। गोले का केंद्र ओ, अर्धव्यास r और डायमीटर AB है। यदि बिंदु A से डायमीटर AB और θ के कोने बनते हुए प्रकाश का किरण दर्पण पर बिंदु P पर प्रक्षिप्त होता है, AB में बिंदु Q पर कटते हैं, तो ∠APO = ∠OPQ। किस प्रकार से पॉइंट पी बॉइंट बी के लिए अनंतता नज़दीक आते हैं, Q का निकटतम पॉइंट आता है?'

'साबित करें कि एक वृत्त में आभिलिखित चतुर्भुजों में सबसे बड़े क्षेत्रफल वाला एक वर्ग होता है।'

'वृत्त O के संबंध में उलटाव, हम मान लें कि पॉइंट पी उस उलटाव के माध्यम से पॉइंट प्राइम पर जाता है (हम उसे अलगाव वृत्त कहते हैं)। इस समय, पॉइंट्स पी और प्राइम एक दूसरे के विषय में वृत्त O के प्रतिबिंब हैं, या हम यह भी कह सकते हैं कि प्राइम बाइंडर का प्रतिबिंब है। सहेजन के द्वारा उलटा किया गया चित्रण आंतरिक बिंदु वृत्त O के बाहर जाते हैं और बाहरी बिंदु वृत्त O के अंदर जाते हैं। और साथ ही, वृत्त O पर के बिंदु को उल्टाव के माध्यम से हिल नहीं जाता है। महत्वपूर्ण यह है कि उपरोक्त उलटी की परिभाषा के अनुसार, केंद्र O के प्राप्तिस्थान की प्राप्ति नहीं की जा सकती है, लेकिन कई बार हम केंद्र O की प्राप्ति स्थिति को अनंत दूर परीक्षित के रूप में विचार करते हैं, जो एक भावनात्मक बिंदु है, जिसे यूनिवर्सिटी स्तर की गणित में पढ़ाया जाता है। उलटी की खींचाई वृत्त O के संबंध में व्याप्त गुण सिर्कल ओ के संबंध में उलटाव के माध्यम से, नीचे दिए गए चार गुण हैं। (1) उलटा वृत्त के केंद्र O के माध्यम से जाने वाले वृत्त को जोड़ने वाली सीधी रेखा को मान्य। (2) उलटा वृत्त के केंद्र O की सीधी रेखा को मान्य। (3) उलट वृत्तों के केंद्र O को पार न करने वाले वृत्तों को, O के पार न करने वाले वृत्तों में हिलाने वाले। (4) उल्टा वृत्त के केंद्र O के माध्यम से जाने वाली सीधी रेखाएँ, उन सीधी रेखाओं को मान्य करती हैं।'

'अंक A(𝐚), B(𝐛), C(𝐜) को शिखर मानकर त्रिभुज के पाँच केंद्रों (भारकेंद्र, अंतरकेंद्र, लंबकेंद्र, बाह्यकेंद्र, अवलकेंद्र) के स्थान वेक्टर को कैसे व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें 𝐚, 𝐛, 𝐜 का उपयोग किया जाता है।'

'महत्वपूर्ण विषय 40 | वेक्टर का मात्राओं का तुलन'

'समीकरण को परिवर्तित किया जाता है'

'व्याख्या करें कि रेखाखंड AB को CD के लिए लंबकोणी बनाने की स्थिति।'

'एक दीर्घवृत्त के मापदंड प्रदर्शन की अभ्यास करें, t को हटाकर केवल x और y से व्यक्त करें।'

'मान एबीपीसी एक वृत्त में आवृत्त है जो निम्नलिखित शर्तों (ए), (ब) को पूरा करता है:\n(ए) त्रिभुज एबीसी एक समबाहु त्रिभुज है।\n(ब) एपी और बीसी की कटाव AP और BC रेखा खंड को p:(1-p) [0<p<1] में विभाजित करती है।\nइस प्रकार, वेक्टर एपी को वेक्टर एबी, वेक्टर एसी और p के रूप में व्यक्त करें।'

'उन गणितज्ञों के बारे में बताएं जिन्होंने प्राचीन यूनानी तरीकों का उपयोग करके क्षेत्रफल और आयतन की गणना की।'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 57 | एक समतल के समीकरण\nए(0,1,-1), बी(4,-1,-1), और सी(3,2,1) बिंदुओं से गुजरने वाले एक समतल के समीकरण को ढूँढें।'

'इस सिद्ध करो कि षट्कोण एक कोनिक सेक्शन में आवृत है।'

'जब एक बिंदु z मूल बिंदु O पर केंद्रित, और त्रिज्या 1 रेडियस वाले वृत्त पर चलता है, तो बिंदु w=(1-i) z-2 i द्वारा प्रतिनिधित किस प्रकार का चित्र बनाता है?'

'निम्नलिखित तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल की समीकरण ढूँढें:\n57 (1) A(1,0,2), B(0,1,0), C(2,1,-3)\n(2) A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)'

'जब | x-π/2 |, दाएं चित्र में ग्रे क्षेत्र से घेरा जाता है और x = π/2 रेखा के संबंध में सममित होता है, तो राशि V निकालें।'

'समतल में एक चतुर्भुज ABCD है। यदि ज्यायापुंजीय AC और BD लंबवत हैं, तो निम्नलिखित को सिद्ध करें:\n(1) $\\overrightarrow{AB}=\\vec{b}$, $\\overrightarrow{AC}=\\vec{c}$, $\\overrightarrow{AD}=\\vec{d}$ मान लें, तो $\\vec{b} \\cdot \\vec{c}-\\vec{c} \\cdot \\vec{d}=0$।\n(2)$AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}$।'

'चौबीसआकृति ABCD है जिसे व्यायुरेखा AC और BD प्राप्त है और बिंदु O चौबीसआकृति ABCD के बाह्य वृत्तीय है। वेग ओए,ओबी,ओसी,ओ डी को ए,बी,सी,डी द्वारा प्रतिपादित किया जाता है।'

'सिद्ध करें कि अग्रवक्ता $y^{2}=4 p x(p>0)$ पर सीधा $PO$ और $QO$ जो अङ्कवाचक $PQ$ के दोनों अंतों और मूल $O$ से हैं, वे लेखाखंड $PQ$ एक स्थिर बिंदु से होने परांकित करते हैं।'

'यदि कोण $f(x, y)=0$ यहाँ $f(x,-y)=f(x, y)$ मान्य हो तो x-अक्ष के लिए उपस्थित होगा, $f(-x, y)=f(x, y)$ मान्य हो तो y-अक्ष के लिए उपस्थित होगा।\nकोण पर स्थित बिंदु Q के निर्देशांक $(x, y)$ के रूप में होंगे, x और y के बीच संबंध निकालें।'

'अध्याय 3 ज्यामिति और समीकरणों पर विचार वृत्त की स्पर्शरेखा का ढूंढने का तरीका'

'लम्बाई 4 की रेखा AB दी गई है। बिंदु A, B पर बिंदु P के लायक एस 2AP²- BP² = 17 को संतुष्ट करते हुए (2) 71 मोभ होता है, पॉइंट P का लोकस का पता करें।'

'जानते हुए कि बिंदु (1,1) से रेखा ax - 2y - 1 = 0 पर लगाया गया लत लंबाई √2 है, स्थिर a के मान की मान्यता कीजिए।'

'दो रेखाओं x+3y-6=0 और x-2y+2=0 द्वारा बनाया गया न्यूनधर्म विशेषक को खोजें।'

'रिफ्लेक्शन सममिश्रिति, एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी'

'अभ्यास (4) 127 सुरेख y = a x+1−a^2/4. (1) के लिए, जब a सभी वास्तव संख्याओं पर परिवर्तन करता है, तो ऐसा क्षेत्र चित्रित करें जिसमें सीधा (1) से गुजर सकता है।'

