विश्लेषण - एकचर अवकलन गणित

'महत्वपूर्ण उदाहरण 79 | क्षेत्र में अधिकतम और न्यूनतम (3)\nजब वास्तविक संख्या x, y तीन असमीकरणों y ≥ 2x-5, y ≤ x-1, y ≥ 0 को संतुष्ट करती हैं, तो x²+(y-3)² का अधिकतम और न्यूनतम मान ढूंढें।\n[टोक्यो इकोनॉमिक्स विश्वविद्यालय]\nउदाहरण 76'

'सांश्रुणिक विधि'

'निम्नलिखित समीकरण का निश्चित अंतर की गणना करें।'

'निम्नलिखित निश्चित ऐंबिकों को ढूंढने का अभ्यास करें।\\n(1) \\( \\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2) d x \\)\\n(2) \\( \\int_{-\\frac{1}{2}}^{3}(2 x+1)(x-3) d x \\)\\n(3) \\( \\int_{2-\\sqrt{7}}^{2+\\sqrt{7}}\\left(x^{2}-4 x-3\\right) d x \\)'

'उसी तरह, न्यूनतम मान को ध्यान में रखें। उस न्यूनतम मान को खोजें।'

'निम्नलिखित निश्चित अंतरणों का पता लगाएं।'

'पराबोला और x-अक्ष के बीच क्षेत्र ढूंढें। (1) मूल'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकित के मान निकालें।'

'सीमा का उपयोग करके विघटक की गणना करें'

'निम्नलिखित निश्चित अंतरक हेतु ज्ञात करें। (1) \\( \\int_{1}^{2}(2 x-1) d x \\) (2) \\( \\int_{0}^{-1}\\left(3 x^{2}+6 x+1\\right) d x \\) (3) \\( \\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3) d x \\) (4) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(x^{3}-6 x-4\\right) d x \\) (5) \\( \\int_{-2}^{1}(2 t+1)^{2} d t+\\int_{-2}^{1} 2(t-1)^{2} d t \\)'

'TRAINING 197 (1) निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकित ढलान ढूंढें। (1) \\( \\int_{-1}^{2}\\left(2 x^{2}-x+3\\right) d x \\)'

'इसका परिभाषित निर्धारित योगखंड \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\) का मान निकालें।'

'निम्नलिखित निश्चित अंकगणित का मूल्यांकन करें।'

'निश्चित योग्यांकलित \\( \\int_{-3}^{3}(x+1)(2 x-3) d x \\) ढूंढें।'

'0<m<1 में, S(m) की न्यूनतम मान ढूढें, जो कि कर्व y=x^2 और रैखिक y=mx द्वारा घेरे गए क्षेत्रों के क्षेत्रफल का योग है, जहां 0 ≤ x ≤ 1 है।'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अनुपातों का मूल्यांकन करें।'

'कोण a ≤ x ≤ b में सदैव f(x) निम्न गुण स्थिति में है, तो कृपया क्षेत्रा S की गणना करें।'

'निश्चित अंकिगणित की गुणधर्म का उपयोग करके निम्नलिखित निश्चित अंकिगणितों के परिणाम खोजें:'

'निम्नलिखित निश्चित अंतरिक्षों को खोजें।'

'निश्चित अंकगणित की गुणधर्मों को मास्टर करें, उदाहरण 198 को जीतें!'

'निर्दिष्ट अंकित और विभेदन'

'जब मूल उदाहरण स्पष्ट न हों तो क्या किया जाना चाहिए?'

None

'इंडिफ़िनेट इंटीग्रल खोजें ∫ 1/x dx।'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अवकल समीकरणों की प्राप्ति करें। (4) में, \ a, b \ धारित हैं। (1) \ \\int_{0}^{\\frac{1}{3}} x e^{3 x} d x \ (2) \ \\int_{1}^{e} x^{2} \\log x d x \ (3) \\( \\int_{1}^{e}(\\log x)^{2} d x \\) (4) \\( \\int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b) d x \\) (5) \ \\int_{0}^{2 \\pi}\\left|x \\cos \\frac{x}{3}\\right| d x \'

'निम्नलिखित निश्चित अंकगणितों का मान निकालें। (1) \ \\int_{0}^{2} \\frac{2x+1}{\\sqrt{x^2+4}} dx \(2) \ \\int_{\\frac{1}{2} a}^{\\frac{\\sqrt{3}}{2} a} \\frac{ \\sqrt{a^2-x^2 }}{x} dx \ (a > 0)'

