मूलभूत फलन - बहुपद फलन

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'निम्नलिखित कार्यों के वृद्धि और घटन की जाँच करें। (1) $y=\x0crac{1}{3} x^{3}-9 x$ (2) $y=-x^{3}+x^{2}-x+1$'

'निम्नलिखित रेखीय समीकरण का हल करें: बिंदु (0,4) से, कर्व y=x^3+2 पर खींची गई स्पर्श रेखा।'

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'जब क्यूर्व C: y=x^{3}+3 x^{2}+x पर बिंदु A(1, a) से 3 सहानुभूतियाँ हैं, तो स्थिर a का सीमा क्या है।'

'(2) 2-c ≤ 2 ≤ 2+c (1) है। इसलिए\n \\[ \egin{aligned} P(2-c ≤ X ≤ 2+c) & =\\int_{2-c}^{2+c} f(x) d x \\ & =\\int_{2-c}^{2}(x-1) d x-\\int_{2}^{2+c}(x-3) d x \\ & =\\left[\\frac{(x-1)^{2}}{2}\\right]_{2-c}^{2}-\\left[\\frac{(x-3)^{2}}{2}\\right]_{2}^{2+c} \\ & =-(c-1)^{2}+1 \\end{aligned} \\] \n इसलिए, जब P(2-c ≤ X ≤ 2+c)=0.5 हो\n \\[ -(c-1)^{2}+1=0.5 \\text{ अर्थात } \\quad(c-1)^{2}=\\frac{1}{2} \\] \n इसे हल करने पर, c-1= \\pm \\frac{1}{\\sqrt{2}} जिससे \\quad c=\\frac{2 \\pm \\sqrt{2}}{2} \n जब c=\\frac{2+\\sqrt{2}}{2}, (1) है, 1-\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3+\\frac{\\sqrt{2}}{2}, जो 1 ≤ X ≤ 3 के विरुद्ध है। c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2} के लिए, (1) है, 1+\\frac{\\sqrt{2}}{2} ≤ X ≤ 3-\\frac{\\sqrt{2}}{2}, जो 1 ≤ X ≤ 3 को पूरा करता है। इसलिए \\quad c=\\frac{2-\\sqrt{2}}{2}'

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"उदाहरण 74\n(1) शर्त से f(x) = ∫(2x^2 - 3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C\nf(0) = 2 दिया गया है इसलिए C = 2\nअतः f(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2\n(2) वक्र y = f(x) पर बिंदु (x, f(x)) पर टैंजेंट रेखा की ढलाई f'(x) है\nइसलिए f'(x) = x^2 - 1\nइसलिए f(x) = ∫(x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C\n(C इंटीग्रेशन की स्थिरता है)\nवक्र y = f(x) बिंदु (1,0) से होती है तो f(1) = 0\nइसलिए (1/3) - 1 + C = 0\nइसलिए C = 2/3\nअतः f(x) = (1/3)x^3 - x + (2/3)"

"समीकरण f(x)=0 के वास्तव समाधान x=-1 और x>2 हैं, इसलिए यहाँ 1 धनात्मक समाधान है और 1 नकारात्मक समाधान है। टिल्ट 72, इस पुस्तक p.293। समीकरण f(x)=-2x^3+6x को -2x^3+6x=a में पुनर्व्यवस्थित करने के लिए, f'(x)=-6x^2+6=-6(x+1)(x-1)। f'(x)=0 से x=±1 होता है, और f(x) का वृद्धि और घटना सारणी नीचे दिखाई गई है। इसलिए, y=f(x) की ग्राफ दाईं ओर दिखाई गई है। समीकरण f(x)=a के वास्तव समाधानों की संख्या y=f(x) की ग्राफ और रेखा y=a के बीच संवर्धन बिंदुओं की संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है, जो लाईनियां a<-4 या a>4 के लिए 1 समाधान, a=-4 या a=4 के लिए 2 समाधान, और -4<a<4 के लिए 0 समाधान प्रदान करता है। बिंदु (-1,0) ग्राफ और x-अक्ष के संपर्क बिंदु है। समीकरण का मान जब पंक्ति y=a कार्य के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु से होता है, तो वास्तव समाधानों की संख्या के लिए सीमा होता है। उदाहरण"

'अभ्यास 175→ इस पुस्तक p .324\n(1) जब कर्व y=f(x) और रेखा y=mx+n को दो बिंदुओं पर x=a, b(a<b) से संपर्क करते हैं, तो निम्नलिखित पहचान सच होती है।'

'अभ्यास, जहाँ a, b स्थिर हैं, 0<a<1। फ़ंक्शन f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+b (-2 ≤ x ≤ 1) का अधिकतम मान 153 और न्यूनतम मान -5 होने के लिए a और b के मान ढूंढें।'

'गणित II'

'निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ़ का चित्रण करें।'

'समीकरण $x+2 \\underset{2^{\x0crac{1}{2}} x^{-\x0crac{1}{2}}}{\\hookrightarrow 1} + x^{-1}=5$ का समाधान करें'

'72a को एक वास्तविक संख्या माना जाए। मीढ़ा m के साथ 2 रेखाएँ, तर्क y=x^{3}-3 a x^{2} में समीकरण A और समीकरण B पर स्पर्श करती हैं।'

'−8 − 6√2 ≤ x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y ≤ 3'

'गणित II'

'f(x)=x^{4}-6 x^{2}-8 x-3 का वृद्धि और घटने का सारणी बनाएं, और वास्तविक समाधानों की संख्या का पता लगाएं।'

'विस्तार का सामान्य टर्म है'

'कर्व y=f(x) और पाराबोला y=h(x) के संवेदन बिन्दु का x-आयतन समीकरण x^4-2x^2+4x=-x^2+4x या x^4-x^2=0 को हल करके प्राप्त किया जाता है जिससे x=0, ±1 है।'

'कृपया समीकर्षा f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x के मान ढूंढें।'

'समीकरण g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'यदि वास्तविक संख्याएँ α, β, और γ को α+β+γ=3 को पूरा करती हैं, तो p=αβ+βγ+γα, q=αβγ लेते हैं। सिद्ध करें: (1) जब p=q+2 हो, तो कम से कम एक ब्यू, बीटा, और गाम्मा 1 है। (2) जब p=3 हो, सिद्ध करें कि α, β, और γ सभी 1 होते हैं।'

