मूलभूत फलन - रेखीय फलन और उनके ग्राफ

'यदि पेज 278 की किताब 146 के y=f(x) के ग्राफ़ का बिंदु (2,1) के संबंध में सममित है, तो इसके बाद x-दिशा में -2 और y-दिशा में -1 समान चलने वाले ग्राफ़ की समीकरण ढूंढें।'

'वृद्धि-क्षय सारणी: चर बदलाव को दिखाने वाली सारणी।'

'(3) (1) प्रमाण छोड़ा गया है, समीकरण का सम्मति का शर्त है x=y'

'निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें।'

'जब बिंदु (x, y) 79 चलता है, तो असमानताओं की प्रणाली y ≤ 1/2x + 3, y ≤ -5x + 25, x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र ढूँढ़ें। निम्नलिखित अभिव्यक्तियों की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढें:\n(1) x²+y²\n(2) x²+y²-2(x+6y)\n[टोक्यो विज्ञान विश्वविद्यालय]'

'रेखा (2) और रेखा (3) के परलेल होने की शर्त है'

'कृमि सम्बन्ध an+1=ran को एक ग्राफ़ पर प्लॉट करें और उसकी विशेषताओं का विवरण दें।'

'(1) रेखा y=2x+3 के लिए, बिंदु P(3,4) और उसके सममित बिंदु की निर्धारणीयां।'

"सी₁ पर अंक (a, a²) पर टैंजेंट का समीकरण है, y' = 2a से y - a² = 2a(x - a) इसका मतलब y = 2a x - a² है। सी₂ पर अंक (b, 4b² + 12b) पर टैंजेंट का समीकरण है, y' = 8x + 12 से y - (4b² + 12b) = (8b + 12)(x - b) इसका मतलब y = (8b + 12)x - 4b² है। रेखा l जब (1) और (2) एक समान होते हैं, तो 2a = 8b + 12, -a² = -4b² जिससे a = 4b + 6 b² + 4b + 3 = 0 समस्या बनती है तो b के लिए b = -1, -3 है। l रेखा की ढाल सकारात्मक है, इसलिए 8b + 12 > 0 इसलिए b = -1 a = 2। इसलिए, रेखा l का समीकरण है y = 4x - 4।"

'समीकरण y=-2x+3 (-3 ≤ x ≤ 2) की रेंज ढूंढें।'

'निम्नलिखित रेखाओं के समीकरण ढूँढें:'

'सीधी रेखा का समीकरण निकालें।'

'अभिलेख समीकरण an+1=an+d को ग्राफ़ पर प्रस्तुत करें और इसकी विशेषताएँ वर्णित करें।'

'निम्नलिखित रेखाओं की मत्रिका खोजें।'

'रेखा y = mx (m > 0) आकृति T के क्षेत्र को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। m का मान खोजें।'

'जब m = -4 होता है, तो 3,5 होता है; जब m = 4 होता है, तो -5, -3 होता है (2) जब m = -2√5 होता है, तो √5, 3√5 होता है; जब m = 2√5 होता है, तो -√5, -3√5 होता है'

'लाइन y=2x+3 के प्रतिस्थान में संविकट होने वाली रेखा की समीकरण ढूँढें, जिसके संबंध से लाइन 3x+y-1=0 है।'

'एक रेखा की समीकरण ढूंढें जो स्लोप m वाले बिंदु (x_1, y_1) से गुजरती है।'

'निम्नलिखित दो बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाली रेखा की समीकरण ढूँढें: (1) (2,-3),(-1,1) (2) (3,4),(3,1) (3) (a, 0),(0, b) विभिन्न बिंदुओं (x1, y1),(x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण y-y1=\x0crac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) जब दो बिंदुओं के x आयताकार अलग होते हैं तो x1≠x2 जब दो बिंदुओं के x आयताकार एक समान होते हैं तो x1=x2 तो रेखा समीकरण है x=x1'

'यदि a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, तो जब a + b = 2 और a ≠ b है, तो 1, ab, और (a² + b²) / 2 का क्रम निर्धारित करें।'

'दाएं छायांकित क्षेत्र को किस प्रकार असमीकरण सिस्टम द्वारा प्रस्तुत किया जाता है? यह ध्यान दें कि सीमांत रेखाएँ क्षेत्र में शामिल नहीं हैं।'

'निश्चित ऐन्तरिक मात्रात्मक निशानियों को खोजें। (1) $\\int_{0}^{3}|x-2| dx$ (2) $\\int_{-2}^{3}\\left|x^{2}-2x\\right| dx$'

''

'निम्नलिखित रेखाओं की समीकरण ढूंढें:\n(1) ढाल -2 है, y-छेदन 3 है।\n(2) बिंदु (4,2) से होकर, ढाल 3 है।\n(3) बिंदु (-3,0) से होकर, ढाल -5 है।\n(4) बिंदु (2,-1) से होकर, ढाल 1/2 है।\n(5) बिंदु (-2,7) से होता है और x-अक्ष के लिए लंबित है।\n(6) बिंदु (3,2) से होता है और x-अक्ष के समानांतर है।'

'अरिथमेटिक और ज्यामितिक प्रगतियों का सारांश'

'जब x ≤ 2 हो तो वृद्धि, जब 2 ≤ x हो तो घटाव। हमेशा वृद्धि। जब x ≤ -2/√3 या 2/√3 ≤ x हो तो घटाव, -2/√3 ≤ x ≤ 2/√3 हो तो वृद्धि।'

'यदि गति चित्र 3 में दिखाए गए रूप में बदलती है, तो 5 घंटे में कितनी दूरी तय की जाती है?'

