मूलभूत फलन - परिमेय फलन और असमानताएँ

'निम्नलिखित असमीकरण द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का चित्रण करें।'

'जांचें कि x>0 के लिए x+\\frac{9}{x} का न्यूनतम मान।'

'ध्वनि स्रोतों की स्थिति को बदलकर, हमने A और B पर सुनाई देने वाली आवाज के समय में अंतर को मापा और पाया कि उस समय पर एक अधिकतम है।'

'क्रिया (1) $y=\\frac{1}{2x}$, (2) $y=\\frac{3}{x}-1$, और (3) $y=\\frac{-2}{x-1}$ के ग्राफ़ बनाएं।'

'अधिकतम और न्यूनतम मानों से फ़ंक्शन के संख्याओं का निर्धारण (2)'

'मौलिक 1: रेशनल फ़ंक्शन का ग्राफ, असिम्पटोट्स, और सीमा'

'y=x की रेखा के लिए क्यूरव y=2/(x+1) के सममीकी कुर्व C1 माना जाता है; और y=-1 की रेखा के लिए क्यूरव y=2/(x+1) के सममीकी कुर्व C2 माना जाता है। कुर्व C2 की असिम्प्टोट और कुर्व C1 के अंतबिंदु की सभी ज्यामिति बिंदुओं की स्थानांक खोजें।'

'समीकरण $f(x)=g(x)$ के वास्तविक समाधान की अस्तित्व की अध्ययन\nकरके, फ़ंक्शन $F(x)=f(x)-g(x)$ के मान के परिवर्तन की जाँच करें और मध्यम मूल्य सिद्धांत का उपयोग करें।\n(1) अगर $F(x)$ बंद सीमा $[a, b]$ पर सतत है, और $F(a) F(b)<0[F(a)$ और $F(b)$ विपरीत चिन्ह हैं], तो समीकरण $F(x)=0$ के लिए खुले सीमा $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक समाधान है।\n(2) (1) में, विशेष रूप से, अगर $F(x)$ मात्रिम के रूप में वृद्धि [$F^{\\prime}(x)>0$] करता है या मात्रिम के रुप में प्रतिरोध करता है [$F^{\\prime}(x)<0$], तो वास्तविक समाधान एकमात्र है।'

'कृपया समीक्षा करें कि kaisey y=(1-log x)/x^2 या कोई भी फ़ंक्शन का ग्राफ़ हो सकता है। उसे नोट करें कि जब x→∞ होता है तो lim(x→∞) log x/x^2 बराबर होता है 0।'

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'बेसिक 3: एक भिन्न कार्य की ग्राफ और एक रेखा के संगम, भिन्न असमिकाएँ'

'समीकरण y =\\ frac {-6 x +21} {2 x-5} की ग्राफ को समीकरण y =\\ frac {8 x +2} {2 x-1} की ग्राफ के साथ समानांतर ले जाया गया है?'

'समीकरण y = (ax + b) / (x + 2) (b ≠ 2a) का ग्राफ़ बिंदु (1,1) से गुजरता है, और इस समीकरण का उल्टा समीकरण मूल समीकरण के समान है। स्थायी a, b की मानें ढूँढ़ें।'

'z को एक गैर-शून्य विकर्ण संख्या माना जाए। जब असमीकरण 2 ≤ z + 16/z ≤ 10 सत्य होता है, तो चित्रित करें ऐसे क्षेत्र को जहाँ बिंदु z का अस्तित्व होता है उपयुक्त विकर्ण प्लेन में।'

'(3) आर (पी या क्यू) के लिए एक आवश्यक शर्त है'

'समझें कि समाधान का सीमा और उदाहरण 64 को जीतें!'

