समतल ज्यामिति - समतल आकृतियों का क्षेत्रफल और परिमाप

'कर्व y=|x^{2}-1| और रेखा y=3 द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'ज्यामिति y = -2x^2 + 1 और सीधी AB द्वारा घेरे गए क्षेत्र S का पता लगाएं।'

'मान दें 139 एक ऐसा स्थिर है जिससे 0 ≤ a ≤ 1 को संतोषपूर्ण करें। धनुकी y = 1/2 x^2 + 1/2 को C1 के रूप में प्रदर्शित करें और धनुकी y = 1/4 x^2 को C2 के रूप में प्रदर्शित करें। एक वास्तविक संख्या a के लिए, रेखा x = a, x = a+1 और C1, C2 द्वारा घेरे गए क्षेत्र को D के रूप में चिह्नित करें, और जोरिया (a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1) को R के रूप में चिह्नित करें।\n1. क्षेत्र D की क्षेत्रफल S की गणना करें।\n2. वर्ग R और क्षेत्र D के बीच का क्षेत्र T की गणना करें।\n3. T को अधिकतम करने वाले a के मान को ढूंढें।\n[स्रोत: केंद्रीय परीक्षा] मौलिक उदाहरण 204, प्रगतिशील उदाहरण 216'

'इन क्षेत्रों की ज्यामिति और क्षेत्रफल ढूंढें।'

'निम्नलिखित कर्वों या रेखाओं द्वारा अवरोधित क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'गोलारेखा और x अक्ष के द्वारा घेरे गए क्षेत्र S का पता लगाएं।'

'ज्यायों \ y=x^{3}-4 x \ और \ y=3 x^{2} \ द्वारा घेरे गए दो आकृतियों के क्षेत्रफल का योग निकालें।'

'वर्शिका O(0,0), A(2,6), B(4,3) के साथ त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल S का पता लगाएं।'

'स्तरण x-y=0 (1), 2x+y=9 (2), x-4y=0 (3) द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्र निकालें।'

'निम्नलिखित कुर्वों और रेखाओं द्वारा घेरी गई चित्र की क्षेत्रफल \ S \ ढूंढें: \ y = x^{2} - 2x, \\quad y = x^{2} + 2x - 3, \\quad x = -1, \\quad x = 0 \'

'एक समतल आकृति के एक लंबाई, क्षेत्रफल (2) का कुल क्षेत्र है, 3 × 3 × 3.14 × 840 ÷ 360=21 × 3.14=65.94(सेमी²)। साथ ही, 8 समान त्रिभुजों का कुल क्षेत्र है, 3.9 × 8=31.2(सेमी²), इसलिए मोटी रेखाओं के द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल है, 65.94+31.2= 97.14(सेमी²)।'

'2019वे स्तंभ में रंग भरी गई भाग का क्षेत्रफल कुल कितना सेंटीमीटर है?'

'(2) त्रिभुज MBP क्षेत्रफल है, 6 ✕ (6+12) ÷ 2 = 54(cm²) इसलिए, पिरामिड F-MBP का आयाम है, 54 ✕ ÷ 3 = 18 ✕ (cm³)। साथ ही, त्रिभुज MAQ क्षेत्रफल है, 4 ✕ 12 ÷ 2 = 24(cm²) और पिरामिड R-MAQ की ऊचाई है, ✕'

'(1) नीचे की सतह दाईं तस्वीर में दिखाई गई तरह है। यदि रोम्बस ABCD का क्षेत्र 1 माना जाता है, तो तो चतुर्भुज ABD, CDB, DAC, BCA के क्षेत्र सभी 1/2 हो जाते हैं। इसलिए, त्रिभुज AKN का क्षेत्र 1/8 है, त्रिभुज CML का क्षेत्र 1/18 है, त्रिभुज DNM और BLK का क्षेत्र 1/6 होता है, इसलिए, चतुर्भुज KLMN का क्षेत्र 35/72 होता है। इसलिए, जब चतुर्भुज ABCD-EFGH की ऊचाई को 1 माना जाता है, तो ABCD-EFGH का आयतन 1 होता है, O-KLMN का आयतन 35/72×1/3=35/216 होता है, इसलिए, O-KLMN का आयतन ABCD-EFGH के आयतन का 35/216 गुना होता है। O-KLMN को भी आधी ऊचाई पर काट दिया जाता है। इसलिए, क्रॉस सेक्शन चतुर्भुज KLMN का आधा आकार हो जाता है, तो क्रॉस सेक्शन का क्षेत्र चतुर्भुज KLMN के क्षेत्र का 1/4 होता है, इसलिए, क्रॉस सेक्शन का क्षेत्र 35/72×1/4=35/288 हमेंलोट मिलता है, इसलिए क्रॉस सेक्शन का क्षेत्र ABCD के 35/288 गुना होता है।'