'निम्न निर्दिष्ट अंकित ढोलनों का मूल्य निकालें। (1) $\\int_{0}^{2}\\left|x^{2}-4 x+3\\right| d x$(2) $\\int_{0}^{\\frac{\\sqrt{5}-1}{2}}\\left(x^{2}+x-1\\right) d x$'

'अभ्यास 74 \ \\triangle OPQ = \\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 3 \\sin 2 \\theta - \\sin \\theta \\cdot 1|\ \\( \egin{aligned} &=\\frac{1}{2}|\\cos \\theta \\cdot 6 \\sin \\theta \\cos \\theta - \\sin \\theta| &=\\frac{1}{2}\\left|6 \\sin \\theta\\left(1-\\sin ^{2} \\theta\\right)-\\sin \\theta\\right| &=\\frac{1}{2}\\left|-6 \\sin ^{3} \\theta + 5 \\sin \\theta\\right| \\end{aligned} \\) \ \\sin \\theta = t \ मानने पर, \ 0 \\leq \\theta < 2 \\pi \ से \ \\left|-3 t^{3} + \\frac{5}{2} t\\right| \ \\( f(t) = -3 t^{3} + \\frac{5}{2} t \\) रखा जाता है तो \ -1 \\leqq t \\leqq 1 \ पर \\( f(t) \\) का वार्तन सारणी निम्नलिखित होगा।'

'उस संदर्भ बिंदु की x-संकेतांक खोजें जहाँ क्षैतिज ताक सिरहाने का ढलान y = x^{3} - 3x^{2} का 9 है।'

'f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-5 के वास्तव समाधानों की संख्या ढूंढें।'

'अभ्यास: मूल बिंदु O और C: y=x^{3}-mx पर 2 विभिन्न बिंदु P, Q हैं। यदि C पर बिंदु Q पर स्पर्श रेखा OP के समान औँसुज है, तो: (1) यदि P का x-आवतान a है, तो a का प्रयोग करके Q का x-आवतान प्रकट करें। (2) POQ का कोण एक सीधा कोण बनाने के लिए m के मान की श्रेणी खोजें। [शिमाने विाविद्यालय] => प॰ 300 अभ्यास 69'

'यहाँ अ को एक स्थाई मान माना गया है, जहां ए>1। 1 ≤ x ≤ a के लिए फ़ंक्शन y=2x^3-9x^2+12x के लिए, निम्नलिखित मानों को ढूंढें: (1) न्यूनतम मान (2) अधिकतम मान'

'जब 0<a<2 हो, तो दाएं ग्राफ़ से, x=a पर अधिकतम मान f(a)=-a^{3}+3a^{2} प्राप्त होता है। जब 2 ≤ a हो, तो दाएं ग्राफ़ से, x=2 पर अधिकतम मान f(2)=4 प्राप्त होता है। 0<a<2 होने पर x=a पर अधिकतम मान प्राप्त होता है -a^{3}+3a^{2} और 2 ≤ a होने पर x=2 पर अधिकतम मान 4 प्राप्त होता है।'

'(3) \\( (x+2 y-4)\\left(x^{2}+y^{2}-2 x-8\\right)<0 \\)'

'जब कण्डं $y=x^{3}-2 x+1$ और $y=x^{2}+2 a x+1$ को स्पर्श करते हैं, तो समांतर $a$ की मान का पता लगाए। साथ ही, उस स्पर्श बिंदु पर साझा स्पर्श रेखा की समीकरण का पता लगाए।'

'जब फ़ंक्शन f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 a x-2 के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर 32 है तो, स्थिर a की मान खोजें।'

'समीकरण $x^{3}+5 x^{2}+3 x+k=0$ के लिए स्थायी समीकरण $k$ की सीमा ढूंढें जिसके एक सकारात्मक रूट और दो भिन्न नकारात्मक रूट हो।'

'अभ्यास समस्या 8 दो घनीय समीकरणों के ग्राफ के बीच क्षेत्र ढूंढें'

'गुणांक योग सूत्र'

'मौलिक उदाहरण 190 से अधिकतम और न्यूनतम मानों का चयन करने के लिए, a, b स्थायी हैं, और a>0 है। फ़ंक्शन f(x) = a x^{3} - 9 a x^{2} + b के लिए, (1) a, b के तत्वों के रूप में -1 ≤ x ≤ 3 अंतराल में अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करें। (2) ऐसे a, b के मान निर्धारित करें जिससे (1) में अधिकतम मान 10 हो, और न्यूनतम मान -44 हो।'

'TR कर्व y=x^{2}-3 x+2 के लिए, निम्नलिखित स्पर्शों की समीकरणें ढूंढें:\n(1) तिर्यक रेखा किर्वच (3,2) पर\n(2) -1 की माता वाली तिर्यक'

'ल को 2x+y+2=0 रेखा मानें और P को चक्रवात y=x^2 पर एक बिंदु मानें। P और l के बीच की दूरी कम से कम करने पर P के संख्यांकों का पता लगाएं। साथ ही, उस समय Pl की दूरी की गणना करें।'

'189 वर्ण वाले तीसरे श्रेणी के कार्य का अधिकतम और न्यूनतम'

'103(x, y)=(8,16),(16,8)'

'दिए गए फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'वह रेखा की ढाल ढूंढें जो x - √3 y = 0 के साथ π/4 का कोण बनाती है।'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का डिज़ाइन करें: (1) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x-3 y-9<0 \\\\ 2 x+3 y-6>0\\end{\overlineray}\\right. (2) \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}+y^{2} \\leqq 9 \\\\ x-y<2\\end{\overlineray}\\right. (3) $1<x^{2}+y^{2} \\leqq 4$'

'37 कार्य संवृद्धि और घटना · ग्राफों का अनुप्रयोग मानक 183 त्रिघात समीकरणों की वास्तविक समाधानों की संख्या (2) f(x) = स्थिर'

'एक कर्व का उदाहरण दें जो बिंदु (0,1) से गुजरता है।'

'निर्दिष्ट करें कि स्थिर a के मान के लिए मान की रेंज, जिससे कि समीकरण f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5 के द्वारा अधिकतम और न्यूनतम मान हो।'