''

'xy-समतल पर, मूल से अलग, तीन भिन्न बिंदु P1(a1, b1), P2(a2, b2), P3(a3, b3) लिए जाएं। इसके अतिरिक्त, तीन रेखाओं l1: a1x+b1y=1, l2: a2x+b2y=1, l3: a3x+b3y=1 ली जाए।'

'चित्रों का उपयोग करके, जोड़ने के नियम और डबल एंगल सूत्रों को सिद्ध करने के तरीके पर विचार करें। अल्फा, बीटा, और थीटा की सीमा सीमित हो सकती है, लेकिन जोड़ने के नियम के चित्रिक अर्थ को देखना दिलचस्प है।'

'चित्रित करें बिंदु (x+y, x-y) का क्षेत्र जब वास्तविक संख्या x, y निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हुए बदलती है: (1) -1≤x≤0, -1≤y≤1'

'त्रिभुज ABC के ज्यामिति A(6,13), B(1,2), C(9,10) के लिए: (1) बिंदु A से गुजरने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें जो त्रिभुज ABC के क्षेत्र को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करती है। (2) बीसी को 1:3 में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु P से गुजरने वाली रेखा का समीकरण खोजें और त्रिभुज ABC के क्षेत्र को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करें।'

'समीकरण में x=3 की जगह अंकित करने पर y=5 मिलता है, और समीकरण में y=2 की जगह अंकित करने पर x=-1 मिलता है। इसलिए, त्रिभुज के शीर्ष कोनों के निर्देशांक हैं (-1,2),(3,2),(3,5)। जो कोण ढूंढा जा रहा है उसका अर्ध-व्यास r है, और केंद्र के निर्देशांक (3-r,r+2) के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, -1<3-r<3 और 2<r+2<5 को पूरा करते हैं, जिसे 0<r<3 मान्य है। रेखा 3x-4y+11=0 और वृत्त के केंद्र की दूरी एकसामान है, जिससे समीकरण |3(3-r)-4(r+2)+11|/√(3^2+(-4)^2)=r मिलता है। इसे हल करके हमें |12-7r|=5r मिलता है, तो 12-7r=±5r होगा, जिससे r=1 मिलता है। r=1 होने पर, केंद्र के निर्देशांक (2,3) होते हैं, और वृत्त का समीकरण (x-2)^2+(y-3)^2=1 होता है'

'दोरों के बीच संबंध'

'वृत्त के समीकरण खोजने की समस्या के लिए समाधान पर विचार करें।'

'बिंदु A(-3,0) को लें और 0°<θ<120° के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले दो बिंदु B और C का विचार करें।'

''

'निम्नलिखित रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC की तीन माध्यदर्शी एक बिंदु पर कटते हैं। दिखाएं कि त्रिभुज ABC में, 2AB^2 < (2 + AC^2)(2 + BC^2) सही है।'

''

'(1) दो रेखाओं द्वारा बनाए गए एक्यूट कोण \ \\theta \ ढूंढें \ x+3 y-6=0, x-2 y+2=0 \। \n(2) रेखा \ y=-x+1 \ \ \\frac{\\pi}{3} \ का कोण बनाती है और बिंदु \\( (1, \\sqrt{3}) \\) से गुजरती है। इस रेखा की मान्यता ढूंढें।'

''

'ऐसे बिन्दुओं का स्थाननिधि ढूंढें जिनके लिए बिंदु A, B से गुजरने वाले कोण APB एक स्थिर मान एल्फा है।'

'सिदधांत दो △ABC के तीनों कोनों से, वह नाप या उसका विस्तार जिसको दिया गया है, जो एक ही बिंदु पर कटती है, वह साबित करें। (इन तीनों नापों का विस्तारीकरण किया गया बिंदु त्रिभुज के उच्च केंद्र जाना जाता है)।'

None

''

'(1) प्रमाणित करें कि त्रिभुज ABC की तीन माध्यरेखाओं का एक बिंदु पर से गुजरता है। (2) त्रिभुज ABC में, सिद्ध करें कि 2AB²<(2+AC²)(2+BC²) सत्य है।'

'पाइ (π) के संदर्भ में, निम्न असमिति को साबित करें। यहाँ गणनात्मक स्थिरांक π=3.14…… का आधार न लें। [ओइता विश्वविद्यालय]'

'C: x^2 + 6xy + y^2 = 4 को मूलबिंदु के चारों ओर π/4 घुमाकर प्राप्त वाक्य की समीकरण ढूंढकर, यह सिद्ध करें कि क्यूर्व C एक हाइपरबोला है।'

'मूलबिंद के मध्य को पी/4 के प्रमाण से परिवर्तित करने से प्राप्त वक्र की समीकरण को खोजकर सिद्ध करें कि वक्र C एक अकरवी है।'

'सिद्ध करें कि चतुर्भुज OABC में, यदि OA का वर्ग जोड़ BC का वर्ग बराबर है OC के वर्ग जोड़ बा के वर्ग के साथ, तो OB AC के लिए लंबवत है।'

'सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC में, जब AB और AC की साइड्स के मध्य बिंदु AB और AC हों D और E क्रमशः, तो BC DE के पार है और BC = 2DE (मध्यबिन्दु सिद्धांत)।'

'निश्चित उदाहरण (1,1) से गुजरने वाली वक्र की समीप स्पर्श रेखा बिना परिचिति और परिपेढ़ के संवादी स्पर्श को बिंदु Q, R पर x अक्ष और y अक्ष में काटती है, O को मौलिक रूप से ध्यान में रखते हुए। इसके जवाब में कुर्व का समीकरण प्राप्त करें जो पूर्व-निर्धारित करता है कि △ORP = 2△OPQ।'

'कर्वों की सममिति के बारे में।'

'सिद्ध करें कि तत्वीय कोण \\sqrt{x} + \\sqrt{y} = \\sqrt{a} (a > 0) पर बिंदु P (न कोआर्डिनेट ताक पर) पर खींची गई टैन्जेंट जिसे बिंदु A, B पर इंटरसेक्ट किया जाता है, वहाँ मूल से दूरी के योग OA + OB स्थिर है।'

'सांख्यिकीय OABC में, अगर OA^2 + BC^2 = OC^2 + BA^2 है तो OB ⊥ AC है, यह साबित करें।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले बिंदुओं का ज्यामिति तय करें: अंक F से दूरी जी F से दूसरी ज़रिये ल l से दूरी। यहाँ, F (c, 0) पर है, और l y-अक्ष (x=0) है।'

'एक एलिप्स के फोकस से गुजरने वाली एबी की लम्बाई से पर्याप्त छोटे धार की बजाए ध्वनि एबी किस करता है। स्पष्ट करें कि ध्वनि की लम्बाई का वर्ग लंबे तथा छोटे धार की लम्बाई गुणा की तुलना में बराबर है।'

'सिद्ध करें कि अगर एकक वृत्त पर किसी भी विभिन्न तीन बिंदुए A(α), B(β), C(γ) और वृत्त पर नहीं विंडु H(z) समीकरण z=α+β+γ को पूरा करते हैं, तो H △ABC के ऊर्ध्व केंद्र है।'

'(1) दराशिक्षा सी पैरामीट्रिक समीकरणों x=2(t+1/t+1) और y=t-1/t द्वारा प्रतिनिधित करें। कर्व C की समीक्षा ढूंढें और उसका सामान्य आकार स्केच करें।[यूनिवर्सिटी ऑफ त्सुकुबा]'

'सिद्ध करें कि एक द्विघातु कट्टा के एक फोकस F से होने वाले 1/FP और 1 /FQ का योग निरंतर है चाहे तार का दिशा कुछ भी हो।'

''

''

''