'(4) (2) में बने ग्राफ के निचले हिस्से (भरी त्रिभुजाकार क्षेत्र) की क्षेत्रफल निकालने के लिए। (3) में प्राप्त मान का उपयोग करके, 60 सेकंड के भीतर चले जाने की दूरी है, 20 × 60 ÷ 2 = 600 मीटर, 60 सेकंड से 120 सेकंड तक चले जाने की दूरी है, 20 × (120-60) = 1200 मीटर, 120 सेकंड से 150 सेकंड तक रुकने की दूरी है, 20 × (150-120) ÷ 2 = 300 मीटर, इसलिए मांगी गई दूरी है, 600 + 1200 + 300 = 2100 मीटर।'

'त्रिभुज ABC का कोण B और त्रिभुज ACD का कोण C लंबवादी है, और मार्क किए गए कोण बराबर हैं। बिंदु E बिंदु BC और AD के विस्तरित रेखाओं का क्रमशः क्रमशः समानांतरन बिंदु है। तरफ AB की लंबाई 2 सेमी है, और तरफ BC की लंबाई 1 सेमी है। (1) त्रिभुज ACD का क्षेत्र कितना सेमी वर्ग है?'

'निम्नलिखित 4 प्रश्नोत्तर दें। हालांकि, कृपया ध्यान दें कि चित्र सटीक नहीं है।\n(1) त्रिभुज ABC के लिए AC को एक कोने और BC को एक कोने के रूप में दिखाई गई चित्र 1 के रूप में चित्रित करें, और दो बिंदु D और E को एक रेखा से जोड़ें। इस स्थिति में, त्रिभुज CDE का क्षेत्रफल कितना है square centimeters में?'

'1950 में, तालिका 2 के अनुसार, देखा जा सकता है कि 2020 में, शिबुया शैक्षिक एकेडमी माकुहारी मिडिल स्कूल का क्षेत्र कागावा प्रिफेक्चर के मुकाबले छोटा है, लेकिन इसका क्षेत्र बढ़ गया है। इसके अतिरिक्त, चिबा प्रिफेक्चर, टोक्यो, कानागावा प्रिफेक्चर, ऐची प्रिफेक्चर, आदि में क्षेत्र के वृद्धि को विशेष रूप से देखा जा सकता है। कृपया उत्तर पत्रिका पर इन क्षेत्रों के क्षेत्र की वृद्धि के कारणों की व्याख्या करें। हालांकि, कृपया ध्यान दें कि प्रांतीय सीमाओं में परिवर्तन या अजनबी द्वीपों की खोज शामिल नहीं है।'

'दो वक्रों के बीच क्षेत्र की गणना करें।'

'निम्नलिखित समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्रफल ढूंढें: AB = 2, CD = 2, BC = 5, ∠B = 120°'

'4 मीटर तक के त्रिज्य के वृत्ताकार तालाब के चारों ओर, एक ही चौड़ाई के फूलों की बेड बनाना है। फूलों के बिस्तर का क्षेत्रफल 9π वर्ग मीटर से अधिक और 33π वर्ग मीटर से कम होना चाहिए, इसे पाने के लिए खेत की चौड़ाई कैसे होनी चाहिए?'

'दिए गए शर्तों से एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का पता लगाएं, और यह ठोस ज्यामिति में लागू करें।'

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'चतुर्भुज ABCD क्षेत्रफल निकालें। पक्ष की लंबाई हैं AB=5, BC=6, CD=5, DA=3, और कोण है ∠ADC=120°।'

'त्रिभुज ABC में, निम्नलिखित को खोजें। जहां, त्रिभुज ABC क्षेत्रफल ko S माना गया है। (1) जब A=120 डिग्री, c=8, S=14√3, तो a और b ढौंढिए। (2) जब b=3, c=2, 0<A<90 डिग्री, S=√5, तो sin A और a ढौंढिए। (3) जब a=13, b=14, c=15 हो, और ऊर्ध्वीकोण A से साइड BC तक लंबवत रेखा की लंबाई h हो, तो S और h ढौंढिए।'