'दिया गया है कि 189 एक स्थिरांक है और a>0। कार्य f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1) की अधिकतम मान खोजें।'

'मानक 64: उच्च दर्जे के समीकरणों के सीधे समाधान - वास्तव समाधानों के लिए शर्तें'

'निम्नलिखित असमिकाओं को साबित करें'

'गणित में सिद्धांत द्वारा सिद्धांत के संदर्भ में मुख्य भाग [2] है। n=k के समय की मान्यता और n=k+1 के समय का नतीजा (जो आप सिद्ध करना चाहते हैं) को स्पष्ट रूप से समझना महत्वपूर्ण है, और मुख्य बात यह है कि किस प्रकार आनुगतस्य से नतीजे को निष्कर्षित करना है।'

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'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकगणित का मान निकालें। (1) $\\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x$'

'यदि x+y+z=1/x+1/y+1/z=1 है, तो सिद्ध करें कि x, y, z में से कम से कम एक 1 है।'

'यहाँ a एक स्थिरांक है, जहाँ a>0 है। फ़ंक्शन f(x)=x^{3}-3 a^{2} x (0 ≤ x ≤ 1) के लिए:\n(1) न्यूनतम मान ढूंढें।\n(2) अधिकतम मान ढूंढें।'

'मौलिक 3: अंतर श्रेणी का सामान्य शब्द'

'तीसरी शक्ति समीकरण f(x)=a x^{3}+b x+3 x=-1 पर 1 की न्यूनतम मान लेता है। स्थायी a, b की मानों को निर्धारित करें। साथ ही, अधिकतम मान भी निकालें।'

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'(2) a+b+c=0 के वक्त, सिद्ध करें कि समीकरण (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0 सत्य है।'

'अत्यंत - बहुतनीति की स्थिति से घातांक में परिवर्तन की निर्धारण'

'दो आकृतियों के क्षेत्रों का मेल जो y=x^3-4x और y=3x^2 के वाक्यों द्वारा घेरे गए हैं।'

'एक स्थिर मान a दें, जहाँ a>0। समीकरण f(x)=-x^{3}+3ax(0 ≤ x ≤ 1) की अधिकतम मान ढूंढें।'

"प्रश्न 8: पाठ की शुरुआत में व्यक्त की गई, दिन में भी धूप में धुंधला होने वाला बोर्ड घर और 'तेज रंग में चमक रही' गुलाब का तुलनात्मक विवाद और ट्सुजिडो में 'अंधेरी रात' और चाँदनी से प्रकाशित हो रही 'रेतीली भूमि' का विरुद्धार्थी साुंद चमकते हैं, जो एक प्रभावी सौंदर्य को दर्शाता है, इसलिए विकल्प ई सबसे अच्छा है। सुखी गुलाब बहन के शेष जीवन का प्रतीक नहीं है, इसलिए यह उपयुक्त नहीं है। अपने शरीर पर ध्यान केंत्रीकरण करना 'प्रेरणा की कमी' के विपरीत क्रिया है, इसलिए गलत है। गुस्से के बाद पिताजी ने गहरे कीचड़ में बहादुरी से कान पर लगाई, क्योंकि वह अपना प्यार दिखाया। 'मानव गर्व खोने के बाद चरित्रीक पांची की मनदबादी' का उद्देश्य इससे स्पष्ट नहीं है। कब्रिस्तान की राह ना तो उचित है।"

'(6) तारे की चमक केवल रंग के अंतर से ही नहीं निर्धारित होती है, ठंडे और लाल तारे भी, अगर वे बड़े हैं, उतने ही उज्ज्वल दिखाई देंगे।'

'यदि वास्तविक संख्याएं x, y ऐसी हैं कि 2x^{2}+3y^{2}=1, तो x^{2}-y^{2}+xy का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

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'निम्नलिखित समीकरण का ग्राफ बनाएं और इसकी मान्यता निकालें।'

'समीकरण के वास्तव समाधानों की संख्या'

'曲्व xy = 4 पर चलने वाले बिंदु P, जब y-अक्ष पर लंब रेखा PQ खींची जाती है, तो पॉइंट Q y-अक्ष के सकारात्मक दिशा में प्रति सेकंड 2 इकाइयों की गति से हरकत करता है। जब बिंदु P बिंदु (2,2) से गुजरता है तो गति और त्वरण को जानें।'

'कोणीय समीकरण द्वारा प्रतिनिधित वक्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'सम-समीकरण, विषम-समीकरण की निर्धारित अंतरिक'

'समाधान करें कि फ़ंक्शन f(x)=\\left\\{\egin{\overlineray}{ll}x^{2} & (x \\neq 0) \\\\ 1 & (x=0)\\end{\overlineray}\\right. की सततता।'

'f(x)=x^{2}+x+2 और g(x)=x-1 के लिए संयोजन फ़ंक्शन f(g(x)) ढूंढें।'

'जब g(x)=a x^(n+1)+b x^n+1 (जहां n 2 से अधिक प्राकृतिक संख्या है) को (x-1)^2 से विभाज्य हो, तो n में a और b को व्यक्त करें।'

'4πcm^2/s की एक स्थिर दर से वृत्त का वृहद क्षेत्रफल बढ़ता है। जब त्रिज्या 10सेमी हो जाती है, तो निम्नलिखित को निर्धारित करें।'

'फोल्ड ग्राफ ड्रा करने की विधि'

'अभ्यास 101 बार के लिए निम्नलिखित समीकरणों का ग्राफ बनाएं। (1) y=x^{2}-3|x|+2 (2) y=|2 x^{2}-4 x-6| (3) y=|x+1|(x-2)'

'निम्नलिखित समीकरणों का ग्राफ बनाएं। (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=|x^{2}-4|'

'समान्तर और सममिति परिवर्तन'

'-1 ≤ x ≤ 3 के लिए, समीकरण y=(x^2-2x)(6-x^2+2x) का अधिकतम मूल्य और न्यूनतम मूल्य निकालें।'

'एक सकारात्मक पूर्णांक दसमलव में प्रतिनिधित किया गया है, जिसे चतुर्थांश में रूपांतरित किया गया है, जिससे 3-अंकीय संख्या abc प्राप्त हुई है; इसे षष्ठांश में रूपांतरित करने पर 3-अंकीय संख्या pqr प्राप्त होती है। मान ले a + b + c = p + q + r। इस संख्या को दसमलव में लिखें।'

'4वीं डिग्री के फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम मान'

'समीकरण y=x^4-8x^2+1 की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'जब a को 1 के बराबर लिया जाता है, तो f(x) x=1 पर कम से कम हो जाता है। इसलिए, f(1)=-3a+7≥0, इससे a≤7/3 होता है। इसलिए, 1<a और 1<a≤7/3 का समान सीमा है 1<a≤7/3।'

'समीकरण के दायरे को समझें और उदाहरण 64 को जीतें!'

'निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ बनाएँ और उनकी सीमाएँ निर्धारित करें।'

'स्पष्ट करें कि लेक्चर [1] और [3] में एक ही संबंधत अभिव्यंजन क्यों प्राप्त होता है।'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'इन दो द्विघातीय असमिकाओं को ग्राफ़ का उपयोग करके हल करें। यहाँ, हम m के साथ असमिकाओं को हल कर रहे हैं, x के साथ नहीं, इसलिए चित्र m धुरी पर होगा।'

'जब 59(a, b) = (9,8), (12,6) होता है, तो अधिकतम मान 72 है'

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'प्र $0 \\leq t \\leq 1$ के लिए। $\\int_{0}^{1}\\left|x^{2}-t^{2}\\right|dx$ की मान को अधिकतम, न्यूनतम करने वाले $t$ के मान और उसकी अधिकतम मान, न्यूनतम मान निकालें।'

'किसी समीकरण के ग्राफ और उसके स्पर्शिका का समावेश\n(1)\nकर्व C: y=x^{3}-x पर, एक बिंदु A है जिसका x-आवक 1 है। जांचें कि किस अन्य बिंदु का x-आवक है जहां बिंदु A पर स्पर्शिका C के साथ कट्टर होता है।'

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'जब समीकरण $f(x)=a$ के तीन विभिन्न वास्तव समाधान होते हैं, तो कर्व $y=f(x)$ और रेखा $y=a$ के तीन विभिन्न संयोजन बिंदु होते हैं।'

'स्थिर संख्या m के लिए मान की श्रेणी ढूंढें ताकि समीकरण f(x)=x^3-3mx^2+6mx में अत्यधिक मान हो।'

'निम्नलिखित कार्यों के चरणीय मानों का पता लगाएं और उनके ग्राफ को बनाएं। (1) y=x^{3}-3 x (2) y=x^{3}+3 x^{2}+3 x+3'

'किस ऐसे स्थिरांक के लिए स्थायी $a$ के मान की श्रेणी ढूंढें जिससे कि समीकरण $f(x)=x^{3}+ax^{2}+(3a-6)x+5$ का ज्यामिति के बिंदु हो।'

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'x > 1 के लिए, 4x^2 + 1/((x + 1)(x - 1)) का न्यूनतम मान निकालें।'

'कार्य f(x)=|x|(x^2-5x+3) की वृद्धि और घटन की जांच करें और y=f(x) के ग्राफ की सामान्य आकृति बनाएं।'

'(1) इस समीकरण संवाद द्वारा दिए गए क्षेत्र का चित्रण करें {x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 ≥ 0, x ≥ y}। (2) दिया गया r > 0। जिसके लिए शर्तों (x-4)^2 + (y-2)^2 ≤ r^2 को पूरा करने के लिए r का अधिकतम मान ढूंढें।'

'समय में t के माध्यम से गुजरती रेखा l_{t}: y=2t x+t^{2} का विचार करें। बिंदु P का ट्रैक्टर इकाई का समीकरण ढूंढें। साथ ही, जब t सभी वास्तव संख्याओं पर परिवर्तन करता है, तो रेखा l_{t} में जिन सभी बिंदुओं (x, y) के माध्यम से गुजरता है उनकी समूह की चित्रणित करें।'

'किसी [ ] के भीतर परिवर्तन के समय औसत रेट ऑफ चेंज पता करें। (अ) f(x)=-3 x^{2}+2 x -2 से b तक (ब) f(x)=x^{3}-x a से a+h तक'

'बिना (0, k) से लाइन C: y=-x^3+3x^2 के लिए खिची गई कोणस्पर्शित रेखाओं की संख्या की पता लगाओ।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित अनुक्रम की सामान्य पद्धति ढूंढें: \ a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}-n \'

'समीकरण और असमीकरण के सिद्धांत मूल अवश्यस्त 1. समीकरण A=B का सिद्धांत 1. A या B में से एक को परिवर्तित करके दूसरे को प्राप्त करने। जटिल अभिव्यंति को परिवर्तित करना सिद्धांत है। 2. A, B को परिवर्तित करके, समान अभिव्यंति प्राप्त करना। 3. A-B को परिवर्तित करके, 0 होने का सिद्धांत करना। A=B ⇔ A-B=0'

'ए, ब के लिए वास्तव संख्याएं हैं। 3 वीं डिग्री कार्य f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x x=α पर अधिकतम मान लेता है, x=β पर न्यूनतम मान लेता है। यहाँ, α<β है।'

'यदि x और y वास्तविक संख्याएँ हैं, तो प्रमाणित करें कि x^{2}+y^{2}<1 होता है, तो x^{2}+y^{2}<2 x+3।'

'निम्नलिखित अनिशित अंतरक की खोज करें।'

'जब 3 गुणा समीकरण y=ax^3+bx^2+cx+d का चित्र दिए गए चित्र के जैसा दिखता है, तो a, b, c, और d के चिन्ह का पता लगाएं।'

'(1,0) बिंदु से खींची गई कर्व y=x^{3} के लिए सपंदबिंदु का समीकरण खोजें।'

'जब a < 0 हो, तो g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3\nजब 0 ≤ a < 1 हो, तो g(a) = 3\nजब 1 ≤ a < (6+√6)/6 हो, तो g(a) = 2a^3 - 9a^2 + 12a - 2\nजब (6+√6)/6 ≤ a हो, तो g(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3'

'निश्चित अंकित का न्यूनतम मान'

'इसलिए, कार्य (1) का ग्राफ़ दाईं तरफ दर्शाया गया है, जिसमें x-अक्ष के 3 समांतर बिंदु हैं। इसलिए, समीकरण x^{3}-3 x^{2}+1=0 के 3 वास्तव समाधान हैं।'