'एक उल्लेख बनाएं जो यथाक्रम संकेतक से पारलेल हो और छोटे ध्रुवीय ध्रुवों से गुजरता है। प्रमाणित करें कि छोटे ध्धु लंबाई का वर्ग में कोण होता है जो बड़े ध्धु लंबाई और धड़क AB की लंबाई का गुणन है, जो 49 है।'

'＜प्टोलेमी के सिद्धांत＞ वृत्त में आंतर्भुजीय चतुर्भुज ABCD के लिए, निम्नलिखित समीकरण सत्य है।\n\\n\\mathrm{AB} \\cdot \\mathrm{CD}+\\mathrm{AD} \\cdot \\mathrm{BC}=\\mathrm{AC} \\cdot \\mathrm{BD}\n\'

'प्रश्न में विवरण दिया गया है।'

'दो-आयामी निर्देशांक समतल में बिना बिना बिंदु Pn(xn, yn) (n=0,1,2, …) को निम्नलिखित शर्तों (A), (B) को पूरा करने के लिए चुनें। 90(A) (x0, y0)=(0,0), (x1, y1)=(1,0) (B) n≥1 के लिए, वेक्टर PnPn+1 की लंबाई Pn-1Pn का आधा होती है और Pn-1Pn को 90 डिग्री घड़ी की दिशा में घुमाकर दिखाती है। इस स्थिति में, जब n असंत infinity के रूप में आता है तो xn और yn की सीमाएँ हैं lim{n→∞}xn= A, lim{n→∞}yn= B। [मेजी विश्वविद्यालय]'

'दो विभिन्न बिंदु A(α) और B(β) को दें। m>0, n>0, m≠n होने पर, समीकरण n|z-α|=m|z-β| को संतुलित रखने वाले सभी बिंदु P(z) का समूह, जो रेखांकन ABS को अंत: या बाह्य विभाजित करते हैं m:n अनुपात में, और इन बिंदुओं को एक वृत्त के व्यास के रूप में अंतबाह्य करता है। (एपोलोनियस की वृत्त)। इस कथन को साबित करें।'

'$C_1$ के बाहरी बिंदु $Q$ से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ लंबाई से मिलती हैं जब बिंदु $Q$ का रेखांश ढूंढें।'

'त्रिOAB है जिसमे शुद्धांक O(0), A(1), तथा B(i) को कोण बनाए हैं, त्रिOAB एक समकोणी द्विस्त्रिभुज है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, दिखाएं कि शुद्धांक P(α), Q(β), R(γ) से बने त्रिभुज PQR में, जहाँ कोण P सही कोण है, समीकरण 2α²+β²+γ²-2αβ-2αγ=0 सत्य है।'

"आई एक अधिकतम संदर्भ में 1 से अधिक स्थायी निर्देशित संख्या हो। \nवक्र ' x ^ 2-y ^ 2 = 2 ' और रेखा ' x = \\ झटिलता {2} ए ' से घिरे क्षेत्र का क्षेत्र ' S ' की पुनिय्रत अक्षेप से द्वारी करें।"

'त्रिभुज ABC में, भुज BC के बीच के बिंदु को M मानते हैं, तो निम्नलिखित समीकरण स्थिर होता है।'

'रेखा $\\ell: \\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$ और कर्व $C: \\sqrt[3]{\\frac{x}{a}}+\\sqrt[3]{\\frac{y}{b}}=1$ का विचार करें, यहाँ $a$ और $b$ सकारात्मक मान हैं।'

'इसके अतिरिक्त, बिंदु R वह बिंदु है जो व्यास PQ पर है, तो ∠PRQ = π/2'

''

''

"2a लंबे प्रमुख ध्रुववृत्त में, केंद्र O, छोटे धुरी BB' के साथ। इस द्विघाती के B, B' के अलावा चक्रवृत्त पर स्\u200dथान P को लेकर, BP, B'P और लंबी धुरी या उसके विस्तार पर क्रमशः संयोजित बिंदु Q, R को नाम दें, तो OQ・OR=a² है। इसे चक्रों का उपयोग करके साबित करें।"

'तीन बिंदुओं A(0,1,-1), B(4,-1,-1), और C(3,2,1) से गुज़रने वाले समतल की समीकरण ढूंढें।'

'मूल O से गुजरने वाले और z-अक्ष के लिए लंबा आयतक का समीकरण ढूंढें।'

'एक्स वाई समतल पर, \ r=\\frac{1}{1+\\cos \\theta} \ द्वारा दिया गया वक्र \ C \ का विचार करें।'

'साबित करें कि निकट समरेखा $\\frac{x^{2}}{16}-\\frac{y^{2}}{9}=1$ पर एक बिंदु $\\mathrm{P}(x_{1}, y_{1})$ पर एकत्रित दो ध्येय $\\mathrm{F}, \\mathrm{F}^{\\prime}$ द्वारा बनाई गई कोण $\\angle \\mathrm{FPF}^{\\prime}$ को बीस करती है। यहाँ, $x_{1}>0, y_{1}>0$।'

'(1) बिंदु z सीधी रेखा का ऊर्ध्वाधर बीसेक्टर है जो बिंदु 1 और i को जोड़ने वाली रेखा को। (2) बिंदु z बिंदु 1- i के केंद्र और अक्षरशीलता 2 के वृत्त है।'

'व्याप्त संख्यामय समतल का उपयोग करके, निम्नलिखित सिद्धांत को सिद्ध करें। 100 यूनिट में आरेखित चक्र में अंतःप्रविष्ट चतुर्भुज ABCD के लिए समीकरण AB·CD+AD·BC=AC·BD सत्य होता है (प्टोलेमी का सिद्धांत)।'

'Z(0,3,-2) से गुजरने वाले, z अक्ष के लिए लंबे समतल की समीक्षा करें。'

'उदाहरण 46 | सम तल शर्त x का मूल्य निर्धारित करें, ताकि निम्नलिखित 4 बिंदु सम तल हों: A(1,3,3), B(1,1,2), C(2,3,2), P(x, x, x) [केओइयो विश्वविद्यालय के समान] तीन गई बिंदुओं A, B, C के लिए, बिंदु P ABC के समतल पर होने की शर्त का मतलब है कि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी हो: मूल को मूल रखने की स्थिति में O, [1] ऐसे वास्तविक संख्याएं s, t मौजूद हैं कि \\\overrightarrow{AP}=s\\overrightarrow{AB}+t\\overrightarrow{AC}\ [2] ऐसे वास्तविक संख्याएं s, t, u मौजूद हैं कि \\\overrightarrow{OP}=s\\overrightarrow{OA}+t\\overrightarrow{OB}+u\\overrightarrow{OC}, s+t+u=1\ [1] या [2] को घटकों के साथ प्रस्तुत करें, और एक समीकरण समस्या में घटित करें।'

'मूल बिंदु को \ \\mathrm{O} \ माना जाए। \ x \ अक्ष पर एक स्थिर बिंदु \\( \\mathrm{A}(k, 0)(k>0) \\) है। अब चित्र सामने एक गति बिंदु \ \\mathrm{P} \ है जिसके लिए \\( \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\neq \\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}})=0,0^{\\circ} \\leqq \\angle \\mathrm{POA}<90^{\\circ} \\) है। (1) बिंदु \\( \\mathrm{P}(x, y) \\) के पथ की समीकरण ढूंढें। \ x, y \ का उपयोग करें। (2) निर्धारित करें कि \ |\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}||\\overrightarrow{\\mathrm{OA}}-\\overrightarrow{\\mathrm{OP}}| \ की अधिकतम मान और इसके साथी मान \ \\angle \\mathrm{POA} \। [साइतामा संस्थान ऑफ टेक्नोलॉजी]'

''

''

''

'साबित करें कि जब एकक क्षेत्रीय वृत्त पर तीन भिन्न बिंदु A(α), B(β), और C(γ) और एक बिंदु H(z) (जो वृत्त पर नहीं है) में समीकरण z=α+β+γ को पूरा करते हैं, तो H △ABC की अल्पऊर्ध्वकेन्द्र है।'