'चित्र 5 में ग्राफ का समय अंतर और भी कम किया जाता है, तो 5 घंटे के भीतर चले गए दूरी का हिस्सा किस हिस्से पर पड़ेगा?'

'प्रश्न 2: जीवन को जन्म से शुरू होकर मौत में समाप्त होने वाली एक रेखा के रूप में मानने पर, आप वर्तमान में किस स्थिति में अपने आप को देखते हैं?'

'नॉर्मल वेक्टर क्या है?'

'(-3,2) और (2,-4) से गुज़रने वाली रेखा की समीकरण को पैरामीटर t का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'(1) \ y = x - 2\\sqrt{x} \'

'निश्चित करें कि (-3,2) और (2,-4) से गुजरने वाली सीधी रेखा की समीकरण को पैरामीटर t का उपयोग करके व्यक्त करें।'

'दिए गए कार्यों की सीमा खोजें। यदि मौजूद हैं तो अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करें।'

'यदि y=ax+b (1≤x≤2) एक फ़ंक्शन है, तो y का पीछा 3≤y≤4 है।'

''

'कृपया उदाहरण सूची का उपयोग कैसे करें इसका वर्णन करें।'

'सामान्य रूप में, निम्नलिखित सत्य है। जब चर x को y=ax+b (a, b अचल संख्याएँ) द्वारा परिवर्तित किया जाता है, तो औसत: ȳ=ax̄+b, विचलन: s_y^2=a^2s_x^2, मानक विचलन: s_y=|a|s_x'

'निम्न डोमेन में फ़ंक्शन F(a) और G(a) की जांच करें।'

'किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम क्या है जब डोमेन का एक किनारा हिलता है?'

'निम्नलिखित कार्यों की सीमा खोजें। साथ ही, अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करें।'

'जब x + 3y = k हो, तो x^2 + y^2 का न्यूनतम मान 4 है। स्थायी k की मान ढूंढें।'

"कृपया 'रैखिक समीकरण' का पेज प्रदान करें।"

'चार्ट (चार्ट) क्या है?'

'निम्नलिखित कार्यों की सीमा खोजें। साथ ही, कार्यों की अधिकतम और न्यूनतम मानों का पता लगाएं।'

'(1) x + y = 4 के लिए, xy की अधिकतम मान ढूंढें।'

'जब एक रैखिक समीकरण y=ax+b का डोमेन -3 ≤ x ≤ 1 हो, तो सीमा -1 ≤ y ≤ 3 है। यहाँ, a>0 है।'

'समीकरण y=x-3 (1 ≤ x < 5) की श्रेणी (range) ढूंढें।'

'जब x=0 होता है, तो न्यूनतम मान -1 है, और अधिकतम मान नहीं है।'

'ग्राफ और x-अक्ष के संवाद के बिंदु और समीकरण के वास्तव संख्या समाधान'

'एक रैखिक फ़ंक्शन और एक द्विघातीय फ़ंक्शन का सामान्य रूप दिखाएं: जहाँ a, b, c स्थिर हैं।'

'जब x=2 होता है, तो न्यूनतम मान -1 होता है, और अधिकतम मान नहीं है।'

'निम्नलिखित कार्यों का ग्राफ़ बनाएं और उनकी रेंज निर्धारित करें।'

'जब x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y = 1 हो, तो 3x^2 + 4y^2 की अधिकतम और न्यूनतम मान का पता लगाएं।'

'64 (1) रेंज -5 ≤ y ≤ 4 है, x=-1 पर अधिकतम मूल्य 4 है, x=2 पर न्यूनतम मूल्य -5 है'

'निम्नलिखित कार्यों की रिंज ढूंढें। साथ ही, क्रियाओं की अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करें।'

'स्थिर a और b के मानों को निर्धारित करें, ताकि रैखिक समीकरण y=ax+b (-2 ≤ x ≤ 1) का रेंज -1 ≤ y ≤ 5 हो। यहां a<0 दिया गया है।'

'निम्नलिखित समीकरणों की रेंज ढूंढें। साथ ही, समीकरण की अधिकतम और न्यूनतम मान निकालें। (1) y=-3 x+1 (-1 ≤ x ≤ 2)(2) y=\\frac{1}{2} x+2 (-2<x ≤ 4)(3) y=-2 x^{2} (-1<x<1)'

'64 (2) सीमा 1 < y ≤ 4 है, x=4 के लिए अधिकतम मान 4 है, कोई न्यूनतम मान नहीं है'

'2x + y = 3 के जब x^2 + y^2 की न्यूनतम मान को खोजें।'

'न्यूनतम और अधिकतम मान ढूंढने के लिए समीकरण x+y=k को समझने के लिए, हमने x+y=k की मान्यता दी और उसे उदाहरण 106 में हल किया। इस विचार का माध्यम निम्नलिखित है: क्षेत्र D में शामिल सभी (x, y) के मानों के लिए, x+y के मान की गणना करना और x+y के न्यूनतम और अधिकतम मान खोजना असंभव है। इसलिए...'