'नक़्शे में (-3,0) से जाता है'

'कैलकुलेट करें कि $y=x^{3}-4 x$ और $y=3 x^{2}$ द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल।'

'निम्नलिखित कण्डों, रेखाओं और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल खोजें।'

'दिए गए समीकरणों की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित असमिकान को सिद्ध करें'

'X, y के लिए फ़ंक्शन P=x^{2}+3y^{2}+4x-6y+2 का न्यूनतम मान ढूँढें।'

'फ़ंक्शन y=|x^2-2mx|-m के ग्राफ़ के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें। यहाँ, m एक वास्तविक संख्या है।'

'निम्नलिखित समीकरणों के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'

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'जब फ़ंक्शन f(x) (0 ≤ x < 1) को परिभाषित किया जाता है, तो निम्नलिखित फ़ंक्शनों का ग्राफ़ बनाएं। (1) y=f(x) (2) y=f(f(x))'

'क्षेत्र के आधार पर भिन्न होने वाले फ़ंक्शन'

'(2) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x^{2}-y^{2}+x+y=0 \\\\ x^{2}-3 x+2 y^{2}+3 y=9\\end{\overlineray}\\right. \'

'फ़ंक्शन f(x)=x^2-2x-3 के लिए, निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।'

'क्रिया f(x) = |x^2 - 1| - x के लिए -1 ≤ x ≤ 2 पर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'फ़ंक्शन y = (x ^ 2 - 2x - 1) ^ 2 - 6(x ^ 2 - 2x - 1) + 5 के -1 ≤ x ≤ 2 के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।'

'a की दिए गए सीमा के लिए, फ़ंक्शन f(x) की अधिकतम मान की जांच करें।'

'समीकरण y=f(x) में, अगर डोमेन a ≤ x ≤ b है तो फ़ंक्शन का लेखन कैसा होगा?'

'निम्नलिखित फ़ंक्शनों का ग्राफ़ बनाएँ। (1) y=x^{2}-4|x|+2 (2) y=\\left|x^{2}-4\\right|'

'कृपया समीकरण y=|x^{2}-x-2|-2x का ग्राफ़ बनाएं।'

'निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ बनाएं और उनकी रेंज ढूँढें।'

'गणित I'

'f(1-a) की गणना करें।'

'पूरकरण का उत्पन्न करके प्रस्तावों को साबित करें'

'कैसे एक चार्ट बनाने के लिए तरह-तरह से फोल्ड करें'

'आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का विचार करें।'

'समीकरण y=x^{4}-8x^{2}+1 की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'जब \ 1 < a \ हो, तो \\( f(x) \\) विस्तार \ x = 1 \ पर न्यूनतम होगा। इसलिए, \\( \\quad f(1) = -3a + 7 \\geqq 0 \\), इससे \ a <= \\frac{7}{3} \ प्राप्त होता है'

'लक्षित करो y=(x^2-6x)^2+12(x^2-6x)+30 की सर्वाधिक और सर्वन्यूनतम मान। 1 ≤ x ≤ 5 के लिए।'

'कृपया समीकरण y = f(x) की डोमेन और रेंज की व्याख्या करें।'

'कृपया निम्नलिखित (1) से (4) तक में से दो फ़ंक्शंस चुनें जिनका x=2 पर अधिकतम मान है, और उन फ़ंक्शंस के अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं।'

'ध्रुवीय समीकरण को आयताकार निर्देशांकों में परिवर्तित करें:\nध्रुवीय समीकरण $r=\\frac{3}{1+2 \\cos \\theta}$ से हमें $r+2r \\cos \\theta=3$ मिलता है\nक्योंकि $r \\cos \\theta=x$ है, इसलिए $r+2x=3$\nइससे $r=3-2x$ होता है, जिससे $r^{2}=(3-2x)^{2}$ होता है\nक्योंकि $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ है, इसलिए $x^{2}+y^{2}=(3-2x)^{2}$ होता है\nइस समीकरण को हल करने से $3x^{2}-12x-y^{2}+9=0$ मिलता है\nइसलिए, $3(x-2)^{2}-y^{2}=3$'

'निम्नलिखित ध्रुवीय समीकरणों द्वारा प्रतिनिधित वृत्त का केंद्र और त्रिज्या का पता लगाएं:'

'जब \ f \ एक समुच्चय \ A \ से समुच्चय \ B \ के लिए चित्रित करता है, तो हम समुच्चय \ A \ को डोमेन कहते हैं।'

'गणितीय अनुमान का उपयोग करके साबित करें कि यह समीकरण सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है।'

'कर्व xy=4 पर चलने वाले बिंदु P से y अक्ष के लिए लंब रेखा PQ खींची जाती है, ऐसा करके Q को y-अक्ष पर प्रति सेकेंड 2 इकाइयों की गति से हरा जाता है। जब P बिंदु (2,2) से गुज़रता है तो P की वेग और त्वरण का पता लगाएं।'

'फ़ंक्शन का प्रतिलोम फल, f^{-1}(x) = f(x)'

'(1) सारांश\n(1) S(a)=\\frac{1}{2}\\sqrt{5a^{2}+6a+90}=\\frac{1}{2}\\sqrt{5\\left(a+\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\frac{441}{5}}\nइसलिए, S(a) जब a=-\\frac{3}{5} होता है, तो न्यूनतम मान \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{441}{5}}=\\frac{21\\sqrt{5}}{10} को प्राप्त करता है।'

'क्यूबिक पर बिंदु P पर टैंजेंट और नॉर्मल लाइनों के समीकरण तलाशें।'

''

'\\n(1)\\\ y^{\\prime}=4 x^{3}-2 \\cdot 3 x^{2}+3 \\cdot 1-0=4 x^{3}-6 x^{2}+3 \'

'निम्नलिखित निश्चित अंकित का पता लगाएं। \\[ \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)^{2} \\,dx \\]'

'निम्नलिखित वाक्यांश द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'(यू) y=√(1+x^2) की ग्राफ़ दो बिंदु A(0,1) और B(1,√2) से गुजरती है। रेखा AB का समीकरण y=(√2-1)x+1 है। 0≤x≤1 के दायरे में, 1≤√(1+x^2)≤(√2-1)x+1 हमेशा सत्य है, और समानता आम तौर पर सत्य नहीं होती है।'