'हेरॉन का सूत्र (उन्नत विषय)'

'अभ्यास 5: त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिधि की तुलना'

'उदाहरण 135: बहुभुज का क्षेत्रफल\nएक जटिल बहुभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसे सरल त्रिभुजों या चतुर्भुजों में विभाजित करें, प्रत्येक का क्षेत्रफल निकालें और फिर उन्हें जोड़ें।'

'त्रिभुज ABC का क्षेत्र S है।'

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'पीआर कर्व, रेखा और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र को खोजें।'

'क्षेत्रफल निकालें (3) \ -x^{2} + 2x - 2 \।'

'A(1,0) को ए लें। जब बिंदु P 1 ≤ x ≤ 1 वाली डिशा में अपवाहित होता है तो, रेखा सेकंद AP के माध्यम से बने आकार के क्षेत्र का क्षेत्रफल उत्पन्न करें।'

'जब m (1) में निर्धारित सीमा के भीतर चलता है, तो C और ℓ द्वारा घेरे गए आकृति का क्षेत्र S को m से व्यक्त करें।'

'दो समीकरणों y=-x^{2}+x+2 और y=|x|-1 द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'गणित के माध्यम से, दाएं चित्र से प्राप्त क्षेत्र S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * 2 * 1 + 1/2 * 2 (sqrt(3) - 1) + ∫[-1, sqrt(3)] ([-x^2 + x + 2] - [ (2 - sqrt(3)) x + 2 - sqrt(3)]) dx = 1 + sqrt(3) - 1 - ∫[-1, sqrt(3)] (x + 1)(x - sqrt(3)) dx = sqrt(3) - (-1/6)[sqrt(3) - (-1)]^3 = sqrt(3) + 1/6 (10 + 6 sqrt(3)) = 5/3 + 2 sqrt(3)'

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'यदि S1, S2, S3 चित्र में दिए गए हों, तो खोजने योग्य क्षेत्र S इस प्रकार होगा: S = S1 - (2 S2 - S3) + S3 = S1 - 2 S2 + 2 S3 = ∫[0, 3] { 3x - (3x^2 - 6x) } dx - 2 ∫[0, 2] { - (3x^2 - 6x) } dx + 2 ∫[0, 1] { (-3x^2 + 6x) - 3x } dx = -3 ∫[0, 3] x(x-3) dx + 6 ∫[0, 2] x(x-2) dx - 6 ∫[0, 1] x(x-1) dx = -3 * (-1/6) (3 - 0)^3 + 6 * (-1/6) (2 - 0)^3 - 6 * (-1/6) (1 - 0)^3 = 27/2 - 8 + 1 = 13/2'

'निम्नलिखित आकार की क्षेत्रफल निकालें: (1) a=10, B=30°, C=105° के लिए △ABC'

'त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल S का पता लगाएं। (1) a=3, c=2√2, B=45 डिग्री (2) a=6, b=5, c=4'

'अभ्यास करें निम्नलिखित चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल S का पता लगाने के लिए (O AC और BD के छेदन बिंदु है)।'

'निम्नलिखित चतुरभुज ABCD क्षेत्रफल S की खोज करें (O AC और BD का प्रतिस्थान बिंदु है)।'

'क्योंकि r>0, x>0 है, इसलिए x=(\\sqrt{2}-1) r है, चतुर्भुज AMON क्षेत्र है 2 \\triangle \\mathrm{AMO}=x r=(\\sqrt{2}-1) r^{2}, इसलिए, ढूंढी हुई अष्टकोण क्षेत्र है 8(\\sqrt{2}-1) r^{2}।'

'निम्नलिखित आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: (3) चतुर्भुज ABCD, एक वृत्त में आरोहित, AB=6, BC=CD=3, ∠B=120°'

'चतुर्भुज ABCD क्षेत्रफल निकालें।'

'हेक्सागन एबीसीडीईएफ क्षेत्रफल की गणना करें।'

'20 सेमी के परिधि वाले आयत के क्षेत्रफल को 9 सेमी² से अधिक और 21 सेमी² तक कैसे लाया जा सकता है?'