'बुनियादी उदाहरण 73\n2 रेखाओं का संयोजन और रैखिक समीकरणों की समाधान\nसमीकरणों की सिस्टम एक्स+3वाई-1=0,3एक्स-2वाई+सी=0 के उसके शर्तों को खोजें।\n(1) एकमात्र समाधान हो\n(2) कोई समाधान न हो\n(3) अनंत समाधान हो'

'(2) यदि f(x) x का पहला प्रकार का समीकरण है और \\int_{0}^{1} f(x) d x = 1, तो \\int_{0}^{1}\\{f(x)\\}^{2} d x > 1 है।'

''

'(1) $y = -\\frac{1}{2a} x -\\frac{1}{16 a^{2}}$\\n(2) $a = \\frac{1}{2}$ पर न्यूनतम मान $\\frac{1}{12}$ है'

''

'कृपया निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्रों को xy तख़्त पर चित्रित करें।'

'गणित में, दो स्पर्शनियों के स्पर्श बिन्दु P, Q से गुजरने वाली रेखा PQ की समीकरण ढूंढने की समस्या।'

"(1) y'= -2x+4= -2(x-2) जब y'=0 होता है, x=2 है तो y का वृद्धि और वृहत्ति का पालन करती है। इसलिए, x<=2 पर वृद्धि और x>=2 पर कमी।"

''

'स्टेप 2 में उदाहरण समस्याओं पर काम करने के लिए सबसे अच्छा तरीका क्या है?'

''

''

'Xy समतल में, x ≥ 0, y ≥ 0, x+2y ≤ 30, 5x+2y ≤ 66 की समीकरण समूह द्वारा परिभाषित क्षेत्र D हो। क्षेत्र D के अंदर बिंदु (x, y) जब घूमता है, तो kx+y की अधिकतम मान की खोज करें। यहां, k 1 ≤ k ≤ 3 को संतुष्ट करता है एक वास्तविक संख्या है।'

'रेखा ℓ: 2x+3y=4 के समानांतर और बिंदु (1,2) से होने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें। साथ ही, रेखा ℓ के लगभग को और बिंदु (2,3) से होने वाली रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'एक कारख़ाने में, X और Y दो प्रकार के उत्पाद हैं। 1kg X का उत्पादन करने के लिए, 1kg रॉ मटेरियल A और 3kg रॉ मटेरियल B की आवश्यकता है, जबकि 1kg Y के लिए 2kg रॉ मटेरियल A और 1kg रॉ मटेरियल B की आवश्यकता है। उपलब्ध रॉ मटीरियल्स की अधिकतम सीमा 10kg रॉ मटेरियल A और 15kg रॉ मटेरियल B है। अगर 1kg के लाभ X के लिए 5 लाख येन और Y के लिए 4 लाख येन है, तो लाभ को अधिकतम करने के लिए X और Y कितने किग्रा का उत्पादन किया जाना चाहिए?'

'दो विभिन्न बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुज़रने वाली रेखा की समीकरण ढूँढें।'

't = 1 पर अधिकतम मान है 2/3, t = 1/2 पर न्यूनतम मान है 1/4'

'(2) $x-y=\\sqrt{2}$ से $y=x-\\sqrt{2}$ मिलता है। इसे $x^{2}+y^{2}=1$ में डालने पर \\[ x^{2}+(x-\\sqrt{2})^{2}=1 \\] प्राप्त होता है जिसे स्वरूपित करने पर $2x^{2}-2\\sqrt{2}x+1=0$ मिलता है। इस द्विघातीय समीकरण की विवेचना को $D$ के रूप में चिह्नित करें, तो \\[ \\frac{D}{4}=(-\\sqrt{2})^{2}-2 \\cdot 1=0 \\] क्योंकि $D=0$ है, इससे वाणिज्यिक बिंदु की संख्या 1 (स्पर्श) है।'

"(1) दिया गया है y'=6x-4=2(3x-2) y'=0, तो x=2/3 पर y का वृद्धि और घटने का पत्र दाईं ओर दिखाया गया है। इसलिए, y x=2/3 पर -1/3 का न्यूनतम मान हासिल करता है।"

'ग्राफिकल विधियों का प्रयोग करके असमेकता 2|x+1|-|x-1|>x+2 को सुलझाएं।'

'निर्धारित करें a और b के मान, जिससे समीकरण y = ax + b (-2 ≤ x < 1) की भाग्य सीमा 1 < y ≤ 7 हो।'

''

'स्थायी a और b के मान खोजें जिससे कि समीकरण y = ax + b (2≤x≤5) का सीमा -1≤y≤5 हो।'

'एक सेट का पूरक \ \\overline{A} = \\{x \\mid x \\in U \ और \ x \\notin A\\} \ है, डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \ \\overline{A \\cup B}=\\overline{A} \\cap \\overline{B} \\quad \\overline{A {cap B}=\\overline{A} \\cup \\overline{B} \'

'जब समीकरण y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) का अधिकतम मान 2 है, और न्यूनतम मान -2 है, तो स्थायी a और b की मान की खोज करें।'

'लगभग समांतर समीकरण y=ax+b का ग्राफ उपर जाता है जब a सकारात्मक होता है या नकारात्मक होता है?'

'निम्नलिखित कार्यों की रेंज खोजें। यदि संभव हो, तो अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'स्थायी a और b के मान तलाशें जिससे समीकरण y = ax + b (1 ≤ x ≤ 2) का सीमा मान 3 ≤ y ≤ 5 हो।'

'कृपया फ़ंक्शन y = b की ग्राफ़ की विशेषताएँ वर्णित करें।'

'जब फ़ंक्शन y = -x + 1 (a ≤ x ≤ b) की अधिकतम मान 2 होता है और न्यूनतम मान -2 होता है, तो स्थाई a और b के मान ढूंढें। यह जाना जाता है कि a < b।'

'सीमा शर्तों के आधार पर एक रैखिक समीकरण के गुणाकार निर्धारित करना'

'निम्नलिखित समीकरणों के ग्राफ का अभ्यास करें।'

'एक रैखिक समीकरण के अवशेष मान का ग्राफ (2)'

'कृपया एक रैखिक समीकरण का सामान्य रूप और उसके ग्राफ की आकृति का वर्णन करें।'

'प्रस्ताव p → q सत्य होने पर, कौनसी स्थिति सामने आती है?'