'समीकरण f(x)=g(x) के समाधान के लिए, [a,b] अंतराल में f(x), g(x) अपवादी है। f(x) की अधिकतम मान g(x) की अधिकतम मान से अधिक है, जबकि f(x) का न्यूनतम मान g(x) के न्यूनतम मान से कम है।'

'y^2=4px वाले वक्र पर टैंजेंट और नॉर्मल रेखाएँ खोजें।'

'समष्टिरित समीकरण और सीमा'

'कोई समान बिंदु कार्य और उसके उल्टे कार्य के ग्राफ़ों पर'

'अभ्यास: जांचें कि सम्भावित है कि फ़ंक्शन f(x)=2x^3+ax^2+(a-4)x+2 का स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम का योग 6 है जब a की मान क्या है।'

'निम्नलिखित कार्यों का ग्राफ़ बनाएं।'

"a, f(a), और f'(a) का उपयोग करके अभिकलित f(x) को (x-a)^{2} से विभाजित करने पर शेष में करें।"

'समाधान करें कार्य y = x^3 - 3x + 1 की अधिकतम एवं न्यूनतम मान।'

'निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने के लिए स्थायी a और b के मान निर्धारित करें।'

'विभेदन अभिलेखन'

'क्रिया y=-x^3+9x की वृद्धियों और घटनों को दिखाने के लिए पाठ सिधान्त को पूरा करें, और अत्यंतता और उसके बिंदु ढूंढें'

'दी गई कक्षा C: y = x^{3} + 3 x^{2} + x और एक बिंदु A(1, a)। यदि A के माध्यम से 3 औरतें खींची जा सकती हैं जो A के माध्यम से गुजरती हैं और C को छूती हैं, तो स्थायी a के मान की श्रेणी ढूँढें।'

'समाधान करें स्थिर a और b की मान के लिए कि f(x)=x^{3}-a x^{2}+b तम्हारा अधिकतम मान 5 है और न्यूनतम मूल्य 1 है।'

'a को वास्तविक संख्या और कर्व C को y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2 लिया जाए।'

'बहुपद भागफल'

'पैराबोला y = 2x^2 + a और वृत्त x^2 + (y - 2) ^2 = 1 के बारे में, निम्नलिखित का पता लगाएँ: (1) जब इस पैराबोला और वृत्त को स्पर्श किया जाता है, तो स्थाई a का मान (2) विभिन्न 4 सम्बद्धांक बिंदुओं वाले स्थाई a के मान की श्रेणी'

'जब अंतराल $-\\frac{1}{2} \\leqq t \\leqq 2$ हो, तो $F(t)=\\int_{0}^{1} x|x-t| d x$ का अधिकतम और न्यूनतम मान क्या है।'

'सिद्ध करें कि कोने y=f(x) में झूले वाली रेखा के बीच के बिंदु (α, f(α)) और (β, f(β)) के मध्यबिंदु M रखे होते हैं, जहां कार्य y=f(x) का x=α पर अधिकतम और x=β पर न्यूनतम है।'

'दिए गए समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें। साथ ही, x के संबंधित मान भी निर्धारित करें।'

'दिए गए समस्या का दर्शन शर्तों की खोज के बारे में है और उन शर्तों को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के क्षेत्र को चित्रित करने के बारे में है।'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकगणितों को खोजने में अभ्यास करें।'

'जब क्यूर्व y=x^{3}+a x और y=b x^{2}+c दोनों बिंदु (-1,0) से गुजरती हैं, और उस बिंदु पर एक सामान टैंजेंट होती है, तो स्थिर a, b, c के मान ढूँढें। साथ ही, उस बिंदु पर साझा टैंजेंट की समीकरण निर्धारित करें।'

'सबूत छोड़ दिया, जब x=y=z होता है; a=3'

'तीसरा समीकरण के ग्राफ बनाने के लिए सुझाव'

'इस स्थिति को दिखाएं जिसमें समीकरण g(x)=0 और h(x)=0 प्रत्येक के लिए दो भिन्न वास्तव समाधान हैं लेकिन कोई साझा समाधान नहीं है। यहां g(x)=f(x)-x=a x^{2}-x-b, h(x)=a f(x)+a x+1=a^{2} x^{2}+a x-a b+1 है, और जब f(f(x))-x=0 हो, तो g(x) h(x)=0 के चार भिन्न वास्तव समाधान होते हैं।'

'जब फ़ंक्शन $f(x)=4x^3-3(2a+1)x^2+6ax$ का स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम होता है, तो स्थिर $a$ को पूरा करने वाली शर्त खोजें।'

'मौलिक अभ्यास 120 को ध्यान में रखें। निम्नलिखित बहुपद $f(x, y)$ की चिन्ह बदलने की जाँच करें और प्रत्येक क्षेत्र में चिन्हों की विचार करें।'

'दिए गए पाठ का चीनी में अनुवाद क्या है?'

'निम्नलिखित निश्चित अनुकरणों को ढूंढें।'

'तीसरे श्रेणी के ग्राफ की सममिति'

'अभ्यास: समीकरण y=| -x^3 + 9x | का ग्राफ़ बनाएं।'

''

'जब बिंदु P(x, y) चक्रियता वृत्त पर एकाइ वृत्त में चलता है, तो 15x^2 + 10xy - 9y^2 का अधिकतम मान और अधिकतम मान देने वाले बिंदु P के निर्देशांक प्राप्त करें।'

"एक सकारात्मक स्थायी मान 'a' लें। अंतराल 0 ≤ x ≤ 2 पर समीकरण f(x) का न्यूनतम मान पता करें। यहाँ: f(x) = -\\frac{x^{3}}{3} + \\frac{3}{2}ax^{2} - 2a^{2}x + a^{3}"

'तीसरी शक्ति के ग्राफ बनाने के लिए ध्यान देने योग्य बिन्दुओं'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ की प्रैक्टिस करें।'

'उन सभी फ़ंक्शन पता करें जो x = 1 और x = 3 पर चरम मान लेते हों, f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d के लिए। साथ ही, अधिकतम और न्यूनतम मान प्रदान करें।'