None

'इस शब्द में अवधारणाओं, प्रमेयों और सूत्रों के प्रमाण समेत सम्मिलित है, जिससे पाठ्यपुस्तकों में न होने वाले विषयों को भी आसानी से समझा जा सके।'

'आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का परिभाषित करें, और निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके समझाएं।'

'निम्नलिखित वक्र, रेखा और x-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र को ढूंढें।\n(1) y=x^{2}-x-2\n(2) y=-x^{2}+3 x\n(-1 ≤ x ≤ 2),\nx=-1, x=2'

'निम्नलिखित निश्चित अवकलणों को पता लगाएं।\n(1) \\( \\int_{-1}^{1}\\left(2 x^{3}-4 x^{2}+7 x+5\\right) d x \\)\n(2) \\( \\int_{-2}^{2}(x-1)\\left(2 x^{2}-3 x+1\\right) d x \\)'

'द्विघातुक समीकरण के समाधान α, β के बारे में निम्नलिखित प्रमाणित करें।\nax^2 + bx + c = 0\n1. दो अलग-अलग वास्तव संख्या समाधान होने की शर्त।\n2. सभी वास्तव संख्या t के लिए असमीयता at^2 + 2bt + c > 0 सभी तरह से सही होने पर, केवल सकारात्मक समाधान होना।'

'निम्नलिखित निश्चित अंतर समाधान कीजिए।'

'दी गई वक्रों और रेखाओं द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'निम्नलिखित निश्चित अंतरिक्षों को खोजें।'

"डिफरेंशियल समांकन समारूप f(x) के डिफरेंशियल f'(x) की परिभाषा है f'(x)=lim_{h→0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}"

'निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग करके निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकित गणित की मानक गणना करें।'

'(3) $\\int_{2}^{2}(x+1)(x-3)dx$ की मान्यता प्राप्त करें।'

"इस प्रकार, सभी वास्तव संख्या x के लिए, y '>0 है, इसलिए दिया गया समारोह हमेशा बढ़ता है"

'निम्नलिखित स्थिति को साबित करें। चर x के मान x1, x2, ..., xn लें। किसी निश्चित मान t के लिए, प्रत्येक मान की t से भिन्नता t-xk (k=1, 2, ..., n) के वर्गों की योगफल को y के रूप में लें। अर्थात, y=(t-x1)^2+(t-x2)^2+...+(t-xn)^2। साबित करें कि t=𝑥¯ (x का औसत) होने पर y सबसे कम है।'

'कृपया आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का मतलब समझाएं।'

'उदाहरण 3 से 8 और उदाहरण 9 से 12 के बीच समानताएँ और अंतर को समझाएं।'

'समीकरण और कर्व'

'किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ की धरोहर और अदलभंग को समझाएं।'

'(2) $\\int t \\sqrt[4]{t^{3}} d t=\\int t^{\\frac{7}{4}} d t=\\frac{t^{\\frac{7}{4}+1}}{\\frac{7}{4}+1}+C=\\frac{4}{11} t^{\\frac{11}{4}}+C=\\frac{4}{11} t^{2} \\sqrt[4]{t^{3}}+C$'

'(2)\\\\n\\\\[\\\egin{array}{l}\\\\n0 \\leqq|\\cos x| \\leqq 1, e^{-x}>0 \\text { है, इसलिए } \\quad e^{-x} \\geqq e^{-x}|\\cos x| \\\\\\\\n\\text { इसलिए } \\quad a_{1}=\\int_{0}^{\\\\pi}\\left(e^{-x}-e^{-x}|\\cos x|\\right) d x \\\\\\\\n=\\left[-e^{-x}\\right]_{0}^{\\\\pi}-\\int_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} e^{-x} \\cos x d x+\\int_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} e^{-x} \\cos x d x \\\\\\\\n=1-e^{-\\\\pi}-\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}} \\\\\\\\n\\quad+\\\\frac{1}{2}\\left[e^{-x}(\\\\sin x-\\\\cos x)\\right]_{\\\\frac{\\\\pi}{2}}^{\\\\pi} \\\\\\\\n=\\\\frac{1}{2}\\left(1-2 e^{-\\\\frac{\\\\pi}{2}}-e^{-\\\\pi}\\right)\n\\end{array}\\\\]'

'169 (2) (अ) x y^{′}-2 y=0'

'रोल का सिद्धांत बताएं और सिद्ध करें'

