विश्लेषण - श्रृंखला और अनुक्रम

'ऊपर दिए गए परिणाम से सूची p_n ढूंढें।'

'जब एक श्रेणी के k-th पद a_k को a_k=f(k+1)-f(k) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो मुद्रित (*) समीकरण का उपयोग करके \\sum_{k=1}^{n} a_k के लिए सूत्र खोजें और इसके पीछे की तर्कसंगतता की व्याख्या करें।'

'केवल (2) और (4) को उद्धृत करके, जिससे सीरीज {pn} के विभिन्नता सीरीज का सामान्य सदिश (-1/2)^(n+1) है, सामान्य सदिश pn का पता लगाएं, या केवल (1) और (3) को उद्धृत करके, पड़ोसी 2 में रिकरेंस संबंध (3) को हल करें।'

'अभ्यास: निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित धरावाही {an} की सामान्य शब्दी। (1) a1=1, an+1=3an+2n-1 (2) a1=-30,9an+1=an+43n'

'कृपया समयस्वीक्षित पुनरावृत्ति समीकरणों को हल करने का तरीका समझाएं।'

'एक अंकगणित श्रेणी {a_{n}} जिसकी पहली श्रेणी a, साधारण तदन्तर d, और आवश्यक अंक n है, का योग S_{n} ढूंढें।'

'इसलिए, अगर न। सूची a_{n}+20} एक धारा श्रेणी है जिसमें प्रारंभिक मान 2 है और सामान अनुपात 5/4 है।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम का सामान्य पद खोजें $\\left\\{a_{n}\\right\\}$।'

'एक श्रेणी का सामान्य शब्द जानने के लिए योग के सूत्र का उपयोग करें'

'उदाहरण संख्या व्यावहारिक 2 पुनरावृत्ति सम्बंध'

'यदि एसn पहले सेरीज के पहले सदस्य से लेकर n वां सदस्य तक का योग है, तो सामान्य सदस्य खोजने के लिए सूत्र दें।'

'सामान्य शब्द ढूंढने के तरीके'

'संक्रमित समीकरण से सामान्य पद कैसे ढूंढें'

'उदाहरण सवाल संख्या अभ्यास 1 अंकगणित श्रंखला, रूपीय श्रंखला'

'क्रमिक श्रेणी और साधारण पद की व्याख्या करें, और उदाहरण के आधार पर साधारण पद निकालें।'

'पहले n पदों का योग निकालें।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} की सीमा मान ढूंढें। a1=0, a2=1, an+2=1/4(an+1+3an)'

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ की सीमा खोजें।'

'क्षेत्र से संबंधित अनंत श्रृंखला खोजें।'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला का योग निकालें।\n(1) जब \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ 0 और सामान अनुपात 2 के साथ एक वृद्धिक श्रेणी हो, तो निकालें \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} \ (ऐची इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉज के समान)\n(2) जब \ \\pi \ एक वृत्त के परिधि को अपने व्यास से विभाजित करने वाली सांख्यिकीय हो, तो मूल्यांकन करें \ 1+\\frac{2}{\\pi}+\\frac{3}{\\pi^{2}}+\\frac{4}{\\pi^{3}}+\\cdots \\cdots+\\frac{n+1}{\\pi^{n}}+\\cdots \\dots \\nआवश्यकता पड़ने पर, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\)।\n(केवियो विश्वविद्यालय के समान) \ \\rightarrow 33,35 \'

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम की सीमा ढूंढें:'

'श्रृंखला का योग $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} k\\left(\\frac{1}{4}\\right)^{k-1}$ ढूँढें।'

'क्रेडिट सृजन का सिद्धांत'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला पर विचार करें।'

'ऊपर दिए गए उदाहरण के परिणाम का उपयोग करके, साबित करें कि अनंत श्रृंखला $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}$ विचलित होती है।'

'जितने कि $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ की शांति है, जहां $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, तो $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ शांत भी होगी और $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$ (यहाँ $k, l$ स्थाई हैं)'

'कृपया अनंत श्रृंखला के योग के संबंध में एक समस्या का समाधान करें।'

'कृपया सत्यापित करें कि k>0 के लिए अनुक्रम {1/n^k} का संघटन है।'

'अभ्यास करके निम्नलिखित अनंत श्रृंखला विघटित होती है।'

'आकारों की संख्या और संयोजन।'

'निम्न सरणी का योग्य खोजें।'

'एक अनुक्रम को एक अंकगणित प्रगति बनाने के लिए शर्तों का उल्लेख करें।'