'जब कोने y=x^{3}-x^{2}-12 x-1, y=-x^{3}+2 x^{2}+a संरेखित होते हैं, तो स्थिर a की मान खोजें। साथ ही, उस बिंदु पर टैंजेंट रेखा की समीकरण भी खोजें।'

''

'समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं। साथ ही, x के मौजूदा मान की भी जांच करें। (219 (1) y=-x^{3}+12x+15 (-3 ≤ x ≤ 5))'

'तीसरी श्रेणी कार्य और अत्यधिक मान'

'समीकरण f(t)=b के वास्तव समाधानों की संख्या y=f(t) की चित्रण और रेखा y=b के बीच संयोजनों की संख्या द्वारा निर्धारित होती है: b<2a और b>e^{a}-e^{-a} के लिए 1 संयोजन; b=2a या b=e^{a}-e^{-a} के लिए 2 संयोजन; 2a<b<e^{a}-e^{-a} के लिए 3 संयोजन'

'दिए गए पाठ को कई भाषाओं में अनुवादित करें।'

'समीकरण f(x)=x^{2}+1 और g(x)=2x-1 का उपयोग करके समस्थित समीकरण (g ∘ f)(x) ढूंढें।'

'वृत्त (1) को ध्रुवीय संख्याओं में व्यक्त करें।'

'निम्नलिखित समीकरणों का ग्राफ बनाएं और मान क्षेत्र पता करें:\n(1) y=\\sqrt{3 x-4}\n(2) y=\\sqrt{-2 x+4}(-2 \\leqq x \\leqq 1)\n(3) y=\\sqrt{2-x}-1'

'मान की वैल्यूज का निर्धारण करें जैसे कि य = √(4-x) a ≤ x ≤ b के लिए 1 और 2 के बीच के मान लेता है।'

'कृपया समीकरण $y^{2}=x^{2}(8-x^{2})$ द्वारा निर्धारित सम्बंध में रचना $y$ का चित्र बनाएं।'

'जब किसी फ़ंक्शन f(x) के सभी x मानों के लिए सार्थक हो तो उसे सार्थक फ़ंक्शन कहते हैं। पूर्णसंख्याओं, भिन्नों, अकर्तव्य फ़ंक्शनों, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों, घातांकीय फ़ंक्शनों और लघु-अभिलंब फ़ंक्शनों द्वारा प्रदर्शित होने वाले फ़ंक्शन सभी सार्थक फ़ंक्शन होते हैं।\nकृपया प्रमाणित करें कि फ़ंक्शन f(x)=√x अपने परिसर में सार्थक है।'

"f(a)=g(a), f'(a)=g'(a), f''(a)=g''(a) को पूरा करने वाले 2 वस्तुनिष्ठ समीकरण g(x) का सिद्धांत है कि g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a)/2)(x-a)^2 (1)।"

''

'1) जब t=2 होता है तो न्यूनतम मान -\\frac{512 \\sqrt{2}}{15} है'

''

''

'कृपया y = x sqrt(x + 1) कार्य की अध्ययन करें जहां x > -1।'

'वास्तव संख्या x के लिए, [x] में प्रकट किए गए पूर्णांक n से मिलता है जो n ≤ x < n+1 को पूरा करता है, फ़ंक्शन f(x) = ([x]+a)(b x-[x]) x = 1 और x = 2 पर कदम स्थिर हो, तो मानक a, b की मान निर्धारित करें।'

'(1) I को a के एक कार्य के रूप में प्रस्तुत करें। (2) I की न्यूनतम मान और उसके साथ का a का मान ढूंढें।'

''

'जब वास्तविक संख्याएँ x, y ऐसी हों जो 2x^2 + 3y^2 = 1 को पूरा करती हैं, तब x^2 - y^2 + xy की अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं।'

'(6) x=-4/5 पर अधिकतम मान 12√[3]{10}/25 है, x=0 पर न्यूनतम मान 0 है'

'(2) x=1 पर एक अधिकतम मान 1 प्राप्त होता है'

'एलिप्स $\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ पर एक बिन्दु $P$ और निश्चित बिंदु $A(a, 0)$ के बीच की न्यूनतम दूरी ढूँढें। यहाँ, $a$ एक वास्तविक स्थिर मान है।'

''

'जब एक बिंदु (x, y) कोआर्डिनेट सरणी पर ऐसे सेट पर ले जाता है जिसे (x^2 + y^2)^2 - (3x^2 - y^2)y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0 से परिभाषित किया गया है, तो x^2 + y^2 की अधिकतम मान और इस अधिकतम मान को देने वाले x, y के आवेदन को खोजें।'

'पहले अध्याय फ़ंक्शंस - अभ्यास, समस्या 4 के लिए x की सीमा खोजें।'

'y = x^2 और y = x के बीच क्षेत्र ढूंढें।'

'कृपया स्केच करें कि समीकरण द्वारा निर्धारित x के सम्बद्धता का मूल चित्र y^2 = x^2(x+1) है (इसमें कोणों का अध्ययन करने की आवश्यकता नहीं है)।'

'अभ्यास 11 के अंक को अध्याय 1 कार्यों में खोजें।'

'निम्नलिखित अनिश्चित तत्वीय धारित कीजिए।'

'प्रश्न 66\n(1) समीकरण (x-3)² + y² + (z-2)² = 13 का समाधान ढूंढें।\n(2) समीकरण (x-2)² + (y-4)² + (z+1)² = 27 का समाधान ढूंढें।\n(3) समीकरण (x-2)² + (y+3)² + (z-1)² = 9 का समाधान ढूंढें।'

'(2) बिंदु B एक ऐसा बिंदु है जो बिंदु A को मूलबिंदु O के चारों ओर ऊँचाई में वृत्ताकार रुप से π/4 या -π/4 के द्वारा घुमाकर मूलबिंदु से दूरी को √2 गुणा बढ़ाते हुए प्राप्त किया गया है।'

''

'समय t पर एक रेखा पर गति वाले बिंदु P की स्थिति x दी गई है, जिसकी x=-2t^3+3t^2+8(t≥0) रूप में है। जब P मूल से सबसे दूर सकारात्मक दिशा में हो, तो वेग और त्वरण ढूंढें।'