'हैमिल्टन-केले सिद्धांत'

'वृत्ताकार रोटेशन का आयाम (3) शर्त लगाएं कि a≤b. y=f(x) के ग्राफ के a≤x≤b भाग को y-अक्ष के चारों ओर घुमाकर बनने वाले एक ठोस का आयाम V को V=2π∫a से b तक xf(x)dx द्वारा दिया जाता है। सिद्ध करें a<c<d<b के लिए, और [a, c], [d, b] अंतरालों में मोनोटोनिक रूप से घटने वाले एक फ़ंक्शन y=f(x) के लिए। साथ ही, f(x)=x^3, a= 0, b= 2 के लिए, V का मान V_0 को पाएं।'

'औसत मूल्य का सिद्धांत क्या है?'

'निम्नलिखित निश्चित परिसीमा को खोजने में अभ्यास करें।'

''

'विभाज्य समीकरण f(x) के वृद्धि और घटनक का अध्ययन करें और इसके चरम मानों को खोजें।'

'द्वितीय विघटक का उपयोग करके, निम्नलिखित कार्य के अत्यधिक मान का पता लगाएं।'

'समवर्ती रूप से (y=f(x)) एकत्रित करें। \n(1) एक वास्तविक स्थिर संख्या ए (a) के रूप में लें। सभी वास्तव संख्याओं x के लिए, यदि असमीया |f(x)-f(a)|≤⅔|x-a| मान्य रहती है, तो आंतरिक मान सिद्धांत का उपयोग करके साबित करें कि कण y=f(x) रेखा y=x से छूती है। \n(2) इसके अतिरिक्त, सभी वास्तव संख्याओं x1, x2 के लिए, यदि असमीया |f(x1)-f(x2)|≤⅔|x1-x2| मान्य रहती है, तो सिद्ध करें कि (1) के लिए एकमात्र एक सर्पसंक्षेप बिंदु होता है।'

'आकृतियों के क्षेत्र और आयतन, वक्रों की लंबाई आदि को निकालने और सरल विभेदीय समीकरणों को हल करने से संबंधित समस्याओं को हल करना सीखना।'

'निम्नलिखित निश्चित अंकित ढांचा ढूंढें। \\( \\int_{-1-\\sqrt{5}}^{-1+\\sqrt{5}}\\left(2 x^{2}+4 x-8\\right) d x \\)'

'निम्नलिखित निश्चित अंकगणित ढूंढें।\n(3) \\( \\int_{1}^{2}(x-1)^{3}(x-2) d x \\)'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंतरक का पाठ्यक्रम खोजें।'

''

'कर्व y=x^{3}-5 x^{2}+2 x+6 और इस कर्व पर बिंदु (3,-6) पर स्पर्श रेखा द्वारा घेरी गई आकृति के क्षेत्र का क्षेत्रफल S ढूंढें।'

'(2) निम्नलिखित निश्चित योग्यता की गणना करें:\n(क) \\( \\int_{2}^{3}(x-2)(x-3) d x \\)'

'सबसे पहले, आइए इस समीकरण के वास्तविक समाधानों की संख्या को जांचने के लिए अवकलन तरंग का उपयोग करने का तरीका दोहराएँ।'

'निम्नलिखित निश्चित अवकलनों को पता करें।'

'अभ्यास निम्नलिखित निश्चित अंतरक की खोज करें।'

'समान f(x) का x=a पर महत्व निकालिए।'

'निर्धारित अंकित \ \\int_{1}^{n} x \\log x d x \ का मान निकालें।'

'निम्नलिखित निश्चित योगज को मानें।'

'\nक्षेत्रफल, आयाम, और कर्व की लंबाई की गणना\nकर्व \\( x=g(y) \\) और \ y \ अक्ष के बीच क्षेत्र\nकर्व \\( x=g(y) \\) और \ y \ अक्ष और 2 रेखाओं \ y=c, y=d \ के बीच घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल है \\( S=\\int_{c}^{d}|g(y)| dy \\)\n\nकर्व का क्षेत्रफल \\( x=f(t), \\quad y=g(t) \\) द्वारा प्रतिनिधित किया गया है और यह \\( S=\\int_{a}^{b} y dx=\\int_{\\alpha}^{\eta} g(t) f^{\\prime}(t) dt \\) है।\n\nजहां, हमेशा \\( y \\geqq 0, \\quad a=f(\\alpha), \\quad b=f(\eta) \\) ठोस का आयाम है, जिसमें ठोस का आयाम \\( S(x) \\) है और जब \ a < b \ हो तो वह \\( V=\\int_{a}^{b} S(x) dx \\) होता है'