'माना जाए कि परिवर्तनीय x का डेटा n वास्तव संख्या x_1, x_2, ..., x_n से बनता है। x_1, x_2, ..., x_n की औसत मान को x̄ के रूप में चिह्नित किया जाए, और मानक विचलन को स_x के रूप में चिह्नित किया जाए। जब एक नया परिवर्तनीय y और उसके डेटा y_1, y_2, ..., y_n को एक्सप्रेशन y=4x-2 से परिभाषित किया जाता है, तो y_1, y_2, ..., y_n की औसत 𝑦̄ और मानक विचलन s_y को x̄ और s_x का उपयोग करके प्रकट करें।'

'स्थिर a और b की मानें खोजें जिससे y = ax + b (2 ≤ x ≤ 5) के क्षेत्र -1 ≤ y ≤ 5 हो।'

'एक ऐसा फ़ंक्शन जिसमें विलोम मान शामिल है एक विभाजन के बिंपश्य के रूप में विचार करता है, और विलोम मान प्रतीक को हटाने की स्थिति को | 0 बनाने की स्थिति के रूप में निर्धारित करता है। ऐसे विभाजन बिंपश्यों की स्थितियों में, हमने गणित I उदाहरण 67 में सीखा कि फ़ंक्शन की चित्रण घुमेगी। यहाँ, हम देखेंगे कि विलोम मान और पात्र स्थाई समागम को समाहिर करने पर इसके फ़ंक्शन के ग्राफ़ कैसे बदल जाते हैं।'

'प्रामाणिक मान वाली पहली डिग्री कार्य का ग्राफ (1)'

'जब a=1 होता है, तो ग्राफ x ≤ 1 और x ≥ 2 पर 0 की मात्रा वाली रेखा बन जाती है।'

'चर x के डेटा की औसत मान x̄ और मानक विचलन s_x हो। जब naya चर u ko u=ax+b (जहां a और b स्थिर हैं) द्वारा प्राप्त किया जाता है, और u के डेटा का मानक विचलन s_u है, तो s_u=|a|s_x को पूरा किया जाता है।'

'एम धरे(0°<θ<180°) को खोजने वाले कोण माना जाए। (1) क्योंकि रेखा की मात्रा -1 है, इसलिए खोजें थीटा। (2) क्योंकि रेखा की मात्रा √3 है, इसलिए थीटा खोजें। (3) क्योंकि रेखा की मात्रा -1/√3 है, इसलिए Υूरेका करें।'

'स्थिरांक a और b की मानें तय करें ताकि निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जा सके: (1) रैनियर फ़ंक्शन f(x)=ax+b के लिए, f(0)=-1 और f(2)=0। (2) रैनियर फ़ंक्शन y=ax+b की चित्रित कोण (-1,2) और (3,6) से हो। (3) जब फ़ंक्शन y=ax+b का डोमेन -3≤x≤1 होता है, तो रेंज 1≤y≤3 होती है। यहाँ, a>0।'

'स्कोर X की गणना दूरी D के आधार पर की जाती है।'

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'ग्राफ और असमेंद्रियों के बीच संबंध\nसामान्य रूप से, जब \\( f(x) > g(x) \\) हो, तो इसका मतलब है कि समीकरण \\( y = f(x) \\) का ग्राफ समीकरण \\( y = g(x) \\) के ग्राफ के ऊपर है। उदाहरण के लिए, असमीकरण \ x+2 > |2x+1| \ में, आपको यह निर्धारित करना होगा कि किस विचार्य के लिए \ y = x+2 \ का ग्राफ \ y = |2x+1| \ के ग्राफ के ऊपर है। दाएं चित्र में, लाल रंग में चिह्नित क्षेत्र इस सीमा को प्रस्तुत करता है, इसलिए असमीकरण का समाधान \ -1 < x < 1 \ है। यह विधि जटिल विश्लेषण की आवश्यकता वाली स्थितियों में प्रभावी हो सकती है।'

'निम्नलिखित दोरों द्वारा बनाया गया तीव्र कोण θ खोजें।'

'निर्देशांक तल पर, बिंदु P मूलबिंदु O से शुरू होकर x-अक्ष पर प्रति सेकंड 1 इकाई की गति से बिंदु (6,0) तक चलता है, जबकि बिंदु Q समय समय पर पॉइंट (0,-6) से शुरू होता है और प्रति सेकंड 1 इकाई की गति से मूल बिंदु O की ओर बढ़ता है। पॉइंट P और पॉइंट Q के बीच की न्यूनतम दूरी कब कम होगी? साथ ही, न्यूनतम दूरी का पता लगाएं।'

'एक रैखिक समीकरण ढूंढें जिसका डोमेन है \-2 \\leqq x \\leqq 2\ और रेंज है \-2 \\leqq y \\leqq 4\।'

'कोशिश करें कि फ़ंक्शन y=x-[x](-2≤x≤3) का ग्राफ़ बनाएं।'

'रिग्रेशन रेखा'

'निर्धारित कीजिए स्थायी a, b के मान, ऐसे कि समीकरण y=ax+b (2 ≤ x ≤ 5) का क्षेत्र -1 ≤ y ≤ 5 हो। ध्यान दें कि a < 0 है।'

'समीकरण f(x)=-2x+1 के लिए, निम्नलिखित मानों का पता लगाएं।'

'निम्नलिखित सारणी में, वह कंपनी की ओनिगिरी ए की मुल्य प्रति टुकड़े और बिक्री मात्रा के बीच संबंध का सारांश है जो मिश्रण बनाने और बेचने के लिए होता है।'

'इस पुस्तक का मुख्य हिस्सा क्या है?'