'त्रिभुज क्षेत्रफल'

'यदि त्रिभुज एबीसी का क्षेत्र 20√3 है, तो त्रिभुज एबीसी की सबसे लम्बी ओर की लंबाई ढूंढें।'

'निम्नलिखित आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करें।'

'जब तीनों पक्षों की लम्बाई दी जाती है, तो त्रिभुज ABC की क्षेत्रफल S को ढूंढने के लिए निम्नलिखित कदम उठाए जाने चाहिए:\n(1) कोसाइन नियम का उपयोग करके कॉस A को खोजें।\n(2) sin ^ 2 A + cos ^ 2 A = 1 से, sin A ढूंढें।\n(3) क्षेत्रफल सूत्र S = 1/2bc sin A में प्रतिस्थापित करें।\nThe क्षेत्रफल S, तीनों पक्षों की लम्बाई a, b, c के मामले में व्यक्त है, जिसे हीरोन के सूत्र कहा जाता है।\nत्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S हिरोन के सूत्र के अनुसार है\nजब 2s = a + b + c हो,\nS = √(s(s-a)(s-b)(s-c))'

'चतुर्भुज ABCD क्षेत्र कैसे निकाला जा सकता है?'

'झील समस्या 139 माध्यान्तर चरित्रण और क्षेत्र (1)\nकर्व \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=2 \\cos t \\\\ y=\\sin 2 t\\end{\overlineray}\\left(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\right)\\right. से घेरे गए क्षेत्र की क्षेत्रफल $S$ की खोज करें।'

'(1) एक समतल में, जब रेडियस r (r ≤ 1) वाले एक वृत्त का केंद्र, एक चक्कर करता है जिसमें एक 4 की ओर के वर्ग की ओर होती है, तो ज्यामिति S(r) क्षेत्र का पता लगाएं जो इस वृत्त के माध्यम से होता है।'

'मुद्रित समस्या में त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल S(a) और S(a) का न्यूनतम मान ढूंढें, जब a सभी वास्तव संख्याओं के सभी सीमा के ऊपर चलता है।'

'इसलिए, क्योंकि t=\\frac{1}{2}, तो कर्व का सामान्य आकार दाएं चित्र में दिखाया गया है। इसलिए, निर्धारित क्षेत्र है'

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'निम्नलिखित कर्वों, रेखाओं और x-अक्ष द्वारा घेरी गई आकृति क्षेत्र S की प्राप्ति करें।'

'एक्सवाई समतल के क्षेत्र में x^{2}+y^{2} ≤ 2,|x| ≤ 1, जहाँ क रेखा C: y=x^{3}+x^{2}-x के ऊपरी हिस्से का क्षेत्र S ढूंढें।'

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'जब पराबोला y=-x(x-2) और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र को रेखा y=ax द्वारा दो हिस्सों में विभाजित किया जाता है तो स्थिर a की मान ढूंढें। इसे दिया गया है कि 0<a<2।'

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'क्षेत्रफल की गणना करते समय ध्यान देने योग्य बिंदु'

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'पैराबोला $y=-x^{2}+x$ की और बिंदु $(0,0)$ और बिंदु $(2,-2)$ पर टैंजेंट रेखाओं द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें। पृ. 412 उदाहरण 155'

'कर्व $x=y^{2}$, y-अक्ष और रेखा $y=2$ द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'माध्य पैरामीट्रिक माध्यम से दिए गए द्विगुणी समीकरण \\( x=2 t+t^{2}, y=t+2 t^{2}(-2 \\leqq t \\leqq 0) \\) द्वारा दिए गए वक्र का क्षेत्रफल \ S \ तय करें और जो y-अक्ष द्वारा घेरा गया है।'

'निम्नलिखित समस्या का समाधान करें। \\( x = 2t + t^2, y = t + 2t^2 (-2 ≤ t ≤ 0) \\) द्वारा प्रस्तुत वक्र का क्षेत्रफल \ S \ और \ y \ अक्ष द्वारा घेरे गए आकार का पता लगाएं।'

'इसलिए, \ \\triangle ABC \ के क्षेत्र को \ S \ के रूप में दिखाया जाए तो\nS = S_{1} + S_{2} - S_{3} = 6\\sqrt{3} + (\\sqrt{6} + \\sqrt{2}) - \\frac{3(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})}{2} = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}\n\nकार्तिक निर्देशांकों में 3 बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करना,\nA(3, 3\\sqrt{3}), B(-2, 2\\sqrt{3}), C(-\\sqrt{2}, -\\sqrt{2})\n\n\\overrightarrow{AB} = (-5, -\\sqrt{3}), \\quad \\overrightarrow{AC} = (-\\sqrt{2} - 3, -\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3})\nS = \\frac{1}{2}| -5(-\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})(-\\sqrt{2} - 3) | = \\frac{5\\sqrt{2} + 12\\sqrt{3} - \\sqrt{6}}{2}'