'सांख्यिकीय प्रमाण के द्वारा प्रमाणित करें कि (2) (1) में अनुमानित सामान्य शब्द सूत्र सही है।'

'क्रमशः जोड़ संख्या: \\(\\sum_{k=1}^n(k^2+3k+1)\\) निकालें'

'पहले अनुक्रम से n वाँ अंश तक की जम को निकालें।'

'निम्न सूत्र का सामान्य पद खोजें: $c_{n+1}=-2c_{n}-18$'

''

'निम्नलिखित योगफल का पता लगाएं।'

'सिद्ध करें कि यदि श्रृंखला $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ सम्मिलित होती है, जहां $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}=S, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}=T$, तो श्रृंखला $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(k a_{n}+l b_{n}\\right)$ भी सम्मिलित होती है और उसका योग मिलता है। यहाँ, $k, l$ निर्दिष्टांक हैं।'

'एक अनंत धर्मगुणित समश्रेणी का संघटन शर्त दें।'

'अनंत वैशिष्ट्य श्रृंखलाओं की शांति और विस्फोट का स्पष्टीकरण और सिद्ध करें। प्रारंभिक मान a और सामान्य अनुपात r से जन्मी अनंत वैशिष्ट्य श्रृंखला {ar^n-1} से बनी अनंत श्रृंखला से बना अनंत श्रृंखला \ \\sum_{n=1}^{\\infty} \overline^{n-1}=a+\overline+\overline^{2}+\\cdots \\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots \\cdots \ शांति के शर्तों की प्राप्ति करें, उसका योग निकालें, और दिखाएं कि यह विस्फोट के क्या शर्त हैं।'

'श्रृंखला \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{n} \\sin \\frac{n \\pi}{2} \\) का योग निकालें।'

'एक अनंत याकृतिक श्रृंखला की संघटन और विघटन की जांच करें, और यदि यह संघटित होता है, तो उसका योग निकालें।'

'अनंत श्रृंखला $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$ के बारे में\n(1) इस अनंत श्रृंखला का संकुचित होने वाले $x$ के मानों की सीमा का पता लगाएं।\n(2) जब $x$ (1) द्वारा निर्धारित सीमा में हो, तो इस अनन्त श्रृंखला का योग $f(x)$ के रूप में लें। किसी भी विस्तार की स्थिरता की जांच के लिए समीकरण $y=f(x)$ का चित्र बनाएं।'

'साबित करें कि अनंत श्रंखला Σ(1 / n) विकर्ण होती है।'

'समग्र अभ्यास'

'अनंत वर्थमान श्रृंखला {r^n} की सीमा की जांच करें।'

'उदाहरण 126 सीरीज और सीमा के अनंत (2)'

'उदाहरण 11 | अनंत श्रृंखला की संख्यात्मक और विघटन'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला के संघटन या विघटन का अध्ययन करें, और यदि यह संघटित होता है, तो इसका योग ढूंढें। \n\\[\n\\left(2-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{2}{3}+\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{2}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots+\\left(\\frac{2}{3^{n-1}}+\\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\\right)+\\cdots \\cdots\n\\]'

'निम्नलिखित अनुक्रमों की संघटन और विचलन का अध्ययन करें: (ए) { -n^{3} + 1 } (बी) { -\\frac{1}{n^{3}} + 2 } (सी) { \\frac{3}{n+2} } (डी) { \\frac{(-2)^{n}}{3} - 1 }'

'अनंत श्रृंखला का संघटन और विसर्जन और अंग की सीमा'

'निम्नलिखित अनिशित समीकरणों को साबित कीजिए।'

'अभ्यास 14 | II | → पुस्तक पृष्ठ 343\n(1) मान लें कि श्रेणी {xn} संप्रेषित है, और इसका सीमा मान अल्फा है\nlim_{n→∞} xn = lim_{n→∞} xn+1 = α\nइसलिए, जब n → ∞ होता है, xn+1 = √(a + xn)\nα = √(a + α)\nदोनों पक्षों को वर्ग करने और व्यवस्थित करने से α² - α - a = 0 होता है\nक्योंकि α > 0 है, इसलिए α = (1 + √(1 + 4a)) / 2'

'अनंत श्रृंखला ∑ का योग्यापन करें n=0 से अनंत तक का (1/2)^n cos(nπ/6)।'

'लंबी किताब के 22 वें समीकरण को साबित करें'

'अंतरिक मान सिद्धांत का उपयोग करके अनंत श्रृंखला का योग और निर्धारित ऐंठिकलन का हल करना'