'किस प्रकार के आकार को स्थितियां |z+2|=2|z-1| को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदुओं का सेट प्रस्तुत करता है?'

'रेखा (1) और उपवृत्ति (2) के बीच दो बिंदुओं की खोज करें।'

'(2) (अ) या वाक्य को माध्यांक चर के रूप में व्यक्त करें, जो माध्यंक (1,3),(3,-1) से गुजरता है।\n (इ) ज्ञात की गई रेखा का माध्यांक, t को हटाकर व्यक्त करें।'

''

'(1) (अ) f(x)=k x ( k एक स्थिरांक है )'

'‘वह खुद जो आप बनना चाहते हैं’ से उलटा इंजीनियरिंग करने का मतलब क्या है?'

'एक्स की दायरा ढूंढें।'

'निम्नलिखित दो समतलों के बीच कोण थीटा खोजें। यहाँ, 0° ≤ थीटा ≤ 90°।'

'निम्नलिखित का समाधान खोजें:\n(1) दिया गया है y1 = 2p (x+x1), तो पाएं y = -y1/(2p)(x-x1) + y1।\n(2) दिया गया है y = 2/√3 x -1/√3, y = -√3/2 x + 2√3'

'उल्टा मैपिंग\nएक मैपिंग f: A -> B के लिए, यदि f(A) = B है और प्रत्येक b के लिए B में ऐसा एकमात्र a मौजूद है जिसके लिए f(a) = b, तो B से A तक की एक मैपिंग f^{-1}(b) = a को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, f(a) = b के लिए और केवल उस समय होगा जब a = f^{-1}(b)। f^{-1} को f का उल्टा मैपिंग कहा जाता है। जब डोमेन और कोडोमेन दोनों संख्या (वास्तव संख्याओं के उपसमूह) होते हैं, तो मैपिंग को समार्थन कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक मैपिंग एक समानांतरीकरण है।'

'उदाहरण 9 | समष्टि समीकरण और समीकरण निर्धारण'

'तांजेंट और नॉर्मल रेखाओं की समीकरण ढूँढ़ें।'

'(2) y = (6-x)/(x-2) = -1 + 4/(x-2) (1) y = (1/2)x + 1 समीकरण (1) का ग्राफ़ समरेखा (2) से ऊपर है, या समीकरण (1) का ग्राफ़ और समरेखा (2) के बीच सहबिन्दु वाले x मानों का सीमा है, उसमें x ≤ -1 - √17, 2 < x ≤ -1 + √17'

'प्रश्न 92 सामान्य मात्रिकी विरोधाबूटी जैसा कि दाएं तस्वीर में दर्शाया गया है, एक उल्टा फ्रस्टम के आकार में एक बर्तन है। ऊँचाई 4 सेंटीमीटर पर, आक्षेपित संपादन एक पक्ष 3 सेंटीमीटर के वर्ग का है। जब प्रति सेकंड आराम से प्रतिसेकंड 9 सेंटीमीटर में पानी डाला जाता है, तो जल की गहराई 2 सेंटीमीटर होने पर, जल की सतह ऊँचाई में हर सेकंड कितना हाॅ बढ़ता है? [जिचि मेडिकल यूनिवर्सिटी]'

'निम्नलिखित कर्व पर दिए गए बिंदु पर तांगेंट रेखा की समीकरण ढूंढें।'

'कृपया निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करें।\n\\[\\alpha \ar{z}-\ar{\\alpha} z =(a+b i)(x-y i)-(a-b i)(x+y i) =2(b x-a y) i\\]\nविशेष रूप से, \\(\ar{\\alpha} z=(a x+b y)+(a y-b x) i\\) वास्तविक संख्या नहीं है, कृपया पुष्टि करें कि \ a y-b x \\neq 0 \, इसलिए, साफ करें कि \ \\alpha \\overline{z}-\\overline{\\alpha} z \ केवल काल्पनिक है।'

'स्थानांक अंतरिक्ष में दो बिंदु A(0,3,0) और B(0,-3,0) पर व्यास के अंतबिंदु मानक S का विचार करें। बिंदु P(x, y, z) को S के शीर्ष पर चलते हुए, 3x + 4y + 5z की अधिकतम मान का पता लगाएँ। साथ ही, उस समय P के स्थान का पता लगाएँ।'

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'समीकरणों 2y-x^2≥0, 5x-4y+7≥0, x+y-4≤0 द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र की क्षेत्रफल S ढूंढें।'

'निम्नलिखित असमिकाओं द्वारा प्रतिनिधित क्षेत्र का चित्रण करें।'

'सभी वास्तव संख्याओं x के लिए f(x) <= 1 बनाए रखने वाले स्थिर a, b के लिए शर्तों का पता लगाएं, और इन शर्तों को पूरा करने वाले बिंदुओं (a, b) की सीमा को चित्रित करें।'

'वास्तव संख्या a, b के लिए शर्तें ढूंढें जिससे रेखा y = ax + b के पास 2 बिंदु A(-3,2) और B(2,-3) को जोड़ने वाले रेखांकित सेगमेंट के साथ एक समान बिंदु हो, और इसे ab तरंग में क्षेत्र के रूप में प्रस्तुत करें।'