'त्रिभुज का ऊर्ध्वकेंद्र सिद्ध करें\nइकाई वृत्त पर विभिन्न 3 बिंदुओं A(α), B(β), C(γ) को और इस वृत्त पर नहीं होने वाले बिंदु H(z) को ध्यान में रखते हुए, मान जब समीकरण z = α + β + γ सत्य होता है, तो सिद्ध करें कि H त्रिभुज ABC का ऊर्ध्वकेंद्र है।'

'नियतन (-3,1) के बारे में सममित होकर मिलने वाले वक्र की समीकरण ढूंढें जो द्विघाती $x^{2}-2 y^{2}=-4$ को विस्तारित करने देता है।'

'रेखा कोण AB पर (दोनों सिरों को छोड़कर) एक बिंदु ओ लें, बाहुओं AO, OB के साथ वर्ग AOCD और वर्ग OBEF का निर्माण करें। रेखा कोण AB के समान ओर स्थित करें। AF⊥BC साबित करें।'

'सिद्ध करें कि हाइपरबोला $b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}(a>0, b>0)$ पर बिंदु $\\mathrm{P}(x_{0}, y_{0})$ पर टैंजेंट रेखा और असिम्प्टोट के छोटे स्पर्शन बिंदु $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज $\\triangle \\mathrm{OQR}$ का क्षेत्र, मूल से $\\mathrm{O}$ , किसी भी बिंदु $\\mathrm{P}$ के चयन से अनिर्दिष्ट है।'

'समतल की समीकरण\n(1) एक बिंदु \\( \\mathrm{A}\\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\\right) \\) से होकर, एवं \ \\overrightarrow{0} \ के अलावा एक गैर-शून्य वेक्टर \\( \\vec{n}=(a, b, c) \\) के लंबवत समतल की समीकरण है \\( a\\left(x-x_{1}\\right)+b\\left(y-y_{1}\\right)+c\\left(z-z_{1}\\right)=0 \\)'

'(2) 2 रेखाएँ $y=\\frac{\\sqrt{7}}{3} x, y=-\\frac{\\sqrt{7}}{3} x$ अनुकरण रेखाएँ हैं, और 2 बिंदु $(0,4),(0,-4)$ को ध्यान में रखते हुए कोणोत्तर रेखा की समीकरण को खोजें।'

'सकारात्मक संख्या ए के लिए, बिंदु A(a, a^{2}) पर चाप य=x^{2} पर खिसकाव रेखा, जो A बिंदु को -30° से घूमा गया है। रेखा l को इस घूमने वाली रेखा माना जाता है। यह रेखा l और बिंदु A नहीं है जो बिंदु l और चाप य=x^{2} का क्रमसूची का बिंदु है। इसके अतिरिक्त, बिंदु C(a, 0) और मूल को ओ के रूप में लिया जाता है। रेखा l की समीकरण खोजें। इसके अलावा, रेखीय समुद्री OC, CA, और चाप y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र को S(a) कहा जाता है, और रेखित जेब एबी और चाप y=x^{2} द्वारा घेरे गए क्षेत्र को T(a) कहा जाता है। c की खोज करें=lim_{a→∞} (T(a)/S(a))।'

''

'महत्वपूर्ण उदाहरण 139 ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग'

'एस समीकरण के स्थान वेक्टर कैसे प्राप्त किया जाए'

'बिंदु मेल को साबित करने के बारे में सीखें।'

'दी गई चतुर्भुज ABCD में बाहुओं AC और BD हैं, और चतुर्भुज ABCD के चारों कोणों पर O केंद्रित वृत्त है। वे परियोजीत वेक्टर्स OA, OB, OC, OD को प्रत्येक को a, b, c, d से दर्शित करें।\n(1) यदि वेक्टर a+b+c और a+b+d के मात्राएँ समान हैं, तो साइड्स AB और CD समानांतर हैं या बिंदु O साइड AB पर है। सिद्ध करें।\n(2) यदि त्रिभुज ABC, BCD, CDA, DAB के भरण बिंदु O से समान दूर हैं, तो सिद्ध करें कि चतुर्भुज ABCD एक आयतकार है।'

'(1) बिंदु A(1,2), B(2,3), C(-1,2) के लिए, बिंदु A के माध्यम से गुजरने और बीसी के लिए लंब करने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें।\n(2) दो रेखाओं x-2y+3=0 और 6x-2y-5=0 द्वारा बनाए गए एक्युट कोण α'

'विचार करें केंद्र O वाले वृत्त को। इस वृत्त की परिधि पर, OA+OB+OC=0 ऐसे 3 बिंदु A, B, C हैं। त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है यह साबित करने के लिए। वृत्त का त्रि-ज्याकोण r (r>0) मान लें, फिर |OA|=|OB|=|OC|=r। OA+OB+OC=0 से हमें OA+OB=-OC मिलता है। इसलिए |OA+OB|^{2}=|-OC|^{2}, जिसे |OA|^{2}+2OA·OB+|OB|^{2}=|OC|^{2} रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, r^{2}+2OA·OB+r^{2}=r^{2} होगा, जिससे हमे OA·OB=-r^{2}/2 मिलता है। इस स्थिति में, |AB|^{2}=|OB-OA|^{2}=|OB|^{2}-2OA·OB+|OA|^{2}=r^{2}-2(-r^{2}/2)+r^{2}=3r^{2}। क्योंकि |AB|>0 है, इसलिए |AB|=sqrt{3}r होगा। इसी तरह, |BC|=|CA|=sqrt{3}r होंगे। फलस्वरूप, AB=BC=CA होगा। इसलिए, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है।'

'निम्नलिखित समीकरणों को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: (1) x+y+2=0 (2) x²+y²-4 y=0 (3) x²-y²=-4'

'सेवा के सिद्धांत का उपयोग'

'समरेख षट्कोण ABCDEF में, तिर्भुज DE का बीच का बिंदु M है। समरेख षट्कोण के विरुद्धकोण AD, BE, CF का छोर O को मानते हुए, निम्नलिखित वेक्टर संबंध सत्य होते हैं:'

'बिंदु A(x₁, y₁) और रेखा ax + by + c = 0 के बीच दूरी |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²) है। रेखा ax + by + c = 0 के लिए लंबवत वेक्टर 𝑛 है (a, b)। पृ॰343 मूलभूत विषय 1।'

'AB ⊥ CD को साबित करने के लिए शर्तों का पता लगाएं।'

'समतल के समीकरण, रेखा के समीकरण'

'ध्रुवीय निर्देशांक और रेखाएँ'

'मूल वृत्त को y-अक्ष के संबंध में x-अग्रणी दिशा में 5/2 गुणा बड़ाकर प्राप्त वक्र का समीकरण ढूंढें।'

'सांख्यिकीय चरणों के AB, BC, CD, DA के मध्यबिंदु को प्रतिनिधित्व करते हैं पी, क्यू, आर, एस को और वक्ताओं, यू को T, U में मध्यबिंदु करते हैं, तो रेखांकन PR, क्यू, TU के बीची हर एक मध्यबिंदु के बराबर होते हैं।'