'निम्नलिखित निश्चित योग की मान मालूम करें।'

'दो कर्वों के बीच क्षेत्र की गणना करें।'

'कर्व C1, C2 और रेखा x=π/2 द्वारा घेरे गए क्षेत्र को T से दर्शाया जाए, तो T=2S के लिए स्थिति को a और b में व्यक्त किया जा सकता है।'

'मान लें f(x) और g(x) [a, b] अंतराल पर निरंतर फ़ंक्शन हैं। अगर f(a)>g(a) और f(b)<g(b) है, तो प्रमाणित करें कि समीकरण f(x)=g(x) का कम से कम एक वास्तव समाधान अंतराल a<x<b में होता है।'

' (1) ऐसे c की मान ढूंढें जिससे कि फ़ंक्शन f(x) और विलोमान की माध्य अदि की शर्तें पूरी हों: (क) f(x)=\\log x [1, e] (ख) f(x)=e^{-x} [0,1]'

'(208 समीकरण f(x) जब a ≤ x ≤ b (a < b) अंतराल पर निरंतर होता है\nतो, int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) f(c) है, a < c < b\nसिद्ध करें (इंटीग्रल मान के नियम के अनुसार)।'

"जब x का फ़ंक्शन y को पैरामीटर t, Υ के रूप में प्रतिनिधित किया जाता है, तो निम्नलिखित समीकरण के अनुसार dy/dx की मानक या, विभिन्नताओं के रूप में निर्देशित करें। यहां, (2) में दिया 'a' एक सकारात्मक स्थिर है। (1) {x=t^3+2, y=t^2-1}, (2) {x=a(θ- sin θ), y=a(1- cos θ)}"

'वह समीकरण (1) को संतुष्ट करने वाले फ़ंक्शन f(x) खोजें।'

'समाधान की अधिकतम और न्यूनतम'

'अध्याय 8: अंतरण के अनुप्रयोग'

'(1) एक बिंदु पर गति का ध्यान दें जो नंबर रेखा पर समय की एक समीक्षा के रूप में है v=f(t)। साथ ही, समय a पर P की निर्देशांक को k मानें।\n[1]समय b पर P के निर्देशांक x है x=k+∫[a,b] f(t) dt\n[2] समय a से समय b तक P के स्थान में परिवर्तन s है s=∫[a,b] f(t) dt\n[3]समय a से समय b तक P द्वारा यात्रा की गई दूरी l है l=∫[a,b]|f(t)| dt'

'गणित में, क्षैतिज x=a और x=b की रेखाओं से घिरी क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें।'

'(1) एक सांतत फ़ंक्शन f(x) के लिए, समीकरण \\( \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x \\) को सिद्ध करें।\n(2) परिभाषित ऐंतरिक \ I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x}{\\sin x + \\cos x} d x \ को खोजें।'

'अधिकतम मान और न्यूनतम मान सिद्धांत'

'कर्व \ C_{1}, C_{2} \ और y-अक्ष द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल S को a और b के अभिव्यक्त करें।'

'कर्व y=f(x) और x-अक्ष के बीच आयतन की गणना करें'

"पीछा ↵(1) 'x के फंक्शन y' के रूप में परिभाषित लेने के तरीके के अनुसार, पीछा के कुल-समाधान का उपयोग करके, कर्व C की रूपरेखा को खींचते हैं।"

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकगणितों का मूल्यांकन करें।'

"समय के साथ बदलने वाली मात्रा f(t) (उदाहरण के लिए फैलते हुए ठोस का आयतन) के लिए, उस मात्रा की समय t पर परिवर्तन दर f ' (t) से प्रतिनिधित होती है, 1 की गति के समान।"

'अभ्यास: निम्नलिखित निर्दिष्ट अंतरक ढकल करें।'

'सिद्ध करें कि जब सम्भावना $f(x)$ अंतराल $a \\leqq x \\leqq b(a<b)$ पर निरंतर हो, तो हमें $\\int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f(c)$ मिलता है, जहाँ $c$ $(a, b)$ अंतराल के भीतर है। (अंतःरूप औसत का सिद्धांत)'