'समीकरण y = -2x + 1 (-1 ≤ x ≤ 2) की रेंज ढूंढें।'

"दिए गए फ़ंक्शन f(x), g(x), और उनके Derivatives f'(x), g'(x), जो f(x)+g(x)=-2 x+5, f'(x)-g'(x)=-4 x+4, f(0)=5 को संतुष्ट करते हैं। इस मामले में f(x) और g(x) की गणना करें।"

'कोण m और y-छेद n के साथ रेखा y = mx + n की समीकरण निकालें।'

'रेखा (a-1)x-4y+2=0 और रेखा x+(a-5)y+3=0 ऊपरीतरह से एक दूसरे से कटती हैं जब a=〇 होता है, और 80a=〇 होने पर समान्तर होती हैं।'

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'(1) को $y = x + 2$ में डालकर (3) के लिए सरलित करें तो $x^2 + x - 6 = 0$ होता है। इससे $(x - 2)(x + 3) = 0$ है। इसलिए $x = 2, -3$ हैं। (3) से $x = 2$ पर $y = 4$ है, $x = -3$ पर $y = -1$ है। इसलिए, दो बिंदुओं के संदर्भ में निर्धारित निर्देशिका $(2, 4), (-3, -1)$ हैं।'

'उदाहरण (13) सीधी रेखा की समीकरण'

'रेखा का समीकरण, 2 रेखाओं के बीच संबंध'

'मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) सतत है और a एक वास्तव संख्यात्मक स्थिर है। सभी वास्तव संख्याएँ x के लिए, असमिका |f(x)-f(a)|≤2/3|x-a| सही होती है, तो मध्य अंतर मान के सिद्धांत का उपयोग करके साबित करें की कर्व y=f(x) निश्चित रूप से रेखा y=x से कट जाती है।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित अनुक्रम {an} का सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित समीकरणों में द्वारा प्रतिनिधित बिंदु P(x, y) द्वारा किस प्रकार की कक्षा बनाई जाती है?'

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'“सारांश” पेज पर, अलग-अलग स्थानों से सीखे गए विषयों को एक पेज पर सुरक्षित ढंग से संक्षेपित किया गया है।'

'कृपया केंद्र α और त्रिज्या r वाले एक वृत्त की समीकरण प्रदान करें।'

'रेखा y = 8x-2 और कार्य y = √(16x-1) के ग्राफ के समांतर बिंदु की निर्धारण करें।'

'सभी लीनियर समीकरण g(x) को ढूँढें जो शर्तों को पूरा करते हैं।'

'(1) x=-3 पर अधिकतम मान 3/2 है, x=1 पर न्यूनतम मान -1/2 है'

'पहली स्वतंत्र और पहला अनुबंधित'

'अध्याय 1 - समीकरण - अभ्यास के प्रश्न 9 में $x$ की मान ढूंढें।'

'फ़ंक्शन f(x)=1-2x, g(x)=1/(1-x), h(x)=x(1-x) के लिए, निम्नलिखित संयुक्त फ़ंक्शन का पता लगाएं।'

'जब टैंजेंट रेखा का समीकरण x=1 हो और स्पर्श बिंदु (1,0) हो; और जब टैंजेंट रेखा का समीकरण y=\\frac{5}{2} x+\\frac{3}{2} हो और स्पर्श बिंदु \\left(-\\frac{5}{3},-\\frac{8}{3}\\right) है तो बिन्दु ढूंढें।'

'प्रतिनिधि समीकरण का ग्राफ'

'(1) दिखाएं कि f(0)=1।'

'जब वास्तविक संख्या x, y दो असमिकाएँ y ≤ 2x + 1, 9x² + 4y² ≤ 72 को संतुष्ट करती हैं, तो 3x + 2y की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'ग्राफ बनाने का तरीका'

'प्रत्येक अध्याय में प्रदान की गई उदाहरणों की सूची का उपयोग कैसे कर सकते हैं?'

'अभ्यास (1) रेखा x-4=y-3=\\frac{z+2}{4} और समतल 2x+2y+z-2=0 से कटती है, जिसके द्वारा बने कोने में से छोटा कोन θ है, cosθ की मान निकालें।'

'निम्नलिखित संरचनाओं को पूरा करने वाले बिंदु P की लोकस खोजें:\n124 (1) बिंदु F(4,2) से रेखा x=1 तक की दूरी का अनुपात बिंदु P के लिए 1:√2 है\n(2) बिंदु F(0,-2) से रेखा y=3 तक की दूरी का अनुपात बिंदु P के लिए √6:1 है'

'अध्याय 1 फ़ंक्शन - प्रैक्टिस के समस्या 1 के डोमेन और रेंज खोजें।'

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'45 (1) \\ (4 \\cdot y=2 \\cdot 2(x+2) \\) अर्थात \\ (y=x+2 \\) (2) \\ (\\frac{1 \\cdot x}{3}+\\frac{2 \\cdot y}{6}=1\\) अर्थात \\ (x+y-3=0 \\) (3) \\ ( 2 \\cdot \\sqrt{2} \\cdot x-(-\\sqrt{3}) \\cdot y=1 \\) अर्थात \\ (2 \\sqrt{2} x+\\sqrt{3} y-1=0 \\)'

'अध्याय 1 फ़ंक्शंस - अभ्यास में समस्या 2 में a, b, और c की मानें खोजें।'

'x के लिए y=-2 x+3 को हल करने पर x=-\\frac{1}{2} y+\\frac{3}{2} मिलता है, x और y को अदला बदल करने से मिलने वाला उल्टा संबंध y=-\\frac{1}{2} x+\\frac{3}{2} है'

'जब आंकड़े (वास्तव संख्याओं के उपसमूह) जैसे क्षेत्र और सीमा दोनों एक फ़ंक्शन को याद किया जाता है तो एक मैपिंग को फ़ंक्शन कहा जाता है। अन्य शब्दों में, एक मैपिंग एक फ़ंक्शन का एक सामान्यीकृत रूप है।'

'68 (1) \\( y=\\frac{\\sqrt{2}}{4} x+\\frac{\\sqrt{2}}{2},(2, \\sqrt{2}) \\)'

'CHART & THINKING में मुख्य रूप से क्या संकेतित कर रहा है?'