'अनंत श्रेणीय धारा की सीमा का विवरण दें और संघटित होने के किस स्थितियों में होता है यह दिखाएं।'

'ध्यान में रखते हुए क्रम $b_{n}=(-1)^{n-1} \\log _{2} \\frac{n+2}{n}(n=1,2,3, \\ldots \\cdots)$ द्वारा परिभाषित सूची के लिए, $S_{n}=b_{1}+b_{2}+\\cdots \\cdots+b_{n}$ लें। ज्ञात करें $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} S_{n}$।'

'अनंत श्रृंखला'

'सिद्ध करें कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए परियोजना बोध (P1(1, 1), x_{n+1}=\x0crac{1}{4} x_{n}+\x0crac{4}{5} y_{n}, y_{n+1}=\x0crac{3}{4} x_{n}+\x0crac{1}{5} y_{n}(n=1,2, ...)) से प्राप्त कोई बिंदु-श्रृंखला Pn(x_{n}, y_{n}) जो एक समतल पर है। सिद्ध करें कि बिंदु श्रृंखला P1, P2, ... किसी निर्धारित स्थिर बिंदु की ओर अनंत नज़दीक आते हैं। 〔शिनशू विश्वविद्यालय के समान〕'

'साबित करें कि दो संघटित श्रृंखला $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n}$ जो $S, T$ पर संघटित हो, के लिए, एकाधिकार $k, l$ के लिए, श्रृंखला $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})$ भी संघटित होती है और $\\sum_{n=1}^{\\infty}(k a_{n}+l b_{n})=k S+l T$।'

'निश्चित ऐन्किक \ \\int_{0}^{1} x^{2} d x \ ढूंढें। सबसे पहले, अंतराल \ [0, 1] \ को \ n \ बराबर भागों में विभाजित करें, और हर नीले छाया वाले प्रत्येक आयत का क्षेत्र होगा \\( \\left(\\frac{1}{n}\\right) \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} \\ (k=0,1, \\cdots, n-1) \\), तो मौजूदा है\n\\[S_{n} = \\sum_{k=0}^{n-1} \\frac{1}{n} \\cdot\\left(\\frac{k}{n}\\right)^{2} = \\frac{1}{n^{3}} \\sum_{k=1}^{n-1} k^{2} = \\frac{1}{6}\\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)\\left(2 - \\frac{1}{n}\\right)'

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रम \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \ का सीमा मान खोजें।'

'(2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}-1}$'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {एन} की सीमा मूल्य का पता लगाएं।'

'{ r^n } के अनंत वृत्तीय श्रेणी की सीमा'

'निम्नलिखित अनंत श्रंखला के संरक्षण और विभाजन की जांच करें, और यदि यह संरक्षित होता है तो उसकी योग कीजिए।'

'अनंत श्रृंखला \ \\sum_{n=1}^{\\infty} n x^{n-1} \ की संघटन या विघटन का अध्ययन करें, और अगर यह संघटित होता है तो उसका योग मिलाएं। यहां सुनिश्चित करने के लिए कि \\( \\lim _{n \\rightarrow \\infty} n x^{n}=0(|x|<1) \\) का उपयोग किया जा सकता है।'

None

'सीरीज 1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\cdots असंघतित होने का सिद्धांत प्रस्तुत कीजिए।'

'इस अनंत श्रृंखला का योगफल निकालें: 1-1/3+1/5-1/7+⋯⋯'

'इस अनंत श्रृंखला के संकुचन और विकास की जांच करें, और यदि यह संकुचित होती है तो उसका योग मिलाएं।'

'एक सतह पर एक चिह्नित घना रखा गया है। घने के बेस के 4 किनारों में से एक किनारा बराबर संभावना के साथ युक्तियुक्त रूप से चयनित किया जाता है, और इस किनारे के चारों ओर घना को एन बार छलाया जाता है। चिह्नित जिसमें का मुख ऊपर होने की संभावना aₙ है, और नीचे होने की संभावना bₙ है। जैसे कि शुरुआत में चिह्नित मुख ऊपर है। (1) a₂ ढूंढें। (2) aₙ₊₁ को aₙ के लिए व्यक्त करें। (3) limₙ→∞ aₙ ढूंढें।'

'(2) के परिणाम का उपयोग करके, अनंत श्रृंखला का योग Σ_(n=1)^∞ n/2^n निकालें। यहां, lim (n→∞)(n/2^n)=0 का उपयोग किया जा सकता है।'