'समतल (plane) में △ABC है। O को △ABC का वाह्य केंद्र माना जाता है, ताकतीय वृत्त की त्रिज्या R है। साथ ही, बिंदु H एक बिंदु है जो ∽OA+∽OB+∽OC=∽OH को पूरा करता है। जहां, बिंदु H बिंदु A, B, और C से भिन्न है। यदि ∽OA=𝐚, ∽OB=𝐛, ∽OC=𝐜 है तो: (1) ∽AH और ∽CH को 𝐚, 𝐛, 𝐜 के रूप में व्यक्त करें, और साबित करें कि ∽AH BC के लगभग सीधा है और ∽CH AB के लगभग सीधा है। (2) रेखा OH का बीच का बिन्दु P करें, और △ABC की प्रत्येक भुजा AB, BC, CA के बीच का बिन्दु लिए L, M, N। इस समय, ∽PL, ∽PM, ∽PN को 𝐚, 𝐛, 𝐜 के रूप में व्यक्त करें, और साबित करें कि P △LMN का बाह्य केंद्र है। (3) रेखा AH का बीच का बिन्दु D के रूप में लें, और साबित करें कि P रेखा DM का बीच का बिन्दु है। (4) शीर्ष बिंदु A से रेखा BC पर लंब धर दें, रेखा BC और कटाव E के बीच कोन बनाएं। साबित करें कि बिंदु E △LMN की वाह्य घेरे की परिधि पर है।'

'जब दो सीधे PQ और RS एक कोनिक के एक buy cheap cholesterol foci F से गुजरने वाले तार PQ और RS एक कोनिक के एक फोक्स, F, के माध्यम से गुजरनेवाले दो तार PQ और RS को एक समंकोन बनाते हैं तो प्रमाणित करें कि 1/PF*QF + 1/RF*SF एक स्थायी मान है।'

'ज्यादा करने के लिए x अक्ष की दिशा में दोगुना करने से बनने वाले वक्र की समीकरण ढूंढें जो वृत्त x^2+y^2=4 को 5/2 के गुणक से अक्ष यानी y अक्ष के अनुसार अपनाती है।'

'कोण सिद्धांत के अनुसार'

'निम्नलिखित ज्यामितीय गुणों को सिद्ध करें:\n1) सुराहित कोने के बराबर होने का सिद्धांत स्थापित करें।\n2) जब रेखा $\\ell$ और $m$ रेखा $n$ को काटती हैं, अगर $\\ell \\parallel m$ हो, तो समकक्ष कोने और प्रतिस्थानी भित्ति के कोने भी बराबर होते हैं।\n3) रेखाओं $\\ell$ और $m$ के संबंध में, यदि एक जोड़ी समकक्ष कोने या प्रतिस्थानी भित्ति के कोने बराबर हों, तो सिद्ध करें कि $\\ell \\parallel m$।'

'उदाहरण 47 | त्रिभुज का बारिकेंद्र'

'जब एक्स के किनारे लिया जाता है, तो प्रत्येक शीर्षक के निर्देशांक को A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।\n(1)\n\\[\n\egin{aligned}\n\\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2} & =\\left\\{(a+c)^{2}+b^{2}\\right\\}+\\left\\{(a-c)^{2}+b^{2}\\right\\} \\\\\n& =2 a^{2}+2 c^{2}+2 b^{2} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right) \\\\\n2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) & =2\\left\\{\\left(a^{2}+b^{2}\\right)+c^{2}\\right\\} \\\\\n& =2\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\\right)\n\\end{aligned}\n\\]\nइसलिए \\( \\quad \\mathrm{AB}^{2}+\\mathrm{AC}^{2}=2\\left(\\mathrm{AM}^{2}+\\mathrm{BM}^{2}\\right) \\)'

''

'दाईं तरफ के चित्र में, वर्तुलकोण को प्रत्येक भुजा के बीच केंद्रीय बिंदुओं को जोड़कर 5 क्षेत्रों में विभाजित किया गया है, कुल 14 छोटे क्षेत्र। पड़ोसी क्षेत्रों को विभिन्न रंगों में रंग भरने पर निम्नलिखित परिदृश्यों को रंगने के कितने विभिन्न तरीके हैं? यह माना जाता है कि घूर्णन के बाद भी एक जैसे रंग स्कीम को एक ही रंगना समझा जाता है। (1) 4 विभिन्न रंगों में से 2 रंगों का चयन करना। (2) 4 विभिन्न रंगों में से 3 रंगों का चयन करें और रंगने के लिए सभी 3 रंगों का उपयोग करें।'

''

'अभ्यास 43: इस पुस्तक के पृष्ठ 339 से क्षेत्र के बारे में, क्योंकि △ABP=¼△ABC है, इसलिए BP:BC=1:3। इसलिए BP:PC=1:2। विशेषज्ञ, शर्तों से AB:AC=1:2। इसलिए AP ∠BAC का द्विभाजक रेखा है। इससे यहाँ ∠BAP=½∠BAC=½ × 90°=45° है।'

'यदि चतुर्भुज ABCD के दोनों शीर्षकोण ∠A और ∠C की दोनों कोन व्यासक रेखाएं विन्दु BD पर होते हैं, तो सिद्ध करें कि यदि दोनों शीर्षकोण ∠B और ∠D की दोनों कोन व्यासक रेखाएं विन्दु AC पर होती हैं।'

'उदाहरण 48 पांच केंद्र संबंध अकुटकोणी त्रिभुज ABC में वाह्य केंद्र O, लंबकेंद्र H, और भरकेंद्र G हैं। (1) O से बाहुओं AB, BC पर लंब खींचते हैं, जिन्हें OM, ON कहा जाता है। BH के बीच का बिंदु L है। निम्नलिखित को सिद्ध करें: (अ) चतुर्भुज MLNO एक समांग चतुर्भुज है। (ब) AH = 2ON (2) यदि त्रिभुज ABC एक बराबरत्रिभुज नहीं है, तो साबित करें कि बिंदु G, O, H एक सरल रेखा पर हैं, और G अन्त:समंश H को 1:2 में विभाजित करता है।'

'रेखा ℓ और समतल α के बीच संभावित स्थिति संबंध क्या हैं?'

"सिद्ध करें कि दाईं तरफ की चित्र में, बिंदु P को बाह्य स्पर्श के रूप में लेते हुए, दो वृत्त O और O' के सामान्य बाह्य समकोणी छुआई के छुआई बिंदु C और D होते हैं। पॉइंट P के माध्यम से गुजरने वाली रेखा और दो वृत्त O और O' के P के अलावा छुआई बिंदु को अ ब कहते हैं, तो AC ⊥ BD होगा।"

'अभ्यास 19 ⇒ यह पुस्तक पृ।282 एक क्यूब का एक कोना एक ग्रिड के रूप में परिभाषित हो, दाईं ओर, पीछे, और ऊपर एक ग्रिड जाएँ जो क्रमशः →, ↗, ↑ से प्रस्तुत किया जाता है। (१) जैसा कि सही चित्र में दिखाया गया है, मान लें कि ऊपरी बाईं कोने में एक पथ है, तो ए से बी तक का पथ → ३ और ↗ २ का परिणाम है, तो ५!/(३!२!)=१०। उनमें से, चित्र में गायब चिह्न के माध्यम से जाने वाला पथ १ है, इसलिए ढूंढने वाले पथों की संख्या १०-१=९ (तरीके) है। (२) ध्यान दें कि दोनों पॉइंट सी और पॉइंट डी के माध्यम से गुजरने वाले मामलों को दोहराने नहीं है। (कुल)-(पॉइंट सी या पॉइंट डी से होने वाला) एक ही तरीके में हल किया जा सकता है (१) और (२) हेतु। पारिपथियों का विचार करें जो चित्र 2 के विकर्ण भाग से बी तक पहुंचने के लिए है। एक अस्थायी पथ बनाने की सोचें।'

'36 वर्ग मीटर रेडियस वाले वृत्त में वन चाप चतुष्कोण का उपयोग'

'AC+BC का सबसे कम मान उस समय होता है जब बिंदु A, B, C सीधी रेखा पर होते हैं, जैसा कि एकमान्य आठ-मुख्य आकार का आयताकार चित्र [3] में दिखाया गया है। इस स्थिति में, ∠ACB होता है ∠PRQ के बराबर। इसलिए, त्रिभुज PQR में, कोसाइन नियम के अनुसार'

'अभ्यास: निम्नलिखित कथन को साबित करें।'

''