'औसत मूल्य सिद्धांत का उपयोग करके असमिति का प्रमाण सबित करें। उदाहरण के लिए, किसी समय फ़ंक्शन f(x) = x^3 - 3x + 2 के [0,1] अंतराल पर औसत मूल्य सिद्धांत का लागू होने का विचार करें।'

'\nनिर्दिष्ट ऐंशी और सम की सीमा (खंडन विधि)\\( f(x) \\) को अंतराल \ [a, b] \ पर निरंतर माना गया है, इस अंतराल को \ n \ भागों में विभाजित करना और संतरित बिंदुओं को \ a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, … x_{n}=b \ के रूप में करना और \ \\frac{b-a}{n}=\\Delta x \ और \\( \\sum_{k=0}^{n-1} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x=\\sum_{k=1}^{n} f\\left(x_{k}\\right) \\Delta x \\) के इस सीमा करना\n'

'निम्नलिखित पीनिय सीमा योग को ढूंढें। (2) में, \ a \ एक स्थिरांक है।'

'स्पर्शक और अपर साधारण बुनियादी बातें'

'निम्नलिखित कर्वों की लंबाई निकालें।'

''

'यदि \\( f(x) \\) \ x=a \ पर विभाज्य है तो यह निरंतर है। कृपया यह साबित करें। हालांकि, विपरीत (निरंतर कार्य के लिए विभाज्य नहीं हो सकता)'

'निर्देशांक स्थान में, मूल स्थान O और समीकरण A(1,-2,3), B(2,0,4), C(3,-1,5) है। वेक्टर OA+x*AB+y*AC की न्यूनतम गुणाकार और साथ में वास्तविक संख्या x और y के मान ढूंढें।'

'अंतर के साथ एकीकरण की विधि'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंतरोपणों को खोजें: (1) $\\int_{-1}^{\\sqrt{3}} \\frac{d x}{x^{2}+1}$ (2) $\\int_{0}^{1} \\frac{d x}{x^{2}+x+1}$'

'निश्चित योगफल \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} dx \\) की मान निकालें।'

'निम्नलिखित निर्धारित अंकगणित का मूल्यांकन करें।'

'वास्तविक संख्याओं की निरंतरता इत्यादि के माध्यम से कैलकुलस के सख्तीकरण में योगदान किया।'

'निम्न निर्धारित अंकगणितों को बताइए:\n(1) \\( \\int_{1}^{3} \\frac{\\left(x^{2}-1\\right)^{2}}{x^{4}} d x \\)\n(2) \ \\int_{1}^{3} \\frac{d x}{x^{2}-4 x} \\n(3) \ \\int_{0}^{1} \\frac{x^{2}+2}{x+2} d x \\n(4) \\( \\int_{0}^{1}\\left(e^{2 x}-e^{-x}\\right)^{2} d x \\)\n(5) \ \\int_{0}^{2 \\pi} \\cos ^{4} x d x \\n(6) \ \\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin x \\sin 3 x d x \'

'निम्नलिखित मुख्य अंकगणित का मूल्यांकन करें।'

'गणितीय आनुक्रमिकता का उपयोग करके y^(n)=a^(n-1)(n+ax)e^(ax) साबित करें।'

'गोला की समीकरण है जब केंद्र की संख्यांक निम्नलिखित हो (0, b, 0), अर्धरेखा r (r>0) है'

'माध्य स्वर्ग सिद्धांत का प्रमाण'

'कृपया निर्दिष्ट संकलनों की एक समस्या का समाधान करें।'

'यहाँ परवर्तन बिंदु वाली वृत्ति के लिए स्थायी a के मान की सीमा निर्धारित कीजिए। साथ ही, उस समय कितने परवर्तन बिंदु बनाए जा सकते हैं।'

'f(x) और g(x) को अंतराल [a, b] पर निरंतर फ़ंक्शन माना गया है। यदि f(a) > g(a) और f(b) < g(b) है, तो सिद्ध करें कि समीकरण f(x) = g(x) का कम से कम एक वास्तव संख्यात्मक समाधान a < x < b सीमा में है।'

"कक्षा की लंबाई\nकक्षा \\( x=f(t), y=g(t)(\\alpha \\leqq t \\leqq \eta) \\) की लंबाई है\n\\[\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d t}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d t}\\right)^{2}} d t=\\int_{\\alpha}^{\eta} \\sqrt{\\left\\{f'(t)\\right\\}^{2}+\\left\\{g'(t)\\right\\}^{2}} d t\\n\\]"