'अनंत श्रेणी $x+\\frac{x}{1+x}+\\frac{x}{(1+x)^{2}}+\\cdots \\cdots+\\frac{x}{(1+x)^{n-1}}+\\cdots \\cdots$ के लिए (1) उन मानों का विस्तार ढूढ़ें जिनके लिए यह अनंत श्रेणी संघटित होती है। (2) जब $x$ (1) में हो, तो इस अनंत श्रेणी की योग होगी $f(x)$। कार्य $y=f(x)$ का चित्र खींचें और उसका सततता की जाँच करें।'

'निम्नलिखित स्थितियों द्वारा निर्धारित अनुक्रमण $\\{a_{n} \\}$ की सीमा मूल्य ढूंढें।'

'अनंत श्रृंखला \\(\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}-\\frac{1}{2^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\) का योग निकालें।'

'अध्याय 3\nविभिन्नियाता गणित - 105\nजब n ≥ 2 हो\n\\[\egin{aligned}b_{n} & =b_{1}+\\sum_{k=1}^{n-1} 6 k=0+6 \\cdot \\frac{1}{2}(n-1) n \\& =3 n(n-1)\\end{aligned}\\]\nयह n=1 होने पर भी लागू है।\n\\[\\text{इसलिए,} \\quad b_{n}=3 n(n-1)\\]\n\\( \\sum_{k=1}^{n} k=\\frac{1}{2} n(n+1) \\)\nअध्याय 3\nउदाहरण'

'निम्न अनंत श्रृंखला का योगफल निकालें।\n(1) \\(\\left(1+\\frac{2}{3}\\right)+\\left(\\frac{1}{3}+\\frac{2^{2}}{3^{2}}\\right)+\\left(\\frac{1}{3^{2}}+\\frac{2^{3}}{3^{3}}\\right)+\\cdots \\cdots \\)\n(2) \\\frac{3^{2}-2}{4}+\\frac{3^{3}-2^{2}}{4^{2}}+\\frac{3^{4}-2^{3}}{4^{3}}+\\cdots \\cdots \'

'सिखाओ कि श्रृंखला ∑(1/n) विचलित होती है।'

'निम्नलिखित अनुक्रमों की सीमा ढूंढ़ें।'

'निम्नलिखित अनंत शृंखला की योग्यता खोजें।'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला की विघटनता साबित करें। (1) 1+\\frac{2}{3}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{7}+\\cdots \\cdots (2) \\sin \\frac{\\pi}{2}+\\sin \\frac{3}{2} \\pi+\\sin \\frac{5}{2} \\pi+\\cdots \\cdots'

'असीमित श्रृंखला क्वथित होने के लिए वास्तव संख्या x के मान की सीमा खोजें।'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला की संघटन और प्रसरण की जांच करें, और यदि यह संघटित होता है तो उसका योग निकालें।'

'निम्नलिखित अनुक्रमों की सीमाओं का अन्वेषण करें।'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला का विघटन होना सिद्ध करें।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम की सीमा निकालें।'

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम {an} की सीमा ढूंढें।'

'निम्नलिखित अनंत श्रृंखला का योगफल निकालें।'

'निम्नलिखित वक्रों की लंबाई \ L \ ढूंढें। (1) \ \\left\\{\egin{\overlineray}{l}x=e^{t} \\cos t \\y=e^{t} \\sin t\\end{\overlineray}\\right(0 \\leqq t \\leqq \\frac{\\pi}{2}\\\right.'

'निम्नलिखित अनुक्रमों को संघटित बनाने वाले वास्तविक संख्या x का वर्ग खोजें। साथ ही, उस समय सीमा मूल्य भी खोजें।'

'अनंत ज्यामितीय श्रृंखला'

'अनंत श्रंखला ∑_{n=0}^{∞}(1/2)^{n} cos (n π / 6) का योग निकालें।'

'आंतरिक योगी श्रृंखला a+\overline+\overline^{2}+\overline^{3}+\\cdots+\overline^{n-1}+\\cdots की संघटन स्थिति और योग का पता लगाने के लिए भागीय संख्या सूत्र का उपयोग करें।'

'(1) अनंत श्रृंखला \ \\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n} \ संघटित होता है \ \\Longrightarrow \\lim _{n \\rightarrow \\infty} a_{n}=0 \'

''

'निम्नलिखित शर्तों द्वारा निर्धारित अनुक्रम की सीमा खोजें: \ \\left\\{a_{n}\\right\\} \।\a_{1}=1, \\quad a_{n+1}=\\frac{2}{3} a_{n}+1\'

''