'वर्गमूल को शामिल करने वाले समीकरणों की गणना का विवरण दें।'

'जब x=\\frac{6}{5}, y=\\frac{3}{5} होता है, तो न्यूनतम मान \\frac{9}{5} होता है।'

'एक प्रस्ताव का विपरीत, विरोधाभास और उलट रूप का विवरण दें।'

'x>0 के लिए, x+\\frac{16}{x} का न्यूनतम मान निकालें।'

'साबित करें कि सकारात्मक संख्याओं ए, बी, एक्स और वाई के लिए जहां ए+बी=1, √(एक्स+वाई) ≥ ए√(एक्स)+बी√(वाई) का मान करें। साथ ही, समानता कब स्थिर रहती है।'

'सेट्स और आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों के बीच संबंध की व्याख्या करें।'

'सिद्ध करें कि प्रस्ताव सही है।'

'कृपया समुच्चय और संबंधित शब्दों (उपसमूह, बराबर, संवादन, संयोजन, पूरक) की व्याख्या करें।'

'(4) कृपया निम्नलिखित 0-7 में से एक चुनें, ध्यान देते हुए कि य=|3x-6| और y=2x+1 के ग्राफ एक ही स्थानांक तल पर प्रस्तुत हैं, और उनके छेद बिंदु के लिए सबसे उपयुक्त।'

'समीकरण का स्वरूप बदला जा सकता है, जैसे y=k/(x-2)+1, और चार्ट बिंदु (1,2) से गुजरता है, इससे 2=-k+1 है, इससे k=-1 है'

'निम्नलिखित निश्चित अंकित को मान निकालें। \ \\int_{0}^{1} \\frac{1}{x^{2}+x+1} d x \'

'यदि फ़ंक्शन f(x) और g(x) के उनके डोमेन में मान α पर निरंतर होते हैं, तो सिद्ध करें कि निम्नलिखित फ़ंक्शन भी x=α पर निरंतर हैं: 1. k f(x) + l g(x) (जहां k, l स्थिर हैं) 2. f(x) g(x) 3. f(x)/g(x) (जहां g(α) ≠ 0)'

'164 (1) u = \\frac{V}{2 \\pi} \\cdot \\frac{1-2 h+\\sqrt{1-4 h}}{h^{2}}'

'3 नासमज़ी फ़ंक्शनों के ग्राफ़ और डोमेन, मानक'

'विचार करें g(1/2) = α, g(1/3) = β, और साबित करें कि α + β = π/4।'

'जब फ़ंक्शन $f(x)=\\frac{a x+b}{x+c}$ निम्नलिखित शर्तों (A), (B) को पूरा करता है, तो स्थिर $a, b, c$ के मान ढूंढें।\n(A) वक्र $y=f(x)$ रेखा $y=x+1$ के साथ दो बिंदुओं पर कटता है, और इन दो कटवां बिंदुओं के $x$ आवास के अवकल समान हैं।\n(B) वक्र $y=f(x)$ और $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समावेश $y=\\frac{3}{2} x+\\frac{11}{2}$ रेखा पर हैं।\n[केओ विश्वविद्यालय]'

'समीकरण y = \\frac{9x - 10}{6x - 4} का ग्राफ बनाएं और असिम्प्टोट ढूंढें।'

'संयोजन कार्य f_{n}(x)'

'y = \\frac{9x-10}{6x-4} = \\frac{9x-10}{2(3x-2)} = \\frac{3(3x-2)-4}{2(3x-2)} = \\frac{3}{2} - \\frac{2}{3x-2। इसलिए, हमें यहाँ की ग्राफ एक इकाई x-अक्ष की दिशा में और 2/3 और y-अक्ष की दिशा में 3/2 के साथ ले जाने के द्वारा y = \\frac{-2/3}{x} ग्राफ के लिए है जो कि अंगुलीत को मोड़ने से मिलता है। ग्राफ दाईं तरफ दिखाया गया है। असिम्प्टोटिक रेखाएँ x=2/3, y=3/2 हैं।'

'अभ्यास 12: निम्नलिखित असमीकरणों को सिद्ध करें।'

'उदाहरण 36: पूर्वानुमान सूत्र और पूर्वानुमान मान\n(1) जब |x| पर्याप्त छोटा है, तो f(x)=\\frac{1}{1+x} का पहला क्रम और द्वितीय क्रम का पूर्वानुमान सूत्र बनाएं।\n(2) \\cos(a+h) के पहले क्रम का पूर्वानुमान सूत्र उपयोग करके, \\cos 61 डिग्री का पूर्वानुमान मान निकालें। यहां, \\sqrt{3}=1.732, \\pi=3.142 ले और तीसरे दशमलव तक गणना करें।'