'बिंदु की शक्ति सिद्धांत'

'त्रिभुज ABC में, ∠B के द्विभाजक रेखा और साइड AC के पारस्परिक समाप्ति को D के रूप में नामित करें, और ∠C के द्विभाजक रेखा और साइड AB के पारस्परिक समाप्ति को E के रूप में नामित करें।'

'वृत्त में आसंधित चतुष्कोण का क्षेत्र\nवृत्त में आसंधित चतुष्कोण के क्षेत्र निकालने के लिए, हेरन के सूत्र के समान एक सूत्र होता है। आइए हाल के परीक्षा सवाल के आधार पर इस सूत्र का विचार करें।\nचतुर्भुज ABCD एक वृत्त में आसंधित है। ओर DA, AB, BC, CD की लम्बाई को a, b, c, d से दर्शाते हुए, ∠DAB=θ माना जाए। साथ ही, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र T है।\n(1) सिद्ध करें कि a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cosθ।\n(2) सिद्ध करें कि T=√[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]। यहां, s=(a+b+c+d)/2।\n[यमागुची विश्वविद्यालय]'

'[2] जब $AP = PQ$ होता है, तो अगर हम बिंदु $P$ को बायां दिशा से $A$ के बिंदु से चलाने का विचार करते हैं, तो $AP = PQ$ के रूप में बिंदु $Q$ मौजूद है, तो $P$ चुनने के 5 तरीके हैं।'

'98 माध्यक राशि सिद्धांत'

'△ABC में, यदि वह BC साइड का बीच का बिंदु M है, तो निम्नलिखित समीकरण मान्य है: \n\nAB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2}) (माध्य तर्क)'

'जोर तरंग सिद्धांत और BC=BD से, हमें ∠CBT=∠BDC=∠BCD=68° मिलता है। साथ ही, ∠DBC=180°-(68°+68°)=44°, ∠ACB=∠ADB=115°-68°=47°। इसलिए, θ=180°-(44°+47°)=89°।'

'दो समांतर रेखाएं ℓ और m, इनके साथ कटने वाली एक रेखा n और दो बिंदु A और B दिए गए हैं। रेखा ℓ पर बिंदु C और रेखा m पर बिंदु D लें, ऐसा करें कि CD // n हो और AC ⊥ BD हो। C और D बिन्दु बनाएँ।'

'बहनों की समूह के बीच संबंध को सहजता से समझने के लिए, एक आरेख बनाना सबसे अच्छा है। यूनिवर्सल सेट को यू और भाइयों, बहनों, छोटे भाईयों और छोटी बहनों के समूह को पी, क्यू, आर और एस के रूप में लिया जा सकता है।'

'उदाहरण 49 मेनेलाउस का सिद्धांत और त्रिभुज क्षेत्रफल'

'एक त्रिभुज ABC के लिए, निम्नलिखित मान्य हैं:'

'मेनेलास का सिद्धांत'

'(3) त्रिभुज DAE और त्रिभुज CAB की समानता साबित करें।'

'(3) यदि रेखा AH और भुजा BC का छिपाव बिंदु D हो, और रेखा CH और भुजा AB का छिपाव बिंदु E हो, तो'

'त्रिभुज ABC में, कोण A के द्विभाजक रेखा और भूमि BC का क्रमिक बिंदु D को लेगा और कोण ADB और ADC के द्विभाजकों और कोण AB, AC के किनारों के समांतर E और F बिंदुओं को लें। निम्नलिखित को सिद्ध करें: (1) त्रिभुज BEF: त्रिभुज AEF = BD: AD (2) त्रिभुज BEF: त्रिभुज CEF = AB: AC'

'महत्वपूर्ण उदाहरण 57 | सिंपसन का सिद्धांत'

'त्रिभुज ABC के सिरे AB, BC, CA पर बिंदु D, E, F ऐसे लिए जाते हैं ताकि AD:DB=t:(1-t), BE:EC=2t:(1-2t), CF:FA=3t:(1-3t), और त्रिभुज DEF क्षेत्र को S के रूप में आंकित किया गया है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'ज्यामिति सिद्धांत का उपयोग करके प्रमाणित करें'

''

'महत्वपूर्ण उदाहरण 101 की भुजाओं और कोणों के समानता का सिद्धांत\nत्रिभुज ABC में, इस सिद्धांत को सिद्ध करें:\n\\[\n(a-b \\cos C) \\sin A=(c-b \\cos A) \\sin C\n\\]\nउदाहरण 62, 63\nमार्गदर्शन D.172 और उदाहरण 55 में बताया गया है कि समीकरण पर प्रमाण P=Q करने के लिए निम्नलिखित विधियाँ का प्रयोग किया जा सकता है:\n[1] P या Q में से किसिको रूपांतरित करके, अन्य को प्राप्त करना।\n[2] P और Q दोनों को रूपांतरित करके, एक ही समीकरण प्राप्त करना।\n[3] P-Q को रूपांतरित करके, यह साबित करना कि यह 0 के समान है।\nविधि का चयन दिए गए समस्या पर निर्भर करता है, लेकिन यहाँ हम [3] का प्रक्रिया का प्रदर्शन करते हैं। इसलिए, P-Q को सरल बनाने के लिए, हम अक्षरों की कमी को ध्यान में रखते हैं, जो शामिल है:\nकोनों को हटाकर सिर्फ भुजाओं के रिश्तों को सीधे करना\nइसके लिए, हम उपयोग कर सकते हैं \ \\sin A=\\frac{a}{2 R}, \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \ जैसे सूत्र।'

'निम्नलिखित (1), (2), (3) को ग्रीस के तीन महान ज्यामितीय समस्याएं माना जाता है। (1) कोण का तिहाई विभाजन समस्या: दिये गए कोण को तीन बराबर भागों में विभाजित करना (2) घन की दोगुना समस्या: दिए गए घन के दोगुना आयतन का घन बनाना (3) वृत्त का वर्ग समस्या: दिए गए वृत्त जैसी क्षेत्रफल वाला वर्ग बनाना।'

'अध्याय 3 ज्यामितीय गुणों की जांच प्रश्न'

''

''

'सिद्ध करें: त्रिभुज ABC की साइड BC के पारलेल रेखा AB, AC को बिंदु D, E पर काटती है। BE, CD के छोर O को जोड़ने वाली रेखा में BC के बीच का बिन्दु से होती है।'

'लंब रेखा सिद्धांत'

'सिद्ध करें कि जब चतुर्भुज ABCD को एक वृत्त में आस्थापित किया जाता है, तो विलम्बकोण BD पर बिंदु E मौजूद होता है, जिससे ∠BAE=∠CAD।'

'अभ्यास (1) सिद्ध करें कि जब ΔABC के अन्यत: कोई बिंदु O लिया जाता है, और ∠BOC, ∠COA, ∠AOB के कोणों के द्विभाजक सिर्फ़ BC, CA, AB को पॉइंट्स P, Q, R पर कटते हैं, तो AP, BQ, CR एक ही बिंदु पर कटते हैं।\n(2) जब ∠A में एक्सटर्नल कोण का द्विभाजक ∠ABC की तरफ ओर बढ़ता है, तब अंतर्वहित बिन्दु D होने पर समाधान बी, सी के कोणों का द्विभाजक और साइड्स होते हैं। एसी, ए बी संभावित। तीन बिंदु D, E, F को एक ही रेखा पर हैं उसे दिखाएं।'

'साबित करें कि पथ l समतल OAB के लिए लंबवत है जब पथ OA समतल अल्फा के लिए लंबवत है और पथ l समतल अल्फा पर है।'

'इसलिए, बाइ द पावर ऑफ़ अ बॉयंट थियोरेम से, AB²=AD×AE'

'x = 1 रेखा के संदर्भ में (2, 3) के सममित बिंदु (p, q) की निर्धारित स्थानांक और नया समीकरण ढूंढें।'