'निम्नलिखित वक्र या रेखा द्वारा घेरे गए क्षेत्र S खोजें। जहां, (2) में a का मान 0 < a < 1 को संग्रहित करता है।'

'समीकरण (3) द्वारा दिया गया समीकरण 2x ^ 2-2xy + y ^ 2 = 4 से हम y ^ 2-2xy + 2x ^ 2-4 = 0 निकाल सकते हैं। इससे, y = x ±√(4-x ^ 2) (-2≤x≤2)। चित्र से, क्षेत्र S =∫_(-2)^ 2{ x +√(4-x ^ 2)} = 2∫_(-2)^ 2√(4-x ^ 2)dx = 2 *π * 2 ^ 2 = 4π के रूप में होता है'

'निर्देशांक तंत्र में, पैरामीटर t का उपयोग करके x=cos 2 t, y=t sin t (0≤t≤2π) द्वारा प्रतिनिधित वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूँढें।'

'उदाहरण में दिए गए क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके, ध्रुवीय समीकरण $r=1+\\sin \\frac{\\theta}{2}(0 \\leqq \\theta \\leqq \\pi)$ द्वारा प्रतिनिधित वक्र $C$ और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र की क्षेत्रफल की गणना करें।'

'कॉर्व y² = (x + 3)x² द्वारा घेरे गए आकार का क्षेत्र ढूंढें।'

'निम्नलिखित कर्व और रेखाओं द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल S खोजें।'

'त्रिभुज ABCD के क्षेत्रफल S की अधिकतम मान ढूंढें। जहां AD // BC, AB=AD=CD=a, और BC>a।'

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'कृपया बिंदु P = (1, 1), बिंदु Q = (4, 5) और बिंदु R = (7, 2) द्वारा बनाए गए त्रिभुज की क्षेत्रफल की गणना करें।'

'निम्नलिखित कर्व और सीधी रेखाओं द्वारा घेरी गई क्षेत्र S खोजें: y=√x, x-अक्ष, x=1, x=2।'

'प्राचीन यूनानी लोग क्षेत्रफल और आयतन निकालने के लिए ज्यामिति का उपयोग किया करते थे।'

'त्रिभुज OAB क्षेत्रफल निकालें।'

'कृपया एक तिकोनी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसका एक पक्ष 10 सेमी और दूसरा पक्ष 15 सेमी है।'

'सौ येन सिक्के को टाइल में समाहित होने की संभावना एक 3 सेंटीमीटर की एक तरफ वाली चौकोर टाइल से भरी बड़ी फर्श पर, एक सौ येन सिक्के (व्यास 2.2 सेंटीमीटर) को फेंकते समय, हमें एक टाइल पर पूरी तरह से समाहित होने की संभावना का विचार करना चाहिए।'

'जब समतल पर बिंदु P, Q, R एक सरल पथ पर नहीं होते हैं, तो इन्हें 3 शीर्षक के रूप में लेकर त्रिभुज का क्षेत्रफल △PQR से दर्शाया जाता है। साथ ही, जब P, Q, R एक सरल पथ पर होते हैं, तो क्षेत्रफल को △PQR=0 के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि A, B, C समतल पर 3 बिंदु होते हैं, और △ABC=1 कृत्रिम है। समतल पर बिंदु X के गतिमान के समय 2≤△ABX+△BCX+△CAX≤3 को पूरा करने के दौरान शुद्ध चलन के क्षेत्र का क्षेत्रफल ढूंढें।[टोक्यो विश्वविद्यालय]'

'कोण में आवृत्त चतुर्भुज का क्षेत्र (2)\nकोण में आवृत्त चतुर्भुज ABCD में, अगर AB=5, BC=4, CD=4, DA=2 है, तो चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र S निकालें।'

'चतुर्भुज DFGE का क्षेत्रफल है 479'

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निम्नलिखित प्रत्येक मामले में त्रिभुज $riangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $S$ ज्ञात करो। (2) जब 3 बिंदु \( \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(2,2) \) शीर्षांग होते हैं, तब \overrightarrow{\mathrm{OA}}=ec{a} और \overrightarrow{\mathrm{OB}}=ec{b} मान लो।