'दिया गया है भिन्न समीकरण फ़ंक्शन f(x) = \\frac{a x-b}{x-2}, जहां b \\neq 2 a। 0 \\leqq x \\leqq 1 को संतुष्ट करने वाले सभी x के लिए, यह आवश्यक है कि 0 \\leqq f(x) \\leqq 1 और f(f(x))=x। सांतानिक a, b के मान ढूँढें।'

'निर्दिष्ट अंतर और असमानता'

'गणित II'

'भिन्न संख्या कार्य का ग्राफ़, असम्प्रेषण रेखा, और रेंज'

'निम्नलिखित कार्यों को अनुमानित करें।\n(1) क्रम में 1/(1+x) ≈ 1-x, 1/(1+x) ≈ 1-x+x^2 की गणना करें\n(2) 0.485'

'निम्नलिखित समीकरणों को सरल बनाएं।'

'जब बिंदु (a, 0) से समीकरण y=(x+3)/(√(x+1)) की ग्राफ़ को कोसिन्पर की जा सकती है तब स्थायीत मान a का सीमा बताएं।'

'(1) समीकरण y = \\frac{3 x+17}{x+4} की ग्राफ भिन्नता किस करती है, समीकरण y = \\frac{x+8}{x+3} की ग्राफ के साथ जब एक समानांतर स्थानांतरण होता है? (2) समीकरण y = \\frac{a x+b}{x+c} की ग्राफ के लिए, जब x = 3 और y = 1 को आसिम्प्टोट बनाया गया हो, और साथ ही अंक (2, 2) से गुजरती हो, तो स्थिर a, b, c का मूल्य निर्धारित करें।'

'एक वास्तविक संख्या x के लिए, [x] n ≤ x < n+1 को संतुलित करने वाला पूर्णांक n को दर्शाता है, स्थिर a, b की मान तय करें जिससे कि फ़ंक्शन f(x)=( [x] + a)( b x - [x] ) x=1 और x=2 पर निरंतर हो।'

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'y = \\frac{x^{3}}{x^{2}-4} के असिम्प्टोट की समीकरण ढूंढें।'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ बनाएँ और उनकी अनिशायारी रेखा पता करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ बनाएं और उनके आसिम्प्टोट का पता लगाएं। (a) y=(3x+5)/(x+1) (b) y=(-2x+5)/(x-3) (c) y=(x-2)/(2x+1) (2) x के लिए 2 ≤ डोमेन होने पर, (a) और (b) कार्यों के लिए मान की श्रेणी ढूंढें।'

'निम्नलिखित समांतरता की जांच करें और परिभाषा क्षेत्र को निर्धारित करें।'

'अगले, हम y=f(x) की ग्राफ और रेखा y=k के छोरों के आधार पर समीकरण के वास्तव समाधानों की संख्या की जांच करेंगे।'

'(1) y=\\frac{4x-3}{x-2} y=5x-6 (1), (2) से हमें \\frac{4x-3}{x-2}=5x-6 मिलता है दोनों तरफ x-2 से गुना करने पर 4x-3=(5x-6)(x-2) हो जाता है संयोजित करने पर x^2-4x+3=0 इसलिए (x-1)(x-3)=0 इसलिए x=1,3 (2) में प्रतिस्थापित करने पर x=1 के लिए y=-1, x=3 के लिए y=9 इसलिए, समांतर बिंदु के संयोजक (1, -1), (3, 9) हैं'

'निम्न अनिशित अंतर ढूंढें।'

'कार्य f(x)=1/6x³+1/2x+1/3 का उल्ट करनेवाले कार्य f^{-1}(x) को ढूंढें। य=f(x) के ग्राफ और y=f^{-1}(x) के ग्राफ के बीच बिंदु की निर्धारण करें।'

'एसिम्प्टोट्स की मान्यताओं की मिश्रित अर्थवाची भाषा के लिए (1) y=\\frac{2 x^{2}+3}{x-1} (2) y=x-\\sqrt{x^{2}-9} की समीकरण खोजें।'