'कृपया समानांतर रेखाओं के बीच 6 रेखांकन केसे खींचना।'

'कृपया अध्याय 2 में समूह और प्रस्तावों पर अभ्यास में से 4 समूहों के वेन आरेख का विवरण दें।'

'प्रमाण: अगर रेखा l तल प्लेन α पर कटती दो रेखाओं m और n के लिए लंबी है, तो रेखा l तल प्लेन α के लिए लंबी है।'

'42 डिग्री के कोण का द्वि-भाजक और संख्याक अनुपात का प्रमाण'

'चतुर्भुज ABCD में, AC और BD का क्रम्श: समांतर और अपक्षित बिन्दु P है। ∠APB=∠CPD=90°, AB//DC दिया गया है। इस स्थिति में, △PAB और △PCD के परिप्रेक्षित वृत्त एक-दूसरे से परिप्रेक्ष हैं यह सिद्धित करें।'

'उदाहरण 53 | टूटी रेखा का सबसे छोटा मार्ग\nतीक्ष्ण कोण ∠XOY के अंदर एक बिंदु P है। अर्धरेखा OX, OY पर (O को छोड़कर) क्रमश: बिंदु Q और R लिया जाता है। PQ+QR+RP को कम से कम कैसे बनाया जाए?'

'कृपया निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें:\n(1) कोसाइन नियम का उपयोग करके, BD की लम्बाई निकालें।\n दी गई मान: BC = 4, CD = 3√2, ∠BCD = 45°\n\n(2) चतुर्भुज ABCD की क्षेत्रफल निकालें। चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में आसंधित है और ∠BAD = 135° दिया गया है।'

'त्रिभुज के पाँच केंद्र और चेवा के सिद्धांत का पालटाव'

'स्थानांतरण द्वारा, यह बिंदु बिंदु (2+2, -4-1) जो कि बिंदु (4, -5) है पर चलेगा, इसलिए उल्लेखनीय पराबोला की समीकरणी y=(x-4)^2-5 या y=x^2-8x+11 है।'

'त्रिभुज ABC में, कोण B के द्वि-भाजक रेखा और साइड AC के संबंध को विन्दु D कहा जाता है, और कोण C के द्वि-भाजक रेखा और साइड AB के संबंध को विन्दु E कहा जाता है। इसे सिद्ध करें कि यदि कोण B कोण C से कम है, तो BD > CE है।'

'इसलिए, चतुर्भुज ADFE की विकर्ण AF, DE को लंबवत रूप से कटते हैं और एक दूसरे को आधा करते हैं। इस प्रकार, चतुर्भुज ADFE रोंबस है।'

'निम्नलिखित को साबित करें।'

'परिधि कोण, एक वृत्त में व्याप्त वर्ग'

'चित्र 1 में, बिंदु A से बिंदु B तक जाने के लिए सबसे छोटा मार्ग होने पर, बिंदु C और बिंदु D के किसी भी भीतर जाने के तरीके कितने हैं?'

'सिद्ध करें कि दो समांतल रेखाओं में से एक के ऊपरी होने वाली एक रेखा दूसरी के ऊपरी होती है।'

'उदाहरण 41 अनुवाद और सममित चलन\nएक पराबोला को मूलबिंद के बारे में सममित करें, फिर x-अक्ष की दिशा में -2 और y-अक्ष की दिशा में 3 मूव करें, पराबोला y=3x^2-6x+5 पर मूव होगा। मूल पराबोला की समीकरण खोजें।'

डि मॉर्गन का नियम सम्पूर्ण संग्रह U के उपसमूह A और B के लिए \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\quad (डि मॉर्गन का नियम)सत्य हैं। एक चित्र का उपयोग करके इसे सत्यापित करें।

निम्न रेखाओं की ध्रुवीय समीकरण खोजें। (1) प्रारंभिक रेखा OX पर स्थित बिन्दु A(3/2, 0) से गुजरने वाली और प्रारंभिक रेखा पर लंबवत रेखा। (2) ध्रुव O से गुजरने वाली और प्रारंभिक रेखा के साथ -π/4 का कोण बनाने वाली रेखा।

प्रक्षेपवक्र और दीर्घवृत्त

एकक वृत्त पर स्थित तीन विभिन्न बिंदुओं \( \mathrm{A}(lpha), \mathrm{B}(eta), \mathrm{C}(\gamma) \) और इस वृत्त पर नहीं आने वाले एक बिंदु \( \mathrm{H}(z) \) के लिए, जब समीकरण z=lpha+eta+\gamma संतुष्ट हो, तो सिद्ध करें कि $\mathrm{H}$ $riangle \mathrm{ABC}$ का लम्बकेन्द्र है।

हमने पृष्ठ 55 और 56 पर समतल में वेक्टर समीकरण के बारे में सीखा। यहाँ, हम समतल की समीकरण और अंतरिक्ष में वेक्टर समीकरण के बारे में विचार करेंगे। 1 समतल की समीकरण जैसा कि पृष्ठ 78 के संदर्भ में उल्लेख किया गया है, एक समतल जो एक सीध में नहीं आने वाले तीन बिंदुओं से होकर गुज़रता है, वह केवल एक ही होता है। इसे बिंदु A और गैर-शून्य वेक्टर n का उपयोग करके भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। बिंदु A के माध्यम से तथा वेक्टर n के लम्बवत अनेकों सीधाएँ होती हैं। यह अनेकों सीधाएं समतल बनाती हैं। आइये समतल की समीकरण निकाले। बिंदु A(x1, y1, z1) के माध्यम से तथा गैर-शून्य वेक्टर n(a, b, c) के लम्बवत समतल के बिंदु P(x, y, z) मानते हैं। (1) जब A और P मेल नहीं खाते, n⊥AP से n·AP=0। चूंकि AP=(x-x1, y-y1, z-z1), n·AP=0 से हमें मिलता है a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0 (* जब A और P मेल खाते हैं, AP=0 से n·AP=0 आता है, इसलिए (*) सही है। (*) बिंदु A के माध्यम से और वेक्टर n के लम्बवत समतल समीकरण है। (2) (1) में (*) को फिर से व्यवस्थित करें a*x+b*y+c*z - a*x1 - b*y1 - c*z1 = 0 -a*x1 - b*y1 - c*z1 = d a*x+b*y+c*z+d=0\longleftarrow -a*x1 - b*y1 - c*z1 एक स्थिरांक है। इसे समतल समीकरण का सामान्य रूप कहा जा सकता है।

[बाहरी विभाजन बिंदु के स्थान वेक्टर का प्रमाण] $m > n$ के मामले में। $m < n$ का मामला समान रूप से दिखाया जा सकता है। रेखा खंड \mathrm{AB} को $m$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु को \( \mathrm{P}(\vec{p}) \) के रूप में निर्धारित करते हैं। चूंकि \( \mathrm{AP}: \mathrm{AB}=m:(m-n) \), इसलिए $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{m}{m-n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}$। इस प्रकार, \( \vec{p}-\vec{a}=\frac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a}) \)। बाहर विभाजित करने वाले बिंदु का सूत्र आंतरिक विभाजन सूत्र में $n$ को $-n$ से बदलने पर पाया जा सकता है।

xy समतल में, दीर्घवृत्त x²/4 + y² = 1 को x-अक्ष दिशा में 1 इकाई और y-अक्ष दिशा में a इकाई स्थानांतरित करने पर उत्पन्न दीर्घवृत्त यदि मूल बिंदु से गुजरता है, तो a=।

रेखाओं x-√3y+3=0 और √3x+3y+1=0 के बीच बनने वाले कोण को ज्ञात करें।

हाइपरबोला पर किसी भी बिंदु P से, दो स्पर्श रेखाओं पर लंबवत रेखाएँ PQ और PR खींचें। साबित करें कि इन रेखा खंडों की लंबाई का गुणनफल PQ · PR एक स्थिरांक है।