'मान सीमा से संख्याको की निर्धारण'

'कृपया उस्टेन प्रकाशन द्वारा शिक्षात्मक सामग्री लाइनअप में शामिल मौलिक सुविधाओं की सूची दें।'

'समांतरों के मान'

'जब x=\\frac{5}{4}, y=-\\frac{1}{4} है, तो अधिकतम मान \\frac{9}{8} है; जब x=0, y=1 है, तो न्यूनतम मान -2 है'

'[a] को वास्तव संख्या a से अधिक नहीं करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। निम्नलिखित समीकरणों की ग्राफ बनाएं। (1) y=-[x] (-3 ≤ x ≤ 2) (2) y=[2 x-1] (0 ≤ x ≤ 2)'

'जब चर x, y शर्त x+2y=1 पूर्ण करते हैं, तो निम्नलिखित का पता लगाएं: (1) x^2+y^2 का न्यूनतम मान। (2) x≥0, y≥0 के लिए x^2+y^2 का अधिकतम मान'

"वास्तविक संख्या 'a' से अधिक नहीं होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक [a] के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। निम्नलिखित समीकरणों का चित्र खींचें: (1) y=2[x] (-2 ≤ x ≤ 1) (2) y=[2 x] (-2 ≤ x ≤ 1)"

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'समीकरण y=f(x) का ग्राफ क्या है?'

'जब रेखा x=a x<0 सीमा में होती है, अर्थात जब a<0 होता है, तो दाएं ग्राफ पर x=0 पर कम से कम हो जाती है। न्यूनतम मान है f(0)=-4a'

'\\[\egin{array}{c}f(x)=2 x \\\\ f(x) \\text{की ग्राफ से} \\\\ 0 \\leqq f(x)<\\frac{1}{2} \\\\\n\\text{इसलिए } \\\\\nf(f(x))=2 f(x)=2 \\cdot 2 x\\end{array}\\]\nइसलिए\n• (1) की ग्राफ है।\n—को, सीधी \ y=\\frac{1}{2} \ के नीचे भाग दोगुना करता है, और ऊपर के भाग (या रेखा पर) दोगुना करता है और फिर 1 घटता है।'

'जब x 0 से 3 और y 0 से 3 के बीच हो, तो P की अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।'

'कृत्य के ग्राफ के और एक सीधी रेखा के बीच के संबंध के बिंदु ढूंढें।'

'अभ्यास 35 → पुस्तक पृ. 92\nf(x)=1/2 x-|x-| x-1|| रखें। समीकरण f(x)=a के तीन विभिन्न समाधान होते हैं जब y=f(x) का ग्राफ और रेखा y=a के तीन विभिन्न प्रतिक्षेपबिन्दु होते हैं। g(x)=|x-| x-1|| भी रखें।\n[1] x >= 1 के लिए, g(x)=|x-(x-1)|=1, इसलिए f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-1।\n[2] x<1 के लिए, g(x)=|x+(x-1)|=|2x-1|\n(i) x<1/2 के लिए, g(x)=-2x+1, इसलिए f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(-2x+1)=5/2 x-1।\n(ii) 1/2 <= x<1 के लिए, g(x)=2x-1, इसलिए f(x)=1/2 x-g(x)=1/2 x-(2x-1)=-3/2 x+1।\nइसलिए, y=f(x) का ग्राफ़ दाएँ चित्र में दिखाया गया है। चित्र और रेखा y=a के तीन विभिन्न प्रतिक्षेपबिंदु होने पर a की मान की श्रेणी -1/2<a<1/4 है।'

'जब x = 1, y = 0 होता है, तो अधिकतम मान 2 होता है; जब x = -1, y = 0 होता है, तो न्यूनतम मान -2 होता है'

'जब a=1 होता है, (0,1), जब a=5 होता है, (-2,-1)'

'सीमा और अधिकतम तथा न्यूनतम मान खोजें'

'कृपया समीकरण y=|x+1|+|x-3| को ग्राफ़ करें।'

निम्नलिखित फलनों की मूल्य-आवास का निर्धारण करें। साथ ही, फलनों का अधिकतम और न्यूनतम मान भी ज्ञात करें। (1) y=-3x+1 \quad (-1 \leqq x \leqq 2) (2) y=\frac{1}{2}x+2 \quad (-2<x \leqq 4) (3) y=-2x^{2} \quad (-1<x<1)

यदि $x \geq 0, y \geq 0, x + y = 2$ हो, तो $x^2 + y^2$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

विकास 78 | परास संख्या के ग्राफ को सम्मिलित करने वाली रैखिक फलन

शर्तों के साथ अधिकतम और न्यूनतम (1) दिए गए $x \geqq 1, y \geqq -1, 2 x + y = 5$ के लिए, $x y$ के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें।