'जब फ़ंक्शन y=(2x+c)/(ax+b) हो, और यह अंक -2, 9/5 से जाता हो, तथा रेखा x=-1/3, y=2/3 को आसंतघातरेखा माना जाए, तो स्थायी संख्या a, b, c के मान निकालें।'

'कोण की क्षैतिजीय हल्का C: y = 1/x (x > 0) पर बिंदु P(t, 1/t) पर स्पर्शक रेखा को lt माना जाता है। साथ ही, α, β ऐसे स्थिर मान हैं जो 0 < α < β को संतुष्ट करते हैं, और d को उपदेशित करने वाला वह क्षेत्र है जिसे दो स्पर्श रेखाएं lα, lβ और कोण C द्वारा घेरेगा। (1) D का क्षेत्रफल निकालें। (2) अल्फा < t < बीटा के लिए, D में स्पर्श रेखा lt के ऊपर वाले क्षेत्र S(t) को कम से कम करने वाला t ढूंढें।'

'निम्नलिखित कार्यों को जांचें कि क्या निर्दिष्ट [ ] बिंदु पर निरंतर और अंतर्विभाज्य हैं।'

'जब \ 0 \\leqq x \\leqq 2 \\pi \ हो, तो फ़ंक्शन \\( f(x) \\) को \\( f(x)=\\frac{2 a(\\sin x+\\cos x)}{2+2 \\sin x \\cos x-a(\\sin x+\\cos x)} \\) के रूप में परिभाषित किया जाता है। यहाँ, \ a \ एक ऐसा स्थायी है जो \ 0<a<2 \ को संतोषप्रद करता है।'

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'\ a < b \ के लिए, जब \\( f(x) \\neq g(x) \\) और हर \ x \ पर \\( f(x) \\geqq g(x) \\) हो, तो \\( \\int_{a}^{b} f(x) dx > \\int_{a}^{b} g(x) dx \\)'

'भिन्न समीकरण के ग्राफ और अनुकरणीय रेखा, साथ ही मूल उदाहरण 73 (1) को हल करें। फ़ंक्शन y = 3x / (x-2) के ग्राफ को काटें। साथ ही, अनुकरणीय रेखा को भी ढूंढें। (2) (1) में, जब डोमेन 4 ≤ x ≤ 8 है, तो रेंज ढूंढें।'

'xy तल पर y=1/x, y=ax, y=bx के चार्ट द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल S निकालें। यहाँ, x>0, a>b>0।'

'एक भिन्न समीकरण का निर्धारण'

'समीकरण y=(x²-x+2)/(x+1) के वृद्धि और कमी, ग्राफ़ की उत्तलता, लघुसीमा सीधीयों का अध्ययन करें, और ग्राफ़ के अनुमानित आकार की चित्रिति करें।'

'जब वास्तव संख्याएं a, b, c, d ad-bc≠0 को पूरा करती हैं, तो फ़ंक्शन f(x)=\\frac{ax+b}{cx+d} के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'समीकरण y=(x+1)^{3}/x^{2} के वृद्धि और घटन, कोष और उल्टापन, असंतिक रेखाएं का अध्ययन करें, और रेखा का सारांश बनाएं।'

'असिम्प्टोट की स्थिति से, चाहिए गए समीकरण दिए गए रूप में होता है $y = \\frac{k}{x+3} + q (k \\neq 0)$। ग्राफ $(-2,3)$ और $(1,6)$ से होने के कारण, हमें समीकरण मिलते हैं $3=k+q, 6=\\frac{k}{4}+q$। इन्हें हल करने पर $k=-4, q=7$ मिलता है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर $y=\\frac{-4}{x+3}+7$ मिलता है, जिसे $y=\\frac{7x+17}{x+3}$ से सरल रूप में लिखा जा सकता है। फ़ंक्शन $y=\\frac{k}{x-p}+q$ की असिम्प्टोट दो सीधी रेखाएँ होती हैं $x=p, y=q$।'

'हाइपरबोला x^2-y^2/4=1, (-1,0) बिंदु को छोड़कर'

'दोनों धुरीयों के पर्लेल नहीं हैं एक से अधिक रेखाएं (y = ax + b)'