'त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा\n केंद्र में बिंदु O होता है, और लम्बाई 2r के डायमीटर AB के चक्र की परिधि पर चलने वाला बिंदु P होता है। △ABP का क्षेत्रफल S1 है और क्षेत्रफल OPB का क्षेत्रफल S2 है। निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें।\n(1) जब ∠PAB=θ (0<θ<π/2) हो, तो S1 और S2 ढूंढें।\n(2) जब P B के पास आता है, तो S1/S2 की सीमा मान ढूंढें।'

'निम्नलिखित निर्धारित अंतरक ढाल को ढूंढें।'

'निम्नलिखित फ़ंक्शन और सीमाओं के लिए माध्य वेता सिद्धांत की स्थितियों को पूरा करने वाले c की मान खोजें: (1) f(x)=2 x^{2}-3 [a, b] (2) f(x)=e^{-x} [0,1] (3) f(x)=\\frac{1}{x} [2,4] (4) f(x)=\\sin x [0,2 \\pi]'

''

'यदि a, b निरंतर हैं, m, n शून्य से अधिक पूर्णांक हैं, तो \\( I(m, n)=\\int_{a}^{b}(x-a)^{m}(x-b)^{n} d x \\) को परिभाषित किया जाता है।'

'क्योंकि 17 \ \\frac{d x}{d t}=1, \\frac{d y}{d t}=2 t-2 \ है, इसलिए\\n\\\frac{d \oldsymbol{y}}{d x}=\\frac{\\frac{d y}{d t}}{\\frac{d x}{d t}}=\\frac{2 t-2}{1}=2 t-2\'

'निम्नलिखित निर्दिष्ट अंकगणितों का मान निकालें। (1) \\int_{0}^{1} \\frac{x}{\\sqrt{2-x^{2}}} dx (2) \\int_{1}^{e} 5^{\\log x} dx (3) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin 2 x}{3+\\cos^2 x} dx (4) \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin^2 x \\cos^3 x dx'

'निम्नलिखित निश्चित अंतरिक्षों को खोजें।'

''

'निम्नलिखित निश्चित अंकित का पता लगाएं: \n\\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} x^{2} \\cos ^{2} x d x \'

'क्षेत्रफल का अधिकतम और न्यूनतम'

'निम्नलिखित निश्चित अंकगणित कीजिए:\n∫_0^1 sqrt(1 - x^2) dx'

' \\( \\int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \\,dx \\) की मान निर्धारित करें।'

'आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के बीच अंतर का वर्णन करें।'

'निम्नलिखित तरह परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के वास्तव समादानों की संख्या ढूंढें। f(0)=-1/2, f(1/3)=1/2, f(1/2)=1/3, f(2/3)=3/4, f(3/4)=4/5, f(1)=5/6, जब f(x) निरंतर हो, तो f(x)-x=0 के कम से कम कितने वास्तव समाधान होंगे 0 ≤ x ≤ 1 के लिए।'

'कर्व y = x^2 और x = 1 के बीच क्षेत्र की गणना करें।'

"औसत मान सिद्धांत(1) में, क्योंकि c a और b के बीच है, इसलिए , b-a=h, c-a को b-a से भाग देकर θ को परिभाषित करते हैं, तो हमे b=a+h, c=a+θh मिलता है। इसलिए, औसत मान सिद्धांत(1) निम्नलिखित रूप में भी प्रकट किया जा सकता है। औसत मान सिद्धांत(2): यदि समीकरण f(x) अंतराल [a, a+h] पर स्थायी है, और अंतराल (a, a+h) पर विभाज्य है, तो f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh) को पूरा करने वाले एक वास्तविक संख्या θ मौजूद है, 0<θ<1।"

''

'निम्नलिखित निश्चित अंकित का मूल्य निकालें। (3) $\\int_{-\\sqrt{2}}^{\\sqrt{2}}\\left(x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-x+2\\right) d x$'

'रोopकषण क्षेत्रफल का प्रयोग करके त्रि-घन का आयतन कैसे निकाला जाए। जब एक तलwarित अक्ष के लिए लंबव\xa0 रेखा द्वारा काटे जाने पर, तद्व्युत्क्रांत क्षेत्रफल x के संबंध में एक S(x) कार्य से प्रदर्शित होता है, तो आयतन V निकालें। a से b तक रेंज\xa0 में विcaरण।'

'कर्व C और x अक्ष और y अक्ष द्वारा घेरी गई आकृति क्षेत्र का पता लगाएं।'