यदि रैखिक फलन \( f(x)=a x+b \) के लिए, \( f(1)=2 \) और \( f(3)=8 \) है, तो स्थिरांश $a$ और $b$ के मान ज्ञात करें।

मानक 65 | श्रेणी जैसी शर्तों से एक रैखिक फलन के गुणांक का निर्धारण

जब आप 100 येन की एक वस्तु खरीदते हैं, तो खरीदारी की मात्रा कुल लागत को निर्धारित करती है। इसी तरह, जब एक कार 60 किमी/घंटा की रफ़्तार से चलती है, तो यात्रा का समय कुल दूरी को निर्धारित करता है। आइए ऐसे संबंधों के बारे में जानें जहां 'एक मात्रा दूसरी मात्रा को निर्धारित करती है'। फ़ंक्शन की परिभाषा: उदाहरण के लिए, जब आप 100 येन की x वस्तुएं खरीदते हैं, तो कुल लागत y येन में y=100x के रूप में व्यक्त की जा सकती है। इस तरह, जब दो चरों x और y होते हैं, तो यदि x के एक मान को निर्धारित करने पर y का मान अनन्य रूप से निर्धारित हो जाता है, तो हम कहते हैं कि y x का फ़ंक्शन है। एक फ़ंक्शन एक कारखाने की तरह है जो इनपुट मात्रा x को लेता है, उसे 'x को 100 से गुणा' करके संसाधित करता है, और आउटपुट परिणाम y पैदा करता है।

फंक्शन y=x−3 \quad(1 \leqq x<5) का मान क्षेत्र खोजें।

जब $2x + y = 3$ हो, तब $x^{2} + y^{2}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करें।

(2) जब रैखिक फलन $y=ax+b$ का परिभाषित क्षेत्र $-3 \leqq x \leqq 1$ है, तो इसका मान क्षेत्र $-1 \leqq y \leqq 3$ है। मान लें कि $a>0$।

जब फ़ंक्शन \( y=f(x) \) का परिभाषा क्षेत्र $1 \leqq x \leqq 5$ होता है, तो इसे निम्नानुसार दिखाया गया है। \[ y=f(x) \quad(1 \leqq x \leqq 5) \] इस बिंदु पर, फ़ंक्शन का मूल्य क्षेत्र क्या होता है?

स्थिरांक $a$ और $b$ के मान निर्धारित करें ताकि एकेरूप कार्य $y = ax + b$ का मूल्य श्रेणी $-1 \leqq y \leqq 5$ हो। मान लीजिए $a < 0$।

20 सेमी की परिधि वाला एक आयत है। यदि इस आयत की लंबाई x सेमी है और क्षेत्रफल y वर्ग सेमी है, तो y, x का फलन है। निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें। (1) y को x के रूप में प्रदर्शित करें और इस फलन का परिभाषा-क्षेत्र बताएं। (2) जब यह फलन f(x) है, तो f(3), f(1/2), और f(a+1) निकालें।

रेखा x+2y=11 द्वारा काटी गई दीर्घवृत्त (x-2)^2 + 4(y-4)^2 = 4 से प्राप्त रेखा खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक और रेखा खंड की लंबाई ज्ञात करें।

जब निर्देशांक तल को समिश्र तल माना जाता है, तब तल पर मौजूद बिंदु समिश्र संख्याओं से मेल खाते हैं। साथ ही, समिश्र संख्याओं के बीच की विभिन्न गणनाएँ, तल पर दर्शायी जा सकती हैं। इसलिए, तल आकृति से सम्बंधित समस्याओं में से कुछ को, समिश्र संख्याओं के गुणधर्मों या गणनाओं का उपयोग करके अधिक सरलता और स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है। यहाँ, तल आकृति से संबंधित समस्याओं में समिश्र संख्याओं का उपयोग करने के बुनियादी तथ्य संक्षिप्त किए गए हैं। रेखाखंड के आंतरिक और बाह्य विभाजक बिंदु मान लें α = x1 + y1i, β = x2 + y2i, z = x + y i, और यदि बिंदु P(z) रेखाखंड AB को अनुपात m: n में आंतरिक रूप से विभाजित करता है तो: (x - x1): (x2 - x) = (y - y1): (y2 - y) = m: n इसलिए, x = (nx1 + mx2) / (m + n), y = (ny1 + my2) / (m + n) इसलिए, z = x + yi = (nx1 + mx2) / (m + n) + (ny1 + my2) / (m + n) i = (n(x1 + y1 i) + m(x2 + y2 i)) / (m + n) = (n α + m β) / (m + n) समान रूप से बाह्य विभाजन के लिए भी समझा जा सकता है। इसलिए, निम्नलिखित नियम लागू होता है: यदि बिंदु C(γ) रेखाखंड AB को अनुपात m: n में आंतरिक रूप से विभाजित करता है और बिंदु D(δ) इसे अनुपात m: n में बाह्य रूप से विभाजित करता है तो, आंतरिक विभाजन बिंदु γ = (n α + m β) / (m + n) बाह्य विभाजन बिंदु δ = (-n α + m β) / (m - n) विशेष रूप से, रेखाखंड AB का मध्यमान बिंदु (α + β) / 2 द्वारा दर्शाए जाने वाली समिश्र संख्या होगी।

धारण करें कि सीधी रेखा $y=2x+k$ द्विपत्रक $x^{2}-y^{2}=1$ को दो विभिन्न बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। (1) स्थिरांक $k$ के संभव मानों की सीमा निकालें। (2) (1) में पाई गई सीमा में $k$ के बदलने पर, रेखा खंड $PQ$ के मध्य बिंदु $M$ का पथ निकालें।