'सिद्ध करें कि यदि A 46^{\\ominus} x \\neq 0 है तो समीकरण f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}} और x=0 होता है f(x)=0, एक a,x=0 पर निरंतर है लेकिन मानक नहीं है।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

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'फ़ंक्शन (1) की परिभाषा क्षेत्र x ≠ -p/2 है, मान क्षेत्र y ≠ 1/2 है। इसलिए, (1) के पलटन का क्षेत्र x ≠ 1/2 है। ऐसा होने के लिए कि फ़ंक्शन (1) और उसके पलटन मेल खाते हैं, -p/2 को 1/2 के बराबर होना चाहिए, इसलिए p = -1 है। इस स्थिति में, (1) का पलटन फ़ंक्शन y = (x + 4) / (2x - 1) है, जो फ़ंक्शन (1) से मेल खाता है। इसलिए, अहेतु परिमाण p के मान है p = -1।'

'निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ़ बनाएँ।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों के ग्राफ़ बनाएं और उनकी डोमेन और रेंज खोजें।'

'क्रमों की वृद्धि और वृहत्ति, ग्राफ की उदरता, असिम्प्टोट्स की जांच करें, और ग्राफ का सामान्य आकार बनाएं।'

'रेखा और वक्र के बीच क्षेत्र'

'रिक्त समीकरण के लिए स्थायी a की मान जांचें जिससे समीकरण y=(a x-a+3)/(x+2) का उल्टा समीकरण मूल समीकरण के बराबर हो (a 1 के बराबर नहीं होना चाहिए)'

'स्थिर p, q के मान की गणनीय f(x)=(px+q)/(x^2+3x) x=-1/3 पर -9 की स्थानीय अधिकतम मान को प्राप्त करता है।'

'दिए गए मात्रात्मक प्रतिनिधित्व से कौन सी कक्षा का प्रतिनिधित्व किया जाता है?'

'निम्नलिखित कार्यों f(x) के लिए तय करें कि क्या वे निरंतर या अनिरंतर हैं। यहां [x] वास्तविक संख्या x से अधिक नहीं है, वह सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है।'

'उलटन फ़ंक्शन g(y) और मौलिक फ़ंक्शन f(x) के बीच संबंध का वर्णन करें।'

'ध्वन्य $\\frac{x²}{a²} + \\frac{y²}{b²} = 1$ की वक्रीय पर बिंदु (x₁, y₁) के ऊपर रेखा का समीकरण ढूंढें।'

'अंश फ़ंक्शन का ग्राफ और आसम्प्तोट, सीमा'

'समीकरण (1) की परिभाषा विच्छेद स्थान है x ≠ -2, मान विच्छेद क्षेत्र है y ≠ a, इसलिए (1) का उल्ट समीकरण का परिभाषा स्थान है x ≠ a, इसलिए, समीकरण (1) और इसके उल्ट समीकरण की मेल खाता है\na=-2\nइस समय, (1) का उलट समीकरण है y = \\frac{-2x+5}{x+2}, जो समीकरण (1) से मेल खाता है। इसलिए, खोजे जा रहे स्थिर a का मान है a=-2'

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'निम्नलिखित समीकरणों के डोमेन की खोज करें।'

'समीकरण y=(9x-10)/(6x-4) का ग्राफ बनाएं और आसिम्प्टोट ढूंढें।'

'साबित करें कि $x=0$ पर एक सांदर्भिक समय, $f(x)=\\frac{x}{1+2^{\\frac{1}{x}}}$ ($x \\neq 0$) है, जबकि $f(x)=0$ ($x=0$) है, न केवल $x=0$ पर निरंतर है लेकिन अलग नहीं है।'

'निम्नलिखित कार्यों का डोमेन खोजें।'

'स्थिर a, b के मान निश्चित करें, जिससे f(x)=\\frac{a x+b}{x^{2}+1} को x=\\sqrt{3} पर अधिकतम मान \\frac{1}{2} हो।'

'प्रशिक्षण उदाहरण 4 कार्य समीकरण'

मूल 64 | कार्य के मानक्षेत्र, कार्य के अधिकतम और न्यूनतम मान (मूल)

कृपया निम्नलिखित अलंकार की विशेषताओं की व्याख्या करें: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)