'निम्नलिखित कार्यों का ग्राफ बनाएं। साथ ही, उनके डोमेन और रेंज भी खोजें।'

'जांचें कि क्या समीकरण f(x) x=0 पर निरंतर है या अनिरंतर है। यहाँ, [x] वास्तविक संख्या x से अधिक नहीं होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक का अर्थ करता है।'

'दिए गए सेट A और B में, जब A का तत्व निर्धारित होता है, तो उसके संबंधित तत्व B का भी केवल एक के रूप में निर्धारित होता है। यह संबंध A से B की ओर एक मैपिंग कहलाता है। मैपिंग को f, g जैसे प्रतीकों द्वारा व्यक्त किया जाता है। f: A→B के रूप में दर्शित किया जाता है, A से B की ओर एक मैपिंग को दर्शाने के लिए। A से B की मैपिंग f के लिए, A के तत्व a के लिए B का तत्व जोड़ने वाले a का छायाचित्र एक नाम है, f(a) द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, लें A={a, b, c, d}, B={1, 2, 3, 4}। अगर f(a)=f(b)=1, f(c)=3, f(d)=2, तो f A से B तक की मैपिंग है।'

'क्षेत्रफल निकालने के लिए घूर्णन का उपयोग करें'

'दी गई निम्नलिखित नामकों पर दिए गए बिंदु पर स्पर्श रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'क्षेत्रफल की गणना करने के लिए घूमने का परिवर्तन का उपयोग करें'

'निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित समीकरणों द्वारा y की फ़ंक्शन की रेखा का रूपरेखा बनाएं (कंकावितता और उल्टाव की भी जांच करें):'

'(24-2) समय t पर P का त्वरण α है जो α = dv/dt = 6t है, t = 2 पर P की त्वरण की मान निकाली जानी चाहिए।'

'कृपया फ़ंक्शन समीकरण से संबंधित समस्या को हल करें।'

'कृपया दो समीकरणों के ग्राफ़ों पर साझा बिंदुओं की संख्या ढूंढें।'

''

'समीकरण y=x^4-6x^2+10 का न्यूनतम मान निकालें।'

'\\[f(f(x))=2 f(x)-1=2 \\cdot(2 x-1)-1=4 x-3\\]\nइसलिए, \\( y=f(f(x)) \\) का ग्राफ Figure (2) में दिखाया गया है।'

'0 ≤ x ≤ 4 को पूरा करने वाले सभी वास्तव संख्याओं x1, x2 के लिए, f(x1) < g(x2) सत्य होने की स्थिति के लिए, 0 ≤ x ≤ 4 के लिए f(x) का अधिकतम मान< g(x) का न्यूनतम मान होना चाहिए। इसलिए, -a^2 + 8 < -3a - 10। सुस्तीकरण करते हुए, हमें a^2 - 3a - 18 > 0 मिलता है। इसलिए, (a + 3)(a - 6) > 0। इसलिए, a < -3, 6 < a।'

'निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ को बनाएं। (1) y=x^{2}-4|x-1| (2) y=\\left|\\frac{1}{3} x^{2}+2 x-9\\right|'

'(2) का चित्र दाईं ओर दिखाया गया है। (1) और (2) के छोर का x-आरेख ढूंढने के लिए: [1] जब x<-1 हो, (1) और y=-2x+1 से y को हटाकर -x^{2}+2x+8=-2x+1 मिलाते हैं, इसलिए x^{2}-4x-7=0, इसलिए x=2±sqrt{11}, x<-1 को संतुष्ट करने वाले मान x=2-sqrt{11} हैं; [2] जब x≥2 हो, (1) और y=2x-1 से y को हटाकर -x^{2}+2x+8=2x-1 मिलाते हैं, इसलिए x^{2}=9, इसलिए सीमा एक है, ओर मामूली तरह से x मान जहां || में व्यंजक 0 बन जाता है, इसलिए x+1=0 और x-2=0, इससे x=-1 और x=2 मिलते हैं। इस शाखा की शर्तों की जांच न करने की गलती न करें। [3] समान है।'

'0 ≤ x ≤ 4 को पूरा करने वाले किसी वास्तव संख्या x1, x2 के लिए, f(x1) < g(x2) स्थिति को स्थायी बनाने का शर्त है कि 0 ≤ x ≤ 4 के लिए f(x) का न्यूनतम मान < g(x) का अधिकतम मान हो। इसलिए, -a^2 - 1 < -3a - 1 को संयोजित करना a^2 - 3a > 0।'

(2) फ़ंक्शन \( y=M(a) \) का ग्राफ़ बनाएं।

100वें डिग्री की हाइपरबोला का समीकरण ज्ञात करें। (1) rac{x^{2}}{9}-rac{y^{2}}{9}=1 (2) rac{x^{2}}{8}-rac{y^{2}}{18}=-1

वक्र $C$ पर बिंदु के निर्देशांक \( (x, y) \) को, $t$ चर का उपयोग करके \( \left\{egin{array}{ll}x=t \\ y=t^{2}\end{array} \cdots \cdots \cdots(A)\right. \) के रूप में व्यक्त किया जाता है। $t$ के मान के अनुसार $x, y$ के मानों की जाँच करें, उन्हें निर्देशांक तल पर बिंदुओं के रूप में अंकित करें और उन्हें एक समतल रेखा से जोड़ें। किस प्रकार का वक्र प्राप्त होगा?

x, y का समीकरण और ध्रुवीय समीकरण

निम्नलिखित समीकरणों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु $z$ किस प्रकार का चित्र दर्शाते हैं। (1) $|2 z-1+2 i|=6$ (2) $|z+3 i|=|z+1|$

जब बिंदु EX बिंदु \( \mathrm{P}(x, y) \) दीर्घवृत्त rac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 पर गतिशील होता है, तो $3 x^{2}-16 x y-12 y^{2}$ का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें।[संदर्भ: फुकुशिमा मेडिकल विश्वविद्यालय]

जब बिंदु \( \mathrm{P}(x, y) \) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ पर चलता है, तो $3x^2-16xy-12y^2$ का अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।

निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्रदर्शित वक्रों को ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त करें। (अ) 2x^2 + y^2 = 3 (आ) y = x (इ) x^2 + (y - 1)^2 = 1