रेखाखंड BF पर एक बिंदु P लें, जिसका y-निर्देशांक a है। बिंदु P से रेखा CE पर खींची गई लंबवत रेखा और बिंदु C से रेखा EP पर खींची गई लंबवत रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु H है। इस समय, a का उपयोग करके EP सदिश को व्यक्त करें और a का उपयोग करके बिंदु H के निर्देशांक को भी व्यक्त करें।

एक द्विघात वक्र की पैरामीट्रिक प्रस्तुति (1)

अध्याय 4 सूत्र और रेखाएँ- 99 (2) बिंदु \( (2,1) \) से गुजरने वाली स्पर्श रेखा $x$ अक्ष के लम्बवत नहीं है, इसलिए इसका समीकरण \( \quad y=m(x-2)+1 \) है, अर्थात $y=m x-2 m+1$। इसलिए, (1) के रेखा समीकरण में जब $n=-2 m+1$ होता है, \[m^{2}-(-2 m+1)^{2}+4=0\] अर्थात $3 m^{2}-4 m-3=0$। यदि इस द्विघात समीकरण के दो हल lpha, eta हैं, तो lpha, eta दो स्पर्श रेखाओं की ढलान को दर्शाते हैं। मूल और गुणांक के बीच के संबंध के अनुसार \quad lpha eta=rac{-3}{3}=-1 । अतः, दो स्पर्श रेखाएँ लम्बवत होती हैं। (1) के परिणाम का उपयोग किया जा सकता है। दो रेखाएँ लम्बवत होती हैं $\Longleftrightarrow$ उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है।

अध्याय 1 समतल में सदिश (3) बिंदु C, E, और F क्रमशः बिंदु B के y-अक्ष, मूलबिंदु, और x-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं, इसलिए बिंदु C, E, और F के निर्देशांक हैं \[ \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}), \mathrm{E}(-1,-\sqrt{3}), \mathrm{F}(1,-\sqrt{3}) \] इसके अलावा, बिंदु \mathrm{P} के निर्देशांक हैं \( (1, a) \) इसलिए $\overrightarrow{\mathrm{EP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ \[ egin{array}{l} (1-(-1), a-(-\sqrt{3})) = (2, a+\sqrt{3}) \end{array} \] इसके बाद, बिंदु \mathrm{H} बिंदु \mathrm{P} से रेखा \mathrm{CE} पर खींची गई लंबवत रेखा पर स्थित है, तो इसे \mathrm{H}(x, a) माना जा सकता है। इस समय पर \( \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(x-(-1), a-\sqrt{3}) \) \[ (x+1, a-\sqrt{3}) \] क्योंकि $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{EP}}$, इसलिए $\overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=0$ और \( \overrightarrow{\mathrm{CH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EP}}=2(x+1)+(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3}) \) $2 x+a^{2}-1$ अतः $2 x+a^{2}-1=0$ इसलिए x=rac{1-a^{2}}{2} इसलिए, बिंदु \mathrm{H} के निर्देशांक हैं \( \left(rac{1-a^{2}}{2}, a ight) \)

उन शंखवाहकों का समीकरण खोजें जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं: (1) फोकस बिंदु (3√2, 0) और (-3√2, 0) पर हैं और फोकसों से दूरी का अंतर 6 है, (2) फोकस बिंदु (0, √26) और (0, -√26) पर हैं और फोकसों से दूरी का अंतर 6√2 है

इसलिए, यदि बिंदु D बिंदु BC को 5:3 के अनुपात में विभाजित करता है, और बिंदु P AD रेखा खंड पर 4:1 के अनुपात में स्थित होता है। (2) ΔPBC = (1/5)ΔABC = (2/10)ΔABC \[ egin{array}{l} ΔPCA = (4/5)ΔADC = (4/5) × (3/8)ΔABC = (3/10)ΔABC \\ ΔPAB = (4/5)ΔABD = (4/5) × (5/8)ΔABC = (5/10)ΔABC इसलिए, ΔPBC:ΔPCA:ΔPAB = 2:3:5 \end{array} \]

सामान्य रूप से, बिंदु \( \mathrm{P}(x_{1}, y_{1}) \) से रेखा $\ell: a x + b y + c = 0$ की दूरी $d$ को वेक्टर का उपयोग करके सिद्ध करें।

निर्देशांक तल में, जब लंबाई 6 के रेखाखंड AB के छोर A और B क्रमशः y-अक्ष और x-अक्ष पर चलते हैं, तो बिंदु P का पथ खोजें जो रेखाखंड AB को 3:1 में बाह्य विभाजित करता है।

अंडाकार $C^{\prime}$ पर बिंदु \( \left(3, rac{16}{5} ight) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

धुरी AB को बिंदु पर से होकर गुजरने और लघु धुरी के समानांतर होने दें। सिद्ध करें कि लघु धुरी की लंबाई का वर्ग, दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी और धुरी AB की लंबाई के गुणनफल के बराबर है।

चतुर्भुज OABC के किनारों OA और OC के मध्यबिंदु क्रमशः L और M हैं, और रेखा खंड ML और किनारा AB क्रमशः 2:1 के अनुपात में विभाजित बिंदु P और Q हैं। किनारे OB के 2:1 बाह्य विभाजन बिंदु को N कहा जाता है, और रेखा BC और रेखा MN के प्रतिच्छेदन को R कहा जाता है। (1) \overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c} होने पर OR को \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} का उपयोग करके व्यक्त करें। (2) यह प्रमाणित करें कि चारभुज PQRM एक समानांतर चतुर्भुज है।

रेखाखंड $\mathrm{BD}$ के मध्यबिंदु को $\mathrm{M}$ मानें, और रेखा $\mathrm{AM}$ तथा रेखा $\mathrm{CD}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को $\mathrm{N}$ मानें। $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ को वास्तविक संख्याएँ $r$ और $s$ का उपयोग करते हुए दो प्रकार से व्यक्त करें, अर्थात् $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r \overrightarrow{\mathrm{AM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s \overrightarrow{\mathrm{DC}}$, और $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ का मान निकालें।

TRAINING 29 (3) एक गैर-समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ दिया गया है जिसका परिकेंद्र $\mathrm{O}$ है। $\mathrm{H}$ बिंदु को लें जो $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ को संतुष्ट करता है। दिखाएँ कि $\mathrm{BH} \perp \mathrm{CA}$ है।

O को ध्रुव के रूप में मानते हुए ध्रुवीय निर्देशांक में, निम्नलिखित रेखाओं का ध्रुवीय समीकरण ढूंढिए। (1) प्रारंभिक रेखा OX पर बिंदु A(2,0) से होकर गुजरने वाली और प्रारंभिक रेखा के लंबवत रेखा। (2) ध्रुव O से होकर गुजरने वाली और प्रारंभिक रेखा के साथ π/3 कोण बनाने वाली रेखा। GUIDE: जब समतल पर कोई वक्र ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) के समीकरण r=f(θ) या F(r, θ)=0 द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो यह समीकरण इस वक्र का ध्रुवीय समीकरण होता है। 1. आकृति पर बिंदु P के ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) को मान लें। 2. आकृति पर बिंदु P के संतोषजनक शर्तों को समीकरण के रूप में व्यक्त करें। (1) समकोण त्रिभुज OAP पर ध्यान दें।

जब बिंदु $z$ केंद्र $i$ और त्रिज्या 2 के वृत्त पर चलता है, तो w=rac{z-i}{z+i} द्वारा निरूपित बिंदु $w$ किस प्रकार का आरेख बनाएगा? मान लें कि $z eq-i$।

116 (1) (अ) r²(1+cos² θ)=3 (1) θ=π/4 (ब) r=2 sin θ (2) (अ) x²+y²-√3x-y=0 (1) 4x²+y²=4